IZ TEORIJE ZA PRAKSO 2 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Vrednotenje matematičnega znanja na splošni maturi mag. Simona Pustavrh Šolski center Novo mesto, Srednja elektro šola in tehniška gimnazija Simona Vreš Šolski center Ravne na Koroškem, Gimnazija Ravne na Koroškem ddr. Janez Žerovnik Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo Državna predmetna komisija za splošno maturo za matematiko Izvleček Predmetni izpitni katalog za splošno maturo 2021 – matematika določa na obeh ravneh zahtevnosti po dve izpitni poli, ki se razlikujeta v tem, da v prvi računalo ni dovoljeni pripomoček, v drugi pa ga kandidati pri reševanju nalog lahko uporabljajo. V prispevku je obravnavana novost s stališča sestavljanja nalog in deloma tudi s stališča strategije priprave na maturo v novih okoliščinah. Predstavljena je klasifikacija maturitetnih nalog, ki temelji na dovoljenem žepnem računalu na splošni maturi. Klasifikacija se nekoliko razlikuje od drugih, saj je prilagojena ozkemu namenu in se med drugim omejuje na vpliv uporabe računala in ni name- njena splošni analizi, ki upošteva uporabo katerekoli tehnologije. Klasifikacija je uporabljena za predstavitev primerov, ki pojasnjujejo nekaj značilnih lastnosti, ki so pomembne pri oblikovanju in vrednotenju nalog na maturi. Primeri vključujejo posebej izbrane naloge, ki so z ustrezno prilagojenima točkovnikoma primerne za obe izpitni poli. Ključne besede: splošna matura, računalo, razvrstitev nalog, vrednotenje znanja Mathematics Assessment in General Matura Examination Abstract The general matura exam catalogue for mathematics 2021 determines two parts of the matura examination paper at both levels of difficulty. In the first part, candidates are not allowed to use calculators, while in the second part calculators are permitted. This article looks at a novel approach to constructing exam tasks and, partly, the strategies for the matura exam preparation under the new circumstances. It also describes the task classification, based on the fact that calculators are now permitted for the matura exam. This classification somewhat differs from others in that it focuses on the impact of calculators being allowed, and should there- fore not be used for general analysis, which considers the use of any technology. The classification describes specific and interesting examples, which are important when creating and evaluating matura exam tasks (e.g., specific tasks that can be used in both parts of the matura examination paper provided that the marking scale is adapted accordingly). Keywords: general matura exam (baccalaureate examination), calculator, task classification, knowledge evalu- ation. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 3 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Uvod Splošna matura je državni izpit, ki je hkrati zaključni izpit po programu gimnazije in pogoj za vpis na univerzitetni študij. Od ponovne uvedbe splošne mature leta 1995 je matematika obve- zen maturitetni predmet, pri katerem lahko kandidati opravljajo izpit na dveh ravneh zahtevnosti, na osnovni in višji ravni. Ma- turitetni izpit iz matematike se do mature leta 2021 ni bistveno spreminjal, manjše spremembe so bile vpeljane le pri definiciji dovoljenega računala na maturi. Pomembne novosti, ki so stopile v veljavo leta 2021 pri ekster- nem (pisnem) delu mature iz matematike, so: (1) kandidati na osnovni in na višji ravni rešujejo dve izpitni poli (na prvi uporaba računala ni dovoljena), (2) čas pisanja izpitnih pol je spremenjen (za vsako polo je na voljo 90 minut), (3) na osnovni ravni je uvedena nova kategorija kratkih nalog, (4) seznama formul, ki sta priložena izpitnim polam na osnovni in na višji ravni, sta razširjena in se razlikujeta. Spremembe so natančno opredeljene v veljavnem predmetnem izpitnem katalogu [1], podroben opis sprememb s komentarji pa je v člankih [2] in [6]. Žal je prvo izvedbo splošne mature po predmetnem izpitnem ka- talogu [1], ki velja od leta 2021, močno zaznamovala pandemija virusa. Na nivoju celotne mature so bile zaradi razmer, v kate- rih je pouk dlje časa potekal na daljavo, odrejene prilagoditve mature. Ker bi bila matura 2021 prva, na kateri bi kandidati na izpitu iz matematike pisali polo brez računala, je bila ena od po- membnih prilagoditev dovoljena uporaba računal na obeh po- lah. Prilagoditev je bila sprejeta zaradi precej velikega nelagodja pred pisanjem pole brez računala, ki so ga izražali predstavniki bodočih maturantov in tudi nekateri učitelji. Učni načrt za gimnazije [14] večkrat omenja uporabo IKT (in- formacijsko-komunikacijske tehnologije) pri pouku matemati- ke, vendar je podrobneje ne opredeljuje. V svetu in tudi pri nas v zadnjih letih (in desetletjih) poteka sorazmerno živahna razpra- va o uporabi računal pri pouku matematike. Mnenja so zelo raz- lična, od zagovarjanja neomejene uporabe računal pri pouku od osnovne šole naprej do svaril o škodljivosti kakršnekoli uporabe tehnologije. Vročo debato so v svetu poimenovali »Math Wars« (ZDA), »Glaubenkrieg« (Nemčija), za kratek uvod v problema- tiko in dodatne reference predlagamo na primer članek [12]. V tem prispevku se omejimo na trditev, da verjetno ni vprašanje »tehnologija – da ali ne?«, ampak je pravo vprašanje, kdaj in na kakšen način je uporaba tehnologije korak k bolj kakovostnemu pouku matematike. Slovenski maturanti tradicionalno pri matu- ri uporabljajo (žepno) računalo, po novem bodo pisali prvo polo brez in drugo z računalom. V nadaljevanju najprej na kratko predstavimo definicijo t. i. ma- turitetnega računala. Sledi kratek pregled klasifikacij nalog glede na njihovo občutljivost na uporabo tehnologije in predstavitev klasifikacije, ki smo jo definirali za naš namen. Sledi jedro pri- spevka, ki se osredotoča na primere nalog različnih tipov s ko- mentarji. Večina primerov je iz starih matur, nekaj nalog pa je sestavljenih na novo ali so vzete iz zbirke [8], ki jo je predmetna maturitetna komisija pripravila pred uvedbo novega modela ma- ture. Sledi povzetek z nekaj zaključnimi ugotovitvami. Matura in računala Že od samega začetka mature leta 1995 je bila pri pisnem delu izpita iz matematike uporaba računala dovoljena. V tem času je razvoj tehnologije izredno povečal zmogljivost »žepnih« raču- nal, na tržišče pa vsako leto prihajajo nova računala, ki uporab- nikom ponujajo vedno nove možnosti uporabe. Tako so se na izpitnih polah vse pogosteje pojavljale naloge z navodilom, da je treba nalogo reševati brez uporabe računala. Ugotoviti, ali je dijak takšno nalogo dejansko rešil brez uporabe računala, je bilo težko, včasih povsem nemogoče, kar je bil eden izmed glavnih razlogov za vpeljavo dveh izpitnih pol pri maturitetnem izpitu iz matematike. Veljavni