i
i
“kolofon” — 2010/8/17 — 10:02 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAJ 2010, letnik 57, številka 3, strani 81–120
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Marko Petkovšek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko
in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Dreven-
šek Olenik, Damjan Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter
Šemrl, Vladimir Bensa (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re-
publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport.
c© 2010 DMFA Slovenije – 1792 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
LOGISTIČNA PORAZDELITEV
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 11B68, 26A06, 60E10
V prispevku je predstavljena logistična porazdelitev v povezavi z Bernoullijevimi šte-
vili in nekaterimi drugimi porazdelitvami. Podana je tudi izpeljava formule za entropijo
logistične porazdelitve.
THE LOGISTIC DISTRIBUTION
In this contribution the logistic distribution in connection with the Bernoulli numbers
and some other distributions is presented. The derivation of entropy formula of the logistic
distribution is also given.
Uvod
Logistična porazdelitev je zvezna verjetnostna porazdelitev, ki pa jo
redko srečamo v učbenikih, čeprav jo je poznal že Pierre François Verhulst
(1804–1849) pri svojem modelu rasti populacij. V prispevku bomo obrav-
navali logistično porazdelitev, izračunali njeno karakteristično funkcijo in
njene momente, ki se izražajo z Bernoullijevimi števili. Pokazali bomo tudi,
kako je povezana z Laplaceovo porazdelitvijo. Na koncu pa bomo poiskali
še njeno diferencialno entropijo in navedli primere uporabe. Za skoraj vse
pojme iz verjetnostnega računa, ki se pojavljajo v tem prispevku, najdemo
temeljita pojasnila v [5].
Eksponentno funkcijo z osnovo e bomo označevali z exp, njeno inverzno
funkcijo, naravni logaritem, pa z log. Uporabljali bomo tudi hiperbolične
funkcije ch, sh, th, ki so definirane z izrazi: chx = (expx + exp(−x))/2,
shx = (expx−exp(−x))/2, thx = shx/ chx. Vse potrebno o teh funkcijah,
realnih in kompleksnih, najdemo v [9].
Rast populacije pogosto opǐsemo z diferencialno enačbo z začetnim po-
gojem. S funkcijo t 7→ y(t) povemo, da je v času t velikost populacije
enaka y(t). Kako hitro populacija raste v času t, pa pove odvod y′(t). Pri
najenostavneǰsem modelu rasti je hitrost rasti populacije v času t premo
sorazmerna z njeno velikostjo v tem času, kar nam da linearno diferenci-
alno enačbo y′ = ky, kjer je k pozitivna konstanta. Če imamo še začetni
pogoj y(0) = y0 > 0, potem diferencialno enačbo hitro rešimo in dobimo:
y(t) = y0 exp(kt). Rast je eksponentna. Rešitev dobro opisuje dejansko rast
le za majhne t. Ker pa je lim
t→∞
y(t) = ∞, bi taka populacija prej ali slej
napolnila še tako velik prostor.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3 81
Marko Razpet
Zato je treba poiskati bolǰsi model, ki upošteva omejen prostor za popu-
lacijo, torej omejeno rast. To pomeni, da naj bo velikost populacije vedno
manǰsa od pozitivnega števila a, na začetku pa naj je bo y(0) = y0 ∈ (0, a).
Verhulstov model rasti predpostavlja, da je hitrost rasti populacije v času t
premo sorazmerna s produktom njene velikosti in razlike do zgornje meje.
Model nam da nelinearno diferencialno enačbo y′ = ky(a − y), recimo ji
logistična diferencialna enačba, z začetnim pogojem y(0) = y0. Enačba
ima ločljivi spremenljivki, zato jo lahko rešimo s standardnim postopkom
in dobimo njeno edino rešitev, logistično funkcijo: y(t) = ay0/(y0 + (a −
y0) exp(−kat)), t ∈ R. Rešitev je zvezna in naraščajoča funkcija na R in
zanjo velja še lim
t→−∞
y(t) = 0, lim
t→+∞
y(x) = a. Graf rešitve imenujemo logi-
stična krivulja (glej [7]). Na sliki 1 sta načrtani logistična (polna črta) in
eksponentna krivulja (pikčasta črta) za isti k.
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.....
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
t
a
..................................................
..................
.............
.........
........
........
........
........
.......
.......
.......
........
........
.........
.........
...........
...............
...........................
................
0
y
y0
. ...............
.........
......
..
....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Slika 1. Logistična in eksponentna krivulja
Če izberemo a = 1, potem nas lastnosti logistične funkcije in oblika
njenega grafa napeljejo na misel, da je logistična krivulja graf porazdelitvene
funkcije neke slučajne spremenljivke. Taka slučajna spremenljivka obstaja,
ni pa ena sama (primerjaj [5, izrek 16.6]). V nadaljevanju bomo videli, da
do ene take slučajne spremenljivke, za katero bomo rekli, da je porazdeljena
logistično, pridemo razmeroma enostavno.
1. Enakomerna in logistična porazdelitev
Model, pri katerem nastopa logistična porazdelitev, je preprost. Na
daljici AB dolžine 1 slučajno izberemo točko T in z V označimo razdaljo te
točke do levega krajǐsča A. Potem je V slučajna spremenljivka z vrednostmi
na intervalu [0, 1].
82 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
Logistična porazdelitev
A BT
...............................................................................................................................................
V 1 − V
∙∙ ∙
Slika 2. Slučajna razdelitev daljice
Predpostavili bomo, da je slučajna spremenljivka V enakomerno pora-
zdeljena na intervalu [0, 1], tako da je njena gostota verjetnosti pV na R:
pV(v) = 1 za 0 ≤ v ≤ 1 in pV(v) = 0 sicer. Naj P[E] označuje verjetnost
kateregakoli dogodka E. Porazdelitvena funkcija FV slučajne spremenljivke
V je dana z izrazom:
FV(v) = P[V < v] =
v
∫
−∞
pV(ν) dν =



0 za v < 0 ,
v za 0 ≤ v < 1 ,
1 za v ≥ 1 .
(1)
Naj bo X = log(V/(1−V)). Slučajni spremenljivki V in X sta druga z drugo
natančno določeni, saj je v 7→ log(v/(1−v)) bijektivna funkcija iz (0, 1) na R.
Z robnima točkama intervala ni težav, saj je P[V = 0] = P[V = 1] = 0.
Kako se izražata porazdelitvena funkcija FX in gostota verjetnosti pX
slučajne spremenljivke X? Po definiciji ([5, §15]) velja za vsak x ∈ R:
FX(x) = P[X < x] = P[log(V/(1 − V)) < x] = P[V < expx/(1 + expx)] .
Iz (1) vidimo, da je
FX(x) =
expx
1 + expx
=
1
1 + exp(−x) =
1
2
(1 + th(x/2)) . (2)
Gostoto verjetnosti pX(x) izrazimo iz (2) kot:
pX(x) = F
′
X(x) =
1
4 ch2(x/2)
. (3)
Privzemimo, da je µ poljubno realno število in s kakršnokoli pozitivno šte-
vilo. Oglejmo si slučajno spremenljivko Z = µ+sX. Porazdelitveno funkcijo
FZ in gostoto verjetnosti pZ slučajne spremenljivke Z dobimo po običajni
poti. Po definiciji je za vsak z ∈ R:
FZ(z) = P[Z < z] = P[µ+ sX < z] = P
[
X <
z − µ
s
]
= FX
(
z − µ
s
)
.
Zato velja za porazdelitveno funkcijo
FZ(z) =
1
1 + exp(− z−µs )
=
1
2
(
1 + th
z − µ
2s
)
(4)
81–96 83
Marko Razpet
in za ustrezno gostoto
pZ(z) = F
′
Z(z) =
exp(− z−µs )
s(1 + exp(− z−µs ))2
=
1
4s ch2 z−µ2s
. (5)
Pravimo, da ima slučajna spremenljivka Z logistično porazdelitev s para-
metroma µ in s (glej na primer [2]). Na kratko označimo to porazdelitev
z L(µ, s). Graf funkcije FZ ima prevoj v točki (µ, 1/2), kjer je njena strmina
padajoča funkcija parametra s, funkcija pZ pa ima svoj maksimum v točki
(µ, 1/(4s)). Nadalje pa preprost račun pokaže, da velja:
FZ(z)(1 − FZ(z)) =
1
4 ch2 z−µ2s
= spZ(z) = sF
′
Z(z) .
To pomeni, da je porazdelitvena funkcija FZ rešitev logistične diferencialne
enačbe sy′ = y(1 − y) pri začetnem pogoju y(0) = 1/(1 + exp(µ/s)) in graf
funkcije FZ je res logistična krivulja.
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.....
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
z
1
0
s1
s2
s3
..................................................
..................
............
.........
.........
......
.......
.......
.......
......
......
......
.......
.......
.......
........
.........
.........
...........
................
..................................
..
.................................
...................
..............
............
..........
.........
........
........
........
.....
........
........
........
.........
..........
...........
............
................
..................
...............
......
...
....
....
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
....
....
.....
.......
.......................................
∙
µ
...
...
...
...
...
...
...
...
................1/2
Slika 3. Porazdelitvena funkcija porazdelitve L(µ, s) (s1 > s2 > s3)
V nadaljevanju bomo spoznali, da sta tako imenovana lokacija µ in skala
s v tesni zvezi z matematičnim upanjem E[Z] in disperzijo D[Z] slučajne
spremenljivke Z.
Če je µ = 0 in s = 1, govorimo o standardizirani logistični porazdelitvi,
ki jo seveda označujemo z L(0, 1). Slučajna spremenljivka X, ki smo jo
vpeljali zgoraj, ima standardizirano porazdelitev L(0, 1). Dokazali smo
84 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
Logistična porazdelitev
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.....
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
z
pZ(z)
0
s1
s2
s3
.........................
.................
.............
............
...........
...........
.............
............................................................................................................................
...............
......
....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...........................................................................................................................
..................
............
.........
.........
......
.......
.......
.......
.....
.......
........
..................................................................... ...............................................................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..
µ
∙
∙
∙
Slika 4. Gostota verjetnosti logistične porazdelitve L(µ, s) (s1 > s2 > s3)
Izrek 1. Če je slučajna spremenljivka V porazdeljena enakomerno na inter-
valu [0, 1], potem ima slučajna spremenljivka X = log(V/(1−V)) standar-
dizirano logistično porazdelitev L(0, 1), slučajna spremenljivka Z = µ+ sX,
kjer sta µ in s realni števili in s > 0, pa logistično porazdelitev L(µ, s).
2. Karakteristična funkcija
Karakteristično funkcijo ϕS neke slučajne spremenljivke S v točki t ∈ R
definiramo (glej na primer ustrezno poglavje v [5]) kot matematično upanje
sestavljenke exp(itS):
ϕS(t) = E[exp(itS)] .
Karakteristično funkcijo ϕS zvezno porazdeljene slučajne spremenljivke S
lahko izrazimo z njeno gostoto verjetnosti pS:
ϕS(t) =
∞
∫
−∞
pS(x) exp(itx) dx . (6)
Karakteristična funkcija slučajne spremenljivke S je očitno Fourierova trans-
formiranka njene gostote ([10]), v verjetnostnem računu pa je pomembno
orodje za računanje začetnih momentov νn, ki so definirani z izrazom νn =
E[Sn]. Pri tem je n = 0, 1, 2, 3, . . . Pri zvezni porazdelitvi jih lahko
81–96 85
Marko Razpet
izrazimo z gostoto:
νn = E[S
n] =
∞
∫
−∞
xnpS(x) dx .
Z n-kratnim odvajanjem karakteristične funkcije (6) dobimo
ϕ
(n)
S
(t) = in
∞
∫
−∞
xnpS(x) exp(itx) dx ,
kar pomeni, da lahko zapǐsemo začetne momente kot:
νn = i
−nϕ
(n)
S
(0) (n = 0, 1, 2, . . .) .
V posebnih primerih je ν0 = 1 in ν1 = E[S].
Če je na voljo razvoj karakteristične funkcije v potenčno vrsto ekspo-
nencialne oblike, to se pravi ϕS(t) =
∞
∑
n=0
cnt
n/n!, lahko začetne momente
izrazimo s koeficienti v razvoju:
νn = i
−ncn (n = 0, 1, 2, . . .) . (7)
Izrek 2. Karakteristična funkcija slučajne spremenljivke X, ki je porazde-
ljena standardizirano logistično, je
ϕX(t) =
πt
sh(πt)
, (8)
karakteristična funkcija slučajne spremenljivke Z = µ + sX, ki je porazde-
ljena logistično po zakonu L(µ, s), pa
ϕZ(t) = exp(iµt)
πst
sh(πst)
. (9)
Dokaz. Najprej brez težav preverimo, da je (9) posledica (8):
ϕZ(t) = E[exp(itZ)] = E[exp(it(µ+ sX))] = E[exp(iµt) exp(istX)] =
= exp(iµt)E[exp(istX)] = exp(iµt)ψX(st) .
Sedaj se posvetimo karakteristični funkciji standardizirane logistične poraz-
delitve. Po definiciji (6) je za gostoto (3):
ϕX(t) =
∞
∫
−∞
pX(x) exp(itx) dx =
1
4
∞
∫
−∞
exp(itx) dx
ch2(x/2)
.
86 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
Logistična porazdelitev
Dobljeni integral bomo izračunali z integracijo kompleksne funkcije f , de-
finirane z izrazom f(z) = exp(itz)/(4 ch2(z/2)), po pozitivno orientiranem
robu pravokotnika z oglǐsči −R, R, R+2πi, −R+2πi v ravnini kompleksnih
števil (glej [10]). Označimo ta rob s CR. Pri tem je R poljubno pozitivno
število. Funkcija ima v točki z = πi pol druge stopnje kot edino izolirano
singularno točko znotraj tega pravokotnika. Po izreku o residuih (ostankih)
velja:
∮
CR
f(z) dz = 2πiRes(f(z), πi) .
