IPRESEK
li st za mlade m a t ema tike , fizike , ast roname in računalnikarje
23 . letnik, leto 1995 / 96, številka 2 , st ran i 65 -128
VSEBINA
1
MATEMATIKA
FIZIKA
ASTRO NOMIJA
RAČUNA LNIŠT VO
N A LOG E
REŠITVE NALOG
RAZVEDRILO
TEKM O VA N JA
N A O V IT K U
Matrike - ali skladišča in formacij (Olga Arnuš) 65-69
Pregradimo trikotik, 1. d el (B oris Lavrič) . . . . . . . . . . . . 86-88
Vsakdanje funkcije (Anton Cediln ik ) 100-104
O prašt evilih (B orut Zalar) 110-113
Vet er in zvok (Andrej Likar) 72-75
Atwoodov škripec (J a nez Strnad) 90-94
Vibracijski tra nsporterj i (Milan Ambrožič) 108-109
Us ta (M arijan Prosen) 76-77
Na p ake v prikazovanju šte vk (Darko Zupanič) 78-82
Pocenitev, p odra žitev (Vinko Hor va t ) 85
Fu nkcijska enačba (Roman Drnovšek) 88
Na j d aljš a četa (Mar t in Juvan) 89
Poišči šte vilo (Ivan Lisa c) 95
Ena finančna (Mar t in Juvan) 99
Manjkajoči števili (Martin Juvan) 99
Čakanje na avtobus - R eši t ev nagradne naloge
s str. 1 (Marija Ven celj ) oo .. oo oo oo . 69-71
Na kol iko načinov se p olicist lahko zmoti - s str. 45
(A nton Suhadolc) oo 75
Križanka "Starogrški m a tematiki" - s st r. 32
(M a rko Bokalič) 77
Deljivost - s str. 4 (Marija Vencelj) 82
Trikotiki s p osebno lastnost j o - s str. 19
(I van Vidav) oO • • • • oO •• oO oo • ••• • 83-85
Na ob isku pri Barbari - s str. 4 (Janez Žero vn ik) 89
Slami ca - s st r . 31 (Ma tjaž Ven celj ) 94-95
P enrosov trikotnik - s st r . 18 (Vilko Do m ajnko) 98
Iz d ružins ke kronike - s str. 29 (Ma rij a Vencelj) 104
Manjkaj oče št evilo - s str. 25 (Mar t in J u va n ) 104-105
Dev et vprašanj o širokih številih - s str. 39
(Martin Ju van) 10 6-107
Križanka "Očetje fizikalnih en ot" (Marko Bokali č) 96-98
15. področno t ekmovanje iz fizik e za os novnošolc e
(Vesna Harej , Je lis a va Sakelšek) 114-11 6
30 . občinsko t ekmovanje za sre brno Vego vo
priznanje (Aleksande r Potočnik) 117-1 21
Izbirno tekmovanje iz m atematike (M atjaž Željko) . 121-1 23
Naloge s predtekmovanja iz srednješo lske fizike
(Ciril Dominko, Jure Baj c) 123- 128
Praproti (M a t ij a Lokar) . Glej tudi prisp evek istega
a vtorj a v prejšnj i št evilki P re seka I ,IV
\
-------------- -------------
I Matematika
MATRIKE
(ali skladišča informacij)
Gospa Korenčkova je nameravala kupiti 3kg jabolk in 2kg pomaranč. V
prvi trgovini so bila jabolka po 120 SIT za kg, pomaranče pa po 150 SIT
za kg . Sadje bi jo torej stalo 3 . 120 SIT + 2 . 150 SIT = 660 SIT . V
zgoščeni obliki bi zgornje podatke zapisali v dveh stolpcih:
količina cena
jabolka 3 120
pomaranče 2 150
Dogovorimo se, da bomo oba stolpca zapisali voglatih oklepajih .
Skupni strošek za sadje smo dobili s preprostim gospodinjskim računom,
ki mu bomo rekli skalarno množenje:
[~] .[i~~] = 3 . 120 + 2 . 150 = 660 .
V splošnem zapišemo ta račun takole:
Gospa Korenčkova je pogledala še v drugo trgovino. Tam so bila ja-
bolka po HO SIT, pomaranče pa po 160 SIT za kg. Skupni strošek bi bil
3 . 110 + 2 . 160 = 650, torej manjši kot v prvi trgovini . Podatke o cenah
lahko spravimo v tabelo:
jabolka pomaranče
trgovina 1 120 150
trgovina 2 HO 160
Taki tabeli števil rečemo v matematiki matrika. Običajno jo zapišemo
med oglata oklepaja ali pa med dve dvojni navpični črti . Zgornja matrika
ima dve vrstici in dva stolpca (matrika reda 2 X 2) . Število vrstic ni nujno
enako številu stolpcev . Tudi eno vrstico ali stolpec bomo šteli k matrikam.
Matematika I
Vse dosedanj e gosp odinjske podatke gosp e Korenčkove lahko zapiše-
mo z dvema matrikama: prva zgoščeno pr ikazuje cene v obeh trgovinah,
druga pa nakupne količine . Iz t eh podatkov lahko izračunamo zneska za
ob e t rgovini . Tudi ti dve šte vili lahko zložimo v stolpec:
[
120,
110,
150] . [ 3] = [120.3+150 .2 ] = [ 660 ]
160 2 110 ·3 + 160 . 2 650 '
Izvedli smo neko operacijo, ki j e m atriki in stolpc u priredila nov stolpec.
To je pos eben primer op eracije, ki jo imenuj emo množenje matrik.
Den imo, da imamo opravka še z gospo Peterši lj čkovo, ki j e name-
ravala kupiti 1kg jabolk in 2kg pomaranč . Za pri kaz vseh količin obeh
gosp od inj potrebujemo m atriko reda 2 x 2:
j abolka
pomaranče [3, 1]2, 2 .
Drugi stolpec se nanaša na gospo Peteršilj č kovo. P rim erjavo zneskov za
obe gospodinji in obe trgovini nam da nasl ednj i račun z matrikami :
[
120, 150 ] . [ 3, 1 ] =
110, 160 2, 2
[
120 . 3 + 150 . 2, 120 .1+150 .2 ] = [ 660, 420 ]
110 · 3 + 160 ·2 , 110· 1 + 160 ·2 650 , 430 .
Drugi stolpec nam pov e, da se gosp e Peteršiljčkovi bolj izplača kupit i
sadje v pr vi t rgov ini.
Iz primera vidimo , da matrike množimo tako, da skalarno množimo
vrstice iz prve matrike s st olpci iz druge matrike (skalami produkt j-te
vrstice prve matrike in k-tega stolpca druge m atrike je v rezultatu število,
ki leži v j-ti vrstici in k-tem stolp cu) . Bralec naj pr emisli, kakšen pog oj
mora veljati za dimenzij e dveh matrik, da ju je mogoče zmnožiti .
M a trika t orej predstavlja zgoščeno in fo rmacijo . T a j e skri t a v šte v il ih
in v pol ožaju št evil v t abeli . V našem primeru je 120 cena , prva vrstica
pove, da gre za j ab olka , prvi stolpec pa, da se cena nanaša na prvo tr-
govino . Dve matriki sta enaki natanko tedaj, ko se uj emata v ist oležnih
številih . Namesto številnih razm etanih računov nam množenje matrik v
zgoščeni in ur ejeni ob liki prikaže primerjavo zneskov . Množenje matrik ,
ki smo ga spoznali na našem primeru , je samo ena od možnih ope rac ij z
matrikami. Lahko jih na primer tudi seštevamo ali pa množimo s številom.
Matematika
Oglejmo si še, kakšna pr avila veljajo za to množenje matrik . Om ejili
se bomo na matrike 2 x 2.
l . Zelo pom embno lastnost mn oženj a od krijemo , če zmnožimo na primer
[
1, 2 ] . [ 3, 2 ] = [ 1 , 3 + ; , 2,
3, 5 2, 1 3· 3 + v · 2,
nato pa še
1. 2+ 2 .1 ] _ [7,
3 . 2 + 5 · 1 - 15,
[
3, 2] . [ 1, 2] = [3 .1+2 .3 , 3.2 +2 .5]
2, 1 3, 5 2 · 1 + 1 · 3, 2· 2 + 1 · 5
Množenj e matr ik to rej ni komu tativno .
[9, 16]5, 9 .
2. Nekoliko dalj ši račun bi bil potr eben za dokaz aso ciat ivnosti . Če tri
poljubne matrike označimo zA, B in C, to pomeni (AB)C = A(BC) .
Bralec naj to opravi sam .
3. Prav posebno vlogo ima matrika J = [1 , 0] Če jo množimo s0, 1 .
katerokoli m atriko A = [ ~ : :] (z leve ali z desne) , dobimo kar
m atriko A. Tako lastnost ima pri množ enju št evil število 1.
4. V množici realn ih št evil lahko za vsako število a #- °najdemo tako
število b, da je ab = 1 ali b = a- 1 ali b = 1 : a (inverzna vredn ost
števila a). Ali je to mogoče t udi v množici matrik? Namesto št evila 1
bom o seved a vzeli m atriko J. Matriki A = [ ~ : :] bi radi priredi li
t ako m at riko B = [ x , Y] , da bo AB = J ali
u , v
To nas pri vede do sistem a enačb :
ax + bu = 1, ay + bv =°
cx + du = O, cy + dv = 1
Matematika I
z rešitvijo
d - b - e a
x =ad _ be' Y =ad _ be' U =ad _ be' v =ad - be
Rešitev seveda obstaja, če je število ad - be različno od nič . Imenujemo
ga determinanta D matrike A = [~: ~ ]. Če je torej D -1 O, je matrika
B =[~ ~ ]
inverzna matrika matrike A ali AB = J. Bralec se lahko prepriča, da je
tedaj tudi BA = J. Zato je smiselna oznaka B = A-l. Za matrike, ki
imajo determinanto enako nič, pravimo, da niso obrnljive.
Omenjena pravila pomagajo pri reševanju nekaterih matričnih enačb.
Naj bosta na primer dani matriki A = [;: ~] in B = [i: ;].Zanima
nas taka matrika X, da bo AX = B . Da bi izračunali X , bi morali enačbo
"delit i" z A , kar pa pomeni množiti z inverzno vrednostjo , če ta seveda
obstaja. Zaradi nekomutativnosti množenja moramo paziti na vrstni red
faktorjev, v našem primeru moramo z leve strani množiti obe strani enačbe
z A- l (da bosta faktorja A - l in A skupaj) :
Upoštevamo asociativnost množenj a :
Od tod
JX =A-1B lil
V danem primeru je det erminanta D = 2·3-5 ·1 = 1, A- l =
lil
X=[3 , -1][4,1]=[9, 1]-5, 2 3, 2 -14, -1 .
[
3,
-5 ,
Zaradi nekomutativnosti množenja ima enačba X A =B drugačno rešitev.
Tuje treba z A - l množiti z desne (vaja za bralca) .
Matematika - Rešitve nalog
Do naloge rešiti matrično enačbo bi priš li , če bi v zgledu iz uvoda
poznali količine kupljenega sadja, na pr imer:
gospa K. gospa P.
jabolka 3,5 4
pomaranče 2 2
Te podatke naj predstavlja matrika A. Znani naj bodo tudi skupni zneski
za sadje , ki sta jih gospodinji plačali enkrat v prvi in naslednjič v drugi
trgovini:
gospa K. gospa P.
trgovina 1 610 660
trgovina 2 675 730
Te podatke naj predstavlja matrika B. Bralec naj izračuna matriko, ki
bo predstavljala cene j abolk in pomaranč v obeh trgovinah.
Olga Arnuš
ČAKANJENA AVTOBUS - Rešitev nagradne naloge
s str. 1
V uredništvo Preseka je do 16. oktobra prispelo nekaj odgovorov na zasta-
vljeno vprašanje. Vsi reševalci so odkrili, da je Klemenov račun napačen,
in od tod vsi, razen enega, sklepali, daje pravilen Tilnov odgovor . Le Miha
Movrin iz Ljubljane je pravilno ugotovil, da je napačno t udi Tilnovo skle-
panje. To je utemeljil z izračunom povprečne čakalne dobe na avtobus
za primer , če pr ideta kdaj na postajo hkrati avtobusa obeh prog. V na-
daljevanju bomo pokazali , da tudi ta odgovor ni popoln, vendar Miha za
reševanje prav gotovo zasluži nagrado. Knjigo Keitha Devlina Nova zlata
doba matematike smo mu že poslali po pošti .
Pog lejmo sedaj popolno rešitev naloge:
Oba računa, tako Klemenov kot Tilnov, sta napačna (Klemenov ne-
koliko očitneje, sa j je pri dveh progah dobil večjo povprečno čakalno dobo,
kot če bi vozili le avtobusi prve proge).
Pravzaprav skriva naloga v sebi majhno past. Iz danih podatkov
namreč povprečne čakalne dobe na avtobus na opisani avtobusni postaji
sploh ne moremo natančno izračunati. Na povprečno čakalno dobo vpliva
R ešit ve nalog I
tudi urnik prihod ov avtobusov , natančnej e , zamiki priho dov avtobusov
ene proge za prihodi avt obusov druge pr oge.
Ilustrirajmo to na nekoliko preprostejšem pr im eru . Vzemimo, da
vozijo avtobus i obeh prog v enakih razmikih , denimo, na osem m inut.
Če sta vozna reda prog takšna, da prihajajo na postajo avtobusi pr ve in
druge proge istočasno , j e povprečna čakalna doba , kljub dve ma progama,
to likšna, kot če bi bil a proga ena sama; to je t .8 mi nut = 4 mi nu te.
Če pa prihaj ajo avtobusi druge pr oge 4 minute za avtobusi pr ve proge, je
povprečna čakalna doba enaka t ·4 m inut e = 2 minut i. Izkaže se, da lahko
v t em pr ime ru z ustreznim voznim redom dosežem o katerok oli povprečno
č akalne do bo v inter valu od dveh do štirih minut .
Pa se povrn imo k dan i nalogi. Zadošča obravnavati obdobj e 24 minut ,
saj se očitno po te m času ves potek promet a ponovi, tu di medseboj ni
zam iki av to busov obeh prog . To j e delno uvidel že T ilen v svoj i "rešit vi".
Za začetek i zračunajmo povprečno čakaino dob o , če je vozni red t ak ,
da pridet a kd aj na postaj o hkrati avtobusa prve in druge proge. Čas
t akega skupnega prihoda izberimo za začetni čas t = O. Na sliki 1 je
z debelejšo polno črto prikazana čakalna doba na avtobuse prve proge
(6-min utni in tervali ) , črtkano pa čakalna doba na avtobuse druge proge
(8-minutni intervali) . Čakalna do ba d(t) na avtobus nasploh je seveda ob
vsakem času manjša od ob eh vrednosti , torej j o pr edstavlja zgornj i rob
osenčenega področja na slik i .
d(t)
o
Slika 1.
24
Ker ta fun kcija ni nikjer negat ivna , j e nje na povprečna vrednost d
enaka višini pr avokotnika , ki ima z osenčen im likom enako osnov nico in
enako ploščino. Skupna ploščina osenčenih t rikot nikov je:
in povprečna čakalna dob a 56 : 24 = 2~ mi nu te.
Rešitve nalog
Poglejmo sedaj sploš nejši primer , ko pride avtobus druge proge na
postajo a minut za tistim avtobusom prve proge, ki j e pripeljal zadnj i
pr ed njim . Ust rezni graf prikazuje slika 2.
d(t)
Oa 6-a a +2 4-a
,, , ,,
-,
",
"-,
a +4 2-a t
Slika 2.
Za t = O smo izbrali čas prihoda avtobusa prve proge. Seveda
Je O :::::: a < 6, z gra fa pa ra zberemo, da se smemo omejit i na O ::::::
< a < 2, saj bi sestavljali pr i začetnem zamiku a + 2 osenčen i lik na
štiriindvajsetminutnem intervalu enaki t rikotniki , kot pri zamik u a. Iz
tega pr em isleka in iz ploščine osenčenega lika
1
2 [a2+ (6 - a)2+ (a + 2)2 + (4 - a? + (a + 4)2 + (2 - a)2+ 62] =
=3a2 - 6a + 56
sledi, da je povprečna čakalna doba d(a) za O :::::: a < 2 enaka :h(3a2- 6a+
+ 56), za ostale vrednosti apa jo izračunamo iz zveze dea + 2) = dea).
Vidimo še, da ima funkcija dea) na intervalu [0,1 ) minimum pri a =
= 1. Torej dosežem o najmanjšo mož no povprečno čakaIno dobo s takim
voznim redom, po katerem vozijo avtobusi druge proge z zamikom ene
minute (in seveda treh in petih minut) za avtobusi prve proge. Ta je
enaka 214 (3 . 12 - 6 . 1 + 56) = 2 254 minute . Največjo povprečno čakaIno
dobo 2~ minute (pri a = O) smo že na začetku posebej izračunali . Med
obem a je razlike le za dobrih 5%.
Marija Vencelj
Fizika I
VETER IN ZVOK
V neki vasi so kmetje sodili o spremembi vremena po zvonjenju iz ne-
kaj kilometrov oddaljene cerkve. Po nava di zvonov niso slišali . Če pa so
zvonovi razločno bili , j e to napovedovalo spr em embo vreme na. Takrat je
pihal veter od cerkve prot i vasi in govorili so, da pač veter prinese tudi
zvok .