učni načrt [14] med drugim večkrat omenja in celo po- udarja uporabo informacijsko-komunikacijske tehnologije, ven- dar podrobnosti ne opredeljuje. Učitelji so imeli na voljo številna strokovna spopolnjevanja s področja IKT, vključevali pa so se lahko tudi v projekte s tega področja. Kljub temu je praksa po šolah močno odvisna od različnih materialnih pogojev in samo- iniciativnosti ter iznajdljivosti pedagogov. Računalo je na maturi pripomoček, ki ga je treba za vsako gene- racijo natančno definirati vsaj dve leti pred izvedbo mature, kar je ob hitrem razvoju tehnologije zelo težka naloga. Nenazadnje učni načrt iz razumljivih razlogov nikjer ne opredeli, kaj natanč- no je mišljeno s pojmom »uporaba informacijsko-komunikacij- ske tehnologije«, saj verjetno ni mišljena zgolj uporaba tako ime- novanih (žepnih) računal. Vsekakor pa učni načrt predvideva, da kandidati na splošni maturi iz matematike obvladajo nekatere postopke reševanja nalog brez računala, nekatere pa z računa- lom, saj je med splošnimi cilji/kompetencami zapisano, da mo- rajo kandidati »spoznavati in uporabljati različne informacijsko- -komunikacijske tehnologije (IKT) kot pomoč za učinkovitejše učenje in reševanje problemov« ter »presojati, kdaj je smiselno uporabiti določeno informacijsko-komunikacijsko tehnologijo in razviti kritični odnos do informacij na spletu.« To sta le dva izmed splošnih ciljev, na maturitetnem izpitu pa preverjamo še druge različne cilje. Tako je dozorela odločitev o delitvi izpita na polo, ki se rešuje brez računala, in polo, ki se rešuje z računalom. Ta sprememba bo, ko bo dejansko uveljavljena, delno rešila zagato; na poli brez računala se bo lahko preverjalo tudi poznavanje elementarnih postopkov, kar zaradi dovoljene uporabe računal ni bilo izvedlji- vo, na poli z računalom pa bi se lahko v prihodnosti na primeren način preverjala tudi smiselna uporaba ostale sodobne tehnolo- gije, ne le žepnih računal. Ob tem se pojavi vprašanje, ali in kako se zaradi dovoljene upo- rabe potencialno zmogljivih računal spremeni pričakovana »jas- no in korektno predstavljena pot do rezultata«. Ta je zagotovo lahko nekoliko drugačna na poli z računalom kot na poli brez ra- čunala, pa tudi (delne) rešitve so lahko smiselno različno ovred- notene. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 4 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Pred leti je prišlo do dogovora, da je smiselno definirati računa- lo, ki bi bilo primerno za uporabo na vseh maturitetnih izpitih splošne mature. Predlog je pripravila Državna predmetna komi- sija za matematiko. V dokumentu Kaj je žepno računalo [5] je definirano, katera računala so dovoljena na splošni maturi, do- datno pa je v dokumentu Kaj je simbolno računanje [4] še kratka opredelitev, kaj pomeni v definiciji računala prepovedano sim- bolno računanje. Oboje je skoraj nemogoče povsem natančno opredeliti, saj bi morali definiciji vnaprej predvideti novosti. Ker v nadaljevanju obravnavamo občutljivost nalog glede na upora- bo računala, je seveda pomembno, s kakšnimi računali imamo opravka. Zato tu povzemamo definicijo [5]: »Računalo je elektronsko računalo, ki omogoča delo z osnovni- mi računskimi operacijami in ne podpira: • možnosti komunikacije z okolico – »zunanjim svetom«, • shranjevanja podatkov iz okolice oziroma zunanjega sveta, • shranjevanja predhodno naloženih podatkov, • simbolnega računanja, • programiranja novih funkcij, • risanja grafov funkcij.« V [4] je simbolno računanje opredeljeno kot »nenumerično ra- čunanje oziroma uporaba abstraktnih simbolov (spremenljivk x, y, …, parametrov a, b, …) v računanju.« Simbolno računanje je torej računanje z algebrskimi izrazi, fak- torizacija izrazov, računanje nedoločenih integralov in podobno, nesimbolno računanje pa je računanje z natančnimi ali približni- mi konkretnimi števili. Vse več modelov računal, ki ustrezajo definiciji dovoljenih ra- čunal na maturi, izvajajo določene numerične metode, ki sodijo med nesimbolno računanje. Pri sestavljanju nalog in njihovem vrednotenju je vsekakor dobro poznati zmogljivosti računal in slediti njihovemu razvoju, saj se z vsako generacijo računal na- bor metod podaljšuje. Navedimo nekaj metod, ki jih zmorejo današnja računala (seznam metod temelji na računalu CASIO fx-991EX): • računajo z natančnimi vrednostmi, npr. delno korenijo, izpi- šejo in računajo s točnimi vrednostmi kotnih funkcij, izraču- najo vrednost logaritma pri poljubni pozitivni osnovi, ki ni enaka 1, • računajo z ulomki in rezultat izpišejo v obliki okrajšanega ulomka, • neskončno periodično decimalno število pretvorijo v obliko okrajšanega ulomka, • računajo s kompleksnimi števili, izračunajo absolutno in ko- njugirano vrednost kompleksnega števila, določijo realno in imaginarno komponento kompleksnega števila (ali daljšega izraza s kompleksnimi števili), • dano naravno število zapišejo kot produkt praštevilskih po- tenc, • rešijo kvadratno enačbo in izračunajo koordinati temena kva- dratne funkcije, • rešijo sistem linearnih enačb (do vključno štirih enačb s štiri- mi neznankami), • poiščejo približek rešitve enačbe z Newtonovo metodo, • rešijo polinomske enačbe in neenačbe do vključno stopnje 4, • izračunajo kot med vektorjema, • izračunajo (tudi natančno) vrednost odvoda v dani točki, vred- nost določenega integrala, vsoto končne vrste, • omogočajo izračun koeficientov (nekaj ponujenih) modelov za modeliranje s funkcijami. Vpliv tehnologije na sestavljanje in vrednotenje nalog Razvrstitve nalog glede na vpliv tehnologije V literaturi je zaslediti različne razvrstitve nalog glede na vpliv tehnologije na reševanje nalog [7]. Roškar in Lokar [13] sta iz- brala nekaj maturitetnih nalog splošne mature in jih rešila s pro- grami Mathematica, Derive in Matlab. Naloge sta nato razvrstila glede na razvrstitve različnih avtorjev. V nadaljevanju povzema- mo nekaj razvrstitev matematičnih problemov v razrede/skupine glede na vpliv različnih tehnoloških pripomočkov in programov za simbolno računanje CAS (Computer Algebra System) na re- ševanje problemov, ki jih omenjata Roškar in Lokar [13] (prevo- di v slovenski jezik so dobesedno povzeti po [13]). Ker se naša analiza in praksa sestavljanja maturitetnih nalog prilagaja upora- bi predpisanih računal, v nadaljevanju predstavljamo klasifikaci- jo, prirejeno našemu namenu. Jones in McCrae [7] razvrščata matematične probleme glede na vpliv tehnologije pri reševanju nalog v tri razrede: • CNI (No impact) Ni vpliva: uporaba tehnoloških pripomoč- kov ne vpliva na potek reševanja. • CIU (Have Impact, Unchanged) Vpliv: uporaba tehnoloških pripomočkov sicer vpliva na reševanje problema, vendar na- loge zaradi tega ni treba spreminjati. • CIO (Impact, Omitted) Trivializacija: Uporaba