Simetrični stožci v evklidskih prostorih Znanstvene monografije Fakultete za management Koper Uredniški odbor izr. prof. dr. Roberto Biloslavo prof. dr. Stefan Bojnec prof. dr. Slavko Dolinšek doc. dr. Justina Erčulj izr. prof. dr. Tonči A. Kuzmanic prof. dr. Zvone Vodovnik ISSN 1855-0878 O * J 'V • i ^ Simetrični stožci v evklidskih prostorih Rok Strašek Management % Simetrični stožci v evklidskih prostorih izr. prof. dr. Rok Strašek Strokovni recenzenti • prof. dr. Borut Zalar, izr. prof. dr. Maja Fošner in doc. dr. Ajda Fošner Izdala in založila • Univerza na Primorskem, Fakulteta za management Koper, Cankarjeva 5, 6104 Koper Oblikovanje in tehnična ureditev • Alen Ježovnik Oktober 2010 © 2010 Fakulteta za management Koper Monografija je izšla s finančno podporo Javne agencije za knjigo Republike Slovenije CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 514.17:512.646.33 STRAŠEK, Rok Simetrični stožci v evklidskih prostorih [Elektronski vir] / Rok Strašek. - El. knjiga. - Koper : Fakulteta za management, 2010. -(Znanstvene monografije Fakultete za management, ISSN 1855-0878) Način dostopa (URL): http://www.fm-kp.si/ zalozba/ISBN/978-961-266-074-1.pdf ISBN 978-961-266-074-1 COBISS.SI-ID 252744704 Kazalo 1 Uvod • 7 1.1 Pojem stožca • 7 1.2 Delno urejeni stožci • 12 1.3 Dualni stožci in polare • 14 1.4 Avtomorfizemska grupa • 22 2 Lorentzovi stožci • 29 2.1 Posebna teorija relativnosti • 29 2.2 Prostor-čas Minkowskega • 31 2.3 Lorentzova grupa • 37 2.4 Splošni Lorentzovi stožci v M" • 42 3 Sieglovi stožci • 49 3.1 Kvaternioni in pozitivne matrike • 49 3.2 Dualnost matričnih stožcev • 59 3.3 Homogenost matričnih stožcev • 63 3.4 Vložitev pozitivnih matrik v algebraično strukturo • 66 4 Simetrični stožci • 69 4.1 Liejeve algebre • 69 4.2 Simetrični stožci in Liejeve algebre • 76 4.3 Simetrični stožci in Jordanske algebre • 81 5 Algebraična analiza evklidskih algeber • 87 5.1 Jordanske algebre • 87 5.2 Minimalni polinomi • 93 5.3 Evklidske algebre in projektorji • 94 5.4 Mc Crimmonov operator in obrnljivost • 101 5.5 Pierceova dekompozicija • 110 5.6 Hurwitzove algebre • 129 6 Strukturna analiza evklidskih algeber • 143 6.1 Ideali • 143 6.2 Enoličnost skalarnega produkta • 146 6.3 Klasifikacija evklidskih algeber z rangom < 2 • 148 6.4 Algebre Her( m, A ) • 152 6.5 Klasifikacija evklidskih algeber z rangom > 3 • 158 7 Klasifikacija simetričnih stožcev • 169 7.1 Stožec kvadratov evklidske algebre • 169 7.2 Simetričnost stožca kvadratov • 172 7.3 Simetričen stožec in stožec kvadratov • 174 7.4 Klasifikacija simetričnih stožcev • 175 Literatura 179 1 Uvod 1.1 Pojem stožca V obravnavi mnogih fizikalnih, inženirskih in matematičnih problemov se poleg gladkih struktur pojavljajo tudi strukture z robovi, vogali, klini in podobnimi negladkimi lastnostmi. Smiselen model za obravnavo takih mnogoterosti predstavljajo stožci v Rn. Stožec P, kot podmnožico prostora Mn, definiramo kot množico, ki izpolnjuje pogoj: produkt elementa stožca s pozitivnim številom iz obsega realnih števil je element stožca. Simbolno pogoj zapišemo R+P C P. Stožcu P, ki zadošča pogoju: vsota elementov iz stožca je element stožca, pravimo konveksen stožec. Očitno je omenjena definicija konveksnosti v skladu z običajno definicijo konveksnosti. Simbolno pogoj konveksnosti zapišemo P + P CP . Stožcu, ki zadošča le pogoju R+P C P pravimo nekonveksen stožec. Zgled 1. V R sta množici P = (0, to) in P = [0, to) očitno konveksna stožca. Prvega imenujemo odprti, drugega pa zaprti konveksni stožec. Zgled 2. V R2 sta množici P = { (x,y); x,y > 0 } in P = { (x,y); x, y > 0 } konveksna stožca. Omenjena stožca lahko zapišemo kot kartezični produkt stožcev prejšnjega zgleda oziroma v obliki (0, to) x(0, to) ter [0, to) x [0, to). Stožec, ki ga lahko zapišemo kot produkt stožcev nižje dimenzije, imenujemo reducibilni stožec. Sicer stožcu pravimo, da je ireducibi-len. V zgledu 2 smo se prepričali v obstoj reducibilnih konveksnih stožcev. V prostoru R2 pa obstajajo tudi ireducibilni konveksni stožci: Stožec P = { alt + 3 b ; a, 3 > 0 } Zgled 3. V prvem kvadrantu izberimo vektorja ~čt = (x1,y1) in b = (x2,y2) ter pokažimo, da množica podana s predpisom P = { a~čt + fi b ; a, fi > 0 } predstavlja stožec v R2. Pokazati zadošča zaprtost množice P za množenje z nenegativnim skalarjem. Naj bo 1 E P in y > 0. Ker je 1 = a~čt + fi 1 ,a,fi > 0, sledi Y C = y (a~čt + fib ) = y ali + y fib EP. Pokažimo še zaprtost množice P za seštevanje, oziroma konve-ksnost stožca P. Naj bosta C in ~čt EP. Potem velja C = ai Č + fii b in ~čt = a2 ~čč + fib , a\, a2, fi\ ,fi2 > 0 . Od tod sledi 1 + 1 = a1 ~čt + fi1 b + a2 ~čt + fi2 b = = ( ai + a2 )-Č +(fii + fi2 )-b EP + P C P . Zgoraj definirana množica P je torej ireducibilen konveksen stožec v R2. Zgled 4. Naj bo množica P unija dveh disjunktnih množic, P1UP2 iz zgleda 3. Dokazali smo, da sta P1 in P2 vsaka zase stožec. Očitno je tudi njuna unija stožec, ki pa ni konveksen. Če namreč vzamemo a E P1 in b EP2, njuna vsota a + b ni nujno element P. Zgled 5. Primer ireducibilnega stožca v R3 predstavlja množica V = {(x,y,z)] \J x2 + y2 < z in z > 0}. Prepričajmo se, da omenjena množica predstavlja konveksen stožec. Dokazati moramo, da V zadošča pogojema definicije. Dokažimo najprej zaprtost V za množenje s skalarjem a > 0. Ker je \/x2 + y2 < z, za vsak a > 0 velja ■\f (ax)2 + (ay)2 = a\/x2 + y2 < az , kar pomeni, da množica P predstavlja stožec. Pokažimo še njegovo konveksnost. Naj bosta a = (x\,y\,Z\) in b = (x-2,2/2,^2) S V. Potem za a, in b velja \Jx2 + y\ < Z\ in \J x\ + y2 < z2> oziroma + y'l + \Jx22 + y\ < zi + 22 • Po kvadriranju dobimo x'f + y21+x22+y22+2 sj'x2 + y2 sj'x\ + y\ < (21 + z2)2 . Od tod, z uporabo neenakosti 2 \!xl + Vi \!x2 + vi > 2(a?ix-2 + 2/12/2), sledi x\ +y1+x2+y|+2(xiX2+yiy2) = (xi +X2)2+(yi +y2)2 < (zi+Z2)2. Ker je z i + Z2 > 0, dobimo V(xi + X2)2 + (2/1 +2/2 )2 < Zi + z2 . Podobno bi pokazali, da je tudi množica P = { (xi \J+ x2 + ■ ■ ■ + .T,2_ 1 < xn in xn > 0 } ireducibilen konveksen stožec prostora Rn. Stožec P imenujemo tudi Lorentzov stožec. Lorentzov stožec bo predmet posebne obravnave naslednjega poglavja. Naj bo P stožec prostora V. Podmnožico Q stožca P imenujemo podstožec, če velja a + b eQ in aa eQ Va,b eQ in a > 0. Stožci realnega vektorskega prostora zadoščajo lastnosti krajšanja a + c = b + c ^ a = b, V a,b,c eP. Drži pa tudi obrat trditve. Ce elementi stožca P izpolnjujejo omenjeno lastnost, je P stožec realnega vektorskega prostora. Toda v splošnem ne velja, da je poljuben stožec tudi stožec vektorskega prostora. Zgled 6. Z Conv(P) označimo množico vseh nepraznih konveksnih podmnožic stožca P. Očitno je Conv(P), opremljena z običajnima operacijama seštevanja in množenja množic A + B = { a + b; a eP in b eP} A, B e Conv(P), aA = { aa; a eP} A eP in a > 0, stožec. Za konveksnost Conv(P) zadošča pokazati, daje (a+()A = aA + (A. Očitno je (a + (3)A podmnožica aA + /3A. Pokažimo še obratno inkluzijo. Vzemimo poljuben element c e aA + (A. Element c potem lahko zapišemo kot c = aa + (b, kjer a,b e A. Ker je c = (a + P) ( —j—r a H j—r b, \ a + (3 a + p ) zaradi konveksnosti A velja a3 a, H--—- be A, a + 3 a + p od koder sledi c e (a + P)A. Opazimo, da množica nepraznih konveksnih podmnožic realnega vektorskega prostora tvori stožec, ki ne zadošča lastnosti krajšanja. Primer stožca, ki ne zadošča lastnosti krajšanja predstavlja tudi naslednji Zgled 7. Naj bo P stožec in X poljubna množica. Z F(X, P) označimo množico vseh funkcij definiranih na X, katerih zaloga vrednosti je P. Če v F(X, P) definiramo operaciji seštevanja in množenja s skalarjem po točkah, predstavlja F(X, P) stožec, v katerem ne velja pravilo krajšanja. Zgled 8. Eden osnovnih načinov generiranja konveksnih stožcev izhaja iz teorije nelinearnega programiranja, kjer iščemo ekstreme danih funkcij na konveksnih, a včasih negladkih, množicah. Naj bo torej K C Rra konveksna množica in b sK. Definirajmo P = { Y(0); Y: [0, T] — K gladka , 7(0) = b } , kjer je 7(0) = lim M^l . W t^o t t>0 Pokažimo, zaprtost množice P za množenje z nenegativnim skalarjem in seštevanje. Naj bo v s P tak, da je v =Y(0) in y : [0,T] — K. Za a > 0, definirajmo S: [0, —> /C s predpisom 5(t) = y(at). Ker je potem 5 (0) = aY (0) = av, in 5(0) S P, sledi R+P C P. Vzemimo v,w SP taka, daje v = 7(0), w = 5(0) in 5 :[0, T] — K. Definirajmo e :[0,T] — K na naslednji način e(t) = ±7(t) + ±5(t). Hitro se lahko prepričamo, da je e dobro definirana in velja e(0) = \ v + G V . Po prej dokazanem sledi, da je 2 (| v + ^ w ) = v + w G V. Zgoraj definirana množica P je torej konveksen stožec. Dokažimo, da za konveksno množico K in stožec P velja KCb + P. Vzemimo poljubno točko b S K in zapišimo j(t) = b + t (k — b). Ker je 7(t) = —b + k, sledi 7(0) = —b + k sP. Od tod sledi, da je k = b + (—b + k) S b + P. Stožec P = { Y(0); 7 :[0,Tj iK gladka, 7(0) = b } 1.2 Delno urejeni stožci Naj bo dan končno razsežen realen vektorski prostor V. Prostor V je delno urejen vektorski prostor, če je opremljen z relacijo delne urejenosti <, ki je usklajena z naslednjima pogojema (i) a < b ^ a + c < b + c V a,b,c EV (ii) a < b ^ aa < ab V a,b EV in a > 0 . V prostoru V izberimo stožec P, ki zadošča pogoju P H —P = {0}. Stožec P v prostoru V določa delno urejenost < z naslednjim predpisom: če a,b E V, potem a < b b — a EP . Hitro se lahko prepričamo, da zgoraj definirana relacija < res delno ureja vektorski prostor V. Najprej preverimo refleksivnost, antisi-metričnost in tranzitivnost: Va EP velja a — a = 0 EP^ a < a. če je a — b EP in b — a EP ^ a — b = b — a = 0 oziroma a = b. če je b — a EP in c — b EP, zaradi zaprtosti P za seštevanje velja c — a = c — b + + b — aEP + P CP ^ a 0. Stožec P torej v prostoru V določa neko delno urejenost. Velja pa tudi obrat trditve. Poljubna relacija delne urejenosti < vektorskega prostora V, usklajena s pogojema (i) in (ii), določa v V nek stožec. Naj bo V+ = { a eV; a > 0 } in > relacija usklajena s pogojema (i) in (ii). Pokažimo najprej, da je V+ zaprta za seštevanje. Če sta a,b e V+ velja a > 0 in b > 0. Ker > ustreza pogoju (i), je a + b > 0 + b. Zaradi tranzitivnosti je potem a + b > 0, od koder sledi a + b eV+. Pokažimo še zaprtost V+ za množenje s pozitivnim skalarjem. Če a e V+ in a > 0, zaradi pogoja (ii) sledi aa > 0, oziroma aa e V+. Množica V+ je torej stožec, ki ga imenujemo pozitivni stožec delno urejenega prostora V. Elemente v V+ imenujemo pozitivni elementi. Podobno definiramo negativni stožec, kot množico V- = { a e V; a < 0 }. Elemente v V- imenujemo negativni elementi. Zgled 1. Prostor R je s stožcema P = (0, to) in P = [0, to) delno urejen vektorski prostor. Zgled 2. Vektorski prostor R2 je s stožcem P = { (x,y); x,y > 0 } primer delno urejenega vektorskega prostora, ki ni linearno urejen. Vektorski prostor je namreč linearno urejen, če je delno urejen in za vsak par elementov a in b tega prostora velja bodisi a < b, bodisi b < a. Če vzamemo elementa a = (1,1) in b = (0, 2), njuni razliki a — b = (1, —1) in b — a = (—1,1), ne ležita v P, tako da ne velja niti a < b niti b < a. Zgled 3. Naj bo X poljubna neprazna množica. Če v prostoru F(X, R) definiramo urejenost na naslednji način f < 9 ^ f (x) < g(x), Vx e X, pripadajoči stožec predstavlja množica nenegativnih realnih funkcij. Hitro se lahko prepričamo, da prostor F(X, R) ni linearno urejen. 1.3 Dualni stožci in polare Naj bo W n-dimenzionalen vektorski prostor nad obsegom realnih števil. V W naj bo skalarni produkt definiran na običajni način ((xi,x2,.. .,xn), (yi ,y2,... , y-n)) = xiyi + x2y2 + ... + xnyn . Na običajni način vpeljimo tudi pojem evklidske razdalje II x II2 = (x,x) . Danemu stožcu P prostora W priredimo množico P * = { y eW; (x,y) > 0, V x eP}, in jo imenujmo dualni stožec stožca P. Očitno je zaradi aditivnosti in homogenosti skalarnega produkta množica P * stožec prostora W. Naj bo x eP in {yn}n^N poljubno konvergentno zaporedje vektorjev iz P * z limito y. Očitno velja lim (x,yn) = (x, lim yn) = (x,y). nn Ker je (x,yn ) > 0, za vsak n e N, sledi tudi nenegativnost limitne vrednosti za vsak x e P .Po definiciji dualnega stožca je potem y eP*. Stožec P * je torej vedno zaprta množica. Zgled 1. Naj bo P stožec iz zgleda 1.1.3, torej množica točk prvega kvadranta, ki ju določata vektorja it in b . Oglejmo si najprej geometrijsko mesto točk, ki zadoščajo pogoju (x,a) > 0, za a e R2. Po zgornji definiciji skalarnega produkta je to polprostor, ki vsebuje točko a in katerega rob poteka skozi koordinatno izhodišče O ter je pravokoten na zveznico skozi O in a. Množica točk y e P*, ki zadošča pogoju (x,y) > 0, x e P, je torej presek takih polprostorov. Če je rob stožca P generiran z vektorjema 1 = ( x1,y1) in b =(x2,y2 ), x1,x2,y1,y2 > 0,jerob njemu dualnega stožca P * generiran z vektorjema 1 = (—y1,x1) in 11 = (y2, —x2 ). Če za stožec P izberemo 1.kvadrant, opazimo, da je njegov dualni stožec kar 1. kvadrant, oziroma P = P*. • •/•......c^-..... v. .\\\\\\\\\\\\ Dual stožca P = { a~čt + / ) ; a, / > 0 } V nadaljevanju bo predmet posebne obravnave množica 5° = { y eW; (x,y )<1, V x eS}, ki jo imenujemo polarna množica oziroma polara množice S. Zgled 2. Naj bo množica S stožec P iz zgleda 1.1.3. Geometrijsko mesto točk, ki zadoščajo pogoju (x,a) < 1, za a = (xi ,y1) e R2, predstavlja polprostor, ki ne vsebuje točke a in katerega rob predstavlja premica y = — + Množica točk y G 5°, ki zadošča pogoju (x,y) < 1, x e P, je potem presek takih polprosto-rov. Če je rob stožca P generiran z vektorjema = (x1 ,y1) in b = (x2, y2 ), x1, x2, y1 ,y2 > 0, je rob njegove polare S° generiran z vektorjema -- = ( -y2, x2 ) in f = (y1, -x1). Ttditev 3.1. Naj bo S poljubna zaprta, konveksna množica, ki vsebuje element 0. Potem velja S °° = S . Dokaz: Inkluzija S C S°° je očitna. Kot dokaz inkluzije S°° C S zadošča pokazati: če x0 e S, potem obstaja tak y, da za vsak x eS velja (x,y) <1 in (x0 ,y) > 1. Naj bo x1 eS tak, daje razdalja od x1 do x0 minimalna. Za vsak x eS, torej velja II x - xo II > II x1 - xo II. Za 0 < A < 1 in x eS, zaradi konveksnosti S, sledi Xx+(1-A) x1 e S. Od tod velja II Ax + (1 - A) x1 - x0 II2 > I\x1 - x0 II2 oziroma A2 || x — xi ||2 + 2A (x — x\,xi — x0 ) >0 . Ker neenakost velja za vsak 0 < A < 1, mora neničelen koren polinoma na levi, ki je enak —2 Xlj>Xl ' ? biti negativno število. IIx xi ii To pomeni, da je (x — x\, xi — x0 ) >0, in od tod (x,xo — xi) < (xi,xo — xi) . Če je x = 0, sledi (xi,xo — xi) > 0 . Ker je (x0 — xi,x0 — xi) > 0, obstaja tak n> 0, da velja (xi,x0 — xi) < \1 < (x0,x0 — xi) , Za vsak x SS torej velja (x,x0 — xi) < (xi ,x0 — xi ) < fl < (x0, x0 — xi) . Od tod sledi, da y = — x\) zadošča pogoju trditve. □ Ttditev 3.2. Za poljuben neprazen in zaprt stožec P velja P•• = P. Dokaz: Dokažimo najprej enakost Po = —P•. Naj bo y S P • .Po definiciji duala je potem (P,y) > 0, oziroma (P, —y) < 0. Ker je očitno (P, —y) < 1, sledi —y S Po in —P• C o. Naj bo y e Po. Za vsak x eP torej velja (x,y) < 1. Ker je P zaprt za množenje z nenegativnim skalarjem, je zaprt tudi za množenje z n G N in velja (nx, y) < 1. Od tod je (x,y) < za vsak n G N, oziroma (x,y) < 0. Ker je potem (x, —y) > 0, za vsak x e P, sledi —y e P* in Po C —P*. Od tod torej dobimo Po = —P*. Po dokazanem velja P** = —(P*)0 = —(—P0)0 . Ker je (—P)0 = —(P0), sledi — (—P0)0 = —( — (P00)). Ker po trditvi 3.1 velja —( — (P00)) = P, sledi P** = P. □ Trditev 3.3. Naj bo P poljuben stožec. Potem je P0 konveksen stožec, za katerega velja P0 = {y; (y, P)<0}. Dokaz: Naj bo P stožec. Poglejmo njegovo polaro. Po definiciji je y e P0 ^ (y, P) < 1. Zaradi zaprtosti P za množenje z nenegativnim skalarjem velja (y, R+P) < 1 ^ R+ (y, P) <1 ^ (y, P)<0 . Od tod sledi P0 = {y; (y, P)<0}. Pokažimo, da je P0 stožec: (i) y1,y2 eP0, (yx + y2, P) = (y1, P) + (y2, P) <0 =^P0 + p0 CP0 (ii) (R+y, P) = R+ (y, P) C R+ R- C R- ^ R+ y eP0 ^ R+ P0 CP0 . Naj S + pomeni običajno ortogonalno množico, definirano s predpisom S± = { y eW; (y, S) = 0 } . Očitno je S + vedno podprostor v W. Trditev 3.4. Za poljuben neprazen zaprt konveksen stožec P velja (p * —p*)± = Pn—P. Dokaz: Naj bo z e (P * — P* )±. Ker je P * — P* = { y1 — y2 e W; y1,y2 e P* } in 0 e P*, velja P* C P* — P*. Od tod sledi z e (P*)+, oziroma (P*,z) = 0. Seveda je (P*,z) > 0, od koder sledi z e P**. Po trditvi 3.2 je potem z eP. Po drugi strani je tudi —P * CP* — P* .Po analognem sklepu sledi z e —P. Torej je z ePn —P. Naj bo z ePn —P. Ker sta potem z eP in —z eP za poljuben A e R velja: (i) A > 0 ^ Az eP; (ii) A = 0 ^ Az = 0 eP, zaradi zaprtosti P; (iii) A< 0 ^ A = ^ Az = n(—z) e P. Sledi torej Rz C P. Vzemimo y e P *. Ker je potem (y, P) > 0, sledi (y, Rz) >0 ^ R (y,z )>0 ^ (y,z) = 0 in od tod z e (P*) + . Očitno je potem zaradi (z, P * —P* ) C (z, P * ) — (z, P * ) = 0 , z e (P* —P*)±. □ Trditev 3.5. Naj bo P zaprt neprazen konveksen stožec. Potem je int(P*) = { y ; (x,y) > 0, V x eP\{0}}, in velja ekvivalenca naslednjih trditev: (i) P je pravi, oziroma P n —P = {0} . (ii) int (P*) = 0 . Opomba: int(P*) pomeni običajno notranjost množice v (evklid-skem) topološkem prostoru. Dokaz: Dokažimo najprej int(P *) = { y ; (x,y ) > 0, V x eP \{0} }. Označimo z O = { y; (x,y) > 0, Vx e P\{0}}. Očitno je O = { y ; (x,y) > 0, V x eP in || x || = 1 }. Pokažimo, da je O odprta množica. Ker je množica { x e P; || x || = 1 } = P H Si, presek zaprte in kompaktne množice, je kompaktna. Naj bo y eO. Ker je funkcija f : PH Si —> R+, definirana s predpisom f (x) = (y,x ) zvezna, zavzame na P H Si minimum e > 0. Torej velja (y,x) > e > 0, za vsak x G V fl e -Ky - z,x )|> > t ~ \\V ~ z\\ ■ \\x\\ = e - \\y - z\\ > e - ^ = ^ . Po definiciji je potem z eO, kar pomeni, da je krogla s polmerom | in središčem v točki y vsebovana v O. To pomeni, daje O odprta, od koder sledi O C int(P•). Naj bo y e int(P•). Ce je x e P\{0}, za vsak y+u e P*, || u || < e, velja (y + u,x) > 0, oziroma (y,x) + (u,x) > 0. Denimo, da je ( y,x) = 0. Potem je (u,x) > 0, V u : || u || < e. Če vzamemo u = — t;x / 0, sledi (u,x) = —%(x,x) > 0. Ker je (x,x) / 0, sledi — | > 0, kar je protislovje s predpostavko, da je e > 0. Sledi torej (y,x) > 0, oziroma int(P*) C O. Dokažimo ekvivalenco trditev (i) in (ii). (i) ^ (ii) Naj bo P H -P = 0. Po trditvi 3.4 je (P * - P* )± = 0. Ker je P * konveksen stožec, je P * - P* podprostor. Ker je njegov ortogonalni komple-ment trivialen, je P * -P* = W. To pa pomeni, da P * vsebuje neko bazo prostora W in ima zato neprazno notranjost. (ii) ^ (i) Ker je int(P*) = 0, obstaja tak y, da velja (y, P\{0} ) > 0. Naj bo x e PH-P. Ker sta potem x in -x e P, velja (x,y) > 0 in (-x,y) > 0. Od tod sledi (x,y) = 0, oziroma x = 0. Od tod torej dobimo PH-P = {0}. □ Trditev 3.6. Naj bo U C int(P*) kompaktna. Potem obstaja taka pozitivna realna konstanta p, da za vsak x eP in y eU velja (x,y) >p|| x ||. Dokaz: Trditev je očitna za x = 0. Za i / 0 naj bo u = Zadošča dokazati obstoj takega p > 0, da je (u,y )>p, Vu e S (V) HP,y eU. Odprti dual stožca P = { a~čt + (3 b ; a, ( > 0 } To pa je očitno po prvem delu trditve 3.5, saj je (u,y) strogo pozitivna zvezna funkcija na kompaktni množici (S (V) PlP) xU. □ Ttditev 3.7. Naj bo P zaprt konveksen stožec. Potem je za vsak y G int(P•) množica { x GP; (x,y) < 1 } kompaktna. Dokaz: Ker je množica { x G P; (x,y) < 1 } zaprta in po trditvi 3.6 vsebovana v krogli z radijem je kompaktna. □ Odprtemu konveksnemu stožcu Q prostora W priredimo množico = {y g (x,y) > 0, Vx gH\{0}}, in jo imenujmo odprti dual stožca ft. Simbol ft pomeni zaprtje v evklidski topologiji. Zgled 3. Naj bo Q notranjost stožca P iz zgleda 1.1.3. Očitno je stožec Q odprti stožec. Oglejmo si geometrijsko mesto točk, ki zadoščajo pogoju > 0, za vsak neničelen x G ft. Hitro se lahko prepričamo, da so to ravno vse tiste točke duala P•, ki ne ležijo na njegovem robu. Ttditev 3.8. Zaprtje poljubnega konveksnega stožca je konveksen stožec. Dokaz: Naj bosta x, y G fl. Potem obstajata taki zaporedji in {yn}, da velja x = limxn in y = limyn, xn, yn S Tedaj je (i) x + y = lim:rn + lim yn = lim( xn +!/n)e0^>0 + 0CQ; (ii) a > 0 : ax = lima.r« R+Q C Q . Q je torej stožec. □ Trditev 3.9. Odprt konveksen stožec je notranjost svojega zaprtja, oziroma int(V) = V. Dokaz: Dokažimo najprej inkluzijo V C int(P). Naj bo S G V. Ker je P odprt, obstaja odprta krogla K s središčem v S, ki je vsebovana v V. Ker je V C V, leži K, v V. Od tod sledi, da je S je notranja točka V in V C int( V). Naj bo S £ int(V). Potem obstaja taka krogla /C s središčem v S, da vse njene točke ležijo v V. Včrtajmo v /C n - dimenzionalno hiperkocko Kn, ki vsebuje S kot svojo notranjo točko. Ker ležijo oglišča K.n v V, ležijo torej v V ali na njegovem robu dV. Ce katero izmed oglišč Kn leži na dP, izberemo točke, ki so jim poljubno blizu in ležijo v notranjosti P. Te točke tvorijo n - dimenzionalno hiperkocko K'n, ki vsebuje S, vse njene točke pa ležijo v P. Ker je V konveksen, S leži v V. Odtod sledi int( V) (Z V. □ Omenjena trditev ne velja za poljubni stožec P. Če namreč za P vzamemo stožec iz zgleda 1.1.4, le ta očitno ni notranjost svojega zaprtja. Razlog zato leži v tem, da P ni konveksen stožec. Trditev 3.10. je notranjost Q*. Dokaz: Trditev sledi neposredno iz prvega dela trditve 3.5, če vzamemo V = □ Trditev 3.11. je neprazen natanko takrat, kadar je Qn(-Q) = {0}. Dokaz: Trditev je direktna posledica trditev 3.5 in 3.10. □ Za konveksni stožec Q pravimo, daje sebi dualen, če velja Q = Q*. Po zgoraj navedenih ugotovitvah, je sebi dualen stožec očitno pravi. Stožec P = { alt + [ b ; a, [ > 0 , it± b } je sebi dualen. Zgled 3. Naj bo P stožec iz zgleda 1.1.3. Hitro se lahko prepričamo, da je stožec P = { a~čt + fi b ; a, fi > 0 } sebi dualen natanko tedaj, kadar sta vektorja ~čt in b pravokotna drug na drugega. 