Sprem emb o slišnost i zvoka iz oddalj enega izvir a marsikd o razlaga
takole : Hit rost zvoka je 340 m v sekundi , zato za pot , denimo treh kilo-
m etrov , potrebuj e okrog deset sekund . V tem času se tudi zrak premakne
za nekaj deset metrov , za to pride zvok do posl ušalca nekoliko prej. Zvok
tako prepot uje v zra ku kr ajš o pot kot v br ezvetrju . Zvok pa na kr ajši
pot i manj oslabi .
Izkuš nje kažejo , da se v br ezvet rju od daljenega zvonj enj a skora j ne
sliši , t udi če smo nekaj st o metrov bliže zvonov om . Ko pa piha veter v
pr avi smeri , je zvonje nje zelo razločno in glasno. Z zgornjo razlago torej
ne m oremo biti zad ovoljni . Pokaže se, da j e za opis poj ava pomembno
up oštevati lom zvoka .
Spomnimo se, kako opišemo lom valovanja. Ravni val, ki potuje
po sredstvu 1 in pade poševno na mejo s sredstvom 2, se tam lomi. s
Lomni zakon pravi, da je razmerj e sinusov vpadnega in lomnega kota
enako razmerju lomnih količnikov obeh sredstev :
sm o' n2
sin jJ ni
pri eemer kota o' in jJ merimo glede napravokotnico na -mejo obeh
sredstev. Razmerje lomnih količnikov snovi ~ je enako razmerju ~
med hitrostma valovanja v sredstvih 1 in 2. Če je hitrost valovanja
. v sredstvu 2 večja kot v sredstvu 1, se valovanje lomi stran od vpa-
dne pravokotnice , v obratnem primeru pa k vpadni pravokotnici (glej
sliko 1).
Op azuj m o zvočni val , ki naleti na vodoravni cur ek zraka. Meja med
miruj očim zrakom in zrakom v cur ku naj bo ost ra . Hitrost zvoka v curku
ni v vseh smereh enaka . Naj večja j e v smeri curka, naj manjša pa v cur ku
nasprotni sm eri . Hit rosti valovanj a v cur ku moramo pri št et i še hit rost
IFizika
curka. Na mej i med mirnim in gi-
bajočim se zrakom se bo val zato
lomil. Slika 2a kaže lom vala, ki
vpade vzdolž curka, slika 2b pa
lom, ko val vpade proti cur ku. V
prvem primeru se bo val lomil od
vpadne pravokotnice , saj je hi trost
valovanja v cur ku večj a kot v mir-
nem zraku. V drugem primeru pa
se bo lomil proti vpadni pravoko-
tnici . Lomni kot določimo tako,
da seštejemo vektorja hitrosti Ct in
hitrosti zraka v curku Vo , da do-
bimo hitrost C2 . Nekaj valovanja
se pri tem odbij e nazaj v mirujoč
zrak .
zračni
curek
l,\nirUjO~ iI zrak
I
I C;
I
I
I
1
(a)
73
Slll CI: Cl
sin (3 C2
C
2
I
I
I
I~
L-
I
I
I
I
Slika l. Ponazoritev lomnega zakona. Kot
cl< je vpaclni kot, (J pa lomni. Oba kota me-
rimo glede na pravokotnico na mejo obeh
sredstev .
zračni
curek
mirujoč i
zrak
(b)
Slika 2. Lom ravnega vala, ki vp ade na m ejo m ed mirnim zrakom in zračnim curkom
s h itrostjo vo . Val, ki se giblj e vzdolž curka , se lomi stran od vpaclne pravokotnice
(a), val v nasprotni smeri pa k vpaclni pravokotnici (b). Smeri valovanja dobimo z
vektorsko vsoto valovne hitrosti v mirnem zr aku in hitrostjo zraka v curku .
Ko piha veter, hitrost zraka z višino narašča . Blizu tal zrak sko-
raj miruj e, na viš ini nekaj sto metrov pa je njegova hitrost največja.
Zvočni valovi zato potujejo drugače kot v mirnem zraku. Ker se hitrost
zraka z višino enakomern o spreminja, se valovanje neprestano lomi. Va-
lovi, ki po tujejo proti vetru , se lomijo navzgor , tisti v smeri vzdolž vetra
Fizika I
pa navzdol (glej sliko 3) . V sm eri proti vetru nastane zvočna senca , vzdolž
vet ra pa se valovanj e zbira na tleh. V valovn i senci se glasnost zvoka
zmanjša tud i do 30 decibelov glede na brezvetrje. Ojačitev zvoka v smeri
vetra pa je navadno manjša.
Slika 3 . Žarki zvočnih val ov iz oddajn ika nad t lemi v ve tru. Zvok se vzdolž vetra glede
na brezvetrje ojači, v nasprotni sm eri pa oslabi.
Tudi ko ni vet ra , se zvok v zraku lomi . Hit rost zvoka je odvisna tudi
od temperature zraka , ki se spr em inja z višino. Navadno je zrak v višjih
plasteh ozračja hladnejši kot na t leh . V zimskih mesecih pa je pogosta
temperaturna inverzij a : temperatura se z višino nekaj časa veča , nato pa
začne sp et padati . Hitrost zvoka je takole odvisna od temp erature zraka :
c(T) = Co.ff.
s Co smo označili hit rost zvoka pri
temperaturi To. Temperaturi T in
To merimo od absolutne ničle . Pri
To =273K (DO C) je Co =33lms- 1 .
Za vsa ko stopinjo zraste hit rost
zvoka za približno 0,6 ms- 1 , če
smo blizu temperature To . Običaj ­
no se temperatura ozračja zmanj-
ša za eno stopinjo na 100 m . Ta-
krat se valovanje od izvira na tleh
lomi navzgor. Na oddalje nost i ne-
kaj kilomet rov okrog izvira nasta-
ne valovna senca (glej sliko 4) .
Slika 4 . Lom zvočnih valov zaradi pa-
danja temperature z viš ino. Tudi v tem
prime ru nastane nekaj kilom et ro v okrog
izvira zvočna senca.
IFi zik a - R ešitve nalog
V mirnem in jasnem vremenu se
temperatura z višino manjša, zato
so noči v takem vreme nu tihe. P ri
inverziji pa se valovanje lomi nav-
zdol in slišimo t udi bolj oddalj ene
zvočne izvir e (slika 5) . V poseb-
nih okoliščinah nast an e inverzij a
na večj i višini : temperat ur a zraka
se najprej znižuj e, nato pa se v oz-
kem pasu sp et povečuj e (glej sliko
6) . Nastane valovni vodnik, po
katerem se širi zvok skoraj brez
dušenj a na zelo velike razdalj e.
Slika 5. P ot ek zvočnih va lov pri t emper a-
turni inverziji , ko se temperatura z višino
povečuj e . Oddaljene zvočne izvire sli šimo
dosti dlje kot p ri normalnih razmerah .
h
tla h = O
cl
T
Slika 6 . Krivulj e t emp erature v od visnost i od višine pri normalnem ozračju (a), pri
t emp eraturni inverziji (b) in pri r edkem pojavu višinske inverzij e , ki t vori "zvočni
va lovod" (c) .
Op isani poj avi so pogost o manj izraziti , ker je ozračj e bolj ali manj
vr t inčasto in nehom ogeno .
A ndrej Likar
NA KOLIKO NAČINOV SE POLICIST LAHKO
ZMOTI? - Rešitev s str. 45
Dobimo tele pare:
15 : 3, 18 : 3, 24 : 3, 27 : 3, 16 : 4, 36 : 4, 15 : 5, 25 : 5, 35 : 5, 45 : 5,
48 : 6, 28: 7, 49 : 7.
Anton Suhadolc
Astronomija I
USTA
Daleč pod ozvezdjem Pegaz nizko ob obzo rju j e okrog zelo svetle zvezde
zbranih kakih deset šibkih zvezd , ki oblikujej o neke vrste ozek ova l. To
podolgovato "zvezdno j aj ce" pr edstavlja telo dolge in suhe ribe . Tam leži
m anj zn ano ozvezdj e Južna riba. Ime najsvet lej še zvezde tega ozvezdja j e
FomaJhaut, kar v arabščini pomeni usta ribe. Če pogledamo sliko, svetla
zvezda Fomalhaut res leži v ustih Južne ribe. Riba na široko odp ira usta,
da bi zaj ela čim več vod e iz deročega vod nega toka, ki ga Vodnar nene hno
zliva iz večno polnega vrča (slika 1).
Slika 1. D el j es enskega zv ezdnega n eba z Vodnarj em, ki iz svojega večno polnega vrča
zliva vodo naravnost v Fomalhaut - usta Južne ribe. Ozvez dje J užn a r ib a - P is cis
No t iu s j e pri nas vidno zvečer od septembra do decembra. Sli ka je iz zvez dnega atlasa
Uran ografija (16 90) znamenitega poljskega a s t ronorn a Jana Hev eliusa.
Ta , na neb o postavlj ena rib a , naj bi ovekoveči l a t isto rib o, ki je po
bajeslov ni zgodbi rešila egipčansko boginjo plodnosti Izid o pred utopitvijo.
I Astronomija - Rešitve nalog
Slika 2. Skica prikazuje , kako n aj p reprosteje najdemo zvezdo Fomalhaut. Čeprav se ta
zv ezda zgublja v nižinskem smogu, je v naših krajih lepo vidna in vredna občudovanja.
Označena je še lega galaksije M 31.
V jesenskih večerih j e zvezda Fomalhaut, ki sveti v rahlo rdečkasti
barvi , le za kratek čas vidna nizko nad južnim obzorjem. Tam sveti kot
oddaljen ogenjček sredi šime in puste pokrajine. Fomalhaut vzbuja po-
zornost ne samo zaradi svoj e značilne barve in močnega sij a , ampak tudi
zato, ker je to edina tako svetla zvezda , ki je vidna na južni strani neba v
jesenskih mesecih .
Predlagam, da se toplo oblečete in v jasni sami noči opazujete to
prelepo zvezdo .
Marijan Prosen
KRIŽANKA "STAROGRŠKI MATEMATIKI"
Rešitev s str. 32
Vodoravno: apel, Diofant, Pirej, Arhimed , otava , Arhitas, lata, as, Šilka,
ogor, dizajn, LR, nos, Bonisegna, Irtiš , ata OD, Jaen, Radomlje, Ndola,
Tales , PH, ide, prsi, Tinje, t rot , opiat, prsk, Paz , lak, splet , Sepe, Eton,
las , Heron , Mirna, Evklid , LO , Ejadema, ešalon, jahalec, Kanin .
Računalništvo
NAPAKE V PRIKAZOVANJU ŠTEVK
Na 19. državnem tekmovanju iz računalniš tva za srednješolce je bila tek-
movalcem zastavljena t ud i naslednj a naloga :
Na zas lonu je niz sedem-segmentnih (digitalnih) ~tevk_ d91~n~ 1'!.
Predstavitev števk s segmenti j e naslednja: U : c' :l LJ 'J b : :=i '=1.
Za prižgane segmente vemo, da so prav ilni, medtem ko za ugasnjene
segmente ne vemo, ali so praviln i ali pokvarjeni . Po leg tega vemo, da
je vsota števk deljiva zlO .
Opiši postopek, ki najde tak niz vrednosti števk, da ust rezajo ome-
ji tvam in imajo najmanj poprav Ijenih segmentov .
Primer : :: - , ima možni rešitvi 3-7 in 8-2 . Rešitev je 3-7 , ker
im a samo en popravljen segment, medtem ko ima 8-2 pet popravIjenih
segmentov.
Enostavno rešitev problem a ponujajo mehanizmi , ki se uporablj ajo v
logičnem programiranju z omej itvami (Constraint Logic Programming -
CLP ). CLP je področj e umetne inteligence, ki j e nastalo z zlitj em področij
logičnega programiranja (jezik logičnega progr amiranj a je prol og) in raz-
reševanj a omejitev . Kot prim er razreševanj a omejitev lahko vzamemo
reševanje linearnih enačb. Če sistemu damo enačbo Y = 2X + 3, si to
zapomni kot om ejitev (vrednost spremenljivke Y je om ejena z vrednostjo
spremenljivke X in obratno) . Če vnesemo še enačbo Y = - X + 6, se sproži
razreševa lec omejit ev , ki poskuša č imbolj poenostaviti da ne omejitve. V
našem primeru sta rezultat po enostavitve kar vrednosti Y = 5 in X = 1.
Rešitev problema bo prikazana v jeziku pas cal. Ker pasc al ne vsebuj e
mehanizmov , ki omogočajo avtomatično razreševanj e omej itev, bomo za
nekatere podprograme predpostavili , da so že napisani . Prav tako bomo
predpostavili obstoj nekaterih podprogramov in funkcij, ki se ukvarjajo z
'malenkost mi' .
Delovanje podprogramov , ki se ukvarjajo z dodaj anj ern in razreševa-
njem relacij (omejitev) med sprem enljivkami , si lahko predst av lj amo kot
določanj e njihove zalog e vrednosti . Vsak o dodajanje rela cije me d spre-
menlji vkami ustrezn o usk ladi (dod a, odvzame, ohrani) možne vrednosti
vseh spremenljivk, ki nastopajo v relacijah .
Primer: Naprej dodajmo relaciji X < Y in Y < Z . Ob vnosu dodatne
relac ije Z < 5 se avtomatično zmanjša zaloga vred nosti za spr em enlj ivko
Y na št evila manjša od 4 in za sprem enljivko X na št evila manj ša od 3.
Seveda pa so celošte vilske omej it ve samo najenostavnejša vrsta omej itev,
ki nastopajo v realnih problemih .
{vsaka števka je sestavljena iz 7 segmentov}
{možne š tevke so od O do 9}
Računalništvo
Dejanska rešit ev je bila napisana v sistemu za logično programiranje
z omej itvami ECLiPSe, iz kat erega je vzet tudi potek reševanja našega
pnmera .
Pri reševanju bomo potr ebovali nasl ednj e konstante, tipe in spr emen-
ljivke:
const
MxSegment = 7 ;
MxStevka = 9 ;
type
SegmentDef = 1.. MxSegment;
StevkaDef = O. . MxStevka ;
MnozicaStevkDef = s et of StevkaDef;
SegmentiDef = ar r ay [ Segment Def ] of boolean;
MnozicaCelihStevil = set of integer;
var
MozneStevke : ar r ay [ 1 . . N ] of Mnoz icaStevkDef;
VsotaMoznihStevk : MnozicaCe l i hStevi l;
Raz l i ka: array [ 1 . . N, StevkaDef ] of O. . MxSegment ;
Vs ot aRazlik , Mini mal naRazlika : Mnoz icaCel i hStevil;
VrednostiStevk, Resitev: array [ 1 .. N ] of StevkaDef;
Podatke o št evkah na zaslonu in njihovi predstavitvi dobimo z nasle-
dnjimi podprogrami:
function StevkeSegment a ( Segment: SegmentDef ) : MnozicaStevkDef;
- funk cija St evkeSegm enta vrne mn ožico šte vk, ki so možn e, kad ar je
segm ent Segm ent prižgan . Tako so pri priž gan em zgornj em segm entu
možne števke O, 2, 3, 5, 6, 7, 8, in 9.
function Segmenti ( i : i nt eger ) : Segment i Def;
- funk cija Segment i vrne tab elo vrednosti (pri žgan/ugasnjen) segmentov
i-te števke na zaslonu.
function RazlicniSegmenti ( Segmenti: SegmentiDef;
Stevka : StevkaDef ) : SegmentDef;
funkcija R azlicniSegmenti vrne število različnih segmentov v Segm enti
in Stevka.
Za razreševanj e om ejit ev bomo uporabljali naslednj e podprograme:
procedure Presek ( var MnozicaS tevkl : MnozicaStevkDef;
MnozicaStevk2 : MnozicaStevkDef ) ;
- podprogr am Presek naredi relacijo (omejitev) presek množic med Mno-
zicaSt evk l in MnozicaStevk2.
Iso Računalniš tvo )
pr ocedure Pristej ( va r Vs ota : MnozicaCelihStevil;
Stevi l o : Mnozi caStevkDef ) ;
- podprogram Pristej na redi relacijo (omej itev) vsota me d Vsot a in Ste-
vilo.
procedure Mod ( var Del j enec : MnozicaCelihStevil;
Delitelj, Os t an ek : integer );
- podprogr am Mod nar edi relacijo (omej itev) ostanek pri deljenju med
Deljenec, Delitelj in Ostanek .
procedure Manjsi ( var i , j : MnozicaCelihStevil );
- podprogram Manjsi nar edi relacija (om ejitev) manjši med i in j.
Da rešitev ne bo predolga, bomo uporabili še naslednji podprogram:
functi on I zber i Vr ednos t ( var MnozicaSt evk : MnozicaStevkDef ) :
StevkaDef;
- podprogram Izb eriVrednos t vrn e eno izme d vrednosti v Mno zicaStevk
t er jo iz nj e izloči.
