Računalniško podprta karakterizacija termo-reoloških lastnosti snovi Computer Aided Thermo-Rheological Characterization P. Koc1, Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani B. Štok, Laboratorij za numerično modeliranje in simulacijo v mehaniki, Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani Prejem rokopisa - received: 1996-10-04; sprejem za objavo - accepted for publication: 1997-01-17 Uspešno reševanje tehničnih problemov z numerično analizo in računalniško simulacijo zahteva med drugim tudi dobro poznavanje lastnosti snovi, ki obravnavani problem karakterizirajo. V prispevku obravnavamo računalniško podprto identifikacijo temperaturne odvisnosti reoloških snovnih lastnosti, zasnovano na metodologiji reševanja inverznih problemov. Ključne besede: matematično modeliranje, inverzni problem, snovna identifikacija Successful treating of technical problems by means of numerical analysis and computer simulation is conditioned by a good knovvledge of the material properties that characterize the considered problem. The computer aided Identification of the temperature dependent rheological material properties, which is based on the inverse problem solution methodology, is presented in the paper. Key words: mathematical modelling, inverse problem, material characterization 1 Uvod Z intenzivnim razvojem novih, čedalje kompleksnejših materialov je vprašanje učinkovite karakterizacije materialov postalo še aktualnejše, saj je njihova uporaba ter vgradnja v tehnične sestave v veliki meri pogojevana prav s stopnjo poznavanja snovnih lastnosti. Predvsem v procesni tehniki je čedalje več naprav, ki obratujejo v zelo širokem delovnem območju. Delovanje takšnih sistemov, pri katerih so gradiva vgrajenih elementov ob statičnih obremenitvah navadno izpostavljena še velikim temperaturnim spremembam ter morebitnim kemičnim reakcijam, je mogoče zanesljivo načrtovati le ob primernem poznavanju odvisnosti, ki jih snovne lastnosti na celotnem delovnem območju izkazujejo. Ugotavljanje snovnih lastnosti temelji predvsem na obdelavi eksperimentalno pridobljenih odzivov, t.j. na vrednotenju za analizirano snovno lastnost relevantnih podatkov, izmerjenih z eksperimentom. Za enolično identifikacijo raziskovane fizikalne lastnosti mora biti eksperiment ustrezno načrtovan ter izveden. Temu ustrezno so za značilne preizkuse preizkušanci ter potek eksperimenta povsem opredeljeni s standardi. Kompleksnost odvisnosti, ki naj bi jo z eksperimentom identificirali, pogojuje zahtevnost in število potrebnih eksperimentov, s tem pa tudi ceno izvedbe eksperimenta. Da bi enolično identificirali določeno odvisnost snovi, temelji večina tako predpisanih eksperimentov na zagotavljanju konstantnosti vplivnih veličin med izvajanjem eksperimenta. Pri karakterizaciji kompleksnejših odvisnosti snovnih lastnosti pa takšen način zahteva izvedbo množice preizkusov v različnih razmerah. 1 Mag. Pino KOC. dipl. ing. Fakulteta za matematiko in fiziko. Oddelek za matematiko in mehaniko Lepi pol II. 10(K) Ljubljana. Slovenija Za popolnejšo in hitrejšo karakterizacijo snovi, ki naj bi istočasno sprostila v predhodnem odstavku opisane omejitve pri izvedbi eksperimenta, je potrebno razviti ustrezno metodologijo. Zaželeno bi bilo, da bi le-ta praviloma ne omogočala le učinkovitejše matematične obdelave podatkov, marveč tudi bistveno posplošitev samega eksperimenta z možnostjo verodostojne identifikacije širšega spektra snovnih lastnosti pri manjšem številu različnih eksperimentov. V prispevku je obravnavana računalniško podprta identifikacija temperaturne odvisnosti reoloških snovnih lastnosti, ki temelji na računalniški simulaciji laboratorijskega eksperimenta ter rešitvi inverznega robnega problema. 