GG ˇ 
GG ˇ 
P51(2023/2024)3
29
HeronizAleksandrije,JosipPlemelj
inskorajpravilnisedemkotnik
Bˇ  K
Geometrijske konstrukcije z ravnilom in šesti-
lomsoantiˇ cnimgeometrompredstavljalematema-
tiˇ cni ideal. Znali so konstruirati pravilni 3-, 4- in
5-kotnik in že dobljenim likom še podvojiti šte-
vilo stranic, sˇ cimer so lahko konstruirali tudi pra-
vilne 6-, 8-, 10-, 12- in druge mnogokotnike. Kon-
strukcije pravilnega 7-kotnika pa v antiki seveda
niso odkrili, saj danes vemo, da taka konstrukcija
sploh ne obstaja
1
. V tokratnem kotiˇ cku si bomo
zato ogledali dve konstrukciji skoraj pravilnega 7-
kotnika. Prvo je opisal znameniti Heron iz Ale-
ksandrijev1.stoletju, drugopajeleta1892šekot
nadarjenigimnazijecodkriltedaj19-letniJosipPle-
melj.
Heronova konstrukcija
Konstrukcijo skoraj pravilnega 7-kotnika z vˇ crtava-
njem v dano krožnico je prvi opisal Heron v svojem
delu Metrica, a so jo antiˇ cni geometri verjetno po-
znali že mnogo prej. Pri razliˇ cnih likovnih izdelkih
so jo pogosto uporabljali tudi kasnejši obrtniki is-
lamske dobe in renesanˇ cni slikarji, saj je dovolj na-
tanˇ cna in precej preprosta za uporabo.
1
Šele konec 18. stoletja je znameniti nemški matematik Ga-
uss s pomoˇ cjo zahtevnih orodij teorije števil dokazal, da je
mogoˇ ce konstruirati vse pravilne n-kotnike, za katere je n =
2
m
p
1
...p
k
, kjer je m,k≥ 0 in so p
1
,...,p
k
razliˇ cna praštevila
oblike2
2
r
+1. Gauss je brez dokaza tudizapisal, da drugih pra-
vilnihn-kotnikovnimogoˇ cekonstruirati,karjeprvizaresdoka-
zal Pierre Wantzel leta 1839. V skladu z njunimi ugotovitvami
je n = 7 najmanjše naravno število, za katerega konstrukcija
pravilnegan-kotnika z ravnilom in šestilom ne obstaja.
Najbotoˇ ckaS središˇ cekrožnicespolmerom1. Na
krožniciizberemopoljubnotoˇ ckoAinsšestilom na
krožnici oznaˇ cimo še toˇ cko B tako, da bo trikotnik
△SAB enakostraniˇ cen (slika 2). Oznaˇ cimo s C raz-
polovišˇ cedaljiceSB,torejjedaljicaCAvišinaenako-
straniˇ cnegatrikotnika,kijeenaka
√
3
2
oziromapribli-
žno 0,866025. Kot so opazili antiˇ cni geometri, je ta
dolžina zelo dober približek za stranico pravilnega
SLIKA1.
Dijak Josip Plemelj okoli leta 1890 (izrez iz skupinske fotogra-
fije, vir [4])

GG ˇ 
P51(2023/2024)3
30
S S
A A
B B
C C
C C
1 1
C C
2 2
C C
3 3
C C
4 4
C C
5 5
C C
6 6
C C
7 7
SLIKA2.
Pri Heronovi konstrukciji dolžino stranice 7-kotnika predstavlja
višina enakostraniˇ cnega trikotnika△SAB. Toˇ cki A in C
7
se ne
ujematapovsem, zatojeenaodstranicmalcedaljšaoddrugih.
7-kotnika, ki ga vˇ crtamo v narisano krožnico. Njeno
toˇ cno vrednost namreˇ c danes zlahka doloˇ cimo s po-
moˇ cjo kotnih funkcij: a = 2sin
π
7
.
