RAZPRAVE | 2023 | št. 4–5 | VZGOJA & IZOBRAŽEVANJE 15 TIPI IN NEKAJ PRIMEROV NALOG MATEMATIČNEGA MODELIRANJA ZA RAZREDNO STOPNJO Mathematical Modelling Task Types at Primary Level ZAKAJ MATEMATIČNO MODELIRANJE NA RAZREDNI STOPNJI IN KAKO? Za razliko od tradicionalnih besedilnih nalog naloge ma- tematičnega modeliranja zahtevajo veliko kognitivne po- zornosti. Učenci ne le da morajo določiti, kako doseči cilj, temveč si morajo cilj določiti sami. Glavni cilj matema- tičnega modeliranja namreč ni, da najdemo bolj ali manj enolično določeno rešitev, ampak da razumemo situacijo in razmišljamo o možnih rešitvah. Matematično modeli- ranje pri učencih spodbuja metakognitivne sposobnosti, konceptualno razumevanje, krepi ustvarjalne in inovativ- ne sposobnosti ter družbeno-kulturno vlogo matematike (Blum, 1994). Poučevanje, ki vodi k razvoju sposobnosti matematič- nega modeliranja, je bilo v zadnjem desetletju temeljito Dr. Alenka Lipovec Univ erz a v Mariboru, Pedagošk a f akult eta, Fakult eta z a nar a v oslo vje in mat ematik o Mateja Sabo Junger Univ erz a v Zagrebu, Pedagošk a f akult eta preučevano (Beswick, 2021). V prispevku se naslonimo na naslednjo opredelitev: »Matematično modeliranje je itera- tivni postopek, ki vključuje odprte, realistične, praktične probleme, ki jih učenci pojasnijo z uporabo matematike in predpostavk, približkov in večkratnih predstavitev. Uporabljajo lahko tudi druge vire znanja, ne le matema- tičnih« (Stohlmann in Albarracin, 2016, str. 1). Iz oprede- litve zaznamo, da gre za ciklični (iterativni) postopek, kjer učenci matematični model večkrat spreminjajo oz. prila- gajajo, tako da bolje ustreza situaciji. Postopek prikazuje tudi Slika 1. Brez dvoma je naloge modeliranja laže implementirati pri starejših učencih, zato je največ raziskav s področja terci- arnega/fakultetnega izobraževanja. V srednjih šolah je ma- tematično modeliranje redko (Wess idr., 2021), pogostost se še zmanjšuje z nižanjem starosti učencev (Passarella, 2021). Na razredni stopnji matematičnega modeliranja IZVLEČEK Modeliranje pri pouku zgodnje matematike je povezano s pristopi poučevanja matematike, ki spodbujajo povezova- nje realnega sveta z abstraktnim svetom matematike. Matematično modeliranje lahko opišemo kot vključevanje kon- tekstualiziranih problemov s kompleksnimi podatki v pouk. Celoten drugi gradnik v matematični pismenosti, kot jo je opredelil projekt NA-MA POTI, je namenjen matematičnemu modeliranju, kar kaže na aktualnost in pomembnost pristopa. V prispevku najprej opredelimo matematično modeliranje, tako da je opredelitev osmišljena tudi za zgo- dnje poučevanje. V nadaljevanju podamo primere nalog dveh tipov (povezanost količin in odločanje glede na izbrane kriterije) skupaj z metodičnim instrumentarijem. Naloge so bile preizkušene s slovenskimi in hrvaškimi enajstletniki. Ključne besede: razredna stopnja, pouk matematike, avtentični problemi, modeliranje ABSTRACT Modelling in early mathematics education is related to approaches in teaching mathematics that promote the in- tegration of the real world with the abstract world of mathematics. We can describe it as integrating contextualised problems with complex data into the classroom. The NA-MA POTI project devotes the entire second building block in mathematical literacy to mathematical modelling, demonstrating the relevance and topicality of the approach. This