FRANJE VITEZA MOČNIKA POUKA U RACUNICI ZA NIŽE RAZREDE GYMNASIJA. X. X^^ZXDIO. PETO HRVATSKO IZDANJE PO NJEMAČKOM DVADESET I DEVETOM PRIGOTOVIO V. M. GOLUB. KRUTO VEZANA STOJI 65 NOVČ. U ZAGREBU 1887. TKOŠKOM I NAKLADOM KE. DALM.-HRV.-SLAV. ZEM. VLADE. Ova knjiga ne smije se skuplje prodavati, nego za cienu na prednjoj strani naznačenu. o*,mxz. zr Tiskara »Narodnih Novinah" u Zagrebu. I. Računanje sa neimenovanimi i jednoime- nimi cielimi i desetinskimi broievi. §• i- Treba li za više stvari iste vrsti kazati, koliko ih je, tada se uzme jedna takova stvar za j edinieu, te se izpituje, koliko se p uta ta jedinica nalazi u zadanoj množini stvari iste vrsti. Izraz, koji nam to pokazuje, zove se brojem. Pošto jedinica po- kazuje, da jedna stvar ima samo j e da n p ut, može se i jedinica smatrati brojem. Broj, koji izražava samo množinu jedinica a ne i vrst njihovu, zove se neimenovanim brojem; broj pak, koji izražava ne samo množinu nego i vrst jedinica, zove se imenovanim brojem. Tri je neimenovan, tri forinte imenovan broj. Imenovan broj može biti jedno- ili višeimen. Ako su u broju jedinice samo jednog imena, na pr. četiri forinte, zove se on j e dno im eni m; ako je pak u njem jedinica raznih imena, koje idu ipak u istu vrst, tada se on zove višeimenim, na pr. četiri forinte i tri novčiča. Računati reči če, iz zadanih brojeva stanovitimi izmje- nami iznači druge iskane brojeve. Svaka izmjena broja biva tim, da se prepisanim načinom poveča ili umanji. Iskani broj, sto ga računom dobijemo, zove se posljedak ili iz no sak (resultat) računa. Nauk o brojefih i njihovih izmjenah zove seračunieom (Arithmetika). Dr, Močnik , Računica I. za niže r. gimn. 1 2 I. Tvorba brojeva. Desetični cieli brojevi. §• 2 . Svako tvorenje brojeva počinje postavljanjem jedinice i to, jer se jediniea može opet i opet pridodati i postaloj več množini jedinica pridodanom pomisliti, ide bez kraja i konca. Brojeve tvo¬ riti onako. kao sto oni zasobičnim pridodavanjem jedinice postaja, reci če b roj iti. Mi brojimo: jedan, dva, tri, cetiri, pet. šest, se¬ dam. osam, devet, itd., a te brojeve izražavamo pismeno sliedečimi znakovi (znamenkami): 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, itd. Niz tih bro¬ jeva zove se n ar a v s k im brojnim nizom. Brojevi, što postaja opetovanim pridodavanjem jedinice, zovu se cieli mi br o j e v i. Svi cieli brojevi, bili oni ma koliki, dadu se sa njekoliko rieei točno i izvjestno imenovati, a sa još manje znamenit pismeno iz¬ raziti. Pri tom se držimo načela, da stanovit broj nižih jedinica smatramo udilj novoin višom jedinicom sliedečcga višega reda, koja kao takova i posebno ime dobije. Takovo predstavljanje brojeva zove se broj ni sustav. 1 našem desetičnom sustavu brojnom čini po deset jedinica jednoga reda jedinicu sliedecega višega reda. Od jedinice počevši broji se 'poznatimi imeni brojeva: jedan, dva, ... do d e s e t. Deset prvobitnih jedinica ili j e d i n a k a čini novu višu jedinicu, koja se zove deseticom; deset desetica čini sto ili sto tiču, deset stotica tisuču ili tisucicu (hiljadu), deset tisuča čini desettisuču ili d esettisučicu, deset desettisuča sto¬ ti suču ili s to tisucicu, deset stotisuča mili on ili mili o niču, itd. Svaki je broj sastavljen od jedinica, desetica, stotica, ... a odredjen je podpuno, ako se točno naznači, koliko je u njem jedi¬ nica, desetica, stotica, . . . Sa ustmenim izricanjem brojeva slaže se i njihovo pismeno predočivanje. Tomu se hoče samo znamenaka za prvih devet bro¬ jeva, naime 1, 2, ... 9, i znamen 0 (ništica), kojim se kaže, da u stanovitu redu ne ima ni jedne jedinice. I)a se pak sastavljanjem tih deset znamenaka uzmognu svi moguči brojevi izraziti, uzeto je. da svaka znamenka na prvom mjestu, broječi s desna, znači jedi¬ nice, a na svakom sliedečem mjestu na lievo da znači deset pata 3 onoliko, koliko vriedi na najbližem predjašnjem nijestu. Po toni svaka znamenka, broječi s desna, znači na drugom mjestu to¬ liko desetica, na treeern toliko s t o t i c a, na četvrtom toliko t i- sučica, itd., koliko na prvora mjestu izražava jedinica. Niš tiča sama po sebi ne ima nikakove vriednosti, te znači samo, da ne ima je¬ dinica stanovita reda. Po tom se desetični brojni sustav, u kojem je deset osnov¬ nim b rojem, osniva na dva sliedeča zakona: 1. Deset jedinica jednoga reda čini svagda jednu j e d i n i c u o b 1 i ž n j e g a v i š e g a reda. 2. Svaka znamenka vriedi na svakom mjestu de¬ set puta toliko, koliko na obližnjem mjestu na desiio. Svaka znamenka u napisanu broju ima dvostruku vriednost: vriednost znamenke same po njezinu obliku, koja na- značuje množinu jedinica, i vriednost mjestnu, koja joj pri¬ pada po njezinu mjestu i naznačuje red jedinica. Tako n. pr. u broju 4444 svaka znamenka znači četiri, no ona vriedi na prvom mjestu. počev s desna, četiri jedinice, na drugom četiri desetice, na trečem četiri stotice, na četvrtom četiri tisučice. §• 3 - Umječa, btojeve izpravno pisati i napisane izpravno čitati, zov e se obrojivanje (numeratio). Redni brojevi našega deseti čnoga sustav a dadu se veoma zgodno s desna na lievo razdieliti na razrede po tri mjesta, u kojih su po redu jedinice, desetice, stotice. Tri najniža mjesta jesu upravo jedinice, desetice, stotice; u sliedečem prvom razredu jesu jedinice, desetice, stotice od tisuča, a u daljnom još slie- dečem razredu stoje jedinice, desetice, stotice od mil iona, itd. Takova razdioba brojeva bitno olakšava shvačanje i pismeno izra- žavanje njihovo. Od sada čemo.. kratkoče radi jedinice, desetice, stotice, tisu¬ čice, desettisučice, stotisučice, milionice, . . . označivati redom sa J, D, S, T, Dt, St, M, . . . Zadatci za čitanje i pisanje brojeva. 1. 200, 735, 364, 285, 511, 749, 180, 690, 906, 101. 2. Pet sto, dvjesta i trideset i osam, sedam sto i petdeset i jedan, šest sto i dvadeset, četiri sto i četiri. 4 3 . 3000, 9548, 4212, 6336, 2800, 5230, 7508, 1046, 8003. 4 . Dvie tisuce i četrdeset, pet tisuca sedam sto i devetdeset i če- tiri. osam tisuca i tri, jedna tisuca trista i deset, tri tisuce dvadeset i pet. 5 . 10000, 5700, 36200, 38090, 27026, 80912, 12345; 630427, 938824, 732284, 815500. 493220, 409010. 6. Koncem godine 1880. bilo je u Beču 726105 Stanovnika. 7 . Dvanaest tisuca osam sto i dvanaest, petdeset tisuca sedam sto dvadeset i eetiri, četrdeset i sedam tisuca trista i petdeset, osamdeset tisuca osamdeset i jedan, eetiri sto i sedam tisuca dvjesta i jedanaest. 8. Koliko desettisučica ima u broju 61735; koliko ima u njem tisučica, stotica, desetica, jediniea? 61735 = 6 Dt i IT 7S 3 D 5 J = 61 T i 7S 3 D bJ = 617S i 32) bJ = 61732) i bJ = 61735/. !). Tako isto naznači sastavnine ovih brojeva: 6458, 23719, 40821, 325368, 752379. 10 . Čitaj: 3212654, 8900278, 3418509, 9284073, 1050090; 51379486, 20416829, 538191378, 3546790814. 11 . Sunce je 1413879 puta toliko, kolika je naša zemlja. 12 . Kad bi tko svakoga časka (sekunda) brojio j e d a n, trebovao bi, dok nabroji jedan mili on, jedanaest dana, trinaest sati, četrdeset šest časova i četrdeset časaka; a da na¬ broji jedan bili o n, trebao bi trideset j e dnu tisuču sedam sto i devet godina, dvie sto osamdeset devet dana, jedan sat, četrdeset i šest časova i četrdeset časaka. Desetinski broj e vi. §■ 4 - Svaka jediniea može se razdieliti na jednake česti ili se dade pomisliti, da je na jednake česti razdieljena. Broj, u kojem je samo jedna cest ili više jednakih česti jedinice, zovemo čestnikom, cestnim brojem (Brueb, fraetio) sproču ciela broj a, u ko¬ jem je jediniea sama jedan put ili više puta. 5 Ako se u cielu broju, napisani! po desetičnom zakonu, ide s lieva na desno, to svaka sliedeča znamenka vriedi samo desetu cest onoga, što je vriedila na predjašnjem mjestu, i tim se dodje napokon do jedinica. No može se brojni niz po istom zakonu na¬ staviti takodjer niže jedinica; jedinica može se razdieliti na deset jednakih Sesti i takova jedna Sest, desetina, smatrati nižom je- dinicom, zatim deseta Sest jedne desetine, t. j. jedna stotina, smatrati jedinieom još nižega reda, i tako se nastavljenim dieljenjem može doci do brojnih jedinica, koliko nas volja malenih. Suglasno s tim možemo po desetičnom zakonu takodjer niz znamenaka nastaviti od jedinica još dalje na desno tako, da zna¬ menka na prvom mjestu za jedinicami znači desetine, na drugom stotine, na trečem ti s u čin e, itd. Nastavljajoči tako niz zname¬ naka treba samo kakvim znakom predočiti, gdje prestaju jedinice; takav je znak točka, postavljena oviše jedinieam na desno, i zove se deset insko m toč kom. Znamenke pred desetinskom točkom, zovu se desetinkami. Dakle 444444-44444 znači nam sliedeče Ciela: Desetinke: 44444 4-44444 Broj, koji ima desetinaka, zove se desetinskim brojem ili desetinskim čestnikom (Decimalzahl, Decimalbruch). Desetine, stotine, . . . zovu se takodjer niži redni bro¬ jev i za razliku od desetica, stotina, . . . koje se zovu viši redni broj e vi. Od sada čemo kratkoee radi desetine, stotine, tisueine, de- iettisučine, . . . označivati sa d , s, t, dt, . . . §. 5. Desetinski broj či t a m o, izrekav najprije ciela, a zatim ili svaku pojedinu desetinku bud s njezinom mjestnom vriednosti bud bez te, ili sve desetinke s njihovom skupnom vriednosti. Na pr. 47-385 čita se: a) 47 cieli, 3 d, 8s, 5č; ili 6 b) 47 cieli sa desentikami 3, 8, 5; ili napokon c) 47 cieli, 385 tisueina. Drugi je način čitanja najobičniji. Citaj sliedece desetinske brojeve: 32-517, 7 0703, 0-005, 3 14159, 0-5596, 17-008, 80-072. 0-480107, 0-20903, 725008, 0036, 28-00074. Da desetinski cestnik napišemo, pišu se najprije ciela, pak se postavi desetinska, točka, a zatim pojedine desetinke redom nji¬ hove mjestne vriednosti. Ne ima li cieli ili pojedinih desetinaka, postave se mjesto njih ništice. Na pr. 13 cieli, 5s, 6č, piše se: 13-0506;. Id, piše se: 0-7. Napiši sliedece desetinske brojeve: 1. a) 5 cieli, 3d; b) 28 cieli. 4 d, 7 s, lt ; 2. a) 110 cieli, 35 1; b) 7 tisuca 28 cieli, 4s, 9 1\ 3. a) 7 stotisučina; b) 39 tisuca 91 milionina. Ako se desetinskomu broju pripiše na desno jedna ili više ništiea, njegova se vriednost ne izmieni, jer i onda pojedine zna- menke zadrže svoju prijašnju vriednost. Dakle je 8-7 — 8-70 = 8-700 = 8-7000 = 8-70000. Rimski znaci brojeva. §• 6 . Dosad upotrebljavane znamenke zovu se arabske. Osim njih upotrebljavaju se kadkada i rimske znamenke. Rimljani imadoše sedam brojnih znakova: I, V, X, L, C, D, M. za 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Timi znamenkami izražavali su Rimljani, valjano ih sastav- ljajuci, s ve ostale brojeve po sliedecih zakonih : 1. Ako više jednakih pismena stoji jedno uz drugo, tada ona znamenuju toliko, kolika im je vriednost, kad se skupa uzmu; na primjer: II znači 2, XXX znaci 30, III „ 3, CCO „ 300. 2. Ako za visim znamenom brojnim stoji nizi znarnen, tada vriednost višega postane večom za onoliko, koliko niži vriedi, na pr.: VI znači 6, XXVI znaci 26, VIII „ 8, CXV „ 115, LX „ 60, DCLX „ 660 7 3. Ako nizi z name n brojni stoji pred visim, tada. vriednost višega znamena postano za onoliko manjom, koliko nizi vriedi, na pr.: Oitaj: VII, XIII, XV, XXIV, XLI, LXI, XCI, CIX, 0X1, CMXIX, MCC0XIV, MDC0XL. Napiši rimskimi znamenkami sve brojeve od 1 do 20: zatim 28. 49, 84, 365, 719, 930, 1344, 1799, 1675, 1887. 2. Sbrajanje neimenovanih i jednoimenih cielih i desetinskih brojeva. §■ 7 . Sbrajati reci če, iskati broj, u kojem je toliko jedinica, ko¬ liko ih imaju dva ili više zadanih brojeva skupa uzetih. Zadani brojevi zovu se pribrojnici (summandi, addendi); broj. koji se sbrajanjem dobije, zove se sbrojem (s um m a). Da se broju 3 pribroji drugi broj 4, treba Samo u naravskom nizu brojeva, pocevši od broja 3, za onoliko jedinica dalje brojiti koliko ih broj 4 pokazuje; broj 7. koji se tim načinom dobije, jest iskani sbroj. Znak sbrojbe je osovljeni krst +, koji se čita više ili i, te se stavlja medju pribrojnike. Medju pribrojnike i sbroj piše se znak jed na kosti = (jednako), a taj pokazuje, da su brojevi ili skupovi brojeva, medju kojimi taj znak stoji, jednake vriednosti. Na pr.: 3 -j- 4 7 čita se: 3 više 4 jednako je 7, ili 3 i 4 je 7. Treba li sbrojiti više nego dva broja, tada se sbroju dviju brojeva pribroji treci« a novomu sbroju četvrti broj, itd. Vježbe (Računanje u glavi). §• 8 . 1. Broji 1 do 100, pribrajajuei svaki put po 1: naime 1 -j- 1 2. 2 + 1 3, 3 + 1=4, . . . 8 2 . Broju 1 pribroji 2, sbroju tomu opet 2, i tako svakomu sbrojn opet 2. 3 . Počni sa 2, pak pribrajaj tomu sve po 2. 4 . Pribrajaj po 3 dalje: a) od 1 do 100, b) od 2 do 101. c) od 3 do 102. 5. Istim načinom broji: a) pribrajajuči 4 počev od 1, 2, 3, 4; i) c) d) e) D 6. Koliko je 7 —j— 4 ? 7 + 4 + 8 ? 7. a ) 5 + 2 + 9. 8 9 + 4. 5 6 „ 7 „ 8 „ 9 „ Pribroji 1. 2. 3, 4, 1,2,... 5, 1 , 2 ,... 6 , „ 1, 2.... 7, 8 * 1. 2,... 8, 9. k tomu još 8. Koliko je dakle b) 8 + 3 + 9. c) 7 + 7 + 5. 6 -f- 8 + 7. 9 4-8 + 9. 8. a) Kad se u naravskom nizu brojeva, počevši od 5 po 3 jedi- nice. zatim počevši od 3 po 5 jedinica pribraja, koji se bro- jevi dobiju u jednom i drugom slučaju? b) Koliko je 7 + 4? Koliko je 4 + 7? c) 2 + 5 + 8. 5 + 2 + 8. 8 + 2 + 5. 2 + 8 + 5. 5 + 8 + 2. 8 + 5 + 2. Množina jedinica, što su u pribrojnicih, ostane ista, bili oni u kojem god redu; s toga mora i sbroj ostati isti. Isti pribrojnici dadu s v a k i m redom isti sbroj. (Zakon o promjenjivanju pribrojnika). 9. Na koliko se načina može a) od brojeva 3. 4 i 5, b) od bro¬ jeva 2, 3, 4 i 5 ."tvoriti sbroj ? 10 . a) 7 + 5 + 9 + 5. b) 3 + 2 + 9 + 8 + 4. 2 + 7 + 84-9. 6 + 9 + 3 + 7 + 5. 11 . a) 4 + 7 + 9 + 6 + 5. b) 9 + 2 + 9 + 8 + 5 + 3. 6 f- 8+4 + 5 +7. 5 + 6 + 8 + 7 + 4 + 9. 12 . Sbroji sve brojeve od 1 do 9. 13 . Koliko je 5 desetica i 3 desetice? koliko je 20 -j- 10, 30 + 40, 40 + 50, 50 + 60. 80 + 30. 70 + 90? 14 . Koliko je 4 stotice i 5 stotica? koliko je 300 + 100, 700 + 200. 400 + 300, 600 + 400? 15 . a) Koliko je 56 + 3 ? 50 + 6 + 3 = 50 + 9 = 59. 9 Jediniee se pribroje jedinicam, desetice ostanu neizmienjene. b) Koliko je 56 i 80? 50 _|L 6 -j- 30 = 50 + 30 + 6 = 80 -f 6 = 86. Desetice se pribroje deseticam, jediniee ostanu neizmienjene. Sbroju se njeki broj pribroji, ako ga pribrojimo samo j e d n o m u p r i b r o j n i ku. 16 . Koliko je 34 -f- 10, 28 20, 47 -j- 30, 61 -|- 20, 76 + 30? 17 . Koliko je 365 + 20, 330 + 200, 560 + 300, 257 -f 400? 18 . a) Koliko je 46 —(— 7 ? Mjesto da se u brojnom nizu broji od 46 napried za 7 = 4 + 3, može se napried brojiti najprije za 4 a po toni za 3: dalde je 46 -f 7 = 46 + 4 + 3 = 50 + 3 = 53. b) Sbroji 46 i 52. Koliko je 46 i 50? — i k tomu još 2? 46 + 52 = 46 + 50 + 2 = 96 + 2 = 98. Mjesto da se broju pribroji sbroj, možemo mu p r i b r oj n ike j edan za drugim pojedinee pribrojiti. Kadkad se postupa i obratno: Mjesto da se broju pribroji više brojeva jedan za drugim, pribroji mu se sbroj tih brojeva u je¬ dan p ut. N. pr.: 245 -j- 37 + 63 = 245 + 100 = 345. 19 . Koliko je 67 + 21, 52 + 41. 58 -f 42, 317 -f 69 ? 20 . Koji je broj za 36 veči od 51 ? 21 . Imam u glavi jedan broj; ako od njega odbijem 27, ostane 23 . a) 19 + 28 + 37 + 46. b) 25 -f 34 + 19 + 80. 24 . Koliko je 317 -|- 268? 317 i 200 je ... , i 60 je . . . . i 8 je . . . 25 . Koliko je 436 -f 324. 321 + 654. 818 + 172? 26 . Sliedece pribrojnike poredjaj tako, da se sbrojbe probitacno ujednostruče: a) 455 4- 123 + 208 + 77 -j- 45 + 92. b) 63 + 28 +-116 + 272 + 37 + 84. 27 . Koliko je 4000 i 3000, 2800 -f- 4000, 4108 + 500 ? 28 . Sbroji 5680 + 4007. 2036 -f 4040. 10 Sbrajanje eielih brojeva. §. 9. Neka nam treba odrediti siiedece sbrojeve: a) 2457 + 4132: b) 693 + 458 + 357. a) 2457 = 2T 48 5D 1J 4132 - 4T 18 3J 2J Sbroj 6T 5 S 8D 9 J = 6589. b) 693 7D+ 8D+ 3D = 18D = ID SJ. 458 ID + 5D -f 51) + 9D = 20D = 28' OD. 357 28 + 38 + 48+68=158. 1508 Dakle se sbroje najprije jedinice, onda desetice, stotice, . . . Svaki sbroj ima istu mjestnu vriednost sa sbrojenimi jedinicami; ako je on dvoznamenkost, onda njegove desetice znaee jedinice obližnjega višega reda. Ako se pribrojnici poradi lakšega priegleda pišu jedan pod drugim, tada jedinice istoga reda treba da su jedne pod drugimi, dakle jedinice pod jedinicami, desetice pod deseticami, i t. d. Da se učini p rok usnja (proba), t. j. da se izpita izpr av¬ li ost sbroj a, možemo upotrebiti zakon o promjenjivanju pribroj- nika, pošto pribrojnike, ako su n. pr. jedan pod drugim napisani te prije ozdol gore sbrojeni, sada sbrojimo ozgor dolje. Dobije li se u obadva slučaja isti sbroj, možemo ga smatrati izpravnim, jer uz izmienjeni poredjaj znamenaka ne može se lako obadva puta učiniti ista pogrješka. Zadatci. Veli se : 7 i 4 je 11, i 8 je 19, ostane 1; 1 i (1 je 7, i 9 je 18 i 3 je 19. Znamenke ovdje krupnije natiskane odmah se za izgo- varanja napišu. 2. Sbroji siiedece brojeve, i to najprije osovne, po tom lazite nizove; onda sbroji od osovnih, a po tom od razitih nizova postavše sbrojeve. 34 + 56 + 36 + 27 + 69 + 43 + 87 + 24 57 + 21 + 90 + 67 + 58 + 64 + 35 + 48 19 + 56 + 76 + 34 + 65 + 50 + 89 + 57 42 + 60 + 45 + 86 + 99 + 17 + 25 + 60 68 + 80 + 26 + 77 + 58 + 69 + 43 + 54 1. 38 94 67 199 11 3. 926 Kad se je u vježbi napredovalo, izgo varaj u se za sbrajanja 835 samo sbrojevi. Ovdje treba govoriti: 794 2, 6, 11, 17, 1; 462 7 < 1(5 > 19 > 21, 2; oni n 6, 13, 21, 30. 5. U zadatcih pod 4. učini prokušnju, sbrojiv pribrojnike obrat¬ nim redom. 6. U sliedecem četverokutu sbroji najprije one brojeve, što su jedan pod drugim, onda one, što su jedan do drugoga, na- pokon one, što su u oba dvokutnična reda. 7 . Kolik je osmi broj u nizu brojeva, koji poeinje sa 2096 i u kojem je svaki sliedeei broj za 214 vedi od prijašnjega? Kolik je sbroj svili tih brojeva? 8. Išti sbroj od 5 brojeva: prvi je 3087, drugi za 690 vedi od. prvoga, tredi za 516 vedi od drugoga, četvrti za 407 vedi od treeega, a peti za 375 vedi od četvrtoga. 9 . Sbroji sliedece brojeve kao u zadatku 2. : 41782 + 29714 -f 80518 -f 26396 + 73614 71396 + 29592 -j- 75801 + 34567 -j- 90123 95703 -(- 88466 4~ 54953 4- 63780 4- ^'266 18278 4- 91705 -f 27265 4- 53927 -f 84706 89924 -f 93364 4- 62879 -j- 27048 -j- 60973 12 brojnika. Sbrajanje desetinskih brojeva. §■ 10. Sbrajanje desetinskih brojeva obavija se kao i sbrajanje cielih brojeva počevši od najnižega mjesta. Ako se pribrojniei pišu jedan pod drugim, tada moraju biti ciela pod cielimi, desetine pod dese¬ tinami, stotine pod stotinami, i t. d., dakle i desetinske točke jedna pod drugom. N. pr.: G, 14, 21, 23s dadu 3s i 2 d; 2, 6, 9, 17 d dadu 7 d i 1 J\ desetinska točka; 10, 13, 20, 25.7. 25-73 5-82 7-37 3-48 9-06 Zadatci. 1. 1-76 3-08 2-645 7-485 Izgovaraj: 5; 4, 12, 18, 1; 7, 14, 1; desetinska točka; 3, 6, 7. 2. 3-62 + 9-57 + 8-26 + 2-95 + 7-08 + 5-39. 3. 37 3 -j- 00-3 + 3-84 -j- 7-29 -f 3-90 -j- 67-2. 4 . 24-7 -j- 528 -j- 0-75 + 37-6 -f 8-35. 5. 3-142 -j- 4-586 -|- 5-92 -j- 6-364 -|- 7-703. 6. 38 3 + 20-95 + 60-14 -f 505 + 60-39 + 724-9. 7. i -4 4 91-025 4- 8-79 4- 24-21 4-084 1-848 4 35-791. 8. 0-5 4- 0'25 + 0-125 -f’ 0-0626 4- 0-03125. 9. Sbroji tri broja, od kojih je prvi 8-12, drugi za 8-79 veči od prvog a treči za 10-35 veči od drugoga. 13 10 . Od njekoga broja oduzeto je 37 865 pak je preostalo još 53-196; kolik je bio onaj broj? 11 . Koji je broj za 74-865 veci nego 42-73 4- 91-68 ? 12 . 315-247 -f 93-07 -f 100 -j- 0-39747 -f 293-2973 + 67-84. 13 . 165-8 + 307-405 + 509-7628 + 769-208 -f 725 -f- 70-464 + 690-5237. 14 . 87-549 -f 297-315 -f 934-046 -f- 971-5411 -f 84-3139 -f 51-698 -j- 35-8423. 15 . 25480-7 -f 4183-5 -f 82091-08 + 7831-359 -f 5092-4 + 1357 + 631-997. Sbrajanje jednoimenib brojeva. §• li¬ bri sbrajanju imenovanih brojeva treba da su zadani brojevi istog imena, koje se ime dade i sbroju. Zadatci. (Za pismenu a dielomice i za ustmenu vježbu.) 1. Njeka gimnazija ima u I. razredu 50, u II. 45, n III. 43, u IV. 37, u V. 44, u VI. 32, u VII. 29 a u VIII. 30 učenika; koliko je svega učenika u istoj gimnaziji? 2 . Koliko dana ima u prostoj godini od 1. Siečnja do 15. Svibnja? 3. Koliko je dana u prestupnoj godini od 1. Siečnja do konca svakoga pojedinoga mjeseca? 4. Njetko je rodjen godine 1819, a umro je u dobi od 53 go¬ dine; koje je godine umro? 5 . Krstaški ratovi Krščana za svetu zemlju počeli su godine 1096, a trajali su 195 godina; koje su godine zavrženi? 6. Njeki gospodar kuče prirna godižnje najamnine od pet stra- naka pojedince: 196 for., 230 for., 380 for., 300 for., 335 for. ; koliko prima svega ? 7 . Njeki trgovac dobije 5 bačava kave, koje su pojedince težke 220, 224, 222, .327 i 231 kg ; koliko su kg sve težke ? 8. Na njekom sedmičnom sajmu prodano je: 432 hi pšenice, 305 hi raži, 287 hi ječma i 613 hi zobi; koliko je hi prodano svega Žitka? !). Njetko ima 3 glavnice; prva nosi godižnje 62-35 for., druga 27-68 for., treča 85-395 for. dobiti; kolika je godišnja dobit od sve 3 glavnice? / 14 10. A je za 7-825 m uzvišenije nego B. B za 12-15w uzvišenije nego C. C za 9-023 m uzvišenije od D; za koliko A nadvi- suje D V 11. Uzmemo li, da tielo s višine prosto padajuči prvoga časka pre¬ vali 4-904 m, a svakoga sliedečega časka za 9-808 m više nego li prijašnjega: a) koliko je prostora ono padanjem prevalilo drugoga, treeega i četvrtoga časka? b) koliko za sva četiri časka ? 