PROFESOR PLEMELJ IN RE
ˇ SEVANJE HILBERTOVEGA 21.
PROBLEMA
MILAN HLADNIK
1
1
Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Kljuˇ cne besede: Math. Subj. Class. (2020): 34M35, 34M50
Bralcu je morda manj znano, da se reˇ sevanje Hilbertovega enaindvajsetega problema
ni konˇ calo leta 1908 z objavo Plemljeve reˇ sitve, ki je skoraj petinsedemdeset let obveljala
za dokonˇ cno. Poleg osnovne matematiˇ cne razlage in Plemljevega pristopa k problemu je
v ˇ clanku, ki se izogne zapletenim dokazom, na kratko opisano nadaljnje raziskovanje, ki
je ob koncu 20. stoletja privedlo do presenetljivega preobrata z odkritjem protiprimerov
in drugaˇ cnih dognanj. Po mnenju avtorja tega prispevka nova spoznanja ne zmanjˇ sujejo
pomena Plemljeve pionirske vloge pri reˇ sevanju problema.
PROFESSOR PLEMELJ AND SOLVING HILBERT’S 21ST PROBLEM
It may be less known to the reader that the process of solving Hilbert’s twenty-
first problem did not end in 1908 with the publication of Plemelj’s solution which was
considered definitive for almost seventy-five years. In addition to the basic mathematical
explanation and Plemelj’s approach to the problem, the article, which avoids complex
proofs, briefly describes further research, which at the end of the 20th century led to a
surprising turn with the discovery of counterexamples and different conclusions. In the
opinion of the author of this paper, the new findings do not diminish the importance of
Plemelj’s work and his pioneering role in solving the problem.
Josip Plemelj (1873–1967) je gotovo najbolj znan in v svetu uveljavljen
slovenski klasiˇ cni matematik po Juriju Vegi. V tem sestavku se bomo do-
taknili le enega vidika njegovega znanstvenega dela, ki pa mu ˇ ze sam zase
zagotavlja ugledno mesto v zgodovini matematike. Uvrˇ sˇ ca se namreˇ c med
reˇ sevalce problema, ki izhaja ˇ se iz Riemannovih idej v sredini 19. stoletja, na
novo pa ga je formuliral nemˇ ski matematik David Hilbert (1862–1943), ko je
leta 1900 na drugem svetovnem matematiˇ cnem kongresu v Parizu predstavil
triindvajset, takrat ˇ se nereˇ senih matematiˇ cnih problemov. Med njimi je bil
tudi naslednji enaindvajseti problem:
H21. Dokazati, da obstaja Fuchsova linearna diferencialna enaˇ cba z da-
nimi singularnostmi in dano monodromijsko grupo.
Ker Hilbert v spremljajoˇ ci razlagi tega problema omenja Riemanna, ki se
je sicer ukvarjal s konstrukcijo analitiˇ cnih funkcij s predpisanimi lokalnimi
lastnostmi, je problem H21 postal znan kot Riemannov problem. Tako
ga imenuje tudi Plemelj v svojem ˇ clanku [17] in v monografiji [18] in za
njim ˇ se profesor Vidav v svoji knjiˇ zici ob stoletnici Plemljevega rojstva [22].
6 Obzornik mat. fiz.71 (2024) 1

Profesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema
Danes uporabljajo tudi ime Riemann-Hilbertov problem (npr. Anosov in
Bolibruch v [1]). Sicer pa je dobro vedeti, da se pod tema dvema nazivoma
skriva ˇ se vrsta drugih problemov, ki vsi izvirajo iz Riemannovih raziskav in
se v glavnem tiˇ cejo robnih vrednosti analitiˇ cnih funkcij (glej npr. ustrezno
geslo na Wikipedii in tam navedeno literaturo).
V originalnem Hilbertovem besedilu je namesto Fuchsovega sistema na-
vedena zahteva po eksistenci Fuchsove enaˇ cbe (glej npr. [12]). Danaˇ snji
vodilni matematiki na tem podroˇ cju menijo, da je Hilbert z enaˇ cbo v resnici
mislil vektorsko enaˇ cbo oziroma sistem enaˇ cb. To utemeljujejo z dejstvom,
da je bilo v Hilbertovem ˇ casu ˇ ze znano, da ni vedno mogoˇ ce konstruirati Fu-
chsove enaˇ cbe viˇ sjega reda, ki bi imela (natanko) predpisane singularnosti
ter dano monodromijsko grupo. Razlog je premajhno ˇ stevilo parametrov v
Fuchsovi enaˇ cbi v primerjavi s ˇ stevilom parametrov pri monodromiji, kar je
prvi izraˇ cunal H. Poincar´ e [19]. Za dosego cilja so potrebne dodatne, t. i.
navidezne singularnosti (glej 5. razdelek).
Ta sestavek je zgolj informativnega znaˇ caja in se ne spuˇ sˇ ca v podrobne
dokaze sicer zahtevnih trditev, veˇ cinoma je povzet po knjigi [1] ter po dveh
ˇ clankih [3] in [6]. Njegov namen je zgolj povedati zgodbo o reˇ sevanju pro-
blema H21, ki je zanimiva in pouˇ cna, a se zdi med slovenskimi matematiki
premalo znana, ˇ ceprav je v njej pomembno vlogo odigral tudi profesor Josip
Plemelj. Ogledali si bomo, kakˇ sen je bil njegov prispevek v zaˇ cetku prej-
ˇ snjega stoletja in do kakˇ snih novih spoznanj so se raziskovalci dokopali ob
njegovem koncu. Najprej pa skuˇ sajmo pojasniti, kaj Hilbertov 21. problem
sploh pomeni.
1. Osnovni pojmi o Fuchsovih sistemih
Imejmo sistem n homogenih linearnih diferencialnih enaˇ cb prvega reda,
zapisan v matriˇ cni oziroma vektorski obliki
y
′ =A(z)y, (1)
kjer je y neznana vektorska funkcija (funkcijski stolpec), y
′ vektor njenih
odvodov in A(z) meromorfna matriˇ cna funkcija reda n. To pomeni, da so
vsi njeni elementi povsod na C holomorfne (analitiˇ cne) funkcije, razen na
mnoˇ zici izoliranih toˇ ck { a
1
,a
2
,... } , v katerih so poli. Te toˇ cke so izjemne,
imenujemo jih singularne toˇ cke sistema . Tudi neskonˇ cna toˇ cka, ∞ , je na
sploˇ sno lahko singularna, kar po definiciji pomeni, da je 0 singularna toˇ cka
za sistem, ki ga iz prvotnega sistema (1) dobimo s substitucijo z7→ 1/z. V
tem primeru zahtevajmo, da je tudi v toˇ cki ∞ pol za vsak element matriˇ cne
funkcije A(z). Toda iz sploˇ sne teorije analitiˇ cnih funkcij je znano, da so
meromorfne funkcije, ki imajo pole na razˇ sirjeni kompleksni ravnini
˜C =
6–27 7

Milan Hladnik
C∪{∞} , kar racionalne funkcije. Le-te pa imajo na
˜C le konˇ cno mnogo
singularnosti (polov) a
1
,a
2
,...,a
s
. Torej je tudi matriˇ cna funkcija A(z) iz
(1) v resnici racionalna.
Zaradi enostavnosti obravnave bomo odslej ˇ se dodatno predpostavili, da
neskonˇ cna toˇ cka ∞ ni singularna oziroma, da leˇ zijo vsi poli v konˇ cnosti:
a
1
,a
2
,...,a
s
∈ C; s primerno substitucijo lahko to pri zgornjih privzetkih
vedno doseˇ zemo.
Definicija 1. Singularna toˇ cka a∈ ˜C je Fuchsova singularna toˇ cka sis-
tema (1), ˇ ce ima funkcija A(z) v njej pol kveˇ cjemu prve stopnje. Sistem je
Fuchsov, ˇ ce so vse njegove singularne toˇ cke Fuchsove.
1
Hitro vidimo tudi naslednje:
ˇ Ce je sistem (1) Fuchsov in so toˇ cke a
i
res poli prve stopnje, ima pri prejˇ snji predpostavki matriˇ cna funkcija A(z)
obliko
A(z) =
s
X
i=1
A
i
z− a
i
,
kjer soA
i
,i = 1, 2,...,s , konstantne matrike redan. Ker smo predpostavili,
da∞ ni singularna toˇ cka, pa poleg tega velja tudi
P
s
i=1
A
i
= 0. Slednje
takoj spoznamo z uporabo substitucije z = 1/ζ , ki nam sistem (1) prevede
v sistem ˙y =B(ζ )y, kjer je
B(ζ ) =− 1
ζ 2
A(1/ζ ) =− 1
ζ s
X
i=1
A
i
1− a
i
ζ =− 1
ζ s
X
i=1
A
i
− s
X
1=1
a
i
A
i
1− a
i
ζ .
Vidimo, da je druga vsota vedno regularna funkcija pri ζ = 0, prva, in zato
tudi matriˇ cna funkcija B(ζ ), pa natanko takrat, ko je
P
s
i=1
A
i
= 0.
Sistem (1) in njegove reˇ sitve bomo torej obravnavali na mnoˇ zici U =
˜C\{ a
1
,a
2
,...,a
s
} , kjer so a
1
,a
2
,...,a
s
∈ C.
Eksistenˇ cni izrek za sisteme navadnih linearnih diferencialnih enaˇ cb na
vsakem enostavno povezanem obmoˇ cju Ω ⊂ U, ki ne vsebuje singularnih
toˇ ck, zagotavlja n linearno neodvisnih holomorfnih reˇ sitev danega sistema
linearnih diferencialnih enaˇ cb. To so funkcije na Ω z vrednostmi v C
n
, opa-
zujemo pa jih lahko tudi na vsej mnoˇ zici U. Singularne toˇ cke so lahko tedaj
1
Poimenovanje izvira iz priimka nemˇ skega matematika Lazarusa Immanuela Fuchsa
(1833–1902), ki se je skoraj izkljuˇ cno ukvarjal z linearnimi diferencialnimi enaˇ cbami. Ple-
melj ga je sreˇ cal kot profesorja v Berlinu, kjer je bil leta 1899/1900 po svojem doktoratu
na ˇ studijskem izpopolnjevanju.
8 Obzornik mat. fiz.71 (2024) 1

Profesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema
tudi njihova razvejiˇ sˇ ca.
Zgled 1. Sistem y
′ 1
=y
2
/z, y
′ 2
= 0 ima npr. dve singularni toˇ cki, z = 0
in z =∞ , ki sta obe Fuchsovi, in dve linearno neodvisni reˇ sitvi (1 , 0) in
(lnz, 1). Druga reˇ sitev ima v obeh singularnih toˇ ckah logaritmiˇ cno razve-
jiˇ sˇ ce. Za sistem y
′ 1
=y
2
/z, y
′ 2
=y
2
/(2z) z linearno neodvisnima reˇ sitvama
(1, 0) in (2
√ z− 2,
√ z) pa sta obe singularni toˇ cki, z = 0 inz =∞ , korenski
razvejiˇ sˇ ci. Oba zgleda sta samo posebna primera Eulerjevega sistema (6) v
naslednjem razdelku (pri a = 1, b = 0 in pri a = 1/2, b = 0).
Reˇ sitve sistema (1) tvorijo n-razseˇ zen vektorski prostor S nadU veˇ cliˇ c-
nih holomorfnih funkcij, nad ustrezno Riemannovo ploskvijo (tj. univerzal-
nim krovnim prostorom nad U) pa enoliˇ cnih holomorfnih funkcij, z vred-
nostmi vC
n
. Kot stolpce jih lahko zdruˇ zimo v t. i. fundamentalno matriko
reˇ sitev Y =Y (z) sistema (1).
Osnovne reˇ sitve lahko analitiˇ cno nadaljujemo, zaˇ cenˇ si v izbrani regularni
toˇ cki z
0
, vzdolˇ z vsake sklenjene poti v U. Ta pot doloˇ ca element σ funda-
mentalne grupe π 1
(U,z
0
) za U. Isti element doloˇ cajo vse sklenjene poti, ki
so v U homotopne prvotni poti. Ker je obmoˇ cje U s potmi povezano, je
fundamentalna grupaπ 1
(U) neodvisna od izbire zaˇ cetne toˇ cke z
0
(primerjaj
[15, str. 10, 11]), zato obiˇ cajno navedbo zaˇ cetne toˇ cke kar izpustimo. Tako
bomo storili tudi v nadaljevanju tega prispevka in namesto π 1
(U,z
0
) pisali
krajˇ se π 1
(U).
Analitiˇ cno nadaljevanje izbranih osnovnih reˇ sitev na vsakem koraku
ohranja linearno neodvisnost med njimi. Ko se vrnemo na prvotno obmoˇ cje
Ω, so te reˇ sitve ˇ se vedno linearno neodvisne, toda morda druge funkcije,
ki pa so linearne kombinacije prvotnih.
ˇ Ce je bila Y = Y (z) prvotna fun-
damentalna matrika sistema (1), naj bo σ (Y ) nova fundamentalna matrika
po obhodu vzdolˇ z sklenjene poti σ (tako da pomeni σ hkrati tudi transfor-
macijo iz ene fundamentalne matrike v drugo, ki je dobljena z analitiˇ cnim
nadaljevanjem vzdolˇ z poti σ ).
Ena od sklenjenih poti vU je trivialna pot, homotopna toˇ cki z
0
. Ustrez-
ni element fundamentalne grupe π 1
(U) oznaˇ cimo z ι in predstavlja enoto v
π 1
(U); zanjo velja ι (Y ) = Y . Toda sklenjene poti v U oziroma elemente
fundamentalne grupe lahko med seboj komponiramo (polovico ˇ casa preho-
dimo po prvi, polovico po drugi poti). Produkt dveh elementov σ in τ v
grupiπ 1
(U) oznaˇ cimo s στ (najprejσ in natoτ ), tako da je ustrezna trans-
formacija fundamentalne matrike Y z analitiˇ cnim nadaljevanjem enaka
(στ )(Y ) =τ (σ (Y )). (∗ )
Inverznemu elementu σ − 1
v fundamentalni grupi, ki ga doloˇ ca pot σ , pre-
hojena v obratni smeri, pripada paˇ c inverzna transformacija.
6–27 9

Milan Hladnik
Ker so stolpci transformirankeσ (Y ) linearne kombinacije stolpcev zaˇ ce-
tne fundamentalne matrikeY , povezuje oba nabora fundamentalnih reˇ sitev
obrnljiva konstantna matrika χ (σ ), odvisna samo od elementa σ v π 1
(U).
Ta matrika doloˇ ca med fundamentalnima matrikama Y in σ (Y ) zvezo
Y =σ (Y )χ (σ ).
Naj bo ˇ se τ ∈ π 1
(U), tako da velja tudi Y = τ (Y )χ (τ ). Upoˇ stevajmo
enakost (∗ ) ter dejstvo, da je matrikaχ (σ ) konstantna in da transformacija
analitiˇ cnega nadaljevanja ohranja linearne kombinacije funkcij, pa dobimo
(στ )(Y )χ (στ ) =Y =τ (Y )χ (τ ) =τ (σ (Y )χ (σ ))χ (τ ) =τ (σ (Y ))χ (σ )χ (τ ).
Odtod sledi χ (στ ) = χ (σ )χ (τ ), tako da je χ upodobitev grupe π 1
(U) v
grupo GL(n,C) vseh obrnljivih matrik reda n. Seveda je pri tem χ (ι ) = I,
identiˇ cna matrika, inverznemu elementu σ − 1
pa pripada inverzna matrika
χ (σ )
− 1
.
Fundamentalna matrika Y reˇ sitev sistema (1) ni enoliˇ cno doloˇ cena, saj
je za poljubno obrnljivo konstantno matrikoC redan matrika
˜Y =YC spet
fundamentalna (in vsaka fundamentalna matrika se tako izraˇ za z Y ). Tudi
na matriko
˜Y deluje grupa π 1
(U), tako da je npr.
˜Y = σ (
˜Y )˜χ (σ ) za vsak
σ ∈ π 1
(U) in za neko upodobitev ˜χ fundamentalne grupe π 1
(U). Potem pa
je za vsak σ ∈ π 1
(U)
σ (Y )χ (σ )C =YC =
˜Y =σ (
˜Y )˜χ (σ ) =σ (Y )C ˜χ (σ )
oziroma po krajˇ sanju s σ (Y ) in mnoˇ zenju s C
− 1
˜χ (σ ) =C
− 1
χ (σ )C.
Vidimo, da je nova upodobitev podobna (konjugirana) prejˇ snji. Seveda
nas zanimajo upodobitve fundamentalne grupe le do podobnosti natanˇ cno.
Grupi{ χ (σ ); σ ∈ π 1
(U)} reˇ cemo monodromijska grupa sistema diferencial-
nih enaˇ cb (1), ustrezni upodobitvi
χ :π 1
(U)→ GL(n,C)
(bolj natanˇ cno njenemu podobnostnemu razredu) pa monodromija sistema
(1).
Fundamentalna grupa π 1
(U) na U je generirana s sklenjenimi potmi
(zankami), ki izhajajo iz ene (poljubne) toˇ cke in enkrat obkroˇ zijo v pozitiv-
nem smislu samo eno od singularnih toˇ ck. Naj bo σ i
taka pot, ki obkroˇ zi
toˇ cko a
i
(glej sliko 1). Produkt vseh teh posameznih poti (v grupi π 1
(U))
10 Obzornik mat. fiz.71 (2024) 1

Profesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema
z
0
...
a
1
s
1
s
2
s
s
a
2
a
s
Slika 1. Enostavno sklenjene poti okrog singularnih toˇ ck, ki generirajo fundamentalno
grupo.
je sklenjena pot, ki enkrat obkroˇ zi vse konˇ cne singularne toˇ cke. Ker ne-
skonˇ cna toˇ cka ni singularna, je ta pot v mnoˇ zici U homotopna toˇ cki, torej
predstavlja enoto v fundamentalni grupi, tako da je
Q
s
i=1
σ i
= ι . Zato za
ustrezno upodobitev fundamentalne grupe velja
s
Y
i=1
χ (σ i
) =I.
Vrnimo se k problemu H21. Ta torej spraˇ suje po Fuchsovem sistemu ho-
mogenih linearnih diferencialnih enaˇ cb (1) s predpisanimi singularnimi toˇ c-
kami na Riemannovi sferi in z dano monodromijsko grupo. Tradicionalno
ga imenujemo tudi Riemann-Hilbertov problem zaradi odloˇ cilnega vpliva
Riemannovih idej na vse tovrstne raziskave v drugi polovici 19. stoletja. V
jeziku reprezentacij (upodobitev) se problem glasi:
Ali lahko vsako reprezentacijo (z obrnljivimi matrikami danega reda) fun-
damentalne grupe Riemannove sfere
˜C brez toˇ ck { a
1
,a
2
,...,a
s
} realiziramo
kot upodobitev monodromijske grupe nekega sistema (1) z enostavnimi poli ?
Oziroma na kratko:
Ali je vsaka taka reprezentacija fundamentalne grupe monodromija ?
2. Regularno singularne toˇ cke in regularni sistemi
Definicija 2. Toˇ cka a∈ ˜C je regularno ali pravilno singularna toˇ cka
sistema (1), ˇ ce ima v njeni bliˇ zini vsaka reˇ sitev y = y(z) najveˇ c polinom-
sko rast, ko z → a, tj. obstaja tak λ > 0, da pri pogoju z → a velja
y(z)|z− a| λ → 0. Sistem je regularen, ˇ ce je zanj vsaka toˇ cka v
˜C bodisi
6–27 11