1.4 Avtomorfizemska grupa Naj bo Q odprt konveksen stožec. Grupa avtomorfizmov stožca Q je definirana kot množica G(n) = {g g gl(w); g n = n} . Tukaj GL(W) označuje grupo obrnljivih linearnih preslikav na prostoru W. Trditev 4.1 Preslikava g G GL(W) je element G(Q) natanko takrat,, ko je g ft = ft. Dokaz: Ker je g zvezna preslikava za katero velja g Q = sledi g ft C ~gft = ft. Ker je g bijekcija, je tudi g-1 ^ = Zaradi zveznosti g-1 sledi J-^C g~lft = ft. Seveda zaradi bijektivnosti g sledi ft = g g~lft C g ft oziroma g ft = ft. □ Grupa avtomorfizmov G (O,) je torej zaprta podgrupa grupe GL(W). Odprti stožec Q imenujemo homogeni stožec, če grupa avtomorfizmov deluje nanj tranzitivno, tj. Vx,y G Q obstaja tak g G G(Q), da velja g(x) = y. Kot bomo videli v nadaljevanju, g ni enolično določen. Odprti stožec Q imenujemo simetričen stožec, če je homogen in sebi dualen. Zgled 1. Naj bo Q = { (x,y) G M2 ; .t > 0, y > 0, f < f < f }, pri čemer sta (a, b), (c, d) G R2 takšna, da je d > b in ad — bc = 0. V zgledu 1.1.3 smo pokazali, daje Q odprt stožec. Poiščimo njegovo grupo avtomorfizmov. Po definiciji je G(Q) = { A G GL2(R); A Q = Q } . Po trditvi 4.1 ležita A [a, b]T in A [c, d]T na robu stožca Q. Ker sta [a, b]T in [c, d]T baza ravnine in je A obrnljiva, njuni sliki ne moreta ležati na isti premici. Ločimo torej primera: (i) A = ki kia kib A = k2 k2c k2d ki,k2 > 0 ^ A A= a c ki a k2c b d kib k2d 1 ki a k2c ad — bc kib k2d ^ A = d —c —b a kia k2c a c kib k2d b d i A= 1 ad bc kiad — k2bc (k2 — ki)ac (ki — k2)bd k2ad — kibc = : A, (ii) A = ki ki c ki d A = k2 k2a k2b ki,k2 > 0 ^ A A= a c ki c k2a b d ki d k2 b 1 ki c k2a ad — bc ki d k2b ^ A = d —c —b a kic k2a a c kid k2b b d i A = 1 ad — bc kicd — k2ab k2a2 — kic2 k2d2 — ki b2 k2 ab — kicd = : A, . Množica { Ai, Aj; ki, k2 > 0 } je torej grupa avtomorfizmov stožca Q. Zgled 2. Oglejmo si poseben primer stožca Q iz prejšnjega zgleda. Naj bo (a, b) = (1, 0) in (c, d) = (1,1). Grupa avtomorfizmov G(Q) je potem generirana z matrikami oblike Ai = ki k2 - ki 0 k2 in Aj = ki k2 - ki k2 -ki ki,k2 > 0. Ali grupa G(Q) deluje na stožcu Q tranzitivno? Preveriti zadošča, ali za poljubna (x,y), (u,v) G Q obstaja tak A G G(Q), da velja A[x,y]T = [u,v]T. Ker sta (x,y), (u,v) G Q velja 0 < y < x in 0 < v < u. Ločimo primera: (i) (a) ki k2 — ki 0 k2 x y = u v ki(x — y) +k2y k2y = u v ^ k2 := v in ki u — v y x-y' ki k2 — ki k2 —ki x y = u v ki(x — y) +k2y k2x — kiy = u v ^ ki := xu - yv x2 — xy + y2 in k2 = v + kiy x Ker grupa G(Q) deluje tranzitivno, je stožec Q po definiciji homogen. Ker Q ni sebi dualen, očitno ni simetričen. Obstajajo torej homogeni nesimetrični stožci. Zgled 3. Naj bo Q stožec iz zgleda 1.4.1, pri čemer je (a, b) = (1, 0) in (c,d) = (0,1). Pripadajoča grupa avtomorfizmov je generirana z matrikama oblike Ai = ki 0 0 k2 in Aj = 0 k2 k2 0 , ki,k2 > 0 . Podobno kot v prejšnjem zgledu se prepričamo, da G(Q) deluje na Q tranzitivno. Ker je Q sebi dualen, po definiciji sledi, da je Q simetričen stožec. Avtomorfizemska grupa 1.4 Trditev 4.2. Za poljuben pravi odprt konveksen stožec Q velja G(Q*) = G(Q)*. Če je Q = Q*, potem za vsak g S G(Q) velja g* S G(Q). Dokaz: Naj bosta g G G(Q) in y G Ker za vsak neničelen .te!] velja (g(x),y) > 0 , zaradi (g(x),y) = (x,g*(y)), sledi g*Q* C Q*. Analogno zaradi bijektivnosti g sledi tudi (g-1)*Q* = (g*)-1^* C Q*. Od tod sledi g* S G(Q*), oziroma G(Q)* C G(Q*). Če dokaz ponovimo za g S G(Q*), analogno dobimo G(Q*)* C G(Q**). Ker je Q pravi, ima po trditvi 3.5 neprazno notranjost ter po trditvi 3.2 velja Q** = Q. Od tod sledi G(Q*)* C G(Q), oziroma G(Q*) = G(Q)*. □ Odprt stožec smo proglasili za simetričen, če je homogen in hkrati sebi dualen. Po kratkem premisleku, z upoštevanjem zgornje trditve ugotovimo, da homogen pravi in odprt stožec z lastnostjo G(Q)* = G(Q) prav tako karakterizira simetrični stožec. Naj grupa avtomorfizmov G(Q) deluje na odprtem konveksnem stožcu Q. Za x S Q definirajmo množico Gx = { g(x); g S G(Q) } , in jo imenujmo orbita elementa x. Če na stožcu Q definiramo relacijo s predpisom x — y ^^ y S Gx , je — ekvivalenčna relacija, ki stožec Q razdeli na ekvivalenčne razrede. Ekvivalenčne razrede imenujemo orbite delovanja. V zgornjem smislu je odprti stožec Q homogen, tj. grupa avtomorfizmov deluje na stožcu Q tranzitivno, če je orbita delovanja ena sama. Poljubni točki a S Q priredimo množico G(Q)a = { g S G(Q); g(a) = a } in jo imenujmo stabilizator točke a v G(Q). Trditev 4.3. Če je Q pravi odprt konveksen stožec, potem za vsak a S Q velja, da je stabilizator G(Q)a kompaktna množica znotraj GL(W). Dokaz: Naj bo Q pravi odprt konveksen stožec. Pokažimo najprej, daje množica Qn( a—Q) omejena. Naj bo y G in x G Qn( a—Q). Potem lahko pišemo x = v = a — w, pri čemer sta v,w G Po definiciji duala, za v in w velja (y,v) > 0 in (y,w) > 0. Očitno je (x,y ) = (v,y) > 0. Ker velja (x,y) = ( a,y) — (w,y ), ob upoštevanju (a,y ) = a, sledi (x,y) = a — (w,y ) < a in od tod On(fl-Q)C{,TeQ; (x,y) < a} = a{x e {}] (x,y) < 1} . Ker je po trditvi 3.7 množica {.t G (x,y) < 1} omejena, je takšna tudi a { x G (x,y) < 1 }. Ker sta Q in a — Q odprti, je odprta tudi Q fl ( a, — Q ). Ker je ^a G O, fl ( a, — Q ), je očitno tudi neprazna. Po definiciji stabilizatorja elementa a, G(Q)a ohranja množico Q n ( a — Q). Ker Q H (a — Q) vsebuje neko bazo prostora W, sledi, da za vsak g G G(Q)a in x G W, obstaja taka konstanta c, da velja £lMI<||<7(aO|| 0. To pomeni, da je 0 pozitivna in zvezna funkcija na H, oziroma velja 0(h) > e > 0. Od tod sledi / 0(h)dh > e■ dh = e /i(H) = e> 0, HH kjer je dh Haarova mera na H. Za poljuben xo G Q definirajmo a = h(x0)dh. H Ker je integral na desni, po trditvi 2.9 [Faraut, 1994, str. 36], in-varianten za poljuben h G H, je a fiksen glede na H. Ker za vsak y G velja (a, y) = ( / h(xo)dh,y) = / (h(xo)dh,y) J H J H = (h(xo),y) dh = 0(h)dh> 0, HH sledi, da je a G □ Trditev 4.5. Ce je Q homogen stožec, so vse podgrupe G(Q)x, x G izomorfne. Dokaz: Naj bosta a in b G Pripadajoča stabilizatorja sta množici G(Q)a = { g G G(Q); g(a) = a } in G(Q)b = { g G G(Q); g(b) = b } . Zaradi homogenosti Q, obstaja tak go G G(Q), da je go(a) = b. Definirajmo preslikavo 0 : G(Q)a G(Q)b 1 | Uvod podano s predpisom 0(g) = gogg-1. Ker velja 0(g)(b) = gogg-i(b) = gog(a) = go(a) =b, je 0 dobro definirana. Ker velja tudi 0(9h) = go(gh)g-1 = gogg-1 gohg-1 = 0(g) 0(h), je 0 homomorfizem. Preslikava, podana s predpisom 0-1 (h) = g-ihgo je očitno inverz preslikave 0, ki je tako izomorfizem med G(Q)a in G(Q)b. □ 2 Lorentzovi stožci 2.1 Posebna teorija relativnosti Z zakoni klasične fizike v svetu makroskopskih teles shajamo vse dokler se ne soočimo: z opisi pojavov pri katerih postane hitrost teles precej večja, kot je sicer običajno hitrost velikih teles, z opisovanjem elektronov, atomskih jeder, atomov, molekul in pojavov, pri katerih sodeluje le majhno število le-teh ter opisi pojavov, kjer je gravitacijsko polje takšno, da njegov vpliv ni zanemarljiv. Omenjene težave so fizikom dale pobudo za posplošitev zakonov New-tonove mehanike in Maxwellove elektrodinamike na področja, na katerih ti zakoni ne veljajo. Posplošitev Newtonove mehanike na hitre delce je tako privedla do posebne teorije relativnosti, posplošitev klasične fizike na majhne delce do kvantne fizike in posplošitev Newtonove mehanike in gravitacijskega zakona do splošne teorije relativnosti. Razvoj klasične fizike je potekal predvsem na osnovi opazovanja in opisovanja pojavov. Po opravljenem poskusu je sledila analiza rezultatov in oblikovanje zakona. Z vplivanjem na okoliščine v katerih je poskus potekal je iz zakona sledilo oblikovanje izrekov in enačb, ki podajajo odvisnosti med opazovanimi količinami. V moderni fiziki je poskuse le težko izvajati in zato še težje vplivati na okoliščine v katerih potekajo. Razvoj v moderni fiziki zatorej poteka nekoliko drugače. Ze ob samem začetku obravnave kakega problema postavimo trditve, imenovane tudi načela, ki niso v nasprotju z rezultati poskusov. Iz načel nato izpeljemo zakone, iz zakonov pa izreke in enačbe. Dobljeno teorijo naposled sprejmemo za veljavno, če se izreki in enačbe ujemajo z rezultati poskusov. Temeljni načeli posebne teorije relativnosti je leta 1905 s člankom Zur Elektrodynamik bewegter Korper, oblikoval Albert Einstein. Galilejevo načelo relativnosti, ki je zajemalo le mehanične pojave, je razširil tudi na elektromagnetne pojave in s tem dobil načelo relativnosti. Na osnovi načela relativnosti so vsi nepospešeni opazovalni sistemi enakopravni in tako enako uporabni za opisovanje vseh fizikalnih pojavov, ki potekajo v njih. Načelu relativnosti je dodal še načelo o hitrosti svetlobe, ki pravi, da je hitrost svetlobe v praznem prostoru v vseh nepospešenih opazovalnih sistemih enaka. Čeprav ju Einstein ni navedel kot osnovni načeli, posebna teorija relativnosti privzame še načeli o homogenosti časa ter homogenosti in izotropnosti prostora. Prvo pravi, da ima čas enake lastnosti, kot jih je imel v preteklosti in jih bo imel tudi v prihodnosti. Drugo načelo isto lastnost priredi tudi prostoru ter doda, da ima prostor enake lastnosti v izbrani smeri, kot tudi v drugih smereh. Nova načela so predstavljala pobudo za uvedbo nove transformacije, s katero podamo koordinate in čas v nepospešenem opazovalnem sistemu S', če poznamo koordinate in čas v nepospešenem koordinatnem sistemu S. Čeprav je izhodišče oblikovanja nove transformacije predstavljala Galilejeva transformacija, ki je uspešna pri opisovanju gibanj teles z majhnimi hitrostmi, seje Einstein uprl na ugotovitve Hendrika Antoona Lorentza. Njegovo transformacijo je Einstein izpopolnil, do danes znane Lorentzove transformacije ,' vox , t = 70 (t - — ) co x = Yo (x - vot) y' = y z' = z, kjer je vo hitrost opazovalnega sistema S' glede na sistem S, koeficient Yo pa določa enačba Lorentzova transformacija s svojimi enačbami podaja novo pojmovanje prostora in časa. Ugotovitev, da se poleg transformiranja koordinat, transformira tudi čas, napeljuje na definiranje novega pojma. Dogodek je izbran trenutni pojav v neki točki, ki ga določajo štirje podatki: tri koordinate x, y in z ter čas t. Lorentzova transformacija torej dogodku x, y, z, t v nepospešenem opazovalnem sistemu S priredi dogodek x', y', z', t' v nepospešenem opazovalnem sistemu S'. 2 Prostor-čas Minkowskega 2.2 2.2 Prostor—čas Minkowskega Ker v Lorentzovi transformaciji čas ne nastopa več kot zunanji parameter, ga je smiselno obravnavati kot novo, četrto koordinato. Za obravnavo posebne teorije relativnosti je torej pripraven štiridi-menzionalen prostor, v katerem poleg običajnih koordinatnih osi x, y in z nastopa še četrta koordinata cot. Čeprav je osnovne zamisli o štiridimenzionalnem prostoru podal že Albert Einstein, je njegovo današnjo podobo leta 1908 izoblikoval nemško-poljski matematik Hermann Minkowski. Prostor-čas Minkowskega je torej definiran kot štiridimenzionalen realen vektorski prostor M, pri čemer točkam tega prostora ustrezajo dogodki. Dogodku ct, x, y, z v prostoru M priredimo štiridi-menzionalni vektor ali četverec: x = (x1,x2,x3,x4 ) , pri čemer komponenta ( x1 ) ustreza časovni komponenti četverca, (x2,x3,x4 ) pa krajevni komponenti četverca. Medtem, ko za seštevanje in odštevanje četvercev, ter njihovo množenje s skalarjem, veljajo pravila, ki so posplošitev pravil za računanje s trirazsežnimi vektorji, zaradi načela o homogenosti in izo-tropnosti prostora M, skalarnega produkta ne moremo vpeljati na običajen način. Skalarni produkt v M definiramo s predpisom g(v, w) = v1 w1 — v2w2 — v3w3 — v4w4 , in ga imenujemo Lorentov skalarni produkt. Posebej bomo označevali Q(v) = g(v,v). Lorentzov skalarni produkt očitno ni pozitivno definiten. V prostoru M namreč obstajajo neničelni vektorji v, za katere velja Q(v) = g(v,v) = 0. Vektor v = e1 + e4 je očitno takšen. Zanj namreč velja: g(v,v) = Q(e1) — 2g(e1,e4) + Q(e4) = 1 — 0 — 1 = 0. Neničelne vektorje v, prostora M, za katere velja g(v, v) = 0 imenujemo ničelni ali svetlobni vektorji. Smisel takšnega poimenovanja bo razviden v nadaljevanju. Vektor v prostora M, za katerega je Q(v) enak 1 ali -1, imenujemo enotski vektor prostora M. Bazo { e1,e2,e3,e4 } prostora M, med seboj ortogonalnih enotskih vektorjev imenujemo ortonormirana baza prostora M. Ob kratkem premisleku se nam zastavi vprašanje ali obstaj a baza ničelnih vektorjev prostora M. Naslednji zgled nas prepriča v obstoj takšne baze. Zgled 1. Naj bodo u = e1 + e2, v = e1 + e3, w = e1 + e4 in z = e1 — e2. Ker velja Q(u) = Q(v) = Q(w) = Q(z) = 0, so u, v, w in z ničelni vektorji prostora M. Hitro se lahko prepričamo, da so u,v,w in z tudi linearno neodvisni in zato predstavljajo ničelno bazo prostora M. Seveda pa ne obstaja ničelna baza prostora M, katere bazni vektorji bi bili paroma ortogonalni. Velja namreč Izrek 2.1 Ničelna vektorja v in w G M sta ortogonalna natanko takrat, kadar sta vzporedna, tj. ko obstaja tak t G R, da velja v = Dokaz: Vektorja x in y G M zapišimo v obliki v = a + x in w = fi + y, kjer sta a in fi časovni, x in y pa krajevni komponenti pripadajočih četvercev. Po definiciji Lorentzovega produkta sledi g(v,v) = a2 — (x,x), g(w,w) = fi2 — (y,y), pri čemer je (.,.) običajni skalarni produkt. Ker sta v in w po predpostavki ničelna vektorja, sledi a = ±|| x || in fi = ±|| y ||. Zaradi ortogonalnosti v in w velja 0 = g(v,w) = g (a + x, fi + y) = afi — (x,y) = ±|| x ||-|| y || —(x,y). Ker je || x 11 -| | y || = Kx,y) |, po Cauchy - Schwarzu sledi y = tx, za nek t G R. Ločimo primera (i) v = || x || + x, w = 11| x ||± tx . Ker je g(v, w) = 11| x ||2 ^ t (x,x ) = (t ^ t) || x ||2 = 0 , sledi w = 11| x || + tx = t (|| x || + x) = tv. (ii) v = || x || — x, w = 11| x ||± tx . Ker je g(v, w) = 11| x ||2 ± t (x,x ) = (t ± t) || x ||2 = 0 , sledi w = 11| x || — tx = t (|| x || — x) = tv. Dokaz implikacije v nasprotni smeri je očiten. če je namreč v = tw, sledi g(v, w) = g(tw, w) = t g(w, w) = 0, zaradi ničelnost vektorja w. □ V nadaljevanju si nekoliko podrobneje oglejmo zvezo med poljubnima dogodkoma. Naj bosta x in xo takšna različna dogodka, da je vektor v = x — xo, med dogodkoma xo in x, ničelen oziroma svetloben. Fiziki za taka dogodka pravijo, da sta v razmiku svetlobnega tipa. Ob upoštevanju načela vzročnosti (učinek sledi v času svojemu vzroku), bi zanju veljalo: če dogodek x ustreza iz-sevanju bliska v dani točki (vzrok), potem dogodek xo ustreza sprejetju bliska v neki drugi točki (učinek). Če dogodkoma x in xo v poljubni ortonormirani bazi prostora M, priredimo pripadajoča četverca x = (xi,x2,x3,x4 ) in x0 = (xi0, x20,x30, x40 ), sledi ( xi — xio f — ( x2 — x20 )2 — ( x3 — x30 )2 — ( x4 — x4of = 0 . Zaradi podobnosti zgornje enačbe z enačbo stožca v R3, imenujemo množico, definirano s predpisom P s (xo) = { x eM; Q(x — xo) = 0 } svetlobni ali ničelni stožec prostora M v točki xo. Stožec Ps(xo) torej vsebuje vse tiste dogodke prostora M, ki so s svetlobo vzročno povezani z dogodkom xo. Dogodku x e M, ki je s svetlobo vzročno povezan z dogodkom xo, priredimo svetlobni žarek. Svetlobni žarek, prirejen dogodkoma x in xo je definiran s predpisom Rx,xQ = { xo + t (x — xo); t e R } . Opomba: Na sliki svetlobnega stožca Ps(xo), je krajevni komponenti x3 prirejena vrednost 0. Trditev 2.2. Če je Q(x — x0) = 0, potem velja RX,XQ - RX0 ,X . Dokaz: Naj bo v e RXX0. Obstaja torej tak t e R, da velja v = x+t (x0—x), oziroma v—x = t (x0—x). Ker je Q(v—x) = Q(t (x0 — x)) = t2 Q(x0 — x) = 0, obstaja tak k e R, da je 0 = k2 Q(x — x0) = Svetlobni stožec Ps (xo) Q(k (x — x0)) = Q(v — x0). Od tod sledi v — x0 = k (x — x0), oziroma v = xo + k (x — xo) e Rx0x. Obratno inkluzijo dobimo z zamenjavo vloge elementov x in xo. □ Svetlobni stožec je torej unija svetlobnih žarkov prirejenih dogodku Izrek 2.3. Naj bosta x in x0 različna dogodka, za katera velja Q(x — x0) = 0. Potem velja Rxo ,x = Ps (xo) nVs (x). Dokaz: Naj bo z = x0 + t (x — x0) e RXoxX. Ker je z — x0 = t (x — x0) in Q(x — x0) = 0, sledi z e Ps(x0). Analogno je, po trditvi 2.2., z e PS(x). Sledi torej z e PS(x0) HPS(x), oziroma RxoxX c Ps(x0) nPs(x). Naj bo z e Ps (x0) H P s (x). Potem so vektorji z — x, z — x0 in x — x0 ničelni, tj. Q(z — x) = Q(z — x0) = Q(x — x0) = 0. Ker je z — x0 = (z — x) — (x0 — x), velja 0 = Q(z — x0) = Q(z — x) — 2g(z — x, x0 — x) + Q(x0 — x) = —2g(z — x,x0 — x). Ce je z = x, sledi z e RXox. Če pa z = x, zaradi ortogonalnosti z — x in x0 — x, po izreku 2.1., obstaja tak t e R, da velja z — x = t (x0 — x). Od tod sledi z = x + t (x0 — x) e Rxox, oziroma Ps (x0) H Ps (x) C Rxox. □ Oglejmo si sedaj še poljubna dogodka x in x0, za katera velja Q(x — x0) > 0 ali Q(x — x0) < 0. Če za dogodka x in x0 velja Q(x — x0) > 0, pravimo, da sta v razmiku časovnega tipa. Taka dogodka sta lahko vzročno povezana s pojavom, ki potuje počasneje kot svetloba. Prvi dogodek ustreza na primer prehodu delca mimo dane točke (vzrok), drugi pa prehodu delca mimo druge točke (učinek). Če za dogodka x in xo velja Q(x — xo) < 0, pravimo, da sta v razmiku krajevnega tipa. Taka dogodka ne moreta biti vzročno povezana, saj bi zanju veljalo, da se v danem trenutku zgodita v različnih točkah. Do danes pojava, ki bi bil hitrejši kot je svetloba še nismo spoznali. Izrek 2.4. Naj bo v = a + x vektor časovnega tipa in w = ( + y vektor svetlobnega ali časovnega tipa; a in ( sta pri tem časovni, x in y pa krajevni komponenti četverca. Potem velja ena od možnosti (i) a 3 > 0 , od koder sledi g(v, w) > 0 ali (ii) a(< 0 , od koder sledi g(v,w) < 0 . Dokaz: Po predpostavki je g(v,v) = a2 — (x,x) > 0 in g(w,w) = 32 — (y,y ) >0. Ker je a2 > (x,x) in (2 > (y,y ) sledi (a( )2 > (x,x )(y,y) > (x,y )2. Od tod sledi | a( | > | (x,y) |, oziroma a( = 0. Denimo, da je a( > 0. Potem je a( = | a( | > Kx,y) | > (x,y). Od tod sledi g(v,w) = a( — (x,y) > 0. Po drugi strani za a( < 0 velja —a( = | a( | > Kx,y) | > — (x,y). Ker je g(v, w) = a( — (x,y) < 0, sledi g(v, w) < 0. □ Posledica 2.5. Naj bo v = a + x od nič različen vektor. Denimo, da je pravokoten na vektor w = ( + y, ki je časovnega tipa. Potem, je v krajevnega tipa. Dokaz: Vektor v je lahko časovnega, svetlobnega ali krajevnega tipa. Če je v časovnega ali svetlobnega tipa, po izreku 2.4 sledi, da je g(v,w) = 0. Ker je po predpostavki g(v,w) = 0, preostane le tretja možnost. Vektor v je krajevnega tipa. □ Označimo z t množico vseh vektorjev časovnega tipa prostora M. Na množici t definirajmo relacijo — s predpisom u,v S t : u — v ^^ g(u, v) > 0 . Pokažimo, da je — ekvivalenčna relacija, ki podprostor vseh vektorjev časovnega tipa razdeli na dva ekvivalenčna razreda. • refleksivnost: sledi iz definicije časovnosti • simetričnost: sledi iz simetričnosti Lorentzovega produkta • tranzitivnost: Naj bo v ~ w in w ~ u. Pišimo v = x + a, v = y + fi in u = z + 7. Ker je v ~ w, po definiciji sledi (x,y ) < afi in — (x,y) < | afi |. Od tod sledi 0 < afi + | afi |, oziroma afi > 0. Po analognem sklepu dobimo fij > 0. Ker imajo a in fi ter fi in 7 paroma iste predznake sledi, da imata tudi a in 7 isti predznak. Velja torej aj > 0. Ker je (x,z) < || x ||-|| y || < | a ||y | = | aj | = a^, sledi v ~ u. Vektorja v = 1 + 0 in w = —1+0 sta očitno časovnega tipa. Ker je g(v,w) = —1 < 0, velja 0 + 1 fi 0 — 1. To pa pomeni, da sta ekvivalenčna razreda, na katera ~ razdeli prostor M, vsaj dva. Naj bodo u,v in w vektorji časovnega tipa. Denimo, da ležijo v različnih ekvivalenčnih razredih. Njihove časovne komponente so potem bodisi pozitivne bodisi negativne. Ker so vektorji trije, se vsaj dva (naprimer u in v) ujemata v predznaku časovne komponente. Po izreku 2.4 je tedaj g(u,v) > 0, kar je v protislovju s predpostavko, da u in v ležita v različnih razredih. Ekvivalenčni razred časovnih vektorjev s pozitivno časovno komponento označimo s t +, razred z negativno časovno komponento pa s t-. Za vsak xo gM definirajmo množice Pt (xo) = { x GM; Q(x — xo) > 0 } , P+(xo) = { x; x — xo G t + } = PT(xo) n t + , P- (xo) = { x ; x — xo G t- } = PT(xo) H t-in dokažimo naslednjo Trditev 2.6. Množica P+(xo) je konveksni stožec glede na xo, oziroma P+(0) je konveksni stožec v običajnem smislu. Dokaz: Ker je P+(0) = { a + x ; || x || < a },za poljuben pozitiven A velja || Ax || = A || x || < Aa. Torej je Aa + Ax G P+(0). Če sta a + x in fi + y G P+ (0), velja || x || < a in || y || < fi .To pomeni, da je || x + y || < || x || + || y || < a + fi, Časovni stožec vt (xQ) od koder sledi (a + 3) + (x + y) = (a + x) + (3 + y) e P+ (0). □ Analogno bi pokazali, da sta tudi P- (x0) in PT(x0) stožca. Stožec PT(x0) imenujemo časovni stožec, stožec P+ (x0) stožec prihodnosti in stožec P- (x0) stožec preteklosti. Časovni stožec PT(x0) je torej notranjost svetlobnega stožca Ps(x0). Notranjost tega stožca po eni strani zajema tiste dogodke, ki so mogoča preteklost dogodka x0, stožec P- (x0), po drugi strani pa dogodke, ki so mogoča prihodnost dogodka x0, stožec P+ (x0). Če analogno, kot smo to storili za časovni stožec, tudi svetlobni stožec zapišemo kot unijo P+ (x0) in P- (x0), stožec P+ (x0) ustreza dogodkom, do katerih bi lahko prispel svetlobni blisk, ki bi bil izsevan v danem trenutku, stožec P- (x0) pa dogodkom, v katerih bi morali biti izsevani svetlobni bliski, da bi dospeli do danega dogodka. Če smo dogodkoma svetlobnega stožca ali njegove notranjost lahko priredili pojav, za zunanjost tega ne moremo storiti. Zunanjosti svetlobnega stožca namreč pojavi, ki izhajajo iz danega dogodka, ne morejo doseči. 2.3 Lorentzova grupa Naj bosta x in y poljubna dogodka prostora M. Definirajmo množico Lorentzovih transformacij s predpisom Lg = { A e GL4 (R); g (Ax, Ay) = g (x, y) } . Ttditev 3.1. Množica Lg je grupa. Dokaz: Matrika A = I je očitno element Lg. Vzemimo A in B G Lg. Potem velja g(ABx, ABy) = g (A ■ Bx, A■ By) = g(Bx, By) = g(x, y), od koder sledi AB G Lg. Naj bodo A G Lg in x,y G R4. Potem obstajata u in v taka, da velja Au = x in Av = y. Ker je g(A-lx, A-1y) = g(u, v) = g(Au, Av) = g(x, y), sledi A-1 gLg. □ Opomba : Lorentzov skalarni produkt lahko pišemo tudi v obliki g(u, v) = (Ju, v ), kjer je J 10 0 0 0 —10 0 0 0 —10 0 0 0 -1 in (.,.) običajni skalarni produkt v R4. Trditev 3.2. Denimo, da A G GL4(R) ohranja Lorentzov skalarni produkt. Tedaj je A* J A = J , kjer je A* običajno adjungiranje. Dokaz: Če je g(Au,Av) = g(u,v), je zaradi zgornje opombe (JAu, Av ) = (A* J Au, v ) = (Ju, v). Od tod očitno sledi A* J A = J. □ Trditev 3.3. Ce je A G GL4(R) Lorentzova, je Lorentzova tudi A*. Dokaz: Vemo že, da je A* J A = J. Ker je J2 = I, sledi A* J = J A-1 ^ J A* J = J 2A-1 = A-1. Od tod je J A* J2 = A-1 J J A* = A-1 J, oziroma A J A* = AA-1J = J. Od tod sledi A* je Lorentzova. □ Trditev 3.4. Matriko A G Lg pišimo v obliki a x y mJ ' kjer je M G GL3(M), x,y G R3 in a G R. Potem velja (i) M * M = I + x ® x, MM* = I + y ® y, (ii) y = —Mx , x = —M*y , aa (iii) a2 = 1 + || x ||2 , (iv) || x || = || y || < | a | . Dokaz: Ker je A G Lg , velja A* J A = J, oziroma a y 1 0 a x 1 0 x M * 0 - I y M 0 -I a y a x 1 0 x -M* y M 0 -I a2 - || 2 ax - M* y 1 0 " ax - M*y x £ x - M *M 0 -I kjer x ® x pomeni tenzorski produkt vektorja x, oziroma izraz, za katerega velja (x ® x) v = (v,x) x. Od tod direktno sledita enakosti 22 1 x = — M*y in of = 1 + II a: II . a Ker je tudi AJ A* = J, podobno kot prej sledi ay - Mx a2 x 2 ay - Mx y ® y - MM* 1 0 " 0 -I od koder je y = -Mx in a2 = l+ \\y\\2 . a Od tod sledi in || x || = || y || < | a | MM* = I + y ® y, M*M = I + x ® x. Trditev 3.5. Vedno velja a > 1 ali a <-1. Dokaz: Trditev je direktna posledica točke (iii) prejšnje trditve. □ Trditev 3.6. Množica lg+ = { a x y m e Lg ; a > 1} je podgrupa, ki jo imenujemo grupa Lorentzovih transformacij, ki ohranjajo čas. Dokaz: Matrika _ _ 14 = 1 0 0 I3 je očitno element Lg+. Naj bosta A,B e Lg+ in a, ( > 1. Ce A in B zapišemo kot A = a x , B = 3 u y M v N velja AB = a x 3 u y M v N a( + (x,v) au + N*x 3y + Mv MN + y G u Ker je Kx,v ) | < Hx 11-| | v || < | a H ( | = a(, sledi (x,v ) +a ( > 0. Od tod po trditvi 3.5 sledi AB e Lg+. Inverz elementa a x y m je a -y —x M * □ Od tod za vsak A e Lg+ sledi A 1 e Lg+ . Opravičimo ime grupe Lg+ , grupe Lorentzovih transformacij, ki ohranjajo čas. Naj bo v = t + u vektor časovnega tipa s pozitivno časovno komponento. Potem je vektor v e P+, za katerega velja t> || u ||. Ker je sledi a x t at+(x,u) y M u ty + Mu at+(x,u ) > a || u || + (x,u) > a || u || - K x,u) | > Lorentzova grupa 2.3 > a || u || — || x HI) u || = ( a —\\x || )|| u || > 0 in || ty + Mu ||2 = t2W y ||2 + 2t (M *y,u) + (M * Mu,u) = = t2 (a2 — 1) + 2ta (x,u) + (u + (u,x) x,u) = = a2t2 — t2 + 2ta (u,x) + || u ||2 + (u,x )2 < a2t2 + (x,u )2+ + 2at (x,u) = || at + (x,u) ||2 , oziroma at + (x,u) > || ty + Mu ||. Elementi grupe Lg+ torej ohranjajo pozitivnost časovne komponente vektorjev časovnega tipa. Analogno pokažemo, da ohranjajo tudi negativnost časovne komponente. Vzemimo poljubna dogodka časovnega tipa v1 in v2 ter njuni časovni komponenti označimo z t1 in t2. Če za dogodka v1 in v2 velja, t1 > t2, potem tudi za dogodka v'1 in v2, kjer je v'1 = Av1 in v2 = Av2 ter A G LG+, velja t[ > t'2. Trditev 3.7. Če je A Lorentzova transformacija, je det(A) G{ ± 1} . Dokaz: Ker je A* J A = J in det(A) = det(A*) sledi det(A)2 det(J) = det(J) = —1, od koder dobimo det(A)2 = 1, oziroma det(A) = ±1. □ Trditev 3.8. Naj bo Lg++ = { A G Lg+ ; det(A) = 1 }. Tedaj je Lg++ grupa, ki jo imenujemo grupa pravih Lorentzovih transformacij. Dokaz: Lg++ = Lg+ n{ A G GL4(R); det(A) = 1 }. Ker je determinanta multiplikativna, je druga množica jedro homomorfizma det : GL —> R, torej je podgrupa. Ker je presek dveh podgrup tudi podgrupa, je Lg++ podgrupa v GL. □ Trditev 3.9. Matrika M v Lorentzovi transformaciji je unitarna natanko tedaj, ko je x = y = 0 in a = ±1. Množica Lr = { 1 0 0M ; MM* = I in det M = 1 } je podgrupa grupe pravih transformacij Lg++ . Imenujemo jo grupa Lorentzovih rotacij. Dokaz: Z enostavnim računom lahko preverimo, da je matrika " ±1 0 " 0 M\ ' pri M *M = I, Lorentzova. Po drugi strani, po točki (i) trditve 3.4 sledi, da je x = 0. Po točki (iii) je potem a2 = 1, oziroma a = ±1. Po (ii) je tudi y = 0. Da je Lr grupa, je očitno. □ 2.4 Splošni Lorentzovi stožci v Rn V nadaljevanju si nekoliko podrobneje oglejmo posplošitev ugotovitev prejšnjega razdelka na n-dimenzionalen prostor R x Rn-i. Podobno kot smo v prostor-času Minkowskega definirali Lorent-zov skalarni produkt, definirajmo v R x R"-1 bilinearno formo s predpisom g(v, w) = viwi — v2w2 — ... — vn wn . Zapišimo elementa v in w prostora R x Rn-i v obliki v = a + x in w = 3 + y, kjer sta x = (x2 ,x3,...,xn) in y = (y2 ,y3, ...,yn). Komponenti x in y imenujemo krajevni komponenti, a in 3 pa časovni komponenti vektorjev v in w. Zgoraj definirano formo lahko zapišemo v obliki g(v,w) = a3 — (x,y), kjer je (.,.) običajni skalarni produkt v Rn-i. Tako definirano bilinearno formo imenujemo tudi splošni Lorentzov skalarni produkt. Naj bo L(n) = { v ; g(v,v) > 0 in a > 0 } = { x + a; a > || x || } . V prejšnjem razdelku smo dokazali, da je L(n) za n = 4, odprt konveksen stožec. Podobno bi lahko pokazali, da je za vsak n > 2, množica L(n) odprt konveksen stožec, ki ga imenujemo pozitivni Lorentzov časovni stožec ali stožec prihodnosti. Splošni Lorentzovi stožci v Rn 2.4 Pokažimo najprej naslednjo Trditev 4.1. Vsak Lorentzov stožec L(n), n > 2, je sebi dualen. Dokaz: Stožec L(n) = L je sebi dualen, če velja £ = £* = {v,(v,w) >0,VweZ\{0}}. Pokažimo najprej, daje L C C*. Naj bo