12. Četiri šibke od zlata težke su pojedince 1-375, 1-248, 0-9315, 0 - 85 hg\ kolika im je sva težina? 13. Njetko ima 31-284 ha oranice, 0-95 ha vrta, 11-256 ha livada i 38-5 ha šume; koliko mu je sve zemljište? 14. U njekoj zemlji urodilo je za četiri zasobične godine 83560, 69012, 64805, 60500 hi vina; koliko za sve 4 godine? 15. Za njeki zajednički posao dao je A 2956-6 for., B za 532-2 for. više nego A. a C za 464-2 for. više nego B. Dobitak od toga posla razdieljen je tako. da je A dobio 739-15 for., B za 133-05 for. više nego A, a C za 116-05 for. više nego B. Koliko su svi skupa uložili, i kolik je bio sav dobitak? 16. Dohodei njeke željeznice bjehu: u Siečnju 755952 for., u Ve- ljači 778879 for., u Ožujku 891363 for., u Travnju 840504 for., u Svibnju 914154 for., u Lipnju 976083 for.; koliko za svih šest mjeseci? 17. Češka ima po posljednjem popisu naroda 5560819, Moravska 2153407, Slezka 565475 Stanovnika; koliko je Stanovnika u sve tri zemlje? 3. Odbijanje neimenovanih i jednoimenih cielih i desetinskih brojeva. §. 12 . Sbrojbi je protivna odbitba. Odbijati reči če, iz sbroja dviju brojeva i jednog od obiju pribrojnika iskati drugi pribrojnik. Zadani sbroj zove se odbitbenikom (minuend), zadani pri- brojuik odbitkom (subtrahend), iskani pribrojnik zove se ostatkomili r a z 1 i k 0 m (r e s i d u u m, d i f f e r e n c i j a). Kad osta- tak pribrojimo odbitku, dobije se odbitbenik. Znak odbitbe je razita crtiea ili potez — i izgovara se llianje (minus); odbitbenik se stavlja pred, a odbitak za potezom: na pr. 8 — 3 = 5 čita se: 8 manje 3 jednako je 5, ili: 3 od 8 ostane 5. Od svake sbrojbe dviju brojeva, na pr. 8 —(— 5 = 13, na¬ stanil obratom dva zadatka odbitbe, kako več osim zadana svaki put sbroja 13. odbitbenika, bude kao odbitak zadan ili prvi pri- brojnik 8 ili drugi pribrojnik 5. Ako je prvi pribrojnik 8 zadan kao odbitak, tada se iste, koliko još treba k 8 prikrojiti, da dobi- jemo 13; mora se u brojnom nizu krojiti od 8 napried, dok do- spijemo do 13; tako sbrojbom nadjeni broj 5 jest iskani drugi pribrojnik, razlika. Bude li pak drugi pribrojnik 5 zadan kao od¬ bitak, tada nam treba iskati, kojeinu bi se broju 5 pribrojilo, da dobijemo 13; t. j. koliko od 13 još preostane, ako se prikrojenih 5 opet odbroji; tako preostavši broj 8 jest iskani prvi pribrojnik, ostatak. Buduci pak da je za sbroj svejedno, koji je od dviju pribroj- nika prvi ili drugi, to je takodjer za razliku svejedno, da li se pri odbijanju upotrebi prva ili druga od gore naznačenih rješitaba. U prvom zadatku dobije se razlika 5 takodjer tim, da se od 13 od¬ broji 8, u drugom pak zadatku dobije se razlika 8 i tim, ako se k 5 prikroji toliko, da dospijemo na 13. Po tom se odbitba dviju brojeva može izvesti dvojakim na¬ činom: ili tim, ako se odbitku pribroji toliko jedinica, da dobijemo odbitbenik: ili tim, da se od odbitbenika toliko jedinica odbroji, koliko ih naznačuje odbitak. Na pr. u zadatku 13 — 5 veli se: 5 i 8 je 13, ili 5 od 13 ostane 8. Vježbe u glavi. §. 13. 1. 13 roj i od 100 nazad, svaki put za 1 manje; naime 100, 99, 98, 97, . . . 2. Koje brojeve dobijemo, kad se u naravskom nizu brojeva a) od 100, b) od 99 sve za 2 a 2 jedinice nazad ide? 3. Umanji a) 100 za 3 i svaki novi ostatak opet za 3: onda tako isto b) 99. c) 98. 16 4. Kroji počevši od 100 za 4 nazad; po tom tako isto počev od 99, 98, 97. 5. Broji u nazad: a) za 5 počev od 100, 99, 98, 97, 96; b) „ 6 „ „ 100, 99, ... 96, 95; c) „ 7 „ „ 100, 99, ... 95, 94; d) „ 8 „ „ 100, 99. ... 94, 93; e) „ 9 „ „ 100, 99, ... 93, 92. 6. Odbroji 4, 5, 6, 7, 8, 9 od 13. 7. Za koliko jedinica treba u naravskom nizu brojeva počev od 8 brojiti napried, da se dodje do broja 15? 8. Koliko treba pribrojiti k 6, 7, 8, 9, da se do bij e 14? 9. Odredi sliedeee razlike: a) 11 — 3, 25 — 8, 37 — 4, 43 — 7, 54 — 6, 60 — 5. b) 52 - 9, 93 — 4, 17 — 6, 65 - 8, 82 — 5, 29 — 7. 10. U brojnom nizu broji od 15 jedan put najprije za 4 a po tom za 5 nazad, drugi put pak najprije za 5 a po tom za 4 nazad. Koji češ broj dobiti svaki put? 15 — 4 — 5 = 15 — 5 — 4 = 6. Ako od kojega broja treba dva broja odbiti, tada je po iznosak s vej e dno, m a se oni kojirn god re¬ dom odbili. 11 . U naravskom brojnom nizu broji od 8 najprije za 7 napried a po tom za 5 nazad; zatim broji od 8 najprije za 5 nazad a po tom za 7 napried. Do kojega broja dopreš u svakom slučaju? 8-4-7 — 5 = 8 — 5 + 7 = 10. Ako kojemu broju treba njeki drugi broj pribro¬ jiti i od n j ega koji tr e či b r oj odbiti, tada je po iz¬ nosak svejedno, kojim se redom sbroji ili odbije. 12 . a) 26 — 5 — 6. 31 — 8 — 1. b) 35 59 ■ 8 2 o. 7. 13 . a ) 44-9 — 5 . b) 78 + 6 — 5 — 4. 35 —- 7 —J- 5. 46 — 8 4-4 — 6. 14 . Koliko ostane, ako se 3 desetice odbiju od 8 desetica ? Koliko J e 70 — 20, 90 — 30, 80 — 50, 120 — 40, 160 — 80? 17 15. Koliko ostane, ako se 5 stotiea odbije od 12 stotiea? Koliko je 800 — 300, 900 — 200, 1500 — 700? 16. Odbroji 10 od 200, 60 od 300, 70 od 420. 17. a) Koliko je 68 — 5? 60 -f 8 — 5 = 60 + 3 = 63. Jedinice se odbiju od jedinica, desetice ostanu neizmienjene. b) Koliko je 68 — 50? 60 + 8 — 50 = 60 — 50 + 8 = 10 + 8 = 18. Desetice se odbiju od desetici, jedinice ostanu neizmienjene. Od sbroja se njeki broj odbije, ako ga odbi¬ jemo samo od jednoga pribrojnika. 18. Koliko ostane, kada se odbije 10 od 25, 20 od 35, 40 od 78, 60 od 96? 19. Koliko je 126 — 50, 153 — 80, 149 — 90, 118 — 30? 20. 98 — 40 4 80 — 50 4 20 — 60. 21. a) Koliko je 63 — 8? Mjesto da se u brojnom nizu od 63 postupi za 8 = 3 —j— 5 nazad, može se najprije za 3 i po tom još za 5 nazad postupiti; dakle je: 63 — 8 = 63 — 3 — 5 = 60 — 5 = 55. b) Od 67 odbij 24. Od 67 odbij najprije 20, ostane 47, od toga odbiv još 4, ostanu 43. 67 — 24 = 67 — 20 — 4 = 47 — 4 — 43. Mjesto da se od kojega broj a odbije sbroj, mo- žemo od njega pojedine pribrojnike jedan za dru¬ gim odbiti. Njeki je put probitaeno upotrebiti i obratnu poučku: Mjesto da se od kojega broja više brojeva je¬ dan za drugim odbije, može m o u jedan put odbiti njihov sbroj. Na pr. 397— 38 — 62 = 397 — 100 = 297. 22. Koliko ostane, kad se odbije 16 od 78, 23 od 65, 38 od 80, 18 od 45, 36 od 71, 88 od 124? 23. Kazlika je dviju brojeva 27, veci je broj 56; kolik je manji broj ? 24. Koliko treba pribrojiti k 31, 45, 67, da se dobije 100? 25. 85 — 24, 67 — 26, 94 — 34, 74 — 53, 83 — 51. 26. 62 — 34, 54 — 27, 86 — 18, 36 — 29, 64 — 37. 27. a) 34 + 56 — 42. b) 100 — 28 — 42. Dr. Močnik, Računica J. za niie r. gimn. 2 18 28 . Odbij 185 od 749. Od 749 odbij najprije 100. ostane ti ... ; odatle 80, ostane . . . ; odatle još 5, ostane . . . 29 . Koliko je 466 — 149, 993 — 208. 586 — 250, 423 — 173, 832 — 565, 706 — 658 ? 30 . a) Njeki otac ima 41, njegov sin 12 godina; 1) za koliko je otac stariji od sina; 2) kolika je razlika u dobi obojiee bila prije 10 godina; 3) kolika ce im razlika doln biti poslije 10 godina? b) Koliko je 54 — 6, 64 — 16, 74 — 26 ? Kazlika se ne izmieni, ako se odbitbeniku i odbitku isti broj pribroji, ili od obojega isti broj o dbij e. Ta se poučka može kadkad s probitkom upotrebiti; na pr.: 853 — 298 = 855 — 300 = 555, 648 — 203 = 645 — 300 = 345. Odbijanje delih brojeva. §. 14. Neka se odrede sliedeee razlike: a) 5978 — 3242; b) 845 — 216. Tuj se radi o toni, da odredimo, koliko jedinicam svakoga reda u odbitku treba pribrojiti, da dobijemo jedinice istoga reda uodbitbeniku. a) 5978 = 5 T 9 S 7 D 8 J 3242 = ST 28 W 2J razlika 2T IS 3D 6J = 2736; 15 b) 845 = 8 S 4Z> oJ 216 = 2 S 1 D 6/ _ _ 2 __ 629 = 6S 2D 9 J Da se u primjeru b) uzmognu odbiti jedinice od jedinica, pribroji se jedinicam odbitbenika još 10 jedinica, a toga radi treba i odbitak, da raz¬ lika ostane neizmienjena, za 1 deseticu povečati. Tako če biti: 6 J i 9/ je 15 J; kod desetica treba onda 2 D odbiti od 4 D, čim se dobiju 2 D kao ostatak; napokon: 2 S i 6 S je 8 S. 19 Odbijajuci d a ki e brojeve, p rib roji se redom, po- «evši odjedinica, svak oj zna men e i odbitka toliko, da se dobi j e nad njom stoječa znamenka odbitbenika, a prikrojeni tako broj piše se svaki put u ostatak. Ako je k oj a znamenka odbitka veča od istomjestne zna- menke odbitbenikove, tada treba toj posljednjoj pri- brojiti 10 i onda odbiti; ali s toga se mora zajedno i znamenka na obližem višem mjestu odbitka za 1 po¬ večati. Da se tko osvjedoči o izpravnosti odbitbe, treba mu samo ostatak pribrojiti odbitku, a tim če, ako je dobro odbijeno, izaci odbitbenik. Druga je prokušnja (prob a) za izpravnost ostatka u tom, da se ostatak odbije od odbitbenika, čim se dobije odbitak. Odbitba se može upotrebiti i kao prokušnja za izpravnost sbroj be. Ako se naime svi pribrojnici osim jednoga sbroje, pa se tako dobiveni sbroj odbije od sbroja svih pribrojnika, tada, ako je sbrojba valjana, mora izaci izostavljeni pribrojnik. Zadatci. !• ®67 Govori se: 2 i 5 je 7; 592 9 i 7 je 16, 1; 375 6 i 3 J' e 9 - 2 . Koji broj treba pribrojiti k 208, da se dobije 419? 5 . Sa zadatci pod 4. učini prokušnju. 6. a) 347 + 906 — 468. b) 981 — 483 + 297. 7 . Od 1000 treba odbiti brojeve 234, 423 i 342; ili 1000 — (234 -f 423 4- 342). 8. Koji broj pribrojen k 2109 dade sbroj 8056? 9 . a) 4066 b) 9521 c) 5187 d) 3854 2135 670 2468 1577 •J* 10 . a) 25368 — 14843. b) 84691 — 80079. 20 11 . Sa zadatei pod 9. i 10. učini prokušnju. 12 . 24680 — 18772 -f- 97531 — 68024. 13 . Za koliko je sbroj 25936 -j- 57108 vedi od sbroja 31527 -}- 40874 ? 14 . Za koliko je razlika 81352 —- 62586 manja od razlike 72542 — 53079? 15 . Neka se sbroje brojevi 325467, 527496, 907245, 48394, pak neka se od njihova sbroja odbiju redom prva tri pribrojnika; kolik je ostatak? 16 . Od 401894 neka se odbiju brojevi 139214, 91078, 35709, 102775. 401894 Mjesto da se tu najprije sbroje oni brojevi, što 139214 ih treba odbiti, pak da se njihov sbroj od zadanoga od- 91078 bitbenika odbije, može se sa sbrajanjem onih brojeva,jšto 35709 ib treba odbiti, odmah spojiti i odbitba od odbitbenika. 102775 Pošto su naime jedinice svih odbitaka sbrojene, traži se - odmah, koliko njihovu sbroju 26 treba još pribrojiti, da 33118 se dobije obliŽDji viši broj, koji na mjestu jedinica ima znamenku 4 odbitbenika, t. j. da se dobije 34; 26 i 8 jesu 34; tih 8 pribrojenih jedinica napiše se odmah za izgovaranja kao ostatak. One 3 desetice iz dobivena sbroja 34 pribroje se deseticam odbitka, a za- tim se postupa kao i kod jedinica. Pri tom se veli: 5, 14, 22, 26, i 8 jesu 34, 3; 10, 17, 18, i 1 je 19, itd. 17 . 5248901 - (863147 + 168854 -f 279039 -f 996489). 18 . 71357093 — (684260 -f 925476 -j- 1043325 + 842079). 19 . Izvrši još jedan put sbrojbe u §. 9., zadatku 10. i prokušaj ih odbitbom izostaviv prvi pribrojnik. Odbijanje desetinskili brojeva. §■ 15 . Desetinski brojevi odbijaju se istim načinom kao i cieli bro¬ jevi. Napiše li se odbitak pod odbitbenikom, tada treba desetinske točke staviti jednu pod drugu. N. pr. - 8-09 5-453 2-637 3 i i 7 f je 10 č, 1; 6si3sje9s; 4d i 6dje lOcž, 1; 6/i 2.7 je 8 J. 21 Zadatci. 1. 34-56 6-92 Izgovaraj: 2 i 4- je 6; 9 i 6 je 15, 1; desetinska točka; 7 i 7 je 14, 1; 1 i 2 su 3. 27-64 2 . Koji je broj za 2-678 manji od 8-765? 3 - Za koliko je 61-43 d) vece od 23-958, b) manje od 70? 4 . Razlika dviju brojeva jest 5-593, veei je broj 12-75; kolik je manji? 5 . Odbij i ueini prokušnju: a) 28-355 b ) 85-7 c) 9-04 d) 1000 16-79 9-416 0-2607 16-667 6. a) 38-593 — 15-838, b) 67'859 — 48-369, c) 73-314 - 8-2076, d) 5-3415— 0-88723. 7 . Prokušaj odbitbe pod 6. 8. 35-1097 + 27-4066 — 41-0365 — 10-3721. 9- Kolik je sbroj triju brojeva, od kojih je prvi 128-794, drugi za 53-165 manji od prvoga, a treci za 9-98 manji od drugoga? 10 . Neka se od 152-4405 odbiju brojevi 9-1085, 20-3668, 17-4519. 11 . 7901-305 — (206-0408 + 123-456 + 789-012 -f 135-79 -f 802-406 + 918-273). Pri odbitbi imenovanih brojeva treba da su odbitbenik i od- bitak istog imena, koje ime dobije i ostatak. Zadatci. (Za pismenu a dielomice i ustmenu rješitbu.) 1. Od 1 trube platna, koja je 52m duga, odreže se 35m; ko¬ liko još metara preostane? 2 . Njeki sin, kada mu je bilo 47 godina, izgubio je svojeg otca od 75 godina; za koliko je otac bio stariji od sina? 3 . Njeka je roba kupljena za 350 for., a prodana za 408 for.; koliko je pri tom dobiveno? 4 . Njeki trgovac proda robe za 824-64 for. i tim dobije 76-08 for.; po što je on tu robu kupio? Odbijanje jednoimenib brojeva. §. 16. 22 5. Njetko za četvrt godine primi 900 for., a izda 818 for.; ko¬ liko je on uštedio ? 6. Od 750 leg kave prodade se jedno za drugim: 128, 57, 105$) u kojoj je dobi umro? 10. Godine 1880. brojilo se od izumljenja parnih Strojeva 181 go- dina, od izumljenja knjigo tiskarstva 440 godina a od izum¬ ljenja našega papira 629 godina; koje se je godine svaki od tih izuma sbio? 11. Koliko dana imau prvih šest mjeseei proste godine manje nego li u šest posljednjih? 12. Njetko je dugovao 742-5for., pak treba da još odplati 318-75 for.; koliko je več odplatio ? 13. Njeki otac ostavi starijemu sinu 6840 for., a mladjemu za 1580for. manje; koliko dobiju obadva sina skupa? 14. Mjesto je A za 128 m uzvišenije nego B, B za 87 m uzvi- šenije nego C, a C za 68 m niže nego D: za koliko A nadvisuje D? 15. Dužina nihala, koje se svakoga raška zanihne jedan put, čini na krajniku 996-088 mm, na polutniku 990-891 mm; kolika je razlika obiju dužina? 16. Gradac u Stajerskoj imadjaše godine 1820. 36012 Stanovnika, a godine 1880. 97791; za koliko se je stanovničtvo medjutim umnožilo ? 4. Množenje neimenovanih i jednoimenih cieiih i desetinskih brojeva. §. 17. Ponovno sbrajanje jednog istoga pribrojnika dovodi nas na množbu ili množitbu (multiplicatio). Množiti reči če, jedan 23 broj toliko puta kao pribrojnik uzeti, koliko puta to kaže drugi broj. N- pr. 5 množiti sa 3 znači 5 uzeti oputa kao pribrojnik, a tim se dobije 5 —|- 5 —|— 5 == 15. Broj, koji se uzimlje više puta kao pribrojnik, zove se m n ož- benikom (multiplicandus), onaj pak, koji pokazuje, koliko puta treba množbenik uzeti, zove se množi lom (multiplicator). Broj, koji dobijemo množenjem, zove se umnožkom (produet). Množ¬ benik i množilo zovu se još i činbenici (factori) umnožka. Množilo je svagda neimenovano; množbenik može biti i ime¬ novan, pak je tada i umnožak imenovan ter sa množbenikom istoimen. Znak množbe je kosi krst X bi takodjer točka. Na pr.: 5 X » = 15 ili 5.3 = 15 čita se: 5 umnoženo sa 3 jednako je 15, ili: 3puta 5 je 15; 5 je tuj množbenik a 3 množilo. Pod umnožkom od više nego li dva broja razumije se končani umnožak, koji dobijemo. ako se umnožak prvih dviju brojeva um noži sa trečim brojem, taj novi umnožak sa četvrtim brojem, itd. Prve vježfte (Računanje u glavi). §. 18. 1. Koliko je lput 1, Iput 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 2 . Koliko je 2puta 1, 2puta 2, 3, .... 8. 9? 3 . Koliko je 3gubo od 1 , 2, 3, .... 8, 9 ? 4 . koliko je 4puta 1, 4puta 2, 3, .... 8, 9? 5. Koliko je 5puta 1, 5puta 2, 3.8, 9? 6 . Koji niz brojeva dobijemo, ako brojeve 1. 2, 3, .... 8, 9 po redu Gputa kao pribrojnike stavimo? 7. Koliko je 7puta 1, 7puta 2, 3, .... 8, 9? 8. Koliko je 8puta 1, 8puta 2, 3, .... 8, 9? 9. Koji je broj 9puta veči nego 1, 2, 3, .... 8, 9 ? Posljedci predjašnjih vježba čine tako zvani jedan p ut jedan vriednosti znamenaka, što treba dobro upamtiti. 10 . Od svaka dva uporedo, pa tako isto od svaka dva jedan pod drugim stoječa obližnja broja, a da ih same ne izrečeš, naznači 24 11 . a) Koliko je 5 X 3? Koliko 3 X 5? Razstavi li se 5 na pet jedinica, pak se te razitim redom predeče ter 3 takova reda jedan pod drugim napisu : 11111 11111 11111 to očevidno dobijemo jednako, sbrojile se jedinice svih ra- zitih ili svih osovnih redova. Sbrojimo li jedinice razitih redova, dobit čemo 5 jedinica 3 puta. ili 5X3; sbrojimo li jedinice osovnih redova, dobit čemo 3 jedinice 5puta. Dakle je 5X3 = 3X5=15. Umnožak se ne izmieni, ako mu činbenike medju se pr omi en im o. (Zakon o pr omjenji vanju č i n b e n i k a.) b) Treba li više nego dva broja množiti, n. pr. 3, 4 i 5, tada možemo, da se umnožak ne izmieni, dva a dva zasobična činbenika medju se promieniti i ponovljenom promjenom svaki činbenik postaviti na svako ma koje mjesto. c) 3.4.5 = 3.5.4 = 5.3.4 = 5.4.3 — 4.5.3 = 4.3.5 = 60. Takodjerje uz više nego dva činbenika po umnožak svejedno, kojim se redom oni umno že. 12 . Koliko je lput 10, 2 puta 10, 3 puta 10, . . . 9puta 10? 13 . Koliko je lput 100, 2puta 100, . . . 9puta 100? 14 . Koliko je 2puta 4 desetice? Koliko je 2puta 50, 3puta 40, 5 puta 60, 7 puta 30, 9 puta 80 ? 15 . Koliko je 3 puta 2 stotine ? Koliko je 2puta 400, 5 puta 700, 4 puta 500, 7 puta 600, 8 puta 900 ? 16 . Koliko je lOputa 1, lOputa 2, lOputa 3, 4, ... . 9? Sto dakle bude od jedinica, ako se lOputa uzmu? 17 . Koliko je lOputa 10, lOputa 20, lOputa 50, lOputa 80? Sto dakle bude od desetica, ako se lOputa uzmu? 18 . Koliko je 100 puta 1, 100 puta 2, lOOput.a 3, 4, . . . . 9? Sto bude od jedinica, ako se uzmu 100puta? 19 . Koliko je 100 puta 10, 20, 50, 90? Sto bude od desetica, ako se uzmu 100puta? 20 . Koliko je 4 puta 20? Koliko je 4 puta 6? Koliko je dakle 4 puta 26? 26X4 = 20X4 + 6X4 = 80 + 24= 104. 25 Sbroj se s njekim brojem umnoži, ako mu svaki pri broj nik s istim brojem umnoži m o i do¬ bi v ene pocestne umnožke sbroj im o. 21 . Koliko je 2puta, 3 puta, . . . 9puta a) 11, b) 12, c) 15, d) 16? 22 . Koliko je 3puta 18, 4puta 21, 5puta 34, 6puta 53, 2puta 127? 23 . Uzmi svaki od brojeva: a) 25, b) 84, c) 45, d) 78, e) 51, f) 94, g) 36 m) 2puta, n) 3puta, o) 7 puta, p ) 8puta, q ) 9puta. 24 . Koliko je 15 puta 30? Mjesto da se 30 postavi 15 puta kao pribrojnik, možemo, buduci da je 15 = 3 X 5 , najprije svaka 3 od jednakih pri- brojnika u jedan sbroj skupa shvatiti; tim se dobije 5 jedna¬ kih sbrojeva, koje još treba sbrojiti, što bude, ako jedan od tih sbrojeva sa 5 umnožimo. 30 X 15 = 90 -f 90 + 90 + 90 + 90 = 90 X 5 = 450, dakle 30 X 15 = 30 X 3 X 5 = 90 X 5 = 450. Da se koji broj s njekim umnožkom od dviju činbenika umnoži, možemo ga umnožiti s jednim činbenikom, pa iznosak s drugim činbenikom. 25 . Koliko je 20 puta 8? 20 je 2 X 10; dakle mjesto da se množi sa 20, umnoži se najprije sa 2 a iznosak još sa 10; 2 puta 8 je 16, 10 puta 16 je 160. 26 . Koliko je 20 puta 10, 30puta 30, 50 puta 40? 27 . Koliko je 20 puta 12, 30 puta 15, 60 puta 13? 28 . Koliko je 12 puta 35? Iznosak je jednak, da li se 12 kusova koje robe plati u jedan put, ili najprije 10 kusova a po tom još 2 kusa po 35 nove. 35 X 12 = 35 X 10 4- 35 X 2 = 350 -f 70 = 420. Broj se s njekim sbrojem umnoži, ako ga s a svakim pribrojnikom umnožimo i dobivene po¬ cestne umnožke s b r o j i m o. 29 . Koliko je 13 puta 20, 17 puta 51. 24 puta 33, 22 puta 350? 26 Množenje cielili Id rojeva. §• 19 - a) Množenje s jednoznamenkastim brojem. Neka na pr. broj 132 treba umnožiti sa 3. Koju mjestnu vriednost ima umnožak, ako se jediniee, desetice, stotice, . . . umnože sa jedinicami? Neka se još 456 mimozi sa 8. 456 X ^ 8puta 6 J je 48 J, t. j. 8 J i 4D; 8 puta 5.Dje 40 D, i 4 D, jesu 44D, t. j. 4 D i 4 S; 8puta 4 S jesu 32 S, i 4S je 36 S. Dakle s jednoznamenkastim množilom umnožimo, ako se re¬ dom umnože jediniee, desetice, stotice, . . . množbenika i dobiveni umnožci napisu kao jediniee istoga reda; ako je pak umnožak dvo- znamenkast, tada cemo na dotično mjesto staviti samo jediniee onoga reda, desetice pak kao jediniee obližnjega višega reda pri- brojiti umnožku obližnje više znamenke. b) Množenje s kojim brojem višega reda. Da se koji broj umnoži sa 10, 100, 1000 . . . , treba samo svakoj njegovoj znamenci dati lOputa, 100puta, 1000puta, . . veču vriednost, što se sbude, pripisavši množbeniku na desno 1, 2, 3, . . . ništice. N. pr.: 318 X 10 109 X 100 850 X 1000 3180 70900 ~ ~850000 Umnoži svaki od rednih brojeva 1 , 10 , 100 , 1000 , 10000 , 100000 sa svakim rednim brojem 1 , 10 , 100 , 1000 , 10000 , 100000 . Koji se redni broj dobije svaki put kao umnožak? Posljedci su u sliedeeem pregledalu, koje čini jedan dio tako zvanoga jedan put jedan mjestnih vriednost i. 27 U tom pregledala, koje treba dobro upamtiti, umnožak od kojega god rednoga broja u najvišem razitom stupcu i kojega god rednoga broja u prvom osovnom stupcu nalazi se u presjecištu obiju stupaca. e) Množenje s višeznamenkastim brojem. Ako je množilo n. pr. 40 = 4 X 10 bi 400 = 4 X 100, tada se množbenik umnoži najprije sa 4, a zatira još sa 10 ili dotično sa 100, pripisavši prvomu umnožku jednu ili dvie ništice. Treba li na pr. 649 umnožiti sa 435. tada se množbenik uzme najprije 400puta, zatim 30puta, napokon 5puta, i dobiveni se po- čestni umnožci sbroje. Dakle dobijemo 649 X 435 ili 649 X 435 400puta 649 . . . 259600 2596 30puta 649 . . . 19470 1947 5puta 649 .. . 