article defines mathematical modelling so that the definition is also relevant for early learning. In what follows, two types of tasks are presented (quantity relatedness and decision-making according to selected criteria), together with a methodological toolbox. They were tested with Slovenian and Croatian 11-year-olds. Keywords: primary level, mathematics lessons, authentic problems, modelling RAZPRAVE 16 V Z GOJA & IZ OBR A ŽE V ANJE | D r . Alenka Lip ove c , Mateja Sab o J un g er | T ipi in n ekaj prim erov nalo g matematičn e ga m o delir anja za r azre dn o s topnjo | s tr . 15 - 21 | skorajda ni (Brown in Ikeda, 2019; Turner idr., 2022). Vendar pa se lahko osnove matematičnega modeliranja začnejo in bi se tudi morale začeti že na razredni stopnji osnovne šole, saj učenci že imajo znanja, na temelju ka- terih lahko izvajajo proces matematičnega modeliranja (Zubi idr., 2019). Ena izmed osnovnih preprek pri vključevanju nalog ma- tematičnega modeliranja v pouk matematike na razredni stopnji v Sloveniji in na Hrvaškem je po mnenju učiteljev manko ustreznih nalog, kar poskušamo uravnati tudi s tem prispevkom (Sabo Junger in Lipovec, 2022). PRIMERI NALOG MODELIRANJA ZA RAZREDNO STOPNJO V nadaljevanju predstavljamo štiri naloge, ki so primerne za razredno stopnjo. Naloge se razlikujejo tako perceptual- no (različni konteksti) kot strukturno (različna matematič- na znanja). Navedene naloge so dveh tipov: a) povezanost količin, kjer iščemo odnose med različnimi količinami, in b) kriterijske, kjer se določamo glede na izbrane kriterije. Bralca spodbujamo, da naloge najprej reši. Naloga je primerna kot prva naloga matematičnega mo- deliranja, saj je bolj strukturirana, kot je običajno. Prvi del naloge (koliko so šole zbrale v prvih treh mesecih) je tradicionalna naloga računanja s količinami. Napoved za 4. mesec je že v sklopu modeliranja. Predlagamo, da učenci delajo v skupinah. Za učence bo naloga sprva nenavadna, saj so srečevali naloge iz sklopa povezanosti količin le v idealiziranih situacijah, kjer je šlo za konstantno spremem- bo. Po potrebi se učitelj pogovori o tem, da so v realnem življenju situacije tipa OŠ Obala – steklo, kjer je pravilo za povečevanje očitno, zelo redke. Spodaj prikazujemo možno rešitev učencev, v opombah so zapisani razlogi za odločitev. Posebej poudarjamo, da gre le za eno izmed rešitev in da bodo različne skupine učen- cev predlagale različne rešitve.  SLIKA 1: Matematično modeliranje kot iterativni/ciklični postopek (prilagojeno po Blum, 2011, str. 18) OŠ Morje in OŠ Obala sta imeli v prvih treh mesecih letošnjega leta akcijo zbiranja in ločevanja odpadkov. Preglednici prikazujeta kilograme zbranih in sortiranih odpadkov po mesecih in vrstah odpadkov. OŠ Morje OŠ Obala 1. mesec 2. mesec 3. mesec 1. mesec 2. mesec 3. mesec plastika 9 kg 12 kg 13 kg plastika 5 kg 9 kg 15 kg papir 8 kg 11 kg 14 kg papir 5 kg 8 kg 14 kg steklo 9 kg 14 kg 18 kg steklo 6 kg 9 kg 12 kg kovina 10 kg 11 kg 17 kg kovina 6 kg 10 kg 13 kg Ugotovite, katera šola je v prvih treh mesecih zbrala več ločenih odpadkov. Predvidite, koliko ločenih odpadkov bo zbranih v 4. mesecu. Pojasnite, kako ste prišli do napovedi, in se odločite, katera od šol je učinkovitejša pri zbiranju ločenih odpadkov. Napišite pismo zmagovalni šoli, v katerem pojasnite svojo napoved in odločitev, ter predlagajte načine, s katerimi bi šola