-

&a.

DE ARTE

SVPPVTAN

DIj LIBjR .1  qvatvor

CVTHEBERTI TONSTALLr*
hadienus in Germania nufr
quamicaimpreffi.

*

JOAN. STVRMIVS.

Arithmetjcam  cvthebertvs

TonjiiUm pr£ c&teris ditucid<e <ty pure tradidtt : dtque
iia tradidit, ut ars ip fa dum bic author extat, content4
fcnptare,dottorem non maximopere aliquem require
Hon  nego, pofje ex alijs quoque  difci: fed hie  do*
cet erudite, perjpicue ktine,id quod non fit*
aunt cceteri'.nec abefl longe a per *
feftione,qui emprueceptet
inteUigit,

ARGENTORATI,, EX OFF!*
Knobloch, pcrGeorgMdchtrop*

CVTHEBER'

TVS TONSTALLVS

THOMAE MORO
S.  P. D.

AM ANTE ALlQV-Or AN*

nos, mi More, cum mihi cum ar#
gentarijs negocium interueniffer^
nec Tatis internosde ratione con*
ueniret, ut fraudem 'mihi magnopere fufpe^
tftam uitarem,coactusfum rationes non adm<>
dutnexpeditas paulopropiusinTpicete, atque
artem iupputandi quondam adolefccnti mihi
deguftatam,keru repetere,qua radone cum me
acallidorumhominummoleftiaexplicuilTem,
ccep/mecum cogrcare,fucuru mihi in reliqua ul
ta non modicu  operaeprecium,finumerandl
artem ficin prompcu tenerenr.utaquantumuis
uerfuto faili attentus non pofTem.Itacjj utpeni*
tius rem cognofcerem ,omnes orrmiu fcriptos
de ea re Iibellos,eruditos,ineptos, Latinos, bar
baros, quorum callerem linguas (nam nulls
pene natioeft,quae non earn artem uulgilin*
gua fcripca m habear)perlegi,& ne faepius toti II
belli, quorum magnapars intcrdum no plade

A i

bat, non fine faftidio felegendi effentt fi quid in
his alicubi ,quod gratum eflet, occurrere,obi>
ter annotaui,Quo fa&um eft,ut ex multis mul
torumfcriptis muita etiam ipfecolligere: quae
dum repoiira apud me aliquamdiu afferuaiV
fem ,fubibat animu ,conducibile, fore fi fermo
ne latino, paulo magis peripicua rcddere ea
poflem, idcj dum tentarem, & res parumpro*
cederet,fatigationedeuictus libellosfaepeab#
lecbdefperans quod deftinaram, a me praeft ari
pofle; tum quod res ipfaperfe obfcura eflet:
turn quod niulta faepe occurrerent, quae nec la
tinumfermonem, nedum eloquentiam admit
tere uidebantuf. Contra incepto defiftere pod
aufpicatum opusoncri fuccumbentem pude*
bat, Itaqj fubinde tentabam,fi quid utrium ad*
deretrepetitus labor .Interdum cumipfis cer*
tare difficultatibus iuuabat ,& quae moleftiam
non modicam afferebant, contra quam fieri fi>
let, obftinatu ad laborem augebant animum,
Nonnunquam cogitabam, poftquam id quod
maximeoptabam,confequi n5 poflem, ut curt
ftacum gratia quadam niterent: non inutile fit
‘turum,fiquaebarbariequadamincultafquale*
banttminus horrida redderem. Sic tandem cer
tuspropofiti deuoraui tedium, acpermultas
difficultates elucfcatus , e compluribus excerpta
haec qualiacuncK notatii,qu* apud me iam dtu

deindu*

deinduftria preffi,cogitans ad urfi exemplum ,
foetus ipfos informes aliquado perociumlani
bendo figurare. Nuncad pontificatum Londi*
nenfem uacantcm,homo omnium maximeeo
honoreindignus,benignitatetamen regis cum
de omnibus bonis,tum de me fupra quam did
poteft merit/,defignatus,& quod fupereftuitx,
I acrisaddicfiurus literis, prophana omnia icri*
pcalonge  relcgenda putaui,atquein primisii*
losapud me reconditos de numeradi arte com;
mentarios V ulcani quam Mineruae fcrinqsdiV
gniores abijdendos cenfui. Neque cnim uel di<s
gnos effe,qui in do&orum uenirent manus,ucl
ullam impofterum uitae meae partem facris fyf
furari literis,utlimam eisinducerem,fase(Teexi
ftimaui,R.urfusin mentem uenit, aliquid in his
non utile Arithmeticae operam daturis poflfe
depraehendi: nec fads confultum fore,fi quae
tnihi  rornoxium lucubrationibus coftiterunt,
flamm/sabfiimendacommirterem. Nec tame
utregilongefupra regum fortunam erudito,
deque me fupra omnes morales merito, rude
atqueimpolitum opusdedicarem, animum in
ducerepotui,nepublicatantifper negoda re^
morarer; dum ille ineptijs his legendis daret
operam: neuegratiam quamreferendi fpes ne
quaquam datur: ingrato officio corrupiffe ui#
derer.Itacjcircufpicienti nihi],cui nam potiffiV

mum ex amicorum cohorte eolle&anea lisec
dicarem,tupro noftraconfuetudineatque am<s
mi tuicandore,uifuses ex omnibus maximei#
doneus, quiliquid in hocopere placeret,gra*
turn habereifiquid effetieiunius, boni confute*?
re;liquidufqua offenderet, ignofcereparatus
effes.Cui enim aptiora hsec quam tibi tfle poG?
funt: quitotus in fupputationibus excutiendis
occupatus,in regni aerario poft praefedrum pri
tnastenes: quiqueliberisruis,quos liberalibus
tnificui difciplinis curas, legenda ea relegare po
fesCillis enim uel maxime profuerint,fi mo
do eflent lcdu digna, cum nulla re iu
uenu mag/s uegeretur ingenium ,
quam numerorum arte di>
fcenda.Vale*

Eienchus

ELENCHVS

OMMIVM CAPIT VIVi
HVIVS LIBRU

CAPITA LIBRI I*

D E Numeratione pagi'na *

Quomodo ueceres Romani numerum
tranfcendentem centum milliaLatine enun*
ciauerunt. pag. y

DeAdditione. pag. i 4

Tabcllapro additione numerorum prima*
- riorum edifeenda. pag. zj

DeSubdu&ione.

pag.

• *»-»

Tabella pro fubdu&ionc numerorum pri#
mariorum edifeenda. pag. ;<>

DeMukipIicatione. pag. 4*

Tabella  pro multiplfcationenumerum pr u
mariorum inter fe. pag. 47

De Paru'tione. pag. tfo

Tabella pro partitione numerorum primal
riorum inter ie. pag. <s%

De progreffione. pag. $s

De Quadrati & Cubi lareribus inueftigan^
dis. pag. 9»

De r^dicum in Cubis inueftig atione pag. 1 o«

* 4

CAPITA LIBRI II;

D

E partium numeratione. pag. t

De partibus diffimilibus ad firmlicudine

redigendis
De partium Additione.

De partium Subdudipne.
De partium Mulriplicatione.
De Minutiarum Parutione.

P a g*

P a g‘

P a g*

pag.

P a g-

J»4

l?4

IJS

141

145

159

De Radicu inueftigatioe in mfnutijs. pa;
Deradicibus propiusinueniendisin numeris
neque quadraris,neque cubis. pag. 199
Quomodo propofiti 8 binisminutt)s,idas utrj
fintmaiores. pag. i<s?

Interrogationes per Addfdonem Toluene

dae. pag. is*

tnterrogati'oesperSubdudionefol. pag. is*
Interrogationes per Multiplicationem fol*
uendae, pag. is$>

Quomodo partium particulae fintexquiren*
dae. pag. i s 9

Interrogationes per DiuifionS fol. pag. 170
Quomodo exquiras in numeris, quota pars
maioris numeri fit minor:& in minutijs,quo
ta pars maiorum minutiarum minores exi*
ftant. pag. 171

Minutiarum aliarum in alias transforma*
do. pag. i 7 »

Interrogationes uariae per plura & diuerfa fol*
ucndaeiexercitrj gratia fubiundae, pag. 17*

Capita

CAPITA LIBRI III*

|~) Egulade tribus nods, quarum ignotum
|\ monftrantibus. pag. izs

Quando minutiae occurrunt in Regula dc tri*
busnous quartum ignotum monftrantibus
quidfit faciendum. Quaeftio I. pag. 19J
Pecuniaecuiufuis in qualibct pcrmurado quo#
modofitfacieda. Quaeftio II. pag. 19?
Sociecacis regula. Quaeftio III. pag. 19s
Societadsregulall.In qua temporum diuerfi
tas interuenit. Quaeftio III I. pag .too
Societatis regulalll. quadotcmporibusinter
miffis, uariaefummae interdum communica
tae,interdumfubdudaefuerunt. Quae#
ftio V. pag, iot

Diuerfarum regionum pondcriscoaequatio.

Quaeftio VI. pag. io*

Lucriexplorado. Quaeftio VII. pag. 107
Lucriexplorado in  tempore maiori. Quae#

ftio VIII. |)ag. 2os

Temporisinueftigatio inlucro maiori. Quae
ftio. IX. pag. 209

Lucri inueftigatio ex maiori pecunia fecudum
refpedum lucri ex furnmaminori. Quae#
ftio. X. pag. no

Temporisinueftigatioinlucro maiori fccun#
dum refpetftum temporis in lucro mtnori.
Quaeftio. XI. pag. z| B

Ponderis exploratio in panibus»quando pre#

* 5

dam annon* crefcft Qua?#

ftio. XII.  pag. ii 4

Ponderis explorado in panibus, quando preci
umannonaedecrefcit. Qua?#

ftio, XIII.  pag. ii f

1  Lucri&damniRegular, pag. its

2 Per lucrum notum fords fgnocae exqui#

fit io. pag. zi3

3 Per derrimentum notum fords ignotx

exquifido. pag. zio

■4 Lucri ratio, G minoris quippiam fuiflee
emptum. pag.

5 Dam ni ratio,G pluris quippiam fuiffet

emptum. pag. m

6  Lucri ratio,G prec/umutetur pag. u 4

7  Damni ratio,ft preciumutue? pag. ns

8 Quomodo precium ftatuatur ad lucrum

quoduisparandum. pag. 22 a

Collado in iadu mercium fado ob nauemin
tempeftateieruandum Quae#

ftio. XII11. pag.

Bonorum inter creditores pro cuiufq? debiti ra
ta pordonediuiGo.Quaeftio XV, pag. Jjl
Pofthumi haeredis inftitutio. Quae#

ftio. XVI.  pag. la

Haeredum inftitutio in pardbus deGgnatis.

Quae ftio. XVII.  pag. ztS

De quinque focfjs triaaureorum tniUia inter

fedecompadodUwtUntibus* Quae#

ftio

ftio♦ XVIII. pag. U9

Pequatuor amicoshabente,quibus in tefta*
mento aureos aliquot partim expreffos ,par
tim non expreffos legauit. Quae*

ftio. XIX. pag. I49

De tribus,aureos ducentos inaequali fumma ir»
terfedmidencib. Qujftio, XX, pag. r+f
De alifstribus,aureos centum inter fe  certa lege
partientlbus. Quaeftio XXI. pag. 24*
Dequatuor,aureos fexcctos inter fe de compa
do diuidentib. Qujft. XXII. pag. 24?
Decenru aureis certa quadam lege inter tres di*
uidendis. Quxftio XXIII. pag. 24r
Pequatuor,aureos centum inter fe ex praefcri
ptopartidib. Qufft. XXIIII. pag. 249
£>e legione peditum eioo.equitum 72 s.&i  prae*
daduoru millium aureorum certa propor#
tione inter eosdiftribuenda. Quae*

ftio XXV.  pag. 2 ft

Demolerrinatrium molarum difli'milium ef*
feduum,& tritici rnodtis uno momento ab#
foluendis. Quaeft. XXVI.  pag. 2 ?*
Decifternatrium fiftularum inaequaliu, 6 item
pore aquae totiuscfFundendae. Quae#
ftio XXVII. pag. tf?

De alia cifterna trium fiftularu,& tempori eius
euacuadae.Quaeft, XXVIII. pag.
Peaquaedudu certo tempore cifterna implen#
t« uaeuam , nihil obftante Qftulac apertione.

Quaeftio XXIX*  . pag. isl
De turrae extruenda certa alitudme & latitude
ne,fumptuq? facfcndo, Qux?

ftio X X X. pag. 2 s$

De muro crigendo ex fcdis lapidibus certa al*
titudinejlongitudine &craffitudine. Quae*
ftio XXXI.  pag. 2 <j4

Dcquatuor architedisdilparibuslabore,prae*
torium cerco tempore exaedificaturis.
Quaeftio. XXXII.  pag. 254

De duobus architedisetiamdifparibus labo*
re,tertium ad opus finiendum accerfendbus.
Quaeftio XXXIII.  pag. 267

De turn' cui'9 pars latetiub terra,pars fub aqua
demergitur,& parte eminentefupra aquam
Quaeftio XXXIII 1 . pag. za»

De duobus proficifcentibus Romam ex Bri*
tarrnia diuerfo tempore atque confedione
paffuum,& aflecudone alterius, Qua?*
ftfo XXXV.  pag. i<s 9

De naui ex Britannia in Paleftinam proficif*
cente certum fpacium, 6 ieius auento reiedi*

!  one Quaeftio XXXVI.  pag. 270

Dc duobus curforibus difparibus curfu, ex co
trarijs locis fibi inuicem certo loco occurren
tibus Quaeftio XXXVII.  pag. 270
De expedito & fegniore curfore altero alter! ob
uiam prodeunte ,& tempore occurfus.

- Qyaeftio XXXVIII, pag. 27*

Depa*

Depatrefami'li'as lube rite mfniltrum pro certa
fumma, aequali numero libras diuerfarutn
aromatumemere. Quae*

ftio XXXIX.  pag. 27 ?

De auri libra miniftro in uiliorem monetam
aequali numero permutandam tradita.
Quaeftio XL. pag. 27 *.

Detribus rocietatem in annum ineiintibusde*
poilta certa pecunia inaequali tepore, & parti
tionelucri. Quaeft. XLI.  pag. 27cr

De pecunia trium incommuni iacculo ,quaru
unufquifq? fuae fummae numerum ignorans,
fociorumfcit. Qugft. XL 1 I. pag. 177
Defacerdotepecuniamerogaturo pauperibus
&i  tribus mendicis ipfum adeuntibus, &C  pe*
cuniae fumma. Quae*

ftio XLIII.  pag. ? 7 .t)

De fure exeunte ex regio cubiculo, ab hoftiarrjs
detento oblufpitionem & pecunia uniuerfa
furrepta. Quaeft. XLII 11 . pag. 270
De rotae linea dimetiente ambitu apfidis, &re*
uolutionein mille paffibus. Quae*

ftio XLVi pag. 2sj

De emendatae normae confe&ione, cuius ratio
tota a numcris pcndet,Pythagora inuentore.
Quaeftio XLVI. pag. ts'j

CAPITA LIBRI IIII

Q Vantfras fpecies cJitae. pag. isi
Deproportioe&eiusgener.pag. 2SS
Proportionisrationalis fpe*
ties. pag. 290

Maiorisinjqualiratis fpecfes qutcjj. p ;g. l0 ,

X Quantitas ad alia multiplex. pag. i 9 t
z  Quanritas ad aliamfuperparticu

laris. pag. 29*

5 Quad fas ad aliufugpardes. pag. 29s
4 Quanritas ad aliam multiplex fupcrpar
ticularis. pag. ?oo

5 Quantitasad aliam multiplex fuperpar
tiens. pag. joz

Deproporrionalitate. pag. ?0 j

ProporrionaIitas,fiue continua fit, fiue fepara?

ta/ex modis uariari poteft. pag. 30 f
De medietatibus & eius generib. pag. j OT
Arithmetica medietas. pag. j 0 3

Geometrica medietas. pag. j| 0

Harmonica medietas. pag. ?u

Quomodo propoficisduobus terminis,medi*
urn proportionale fit inuelitigan *
dum. pag. s>*

Qitse medietates, quibus reru publicarum fta*
nbuscomparentur. pag. 314

Quomodo propofids duobus quibusuister>
minis proporcio inter eos inueniri pof*

fit. pag. jj t

Quomodo cognofcaturuuaproporrio alia

effcmaiof. pag;

Quomodo propotti'omiffl expluribus corn#
pofitam efte cognofcas. pag. jio

Quomodo in termini's improportionalibuslo
gaferiecontinuatis,unam proportionem cx
pluribus compofitam efle cogno#
fcas. pag. jj*

Quando proportio quaeuisoccurrit,quomo
do propordones aliasipfam componentes
inueftigab. pag. jj*

Quomodo an'ufqjproportionisjuelambo ex
trema,uelalterumper numerum ipfam de#
nominanteminucnidpoffit. pag. at
Depropordonum Addidone. pag* jjS
De propordonum Subdmfh'one. pag. 340
Depropordonum Multiplicarione. pag. 34?
Deproponionum Diuifione pag. 34s
Quomodo proportionem inter quosuis nume
ros afl/gnata lnueniasin minimisnumeris*
quieam propordonchabeanr, pag. jfo
Quomodo propordonum difiun&arum fimi
litudo inueniri poffi't in minimis numeris, fc
cundum ipfas propordones continue pro#
pordonalibus. pag. ?si

Deproportionehabente medium duocg extre
ma,Geomctrisadmultacoferete. pag.
Deprogreffionenumerorum codnue propor
tidnalium. pag. j?r

Defalfarum poficionum Regul/s. pag. is a

Regula de uniea falfa pofirione. pag.-
Regula de duabusfalfis poiiuoib, pag.

Differentiarum obferuatio. pag. ps

FINIS.

A P PENDIX  ex Gulfelmf Budxilibro'de
Afle excerpta, inquapnfca Latinorum 8C
Grxcorum fupputatio ad xftimarionem pe
cunix turn Gallicx ,tum Anglicx rcuo*
catur. pag. 4

ITEM.

G VLIE L M I Bud xi Parifienfis , Secretarif
regtfjBreutariumdeAfle. pag. 420

CVTHEa

CVTHEBER

TI TONSTALLI IN

LlBRVm  DE ARTE
Supputdndi *

PRAEFATIO.

RTEH SVPPVTANDI STV*
diofis cditurws, in primis tUud prcefan*
dum operjprctium effe putaui, Pythd*
goram v ueterespbilofophos plerosque
omnes uim quandam diuinam numeris tri
huiffe: id quod non dbs re fccijje exiflimantur . Ndm cum
mdthemdtic£ di[cip\in£ qudtuor exiftdnt, Arithmeticd ,
qu£ numcrdndidrtem dtfyuniuerfdtn numeYorumuim ex
phcdt, Mttjicd, qu£fonorum concentut dt<$ hdmonidnt
difcermt,Geometm,qu£ tert£ durum rerum metiri
magmtudinem inftituit, Aflrologid,qu£ cceli dtcfc dftroru
mom certd ndtur<e lege inuaridbiles docet : bdrum dd no
titumpsruenire cupientiprimum Arithmcticdm,qti£ c£*
terisdditumpdndit, deguftdreneceffe eft, fine qua nun*
qum dd illdi penetrdre licehit . H £c ndmque ab Mis nihil
fumit mutuum, fuisq-content* dotibus nihil dlienum re*
quirit:ill£ contrd db hue prajidiafape repetunt , itaque
cm Dei ndturd fit effentid [ubft*ntiacfcfimplex,qu£oma

PR AE F A T FO.

di drtem tenere promptdm. Eluted que in Arithmetic4
ftint dltius reconditd philofiphi mdgis cdllent, itd quod dd
fupputdndi rdtionem dttinet,qu£pdrs cuts humiUtma eft,
a negociojls longe fuperantur ; tdm acresdddit ftimulos
jludium pecuni£. Qucmddmodum autem ceteris maihc*
mdticis dtfciplmis Arithmcticaidnuam dperit: itd in hum
dbditd penetrdre fine coputandi rdtione perjfiefla, facile
non datur. Cui rei perdifccnd<e am dliquado tmpcnfe ope
ram ddremusiet uarijs ad id praceptoribus, alijs cruditi-s,
alijsnegociofis uteremur multorucfc libros, qui de ea tetct
runt fcribere,perlegeremus:uifim eft oper£precitm:qu<e
nos e multis coUegimuicftudiojis legenda tradere. id quo
mdgis ficeremuscdliorim obfcurd fcriptd, alionm impev
ftfta , quormdam uero etiam errata nos impulerunt : ut
qu£ diu rnultmq-  nos corf truf.uel per nos emendatiora ,
uel mages field perjpicud,ad pofterorim uenirent manus.
Quid uero pr£jlitermus,aliorwm fit indicium. certeco «
naufumusM ne quisinpeficnm,qui modo Ldtine feiat ,
ad drtem fupputdndi dijeenda'm, pr£ccptore egeret . E£
quoniam in fupputationibus fepe euenit,ut edderesexpem
diri multiphariam pofiif.noftri injhtuti non eft, omnes
omnino eorwm, qui feripferunt , prdceptioncs enarrare :
quod fdne,pr£terquam quod inutile effet,fiftidium affer*
retlegentibus : fed ex multis udrijs modis eosmdximc
monftrdre , quiuififunt expeditiftmi: quique nullis inuo *
luti ambdgibus exitm ftatm dabunt,  Q ysdm etidmle*

uicuk

P R AE F AT lO.

vicuU compendia tr adeem , baftenus k nemine ( quod
fciam)fcripta prodita . Quamobremjeftores candidi,lu<>
cubratiunculas noflras nos bom confukreeoeequmeft:
quod in re  per /c obfcura plurimum defudmmtt : ut luce
pdululum indudict,nobis mofjvnja leftio remteret,cui no*
firo propofico.qumtulumcunq- pncftitinius, gratia a box
nis uiris babenda eft,  l Uud demum pr<emonendum effe da
xitnustquisquis bunc hbrum in manus legendim fumet,ni
fi mauuit opcram perdere,ei a capite effe ordiendum,neq-
enim ubiuis incipienti,tanquam m bij}orta,fefe ofjirct fen
fus : quandoqmdem ltd contextm eft opus,ut Jtngula qu£
pr£cedunt,dd ea qu£ fequuntur,inflar elcmentorum baa
beant. Supputandi autc ratio partes has habet prxcipm*
Numerationent,

Additionem,

Subduftionem,

Multiplicationem,

Partitionem,

P rogrefionem,0'

udicum inueftigationemide quibus fingu=
latimfuo or dine dicemus ,

DE NVMERATIONE.

A S INITIVH

I

ARTIS SVP.

NITIVM NVMERATIONlS
ab uno profcifcitur: proccdere autt m at
poteft etiam in infinitum . Verum tamen
numcri pnmarij , ©r /implicit babent s
nonina apud omnes gcntcs funt tantunt
iecemtuidelicet unum, duo,tria, quxtuor,qumquc,fcx,\ee
ptem,oflo,nouem,decem:qHibuf in Jinguhs natiombus pri
mi nommtm impofitores uarie, pro fuo quifque arktno,
nominxindiderunt . quicquidultra decern nuinerau rts:
compofuum ex borum mfe replication repenes. nam  «=>
mm addecem dddimus,cr numeration undeam: duo act
decern,cr duodccim producinun : tria ad decern,  er pro.
creamus trcdccim: atqueita reliquos numeros primaries
cum decerncoponimin, nempcquatuordectm, qmndiam %
fexdecim.feptemdecim,decern  er otto,decern  ey nouem,
donee iterum ad decern uentum fuerit, ibiquia bs den a
collegimut uiginti ea uocamin, quod bis decent figmf cat:
qudfbs ginta,b htcrjc fono in u iranfeunte,propter uici*
turn quandam earum in pronunciation cognattonem.nam
titgentacentum,itaginta decern apud ueteres in compofi
tionefgnificat: rurfusin numcrando progndimur,  c?”
fingulos numeros primarios cum uiginti ccn ung-mu* quo
ttfque ad ter dena uemamu 4, qux triginta,hoc  eil, ter dc*
can uocamus, quibus denuo primarios numeros accumu»
Lire pergbnus , donee ad quater dena perueniamui : qua
qmdragintx uocamus . Atcp hac numerandi ratione ferua
iii i '{Uin!iiuginU > fex.igiritJ,fcpHugin.J ) oelcginta, nona -

gf «M»

H B E R f. %

pntaprocreamus,femper priortbus denk primaries nu<
meros aggregates, doneealiacoikgermus: quibusipfis
r.omina a numeris primarijs fecundum denorm codedo
rum numerurn denominate tribui, manifeftiuteft,qudm
tit fit admonendum. Dccics data centum primi nomencla
tons LdtinemeanerwiftDemde alia dena rurfus prccre*
antes ip fa centena crefcente numero coaceruarunt: quo *
ufq.; ap dixies centena uemrent: quibtes nomen mdiderunt
Mule, isfuntmtu Humerus apud Latinos eft,qui uno uaca*
bulo expnmi petefi. Reliant atttem cmnes in infinitum mt
meri ex bisinfe replicatis c? repctitis,apud Latinos,at
itidem apud cmnes omnium gentium linguae, fua habent
coUefta nomina.Exempligratia dccicsnnllena,cetiesmil*
Jena, milhes miUena • decks niiUiesmiUena.aifyid genus
rekqua:  p raterquam quod  Greed lingua mu’to cater is io*
tuple tior,non fo-ain dcaesdenis, & dccics centenis, fua
uocabula Hecaton l?  Chilta,dedit:ut cater £ nations s :fed
stum decks miUenis fpeciattm indiditnomemut Mym dU
<f rentur,cr Myriadcs,

VID E S itaque in magno numerorum corpore id efje
dena tpfa ex pnmanjs collegia numeris : quod in corpore
nofiro funt artustqui maiora cxiftant membra • Et quern*
dmodnm in arundimbus internodia paribus diftinflx fpx*
tijs, proceritatem ipfam prcducunt calxmcrum: fic in mi*
on bus numeris aliaalijs aggregatx dena, uelut numero*
turn internodia, erefeentem magnitudinem connedunt ,
rgitur otttnem numrum necejji ctf ucl primanum iff  ;«d
l  A 4

5 it R T I  S s V  P.

tx denis codceruatisccllettum i uelpartim ex denis, pun
tim ex primarijs compofium.

Numeros fuis Uteris  er not is Ldtini,fuU Grxc i uarie
fcribunt:qu£ quilatm no(Jeuelit,apudLatinos Vdteritm
Probum legat, apud Grxcos Herodianide numeris libel *
turn. tioftriinjlitutieft cum folumnumeros fcribendi mo
rem nunc attmgere, qui a cbaldxss primum infinintnos,
deindein omnespenegentes fluxit: utfuis numtri Chard*
fieribits,non liter arum dementis notarentur: qui mos ft *
gnandi numeros,tarn apud eruditos ZT  A rthmcticx peri *
tos,qudm apud omnes omnium gentium mercat ores erne
gotiofos fie obtinuif.utnon alius magisperorbem terr<e
mneferuetur »

DECEM itatyfunt numerorum notx, quas Aritbmeti
eifiguras uocanf./ignaetiamappellare cos licet :qu£ on
ties omnino in infinitum numeros uarie prolocorum rat
tione pofitxfigmficare poffunt . H arum nouem fuos dc•
tiotant quxq; numeros,uidelicetprima i,unum figmficat,
fecundd 2,duo.tertia ^,tria,quarid 4,quatuor.quinta  <,
quinfy.fextd 6,fex-feptima  7 , feptem. oftaua  8 , otto,
nonap,nouem.Dectma uero  o ,nota ad fvrmam liter £ cir
tulari figura eft: quam dlif circulum*uulgus cyphram uo*
cat: qu£ nihil ipfa fignificat, uerum alijs pr£po/ha nume «
ris,eorum omnium qui fequimtur, auget in decuplum fi*
gnificationem.Exempli gratia. o pnmx not£ fine fgurs
l, d dextra parte mntta, earn, qux mum cxprejfcrat , dc
cemfignipcarefcit lo.ati^itidem inreliquis,

1LLVD

LIBER I.

4

ILL VD in primis animaduertendum, Cm cm ties
Latin i o Gr<eci, clique hcrum <emhc<tteri,dliquidfcri*
pturi d tcud reccptomoreinctpiant, dtqucitd in dcxtram
tendant: quifquishisnctismimercsfcribereueht, ddcx=
trd paginaparte mcipere debet . o numeros cceteris mi ■
noresddextra parteponere, atque ita in laiam ter.den *
dopregredi: ut quo maiores accedunt numtn, eo magis
in leuamfemper eos promoueat . id quod itidemm tw<=
mens obferuant ldtim,Gr<eci,o- alij: ut maximum quen
quenumerm dkua, minimum quenq- a dextracoUocent,
Vndeconftarc pcnituis injpiciemi peteft, numcrar.di ar«
tem d chalditis effe prejiftam : quidum (cribunt, a dextra
incipmt,o-in leuamprogrediuntur. dtxtram appcllo
pagirne partem, quae propofita me nos charta, dextra
nojir<epropior eh : leuam qu£ (imftr£,

H AE nouem not£ o figur£ omnes, quibus  M«me«
ros [nos denotari diximus, cum non femper cafdem fc*
des occupent ,uaric pro locorum pofidone (igmjicant.
Hamcarumunaqu£queprimoloco, quiaddextram eft,
tantumfuumnumerum eminent . Secundo loco leuam tier
fits pofitd, decks tantundem  • T ertio loco Icuamuerfits,
tantundemcenties.Quarto loco leuam uerfus,miUies tan»
tundem . qh into loco leuam uerfus, tantundem dectcs
miUies. Sexto loco leuam uerfus , centies miUies tantun
dem . Septimo loco kuam uerfus, miUies tantundem mil
lies. Oft auo loco kuam uerfus, centies miUies tantundem
MiUies, Nono loco leuam uerfus, centies willies tanttm=

A 5

5  ARTIS SVP.

dmmithes. Dccimolocoleumuerfus, milliesfuprd mil*
lies tmundcm millies■ Vndecitno loco leum uerfus. dccies
tmUies fupra millies tantundem millies . Duodecimo loco
leudmuerfm, centics imUtes fupra. millies tantundem. mil*
lies. Tertiodecimo loco leum uerfus,mdltes fupra millies
Untundm millies, itufeid quidemmilliesadquern modim
fi {terms eiim m infinitum progredi licet .

Peftremum mlcm innumeris locum circulus nun*
qudm obtinef.qudndo mbileum fequitur, cuius figmfica*
tiencm dugedt, Ahcqui ft qua figurad fergo dent, om»
ties numercrum fedes occupure poteji. Bxemplum fib*
ddtnus, m quo omnes numerorum not us fuo or dine point*
mas, cum dliqudrum rcpelitione ufy id tedium dectmum
tocumfioc modo.

321 op S 7 6  545 2 l

H ulus feriei numerum  ©■ eiufmcdi /miles, qui inim *
tnenfum crefcimt,reccnfums, tie qua ttbi inter numerdn *
iam orntwr confufio, qudrlum locum qm milk repree fen*
tdt, pundo fuprdpcfho notdbis.Ttemde quinto  foco©*
fextomtemifiis, iterum fuprd feptimum locum pundum
ddijetes, Rurfus oft auo loco  ©■ nono intern,fits,decimum
locumpuntto fuprd adtecloftgmbis, Similiter undecimo
loco ey duodecimo pr£termsf?is, fuprd tcrtiumdecimum
locum punftum dppones. Atqueitd,(i mdiorfiuerit numc*
fus,duobui lock d qudrto femper intemijUs,tertium quett
que punfto fuprd pofuo notdbti , H<fc punttcrum adie*

tIBER  I. 6 -

fiio non mediocrcm numerandi fkilitatem pariet . nans
pun ft is fignata loca,miUcnaria demonfir ant: ad qua , ue*
lut ad quo fdam gradus, inter numerandtm fiftcre licet,
neque emm tonga numerorum ferns uno jptntu pronun*
ctaripoteft . Quartusitaque locus cxhibetmille . Septt*
tnics millena miliia: uulgws miUtonem barbare uccat: La*
tine reddiderk, ut nunc jit fupputatio, uel mdlcna mMia,
udmilhcsmtUena. Prifa deties centena rntUtd dxrunt:
feat pMum infra monflrabinm . Decimits locus capit
mtlliismiRena miUia: uulgus million cs miRtonum uccat ;
Latinc dixeris: ut nunc mosyft loquendt;uel nnRu s milk»
m  nnliu, ucl miUics miRcna mtUies . Prifa decies rnllies
cenicna miUia numerim ilium uocauerunt, Ter tins deci*
mus locus txprimu miWes millena miliia milkts: uulgut
miRionem  dc mtUicnibus million urn uocat. Latmcreeeptg
nunc fupputandt more cnunctabimits, uel nnlhcs mUcnd
mdlenorum milhd, uel miRtes millena miliia miUics .Pnfci
eum numcrum decies mitlies centena miliia nulkes adpel*
larunt . Numcros inter bes medios fine centenarios ,[iue
ienarios premptum eft cuiuis enunciarc: cumjlatm an*
te oculos nobis occurrat: inter qua genera nuUenariorunt
funt locati. Quodpoftquam ammaduertimwsuRudinpri
mis obferuare debemut: ut numeri tilt centenarij <&■ dena «
rij inter punftdadiefta medij,fccundum nunc rcceptum
fupputandt morem,eafempcr exprimant miUenaricrum
genera: quaproxime 4 dextra parte punfl.f funt irti/t
2“ou[fy ad printa, miRenaru tttnerimm .

^ i

7 ARTIS SVP.

IGITVR numerumhuncimmenfum,punditfuprd
pofitism locitpnediftis notdtim,Ldtinejic enunciabi =>
turned poftremis & mdximis incipientes numeris,&- in mi
nimisdc primisdefinentes.  q ui mos esl dpud omnes gen
tes,uerbis numeros eloquendi-
* * « •
52 top 87<^'5  4  5  21

Ter'mUhesmiUendmiUid willies, ducenties decks millies
miUendnnlkd. noningenties oflogies fepties miUenamil =*
lid., fexcentd quinqudgintd qudtuor milhd,trecenta uigin*
ti mum . Aliudexemphimtotidem notdrm, cornier fofi*
gurdrum ordine,pondmus: quo mdgis,quod dicimusjegen
tibut innotefedt »

* • ♦ ♦
12345(57890123
Hunc ttidmnumerimpundk, utfuprd did um csi: no*
tdtum,Ldtinc fic reddcmui • Millies miUend milka millies.
Ducentiestrtciesquutermilliesmittendmittid; Quingen*
tiesfexdgies fepties miUend miUid. Odingentd nonagintd
mittid centum uiginti trid.

EX HIS, quospofuimut:immenfisnumerit per no*
tets fas feriptis, punttisquenotdtis, crLdtineredditti,
facie erit cum numerum quemlibetminoremtum feibe•
re,turn pundisjigndtum . Ldtine enuncidre.Si uero md :*
ior occurret numerws : eddem erit re ipfd facilities: fed
uerbd, millies, er miUid, toties in Jingulis maioribus nu *
merit repetitd, quottes cd iddipro loci augmento neceffe

LIBER .1 -®

es%duribus fajlidim non hue pdrient . Ei uix unqum in
ncgocijs human is maior occurrit numem,quanquam fu *
prdpofuimm •

IN huiufnodidutemimmenjisnumeris,dipinguidlo
cdpunflis figndtduerbis enunciddajoties uocabulahtc,
uelmillid, udmiUend, uelmiUiesrepetendd funt, quotics
punfta,db co loco urn etia connumerdto y in totd ferie ttfq;
adpnmdm notdm reperientur: id, quod in cxcmplis iam
exphcdtis licet cerncre-

VERVM,  nequUexempldficiliordin libro noftro
de[yderet y eiufmodi quoque fubiungemm . Atquc ideo no*
tis,ut libet.ufq- dd [optimum locum pofitis  (ndtn infra ni
hil eft opus defcendere ) ittud exempluk eflo .

♦ •

6 8 5  4  9  7  3
Hoc c xemplum, punttis prius figndtm  ,/ic Ldtinc reds
des . Sexties miUend. miUid,o(lmgentd quinqudgmtd qua»
tuor mtUla, noningentdf'ptuagmtd tri *. Ahud exemplm
ufydd decimum locum dddo »

« ♦ •

7924853160
Numerum hunc, punclis fuprd popitis prim dijlinflttm,
Ldtineficreddemm . Septics mitties miUendimllid,nonin
gcnties uicics qudter mlktid nnUid,ottingentd quinquagin
td trio, miUid, centum fcxdgintd . P lura ttumerorum ex•
emplamhileft opus ddfcribere ,qudndoquidem ea, qua
; facile mdic4nt,quomodo miner i quiuis alij  ,cr

p A R T 1 S S V P*

fcribi,®- Lstinc enunciari debeant.

NON ME latetRomanosucteres,prifcomore ft*
vs nummos Seflertics computantes, numerum tranfcen*
dcntem centum milha  ( qui numerus fextamapud Antb*
meticos fedem occupat) Lattnc non enunciaffe , nifi per
aduer,bta, decies, undecies , er qu£ fuprdfunt, ufque ai
centies, <&■ milhes ,atque etictm ultra in immenfum : per
qu.e numerum ilium centum milium in fe repheabant. in
quoudut in limite quodam numerandi fiilebant,i erum
incepturi. interdum etiam uocabula bjee , contend tmllict,
quodam fermonis compendio omittebant : ut dicercnt «
D :cics [ejlerttum, pro decies centcms millibus feflertium.
qui numerus m'llena midi a feflertiorum nummorum ex *
prtmi:,cr fcpttmuw apud Arithmetics fedem tenet -Cots
ties fe/lertium . pro cennes contents miUibus (eftertiorum .
qui numerus decies millcna mill’d fefterttorum numino *
rumindiat: CT feiem apud Anhmcticosoccupatoflu*
turn ■ tA'Hicsf fhrtium ■ promises centenis midibus fe*
ftertiorum nummorum . qui numerus centies miUena mil
liafeflcrtiorum nummorum figntficat ; er locum apud A*
rithmeticos nonum poficdet i  er fie ulterius ufque in im*
menfum ueteres ad earn raiionem Latme fuos nummot
computabant . id quod Budxas utr cum primts xtatis no*
ftrxcruditm , m libro fuo de A (fe , mira fagacitate plcniut
annotauu.Ctftcrum Arithmetici ultra centena m;Uia tran*
fcendentes:mdgis admillena miUiagudum quondam ft*
fiendijtcmt: quern lumen ipfum tmftliunttcrper de*

USSR fO

tks , cr centies, duflis locisjurfut dd mMes tnMetta mil*
lid demo figunt gradum: utty ultra etirn ed, procedentes
in immenfum , millend milha miUenis dccumhnt: quemad
modumante diximus. quimos fupputctndi per orbemters
rtc nunc eft receptus.itdty inter prifcos  ©• recentiores nh
biiintereftdhud, nifi quod hi miUendriorum locd cbfcr-
udntesmillendmiUidrmUenis aggregdnt . Atpnfcicemc-
norum locduelutgrddm quofdainficientcs, centend mil*
lidcentenisufq- in immenfum dccumuldbdnt ,femperedm
fe rcphcdntes . Caterum locorum dugmentd tdm cum pri
fca fupputdtione , qudm cum nunc receptd confentiunt*
Qumobrem nihtl uideo,cur prifedm computdtione(poft *
qudm dpud omnes ndtiones eft dntiqudtd ) mordicus tea
nere debedmut : qmndo mas nunc receptus mdiore rath
ne nititur . 1 tenimeum,  Mille, maxima fit dpud Latinos
numertw, qui unico uocabulo poteft exprimi : mdgis proa
gredi congruit, donee ad miUena mittid uentum erit, quant
ad centendmillid, quainfrd funt, faceregrddum- Verum
ft quern mdgis iuuat prifeo more numerum dliquem inti
menfum Ldtine reddere: breue dd id quoque compendium
tudemus : ut numerum notis feriptum punftisfuprd  Her*
ticem fignet , tertio, fexto nono , duodecimo loco,  c<f<=
terisque,qui deinceps duobusfemperintermifii$,fequcn*
tur . \lludqueobfcruet-iUtdpoflremis incipient fingulae
numerorum notds ufque dd locum fextum, cd fignificdtio»
ne,qtutmfedcs fuppeditdbunt,per diuerbidexprimtU:qu<e
veto fextum locum pracedunt,redddt per uocabuld , Cum

It A R T I S S V P.

autem id pund is figndt d loci uentm erittuoeibuld hue,
centem milliard Jinguld puncla pronunciet.ueluti in pn=
mo exemplo per nosfupra pofitoji quis prifeo more nu <s
meros enunciare ueht  •

* * ♦
3210 p S 76 $4 3 2 r

Tricics bis miUies centem miUid miUies, ccnties nouies mil *
lies centemmiUd, odingenties feptuxgies fexies ccntenet
miUid,quinqudgintiqddtuor miUid, trecentauiginti unu .

1 r IO E M in ahjs numeris quxntumuis immenfis cut
uis erit facile prtfcosunitdre,ue!uti in [ccmdofuprx pefi*
to,quern pri[co morefic exprimes •

♦ ♦ ♦ •
1234 5678P0123

Duodecies miUiescentem miUia miUies, trecenties qua-
drdgies quinquies milhes centem miUid, fexcenties feptuct
g ies otties centetu miUii,nomginti miUid, centum uiginti
triu-Adhorum exemplumcteteros numcros omnes prifea
more Lxtwe redder e nullum eil negocium .

G R A E CI A (item fupputando quenddm fiftendi
g rddm faciunt id Myriddes, qua decern miUu [igniji*
ant : qumtimq.■ occup.nnt fedem: quo muiorem numenm
uno uocabulonon exprimunt. delude myriidestim mul*
tis ftbi iggregdnt, utipfdrum etummyriidum faciint
my r:diem;qu£ fummd miUies centem miUu, (tout loquuit
tur prifei: uel centies millem mittta,Jicut nunc Arithme*
tici, fignijiat:  a nonm locmt tenet, ultra quern nitme*

turn

LIB E R stU U

yum Greet uocabulis carentcs, rurfusmyriadesm fe re»
pliant ; donee totidem myrtadwmmyriadcs accumukue *
.rim: quot propojhtmtmm niagnitudo[uggerit.
Hdfterw.de numerationedmjJefufjiciat t

d e ad  mnoNE,

A D D j T1 O numcrorum, eft ditorum pluriunie
ue numcrorum m unam fummam coiledw. id ati*
tern ,<eri potcsl , fine mlnores  g uiuis numeri maiqribus
adJantur,ftu§ ecoucrfofiue equales equalibut, lllud funis
mpere obfenundum eft : u; fine duo,Jiue plurcs (int ««»
tn roruordines,quos in unam fummamcolligcreudwmi
itaeos dmmno fcribamus,ut fub prim not a prrni ordinis
prime reltquorum or dm urn figure direde , udut ad pera
pendiculwm,locenfur: fubfecunda faundefub tertuters
He-.'Crfic deinceps: uttn fingulisordinibui loiiquorittiia
meroru,uelut fub um linen perpendicujari fibi rcjbondce
am. Nam ahoqu: finumcroru or dines oblique fcnpti jiie*
mt,z? ip/i eonrn locialij alijs permixnfe mutuo direfic
nonreJfexcrint,utncfa<trur, quis cut locus rejfondeat :
Magna fequetur in cqputando conjufio-ldque noninodo fit
numcrorum adiitionc: ucru/m etim in dedud 1  one,multi*
plication?,partitione eueniet. Qiiare ne in Huiufmodi
hbyrm bam mcidmus jn uniuerfum precipiendim ed m
tmariumerandt arte : ut accurate awe omnia ponantur di
refit numerorum or dines: ut primi in fingulis loci primis,
■fciimdifectidii^enij tertijs,^ fic demcepsjefpondeani^

B

tj A R T 1 $ S V  P.

AD HAEC innumerorum ddditione,deduftiont,
tnultiplicdtione,pdrtitione, perumuerfM numerorm fc*
des,fiue fccudds.fiue ter tint,fiue quarts ,fiue ulterior «,
tUudpcrpetubferudredebemut :uttdntifi)er dum nume *
ros dddimui , deductmus , multiplicdmus, pdrtimur, om•
net omnium locorwm not m  pro primaries numeric , non
autempro dcturijs,centcnurijs, milknarijs,dut ulteriorU
butdccipidmtu . Perafto ueroopcre, qudttdofummdmuel
colie ft m, ud deduftum , uelmultipUcdtdm,uelpartitdm
reccnfemtu  : fingulis numerorum fedibmfudmuimreflia
tuimus: ut turn not£ in exprimenda fummd turn fignificda
tionembcthednt : qudntloci fuppeditdbunt,

Qvi numeros numeris ddditurutcr.fiduo tdntm
fint or dines : poftqudm dlteru nnmeru fuprd, dlterum in •
fra [crip fern: fub ambobus lined cdUmoducito . Deinde
4 dextrdpdrte,ubi minimi numeri locdtifunttinci .

piens , infer tore prtmi loci numeru fupertori eia J"

ufde loci dddc :et numeru ex his duobus copo/i*  —--

tu,ft undnotd fcribi pofiit(quod certeerit ft mi ?

nor qudmdecefuerit)fub linen dire fte fub primoloco po
ne. Sin fuerit numeru* dendrius,dut eo mdior,ut duabus no
tis dd cm* exprcfiionc fit opus:primdfegurd,etidmfi circu
ha fit: fub lined dire fte fub primo toco fegnd •  ^ Q  ,

Er fecundt fegur£ numerum memoriter te- 2  o A,
ncns dd fecundum locum progredere .Vbifi  — —  ~
arcu’os ta in fupcriorc,qudm in inferiore or ?

dinereperi: numeru memorid retentufub lined fecund a
loco fubfcribe,

LIBER t. ■ 1 4

Sin neutrd fgurd circulut fuerit:<mlc omid rtpofce i
memoria numcrum dcpoficum, ne eiut obrepdt obliuio-
firchquos nmeros print dddat, qudmiUumrepttit: em
Umcfc ad infcriorcm em locinctm memoriter ddiungensj
lUam ipfam fic auftam, dc fuperimm [ecundi loci figH*
ram aide: w numerum exeis fur gent em^fi  p

utid notd fcrtbi pc fit : fib lined dire fie fub  3 4

fccundoloco fcribe. p ^

Si uero dltera tantum fecundi loci notd circulut fuerit: dim
ten figura figmftcanr.mmerum ipfum memorid retentum
exmemoriapromens.ddde/ignificanti  5 8 p

figur&cr,exeis furgentemnumeruiti,  204

Jiundnotd[cribipofot,[eeundo toco
fubfcribe,

9 3

Sin ad eum numerum exprimenium, q ui fccundo loco rim
peritur, duabut notis opus eriiiprimam earum, etidm fi
circulut erit: fub lined dir eft e fub fecundo loco pone:  er
fecund£ not£ numerum memoria ferudns, dd tertium lom
cum progredere. Vbi it idem per omniafacies, uti fecunm

do loco fecifli:  er numerum ex ctdditto-
tnerepertum.tertio loco repone.  er Jic
ulteriut ufy dd poftremu locuperge"

Quo cum uentum erit numerum y
ex additione repertum, fi una no 1
ta fcrtbi pole A: pojlrcmo loco de'
pone.

3

2

8

<>

9

4

*  ?

3 8
2 6

3
9

4

$653
B Z

If ARTIS syp,

Sin dualus figuris ad am exprimendum opus crit mi «
merus,quifupereB. memory  7 3 8 p

retentus : a finijlra poftre m i 6  2  6  4

Mmerijub linea ponatur: ~ \  3 6  5 3

lUageneraliter in owninumerortm addend'. loco obfer*
uare deb emus’, ut quotiefcunque in ordimbus addendi* ont
ncsnot£ eiufmodiloci, circuitfu'.nnt: ft nullus mtmcrus
mntejitretentus, 2  o 402
quiline£ fubdatur:  to 301

fubfcrtbatur circu  3 q “7 o 3 ~

Ins.

Etjimiliter quotiefcunque in ordinibus addenda circuius
Cr nota fignijicans eiufdem loci faerint ; unllusque nume*
rusfupereR memoria relentu: qui fignificanu note ad*
datur: ilia ipfa nota /tgniji = 4052

cans ,/iue fupericris/iue in=  3 6  o 1

ferioris ordinis Jucrit , line£  7 6  5 3"*

fubjcribatur.

P r£terea quotiefcunque fuprdlinedmduflamplures funt
fupenorumordintm qudm injvriorm,loci, mt£iU£qu<e
fuperfunt,eifdemlocisfubli=  4321

neafubfcrtbi debent, quibus   _ * o

fupra lineam fteterunt . 433 1

Exemplumduorum ordmmpetanm:quoi ea omnid
contineat > qu£ fupra docuinnn id autem erit eiufmodu

LIBER I. l6

730058P.4

6  0  203  6  4 - 3

1332095 37

Quifquis bos duos numcros in unum compofitum csl,
uelmmte cogitct,uel uerbis cnuncict ca qu£ [equuntur*
P rimo loco in wftriori or dine reperiotria: addo ea ad
quatuor quo funt in fupcnorcordine, funt feptcm. ect
fub tinea dud a fubfcnbo primo loco. deindc tranfco ad
fecundum* rcperio inf'a quatuor, fuprd nouem,addo :
funt tredeam: qu<e quin duabtu notisfcnbineccffc cst:
primamfiguram, qu£ tria demonftrat ,[ub[cribo fccun=
do toco: alterm uero, qu£ unum reprsfentat, mcmorU
ier tenens prcgrcdicr ad tertian locum . vbiprimum
exoneransmemoriam . unum, quodmente tcneoadiungo
ad fix, q ui numer us inferior is ordmis primus occurrit,
funtfeptem- eaaddo ad otto, qu£ funt in [upcrionor*
dine. fic prodeunt quindccim . cr quoniam ea duabut no
tisfcribenda funt: primam tertio loco fubfcnbo,qtnnque.
alter am,qu£ unum indie at, feruans memoria tranfco ad
quartum locum  • V biprimum promens ex memoria unum
menteretentum, idadiungo ad tria,qu£ injvriori ordi*
ne[untfcnpta,fiuntquatuor . qu<eaddo adquinque infti
periori online, er fubfcnbo quarto loco nouem. Pergo
adquintum locumubi fuprd o 4  infracirculioccurrunt »
nihilhabeo quodaddam: atqueideo fubfcnbo circulum ,
fextoloco infra duo, fuprd circuits occurrunt : nihil ell

B 3

17 A RTl J S 7 P.

tut ddditn duo . fubfcribo duo . <tccedo<td feptimwm loa
cum . tbi infra circuits , fuprd tria f unt: mbit e ft infirm  .
quod adiungamad tria . fubfcribo tria ■ fifhno ad ofta*
mm  er poflremm locum , rcpcrto infrrafex: adiungo
adf :ptem qu<efuprd funt. exeunt tredecim is numcrus ,
qutaduabus nods fignandus eft: prtmam, nempe tria  ,
efiauo loco fubfcriboterdlutm, qua unumfignificat: aft
ttiftrd eiufdem loci qui poftremus eft ,pono. dtquc ltd fub
lined fkcio nonum locum.numcrus itdque fub lined, quern
duos fuprd linedm numeros dddentes, compofuimus, con*
tinet in uniuerfum : Centies tricies ter miUena miHid , du*
centd noucmmiUid , quingentdtrigmtdfeptem . qu£ de
duobus ordimbuscomponendis diximus: pene nobis injli*
tuendis fuffecerint,ftplurcs numeronm or dines in undni
fummamredigere uelimus » Verumut paucis prccipien
dis rent mdgis dperidmus . Multos  ordinesin unum colle•
dluri, numeros primus fedes occupantes primo colligere
fiedebemus: ut db mfirioribus ordtmbus incipientes ad
fuperiores dfeendamus:  er numertm ex ddditione reper
turn, ft primdriuserit,primo loco fub lined ponamus . Sin
ex dendrijsnumcr is dhquis filer it, circuits co loco fubfi*
gnetur.  er notd,qu£ denar item illm,f tcundm fuam de*
nomindtionem reprafentdre debet , memom commendd*
td fecundarimfcdium figuris ,fi infra centum numerut
filertt, dnnumeretur. Nam dlioquijimmemccntenari •
us, duteo mdior ufquead mtUefurget, utinmagnis addi
Uonibui nonnunquam euenit: emend ter tium locum, &

qua

L I BE R 1 . 18

qu fuperfunt deni, fecmdum occupent .Vtrmtdmen
uhi numcrm unm fedii ufqueddcetttum aut fuprd dfcen•
dit,cr non qu£ iUum figniftaturd eft, memoriter reten*
td,m tertium db Hid fede locum transferri debet : ne nobis
arci fccundi loci ddditioncm occupdtis ,obrepdtobliuio
numeriretenti,ftdtimeumfub lined pdulumfubtertio lo «
lodhcubinotemui: ut cuntdd lUumuenerimutiddmoned*
mur eumreliqui* f'ii loci numeric ddiungere . Stueronu *
mem ex primdrio ey denario contpojim erit: numems
primaries fub lined, fnbfcribatur : er dendriusmemorid
retenrn f xundum fudm denominationem fguris f xur.di
lociconnumeretur: ficut de duobui ordinibus eft fuprd
diftum  • Expedito fecundo loco id tertium tnnseundunt
eft : ©• itidem per omnid facicndum,quemadmodum in  /e«
cundo. Deindeddqudrtumlocum fimiliter pergendum:
V dcinceps id reliquos omnes: inquibus obferuentur  i
qu£ de fecundo loco diximus. Vbicunque dutem eandcm
fidem circitli aliqui cr not# fignificantcs occupant: circu
lit omifiis reliqu£ figure ftmul dddiu fub lined fuo loco
potuntur. QU£dtxunui magi*tUuftrdbunturfequenti•
bin exempli*:

B 4

1 o o 8 o p .5 ° o 8

E X H I S tot numeric untm cottetturus ,/ic cogi*
tabis tdcitus:uel (i maws, ucrbis enunciabis, pr.mo loco
prater circulos not£ reUqux otto conftimnt: tgiturfub
lined fcnbdntur otto . Secundus locus circulos habet,fub
linednotocirculum.Tertijloci nct£ pmer circulos ex*
primunt decern. unoigitur memoriter feruato pro den a*
rio numero , atque eoadiunttoadquarti loci figure ,fiunt
qumquagimd quinque, korum quinque jub lined quarto
loco notantur:  er quinque mente retenta qumti loci notis ,
qu£ circuits permixt£ funt ,aggrcgita factum nom m. ed
hneefubduntur. Sexto loco, quia circulifuntictrculus Its
tie£ fubijciuntur . Septimo loco not£ otvnes compofita
prodami centum z? otto ,fub[cribuntur itaque otto  ,

G'cen*

LIBER 1> ^

y ccnttndrij numcnnotd,in nor wrn loc-tt^qtii c onumcra
to {epnn.o,;eruMjb co cshfub linedTCponaidd ferudtur
(.>^lA^(i£y ppjircipoordinu,c}ui(uprd lined funt, loeoex
humcm cvUittisfurgiit nomgmta jiouo igitur memoris.
trd‘i(iatur. circuluf oti.tualoco repomtur.  N ono loco fab
lin it ex mentor id promo noucm db oflduoloco dclatd. ibi
yepenounm proccntendrij immennotd exfeptimo lo=
coantertconditum : qiue fimlddiunftdfiunt dcccm.nono
tguur loco circulum jubnoto,^- ab elite ft nifty d ununt de*
pcnfp.quoddccm um locum fiat.Numcrut iguur ex dddi
iwmfiit hnea.coUichu erit . Miflic* nullend mill'd, ctties,
tmUfiid Utd.nonagintdquinque mitlider ctlo. Ahudcx*
cmpiltpimiJ orum o, ditiicni n dgts mtricutumfubijcio  .