324 5 3245 282315 282315 Ništice na desno u pocestnih umnožcih samo su za to, da prvoj od 0 različnoj znamenci a po tom i ostalim znamenkam po- kažu pravo mjesto; s toga se one mogu i izostaviti. čim o mjestnoj vriednosti tih znamenaka ne nzmogne nastati nikakova dvojba, što je tuj slučaj, buduči da najniža od 0 različna znamenka svakoga počestnog umnožka mora značiti jedinice istoga reda, kao i zna¬ menka množila, s kojom je umnoženo. Kojim se redom množi sa pojedinimi znamenkami množila, to je svejedno, samo ako se počestni umnožci po svojem položaju kako treba jedan pod drugim napišu. Cini se obeenito, da je najsgodnije, množiti najprije sa najvišom znamenkom množila, p a k o n d a po redu s a n i ž i m i z n a m e n k a m i, pri če m s e 28 svaki s 1 i e d e e i pocestni umnožak pomakne za jedno mjesto dalje na desno i zatira pocestni umnožci, kako su napisani, s kroj e. Bude li u množilu na njegovih unutrašnjik mjestih koja ništica, ta se pri množenju preskoči, no zato se obliže sliedeči pocestni umnožak pomakne za dva mjesta dalje na desno. Najbolje se izpravnost množbe pr okuša, ako činbenike medju se promienimo i po tom množbu još jedan put obavimo; dobije li se tim opet isti umnožak, tada ga smijemo smatrati iz- pravnim. d) Računski probitci. 1. Ako se množilo dade razstaviti na dva činbe- nika, s kojimi je laglje množiti, tada se množbenik množi najprije s jednim činbenikom a po tom umnožak s drugim činbenikom. N. pr. 51046 X 24 - X 4 204184 21596 X 350 - X? 151172 -X 6 -X 50 1225104 7558600 2. Ako je prva ili posljednja znamenka u množilu 1, tada se množbenik ostavi neizmienjen kao pocestni umnožak te znamenke, pak se množi samo s ostalimi znamenkami množila, a tim dobiveni pocestni umnožci podpisu se kako treba. Na pr. 15308 X 13 40925 X 301 45924 122775 199004 12318425 3. Ako je množilo 11, tada se prva desna znamenka množ- benika napiše neizmienjena, zatim se prvoj znamenci pribroji druga, drugoj treča, itd. Na pr.: 79264 X 11 krač e 79264 X H 79264 871904 871904 Zadatci. 1. 3716 X 4 14864 Izgovaraj : 24, 2; 4, 6; 28, 2; 12, 14. 29 2. Umnoži s 2. 3, 4, ... 8, 9 sliedeče brojeve: 24, 714, 956, 512, 382, 4067, 8406, 87, 508, 484, 205, 475, 2596, 9057. 3 . Umnoži broj 5 sa samim sobom, umnožak opet sa 5, itd., dok dobiješ 5 umnožaka; a) kolik je posljednji umnožak, b) kolik je sbroj svih umnožaka? 4 . a) 13794 X 2. b) 29078 X 6. 5 . Umnoži 91072 sa 3, umnožak sa 4, a novi umnožak opet sa 5. 6. Umnoži 905347 6puta zasobce sa 3, isto toliko puta sa 4, 5, 6, 7, 8, 9. 7 . a) 49758 X 10. b) 69450 X 100. 1982523 X 60. 193146 X 5000. 8 . Umnoži 5798 sa 10, 100, 1000, 30, 500, 8000. 9 . Koliko je 5016287 X 9 + 83406 X 2000? 10 . Odredi još prije obavljene množbe mjestnu vriednost najviše znamenke umnožkom: a) 563 X 37; b) 9154 X 266; c) 13048 X 74; d) 38701 X 453; e) 29207 X 4014; f) 64075 X 12345. 11 . Izaberi u uzporednoj množbi koju god zna- menku jednoga poeestnog umnožka, pak joj odredi mjestnu vriednost po mjestnoj vried- nosti znamenaka, od kojih. je množenjem nastala. 5179 X 3648 15537 31074 20716 41432 18892992 N. pr.: Znamenka 7 tredega počestnog umnožka postala je množenjem 1 S sa 4 Z>; ta dakle znamenka ima mjestnu vriednost S X A t. j. T. 12 . Tako isto postupaj u množbah: a) 7927 X 3462; b) 15824 X 6159. 13 . Odredi umnožak od svaka dva uporedo i od svaka dva jedan pod drugim stoječa broja, pak učini prokušnju promjenom čin- benika: 3179 5084 2263 4706 5328 4826 7519 9081 8530 6407. 30 14 . Kolik je 5206kratnik a ) od 49032? b) od 52963? 15 . a) 470300 X 51207. b) 85290 X 14930. 89370 X 38147. 21092 X 49753. 16 . Umnoži svaki od brojeva a) 63758, b) 29370, c) 57012 sa svakim od brojeva m) 6120, n) 33049, p) 32678, pak učini prokušnju promjenom einbenika. 17. 41397 X 30902 X 4630. 18 . 5602 X 7981 X 3596 X 4085. Odredi upotriboin probitaka: 19 . a) 76263 X 27. 90648 X 45. 20 . a) 809175 X 48. 287050 X 64. 21 . a) 17052 X 17. 947063 X 51. 22 . a) 439251 X 61. 580463 X 19. 23 . 738526 X 11 8123786 b) 32289 X 72. 56071 X 36. b) 126054 X 54. 293491 X 630. b) 92478 X 144. 708347 X 601. b) 135709 X 321. 688437 X 159. Izgovaraj : 6, 8, 7; IB, 1; 9, 12, 1; 4, 11, 1; 8. 24 . a) 561289 X H. b) 834190 X H- 806509 X H- 688437 X 11. 25 . Svaki od brojeva 34129, 93256, 170948 umnoži 4 puta za- sobce sa 11. Množenje desetinskih brojeva. §. 20 . a) Množenje desetinskoga kroja s jednoznamenkastim delim brojem. Neka treba n. pr. 0-836 umnožiti sa 7. 0-836 x 7 7 puta 6 1 jesu 42 1, ili 2 1 i 4s; — ■ - 7puta 3s je 21s, i 4s je 25s, ili 5s i 2 d; O 852 7 puta 8 d je 56 d, i 2 d je 58 d, ili 8 d i o J. Koju mjestnu vriednost ima umnožak, ako se desetine, stotine, tisueine, . . . umnože sa jedinicami? 31 1>) Množenje desetinskoga broja s Tišini rednim brojeui. Da se desetinski broj umnoži sa 10, 100, 1000, . . . treba svakoj njegovoj znamenei dati 10 puta, 100 puta, 1000 puta,... višn vriednost. To se sbude, pomaknuv desetinsku točku za 1, 2, 3,. .. mjesta na desno. N. pr. 0-345 X 10 5-082 X 100 6-47 X 100 0-89 X 1000 3-45 508-2 ~647 890 Koji se redni broj dobije, ako svaki od rednih brojeva: 1 , 0 - 1 , 0 - 01 , 0 - 001 , 0 - 0001 , 0-00001 zasobce sa rednimi brojevi 1 , 10 , 100 , 1000 , 10000 , 100000 umnožimo ? Posljedei se nalaze u sliedecem jedan put jedan mjest- nih vriednosti razsežučem pregledalu: c) Množenje desetinskoga broja s višeznamenkastim eielim brojem. Da se desetinski broj umnoži n. pr. sa 30 = 3 X 10 ili sa 300 = 3 X 100, umnožimo ga najprije sa 3, pa zatim još um- nožak dotično sa 10 ili 100, pomaknuvši desetinsku točku za 1 ili 2 mjesta na desno. Neka se umnoži 5-903 sa 257. 5-90 3 X 257 200 puta 5-903 ... 11 80-6 50 puta 5-903 ... 2 95-15 7 puta 5-903 . .. 41-321 15 17-071 Najniža znamenka 1 umnožka postala je množenjem najniže znamenke 3 množbenika sa jedinieami 7 množila; s toga ona mora 32 imati sa posljednjom jednaku mjestnu vriednost, t. j. u umnožku mora biti upravo toliko desetinskih mjesta kao u množbeniku. d) Množenje desetinskoga kroja s nižim rednim brojem. Množenje sa 0-1, 0-01, 0-001, . . . kako je u §. 17. razjaš- njeno, ne ima nikakova smisla. Ako ce ono imati značenja, treba pojam množbe zgodno razsegnuti. Imamo 01 X 10 = 1, 0-1 X 100 — 10, 0-1 X 1000 = 100. Uzmemo li sada da je zakon o promjenjivanju einbenika obce- nito valjan, tada je takodjer 10 X 0-1 = 1, 100 X 0-1 = 10, 1000 X 0-1 = 100. Na tom se osniva sliedeči razjašnjaj: Množiti koji broj sa 0-1 reci ce, uzeti njegovu de- setu cest. Tako isto sliedi: Množiti koji broj sa 0'01, 0-001, .. . reci ce, uzeti njegovu lOOtu, lOOOnu ... cest. Dakle da se desetin s ki broj um n o ži sa 0-1, 0-01, 0-001, treba od vriednosti svake njegove znamenke uzeti lOtu, lOOtu, lOOOnu cest. To se poluči pomaknuvši desetinsku točku za 1, 2, 3 mjesta na lievo. N. pr. 52-3 X 0-1 75-6 X 0-01 9-28 X 0-001 5-23 0-756 0-00928. Koji se redni broj dobije, ako svaki od rednih brojeva 1, 0-1, 0-01, 0-001, 0-0001, 0-00001 zasobee sa rednimi brojevi 1, 0-1, 0-01, 0-001, 0-0001, 0-00001 umnožimo? Posljedci su u sliedecem jedan put jedan mjestnih vriednosti završujucem pregledalu. 33 e) Množenje desetinskoga broja s višeznamenkastim dcsetinskiin krojem. Neka se odrede sliedeci umnožci: a) 48-57 X 0 03, a) 48-57 X 0-03 b) 70 98 X 0-006. 7 s X ^ s dade 21 dt; znamenka 1 stoji na 4tom desetinskom mjestu. 8sX dade 18 st; s toga znamenka 8 do- dje na 5to desetinsko mjesto. 1-4571 h) TO_98x_0-006 0-42588 Neka se sad 23-56 umnoži sa 3-789. 23-56 X 3 -789 23-56 X 3 ... 70-68 23-56 X 7 .. . 16-492 23-56 X 8 .. . 1-8848 23-56 X 9 • • • 0 23204 89-26884. 4-23 X 0 01307 0-0423 1269 2961 Tako isto dobije se 15-3 X 3-14 454) 1-53 612 48-042 0-0552861. Pošto se najniža znamenka u umnožku dobije. umnoživ naj- nižu znamenku množbenika sa naj nizom znamenkom množila, lako se razabira, da umnožak mora imati toliko desetinskih mjesta kao obadva einbenika skupa. Zadatci. i • 5'367 X ^ Izgovaraj : 28, 2; 24. 26, 2; 12, 14, 1; desetinska 21-468 točka; 20, 21. 2i Umnoži sa 2, 3, 4, ... 8, 9 sliedede brojeve: 5-2, 27-5, 4-19, 76-9, 2-18. 0-1937, 6-712, 0-66, 1-67, 7-09, 43-5, 8-03, 0 3385, 2-198. 3 . a) 7-245 X 6. b) 3-1416 X 3 X o. 4. 78-932 X 2 X 6 X 8. 5. 135-79 X 2 X 3 X 5 X 7. 6. 640-28 x 6 X : 3 = ID, 312 količnik g j . g _ g j k Koju mjestnu vriednost dobije količnik, ako se jedinice, dese¬ tice, stotice, . . . razdiele jedinicami? 27 S : 6 dade 4 S, ostami još 3S; 3 S i 3 D jesu 33/0, 33 D : 6 dade 5Z>, ostanu 3/0; 3 D i 8/ je 38^, 38/ : 6 dade 6/, ostanu 2 J kao ostatak. Dieljenje se dakle započne kod najvišega mjesta pak se onda nastavi sve do jedinica. Ostane li od kojega počestnoga diobenika kakov ostatak, taj se pretvori u jedinice nižega reda i ujedini sa znamenkom diobenika, koja je na nižem mjestn. Da se koji broj razdieli sa 10, 100, 1000, treba od svake znamenke diobenikove uzeti lOti, lOOti, lOOOni dio. To biva, ako se od cieloga broja 1, 2, 3 znamenke na desno odciepe; na lievo ostavše znamenke jesu količnik, a desno odciepljene jesu ostatak diobe. Na pr.: Dieljenje ciellh. brojeva. §• 24 . a) Dieljenje jednoznamenkastira brojem. 2738 ; 6 456 ostatak 2 Buduči da 2T razdieljene sa 6 ne dadu nikakovik T, s toga se uzme odmah 27 S za prvi počestni diobenik. b) Dieljenje višini rednim brojem. 283 0 : 10 283 373 00 : 100 373 16 549 : 1000 17, ostatak 549. e) Dieljenje višeznamenkastiin brojem. Koliko se puta 92 sadržava u 31924? 41 92 u 319 (pokušav 9 u 31) idu 3puta, dakle se u319S nalaze 300puta; prva dakle znamenka 3 količnika znači S. Umnože li se zatim 92/ sa 36' ter umnožak 276S od¬ bije od 3196, to ostanu 436, i 2 D diobe- nika k tomu, jesu 432 D. 92 u 432 (9 u 43) idu 4puta, dakle se u 432D nalaze 40puta; s toga se u količnik napišu 4 D. Odbije li 0 se umnožak 92/ X 4Z) = 368D od 432 D, to ostanu 64D, i 4/ k tomu, jesu 644/. 92 u 644 (9 u 64) nalazi se 7puta; dakle je količnikova treča znamenka 7. 7puta 92 jesu 644; ne ima dakle ni- kakova ostatka. 31924 : 92 r= 347 276 432 368 644 644 Prva znamenka količnika ima jednaku mjestnu vried- nost sa najnižom znamenkom prvoga počestnoga diobenika. Pocestni umnožci od djelila i svakokratne znamenke količni- kove odbijaju se navadno odmah za množenja od dotičnih po¬ cestnih diobenika, te se pišu samo ostatci. Ona dioba gore prika¬ zala bi se ovako: 92 Veli se: 92 u 319 (9 u 31) 3puta; 3puta 2 je 347 d i 3 je 9; 3puta 9 je 27 i 4 je 31. K ostatku 43 snimi 2; 92 u 432 (9 u 43) 4puta; 4puta 2 je 8 i 4 je 12, ostane 1; 4puta 9 je 36 i 1 je 37 i 6 su 43; itd. Prokušnja za izpravnost diobe biva tim, da se do- biveni količnik sa djelilom umnoži i pretekavši možda ostatak umnožku pribroji; ako je izpravno dieljeno, iziči če tim na vidjelo diobenik. Dioba služi takodjer kao prokušnja za množbu. Raz- dielimo li umnožak jednim činbenikom, mora iziči drugi činbenik. d) Računski probitci. 31924 : 432 644 0 1. Ako se djelilo dade razstaviti na dva činbe¬ nik a, kojima se može zgodno dieliti, tada se dieli najprije jed¬ nim činbenikom a zatim posljedak drugim činbenikom. N. pr. 146055 : 35 171192 : 56 29211 24456 : 8 4173 3057 42 2. Broj se razdieli s a 25, umnoživši ga sa 4 a umnožak razdjelivši sa 100. Broj se razdieli s a 125, umnoživši ga sa 8 a umnožak razdjelivši sa 1000. Jer se količnik ne izmieni, ako se diobenik i djelilo sa 4 ili sa 8 umnoži. 6149 50 : 25 392 875 : 125 -- X 4 - X8 24598 00 3143.000 3. Broj se umnoži s a 25, umnoživši ga sa 100 a umno¬ žak razdjelivši sa 4. Broj se umnoži s a 125, umnoživši ga sa 1000 a umnožak razdjelivši sa 8. N. pr. 3158700 X 25 42609000 X 125 - : 4 - : 8 789675 5326125 Zadatci. 1. 21564 : 6 Reci: 6 u 21 Bputa; u 35 5puta; ■:>r ) y^ u 56 9puta; u 24 4puta. 2. a ) 128 : 4. b) 357 : 7. c) 472 : 8. 3. Razdieli sa 2, 3, 4. ... 8, 9 svaki od sliedečih brojeva : a) 288, 318, 702, 193, 560, 906, 444. 832; b) 456, 465, 465, 464, 645, 654, 789. 987; c) 1240, 3418, 2195, 5436, 2348, 4786. 4. Polusbroj dviju brojeva zove se računičnim osredkom. Kolik je računični osredak medju 1205 i 4317, 1418 i 8324, 2704 i 4136? 5. a) 398024 : 8. b) 906144 : 3. 6. Koliko se puta 7 sadržava u 132076? 7. Kolik je 4ti dio od 290356? 8. Ako je 621360 umnožak od dva broja i 8 jedan mu činbenik, kolik je drugi činbenik ? 9. Koji broj treba umnožiti sa 3, da dobijemo 123456? 10. Koji se broj dade od 835245 odbiti 9puta? 11. Razdieli 8849408 sa 4, taj i svaki sliedeci količnik sa 4; ko¬ lik je 5ti količnik? 12. a) 135000 : 100. b) 289462 : 1000. 43 13 . 61025 : 83 292 735 435 20 ostatak Izgovaraj: 83 u 610 7puta; 21 i 9 je 30, 3; 56, i 2 je 61. 83 u 292 3puta; 9 i 3 je 12, 1; 24, 25 i 4 je 29; i t. d. 14 . Obavi sliedece diobe i svaki put učini takodjer prokusnju. a) 58056 : 82. 28567 : 53. 11016 : 51. 15 . Tako isto : a) 489168 : 516. 388240 : 240. 5228724 : 6137. b) 12035 : 29. 30048 : 58. 78310 : 67. b) 238400 : 298. 293962 : 847. 3804423 : 5604. Izračunaj, upotrebiv probitke: 16 . a ) 466320 : 48. I) 8872472 : 56. 100856 : 28. 5185728 : 64. 17 . a) 930450 : 25. 2369575:25. b) 524625 : 125. 1398750 : 125. 18 . a) 123456 X25. b) 93078 x 125. 413210 X 25. 75542 X 125. 19 . Koji broj, umnožen sa razlikom brojeva 5724 i 4912, dade sbroj od brojeva 2345670 i 5222170 kao umnožak? 20 . Umnožak dviju brojeva manji je za 1392 nego 45624998, a jedan mu je einbenik 6958; kolik je drugi činbenik? 21 . Obavi još jedanput množbe u §. 19, zadat. 10. pak ih pro- kušaj diobom. Dieljenje desetinskib brojeva. §. 25. a) Dieljenje desetinskoga kroja višini rednim krojem. Da se desetinski broj razdieli sa 10, 100, 1000, t. j. da se od vriednosti svake znamenke uzme lOti, lOOti, lOOOni dio, treba samo desetinsku točku pomaknuti za 1, 2, 3 mjesti na iievo. N. pr. 44 61-48 : 10 34-56 : 100 6-148 0-3456 2354-2 : 1000. 2-3542 b) Dieljenje desetiuskoga broja kojirn g-od cielim brojem. 2-568 • 6 25<7 : 6 = id, ostane ld; 16s : 6 = 2$, ostanu 4s ; . jedinicami, tada 227/ : 31 dade TJ, 108d : 31 dade 3 d, 155s : 31 dade 5s. 0-428 48č : 6 = 8 1 . Razdielimo li desetine, stotine, tisučine, dobijemo opet jediniee istoga reda. 847-85’: 31 = 27-35 227 84D : 31 dadu 2 D, 10 8 1 55 0 Desetinski cestnik dieli se dakle kao eio broj pak se u ko¬ ličniku postavi desetinska točka prije, nego li če se uzeti u račun desetine diobenika. Prva znamenka količnika ima i tuj jednaku mjestnu vriednost sa najnižom znamenkom prvoga počestnoga diobenika. Preteče li pri diobi kakov ostatak, tada mu, buduči da se vriednost desetinskoga broja dometanjem ništica ne izmieni, možemo kao i svakomu sliedečemu ostatku pripisati ništieu, pak diobu na¬ staviti. Na pr.: 56 19-934 : 317 914 2800 2640 104 303-8 0 0 23 8 140 280 0 5-425 0-06288 .. Takav postupak može se upotrebiti takodjer pri diobi de¬ lih brojeva, ako na kraju ima kakov ostatak, buduči da svaki do broj možemo predočiti kao desetinski broj, ako mu na desno po¬ stavimo desetinsku točku i zatim pripišemo ništica, koliko nas volja. Pri tom se postavi u količniku desetinska točka, kada je ostatku pripisana prva ništica. Na pr.: oo 5802- 552 27 0 4 50 0 to 836 : 234 1340 1700 620 152 3-572 77-36 45 e) Dieljenje desetinskim krojem. Budiiči da se zasobične znamenke količnika dobiju, obavlja- juči diobu bez obzira na desetinske točke kao i pri eielih brojevih, radi se tu samo još o tom, da se odredi mjestna vriednost tih zna- menaka, za što je dovoljno, pronači mjestnu vriednost prvo j znamenci količnika. To pak može se iz jedan put j e dan m j estnih vri ednos ti iznači obračaj e m, staviv svaki put pitanje: s kojim rednim brojem treba umnožiti redni broj najniže znamenke u djelilu, da se dobije redni broj najniže znamenke u prvom po- čestnom diobeniku? U ostalom može se mjestna vriednost prve ko- ličnikove znamenke i bez toga upravo odrediti. Ako je djelilo cio broj te s toga najniža znamenka djelila znači jedinice. zna se več, da prva znamenka u količniku ima jednaku mje¬ stnu vriednost sa naj nizom znamenkom prvoga po- čestnoga diobenika. Znači li pak najniža znamenka djelila desetine, stotine, tisučine . . . , te je po tom djelilo lOti, lOOti, lOOOni ... dio predjašnjega djelila, to če količnik biti lOputa, lOOputa, lOOOputa kolik predjašnji, i s toga je vriednost prve znamenke u količniku dotično za j e dno, dva, tri... m jesta viša nego mjestna vriednost najniže znamenke u prvom počestnom diobeniku. Na pr.: 22875-72 : 73-3 Najniža znamenka u prvom počestnom diobeniku 2287 znači D, u djelilu d. Sada se pita: s čim treba d umnožiti, da se dobiju D? Prva dakle znamenka 3 količnika znači S. Ili upravo: vriednost prve znamenke 3 go li D, dakle znači S. Najniža je znamenka prvoga počest- noga diobenika dt, a djelila s. s treba umnožiti sa s, da se dobiju dt-, dakle prva znamenka 5 količnika znači s. Ili: prva znamenka 5 količnika ima za 2 mjesta višu vriednost nego li dt, znači dakle s. Zadatci: 1. Kazdieli sa 2, 3, 4, ... 8, 9 svaki od sliedečih brojeva: a) 50-4, 24-8, 7-63, 0-918, 32-2, 4-32; b) 37-86, 8-796, 0-9480, 3-262, 6-425, 75-84. 1185 316-4 462 7 28 92 0 mora biti za jedno mjesto viša n< 3-79623 : 68-72 36023 0-05524 . . 16630 28860 1372 46 2. Razdieli broj 135-79 sa 10, 100, 1000, 10000, 100000. Za sliedeče diobe ueini takodjer prokušnju. 3. a) 139-5 : 31. b) 130 83 : 21. 136-62 : 23. ■ 5-93524 : 18. 4. a) 379-42 : 0-4. 3-14155 : 0-5. b ) 39-83 : 0-7. 0-07614 : 0-06. 5. o) 285-59 : 5-3. b) 248-67 : 0-81. 1391-52 : 7-4. 530-955 : 0-057. 6. Razdieli svaki od brojeva a) 90889, b) 272-667, c) 45-4445 svakim od brojeva m) 0-97, n ) 48-5, o) 291. 7. a) 10147-8 : 329. b) 24-0484 : 0-472. 270-2146 : 8-69. ’ 540-9835 : 0-02447. 8 . a) 389-007 : 0-52. 7-3402 : 0-0098. 9. a) 4-554144 : 1506. 0-06584508 : 0 3451. b) 0-784 : 3-08. 616-337 : 0-2569. b) 1 : 3-14159. 7-470799 : 0-00917. 10. Razdieli 5409835 sa a) 4-61, b ) 23-47, c) 491-8. 11. Koliko se puta mora 4-2052 uzeti kao pribrojnik, da se dobije 12640-8312? 12. Razdieli a) 89990166, b) 2149-09526 svakim od brojeva m ) 599, n) 25-039, o) 364-13. Dieljenje jednoimenih brojeva. §. 26. Zadatci. 1. Njetko kupi 8 hi vina za 336 for.; što ga stoji 1 M7 1 je hi 8mi dio od 8 hi; s toga 1 hi stoji samo 8mi dio od 336 for., dakle 42 for. 2. Njetko kupi 9 ha livade za 3780 for.; po što je l/*a? 3. 1 m svilene tkanine stoji 12 for.; po što je 1 dm? 4. 1 M ulja težak je 95 kg .; koliko teži 1 1 ? 5. 1 rizam papira stoji 6-4 for.; po što ga je l knjiga? 6. Jedan zdenac na ciev daje svaka 4 časa po 55 1 vode, drugi za 7 časova 84 1: koji je zdenac izdašniji? 7. L T njekom mlinu samelje se za 15 dana 36300 kg brašna; ko¬ liko za 1 dan? 47 8. Njeki činovnik ima godišnje plače 2100 for.; koliko svakoga mjeseca? 9 . Godišnja dobit od njeke glavnice čini 258-36 for.; kolika je dobit za 1 mjesec ? 10 . Njeki se točak na putu od 1241-5 m okrene 1582 puta; kolik mu je obseg? 11 . 1 m sukna stoji 5 for.; koliko se m dobije za 135 for.? Dobije se toliko puta Im, koliko se puta 5 for. sadržava u 135.for. 135 for. : o for. = 27. Dakle se 1 m dobije 27 puta, t. j. 27 m. 12 . Ako llcg stoji 0-5 for., koliko se kg dobije za 37 for.V 13 . Koliko je gradiliste, koje stoji 14400 for., ako se m 2 plati sa 9 for. ? 14 . Za 16-15m plati se 69-55 for.; koliko za 1 m? 15 . 2976 for. razdieli se niedju više osoba tako, da svaka dobije 24 for.; koliko ima osoba ? 16 . 59415 for. treba medju 255 osoba jednako razdieliti; koliko dodje na jednu osobu? . 17 . U njekom rastilu ima u pravilnih redovih 31928 sadjenica, i u svakom redu po 104 sadjenice; koliko ima redova? 18 . U A opali se top; koliko če vremena trebati motritelju u da¬ ljini od 8000 m da čuje prasak topa, ako zvuk za jedan časak prevali 332-25 m ? 19 . Njekom je željeznicom godine 1885. razvezeno 1250855 put- nika; koliko ih ide poprieko na jedan dan? 20 . Višina njekih stuba treba da je 4 m, a višina svakoga stupnja 0-125m; koliko če stupnjeva morati stube dobiti? 21 . 38m sukna stoji 266 for.; a) po ,što je lm, h) koliko stoji 29 m ? 22 . Njeki trgovac kupi_ 186 rižarna papira po 4-2 for., a proda ih sa dobitkom od 104-16 for.; po sto je 1 rizam prodao? 23 . Njeki je trgovac kupio 75 m sukna za 336 for.; koliko m mora on prodati po 5-4 for., da dobije 31-28 for.? 24 . 0-741893 mjriametra čini 1 zemljopisnu milju; koliko zemljo- pisnih milja čini 1 myriametar? 25 . Koliko for. austr. vr. čini 2127-5 njemačkih maraka, ako se 1 marka računa po 60-4 novč. austr. vr. ? 48 26. Tobolac, napunjen sa 500 austr. forintaea, teži 6-2 kg-. prazan tobolac teži 0-027161 kg; kolika je težina jedne forintaee? 27. Njetko ima godišnju plaču od 945 for., osim toga od svojih glavnica godišnje dobiti 400 for., pak od svoje uzgredne zi- službe 240 for.; koliko smije svaki dan potrošiti, ako hoče da uštedi godišnjih 250 for. ? 28. Njeka zemlja ima 2462886 Stanovnika, od kojih idu poprieko 72 na površje od lkm 2 \ koliko km 2 čini svekoliko površje te zemlje? 29. Vojvodstvo Solnogradsko na površju od 7154-547«w 2 ima 163570 Stanovnika; koliko Stanovnika ide poprieko na 1 km 2 l 30. Godine 1882. umrlo je u njekoj zemlji 61320 od 2207520 Stanovnika; a) koliko je bilo poprieko mrtvaea na 1 dan, h) na koliko Stanovnika ide po 1 mrtvac? 