Problem rešujemo v dveh fazah . Najprej opiš emo omeji tve problema,
nat o pa priredimo vrednosti posameznim sp remenljivk am .
procedure Staticne Omejitve;
begin
for i := 1 to N do begin
MozneStevke [ i] : = [ StevkaDef ];
for j := 1 to MxSegment do begin
Presek ( MozneStevke [ i J, StevkeSegmenta j » ;
end;
end;
VsotaMoznihStevk : = [ O ] ;
for i : = 1 to N do begin
Pristej ( Vs ot aMozni hSt evk , MozneStevke [ i ] );
end;
Mod ( VsotaMoznihStevk, 10 , °);
for i : = 1 to N do begin
for j := O to MxStevka do begin
Razl ika [ i, j J := RazlicniSegmenti ( Segmenti ( i ), j ) ;
end;
end;
VsotaRazlik : = [ °];
for i : = 1 to N do begin
Priste j ( VsotaRazlik, Razlika i , Vr ednos t i St evk [ i ]]) ;
end;
end ;
Računalništvo
Problem vsebuj e t ri vrste omej it ev.
Vsak prižgan segm ent določa možn e št evke. Če naredimo presek
možnih števk za vse segmente , dobimo kandidate za posamezno št evko
zaslona. Za primer iz besedi la na loge dobimo možne vrednosti števk [3,
8,9] in [0, 2, 3, 7..9].
Naslednja om ejitev je vsota števk, ki mora bit i deljiva z 10. Naj
opozorimo, da s podprogramoma Pristej in Mod le določimo relacijo med
sprem enlj ivkami . V našem primeru je VsotaMoznihStevk lah ko le med
[3..18] in mo ra biti deljiva z 10. Od to d razreševa lec omejitev lah ko sklepa ,
da je VsotaMoznihStevk enaka 10, in možne vrednosti št evk skrči na [3,
8] in [2, 3, 7]. Kot vidimo, uporab ljeni sistem za raz reševanje omejitev ne
zna vedno sklepati do konca (ne izloči 3 za drugo števko) . Vendar pa je
bistveno , da ne izloči kakšne vrednosti preveč .
Zadnja vrsta omejitev je povezana s pogojem , da je rešitev tisti niz
št evk, ki vsebuje najmanj popravljeni h segm entov. Za vsako mož no vre-
dnost števke na izbranem mestu zaslona prešt ejemo število segmentov, ki
jih je potrebno ugasniti, da dobimo vzorec na zaslonu . Omejitev je vsota
popravkov na vseh mes tih zaslona. To vsoto kasneje minimiziramo. Zopet
samo vzpostavimo relac ije (omejitve) . Vsota razlik še ni znana, saj temelji
na VrednostiStevk , ki j ih še nismo določili . Vendar pa razreševa lec om e-
jitev lahko naredi nekatere sklepe. Raz lika na prvi števki je lahko [0..2]
(tokrat ne izloči 1) , na drugi pa [1, 3..5] (ne izloči 4 in 5) , kar pomeni , da
je VsotaRazlik med [1..7].
proce dure PrirediVr ednosti i int eger );
begin
ii i = N then begin
Res it ev : = Vrednost i Stevk;
MinimalnaRazl ika : = VsotaRazlik;
end else begin
whi le MozneStevke [ i J <> [J do begin
Vrednos t i St evk [ i J := Izber i Vr edno s t ( MozneStevke [ i J) ;
Manjsi ( Vs ot aRazlik , MinimalnaRazlika );
Pr i r ediVrednos t i ( i + 1 );
end;
end;
end ;
Sedaj lahko preidemo v drugo fazo , kjer prirejamo možne vrednosti
posameznim št evkam. Postopek je tak, da vsaki št evki prirejamo samo
vrednosti , ki ustrezajo omej it vam. Po vsaki prireditvi dodamo omejitev ,
ki preveri , če j e VsotaRazlik manjša kot MinimalnaRazlika. Naj še enkrat
opozorimo, da so samo nekateri členi vsote znani in da je VsotaRazlik
pr avzaprav spodnja meja. Z vsako prireditvijo vrednosti pos am ezni št evki
Računalništvo - R ešitve nalog I
se sproži razreševalec om eji tev, ki zmanjšuje množice možnih vrednosti še
nedoločenim št evkam. V naš em primeru se prvi št evki priredi vrednost 3.
To sproži razreševalec omej itev, ki sedaj natančno ugotovi, da je možna
vrednost za drugo št evko 7 in da je VsotaRazlik enaka 1. To postane
trenutno najboljša reši tev (Minimaln aRazlika). Ker dodamo om ejitev , da
mora biti Vsot aRazlik manjša od Minima lnaRazlika, in od prej velja, daje
VsotaRazlik [1..7], razreševal ec omejitev javi, da ni boljše rešitve. Rešitev
to rej dobimo z enim prir ejanj em vsaki št evki , kar je bistveno bolje od 100
(lON, N = 2) prirejanj , ki bi jih bi potr ebovali pri najenostavnejši rešitvi
problema.
V praksi j e veliko probl emov, ki so podobni naši na logi : zgradba
šolskega urnika , načrtovanje zaporedj a operacij, razni razrezi materi a-
lov , . . . Za vse take probl em e je značilno , da so rešitve znotraj nekih
omej itev. Poleg tega imamo še kri terijsko fun kcijo , na podlagi kat ere
izločimo najboljšo rešitev . Npr . na čim manjšem kosu materiala (kriterij-
ska funkcij a) moramo izrezati razne elemente ( določene z omejitvam i) .
Principi in mehanizmi , ki smo ji h uporablja li pri reševanju zastavljene
na loge , nam v teoretičnem sm islu sicer ne odpravijo problema, vendar pa
se v praksi (npr. naš primer) izkaže, da lahko z njimi večkrat rešimo
problem e bistveno hitreje kot s klas i čn imi pr ijemi .
Darko Zupan ič
DELJIVOST - Rešitev s str. 4
Velja
J O 10 10 . .. 10, 1 =
v
26 - krat
= 10101. (1048 + 104 2 + 103 6 + 103 0 + 1024 + 1018 + 1012 + 106 + 1).
Prvi faktor v dr ugi vrsti je deljiv s tri (vsota št evk je tri) , medtem ko ima
drugi faktor v desetiškem zapisu devet enic, ostale št evke pa so ničl e , torej
j e delj iv z devet (vsota števk je devet) . Produk t je tedaj res delj iv s 27.
Podobno rešim o drugi del nal oge, s tem da iz danega šte vila izposta-
vimo šte vilo 10 10 10 .. . 10 1.
... eJ
8 -krat
Marija Vencelj
I R ešitve nalog
TRIKOTNIKI S POSEBNO LASTNOSTJO -
Rešitev s str. 19
Kotna simetra la iz oglišča A in težiščnica iz B se sečeta v notr anjosti
tr ikotnika . Če gre skozi to presečišče t udi višina iz C na st ranico A B,
morata bi ti notr anj a kota trikotn ika pri A in B ost ra .
Zazn amujmo kakor običajno stranice trikot nika za , b,c kote z 0:, (3 , "i,
višino na st ra nica c pa z v . Podnožišče višine naj bo točka E . Piši mo
AE = bl , E B = al (slika 1). Naj bo S točka , kjer seče kotna sim etrala
višino. To je v našem prime ru hk ra ti točka, kjer seče težiščnica BG višino .
c
A
oyz F E B
bl c al
bl
lX~
D
Slika 1.
Določimo na premi ci AC točko D tako , da je AD = AE = bl in leži A
med C in D. Ker je t rikot nik DEA enakokrak z osnovnico DE, j e kot pri
D ena k ~ o: . Zato je premica DE vzporedna kotni simetrali AS in velja
razmerj e
Rešitve nalog I
Od tod dobimo
(1)
Ker je premica B G težiščnica, je G središče dalji ce AC in je zato
FG = ~EC = ~ v in nad alj e AF = EF = ~bl (pr emi ca GF j e pr avokotna
na osnovnico AB ). Iz pod obnih tr ikot nikov E BS in F BG dobimo
Od tod
ES = alv
2a l + bl
Enačbi (1) in (2) dasta ena kost
Iz nje izhaja blC = alb , se pr avi
(2)
(3)
To rej je v nal ogi navedeni pogoj potr eben.
Denimo zdaj , da v trikot niku ABC velja ena kost (3). Iz dokazovanj a
je razvidn o tole: Če pom eni S točko , kjer kotna simetr ala iz oglišča A
seče višino, dobimo daljico E S po formuli (1). Če pa S' pom eni točko ,
kjer seče višino težiščnica BG , dob imo E S' po formuli (2) , se pravi
Pomn o žim o števec in imenovalec n a d esni z b in up oštevaj m o zve zo a lb =
=blC, ki sled i iz (3) . Dobimo
-- bl v -
ES' = - - = ES.
b+ bl
To pomen i, da je S' = S : kotna sim etrala, težiščnica in višin a se sečejo v
isti točki S. Zato je pogoj (3) tudi zadosten .
I R ešitve nalog - Naloge
Pripombe
1. Vsak t rikot nik z navedeno la-
st nostjo dobimo takole: Narišimo
pravokoten trikotnik AB D (p ravi
kot je pri B) s kateto AB = c in
hipotenu zo A D = b + c (slika 2).
Na hipot enu zi določimo točko C
tako, da je C D = AB = c. Naj
bo EC višina na osnovnico A B v
trikot niku ABC. Ker sta EC in
BD vzporedni, velja razmerje
D
c
če sta dani strani ci b
Tor ej je izpolnj en pogoj (3) in tri- A E
kotnik ABC ima zahtevano last-
nost .
Vidimo, da je tak trikotnik natanko določen,
lil c.
C
Slika 2.
B
2. Obst aj a nešteto trikot nikov z navedeno lastnostjo , pri kat erih so stra-
nice cela števila. Zgleda
a = 13, b = 12, c = 15
lil
a=277 , b= 35 , c =308 .
3. Nalogo lahko rešimo tudi z up orab o Cevovega izreka . O njem je
Presek pisa l v 1. številki 20. letn ika .
I van Vida v
POCENITEV, PODRAŽITEV
Ali se lahko zgodi, da dob imo na koncu ceno enako začetni , če blago
najprej dvakrat zapored podražimo za enak odstotek, nato pa ga za
prav tak odstotek pocenimo?
Kaj pa, če blago najprej dvakrat po cenimo in ga nato enkrat po-
dražimo , vsakokrat spet za enak odstotek?
Vi nko Horvat
NIatematika I
PREGRADIMO TRIKOTNIK , 1. del
Da ni trikotnik želimo pregraditi s č imkraj šo krivuljo na dva dela s pred-
pisan ima ploščinama. Ka ko naj to storimo? V prvem delu članka si bomo
olajšali nalogo, tako da se bomo om ejili na najpreprostejše pregrade - da-
ljice; v dr ugem delu , ki bo na vrs ti v naslednji številki Preseka, pa bomo
to olajšavo opust ili in se lotili splošnega problem a.
Vsaj en lik , ki nastan e pri pregraditvi tri kot nika T z daljico, je tri-
kotnik z danim kotom (enim od notranj ih kotov t rikot nika T) , zato se
najprej lotimo naslednje naloge:
N aloga. Dan j e konveksen kot z vrhom A . Med vsem i trikot niki
A XY s predpisano ploščino p in ogliščema X ter Y na različnih krakih
kot a poišči tistega, ki ima najkrajša st ranica XY .
Naloga je smis elna, kad ar kot ni nit i izrojen nit i iztegnj en , to rej ta-
krat , kadar velja O< o: = LXAY < 71" (= 180°) . Zazn am ujmo
x = IAXI, y = IAYI , z = IXYI
xx
y
A
1 .
p= 2x y sm o:
za p loščino t rikot nika AXY , dobimo po kratkem računu
in zap išimo kosinu sni izrek za stra-
nico XY t rikotnika AXY :
Če preoblikujemo izraz na desni
stra ni enačaj a in upošt evamo for-
mulo
Z2 = (x - y)2 + 2x y(1 - cas 0:) =
( )
2 4 1 - cas o:
x - y + p . =
Slll o:
o:
(x - y)2 + 4p tg2" .
Od tod brž sledi, da doseže z najmanjšo vredn ost , kadar je x = y , in da
je tedaj z =2~. Iz formule za ploščino p dobimo tudi vrednost
x = y = J2p/ sin 0: . Nalogo sm o rešili in s tem dokazali naslednjo
Matematika
Trditev . Med vsemi trikotniki AXY s predpisano ploščino p in ogii-
ščema X in Y na kr akih danega neizrojenega ko ta z vrhom A in velikostjo
cl' < tt ima najkrajša stranica XY enak okraki trikotnik s podatki
IAXI = JAYI= J ?P, IXYI= 2JP tg'!..2·
SlI! cl'
Posledica. Med vsem i trikot nikj AX Y z ogliščema X in Y na
krakih dan ega neizrojenega neiz tegnjenega konveksnega kota z vrhom A
in s predpisano dolžino st ranice XY im a največjo ploš čino enakokraki
trikotnik z ostiovtiico XY.
Dokaz. S padabnostno preslikavo PXY , ki ima središče A in koe-
ficient raztega J 1Ip(A X Y ), kjer je p(AXY) ploščina trikotnika AXY ,
preslikajmo t rikotnik AXY na t rikotnik AX 'Y ' . Brez težav vidimo , da
im a t rikot nik AX'Y' ploščino 1. Med trikot niki AX 'Y ', ki ustrezajo tri -
kotnikom AXY iz posledice, ima po trditvi najkrajšo strani ca X'Y' ena-
kokraki t rikotnik z osnovn ico X' Y' . Če upo števamo še koeficiente raztega
po dob nostnih preslikav P X Y , vidimo, da ima med trikotniki AXY naj-
večjo ploščino ena kokraki t rikot nik AXY z osnovnico XY.
Bralca vab imo , da poskusi dokazati gornjo posledico brez uporab e
prejšnje trditve.
Vrnimo se zdaj k nal ogi in zaznamujmo s Pi in P2 ploščini likov , na
katera naj razpade trikot nik ABC s podatki a = IBCI , b = lACI, c =
= lABI, če ga pregradimo z dalji co. Vsota Pi + P2 se seveda ujem a s
ploščino p(ABC) t rikotnika ABC. Pr edp ostavimo , da je a ~ b, a ~ c
in Pi ~ P2. Po tem kot cl' = LBAC ne presega drugih dveh notranj ih
kot ov trikotnika A BC. Pr i obravnavanih pregraditvah trikotnika ABC
z dalji co vedn o dobimo t rikot nik s ploščino Pi ali P2, odrezan od notra-
njega kot a t rikotnika ABC , zato po trditvi dolžina pregradne daljice meri
vsaj 2Jpi tg~ . Vend ar še ne vemo, če je taka pregrada trikotnika sploh
možna. Ugotovit i bi namreč morali , da točki X in Y s poltrakov kota
BAC , ki določata ena kokra ki trikotnik AXY iz trditve, ležita na strani-
cah A B in AC. To bomo tudi sto rili, tako da bomo dokazali neenakosti
C
b = lACI> J~Pi
SlI! cl'
III
{!liPiC = lABI > -.-.
SlI! cl' A x B
188
Zar adi PI :::; P2 velja
.Mat ematika - Nalog e I
2PI :::; PI + P2 =p(ABC) = ~bc sin o'
in tedaj J bc/2 2: J2pr/ sin 0' . Če up oštevamo, da poleg tega iz
c < a + b :::; 2b in b < a + c :::; 2c
sledi b > Jbc/2 in c > Jbc/2, t akoj dobimo iskani neenakosti . Dokazali
smo
Izrek. Naj bo ABC dani trikotnik in BC njegova najkrajša st ra-
ni ca. Potem j e m ed vsem i daljicami, ki razdelijo trikotnik ABC na dela s
ploščinama PI in P2 (PI :::; P2), najkrajša osnovnica X Y enakokrakega tri-
kotnika z vrhom A ter ogliščema X in Y na stranicah AB in AC. Daljica
XY m eri 2J PI tg%- , kj er j e o' = LBAC.
Sklenimo prispevek z nalogami .
1. Iz dane točke X na stranici AB t rikotnika ABC nariši dalji co XY ,
ki razpol avlj a ploščino t rikot nika.
2. Dan je t rikotnik ABC s podatki a = IBCI , b = lACI in c = lABI .
Izrazi z a, b in c dolžino najkraj še dalji ce, ki razpolavlja ploščino
t rikotnika ABC, in to daljico tud i nariši .
3. Poišči najdaljšo daljico, ki raz polavlj a ploščino danega tr ikotnika .
B oris Lavrič
FUNKCIJSKA ENAČBA
Naj bo a pozitivno realn o število ter m in n tuji si naravni št evili. Naj za
funk cijo f : IR --+ IR velja
[ (x + m a ) + [ (x ) = [(x + na ) + [ (x ) = O
za vsak x E IR.
(a ) Pokaži, da je f = 0, če števili m in n nist a obe lihi!
(b) Denimo, da sta m in n r azli čni lihi št evili . Poišči kakšno neničelno
funk cijo f , ki zadošča zgornjem u pogoju!
Roman Drno všek
INaloge - Rešitve nalog
NAJDALJŠA ČETA
Včasih, ko so bili računalniki še ogromni, njihove zmogljivosti pa ne t ako
velike, je bilo ur ejanje velikih količin podatkov posel za "prave" progra-
merj e. Podatki so bili običajno shranjeni na magnetnih trakovih , tako
da je bilo za ur ejanje potrebno uporabljati postopke , ki so do podatkov
pris topali zaporedno . Tudi št evilo branj posameznega podatka je moralo
biti čim manjše, saj je bilo previjanje trakov zamudno opravilo. Skoraj
vsi ti postopki so tem eljili na porazd eljevanju in zlivanju čet v različnih
vrstnih redih.