9  8 o 9 9 o o - 8

♦ * *
1007180102

B $

21

ARTIS S V P.

O M N E Sin hoc exemplo primi loci not a fimulmft*
centum  er duo conftituunt. duo fub lined primo loco feri »
bdntur . c r centenaries numem per unitatis notdmfcri «
bedut transferdtur in tertium locum. In fecundo loco, quia
nihil babes mfi circulos,fubnotetur cir cuius . Tertio loco,
quia omnesfiguro circuli funt : or mhtleft, quod add as  ad
tmum ex primo loco pro ccntenario numero translatum,
fubfcribatur unum. Quartus locus mftisfimul not is cen
turn contmet: quamobrem fubferibere oportetcirculwm :
er in tertium ab eo locum, qui quarto etiam connumerato
fextuseft:feruare reponendumunum.Quintus locus  ccn«
turn O’ oflo continet.fubnotentur oftojterum unum in tet
tium locum , qui fepamus eft a quinto connumerato,ferue*
tur. Sextus locus, quid not<e omnes funt circuli,unum ha*
bet fubfcriptum,ex quarto loco pro centenario numero
feruatum ■ Septimus locus quid multas habet notdf, repeto
primo a memorid unum,ex quinto loco pro ccntenario  n««
mero feruatum. adiungo rehquis em locifigurk,fiunt no*
nagintafeptem.ideofub lined fubferibo feptemferuans  no
uem memoriter. Demum ad oftauum o pofiremu fupra
line am locum proper ant: nouem ante reeondita iungo nu*
merit eius loci, furgunt centum. quamobrem circulum u*
num oftauo loco, dim k finijlra loco nono fub lined repo•
no: O' centenanj numeri notam in decimu locum, qui con
numerate oftauo ,abco tertius eft-.transfero. cotinet ante
bic numerus coaccruatus,Millies miUena miUia.feptics mil
tern miihd,centum ottinginta rniHia,centum er duo, .

IX

LIBER !i

QVI numerosnumerisaddereprompt* uelit,ante
omnia memorittr edifccredebef.qucs numeros procreent
fingulifub decern mrneri prtmarij, uelipfigemmati, uel
rdiquisprimarijsadmtti.Quod certe turnfcitujicileeft:
utpueriadhucimpubcresidfirmenon tgnorent. Verum
ft quis adco rujhceett educatus, ut id nefci.it : potent una
bora ,modo operam dare uelit,id edtfcere. Verbtgraria .
Houem cr noueni fucitmt deccm cr otto. nottcm cr otto,
decccr feptem. noucm cr jeptem cream fexdeam. nouem
Crfex,quindecim , nouem cr quinq;, quatucrdecim.no*
(tern cr qnatuor,tredecim.noucmcrtrta,duodccim‘ ncu£
tr duo,undccim.  D einde otto cr otto prcducunt fcxdc*
am.otto cr feptem, quindectm.otto cr [ex, quatuorde*
cim.otto cr quinq-,tredecim.ctto cr quatuor, duodeam.
otto cr tria,undecim.otto cr duo,dece. Rurfus feptecr
fcptc creantquatuordccim. fcpte cr fex,tredccim. fcpte
Cr quinfyducdecim.fepte cr quator, undccim. fcpte cr
tria,dece. feptecr duo.noue. Deinde fex cr fcx faciunt
duodccim.fexcr quinq;,undccim. fcx cr qudtuor,deccm-
fcxcr tria,nouem-fexcrduo,otto.Pratcrca quinquecr
quinq; producut dece , quinq ; cr quatuor,none, quinq; cT
tria, otto • quinty cr duo.fepte. Ad h&c quatuor cr qua*
tuor proceant otto. quatuor ey tria, feptem. quatuor cr
duo,fex.Dcniqtriacr triaconflituuntfcx.triacr duo,
quin^.duo cr duo,quatuor.  N am unum ad rehqucs nume
m adiungerepueri omnesinjantium cgrcfiifciunt . QU£
dixiim,jiguris notatafub oculii pcfitafequuntur .

8

LIBER I. 24

SI quis npudfefcrutnri uelit, cur hcec itnfebnbent-
Utdumpcr (i ngulcs locos not as  nddimust ensquxpropri
tmrijs computnmns:numerics tnmen fub linen colledus,
qiundo locis fun fignifcntio redditur  : rede in uniuer =
fmreffondent. mprompturntioeft. Nam quemndmof
dm in primo numernndi loco. primnrids noted, ft rede
copukt£ funt: timer id fub linen coUcdus continet: itn
neceffe eft, ut per fingulos locos figured omnes, fi rede
conmftx funt: numerics fub linen conceruntus exprimnt,
Etfiquis numerus, dum nddimid, memorin retentusfi lo¬
co ubi repertus eft: in nlium trnnsfirtur.id fit, quin mdior
eft, qunm uteoloco, quo nut us eft, repom debuerit:  or
qiundo in fum locum redetrnnslntm eft: uelutiUm lo=
ci foetid numeratur  . Ad hitecum  per omnes quidcmlo*
cos figur drum fbmtu endemfit,figmficntioueropro nu*
gmento loci longe diuerfa  : denominntionem tnmenomnes
4 primo loco rectpiunf.ut quot illic unitntes fingulce re*
pr£jentant: totidem fecundo loco dennttertio eentenn :
quartomiUenmcrfie deinceps,exprimnnt, Qunndoigis
turfing’dis numermm fedibtd . numerum ibi colic dum,
fublmen fubijcimid : endemper omnesfedcsrntio cft:qu£
de primo loco.ut ficut ibi omnes numeros numerus fub lie
net iocnttd continet ; itn in omnibus locis colledos nume*
rosreprnfenfet . E t cumomniumloconm notcedenomi*
vttioncm n primo loco mutuentur: figmfientionem nutem
duurfm finguli loci f cppeditet : numeros fub linen code*
fius totidef kUo  loco derut;tertio cetetin: quarto millemt -

£5 ARTIS  S?P‘

Cr ftc deinetps,nobis denominabit'.quot unit dies toeorutH
i Uoru not£,(iprimo loco fuiffetit pofitit, reeprafentaret*
SI SCIRE cupis,anreftenumeroscoUegeristnu
trerorum additioncm rede fattum effe , perdeAudio*
nemprobabis. Itaque ft poftquam numerorum addito*
rum ordinemaliquemd fumma coaccruata deduces: reli*
quorum ordinum non dedudorum fumma exdedudione
furget: tunc in addendo mhil cfl erratum. Nam cum pari
tes coplures ad cuiusuis ret compofitio a  < i
lie coemf.fi qua ear u fold fublataerit,  , ^ z

catem rcmanereneceffe eft. Id mani  «
fejlius fiet : cu de dedudioe pretcepta JZ 2. 1
dederimuf.ad qua nunc properamm,  4 5 3

ET QVONIAM nulla ratio eft:queuarianurtt
tnifmatum genera nonhabeat : alia plumprecij.alia utlio
risiideoad turn uariorum additioncm faciendum, fingui
Us  er mmmorum  er fummarum genenbus fur claffes
in abaco defignanda fmt: ut unaquaquefiue fumma fiue
pecunia, quo maior eft dlijs, magis finiflrdm occupet:
quo uilior , magis dextram . Veluti ji in mam fummam
colhgendi fint aurei , uakntcs fingult denarios uicenos
quinos:denarif,ualente$/inguli  4  nummosfeftertios: fc*
ftertij, ualentes Jinguh duos affes  er femiffem: cutufmodi
fient uetcra nummifmatdRomana: aurei fimflram occu*
pent . denarij in dextram uergentes, medium locum tene*
antfeficrtij uero dextram. Deindc genera bate tarn uaria
additum , aprima claffe dextra feftertiorum inctpe : nu»

£ 1 B E K t* 26

toerosqueomncs coUigens,atque ohferUdns, quotquater*
tietrij repcriuntur:/tquis numemexcurrit: quiquater *
narim non perfcit:iUm ibifubfignato .ipfos autem qua
ternariosmemoriatenens transfer in proxmamdenano•
rum chfjem . continuoqut memoriam exonerans  , er de*
tunas illtc repertos eis adiungens, per omnes ipfius clafiit
numeros difcurre: atque ammaduerte :quot uiceniqumi
pint obuij. nurnerm autem excurrentem , qui  25  non
implctubidepomto.  At uiceniquinimemorid reconditi,
inproximam aureoru claffem transferantur, cum tUispri
mm computandi . er numem omnim coUcfiut ithcfub
notctur. Itidem ft inquauis alianationeaurei,denarij,
tiummi uiliorcs ilhm regionis fupputandi funt: eodentnto
do curdndwm: ut Jingulis fuaclafik detur . Viam tantrn
monftrdmiK. cetera facile dabitfrequensexercitatio.
^xeniplwm ante oculos flxttandu hie fubnotauimus: quod
quiuis facile fine preeunte explicubit:

A urei Denari} Seflertij

9  o 4 15 6

243 16  8

_2 _7_5_ 1  9  9

* 3^4  5 3

t>E SVBDVCTIONE.

VB D V C TIO numerorum eft minoris numtri  3
mem:ud equate ah equalifubtrattio. Hancau*

27 ARTIS S V P.

tem eandem , ueldedhfttonem, uel fubtr actionem dppclta*
re Latinc licet . V fas em eftta toco fubducia parte, relit
quant totius .partem cognofcerety ut apertuu dicamus
duobus propofiii-s numeric, alter urn ab altero demere: ut
tudeatur quid/it rcbquuraty quantum alter alteram fu*
peret-Verbt gratia, f me duos numeros, alterurn feptent,
alterum tria. ft a fepiem tria deduca/r.rchqua funt quatu>■■
or. totidem ttaque umtatibus tria fuperantur.  in fubdu-
ftionc necejfe ommrto eft ,ut duo fint numerorum or die
tics: alter a quo fieri debet deduftio : alter,qui fummant
dcducetidam contmeat . Oportetautem fempir uel mno*
rent fmmamdmaiore ,uel equalem ab aqtuli fubduce «
re. nam maiormdminore fib rahere contra rerunt na*
turam eft .  QM' de computandi fcripfcrunt arte a ana
precept a de fubducendis numeris dederunt -.quorum alij
ttonnunquammmm propofitmotas inter fub rahendum
putauerunt ejje delendas. Alijlongis ambagb.uobfcuri
quedam docucrunt tut pene diffiedm non effet numeros
diuidere,quant deducere . Que dmn legeremus: y  toe
rum probaremus mhtl: quod uel tortuofos baberent an»
fraftus: uel multis lituris figuras confit  i derent: dtu muU
tumfi inuefttgantes, liquid apertius muenire pojjemust
tddem loannts Gartbt pbtlofophi eruditifitmi atque in  A=
ritbntetica longe peritifiimi auxilio ,longe fnciUimam y
certifiimim uiam in fubducendis numeris muenimus: qua
certe numerics ontnis quantimuis magnus, quanttmuis
intriatus, mmtttibw tiotis mmrfis, nuUo negocio fub=

duct pa*

ARTIS SVF, 28

iucipoteft. Etne multaexpeftationc le flown torques
intti : ea fubducendt ratio eft ciufmodt . •'

Wfiqu.im maior numerus, a quo fieri debetdcdafliofu*
pr< i: er minor numerus, qui deducendus eft: infra itd fcria
betur: utlocinumerorum locis rejfondeant:primi piris
mis, fecundi fecundis, tertij tertijs,z? fiedeinceps:hnca»
que fab ambobus miner is 4  leuA in dextrdm perdufla  e«

’nt ificutin numerorum additione fuprd docuimus: turn
adextraparte, ubiminiminumerilocati funti inctpientes
aprimoloco,pnmim numerum inferior is ordmis a prin
tno ftiperiore ,fi tUe ipfe fuperior maior fitcrit : 7

fubducmut: er quod ex deduflione reperietur:  3

fub line*  prime loco ponamus  • 4

Si uero numerics inferior fuperiore maior erit: Utah code
ducinon  pofiitituncfuperiori numero decern memoriter
adiungamus, computdntes f uperiorem ilium minorem nus
tnerum uelnt ex primario  ©r denario numcro compofi*
turn :crab eoficauflo maior em numerum inferior em de
ducamus,Exempli gratia,fuperior numem cfto,tria, tnfe
riornoue.nemo deducerc nouem a tribus pete ft, ad true
igiturmente adiungamus decern : cr nouem dtredectmau
[trams : turn quatuor fuperfunt. is eft nu=  1 5

imrus, quern requinmws ; qui fub lined lo* p
c:tto\ ' 4

Qwod fifuperior ordo circulim baleat: ut inferior nu*
merits quantulusmcp fuerit tab so dm non pofiit: lUrnt

C

2 P .ART I S

ip/tfW c trculm pro decern memoriter numer emits : &  J
co inferior em notm, qu£ femper denim numero minor
eritrfuffrdmui v Exempli gmia.Jit circulut fuprd, infrt
. feptem > fieri nonpoteft, ut feptem k ttihilo de*= o
duumtts. circuhm igiturpro decern dnimo co* y
putemuccr k decern[ubduemut feptem . reli- ff~
qud aunt irk.

Quotiefcunque dutem denario numero memoriter ddia
flo,fuperiorem numertmuiugebimuf: ut inferior quim*
ior eft, db co demi pofitt: tones per on.nes numerorim  lo
cos,unm dd fequentis loci mjeriorem numerum , e uefti•
gio memoriter addcmus,illumque ipftrn  4 o

ddiettdunitdteficduftum, kfupcnore 2 y

cites loci numero, ft mdior fit : fubduce-  3

nmet: quod reliquuerit,eo ipfo locofub
lined reponemuitunde id fubtraxtmus,

, sin minor erit Mm locinmerwsfupcrior, qukmut dbto
, demi pofiit numerwt inferior unitdte  240
tUd rmd us: rurfus dendrio numero dd  15 7

. tetfo dugedtur numem die fuperior : g 5 ~

ut inferior dbeofubducipofit.
idqus per omnes numerorm tocos femper  eft obferudn*
dim.Sic primoloco expedito,dd fccundum tranfeundum:
ubi peromnid faciendum eft itidem: ut in primo. sic aim
dd tertian, quartern, ulteriorcmue locum ttenttm criti
cddemperpetuo per utndd funt .

AT SI quibmis numerorm fedibus in inferiori

demett*

3

o

1

l

T  1

IIBU^J 3 6

icmendo numcro circulm, in fuperiore dutem, 4 quo fit
fubdufito nota /ignificans reperiatur: fi nihil d priori to*
to propter denarium numerum rnutuo ^
fumptum memoria retent am ertt,quod  ^

deduct debeat ; ttumerui tile fupertor—q
integer fubfcribetur
Qudndouero inutrcq; numercrum or dine cir cuiusnobit
occurrct : jinihil ex manorta pro=  4  o 2

nnpotesl, quod fubfcribatur: fub*  3  o i v

tiotctur circulm . “ o 1  •

Vbicunque dutem in quouis nmerorum loco numerus in
firtor fuperiori tequalis erit: ctm nihil fit rcl iqutm tfub*
fcribaturcirculus:pr£terquam poflremo loco . ibt emmfi
numerics [ubducendus ei par fit, a quofit[ultra ftio: nihil
omnino fubnotaridebct,quia tunc per cetera per aflat efl
fubduflio. cr circu »

iasi't numeric pcflrc- \ A. \ ^2

mum locii occupare - -—1  _ ^-

nunquam potesl. too
Quod/ifuperior mmcronm ordo numeris aliquot &•
notiunfertorm tranfcendat: poftquam inferior is ordi<*
ttisnumeros omnes a fuperiore fubduximus : qutcquid de
fuperioreordinereliquumerit,eifdemlociscr nods fub
bnea numeris rdifits adiun* 6 .4  7

gatur.quibus fupralineam _ 2  3

{hoo  rdintftetitf  0524

C 2

l

2 _t

2  O

3* LIBER 1.

Nunc exempli pctmus : qua uim demonftratam clarim
dlujlrent

; 5  7  2 9  5 4 9 o

4S7<^5 2 P7

♦ *

8 5 3 o i p 3

QV IS Q.V IS <t quinquagies fcpticsmiHenit
miUibui,ducentisnonaginta quinque miUtbut, quadrin*
gentknoMgmti, fubducere cupit, quadragies o flics mil*
lenamiUia ,feptingentafexaginta quinque mittiu, duccn*
tanonaginta jeptcmJiJfofttis not drum ordinibus, lmeaq }
duftateiufmediquafequumur, tacitiufecum confyderet;
a primis aufftcando nmerorim fedibus, Septem d circa
to fubducere non poffum .computo igitur circulum pro
decern, o* decern demo feptem,fuper funttrid.ea fubli*
neu locantur, Tranfeo adfccundam fedem. numerm mfi*
rior fubduccndui occurrit, nouem, huic utium addo : quia
ad circulum in primo loco ajjumpfidecern, crpro decent
computo. ca d nouem demere non pojjitm .mutuor igitur
alia decern to addens ea fuperioribtu nouem, computo
decern o nouem .dquibut deduco decern, reliqua funt
nouem, quafubferibo.  p ergo ad tertium locum: ubi quia
in priorefede fum deeem mutuatm : mum adiungo ad
ttumerum inferior cm, nempe, duo ■ o funt trta,ea fub
ducoaquatuor,qua fupra funt.reliquum eft unum»id
fubfertbo.  P rogredior ad quartum locum , numerws u*
terque quinque coniinet, O'quia alter alterum exhait*

LIBER 1. 3*

fit:nihilerit rehquum. pono tgiturfub lined circulm .
Quinto loco fex  4 nouemfubtrabo . trid rclinquuntltrz
que lined fubijcio . Sexto loco , quid feptem d dtiobus dca
minonpoffunt: dffumptisdd eudecem, fiunt duodedm .
4 quibus dujero feptem,  er quinque fuperfunt: qi<£ linte
fubdo. Septimoloco quid io in priori fede [ummutud*
tus: inferior an numcr urn,otto, uno dugeo, o~ none coni
puto  • cd,quid a  feptem auferre non poffum : adfeptem df»
fumptn decernJfeptemdectm duftronouem. rehqudmd*
neat otto.ci fub lined depono.  P ropero dd poflrcmuffi lo
cumiquomemorid dffvrt unuiquia tx fuperiorc fede fum »
pti funt decern mutud-eo dd inferiorem numerwm qudtera
Mriumiiunflo,fiunt quinque. quibutd quinque fuperiorU
bindemptis, nihil fuperett rehquum , nihdigituromninQ
fubfcnbitur.tumqmd fubduttio umpcrdttdcft: turn quu
po&rimus locus circulim nunqudtn cipit , Rehquum igia
turfuperioris numeri,d quo inferiorem fubduximmfub h=
nedrcperictur , Otties milleiu miUid, quingentd triginid
tniUidycentum nondginta trid. iterum dliudexemplim phi
rum locorum mdgis impeditm pommut.
loo 0081007x0 o
4-8  4 . o 5 7 4 3  o 08 7

5x60235270x3

Vritno loco,quidfuprd feptem esl circulm, dffumdntur
decem:<i quibm feptem deduttis.trid fuperfunt, Secundo
loco ocewmt otto :qu* unit Ate <x memorid dugentur:

c 3

# ARTIS S V P*

CT fiuntnoucnt.fi edit decern dd circulum dffumptis fub*
trdbdntur.reminet unitm. Tcrtiolocounum fuprd,infra
fir cuius efl,unumcxmemom promitur : quod fupcnus
cxhaurit quia nihil fupereft: fubfcnbemus arculum,

Quirto loco, quia inform circulus eft ; fupcnus jtp=
tem  : it quibus nihil eft , quod fubducamus ipfu fcptcnt
fubfcribuntur. Quintoloco, quid otto a circulo dcmi lied
queunt : a decern qu£ mutudmur,ed deducim'us. duo re*
ft ant . Sexto loco, ad quatuor qu£ infra funt: unum addU
tints ex priore fede memorid fubminiftrantc : qu£ ftmul
tiddita fubducimus d decern ad circulum fuperiorem <tf*
fumptts ,remanent quinque. Scptimo loco, feptem unoau*
ttd, quid ab mo demi nequeunt: db undecim tcUuntur,
fumptts decern, trid [ubnotamus. Ottauo loco, quinque
qu£ funt infra ,una ex priore fede delato ,dugemus:&fix
ab ottofubtrahimus. duo manent reliqua . N ono loco fu*
prdCrinjrdcirculus eft, igitur fub lined penitur ctnu*
lus. Decimoloco,fublatis quatuor a decern, quiaacirculo
nequeunt eximi.fex fubfignanda funt.Vndccimo loco,
ctto,qu<e inform funt umoin memorix recondito auge*
Hi us.nouem,  quia a circulo non poffumus: it deccm de*
ducimus- fiemummanet reliquum. Buodecimolocopra
mimus mum ex memoria: qt  addimus ad quatuor. qu£,
quia fuprit circulus efttauforimm it decent:  er quinque no*
bis fuperfunt. ed fub lined deponimus. cr quoniam untisn
adhuc fupere ft mente recanditumtquodunitdtcm ittam f
pc Horn ordinh pcflremm exhmit; circulus fubferibi

debereti

LIBER f*

! Heberei.ritfipoftremus effet locus,quieum noncdpit, igfit
tur mbit omphus dpponitur.quii perottum eft opus.  Rt»
i liqui fummoeft.Qumgcnties fedeciesmillies rmllend mil*
ItiyUicks ter miUeno nnUk,qmngeto uiginti feptem mtllk,
cy trcdccim. Si quis expedite fine ullo mora numeros ueht
f ibducere: primu mcmoriter edifcot, quanta cut rcliquit
l ft fingulitrmertprin!drij,m;norcs d moionbusfubducan*
tur.ii quod pueri pleriq; omnes tenent. ey rtirfus quid fu*
ptrerif.finumertfunphces, mioresominortbuscum de*
mrio numero infra uiginti copuldtis fuermtfubdutti .

Et quemadmodum in additione prscepimus in primii, in
memorio recondendum effe ,quos numeros procreorent
finguli nmeri primary ftbiptuiccm copuldti: Hit hie e cott
uerfo  p erneccffxrium putmus : ut expedite quis teneat :
quosrelinqudnt numeros fingulimmeri prinurij , ucl in•
uicem d fefubdutti,ucl d procreotis per fui odditionemm•
merit extrotti ■ Quodft quisignorot: unites hors labor ,
tnodo intentus fit animus-.idfuppeditabit . Verbi gra*
tia , decern a. decern ey nouem deduttis, fuperfunt noaem.
nouem a decern ey otto demptis , reliquopint nouem.no*
ucm d feptcmdecim[ublatis, monent otto, (inouem tcllot
i fexdecim , remanent feptem. ji nouem demos a quinde *
dm, refloat fex./i nouem ouferos a quotuordccim, fuperc
eruntquinque. nouem exempt is d trcdccim, quotuor r*
lifla funt. Siuero nouem exirahas d duodecim, trio re*
mtnelunt. kb undecim fublatis nouem, duo fupercffe pi*
iitti eft , Deinde otto it feptemdccim tottantur,notiem re*

ARTIS SVP,

mntbuHt, Ofto demantur a fexdecim, ofto rdinquun*
tur. ofto fibducantur 4 quindecimj:ptem erunt rdiqua,
oftoauferantur 4 quatuor decun ,fex adhuc fuperfunt. Si
oftodeducas 4 tredecim,quinque manent. Si ofto k duode*
cm extrabas , quatuor exifiunt reliqua. Si ofto ioUas d
undecim,tria funt reliqua. Rurfus feptem k fexdecim tcb
If , noitsm deprkhendes .Septan dufcrk qumdccim,o.fto
reperies . Septan fubtrabe k quatuordecim, uidebis fu *
pereffe feptem. Septcm dome ktredecim,fexinuenics. Se~
ptem a  duodecim demptis, quinque fuperfunt  • Septan ab
undecim fublatis, quatuor relifta funt. lamfexkquinde*
dm dempta, nouem rclinquunt. Sex k quatuordecim fub «
duftis,fuperfunt ofto. Dane fexk tredecim, remanebunt
feptem. tolle fex 4 duodecim: reliqua erunt fex, kufer feX
ab undecim'. quinque tamen fuperfunt,  Age , ft quinque &
quatuordecim fubduxem; nouem fupereffeinuenies  . Si
quinque 4 tredecim toilets: ofto deprthendes. Si quinque
4  duodecim demos : reperies feptem. Si quinque ab unden
dm[ubducits: rdiqua (runt f :x. lam uero,(iquatuor k tre
decim deducantur: relmquentur nouem ■ Si quatuor tottatin
tur a duodecim: ofto remanebunt. Si qudtuor ab undecim
auferantur: feptemerunt rdiqua. Rurfus triademantur
4 duodecim: nouem nobis oceurrunt. Subducantur tria
kb undecim: oftofefe ofjvrwt. Dcnique duo fublataab
undecim nobis rclinquunt nouem.

„ H£c, qu<e pluribus uerbis edocuimuf:fguris annoti*
tifub oculis[ubtccimut.,

L I B E R


T


> 19 18 17 kTi-T  141? n y

■■■I  — 1 1 ^ 1. ' . —l I  '

5 >
8

73W

1

7

16  15

8  ‘
8

7 ? 1 /

8

*4

£

7  6

14

6 ^

8

>4

5

9

4

IZ

£

3

IZ

1

4

II

j>_

2,

77

8

T

11

7

4 -

11

£_

11

5

6

II

4

_ 7 '

ill.

8

•i

; v\

7.-S
m
.iofli'5

7

6 *

f

|


C /*'

ft  ARTIS S 7 Pi

MVLiJ1,qui dc fubirdttione dntchdc fcripferunt?
pr&ifiknf.quoties mmrmmioiist dliquanumcroru/m
fed^cjgdficcndme&, qu'imis d’quo deducidebeat;lidttnt
db ilftrforj loco proximodecem cffc pet end*: ddendmq;
tfftnotdm. undcfucruntpetita:cr dlumimitatemmo=
feiqlocorepenenim , Quodficircuhfintmedif. in
letjp omhes 'em dclendo:: O' eorum loco figurds nouena*

“pponendds. Sin unitdi fttfgura, qute decent comma
dd&: mm in eirculum mutdndm . El quid non inutile ad
mukderitqu£dliprodunt cogno- Z  p to 10

fccrc: qitatnuis priorcs delcunt no f  o' i o'

tas : eorum exsir.plaffgurif anno* till
tdidfubiccimut . i s p p

Humerus fuperior d quo dedudio fieri debeat,/ignetur.
trid miUtd  er decern. inferior, triitle centum  er undecim .
Principio quia unum d circulo non pofjimt deducere, dc*
tern dfecunio loco fumunt: ofigurd unit at is ibi delctdi
eirculum reponunt .abiUisdecern exempto uno,nouem fu
perfunt. Secundo loco, quid unum a circulo fubduccre
non licet: ey ter tilts itidem locus eirculum habet ex qudr*
to tbco , ubi trid notdtd funt, decern petunt:  er pro nota
tcrnari4,quam detent: binaridm ibi reponunt : circulumcfc
tertij loci medium in figuum nouendridm mutdnt. Dein•
deunum fccundo loco extrdbunt d decern: erfub lined re*
ponunt nouem . Tertio loco unum dufirunt d nouem. tnd*
nent ofto . Qtjdrfo loco unum d duobus deducunt.  er
atm, quod eft rcliquunt,fub  Imealocdrrt 1  Hecdcducen*

din i4

I I B E ft I * '

di uid quanquam certa eft, c? memoriamferuandis uni*
tanbm non oner a t : numeri tamen maioris , a quo fit dedu
dio notasconfimdit :utji cm propter errorem in fubdu*
co-do admijfum repetendum ejJet oput: numerum primo
datum agnofccre non poffet . Alij, quoticsnumerus,fub*
ducendus maior eo eft,a quo fitfubtudio: prsciplunt in*
feriorts numeri diftantia a  denar to, ad fupenorem, d quo
fieri debet dedudio, dddi : cr numerum ex additione did
protreatum line£ fnbdi . Ef quandocunquc diftafitidm ae
cipiunt: femper fubtrahend£ proxinue figure unitdtcm
mente reconditam addunt. ut ilia notd fic and a dcducatur
ah ea, qutefupra earn pofita eft ■ idq; per omnes numero*
rum locos jeruant .lit fi feptem dquatucr ejjent demendai
quia feptem  <i decern per irk diftant : tria ad quatuor ad*
duiuifeptcmque/icprocreatafubfcribunt.  3 4

& unum mente feruatum in proximi loci 9 7

numerum inferior e,qui ducendus eft: trans-  "

fount.  '

Si uero not a: cui addendum eft unum memoria retentum i
nouenariafueric. uno auda fit decern:&■ nihil a decern di »
ftaf.numerum fupra uerticem pcfnum, a quofiujfiet ftd<t
uedadio: integrum fubfcribunt.ut ft noucm fecundoloco.
qmbus unities txprimo locoferuata addenda eftifubdiicett
da ejfeqt  ;i tr/bus in fupmore crime poptk •jqtddimm
uno auda punt dccemxt nulla cjldiftatt  3 4

tfa,quacapipoftit : triaquefuprauer* 9  7

timfmt'-fub lined repomnt  2 7

3$> ARTIS SVP,

Sin figurdcuidddendd eft unites: fit circu*  2  4

fits: cum nihiifit c ui ddddtur : earn ipfdmd  o 7
fuperiore figurd auferwit.cr reltqumfub * ~1  7”
tiot4ht»

Si uerofuprd ttkm cir cuius fif.no  204,

, qice diftdtid eft d decern Imee  o 7
fubdunt . ’ p 7

Vbicunquc uero fuperior notd circulus eft: inferior ftgurd
fignifiedns: diftdntidm inferior is d decern 1 o
fubfenbunt . ut fi duo k circulo deduci  2

dcbcdnf.quid duo d dece per ofto dfiant  3 ~

eftofubfenbuntur.

Cdtcrd qu<e tridunt , cum bis omnino eonfentiunt: qu&
nos [uprd.pr£ccpimus . Hie quoque fubducendi modus:
qudmuis neminem fkttdt: tdmen dum frequenter ducupd•
murdiftdntidm:dimedminuentdmdd fuperiorem nume
rimdddimusdiunosmordtur, cr-peneplusde ddduionc
qukm de fubtrdftionereftrt.Qudmobrcmuid  per nos fu•
prdtrdditdmdgiserit fequendd: qua cm fit certiftimd,
turn longc ceteris eft cr breuior, O’ expeditior : nec uU
{dm duftrt fubducenti mordm > notes quoque primus rc*
liftquitjemper intdftds :utficuipropter errorem in fub «
ttfkcndo ddmiffum, repetendum effet opus: primus num
mcrysdntcoculosprefto illimdttedt . Quodfiquisinue•
ftigire pergdt • qudre quoties decern db dliqud mmeroa
rum fede mutudmuritoties dd inftriorem fequentis loci
'  ~ timer m,

miner urn , qui deduct debeat: mum dddamus : cum prim*
facie cuius uideri pofiit: umtotcmiUamad fuperiorcm fe*
quchtis loci numerum, a quo fit fubtrattio', potm <tddi
debere . Ne pr£cepta dare utdeamur: quorum lettoritton
confiet ratio: caufam apcriemm : cur ltd fieri neceffefit .
SUtw omii mmeriu ultra primwm locum uel numeros
ienaricscontinet: uel ex denarijs ccHeflos-unde cum itt
aliquo numerorum loco maior occurrit notd in ordineitia
feriori, quant qu£ ex minori fuperioris or dints deduct
pofiit: neceffe ejl fuperioremordinem ab ulteriori aliqua
mmcrorum fcde earn rnimcrm mutuari, qui fufftcerc
pcfiit. is autem erit denarius a proxima ulteriori claffe pea
titus: quiiunflusad minorem ilium printarium fuperioa
risordtnis numerum , ad cuius accer/itur auxilum: ma*
gnitudinem fnperabit illrn maior is numeri : qui priusi
mmorinonpotuitfubduci . Quocirca cumdenariMidlis
q-tem numerum abulterior fedepetimus,iUiusnotam fe a
cunium pr£ccptionem no&rdm ibi relinqueritis intd*
flam: ft nihil ad inferior em ittms loci figuram , unde decent
fumpfimus: adderemus : quoddenarij numeri commodaa
tinotam adhuc reflantcm cxhauriret ; decern ibireduna
iirent: qu£ ante memoriter fuijfcnt lUinc deprompta  .
Qutmobrcm, ut ilia decent fumpta mutuo, quorum dd*
hue fgurq nihil mutatd ibi manet : cum ad ilium locum uett
turn erit, exbdurimus :unitatemfenipcr ad feeftientid loci
inferior em numerum: qui fubducendus eft, dddinntstquat
numerum detiarim ibi redundantemfubduegt  ♦ M«

‘41 A R T 1 S S  V P,

(jiic per,prunes numerorumfcdcs: quoties decern u:Ul
circuhm,ueUdalimprimariumaffumimut.

Si quit experiri uulc, an rede fubdudio field fi'{ id quad
fummarcliquumeft, ad nmxrmrttradm aWdtf ct
fiexlUanumcrorum adiundionenutor numerut, a quo
tmnoremfubduximm. iterum furgetttm ncccjf eft fub*
tradionem rede peradam efje. Quod ft ahum numcrum,
qmm eum  4  quo print minor cm dbftulimut: additio HU
producet : errorem calculi interueniffe palam eft • Nam
quemadmodum totrn omnibus fuis partibut feiundispar
eft: ita partes omnes compofts fuo toto f unt pares .

Cum itaque maior nUmerut tones  4 quo fubdudio fida
eftminorem, qui fubtradus eft, <y reliqum quod [u*
pereft , partes fuathabeat: risque par ft: fieri non po*
teft,quin partes ilU rurfus compofine fuum totum, id eft,
primitm numcrum,a quo minorem abftulimuttdenuo pro *
creent.  Et fipartes iHefmulpofu alium numerurn crc
ent terror mamfiliut eft . nam omnes partes coded at 4
fuo toto difiidcre, rerum natura non patitur. Vfum au*
tefubdudionit ejfe tarn antediximut,utindicet quid ft re
liquum: ey quantum maior numerut minorem fuperet.
Quod qttum pratcepta , que tradidimut: imentum file a
tft; fimul deprathenfum ent, quantum ipf numeri interfe
diflabunt . Nam quantum alter numerut alterum fhper4
bit: tantum  inter fe diftare comperienturt ut quot unitati*
bus minordmaiori fuperatusfuerit{quod femper ipfunt
reliqum indicabit) tot idem dtftent, Verbi gratia , fume

4 t I B El f. 42

duosnumeros,alterum feptem.alterum trid.demetridd ft
ptem,reliqudfunt quatuor.fcptem cnim iriafuperdntquA
tuor mitatibus.dijlant igitur inter fe totidem.Quodfi du
os numeros lequalesfumas : e ralterum demos <tb altero:
quia  nihil erit reliquum: mhil inter fedifiabunt. Udque ft
per fer atari udis: quintum duo qmuis nutneri inter fe diftA
bunt : poftquom altero ab altero fibduflo, comperifti xt»
liquum: utid operodiffirentiamdeprxhendifii.

QVOD  SI  uarijgenerisnumeri fttbducendifuttt:-
deferiptis in fuas clajfes,ut in additwne diximis: eortmt ge
neribus: uelutidureis udlentibusfirigulis denetrios 2 q.de
nanjsualentibus fingulis fefterttos  4. feflertijs udkntt *
busfingulis duos affes  er femtjfem cuiufmodi funt uetera
nummifmata Romano : numerorum fubduttio d dextrd fu
mat  initium: fubtrahanturque numeri pnm<e numerorum
elafismjirwrcsd fuperioribur. ftidjieripotefl . Co tern
rumfi id fieri nequitt'a proximo denariorum clojfe [urn*
plus mum denarius, &in  4. fefiertios refoltitus, numc*
rum fcftertiorum fuperioris numeri dugeat: uttumde•
mum infiricris fubduttionifufficiat.  er quolics Humerut,
tthquis mutuo fumetur : tones ad dafiisfcquentis.proxi*
mum miner urn fubducendum, unitas efi addenda. Stmt  fe
te: ftdenariorumnumerosfubducenduimaior fit, quant
utd fupcrioredcmipofiit tauretim mutuum a proximo-fa
tuftra clafjepetamus l utisindenanos  25. refplutus ■,
\nerum denariorum dquibus fiet fubdufiio  : dugeat,  oe,
««(K M 1 lUm claffem uentrn erit ; ad nwtrum proxj*

43

ARTIS S V P.

mumfubducendim unitdtem ddiungdmus . Itidemfldtde
qutbitscunqueudrijs numifmdtum generibm, cuiuufuis tut
tionisJubducendis.Veluti dureis,dendrijs  er nwmmisui•
kortbttt.  E xemplum bic fubuotduimus: quod folia facile ft
tiejpneemte explicubis.

Aurei Dautrij Seftertij
i 12  3 I 2 2

_ _ 4 5 6  i ^ 3

6 6 6  x p j

DE MVLTlPLICATIONE»

VLTIPLICATIO numerorm e& uniutitt

alterum dudu tertij numeri maioris procredtio:
qui totics numerum multiphcdtm continent: quotas nu*
Meritsmultiplicdnscapitunitdtem.  E tut apertius dicdm
mus. Numerorwm mulplicdtio efl mdioris numeri proa
tredtio per dlicuius numeri ddfeipfim frequentem dccu*
muldtionem,crebrdm'q- ddditionem toties repetitam, quo»
ties numeric multiplicdns continet unitdtem, Vfus cm
non modo Aflrologis pro redudione fignorwm dd grd*
dus,grdduum ud minutd,minutorim dd dimidid,cr fic de
inceps : uerum ctidm dduitdm humdiumdegenddm met
Cdtoribus, & omnium bominim conditiom pernecefft•
rhtieft. Verbigrdtid• Si quis centum triticimodios , de•
tern ttummis unumquenque :dut centum uini dolid, decent
jureis finguld, emit: er fcire cupit,quid ei, pro uniuerfit
foiuendm . in multiplicdtione perdgendd tres omnia

now*

L IftER f* 44

Hommeri requiruntur.  P rimum numerus multiplied**
dmquern  per ahum multiplicare deftinams-Deinde nu*
tr,cm multipliers, qui toties am numerum, quern mul*
tiplicarc decreutms, cothgat : quoties in fe ipfo conduct
unitatem . N M autem reftrt, an minor numerus multi*
pltcet miiorem, an e comerfo minorem maior . Nam ex
eorum mutuo in fe duftu idem utrobiquenumerus fem•
perfurget . Sicutterfeptem ,crfepttes trid eundemnu*
nterum creant;ficilior tamen longe muldplicandi modus
eft : cum numemminor multiplicands partes occupatz
V numerus maior muldplicandi: quam cm contra fit .
Tertis numerus, quern requirimus: ex numeri multiple
cands m ewm,qui multiplicands eft: duflu,uelut ambo*
rum foetus procreatur, per multiplications nobis inuefti*
gandus, timers is,quimultip’icaf.ab eo, quern muldpli
care uolums ; eo dittofeitur • quod numerus muldplicans
per aduerbium femper exprimitur: tnuldplicads autem
per nomen. utifi ter feptem dies, ternarias numers mui
tiplieds eft.feptenams multiplicands, lllud in primis a*
tu maduertendu eftiVim nee feipfum neq; alirn numerti
touldplicare. Nempe femel mum mbil eft mfi unum  „
quatuor femel nihil amplis funt,quam quatuor.Et ut (x*
citlima quicque primum expediams. Si quis aliquem nu*
toermt per decern multiplicare uelit. unum folumcircu*
htmddtxtraeipr£ponat:quifequentemmmerumauge*
bit  in decuplum. Si numerum quemuis per centum multi*
plicdre  Molej, duos a dextrapraponeei circulos :erttu»

45 ARTIS JVP.

merits,qui fequitur,dugebitur in centuplum-Sin per miU
le numcrti quemhbet multiplicdre cupimus. tribus a dex*
tra ddieftis circuits,dudus eft in rmUccuplum. Atfytti*
demfiquis per earn numerwm, quern aliquis qunntimuii
ulterior numerorum locus ftgnificdtidhtm numeru ml
tiplicdredefhndtiis totide cidcm ddfcribescirculos,quot
locum iUum repreefentare poffunt: multiphcdtionem db
foluet,

Principio dd numeros omncsexpedite multip!icZdos,no
pdrum nobis conducetjn memoria reconditum habere:
quern numcrunt(inguli printdrij injrd decent,dm in dli*
urn dudt procreent : id quod ex numerorum uelut in td*
bull depidorutn quad dm defcrtptione facile depr rehen*
dipoteft.Ed dutemeft huiufmodi. k finiftrddbuno inci
piens,ac ndturdli numerorum ferie indextram progre*
diens,fingulos primaries ufqtie ad decern, modic'is inter*
uallisfcribe.Deindeabilloipfounodd (iniftram pefito,
uelut aquorfdm tiertice, itcrim incipient, eandemnume*
rorum feriem deorfm uerfus tendenio,modicis  cr pa*
nbus interuaUis difhngue.Rngidosque primurios ufcp dd
decent it a fcribe-.ut numerorum utrdqueferies uelut Py*
thagor£normdm angulwmreftu fmentemnobis depin
gat-Po/lea fub primd ferie,qu£ a lend in dextmtt tendit:
dbindrionumero incipient,dliam decern numerorum ft
rternconiexeiinqudfingulinumeri,quiin dextram pro•
grediuntur.bindrij incrementum dccipknt, eaferies de»
final m uiginti . Ter tins rurfusordo decern nurnra*

LIBER 1 < 46

rtim 4 ternario numeroad finijlrm exordium fumens de
fuut in tnginta, jinguhque numeri m dextram protenfi
incrcmentoterndrijdugeantur - Quartus itidem ordo 4
quaternario indium capiens ,atque per decern numercs
in dextram prcgredlens, finguhs auftis ddijcidt qua ter*
ndrmm definatquc in quadraginta,Quinta fimiliterfen*
esk quinario procedens per decern numeros , quinario
quenqiteduftos, fimitur inquinqudgmtd . Sextus or do 4
fenarioad leu urn or faster dece numeros, fenario quest*
que audios.ad fexagmtd pcrtedat.Scptima quoqueferies
4 feptendrioexorfdfingulis audits numeris [eptenarijitl
crementum ddijcidt,in fiptuaginta deftnens. Odiauus or*
do db odonario id cdlogmta peruenidt: oftondrij du*
gmentum dd fingulos audios numercs acccmmodans .
Kona [cries fimiliteranouenarioprogrediensad nond*
guild, per numeros decern, nouendrio quenque crefcen*
tes proten Jdtur • Decimus or do 4 denar io procedens fe*
quentes numeros,demrio fingulos,dugedfjejtndtque in
centum . Demde numeris ita feriptis, lineie parallel# in*
ter fingulos ordines diredie fic ducanturi tam'dfummo
uerttcead irnim cddentes,qukm tranfuerfie 4 leua in dex*
lram,ut eiufmodi line arum dudlu finguh numeri quadra®
its locellis ubique concludantur  .

D Z

47  ARTIS S V Pi

HAEC mmerorumfigura mira quadam propriety
teprimariorumnumerorummultiplicationem nobis tin*
te oculos e uefligio demonjlrat. Namft fcire cupistquent
mmerum duo quilibet primarij in fe dudi crcent . P rim
mumiUorum alter urn in fcrie fupremadfiniftra in dex*
tram protcnfdperquire. Deinde alterum ueliigia in prim
maud finijlram ferie dependents, quos umbos cum inue
nervsiab alter o inter paraUda lineas re da femita defccn
iens,ab altero in tranfuerfum paraUclas duces fequens «
progredere:donee ad linear m in quadrangular em firm

mam

LIBER!* 48

mm coeuntium loceUum angukrem permiaun quo nu
merum quern rcquirisiex mborum in fe dudu procred*
tumdepr<ehendes.Verbigratid/i uis fcire : quern turner
rum fepticsofto procreent.in dltcrd feriefeptemjnaU
ter dodo qutere: parade Usque utriufque numeri. alte*
rut defcendentes, alteras tranfuerfdf,uelut duces,feque*
veidonec in quddrdngularem coeant frguram• in cuius dit
guldri loceUo quinquaginta [ex notd menies « Atque iti•
demin reliquis numeris primarijs. Veruntamen, ut ante
dixr.quiftne uUd mord numcros multiplicdre uelitiprim
riorum inter femulciplicaticnem in memorid, uelut in nu
memo , reconditdm habere dcbet : ut expedite, cum res
pofcettfingulos numeros,ex primariorum in [eduttu ge
nernt o-,t anquam ex thefauro depromat, id quod pducis
borisquiuis  ud infirma memorid facile patch edifcere,
Ahoqui ft ad numer orum figuramfuprdtiobis depidam
identidem refpiciendu erittquidfiet , quando libroru non
ddcfl copid-Nc igitur in leuicuUsfcmpcrJit hsrendum:
pMcarumboraruminduftrialongiten,ports udium de
uoretM quoties ufw poftulabit, numcrcrum primanoru
multiplication!: mentcpriuf repofitam memoridfuppedi
tet ■ id quod ad mmerorum quoque partitionem non mi•
m« conferet.uti latius dicemus : qudndo eo ucntum erit .

Q^VOD SI cuiefl dnimuf eiufmodi numerortm
figuram in tantdm dmplitudincm dilatare: ut mdgnos eti*
am  tmmeroj per lincdrtm mfixtlionem compendio quo*
dm mltip hcare pofiit : kb utto exorfaf,quemddmodm

D 5

4P artis-svp.

*ntc diximis : naturalem numcrorum fcriem, quantum
*ilibuent:quantumq; in immenfum uelit: tarn a fimfir a in
dextram progrediens , quam a uertice deorfum defeat*
dens extedat : fingulofque contexens ordines iliud femper
*>bferuet:utaquo numero in ilium f ries noua caplet: dii*
us incremcnto finguli cits numeri fequentes augeantur .
Prater cater as quoque egregias hum figure dotes ab
Arithmetics traditas, quas nunc altius atmgere nojh i
inftitutinoneftiilla infigns habetur'.quodfiab two, qui
Humerus dd Icuam fummus eft :ad cetum,qui ad dextram
bxbetur, inns: per angulos oppofitos lined aucatur: nu*
mcri omnes,quos fecabinquadrati reperientur: qui excu
iuf  jac corum in f e ipfum dudu, procreantur. id quod cue
tiiretfi quant umus in immenfum pertenderetfigura. Ad
bee ubiciniqne occurrunt numeri quadrati : idem ex du»
Hu xngulorum oppcfitoritmirt oppofitos producetur .
ut fi triA per triA multiphcentur: pertnde fit,Ac fi ununt
in nouetn due atur,quod quiaadradicum in numeris mut
fhgationem:de qua fuo loco diduri fumus : ptrnowjjc eft
titslchic degufldffc, non alienum eft uifum.

QVI denumerAndi feripferunt artr.defimplicibut
numeris inter fe multiplicands, certamhanc dederum re
gulam: qu<e far.ecr breus eft, ^-[upputationcm aufpk
tantibus admedum utilis : ut duo quius numeri prima r ij
multiplicandi f mantur: mamisq • numeri, ft alter mawr
j fiter it: A denario dtftdntia capiat nr. Deir.de quot in ca dt*
jiantia reperientur (nutates ; tom minor numcrus a fuo

d(na r io ,

t I B E R !. fO

tkndrio, quern ipfedenominat: fubtrahatier. & numerut
relifliu cnt is,quern quanmut . Verbi gratia . Scire uo»
lens,quotum numerumcomponant quinquiesfeptemfu «
me tria.diftantiam feptenarij: qui mdior eft numerics dc
ter aufer quinque, numerum minor cm, d denario, quem
denominate hoc esl a quinquagintd. fuperfunt triginta
quinque: que ex horum in feduflu procredntur. Sin nu*
mri equates fucrint: mhd refert.mriusd denario diflane
Him ajjumds: ut quot in ipfd dijldntid deprshendas uni ■
tdtes: ioties a denario ,quem alter denommdbit: alter urn
numerum demos.uti fi o flics oflo multiplicandi funt:f «■
me duo, diftantiam utnufque a denario: bifquc defer oflo
ab oflogintd, rcliquum erit [ exagmta quatuor. is efl  ««=
merui,quemrcquirmms . ex illoruminfeduflugenera*
t us  • Alij autem dd multip'icatwnem numerorum primal
riorum, quorum duo quiuis ddditi maiorem denario nu *
tnerum procreantialiam docucrunt regulam. ututerque
numerut adfinijham, alter jub alterofcribatur ■ Dcmde
utriufque a denario diflantta c regione ad dextrous pona »
tur ; dilcantieque altera per alteram muhiplicenturtcr
quod produflum erit,fub lined dufla notetur.  Dcmde aU
terutriusdiflantiaabalierofubtrahaturtcr priusadte *
flo fiquid memorid feruar.fubjcnpto numcro. ex dtflan
Uavum in feduflu procreato,d ftniftra locetur.uti ft fext-
ts oflo multiplicare uehs l fupra oflo, infra fix repone.
Po/led contra oflooppone pro diflantta addextram duo-
totufex oppone quatuor. due pojiea duo in quatuor.ft*

D 4

ARTIS S V P,

5 *

twt 6 fto,ci fubfrtbantnr. Eximedeindeper oppofitos
Ungulos, uelduoafex: ud ft mauis: quatuor ab ofto,fu*
perfunt quatuor, eaafiniflra tiumeriprm fubfcriptilo*
centur. Quodftnumeri printctrijfimuUdchtimmertM
denarium non tranfcendant(hi autctn funt omncs tnino=
res infra fcx ) cosfine ullo pr<ecepto pueri plerique otii*
lies multiplicarc feiunt,

N VM E R O S multiplicdturifupremoloco eum feri
tamus: quern multiplicarc deftinamus. turn deindc infer i*
tK alterm 1 per quern multiplicare fuperiorem uolumus ;
itd reponamus: utprimarij tiumeri iUius ordinis prtma*
irijsfuperioris, deni denis, centenicontents, er fie dein*
ceps reffondeant. Et ft tiumeri fin t itt£qudlcs:maior fem
perfupra pro multiplicando ponatur : minor infra pro
tnultiplicdtione.Quofief.utmultiplicdtionis modus futu
rusfitexpcditior.Pojleafubambobus  4 2  3
mmeris a Icuaindcxtram calamo It* 1 2

iteaducatur .

Deittde prima noli mulliplicantis numeri in pri * 3

mm multiplicandi ducdturietft id, quod exmul 2
tiplicatione proueniet, infra dcccmeritutddex
tramprimo locofub lined reponatur,

Siuero furgdt numerus dliquis ex denis coUe*  5
fiusfubfcribdtur circuital erdenoru illorum  4 ^
denominate memoriae comendetur : ddfequcn-  cT*

fit loci multipUcdtionm addenda .

SIN

LIBER I. 5 2 ,

SIN prodcdt numcm dliquis ex denis et primdrijs
eSpofitw-primdrius primolocodcpcmtuY ; denorumcfc
denomindtio mettle reconddtur : ut dd fcquentis  5

loci numerum ex multiplicatione procreandum _3_

conimgipofiit. $

Iterum notd ptrimd nttmeri multiplicands ducdturinmul
tiplicdndifecunddm : er quod inde credtum  2 5

erif.poBqudm ei dddttufaerit idiquod mite _3 „

rctcntu eft,ft quid td!c ex priori loco tr&nf= y q

Utumfupere&fccundo loco fubfcribatur.

Rurfuseodem modo in tertiS,qudrtd,  ©- rcliquds qudit
tmhbet ulteYioYcs multiplicdudimmerifigurds eddcm
pYitttd notdnumerimultiplicdntis ducdtiiY : er quod 1%
ipjis  in feduftis credbiturteifdem locis fub lined repond «
turtquibus cnatu erit,  Dcmu prt= 2125

m iUd mltiplicuntis notd, qua  3'

fuuperegitopus ineamplius tur= ~~6  3 7 J~~
bdm ftcidt: obelifco trdnsfigdtur ;

Voslbiec fecundd numeYi mukiplicdntis notd inprimdm
multtplicdndi, cr deinceps in ontnes Yeliqudf , co cYdine,
todemque modo ducdtuciquo de pYitttd notd fieri debere
diximus,  E t numeri ex eoYunt in fe auttuprouenicn «
its, itd fub lined & fub figures ex pYiore multiplicdtione
ptoduft is ponantur.ut primus eorumfub fecundd nudti*
plicmis notd: fecundus fub tertiditer dus fub qudrtd:&
fic deinceps in finiflrdm procedendo locctur . EC qudnt*

» y

53  ARTIS S 7 P;

uispduciores noteenumcri multiplicands, quam multi*
plicandi fucrinf.fcmper t divert progreffus in lemma fc*
cundanota multiplicities exorfus, minimum, per totidem
fcruetur locosiquot figure fuerint in numero multiphcan
do,  p oflea fccunda notafum enixdfcetum cdldmo tranf
figatur,

Tertid deindc  ey quarta ac reliqua om- 2  i 2  S
nes,quotquotfuerint: multiplicantis nu- 1'  3'

rneri noia m finguUs multiphcandi nu-  637^
men ecdcm modo ducendee funt: nu*
mertque ex multiplication nafccntcs
fub Imea &■ fub ordimbus ex prtore multiplication pro
creatis:itanponcndse:ut tertice notes muluplicdtis foetus,
a tcrtio loco,quartet A quarto,Cic  deinceps, progref*
fionis in fimfiram caput txorduimipsr totidemq • notas,
minimum,protendatur.quot 2125

rcperientur in numero multi i 2' 1'  3'

phcando. Singukque notes,  <5 373

poslqum officio funt fun =  2 1 2 5

ft£: obelifcis induRf c&la  « 4250
motransfgintur . 21 25

Perddddcmwmfgurdrum omnium multiplication,rut
fus fub omnibus numerorimordimbusex multiplication
tie procreates altera lined a lend in dextram duRa,ad pri
mmloompcrtendau Dcinde Apr into loco cxorfi,om*

mittos

miUosnumerosex figure 2 i 2 $

rum in fcdufiu natos ftmul V X i  3'

ddddmusyiutnerosquecxlo  5 ^ y

ckftngulk ccUefios cifdcm 2 1 2 <j

lock fub htiea fubfctba » 4. 2 q  o

mus.Uanumcrusfub tinea 2  125
Ycpofitm is frit: quo n:uU  '2577025 *

tiplicatio nobis procreabit.

Dc circuits cUi‘Cm illud pYj:monen d urn putmus: ut quo=i
tics mnumero multipluante nobis oc= 123
cmit(ircu!us:totidemfub linedcircu- ^ 1  o

los reponamus: qua fucnnt fgurte m  o o t>

men multiplicands

Quod ft numerus multipUcandusciyculu alique hebeat  I
k etiam fub linedfno ponatur 1  o 2 104
loco-.nijiahquidmmemorid  1 3' 13'

retentum fuperfit, quodilltc  306 J7 2 ~*
deponi debeat.