Milan Hladnik
regularna bodisi regularno singularna.
V resnici je treba biti pri definiciji ˇ se bolj pazljiv, ker ima reˇ sitev y =y(z)
v toˇ cki a obiˇ cajno logaritemsko singularnost. Zahtevati je treba kveˇ cjemu
polinomsko rast reˇ sitve, ko se z bliˇ za singularni toˇ cki a znotraj poljubnega
sektorja (tako da ne obkroˇ zi a). Pokazali so, da je vsak Fuchsov sistem regu-
laren (glej npr. [7] ali [11, str. 73]), obratno pa, kot se lahko hitro prepriˇ camo
(glej npr. sistem (5) v naslednjem zgledu), ne velja; regularnost je torej ˇ sirˇ si
pojem. Na sploˇ sno nimamo preprostega kriterija, kdaj je poljuben linearni
sistem oblike (1) z racionalno funkcijo A(z) regularen.
Singularne toˇ cke imamo tudi pri linearni diferencialni enaˇ cbi viˇ sjega reda
oblike
y
(n)
+q
1
(z)y
(n− 1)
+··· +q
n
(z)y = 0. (2)
To so singularne toˇ cke njenih koeficientov q
j
(z), ki naj bodo meromorfne
funkcije na
˜C. Med singularnimi toˇ ckami so nekatere lahko regularno ozi-
roma pravilno singularne. Definicija regularnosti je za enaˇ cbe enaka kot za
sisteme in jo lahko kar ponovimo.
Definicija 3. Toˇ cka a∈ ˜C je regularno singularna toˇ cka linearne dife-
rencialne enaˇ cbe n-tega reda oblike (2), ˇ ce ima v njeni bliˇ zini vsaka reˇ sitev
y(z) najveˇ c polinomsko rast, ko z→ a. Enaˇ cba (2) je regularna, ˇ ce je zanjo
vsaka toˇ cka v
˜C bodisi regularna bodisi regularno singularna.
V nasprotju s sistemom pa za tako skalarno enaˇ cbo viˇ sjega reda obstaja
enostaven kriterij za regularnost posamezne singularne toˇ cke. O tem govori
Fuchsov izrek. Singularnost a∈ ˜C je regularno singularna toˇ cka enaˇ cbe
(2) natanko takrat, ko ima za vsak j = 1, 2,...,n koeficientq
j
(z) v toˇ cki a
pol kveˇ cjemu stopnje j.
Za dokaz glej npr. [7, str. 129] ali [11, str. 85]. Zaradi tega izreka
reˇ cemo regularno (pravilno) singularni toˇ cki enaˇ cbe (2) tudi Fuchsova sin-
gularna toˇ cka , regularni enaˇ cbi pa Fuchsova linearna diferencialna enaˇ cba .
Oba pojma se torej za enaˇ cbe ujemata.
Diferencialno enaˇ cbo (2) lahko na standardni naˇ cin, tako da opazujemo
vektor odvodov (y,y
′ ,y
′′ ,...,y
(n− 1)
), prevedemo na sistem diferencialnih
12 Obzornik mat. fiz.71 (2024) 1

Profesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema
enaˇ cb prvega reda
y
′ 1
=y
2
y
′ 2
=y
3
... .........
y
′ n
=− q
n
(z)y
1
−···− q
1
(z)y
n
(3)
Pri tem seveda velja, da je singularna toˇ cka regularna za sistem (3) natanko
takrat, ko je regularna za diferencialno enaˇ cbo (2). Toˇ cka, ki je Fuchsova
za enaˇ cbo (2), pa ni vedno Fuchsova tudi za standardni sistem (3), kot se
lahko prepriˇ camo ˇ ze na preprostem primeru.
Zgled 2. Oglejmo si Eulerjevo linearno diferencialno enaˇ cbo 2. reda
z
2
y
′′ +azy
′ +by = 0, (4)
kjer sta a,b od niˇ c razliˇ cni kompleksni ˇ stevili. Enaˇ cba ima dve singularni
toˇ cki, z = 0 in z =∞ , ki sta obe Fuchsovi (tj. regularno singularni) za (4).
Ustrezni standardni sistem, prirejen enaˇ cbi (4), pa je
y
′ 1
=y
2
y
′ 2
=− b
z
2
y
1
− a
z
y
2
(5)
Kot vidimo, toˇ cka 0 zanj ni Fuchsova, tako da sistem ni Fuchsov. Mi-
mogrede, tudi neskonˇ cna toˇ cka ∞ ni Fuchsova, saj z uvedbo substitucije
z = 1/ζ dobimo sistem
˙y
1
=− 1
ζ 2
y
2
˙y
2
=by
1
+
a
ζ y
2
Kljub temu lahko z drugaˇ cno transformacijo dobimo (nestandardni) sis-
tem, ki pa je Fuchsov (obe singularni toˇ cki sta taki). To doseˇ zemo, ˇ ce
uvedemo spremenljivki y
1
=y in y
2
=zy
′ , od koder najdemo
y
′ 1
=
1
z
y
2
y
′ 2
=− b
z
y
1
− a− 1
z
y
2
(6)
6–27 13

Milan Hladnik
Ker je Fuchsov, je ta sistem tudi regularen. Potem pa je regularen tudi
sistem (5), saj ima skoraj iste reˇ sitve kot sistem (6); ˇ ce je namreˇ c ( y
1
,y
2
)
reˇ sitev sistema (6), je ( y
1
,y
2
/z) reˇ sitev sistema (5).
Obravnavani sistem je poseben primer sploˇ snega sistema, ki bi ga z isto
transformacijo pridobili iz Eulerjeve diferencialne enaˇ cbe reda n, zato tudi
nosi ime po Eulerju. Splaˇ ca se ga zapisati vektorsko.
Eulerjev sistem redan je sistem homogenih linearnih diferencialnih enaˇ cb,
ki ga s konstantno kvadratno matriko A reda n lahko zapiˇ semo v obliki
y
′ =
1
z
Ay. (7)
Tudi ta sploˇ snejˇ si sistem ima samo dve singularni toˇ cki (pola prve stopnje
v 0 in v∞ ), zato je Fuchsov in torej tudi regularen. Fundamentalna grupa
π 1
(U) ={ σ k
; k∈ Z} ima en generator σ , ki ustreza enemu obhodu okrog
izhodiˇ sˇ ca v pozitivnem smislu, in je zato izomorfna grupi celih ˇ stevil.
Doloˇ cimo monodromijo tega sistema. Lokalna fundamentalna matrika
reˇ sitev je v tem primeru matriˇ cna funkcija
Y (z) =z
A
:= exp[(lnz)A].
ˇ Ce je σ do homotopije edina sklenjena pot, ki enkrat v pozitivnem smislu
obkroˇ zi koordinatno izhodiˇ sˇ ce 0 in se vrne v zaˇ cetno toˇ cko, se vrednost
logaritemske funkcije ln z spremeni v lnz + 2iπ , fundamentalna matrika
reˇ sitev pa doˇ zivi spremembo v
σ (Y )(z) = exp[(lnz + 2iπ )A] =Y (z) exp(2iπA ).
Torej je χ (σ ) = exp(− 2iπA ). Ker je fundamentalna grupa generirana s σ ,
je monodromija Eulerjevega sistema (7) enaka razredu konjugiranosti ma-
trikeχ (σ ) = exp(− 2iπA ). Velja pa tudi obratno: razred konjugiranosti [M]
poljubne obrnljive matrike M reda n je monodromija nekega Eulerjevega
sistema (7). Za vsako obrnljivo matrikoM namreˇ c obstaja taka matrika A,
da je M = exp(− 2iπA ).
3. Plemljev pristop k reˇ sevanju problema H21
Leta 1905 je Hilbert delno reˇ sil problem za primer dveh enaˇ cb in po-
ljubno mnogo singularnosti. Problem je prevedel na neko reˇ sljivo integral-
sko enaˇ cbo. Vendar je bila njegova metoda zamotana in ni dala pregleda
nad celotno mnoˇ zico reˇ sitev (primerjaj [21, 22]).
Naslednje leto je napovedal in nekaj let za tem, leta 1908, svojo reˇ sitev
predstavil Josip Plemelj [17]. Tudi on se je v dokazu naslonil na (Fredhol-
14 Obzornik mat. fiz.71 (2024) 1

Profesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema
movo) teorijo integralskih enaˇ cb, h kateri je sam precej prispeval.
2
Reˇ se-
vanja glavnega problema se je lotil tako, da si je najprej zastavil naslednji
robni problem, ki spada v teorijo analitiˇ cnih funkcij.
3
Osnovni robni problem. Naj bo Γ enostavno sklenjena gladka ali vsaj
odsekoma (tj. razen v konˇ cno mnogo toˇ ckah ) gladka orientirana krivulja v
C, ki omejuje notranje obmoˇ cje Ω +
od zunanjega obmoˇ cja Ω − , komplementa
mnoˇ zice Ω +
∪ Γ v
˜C, in naj bo M(z) na Γ definirana ter povsod obrnljiva
in odvedljiva matriˇ cna funkcija. Poiskati je treba vse vektorske (vrstiˇ cne )
funkcije ϕ =ϕ (z), ki
(a) so analitiˇ cne na Ω ± \{∞} ,
(b) jih lahko z obeh strani (na odsekih gladkosti ) zvezno nadaljujemo na
krivuljo Γ,
(c) notranje in zunanje limite ϕ ± (z) v vsaki gladki toˇ cki z∈ Γ zadoˇ sˇ cajo
robnemu pogoju
ϕ +
(z) =ϕ − (z)M(z), (RP)
(d) imajo v okolici neskonˇ cne toˇ cke z =∞ polinomsko rast, se pravi, da za
reˇ sitev ϕ obstaja vrstiˇ cni polinom γ z lastnostjo
ϕ (z) =γ (z) +O(1/z), |z|→∞ .
Najviˇ sji red polinomov, ki sestavljajo vrstiˇ cni polinom γ iz toˇ cke (d),
imenujemo red reˇ sitve ϕ v neskonˇ cnosti . Iˇ sˇ cemo torej vrstiˇ cno funkcijo ϕ , ki
zadoˇ sˇ ca vsem zahtevam iz toˇ ck (a), (b), (c) in je konˇ cnega reda v neskonˇ c-
nosti (primerjaj [21, str. 133–134]). Kadar je red v neskonˇ cnosti niˇ c, mora
biti reˇ sitev v neskonˇ cni toˇ cki regularna, γ pa konstanten vrstiˇ cni polinom
(in ϕ (∞ ) = γ ). Kadar je γ = 0, pa reˇ cemo, da reˇ sujemo homogeni robni
problem.
Ni nujno predpostaviti, da je matriˇ cna funkcija M(z), ki nastopa v
toˇ cki (c), odvedljiva. Reˇ sitev ϕ (z) tega robnega problema je mogoˇ ca tudi
v primeru, ko je M(z) samo H¨olderjevo zvezna funkcija na Γ, kar pomeni,
2
Za novo teorijo integralskih enaˇ cb se je zaˇ cel zanimati leta 1900/01 med svojim bi-
vanjem v G¨ottingenu, kjer je ˇ svedski matematik Erik Holmgren (1872–1943) predaval o
Fredholmovem delu. Do leta 1908 je imel Plemelj objavljena ˇ ze dva ˇ clanka o integralskih
enaˇ cbah, prvega o njihovi uporabi v teoriji potenciala (1903) in drugega o teoriji Fred-
holmovih enaˇ cb (1904) ter ˇ se dva ˇ clanka o robnih problemih v potencialni teoriji (1904,
1907).
3
Naj pripomnimo, da je Plemelj svoje rezultate izpeljal brez uporabe vektorskih in
matriˇ cnih oznak, tu pa bomo uporabili moderni matematiˇ cni zapis; sledili bomo Both-
nerju, ki vrstiˇ cne vektorje mnoˇ zi z matrikami na desni strani (glej [6, str. R6]), medtem
ko Vekua v [21] uporablja mnoˇ zenje matrik s stolpci.
6–27 15

Milan Hladnik
da za vsak njen koeficient m
ij
(z) obstajata taki pozitivni konstanti C in
0<α< 1, da velja
|m
ij
(z
1
)− m
ij
(z
2
)|≤ C|z
1
− z
2
| α za poljuben par z
1
,z
2
∈ Γ (glej [6, Hilbert Boundary Value Problem 4.1,
str. R6 in Assumptions 4.2 in 4.3, str. R7]).
Za uporabo pa je pomemben tudi primer, ko je matriˇ cna funkcija M(z)
samo zvezna ali pa ima celo nezveznosti prve vrste (skoke) v konˇ cnem ˇ ste-
vilu toˇ ck a
1
,a
2
,...,a
s
na krivulji Γ.
ˇ Ze Riemann si je zastavil tak sploˇ snejˇ si
problem v posebnem primeru, ko je matriˇ cna funkcija M(z) odsekoma kon-
stantna funkcija (tj. konstantna na posameznem krivuljnem loku med dvema
zaporednima toˇ ckama a
i
in a
i+1
, kjer je i = 1, 2,...,s in a
s+1
=a
1
). Dom-
neval je, da se na ta problem lahko reducira problem o monodromiji linearnih
diferencialnih enaˇ cb, ni pa navedel nobenega dokaza (glej [21, str. 134]). To
se je s Plemljevimi raziskavami izkazalo za resniˇ cno.
Plemelj je osnovni robni problem torej najprej reˇ sil za funkcijo M(z), ki
je odvedljiva na vsej krivulji Γ (kot reˇ ceno, bi bila dovolj ˇ ze predpostavka, da
jeM(z) H¨olderjevo zvezna).
4
V tem primeru mu je problem uspelo prevesti
na reˇ sevanje vektorske Fredholmove integralske enaˇ cbe druge vrste
ϕ − (z)− 1
π i
Z
Γ ϕ − (λ )
K(z,λ )
λ − z
dλ =γ (z), z∈ Γ , (IE)
kjer je v ˇ stevcu integralskega jedra matriˇ cna funkcija (glej [6, str. R8])
K(z,λ ) =
1
2
[M(λ )− M(z)]M(z)
− 1
, (z,λ )∈ Γ × Γ ,
tako da je integralsko jedro K(z,λ )/(λ − z), λ,z ∈ Γ, zaradi odvedljivosti
(ali zgolj H¨olderjeve zveznosti) matriˇ cne funkcije M(λ ) omejena in razen na
diagonali λ =z zvezna funkcija dveh spremenljivk (integralska enaˇ cba (IE)
pri teh pogojih ni singularna).
Da zunanja funkcijaϕ − (z) reˇ sitve ϕ (z) osnovnega robnega problema reˇ si
tudi integralsko enaˇ cbo (IE), kjer je desna stran γ (z) polinom iz toˇ cke (d),
je lahko spoznati z uporabo sploˇ snega Cauchyjevega izreka (da je za funk-
cijo, ki je analitiˇ cna znotraj enostavno povezanega obmoˇ cja Ω z merljivim
robom∂ Ω in zvezna na zaprtju Ω, njen integral po robu obmoˇ cja enak niˇ c)
4
Eksplicitno je v [17, str. 213] o koeficientih matriˇ cne funkcije M(z) zapisal: “Da pa bi
bila naˇ sa metoda uporabna, moramo te koeficiente predhodno omejiti s pogojem zveznosti,
zato predpostavimo, da so to poljubne funkcije, ki so zvezne vzdolˇ z mejne krivulje, poleg
tega pa ˇ se enkrat odvedljive (isto nalogo obravnava Hilbert).” (Primerjaj tudi [18, str.
143].)
16 Obzornik mat. fiz.71 (2024) 1

Profesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema
in Plemljevih formul [16] (glej npr. tudi [8]) o robnih vrednostih analitiˇ cnih
funkcij.
5
Iz Plemljeve predpostavke o odvedljivosti matriˇ cne funkcije M(z)
sledi, da je vsaka zvezna reˇ sitev enaˇ cbe (IE) tudi odvedljiva. Precej teˇ zje pa
je natanˇ cneje doloˇ citi zvezo med reˇ sitvami te integralske enaˇ cbe (z danim
polinomomγ (z) na desni strani) in reˇ sitvami osnovnega robnega problema.
Odgovoriti je treba vsaj na dve vpraˇ sanji:
1. Ali je enaˇ cba (IE) sploh reˇ sljiva v prostoru zveznih funkcij na krivulji Γ?
2. Ali iz vsake zvezne reˇ sitve enaˇ cbe (IE) pridemo do reˇ sitve osnovnega pro-
blema?
Odgovor na ti dve vpraˇ sanji je Plemelj naˇ sel z uvedbo dveh dodatnih
homogenih robnih problemov in pripadajoˇ ce adjungirane integralske enaˇ cbe
(glej [6, str. R7–R11]). Med dokazovanjem je spet veˇ ckrat uporabil Cauchy-
jev izrek ter svoje formule, sklicevati pa se je moral tudi na Fredholmovo
teorijo integralskih enaˇ cb (glej [13]).
Upoˇ steval je ˇ se dejstvo, da ima (zaradi kompaktnosti ustreznega inte-
gralskega operatorja) vsaka homogena integralska enaˇ cba druge vrste samo
konˇ cno mnogo linearno neodvisnih reˇ sitev. Z uporabo poljubnega naravnega
ˇ stevila r, veˇ cjega ali enakega ˇ stevilu linearno neodvisnih reˇ sitev integralskih
enaˇ cb, ki pripadata dodatno uvedenima robnima problemoma, je pritrdilno
odgovoril na zgornji vpraˇ sanji in na ta naˇ cin posredno, vendar elegantno,
reˇ sil osnovni robni problem. Rezultat lahko zapiˇ semo takole (primerjaj [6,
str. R11–R14] in [21, str. 137–138]):
Izrek 1. Pri primerno velikem naravnem ˇ stevilu r∈ N [glej zadnji odsta-
vek] obstaja za osnovni robni problem (RP) sistem reˇ sitev { ψ i
(z)} n
i=1
, ki so
linearno neodvisne nad kolobarjem polinomov C[z] in njihov red v neskonˇ c-
nosti ne presega ˇ stevila r. Vsaka reˇ sitev robnega problema (RP) je potem
njihova polinomska linearna kombinacija:
ϕ (z) =
n
X
i=1
q
i
(z)ψ i
(z), z∈ C\Γ , q
i
∈ C[z].
Reˇ sitve { ψ i
(z)} n
i=1
sestavljajo vrstice kanonske matrike Ψ( z) = [ψ ij
(z)]
n
i,j=1
z lastnostmi:
(a) det Ψ( z)̸= 0 za vsak z∈ C, vkljuˇ cno za z∈ Γ z ustreznimi limitnimi
vrednostmi Ψ ± (z);
(b) obstaja taka diagonalna matrika Λ = diag( λ i
), λ i
∈ Z, da je potem ma-
triˇ cna funkcija
5
ˇ Clanek o posploˇ sitvi Cauchyjevega izreka iz teorije analitiˇ cnih funkcij [16], ki vsebuje
omenjene formule, je objavil v isti ˇ stevilki revije Monatshefte f¨ur Mathematik und Physik
tik pred svojim glavnim ˇ clankom o monodromiji [17].
6–27 17