In sedaj k nalogi. Spomnimo se najprej , kaj je to četa. Četa (v naš em
kontekstu je to posrečen prevod angleške besede run) v zaporedju št evil
j e maksimalno strnjeno nepadajoče podzaporedje. Oglejmo si primer.
Vzem imo zaporedje
5, 1, 2, 3, 5, 5, 4, 6 .
Podzaporedj e 1, 2, 3 je strnj eno in nepadajoče , vendar ne tvori čete, saj ni
maksimalno , ker ga lahko podaljšamo s št evilom 5. Podzaporedje 1, 3, 6
prav tako ni četa, saj ni strnjeno . Vsako zaporedj e števil razpade na nekaj
čet . Gornj e je sest avlje no iz tr eh : začetna je sestavlj ena le iz prvega števila
5, druga ima pet elementov: 1,2,3 ,5,5 , zadnjo pa sestavljata šte vili 4 in
6. Povejmo še besedilo naloge : sest avi funkcijski podprogram, ki za dano
zaporedje št evil , to je podano s tabelo, ugotovi dolžino najdaljše čete.
Martin Ju van
NA OBISKU PRI BARBARI - Rešitev s str. 4
Št evilo pr etvorimo najprej v št evilski sistem z osnovo r , potem pa v
štev ilski sistem z osnovo q.
Primer: p = 16 = 24, q = 8 = 23 , zapi šimo A13B[161 vosmiškem
številskem sistemu! (V šestnajstiškem zapisu nam zmanjka deset iških
št evk , zato se dogovorimo, da je A = 10[101 = 1010 [21' B = 11[10] =
= 1011 [2], C = 12[10] = 1100[2], D = 13[10] = 1101[2]' E = 14[10] = 1110 [2] '
F = 15[10] = 1111[2]')
A 13B[16 ] =1010 000100111011
~~~~[21
- 1 010 000 100 111 011 = 120473[8]
~~~~~~[2]
Jan ez Žerovn ik
Fizika I
ATWOODOV ŠKRIPEC
Newtonov zakon preskusimo v šoli tako , da z njim izračunamo posp ešek ,
s katerim se giblj e telo z znano maso , ko deluj ejo nanj druga telesa z
znano vsoto sil, in ga primerjamo z izme rjenim . To lahko nar edimo do-
volj natančno le , če izdatno zmanjšamo trenje in upor . Teh sil namreč
navadno vnaprej ne moremo dovolj natančno dolo č it i.' Pri poskusih se
j e najbolj e om ejiti na vsoto sil, ki se ne spreminj a s časom . Najprepro-
st ejši primer j e pr osto padanje. Vendar te lo hitro doseže tolikšne hitrosti ,
da začne motiti zračni upor. Temu se izogn emo s kotaljenj em krogle ali
valja po rahlo nagnjenern klancu . Po Galilej evem zgledu se prepričamo,
da je gibanje enakome rn o pospešeno , če ugotovimo, da je pot sorazmerna
s kvadratom časa. Vendar j e pr i te m pospešek težišča odvisen od oblike
te lesa . Pri prostem padanju in pri gibanju po klan cu pospešuj e telo sila ,
ki j e sorazmerna z maso , tako da lahko pr i danem te lesu vplivamo na po-
spešek samo, če spr em enimo nagib klanca . Ne moremo na primer izmeriti
pospeška te lesa z dano maso, na katero deluj e m anjša in nato večja sila ,
ali pospeška telesa najprej z manjšo in nato z večjo maso, na katero deluje
dana sila .
Tako nekako je razglabljal tudi Georg e Atwood (1746 do 1807) v
knjigi z naslovom Razprava o prem em gibanju in vrt enju teles z opi-
som originalnih poskusov v tej zvezi, ki j e izšla v Cambridgeu leta 1784 .
Atwood je študiral j e na uni verz i v Cambridgeu in j e po končanem študiju
na nj ej delal kot višji pr edavatelj do izida knjige. Thomas Young je ob
Atwoodovi smrti , ne glede na to , da z njim ni bil v najboljših odnosih
in je im el tudi pridržke gled e njegovega raziskovalnega del a , zap isa l, da
j e Atwood "prispeval k razvoju znanosti s tem, da je pomnožil načine za
ilustracijo , ki j ih eksperime ntalna opravila zahtevajo od u čitelja."
Atwoodova zamisel je bila preprosta. Na eno krajišče vrv ice je pri-
trdil večjo , na drugo pa manjšo utež in vrvi co ob esil na škripec (slika 1).
Poseb ej j e poskrbel , da je bil o t renje v ležaj ih škrip ca čim m anjše. Pred
deset letji so na šte vilnih sr ednjih šolah še imeli Atwoodov škripec ali
Atwoodovo padalo in so ga ponekod tudi še up orabljali za dem onstra-
cijske posk use.
I 1. Newton j e svo j zakon preskusil predvsem z gib anjem planeto v, ki ga n e spre-
mlj ata trenje in upor . Za d ostovalo j e, daj e s svojim zakonom gibanja in gravit acijskim
za ko no m v približku prišel do Keplerj evih zakonov.
I Fizika
ff
,'
,, .
'., -
1:1
Slika 1. Atwoodov škripec po sliki iz njegove knjige. Štiri vr tl j iva kolesa na vrhu so
zm anjšala trenja škripca , Atwood je uporabil uteži s skupno maso 0 ,5 kg in več , škripec
j e imel efek tivno maso 77 g. Čas je meril z m etronomom, ki je bi l pritrjen na napravo.
Kot je bi lo v tistih čas ih navada , si ni belil glave z natačnostjo pri merjenju.
Fizika I
Na hitro sestavimo podobno napravo z majhnim škripcem s koničas­
tim ležajem in naredim o nekaj poskusov . Na kraj i š č i vrv ice obesimo enaki
uteži z maso m in eni dodamo majhno ut ež z maso m' . S stoparico po
petkrat izmerimo čas, v katerem se premakneta uteži za h = 1 m . Pri
m' = 5 g in m = 10 g dobimo čas (1,10 ± 0,05) s, pri m = 50 g čas
(2,16 ± 0,07) in pri m = 100 g čas (2,84 ± 0,08) s.
Pospremimo me rje nje s kratk im računom. Po Newtonovem zakonu
raz lika tež m ig poganj a telo s skup no maso 2m + m' (slika 2a). Dolžina
vrvice se ne spremeni in obe uteži se gibljeta z enakim pospeškom a:
a(2m + m' ) = qm':
Pospešek določa višin o h = ~ at 2 , ki jo prepotujeta uteži v času t .
: '.; ~m
mg
Sli ka 2. Uteži n a škripcu (a) in n ap etost vrvice (b ) .
V diagramu nanesemo na vodoravno os skupno maso 2m + m', na
navpično os pa količino m'gt 2 /2 h z izmerjenim časom t (slika 3) . Merske
točke so presenetljivo malo odmaknjene od premice, ki us treza Newto-
novemu zakonu. Zavedamo se namreč, da časa s stoparico ne izmerimo
natančno. Naklju č n i napaki se pr idruži sistematična napaka zaradi zaka-
snjenega odziva roke na vid n i d r až lj aj .P Najbrž pa stoparico ustavimo s
približno enako zakasnitvijo, kot jo poženemo. Trenje v kon ičastem ležaju
je tako maj hno, da ne moti. Vendar velja to le, dokler radiaIne obremeni-
t ve niso velike, dokler torej upor ablj amo uteži z dovo lj majhno maso . Z
opisanim merjenjem tako dokaj natančno podpremo Newtonov zakon .
2 To napako bi zmanjšali od okoli 0 ,1 s pod 0 ,04 s , če bi poskus posneli s te levizijsko
kamero in p ri po časnem predvajanju zasledovali lego uteži na zaporednih slikah.
IFizika
qm't 2
~
0,2kg
0,1
° ° 0,1 O,2kg 2m +m'
Slika 3 . G raf kaže odvisnost izmerj ene količine m'gt2 / 2h od skupne m ase 2m + m l.
Nakaza ne so efektivne napake pri merjenju. Sistematična napaka, ki b i utegnila b iti
precej večja, ni upoštevana. Efektivna m asa škr ip ca m eri sam o 1,4 g, tako da je pri
naši natančnosti n i treba u poštevati . V skupni m asi na vodoravni os i bi la hko razen
pri prvem m erjenju za n em ar ili celo m' v primeri z 2m , tako da b i se enačba glasila
2m a = gm' . Z obratno vrednostjo strrnine premice skozi tri m erske točke b i lahko
določili t ežni pospešek, če bi na navpično os nanesli količino m' t2 / 2h , kot je to stor il
Atw ood. D obili bi d okaj nenatančen rezultat (9 ,1 ± 0 ,9) m/s2 .
Kako vp liva na gibanj e škripec? Na prvi strani je vrvica napeta
s silo F1 in na drugi s silo F2 . Za škripec uporabimo izrek o vrtenju :
vsota navorov , ki delujejo na škripec, j e enaka produktu vzt rajnostnega
moment a kolesa kmkr2 in kotnega posp eška air:
Pri tem je r radij škripca in mk njegova m asa , koeficient k pa je enak
1 pri obroču in ~ pri polnem valju . Naš škripec je iz polivinila in ima
maso sam o 2,54 g in radij 2,20 cm . Newtonov zakon uporabimo za eno
in za drugo stran mla = F1 - mlg in m2a = m 2g - F2 (slika 2b) . Tako
Fizika - Rešitve nalog I
nazadnje dobimo enačbo
a(2m + m' + kmk) = gm / , ml = m, rn2 = m + m',
ki se samo po efektivni masi škripca kmk na levi strani razlikuje od
prejšnje enačbe.
Na škripec navijemo vrv in na njeno krajišče obesimo utež m' . Ugoto-
vimo , da pade utež za h = 0,5 m (več vrv ice ne moremo naviti na škr ipec)
v (0,36 ± 0,05) s . Upoštevamo, da je m2 = m' in ml = O, pa dobimo za
efektivno maso škripca kmk = m /(gt 2/2h - 1) = 1,4 g. To je nekaj več
kot polovica mase škripca - zaradi utorov v valju . Naš poskus je pokazal
prednost lahkega škripca. Maso škr ipca bi se dalo še malo zmanjšati s
tem , da bi izvrtali vanj nekaj lukenj , ne da bi prizadeli njegovo trdnost.
Janez Strnad
SLAMICA - Rešitev s str. 31
Če hočemo popiti sok iz kozarca, je treba na
vrhu slamice z usti ustvarit i dovol j nizek tlak
P, da bo tekočino "potegnilo" gor.
Ko v slamici miruje stolpec tekočine z vi-
šino h glede na gladino preostale tekočine v
kozarcu, je tlak pri dn u slamice enak vsoti hi-
drostatičnega tlaka tekočinskega stolpca pgh
in t laka na vrhu sla mice.
Tlak pri dnu je približno enak zunanjemu
zračnemu tlaku Po , saj je v kozarec potoplj enih
le nekaj centimetrov slamice in se višina gla-
dine v kozarcu ne pozna preveč. Sicer bi mo-
rali upoštevati le višino stolpca tekočine nad
gladino v kozarcu .
Med navedenimi tlaki torej velja zveza
PO = pgh + P
oziroma
PO - P
h - - - .
pg
p
PO
h
Rešitve nalog - N aloge
V najboljšem primeru bi na vrhu slamice lahko ustvarili t lak °ba-
rov in sok bi lahko popili z višine desetih metrov. To seveda ne gre.
Naj večja t lačna razlika, ki jo zmo remo z ust i, je okrog 0,6 barov , kar
ustreza šestmetrski slamici . Brez hudega truda pa lahko pij emo šele skozi
metrsko ali kr ajšo slamico.
Kaj pa , če j e slamica daljša od desetih metrov? Na vrhu bi lahko
ustvarili poljubno majhen tlak, pa bi sok "prilezel" le do višine 10 metrov .
Nad gladino soka v slamici pa bi ostal razredčen zrak in vodna para. Če bi
namreč t lak zmanjšali do nasičenega parnega tlaka vod e, bi sok v slamici
v zgornjih centime t rih stolp ca zavre!. Pri sobni temperaturi se to zgodi
pri tlaku 0,03 bara. Tega seveda ne bi mogli početi s srkanjem z usti ,
vprašamo pa se tudi , kolikšen podtlak sp loh zdrži slamica , ne da bi se
zmečkala.
Podobne težave nastopijo pri dv igovanju podtalne vode z vaško črpal­
ko ozirom a "št irno" ; če pri kopanju vodnjaka do glob ine deset ih metrov ne
naletimo na vodo , j e treba pos kus iti drugj e ali pa se odločit i za drugačen
način dv iganja vode na površje, npr. s čebrom na vitlu .
Opomba: Ker mi vprašanj e o tr dnos ti slamice ni dalo miru , sem
napravil takšen poizkus :
V pokrovček pollitrske plastenke sem pritrdil kolesarski ventil ček . Va-
njo sem do treh četrtin nalil vodo in potopil dve plastični slamici (ob ičajni
mlečno beli za sok, dolgi 20 cm in s prem erom 2 mm). Prva je bila za-
taljena le na eni st rani in j e služila kot barometer, druga pa je bila ne-
produšno zaprta z obeh strani. V plastenko sem načrpal zrak do tlaka
6 barov (v pol zaprti slamici, kamor je z ene stran i vdirala voda, se j e
stolp ec zraka skr ajšal na 1/6) , vendar je druga - zaprta slamica obdržala
okrogel prečni pr esek in vanj o ni vdrlo nič vode. To rej slamice očitno
dobro prenesejo tudi za pet barov manjši t lak v notranjosti. Slabš e so
se obnesle mehk ejše slamice, tiste debele s kolenčkom za prepogibanje.
Okroglo obliko nenadoma izgubijo pri tlačni razliki okoli 0,2 bara, z na-
daljnim večanjem t l ačne raz like pa se ubogljivo stiskajo, sledeč sprem embi
prostornine vsebovanega zraka v skl adu s plinskim i zakon i.
Matjaž Vencelj
POIŠČI ŠTEVILO
Sodo naravno število ima v dvoj iškem zapisu sedemmestno št evilko, v
pet iškem pa štirimes t no. Katero število j e to ?
Ivan Lisac
Zanimivosii-> Razvedrilo I
KRIŽANKA "OČETJE FIZIKALNIH ENOT"
Tokrat smo v križanka uvrstili 15 znanstvenikov (po večini fizikov), po katerih
so dobile ime nekatere fizikalne enote. Opisi zanje so v krepkem tisku .
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12
13 II 14 15 16 17
18 II 19 20 II 21 22
23 II 24
25 II II 26 27 I I 28
29 II 30 31 32
33 II 34 I I 35
36 37 II 38 39 40
41 42 II 43
44 45 I I 46
47 48 II 49 I I 50 51
52 53 II II 54 55 56 57
58 II 59 60 II II 61 62
63 II 64 65 66 II 67
68 69 70 71
72 73
I Zanimivosti - Razvedrilo
VODORAVNO:
1. francoski matematik in filozof, po katerem se imenuje enota za tlak (Blaise),
7. naša redkejša strupena kača, 10. francoski matematik in fizik, odkritelj elekt-
rodinamičnih pojavov, po katerem se imenuje enota za električni tok (Andre
Marie), 11. ime norveškega kralja, ki je bil na prestolu od leta 1957 do svoje smrti leta
1991 , 13. nova brazilska denarna enota, 14. vrtna rastlina z užitnim podzemnim o debelje-
nim delom, rebrinec, 18 . začetnici češkega tenisača Novačka, 19. zlitina kobalta, kroma in
volframa, 21. krajša oblika moškega imena Ahacij , 23 . vezava, ki daje tkanini poševne črte,
24. slovita švedska igralka (Greta), 25. dejavnost, ki se odvija v učilnicah, 26. redek knjižni
izraz za tla, 28. naslovna oseba opere Jakova Gotovca, 29 . matematični znak za seštevanje,
30. uporabnik, potrošnik, 33. letovišče na otoku Braču, 34. vulkan nad Neapljem, 35. grška
nimfa, ki se je spremenila v odmev, 36 . visoko listnato drevo z mehkim lesom, 38. angleški
dirkač formule ena (Nigel), 41. starejša italijanska pevka popularne glasbe, 43 . model, ki pri-
kazuje dvignjenost zemeljskega površja, 44 . fina, gosta tkanina za osebno in posteljno perilo,
46 . angleški inženir , izumitelj parnega stroja, po katerem se imenuje enota za
moč (J arnes), 47 . začetnici zagrebškega TV voditelja Mlakarja, 49. veliko jezero v vzhodni
Turčiji, 50. umetniška podoba golega telesa, 52. nemuslimanski podložniki v stari Turčiji,
54 . plod fižola ali gr aha , 56 . začetnici književnika Hienga, 58 . stara vprežna priprava, jarem,
59 . n emški fizik, po katerem je dobila ime enota za električno upornost (Ge-
org Simon), 61. ameriški filmski igralec (Nick), 63. sudansko ljudstvo v zahodni Afriki ,
predvsem na Slonokoščeniobali, 64. ime rockovskega glasbenika Springsteena, 67. slovenski
literarni zgodovinar iz 19 . stoletja, ki je izdajal časopis "Jezičnik" (Josip), 68 . večji kraj
pri Železnikih, 70 . poveljnik manjše vojaške ali policijske enote, 72. ameriški izumitelj
škotskega rodu, ki je leta 1876 izdelal prvi uporabni telefon (po njem se ime-
nuje mera za glasnost zvoka, Alexander Graham), 73 . angleški fizik in kemik ,
odkritelj električne indukcije in osnovnih zakonov elektrolize, po katerem nosi
ime enota za kapacitivnost kondenzatorja.