= 0,867767, kar
znaša komaj 0,2 % veˇ c.
Da bi konstruirali skoraj pravilni sedemkotnik, la-
hko zdaj narišemo novo krožnico s središˇ cem v A
skozi toˇ cko C, ki seka zaˇ cetno krožnico v toˇ cki C
1
.
Nato razdaljo AC prenašamo naprej po krožnici in
s šestilom iz toˇ ckeC
1
konstruiramo še toˇ ckeC
2
,...,
C
7
. Zdi se, da je zadnja toˇ ckaC
7
enaka toˇ ckiA, toda
to ni res. Dobljene toˇ cke lahko zapored povežemo
v 7-kotnik, ki ni povsem pravilen, saj je zadnja stra-
nicaC
7
C
1
malce daljša od drugih.
ZGeoGebrolahkoHeronovokonstrukcijoponazo-
rimo z naslednjimi koraki:
Napraznirisalnipovršinioznaˇ cimotoˇ ckiS=(0,0)
inA=(1,0)ternarišemokrožnicokssredišˇ cemS
skozi toˇ cko A. To lahko naredimo v algebrskem
oknu z ukazom k=Krožnica(S,A).
Za toˇ cko B izberemo eno od dveh preseˇ cišˇ c kro-
žnice k s krožnico Krožnica(A,S). Toˇ cko po po-
trebi preimenujemo.
Z ukazom C=Središˇ ce(S,B) oznaˇ cimo razpolo-
višˇ cedaljiceSB,natonarišemodaljicoa=Daljica
(A,C). Njena dolžina predstavlja dolžino stranice
približnega 7-kotnika.
Zdaj s šestilom rišemo oglišˇ ca iskanega lika. Na-
mestoklikanjazmiškolahkoobjektevnašamotu-
di z ukazi. Z ukazom Preseˇ cišˇ ce(k,Krožnica
(A,a)) dobimo dve preseˇ cišˇ ci zaˇ cetne krožnice z
novo krožnico s središˇ cem vA in polmeroma.
Enega od preseˇ cišˇ c izberemo in preimenujemo v
C
1
. Nato z ukazom Preseˇ cišˇ ce(k,Krožnica
(C_1,a)) doloˇ cimo naslednji dve preseˇ cišˇ ci in
enega preimenujemo v C
2
. Isti postopek ponav-
ljamo do oglišˇ caC
7
.
Oglišˇ ca C
1
,...,C
7
povežemo z ukazom Mnogo-
kotnik(C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6,C_7).
Spoveˇ cevanjemslikesilahkoogledamo,zakoliko
se razlikujeta toˇ ckiA inC
7
.
SLIKA3.
Iz algebrskega okna v GeoGe-
bri opazimo razlike med dol-
žinami stranic, šele velika po-
veˇ cava pa pokaže, da staA in
C
7
razliˇ cni toˇ cki.

GG ˇ 
P51(2023/2024)3
31
Plemljeva konstrukcija
Josip Plemelj je svojo izvirno konstrukcijo (skoraj)
pravilnega 7-kotnika odkril že kot dijak leta 1892, a
je tedaj menil, da je takšna konstrukcija verjetno že
znana. Ko slabih dvajset let kasneje ni našel ome-
njene v neki novejši knjigi o konstrukcijah, pa je
svoje odkritje leta 1912 objavil v krajšem znanstve-
nem ˇ clanku [2]. Plemelj je celo dokazal, da je mo-
goˇ ce pravilni 7-kotnik konstruirati povsem toˇ cno,ˇ ce
lahko poleg ravnila in šestila uporabimo še trisek-
cijo oziroma delitev kota na tri enake dele, kar samo
z ravnilom in šestilom ni mogoˇ ce.
ˇ
Ce pa se trisek-
cija kota zamenja z delitvijo daljice na 3 enake dele,
bomo dobili približno konstrukcijo, ki je precej na-
tanˇ cnejša od Heronove.