lahko bila še učinkovitejša na tem področju. Razvrščanje odpadkov RAZPRAVE | 2023 | št. 4–5 | VZGOJA & IZOBRAŽEVANJE 17 OŠ Morje 4. mesec Razlog plastika 11 kg Ker se je količina povečala najprej za 3 kg in nato za 1 kg, bodo v 4. mesecu zbrali 2 kg manj kot v 3. mesecu, ker so že pripeljali vso plastiko. papir 17 kg Količina se povečuje za 3 kg. steklo 21 kg Količina se povečuje, a za vedno manj. V drugem mesecu se je povečala za 4 kg, v 3. mesecu za 4 kg, zato se bo v 4. mesecu povečalo za 3 kilograme. kovina 18 kg Najprej se je povečalo za 1 kg, nato pa za 7 kg. V 4. mesecu se bo spet povečalo samo za 1 kg. OŠ Obala 4. mesec Razlog plastika 23 kg Povečuje se za 4 kilograme, nato za 6 kg, v 4. mesecu bo povečanje za 8 kg. papir 23 kg Povečuje se za 3 kilograme, nato za 6 kg, v 4. mesecu bo povečanje za 9 kg. steklo 15 kg Povečuje se za 3 kg. kovina 15 kg Najprej za 4 kg, nato za 3 kg, v 4.mesecu se bo povečalo le za 2 kg. Učenci bodo podajali tudi rešitve, ki niso povezane z mate- matičnimi argumenti, kot npr. Vem, da na naši šoli zbiranje odpadkov traja le en mesec, zato četrti mesec ne bodo zbrali več ničesar. Učitelj sprejme tudi takšne odgovore, a raz- pravo usmerja bolj v matematično argumentacijo. Številni učitelji domnevajo, da se večini učencev zdi modeliranje težko oziroma zahtevno, zato ga v učilnici redko upora- bljajo. Žal pa sposobnosti matematičnega modeliranja ni mogoče razviti s poučevanjem, ki je osredotočeno na tipič- ne primere in naloge v upanju, da bo to privedlo do znanja o modeliranju situacij in nalog iz resničnega sveta. Učitelji lahko ob opazovanju svojih učencev, ki delajo naloge ma- tematičnega modeliranja, in pri pregledu izdelkov učencev zberejo mnoge koristne informacije o svojih učencih in se bolje seznanijo z njihovim razmišljanjem, tako da bo poučevanje učinkovitejše. Na zmožnosti reševanja situacij z matematičnim modeliranjem pri mlajših učencih pozi- tivno vplivajo: sposobnost interpretacije in razumevanja različnih prikazov podatkov, intuitivno znanje in razume- vanje uporabljenih matematičnih konceptov, zmožnost metakognitivnega in kritičnega sklepanja, sposobnost bra- nja z razumevanjem in sposobnost sodelovalnega učenja (English in Watters, 2005). Karlo in njegova mama sta obiskala prodajalno avtov. Karlo bi rad kupil avto, ki ne porabi veliko goriva, ni preveč drag, a se je z njim zabavno voziti. Njegova mama, ki bo plačala avto, pa bi rada kupila varno in zanesljivo vozilo. Tvoja naloga je, da napraviš seznam avtov za Karla in seznam za njegovo mamo, da se bosta potem laže odločila, kateri avto kupiti. V preglednici so informacije o avtih. Avto Letnik Cena Barva Kilometri Poraba goriva na 100 km Dodatna oprema Nissan Juke 2015 11 000 Rdeča 112 000 9 navigacija, avtomatska klima, radio, sprednje meglenke, tempomat Ford Mondeo 2017 16 000 Bela 83 400 10 navigacija, avtomatska klima, radio, sprednje meglenke, tempomat, senzorji za parkiranje Audi A4 2018 21 000 Črna 91 600 11 navigacija, avtomatska klima, radio, sprednje meglenke, tempomat, senzorji za parkiranje, usnjeni sedeži, senzorji za dež Ford Fiesta 2016 8 500 Rdeča 60 400 8 avtomatska klima, radio Hyundai Tucson 2017 18 600 Modra 40 900 11 avtomatska klima, radio, sprednje meglenke, tempomat, senzorji za parkiranje BMW X2 2018 35 000 Srebrna 38 600 11 navigacija, avtomatska klima, radio, sprednje meglenke, tempomat, senzorji