Milan Hladnik
z
Λ Ψ( z) = diag(z
λ i
)Ψ( z) obrnljiva pri z =∞ .
Zgled 3. Oglejmo si zelo preprost zgled v dimeniziji n = 1. Krivulja Γ naj bo kar enotska kroˇ znica v kompleksni ravnini, matriˇ cna funkcija na njej
pa navadna potenca, npr. M(z) = z
− r
za poljubno naravno ˇ stevilo r≥ 1.
Preprosta reˇ sitev robnega problema (RP) je zdaj funkcija ψ (z) = (1,z
r
) (se
pravi, 1 za|z| < 1 in z
r
za|z| > 1), vse druge pa so oblike q(z)ψ (z) za
poljuben polinom q.
Integralska enaˇ cba (IE), ki ustreza (RP), ima integralsko jedro
K(z,λ )
λ − z
=
(λ − r
− z
− r
)z
r
2(λ − z)
=− λ − r
(λ r
− z
r
)
2(λ − z)
=− λ − r
(λ r− 1
+··· +z
r− 1
)
2
,
zato se lahko hitro prepriˇ camo, da je njena reˇ sitev res funkcija z
r
(za desno
stran γ (z) = z
r
), saj je integral enak niˇ c. Zanimivo pa je, da so reˇ sitve te
iste integralske enaˇ cbe (IE) tudi vse niˇ zje potence z
k
, k = 0, 1, 2,...,r− 1,
in sicer za desno stranγ (z) = 2z
k
, vendar nobena od njih ne vodi do reˇ sitve
za (RP). Zaradi z
k
M(z) =z
k− r
bi bila to funkcija f(z) = (z
k− r
,z
k
), ki pa
v toˇ cki z = 0 ni regularna.
Izrek 1 reˇ suje osnovni robni problem v tolikˇ sni meri, da ga je Plemelj
lahko uporabil pri reˇ sevanju zaˇ cetnega problema o eksistenci sistema ho-
mogenih linearnih diferencialnih enaˇ cb z danimi singularnostmi in s pred-
pisano monodromijo. Da bi videli, kako je to storil, se najprej vrnimo k
situaciji, opisani v prvem razdelku, in na poseben naˇ cin izberimo krivuljo
Γ in matriˇ cno funkcijo M(z), ki nastopata v formulaciji osnovnega robnega
problema.
Imamo konˇ cno mnogo toˇ ck a
1
,a
2
,...,a
s
∈ C, mnoˇ zico U =
˜C\{ a
1
,a
2
,
...,a
s
} in poljubno upodobitev χ fundamentalne grupe π 1
(U) obmoˇ cja U
v grupo vseh obrnljivih matrik reda n. Da bi reˇ sil problem H21, je Ple-
melj obravnaval osnovni robni problem za poseben primer, ko obmoˇ cje Ω +
v kompleksni ravnini omejuje enostavno sklenjena orientirana krivulja Γ, ki
povezuje dane toˇ cke (glej spodnji sliki 2 in 3, povzeti po [6], kjer je krivulja
Γ predstavljena s poligonsko ˇ crto). Pri tem naj bo Ω − komplement mnoˇ zice
Ω +
∪ Γ v
˜C, z [a
i
,a
i+1
) pa oznaˇ cimo odsek krivulje Γ med dvema zapore-
dnima toˇ ckama a
i
in a
i+1
(i = 1, 2,...,s ), pri ˇ cemer naj velja a
s+1
=a
1
.
Naj bodo obrnljive matrike M
i
, i = 1, 2,...,s , generatorji ustrezne mo-
nodromijske grupe. Definirajmo (glej sliko 3)
M(z) := (M
1
M
2
...M
i
)
− 1
, z∈ [a
i
,a
i+1
),i = 1, 2,...,s. (8)
18 Obzornik mat. fiz.71 (2024) 1

Profesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema
Potem je M(z) obrnljiva odsekoma konstantna matriˇ cna funkcija, ki je
na zadnjem odseku identiˇ cna matrika, saj za z ∈ [a
s
,a
1
) velja M(z) =
(M
1
M
2
...M
s
)
− 1
=I.
a
1
f ( z )
-
f ( z )
+
+
W
-
W
-
W
a
2
z
a
3
Slika 2. Notranja in zunanja limita v toˇ cki
z∈ Γ.
z
0
a
1
a
2
a
s
a
3
a
4
-1
M
1
-1
( M M )
1 2
-1
( M M M )
1 2 3
Slika 3. Enostavna sklenjena krivulja Γ, ki
povezuje singularne toˇ cke.
Tako definirana funkcijaM(z) seveda ni veˇ c odvedljiva povsod na krivu-
lji Γ; v toˇ ckah a
j
, skozi katere zdaj poteka Γ, ni niti zvezna, tako da izreka
1 ne moremo neposredno uporabiti. Tu pa si je Plemelj pomagal s poseb-
nim postopkom regularizacije (glej [18, str. 156–165] ali [17, str. 228–236];
primerjaj tudi [6, str. R14–R16]). Pomnoˇ zil je M(z) s primernimi faktorji,
sestavljenimi iz konˇ cno mnogo potenc lomljenih linearnih funkcij (z niˇ clami
in poli samo v toˇ ckah a
j
), tako da je nova robna matriˇ cna funkcija postala
odvedljiva povsod na krivulji Γ. V tem primeru je z uporabo izreka 1 lahko
reˇ sil ustrezni robni problem, nato pa z obratno transformacijo naˇ sel reˇ sitve
ψ i
(z) tudi pri odsekoma konstantni matriˇ cni funkciji M(z).
Te reˇ sitve zdaj zadoˇ sˇ cajo robnemu pogoju (RP) le na posameznih odprtih
odsekih med singularnimi toˇ ckami (glej sliko 3), vendar je Plemelj pokazal,
da jih lahko analitiˇ cno nadaljujemo iz enega obmoˇ cja v drugo preko katerega
koli odseka krivulje Γ oziroma vzdolˇ z vsake poti v C, ki se izogne toˇ ckam a
j
.
To pomeni, da nanje lahko gledamo kot na veˇ cliˇ cne holomorfne funkcije na
vsej mnoˇ zici U z razvejiˇ sˇ ci v toˇ ckah a
j
, j = 1, 2,...,s (ali kot na enoliˇ cne
globalno analitiˇ cne funkcije na ustrezni Riemannovi ploskvi). Ker so bile
pri njihovi konstrukciji uporabljene le linearne lomljene funkcije z niˇ clami in
poli v a
j
, imajo v okolici teh toˇ ck kveˇ cjemu polinomsko rast, tako da velja
isto potem tudi za kanonsko matriko Ψ( z), ki je zdaj prav tako veˇ cliˇ cna
(matriˇ cna) holomorfna funkcija na U.
Ker tudi kanonska matrika Ψ zadoˇ sˇ ca robnemu pogoju
Ψ +
(z) = Ψ − (z)M(z) za z∈ Γ \{ a
1
,a
2
,...,a
s
} ,
velja zanjo pri enostavnem obhodu okrog toˇ cke a
i
zveza
Ψ( z) =σ i
(Ψ)( z)M
i
=σ i
(Ψ)( z)χ (σ i
), z∈ ˜C\Γ 6–27 19

