P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 24 (1996/1997) Številka 1 Strani 48-52
Aleksander Turnšek:
VSOTA POTENC NARAVNIH ŠTEVIL
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/24/1284-Turnsek.pdf
© 1996 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
VSOTA POTENC NARAVNIH ŠTEVIL
Bralcem je Verjetno znana Ion mila za vsote prvih ji naravnih števil:
1 +2 + ... +»i = + I)-
Dostikrat srečamo tudi formuli za vsoto kvadratov in kultov: \2+'ž2 + ...+ n2 = £»(» + 1)(2h+ 1)
l3 + 23 + . .. + j»3 = 7«2(?t + l)2.
4
Opazimo, da se vsota prvih ?i naravnih števil izraža kot polinom druge stopnje, vsota kvadratov kot polinom tretje stopnje in vsota kubov kot polinom četrte stopnje. Vsakokrat je vsota polinom spremenljivke n, katerega stopnja je za 1 večja od eksponentov seštevanih potenc prvih ?i naravnih števil. V tem prispevku bi radi pokazali, da to ni slučajno, pokazali pa tudi, kako take formule izpeljemo.
Odvod polinoma
O odvodu polinoma je Presek že pisal v (3. številki letnika 1933-94. Ponovimo na kratko osnovna pravila.
Polinom ene spremenljivke je izraz oblike
P(x) = rt„r" 4- in-1^'1*"5 + ■ - ■ + + «o-
Če pri vzamemo, daje prvi koeficient an različen od nič, potem število ?i imenujemo stopnja polinoma P.
Odvod polinoma P je polinom P', ki ima za ena nižjo stopnjo kot polinom P. Pravila za odvajanje so naslednja:
(1)	Odvod konstantnega polinoma je enak nič.
(2)	Odvod potence xk je enak kxk~K
(li) Odvod vsote polinomov je vsota odvodov. Torej {P1 + P2)1 = P{ + P-j-
(4)	Odvod s konstanto c pomnoženega polinoma je s to isto konstanto pomnožen odvod prvotnega polinoma. Torej (cP)' = c P'.
Naj bo d realno število in k naravno število. Potem je izraz {1 + d)k polinom stopnje k. Postavimo še peto pravilo.
(5)	Odvod polinoma {n 4- d)^ je enak k(x +
Poglejmo si zgled računanja odvoda: Naj bo P(x) = x2 + 2x — 3. Z uporabo zgornjih pravil izračunajmo odvod polinoma
P{x + d) = (x + d)- + 2(± + d) - 3.
Dobimo:
p'(x + d) = ((x + d)*y + (2(* + d)ly - (3)' =
= 2(a? + d) + 2((ar + 4)1)' — 0 = = 2(e + d) + 2{x + d)a = 2(x + d) + 2,
Sedaj si postavimo tole vprašanje: Kaj lahko povemo o polinomih P (ar) = auxn + ... + a.x + «o in Q(x) = bmx'n + ...-f btx + ba, če sta njuna odvoda enaka? Po pravilih za odvajanje dobimo
Iz primerjave stopenj in koeficientov dobimo m — n in a j ~ bj za vsak j med 1 in n. Edino za koeficienta «n in bo ne moremo trditi, da sta enaka. Torej, če sta odvoda dveh polinomov enaka, se ta dva polinoma razlikujeta kvečjemu pri konstantnem členu. Pokažimo sedaj izrek:
Izrek. /Vaj bo d realno število različno od nič in k naravno število. Potem obstaja polinom P stopnje k + l, tako r/a velja.
P(x + d) - P(x) = (x + d)".
Dokaz. Dokazovali bomo z indukcijo. Najprej naj bo k = 1. Vzemimo polinom p(x) =3 —x2 + + a0, kjer je število «o poljubno. Potem izračunamo
p(x + d) - p{x) = + d)* + I(« + rf) _ -L^ „ 1 _ x + d ¿d l ld l
Torej smo za k — \ tak polinom že našli. Denimo, da smo našli polinom p(#) = (ikxk -f- . ■ - + «i^' + «n stopnje k, tako da velja
p(x + d) - p(») = (x + d}k~1.
Potem je «y Spet poljuben, saj se v izrazu p{ar4- d) —}>(x) odšteje. Vzemimo polinom
P[x) — -,--<ikXf:+1 + -fltfc-is:* 4 • • • 4- -^flia:2 + «u®-
k + I	k	l
Polinom P je izbran tako, daje njegov odvod enak polinomu Potem je P{zr 4 (/) — P(ar) polinom, katerega odvod je enak p(x + d) — p(x) =
= (j* + rf)k~1. Toda tudi odvod polinoma - (ar + d)l; je enak (x + d)k~1.