Residuum bomo našli v glavnem delu funkcije f glede na točko πi:
f(z) =
exp(itz)
4 ch2(z/2)
=
exp(itz)
2(1 + ch z)
.
Vpeljemo w = z − πi, da pol z = πi funkcije f prenesemo v pol w = 0
funkcije g, ki je podana tako:
g(w) = f(w + πi) =
exp(it(w + πi))
2(1 + ch(w + πi))
=
exp(−πt) exp(itw)
2(1 − chw) .
Z znanima razvojema v potenčni vrsti dobimo:
g(w) = −exp(−πt)(1 + itw − t
2w2/2 − it3w3/6 + · · ·)
w2(1 + w2/12 + w4/360 + · · ·) .
Kvocient vrst lahko zapǐsemo kot novo potenčno vrsto:
1 + itw − t2w2/2 − it3w3/6 + · · ·
1 + w2/12 + w4/360 + · · · = a+ bw + cw
2 + · · ·
Prva koeficienta sta a = 1 in b = it, kar zadošča za zapis začetka razvoja
g(w) = −exp(−πt)
w2
(1 + itw + cw2 + · · ·) ,
od koder preberemo Res(f(z), πi) = Res(g(w), 0) = −it exp(−πt) kot koefi-
cient pri potenci w−1.
Vsota integralov po vodoravnih stranicah pravokotnika je
1
4
R
∫
−R
exp(itx) dx
ch2(x/2)
+
1
4
−R
∫
R
exp(it(x+ 2πi)) dx
ch2((x+ 2πi)/2)
=
=
1
4
R
∫
−R
exp(itx) dx
ch2(x/2)
− exp(−2πt)
4
R
∫
−R
exp(itx) dx
ch2(x/2)
81–96 87
Marko Razpet
in v limiti R → ∞ konvergira proti (1 − exp(−2πt))ϕX(t), integrala po
navpičnih stranicah pravokotnika pa proti 0, o čemer nas prepriča kraǰsi
račun. Tako smo našli
lim
R→∞
∮
CR
f(z) dz = (1−exp(−2πt))ϕX(t) = 2πiRes(f(z), πi) = 2πt exp(−πt) .
Velja torej enačba (1 − exp(−2πt))ϕX(t) = 2πt exp(−πt), iz katere sledi
ϕX(t) = πt/ sh(πt). Dobljena funkcija ima v točki t = 0 limito 1, kar smo
pričakovali.
Iz karakteristične funkcije ϕX, ki je soda, takoj razberemo, da so vsi
začetni momenti lihega reda enaki 0: ν2n+1 = 0 za n = 0, 1, 2, . . .
Iz znanega neskončnega produkta (glej na primer [1, 6, 10])
sin z
z
=
∞
∏
n=1
(
1 − z
2
π2n2
)
,
ki konvergira za vsako kompleksno število z, dobimo z zamenjavo z 7→ iz še
sh z
z
=
∞
∏
n=1
(
1 +
z2
π2n2
)
.
Zato lahko karakteristično funkcijo napǐsemo tudi kot
ϕX(t) =
πt
sh(πt)
=
∞
∏
n=1
1
1 + (t/n)2
.
V tem produktu pa je vsak faktor zase tudi karakteristična funkcija neke
slučajne spremenljivke Xn. Označimo
ϕXn(t) =
1
1 + (t/n)2
=
n2
n2 + t2
(n = 1, 2, 3, . . .) . (10)
3. Laplaceova porazdelitev
Slučajna spremenljivka, katere verjetnostna gostota je
p(x, µ, β) =
1
2β
exp(−|x− µ|/β) , β > 0 ,
je porazdeljena po Laplaceovem zakonu s parametroma µ in β (glej na pri-
mer [1]). Po Laplaceovem zakonu je porazdeljena razlika dveh neodvisnih
88 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
Logistična porazdelitev
slučajnih spremenljivk, ki sta enako porazdeljeni, in sicer po eksponentnem
zakonu s parametrom β > 0:
q(x, β) =



1
β
exp(−x/β) za x > 0 ,
0 za x ≤ 0 .
Zato Laplaceovi porazdelitvi pravijo tudi dvojna eksponentna porazdelitev.
Življenjsko dobo delcev pri radioaktivnem razpadu in življenjsko dobo ele-
ktronskih komponent se na primer obravnava z eksponentno porazdelitvijo.
Karakteristična funkcija eksponentno porazdeljene slučajne spremen-
ljivke je
1
β
∞
∫
0
exp(−x/β) exp(itx) dx = 1
1 − iβt ,
karakteristična funkcija nasprotno predznačene slučajne spremenljivke pa
1/(1+ iβt). Zato ima razlika dveh neodvisnih slučajnih spremenljivk, ki sta
porazdeljeni po eksponentnem zakonu z istim parametrom β, karakteristično
funkcijo 1/(1 − iβt) · 1/(1 + iβt) = 1/(1 + β2t2) (glej [5, izrek 33.4]).
Če je µ = 0, dobimo karakteristično funkcijo Laplaceove porazdelitve
tudi neposredno:
1
2β
∞
∫
−∞
exp(−|x|/β) exp(itx) dx = 1
β
∞
∫
0
exp(−x/β) cos(tx) dx = 1
1 + β2t2
.
Izrek o edinosti pove (glej [5]), da je razlika dveh neodvisnih slučajnih spre-
menljivk, ki sta porazdeljeni po eksponentnem zakonu s parametrom β,
porazdeljena po Laplaceovem zakonu s parametroma µ = 0 in β.
Torej je vsak faktor v (10) karakteristična funkcija slučajne spremen-
ljivke Xn, ki je porazdeljena po Laplaceovem zakonu s parametroma µ = 0
in β = 1/n.
Denimo, da so slučajne spremenljivke Xk (k = 1, 2 , 3, . . . ) med seboj
neodvisne in vse porazdeljene po Laplaceovem zakonu s parametroma µ = 0
in β = 1. Kako je porazdeljena slučajna spremenljivka
Sn = X1 +
1
2
X2 + · · · +
1
n
Xn ?
Sumandi v tej vsoti imajo karakteristično funkcijo oblike (10), torej je ka-
rakteristična funkcija slučajne spremenljivke Sn:
ϕSn(t) =
n
∏
k=1
1
1 + (t/k)2
.
81–96 89
Marko Razpet
Pri tem se sklicujemo na izrek, ki pravi, da je karakteristična funkcija vsote
končnega števila med seboj neodvisnih slučajnih spremenljivk enaka pro-
duktu karakterističnih funkcij posameznih slučajnih spremenljivk (glej [5,
izrek 33.4]). Za vsak t ∈ R pa je
lim
n→∞
ϕSn(t) = limn→∞
n
∏
k=1
1
1 + (t/k)2
=
∞
∏
k=1
1
1 + (t/k)2
=
πt
sh(πt)
.
To pa ima za posledico, da zaporedje porazdelitvenih funkcij FSn konvergira
po točkah proti porazdelitveni funkciji FS na vsej realni osi (primerjaj na
primer [5, izrek 35.2]) in slučajna spremenljivka S je porazdeljena standar-
dizirano logistično. Verjetnost dogodka, da je slučajna spremenljivka S na
danem intervalu, se torej poljubno malo razlikuje od verjetnosti dogodka, da
je slučajna spremenljivka Sn na tem intervalu, če je le n dovolj velik indeks.
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.....
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
p(x, µ, β)
0
β1
β2
β3
..................................
..................
............
..........
........
.......
.......
......
....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..........................................................................................................................
......................
........
.....
....
....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.....................................................................
....................................................................................................
.................
..........
.........
.......
......
......
..
.....
...
..
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...............................................................................
...................................................................................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
.....
...
µ
∙
∙
∙
Slika 5. Laplaceova porazdelitev s parametroma µ in β (β1 > β2 > β3)
90 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
Logistična porazdelitev
4. Bernoullijeva števila
Začetne momente sodega reda slučajne spremenljivke X bomo izrazili z
Bernoullijevimi števili Bn (več v [1, 6]), ki so definirana z rodovno funkcijo
z
exp z − 1 =
∞
∑
n=0
Bn
n!
zn, |z| < 2π .
Če razvijemo exp z−1 v potenčno vrsto in z njo pomnožimo obe strani zgor-
nje enakosti ter nato primerjamo koeficiente na obeh straneh, hitro najdemo
nekaj prvih Bernoullijevih števil: B0 = 1, B1 = −1/2, B2 = 1/6, B3 = 0.
Poleg tega pa najdemo tudi rekurzivno zvezo, ki jo zapǐsemo simbolično:
Bn+1 = (1 +B)
n+1, Bk ≡ Bk .
To pomeni, da formalni binom 1 + B potenciramo po binomski formuli,
potem pa eksponente zamenjamo z indeksi, na primer:
B5 = (1 +B)
5 = 1 + 5B1 + 10B2 + 10B3 + 5B4 +B5,
B5 = 1 + 5B1 + 10B2 + 10B3 + 5B4 +B5 ,
1 + 5B1 + 10B2 + 10B3 + 5B4 = 0 .
Iz znanih B1, B2 in B3 izračunamo B4 = −1/30. Tako korak za korakom
izračunamo poljubno dolgo zaporedje Bernoullijevih števil.
Ker je funkcija z 7→ z/(exp z − 1) + z/2 soda, sledi iz razvoja
z
exp z − 1 −B1z =
z
exp z − 1 +
z
2
= 1 +
∞
∑
n=2
Bn
n!
zn,
da so vsa Bernoullijeva števila lihega indeksa od vključno tretjega naprej
enaka 0: B2n+1 = 0 za n = 1, 2, 3, . . .
z 7→ z/ sh z lahko razvijemo v potenčno vrsto, katere koeficienti se iz-
ražajo z Bernoullijevimi števili. Najprej preverimo, da velja elementarna
enakost
z
sh z
=
2z
exp z − 1 −
2z
exp(2z) − 1 .
Nato z rodovno funkcijo Bernoullijevih števil razvijemo oba člena v potenčni
vrsti
z
sh z
= 2
∞
∑
n=0
Bn
n!
zn −
∞
∑
n=0
Bn
n!
(2z)n.
81–96 91
Marko Razpet
Prva vrsta konvergira pri pogoju |z| < 2π, druga pa pri pogoju |2z| < 2π.
Potem ko pogledamo člene z najnižjimi indeksi, lahko zapǐsemo:
z
sh z
=
∞
∑
n=0
(2 − 22n)B2n
(2n)!
z2n, |z| < π . (11)
Bernoullijeva števila imajo v matematiki (v numerični analizi in v teoriji
števil) kar preceǰsnjo vlogo. Obstaja veliko relacij med njimi in nekaterimi
drugimi funkcijami ter z nekaterimi posebnimi števili.
5. Momenti
Sedaj pa lahko izrazimo vse začetne momente slučajne spremenljivke X
z Bernoullijevimi števili.
Izrek 3. Slučajna spremenljivka X, ki je porazdeljena standardizirano logi-
stično, ima vse začetne momente, ki se izražajo kot:
ν2n = (−1)n(2 − 22n)π2nB2n , ν2n+1 = 0 (n = 0, 1, 2, . . .) .
Njeno matematično upanje in disperzija sta E[X] = 0, D[X] = π2/3.
Dokaz. Po formuli (11) je
ϕX(t) =
πt
sh(πt)
=
∞
∑
n=0
(2 − 22n)π2nB2n
(2n)!
t2n, |t| < 1 .
Če uporabimo formulo (7), dobimo:
ν2n = i
−2n(2 − 22n)π2nB2n = (−1)n(2 − 22n)π2nB2n (n = 0, 1, 2, . . .) .
Vsi začetni momenti lihih redov pa so enaki 0: ν2n+1 = 0 za n = 0, 1, 2, . . .
Tako hitro najdemo nekaj začetnih momentov za slučajno spremen-
ljivko X: ν0 = 1, ν1 = 0, ν2 = π
2/3, ν3 = 0, ν4 = 7π
4/15. Torej velja
E[X] = ν1 = 0 , D[X] = E
[
(X − E[X])2
]
= ν2 =
π2
3
.
Posvetimo se še malo slučajni spremenljivki Z = µ + sX. Kot vemo,
so centralni momenti µn katerekoli slučajne spremenljivke S definirani z
izrazom:
µn = E[(S − E[S])n] (n = 0, 1, 2, . . .) .
92 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
Logistična porazdelitev
Izrek 4. Slučajna spremenljivka Z, ki je porazdeljena po zakonu L(µ, s),
ima vse centralne momente:
µ2n = (−1)ns2n(2 − 22n)π2nB2n , µ2n+1 = 0 (n = 0, 1, 2, . . .) .
Njeno matematično upanje in disperzija sta E[Z] = µ, D[Z] = s2π2/3.
Dokaz. Zaradi linearnosti matematičnega upanja je E[Z] = E[µ + sX] =
E[µ] + sE[X] = µ in zato
µn = E[(Z − E[Z])n]= E[(Z − µ)n]= E[(sX)n] = snE[Xn] = snνn .
Za nekaj indeksov dobimo: µ0 = 1, µ1 = 0, µ2 = s
2π2/3, µ3 = 0, µ4 =
7s4π4/15. Torej res velja: E[Z] = µ, D[Z] = µ2 = s
2π2/3.