tehnologije vpliva na reševanje toliko, da moramo nalogo spremeniti. Kutzler razvršča matematične naloge [7] glede na vlogo progra- mov za simbolno računanje v procesu reševanja naloge (primar- na ali sekundarna) in glede na potrebno predznanje pri uporabi programov za simbolno računanje za reševanje (rutinska ali na- predna) v pet razredov: • PR (Primary Routine) – Primarna rutinska uporaba progra- mov za simbolno računanje: uporaba programov za simbol- no računanje je vodilna dejavnost pri reševanju naloge, saj naloge brez pomoči tehnologije ne bi mogli rešiti. Potrebu- jemo osnovno znanje za uporabo programov za simbolno računanje. • PA (Primary Advanced) – Primarna napredna uporaba pro- gramov za simbolno računanje: uporaba programov za sim- bolno računanje je vodilna dejavnost pri reševanju naloge, saj naloge brez pomoči tehnologije ne bi mogli rešiti. Potrebu- jemo napredno znanje za uporabo programov za simbolno računanje. • SR (Secundary Routine) – Sekundarna rutinska uporaba pro- gramov za simbolno računanje: uporaba programov za sim- bolno računanje je stranskega pomena pri reševanju naloge, saj za rešitev naloge potrebujemo druge sposobnosti. Potre- IZ TEORIJE ZA PRAKSO 5 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 bujemo osnovno znanje za uporabo programov za simbolno računanje. • SA (Secundary Advanced) – Sekundarna napredna uporaba programov za simbolno računanje: uporaba programov za simbolno računanje je stranskega pomena pri reševanju na- loge, saj za rešitev naloge potrebujemo druge sposobnosti. Potrebujemo napredno znanje za uporabo programov za sim- bolno računanje. • NC (No CAS) – Nesmiselna (nepomembna) uporaba progra- mov za simbolno računanje: pri reševanju naloge nam upora- ba programov za simbolno računanje ne pomaga. Razvrstitev po Kokol-Voljč [10] razvršča naloge na podlagi vlo- ge/pomena matematičnega problema pri preverjanju sposobno- sti (v smislu razumevanja matematičnih pojmov) ter veščin (v smislu spretnosti pri izvajanju računov) v pet skupin: • KO¬ Za tehnološke pripomočke neobčutljiva naloga: za reši- tev je ključno razumevanje matematičnih pojmov. Uporaba tehnologije nudi le omejeno pomoč. • KO? Za tehnološke pripomočke občutljiva naloga: brez teh- noloških pripomočkov je reševanje naloge naporno. Uporaba tehnoloških pripomočkov pri reševanju lahko spremeni po- men problema. • KO! S tehnološkimi pripomočki razvrednotena naloga: nalo- ga zahteva le uporabo znanja o računskih postopkih. Z upo- rabo tehnoloških pripomočkov se smiselnost naloge popol- noma izgubi. • KO✓ Naloga, ki preverja sposobnosti in veščine: Večji del reševanja zavzema prevod izrazov iz ene oblike v drugo z uporabo različnih matematičnih pravil. Za rešitev naloge je potrebna veščina uporabe transformacij v matematični svet, pri čemer je potrebno tudi znanje o sintaksah matematičnih izrazov. Z uporabo tehnoloških pripomočkov s problemom preverjamo znanje izbire in uporabe transformacij, saj brez tega uporaba tehnoloških pripomočkov ni mogoča. • KO * Redka naloga: neobičajna naloga, ki jo lahko rešimo na več načinov. Reševanje zahteva ustvarjalnost, uporaba tehno- loških pripomočkov pa služi le kot orodje. Mac Aogáin [11] razvršča naloge v štiri kategorije glede na te- žavnost naloge, če pri reševanju dovolimo uporabo tehnoloških pripomočkov. • CT (CAS Trivial) – Trivialna naloga: naloga je rešljiva v dveh do treh korakih, zato z uporabo tehnoloških pripomočkov postane trivialna. • CE (CAS Easy) – Enostavna naloga: z uporabo tehnoloških pripomočkov se naloga poenostavi. • CD (CAS Difficult) – Težka naloga: uporaba tehnologije nudi le omejeno pomoč pri reševanju in ne zmanjša težavnosti. • CP (CAS Proof) – Za tehnološke pripomočke neobčutljiva naloga: uporaba tehnoloških pripomočkov ne pripomore ali le minimalno pripomore k rešitvi. Herget, Heugl, Kutzler in Lehmann [9] razvrstijo probleme glede na to, ali pri reševanju dovolimo uporabo tehnološkega pripo- močka, ki omogoča simbolno računanje ali ne, v tri skupine: • -T brez tehnologije: naloge, pri katerih za rešitev ne potrebu- jemo nikakršne pomoči tehnologije. • +T s tehnologijo: naloge, kjer pri reševanju dovolimo upora- bo zmogljivega računala oziroma tehnološkega pripomočka, ki omogoča simbolno računanje, saj je problem brez uporabe tehnologije težko rešljiv. • ?T Vprašljivo: naloge, ki bi jih težko uvrstili v eno izmed prvih dveh skupin. Vsaka razvrstitev je seveda za določen tip nalog in za določene tehnološke pripomočke bolj ali manj ustrezna. Poudariti je treba, da ni jasne meje med skupinami v posameznih razvrstitvah, saj so v realnosti naloge zvezno porazdeljene. Z izjemo Kutzlerjeve razvrstitve, ki je dvodimenzionalna, so ostale porazdelitve eno- dimenzionalne. Razvrstitev nalog na splošni maturi iz matematike v štiri tipe oziroma skupine Zaradi hitrega napredka tehnologije je pri sestavi maturitetnih nalog nujno razmisliti o vplivu dovoljene tehnologije na reševan- je nalog in o vrednosti matematične naloge glede na dovoljene pripomočke pri maturitetnem izpitu, saj možnost uporabe raču- nala vpliva tudi na vrednotenje nalog. Zavedati se moramo, da npr. reševanje kvadratne enačbe vre- dnotimo drugače, če dovolimo uporabo računala. V tem prime- ru praviloma vrednotimo samo rešitev, ne pa postopka. Glede na to, da je na trgu veliko modelov različno zmogljivih računal, je zelo težko ali nemogoče pravično vrednotiti postopke v primeru reševanja enačb z računalom, saj bi s tem kandidate, ki imajo manj zmogljiva računala, postavili v neenakovreden položaj. Če želimo preveriti, ali kandidat pozna postopek reševanja enačbe, mu uporabe računala ne moremo dovoliti. Leta 2021 so bile zato na osnovni ravni mature z namenom preverjanja osnovnega znanja uvedene tudi kratke naloge, s katerimi lahko preverja- mo poznavanje osnovnih konceptov in obvladovanje osnovnih tehnik. Ker te naloge praviloma preverjajo samo en cilj, so tudi taksonomsko večinoma na nižji ravni in bodo torej po pričako- vanjih dobro reševane. Pri pregledu starih maturitetnih nalog lahko ugotovimo, da je pri nekaterih uporaba računala potrebna, pri večini pa uporaba ra- čunala ni potrebna. S pojavom novih funkcij na novejših zmog- ljivejših tipih računal je vedno več primerov starih maturitetnih nalog, pri katerih bi uporaba računala povsem razvrednotila problem ali pa glede na različne zmogljivosti računal kandidate postavila v neenakovreden položaj. Na tem mestu je treba izpos- taviti, da je pri določenem tipu nalog uporaba računala lahko celo zavajajoča. Nazadnje med maturitetnimi nalogami najdemo veliko nalog, pri katerih uporaba računala ne vpliva na postopek reševanja in način vrednotenja, zaradi česar bi jih lahko uvrstili na obe izpitni poli. Za analizo primernosti uvrstitve