NVNC EA, quadiximus:iduftrcnuiscxemplk .
Multiplicemusfcpte  7PM

tmllia nonmgetaft x 1  S' 5' 2'

rfgmta triapernuh
le cftingciaquinqiid
gintaduo .PoflquZ
numeriftripiijubie

d’uq- liuca fiicnt.fic
nobifcu taciie mdi

I 5 p 2 6
3 p S I 5

6 3  7°4

7 P 6  3 __

M 747  4  7  6

tetnux -

ft  ARTIS S 7 P.

lemur . VrimolocobistriAcredntfexjeifublmtAprmei
loconotamiu • Itcrumbisfexfkiuntduodecim.duofub
lined fecundo locoponimus. unum pro denarij denommA
tione mente retinemus . Rurfus bis nouem procreant de=>
ccmcr odo.quibus mm ex memorici addimus. punt de«
cem or nouem. nouem igitur tertiolocoline<efubdimuA .
unum mente recondimus.  D emum bis feptem producunt
quatuordecim : qus quum dugentur uno ex manor id de*
prompto'.fiunt quindecim-fie quinque quarto loco repo *
tiimw.unitdtem in qumtum locum transfermts.dtque it A
primdm tUdm notdm multiplied! is numeri,qu£ fuum per*
tgit opustobclifeo transfigimus  , Pofted [ecundam multi*
pliedntis notdm, nempe quinque,in primdm multiplicand
di duemus,infra nos itd mufitantes. Ter quinque c re dnt
quindecim.quinque fecudo loco fub lined ponimus. unum
mente feruemus .Iterum quinquies fex faciunt triginta:
quibus unu ex memoria depromitur.fiunt triginta unum•
tx bis unum tertioloco reponimus.tria mente feruantur.
Rurfus quinquies nottem producunt quadraginta quinq ; ;
quibus trid exmemorid additd quadraginta odo fuemt .
odo quarto loco fubferibimus,quatuor mente retentts.
Demum quinquies feptem funt triginta quinque. bis ex
memoria quatuor adiungdntur.pent triginta nouem. ea
fub lined ponantur adfiniftram. ltd fecunda multipltcan
tis notafum enixafcctum obelifcopgnatur.Tertiam de
inde multiplicands fguraaffumentesfic ducimus in pri•
mm mltiphcastdt. O&cstriafunt uiginti quatuor .qua

t 1 B Eft I. f 6

tuortcrtio toco tinea fubdinius. duo mettle retinemus . ite
nmottksfex funtquadrdgmtd otto-ddqua duobus ex
memomndditis fiuntquinqudgintd.circulus igitur quit
to locofubfcribitur.yquinque mcmoridferudt . Rur*
[utofties nouemfuntfeptudgintd duo: qtubus manor id
fummimjlrdtquinque.(ic fiunt fcptuagmtd feptem.fub•
notcmturfeptemloco quinto,dcpofttis dpud memoridm *
Denifyoftiesfeptem funt quinqudgintd fexudquacquu
fcptcm dnte repofitdiunguntur. proueniunt fexdgmtd
trid.edfexto o feptimo loco fubfcribuntur: trdnsfigi
turq ;  itd cdkrno tertid multiphcdntis figurd.Tdttdcm uea
turn csl id qudrtdm O' pcfiremam multiplied)* is notdmt
qua cum lit unit as, O' nullum nttmerum multiplicdrc pof
jiuomnes figura numeri multiplicdndi, eoordine,quo
funt feripta  femcl (ub reliquis endtorum numerorum or
dimbus fie pondntur. ut primd qudrto loco fub ipfu unitd
te notetur: reliqua^ omnesin fimftrdm, nempc fecund*
in quintum locum, tertid in fextum,qudrtdin feptimum £
prcmoucantur. His itdperdHis,dc fub omnibus endtii
nmerit lined d leud in dextrum dd primum ufque locum
perduftd, tmiuerforum numerorum ex multiplications
prouenwntium fummd colleftd fub lined depondtur, c4
erit, Qudter decks millend mittid ,feptingentd quddrdm
ginlifeptem miUid, quddringentd feptudgmtd fex  _

SED quonidminhocexemplo,quod idmexplicdui*
mut : null, mteruencrmt circulv.dlterum ddiungaims:  n t
quo turn in numro mltiphcme»qum muUiplicaado t

57 ARTIS S V P,

circuit fintadmixtrM autem fit eiufmcdd
Multipltcemus fexa=  <5 o 5 o £

gtnt.i nnlli.t quingen*  4020

fit trii, per quatucr  T
nwflM £r uigmti. Pojl 1 Z 1 O Q 6

numcros fcriptos li~ 00000

mamqiie fubkttam  2 4 2 o 1 2
primumnobisoccur 2  o" 6 o'

ritinnumero multi*

plicante circularJotidem igittir circutos fub lined repo *
namus quotfuntnot£ numeri multiplicandi. Deindcfe*
cund.i nota multiplicands in primam multiplicandi duca
tur.inde fexenafceniur. ea fecunda loco fubfcnbantur •
Ef cfwiit fecunda figura numeri multiplicantis circuits cfli
ex quo mbilgigm poteHds tcrtio loco [ubnotetur . R»r=
fus fecunda multiplicantii nota in tertiam, nempe quin*
qur.ducatur. crfient dece.fubijcitur igitur quarto loco
arculutumumcj; memorixferuandum commendatur. E t
quia quarta figura numeri multiplicandi circuhu e &; er
unumadhuc memoria feruat: idfub lined quinto loco  re*
ponatur. Deinde fecunda ipfa multiplicantii nota in quin
tarn multiplicandi,nempe fex,dufta: duodecimproueni*
unt.eafcxto cr feptimo loco (latuantur. pofleafecunda
ipfa multiplicands nota [no fund a officio alamo transfi*
gxtur. tterumtertioloco in numero multtphcante alter
occurrit dr cuius . quamebrem totidem circuit quot repe»
rtuntur four# numeri multiplicandi: k tertto bco inapt*

ei«e$

ILBER 1 , 58

ittlesjnhumprcmouentur, Qttaridnotanumerimul =
tiplicantri quaternarfa in primam multiplicandi ternari
amdudaduodecimproduat,duo quarto loco fubfcri *
bun'ur.mum mente monditur , gr quia fecunda nume*
n multiplicand!figuracir cuius efhunumiUud mentere*
tent urn quinto loco dcponitur.

Rurfui quart a multiplicand nota in tertiam , uidelicet
quwquc,ducitur:prodeunt uiginti. circuits itaque fexto
loco fubditur,duobut mcmoria repo fieri.  E t quia in nu*
tncro imltiphcando alter itidem ciredits eft obumtduo
ilk mente recondtta feptimoloco fubhnealocantur. De*
mum quanta nota numeri multiplicands in quinta gr po*
firemam multiplicand! ducatur: gr enajeentur uiginti
quatuor.eaodauo locogrnonodeponantur.Pcft abfo
lutammultiplkdtiommjubommbus ordmibmlinea per
ducatur , fub qua uniuerforum foetuum celled a fummd
conttnebit.Ducenties quadragiestermiUena mdlia duce
ta uiginti duo tniUia,gr fexaginta. Quaret fvrtafje quif
piam.cur ita fi-iguli numeri ex multiphcatione proceed*
ttfemper ad leuam oblique promoueanturfgr non poti*
utdireftefub numcro muleiplicando coUocenturf Sect
quifquis mult'.plicationri naturm altiaus confyderaht :
\tanm mirari difinet . Nam cum muliiphcatio tones nu*
tnerum, qtii multi pheatur : fibi ipfi addat, atque accumu*
lettqiioues numerm,qui eum multiplicat: contmet unit a*
tem-.opertet omnino ahum minerum maiorem inuefiiga*
ritad quern is,qui multiplicatur.uiccm habeat mtatri  *

59 ARTIS  S V P*

Et qtionim unites natura primtwi in numeris locum ti*
nettfcquentcs autem eatnnimcrun ultcriores fedes fecun
dum ftd augmcntm truduntur.quisquis numerus unita
til mcemoccupabittis primam itidem fcdem habeat  nci
ccffe eft:  ©• qu£ ipfum fequutur.in ultcriores fedcs pro
tnoueat . Cum itaque numerus multipliers non foium
tnomes multiplicandi nous ducatur: uerum etiam ei le»
gespr<efcribat:quoties adinueftigationcm numeri maio•
rts,unitatis uicem fit fubiturus: neceffe eft omnino &■ tot
miorum numerorum procreandos ordines poni quot
funt not<enumeri multiphcantisto 1  rurfusiUos ipfos or
dines a ftngulis numeri muhiphedtis noti$,qu£ repr£f :n
tandis unitdtibus legem dant : nouas fubinde primas fedes
accipere.Atq j itafiprimus locus,qui dux czteris eh: ab
rafedeincipiet,ubinotdmu!nplicansfitdeft: jiuc fecun
da, fiue ter tia, fine ulterior fiterif.omncs omnino loci,qiti
eim duHtm fcquuntur: ultcriores erunt-Et cum maiores
numeri ex no tar urn in fc dufiu femper qusrantur: ft a*
Hmutfuntimcnti:infiniftram,qu£maionm numero*
rum fedes efttpromoueri debent .

Multiplicationcm rede fittam ejfe cert a rationc probabi
mw.finumem ex multiplication procreatus pernumt
rum multtplicantem diuidatur: et feflio nobis numerum,
iquitnultiplicdtus cftunftauret.QubdJidlium numerunt
reddat:crratumeffe necejfc eft . Hocautem ntanififtm
fist : poftquam numerorum pxrtitionem expltcuerimus .
DVPkICATio tw>erorm,tft form per duo

multi•

LIBER I* 6a

multiplicdtio. Fit autm : qimdo note bittiriei prfitdfub
prtmo loco numeh multiplicandi,duaiur incmncseius
pguras^o modo,quo ante dtcl urn cfl.dc qua,cm fit jpe*
eicsmuluphcationis,dtque eu quidem longe omniumfH*
ciBima:mkil attinetftpardtim praceptd dare:ficut qui*
dam fhcerunt. non magis qu'dm de triplicatione,quadru*
pkcatione,reliqui[que multiple dtioni* fpeeicbus,qua fimt
infinite. Dequibus adhuc nemo quicquam jpeciatim edi»
dit. quanquam in mult is e dr urn, quod jint difficiliores :
maiorutdcripotuiffct ratio: Ji quis id attigiffet. Verum
in his omnibusquomodo mukiplicdtio fit fkucndu:ed } qu£
iam diftafunt, dbunde fumminijlrant,

DE PARTITION E,

P A R T I T l O numerortm,eR numcri diuidendi
per numerorum diutforcm fettto in quafuis partes:
qudrum qudibet toties contmedt unitatem : quoties nume
m diuidenduscapitdtuiforem. Humerus dutem dtutfor
«el minor dmdendo,uei ei <equalis,effe debet.  P orro md*
iornumerut non diuiditminorem: cum in minore maior
mcontmeatur. Etutmaniftflm fefttonbs naturam ex*
piicemi«. Numerorum partitioned partim quarmuis,
qmecunquefuerint: procredtio ex numert diuidendi fe*
flionc per numerum diutforcm partes diets, quas quart*
mm: denominantem. Quantitas dutemiUarum partium
ita deptshlittux:fid nmero,qui dmdtndus efi:d;uifo*

§

ARTIS S V fi

tern totics fubtrahamus, quoties fieri potefhdiligentrr  e#
feruantes,quoties id faciemus. nam quoties fubtradio re «
pen u eritt tones numerut, quern quarimus,umtatem con
iinebit. It a mbil alutd efl numercs par art: qudm per nu=
men dim for is crebram abeo qtii diuiditur, fubduftione,
tertium numerum procrcare: quiex tot conftet accuniti*
Utis multibus, quot repstitis itcmiombus diutfor nume
rus a diuidcndo fubduftus efl ■ Partitions cnimoffi-ium
eft tteb is aperire: quantum qtaelibet purs numeri diuidetl
di, quotctcunque fit : in fe continet.  er quoties in numero
diuidendo numerus dtuifor includitur .

QvEM A DM OD VM uuteminmultiplied! ione
pradtxmis non mediocriter conducere: ft quis memoria
teneret: quos numeros procrearent primary numeri in
fe dudr.ua hoc loco admonendum putamus, numeros
parttturis fuprd. qudm did potefl, confine; ft fine utta
mora die ere poftwt quibus ex numeric compofiti fint,
quasq- in partes foluantur fingulinumerifub centu. Nani
ficutprunariortm inter femultiplicatio numeros maio=
res crear.quorum tamen maximiu centenanum non trait
fcenditftc e conuerfo procreatorum ex primarysnume»
r or urn pardtio ipfos in partes, ex quibus conftant: dips
foluit; numerofque oftendit mmores ; fx quibus maiores
punt accumulati. Etquamusfufficerepoftitadutrunque
pernofeendum multiplications tabula fuprd 4 nobis Ac*
fcrip’a; ft quis earn ordine retrogrado confydcrettcr ab
tmis O' maxims numeris conternplari mcipiens adfum «

ms  er

Liber!,

(bos  er minimos tendat: lumen quo magls rent fubijeia*
bins oculis:quodq ; pro fkahoripartitione monte concept*
trm,expnmamus:aham p unit toms tabulam non abftmi*
lem, ordme tantum numcrorum conuerfo , defer ibemus  .
qu£ in fumma parte,  er <td fimflram numeros maiorestitt
vna,o-addexcrum minorescontinent. Eafietadhunc
tnodum. Ab irna parte ab uno incipientes 7 naturahq ;  nu *
mcrorumferie in leuam progrcdientes fingulos primdri*
csufquead decern modieis interuaUis fertbamus. lterurn
ab 1U0 ipfo mo dd dextram repofito, uelut a quadam Id*
fi,cdpientes exordium eandem numcrorum feriem ad dee
cemufquefurfum uerfus afeendendo, modieis & pari*
bus interuaUis dijiinguamusM uelut normam quddm re
Hum babentem unguium utraque feries referat . D einde
fingulos ordmesftruentes illud obferuemus: ut a quo nu *
merowitiimfertci aheum fumemus : fiuebmurius,ftue
ter name .fine ulterior fuerittem meremento fingulos e*
um fequentes numeros infimflram promotos augeamus>
Parallel# delude Imece inter fingulos ordtnes dud#, tarn
a\ummofdfhgioad imu/m cadentes, qudm tranfuerf#  4
leuam dextram, fingulos notatos numeros quadratic  in»
tludant loecilts .

E Z

ARTIS 5 ? ?,

IT A CONTRA qudm inmultiplicationis taluk
defcriptum cft.fummas cr fintfirms partes maiores m *
mrijtanm ocuhs cccurrentes ternbunt.Quoru ft quern
per minorempartiriuolemus: parallels kmaiorinume
t o diuidendo,tam ad irnum margmtm,qum ad dextram
latm ducentes,oculis fequamur. Vbife nobis contuendos
efferent numen,ex qutbus conflatimmores.quorum al=
ter diuifor erutalter quinebis mdicetiquotics d duaden*
do diuifor ipfe fubduftut eum totum cxbmidt. Verum
tmmucroqtusquis humtabell* defeript£ aim memork

recon*

LIBER r. <54

reconditim tenet: ut nonfolwm quos tiumeros generent
mltipUcatiprimarifydtccre expedite pofiit: fed etiam in
quos prmtarios generati ip/ifoluanturud quod plurimu,
bidutcxercitd'ione emuis licet affequr.is fine uUa mord,
tiumeros quantimuis mdgnos in partes, quafeunque  «e=
lit: facile partietur.ldquc ita effe argumento eft: quodqui
ahoquiindiuidendis numeris barent: propojlta multi=
plicationis tabeUi fefe confcflim cxphcant.quamft ordi
tie retrogrado tttente repofitam haberent: mhilo fdalior
tilts cjfct multiplicatio,qudm partitio ,

MODVS autcm expcditut quofcmque partiendi
tiumerosciufmodi efttut prtmtimnumerusdiuidendus 4
dcxtrolatercfcribatur'.crab cmfimjlra numcrus diui*
for.inter quos lined cadens media ponatur.  D eindefub
ttumerodiuidedodus lined paraUehe,modico mtcruallo
inter fe d,ftante$,aleuain dextramducantur.fub quibtis
iter um diuifor numerus fic fubnotetur.ut ultima non di *
uiforis adfimflram fub ultima diuidendi,  e 7 penuluma
jub penultima,cr fic detncepslocetur . A tque id qutdem
tta fiet.fi totus numerut diuifor d diuidendi notis fupra fe
trepofhis fubduci poteft.

C  AE T ERVM / imdior fuerit diuifor, qudm diui
dendinumerinota fuprafclocatdtut abhi-snonpofiit to
ti« fubtrahutunc poftrema diuifor is f guru fub penult i t
ntd diuidendi ponatur.

Hi C quide numerut pdrdUeUsfubkSlus,diuifor am
Ituldtts nonubs re dxipotesl: quod ad fimflram femper

B 5

*5 ARTIS SVP.

incipient, poslquam a diuidendo numero fubdutlus eft;
figuris fuis deletis progrediatur addextram. tUe ueri
ad leum lineet cadentis poficut,diuifor flans non imme a
rilouocatur.qucdrnanens nosadmoncat. quit numerus
fit diuifor-Inter par aUelasuero numerusisponatur medi
ttstqui nobis indicat,quoties in diuidendo numero diiujor
contineturiut ahillo toties buimfiat[ubduttio. Vulgus
bunc numerum quotientem barbare meat, partiapum
tffmgens ab aduerbio . is nobis uidetur apte appellant pof
fe mmerus pirtitianis ,aut ft mms, numerus [eft toms:
quod ex tmioris numeri fettionegeneretur.

ET VT d jdciUimis primumincipiamus. Siquem
ttumcrum in decent partes diuiderc uolcmus: primam &
dextra parte notam,per hneam cadcntcm medium, fepa
remus a uteris.®- peratfa eft partitio . Si in centimv.du
as primas feiungamus not as. Si tn miUr.feponamus tres „
Si in decern miUia: quatuor diflmguamus.Et min uniuer
fim precipiamus. Quandocunque miores numeros
pjtrtiriuolumusperminorem numcrim,unitdtisnota et
tmocircubiut pluribus feriptam: quem aliqua numero
yum fedes fignificat: tot idem adextra perlinedm cadett
tern notas feparemus:quot locum iiUum preecedunt . ®
abfoluetur partitio. Note autem a ceteris feparatereli
quim indicabunt. quod ex diuifione fuperefl: ® fupra
diuiforemliantemlinea interpofitanotentur. is locus  e/i
.eius reliquitquod poflpdrtitionem per a ft am remanebit.
id ltd ejfe pilam eft, nam ji mu nota ad dextrm appofi

LIBERT. 66

tifequcntemnumcrum ultra id,quod ipfd fignifcdt,au*
gcbitindecuplum:du<eadditieeodem modotn ccntupiu:
tres in miUecuplum:o-/ic demcepsulleipfuefublauda «
turn mcranentu/m omnino tollcnt.

Si V E R O diuifor numerus, per quern partiri ue
hs unicam notatnb.ibct: is fub ultima diuidendi ntimerifi
Qxtd'.fm ipji diuidendo <cqui!isJhceo minor fuerii: po *
incur. Et /1  diuifor ipfe diuidendo tiumero tequalis erit i
quatantum femel ab eofubducipoteft: unitms nota fub
diuidendo inter parade its wfcratur-Statimq- tam diuifor
fub Imeis, quam prima diuidendi figura calamo transfi*
gatur. or ditujor m dextram ambulates fub pemliima di¬
uidendi nota tier uni reponatur.

Quod ft diuidendo numero minor erit diuifor: confide «
randum  mt: tjuofics diuidcndut eumcontineat fan feme! f
an bis lan fepius! numermq-id indicates inter tineas pa *
raUelMfubdiuidendoponatur.fi femel'.mitatis nota rc«
ponenda. ft biswota btnarij,ft centernarij. & fie dein *
ceps.Turn per ilium numcrum inter parallels repofitum
diuifor multiplicands eft: numerusq.■ cx multiplication
proueniens , fub parallels infra diuijorem, pros tamcn  ,
tie rationesconturbet , deletum ponatur. isq- numeral 4
diuidendo fupra parallels locatofubducdtur. cr fiquid
rdiqmimertc.fupradiuidendifigurM : dquibusfit fubtra
<3;o: priusdelets, nerattoncmconturbent: fnbaiur  .
Quo fido,delcatUr etiam numerus fubdudus f ab paraU
kill npofitws -cr diutfbr in dextram progrcdiens tier uni'

E- 4

67  A R T ! S S V  P.

fub pcmltmi diuidendi figur a locetur. vbi animaduera
tendumerit : quoties pcnulttma diuidendi cum toto reh *
quo fupra ultinum diuidendi poJito( ft quod fuent )con*
tineat diwforcm . ipfum autem rcliquim ad rcfbcftum
penultinue diuidendi,  er quoties in progreffu occurret,
etdfcqicntium reff>edum,denanum illunumcrum, quern
ttoidipfum exprimensdenommat fempcr fignijicabit. it
fi umtatts:  fiow in rehquo fir.dccem expnmat.fi binarij:
uiginti,fi ternariftriginta.  er fit deinccps.NumeriMu:=
ro ipfe mdicans, quoties penultma diuidendi cum rehquo
cdpii diuiforem, inter paraUd.it eft reponendus. i Hud ta»
men perpetuo eft obferuandum .Quindocunqie diwfor
in dmidendo fepm qudm nouies contmetur: nouem inter
tineas tdtum funt reponeda.  Per numcrum autem ipfum
interpxraUdatpofitwm multiplicands eft diwfor.  er
numerus ex eo proumens, fi una nota fcnbi pofiit : fub
dittiforeprius dlcto,  ne rat tones conturbet: reponatur -

S IN nwncrut lUc prouemens ex dcnario & pnmano
fit compofitustut duabus notis fignari debeat: primartut
fempcr fub diuifore ponatur.denarius autem ab cm fini•
ftrafub rehquo diuidendi, (iquod fucrit,aut fub aha ip*
jins diuidendi fgur a fupra fepofitaftatuaturnumerutep,
is ab ipfis diuidendi fgur it fupra fe pofms fubaucatur ■
pofled dcleantur not£,tamqu£ (ubducla funt,qudmi
quibiufitdeduftio.  er fiqitid exhat fubdudione tterunt
frit reliquum : fupra pcnultimam diuidendi notetur.

D E J NDE diuijor indextram obambulans fub no «

U  pp*>

U proxima penultim£ diuidendi rurfus coUocctur .  er
Man per omnia fiat: quemadmodum in penultim*. A tty
ad hunc modum diuifor promoueri debet: donee ad pn*
mam diuidendi figuramuenttm crit . ubtfiquidexdedu «
thonerehquumfupercrittid fuprd dimfor em flantem li*
nea interpojita notetur. qui locus eft cues rehquiquod
poftimjionem per a (lam remand . quodeerte fempty
minus crit qtidm dim for.ruJim par tit tone filer it erratum.
Quotiefcunqucautempoftpnerem fubdufltoncm inter
partiendm co .tmget diuiforem maiorem effie noth di*
uidendifuprd fclocatis: ut ab bhfubduci nonpofiit: to*
ties inter tineas circulus ponatur. & per unum locum
frogrediatur diuifor ,nouqueilh£diu;dcndi,dquibiisfie*
rifubdiiiho non potuit: ad rejfcftum lUius.fub qua diui*
for local us  esl: ueldenorum,fiin fecundo ab ea loco: uel
centenorum,ftintertio pofia juerint: infequenti diuifos
rh fubtraftionefemperhdbebunt.Et ut ea maghqu<edi*
xtmus aperiamus exemplo . diuidamus feptem miUia  a.
(lingentd uigintt qitmque per [ex. Scriptis pnmum di*
uidendo  er diuifore cum
parallelh medijs,eo mo-
do,quo diximus: fie parti
turns fecum ccgitct ■ Sex  6
in feptem fernel tantu re ,  g / ^ ,

pwio.unUdtisigiturno*  4

tarn inter parallelas repono.  er quia ilia unitas fex non
§tultip]icat:ipfa fexfubducodfeptem.fupereft unum re

69  H r I J J V P.

liquunt. id fuprd feptem calmo transfai fkttuo:dclco<£
fexdiuiforem. erfubpenult im.t diuidendtiterum ea po=
no. ibioccurrunt inreliquo  er pcnultimadecidendi de¬
cern er otto, [ex in bis ter bdbenturiigitur tru inter px*
raUelas depono, per qur multiplico [ex :  er [unc decent
er otto. decern fub reliquo, otto fub dtutforc prim dele =
toftatuo.deindc ottoab otto fubduco,  er mhd fupereft.
umtdtis dutem notam decent reprefentantem fubtrubo
ttbmo fuprdfe pofito rchqutmfignante.iterumpro no
tteo diwforem igrfub proxintd penultim<e eum colloco .

1 biquia diwfor ntdior eft dtmdendo: circulum inter line «
as infero,deleoque diuiforcmucrurfus fub prima dmidcn
difigurd eum rcpono.llhc indiuidendouigintiqumque
depnebendo ■ quorum wgintiideo manent: quia diuijor
proxime cum circului lincis eft infertus ,ab bes fubduci
nonpotuit. in quibus, quid quater fex hibentur.quaiuor
inter Uncos fcribo.per qwe multiplico fex'.cr Hunt uigm*
ti qiidtuor.itoqne fub diuiforc dekto qtutuor fubnot o.  er
fubprcximadiuidendi fequentepononotdm binorijyqu.e
uigwtifignifcdtjunc qudtuor  rt quinque in diuidendo nu
tncrofuprdfe repofitis dcduco:  er unum fupereftiduo-
que l duobut demo, pofted trdnsfigo cdkmo tdm fubdm
flos numeros,qudm a  qutbus fubdutti funt.Vnumq■ quod
poft dtuifionem perdttdm monel reliquum: fuprd diuifo-
remfloniem lined mterpofiu colloco. ltd numerus/ndi *
tans ,quoties fatto fitfubduttio,furgit inter linens- nulls
trecentaquituor.

Vretcrei

LIBER It  70

PRAETEREA ft dittiftor numer us unicdm not dm
fgmpcanteni cum unocirculo aut plurtbus habeatitoti*
dem dtuidendi mmsn figures lined cadent c interfertd fe
paremut k dextra: quot circuit in diuifore notam jignifi
canton prxccdunt. Dcindeper illampgnifcdntem no*
tamfolam amotis circuitspiuidendum numerum co mo
do partiamur.quocm mica nota fieri debere diximiu ,
precterquam quodpartitto,cum ad feparatas per Imcant
jiguras uentum eriticcffabit .0 ft qmdrchquum fuper
eftexcadiuforis fubdufttone, qtu a figura diutdeudi
proxime feparatas precedent?,jdfta csl.tdunkcum ip•
fu figurisfeparatts lotus pdriittotiis rehqmtm erit.Atq;
tiedfupu diutforem ftaniem,lined interpofua,notetur*

2 i

Q_V OjD SI diuiferimmcmduosautplurcsbabe
4t figmfic antes notas,unutr.q; ant plures in fine cinulos:
totidem indiuidendo numero jvmhter k dextra feparan
defuntfigurx’.quot circuit in dtuiforc,figuras ipfas ante
cedunt.o penlhu fignificames notas folds amotis or*
cults,dtuidcndumnumcrum eo modo partirt oportet:
quo cum plunbus nous fieri debere mox prxcipiemus .
ccffetq; partitioqundo ad feparatas figures uenicmui
quas uti urn diftum til afertbemui in rtliquum.

7 *

ARTIS S V  P.

til I  i s  I

*T £ * a ] / <s 4* ! I * *

470 _;

*' 1’ i i'

t' i'

A N D O attiem diuifor dun dut plumfignificait
tesnotashabet : diuiiendonumero duttis paraUelts

hafinguU fcribantur, ut ultima diuiforis fub ultima dmi
dendi,penultimafub pemiltima,cr fic demceps, omnino
reponantur.nifitotus diuifor numem maiorcffcttotia
dentdiuidend; figurisfupra fc beads: ut abhis fubduci
non poffct.n.tm tunc diuiforis ultima fubpenultima diui
dendi,o' penuhimafub antcpenultima.in initio jlatuide
beret,ficuttanteditttim eft.Quopcrafto,confyderan*
dum eftiutrum quoties ultima diuiforis in ultima diuiden
dt fupra fe pofita reperiturttoties diuiforis pem'tima in
diuidendi penultiwa.cr rehquo ultim£,ft quod poft di*
u foris fubtraihonem fupererit: c? antepenultimadiui*
forts in antepenultimadiuidendi,et rehquo,ft quod erit,
C ficperc<etcm diuiforis notas repertri pofiittO"fiid
pofiit fierimmerus tndicans quoties diuifor continetur:
inter parallelas ponatur.er per eimfingula diuiforis
note multiplicemur:fuo quaque ordineinumenq; ex mul
tiphcatione prouenientes fub ipfis multiplicatts diuiforis
nottsfieponatur: ut ft figuris pluribus fcribendi erunt :
prima arum fub note multiplkatd,reliqu£ poft cam f to

mdtnt

LIBER i. 7?

trim locetur.Jh'guliq; numeric figuris diuidendi fupra
fepofitts,o reliquo,ftquod erit,fubducantur ; Metis
trn diuiforis qudm dmdendinotis,co modo,quo ante di •
ftum cfkcum dc diutfo  3 a 1 | 4  s

reunuanotam baben  3

tepreeiperetur.  '/ ~~fj ~f .

AT SI pcnultmao an teper,ultima o queuesalia
diuiforis not a tones non reperiatur in diuidendi figuris
fupra fe locatis, o rcliquo earundem,fi quod erit : quo*
ties ultima diuiforis in ultima diuidendi continetur: tunc
quia totiesiU£ a fupra ferepofttisfulducinonpofjimt:
quo:its kcec ab ultima diuidendi:{ubducam us ultimam di s
utforis ab ultima diuidendi femclminus,quam alioqui fub
trahi poffet.o-confydcremus,anrehquum,quodcxul*

tmid diuidendi fgurafupererittpenultimeo Mepcnul
Unite o ceteris eiufdem figuris tantum jubmmiftret:
quantum ad fubduflionem reltquarm diuiforis notaru
ferendawfatis erit.

Quod fipcSlid fftum finguhe diuiforis note  <5  diuidcnm
di figuris fupra fepcfitis,o dreltquoeiufdc adhuc fub
duct nequeunttuhtmam dim [oris bis minus, qudm alioqui
jubducipoffettab ultima diuidendifultrahamus . one
mm eonfyderemustan reliquum, qued fupererit , tantun
dtmpenultmte o ceteris diuidendi figuris , fuppcdita*
bit'.quantum fubduftionem diuiforis ft rre pefiit.

Qj OD SI ncquebis minus fubducere[ufficiati

ARTIS JVP,

tentmm.An ter minus fatiseffe pofiit. si ne id qttidem pri
cedit:cxperiamur , an quater minus deducendo prepare
pofitmus . Atque ita rariorem ultimo diuiforis fubdufito*
nan fubinde tentemid ; donee reliquum,quod in ultima du
uidendt per hoc iugebkur: cxteris emfdem figuris tan*
twnfummmiftret: quantum ad iuftamfubtrAftionem cx*
tcrarum diuiforis notarumfarendam fufficerc pefiit- Ad
idautem muefligandum partitions tubella, quam fupra
defcTipfhmts, injfieftaplurimumrudesirnabit. utquoti*
tsipfam rariorem fubduttioncmin ultima diuidendi con*
fyderanttfeniper interiors ab ea c  dexteriorcs parxlh
las duces,quxdrangularem firmim minorem contraben*
tes,mjficiat, quarti extremi in mafginibmlocclh facile in
dtcabat:quis numem fit fumcdm:quwq ;  fhturu rehquu.

C V M uero confyderando deprxhcndenmus: quoti•
es ultimo diuiforis fubduftio fieri debeat: ut exterx eiuf*
dem notx A fupra pc fids fimihter fubtrabt pofintntime*
rum id indteantem inter pxrxlklxs fupra ultimam diuif o'
ns notam apponamm. gr per lUum numerum quemhbet
diuiforis notammultiplicemm: prouenientemque ex fin*
gulis multiplicatiombus numeru fub ipfis multiplicatis di »
uiforis figuris fic ponamm : ut ^hiotis pluribmfcribcn•
dm erit: primam earumfemperfub mukipheatafigurx,
reliquas pofl earn ftto or dine coUocemus * casque  <t figuris
diuidendi fupra fe locatis,gr a rehquo,quando occurret:
fubtrahamw.delentes femper prim ip fas diuidendi figu*
m,4 quibuf fit deduflio: gr quod ex (tngults fubtrattu*

LIBER!. 74

hibmreliquu fupcrcrit.fuprd ipfdt diuidcndi figure : in
qwhus repen u eft: prms deletes fenbamus co modoiquo
tine dtximm dc tinted pmipientes notd. Qudndocunquc
mem in quouts rehquo aliqud notd retro mdnet nondum
ptrfubinflionecxhdulla'.prteccdesq; earn diuidcndi fgu
td, ex qudpoftfubiuftione mbilrehquu mdtifh: integre
ieletunfuprd ponatur circului: ut retro ddhuc reftantis
treliqui nosddmonedt fimulq- cm dugedt fignificationc  »
Qv  O D cunt pe radium eritifirgule diuiforis not <e
idem prior tbut,-per unum locum promouedntur in dex *
trmy  uliimd diuiforis fub penultimd diuidcndi,etiuque
pmlnmdfub diuidcndi antcpenultimd , fie dcinccps,

locetur. iterumqucde dun for it notit fubducendis codem
Itiodocorfyderandumeftcodemmodojicicndumiquem
4 dmodwm im diftum  < ft .Rurfufque de fubduftione per
4(id,per u”um  1murn promourndm eftdiuifor - tuque
tadem obfertmda funtidoncc primd diuiforis notd fub
primam diuidendi uenerit, ubi finietur opus.

I r A Q_v E ft pc ft fubduflionem quicqmm remdn*
feritiquodminmfit,qum dimfcr.quidpdrtittofirm eft:
fuprn dmiforem ftantem linen mterpofitd notetur, ut in*
dc nobis apparent : quotd pars diuiforis fub lined fubie*
ftifnpfum reliqutm fuprdpofitum.

Si VERO reliquum ipfum mins fit :quam diuifor:
qnmm errerem inter partiendum cerium eft mteruc*
HjfiopM lot um denuo repetendum eft .
fftAETERE A quotiefcunqucgoft unmomni*

57 '

ARTIS S V P.

umdiw forts notdrum fubdudioncm,ufque dd fittem oped
ris diuifor ;pfe diiudendi not is fuprd fe locdtts mdior re »
peritur: uc ab bis non pofo-.t totus fubduci: tones circulus
inter parallels esl reponetidus ■ eyfwgute dim for is no *
t£ nullafitla fubduttione ,per unum locum trdnsfircn*
d£ funt mdcxtram , Kelidhe autem tile duudendi pgura
inproxintd fequenti diuifor is fubduttione debent exbau*
nrt. Atqueideo ftposl confummdtam fubtralhonemitt
numero diuidendo circulus ad dextrdm fupereft: is inter
pdrdUels ddextrd coUocetur .

ILL VD quoque etidm in bdc partitions,qtue per
pluresfot diuifor is notus: per pi titoferuandum eh: utfi
dh qua diui for is no td feprn quam nouies in diutdendi fo*
guris fuprd fereperiatur: nouem tantum inter lines font
reponenda.qucmadmodumin dmifioneper unicumdiui*
forts notdmfo'-iendd fuprd diftum esl .

ET Q.VONI AM aufficantibus pr£ceptd fine
exemplis obfeurd uidcnfolent; exmphs lUuforemus ed r
qutidmdittdfunt .

4  7


6  2

4  1  4  4

/

4 1

Diuidanm

LIBER J, 7$

• T  «

D1V1D A M V S his nnuena rnttid nonirgentd quin
decimmidia,quadmgenta dcccm , perquadraginta ft i
ptcm, Scrtpioflaunt numro diuidendo fupraparaUcks %
fub parallels diuijorem/latudntuf-cf quid fub ultima di*
uidcndmoU binaria, ultima dwtforis tiotd quaternarii
poni non poterit: quod \>£C ilia fit mator : fub penulttmd
diuidendi,qtt£ noucm continetiquatuor reponanm:  er 4
dextrafeptem■ Delude partitum ciufmodi,qu£fequun *
tur.fecum tacitus mufilet, Quatuor inf gum diuidendi
fuprdpofitis, qu£ uiginti noucmdenotant : fepties npc~
rio. fepties cmm quatuor , uiginti ofto creant :  c adhue
tmum fupereR. ucrtm ft fepties fumpferoquatucr: ZT
unum reliqutim ficero: alterum diuiforis notam jeptem *
rim perfeptem multiplicatam mfigura diuidendi fuput
fepofita,^  rdicjuo,<jM(C undec'im coniinet-joties nohrt*
per im.fumo igitur{exits quatuor ex uiginti ncucnt. ZT
quinque facto rekqua: ut utraque diuiforis not a toties in
fuprafe locatisreperidtur-reponcqucfex inter lmcdstcr'
per ea multtphco quatuor: jic funt uiginti quatuor. lgi«
turfubmultipiicata figura quaternam prius deleta re «
pon oquatuor : z? binatij notam, qu£ uigintifignif cat:
foil earn fub ultima diuidendi codoco.Deindc quatuor  4
nmmfupra pofitis demo. quinque auten: reliqua fuprd 1
Houemnoto. ducq-etiamd iuobus fubduco :cr utrafque  '
nolMiunsfigo. iterim multtphco fexinter lineas pofi*
fypcrfeptem^lteramdiuidendt notanr.o- procrenqua <=
dragmtaduo: quorum duo fub mulnplicata figura fepte*

' £

77 AS T  IS S V  P.

IfcffM rcpcno,qitaternarijque figurdm, qute quidraginti
figmficat,poll earn 'dfiniftra,prmfepLem ddetis, jlattto
Deinde quia, duo ab me dcmcre non pcffumiafjumo de i
cemmuiuo: & duo ab undcam toUo . jupirfunt neuem
rdiqua. qua fupra uertieem figno.  er quoniam decern
mutuo furnpfi . fequentem notam qudtcrnmam mo ait •
geo.fic quinque ilia tarn frda a quinque fupra fc repeft*
tisfubtrahe: dcleoque utrasq; ndtm.Rtqucita pest pri*
mm,fubdu£tioncm totiufdiuijoris per tamer um. parti-
tmismultipJicati, utrunique dimforis ipflus r,clamper
unumlocum m dextram prcmcuco. ibt dtutferii notam
quatcrnariminnpucm reliqtm bit reperjo:&■ tatun
unurn fupererit: quod cum quinaria dtuidcndt fgura fu ■
pra feptem lccatajatis eritad feptem bis fubtrahenda
duo igitur inter linens depono . per ea multiphcc quatu-
cr pojierioremdiuiforis notam , crfiuniofio.ca fubdu*
cunturanouem . unim fupcrcsl, cuodfupra nonartam
dnudcndi figurdm prim deletam notatur. dekta find
ettam nota dtuiforis quaternaria. Rurfus feptem multi * |
plico perduoffuniquatuordecim.borumnotam quater «
narum fub multiplicata fgurafeptenariaiunitatis autem
notam,quee decern indicat: poll earn fub tmo rdiquo fta=
tuo. deinde quatuor a quinque,  cr unum ab uno rcliquo
fupraferepojitoAuferoidtcp utrifq;notisddetis,name *
rum ex quinq^rdidum fupra uertieem noto, Rurfusque  j
pojl tonus dimforis multiplicati [ubauftionem utranq ;  e»
ius notam per unit locum in dextra prontcuco: ubi fupra

quatuor

LIBER I* 7ft

giMtitor unitatis notam in diuidendo numero reliftatn,pt
pra feptem quatuor reperio, et quia quadragmta feptem
tn quatuordecim baberi neqtteunt:nec ulk pcteft fieri fub
duclioicirculo inter linens tnfcrto, per umm locum rura
fits dim forem ad iextrm transfiro.ibi fupra quaterttd=
rim dmfons notam in diuidendo numero quatuor.et ex
priore reliquo imum,qucd decern denotat: compcrio. pc
in quatucriecim ter quatuot habenturduo  a unt re-
liqu.t pro alter a diuifons not a fubducctida, triaitdfyin *
ter linens depono.et per ca multiplico quafuorifiunt duo
dec im. borum notam binamm fub figura quaterttaru
mltiplicdid : unitatem autem decern denotantem fub re=
liijuofubfigno.jhiimq- edfubduco a  quatuordecim dele
tis.crduo (uperfunt.  multiplico deinde feptem per trim
unde creantur uiginti umm. horum unitatis not am fub fi
gura fiptenaria multiplicatamotam autem bmarij 4 (ini*
fir a fub reliquo ponoiatcq- ea fcbtraho a fupra po/itis di=
uidendifiguriituideltcet ab wutatisnota cr duobus rcli-
quis (ic nihil ommno fupercfl, atq; it a utr-.eq- diuiferis et
diuidendi notee delentur . Veruntmen quanquam cmnes
tinmen diuidendi figmficantes note per fubtraftionem
fmt texhiiujl£:tamen quia ineo fupercfl adhuc circuital
Cpartitioplenepcraflanonesl: proptereaquod nona  /
dm pmut diuifor is not a fiib prim am diuidendi fucceffe
riticirculus ipfe  inter Incus ad dextram recondaturit a
mmem. pirtitionis inter tineas comperietur, Sexagmta
duo ttiiHii,^ tnginta.

V z

79

ARTIS $ V P*

< 4  <

% 4  X {

* / .'<//,

j $ 9 I o r 4 o 1 <S %

25040

3" S' 9' 9' 9' 9' 9 '

{ o' 4 4 4 6 '

VNVH explicauimus pro rudthus txemplum: utf
duibus notis fcriptis erdt dtuifor. Alterurn aggrcdtamw:
in quo tres notas.pojlrcmarnq; harm mintmam y reliquas
anterior esmaores habeat: cuiufmcdi cxempld djfialius
erplicantur.qmmfipoftrema dtuiforis not a maior ante•
nonbus cjjet. Diuidamusitaque nouies millend millia,
feptingetaquidragmtamillu,qmt:gentafxaginta trio,
per trccenta oft oginta noucm , E t quum not as diuidcn*
dt  e? diut for is f ripferimusiduxcrtmusq- parallels fub
b'.sdmiforemitifla:uanius,utultima eius notajt fubulti
mi diutdendi:penultitna fubpenultima:antepenultimi
fubantepenultim. Deindcconfyderemus,quottes term
rum not am ultimam dim forts k nonaria diuidendi ultima
pofiimus fubducere: ut pro ceeterts dtuiforis nods , que
maiores fmttfubtrabendisjatis fuperftt. bis id fieri pof*
fcdeprtkendcmuS'duo tguur inter parotids pommus.

perqu£

tIBER r. 80

peMut trid multiplicdmus.fiimt fex. cd fubducimuxd no
uan.trid rnsncnt reliquu.ed fupra pojiremm diuiden*
dideletam notanm. jimuldcletacttam dtutforis pojlre *
tna, Uerum per duomultipltcemux mcdiamdimforis otto
ndrumnotdm.furguntjcxieimi.ftx fub otto deletis, re
ponimiix: unitdtisque notdmpott otto fubpojtrema di *
uifomdeinde er fex 4 feptemdemimux : er unumreli*
quum fupra fcribimux.unitdtis ante notamdtribux, qu<e
ex priori reiiquofuperfunt:cxtrdhimux:et duo rehtta ft
gnamus fupra uerticcm.delenturque figure,tarn qwefub
du&tfunt ; qudm d qmbuxjit fubduttio. Rurfux tertian
diiiiforis notam nondriam per duo multiphcemus: er ft*
uni decern er otto. quorum otto fub nondrid deletd re*
ponimmututatis notdm pro decern proximo fequenti lo
co.er quid otto a qudtuor fttprd pojitis fuhducere non
pojfumuxtdece mutuo fumpttx.otto  rf quatuordecim fube
tlucimux. ltd deletii no;is,f x rehttd figndntur fupra uer
ticem . pro ilia autem decern affumptix unum addimux di
fequentem mitatis notdm: qu£ eft fub d.utfore: er duo
illa.q iid’o mo fupra fe repofttoaufvrre no licet: decent
mmintes ab undecim toUimus-.rurfiuq • deletii  noffs.noa
uem rehttd (ignamux fupra uerticem.  E t quontam decern
mumfumpfimus:iterumfequentitoco unum d duobus
fupra figndtis demimuxunumcp quod fuperefhnotdmus,
dtietanoiabmartd.Etquonidm femelomnes diutforis no
tax a fupra pojitis multiplicdtis abftulimut: edx per unum
locum jingiil#  jjj dexlrum promouemus.  I bt iierum cote

f ?

8l A R T  1 S S V  P.

fyderdmm : quoties tna a decent  er nouem fuprapofhk
cxtrahipojjunt:ut tamenfatk adc£teranm diuifms no
tdru fubduflionemfuperfitiid quinquies fieri pofje corns
ptrimut: quinque igitur inter tineas fupra trio,  m ondun  *
tur. per ea,tria multiplicantur. crfiunt qwndcci%quos
rum quinque fub multiplkdta ftgura tcrmnx rcpcnun*
tur.etunitdtis notdpro decan loco fequenti. deinde quits
que fubducuntur a nouem fuprdfc pofitis: cr quatuor re
liqui fupra fcribuntur. unitatk autem nota ab ut;o rclis
quo toUitur: ddenturq . ;  ftgur£. tAukiplicaturdeinde fe*
cundd ottonana diuiforis notd perquinq i . inde furgunt
quadrdginta sir culm itaq-fub ofio locatur. et quaterna
rianota,qu£ quddrdgintd fignipcdtipoftcarn. ea fubtrd
bitur a qudtuor fuprd pofitk.c utraq; notd, transfigu
tur obelifco-poftca multiplicdturtertianonaria diuiforis
notd perquinq;. crcrefcuntquadraginta quinque: quo
rum quinq; fub nouem coUocamur, cr loco fequenti qua
tuor pro quadragmta-fic qmnquc,quia circuits fupra fe
notdtur : a decern mutuofumptis dufiruntur,  cr quinque
mnent qu<e fupra circulum deletum atmotamur. cr quo
tiidtti decern funt affumptaiunum ad fequentem quaterna
riam notam additur.atque it a quinque afex fupra fe loot
Ik deducuntur.deletkcpfigurk.unum quod rcliclum eft:
ftgnatur fupra uerticem. Sic omnes diuifork notce per
quinque multiplicity , cr a fuprapojitk fubdufis, per
wtum locumftnguLe transftrunuur in dtxtram . Et quia
■diuiforis not £ in diuidcndl figuns fupra fepojitkbaberi

mqueunt

*■  V E R  , a  ff

ntqueut:circului inter litter infer it ur. Rurf « pcrunm
locum nngute diuiforis nothin dextru'ihpfdceduni. ibi
tonfy'dermm quoties diuiforis ultimd terndridd'diui*
dendi notis fupru feloatis,qU£ dcfignintqmndecim:tol'
It queai -er quamiS qumquies id fieri pofiit,femel tmen
minus fubducimuf: ttc fequentium diuiforis nourtim h,i-
beatur rdtio-.qutfuorque inter pardOeUs loumm.pcr (A
mukiplicimws trin crfi'uht dmdecim: quorum notnm bi
nmdmfubtribusmliiphcdtkislocdntur:  ©r umtatfsno
td pro decern,infedefequenti- Deinde duo fubducuntur
dqumquc , ©• tru reliqud mnent: ed fuprdfcribuntur .
umtitis dutem notu tollitUr db uno fuprdUerticem poft*
tofiatimcj; dekntur not£,tdm qu£ ( ,ubdutt£ funt, qudm
d quibus fit [ubduSio Multiphedtufdeinde ottonur la di
uiforis notd  per quatuor. cr ori untur trigintd duo.horu
dwofuboflorecoiidMiitur-itmurid fioluioco ftquentt.'
Deinde duo till iemuntm.  d quinq^trin mi-.qud ex his
fuperfunt: in ucrtice notantur. tcrndrid autem diuiforis
notu a tribus, qu£ fupr't notant urtdnfirtttr.dekntur que
niuquenoi£. Pofted tertu diuiforis notd non arid per
quatuor multiplicdtur:inde fttrgunt tnginta fex.horum
fexfub nouemmulctplicdtis, ternarunota loco fcquenti
fubnotatur. ed dfupra fe repofitis dufiruntur,nmpe
fexdfexicrtcrnarid notd  d tribus.Deinde per urnrnlo*  .
em tn dextram finguhe diuiforis not£ rurfus procedut  /
Btqumrima diuiforis ncitd fub primarn fbuidendi fuc*
ftflii imhilquc in iiutdendo nmero pr£ter trwfupcrefh,

* 4

$3 ARTis jvp;

unde fiatjfubduftio ; dtquecd propierdiuifor in dhuJcn*

nitur.t rU ant cm itt^qux partitionefinita,fuperJunt:fua
pra diviforcm(lantern , tinea interpofitd , notaniur. ltd,
partitionis numerus inter linens furgit, Viginti quinque
mtllid cr quadraginta^tque in reiiquotrcs trecentcfimee.
cflog?jinx nonx partes. Haftenus exempla txpofuijfe
fujftcut: in quibus diuifor plures habetnotas ■ per hdc
emm iriteliefld facile feft: quiuts explicare potefh etiam ft
diuifor quatuor aut quinque pluresue habeat notds , cuiuf
modi exemplum mcnte eonfydcrandumfub ocuhijubic*
fimus. to a i  i

•' p s' 9  /

I % 9  J

f i 7 9

/ ‘

t i

* * 9

i t / / / ' / /

6970 J J 4 f ?

7 ' 6 '  3* s' 9' 4' 6 ' j  S' 2' d
4 b o 7 6 o a

7  , t ,  /  / 7  7  /

♦ ??999999  9

» f 7 7 7 7

• / / /  /
* s s s s

/// I

» » t t

/ /
7 7

/

IN OMNI dHfew feflioncquotiefcunq^in f erpar
iiendim poll fubduftioncm fkftm diuifor in dcxiram
promouendus efhjireliquum.quod in dtuidendi notisfu
pra dimforts uerticemJignatis, ex ea fubduftione [uper*
tfl: ntaius reperitur, qum totus diuifor: error ommno
d miff us eh.  er fruftu uhems in ea partitwne progrc*

dtcndtm

LIBER I. $4

iiendimieffer.mjiquis opcram pcrdere wallet,  Q uamob
r'em itcrum a capitc repetendum eft opus. Nam non fo*
lumpestper aft amtotmparttticnem ,relquum, quod'
fupereftkoto dimfore 'minus erit.fi rede proa fit opus:
tier met urn in medio opcreiquandocunque in dextram
promouenduseftdiuifor: idemcuentrcdebet. Quares,
fibene ammaduerfa juerit: non mediocre compendium t -
immomnipdrtinone y impueipuein immevfis[urn*
tiiii diuidendiS, afjvret.

i L L S/D obferuare eft operepracimi  M aior  nr
ram minor em up diuidit. quippe cim in minore maior'
nqn continedtur: id quod hum capitis initio admonui*
mm. Ceterum ratio miri potefttqua maior numerus eti•
fnminorm  dtutdere rede pefitt  .id cjtioi fieti/t de rebut
dminorenumero numerates, primunain /pecks fubfe
contentds ducatur.ut ear urn produftus numerus diuifo *
re maior jdftus cius fefti oncmfir at- Vchiti fi inter fepte
uiros tres aureos partiri admits. Quandoquidem in nil
mero ternario numerus feptenaruis nonhabetur: folua*
muuureum unm in centum nummos fejlertios: qiiibifs  ‘
ajlumtur. centendiriim q- numerum per’iernariimUul *
tiplicemus.cr enafeentur trecenta. qua demdc fi in [ep*
tmpaniamur.numerus feftiotiis predibit, quadragitm
duo,©- fex f ?ptim£. ifaque fi inter feptem uiros tres an
nos,centum nummis fingulos cejlimatos , diftribuamusi
toiufcjuifque confcqueiur quadragmta duos nummos, &
/patera unm nummi [ex [optima *.

F 5

85 A R r I S S V  P.

AD HAEC maior numerus minor cm ftangere m
minutiat poteft.id quod fequenti libro de minMid.ru par
titione procipientes, monfirabinm.

Q V1 S Q_V IS experiri cupitan numeros reftt
diuiferit.mmeram p'artitmis per diuiforem maltiplicet •
O ft ex ea multiplications clique ex reliquo, ft quod fus
perefttmmsxm ditudendus exibft; mb.il errabitfeftip »
Cteter urn ft 4ius.ex (a multiplications numermqum di
uidendus redibitfprojfter admijjmt in ealeulp error e>n_
par tit io tota denuqrepetenda efl.ldq- it a efts rerum na*
tura monfir at . Nam quemadmodum ft partes, quo ab
aiiquo toto demptse funt.iterum cqmponantur: idem to•
turn redeat neceffe efljta ft ex partium earundem inflm
rMdcompofttionealiudtotwmprodeat :qu'am antejue•
rit :uel partes alienas per errorem ejje fumptas,ucl eaf  *‘
dem male iterum coniunftas ejje oportet. Cum itaque ex
numero diuifo per crebram diuiforis fubduihoncm ex*
baufloyperadi diuiftone,nihil aliud [uperfitiquam parti
ttonis numeric: o rcliquum, ft quod fuertt: ft numerut
ipfediuiforadnumerumpartitwnisreflantem toties ite
rumaddatur,quotiesante fudduftui eft: id quod facile
fit, ft numerm partitionis per diuiforem multtplicemui :
adiungamusque reliqutmfft quod remanebit: numerum
ante diffeftum denuo inflaurari neceffe eft. quid et omne
totum cm fun partibui confentit: o pars,quodiffena
Ht,ahenieftatoto ..

