Ogrevanje vložka v potisni peči
DK: 669.046 ASM/SLA: F216
Božidar Brudar
Opisan je način, po katerem je mogoče izračunati temperaturno porazdelitev v preseku neskončne plošče, ki jo ogrevamo v potisni peči. Pri tem dopuščamo, da sta specifična toplota in toplotna provodnost odvisni od temperature.
UVOD
Ogrevanje slaba (6000 X 1000 X 180 mm) v potisni peči lahko precej dobro opišemo s primernim matematičnim modelom. Predpostavljamo, da gre za ogrevanje neskončne plošče in zato študiramo prenos toplote le v eni dimenziji. Specifična toplota in toplotna prevodnost sta podani kot eksplicitni funkciji temperature. Gre za ogrevanje s konvekcijo, pri kateri se konvekcijski koeficient a da eksplicitno zapisati ikot funkcija temperature v določenem delu peči in temperature površine.
Podoben primer je že (bil opisan v naši literaturi1, vendar pa ima numerično reševanje takega problema določene prednosti.
SEZNAM UPORABLJENIH SIMBOLOV
Cp	specifična toplota
k	interval v časovni smeri
R	interval v krajevni smeri
s	parameter, ki označuje mesto v peči
t	čas
#	temperatura
temperatura peči
#R0B	temperatura na robu
T j j	temperatura točki i, j po diferenčni formuli
x	koordinata v smeri debeline plošče
a	konvekcijski koeficient
p	gostota materiala
X	toplotna prevodnost
REŠEVANJE DIFERENCIALNE ENAČBE
Diferencialna enačba za prevajanje toplote v eni dimenziji, v primeru, ko sta specifična toplota in toplotna prevodnost podani kot eksplicitni funkciji temperature Cp (#), oziroma X ({}):
Mag. Božidar Brudar je diplomirani inženir fizike in višji strokovni sodelavec v raziskovalnem oddelku Železarne Jesenice.
Robni pogoj, v primeru ko gre za konvekcijo in je konvekcijski koeficient podan kot eksplicitna funkcija temperature peči ( #p), temperature na površini ($R0B) in lege v peči (s):
a-itblil) =o£- ( $p,i!rob,s)'( flp - itrob)	(2)
Pri tem ima parameter s toliko časa isto vrednost, kolikor časa se blok zadržuje na določenem mestu v peči.
Odvisnost specifične toplote in toplotne prevodnosti od temperature je znana iz literature in je podana v obliki tabele ali diagrama.
Ce te odvisnosti niso preveč komplicirane, je mogoče tabelo nadomestiti z regresijsko enačbo (polinomna regresija). Ce gre pa za bolj komplicirane odvisnosti (nezveznosti!), je pa bolje, da si pomagamo s primerno tabelo in poiščemo vmesne vrednosti z interpolacijo1.
V našem primeru smo poiskali regresijske enačbe za odvisnost Cp ((f) in X (#•) tako, da smo uporabili tabelirane vrednosti CP in X v omenjenem članku1. Na slikah 1 in 2 sta prikazani regresi jski odvisnosti (zvezna krivulja), obenem pa so narisane tudi točke, ki pripadajo vrednostim iz tabele1.
Tudi odvisnost a #R0B, s) je mogoče zapisati v obliki regresijske enačbe. Spet smo si pomagali s tabeliranimi vrednostmi iz članka1. Odvisnosti od s nismo upoštevali. Na sliki 3 pripa-
Temperolura (°C ) Slika 1
Regresijska odvisnost specifične toplote od temperature. Fig. 1
Regression relationship between the speclfic heat and temperature.
Temperaturo (°C ) Slika 2
Regresijska odvisnost toplotne prevodnosti od temperature.
Fig. 2
Regression relationship betvveen the thermal conductlvity and temperature.
dajo posamezne točke vrednostim iz tabele, številka poleg točke odgovarja tabelirani vrednosti a. Zvezne krivulje pa odgovarjajo konstantni vrednosti za a.
Enačbo (1) rešimo numerično. Debelino plošče razdelimo na niz točk z izbranim krajevnim inter-
7«» cc)
Slika 3
Konvekcijski koeficient kot funkcija temperature na površini vložka in temperature v peči. Fig. 3
Heat transfer coefficient as a function of surface temperature of the feed and the furnace temperature.
valom R in računamo temperaturo v i — točki v časovnih razmakih širine k. Zaradi stabilnost-nega pogoja (glej dodatek!) si izberemo neko najmanjšo vrednost specifične toplote in neko največjo vrednost toplotne prevodnosti in izračunamo k po formuli (8). Temperaturo v i — točki po (j + 1) časovnem intervalu izračunalo takole:
Ti,H = [l-2 -fcfA l Tj.j )]Tj.j ♦ "pi'A t Ti,j ) • [ Tj»l.j »Tn.j] ♦
♦ -tfl-ITijJ-tTirtJ-Ti-l.j]1	(3)
Pri tem pomeni :
i (Ti i 1 = A (Tj.j 1
Al,M'- fcp (Ti,j )
O iT i	1	f d A' (J1) "l
4?Cp(Ti,j) rd>~Ji.j
Po formuli (3) lahko tako izračunamo temperaturo v vsaki točki v notranjosti plošče ob vsakem času.