31. Ako se 3'45/ič vina po 24 for. smieša sa 5-55 7m(2, 5, 16, 25). 3 . m (2, 3, 5, 8, 12, 18, 28, 40). 4 . m (2, 4, 8, 16, 3, 9, 27, 6, 12, 24). 5 . m (2, 3, 7, 8, 16, 20, 35, 42, 50). 6 . m (5, 12, 8, 10, 21,-28, 30, 15, 60). 7 . m(16, 12, 9, 8, 25, 15, 24, 54). 8. m (12, 27. 36, 28, 35, 54, 96, 112). §. 35. Da se odredi najm. z. višekratnik dviju večih brojeva, iste se najprije verižno m diobom njihova najv. z. mjera. Bu- 58 duei da količnici, što se dobij n, ako se dva broja svojom naj v. z. mjerom razdiele. ne mogu više iraati nikakova zajedničkoga einbe- nika, to, da se najm. z. mnogokratnik dviju brojeva nadje, smijemo samo k jednomn broju još količnik, što se dobije dieljenjem drugoga broja najv. zajedničkom mjerom, primetnuti kao činbenik. Ako su n. pr. brojevi 1254 i 1653 zadani, to imamo 1254 | 1653 1 M (1254, 1653) = 57, 57 ! 399 3 1254 : 57 = 22, j 0 7 m (1254,1653) = 1653.22 = 36366. Da se tim načinom nadje najm. z. mnogokratnik za dva ili više brojeva, iste se najm. z. mnogokratnik prvih dviju brojeva, zatim od dobivena tako najm. z. mnogokratnika i treeega broja, i t. d. Najposlije nadjeni najm. z. mnogokratnik zajedno je najm. z. mnogo¬ kratnikom svili zadanih brojeva. Zadatci. 1. a) m (249, 913). 2 . a) m (438, 949). 3 . a) m (845. 1183). 4. a) m( 2167, 1379). 5. a) »h (507. 1183, 1521). 6. m (1555. 2177. 3421, 4043). h) m(713, 837). b) m (481, 1110). b) m (1104, 897). b ) m (3009, 2183). b) m (1073, 1102, 1258). III. Računanje s obienimi eestnici. §. 36. Broj, koji jednu čest jediniee sadržava jedan put ili više puta, zove se cestnikom (fraetio, Iiruch). Da se cestnik predoči, tre- baju dva broja: nazivni k. koji pokazuje. na koliko je jednakih česti jedinica razdieljena, i broj ni k, koji pokazuje koliko je ta- kovih česti uzeto. Nazivnik se piše pod brojnikom, a medju njima postavi se črtka. N. pr. u cestniku f ili 3 / 8 (tri osmine) 8 je nazivnik i po- kazuje, da je jediniea razdieljena na 8 jednakih cesti: 3 je brojnik i naznafiuje, da je jedna takova fiest, naime 1 j s . uzeta oputa. Oestnici takovim oblikom predoeeni zoni.se ob i fini mi fiest- niei za razliku od deset inskih cestnika (§. 4), koji se pišu bez nazivnika. Svaki se 6 e s t n i k može s m a t r a t i n a z n a cenim k o - li finiko m, u k oj em j e brojnik diobenikom a nazivnik d j el i lom. Cestnik 4 5 znači 4puta 5tu cest od 1 cieloga. Količnik 4 : 5 znači 5tu fiest od 4 ciela; no da se 5ta fiest od 4 ciela odredi, razdieli se svako pojedino cielo na 5 jednakih fiesti te od svakoga uzme 1 fiest; s toga se i tu dobije 4puta 5ta fiest od 1 cieloga. Dakle je 4 /:> =4:5. Cestnik, kojemu je brojnik manji od nazivnika. zove se pra¬ vim; n. pr. 1 I S , */„ 5 / 8 . Prav fiestnik je manji od 1. Cestnik, kojemu je brojnik jednak nazivniku ili vedi od na¬ zivnika, zove se nepravim; n. pr. %, %, 5 / 4 , 13 s . Neprav cest¬ nik ili je jednak sa 1 ili vedi od 1. Broj, koji je sastavljen od ciela broja i pridjenuta mu cest¬ nika, zove se mješovitim brojem; n. pr. l 3 / 4 , 5 7 / 10 - Vježbe (u glavi). § 37 . Polovine, četvrtine i osmine. 1. Kako postanu fiestnici Va- Vi) Vsi 7v 7si 10 /s’ 2. Koliko polovina ima 1. 2, 7. 15 cieli; 47 2 , 9 1 / 2 , 17 1 / 3 ? 3 . Koliko fietvrtina ima 1 , 2. 5, 12 cieli; 1 1 / <4 , 3 3 / 4 , 12*/ 4 ? 4. Koliko osmina ima 1. 3, 7, 14 cieli; 1 1 / 9 , 4 3 / s , 10 7 / 8 ? 5 . Koliko je cieli 7 . Koliko je osmina ’/gt 3 / 2 . 7 / ž . 15 / a - 21 /a- 35 / 2 8 . Koliko je osmina 3 / 4 , */ 4 , 5 / 4 . ls / 4 . 27 / 4 . 5I / 4 V 9 . Koliko je polovina 2 / 4 , 6 / 4 . 10 / 4 , 18 / 4 . 34 / 4 , 76 / 4 ? 60 10. Koliko je polovina 4 / g , 12 / 8 , 2 %, 36 / g , 56 / 8 , 84 / 8 ? 11. Koliko je četvrtina 2 / g , 6 / g , 18 / g , 42 / g , 66 / 8 , 92 / 8 ? 12. a) % + V,. 6) 7* + 7*. ^ »/ 8 + V d) 2‘/, + 47,. 7,+ 7.- 74 + 74- 7s + 7s- 574 + 374- 4%+ 72- 74 +374- 4 7s + 7s- 87 s + 27 8 - 13. 72 + 74 = 74 + 74 - 74 = 17*- 14- Koliko je 7 41 + 72 ; 7s + 72; 7* + 7 8 ; 37, + 5%? 15. a) % - 7,. 6) % - 7*- «) 7 8 - 8 / 8 . d) % ~ 7.- 3-72- 5 —*/ 4 - 77 ,- 2 %. 17,- 74- 3 7, — 7i- 47,-%. 7« — 74- 127 ,- 10 %. 16. Koliko je «1 7, X 4; 74 X 9; 74 X 12; 7s X 3; 7s X 6? 6) 172 X 7; 57, X 8; 3% X 5; 9% X 10? * 17. Koliko se puta sadržava «) 72 U 7,; 74 u +4; 174 u 8 3 / 4 ; 2 5 / g u 7 T / g ? 6) 7 2 « + 7, u 7,: 7s u 74 5 174 u + 2 ? 18. Kolika je 5ta cest od ir ’/ ;S , * s / 4 > 4 7s? 19. Kolika je polovina od 7s, 7 4 , 74? 20. Odredi 4 ®/, : 7; 2% : 3; 117, : 9; 3% : 2. 21. Koliko je novčiča 72; 74> 74 f'°r. ? 22. Koliko je <% 7, */ 4 „ 7 4 %? 23. Koliko je l % 7 4 , 3 / 4 JU? 24. Koliko je sati 7,, 7 4 , 3 / 4 , 7 8 , 8 / g , 7 / g dana? §. 38. Trečine, šestine i (Ivanaestiiie. 1. Kako se dobiju čestnici 7„ 2 ' s , ] / (i , %, 7 12 , 7 /i 2 »' 11 /ia? 2. Koliko je trečina 1, 2. 8 cieli; P/a, 4 2 / s , 137 s ? 3. Koliko je šestina 1, 3, 12 cieli; 27 c , » 5 / 0 , 9 1 /«? 4. Koliko je dvanaestina 1. 5, 9 cieli; 3 J /i»> 4 5 /j 2 , 7 7 / 12 ? 5. Koliko je cieli u 3 / 3 , 18 / s ; 6 / 6 , 3 % ; 12 / ia , 72 12 ? 6. Izloči ciela iz %, 14 / 3 , «/„ »/„• %, »/g, *7e, 73 «5 + 2 , '7,. 65 / / 12 * 7. Koliko je a) šestina, ž>) dvanaestina 7a, 73> 1 7s> 2 7s ? 8. Izrazi 7g, 7g> n /e, 8 7« dvanaestinami. Gl 9. Koliko je treeina od Vs, od ’/ 4 V Koliko je šestina od V 2 ? 10. Koliko je šestina J / 2 , 3 / 2 , 7 / 2 , 18 /s- 25 /s? 11. Koliko je dvanaestina 1 / 2 , 5 / a , 19 / 2 ; Vi, 3 / 4 , 17 / 4 ? 12. Izrazi jednakimi fiestmi: a) Vs- V«: 6) 2 /s, B / a3 ; c) Vsi 5 /e 1 C?) Vs. Vsi Vs, Vi' 13. Koliko je polovina 8 / 6 , 2 Ve, 57 /e 1 6 /i 2 i 4 Vi 2 , 78 As ? 14. Koliko je treeina 2 / 6 , 2 %, 56 / 6 ; 4 / 12 , 28 A 2 , 64 As? 15. Izrazi 3 / 12 , 39 / 12 četvrtinami, 2 / 12? 46 /j a šestinami. 1(5. a) 2 / 3 + Vs- V« “h Ve- c ) 7 /i 2 ~t“ Vis- ^ 8% V - 8 5 /s- l.Vs+n- 19 /« + 5 e- “As + Vis- 10 5 /i2+9 ia /ia- 17. */. -K V4 = Vi. + VlS = 17 / 12 = l 5 / 12 - 18. 2 / 3 -j- V« 5 % 7 /i 2 ; S U + V6; 2’/ 2 -j- 5Vs; s n / 12 + 7 3 / 4 . 19 v« - Ve; 3 A - Via; “As - 5 /e; 3 A - 2 / s ; 7 As - Vs- 20. 8 - 2 2 / 3 ; 6V, - 2%; 7% 2 - 3%; 13 2 / 3 - 8%. 21. % X 6; % X 5; V, X 18; 7 / J2 X 10; ”/» X 9. 22. 8Vs X 3; 9 2 / s X 7; 12% X 9; 15 7 / 12 X 6. 23. 3: V 8 ; 8: 2 / s ; 5 /e : Vis', ‘/s : Ve; V*: Vis- 24. 1% : V«; 12 Vs : % \ 9% : 1 Vis 5 33% : l 2 /s- 25. Koliko je 5ta cest od 25 / 3 , 35 /ts, 7 x /i 2 ? 26. Koliko je mjeseei Vsi Vsi Ve. 5 /e. Vis. 7 /is godine? 27. Koliko je sati Vs. Vs. Ve. 6 /e. Vis. “As Oana? 28. Koliko je časova (minuta) Vs. 2 /si Ve. Vis. 7 /is. 1 V 12 sa * a ? §. 39. Petine i desetine. ;l. Kako postanu čestniei Vs. 2 /s. Vsi Vio. 3 /io 7 Ao ? 2. Koliko je petina 1, 2, 7 cieli; 1Vs, 5 3 / 3 , 8 4 / 5 ? 3. Koliko je desetina 1, 3, 10. cieli; 1 3 / J0 , 4 7 / 10 . 5®/ 10 ? 4. Koliko je cieli Vs 15 /s, 55 / 5 ; 10/ io, 4 %o, 70 Ao? 5. Koliko je cieli Vs, 12 /s. 3S /si 64 /s 5 13 Ao, 37 Ao? J6. Koliko je desetina % 3 / 5 , Vs, 19 /s, 42 /s? 7. Koliko je desetina ‘/ 2 , 3 / 2 , 9 /s, 18 /s, 31 /s ? 8. Koliko je petina 2 / l0 , •/,<>, 28 /io 40 Ao, ti2 Ao ? [9. Koliko je polovina 5 /io, 25 Ao, 30 Ao, 55 Ao, 90 Ao? 62 10. «) % + % b), 5% + 6 3 / 5 - C) % + 7/,o- d) % + 3 / 5 . ‘ 10 + 3 /i0- 3 2 /io + 2 7 /io- Vs ~f“ s, /i0- ! 3 /io +4'/ s . 11. a) »/ 10 - 6) 6*/, - 3%. c) 7o - 7 10 . cO 87,0 - 37,. 5 - 75- 7 Vi o ~ 27,o- 7. - */»■ 67, - 67,. 12. % X 6; 7, 0 X 5; 9 3 / 10 X 8; 13*/, X 10. 1Q 4/ . I/ . 1 . 1/ . 92/ . 8/ . 97/ . 3/ 4*>- /5 • /5 j • /5 ) 4 /5 • /o 5 ■“ /10 ' /10* 14. Kolika je 4ta cest od 2A / a , 3G / 3 ; Irečina od 9 /, 0 , 36 / 10 , 5 3 /, 0 ? 15. Naznači 7» (Vsi 4 /s) f°r.. m, /t/. kg, rizma, sata, jedinicami obližnjega nižeg imenovanja. 16. Tako isto 7io C 3 /ioi 7 /io)f° r -> ,w - rizma, sata. Preobrazovanje čestnika. §. 40. Preobrazovanje nepravih cestnika u mješovite brojeve. 1. Svaki neprav cestnik može se pretvoriti u cio ili mješovit broj. Treba li n. pr. iz neprava cestnika izkrčiti cieia, to se izvadja: 4 su četvrtine 1 cielo, s toga je 27 četvrtina toliko cieli, koliko se puta 4 sadržava u 27, dakle 6 cieli, i još preostanu 3 Četvrtine. 2 7 4 = 27 : 4 = 6 3 / 4 . 2. Svaki m j ešo vit broj može se pretvoriti u ne¬ prav cestnik. Neka n. pr. treba 37, preobrazovati u neprav cestnik. Izvodi se: 1 cielo ima 8 osmina, s toga su 3 cieia 3puta 8 == 24 osmine, i k tomu 7 osmina je 31 osmina; dakle 0 7, _ 3 x S + 7 _ 0 — 8 '— 31 Is- Zadatci. 1 Koliko je cieli u % 50 / 6 , 29 / 7 , 58 / 8 , 7 %, 83 /, 0 , 53 / 12 ? (Ovdje navedeni i u ovom odsjeku dalje sliededi zadatci neka se, koliko to dopušta jednostavnost brojeva, rieše u glavi.) 2. Isti cieia iz sliedecih cestnika: 7, 35/ 57/ 31 85/ 13/ 25/ 71/ 87/ 100/ ,3’ /5> /65 7! /95 /115 /125 /165 /205 /ž5* 63 2JJL7 5 -O -7.1- 3 3JL0JL 3 2 0$: 471 i 1000 ' 3. Sliedeče cestnike pretvori u mješovite brojeve: 105 L1 7 8 0 3 5 7 1 3 2 0 1 O 41 7Tl JI J Til T4 i 5 7 J 41(7 J 4. Pretvori 1, 3, G, 9, 13, 25, 128 u čestnike. kojim je nazivnik a) 10, b) 25, c) 60, d) 100. Sliedeče mješovite brojeve pretvori u neprave cestnike: 5. 3 4 / 5 , 12*/ 7 , 9 9 ' 10 , 3 s / 15 , 14*;„ 21%, IOž*/,,, 58%. «• 911: m 41-/4,84 /&, 702 4V, 37fi|, 581/4V §. 41. Proširivanje čestnika. Ako se u cestniku s / 5 brojnik umnoži n. pr. sa 4, to se do- bije 4puta toliko cesti, koliko ih je prijašnji cestnik imao; no ako se zajedno i nazivnik umnoži sa 4, to pojedine cesti novoga čestnika postanu 4puta manje, nego prijašnje; novi dakle cestnik ima 4puta toliko, no 4puta manjih cesti, te je on s prijašnjim cest¬ nikom jednake vriednosti; s toga je 3 / 3 X 4 12 /5 5X4 ' 2< »' Dakle se vriednost čestnika ne iz mi e ni, ako mu se brojnik i nazivnik s istim brojem umno že. Pretvorivši cestnik 3 / 5 u 12 / 20 , izmienio mu se je oblik, no vriednost ostala je neizmienjena. Preobrazovanje čestnika množenjem brojnika i nazivnika s istim brojem zove se 'proširivanjem (razsezanjem) čestnika. Proširivanjem može se svaki cestnik, ne izmjeniv mu vried¬ nosti, pretvoriti u drugi čestnik, kojemu je nazivnik mnogokratnikom prijašnjega nazivnika. Da se n. pr. j/ 12 pretvori u čestnik, kojemu je nazivnik 48, treba 7 /i 2 sa 48 : 12, t. j. sa 4 proširiti; s toga imamo račun: ' 48 : 12 = 4, 7 X 4 = 28, dakle % = 28 / 48 . U glavi se računa: jedno cielo ima 4S / 48 , 1 / l2 ima 4 / 48 , 7 / 12 je dakle 28 / 48 . Proširivanjem može se takodjer više čestnika svesti na za- jednički nazivnik, čim je taj djeliv svimi nazivnici zadanih čest¬ nika. Da se računi, koliko je god inoguče, jednostavno izvedu, čest- niei se obično svadjaju na najmanji zajednički nazivnik; a taj je najmanji broj, koji je ■ djeliv svimi zadanimi nazivnici, dakle njihov najmanji zajednički mnogokratnik. 64 Zadatci. O) T%- Hf; iV/V' h) t¥ct, iti-, IM, IH- 8. 42. O Pokračivaiije Cestnika. Ako se u kojem cestniku 12 / 20 brojnik razdieli n. pr. sa 4, to se dobije 4puta manje Sesti; no ako se zajedno i nazivnik raz¬ dieli sa 4, to pojedine cesti novoga cestnika postanu 4puta vece; s toga se dobije 4puta manje, ali 4puta tolikih cesti, dakle je tom diobom cestniku samo oblik, a ne vriednost izmienjena; zato imamo Dakle se vriednost cestnika ne izmieni, ako mu se brojnik i nazivnik istim b roje m razdiele. Preobrazovanjem cestnika razdjelivši mu brojnik i nazivnik istim brojem može se cestnik pokratiti, t. j., ne izmjeniv mu vriednosti, manjima brojevima predociti. No to se može sbiti samo onda, ako brojnik i nazivnik imaju zajedničku mjeru. Zadatci. 1 7 A = 4 ; 7 = = Pokrati sliedece cestnike koliko je god moguce: 9 12/ 15/ 10/ 18/ 20/ 25/ 36/ 48/ 44 * /185 /245 / 255 /305 /36’ /405 /54’ ,60’ 66* 3. A A Hfr HI, ifi m , 41»i iVA- !%• 4. Pokrati još sliedece cestnike, ištuci verižnom diobom medju brojnikom i nazivnikom naj v. z. mjeru: Mi im m, t 7 Ai- hm, hm- Sbrajanje i odbijanje cestnika. §. 43. Sbrajanje cestnika. 5 devetina i 2 devetine je 7 devetina; ili 3 4- 2 / = ~‘l ,9 i /9 - /9- Oestnici j edn akih nazivnika sbrajaju se. sbrojivši im brojnike a zajednitki nazivnik zadržavši kao nazivnik. 22 / — Vi - 15 - x /15* Zadatci. 1- 4 /1r> A 7 /i5 A 1 Vl5 2- «) Vso A Vso A 7 20 - 7 5 3 /s + 6 7 /s + 8 6 /s- 3. 12* A 44* + 10 + 18ff + 7*. 4. Imamo četiri broja; prvi je 8 4 / 5 , a svaki sliedeci za 2 3 / 5 veci od predjašnjega; kolik je sbroj svih ? 5. Sbroji čestnike 3 / 5 , 5 / 6 i 7 /i 0 m (5, 6, lOj = 30 3 / 5 % Vro 18 25 21 H = H = 2*. (5. a; 2 /s + 5 /e- 7- 7 V. "i 3 / 4 - 8. 7 V* A Vis 9 . 7 8 3 /.t A o Vi 2 A ® 13 ,so- /8 2 / 5/ / 6 * 11/ 120 ’ 7 */# A 4 / 5 A 7 / 9 - 7 7 Vi 8 A Ifi /S7 A 18 3G 4- 14 /l5- 5) 12 7 /j 0 + 1 3 8 /i 5 A 25 19 / 2 4- Dr. Močnik., Račutiica I. zn niže r. gimn. 66 10. 4f H- Sif + 5|f -f 3ff -f- 7ff. 11. -j- 32ff -)- 15^4 -|- 24^4 -)- 30$£. 12. Izpitaj izpravnost sliedecih naznačaja: «; 7* + 7. + % X 7xo = 7, +' 7 /,2 + 7s + 14 /i5* 7s + 7l, + 7l4 + "'.S = 7» + U /l8 + 7.1 + n /„. c; -1! + n + +14 J = M + It + *W + m- 13. Kolik je sbroj od pet brojeva, od ko.jih je prvi 73l n / 12 , a svaki sliedeči od predjašnjega veci za 27 3 '. ? 14. Njetko je dužan da plati 37 3 / 4 for., 15 7 / l0 for., 22 13 / 20 for., 5 16 / 25 for. i 12 1 /, for.; koliko svega? 15. Stranice trokuta iznose 225 1 / 2 m, 173 3 / 4 m i 205 2 / 5 m; kolik mu je obseg? 16. Njeki vodnjak (Wasserbehalter) puni se kroz tri cievi; prva ciev sama napuni za 1 sat 1 / 3 vodnjaka, druga za isto vrieme % a Ireea Ve- Koji če dio vodnjaka biti napunjen za jedan sat, ako voda kroz sve tri cievi zajedno teče? 17. Jedan vodeni šmrk može vodu, što je u njekom rudniku, iz- crpsti za 15 dana, a drugi za 12 dana; koji če dio vode oba- dva smrka zajedno izcrpsti za jedan dan? 18. Koliko stoji izkapanje zdenca duboka 8 m, ako to kopanje za prvi m stoji 3 3 / 4 for. a za svaki daljni m -/5 for. više nego za predjašnji? §. 44. Odbijanje cestnika. 7 osmina manje 5 osmina jesu 2 osmine; ili 7s - 7s - 78- Gestnici jednakih nazivnika odbiju se, ako brojnike odbijemo a zajednički nazivnik zadržimo kao nazivnik. Imaju li čestnici nejednake nazivnike, to se oni svedu najprije na zajednički nazivnik a zatim odbiju. Zadatci. 1- «) 7. - 8 /d- 6) n /i. - %■ <0 23 / 30 - 13 / 30 . 2. a) 8 3 / 7 - 3. b) 12 7 / 10 - 9. c) 9 3 / 15 - 2 2 / 15 . 3 . a) 1 - 5 / c . b) 5 - 3 / 16 . c) 15 - 10 3 / 4 . 67 12 . Za koliko cestnik £•£ postane veei ili manji, ako se a) broj- niku i nazivniku 5 pribroji, b) od brojnika i nazivnika 5 odbije? 13 . Za koliko cestnik -f-ff-f postane vedi ili manji, ako se u broj- niku i nazivniku a) posljednja, b) dvie posljednje znamenke na desno izostave? 14 . Imamo ove cestnike: V«) V41 % Vl6> Vs2> Vs 4 ; za koliko je sbroj dviju prvih cestnika manji od 1 ? — za koliko sbroj prvih triju, četiri, pet, šest cestnika? 15 . Imamo četiri broja: prvi je 25 1 /,,, drugi za 8 3 / 4 veči od pr- voga, treči za 12 3 / 5 manji od drugoga, a eetvrti je jednak raz- lici medju prvim i treči m; kolik je sbroj od sva četiri broja? 16 . Njeki činovnik primi., za jedan mjesee 87V* for. plače, a izda 74 3 / 5 for.; koliko uštedi? 17 . Tri vreče sa rižom (pirinčem) u njih teže 125 3 / 5 , 127 7 / 10 , 128* log ; prazne vreče teže 8%, 8 3 / 5 , 8 3 / 4 kg; koliko je riže u svih vrečah? 18 . Iz jedne bačve, koja drži 32V 4 hi vina, napune se tri manje bačve, od kojih prva ima 7 x / 2 , druga 6 3 / 4 , treča 6 7 / 20 M; koliko vina preostane još u velikoj bačvi? * 68 Množenje i dieljenje cestnika. §• 45. Množenje cestnika sa cielim krojem. Uzme li se brojnik cestnika n. pr. 5puta tolikim, to množina cesti, dakle i sam cestnik bude 5puta toliki. Uzme li se nazivnik cestnika 5puta manjim, t. j. uzme li se od njega 5ta cest, to dobi- jemo 5puta tolike cesti, dakle i sam cestnik 5puta toliki. Stoga se cestnik sa cielim brojem umnoži, ako sc ili brojnik sa cielim brojem umnoži ili nazivnik njim razdieli. N. pr. 7io X & = L Jr = 35 /io = 7>; »i Vi oX5 = i = , /»' Drugi je postupak probitačniji, no upotrebljiv samo onda, ako je nazivnik čestnika cielim brojem djeliv. 7s X 8 = 5, »/.B X 25 = 12. Cestnik umnožen s a s v oj i m n a z i v n i ko m d a d e b r o j- nik za umnožak. Zadatci. 1 «) 8 /u X 7 - i) 5 /ii X 8. c) 3 / 10 x 5. Vi 2 X 5. n /i5 X 6. 17 / 30 X 15. 2. a) H X 5. i) fl X 16- cj XV X 337. 3. H X 12 = W = 8H = 8f; ili ~ X 42 = V = 8f 3 Ako nazivnik čestnika i cieli broj imaju zajedničku injeru, to se množba ujednostruči, ako se oni još prije množenja onom mjerom razdiele. 4. a) X 14. b) |t X 36. c) H X 15. 5. a) U X 20. &) X 75- c) XV, X 105. 6. _5|_X 7; ili 5| X 7 = X 7 = 'F = 40j. 40.j Pri prvom načinu množbe veli se: 7puta s / 4 je 21 / 4 , t. j. 5 cieli i 'It, 7 puta 5 je 35, i 5 je 40. G9 7. a) 19$ X 9. 8. a) 91-^ X 61. 9. a) 89 & X 55. V) 18,V X 11. b) 12f$ X 25. b) 45|fZ x 105. c; 19|| X 37. c) 341 X 18. c) 271^ X 93. 10. a) 53 X V X 35 -X 5 2674 - X 7 6) 23-f’g X 45. c) 17$f X 56. 1875 d) 244ff X 72. 11. 1 q stoji 35.17for.; koliko stoji a) 10 q, b ) 43g? 12. Kolik je obseg kolesa (točka), koje ima 48 zubaea, ako su ti 4| cm medjusobno udaljeni? 13. Austrijska forintača teži ¥ ' x hj : koliko teži a) 98 for.? b) 162 for.? c) 500 for. ? 14. Jedan ruski rubalj vriedi 1 for. 61 f 3 nove. a. vr.; koliko u a. vr. iznose a) 204 rublja? b) 793 rublja? c) 2465 rubalja? §. 46. Dieljenje cestnika cielim brojcm. Uzme li se brojnik cestnika 4puta manjim, to množina cesti, dakle i sam cestnik bude 4puta manji. Uzme li se nazivnik cest¬ nika 4puta tolikim, to svaka pojedina čest, dakle i sam cestnik bude 4puta manji. Cestnik se dakle cielim brojern razdieli, ako mu se ili brojnik cielim brojern razdieli, ili nazivnik s njim um noži. N. pr. 8 /o : 4 8 : 4 9 8 / 9 : 4 == 9 X 4 /36 /9 ■ 2 / / 9 ‘ Prvi je postupak probitačniji, no samo onda upotrebljiv, ako je brojnik cielim brojern djeliv. Zadatci. 1. a) : 2. 7 » : 3 . b) 9 /io 1 Vi 5 : 3. : 2 . <0 8 /l5 : 4. 2 Vžs : 8. 70 K ^ 2. A : 12 = tId = A; ili y®- : J« - *. 3. a) H : 20. b ) H : 14. c) ff : 21. 4. 9| : 5 = IH; ili 9* : 5 = V :* = 13 = Ifi Pri prvom načinu diobe veli se: Sta čest od 9 je 1, ostanu 4; 4 ciela su S4 / s i 1 / s jesu S3 / s ; 5ta čest od ss / 8 jesu ss / 4 „. 5. a) 12«/, : 3. 5) 17 3 / 4 : 5. c) 59 7 / 10 : 8. 6. a) 307« : 9. b) 342^ : 23. c) 1346« : 31. 7 . a) 517f : 36 6) 1907« : 56. - : 6 86« c) 9248« : 45. -— : e 131« d) 6804« : 28. 8. 9 m stoji 38-j for.; po što je 1 m '? 9 . 1 hi stoji 18 for.; koliko se M dobije za 4991 for. '■ 10 . U njekom razredu sa 45 učenika 1 učenik ima 10 1 / 2 godina, 17 ih ima po 11, 15 po ll 2 / 3 , H po 12, a 1 ima 13 godina; kolika je popriečna dob jednomu učeniku toga razreda. 11 . Ako se 24 hi pšenice po 6’/ 4 for. i 16 M po for. sinieša te se prodajom hoče dobiti 7ma čest ciene; koliko iznosi dobitak i po što se mora hi tako smiešane pšenice prodati? §. 47. Množenje sa cestnikom. Neka treba k oj i broj umnožili sa 3 / 4 . Tu bi po razjašnjaju množbe u §. 17. trebalo zadani broj staviti 3 / 4 puta kao pribroj- nik, koji zadatak ne ima očevidno nikakova smisla. S toga čemo ustanovljeni prvobitno za ciele brojeve pojam množbe ovdje razseg- nuti (razširiti) tako, da on bude upotrebljiv i za cestnike. Mjesto izraza „4tu čest kojega broja uzeti“ običava se takodjer krače reči: broja uzeti,“ ili broj sa « umno žiti. Tako se isto za zadatak: „4tu čest kojega broja oputa uzeti,“ upotrebljava krači način izražavanja: „ s / 4 broja uzeti", ili „broj 3 / 4 puta uzeti, ili „broj sa s / 4 umnožiti". 71 S toga umnožiti k o j i bro.j sa cestnikom znači. zasobce ga nazivnikom razdieliti i sa brojnikom umnožiti, ili ga najprije sa brojnikom umnožiti pak zatim nazivnikom razdieliti. Na tu razsegu množbenoga pojma dovode nas takodjer za- datei svakdanjega života. Da se obcenito iz iznoska jedinice nadje iznosak istovrstne množine, umnoži se iznosak jedinice sa bro- jem. koji izražava množinu. Stoji li n. pr. lw* 5for., to s / 4 m stoje 5 for. X 3 U- Sto taj umnožak znači, vidi se, ako zadatak zaista rie- šimo ; imamo naime: 1 m stoji 5 for ; 1 j i m stoji 4tu cest od 5 for., dakle 3 / 4 for.; s / 4 m stoje 3puta toliko što 1 j dakle 5 / 4 for. X 3; s toga je 5 for. X 3 L = 5 U for. X 3. Treba li umnožiti cestnik sa cestnikom, n. pr. f sa f, to po prijašnjem razjašnjaju dobijemo 8 = - 3 5 X ' R ’ 5 ,X « X^ = 3_Xj. 5X8’ dakle 3/ \y ti _ ° X * ,8 A /8 — 5 X 8 • Dakle umnožak d vi ju cestnika jest cestnik, kojemu je brojnikom umnožak od brojnika, a nazivnikom umnožak od naziv- nika u zadanih čestnicih. Zadatci. 1. a) 12 x V«. b) 10 X % 25 X 4 / 5 - 26 X 7*. 2. a) 613 X % 3067.. ;V, __76^..V 8 = V 4 od 7 S . 3837.. 3. a) »/„ X %. b) 7 19 X 5 /i2- 2 4- A X A = = ili ^ x ■’) 13 X 3 la- 15 x 9 /u- b) 938 X 7.- c) 159 X 7, i2- d) 207 X 1 V 20 ' 0 ) 9 / 10 X f 3 Ako brojnik jednoga i nazivnik drugoga cestnika imaju zajedničku nijeru, tada se oni još prije množenja pokrate. 5 a) f X ii 6) H X f c) f£ X H- 6. 37, X 6*/, = 7, X 20 / 3 = 70 / 3 = 237,. 72 1. a) 7 x 6 4 /p b) 15 X 9 8 / 8 . 8. a) 47, X 4 /s- &) 8% X %. 9- «) 7*/» X 3 74. i) 12% X 9% 10 . Umnoži 209 sa 8 3 / 4 . cj 18 X 7 7 / 9 . c) 25 V 2 X 7io- c) 21 3 / 4 X 12%. 