a + x g L in [3 + y g £\0. Očitno je 3 > 0. Če bi namreč veljalo 0 = (3 = limn^^ (3n in y = yn, kjer (3n + yn G L, bi zaradi || yn || < (3n sledilo y = 0. To pa je protislovje s predpostavko, da je 3 + y = 0. Zaradi Cauchy- Schwartzove neenakosti sledi Kx,y) | = lim Kx,yn )| < lim || x HHyn || < || x || 3. nn Od tod je (a + x,3 + y) = a/3 + (x,y) >a@ — Hx 11-| | y || > a/3 —Hx || 3 = = ( a — Hx ||) 3> 0. To pomeni, da je a + x GL*. Pokažimo še, da je L* C L. Naj bo 3 + y gL*. Ker je 1 + 0 gL, mora veljati (3 + y, 1 + 0) = 3 > 0. Če je y = 0, je inkluzija očitna. Če je y = 0, poglejmo neničelni element || y || — y, ki je limita elementov oblike 11 y \ \ + ^ — y g C. Očitno je torej 11 y \ \ —y element zaprtja L. Ker je 3 + y GL*, mora veljati 0 < (3 + y, || y ||— y) = || y || (3 — Wy ||), od koder sledi 3 —Wy || > 0, oziroma 3 > || y ||. To pa pomeni, da je 3 + y GL. □ Na povsem podoben način, kot smo to storili v R4, definirajmo množico Lorentzovih transformacij s predpisom Lg = { A g GLn(R); g(Ax, Ay) = g(x, y) } . V nadaljevanju bomo za Lorentzove transformacije ponovno uporabljali bločni zapis a x y mJ , kjer so M e GLn-i(R), a e R ter x,y e Rn-1. Analogno kot v R4 definiramo tudi grupo Lorentzovih transformacij, ki ohranjajo čas, grupo pravih Lorentzovih transformacij in grupo Lorentzovih rotacij. Trditev 4.2. Naj bo A e Lg+ in s > 0. Potem sA ohranja Lorentzov stožec. Dokaz: Naj bo v eL. Pokazati zadošča, da sAv eL. Če v zapišemo v obliki v = 3 + u sledi a x "3" sa3 + s (x,u) y m _ u s3y + s Mu Od tod sledi sa3 + s (x,u) > sa || u || + s (x,u) > sa || u || — s | (x,u )| > > s (a || u || — || x || • || u ||) = s (a — Hx || )|| u || > 0. Ker je, upoštevajoč trditev 3.4 || s3y + sMu ||2 = s232H y ||2 + 2s3 (M*y,u) + s (M*Mu,u) = = s232 (a2 — 1) + 2sa3 (x,u) + s2( u + (u,x) x,u) = = s2a232 — s232 + 2sa3 (u,x) + || u ||2 + s2(u,x )2 , ter velja s3 > s|| u ||, sledi s2a232 — s232 + 2sa3 (u,x) + s21| u ||2 + s2 (u,x )2 < s2a232+ + s2(x,u )2 + 2sa3 (x,u) = || sa3 + s (x,u) ||2 . Od tod torej sledi sa3 + s (x,u) > s || 3y + Mu ||, oziroma sA ohranja Lorentzov stožec. □ Trditev 4.3. Lorentzov stožec je homogen. Dokaz: Ker je množica avtomorfizmov grupa, zadošča pokazati da lahko element 1 + 0 e L(n) s primernim avtomorfizmom premaknemo v vsak drug element 3 + v e L(n). Na osnovi izreka 4.2 bomo avtomorfizem iskali v obliki T=s a M s kjer je s > 0 in matrika predstavlja Lorentzovo transformacijo s pozitivnim a. Ker je 3 + v iz stožca, je 3 > || v ||. Če je T (1 + 0) = (3 + v, je očitno sa = (3 in sy = v. Ker mora veljati || x || = || y || (glej trditev 3.4), je smiselno vzeti kar x = y = ^v. S pomočjo 12 trditve 3.4 lahko izračunamo tudi s. Ker velja a2 = 1 + || x ||", je s2a2 = s2 +s21| x ||2 = s2+s2|| y ||2. Iz zgornjih zvez sledi s2a2 = (32 ||2. Definirajmo 2, kar je smiselno zaradi 3 > || v ||. Videti ter s || y || = \\v\\2. Od tod sledi s2 = 02 -torej s = \Jf32 — \ \ v moramo samo še, da lahko pravilno izberemo tudi M. Po trditvi 3.4 mora veljati M* M = MM* = I + v O v ter Mx = M- = 1 s s -Mv = ay = ^v, oziroma Mv = av. Takih matrik je najbrž več, zato je smiselno poiskati M z nastavkom M = I + jv ® v. Tedaj je M = M*, in dobimo pogoja: 21 M2 = I + — v O v , s2 Mv = av. Najprej dobimo M2 = ( I + yv ® v )2 = I + 2y v ® v + y2H v ||2 v ® v = = I + (2y + y 21| v ||2 ) v ® v. Od tod sledi ^ = 2y + Y2IU'II2, . Če kar je kvadratna enačba za Y- Njena rešitev je y = ||2 dobljeno vrednost vstavimo v izraz Mv, dobimo Mv = Iv + y|| v ||2v = (1+ y|| v ||2 )v = / i @ ~ s \ I'3 = (1 H--)v = —v = av , ss kar pomeni, da izbrani M zadošča tudi drugi enačbi. Iskani avto-morfizem Lorentzovega stožca, ki element 1+0 preslika v 3 + v ima torej obliko r §_ T = s s s - I + v o V L s s|| v ||2 3 v /3-s V Si + if^p V O V kjer je s = \J3'2 ~ 11 v 112 • □ Iz dokaza razberemo še eno zanimivo lastnost avtomorfizmov Lo-rentzovega stožca v primeru, ko je ( = 1 in v = 0. To lastnost lahko zapišemo v obliki Trditev 4.4. Naj bo T : Rra —> Rra avtomorfizem stožca L(n), ki slika element 1 + 0 vase. Tedaj je T unitarna (v običajnem smislu) preslikava. Dokaz: Pišimo T v obliki T= a x y M Iz pogoja T(1+0) = (1+0) sledi a = 1 in y = 0. Ce preslikava 1x 0M ohranja Lorentzov stožec, mora elementa || x || + x ter || x || — x, ki ležita na robu stožca, ponovno preslikati na rob stožca (glej trditev 1.4.1). To pomeni || x || + || x ||2 Mx || x || — || x ||2 Mx e dL(n), oziroma || x || + || x ||2 = || MxH , || x || — || x ||2 = || — MxH = || Mx ||. Od tod sledi || x || + || x ||2 = || x || — || x ||2, oziroma x = 0. Ce torej preslikava "1 0 ' 0M ohranja Lorentzov stožec, mora preslikati element || z || + z v element || z || + Mz na robu stožca. Od tod sledi || z || = || Mz ||, kar pomeni, da je M unitarna matrika na Rra_1. Od tod očitno sledi, da je '1 0 ' 0M unitarna na Rra. □ Trditvi 4.2 in 4.3 pomenita, da je Lorentzov stožec simetričen. Splošni Lorentzovi stožci v Rn 2.4 V prostoru R x Rn-1 definirajmo formo s predpisom <(v, w) = vw = (a + x )(3 + y) = a3 + (x,y) + ay + 3x . Pokažimo, da je zgoraj definirana forma bilinearna z enoto 1+0. Naj bodo vi,v2,wi in W2 poljubni elementi prostora R x Rn-1 in a, b, c in d poljubna realna števila. Potem velja <(avi + bv2,wi) = <(a(ai + xi) + b(a2 + v2), 3i + yi) = = (aai + ba2)3i + (axi + bx2, y) + + (aai + ba2)y + 3i(axi + bx2) = = aai3i + a( xi, yi) + aaiyi + 3iaxi + + ba23i + b( x2, yi) + ba2yi + 3ibx2 = = a0(ai + xi) + b0(a2 + x2) = = a0(vi ,wi) + b0(v2,w2) in 0(vi,cwi + dw2) = 0(ai + xi ,c(3i + yi) + d(32 + y2)) = = ai(c3i + d32) + (xi,cyi + dy2 ) + + ai(cyi + dy2) + (c3i + d32)xi = = cai3i + c(xi,yi) + caiyi + c3ixi + dai32 + + d(xi,y2 ) + daiy2 + d32xi = = c \ \ x \ \ }. Dokaz: Naj bo v = a + x. Potem je v2 = (a + x )2 = a2 + || x ||2 + 2ax . Ker je || 2ax || =2 | a |||x || < a2 + || x ||2 , sledi (et + x )2 g C. Ce je ||2a:a:|| = a2 + || x ||2, v leži na robu stožca C. Naj bo j3+y g Z. Tedaj je /3 > 11 y | |, od koder sledi j3'2 - \ \ y | |2 > 0. Iščemo taka a in x, da bo (a + x )2 = (3 + y. Ker je (a + x )2 = a2 + || x ||2 + 2ax, sledi a2 + || x ||2 = (3 in 2ax = y. Od tod zaradi 2ct\ \ x \ \ = || y || sledi 4a4 — A(3a2 + || y ||2 = 0, od koder je a2 = \{[3+ sj(32 -II y ||2). Ker je (3 > 0 in (32 - \ \ y \\2 > 0 sledi a2 > 0, oziroma a je lahko realen. Od tod x := Ce je a = 0, potem sledi y = 0 in x izberemo tako, da velja || x ||2 = (3. □ 3 Sieglovi stožci 3.1 Kvaternioni in pozitivne matrike V naslednjem poglavju bo predmet posebne obravnave stožec pozitivnih matrik na realnih, kompleksnih in kvaternionskih prostorih. Medtem, ko je vpeljava pojma Lorentzovega stožca povezana z obravnavo posebne teorije relativnosti, je pojem stožca pozitivnih matrik povezan s študijem problemov kvantne mehanike. Pobudo za študij stožcev pozitivnih matrik je podal nemški matematik C. L. Siegel s proučevanjem modularnih form v teoriji števil. Taki stožci so lahko zgrajeni iz realnih, kompleksnih ali kvaternionskih matrik. V nadaljevanju si nekoliko podrobneje oglejmo prostor kva-ternionov. Prostor kvaternionov H definiramo kot direktno vsoto prostorov R in R3, kar zapišemo H = R © R3 . Vsak kvaternion, element prostora H, torej lahko enolično zapišemo kot h = a + v , kjer je a G R in v G R3. Komponento a imenujemo skalarni del, komponento v pa vektorski del kvaterniona h. Prostor H lahko interpretiramo kot vektorski prostor R4, opremljen z produktom kvaternionov, definiranim s predpisom hi h2 = (a + v )(3 + w) = a3 + aw + 3v + v • w, kjer je v • w = —(v,w) + v X w in (v,w) pomeni običajni skalarni, v X w pa običajni vektorski produkt v R3. Četverka { 1,i,j,k} predstavlja bazo prostora kvaternionov. Trojica { i, j, k } predstavlja standardno ortonormirano bazo prostora R3. Oglejmo si kavaternionske produkte nekaterih baznih vektorjev. ii = — (i, i) + i x i = -1+ 0 , jj = — (j,j ) + j x j = + , k k = — (k, k) + k x k = —1 + "(? , ij = -(i, j ) + i x j = 0 + k, ji = -(j,i) + j x i = 0 - k. Če izračunamo še preostale produkte, sledi tabela množenja: 1 i J k 1 1 i J k i i -1 k -J J J -k -1 i k k J -i -1 Očitno je produkt kvaternionov nekomutativen. Pokažimo, da je produkt kvaternionov asociativen. Naj bodo p = a + u, q = 3 + v in h = y + w G H. Oglejmo si naprej produkt p ( qh). p (qh) = (a + u)[(( + v )(y + w)] = = (a + u )[3y + 3w + yv — (v, w) + v x w ] = = a(Y — a (v,w) + a(w + a^v + a (v x w) + + 3yu — (v, w) u + u ■ (3w + yv + v x w) = = a(Y — {a (v,w) + 3 (u,w) + y (u,v)} + + {a( w + a^v + 3yu } + { a (v x w) + 3 (u x w) + + y (u x v) } — (v, w ) u — (u, v x w ) + u x (v x w). Analogno izračunamo še produkt ( pq ) h. (pq) h = [(a + u )(3 + v)]( y + w) = = [ a3 + av + 3u — (u, v) + u x v ](y + w) = = a3Y — Y (u,v) + a3w — (u, v) w + aYv + + 3yu + y (u x v ) + (av + 3u + u x v) ■ w = = a3Y — {a (v,w ) + 3 (u,w) + y (u,v)} + + {a3 w + aYv + 3yu } + { a (v x w) + 3 (u x w) + + y (u x v) } — (u, v) w — (u x v,w ) + (u x v) x w. Za dokaz asociativnosti torej zadošča pokazati enakost — (v,w) u — (u, v x w) + u x (v x w) = = — (u,v ) w — (u x v,w) + (u x v) x w. Če upoštevamo, da je u x (v x w ) = (uw) v — (uv ) w, (u x v ) x w = (uw) v — (uv ) w in (u,v x w) = (u x v,w) , zgornja enakost očitno drži. Produkt kvaternionov je torej asociativen. Definirajmo konjugacijo * s predpisom (a + v )1 = a — v in pokažimo, da velja (i) (hi + h2 )1 = h*1 + h*2 , (ii) (rh )1 = rh1, V r e R, (iii) (h1 )1 = h, (iv) (hih2 )1 = h1 h*l. Naj bo hi = a + v, h2 = (3 + w in r e R. Potem je (i) (hi + h2 ) = (( a + () + (v + w)) = ( a + () — (v + w) = ( a — v) + (( — w ) = h1 + h2 . (ii) (rhi )1 = (r( a + v ) )1 = (ra + rv )1 = ra — rv = r( a — v) = rhi (iii) (hi)1 = (( a + v )1)1 = ( a — v )1 = (a — (—v)) = a + v = hi. (iv) (hih2 )1 = (a(3 + aw + (3v — (v, w) + v x w )1 = ((a(3 — (v, w)) + (aw + (3v + v x w ))1 = ((a( — (v, w)) — (aw + (3v + v x w)) = a( — (v, w) — aw — (3v — v x w = (3a — (3v — aw + (—w) x (—v) — ( —w, —v ) = ((3 — w)(a — v) = h2hi. V prostoru kvaternionov definiramo normo kot || a + v ||2 = a2 + || v ||2 . Ta norma je inducirana s skalarnim produktom {a + v, 3 + w) = a/3 + {v,w). Oglejmo si produkt hh*, kjer je h G H. Ker je (a + v)(a + v )* = (a + v)(a — v) = = a2 + av — av — v ■ v = a2 + {v, v) — v x v = = a2 + || v ||2 = || a + v ||2 sledi hh* = h*h = || h ||2 . Od tod sledi, da je j^j^h* inverz elementa h 0. Vsak neniče-len kvaternion ima torej inverz. Ker kvaternioni niso komutativni, tvorijo nekomutativni obseg. Očitno je kvaternion h G R natanko tedaj, ko velja h = h*. V nadaljevanju bomo množico Hn obravnavali kot desni vektorski prostor nad H. Definirajmo kvaternionski skalarni produkt { , ) : Hn x Hn —► H s predpisom {x,y) = xiy* + X2y2* + ... + Xny*n . Pokazali smo, da je x\x* = || x\ ||2 G R+. Analogno je potem tudi {x,x) nenegativno realno število za vsak x G Hn. Množenje s skalarjem h G H definirajmo kot ■ : H x Hn —► Hn s predpisom h ■ x = (hx\,hx2,..., hxn). Očitno velja h ■ (x + y) = h ■ x + h ■ y , ( h + k ) ■ X = h ■ X + k ■ X, 1 ■ X — X , k■(h■X) =kh■X, za vse X,y e Hn ter vse h, k e H. Pri tako definiranem množenju s skalarji očitno velja (h■X,y) = h■( X, y) ter (X,h ■y) = Y^ Xi( h ■ yi )1 = ^ Xiy-h1 = (X,y) h1. ii Poleg tega velja tudi (X, y) = (y, X )1. Zdaj lahko definiramo tudi linearne preslikave na prostoru Hn. Naj bo torej 0 : Hn —> Hn neka preslikava na prostoru Hn. Za preslikavo 0 bomo rekli, da je H - linearna preslikava, če velja H.x + y) = 0(x) + 0(y), 0(h ■ x) = h ■ 0(x) , za poljubna X,y e Hn ter h e H. Podobno kot preslikavam na Rn in Cn, poskusimo tudi preslikavam na Hn prirediti ustrezne matrike. Če preslikavi 0 : H2 priredimo matriko h2 hi hi h3 deluje 0 na prostoru H2 z naslednjim predpisom H2 h2 hi hi h3 hhi + kh2 hh3+kh4 Trivialno je preveriti, da je tako definirana preslikava H -linearna. Naj bosta 0 in ^ preslikavi prostora H2 vase, ki jima pripadata matriki H in K. Oglejmo si izraz K (Hq), q e H2. V smislu prejšnjega dobimo h2 hi hi h3 k2 ki ki k3 o o o hh1 + kh2 hh3 + kh4 k2 k4 k1 ks hh1k1 + kh2k1 + hh3k2 + kh4k2 hh1k3 + kh2k3 + hh3k4 + kh4k4 h( hk + hsk2) + k( h2k1 + h4k2) h( hk + h3k4) + k( h2ks + h4k4) h2k1 + h4k2 h2ks + h4k4 h1 k1 + h3k2 h1 k3 + hk Če torej želimo usklajenost z linearnostjo, moramo produkt matrik po zgornjem računu definirati kot h2 h1 h4 h3 k2 k1 k4 k3 h2k1 + h4k2 h2ks + h4k4 h1k1 + hsk2 h1k3 + h3k4 Analogno postopamo v višjih dimenzijah. Naj bo torej F G {M, C, H } in P linearna preslikava na Fra. Če za vsak neničelen v G Fra velja (P (v),v) > 0 , pravimo, da je P pozitivna. V nadaljevanju si oglejmo nekatere lastnosti kvaternionskih preslikav, oziroma njim prirejenih kvaternionskih matrik. Naj bo H pozitivna kvaternionska matrika prirejena neki preslikavi na H2. Pokažimo, da sta potem elementa glavne diagonale matrike H pozitivni realni števili. Če torej matriko H zapišemo v obliki h2 h1 h4 h3 zaradi desnega zapisa, to pomeni, da sta pozitivna in realna h1 in h4. Ker je H pozitivna, mora za vsak neničelen v = (k1,k2) G H2 veljati (H (v), v ) > 0 , oziroma in od tod k1 k2 h2 h1 h4 h3 k1 k2 > 0, k1h1k^ + k2h2kl + k1h3k2 + k2h4k2 > 0. o o o V prostoru Hra neenakost (H (v),v) > 0 pomeni, daje (H (v),v) realen in nenegativen. Če torej v zgornjo neenakost vstavimo ki = 0 in k2 = 1 sledi h-4 > 0. Analogno za k2 = 0 in ki = 1 dobimo hi > 0. Trditev 1.1 Pozitivne kvaternionske matrike dimenzije 2 so natanko tiste, ki so oblike h a 3 h*\ , kjer sta a, 3 > 0 in velja || h ||2 < a3. Dokaz: Pokažimo najprej, da so pozitivne kvaternionske matrike dimenzije 2 zgornje oblike. Po prej dokazanem sta hi in h2 realni števili in ju zato lahko pišemo kot hi = a in h2 = 3. Ker za poljubna kvaterniona ki = a + u in k2 = 3 + v velja neenakost a || ki ||2 + k2h2k*l + kih3k*2 + 3 || k2 ||2 > 0 , za ki = 1 in k2 = 1 dobimo a + 3 + h2 + h3 > 0. Če zapišemo h2 = Y + w in h3 = 5 + z, sledi w = z = 0 ali w = —z, oziroma h2 = Y + w in h3 = 5 — w. Pokažimo še, da je y = 5. Denimo, da je w = 0. Potem je k2h2ki = y (3 + v)(a — u) = y (a3 + av — 3u + (u,v ) + v x ( —u)) = a3Y + aYv — 3yu + Y (u,v ) + y (u x v) in kih3k21 = 5 (a + v)(3 — v) = 5 (a3 — av + 3u + (u,v ) + u x ( —v)) = a35 — a5v — 35u + 5 (u,v) — 5 (u x v). Ker je vsota k2h2k2 + kih3k2 = a3(Y + 5)+ a ( y — 5) v — 3 (Y — 5) u + + (Y — 5)(u x v) > 0, 3 Sieglovi stožci za vsak u,v G R3, sledi Y = S. Če torej pišemo h2 = h, potem sledi h3 = h*. Dokažimo še zadnjo neenakost. Naj bo k\ = h in k2 = t, kjer je t poljubno realno število. Ker potem za vsak t velja neenakost od tod sledi oziroma a || h ||2 + fit2 + 2H h ||21> 0, 4 || h ||4 — 4a3 || h ||2 < 0, a3 > || h ||2 . Dokažimo trditev še v drugo smer. Naj bo dana matrika P h a 3 h* za katero sta a, 3 > 0 ter velja a3 > || h ||2. Vzemimo poljuben (a,b) G H2. Po definiciji je potem {P (a, b), (a, b)) = a || a ||2 + bha* + ah*b* + 31| b ||2 . Ker je | bha* + ah*b* | <2 || ah*b* || =2 || a ||-||b |h|| h || , od tod sledi {P (a,b), (a,b) )>a || a ||2 — 2 || a ||-|| b HHh || + 3 || b ||2 > > a 11 a, 112 — 2 11 a 11 • 11 611 \fa3 + P11 & 112 = Matrika P je torej pozitivna. □ Poleg pozitivnih matrik bodo v nadaljevanju predmet posebne obravnave tudi simetrične matrike. Te so karakterizirane z enačbo A* = A. V prostoru kvaternionov je zaradi desnega zapisa tran-sponiranje definirano nekoliko drugače. Če je namreč A= h2 h1 h4 h3 je potem Kvaternioni in pozitivne matrike 3.1 h hi A1 = h*4 h*2 Trditev 1.2. Pozitivna simetrična kvaternionska matrika dimenzije 2 je oblike h a 3 h1 kjer sta a, 3 > 0 in h G H. Dokaz: Naj bo S matrika zgornje oblike. Pokazati zadošča enakost (Sv, w ) = (v, Sw), kjer sta v,w G H2. Če zapišemo v = (vi,v2) in w = (wi,w2 ) sledi vi v2 h a 3 h1 wi w2 via + v2h vi h1 + v2P wi w2 vi v2 \ = / vi wi o h a = v2 , w2 .3 h1 = viaw*l + v2hw1 + vih1w1 + v2/3wl = = vl a1w1 + vih1w21 + v2hw1 + v231w1 = = vl ( wla + w2h J1 + v2 (wih1 + w23 T = wia + w2h wl h1 + w23 Trditev 1.3. Simetrične matrike nad Fra tvorijo realen vektorski prostor. Dokaz: Ker vemo, da je množica matrik nad Fra z običajnim seštevanjem in množenjem s skalarjem vektorski prostor nad R, zadošča pokazati, da je množica simetričnih matrik nad Fra njen podprostor. Naj bosta A in B simetrični matriki nad Fra. Ker za poljubna v in w G Fra velja ((A + B) v, w) = (Av,w) + (Bv,w) = = (v,Aw) + (v,Bw) = (v, (A + B) w), je množica simetričnih matrik nad Fra zaprta za seštevanje. Pokažimo še zaprtost za množenje s skalarjem. Naj bo A simetrična nad Fra in a G R. Potem je očitno ((aA) v,w) = (v, (a1 A) w ) = (v, (aA) w) o Množica simetričnih matrik je torej realen vektorski prostor. □ Trditev 1.4. Pozitivne matrike nad Fra tvorijo znotraj prostora ustreznih simetričnih matrik odprt konveksen stožec. Dokaz: Naj bosta A in B pozitivni simetrični matriki nad Fra. Ker je torej A = A2, B = B2 in za vsak neničelen x velja (Ax, x) > 0 ter (Bx, x) > 0, sledi (A + B )2 = A2 + B2 = A + B in ((A + B) x,x) = (Ax,x) + (Bx,x) > 0 . Ker za pozitivno simetrično matriko A in A > 0 velja tudi (AA)2 = AA2 = AA in (AAx,x) = A (Ax,x) > 0 sledi, da pozitivne matrike nad Fra tvorijo konveksen stožec P. Pokažimo še, da je dobljeni stožec P odprt. Glede na to ali je F = R, F = C ali F = H, lahko prostor matrik nad Fra enačimo z evklid-skim prostorom Rra, R2ra ali R4ra. Naj bo P( n, F) realni podpro-stor pozitivnih simetričnih matrik. Preslikava ^x : P(n, F) —> R, definirana s predpisom 0x(A) = (Ax,x), kjer je || x || = 1, je po-linomska in zato zvezna. To pomeni, da obstaja tak e > 0, da je (Ax,x) > e. Denimo, da je B simetrična matrika za katero velja \\A-B\\e + ((B — A) x,x) >e — |(( B — A) x,x )|> > e - \\B - A\\-\\x\\2 = e - \\B - A\\> ^ . Ker za poljuben x = 0 velja (Bx,x) = \\x\\2 {B >\\x\\2 >0, sledi, da je B pozitivna matrika. □ Zaprtje stožca pozitivnih matrik je stožec pozitivno semidefinitnih matrik. Matrika M je pozitivno semidefinitna, če za vsak v G Fn velja {Q(v),v)>0, kjer je F g{R, C, H }. 3.2 Dualnost matričnih stožcev V nadaljevanju bo predmet posebne obravnave prostor simetričnih matrik nad Rn. Prostor simetričnih matrik nad Rn bomo označevali s S (n), pripadajoči stožec pozitivnih matrik nad Rn pa s P (n). Glavni namen razdelka je dokazati, da je stožec P (n) sebi dualen znotraj prostora S(n). Funkcijo Q (x,y), definirano na prostoru Rn, ki vsakemu paru elementov x in y G Rn priredi realno število in zadošča pogojema Q (axi + 3x2, yi) = a Q (xi, yi) + 3 Q (x2,yi) Q (xi,Yyi + Sy2) = Y Q (xi, yi) + S Q (xi, y2), kjer so xi,x2,yi in y2 G Rn ter a,3,Y in S G R, imenujemo bili-nearna forma. Če v Rn izberemo bazo ei,..., en, se vektorja x in y izražata kot x = £iei + ... + (nen in y = niei + ... + r/nen. Po definiciji bilinearne forme je potem Q (x,y) = Q ({iei + ... + (nen, ne + ... + nn en) = nn njQ (eh ej). j=i i=i Če upoštevamo, da so vrednosti Q (ei,ej) = aij realna števila, lahko pišemo nn Q (x,y) = ^Y^ aij nj. j=i i=i Ob ustrezni izbiri baze prostora se torej da bilinearna forma zapisati v zgornji obliki. Pri tem koeficienti aij predstavljajo matriko A = (aij), prirejeno bilinearni formi Q (x, y) v bazi ei,..., en. Bilinearna forma Q (x, y) je simetrična, če za vsak par elementov x in y G Rn velja Q (x,y) = Q (y,x). Ker v tem primeru za vsaka bazna vektorja ei in ej velja aij = Q (ei,ej ) = Q (ej, ei) = aji, pripada simetrični bilinearni formi v vsaki bazi prostora Rn simetrična matrika. Ce v simetrični bilinearni formi postavimo y = x, dobimo kvadratno formo Q (x,x), oziroma v nadaljevanju Q (x). Ce upoštevamo zgoraj navedeno, lahko po izbiri baze prostora Rn kvadratno formo zapišemo v obliki nn Q (x) = ^Yl aij & & , j=1 i=1 kjer so koeficienti aij elementi, kvadratni formi pripadajoče simetrične matrike. Izrek 2.1. Naj bo Q (x) kvadratna forma, definirana na prostoru Rn. Obstaja takšna ortonormirana baza prostora Rn, da ima v njej kvadratna forma obliko Q (x) = A1 t2 + A2 t| + ... + An tn, kjer so A1, . .., An G R. Dokaz: Naj bo e1,...,en ortonormirana baza prostora Rn. Kvadratni formi Q (x) pripada tedaj v tej bazi simetrična matrika A = (aj ). Ce vektor x G Rn pišemo v obliki x = &1e1 +... + tnen, je potem n n n Ax = Aei = ^^ aij ei . i=1 j=1 i=1 Ce izračunamo skalarni produkt (Ax,x), dobimo zaradi ortogo-nalnosti in normiranosti baze n n n n n ( Ax,x ) = ( E aij tj ei^ti ei) = aij ti tj . j=1 i=1 i+1 j=1 i=1 Ker je izraz na desni enak Q (x), velja enakost Q (x) = (Ax, x ). Ker je matrika A simetrična, premore z njo določen sebi adjungiran endomorfizem prostora Rn n lastnih vektorjev fi,f2,..., fn, ki so paroma ortogonalni. Zanje veljajo enačbe Afi = Xifi , Af2 = f ,■■■, Afn = \nfn , kjer so Ai, X2, ... , An lastne vrednosti. Če torej v izraz Q (x) = ( Ax, x), vstavimo x = tifi + &f2 + ...+ tnfn, dobimo ( Ax, x ) = ( ti Afi + ...+ tn Afn, f + ... + tnfn ) . Od tod z upoštevanjem distributivnosti in homogenosti skalarnega produkta sledi (Ax,x) = Ai ^ + A2 ti + ... + An & , oziroma n Q (x) = J2 Ai t2. i=i V prostoru S (n) je skalarni produkt definiran s predpisom n n n (A, B) = Sl (AB) = ^ aij bij = ^ an bu + aij bij . i,j i=j i 0 . Ker je xxT x = || x H2x = 0 sledi, da je xxT = 0. Ker za simetrično matriko B velja (xxT) By = {By, x) x = {B*y, x) x = {y, Bx) x = ( x(Bx)t)y, sledi 0 < {A, B) = {xxT, B) = Sl (xxTB) = Sl ( x(Bx)t) = {Bx,x), od koder sledi, da je B G P, oziroma P * C. P. Pokažimo še obratno inkluzijo. Poljuben element A G P\{0}, ki je pozitivno semidefinitna matrika, lahko zapišemo v obliki A = S aj aj T a j a j=i kjer so a j matrike dimenzije n x 1. Seveda je vsaj eden izmed vektorjev aj neničelen. Ker za poljuben B GP velja nn {B,A) = £ {B,ajaT) = £ {B a3,aj ) > 0, j=i j=i sledi P C P *. Stožec pozitivnih simetričnih matrik nad Rn je torej sebi dualen. □ Na podoben način bi omenjeni izrek dokazali tudi v primeru F = C in F = H. Pripomniti je potrebno le, da v primeru Hn realni skalarni produkt definiramo s predpisom (A, B ) = \ Sl ( AB + BA). n Homogenost matričnih stožcev 3.3 3.3 Homogenost matričnih stožcev Namen razdelka je dokazati, da avtomorfizemska grupa stožca P (n) znotraj prostora S (n) deluje na tem stožcu tranzitivno. Za dokaz bomo potrebovali nekatere trditve spektralne teorije. Trditev 3.1. Naj bo A pozitivno semidefinitna matrika prostora matrik nad Rn. Potem veljajo naslednje trditve (i) Lastne vrednosti matrike A so nenegativna realna števila; (ii) Matriko A lahko zapišemo v obliki A = UDU*, kjer je U unitarna, D pa diagonalna matrika oblike ' Ai 0 ... 0 D 0 A2 0 0 0 An kjer so Ai lastne vrednosti matrike A; (iii) Obstaja taka pozitivna semidefinitna simetrična matrika B, da velja B2 = A. Lastne vrednosti matrike B so 0 in SBS* > 0 . Dokaz: Pokažimo najprej pozitivno semidefinitnost SAS*. Naj bo x poljuben vektor prostora Rn. Ker velja (SAS* x, x) = (AS*x, S * x) = (Ay,y) > 0, je SAS* očitno pozitivno semidefinitna. Naj bo x poljuben neničelen vektor prostora Rn. Potem očitno velja (SBS* x, x) = (BS*x, S * x) = (By, y). Ker je S obrnljiva, je potem obrnljiva tudi S*. Očitno je zaradi neničelnosti elementa x, neničelen tudi y = S*x. Od tod, zaradi pozitivne definitnosti B sledi ( By, y) > 0 . Posledica 3.4. Ce je S obrnljiva in X pozitivna simetrična matrika prostora matrik nad Rn, je preslikava fis (X) = SXS* avtomorfizem stožca pozitivnih simetričnih matrik P (n). Dokaz: Pokažimo najprej, daje preslikava fis obrnljiva. Definirajmo preslikavo s predpisom 0-1(X) = S-1X(S-1 )*. Ker je fis 0-1(X) = S (S-1X (S-1 )*)S* = SS-1 X (SS-1 )* = X in (X) = S-1(SXS* )(S-1 )* = S-1SX(S-1S)* = X, je preslikava fi-1 inverz preslikave fis. Po izreku 3.3 preslikavi in ohranjata stožec P (n) = P. Ker je torej 0S (P) CP in 4>-i(P) C P ter velj 0s(P) C 0S(P), zaradi enakosti 0s$—i(P) = P, sledi P C 0s(P). To pa pomeni 0S (P) = P, oziroma preslikava 0s je avtomorfizem stožca P (n). □ Izrek 3.5. Stožec P (n) je homogen znotraj prostora S (n). Dokaz: Dokazati zadošča, da lahko matriko I G P(n) premaknemo v vsako pozitivno matriko B G P(n). Naj bo B poljubna matrika stožca P(n). Po trditvi 3.2 obstaja koren \J~B, ki je element stožca P(n). Definirajmo preslikavo (f) r^ s predpisom ^g(X) = VBXVB* = VBXVB. -g avtomorfizem stožca P(n), =B. Ker je po posledici 3.4 preslikava potem sledi tvsW = Trditev 3.6. Stožec P (n) je simetričen znotraj prostora S (n). Dokaz: Trditev je direktna posledica izrekov 2.2 in 3.5. □ Trditev 3.7. Stožec P (n) ni sebi dualen znotraj prostora vseh matrik M(n). Dokaz: Naj bo A matrika oblike 1 1 0 1 Pokažimo, da je matrika A element P 1(2) C M(2). Naj bo x y y z g P(2)\{0} Ker za pozitivno semidefinitno matriko velja, da so vsi njeni glavni minorji nenegativni, sledi, daje y2 < xz in vsaj eden od elementov x in z različen od nič. Po definiciji skalarnega produkta sledi 1 1 0 1 x y y z = Sl x + y y + z y z x+y+z. Če bi bila vsota x + y + z < 0, bi to pomenilo, daje (x + z )2 < y2, oziroma 2 2 2 x + z + 2xz < y < xz < 2xz. Od tod bi sledilo x = z = 0, kar pa je protislovje s predpostavko. Matrika A je torej element P*(2). Ker A očitno ni element stožca P(2) je trditev dokazana. □ 3.4 Vložitev pozitivnih matrik v algebraično strukturo Na prostoru simetričnih matrik S (n) definirajmo operacijo množenja z naslednjim predpisom A o B = i (AB + BA). Ker je (AoB)* = \{AB + BA)* = = i (B*A* + A*B*) = \{BA + AB) = Ao B je množenje o dobro definirano. Množico simetričnih matrik S (n) torej lahko z zgoraj definiranim množenjem obravnavamo kot realno algebro A. V nadaljevanju naj zapis A pomeni A o A. Očitno se A ujema z običajnim matričnim A . Trditev 4.1. Zaprtje stožca P (n) je stožec pozitivnih semidefini-tnih matrik. Dokaz: Naj bo B G P (n). Potem obstaja tako zaporedje An > 0, da je B = lim An. Ker je {Bx, x) = lim {Anx, x), zaradi (Anx, x) > 0 sledi lim (Anx, x) >0, oziroma B > 0. Od tod torej sledi V{n) C { B > 0 }. Pokažimo še obratno inkluzijo. Naj bo B > 0. Potem po trditvi 3.1 (ii) matriko B lahko zapišemo v obliki B = UDU*, kjer je U unitarna, D pa diagonalna matrika oblike D "Ai 0 . .. 