na posamezno polo na sploš- ni maturi iz matematike bi lahko naloge razvrstili v skupine po katerikoli razvrstitvi, ki smo jih omenili v prejšnjem razdelku. Ker je trenutno na splošni maturi dovoljena uporaba žepnega ra- čunala (kot je opredeljeno v [5] in [4]), bomo v tem prispevku naloge razvrstili po naši klasifikaciji, ki je prirejena za uporabo dovoljenega žepnega računala in ne za drugo programsko opre- mo. Z morebitno nadgradnjo pa bi bila lahko primerna tudi za IZ TEORIJE ZA PRAKSO 6 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 uporabo drugih tehnoloških pripomočkov in programov za sim- bolno računanje. Ker nas predvsem zanima sestavljanje in ocenjevanje nalog na splošni maturi po trenutno veljavnem predmetnem izpitnem ka- talogu [1], bomo v nadaljevanju opisali razvrstitev, ki je verjetno najbolj ustrezna našemu namenu. Definirali smo štiri tipe nalog, in sicer tako, da tip naloge najprej pove, za katero polo je naloga primerna (P1 - prvo, P2 - drugo ali P12 - za obe) in nadalje še, ali je treba glede na izbiro pole prilagoditi točkovnik (T): 1. Naloge tipa P12: Naloge, ki so neobčutljive na rabo računala. 2. Naloge tipa P12T: Naloge, ki jih različno vrednotimo glede na rabo računala. 3. Naloge tipa P1: Naloge, ki so z uporabo računala razvrednote- ne. 4. Naloge tipa P2: Naloge, pri katerih potrebujemo računalo. V nadaljevanju bomo navedene štiri tipe nalog podrobneje pred- stavili. Pri vsakem tipu nalog bomo izpostavili nekaj izbranih primerov. Naloge so večinoma izbrane iz preteklih maturitetnih izpitov, ki so objavljeni na spletni strani Državnega izpitnega centra [3]. Dodanih je nekaj nalog, ki smo jih sestavili na novo in še niso bile del izpita, ali kratkih nalog iz zbirke Matematika − Nekaj kratkih nalog na splošni maturi [8]. Pri nekaterih nalogah je v točkovniku uporabljen zapis *1, kar pomeni, da je točka postopkovna. Kandidat dobi postopkovno točko, če je svoje vmesne rezultate, ki so bili izračunani narobe, pravilno uporabil v postopku v nadaljevanju naloge. Točkovnike nalog iz starih izpitov smo ponekod dopolnili z namenom, da pos- tanejo bolj razumljivi tudi bralcem, ki nimajo izkušnje z ocen- jevanjem splošne mature. Bralci bodo opazili tudi dva različna zapisa točkovnikov. Pri starejših nalogah so točke v stolpcu »Točke« razdeljene bolj po- drobno, kot bo videti v primeru 11. Pri novejših nalogah je v stolpcu »Točke« zapisano skupno število točk, ki jih dobi kandi- dat za pravilno rešitev naloge ali del naloge, če je le-ta razdeljena v več delov. Razlika točk med točkami v stolpcu »Točke« in toč- kami v stolpcu »Dodatna navodila« so točke za pravilen rezultat. Razvrstitev nalog na splošni maturi – primeri Naloge tipa P12 − naloge, ki so neobčutljive na rabo računala Naloge, ki so neobčutljive na rabo računala, so naloge, pri ka- terih je za rešitev ključno razumevanje matematičnih pojmov. Računala v nobenem koraku reševanja nalog kandidatom niso v pomoč in jim ne olajšajo dela, saj menimo, da morebitni preiz- kus rezultata z računalom ne pomeni bistvene prednosti. Take naloge lahko uvrstimo na obe izpitni poli in jih na obeh tudi enako vrednotimo. Oglejmo si dva primera. Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 11 6 Zapisan predpis funkcije f npr. f(x) = x 2 – x + 1. Zapis ali uporaba povezave z nedoločenim integralom, npr. napisan nastavek ∫ (2x – 1)dx ... 1 točka. Izračunan nedoločeni integral, npr. ∫ (2x – 1)dx = x 2 – x + C ... (1 + 1 + 1) 3 točke. Upoštevanje pogoja f(1) = 1 ... *1 točka. Pri reševanju primera 1 morajo kandidati poznati zvezo med odvodom in nedoločenim integralom, za kar dobijo 1 točko. Za pravilno izračunan nedoločeni integral dobijo 3 točke; za vsak člen 1 točko, kar označuje oznaka (1 + 1 + 1). Za upoštevanje po- goja f(1) = 1 prejmejo 1 točko, ki je postopkovna točka, in jo dobi kandidat tudi, če je nepravilno izračunal nedoločeni integral in pravilno upošteval pogoj. Eno točko dobijo kandidati še za pra- vilen končni rezultat, torej za pravilno zapisan predpis funkcije. Ta točka ni zapisana posebej, saj je pravilno rešena naloga vredna 6 točk, v dodatnih navodilih pa je zapisano, kako kandidat prej- me do pet točk, če je končen rezultat napačen. Pri tej nalogi računala, ki so dovoljena na maturi iz matematike, kandidatom niso v pomoč, saj ne omogočajo računanja nedolo- čenega integrala. Tako lahko nalogo uvrstimo na prvo ali drugo izpitno polo in jo na obeh tudi enako vrednotimo. Primer 1: (Splošna matura − avgust 2020, naloga 11) Za funkcijo velja, da je in za vsak . Zapišite predpis funkcije . Primer 2: (Splošna matura − junij 2016, naloga 11) Dana je funkcija s predpisom V koordinatni sistem narišite graf funkcije f za c = 1. V katerih točkah je funkcija zvezna? Določite vrednost konstante c tako, da bo funkcija f zvezna za vsak . IZ TEORIJE ZA PRAKSO 7 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 11 3 Narisan graf funkcije 1 1 0 x y Vsaka veja po 1 točko, pravilno narisan graf v x = 0 ... 1 točka. Le narisani premica in parabola ... 1 točka. 1 Funkcija je zvezna za vse x, razen za x = 0. 1 Funkcija je zvezna za c = 2. Skupaj 5 Tudi pri primeru 2 računala, ki so dovoljena na maturi, naloge ne razvrednotijo, ker ne omogočajo risanja grafov funkcij. Kan- didati si lahko z računalom pomagajo tabelirati vrednosti funk- cije, vendar to lahko naredijo tudi brez računala, pri tem pa ne porabijo veliko dodatnega časa. V drugem delu naloge je ključno razumevanje zveznosti funkcij, pri čemer računalo ne pomaga. Tudi to nalogo lahko uvrstimo na obe izpitni poli z enakim toč- kovnikom. Naloge tipa P12T − naloge, ki jih različno vrednotimo glede na rabo računala Naloge, ki jih različno vrednotimo glede na uporabo ali neupora- bo računal, so naloge, pri katerih uporaba računala pri reševanju kandidatom nudi pomoč. Nalogo lahko uvrstimo na obe izpitni poli, vendar se naloga glede na to, koliko uporaba računala vpli- va na sam potek reševanja, vrednoti drugače, če je umeščena na izpitno polo z računalom, kot če je na izpitni poli brez računala. V to skupino bi tako uvrstili vse naloge, kjer morajo kandidati v postopku reševanja naloge npr. rešiti enačbo ali izračunati do- ločeni integral, in naloga ne preverja cilja, ali kandidat zna npr. rešiti enačbo oziroma izračunati določeni integral. Če je osrednji cilj naloge rešiti enačbo ali izračunati določeni integral, potem naloga spada izključno na polo brez računala. Oglejmo si nekaj primerov. Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 5 Zapis ali uporaba zveze med zaporednimi členi aritmetičnega zaporedja … 1 točka. Ureditev enačbe, npr. 3x 2 – 5x – 2 = 0 … 1 točka. Uporaba ali zapis formule za reševanje kvadratne enačbe ali razcep enačbe … 1 točka. 