2 Formulacija problema Pri obravnavanju termomehanskih problemov je poznavanje temperaturne odvisnosti snovnih lastnosti odločujoče za verodostojnost kakršnekoli analize. V nadaljevanju se omejimo na identifikacijo nekaterih snovnih lastnosti, ki vplivajo na napetostno-deformacijsko stanje v elastoplastičnih snoveh. Pri tem privzamemo, da je telo (realni strojni del v obratovanju ali preizkušanec v eksperimentu) iz snovi, ki jo želimo karakterizirati. Telo je izpostavljeno časovno spremenljivemu delovanju zunanjih učinkov, tako toplotnih kot tudi mehanskih. Končno privzemimo še, da je fenomenološko vedenje v telesu, ki sledi kot odziv na definirane zunanje učinke, mogoče ustrezno popisati z matematičnim modelom. 2.1 Matematični model termomehanskega problema V okviru veljavnega matematičnega modela, kjer z x označimo prostorsko koordinato poljubne točke obravna- vanega telesa (xe Qc £X=o) in s t časovno koordinato (t > 0), temelji izračun deformacijsko-napetostnega polja v telesu na časovno spreminjajočem se temperaturnem polju T(x,t), ki ga določimo s predhodno toplotno analizo. Zaradi temperaturne odvisnosti snovnih lastnosti je problem nelinearen ter odvisen od zgodovine obremenjevanja. Deformacijsko-napetostno polje, ki ga opredeljujejo napetostni tenzor crij(x,t), tenzor deformacij £ij(x,t) ter vektor pomikov ui(x,t), je dano z rešitvijo sistema enačb c,i, + fi = 0 (D dSij = -j (dUj j + duj j), xeQ (2) dcTij = Hijkl dekl - dT 8y (3) ob upoštevanju zunanjih učinkov. Enačba (1) predstavlja ravnotežne razmere, enačba (2) zvezo med deformacijami in pomiki in enačba (3) reološko zvezo med napetostmi in deformacijami. Pri tem je fi vektor volumskih sil, Hijki tenzor snovnih lastnosti, E modul elastičnosti, a temperaturni koeficient razteznosti, v Poissonovo število in Sij Kroneckerjev tenzor. Toplotni učinki rezultirajo v časovno odvisno temperaturno polje T(x,t), ki je zaradi predpostavke o predhodno izvedeni toplotni analizi definirano po celotnem telesu. Skladno s tem je temperaturna sprememba dT v časovnem intervalu [t, t+dt]: dT = T(x, t+dt) - T(x, t) = dt (4) ot Od mehanskih učinkov je potrebno po celotnem telesu upoštevati časovno spreminjanje volumskih sil fi(x,t), na površini T le-tega pa še definirano obtežbo pi*(x,t) ali predpisane pomike ui*(x,t). Skladno s tem mora rešitev sistema enačb (1-3) na delu površine r0 izpolnjevati robni pogoj: Cji nj = ft* (x,t), xe (5) na delu površine Tu (Tu = r-r0) pa robni pogoj: ui = ui*(x,t), X€Tu (6) 2.2 Identifikacija temperaturne odvisnosti mehanskih lastnosti trdnih snovi Tenzor snovnih lastnosti Hijkl, ki med drugim vključuje tudi odvisnost od modula elastičnosti e ter Pois-sonovega števila v, se glede na zgodovino obremenjevanja spreminja, pri čemer so koeficienti tenzorja Hijkl ter temperaturni koeficient razteznosti a še temperaturno odvisni. V primeru mehansko izotropne snovi se število neodvisnih koeficientov, ki popisujejo tenzor Hijkl, zmanjša. Za elastoplastičen material so to: Poissonovo število v = v (T), modul elastičnosti e = e(T), meja plastičnosti rp = ov = cfv(T) in tangentni modul et = da/de = et(£,t). Tangentni modul izračunamo iz krivulj tečenja (G-e krivulje), ki so temperaturno odvisne. Ob poznanih temperaturnih odvisnostih posameznih snovnih lastnosti, ki opredeljujejo reološko zvezo (3), je mehanski odziv telesa na predpisane termomehanske