0 0 . .. 0 0 A2 . .. 0 0 . .. 0 0 0 . . Ak 0. .. 0 0 0 . .. 0 0 . .. 0 _ 0 0 . .. 0 0 . .. 0 Vložitev pozitivnih matrik v algebraično strukturo 3.4 Ce zapišemo matrike An v obliki An = UD'U *, kjer je D' rAi 0 . .. 0 0 . .. 0 0 A2 . .. 0 0 . .. 0 0 0 . . Ak 0. .. 0 0 0 . .. 0 1 .. 0 n 0 0 . .. 0 0 . 1 n sledi An > 0. Ker je lim An = lim A 0 0 0 0 lim A2 0 0 lim Ak 0 0 lim1 0 0 0 0 lim - = B, sledi B E P (n), oziroma { B > 0 }c P (n). □ Trditev 4.2. Množica kvadratov { A2 ; A E A} je zaprtje stožca P (n). Dokaz: Ker je A = A* sledi {A2x,x) = (Ax,Ax) = || Ax ||2 > 0, oziroma A2 je pozitivno semidefinitna in zato A2 E P (n). Naj bo B E P (n). Ker je potem B > 0, po trditvi 3.1 (iii) obstaja taka A > 0, da je A2 = B. Ker je A element S (n), je očitno tudi B e{A2 ; A ea}. □ 4 Simetrični stožci 4.1 Liejeve algebre Naj bo O odprta podmnožica prostora Rn in f preslikava f : O —► Rn Preslikavi f pravimo, daje na O gladka preslikava razreda Cr, če je v vsaki točki x GO odvedljiva natanko r krat, odvod f(r) pa je na O zvezna preslikava. Ce je preslikava f v vsaki točki x GO poljubno krat odvedljiva in so odvodi zvezni, pravimo, daje f gladka razreda CV nadaljevanju bomo z besedo gladka preslikava označevali preslikave, ki bodo na prostoru O vsaj enkrat zvezno odvedljive. Naj GL(n, R) označuje grupo vseh realnih obrnljivih matrik reda n x n z običajnim množenjem matrik, kot grupno operacijo. Podobno zapis GL(n, C) označuje grupo obrnljivih kompleksnih matrik reda n x n. V nadaljevanju si najprej oglejmo primer, kako na naraven način konstruiramo Liejeve algebre. Naj bo G množica matrik definiranih s predpisom SO(3) = { X G GL(3, R); XXT = I, detX = 1 } . Množica SO(3), imenovana tudi množica ortogonalnih matrik z determinanto 1, je zaradi zaprtosti za množenje in invertiranje znotraj prostora GL(3, R) grupa. Ker sta preslikavi X m XXT — I ter X m detX zvezni in je SO(3) C [ —1,1]9, je množica G kompaktna podmnožica prostora R9. Preslikava 7 : ( —T, T) —> G, podana s predpisom Y (t) = cos t sin t 0 — sin t cos t 0 0 0 1 kjer je T poljubna pozitivna konstanta, je očitno gladka preslikava na G, za katero velja, da je 7(0) = I. Seveda lahko za poljubno preslikavo zgornjega tipa, tj. gladko preslikavo za katero je 7(0) = I, izračunamo 7'(t), ki je matrika reda 3 x 3. V našem primeru je — sin t cos t 0 7'(t) = - cos t - sin t 0 - 0 0 0 0 1 0 7'(0) = -1 0 0 0 0 0 in od tod Ker je odvod funkcije 7 v točki 7(0) = I linearna transformacija iz (-T, T) v G, predstavlja 7'(0) tangentni vektor na 7 v točki 7(0) = I. Definirajmo množico G s predpisom G = { 7'(0); 7(t) gladka na G in 7(0) = I} . Očitno je G podmnožica M(3, R), katere elementi pa niso nujno obrnljivi. Množico G, vseh prvih odvodov gladkih funkcij skozi točko I, lahko interpretiramo kot tangentni prostor na G v točki I. Oglejmo si nekatere lastnosti množice G. Naj bosta 7'(0) in £'(0) G G. Definirajmo preslikavo p : ( -T, T) —> G s predpisom Ker velja oziroma p(t) = 7(t)S(t). p'(t)= i(t)S(t)+7(t)S'(t), p'(0) = 7'(0)5(0) + 7(0)S'(0) = 7'(0) + 5'(0), sledi, da je množica G zaprta za seštevanje. Naj bo preslikava a : ( -T, T) —> G podana s predpisom a(t) = 7(at), kjer je 7'(0) gG in a G R. Ker velja in a(0) = 7 (0) = I a'(0) = a7'(0), je G zaprta tudi za množenje s skalarjem. Očitno je torej množica G vektorski prostor. Hitro se lahko prepričamo, da sta tudi preslikavi a(t) = cos t 0 sin t 0 1 0 — sin t 0 cos t in P (t) = gladki preslikavi za kateri velja a(0) = P(0) = I. Ker so 1 0 0 0 cos t sin t 0 sin t cos t ' 0 0 1 0 0 0" of(0) = 0 0 0 , P'(0) = 0 0 1 -1 0 0 0 -1 0 "0 10 7' (0) =-100 0 0 0 elementi vektorskega prostora G, sledi naslednja inkluzija G 5 0 ca -c 0 b -a b 0 = { A e GL(3, R); A = -AT } Pokažimo, da lahko v zgornjem izrazu inkluzijo nadomestimo z enačajem. Če je namreč c(t)T ■ c(t) = I, potem velja c'(t)T ■ c(t) + c(t)T ■ c'(T) = 0 , c'(0)T ■ I + c'(0)T ■ I = 0 , c'(0)T + c'(0) = 0 , oziroma G = { A G GL(3, R); A = -AT } . Naj bo j(t) gladka preslikava na G, ki gre skozi točko 7(0) = I. Zaradi zaprtosti G za invertiranje, je tudi preslikava gj(t)g-i, kjer je g G G, gladka na G in gre skozi točko 7(0) = I. Če izračunamo odvod izraza gj(t)g-i v točki 7(0) = I, dobimo gj'(0)g-i, kar je očitno element G. To pa pomeni, da je G zaprta znotraj prostora linearnih preslikav Cg : G G podanih s predpisom Lg(X)= gXg-i, kjer je g G G. Naj bo X G G in j(t) gladka na G, ki gre skozi 7(0) = I. Pokažimo, da je preslikava LY((t) : G —► G podana s predpisom Ly(t)(X)= Y(t)XY-i(t), gladka na G. Če v izrazu Lg(X)= gXg-i, naredimo substitucijo g = j(t), dobimo Ly(t)(X)= 7(t)X7(t)-i . Po definiciji odvoda je |£7(t)(A%=0 = lim i [Z^) (X) - £7(o)PO] , oziroma i£l{t)(X)\t=0 = hmJ[£l{t)(X)-X}. Ker sta Lj(t)(X) in X G G, zaradi zaprtosti G, kot podprostora Rn, sledi, da je limita element G. Izračunajmo to limito. Ker je Y(t) ■ Y(t)-i = I, po odvajanju sledi 7/(t)-7(r1+7(t)-(|7(t)"1)=0 in od tod |7(t)-i = _7(riy(th(t)-i. Z uporabo dobljene zveze sledi = ihW-y (t)~1] = = mx-ynr1+im'^tr1+^r1} = = y(t)X7(t)-1 — 7(t)X7(t)-17/(t)7(t)-1. Ce v izraz vstavimo za t = 0, sledi V(0)X — X7'(0) G G . Od tod sledi, da je množica G zaprta za operacijo [ X,Y ] = XY — YX , ki jo imenujemo Liejev komutator. Množico G, kije realen vektorski prostor in je zaprta za Liejev komutator, imenujemo Liejeva algebra množice G. Hitro se lahko prepričamo, da sta množici GL(n, R) in GL(n, C), opremljeni z operacijo Liejevega komutatorja, Liejevi algebri. Označimo ju z GL(n, R) in GL(n, C). Ce torej zgornji primer matrik reda 3 x 3 posplošimo na grupo SO(n) = { X G GL(n, R); XXT = I, detX = 1 } , je njej pripadajoča Liejeva algebra, množica SO(n) = { X G GL(n, R); X + XT = 0 } , Podobno, kot smo to storili na primeru grupe SO(n, R), lahko tudi naslednjim linearnim grupam U (n) = { X G GL(n, C); XX* = I} , SU (n) = { X G GL(n, C); XX* = I, detX = 1} , SL(n, R) = { X G GL(n, R); detX = 1} , SL(n, C) = { X G GL(n, C); detX = 1} , priredimo ustrezne Liejeve algebre U (n) = { X G GL(n, C); X + X * = 0 } , SU(n) = { X G GL(n, C); X + X* = 0 , SIX = 0 } , SL(n, R) = { X G GL(n, R); SlX = 0 } , SL(n, C) = { X G GL(n, C); SlX = 0} . Posplošimo definicijo Liejeve algebre na poljuben vektorski prostor. Vektorski prostor L nad obsegom F, opremljen z operacijo komutatorja [x,y] = xy - yx, kjer sta x,y gL, imenujemo Liejeva algebra nad F, če velja (L1) komutator je bilinearna operacija; (L2) [ x,x ] =0 , za vsak x gL; (L3) [ x, [ y,z ]] + [y, [ z,x ]] + [z, [ x,y ]] =0, V x,y,z gL. Aksiom (L3) imenujemo Jacobijeva identiteta. Ker je Liejev komutatator antikomutativna operacija, [ x,y ] = xy - yx = -(yx - xy) = - [ y,x ] velja [ x,y ] + [y,x ] = 0. Ce v dobljeni izraz vstavimo x = y, dobimo 2[x,x ] = 0 . V algebrah, katerih karakteristika je različna od 2, torej lahko aksiom (L2) nadomestimo z enakostjo [ x,y ] = - [ y,x ], kjer sta x,y gL . V nadaljevanju bodo predmet naše obravnave predvsem Liejeve algebre, ki so prirejene grupi avtomorfizmov danega stožca. Pripadajoče Liejeve algebre so vedno predstavljene z množico matrik. V uvodu razdelka smo grupi G, vseh ortogonalnih matrik z determinanto 1, priredili Liejevo algebro G. Podobno lahko tudi grupi S, ki je zaprta za adjungiranje, priredimo ustrezno Liejevo algebro S. Če je torej S = S*, je njej pripadajoča Liejeva algebra, množica 5 = { 7'(0); 7 :( -T, T) — S gladka in 7(0) = I} . Naj bo s eS. Potem obstaja taka gladka preslikava a : ( -T, T) — S, daje a(0) = 1 in a'(0) = s. Definirajmo preslikavo 5 : ( -T, T) — S, s predpisom 5(t) = a (t)*. Ker je a(t)* e S* ter velja S* = S, sledi 5(t) e S. Očitnoje 5'(t) = a'(t)* in od tod 5'(0) = a'(0)* = s*. Ker je torej tudi s* eS sledi S = S * . Definirajmo množici S+ = { X eS; X = X * } in S- = { X eS; X = -X * } , ter si oglejmo njun presek. Naj bo X e S+ H S-. Ker je potem X = X* = -X, sledi X = 0, oziroma S+ nS_ = {0}. Ker sta S+ in S- Q S, očitno sledi inkluzija S+ + S- c S. Naj bo X G S. Ker je X* G S* in velja S* = S, sledi ±(X + X*) G S. Ker je X + X*) simetrična matrika, sledi X + X*) G 5+. Podobno je — X*) G S. Ker je — X*) antisimetrična matrika, sledi l(X — X*) G S-. Če torej X zapišemo kot X = X + X*) + |( X - X*), sledi X G 5+ + «S_, oziroma S CS+ + S- . Če torej združimo zgornji inkluziji in upoštevamo, daje S+ HS- = {0} , sledi s = s+ eS-. Oglejmo si množico [ S+, S+ ] = { XY - YX,: X, Y eS+ } . 4 Simetrični stožci Naj bosta X,Y GS+. Ker velja X = X* in Y = Y*, sledi [ X,Y ]* = (XY-YX )* = Y*X *-X *Y * = YX-XY = - [ X,Y ] , oziroma [ S+, S+ ] C S- . Podobno za [S-, S- ] = { XY - YX,: X,Y gS- } , velja [ S-, S- ] C S- . Če sta namreč X,Y G S-, velja X = -X* in Y = -Y*. Od tod sledi [ X,Y ]* = (XY-YX )* = Y*X *-X *Y * = YX-XY = - [ X,Y ] . Končno naj bosta X G S+ in Y G S-. Ker velja X = X* in Y = -Y*, sledi [ X,Y ]* = (XY-YX )* = Y *X *-X *Y * = -YX+XY = [ X,Y ] , oziroma [ S+, S- ] CS+ . Analogno je [S-,S+ ] CS+ . Če torej obravnavamo S- kot podprostor prostora S, je S- zaprta znotraj S za operacijo Liejevega komutatorja Zgornji primer nas je prepričal v smiselnost definicije pojma Liejeve podalgebre. Posplošimo torej definicijo na poljubno Liejevo algebro L. Podprostor K imenujemo Liejeva podalgebra prostora L, če za poljubna x in y gK velja [ x,y ] gK. 4.2 Simetrični stožci in Liejeve algebre Ponovimo definicijo simetričnega stožca iz uvodnega poglavja. Odprt konveksen stožec Q C Rn imenujemo simetričen, če je homogen glede na njegovo grupo avtomorfizmov G(Q) = { g G GL(n, R); g Q = Q } in sebi dual en v smislu, daje njegovo zaprtje enako Q = {y G Mra; (x,y) > 0, V a; G V uvodnem poglavju smo dokazali, da je avtomorfizemska grupa sebi dualnega stožca Q zaprta za transponiranje. Definirajmo ortogonalno grupo stožca Q, s predpisom O(Q) = G(Q) H O(n), kjer je O(n) ortogonalna grupa prostora Rn, podana kot O(n) = { A e Rnxn ; AA* = I} . Oglejmo si ortogonalne grupe doslej znanih simetričnih stožcev, stožcev pozitivnih matrik nad R, C in H ter Lorentzovega stožca. Zgled 1. Naj bo P (n, R) stožec pozitivnih realnih matrik znotraj prostora pripadajočih simetričnih matrik S (n, R). Če torej označimo S(n, R) = { X e Rnxn ; XT = X } , je pripadajoči stožec P (n, R) = { Y e S(n, R); Y> 0 } . Grupo avtomorfizmov stožca P (n, R) tvorijo preslikave PA : Rnxn —> Rnxn , podane s predpisom PA(Y) = AYAt , kjer je A e GL(n, R). Ker je na prostoru Rnxn skalarni produkt definiran s predpisom (X,Y) = Sl (XY) in zanj veljata identiteti Sl (X) = Sl (XT) ter Sl (XY) = Sl (YX), sledi { PaX,Y ) = { AXAt ,Y) = Sl ( AXAtY ) = Sl ( AtYAX ) = = Sl (XAt YA) = (X, AtYA) = (X, Pat Y), oziroma Pa = Pat . Ce je pa (I) = I, je AAT = I, kar v prostorih s končno dimenzijo pomeni, da je A ortogonalna matrika. Ker potem velja PAPAY = papatY = A(AtYA)At = aatyaat = Y , sledi, da je papa = I, kar pomeni, da je tudi pa ortogonalna. Od tod sledi, da je O(P(n, R)) = { pa ; A g O(n) } , oziroma O(P (n, R)) = { fi G G (P (n, R)); fi(I) = I} . Zgled 2. Naj bo P (n, F), F G { C, H }, stožec pozitivnih kompleksnih oziroma kvaternionskih matrik znotraj prostora pripadajočih simetričnih matrik S (n, F). Ce torej označimo S (n, F) = { X G Fnxn ; X * = X } , kjer * pomeni adjungiranje znotraj Cnxn in transponiranje znotraj Hnxn, je pripadajoči stožec P (n, F) = { Y G S(n, F); Y > 0 } . Grupo avtomorfizmov stožca P (n, F) tvorijo preslikave PA : Fnxn _^ Fnxn podane s predpisom pa(y) = AYA*, kjer je A G GL(n, F). Ker je na prostoru Cnxn realni skalarni produkt definiran s predpisom (X,Y) = ReSl (XY) in veljata identiteti ReSl (X) = ReSl (X*) ter ReSl (XY) = ReSl (YX), sledi P* = pa* . Ce je pa (I) = I, je AA* = I, kar v prostorih s končno dimenzijo pomeni, daje A unitarna matrika. Podobno kot v prejšnjem zgledu, je tudi pa unitarna matrika, od koder sledi O(Qr) = { pa ; A g O(n) } , oziroma O(QR) = { fi G G(Qr); fi(I) = I} . Zgled 3. Naj bo Ln Lorentzov časovni stožec oziroma stožec prihodnosti. V drugem poglavju smo Ln definirali kot Ln = { (a,x); a > || x || } C R x Rn-1. V trditvi 2.4.4 smo dokazali, da avtomorfizmu stožca Ln, ki ohranja element 1 + 0 = I, ustreza unitarna matrika. To pa pomeni, da je pripadajoča ortogonalna grupa Lorentzovega stožca O(Ln) = { ( G G(Ln) ; ((I)= I} . Omenjeni zgledi nas napeljujejo na misel, da za vsak simetričen stožec Q obstaja tak element e G Q, da velja O(Q) = { ( G G(Q); 0(e) = e } . V nadaljevanju bomo z G označevali komponento enote grupe av-tomorfizmov G(Q). Definirajmo preslikavo ^ : G(Q) ^ G(Q) s predpisom ^(g) = g*. Zaradi zveznosti tako definirane preslikave, je ^(G) očitno vsebovana v neki komponenti G(Q). Ker je ^(e) = e sledi, daje ^(e) G G in od tod ^(G) C G. Grupa G je torej zaprta za transponiranje. Definirajmo množico K s predpisom K = G n O(Q). Ker sta G in K Liejevi grupi, jima pripadata ustrezni Liejevi algebri. Označimo z G Liejevo algebro, ki pripada grupi G in z G-Liejevo algebro, ki pripada grupi K. Pokažimo, da je G- = { X gg; X * = -X } . Ker sta Liejevim grupam G in K pripadajoči algebri oblik K = { y'(0) ; Y gladka na K in y(0) = I } in G = { y'(0) ; Y gladka na G in y(0) = I}, je očitno K C G. Če z 0(Rn) označimo Liejevo algebro, ki pripada grupi ortogonalnih matrik in upoštevamo, da je K C O(Q) C O(Rn), sledi K C 0(Rn) = { X eG; XT = -X } , kar pomeni, da je K C Q-. Naj bo X e G-. Potem je j(t) = exp( tX) gladka preslikava na Liejevi grupi G, za katero velja 7(0) = I [Knapp, 1988, str. 10]. Ker je exp( tX) exp( tX)* = exp( tX) exp( (tX)*) = exp( tX) exp( tX*) = = exp( tX) exp( -tX) = exp( tX - tX) = exp(0) = I, sledi, da je Y(t) e G n O(Q) = K in Y(0) e K. Ker je i(t) = X exp( tX) in od tod Y(0) = XI = X, sledi, da je X e K. To pomeni, da je G- C K, oziroma G- = K. Ce definiramo Liejevo algebro G+ s predpisom G+ = { X eG : X * = X } , zaradi zaprtosti G za transponiranje, sledi G = G+ eG- . V prejšnjem razdelku smo za podalgebri G+ in G- dokazali inkluziji [ G+, G+ ] CG- , [G-,G+ ] c G+. V nadaljevanju naj Ge pomeni podgrupo Ge = { g e G , g(e) = e }, torej stabilizator elementa e glede na grupo G. Izrek 2.1. Naj bo Q simetričen stožec. Potem obstajajo taki elementi e e da velja G(Q) n O(Rn) C G(Q)e . Za vsak tak element e je Ge = K povezana podgrupa v G. Dokaz: Ker je grupa O(Rn) kompaktna, je očitno tudi H = G(Q) H O(Rn) kompaktna znotraj G(Q). Po trditvi 1.4.4 potem obstaja tak e, da je G(Q) H O(Rn) C G(Q)e. Ker je Ge = { g e G; g(e) = e }, očitno velja Ge = G(Q)e H G. Od tod zaradi K = G H O(Rn) C G(Q) H O(Rn) sledi, daje K C G(Q)e. Ker je K C G, sledi K C Ge. Naj bo Ge Liejeva algebra grupe Ge in X eGe. Ker je Ge C G, je očitno Ge C G. Zapišimo torej X kot X+ + X-, kjer sta X+ e G+ in X- e G-. Ker je K C Ge, je K C Ge. če upoštevamo, da je K = G-, sledi G- C Ge, oziroma X- e Ge. To pomeni, da je tudi X - X- = X+ e Ge. Od tod sledi, da je exp( tX+) v Liejevi grupi algebre Ge, oziroma exp( tX+) e Ge. Ker je po trditvi 1.4.3 grupa Ge kompaktna množica, zaradi omejenosti sledi, da je X+ = 0. To pomeni, da je Ge CG- = K, oziroma Ge C K. □ Trditev 2.2. Naj bo X eG■ Potem X eG- natanko tedaj, ko je X (e) = 0. Dokaz: Naj bo X e G-. V prejšnjem izreku smo pokazali, da je G- Liejeva algebra tako za K, kot za Ge. Za vsak t e R je torej exp( tX) e Ge. To pomeni, da je exp(tX) e = e. Če identiteto odvajamo, dobimo X(exp(tX) e) = 0. Od tod za t = 0 sledi X(Ie) = 0, oziroma X(e) = 0. Naj bo X(e) = 0. Če X zapišemo v obliki X = X+ + X-, kjer sta X+ e G+ in X- e G-, ter upoštevamo, da je tedaj X+(e) = 0, sledi exp( tX+) e = e. To pomeni, da je exp( tX+) e Ge. Ker je Ge kompaktna, je očitno X+ = 0. Od tod sledi, da je X eG-. □ 4.3 Simetrični stožci in Jordanske algebre Naj bo Q simetričen stožec evklidskega prostora V in e e Q tak fiksen element izreka 2.1, da je njegov stabilizator ravno grupa K. Definirajmo preslikavo T : G+ -—V s predpisom T(X) = X(e) . Ker je T po prejšnjem izreku injektivna, je dim( G+) < dim( V). Če je dim( G+) = dim( V), je T očitno bijektivna. Pokažimo, daje bijektivna tudi v primeru, ko je dim( G+) < dim( V). Definirajmo preslikavo p : G+ s predpisom p(X) = exp(X) e . Množica { exp(X), X gG } je komponenta enote grupe G. Ker po trditvi 2.2 velja G-(e) = 0, sledi p(G+) = { exp(X) e; X gG } = { exp(X) e; X gG+ } . Če upoštevamo, da komponenta enote tranzitivno delujoče grupe tudi sama deluje tranzitivno [Faraut, 1994, str. 5], je zaloga vrednosti preslikave p enaka G(Q) e = Q. Ker je Q odprta množica v Rn, je njena mera neničelna. Po drugi strani preslikava p slika iz Rk v Rn, kjer je k Rn gladka preslikava in U odprta množica v Rm. Naj bo C = { x G U , rang( dfx) < n } . Potem ima f (C) mero 0 v prostoru Rn. Ker je preslikava p gladka, lahko Sardov izrek uporabimo na množici C = G+. Po njem ima množica p(C) = Q mero 0, kar je protislovje s trditvijo, da je mera Q neničelna. Ker torej možnost dim( G+) < dim( V) odpade, je T surjektivna, oziroma bijektivna. Ker je T bijekcija obstaja njen inverz. Označimo ga z L. Za vsak element x GV je potem L(x) tak enolično določen element algebre G+, da velja L(x) e = x. Naj bosta L(x) e = x in L(y) e = y. Po definiciji je (L(x) + L(y)) e = x + y = L(x + y) e. Zaradi bijektivnosti preslikave X ^ X(e) sledi L(x + y) = L(x) + L(y), oziroma, preslikava x ^ L(x) je linearna. Če na prostoru V definiramo množenje s predpisom x o y = L(x) y , je o bilinearna operacija. Za poljubne x\,x2,yi,y2 eV in a, 3 e R namreč velja (xi + x2 ) o yi = L(xi + x2) yi = ( L(xi) + L(x2)) yi = = L(xi) yi + L(x2) yi = xi o yi + x2 O yi , xi o (yi + y2) = L(xi) (yi + y2) = L(xi) yi + L(xi) y2 = = xi o yi + xi o y2 , (axi) o yi = L(axi) yi = aL(xi) yi = a (xi o yi), xi o ((yi) = L(xi) (3yi) = 3 L(xi) yi = 3 (xi o yi). Pokažimo, da je zgoraj definirano množenje tudi komutativno. Naj bosta x in y poljubna elementa prostora V. Po zgoraj dokazanem sta potem L(x) in L(y) enolično določena elementa G+. Ker po trditvi 2.2 velja enakost G-(e) = 0, za poljubna elementa G+ pa velja [ G+, G+ ] C G-, sledi 0 = [ L(x),L(y) ] e = L(x)L(y) e - L(y)L(x) e = x o y - y o x, oziroma x o y = y o x. Ker je za poljuben x e G+ preslikava L(x) simetrična (po definiciji prostora G+), za poljubne elemente u,v in x eV velja (L(x)u, v) = (u, L(x)v), kjer je (.,.) skalarni produkt na prostoru V. Omenjeno lastnost imenujemo asociativnost skalarnega produkta. Definirajmo asociator elementov x,y in z eV s predpisom [ x,z,y ]= x o (z o y) - (x o z) o y = [ L(x), L(y) ] z . 4 Simetrični stožci Izračunajmo vrednost izraza [[L(x),L(y)],L(z )]e. Ker je [L(x),L(y)] gG- sledi [ [ L(x),L(y) ] , L(z) ] e = [ L(x),L(y) ] L(z) e—L(z) [ L(x),L(y) ] e = = [ L(x),L(y)]z = [ x,y,z ] = L([x,z,y ]) e. Zaradi bijektivnosti velja [[L(x),L(y)],L(z)]= L([x,z,y ]). Ce uporabimo levo stran dobljene identitete na elementu z G V, dobimo [ [ L(x),L(y) ] , L(z) ] z = [ L(x),L(y) ] L(z) z—L(z) [L(x),L(y) ] z = = [ L(x),L(y) ]( z o z) — L(z) (L(x)L(y) z — L(y)L(x) z) = = L(x)L(y) z2 — L(y)L(x) z2 — L(z) (L(x) (y o z) — L(y) (x o z)) = = x o (y o z2 ) — y o (x o z2 ) — z o (x o (y o z) — y o (x o z )) = = [x,z2,y] — z o [x,z,y]. Ker je L([x,z,y ]) z = z o [ x,z,y ] , po združitvi dobljenih enakosti sledi [ x,z2,y \ = 2 [ x,z,y ] o z. (1) Za poljubne elemente x,y in z G V izračunajmo vrednost skalar-nega produkta ([x2,y,x \ , z). Z upoštevanjem asociativnosti ska-larnega produkta sledi ([x2,y,x} , z ) = (x2 o (y o x) — (x2 o y) o x, z ) = = (x2 o (y o x), z) — ((x2 o y) o x, z) = = (x2 , (y o x) o z) — (x2 , (x o z) o y ) = = (x2 , (y o x) o z — (x o z) o y ) = (x2 , [ z,x,y ] ). (2) Podobno velja tudi {[ x2,y,x] , z) = {x2 o (y o x) - (x2 o y) o x, z ) = = {x2 o (y o x), z ) - {(x2 o y) o x, z) = = {x , (z o x2 ) o y ) - {x, z o (x2 o y)) = = {x, (z o x2 ) o y - z o (x2 o y)) = {x, [y,x2,z]). (3) Če v identiteti (1) naredimo substitucijo x = y, z = x in y = z, dobimo [ y,x2,z] = 2 [y,x,z ] o x. Po identiteti (3) potem sledi {[ x2,y,x], z) = {x, 2[y,x,z ] o x) = = 2 {x, [ y,x,z ] o x) =2 {x2 , [ y,x,z ]). Ker je [ y,x,z ] = - [ z,x,y ], sledi {[ x2,y,x] , z) = -2 {x2 , [ z,x,y ]). (4) Po združitvi (2) in (4), za vsak z GV velja {[x2,y,x], z) = 0. Od tod sledi [ x2,y,x] = 0, oziroma x2 o (x o y )= x o (x2 o y) . (5) Algebrsko strukturo, opremljeno z operacijo množenja o, ki zadošča dobljeni enakosti in je hkrati še komutativna, imenujemo jordanska algebra. Dokazali smo torej Izrek 3.2. Naj bo Q simetričen stožec evklidskega prostora V. Tedaj je V mogoče opremiti s strukturo jordanske algebre. Identiteta (5) je v matematični literaturi znana že iz časov pred pojavom teorije simetričnih stožcev in z njo povezanih jordanskih algeber. Jordanske algebre so se prvič pojavile v literaturi leta 1934. Njihovi utemeljitelji, Jordan, von Neumann in Wigner, so pojem jordanske algebre vpeljali ob iskanju ustreznega formalizma za obravnavo kvantne mehanike. 5 Algebraična analiza evklidskih algeber 5.1 Jordanske algebre Posplošimo definicijo jordanske algebre na poljuben vektorski prostor J nad obsegom F. Vektorski prostor J, opremljen z bilinearno operacijo o : J xJ —>J , imenujemo jordanska algebra nad F, če za vsak a,b eJ velja (J 1) a o b = b o a, (J2) a2 o (a o b) = a o (a2 o b), pri čemer je a2 = a o a. Zgled 1. Naj bo S množica vseh simetričnih matrik in A, B e S. Ker velja (A + B )* = A* + B* = A + B, je S zaprta za seštevanje. Zaradi nekomutativnosti množenja matrik, S očitno ni zaprta za množenje. Velja namreč (AB )* = B*A* = BA. Definirajmo na množici S množenje s predpisom A o B = i (AB + BA) Ker velja Ao B = \{AB + BA) = \{BA + AB) = Bo A, je S zaprta za zgoraj definirano množenje. Preverimo še asociativ-nost množenja. Ker je A o (B o C) = l (ABC + ACB + BCA + CAB) in (AoB)oC = K ABC + BAC + CBA + CAB) v splošnem velja 5 Algebraična analiza evklidskih algeber A o (B o C) = (A o B) o C. Množica S torej za zgornji produkt, razen v primeru n = 1, ko množenje lahko interpretiramo kot običajno množenje števil, ni asociativna. Če pa v zgornjih izrazih nadomestimo C z izrazom A o A = A2, dobimo A o (B o C) = A o (B o (A o A ) ) = A o (B o A2) = = \(A(BoA2) + (BoA2)A) = = \{A{BA2 + A2B) + {BA2 + A2B)A) = = |( ABA2 + ASB + BAS + A2BA) = = ABA2 + BAS + ASB + A2BA) = = ( AB + BA) A2 + A2 (AB + BA)) = = \{{AoB)A2 + A2{AOB)) = = ( A o B) o A2 = ( A o B) o (A o A ) = ( A o B) o C, oziroma A o (B o A2 ) = ( A o B) o A2 . Če dobljeni izraz zapišemo v obliki A2 o (A o B ) = A o (A2 o B) je S, opremljena z množenjem o, jordanska algebra. Zgled 2. Naj bo W vektorski prostor nad obsegom F in B : Wx W —> F simetrična bilinearna forma. Na vektorskem prostoru V = F xW definirajmo produkt s predpisom ( X,u) o (/j,, v) = ( + B( u,v ),Xv + jrn). Ker tako definiran produkt očitno izpolnjuje pogoja definicije, je prostor V jordanska algebra. Zgled 3. Prostor V, vseh antisimetričnih matrik dimenzije 2m x 2m, opremljen s produktom x o y = i (x Jy + yJx), kjer je m , je jordanska algebra. 