      P 51 (2023/2024) 5 9 Štiri medalje za Slovenijo na EGMO 2024 v Gruziji K R, A M D S podelitvijo medalj in priznanj najupešnejšim tekmovalkam se je v torek, 16. aprila 2024, zve- čer zaključila 13. Evropska dekliška matematična olimpijada (EGMO - European Girls’ Mathematical Olympiad), ki je potekala v mestu Tskaltubo v Gru- ziji. Največjega mednarodnega tekmovanja za sre- dnješolke, na katerem je tokrat sodelovalo več kot 200 tekmovalk iz 53 držav, se je že dvanajstič za- pored udeležila tudi slovenska ekipa. Ta je ekipno dosegla najboljši rezultat doslej, saj so vse štiri tekmovalke osvojile medalje. S srebrno medaljo se je med našimi tekmovalkami najbolje odrezala najmlajša med njimi, Ekaterina Chizhova (Gimnazija Bežigrad), tudi druge tri sloven- ske tekmovalke pa so pokazale veliko znanja, saj so Nives Gošnjak (ŠC Velenje, Gimnazija), Patricia Király in Zara Barbarić (obe Gimnazija Bežigrad) osvojile bronaste medalje, pri čemer sta Nives in Patricia sre- bro zgrešili le za eno točko. Slovenija je skupaj do- segla 82 točk in osvojila 10. mesto med evropskimi ekipami, kar je najbolje doslej. Ekipno prvo mesto je osvojila ekipa ZDA, med evropskimi ekipami pa je bila najboljša Ukrajina. Skupno je bilo tekmovalkam podeljenih 25 zlatih, 38 srebrnih in 52 bronastih me- dalj ter 28 pohval. Namen udeležbe na posebni matematični olimpi- jadi za dekleta je omogočiti dekletom dodatno spod- budo za udejstvovanje na akademskem področju, kjer so bila tradicionalno zapostavljena, in na ta na- čin doseči večjo uravnoteženost spolov tudi na obi- čajni Mednarodni matematični olimpijadi (IMO) in v akademski in raziskovalni sferi na splošno. Samo tekmovanje sicer poteka dva dneva. Tekmovalke SLIKA 1. Slovenska ekipa od leve proti desni: vodja Kaja Rajter, tekmo- valke Zara Barbaríc, Patricia Király, Nives Gošnjak in Ekaterina Chizhova ter pomočnica vodje Katarina Grilj. vsak dan 4 ure in pol rešujejo 3 zahtevne problem- ske naloge iz različnih vej matematike (teorija šte- vil, kombinatorika, geometrija in algebra), ki jih iz- med prejetih predlogov različnih držav izbere tek- movalna komisija. Celoletne priprave in izbor ekip za mednarodna tekmovanja iz matematike za srednješolke in sre- dnješolce tradicionalno potekajo pod okriljem Dru- štva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije v sodelovanju z bivšimi tekmovalkami in tekmovalci in z različnimi fakultetami. Slovensko ekipo sta letos vodili bivši tekmovalki Katarina Grilj in Kaja Rajter, kot koordinatorji so pri izvedbi olimpijade sodelo- vali še Neca Camlek, Lenart Dolinar, Hugo Trebše in Ana Meta Dolinar, ki je bila tudi članica odbora za izbiro nalog in članica odbora EGMO.       P 51 (2023/2024) 510 SLIKA 2. Naloge prvega tekmovalnega dne. Letos so se slovenske tekmovalke na olimpijado nekaj dni pripravljale v Plemljevi vili na Bledu in ob tem spoznale tudi delček slovenske matematične de- diščine. K izjemnemu uspehu in dodatni motiva- ciji slovenskih tekmovalk za delo pa je gotovo pri- spevala tudi odlična organizacija lanske olimpijade EGMO 2023 v Portorožu. Vse štiri slovenske tek- movalke so se olimpijade namreč udeležile že lani in tako pridobile pomembne izkušnje za letošnji us- peh. Prihodnje leto bo olimpijada potekala v Prištini