3 Od 5000 je manjših 1375 členov. Le izračun prvega člena a 1 = 3 ali diference d = 4 … 1 točka. Zapis neenačbe 4n – 1 < 5500 … *1 točka. Skupaj 8 Točkovnik primera 3 je pripravljen za nalogo na prvi izpitni poli brez računala. Kandidat mora poznati zvezo med zaporednimi členi aritmetičnega zaporedja, za kar dobi eno točko. Za urejan- je kvadratne enačbe dobi eno točko. Kandidat dobi še točko za uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe in po eno točko za vsako rešitev, kar ni zapisano med dodatnimi navodili. Prvi del naloge je tako ovrednoten s petimi točkami. V drugem delu naloge kandidat izračuna prvi člen zaporedja in diferenco, zapiše in reši neenačbo ter napiše odgovor, kar je ovrednoteno s tremi točkami. Naj omenimo še, da kandidat prejme 1 postopkovno točko za zapisano neenačbo z napačnim izračunom prvega člena ali diference. Če bi nalogo uvrstili na polo z računalom, moramo upoštevati, da nekatera računala zmorejo rešiti kvadratno enačbo, če vne- semo njene koeficiente. Kandidati, ki takšnega računala nimajo, bi bili v nekoliko slabšem položaju, kljub temu da lahko enačbo rešijo brez računala po formuli. Točkovnik bi za drugo izpitno polo spremenili tako, da kandidati ne bi dobili točke za uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe, zapisani rešitvi enačbe pa bi vrednotili z eno točko. Tako bi prvi del naloge vrednotili s 3 točkami, točkovnik drugega dela bi ostal nespremenjen. Celotna naloga bi bila vredna 6 točk. Pri tovrstnih nalogah na drugi izpitni poli izhajamo iz predpo- stavke, da je kandidat, ki je kvadratno enačbo rešil z računalom, ravno tako kot kandidat, ki je nalogo rešil z uporabo formule brez računala ali pa je računalo uporabil samo za preračunava- nje rešitev, pokazal neko znanje oziroma spretnost. V konkret- nem primeru ocenjujemo, da razlike v zmogljivosti računal niso bistvene oziroma niso tako velike, da naloge ne bi bilo mogoče uporabiti na maturi. Primer 3: (nova naloga) Izračunajte, za katere vrednosti x so x + 1, 3x + 1, 3x 2 – 1 prvi trije zaporedni členi aritmetičnega zaporedja. Koliko členov naraščajočega aritmetičnega zaporedja je manjših od 5500? IZ TEORIJE ZA PRAKSO 8 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Primer 5: (Splošna matura − junij 2020, naloga 6) V kvadratu z oglišči A, B, C, D in stranico dolžine a je točka P razpolovišče stranice CD. Točka T leži na stranici BC tako, da je . Narišite skico. Z vektorjema in izrazite vektorja in . Preverite, da je skalarni produkt vektorjev in enak . Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 11 2 Izračunani abscisi presečišč grafov x 1 = −3 in x 2 = 2. Le zapis enačbe x 2 = 6 – x ... 1 točka. 2 Zapis, npr. Pravilno zapisani meji določenega integrala … *1 točka. Pravilno zapisan integrand … 1 točka. Upoštevamo tudi . 3 Rezultat Le izračun nedoločenega integrala (tudi brez ... 1 točka. Le pravilno vstavljene meje ... *1 točka. Skupaj 7 Točkovnik primera 4 je pripravljen za nalogo na izpitni poli brez računala. Ker je kvadratna enačba zelo preprosta, kandidat ne dobi točk za postopek reševanja enačbe, temveč le dve točki za njeni rešitvi. Enačbo lahko reši z razstavljanjem ali z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe. Dve točki dobi kandidat za zapis določenega integrala, pri čemer dobi postopkovno točko za zapisani integracijski meji, četudi ju je izračunal napačno. Za računanje določenega integrala dobi kandidat 3 točke, pri čemer dobi eno točko za izračun nedoločenega integrala in eno točko za pravilno vstavljanje mej. Ta točka je postopkovna točka, kar pomeni, da jo dobi tudi, če je nedoločeni integral izračunal na- robe. Tretjo točko dobi kandidat za izračunano vrednost določe- nega integrala in zapisano ploščino območja. Naloga je primerna tudi za drugo polo s smiselno spremenjenim točkovnikom. Kandidat bi na enak način dobil prve štiri točke, pri čemer bi lahko kvadratno enačbo rešil z uporabo računala ali brez. Od zadnjih treh točk bi kandidat dobil le 1 za zapisan rezultat . Kandidat je določeni integral lahko izračunal z računalom ali brez, zato mu točke za izračun nedoločenega inte- grala in točke za pravilno vstavljene meje ne dodelimo. Na poli 2 bi celotno nalogo vrednotili s 5 točkami. Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 6 1 Skica A B C D a a P T 1 Zapisan vektor 1 Zapisan vektor 1. način 4 Izračunan skalarni produkt Upoštevanje distributivnosti ... *1 točka. Upoštevanje ali ... 1 točka. Upoštevanje ... 1 točka. 2. način 1 Zapis ali uporaba definicije skalarnega produkta, npr. 1 Izračunan kot npr. Primer 4: (Splošna matura − junij 2017, naloga 11) Dani sta realni funkciji f in g s predpisoma f(x) = x 2 in g(x) = 6 – x. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij f in g. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 9 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 1 Izračunani dolžini, npr. 1 Izračunan skalarni produkt Skupaj 7 Če kandidat rezultat zapiše s približnimi vrednostmi, npr. , se mu zadnja točka ne dodeli. V primeru 5 kandidat v prvem delu naloge izrazi vektorja v obli- ki linearne kombinacije danih vektorjev, v drugem delu pa izra- čuna njun skalarni produkt, za kar ima dve možnosti. Prva možnost je, da izračuna produkt vektorjev, ki sta linearni kombinaciji danih vektorjev, in pri tem uporabi distributivnost množenja linearnih kombinacij vektorjev. Pri tem upošteva, da je skalarni produkt pravokotnih vektorjev enak 0. Kandidat dobi postopkovno točko, če je za napačno zapisani linearni kombina- ciji vektorjev pravilno uporabil distributivnost množenja. Nalo- go lahko reši brez uporabe računala, zato jo lahko uvrstimo na izpitno polo brez računala. Druga možnost je, da si kandidat v drugem delu naloge pri re- ševanju lahko pomaga z računalom, če mu ga dovolimo. Najprej izračuna dolžini obeh vektorjev in (lahko brez računala) in kot med njima (z računalom). Po definiciji skalarnega pro- dukta nato izračuna zahtevani skalarni produkt, pri čemer je na- tančnost rezultata odvisna od kandidata. Kandidat lahko vmesne rezultate zaokroži, kar vodi k ne dovolj natančnemu rezultatu. To pomeni, da je v tem primeru dovoljena uporaba računala lah- ko celo zavajajoča. Če je kandidat kljub uporabi računala dobil natančen rezultat, mu seveda dodelimo vse točke, sicer pa kljub pravilnemu postopku ne. Če torej nalogo uvrstimo na polo z računalom, pričakujemo, da računalo kandidatom služi le za trivialne izračune, saj jih v prvem delu naloge usmerimo, da izrazijo dana vektorja kot li- nearno kombinacijo baznih vektorjev in da bodo z uporabo di- stributivnosti in upoštevanjem pravokotnosti baznih vektorjev izračunali skalarni produkt. Naloge tipa P1 − naloge, ki so z uporabo računala razvrednotene Naloge brez računala so naloge, pri katerih je cilj uporaba