D/MIDlATiO nmterormmhilaliudeft-.qum

eorum

LIBER r. 86

mum per duo fe flic que eeriegrpriM4,crlongepm m
mum faciUimaeft fpecies partitionis-Et quamuis non m4
g ni refer at nulla de ea pr&cepta feparattm dare; cum ea,
qu£ tam did a fimtiabuude [officiant,qtuatamcn mitiore
turn line arum apparatu,tum cofyderaticnejpccies bee
parmoniieget i qumc£terce.:qw£,cum fint imumerabi
ks:tum omnesbac difficiliores;opera;prea‘um ejjcfyta*
uimusficilitatis eius compendium aujfkaniibus enarrd
re.Negue enm duabus p'dralllelis eft opuainica iantum
tinea fob diuidendo numero ducatur. Deinde numerum
quemuis per medium [eft urus qtujpiamjJiniftra inctpi •
ens per ornnes not as m dext ram tendat. gy fi Ultimo di
uidendinumri char after twia Jit-ututatisu penpbimo
feftionemordutur.fingulorumq- locoru paribus n time *
ris per medium feftk,ip[umdmd’Mmfublinea lock fin
guhs fubijciat.Sin impar occurrit numerm; imitate dent
ptajeliquimnumerm per medium fecet: dmdiumque
fib tinea reponat.uniias autem ip fa pro decern com put a*
ta metponaque rccondita, ad fcquentem fcftionetn ferue
tur.ut uel denar lit numerum creel : (i circuits ad dextra
proximm eft ; uel ex denario gr primarw cbmpoRtitm
ft aliacccurrit nota.isque numeral,fipare ft,per medi*
urn fecetut . fi'impir, umtatc rurfiu detnpti at que adfe*
quentem [e ftionem :uti tam diftum eji : feruaia, rekftm
Humerus per medium iiuidatur. Siuero in diuidendp r t u*
tnero priufquam adprimamnotam uentum erit ; unitas
occurrei.fi nihil[upereft memortd reicntuni,quod ei ad*

S7 A R r I S S  V P.

tungitur:fub lined pondtur circulus.unitdsque ipfdddfe
quentem jeftionem feruetitr.femper autem dinndum f
Lncxrccondaturjtd progrediendum efttn dixcra>n,uj<.fc
id primm notdm,qu<e Ji arcultafuerit,o- proxmut ci
mmerutpdr repertutc&tfub linedponaiur.Sinproxi*
otui ei numerui impdr compertus cshii quo dempta utm
tds mente retent a mneticircului ipfe cu umule iu»d  4
decern dvnotabir. quorum quirifaqu* funtdimtd:uwi:Jub
lined reponentur. Sin unitdtisfuerit notr.fidcnurm dti~
quisexmemorideiddmgitur:umtdted}Mftd,dece funt
fccdndd,cr quinque fub lined recondendj.ipfnawe-n uni
tdtisnotdpro totm feftionis reltquo, fuprd diui orem
fldntem lined interpoft:d,notetur. ficfcripta unm intei
gripdrtemdenotdbitfecmddm.qii£ dmtidiwmcdpit. in¬
dent inreliqui locu trdtisfvretur unites : etim Ji nullws
dendriuinumeruimemoridretentuf fupereft quicumc*
iungdtur. Numeral dutem pdrtitionis fub lined diuiden*
do numero fubieft a Jurgens dppdrebit .

H<ec qudmuis propter focihtdtem exemplo nihil cgea
gnt: unm tatnen pro rudibus adiungcridu cffe  duxtmui,

1  \  *

2 j 1 T 4 l O ? l

5 7 ° 5 1  5

INVESTIGEM VS itdquedimidiuminmiUenis
jwHibui,centum quddrugintd cr urns mill-bus,atque trU
gmtd mo , Script ofuU notis itumcro,dufidquc fubeo ha

tied,

liber i, 83

m, quid unit m  in initio a jlmfird occurrit : incipimut  I
penultima . ubi etiam altera unitax eft -Itaque quoniam
tbi undecim babentur: imitate pro denario ad fequentem
fefltonem feruata,decern rchda per mediumfecamus.y
qmnque fub tinea repommus • Progrcdimur deinde ad
proximum locum: ubi quatuor reperimus: quibus denaa
num ex memoria depromimus: ut fiant quatuordeci'm l
harm dimidim, f’ptem, fub tinea locamuf , rurfucque
progrcdimur . ibi occurrit unitaxtquce fecarinon potent
1 deo fub tinea circuluf ponatur: y umtaf fcruclur in fee
quentem locum. in quo quia circuluf occurrit tcuiunitas
adwntta decern/iciunr.qumque fub tineaflatuemuf . Dc«
two progrcdimur-ibi tnaoccurrunt:quorum uno,quia
numeric* csl impar,dempto,duofecamuf:  ©• korwm aU
ter wm fub Unea condimuf, denario numtro mente in fee
quentemfeftioncmretento. Rurfucadiextramprogre*
dinur ad pnmam unitatis notam: cuiducemiexmemorii
tdrnfta crcant unckcim. unitate itaque dempta, decern
per medium fecamut: O' borumquinquefub linedrepom
mm. unitatem autem dhm fupra dtuiforem fiantem he
Hea interpofita fignamm ut unm integri partem feeune
damfigmfeet. Ita partttionis numeruefub lined manebk*
Quwgenta feptuaginta miUia,qu:ngenta quindecim  .

DE PROGRESSIONS.

P ^OGRESSIO arithmetica,cftnumcrorumifi
terfc xqualiter dijlantium munamfummam ccBem

8£ ARTIS SVP,

iliotof ucluticompendiumquoddam eosmmuroS tittme
rami,duiparibus mteruaUis difiant.  E ius itute dux funt
fpccies-Altera efltin qua natural/numcroriim ferie fer-
uttaqmnents quilibet fcquens fola imitate prxeedetem
fupefat-Jicutim hoc exemplo i.z.i ,4.5.6.7.S.9. Altera
inquanumefos quoslibet omittentes  ey paria feruantes
lritcru dh,\ong\m numcrortm feriemconmttimus.ue «
tufi.'ij,5.7.9.11.,i}.  In utraque autmfpeae idem eft
per compendium numeric coUigendi modus. is autetit
hdc himemhricdnfjtdt rcgula . Si nUmerortm inter fe <£=
quahterdiftantium atque ordine contmuo dijfofkorimt
pries par occurref.eorum primus numerus tungatur cut
pojlremo : numerusque ex eis aggregate per dtmidium
numeriloca feriei numeratismultiplicetur. ltd fie t tut me
tnerusexhoc produftus fumma omnium ccmmonjlret .
tfcluti inhocexemplo i-z.s,4. f.6- 7 .s. primus numerus
i,adpojlremm  s addatur,cr fient  9 . Cumque in to-
ta ferie ftnt s lot a. ducamus  9 in 4 eortmdmdiim .
er prodihunt zotqux omnium eft fumma . Similiter ft
exemplicaufaproponantur.  1.5.5.7.9.11. primus nu¬
merus ad poflremum addatur.  ear pent u. er cum in
tota ferie ftnt s loca : ducamus  » in eorum dtmidium- ‘
tiempc 1 fie [urgent qut fumma eft uniuerforum -

Quod ft numerorum  4 fe sequaliser difiantium atque  or*
dime coittinuo difpofttorm ferieserit impart tunc mime
rus indicans,quot loca funt in ferie,non in eum numerutn
ducatur : qm indicat quoins loc us eft in ferie mcdius,fect-

tnern

■SI

tlB ER I.

'in cm numerum quitn ferie media* reperitur : atque Mb
utroque extremo aqualiter diflat. itammerus procrea
tut omnium funmiam pate fact. fkutt in hoc tximplo .
i\i.3-4.^.6. 7 .qui'd locaferm funt 7 :y mediai mime 4
rut eft 4. 7  in 4 ducamus : y f-ent is: qu<efurhma efl
uniuerjorumjtidcmfi exempli caufa fumar.tur^.4.7.
to.13.quia locaferietfunts : y medius numerus cft 7t
f in /ducamus.y fient  35 : qua: [ultima eft omnium.

Alia regvkiitur magi*generalts: y tamer nonminks
ccrtaiqliam eft dda prior.ca autem efthuhtfr.cdCln om
ni progrcfwne finthmetica, fiue fcries par, flue imp at
Jucrii numerm ab extremeru/m addtime colic ft id in num
eicrum mduanum,quot he a funt m (erte,multip!iceiur .
tiumerwque prtidu&ut pellea dimidietur.et fumir.a prd
grefiionti  kabebttur-Exemplutn in [eric pari.  1.3.5.7.9;
11. primus numerus addim ad peftremm fecit n. y
quia 6 locaferieifuntui per 6 multiple emus, y fur*
gent 71 . queefi dmdienturifent soiquafummdcfipra
grefionis.Exempitm in ferie impart.i.4- 7 .io.uMctri
mnumerifimulddditifcmt 144? qutair. ferie funt ft
loca  5- m  14 dufta.creant 70 .qua ft dimidtenturtprede
Mil's*. qi<£ fumnta rcperictur uniucrfi progrcf.ionis.

Si Vis expenrtdn reftc fv.mmm ccliegeris. ab
ttnmfa fum:a per compendium muclhgata fingulos in
finenumcros fuhtrake • y finihil erit reliquum t reftc
cclkgilh.Qjtod fiquidreliquimanfit: error interuenit.
Alia Jf ecus progrcfmis habetur: qum Geometric ant

0 Artis  s v  p.

upcdntiinqudwimerorim longoordme chftoJtormtH
terualld funt in? qualia-quando inter timeros ferie qua*
dim conncxos proportio aliqud repent ur;ueluti dap (<t
tripli.quadrupld.dutedpidior.de qudinproportionm
hbropojieadiduri fumus-

D'E Q.VADRAT! F.T CVBr LA*
tcribus inuefligandis.

T \ E Q.V ADR AT tercubilateribtisexquiren

J_ / dit diduros prrfiri pnmum pdued queedam not

oportetquis numerus fit quddrutus: qidscubur.quo mi*
gis de rebus notis pr£ceptd daturt,cuncla intrUeftu fact*
Itori reddamus, Humerus itiquc quidratus ishquiex u*
mco numeri cutufuis mfe duftu constituitur. i uiufmodi
numerus esi qudternarius,quiex unico binarij numeri in
[e duduprocredtur. bind nimque (emd at[e duftd proa
ducunt quituor. Simditer nouemnus numerus quddrd*
tus esl. mm term f ;mel in fedufid educunt nouem. Itia
dem is quidratus eft numerus.qmp'peqmterm infe ft
melduftdprogenerdnt fexdecim. Ad eundem modum re
kqui numeri omnes in fc feme' dutfi,  I i t i
quiinti ideo dicuntur.quod fi dtut? ttii

pm per unitdtes fcribintur fbrtmm ittt
quddrdtim refer ant. ttii

- V NDE quemadmodumincorporecontinuo qui  j
drdti Idtus dppeilitur :fic in numeris latus quadrati nu*
m t em die uocatur.qui mum c ktenbus numeri quddrati  j

perficit,

ilBER I, pi

perficit, quod Arithmcticiquadratirddicem non itiepte
appellanttquod ex eim infeduflu numem quadratus ut
hit cx radice quapiam arbor, fur gat.

C ubut numem eft,quiex numeri cuiufuis femel in fc>
atque iterum in mtmerum produflum multiplications ,
ccmponitur.cuiufmodinumerui eft oflonarm, nam hi*
na infe femel duflacreate, iteru bind in  4. dufla,creat  s
Similiter 17 numem eft culm, terna cnim in fe dufla ere
ant 9 ,itcrumq terna in nouem dufla faciunt  27, itident
<>4 numem eji cubits. quippe quaterna in fe femel dufla
educuntis . iterumque quaterna in is dudd procreant
64. atop ad cundem modam reliquinumeri omnes femel in
fe,atq ;  iterum in mmerurn produflum multiplicdti, cube
idea dicunturtquod (i in corporum [oltdorum fbrmam re
dtgantur: ad  exemplum cu&i, tra dimenfionestequalesj
nempe longitudme,latitudmem,0- crafitudinem, habere
repenentur.  E fl dute cubm corpus folidum fex cotir.ens
ptanicies quadrate, atep baru later a duodecim: quorum
quatuor inferna funt . quatuor fupernatquatuor ab infer*
nisadfupernapertendunt . anguloscp habet ofloiuideili*
cet quatuor infernos, quatuor fupernos.inquorum fingtt
Its terna later a coeunt . Latini tefferam uocat. quanquam
in numem uocabulo ipfogmeo Latinitdteiam donate
tndghutunturiut cuhum uocet . Cubi uero latrn numerws
ie didtur,qui unrne cubi lateribui efficit : cr quadrate
in eo contentilateri<equale eft quod cubi radicem fatisap
pofite mneupant; quemadmodm de quadrat i latere im

9$  art  i s $ v p;

ddmonuinms• Quocirca mtiifclium eft,in ontni numtre
cubonumeru quadrat u/m haberi- C<etcrum non econuer *
fo reperics in otnni quadrato cubum. V nit Ate m autem  A<
rithmetici ZT numeru quadratum,®- cubwm efje uolunt•
in buiufmodi laterum cxquifiiione magnum cnafce--
turftudiofis compendium ad Arvhmcticam pernofcetu
dam. per banc enim Ptolemtus ajlrorum longe peritifj
mus,corponm fupr'a ccelejlium & fibteranm magmtu
dines admuenit : uelocitatemq; motuum in his depraben*
dit. Ad btec eim cognitio non modo Afirolcgue difiedi ,
uerumetiam Geometric, tantopere conducts: ut fine bac,
quae iiibis pulcherrima funtiinteUigi nequeant  *

Veruntamen rerum ordo pofeu: ut de quadrati latest
inuejhgando,print dicere aggrediamur.Etam quadrati
later is exquifitto mbit aliud fit, quam numert aheums in-
uentio: qui in fe dudus uel tot am numerum propofiiusu,
fi quadratics fiicrit: producit: uel maximum numerum
quadrat um in eo content urn fiipfenon Jit quadrates  .
numerum tpfum latus fdcientem fic imtefhgabis .

Frincipio numerus quiuis,in quo quadrati radicem in*
ueftigare cupis: pundis fapra uerticem fignetur in locH
imparibus.uidelicet Frimo,Tertio,Quinto,Septimo,
Nono, £r rehquis itidem . E tquia quadrati later is intte*
Jhgitio nihil aliud eft , quam qutedam diuifionis fixed*
estfubnumero pundit notato due line£ parallel£ du<
cend<e funt, Inter quas latus ipfurn exquirendwm pond*
tur: quemadmoAm in diwfioneprmpimm  ♦ quid quot

t I B E K I* 5>4

idfcripta punda dcprtehaidcs: tot in numero fedionis
nutHeros primaries babebis, tiumcri propofin radicem
ojiendentes. Dandc fub extrema adfinitlram notd,pun<a
do loco imparl ftgnata , numerut ahquis priiyaris ex *
quiratuf: qui fund in fe duds tot urn rejpecut fui loci mt
mru l mfuprd[erepcji:um fubdudmabokat; uelfaltem
qudmp'rbxtmc fieri pote ft: ft totum dekrenequit . Ha*
lufmodi intern numers prtmariut inuents inter pdraUe
tdinftrendseft,atque in fe multiplicands . cpo&*
quk*n numeri procreatifiida erit fubdudto \reliquum,fi
quod eritifupra notds,dquibsfit fubtradioidckts e  ae
fhgio,ne rmonemconturbent reponatur. Dcinde nume *
rut tpfeprimariiu duplicands eft: gr duplum fub pro*
ximafgura dexterioriponendm .

Quod fiexdupdicatione numers duabs notis feriben*
do*  prodeat: arum prima dextram uerfut fub proximo
ftgura,quie inter pufto fignats media efbreponi debet  _
Altera fuo or dine fequens ipfam fub ea nota reponatur  «.
fub qua primarius rimers inuentut eft. lterum deinde
alts n timers primaris exquirends eft. qui in duplum
duds totum mmertm,q;n fupra duplum pofits efkitet
fubtradsexhaumt: ut poftea etiamtn feipfum dud us
totum numerum a dextra proximo pundofignatum cum
treliquo,fiquoderit:abforbeat.Sin totum aufvne nequiti
ab  co toUat,qum plunmum potefi. Quod cum peradum
erit totm inter parotids numers dupliconds eft : da*
plmfy fub proximo, fguu dextram  a erfs it a ponettdu;

Q  2

s>? Artis s v p,

ut primi dupli notafub ca figura,qux proxime inter pum
clo fignatis medk eft : uclut ad pcrpendiculum repond•
tur: alucfcpoftipftrn,fuoq; qutque ordinejendentes in
finijlram. Rurfm dnnie exqutrenduseft numerus all*
quisprimarw.qunn duplwm duclustotm nurnerm,
qui fuprd duplurn jitut efttficfubdudusauferatiut pofl*
caetiam infeipfim dudusnumcruma dextra proximo
pufto notation,uel totu deledt cm rdiquo : fi quod eril :
ltd qium prope id fieri poteft. Aiq;ad hunc modwm pro *
grediendimeftadprimamufquenotam. Quotiefcunefc
autempoft numeri primarij duplicati multsplicationem
&■ [ubduftionem, nurnerm ipfwm primarim ductmus
in fe ipfmifemper id fub ahquo punfiofieri deber.ftatini
que e ueftigio quicquid inter paraUelas in nutnero fedio-
nis reperitur, duplicandum  csl: er primi dupli notafub
proxima inter punfla figura ad dextram reponenda eft:
aetcrieq- pofteatn,fuoordine in finijlramprogrcdien*
tes : quemadmodum iam dixinm. liiudqucq i  dihgentet
obferuandum eft. Quandocunque in quauis inuefhgatio•
ttis parte numerus ahquis pnmarm muentri neqwt: pri*
mum in duplurn,delude  w/c ducendus,quin produftuA mi
creritnumero fuprafelocato: ut ab 1U0 fubduci nopof a
ifil: tunc circulm ad numerum inter paraUelas afertben*
dm eft . ommbmq; not is numeri, cum radice quaerimiu :
mtadis dim f as, deletis tamenfubparaUdis dupli not is  .
progreffus  in dextram fiet : fi nondum peraftum eft  o«
pus  * totufqu; inter parallel# tmicm itd dupliceturM

primi

LIBER F. $6

prim dupli notd circular is fub proximo id dextram figu
rd,qua inter pun ft ofignatat media eft: reponaturxete*
rack poft eamfuo or dine infimflram tendentes : ut ante
diftum eft-Per add dernrn radicis inuefhgatione,fi mhil
rehquum erif.pal'm eft nuttier wm propofitim , cum la «
tut ,fcrutatifumut: quadratumeffe. Quodfiquidrelim
quwmmanftr,noneritquadratws:fedmmcrus inter pardl
lelae radix ej]e comperietur mxm numertquadratiiit
eo contend.

Et quomamohfeurd fine cxephsno facile inteWgi que
(tut,exepld nunc adtungammqu£ cunfta magis illujtret.

7 & o  y  Radix

»" 4 / a*  / o'

/ -* S ‘ ■

E X quinquagiesfepties miUenis mithbut ,oflingetu
(is triginta fex miUibut,  er uigmd nouem,radicem erua *
tout. Poflqua numeris fuo ordmeperferiptis, duftec erut
parallel #: locacp imparia pun ft is annotata : fub poftre a
•mo  ad finiflram numero pufto notato rtumerm aliquem
primrium queramut : qui in fe duftut ucl totum numes
rumfupu fe notatum, qui eft S7  • ucl qudm proximefie*
ftpoteftifubduftui de lends autem erit feptenarm.nam

<3  *

p?  ARTIS STP.

in fe dull <1,4.9 errant . qua: ft fobducantur a f 7 :fuper*
funts . itaque 7 inter paraUelas inferendafunt . ac pod
tnultiphcationem o fubdudionem fadamdekiisnotis,
«fupraposlrcmum pundum manebunt rcltqua: qua fu*
fra uerticemnotentur . Dcinde 7  inter parallels pofiti
dupliccmut: O' font  14. quorum 4 fob proxima ad dex*
tram not a odonaria reponantur: o unit as denamrn m
tnerum defignans afiniflrafub numcro odonano ex prio
rifubdudionc rchdoTum iterum inuemendus eft tlume*
rus aliquis pnmarius : qui in quatuordecim, quadupk
funt: dudus numerum fupra ilia pofttum ficaufirat:ut
podeainfe dudus preximum a dextra numerum pundo
notatm cum relcquo, fiquod erit: fubdudus tcllat ; ucl
faltmqudm prepe accedt potest. is autemeritftturivs
inter parallels fob proximo pundo infer endus  per quern
tnultiplicatd  14, fheiunt  S4. qua ab  ss fupra ft pofo
tisfubduda,relii:quunt  4. Dcindefex in fe duda,creat'd
s s, qti£ a  4? fupra fenotat u exempta, reliqua faciunt 7
fupra uerticemnumeri ternary pundo prexime jigndti
notandaiterum deinde duplicare oportet: quicquid inter
parallels inuenitur.quocirca 76 duplicata, fkiunt ip.
quorum prima nota % fub proxima inter punda fgvrd
fenaria ponenda  eft a dextra: cateraque pod cam f •to or
dine d fimfoa. Deinde numerics aliquis primarm rurfus
eft quarendus : qui in totum duplum dudus numerum fu¬
pra fepofltm auferat. Sed quoniam is inueniri nequit ;
quod rnmerus duplus  i? j maior fit mrnero fupra fe loot

tO 76',

LIBERT. pS

lo 76 : circulus inter paralle'as fab proximo ad dextrant
punft o,ipfi inter parallels numcro addatur, notxq-, du=
phfubparaUelis deleantur, Cietertm not<£ numen cuius
radicem quterimus: maneant intada:  P rogrediamurque
in dextram .crurfus dupheemus tot urn inter paralk*
las numertm 760: cx e<x duplication [urgent  15-10. quo*
rum notd circular a fubproxma ad dextram figura bi*
nam,ponenda eft inter pundo figtiatas media: c&tereeefc
poft camfuo quaque or dine. Ac turn numeral aliquispn
warns perquiratur : qui in totum duplum dud us numc*
mm fupra id localum, fubdudus deleat : pojleaque infe
dudui proximwm d dextra numertm pundo fignatim
cm rehquo,/iquoderit:auferat.uel faltcm quarn proxi*
me fieri poteft  .is autem erit quinarius.;,igitur inter pa*
raUclas reponentur. per eaq-finguhe numeriduplinot£
feerfummdtiphccntur.numerifycx multiplication pro*
uenientesfubducantur a figuris fuprafe locates. ctuafta*
tim dele ant ur. Et dernm in fe dud us numerics tile quina «
rrn fubtrahaturd nouenarionumero pundo notato,  er
4 erunt relida. Vndefatis liquet iquoniam toto op ere ab 7
foluto,adhuc ahquid fupereftinumerm prmopropofi*
turn non fiaffe quadratum . nam (i quadratics fajjel : m*
hlmanfijfet rehquum .

Hoc excmplo (ludiofis quadrati Uteris inueftigandiuiam
aperuiffe ji fficerit . Altertm plurimum notaruw oculis
ffeftmdm atque animo confyderandim adtungamm ;
quod fade fi n c pr&eunte quiuis explicabit.

s 4

4

*' 4 o'

4 4 4 6' 4 < 4

y { 9 ' 4  / 4 4  s' » Ktliqutm

it t  / v f  /

• I «

✓ / / / / / / / / / / 7

7 9 4° 15 457 778

• 1  ■ ■■■■■ ■ « " ■■■■■ ■■ *» ■

i 8 p x o 7 6  R mx

4  4  { 4  3  *' 4  4  4  4  4

j' 4 4  / 7" s' 4 4  t 4

s' 4 4 J 4 4 4 4

4 4 / 4 4 4

4  / »'

4  4

4

Siquiscxperiri uelit,anuera radix quadrati numeri
fit inuenta-Radicemipfam in fc multiplied.wji quid  re<
Uqui manfit: numero ex multiplicatione produfto add at ;
quofief.uttiifiperpermfiftafit inuejligatio : mmerus
primo propofttm rede at. Quodft dm mmerus prodit:
opusrepetcnduefl } ut error corrigatur.lpfm etutem re*
liquu square diquando poteft quadrati Uteris inueti duo
piumifuperire nunquampotefi.utputa, ft mmerus pro*
pofitus ejfet s: radix maximi numeri quadrati in eo con «
tent i erit i.qu£ in fc dutta create O  4 crunt  reli(la:qu<t
duplrn radicis continent. Nam/if reliqua ejfentiiamfie
rent qua ahamradiubabenf.uideltceti.ltidemfipro*

pofitrn numem effet»;-.quadrata radix dm effet ?: qu&
infedufta ftciut  9 , e rsreliqua: qu<e duplicatamradice
apmt.At fi relifta effent 7 ,prodirent iG,qii£aham ra*
diccm,nempe  4 cftentandSimiliter fi numerut propofitus
cjjct  14 '.radix nmirm numeri quadrati in co contend erit
4 :<JM(E infemultiplicata fucimt  is,er s relinquuntur,qu£
duplum railed continent.nam fireliqua effent$:iam fie «
rent z;,o-[urgent alia radix,uidelicet f.Aty ad eundem
modumdeincepsaeteri numeri fehabent.quamcbretn fi
iw reliquo pirn reperiat , quam quadrati later is inuenH
duplum: errorem calculi palm eh inter ueniffe.

DE RADICFH IN
cubit mcfligatione .

I  Am ante admommus } cubum numeru earn ejfe: quiet
numeri citiufuis femel in fe, atq • iteru in numerum pro

dudtu,multiplicatmecomponitur,cumlatmmejligatu

ri y milknarioru loca, pundit fupra uerticemadfcriptis,
fignemus. Duflisdemde fub e0 numero parallehsiquem
aimodum de quadrato numero fieri pr<ecepimus:[ub ex*
tremo adfinifiram millenario numerus aliquis primaries
exquiraturtquifemel in fe,<tt^ iterum innumeru produ*
(l mjnultiplicatus, totum re/pettu [ui loci numerufupra
fe repofitutn fubduclus aboleat. ucl faltem.quam plurimS
potdlft totum aujvrre nequit , H uiufmodi ante numerus
prmrius inuentus inter paraUelas inferatur . femelq- in
fe at% iterum in numeru produfiumukiplicetur & poi i

G 5

Mt A R T 1 S S V  P.

qudm numeri procredtifddd erit fubdudio: rei-quumji
quod rcftdbitifuprd notdsd quibus jit fubtrddio: dcletas
« ue(lig’o,nerMonem conturbentinponatur.Quotum
etutem quints numerus primdrms,pruts in (e  er detnie m
pumeruprocrcdtum multiphcatus produat: ne quis dm
htfitetiqu# fequuntur,ante oculos pofitd deckrabunt .

Delude numerus ipfeprimarws tripltcdndus ed. er
tius, quod triplum erit: prima notd fub proximo figure
prater unm a dextrd reponendet efhedter# q- post earn
fuo qutque ordmej/imjlrd, Poftea exquirendus eft nu=
mrusdliquis primdrius. qui umeumnumeroprimdrio
prius imento,nunc prodemno computando, dudus in
totum tr iplrn: detndcfolus in mmerumex multiplied =
tione procredtum dull us, totum f<,ii locircjpedu nume ■
rumfuprd ferepofitum cum rehquo,fiquod erit : fibdu*
Mus deledt.pofledque etiam folus in feipfum cubice , hoc
e&rpriusin fe,demde in produdum multiplicdtus, totum

numerunt

LIBER I* 102

nrnerm a dextrd proximo punfiofignatum, cum pr<e*
cedenti reliquo.fi quod fuerit:exhdurut.dutfitotumdu•
ftmncquit:toUdtabco,qudm plurimumpoteft. Quod
cum perdflum erit:itcrumtriplicdndum efl,quicqtudin
numerofcftioms inter parallelas cotmetur. er cm quod
tx buiufmodi triplications ncttum erit: primd nota fub
proxima prater unam fgura a dextrd reponatur. ce*
teraautempofi cdm,fUo quaq- ordine.  R urfufqus in*
uefligdndm eflnumerus aliquis primurim; qui uni cum
omnibus numeric pritmrijs prim inter parallels infer*
tit dudm m tetum triplum,pojleaq; fine iliis folus in nu*
merum cx multipHcdtione ndtum dudus, quicquid fuprd
triplum liumerum repefttum eft:udtotumabferbeati
tiel cx co, qum plurtmum poteft: deleat.  D einde itident
cubicefoliainfeipfumdudustoium numeruma dextrd
proximo punfto fuppojitumcum rcliquo, ftquoderiti
modofieripofiittdufcrat, dlioquidb eo, qudtnplimmum
potefi: cximat. Pofl hac denuo triplicandum cfl: quics
quid inter paraUelas reperitur.  er numerus dim primd*
rius exquircndur.cateraq- ufque in finem o per is ad cun*
dem modum per agenda: quemadmodum iam didum esl .
Quod ft mhtl reliqui manfit: numerus,cum radicem uc*
(ligduimut: cubits erdt. Ai ft quid eft re'udum numerut
nonerdt cubits. Caterumtruta radixktm esl maximi
nmeri cubici in eo numcro contcnti  •

V B1C V N Q_V E autcm in quauis meftigdticnis
f?Mc numem dhquis priman us inuenm neqvM ; qui uni

10} A R r I S 5 V  P.

cuntilijsnumerisprimary; priusinter paraUelasinfeta
tisintotum trplum duucur : pojleaq; folus in numerunt
procreatum multiplicetur: quin numerus produftus mas
ior crit numcro fupra fe locatoiut ab illoftbduci non poj•
fit: tunc circulus inter paraUelas in numerum partittonis
infcMtur.omnibusq; notis numeri, cuius radicem quaris
lints: intaftts dimifits.deletisq-fub parattclis triph notis,
(i nondumfinitum cR opus : progrefjusm dextram ultra
proximm numerumpuntto (ignatum fiat.totufque inter
parallels numerus it a triplicetur.ut primi triph not a cir
culansfub proximo figura prater unm,ultra numerunt
proximo pun (to ftgnatum, a dextra rcponatur: cater
poR em,fuo quaque or dine tendentcs in fimftrdm .

E xcmpla nunc offer amus :qu<efinguld manifeftent .
Atqueexducenties qumquagtes mdhesmiUems milhbus ,
qningentiesuicies termiUcms milibus■ quingentis otto*
ginta duobus miQibus,quadringentisfexagmta quatuor s
radicem cubicam cruamus .

4 7«

s' . 4  » * •

tl f  o' / 4 t /  s' i  4  4 4 Numer? culm

4 Radix cubi

4 4 ( s' 4  s' 4  s' 4
4 4 4 4  / ?'

{ 4 4 4 4

4

* 9

4 4 4

, ?

7

LIBER I. 104

Stdtimqu  e poflqudm numeri fuo or dine perfcripti du
faque fubtws pardUehe,  O' miUenariorum fedes pundits
erunt fignat£ :fub pefremo ad ftmftram milicnduopun
ttonouto nmemaiiqms pr unarm exquiraturtqui fe
ml mfe,  o~ ncr urn mmmtrtm produttum multiplied*
m,ud totum numerwm refredlu fuilocifuprd fe repoft
tum,qui eftif^fubduftm dclcdt : ucl fait cm ex eo, qukm
plmmm poteft: aufirdt. Is numerui eftfenarm. nam
fexies fena fexies u 6  dccumulant. qua ft fubducas ki$ot
fuperfunt }4. itaque 6  inter paraUclas mferenda funt„
etc poilmultiplicdtioncm  er fubdudhoncm deletis notis „
h  pro reltquo jic notdnda junt: ut  4 fupra peftremum
punftmnotcntur.o-i abecrwmfimjlrd.'Deindc 6  m*
terparatldM pofita triplicemus.&  fi urgent  is: quorum
s fub  proximo not<t prater unam d dextra reponantur.k
fimftra  1 . Turn muelhgandut  eft rimer us aliquis pn=
minus: qui uni cum numero pritndrio prius inuento pro
dcmnocomputando dud}us m totum triplum,deinde fo»
luf inmmerm procreatum dudtus,totum enu loci rcfpe
lhnumerum fuprk repofitum fubtraftus fic toilat: ut
poflea ettm foks eubtee in fe dudlus uel totum nume*
rum a  dextra proximo pundlo ftgndtum,  or reiiquum,
fi quodpreecedit: exbauridt . uelfaltem ex eo,qukm plu»
rimum poteshdeleat. Is uero erit %: quoniam nota terna*
riilocdta idextrafenarij, quaante repojita  eft :pro*
fert 6 i.qa£ duff a in is,cream  1154 .deinde  j fold duftd in
'pfdui^prodmnt s+oi.quaficfubnoidddfunttutpm

10 $ ARTIS  S V P.

m.t not a fub pnmx tripli figura reponatur : c<eferi fud
ordine fequentes pofl earn, quarum d fupra fe pojitis fc
{id fubduttioncffuperfunt $o . demde 3 fold in fecubtct
duttijidunt 17 : quorum  7 fub numero tcrnano proxi*
trio pudofignatoiiy zdb eorumfinijlra (latuenda[util,
Horumtunc [ubtraftione a fupra fe locdtis notis fad a,
476[uperfunt.Dcinde 63 qu£ funt inter parallels , tn>
pliccntur.er [urgent 189,quorum 9 fub odomriet nottt,
qute proxima figura prater unam efhreponantur ; aeit
nt pod earnftatuantur a fimflra. Rurfu-s tnquiredas est
numerus aliquis primdrm,qm unit cum numeris prim «
rijs ante muentk prim in totum triplutn. crpojted folk! ‘
innumerum produfium multiplicand, numerum fuprd
repofitum uel totumfubduftm aufirat: uel quitm plan-
mum cxeo potefl.ld autem hoc lotofienneqiuquam po
tcfl.nam etiam ft minimus numerm primdrim,hoc  ett,ip
fa unitds affumeretur ad 63, ut effent 631 : cay in triphutt
videlicet  1S9 ducerentur :Qr polled fold unitas in prctiu-
flumultiphcdretur:[urgercnt 1191*9: qu£ longc trans=
ccnderent numerum fuprd fe repofitum  47653 • ltd quo•
nidm fubduttiofieri nullomodo potcskctrculm inter pi
raUelas ad numerum feflionk dpponatur. Sic omnibus
notis numeri cuius radican qu£rimtu: intaflk dimifis,
deletky fubpdrdUelis tripli notis, fdflo ultra proximum
pundum mdixtram progreffu . qmcquid inter pdrallu
Idsefbhoc csl,630 denuotriplicemuf.cr fient  1S90. quo
turn circulm,qu£ puma tripli eft note: fubfigura fait

r iu,qM

LIBER I. I0<£

rid, que proxima prater unam est : ultrd proximum nu*
merum pundo notatum ,fignemus: cotter afque pod earn
fuoquanque or dine .  R urfus demde exquiramus numea
rumakquem primarium: qui und cum  <530 in numerum
tnplum 1S00 dudus , poflcaq- folus in numerum produ*
dum muluplicatus, numerum fupra fcrepo/itumjubdu*
dmfuaboleat: utpoftea etum cubice dudus mfeipfuni
ueliotumnumerum a dextra proximo pundo, fignatum
turn rehquofiquod crif.uel quantum ex eo poteftideleat *
Ij Mein e ft 4.nam  <3304 in triplu numerum mdelicet  1S9©
dtttiproducunt k$i4<;6o  . Hcinde^in ipfum numerum
produdum multiphcata creant  47 653140,quo funtftpns
ft pofitis notis prater pofir and omnino <equales:at<j;  as
fubdudeeddent. poftea  4 in fe cubice cdudaficiunt 64
quo tot urn, quod fupereft:fic auftrunf.ut nikilpemm fit*
per [it , Numerum itucj; propqfium liquet Juiffecubum „
ET quoniam in cubi later id iimihgatione poft trie
plicationem alicuim pnmarij numerifiifldmftatim Alius
numem prtmarmqiitrenduseft:qut un'a cum prima a
rio numcro prius inuento in totum tnplum ducatur;dcin^
de folus in produdum,atquetterum folus tnfe cubic ami
tiplicetur  (quia numtrus itlc primarius tarn uarieconfy*
deranduselhprimum,qmd producit, quando pars efi ma*
iorisnumcraterum ,quid folus profen multiphcatus in
produdum:rurfus,quid cubice in fe dudus procreate u&
let) pirum exercitacos moratur hoc cogitatio: quifnatn
Humerus pnmarius tot officia pro flare pofia, Qumoh*

107 ARTIS S V ?;

rem,utin c£teris omnibus , itd in hue replurimum iuud•
bit exercitatio:qu£ per affuetudtnem,quantumuis nr duo .•
prona reddit, Qttcrm non medioeriter conducef.fi pofl
numert primarij inter paratldxt pofiti triplicationem,
priusquam numerum aliquem pnmanum cum eo copuli
bisxirculum ei adiuttgas: tentesefc quern numerum in trt*
plum dudusficiat.  D einde etiam temaripotcfl umu ant
alter numerus pnmarm: qui in triplu ftmilitcr ducatur .
C? numerus ex hoc produdus ad numerum priorem pro
creatum ex dudunumeri circulumaffumentisaddatur .
H uiufmodi enim numerorum produdorti additio eudem
pro feret numerum: qui fhiffet nitm:fi ab initio numerut
iUe primaries,quern tentaumus: una cum numero prima *
rio prius inter par illclas pofito,fiiiffet in triplum dud as.
Sic enim cum uider is,quern numeruea multiplicatio atcfc
additio procreabit.jkcde conieduram capies, turn ex nu
meri fupra repofiti, turn ex numerorum produderum
atque additorum uel magnitudine, uel exilitdte, quismt*
mcrus primanus affumpti circuli uicem fubiturus maxi¬
ms quadrabit . Velutiin exemplo iam dato.posi prirnam
fenarij numcri inter parallels pofiti triplicationem ex  i
quafiunt is,fi quis ajfumens circulum so in is ducat: nu*
mem produduserittoSo.Deindctentemuf.fi} in  is du
cantur,quid fitter producentur } 4 .,qu£ fiaddantur ad
toSoJurguntnwquinumemfi/niliierprodijlfet :fi ab
initio 6}ini$fuiffentdada. Voflcafi triainnumeruip*
fumproduflm ducintur:jient$4 0 ^qu£fatisapte

reffron*

LIBER I.

10S

lefrondentnumeris fupra fe rcpefitis: cr tdmenfdtisfu
pcrmr.ut  ? infe cubice pofted ducdtur. At ft per notctm
iimrij id facer e tent<tremus: numerusfuprd reponendus
mium rcdudnret.fi per 4. autnumerus produflus ftm
ret mmor,qum ut d fuprd fe repofitis pcffet fubduci  *
Longe Aulemf-killimum crit: Pi poftqu'm numerum in»
Icr pardffeUspofitumyddmfto circulo,in triplum duxi
fhiprimum dc numero quindrio,qui inter primarios me*
HitseA,eo modotentes,quofupradidum eft. ltdftdtim
[ties: an mdiore numero primario, an minore fit opus »
deundem modum tentdre proderitiquotics pcft tnpli*
citioucm numerus aliquis primirius inquirendus eft: que
tttofficid pr<eftet:qu<e paulo ante funt diftd. Hoc exem*
pirn expltcutjfe fuffeeerit: utuidmcubi Uteris inuefti *
&mdt daremus.  A Iterum plurium notarumjfeftdndum
utifyderdndumq; udiungmus,

% Reliquum

• . . . . Numerus

h' ' cf 7' 7 s' 4  i °  <S /  7 C 6 x s' noncubus

8 7 o 5 6  Radix cu*

~ (bu

FINIS L I B R I
primi.

B

169 ARTIS s 9  P.

CVTHEBERTI TONSTALLI IN
Librum fecundum,Pr<tfitio .

VLTI Q.VI IN S V P P V*
tandis integris nihil heerent: poflquam
Ad numerands partes , qu<e nufqum
non funt obui<£ uentum ejhlibeUosdij
ciunt • nonaliam(opmor) obcuufm :
quant quoct non fit tani expedita partium qudm integ  ro«
rum mmeratio.quiftfccordta abtedd,dnimum intends
jfent:cunda,qu<epcr nintias deltas corruptis animis <tt
dua uidentur.reperircntprona, N am utintegrormtun
rnratio pent a nemine tgnoratur.qui modo fenfum com
muncm habct , ©- cam unit perdifcere : ftc qu£ dc parti*
bus numerandis traduntur'.ut no admedum acutam men
tis aciem requirunt'.ita pofaint hommem nec dormitafa
lem,nec ftupidum: cr cuius animus inter legcndwm mini
tne pcregrinctur.Pt quamuis h£c no(ficutAE  SOPlji
lcll£)am quadetm uoluptatepenetrent intetted im’.pro
ptcrea tamen ftudiofis nequaquam eft ceffandtm.  Cogi<
tent quemadmodum pulcherrimis quibusqtte difficulti*
tem pr<etexuit rerm ip fa natura:qu£ nihil,quod eft tnd•
gnumteito deprtehendiuoluit. fimulq-fecwm reputent:
quantus intota uita pro tantiUojludio percipietur frtu
dm.  N dm quis (quafo) mertahu uitam fie poteft tranft*
gere:ut non fit cifi-equenter habendafupputatio tin qui
kbi cr decipi,protter quam qttod danmofm eft : ridicp

lumpu

I

LliER th.  if a

Imputdtur.Verwttamenbanc,quant Huncdggrcdimurt
put sunt fupputationeni non magno egere acumine, uel
bine licet cognof cere: quod mer cat ores in hue mhil cedut
Pbiiofoph liter nefew an longe fuperent-adeb ntagis in*
diiflriam,qudm ingenim pojiulat■ lUud ommno pr<ejdn»
dm ejfe duximus. Quisquis integra fupputare nefcit: is
ne partiu calculum putet fcpojje difccre. Qtt'ppe qui ni
mmingemo fretus ordine prapoftero ftohdus id tent4
bit: is fimile quiddam fkccre uidebitur : utjiquis
ignorans liter as mohretur legere■ Quaobs
re lUa omnes in promptu pruts tene
re dcbenttqudm ad h.ec accin
gantur • Alioqut,utin
adagio eft: etope
ram er  ole
trnper
dent,

*

H 2

Ill

ARTIS S V  P.

D E PARTI VH N V H E-
R A TIONE,

I

MNE INTEGRVM IN PAR
tcs,quoieunq^ uelisifolut per mteUeflum
poteH , ct  quemadmodum integrorum
numeratio ab urn incipit: atq i  in infini*
turn poteft extendi:fie integrorum f :flio

a fecundis orditur partibur. (Neq ;  emm in pauctores pit
tes qmm duos quicquam dijfolui pojje rerum natura pi.  ti
tur ):ln infinitum autem protenditur arbitrio fecantis .
lterum partes ip felt in aim particular , atque ear quidem
inmmerat, intclletturfoluit. Particularumque ipfarum
rurfusaliafragmentaexcogitaripojfiwt :ut resfinemht
biturd non fit:fi cui mmutiar confeftari hbet.Adciufmo--
di autem partes rede numerandar duo omninoreqmm
turnumerL Alter qui partes dijjeflorum numeret. qm  !
Arithmeticinumeratorem appellant: quiquot tnfe  cdpit
unitates: tot partes dijjeflinobis reprafentat ■ Alter qui
partiburipfis fuanominatribuat . denominatoremeum
uocant : quod quot unitates in fe contineat: in tot partes
totum quidpiam diuifum ejje denotet . V tpote, tres quit*
ta,qua funt tres partes alicuius integri in quatuor diuifi.
Scribuntur autem it a partes: ut numerator fupra breuent
lineam dud am : denominator infra earn ponatur, ad hue
tnodum numerator^ femper prius pronunciatur,
quam denominator-tit dkamw } dM ter tine, tres quartet .
quatuor quint ** Verutt*

LIBER II. 112

VERVNTAMEN karumminuthrumquadam
fmpliciafragmenu dicuntur. hafunt partes, in quas in=
tegrafoluuntur.quadamfragmentorumfragmentaiquas
minutmtm minutias Arithmetici uocare fdent, ha funt
parttculajn quas rurfus partes franguntur .Nos in hoc
hbro,ficut partes mtegrortm fimpUces,aliquandofragr
menta,fapeetiam minutias indifcriminatim uocabimut »
Uidemquo g- appeUabimus partiwm particulas,interdtm
mnutiarum minutias,nonnunquam fragmentorum frag
mta. inter quae fpecies plurtmum, cum in feribendo et
m muncmdo,tim etiam in mult is alijs interest.  Nrfj«
qufuntfimplices minutiaiftc fcnbuntur,ut breuis lined
fuprafe numeratorem,infra denominatorem habedt: uti
imdiximus.  Et fi plura fimplick fragmenta feribendd
funt ; modico interuaUo diflinguntur • ad hunc modum
If | unicumque numeratorem,cr uniem denominator
remfmgulahabent: cr redo cafu femper enunciantur.
utdicamusunafecunda.duatertia. tresquart#. Qua
Kero funt partumparticuhe: duos, aut interdwm plures
cr numeratores cr denominator es capiunt, Quarim
theadfimflramponeniaredoenunemtur cafu: liner
nmq habent mediant.Ha funt ipfaparticula. Alia ad de
xtram locanda,obliqucq; cafu enunciata media line a c am
rent,ha funt partestquartm funt particula. utfi duos
Mies mm quarta notis feribere uelisiad hunc modum
facies.— idautemfignificatur:utfintdua tertia parr
tes mini partis quarta ab ahquo integrodiffeda. quod

H 3

ARTIS  S V P.

in quatuorpartitumeft. Vclfitresquartosmittstertia
Vntus fccunixfignarecupistadbuncmodum notes,
quod exprimit ires quartos partes untus partis tertix  a!i
cuius fecund# abintegro dijjeda: quod in duo duafum
eft . ltaquedum fragmentorumfragmcntaratiocinator
traftattfummopere cauere deber.ne dormitanti obrepat
cbhuiotquarum partium fint particulx. Heuc pro differ
dlis integrorum partibus partium fragment a computet.
Ham ft id comittatterror calculi non mediocris fequetm,

SEMPER autem in omnibus diffeflorum mmuujs,
quo maior denominator fueritieommores erunt partes,
remotioresq• ab integris,  er quo fuerit minor: eo partes
tnatores erunt,atque ad integra proptus accedent. Nan
dux partes fecundx maiores funt: quam dux tertix.  ©•
dux tertix maiores,quam dux quanx et dux quartx mi
lores,qudm dux quintx.  er fic in umuerfum,quant oma*
gis numerando crefcit denommatoritanto mag is quam*
fate partes diminuuntur,

A Dnumerationcm autem partite plenius pernefeen »
dam,triainprimisobferuanda funt.Primum: utquando
cunque numerator er denominator funt xquales: tunc
partes unum integrum confhtuunt. Exempli gratia-  ff?
tres tertix unum integrum ficiunt, fic quinque quintx, fic
feptem fepttmx.field genus reliqua. Alterum tUudeft :
quandocunque numerator maior eft dcnominatoreiquot
itmtatibus denominatorem numerator fuperatitotidetn
partes pluresfunt .quam qux integrum (daunt.ut no *

Kfl»

LIBERIA  1J4

m oflitix integrum z? partem odium ficiunL
feptcm quint* integrum & dun q uint as.fex quarto: ins
legrttm  er dun quirtas.  f f £ Tertium cd : ut quan>
decunque numerator minor ed denominator e\ quot uni
tatibusnumerator denominator e minor eil: totidem par
tes defunt ad integrum componendum.ut du£ tertu funt
du£partesalicuius integrim tria diffcdiiquibus tertia
pars decsl ad integrum faciendum . it idem tres quartos
fctrta parte minus continent, qudm integrum, { \
Atque itidem in reliquis fimiiibus  *

IT A Qv E denominators augmcntum partes quan
tittle quidem minores,numero uero plures reddit■ Quern
aimodum econuerfo numerators incrementum uel inte «
grdprogigmr.HelpiMej multo propiores integris .

AD HAEC cumomnisintegroruminterfemulti
plicatto,cr quantitate, et numero maiorem £dat feet urn:
nempenumerumprodudum-Econtrarioinpartibus eue
mt:utminuti<emultiplicdU quantitate minores, numero
plures comperiantur,

DE PARTIBVS DISS1MIL1BVS AD
fimilitudinemredigends,

C VM in fupputationibmfadendis partes alia: alij$
maiores, longecfc difiimiies frequenter occurrant :
interdumfragmentorum Jragmenta fmplicibus aggre*

H 4. 1

tl? ARTIS S V P.

gatafrdgmentii,nonnunquam intcgrapartibiu intemk
tittle tarn uanuchaos rationes Mas conturbet-.eiufmcei
tim diuerfa prim ad fimilitudinem quandam reducers
tiecejje efttqudm ea uel addere, uelfubtrdhere, uel multi*
plicare,uel diuidere quiuis aggrediatur. quo fiet,ut ope*
ris£qudhtascunftd tuprona,tumfdaliareddat.  q um
do altoqui ,Jiquit tam difiimilia inter fe committers ten*
taret unlabyrinthuminextricabilem fefe ingererct . ig U
tur antequam iUaquiff>iammoliatur})£c,qu£ dedtfsim--
libm in unam factem rsdigendis pr£ceptafequuntur:pri‘
listeners curet .

SIV  E dute mdiores partes in minores mutare libet:
fiue econuerfo minorcs in mdiores redigerc: partes qua*
libet m quafuis transformantur.fipartium.quas transji*
gurdre uolumrn numeratorem in denomtnatorem earn,
in quas funt transfbrmand £; multiphcemm. cr nume--
rtvmex hoc enatum per earumparttum denominators,
quastransfigurareeft animustdiuidamm. quo fiet: ut
partitions numerm partes illas edat-.in quas fit transform
tnatio . Quod quidem folum, erudits pr£cepi(fe'fufji‘
cent. Cdtertm ut ruditm babeatur ratio: utramq. ;  fpe*
asm feorfim explicamimus . Haque mdiores partes in
quasuis minores transformantur: ft maiorumpartum
numeratorem in denominator em minonvm multipliers:
Crnumerum ex hoc enaltm per maiorwm denominator
remdiuidas . quo peradio numeraspartitions patcfdci
etiquot partes minores ex mdtoriirn transformations na

feunturt

LIBER II. 1 \6

ftuntur.ut ft trcs quarts ad oftouas trantformare uclis:
pertria, maiorumpartiu numeratorem,ode,minorum
denominatore multiplied . ©■ prodeunt uiginti quatuor.
qu* deindeper quatuor, maiortm denommatorem diui•
das.cr numem partitions fexbabebit.  Ex tribus igitur
quartis adodauas redudis fex oftau* confurgut, Et ft
duodecim tertias ad quintal transfigurare cup is: dttode*
c mi,m dor uni partium numerdtorem,in qtunque,deno »
mnatorem minorum due as.O' fexagmta nafeuntur. qu*
per tna maiorum denominatorem diuidas. & numerui
feftionis uiginti creabit. Sic ex duodecim tertijs uiginti
quint* generantur.

Quod fttres quintas ad feptimasuisreducere: per tria,
maiorum partium numeratorem,feptem denominatore
minorum multiplica , er procreabis uiginti mum. quae
poftea per quinque,maiorum denominatorem dtuide. zr
numem partitions quatuor o/lendet. imumct- reftabit
reliquum: quod unam quint am unius feptim* Jignificat.
Sic ex tribus quintis ad feptimas redudis fiunt quatuor
feptim *,er quinta pars unius [eptim*.Namquandocutt
que in emfmodi redudione reliquum occurrit:partis erit
particula : denominationemcj.■ in redo cafu a maiorum
partium denominatore, qui dtmfor extititifumet.  A Ite*
rum ueroin cafuobliquo a denominatore minorum .

M i N O R E S partes e cornerf •> in quasltbet maio*
restransfigurantur: quandopernumeratorem minors
denominator maionsmultiplicatur.etmmerusinde prt

H f

I17 A  R T I S S V  P.

tttniens per minors denominatorem dmiditur. tu,c enim
Humerus partitions palm indicabit: quot partes maios
res  ex mrnorum transfiguration furgunt . Vtfi [ex no*
nos in tertias quis commutare uelit : per fix minor urn
partium numerator cm, triadenumeratorem tnaiorm
multiplied.cr creabit decern et odo.qiu delude per no
uem,minortm denominator cm diuidat: cr in numerofes
flionis duo comperiet ■ ltaq- ex [ex nonis in tertias corns
mutatiSjdune terti£ generantur. Et fiduodecim fexta in
quartos (intmutand#: duodccim, numerator minor urn
partium in quatuor, motor um denominatorem ducan*
tur . er progignuntur quadraginta odo, eaque poftea
perfex,denominatorem minor umdiuidantur. et odo in
Humero partitions erunt. ltd duodecim fexta reducum
tur ad o(io quartos. Quod fi feptem odauas ad quintas
quis reducers cupiatifepte mimeratoremminorum pars
tium,in quinque,denominatorem maiorum ducastcr eon
ficktungtnta qumque.qu£ deinde pro odo,denominatci
rem minor um dimdat: '&■ numerus partitions quatuor
bdbcbit.errcliquu fipererit.tres odau£unius quint£.
Quamobrem ex feptem oftduis in quintas commutatis ,
quatuor quint £ ormntur,  er tres odau£ unius qmt£.
Ham in eiufmodi redudionefragmentufragmenti quan*
docunque occurrit denominationem in cafu redo a mm
ris fragmenti denominate,per quern fit fedio,capit:de
Kominationemq.; in obliquo a denominatore motors .

DIVERS  ARV  M. deitommationum partes ad

eafdem

IIBER II. US

afdern denominationes rediguntur: quando unius fra*
gmenti denominator per altcrius denommatorem multi*
pheat ur.nam numerus inde prouenies denominator com
munis  frit. ut fi duos tertias w tres quartos ad eandem
denominationem uelis reducerrjrta denommatorem pri
mifragmenti per quotuor, denommatorem fecundi muU
tiphces. cr enofeentur duodecim; denominator commit*
HtS.fjlZ

q_v OD fi feire cupk: quot duodecimo partes [e*
or [urn pmt in duabut tertijs ; duo, numeral orem lUius prt
mfragmenti.in quotuor denommatorem pofterioris dit
caster otto pro numcratore procreantur. quibut deno*
tmnator communis fub lined fuppcptusmdicat in duabut
tertijs otto duodecimos deprahendi.  xf Uidem ft uit
fciretquot  duodecimo partes feorfm fint in tnbus quar
tis: trio numeratoremippus fecjwdi fragment! t intm,
denommatorem primi multipliestzr nouem pro nume*
xatorcconfurgent.quibus denominator communis fub S
neafubiettusdemonftratintribiuquartis nouem duod»
t imasinueniri.Tz

DEINDE pad communem denommatorem nume *
tatoremetiom communem uts inueftigareipnoris fra*
gmenti numeratoremm denommatorem pofterioris, zy
pmiliter mmeratorem fecundi fragment! in priori dc*
nominators, ad formam crucis diui Andrete,multiplied  »
ex bis duabut multiphcatwnibus prouenien ■
ttsfmuloidentur ; ey numerut indeproumens miner*

lip ARTIS S V P.

tor communis erit. Vt ft duo,numerator primifragmett,
in quatuor,denominatoremfccundi ducantur.jieni oclo ,
Ef ft tria,fecundifragmenti numerator, per tria,deno*
minatorem primi multiplicentur: [urgent nouem. qua
addita ad ottofkciunt feptemdecim,quinumerus erit nu=
tnerator communis. ltd du£ terti£, &• tres quarto;, ad
tandemdenominationem redutt#, numeratorcmhabenl
communem feptemdecim, denominatorem uero duode*

S l v E R o plurafueruntJrdgmeniAtuti du£ tcrtie.
tres quart £.quatuor quint£-poft duo priorafragmenta,
ftcuti diximus,redufta,iterumdenominator commits pri
usinuejligatus per tertij fragmentidenominatorem mul-
tiplicetur : cr [urgent[exaginta, omnium denominator
communis  .f f f Iff 60

Q_VOD Si feirecupis:quotpartes[exdgefimt
Jint in quouis fragmento, numeratorem ipfius fragmenti
in denominatorem communem multiplied: nempe fexae
gmta:mmerumq- procreatum diuide per eiufdemfra•
gmenti denominatorem , ita depr£hendes  in duabus  ter*
tijs quadragmta [exagefimas.  fff er in tribus quar*
tisquadraginta quinque[exagefimas.  fff- w mqua «
tuorquintisquadragintaodo [exagefimas.  f

DEINDE numeratorem omnium fragmentorutn
communem inuefligaturus,prius reduft or urn fragmento
rum numeratoremper denominatoremtertij,cr nume *
ratoremtertij per denominatorem fragmentorumprius

redufto•

LIBER II. no

tMorum,multiplied.Numcroscf; exhisduabusmulti
plicationibus generates fimuladde: cr numerator com=
munis omnium fi-dgmentorm prodibit,ut ft feptemdea
cim,prm redudtoru numerdtorem communem in quin-
que,tertijfragmemidenomindtoreducdmtit:indeq;pros
creemusofiuaginta quin^zr iterm duodecim, comma
nem pruts rcductorum denominatorem: in quatuor ter *
tiffragments numerator em multiplicemur.dtquc it a  ge=
tieremus quddrdgmta o(io : hosq^duos numeros fimul
conmgairMienafcentur centum uigintitrid.ls numerus
cr:£ omnium fi'agmentorm numerator communis , fic
du£terti#,tres quart#,&quatuor quint#,ad comuncnt
meratorem  er denominatorem redud#,jiunt centum
triginta tresfexagefin^.H^Eodcm modo progredwn
dm esketiam (i  plwr<t fuermt frdgmenta ad eandem de
nominationem rcducendaiutprimis quibuup quemadmo
dumdmmus expedites, proxime fequentia ad eundem
modem abfoluanturtdonec per omnia fragment a fit dtf*
mfm.