V primeru, ko gre za prenos toplote s konvek-cijo, izračunamo temperaturo na robu tako, da rešimo enačbo (4), ki odgovarja enačbi (2):
AIIkuh) 3Tpn"'^T^RB'' *Trob'2 -.("noo,'^'"V^P1 O
To enačbo rešimo z iteracijo.
če gre pa za enostransko ogrevanje, pa predpostavimo, da je na robu toplotni tok enak nič in izračunamo temperaturo na robu po formuli:
Trob = — • (4 • Trob.j — Trob.2) (5)
PRIMER
Po opisanem postopku smo simulirali ogrevanje v potisni peči, ki je dolga 24 metrov; prvih 18 metrov poti ima dvostransko ogrevanje, zadnjih 6 metrov pa enostransko. Vložek se pomika skozi peč v skokih po 1 meter, na vsaki coni se zadržuje 10 minut, tako da pride v 4 urah vložek iz peči (slika 4).
Tako smo po tem načinu simulirali prav takšno ogrevanje, kot je opisano v članku1. Na sliki 5 so podane temperature v preseku po vsaki uri ogrevanja, oziroma takrat, ko je vložek na 1/4, 1/2, 3/4 in na koncu peči. Točke, ki so narisane poleg krivulj, odgovarjajo vrednostim, ki so bile izračunane v omenjenem članku. Očitno je, da se naš vložek počasneje ogreva.
To pa je tudi povsem razumljivo. V članku1 temelji izračun na predpostavki, da je temperatura po preseku povsod enaka, ko vstopi vložek v novo cono peči. Temperatura v preseku ob začetku ogrevanja v novi coni je povprečje temperatur, ki so bile izračunane ob koncu ogrevanja v prejšnji coni. To pa pomeni, da to nasilno izenačevanje temperaturnih razlik po preseku pri prehodu iz ene v drugo cono nekako povečuje toplotno prevodnost, kar je zelo narobe, saj dejanska zmogljivost take peči ni 50 t/h. če izena-
1000-
500
Dvostransko ogrevanje ——
Enostransko __ ogrevanje
O	5	10	15 20
Oddaljenost od vhoda v peč (m) Slika 4
Temperaturni profil potisne peči. Fig. 4
Temperature profile of the end-pusher furnace.
čimo temperature po preseku, na ta način »ogrejemo« sredino, kar je najbolj problematično, obenem pa »ohladimo« površino in tako povečamo sprejemljivost za toplotni tok. še bolj bi se to
1000-

na izhodu iz peči na Vi peči
■ na sredi peči
500-
na peci
• na vhodu v peč
3 6 Debelina
9
plošče
12
(cm)
15
—r 18
pokazalo, če bi zadrževali bloke večjih debelin dalj časa v posameznih conah.
Očitno je, da so naše izračunane temperature prenizke in da so temperaturne razlike prevelike, da bi bili s takim ogrevanjem zadovoljni. Zato smo računsko podaljašli čas ogrevanja za 1/3, t. j. na 5,33 ure. Na sliki 6 so prikazane naše izračunane vrednosti temperatur, ko je vložek na 1/4, 1/2, 3/4 in na koncu peči.
1000
1 o
500-
fc
na izhodu Jz peči
-* na 3/i peči
. na sredi peči
• Vi peči
■ na vhodu
3 6 9 12 15 Debelina plošče (cm)
18
Slika 5
Temperaturna porazdelitev v preseku plošče, če traja celotno ogrevanje 4 ure.
Fig. 5
Temperature distribution on the plate cross section when over-all heating lasted 4 hours.
Slika 6
Temperaturna porazdelitev v preseku plošče, če traja celotno ogrevanje 5,33 ure.
Fig. 6
Temperature distribution on the plate cross section when the over-all heating lasted 5.33 hours.
Končna temperaturna porazdelitev v preseku se torej nekako ujema z rezultati v članku1. Zmogljivost peči pa je po tem izračunu 37,5 t/h, kar je za 25 % manjša kot v članku1.
Izdelali smo računalniški program, po katerem lahko simuliramo najrazličnejše odvisnosti in Cp (iJ), variiramo temp. profil in hitrost pomika skozi peč.