Torej se polinoma P(x 4 d) — P(x) in + d)k razlikujeta kvečjemu za konstantni člen. Tedaj 1 ali ko zapišemo
P[x+d)-P{%)^ I(ie + d)* + c.
V dobljeni izraz vstavimo ar = — d in dobimo P(0) — P(—<f) = e. Nadalje je B(0} = 0 in
P(-rf) =	+ idfc.tt-^)*-1 + . .. 4- - and.
Toda «o imamo še na razpolago, zato ga določimo tako, da bo P(—</) = 0. Potem pa je c = 0. Polinom ¿P je stopnje k 4 1 in zanj velja
feP(x + rf) -jfcP(x}- (a: + Indukcijski korak je narejen in dokaz je končan.
V enačbo P{x 4 d) — P(^') = (x + d)k vstavimo po vrsti ar = ti — — d, n, a + (/,..., ct 4- (n — 2)d. Dobimo
P(a) - P {a - d) = ak P(a + d) - P(a) = (a 4- 3)k P(a + 2d) - P(a + d) = ((1 + 2d)k
P(rt+ (n- I)d) - P(rt 4 (n-2)d) = (n + (n - })d)h . Zgornje enačbe seštejemo in dobimo
P(« + (n - l)rf) - P{a ~ d) = ak + (rt + ^ + ... + («4 (n - ])<-/)fc,
kjer je polinom P stopnje k -f 1, Povejmo že drugače. Formula za vsoto
a* + (o + d)k + ...+ (« + (« — 1 )d)lt
k t i 11 potenc aritmetičnega zaporedja je oblike P(<< + (n — l)f/) — P (a — d), kjer je P polinom stopnje k + \ . Kako formulo res izpeljemo, si poglejmo na nekaj primerih.
Izpeljimo forinulo za vsoto 12 + 3" + ... + (2n — 1 )2. Tukaj je (i = 1 in d — 2. Vzemimo polinom /-"(j;) = n^r3 -f + nji + nt0 stopnje 3 in zapišimo
1a + 3a + ... + (2t»- l)2 = /»(2n- I) - P{-1) =
= «3{2n — 1)'! + a^('žn — l)3 + «¡{2n — 1) + «o + «3 — flta + «1 — noV zgornjo enačbo vstavimo it = 1, 2, 3 in dobimo sistem enačb
2«3 -j- 2a i = I 28n3 + + = 10 126«a + 24«-j + = 35 .
Iz prve enačbe izrazimo «j = - (1 — 2113} in ga vstavimo v preostali dve enačbi. Dobimo enačbi
24(73 + = 8
120«3 +24a2-32.
Postopamo enako kol. prej. Iz prve enačbe izrazimo = 1 — 3ri3 in vstavimo v drugo. Dobimo enačbo 48»3 = 8. Torej je «3 = Nadalje je
(I2 = - in nj — Tako smo izpeljali formulo
= jjn3 - = ~»(2ii - l)(2n + I).
Tudi formulo za vsoto potenc naravnih števil izpeljemo enako. Po zgornjih ugotovitvah je
saj je a = d = 1, stopnja polinoma P pa je enaka k + L Če zapišemo P(x) = ctk+ixk+l + ... + aix + n0l je
1* + 2k + ... + nk = ak+i7+ ... + axn.
V enačbo vstavimo po vrsti n = 1,2,..,, k + i in dobimo k + 1 enačb za k + 1 neznank.
Za primer k = 1 dobimo enačbi
«2 + «j — I in 4«2 + = 3.
Iz prve enačbe dobimo a\ = 1 — tz2. Vstavimo v drugo enačbo in dobimo 2ri2 — 1.Torej je «2 — «i — - in
1 2 ■ 1 1 /
+ -n = -n(?i + 1)
dobro znana formula za vsoto prvih ti naravnih števil.
Enako izračunamo formule za vsote višjih potenc naravnih števil. Formuli za vsoto kvadratov in kuhov smo navedli že na začetku prispevka. Formuli za vsoto četrtih in petih potenc pa se glasita
l4 + 24 + ... + n4 = ~n{n + l){2n + l)(3n2 + 3n - 1}
l5+ 2* + ... +ns = —n2(n + l)2(2n2 + 2n - 1). i ¿i
Aleksej Tttrnšek