18287 , 11 . «) 905 x 9 7 / 8 . 6) 315 X 24%, c) 1234 x 17 u / 12 . 12 . a) 357% X 57 18 / 16 . 5) 835f 7 X 198f|. 13 . a) 3| X tV X 24. 5) 2,H X H X jf X *§• 14 . Za koliko je umuožak cestnika %, 2 / 3 , 74 i 4 /s manji od nji¬ hova sbroja? 15 . Po šlo su i j 6 lg, ako 1 kg stoji 1 % 0 f°r* 16 . Obodnica je kruga 31 puta, točni je f-ff puta kolik promjer; a ) kolika je za svaku od tih naznaka obodnica kruga, kojemu je promjer 4 m 1 dni ; h) kolika je razlika obiju iznosaka? 17 . Tri osobe imaju 385% for. da medju se razdiele tako, da A dobije ®/ 10 , IS 1 j i a C ostatak; koliko dodje na svaku osobu? 18 . B ima 2 1 / 2 puta toliko novaca koliko A, G 1 7? puta koliko B, D pak samo % puta koliko B : Ako sada A ima 45% for., koliko ima a) svaki od ostalih, b) koliko imaju svi skupa? §• 48. Dieljenje cestnikom. Ako se u broju predoeenu cestnikom brojnik i nazivuik medju se pramene, to se novi broj zove obracenom ili uzajamnom (reciproenom) vriednosti zadanoga broja. Tako je 5 /, uzajamna vriednost od %, 5 „ ,, „ /5 * Naznači uzajamne vriednosti ovim brojevom: 2/ 5/ 1/ « 011 as, /3? /2 5 /4> u > ^ /21 0 /8' 73 Svaki broj umnožen sa svojom uzajamnom vriednosti dade 1 za umnožak;, n. pr. 4/ 5/ _ 1 1/ F, - 1 /5 • k - B /5 1 ° Neka sada treba 7 dieliti sa x / 5 . Količnik je onaj broj, koji umnožen sa djelilom '/5 dade diobenik 7, t, j. od kojega je 5ta čest 7. Broj pak, kojega je 5ta cest 7, jest 5erokratnik od 7: dakle je 7 : V, = 7 X 5- Sličnimi izvodjaji razvij, da je 7 : V* = ? X 2, 7 : Ys = 7 X 3. Bakle da koji broj razdielimo sa '/ s , ^s, Vsi umnoži se on sa uzajamnom im vriednosti 2, 3. 5. Neka još treba 7 dieliti sa 4 / 3 . Tu se hoče da nadjemo broj, koji sa 4 / 5 umnožen, t. j. od kojega 5ta čest 4puta uzeta, dade 7. Broj, koji 4puta uzet dade 7, jest 4ti dio od 7; broj pak, od ko¬ jega več 5ta čest 4puta uzeta dade 7, jest 5puta toliki, dakle 5puta 4ta čest od 7, t. j. 7 X %; s toga je 7 : 4 / 5 = 7 X 5 /i- Dokaži istim načinom izpravnost ovih količnika: 7 : % = 7 X 7s, 7 : 3 / 4 = 7 X 4 / 3 - Odatle sliedi poučka: Broj se čestnikom razdieli, umnoživši ga sa uza¬ jamnom vriednosti č e s t n i k a. Na tu poučku dovode nas takodjer rješitbe zadataka iz svak- danjega života. N. pr. ‘ l l 6 hl stoje 7 for.; po što je Ud? Ako bi Uil stajala 7 for., to bi 1 lil stajao 4tu čest od 7 for., trebalo bi dakle 7 for. dieliti sa 4; stoje li sada i /- 0 hl 7 for., to če se, da dobijemo cienu za 1 hi, 7 for. dieliti sa 4 / 5 , s toga 1 hi stoji 7 : 4 /.. Sto ta dioba ztiači, razabere se odmah, ako riešimo zadatak obič- nimi izvodjaji. Stoji li 4 / 5 7j/ 7 for., to stoji '/j M 4tu čest od 7 for.; 1 Id stoji onda 5puta toliko, dakle oputa 4tu čest od 7 for. S toga treba 7 for. zasobce sa 4 razdieliti i sa 5 umnožiti, t. j. 7 for. : 4 / 5 = 7 for. X 5 / 4 - Cesto se množba i dioba cestnika zajedno sastanu. 74 Neka treba n pr. 7 / 10 X 3 /s razdieliti sa n / 15 . Imamo 7 /io X 3 / 8 __ 7 X ^ X Ž 3_ 63 xl / 15 J0 X 8 X H /l7e ' 2 Količnik se ne izmieni, ako mu se diobenik i djelilo sa istim brojem umnože ili istim brojem razdiele. Umnoži li se tuj diobenik i djelilo sa 10, to 10 kao nazivnik u diobeniku odpadne, a nadodje kao činbenik u djelilo. Tako isto množenjem sa S priedje nazivnik 8 diobenika kao činbenik u dje¬ lilo, a množenjem sa 11 nazivnik 11 djelila kao činbenik u diobenik. Na- stavši tim čestnik onda se pokrati sa 5 (čim je 10 i 15 djelivo). Ako ima mješovitib brojeva, oni se pretvore u neprave cest¬ nike. N. pr 9. a) 27 : 10 • 'OO / 2 . / 3 b) - 1 - 2 V 3 s / 6 J57 4 274 - 47 5 .34 za 72-g- više nego li j-f od 588£|? 3775 • *u 10 . 0d kojega broja iznosi 11 . Koji je to broj, od kojega fg iznose za lo^V manje, nego £■£ od 2358-J-g ? 12. Po što je 1 m, ako 74 m stoje 36 novč. ? 13. Trgovac dobije prodajom njeke robe 25 3 / i for., i to na svakom leg 7 10 for.; koliko je leg prodao? 14. Glasnik prevali za jedan sat 4 s / g &m; za koliko če vremena prevaliti 210 Jcm'1 15. Oranica, koja je velika 2 i / i ha , proda se za 2520 for.; koliko stoji iha‘l 1 (». Njetko kupi za 28 4 / £ for. šecera i kave, i to od svakoga za polovinu iznoska; ako 1 kg šecera stoji ®/ 25 for. a 1 kg kave l 3 / 3 for., koliko je on kupio šecera a koliko kave? 17 . Što je probitačnije, kupiti 8’/ 2 kg njeke robe za 13 13 / 50 for., ili 10 3 / i kg iste robe za 17 1 /. for. ? 18 . U bačvu, koja drži 56 i, teče voda kroz dvie eievi; prva ciev sama napuni bačvu za 16 časova (minuta), druga za 12 ča- sova; a) koliko vode daje svaka ciev za 1 čas, b ) za koliko če se časova bačva napuniti, ako iz obiju cievi zajedno bude voda tekla? Pretvaranje običnili čestnika u desetinske čestnike i obratno. §. 49. Desetinski brojevi kao čestnici. Desetinski brojevi dadu se shvačati dvojakim načinom. Mo- žemo ih predočiti kao razsegu (proširenje) desetičnoga broj- noga sustava preko ili niže jedinica pak onda s njimi računati po zakonih desetičnih brojeva, kako je to u I. odsjeku ove knjige bivalo. No mogu se desetinski brojevi takodjer smatrati čestnici, i u tom slučaju podpisavši im nazivnike predočiti u obliku običnih čestnika. Tako je 01 -== 001 = r 7 lT5 , 0001 = -nuro) 0-7 = A, 0-53 = 0-029 = 2-3 — 2 3 5-41 = sii 0-627 — -fi-2. 7 - -itd " TO! -ari- 10 O! u 1 - 1 0 0 0 ) J u - u Predoče li se desetinski brojevi u obliku čestnika, to se i za njih mogu upotrebiti zakoni razvijem za računanje s običnimi čest¬ nici. N. pr. 0-534 x 2-67 = X Hi = HMU = 1 ' 42578. §. 50. Pretvaranje obična cestnika u desetinski cestnik. Da se običan cestnik pretvori u desetinski čest- nik, treba samo brojnik razdieliti nazivnikom. N. pr. 76 ■£ = 7 0 : 8 = 0 - 875, 60 40 0 w 113 : 25 130 50 0 . 4-52. Završi li se dioba bez ostatka, to se dobiveni desetinski cest¬ nik zove končanim ili zavrženim. Taj slučaj nastane samo onda, ako je nazivnik obicnoga cestnika 2 ili 5, ili pak umnožak, u kojem ne ima činbenika različita od 2 i 5. U svakom drugom slu¬ čaju ne svrši se dioba bez ostatka, te se onda desetinski cestnik zove bezkončanim. IS. pr. 3« r = 8 0 : 11 = 0 - 72 72... = 97 : 15 = 6-466.. 30 ' 70 80 100 30 100 8 10. Ako se dioba ne svršuje bez ostatka, to se nastavljajuci ra¬ čunanje mora jedan od pretekavših več ostataka svakako opet po¬ javiti te če se s toga i u količniku znamenke, što su več jedan put nastale, istim redom povratiti. Desetinski cestnik, u kojem se jedna znamenka ili niz znamenaka svagda povrača, zove se povratnim (periodskim), a niz znamenaka, što se ponavljaju, zove se p o vra¬ čaj e m (periodomj. Svaki bezkončan desetinski cestnik, koji postane od obična čestnika, jest po vrata n. Obično se povračaj napiše samo jedan put, no prva i po- sljednja njegova znamenka označe se točkom iznad njih. S toga je: 0-72: U = 6-46. 8 IT Kako več povračaj počinje na prvorn desetinskom mjestu ili istom na kasnijem mjestu, zove se povratni desetinski čestnik čisto - povratnim ili m j e š o v i t o - p o v r a t n i m. Čisto-povratan desetinski čestnik postane od obična čestnika, ako mu nazivnik ne ima činbenika 2 niti 5; mješovito-povratan pak postane od obična čestnika, kojemu nazivnik ima 2 ili 3 pa i druge prvotne činbenike. Zadatci. Pretvori sliedeee obič-ne cestnike u desetinske čestnike: 118 7 1 1) 25 101 a S . 7Jj 47 A • 5 * 5 • 4 5 2 5’ » 1 1I;)5 1 G ‘ ližo' G 4 77 2 3. “3’ T h 7 TT’ 4 n lili- ? o, 3 1 TJ 7 r (5 0 9 r» FTTj Ti 1 1 Tli' TT’ T H- fiP liri' £Si It- iti- S. 51. Pretvaranje deseti nskova cestnika n običan cestnik. 1. Da se končan deseti nski cestnik pretvori u običan cestnik, napiše se on sa svojim nazivnikom. N. pr. 0'75 = T 7 xftj = i> 0'048 = riHrTr — m' 2. Neka treba čisto-povratan desetinski cestnik 0-3 7 pretvo¬ riti n običan cestnik. Povračaj ima dvie znamenke. S toga ako na- stavl jajuči se bez konca desetinski cestnik 0373737.. umnožimo sa 100 pak od toga odbijemo zadani čestnik, to če n razlici dese¬ tinke odpasti; imamo lOOkratni čestnik — 373737. .) lkratan čestnik = 0-3737 . .j °dbijeno 99kratni čestnik = 37. s toga je čestnik sam = f jj-; dalde je 0-3 7 = fji Istim postupkom dobijemo: 0-6 = 0-23 = 0-401 = Koji zakon vlada u dobivenih običnih čestnic.ih? 3. Treba li mješovito-povratni desetinski čestnik pretvoriti u običan čestnik, umnoži se on, kako su več pred po- vračajem 1, 2, 3, . . . desetinska mjesta, sa 10, 100, 1000, . . . . čim se dobije čisto-povratan desetinski čestnik; taj treba onda samo pretvoriti n običan čestnik, koji se još dotično sa 10. 100, 1000,. . . razdieli. N. pr. Zadatci. Pretvori sliedeče desetinske cestnike u obične cestnike. 1. 0-4, 0-63, 6-48, 0 15. 0 025, 0-064, 3-1225. 78 2 0-6, 03, 072, 3 42, 0 06, 8 98, 0504. 3 . 0-428, 2 936, 0-423, 0-8439, 7-5230. 4. 0 58, 0-83, 2-48, 0-083, 0-426, 9 826. 5 . 0-196, 0-306. 0-5727. 5-5226, 0-15296. IV. Računanje sa višeimenimi brojevi. Razstavljanje. §• 52 . Jedinice višeg imenovanja pretvoriti u jediniee nižeg imeno¬ vanja iste vrsti, reči ce: razstaviti ih ili raztvoriti (resolvirati). Broj, koji pokazuje, koliko jedinica nižeg imenovanja ima u jedinici višeg imenovanja, zove se razstavnim ili pretvornim brojem, razstavnikom ili pretvornikom medju ta dva imenovanja. Razstavljanje imenovana brpja na niže imenovanje biva mno¬ ženjem sa dotičnim razstavnikom (pretvornikom). N. pr. Koliko časova ima 21 sat? 1 sat ima 60 časova; dakle je iskani broj časova 60 p uta to¬ liki kao zadani broj sati; s toga je 21 X 60 1260 časova. Pri imenovanih brojevih, kojih imenovanja pripadaju desetin- skomu sustavu, t. j. kojim su razstavnici (pretvorniei) 10, 100, 1000. može se posljedak razstavljanja namah naznačiti; n. pr. 8 m 7 cim =■ 87 dm; 12 hi 81 — 1208 Z. Zadatci. 1. Koliko je malutčiča 5 stupnjeva 14 malutaka 53 malutčiča? 5° je 5 X 60 = 300' i 14' k tomu je 314'; 5° 14' 53" 314' je 314 X GO = 18840" i 53" k tomu je 18893". 18893". 79 2. Koliko je dana a) 7 mjes. 24 dana? b) 3 godine 8 mjes. 15 dana? 3. Koliko časaka iznosi a) 51 čas 13 časaka? b) 18 sati 35 časova 40 časaka? 4. Koliko časaka ima prosta godina? 5. Koliko je novčiča a ) 39 for. 28 novč. ? b) 250 for. 90 lmvč. ? c) 310 for. 45 novč.? d) 4 for. 13 novč. ? e) 45 for. 9 novč.? /) 206 for. 5 novč.? 6. Koliko je novčiča a) 0'37 for. ? b) 0-085 for. ? c) 13-59 for. ? 7. Koliko je cm d) 8 m? b ) bdm Sem ? c) 6 35 m ? 8. Koliko je cm' 2 d) 8 dm 2 '? b) 7 m* lbdm' 2C ? c) 0-7586»w 2 ? 9. Koliko je l a) ‘67lil'? b) 2hi bbl'? c) 0-385 lil? 10. Koliko je g a ) 35 leg ? b) 4 kg 8 dkg? c) 138A#? 11. Koliko je araka papira a ) 5 knjiga 15 araka? b) 4 rizma 7 knjiga 12 araka? 12. Koliko stupanja, malutaka i malutčiča iznosi 43-275 stupnja? 43-2 75° = 4H° 16' 30”. 1 0-50' 3 0-0” 13. Koliko je mjeseci i dana 13 / 60 godine? is /eu X 12 = ,a / 5 = 2 s / 5 mjes. 18 / 60 godine = 2 mjes. 18 dana s / 5 X 30 = 18 dana. 14. Koliko je mjeseci % 2 /.„ 3 / 4 , 5 / 6 , 7 / 15 , 8 / 25 godine? 15. Sunčana godina ima 365-24222 dana ; za koliko je sati, ča¬ sova i časaka veča nego gradjanska godina od 365 dana? 16. Koliko je novčiča s / 4 , % 8 / 10 , ll / 26 , 37 / 50 for.? 17. Koliko je forinti i novčiča a) 3-92 for. ? b) 155-07 for. ? c) 207-535 for. ? d) 8715 for. ? 18. Koliko je m, dm, cm i mm a) 5-397 m? b ) 318091 ml c) 0-9075m? d) m? 19. Koliko je ha, a i m' 2 a) 129-235Ata? b) 6-2325 ha? c) 49-7801 Ao? d) ll l lo ha ? 20. Koliko je leg , <7%. i g a) 7-345%? 6) 0-075%? c) 25-803%? d) 7^ r> %? 80 S t e z a n j e. §. 63 . Jediniee k oj ega nižeg imenovanja pretvoriti u jediniee višeg imenovanja iste vrsti, reci če: stegnu ti ih ('reducirati). Stezanje imenovana broja u više imenovanje biva. raz d je¬ li vsi onaj broj dotičnim pretvornim brejem. Koliko je dana 816 sati? — 1 dan ima 24 sata; dakle je iskani broj dana 24ta cest zadanoga broja sati; s toga je 816 : 24 = 34 dana. Pri imenovanih brojevih, koji su postali po desetinskom su- stavu, može se posljedak stezanja namah naznaniti. Zadatci. 1. Koliko je dana, sati i časova 31024 časa? 31024 (časa) : 60 4 časa 517 (sati’ : 24 ' 37 21 dan 13 sati dakle je: 31024 časa = 21 dan 13sati 4 časa. Stegni u ciela višeg imenovnnja: 2. o) 148134 časka. b) 28481 malutčiča. 3. a) 356 novč. b) 3809 novč. c) 79085 novč. 4. a ) 2735 cm. b) 19628 mm. c) 544063 mm. 5. a) 5563 dm 2 . b) 31446«. c) 850582 m 2 . 6. a) 7048(7. b) 94722%. c) 92258 m,g. 7. Vrieme od jednog uštapa do drugoga iznosi 2551442 časka; koliko je to dana, sati, časova i časaka? 8. Knjiga od 14 tiskanih araka izišla je u jednom izdanju od 4500 primjeraka; koliko je trebalo za nju rižarna papira? 9. Stegni 83° 56' 24" u stupnjeve. 24 : 60 = 0-4' dakle 83» 56' 24" = 83-94» 56-4 : 60 = 0-94"; Stezanje bi se moglo izvesti takodjer u običnih čestnicih: 24 : 60 = 24 / 60 = 2 / 5 ' dakle 83" 56' 24" = 83«/ M ". 56*/ 8 : 60 = 282 / s , /50 » «1 Pretvori a) u desetinski cestnik, b ) u običan cestnik višeg imenovanja: 10 . a) 16 nove., b) 8Y 2 nove., c) 1365 nove. 11 . a) 4 dm, b ) 37 1 / i dm , c) 564 cm. 12 . a) 13-5 a, b) 6027 2 Stegni u desetinski cestnik 13 . a) 12 for. 24 novč. 14 . a) 5 m 3 dm 8 m 1 mm. 15 . a) 3 m 3 618 dm 3 708 cm 3 . 16 . a) 29 kg 4 dbg bg. 17 . a) 53° 15' 6". I, c) 28-4 dkg. višeg imenovanja: b) 75 for. 8 j / 2 novč. &) lm 2 83 dm 2 5 cm 2 23 mm 2 . 6) 35 M 87 Z 7 c«. b) 3 g 4:dg 9 mg. b) 12 dana 18 sati 45 časova. Sbrajanje višeimenili brojeva. §. 54. Pri sb rajanju višeimenih brojeva počne se sa bro- jevi najnižeg imenovanja, a sbroj svakog imenovanja, ako u njem ima cieli obližnjega višeg imenovanja, stegne se u to više imeno¬ vanje. Mogu se takodjer svi pribrojnici svesti na isto najviše ili najniže imenovanje pak zatim sbrajanje obaviti. Zadatci. 1. 308 for. 45 novč. ili 3. a) 123 hi 83 1 B6 „ 72 „ 174 „ 60„ Dr. Močnik, Računica I. za 308-45 for. 92-88 „ 157-64 „ 250-75 „ 809-72 for. brojeve: 6) 247 ha 38a lom 2 . 109 „ 74 „ 8 „ 328 „ 9 „ 7b „ b) b8kg Ib dkg 8 g 32,. 19 „ 6 „ 19 „ 6 „ 5 „ že r. gimn. 6 . 82 4 . a) 57 dana 19 sat. 47 časova. b) 95° 47' 51". 51° 18' 40". 32° 53' 39". 16 „ 22 „ 14 „ 38 „ 8 „ 55 „ 5. Njeki trgovac ima sliedeče tražbine: 351 for. 84novč., 247 for. 73 nove., 480 for. 76novč., 37 for. 8 nove., 147 for. 68 novč.; kolika mn je svakolika tražbina? 6 . Od dviju vrtova jedan ima 148 m 2 24 dm 2 , a drugi je za 137 m 2 18 dm 2 veči; kolika su obadva skupa ? 7. Europa je medju 11° 50' 20" zapadne i 60° 30' iztočne du- žine od Pariza; koliko stupnjeva dužine obseže taj dio svieta? 8. Zemljopisna je širina Trsta 45° 38' 8", Beč je za 2° 34' 27" sjeverniji od Trsta, a.Prag je 1° 51' 54" sjeverniji od Beča; kolika je zemljopisna širina Beča i Praga? 9 . TJ Parizu je podne za 48 časova 19 časaka kasnije nego u Pragu; koliko pokazuje sat u Pragu, kada je u Parizu 3 sata 55 časova 40 časaka? 10 . Njetko se rodio 5. Siečnja 1809, a umro je u dobi svojoj od 60 godina, 6 mjeseci i 12 dana; kojega se dana to sbilo? Vrieme rodjenja: 1808 godina —• mjes. 4 dana posl. Is. Trajanje života: 60 „ 6 „ 12 „ „ „ Vrieme smrti: 1868 godina 6 mjes. 16 dana posl. Is. Dakle je umro 17. Srpnja 1869. 11 . Car i kralj Franjo Josip I. rodio se 18. kolovoza 1830. i preuzeo je vladu u dobi od 18 godina 3mjeseca 14dana; kada je to bilo. 12 . Car Josip II. rodio se 13. Ožujka 1741, a umro je u dobi od 48 godina 11 mjeseci i 7 dana; kada je umro? 13 . Schiller se je rodio 10. Studenoga 1759. i živio je 45 godina 5 mjeseci 29 dana; kada je umro? 14 . Vrieme od jednog uštapa do drugoga, mjesečev (synodski) mjesec, iznosi 29 dana 12 sati 44 časa 3 časka; ako je uštap dne 18. Svibnja u 5 sati 27 časova 28 časaka pod večer, kada če nastati uštap najbliži? Odbijanje višeimenik brojeva počinje takodjer pri najnižem imenovanju. Ako je u kojem imenovanju broj odbitka veči Odbijanje višeimenili brojeva. §. 55. 83 nego odbitbenika, to se taj, da uzmognemo odbiti, poveča za toliko jedinica, koliko ih ima obližnja viša jedinica, no zatim se, da raz¬ lika ostane neizmienjena, takodjer odbitak u obližnjem višem ime¬ novanju poveča za 1. Pri imenovanjih desetinske razdiobe najjedno- stavnije je, odbitbenik i odbitak predoeiti kao desetinske čestnike najvišeg imenovanja. Zadatci. 1. Od 135° 48' 37" neka se odbije 62° 25' 52"; koliko preostane? 73° 22' 45". Odbij: 2. a) 81 m 61 cm h mm 27 „ 67 „ 8 „ 3. a) 57?.a 28 a 97„ 25 m 2 4. a) 789 g 502 mg 291„ 375 „ 5. a) 15 godina 5 mjes. 6 8 „ b ) 650 m 2 47 dm* 55 cm 2 278 „ 8 „ 64 „ b ) 53 hi 9 1 14 „ 72 „ b) 662 for. 37 nove. ' 284 „ 8 „ b ) 23 dana 12 sati 35 časova 9 „ 20 „ 48 „ 6. Od oranice, koja ima 2 ha 54*7 a, posije se površina od 1 ha 81'5a pšenicom, a ostatak ražju; kolika je razna površina? 7. Željeznička pruga od Beča do Trsta iznosi 577lem 340m; ako pak pruga od Beea do Murzzuschlaga iznosi 118/cm 289 m, a od Murzzuschlaga do Ljubljane 314 hm 118 m, kolika je pruga od Ljubljane do Trsta? 8. Sbroj triju kutova u trokutu čini 180°; kolik je treci kut, ako obadva druga kuta čine 57° 25' 46" i 71° 53' 50"? 9. Innsbruck ima 9° 3' 41", Beč 14° 2' 36", Lavov 21° 42' 40" iztočne dužine od Pariza; za koliko je stupnjeva dužine Lavov iztočniji nego svaki od druga dva grada? 10. Njeka ura ide za 13 časova 8 časaka prerano; ako pak ona pokazuje 7 sati 3 časa, koje je onda pravo vrieme? 11. Kada ura u Gradcu pokazuje 4 sata 52 časa 18 časaka, po¬ kazat če ura u Parizu 3 sata 59 časova 50 časaka; koliko je * 84 sati u Parizu, kada ura u Gradcu pokazuje 8 sati 23 časa 48 časaka? 12. Njetko. se rodio 3. Lipnja 1802, a umro je 25. Eujna 1877 ; koju je dob doživio ? Vrieme smrti: 1876 god. 8 mjes. ‘24 dana posl. Is. „ rodj enja: 1802 5 „ 2 „ „ „ Dob : 75 god. 3 mjes. 22 dana 13. Carica Marija Terezija rodila se 13. Svibnja 1717, a umrla je 29. Studenoga 1780; koju je dob dosegla? 14. Cesar Franjo I. umro je 2. Ožujka 1835. u dobi od 67 godina 18 dana; kada se je rodio? 15. Njeka glavnica bila je plativa dne 1. Srpnja 1885.. no ona je plačena za 3 mjeseca 24 dana ranije; kada se je to sbilo? Množenje višeimenili Drojeva. §• 56. Daše više imen broj umnoži s a neimenovanim brojem, treba jedinice svakog imenovanja, počevši od najnižega, umnožiti, pak dobivene od nizih imenovanja umnožke stegnuti. Ako je pretvorni broj 10, 100, 100, to se račun načini najjednostavnijim, kada se zadan višeimeni broj pretvori u desetinski cestnik najvišeg imenovanja pak zatim množba obavi. Zadatci. 1. Umnoži 14 dana 12 sati sa 9. 14 d. 12 st. X 9 12 st. X 9 = 108 st. = 4 d. 12 st. 130 d. 12 st. 14 d. X 9 ■= 126 d.; 126 d + 4 d. = 130 d. 2. 37 for. 65 novč. X 31 37-65 for. X 31 1129-5 1167-15 for. = 1167 for. 15 novč. 3. a) 25 m 3 d m 38 mm X 25. b) 37 hm 287 m X 9. 4. a) 7ha 5-2 a X 146. b ) Ibhl 5 61 X 39. 5. a) 8 leg 47 dkg X 84. b) 317 for. 84 novč. X 542. 6. Ako 1 dukat vriedi 5 for. 79 novč., koliko iznosi 25 dukata? 7. Jedan hi ječma teži 64 kg 15 dkg ; koliko teži 43 hi? 85 8 . Koliko je duga uzica, što se oko vretena, kojemu je obseg 3 dm o cm S mm, dade omotati 158puta ? 9 . Mjesečni mjesec ima 29 dana 12 sati 44 časa 3 časka; koliko iznosi 12 mjesečnih mjeseci? 10 . Trgovac kupi 128 m 28 cm po 8 for. 54 nove. m, i 106 m 52 cm po 6 for. 12 nove. m ; svu robu proda po 7 for. 92 nove. m ; koliko je pri to m dobio ili izgubio? 11 . Dva tjelesa krenu u isti mah s istoga mjesta,, a) istim, 6) suprotnim smjerom. Ako prvo svakoga časa prevali 38 m 2-5 dm, drugo 32 m l-8dm, kolika ee u svakom od ona dva slučaja biti medju njima daljina poslije 56 časova'? 12 . Koliko je god stupnjeva dužine jedno mjesto dalje prema iz¬ toku od drugoga, toliko je puta ondje podne za 4 časa ranije, t. j. svakoj razliei dužine od 1° pripada razlika vremena od 4 časa. Iz naznačaja u §. 55., zadatku 9 odredi, koje je vneme u Parizu, Innsbrucku; Lavovu, kada je u Beču 11 sati 52 časa 15 časaka prije podne. 13 . Ako se sunčana godina. koja ima 365 dana 5 sati 48 časova 48 časaka, računa po 365 dana, pak se poradi izostavljenoga svaka četvrta kao prestupna godina uzme sa 366 dana, kolika bude pogrješka, što se takovim računanjem učini za 400 godina? Dieljenje višeimenih brojeva. §. 57. a) Treba li višeimen broj razdieliti neimenovanim brojem (zadatak dieljenja), to se diele jedinice svakog imeno- vanja počevši od najvišega, a svaki tim dobiveni ostatak razstavi se u niže imenovanje, kojemu se pribroje jedinice istog imenovanja, što su u diobeniku. Višeimeni broj može se takodjer najprije pretvoriti u naj¬ niže ili najviše imenovanje pak zatim dieliti. N. pr. Koliko je 26ti dio luka od 116° 34'? 116° 34' : 26_ ili KL6 0 34' : 26_ 12° 4° 29' 6994 269' 179 = 4° 29' 754' 234 0 234 0 b ) Treba li višeimen broj razdieliti drugim imenovanim brojem ('zadatak mjerenja), to se obadva najprije svedu na isto imenovanje. Zadatci. 1. a) 530 for. 84 novč. : 23. b) 9225 for. 30 nove. : 382. 2. a) 120 Jem 509 m : 37. b) 289 leg. 674 g : 57. 3. a) 128 for. 76 nove. : 8 / 4 . b ) 257 m 2 25 y 8 dm 2 : 3y g . 4. 28 hi vina kupljeno je za 710 for. 64nove. ; po sto je 1 hi? 5. Parovoz prevali za 1 sat 307cm 720m; koliko za 1 čas? 6. 31 for. 50 nove. : 2 for. 25 novč. 7. 1108 leg 14 dkg : 5 leg 6 dl:g. 8. 