za parkiranje, usnjeni sedeži senzorji za dež, LED luči, športni sedeži Renault Captur 2018 11 600 Modra 111 400 9 avtomatska klima, radio, sprednje meglenke, tempomat Opel Astra Karavan 2017 10 400 Srebrna 112 300 10 avtomatska klima, radio, sprednje meglenke VW Golf 2016 12 000 Bela 70 000 9 avtomatska klima, radio Nakup avtomobila RAZPRAVE 18 V Z GOJA & IZ OBR A ŽE V ANJE | D r . Alenka Lip ove c , Mateja Sab o J un g er | T ipi in n ekaj prim erov nalo g matematičn e ga m o delir anja za r azre dn o s topnjo | s tr . 15 - 21 | Naloga nakup avtomobila predstavlja tipični primer naloge, kjer se učenec odloča, kateri kriteriji so pomembni. Krite- rije lahko tudi ureja od bolj proti manj pomembnim, kakor tudi počnemo v vsakdanjem življenju. Naloga za mlajše učence nima ustreznega konteksta (a nakup relativno zlahka prilagodimo v npr. igrača-darilo za rojstni dan). Nivo zahtevanega matematičnega znanja je primeren za razredno stopnjo, dodatno ima naloga visok potencial za iterativno izboljševanje modela. Ko učenci začnejo reševati nalogo, bodo prvi modeli prep- rosti, morda tudi nematematični (npr. Kupita naj BMW X2, ker je najboljši). Nato bodo učenci ustvarili prvi preprost model. Morda bodo le uredili avtomobile po porabi goriva in predlagali nakup najvarčnejšega. (Opomba: Učenci bodo imeli raznolike rešitve, zgornje primere reševanja učencev navajamo le zaradi ponazoritve.) Učitelj jim namigne, da si lahko pomagajo s tem, da raz- ličnim porabam goriva priredijo različno število točk. Za porabo goriva je seznam takšen: Ford Fiesta (4 točke), Nissan, Renault in VW (3 točke), Ford Mondeo in Opel (2 točki), Audi, Hyundai in BMW (1 točka). Opazimo, da je za porabo goriva primerna štiristopenjska lestvica. Učenci nato ugotovijo, da je smiselno upoštevati več kri- terijev. Pri ceni npr. avtomobile točkujejo takole: Ford Fi- esta (4 točke), Opel, Nissan, Renault in VW (3 točke), Ford Mondeo in Hyundai (2 točki), Audi in BMW (1 točka). Ob ustvarjanju seznamov predhodne sezname ves čas prila- gajajo. V tem trenutku se lahko npr. odločijo, da je BMW X2 preprosto predrag, in mu dajo 0 točk. Ali pa najprej ustvarijo seznam za ceno tako, da ima več točk, in kasneje prilagodijo največje število točk, da bo primerljivo tudi s preostalimi kriteriji. Pri zanesljivosti se morajo najprej odločiti, s čim jo bodo merili. Odločijo se npr., da zanesljivost vozila merimo z letnico izdelave; starejši kot je avtomobil, manj je zanes- ljiv, novejši avtomobili zato dobijo več točk za zanesljivost. Seznam bi lahko bil Audi, BMW in Renault (4 točke), Ford Mondeo, Hyundai in Opel (3 točke), Ford Fiesta in VW (2 točki) ter Nissan (1 točka). Tudi pri kriterijih varnost in zabavnost vožnje se morajo najprej odločiti, kako ju bodo merili. Po pregledu dodatne opreme se npr. odločijo, da so s področja varnosti na vo- ljo navigacija, sprednje meglenke, senzorji za parkiranje, senzorji za dež in LED luči. Področje zabavnosti vožnje je manj jasno, učenci se lahko npr. odločijo, da zabavnost vožnje vključuje vidike udobnosti. V tem primeru so na vo- ljo avtomatska klima, radio, tempomat, usnjeni sedeži in športni sedeži. Na vsakem izmed področij je ob takšni de- litvi po pet elementov dodatne opreme, kar ustreza glede primerljivosti teh dveh kriterijev, ne ustreza pa s področja primerljivosti s preostalimi kriteriji, ki so bili postavljeni na štiristopenjsko