E x pudiftis nimvtmn liquet, nurnerm ftatim me
niri poffaqui partes,quafeunque uolumus , denominates
babeat. Quippc fipartesomnes denominated inter fe
mltipltcemut,numerus procreatus partes e as cotinebit ,
Exempli grpt id, jinumerum aliquem cup is exquirere ;
quicdpuiumm[ccunddm,undmtcrltdm,unamquirtam,
utumqumtam, mamfextdm,mdmfeptima. if if
omnes has partium denominations inter fe multiplier

ni a  r t  i s s v  p.

qu£ generant quin$ miULt cr quadraginta, is cR num
rusqu£fttus.

IN etufmodi dutcm numero finguli numeraires,
partes plures ufqtte ad totidcm contincre pojfunt, quot
in dcnominatoribus/ingulis reperientur.namin eodem
ttiam deprxhendas unm ficundam, dudstertias,ires
quartos, quatuor quintas, quinquefextas, fix feptirm,
It  f 7  ££ ue ^ fi mauis repenas duos fccundas, tret
term,quatuor quartos,quinque quintas, fix fextas,(e>
ptemfiptimas.  t  f Iff? Partes autem untus atqut
eiufdem numeriplures in numeratore,quam in denomtni
torecontinert nequeunt.namisnumerusearatmc Jeip
fo motor ejjit. quod e ft contra rerum naturam. uelutift
quieras numerumtqui quinq; quartos babe at: fruflra m*
ueftiges.Qutppecum quinquc quart £  union integru  gr
quartan proterea partem conjtituant. At nuttus nume•
Yus quarta parte fetpfo maior haberi potefl . M ininim
autenumer us, qui partes quafcunqueuelis: denominate
babeattquemadmodm fit tnuefligandus: paulo post diet
tnusiquando trademus, quomodo partes ad  minimum fti
nomenclaturam redigantur.

PA RT1VM particuk, qu£ fragmentortm funl
fragmenta: & minutiarum minutt£ etid nuncupantur.in
integrorum partes, quas fimpltces uocant mmutias: mu*
tantur: ft earum numeral ores inter fe multiplicentur: ut
units omnium communis numerator fiat. Atc^ittdemea*
Yum denominators s infe ducatiturM units omnium com*

munis

LIBER II. 122

hunts denominator enafcaturddecq-ftad tandem deno
triinaticnem reducere cupiasduas tertias unm quart*,
uniitt fecund#  §• 1£ mitatibws in duo dud it, tantum duo
furgunt , cum umtas alios numeros non multiplied: fic
britur numerator comunis. Delude tria in quatuor dud#
t ra it ducdecim. que iterum in duo multiplicataprodu *
cimtupiniquatuor-itacompertus eft denominator com
mnii.Quamobrem dux terti# unm quart#rnius fecutt
L ad fit :pinia fragment# redad#, procreant duas u»
gejimquartos mm integri . T  £

INTEGRA in partes quafcunqueuolmttt,frdtt*
fumr. ft numeric integrorum per denommatorem ilia•
ruin partium, quas procnare cuprnis: multipkcetur.
quippenumermex multiplication generatus enatarum
par. mm  fummumdcmonjlristit .Etenim fi integrum ad
(exias rcducere ed animus: unitatem per [ex multiplied
misto enafeentur f 'x. qui nurnem erit partium . St tria
Integra ad [ext as refoluere hbet: fex in trta ducantur. its
pent decern o odo . qui nurnem exiflit partium,jblutis
kfcxtctstributintegris.

SI  Q_V A uerointegra una cm partibttt occur*
tat, qu# ad partimdenominationmreducere uelimus ;
mmcrwm integrorum per denominatorem partium mu !*
tiplicemus: et numero procreate partium numeratorem
aidarnm, indeq- crefcenti numero cundem denominate*
femfupponamus. lines interpofita . Exempli gratia. fi
funque Integra o ires quartos ad eaniem dencmina*

123 ARTIS SVP,

tmemreducerecupimusiintegrorum not a primum fcrt
batur. deinie ante earn ad dextram,ipfumfragmentum,
breuilinea interferta ad buncmodum ,‘>\. qumquede=
inde nmcrum integrorum, per quatuor denominator e
fragmenti imltiplicemus ; er confurgent uiginti. quihi
(tddita tna , numeratorem communem, uiginti trid cre<
ant.hisfub lined media,qudtuor, denominators fubip
amus./ic nobis cnafcentur ex bac reduttione uiginti tret
quart #,.

Q_ V O D ft integra & plura/implicit fragmcnti
ad mum ]implex fragmentum reducere quis uehtinume*
rum integrorum o primum fragmentum,ficuti iam prt
cepimus: abfoluat. Deindefragmentumfimplcx ex hoc
enatum cum alijs fequentibus copulando, per fingula fra
gmenta difcurrat donee uniuerfa in eandem denominate
nemtransformauerit,eo modo,quo ante diclum  eft.

SI VE RO Integra opartiumparticuheftmulre*
periantur: o ad fimplex fragmentum uelis ea reducere:
primum partium particuhe adfimplicia fragment# redu
cend#funt:(icuti ante prxeeptum  eft. o turn demum in
tegra cubic in eandem denominationemfunt copulanda,
IT ID E M Q_V E per omnia fietifiintegraopkf
rafragmentorum fragment# fefe ftmul cffrrant.his nam «
que omnibus prius ad fimplicia fragmenta redaftis, c#tt
ra feruentur.que iam pr#di6la funt  •

PARTES econuerfo reducuntur ad integra: fi ttii
mratorem ipfarum partium per earum denominator

rtmdii

LIBER If, , 124

remdmdamut. nam nutr.em partitionis integrd conti*
mbit.  Vt ftdecern qt  ottotertucad mtcgrareducendtc
(hr.deccm oflopertriadtuidamM. c? numcm par*
mornprodibu fix.totidcm itaquc funtintcgra, Vel/l
rx uigmttduabiu quartiiintegra pr acre and; fint tut gin*
tt duo per quatuor feccmut:  er w numcro partition^
quinq;deprah. ndentur : atcp duo reliqua . igitur quina
quepunt Integra. & du£ quart £ fuperfunt, Quia fern*
per m cmmdtiufione,tdm mtegroy um qttdm partmm,re*
liquum, ft quod rep aba a  dniifire ,pcr quem feftio fkflit
(P:\uamdenominatmemfmct.\plumautemrdiquumy
quod mtegrum credrenequir.cadem proportion fe baa
bet ad integru : fuut numerator ad dcnominatorem: qui
dtuifor extitit. Quocircacwn per integrum dtuiforem ,
id, quod rehquwm erit : amplmfecart non pofiit: per dta
nud!umdiui)orii,fimodo  is dimtdiaripotefl ; diuidatur  *
Cr nurnern fetticnis dtmidtm oftendet integn.utivt
exemplo proximo, ubt dux quart £ fuperfunt. per duo, di
uifom dmdium,fifta[etho, cum numcm fettmufit
itnm: unurn dimidium monfir at. Si uero id peri non poa
teskper tertiam dtmforis partem reliquum diuidatur s
modotantum fuperfit. er numerm partitionis uel unant
tertm, uelplures indie abit fuperejfe .Putaftper noucitt
nimtm effet dimfiiticr fox manerent rdtqua. per tera
iiam dimforis, partem nempe tria , fed ioptdl a duos  ifr*
tias turn tntegri fuperejfe manfcPat. Alioqut ft per ter*
ttampciio non quadrabittper dmforis partem quartan/*

12? ARTIS n P.

nip minuted fupcrfiixdiquum fecctur .quippe ftc fdflj
fed lone, numruA partiiionis pate facie t -.mum  quart*
remanedt an plures . Vcluti ft per fexdecim numertwfu*
ijjctdiuifm; reliquaq; effentduodeam : quarta dtmfm
pars pro rcliquo[ecando fumpta, in numero partuionii
trio. producit : qu£ tres partes quartas umus integri do
monfir ant • Si necidquidem procedituam dequinta,at
fexta , aut alia qitauis diuiforis parte, ad eimdem modtai
tentandu-ni . Creterm ft nihil horum tuuare poted: rek*
quum ipfum ad minimam fui nomenclaturam redigen*
dm cft,bis,qui fequunturtmodis.

PARTES rcliqute, qiu unu integru conpcerc m
poffunt: ad minimam fui nomendaturam rediguntur,  si
hunc modum. Numerator o denominator tottesdimidi*
andi funtiquoties id fieri  potefl  , in fingulisq^dmidiatu
ttibus,lined interpofita, numerator fupra earn: denoma:
tor infra fcrihalur, etpofirema dimidiatio notetur. quit
qua proport ionc fe babebit ipfius numerator ad dew
minatorcm fu.biefl.um: eadem primus numerator dene*
minatorem fuumnffidet . Ef  [tinalterutro eorumintti
dimidiandim impar occurrit numeri-1. quia ambom
dimidiatio amphus pregredinon potefl: ittic ent fijla*
dum.Contumoq- maximusnumeriK ambos communita
numcrans efl muefligandut,qui eorum utrumque per
uifionem pofitt exhattrire .

MAXIMVS  numerutduoscommuniter mmcrdti
ficwucfiigatur , Nfttnerdtorem O' denommatorempd

dtmtditf

L 1  B E &  Ifi fi#

mhtidiationcm ccffantem k fc imicem fStrobe: quoties
id fieri potefl. ex qua fubdufl tone frequenter repettta,ft
torum alter ad unttatem folmturteiufmodi numcricon*
tra feprimiab Arithmetics uccmur.Cfddminoreno #
tncnclaiuramndiginequeunt: cumemnes numerical *>
tra fe pnmi, fua proportion Jint minimi. Exempli cau *
fd,rchqu£ fint uigintifcx quinqttogefim#: quas ad mini *
mam nomenclaturam redigere uelmtus f  -. bar um m<
merator dimidiatusrelinquit tredeam. At denomindtop
per medium ftdm creat uigtnti quinque, fic ex dimidict*
twite, tredecim uigefim# quint# generatur, jy. Vltr4
propter tmparem in utroque occurrentem mmerurn di*
midiattotioprocedit.quamuis etiam,fim alterutro fold
fuifjet imparuM.dnmiiatio ccjfaffet.  Q u#rendus eft er*
go per crebram alterm ab altero fubduftionem ,maxh
mas numerut ambes comuniter numerals . Imprimis eg
tredectm.timerdtorem a uigintiquinque,denominator
re fubducamus:  er rdmquemm duodecim , ea rurfut i
tredeam,numeraire [ubtrabamut,  er unit rernancbit m
quod nobis mdicatnumeros ex dimidtattone ceffante
pertos,contra(e primes effe,  f-| \  * \\

* » " I

Q_VOD SI excrehra numerators  er denomimta
torts fubdufltonekfewuiccm fufta, neuter eorum ad uni
totem foluituritande ommnoreperientur fimiles . Quc&
quando compertim eft: fmul muentut eft mdxmus  ««*
mm umbos communiter numerans, is mddtcet, in quu

1  2

127 ARTIS S 7 P,

fmiles dcprihenduntur .per quem datireltquinutnerag
lor feorfum dtuidcndwseft: atque itidem denominator,
ficque numerus utriufquc fcdionis, turn alteram prioru
numerator is numeral orem e a proportion minimum:
qutm alterum prioris denominatoris denominatorem,
ttiicm etiam minimum e a proportione demonflrabit.qui
m nimam indicabunt nomenclaturam : ad quampartes rt
digi poffunt. Atq; ita manifcfium eft, maximum numet
r im duos co vumter mmcrantem eos numerare per nu>
m rosea proportionminimos. Exeplimparatimeft.
ft criginta quatuor centefimas fecundas ad minimum not
menclaturam redigere uelimus. (latim namq- ex dtmidia
pone decern cr feptem qumquagcfimje primae prodeunt-
quinumeri funt impares  er contra feprimi.  P ofteaex
p ima numeratoris a denominatorc fubdudme, trigint
It quatuor ex denominatorc reftabunt, aemde iter urn re*
petita [ubduftio relmquit in denominator,decern,et fe*
piem.Similttudincmq; utriufq;mimeritam ~  f \ £
numeral oris quam denominatoris ojiendit.  14  17

Jj ergo numerus, decern &■ feptem, quimaximuseft
umbos communiter numerans : corum utrumque diui =
dit.  quo  fie t ut in numero partitionis ex numerators
■quidem fedione unum inuvniatur. ex fedioneucro de
nominators, tria . igitur una tertia minima nomen*
datura eft: ad quam perduci poflint ucl decern O' fc*
ptem quinqudgefimte prim£ : qu£ ccjfante dimidia  »
ttoncrepert£ funt f uel trigmta quatuor ccntc*

uS

LIBER IT.

firm fecwvle: qui propofttwt  c$ numeral . f

A L T E R V M exemplim dart poteRsfircliqua flat
quatuordecim uigeftma odauee: qua* ad minima nomen ■
claturam reducereudimus . if horum quatuordecim
fefia per medium rdinquunt [cptem  . Atuigintiy otto
dimiduta cram quatuordecim  T | Sic fepicm quartx
dccim* exdiminutioncgcnerantur. ultra propter impa =
rem numeru pptcnarium dimtdiatio non procedit. qu£<=
rendu* eft ergo maxima* numerus ambos cbmumtcr nu ■
meranstqui utrumquetam numerator equ'am denomma*
toremdiuidendo defeat. vsc&ftptcm.fcmdcninifcp em
fubdufia numerdtorem tollunt. quippe omnts numerus
fetpfum z? r.Umerare crfubducere potesl. rurpis fc*
prcm bufubtracia denomtnatoron ctiam auftnon. nu»
mcru* ttaqnc partitions utnufque  per act a paldm wdi*
cat feptem quart as decimas aiunam fccuhdamredtgi .

i

i4 *

Quamobremcim pnmumrdiquum eandem rationcm,
babeatsquam pro fua porttonefuum halet dimtdtum: ad
unam fecundam reddit, quatuordecim igttur uigefima
ottaweaawumfecundam : qu.t mtnimaearum nomen*
datura esi: redtguntur  . f

H1N1MVS numerus,quipartesquafcunqueuolu*
mus,denominatas kabeatiftc eft cxquirendm.  P oftquam
partes quas in numero aJtquo inuc/iigarc defttnamusifu*
« notis pint def :rtpt£: numeru*, qui partes illas uniuer*
Jashabeatsex denominatorm in ftmultiplication fich

1  3

119  ARTIS S V P.

teprocresfur. qutmadmodum fuperius obiter admonub
tttus . Cs terum minimus numerus, quipartcs cos capiat  j
tnaiorem,ut cruaturtpofcit indulhiam.  is autem proper*
tione minima parks illas omnesbabere compcneturimi
minimum numerus eHtquem omnes tile numerant.itaqiti
de primis quibufque dcnctmnatiombus pnrmm expedu
re oportet tatque initio muefhgarc : quis fit minimus  ««<
Uterusaduabusprimisdenommatiombus numerates . E!
quidem ft hs contra fe prims fuerint : ut nullus nunstrut
tasnumeret prater umtatem . quia funtfua proportion
minims : quod ex alterius in alterum duftu generaktur ;
trit minimus numerus ab eis numcratus. Sin ahu- prsta
Unit at cm numerus eas numcret: fumantur partes ca pro
portione minims, qus quemadmodum exquirantur: prt
Ktmo capitecdocuimus.qus cum funt mums,fubnotetn
tur fubpartibustquarumrefpcftu funt minims .Leindt
partes ills maiores, quarureffettualters funtminims',
per numcros fua proportions minimes, maicr per mino>.
rent, aut minor per maiorem: multipitcats,minimum  <tl
ipfis numerattm produccnt. Nam feeundtm Euckdit
feitum , Quiltbet duo numen minimes numeros fuspro
ponionit, maior minorcm,aut minor maiorem,multiple
tantes, minimum ab ipfisnumeratumproducunt , Q»
numerus minimus  4 duabns primis denommationibus m<
pier at us, ad hunc modum imcntus,cum tertia denommi
tione fiatim conferendus : minimw.cp numerus ab ibit

pmeraius ad mdetn modm ex qtmndti},is,poflqu<m

foy*

t i  B E B - If. * t|C

icgnhuseriticum quart* denominations ftmtiiterconfen
ratur: mintmusq; numerus ab illis numerate itidem erui
tur. idemq-indagandt modus per omnes detjpmmatiom
tics, ft que ultertores fuermt: feruetur ■ Minimut autem
nmcrusab illis numerous, qui poflrmoconfrrentur :
partes omnes propofitdi minim* proportions cdpiet.Ex
cmpla demus, qu.-e rem magis dhiftrent: atque inurfhge*
mus minimum numerim,qui unam fecundam, unam  fcr«
turn ,unam quart am, unm quint dm, unam [extant, 41  eg
md<n feptmam babe at . f T i ?

IN P K IMIS QV E crquiramus, quis ft minimus
numcrus: quern due prime denominations numerant ,
qi:e quia funt contra fc prune: duo in tria ducantur.
Cr [ex enafeentur. qui numcrus minimus cil: quern duo
Z? tria numerant : qiuq; unam f xundam, zy unam ter «
turn b,ib eat , Her urn [ex cum tertid denominatione ,
nempe cum quaternary conferamus. cr quoniam nume=
m Unarms umbos ccmmuniter numerat: bisq; in quatu*
or, er ter in fexreporitur ■ quid tria z? duo,numm[unt
in ea proportions mimmutrii fubfex, z? duofub quatu*
or fubnotcmiss.Deinde ucl fenarium maiorem numertm
pcrbinarium,dc duobus minima proportions fubnota •
tvs,minoremiuei qua: ernarium minorem per ternariwm ,
de duobus minima proportions fubferiptis . maiore mul *
tiplicantes, duodecim procreibmis : qui numcrus mini•
musc&qucmfcx cr quatuor numerant: quicj; unamfq*
4^udam,unm terttam,zy mm quartam prcfirat-Bm.

t  4

tp  A R T I S SVP.

fuiduodectmcm quart* denomination, uideiicet cm
quinario conferanm. qui numcri, quia contra fe pnmi
funt,atque fuaproportioncminimi:quinquein duodei
am ducamiu  -er fexaginta creantur .quiminimm nume »
rut eft, quern quinque  er duodecim numeranti quiqi.e
unam fecundam, unam tertiam,unam quartam,  er unm
quintam,producat.  D cindefexaginta cum fenj.nonume
ro,qii£denominatioproxima eft -.conferumut. crquos
tnamfcnari'M  cr fe ipfum per umtacem,et fexaginta per
denxriumnumerat . decern,ey unwm,qui numcri funtei
proportion minimi: fubpgnenlur ’ Itaqac fiue [txaginm
maiorcm numcrumper unum:qui niimirus de duo’> ut
minim* proportione fubnotam, minor eft-.fiue fx mino
rem numenm per decern,numerum ex fubferiptis maio*
rem mulnplicemus : fexagmtaiterum prodibum: qui nu »
mcrus minimus eft a fexaginta,  er a fix numer am : er
qui unam fecundam, unam tertiam, unam quartam, unam
qwntam,atqueunam fextam capiat .Donum fexagmta
cum feptem confer amut. qui numeri contra fe primi.atq;
fua proportione minimi comperiuntur.  er idea feptem
t n fexaginta ducetes quadrmgenta utgmti procrcabimus .
qui numerm minimus eft: quern fex tgtnta  er feptem nu*
werant: qmqfunam fecundam,unam tertiam,unam quar
tam,unam quintam, unam fextam, crundfeptimampro*
ferre poteft. Hac ratione numerus partes, quafeunque
nolumiu: denominatecompleftens,cxquiritur. Qumeti
m/iotnnes hi denominators in fe multipkcentur: fient

quinq;

t  1 B ER II.

IJ2

qhinqtie millid cr quadraginta . qui numerus it idem om»
tieseM denominations bibet.Caeterum Humerus as,mi*
mini proportion, capiens: is eft ,quim exquifiuimus .
tiempe quadringentauigmti.qui numerus imUo duodcci
tscontmetur.qucmidmodumexilliUs fefttoneper hunc
jitienda, cuiuts licet cernere  . A lid it idem bum generis
(xempld,qMciincfcoccurrmt:dd hunc modum explicari
pofjunt.

MODVS EXQyiRENDI PREC1VM
quarumuis pdrtium hie eft atttngendus. Nam cum ex in •
tegrorum diuiftombus partes, qua fuperfunt :tam ere•
Irxjupputdntibus occurrdnt.ut nufquamfeme non fint
e bui<e:ne car urn aefiimatio longa word quempiam torque
at mue(Ugantcm:pro quanta pecuniae fumma ualeat; ope
raprecium efje dux an us uiam demonfir are, qua id quoefi
deprthcndipofiit, Ed autem eft av.fmodi ■ Si per parti*
urn numeratorem precium totiusmtegri,cuius funt par =
tes:multiplicetur:er numerus ex multiplication procre
atus per earundem partiumdenominatoremdiuidatur:
Humerus partition^ precium indicabit partium. Tech*
quum uero,fi quod ex ea fedionc reflabit: fupra diuifoe
rem/lantern lined in:erpofita,notetur. Exemplum de*
nrns'Mt magis quoddicimus,eluccdt. Sifingula uini dolU
ttireis uigintt conjhtcrunt : z? duarum tertiarum prcci*
um fare cupimus. uiginti per partium numeratorem,
qutduo contmct:multiphcemus:ut flat quadraginta. qu&
delink per denomindtorem^uitrtaconunct : dtutdamin

I 5

*53 Jt r  r is s v p.

C 7 mmem’pMitionis furgetfiredecimaurei  .C rfuper
eft una tertia uniut aurci,quae cum preeij fit particuL :
ttobifeum confydercmut;qua petunia uiliorl pefitt
mri-ficutim dicemws .

M 1 NVTiARVM QV A  R V ML I BET
pecuniae reliquaru eefiimatio deprtebenduur ad nunc mo
dm. Si pccunue fumma , ch;i« pars eft quoduis rchquu :
in drgenti hbris per diuifionem qu<efita eft: inueftige•
ttm,quot dureiiiquoifohdistuel fi libel , quot denar if s l
nut quot nurmttis fefiertijs f aut quot femifiibut i nut quot
quadrantilrnfaut quot fextanttkut drgenti bbra aftwi
turf Vel ft pccunia prior in aureis perfeftione mejhgit
ta fiierit iexquira»m,pTO quot denarijsfuelji hbet pre
qmtnummis fejlcrtijs i aut pro quot obolisfaut pro qiwi
quadr antibus i aut fi quod ees fignatum mbtl m ttfu  eel;
aureus integer tudeatf Deinde aflimtioncm totwsiThu
partis, cuius pars ipfirn rcliqutm eft ; per reliqui mm
ratorem midtiplicemus. numerimcfc procreatum per ipj
its reliqui denominatorem diuidamus • cr numerus part &
tioms teftimationem reliqui monfirabit. lterumq; fiewt
dim rdiquim,/iquodprodibit:notctur, cr ultenusji
it a hbettad eimdem modum proccdatur. Exemplum reft
tamut,quod proximo capitc dedinrn. in quo precium dm
rum tertiarum unites doiij uiginti aureis empti, tredeett
nurecs inuenimut. cr reliqua crat una tertia uniat aura.
QU£,utfcmm quidaffirat: mum aurcum centum ms
mu atfttmems. quorum mmrta in immjeliqui mm

r utorett

% l  B E R H» T34

fitcrein daftui tanturn centum creat, qu<e per trid red*
cuidcnmnmatorem diuifajnnutncno parmmis educunt
tngintatres nimmos.O' i erumfuperefluna tert-a uni*
jh nmmuquam nereis adbuc,fexcanttbus,ad cundtm mo
dim tflimare petes. iguur preemn duaum tenurum
musdehjuigmaaurcis emptierit,tredecim aum,tri*
g im ires nummi,  er unatertia unius nummi. ttaq ;  in art
bitrio esl ccmputantis: an ptcuni<c4Hmmwnem  oi dine
emdm exquirtre luht: m primum uejhget :quot argent
ti hbrdf pccunue fummd quauishabeat. Dcmde fiquii
reliquum fupereft: quot id aureos fketat . If crum .fiquii
umanet; quod id dendnos creet.  1 ertio ,fiquid reft at ;
quot id producat niwnms.c? f demceps. Vel an ftatm
inprimo rclique ad uihftimam pccunum defeendt re mu*
kutper cam reliquum teftimet. V cruntamenuiramcuti*
<fie warn ekgent : idem dl indagandt modus.

I! AT SI ex mtegrorum fediombus partium occur*
rtnt particular quarumpnecium exquircre uelimtis: cos
prius ad fmplicts integrorum partes reducamm.  D em*
de prectum ad eundem modum inueftigenm: quemadmo*
im infmphcibm fragments tarn dixmrn .

DE PART1VM ADDITIONS.

P A R TIV H addiiio,esl plunk minutiarum feor*
fum propojitarum in unam fimmnm colkdio.  £4
, * 'icm , quxndo partes eiujdan funt denomination is: nub
' "»t babet negocmn[ola eiemm numerammfti add*

*3? ARTIS JVP,

tio . O" numerus procreatus fupr a brcuem kncam notu
turtfub qua denominator appomtur. Exempli gratia ,fi
quatuor fcptimM,quinqueJcpumas,j x J pumas uts aJ;
iere : (oils numeratoribus per addinonem lotiiundis,
fiunt qumdecimfeptimce.  f f y  - -

QVANDO uero partes diu rJos denominator .s
bdbent.fi bin£ minutiatfuerint: p Rquam ad c ommunem
denommationem funt reda ft* ipriorum numerator  nr
ienominatorem po/teriorum, or numerator pofii rio>
rum per priorum denominatorem, ad jo mam bte--

Y£gr£C £: quxjfcciem cruets dim Andre* refit : m en*
pltcari debent . numeric^ inde prouenientes ambo Jim 1
addi . er confurget numerator communis. Btli plum
pffdtterea minuti£ diucrfos babentes denominatores  oc«
eurrunt : pnmis quibufq-, quemadmodum diximus :  ex«
peditis; proxim* fequemes fimilitcr copulentur: donee
emnesabJoint*fini:eo modo,quofuprddidumesl:cun
ie difitmihum denominatorum redudione fdciendaprat
aperemus . ubi de comir.unium numerators addition
von nihil etiamdttigimus . ne quit id ibi defydcraretieum
de communium denominatorum inuefligatmc dicero
mus . Quamobrem illic explicata cxempla,hic tantm
fpeftanda ponemus.  f- | du£ tertit  ©- tres quarts
denominatorem habent eommunemiduodecim■ numcn--
lor cm ua 6 communem, decern  O' feptemicx additions,
cju* multiplicationem ad fjcctem crucis fkdamfequiit=
bet  | 1 3  quibiu addit*  ~ quatuor quint£ , prow

LIBER If. r$6

bunt 1 \1 centumtrigintattes [exdgcpmas .

Q v a N DOminutiat integris addends funt puns
mnutue eri'nr.notenturpctt ip fa Integra . Vcluti  jifi
didend£ funt ad 2  pc notiscopulenturlZ \ f.Quoi
Jiplures fint minutis , O' plura Integra: pruts Integra in
mam fummam componantur. Potted minutis feorfum
tomodo fimul addict, quo fuprddiftum eft : bis adiun*
yuitur. Velutifi addends e ffent ad 30 er 16'.
pint  30©" 1 6 comungantur.  ©" fient  46.fam<fcin«
kipfs minutis per addidonem colletts faeient 2  f J ,
ffiff ad mtegrorum fummam tungantur,  er [urgent
4S?|.

AT SI minutisIntegra cr minutijsaddends funt ;
joUminutis prim addantur,eo modo,quo diftu ett, De=
wde,quod earum fumma [urget: ipps addatur integris .
O' fiqus minutis reflabunt: pott illaftgnentur. uclutt ft
; addends funt ad  7 \  . pr«« copulentur  ~ cam § .
feficmt 1  x ~ . eaumganturady. ztr umuerforum
jmma fietS  xi- H<ec ma multo minus habet labor is :
5 # 4 w It quis Integra in minutias bis adiun flat frangat:
m;q; de bis corpus fattens pottea alteris ea minus
Hji copulet . id quod quidam faciunt: ad bunc modum .
Integra per partium denominatorem multiplicant: ZT
iiiiuro protreat0 partiumnumeratorem addunt . atq-
‘ numerator communis enafeitur. cui denominator
:  mbit immutattm f tb linea fubdunt. Vcluti in exem*
fk daio  7 mtegra in uicinum denominatorem Q due urn 1

H7 A R f f < s r P.

ty numcro  5  <5 produfto. numeratorem  1  dddentes,  —*•

/rl iunt-q:tdf polled cohiungunt cum \  co modo,  cjhq
\iiSlum eft -&-m &didem reeidet.

Q. v A N D O integrd integris & mitintijs dddctu
id furlt: prius integrd cotwingdinur . peftea adiungdm
'tur nrnuut • Velutifi6 cum  3 ■? copuldrtdj fint, prm
<5  dd  1 ddhntur: zy pent  9. ijuifc.'W dppottdntur minu*
m. ey unitterjorum [umma fh't  9  7. If/c/cm /? plurt
integrd cum compluribus int egris zy compluribus miw
tijs emneftendafunt.pruts omnes minutt£,m mum corn
puscolhgintur eo medo: quo didum eft . P ojlea mte»
g<-d, quceindc prouemunt: dd ulia integrd uingantur. c
'{ummd qudfitd furget .

AT SI integrdzy minut!£, integriset minutijs,itl
di debent:pruts itiunum fummdm integrdcolhgamur .

¥ often mmuti£ feorfum eo modo, quo diftum eft: copP
htd r his ddddntur. Veluti (i$\ dd S f ddiungidebciC-
prius3 id 6dddintur.zy pent 9. posted { zy f
adi:t£ (acium  ~: qu£ ad  9 ddimgdnturiut omnium [wit 1
ntd furgdt  9 j  : Eodcm modo fiat ficomplurd integrt,
zy complures minuti£ addenda ejfent: ut prius integrl 1
(odigdtitur : posl copulcntur minutta: ex quibusjiuew
tegru, fiue minuti£, fine umbo furguniinddintur d
prior d .

VBiCVNQ_,VE dutem minutidrumminuM^
teruemunt,prius h£ ddfimphces mtnutids redigdnturO  *
turn demum infingulis fecundu id, qu£fupru dittdfuM  *
tdditio perdgdtur. pi

t  ! B l  R if.

DE PARTI VM SY$*

dudtone.

P ARTI VM fubdudto, efi fumm£ pdrtium prop#
jit arum minor is kmaiore fubtradtoperquamrdi
Aim  parttum illarum numerus applet .Oportetautent
fimper uel minor em fummam kmaiore: uel £qualemab
squall fubtrahere ■ nam maior k mtnore fubductnequa*
qtam potcfl. Propo/itis iucfcbum >ntmuijs,atq- utra*
rumqite numerator c in alter arum dcnominatorem tnui «
cm,injfcciem crucis,multiplicatis,iU£ minutif maiores
effe dicentur.quaru numerator in alter arum denomm «
terem duflttt matorem profirt numerum.

qVAMOBREM fibm£minuticeeundemdeno*
mnatorem habenttquarum alter Of ab alters cupiasfub«
iuceretmtnor alter arum numerator a numerators alte «
urum mawrefi msqualcs extiterint.fubducatur. z? re
hquum fipra detwmtnatorem ponatur-.lined inter pofita,
Exempli gratia,fi duos tertixs a feptemtertijsfubtrahat:
quinque terh£ rempiebunt .fi a  f f Vbi uero mme*
Mores  er denomm at ores reperientur £quales: fad a fub
iudionc nhtl entrehquum.

Q y ANDO autemmmuti£d'uerfosdenominator
teshabentprm denominators inter fe multiphcenturt
V- confurgens numerus denominator communis ertt.De
indc prior urn rmrMurum numerator in poflenorum dev
heminatorem, z? numerator pojleriorum tndcnomina*
toremprtorum, adfirnm cruets ducatur. Quod ubifi

*39 ARTIS S V  P.

fiu erit.fi numeri procreatt fuerint in tequatles : miner  .<
matore fubducatur: & rchqimm fupra communem de*
yiomimtorem lined interiefia,pandtur . Excmpitm illui
tjlo.Si quit fubtrabere uelitd quatuor qumtts duas terti*
af-Jenominatoribuim fcdufiis.prius producatur deno
mindtor communis. polled quatuor, numerator alien*
r tun mnutidrum mtrta,alter arum denomnatorcttiydu*
fit crcabiit duodecim,alteram numeratorem.  I terti duo ,
alter drum minutiarum numerator, wquinq^denomm*
tor em alter arwm muhtpheatagenerabunt decern, nume*
rdtorcmaltcru:qu£,cum/inrpauciord q am duodecimo
db ittis fubducantur.w duo relinquentur,qu£fupra de*
nominatorem communcm prm procreatam locentur,
fic fa fia fubdu(hone,rehqut erunt du£ qutnUdicimi,

|■ d £ fubducunturicr rehnquuntur r y>

q_VANDO min ut he jubduccntur ab integrii'.
fuffvccrit cm  ab uno integro,m minuiias foluto, fubduct
rc.cr quod iam de mtegris qudm de minuijs reftabituo
tuts fubdufiiom crit tehquum ■ Velutt ft ~ fubtraben*
ebe funt it 12. furnamm t dell:  & reflabunt n. ab
Ulo dutem uno demptis  £ reltnquentur % qu£ cop'd*
kt£ cum ll,reftare faciunt ll  | tantum fuperesl ft  |
ill fubducimus.Alijintegrdmmutiarummore,fuprt  j
line am notetnt: cui umtatem fubijemnt, ad Integra deft*  1
gnandd. Deinie quafi minuti£ it minunjs fubducetiit  1
efpnt: pojl obliquant numeratorum in denominators  j *
multipUcationem ,minomn produfium a matore fubdu*

LIBER IT.

Hint'  er fupralincdmnotdntsuidcncminJtorefubdunti
U  7 in :Z duftarreant  84 &  4 ml dufta faciunt
4  qu^fubdufta ab  84, rehnquunt-y - bafireducds
idusicgraifientu % ;-p*res adidericikt • y  -f

AT Si ttimtuabintegrityminufajsfiibducetu'Pt
fieri poteft, ut qua fuBduci debent: minoresflnt dlis qit£
ikegrts admguntur.id quod ft ace iderir; turn ab lUis mi
mdjs fubducamur.cr tncegra tntafta mancant. quibits
tl!unflimid,quod rejhbmtotm fubduftionis eric reli
qmm.velunfi f-bdhcidebent d 6  -f ipfs 6  inte a
pis manenttbus , | jubducantur a  T f eo modoquodi
flume ft. cr reflabunt  . qua: ft 6  mtegrts adiungatt

tar: reltnquvnnir cxca j'ubduftione 6  *  f . Quod ft
mmtia : qua fubducehdzfunt: maiores ft-it bis, qua in
tigris adtmgwiur: tunc dc tmegris faltent unum in mi •
11 ittias admnftas foluatur  : utpoftqmm unum corpus
ex bis faftum fit: ah eo fat fubduftto  . VeluttJi ab

8£ fubtrahidebcm: folue unum deillis  8 in fecundate
(T fent \ . d qutbut deme  £: er reflant  77 . qua
filing is cum 7  r eh ft is de  8: relinquentur  7 7 § . tan*
tmrcltabu fi ~- ab  8  7 (ubduces , Hacuid multobre=
nior ejl: qu'am ft quis omnia Integra in minuttas adiuftas
ffingevz? poflca ab eis abas mmutiaf f ibducat. id quod
pdam factum : qui ducentes 3 in Z  , er 1 adtnngentes 3
cream  -7. aquibus demunt~ eo modo,quo(uprd di~
fom eft ; er reliant  7 j , fie res ad idem reetdet.
ffv  ANDO Integra ab integris &■ mmutijs fub*

K

§4» ARTIS $  V p,

ducidebent:demantur Integra ah integrisicr quod fuper
erittotm fibdudionis erit reliquum. Veluti fipaij^
fubtrabenda [unt. eximantur941  3. ©•rejlant  4 uni
(ummmutijs \ .itafi pa  13 [ubducatudtotum,quoi
rchnquttur: eft  4 f .

VERVM [iintegra (?minutiae ah integriserm
nutijs [ubducidebentituncutraq- Integra feor[min mi*
nutiaiS adiundas [oluantur.ut una mmutiaru facies utriti*
que con/iliat. pofleaq; [ubdudio eodem modofiat:ficuti
fierifolet,quandominutUaminutijs fubducuntur.qui
per ad a,demo coUigantur integra, ex eo quod reftabit,
Veluti a  4 f fubtrabends fmt . 3 foluanturu
quintas ■ quibus adiungiturmimtiarim numera or 2:
CT[urgent  -f .Hem 4 [oluanturintcrtiat.crmme*
ratorminutiarum 2bis adiungaturnta fient -f  .P oft*
ea  -f 4 if demantur  er reftabunt -f- . qua: fc
ciunt iif .tantumrelmquetur ji  3 j a  4 f exi*
rnntur .

VB1C VN q_VE autem minutiarmminutisinter
ueniunt: prim ln£ ad fimplicesminutiae redigantur ,<J
tumdemumin finguUs, [ecundum ea . quafuprd didi
funt: fubdudio peragatur .

Si  LBET experirimmrede[ubdudumJit:d*
dere oportet id, quod refiar.adid, quod fubtrahitur. U j
fmma,dquapt[ubdudto:mftaurabitur. Siplusautmi*  1
mis redif.erratumed  • N amadditionem[ubdudio,[ub*  (
dud tenancy additio probat: ficutifit in integr is. Veluti[1  #

LIBER  !h «41

titmiturab  | fupercrit  j .aJeff £:^«<f rdinquituri
td  i r fubditcitur,cr injiaurabitur ^:dqua film
iadiofadaed'

DE PARTI VM HVL«

tiplit atma

P ARTIVM multiplicatio,t& udexpartiummtt*
tuo in fc duclu, ud ex integrorum in partes, uel ex
i ffarum in integra,noui fragmentiprocreatio: per quant
f'.urima etiam diuerform generum, fingula queque uni
mitt fingula alteriisduda, per accumulattonem coeunt
in mum : O 4  de difiimlibus jit mum fragmentm .

l L L V D autem ad naturdm multiplications plenius
fernofeendam obferuare oportet. Cum integrorum qui*
im inter fe multiphcatio  er numero & cumuli quan*
titac mam edit id, quod procreatur : E contrario fit in
ptrtibmut he multiphcate, quantitate minores, nume•
toplures muemantur .

iG (T V R fragment or urn inter fe multiplicatio fret
tihunc modum.lnprimis numerator es omnes inter fe
tnulnpliccntur . ©r ex hoc enafeetur omnium numerator
‘onimimis. dande omnes denominatorsitidem in fedu*
antur:  ©- totius cumuli denominator confurget. Itaque
fiiuas tertias per ires quartos multiplicareuolumus duo
Nutria dud a ficiuntfcx, omnium numcratorem. Poslea
•fM in quatuor duda procreant duodecim , multiplicatio
Ms denominator ejic f per \ multiplicauficiunt  T ~ «

i4;  Artis s v p.

CVR ID autitafiatifirationepofcis'.iUaeJi.quoll
pnumerdtoresin fefohduceremur: uidcrcntur integra
interfemulttpltcaruatque ita numerator nimium crefic
ret. velutiin exemplo dato^dwm duo in tria ducuntur: fa
untfex.qu#,finihil pr#terea jieret.uiderentur integra,
Cxterim quia non duo Integra per tm: fed duster tit
units intcgri per tres cm quartos multiplicand# funt: fi
tnihter partium denominators in fe ducuntur tut partis
umdiuifione,qu#per denominators muhiplicationetn
fit:(quantoenim mags denominator crejtit: tanto mi>
gis partes comminuuntur ) nimia numerator is augment
tatio tantum corrigatur : quantum plus iujlo crcuerat:
atq'• ea rdtione ad #qualitate redigatur. ltd poftqua cut
denominators in fc dutticreat duodecim: liquet fexduo
decimas effetqu# ahoqui [ex Integra uideri poffent •

P O R R O S I per minuttas uelis Integra mum
plicarc: aut minuttas per integral ipfim integrorum  ®
mcrtemper minutiarum numeratore multiplied &pro>
ducetur omnium numerator, cut minutiarum denomini•
tor nihil immutatus fub lined reponatur. Velutifi2 into
graper  f . aut  | per 2 integra multiplicentur ,pro
creantur f  , qu# fnciunt 1 1. Alij integra ad exeno
plum minutiarum tta fertbunt: ut numerus mtegrortM  (
fupra breuem lineam notetur icrfubcd reponatur until ^
ts nota: qu£ integra ilia ejfe figmficetiiuxtd qu# fic fern (
ptd.qu.tfi mmuti# effent; ueras apponunt mtnutias :qu#  h
tn ea ducunt.Deinde numeratorem mtegrorm per mini

ttaruft

LIBER II* 144

tkrum numeratoremfarum q; denominator!: per deno*
mnatorcm illorum multiplicant.qm modus et expeditut
f#:er resadidemrecidit . nameum ipfaumtas inttgra
defignans alios numeros non multiplied : denominator
femper inuanatus manet . it a  -f duda in  jj: ficiunt  •£.

S l C obiter expedtta eft par dam dupltcat 10. quarn
freetem quidam feparaltm tradant.

SI  AVTEM perminutiasuolesintegra,alijsmis
trnip adiunda,multiphcare:uel e conuerfommutias per
intey/a mmutijs adiudaireduc prius Integra in mmuti=
os/ibiadiundasupfa Integra multiphcando in illaru dea
nominatorem: numeroq ■ procreato illarum numcrato*
tmaiiendo .cut numcraiorific accumulato minutiaru
illarum adiundarum denominator fub linea fubdatur »
Dctnde tpfe minutix iuxtaaltcras fcribantur: numera¬
tor^ per numeratorem,c? denominator per denommi
lorem multipliceiur.Puta ft duo Integra cum duabus fe*
(turnsperduas quartasmultiphcandafiterintiduoinfcs
ptem duda cn abut quatuordccimiquibus duo, quje funt
innumeratore addtta producentfexdecim. is ertt numc «
Htoricui denominator feptem capiens fub linea uwgi dc*
ht.Dcmdc numerator in alter ariinumcr at orem dud us
veabittriginta duo. Dcnommatorcsq; ttide mjedudi,
produccntmgintiodo.fic  2 Integra &■  > rcdudacre
* ntl §- .qita per \ multiplicata } compoimnt  § f. E a unit
Wegrumfacmt,cr£>

Q, V A N D O integrd in Integra minutijs adiuda

K 3

I4f  A R T I S S V P.

ducenda funt : priui integra minutijs adiunfta in foam
tninutiurum fdciem reducitoiipfa integra in lUarum dam
mihationcmducens , numeroqueprodufto numeratorent
addens. cui numerator i,ftc coaceruato, denominator jub
lined fubdatur . iuxta quas minutias Integra minutianm
tnore,fipra lineam notentur ifubtefta his unitate: Dem
tic numeraires in numeratores ducantur : itaeq- data *
minatores in denominatores: ficutijit m minutijs. Vetmi
fi 9  in 3  T ducenda fine:  3 in  y duftd ficunt  iy . <pi
but addita  4 , creant -f . poftea  9 in  19 dud a pm
ducent i 7 i.qu£ fupra lineam ponantur. Item fcmcl  y jh
ciunt  y. qu£ fublinedlocentur . ltdexhde multiplication
ttefient lz j-  . qu£,Jiad integra hbetreduccrc:  crc<(>
bunt  34 f .

AT Si integra  er minutix in integra z? minutim
duct debent tueluti  3 in  5 § tutraq; integra prim w
minutias (ibi adtunftas redigdntur. poftca minutii 1
rum more mulnplicatio fiat. Itaque in prioributillin
in  9 dutta creant  17 . qubm numerator  4 adiundut
produat  A -  . Similiter in alterisfiat  y in s duftd ft*
ciunt  40 , quibus numerator  3 additus educit -- 1 . hwi
tier 6  a a  cfwcfte m -  | producunt - l  ?  § . quxadw
tegrareduftx,(daunt 1 8 7?*

V BIC V N Q.V E <wfow minutiarwm minuthe in•
terueniuf.prim bx ad (implices minutias redigendx funt'-
Cr pofteamfmgulis,fecundumea,qu£ fuprddiftafmtl
mliiplicdtio per agenda  ♦

I. I B E R II. " «4 6

DE MINVTIARVW
partitions,

P ART1VM diuifio,eflduorimffagmentorum.ai
term dlterum oblique fecatitit, per multiplication
ncm in unim coitio : per quam tertium enafeitur fiagmcit
turn,ex utriufque illorum squall complcxu gcncratum .
Inomni dutem partiumdiuifione,ffagmcnumpartibut
iiuiforis fungensd parte finijlrd poni debet ‘.fragment win
ucro diutdendum a dextra . quemadmodu fit in integris :
utdiuifor (inijlrdm occupct.  D eir.de fragment diuiden•
dinumerator in diuif iris denominilorem multipliestur :
er enafeeturfrdionis numerator. polled denominator
diuidendi fragmenti in diuiforis numcratorem ducatur:
V partitions denominator proueniet . quifub numerdto
reprius procrcato,lined tnteric fid, fupponidebet. \taad
hunc modum numeratorum in denominatores, O' deno*
tnmatorum in numeraires multiplicatio oblique in fir*
mam cruets diui Andres fcfta fiagmentum procreabit
diuiforis o diuidendtuim paritercomplcflens. Exem*
ph gratia. Si per ires fextas diuiderc duos tertias notes;
multiplied duo in [ex o fiunt duodecim,numerator ope *
tis. Deindetridin triaducantur oprocrcabuntur no*
feflionis denominator. Sic per \ diuife ~ ficiunt
-qnsfieaumnumeratorperdenominatoremfeet*
tur.imegrmunum o tertianiunmintcgn partem con
Qittmt.

*47 , A RjT IS S V  P.

SVNT:  qwiubent in minutijs diuidendts d : uiforcm
cidextraponi quafitdmagmnferat .qui cur id fieri ftc
uclint : nihilideotquando ilh ip/iprjecipiunt fragment idi
Uliendinumeratorcmindiuiforis denominatorem, cent
traq- diuidendt dcnominatorem in numcratorem d,uifu=
risdua. Quod prtceptumfi quit ferud: mhil qmmno
refirt:ab utra parte diuifor flcteut. Id,quod res ipfa an
teoculos pofita pal.t m m italic, fun medio fragmentum
diuidcndum,atq- utrinque tdem fragmentum fecans ft a*
tuatur, adhunc mqdtm  . f } fxf \  Nd.-w fra
gmentimedij diuidendt numerator in diuijuris denorm*
natorem,ueld/imlira,ud a dixtra,dufluscundem ereat
tiumerum'fmihterq■ diuidendt denominator in mimcra-
torem,uelfiniflru,ucldextrUymulnphiaiUs idem fieiet,
Quamobremcum in mtegris dtuijor fimflram leneat:
non temerealiud in partibusjlatuemus: prafertim cum
in expheandis difficiUimis qmbufquc quajiiombus, in
quibus intnutue imeruen'unt, h.e , qu£ diuiforis fungun-
tur partibus: fuapte natura ,Jin;flram teneant . id quci
infequentiltbro pafilm cuittis hcebitcerncre. Qua* nit
nuttat,quandoad diuijionemuentumcritifide juo loio
in dextram transfer csiLborcmgantnabis.

SI QV  AER f S :cur it a mmmutiarum par tit tone
mltiphcatio in fbrmam oblique crueisfat: ratio ida esh
quod mimitiarum ex,liras ft per denominatoris tnultipli
cationcm,quanto mm magts illc crcfcir.tanto magis hi
con.mimuntur.ctnmcro pirns funt,  A t e earner fontt

tnerd*

LIBER II. 143,

UerMorii incrcmcnium ucl Integra progignitiuclpar tes
multopropiorcs integns . Itaque cum mmttdr um inter
femultiphcdtio, ex numerators dire do in altcrum nume
ratorem dudu, denominatorisq- ttidem in al.erarum dc~
nommatorem conjlet : quemadmodum proximo capite
(dociumut: mmutiarttm uer6d:ufio,quce [uaprcnaturj
multiplied!wm contraridesl: pcrwulttphcatiomm peri
etiam ipjddcLeai:)tt tertiumhts mutuafidionc coeunti *
hue fragmentwn enafeatur: quoniam ahcrailla multiple
eatio confiiitur Aired e: h<tc,qu<t partes fccat,neeeffe e  #
cbiique fiat-.ut alterarum numerator in alterarum deno ^
tninatcrem, denominator^ alter arum in aberarum nu*
tncratorem dueatur. alioqut fedio mmta rcdderctur: nec
tdaqualitatcm respoffetperduci. Veluttinexemplouni
dato. quandoper \ dtuidere f uolumus. multiplicand
,tcs tria, diuidendt denominatorem per tna, diuiforu nu*
meratorem,  /i nihil praeterea facer emus: uidercmur per
tria Integra partes illas fccare : atqueita dtutdendo nmu»
um cxcederemus . Sed quoniam ilia tria per qux did ft*
muiinon erar.t tria integral fed erant tresfexhe : propte=
tea diuidcndinumcratcrem in fex, dtmforis denominator
rem duccntcs,corngimui excejj'um ilium, atque ita par=
t.itioncmad jcquahtatcm reducimus. tantum ttiim dnuden
di numcratorem fupplemus: quantum plus tuRodcnomu
ltd! or cm eius auximus,partes minuendo .

EN TIBI expeditam partium dmfionem.quamut
pktm pernofeas,lilud obferuare oportet: Ires earum

v,; k $

" *4P ARTIS S V P.

fecandt cffe farcies. Vnacft: quando partes maiores i
tninoribusfacantur.in quafaecie nafeuntur minutir.qu
plus quam unum integrum crednt. Excmplum. ft per f
feces {  , ormtur \  , qit£ unum integrum z? dim*
dium componunt. Altera quando t equates partes diuidunt
equates: ex qua unum creatur iutegrum  • Exempli caufd•
Si per x diuidas ? fiunt  ex ea fafliotte - '-qua; unum
integrum faciuntTertia cfhubipartes minorcs diuidunt
tur a maioribus: id,quod in minutijs fepenumero euewt:
(icenmkzcoirepoffant.  I nhaepartes procreate mi*
ttUireddunr.qudmunu/mintcgrum.Exempligratid.fipcr
f feces f: prodeunt ~ : qua tertia parte minus,
quam unumtntegrum cdunt. Etut fciasiqucmfenfum af*
fir at minutiarum partitio : primo tiumerum aliquem intte
fhgare oportet :qui utrafque minutiae ,tam qua diuidunt:
quam qua diuidenda funt: contineat-id, quod facile fa: ft
utrarumque denominator es inter fe multipliers: deinde in
numero 1U0 procreate duos numeros mmores exquirat'-
alter um, qui partes diuidendas:alterum,qui partes diuifo
res re far at,  I ta ieprahendes nihil ommno inter cffe: utrum
alteram lUorum numerorum per alter urn diuidas :an pit
tes alter as per alter as. Exemplum in prima fecandi fae‘
cie-ubiper } fecamus x : Jinumerumquarimusiqui
f- C 7 " f capiat i tridin duodu(la,fexnobiscrednt. qui
numerus utrafque minutiae complettitur . P oftea in fax,
priusnumcrum inuefhgemus: qui unam eorrn tertian
sxpnmat.is crit duoukinde tier urn in fex alterm nutne*

LIBER I!. 15 ®

rum inquiramucqui creet unam eorum fecundam-v trut
effe comperiemus. Quibus numeris mucntis, nihil refers
re depreehendemiM: utrum per £ fecemus £  : dn trid
per duo. Nam utrobique res ddidemrccidct. quippeex
partiumfeflionepreueniunt tres fecund *: qu* unum in*
tegrum cr dmidium fiemt. ndm numerators per deno
pi indlorcm partitiounum in numcro partitions produ*
cit : ultrd quod und fecunda fupcreA . id, quod itidetn
tueniet :fi tridperduof:ces.

Alterum excmplum in fecundd feedndi ffecie . Si per £
dmidds  f : inde prodeunt £  , qua unum integrum
creant • Idem furget: ft quatuor diuidas perquatuor  .
quippeinoftonario numeroex denominatorum in fedu*
flu procredto  4 ,unamfecundam,  er 4 duos quartos fk
aunt .At in tertia fecandi fpecie, quando mdiores partes
diuiforis funguntur partibws: quemadmodum tunc in inte
grtsfefiio fieri nequit: nifi minor numerus, uelin fpccies
fub fe contentdd multipliceturiuelin minutiae foluatur.fi•
cuti moxdiccmututadu minutkeoeuntes ficfecdntur.hu
iufmodi parntio nil mfi minutias par it : quippe qua unum
integrum nequeunt <equare. quia quot parttbus numerd
tor d denominator fuperaturtotidem defunt ad integru
tomponendum. Veluttfiper £ foces £: prodeunt £  .
Qk odpermde ualettac ft duo per tria diuidtre moliaris  «
Ham in numero fenario utrasque compleflente minutias
tria unam fecundamjuo unamtertiam ficiunt.  Q u<e fe•
flioin mtegrisfieri nequaquam poteftiututercfc mm*

I$l  ARTIS  S V P.

m integer maneat. id, quod moxexphcabimus. Quam*
ebrcmquando partes qucehbet per alter as quasuis par*
tes diuidendx proponuntur: hoc fignificatur : at partes
Me alicum numert propojit£ diuidantur per alter as ewf
dem numert partes propofitas .