107° 32' 45" : 2° 1' 45". 9. Za stube 5 m 6 cm visoke trebaju stupnji po 2 dm 3 cm visoki; koliko če stupanja imati stube? 10. Obodniea kruga ima 360°; kolik je dio obodnice luk od 2° 48' 45"? 11. Za 19 for. 75 novč. kupi se IM. vina,- koliko se M dobije a) za 256 for. 75 novč., b) za 730 for. 75 novč. ? 12. Vretenke parovoza imju 3 m 77 cm u obsegu; koliko okretaja moraju učiniti, da prevale željezničku pragu medju Bečom i Lincom, koja ima 1887»:»» 890m? 13. Za 98m 7cm plati se 666 for. 36 novč.; po što je lm? 14. Jedan M piva stoji 15 for. 5 novč.; koliko se l dobije za 53 for. 94 novč. ? 15. Krčmar kupi 4M vina po 30 for. 40novč., 2hl po 24 for. 28 novč. i ?>M po 22for.; koliko ga stoji 17 poprieeno? 16. 8 tuceta rubaca kupljeno je za 43 for. 84 novč.; po što treba prodati svaki rubac, ako se hoče na svakom tucetu dobiti 88 novč.? 17. Srebrna zdjela teži lleg, u svakom je leg 750 g čista srebra; ako se za zdjelu plati 516 for. 60 novč., po što je računan 1 leg čista srebra? 18. U Petrogradu je podne za 55 časova 45-6 časaka ranije nego u Beču, koji ima 14° 2' 36" iztočne dužine (od Pariza); koju iztočnu dužinu ima Petrograd? (§. 56, zadat. 12.) 87 V. Pokraeena množba i dioba. §. 58. Pokracivanje desetinskih brojeva. Ako desetinski broj ima mnogo desetinaka, to je cesto nje- koliko nizih desetinskih mjesta s obzirom na svojstven ost zadatka za upotrebu sasvim bez vriednosti. U takovih slučajevih pokrati se desetinski broj, t. j. zadrži se od njega samo toliko deseti¬ naka, koliko ih zahtieva potreba računa. Da je desetinski broj po¬ kraden, naznačuje se pridjenutimi točkami, n. pr 5-36 . . . Ostavi li se pri pokračivanju desetinskoga broja znamenka na najnižem zadržanom. mjestu n e iz mi enj en a, ako je sliedeča joj znamenka manja od 5, a naprotiv se iz pravi (corrigiraj, t. j. za 1 po visi, ako je sliedeča znamenka 5 ili veča od 5, to pogrj eška, t. j. razlika medju zadanim i pokradenim desetinskim brojem, n ij e veda od polujedinice na najnižem zadržanom mjestu. N. pr., ako se pokraduje do tri desetinska mjesta, meče se 7-156 ... mjesto 7-15635, i 4-803 . . . mjesto 4-80273. Zadatci. 1. Kolika je pogrješka, ako se mjesto 0-236782 postavi a ) 0-2367, b) 0-2368? Koja je pogrješka manja? 2 . Pokrati sliedede desetinske brojeve: a) 0-6034, 3-49712, 2-88747, 12-317162; b) 5-0468, 2-17392, 9-25866, 0-0735. do 3 desetinska mjesta i svaki put naznaei takodjer pogrješku. 3 . Tako isto sliedede desetinske brojeve.: a) 6-3854, 39 7328, 53406, 0-6, 0-63; b) 1-1977, 5-08276, 381549, 0-999995. 4 . Odredi sliedede cestnike do 5 desetinskih mjesta što više točno: ih Mi, -Mr, m 5 . Pokrati broj 3-157847c?w tako, da pogrješka bude a) manja od ’/ 2 m, b) manja od ’/, dm. 88 §. 59 . Pokraeena množba. Hoee li se umnožak dviju desetinskih brojeva razviti samo do stanovita desetioskoga mjesta a pri tom ukloniti se svakomu suviš- nomu računanju, to se upotrebi pokraeena množba. Neka n. pr. treba umnožak 328-47156 X 0-09 do tri dese- tinska mjesta, t. j. tako odrediti, da su tisueine najniže mjesto umnožka. 327-47156 X 009 29-562^" Sa s treba umnožiti d, da se dobiju t; dakle proračunanje umnožka počinje sa 4rf; ostala niža mjesta množbenika izostave se. Samo se najbliža desna znamenka 7 još umrioži, pošto desetice umnožka od nje i 9 dadu ved tisučine; jer 7s X 9s = 68 dt — 6< 3 dt. Desetice 6 toga umnožka pribroje se umnožku 4 d X 9® = 36 1 kao izpravak (correctura) pak se zatim množe sliededa viša mjesta množbenika. Izgovara se: 63, 6 kao izpravak; 36, 42, 4; 72, 76, 7; 18, 25, 2; 27, 29. Tako isto umnoži do 3 destk. uklanjajoči se svakomu nepo- trebnu računanju 51-67834 a) sa 800, h) sa 5, c) sa 0-006. Napiši pod množbenik 35-7915 znamenke množila 24-678 obratnim redom tako, da znamenka jediniea u množilu dodje pod a) desetine, 6) stotine, c) tisueine množbenika, pak zatim odredi mje- stnu vriednost umnožka od svake dvie znamenke, što su jedna nad drugom. a) 35-7915 6) 35-7915 c) 35-7915 876 42 87 642 8 7642 Napiše lise množilo obratnim redom pod množbe¬ nik, to umnožak od svake dvie znamenke, što su jedna nad drugom, ima svagda istumjestnu vriednost s ono m znamenkom množbenika, pod kojom sujedinice množila. Neka se sada umnožak 8-5432 X 7-916 odredi do tisučina. a ) 8-543,2 X 7-916 b) 8-5432 c) 8-5432 59 802J4 6 197 6 197 89 Bud uči da se tuj ištu 1 samo tri prve desetinke umnožka, to je u nazočnoj podpunoj množbi a) račun na desnoj strani poteza suvišan; on se može uštediti tim, da sa svakom znamenkom mno¬ žila umnožimo najprije onu znamenku množbenika, od koje nastanil u umnožku tisučine, a po tom njegove daljne više znamenke. Tisu¬ čine pak u umnožku dobiju se, ako sa 7 J množila umnožimo 3 1 množbenika, jedna pod drugom, znači tisueine. Zaradi toga treba samo jedinice 7 množila postaviti pod tisueine 3 množbenika, a ostale znamenke množila napisati obratnim redom, kao što u nazočnom računu b). Umnoži li se onda sa svakom znamenkom množila stoječe nad njom mjesto pak viša mjesta množbenika, to najniža mjesta svili pocest¬ nih umnožaka znače tisueine; s toga se pocestni umnožci napisuju tako, da njihova najniža mjesta budu upravo jedno pod drugim. Poradi veče točnosti umnoži se sa svakom znamenkom množila ta- kodjer znamenka množbenika, što je za jedno mjesto dalje na desno, no od toga umnožka zadrže se samo najbliže desetice, koje znače tisueine, pak se-te kao izpravak (correctura) pribroje prvomu umnožku, što če se napisati. U predjafnjem primjeru b) računa se i govori: 14, 1 kao izpravak; 21, 22, 2; 28, 30, 3; 35, 38, 3; 56, 59; 27, 3 kao izpravak; 36, 39, 3; 45, 48, 4; 72, 76; 4, O kao izpravak ; 5; 8: 30, 3 kao izpravak; 48, 51. Tako dobiveni počestni umnožci sbroje se. U računu b) pojedini počestni umnožci točni su istina do jedne polujedinice najnižega mjesta, no njihovom sbrojbom može se pogrješka povečati te s toga najniže mjesto glavnog umnožka nije pouzdano. Točnost pak toga mjesta može se postiči tim, da se u svakom počestnom umnožku ne izpravi samo iskano najniže mjesto. nego, kao u predjašnjem računu c), još sliedeča mu niža znamenka: što se više može točno razvije, pak iz sbroja tih znamenaka na- stavši izpravak istom u končanom umnožku upotrebi. 90 Razloženi tu postupak pokradene množbe za desetinske brojeve može se upotrebiti takodjer pri množbi cielih b roj e v a, ako se bode u umnožku dobiti samo njekoliko najviših mjesta. Zaclatci. Odredi pokracenom množbom: 1. a) 7-0572 X 3-885 2. a) 17-4315 X 3-1416 3. a ) 2-057 X 4-867 4. a) 5-902 X 2-468 5. a) 36-41 X 0-0207 6 . o) 35-239 X 78 7. a ) 58-36 X 5-39 b) 128-7654 X 0-813 b) 157-34 X 0-0763 b) 0-56105 X 0-7 b) 9-1347 X 8-35 6) 0-895 X 1-07 b) 41-506 X 9-43 6) 2-791 X 0-982 8 . a) 9-0256 X 4 '325 b) 69-2345 X 0-1573 9. 4-05672 X 9-16035 X 0-08773 10. 1-045 X 1-045 x 1-045 x 1-045 X 1-045 sa 6 dtk. 11. Išti ciela umnožka 128-975 X 602-736 X 71-068. 12. Odredi umnožak 310786 X 45067 do miliona. s 3 dtk. s 2 dtk. s 1 dtk. s 4 dtk. 13. Po što je 37-3456 ha, ako 1 ha stoji 941-34 for. ? (s 3 dtk.) 14. Njeka glavnica daje 43-578 for. godišnje dobiti; koliko za 2-862 godine? (3 dtk.) 15. Daljina mjeseca od zemlje iznosi 58-525 polumjera zemaljskoga polutnika; koliko to čini, ako se polumjer zemaljskoga polut¬ nika uzme po 859-44 zemljopisnih milja? (1 dtk.) §. 60. Pokradena dioba. Hočemo li u količniku da dobijemo samo stanovitu množinu desetinaka, to se upotrebljava pokradena dioba. Ta je obrat po¬ kradene množbe, gdje no se množbenik malo po malo za jedno mjesto pokraduje. Bitnost je pokradene diobe u sliededem: Po mjestnoj vriednosti prve znamenke količnikove i po mno¬ žini zahtievanih u njem desetinaka razabira se, koliko svega zna- menaka treba u količniku odrediti. Zatim se toliko najviših zna- menaka djelila, koliko ih iskani količnik mora imati, uzme za pokradeno djelilo, pak se od diobenikovih znamenaka zadrži 91 samo prvi pocestni diobenik, koji pripada pokracenu djelilu. Po tom se s prvom znamenkom količnika umnoži najprije najviša u djelilu izostavljena znamenka, pak se dobiveni od toga umnožka izpravak pribroji umnožku od pokradena djelila i prve znamenke količnika, koji se umnožak odbije od diobenika. Pretekavšemu ostatku ne pripisuje se nikakova nova znamenka, ved seudje- lilu s desna izostavi jedna znamenka, pak se to postu- panje nastavi dok u djelilu ne bude više nikakove znamenke. Ima li u djelilu manje znamenaka, nego što ih količnik mora imati, to pokradena dioba istom kasnije tečajem računa nastane. Postupak pokradene diobe može se upotrebiti takodjer pri diobi cie- lih brojeva, ako se hode u količniku dobiti samo njekoliko najviših mjesta. Zadatci: 1. Sliedede diobe izvedi pokradeno tako, da se pri prvoj počestnoj diobi upotrebi čitavo zadano djelilo. a) 19-339 : 8-153 3 033 T37F 587 16 2 . Tako isto a ) 52-92478 : 6-239. 6) 37-086 : 3-267. c) 9-3678 : 1-0634. d) 15-894 : 0-8635. b) 5-79 : 0-873. 3 . Odredi sliedede količnike do tisudina. 876-54|38 : 18.957|9 118 22 46-236 Bududi da prva količnikova znamenka 4 48 69 12 1 4 znači desetice, to treba u količniku od¬ rediti svega 5 mjesta; s toga se uzme 18-957 kao pokradeno djelilo a 876-54 kao diobenik. 4 . 5 . Odredi pokradeno sliedede količnike: a) 43-534 : 31-607 b ) 0-8463 : 0-001581 a ) 100 : 3-1416 6. a) 0-9275 : 0-3702 7 . a) 0-78432 : 0-8932 8. a) 5-49825 : 1-3219 9 b) 0-00257 : 2-97416 b) 3-49358 : 23-86 b) 284-069 : 27-523 b) 791-5046 : 876-189 Odredi 2345-21 : 9-18 sa 6 mjesta. Tu nastane pokradeni postupak istom tečajem računa sa 4 mjesta. sa 3 dtk. (5 mjesta). 92 10 . a ) 3-7984 : 48-7, b) 430 : 0-717 (4 mjesta). 11 . Odredi količnik 35874137 : 8435 do stotiea. 12 . U Beču na površini od 59-01 Jem 2 živi 726105 Stanovnika: ko¬ liko ih ide na 17cm 2 ? (Cieli broj.) 13 . Njetko je dužan da iznos od 2000 for. plati poslije lSgodina,- ako pak svaka forinta, koju bi on sada platio, izdavanjem na dobit poslije onoga vremena dosegne vriednost od 2-078928 for.. koliko mora on odmah platiti, da onaj dug bude podmiren? VI. Omjeri i razmjeri. 1. Omjeri. §. 61 . Diobom dviju brojeva n smislu mjerenja (§. 22) izpituje se, koliko se puta drugi broj sadržava u prvom. U tom slučaju količ¬ nik obiju brojeva zove se omjerom prvoga broja prema drugomu. Ako n. pr. 15 treba u smislu mjerenja dieliti sa 5, t. j. odrediti, koliko se puta 5 sadržava u 15, tada nam količnik 15 : 5 izražava omjer medju 15 i 5 te se kao takav čita: 15 stoji prema 5, ili krače: 15 prema 5. Diobenik 15 zove se prednjakom, djelilo 5 z a d n jakom, a izračunani količnik 3 i zložni kom (exponent) omjera. članovi omjera ili su obadva neimenovani ili obadva imeno¬ vani; u drugom slučaju moraju oni biti istovrstni, dakle da se rnogu učiniti istoimenima. Omjer, kojega su članovi neimenovani brojevi. zove se brojnim omjerom ili omjerom brojeva; omjer. kojega su članovi imenovani brojevi, zove se ol inski m omje¬ rom ili omjerom olina. Iz nazočnih razjašnjaja sliedi: 1. Izložnik omjera jednak je prednjaku razdieljenu zadnjakom. 2. Prednjak omjera jednak je zadnjaku umnoženu sa iz- ložnikom. 93 3. Zadnja k omjera jednak je prednjaku razdieljenu iz- ložnikom. §• 62. Omjeri, koji imaju isti izložnik, zovu se jed na ki. Svaki omjer olina dade se preaočiti kao omjer brojeva. Tako je omjer lOfor. : 5for. istoznačan sa omjerom 10 : 5, jer obadva imaju isti izložnik. Omjer ostane neizmienjen, dok mu se god ne izmieni izložnik. S toga se omjer ne izmieni, ako obadva člana s istim brojem umnožimo ili istim brojem razdielimo, jer u obadvu slučaja izložnik ostane neizmienjen. Izmjena omjerova oblika množenjem njegovih članova služi nam za to, da omjer, kojega članovi imaju čestnika, predo- čimo cielima brojevima. N. pr. 5 : % 15 : 2 X 3 10 : 9 X 15 2Vs ii 8 /, 14 : 11 X 6 Izmjenjujuči omjerov oblik diobom možemo svaki omjer, ko¬ jega su članovi istim brojem djelivi, pokratiti. N. pr. 20 : 8 12 : 6 100 : 48 5 : 2 : 4 2 : 1 : 6 25 : 12 : 4 Zadatci. 1. Isti izložnike sliedecim omjerom: 18 : 12, 12 : 18, 35 : 28, 28 : 35. 240 : 360, 1024 : 36. 2 . Odredi prednjak oinjeru,.kojega je zadnjak a) 3, V) 8, c) 5 1 / 2 , a njegov izložnik 3. 3 . Isti zadnjak omjeru, kojega je prednjak a) 10, h) 22, c) 8 3 / 4 a njegov izložnik 5. 4 . Sliedeče omjere predoči cielima brojevima: V 2 : 3 U, Vh ■ 3%, 7V 8 : 2 3 / 10 , 19 3 / 16 : 177„. 5 . Kako stoje medjusobno dva čestnika jednakih nazivnika ? 6 . Pokrati sliedeče omjere: 16 : 36, 57 : 18, 50 : 65, 72 : 56, 375 : 90. 94 7. Sliedeči omjeri neka se svedu na oblik najjednostavniji, t. j. predoče cielima brojevima a po tom, ako može biti, pokrate: 8. Kako stoji 5 m prema 2 dni 7 9. Kako stoji brzina kazala za časove na uri prema brzini kazala za satove? 10. Zrno iz topa prevali za jedan časak 228 m, a zvuk 332m; kako te dvie brzine stoje medjusobno ? 11. Od dviju parovoza prevali jedan svakoga časa 500 m, a drugi 550m; kako stoje medju sobom njihove brzine? 12. Od dviju parovoza prevali jedan 1 Jem za 2 časa, a drugi za 2 3 / 2 časa; kako stoji brzina prvoga parovoza prema brzini drugoga ? 13. A ide za 3 sata tako daleko kao Z? za 4 sata; kako stoje nji¬ hove brzine? 14. Njeka. cesta uzlazi na 1 m dužine za 3 cm: kolik je omjer uzlaza ? 15. 100 zemljop. milja = 742 Zm; u kojem su omjeru 1 zemljop. milja i 1 Jem? 16. Jedan dm 3 zlata teži 19 8 / 25 Z^f, jedan dm 3 srebra 10y 2 leg ; kakav je omjer medju tima težinama? 17. \hg zlata računa se po 1395 for., 1 kg srebra po 90for.; u kakovu je omjeru vriednost zlata prema vriednosti srebra? 18. Krug, kojemu je promjer lm, ima obodnicu 3 1 j 7 m; kakav je omjer medju promjex - om i obodnicom? 19. Njeki otae ima 36, a sin mu 9 godina. U kakovu je omjeru otčeva dob prema sinovoj dobi; kakav im je omjer bio prije 6 godina ? 20. Jedan M pšenice stoji 6 for. 60 novč., a jedan M ječma 4 for. 80 novč.; kako stoje medju sobom ciena pšenice i eiena ječma ? 21. Od dviju točkova, kojih zubci zahvačaju jedan u drugi, ima prvi 28, a drugi 36 zubaea; u kakovu su omjeru brzine osuka od prvog i drugoga točka? 22. Iznos od 350 for. razdieljen je medju dvojieu tako, da je A dobio 210for., a B ostatak; po kojem je omjeru dieljeno? 95 23. Njeki vodnjak može se napuniti iz dvie cievi, i to iz prve cievi za 2 sata 24 časa, a iz druge za 3 sata 18 časova; u kojem su omjeru množine vode, što za istoga vremena na jednu i drugu ciev procure? 24. Tielo padajuči prosto prevali za jedan časak 4-9 m, za dva časka 19-6 m, za tri časka 444m; kako prva prevaljena pruga stoji prema drugoj, a kako prema treeoj ? 2. R a z m j e r i. §■ 63. Izjednačenje dviju jednakih omjera zove se razmjerom (proportio). N. pr. 10 : 5 — 12 : 6 jest razmjer, pak se čita: 10 stoji prema 5, kao što 12 stoji prema 6, ili krače: 10 prema 5 kao 12 prema 6; 10 je prvi, 5 drugi, 12 treči a 6 četvrti član razmjera. Prvi i četvrti član zovu se iz vanj im a ili v arijskima, a drugi i treči unutrašnjima članovima. Razmjer, u kojem su drugi i treči član jednaki, zove se po- stojanim razmjerom, i svaki unutrašnji član srednjom mjer- stvenom r azmjernicom ili mjerstvenim srednjakom medju obadva izvanja člana. N. pr. 24 : 12 = 12 : 6 jest postojan razmjer, 12 je mjerstveni srednjak medju 24 i 6. U razmjeru može biti takodjer imenovanih brojeva, samo obadva člana svakoga omjera moraju biti istoimena; na primjer 12m : 4 m — 30 for. : 10 for. Takav razmjer zove se razmjerom o lin a za razliku od razmjera b roj noga, kojega su članovi neimenovani brojevi. Kao što se svaki omjer olina može predočiti kao omjer bro¬ jeva, tako se i svaki razmjer olina može predočiti kao razmjer brojeva. Poradi lakšega priegleda osnovnih zakona, što če se ovdje za razmj ere izvesti, označivat demo prvi član sa a, drugi sa b , treči sa c, četvrti sa d a izložnik obiju jednakih omjera sa e tako, da nam a : b — c : d predočuje razmjer, u kojem je a : b = e i c : d — e. 96 §. 64. 1. Buduci da je n = b X e i d = to množenjem dobijemo a X d = b X'e X ili a X d = b X c, t. j. U svatom je br oj n o m r azm j er u u na no ž a k i z v anj ih članova jednak umnožku unutrašnjih članova. 10 : 5 = 12 : 6; 10 X 6 = 5 X 12. S toga u postojanom razmjeru 9: 6 = 6:4 mjerstveni srednjak umnožen sam sa sobom mora dati umnožak obiju drugih brojeva, dakle je 6 X 6 — 9 X 4. Računični srednjak dviju brojeva (§. 24, zadat. 4) pribrojen sam sebi mora dati sbroj tih brojeva. 2. Obratno: Od dvajednaka umnožka, boji imaju po dva činbenika, može se s v a g d a načiniti razmjer, uzevši činbenikejednog umnožka za izvanje, a drugog umnožka za unutrašnje članove. Ako je a X d = b X c, to nam, razdjelivši na obje strane sa d X b, sliedi a X d (Tx b b X c ... dakle d X b' a b a : b = c : d. Iz 12 X 4 == 6 X 8 sliedi razmjer 12 : 6 = 8 : 4. S toga se izpravnost raz m j era spoznaj e ne samo po jednakosti izložnika u obadva omjera, nego takodjer po jednakosti umnožaka od izvanjib i unutrašnjih članova. 3. Od a X d = b X c, razdjelivši na obje strane najprije sa d, zatim sa a, dobijemo a = b X c d ’ b X c t. j. Svaki izva nji član raz m j era jednak je umnožku unutrašnjih članova razdieljenu drugim izva n jim članom. N. pr. u razmjeru 10 : 15 = 2 : 3 imamo 10 15 X 2 3 ’ 15 X _2 10 ‘ 97 4. Iz b X o = a X d, razdjelivši na obje Strane najprije sa c, zatim sa b, sliedi ^ _ u d ^ _ d X d ' ^ . Svaki unutrašnji član raz.mjera j e d n a k je umnožku iz vanj ih članova razdieljenu drugim unu¬ trašnji m čl ano m. N. pr. u razmjeru 6 _ 6X5 15 2 = 15 : 5 imamo 6x5 15 §• 65. Eazmjeru se može raznim načinom oblik izmieniti, a da ne prestane biti izpravan, samo ako pri tih izmjenah izložnik obiju ornjera ostane neizmienjen, ili umnožak izvanjih članova ostane jednak umnožku unutrašnjih članova. Odatle sliedi: 1. Ako se u razmjeru istovrstnih ili neimenova¬ nih brojeva 1. izvanji članovi medju sobo m, ili 2. unu¬ trašnji članovi medju so bo m, ili 3. izvanji članovi s a unutrašnjima članovima p r o m i e n e, to svakom t a k o v o m promjenom dobijemo opet razmjer. Iz razmjera a : b = c : d sliede takodjer razmjeri: Promjena izvanjih članova sa unutrašnjima dopustljiva je u obče za svaki razmjer. 2. Ako se u kojem 'god razmjeru j e dan izvanji i jedan unutrašnji član s a istim br oj e m umno ži ili istim brojem razdieli, to se dobije opet razmjer. Množenjem jednoga izvanjega i jednog unutrašnjega člana može se svaki razmjer, u kojem ima cestnika, predočiti cielima b roj e v im a; s pornoču diobe pak može se razmjer, iinaju li jedan izvanji i jedan unutrašnji član zajedničku mjeru, njom pokratiti. 3. Umnože li se u dva brojna razmjera istomjestni članovi medju so bom, to umnožei čine opet razmjer. Dr. Močnik' } Računica I. za niže r. gimn. 7 Imamo li A : JB = G : D, dakle 4 X ^ = 5 X ^ i a : b — c : d, dakle a X d = b X hi pšenice; a) na koliko se ha dobije 36 3 / 20 hi pšenice, b) koliko se hi pšenice dobije na 13 4 /j 5 hal 28. Zemlja od 15806 hm 2 ima 688564 Stanovnika; koliko Stanov¬ nika uz jednaku gustoču ljudstva odpada na 3750/fm 2 ? 29. Ako zrak pri srednjem stanju tlakomjera (barometra) pritiskuje na plohu od l*/ 2 dm 2 sa lb0 1 /- o kg, kolik je pritisak (tlak) zraka na plohu od 65 3 / 4 dm 2 ? 30. Koliko se hi ječma dobije za 34 : / 2 W pšenice, ako su ciene jecma i pšenice u omjeru kao 2 prema 5? 108 31 - Dvie črte stoje medju sobo m kao 1 s / 8 : 4 3 / 4 ; ako pak prva m j eri 187 m, kolika je druga? 32 . Brzine dviju željezničkih vlabova A i B stoje jnedjusobno kao 5:6; koliko sati treba A za njeku prugu, koju B prevali za 13 sati? 33 . Ž ar (ogrjevna sila) omorikovine stoji prema žaru brezovine kao 39 : 40; koliko m 3 prve vriedi 100 m 3 potonje? 34 . Polumjeri naše zemlja i mjeseca stoje - medjusobno kao 11:3 ako pak srednji polumjer zemlje ima 858% zemljopisnih milja, kolik je polumjer mjeseca? 35 . 100 engl. stopa = 30 1 / 2 m: a) koliko je engl. stopa 315 m, b ) koliko je m 307 engl. stopa? 36 . 18 ruskih četvrta = 21 M; koliko je hi «.) 35, b) 218, c) 1088 ruskih fetvrta ? 37 . 142 Londonske funte iznose 53 kg; koliko je kg a ) 240. b) 325, c) 739 Londonskih funti ? 38 - kg čista srebra stoji 90 for.: koju vriednost ima kg srebra od 750 tisučina? 39 . Od jednoga kg zlata, koje je 9 / 10 čisto, kuje se 155 osamforin- tača; koliko osamforintača ide na jedan kg čista zlata? 40 . 90 njemačkih maraka čini 45 for. a. vr.; a ) koliko je for. a. vr. 920 maraka? b) koliko je mamka 890 for. a. vr. ? 41 . Bečki trgovac izda za Hamburg mjenicu*) od 3408 maraka; koliko če for. a. vr. za nju potegnuti, ako je tečaj za Hamburg 60 55 (100 maraka = 60-55 for. a. vr.) ? 42. Koliko for. a. vr. iznosi 358-for. holland. c-ourant, ako se ra¬ čuna 100 for. holl. courant — 103-25 for. a. vr. ? 43 . Trgovačka kuča u Marseillu ima od njeke Bečke tražbinu od 5682 franka 56 centim.; kolika je ta tražbina u a. vr., ako se računa 100 franaka = 49-35 for. a. vr.? 44 . Londonski trgovac duguje njekomu bečkomu 5334 for. a. vr.; kolik če mjenični iznos u sterling-funtih Bečanin za to uzeti, ako je tečaj za London 124-80 (10 funt. sterl. = 124-80 for. a. vr.) ? *) Mjenica je izprava, kojom se izdatnik obvezuje pod mjenbeno- pravno jamstvo, da če njeku svotu novaca stanovitoj osobi i u stanovito vrieme ili platiti satu ili dati od koga trečega izplatiti 109 45 . Njeki trgovae dobije u tri vreče 108 3 / 4 7t % ? 