ZAKLJUČEK
Opisan je numerični model ogrevanja v potisni peči. Pri tem je na 3/4 peči dvostransko ogrevanje, na zadnji četrtini pa enostransko. Specifična toplota in toplotna prevodnost sta odvisni od temperature: ta odvisnost je podana za regresijsko enačbo, ki razmeroma dobro opisuje to odvisnost (R2*~ 1). Za večjo natančnost bi bilo seveda treba delati z interpolacijo. Odvisnost od lege v peči (s) bi lahko prav tako vključili v regresijsko odvisnost za a.
Bistvena prednost tega načina je v tem, da ne Potem lahko zapišemo: potrebujemo nobenih povprečnih temperatur pri računanju temperaturne porazdelitve pri prehodu iz ene cone v drugo, kar bi nas lahko privedlo	.[A!Tg	(#)i.jk,jl-km-bit^j. i l(eM,j -eMiJf|
do napačnih zaključkov glede zmogljivosti peči.

kj»l|- [ 1-2 A (TiJ )••£:]■ Ej t 2A (Ti,j ) *k-N
DODATEK
Ej ♦ k- M
Pri numeričnem reševanju enačbe (1) je na-	, . ,. ,
J	.....	Ker Je ,0 izpolnjeno za vse vrednosti (i j ) tudi za največji
vadno problem konvergenca. Potrebni pogoji niso	Ej w,jtl . znani, zato se moramo zadovoljiti z zadostnimi2.
r, . t . •, _	.	,.	r.	Ej, i S Ej *k-M SlEj-i .k M) tk-M = Ej., . 2k M itd.
Postopek je konvergenten, ce je lim e^ = 0 za . '	'	J1
vsak par vrednosti (i, j).	,z cesar sfcdl'dais •
pri čemer pomeni
Ej "s Eo + j-k-M = t M ker sta začetni vrednosti T in $ enaki , t.j. Eo« 0
j	točno rešitev parcialne diferencialne enačbe	2
T i, j	pa točno rešitev dferenčne enačbe	9re O.gre k* -gj^j-, tudi proti 0 in teži M p-Oti
V enačbi (3) lahko vsak Ti,j zapišemo v obliki	če upoštevamo enačbo (1 ) je izraz [7) enak 0 in s tem tudi
(7)
= i5l,j -e
Ej =0
Ker pa je | Vij -Ti,j Ej , to dokazuje , da Tj.j konvergira proti
Ti.j.l•Hj.,1 - ej j+1 itd.	«n	„	,
' '	Vij , ko gre R —O , ce je le r S -j-
31
Po laylorjevi formuli lahko zapišemo :
, , .	Vrednost r mora torej biti ž 1/2. Naša vred-
tu = tT" (xs ♦ r .tj i =-3ij . r (|f)ij ♦ -§r • s	'j1 ♦ ....	nost ^ se pa spreminja. Da bo gornji pogoj izpol-
,.	njen, mora veljati
,1" nT,. O . , iT D R1 3■ tr I Xi -9,R,tj). t ....	.
Vi-i,j «V i Xi - r,tj ) .Vi, - r i^-li, *-fi	-axl--/Ailui

/ A (Vj K \	<J-
l 5 Cp (ff) /maksimum * 2
kjer je :	oziroma	R 9 Cp min	(S)
s 2Amax
o <8, <1 , o <8t<i , o <6j<i	kjer pomeni Cpmin neko minimalno vrednost spe-
cifične toplote, pa neko največjo vrednost
Ce to vstavimo v enačbo (3) lat-ko zapišemo	. ,. „	, . i ., .	. ,
toplotne prevodnosti. Da ne bi bil časovni ko-r, o«,t , J< 1 r a f t i-i, / o it -i ± i2^-) ■,] 4 rak pri R = 1 cm premajhen, smo izbrali r =
•ij-0 »Sij • p-2A C T,-j ) RiJ »»i-l.j ■ [A-ITi.j ) TF -'B (T| jI ri	J|Jj	r
r ,T . k , B(T , k i3SL. 1	=— Cpmin = 0,106 kcal/kg st in Xmaks = 46,0 kcal/
•	»4- S (Ti,j ItjT1'')]	2
v, .,,	mh st. Pri takih podatkih je konvergenca zago-
) -«B,Ti.j).[d^BJU]}-	tovljena in 1]C = 3 24 sekunde.
k 2
-B-(Tj,j) -ri-(eiti.j-ei-ij ) (6)	Literatura:
kjer je	1. T. Kolenko, F. Pavlin: Ogrevanje vložka v potisni peči,
„ , „ , „ _ „ .	Rudarsko metalurški zbornik, št. 3, leto 1973, stran
0<6t<i in o < 85 < i	235_247
2. H. Kohne: Digitale und analoge Losungsmethoden der Naj bo Ej maksimum napai« vzdolž časovne vrste in m maksimalna	VVarmeleitungsgleichung, Forschungsberichte des Landes
vrednost izram v zavitem oklepaju od j = i do j.	Nordrhein — Westfalen Nr. 2120, Westdeutscher Verlag,
Koln und Opladen
če je A (Ti.j ) -rž = 2 = r , s0 vsi koeficienti v enačbi 6	3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential
pozitivni ali enaki nič.	Equations, Oxford University Press, 1971.