NAVPIČNO:
1. mestna zelenica s potmi za sprehajanje, 2. konec molitve, 3. belgijsko zdravilišče in dir-
kališče formule ena, 4 . švedski astronom iz prve polovice 18. stoletja, ki je predlagal
delitev t emperaturne skale med tališčem in vreliščem vode na 100 (njegovih)
stopinj (Anders) , 5. sto kvadratnih metrov , 6. lepljiva beljakovina v žitu, gluten, 7. češki
pevec zabavne glasbe (Karel), 8 . nekdanja legenda profesionalnega boksa (Muhammad),
9 . hči argoškega kralja Akrizija , ki se j i je Zevs približal v podobi zlatega dežja, Perzejeva
mati, 12. nemški fizik, ki je izdelal termometer na živo srebro, po katerem je
zmrzišče pri 32, vrelišče pa pri 212 (njegovih) stopinjah (Gabriel Daniel, ta raz-
delitev j e še danes v rabi v Angliji in Ameriki) , 15. krilo rimske legije , 16. staro glas-
bilo v obliki r-op otulj e , ki s o ga uporabljali Egipčanipri čaščenjuIzide , 17. športni avt.om.ob.il
Z zložljivo streho, 20 . dotik dv eh gibajočih se teles , pri katerem se skupna gibalna energija
ohrani , 22. angleški pomorščak iz 18. stoletja, ki je prvi obplul svet (James), 23 . francoski
fizik, po katerem se imenuje naboj lAs (Charles-Augustin de), 24. redka domača
pernata žival , 25 . lesena ograja, 27 . delavec , ki uliva kovinske izdelke, 29. znak za svinec,
30 . angleški fizik (lord), ki je izdelal absolutno temperaturno skalo (William
Thomson), 31. sodobni izraelski pisatelj (Amos) , 32. hrvaški elektrotehnik, po ka-
terem se imenuje enota za gostoto magnetnega polja (Nikola), 34. italijanski
fizik, ki j e izdelal prvi galvanski člen in se po njem imenuje enota za električno
napetost (Alessandro) , 37. reka v severni Italiji (naša pisava), 39. angleški fizik in
98 Zanimivosti - Hazuedrilo - Rešitve nalog
matematik, po katerem se imenuje e n o t a za s il o (sir Isaac) , 40. začetnici
slovenskega publicista in dramaturga Filipiča, 42 . bakren rimski n ovec, 45 . človek,
ki kaj ukrade, 47 . antilopa z dolgimi , močno koni častirni rogovi, 48 . skupen izraz za
afriške države Maroko, Alžirijo in Tunizijo , 51. oznaka Kranja, 53 . angleški fizik, po
katerem nosi ime e nota za delo, e nergijo, toploto (James Preseott) , 54 . hitra
smučarska d isc ip lina, 55. visoka p lanota nad Bohinjem, 56 . m estece blizu izliva reke
P ad v sev erni It al ij i , po katere m ima im e J adransko morj e , 57 . ameriški fizi k, po
ka ter em se im e n uje e n o t a za in d u k t iv n ost (Joseph), 59. državni sekretar za
kmetijstvo (Ivan), 60 . oznaka Hrvaške, 62. s t arej ši , že pokojni am eriški filmski igralec
(Alan) , 65 . okrasni prišitek na ka p i , 66 . im e astrologinj e Kurent, 69 . znak za klor ,
71 . zn ak za argon.
Marko Bokali č
PEN ROSO V TRIKOTNIK - R ešitev nalog s str. 18
1) "Prostorn ina" telesa znaša 12 drn" , njegova "površina" pa 48 dm ' .
2) Pikapolonica bo znova na svoj em izhodiščnem mestu potem, ko bo
čet rtič prestopila rdeči obroč .
3) Naslovna Ernstova fotografija
je seveda efekt en trik , ki gle-
dalca spretno spelje na misel,
da ima pred seboj dokaz za
obstoj nečesa , o čemer ve, da
sploh ne obs taj a.
Oglejmo si sedaj predmet na
desni sliki. Ta v realn em seveda
brez dvoma obstaja. Recimo, da
ga fotografiramo pod pr imernim
kotom tako , da se bodo robovi na
prekinitvah med seboj lepo pokri-
vali. Tedaj bi nastala iluzija, da
imamo pred seboj sklenj eni pred-
met oz. "pravi" Penrosov t rikot-
nik .
V ozadju Ernstove fotografij e ti či to rej zgolj precej spr etn a in duho-
vita igra z zakoni persp ektive. Sedaj najbrž nekoliko bolje razumemo tudi
osnovno risbo Penrosovega trikotnika oz. sploh vse risbe t.i . nemogočih
predmetov. Očitno sp loh ni nujno, da bi te risbe predstavljale to, kar se
zdi, da predstavljajo . Mar sikaj je pač od visno od tega, kako jih razumemo,
torej od naše interpret acije teh risb .
Vilko Domajnko
I Naloge
ENA FINANČNA
Recimo, da imamo nekaj pr ihrankov. Kaj storit i z nj imi? Ker smo m alce
pohlep ni in nekoliko pustolovskega duha, bančne obrest i pa so nemarno
nizke, se odločimo, da bomo za leto dni denar invest irali na borzi. No,
ne či s to neposredno , saj se na delnice, obvez nice in podobn a čudesa ne
spoznamo najbolje . Zato svoje majhno premoženje zaupamo v upravlj anje
ugledn i borzni hiši. Seveda pa up rav lja nje premoženj a ni zastonj . Pri
podpisu pogodbe nam borzna hiša ponudi naslednje mož nosti za plačilo
st roš kov upravljanj a:
(a) na začetku leta plačamo 2.4% z ačetne vrednost i premož enja,
(b) na kon cu let a plačamo 2.4% končne vredn osti premoženj a ,
(c) na kon cu vsakega meseca pl ačamo 0.2% tr enutne vredn osti premo-
ženj a .
Seveda nam v vseh pri merih ob kon cu let a od trgajo še fiksni del
ustv arjenega dobička , recim o 10%. (O morebitni izgu bi pa raj e ne razm i-
šljamo .)
Zdi se , da je mo žnost (b) na j ugo dnejš a, saj pr i njej plačamo stroške
šele na kon cu let a , pri izbiri (a) mor amo enako velike stroške porav nati
vnaprej , pri izbiri (c) pa so porazdelj eni preko celega let a . Za katero od
ponujenih možnosti bi se od loči li vi?
M artin Ju van
MANJKAJOČI ŠTEVILI
Rešitev naloge "Manjkaj oče št evilo" , ki j e objavljena v tej šte vilki Pre-
seka, nas nauči, kako ugotovimo, katero število manjka na datoteki , ki
vsebuj e vsa naravna št evila od 1 do n razen enega . Tokrat pa bomo
nalogo še nekoliko otežili . Zop et dobimo veliko datoteko , na kateri so
zapisana vsa števila med 1 in (neznanim) n raz en dveh. Vsako število
j e zapisano samo enkrat, št evila na datoteki pa seveda niso urejena.
Čim hitrej e in s čim manj dodatnega prostora poiš či manjkajoči št evili .
Martin Ju van
1100
V SAKDAN JE FUNKCIJE
Mat ematika I
Matematika v sred nj ih šolah je včasih na prvi pogled čudna . Učiti se
moramo nekaterih zelo kom pliciranih funk cij ; kot primer naj služi t ale
dija kova nočna mora
f (x ) = J log(l - x2 ) ,
ki je skora j zagotovo ne bomo nikoli srečali v praktičnem življenj u. Po
drug i strani pa bode v oči, da so v srednj ih šolah zelo redko predstavlj ene
nekatere funk cije, ki j ih vsakodnevno srečujemo. Nekaj teh bomo v nada-
ljevanj u opisali. Nikakor pa ne želimo trditi , da premle vanje kompli ciranih
funkcij ni smiselno, pravza prav je res ravno obr atno!
Ena od "vsakodnevnih funk cij" je celi d el. Ta funk cija po ljubnemu
realnemu št evilu priredi t isto celo število, ki mu je od spo daj najbližje,
torej naj večj e celo šte vilo, ki ni večj e od x :
int (x) = m ax{ n[n E 'IL 1\ n ~ x } .
Oznaka int je prišla iz računaln ištva in je uspešno izrinila starejšo ozna ko;
njen izvor je angleška besed a integer = celo število (dejanski izvor besede
pa je seveda latinski) .
x int (x) frac(x) sgn(x)
3 3 O 1
3,14 3 0,14 1
3,99 3 0,99 1
O O O O
- 4 - 4 O - 1
-4 ,1 - 5 0,9 - 1
- 4, 8 - 5 0,2 -1
Tabela 1
Nekaj primerov vredn osti t e in nas lednjih dveh funk cij j e v tabeli 1.
Graf y = int(x) pa je na sliki 1.
I Matematika
(y)
3
2
-3 - 2 -1
2 3 (x)
-1
~ .. -2
~. . -3
Slika 1. y = int(x)
Ne smemo zamenjati te funkcije z zaokroževanj em na cela mesta.
Zaokrožitev števila 3,99 je namreč 4 in ne 3, zaokrožitev števila -4,1 pa je
-4 in ne -5. Res paje, da zaokroževanje zahteva že določen miselni napor ,
ki mu nekateri niso kos. To izrablj ajo trgovci, ki na izdelek napišejo ceno
np r . 798 tolarjev , možgansko len kupec pa namesto cene 800 vidi 700
tolarjev in zmotno domneva, da je nakup ugoden. Da je to res, lahko vsak
preskusi sam . Gre naj v trgovino in si zapiše nekaj deset cen , potem pa naj
doma ugotovi pogostost posameznih števk; skoraj gotovo bo največkrat
nastopala devetka (ki je sicer najbolj sitna za računanje na pamet), kar
dokazuje, da trgovci dobro poznajo opisani psihološki trik .
Funkcijo celi del zlahka in, kot se izkaže, smiselno razširimo tudi na
kompleksna števila takole:
int(a + ib) = int(a) + i . int (b) (a, bE IR) .
Iz celega dela izpeljemo mantiso (latinsko : pridatek, do datek):
frac(x) =x - int(x),
kjer je x poljubno realno ali celo kompleksno število. Simb ol frac spet pri -
haj a iz latinščine preko angleščine (fraction = ulomek, odlomek). Mantiso
so pr ed izbru hom kalkulatorjev srednješolci srečali pri iskanju logaritmov
Matematika I
iz tabel. Nekaj pr imerov funkc ijskih vredn osti je v tabeli 1, graf y =
= fra c(x) pa je na sliki 2. Iz grafa se vid i zan imiva las tn ost : m antisa je
periodična funkcija.
(y)
-3 -2 - 1
-1
2 3 (x)
Slika 2. y = frac(x)
Naslednj a zan imiva funk cija je signum realn ega šte vila.
sgn( x) = { ~
- 1
(x > O),
(x = O) ,
(x < O) .
Latinska besega signum (iz katere pride tudi angleški sign , ki se pojavlj a
na nekat erih kalkulatorjih) pomeni znak , v tem kontekstu pr edzn ak . Ve-
dno , kad ar hočemo , da je neko št evilo pozitivno ali negativno , dejan sko
uporabimo to funk cijo ; to pa storimo, kdo ve kolikokrat na dan . Zato
je ta pr eprosta funkcija s samo tremi vredno stmi pomembna. Njen graf
y = sign(x) je na sliki 3.
(y)
o
(x)
-------~-1
Slika 3. y = sign(x )
Funkcija signum je v tesni zvezi z absolutno vrednostjo; za vsak realen
x namreč velja:
x = lx i ' sgn (x ),
lxi = x . sgn(x) .
Signum nima smiselne posplošit ve na kompleksn a štev ila .
Mat ematika
Nazadnje še opozo rimo na nenavadno las tn ost prikazanih treh funkcij .
Nezvezne so , njihovi grafi so v nekaterih točkah "pret rgani". Če skušamo
to poveda ti natančnej e : v nekaterih točkah se lahk o funkcijske vrednosti
že pri po ljubno maj hni sprememb i arg ume nta močno sprem enij o.
Tako! Tri funkcije, ki jih (m nogokrat podzavestno) uporablj amo v
vsakdanj em življ enju , smo opisali, četrto bomo pa prepustili za nalogo
bralcu . Zagot ovojo poznate, celo njeno ime vest e. Njen simb ol ni ust alj en ,
zato bomo upor abil i pač enega, ki je v uporabi . Za polj uben realen x naj
bo :
kjer so :
[
1 - (_l)b ]< X > = b - c . lQ -n
n 2 '
n 1
a = x· 10 +-
2
(1)
b = int(a) ,
c = l -sgn(a - b).
Indeks n je lahko po ljubno celo število in je tako pomemben, da ga ome-
nj am o celo v imenu te fun kcije. Za n = Oje graf y = < x > o pr ikazan na
sliki 4.
(y )
3 . . .~
- 3 - 2 - 1
2 3 (x)
:..--...-; . -1
-3
Slika 4. y =< x > o
104 Maienuitika - Rešitve nalog I
(2)
Da boste laže odkrili, za kaj gre pri tej funkciji , svetujemo, da izra-
čunate
< 7329,8545 > n
za vse n od - 5 do 5. Ker pa je, kot smo omenili, funkcija tudi čisto
praktično pomembna, naj še dodamo, da je zelo preprost približek za to,
sicer dokaj komplicirano funkcijo, takle:
< x > rl:::::: int(x ·10n + ~ ) · lO- n .
Kdaj se ta približek sploh razlikuje od natančne vrednosti?
Anton Cedilnik
IZ DRUŽINSKE KRONIKE - Rešitev s str. 29
Andrejev praded se je rodil leta 1870, njegova dva sinova pa 1895. in
1904. leta. Praded je bil torej ob rojstvu mlajšega sina, Andrejevega
deda, star 34 let .
Marija Vencelj
MANJKAJOČE ŠTEVILO - Rešitev s str. 25
Če bi imeli dovolj velik pomnilnik, bi bila rešitev preprosta. Števila z
datoteke bi prebrali v pomnilnik, jih hkrati prešteli in rezervirali tabelo
logičnih vrednosti primerne velikosti. Nato bi s prehodom tabele števil
v tabeli logičnih vrednosti označili, katera števila nastopajo, nazadnje pa
bi z dodatnim pregledom tabele logičnih vrednosti ugotovili manjkajoče
število . Če bi si dovolili dvakratno branje datoteke s traku, bi v pomnil-
niku potrebovali le tabelo logičnih vrednosti, ne pa tudi pomožne tabele
števil. Dobra stran tega postopka je, da deluje pravilno tudi tedaj, kadar
na datoteki manjka več kot eno število.
Žal pa nimamo dovolj pomnilnika, da bi lahko izpeljali gornji posto-
pek . Zato bomo uporabili drugačen, nekoliko bolj matematičen pristop.
Recimo, da bi naša datoteka vsebovala vsa števila od 1 do n . Vsota teh
števil je n(n/1) . To število da pri deljenju z n ostanek O, če je n lih , in osta-
nek ~, če je n sod. Če katero od števil manjka, potem zopet izračunamo
I Rešitve nalog 1051
{ prvi prehod datoteke: štetje }
{ ime fizičn e datoteke na traku }
{ datotečna spr em enljivka }
{ velikost datoteke plus ena }
:= ost-l-n; { določimo manjkajoče št evilo }
' ,ime,' manjka stevilo ' ,ost,'.' ); readln;
vsot o prisotnih števil oziroma ostanek , ki ga da t a vsota pri deljenju z
n . Iz razlike med ost ankom celotne vsote in ostankom, ki ga določajo
prisotna števila, pa zlahka izračunamo manjkajoče število.
program ManjkajoceStevilo;
{ Med st eviii na izbrani datoteki poišče tisto, ki manjka.}
var
ime: string;
f: file of longint ;
n: longint ;
i,ost : longint;
begin
write('Na kateri datoteki se nahajajo stevila: '); readln(ime);
assign(f,ime); reset (f);
n := 1;
while not eof(f) do
begin read(f,i) ; n := n+1; end;
reset(f) ;
ost := O;
while not eof(f) do {drugi prehod datoteke: sešt evanje ostankov }
begin read (f,i); ost := (ost-l-i) mod n; end;
if not odd(n) then {celotni ost anek minus ost anek prisotnih števil }
ost (n div 2)-ost
else
ost .- O-ost;
if ost -cl then ost
writ e('N a datoteki
end.
Morda se sprašujet e, zakaj kompliciramo z ostanki , ko pa bi lahko
izračunali kar celotno vsoto in iz nje t akoj dobili manjkajoče število. Pred-
nos t računanja z ost anki j e, da pri t em vrednost spremenljivk v pr ogramu
nikoli ne pr eseže 2n - 1. Če pa bi izračunali vsoto, bi se ta lahko pov-
sem približala vr ednosti n(n
2
+ 1 ) . I1ustrirajmo to s primerom. Največj a
vrednost , ki jo v turbo pascalu sprejme spremenljivka tipa integ er je
32767. Če računamo z ostanki , bo postopek deloval pravilno za vrednosti
n ::; 16384. Če pa vzamemo celotno vsoto, bo računanje vedno pravilno
le za n ::; 255. Razlika j e očitna. Res pa je , da se z računanjem celot ne
vsote lahko izognemu drugemu pregledu datoteke.