lestvico. Učenci ali ponovno popravijo model ali pa se odločijo, da je model že dovolj dober, in postavijo točkovanje: če ni elementov opreme, dobi avto- mobil 0 točk, za en element opreme dobi 1 točko, za dva elementa dodatne opreme 2 točki, za tri 3 točke in za štiri ali pet elementov dodatne opreme 4 točke. Vse ugotovitve učenci uredijo v preglednico (prim. Pregle- dnica 1). V nadaljevanju posebej seštejejo kriterije, ki so pomembni za Karla, in posebej kriterije, ki so pomembni za mamo. Karlo je dal največ točk Fordu Fiesti, nato Renaul- tu in nato Nissanu; mama pa BMW-ju in Audiju in nato Renaultu. V tem trenutku se lahko odločijo in predlagajo nakup Renaulta. Učenci se morda začnejo pogovarjati tudi o tem, da mama malo premalo upošteva ceno. Zato upoštevajo, kateri kri- teriji so »pomembnejši«. »Pomembnost« merijo z vrstnim redom kriterijev, kot sta jih navedla Karlo in mama. Po- membnost kriterija upoštevajo tako, da točke pomnožijo s tem, kako je kriterij pomemben. Zelo pomemben kriterij pomeni, da točke pomnožimo s 3, pri pomembnem krite- riju točke pomnožimo z 2, pri manj pomembnem kriteriju točke ohranimo. Odločijo se, da so za Karla pomembni kriteriji poraba (zelo pomembno), cena (pomembno) in za- bavna vožnja (pomembno). Ker med svojimi kriteriji Karlo ni navedel varne in ne zanesljive vožnje, točk teh dveh kriterijev ne »povečajo«, saj sta za Karla manj pomembna. Seveda bi se učenci lahko odločili tudi za pomembnost 0 (popolnoma nepomembno), a sklenejo, da je Karlu varnost in zanesljivost vseeno vsaj nekoliko pomembna. Za mamo so kriteriji drugačni, zanjo je najpomembnejša cena (zelo pomembno), pomembna ji je tudi zanesljivost (pomembno) in varnost vozila (pomembno). Mama zabavne vožnje ni omenila, zato je za njo ta kriterij manj pomemben. Učenci morda opazijo, da ima Karlo dva manj pomembna kriterija, mama pa le enega. Zaradi primerljivosti kriterij zabavne vožnje pri računanju pri mami zato štejejo dvakrat. Izračunajo vrednosti za avtomobile. Karlo dodeli Nissanu 24 točk (3 · 3 + 2 · (3 + 3) + 1 + 2 = 24), njegova mama bi Nissanu dala le 21 točk (3 · 3 + 2 · (1 + 2) + 3 + 3 = 21)  PREGLEDNICA 1: Možna rešitev naloge nakup avtomobila Avtomobil Poraba Cena Zanesljivost Varnost Zabavna vožnja Karlo Mama Karlo Mama Skupaj Nissan Juke 3 3 1 2 3 9 6 24 21 45 Ford Mondeo 2 2 3 1 4 8 6 22 22 44 Audi A4 1 1 4 4 3 6 9 19 25 44 Ford Fiesta 4 4 2 1 3 10 6 29 24 53 Hyundai Tucson 1 2 3 3 3 6 7 19 24 43 BMW X2 1 1 4 4 4 6 9 21 27 48 Renault Captur 3 3 4 2 3 9 8 27 27 54 Opel Astra Karavan 2 3 3 2 2 7 7 21 23 44 VW Golf 3 3 2 1 2 8 5 22 19 41 Ugotovimo, da bi se mama in Karlo verjetno strinjala ali s Ford Fiesta ali z Renault Captur. Ker je Karlu bolj všeč rdeča barva kot modra, izbereta Ford Fiesta. RAZPRAVE | 2023 | št. 4–5 | VZGOJA & IZOBRAŽEVANJE 19 V nadaljevanju predstavljamo še dve nalogi. Naloga zaba- viščni park je povzeta po Bleiler-Baxter s sodelavci (2017), naloga božična večerja pa po English (2007). V obeh virih lahko najdemo tudi možne rešitve nalog. Obe nalogi sta nekoliko prilagojeni za naš kulturni prostor (prilagojena so imena atrakcij, malenkostno je prilagojen jedilnik). Za- baviščni park je kompleksnejša verzija zbiranja odpadkov, saj gre ponovno za povezovanje količin, božična večerja pa kombinira povezanost količin in odločanje glede na izbra- ne kriterije. Upravitelj zabaviščnega parka