Lokacija µ je torej matematično upanje slučajne spremenljivke Z, ki je
porazdeljena logistično po zakonu L(µ, s), skalo s pa lahko izrazimo kot
s =
√
3
π
σ[Z] , (12)
pri čemer je σ[Z] =
√
D[Z] standardna deviacija slučajne spremenljivke Z.
Vsemu skupaj lahko dodamo še asimetrijo γ1 = µ3/µ
3/2
2 in eksces γ2 =
µ4/µ
2
2 − 3. Dobimo: γ1 = 0, γ2 = 6/5.
Za slučajno spremenljivko Z, ki je porazdeljena logistično po zakonu
L(µ, s), lahko izračunamo katerikoli kvantil zp reda p (0 < p < 1) ali p-
ti kvantil (več o kvantilih najdemo v [5, §29]). Število zp zadošča enačbi
FZ(zp) = p. Rešiti moramo na zp pri danem p enačbo FZ(zp) = p. Upo-
rabimo funkcijo (4) in preprost račun pove: zp = µ + s log(p/(1 − p)) . Za
p = 1/2 dobimo mediano: m = µ. Modus porazdelitve je prav tako µ, ker
takrat gostota doseže svoj edini lokalni maksimum.
6. Entropija
Izraz entropija v verjetnostnem računu in v teoriji informacije (osnovni
vir nam je lahko [4]) je izposojen iz fizike, kjer ga srečamo v termodina-
miki in statistični mehaniki. Entropija je količina, ki jo priredimo stanju
sistema. Fizik Ludwig Boltzmann (1844–1906) je pokazal, da je entropija
premo sorazmerna z logaritmom verjetnosti za to stanje. Entropija izraža
nedoločenost stanja sistema. Največ zaslug za vpeljavo pojma entropija
v verjetnostni račun in teorijo informacije pa je imel Claude E. Shannon
(1916–2001) v svojem temeljnem članku [8].
V verjetnostnem računu najprej priredimo entropijo diskretni slučajni
spremenljivki S, ki more zavzeti končno mnogo vrednosti, denimo s1, s2, . . . ,
81–96 93
Marko Razpet
sn z ustreznimi verjetnostmi p1, p2, . . . , pn, pri čemer je seveda
n
∑
k=1
pk = 1.
Entropija slučajne spremenljivke S je potem definirana z vsoto:
H(S) = H(p1, p2, . . . , pn) = −
n
∑
k=1
pk log pk . (13)
Namesto naravnega logaritma lahko uporabljamo tudi logaritem z drugo
osnovo, večjo kot 1. Pogosto uporabljamo osnovo 2. Dobljeni entropiji se
med seboj razlikujeta le za konstanten faktor. Enota za entropijo je bit, če
uporabljamo v definiciji entropije logaritem z osnovo 2, in nat, če uporablja-
mo naravni logaritem.
Entropija H(S) izraža nedoločenost diskretne slučajne spremenljivke S,
je nenegativna, neodvisna od vrednosti, ki jih more zavzeti, in doseže naj-
večjo vrednost logn, če je p1 = p2 = . . . = pn = 1/n. Za produkt med seboj
neodvisnih diskretnih slučajnih spremenljivk S in T velja preprosto pra-
vilo: H(ST) = H(S) +H(T). Če lahko slučajna spremenljivka S zavzame
števno neskončno mnogo vrednosti, nadomestimo vsoto v (13) z ustrezno
neskončno vrsto, seveda ob predpostavki, da le-ta konvergira.
Po analogiji s (13) definiramo entropijo tudi za zvezno porazdeljeno slu-
čajno spremenljivko S. Denimo, da ima ta gostoto pS. Entropijo h(S)
definiramo z izrazom
h(S) = −
∞
∫
−∞
pS(x) log pS(x) dx , (14)
seveda ob predpostavki, da integral v (14) obstaja. Če se zgodi, da je kje
na integracijskem območju pS(x) = 0, vzamemo, kot da je 0 log 0 = 0, kar
temelji na tem, da ima funkcija x 7→ x log x desno limito enako 0 v točki
x = 0. Toda entropija h(S) ni vselej pozitivna kot v diskretnem primeru.
Zato ima tudi posebno ime: pravimo ji diferencialna entropija. Pogosto
zapǐsemo diferencialno entropijo kot h(p), kjer je p gostota porazdelitve.
Brez težav lahko preverimo, da za transformaciji S 7→ S + c, kjer je c
realna konstanta, in S 7→ aS, kjer je a od nič različna konstanta, veljata za
vsako zvezno porazdeljeno slučajno spremenljivko S relaciji: h(S+c) = h(S)
(invariantnost glede na premik) in h(aS) = h(S) + log |a|.
Primer. Izračunajmo diferencialno entropijo slučajne spremenljivke Z, ki
je porazdeljena po zakonu L(µ, s), torej z gostoto (5):
h(Z) =
∞
∫
−∞
1
4s ch2 z−µ2s
log
(
4s ch2
z − µ
2s
)
dz .
94 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
Logistična porazdelitev
Najprej uvedemo v zgornji integral novo integracijsko spremenljivko x z
relacijo x = (z − µ)/s:
h(Z) =
∞
∫
−∞
1
4 ch2(x/2)
log(4s ch2(x/2)) dx =
= log(4s)
∞
∫
−∞
1
4 ch2(x/2)
dx+
∞
∫
0
1
ch2(x/2)
log ch(x/2) dx .
Prvi integral je enak 1, ker je pod integralskim znakom ravno gostota po-
razdelitve L(0, 1), drugi integral pa računamo z metodo per partes:
∫
1
ch2(x/2)
log ch(x/2) dx = 2 th(x/2) log ch(x/2) −
∫
th2(x/2) dx =
= 2(th(x/2) log ch(x/2) − x/2) +
∫
1
ch2(x/2)
dx .
Prvi člen je pri x = 0 enak 0, zato je
h(Z) = log(4s) + 2 lim
x→∞
(th(x/2) log ch(x/2) − x/2) + 2 .
Limito hitro izračunamo tako, da predhodno preoblikujemo:
th(x/2) log ch(x/2)− x/2 = th(x/2)(log(1 + exp(−x))− log 2)− x
expx+ 1
.
Zgornji izraz očitno gre proti − log 2, ko x→ ∞. Nazadnje imamo izraz za
entropijo: h(Z) = log s+ 2 = log(e2s).
Vidimo, da je predznak diferencialne entropije logistične porazdelitve
L(µ, s) neodvisen od lokacije µ, odvisen pa je od skale s: za s > exp(−2) je
h(Z) > 0, za s = exp(−2) je h(Z) = 0 in za 0 < s < exp(−2) je h(Z) < 0.
V zvezi z diferencialno entropijo porazdelitve je še veliko zanimivosti,
ki jih najdemo v obsežni literaturi. Vprašajmo se samo še po tisti zvezni
porazdelitvi, ki ima pri dani varianci σ2 največjo diferencialno entropijo.
Zaradi invariantnosti diferencialne entropije glede na premik lahko privza-
memo, da je matematično upanje iskane porazdelitve enako 0. Naj bo p(x)
gostota iskane porazdelitve. Iščemo ekstrem integrala −
∞
∫
−∞
p(x) log p(x) dx
pri pogojih
∞
∫
−∞
p(x) dx = 1 in
∞
∫
−∞
x2p(x) dx = σ2. Z metodami variacijskega
računa (podobno kot rešujemo izoperimetrični problem, glej na primer [7,
VII. pogl.]) hitro dobimo
p(x) =
1
σ
√
2π
exp
(
− x
2
2σ2
)
,
81–96 95
Marko Razpet
torej gostoto normalne porazdelitve N (0, σ). Še laže kot za logistično po-
razdelitev dobimo za normalno: h(pN ) = log(σ
√
2πe) ≈ log(4,13σ). Potem
je pri istem σ za logistično porazdelitev L(0, s) skala s = σ
√
3/π in diferen-
cialna entropija h(pL) = log(σe
2
√
3/π) ≈ log(4,07σ), kar ni dosti manj kot
pri normalni porazdelitvi.
7. Sklep
Obravnavali smo le najenostavneǰse izreke v zvezi z logistično porazde-
litvijo. Obstajajo tudi njene posplošitve z dodatnimi parametri. Zaradi
razmeroma preprostih funkcij, ki opisujejo logistično porazdelitev, jo vča-
sih uporabljajo namesto normalne tako, da po formuli (12) normalni zakon
N (µ, σ) nadomestijo z logističnim L(µ, σ
√
3/π). Po obeh zakonih imamo
potem enaki matematični upanji, disperziji in asimetriji. Opazna razlika je
v ekscesu. Toda računanje kvantilov je pri logistični porazdelitvi bistveno
enostavneǰse kot pri normalni.
Logistična porazdelitev je uporabna na različnih področjih znanosti: v
samem verjetnostnem računu in seveda pri statistiki v biologiji, epidemio-
logiji, psihologiji, tehnologiji in ekonomiji.
Šahovske zveze po svetu primerjajo moči šahistov glede na njihove uspe-
he in pripravljajo tako imenovane rating lestvice. Sistemov, po katerih pri-
dejo do teh lestvic, je več. Mednarodna šahovska zveza FIDE (Fédération
Internationale des Échecs) jih objavlja dvakrat na leto, do njih pa prihaja
po sistemu, ki temelji ravno na logistični porazdelitvi.
LITERATURA
[1] M. Abramowitz in I. Stegun, Handbook of mathematical functions with formulas,
graphs, and mathematical tables, Dover publications, New York, 1972.
[2] N. Balakrishnan, Handbook of the logistic distribution, Marcel Dekker, New York,
1992.
[3] T. M. Cover in J. A. Thomas, Elements of information theory, Wiley, New York,
2006.
[4] R. Jamnik, Elementi teorije informacije, Knjižnica Sigma 10, DZS, Ljubljana, 1974.
[5] R. Jamnik, Verjetnostni račun, Matematika – fizika 3, Mladinska knjiga, Ljubljana,
1971.
[6] I. S. Gradsteyn in I. M. Ryzhik, Tables of integrals, sums and products, ur. A. Jeffrey,
Academic Press, New York, 1994.
[7] F. Križanič, Navadne diferencialne enačbe in variacijski račun, Matematika – fizika 5,
DZS, Ljubljana, 1974.
[8] C. Shannon, A mathematical theory of communication, The Bell system technical
journal 27 (1948), str. 379–424 in 623–656.
[9] I. Vidav, Vǐsja matematika I, Matematika – fizika 6, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana,
2008.
[10] I. Vidav, Vǐsja matematika III, Matematika – fizika 8, DZS, Ljubljana, 1976.
96 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
PETDESETLETNICA LASERJEV
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 01.65.+g
Pred petdesetimi leti se je začelo lasersko obdobje, ki je prineslo veliko novega v
znanost, tehniko in vsakdanje življenje. Pomembni koraki na poti do njega so bili napoved
stimuliranega sevanja ter izumi maserja in rubinskega ter helij-neonskega laserja.
THE FIFTIETH ANIVERSARY OF LASERS
Fifty years ago the laser era began which brought many a novelty into science, techno-
logy, and everyday life. Important steps on the way to it were the prediction of stimulated
emission and the invention of the maser and the ruby and He-Ne laser.
Stimulirano sevanje
Na koncu 19. stoletja so na Državni fizikalno-tehnǐski ustanovi v Ber-
linu vse natančneje merili spektralno gostoto v sevanju črnega telesa. Za
teoretično ozadje je poskrbel Wilhelm Wien. V prvem koraku je leta 1893
obravnaval sevanje v valju z idealno odbojnimi stenami z batom. Ugotovil je,
da je kvocient frekvence, pri kateri ima spektralna gostota vrh, in absolutne
temperature T konstanten. Uvidel je, da je v splošnem spektralna gostota
odvisna od funkcije kvocienta ν/T , pomnožene s tretjo potenco frekvence
ν. Tri leta pozneje je to funkcijo izrazil po zgledu Maxwellove porazdelitve
molekul po hitrosti:
u =
dw
dν
= ν3f(ν/T ) =
8πhν3
c3
e−hν/kT . (1)
w je povprečna gostota energije v sevanju ter h Planckova in k Boltzmannova
konstanta.
Najprej se je zdelo, da merjenja podpirajo Wienovo enačbo. Potem
pa so pokazala, da je pri konstantni majhni frekvenci spektralna gostota
sorazmerna s temperaturo. Na tej podlagi je leta 1900 Max Planck prek
entropije sevanja Wienovo enačbo dopolnil v Planckov zakon:
u =
8πhν3
c3
· 1
ehν/kT − 1 . (2)
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3 97
Janez Strnad
Wienova enačba je približek zakona za hν/kT ≫ 1. Konstante v (1) smo
naravnali po tem.
Sevanje sodeluje s snovjo. Mislimo na množico atomov kakega elementa
in se omejimo na dve stanji. Opis ne velja samo za dve stanji atoma v plinu,
ampak tudi za molekule, atome primesi v kristalu izolatorja in elektrone v
kristalu polprevodnika. Prvo stanje naj ima manǰso energijo W1, drugo pa
večjo W2. Atom v stanju z večjo energijo seva sevanje s frekvenco ν =
(W2 − W1)/h. Atom v stanju z manǰso energijo v sevanju s spektralno
gostoto u = u(ν) absorbira sevanje s to frekvenco. Naj bo N2 atomov v
stanju z večjo energijo in N1 atomov v stanju z manǰso. V časovni enoti
N2A atomov s sevanjem iz stanja z večjo energijo preide v stanje z manǰso
in N1B12u atomov z absorpcijo iz stanja z manǰso energijo v stanje z večjo.