0 J Jordanske algebre 5.1 Na jordanski algebri J definirajmo operator množenja L(a) : J —m J s predpisom L(a) b = a o b, kjer sta a,b GJ. Ce za poljubna operatorja množenja A in B jordanske algebre J, uporabimo zapis [ A,B ] = AB — BA, lahko aksiom (J2) nadomestimo z [ L(a),L(a2) ] =0. Velja namreč [ L(a),L(a2) ] b = L(a)L(a2) b — L(a2)L(a) b = = L(a)( a2 o b) — L(a2)( a o b) = a o (a2 o b) — a2 o (a o b). Ob upoštevanju aksioma (J 1) od tod sledi [ L(a),L(a2) ] =0. Trditev 4.1. Naj bo J jordanska algebra. Potem veljajo naslednje identitete: (i) [ L(a),L(b2)]+2[L(b),L(a o b)] =0; (ii) [ L(a),L(b o c)] + [L(b),L(a o c)] + [ L(c),L(a o b)] =0; (iii) L(a2 o b) — L(a2)L(b) = 2 (L(a o b) — L(a)L(b)) L(a). Dokaz: (i) Poljubno identiteto, zapisano v operatorski obliki, uporabimo na enoti e jordanske algebre J. Ker za poljuben a GJ velja L(a) e = a o e = a, je dobljeni izraz polinom oblike p(a, b) = 0. Definirajmo njegov odvod s predpisom , _ p{a + tb, b) - p(a, b) Pb\ai°) — -7- t=0 t=0 22 Če torej aksiom (J2), zapisan v obliki [ L(a),L(a2)] = 0, uporabimo na enoti e, dobimo p(a, b) = a o a2 - a2 o a = 0. Izračunajmo njegov odvod. p'b(a, b) = i [ (a, + tb) o (a + tb)2 - (a + tb)2 o (a + tb) - a o a2 + a2 o a ] = j [ (a o tb) o (a2 + tb o a + ta o b + t2b2 ) - (a2 + tb o a + ta o b + t2b2) o (a + tb) - a o a2 + + a2 o a ] = t=0 = - [ a o a2 + ta o (bo a,) + ta o (a, ob) +12 a ob2 + + tb o a2 + t2b o (b o a) + t2b o (a o b)+ t3b o b2 - a2 o a - ta2 o b - t(b o a) o a - t2(b o a) o b - t(a o b) o a - t2(a o b) o b - t2b2 o a + + t3b2 o b - a o a2 + a2 o a ] = t=0 = b o a2 - a2 o b + a o (b o a) - (b o a) o a + + a o (a o b) - (a o b) o a = = b o a2 - a2 o b + 2[a o (b o a) - (b o a) o a ]=0 . Če dobljeni izraz zapišemo v operatorski obliki, dobimo [ L(b),L(a2)]+2[L(a),L(b o a)] =0, od koder z zamenjavo spremenljivk a in b sledi [ L(a),L(b2)]+2[L(b),L(a o b)] =0. (ii) V dokazu prejšnje identitete smo pokazali, da operatorju [ L(a),L(b2)]+2[L(b),L(a o b)] =0, ustreza polinom p(a, b) = a o b2 - b2 o a + 2b o (b o a) - 2(b o a) o a = 0. Jordanske algebre 5.1 Izračunajmo njegov odvod, p'c(a,b). Po definiciji je p'c(a, b) = j[2 (a + tc) o (bo (a + tc)) - 2 (b o (a o tc)) o (a + tc) + + b o (a + tc )2 - (a + tc )2 o b - 2 a o (b o a) + + 2(b o a) o a - b o a2 + a2 o b] . Od tod sledi j[2(a + tc)o(boa + tboc) - 2 (b o a + tb o c) o (a + tc) + + b o (a2 + ta o c + tc o a + t2c2) - (a2 + ta o c + tc o a + t2c2) o b - 2 a o (b o a)+ + 2(b o a) o a - b o a2 + a2 o b ] = 0, t=0 oziroma ao( boc)-(boc)oa+bo( aoc)-(aoc )ob+co( boa)-(boa)oc = 0. Ce dobljeno identiteto zapišemo v operatorski obliki, dobimo [ L(a),L(b o c)] + [L(b),L(a o c)] + [L(c),L(a o b)] = 0. (iii) Če uporabimo identiteto (i) na elementu c, dobimo L(a)L(b2)c - L(b2)L(a)c + 2L(b)L(ao b)c - 2L(ao b)L(b)c = 0, oziroma 22 L(a)(b2 o c) - L(b )(a o c)+2L(b)((a o b) o c) - 2L(ao b)(b o c) = 0. Od tod z uporabo enakosti L(b2)(a o c) = L(b2 o c)a in upoštevanjem komutativnosti, sledi L(b2 o c)a - L(b2)L(c)a + 2L(b)L(c)L(b)a - 2L(bo c)L(b)a = 0, in od tod L(b2 o c) - L(b2)L(c) + 2L(b)L(c)L(b) - 2L(b o c)L(b) = 0. 5 Algebraična analiza evklidskih algeber Z zamenjavo b in a ter c in b, sledi L(a2 o b) — L(a2)L(b) = 2L(a o b)L(a) — L(a)L(b)L(a), oziroma L(a2 o b) — L(a2)L(b) = 2 (L(a o b) — L(a)L(b)) L(a). Trditev 4.2. (i) Naj bo J jordanska algebra. Potem za vsak a GJ in pozitivni števili p in q velja [ L(ap),L(aq)] =0. (ii) Jordanska algebra je potenčno asociativna. Dokaz: (i) Najprej z indukcijo po p pokažimo, daje apoa2 = ap+2. Denimo, da je ap+1 = a2 o ap-1. Ker je ap+2 = a o ap+1 = a o (a2 o ap-1) z upoštevanjem (J2) sledi ap+2 = a2 o (a o ap-1) = a2 o ap = ap o a2 . V nadaljevanju pokažimo, daje [ L(ap), L(aq) ] = 0. Ce v identiteti (iii) trditve 3.1 pišemo b = an-1 dobimo L(an+1) = L(a2)L(an-1) + 2L(an)L(a) — 2L(a)L(an-1)L(a). Za vsako naravno število n je torej L(an) element podalgebre endomorfizmov jordanske algebre J, kije po (J 2) komutativna in generirana z L(a) in L(a2). Od tod torej sledi [ L(ap),L(aq)] =0. (ii) Pokažimo še potenčno asociativnost. Dokazati zadošča, da velja apo aq = ap+q. Enakost dokažimo z indukcijo po q. Denimo, da je ap o aq = ap+q. Ker velja ap+q+1 = ap+q o a = (ap o aq) o a = ao (ap o aq) = L(a)L(ap)aq , z upoštevanjem (i) sledi ap+q+1 = L(ap)L(a)aq = ap o aq+1 .□ Opomba: Potenčna asociativnost pomeni, da je podalgebra gene-rirana z enim samim elementom a enaka Gen(a) = { p(a); p — polinom } in je torej asociativna in komutativna. 5.2 Minimalni polinomi Naj bo V končno dimenzionalna potenčno asociativna algebra nad obsegom F z enoto e. Z F[X] označimo algebro polinomov ene spremenljivke s koeficienti iz F. Elementu u GV priredimo množico F[x] s predpisom F[x] = { p(x); p G F[x] } . Množica F[x] je očitno podalgebra V in je generirana z elementoma x in e. ker je V algebra konne dimenzije, elementi 2 3 n x x x x podalgebre F[x] očitno ne morejo biti linearno neodvisni. Za nek k G N torej velja ak xk + ak-1xk-1 + ... + a2x2 + a\x = 0, pri čemer je vsaj eden od ai različen od nič. Zaradi potenčne asoci-ativnosti algebre V, za poljuben x GV potem obstaja tak polinom p G F[x], da velja p(x) = 0. Očitno je torej množica J(x), definirana s predpisom J (x) = { p G F[X ]; p(x) = 0 } , neprazna znotraj F[X]. ker je J(x) neprazna, v njej obstaja polinom najmanjše stopnje. Označimo ga s po. Ker je za poljuben polinom p G J(x),st(po) < st(p), po evklidovem algoritmu obstajata taka q in r G F[X], da velja p = qpo + r, in je st(r) < st(p0). Ker je p(x) = q(x)p0 (x) + r(x) = 0, zaradi potenčne asociativnosti sledi, da je r(x) =0 in od tod, zaradi minimalnosti po tudi r = 0. Polinom po določen do konstante natančno, torej deli vse polinome iz J(x). Če se dogovorimo, da bomo s po označevali tistega, ki ima vodilni koeficient enak 1, dobimo enolično določen polinom. Imenujemo ga minimalni polinom elementa x. Stopnjo minimalnega polinoma po elementa x označimo z m(x). Očitno je stopnja m(x) omejena z dimenzijo prostora V. Definirajmo rang algebre V kot r = max{ m(x); x GV} . V nadaljevanju bomo element x G V imenovali regularen, če bo veljalo m(x) = r. 5.3 Evklidske algebre in projektorji Naj bo E vektorski prostor y enoto e nad obsegom R, opremljen z bilinearno operacijo o : JxJ —>J , in skalarnim produktom {.,.) : JxJ-^ R. Če za poljubne x,y in z gE velja (E 1) x o y = y o x, (E2) x2 o (x o y) = x o (x2 o y) , (E3) {x o y, z ) = {x,y o z ), E imenujemo evklidska jordanska algebra ali krajše evklidska algebra. Zgled 1. Naj bo L Lorentzov stožec. V drugem poglavju smo mu priredili evklidsko algebro na naslednji način. Naj bo H n-1 dimen-zionalen Hilbertov prostor, katerega ortonormirano bazo tvorijo vektorji xi,x2, ...,xn in E algebrska struktura oblike E = R ©H. Elemente E torej pišemo v obliki a + x. Če v E definiramo skalarni produkt s predpisom {a + x,3 + y) = afi + {x,y), kjer je skalarni produkt na desni originalni skalarni produkt prostora H, in množenje s predpisom (a + x,fi + y) = afi + {x,y) + ay + fix, je E evklidska algebra. Imenovali smo jo Lorentzova algebra dimenzije n in jo označili s simbolom Lor(n). Zgled 2. Naj bo P stožec pozitivnih matrik na realnem, kompleksnem ali kvaternionskem prostoru H dimenzije n. Naj bo E podana s predpisom E = { A : H —> H; A* = A}. Če na E definiramo skalarni produkt s predpisom {A,B ) = ReSl (AB), ter algebraični produkt s predpisom Ao B = \{AB + BA), kjer je AB običajni produkt matrik, je E evklidska algebra. Imenujemo jo algebra simetričnih matrik dimenzije n x n in označimo z Sim(n, R), oziroma Her(n, F), kjer je F = { C, H }. Element p = 0 evklidkse algebre E z lastnostjo p2 = p, imenujemo projektor algebre E. Če za neka projektorja p in q algebre E velja p o q = 0 , pravimo, da sta p in q algebraično pravokotna projektorja. Naj bosta p in q algebraično pravokotna projektorja algebre E. Ker velja p o q = 0, sledi {p,q) = {p o p, q) = {p, p o q) =0 , oziroma, p in q sta tudi evklidsko pravokotna glede na inducirani skalarni produkt. Če za projektorje pi,p2,...,pk algebre E velja 2 pi = pi, 5 Algebraična analiza evklidskih algeber Pi o p j =0 , čei = j , P1 + P2 + ... + Pk = e, kjer je e enota v E, pravimo, da P1,P2,...,Pk tvorijo kompleten sistem pravokotnih projektorjev. Zgled 3. V Lorentzovi algebri Lor(n), kjer je množenje podano s predpisom (a + x,ft + y) = aft + (x,y ) + ay + , so projektorji elementi 1 + 0 in ^ + ^jjfjf- Ce je namreč p = a + x neničelen projektor, zaradi p2 = (a + x )2 = a2 + \ \x\\2 + 2ax, velja a2 + \\x\\2 = a in 2ax = x. Rešitev dobljenega sistema so projektorji oblike x = 0 in a = 1, ter a = ^ in ||.t||2 = oziroma ||a;|| = Zgled 4. Znotraj algebre simetričnih matrik Her(n, F), so projektorji matrike, ki zadoščajo identiteti A2 = A. Ker je kvadrira-nje znotraj algebre Her(n, F) po definiciji ekvivalentno običajnemu kvadriranju matrik, so projektorji v Her(n, F) kar običajni matrični projektorji. Izrek 3.1. (Prvi spektralni izrek) Vsak neničelen element x ev-klidske algebre E lahko enolično zapišemo kot končno vsoto, x = X1P1 + X2P2 + ... + XkPk , kjer so Xi različna realna števila in P1,P2,...,Pk kompleten sistem pravokotnih projektorjev. Za vsak j = 1,...,k, je 'Pj G R[x]. Opomba: Koeficiente Xj imenujemo lastne vrednosti, vsoto X1P1 + X2P2 + ... + Xk P k pa spektralna dekompozicija elementa x. Dokaz: Naj bo y G R[x]. Z Lo(y) označimo zožitev L(y) na R[x]. Ker je R[x] podalgebra E, v kateri velja (L(y)x, z) = (y o x,z) = (x,y o z) = (x, L(y)z), je Lo(y) simetričen endomorfizem evklidskega prostora R[x]. To pomeni, da obstajajo take projekcije P1, P2, ...,Pk prostora R[x], da velja P1 + P2 +... + Pn = I, in taka realna števila X1, X2,..., Xk, da je Lo(x) = X1P1 + X2P2 + ... + XkPk. Od tod sledi, da obstajajo polinomi qj, za katere velja P j = qj (Lo(x)). Ce definiramo P j = qj (x) in upoštevamo asociativnost algebre R[x], dobimo Lo(Pj) = Lo(qj(x)) = q(Lo(x)) = pj . Podobno sledi Lo(pi ◦ pj) = Lo(qi(x) o qj(x)) = Lo(qi(x))Lo(qj(x)) = PiPj Lo(Yl pj) = Lo E qj(x)) = Y1 Lo(qj(x)) = = £ qj (Lo(x)) = ^ Pj = I, Lo(J2 xj pj) = Lo E xj qj(x)) = Y1 Lo(xj qj(x)) = Y1 xj Lo(qj(x)) = Y1 xj qj (Lo(x)) = E XjPj = Lo(x). Zaradi bijektivnosti L, sledi injektivnost Lo in od tod p2 = pi ,pi o p j = 0 , če i = j , J^pj =J2Xjpj =x. Dokažimo še enoličnost. Denimo, da je x = ^ Xjpj. Potem je xn £ Xnpj. Naj bo q poljuben polinom R[x]. Ce zapišemo q(x) anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao, sledi q(x) = an(J2 Xnpj) + an-i(Z Xn-1pj) + ... + Xj p j) + aoe0 = a«(£ Xnpj)+an-1(£ Xn-1pj ) + ... + a1(J2 Xj pj) + ao(Yl pj ) = anXn + an-X 1 + ... + a1Xj + ao)p, = q(Xj )pj. Ce za fiksen j definiramo qj)(X ) = []( X — Xi) i=j dobimo qj (x) = XW1 + X2p2 + ... + Xk pk — Xi e) i=j = n^ Xm + X2p2 + ••• + XkPk - Pl + P2 + ••• + Pk)) i=j = II( X - Ai)P! + X - Xi)P2 + ••• + X - Xi)Pj i=j + ••• + (Ak - \i)Pk) ) • Ker v vsakem členu produkta nastopa le (Xj - \i)pj, dobimo q(j)(x) = H((Aj - Xi)Pj , i=j od koder zaradi različnosti Xj sledi, da je p j G R[x]. To pomeni, da so Lo(pj) paroma pravokotne projekcije in Xj lastne vrednosti operatorja Lo(x). Vsak pj je torej pravokotna projekcija enote e na tisti lastni podprostor prostora Lo(x), ki pripada lastni vrednosti Xj. To pa pomeni natanko enoličnost zapisa x = ^ Xj p j. □ Po prejšnjem izreku lahko vsak element evklidske algebre E enolično zapišemo kot linearno kombinacijo pravokotnih projektorjev. Podoben sklep velja tudi za poljuben projektor algebre E. Ce pa projektor p G E ni ničelen in ga ni mogoče zapisati kot linearno kombinacijo dveh neničelnih pravokotnih projektorjev, p imenujemo primitivni projektor. Kompleten sistem pravokotnih projektorjev pi,p2, — •,pm, imenujemo jordanski sistem, če je poljuben projektor p j primitiven in velja p j ◦ pk = 0 , če j = k ter pi + p2 + ••• + pm = e • Izrek 3.2. (Drugi spektralni izrek) Naj ima evklidska algebra E rang r. Potem lahko vsak neničelen element x evklidkse algebre E zapišemo kot končno vsoto, x = Xipi + X2p2 + ••• + Xrpr , kjer so Xi realna števila in pi,p2, — ,pr jordanski sistem pravokotnih projektorjev. Množica spektralnih vrednosti { Xi,X2, •••,Xr } = a(x) je enolično določena. Dokaz: Če je x = \i'Pi + X2P2 + • • Arpr spektralna dekompozicija elementa x G E, je očitno q(x) = ^ q(Ai)pi, za poljuben polinom q G R[x]. Od tod sledi, da je minimalni polinom elementa x oblike f (X,x) = H( X - Ai) i=l Od tod sledi, da je k < r, oziroma k = r natanko tedaj, ko je x regularen element. V tem primeru je vsak p j primitiven, saj bi sicer obstajal jordanski sistem z več kot r elementi. To pomeni, da bi obstajali elementi algebre E, katerih minimalni polinomi bi imeli stopnjo večjo od r, kar je v protislovju z definicijo ranga. Enoličnost zapisa je direktna posledica prvega spektralnega izreka. □ Zgled 5. Naj bo E algebra realnih simetričnih matrik dimenzije 2 x 2. V tem primeru se lastne vrednosti Ai spektralne dekom-pozicije poljubnega elementa algebre E, ujemajo z običajnimi matričnimi lastnimi vrednostmi. Spektralna dekompozicija poljubnega elementa algebre E je potem oblike a b b c = Ai u — \/u — u2 — Vu — U2 1u + A2 1u V u — u 2 V u — u u kjer sta Ai in A2 običajni matrični lastni vrednosti, u pa ustrezno realno število. V primeru, da sta elementa algebre E oblike a 0" a b 0 in a b a sta njuni spektralni dekompoziciji a 0 1 0 0 =a 0 1 a a b b a -1 1 ■ ■ 1 1 ■ = (a + b) 2 1 2 1 + (a - b) 2 2 1 1 . 2 2. . 2 2 . V asociativnih algebrah velja L(p)L(p)x = p o (p o x) = (p o p) o x = p2 o x = L(p)x , k za vsak projektor p. To pa pomeni, da ima lahko operator L(p) lastni vrednosti le 0 in 1. Pri jordanskih algebrah je situacija nekoliko bolj zapletena. Velja namreč Trditev 3.3. Naj bo p projektor Jordanske algebre J. Edine možne lastile vrednosti operatorja L (p) so 0, | in 1. Dokaz: Ce na identiteti (iii), trditve 1.1 uporabimo a = b = p, dobimo L(p3) — L (p2) L (p) = 2( L (p2) — L (p) L (p) )L(p) = 2L(p2)L(p) — 2L(p)3 , oziroma L(p3) = 3L(p2)L(p) — 2L(p)3 . Ker je p3 = p2 o p = p o p = p, od tod sledi L(p) = 3 L (p) L (p) — 2L(p)3 , oziroma 2L(p)3 — 3L(p)2 + L (p) = 0 . Lastne vrednosti operatorja L(p) so torej ničle karakterističnega polinoma 2X3 — 3X2 + X = 0 . Pripadajoče ničle so Ai = 0, A2 = ^ in A3 = 1. □ Trditev 3.4. Ce sta p in q pravokotna projektorja jordanske algebre J, potem L(p) in L(q) komutirata. Dokaz: Trditev je neposredna posledica identitete (ii) trditve 1.1. Ce namreč v omenjeni identiteti pišemo a = p in b = c = q, dobimo [ L(p) ,L(q o q)] + [ L(q), L(p o q)] + [ L(q) ,L(p o q)]=0. Od tod, z upoštevanjem p o q = 0, sledi [ L(p),L(q)]=0. 5.4 Mc Crimmonov operator in obrnljivost Naj bo J jordanska algebra nad obsegom F z enoto e. Definirajmo preslikavo P : J —► End(J), s predpisom P (a) = 2L(a)2 - L(a2) • Tako definirano preslikavo P imenujemo Mc Crimmonov operator. Ker nas v tem delu zanima zgolj uporaba realnih algeber, se bomo v nadaljevanju razdelka omejili zgolj na primer F = R. ta omejitev nam bo omogočila precejšnjo poenostavitev nekaterih dokazov. Preden začnemo s proučevanjem lastnosti Mc Crimmonovega operatorja P, dokažimo naslednjo Lema 4.1. Ce je p neničelni realni polinom n spremenljivk, je množica M = { x G Rn; p(x) =0 } gosta v običajni topologiji Rn. Dokaz: Naj bo p(a) =0 za nek a G Rn. Če a ni v zaprtju množice M, potem obstaja taka e - okolica točke a, da so vse njene točke ničle polinoma p. Brez škode za splošnost lahko predpostavimo, da je a = 0. Polinom p torej lahko zapišemo kot p(xi, •••,xn) = qo(xi, • • •,xn)+ qi(xi, •••, xn)xn + + q2(xi, • • • , xn)xn + • • • + qk(xi, • • • , Fiksirajmo neko točko b G Rn-i znotraj krogle s polmerom e. V tem primeru dobimo polinom ene spremenljivke p(b, xn) = q(xn), ki ima po zgornji predpostavki neskončno ničel, saj mednje sodi cel interval (-e, e). To pa pomeni, da je q ničelen polinom, oziroma p(b,xn) = 0, za vsak xn G R. Če bi fiksirali xn, bi dobili polinom n - 1 spremenljivk p(x1, • • • , xn) — r(x1, • • • , xn-i) , ki bi imel ničle vse (n-1) - terice z lastnostjo | xi | < e. Kerje le teh neskončno sledi, daje r ničelen polinom, oziroma p(xi, • • • , xn) = 0, za fiksen xn G R. Ker trditev leme očitno velj a za n = 1, lahko z manjšanjem dimenzije in indukcijo zaključimo dokaz. □ Ce je na algebri J definiran produkt s predpisom a, o b = ^(ab + ba), velja P (a)b = (2L(a)2(a2))b = 2L(a)2b — L(a2)b = = 2L(a)L(a)b — L(a2)b = = a o (a o b) — a2 o b = = a o (ab + ba) — a2 o b = = 7}(a2b + aba + aba + ba2) - \ {a2b + ba2), oziroma P(a)b = aba. Ce, podobno kot v dokazu trditve 1.1, definiramo odvod preslikave P s predpisom P<(„) = p'a + ""-p'°' t=o sledi Pb(a) = \[2L(a + tb)2 - L((a + tb)2) - 2L(a,)2 + L(a,)2} = f [2L(a + tb)L(a + tb) - L(a2 + a o tb + tb o a +1262) — 2L(a)2 + L(a)2] . t=o Od tod, z upoštevanjem linearnosti preslikave L, sledi = j[2[L(a) + tL(b)][L(a) +tL(b)} - L(a2) +tL(aob) + + tL(b o a) + t2L(b2) — 2L(a)2 + L(a)2] ^ o = = \ [ 2 L(a)2 + 2 tL(a,)L(b) + 2 tL(b)L(a.) + 2t2L(b)2 — L(a2) — tL(a o b) — tL(b o a) — t2L(b2) — 2L(a)2 + L(a2)] ^ o = = 2L(a)L(b) + 2L(b)L(a) — L(a o b) — L(b o a). Ker je a o b = b o a, sledi pg(a) = 2L(a)L(b) + 2L(b)L(a) — 2L(a o b). Ce definiramo P(a,b) = ±Pl(a), sledi identiteta P (a, b) = L(a)L(b) + L(b)L(a) — L(a o b). Zapišimo P(a, b) v obliki P (a, b) = L(a)L(b) + L(b)L(a) — L(a o b)+ L(a)2 — L(a)2 + L(b)2 — L(b)2 + \L{a2) - \L{a2) + \L{b2) - \L{b2). Z upoštevanjem linearnosti preslikave L sledi P(a, b) = (L(a) + L{b)){L{a) + L(b)) - ±L(a2) - ±L(a o b) -\L(b o a) + \L(b2) - L(a)2 + \L(a2) - L(b2) - \L{b2) = (L(a) + L(b))(L(a) + L(b)) - \L(a2 + aob + boa + b2) - L(a)2 + \L{a2) - L(b)2 + \L{b)2 = L(a + b)2 — \L((a + b)2) — L(a)2 + ±L{a2)-L{b)2 + \L{b2) = i[(2L(a + b)2 - L((a + b)2)) - (2L(a)2 - L(a2)) — (2L(b)2 — L(b2))] , oziroma P(a, b) = \{P{a + b)~ P(a) - P(b)). Ce uporabimo P (a, b) na elementu c, dobimo P (a, b)c = L(a)L(b)c + L(b)L(a)c — L(a o b)c = = a o (b o c) + b o (a o c) — (a o b) o c = = 7}(a o (bc o cb) + b o (ac + ca) — (a,b + ba) o c) = = \{abc + bca + acb + cba + bac + acb +bca + cab — abc — cab — bac — cba). Od tod sledi, da v asociativni algebri velja P(a, b)c = \{acb + bca,). 1 0 ' 1x 0 —1 , b = x —1 7 Naj bo a element jordanske algebre J z enoto e in F[a] njena po-dalgebra, generirana z elemntoma e in a. Ce v F[a] obstaja enolično določen element b, za katerega velja a o b = b o a = e, pravimo, da je element a obrnljiv. Element b označujemo z običajnim simbolom a-1 in imenujemo inverz elementa a. Opomba: Enakost a o b = b o a = e sama po sebi ne pomeni, da je b inverz elementa a. če je namreč J = Sim(2, R) in , x e R, x —1 je a obrnljiv in velja a-1 = a. Očitno je a o b = b o a = e, toda b e R[a], za x = 0. Trditev 4.2. Ce je L(a) obrnljiv operator in velja a o b = e, je b inverz elementa a. Dokaz: ker je F[a] generirana z e in a, in je L(a) bijekcija, je njena skrčitev na F[a] injektivna. Zaradi končne dimenzije je ta skrčitev tudi bijektivna. Obstaja torej tak c e F [a], daje L(a)c = a o c = e. Ker je L(a) bijekcija na vsej jordanski algebri J, je c = b in b je inverz elemnta a. □ Izrek 4.3. Element a je obrnljiv natanko tedaj, ko je obrnljiv P (a). Potem, velja P(a)a-1 = a, P (a)-1 = P (a-1). Dokaz: Naj bo P (a) obrnljiv. Potem je skrčitev P (a) na F[a] bijekcija za katero velja b = P(a)-1a e F[a]. Ker velja P(a)e = 2L(a)2e — L(a2)e = 2a o (a o e) — a2 o e = a2 , in po trditvi 1.2 P (a)L(a) = 2L(a)2L(a) — L(a2)L(a) = 2L(a)L(a2) — L(a)L(a2) = = L(a)(2L(a)2 — L(a2)) = L(a)P (a) sledi b o a = (P(a)-1a)a = L(a)P(a)-1a = = P (a)-iL(a)a = P (a)-ia2 = e, od koder je po zgornji definiciji b = a-i inverz elementa a. Poleg tega sledi P (a)a-i = P (a)b = P (a) P (a)-ia = a • Dokažimo še obratno implikacijo. Naj bo a obrnljiv. Če v identiteti (iii) trditve 1.2 nadomestimo b z a-i, dobimo L(a2 o a-i) - L(a2)L(a-i) = 2(L(a o a-i) - L(a)L(a-i))L(a), L (a) - L(a2)L(a-i) = 2(L(a o a-i))L(a) - L(a)L(a-i)L(a)) • Z upoštevanjem komutativnosti L(a) in L(a-i), od tod sledi L(a) - L(a2)L(a-i) = 2L(a) - 2L(a)2L(a-i), L(a)2L(a-i)L(a2)L(a-i) = L(A0, oziroma P(a)L(a-i) = L(a) • Z zamenjavo a in a-i, dobimo P (a-i)L(a) = L(a-i) in od tod P (a) P (a-i)L(a) = P (a)L(a-i) = L(a) • Če je detL(a) = 0 sledi, da je P(a)P(a-i) = I/ Če si izberemo v J neko bazo, je preslikava a -—> detL(a) polinom. Ker je detL(e) = deti = 1, je ta polinom neničelen. Po lemi 4.1 je množica { a; det L(a) =0 } gosta v J. Seveda je ta množica gosta tudi v manjši množici vseh obrnljivih elementov. Ker je tudi preslikava a i—> P (a) P (a-i) - I polinomska in zvezna, sledi identiteta P(a)-i = P(a-i)• Posledica 4.4. Množica obrnljivih elementov I je podana z I = { a; det P (a) = 0 } in je gosta v algebri J. 5 Algebraična analiza evklidskih algeber Izrek 4.5. Odvod preslikave a -—> a-1 je —P(a)-1, oziroma (a-1)'b = —P (a)-1b . Ce sta a in b obrnljiva, je obrnljiv tudi P(a)b in velja (P (a)b)-1 = P (a-1)b-1. Za poljubna elementa a in b velja P (P (a)b) = P (a) P (b)P (a) oziroma P (aba) = P (a) P (b)P (a). Opomba: Omenjeno lastnost Mc Crimmonovega operatorja imenujemo kvadratna reprezentacija. Dokaz: (i) Ce uporabimo Mc Crimmonov operator na elementu a-1, dobimo P(a)a-1 = 2L(a)2a-1 — L(a2)a-1 = 2 o (a o a-1) — a2 o a-1 = a, oziroma P(a)a-1 = a. Odvajajmo dobljeno identiteto. Po definiciji odvoda velja (P(a,)a~1)'b = ±[P(a + tb)(a + tb)~l - P(a)a~1} t=0 in (a)'b = f [ (a + tb) — a] -1 = jtb t=o t = b. t=o t Ker velja P (a + tb) = 2L(a + tb)2 — L((a + tb)2) = = 2L(a + tb)L(a + tb) — L(a2 + a o tb + tb o a + t2b2) = 2[ L(a) + L(tb) ] [ L(a) + L(tb) ] — L(a2) + 2tL(a o b)+L(t2b2) = = 2L(a)2 + 2L(a)L(tb) + 2L(tb)L(a) + 2L(tb)2 — L(a2) + L(2t o b) + L(t2b2) = = P (a) + P (tb) + 2P(a, tb) in P (tb) = 2L(tb)2 — L((tb)2) = 2L(tb)L(tb) — L(t2b2) = = 2t2L(b)L(b) — t2L(b2) = t2[2L(b)L(b) — L(b2) ] = t2 P (b) sledi (P(a)a_1)fc = j[(2P(a, tb) + P (a) + P(tb))(a + tb)-1 - P (a) a'1] t=0 + t=0 = f [ {2P(a, tb)(a + tb)'1 + P{tb){a + tb)-1] + ±[(P(a)(a + tb)~1 -Pia^a'1} ^ = = j[2tP(a, b)(a + tb)~1 + t2P(b)(a + tb)-1] + P (a)(a-1)'b = 11 + + t=0 1 = 2P(a, b)(a + tb)-1 = + tP(b)(a + tb) ^ + P(a)(a-1)b, oziroma (P(a)a-1)'b = 2P(a, b)a-1 + P(a)(a-1)'b. Po odvajanju dobimo torej naslednjo identiteto 2P(a, b)a-1 + P(a)(a-1)'b = b. Če upoštevamo, da je P (a, b)a-1 = [ L(a)L(b) + L(b)L(a) — L(a o b) ]a-1 = L(a)L(b)a-1 + L(b)L(a)a-1 — L (a o b)a-1 = a o (b o a-1) + b o (a o a-1) — (a o b) o a-1 = b, sledi P (a)(a-1)b = —b, oziroma (a-1)b = —P (a)-1b. (ii) Če uporabimo identiteto P (a)L(a-1) = L(a) na elementu b in upoštevamo komutativnost operatorjev P(a) in L(a-1), dobimo a-1 o P(a)b = a o b. 5 Algebraična analiza evklidskih algeber Odvajajmo dobljeno identiteto po c. Ker je (a o P(a)b)'c = f [ (a + te)"1 o P (a + - a"1 o P(a)6] = (a+te)_1o(P(a,)6+t2P(c)6+2P(a, tc)b) —a~1oP(a,)b] = \[{a+tc)-loP(a)b-a~loP(a)b} ^ +t{a+tc)~1oP(c)b t=o t=o + t=o + (a + tc)-1 o 2P (a, c)b = (a)C o P (a)b + 2a-1 o P (a, c)b = = —P (a-1)c o P (a)b + 2a-1 o P (a,c)b in = Hcob t=o t = c o b, t=o (a o b)'c = (a + tc) o b - a, o b} sledi —P (a-1) o P (a)b + 2a-1 o P (a, c)b = c o b. Ce v dobljeni identiteti c zamenjamo z b-1, dobimo —P (a-1)b-1 o P (a)b + 2a-1 o P (a, b-1)b = b-1 o b. Od tod, z upoštevanjem P (a, b-1)b = a, sledi —P(a-1)b-1 o P(a)b + 2a-1 o a = e. oziroma P(a-1)b-1 o P(a)b = e. če označimo y = P(a-1)b-1 in x = P(a)b, dobljena enakost predstavlja izraz x o y = e, ki pa ne zadošča za zaključek, da je y inverz x. Dokazati je namrečše potrebno, da je y G F[x]. Za dokaz enakosti (P(a)b)-1 = P(a-1)b-1, po trditvi 4.2 zadošča pokazati, daje detL(P(a)b) = 0. Izraz detL(P(a)b) je polinom na prostoru J x J. Ker je detL(P(e)) = det I = 1, je ta polinom neničelen. Ker po lemi 4.1 pogoj detL(P(a)b) = 0 predstavlja gosto množico, identiteta (P (a)b)-1 = P (a-1)b-1 velja za vse obrnljive a in b GJ. (iii) Identiteto (P (b)a)-1 = P (b-1)a-1, odvajamo po c. Ce izraz na levi odvajamo kot kompozitum, dobimo ((P (b)a)-1)'c = —P (P (b)a)-1(P (b)a)'c = = -P(P(b)a)~l\ [ (P(b)(a + tc) - P(b)a\ t = —P(P(b)a)~lP(b)j[(a + tc) - a] = —P (P (b)a)-1P (b)c. Ker je odvod izraza na desni (.P{b-l)a~l)'c = j[(P(b~1)(a, + tc)-1 — P(b~1)a~1] = ~(P(b~1)j[(0' + te)-1 — a-1] = P (b-1)(a-1)C = = —P (b-1)P (a)-1c, sledi identiteta —P (P (b)a)-1P (b)c = —P (b-1)P (a)-1c. Ce upoštevamo, daje P (b-1) = P (b)-1 in c nadomestimo s P (b), dobimo —P(P(b)a)-1P(b)P(b) = —P(b)-1P(a)-1P(b), od koder sledi P (P (b)a)-1 = P (b)-1P (a)-1P (b)-1, oziroma P (P (b)a) = P (b)P (a) P (b). Po substituciji a z b in b z a sledi P (P (a)b) = P (a) P (b)P (a). Omenjena identiteta velja le v primeru, ko sta a in b obrnljiva elementa. Ker so obrnljivi elementi gosti, ta identiteta velja tudi za poljubna elementa a in b GJ. □ t=o t=o t=o t=o 5.5 Pierceova dekompozicija V tem razdelku si bomo ogledali Pierceovo dekompocijo jordanske algebre J, glede na projektor p G J .V razdelku o projektorjih smo dokazali, da so edine lastne vrednosti operatorja L(p) števila 0, ^ in 1. Jordansko algebro J torej lahko zapišemo kot direktno vsoto lastnih podprostorov pri čemer je J = Jo © Ji © Ji, 2 Ji = { x GJ; L(p) x = i o x } . Dekompozicijo jordanske algebre J na direktno vsoto lastnih pod-prostorov