G


G









̌


G  G         ̌  
P 50 (2022/2023) 2 27
Babilonska metoda za
računanje kvadratnega korena
B̌ K
Arheološke najdbe kažejo, da so mezopotamska
ljudstva (Babilonci, Sumerci) med leti 1800 in 1600
pred našim štetjem verjetno poznala postopke za
reševanje preprostih kvadratnih enačb. Domne-
vajo, da so Babilonci približke za kvadratni koren
iz danega števila poiskali s postopkom, ki ga je
prvi eksplicitno opisal grški matematik Heron oko-
li leta 60. Postopek je preprost in ga v GeoGebri
pravzaprav uženemo že z dvema vrsticama kode.
A še prej se malo ogrejmo z razlago in nekaj raču-
nanja na papirju.
Naj bo N > 1 dano število, katerega kvadratni ko-
ren želimo izračunati. Babilonska metoda pravi ne-
kako takole: za prvi približek korena izberi kar N .
Nato trenutnemu približku prištej začetno število,
deljeno s tvojim približkom, in dobljeno vsoto deli
z 2. Tako dobiš nov približek, s katerim ponavljaj
prejšnji korak, dokler s približkom nisi zadovoljen.
V sodobnejšem jeziku ta postopek opišemo z re-
kurzivnimi zaporedji. Zaporedje približkov je po-
dano z začetnim členom a1 = N in rekurzivno zvezo
an+1 =
1
2
(
an +
N
an
)
, n ≥ 1.
Oglejmo si, kaj to pomeni v primeru, ko je N = 2. Z
zaporednim vstavljanjem vrednosti dobimo
a1 = N = 2
a2 =
1
2
(
a1 +
N
a1
)
= 1
2
(
2+ 2
2
)
= 3
2
= 1,500
a3 =
1
2
(
a2 +
N
a2
)
= 1
2
(
3
2
+ 2
3/2
)
= 17
12
.= 1,4166
a4 =
1
2
(
a3 +
N
a3
)
= 1
2
(
17
12
+ 2
17/12
)
= 577
408
.= 1,4142159
Iz primera je razvidno, da se vrednosti an res pribli-
žujejo1 številu
√
2
.= 1,41421356 . . ..
Za izračun zaporedja približkov bomo v GeoGe-
bri uporabili ukaz SeznamPonavljanj(f,N,n). V
njem nastopajo funkcija f, ki pove, na kakšen način
iz dane vrednosti dobimo novo, začetna vrednost N,
in število ponovitev (iteracij) n. Koraki za izračun
zaporedja so naslednji:
Izberimo število, ki ga želimo koreniti, na primer
N=2, in število korakov, na primer n=10.
Definirajmo funkcijo z ukazom f(x)=(x+N/x)/2.
Nato z ukazom priblizki=SeznamPonavljanj
(f,N,n) izračunamo seznam približkov, ki ga Ge-
oGebra vrne v algebrskem oknu.
Z ukazom Element(priblizki,n) iz seznama
približkov izberemo zadnjega, ki je najboljši.
Seveda si želimo v GeoGebri izkoristiti tudi možnost
grafične ponazoritve zaporedja približkov v koordi-
natnem sistemu. Zato lahko vse skupaj nekoliko do-
delamo, na primer na naslednji način:
Število N določimo z izborom točke A na osi y , ki
jo lahko poljubno premikamo, in ukazom N=y(A).
Dejansko vrednost
√
N prikažemo s premico
y=sqrt(N).
Vstavimo drsnik za število n in kot prej definiramo
funkcijo f in seznam približkov priblizki.
Nato upodobimo približke z ukazom Zaporedje
((k,Element(priblizki,k)),k,1,n).
Za lepši prikaz prilagodimo koordinatne osi in
morda še kaj.
1Tudi na splošnem velja, da je tako definirano zaporedje an
konvergentno z limito
√
N . Bralci, ki bi se želeli o tem prepričati
z dokazom, naj najprej preverijo, da je zaporedje padajoče in
navzdol omejeno s
√
N . Za njegovo limito A = limn→∞ an zato
velja A = limn→∞ an+1 = limn→∞ 12
(
an + Nan
)
= 12
(
A+ NA
)
,
kar lahko preuredimo v kvadratno enačbo A2 = N in sklepamo,
da je A =
√
N .
         
P 50 (2022/2023) 228
slika 1. Prikaz zaporedja osmih približkov za
√
120
.= 10,9544511501 po babilonski metodi.
×××
̌

̌
 50/1
Pravilna rešitev na-
gradne križanke iz prve
številke Preseka letnika
50 je Petdesetletnica.
Med pravilnimi reši-
tvami smo izžrebali
naslednje reševalce:
Maja Antončič iz Celja,
Janko Rušt iz Nove
Gorice in Evita Košir
Basle iz Žalca, ki bodo
nagrade prejeli po pošti.
×××