obremenitve povsem determiniran in s tem enolično določljiv iz enačb (1-6). Vsaj načeloma pa bi lahko, ob predpostavljenem poznavanju mehanskega odziva na dano termomehansko obremenitev, dani matematični model uporabili za snovno karakterizacijo, konkretno v našem primeru za identifikacijo temperaturne odvisnosti reoloških snovnih lastnosti. z namenom računske identifikacije temperaturne odvisnosti snovne lastnosti F = F(T) smemo zanjo privzeti načeloma poljubno matematično odvisnost, katere stopnja ujemanja z dejansko odvisnostjo pa bo odvisna od števila prostih parametrov v privzetem funkcijskem zakonu. V konkretnem primeru privzamemo odsekoma linearno funkcijsko odvisnost snovnih lastnosti F(T). Temperaturni interval opazovanja [Ts, Tf] zato razdelimo na n, v splošnem različno velikih, podintervalov: [T,, Tf] = [To, T,] u [T,, TJ u ... u [Tn.„ TJ, Ts = T0, Tr = Tn (7) V skladu s privzeto funkcijsko odvisnostjo se funkcija f(t) pri temperaturi T e [tm, Ti] izraža z enačbo: f(t) = f'-1 +(t-tm) , 1 < i < n , (8) i i- i i-i pri čemer sta koeficienta F'"1 in F' funkcijski vrednosti funkcije F(T) na mejah i-tega podintervala. Ob upoštevanju enačb (7) in (8) je temperaturno odvisni modul elastičnosti E(T) popisan s funkcijskimi koeficienti E°, E1,..., Ek, Poissonov količnik v (T) s koeficienti v°, v1,..., vm, meja plastičnosti ov(T) in krivulje tečenja o(e,T) s koeficienti a°, a1,..., or ter temperaturna razteznost oc(T) s koeficienti a°, a1,..., as. Snovne konstante E0,..., Ek, v0,..., vm, a°,...,crr in a0,..., as združimo v vektor pT = [E°,...,as], ki pri reševanju problema identifikacije tvorijo vektor neznank. Simbol T označuje pri tem transponiranost vektorja p. Število funkcijskih koeficientov, ki popisujejo posamezno odvisnost (k, m, r, s), je lahko različno. 2.3 Inverzna metoda identifikacije Osnova metode identifikacije je reševanje t.i. inverznega problema2'3, kjer gre za določevanje koeficientov operatorja, ki opredeljuje fenomenološke lastnosti obravnavanega sistema. V našem primeru je to enačba (3), iskane koeficiente pa predstavlja vektor p. Ker je reševanje inverznega problema enako načinu reševanja eks-tremalnih problemov1, bomo v procesu računske identifikacije iskali optimalno vrednost vektorja neznank p z ozirom na minimizacijo odstopanja med računskim in eksperimentalnim odzivom obravnavanega sistema. Podrobnejši o|>is metode presega okvire tega prispevka, podan je v . Problem identifikacije lahko opišemo z naslednjim algoritmom: 1 - izvedba laboratorijskega eksperimenta ob poznanih robnih pogojih ter merjenje odziva realnega sistema 2 - izbira približka neznanih odvisnosti snovnih lastnosti za začetni korak računskega iteracijskega postopka 3 - računalniška simulacija eksperimenta s privzetimi od- visnostmi snovnih lastnosti 4 - primerjava odziva numeričnega modela z odzivom re- alnega sistema 5 - v primeru, da je ujemanje primerjanih odzivov zado- voljivo, se iteracijski postopek in s tem tudi snovna identifikacija zaključita 6 - v primeru, da ujemanje primerjanih odzivov ni zado- voljivo, sledi popravek odvisnosti snovnih lastnosti ter določitev novega približka, ki bo upoštevan v naslednjem iteracijskem izračunu 7 - ponovitev algoritma od točke 3 dalje. Prikazani algoritem je v bistvu optimizacijski1, saj gre za minimizacijo odstopanj primerjanih odzivov. Sam problem minimizacije pa lahko opremo na postopke za iskanje ekstrema funkcije več spremenljivk. Merilo za ujemanje odziva numeričnega modela in odziva realnega sistema (točka 4 opisanega algoritma) predstavlja