imenujemo Pierceova dekompozicija. Elementi podpro-stora Ji so lastni vektorji, ki pripadajo lastni vrednosti i. V zgornjem primeru jordanska algebra J razpade na direktno vsoto naslednjih lastnih podprostorov Jo = { x gJ ; L (p) x = 0 } = { x gJ ; p o x = 0 } , Ji = { x G J; L(p) x = | x } = { x G J; p o x = | x } , Ji = { x gJ ; L(p) x = x } = { x gJ ; p o x = x } . V nadaljevanju razdelka bodo predmet obravnave predvsem multi-plikativne lastnosti Pierceove dekompozije, ki nikakor niso očitne. V kasnejših razdelkih bomo namreč dekompozicijo, zaradi številnih uporabnih lastnosti uporabljali kot orodje pri dokazovanju nekaterih trditev. Zgled 1. Naj bo J množica realnih simetričnih matrik dimenzije m x m, opremljena z jordanskim produktom. V prvem razdelku tega poglavja smo dokazali, da je J jordanska algebra. Naj bo m = r + q. Pokažimo, da je matrika oblike p= projektor prostora J. Ker je Ir p Ir 0 Ir 0 Ir 0 0 0 0 0 0 0 p očitno sledi, da je matrika p projektor prostora J. V nadaljevanju izračunajmo Pierceovo dekompozicijo prostora J glede na projektor p zgornje oblike. Najprej si oglejmo dekompozicijo v primeru, ko je m = 2. Po definiciji lastnih podprostorov, je podprostor Jo določen s predpisom a b 1 0 o a b 0 0 b c 1 0 0 b c 0 0 Jo = Ker za poljubna A in B GJ velja i ( AB + BA) = A o B , sledi 1 0 0 0 + a b b c 1 0 0 0 = 2 0 0 0 0 oziroma a b a 0 0 0 0 0 + b 0 = 0 0 Od tod dobimo sistem 2a b 0 0 b 0 0 0 katerega rešitev je a = b = 0 in c G R. Dobimo torej Za podprostor Ji = 2 dobimo sistem Jo = 0 0 0c c e R 1 0 0 0 2a b = 2 • katerega rešitev je a = c = 0 in b G R. Sledi torej Ji 2 0b b0 bR O 2 5 Algebraična analiza evklidskih algeber Podobno tudi za podprostor a b 1 0 o a b a b b c 1 0 0 b c b c Ji = dobimo sistem katerega rešitev je b = c = 0 in a G R. Od tod torej sledi 2a b a b b 0 = 2 b c Ji a0 0 0 ; a G R S kratkim premislekom lahko dobljeni rezultat posplošimo tudi na jordansko matično algebro dimenzije m x m. V tem primeru so projektorju p pripadajoči lastni podprostori oblike Ji = Jo = A0 0 0 0 0 0B Ji = 2 ; A je r x r simetrična matrika ; B je q x q simetrična matrika C je r x q matrika 0 C CT 0 Zgled 2. Naj bo W vektorski prostor nad obsegom F in B : Wx W —> F simetrična bilinearna forma. Vektorski prostor V = FxW, opremljen s produktom (A,u) o (/j,, v) = (Aj + B(u,v), Xv + ju ), je jordanska algebra. Poiščimo najprej njegove projektorje. Ker je (A,u )2 = (A,u) o (A,u) = (A2 + B( u,u), Au + Au) = (A2 + B( u,u), 2Au), so projektorji rešitve sistema enačb A = A2 + B( u,u), u = 2Au. Pierceova dekompozicija 5.5 Neničelni rešitvi zgornjega sistema sta e = (1, 0) in p = (t},w) , pri čemer je B( w, w ) = V nadaljevanju izračunajmo prostoru V pripadajoče lastne podprostore. V primeru, ko je p = e, je očitno Vi = V in Vo = Vi = 0. V primeru netrivialnih projektorjev 2 postopamo na naslednji način. Po definiciji je podprostor V1, ki pripada lastni vrednosti 1, oblike Vi = { ( A, u); (A, u) o ( i, w) = ( A, u) } . Ker je (A, u) o ( i, w) = ( ^ A + B( u, w ), A w + t}U) , dobimo sistem enačb l\ + B(u,w) = X, 2 Xw + ^u = u, katerega rešitev je X = 2B( u,w), u = 2Xw. Od tod sledi ( A, u) = (2B(u,w),2Xw) = 4 B(u,w)(\,w) G F-( oziroma Vi = k G F} =¥-p. Za podprostor V0 = {(X,u);(X,u)o(l,w) = (0,0)}, dobimo sistem enačb \X + B{u,w) = 0, Xw + ^u = 0, katerega rešitve so oblike X = —2B( u,w), u = —2Xw. Ce torej zapišemo ( A,u) = ( —2B( u,w), -2\w) = -4B{u,w){\,-w) e¥-(±,-w), sledi, da je Vo = {k(±,-w); k G F} = ¥-(e-p). Podobno za podprostor Vi = { ( A, u); (A, u)o(±,w) = ±{\,u)}, dobimo sistem enačb ^A + B{ u, w) = ^A, Xw + ^u = ^u, katerega rešitev zadošča pogojema B( u,w) = 0, A = 0. Podprostor Vi je torej oblike 2 Vi = { ( o, u); B{ u, «0=0}. Ce jordanska algebra J zadošča pogoju (E3) definicije evklidske algebre, ( a o b, c) = (a, bo c) za vse a,b,c GJ , ima razcep J = + J\ + J\ naslednjo lastnost 2 Trditev 5.1. Prostori Ji so paroma ortogonalni. Dokaz: Naj bosta a GJa in b G Jp, pri čemer je a = (3. Tedaj velja (a — 3) (a,b) = (aa,b) — (a, (b) = (p o a,b) — (a, p o b) = 0 . Ker je a — ( = 0, sledi (a,b) = 0. □ Trditev 5.2. Ce je J jordanska algebra in p njen projektor, sta Jo in Ji ortogonalni podalgebri algebre J, Jo oJi = { 0 } , za kateri velja (JO + JI)OJiCJI, 2 2 Ji O Ji C Jq + Ji . 2 2 Dokaz: Če v identiteti (iii) trditve 1.1, nadomestimo a z p in b z a dobimo L(p2 o a) - L(p2)L(a) = 2 (L(p o a) - L(p)L(a)) L(p), oziroma L (p o a) - L(p)L(a) = 2 (L(p o a) - L(p)L(a)) L(p). Naj bosta a GJ\ in b G J^. Če dobljeno identiteto uporabimo na elementu b, dobimo L(Aa) b - L(p)L(a) b = 2 (L(Aa)L(p) b - L(p)L(a)L(p) b), (A - L (p) )L(a) b - 2 AL (a) /b + 2 L(p)L(a) /b = 0, (A - L (p) )L(a) b - 2/AL(a) b + 2 /L(p)L(a) b = 0, ( A - L (p) )L(a) b - 2j (A - L(p) )L(a) b = 0, (A - L(p))(1 - 2/) (a o b) = 0. V primeru, da je j = 0 ali 1, sledi L(p) (a o b) = A(a o b), kar pomeni, daje a o b G J\. Vzemimo, daje A = 0. Ker za poljubna a G Jo in b G Jo ali Ji velja a o b GJo sledi, da je Jo podalgebra algebre J. Podobno za A = 1 dobimo, da je tudi Ji podalgebra algebre J. Ker je J direktna vsota podprostorov Jq, J\ in Ji, 2 sledi Jo oJi = { 0 } . Ce vzamemo, da je A = dobimo L(p) (a o b) = I;(a o b), kar pomeni, da je za poljubna a E Ji in b G Jo + J\ produkt 2 aobEji. Od tod sledi 2 ( Jo + Ji) o Ji C Ji. 2 2 Kot dokaz zadnje inkluzije zadošča pokazati, da za a G Ji velja 2 a2 GJo + J1, oziroma a2 = ao + a1, pri čemer je ao G Jo in a1 GJ1. Ce definiramo 2 2 2 a0 = a — a o p in a1 = a o p, sledi L (p) a0 = (I — L (p) )a1 = a2 o p — (a2 o p) o p = = a2 o p2 — (a2 o p) o p = (L(a2)L(p) — L(a2 o p))p, in od tod, z uporabo identitete (m), trditve 1.1, L(p) a0 = 2 (L (a) L (p) — L (a o p)) L(a) p = = (L (a) L (p) - i L (a,)) a = L(a) (L(p) - ± ) .t = 0. Zgoraj definiran ao je torej element Jo. Ker velja (I — L(p))a1 =0, oziroma L (p) a1 = p o a1 = a1, je očitno tudi a1 GJ\. □ Zgornjo trditev lahko predstavimo z naslednjo tabelo 0 Jo Ji 2 Ji Jo Jo Ji 2 0 Ji 2 Ji 2 Jo + J1 Ji 2 Ji 0 Ji 2 Ji Iz tabele lahko razberemo, da sta v primeru J\ = 0 podalgebri 2 in J1 celo ideala algebre J. V tretjem razdelku tega poglavja smo pokazali, da sta algebraično pravokotna projektorja tudi evklidsko pravokotna. Pokažimo, da velja tudi nasprotna implikacija oziroma naslednja Trditev 5.3. Naj bosta p in q projektorja evklidske jordanske algebre J. Algebraična pravokotnost p o q = 0 in evklidska pravokotnost (p,q) =0 sta ekvivalentni. Dokaz: Pokazati torej zadošča, da iz (p,q) = 0 sledi p o q = 0. Naj bo (p,q) =0. Očitno je tudi (p o q,q) = 0. Zapišimo projektor q v obliki q = qo + q i + q\. Od tod sledi poq=po(q0 + qi+q1)=poq0+poqi+poq1 = ±qi+q1. 2 2 2 Zaradi pravokotnosti Pierceovih podprostorov velja 0 = (p o q, q) = {\qi+qi,qo+qi+qi) = 12\\qi\\2 + \\qi\\2, od koder sledi qi = qi = 0, oziroma p o q = 0. □ 2 Trditev 5.4. Projektor p G J je primitiven natanko tedaj, ko je J1 = R • p. Dokaz: Naj bo J1 = R-p. Ce p ni primitiven, je p = q + r, pri čemer je q o r = 0. Ker velja p o q = ( q + r) o q = q o q + r o q = q + 0 = q, sledi, da je q GJ1 in q G R• p, kar je protislovje. Naj bo p GJ1 primitiven projektor. Ce je x G J1(p), je po spektralnem izreku x = ^ Xi pi, kjer so pi projektorji algebre generirane z x. Ker je J1(p) podalgebra, so očitno pi G J1 (p). To med drugim pomeni, da je p o p1 = p1 , od koder sledi p1 + (p — p1) = p, (p — p1)2 = p o p — 2 p o p1 + p1 o p1 = p — 2 p1 + p1 = p — p1 , ter p1 o (p — p1) = p1 o p — p1 o p1 = p1 — p1 =0 . Ker je p primitiven, je p1 = p, preostalih pi pa sploh ni. Torej je x = X1 p G R • p. □ Trditev 5.5. Naj bosta p in q pravokotna primitivna projektorja evklidske jordanske algebre J, Ji {p) in Ji (q) pa njima pripadajoča Pierceova podprostora. Ce a G Ji (p) fl Ji ( q ), potem velja Ibll = \\q\\ m a2 = l2W(P + «)- Opomba: Ker imajo torej vsi pravokotni primitivni projektorji enako normo, lahko v nadaljevanju brez škode za splošnost predpostavimo, da je ta norma enaka 1. Identiteto trditve torej lahko zapišemo v obliki a2 = l\\a\\2(p + q). Dokaz: Če sta p in q pravokotna projektorja, je projektor tudi p + q. Velja namreč (p + q )2 = p o p + p o q + q o p + q o q = p2 + q2 = p + q . Denimo, da je a G Ji(p), oziroma velja p o a = a. Ker po trditvi 3.4 L(p) in L(q) komutirata, velja p o (q o a) = q o a. To pa pomeni, da je q o a G Ji(p). Podobno za a G Ji( q) sledi, da je p o a GJi( q). Po definiciji je Ji( p + q) = { a GJ; (p + q) o a = a } = { a gJ ; p o a + q o a = a } = { a gJ ; p o a = a in q o a = 0 } + + { a gJ ; p o a = 0 in q o a = a } + + { a G J; p o a, = ^ a, in q o a, = ^ a } . Če upoštevamo prejšnji ugotovitvi, dobimo Ji(p + q)=Ji(p)+Ji(q)+Ji(p)nJi(q). 2 2 Ce je a G Ji{p) H Ji( q ), po trditvi 5.2 sledi, da je a G Ji(p) + Ji(q). Ker sta p in q primitivna, je Ji(p) = R-p in Ji( q) = Rq. Zapišimo a2 v obliki a2 = Ap + /j.q, in pokažimo, da je || p || = || q ||. Če upoštevamo, da je Albll2 = (p, a2) = {p O a, a) = ^||a||2, in /x|kl|2 = (q, a2) = (qoa,a) = |||a||2, dobimo identiteti A||p||2 = ±||a||2 in /i||?||2 = i||a||2. Ker v jordanski algebri J velja [a2,p, a] = 0, dobimo [ Ap + iq,p,a] = A [ p, p, a ]+| [ q,p,a ] = = A (p o (p o a) — (p o p) o a) + +1 (q o (p o a) — (q o p) o a)) = A (\ a - i a) + ji (\ a) = = —i(A — ^()a = 0) od koder sledi, da je A = | oziroma Ce torej predpostavimo, da sta dobljeni normi projektorjev p in q enaki 1, sledi a2 = ±\\a\\2(p + q). Posledica 5.6. Naj bosta p in q pravokotna primitivna projektorja evklidske jordanske algebre J. Ce je J±{p) fl J~i{q) 0, potem obstaja tak element w GJ, da je w2 = e in velja P (w ) p = q . Dokaz: Naj bo wo tak element Ji (p) fl J\ ( q), daje ||«>o||2 =2. Potem po prejšnji trditvi velja w2 = p + q. Naj bo w = wo + (e — p — q). Potem velja w2 = wo + 2 wo o (e — p — q) + (e — p — q )2 = 2 = wQ + 2wo o e — 2 wo o p — 2 wo o q + 222 + e + p + q — 2 e o q — 2 e o q + 2p o q = = p + q + 2wo — wo — wo + e + p + q — 2p — 2q = e. Od tod sledi P (w) p = P (w0 + (e — p — q ))p = = 2 L( wo + e — p — q )2p — L((wo + e — p — q )2 ) p = = 2 L( w0 + e — p — q) (w0 o a + e o p — p o p — q o p) — e o p = = 2 L( wo + e - p - q) ( \ wo + p - p) - p = = L( wo + e — p — q) wo — p = = w0 + e o w0 — p o w0 — q o w0 — p = = p + q + wo-\wo-\wo-p = q. V nadaljevanju si nekoliko podrobneje oglejmo Pierceove podpro-store Ji, ki pripadajo različnim paroma pravokotnim projektorjem, za katere velja pi + ... + pn = e. Najprej si oglejmo naslednji Zgled 3. Naj bo J jordanska algebra realnih simetričnih matrik dimenzije 3x3. Ce upoštevamo, daje na J skalarni produkt definiran s predpisom (A,B) = Sl (AB), so paroma pravokotni projektorji z lastnostjo, da je njihova vsota identiteta, naslednje matrike ■ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Če jih povrsti označimo s p, q in r, so njim pripadajoči Pierceovi podprostori naslednjih oblik p : Ji Ji 2 Ji Ji 2 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d e d 0 0 e 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 d 0 d 0 f 0 f 0 J0 = J0 = 0 0 0 0 b f 0 f c a0e 0 0 0 e0c q r : Ji = Ji 2 0 0 0 0 0 0 0 0 c 0 0 e 0 0 f e f 0 Jo = a d 0 d b 0 0 0 0 kjer so a, b, c, d,e, f G R. Z Rp, Rq in R-r označimo tisti Pierceove podprostore Ji, ki pripadajo algebri J glede na projektorje p, q in r. Ker očitno J ne moremo zapisati v obliki J = R-p © R-q © R-r, je smiselno definirati podprostore oblike Jp pq 0d0 d00 0 0 0 Jp pr 0 0 e 0 0 0 e00 J 0 0 0 Jqr — \ qr 0 0 f 0 f 0 saj potem velja J = R-p © R-q © R-r © Jpq © Jpr © Jqr . Hitro se lahko prepričamo, da so zgoraj definirani podprostori podani z naslednjimi predpisi Jpq = {A e J : po A = i A in qo A=\ A) , Jw = {A e J : po A = \ A in r o A=\ A} , Jqr = {A G J : qoA = l A in roA=\ A}. Zgornja dekompozicija predstavlja zgolj podrobnejšo delitev že obstoječe Pierceove dekompozicije glede na projektor p. Podalgebra Ji = R-p je namreč ostala nespremenjena, podprostor Ji smo 2 razdelili na Jpq © Jpr, podprostor Jo pa na R • q © R • r © Jqr. Naj bo {pi,...,pn } sistem pravokotnih primitivnih projektorjev z lastnostjo pi + ... + pn = e. Po prejšnjem zgledu je smiselno definirati naslednje podprostore jordanske algebre J Jii = Ji (pi) = R • pi Ju = Ji {p j). Simbola Ji{pi) in Ji(pi) pri tem označujeta Pierceova podprostora J\ in Ji-, ki pripadata projektorju pi. 2 Izrek 5.7. (i) Poljubno evklidsko jordansko algebro J lahko zapišemo kot direktno vsoto oblike J = © Jij . i< j (ii) Veljajo naslednje identitete Jij o Jij Jii + Jjj , Jij o Jjk C Jik , če i = k, Jij oJki = { 0 } , če { i, j }n[k,l} = 0 . Opomba : Dekompozicijo J = ©i 0 in A = (p, q) = (p , q ) = (p o q,po q ) = || p o q ||2 < \\p ||2-|| q ||2 = 1, lahko A pišemo kot A = cos2 d. Naj bosta p0 in q0 matriki dimenzije 2 x 2, definirani s predpisom ' 1 0 ' cos2 d cos d sin d p0 = 0 0 , q0 = cos d sin d 0 Če definiramo U0 = p0 o q0, kjer o predstavlja običajni jordanski produkt matrik, očitno velja U0 cos2 d L 2 | cos d sin d b cos d sin d 0 in "»o = | (Po + Qo + 2 «0 ) • Ker je A = 0, je očitno tudi u0 = 0. Naj bo J' = S im(2, R). Definirajmo preslikavo p : J' —> J s predpisom p( aa0 + (3q0 + 7U0) = ap + /3q + yu. Očitno je p homomorfizem jordanskih algeber. Ker je J enostavna, je p tudi bijektiven. □ Trditev 5.10. Naj bosta p in q nepravokotna primitivna projektorja jordanske algebre J. Potem obstaja tak element w G J, da je w2 = e in velja P (w) p = q. Dokaz: Naj bo w0 G J' podan s predpisom cos d sin d sin d — cos d Ce sta po in qo iz prejšnjega dokaza in je o običajni jordanski produkt matrik, potem velja P(wo ) po = qo. Naj bo c = p( eo ), pri čemer je ' 1 0 " 0 1 Ce je w1 = p( wo), potem velja w1 = c. Ce izberemo, da je w = w1 + e — c, sledi w2 = e in P(w ) p = q . Trditev 5.11. Naj bo J enostavna jordanska algebra in { p1,...,pr } množica takih pravokotnih primitivnih projektorjev, da je p1 +... + pr = e. Potem za vsak 1 < j < k < r velja Jjk = { 0 } . Dokaz: Denimo, da je Jij = { 0 }, za neka i in j. Z ustrezno zamenjavo indeksov lahko dosežemo, da obstaja tak l, 1 < l < r, da velja Jj = { 0 } , j = 1,...,l, Jj = { 0 } , j = l + 1,...,r. Naj bo a = p1 + ... + pi. Potem velja Ji(a)= Y, Jv-il+1 Ker je J enostavna jordanska algebra, očitno J\ (a) ni trivialna, oziroma velja Ji (a) {0}. Od tod sledi, da obstajata taka i in j, da je i < l, j > l + 1 in velja Jij = { 0 }. Ce privzamemo, da je Ju = { 0 }, potem sledi, da je tudi Jj = { 0 }, kar je protislovje s predpostavko. To pomeni, da je Jjk = { 0 }, za vsak 1 < j < k < r. □ Posledica 5.12. Naj bo J enostavna jordanska algebra. (i) Ce sta p in q pravokotna primitivna projektorja, potem velja Ji(p) n Ji(q) / {0} • (ii) Ce sta p in q primitivna projektorja, obstaja tak element w G J, da je w2 = e in velja P (w ) p = q . To pomeni, da grupa avtomorfizmov Aut( J) deluje na množici projektorjev tranzitivno. Dokaz: (i) Ker sta po predpostavki p in q pravokotna in primitivna projektorja lahko množico { p,q } dopolnimo do sistema paroma pravokotnih primitivnih projektorjev {p,q,pi,... ,pr-2 }. Po prejšnji trditvi je potem očitno Jiip) Ci q) {0}. (ii) Trditev je neposredna posledica trditve 5.10 in posledice 5.6. □ Izrek 5.13. Naj bodo J enostavna jordanska algebra, {pi,... ,pk } in {qi,.. .,qk } pa taki množici pravokotnih primitivnih projektorjev, da je pi + ... + pk = qi + ... + qk = e. Potem obstaja tak avtomorfizem A, da velja Api = qi. Dokaz: Naj bodo pi,...,pi paroma pravokotni primitivni projektorji, p in q pa taka primitivna projektorja, da sta pravokotna na pi, ...,pi. Kot dokaz izreka zadošča pokazati obstoj takega avto-morfizma A, da velja Apj = pj in Ap = q . Naj bo f = pi + ... + pi. Ker sta p in q pravokotna na pi,...,pi, očitno velja p in q G Jo( f). Po posledici 5.12 tedaj obstaja tak element w0 G J0( f), da je w^ = e — f in velja P(w0 ) p = q. Če zapišemo w v obliki w = wo + f, velja w2 = (wo + f )2 = wl + wo o f + f2 = = e — f + (pi + ... + pi) o (pi + ... + pi) = = e — f + pi o pi + ... + pi o pi = = e — f + pi + ... + pi = e — f + f = e. Ker velja P (w) p = P (wo + f ) p = = 2 L( wo + f )(wo o p + f o p) — L( w2 + 2wo o f + f2 ) p = = 2 L( wo + f )(wo o p) — L( w20 + f2 ) p = = 2 L( wo )(wo o p ) + 2L( f )(wo o p) — L( wl) p — f o p = = 2 L( wo )(wo o p) — L( w2 ) = P(wo ) p = q, je iskani avtomorfizem A = P(w). □ Posledica 5.14. Naj bosta (pi,qi) in (p2,q2 ) para različnih, pravokotnih primitivnih projektorjev enostavne jordanske algebre J. Potem velja dim, J\ (pi) n J\ (qi) = dim J\ (p2 ) n J\ (q2 ). 5.6 Hurwitzove algebre Algebro A nad obsegom F = { R, C }, z enoto 1 in nedegenerirano multiplikativno kvadratno formo N, N( a o b) = N(a)• N( b), imenujemo Hurwitzova algebra. Opomba: Kvadratna forma N je nedegenerirana, če za njej pripadajočo simetrično bilinearno formo, podano s predpisom f (a, b) = N(a + b) — N(a) — N(b), velja f (a, b) = 0, V b gA=^ a = 0. Če je A Hurwitzova algebra nad obsegom R in je N pozitivno definitna kvadratna forma, potem algebro A imenujemo evklidska Hurwitzova algebra. Ime evklidska Hurwitzova algebra opravičimo z dejstvom, da je omenjena algebra opremljena z evklidsko strukturo. Če je namreč A Hurwitzova algebra in N pozitivno definitna kvadratna forma, lahko definiramo normo || || : A—^R, s predpisom Za tako definirano normo velja || a o fe || = y/N(a o b) = y/N(a)-N(b) = ||a||-p|| oziroma || a o b || = || a |H|b || . V nadaljevanju razdelka bodo predmet natančnejše obravnave predvsem evklidske Hurwitzove algebre. Naj bo torej A evklidska Hurwi-tzova algebra in N tista pozitivna kvadratna forma, ki opredeljuje običajni skalarni produkt. Namesto oznake f (a,b) bomo tako v nadaljevanju uporabljali bolj običajno (a,b). Najprej definirajmo operacijo konjugiranja. Elementu a konjugiran elementa je podan s predpisom a = 2 (a, 1) 1 — a. Ker je konjugiranje pravokotna simetrija glede na realno os R• 1, očitno veljajo naslednje identitete 11 ® 11 = 11 a 11 > (a, b) = (a,,b), a = a. Ker je izraz {a, 1) = | ( a, + a) realno število, ga bomo v nadaljevanju imenovali realni del elementa a in označili z Re(a). Podobno kot smo v prvem razdelku tega poglavja na jordanski algebri J definirali operator levega množenja, tudi na evklidski Hurwi-tzovi algebri A definirajmo operatorja levega in desnega množenja L(a), R(a) : A —>A, s predpisom L(a) b = a o b, R(a) b = b o a, kjer sta a,b gA. Trditev 6.1. Za poljubne elemente a, b,u in v evklidske Hurwitzove algebre A, velja naslednja identiteta (a o u,b o v ) + (a o v,b o u) = 2 (a,b)•( u,v). Dokaz: Če v izrazu II a o b II = II a IHIb II , element a nadomestimo z a + u, dobimo ((a + u) o b, (a + u) o b) = (a + u,a + u)•( b,b), (a o b,a o b) + (a o b,u o b) + (u o b,a o b) + (u o b,u o b) = = [ (a, a) + (a,u) + (u,a) + (u,u) ] ■( b,b) in || a o b ||2 + 2( a o b,u o b) + || u o b ||2 = = || a ||2|| b ||2 + 2( a, u) || b ||2 + || u ||2'^"2 oziroma (a o b,u o b) = (a, u) |^|l2 Ce v dobljenem izrazu nadomestimo še element b z elementom b+v, dobimo (a o b + a o v,u o b + u o v ) = (a,u )■( b + v,b + v), ( a o b, u o b ) + ( a o b, u o v ) + ( a o v, u o b ) + ( a o v, u o v ) = = (a, u )■[ (b,b) + 2 (b,v) + (v,v) ]. Ce upoštevamo, da za poljubna x,y gA velja {x,y) = \{\\x + y\\2 - \\x\\2 - \\y\\2), dobimo naslednjo identiteto (a o b,u o b) = ± (\\ (a + u) o b\\"2 - \\ a o b\\"2 - \\u o b\\"2 ) = = | (11 a + t'-112 — 11 a-112 — 11 112 )' 11 fr 112 =(a,u)-(b,b). Podobno dobimo, da je (a o v,u o v ) = (a,u )■( v, v), od koder sledi (a o b,u o v) + (a o v,u o b) = 2 (a,u )■( b,v). Z zamenjavo elementov b in u sledi iskana identiteta (a o u,b o v) + (a o v,b o u) = 2 (a,b)■(u,v). Posledica 6.2. Za poljubne elemente a,b in u evklidske Hurwitzove algebre A, velja naslednja identiteta 2 lZe(u) ■( a,,b) = (a o u, b) + (a o u, b). Dokaz: Če v izrazu trditve 6.1 nadomestimo element v z elementom U, dobimo identiteto 2 (a, b) ■ (u, u) = (a o u, b o u) + (a o u, b o u). Ce v prvem izrazu na desni nadomestimo u z 2 (u, 1) • 1 — u, v drugem pa u z 2 (u, 1) • 1 — u, dobimo 2 (a, b) ■ (u, u) = 2 (u, 1) [ (a o u, b) + (a o u, b) ] +(a,o u, b o —u) + (aou,bo —u). Ker velja (u,u) = (u, 2 (u, 1) • 1 — u) = 2 (u, 1) • (u, 1) — (u, u), lahko v zgornji identiteti izraz na levi zapišemo v obliki 2 (a, b) ■ {u, Ti,) = 4 (a, b) ■ {u, 1 )2 — 2 (a, b) ■ {u, u). Izračunajmo vrednost izraza —2 (a,b)•(u,u) = 2 (a, —b)•(u,u) = [ || a — b ||2 — || a ||2 — Hb ||2 ]-|| u ||2 . Ker tudi vsoto izrazov (a, o u, b o —u) = i [ 11 a, o u + b o —u 112 — 11 a, o u \ \2 — 11 b o —u 112 ] = | [ 11 a, o u — b o u 112 — 11 a, o u 112 — 11 b o —u \ |2 ] = |[||a-&ll2-IMI2-imi2HMI2 in (aou,bo —u) = ^ [ 11 a o « + 6 o —u 112 — 11 a, o u \ |2 — 11 b o —u 112 ] = \ [ 11 a, o u - b o u 112 - 11 a, o u \ |2 - 11 b o -u \ |2 ] = i[||a-&ll2-IMI2-imi2HMI2, lahko zapišemo v obliki (aou, bo—u) + (a,oTi,,bo —Ti,) = [ || a, — b ||2 — || a,||2 — || b ||2 ]-|| u ||2 , sledi —2 (a,b) (u, u) = (a, o u, b o —u) + (a, o u, b o —u). Od tod sledi 2 (a, b)■ (u, 1) = (ao u,b) + (aou,b), oziroma 21Ze(u) ■(a,b) = (a o u, b) + (a o u, b). Trditev 6.3. Naj bo A evklidska Hurwitzova algebra. Potem veljajo naslednje identitete (i) L( u)* = L(u) , R( u )* = R(u) , (ii) Re( a o b) = Re( b o a), (iii) a o b = b o a,, (iv) a o a, = || a ||2 , (v) L( u )2 = L( u2), R( u )2 = R( u2 ). Dokaz: (i) Če v identiteto trditve 6.1 vstavimo v = 1, dobimo 2 Re( u)•( a,b) = (a o u,b) + (a,b o u). Ker hkrati, po posledici 6.2, velja 21Ze{ u)-(a,,b) = (ao u,b) + (a ou,b), od tod sledi (a,ou,b) = (a, b o u). Če dobljeno identiteto zapišemo v operatorski obliki, dobimo ( R(u) a,,b) = (a, R( u)b). Ker je R( u) endomorfizem algebre A, očitno velja R(u) = R(u)*. Podobno dokažemo, da velja tudi (u o a, b) = (a,uob), oziroma (L(u) a,,b) = (a, L(u) b). Od tod sledi L(u) = L(u)*. (ii) Po dokazu trditve (i) velja (a, b) = (bo a, 1) = 1Ze( boa), od koder sledi 1Ze{ boa) = (a,,b) = (a, o b, 1) = 7Ze( aob). (iii) Če uporabimo trditev (i) in upoštevamo, da je (Ti,, v) = (u,v), sledi (aob,c) = (c,aob) = (č o b,a) = (b, c o a,) = (boa,,c), oziroma aob = bo a,. (iv) Ce v identiteti trditve 6.2 element v nadomestimo z u, dobimo (11 u 112-a, b) = (a o u,b o u) = ((a, o u) o Ti,, b), od koder sledi 11 u 112 • a = ( a o u) o Ti,. Ce v dobljeno identiteto vstavimo za a =1, dobimo 11 u 112 = uo Ti,. V splošnem to pomeni, da je L( u)L(u) = \\u\\'2-I. Če izraz Ti, = 2 (u, 1) • 1 — u, pomnožimo z u, po trditvi (iv ) sledi 11 u 112 = u o u = 2 (u, 1) • 1 o u — u o u . Po prejšnjem torej sledi L( u) L(2 (u, 1 )-1 — u) = 2 (u, 1 )-u — u o u, 2 (u, 1) L( u) — L( u) L( u) = 2 (u, 1) L( u) — L( u o u), oziroma L( u )2 = L( u2 ) . Analogno dokažemo tudi trditev R( u )2 = R( u2 ). □ Hurwitzove algebre 5.6 Definirajmo element a-1 s predpisom a-1 = || a ||2" V nadaljevanju dokažimo upravičenost zgornje oznake. Z upoštevanjem identitet (iv) in (v) trditve 6.3, dobimo L(a)L(a-1) = 1^¥L(a)L(a) = 1^¥L(a)L(2(l,a}l-a) = = -JlwL(a)[2(l,a}I-L(a)} = 1^w[2(l,a}L(a)-L(a)2} = = -p-|j2 [2(1, a,)-L( a) — L( a'2) ] = -p-jp [L(2 (1, a)-a, — a2 )] = = |^I(«.o(2{l,a,)4-fl)) = i^I(floš) = /. Podobno dokažemo, da je tudi L(a-1) L(a) = I. To pomeni, daje operator L(a) obrnljiv. Podobno lahko dokažemo, da je obrnljiv tudi operator R(a). Algebro A z lastnostj o, da sta pri vsakem neničelnem elementu a G A operatorja L(a) in R(a) obrnljiva imenujemo algebra z deljenjem. Ce za poljubna elementa a in b algebre A velja a o (a o b) = a2 o b, (b o a) o a = b o a2 , oziroma L( a )2 = L( a2), R( a )2 = R( a2 ), algebro A imenujemo alternativna algebra. Dokazali smo, da je vsaka evklidska Hurwitzova algebra alternativna. Analogno, kot smo to storili v tretjem razdelku četrtega poglavja, tudi na evklidski Hurwitzovi algebri A definirajmo asociator elementov a,b in c gA, z naslednjim predpisom [a,b,c] = a o (b o c) — (a o b) o c. Očitno je v primeru, da je algebra A asociativna, asociator ničelna funkcija. Po prejšnjem je algebra A alternativna, če za poljubna elementa a in b gA velja [ a,a,b ] = 0 , [ b,a,a ] = 0. Od tod takoj sledi, da je asociator alternirajoča funkcija. Veljajo namreč naslednje identitete [ a,b,c ] = [ b,c,a ] = [ c,a,b ] = — [ c,b,a ] = — [ b,a,c ] = — [ a,c,b ] . Zgornje identitete dobimo , če v identiteti [ a,a,b ] =0, elementa a in b zaporedoma nadomestimo z a + b in c, a + c in b ter b + c in a. Naj bo (A, o) algebra nad obsegom R, z enoto 1 in konjugacijo, ki elementu a priredi element a. Ce na prostoru A x A = A2, definiramo operacijo množenja s predpisom (a,b)-(u,v) = (aou — vob,bou + voa), A2 imenujemo Cayley - Dicksonova razširitev algebre A. Če poljubnemu paru elementov a in b G A priredimo elementa (a, 0) in (b, 0) gA2, sledi (a, 0)• (b, 0) = (a o b, 0). V zgornjem smislu