PRAETEREA cum in integris multiplicatio fem*
per augear.partiticquedmmuat : in minutijs contra cue*
nit: ut e£ muhipheando deerefcant: O' augeantur parti*
endo. Nam ft per mam tcrtiam una fecunda multipb.ee*
tur: procreatur una fexta.que longe minor eft, qu'am uei
una fecundatuel una tertia. At e conuerfo,fi per una ter*
tiamuna fecunda diuidatur :fiut tres fecunda: qua unum
er dimidium componunt. quodlongcplus cft y qudm ud
una tertiatueluna fecunda. Veruntamen quiminutiarwn
naturam eamefje memmerit: ut quanto magis in numcro
denominator crefcit: tanto magis quantitate partes dim*
nuantur: id,quod ante f£pius admotiuimvs: jiatim mira*
ri define:\cur minima multiplicando deer ef cant . cum in
bis numeri incrementum diminutionenufferat quantiti
tis  . O’ denominator pro ratione, magis qu'am numera*
toraugeatur . Maius mirum prima freie uiden poteft t
quomodo partes diutdendo crefcant • fed nee id quident
quempiam turban debet: qui partium diutfionem abin *
tegrorum longe diuerfam effe pernouit. Etenim ilia ft
perfubduftionemdtuiforis dnumerodiuidendo totiesre
peticam. quoties id fieri poteft  . H<fc autem per duorum
.fragmentvrm obltquam m unum coitionem : per quant

tertium :

LIBER II.

1*2

tirtium exoritur fragmenturn ex £quali tUorum eomplec
xu produflum . qk arc quotum multiplications nature
eft: ut partes edat minores partitions, qua? eicontrary
efreffrdebcf.ut partes infidunt,pk'morcscj; casrcddae  *
Cuireinon abfitmle quidamnonnunquammintegrs u&
Here licet: fiquk minutiores nummos ad librarum aureo
rume fummam cuptat redigere. id quod fit per frflios
nem. Ji per iUum nummorum ntmerum, quo libra met
tut aureus unue aflmatur : uuiuerfus nummorum nurne *
mdiuidatur .itaq-quandominuti£ptr minutiae feian•
turiommamaiorafiunt: quemadmedum aurciatq;libr£
congcrunturcxmmutioribus nummte . Quoetrcapartia
umdiuifio mbil ahud eil.quam inuejhgatio qu£dam:quot
(p-qu£ partes ex duabus fragments adtertij fragmenti
procreaticnem pariter per fr Atone coeuntibis onantur.

S l Qy AE uerb mmutt£ perintegra fuerint diui»
ienddr.ab ear urn fini/lranumerusintegrorum fuprali =
team feribatur: ueluti minutiarum numerator quidam:
fub quo, Unea interieda, notetur unitasiqu £, quajiquia
dam denominator,integra defignet. tumq ;  multiplication
te in frrmam crucis fdfta/icjiat diuifio, quemadmodum
in alijs mtnutijs . N am (i per  f diuidantur  | : post*
q<am in frecicm crucs multiplicatio fret: onentur  f .
A bo modo id fieri poteft: & res ad idem r ecidet: ut dens
minatore manente tntaflo, numerator minutiarum per
numerumtnttgrorum in partes £quales,fifieripoteftl:
dwtdatur, Velutifiper2integra f fecentur  . font  ,

ARTIS S f Pi

Alioqui ft numerator perintegrorum mmerurn in pin
tes eequales fecari non pofiit : numerws integrorum in de*
nominator emdiuidendt fragment i multiphcctur;  er res
trit confetta- ficuti ft per 2 Integra \ [ccentur: pro*
Ucnient  § •

SIC O BIT E R expedite efl partium dimidiatiOt
quam feeciem curiofequidam feparatim trattantuunt
longe fit facilior: qudm ft quit tux per trid, qudtuor, dut
quemuisahum maiorem numerumfecareuelit .

AT SI minutUper Integra  er minutiat fecandi
proponuntur: print mtegrd in mmutidt Iibt adiunttas re «
digantur: ut und de his mitiutidrum facies appareatiqut,
quid diuiforis pdrtibut fengentur. fimfiram occupdbunt,
alii uerominutii, qu£ fettionempatidebent : dextram,
dcindemuluplicationem fermam emit fetta, minutid*
rummore,diuifioperagitur -Veluti ft per 2  £ partiri
| uolestpriutadiunttarum minutidrum denominator %
in z ducatur: erfient  4 .quibus additus numerator, 1
tducit i, per quas ft feces  | :ex ea partitione pro*
uenient  rf*

QV O D SI Integra per minutiat diuidi debenttin*
tegraquidem minutidrum more,fupra Uneam,cuifuUi
tur unitas: a dextra locentur: minutk autem a fimflrd.
C&terduerb,qu£ de multipticationein fermam emit fa*
cienda iam diximuttnihil. immutentur. Exemphgratid.fi
per j fecareuit  * ,enafcentur  if *

p O R R O ft Integra per integra  c r minutiat diuidett

ddfunti  *

LIBER If. 154

iifunttpoftquam Integra ,qu<e minutiae dctmflas hi
bentunearuformamredatta erunt-.a fimftra locentur:
quod dim for it fungantur partibus.cetera uero expedi «
antur; ficuti proximo dixmus:quando Integra per tninu *
tins fecmtur . Velutifiper Z  f- fecanche funt  £ , mi  ■
nutiarm adiunttarwm denominator  5 ducatur tn  »j
Cr pent a  . quibus numerator  1 additus creat -  .per
mautem ft diuidas  t ,indcprouenient -\:qu* fit
eiunt 1 i .

AT si Integra o minutix perminutias fecandas
funt: prius integra in minutiaf Jibi adiunflas redigantur:
ut ma de hif minutiae urn fades fiat, deinie adextra pc ft
t£,per alter as minutias fragmentorum more fecentur  »
Velutt ft per ~ partiri  5 \ uoles:  > in  4 due antur :&■
to prodtbunt . quibus numeratorem  5 aide: o furgent
. Poftea multiplica  4 denominatorem dtuidendt
fragment: in  ? numeratorem diuiforis  . c?" producentur
to . Deinde numerator diuidendi  25 ducatur in denomit
ratorem diuiforis 6  .0 [urgent  us .quefiper  io feda
ii integra redigantur: profirent 6  .

AD EVNDEH modwm fiat: ft Integra O mittu*
tie per integra fccande funt . id quod quando accident l
ipfa integra a fimjlra locataminutiarm fftciem indu*
tut: utt fupra did urn eft .

Q V ANDo uero Integra o minutie per integra

minutias dtuidi debent: prius utraq ;  integra in minu»
tiatfibi adiunftos [eorfum redigantur: ut omm mmtk

ARTIS S V Pi

rumfpeciem utrinque re fir ant . Delude minutia, quaik
utdendi funr.a dextra /oca ta.per alter ds.fr:gmentoru 4
more fecentur. Veluti fi per  3 J partin  6 f  ctipis' j
in  3 rnultipficata, cr pro luflo numerator additm ,
an .Item 6  in 7 duflaprodufloq- numerator ad*
lunflusproferent -%  . P oRcafipcr ~~ fecentur
ex ea pariitione \  ® f prodibunt. qua ad mtegra  res
tiufl.e..fi tunt  I | f f ♦

VBICVN Q_VE autemminutiarummmtiaintet
ueniunt: prim h£ad fimphees mmutias redtgenda  f mt :
Cr polled in finguUs,fecundum ea,qua fuprddifla pint:
diuifio peragenda .

Si C APERE experimentumhbet:anparlitio re«
flefafla fit tfcflioms numcrum in diuiforem mh’i'tplki:
CT numcrut diuidendiu producetur. nam multiplied!!/
dttiifionem.cr multiplicationem diuifio probat in mmu-
tfjs: quemaimodum pt in integris. igiturquando per \
fecantes x educimus ~ . qua ficiunt 1 \ . refle dim-
fum effe probabimut: fi \ ind.uiforem ~ ducetmtt t iti
| producentur . qua ad minimum nomenclaturam re-
dafla ficiunt  £ . quod fragmentum diuiicndum erat.

IN MIN V T II S operaprecium illui admonert
putauimut : in quo multum exerettatoshbifape nunteri)
tcdimut. Quandocunqnc minutiaiqua dim for is fiagwn
tur partibut:  er quafunt diuiicnda: eundem denomini i  j
torem habent: qutin utrifque fuo numerat ore minor n*

peritur : mwq; exiftit earum numerator: qua fecund

funt}

l i b e r  in «5<$



flint quam qua fecare debent : quoniam tunc in utrifque *
mnuti£ totidem int egra repr<efentdnt ; quoties utmfque
n mentor denominatorem fuu continet: partitio nequua
pint oblique in formant cruets fiat ificutifit in minutijs %
jjdsnommatoribus manentibus intaflis,mdiordiuidcnu
it numerator per diuiforis numcratcrcm,qut minor eft :
imcgrorum more ft cetur. Alioqui jlfuppuUtoe lUa/sju
me minutias aiuidcrct incautw: t um Integra dcfigr.ent  *
W minor numerator mam cm partiri pc for. in labyrin•
ibminextricabilem tgnorans fife immergeret. Exem*
pis ran tlkfireinus . E fto per ~ fecundre ejjint  f *.
knommaioribus utmfque nihil immutatis foeptem per 1
i diu fj cducent unum integrum  er duos qumtds. Autfi
per | pdrtiri cupias  -f per cdo fecans decern unum
integrum procreabustet fupererunt .%; qure reddunt  fi
Et quamuistn bis exemplis mbit refine uideitur : utrd
tomodo feccntur :cm etim fimmutiarummorefocrct
pmittoimbilominuspoft reduftione minutidrm di in
legra res ad idem recideret: lumen pneterquam quod uitt
km mon Strata Ulus reducendi uitat ambages: mult ce fop*
putationes occurrcnt'-in quibus error immenfus orietuts
firitu parttm ed dtuidas. Etprrefer tun ubiex diuer/isin
<fg ris.  er uarijs minutijs in unum additis, unus omnium
tiuifor coUigitur: qui multd uarta fecare debeat . I

<{nodm explicandis numerorum nodis,in fequenttlibro
towi/iflum per exempla fociemm .

IN iNXEGKis rnmerismaiornondiutditmitm


*j7 ARTIS S V P.

remteum in minore maior non contineatur.uti fuperiori
iibro y dcpartitioncpr£cipientes,admonuimus. Ceterum
maior numcrut minortm franger e in minuttas poteft.Et,
ut few: quo nm modo ca fefti.o fiat : quotque quales

partes fact at: tllud obferuaiut minore numerim diutdcn «
dum fupra breuem line am duftam,numeratorem ft at m:
tnaiorem uero, quidiwforeft:denominatoreline£ ftubft
c ias. Si tot enafeentur partes: quot diuidendut,qut mime*
rator esl: imitates capit. tales autem erunt: quales deno>
imnator,quidiuifor eft: demonftrabit. QU£ continuoii
tnimmamfui nomenclaturam reddfte manifrftabuf.quol
Cr quales partes prodeanf.quando maior numerus in mi•
tiutias diuiditminorcmcxemp!um,/i per 30 fecare if tie<
itmus: ftunt  f f . qu£adminimamnomenclaturamre<
dad£,facmnt {■. hidemfiper  40 partiricupiamus a,
feftio facit  f £ .qu£funt  . Similiter, ft per 13 ft
tare uelimus 7 : prodeunt  if . Minor numerws fuprt
lineam numerator efftcitur: quod in minutijs is locus fil
mmcndiuidendi-Maioruero numeric fub Imeadenomi•
tidtor fit: quodeim locumm minutijs diuiforobtmeat »
Ut quemadmodwm fi numerator maior ejf t: denomind•
tor minor cum fecans proferret integral fie e cornier*
fo,quando denominator mmeratore maior efhenafcun*
tjermmuti£:quibus tantum dee ft ad integrum componefl
dumiquanto numerator denominator eft minor, tta nur
uidi per maiorem duobut modis poteft >
4 minore nuttier 0 nuttier a! a ducuntur if

merits minor di

Velquandores

LIBER If, 15S

fyecies fab fc contcntas: ut numerm produflm miori 's
jeflionemferat.uclu ifiunut aureus,inter quatuorwrot
iiuidcndus , multiplcetur in nunuticrem pccuniamtut in
quatuor partes diftnbui pofitt, Vel quando numcrus met*
ior minorem tn minutm fecat: id quod fieri poteft eo mo
io,quo iam diximus.

Htc quanquam attinent ad fettionem integrenm  i
quia tamen butufmodi partitio producit minuttastde quia
ks ibi pr<epoflerefuiJJit dicendumtin hutic locum poti  ■
melegandafuerunt .

DE RADICVM INVESTIGATE*
netnmmtijs .

Q VADRATI cv cubilaterisinueftigatioeodt
modo fit in mmutijs,quo in mtegris fieri folctini*
Jiqubdgemmnduteft labor :c Urn tarn in nume»
tttore , quam ir, denominator radix fit quarenda. La  ■
lantern in numcratore muemm,numi rdtori$ erit rd  *
<fc. quod uero ex denominator eruetur : denominato a
rad x habebitur. inter qua linen media fecanda eft..
txemplum de latere mmutiarum quadnto.Si de \\ ra «
hcem ettpis erueretnumeratoris radicem inuenies  5-, dc
Nominator is  4 .Sic lined diftinguente, fiunt  f- .Sinn*
liter de radix quadratacapit  J- : er reliquafu*
Pvfunt  if-. Radix uero cukcaearmdemmmutkrm
erreftant f§.

L %

ARTIS S V  P

*5P

DE RADIC1B7S PROPIVS INVE»
men Avs in numeric nequc quadrats,
nequecubis.

V BI in numcro, qui nequc quadrat us eft neq; cukil,
radix eft inucnta: fempcr aliquid ent rcliqum,
fiue in prima inucftigationc id eueniat:fiue in ultenon:
dequa iam diccmus.Nam ft mhil rejlaref.is numemqu
dr at us autcubus ejjet. Nonnunquam autem in amplo tini
tnero reliquum ipfum ingens erit. Prima namq; inuejlii
gatioradicem deprxhendit maximinumcri quadrated
eubiin his contend, inter quern  er numerum ilium, ft
neq; quadratic neque cubus proponiturvpfum reliqum
dijjvrentiam manijeftat . Quocirca in eiufmodinumerii
ueramradicemaffequinunquamlicet:tarn cr ppropid
multo,quam in prima inucfligatione fdftirn efl,accedi pc
teft: ut [cias,quot partes cuiufuis denominations fupen
fint . id quod in quadrats fietad bunc rnodurn.

POST pnmam in integris radicis exquifitment,^
qua reliquum fupereftinumerm lUurn non quadratm,
cuius in integris radtxinucntaeftiper denominatorffl
cuiufcunquc partis, quam opt as, multiplied . Deindepd
tundemdenominatorem iteru multiplied numerum pro‘
duttum. Quod cum faftim erit: radicem numeri per ft‘
cundam muhipltcationemprodufti,exquire. Htenamf
radix fectmda.cunftos iUius denominations partes in nil 1
men primo propoptiradice content as, demonftrabit>

LIBER II. TtfO

ideo fiper partium denominatorem radicem iUant
fecundam feces: numerusfettiow profiret prima radi•
cis Integra, e? pratcrea etiam partes yliquotilliur deno*
mnatmis . Cater um aliquot minuua femper reftabunt
qua minus quamunam partem (actant: ut ad mtegru for*
mndum partes tike nunquam deduct queant.

v E R B l gratia ,fi fcire libet : qua fit radix numcri
oftonarij. banc effe x deprabendes . e? quatuor crunt
nkqua Aamfifcireudis: quot quxrta unm intcgn fas
perfintinradice. Primum s per quatuor multiplied e?
prodeunttrigtntaduo . Iter urn triginta duo in quatuor
duetto: e? producentur  us. Hunts fecundo proiuttira*
dicem pcrfcrutanscomperies earn n-totidem mmq • quar
tefunt in ottonarij numcri radice : hoc eft, duo integra ,
Cr tres quart£ prater feptem in minutijs rehqua: qua
qiartam cxplere nequeunt . Itaquc ultra prtmam inutjh*
gationem,qu£ x Integra in radice protulit tfccunda tres
prater ea quartets eruenspropiiu accefit ,

QVOD Si etidmnumpartiuparticularinucjliga*
repergens fcireuclistquotquartamm partisquarta,
ultra duo integra  ©" tres quartos fuperfintiad eundm
tnodum,fcut de integrorum partibus exquirendis iam
dtttum efttnumerum,cuius radicem fecundo indagaflhfe•
mel in denominatorem particulate? iterum in produ*
(turn ducere debes tatque in numero fecundo produtto
radicem imejligare.qua, poftquam inuenta erittcunttas
liluts denominationis partium particular numeri pm

3

*<St A R T 1 S S V P.

me propojhiradice content as dcmonflrabit. illam auten
rddicem ft per denomtnatorem particularism fecesinume
tus feffionis partes integroru demon/Irabu. O' id,quci
trit reliquumipartiumparticular.

V E R BI gratia, us .cuius numeri in fsperiori exctrn
f>!o fecundo produff i rddicem mucjlgaumus, pirqm--
tuormultiplicemusunde nafccntur  yu. P offca tieum
ducamusquatuortn iii.itaproducentur  1043 .butusnm
tncri rddicem qusrcnta deprshendi mus can; ejfe  4? 0
fuperfunt  1;. Igitur  4; quartte unm partis quartz in
effort arij radice eruntiquas ji diutdamus per quaHtot
numeros partitions ,monflrabit  u. ©- umim erit rS
quum,Qua raticnceompcriemus in offonarij radicc tin*
decimpartes quartos, nempe duo Integra o~ tres qtur>
tos,atquc infuper mam quartam umuspartis quarts con
tineri  .

Quod ft cut eft animus dmp’ius progrcdiipotcrit ad e UP
dem modem etiam particularum particulas ultcnorei
pcrfcrutari .

IN C V B f S quoque numeris ad cundcm omnino nio
dm omnia fiant. mfi quod numcrum-ilium noncubiM
cuius radix in integris muenta eshnon folum per denctni
natorem partis, quameunque uolesimultiplicare oporteti
tO tterum in produff urn :fed( ut ratio cuborum po/fa>
lat ) tertio denominatorem ilium in numcrum ex fecundi
multiplication preduff um ducere debemus . qho fit’-
ut numeri tertio produff i radix mefligata, cunffas tttM

L I B E R* II. 1 6 %

denomination a partes in primicubi radice contents mx
it,jr/ht. uidem etiam progredi licet adpart turn parties
Usmhis inu.fhgundas .

ALIO modo per compendium id fieri poterit,di
kite modmtut denominatorem partium,quas exquiris :
ftmelin rcliquum, quod poftprimm inintcgris radicis
exquifitioncm rejlabiiiatq• iterum in produdumtducs.
P oileu per eundem purtium denominatorem radicem
ipftm in mtegris muentdmultiphcatnumerumq- iHu  par*
ttumradicis fie produftu dupkea. Deindenumcrumqui
tx denominations purtium femel in rudicis reliquu. atq-
iterum in produflum multiplication produflus efl :fic
diuidere per numerum cx duphcatiopcgencratum dtbes  :
ut tumen tuntum fuperjit. quantum numerus fed.onis
poftcu in (c ip[um dwSius,propcmodumdderc fubdudas
pofiit, Nam in bis numeris non quadratis femper  (uti
dixumis  ) aliquot minuticereflabunt . ltd numerus fefl oe
lus radii is partes cxreliquo nafeentes monflrabit.Ver•
h gratia. Si cx odonario radicem quaris: inuenies cant
i  :©• fuperfunt quatuor. lam fifeire cupisquot quart*
fintin rehquo. multiplied quatuor reliquum per quatuor
denominatorem partiumtquas quxris.eyprodcimt fedc
am. Iterum denominator quatuor in fedecim dud us, ere
at fexaginta quatuor.  D einde radicem z. multiplied in
denominatorem partium quatuor, grfient s.duplicct
produdumstcr procreantur fedecim Jam uerofidiuk
is fexaginta quatuor per fedecmquatcr in lUis diuifot

L 4

j Artis s v p.

hitheripoteS: fed tunc nihil repabif.quod numem prfrfi
fion'ispotted in feduftus deleft . qu.trc ft femelmim,
qiumaltoqut fieri pojferJiuiforcm fcdecim toUamus: ter
fedccim fdcient quadraginta ofto:  er fupererunt adhuc
fedecim: aquibits finumerum.fedtoms  5  in feduftum,
qui facit nouemtfubiucAS'.rcftint fcptem.fic Humerus ft
ftionis ojlendtt,cx reliquo radicis pen trcs quartos, pres
termmutiosrejlantes 7  •

AT ft in hoc cxemplo pdrtium particulas intufti*
gdre perges , uelutt quartarum quartos: denominator
rem particular um, quas quoris: nempe quatuor femel id
reliquum poft fecundamradicem part turn inucntamre*
flans,uiidicctfcptemducito.indc'q-pent uiginti ofto.  Iff
rum etiam eundem denominatorem quatuor in proditftu
uiginti oftomuitiplicato. & furgent m. Po flea earn*
dem particuldrum denominator e quatuor. duccre cpor•
tet iti ottines partes totius radicis haftenm wuentas : qua
funtundedm.namduointegra,quoprodicruntex pri*
ma inueftigattone: cr tres quarto, quo ex fecunda,fhci *
Unt undectm quartos. quo pet: ut quatuor in undecim du*
daprocrecnt quadraginta quatuor. quern numerum pro
duftumft dupliccstnafcentur bftogmta ofto.  Per ca ait*
tem ft fiedtuidas m,ut numerus feftionis poflea in ft
ipfum duftus, quoad pen poteshtotum diuidcndum aup*
ratiunitas dtuifor fufjidet.ita oftoginta ofto femcl a u2
txtrafta,relwquunt utgmti quatuor. er poftcaunitasta
fe dufta adhuc mum ersat: quod aujirendum eft d ut

cr refia-,

LIBER IF.

164

Cr reflabunt uiginti trid. ltd numcrus fcflionis unant
quartam unius quart# ex fecundo rcliquo prodiremani «
at.gr fupcrjunt z; .Hac rat tone ctidm ulteriores par*
ticubrum paruculos, quatcnus progrediuelis ; confcttd*

RATIONEM uero,curqud
dratwn per denominatorem pdrtU
um bis fit multiplicandum: Socra*
tesupud  P Ixtoncm  M enonis puero
redht. Cum fententiam paucisex
plicabo. Quadratum line# bipedd•
lis r quatuor crit pedum. nam cumfi•
1 guru duos pedes longi gr unum dim
'] td duorum fit pedum : jit ut figurd
-* duos pedes longu gr itidem duos dU
" tdquatuorpedum cxijlat. Quadrd*
turn dutem dupl# longiludmis fedc*
. cim cdpiet pedes. quoniam cum fz=
gurd longitudine dupla et fold duo*
rum pedum dltitudine pedes ofto
compleildtur : figura, dupl# qu#
longitudinis dupl# , cr AliitudinU
ttiam erit: fcdecim pedes caplet.

SIMILITER in omnibus alijs quadratis multiple »
tdndis opus cslduphci multiplication, quoniam prim*
mltiplicatio folum dugetin longitudtnem. dtfecundd f
qu# fit in produftumtaltuUdini tantundem adijeit .Exm

*■ $

ri licet.

m

I ARTIS SVP,

pitcaufa . E Ho quadrat um propofitum quatuor,fi libet
tnquirere quadratum: cuius quadque latus duplum find
quodque Um propofiti quadrati . duplica quadratum
propofv.um: inde odo nafcuntur : z? tantum pgura  cre«
uttinlongitudinem. Loigitudo cnim dupla cmfit:f:d aU
t‘tudomuariatamanet .igitur quadratum nonesl, Qua
re Ji iterum dupliccs produdum: indeficnt fedccim. Aify \
itj tint undent mam maltitudinem erefeet: cumfitdupla
adaltnudmempriorcm. Quod autem Socrates inlmeis
puerofub oc-ulis demonftrauitud Eucltdcs in numcris,qui
fvrmaripojfunt in modum quadratorum: dodis ratiotie
pateficif.cum inquit. St jucrtnt dm numcri,ambo quadra
tv. erit proportio alterm ad altcrum,tdnquam fut laterii
ad lam dim,proportio duplicate . S i uero ambofiiermt
cubit erit proportio alterm ad alterum,tanquam f ui late
ris ad Ut m Mm,proportio triplicata ,

QVOD ftcompendij dan rationemquxristiditi
habere fub oculis uidere licebit, hoc ememplo, Finge nit *
merum propofitum cjfetriaihum radicem ccnjlat cjfe
unum,ZT fuperfuntduo. lam ft fare hbet: quot quarts
wins integrt adilla duo reffondere debeanttduc denomi*
tiatorem quatuor in tria. pent duodecim ,! ter urn muU
tiplicaquatuorin produdum duodecim unde nafeentit t
quadraginta odo . H mm numeri figuram quadratum
e (forma,hoc modo.

Inh.d

%<

LIBER II, 16S

IN H A C figurd f:decim re t  t  t 1  i_§

frondetad nutximuqiudrMMi,  »i » J 1,11
fub primor,wncro;-niiexduftu  1 U—!—l-LA--.*-
quatuor inunum,ettteru in pro  1  j 1  1  1  1  1  1

dudum,ficnt fedccim. Itaq-, hoc  1  1  1  1  ' 1  1

quadrant rcfccdbistcumrddtx  1  11  1  1  11

notd  4 ( quid nafciturex duttu  * LA_i_LA_i —1  ,JL
Yddicis integroru in denomind *
torem purtiu )ad radiccm unum in integm prim men »
turnrefpondet.Quod fupcrcsl jutcmircfpcndtt ad nk-
quumnumert prime propofitt-quippe quednafaturtx
iuciu denominator is part mm quatuor in reliquum %. ZJ
itcrum inproduflum odoiexquo procrcantur trigintd
duo. ExilUsdutem trigintdduobut,qux ultra quadra*
turn,quod eflfedecim:fuperfunt duodectm tlla,qu<egno*
monem extremum non abfoluunt,( Vocoautcminnume *
ris gnomonem, idiquod confiat ex duebtu miner or urn lx
teribm angulumreftu fdcientibus ,inftar gnenmis geo*
tnetnci ) ueluti reliquum maximi quadrati trigmta fix
fubquadragintiofto refecandafunt. ltd rejldtitgnome*
tics duo : qut cum quddrato f :decim quod ref ecuirnmce «
f.cmnt maximum quadrat urn 36 fub  4 s contentumtadija
uniq ;  rddici[uperiori qudtuor: qu£ad rddicem unum in
integris inuentdm refpondet: duos umtdtes. uti inpgura
liquet.  ey reliquum hum quddrdti trigintd f 'ex, quod eft
•i, adicciffet tcrtiamijimodo dd gnomonemabfcluen*
dm, unm infuper accefilfet • itaquemcoculcs  unit*

1  T  I T I l

1 67  ARTIS S V P.

re licet:gnomonem quemque quadrato ref ecato applied*
turn,in fecompkdilongttudmem  er altttudincm tpfiut
quadrat: fedecim,boc e[i duplum radios quatuor: ter in*
fuperin dngulo reft are quadra turn mmengnomonwiru
is eft in hoc exemplofomrm.funt emmduogiomoncs «
Quarc diuifio numeri procreati ex daft a denominator
rii in reliqum.o ■ iteru in prodiidm,fodu per duplum
radteis: fic tamen,ut numerus fedtonis in fe d, dusfub*
duel pofiit d reliquo partitions: oftendstqiot ft itgno*
manes. Quo fief.ut liqueat,quot partes ad reltqutm ret
jpondentes,addenda fint radici prius in integns inuenu,
nam eignomo quifqueunitatem in partibus addit .

A D exercendos iuuenes pturimwmiuuabitnonnuU
las interrogations fubnedere: per quas ea,qu<(
de minutiartm inter fecomparata magmtudme dinojceti
do, defy integrortm  er minutiaru additione, fubdudio•
ne,multiplication,cr diwfionehadenus didafunt : me*
bus intelhgantur .Sunt in his quofy quada : qua ad cnar*
rationempartiumquotarum innumeris  er inminutijs,
atque etiam ad partition aliarim in alias transformation
nem {daunt . E a autem rudimenta ex Aritkmctica Luca
de Bur go,cuius nome in ea arte non parunt, neque abs re
celebratur.excerpfimus. qu£ fane ad ingenia ftudtofo•
turn in numeris uegetanda magnopere conducent .

QYOMODO, PROPOSITIS B1NIS
tninutijs ,fctat: uire funt mmres .

SI quip

LIBER II

ldS

f i quinque fcxtue conferantur cm tribus qudrtis:
v3 utr£ nunores crunt t continuo fciest/iutrifque minus
tijs mxti alter as notatis, numeral or um in denominator
res denommatcrwmq; in numeratores, obliqua multtpli•
latiofiat:  c 7 uterque numerus produftusfuprafuM mi*
tmiusloceiur.  q uippe utercunque tUorummaior erit:
tna:orcs fuas mmunas ojlendet. Hacratione  £ maiores
funt iqttam  | , Nam fupra  £ ,zo crunt. fupra  f, is.
At ubiintigra z? minuti£cumalijs integrity-mmutiji
coi fercntur: ft Integra crunt paria : de mmutijs folis
iudicandum erit: uti fupra dtflum esl. Quod fi inter
gra altera alter is impartd occurrant: qu£  20 18

ttmora funt: umeunt altera quantumuis
tiagnas minutia/s ddiunflas babentid,

1 NTERROGATIONES PER AD.
ditioncm foluend £.

QVO numero fulducidebent is,utreflent  u£

itemd quo numcro fubtrabentur  3 £, utrelin*
5 uantur A f  . Hk/m generis interrogations fiuedt
integris,fiuc de mmutijs qu£rdi : per addittonem foluun*
tur. Nam ft u ad  13 add as: furgent if  . qu£ fumma
til: unde, Ua  13 extmi debent : ut reflent n .Smltteritt
tnmwtjs aide  3 £ ad  4 f , V fient  7 £ . undefub*
iuct debent ilia  3 £ ut  4 f relinquantur.
lNTERROGATlONESPER

fubduclmcmfoluendte  *

i6")

ARTIS SV  P.

VM quonumeroconiungcnda funt i;,utfiant  59?

item cum quo numerc copulanda funt 6  f .ut
fun ;, 3 ? Huiufmodtqucefitaperfubdudtonem foluun*
tur. Njw ft i; a 3c, fub.iucM.refillin' 16 .qux iundaai
25 fk iunt  39. Similiter in mirtutijs .fubduato 6 jd
13 r .erfupererunt 6 . qiujiv.mg.ct ad 6 j :fur»

gent  13 f .

C* 1 qunis,quantum f fuperant \.per fvibdu&ionem
v J fetes. Nam podquam eo modo,quo didu eft : deprt*
hendtlh, \ maiores effe,quam flatter asab alter is fubdtt
ctto-. <rj refiabit. qu£ dffv centum inter has mmutia
monflrabit. idprobardicer.ftcut wfubdudtonc. Namfi
rf uddas adj-. fetfimmdtqualis ad^. indent ft quart
tur.quae fit differentia inter ~ ety. eodemodo feire licet,

JNTERROGATlONES PER
multiplicationem foltienda-

Q V1S numerus in  3 diuifus eraf.quando in mime*
ro fedionis i 7 babenturt Item, quit numerus'itt
dp f diwfus erar.quando numerus f edionis pro
fert 2  ft Multiphcatto rem aperiet. Nam fij in 17 due as:
fent $s .qui numerus m s fedus,educit in numero fed 10•
nis  17. Itideminminutijs 4 y dudain 2  f ,fkcient  8
-is numerus in  4 ffedus.in numero partitions red*
dit 2 }.

QVOMODO PARTI VM PARTI*

eda funt exqimntLe

LIBER II.

17®

Q VOMODO exquiras f-def  .Aut % de  *.
Hoc pcrtnde efttac (tqu£ras, qu£ funt f qua*
tuor quintartm, Aut \ otto nonarum . igitur
bumfmodi qujefita ,qu£ de minutiarumminutijs occurs
mt'-pcr multiphcationem minutiarum alter dr u/m per
titer as cxpedtuntur.  N <tm \ dcf funt—.Item y de  ®
funt~~.qu£ ad minimam nomenclaturam redaft£,fact*
m  -if-

O V AE fuut  | de 2  ~ t Interrcgatio h£c, nifi
quod mtcgra mmutijs funtadmixta: pr£cedcnti
'■v finalise ft. Quocirca per multiphcationem (imi
intodo foIuttur-Nam  | de2 £ funt  l f„

INTERROVi ATIONE S PER

E R quern numerum diuifa funt se>qudndo  9 pra

dierunt in numcro feftionis i item per quem nume
tmdtuifa fumli £ ,quando numerut partitions babet
3 r iH'Mufmcdimterrogdtionesperfeftibnefoluuntur „
Qnippe 36 per 9 fcftd,mbnjirant  4 in turner 0 partitio*
Hw. Ndmquandoduotiumerialiquem componunt: ft is
pfr illofum alteram fecetur: alter in nuntero partitions
foit. nacum quater  9 faciunt3S.f1 numeruiUu compofi
tifecesper c>: exeunt 4,Si per 4. exeunt 9 SiMitertZ  ^
far Z t diuifusdneunt  3 f in numcro partitions .

P ’t R quem numerum muittplicare oporiet 2  - ttf

7 f produem-iur {■,Hoc genus imnogadbmm

dmfionem (oluend£

*71  ARTIS  S V P.

per diuifionem explicdtur.Nam fiper 1  £ feces? ~  f
rx ea partitione prouenient  3 if ls  eftnumtrustin qtm
fix  | due as : producentur  7

Q_V  OMODO exquiras in numeric, quota pin
tndioris numerifit minor.  ©• m minutijs,quota pdrs mu
iorrn minutidtm minor es exiftant.

Q VOT A pdrs funt  4  de it  ,dut f de 3, Hoc
facile fciri poteft tdm ir. integris,qudm in minii-
tijs: ft id, quod minus eft: per maiusin minuim
to mododiuidastquo de utrifque fuprd did urn eft.  N mi
ft 4. per n (ecestfient  T f-. qu£ funt f deii.Etfipcr\
diuidas  j, prodibunt  f. igiturdicamfcfje %de  f . l dq
■ ltd effe uel ex hoc caper e experiment urn licet: quod ji
fumas ?de\,  id,quod alter as mmutids in altem ducem
dojucere licet: inuenicseas ejje f .

MINVTIARVM ALIARVM IN
alias transformatio.

Q VOT dec\m£ o(lau£ fmt in  £ f Hoc genus  W*
cant minutidrtm aliarwm in alias transformatio
nem:id,quod fit per partitionem-Ndmjipcr si
diuidas f .ex e a feflione prouenient  . qu£ funt
£ . ftc in  £ comperiuntur  -ft . Eodem modo quit'-
hbctalk minuU£in aliasquashbet perfeftionem traits 3
figurantur : etiam Ji integra funt adiunfta . Vclutifi
qu£ratur:quotterti£ Jintin  3 f .per  f diuide  3 f •
O* prouenient  10 5 .tot funt terti&m  3 j . Hunt

I

LIBER II* 172

•

jnoclumpirtcsalios inaliustransfvrmdndi, fiipr't etiant
iedimus: quando de partibus dif.imilibusad fimilitudi*
\mred’gendis,pr£itpmus . quanquam >bi daninutti*
rum fcflione,qtu iiondum cxplicdta erat: deinduflm re
ticuimus.

1NTERROGATIONES PER PLV-
ra cr dtuerfafoluendce.

C VM quotcftauisfupputaridibentj rutfartt
Princrpto con r ydcrd:cm quo numero tungendtf
fiim ~ : ut Iurgant  £: id,quod per fubduftionem fetes  *
Uam/ifubducM \ ab  £: refiabunt  . cum co numero
mpulanda funt \ :utjunt  £ . I am uero uidendum eft,
51 tod oft mm  5  \ capient: id quod fetes (iper  f feces
\\ .fic in numero feftionisprodibunt 2  | £ , cum tot
%ituroftauis,hoccftcum duabus eyr  || unm oftau£ a
copuland£ funt  f- :utjurgant  £. Eodcm modo defimill*
h fiat.

C  vbtrahaNTVR  f atot feptimistut 2 fu«
O perfit. Prmcipwuidendum: d quo opus eft fubducea
ff f ,ut £ rejict.id,quoddeprxbendestfi f ad}addasi
id [urgent 1 t~  . a quibus demere opertet ~ :ut  £ re*
bnquatur . Detnde uide,quodfcpnm£ funt ini .id,
podjciestfiper £ fewest ?£ . ltdfurgent 7 -£ ■ qua:
fnt v fepum£ CT -£ -unius feptim£:de tot feptimis fub*
hcerroportet £;ut  £ fuperfit: id ttaeffeprobdbis :ft
tyias 7 fepUmM : qti£ funt unm integrum , poftedfu*

m

179 ARTIS SVF*

ptas 7 decimal uniusfeptims: qus funt CT ficml
-~ . Sic in fumma fiunt  x ?£ . iamdtftmeft,
Simthtcr fut in kuiufmodi qusfiits .

S VBDVCATVR d ffvrentia, qu* eft inter  £ &
£ de tali numeroiut rejlat diffvrcntiaiqus eft inter \
&r  £ . Primum per fubduftionern exquirenda est
d ffvrentia inter  £ cr  £ . eaeft  f £ . Deinde codm
modo qusre d.ffvrentiam inter  £ c? £ . er earn mm
pies . Poftca ambits eas dffvremtas addetcr [urgent
~f . a quo numero fiat fubdutho prims differentia,
uidelicet j |. cr aticra d ffvrentia,qua qwefica eft: refit
lit .

P ER quot quintas multiplicand t funt 2  £ : ut init
crefcant 7  j f Prim urn uide: per quem numem  j
opus eft multiplicare 2  ~ :ut ffant  7 £. id, quod [cits:
ftpcrZ  £ d'uiddis  7 £ . itaexibunt 3 T f .in quae ft 2 {
ducasiproduces  7 £. Deinde utdendumtqucd funt quiw
teeing--  .id quod facilecognofcipoteft.fiper  £ feed
2 ,-j.  Namtnde proueniuntij j .qus funt ^quinta (7
£ unuis quints .per totquintas maltiplicanda funt  2ji
ut ffant  7 £.

O v M A N T V R fde to! eftauis: ut  £ indeprom
>J)niat. Hoctantumualettacfidicas  £ cuius numertf 1
ciet  £ f ud per quem numerummultiplicanda funt  £:#f
fi.it  £f Stcutt fupr'a edofttis esiper  £ diuide  £. (7 pro*
uentent \ . Huius numen  £ fnciet  £. Nam  £ de^ f unt
£ . lamucrout[closing quotfunt oftau£:fip cr i

■LIBER III.

*74

l ; prouentent s  • 1 taquede  { fumendx funt ftutfid £

fVlD A NTVR 7 | pertol:utindeproueni*

am ^ Jeiy i .Principle fumcndx funt % del?
\ eomod i,cpo diftunuft.ejefunt 14.  . 1 snumeruf

partitions film iffe debit. Pofieduidcndum:per quern
Humerum jeeandx funt  7 j- . ut tnde proueniant  14
tt . id,q'<cdfiecficu!fupradiflumeft:fiper  14 t*
iiuidaf  7 f tuaixibunt -Jf:quefunt .perquxdU
udcrcopenety f  : utmdcproueniant 1 4 xt hoccfk

DANTVR 7 Z per tot notids : ut inde

eniant 2}. Primo uidcndumipcr quern nu*
tier am fecanda funt  7  ■£ :ut inde proueniant 2 } Ad
quod fc testfi per 2  £ feces  7 \.ita prouenient  3 f. per
turn numerum dtuidere oportet  7 Z’.ut exeunt 2 } .lant
Hero quot none funt injf  cognofccsifi eaper  y diuidasz
prouentent enim  30 . Itaqueper  30 nonets diuidenda
funt  7 2 : ut 2 ~ proueniant .

J \ v C A N T v R tones} in %: ut tnde fidntj.  P ri

\J mum \ ducanturtn  £. £7 producetur  f. Pc fleet
nut tp’icd  4 in aim numerum: quifaciet  £ • quem inuem
Hies: ft per } feces \. ltd prouentent l-} .in quem nutne<
turn ft due m  {: producentur  . Thema enim hoc innuitz
ut numeral ex multiplicatione  | in \ produflus,ducatut
to cum numerum: qui facial j,

% *

U 2

*7 9

ARTIS SVP.

Q V AE R O - dcquot fextis exflunt} .Pr'mnm
utde  f cum nutmri funt  § fid,quodfcirclicet:
ft particulas quotas cxquirens, per \ diuidas-
inde enim prouenient i r? • cuius ttumeri  J fdcimt
I . Pottea qu£re:quot fext£ fimtin l  x® .id,quoi
fries, [coins ea per  | .itainuenies  7 § . detotfxtis
§ exeunt f . H ocettde 7 fextis, O"  7 ttonis uniu
fext£ .

S VBD V CANTVR j de  £ a talinumerotut
rijlent \dc ~ .Primum cape f de  ~ : qu£ funtl r.
I'cttcdfume \ del? :qu£funt {\  . easaddead j? :(?
font l  Tf I .dc quo numero fifubduftiofiattrejiabit
quod quaptum ett.

S VBDVCATVR dirnidm 1 fr/aw quart arum dc
IZ i a tali numero: ut qumque f zxu duarum term
rumde  o £ rcflcnt-Primim uidr.qua ?/?«f  | deizf.
e^funtp  | -.quorumcape i:qu£ettzf ~~.tantm
ett dimdiwm trium quart arum de iZ -. Dcinde uide,
qu£ firit -dt'io  | -e£ funt 6  £ . quorum cape ~ , qu£
funt  5 f ~ . lam uero fecundum tbema fubduci debent
4 {£ dtali numero:utreftent 5 f |. Quoctrcaadde
41 ?^ 5  f?' O'  [urgent 10 -IS ett ille nume«
vice: a quofubduft.o fieri debet: ut reflet,id, quod thetni
iubet,

fINIS LIBRI

Secundu

CVTE*

LIBER m. ?7<;

CVTHEBERTI TONST ALLl
IN LIBRVM TERTIVM
Vrxfh.no.

OST Q_V  A M, TAM IN INTH

gris qadm in partium minutijs,omne ftp
putandi rationem cxphcxuimiu : ftper*
eft, ut fludiofis paululum apenamas :
tjmturn ex conferat dd uitxm degettdxm .Numeros mm
ijite ipfos per fe confyd.randos bxflenus expofuimus .
feres aufficanttbns pxrumuoluptatis ajfcrre uidcbxa
t sr. N me cos ad res timer at as applicant cs artem ipfxnt
ftttdcmus perartisopificium. Qua dc re: did non pox
lt$: utrum mior capietur utiluas,ari uoluptas: quando
ts,quxfeireper necc{Jxriumeft:<zr rudi populo udut
mgmatauidetur.finc Sphingefohupoffmt.Adqux per
Hf/bganda regulxs quafdam pcrutiles trademus: quibus
nonnnUx quxjitu dtfjicihx, quxq; priirta facie fupra lux
tuni ingenii captum rudibus aider i poffun: : facile imeni
t'Uur.Ex quibus altius in: clhdis,p ! urimxalix fimi'ix mil
bnegocio dcprxhendi qucant-Eiupnodiautc/natting re
pxetpue e[l aniinustcuiufmodiin uita fxp.us occurrunt .
fanquambiitortuofaquxdxm,  cr quxlatenlcs anfraa
ftushxbcantud maiorem ingeniorum cxercitationem ad
tofeebimus. Verum enimucrbquinumcrorum nodos ex
tkarecispit qweflionequapixmpropofiu,non tcm.rt

M 3


177  ARTIS S V P.

tntcnftonderedebet.quam fecu alte rent con fyleroutt,
N.t qutaltoquilingud quint tngemoprompuor,qi;icqu<l
inconfydcrau in mentem uenit.flohdemox btaterat.pn
ferquMn quod aberratajcopotridiculut exijhmatur . G t
terumiUud admoncre ktiorem opertepra turn pwammi
« nifipriui tcticat: quomodo tarn Integra qudm minim
jupputef.neboc hbdlo legendoftfe torqueat. At ft
tSU$pernotis,buncm mamnfumat: emtio,
turn fictlia,turn iucundafcondc*
mus. Sed remaggre «
diamur .

RE GV»

*

liber  nr.

778

REGVLA DE TR1BVS NOTIS
artum ignotm commoner antibos .

tdHis durum'prsflet. quam utcldrm explucmus : pan*
aqu£damde proportion, quatenus adnumeros aid*
w.pnefkri omnmo nccejje eft-fine quibut bxc rcgula no
jicdcintcWgipGteft .

PROP0RTI 0,efl duoru numerorum certd aU
term id alterum comparatio,atqi:e habitude. Propcfi*
tis namq^ quibuiuii duobus numeris, alter a'tcro uel ma*
ior cft:uel £ quads: uel minor , Ida ttaqu£ ratio.qua fefe,
ud lequaliter ,quan.h exiflunt ecquaks: muluo r< fine tut:
Uel itnequdli!er,qudndo alter altero maicr eft-.aut minor:
proper do uccatur. qu£ nihil aliud efttqudm eorwm inter
fe compdratio . Habtrudo autem cert a eft: qua ft diccrcs:
nom quidam z? diffimtut alter ms numeri ad alterum re
fyeftut-

1 P S A R v M uero proportionwm inter fcfimilttudo
proportionality nuncupatur. Etus autem iu£ fun:ffte*
ties.altera contmua,altera feparatd.

COMTiNV A proportionality inter numeros eft 1

I lam auream uocat :quod h£c c£ti ris
Arithmetic £reguhs: ueiutc£teris me *

M 4

*79 ARTIS S V P.

quanto qua proportion primus fc habetad fccundum:
eadem,fecundus fe habct ad tcrtium. in qua jfecic umif
titty idem numeral medius it a duobiu circa fc pefi is nut
merit communicat: ut ad priecedentem comparator, pri*
one proportions ft. terminus: ad [equentem ucro ccih*
tus,fecundje fit mi.ium: ucluti preecedentis numeri coma
quidam, fequemis dux. Hfc autemjfecics in paucio*
rtbth numericquamin.r.bus inumirinonpoteft quant
quam etiamm ilhs numcruswcdtus,dum bis repctuuri
mem fubit duorum. Sint nobis pro cxempio hi tres r.m
tneri. unum. duo , quatuor, in his emm proportionum id
ae quili: as. Nam qua propor none unumfebabet ad duo:
tadcm,fehabcntduoad quatuor. quippe unum ad duo
tomparatum fubduplum cft.itidemq-duo ad quatuor.Si
tmhs econuerfo eft inter eoshabitudo: qiundo in utraty
proport ione nmerum maiorcm ad fuum minor cm com*
piramus. Namquemadmoium quatuor ad duo duplatn
habent propordonem: fieduoad unum dupla funt.

SEPARATA uero proportion ah: as eft : qum
tandem d ft mi flam appcllare licet: cum quatuor nun.cro
rum,qua proportion primus fe habet ad jecundum : ea*
demteriius fe babet ad quartum, Inquajpcciepraccdcil
tisproportion: s terminusjeparatus efl d fequemis imtio-
Bate autem fyccics in paueioribus numeru, quam in qua *
tuorinucmrincquit. in quibus proportionum depraben
ditur squaldaa, fine mmorem utriufty proportions nu*
wewn cumjuo tpfius maiorc compares:fine e comerfo-

LIBER III. 1$  o

Put*finishes quituor numtros inter feconferreuelu;
nempeduoadquatuor. tytriaadfex. Quemadmodunt
cum duo adquatuor comparata fubdupta jumific junt
triaadfcxcollata. Similitereconuerfo, quemadmodum
quituor ad duo collata dupla funtsjic fur.t fiXadtna com
par ata . Ampltus in hue(jpeeic permutatim fit collatio  „
Kim qua proportion< primus fc habet ad tertiu : eadem,
fecundasfe habet ad quartum. Aiqt/e ordine etiam con*
ucrfo, qua proportion quartus fe habet ad. Jecundu: ea»
dcm,tertm f: habet Ad pnmum . Quo fit tut pr£cedentis
proporitorus minor numeric cum jcquemis mincre com
paratus,candem habitudine habeat: quam f’quentis ma~
ior collatus cumprxcedentis miorc .Vetutimcxemplo
prtcdido .ficut pumas numerics binarius ad termm ter•
turiumcolhtus fubfefquialtcram prepomonem habet:
ftc feeundus'numerics quaternarius ad quartii fenarium
eadem efl habitudine.Ittdem ordine couerfo, quemadir.o
dm quartos numerics fenar'm ad fecundum quaternari
umcomparatus,fefquialteramhabetproportionem:Jie
tertm ter turns ad pritnum binariwm eandem habitudi «
Hem habet Itaej; numcri hutufmodi,quorum una eft pro
portio: proportionates uocanlur.  D eqmbusah Euclide
cum in Geometria turn in Arithmcticalongc principe , re
tola huiufmoditraditur,

SI F V ERINT quatuornumcrip.roportiondles,
3 'tod ex dudu primi in ultimum producetur : eequalt
eompaiuurci;quodexfecundi intenium duftunatm

M 5

«8t ARTIS SVP,

frit . A t<fc itidcm,quod ex fecund: in tertium duflu pro*
creabitur: equate erit ei. quod prodibit ex primi in ulti*
tnumduftu.Dicinonpoteftiquantammuelhgjntibutlu*
tern idexquirenda incognita prxbcat hsc rcgula . cum
ta uirtm eft: ut c quatuornumcris proportionalibut ft
quisignotutfuerit : c£ten,quino i funr.latitantem ilium
prodant. Atquetdco ft tribut numerk propofttis,quifpi‘
am inucfl gare uclit: quis fit quart ut: ad quern tertiut ei
proportion fc hubcat'.qua primut ad fee undum multipli
cet fecundm in lertiii,et numerum procreatum diuidat
per prtmum, quod poftquam fiflim erit fethonis numt
rat, quartum demonjlrabit, Exempli gratia, fiquis fare
cupit: quis fit itte numerus: ad quern md e a proportion
febabeant,quaduoadquatuoritriain qudtuor ducat  ©•
enafeentur duodecim. qua; per duo diuidat:(y fex prodi
bunt.Ratio hum rci in premptu esl.nam fecundim ter i
turn multiplicity producit idem : quod procrearetur.fi
primus in quartum ignotim multiplicaretur. tgitur ex ft
tunii in tertium duftu. quartum uelut in magrta turba U
titantem habemutifedquis fit,adhuc ignoramus. Diui*
fio autem per primumfacia rehquam,qua teclut eft: mul
titudinemabeo fegregxnfolumq^rchnquif.atque a cate
rts deflitutum e latebris in lucent profirt  • N am quando*
tunque duo numeri inter fe multiplicand : ft produftut
numerusperaltenmduidatur.partitionis numerus altc
rum continent. Vclutifiduointria due at font fex .qu*
Rper duo diuila numem parti-aonis triacontinebit.fi

per trid

t 1 S E R III, t83l

pertria:duo- itaq- ad hunc nwdrn quartitsnumertu  ig«
noratus crquiritur.

S  i M l LIT E R ft tres numeri continue proportion
tidies fuerintiquod cx dudu primi m tertium product tur;
aquak dcprtrbcndctur ci:quodcx(ecundi mftipfumdua
Hu natum crit.Et quod cx fecundi in fcipfum dudu gen
mibitwr.equilecrit a,quodnafeetur cx primiin ter m
urn dudu. adeunaemq- mod u rn tertius numerus rgno:  itt
cxquiritur.dum fectindus numerus mfeipfum ducitur-.zy
numerus produdus diuiditurper prirnim: mm fed to «
ms numerus tertium monflrabit.puta/iq,-is duo ad qua
tuor comparans feire cupit: quit fit ttrims numerus ad
quern quatuof ea proportion fs babeaf.qua ad duo quit
tuorf medium numerurn,quatuor infeipfwmduia :zy
fexdccim crcabif.qmeper duodiuidaf.quiprimus c ft nun
merus. cr tertius numerus odonarius prodibit, Eudcm
tumqk eft in utrafy jfccie,cr ratio,regula, turner um
ignotimexquirendi-quoddd plurima mueftiganda nojft
iuuabit.

HAS proprietates numcri proportionates ubicuncfc
e ccurrunt, fcmperfccum deferunt : nonfohm,quando
perfe confydcrantur : uerumetiam cum ad resquaslibet
tiumeranJasapplicanturiutcademex deadend m rebus
tiumeratis: qu£ in numeris ipfis : inuicem fit habitudo  .
Quo fit,ut innumeu,qu£ vulgits tmperfcrutabilia ext*
jUmatuxpropertionum finuhtudine ueniant in notitidjB
turaculm^ rudtbus explicate prtehunt.

IS3 ARTIS S V P.

ET VT rf faiildus xmplis primumcrdiamur.
QUindo tritici modij tres t rtginta nunmis ucneum: mat
fiigemus,otto modiorum tritici quanta cnt precium* Hie
palm uidemus duos cjjc proporttones. unm de tribui
tritici tnodijs ad otto truici modios. Alterant de trigmta
nummis.trium modiorum prec to cogmto,ad otto modios
rumprccimadbuc ignoratum:quod cidcm habitudM
ndtrigintanummesrejjpondcredebet: quaottomoJijad
tres modios febabent. In omnibus autem proportions
bustnordincm dcfignandis,dfinijlra inciptentestends
mas in dexiramiquemadmodum in fcribenio Gr^a, Lu*
tinker omnespensgentesfaciunt.  N Ion a item ficut in mi*
marts per notas fignxndis Caldeos . fequimurddextri
ordtenies, Itaqueinhoccxemplo  . tres tritici modij, qui
prioris funt proportions in Hum: d fintftra prtmum io*
aim occupxred.bent. Otto autem tritici modij,qui pno
ris funt proportions finis: locum fccundum dextram uer
fus.Trigmta autem mmmi,quipoflcrioris proportionis
initim exijiunt:tertium locum a dexira icn'eant,oportet,
3. 8. 30.

Qmrtusautem locus adbuc uacansexpettat: ut ftmilifi*
tie proportio poflcrior claudatur: prcciumq • in co repo*
natur : quod ita ad trigmta mimmos refrondeat: quern id
modm ad tres modios modij otto ttd autem per regulant
fupra enarratam facileexquiras: ft tertium numerutn
per fecundum multiplies: numerumfy procreatum dtuU
per prirniv . J gitur trigintd^uaifuntin tertio loco:

user  in. 134

mltiplicdtd per oftc,quae [unt infecundo&Cdntductntd
Crquadraginta.quee ft per triadiuidantur, numerusfe*
(imu oftuagmiaprcfert.qut numeric prccitm ofto
tnoatorum indicat, O' quarto loco npofitm proportion
nan peftenorem compkt.sk quando triticitres modij
tnginta nummts uxneunt: ofto confabunt odmgmUt
tmmis .

AD Hvivs  exemplifimilitudinem. quandccutfc
inrebus numerates rationenumerorum dux proportion
lies kabentur : quarum altcrm utrumq) extremum tam
initium,d quo incipif.qum terminum,in quo definit: con
gnofanm. A Itt rues dun m primum extremum,quod dm
initium cft.fdmunfed eim termiiumadhuc ignoramus*
priors initium proportions: cum umbo extrema notet
funtia jimftra printo loco ponamunem dute terminum
fccundo loco dcxtr.m uerfus.pcfieriors uero proportio
nis initium,quod t fl retum-jertio loco notemm. ey turn
iernunt tins terminum ad prior is proportions fimiktudi
Hem mil 10 fuo rejpcn[urum,fccundumregulam paulo ana
ktnonflratam, muefligcmus. Initium proportions ( no
quisdmbig.it) appdlo cum rerum nun:crum,qm prior in
propo'tione preedit: fine maior extiterit: fine minor*
terminum uero am qui feqmtur : flue minor, fine maior
for it , itaquejipeftcrioris proportions initium, quod
e $ nottmtiiumem minerfiicrit qua quartis inucfhgdn*
8Bs  •' minor etiam numens m priori proportion prices
* ft  * A  ‘ fo pofieriorh proportions mum nobs nottm

ARTIS S V  P*

Humerus maior exiflai:mdior it idem in priori dtittcedef.
Similiter Jimaior rerum numerus in priori proportione
pr£cedit:maior etiamin pofteriort anteccdat,ncceffe eft,
Sm in priori p f£ccdrt minor : ittdem m pofteriort pet »
Ahoqut proportione! fimdes non crunt.