ra- čunskih postopkov, poznavanje formul in podobno. S temi na- logami preverjamo tako razumevanje matematičnih pojmov kot tudi veščine. Z uporabo računala taka naloga izgubi smisel in postane trivialna. V skrajnem primeru uporaba računala nalo- go razvrednoti ali pa postavlja dijake z zmogljivejšimi računali v zelo privilegiran položaj. Naloge brez računala omogočajo preverjanje pomembnih ciljev, ki jih na poli z dovoljenim računalom ne moremo preverjati. Vpeljava pole brez računala je zato prinesla dodano vrednost mature, saj lahko na ta način dijakom omogočimo, da pokažejo tudi osnovna znanja in razumevanje pojmov tako, da rešujejo preprostejše krajše naloge, ki bi jih uporaba računala razvredno- tila. V času pisanja tega prispevka izkušenj s polami brez računa- la še nimamo, saj je bila za leto 2021 zaradi epidemiološke situa- cije sprejeta prilagoditev mature, da so dijaki na obeh polah lah- ko uporabljali računala. Pole so bile temu primerno prilagojene, tako da so bile prej omenjene naloge izločene in nadomeščene z drugimi. Za ilustracijo smo izbrali tri primere, ki jih najdemo v zbirki Matematika – Nekaj kratkih nalog na splošni maturi [8]. Primer 6: (Preizkus 1 brez računala, naloga 2) Delno korenite in izračunajte . Primer 7: (Preizkus 6 brez računala, naloga 4) Rešite enačbo 2x 2 – 16x = – 30. Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 2 Rezultat Delno korenjenje , … 1 točka. V primeru 6 je cilj naloge preveriti, ali kandidat obvlada delno korenjenje. Ker večina računal izračuna vrednost izraza in re- zultat delno koreni, naloga ni primerna za izpitno polo z raču- nalom. Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 3 x 1 = 3, x 2 = –1 Poenostavitev enačbe, npr. 2x 2 – 16x + 30 = 0. … 1 točka. Poenostavitev in razcep na linearne faktorje oziroma zapis ali uporaba formule za rešitvi kvadratne enačbe ali razcep tričlenika … *1 točka. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 10 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Z nalogo v primeru 7 želimo preveriti, ali kandidati znajo rešiti kvadratno enačbo bodisi z razcepom bodisi z uporabo formu- le, zato uporaba računala ni primerna, saj večina računal reši kvadratno enačbo. Za poenostavitev enačbe dobi kandidat eno točko. Prav tako dobi eno točko za pravilen postopek reševanja enačbe, ki je postopkovna točka. Kandidat jo dobi, če napačno uredi kvadratno enačbo, a pravilno uporabi postopek njenega reševanja. Tretjo točko dobi za pravilno zapisani rešitvi enačbe. Nalogo bi uvrstili na izpitno polo brez računala. Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 2 Rešitev v kompleksni ravnini (točki ali vektorja) 2 x 1 x 0 i 1 2i 2i Pravilno predstavljeni kompleksni števili … (*1 + 1) 2 točki Skupaj 5 Cilj naloge v primeru 9 je zopet preveriti znanje reševanja kva- dratne enačbe − tokrat enačbe, ki ima kompleksni rešitvi. Za zapis ali uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe dobi kandidat 1 točko, ki je postopkovna. Kandidat jo dobi tudi, če je enačbo napačno uredil, koeficiente enačbe pa pravilno vstavil v formulo. Tretjo točko dobi za pravilno zapisani rešitvi enačbe. V drugem delu dobi kandidat po eno točko za vsako pravilno predstavljeno kompleksno število v kompleksni ravnini. Kandi- dat dobi postopkovno točko, če kvadratno enačbo napačno reši, napačni rešitvi pa pravilno predstavi v kompleksni ravnini. Ker zmogljivejša računala, ki so dovoljena na maturi, znajo raču- nati s kompleksnimi števili, mora biti naloga v izpitni poli brez računala, sicer bi bili kandidati z manj zmogljivimi računali v slabšem položaju. Naloga je ob uporabi računala skoraj popolno- ma razvrednotena, saj jo je mogoče rešiti (prvi del) z uporabo ra- čunala brez znanja, kako se rešuje kvadratna enačba. Ker je drugi del naloge odvisen od rezultata prvega dela, so ti kandidati tudi pri reševanju drugega dela v bistveni prednosti pred kandidati, ki rešujejo kvadratno enačbo brez računala in se morda kljub poznavanju postopka pri reševanju zmotijo. Primer 8: (Preizkus 3 brez računala, naloga 4) Naj bo z = 2 – i. Za dani z izračunajte . Primer 9: (Splošna matura − avgust 2013, naloga 3) Rešite enačbo x(x – 2) + 5 = 0 in narišite rešitvi v dani kompleksni ravnini. Primer 10: (Splošna matura − junij 2016, naloga 1) Za poljubni naravni števili m in n označimo z D(m, n) največji skupni delitelj teh dveh števil in z v(m, n) njun najmanjši skupni večkratnik. 1.1 Razcepite števila 45, 48 in 60 na prafaktorje. 1.2 Izračunajte . Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 3 8 + 6i Zapis ali uporaba … 1 točka. Zapis ali uporaba … 1 točka. Cilj naloge v primeru 8 je računanje s kompleksnimi števili. Kan- didat mora poznati konjugirano vrednost kompleksnega števila, za kar dobi eno točko, in i 2 = −1, za kar dobi eno točko. Za po- enostavljanje izraza in kvadriranje dvočlenika ter zapis končnega rezultata dobi kandidat eno točko. Če bi nalogo uvrstili na polo z računalom, bi jo popolnoma raz- vrednotili, saj zmogljivejša računala računajo s kompleksnimi števili. Kandidat bi le vnesel podatke (računala imajo tudi ukaz za konjugirano vrednost) in dobil končen rezultat. Poglejmo še primera nalog, ki postavljata dijake z zmogljivejšimi računali v privilegiran položaj. Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 3 3 Rešitvi enačbe, npr. x 1,2 = 1 ± 2i. Zapis ali uporaba formule za reševanje kvadratne enačbe … *1 točka. Ugotovitev … 1 točka. Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 1.1 2 45 = 3 2 · 5 48 = 2 4 · 3 60 = 2 2 · 3 · 5 Le dva pravilna razcepa ... 1 točka. Upoštevamo tudi drugačen zapis prafaktorjev. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 11 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 1.2 1 D(48, 60) = 12 Zapis posamezne vrednosti ali vstavljena vrednost v dani izraz. 