Martin Ju van
R ešitve nalog I
DEVET VPRAŠANJ O ŠIROKIH ŠTEVILIH
Rešitev s str. 39
Spomnimo se, da smo šte vilo imenovali široko, če je vsota njegovih šte vk
v desetiškem zapi su enaka njihovemu produktu. Vsoti števk smo rekli
širina št evila .
1. S kratkim računom prev erimo, sa so šte vila 7,22 ,123 in 13131 široka ,
št evili 1234 in 121212 pa ne .
2. Naj bosta a in b števki dvomestn ega širokega števila. Pot em je a +
+ b = ab oziroma a = b~l ' Desna stra n te enakost i je celo štev ilo le
pri b = O in b = 2. Možnost b = O odp ad e, saj je tedaj tudi a = O
in doblj eno šte vilo ni dvomestno. Pri b = 2 je tudi a = 2, torej je 22
edino dvomestno široko šte vilo.
3. Označimo z a edino št evko k-m estnega širokega števila , sestavlje nega
iz samih enakih št evk. Po tem velja enakost ka = ak. Za k = 1 je ta
enakost izpolnj ena pri vsakem štev ilu a . Vsa enomestna šte vila torej
rešijo nalogo. Če pa je k ~ 2, ločimo dve možnosti. Pr i a = 1 je leva
stran enakosti večja , tako da enačaj ne more veljati. Če pa je a ~ 2,
lahko dobimo enačaj le za k = 2 in a = 2, torej pri št evilu 22, ki sm o
ga že srečal i, sicer pa je desna stran strogo večj a .
4. Ker mora imeti široko št evilo širine 3 produkt števk ena k 3, v njego-
vem zapisu lahko nastopata le števki 1 in 3. Da bo produkt enak 3,
mora nastopiti natanko ena št evka 3. Da pa vsota št evk ne postane
prevelika, št evke 1 ne sm emo dodati . Edino široko število s širin o 3
je torej število 3.
Podobno sklepamo , ko iščemo široka šte vila širine 4. Števke, ki lahko
nastopijo v nj ihovem zapisu , so 1, 2 in 4. Da bo njihov produkt enak
4, moramo imeti eno števko 4 ali pa dve št evki 2. V obeh primerih pa
enic ne moremo več dod ati , saj bi sicer vsota šte vk postala prevelika.
Edini široki št evili širine 4 sta tor ej šte vili 4 in 22.
5. Pokažimo, da široko število širine 11 ne obstaj a. V to se zlahka pre-
pričamo , če opazimo , da števila 11 ne moremo zapi sati kot produkt
deseti ških števk. Št evilo 11 je namreč prašt evilo, zat o v vsa kem nje-
govem zapisu kot produkt naravnih števil nastopa tudi število 11
samo, to število pa ne pr edstavlja desetiške števke.
6. Oglejm o si razc ep števila 1995 na pr afaktorje: 1995 = 3·5 · 7 · 19. Ker
v njegovem razcepu nas topa t udi praštevilo 19, ki je st rogo večje od
vseh desetiških št evk , široka števila širine 1995 ne obstajajo.
I Rešitve nalog
7. Poti , kako poiskati poljubno velika široka št evila, je veliko . Uporabili
bomo naslednj o idejo . Z nekaj števkami, ki so večj e od 1, poskrbimo,
da je pr odukt števk dovolj velik. Nato z dodaj anj em enic, tako do-
daj anj e ne spreme ni produkta števk, poskrbimo, da je produkt št evk
enak nj ihovi vso ti. Za vsako naravno število k tako lahko zgradimo
široko št evilo
2 . . . 21. . . 1
"-v-'''-v-'
k 2k - 2k
s širino 2k . Nekaj prvih širokih števil, doblj enih s to konstrukcijo,
j e 2, 22, 22211 in 222211111111. Seveda z rastočim k t a št evila zelo
hitro postanejo poljubno velika.
8. Naj bo x šir oko šte vilo s širino k. Št evka O v zapi su števila x ne
nastopa, saj bi bil sicer produkt št evk enak O. Torej ima št evilo x
kvečjemu k št evk , saj vsaka neničelna števka poveča vsoto števk vsaj
za ena, celotna vsota pa je po predpostavki enaka k. Št evilo x torej
ni večj e od lOk . Gornj a zelo groba ocena torej pr avi , da širokih št evil
širine k ni več kot in-.
9. S pomočj o računalnika lahko izračunamo naslednjo tabelo:
n število širokih števil do n
10 9
102 10
103 16
106 98
109 550
1012 1695
Širokih št evil j e torej zelo mal o. Do tisoč so to le enomestna števila
1, . . . 9, število 22 in št evilo 123 ter še pet šte vil , ki jih lahko dobimo iz
šte vila 123, če zamenjamo vrstni red pos am eznih šte vk. O tem , kako sem
izračunal gornjo tabelo, pa kdaj drugič .
Širo ka št evila bi lahko definirali tudi pri osnovah, ki so različne od
10. Na pr imer , pri osnovi 2 široka št evila niso posebej zanimiva. Zakaj?
Martin Ju van
1108
VIBRACIJSKI TRAN SPORTERJI
Fizika I
Vibracijske transporterj e uporabljamo za prenos zrnatega ali pr aškast ega
materiala. Deluj ejo tako, da podlaga hitro nih a v poševni sm eri , zato
zrnca na njej pos kakuj ejo in se tako premikajo naprej . Shema delovanja
takega transporterjaj e prikazana na sliki. Transportno podlago podpirajo
vzm eti , poševna vodil a pa dopuščajo njeno gibanje le v določeni smeri.
Vzmeti so največkrat nameščene kar na vodilih . Elektromotor poganja
z veliko frekvenco pogonsko kolo, to pa preko roči ce podlago, da drsi po
vodilih gor in dol.
3
I.... .
2
1 - vodili, 2 - transportna podloga, 3 - zrnati m ateri al , 4 - pogonsko kolo,
5 - ročica, 6 - p odporne vzmeti .
Opi šimo najprej gibanje podlage, potem pa še obnašanje drobn ega
telesa na njej . Navadno je razdalja r med središčem pogonskega kolesa in
pritrdiščem P1 roči ce na kolesu veliko manjša od dolžine ročice l . V tem
primeru je nihanje podlage približno sinusno:
1= r sin(wt) ,
kjer je 1 odmik v sm eri vodil od ravnovesne lege, w krožna frekvenca
kolesa, t pa čas . Bralec lahko to preveri tako, da up ošteva gibanj e sistema
pritrdišč ročice na pogonsko kolo in podlago (točki P1 in P2 na sliki) .
Točka P1 enakomerno krož i po krožni ci zradijem r , točka P2 pa se giblje
v sm eri , določeni z vodili tako, da je med njima st alna razd alj a l. Pri
računu upoštevamo r << 1 in lahko nekatere člene zanemarimo .
Fizika
Gibanje po dlage razstavimo na gibanje v vodora vni in navpični smeri:
x p = r cos Q' sin(wt )
Yp = r sinQ' sin(wt) ,
kjer j e Q' naklonski kot vodil. Pri tem vzamemo poljubno točko po dlage
in gledamo njen odm ik iz ravnovesne lege. Telo se odlepi od podl age, ko
postane poje me k podlage v navpični smeri ena k tež nemu pospešku:
- rw2 sin Q' sin(wt) = - g .
Zaradi kraj šega za pisa uvedimo parameter J{ = rw2 / g . Potr eben pogoj,
da je gornja enačba rešlji va in da transporte r sploh deluje, j e: J{ sin Q' > 1.
Nava dno je J{ veliko večj i od 1 (10 < J{ < 100) , kar nam precej poeno-
stavi računanj e . Pri vibracijskih t ra nsporte rji h nas seveda najbolj zanima
t ranspo rtna hi t rost, to j e povprečna hi t ros t zrn v vod oravni sm er i. Pot em ,
ko telo odskoči, njegovo gibanje opisuj ejo enačbe za poševni met navzgor:
x = vp cos Q' t
. gt 2
y = vp SIn Q' t - 2 '
kjer j e vp hi t ros t podl age v sm eri vodi l v t renutku odskoka te lesa:
Vp =wr /1 - " ~ 2 .V Ii 2 SIn Q'
P ri tem smo spet prest avili izhodišče koordinatnega sistem a t ako, da je
začetna lega zrn a ob skoku x = O, y = O. Bralec se lahko hi tro prepri ča da
je za velik J{ te lo v zraku veliko nih ajnih period podl age, pr eden spe t pade
nanj o. To rej je t ranspo rt na hitrost VT kar pri bližno enaka komponenti
hitrost i podl age ob odskoku v vod or avni sm eri :
VT ~ Vp cos Q' = rw cos Q' /1 - " ~ 2 ~ rw cos Q'.V Ii 2 SIn Q'
Če naj bo do transpo rte rj i učinkov i ti , mora biti t ranspo rt na hitrost
čim večja . Edino, kar navadno lahko izbiramo, je frekvenca elekt romotorja
; r in Q' st a določena s st roje m , ki ga dobimo. Čim večj a je frekvenca ,
tem večj a je tr ans portna hitrost . Frekvenca je seveda omejena z močj o
motorja in dinamičnimi obreme nit vami v sistemu , najbolj na pogonskem
kolesu in na vzmet eh .
Mi lan Ambrožič
1110
o PRAŠTEVILIH
Mat ematika I
Že stari Grki so se poleg geometrij e veliko ukvarjali tudi s pr aštevili. Pro-
blemi v zvezi s pr aštevili so največkrat enostavno zastavljeni , a zelo težki
za reševanj e. Še danes obstaja precej nerešenih problemov kljub številnim
novim (neelementarnim) metodam za njihovo reševanj e. Idej e, ki izvirajo
iz preučevanja pr ašt evil , so bile zelo plodno uporabljene tudi v moder-
nih matematičnih disciplinah, kot sta teorija kolob arj ev in algebraična
geometrij a .
Danes bomo spregovorili nekaj o enostavnejših problemih in meto -
dah, ki so dostopne tudi srednj ešolcem. Naloge s praštevili so za vas
zelo koristne, saj razvijajo sposobnost mišlj enja z lastno glavo . Pri teh
nalogah namreč ponavadi ne gre za uporabo že naučenih metod , ampak
morate sami iznajti tudi metodo reševanja, kar je od vseh opr avil človeških
možgan nedvomno najtežje.
Kljub temu, da nalog v zvezi s pr aštevili ni mogoče spraviti v pre-
dalčke , bomo poskusili s primeri predstaviti uporabo tr eh najosnovnejših
idej , ki vam večkrat ut egnejo koristiti .
1. ideja. Kadar rešuj ete problem , ki ima kaj opraviti s praštevili, ne
pozabite na najosnovnejša dejstva:
(a) Vsa praštevila, razen dvojke, so liha št evi la .
(b ) Nobeno praštevilo , razen trojke, ni deljivo s 3.
(c) Če je p praštevilo in je p = xy , potem je x = 1, y = p ali pa
x = p , y = 1.
(d) Če št evilo n ni praštevilo , ga lahko zapišemo v oblik i produkta n = x y,
kjer sta x , y različna tako od 1 kot od n .
Problem 1. Naj bosta p > q > 3 praštevili . Dokaži , da je p2 _ q2
deljivo s 24 .
Rešitev. Najprej je očitno, da sta p in q lihi števili, zato lahko pišemo
p = 2n + 1 in q = 2m + 1. Tedaj je število
p2 _ q2 = (4n 2+ 4n + 1) - (4m 2 +4m + 1) =
=4(n(n + 1) - m(m + 1))
deljivo s 4. Števili n(n + 1) in m(m + 1) sta gotovo sodi , ker je med
dvema zaporednima številoma vedno eno sodo in eno liho . To pomeni, da
je p2 - q2 deljivo z 8.
IMa tem atika
Nadalje je izmed št evil p - 1, p, p + 1 natanko eno delj ivo s 3. Ker
je p praštevilo , raz li čno od 3, p ni deljivo s 3, zato je (p - 1)(p + 1) =
= p2 _ 1 deljivo s 3. Podobno je q2 - 1 delji vo s 3. Tedaj pa je tudi
p2 _ q2 = (p2 _ 1) - (q2 - 1) deljivo s 3 in glede na prejšnj i odstavek tudi
s 24.
Problem 2. Naj bo p pr ašt evilo. Den imo, da je 8p2 + 1 tudi
prašt evilo. Koliko je tedaj p?
Rešitev . Najprej poskusimo s p = 2. Tedaj je 8p2 + 1 = 33, kar ni
praštevilo . To pomeni , da lahko predpostavim o, da j e p liho št evilo.
Pišimo torej p = 2n + 1. Tedaj je
8p2 + 1 = 32n 2 + 32n + 9 = 32n(n + 1) + 9.
Če bi bilo eno izmed števi l n , n + 1 deljivo s 3, bi bilo 8p2 + 1 tudi deljivo
s 3 in večj e od 9, tor ej bi ne bilo praštevilo . Zato je s 3 delji vo št evilo
n - 1, oziroma n - 1 = 3s. Če to vstavimo v p, dobimo
p = 2n + 1 = 2(3s + 1) + I = 6s + 3 = 3(25 + 1).
Ker je p prašt evilo, je s = O oziroma p = 3. Če naredimo preizkus, je
8 . 32 + 1 = 73 res praštevilo.
P rob le m 3. Za kakšen n sta števili 2" +1 in 2" -1 hkr ati praštevili?
Rešit ev. Št evilo n = 1 ni rešit ev, saj 1 ni praštevilo. Število n = 2 je
rešit ev, saj dobimo 3 in 5.
Naj bo zdaj n > 2. Denimo, da je 2" -1 praštevilo. Piš imo n v obliki
produkta n = x y , pr i x :s y . Tedaj je
Ker je 2" - 1 praštevilo, je 2X - 1 = 1. Torej je x = 1 in y = n . To
pomeni , da n nima net rivialnih deliteljev, zato je n t udi sam prašte vilo.
Ker je n > 2, je n liho št evilo. Piš imo ga v obliki n = 2k + 1. Tedaj je
število
2" + 1 = 2 . 4k + 1 = 2(3 + l )" + 1 =
=2(3k + k . 3k - 1 + ...+ k . 3 + 1) + 1 =
= 3(2 · 3k - 1 + ... + 2k) + 2 + 1
deljivo s 3 in hkrati večje od 3, zato ni praštevilo. Edina rešitev je torej
n = 2.
112 Mat ematika t
2. ideja. Včasih je koristno up orabiti dejstvo, da je vsako naravno
število mogoče zapi sati v obliki produkta potenc pr aštevi l. Vedno imejt e
v mislih tudi to , daje tak produkt enol ično določen , če praštevil a uredimo
po velikosti .
Problem 4 . Naj bo p = 2n + 1 praštevilo . Dokaži , da je n potenca
št evila 2.
R eši tev . Nap išimo n kot produkt potenc praštevil , torej
2k k 2 »;n = P2 < -v;' .
Ker so praštevila P2, ... , Pk liha , j e t udi njihov produkt liho število, zato
lahko pišemo n = 2k(2/ + 1). Tedaj je
Ker je P praštevilo , j e 2
2k + 1 =P, oziro ma / = O.
Problem 5. Naj bo D naj večji skupni delitelj in v najmanjši skupni
večkratnik . Dokaži , daje D(a , b, e)v(ab , be,ca) = abe za po ljubna naravna
števila a, b, e.
R ešitev. Pišimo
a =pf lp~2 .. .p~ n ,
b - p fhpf3 2 p f3 n- 1 2 n ,
e = p Il p 12 p~n .
Jasno je seveda, da so nekateri eksponenti lahko enaki O. Tedaj je
D(a , b, e) = p~in{ al, f3I"Y.} . , .p~in{ an,f3n"Yn} .
Poleg tega je
( b b ) - pmax{a l+f3 I, f3I + I' I 'I'I+a l } pmax{ a n+ f3n,f3 n+ l' n" n+ a n}va , e, ca - 1 . . . n .
Preveriti moramo torej iden titeto
o' + .B + / = min {0' , .B, / }+ max{o' + .B, .B + /, / + o' } .
Brez škode za sp lošnost lah ko predpostavimo , da je o' ::; .B ::; /. Tedaj je
prvo šte vilo na desni enako 0' , drugo pa .B + / in enakost res velja .
3. ideja. V matematiki se zelo pogosto upora blja način dokazovanja,
ki t emelji na nas lednj em: Denimo, da moramo dokazati , da iz Asledi B .
Tedaj vzamemo , da Avelja B pa ne (naredimo torej neko hipotezo) , in
pot em posk ušamo pokazati , da nas ta hipoteza vodi v protislovje.
Matematika
V nas lednjem primeru bi šlo naprimer takole: Dokazati moramo, da
če ima šte vilo plastnost P , pote m je P praštevilo . To poskusimo dokazati
tako, da vzamemo, da P ni praštevilo in da ima lastnost P , ter na to
poskusimo izp eljati protislovje.
Problem 6 . Denimo, da P deli (p-1) !+1. Dokaži , da je p praštevilo .