A = A21 ima vlogo verjetnosti na časovno enoto za prehod atoma s sevanjem
in B12u za prehod atoma z absorpcijo. V toplotnem ravnovesju s sevanjem
toliko atomov iz stanja z večjo energijo preide v stanje z manǰso, kot jih v
tem času z absorpcijo preide iz stanja z manǰso energijo v stanje z večjo:
N2A = N1B12u . (3)
V ravnovesju je po Maxwell-Boltzmannovem zakonu v stanju z večjo energijo
manj atomov kot v stanju z manǰso: N2/N1 = e
−(W2−W1)/kT = e−hν/kT . To
upoštevamo v zvezi (3) in iz enačbe (1) razberemo: A/B12 = 8πhν
3/c3.
Zveza (3) ustreza Wienovi enačbi, ne pa Planckovemu zakonu (2). Po
tem sklepamo, da poleg sevanja, ki ga imenujmo spontano, in absorpcije
obstaja še tretji pojav. Po zgradbi zakona sklepamo, da gre za prehod iz
stanja z večjo energijo v stanje z manǰso kot pri spontanem sevanju. Ven-
dar ta prehod povzroči sevanje s pravo frekvenco, kakršno je udeleženo pri
absorpciji. Prehod imenujmo stimulirano sevanje. Zvezi (3) zato dodamo
število atomov N2B21u, ki v časovni enoti s stimuliranim sevanjem iz stanja
z večjo energijo preide v stanje z manǰso:
N2A + N2B21u = N1B12u . (4)
B21u imamo za verjetnost na časovno enoto za prehod atoma s stimuliranim
sevanjem. Enačba (4) ustreza Planckovemu zakonu, če poleg zapisane zveze
velja še [1]:
B12 = B21 = B ,
A
B
=
8πhν3
c3
. (5)
Vzeli smo, da stanji nista degenerirani, se pravi, da dani energiji ustreza eno
samo stanje. Zvezi (5) je izpeljal Albert Einstein leta 1916 in A in B sta
Einsteinova koeficienta. Imeni spontano in stimulirano sevanje sta noveǰsi.
98 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
Petdesetletnica laserjev
Tokovi, ki ustrezajo spontanemu in stimuliranemu sevanju ter absorp-
ciji, so sorazmerni z N2A, N2Bu in N1Bu. Tako sta tokova spontanega in
stimuliranega sevanja v razmerju A/(Bu) = ehν/kT − 1 in tokova absorpcije
in stimuliranega sevanja v razmerju N1/N2 = e
hν/kT . Eksponentni faktor je
pri sobni temperaturi za vidno svetlobo zelo velik, tako da je delež stimu-
liranega sevanja zanemarljiv. Spočetka so mislili, da je stimulirano sevanje
teoretična posebnost brez praktičnega pomena. V ravnovesju zagotovo ni
mogoče doseči, da bi se ta delež povečal. Atome je treba neprekinjeno mo-
titi od zunaj, tako da je v stanju z večjo energijo več atomov kot v stanju z
manǰso. V taki obrnjeni zasedenosti se poveča delež stimuliranega in spon-
tanega sevanja v primeri z deležem absorpcije. Poleg tega je treba doseči
veliko gostoto energije v valovanju s pravo frekvenco, kar poveča delež sti-
muliranega sevanja in absorpcije v primeri z deležem spontanega sevanja.
Stimulirano sevanje je pomembno. Atomi v razredčenem plinu spon-
tano sevajo neodvisno drug od drugega valovne poteze v različnih smereh
in z različno smerjo polarizacije. Atomi se neurejeno gibajo z različnimi hi-
trostmi, tako da se zaradi Dopplerjevega pojava frekvence potez med seboj
nekoliko razlikujejo. Nastalo zmešnjavo valovnih potez imenujemo nekohe-
rentno valovanje. Tako je tudi sevanje trdnih svetil, ker njihovi deli sevajo
neodvisno drug od drugega. Stimulirano izsevano valovanje pa ima enako
smer, enako frekvenco in enako polarizacijo kot valovanje, ki ga je zbudilo.
Tako pri stimuliranem sevanju nastane koherentno valovanje, ki ga vsaj v
delu lahko opǐsemo z izrazom za krogelno ali ravno valovanje.
Maser
Posamezni fiziki so se spraševali, ali bi bilo mogoče zaznati stimulirano
sevanje. Poskusi v letih 1928, ko je Rudolf W. Ladenburg potrdil stimuli-
rano sevanje, 1939, ko je Valentin A. Fabrikant napovedal ojačevanje kratkih
valov s stimuliranim sevanjem, 1947, ko sta Willis E. Lamb in R. C. Rether-
ford demonstrirala stimulirano sevanje v vodikovem spektru, in 1950, ko je
Alfred Kastler predlagal način optičnega črpanja, so kazali napredek, a niso
zbudili posebnega zanimanja. Preboj je povzročil maser. Ime sestavljajo za-
četne črke angleških besed ojačevanje mikrovalov s stimuliranim sevanjem.
O zamisli maserja sta leta 1952 na sestanku za radijsko spektroskopijo po-
ročala Aleksandr M. Prohorov in njegov mlaǰsi sodelavec Nikolaj G. Basov
s fizikalnega inštituta P. N. Lebedev v Moskvi. Ugotovitve sta objavila leta
1954. Neodvisno od teh ugotovitev so na newyorški univerzi Columbia v
letih 1954 in 1955 Charles H. Townes in mlaǰsa sodelavca James P. Gordon
in Herbert J. Zeiger izdelali maser na curek molekul amoniaka. Nekateri
97–106 99
Janez Strnad
znani fiziki, ki so poznali načrte, so menili, da jim to ne bo uspelo.
Slika 1. V amoniakovem maserju skozi drobne šobe izhaja curek molekul. Kvadrupolna
električna leča izloči molekule v osnovnem stanju. Curek molekul v vzbujenem stanju
vstopi v resonator, v katerem vpadno valovanje s pravo frekvenco vzbudi stimulirano
sevanje. Zaznavajo ojačeno sevanje, ki zapusti resonator.
Molekula amoniaka NH3 ima osnovno stanje razcepljeno na dve bližnji
stanji, za prehod med katerima je značilna frekvenca 23,87 · 109 s−1 ali va-
lovna dolžina 1,256 cm na območju mikrovalov. V curku molekul amoniaka
pri sobni temperaturi je za malenkost več molekul v stanju z manǰso energijo
kot v stanju z večjo. V nehomogenem električnem polju molekule v stanju z
manǰso energijo silijo na območje z manǰso jakostjo polja, molekule v stanju
z večjo pa na območje z večjo. Po cevi z luknjičasto šobo so vodili amo-
niak z območja s tlakom okoli milibara na območje z veliko manǰsim tlakom
skozi kvadrupolno električno lečo. Molekule v stanju z manǰso energijo so
se odklonile od osi, molekule v stanju z večjo energijo pa proti osi. Curek
molekul, v katerem so prevladale molekule v stanju z večjo energijo, so spe-
ljali v votlinski resonator. Sevanje s pravo frekvenco, ki so ga po valovnem
vodniku pravokotno na smer curka molekul uvedli v resonator, je povzro-
čilo stimulirano sevanje molekul. Ojačeno sevanje je na nasprotni strani po
valovnem vodniku zapustilo resonator. S takim ojačevalnikom je postalo
mogoče ojačevati energijske tokove s tisočkrat manǰso gostoto energije kot
z ojačevalnikom z elektronko.
Danes maserje s curkom molekul, na primer vodika, rabijo kot oscilatorje
z izredno stabilno frekvenco. V ojačevalnikih pa izkorǐsčajo kristale v ma-
gnetnem polju pri temperaturi tekočega helija. Paramagnetnemu kristalu
primešajo diamagnetne atome s tremi spinskimi stanji, na katera se zaradi
Zeemanovega pojava razcepi dano stanje. Taki ojačevalniki so pomembni
pri sprejemu sporočil z umetnih satelitov in vesoljskih sond [2].
100 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
Petdesetletnica laserjev
Na poti do laserjev
Po uvedbi maserjev so po svetu, posebno v Združenih državah, veliko
razmǐsljali o možnosti, da bi razširili njihovo delovanje na območje vidne
svetobe. Pri tem so naleteli na nekaj ovir. Vidna svetloba ima več kot
dvajsettisočkrat večjo frekvenco od mikrovalov. Molekule amoniaka sevajo
v povprečju po stotino sekunde, povprečni čas sevanja atomov pa je mili-
jonkrat kraǰsi.
Leta 1957 se je Townes pogovarjal z Gordonom Gouldom, ki si je že nekaj
časa prizadeval doktorirati na univerzi Columbia in je raziskoval tedaj novo
tehniko zbujanja atomov s svetlobo. Pogovor se je sukal okoli
”
optičnih
maserjev“ in prijave patentov. Gouldu se je porodila zamisel, kako bi s
svetlobo zbujal atome, da bi prehajali iz stanja z manǰso energijo v stanje z
večjo. V laboratorijskem dnevniku je opisal zamisel za to optično črpanje in
še številne druge zamisli, med njimi tudi zbujanje s trki. Dnevnik je overil
pri notarju. Zapustil je univerzo in se zaposlil pri manǰsi družbi Technical
Research Group, TRG, ki je delala za vojsko in ki je bila pripravljena izvesti
njegove načrte. Vendar Gould pri njih ni mogel neposredno sodelovati, ker
kot levičar ni smel delati pri zaupnih nalogah. (Zaradi tega je med drugo
svetovno vojno zgubil mesto v Los Alamosu.)
Townes je bil tudi svetovalec Bellovih laboratorijev v Murray Hillu v
New Jerseyju. V njih je delal njegov svak Arthur L. Schawlow, ki je prej
pri njem doktoriral. Poleti 1958 sta v članku Infrardeči in optični maserji
pregledala načelne možnosti za take naprave in še posebej za napravo s
kalijevo paro ter prijavila patent. Članek je v Združenih državah zbudil
veliko zanimanja in vzpodbudil nekaj znanstvenih sestankov. Za
”
orožje s
curki“ se je začela zanimati tudi amerǐska vojska in je podprla raziskovalne
naloge ter znanstvene sestanke s to usmeritvijo.
Townes, Schawlow in Gould ter Basov in Prohorov so, delno neodvisno
drug od drugega, uvideli, da votlinski resonator pri svetlobi ni uporaben.
V njem je mogočih preveč bližnjih lastnih nihanj. Predlagali so
”
odprt re-
sonator“ Fabry-Perotove vrste med vzporednima zrcaloma, med katerima
nastane stoječe valovanje v smeri pravokotno na zrcali. Razdalja med zr-
caloma mora biti celoštevilski večkratnik polovične valovne dolžine. V sto-
ječem valovanju naraste gostota energije pri frekvenci prehoda. K temu
valovanju prispeva stimulirano sevanje, ki ga sproži spontano sevanje enega
od atomov. Pri obrnjeni zasedenosti se stimulirano sevanje ojačuje in pre-
vlada nad spontanim sevanjem in absorpcijo, če je zbujanje dovolj izdatno.
Do tega pride lahko le, če so vključena tri ali štiri stanja, dve stanji ne
zadostujeta.
Na znanstvenem sestanku sredi leta 1959 je Gould v svojem poročilu
97–106 101
Janez Strnad
prvič uporabil ime laser, v katerem je
”
mikrovalove“ v
”
maserju“ nadomestil
s
”
svetlobo“. Schawlow, ki je bil znan kot šaljivec, je zatrdil, da naprava
bolj kot ojačevalnik deluje kot oscilator. Zato naj bi ji rekli loser (zguba).
Schawlow se je motil tudi nekaj mesecev pozneje. Na sestanku je obravnaval
lastnosti rubina, to je aluminijevega oksida s primesjo kroma. Obetaven se
mu je zdel temni rubin z izdatno primesjo kroma, ne pa rožnati rubin z
majhno primesjo kroma.
Raziskovalci v industrijskih laboratorijih ali industrijske družbe navadno
novo spoznanje prijavijo kot patent. Pogosto pride do patentnih sporov.
Tak spor, v katerega se je zapletel Gould, je trajal trideset let. On in
njegova družba sta prvi patent prijavila leta 1959 in v letih 1977 in 1979
dobila priznanih nekaj patentov. Prǐslo je do zaslǐsanj, razprav in pritožb
na patentnem uradu in na sodǐsčih. Dogodkov ni lahko pregledati, ker so
nekatere družbe prešle v last drugih družb in so ustanavljali nove. Pravdanje
se je vleklo in doživelo nekaj nenavadnih obratov. Nazadnje je leta 1985
doseglo zvezno sodǐsče v Washingtonu in se končalo dve leti zatem. V celoti
so Gouldu nazadnje priznali 48 patentov, tudi patente za optično črpanje,
zbujanje s trki in Brewstrovi okenci. Gould je vmes svoje pravice prodal, da
je kril stroške za pravdanje. Pozneje jih je odkupil nazaj, ko je družba zašla
v težave. Na koncu naj bi dobil več milijonov dolarjev. Številnim laserskim
strokovnjakom se zdijo nekatere sodne odločitve sporne [3–5].
Rubinski laser
Theodore H. Maiman je v Letalski družbi Hughes v Malibuju v Kalifor-
niji izdelal uspešen maser z rožnatim rubinom. Ni se oziral na razširjeno
mnenje, da tak rubin ni uporaben za laser. Kristal rubina je na vzporednih
osnovnih ploskvah posrebril. Ena od ploskev je bila popolnoma posrebrena,
druga je prepuščala majhen del vpadne svetlobe. Kristal je obdal z vijačno
ksenonovo cevjo, kakršne uporabljajo v fotografskih bliskavkah. Naelektren
kondenzator je spraznil skozi cev, da je nastal močan svetlobni blisk. Pov-
zročil je, da so atomi kroma z absorpcijo prešli v stanja z veliko energijo.