1 D(45, 48) = 3 1 D(11, 23) = 1 1 v(4, 10) = 20 1 v(5, 20) = 20 1 Skupaj 8 Naloga v primeru 10 ima več ciljev. V prvem delu kandidati za- pišejo dana števila kot produkt praštevilskih potenc, kar zmorejo tudi nekoliko zmogljivejša računala. Drugi del naloge, v katerem je treba izračunati največji skupni delitelj in najmanjši skupni več- kratnik števil, bodo kandidati reševali brez računala, saj računala zaenkrat tega ne zmorejo. V tretjem delu naloge, ko je treba izra- čunati vrednost izraza, lahko kandidati zopet uporabijo računalo. Nalogo bi zaradi prvega in tretjega dela uvrstili na izpitno polo brez računala, da bi vsem kandidatom zagotovili enake možnosti. Za ilustracijo je bilo navedenih le nekaj primerov, pri katerih je pokazano, kako računalo bodisi razvrednoti naloge bodisi kandidate postavi v neenakovreden položaj. Omenimo še nekaj podobnih nalog, ki jih reši nekoliko bolj zmogljivo računalo ob vnosu podatkov (preverjeno na računalu CASIO fx-991EX): Natančno izračunajte 0,83 · 0,12. Rešite sistem enačb 5x – 4y = 1 in 3x + 2y = 5. Rešite enačbo log 2 (x + 2) = 2. Rešite enačbo 3 x – 1 = 27 · 9 x . Rešite neenačbo x 2 – 2x – 3 < 0. Rešite enačbo x 4 – 3x 3 + x 2 + 3x – 2 = 0. Rešite neenačbo x 3 – 4x 2 +5x – 2 > 0. Dana je funkcija . Izračunajte f '(2). Izračunajte . Izračunajte . Naloge tipa P2 − naloge, pri katerih potrebujemo računalo Naloge z računalom so naloge, pri katerih je računalo potrebno, saj je brez njega reševanje zahtevno in dolgotrajno ali pa naloge brez računala sploh ne moremo rešiti. Najpogosteje so to nalo- ge, kjer so zahtevani decimalni približki, naloge iz procentnega računa, geometrijske naloge, ki jih rešimo z uporabo kotnih funk- cij … Tovrstne naloge so lahko izključno na poli z računalom. Primer 11: (Splošna matura − junij 2014, naloga 12) Zunanji rob okvira slike je je pravokotnik dimenzij 11 dm × 8 dm. Okvir slike je ob vseh štirih robovih enako širok. Znotraj notranjega roba okvira je slika s ploščino 61,75 dm 2 . Izračunajte širino okvira. Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 12 1. način 1 Izbira širine roba za neznanko, npr. x 1 Zapis dolžine slike, npr. 11 – 2x ali 11 – y 1 Zapis širine slike, npr. 8 – 2x ali 8 – y 1 Zapis enačbe, npr. (11 – 2x) (8 – 2x) = 61,75 1 Urejena enačba, npr. 16x 2 – 152x + 105 = 0 1 Zapis rešitev x 1 = 8,75 dm, x 2 = 0,75 dm 1 Izločena neustrezna rešitev 8,75 dm ali zapisan odgovor IZ TEORIJE ZA PRAKSO 12 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 2. način 1 Izbira širine roba za neznanko, npr. x 1 Ploščina okvirja je 26,25 dm 2 2 Zapis ploščine okvirja z neznanko, npr. 11 · 2x + (8 – 2x) · 2x Le en člen ... 1 točka. 1 Urejena enačba, npr. 4x 2 – 38x + 26,25 = 0 1 Zapis rešitev x 1 = 8,75 dm, x 2 = 0,75 dm 1 Izločena neustrezna rešitev 8,75 dm ali zapisan odgovor Skupaj 7 Če je kandidat nalogo pravilno rešil s poskušanjem, dobi vse točke. Primer 11 je zanimiva problemska naloga, pri kateri lahko kan- didati spretno rešijo kvadratno enačbo z računalom, če jim raču- nalo to seveda omogoča, ali pa si z računalom pomagajo pri reše- vanju kvadratne enačbe, če se je lotijo po formuli. Ker je reševa- nje kvadratne enačbe rutinski postopek, kandidati z zmogljivej- šim računalom niso v veliki prednosti. Pri reševanju po formuli je računalo v največjo pomoč pri računanju kvadratnega korena diskriminante. Nalogo bi vsekakor uvrstili na polo z računalom. Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 12.1 2 Izračunana prostornina olja, ki ga mora Jure dokupiti, npr. V = 1292 l Le uporaba formule za prostornino kvadra ... *1 točka. 3 Odgovor, npr.: Jure bo kupil kurilno olje v trgovini B, plačal bo 1078,14 € Le izračun cene za plačilo v trgovini A: 1083,81 € ... 1 točka. Le izračun cene za plačilo v trgovini B: 1078,14 € ... 1 točka. 12.2 1 Izračun ali ugotovitev mejne vrednosti, npr. 937,5 l 1 Odgovor: Nakup količine olja, manjše od 937,5 l je cenejši v trgovini A, večje od 937,5 l pa v trgovini B. Skupaj 7 Problemska naloga v primeru 12 je sestavljena iz dveh delov, kjer morajo kandidati računati z decimalnimi števili. Postopkovno točko dobi kandidat, ki je uporabil napačne podatke za izračun količine olja, ki jo mora kupiti Jure, a je uporabil pravilno for- mulo za prostornino kvadra. Ker cilj naloge ni preverjati znanje računanja z decimalnimi števili, je smiselno, da kandidatom do- volimo uporabo računala, zato bi nalogo uvrstili na polo z raču- nalom. Primer 12: (Splošna matura − junij 2018, naloga 12) Kurilno olje je mogoče naročiti v trgovini A ali v trgovini B. Doplačati je treba tudi prevoz. Cene za liter olja in za prevoz so podane v spodnji preglednici. Cena prevoza je v obeh trgovinah neodvisna od količine kupljenega olja in od razdalje. Trgovina A Trgovina B Cena za liter olja 0,811 € 0,795 € Cena prevoza 36 € 51 € Jure ima posodo za kurilno olje v obliki kvadra. Široka je 8 dm, dolga 17 dm in visoka 12,5 dm. Jure je izmeril, da olje v posodi sega do višine 3 dm. Dokupil bo toliko olja, da bo posoda polna do vrha. V kateri od trgovin, A ali B, bo Jure kupil kurilno olje, da bo za olje s prevozom plačal manj? Koliko bo plačal? Zapišite odgovor. Pri kateri količini olja bo za olje in prevoz skupaj plačal v obeh trgovinah enako? V kateri trgovini bo nakup olja cenejši za večje in v kateri za manjše količine olja? Primer 13: (Splošna matura − junij 2019, naloga 6) V trikotniku ABC stranica AB meri 6 cm. Kot α = BAC meri 70° in kot γ = ACB meri 30°. Izračunajte dolžino stranice AC in ploščino trikotnika ∆ABC. Rezultata zaokrožite na dve decimalki. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 13 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Točkovnik Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila 6 1. način 4 Izračunan približek dolžine stranice Izračunan ... 1 točka. Zapis ali uporaba sinusnega izreka za izračun stranice ... *1 točka. Izračunan ... 1 točka. 2 Izračunan približek ploščine trikotnika Zapis ali uporaba formule, npr. ... *1 točka. 2. način 4 Naj bo N nožišče višine na AC. Izračunan približek dolžine stranice Zapis ali uporaba ... 1 točka. Zapis ali uporaba ... 1 točka. 2 Izračunan približek ploščine trikotnika Zapis ali uporaba formule, npr. ... *1 točka. Skupaj 6 Če kandidat nikjer pri rezultatih ne zapiše enot, se mu odšteje 1 točka. ki, zato sta bila končna rezultata posledično napačna. Težavi se seveda lahko izognemo, če vmesne rezultate zapišemo z vsemi decimalkami, ki jih vrne računalo. Pravi način je seveda uporaba spomina v računalu. Druga napaka pa je izvirala le iz napačno zaokroženega končne- ga rezultata. Kandidati so lahko vmesne rezultate zapisali točno, kot je predvideno v točkovniku, končen rezultat pa so zaokrožili narobe. Tako je bil rezultat napačen, če so dolžino stranice AC zaokrožili na 11,81 cm. Kandidate je treba vsa leta izobraževanja in pred izpitom opozar- jati na pravilen način reševanja podobnih nalog in na pravilno zaokroževanje rezultatov. Primer 13 je standardna geometrijska naloga, pri kateri je cilj, da iz danih podatkov izračunajo dolžino stranice in ploščino trikotnika. Kandidati morajo izkazati geometrijsko predstavo in uporabo formul za razreševanje trikotnika. Postopkovne točke dobi kandidat, ki je uporabil pravilne formule, a je vstavil svoje predhodno napačno izračunane podatke. Kandidati naloge ne morejo rešiti brez uporabe računala, zato bi jo uvrstili na izpitno polo z računalom. Kljub temu moramo opozoriti na natančnost končnih rezulta- tov. Ker je oblika rezultata predpisana, se priznata le rezultata za pravilno dolžino stranice in pravilno ploščino trikotnika, ki sta zapisana v rešitvah. Pri popravljanju naloge je bilo opaziti pred- vsem dve vrsti