na Kosovu. Udeležbo slovenskih tekmovalk na EGMO 2024 v Gruziji sofinancira Javni štipendijski, razvojni, inva- lidski in preživninski sklad Republike Slovenije (JŠRIPS). Diamantni sponzor aktivnosti DMFA Slove- nije v letu 2024 je podjetje Zavarovalna skupina Sava. Za bralke in bralce Preseka povejmo še nekaj o le- tošnjih nalogah. Kot običajno se je za najtežjo na tekmovanju izkazala 6. naloga, ki je v celoti ni uspela rešiti nobena izmed 212 tekmovalk. Slovenske tek- movalke pa so bile zelo uspešne pri 4. nalogi, ki so jo vse štiri rešile popolnoma pravilno. S tem je bila Slovenija ena izmed le treh evropskih držav z vsemi točkami pri 4. nalogi. Besedilo in rešitev te naloge objavljamo v nadaljevanju.       P 51 (2023/2024) 5 11 SLIKA 3. Razširjena slovenska odprava. Naloga 4: Za zaporedje celih števil a1 ă a2 ă ¨ ¨ ¨ ă an je par pai, ajq, pri čemer je 1 ď i ă j ď n, zani- miv, če obstaja par celih števil pak, alq, pri čemer je 1 ď k ă l ď n, da velja al ´ ak aj ´ ai “ 2. Za vsak n ě 3 poišči največje možno število zanimi- vih parov v zaporedju dolžine n. Rešitev: Najprej opazimo, da je število vseh pa- rov z indeksi 1 ď i ă j ď n enako pn´ 1q ` pn´ 2q ` . . .` 2 ` 1 “ npn´ 1q 2 , saj je za i “ 1 ustreznih indeksov j natanko pn´ 1q, za i “ 2 natanko pn´ 2q in tako dalje. Z nekaj intuicije bomo zdaj našli zaporedje, ki ima veliko zanimivih parov, nato pa dokazali, da večje število zanimivih parov ni možno. Oglejmo si zapo- redje ai “ 2i za 2 ď i ď n in a1 “ 0. Izberimo katerikoli par pai, ajq, kjer velja 1 ď i ă j ď n. Če je i “ 1, je par pa1, ajq zanimiv za vse 2 ď j ď n ´ 1, ker velja aj`1 ´ a1 aj ´ a1 “ 2 j`1 2j “ 2. Če je i ě 2, je par pai, ajq zanimiv za vse j, kjer je i` 1 ď j ď n´ 1, saj je aj`1 ´ ai`1 aj ´ ai “ 2 j`1 ´ 2i`1 2j ´ 2i “ 2. Poleg tega je zanimiv tudi par pan´1, anq, saj velja an ´ a1 an ´ an´1 “ 2 n ´ 0 2n ´ 2n´1 “ 2. Torej smo pokazali, da so v tem zaporedju zani- mivi vsi pari z indeksi 1 ď i ă j ď n ´ 1 in še par pan´1, anq. Nezanimivi so le pari pai, anq za i “ 1, . . . , n ´ 2, ki jih je skupaj n ´ 2. Vseh zani- mivih parov v tem zaporedju je torej natanko npn´ 1q 2 ´ pn´ 2q “ n 2 ´ 3n` 4 2 . Zdaj dokažimo, da nobeno zaporedje nima več kot toliko zanimivih parov. Pokazali bomo, da vsaj n ´ 2 parov ni zanimivih. Par pa1, anq ni zanimiv, saj bi za to potrebovali al ´ ak “ 2pan ´ a1q, vendar pa je razlika pan ´ a1q največja od vseh razlik med pari, zato ne moremo najti al in ak s še enkrat večjo razliko. Opazimo naslednje: če je par pai, ajq zanimiv in ni enak pa1, anq, potem razlika aj ´ ai ne more biti ve- čja od pan´a1q{2. Če je namreč par pai, ajq zanimiv, potem velja al ´ak “ 2paj ´aiq za neki par pak, alq, zato bi iz 2paj ´ aiq ą an ´ a1 sledilo al ´ ak ą an ´ a1, kar pa ni mogoče. Zdaj si za vsak 2 ď i ď n´ 1 oglejmo para pa1, aiq in pai, anq. Če bi bila oba zanimiva, potem (upošte- vajoč opažanje iz prejšnjega odstavka) je edina mo- žnost ai ´a1 “ an ´ai “ pan ´a1q{2. To je mogoče za največ en i, za vseh ostalih n´ 3 možnih vredno- sti za i pa vsaj eden od parov pa1, aiq in pai, anq ni zanimiv. Skupaj s parom pa1, anq dobimo vsaj n´ 2 nezanimivih parov, kar je točno to, kar smo želeli dokazati. Največje možno število zanimivih parov je torej n2 ´ 3n` 4 2 . ˆ ˆ ˆ