t.i. ciljna funkcija: S(p) - [Y-U(p)]T W[Y-U(p)] + q[Hp]T Hp, (9) kjer je Y vektor na opazovanem sistemu izmerjenih veličin (točka 1) in U(p) vektor z numeričnim modelom izračunanih veličin. Slednjega, ki je implicitna funkcija parametrov sistema p, izračunamo na osnovi analize direktnega problema (točka 3). Napake meritev vključuje na statistični način utežna matrika W, medtem ko je vloga regularizacijskega člena z utežnim koeficientom q zmanjšati prevelike spremembe vrednosti parametrov sistema, ki so navadno značilne za začetne korake identifikacije. Z regularizacijsko matriko H izvajamo nad parametri sistema regularizacijo 0., 1. ali 2. reda. Potrebni pogoj za ekstrem ciljne funkcije S(p), s katerim izrazimo zahtevo po ničnosti prvih odvodov ciljne funkcije S(p) po parametrih p, zapišemo z enačbo: VpS(p) = -2XT(p) W[Y-U(p)] + 2qHT Hp = 0 (10) Pri tem označuje Vp parcialni odvod po komponentah vektorja p in X(p) občutljivostno matriko: XT(p) =V„UT(p) (11) Skladno z Gauss-Newtonovo metodo minimizacije ciljne funkcije (9) izvedemo nadalje linearno aproksima-cijo vektorja U(p) v (v+l)-vi iteraciji: U(pv+1) = Uv+1 = Uv + X(pv) [pv+1-pvj (12) pri čemer pomeni v števec iteracij. Upoštevajoč dano aproksimacijo sledi iz enačbe (10) sistem enačb, iz katerega ob poznanem vektorju pv ter njemu pripadajočem odzivu U(pv) izračunamo naslednji približek pv+1 (točka 6): {XT(pv) W X(pv) + qHT H} pv+1 = = XT(pv) W{X(pv) pv + [Y-U(pv)]} (13) 3 Numerični zgled V ponazoritev prikazane metodologije računalniško podprte snovne identifikacije smo izvedli identifikacijo temperaturno odvisnih reoloških lastnosti hipotetičnega materiala, ki ima lastnosti, podobne jeklu. Iskane lastnosti so temperaturno odvisni modul elastičnosti, Pois-sonov količnik in temperaturni razteznostni koeficient ter krivulje tečenja pri različnih temperaturah. Toplotne lastnosti so v tem prispevku privzete kot poznane in niso predmet identifikacije, njihove temperaturne odvisnosti pa sicer lahko prav tako določimo z inverzno metodo identifikacije . 3.1 Zasnova laboratorijskega eksperimenta Sklop za izvedbo laboratorijskega eksperimenta, katerega geometrija je prikazana na sliki 1, je sestavljen iz prizmatičnega preizkušanca, pravokotnega prečnega prereza, z izmerami 5x10 mm, dolžine 120 mm, ki je podvržen mehanskim in temperaturnim obremenitvam. Senzorji za merjenje vzdolžnih in prečnih deformacij (oznaka A in B na sliki 1) so nameščeni na delu preizkušanca med obema podporama, senzor za merjenje upogiba pa je nameščen na sredini razpona (oznaka C). Poleg tega merimo še temperaturo zgornje (Ti) in spodnje (T2) površine preizkušanca, kar pa na sliki 1 ni posebej prikazano. Začetno stanje preizkušanca je izotermno in nenape-tostno, njegovo obremenjevanje pa poteka v dveh korakih. V prvem dosežemo z enakomernim segrevanjem na temperaturo Ti = 500°C na celotni zgornji površini nosilca in intenzivnim hlajenjem (T2 = 0°C) po celotni spodnji površini stacionarno temperaturno polje v preizkušancu. Izmerjeni podatki nastalega deformacij-skega polja rabijo za identifikacijo temperaturno odvisnega koeficienta temperaturne razteznosti. V drugem koraku dodamo temperaturni obremenitvi še upogibno (Štiritočkovni upogibni preizkus), s katero povzročimo plastifikacijo nekaterih delov preizkušanca. Ker podrobna analiza in izvedba eksperimenta nista predmet tega prispevka, je prikazani laboratorijski eksperiment ilustrativnega značaja, saj rabi le kot prikaz uporabnosti inverzne metode identifikacije. F A - — — - -— — — — — — --- — A C 60 E-T1