napak. Prva napaka je izvirala iz zaokroževanja vmesnih rezultatov. Kandidati so tudi vmesne rezultate zaokroževali na dve decimal- Zaključek Informacijsko-komunikacijsko tehnologijo bodo maturanti kasneje uporabljali tudi pri opravljanju svojih poklicev, pa naj gre za poklic na družboslovnem, naravoslovnem, tehniškem ali kakem drugem področju. Pri mnogih poklicih si bodo s tako tehnologijo pomagali pri reševanju matematičnih problemov. Ker je zelo pomembno, da poleg uporabe take informacijsko-komunikacijske tehnologije zna uporabnik dobljene rezul- tate tudi kritično interpretirati, je prav, da se v gimnaziji dijak temeljito nauči osnov matematike, ki stoji za uporabo vsake take informacijsko-komunikacijske tehnologije. Z maturitetnim izpitom iz matematike v prvi vrsti preverjamo osnovno znanje matematike, le v manjši meri pa tudi spretnost uporabe informacijsko-komunikacijske tehnologije pri matematiki. Pouk matematike, s teži- ščem na razumevanju osnovnih pojmov in konceptov brez uporabe računala ter njegova nadgradnja s smisel- no uporabo tehnologije (na primer) pri modeliranju praktičnih problemov, je verjetno pravi recept za uspeh. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 14 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Viri [1] Banič I., Erker J., Fošnarič M., Grahor A., Levstek T., Škrlec M., Žerovnik J. (2019). Predmetni izpitni katalog za splošno maturo 2021 – matematika. Državni izpitni center, Ljubljana. (Dostopno na https://www.ric.si/mma/m-mat-2021/2019082714564660/?m=1566910606, 30. marec 2022) [2] Banič, I., Erker, J., Fošnarič, M., Grahor, A., Levstek, T., Škrlec, M., Žerovnik, J. (2019). Novosti na splošni maturi 2021 pri predmetu matematika. Obzornik za matematiko in fiziko, l. 66, št. 5, str. 161−171. [3] Državni izpitni center (Dostopno na: https://www.ric.si/splosna-matura/predmeti/matematika/, 30. marec 2022) [4] Državni izpitni center: Kaj je simbolno računanje? (Dostopno na https://www.ric.si/mma/Kaj%20je%20simbolno%20racunan- je/2013030714080489/, 30. marec 2022) [5] Državni izpitni center: Kaj je žepno računalo? (Dostopno na https://www.ric.si/mma/Kaj%20je%20zepno%20racunalo%20 2015/2015050811441908/, 30. marec 2022) [6] Erker, J., Fošnarič, M., Grahor, A., Levstek, T., Škrlec, M., Žerovnik, J.: Primerljivost izpitov na osnovni in višji ravni pri predmetu matematika na splošni maturi. Obzornik za matematiko in fiziko, 2020, letn. 67, št. 1, str. 1−11. [7] Flynn, P ., McCrae, B.: Issues in Assessing the Impact of CAS on Mathematics Examinations (Dostopno na https://www.researchgate. net/publication/229000780_Issues_in_assessing_the_impact_of_CAS_on_mathematics_examinations, 2. marec 2022) [8] Grahor, A., Kušar, B., Pustavrh, S., Šemrl, P ., Škufca, R., Vreš, S., Žerovnik, J. (2021). MATEMATIKA Nekaj kratkih nalog na splošni maturi; 1. izdaja - elektronsko gradivo. RIC, Ljubljana. (Dostopno na https://www.ric.si/mma/zbirka-kratkih-nalog-sm-matematika- 2021-pdf/2021042916082181/?m=1619705301, 2. marec 2022) [9] Herget, W., Heugl, H., Kutzler, B., Lehmann, E.: Indispensable manual calculation skills in a CAS-invironment. V zborniku Pro- ceedings of the 6th ACDCA Summer Academy, Portorož, Slovenia. (Dostopno na https://atcm.mathandtech.org/EP/2000/ATCMP123/ fullpaper.pdf, 30. marec 2022) [10] Kokol-Voljč, V. (2000): Examination questions when using CAS for school mathematics teaching. The International Journal of Computer Algebra in Mathematics Education, 7(1), str. 63–76. Kokol-Voljč, V . Exam questions when using CAS for school mathematics teaching (Dostopno na http://rfdz.ph-noe.ac.at/kongress/1999goesing/g_kokol.pdf, 2. marec 2022) [11] Mac Aogáin, E.: Assessment in the cas age: an Irish perspective. Exam Questions and Basic Skills in Technology Supported Mathe- matics Teaching. Zbornik Proceedings of the 6th ACDCA Summer Academy, Portorož, Slovenia. (Dostopno na https://www.researchgate. net/publication/229000780_Issues_in_assessing_the_impact_of_CAS_on_mathematics_examinations, 30. marec 2022) [12] Mao, Y., White, T., Sadler, P . M., Sonnert, G. (2017). The association of precollege use of calculators with student performance in college calculus, Educ Stud Math 94: 96−83. doi 10.1007/s10649-016-9714-7 [13] Roškar, K., Lokar, M. (2007). Matura iz matematike v luči tehnologije = Final External Examination - Matura in the View of Tech- nology. V: BOHANEC, Marko (ur.), et al. Zbornik 10. mednarodne multikonference Informacijska družba - IS 2007, 8.-12. oktober 2007: zvezek A = Proceedings of the 10th International Multiconference Information Society - IS 2007, 8th-12th October 2007, Ljubljana, Slo- venia: volume A. Ljubljana: Institut »Jožef Stefan«, 2007. Str. 159. Informacijska družba. (Dostopno na https://lokar.fmf.uni-lj.si/www/ osebno/clanki/Vivid07/RoskarLokar.pdf, 2. marec 2022) [14] Žakelj, A. idr. (2008). UČNI načrt. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. (Dostopno na: http://eportal.mss.edus.si/msswww/programi2018/programi/media/pdf/un_gimnazija/un_matematika_gimn.pdf, 30. marec 2022) Avtorji želimo, da bodo primeri s komentarji v tem članku in vzorčna izpitna pola, ki je objavljena na spletni strani Državnega izpitnega centra [3], učiteljem v pomoč pri pripravi primernih nalog za pripravo na matu- ritetni izpit. Verjamemo, da je pomembno, da se dijaki navadijo na reševanje nalog z računali in brez raču- nal, zato močno priporočamo sprotno preverjanje in ocenjevanje znanja s testi obeh vrst, z računali in brez računal. Ponovno spomnimo, da je v nekaterih primerih smiselno glede na uporabo pripomočkov različno vrednotenje rešitev in da je temu prilagojeno treba tudi razumeti, da se pričakovani zapis rešitve, »jasno in korektno predstavljena pot do rezultata«, lahko nekoliko razlikuje. Maturitetni izpit z dvema polama v prihodnosti omogoča večjo prilagodljivost na hitre spremembe tehnolo- gije. Tu je treba poudariti že večkrat zapisano in povedano – maturitetni izpit je zaključek gimnazijskega pro- grama, preverja vsebine in cilje, ki so definirani v učnem načrtu in ki jih bodoči maturanti spoznavajo v štirih letih pouka na gimnaziji. Vsaka bistvena sprememba, na primer vpeljava nalog, ki bi na maturi preverjala netrivialno uporabo tehnologije, mora zato biti vpeljana postopoma in zelo premišljeno. Zahvala Razvrstitev in razmislek o točkovnikih za maturitetne naloge po novem katalogu je začela predmetna ma- turitetna komisija ob pripravi kataloga. Zahvaljujemo se Mateji Fošnarič, ki nam je odstopila gradivo, ki ga je pripravila v času svojega sodelovanja v komisiji. Člani predmetne komisije za matematiko, Alojz Grahor, Barbara Kušar, Peter Šemrl in Rok Škufca, so pregledali osnutek članka. Zahvaljujemo se jim za konstruktivne predloge in komentarje.