potrebuje vašo pomoč. Nje- gov pripravnik je lahko izpolnil le del zahtevanih podatkov v preglednici. Vaša skupina bo dopolnjevala preglednico z manjkajočimi čakalnimi dobami za Lunapark Smeško. Odločitev vaše skupine boste morali matematično ute- meljiti in jasno razložiti svojo strategijo. Pri dopolnjevanju manjkajočih podatkov v preglednici si lahko pomagate z risanjem, z besedami in s simboli. Vsaka skupina bo predstavila svojo strategijo za vnos manjkajočih informacij celotnemu razredu. Med predstavitvijo mora biti vsak član skupine pripravljen razložiti matematično strategijo sku- pine. Cilj našega razreda je najti najboljšo možno rešitev za zapolnitev manjkajočih podatkov pri čakalni dobi. Po- membna opomba: ne obstaja samo en pravilen način za dokončanje te naloge. Vaša naloga je, da poskušate najti najboljšo možno strategijo. Čakalna doba za vožnjo v minutah glede na gnečo v Lunaparku Smeško Vožnja Majhna gneča Zmerna gneča Velika gneča Zelo velika gneča Centrala Minioni: Kaos 3D 30 50 110 155 Transformerji: Vožnja 3D 30 Shrek 4D 10 Hollywoodska raketa 20 30 75 110 New York Twister 5 10 15 20 Maščevanje mumije 90 Predstava bratov Blues 10 San Francisco Beetlejuice pregleda pokopališče 15 Katastrofa! 35 Svetovna razstava Možje v črnem: napad nezemljanov 55 Vožnja s Simpsonovimi 15 35 60 90 Hiša strahov v živo 10 Otroška cona Petra Detla Živalski igralci na lokaciji 10 15 15 20 Dan v parku z Barneyjem 20 Radovedni Tom gre v mesto 20 Lešnikova hiša Petra Detla 45 Sarino igrišče 15 E.T.-jeva pustolovščina 45 Hollywood Orlandova grozljivka Makeup show 10 20 30 45 Terminator 2: 3D 35 Poklon Luciji 5 Zabaviščni park RAZPRAVE 20 V Z GOJA & IZ OBR A ŽE V ANJE | D r . Alenka Lip ove c , Mateja Sab o J un g er | T ipi in n ekaj prim erov nalo g matematičn e ga m o delir anja za r azre dn o s topnjo | s tr . 15 - 21 | Božična večerja Dan, Sofija in Eva pripravljajo božično večerjo za starše. Vedo, da načrtovanje večerje zahteva organizacijo in dobro načr - tovan urnik. Sofija je povedala: »Ko si naredimo urnik, bo opravljeno najzahtevnejše delo. Dekoracija, priprava in kuhanje večerje je enostavno, če pa urnik ni pravilen, potem celotna večerja ne bo nikoli pripravljena!« Urnik mora upoštevati vse naloge, ki jih je treba opraviti, kot tudi predviden čas za vsako nalogo. Razpored naj bi jim tudi pomagal določiti, katera dela je treba opraviti najprej, da bo vsa hrana pripravljena pravočasno. Kuhinja ima dva delovna pulta, dvojno pomivalno korito, mikrovalovno pečico ter štedilnik s štirimi zgornjimi gorilniki in pečico. Pečica je dovolj velika, da vanjo lahko položite purana in še en kos hrane hkrati. Otroci so se že odločili za jedilnik za svojo božično večerjo: • prigrizki pred večerjo (sir, korenčkove palčke in krekerji), • pečen puran, pečena zelenjava in dušena zelenjava, • Pavlova torta, sladoled in sveže jagode. Otroci pričakujejo starše doma ob 18.30. Najprej želijo postreči prigrizke, purana kot glavno jed, nato pa Pavlovo torto za sladico. Vsi otroci so na voljo za začetek priprav na božično praznovanje ob 14. uri. Za pripravo imajo štiri ure in pol! Upoštevati je treba nekaj stvari: • kako dolgo se bo puran pekel, • kaj še lahko spečem v pečici s puranom, • kdaj okrasiti in pogrniti mizo, • kdaj pripraviti torto Pavlova in koliko časa bo to trajalo, • kako pogosto je potrebno čistiti med kuhanjem, • koliko prostora imajo na klopi za pripravo hrane, • katero hrano pripraviti najprej, • kdo bo uporabljal kuhinjsko opremo in kdaj. Razmisliti morajo tudi o tem, kdo bo odgovoren za katera dela! Dan, Sofia in Eva potrebujejo vašo pomoč! Morajo opraviti toliko nalog, da bodo pripravljeni presenetiti svoje starše, in potrebujejo zanesljiv urnik. Jim lahko pomagaš narediti dve stvari? 