Redki atomi kroma v kristalu so prevzeli vlogo atomov v razredčenem plinu.
Zaradi sodelovanja s kristalno mrežo so atomi izgubljali energijo. Tako je
nastala obrnjena zasedenost med sosednjima stanjema. Kak atom je spon-
tano seval. Sevanje se je odbijalo na posrebrenih mejnih ploskvah in v
kristalu je nastalo stoječe valovanje. To je povzročalo stimulirano sevanje,
ki se je ojačevalo. Skozi slabše posrebreno mejno ploskev je kristal izseval
sunek rdeče koherentne svetlobe. Ob ponovnem blisku je nastal nov sunek.
Sredi maja 1960 je Maiman opazil, da se je izrazito povečala moč sunka in
102 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
Petdesetletnica laserjev
zožila spektralna črta. Po tem je sklepal, da je dosegel lasersko delovanje.
Rubinski laser izkorǐsča prehode med tremi stanji.
Slika 2. Poenostavljena risba kaže zgradbo rubinskega laserja (levo): RR valjasta ru-
binska paličica, Z1 zrcalo, Z2 zrcalo prepušča majhen del vpadne svetlobe, KC ksenonova
cevka v obliki vijačnice ovija rubinsko paličico, KB kondenzatorji, KS curek koherentne
svetlobe. Risba kaže prehode med stanji v kristalu (desno): (1) prehod ob absorpciji sve-
tlobe iz ksenonove cevke – optično črpanje – iz osnovnega stanja na širok energijski pas,
(2) prehod brez sevanja v ostro stanje, (3) prehod ob stimuliranem sevanju v osnovno
stanje. Narisana so stanja, pomembna za sevanje laserja pri valovni dolžini 694,3 nm.
Razbrati je mogoče, da rubinski laser uporablja tri stanja.
Kratek opis poskusa z naslovom Optično masersko delovanje v rubinu je
poslal reviji Physical Review Letters. Urednik je rokopis takoj zavrnil. Tik
pred tem je Maiman namreč v tej reviji objavil članek o lastnostih rožnatega
rubina. Najbrž se je urednik želel izogniti vrsti člankov o maserjih, ki bi
se med seboj le malo razlikovali. Spregledal pa je pomembno odkritje. Na
začetku julija je družba Hughes sklicala tiskovno konferenco, potem ko je
londonska revija Nature skraǰsani članek sprejela v objavo, a preden je izšel.
Nekateri fiziki so podvomili o tem, da je zares šlo za lasersko delovanje.
Maiman je dalǰsi članek poslal reviji Journal of Applied Physics, a tudi s
tem ni imel sreče. Nepooblaščeno ga je objavila angleška revija, ki je do
rokopisa prǐsla na tiskovni konferenci. Tako je moral rokopis umakniti.
Na univerzi Columbia se naprava s kalijevo paro ni obnesla in so delo na
njej ustavili. Tekme za laser se je udeležilo več laboratorijev industrijskih
družb, med njimi tudi Bellovi laboratoriji. Nekaterim njihovim raziskoval-
cem se je Maimanovo poročilo zdelo pomanjkljivo. Pohiteli so in se prepri-
čali o delovanju rubinskega laserja. Robert J. Collins, Donald F. Nelson,
97–106 103
Janez Strnad
Schawlow, Walter Bond, Geoffrey B. Garret in Wolfgang Kaiser so že ko-
nec avgusta dokončali poročilo o rubinskem laserju, ki je v Physical Review
Letters izšlo oktobra. Opisali so zoženje laserskega curka, ki je na steni dal
majhno rdečo piko. Maiman ni poročal o zoženju curka, ki je poleg močnega
ojačenja in ozke spektralne črte značilno za lasersko delovanje. Menda je bil
njegov prvi rubinov kristal razmeroma majhen in optično ni bil neoporečen.
Z drugim kristalom v obliki paličke z dolžino okoli 10 cm pa je pozneje opa-
zoval zožitev. Maiman tudi ni omenil, da se je v odvisnosti moči v sunku
od časa pokazalo veliko ostrih zob. Sicer jih je opazil, a je mislil, da gre
za posebnost merilne naprave. V Bellovih laboratorijih so ugotovili, da so
to relaksacijska nihanja, ki so značilna za lasersko delovanje. Kaže, da sta
Maiman in družba Hughes pohitela z objavo, da ju ne bi kdo prehitel. Nekaj
časa je nad Maimanovim odkritjem ležala senca in med družbo Hughes in
Bellovimi laboratoriji je prǐslo do napetosti. Čez čas so se nasprotja polegla
in so Maimanu priznali prvenstvo. Po petdesetih letih so poskusili razčistiti
odnos Bellovih laboratorijev do Maimanovega odkritja in Maimanu dati dol-
žno priznanje [4]. Urednǐstvo Physics Today pa je po napaki v uvodu članka
dodalo,
”
da je delo v Bellovih laboratorijih poleti 1960 vodilo k ustvaritvi
prvega rubinskega laserja“. V pismih se je pet bralcev zavzelo za Maimana
[6]. Eden od njih je zapisal, da je spoznal,
”
kako umazan je lahko napredek
v fiziki“.
Helij-neonski laser
Drugo raziskovalno skupino v Bellovih laboratorijih je vodil Ali M. Ja-
van, ki je doktoriral pri Townesu, nekaj časa sodeloval z njim, potem pa
leta 1958 postal član laboratorijev. Javan je stavil na plinski laser. Po
premisleku je izbral mešanico helija in neona in o tem poročal. Z njim sta
sodelovala William R. Bennett in Donald R. Heriot. Kaže, da so si vzeli več
časa, čeprav tudi pri njih ni šlo brez težav. Končni poskus so izvedli sredi
decembra 1960. Steklene dele naprav so pred poskusom dlje časa segrevali,
da so izgnali adsorbirane primesi. Pred poskusom so cev napolnili z meša-
nico helija in neona v določenem razmerju. Cev so priključili na enosmerno
napetost in po plinu pognali tok. Dobili so zelo ozek rdeč laserski curek
z zelo ozko spektralno črto, kar je pričalo o laserskem delovanju. To je bil
prvi plinski laser in prvi laser z neprekinjenim delovanjem. Članek Obrnjena
zasedenost in neprekinjeno optično masersko nihanje v električnem toku po
plinu, ki vsebuje mešanico helija in neona je izšel februarja 1961, ko so tudi
priredili tiskovno konferenco. Javan in Bennett sta ta laser patentirala.
Helij-neonski laser izkorǐsča prehode med štirimi stanji. V cevi s preme-
104 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
Petdesetletnica laserjev
Slika 3. Poenostavljena risba kaže zgradbo helij-neonskega laserja (levo): PC plinska
cevka z mešanico helija in neona pri nizkem tlaku, Z1 krogelno zrcalo, Z2 krogelno zrcalo,
ki prepušča majhen del vpadne svetlobe. Stranski steni sta nagnjeni pod Brewstrovim
kotom. Risba kaže prehode med stanji (desno). Levi del zadeva stanje atoma helija, desni
pa stanje atoma neona: (1) po trku z elektronom helijev atom preide v vzbujeno stanje,
iz katerega ne more preiti s sevanjem, (2) pri trku z atomom helija atom neona preide
v stanje z energijo okoli 20 eV, (3) prehod s stimuliranim sevanjem v stanje z manǰso
energijo, (4) prehod s spontanim sevanjem v stanje s še manǰso energijo, (5) prehod v
osnovno stanje ob trku atoma s steno posode. Narisana so stanja, pomembna za sevanje
laserja pri valovni dolžini 632,8 nm. Razbrati je mogoče, da helij-neonski laser uporablja
štiri stanja.
rom okoli centimetra in dolžino do metra je mešanica plinov pri tlaku okoli
milibara. Navadno je sedem do desetkrat več neona kot helija. Pri trkih z
elektroni nekateri atomi helija iz osnovnega stanja preidejo v vzbujeno sta-
nje, iz katerega lahko preidejo le ob trkih. Pri trku atom neona prevzame
energijo od atoma helija. Vlogo črpanja prevzamejo torej trki med atomi.
Tako nastane obrnjena zasedenost med sosednjima stanjema atoma neona.
Na začetku kak neonov atom spontano seva. Valovanje po plinu potuje sem
in tja med krogelnima zrcaloma, ki sta zunaj cevi. Cev ima okenca, ki po
Brewstrovem zakonu prepuščajo valovanje z jakostjo električnega polja v
vpadni ravnini. Valovanje s pravo smerjo in polarizacijo povzroča stimuli-
97–106 105
Janez Strnad
rano sevanje drugih neonovih atomov in sevanje se ojačuje. Eno od zrcal
prepušča majhen del valovanja.
1900 1950 2000 2010
T. H. MAIMAN (1927 do 2007)
A. M. JAVAN (rojen 1926)
N. G. BASOV (1922 do 2001)
A. L. SCHAWLOW (1921 do 1999)
G. GOULD (1920 do 2005)
A. M. PROHOROV (1916 do 2002)
C. H. TOWNES (rojen 1915)
Slika 4.
”
Tekme za laser“ se je udeležilo veliko raziskovalcev iz različnih družb in ustanov.
Glavne navaja preglednica. Leta 1964 so
”
za temeljno delo v kvantni elektroniki, ki je
pripeljalo do izdelave oscilatorjev in ojačevalnikov na osnovi masersko-laserskega načela“,
dobili Nobelovo nagrado Townes (polovico) ter Basov in Prohorov (po četrtino), leta 1981
pa Schawlow in Nicolaas Bloembergen
”
za prispevek k razvoju laserske spektroskopije“.
Na prehodu med letoma 1960 in 1961 je delovalo že pet vrst laserjev.
Kmalu se je število različnih vrst laserjev še povečalo. Leta 1962 so izdelali
prvi polprevodnǐski laser. Ti laserji ali laserske diode so v naslednjih letih
doživeli hiter razvoj in jih danes v vsakdanjem življenju največ uporabljamo
v zapisovalnikih in čitalnikih plošč DVD in CD, laserskih tiskalnikih, mikro-
fonih in kazalnikih, merilnikih razdalj ter čitalnikih črtne kode pri blagajnah
trgovin.
LITERATURA
[1] M. Čopič, Zakaj je laserski curek ozek in enobarven?, Obozrnik mat. fiz. 36 (1989) 1,
str. 13–23.
[2] S. Poberaj, Maserji, Obzornik mat. fiz. 7 (1960) 3, str. 108–115.
[3] J. L. Bromberg, The Birth of the Laser, Phys. Today 41 (1988) 10, str. 26–33.
[4] D. F. Nelson, R. J. Collins in W. Kaiser, Bell Labs and the ruby laser, Phys. To-
day 63 (2010) 1, str. 40–45; in drugi članki v posebni številki Physics Today.
[5] S. Perkowitz, From ray-gun to Blu-ray, Phys. World 23 (2010) 5, str. 16–20; in drugi
članki v posebni številki Physics World.
[6] J. Hecht, R. F. Wuerker, I. D. Abella, V. Evtuhov in D. Langenberg, More light on
ruby laser’s history, Phys. Today 63 (2010) 5, str. 8–10.
106 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 107 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Sylvia Englert in Stefan Jäger: CAFÉ ANDROMEDA – EINE
FANTASTISCHE REISE DURCH DIE MODERNE PHYSIK,
Campus Verlag, Frankfurt/New York, 2003, 208 strani.
Svobodna pisateljica in časnikarka Sylvia
Englert je v Frankfurtu študirala germani-
stiko, anglistiko in amerikanistiko ter prosto-
voljno delala kot lektorica pri neki založbi.
Urejala je tudi spletno revijo, ki objavlja
prispevke o spremembah v gospodarstvu in
družbi. Živi blizu Münchna in je avtorica
številnih knjig, namenjenih predvsem mla-
dim bralcem. Nekatere je izdala pod psev-
donimom Katja Brandis. Ukvarja se tudi z
mladimi in odraslimi, ki radi pǐsejo, jim pri-
reja delavnice, jim bere in predava.
Stefan Jäger je študiral fiziko, doktoriral
iz fizike, nato pa je nekaj časa vodil fizikalne
vaje in praktikum na univerzi v Berlinu, na-
zadnje pa se je izpopolnjeval še na kalifor-
nijski univerzi v Santa Cruzu. Sedaj dela na razvojnem in raziskovalnem
oddelku pri neki biotehnološki firmi v Hamburgu.
Glavna junaka v ves čas napeti znanstveno fantazijski zgodbi sta Jan
in Miri, brat in sestra dvojčka iz preproste družine. Jan ima v šoli težave
s fiziko in bi mu ravno prav prǐsel kakšen temeljit in celovit pregled čez ta
predmet. Kot da težav v šoli še ni dovolj, Jan v svoji trenutni nespameti
stavi s sošolcem za svoj težko prigarani osebni računalnik, da bo na nasle-
dnjem testu iz fizike zbral 13 točk. Sam pri sebi sklene, da sošolec njegovega
računalnika nikakor ne sme dobiti. Priložnost, da se temeljito nauči fiziko,
pa se mu kmalu ponudi kar sama od sebe.
Na nekem večernem sprehodu po mestu se Jan in Miri nehote znajdeta
na krovu vesoljske ladje Magellanus, ki je pristala v parku njunega mesta, in
jo upravlja prijazni, sicer pa malo zmedeni kapitan Andy Zero, mladi fizik,
tudi konstruktor hitrih vesoljskih plovil, sicer rojen daleč v vesolju in brez
vsakršnega državljanstva. Magellanus je seveda opremljena z najnoveǰso
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3 107
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 108 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
tehnologijo. Andy se sicer najraje zadržuje na vesoljski postaji Alpuri, ki
ima svojo orbito nekje v ozvezdju Kentaver. Raziskuje veliko enotno teorijo.