Naj bo toˇ cka S središˇ ce krožnice s polmerom 1.
Kot pri Heronovi konstrukciji na krožnici izberemo
poljubno toˇ cko A in s šestilom na krožnici ozna-
ˇ cimo še toˇ cko B tako, da bo trikotnik △SAB ena-
kostraniˇ cen. Zdaj oznaˇ cimo s C razpolovišˇ ce da-
ljice SB, toˇ cka D pa naj daljico SB razdeli v raz-
merju SD : DB = 1 : 2. Dodajmo še toˇ cko E, ki
naj tretjini daljico CD, torej jo razdeli v razmerju
CE :ED= 1 : 2. Dolžina daljice AE predstavlja odli-
ˇ cen približek za stranico pravilnega sedemkotnika.
2
S pomoˇ cjo kosinusnega izreka v trikotniku △SAE
lahko namreˇ c preverimo, da je dolžina stranice AE
enaka
q
61
81
.
= 0,867805, kar toˇ cno dolžino stranice
pravilnega 7-kotnika presega le za 0,004%. Zdaj po-
dobno kot pri Heronovi metodi narišemo krožnico s
središˇ cem v A skozi toˇ cko E, ki seka zaˇ cetno kro-
žnico v toˇ cki E
1
in nato s prenašanjem po krožnici
konstruiramošetoˇ ckeE
2
,E
3
,...,E
7
,kijihpovežemo
v skoraj pravilen 7-kotnik (slika 4).
Plemljeva konstrukcijav GeoGebri je podobna kot
Heronova:
Toˇ ckeS,A,B,C in krožnicok narišemo enako kot
prej.
Toˇ cki D in E lahko v GeoGebri direktno vnesemo
z ukazoma D=S+(B-S)/3 in E=D+2(C-D)/3, kar
nam prihrani razdeljevanje daljice z ravnilom in
šestilom.
2
KotjedokazalPlemelj,bipovsemtoˇ cnokonstrukcijodobili,
ˇ ce bi toˇ ckaE namesto daljiceCD tretjinila kot∠CAD.
A A
S S
B B
D D
C C
E E
E E
1 1
E E
2 2
E E
3 3
E E
4 4
E E
5 5
E E
6 6
E E
7 7
SLIKA4.
Pri Plemljevi približni konstrukciji dolžino stranice 7-kotnika
predstavlja dolžina daljice AE, kjer toˇ cka E tretjini daljico CD
in predstavlja 1/18 polmera kroga.
Zdaj oznaˇ cimo b=Daljica(A,E) in s pomoˇ cjo
krožnic s polmerom b oznaˇ cimo vsa oglišˇ ca
iskanega 7-kotnika.
Bralce in bralke vabimo, da poskusijo še sami izra-
ˇ cunati dolžine stranic 7-kotnika iz natanˇ cne ter pri-
bližnih Heronove in Plemljeve konstrukcije. Veˇ c o
tem, kako s pomoˇ cjo trisekcije kota konstruirati to-
ˇ cen pravilen sedemkotnik, zakaj 7-kotnika ni mo-
goˇ cetoˇ cnokonstruiratisamozravnilominšestilom,
in kakšne posplošitve Plemljeve konstrukcije so ka-
sneje prispevali še drugi matematiki pa si lahko pre-
berete v nekoliko zahtevnejšemˇ clanku[1].
Literatura
[1] Milan Hladnik, Josip Plemelj in pravilni sedemko-
tnik,Obzornikzamatematikoinfiziko,letnik60,
številka 5 (2013), 161–172.
[2] Josip Plemelj, Die Siebenteilung des Kreises, Mo-
natshefte fur Mathematik und Physik, 23 (1912),
309–311.
[3] Ivan Vidav, Josip Plemelj ob 100-letnici rojstva,
DMFA SR Slovenije, 1975.
[4] Arhiv RS, fond SI AS 2012 Plemelj Josip, 1873-
1992.
×××