1 LJL V D autem ddgemer obfer uanduefttut quern
uis priorproportio resuniutjpecici, poflerior awe  m
alter mscapiat-.primus tamend fimjlra fitm numem,
qui prioris proportionis eft mitnvm: v fecundus a dtx*
tra pofituf , qui fincm eius complefjes eiufdcm jpeciei m
tnerare debeant . Simditerq- tertm numer us noun , qui
p roportiom pofteriort datmitiutgr quartus inuejligan*
dus,qui finem eius inuentus claudet in eiufdemffeciei re*
bus numer anduconfentiant. quires ad formandos re*
ile proportionum fimiliiustin splurimum imabit. Velutl
in exemplo iam dxto. in quo pr ior proportio eft de tri•
bus mo lips ad ofto modus. poflerior dutem de trigmti
numrnis ad precium ofto modicrum muefligxndum.  I dfy
uerum erittut primus gr fecundus numer us eiufdem fft*
ciei res numerent: g? fimiliter tertius ey quartus inter ft
refpondeant ,no folum in reft a proportionum Jimditudi
netquando ficut primus comparatur ad fecundum,fictct
tius ad quartum : uerumetiam in fimlitudine proportio*
mm conuerfa: quando ficut fecundus comparatur ad pri
mum,ft: quartus ad tertium.Caterum ft permutatim pro
portiones uelis comparare,nempe prioris tnitium ad mi*
Hum pofterioris ; gr ternim priori} ad poflerior is ter•

tnitium:

t 1 B E R iIf« tSd

mum-June primus o tcrtiusnumem eiufdem ffieciet
resnumerabunt. o terms O' quartus itidem ficient  *
udutifi m cxcmplo da to, compares tres modios ad trigilt
la nummos, o efto mod es ad predion imeftiganduntt
Quern modum /imilitudinem proportionum fibricandi,
tametfific dijfuilor:pleriqueomnesqui fupputare do a
cent;magisnuncobferuantiquippequificihore modum
red am proportionum fimihtudincmformandi ignorent  *
Ef j (i permutatam comparationem fequendam, incitari
uideniur a mcrcatorum more: qui omnia pecunid aefti*
mnt:qu<erun;q•• interfciquantimerccsqualtbet uendan
tur (quid pro fingulis,quid pro uniuerfis fitfoluendum S
comparationem aliarum rerum plurimum ad pecuniam %
ronnunquam ipfarum inter ipfas ficientes : Veruntamen
Utramcunque uiam [equare ; regula iam data refponde*
lit.quit flue reft a. fi;<e permutata proportionum com pa
ratio jiar. [emporium ca congruet . Nobis autem wfunt
dhuuenum inftituendoriim gratia, in fingulis fcquenti «
bus quteftiowbus [olum reftam proportionum compara*
tionem,w qua qioeqae proportio ambo [id extrema ciufe
demjficcicihabef.u intel\eftufiicilorem,0 magisnatua
yakmfequi, ncfiw.ramq ; in fingulis : quodmbtlnecejje
'ft: in[ereremus: fifhdium obonretur legentibus. Quant
tbrem ante omnia multa cauttone eft opus:nc in rebus ntt
toeratis proportionum jhmlitudo: qiu rationcmrr.ero»
turn confyierauir: male fit concepta: neue pro fimihtu*
dme d fi.mi.uudo nos fiUat.At poflqum reftapropon

IS7 A R T I S S V  P.

tionumfimilitudocogitationedeprxhefaeft-.cetera pet
datum rcgulam facile explicantur.

POKRO uulgiKin commumfermone fere de mi*
ntcro muejligando primum quent. udutifiquijpumin*
terroge\quanti conftakunt tru id modij quatuor.quando
centum ucndunturmille nummisfHanc trUerrogationem
confyderantes,in ea proportions duos ftatim depreehen
demus,alteram inter car. um modios cr quatuor modios,
h ibentem notu utrumque extremum.alter am inter mil*
ie nummos cr quatuor modiorm precium adbuc ignori
turn,  i gitur nibil rejpicietes ord ne qutrentis uulg tqud
fe'Hpcr quidhbet, ui in buccam iienerit, loquitur: nobif *
cunt confyderemuf proportionem illam inter centum mo
dies  er quatuor mod.os,quam uu’gut cum altera con fan
ditiamboextrema notababerr.atqueideo alteri pratpo*
tiendam effe. Alteram autem proportioned m:ll: mm*
mis ad precium adbuc ignoratum pofteriorem fare debt*
reicum initium notum,quia maior cxtftit numerus,quant
quartus inueftigandus : maior tttdem numcrus in priori
proportion praecedet, quocirca primo loco maiorent
prioris numerum,nempe centum notcmus.cius autem mi
norem numerum, quatuor, loco (ecundo,tcr.io uero loco
fignemut poflcnoris tnittum notum. uidelicei mille .

100 4 icoo

H acratione proportions in qriinem aptates[ecunduM
datam regulam imUe per quatuor multiplicemuspro
iibum quatuor miUta,qus per centum[sftifaciunt innti

LIBER MI. I S3

mro partitionis quadraginta^ui mortem eft queefitus  .

IN kocauternexcmplo,ficuipermutatam propor*
tioaum fimilitudmem fequt magis placet . fic cos compd *
rabit. Stent centum modij ft habent ad rniUc nummosijic,
tjuatuor modij ad preaim inueftigandtm. ut tcrtioloco
mmerus medmponatur: tertiusqnumerus in loco me*
Aio. tantiUa enim differentia eft tntcr reft am proportioa
nm (imilitudmem,  er permutatam . Veruntamen fiue
bane ft ue ilium comparattonem fcqui libet: nihil rejfotcie
madordinem querentisuulgi. Quin potius ad bum
exempli formdtn alia tortuofe queefita ad rettam propor,
ttonum fimilitudinem cogitundo reduci poffunt .

H’.sduobusexemplisinutraq ; proporttone res item a
hpr£cefferunt: prccium uero fcquutum eft: de quofuii
quejlto. Nunc cxemphm petamus: ubt prtecedat preci*
m iquteftto autem de rerurn uenalium numerofequatur *
Quandoottuaginta nummis triticimodij ottoemuntur t
<{mhaberi poffunt pro triginta nummis f Hie manifeffe
font dine proportions . Altera de So nummis ad
nrninos  ?o. Altera de otto modijs ad numerum modio*
rm muejhgandum . E t quia in pojleriori proportione nit
merits modiorumnotus maior cff v quamuis qui imeftigd*
tur.precium quod eft rnaius ottuagintanummorumin pri
°re proportione prirnu locit tenet.minorcp nummoru m
merits fecundii.tert tit ante occupat ottomodiorum nume,
f to,quieft notus. Quxjlwcpfitdemtmeromodtoruigna

to. Digcjla tgitur in ordinem nmeris,ad kune modmn *

iSp  AR^IS. SVt.

So. o. g.

Trigintd per ofto multiplicentur.cr furget ducetttd. qua*
draginta. qu£ ft per ofluagintd fittt fetta: numem ft*
(tionis tw connnebit.fic quando nummiofluagintdrei
duntodomodios:trigintd nummi afferent modios tres  *
ltd ft pnmum exemption fupra datum cum hoc confer m:
tarn (dm proportionum locd,quam earum extrema ipfd,
conuerfi effe in hoc cxempio uidebis.qui tdic quartus tin*
tnerm eratihic primus esl. quiithc tertiusibic fecundut>
qiiiidic fccundiu: hie tertiusiquiillic primus: hie quartus
tr poflremm. qiueqtie illic proportio erat prior.kic po *
fierior reperitur.ut/idle cuiuh apparent,res numerate
rationem numerorum etiam conuerfor urn fequi imhilquc
refer re, quires humerenturjummoio proportio ilia cit
m in rebus numeratis ambo extrema font nota ; price*
dattiflaq-,cuius iniiitm folum notim efl,fequatur .

Atque ideo ft quis experiri cupit: an in quarti nurne  *
r i inue/hgdtione error fit admiffus: hac ratione id fealc
deprihendet’.ut in proportionum comparanda fimilitu•
dine, ambarum fcdcs atque etiam extrema ipfa corner*
tat . uclutiin exemplo iam dato, quod omnia pnmo con*
tr drub abet.V el ft magis libet.jedcsearu/m folds mutett
pofeerioremqiie ex priori ficiat: atq ;  ex pofterioriprio*
rem . Qutppc mutdtis proportionum ftmulloas,atque
extremis : uel etiam locis folis : ft nthil erratum crime 1
affccsl eorum numerosfedes mutatas fequi. quarefia *
Ifnumeri in hisinuentifaemt: propter errorem cal*

r Cttil to*

1 I B S R !ir*

tuli totum opus db initio repetendu eft , M eredtorum uul
giw funiens experimcntum,num quis error interuener it t
bm Iccorum inproportiombus mutdtioncm,rcguldm it
trimsconucrfdm,uoedt:cum undtdntum/itregulaife*
cmdumqum cuiq; licet :qudmueht qu&ftionem ,expli<t
cmidm proponere .

Quod ji qusndo eucnidt: ul rerum numem exfecun «'
diin tertiumduftu, proueniens: numero diuiforcjitmi*
nor:fcflioncir.q ;  nonftrdf.tum numerus lUeminor in mi*
werum pdrtium in(c contentdrum eft muldplicandus : ut
diuifom fcftwnem rnior per incrementum fiftus rcci*
pere fufficut.Confyderdndumque eftiqualercrum genus
numerus iUenumerdt.putddn drgentihbrds,dut dureos,
fain nummorum,quibusaflimdntur:numcrum multiple
unpoffunt.dn mdiord ponder diqua in numerum libra*
rum, nut unciarum duci. an doltd uini, nut olei: qua in urn
phordrum,congiorum, dut fextdriorumnumerum multi•
plicari. dn iugera: qua in pertiedrum dut pedum mme*
rum duttd dugeri poffunt. uel quicqudm aliud fimile  • Ex*
tmplum buiut rei afferumus: Centum oues empta funt aif
reis wginti: qudnti conftiterunt tres t Proportiombus
teftein ordinemredaftis ad him modum .

Too 5  2a

Sec undid numem terndriut in tertium uigmtiaureorum
dutt us credbir.fxdgmta.qui numerus,quonidm'per cen -
turn diuidi nequit: foluamus aureos illos in uiliorem peeu*
mm,O’ quonidtnJtngu'u mei{de Angelis nuc loquor )

U 2

ipt  ARTIS SVP.

eftimuntur ottogintd nummis: in ilium nummorum mm
rum 60 ducxmus.cr prodibunt qudtuormtttido-ottin*
gcntd . qui numerus mdior eft diutfore centendriotper
quern fettusin numero pdrtittonis prodire fnciet quddn
gintd otto. Sic qudndo  100 ones emuntur 10 durcis:; con
fldbutti  4s nummis.  Nec qucmpidm lUud mouedt: quod in
fecundd proportione finis initio,id cft,qudrtus locus ter*
tio non uideutur rcfrondere: quod bic nummosulle me*
cs hdbedt'.cum uterq ; locui idem rerum genus, nempe pt*
cunidm continedt.hcetpecumd mdior in minutiorcm,uct
lut in pdrtes fuds ideo folutd Jir.ut dimforts fcttionem m
menu diuidendus cdperet.

Vb i diitem ex dim(tone reliquUm quidpixm erit ; quod
per diuifor cm dmplm fecdri non pofiit ; fimiliter rchqui
numerdtorem in pdrtes fuas notatfi qua huiufmodi bx *
lcat:dlioqm in pdrtes pro drbitriodenommnda, multi•
plicetur: ut diuif oris quidenomindtor eft: fed ionem mi
tutfkttumpdti pofit.qux: cum perdttd entmumerus pxr
titionis rndniftfldbit: pro quotpdrtibut,uel notis,uel de*
nominxndis ipfum reliquwm udledt.quemddmodum in fu
periorilibro dereliqmdftimdtionefuctendddiximus.  Ex
tmph grattd-Si nouem uln<e pdnni(ut mercatorijs uocxbtt
lis utdmur ) confliterunt tribus dureis: qudnti cmpti eft
undf Proportiombus in ordinem dijfofittstut nouem pri*
mo loco fint. mm fecundo. trk ter tio .

p. *• ?.

Quid unitas nuUdm numerii nmltiplicdf.fotumfuperejl :

ut terttut

LIBER III. Ipi

fit ter tint, trim aurcorum locus, diuiddttir per primmtt
numerum,nouem.quod quontimid fieri ncquit: redigen*
difunt durei dd uiliorcm pecunidm,aurcuscp puta teftime
tur  so nummis  ( nam fic aefiimantur Angeli ) numerusefi
rneoru dutlus in numerum nummoru, procredbit  240.
qu# cum per nouem fetid Jint,mmerus partitions pro
jercti6 nummos.  er reliqu# erunt §■. zyquid nummi
partesnotdshabentquadrantes'quoru qudtuorpro mm
m udlent. f:x in qudtuor ducamus .erfient  24 • iterum
M fetid per nouem in numero partitionis,eduatnt duoiet
aihuc refidnt  £ unites quadrantis.Et quid quadr ansmtho
res partes apud nos not as nonhabef.per partes quaslibet
icnominandas. putd quatuor ilium eefiimemws . iterumq.;
ducamus fex,rehqui numeratorem in qudtuor. cr denito
fient  14. quarurfus diuifd per nouem,innumerofctlio*
ttisduo file tent, cr ddbuc fuperfiunt ~ itmus quart# par*
tis unius quadr antis quas ft cuipiam amplius minutiae fc»
ttart libet ; potcfl ultra diuidere in partes quafeunqueue
lit ■ Igitur quando nouem ulnx tribus aureis empt<e funt :
Una ulna conjlitit 16 nummis, duobus quadr dtib us, & du»
t bus quartis unius quadr ant is, ac fex non is unius quartat
partis unius quadr ant is : f rcdutl#,fdcmt  f •

ILL VD hoc loco admonendum effie duximustquo *
nia munitas quemuis numerum muhiplicans, autdiuidens
mini eum omnino uel auget ,uel diminuit: quandocun*
9 «c proportiombus in ordinem : fecundttm quod ante di*
8um eR;digejlis,ipfit unitas primum locum tenebit.nulla

N 5

* R?IS J VP.

diufioneopus eft. Quemadmodumftcafcctmdumdut
tertiumlocmoccupabir.fccundiin tertium dud us non
tft neceffarm.immb tuncfufficietfi maior alteruter eo
rum numerus per primum diuidatur. Exemplum,qudn‘
do unit id primum occupat locum. Quxndo piper is l bn
fcxdecim nummis conflxttcentu librarum quantum ejii
prcciumtDifrofitis in ordincm proportionum numeris,
i. 10 o. 16.

Tertij numeri precitm indie antis infecundum centeiw
riwnmultipltcdtioabfq; ulli diufione rem totxm expe*
dit . Excmp'.um, quxndo unit as  fecundurn locum tenet,
qv.Uo milleauret fexcaptiuosredimxnitquanti ad CM
rationem redimtpoteft unut? numeris jic fignxtis,

6. J,  iooo.

poft tertij numeri miUenarij folxm diuifionem per pru
mum fenxnumfxttxmres eft expedita.Simihterettatn(i
tif.fi tertirn locum unkas tenebit,

Q.VANDO MINVTIAE OCCV R*
runt in regula dc tribus no! is quarttm
ignotum monfir xntibus  > quid
(itficiendum,

S I proportionibui in ordincm aptdtis, in quouis trivM
locorum minutiae interueniant : integri numeri Him!
loci,ft quifunt admixtiiflatim in minutiae redigxnturfi
quod fiet: ft numerus integrorumper minutiarum dp*
pofudrum dcitommtercm muluplieetur: cr nuwro

L  IB E R

tl I.

ip4

procredto 'earum numerator addatur • eiq ;  ft ofto, fub li
nett interiefta,fubdatur denominator, quemadmoium in
ftiperiort libro documm, demtegm in minutias foluen  *
dis prtecipientes  • In eo autem loco,in quo nulLe intercede
runtmnutiicinufnerimtcgriuflui niinutk perumktem
fub linea fubdendam[cribanturutomnia loca forma mi*
ntiuarum'teferant.  D eindc fecmdi toci in tertuim multi*
plicatio, or numert product i dmfio fiacquemadmodim
dcmmutijspncceptumeft.Exemphm unum fuffvcmt
eiufmodi, Quandc fcricitrcsulna: cimdimidio: ut mer*
morijsuocabuliiutamur.fcxdurekfuntempta'.qmin
confrituerunttresquart*iintegris prirni loci folutis m
mmutiax, fepiemorientur fecund <e~. Locusqp fccun*
dm folas continetW.nutks  *, L ecus mtegroYum tertim
in fpcciem minuturum fie fcribcndus  f. ltaq ;  pc local is
minutijs  f ^ - exfecundt loci in tenium duftu enafeen
tur-f-. qutcdiuifa per^educunt^f  , e a conjlltuunt
unum integrum zsr rejiant  -jf . qiue , ad minimum
nomcnclaturam redaft a,factual duos feptimas. htq; hoc
pa fto,qudio tres ulnae feridcum dimidio emptee funtfex
aureis,  | unius ulnaeuno aureo ey duabus feptinm con*
fliterut.Quodfiminiitiarumminutkueljimplkibus mi
tiutijSjUelintegrisadmixtafefeoffhennantequam opus
aggredimur.reducmda funt omnia in unum minutiarufn
fdciem.quemadmodum fuperiori librodocumn, po&*
taq; fiat multiplicatio,  er dmfo ificut in minutijs fieri
mifucuiu

n 4

Ip? ARTIS  S V P.

PECVNIAE CViV.SVIS IN Q_yAMLI
bet permutdtio quo modo fit jicundet*
Quceftio  11.

S I quifiiidmdb aliquireligioncin alimlonge prof?*
fiurus, adpericulum d Idtronibus uitdndum,pccuni
dm em ruttionis,unde proficifcitur: menfarijs dure  «e=
lit : ut em <e[iimdtionem iUic, quo iter dcjhnat: rcapiat:
fcircq^ cup'ut: quantum mlUitts rcgioms pecunia fit hit
biturusfid hoc modo jictUime denofcat.Principio maos
rent quamuis pecuniam in uiliorem per multiphcatioiiem
redigi-contraq- uiliorem in qumhbet muorem per diuio
fionc,reduci,pene mdnifeftum cfl: qum ut fit ddmonen*
dum.QUdmobrempecunidmpermutaturus primim  4 *
nimdduertdtiquotmimtioribwinummii illm regfonis,
ubi fit permutdtio,menjdrmunum aureimt regionis ul
term,quo iter ddorndtuejlirndt. Qua de re cum co pd»
fldimre oportet . Quod cum obferuducrit: cmnem ilium
pecuni#fummdm,qudm menfdrio daturus eHtfiue in dr•
genti Itbris , fiue in dureii fucrit: in cofdem nummes  mi*
mtiores redigdt . I<i quod fiet e ueftigioifi totrn fumm<e
permutdnd£ numerum in eim nummorum eorundem
numerum,quo pinip(ius,putd libra una ud aureus urns
eflimdtur : multiplied  „ Deinde numerum ex hoc end *
feentem per fummum d/htmtionis unm aurei iUius  re*
gionit, quo iter pdrat: diuiddt.  er numerus fedionis
patefaciet quot illicdurcosfh rcccptum . Cuius rei ri *

LIBER HI. ic>6

tie per regulam de trtbus noth qudrtum ignotum proft*
rcntibws,palm nobis conliabit-uti moxin exemplodice «

mu  --v ■

Rcmm prefect urus quiffnam mille dunes dngelos*
ofludgmtd nummis Jingules aflimatos, menfarijs ttddt*
dit:ut rome etredderentaureos duedtos .conumtq-m
fingulos quinqudgtntd qudtuor nummes.  R omfingulos
aureos duedtos reddi. fcireeupitqucd ducat t  R om£ flint
rtddcndi { Prirnum dureis angelis mille multiplicatis in
cftudgintdnummorum numerum,qui numerus unius au*
rci aflirndtionem capit: fargunt ofluagintd nummorum
mIlia  . qu£ nummorum fummd facile in duedtos commu^
titur.fi quit fccum confident. QU£ proportto eft int cr
qumqudgintd qudtuor nummes : qui pro uno ducato de
compaftoudlent:  ey ottudgintd nummorum mittU: qui*
bus mille durei dngch tftimdntur: candem , inter unum
iucatum  er numerum ducatorum inuefligandum efjede
kre. Vel fttmgislibel,permutdttm. Qu<e proportto
eft inter quinquagintd qudtuor nummos  ey unum duci «
tum : candem cjje inter oftuaginta nummorum mtUid  er
numerum ducatorum exquirendum . Uaquc proportion
nibusinordincmdiff>ofitis,ddhuncmodum.

54- Socoo. i.

Quid fccundus numem ofluagintd millium, per tertium
umtatis numerum nihil augetur: fold faundi dtuifio per
primum numerum 54.fifid fufjiciet.qu<e in numcro parti
tionis prodireficiet mille quadringenta ofludgintd mu.

H 5

?*>7  ARTIS SVP.

<7 uigintifex nummi fuperfunt.qui numerut efl durto•
turn, Rom* expdfio rcddcndus .

Et qudttmis in pecunidrum permutdtione, qu£ dbdlid
tcgmne in dUdmfrequehtdtur -.pccuntd ahqua utliorpluri
mum quardtur: qud utriufq- nations pecunia maior fe*
xundumfui precium prim djhnietur.qum dd proporti *
cnam rcguldmidmddtdmmmtxiipplicdripoflint. Vein
ti in exemplo proximo , qui medui cr ficilis'eft: <&■ expe*
ditM'interdum tamen breuior uid reperitur  ♦ Quippe
qudndo dliquk argenti librdnm, out dureorum, dutcii *
iutuis pecunite numeric* Ukutregionis, ttbi fit permute
Uoidlicui uel hbrdrum,uei durcorum,uel cumlibet peat*
tti<e numeroun ea regions in qum comutammikd ex pi
&o refpondet: ut nihil omnino uel defit: uel fuperfit.tum
sbfq- ulld in uiltcrcs nummos redudione facicndd, fldtitn
id proportiomtm regulm numeros applicabimus, Exem
pligrdtid. tres aurei dngelipro qmnq; coronitis gdUicii
Udlent.mitte dngeh quot corondtosreddenttConfyderi•
tis proportioned*, depreehendemu* qu£ proportio eft
inter tres dureos dngelosmiUeieundem inter qumqut
lorondtoso- numerum coronatorumexquirendumejft
debere.V el Jilibet,permtdtim.qu<e proport io esl inter
tres dureos dngelos  er quinq ,• corondtosieundem cjfe in*
ter miUe dngeh$,et numeric corondtorum imeftigdndu,
5. 1000. 5.

Idcientes igitur id quod iubet reguld. comperiemui dure
•f dngelos miUeredderecorondtosmiUefexcenios [ex**
gintdfex  er dm terti # unius coromfU S  0“

tlBBR IH.

SOClETATlS REGVLA.

qh ejlio  in.

T RE S mer cat oresfocietatemmeruht , frn quif*
que pecunU partes in medium confer entes , quo*
rum primus nonagmta aurccs dtiulit■ fecitndtfo fexdgitt*
titer tiusqumquaginta,aiqueimpigremercaturam cxer
ccntes centum aureos lucrijicerunt. quos inter fte diuide*
recupienies ambigunt: quantum tuique fccundum peeve*
m collatce portionem,delucrofit ccffitrum. Hancqute*
ftienem altius nobifeum confyder antes conftfhmammad
mtemtis, id quodinomm foaetate femper confyder an*
aum efh’iiurum hoc commune centum aureorum ex com
muni omnium accreuijje pccunia. o~ quemadmodum pe*
cunia communis, commune lucrum peperituta jam cu•
iufque pecuniam idaituliflelucritquod ad quenquepro
fua portione pertinebit. Quarejicut omniumpartes fi*
mladdite fehabent adJingulorum paries. (ic omnium
commune lucrum ad lucrum Jingulorum fe habere debet *
Etpermutatim.ficut omnium partesJimul adduce feha «
bent ad commune lucrumijic partesJingulorum ad fingtt
lorum lucrum fe habere debent. Uaq- h<eJitationcm banc
ad regtdamquatuor proportionahum applicantes ,fta*
tim cam cxplicabimus . Q uocirca primus locus cmnas
omnium partes in focietatemcollalas fimul additas babe
Tc debet. Secundus autem fuamcuiufquepecunk partem
Jfcpamim aliamfubaha nQtatamMrm.usro comma*

A  R T I S S V  P.

tie lucrum. Toil earn numerorum orditutionem peewit
pars d quolibet colhtdfeorfm in lucrum commune duci
tur.  er numem ex hoc cnatut per omnium pdrtiumf tm
mum fimul additdm dmiditur. ltd cuiusque partitions nu
merits lucrum fingulorum pdtefacie t. quod quarto loco,
i regionepdrtis cuiusque coUat£,ftdtuendum cfl, eo mo
do: qui anteoculos numerorum noth hie fubfignatur .

550 Vrimo  45

200  6° 100 lucrifiuntpro Secundo  30
qo Tertio  25

In omnibus dutem focietatis regulis,in rede fitfupputd*
tmifeecimenhinccdpere licet.filuerd fingulorum fimul
addiu communis lucrifummam reddunt.

tAinutU etimfiqu£ reftabunt: per additionemcoU
ligdntur.dtq • integra,qu£ cx his credbuntur : integroru
udddntur numero. Cuiufmodi exemplum erit, fiprimus
contulit quddrdgintdificundus trigintd . tertius uiginti,
4c qua pecunid communiqumqudgintd lucrifiunt.

40 Primt 2 Zer~qu£facility

po 30 50 Lucrii Sccudi 16&~qu£faciuty

20 Tert'ij n w~%qu£facility

Reliqut omnes minutit in hoc exemplo fimul dddit£ fa*
ciunt unum integrum,  er fingulorum luerd ddiitd ere*
ant quddrdgintd nouem . fic[irgunt quinquagintd: qud
fommunilucro refeondenu

Swic«

209

LIBER III*

SOCIETATIS REGVLA SECVNDA,

in qua temporum diuerfitds interucniL
Quxjlio  I1II*

RIVM mcrcdtorumfocietdtcmmcuntium,prie

mut quddrdgintd qudtuor dureos contuht in medi»
midtquc otto menfibui infocictdtepermdnfit. Sccuna
dmtrigintd duos confirm dureos ,perfietit in [ocietdte
nenfibwsfcx.Tertm,quidttuht dureos uiginti qudtuor:
infocietdtcmenfcsqudtuor mdnfit. ex quibuslucrifitti
fmt durci ottogintd.  A mbigi potett: qudntum cuiqiic lit
cri,fecunduni tcmporis  er pecunk qimtitatcm , ached*
tur.ln ht k  hcefiidtione dtque 'em fimilibui’.dltm intuenti
primum iUud cccurrit : quod in omni f ocietdte cotif&c  ■
ttndum ejfi fuperiori rcguld diximus, uidelicet, ut ficut
omnium pdrtesfimul dddit<e fe hdbet ddfingulorum pdr*
tes: fie omnium commune lucrum, dd lucrum fingulorum
fe hdberedebet. Etpermutdtim ficut de omnium pdrti<*
his fimul ddditis , cccurrit ccmpdrdtio dd commune lu  ■
enm-.fic dc fingulorum partibusad lucrum fingulorum  *
Ci etertem hxc compdratio gemindm confyderdtionem
hbct,tdm tcmporis irncquahs, qudm imequdlispecunk .
fiorum utrumquedd cutufque lucrum excuticndumpd  *
tan cogitationem requirit: nec dlterum db dltero feiungi
potcsl. qirndo nec pecunidcuiufque fine fuo tempore »
tidque lucrum dttuUt: nec cuiufque tempus finefud pecie •
^. i mo ucro ficut omnium pccunid fimul dddita itefet

'20t

ART!?

JVP.

omnium temper a coaceruatd, commune lucrum uniuti*
fis pcperituta cuiufque pecunia connexa cum fuo tempo*
reicuiq- lucrum dedit. I tuque cum de pecunia tempos
recuiu/,que,qu£ fpararinon potfun!: gemma compart
tiofimul fieri debeat, tarn ad aliorum pec uniat O' ccrunt
tempora: quam ad commune lucrum, & lucrum cam--
qttc fuum pccuniam cuiufque per futimipfiat tempus mu\
tipltcareoportet . Quo fiet:ut numcrut ex hocprodti *
Hus proportions partium fuarum, coruminquam numt
torumicx qmbus in fe duflis enatut eft: comprahcndat .
t.ienim fccundum Euchdis fcititm. Omnium duorumm•
nterorum compofiiorum proportio alterim ad alterunt,
tft ex laterum fuorum produfta. proportionin',, Late*
va tjumcronm Euclidcs uocat, quorum multiplicationt
ttumeri producuntur.  P oftquam multiplicationem  c«<
iufque temporit cum fua ipffus pecunia feparatim fiftl,
quoniam /ingulf pecuniae partes cum fingulis temporis
multiphcando coiuerunt: unutq- nutnerws fic de utroque
fk&M eftiut degemina comparatione proportio unit uif
tutem utriufq • compleftcns prodiuerit: numeri ipfi pro <
creatifeorfum funt notanduut ad regulam focietaitsap 1
pheartpofiint, QU’ppe ficut omnium pecunia cum ora*
mum tempore coniunfta ,fe habet ad fuam cutufq- pcctu
mam copuhtam cum fuo tempore: fic lucrum omnium
commune ad fuum cuiufque lucrum fe habere debet.  Ef
permutatim, ficut omnium pecunia cum omnium tempo*
n ccpulatafe habet ad commune lucrum: fic fua cuiufft

tlBER III. 201

fernna cum fuo tempore connexa, ad futm euiuf'fy lo  *
mm fe habere debet Itaq; per rcguUm qudtuor proper*
tmalium qurefitu expkcabiturifinumcri omnes ex tem  *
power peeme multiplication feorfumprocrcaiifi *
mladdantur:fumm<ei j; exhw colledee primus locus de
tit r • Secundus autem-ofiignetur numeris feorfum enatis
ex umui cuiufque pccuni£ duftu infutm tempus:ut fepa
nutnakmfubaho notetur. Tertius uero locus lucrum
commune partum hibedt, Delude feorfum fecudi locinu
mem cuiufque procreatus ducatur in commune lucrum:
quod tertij loci eft.  numerusfy ex hoc enatus per primi
loci numerum diuidatur. quemadmodum in proxima fex
cieutis regula did time flier numerusfefhonts declara »
h: quantum citify lucn fccundum temporis er pecunuc
qumiMtem debe.xtur.quod quarto locoeregionecuiuf=;
qtte pecunuc reponendum eft,ad hunc modem .

352  Primus 4-4

640 1 92  80 Lucrum fait Secundus 24

96 Tertius iZ

SOCIETATIS REGVLA TERTlAs
fytmdo temporibus tntermifiis,uarie(umm*
interdum communicate,interim
fubduftcefiterunt*

Qutfito  V*

20J ARTIS S V P«

Q V  A T V O R mere atores focictatem inierttttt hi
ennio duraturam,pacifccntes:ut pro proportion
ne pecunia conjhrcnd# lucrim cuique accrefce
ret. quartm primus ah initio triginta aureos contulit:®-
poft odauum menfem transact am, corum decern de men
dto [ubduxit. tterrnq; uicefimo menf ? inchoante,duode•
cim aureos in focietatem intulit.Secundus a principio ui*
gintiquatuor aureos attuhf.ac poft fextum menfem ab‘
fiuhtodo.Dcnuoc^fixtidecmtnenfisexordio,quatuor
decim in commune exhibuit. Tertius flatimab inita [on
eietate,uiginti aureos intulit. peradisque menjibus ftp 1
tem,omnem fuam pecuniam de medio exemit . rur[usque
menfe decimo oclauo incipicnte,fexdecim impofuit aurt
os. Quartus dernurn feptimo menfe inchoante decern  cr
o Ho aureos pro fe contulittatque horum nouem abflulit
poft quart am menfem fnitmfttcrumq- decimo feptimo
menfe cxordiente,quindecim in focietatem addidit.  Df
quorum omniumpecunia communitcr\m focietatem coili
ta, Inertfifti funtaurei centum. Ambigitur transadobi*
tnnio, quantum cuiq- lucn ccdet. Hafhatio b£c propter
intricatam turn fummarum, turn temporurn uarietatem,
plus indufirU quam acuminis exigit. Siquidem propitis
rem contemplantibus,iUud mamfejium eft, ficut commit
tiis omnium pecunia cum omnium temporibus coniunftt
commune lucrum ai;tulit:itidem fuam cuiufque pecuniam
cum fuo tempore copulatam,fuum cuique lucrum affine
pareffe, Singula igitur cuiusque tner color is tempor a ,

liber  nr* 204

quihut fummdqutq- ip/tus in focietdtem communicate t
needs medio cxemptd fiut: in pecunias ip forum tempo*
rumfeorfum miduphcatd,fimulfunt addenda .  Qw<f pe*
cunurum. cum tempore coniundio ,cum adeum modum
per fingulos mcrcatorcsabfoluta erit'.quatuor proporti*
onaltum regale rem totem fic cxpedietiqucmedmodunt
proximo capitc laiiut edocuimus. quodipfrn fetis jus*
r u eruditis ofiendiffe. Catcrim quoniem bee pecunii*
rum m focietdtem importatio diquc exportetio.alio atefc
thotempore fa fie, meiorem infrontequem in receflit
iifficultdtem oflmtat: ne quern terreet tarn uerie rertm
fheits: nodum hunc explicebimiu : at dujpicantibus uient
mnfirenw,fimdieji qua occurrent:fo!uendL
Primus itaq- mere at ore principio trigmtd aureos  s Mtfff
(thus in focietdtc hebuit,ut igitur tempos tllud cum pecu*
me ccpulctur: s in 10 ducentur . ©" jicnt  140 quxfeor*
fmtenttjfier, dumaliaexpediunturtnotandd funt.  P o&
otimum men fern jinttum.ufq; ed uicefimtm , decern dU*
rmfubiudis, fokio rehqui menferur.t, undecim menfi*
bus medijs.  11 igintr m 10 duflis, creentur no. qua fimi*
liter interim notentur /eorfum. Po/leduice/imo menfe p
ii u’gmti aureos, qui adbuc in fncietate remanfcruntie*
lij nfunt lUati. He dux fumma ftmul additafacimt cut*
nos  ji. qui menfibos qumqueufque in finem anni com*
tounesjiierunt. igitur  y in 31 dufla,educunt uso.quet
fubd'iji fummis[eorfum notdtix ponentur . D eindeiUeo
unitesfumma[eorfum noteufimui addantur:  er pro*

£ 0? JIRflS SVP,

vcnient sze .Ea[mmafurgit ex omnibus primi metcii
tons turn fummisjum menfibusfimul cocuntibus. Seem
dies autem mercdlor ab initio  14. aurcos fexmen/ibusin
focietatem commumcauit. qudre 0 in  z+ duttd,produced
144 .qua feorfum notcntur.A ftxtodutemmenfe tranf*
attoufquead f extum decimum,nouem menfibiu medijs,
twmofto dureifubdufliefjent,reliflicrdttti5. quocirci
9 in us dudderedbunt  >44, feorfum fimiliiernotandd .
'Demummcnfcdecimofcxlo  14 dureiin focietdtcmiM
additiddpriorcs i6,fac;unt  ;o :quinouemmenjibusrelic
quit communes fuerunt .9 itdque in trigintd dud a proert
dbunt 170 : qua dd reliquds fummus fcorfumnotdtM dd*
dita,producunt  yys . E dfummd  c#er temper um  er pc*
cwn(/ fecundimcrcdtoris Jimulconiundo) um .TertM
mrcdtorltdtimab mild focietdte 10 dureos infer ens, ftp
tem menfibus cos in focietdte reliquit . er iJeo 7  m jo
du£ld,ercdbunt 140.qua feorfum fignentur.Podmen «
fan dutem feptimum fmtum-cum pecuntdm fuam om*
nem exemiffcv.nihlcwm caterisbabuitcommune uftyd
decimum oflduwm menfem. m cuius initio denuo 16 in fo-
cietatemintuht. qua per 7 numerim menfiumrehdM
tnulnplicdtd,producunt uz.ed priorifumma feorfum no
tata dddttj procrednt  iyi. Qua fumma efl  er temporM
er pecunidrum tertij meredtoris fimul coeuntium. QUdt
tusmcridtor feptimo demummenfeineboante is aurees
confer ens,  4 mcnfibus eos in focietdte continuit.qudmob*
remain isdufid,progencrdnt  71  ,qua feorfumfiibnet#

It I B E it Ilf.

io &

tms. Xfneautem quartimenfis pod illatam pecuniant
trxnfadi,ufq;admenfemdccimtmfcptimum,fublatisno
uemaureis, ddbuc  9  refiabant menjibus fcx medijs. c<t
propter sin  9 dud a educunt 5-4. feorfum  ©r ipfa notait
da.  D ccimo feptimo menfeincipiente,ad  9  qua: in focieiH
teremanferant  i? adiunxit.quaficiunti^.eapersnume
tummenfium relid am mulnphtata educent  191. qua act
alias fumm.cs feorfum figna fas addita, perfident jiS ,et
fumrna td turn mer.fium, turn pecuniar urn quarti merci «
fora -lam uero fingulorum menatorum temporibui cunt
fuis pecunijs cor.n.xts,fupered: ut omnium fumrna feorm
fumantmata fimuladdxntur . Indc furgent  174S. qu£
funrn.t ex omnibus turn pecunijs turn menfibus omnium
men at or um coUeda primum locum tenebit. Secundum
uero fingulorum fumma turn pecuniae cuiufque turn meet
fescomplcdentes, feorfum aid fub ahjs notata, Tertium
mem locum commune lucrum kabcbit . Ceinde fecutta
dum regulam quatuor proportionahum multiplicatio, &
iiuifio fiat; cr lucrum in quarto loco patejxet ai hunc mo
ium.

1748

252

610

3 i 3

*58

100LHCM8

Primi  35erfff
Sccundi  3ter|f|
Tertij 14 &U&
Quarti  18 er*f$

© z

*07 ARTIS S V P.

DIVERSARVM REGlONVM PON
deriaco£quatio. QU£jlto  Vi.

C E N T V M pondo ab Alexandria in Angliam de*
port at a rcJdunt pondo fepttidgmta quwq;. quan*
turn reddent Alexandrite Anghca pondo ducenta trigin*
tafex t Rem confyderantt facilefuccurrit. qutepropor*
tto eft inter f iptuaginta qumq; pondo A ngltcd,&-ducen*
ta trigintd fex Anghcaieandem ejje inter centum Akxan
drina,cr numerum,quern de Alexandriaqudrimiu.Et
perwutatim. qu£ proportio cfl inter feptuaginta quinq-
Anghca  e 7  centum Alexandnna: eandem inter 136 An*
ghcd,cr numerum,quern dc Alexandrine qu£rimus: ef
fe debere. Quoarcaprimo loco pofitis 7f . Sccundo 136 .
Tcrtio.00 tquatuor proportional! um regula deprahen*
die duccnta trigintd [ex pondo Britannica reddere Ale s
xandrt£treccnta quatuordccim &■ ^~.qu£ funtf .
Anghca Anghca Alexandria Alexandrtna
75 23 6  100  314 ff-qiu.funt  j

LVCRI EXPLORATiO.

Quajiio  VII.

S i de centum aureisaureiduodecim in dnnum lucri
pant: fecundwm earn rationem de aureis feptuagmta
ro cm quantum lucri in annum crefcet i Facile eft expli*
cacu . nam qu£ proportio efl numeri centenarij ad frptud

guuart*

LIBER. III. 203

pntdnouem: cademcrit rtumeri duodenarij id lucrum
quafitum.Et permutattm,qua proportiocftnumert cett
tcrurij ad duodccimieadem crit de feptuagtnta nouem ai
lucrummuejligatum.dijpo/ittsttaq ;  inordmcm nume*
ris,ut primum locum centum tencant. Secundum feptud
ginta noucm.Tertitm duodecim,quatuor proportionals
um regula demonflrat ex aureis  79 lucn fieri aurcos not
(temper ^ qua:funtiy.

Aurci Aurci Lucrum Lucrum

ico  7P 12  8 Til -.queefunti}

Hcc lucrum per omnia par eft ufur a c em eftma .qua met
lorcm apud Romanos leges non permv tunt . De finguhs
tiamq i centenis duodena quotannis in feenus ufura cent
leftma exigit , qua ideo centcfima nome habet : quod cunt
in menfes ufura debcantur.pars fcniscentejima ftngu*
Its menfibm in ufuram uenit : centcfmoq • demum menfe
fortem factm aquat.lntrA centcfimam mmores ufura tit
ter dim centejima dodrantem,intcrdum beffem,in  wen*
fcsreddunt.qua etiamipfegraucsexifUmantur. At me*
diocres putdntur,qu£ cm fcmtffcm in menfes pendunt .
Qh<£ uero non ultra centcfima tr tent cm,aut quadran*
tern , aut fextaniem in menfes panunt: etudes habentur,
V hum Ana.

L  VCR I EXPLO RATIO
in tempore matori •

QUafUo  VIII,

30 p ARTIS S V P.

M ERCATOR ex aureis f-ptuagintaper men «
fcs trcs lucri fecit quwq;, quantum lucri trcde*
cim menfibtu ex iureis feptiuginta obui met { Dus pro•
portiones deprsbcnduntur . Ah era de tr tbiu menftbus
ddmenfestredecim : Altera de qumq i  lucri fa&is ad r.u*
tnerum imefiigatum . Namficut trcs mcnf sfc kabcnt ad
menfes tredectmtfic quinq; lucri fed a ad numerum quae*
fitum.Et permutatim.ficut trcs menfes ad quinq-lucri ft
&t fe habent :fic  ij menfes ad numeruminucftigitum.
Quarequdtuor proportionaltumregula ducc,pnmolo »
gofidtuentcs s,Secundo  u,T ertio  ? icompcriemtuau *
reos uiginti unum,  e T dm term  ij men ft bus lucri
fieri.

Menfes Menfes Aurei Aurci

3 13 5  2t T

TEMPORIS INVESTIGATiO

mlucromuiori ,

Qusflio  ix.

Q VI per menfes quatucr ex aureis nonaginta hi
cri fee it quinq^.p.:ire cuputquado tempore ijdcnt
aurei lucri cent urn redden fHsftanohsc pro*
dims fimilis efltprsterqua mqnod htc de tempore, illic de
hero fit inuefhgatto . Smhig turmodofotuenda eft,
QU’ppe dus proport tones apparent. Nam ficut quinqut
aurei lucrifftifehabent ad aureoscentum lucri fucten*
ior.ftc quatuor menfes quiblts qnin% aura lucri accrettt

runt; it

210

LIBER III*

mt : dd numerum mcnfium inucfligdtum.  Ef permutd*
tun, ficutquinq;durei lucri fafttfehabcnt ddmcnfes^t
fie wo aurei lucri fitctendiad numerum mcnfium, dc qua
qutfitum eft.Frimoigitur loco not alts s, Sccundo wo,
T ertio  +: Reg ula quatucr proportionahum aurecs  «o o,
cx  90 lucri fieri menfibm so mamftftdt.qui tiumcrut men
fium credt mhos  fixer menfes ofto.

Aurei Aurei Menfes Menfes
5 xco 4 80

LYC RI INVESTIGATE EX MA*
tori pecunid fecundum rcjficflum lu»
cncxfummamnori-

Quxftio  X.

M ERCATOR qulffiidm tribus menfibus ex dc
cent aurc is lucri fecit qudtuor: feirecupit dd can
dim rdtionem cx fexccntis dure is decent & o£lo menfi*
bus,quot aurei lucri fieri pofiuntf Nullum hr (it at ion is ge
tuufrequentin ',, qudm kuiufmodiefi, inter mercatores,
dum fecum deliberant dc quouis mercimomj genere : ft
pecuniae fuds in id mipendantiquanto tempore ; quail: urn,
lucri potent acquire, Adhanc rem expedite difcutien*
dim in priniis iliud fieri oportet: quod faccndum eft :
quoties in duabus proporttombus cum pccunir certee d.m
Wrfmte temporti ceru d.uerfiw concurnt: ut pecunid

in

A  R T I S S7P,

queque fummdper fuum tempus multiplicetifr: unufqut
itanumerus mm utriuffy complcxus, producatur ex
tobus. quidcinde cumlucro per edparto comparetur,
QnofietMin ordinemproportion s mb* redigtilatm
pofimt, quemadmodum in proximis quajhenibus dixit
turn.  N m duos proportions rem conjydentntes compe*
riemustquarum altcriut ambo extrema funt ccgnita alt!
tm uero alterum folum . Nam qua proportio tsl inter de
semdurcos cum fuo tempore trium menfium copulatos,
aurcos fexccntos cum fuc tempore menfium decern V
tstto iunttostcuius proportions ambo extrema funt ccg‘
tiita: eandem ejjedebire lucri quatuor aurcorumnotid
lucrum tUud, quod ignoratum inquinmus . Et permutd =
ttm, qua proportio eft inter aurecs decern connexos cum
fuo tempore trium menfium,  er lucrum quatuor aun o-
rum cognitumieadem deprabendetur inter [excentcs cut
reos, coniunftos cum fuo tempore menfium decern  O'
f>tto:&- lucrum idud,quod ueftigamus. Fattaiiaque aure
crum decern multiplicationc per fuum tempos trium men
fiumfiurgunt trigmta.Rurfiq-.fi m fxcentos aureosdu
edntur decern  er otto,f orum menfum numerusiprodi =
bunt decern millia  er ettmgenta. Vcttca quatuor propor
tionaliumregula nobiseam fcquenubmncgoiiumexpli-
cabit: f primo leco trigima , Sec undo decern millia &
ottingen!a,Tertio quatuortquod lu rum nobis notum  i fc
ponamus.itadcprahcndirmscx fexcentis aunis merfi*
bus decern z? otto lucri fieri dureos miliequadringentos

Zj qud e

212

LIBER III,

Cr'quadraginta .

Lucrum Lucrum
30 10S00 4 J44°

tiicinueftigatum efttquantum accrefcct lucrt .

TEMPORIS INVESTIGATE IN
luiyonuiori fccundum rcfpcftumtem  •
pork in lucro minori,

Q uceftio  XI.

F R E CIV ENTER dim mcrcatores inuertunt
buiufmcdiquifftionem:ut detempore ft hxfitatto .
uduti fi quifpum:qui tribus men [thus cxdcccm aureis lu*
crifecit quatuor ’. fare cupiatad randan rattonem : quot
men fit us ix fcxcentk auras miUequadrwgentos cr qua
draginta lucnfuccrcpoteft * lnbacqu<efhonclucrumin
utraqueproportionecertum temposueroinaltcrdddhuc
ignoratum.  Q uaremultiplicattopecunucert<eper igno
turn tempos peri neqmquam pott si: Mambas proporti*
ones ad quatuor proportionahum regulam jemel appli»
are fufpciat.Aha tgttur uia tentanda eft.  Et rem confy *
derantibm, in primis ad cxcmplum Ivcriquatuor aureo*
rum , quod ex decern aureis menjibus tribus creuittexcuti
endum uidcturtquantumlucri aurci fexcenti menfibm tri
bus parient.id quod facile difcuti poieft-.ft cogitemusdu *
*sbic proporttones reperiri. Alteram de aureis dccem
udpxcentos. Alteram de quatuor aureorum lucro ad lu *
*rumillud,quod cxquiritnus . Hamftcut auret decern ft

O f

21} ARTIS S7P,

babent ad fexcentcyfic qua! uor aurcorum lucrum ad In
crurn exquirendwm. Et permutatm,fi L  ut aura dec cm fe
babent ad lucrum quatuor aurcorum: fu aurei fexcenti
adlucrummeftigandum  . Itaquc primo loco politis  io,
Sccundo soo.Tertio 4,per quatuor propornonahumre*
gulamcompcriemus ex soo aurcit.menfibiu tributlucri
fieri zio.Deindepoflquam comperium eft: quantum hi
crimenfcstrcs exaunis fcxccnus affcrunticontmuodc
prehendetur: quot menfibut aurei mille quadrtngcnti  e?
quadragmta ex fexccntislucri fieri pcfjfimt. Nam qua
proport io eft aureorum ducent or um c? quadragmta ;
qui tribus menftbus lucn jiunt: ad aureos mdlc quadrin «
gentos zr quadragmta: eadem erit temporis tnmeflrii
ad numerum. menfium inueftigandum. Etpermutam .
ficut ducenti  O' quadragintaaurei,quitrium menfium
funt luermfe habent ad tres menf:s- fie aurei miUe qua*
dringenticr quadragmta [ehabebunt ad menfium nume
rim fie quo quefittm eft. Quamobrem primo loco pofi
tit ho  ,Sccundo  1440 ,T ertio  j e ueftigio quatuor pro*
portionalim regula denuo repetita nos edocebit: aureot
*44$ ex 600 lucrt fieri menfibus decern cr ofto .

lAenfes  M enfes

240 1440 3 IS

Maque tempos hoc de quo quefitum eft,particulatim in*
neftigandum erat , ut etusportione cogmta facile exquirc
retur reliqum. Cetera id genus excmpla ad eundent mo

4m ew

LIBER in. 214

kmcxcuti pojjimt  • Quo jit nunjcRum , qudtuer pro*
portionahum regulam,quonumfcml tcntatunott fatis
ji:it:bii nottttunquum adeundam ijje: utcunfiawluum
mat.

PONDER]S EXPLORATIO IN
pambus,qudndo precium mton& crejctt ,

Qusjiio  XII,

Q V A N D O tritici modm nummis decern uendi
tur-.primarfa notce pdnis: qui mmnti precium
, habcac.pendcbtt uncias quadragintatres-Sccurt
km cam rdtionem,qndnti ponder is eric pants unites num
mtaudndo tritici modm trcdecim nummis conftdt f  H e
obferudreeportet. ubiquegentiumreccpumpmjiiijle
ftmejje : tit pro qua portme tritici precium cn feittpro
ttpdnum unius prtecij pondus mmudtur.Sicut emm anno
tie coptdpdtnbus eiujdcmprecij  er magmtudmem 0°
pondus dUget:jiccontrdannon£caritds ab eodem pre ■
do ey pondushis  ©-mdgnttudine demit,Quocircdcum
pro mat or is preeijrdtione diminutio ponder is fit wuefti
Undated propter in proportionumcompdmione,quod
extremum utriufque mains cflipraponidebet: utqiuejUo
fit it minori alterius extremo, quod ignoratur.Cumuli*
ton alterd propertio de trcdecim nummis ad nummos de
(tm,dmbo extremd notd habeat, edm prxeedere oportct‘
Altera tiero de quddragmtu tribus mcijsdd numerum
pondtris inquirendum, [equi prior cm defat, Ham it?

2!? ARTIS S VP.

hoc quefito quantus repcritur exceffus nummorum Me
tim ultra dccem.tantus erit quxdragintd trtum unciarn
exceffus [upr a numcrum ponderis inuefhgandum: cadrn
quo proportio.Et permutanm. Ck utt^fe bdbentai  4.3:
ftc decern ad numcrum ponderh inquirendum fe htbere
debent. Uaq ; fiprimamfedemtred.amoccupcnt } Secm’
dam decern,Tcrttam41 Quatuorproportionaliumrrgii
la rem totam illujlrabtt.per quam dcpr,t hendemus,quiti
do tredecim nummis tritici modiui uemttuntus nummift
item uncias triginta tres  er unam tertum pendcre .
Prcctum Precium Pondas Potidus
13  lo 43 33 f

PONDERIS EXPLORATIO IN PA*
nibus,quando precium annonce decrefcit  *
QUdefiio XI 11 .

S i pants uniusnummipendet uncias  4?: quandolri>
tici modius  «o nummis conjlat. quantt ponderis d  1
earn rationem erit panis unius nummi , ft tritici modiui 1
nummis feptem ueneat i Hie quia tritici precium c/i up  1
tninutum  J iuxta pamficij leges pondus panis augebitur, I
Qttocircaqua proponionemmmbfuperantttraw.ei•
iem  4? unci£ fuperabuntur d pondere panis inucjhgdtu •
do.Et permutatim.ficut 7 fehabentad 4; .fic  10 ad nP '
tnerum ponderis inuefbgandum . Quire' in proportion(
prior c de 7 nummis ad nummos  10: extremum quod mb ^
tuts eft fprscedcretquod maius cft,[equi debetiutpcfc*  1

riot

LIBER III. 216

‘tier proportio de panum pond ere, defined in pondut nut
lilt.  ltd digejiis in ordintm proportiombut, per rcgulam
qudtuor proporttonaUum compcricmut unmnunm pet
mpenderc uncus 61 y quando tritici moduli feptrn
mmmii conjlat.

precium Precium Pondut Pondut „

7  43  6 l b

LVCRr E r DAMN! R E G V LAE.

P R IV S Qv A M ad alias quafliones progredi  *
mur.de iucro  er damnoquisdam rcgulat opera
freciim putamut adiungere.  Et ut de lucro pnmum di»
mus • tAercatorcs ad hunc modum fccum queercre fo=
hnt.Siceriepondo caitenaaureis n quijfciam emat : ate
5«e ea deinde aureis  14 uendat:quantum lucriexccn•
ttnis accrefcet f Huiufmodi qua fit a [ic explicantur. Prut
tipio fubducere oportet precium, quo res empta eft: d
prccto quo pojlea ucnditur. cr numerdt reftans, quid
hflerentiam utnu/ q- precij conduct: lucrum indie obit ,
pod ex forte illan obuenicttuidchcet i.deindc ft  11 qua
font inforte: pamnt in lucrum 1: quantum lucri too
tiddent f per regulam de tnbus notis quartum ignottm
profirenttbut pronim eft; excutere. ducentes enim  a in
'ootprocreabtmus  zoo. qua per  ia fecantes,relinquea
Ww in feftionis nunuro 16  f. tan turn lucri cxcenienie
Prefect. Nam qua proportio eft inter fortem  u O’for
toMioo: eadem cjje debet inter lucrum , quod ex acre*

pdf  ART! S S V P.

nit: cr lucrum,quod cx too obuenirc debet. Etpermit*
tun q,uproportioeftinterfortem \t,tylucrumz:ef
dm in fortem too cm lu: rum,quod inuefligamusiefft
debet. Similiter de denis,uicenis ,tricenis ,quadrigetiis,
qutnqtagans,uclmrfknis,qit£ripofiet. fed mercaiom
f ipputandimos maximcin cementslucra  er damns con*
fyderat. afq ;  id code cent ems exempk damns, inhiutu
tem mercatorijs regain,quos nunc interferemus: propot
tiomm eomparationem permutatim folum poncm,
mrcatorum mcrc.quanJoquidem per hanc cuiuis ftuiio
fo redd carum compardtiofefe final apcrict . Catcuhm
rcble cor,ft ft urn effe probabis,fi proportionum ordincm
conuertas hoc mods. ft wo qu£ funt in forte,lucri f&cb
tint i S ~. tin fortem collataluirum reddent t.Quol
ft plus aut minus calculus afjvrat'.error interucnit. Velft
cut magis placet: negociumad regulam ftcapplicant .
Si de a qu£ funt in forteifiunt  14 in fortem & lucrum,
quid ex wo in fortem dxtis ea ratione proueniet t fequciu
tes regulam dcpr£bendemusn6  f in fortem cr lucrum
accrcfcere. a quibus ft demos wo qua fortem fdcium:fu‘
p rfunt 16 £  . qu£ lucrrn ex centenis indicant. Tut of
burif leftor ,efto:utrammam magis hbeat fequi.nam
mercatores tpfi,alius banc,alias iUam capeffunt .