Na Zemlji, kjer je pristal, pa ravno preizkuša delovanje svojega fototunela,
skozi katerega dvojčka popolnoma nepričakovano prestavi na Magellanus
in v prihodnost, v 23. stoletje. Andy ju vzame s sabo na potovanje skozi
prostor in čas. Na krovu vesoljske ladje se neposredno seznanita s teorijo
relativnosti, Dopplerjevim pojavom, podalǰsanjem časa, skraǰsanjem dol-
žin, entropijo ter enakovrednostjo mase in energije. Jan in Miri mimogrede
izvesta tudi veliko stvari o Einsteinu, Heisenbergu, Pauliju in drugih po-
membnih fizikih. S tem pravzaprav začneta svoj znanstveni sprehod po
moderni fiziki. Pri tem imata priložnost pogledati osnovne delce, spoznati
načelo nedoločenosti, kvarke, superprevodnost, teorijo strun, supernove, ro-
jevanje in umiranje zvezd, črne luknje, prapok, nastanek vesolja in sevanje
ozadja. Dano jima je, da vse to doživita v svoji neposredni bližini in da
obenem spoznata, kako so fizikalni pojavi med seboj povezani.
Da bi bila zgodba še bolj zanimiva, poskrbi prof. Dillitzer, ki je Andyju
nadrejen in ki se s svojo raziskovalno skupino tudi ukvarja s podobnimi pro-
blemi kot Andy, predvsem pa ga zanimata teorija osnovnih delcev in teorija
strun. Njuni interesi si pogosto nasprotujejo. Dillitzer ima za raziskovanje
na voljo tudi veliko denarja, bolǰso opremo kot Andy in se lahko pohvali, da
je zelo zanimiv za medije. Prav tako kot Andy potuje po vesolju s svojim
plovilom in si zelo prizadeva, da bi postal minister za znanost, kar je druga
najpomembneǰsa funkcija medzvezdnega združenja, takoj za predsednikom.
Zemljanom pa ni ravno naklonjen. Oba znanstvenika zaideta s svojima plo-
viloma preblizu neke črne luknje, kjer je Dillitzer pogubljen, Andyju pa z
dvojčkoma vred uspe z zadnjimi močmi ubežati iz objema silne težnosti.
Ves čas napeta, tu in tam pa tudi šaljiva zgodba se konča s pristankom
v domačem parku in Andy dvojčka skozi fototunel spet postavi v sedanjost,
torej na začetek 21. stoletja. Jan, sedaj poln fizikalnega znanja, zelo dobro
pǐse naslednji test iz fizike, toda za eno točko premalo, da bi dobil stavo.
Tako je ob svoj osebni računalnik, za katerega pa z očetom tako in tako
ugotovita, da je že zastarel in je potreben zamenjave.
Naslov je knjiga dobila po Kavarni Andromeda na vesoljski postaji Al-
puri. V tej po vsem širnem vesolju znani kavarni, ki je Andyju nekakšna
domača krčma, se radi zadržujejo vesoljski popotniki, učenjaki in bitja nečlo-
veškega izvora. Ob umetno pridobljeni hrani in pijači pogosto razpravljajo o
raznih fizikalnih teorijah in svojih doživetjih po vesolju. Kavarna je v veliki
108 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 109 — #3 i
i
i
i
i
i
Café Andromeda
stekleni krogli, kjer ne veljajo zakoni težnosti.
Zgodba shaja brez matematike, zapletenih formul in fizikalnih konstant.
Pogosto je omenjena samo svetlobna hitrost. Fizikalne pojave poskuša ra-
zložiti tako, da se opira na nekaj najbolj razumljivih fizikalnih zakonov.
Nekoliko bolj strokovne razlage so zapisane v posebej označenih blokih, na
primer kratki pregledi del nekaterih fizikov. Knjiga je tudi lepo ilustrirana
in oblikovana.
Na koncu so še razlage manj znanih besed, ki se uporabljajo v knjigi,
denimo, kaj je absolutna ničla, antimaterija, Paulijevo načelo. Nato sledita
stvarno kazalo in priporočena literatura za nadaljnje branje.
Knjiga naj bi mladim pomagala k bolǰsemu razumevanju teorije relativ-
nosti in kvantne fizike, brez katerih si ne moremo več zamǐsljati sodobne
znanosti. Teoriji namreč presegata okvire klasične fizike, ki jim je še nekako
razumljiva, saj jo pravzaprav srečujejo v vsakdanjem življenju. Do težav pa
pride, ko se je treba spopasti s fizikalnimi problemi, ki niso več v dosegu kla-
sične fizike in tudi vsakdanje izkušnje nič več ne pomagajo. Prav tako naj bi
knjiga mladim utirala pot v teorijo osnovnih delcev in kvarkov, vsaj bežno
naj bi spoznali teorijo strun in veliko enotno teorijo, izvedeli naj bi za razvoj
zvezd, črne luknje, prapok in še kaj. Fizikalni pojavi marsikomu od mladih
vzbudijo veliko občudovanje in knjiga Kavarna Andromeda jim za začetek
lahko dobro pomaga, da jih tudi bolje razumejo. Navsezadnje lahko knjigo,
ki kar dobro ustreza stanju sodobne znanosti, bere vsak tudi kar tako, za
splošno izobrazbo, če ga le fizika in kozmologija vsaj malo zanimata.
Da bi zgodba sploh lahko potekala tako, kot sta si avtorja zamislila, sta
namenoma uporabila nekaj neznanstvenih prijemov, vsaj s stalǐsča današnje
fizike. Fototunela, ki omogoča udobno potovanje v prostoru in času, najbrž
nikoli ne bo. Prav tako so malo verjetna velika kvantna in druga nezemeljska
bitja, ki nastopajo v zgodbi, pa tudi možnosti približevanja črnim luknjam
in žarečim nebesnim telesom v zaščitni opremi, kakršna je opisana v knjigi.
Sicer pa so fizikalni in drugi pojavi opisani znanstveno korektno, tako
da ne bi smelo biti nikomur žal, če bo knjigo prebral od začetka do konca.
Upajmo, da bomo Kavarno Andromeda (Fantastično potovanje po moderni
fiziki) kmalu dobili tudi v slovenskem prevodu.
Marko Razpet
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3 109
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 110 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Gudrun Schury: WER NICHT SUCHT, DER FINDET – ZU-
FALLSENTDECKUNGEN IN DER WISSENSCHAFT, Campus
Verlag, Frankfurt/New York 2006, 200 strani.
Avtorica Gudrun Schury je študirala no-
veǰso nemško literarno znanost in umetno-
stno zgodovino ter več let delala za Bavarsko
akademijo znanosti. Dandanes je svobodna
umetnica, dobra poznavalka Goetheja, lek-
torica in zunanja predavateljica na univerzi
v Bambergu.
Nedvomno se lahko zahvalimo za odkri-
tja, izume, znanje in napredek človeštva ve-
likim znanstvenikom, inštitutom, šolam in
drugim ustanovam, toda ne smemo poza-
biti, da sta včasih pri tem igrala pomembno
vlogo tudi sreča ali naključje. Kljub temu
da niso vsa odkritja v znanosti in umetno-
sti, opisana v knjigi Kdor ne ǐsče, ta najde
(Naključna odkritja v znanosti), povezana z
matematiko, fiziko in astronomijo, si na kratko oglejmo vsako posebej.
1. Pripovedovanje se prične s potovanjem treh princev iz Serendipa. Be-
seda Serendip je perzijska in je nastala iz sanskrtske besede za otok Cejlon,
dandanes Srilanka. Kralj je poslal svoje tri sinove po svetu, da bi spoznali
tuje dežele, ljudi in njihove kulture. Na svoji poti so doživeli marsikaj pri-
jetnega, pa tudi neprijetnega, toda s svojo modrostjo in znanjem ter zlasti
zaradi ugodnih naključij so obvladali vse težave in nazadnje se je vse srečno
končalo. Iz te zgodbe je nastala angleška beseda serendipity, ki velja za eno
najteže prevedljivih, pomeni pa lahko odkritje nečesa po golem naključju,
ko se to najmanj pričakuje.
2. Rodoški kiparji so prizor smrti trojanskega svečenika Laokoonta in nje-
govih dveh sinov upodobili v kamnu v prvem stoletju pred našim štetjem.
Skulpturo, znano kot Laokoontova skupina, so Rimljani odpeljali v mesto
na sedmerih gričih, kjer jo je še videl in opisal Plinij Stareǰsi (23–79), nato
pa se je za njo izgubila vsaka sled. V začetku 16. stoletja pa so jo popol-
noma slučajno našli v nekem vinogradu na rimskem griču Eskvilin. Knjiga
natančno opisuje, kaj se je z najdbo dogajalo kasneje.
110 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 111 — #5 i
i
i
i
i
i
Wer nicht sucht, der findet
3. Sledi znana zgodba, kako je Isaac Newton (1643–1727) začel razmǐsljati
o težnosti, potem ko je bilo padlo na tla jabolko z jablane, pod katero
je počival. Rezultat njegovega razmǐsljanja o tem, zakaj jabolko pade z
drevesa, je splošni gravitacijski zakon.
4. Največji nemški pesnik Johann Wolfgang von Goethe (1749–1832) ni
bil samo besedni umetnik, ampak se je med drugim zanimal tudi za anato-
mijo. Na beneškem židovskem pokopalǐsču mu je popolnoma slučajno prǐsla
v roke ovčja, v besedilu koštrunja lobanja. Na njej je opazil kost, ki ji pra-
vimo medčeljustnica, Nemci pa pogosto kar Goetheknochen – Goethejeva
kost, latinsko os incisivum. Medčeljustnico imajo vretenčarji med zgornjima
čeljustma. Pri nekaterih, vključno s človekom, se že pred rojstvom popol-
noma zraste z okolico, tako da šivi niso več vidni, pri preostalih pa šivi
ostanejo vse življenje.
5. Napoleonova vojska, ki jo je spremljala tudi skupina znanstvenikov, je
za kratek čas zasedla Egipt z namero, da bi od tam Francozi sčasoma osvo-
jili Indijo, ki je bila takrat angleška kolonija. V pristanǐsču ElRašid, tudi
Rosetta, v Nilovi delti so vojaki povsem po naključju odkrili kamen, na
katerem je vklesano neko besedilo v demotski, hieroglifski in grški pisavi.
Francoski jezikoslovec Jean-François Champollion (1790–1832) je s svojim
talentom in znanjem orientalskih jezikov ter s primerjavo zapisov besed Kle-
opatra in Ptolemaj na nekem obelisku, kamna iz Rosette in drugih zapisov
razvozlal hieroglifsko pisavo.
6. Znamenito kölnsko gotsko katedralo, eno največjih na svetu, so pričeli
graditi že v 13. stoletju, toda gradnja je napredovala počasi, ker so bile vmes
vojne ter druge težave. Dogajalo se je, da je bila gradnja prekinjena za
dalǰsi čas. Izgubljali pa so se celo načrti. Pogrešali so zlasti načrt pogleda
na fasado od tal do najvǐsjih konic zvonikov. Spet se je treba zahvaliti
zgolj naključju, da so ga našli, in to na pergamentu v dveh delih, vsakega
v drugem kraju. Tako so leta 1880 lahko kölnsko katedralo dokončali po
srednjeveških načrtih.
7. Louis Daguerre (1787–1851) je bil spočetka scenski slikar, ki pa je izumil
praktično uporaben postopek za izdelavo trajnih fotografij. Nekega dne se je
med fotografiranjem zaradi slabega vremena nenadoma tako zelo stemnilo,
da je ekspozicijo, ki je bila takrat dolga do osem ur, bil prisiljen prekiniti.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3 111
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 112 — #6 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Bakreno fotografsko ploščo pa je odložil v laboratorijsko omaro, v kateri je
hranil razne kemikalije. Čez nekaj časa je Daguerre opazil na plošči razločno
sliko, čeprav je bila ekspozicija kratka. Po dalǰsem eksperimentiranju je
ugotovil, da so za nastanek slike krive kapljice živega srebra, ki so se najbrž
od kakega razbitega termometra poskrile v špranje omare.
8. Besedilo neke velikonočne odrske igre so v knjižnici švicarskega samo-
stana Muri našli v hrbtu Biblije, natisnjene leta 1466 v latinščini. Potem
ko igre niso več uprizarjali, so namreč dragoceni pergament, na katerem
je bilo napisano besedilo, razrezali in uporabili za ojačenje hrbta omenjene
Biblije. Sredi 19. stoletja so slučajno odkrili, da je bilo v hrbtu Biblije
skrito besedilo, ki je neprecenljive vrednosti za zgodovino nemškega jezika.
9. Wilhelm C. Röntgen (1845–1923) je naključno odkril po njem imeno-
vane rentgenske žarke, katerih uporabnost nam je dobro znana. Röntgen
je eksperimentiral s katodno cevjo in katodnimi žarki. Nekega dne je čisto
slučajno opazil, da se je na mizi, potem ko je bil vklopil aparaturo, zasvetil
papir, ki je bil premazan z neko soljo. Po vseh zakonih optike bi se to ne
smelo zgoditi, ker je bil vmes črn zaslon. Prǐsel je do sklepa, da katodna cev
oddaja žarke, ki prodrejo skozi zaslon. Za svoje odkritje je leta 1901 prejel
prvo Nobelovo nagrado za fiziko.
10. Britanski raziskovalec Hary H. Johnston (1858–1927) je živel nekaj
časa tudi med Pigmejci v Kongu. Opazil je, da so nekateri nosili oblačila,
ki so bila narejena iz kože neke njemu neznane živali. Ko so mu pokazali to
bitje, je ugotovil, da gre za do takrat zadnjega neznanega sesalca, ki so mu
domačini rekli okapi. Danes je okapi (Okapia johnstoni) ogrožena živalska
vrsta.