ZUSAMMENFASSUNG
Ein mathematischer Modeli des Ervvarmungsvorganges einer unendlichen Platte im Stossofen ist beschrieben, mit der Voraussetzung, dass in den ersten drei Vierteln der Ofenlange das Erwarmen beidseitig, und im letzten Viertel nur einseitig verlauft. Die Temperaturabhangigkeiten der spezifischen Warme und der Warmeleitfahigkeit sind mit Regressionsgleichungen gegeben. Auch der Konvektions-koeffizient ist als eine explizite Funktion der Temperatur im Ofen und auf der Einsatzoberflache gegeben.
Wir nehmen an, dass es sich um einen eindimensio-
nallen Beispiel handelt. Die Warmeleitungsgleichung haben wir numerisch am Computer IBM 360/30 gelosst. Es ist auch ein praktischer Beispiel der Erwarmung einer 18 cm dicken Platte im Stossofen gegeben, bei vvelchem der Temperaturprofil des Ofens mit einer Tabelle gegeben ist.
Es sind auch einige Vorteile der numerischen Problem-losung vor der analytischen angewendet. Zusatzlich ist noch beschrieben wie der richtige Schritt in der ortlichen und zeitlichen Richtung gewahlt werden muss, dass der Bedingung fiir eine Konvergenz gewahrt wird.
SUMMARY
Mathematical model of heating an infinite plate in the end-pusher furnace is described. An assumption is made that heating is both-sides in the first three quarters of the furnace and only one-sides in the last quarter. Relationships betvveen specific heat and thermal conduc-tivity, and the temperature are given by regression equa-tions. Also heat transfer coefficient is explicitly expressed as a function of temperature in the furnace and of the feed surface.
The process was simplified to a one-dimensional model. Equation for thermal conductivity was solved by IBM 360/30 computer. A real example of heating an 18 cm thick plate in the end-pusher furnace is presented, and the temperature profile is shown in the table. Some advantages of numeric solution of the problem in comparison vvith the analytical solution are mentioned. Further also the choice of right space and time intervals is described that the convergence condition is fulfilled.
3AKAK>qEHHE
OnHcaH MaTeMara^ecKHii MOAeAb SecnoHeiHofi nAacTHHM Me-ro-AHMecKoi! neiH. IIpH stom b3hto npeAnoAojKeHHe, ito Ha nepBUx Tpex<ieTBepTLix aahhli neyH HarpeB abvxctopohhliS a Ha nocAeAHefi MeTBepTH AAHHU OAHOCTOPOHHHH. 3aBHCHMOCTb yAeAbHOH TeilAOTbl h TenAOBOH npoBOAHMocra ot TeMnepaTYPH noAaHbi c ypaBHeHH-JMII perpeCCHH. TaKJKe KOHBeKUHOHHblfi K03<j>(j>HmieHT nOAaH KaK onpeAeAeHHasi <J>yhkuhh TeMnepaTypbi ne™ h TeMnepaTypu noBepx-
HOCTH imOCTBI.
IlpeAnoAoraeM, mto ciyMaft othochtch Ha OAHOMepHhift Harpea. VpaBHeHHe AAa npoBOAHMOCTb TenAOTbi pa3pemeHa ^HCAeHHO npa noMomu CHeTmiKa HEM 360/30. IIoAaH KOHKpeiHtift npHMep HarpeBa nAacraHU TOAujHHbi 18 cm b MeTOAH^ecKoft ne™ a TeMnepaTypHHH npotjjHA c TaSAHuofi. YnoMHHyTM HeKOToptie npeHMymecTBa tocao-Boro pemeHHH npoSAeiua b cpaBHeHira c aHaAHTi«ecKHM mctoaom. B AonoAHetiHH ormcaHO KaKHM 06pa30M HaAO onpeAeAHTb h npHHHTb npaBHABHLiii BbiESop mto KacaeTca HanpanACHHH h bpemhhh mtoSm VAOBAeTBOpHTb yCAOBHK> KOHBepreHBHH.