torej lahko algebro A obravnavamo, kot podal-gebro (A2, •). Očitno je element (1, 0) enota v A2. Če zapišemo i = (0,1), v smislu zgoraj definiranega množenja sledi i2 = ( —1, 0). Vsak element (a,b) G A2 torej lahko zapišemo v obliki a + b o i. Konjugiranje znotraj A2 definiramo s predpisom a, + b o i = a — b o i. Očitno je torej A2 algebra z enoto in konjugacijo. Zgled 1. Naj bo A = R, operacija o pa običajno množenje realnih števil. Po zgornji definiciji je Cayley - Dicksonova razširitev algebre A ravno algebra kompleksnih števil, oziroma A2 = C. Zgled 2. Naj bo A = C. Najprej zgoraj definiran produkt Cayley-Dickensonove razširitve priredimo algebri C2. Če elemente algebre C pišemo v obliki (a,b), a,b G R in upoštevamo, da je operacija o običajno množenje realnih števil, sledi [(a,b), (c, d )]• [(x,y), (z,w)] = Hurwitzove algebre 5.6 = [{a,,b)-{x,y) - {z,w)-{c,d,),{c,d,)-{x,y) + {z,w)-{a,,b)] = = [ (a, b )•( x,y) — (z, —w )•( c,d), (c,d )•( x, —y) + (z,w )•( a,b)] = = [(ax — yb,bx + ya) — (zc + dw, —wc + dz), (cx + yd, dx — yc) + (za — bw, wa + bz)] = = [ (ax — yb, bx + ya) — (~žc + d,w, —wc + dž), (cx + yd, dx — yc) + (za, — bw, wa, + bz) ] = = [ (ax — yb — zc — dw, bx + ya, + wc — dž), (cx + yd,+ za, — bw, dx — yc + wc + bz)]. Ker so a, b, c, d, x, y,z,w G R, lahko dobljeni izraz zapišemo v obliki [(ax — by — cz — dw,ay + xb + cw — zd), (az + xc + yd — bw, aw + xd + bz — yc)]. Če algebro C2 obravnavamo kot R4, lahko dobljeni izraz zapišemo v obliki (ax — by — cz — dw, ay + xb + cw — zd, az + xc + yd — bw,aw + xd + bz — yc), od koder sledi (a,b,c,d )• (x,y,z,w) = (ax, 0,0,0) + (0, ay, az, aw) + + (0, cw — zd,yd — bw,bz — yc) + ( —by — cz — dw, 0,0,0). Elemente prostora R4 zapišimo kot elemente prostora R+R3. Zgornji produkt ima potem obliko (a + u)• (x + v) = ax — (u,v) + av + xu + u x v , kjer (u,v) pomeni običajni skalarni, u x v pa običajni vektorski produkt v R3. Če za bazo izberemo četverko { 1,ei,e2,e33 }, kjer je { ei,e2,e3 } standardna ortonormirana baza prostora R3, dobimo, za zgornji produkt naslednjo tabelo množenja 1 ei e-2 e3 1 1 ei e2 63 ei ei -1 e3 -e-2 e-2 e-2 -e3 -1 ei e-3 e-3 e-2 -ei -1 Cayley-Dicksonova razširitev algebre A = C je torej izomorfna strukturi, ki smo jo v tretjem poglavju poimenovali algebra kvater-nionov H. V razdelku o kvaternionih smo dokazali, da je H asociativna in nekomutativna algebra. Zgled 3. Naj bo A = H. Ce podobno kot v prejšnjem zgledu, elemente razširitve H2 pišemo v obliki a + u, kjer je a G R in u G R7, lahko produkt iz definicije pišemo v obliki (a + u)■ (* + v ) = a* — (u, v) + av + *u + u x v . Izraz (u,v) pri tem pomeni običajni skalarni, u x v pa vektorski produkt v R7. Ce za bazo izberemo osmerico { 1,ei,e2,e3,e4,e5,ee,e7 }, kjer je { ei, e2, e33, e5j, ee, e } ortonormirana baza prostora R7, dobimo, za zgornji produkt naslednjo tabelo množenja 1 ei e-2 63 e4 e-5 ee e-7 1 1 ei e2 e3 e4 e5 ee e-7 ei ei -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e-e e-2 e-2 -e3 -1 ei ee e7 -e4 -e-5 63 63 e2 -ei -1 e7 -ee e5 -e4 e4 e4 -e5 -ee -e7 -1 ei e2 63 e-5 e-5 e4 -e7 ee -ei -1 -e3 e-2 ee ee e7 e4 -e5 -e2 e3 -1 -ei e-7 e-7 -ee e-5 e4 -63 -e-2 ei -1 Dobljeno strukturo imenujemo algebra oktonionov O. Očitno je algebra H podalgebra algebre O. Zaradi nekomutativnosti H je očitno nekomutativna tudi O. Ker je ei ■ ( e2 ■ e4 ) = ei ■ e6 = —67 in (ei ■ e2 )■ e4 = e3 ■e4 = e7, algebra O ni asociativna. Trditev 6.4. Naj bo A evklidska Hurwitzova algebra. Potem je njena Cayley - Dicksonova razširitev A2, opremljena z normo, podano s predpisom || a + b o i ||2 = || a ||2 + || b ||2 , evklidska Hurwitzova algebra natanko tedaj, ko je algebra A asociativna. Dokaz: Izračunajmo vrednost izraza || (a + b o i )■ (u + v o i) ||2 . Ce upoštevamo, da je a + b o i zapis elementa (a,b), sledi 11 (a + b o i) • (u + v o i) 112 = 11 (a, o u — v o b, b o Ti, + v o a,) 112 = = 11 a, o t;, — v o 6112 + 11 6 o u + t; o a, 112 = = 11 a 112 • 11 112 — ^ (a o t;,, v o 6) + 111; 112 • 11 6112 + 11 6112 • 111;, 112+ +2(bou, voa) + 11 v 112 • 11 a 112 . Od tod sledi, da velja identiteta || (a + b o i )■ (u + v o i) ||2 = || a + b o i ||2 + || u + v o i ||2 , natanko tedaj, ko velja (a o u,v ob) = (b ou,v o a), oziroma ( v o ( a o u ) ,b) = ( b, ( v o a ) o u ) . Od tod sledi, da omenjena identiteta velja natanko tedaj, ko je v o (a o u) = (v o a) o u, oziroma je algebra A asociativna. □ Trditev 6.5. Naj bosta A evklidska Hurwitzova algebra z enoto 1 in B taka njena podalgebra, da je 1 element algebre B in B = A. Naj bo i enotski vektor algebre A, ki je pravokoten na B. Potem, je podprostor Bo i pravokoten na B, vsota B + Bo i pa je podalgebra, ki je izomorfna Cayley - Dicksonovi razširitvi algebre B. To pomeni, da za poljubna a in b gB velja (a + boi)-(u + voi) = (aou — vob) + (bou + voa)oi. Dokaz: Dokažimo najprej, da se konjugiranje na B + Bo i ujema s tistim iz definicije konjugiranja na A2. Ker je 1 G B, i pa enotski vektor pravokoten na B, sledi, da je (i, 1) = 0. Ker je i = 2 (i, 1) • 1 — i = —i, od tod sledi i2 = —i o i = —||i ||2 = —1 . Za vsak a gB torej velja 0 = (a, i) = (1, i o a) = | (i o a + a o -i,) = ^(floj + iofl) = |(flo'i-iofl,), od koder sledi i o a = a o i. Z upoštevanjem dobljene identitete sledi, da je a o i = i o a = —i o a = —a o i. Za a in b gB je torej a, + b o i = a, + b o i = a, — b o i. Ker za poljubna a in b gB velja (a, b o i) = (bo a, i) = 0 , sledi, da je Bo i pravokoten na B. Ker velja (a + b o i )•( u + v o i) = a o u + a o (v o i) + (b o i) o u + (b o i) o (v o i), za dokaz izomorfnosti zadošča dokazati naslednje identitete (a o i) o b = (a o b) o i, a o (b o i) = (b o a) o i, (a o i) o (b o i) = — b o a,. Ker je (b,i) = (i,b) = — (i, b) = 0, za vsak c G A, po trditvi 6.1 velja 0 = 2 (i, b) ■ (c, a) = (c o 6, a, o i) + (c o -j, a, o b). Od tod sledi (c, (a o i) o b) = (c, ( a o b) o i), oziroma (a o i) o b = (a o b) o i. Po konjugiranju obeh strani zgornje identitete, dobimo bo (a o i) = — ( a o b) o i, oziroma bo (a o i) = (a o b) o i. Če upoštevamo, da za poljubna a in b gB velja 0 = (a.ob, ?') = (( aob)oi, 1) = ((aoi )ob, 1) = (aoi, b) = (a, boi), po trditvi 6.1 sledi 0 = 2 (a, b o i) • (c, i) = (coa,io(boi)) + (ioa,co(boi)). Ker je i o (bo i) = i o (i ob) = R( i )2b = R( i2) b = —b, sledi 0 = (coa,—b) + (ioa,co(boi)), (c,bo a) = ((i o a) o (b o i), c), (c,bo a) = — ((a o i) o (b o i), c), in od tod b o a = — (a o i) o (b o i). Hurwitzov izrek 6.6. Edine evklidske Hurwitzove algebre so R, C, H in O. Dokaz: Naj bo A evklidska Hurwitzova algebra. Označimo z Ai = R4. Če A = Ai, izberimo v algebri A tak enotski vektor ii, da bo pravokoten na Ai. Po trditvi 6.5 je potem podalgebra A2 = Ai + Ai o ii algebre A, izomorfna C. Če A = A2, podobno konstruiramo podalgebro A3, kije izomorfna H. Če je tudi A = A3, konstruiramo podalgebro A4, ki je izomorfna O. Pokažimo, da je tedaj A = A4. Denimo, da A = A4. Potem lahko v algebri A izberemo tak enotski vektor i4, da bo pravokoten na A4 in bo podalgebra A5 = A4 + A4 o i4 evklidska Hurwitzova algebra. To pa po trditvi 6.4 pomeni, da je A4 asociativna algebra. Ker O ni asociativna, od tod sledi, da je A = A4. □ 6 Strukturna analiza evklidskih algeber 6.1 Ideali Ker je pojem ideala dobro znan že iz dodiplomske algebre, osvežimo le nekatere elementarne lastnosti idealov, ki jih bomo potrebovali ob obravnavi strukturne teorije evklidskih algeber. Naj bo E algebra, lahko tudi nekomutatvna, neasociativna in brez enote. Podprostor J algebre E imenujemo levi ideal, če izpolnjuje naslednji pogoj: produkt elementa množice J s poljubnim elementom algebre E, z leve, je element J. Simbolno pogoj zapišemo EoJcJ. Povsem analogno definiramo tudi desni ideal. V nadaljevanju bomo z besedo ideal označevali dvostranski ideal, torej strukturo za katero velja JoE, EoJcJ. Elementarno je dejstvo, da je presek poljubne družine levih ali desnih idealov spet ideal iste vrste. Zato vsaka množica S C E gene-rira najmanjši levi ideal, najmanjši desni ideal in najmanjši ideal, v katerem je vsebovana. Na povsem naraven način lahko torej definiramo vsoto levih idealov C1 + C2 = { a + b : a gL in b GC2 }, ki je prav tako levi ideal. Podobno definiramo tudi vsoto desnih in dvostranskih idealov. Očitno je presek J1 n J2 največji ideal, ki je vsebovan v idealih J1 in J2, vsota J1 + J2 pa najmanjši ideal, ki vsebuje J1 in J2. V primeru, daje presek dveh idealov J1 in J2 trivialen, njuno vsoto pišemo kot J1 ©J2. Imenujemo jo direktna vsota idealov J1 in J2. Ker je J1 oJ2 C J1 nJ2, je v primeru direktne vsote produkt obeh idealov trivialen. Množenje v J1 ®J2 tako naravno razpade na množenje znotraj J1 in znotraj J2. Od tod ideja strukturne teorije, da algebre poskušamo razcepiti na direktne vsote idealov. Ideali, ki jih ni mogoče razcepiti na manjše ideale, bodo tvorili osnovne gradnike iz katerih bomo tvorili kompleksnejše strukture. Če je J tak ideal algebre E, da obstaja ideal Ji za katerega velja J ® Ji = E, J imenujemo komplementiran ideal. V primeru, da tak ideal ne obstaja pravimo, da J nima komplementa. Množica, ki vsebuje samo element 0, je ideal v vsaki algebri. Prav tako je tudi množica, ki vsebuje vse elemente algebre E ideal. Taka ideala imenujemo trivialna ideala. Pravi oziroma netrivialen imenujemo torej tak ideal, ki ne vsebuje samo elementa 0 in ne vsebuje vseh elementov algebre E. Denimo, da ima algebra E element 1 in da je 1 v nekem desnem idealu J. Če je k poljuben element iz E, pripada produkt 1 o k = k idealu J. Torej vsebuje J vse elemente algebre E in zato ni pravi ideal. Naj bo a poljuben obrnljiv element ideala J. Ker je potem v idealu tudi produkt a o a-1 = 1, če je J desni ideal oziroma a-1 o a = 1, če je J levi ideal, sledi J = E. Pravi ideal torej ne vsebuje identitete algebre in nobenega obrnljivega elementa. Levi in desni ideal imenujemo minimalen, če je neničelen in ne vsebuje nobenega drugega neničelnega ideala iste vrste. Podobno je definiran maksimalni ideal, ki je po definiciji različen od cele algebre. Algebro, ki nima netrivialnih idealov imenujemo enostavna. Seveda ni nujno res, da enostavna algebra ne vsebuje netrivialnih levih ali desnih idealov. Če za ideala Ji in J2 algebre E velja, da iz Ji o J2 = 0 sledi Ji =0 ali J2 =0, algebro E imenujemo praalge-bra. Ideal J algebre E imenujemo praideal, če iz Ji oJ2 dJ sledi Ji d J ali J2 d J. To pa pomeni, da je E praalgebra natanko tedaj, ko je ideal 0 njegov praideal. V nadaljevanju si oglejmo tiste lastnost idealov, ki jih bomo potrebovali pri opisu strukturne teorije evklidskih algeber. Naj bo E evklidska algebra. Pokažimo najprej naslednjo Trditev 1.1. Ce je T ideal algebre E, je ideal tudi njegov ortogonalni komplement T^, podan s predpisom T± = { a gE : V b gT, (a,b) = 0 } . Dokaz: Naj bosta a gE in b G T±. Ker za poljuben element c gT velja (a o b, c) = (b,a o c) = 0, sledi a o b G oziroma zgoraj definirana množica I^ je ideal. □ Ker je torej E = I ©I^, je vsak ideal evklidske algebre komple-mentiran. Denimo, da sta I in J različna minimalna ideala algebre E. Očitno je, zaradi minimalnosti, I n J = 0, od koder sledi IoJcInJ = 0. Od tod sledi (I, J) = (1, IoJ) =0. Dokazali smo torej Trditev 1.2. Različna minimalna ideala evklidske algebre E sta pravokotna. Tvorimo družino vseh minimalnih idealov In evklidske algebre E. Po prejšnji trditvi obstaja direktna vsota Ji ©J2 © ...®Jn CE. Ker je ortogonalni komplement te vsote ideal v E, ki ne vsebuje nobenega minimalnega ideala, je nujno trivialen. Ker ima algebra E končno dimenzijo, velja Ji ©J2 © ...©Jn = E . Izrek 1.3. Vsako evklidsko algebro E lahko enolično zapišemo kot ortogonalno direktno vsoto svojih minimalnih idealov. Dokaz: Ker ima evklidska algebra E končno dimenzijo, ima tudi minimalne ideala. Ker je eksistenca razcepa algebre E na ortogonalne minimalne ideale posledica trditev 1.1 in 1.2, zadošča dokazati le enoličnost razcepa. Naj bosta E = Ii ©I2 © ...©In = Ji ©J2 © ... ©Jm , različna razcepa algebre E na minimalne ideale. Očitno je presek Ii n Ji ideal. Zaradi minimalnosti idealov Ii in Ji, je presek lahko 0 ali Ii = Ji. Denimo, da je za vsak i presek enak 0. Ker je potem Ii oJi CIi nJ = 0 od tod sledi Eo Ji =0 oziroma Ji = e oJi = 0. Za nek i je torej presek idealov Ii in Ji enak Ii = Ji. Induktivno lahko s podobnim razmislekom pokažemo trditev izreka. □ Trditev 1.4. Vsak minimalni ideal evklidske algebre E je enostavna algebra. Dokaz: Denimo, da je J1 ©J2 © . ..©Jn razcep evklidske algebre E na minimalne ideale. Definirajmo J = J2©. ..©Jn. Naj bo l ideal algebre J1. Ker je J1 oJ C J1 nJ = 0 in J o J1 CJ n J1 = 0, je I o J = J o I = 0. Od tod sledi Eol=( J1 + J) ol = J1 ol + JolCl + 0= l, loE = lo( J1 + J )= loJ1 + lo J Cl + 0= l, oziroma l je ideal v E. Ker je J1 minimalen, sledi l G { 0, J1 }. To pa pomeni, da J1 nima netrivialnih idealov oziroma je enostavna algebra. □ 6.2 Enoličnost skalarnega produkta V prejšnjem razdelku smo dokazali, da vsaka evklidska algebra razpade na minimalne ideale, ki so med seboj pravokotni. To pomeni, da se lahko pri študiju enoličnosti skalarnega produkta omejimo na primer, ko je E enostavna algebra. Pri tem študiju bomo potrebovali pomožno sredstvo, ki se imenuje centralizator. Linearna preslikava C : E —> E, se imenuje centralizator algebre E, če je C(a o b) = C(a) o b = a o C( b). Očitno je vsak skalarni večkratnik identitete centralizator. Poleg tega lahko s povsem elementarnim računom pokažemo, da je vsota centralizatorjev ponovno centralizator, ter da isti sklep velja tudi za kompozitum centralizatorjev. To pomeni, da lahko vsaki (neasocia-tivni) algebri E priredimo (asociativni) kolobar centralizatorjev C(E) z enoto. V primeru, da je E enostavna algebra, velja še nekoliko močnejša Trditev 2.1. Ce je E enostavna algebra, je C(E) obseg. Dokaz: Naj bo C = 0 centralizator in K = { a G E; C(a) = 0 } jedro preslikave C. Ker velja C (x o a) = x o C (a) = x o 0 = 0, C (a o x) = C (a) o x = 0 o x = 0, je K ideal algebre E. Ker je C = 0, očitno možnost K = E odpade. Ker je E enostavna algebra, sledi K = 0, oziroma C je injektivna preslikava. Naj bo L = { C (a); a G E} množica slik preslikave C. Naj bo x G E in b G L. Element b torej lahko zapišemo kot b = C(a). Tedaj velja x o b = x o C (a) = C (x o a) gL, b o x = C (a) o x = C (a o x) gL, od koder sledi, da je L ideal. Ker je C = 0, možnost L = 0 odpade. To pa pomeni, da je C tudi surjektivna preslikava. Dokazati torej zadošča, da je tudi C-i centralizator. Naj bosta x,y G E. Tedaj obstajata taka a in b G E, da velja x = C(a) in y = C(b). Ker velja x o C-i( y) = C(a) o C-iC(b) = C(a) o b = C(a o b) = = a o C(b) = C-i( x) o y, ter C-i( x o y) = C-i(C(a) o y) = C-iC(a o y) = a o y = = C-i(x) o y = x o C-i( y), je trditev dokazana. □ Ker ima enostavna evklidska algebra E končno dimenzijo, je C( E ) realen obseg končne dimenzije. Iz klasične Wedderburnove strukturne teorije asociativnih algeber s končno dimenzijo, je znano, da je tak obseg izomorfen bodisi R bodisi C. Dejansko lahko drugo možnost izključimo in dobimo Trditev 2.2 Če je E enostavna evklidska algebra, je C(E) = R. Dokaz: Če bi veljalo, da je C(E) = C, bi obstajal centralizator T, ki bi zadoščal enačbi T2 = —I. Ker ima E enoto, bi potem veljalo || T (1) ||2 = (T (1), T(1)) = (1, T(1) o T (1)) = (1,T(1o T (1))) = = (1,TT(1)) = — (1,1) = —|| 11|2 , kar je nemogoče. □ V nadaljevanju je naš namen določiti zvezo med centralizatorji in avtomorfizmi. Omenjena zveza nam bo namreč v veliko pomoč pri dokazu trditve, da je skalarni produkt v evklidski algebri enolično določen. Zvezo podaja naslednja Trditev 2.3. Naj bosta Ei in E2 enostavni evklidski algebri in $ : Ei —> E2 algebraični izomorfizem. Tedaj je $*$ centraliza-tor algebre Ei. Opomba : Simbol $* označuje adjungirano preslikavo v smislu klasične teorije Hilbertovih prostorov. Dokaz: Naj bo C = $*$. Tedaj velja (C(a o b),c) = ($( a o b), $( c)) = ( $( a) o $( b), $( c)) = = ($( a), $( b) o $( c)) = ($( a), $( b o c)) = = (C(a ),b o c) = (C(a) o b,c). Ker so a, b in c poljubni, je C(a o b) = C(a) o b za vsaka a in b G E. Podobno dokažemo, da je C(a o b) = a o C(b). □ Posledica 2.4. Algebraični izomorfizem med enostavnima evklid-skima algebrama je večkratnik izometrije. Dokaz: Ker je $*$ = X I za nek realen in očitno pozitiven A, velja || $( a) ||2 = ( $( a), $(a)) = ( $*$(a),a) = = (Aa,a) = A || a ||2 , oziroma ||$(a)|| = ^A||a||. Na koncu dokažimo še trditev, ki predstavlja bistvo tega razdelka. Trditev 2.5. Skalarni produkt evklidske algebre je na vsakem minimalnem idealu določen do skalarnega večkratnika natančno. Dokaz: Naj bosta na enostavni jordanski algebri J podana taka skalarna produkta (.,. )i in (.,. )2, da je J evklidska algebra. Ce je Ji = ( J, (.,. )i), je id : Ji —> J2 algebraični izomorfizem. Po prejšnji trditvi je potem (a,b )2 = (id( a),id( b)) = A (a,b ^ . 6.3 Klasifikacija evklidskih algeber z rangom < 2 Namen razdelka je klasificirati enostavne evklidske algebre. Osnovna ideja klasifikacije temelji na rangu evklidske algebre. Definiramo ga kot moč največje družine neničelnih projektorjev, ki so paroma pravokotni. To pomeni, da zadoščajo pogoju Pi o p j =0 če i = j . Tako definiran rang se v primeru matričnih algeber ujema s klasično definiranim rangom. Očitno je vsota projektorjev največje družine {p1,...,pn } vedno enaka 1. V nasprotnem primeru bi namreč družina { P1,... ,pn, 1 — P1 — ... — pn } bila še večja množica paroma pravokotnih projektorjev. Izrek 3.1. Enostavna evklidska algebra ranga 1 je izomorfna R. Dokaz: Naj bo x neničelen element enostavne evklidske algebre E. Po prvem spektralnem izreku 5.3.1 lahko x enolično zapišemo kot x = \1 p1 + \2'p2 + ... + K.pn , kjer so X,. ..,\n realna števila, p1,...,pn pa pravokotni projektorji. Ker ima pravokotna družina projektorjev moč kvečjemu enako rangu algebre E, je n = 1. To pa pomeni, da je vsak element algebre E večkratnik projektorja. Naj bo { x1,x2,..., xm } ortogonalna baza vektorskega prostora E. Ker so vsi njeni elementi večkratniki projektorjev, obstaja ortogonalna baza prostora E, ki je sestavljena iz projektorjev. Ker je po predpostavki moč družine projektorjev enaka 1, sledi m = 1, oziroma E = R. □ V drugem poglavju so bili predmet obravnave Lorentzovi stožci. Poglavje smo strnili z vložitvijo Lorentzovega stožca v algebro Lor(n). V naslednjem izreku bomo dokazali, da so Lorentzove algebre natanko tiste enostavne evklidske algebre, ki imajo rang 2. Izrek 3.2. Enostavna evklidska algebra ranga 2 je izomorfna Lor(n). Dokaz: Naj bo E enostavna evklidska algebra ranga 2. Potem je 1 = p + q, pri čemer sta p in q neničelna ortogonalna primitivna projektorja. Razcepimo E glede na projektor p. Po trditvi 5.5.2 sta Eo in E1 ortogonalni podalgebri. Obe imata enoto, prva 1 — p = q, druga pa p. Ker aksiomi (E1), (E2) in (E3) držijo tudi za podalgebre, sta Eo in E1 evklidski algebri. Ker je rang algebre E enak 2, imata Eo in E1 rang 1. Po izreku 3.1 sledi, da je Eo = R q in Ei = R p. Ker je E enostavna, je očitno E = R q © R p, od koder sledi, da je £1 0. Vzemimo enotski vektor x G £1. Ker po trditvi 5.5.2 velja x2 G 2 £io£i c £o+£i, obstajata taka skalarja a in /3, daje x2 = ap+(3q. 2 2 Ker je x = (p + q)ox=pox + qox = ^x + qox, sledi, da je q o x = ^ x, oziroma p o x = q o x = | x. Ker v evklidski algebri E velja identiteta x2 o ( p o x ) = ( x2 o p ) o x, sledi x2 o (p o x) = (ap + 3q) o (p o x) = (ap o p + j3q o p) o x = = ( ap + 0) o x = ap o x = § x. Ker po drugi strani velja (ap + f3q) o (po x) = (ap + f3q) o ^ x = ^ po x ^ po x = ^ + ^ , sledi identiteta — fY> I rp - QL rp ^ I ^^^ od koder sledi a = 3. Ker je x2 = ap + 3q = a (p + q) = a, velja a || p ||2 = a (p,p) = (ap,p) = (x2,p2 ) = (x2,p) = = (x,pox) = (x, q ox) = (x2,q) = (x2,q2 ) = a (q,q ) = a || q ||2 , oziroma || p || = || q ||. Če algebro E renormiramo tako, da je || p || = || q || = sta enotska vektorja 1 in p — q. Velja namreč (1,p — q) = (p + q,p — q) = || p ||2 — (p,q) + (p,q) — Hq ||2 = 0, (p-q,p-q) = Ibll2 - (p,q) - (q,p) + Ikll2 = \ + \ = Vzemimo poljuben x G £ i in y = a (p — q ) E'R(p-q). Ker veljajo identitete (1,p — q) = (p + q,p — q) = | p f — p o q + q o p f = 0 , (1,x) = (p + q,x ) = (p,x ) + (q,x ) = (p2 ,x) + ( q2,x) = = (p, pox) + (q,qox) = \ (p,x) + \ (q,x) = = i (1, p o x) + i (1, q o x) = K 1, x ) + 1, x ) = = l( ijX) ==> (1,.t) = 0 in (x,a (p — q)) = (x,ap — aq) = (x,ap) — (x,aq) = = (p o x,a) — (q o x,a) = (p o x,a) — (p o x,a) = 0, sta podprostora £ i in R (p — q) pravokotna na enoto in pravokotna tudi med seboj. Ce označimo z J- = { 1 }-*-, sledi, da je J- = £ i © R (p — q )• Zapišimo elemente algebre E v obliki a + a, kjer je a večkratnik enote in a G F ter izračunajmo vrednost produkta ( a + a) o ((3 + b )• V smislu zgornjega razcepa lahko a in b zapišemo v obliki a, = c+7 ( p—q ) in b = d,+5 (p—q ), pri čemer sta c, d G £ 1, Y,S G R. Ker veljajo identitete (c,c) = (1,c o c) = (1,c2 ) = (1,p) = p = c2 in podobno d2 = (d, d) in (c + d )2 = (c + d,c + d), sledi c o d = ( c,d )• Veljata namreč identiteti (c + d) o (c + d) = c o c + c o d + d o c + d o d = (c,c) + 2 c o d + (d, d) in (c + d) o (c + d) = (c + d, c + d) = (c,c) + 2( c,d) + (d, d). Ker sta c, d G £ 1 (p) fl £ 1 ( q), velja p o c = q o c = \c po d = q o d = I d. Od tod sledi a o b = c o d + 5c o (p — q )+^d o (p — q )+y^ (p — q )2 = = (c,d) + y 5 (p — q )2 = (c,d) + 7 5 (p2 — p o q — q o p + q2 ) = = (c,d) + y5 (p + q) = (c,d) + 7 5 = (a,b). Množenje v algebri E je torej podano s predpisom (a + a) o (3 + b) = a( + ab + (a + a o b = a( + (a,b) + ab + (a, kar je identično predpisu, s katerim je podano množenje v Lorent-zovi algebri. □ Nadaljna klasifikacija enostavnih evklidskih algeber ranga > 3 temelji na evklidskih Hurwitzovih algebrah in njim prirejenih algebrah simetričnih matrik. Pred končno klasifikacijo evklidskih algeber si torej oglejmo nekatere lastnosti algeber simetričnih matrik. 6.4 Algebre Her( m, A) Naj bo A evklidska Hurwitzova algebra. V petem razdelku prejšnjega poglavja smo dokazali, da je A izomorfna eni izmed algeber: R, C, H ali O. V nadaljevanju bomo z M( m, A) označevali algebro matrik dimenzije m x m s členi iz A. Očitno je zaradi asociativnosti algeber R, C in H, asociativna tudi pripadajoča algebra M( m, A). Trditev 4.1. Za poljubne a, b in c G M( m, A) veljata identiteti (i) ReSl (ab) = ReSl (ba), (ii) ReSl ((a • b) • c) = ReSl (a-(b-c)), kjer ReSl (a) pomeni realni del sledi matrike a. Dokaz: Če v trditvi 5.6.3 operacijo o obravnavamo kot običajno množenje matrik, je identiteta (i) direktna posledica identitete (iii) omenjene trditve. Za poljubna a in b gA namreč velja Re (ab) = Re (b• a). Za poljubne a, b in c gA, z upoštevanjem definicije realnega dela elementa, velja Re ((a-b)-c) = ((a-b)-c, 1) = (a-b,č) = (b,a-č) = = (b-c,a) = (a-(b-c), 1) = Re (a-(b-c)), od koder sledi identiteta (ii). □ V nadaljevanju označimo z Her( m, A) realni vektorski prostor her-mitskih matrik dimenzije m x m s členi iz A. Za element a prostora Tter{ m, A) potem velja aT = a, oziroma aij = aji . Ker je kvadratna forma SI (a2) = aij ' aji = Y1 | aij ^ , i,j i,j pozitivno definitna, lahko na prostoru Her( m, A) definiramo skalarni produkt z naslednjim predpisom (a, b) = ReSl (a• b). Prostor Her( m, A), opremljen z zgornjim skalarnim produktom tako postane evklidski vektorski prostor. Ce na prostoru Her( m, A) definiramo jordanski produkt s predpisom a o b = | (a-b + b-a), lahko zgoraj definiran skalarni produkt zapišemo v obliki (a, b) = ReSl (a o b). Ce upoštevamo, da je v primeru A = R, C ali H, algebra M( m, A) asociativna, potem veljata naslednji identiteti a o 6 = i (a-b + b-a) = 5 ( b-a, + a-b) = bo a, in a o (a2 o b) = \ a2 o (a2-b + b-a2 ) = = j(a-(a2-b) + (d2-b)-a + a-( b-a2 ) + (b-a2)-a) = = \ (a2-( a-b) + ( a-b)-a2 + a2-(b-a,) + (b-a)-a2 ) = = I a2 o ( a-b + b-a) = a2 o (a, o b). Algebra Her( m, A), A = { R, C, H }, opremljena z jordanskim produktom o je torej jordanska algebra. Pokažimo, da je Her( m, A) celo evklidska jordanska algebra. Dokazati zadošča asociativnost skalarnega produkta oziroma veljavnost naslednje identitete ( a o b, c ) = ( a, b o c ) . Po definiciji skalarnega produkta velja (aob,c) = Re SI ((aob)-c) = \ Re SI (( a-b)-c) + \ Re SI ((ba )-c). 