11. Alexander Fleming (1881–1955) je delal na neki kliniki na bakteriolo-
škem oddelku. Poleti leta 1928 je odšel na dopust in pozabil na bakterije v
neki petrijevki. Ko se je vrnil, je opazil, da se je v njej nabrala plast plesni,
ki je izločala snov, zaradi katere so bakterije v bližini izginile. Tako je bil po
golem naključju odkrit penicilin, prvi antibiotik. Fleming si je leta 1945 še
z dvema farmakologoma delil Nobelovo nagrado za fiziologijo ali medicino.
12. Ribiči so v bližini ustja reke Chalumna leta 1938 iz Indijskega oceana
potegnili na suho neko nenavadno ribo, ki bi morala po mnenju znanstve-
nikov izumreti že pred več ko 60 milijoni let. V pristanǐsču East London
112 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 113 — #7 i
i
i
i
i
i
Wer nicht sucht, der findet
v Južni Afriki so jo oddali Marjorie Courtenay–Latimer (1907–2004), skrb-
nici tamkaǰsnjega muzeja. V resnici pa je riba živi fosil, resoplavutarica
(Latimeria chalumnae).
13. Stikljivost se včasih izplača. Tako so na primer nekega dne leta 1940
mladeniči v votlini Lascaux v francoskem departmaju Dordogne odkrili na
stenah čudovite poslikave, ki jih je ustvaril jamski človek v sivi davnini.
Risbe zelo realistično upodabljajo živali v gibanju.
Prav tako je neki beduin, ki je konec leta 1946 ali v začetku leta 1947
iskal izgubljeno kozo, zašel v neko votlino ob Mrtvem morju. V njej je našel
vrče, v njih pa zvitke z rokopisi, ki jim danes pravimo kumranski rokopisi.
Začela se je njihova burna noveǰsa zgodovina: prekupčevanje, preučevanje
in prevajanje.
14. Arno A. Penzias in Robert W. Wilson sta v slovitih Bellovih labora-
torijih v ZDA raziskovala šum, ki prihaja iz vesolja in naj bi motil sprejem
radijskega signala z umetnih satelitov. Z veliko anteno v obliki roga sta
nepričakovano odkrila sevanje valovne dolžine 7,35 cm, ki prihaja iz vseh
smeri vesolja enako. S tem sta si prislužila leta 1978 Nobelovo nagrado za
fiziko. Pojav so kasneje razložili kot posledico prapoka (Big Bang).
15. Povsem po naključju so na Kitajskem leta 1974 odkrili še eno sve-
tovno čudo: glineno armado kitajskega cesarja Qin Shi Huangdija (3. sto-
letje pr. n. št.), vojake in njihove poveljnike, konje, bojno opremo z vsemi
podrobnostmi v naravni velikosti.
16. V Alpah so na nekem ledeniku naključni planinci leta 1991 našli po-
smrtne ostanke moža. Dali so mu ime Ötzi. Izkazalo se je, da je pokojni
iz mlaǰse kamene dobe. Pomembno je tudi to, da je njegovo truplo dobro
ohranjeno, prav tako oblačila, obutev in lovska oprema.
17. Zadnja zgodba v knjigi pripoveduje o razvpitem romanu Lolita, ki ga
je napisal rusko-amerǐski pisatelj Vladimir V. Nabokov (1899–1977). Nekega
dne je bil tik pred tem, da sežge še nedokončani roman, toda namero mu
je preprečila žena Vera, tako da je delo vendarle izšlo leta 1955. Nato sledi
razprava o originalnosti romana, kajti nemški pisatelj Heinz von Lichberg
(1890–1951) je leta 1916 tudi objavil podobno zgodbo z enakim naslovom.
Ali je morda šlo spet za naključje?
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3 113
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 114 — #8 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
q
V dodatku knjige je seznam manj znanih besed z razlago, seznam citatov
in ilustracij ter priporočena literatura za nadaljnje branje. Knjiga v lahko-
tnem slogu, pa kljub temu izčrpno opisuje posamezne dogodke in bi morala
pritegniti tako radovedne mlade kot tudi stareǰse bralce, ki so morda že malo
pozabili, kaj so se nekoč učili v šoli, in jim nuditi obilo umetnǐskih in znan-
stvenih užitkov. Navsezadnje opisani dogodki spadajo v splošno izobrazbo.
Upajmo, da bomo knjigo kmalu dobili tudi v slovenskem prevodu.
Marko Razpet
Zbigniew Michalewicz in Matthew Michalewicz: PUZZLE-BA-
SED LEARNING – AN INTRODUCTION TO CRITICAL
THINKING, MATHEMATICS, AND PROBLEM SOLVING,
Hybrid Publishers, Melbourne 2008, 328 strani.
Ta simpatična knjiga prinaša predvsem
množico lepo urejenih in izvrstno komenti-
ranih rešenih ugank. Večina knjige je ra-
zumljiva tudi ljudem z minimalnim mate-
matičnim znanjem. Na področju verjetnosti
in statistike pa pri nekaterih nalogah bralcu
ne bi škodilo nekaj predznanja. Seveda so
mnoge uganke klasične: avtorja ne skrivata,
kje sta si jih izposodila. Pisca na več me-
stih poudarjata, kako pomembna je precizna
formulacija uganke. Upata, da bo ta knjiga
pripomogla k bolǰsemu izražanju. Na koncu
je tudi nekaj nalog brez rešitve.
Peter Legǐsa
Loren Graham in Jean-Michel Kantor: NAMING INFINITY –
A TRUE STORY OF RELIGIOUS MYSTICISM AND MATHE-
MATICAL CREATIVITY, The Belknap Press of Harvard Uni-
versity Press, Cambridge 2009, 239 strani.
To nenavadno knjigo sta napisala amerǐski zgodovinar znanosti L. Gra-
ham in francoski matematik J.-M. Kantor. Prvi je zaslužni profesor na MIT
in je študiral v Moskvi, drugi je tudi zgodovinar in esejist. Opisana doga-
114 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 115 — #9 i
i
i
i
i
i
Naming infinity
janja so večkrat tako presenetljiva, šokantna
in grozljiva, da sem pred pisanjem recenzije
nekatere stvari preverjal v drugih virih. Na-
slovnica kaže portret dveh sprehajalcev. To
sta matematik, filozof in teolog Pavel Ale-
ksandrovi£ Florenski (1882–1937) in ekono-
mist ter filozof S. N. Bulgakov, ki je bil prav
tako duhovnik, čeprav je na sliki v civilni
obleki. Mati Florenskega je bila iz ugledne
armenske družine. Florenski je končal štu-
dij matematike na Moskovski univerzi, nato
pa se je preusmeril v teologijo, postal pravo-
slavni duhovnik, teolog, bogoslovni profesor
– in izumitelj. Imel je pet otrok. Florenski
očitno še danes velja za pomembnega religio-
znega pisca, saj so bila nekatera njegova dela
nedolgo tega prevedena tudi v slovenščino (kot lahko preberemo v slovenski
Wikipediji).
Filozofsko-religiozni spisi Florenskega so bili priljubljeno branje Dimi-
trija Jegorova (1869–1930), profesorja matematike na Moskovski univerzi.
Jegorov (Egorov v angleški transkripciji) je znan po izreku iz teorije mere.
Imel je odlične stike z evropskim Zahodom in je svoje učence usmeril v naj-
noveǰse probleme. Njegov najbolǰsi doktorand je bil Nikolaj Luzin (1883–
1950). Luzinova babica je bila iz naroda Burjatov (ti živijo v okolici Baj-
kalskega jezera). Luzina je obojestransko nasilje v neuspeli revoluciji leta
1905 in po njej spravilo v globoko osebno krizo. Čeprav ga je Jegorov poslal
v Pariz, kjer je trdo in uspešno delal, je bil še zmeraj nesrečen. Po lastnih
besedah so ga iz krize rešila prav prej omenjena religiozna dela njegovega
prijatelja iz študijskih let Florenskega, ki je bil verjetno precej sugestiven
človek.
Luzin je bil sicer očitno šarmantna osebnost in je znal mlade nadarjene
ljudi navdušiti za raziskovanje. Ni poznal razlike med službenim in zaseb-
nim časom. Skupaj z Jegorovom sta zbirala matematike, umetnike in druge
izobražence tudi na domu. On in Jegorov sta predsedovala neformalnemu
matematičnemu seminarju in društvu Luzitanija, ki je bilo nekaj časa pravi
vrelec idej. Jegorov in Luzin sta bila mentorja več svetovno znanim matema-
tikom in veljata za začetnika moskovske matematične šole. Oba profesorja
sta bila, kot rečeno, globoko verna in sta skupaj s Florenskim pripadala v
mistiko usmerjenemu in napol razkolnǐskemu gibanju častilcev imena; rusko
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3 115
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 116 — #10 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
ime za njihovo usmeritev je imjaslavje.
Usoda te trojice: Luzin, Jegorov, Florenski je glavna nit pripovedi. Obe-
nem pa knjiga delo ruske trojice povezuje s trojico slavnih francoskih ma-
tematikov. To so: Émile Borel (1871–1956), Henri Lebesgue (1875–1941)
in René Baire (1874–1932). Vsi trije so šli skozi francoski šolski sistem, ki
je nadarjenim in pridnim učencem – ne glede na poreklo – omogočal vpis v
dobre liceje, najbolǰsim maturantom, ki so se izkazali tudi s trdim delom, pa
vpis v elitne visoke šole. Knjiga plastično predstavi tudi te tri znanstvenike
in njihove zapletene odnose.
Borel je bil vsestransko nadarjen in neverjetno aktiven človek: univer-
zitetni profesor, ravnatelj elitne École Normale Supérieure, novinar, župan
malega mesta, izdajatelj radikalne revije, vodja znanstvenih in tehničnih
služb vojnega ministrstva med prvo svetovno vojno. Kot aktivista Odpora
med drugo svetovno vojno ga je zaprl Gestapo.
Lebesgueov oče je bil stavec, ki je umrl zaradi tuberkuloze. Lebesgueova
mati je neutrudno delala, da bi izredno nadarjenemu, a bolehnemu sinu
omogočila šolanje. Lebesgue je rad organiziral kako potegavščino.
Baire je izšel iz zelo revnih razmer; njegov oče je bil krojač. Bil je bolehen
in psihično labilen. Ni blestel na ustnih izpitih, deloma zato, ker ni hotel
ponavljati stvari, ki so se mu zdele problematične. Tako je najprej poučeval
kot profesor v srednji šoli, kar je oviralo njegovo raziskovanje. Počutil se
je zmeraj bolj odrinjenega in zapostavljenega v primerjavi z Lebesgueom.
Dobil je štipendijo za študij v Italiji, pri znanem matematiku Vitu Volterri.
Kasneje so prǐsle zaposlitve na univerzah v provinci. Pogosto ni mogel delati,
predvsem zaradi psihičnih težav. Proti koncu kariere je doživel priznanje:
postal je vitez častne legije in član Akademije znanosti. Vseeno je umrl
tragično in v denarnih težavah.
Bralci bodo sami presodili, koliko jih prepriča glavna teza te knjige: da
je namreč poudarjanje pomena imenovanja idej, značilno za častilce imena,
pomagalo članom ruske skupine, da so laže prodrli v vse večjo abstrakcijo
teorije množic in z njo povezane matematike. Medtem pa naj bi francoski
matematiki zaradi bolj racionalne usmeritve in poudarjanja uporabe mate-
matike na tem področju za nekaj časa zastali.
Kot pravi knjiga, pa so tudi misticizmu nasprotni nazori včasih imeli
pozitiven rezultat. Peterburški profesor Andrej Markov (1856–1922), ateist,
ki mu je mešanje matematike, teologije in filozofije šlo na živce, je hotel
spodbiti nekatere tovrstne ideje na področju verjetnosti in je tako dobil
dodatno spodbudo za definicijo markovske verige.
Knjiga opisuje žalostno usodo ruske trojice v času stalinizma. Sicer
116 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 117 — #11 i
i
i
i
i
i
Naming infinity
zadržanega Jegorova, ki je mirno vztrajal pri svojih prepričanjih, so najprej
kot reakcionarja javno kritizirali njegovi študenti in kolegi, nato je bil skupaj
z mnogimi drugimi vernimi izobraženci leta 1930 zaprt. V zaporu so ga
šikanirali zaradi vsakodnevne molitve, zato je gladovno stavkal in po nekaj
tednih umrl.
Florenski je tudi v sovjetskih časih trmasto vztrajal v halji pravoslavnega
duhovnika in tako oblečen nastopal na znanstvenih kongresih. To je bilo
zelo nevarno, saj je marksistična ideologija učila, da sta vera in znanost
sovražnici. Po prvi aretaciji so ga zaradi uspešnega dela za sovjetsko vojaško
industrijo izpustili. Zanj je posredovala tudi žena Maksima Gorkega, češ da
bodo njegovi talenti uporabni za elektrifikacijo Sovjetske zveze. Leta 1933
so ga zaradi monografije o geometrični interpretaciji teorije relativnosti, v
katero je vključil nekaj mističnih opazk, obsodili na deset let prisilnega dela
in poslali najprej v taborǐsče na Daljni vzhod, nato v eno najbolj groznih
taborǐsč na skrajnem severu. Tudi tu je poskušal biti koristen in je uspešno
ekstrahiral jod iz morskih alg. A podtaknjen ovaduh ga je prijavil zaradi
povsem nedolžnih trditev. Leta 1937 so ga izvensodno usmrtili.