1. Naredite urnik priprave in kuhanja. Natančno določite, kaj bo vsaka oseba počela in točno ob katerem času, vključno z uporabo kuhinjske opreme. 2. Napišite razlago, kako ste ustvarili urnik. Načrtujejo, da bodo organizirali druge zabave presenečenja za svoje starše, in želijo vašo razlago uporabiti kot vodilo za prihodnje dogovore (English, 2007). SKLEP V prispevku smo predstavili pristop k poučevanju mate- matičnega modeliranja na razredni stopnji. Matematično modeliranje predstavlja pot iz realno oblikovane naloge/ problema, to je avtentičnega stanja oz. situacije, v mate- matično nalogo. Rešitev le-te ponuja tudi rešitev začetne- ga stanja (Cindrić, 2016). Modeliranje je opredeljeno kot ustvarjalni postopek konstruiranja realnosti z matematič- nim prikazom, kjer beležimo, simuliramo ali predstavljamo izbrane značilnosti ali vedenja (obnašanja, prilagajanja) modela realni situaciji, ki se modelira. Vse štiri predstavljene naloge so bile preizkušene s slo- venskimi petošolci in hrvaškimi četrtošolci v okviru uspo- sabljanja slovenskih in hrvaških učiteljev. Naloge nudijo različne možnosti izboljševanja modela. Bralec je gotovo opazil, da je število iteracij za izboljševanje modela v na- logi nakup avtomobila zares veliko. Učitelji bodo pri manj izkušenih učencih pričakovali le preprostejše, začetne modele, bolj izkušeni učenci pa bodo model večkrat izbolj- ševali. Zato učiteljem predlagamo, da najprej izberejo le en tip naloge (npr. povezanost količin je značilna za raz- vrščanje odpadkov in zabaviščni park, izbira in pomembnost kriterijev pa za nalogi nakup avtomobila in božična večerja). S spremembami konteksta bodo učenci v modeliranju izbranega tipa naloge vedno spretnejši. Primere nalog za modeliranje na razredni stopnji lahko učitelji med drugim najdejo tudi v prosto dostopnem i-učbeniku Matematika 5 (Bajramović idr., 2015), v sklopu Zbiranje in obdelava podatkov, enota Preiskava. Naloge tekmovanje v letenju pa- pirnih letal (str. 485), poletno bralno tekmovanje (str. 489), medeni tedni in planinski izlet (str. 500) spadajo med naloge izbire in pomembnosti kriterija, nalogi pleskanje šole (str. 488) in sajenje fižola (str. 488) spadata v tip povezanosti količin. Bogata izkušnja matematičnega modeliranja učencem omogoča, da se vključijo v naloge, ki ustrezajo njihovem trenutnemu razumevanju, hkrati nudi priložnosti za izzive RAZPRAVE | 2023 | št. 4–5 | VZGOJA & IZOBRAŽEVANJE 21 in rast, spodbuja učence k razumevanju širokega nabora pomembnih matematičnih konceptov. Iz primerov nalog je razvidno, da uporaba matematičnega modeliranja v učil- nicah odpravlja vprašanja učencev o tem, ali je poučevana vsebina uporabna, zato učenci matematiko dojemajo kot koristno in življenjsko in ne kot abstraktno in izolirano. Bajramović, N., Renik, A., Kociper, M., Cigula, S., Slana Mesarič, M., Antolin Drešar, A., Ferk, E., in Visočnik, D. (2015). Matematika 5, i-učbenik za matematiko v 5.razredu osnovne šole. Zavod RS za šolstvo. https:// eucbeniki.sio.si/mat5/752/index.html