R ešitev. Denimo , da p deli št evilo (p - l) !+ 1 in da ni praštevilo. Po tem
ima p neki delitelj q, ki je večji od 1 in manjši od p . Toda pot em bi q
nas top al v produktu (p - 1)! = 1·2· .. . .(p - 1) in bi ga seveda delil. V tem
primeru seveda q ne more deliti (p - 1)! + 1. Dobili smo tor ej situacijo,
ko q deli p , p deli (p - 1)! + 1, q pa ne deli (p - 1)! + 1. To je očitno
protislovje, ki pomeni tudi konec dokaza.
P roblem 7. Dokaži , da je praštevil neskončno mn ogo . Ta problem
je zelo star in so ga znali rešiti že stari Grki .
Rešitev. Pa denimo , da je praštevil končno mnogo, recimo k. Dokazali
bomo, da to vod i v protislovje.
Označimo praštevila s Pl , . .. ,Pk in si oglejmo št evilo N
= P1P2 . .. Pk + 1. Vsako število je bodisi praštevilo bodisi j e deljivo z
nekim pr aštevilom , manjšim od št evila samega. Št evilo N ni praštevilo,
saj j e večj e od vseh praštevil Pl , .. . , Pk. Če je deljivo z nekim praštevilom,
mora biti deljivo z nekim izm ed Pl, P2, ... , Pk, saj drugih pr ašt evil ni .
Tod a tedaj bi Pi delil L, kar je protislovje.
Problem 8. Dokaži , daje v zaporedju an = 4n + 3 neskončno mnogo
pr ašt evil.
R ešitev. Upo rabili bom o podob en prij em kot v pr ejšnji nalogi . Denimo ,
da je v zap oredju samo končno mn ogo pr aštevil Pi ,P2, ... , Pk.
Razen dvojke so vsa pr aštevila liha in zato oblike 4n + 1 ali 4n + 3.
Produkt dveh števil oblike 4n + 1 je spet take oblike, zato mora imeti
vsako število oblike 4n + 3 vsaj en pr aštevilski fak tor te oblike.
Oglejmo si števili N = P1P2 . . . Pk+2 ter M = P1P2 ... pk+4 . Natanko
eno od obeh števil je oblike 4n + 3, drugo pa oblike 4n + 1 (gre za dve
zaporedni lihi števili) . Denimo, da je Noblike 4n + 3. Tedaj ima N
prafak tor o blike 4n + 3, ki j e torej člen zaporedja an in za to enak en em u
izm ed praštevil Pl, P2 . . . , Pk. Če Pi deli N , sledi , da Pi deli 2, kar je
nemogoče. Podobno obravnavamo primer , ko je M oblike 4n + 3.
Zdaj ko ste obo roženi z osnovnimi idejami o praštevilih , lahko greste
v knjiž nico po stare Preseke ali kakšno zbirko nalog in rešuj ete naloge,
ki so v zvezi s praštevili . Pa brez pretiravanja. Nikoli ne pozabite, da
mat ematika ni edina stvar na svetu.
Borut Zalar
Tekmovanja I
15. PODROČNO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA
OSNOVNOŠOLCE
NALOG&ZA7. RAZRED
1. Na saneh z m aso 10 kg sedi Metk a z maso 40 kg. J anko vleče Metko
po klancu z nagib om 30° .
a) S kolikšno silo vleče Janko, če je giba nje enakome rno in je sila t renja
ocenjena na 10 N?
b) Kolikšen je tl ak pod sanmi, če je velikost stične ploskve med sanmi
in snego m 2 dm"?
c) S kolikšno silo naj J anko vleče po vodoravni pod lagi, da bo gibanje
še vedn o enakomerno? Upošt evaj , da se sila tre nj a na vodoravn em
delu poti podv oji .
2 . Posoda v obliki kvadra s
površino dn a 3 dm 2 je nap ol-
njena z vodo do višine h . Na
vodi plava lahka ladj ica , na dnu
katere je kamen s prostorn ino
30 ern" in gostoto 2,5 gi cm".
Za koliko se zviša ali zniža gla-
dina vod e v posodi , ko vzam e-
mo kamen iz ladjice in ga spu-
stimo na dno posode?
3. Okrogla posod a je pri st ra-
ni pri t rj ena na živosrebrni m a-
nometer . Gl adina živega sre-
br a v levem kr ak u m anometra
je za hI = 20 cm pod središčem
krogle, gladina v desnem kraku
pa je za h2 = 5 cm nad gla dino
živega srebr a v levem kraku
manomet ra . Kolikšen je pol-
mer posode , če j e posoda polna
vode in je zgoraj odprta?
I Tekmovanja
~ '
.,'2m
2m'...
~_-.L-_-;"-__
F
-~~~_---1__---;;- _
'...
4. Na sliki j e prikazano telo,
na katerega deluj e sila F = 7 N.
V prvem primeru deluj e sila v
sme ri gib anj a , v drugem prime-
ru pa sila oklepa s smerjo pot i
kot 45° . V ob eh primerih se telo
premakne za 2 m .
a) Ali j e v ob eh primerih opra-
vljeno delo enako?
b) Če ni , katero delo je večj e in za koliko?
5. Dolžino medeninas te in jeklene palice izmerimo pri temperaturi O° C .
Medeninasta palica je dolga 1200 mm, jeklena pa 1202 mm.
a) Pri kateri temperaturi sta pali ci enako dolgi?
b) Kolikšna je njuna dolžina pri tej t emperaturi?
Upoštevaj podatek , da se medeninasta palica podaljša za 0,0 19 mm
in jeklena za 0,0 12 mm, če ju segrejemo za eno stopinjo.
NALOGE ZA 8. RAZRED
1. 160 cm visoka Metka si kupuje ogledalo, v
katerem bi se videla od pete do vrh a peresa na
klobuku . Ker je varčna , želi kup iti najmanjše
možno ogledalo. Svetuj ji , kako visoko naj bo
in kako daleč od tal naj bo njegov spodnji rob .
Od govor utem elji z risb o.
30cm
2. Brem e z maso 20 kg je obešeno na vrvi,
ki vodi prek škripca, pri trj enega na str op . Spu-
stimo ga z višine 20 m nad tlemi. Njegovo pada-
nje zavira mo tako, da ga s st alno silo F vlečemo
za prosto krajišče vrvi. Kolikšna naj bo ta sila,
da bo br em e padlo na tla s hitrostj o 10 mis?
3 . Na lahki , 1 m dolgi palici, ki stoji navpi čno,
sta pritrjeni dve krogli . Na vrhu je krog ia z
maso 1 kg, na eni tretjini višine pa krogia z
maso 0,5 kg. Palico spustimo, da začne padati,
ne da bi spodnje krajišče zdrsnilo. Kolikšna je
hitr ost zgornj e krogle , ko ud ari palica na vodo-
ravn a t la? Maso palice zan emarimo.
1kg (r'<"+---.
Tekmovanja I
4. Na atletskem tekmovanju je fizik opazoval skok v višino . Nekatere
podatke o skoku je uspel zmeriti, ostale pa mu pomagaj izračunati. Tri
faze tega skoka so shematično prikazane na sliki .
o
Pri počepu se je skakalcu težišče znižalo za 0,4 m. Pri odrivu pa so
skakalcu izm erili odrivno hitrost 3,2 mis.
a) Kolikšen je bil odrivni čas, če je pospešek odrivanja konstanten?
b) Za koliko se je skakalcu dvignilo težišče po odrivu?
5. Tri enake upornike povežemo
z napetostnim izvirom in amper-
metrom z zanemarljivim notranjim
uporom v vezje, ki je prikazano na
sliki .
a) Kolikšen tok teče skozi vsak
upornik, če ampermeter (Ad
kaže tok 0,6 A?
b) V vsakem uporniku s puščico
označi smer toka skozi upor-
nik.
Objavljamo še popravek tekmovalnih rezultatov, objavljenih v 1. šte-
vilk i Preseka:
Med dobitniki zlatega Stefanovega priznanja je tudi ekipa 7. razreda
OŠ Lipnica. Učenca Katja Goli in David Štuler sta pri ponovnem
pregledu in ocenitvi tekmovalnih nalog prejela dodatne točke in tako
osvojila 12 točk . Učencema iskreno čestitamo.
Vesna Hare], Jelislaua Sakelšek
I Tekm ovanj a
30. OBČINSKO TEKMOVANJE ZA SREBRNO VE-
GOVO PRIZNANJE
22. ap rila 1995 se je 1815 šestošolcev, 1605 sedmošolcev in 1691 osmo-
šolcev na občinskem tekmovanj u potegovalo za srebrno Vegovo prizna-
nje. Osvoj ilo ga je 620 učencev 6. razreda , 500 učencev 7. ra zreda in 561
u čencev 8. razreda . Prvič so letos učenc i reševali na loge v dveh sklopih.
Prvih šest nal og je bilo izbirnega tipa z obkrožanjem ustreznega odgovora,
nato pa še tri "klasične" naloge. Poglejm o naloge:
6 . razred
A l Človek ima pr ibližno 150000 las . Vsak dan mu j ih izpade približno
100. Vzem imo, da izpadejo vsak dan tisti lasje, ki so najstarejši.
Nadomest ijo j ih novi lasje. P ribližno koliko let živi človešk i las.
(A) 1 leto (B) 2 leti (C) 3 leta (Č) 4 let a (D) 5 let
A2 Učiteljica pravi učencem: "Do konca šolske ure je ostalo dva krat ma nj
časa , kakor ga je že preteklo od začetka . " Koliko minut je še do konca
te šolske ure?
(A) 5 mi n (B) 10 min (C) 15 min ( Č) 18 min (D) 20 min
A3 Če dam Tinetu dve čokoladi, se lahko vozim z njegovim kolesom 3
ure, če mu dam 12 bonbonov, pa 2 uri. J utri mu bom da l čokolado
in tri bonbone, zato se bom lahko vozil
(A) pol ure (B) eno uro (C) dve uri (Č) t ri ure (D) štiri ure
A4 Rešitev enačb e 2+~+4 = 1 9 94±l ~95± 1 9 96 j e
(A) 3 (B) 6 (C) 1994 (Č) 1995 (D) 1996
A5 Ka terega lika ni na sliki?
(A) kroga (B) kvad rata
(C) pravokot nega t rikotnika ( Č) enakokrakega tr ikotnika
(D) enakost ran ičnega tri kotnika
1118 Tekmovanja I
A6 Domi no sestavljata dva mala kvadratka: C.
Katere od spodnjih "šahovnic" ne moreš sestaviti iz samih takih do-
min ? (Domine se ne prekrivajo.)
(A) (B) (C)
( Č) (D)
Bl Od nekega št evila smo odšteli enkrat ~ , dvakrat ~, trikrat ~,štirikrat
t in dobili ~6 ' Od kat erega št evila smo odštevali?
B2 V cvetličarni im ajo na zalogi 370 gerbe r, 148 nageljnov in 222 vejic ze-
lenj a. Iz vsega cvetja in zelenja želijo narediti največj e možno št evilo
enakih šopkov . Koliko stane šope k, če so gerbere po 210 tolarjev,
nageljn i po 100 to larjev, zelenje pa po 80 to larje v? C
B3 Dan je pr avokotni t rikot nik .0"ABC
s kotom .q:ACB = 25° , kot kaže
skica . Točka D je zrcalna slika toč- D
ke B glede na nosilke AC . Sime-
t ra la kota .q: CAD seka daljico CD
v točki E . Izračunaj velikost kot a
.q:CEA.
I Tekmovanja
7. r azred
Al Kolikšna je vsota števil, ki bi j ih morali zapis ati
v polj a , kjer so zvezdice, da bi bile vsote števil
v vsaki vrstici, v vsakem st olp cu in v vsaki dia-
gonali med seboj ena ke?
ft 1 8
7 't3 3
't3 9 4
(A) 11 (B) 13 (C) 15 ( Č) 18 (D) ni mogoče ugotoviti
A2 Eden od naštetih produktov ni enak drugim. Kateri?
(A) 112 . 1
(C) 112000· 0,001
(D) 1,1 2·100
(B) 11,2 ·0,1
(Č) 0,00112 .105
A3 Kateri je največji količnik , ki ga lahko izračunaš iz dveh elementov
mn ožice {-24, - 3, -2, 1,2, 8}?
(A) -24 (B) -3 (C) 8 (Č) 12 (D) 24
A4 V trgovini so povečali cene za 25%. Ker je bila prod aj a slaba, so ji h
znižal i na prejšnj o raven. Koliko odstotna je pocenitev?
(A) 20 (B) 24 (C) 25 (Č) 30 (D) 35
AS Koliko kvadratnih (ploščinsk ih) enot meri ploščina par alelograma
ABCD:
~----------iJ C(4,2)YD
A (0,0)
(A) 6 (B) 8 (C) 12 (Č) 15 (D) 18
A6 Kateri večkotnik ima petkrat toliko diagonal kot ogli š č?
(A) petkotnik (B) osemkotnik (C) desetkot nik
(Č) t rinajstkotnik (D) petn aj stkotnik
Tekmovanja I
B l Izračunaj X , če j e
(0 ,375 +~) : (1. + ~ - 1) - (2 + 1.)
3 4 6 2 : x = 10.
3 · (1. - 1)2 . JO 75 - li
2 '36
B2 Aritmetična sredina 10 različnih naravnih števil je 10. Pokaži, da
največje izmed teh števil ni večje od 55.
B3 P ravokotnik iz 4 x 11 kvadra-
tov delno pokrijemo s krogi,
ki so včrtani kvadratom, kot
kaže slika. Kolikšen del pra-
vokotnika pokrivaj o krogi ?
(7f = 2;)
,,,,,, ,,,,,, , ,
:; \\~
::
,:::: :.;.:.
:~:~:
,,,,,, z.,: ,
;
. : : :~: :: :- iB:ili1:
,,,,,
8. r a zr e d
A l Vrednost izraza 1+ 1 , je :
' + 11+!
(A) ~ (B) 171 (C) 181 (C) 1 (D) 1/
A2 Smerni koeficient premice, ki gre skozi točki A(O,2), B(-l, 1), je
(A) - 2 (B) ~ (C) 1 (C) 2 (D) 3
A3 Vasi Studeno in Unec sta 9 km narazen . Na zemljev idu mer i njuna
razdalja 3 cm 6 mm. V kolikšnem merilu je narisan zemljevid?
(A) 1 : 9 (B) 1 : 9000 (C) 1 : 25000 (C) 1 : 250000 (D) 1 : 400000
A4 Iztegnjeni kot ra zdelimo na polovici , polovico na tretjine, tretjino na
petine, petino na šestine. Šestina petine tretjine polovice izt egnjenega
kota meri
(A) 1° (B) 2° (C) 30° (C) l' (D) 30'
A5 Pravilnemu šestkotniku s stranico a je očrtan
pravokotnik, kot kaže slika . Koliko odstotkov
ploščine pravokotnika je ploščina šestkotnika?
(A) 67% (B) 69% (C) 71%
(C) 73% (D) 75%
I Tekmovanja
A6 Iz kvad ra izrežem o enotsko kocko, kot prikazuje slika . Za koliko
kvadratnih (ploščinskih) enot se površina novega telesa razlikuje od
površine kvadra?
1
(A) je za 2 manjša (B) je za I manjša (C) sta enaki
(Č) j e za I večja (D) je za 2 večja
Bl Za katere pare naravnih števil a in b je ulomek ~=i za I večji od p
Zapiši vsaj dva taka para.
B2 Temperaturo lahko izrazimo v stopinj ah Celzij a(OC), ponekod pa še
uporabljajo stopinje Fahrenheita (O F). Oba načina povezuje enačba
TF = ~ . Te + 32. (TF pomeni temperaturo, izraž eno v stopinjah
Fahrenheita, Te pa tem peraturo, izraženo v stopinjah Celzija.)
a) KolikoOFjeIO°C?
b) Koliko °C je 14 OF?
c) Iz dane enačb e izrazi Te .
B 3 Robova osnovne ploskve kvadra sta v razmerj u 3 : 1, diagonali sose-
dnjih stranskih ploskev pa VI3 :V5. Površina kvadra meri 49,5 ern" .
Izr ačunaj prostornino tega kvadra.
A leksan der Potočnik
IZBIRNO TEKMOVANJE IZ MATEMATIKE
Sobotnega dop oldneva 18. marca 1995 so se m lad i matematiki spopadli z
nasl ednjimi nalogami:
Prvi letnik
1. Vsota št evk št evila 3n j e enaka vsoti števk št evila n . Po kaži, da je
število n deljivo z 9.
2. Za realna št evila a, b, c in dvelja a < b < c < d. Uredi po velikosti
šte vila x = (a + b)(c+ d), y = (a + c)(b + d) in z = (a + d)(b+ c).
1122 Tekmovanja I
3. V krogu s središčem S st a narisana polmera SA in S B, ki tvorita kot
1200 • Tet iva M N, ki je vzporedna tetivi AB, seka SA v točki P in
SE v točki R. I zračunaj polmer kroga , če veš, da je IMPI = 2 in
IPNI = 5.
4. Igralci A , B in C mečej o kocko. Če pade 1 ali 2, dobi igr alec A en
žeto n od igralca B in en žet on od igralca C, če pade 3 ali 4, dob i B
po en žeton od A in C, in če pade 5 ali 6, dobi C po en žeton od
A in B . Igra se konča , ko enemu od igralc ev zmanjka žetonov . Ali
se lahko zgodi , da zm anjka žet onov dvema igralcem a hkr ati , če ima
igralec A na začetku 19 žetonov, igralec B 9 žetonov in igralec C 5
žetonov?