Edino Luzin, ki je pod sovjetsko oblastjo skrival svoje versko prepri-
čanje, je ostal na prostosti. Vendar je pred tem doživel zrežirano gonjo,
v kateri so aktivno sodelovali številni njegovi učenci, tudi svetovno znani
matematiki. Francoski kolegi so skušali diskretno posredovati v Luzinovo
korist. Kot pravi knjiga, nekateri levičarji, med njimi na primer Jacques Ha-
damard, peticije v obrambo Luzina niso hoteli podpisati. Luzinovo prostost
(in verjetno tudi življenje) je skoraj zanesljivo rešila zakulisna intervencija
fizika Pjotra Kapice. Ta je pisal Molotovu, ki je pismo posredoval Stalinu.
V pismu je Kapica zapisal, da je Luzin kot matematik za Sovjetsko zvezo
tako dragocen, da morajo njegove talente izkoristiti v dobro države. Kapica
je nadaljeval takole:
Newton, ki nam je dal gravitacijski zakon, je bil verski obsedenec.
Cardano, ki nam je dal velika mehanična1 in matematična odkritja,
je bil pijanec in razuzdanec. Kaj bi naredili z njima, če bi živela v
Sovjetski zvezi?
Kapica se je očitno znal spustiti na raven Stalina, Molotova . . . Ta odlični
fizik je rešil življenje še več drugim znanstvenikom, njegove nasvete pa je
vodstvo države presenetljivo pogosto upoštevalo. Luzinovo življenje je bilo
kljub temu napol uničeno. Iz strahu in s tem povezanih psihičnih težav je
1kardanski zglob (op. prev.)
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3 117
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 118 — #12 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
veliko časa preživel po sanatorijih. Imel je nezakonskega otroka z bolnǐsko
sestro.
Knjiga je zelo zanimivo, večkrat šokantno branje. Verjetno bodo ne-
kateri le na hitro preleteli dele, ki so bolj filozofsko obarvani. Opisane so
nekatere druge tragične usode, denimo, kako je ruski topolog judovskega
porekla Pavel Uryson utonil med plavanjem v viharnem morju v Bretanji v
starosti komaj šestindvajset let. Na koncu je predstavljena svetla podoba
matematika Nikolaja ƒebotarjova (1894–1947) in njegove enako pogumne in
požrtvovalne žene. Čebotarjov, ki je bil veteran Rdeče armade, ni hotel pre-
vzeti profesorskega mesta Jegorova, čeprav se, kolikor je znano, ni strinjal
z njegovimi verskimi prepričanji. To načelno dejanje mu je za nekaj časa
uničilo kariero, njegovi ženi, ki ga je podprla, pa otežilo študij medicine. Ko
je nazadnje le dobil mesto na univerzi v Kazanu, je žena zdravnica po ne-
verjetnem spletu okolǐsčin dobila v oskrbo umirajočega zapornika Jegorova.
Posrečilo se ji je spraviti Jegorova na svoj dom, češ da je že umrl. Čebotar-
jov je dal Jegorova dostojno pokopati (v neposredni bližini groba Nikolaja
Lobačevskega, enega od utemeljiteljev neevklidske geometrije) in se je kot
edini matematik udeležil njegovega pogreba. Čebotarjov je bil zaradi izvr-
stnega dela trikrat predlagan za rednega člana Akademije znanosti. Vsakič
je bil zavrnjen kot politično neprimeren, skoraj gotovo zaradi pomoči Jego-
rovu. Po Stalinovi smrti je leta 1953 doktorand Čebotarjova V. V. Morozov
dal Jegorovu na grobu postaviti skromno ploščo.
Peter Legǐsa
Janez Strnad: FIZIKI 7, Modrijan založba, Ljubljana 2010, 263
strani.
Letos je izšla že sedma knjiga prof. Janeza Strnada o pomembnih fizi-
kih. Avtor v predgovoru najprej pojasnjuje, da s sedmim delom zaokrožuje
Fizike, in nato pove, o čem bo v knjigi tekla beseda. Osrednji del je razde-
ljen na 31 poglavij, ki nosijo naslov po enem ali dveh junakih; prvo, ki sega
najdlje v preteklost, pa celo po treh.
Glede na to, da je bilo leto 2009 mednarodno leto astronomije, začetek
pripovedovanja avtor naveže na nekatere pomembne antične astronome, ki
so imeli še dolgo časa velik vpliv na razvoj znanosti. Spomnimo se samo
na to, kako dolgo je trajalo, preden se je uveljavil heliocentrični sistem.
Ko prebiramo Fizike, izvemo, da je bilo za to potrebno veliko potrplje-
nja, odrekanja, domiselnosti, opazovanj, razumevanja okolja in oblasti, ne
118 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 119 — #13 i
i
i
i
i
i
Fiziki 7
navsezadnje pa tudi denarja. Raziskave se-
veda niso bile nikoli usmerjene samo v nebo.
Sčasoma je prǐslo do globljega razumevanja
zračnega tlaka in odkritja toplotnih strojev.
Razvoja fizike si ne moremo zamisliti brez
elektrike in magnetizma. Postopoma so od-
krivali nove kemijske elemente, izotope in
osnovne delce. Dvajseto stoletje nam je pri-
neslo številna nova področja raziskav v fiziki,
uporabo atomske energije v miroljubne in
vojne namene, ogromne pospeševalnike vseh
vrst in spoznanje, da je za uspešno fizikalno
raziskovanje treba dobro premǐsljeno in or-
ganizirano skupinsko delo. Velikim pospe-
ševalnikom in odkrivanju osnovnih delcev je
namenjen znaten del knjige.
Naslovnih junakov, ki nastopajo približno v zaporedju njihovih rojstnih
letnic, je v sedmem delu knjige Fiziki kar 45, od teh je tretjina Nobelovih na-
grajencev za fiziko. Okoli njih pa se razvrsti še veliko drugih znanstvenikov,
mislecev in politikov. Nekateri so bili večkrat omenjani že v preǰsnjih delih,
tako da lahko najdemo med nekaterimi fiziki zanimive povezave. Dogodki
in poskusi potekajo v glavnem v Nemčiji, Franciji, Veliki Britaniji, Združe-
nih državah Amerike in v nekdanji Sovjetski zvezi. Mimogrede izvemo za
celo vrsto krajev, ustanov, univerz in inštitutov, kjer so se dogajala velika
pomembna fizikalna odkritja.
Posamezno poglavje se navadno začne s kratkim prikazom zgodovinskih
in drugih okolǐsčin, v katerih je naslovni junak živel, čemur sledi podroben
opis njegovega življenja in dela. Izvemo, kje, kaj in s kom je raziskoval,
kaj je odkril, kaj je napisal, kje je objavljal svoje rezultate, kakšne težave je
imel, kako se je znašel v raznih političnih situacijah, med vojno itd. Nekateri
rezultati in naprave so v knjigi prikazani tudi grafično. Avtor skuša tudi
razložiti, zakaj ta ali oni fizik kljub svojemu veličastnemu in pomembnemu
delu ni prejel Nobelove nagrade ali pa zakaj se nekaj imenuje po nekom, po
katerem se pravzaprav ne bi smelo.
Namesto zaključka je avtor v poglavju Poskusi in enačbe navedel lestvici
po mnenju bralcev revije Physics World najimenitneǰsih enačb in najlepših
poskusov in ju komentiral. Dodal je še nekaj citatov, ki izražajo odnos jav-
nosti do znanosti. Knjiga se konča s seznamom naslovnih junakov pričujoče
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3 119
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 120 — #14 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
knjige po rojstnih letnicah in seznami junakov prvih šestih avtorjevih knjig
z naslovom Fiziki, zadnje strani pa prinašajo še obširno imensko kazalo, ki
bralcu omogoča hitreǰse iskanje oseb v besedilu. Zavedati se je tudi treba, da
knjiga vsebuje veliko število podatkov, ki jih je avtor preverjal, uporabljajoč
različne vire.
Vseh sedem knjig toplo priporočamo vsem, ki jih zanimajo znanost,
zlasti matematika, fizika in astronomija, njen razvoj in zgodovina. Učenci,
dijaki, študenti, učitelji, asistenti in profesorji lahko v njih najdejo obilico
koristnih informacij. Slednji lahko z njimi vsaj malo popestrijo pouk, vaje
in predavanja. Žal vsi časa nimajo ravno na pretek. Najbrž bo vsak, tudi
stareǰsi bralec Fizikov, izvedel kaj, česar prej še ni vedel, ali pa bo malo
obnovil svoje znanje. Ali še vsi veste, za kaj gre na primer pri Franck–
Hertzevem in Stern–Gerlachovem poskusu? Če ne več, potem za začetek
sezite po knjigi Fiziki 7.
Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 22,39 EUR.
Marko Razpet
VESTI
VABILO
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije vabi k sodelovanju
na strokovnem srečanju in 62. občnem zboru, ki bosta 5. in 6. novembra 2010
v LifeClass Hotels v Portorožu.
Vodilni temi letošnjega strokovnega srečanja sta matematika v tehniki in
zika v tehniki. V ospredju bodo seveda teme, ki jih lahko učitelji uporabijo
za popestritev pouka in seznanjanje učencev in dijakov z zanimivimi nara-
voslovnimi področji, kjer lahko uporabijo pridobljeno znanje iz matematike
in fizike in se kasneje tudi lažje odločijo za študij matematike in fizike.
Svoje izkušnje in novosti z omenjenih področji (strogo vezanih na upo-
rabo v tehniki) lahko predstavite:
• s prispevkom (20–30 minut, lahko tudi kraǰsim)
• s posterjem
Na voljo bodo grafoskop, projekcijsko platno in videoprojektor za prenos
slike z računalnika. Računalnik s potrebno programsko opremo in druge
pripomočke morajo predavatelji prinesti s seboj ali pa se morajo o tem
poprej dogovoriti (sporočiti Janezu Krušiču).
120 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3
i
i
“Kavarna Andromeda 1” — 2010/8/17 — 10:09 — page 121 — #15 i
i
i
i
i
i
Vabilo
Prosimo vas, da nam prispevke za izbrani temi pošljete do 30. septembra
2010 na naslov: Janez.Krusic@fmf.uni-lj.si . Prijave morajo vsebovati:
• naslov prispevka
• ime in priimek avtorja (ali več avtorjev), naslov ustanove, kjer je avtor
zaposlen, oziroma domači naslov in elektronski naslov
• kratek povzetek prispevka (pri velikosti črk 12 pt naj ne presega pol
strani A4)
Izjemoma lahko pošljete prijavo tudi po navadni pošti na naslov: Dru-
²tvo matematikov, zikov in astronomov Slovenije, Janez Kru²i£, Jadranska
ulica 19, 1000 Ljubljana. V tem primeru morate dodati zapis tudi v elek-
tronski obliki (CD, DVD).
Izbor prispevkov bo opravila in razvrstila po sekcijah posebna komisija,
ki jo bo imenoval upravni odbor DMFA Slovenije. Povzetki bodo objavljeni
v biltenu občnega zbora.
Ob letošnjem občnem zboru bosta še dve srečanji. V petek, 5. novembra,
bo potekala tudi 7. konferenca zikov v osnovnih raziskavah. Konferenca bo
nadaljevanje rednih srečanj slovenskih fizikov, ki delujejo na različnih po-
dročjih osnovnih raziskav. V okviru srečanja bodo predstavljeni največji
dosežki slovenske fizike v preteklih dveh letih, poudarek bo predvsem na
uspešnem in odmevnem raziskovalnem delu raziskovalcev mlaǰse generacije.
Matematiki pa bodo organizirali 4. slovensko sre£anje matematikov razisko-
valcev.
Vsa obvestila v zvezi z občnim zborom in strokovnim srečanjem bomo
sproti objavljali na domači strani DMFA: http://www.dmfa.si/.
Predsednik DMFA Slovenije:
prof. dr. Janez Seliger
OBVESTILO
V Obzorniku za matematiko in fiziko, letnik 49, številka 2, str. 62–63,
in na domači strani DMFA http://www.dmfa.si/ je objavljen Pravilnik o
podeljevanju društvenih priznanj.
Vabimo vas, da pisne predloge (z utemeljitvami) za letošnja priznanja
pošljete do 30. septembra 2010 na naslov: DMFA Slovenije, Komisija za
pedago²ko dejavnost, Jadranska ulica 19, 1000 Ljubljana.
Predsednik DMFA Slovenije:
prof. dr. Janez Seliger
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 3 XI
i
i
“kolofon” — 2010/8/17 — 10:02 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAJ 2010
Letnik 57, številka 3
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Logistična porazdelitev (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–96
Petdesetletnica laserjev (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97–106
Nove knjige
Café Andromeda (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107–109
Wer nicht sucht, der findet (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110–114
Puzzle-Based Learning (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Naming infinity (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–118
Fiziki 7 (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–120
Vesti
Vabilo (Janez Seliger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–XI
Obvestilo (Janez Seliger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
CONTENTS
Articles Pages
The logistic distribution (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–96
The fiftieth aniversary of lasers (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97–106
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107–120
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–XI
Na naslovnici je razdrt helij-neon plinski laser, ki ga je nekdaj izdelovala Iskra
in je bil v široki uporabi na naših šolah. Laser oddaja 1 mm širok curek linearno
polarizirane rdeče svetlobe z valovno dolžino 632,8 nm in močjo 1 mW. Stekleno
cev, v kateri je zmes žlahtnih plinov, na obeh straneh zapirata zrcali, od katerih je
eno polprepustno, in tako ustvarita odprti resonator. Plin v cevi seva nekoherentno
v vse smeri razen v smeri laserskega curka (foto: Aleš Mohorič). Glej članek na
strani 97.