6 Strukturna analiza evklidskih algeber Od tod, z upoštevanjem trditve 3.1 sledi (aob,c) = \ ReSi (a-(b-c)) + \ ReSi (a-(c-b)) = ReSl (a ■ (b o c) ) = (a,b o c), oziroma (a o b,c) = (a,b o c). V nadaljevanju si nekoliko podrobneje oglejmo algebro Her(3,0), dimenzije 27, ki jo imenujemo Albertova algebra. Trditev 4.2. Za vsak element a G Her( m, O) velja a■ (a2) — (a2) ■ a = XI, kjer je X G O. Dokaz: Naj bo b = a■ (a2 ) — (a2 )■ a. Potem za bij velja bij = ^2 aik{^2i aklalj ( ^ aikakl )alj = ^ [ aik, akh alj ] . k l l k k,l Asociator [ a,3,Y ], elementov algebre O je enak nič, če je eden izmed elementov realen ali pa sta dva med seboj enaka. To pomeni, da je asociator različen od nič le v primeru, ko so indeksi elementov asociatorja, upoštevajoč tudi njihove permutacije, različni. Od tod torej sledi, da je za i = j element bij = 0, oziroma velja bii = [ ai2, a23, a3i ] + [ a13, a32, a2i ] , b22 = [ a21, a13, a32 ] + [a23, a31, a12 ] , b33 = [ a31, a12, a23 ] + [a32, a21, a13 ] . Ker je asociator alternirajoča funkcija, sledi b11 = b22 = b33 . Trditev 4.3. Naj bo a taka antihermitska matrika s členi iz O, da velja Sl (a) = 0. Potem je linearna preslikava D : M( m, A) —► M(m, A), podana s predpisom DDx — a ■ x x ■ a, odvajanje algebre Her( m, A). Dokaz: Ker po trditvi 4.2 za vsak x G Her( m, O) velja x • (x2) — (x2) • x = XI, sledi Sl (a^( x • (x2))) — Sl (a • ((x2) •x)) = Sl (aXI) = Sl (aX) = Xdimher(m,O) Sl (a) =0 . Od tod, z upoštevanjem trditve 4.1, dobimo ReSl ((a• x )• x2) = ReSl ((x- a )• x2). Od tod sledi 0 = i Ee ((a-x) ■x2) - i Ee Sl ((a;-a)-x2) = = Re a-x) •x2 + ^ .t2 • (a-x) — ^ .t2 • ( a-x) — ^ (a-x) -.t2 ) = = ReSl ((a^x o x2 ) — (x• a o x2)) = = ReSl ((a • x — x^a) o x2 ), oziroma {Dx,x2) = 0. Če v dobljeni identiteti najprej element x nadomestimo z x + y, nato pa še z x — y, dobimo identiteti 2 (Dx, x o y ) + 2 (Dy,x o y ) + (Dx, y2) + (Dy, x2) =0 , —2 (Dx, x o y) + 2 (Dy,x o y) + (Dx, y2) — (Dy, x2) = 0 . Če dobljeni identiteti odštejemo, dobimo 2 (Dy, x o y ) = — (Dx, y2). Podobno z zamenjavo elementa x z elementom x + z, dobimo identiteto 2 ( Dz,x o z ) = — (Dx, z2). Če v identiteti 2 (Dy,x o y) + ( Dx,y2) = 0 , nadomestimo element y z y + z, dobimo 2 ( Dy,x o y) + 2 (Dy,x o z ) +2 ( Dz,x o y) + 2 (Dz,x o z ) + + (Dx,y2) +2 (Dx,y o z) + (Dx, z2) = 0, od koder z upoštevanjem zgornjih identiteti, sledi {Dx, y o z ) + {Dy, z o x) + { Dz, x o y) =0 . Z uporabo zgornje identitete na elementu z = 1, dobimo izraz {Dx,y ) + {Dy,x ) = 0 , ki dokazuje antisimetričnost operatorja D. Ob upoštevanju asoci-ativnosti skalarnega produkta sledi {Dx o y, z ) + {Dy o x,z ) — {z, D( x o y)) =0 , oziroma D( x o y) = Dx o y + x o Dy . To pa pomeni, da je D odvajanje na algebri Her( m, O). □ Izrek 4.4. (Freudenthalov) Naj bo H grupa avtomorfizmov algebre Her( 3, O), ki ohranja sled. Za poljuben a G Her( 3, O) obstaja tak h G H, da je h ■a diagonalna matrika. Dokaz: Naj bo a antihermitska matrika s členi iz O, za katero velja Sl (a) = 0. Po trditvi 4.3 je preslikava D, podana s predpisom Dx = ax — xa, odvajanje algebre Her(3, O). Ker je H kompaktna grupa, za vsak x G Her( 3, O) velja, da je orbita H■x kompaktna [ Faraut, 1994, str. 90]. Denimo, da je maksimum funkcije definirane na orbiti H ■ x in podane s predpisom (tD) y), je f (0) = p(exp(0) y) = p(y). Ker je y maksimum funkcije sledi f (t) < f (0), za vsak t G R. Ce torej zapišemo f (t) = Y,( eM tD) yu ) i=1 po odvajanju dobimo f '(t) = 2 £(exp( tD) yu) D (exp( tD) yu ). i=i Od tod sledi 33 f '(0) = 2^2 yii D yn = 2 yn (Dy )u . i=i i=i Ce upoštevamo, da je 3 3 3 3 (Dy )n = Y1 aij yji yij j = Y1 aj yji + Y1 y»() j=i j=i j=i j=i 3 3 3 3 = Y^ aij yji + yij a*v = Y^ aj yh + yij j=i j=i j=i j=i 3 = 2Y1(aij, yij) j=i in velja f '(0) = 0, dobimo 3 3 3 0 =2 Y1 yu(Dy)u = 4Y1 y« T,(aj ) = i=i i=i j=i =4 Y1(aij ,yij) (ya- yjj). i 3 V drugem razdelku smo dokazali, da so enostavne evklidske algebre ranga 1 izomorfne R, enostavne evklidske algebre ranga 2 pa pripa-dojočim Lorentzovim algebram. V nadaljevanju bomo klasificirali še enostavne evklidske algebre ranga > 3. Naj bo E enostavna evklidska algebra ranga r > 3. Njeno Pi-erceovo dekompozicijo, glede na sistem pravokotnih projektorjev { pi,...,pr }, zapišimo v obliki E = © Eij . i< j Trditev 5.1. Za poljubne a, c G Eij in b G Ejk, pri čemer so i, j in k različni, velja naslednja identiteta L(c) (a o b) + L(a) [cob) = \{a,c)b. Dokaz: Če v trditvi 5.5.8 nadomestimo element a G Eij z elementom a + c G Eij, dobimo L(a + c)((a + c)ob) = l\\a + c\\2b. oziroma L(a + c)( a o b)+L(a + c)( c o b) = = |(||a||26 + (a,C)6 + (C,a)6 + ||c||26). Ker je (a,c) = ( c,a), sledi L(a) (a o b) + L(c) (a o b)+L(a)(c o b)+L(c)(c o b) = = |(||a||26 + 2(a,C)6 + ||C||26), in ob upoštevanju identitet L(a) ( aob) = | 11 a \\2b ter L(c) ( cob) = g II c L(c) (aob) + L(a) (c o b) = \ (a, c) b. Trditev 5.2. Naj bodo r > 4 in i, j, k ter l paroma različni. Za a G Eij, b G Ejk in c G Eki velja naslednja identiteta a o (b o c) = (a o b) o c. Dokaz: Naj bo p = pi + pj + pk. Potem veljajo naslednje identitete P(p) a = a, P(p) b = b, P(p) c = 0 . Če namreč upoštevamo, da je P(p) a = 2L(p)2a — L(p2) a, in velja Pi + p j + Pk ) a = pi o a + p j o a + pk, o a = \ a + \a = a, sledi P(p) a = 2 L(pi + pj + pk )2a — L( pi + pj + pk) a = = 2 L( pi + p j + pk) a — a = 2 a — a = a. S podobnim sklepom dokažemo tudi preostali identiteti. Ce upoštevamo, v razdelku o Mc Crimmonovem operatorju dokazano identiteto P(a, b) c = L( a) L( b) c + L( b) L( a) c — L( a o b) c in trditev 5.5.7.(ii) , po kateri za a G Eij in c G Eki velja L( a) c = 0, sledi L( a) L( b) c = L( a o b) c, oziroma a o (b o c) = (a o b) o c. Trditev 5.3. Obstajajo taki elementi eij G Eij, i = j, da velja (i) e2j = 4( pi + pj ), ij ( ii ) eij o ejk = eik pri čemer so i, j in k različni. Dokaz: Ce upoštevamo, da je po trditvi 5.5.5 4 = lile*\\2(Pi+Pj), lahko identiteto e2j = 4( pi + p j ) zapišemo v obliki II eij ||2 = 8. Naj bo e1i, i = 1,...,r, tak element Eu, da velja || eu ||2 = 8. Ce za i, j > 2 in i = j definiramo eij = eu o e1j , je očitno eij = eji. Velja namreč eij = eu o e1j = ej o eu = eji. Po trditvi 5.5.8 je potem 11 eij 112 = 11 eH ° elj 112 = | 11 eH I P ' 11 elj I P ) od koder sledi ( i ). Za dokaz identitete (ii) privzemimo najprej, da je i = 1. Potem po zgornji definiciji velja eij ◦ ejk = eij o (eij o eik), od koder, po trditvi 5.5.8, sledi eij ° ejk = | II eij \\2-elk = elk . Privzemimo sedaj, da je r > 4 in so i, j in k vsi različni ter večji od 1. Ce upoštevamo zgornjo definicijo, dobimo eij o ejk = (eii o eij ) o ejk , od koder, z uporabo trditve 5.2, sledi (eii o eij) o ejk = eii o (eij o ejk). Ker je po zgoraj dokazanem eij o ejk = eik, sledi eij o ejk — eik . Ker v primeru i = j, Pierceov podprostor Eij ni podalgebra evklidske algebre E, je na Eij potrebno definirati produkt, za katerega bo Eij algebra. Na prostoru Eij torej definirajmo produkt z naslednjim predpisom a * b = (eik o a) o (ekj o b). Ker je po trditvi 5.5.7, produkt eik o a G Eik o Eij C Ejk in ekj o b G Ekj o Eij C Eik, je produkt a * b G Ejk o Eik C Eij. To pomeni, da je zgornji produkt dobro definiran. Prostor Eij, opremljen z operacijo * je torej algebra. Ker za a G Eij, po trditvah 5.1 in 5.3 velja e-ij * a = (eik o e^ ) o (ekj o a) = ejk o ( ekj o a) = 111 ejk \\2a = a, in a * e-ij = (eik o a) o (ekj o e^ ) = (eik o a) o eik = 111 eik \\2a = a, je element eij enota algebre. Dobljeno algebro z enoto označimo z Aij. 6 Strukturna analiza evklidskih algeber Za a,b G Eij, je norma produkta a * b podana s predpisom ||a*&||2 = !||a||2-||&||2. Če jo renormiramo z izrazom dobi obliko oziroma AT(a)2 = i||a||2, N( a * b )2 = N( a )2 •N(b ) N( a * b) = N(a) •N(b), od koder sledi, da je Aij evklidska Hurwitzova algebra. Trditev 5.4. Identiteta Aij —> Aji je anti-izomorfizem. Opomba: Anti-izomorfizem 0 : C —> D je preslikava, ki zadošča identiteti a c b ) = b) D a) ■ Dokaz: Ker je evklidska algebra E komutativna, velja a * b = (eik o a) o (ejk o b) = (ejk o b) o (eik o a) = b * a, i,j j,i od koder sledi, da je identiteta Ai An antiizomorfizem. □ Trditev 5.5. Ce je r > 4, je produkt * asociativen in neodvisen od izbire k. Dokaz: Dokažimo najprej neodvisnost produkta * od izbire k. Naj bo l = i, j, k. Potem z upoštevanjem trditve 5.2 in komutativnosti evklidske algebre E, za poljubna a in b G Eij velja (eik o a) o (ejk o b) = (eik o a) o ((eH o eji) o b = ((eik o a) o (eki o (eji o b = ((eik o a) o eki) o (eji o b = (eki o (eik o a)) o (eji o b = ((eki o eik) o a) o (eji o b = ((eik o eki) o a) o (eji o b = (eu o a) o (eji o b) ■ Z upoštevanjem dobljene lastnosti dokažemo še asociativnost produkta . a * (b * c) = (eik o a) o (ejk o (b * c)) = (eik o a) o [ejk o ((ea o b) o (eji o c))] = (eik o a) o [((eu o ejk) o b) o (eji o c)] = (eik o a) o [ (eu o (ejk o b)) o (eji o c)] = [ (eii o (ejk o b)) o (eik o a)] o (eji o c) = [ eii o ((ejk o b) o (eik o a))] o (eji o c) = [eu o ((eik o a) o (ejk o b))] o (eji o c) = ((eik o a) o (ejk o b)) * c = (a * b) * c. Podobno kot v poglavju o Hurwitzovih algebrah, tudi v algebri Aij definirajmo operacijo konjugiranja. Operacijo konjugacije, ki elementu a G Aij priredi a G Aij, definiramo s predpisom fl = 4 (a, €-ij )' ('t j a. Tako definirana operacija konjugacije je pravokotna simetrija glede na os R • eij. V nadaljevanju bomo operator levega množenja z elementom eij simbolno označevali z Lij. Trditev 5.6 Ce so i, j, k in l različni, veljata naslednji identiteti (i) Lij Ljk a = Lik a, če a G Eki (ii) L^ Ljk a = /.../, a , če a, G Sij Dokaz: (i) Ker po trditvi 5.2 za vsak a G Eki velja eij o (ejk o a) = (eij o ejk) o a = eik o a, očitno sledi Lij Ljk a = Lik a . (ii) Z upoštevanjem trditve 5.1 in komutativnosti evklidske algebre E, velja eij o (ejk o a) = eij o (a o ejk) = = j {a, eij )'ejk - a ° ( e-ij o ejk ) = \ {a, e^ )-ejk - a o eik . Ker velja (Lik a, ejk ) = (eik o a, ejk) = (a, eik o ejk ) = (a, eij ), je preslikava Lik : Eij —> Ejk izometrija. Od tod sledi e-ij ° (ejk ° o) — 4 (Lik a, čjk — Lik — Lik ■ Trditev 5.7. Za različne i, j in k, je preslikava Lij ' Aik ^ Akj , izomorfizem. Dokaz: Po definiciji produkta * , za a in b G Aik velja (Lij a) * (Lij b) = (eik o ( eij a )) o (eij o (eij o b)). k,j Ce v trditvi 5.1 nadomestimo element x z a, y z eij ter z z eik, dobimo e-ik o ( e-ij o a) = \ {eik, a )-eAj -a o (eik o e^ ) = \ {eik, a )-eAj - a oejk in en o (etj ob) = l\\eij\\'2b = b, od koder sledi ( Lij a) * (Lijb) = {e-ik, a )-e%j - ao ejk ) o b, k,j oziroma (Lij a) * (Lijb) = j (e-ik, a)-(e-ij o b) - (a o ejk ) o b. k,j Po drugi strani, velja identiteta a * b = (ejk o a) o (ej o b). i,k Ce uporabimo identiteto trditve 5.1 na elementih ejk o a, eij in b, dobimo a * b = j (&ij, ejk o a)-b- e-ij o ((ejk o a) ob) = i,k 4 (e-ij o e-jk, a)-b — e^ o ((ejk o a) ob) j {e-ik, a)-b ~ e-ij Od tod sledi = i (e-ik, a)-b - e-ij o ((ejk oa)ob). Lij (a * b) = \ {e-ik, a)-{ e-ij ob) - e^ o [ e^ o ((ejk o a) o b)} = i,k = 2 (e-ik, a) ■ (e-ij o b) - (ejk o a) ob), oziroma Lij ( a * b ) = ( Lij a ) * ( Lij b ) ■ i,k kj Naj Ad označuje evklidsko Hurwitzovo algebro dimenzije d. Ker so po Hurwitzovem izreku 5.6.6 edine evklidske Hurwitzove algebre R, C, H in O sledi, da je d g{ 1, 2, 4, 8 }. Izrek 5.8. Naj bo E enostavna evklidska algebra ranga > 3 in d dimenzija Eij. Potem je E izomorfna Her( r, Ad). V primeru, daje r = 3 , je d G {1, 2, 4, 8 }, v primeru, daje r > 4 pa je d G {1, 2, 4 }. Dokaz: Dokazali smo, daje algebra Aij, opremljena s produktom * , evklidska Hurwitzova algebra. Po Hurwitzovem izreku je izomorfna Ad, kjer je d G { 1, 2, 4, 8 }. Če je r > 4, je po trditvi 5.5 algebra Aij asociativna. Ker je As = O neasociativna, je torej v primeru r > 4 lahko d g{ 1, 2, 4 }. Naj bo p fiksen izomorfizem iz Ad na Aij. Definirajmo družino izomorfizmov { pij }, i = j, pij : Ad * Aij , z naslednjim predpisom LpV2{a) = Lp{a), Lp2\{a) = Lp{a), 3 in 2 in j > i. Če so i, j in k različni, velja (fiik(a) = (pki(a) = Lu o ipik(a), od koder sledi Lij o ipjk(a) = L^ o ipkj(a) = L^ o {LXj o iplk(a) = L^ o {{L ji o Lu) o ipik{a)) = L^ o ( L ji o (Lu o (pik(a))) = Lij o ( L ji o tfik( a)) = | 11 e-ij 112(pik( a) = Pik (a), oziroma Lij o Pjk = Pik ■ Podobno je Lij o pki( a) = Lij o (Lu o tpik(a)) = Lij o ((Lij o Lij ) o pik(a) = Lij o (Lij o (Lij o pik(a))) = Lij o (Lij o pkj (a)) = Pkj(a), oziroma Lij o Pki = Pkj . V nadaljevanju bomo s ~ označevali elemente E = Her( r, Ad). Naj bo pi = En , eij = 2 ( Eij + Eji ) , kjer Eij označuje matriko, ki ima na i, j — tem mestu 1, drugod pa 0. Definirajmo preslikavo $ : E —► E , s predpisom r $( { aij }r,j ) = aH ^pi + Pij ( aH ) . i=i i 0 . Dokaz: Ce je £q + £i + £\ dekompozicija algebre £, lahko vsak 2 element x GE zapišemo v obliki x = Xo + Xl + X\ . 2 Ker velja p O x = p O xo + p O x 1 + p O xi = O.To + hx 1 + Ti = i.T 1 + .Ti , 2 z 2 z 2 od tod sledi (po X,x) = (\x± + .TI, .TO + + TI ) = ^11 Ti ||2 + || TI ||2 > 0 . Trditev 1.2. C = { x2 ; x eE} = { y eE; y = Ai Pi + ... + XnPn, ,\i > 0 in Pi + ... + Pn = 1 } . Dokaz: Naj bo Q = { x eE; x = Aipi + ... + Anpn, Ai, > 0 in pi + ... + pn = 1 } in y e Q. Ker lahko y zapišemo v obliki U = ( \/%Pi + • • • + \fKiPn )'2 , \ip^ ...^ V Anpn , sledi, da je Q (Z C. Naj bo zdaj y G C. Denimo, da je y = t2. Tedaj j et/ = Ai^i +... + Anpn, , Ai = x2. Če x2 skalarno pomnožimo s pi, dobimo {pi,x2 ) = {pi o x,x) = Ai {x,x) = Ai || x ||2 . Ker je po prejšnji lemi {pi o x,x) > 0, so vsi Ai > 0. To pa pomeni, da je y G Q, oziroma C C Q. □ Očitno je množica C stožec. Njegova notranjost je stožec podan s predpisom C = { x G C ; det (t) / 0 } = { x eE; x = Aipi + ... + Anpn, Ai > 0 in pi + ... + pn = 1 } . Dokažimo najprej, daje stožec C konveksen. Naj bosta t2 in y2 G C. Element x2 = y2 torej lahko zapišemo kot x2 + y2 = Aipi + ... + Anpn . Ker za projektor p in poljuben x eE velja {p o x,x) > 0, sledi Ail pil2 = Ai{ pi,pi) = {pi, Ai) = {pi ,x2 + y2 ) = = {pi,x2 ) + {pi,y2 ) = {pi o x,x) + {pi o y,y) > 0 , Stožec kvadratov evklidske algebre 7.1 kar pomeni, da so vsi skalarji Xi nenegativni. Od tod sledi .t2 + y2 = ( s/xlpl + ... + Ta~p„ )2 G C . Podobno dokažemo tudi konveksnost stožca C. Naj bosta x2 in y2 G C. Denimo, daje x2 +y2 G C\C. Potem obstaja neničelen projektor q, ki je pravokoten na x2 + y2, oziroma velja { q,x2 + y2 ) =0. Ker sta {q,x2 ) in { q,y2 ) > 0 sledi { q,x2 ) = { q,x2 ) = 0. Ker je x2 G C, je x2 = X1p1 + ... + Xnpn, kjer je vsota projektorjev pi enaka 1 in so vsi Xi pozitivni. Ker je 0 = {q,Xm ) + ... + { q,Xn'pn ) = X1{ q,p2x) + ... + Xn{ q,p^ ), oziroma X1{ q o p1,p1 ) + ... + Xn{ q o pn ,pn ) , zaradi {q o pi,pi) > 0 in pozitivnosti skalarjev Xi sledi, da je {q,pi) =0. To pa je protislovje, saj bi sicer veljalo {q,q ) = {1,q2 ) = {1,q) = {puq) + ... + {pn,q) =0 . Po definiciji je množica C* = {y G £ ; (y,x2) > 0, V.r G Č\ 0 } , odprt dual stožca C. Ker velja {y,x2 ) = {y o x,x ) = {L(y)x, x) , lahko C * zapišemo kot C * = { y GE ; L(y) pozitivno definiten } . Zaradi zaprtosti C * za seštevanje in množenje s pozitivnim realnim skalarjem, je C * odprt konveksen stožec. Izrek 1.3. Stožec C je sebi dualen. Dokaz: Naj bo y gC. Po spektralnem izreku je potem y = Xp + ... + Xnpn , kjer so vsi skalarji Xi pozitivni. Ker za projektor p in poljuben element x gE velja {p o x,x) > 0, sledi { y,x2 ) = { Xr[)1, x2 ) + ... + { Xnpn, x2 ) = = X1 { p1 o x,x ) + ... + Xn{ pn o x,x ) >0 . Če bi veljalo (y,x2 ) =0, bi to pomenilo, da so (pi o x,x ) =0 in od tod ( x,x ) = ( l,x2 ) = ( P1 + . . .+Pn,x2 ) = ( pi,x2 ) + .. . + ( Pn,x2 ) = 0 , oziroma x = 0. Od tod torej sledi y GC*, oziroma C C C*. Naj bo x GC*. Če so pi paroma pravokotni projektorji, velja 1 , , l,o, 1 0i\ l Xi — M ..„(x,Pi) — M 112 (X>Pi) — II \\o(x ° PilPi) ~ \\Pi\\2 \\Pi\\2 \\Pi\\2 ;( L(x)pi,pi ) > 0 . \\Pi\\2 Če torej zapišemo V = \/XiPi + • • • + \f~KiPn , sledi, da je x = y2, oziroma C* C C. Od tod sledi, da je C sebi dualen stožec. □ 7.2 Simetričnost stožca kvadratov Namen razdelka je dokazati simetričnost notranjosti stožca kvadratov evklidske algebre. V prejšnjem razdelku smo dokazali, da je njegova notranjost sebi dualen stožec. Za dokaz simetričnosti torej zadošča pokazati še homogenost. Preden dokažemo homogenost dokažimo, da lahko notranjost stožca kvadratov definiramo kot množico oblike C = { exp x ; x gE} , kjer je exp x definiran s predpisom exp x = ]T n=0 Definicija je smiselna zaradi potenčne asociativnosti evklidske algebre E in konvergence eksponentne vrste na realni osi. Naj bo x2 GC. Tedaj x2 lahko zapišemo v obliki x2 = Xipi +...+ Xnpn, kjer so Xi > 0. Če uporabimo zapis Xi = eai, lahko pišemo x2 = eaipi +... + eanpn. Če upoštevamo, da za poljuben projektor Pi velja pm = pi, sledi n n ^ n exp( E) s predpisom 7(t) = exp(at). Ker velja 7(0) = e in 7(1) = y, zaradi zveznosti 7 sledi, da je 7 pot med e in y. To pomeni, da sta e in y povezana. Če definiramo preslikavo 5 : [0,1] —> exp( E) s predpisom 5(t) = 7(1 — t), velja 5(0) = y ter 5(1) = e. Zaradi zveznosti je 5 pot med y in e. Naj bodo x,y G exp(E), 7 pot od e do y in 5 pot od x do e. Potem preslikava 7 * 5 : [0,1] —> exp( E) podana s predpisom ( y * 5 )(s) = < , x 1 , I 7(2S - 1), \ < s < 1 m! Korenspodenca fi *-> C predstavlja pot od x do y. To pomeni, da sta elementa x in y povezana, oziroma, da je povezana C. Kot dokaz, da je C povezana komponenta enote v I (E), zadošča pokazati, da je C zaprta in odprta v 1(8). Ker jeC=CnZ(£), zaradi zaprtosti C v sledi, da je C zaprta v X (8 ). Po drugi strani je C odprta v E. Ker je C d I (E) in velja C = CnI( E), sledi, da je C tudi odprta v I (E). □ Trditev 2.3. Stožec C je homogen. Potem po izreku 5.4.5 zaradi obrnljivosti operatorja P(x)P(y )P(x) sledi, da je obrnljiv tudi P(x)y. Ker je po trditvi 2.2 stožec C povezana komponenta enote množice obrnljivih elementov I (E) in velja P(x)e = x2 GC, sledi, daje P (x) C d C. Ker po izreku 5.4.3 velja P (x)-1 C = P (x-1) C, je tudi P (x-1) C d C. Od tod sledi, daje P (x) C = C. To pomeni, da so operatorji P(x) elementi grupe avtomorfizmov stožca C. Naj bosta x2 in y2 G C. Ker sta potem P(x) in P(y) elementa grupe avtomorfizmov stožca C, je avtomorfizem stožca C tudi preslikava definirana s predpisom R = P(y )P(x-1). Kerje P(x)e = x2,je potem P (x)-1x2 = e. Od tod sledi, daje R(x2) = P (y )P (x-1)x2 = P(y )P(x)-1x2 = P(y )e = y2. Ker torej že podgrupa operatorjev P(x), deluje na stožcu C tranzitivno, očitno tranzitivno deluje tudi grupa avtomorfizmov. □ Dokazali smo torej, da je stožec C, notranjost množice kvadratov evklidske algebre E, simetričen stožec. 7.3 Simetričen stožec in stožec kvadratov V prejšnjem razdelku smo torej dokazali, da množica kvadratov poljubne evklidske algebre predstavlja stožec, katerega notranjost je simetrični stožec. Poglavje o simetričnih stožcih smo strnili z ugotovitvijo, ki predstavlja obrat omenjene trditve. Ce je namreč dan simetričen stožec znotraj evklidskega prostora, lahko prostor opremimo s strukturo evklidske algebre. Namen tega razdelka je dokazati, da obstaja bijektivna korespondenca med simetričnim stožcem Q znotraj evklidske algebre E in stožcem C, ki predstavlja notranjost množice kvadratov evklidske algebre E. Trditev 3.1. Naj bo Q simetričen stožec in E njemu prirejena evklidska algebra. Potem velja Q = { x2 ; x eE} = C . Dokaz: Pokazali smo, da je C = { exp x, x eE}. Po definiciji produkta evklidske algebre E vemo, da so operatorji levega množenja L(x) elementi Liejeve algebre L+, ki je prirejena grupi avtomorfiz-mov stožca Q. Ker je exp(L+) vsebovana v Liejevi grupi iz katere izhaja Liejeva algebra, je exp(L(x)) avtomorfizem stožca Q. Od tod sledi, da je exp(L(x)) e e Q. Če izračunamo vrednost izraza exp(L(x)) e, ob upoštevanju potenčne asociativnosti in identitete L(x)ne = xn, dobimo ro ro exp(L(.r)) e = ( "51L^) e = E ^ (L(*)") e = n=0 n=0 ro ro = E ii = x'2 =■ n=0 n=0 To pomeni, da je exp( E) C Q, oziroma C C Q. Od tod sledi, daje Q* CC*, kjer * pomeni dual stožca. Ker sta Q in C simetrična stožca, velja Q* = Q in C * = C. Od tod sledi, da je Q CC, oziroma Q = C. □ 7.4 Klasifikacija simetričnih stožcev Naj bosta Qi C Ei in Q2 C E2 simetrična stožca evklidskih prostorov Ei in E2. Stožca Qi in Q2 imenujemo izomorfna, če obstaja taka bijektivna linearna preslikava $ : Ei —> E2, da velja $(Qi) = Q2 in $-i(Q2) = Qi. Trditev 4.1. Naj bosta Qi in 0,2 simetrična stožca, Ei in E2 pa njima prirejeni evklidski algebri. Ce sta algebri Ei in E2 izomorfni, sta izomorfna tudi stožca Qi in Q2. Dokaz: Naj bo preslikava $ : Ei —> E2 izomorfizem evklidskih algeber Ei in E2. To pomeni, da je $( x o y) = $( x) o $( y) in $( e) = e. Dokazali smo, da sta Qi in Q2 podana s predpisoma Qi = { u2 , u GEi, u obrnljiv } in Q2 = { v2 , v gE2, v obrnljiv }. Naj bo u2 G Qi. Tedaj je u o u-i = e. Ker velja $(u2) = $(u)2 in $(u) o $(u-i) = $(u o u-i) = $(e) = e, sledi, da je $(u) G Q2, oziroma $(Qi) C Q2. Naj bo v2 G Q2. Ker je v = $(x), za nek x G Qi velja v2 = $(x)2 = $(x2). Ker je v obrnljiv, obstaja njegov inverz v-i G Q2. Ker je $ izomorfizem, je v-i = $(y), za nek y G Qi. Ker velja $( x o y) = $(x) o $(y) = v o v-i = e = $(e) in je $ injektivna, je x o y = e, oziroma y = x-i. Torej je x2 G Qi in v2 = $(x2) G $(Qi). To pomeni, da je Q2 C $(Qi), oziroma $(Qi) = Q2. □ Trditev 4.2. Naj bo Q simetričen stožec in E njemu prirejena evklidska algebra. Denimo, da je E = X® J, kjer sta I in J ne-ničelna ideala. Naj bosta Qj in Qj simetrična stožca, ki ustrezata evklidskima algebrama X in J. Tedaj je stožec Q izomorfen stožcu Qj x Qj. Dokaz: Definirajmo preslikavo $ : I x J —> E s predpisom $(i, j) = i + j. Ker je $ bijektivna, zadošča dokazati identiteto $( Qj x QJ ) = Q . Naj bo x G Qj x Qj. Tedaj lahko x pišemo v obliki x = (a,b), kjer je a gX2 n Inv(X) in b GJ2 n Inv(J). Pišimo a = i2 in b = j2. Tedaj je $(a, b) = i2 +j2. Ker je Xo J C Xn J = 0, je očitno i o j = 0. Torej je (i+j )2 = i2 +j2+2 i o j = i2 + j2, kar pomeni, da je $(a, b) = (i + j )2, oziroma $(a, b) G E2. Po drugi strani zaradi obrnljivosti elementov i in j, i-i G X in j-i G J, sledi i-i o j = i o j-i = i-i o j-i = 0. Ker velja (i + j) o (i-i + j-i) = i o i-i + i o j-i + j o i-i + j o j-i = = i o i-1 + j o j-1 = ej + ej = eg , sledi, da je (i + j )2 G Q, oziroma $( Qj x Qj) d Q. Naj bo y G 0. Tedaj je y = x2, x G E obrnljiv element. Ker je E = I © J, lahko pišemo x = i + j, kjer sta i G I in j G J. Podobno lahko x-1 zapišemo kot x-1 = i1 + j1, kjer sta i1 GI in j1 G J. Ker je e = x o x-1 = i o i1 + j o j1 g I©J, e = ej + ej , ter velja enoličnost razcepa, sledi, da je i o i1 = ej in j o j1 = ej. To pomeni, da sta i in j obrnljiva, oziroma i2 G Qj in j2 G 0,2. Ker je &(i2, j2) = i2 + j2 = (i + j )2 = x2, je x2 G $( x Qj), oziroma velja Q d x Qj). To pomeni, daje $(Qj x Qj) = Q. □ Izrek 4.3. Vsak simetričen stožec je izomorfen kartezičnemu produktu naslednjih stožcev: (i) R+ (ii) Lorentzovih svetlobnih stožcev L(n) (iii) stožcev pozitivnih matrik P(n, F )7 kjer je F g{R, C, H } in n > 3. (iv) stožcev pozitivnih matrik P (3,0). Dokaz: Izrek je posledica trditve 3.3, uporabljene induktivno na simetričnemu stožcu prirejeni evklidski algebri in klasifikacije enostavnih evklidskih algeber. □ Literatura 1. Braun H., Koecher M., Jordan Algebren. Springer, Berlin, 1966. 2. Faraut J., Koranyi A., Analysis on Symmetric Cones. Clarendon Press, Oxford, 1994. 3. Folland G.B., A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995. 4. Hilgert J., Olafsson G., Causal Symmetric Spaces. Academic Press, New York, 1997. 5. Humphreys J.E., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, New York, 1972. 6. Jacobson N., Lie Algebras. Dover, New York, 1961. 7. Keimel K., Roth W., Ordered Cones and Approximation. Springer, Berlin, 1992. 8. Knapp A.W., Lie Groups, Lie Algebras and Cohomology. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1988. 9. Lohmus J., Paal E., Sorgsepp L., Nonassociative Algebras in Physics. Hadronic Press, Palm Harbor, FL, 1994. 10. Milnor J.W., Topology from the Differentiable Viewpoint. University Press of Virginia, Charlottesville, VA, 1969. 11. Naber G.L., The Geometry ofMinkowski Spacetime. Springer, New York, 1992. 12. Sattinger D.H., Weaver O.L., Lie Groups and Algebras with Applications to Physics, Geometry and Mechanics. Springer, New York, 1985. 13. Schafer R.D., An Introduction to Nonassociative Algebras. Academic Press, New York, 1966. 14. Siegel C.L., Lectures on the Geometry of Numbers. Springer, New York, 1989. 14. Unterberger A., Upmeier H., Pseudodifferential Analysis on Symmetric Cones. CRC Press, Boca Raton, FL, 1996. 15. Zhevlakov K.A., Slin'ko A.M., Shestakov I.P., Shirshov A.I., Ringsa That Are Nearly Associative. Academic Press, New York, 1982 16. Zalar B., Theory of Hilbert triple Systems. Yokohama Mathematical Journal, Vol. 41, 1994. 17. Zalar B., Povabilo v jordanski svet. Obzornik mat. fiz., 43, 1996. 18. Ward J.P., Quaternions and Cayley Numbers. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997.