Drugi letnik
1. Ali obstajata naravni št evili m in n , da je mm + (mn)n =1995?
2. Za katero vrednost št evi la a st a rešitvi kvadratne enačbe
x 2 - 4a x + 5a 2 - 6a = O
med seboj naj bolj oddaljeni ?
3. Dane so štiri točke v ravnini . Katerekoli tri izmed njih ležijo v krogu
spoimerom 1. Dokaži , da vse ležijo v krogu spoim erom 1.
4. Izberimo točko E na str ani ci BC ostrokotnega trikotnika ABC in
naj krožni ca , očrtana t rikot niku ABE, seka strani ca AC v točk i D .
Dokaži , da leži središče trikotniku AE C očrtane krožni ce na nosilki
višin e iz C trikotnika BCD .
Tretji letnik
1. Pokaži , da enačba 14x 2 + 15y2 = 71995 ni rešlji va v mn ožici naravnih
šte vil.
2. Pokaži , da velja neenakost
2 (c + d)2 < (a + b)2
c2 + d2 - ab '
če so a, b, c in d pozitivna realna števila.
3. Dokaži , da v poljubnem trikotniku velja zveza 4 t ~ = c2 + 8 S ctg"
pri čemer t c označuj e dolžino težiščnice na strani co c, S ploščino
t rikotnika, , pa kot nasproti c.
I Tekmovanja
4. Naj bo T prese či š č e diagon al konveksnega šti rikotnika A BCD in naj
velja: 1.TAB = 1.TBC = i in 1.TCD = 1.TDA = ~ . Dokaži , da
im ata krožnici, očrtan i t rikot nikoma ABC in ACD , enaka polmera .
Četrti letnik
1. Pokaži, da št evilo 3m + 3n + 1 ne more bi ti popo lni kvadrat za nob en
pa r nar avnih števil m in n .
2. Fun kcija f : JR+ --+ JR+ preslika mn ožico poziti vnih realnih števil vase.
Pri tem velja f (xf(y )) = xPyq, kjer sta p in q na rav ni št evili . Pokaži,
da je q = p2.
3. Naj bodo vsi koeficient i polin oma
p cela šte vila . Dokaži: Če obstaja
narav no število k, ki ne deli nobe-
nega izme d števil p(l ), p(2), .. .,
p(k), pot em po linom nim a celošte-
vilskih ničel.
4. V enakostraničn i tri kot nik včrta­
mo neskončno mnogo krogov, kot
kaže ski ca . Kolik šen del plošč ine
trikotnika po kr ijejo krogi?
Matjaž Željko
NALOGE S PREDTEKMOVANJA ZA LETO
1994/1995 IZ SREDNJEŠOLSKE FIZIKE
Tekmovanje je 8.4 .1995 potekalo is točasno na osmih srednj ih šolah po po-
sameznih regijah . Sodelova lo je okrog 1000 dij akov iz 50 srednj ih šol. Po
30 na jboljši h iz vsake skupi ne se je potem udeležilo držav nega tekmovanja.
Skupina A
1. Vesoljska ladj a Enterprise, ki se oddaljuj e od Zemlj e s hitr ostjo
3,00 .103 krn/s , je 1,00.109 km odda ljeni Zemlji poslala signal, da se ji s
hitrostjo 1,00 .103 km / s približuje sovražni sateli t , ki j e od nj e oddaljen
2,60 .107 km . Na Zemlj i so takoj , ko so sp oročilo sprej eli , posl ali signal ,
naj se ladj a um akne. Ali je ukaz pri šel pravočasno? Signal potuje s
Tekmovanja I
hitrostj o 3,00.10 5 krn/s . Odgovor ut emelji z računom ! Gibanje Zemlj e je
zanem arlj ivo, vse hitrosti so podan e glede na Zemlj o. Ladj a in sat elit se
giblje ta po isti pr emi ci .
2. Voznik 800 kilogramskega avtomobila se pelj e po neznani cesti in ne-
nad om a zagleda pr ed seboj prepad . S kolikšno silo naj pri tisne na zavorni
pedal , da se bo čim hitreje ustavil, če prijemljejo zavor e povsem enako-
mern o? Povečanj e t laka v zavornem sist emu za 1 bar pomeni dodatni
navor 100 Nm na avtomobilsko kolo . Pr emer pnevmatike je 55 cm, pre-
mer valjastega bata pod zavornim pedalom pa 1,5 cm . Koeficient trenj a
med kolesi in cesto je enak 0,80, koeficient lepenja pa 0,90. Pr edpostavi ,
da so tudi med zaviranjem vsa štiri kolesa enako obr em enjena, in zanem ari
maso koles.
3. S kolikšne višin e se sm e človek z maso 60 kg togo in sonožno spustiti
na tla, ki se pr i tem ugreznejo za 5,0 cm, da se mu nožna kost pri tem
ne zdrobi? Prečni pres ek nožn e kosti je 4,0 ern", prožnostni modul je
1,0.1010 N/m 2 , kost pa se lahko brez poš kodbe st isne največ za 0,10 %.
Pri tem skoku mišice in sklepi sunka ne ublažijo . Ugrezanje obravnavaj
kot enakome rno pospešeno gibanj e.
Fizikalni poduk: Če se telo giblj e enakomerno pospešeno, je rezultanta sil
na telo enaka produktu mase telesa in pos peška ter kaže v smeri posp eška .
4. Kos tanke homogene žice z dol-
žino 1, prečnim presekom S in ma-
so m damo v valjast kozarec, ki
je do polovice napolnjen z vodo.
Gostota vode je Po. Dimenzije ko-
zarca so prikazane na sliki . Nariši
sile na žico! Z danimi splošnimi
pod atki izrazi silo, s katero deluj e
pali ca na zgornj i rob kozarca?
ta
Skupina B
1. Na vrtljivem stojalu je v osi pr itrjen vodni top, iz katerega izteka
voda s hitrostjo 10 mis pod kotom 15° glede na vodoravnico. Top se
enakomerno vrti okrog navpične osi s frekvenco 0,50 Hz. Vodo iz topa
lovimo v posodo, ki je z vodoravno palico pr itrjena na isto stojalo kot
top . Posoda in ustje vodnega topa sta v isti vodoravni ravn ini. Kako
I Tekmovanja
dolga mora biti palica in kako mor a biti usmerj en vodni top (kot med
pali co in projekcijo topa na vodoravno ravnino) , da v posodo ulovimo vso
vodo? Upo r zraka zanemari.
2. Preko škripca, ki je pri trj en na višini 20 m , sta s 35 m dolgo lahko
nerazt egljivo vrvj o povezani dve lahki vedr i. V enem vedru je krogla , v
drugega pa z višine 7,0 m nad tlemi spustimo drugo kroglo, ki ostane v
vedru. Masa dr uge krog le je enaka po lovici mase prve. Za koliko se dvigne
vedro s težjo krog lo?
3. Avtomobil z maso 1200 kg vozi enakome rno po ravni cest i s hitro-
stjo 100 km/h . Sila zračnega upora je podana z F = Cv2 , pri čemer je
C = 0,40 Ns2 / m2 in v hit rost avtomo bila . Koeficient tr enj a med cesto
in avtomo bilom pa je 0,015 . Kolikšna je poraba goriva (v litrih na 100
prevoženih kilometrov) pri tej hitrosti ? Ko zgori liter goriva se sprosti
40 MJ ener gije . Izkoristek motorja je 0,15. Za koliko ods totkov se poveča
po ra ba goriva, če vozi avto z isto hitrostjo v klanec z naklonom 2, OO?
4. Lahka prožna vzme t s koefici-
entom kI = 10 N/cm je na obeh
st ra neh prit rjena na lahki plošči .
Spodnj a plošča je z dvem a lahki-
ma prožnim a vzm et ema s koefici-
entom a k2 = 20 N/ cm pritrj ena
na tla . Z višine 30 cm nad zgor-
njo ploščo spust imo togo kroglo z
maso 1,0 kg, t ako da pade na sre-
dino zgornje plošče. Naj več za ko-
liko se premakne navzdol zgornja
in za koliko spodnj a plošča?
Skupina C
k2 k,
1. Električne j egulje imajo poseben sist em za generiranj e visoke napetosti .
S tem sist em om lahko ubij ejo ali omrtvičij o žrtev. Sist em je sestavljen iz
140 tankih t rakov, ki se ra ztezaj o od glave do repa. V vsakem t raku je
5000 posebnih električnih celic , nameščenih dru ga za drugo. Vsaka celica
ima gonilno nap etost 0,15 V, njen up or pa je 0,25 rl . Kolikšen tok lahk o
teče skozi vod o med repom in glavo, če j e upor vod e 800 rl ? Kolikšen to k
pa teče skozi pos am ezne celice v jegulji?
Tekmovanja I
2. Razmik med ploščama ploščatega kondenzatorj a je 1,0 cm . Priključen
j e na napetost 7,0 kV, plošči pa sta postavljeni navpično . V kond enzator
vtaknem o dva kovinska lističa ; vsak ima maso 50 mg in plo š čino 1,0 cm 2 .
Listi ča staknemo, ju razmaknemo , nato pa enega vzamemo iz konden-
zatorja. Listič , ki ga še držimo v kond enzatorju , se nam po nerodnosti
izmuzne iz držala . Za koliko se listič spusti , preden pade na eno od plošč ,
če se nam je izmuznil na sredini kond enzatorja? Držalo, s katerim držimo
kovinska lističa, je neprevodno. Influenčna konstanta je 8,9.10- 12 As/Vm.
3. Lesen valj z maso 0,25 kg in dolžino 0,10 m je na klancu z naklonskim
kotom 30°. Na valj je nav ita tu ljava z 10 ovoji, tako kot kaže slika, ves
sistem pa se nahaja v homogenem navpičnem magnetnem polju z gostoto
0,50 T. Da se valj ne bi zakotalil po klancu, ga držimo s prstom v takem
položaju, da je ra vnina ovojev vzporedna z naklonsko ploskvijo, in hkrati
počasi povečujemo to k skozi tu ljavo . P ri katerem toku lahko valj spustimo
in ta ostane v dan em položaju? Na sliki nariši, kakšna mora biti v tem
primeru smer toka. Za kolikšen kot pa se valj zavrti , če počasi povečamo
tok na dvakratno vrednost? Koeficient lepenja med valj em in klancem je
tako velik , da valj po klancu ne more zdrsniti .
4 .. Dva enaka kondenzatorj a sta zvezana
zaporedno in priključena na napetost
10 V. Plošči kondenzatorja, ki imata kva-
dr atno obliko s ploščino 1,0 drn" , sta raz-
maknjeni za 10 mm. Na začetku je prvi
kond enzator napolnjen z dielektri čno te-
kočino (s = 56), drugi pa je prazen . Po-
tem začnemo enakomerno črpat i tekoči­
no po nepre vodni ozki cevki (zanemar-
ljive prostornine), ki povezuj e oba kon-
denzatorja. Volumski pret ok skozi cev je
U
'-----o 0-- - - - ---'
I Tekmovanja 127 I
enak 1,0 cm3/s. Izračunaj nab oj na sistemu kond enzatorj ev po 10 s od
z ačetka črpanja ! Kolikšen pa je med črpanjem naj večji naboj na sistemu
kondenza torjev? Infiuenčna kons tan ta je 8,9.10- 12 As/Vm .
Skupina D
1. Daleč proč od ostalih teles z večj o maso imamo dve homogeni okrogli
vesoljski postaji z masam a 3,0 .1015 kg in 5, 0.1015 kg in radijema 7100 m in
8400 m v medsebojni razdalji med središčema 30 km . Najmanj s kolikšno
hit ros tj o moramo vreči telo s površj a manjše vesoljske postaj e, da bo še
pri šlo do druge postaj e? Postaji ves čas mirujeta .
Fizika lni poduk: Pot encialna energija telesa z maso m v okolici okroglega
hom ogenega te lesa z maso M v razdalji r od sred išč a j e enaka
vv __ "Mm
p - ,
r
2. Podjetni avtomobilisti zgradijo krožno avto mo bilsko cesto spolmerom
230 rn, nagnje no navznoter za 10,00 glede na vodoravnico. V avtu, ki
vozi s staln o hi trostj o po tej cesti , j e pri tr j eno sekundno nihalo (dolžina
tega matematičnega nihala je taka , da je nihajni čas na Zemlji 1,00 s) , s
kater im voznik meri čas . Cesta je ledena , avto pa vozi s tako hitr ostjo,
da ga ne zanaša ne levo ne desno. Izračunaj razliko med hi trostjo, ki jo
določi voznik iz časa , izmerj enega z nihalom , in pr avo hitrostjo!
3 . Plošči ploščatega kondenzatorja ležita vodoravn o (neg ativno nabita
plošča spodaj) in sta med sebo j oddaljeni 15 cm . V sredini med ploščama
j e vod or avna os, na katero pritrdimo 10 cm dolgo lahko nepr evodno p alčko .
Pritrj en a je v sredini in vrtljiva okoli vodoravne osi. Na konca pal čke pri -
t rdimo m ajhni nepr evodni kroglici. Masa pos am ezne krog lice je 5,0 g.
En a krog lica je nabita z nabojem +1 , O. 10- 5 As. S kolikšnim nab ojem
mora bi t i n abita druga krog li ca, d a j e sila n a os enaka nič? S kolikšno
frekv enco sistem zaniha, če eno od krog lic rahlo sun emo? Napetost na
kondenzatorju je 750 V.
4. Točkas t izvor r deče svetlobe z valovna dolžino 620 nm je oddaljen
5,0 mm od tanke st eklene Fresnelove biprizme, kot kaže slika. Kot 'Y v
pr izmi je 0,030 rad. Izračunaj razdaljo med dvema zaporednima rdečima
progama na 200 cm oddaljenem zaslonu! Lomni kvocient stekla je 1,5.
Tekmovanja I
Fizikalni poduk: Pomagaj si z dejstvom, da imajo žarki po prehodu skozi
pri zma tak potek , kot da bi izvirali iz dveh navideznih izvorov .
Matematični poduk: Za majhne kote velja sin-r :::::: tan l' :::::: 1', cas l' :::::: 1,
za majhen x pa: VT+X:::::: 1 + ~x .
Ciril Dominko, Jure Bajc
PRESEK
list za mlade matematike, fizike, astroname in računalnikarje
23 . letnik, šolsko leto 1995/96, številka 2, strani 65 - 128
UREDNIŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Dušica
Boben (oblikovanje teksta) , Vilko Domajnko, Roman Drnovšek (novice), Darjo
Felda (tekmovanja) , Bojan Golli, Marjan Hribar, Boštjan Jaklič. (tehnični urednik),
Martin Juvan (računalništvo),Sandi Klavžar, Boris Lavrič, Andrej Likar (fizika),
Matija Lokar, Bojan Magajna (glavni urednik), Franci Oblak, Peter Petek, Marijan
Prosen (astronomija), Marjan Smerke (svetovalec za fotografijo), Miha Štalec, Jana
Vrabec (nove knjige), Marija Vencelj (matematika, odgovorna urednica) .
Dopisi in naročnine: Društvo matematikov, fiziko v in astronomov Slovenije - Po- ,
družnica Ljubljana - Komisija za tisk, Presek, Jadranska c. 19 , 61111 Ljubljana,
p .p . 64 ; tel. (061) 1232-460 , št. ŽR 50106-678-47233. Naročnina za šolsko leto
1995/96 je za posamezne naročnike1.250 SIT , za skupinska naročilašol 1.000 SIT,
posamezna številka 250 SIT, za tujino 25.000 LIT, devizna nakazila SKB bankad.d.
Ljubljana, val-27621-42961/9, Ajdovščina4, Ljubljana.
List sofinancirata MZT in MŠŠ
Ofset tisk DELO - Tiskarna, Ljubljana
Po mnenju MZT št. 415-52/92 z dne 5.2.1992 šteje revija med proizvode iz 13 . točke
tarifne št. 3 zakona o prometnem davku, za katere se plačuje 5% davek od prometa
proizvodov.
© 1995 Društvo matematikov , fizikov in astronomov Slovenije - 1259
PRVA
SLOVENSKA
ASTRONOMSKA
REVIJA
*SPIK3
VSAK MESEC NOVA. BARVNA ŠTEVILKA REVIJE ZA UUBITEUE ASTRONOMIJE,
KI PRINAŠA NOVICE, VSE O SONCU, PLANETIH, ZEMUI, ZVEZDAH,
GALAKSIJAH, ASTROFIZIKI, KOZMOLOGIJI, ASTRONAVTIKI,
ASTROFOTOGRAFIJI, ARHEOASTRONOMIJI •••
ZA AMATERJE MESEČNO SVEŽE EFEMERIDE IN ZVEZDNA KARTA,
O TELESKOPIH, UPORABNIH PROGRAMIH ...
IN ŠE OSNOVE ZA ZAČETNII{E, RAZISKOVALNI I{OTIČEK, TESTI,
ZNANSTVENA FANTASTIKA, MALI OGLASI TER NAGRADNA IGRA!
Revijo naročajte na naslov: Spika, Poštni predal 9, 611 09 LjUbljana. Četrtletna
naročnina (15% popustat je 1070,00 SIT, polletna naročnina (ZO% popustat je
2015,00 SIT, celoletna naročnina IZ50f0 popusta) je 3780,00 SIT.