Beswick, K. (2021). Inquiry-based approaches to mathematics learning, teaching, and mathematics education research. Journal of Mathematics Tea- cher Education, 24(2), 123–126. Bleiler-Baxter, S. K., Stephens, C. D., Baxter, W. A., in Barlow, A. T. (2017). Modeling Decision – as a Making Process. Teaching children mathematics 24(1), 20–29. Blum, W. (1994). Mathematical modeling in mathe - matics education and instruction. V U. T. Breiteig, I. Huntley in G. Kaiser-Messmer (ur.), Teaching and learning mathematics in context (str. 3–14). Ellis Horwood Limited. Blum, W. (2011). Can Modelling Be Taught and Learnt? Some Answers from Empirical Research. V G. Kaiser, W. Blum, R. Borromeo Ferri in G. Stillman (ur.), Trends in Teaching and Learning of Mathe- matical Modelling. International Perspectives on the Teaching and Learning of Mathematical Mo- delling, vol 1. Springer. https://doi.org/10.1007/978- 94-007-0910-2_3 Brown J. P., in Ikeda T. (2019). Conclusions and Futu - re Lines of Inquiry in Mathematical Modelling Rese- arch in Education. V J. A. Stillman in G. P. Brown (ur.), Lines of inquiry in mathematical modelling resear- ch in education (str. 233–253). Springer. https://doi. org/10.1007/978-3-030-14931-4_13 Cindrić, M. (2016). Problemska nastava i dječje stra - tegije u nižim razredima osnovne škole. Poučak, 17 (65), 52–57. English, L. D., in Watters, J. J. (2005). Mathematical modelling in the early school years. Mathematics education research journal, 16 (3), 58–79. English, L. D. (2007). Complex systems in the elementary and middle school mathematics curriculum: A focus on modeling. The Montana Mathematics Enthusiast, 139-156. Passarella, S. (2021). Sense-Making in Mathematics with Activities of Mathematical Modelling: The Case of Multiplication at Primary School. V F. K. Shing Leung, G. A. Stillman, G. Kaiser, G., in K. L. Wong (ur.), Mathematical Modelling Education in East and West (str. 423–432). Springer. https://doi. org/10.1007/978-3-030-66996-6_35 Sabo Junger, M., in Lipovec, A. (2022). What is and what is not mathematical modelling in primary school: opinions of Slovenian and Croatian prima- ry school. Croatian Journal of Education, 24 (2), 539–568. https://doi.org/10.15516/cje.v24i2.4451 Stohlmann, M. S., in Albarracin, L. (2016). What is known about elementary Grades Mathematical Modelling. Education Research International, 1, 1–9. https://doi.org/10.1155/2016/5240683 Turner, E. E., Bennett, A. B., Granillo, M., Ponnuru, N., Roth Mcduffie, A., Foote, M. Q., Aguirre, J. M., in Mc- Vicar, E. (2022). Authenticity of elementary teacher designed and implemented mathematical mode- ling tasks. Mathematical Thinking and Learning, 1−24. 10.1080/10986065.2022.2028225 Wess, R., Klock, H., Siller, H. S., in Greefrath, G. (2021). Measuring professional competence for the teaching of mathematical modelling. V F. K. Shing Leung, G. A. Stillman, G. Kaiser, G. in K. L. Wong (ur.), Mathematical Modelling Education in East and West (str. 249–260), Springer. https://doi. org/10.1007/978-3-030-66996-6_21 Zubi, I. A., Peled, I., in Yarden, M. (2019). Modelling Tasks and Students with Mathematical Difficulties. V G. Stillman in J. P. Brown (ur.), Lines of Inquiry in Mathematical Modelling Research in Education (str. 213–231). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3- 030-14931-4_12 VIRI IN LITERATURA