Milan Hladnik
(glej definicijo funkcije M(z) v formuli 8 in sliko 3). Izberimo eno od sin-
gularnih toˇ ck, npr. a
1
, in z diagonalno matriko Λ iz toˇ cke (b) izreka 1
definirajmo funkcijo
Y (z) := (z− a
1
)
Λ Ψ( z), z∈ ˜C\Γ , (9)
ki je v toˇ cki z =∞ omejena in obrnljiva. Kot veˇ cliˇ cna meromorfna matriˇ cna
funkcija jeY =Y (z) obrnljiva povsod na
˜C in ima polinomsko rast v bliˇ zini
vsake toˇ cke a
i
.
Poleg tega se vzdolˇ z poljubne sklenjene poti σ v U (tako kot kanonska
matrika Ψ( z)) transformira v funkcijsko matriko σ (Y ) =Yχ (σ )
− 1
. Iz ena-
kostiY =σ (Y )χ (σ ) pa slediY
′ =σ (Y )
′ χ (σ ) inY
− 1
=χ (σ )
− 1
σ (Y )
− 1
, tako
da je
Y
′ Y
− 1
=σ (Y )
′ σ (Y )
− 1
in je zato matriˇ cna funkcija A(z) = Y
′ (z)Y (z)
− 1
invariantna za delovanje
monodromijske grupe. Torej predstavljaA(z) enoliˇ cno holomorfno matriˇ cno
funkcijo na U, ki zaradi Y
′ = A(z)Y doloˇ ca sistem (1) z monodromijo χ ,
pri ˇ cemer je Y = Y (z), definirana s formulo (9), fundamentalna matrika
njegovih reˇ sitev. Ker ima funkcijska matrika Y (z) v okolici vsake singularne
toˇ cke a
i
polinomsko rast, velja isto za enoliˇ cno matriˇ cno funkcijo A(z), ki
je zato racionalna, sistem (1) pa regularen v skladu z definicijo 2.
Na ta naˇ cin je Plemelj pokazal, da je vsaka upodobitev χ fundamen-
talne grupe za daniU monodromija nekega regularnega sistema diferencial-
nih enaˇ cb (1).
Plemelj pa se pri tem ni ustavil, skuˇ sal je ˇ se dokazati, da ima dobljena
matriˇ cna funkcija A(z) same enostavne pole, se pravi, da je sistem Fuchsov.
Brez veˇ cjih teˇ zav je ugotovil, da se da matriko Y (z) izbrati tako, da to velja
za vse izbrane singularne toˇ cke razen ene, npr. zadnje toˇ cke a
s
. Nazadnje
je z ustrezno modifikacijo zaˇ cetne matriˇ cne funkcije Y (z) odpravil ˇ se zadnjo
oviro. Prav na tem zadnjem koraku pa se je v dokazu skrivala napaka, ki se
je, kot kaˇ ze, profesor Plemelj vse do svoje smrti ni zavedal.
ˇ Se bolj zanimivo
je, da te napake tudi drugi matematiki niso odkrili skoraj petinsedemdeset
let. Ker je bil Plemljev izrek sploˇ snejˇ si od Hilbertovega, dokaz pa bolj
eleganten, je v matematiˇ cni javnosti paˇ c obveljalo prepriˇ canje, da je on prvi
dokonˇ cno (pozitivno) reˇ sil problem H21.
Kaj se je zares zgodilo? Tri ˇ cetrt stoletja pozneje so ugotovili, da je Ple-
melj potiho predpostavil, da je matrikaM
s
=χ (σ s
), ki pripada zanki okrog
zadnje toˇ cke a
s
, diagonalizabilna, ni pa tega dokazal. Luknjo v Plemljevem
dokazu je v zaˇ cetku osemdesetih let 20. stoletja odkril Armando Kohn Tre-
ibich; o njej je poroˇ cal na seminarju na
´ Ecole Normale Sup´ erieure (glej
[3, str. 106]). Zadostnost diagonalizabilnosti ene od generatorskih matrik
20 Obzornik mat. fiz.71 (2024) 1

Profesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema
za pozitivno reˇ sitev problema H21 je potem konec osemdesetih let dokazal
ruski matematik Julij S. Iljaˇ senko, dvajset let kasneje pa je Vladimir P. Ko-
stov naˇ sel ˇ se ˇ sibkejˇ si zadosten pogoj: zadoˇ sˇ ca, da ima ta matrika v svoji
jordanski obliki kveˇ cjemu eno kletko reda 2, ostale pa reda 1 (glej [10, str.
7, opomba 2] ali [14]).
Brez zadnjega spodletelega koraka je torej Plemelj v resnici reˇ sil po-
memben podoben problem, ki pa se razlikuje od (moderne interpretacije)
problema H21. Kot vidimo, je dokazal, da pri danih singularnih toˇ ckah in
dani monodromiji obstaja sistem (1), ki je regularen, ne pa nujno Fuchsov.
Reˇ sitev je torej dobil v ˇ sirˇ sem razredu.
4. Kratka zgodovina reˇ sevanja problema H21 po letu 1908
S problemom se je istoˇ casno kot Plemelj ukvarjal tudi na Slovaˇ skem ro-
jeni nemˇ ski matematik Ludwig Schlesinger (1864–1933), vendar se njegova
kontinuitetna metoda ni izkazala za uspeˇ sno (o njej se je med obema mate-
matikoma leta 1909 v ˇ casopisu Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-
Vereinigung, Leipzig, razvila strokovna polemika, o kateri poroˇ ca tudi pro-
fesor Vidav [22, str. 30]).
Leta 1913 je Plemljev dokaz nekoliko poenostavil George David Birkhoff
(1884–1944). Tudi on je spregledal zahtevo po diagonalizabilnosti ene od
generatorskih matrik monodromijske grupe, saj je podrobnosti v dokazu na
tem mestu kar preskoˇ cil in zapisal, da “sploˇ sni primer obravnavamo na enak
naˇ cin” (glej [3, str. 106]).
Leta 1928 je ruski matematik Ivan Andrejeviˇ c Lappo Danilevski (1896–
1931) na izviren naˇ cin konstruiral osnovne matrike χ (σ i
), i = 1, 2,...,s ,
monodromijske grupe, ki pripadajo enostavno sklenjenim potem okrog po-
sameznih singularnih toˇ ck (glej [3, str. 106] in tudi [6, str. R17]). Reˇ sitev je
poiskal s pomoˇ cjo konvergentnih vrst za matriˇ cne koeficiente A
i
iz formule
za razcep matriˇ cne funkcije A(z) sistema (1) na enostavne ulomke (glej str.
2). Iz njegove konstrukcije sledi, da je problem H21 pozitivno reˇ sljiv, ˇ ce so
te matrike dovolj blizu identiˇ cni matriki, je pa res, da bi to sledilo tudi iz
Plemljevega pristopa (glej [3, str. 107] in [5, str. 1160]). Petdeset let kasneje
so japonski matematiki M. Sato, T. Miwa in M. Jimbo naˇ sli te matrike tudi
z uporabo kvantne teorije polja (primerjaj [3]).
Leta 1956 je B. L. Krilov z uporabo hipergeometriˇ cnih funkcij eksplicitno
reˇ sil problem H21 za sisteme dveh enaˇ cb s tremi singularnimi toˇ ckami (glej
[6, str. R17]).
Naslednje leto je eksistenco regularnega sistema dokazal tudi Helmut
R¨ohrl (1927–2014) z uporabo novejˇ sih metod iz teorije Riemannovih plo-
skev in algebraiˇ cne geometrije. Njegov pristop je elementaren, vendar na
6–27 21

Milan Hladnik
kljuˇ cnem mestu uporablja netrivialni izrek Birkhoffa in Grothendiecka o ho-
lomorfnih vektorskih sveˇ znjih. Bil je prav tako prepriˇ can, da je (na drugaˇ cen
naˇ cin) reˇ sil Riemann-Hilbertov problem.
Uporaba holomorfnih vektorskih sveˇ znjev in diferencialnih operatorjev
na njih je znaˇ cilna za moderno obravnavo problema H21 na poljubnih Rie-
mannovih ploskvah. Z njim se je na ta naˇ cin okrog leta 1970 ukvarjal tudi
Pierre Deligne (roj. 1944)
6
. Iz njegove teorije znova sledi Plemljev rezultat,
tj. upodobitev fundamentalne grupe kot monodromije regularnega sistema
(1) z meromorfno matriˇ cno funkcijo A(z), vendar na sploˇ sno ni mogel doseˇ ci
monodromije Fuchsovega sistema [3].
V zvezi s tem je zanimivo, da je ta dognanja uporabil nizozemski ma-
tematik Wil Dekkers, ki je sicer delal na podroˇ cju logike in raˇ cunalniˇ stva.
Leta 1979 je naˇ sel pozitivno reˇ sitev za Fuchsove sisteme reda 2 s poljubno
mnogimi singularnostmi (glej [3, str. 108] ali [5, str. 1160]). N. P. Erugin pa
je leta 1982 obravnaval sistem dveh enaˇ cb s ˇ stirimi singularnimi toˇ ckami in
pokazal povezavo s Painlev´ ejevo enaˇ cbo (glej [6, str. R17]).
Potem ko je leta 1964 izˇ sla v angleˇ sˇ cini Plemljeva knjiga Problems in the
sense of Riemann and Klein [18], v kateri je v zadnjem razdelku opisal svojo
reˇ sitev problema, so se v zaˇ cetku osemdesetih let pojavili prvi resnejˇ si dvomi
o dokonˇ cni reˇ sitvi problema H21, konec desetletja pa tudi nova presenetljiva
odkritja.
Kohn Treibich je svoje odkritje Plemljeve napake objavil leta 1983 [20],
nanjo sta nekaj let kasneje (leta 1988) opozorila tudi ruska matematika Vla-
dimir Arnold (1937–2010) in Julij Iljaˇ senko (roj. 1943), glej [1, str. 7–8]
in [2, str. 133]. Slednji je, kot smo ˇ ze omenili, za reˇ sitev problema posta-
vil dodatni pogoj (namreˇ c diagonalizabilnost ene od generatorskih matrik
monodromijske grupe) in dokazal njegovo zadostnost.
Zadrego je – v nepriˇ cakovani smeri – razreˇ sil ruski matematik mlajˇ se
generacije Andrej Bolibruch (1950–2003), ko je leta 1989 naˇ sel protiprimer
regularnega sistema (1), za katerega ne obstaja noben Fuchsov sistem line-
arnih diferencialnih enaˇ cb z istimi singularnostmi in monodromijsko grupo
(objavljen leta 1990 v ruˇ sˇ cini in v angleˇ skem prevodu [4]). Konstrukcija je
bila narejena za tri enaˇ cbe in ˇ stiri singularne toˇ cke ( n = 3, s = 4).
Matrike A(z) ustreznega sistema ni teˇ zko napisati (glej [1, str. 14]):
    0
1
z
2
+
1
z+1
− 1
z− 1/2
1
z− 1
− 1
z− 1/2
0
1
z
− 1
6(z+1)
− 1
2(z− 1)
− 1
3(z− 1/2)
1
6(z+1)
− 1
2(z− 1)
+
1
3(z− 1/2)
0 − 1
6(z+1)
+
1
2(z− 1)
− 1
3(z− 1/2)
− 1
z
+
1
6(z+1)
+
1
2(z− 1)
+
1
3(z− 1/2)
    ,
6
Deligne je dobitnik Fieldsove medalje leta 1978 in ˇ se ˇ stevilnih drugih uglednih ma-
tematiˇ cnih oziroma znanstvenih priznanj, med njimi tudi Abelove nagrade leta 2013.
22 Obzornik mat. fiz.71 (2024) 1

Profesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema
teˇ zko pa je dokazati, da je to res protiprimer za problem H21. Sistem oˇ ci-
tno ni Fuchsov (toˇ cka 0 ni Fuchsova), moˇ zno pa je preveriti, da je regularen.
Glavni problem je seveda dokazati, da ne obstaja noben Fuchsov sistem z
istimi singularnostmi in isto monodromijo. Bolibruch je moral za to upo-
rabiti Leveltovo posploˇ sitev Poincar´ ejeve lokalne teorije. Ta protiprimer je
poleg tega obˇ cutljiv za perturbacijo singularnosti: ˇ ze pri majhnem premiku
singularnih toˇ ck (ne da bi spremenili generatorje monodromijske grupe) se
lahko zgodi, da ustrezen Fuchsov sistem obstaja (glej [4]).
Kasneje je Bolibruch naˇ sel ˇ se vrsto drugih protiprimerov, ki so stabilni
v smislu perturbiranja singularnosti. O svojem delu na tem podroˇ cju je
leta 1994 poroˇ cal na mednarodnem matematiˇ cnem kongresu v Z ¨urichu [5].
Istega leta je v soavtorstvu z D. V. Anosovom izˇ sla njegova knjiga The
Riemann-Hilbert Problem [1]. Po veˇ c kot devetdesetih letih je bil torej Hil-
bertov enaindvajseti problem (ˇ ce ga razumemo v modernem smislu kot is-
kanje ustreznega Fuchsovega sistema linearnih diferencialnih enaˇ cb) reˇ sen
negativno, in to v nasprotju z dotedanjim prepriˇ canjem o njegovi pozitivni
reˇ sljivosti.
ˇ Ce je bil torej Josip Plemelj prvi uspeˇ sni reˇ sevalec Hilbertovega 21. pro-
blema, je postal Andrej Bolibruch njegov zadnji in dokonˇ cni reˇ sevalec (ˇ ce v
matematiki sploh lahko govorimo o dokonˇ cnih reˇ sitvah, saj so vedno moˇ zne
posploˇ sitve ali drugaˇ cni pogledi na problematiko). Reˇ sitev problema je Bo-
libruchu prinesla slavo, zaposlitev na moskovskem Matematiˇ cnem inˇ stitutu
Steklova, ˇ clanstvo v ruski akademiji znanosti in redno profesuro na mosko-
vski drˇ zavni univerzi. Bolibruch se je kot dober matematik uveljavil tudi na
Zahodu.
ˇ Se naprej je raziskoval tematiko, povezano z Riemann-Hilbertovim
problemom, o ˇ cemer je napisal okrog 100 ˇ clankov in nekaj knjig.
7
5. Primeri pozitivnih reˇ sitev
Negativna reˇ sitev Hilbertovega 21. problema za sisteme seveda ne po-
meni, da v posebnih primerih ne obstajajo pozitivne reˇ sitve.
Povedali smo ˇ ze, da je za sisteme z dvema linearnima diferencialnima
enaˇ cbama prvega reda ( n = 2) problem H21 vedno reˇ sljiv neodvisno od
ˇ stevila singularnih toˇ ck (Dekkers). Andrej Bolibruch je v primeru n = 3
poleg odkritja navedenega protiprimera tudi natanˇ cno karakteriziral, kdaj
je pri danih singularnostih in dani monodromiji moˇ zno poiskati ustrezni
Fuchsov sistem (glej npr. [1, str. 133, Theorem 6.1.1]).
Podobno je problem pozitivno reˇ sljiv, kadar je npr. upodobitev χ neraz-
7
Na ˇ zalost je Andrej Bolibruch v ˇ stiriinpetdesetem letu starosti po hudi bolezni umrl
11. novembra 2003, natanˇ cno mesec dni pred 130. obletnico Plemljevega rojstva.
6–27 23

Milan Hladnik
cepna oziroma ireducibilna, kar sta v zaˇ cetku devetdesetih let (med seboj
neodvisno) odkrila Vladimir Kostov in Andrej Bolibruch (glej [3, str. 115]
ali [1, str. 11 in str. 83, Theorem 4.2.1]).
Reˇ sljivost problema je zagotovljena ˇ se v nekaterih drugih primerih. Npr.
takrat, kadar je med singularnostmi poleg polov prve stopnje tudi kakˇ sna
(vsaj ena) navidezno singularna toˇ cka (glej [3, str. 116] ali [5, uvod in po-
glavje o Fuchsovih enaˇ cbah]). Po definiciji je to taka singularnost, v okolici
katere je reˇ sitev sistema enoliˇ cna analitiˇ cna funkcija, ustrezna monodromij-
ska matrika pa zato identiteta, torej diagonalizabilna. V tem primeru na-
mreˇ c zadnji del Plemljevega (in Birkhoffovega) dokaza velja (glej pojasnilo
ob odkritju napake v tem dokazu na koncu 3. razdelka).
Pri homogenih linearnih diferencialnih enaˇ cbah viˇ sjega reda (2) se poja-
vijo nekatere posebnosti. Vemo npr., da se pri njih, drugaˇ ce kot pri sistemih,
definiciji Fuchsove in regularno singularne toˇ cke ujemata. Nadalje so ugo-
tovili, da je nerazcepna upodobitev fundamentalne grupe za obmoˇ cje s s
singularnimi toˇ ckami v grupo vseh obrnljivih matrik reda n odvisna od
N
r
=n
2
(s− 2) + 1
parametrov, medtem ko je parametrov pri Fuchsovi homogeni linearni dife-
rencialni enaˇ cbi reda n z s singularnimi toˇ ckami kveˇ cjemu
N
e
=n
2
(s− 2)/2 +ns/2.
Zgornji formuli najdemo npr. v [3, str. 117] ali [1, str. 129 in 158]. Razlika
obeh vrednosti
N
r
− N
e
=n
2
(s− 2)/2− ns/2 + 1
je prin> 2 ins> 2 pozitivna, kar pomeni, da je (ˇ ze samo nerazcepnih) upo-
dobitev tedaj veˇ c kot Fuchsovih enaˇ cb, tako da ni priˇ cakovati, da bi se vsaka
upodobitev fundamentalne grupe obmoˇ cja U dala realizirati z monodromijo
neke Fuchsove enaˇ cbe z danimi singularnostmi. To pa je moˇ zno storiti,
ˇ ce med slednjimi dopuˇ sˇ camo tudi navidezne singularnosti a
i
, pri katerih se
ustrezna zanka σ i
preslika v identiˇ cno matriko χ (σ i
) = I.
ˇ Stevilo parame-
trov se pri monodromiji danega reda z dodatnimi navideznimi toˇ ckami ne
poveˇ ca, medtem ko se pri Fuchsovi enaˇ cbi to zgodi. Bolibruch je ocenil (glej
[3, str. 117]), koliko najveˇ c navideznih singularnosti se potrebuje za realiza-
cijo dane upodobitve fundamentalne grupe z monodromijo Fuchsove enaˇ cbe
viˇ sjega reda (npr. pri nerazcepni upodobitvi kveˇ cjemu toliko, kot znaˇ sa prej
omenjena razlika v ˇ stevilu obeh vrst parametrov).
Ta pozitivni rezultat za enaˇ cbe viˇ sjega reda sledi iz Plemljevega doseˇ zka,
ko je reprezentacijo fundamentalne grupe pri danih singularnih toˇ ckah reali-
ziral kot monodromijo nekega regularnega sistema. S primerno meromorfno
24 Obzornik mat. fiz.71 (2024) 1

Profesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema
transformacijo je namreˇ c mogoˇ ce ta sistem preoblikovati v drug regularen
sistem, ki je take oblike kot sistem (3), kjer so v zadnji vrstici racionalne
funkcije− q
n
,− q
n− 1
,...,− q
1
. (Dokaz tega dejstva sicer ni preprost, zah-
teva eksistenco cikliˇ cnega vektorja za nek operator odvajanja; glej [9, str.
42, Lemme 1.3].) Kot vemo, ima tedaj ustrezna enaˇ cba (2) s koeficienti
q
1
,q
2
,...,q
n
iste reˇ sitve, pa tudi iste singularnosti in zato tudi isto mono-
dromijo kot preoblikovani sistem, ki je za enaˇ cbo (2) standarden. Vse reˇ sitve
imajo okrog vsake singularne toˇ cke polinomsko rast, zato so njene singular-
nosti regularne, torej tudi Fuchsove in ustrezna enaˇ cba sama je Fuchsova.
Posebnost pa je v tem primeru ta, da imajo zdaj racionalne funkcije q
i
, ki
smo jih pridelali v zadnji vrstici standardnega sistema, lahko pole tudi v
navideznih singularnih toˇ ckah s trivialno monodromijsko matriko (glej [3,
str. 117]).
V tem smislu, to je z dopuˇ sˇ canjem dodatnih navideznih singularnosti,
je Hilbertov 21. problem za linearne diferencialne enaˇ cbe viˇ sjega reda torej
pozitivno reˇ sljiv. Navsezadnje ga je leta 1900, kot smo omenili ˇ ze v uvodu, za
enaˇ cbe in ne za sisteme originalno formuliral tudi Hilbert (glej H21).
ˇ Ceprav
se ni bolj natanˇ cno opredelil, bi morda utegnil tudi on s to formulacijo
meniti, da ima enaˇ cba lahko poleg predpisanih singularnosti v danih toˇ ckah
ˇ se kakˇ sne navidezne singularnosti v drugih toˇ ckah.
V primerih pozitivnih reˇ sitev so pogosto najprej uporabili znano Plem-
ljevo “regularno” reˇ sitev problema in jo ˇ sele nato modificirali do “Fuchsove”
reˇ sitve (primerjaj [1, str. 11]).
6. Zakljuˇ cne misli
V matematiki se, tako kot v vsaki ˇ cloveˇ ski dejavnosti, dogajajo napake.
Ker pa je vsako objavljeno delo vsakega raziskovalca podvrˇ zeno strogemu
strokovnemu preverjanju kolegov (ˇ ce ne ˇ ze pred objavo, pa po njej), je na-
paka po navadi hitro odkrita in (po moˇ znosti) tudi popravljena. V Plemlje-
vem primeru je nenavadno le to, da je do njenega odkritja priˇ slo razmeroma
pozno.
Tudi nerazumevanja in nesporazumi so sestavni del ˇ zivljenja. Avtorja
knjige [1] dopuˇ sˇ cata moˇ znost, da je v zvezi z reˇ sevanjem problema H21 do
zmede priˇ slo zaradi razliˇ cnih interpretacij in formulacij problema. Za to
navajata nekaj razlogov:
Morda je Hilbert, ko je govoril o Fuchsovih toˇ ckah, imel v mislih regu-
larne toˇ cke (kar je razreˇ sil Plemelj). V zaˇ cetku 20. stoletja teh dveh pojmov
tudi ˇ se niso dobro razlikovali med seboj, ˇ se zlasti, ker se pri linearni dife-
rencialni enaˇ cbi viˇ sjega reda oba ujemata, Hilbert sam pa je v originalni
formulaciji svojega 21. problema uporabil izraz enaˇ cba.
6–27 25

Milan Hladnik
Poleg tega je znano, da se d´ a vsako Fuchsovo diferencialno enaˇ cbo viˇ sjega
reda s primerno meromorfno transformacijo preoblikovati v Fuchsov sistem
z istimi singularnostmi in isto monodromijo (glej [5, str. 1164, Theorem
7]), podobno kot smo to storili z Eulerjevo diferencialno enaˇ cbo drugega
reda v 2. razdelku.
ˇ Se veˇ c, kot je ugotovil ˇ ze Plemelj, se da lokalno, tj. za
vsako singularno toˇ cko posebej, tudi vsak regularen sistem transformirati v
v sistem, ki je Fuchsov povsod, razen v izbrani toˇ cki (glej tudi [1, str. 62,
Theorem 3.2.1]). Nemara je to botrovalo misli, da je isto moˇ zno narediti tudi
globalno, kar pa se je izkazalo za utvaro (razen ˇ ce med izjemnimi toˇ ckami
ni navideznih singularnosti).
Celotno zadevo lahko na kratko ˇ se najlaˇ zje pojasnimo z izjavo, da se v
Hilbertovi formulaciji skrivata v resnici dva problema, “regularni” in “Fu-
chsov”. Plemelj je reˇ sil prvega, Bolibruch pa drugega.
Naj za konec omenimo, da je neodvisno od formulacije obravnavanega
problema ter njegove konˇ cne (pozitivne ali negativne) reˇ sitve Plemljev ori-
ginalni pristop k problemu H21 pomemben ˇ se v nekoliko ˇ sirˇ sem smislu. Re-
ˇ sevanje posebnih analitiˇ cnih robnih nalog z uporabo integralskih enaˇ cb se je
namreˇ c izkazalo za zelo koristno pri obravnavi razliˇ cnih problemov sodobne
matematike in matematiˇ cne fizike. Bralec se lahko o modernih aplikacijah
Plemljeve metode pouˇ ci v razpravi angleˇ skega matematika Thomasa Both-
nerja [6]. V njej avtor, poleg dovolj natanˇ cnega in v sodobnem matematiˇ c-
nem jeziku formuliranega opisa Plemljevih tovrstnih rezultatov, predstavi
zlasti ˇ stevilne podrobno obdelane zglede uporabe funkcijske teorije in teo-
rije singularnih integralskih enaˇ cb pri razliˇ cnih modernih matematiˇ cnih in
fizikalnih problemih. Pri vsakem posebej se potrudi poiskati izvor ustrezne
reˇ sitve (ali vsaj metode reˇ sevanja) v eni ali drugi varianti osnovnega rob-
nega problema, kakrˇ snega je razreˇ sil Plemelj.
Zahvala
Profesorja dr. Pavle Saksida in akademik dr. Franc Forstneriˇ c sta me
opozorila na informativni ˇ clanek Arnauda Beauvillea [3], ki me je vzpodbu-
dil k pisanju tega prispevka. Zaˇ cetno verzijo je prebral profesor dr. Bojan
Magajna, kasnejˇ so pa profesor Forstneriˇ c; oba sta mi dala veˇ c tehtnih pri-
pomb, ki sem jih s hvaleˇ znostjo upoˇ steval. Predvsem pa bi se rad zahvalil
anonimnemu recenzentu za res zelo skrben pregled rokopisa ter za podrobna
vsebinska opozorila na napake in pomanjkljivosti, kakor tudi za ˇ stevilne ko-
ristne nasvete, ki so mnogo pripomogli k izboljˇ sanju prvotnega besedila.
26 Obzornik mat. fiz.71 (2024) 1

Profesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema
LITERATURA
[1] D. V. Anosov in A. A. Bolibruch, The Riemann-Hilbert problem, A Publication from
the Steklov Institute of Mathematics, Aspects Math. E22, Springer Fachmedien, Wi-
esbaden, 1994.
[2] V. I. Arnold in Yu. S. Il’yashenko, Ordinary differential equations, v: Dynamical
systems 1 (ur. D. V. Anosov in V. I. Arnold), Encyclopedia of Mathematical Sciences
1, Springer, Berlin-Heidelberg, 1988.
[3] A. Beauville, Monodromie des syst` emes diff´ erentieles lin´ eaires ` a pˆ oles simples sur la
sph` ere de Riemann (d’apr` es A. Bolibruch) , S´ eminaire Bourbaki 1992/93, Ast´ erisque
216 (1993), Exp. No. 765, 103–119.
[4] A. A. Bolibruch, Problema Riemana-Gilberta, Uspehi Mat. Nauk 45:2 (1990), 3–47;
angl. prevod: The Riemann-Hilbert problem, Russian Math. Surveys 45:2 (1990), 1– 58.
[5] A. A. Bolibruch, The Riemann-Hilbert problem and Fuchsian differential equations on
the Riemann sphere, Proceedings of the International Congress of Mathematicians,
(Z¨urich, August 3–11, 1994), 1159–1168, Birkh ¨auser, Basel, 1995.
[6] T. Bothner, On the origins of Riemann-Hilbert problems in mathematics, Nonlinearity
34 (2021), R1–R73.
[7] E. A. Coddington in N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGraw-
Hill, New York, Toronto, London, 1955.
[8] M.
ˇ Cerne, Plemljeve formule, Obzornik mat. fiz. 54 (2007), 185–193.
[9] P. Deligne,
´ Equation diff´ erentielles ` a points singuliers r´ eguliers , Lecture Notes in
Math. 163, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1970.
[10] R. R. Gontsov in V. A. Poberezhnyi, Various versions of the Riemann–Hilbert pro-
blem for linear differential equations, Russian Math. Surveys 63 (2008), 603—639
(Uspekhi Mat. Nauk 63, 3–42).
[11] P. Hartman, Ordinary differential equations, John Wiley, New York, 1964.
[12] Hilbert’s twenty-first problem, v: Wikipedia, the free encyclopedia, dostopno na
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_twenty-first_problem.
[13] B. V. Hvedelidze, Fredholm theorems, v: Encyclopedia of Mathematics, EMS Press,
dostopno na https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fredholm_theorems.
[14] V. P. Kostov, Riemann-Hilbert problem, v: Encyclopedia of Mathematical Physics,
2006, str. 436–441.
[15] A. Landesman, Notes on fundamental group, dostopno na https://people.math.
harvard.edu/~landesman/assets/fundamental-group.pdf.
[16] J. Plemelj, Ein Erg¨anzungssatz zur Cauchyschen Integraldarstellung analytischer
Funktionen, Randwerte betreffend, Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), 205–210.
[17] J. Plemelj, Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe, Mo-
natsh. Math. Phys. 19 (1908), 211–246.
[18] J. Plemelj, Problems in the sense of Riemann and Klein, Interscience Tracts in Pure
and Applied Mathematics 16, Interscience Publishers John Wiley & Sons, New York-
London-Sydney, 1964.
[19] H. Poincar´ e, Sur les groupes des ´ equations lin´ eaires , Acta Math. 4 (1884), 201–312.
[20] A. Treibich Kohn, Une r´ esultat de Plemelj , v: Math´ ematique et Physique (S´ eminaire
de l’ENS 79–82), Progr. Math. 37, str. 307–312, Birkh ¨auser, Boston, 1983.
[21] N. P. Vekua, Uporaba nekaterih izsledkov J. Plemlja v teoriji singularnih integralskih
enaˇ cb in robnih nalog linearne konjugiranosti , Obzornik mat. fiz. 20 (1973), 133–144.
[22] I. Vidav, Josip Plemelj, ob stoletnici rojstva, Drˇ zavna zaloˇ zba Slovenije, Ljubljana,
1973.
6–27 27