47 . Njeka roba u vriednosti od 13750 for. osigura se od Trsta do Alezandrije protiv morske štete po l 3 / 8 % ; kolika je osiguračnina? 48 . Koliko je for. srebrnoga novca 1250 for. u zlatu uz 24% prida? **) 49 . Prid na zlato čini 23% ; koliko for. u srebru treba platiti za 398for., 2045 for., 3215 for. u zlatu? 50 . Njetko poteze od svoje zlatne rente polugodišnje dobiti 240 for. u zlatu; koliko je to for. u srebru, ako zlato prema srebru ima prid 24% ? 51 . Uvozna carina za njoku robu iznosi 103 for. 25 nove., u zlatu; koliko treba za to platiti u srebru, ako se prid na zlato računa po 237, °!o ? Proračnnavanj e osnovne vriednosti. §. 73. 5% njekoga broja iznosi 634; koji je to broj ? 1% t- j- 7ioo toga broja iznosi 634 — ~ — ? o *) Družtva, koja za stanovitu pristojbu preuzimlju naknadu štete pri nezgodah i gubitcih, što nastanu od prirodnih slučajeva ili od vanrednih do- gadjaja, zovu se osiguračna družtva (Assecuranz-Gesells'haften); pri- stojba pak, koja im se za preuzeče one naknade plača napried, zove se osi¬ guračnina (Versicherungspramie). .**) Stanovite vrsti novaca, osobito zlatni novci, dobivaju ili poradi svoje veče unutrašnje ciene ili jer su više omiljeli nadoplatu preko svoje za¬ konite ili računske vriednosti. Tad se nadoplata zove prid (agio) i prera¬ čunava se u postotcih od bolje vrsti novca. 115 dakle je broj sam lOOputa toliki, s toga 634 Osnovna vriednost = postotni dio postotci X 100 = 12680. X 100. Zadatci. 1. Postotni dio njekoga broja po 8% jest 31-2; kolik je taj broj ? 2 . Odredi osnovnu vriednost, kojoj je postotni dio a) po 4% 78, b) po 5V 2 % 63-84, c) po 12% 169-2. 3. Kuea donosi godišnjih čistih 548 for.; kolika joj je vriednost, ako daje dobiti 5% ? 4 . Koliko je stanovničtvo njekoga mjesta, ako ga 22% čine 572? 5 . Stanovničtvo njekoga grada umnožilo se je za stanovita vremena za 8%, t. j. za 1716; koliko je bilo stanovničtvo početkom toga vremena ? 6. Uzimlje se, da se od biele evekle dobiva 5% sirova sladora; koliko bi leg biele evekle trebalo, da se od nje dobije 4720 leg sirova sladora? 7 . Njekim poslom nastane gubitak od 24% ; koliku je svotu u njem imao učestnik, koji je izgubio 528 for. ? 8. Prodajom njeke robe nastane 15% ni dobitak od 36 for.po što je bila roba a) pri kupnji, b) pri prodaji? 9 . Ako nastavši pri prodaji gubitak po 8% iznosi 188 for., ko¬ lika je kupovna svota? 10 . Kuča je prodana izpod kupovne ciene za 6% ; kolika je ta bila, ako gubitak iznosi 1470 for. ? 11 . Pri njekoj robi 3 % ni trošak iznosi 69 for. 12 novč.; kolika je kupovna ciena? 12 . Pri izplacivanju njeke robe iznosio je oduzetak po 37 4 % 175y 2 for.; koliko je for. kupac platio? .Proračuna vanj e postotka. §. 74. koliko je % 111-6 od 2480? 1% od 2480 jest Yn%°; s toga je 111-6 toliko % od 2480, koliko se puta VoV* sadržava u 111-6, dakle 116 111-6 X 100 2480 111-6 2480 ' 100 ' = 47 , #- S pomocu razmjera imali bismo 2480 osnov, vriednost 111-6 postot. dio x : 111-6 = 100 : 2480 100 111-6 X 100 2480' Postotak = post-otni dio X 100 osnovna vriednost Zadatci. 1. Koliko 0 I 0 od 100 čine sliedeči brojevi: 25, 50, 20, 10, 5, 15, 60, 45, 70, 12 1 /*, 16 2 / s , 337,? 2 . Za podmirenje zemaljskih potreba razreže se na svaku poreznu forintu 24novč. prireza; koliko °[ 0 čini taj prirez? 3 . Koliko je % a) 40 nove. od 5for.‘? b) 47 s for. od 105 for. ? 75for. od 1250 for. ? 39 for. 27 novč. od 748 for. ? 4 . U njekoj gimnaziji, koja broji 348 učenika, dobro su napre¬ dovali 261 učenik; koliko je to %? 5 . Od 525 ljudi, koji imaju 12 godina, dožive odsjekom 24tu godinu 471; koliko ih po tom % umre od 12te do 24te godine? 6. Od 169 kg vapnenjaka dobije se 83 %Tcg žežena vapna; koliko % izgubi vapnenjak žeženjem? 7 . Njetko pri stečaju dobije za svoju tražbinu od 1152 for. samo 768 for.; koliko % iznosi gubitak? 8. Ako Ahl pšenice imaju u sebi hraniva kao bM raži, za koliko je % sadržaj hraniva u pšenici veči nego u raži? 9 . Dohodak njeke željezniee iznosio je mjeseca Svibnja 80368 for., mjeseca Lipnja 107435 for.; za koliko °/ 0 u Lipnju više? 10 . Boč je imao godine 1840. 356870, a godine 1880. 726105 Stanovnika; za koliko je °/o stanovničtvo Beča za onoga vre¬ mena poskočilo? 11 . U Češkoj brojilo se godine 1780. 2561794, a godine 1880. 5560819 Stanovnika; za koliko se je °/o stanovničtvo Češke za onoga vremena umnožilo? 117 12. Zemljopisna milja stoji prema novoj njemačkoj milji kao 231 prema 230; za koliko je % P rva veča od potonje? 13. Štajerska ima plošni prostor od 22354-75 7cm 2 ; a Moravska plošni prostor od 22223-85 Jem 2 ; a) za koliko je °/o Štajerska veča od Moravske, b) za koliko je °/o Moravska manja od Štajerske ? 14. Njeka roba kupljena je za 4250 for., a prodana je S' dobitkom od 340 for.; koliko je °/ 0 iznosio dobitak ? [15. Koliko se °/o dobije a ) na 136 for. kupovne ciene i 170 for. prodajne ciene? b) „ 275 „ „ „ „ 308 „ c) „ 1224 „ „ „ „ 1444 „ „ „ 16. Njetko kupi 168m sukna za 630 for., a proda ga m po 4 7 / 30 for.; koliko dobije on a) svega, b ) po postotcih? 17. Koliko % cini dara, ako se a) od 1625 leg nečistih računa 1565 kg čistih? b) „ 2160 „ „ „ 1836 „ c) „ 948 „ „ „ 900-4 „ „ 18. Opravnik dobije 22 for. 74novč. opravnine za nabavljenu robu svotom od 936 for.; koliko °/ 0 iznosi opravnina ? 19. Od robe u vriednosti od 1480 for. plati se mešetaru 9 for. 25novč.; koliko je % računano za mešetarinu? 20. Koliko se je °/ 0 prida na zlato računalo, ako je za 1475 for. u zlatu plačeno 1829 for. u srebru? Proračunavanje osnovne vriednosti i postotnoga diela iz njihova shroja ili razlike. §. 75. U mnogih zadatcih prometa zadaje se kao vriednost, koju treba podvrči postotnomu računu, ne osnovna vriednost, nego sbroj ili razlika od osnovne vriednosti i njezina postotnoga diela. Svoj- stvenost takovih zadataka i postupanje s njimi razjasnit če sliedeči prim j eri: 1. Za robu, koja je kupljena za 875 for., ima 3°/ 0 troska; ko¬ liko for. iznosi trosa k? 118 Tu treba za svakih 100 for. kupovne ciene računati 3 for. troska; s toga na 875 for. ciene za robu idu 3 for. troska toliko puta, koliko se puta 100 sadržava u 875, dakle TO0 - X 3 = 26-25 for. troska. 2. Njeka roba, uračunav i 3°/ 0 troška, stoji 875for.; koliko iznosi trošak ? Zadana vriednost 875 for. sadržava čistu cienu robe več pove- čanu troskom i s toga je ona nastala, kad je 100 for. ciene za robu povečano za 3 for. troška, dakle mjesto 100 for. uzeto 103 for. Zato se izvodi: Od svake 103 for. ciene za robu s troskom treba računati 3 for. troška toliko puta, koliko se puta 103 sadržava u 875, dakle —rlvr X 3 = 25'49 for. troška. 10o 3. Prodajna ciena njeke robe po oduzetku troška s 3 °/ 0 jest 875 for.; koliko iznosi trošak? Zadana vriednost 875for., u kojoj je od čiste ciene za robu več oduzet trošak, nastala je, kad su od svakih 100 for. ciene za robu oduzete 3 for. troška, dakle mjesto 100 for. uzeto 97 for. S toga se izvodi; K svakih 97 for. ciene za robu po oduzetku troška pripadaju 3 for. troška; zato k 875for. pripadaju 3for. troška toliko puta, ko¬ liko se puta 97 sadržava u 875, dakle 875 —X 3 = 27-06 for. troška. Kad bi se za odredbu postotnoga diela upotrebio razmjer, to bismo imali pri 1. ... z : 3 = 870 : 100, „ 2. ... x : 3 = 875 : 103, „ 3. ... * ; 3 = 875 : 97. Kako je u zadatku 1. zadana osnovna vriednost sama, naime ciena robe, u 2. je zadan sbroj a u 3. razlika od ciene za robu i troška. K 1. se računa 3 for. troška od svakih 100 for., u 2. od svake 103 for. a u 3. od svakih 97 for. zadane vriednosti. S toga se po- stotni račun običava takodjer nazivati računom u 1. od sto, u 2. nad ili povrh sto a u 3. niže sto ili u sto. 119 Iz sbroja ili razlike od osnovne vriednosti i njezina postotnoga diela dobije se, pokle je postotni dio nadjen, samim odbijanjem ili sbrajanjem namah i osnovna vriednost. Tako imamo za 2. Ciena robe s troskom 875 for. odbiv trošak 25-49 „ ciena robe 849-51 for, U ostalom se ta osnovna vriednost može takodjer namah od¬ rediti izvadjanjem: Svake 103 for. ciene za robu s troskom sadržavaju 100 for. čiste ciene za robu; s toga 875 for. sadržava 100for. čiste ciene za robu toliko puta, koliko se puta 103 sadržavaju u 875, dakle 875 ’ X 100 = 849-51 for. ciene za robu. JlUo Zadatci. 1. Najamnina za stan povišena je za 16°/ 0 ter iznosi sada 406 for.; koliko je plačano prije? 2. Pšenici je pala ciena za 15% te sada stoji hi 7 for. 14novč. ; po što je bila pšenica pred tim? 3. Koliko je for. u zlatu 3565 tor. u srebru, ako prid na zlato iz¬ nosi 24% ? 4. Cinovnik dobije k svojoj plači poradi skupoče doplatu od 15% pak s njom prima mjesečno 172 for. 50 nove.; kolika mu je godišnja plača? 5. Za porez skupa sa 32% prireza plača se 125 for. 40 nove.; kolik je prvobitni porez? 6 . Njetko za porez, od kojega mu je 4% popušteno, plača 398 for. 40 novč.; koliko nTu je poreza zaračunano? 7. Glavnica uložena po 6% iznosi poslije 1 godine skupa s dobiti 689 for.; kolika je a ) dobit, h ) glavnica ? 8. Kolik je dobitak po 15% na robi prodanoj za 1860 for. ? 9. ProraČunaj kupovnu vriednost robe, koja je a,) sa 12% dobitka prodana za 476 for. h) „ 9% „ „ „ 2628 „ c) „ 16 V 2 % „ „ „ 1379 „ 36 povč. 120 10 . Za robu prodanu sa 3% gubitka utrženo je 1040 for.; a) ko¬ lik je gubitak, b) kolika kupovna ciena? 11 . Proračunaj nečist uteg a) za 2088 leg čistih uz l3°/ 0 dare; b) „ 966 „ „ „ 8 „ „ cj „ 330 „ „ ,, 12 „ 12 . Njeka roba uračunav 2°/ 0 opravnine, stoji 628 for. 48 nove.; koliko iznosi opravnina? 13 . Za prodanu robu, oduzev 2% opravnine, dobije se 3727 for.; a) kolika je opravnina, b) za koliko je for. roba prodana? 14 . Eoba sa troskom od 12°/ 0 stoji 3500 for.; koliko iznosi trošak ? 15 . Ako je centa njeke robe, uračunav 30°/ 0 troska i 14°/ 0 dobitka, prodana za 155for., po što je centa kupljena? VIII. Preračunavanje dobiti i oduzetka. I. Jednovit dobitni račun. §. 76. Novčana svota, koja se uzajmi komu pod uvjet, da on za upotrebu plača stanovit novčani iznos, ali je obvezan novčanu svotu povratiti, zove se glavnicom (capitalj. Novac, što se plača za upotrebu glavnice, zove se dobit (kamate, Zins, Interesse); ta se odredjuje po postotcih, koji se, ako nije naročito drugčije odre- djeno, protežu na jednu godinu; n. pr. glavnica je uložena po 5°/ 0 > reči če: svakih 100for. glavnice daje za jednu godinu 5 for. dobiti. Dobitni je račun s toga postotni račun, u kojem se osim olina, što se u potonjem sastaju, uzimlje obzir još na jednu olinu, vrieme. Pri tom se godina občenito uzimlje sa 360 dana, a mjesec sa 30 dana. Ako su od četiri oline, glavnica, vrieme, postotci i do¬ bit, tri zadane, može se iz njih odrediti četvrta. 121 Ostane li glavnica za svega uložnoga vremena neizmienjena, to se dobit od nje zove jednovitom ili jednostavnom do¬ biti; pribija li se pak koncem svake godine ili svakoga polugo- dišta dobit glavnici te sama opet ulaže, to se dobit zove s as ta v- ljenom dobiti ili dobitnom dobiti. Ovdje ce biti govora samo o jednovitoj dobiti. Preračunavanj e dobiti. §. 77. Glavnica od 3457 for. uložena je po 5°/ 0 ; koliko dobiti daje ona za 3 godine? 3457 for. glavnice dade po 1% za 1 godinu lOOti dio . . . 34-57 for. dobiti. „ 5°/ 0 „1 „ 5puta toliko . 34-57 X 5 „ ' „ „ 5°/ 0 „ 3 godine 3puta toliko . 34-57 X 5 X 3 „ ,, = 518-55 „ • „ Upotrebom takovih izvodjaja rješavaju se takodjer zadatci, što dalje sliede. Pri toni nastaje občenito: Dobit = X postotci X vrieme u godinali. Ako je vrieme zadano kao višeimen broj, to se zadatak naj- jednostavnije rješava razstavljanjem; naime mjeseci se razstave na zgodne dielove godine a dani na zgodne dielove mjeseea pak se kao takovi proracunaju. Zadatci. (Neka se rieše računom izvadjanja.) 1. Proračunaj jednogodišnju dobit a ) od 3124 for. po 5% b ) od 4181 for. po 4% pol%.. 31-24 for. 167-24 for. „ 5°/ 0 .. 156-20 for. 2 . Kolika je godišnja dobit a) od 300 for.. 500 for., 800 for., 1200 for. po 5°/ 0 ? b) od 200 for., 700 for., 1000 for., 2500 for. po 4°/ 0 ? 122 3 . Koliko iznosi godišnja dobit a) od 1834 for. po 5°/ 0 ? ?;) od 3307 for. po 6°/ 0 ? c) od 2095 for. 50 novč. po 6 x / 2 % ? d) od 9126 for. po 4 3 / 4 °/ 0 ? 4 . Koliko dobiti dadu a ) 2183 for. po 4°/ 0 za 3godine? 6) 14788 for. po 5 1 ///,, za 2 godine? c) 7350 for. po 5 3 / 4 % za 4godine? 5. Koliko dobiti dade 1948 for. za 2'/ 2 godine a) po 4 3 / 4 %, &) po 5%, el po 6’/ s % ? 6 . Koliko dobiti dade 3888 for. glavnice po 4y 2 °/ 0 za 3 godine 7 mjeseci 10 dana ? 3888 for. glavnice 155-52 for. po 4°/ 0 1944 „ „ V/o 174-96 for. za 1 godinu 524-87 for. „ 3 godine 87-48 „ „ 6 mjes. = */ss godine. 14-58 „ „ 1 „ = 'l e od 6 mjes. 4-86 „ „ 10 dana = */ 3 mjes. 631-80 for. dobiti. 7 . Koliko dobiti dade 2848 for. po 5 °/ 0 za 3 godine i 4 mjeseca? 8. Glavnica od 8425 for. 18 novč. uložena je 4 godine 11 mjeseci po 4 1 / 2 %; koliko dade ona dobiti? 9 . Kolika je dobit od 5244 for. 55 novč. po 5 1 /* °/ 0 za 3 godine 5 mjeseci 20 dana. 10 . Koliko dobiti dade a) 9006 for. glavnice po 5% za 10mjeseci? b) 2514 for. po 6°/ 0 za 4godine 9 mjeseci 20dana? c) 950-4 for. po 472% za 3 godine 7 mjeseci 18 dana? d) 4392-6 for. po 5 1 /, 4 % za 2 godine 5mjeseei 12 dana? §• 78. Cesto treba proračunati dobit koje glavnice samo za sta¬ novi! broj dana. U takovu slučaju iste se obično najprije dobit po 6% pak se iz nje razstavljanjem izvede dobit za zadane postotke. Neka treba proračunati dobit glavnice od 3516 for. po 6% za 139 dana. 123 100 for. ?5 »5 3516 „ daje za 360 dana „ „ 1 dan „ „ 139 dana :i ti v n 11 11 ii 6 for. dobiti Tith)‘ — 'i 0 )' i> 3516 X 139 — 6000"'' Postotci po 6 n /„ glavnica X d a n i 6000 Zadatci 1. Koliko dobiti dade 2790 for. po 6°/ 0 za 85 dana? 2 . Koliko iznosi dobit po 6% a) od 925 for. za 48 dana. V b) od 1019 for. za 253 dana? c) od 1512 for. za 260 dana? d) od 2349-25 for. za 186 dana? 3 . Koliko dobiti dade 758 for. po 6% od 13. Travnja do posled¬ njega Prosinca? Od 13. Travnja do 13. Prosinca ima 8 mjes. = 240 dana „ 13. Prosinca „ 30. Prosinca ima 17 „ Svega 257 dana. 4 . Koliko dobiti po 6°/ 0 dade a ) 750 for. od 1. kolovoza do 27. listopada? b ) 2370 for. od 18. Ožujka do 30. Lipnja? c) 1644 for. od 25. Travnja do 15. Kolovoza? 5 . Koliko iznosi dobit od 1242 for. po 4°/ 0 za 230 dana? = 31-74 for. po 2°/„ 31-74 for. po 4°/ 0 . 6 . Koliko dobiti dade 9110 for. po 5°/ 0 od 2. Svibnja do 15. Li¬ stopada? 7 . Kolika je dobit od 9217 for. po 3°/ 0 za 174dana? 8. Koliko dobiti dade 4856-5for. po 7°/ 0 za 72 dana? 124 9 . Njekomu pripada: dobit od 3045 for. po 6 °/o za 233 dana, „ „ 2813 „ ,, 5 °/o od 17. Travnja do 22. Rujna, „ „ 4008 „ „ 6 3 / 4 °/o n 24. Svibnja ,, 7. Kolovoza; kolik je sav dobitni iznosak? 10 . 3450 for. glavnice dade za 7 mjeseci 120 3 / 4 for. dobiti; koliko prema tornu dade dobiti glavnica od 4650 for. za 10 mjeseci ? 11 . Njetko kupi dne 27. Travnja 2000 for. državnih papira po tečaju 84 (t. j. 100 for. imenovane (pisane) vriednosti po 84 for. plačene); koliko mora on za to platiti, ako treba naknaditi dobit po 4^*/ 5 ^/ 0 počevši od 1. Siečnja? BOGO for. po 84 . 1680 for. 4 1 / 6 °/o dobiti za 117 dana. 26-3 „ 1707-3 for. 12 . Dne 4. Kolovoza prodade se 4400 for. zlatne rente po 108 for .; koliko se za to dobije, ako treba naknaditi dobit po 4°/ 0 počev od 1. Travnja? 13 . Koliko treba dne 10. Prosinca platiti za 8 cielih državnih sre- čaka od godine 1860 po 132for.? (Imenovana vriednost jedne srečke 500 for., dobit po 4°/ 0 počev od 1. Studenoga.) 14 . Njetko proda dne 15. Svibnja 2500 for. založnica po tečaju 100-80; koliko za to primi? (Dobit po 4 1 / 2 °/ 0 počev od 1. Siečnja.) Prorač umivanj e glavnice. §• 79. Koja glavnica dade po 4°/ 0 za 3 godine 154 1 j 6 for. dobiti? Dobit za 1 godinu po 4°/ 0) t. j. r iJ 0 glavnice rsn m 154Vn in — ■ — — for., dakle 154 V- , - tor., s toga je 1547. x 100 4X3' for. glavnica sama 1285 for. 125 Može se izvadjati takodjer ovako: Glavnica sadržava 100 for. toliko puta, koliko se puta dobit od 100 for. sadržava n zadanoj dobiti. 100 for. po 4°/ 0 dade za 3 godine 4 X 3 for. dobiti; dakle je 154 Vs glavnica = 100 for. X Glavnica 4X3 dobit X 100 kao i gore. postotci X vrlem6 u godinah Zadatci. 1. Kolika je glavnica, koja po 5 1 / 2 °/o daje na godinu 202 for. 40 novč. dobiti ? 2 . Kuča daje odsjekom na godinu 586 for. cista, dohodka; kolika če se kupovna ciena za nju zahtievati, ako se hoče prodati ju po 5°/ 0 , t. j. za svakih 5 for. čista dohodka imati 100 for. ku- povne ciene ili glavnice? 3. Njetko primi za 3 godine 556 for. dobiti; kolika je glavnica po 6°/ 0 uložena? 4 . Kolika mora biti glavnica, da po 5 1 / 2 °/o dade za godine 735 9 / ]0 for. dobiti? 5 . Koja glavnica dade a) po 4Va°/ 0 za 3 godine 837 for. dobiti? b) po 0 1 / 2 °/ 0 za IV2 godine 390 for. dobiti? c) po 574% za 2 godine 7 mjeseci 398-5 for. dobiti? 6. Od koje se glavnice primi a) po 4°/ 0 za 2 s / 4 godine 213'5 for. dobiti? b) po 57,°/ 0 za 1 godinu 9 mjeseci 247 for. 17 novč. dobiti? c) po 6°/„ za 77 2 mjeseci 31875for. dobiti? 7 . Koja glavnica dade po 4 °/ 0 za 108 dana 108 for. dobiti? 8 . Glavnica po 4 1 / 2 % daje na godinu 18 for. dobiti; koliko če godišnje dobiti davati glavnica za 300 for. veča po 5°/ 0 ? 9 . Dvie glavnice donose na godinu 250for. dobiti; jedna je 2400 for. i uložena po 47 2 °/ 0 , a druga je uzajmljena po 5°/ 0 ; kolika je druga glavnica? 10 . Koja glavnica dade po 6°/ 0 za 4 godine upravo toliko dobiti kao glavnica od 4560 for. po 5°/ 0 za 27 2 godine? 126 Pr orač unavanj e vremena. §• 80. Kako ce dugo glavnica od 2480 for. po 6% biti uložena, da donese 744for. dobiti? Izvadja se: glavnica je uložena toliko godina, koliko se puta godišnja dobit sadržava u zadanoj dobiti. Dobit od 2480 for. po 6% za 1 godinu iznosi - for. dakle je broj godina 744 : Broj godina = 2480 X 6 100 744 X 100 100 2480 X 6 dobit X 100 glavnica X postotci = O. Zadatci. 1. Za koliko godina 225 for. glavnice po 4°/ 0 dade 45 for. dobiti ? 2 . Glavnica od 900 for. po 5 °/ 0 dala je 112 for. 50 novč. dobiti; kako je dugo bila uzajmljena? 3 . Za koliko vremena 3855 for. po 4°/ 0 dade 423'05 for. dobiti? 4 . Za koje ce se vrieme od 9420 for. po 4 l / a °/ 0 primiti 1413 for. dobiti ? 5 . Za koliko vremena dade а) 4715for. glavnice po 4°/ 0 377-2 for. dobiti? б) 5212 for. glavnice po 5%% 916 for. 65novč. dobiti? c) 9822 3 l i for. glavnice po 5 3 / 4 % 1125-16 for. dobiti? 6 . Kako dugo glavnica od 2800for. po 5 1 / 2 °/ 0 mora biti uložena, da uračunav dobit dosegne 3185 for. 7 . Koliko vremena treba da glavnica ostane uložena, ako ce dobit a ) po 4°/ 0 , b) po 5°/ 0 ! c ) P° 0°/ o iznositi upravo toliko, kao glavnica ? 8. Dne 1. Svibnja uzajmljono je 1550 for. po 4°/ 0 ; kad je na- došlo povračanje, iznosila je glavnica s dobiti 1619 3 / 4 for.; kada je glavnica povracena? 9 . Kako dugo mora glavnica od 1863 for. po 5 °/ 0 biti uložena, da donese toliko dobiti kao što 8280 for. po 4 J / 2 % za 9mjeseci? 127 Pr orač una vanj e pošto taka. §. 81. Po koliko se postotaka mora glavnica od 3445 for. uložiti, da za 4godine dade 689 for. dobiti? Ovdje treba odrediti, koliko dobiti daje 100 for. glavnice za 1 godinu. Izvadja se: 1 for. glavnice dade za 4 godine . f or . dobiti, 1 » ,, „ » 1 godinu 3445 ^ 4 for-dobiti, 100 „ „ „ „ 1 „ 3445 x 4 ~° f ° r 'dobiti- Dakle je glavnica uložena po 5 °/ 0 . dobit X 1000 Postotci =- , - . — -v > -.-- j-r - * glavn]caXvrieme u godi na h Zadatci. 1. 800 for. glavnice donese za 1 godinu 32 for. dobiti; po koliko je °/ 0 glavnica uložena? 2 . Glavnica od 5560 for. dade godišnje dobiti 330 for. ; po koliko je ° !o uzajmljena? 3 . Njetko dade u zajam 16000 for. ; koliko °/ 0 mora on zahtievati, da od toga ima godišnji dohodak 900 for. ? 4 . Trgovac ima u svojoj trgovini glavnicu od 18356 for. ; koncem godine pokaže se čist dobitak od 1376 for. 70 novč.; koliko mu je % glavnica uniela? 5 . Glavnica, koja je po 4 °/ 0 davala godišnje dobiti 118 for., neka bi u napredak nosila pa godinu za 81 3 / 4 for. više dobiti; kolika je glavnica i po koliko °/o treba ju uložiti. 6. Po koliko % dade a ) 1648for. glavnice za 2 : / 2 godine 185-4for. dobiti? h) 1080for. glavnice za 3 godine 4 mjeseca 144 for. dobiti? c) 3150 for. glavnice za 8 mjeseci 73 l / 2 for. dobiti? 7 . Po koliko % treba 9110 for. uložiti, da od 2. Svibnja do 15. Listopada dade 206 for. 23 novč. dobiti ? 8 . Njetko kupi državnih papira, koji noše 5%, po tečaju 95, t. j. on kupi svakih 100 for. papira za 95 for.; koliko mu °/o ^°' nese njegova glavnica? 128 9 . Njetko si uzajmi 460 for. na jednu godinu po 5°/ 0 , ali morade pustiti da mu se dobit odmah od primljene glavnice odbije; koliko mu je pri tom zakinuto i koliko je % doista za¬ računano? 10 . Jedna glavnica nosi za 3 godine po 4V 4 % 60% for. dobiti, a druga za 150 for. veča glavnica nosi za isto vrieme 90 for. do¬ biti; po koliko je % potonja uložena? 11 . Kuca je kupljena za 28500 for.; godišnji je dohodak od na- jamnine 1980 for.; koliko % nosi glavnica, ako se za po¬ pravke odbija 147 for. i ako kuearina skupa s prireži iznosi 35% ? 12 . Po koliko bi % njeka glavnica za 5 godina dala 1022 for. do¬ biti, ako bi ista glavnica po 5% za 4 godine dala 876 for. dobiti ? Proračunav anj e končane vriednosti glavnice. §• 82. Vriednost, koju glavnica priračunav joj dobit dosegne poslije stanovita vremena, zove se končan o m vriednosti glavnice, su- prot p ocetne vriednosti, t. j. njezine vriednosti na početku onoga vremena. Da se končana vriednost glavnice poslije stanovita vre¬ mena proračuna, treba samo dobit za to vrieme pribrojiti počet- noj glavnici. N. pr. Glavnica od 3640 for. uložena je po 5%; kolika joj je kon¬ čana vriednost poslije 2% godine? Početna vriednost 3640 for. Dobit po 5% za 2'/ s godine 455 „ Končana vriednost 4095 for. Kješitba mogla bi se izvršiti takodjer upravo ovako: 100 for. s dobiti po 5% dosegne poslije 2% godine 112 5 for., s toga je končana vriednost od 1 for.1-125 for., dakle „ „ „ 3640 „ .. 3640 X 1 125=4095 for. 129 Po tom je končana vriednost glavnice jednaka unmožku od njezine počet n e vriednosti i od končane vriednosti jedne forinte. Zadatci. 1. Njetko uzajmi sebi 2480 for. po 5°/ 0 na 3 godine; koliko če mu trebati da poslije toga vremena plati glavnice i dobiti? 2. Njetko je dužan, da poslije 6 mjeseci podmiri 750 for. s dobiti po 4%; koliko treba da plati ? 3. Za dug, koji dospieva poslije 3 godine, plati se odmah 360 for.; kolik je taj dug, ako je oduzeta dobit po 5°/ 0 ? 4. Ako je 3050 for. na dugu 2 godine 4 mjeseca po 5 1 / 2 °/ 0 , koliko treba poslije toga vremena povratiti glavnice i dobiti? 5. Glavnica od 4840 for. uložena je po 4: l / 2 °l 0 ; kolika joj je kon¬ čana vriednost poslije 2‘/ s godine? 6. Koliku koneanu vriednost ima a ) 3216 for. s 4 3 / 4 °/ 0 dobiti poslije 4godine? i) 3580 „ „ 57 4 °/o „ „ 3 „ 8 mjeseci? c) 4050 ,, ,, 6 °/ 0 „ ,, 3 god. 9 mjes. 15 dana? 7. Za njeku kuču nudi A 18500 for. u gotovu, a B 19540 for. plativih poslije 9 mjeseci; ako pak prodavac daje novce u za- jam po 6°/ 0 , koja je ponuda za njega probitačnija? 8. Njetko duguje od 6. Ožujka 1547 for., za što plača dobit po 5 1 / 2 °/ 0 ; kolik je njegov dug dne 30. Lipnja? 9. Njetko uzajmi sebi 2345 for. na 42 dana po 7°/ 0 dobiti; ko¬ liko če trebati da poslije toga povrati? 10 . Kolika je končana vriednost glavnice od 5460 for. uložene po 6*/,% poslije 174 dana? 11 . Trgovac, koji bi morao platiti dne 18. Bujna 3550for., a dne 5. Studenoga 1749 for., plati obadva iznosa skupa s 5°/ 0 dobiti dne 31. Prosinca; koliko je onda platio svega? Proračunavanje početne vriednosti glavnice. §. 83. Glavnica uložena po 5°/ 0 iznosi poslije 3 godine s dobiti 3289 for.; kolika je početna vriednost glavnice ? Dr. Močnik, Računica J. za niže r. gimn. 9 130 Uz 5°/ 0 dobit ima lfor. poslije 3 godine končanu vriednost od l'15for. Obratno je početna vriednost od 1-15 for. 1 for., dakle n „ „ lfor.-pjg-for., a s toga 3289 for. 3289 T16 for. =2860 for. Dakle p ocetna vriednost glavnice sadržava toliko forinti, koliko se puta končana vriednost jedne forinte sadržava u končanoj vriednosti glavnice; ili p o č etna vri edn o st gla vn ic e = končana vriednost glavnice končana vriednost jedne for.’ koji snošaj nastane obraeajem takodjer iz §. 82. Zadatci. 1. Glavnica njekomu po 4% uzajmljena iznosila je poslije 2 1 / 2 godine s dobiti 825for.; kolika joj je bila početna vriednost? 2 . Njetko za upotrebljenu 6 godina glavnicu plati skupa s 572% dobiti 452-20 for; kolika je bila prvobitna glavnica ? 3. Za glavnicu, koja je bila po 57 2 % na dugu 3 godine, primi se glavnice i dobiti 5359for.; kolika je bila glavnica? 4. Koliku glavnicu treba dati u zajam po 4%%, da se poslije 27 2 godine primi 5549 for. glavnice i dobiti? 5. Iioliku početnu vriednost ima glavnica, koja uz 5% dobiti poslije 3 godine dosegne 883-55 for. ? 6 . Kolika je početna vriednost glavnice, koja a) po 6% poslije 3'/ 2 god. ima končanu vriednost 907-5for. ? b) „ 4%% „ 27s „ „ „ „ 5967 „ c) » & L lo i» 6 mjeseci „ „ „ 3546-72,, 7. Glavnica skupa s 5% dobiti dosegla je za 72 dana 1575-6 for.; koliku je početnu vriednost imala glavnica ? 2. Proračunavanje oduzetka. §. 84. Ako tko svotu novaca, koju bi bez dobiti bio dužan platiti istom poslije stanovita vremena, plati odmah, pravo je, da mu po- 131 radi ranije izplati bude dopušten stanovit odbitak. Taj odbitak zove se oduzetkom (discont) ili popustom (rabatt), a dužna glav¬ nica umanjena za oduzetak zove se gotovo m ili sada njo m (ta- kodjer oduzetkovanom) vriednosti glavnice. N. pr. Netko hoče bezdobitnu glavnicu od 4230 for., koju bi mu trebalo oddužiti poslije 2*/ 2 godine, da plati odmah; a) kolika je gotova vriednost te glavnice, b ) kolik je oduzetak, ako se ra¬ čuna 5 °/ 0 ? Ako ze hoče, da ranijom izplatom dužne svote ne štetuje niti vjerovnik niti dužnik. to gotova vriednost umnožena za dobit, koju bi do platežnoga roka nosila, mora biti jednaka dužnoj svoti. Po tom je zadatak, da se odredi gotova vriednost dužne glavnice, koja kasnije dospieva, istoznačan sa zadatkom u §. 83.: da se iz kon¬ čane vriednosti glavnice proračuna njezina početna vriednost; s toga je dužna glavnica gotova vriednost — končana vriednost jedne forinte Za gornji zadatak imamo : Končana vriednost od 100 fr. po 5% poslije 2-/ 2 god.: 112-5fr.,zatoje » dakle je 1 j i n n ” n ti 1'125 ,, iskana vriednost 4230 1-125 for. = 3760 for. Prokušnja: Gotova vriednost 3760 for. Dobit od 3760 for. po 5°/ 0 za 2’/ 2 god. 470 ,, Dužna glavnica 4230 for. Oduzetak se može ili kao razlika medju dužnom glavnicom i nadjenom več njezinom gotovom vriednosti ili takodjer upravo pro- računati. Imamo Oduzetak = 4230 for. — 3760 = 470 for. Ili upravo. Buduči da 100 for. gotovine po 5°/ 0 poslije 2 1 / 2 godine vriedi 112-5 for., to obratno 112-5 for., što bi trebalo bez- dobitno izplatiti poslije 2 1 j s . godine, vriedi sada 100 for., t. j. od svakih 112-5 for., ako se 2 1 /* godine prije dospjetka izplati, odbroji se 12-5 for. kao oduzetak. Odatle sliedi, da se oduzetak mora raču¬ nati ne od samih 100, nego od sbroja, koji nastane od 100 i po- stotaka oduzetka (račun nad s to). Dakle se izvodi: Oduzetak od 112-5 for. 12-5 for. i 12-5 , . ” ” 1 ” . 112-5 101 ' , Mn 4230 > „ 4230 „ .—g—for. “9" 470 for. Bilo bi doduše udobnije, ali neizpravno, kada bi se odu¬ zetak jednostavno odredjivao kao dobit dužne glavnice, koja kasnije dospieva, te bi se preračunavanje osnivalo na samom broju 100 (račun od sto). Tada bismo imali: 4230 for. po 5°/ 0 211-50 for. za 1 godinu Dužna svota 4230 for. 211-50 „ „ 1 „ odbiv oduzetak 528-75 „ 105-75 „ „ 1 / 2 god ine gotova vriednost 3701-25 for. 528-75 for. oduzetak. No gotovina od 3701-25 for. dala bi sa 5°/ 0 dobiti poslije i 2 1 / i godine ne dužnu svotu 4230 for., nego samo 4163-91 for.; dakle bi pri tom vjerovnik imao štete. Neizpravnost takova preračunavanja osobito se jako iztiče, ako se tu radi o dužem vremenu. N. pr. Njetko bi dug od 100 for., koji bezdobitno do¬ spieva poslije 20 godina, htio za 5 0 / 0 oduzetka 'plahti odmah; buduči da bi oduzetak iznosio takodjer 100 for., to vjerovnik ne bi dobio ništa. Ako bi pak 100 for. trebalo platiti poslije 40 godina, to bi oduzetak iznosio 200 for. te bi trebalo dužniku još 100 for. naplatiti. Zadatci. 1. Svota od 920 for., koja bezdobitno dospieva a ) poslije 3 godine, b) poslije 36 dana, plati se odmah u gotovu; koliko iznosi u svakom slučaju oduzetak po. 5°/ 0 ? Koliko bi oduzetak fiznosio računajuči ga od sto? 2 . Koliko 850 for., koje bi trebalo platiti poslije 2 godine, vriedi sada uz 5°/ 0 oduzetka? 3. Koju gotovu vriednost ima a) 3953 for., plative poslije 4 godine, uz 4 1 / ž # /o oduzetka? b) 5893 ,, ,, „ 2 2 / g „ ,, 4 „ ,, c) 5247 ,, „ „ 37* ,, ,, 5 ,, ,, 4 . Njetko je dužan da plati 2620 for. poslije 4mjeseca; no on želi svoj dug oddužiti odmah; koliko iznosi izplata u gotovu uz 6% oduzetka? 5 . A treba da plati B- u 1245 for. poslije 5godina; koliko bi mu uz 4 1 / 4 °/o oduzetka morao platiti poslije 2godine? 6. Njetko je baštinio 4850 for., no da mu se izplati istom poslije 5godina; na njegovu zelju htjelo bi se izplatiti mu baštinu od- mah; koliko iznosi baština u gotovu novcu? 7 . Za njeku kucu nudi A 25200 for. poslije 1 godine, B 26350 for. poslije 2 godine bez dobiti plativo; koja ponuda uz 5°/ 0 oduzetka ima vecu vriednost u gotovu? 8. Njetko kupi vinograd za 8000 for. pod uvjet, da plati 2580 for. odmah, 2380 for. poslije 1 godine a ostatak poslije 3 godine ne naknadiv dobiti; no on odluči, da i dva posljednja obroka za godišnji 674% oduzetak plati odmah; kolika je sva izplata u gotovu? 9 . Za plativi poslije 2 1 / 2 godine dug primi njetko u gotovu 2480 for.; kolik je bio dug, ako je godišnji oduzetak računan po 5°/ 0 ? 10 . Njetko je dužan da poslije stanovita vremena plati 5355 for.; uz 6°/ 0 godišnji oduzetak plati on u gotovu 5250 for.; poslije kojega bi vremena morao on platiti? 11 . Koliko vremena prije dospjetka izplačen je u gotovu dug od 982 for., ako je godišnji oduzetak po 5°/ 0 iznosio 228 for. ? 12 . Njetko je za glavnicu, koja je bila plativa poslije 4 godine, izplatio u gotovu 1600 for.; oduzetak je iznosio 288 for.; ko¬ liko je godišnjih °/o računano? 13 . Njetko je morao poslije 3 Tj godine platiti 598 for.; on se po¬ nudi, da če za to odmah platiti u gotovu 520 for.; koliko je °/o oduzetka računao ? 14 . Njetko kupi kuču za 29000 for., koje su po ugovoru plative bezdobitno poslije Sgodina; no on plati sada u gotovu 600 for., poslije 2 x / 3 godine 7500 for. a ostatak poslije 4godine; kolik je taj ostatak, ako je za svaku izplatu napried dozvoljen go¬ dišnji oduzetak po 5°/„? §. 85 Ako odredjivanje oduzetka računom od sto i je neizpravno, taj se račun ipak u trgovačkom prometu za cienu robe i za mjenične iznose občenito upotrebljava, jer je zgodniji od računa nad sto i jer se pri tora radi samo o tračem vremenu, za koje je takodjer razlika medju posljedci obojega preračunavanja samo neznatna. Mjenični oduzetak preračunava se, tako kao dobit za dane, za vrieme od dana kupnje do dana dospjetka, ali ne broječi pri toni dan oduzetkovanja. Mjeseci se računaju po broju koledar¬ skih dana, godina pak po 360 dana. Pri oduzetkuza robu naznačuju se obično postotci več za vrieme, za koje biva izplata u gotovu prije ugovorena dospjet- noga vremena. Zadatci. 1. Mjeniea od 1249 for. za 15. Lipnja proda se dne 8. Svibnja sa 4'/ 2 % oduzetka; koliko iznosi a) oduzetak, b) kolika je vriednost nakon oduzetka ? U Svibnju 23 dana „ Lipnju 15 „ 38 oduzetkovnih dana. Mjenična svota 1249 for. odbiv 4r I / i °/ 0 oduzetak za 38 dana 5‘9 ‘6 „ Oduzetkovana vriednost 1243-07 „ 12 49 X 38 s 7 47 9 992 47-462 7-910 po 6 °l„ - 1-978 po »/ ,»/. 5-932 for. oduzetak. 2 . Mjeniea od 3485 for., plativa poslije 35 dana, oduzetkuje se po 5%; koliko iznosi oduzetak a koliko oduzetkovana vriednost? 3. Mjeniea od 4235 maraka oduzetkuje se u Hamburgn dne 17. Srpnja sa 3 x / 2 %; koliko treba za nju platiti, ako dospieva istom dne, 7. Rujna? 4 . Za 15. Kolovoza izdana mjeniea na 849 for. oduzetkuje se dne 26. Lipnja po 6 1 / 2 °/oi koliko mjeniea taj dan vriedi? 5 . Kolik je pri eieni robe od 5192 for. a) oduzetak po 2 0 / p , b) izplatak u gotovu? Ciena robe. 5192 for. Oduzetak po 2°| 0 . 103-84 „ Izplatak u gotovu. 5088-16 for. 6. Koliko iznosi oduzetak za cienu robe od 2063 for. a) po 1 °/ 0 , &) P« IV/o. c ) P° l *L°lo, d ) Po 2°/ 0 ? 7 . 4 bačve ulja, nečisto lll8/c<7, dara 10°/ 0 , kupljene su 100 kg čistih po 64-18 for. sa 2 1 / ž °/ 0 oduzetka; kolik je izplatak u gotovu ? 135 8. Njetko kupi u Trstu 5 bačava robe, nečisto 5219 kg sa lO°/ 0 dare; koliko če za to platiti u gotovu, ako se lOOJcg čistih ra¬ čuna po 84-25 for. sa 2% oduzetka? Mješoviti zadatci o ornjernili i postotnih računih. §. 86 . 1. Koliko godišnje dobiti daje 749 3 / 4 for. glavnice a) po 47*% ? b) po 5 s / 4 % ? c) po 6%? 2. Koja glavnica daje po 5'/*% godišnje dobiti 189 for. ? 3. Po koliko °/ g treba da je glavnica od 3127 for. uložena, ako če nositi 125 for. 8 novč. godišnje dobiti? 4. Okomito utaknuta u zemlju motka od l 2 l 5 m dužine baca sjenu 2 7 /io m dugu; kolika je višina zvonika, koji u isto vrieme baca sjenu 307 4 m dugu? 5. Izmedju 465 osoba 20godišnjih doživi ih 50tu godinu života 300; koliko ih % umre u dobi od 20 do 50godina? 6. Po što je 8 bačava meda, nečiste težine 25387^, ako se ra¬ čuna dara po 13% a centa čista po 64 for. 45 novč.? 7. 111 Vo grčkih drahma čini 45 for. a. vr. ; koliko je for. a. vr. 2085 drahma? 8. Njetko kupi dvie bačve vina jednako dobra, skupa 26 7j7 267; jedna bačva sadržava 157i7 667 i stoji 3917* for. ; sto stoji vino sadržano u drugoj bačvi? 9. Koliko iznosi dobit a.) od 2520 for. po 57*% za 3 godine 4 mjes. ? b) „ 5400 ,. „ 47,% „ 27 2 ? c) „ 3075 „ „ 4 % „ 9 mjeseci? 10. Koliko treba danas po 6% uložiti, da se poslije 3 godine skupa s dobiti primi natrag 1475 for. ? 11. Mjenica od 2379 for., koja dospieva dne 15. Listopada, proda se dne 9. Rujna sa 6% oduzetka; kolika je oduzetkovana vriednost mjenice? 136 12 . Stanovničtvo njekoga grada, koje se je za vremena od godine 1840. do 1880. umnožilo za 49%, iznosilo je godine 1880. 28032 Stanovnika; koliko je bilo stanovničtvo onoga grada go¬ dine 1840? 13 . Njeki bi posao 15 radnika dogotovilo za 10 dana; ali poslije 3 dana ostave posao 3 radnika, a poslije daljnih 5 dana opet 3 radnika; za koliko če dana posao biti gotov? 14 . Poslije 3 godine plat-ivi dug od 15000 for. plati se sa 6% odu- zetkom odmah; koliko iznosi a ) oduzetak, b) gotov izplatak? 15 . Njetko kupi dvie vrsti kave; 4=lcg jedne vrsti stoje 6for. 40novč., a 6leg druge vrsti 8 for. 64 nove.; kako stoje medju sobom ciene obiju vrsti? 16 . Trgovac može prodati kg kave za 1 for. 60 novč.; po sto smije on kg kupiti, ako hoče da prodajom dobije 15% ? 17 . Na robi kupljenoj po 18 for. centa dobije se 12% ; koliko se % dobije, ako se uz istu prodajnu cienu kupi centa skuplje za 5 for. ? 18 . Njetko duguje u Berlinu 250 zlatnih maraka; koliko če forinti austr. srebrnoga novca morati za to platiti, ako je 100 zlat¬ nih maraka == 50 for. u zlatu, a zlato prema srebru ima prid 24% ? 19 . Lihvar uzajmi njekomu glavnicu po 10% na jedmi godinu, no on si odmah odbije dobit; koliko zaista % on računa? 20 . Kako je dugo glavnica od 364 for. bila na dugu, da je dala toliko dobiti, koliko bi glavnica od 390for. doniela za 97* mjeseci? 21 . Glavnica dade za stanovito vrieme po 6% 508-24for. dobiti; koliko dobiti dade ona za isto vrieme a) po 4 s / 4 %, 6) po- 57 s % ? 22 . Suknara stoje 4trube sukna po 30 m pri kupnji 512 for.; po sto če on prodavati m, ako hoče da pri tom dobije 15% ? 23 . Koliku če prugu parovoz prevaliti uz jednako kretanje za 4 sata 24 časa, ako je za 2 sata 15 časova prevalio prugu od 69 km 355 m? 24 . Radnikom njeke tvomice povišena je nadnica sa 16°/ 0 ; onda je 80radnika skupa dobilo na dan 134 for. 56 nove.; kolika je bila nadnica jednoga radnika prije onoga povišenja? 25 . Koja glavnica daje a) po 6 °/ 0 za 1 godinu 4 mjeseca 209-2 for. dobiti? b) „ 4 1 / 2 °/ 0 ,. 1 godinu 8 mjeseei 417 ,, „ ? c) „ 4%°/ 0 » 2 godine 6mjeseci 15 dana 574-75 „ „ ? 26 . Njetko kupi dne 18. Ožujka 4000 for. 5% založnica austro- ugai'ske banke sa kuponi od 1. Siečnja po 102-45 for.; koliko mora on za to platiti? 27 . Njeka roba stoji skupa sa 2°/ 0 kupovne opravnine 3207 for. 90 novč.; a) koliko iznosi opravnina? b) kolika je čista ciena robe? 28 . Za prodanu robu dobije se po odbijenoj 2°/ 0 opravnini 2158 for. 85 novč.; koliko iznosi opravnina? 29 . Koliko če se srebra dobiti za 4 5 / g leg zlata, ako srebro prema zlatu stoji po cieni kao 1 prema 23 % ? 30 . Koliko je osamforintača jednako s 1 sjeverno-američkim zlat¬ nini orlašem (eagle), pošto 1 osamforintača sadržava 5-80643$ suhoga zlata, a 1 orlaš teži 16-7183# uz 9 / i0 čistine? 31 . Drvar kupi za 917% for. drva, a proda ib za 1027 8 /. for.; ko¬ liko % dobije on prodaj om? 32 . Njetko za dug, od kojega mu je popušteno 3°/ 0 , plati 2913 for. 60novč.; kolik je a) popušteni iznos, b) dug? 33 . 5ti dio prokopa izradila su 22 radnika za 12 dana; ako se poslije toga vremena 6 radnika odpusti, za koliko če dana za¬ držani radnici dogotoviti ostalo ? 34 . Njetko kupi 27 hi vina po 28% for. i 32 /zZ po 25% for.; od onoga prvoga prodaje l po 36 novč., a od drugoga po 32 novč.; koliko °/o i koliko forinti iznosi sav njegov dobitak? 35 . Njetko duguje A- u 500 for., B-n 700 for., C- u 400 for. a D- u 300 for., no sav mu je imutak samo 1710 for.; koliko do- biju vjerovnici po omjeru svojih tražbina ? 36. Trščanin kupi u Amsterdamu 3214 funt. kave i plati za funtu 3 / 5 for. holand.; trošak iznosi 20°/ 0 ; koliko for. a. vriedn. mora on platiti, ako se računa 100 for. holand. = 103 for. a. vr. ? 138 37 . Za robu. koja teži 4192 l:g nečisto, plačeno je 880 for.; pošto je centa čista, ako se računa 16 2 / 3 °/ 0 dare? 38 . Ako opravnina po 2% od ciene za robu iznosi 184 for. 50novč., kolika bi bila opravnina po žž x / 2 °/ 0 ? 39 . Glavnica skupa sa dobiti po 5 °/ 0 dosegla je za 6 godina 455 for., kolika je bila glavnica? 40 . Njetko dade u zajam tri glavnice: 541 for. po 4 1 / 2 °/o’ 853 for. 80 novč. po 5°/ 0 , 1356 for. po 674 %; koliku bi glavnicu mo- rao on dati u zajam po S 1 /^, da mu nosi toliko isto dobiti? 41 . 1840 for.. plativih poslije 3 godine izplati se odmah sa 240 for. oduzetka; koliko je °/o godišnjeg oduzetka uzeto u račun? 42 . Njeku radnju može 12 ljudi dovršiti za 8 dana; no več je 16 ljudi radilo 4 dana; koliko dana trebaju sada još 4 čovjeka da na njoj rade? 43 . Za koliko godina dade a) 650 for. glavn. po 6 °/o 143 for. dobiti? V) 3840 „ „ „ 5V / 0 552 „ „ ? c) 793 s / 4 „ „ „ 4 % 155-25 „ „ ? 44 . Na njekoj su kuči dvie glavnice duga, koje skupa noše godiš- nju dobit od 640 for.; za jednu glavnicu, koja je 6000 for., plača se 4°/ 0 , a za drugu 5%; kolika je ta druga glavnica? 45 . A dobije pri razdiobi njekoga dobitka 891 for. 30 novč; koliko če dobiti B, ako če diel od A prema dielu od B stajati kao S 1 /. = 46 . Pri stečajnoj imovini iznosi imutak (activa) 37500 for., a du- govi (passiva) 210000 for.; koliko °/o dobiju vjerovnici, ako razdioba medju sve bude jednaka ? 47 . Mjenica za 928 for., plativa dne 15. Listopada, plati se 2. Bujna sa 6°/ 0 oduzetka; koliko iznosi oduzetak? 48 . Od njeke predje htjelo bi se sgotoviti 20 truba tkanine, svaka 36-8m duga. Ali kad se več 11 truba dogotovilo, bude na- redjeno, da se od ostatka izradi još 12 truba; koje če sada dužine biti svaka ta truba? 49 . Njeko tielo prevali za 81 časak 672-3 m; koliko če mu vre¬ mena trebati za prugu 215-8«? kraču? 50 . Od koje glavnice mjesečna dobit po 5 3 / 4 % iznosi 26 for. 76 novč.? 139 51 . Glavnica dana u zajam po 5°/ 0 uzeta je poslije 2 godine skupa sa dobiti natrag, a po tom je ciela svota uložena po 6°/ 0 ; kolika bijaše prvobitna glavnica, ako godišnja dobit sadašnje glavnice iznosi 429 for.? 52 . Trgovac je kupio dvie trube sukna različite dobrote, 36 m po 3'75for. a 30« po 4-20 for.; razprodajom prve trube dobije on 16°/ 0 ; koliko °/o dobije na drugoj trubi. ako je za prodane obje trube skupa primio 301-5 for. ? 53 . Njetko je za cienu robe, od koje mu je popušteno l^o/o, platio 1551 for.; a) kolik je bio popust, b) kolika ciena robe? 54 . Koliko dobiti dade glavnica od 2896 for. po 5 1 / 2 °/o za 2 go¬ dine 6 mjeseci ? 55 . Kolika glavnica dade za 1 godinu 8 mjeseci toliko isto dobiti, kao 3715^2 for. za 2 godine 4mjeseca? 56 . Kolika je uz 5°/ 0 dobiti sadašnja vriednost od 100 for., plativih a) poslije 1 godine, b) poslije 2 godine, c) poslije 6 mjeseci? 57 . Za robu, koja je kupljena za 1740 for., plačeno je poradi oprav- nine 1770 for. 45 nove.; koliko °/o iznosi opravnina? 58 . Za svilu kupljenu pod cienu od 9842-47 for. iznosi opravnina 147-39 for.; koliko je to %? 59 . 1 centa ulja kupljena je za 56 for.; po što treba hj prodavati, da se dobije 12°/ 0 ? 60 . U prodajnoj cieni njeke robe od 1590 for. sadržan je dobitak od 90 for.; koliko taj iznosi °/o ’ 61 . Od dviju cievi napuni jedna njeki vodnjak za 2 sata 10 časova, druga za 1 sat 45 časova; ako pak prva ciev daje svakoga sata 4-2 U vode, koliko daje druga za lsat? 62 . Po koliko °/o dade glavnica a) od 2092 for. za 2'/s godine 621'5for. dobiti? I) „ 8250 „ „2 „ 7 mjes. 852-5 „ „ ? c) „ 3690 „ „ 4 „ 811-8 ,, „ ? 63 . Kuca, koja je sagradjena glavnicom od 28500 for., nosi go- dišnje najamnine 2096 for.; godišnje dače iznose 554 foi\, za popravke računa se godišnjik 130 for. Koliko °/o dobiti daje potrošena glavnica? 140 64 . Hranivo raška (krtola) stoji prema hranivu biele cvekie kao 16 7 /io : 10 3 / 4 ; koliko kg biele cvekie ima istu množinu hra¬ niva kao 100 kg raška? 65 . Novi austr. desetaci imaju čista srebra 400 tisučina a težinu od l 2 /..,