A D DAMfJVM cognofcendwm: id quod dcU 1
croiam admonmmmjhiiofis fuffccerit . nihil t*

nitni*

■v*. '***

LIBER III*

218

tlim altud intcrcsl :ntfiquodficut umditlo fupentis cm*
ptiom precium lucrum cxuberare ficit: ficeconuerfo
uendtuo mmorit fifta fortcmueldimmuit: ud exhiuriu
ueruntimeneX'mplumdeeo quoquedabimut . Qutndo
Ibrt croci cnip'a eft jurat  3: uenditaq)  1: qua iatturd
excentents era i Prectum , quo res minor is uenditd eft :
tb emptionis precio, quopluris eftemptafubtrahe:  er
fupereft 1: quod dmnum de tribus indicat.Deindefide
3 unum peric.quantum detriment1 too afjvrenp.per regu
Um datum exquire.repertes  33 j-, Vel ft migklibetil e
termuumtcntareificpotes.Side  3 fold 1 (uperfunt:
qmddeloorelinqueturfducanturiinioo :fiunt loo.qug
(iper  3 fecesuxeunt  <5  6  f- M de too mdncnt. different
tit itaque inter 66 f:cr  100 qu<e  c# 3^ § tuenit m detri•
tncntum .

PER LVCRVM NOTVM SORTIS
ignoheexquijitio.

S AE PF. mercitoresidnundittif iturifecmidhmc
modum fuppuiare folcnt. Quanti pondo centena cut
iujjnam mercts, putt £ris ceruginis emendi funt: ut aure
is  13 poflejucnJui,excentenisdend mlucrumpiriant,
H uiufmodi qu£fiti expediesifi fictectm confyderes  „
Qui excentents dent iucriuu.lt fb.cerc.is  too dugercuf*
td  100 Jludet.id,quod cxprecio  13 efficeremolitur «.
Itifyintliis  13 crforscrlucmmlitet.tlioquinijiincfm
(ktutrmidend ex centems non lucri ftercnt.Bd propter

cunt

n$>\  ARTIS S V P,

turn per uenditionem  u aureis fiftum , lucrum ex center
nit deshmtum fit dcqufitum: fors qt£ Ivet in  t?: per re
guldm ds tribus notisquartum ignotit proferenttbus fu
tim fie patefet. St  too qu£ fortem z? lucrum cuprum:
prodcttntde f irte  too :de qua forte tufcentur  t t,qu£  for*
tem cr lucrumtencntfMultiphcitre oportet  loom i?: er
proiucenturnoo:qu£ ft per uofecentur.mmerus fettto
ttisn --babebit. qui numeral fortem ittorum u demon
ftut.Atq-idcotdntiemcnddeffentms xrugin'is ponio
looiutpo/teai j aureis ucndttu lucrum proportions dato
rum ud centena redddnt-Si ffcctmen capere libettan rede
fit fupputdtum : proport ionum ordtnem conuerte, hoc
ntodo . Si deli  T f, qus funt in men forte: furgunt  15
fors Qr lucrum: quidde  too men forte prodibit f terns
per regulam.  cr no inuenies. i quibus,dempta forte  tool
lucrum  10 fupereft. Sin plus dut minus redcat errdtum
tft . A hud exemplum.  Q« inti ldn£ mille pondo funt
tmpta: qti£ pofleeuureis ;o uenditd lucrum proportion
tteduodenorumud contend pariunttdd regutum datasl
fic dpphedbis . Si  in dnte lucrum pxrtum, ennt wot
quid (ecundumedm rdtioncm  jo pruts ennt: cum qui•
buspdrtum eft lucrum tfupputdtto fecundum reguUitt
fdftd te docebit fuiffe  44 ttt . qu£funt~. Add
txemplum . Q« inti conflict librd croci: quando uncii
nummis  9 uenditd, lucrum affect proportion denorunt
td cent end t Vnci£ fortem fic depnhendes fi  1 to dnte*
quumdccefiit lucrum: erdtttioa; quid erdnt  9 finite niet

LIBER III, 229

(of nummisunciaconflitit. Dcwdeuthbne
prccium excutias: multiplica undo: prccmm 8  ?? in a t
quod tot fint uncite in hbraiQr producuntur  PS-jt . tot
m mmis Itbra croci prim empta crat.

PER DETRIMENTVM NOT7M

for us ignotee exquifiuo,

Q VI gcmmamcmcrat : uendidit eampcftca due
red  too . ©- dim pecunie fuerationcm init:
compent feperdidiffe locxwo.quamiab initio
petit gemmai Sic confyderare oportct. Qui  l0  deioo
perdit,ioo ad  90 minuit. atq ;  id o adinuejhgandam for
tan tUorum too ad bunc niodum cogitabit . Si  90 ante de
trimentum erant 100: quid fc cun dim cam rationem an
te erant lUa  too, if. quibusiaflura fid a eft i due ant ur
100 in  100: O' fur gent  10000. quee fed a per  90 s rcddunt
V.i-. tanti gemma ab initio conflitit, Verfo incontrari
ton proport ionum erdine, capere expermtentum licet,
mredefit fupputatum: ad bunc modm.Si dent-(old
100 fuperfunttquid  <ietoorelinqueturi ftregulamfcqua*
tt:depr<ebendes c,o.Ji plus autminus exitierror maniji*

A LIA etiamutaper lucrum aut damnum ad for#
tis partes redigendwm . fors ip fa ignotainueflk
lm potcfl. Putaft qu fpiam uendens nummis 10. de
•oo lucrifkciat 10  * cr b<ejitetur quanta fit fors: ad bunc

e

221 ARTIS S V P.

modum per compendium res cxpedietur. Animaduertefe
oportct : quota fortis pars Jit lucrum f id quod (latim fit
mamfiftumifi lucrum 10 per fortem wo diuifumin minm
tias fcluatur eo modo : quo numeri minoris per maicmit
stdmonuimusfeftionem fieri, ficnafcentur~%.quad
minimam nomcnclaturam redathe ficiunt . itaque qui
ex too lucratur w fiecimam fortis partemlucrifi.cit.qu
pars decimaaddita ad fortem fit undecima totius form,
Atq- ideo quide lucro cr forte T ~ cdpitilucrum babct till
usfwmm.quodquando ab ea fuhdudumerit:fold fors
reslabit.ltaquede 10f tmko .  er menics l  . tap
tulttm inesl lucri in exigua hue fumma  10. id autem fiiio
ducaturirefiabut pro fortei$ r ~,Edforsesi illorum  20*
R an ita habere probabisifi proportionum ordinem con--
uertas hoemodo. Si deiSrr punt 10: quidaccrcfeet dc
looitentdigr inuemes  no .fubducito pro forte too: resB
pro lucro 10. Calculus itaque non err auk.

E A D E M uia per damnum ad fortis partes reM
gendum fors ipfapoteSh excun. Velutificxemplo
uerfo,jingamus eum : qui nummis  20 uenditidena ex ten 5
tenis perdere Nam damnum w per fortem uodimfum,
profirt qu£ ficiunt ~ dlud itaque con filer are 0  *
portet .  Q tu perdit to ex wo : per lit de fua forte  ft*
Quo fit :ut faluisfint ei reft antes  ff-.dc qui'ous partibm
fifumas-}; atquc earn ad omnes partes rcliftas addast

injiaurabis

O '- ■  :  ' ■ l ! - .-'ll

LIBER Hi.

222

inftdurdlis fummam : qu:efait ante damnum:  er fortem
hbebvs qiuefitam . Atq- ideoin cxmplo dmfinummk
io uendens dena de centenis perdit ed rdtionc uicena illct
\ftotius fortis effciunt. Quocircd finonampartemdc
io f umas,uidelicet  2f. atq-eam ad  io dddasifient  22j *
f<£ fimmd [ortis ante iafturam erat, Nona autem ilia
pars 2 "- decimaefltotm [ortis'.partemq'■ earnadditain*
ftmat:qu£ de forte perurdt*

L VCRI RATIO, SI MINORIS
quippiam faijfet emptunu

LAST! rnptor pondo miilena certo precio tner

catus eskqiuefi btnis dureis minoris emijfet:dtquc
u po&ed dureis duodems uendidijfet : ex centenis dena
faijfet lucri; quaro quanti ab initio pondo glafti miUe
im jleterunt t Hu’iufinodi qiuefitd fie expedies, Sqrtem il *
loruntia inuefligare eportet , eo modo , quern dedimm  _
Su io erant >oo ante lucrum: quid [ecundum earn ratio a
Hem ante lucrum aaiundum , erant iz tducantur iz in
»oo : producantur  noo . qu£ fcclaper UO l reddmt
1042* Ed faijfet forsifnihilaliud intcruemffet .  Ve*
turn quia adicttum csi:j 7  z dureis minoris emijfet: ZT
'1 uendidifaef.tumlucrum accedere debuiffe proportions
denorum ad contend: liquet ex hoc eum pluris  xo|®
Miff  „ Atque ideo z ad  xo-ff- addenda funt: utfant
_ tot Mrc!S  i n  i n itio glajii pondo 1000 conftite  =s
tutu t  Ex quo fa snanififiuin.fi tntnoris z dureis emijfet :

P 2

ARTIS S V P,

dandafitiffe  to tx .quseforseacfhqtueperucndtliu
item ad ncrcf tens data cx centenis lucnjkdt .

DAHNI RATIO, SI PLVRIS

RVMENTI emptor modics quaternos certt

prccio emit: qui ft p'uris nimrnis quaternis qm
fimt empti.confiuijfent : <o~ uenditifuijfent rtmmis tnct
mfenistdena de centenisfinffent perdita . quantiigiittr
conjhterunt modij quatcmfprmcipicftcu! proxmte mix
cro fiftum eft,fortcm itlorum i<s ernes,bcc medo tecum
conjyderans.si  no erctnt uoiquid fccundumeam ratio
tiem ante erant 36 ducantur 36 in  100: ©• petit 3600 , quit
deindefecentur per no: & prodcunt  32 T f . tantiemi
debutffentmodij quatermiut uendttione fail a i.ummistf
dena ex centenis lucrtfcrcnt. Verum hie perdita funt  w
cx 100. atqucideo ficut in iaft ura ante doeuinm: ftc con
fyderabtmus.. Si  50 ante iatturam fuerunt  wo tqvtd fe¬
cund um cam rationem ante fuerunt 36 f ducantur  56 W
too: & [urgent 3600 ,qu£jcflapcr c,o:reddunt 40.M
tiemidcbuerunc.utuenditinummis 3s damnum offer*
rent detrahens dena cx centenis. C<eterumquia didurx
eft ft4.nummiamptmadpreciimaccef jfenr.tumiaflU
ram lUam denorum (x centenis ex uendttione fad a ntiW‘
mis 3 c fu : !Je fccuturam. 4 tnmrm d  40 demendt funtiquoi
tamo mmoris funt emptitfic reflant 36 .quoprecto qua*
term fumenti modij ab mtuofunt emptt .

qutppiam fuijjetempftm .


LIBER III.

224

LVCR 1  RATIO. SI PRE«
tiummutetur.

O V ? S A L 1 S modios pngulos fenis nummis
ucndit o&ona ex centenis lucratur quertpo*
tefh/i is mutatopricio,nummis06loinsuendat:
quantum lucri ex centems acquiresi  M«/;t in huiufmodi
quptis hallucinantur : dm pc proportions compels
mt.Siodants.qu.ddabuntsiducentesnaimj ; sins zx
produftumpcrefecantesjeprahendunt rof.  quod lu
(turn ex cements obuenire put in t ; ft pngulorum falis
ntodiorumprccium dnummis6adsmuietur, Hito:o tr*
tint cxlo , nam  s iUa, qu£ ifti uelut fort cm ponunt: zx
lucrum zx fortem continent ■ Itaque ubicunque m ftmilis
htfde lucro aut damno queer itur.primum fors inuemen *
k cfhqu£ lucrum & damnum peperit. iguur fortem zx
lucrumquxin ftxlatent : fors zx lucrum,qusin centenis
totafunttproferent in lucem : ficut iamdocuimus hoc mo
to . Si  10S antequam accepit lucrum,erant 100, quid fc*
cmd.im earn uttonem ante lucrum erant s! ducantur <s
In mzx pent 600 ,qu£penosfedain numero partitio
nis educunt  5J .tantum complcfli debet fors lUorum 6 :
W po/lea fix nummis fail a ucnditio cflona ex centenis
l^crifnciat . lam ueroin hoc them ate, qui nummis 6 uendi
to,mu'atoprecio,nummis ottonis uendere in awmobd*
ht '• zxf cire cupit: q canlum lucri ex centenis accrefcet,
^ quod facile cxquiri potefit Jt proportions pc formen*

22 ?

ARTIS S V P.

tur. Si  ?f , qu£ funtfors: pariunt otto in fortem &tm
crum : quid wo in fortem coUxta dabuntf Sens e uefiigioi
ft s in  100 ducasinumerumq- produflum diuidas per  5 5.
quofietiut in numerofeflionisprodearit i^tantum fors
iUa 100 xfjvrct in fortem  ©r lucrum.igiturfifortem  wo
ab eafumma fubducas : 44 pro{uero reftant.tantumlucri
ex centenis aecrefcet : fi/inguhfalis modij nummissuen
daniur,qui ante  <5  funt uenundati.

V EL fi maim alia uia rem ftatim expedite: ut for¬
tem non exquiras : id fiet ad hunc modum.Adde ai
ipfa 100,lucrum ex his accrefcensifummamqcam diuide
per priuspreciumiquod lucrum illudpeper it’, idautem
quod mnumefo feflionis prodibitimultiplica inpoflerh
us illud precium : in quod fit commutatio. l ta numerus  ex
hoc produflies, e? lucrum de  100 natum,  ©r fortem ip‘
f am  loo compleflctur : dquolucrofi fortem wo demos
lucrum de centenis ex nouo prccio obuenitns rettabit:
QU£uianmquarn fillet . Puta in exemploiam dato,ubi
uenditio fenis ntimmis fail a ex centenis oflona in lucrum
mulit: lucrum  s ad fortem wo adde . fientws . Earn fum
warn diuide per prius precium 6 , quo lucrum illud xc 1
quifitum ett.. fie in numerd feflionis  is prodeunt . qut
deindc in patterns iUud precium  s , in quod fit commute
tioiducenda funt.itaproducentur  144 . qu£ cr lucrum
©r fortem centenorum capiunt . a quibm fi  too pro for*
tc demos: reflantpro Imro  44 jantumlucride centenis

accre

LIBER III. 2 Z6

iccrefcetfiprccium i nummkfcnis ad otto nos mutctur .
Sine autem de centenisfiue de alio numero, puta quinqua
gents,miUenis,aut qtiouis alio,ccrtum lucrum qujeratur :
regain hate inuariata manet .uim autemfuam capit a muU
tiplicatione gr diufione :quted quatuor proportionali ~
m regula fupr'a data, g? ab unit at is natura dependent .
P on 6 m diuifione,ficut unit as fe habet ad iiuifior cm ; fie
feftionis numerus ad numerum dmidendum. Et per mu! it
tim. ficut unit as fehabet ad fettionis numerum: fiediui*
for ad diuidendum . Similiter etiam fit in multiplications .
nam ficut unit as fe habet ad mukiphcatorcmfic multiple
mius ad numerumproducendifm.Etpcrnmtatim. ficut
unitas fe habet ad multiplicandumfic multiphcator ad,ui
ttierum producendum. lgitur efto  o habeant i inforim:
tarattone wshaberet  is id quod ficexequircs-Sioinfor
tegrlucro prodeantC fingam.es)de  i idequonafeentur
ios quxfuntinfortegr lucro f ducatur i in ws.gridem
ttumcrus prcducetur.  is demde dmdatur per <f. 'gr mime
rus feftionis  is profiref.qua fecundueamrationemfors
effe deberent lUorum  toS .tarn uero precio inutato.fi fire
Uoles quantum reddent istfic inuefligabis . St dc unofiunt
s.quod de is fientmultiplicentursin lStgrproduccntwr
Ht-.qute fortem & lucrum centenorum tcticbimt*

DAMNI RATIO  SI PRE=
cium mutctur t

P 4

227  ARTIS S V P.

D A M NI ratio pereandem regulam dd e undar,
modum excutietur:preeterquam quod ficut  Iks
(rum additur fortt'.fic iaftura dc forte [ubducitur: gy nu
merits refiam per primprecium,quod d .trmentumattu
lit:fccatur,quodautcmin numcropartitions rcperietur •
ducere oportet in precium illud in quod fit commutaiio ,
fie numerm produftus ey fortemindtcabit  er damnum
fwc de centenis qusratur, Rue dc imUenis, fiuede ' quouis
tilio numcroiafturam termmante Exempli gratia quis
tiummis uendit : duodena de centenis perdit. quid a(hr&
ex centenis fuftinebu: fiprecio diminuto  4 nernmisuai-
dat i de  100 fubduci debent  u . <y reflabunt  ss. qua: fccen
tur per prius lUud precium 6 ,quod tafturam pcpcrit.c7
prodibunt in feftionis numcro  14 f- . eaautem demit
multiplicentur in minus precium  4: in quod fit commute
tio. ey  5S y furgcnttquiefertem ejr tafturam ccntaio*
rum demonftrabunt, quotitaque ab eo numero ufque d
»oodefunt:totidcmdecontents iniafturdm uenipnt.eddll
temfunt  41 j -. Velfipcrcxqu fitionemfortisiUorum S
tnagis id fare hbet: fic tecum confydcrans remftalim  f X s
phcabis Quinumm.s 6uendendode too,perdit n: is  100
ttd ss minmt . quee iaftura nafeitur ex nummis dlis <s. Sic
igitur ratioemre  . Si  ss ante id ft ur am erant  100: quid ft
cundum cam rationem ante erant 6 qu£ damnum aitulc 3
runt*tentaperdatdmregdxm:o-inuenies 6  T f . Ei
fors erat lUorum  c,1 dque iia effc prcbabis: R proportio
twmconucriat ordincm.hoc medo , si 6 minuuntur

LIBER. III. 223

id g  : quantum fccur.chm earn ratmem decrement  i oof
cxpcnreper rcgulum: cr  ss rclifladepnehcndes. law
U.ro mutatoprccio fifors lUd 6 mimantur ad  4 :
quid iaflur<e ex  1 o o era? data regula e ueftigio apcriet .
R»w/?4 in  100 ducantur: pent ^oo^qux Ji per 6 -~ fe  *
ccntur: numcnu partitions  587 habebit.  Quod.intent
fupra i um numerm ufy dd  100 dec ft, in id ft ur am ( uti
iiximtts)uenit.$utraque igitur uid ran ccdcm perauat .

Q_VOMODO PRECJVM STATVAs
turad lucrum quoduis parandum.

F R E QV  ENTER dim mercatorcsin merccali *
qua ponderenumero aut mtnjura uendifohid, pc ft
complures expen fa«terra m.inq- fupra eruptions preci *
m juflas,inucfhga:ta,nau!um, ueflurdm, mimjlrorim
uiflum. ceteracj; id genus , cert urn fioi lucrum de quouis
pondere, numero,dutmenfuu,delhndnt:fecum^delibcs
Untiquodnampreciumjiatuantmfingula pondera,nu*
rueros.dut menfuras’-uc lucrum illudaccrefeat . id quod
fiet dd cum modwmiquem hoc exemplo mor jlrdbihtut.Pi
peris pondo millena in Lufitamanummcrum 10000 funt
emptd. proq; his uefligal disc penjitatum nummi  IOOO*
Uaulumdemdeillincin Britanidi canflitit 300. ibirurfut
ahud uefligal exdflum 300 . Veflura dcindc terra fa fid
tiuwmis petit 100. Mmiftri in earn ncgociat’one mfiiim «
penfd 3.000 , Merger aduefla mcrcc, de (ingulis piper is

t* <

2 Z 9  A R T I S S V  P.

l/&ra fupr domes impenfas nummos 4 lucrifi.ccre dejlia
nut . Caterm hafkattquo nam precio piper is librum uh
datut lucrum illud uccedut.  Re« fic expedients . precis
um emptionis, uedigal, n.iuiumjterum tteftigulueftu*
rum terra fiftam,miniftn impertfum,omnia in imam fum
mam coUigere oportet.  er [urgent  14000 • quibus etiama
num lucrum nummorum  4 dejlinatum in libras fingua
las debemusaddcreiuiddicet nummos 4.0000 fic crefcunt
1S00 . Quam fummam in umuerfum mercator o~ pro
forte &■ prolucrototius negociadonis fibi reddi cupit .
Atque idea quatuor proportionalium regula,quam de tri
bus not is quartuin ignotum proferentibus fuprd dedimiK
e uefligio precium tmius hbrs pate fiaet. Nam ficul uni>
uerfa piper is libra adfifta fe habent adtotam ilium fum
mam prectum atque lucrum omnium compkdentem: fic
una piper is libra ad fuum precium Z2 fuum lucrum fe hi
here debet. Quocirca ft 1 ducaturin isoootidem name e
rut producetur. qui ft per numerum uniuerfarum piperis
librarum uidelicet  1000 fecetur.numem feftionis prcci-
um unius libra nummos is cotinebit t  Ad eundem moduin
precium  er lucrum ftatucre licet in his,qua numcro <tnt
mnfurauendi confueuerM .

COLLATIO IN I ACT V MERCI*
umfiftoobnauemintempeflate  ,
feruandum .

Qtiaflio  XI III.

LIBER III* 230

S E X mercatores emptis mercihm mum oner a *
runt . Prim merces confliterunt auras uiginti quins
que. Secundiquadraginta. Tertijquinqudginta[ex *

Quart 1 fexagmtaquatuorQuintifeptuagmta qumq ;.
Scxii centum, Graui deindc tempcflate inter nauigddtm
arid, cumnauis oners nimio deprefifa crebris ftuchbus
pene obrueretur.ndute faluti fue confiukntes,caufaleuan
de nauis eijciunt in mare grauifiimas quafque merces 1
cjU£procentum v uigintiaureisalioquiualcbant.  quo
uftu fattum eHiutferuatatmisreliqumomtsinpors
turn deftinatum dducberct. Mcrcatorcs, quorum erani
eiefte merces.,pojluldnt:ut ceteri, quorum bona feruata
funtuxflurdm communiter fuflincant Id quod illis enmis
buseqtiim uifum eft.Ce terum ambigum quonam modo
pro raid cuiufque honor am portions coUatio ea fieri de  *
heat. Heme heficationem expheaturis ftatun nobis cc  =
currant dmc proportipnes• Altera de mercum omnium
in nauem impojitarum fimmaad cuiufque werces:impo*
fitas.Altera,que fecundum ilium adeptari dcbct.de com
v muni omnium tadlura ad cuiufiq ; kffuram fuftinendam .
tkmficut omnium merces impojite ad cuiufque merces
fehabeniiita omnium laftura ad cuiufque iafluram fehd
here debet, Et permutatimjicut omnium merces impofi *
tefe babent ad communem omnium iadur anv.it a cumfq;
impojite merces ad iaduram cuiufque. Quocirca befi-
tatio beeper quMuor proportionaltum regulam ficfdci *
tc explicatur.ut primo loco omnium mcrcium ejimiatio  a

23 * ARTIS SVP,

new fimul ddditamifiatuamus, Secundo loco unlufcuiwty
mcraum tfbmkionem feparatim aliam fub aha nou *
Um-Tertio loco communem ixfturam ad hunc modum.

25 Vrimut  S o quaficiunt ~

40 Secudut  13©- ,f § quxfhciunt £

56 Tcrf ius 18 O'  |||- qu£ faciunt f

360 %20

64 - Quirtus2iO‘ jlSqueficmt^

75 Quintus z 5

100  Sext!« 33 © q U £ fiduntf

Dcindc ftregulam fequamur ; deprehendemm pr 'rnm
mercatorem s ©• i f f- • q u£ faciuntf,confinedebere .
Secundu it O s If * !«* ficutnt f. Tcrtium  is ©~ iff,
gu<e faciunt j . Quart tm O'sis- <{ u * ficumt f.
Quantum if , Sextant tt  ©• sis * cjueficiuntf. Quod
ft fcirccupismum calculus err amt: fingulorum coUaiio*
ties fimul adde.qu£ fi uniuerf# collide reffondet com
»» iaftur£:refle[upputatueft■altoqtti error interuemt.
BONORVM INTER CRE«
ditores diuifio-
Queflto XV.

S I cuhtsquam , quifoluendo non eft: bona inter ml*
tos credtiores pro cuw$ debiti rata proportion di

Uldi

LIBER III. 232

liidiideo debent: uelquod is fbro ccddt : uelquodfoluto
Ucrtat:uil qiodpc ft mortem em propter ces alicnum
nonadeatur hand, tat: ad emdem modum, quemadmo =
dum intattu mcrciumdecolldtione fit. ienda diximut'.par
titio fieri deha.cum rei , utexemplum demui. Eflocrc*
ditoris cflo fuermt: quibus debentur miUe.  P rimo quin
dairn. Sccundowginti quatucr. T ertio trigintd duo  »
Q» rtoqumquaginta quatucr. Quintofexagir.ta.  Sex=
to'jcptuagituaquinque. Septtmo ofiuagintafex. Oclauo
centum, benaq- d<bi;crn:qu£ inter cos funt diftrahetus
dx non tranfundant centum  ©■ quinquagintd. Rem con
fyderantes duas prcporticnes jlatim depmehendemus t
Unam deeoaceruaits debit's omnibus, queedebentur ere a
ditonbus umuerfisad id,quodcwquedibetur. Alteram
de uniuer/is debitor is bonis ad cam portionem, quant
quifque creditor babiturut eft-Namficut coiccruata.de
hta,qu<e debenturunmtfis febabentdd iUud debitump
qued uniewq- de betur.f c uninerfa del itoris bond dd edm
honor um partem, qtum qmfquc creditor bahiturus efl :
fe habere dcb< nt.lt pa mutatim fit tit coaccruata debitd,
qu£ debentur unmet fts , f r habi nt ad uniuerfa debitoris
bona: ft cillud debit um, quod cuiquedcletur,ad earn bono
twm portionem, quam qwfque irediter habiturus efl ».
Qvare quatucr proportion*! um regida rem reddet ex*
fcditam.fiprin.oloco omniadibua fimuladdita,quaere
duortbiu un uerfis debentur ponan us.Secundoloco\U
bd debit um , quod  1 uoj dcie.ur ,aliud fub alio feorftm

2 #  ARTIS S V P*.

annotdtum. Tertiobco uniuer forum debit oris honorm
fummum.Deindc ficientes id, quod iubct regulaxomperi-
emuspnmo creditort obuenturd quinquez?  ? ff .Sectm
do otto  er 4 II . Tertio decern  er ||f . Q uxrto decern
er otto f .Quinto uiginti& 7 }f. Sexto uiginit quin
queer |f# .Septimouigintiottoer  |ff . Ottauotri*
g  mMtrMcrftf *

Certumfaccimen erit,nihil errajfe cdlculumippartesctii
que obuenientes fmul dddit£ J rcjpondeant uniuerpsdebi
tons refittis bonis,

inftitutio.

QUfjllO  XVI.

M ORITV R VS quifjpiei,cuigrduiddcut uxor,

er milkdureorum hxreditas: pc tejimentum

cod?

LIBER III. 234

tondidit , Si uxor meet filium panel: is ex beffemihi h<e=
TO ejio . uxor autem ex iriente ■ Sin uxor men pdriet fill*
m : uxor ex befje tmhi hseres efto, filid ucro cx triente  *
Vxor deinde geminos mafculum  er foeminam uno pur*
tu emxd eft. Ambigituriquoium modo diuidcnda fit he=
reditasutt defun fti uoluntas non infringdtur •  H uiufmodi
bafltationem altiusconfyderdntesfin primis deprahen  »
dim s teflatoris uoluntatcm ejfe: ut flats alter 0 tanto am
pirn babeat,quam uxor: uiiemfy uxor altero tanto am =
plm,quam filia. Itaquce cumfilij pars adportionem m =
tns dupld efife debed-: quod is duos kzreditatis partes,
water tertians fit babitura:matrisq j pars item ad portion
nem filtte'.qiiod eaduaspartesconfequuturdfitj z? filia
tertians: eofiet,ut pars fitij adfi!i£ portionem quadruplet
fitfuturd. Quamobrem nmperus dliquis exquirendm eft:
pi fimphm , duplum , cr dupli duplum , quod quadru  *
plum ad fmplum eft: babe At. ut in tatidem partes diuidi
pofiit beereditet/s . minima dutem numerus,quipartes eas
bibeat : tapisndm eft:quo jieilior fit fupputatio .\s au¬
tem eft feptenarm.nani mum duplicatwm profirt duo ,
iter am duplicata, quatuor. qu£ cunftafimul addita
ficiunt feptem.  Ef quoniam mile aurei in.feptem partes
diuidendifuntlquartm quatuor film habere debet: duos
Mater , unam filia. quot aurei cuique cbuenkntftaiim ex*
MiemusifidnmaduerUmm,qua proportio eft omnium
partium fmuladiitarum: hoc eft feptenarij numeri ad
puiuf qtte portionem : eandem miUe aureorum ejfe debers

ARTIS SVP.

adeumnumerum,qa cuiqueobueniet. Etpermutdtim.
qua omnium partium fimul additarum prep onto e Rad
miHe aurcosieandem tjfe proportions cuiwsq }  ad mime*
rum aunorum inuefigandum ad re gut am ig’tur quatu «
or proportionahum qua fit urn applicants,e uefhgio rent
totam t xpUcabimM: fi primo toco omnium par Hum nu*
mrum ftatuamus. Secundo cuius q • partem, aham fub
ahanotatam.T ertio loco millc aureosiqua tot a csl Hart*
dits,adhunc modum .

4  Portiofilij  571 \

7 2 j.000 Portio uxorif 2S5 7

l Portio fl:£  142 |

Dcindercgulam fcquentes inueniemus flij partem cape*
re  571 cr \  . Haris  28 f. F ilia ucro 14.2  7
§■ ■ Specimen certum crit, nihil erratum effe ; fi omnium
partes fimul additetotthart'ditalircjponde nt.

Quod ft uxor uno partu tres fihos & duos filias fit
yet : id quod in  AE gypto e& frequent, ut mulurcs qumfy
geminos parianr. ad eandem rationem partriofieri debt
ret : ut quiiibet filtus ad portioncm matris duplum babe*
ret : itidemf mater ad portionem cumq ;  flue. Quocir*
ca numerics capicndus cjfef.qut bina /imph,bma cr fun*
phduplumiatque/imphterna quadrupla haberet. Mini
mum autem numerum,qui bina (impla , fimpli duplu ,
habeancompcrics quatuor: quiq; term quadrupla capi*
at,duodecimo* fimul additafunt fexdecim,in quor par*

trim*

LIBER III


Us heredity effetdiuidendatut exhis qullibet film qua*
tcrnas , mater dim, fits unicasaccipiant. cetera fecum
dm regulam quatuor proportionalium expediantur*

HAEREDVM 1NSTITVTIO
inpartibwsdefignatis.

Queftio  XVII,

NIM A M agens quiffiam, cuiquinque erdnt fi *

lij,  e? trium mittium aureorum biercditas  : buiuf «
modi tejlamentum frit. Primus film mm natu maximus
exfemijje mtbi ksres eslo. Secundus natuproximwsex
tneme.Tertm exquadrante .Qjxdrtus ex quint a parte*
Quintus ex fextantc.  A mbigitur quonam modo diuiden a
da fit k ereditdffNam (iteratoris ucrbd ipfa fequemurt
ttt primus films hsrediutis dimidmm, nnUe  er quingen  a
tos aureos:Secundus tertiam partem,miUe aureos accipi •
attune tertius integram qudrtdm,feptingentos  er quins
pagintd aureos confequi ncqudquam potent:cum foli
fiperfint quingenti. QUdrtmautemfilius, cuidebetur
pars quinta: cr quintui,cui fexta : nihil omnino habituri
font. igitur cum filij partes illas hsreditatis a patre deft*
pittas confequi integras non pojfunt: alia partes mino a
rts inuefligandte funt:qu£ deJignatisiUisproportions
tejfxmdear.ut fmguUsfitijsfdtpsfiat-Principio ergo exqtd
tends funt partes defignatar.qus facile inuenmniur.fi reli
dam fummam per fingulosfeorfum denominatores di  a
W(«,Urf cmscfcfeftmts nmem partem per denomi*  ✓

CL

2i17  ■ ARTIS SVF,

mtorcmdpdtredejignctumcontinclrit . QuofietMii
mdium inucniamus,aureos milk o- quingentos. Tertian
partematereos mille . Quartamfeptingentosz?quinqiu
ginta,Quint am fexingentos.SextAmquingentos,quimi
merifeorfum alius fubalio debent annotariut eorum pro
portione dij numeriminores inucjligcntur ex fummtri
um miUium in bxr edit ate r eh ft a . Hoj Mem numcrosftfi
lij haberent ipfts,fuo cuiufque uotofaiis fkftum ejjitimt
amplius peter e exhoepatru tefldmento poffent , N umi
uerohicoUcfti in uniuerfum fdcml,quatuor miUia trecen
taquinquagintd. quinumerus partes A patre deftgnM
umuerfas babeL VeruntAmcn quid beereditas relifta fum
m minori ckuditur,nempe trium miUtum: uidendum quo
mm modo fccundum tejlatoris uoluntatem fttcicnda fit
pArtitio , qua in re ft poft iim cognitas partes defigni•
tas penitius hafitationem ferutemur: proportions iu&
compertemus, unam de fimul additis p Ambus uniucrftsde
fignatis Ad cuiufq• filij partem a  pAtre defignatam.  Ate*
ram de untuerfarelifta hsreditatead iUameius partem
inuefhgandam : quam quifquephus pro partis dcflgmts
portione Accepturus eft.qu£ fecundum tllam prior cm fif
man debet.Etenimquee proportio eft inter uniuerfas pit
tes deftgnatas fimul additis, cr cuiufque ftlij partem apt*
trcdefignatamtcadem inter uniuerfam reliftamharediti
tem,or tUameius partem exquirendAm,quamquifq;filiM
pro partis deftgnaU portione habiturus eft: extjlere de‘
bet, vel ft hbet pemutatim sa compame, sicut uniuerft
/- " partes

LIBER. III.

*30

psrtes dcfonat<e jinrnl addit# fc habent etd uniuerfam rta
lid am h£reditatem:(ic cuiufquefiiij pars d patredeflgnA
Had illam bxreditatis partem exquirendam: quant quif*
fie films pro partis defoliate portione accepturm eft fe
habere de bet. poftquam tgitur primo loco partes uniuer*
fse defoliate jimul xdditafunt notateSecundo  c uiufo fi*
lijpartcs,quas pater defonauir.aliafub alia feorfunr.Ter
Ho relidle bareditatis fummaiconnnuo quatuor pros,
porttonaliureguldremimolutamexpbcat.ex quadepr£
betides primo plio obuenire  IG34 f. .Secundo 689

Vrobxtio cena eft rede fupputdtum ejfcftpoft h#rcdia
tads partitionem , omnium filtorum partes trium mittiunt
tureorum fumttnc rcfpondeant. Heefitationem banc extri
(antes, uulgarem fupputationum morem fecuti fumus-C#
terumqui Arithmetic#penetraliamagis callcnt.breuiori
niafefe expeditingEd autem in f iqucnti quecfiicne trader
tins.

4350 750 JOOO Ter tins 517  ffff

1500

tooo

Primus  1034 ffff

Secundus 689  f-fffr

600

500

Quartus  413 ffff
Quintus  344  4171

Qu<e{lio  XVIII

CL 3

2$9

il u 1 1 J J V Jr »

Q VIN Q_V E focij triu dureorum millid lucri fc
ttd diuidere inter fede compdtto fie cupiunt: ut
primus undm partem fecund am fib ibabeat  .Se=
cundus undm tertiam . Tcrtiusunamquartdm. Qyartus
unamquintam . Quintus imam fextam . Ceterumhtfu
tdnt,quonam modo tujld pdrtitio fict.Ad huiufmodi qutes
fliones cxpltc Andos numerum dliquem exquirerc oportet:
qui pdrtes denominatas omnes complctfatur. Is dutem eft
minimus numem: quern pdrtium denominator esnume--
rant, quiquemadmodm cxquiratur.fuperiori libro edo
cuimus. ltdq; in hoc que/ito minimus numem,qm partes
propofitashdbedt:comperietur,fexdgintd:inquo name*
rofinguk partes propofit&feorfim inquirendeefunt. it
quod perfettionem ipfius numen fcxdgenarij,per earum
fmguldsfcpardtim expeditur. quo fief.ut partitions nil
merus partem de fexagintafecundam, triginta inuenkt,
Tertiamuiginti, Quartamquindecim, Quintamduode*
cim,Scxtdmdecem.quinumeriin unucoUefti omnes oflo
gintd feptemcreant . Adharum pdrtium exempium,qu
defexagintd funt erutieifingulcrum portionesfde fumtiii
trium mdlium dureorum diuidcndafirmand# funt . N<fl#
ficut omnes Hlifcftiomsmmeri,quos fexdgintddiuifap
riunt : fimul addtti fe hdbent ad eorum fingulos.ficfum*
ma trium miUium dureorum diuidcnda , ad illam fum
mam,qu£ cuique ex partitions debetur: febabere debet,
Et pemutatim. ficut omnes iUi feftionis numen de fexd*
gintaerutife habent ad trid dureorum tmUiadirndenda:

fie ttniuf*

LIBER III- 14o

pcuniufque fedionis numerus ad illam fummam , quant
quifque ex partitions ccnfequetur, fe habere debet, It a*
queft primam fedem omnes fedionis numeridefexagm *
taprodeuntes,/imuladdititeneant:qui funt s 7 : Sectttt *
dmfingulieorim,alius fubaho feorfm annotati: Ter-
turn trim mdlium aureortm fumma diuidendatquatuor
proportionalium regula negotiant extricabit.

30 P rimus  1034 ||

20 Secundus 6 c 9

87 15 3000 Tcrtius  5x7 fi

12 Quartrn  4x3 ||

xo Qumtus  344 f?

Piirffj ex fedionecuique ohuenientes fummee diuidendat
nffondebmt.fi rede procefit calculus,  De induflria hie
undent fummam: qua: in proximo quafito erat: in eaf •
iem partes fecandam propofuimus: ut lector feiret:
pando breuius per minores numcros, quant per maio s
ns , eademresexpediripofit:id quod propter faction
rem turn multiphcdtionem,turn fed ionem }  euenire necef-,
[mesh

QjUicftio  XIX.

Q VI quatuordmicos habcbaf.eormprimono »
uem aurcos in teflamentolegauit.Secundo uigiti
ti quatuor . Tertio tanto amplius quamfecundo

CL 3

3 4 1  A R T I S S V  P.

iedif.qu tntum [ecundus fupra primum baberet. Quarto
tanto amplius qudm ter Ho: quantum tertius fupra fecum
Aumcaperet.quaritur quantum lertiusey quanta confer
quentur- Hafttationem confydcrantes proportionality
tent in e a continuum depr abend onus-Nam ficut prinn le¬
gatum adlegatumfccundifebabctiftcfecundi ad legatum
tertijfebabere debet-Etrurfus, ficut fecundi legatum fe
babet ad legutum tertijific tertij ad quarti legatum-Atque
e conuerfo, ficut quarti legatum fe babet ad legatum tertij:
fie tertij ad legatum fecundi  • E t rurfui, ficut tertij legi*
tumad fecundi fe babet: fie fecundi ad prtmilegatum ft
habere debet.Quamobrcm fecundum tnumproportion
Jturegulamfupr'a a nobiscnarratamres explicandckl:
ut fecundilegatum, quotinproportionumcomparationt
bisrepetitur: infe multiphcetur: ey numerics indepro*
treaties perprimi legatum dtmdatur. ttafettionisnumc*
rut tertij legatum in lucemproferet,aureos  &j.- Et rurfui
tertij legatum, quodrn propertionum conunuationebis
repetimur.m fe multiplicandum eft :<y numerics ex hot
enatus per fecundi legatu diuidendm.Quofict.utfeftio•
itis numerics quarti legatum manifeflet,aureos xy o .

quafuntf unites aurei,  914 64170 jf. quafunt j .

Q ttfftio XX,

I NTER tret aurcortmducentorumdiuiftodecom*
pafto fieri debet M primus triplo plus qu'am fecundm

haM-

LIBER HI. 242

bibeattSecundusquadrupleplusquamlertiut, Quonant
mode,fccur.dum pad urn pet iujla partitiofFacilcid extri
ahitur.fi d tcrtio,qui minimum partem accepturus efttre
trogudo ordine incipias. cuiafiignesfihbet: unit at em^
E tquiam quadruple) fccundus tertirn fuperabit:tertij
pirte quadruplicate? enafeentur quatuor.qu<e pars erit
fkundt. Atquomam primus triploamplim quam fccun*
iiu confiquetur : fecundi pars triplicanda eft -.O'prodie
hunt duodecim.  E a pars eritprimi.Ui numeri fimul addi
ticreant feptcmdecimfecundum quemnumermfimme
propofit<e partitio pet . in totidem rumq i  partes aurei due
tenti dmidendifunttut ex bis,Primus iz.Secundm  4, Ter*
tins unam babeat confejVm uero quit aureorm numenn
tuique ccdet: fecundmn regulam quatuor proportionally
t m excut tan us ,/z primo loco partes omnium fimul addi*
tmpcnamus.cefmt 17 ,fecundocuiufquepartcm,aiiam
fubaltafeorfim annotatam. tertiofimmam zoo aurcoe
nun diuidendam.Namquce proportio eft omnium earum
pirtium fimul add;tarum,ai cuvufquepartemteadcm erit
[mm<£ dtuidendre, ad earn: quam quifq■ habiturus eft. e?
permutatim:qu£ proportio eft fimuladditarum omnium
pirtium,ad fummamdiuidendam:eadem eritcuiufque
ptrtis,ad earn fummam,quam quifque ccnfequetur .

12 Primus 14 1  if

17  4  200  Secundus 47  tf

% Tcrtius ll if

CL,  4

243 ARTIS $ V P.

Si uis probdre fecundum pad a procejiiffe calculum: pdfs
tern pnmi intriadiuide-z? fedionis numerut fecundi pur
tern educet.Rurfusfecundipartem in quatuor.  er nmt*
rus partitions tertij partem preferet .

Quaftio  XXI.

T R E S inter fe par tiri centum uureos cupiunt. quo
rum primus mam tertidm cr imam quartam babe
re pojiuldt. Secundus mam quartam crunam quint am.
Tertius unamquintam unam fextam. Qu-eritur,quail

turn cuicjue ex partitione obuentetfA d buiufmodi quaflio
ties foluendas ,in primus minimus numerus exquirendut
s8:quiomncscuiufquedenominatorsJimulcapidt is<ui=
temefi fexagmta . Ex quo numero, qua partes unicuiqut
xx partitione prouenire deberent-.fi is diuidendus ejfet'.pn
vs inuefligare oportet. id,quod facile dcprahcndi potejt,
dtuidendo numerum ipf m ftxagenarim,f tparattmpei
fingulos partium denominatores.Detnde partes ex mime
ris fediomm inuent<e,fcor[um addend# funt:ut fciaM
quantum cuiq) partes fu£ coniund£ dabunt. It a numerut
partitionis de fexaginta partem tcrtiamio,partem quar s
tarn i;:qu£ p radditionem educuntsf.prmo debenpate s
fodt. Partem uero quartam iftQr  partemqumtam it'-
qu# per additionem faciunt i 7 : fecundodcberi. Partem
autem qumtam u - cr partem fextam io:qu£per addition
nemproereant iz\tertto deberi. Adquarumpartiimde

jfiexaginta crutarm exemplar ,poflquam timeri titbit

LIBER III. 244

ccUefli funt ddditi: finguli portiones fuas deftmma cen *
impropcfi.afacileconfequentur. Eienim fiprimoloco
Humeri illt,cx cuiufq- partibus feparatim per additionem
numcrorumfcttionis tarncc 11 efli,uiddtcet if, 17, V  »:
mox omnes in imum rurfm addin ftatuantur.uifint  84.
Secundojinguli lUifeparatim per additionem numerorunt
feflionis collefli , aim fub alio feorfum annotad. Tertio
fumma centum:qu<e diuidcnda efhficilc per quatuor pros
portionalium regulam res lota extrieubttur.Nam ficutin
umim coaceruati omnes Hit cuiufque rtimeri, qui per addi*
tionem numerorum fcflionis feorfum cotlctt ierant:febd
bent ad ipforum fmgulosiftc cent urn,qua diuidenda funt :
ad illam fummam,qu<e cttique ex partiticne debetur.fe ha
here debent. Et permutatm.ficut in unum coaceruati om
nes illi cuiufque nutneri, qui per additionem numcrorum
fcttionis feorfum ccUcfli erant: fe habent ad centum,qua
funtdtuidenaa: fie finguli cuiufque numeri per addition
nem numerorum fettionis feorfum colle£li,ad illam fum »
mam ,quam cuique partitio afignabit . fe habere debet .

35 Primus  41 $$ qua funt §

84 27 100 Secundus  32 qua funt £

22  Tertius 26 quefunt-fi.

Quajlio  XXII.

Q* %

245  ARTIS svp;

Q VATVOR interfediuiderefcxcentosaureoi
ftccupiunt, ut primus ducts ter lias,at que uni no
uem aureos babeat.Secundus tres quintas,  ©• M
rcosotto . Tertius quinque fextas ,©• ctureos feptem.
Quartos feptem oftduas.  er aurecs fex- Ambigitur,quan
turn cuilibet ccnftret partitio. In primis minimus nume»
rus,qui oitmes has dencminationes capiat: inquirendus
eft. is dutem eft centum  er uigind. Quern numcrum ft
pcrftngulas denominationesfeces: inuenies tertiam cm
partem,quadraginta-Quintam,uiginti quatuor. Sextant,
uigintt, Oftauam,quindecim. Cceterum quoniam primus
duos tertids babuurus eft: quadraginta ilia, qua partem
tertiam jaciuntiduplicare oportet. cr furgent oflogintd.
quinumerusm duabus tertijs reperitur .  Et qua ultra
duos tertias, primo etiam nouem aurei accedunt : nouem
addenda [untadsoiut fiant s^.eafmma cR corum :qu&
primus habere poftulat. Porro quia f ecundus tres quintas
babebittuiginti quatuor,qu<e quintam (daunt : triplicandi
funt.crfient feptuaginta duo. quinumerusin tribus quin
tis reperitur, z? quia ultra tres quintas otto aurei fecittt *
do debentur: adduntur ottoiqus creant So.eafumma eft
eorm,quce fecundusftagitat. Prater a quia tertius quin*
que (extas e&confecuturus : uiginti,quie fextamimpknt:
inquinq; ducere eft opus, e? prodibunt centum, quinu*
merus in quinq ,• fextis reperitur: cui, quia, tertius feptem
aurecs amplius petit: frptem adiungantur : er fient ceit*
tii&[epte.Qij<e fumma efleoru:qu<etertio debentur.

LIBER III. 246

'Quartus uero quoniam fcptem ofiauxs poflulattquinde*
am, quae oftauam creant: due ere in fcptem oportet . O’
enafeentur centum o quina qui numcrus in feptem oft A
m dcprahutditur. cuinumero  (quia quart us fex ctureos
adhueexigit) oddere oportet fex .0 furgent centum  ©r
yndecim.qucefultima eft omnium, quaquartushabiturus
eft.En ttbtmrncros: quosquifque habere poftukt .quos
0 nines ft (limit add as: furgent trecenta cflogintafeptem.
Ad cuius fumma exemplu/m expambns fie coUeftte,(cx*
centorum aurcoru partitio fieri debet.  Nam ficut omnes
vumeri, qui mpartibus denominate feorfum reperiun  *
tur.una cum cuiusq- aureorum acccfiione ,hmul addin fe
ha bent ad fingulos tpfos numercsific fexecnti aurei,qui
funt dtuide ndi : ad numcrum,quern cuique partitio afi'.gmt
bit:fe haberedcbet-Et permutatim, ficut omnes tUinumea
ri,qui m partibus denommatis feorfum reperiuntur: un.i
cumaureorum acccfione,fimul additife habentddfex *
centos ctureos ,fic ip forum numerorum finguh ad nttme •
turn, qui cuique ex partitione debetur : fe habere debet .
Quocircd primo loco pc fit is numeric iliis omnibusfimul
(tdditis, qui expartibus denommatis O aureorum accefii
one furgunt.qui foaunt ?s 7.Secundo eorumfinguUs,alio
fub alio feorfum annotato.Tertio fimma <soo aureorum:
fiatim quantum cuique ex partitione accrefeet : quatuor
proportionate regula demonftrabit.Etfi partes omnet
cu ‘% accrefcentes ccUcd.e,<cquaks ertmtfummeediuidat
^•nthtlefl erratum.

q utjlio  xxiii .

E S TO, centum cturei inter tres ect lege diuidendi/int :

ut quoties primus quinos confequiturifecundus fa
nos caput, quoties fecundus feptenos babetitertius fumit
Ttouenos Anhac partition? ambigitur.cm pro quinis qui
bufque primi fxundus f:ncs babeattquantum dcbeturter
tio • Rem inuolutampc extricabis . Confydera,fifeptcni
aura fecundi tertionouenos pariunt:pcile fciripotcft ;
quotdurcos tertiofeni fecundi referent . N mftcut fepte =
nifecundi fekabentad fenoseiufdetmpcnoueni tertij d
fummam,quam is habiturus eftfe habere debent , E tpcr>
mutatim.pcut fepteni fecundi febabent ad tertij nouenos:
fic fecundifeni ad fummam,quam tertimeB. confequutti‘
rus. Quare quatuor proportionahum regula depraben*
dit,pro numero tertij in tot a bac partitione, aurecsfepte
nos o-yfmendos effe . q uamobrem fiomniwmtriuW
numeros,uidelicet s, <s,  er 7,cum y in unamfummam co
aceruatosprimo loco ftatuamus uidelicet centum trigintd
Cr unamfeptimas Sl y. fecundo autem eorum fingulos,
ahum fub alio feorfm amwtatu depgnemmxtertio font 1

mm cett*.

LIBER  HI* 24S

mm centum dinidendam: quatuor proportionalim regu
h ad exemplim prior is proportions, quads omnibus  d=>
lispartibus ad earu mamquamque reperitur: facile poftc
norm de [mma diutaendaiad earn fwmmam,quam quif*
quchabitum efl: defbrmabit. flxtvnq- patefkciet pnmo
26 jft.Secundo  32 T f-.Tcrt(o41 7 ff ,ex parti *
tionc dcberi »

5 Primus 2 6  ~~~

(5 100 Secundus  32 rfr

7? Tmiw 41

inhac partitions fdaenda,quando aiioquiexercitaios
Itbi nonnunquam mdimusiadmonendos tuuenes efie duxi=
mm,ne errarent: ut poslquamprimi o fecundinumeros
incentm multiplicatosper diuiforem fecuerint : cum ad
ter; ij turner um uenttrn erit : Integra in minutiae tis ad =
iitnttasflatimrcdigant.utjiant ^ [optima, quas demde
in centum multiplicent, fie [urgent Hoc loco quia

minuti<e,qu<£ dmidenda [unt  2 o qua font diuiforesteun *
itm denominatorem hxbcnt: maior numerator cdrwm ,
p# fecund# [unt: per ear urn,qua [ecanf.numeratorem
minor em, integrorum more, dmtdendus efl : ut numerus
truatur,qui attinebit ad tertiu . Altoqm cum turn diui[or »
JWw diutdendus, eafdem integrorum minutias numerent,
fcwpc [eptirn ir.fi dm for is denominatorem, uidelicetfep
kfyin drndmdi mmeratorw, integrorum minuim con

249  ARTIS  S V P t

tinentem,£r diuidendi denominator em in diuiforis turn
ratorem.itidem tntegrorum minutias numerantem,duce »
remus in fbrmam crucis: tunc tarn diutforem, qu'tm dim •
dendum,qui tntegrorum feptimas continent: adfeptima*
rum feptimas redigeremus-ercum dim priorcs fefliones
defimplicibus mmutijs expediucrimus,jcilicet de mtegro
rum fcpttmiy ter turn hanc,qu£cum eis confcntire dcbc<
rer.de minudarum minutijs facer emiMltotius^ partition
m mutaremus diuiforem-

Quetiio  XXIIII*

O V A T V O R inter fe partiri centum xureosfic
cuptuntiut quod ter nos primus capir.totidem ft
-m. cundus quxternos habeattquot qumos fecun*
dus: tot idem fenos ter tins fumat. qaot tertius feplenos:
totidem quxrtus ottonos confequmr. Ambigitur quo  *
mm modo pet tufia partido. Mult os exercitatos uidintut
*d hoc faxum impingere.dum necjingulorum partes fei-
rent tnuefttgareinequehis tandem mentis , fummam pro
pofitam ad e arum ratwnem diuidere, Tota autem res fit
txpedietur. Prmcipio finguiorum partes ad eundem mo *
dum exquirunturiquem proximo qu<efe o monjlraidnv.iS'
E t ftcundi quidem pars, cui fabric and* primi portio dil
legem:facile cognofcitur: cum alter terms, alter quater*
nosftcaccepturM.Tertijuero portio ,qu£tot fenos hi*
here debet, quot [ccundus qumos capitmon tarn cito (eft

offirt:

LIBER III*

efftrtxim fecundus quaternos non quinos fumdt-Quatn
churn confyierandum eft: ft quini atirei fetios affvrunt :
quot aureos quaterni reddent. zj per quatuor proportio
tialim regulam deprahenaemm tcrtlj pordomra capers
turns  4 cr r . Rurfius quarii pars,qua tot ottonos ha~
here debef.quot tertm feptenosfumiticu/m tertij por do  4
V j non feptenos,capiat:ad kune modum exquiretur:
Utuidendm ftt:fi fepteni pariunt oftonos: quod ad cam
Ydtionem ex  4 zsr f obuenire debent.  E t quatuor proper
tionahum regula monftrabit quarti portionem  y V ij  *
Demum poftqum cxqmftta funt partes ftngulorutmom =
nes in unam jutnmam per addiiionemcottigantur.  er pro
dibunt ~f .qua diuiforis fungentur parttbm pm
www locum tenebunt.fecundum ftngulorum partes alia
(ubalijsfeorfum annotata.tertium fumma  100 aureorum ::
qudmidenda eft• Cat era per quatuor proportionaliutn
regulam expediantur • Cum autem ad quarti portionem
ttentum erit:poftquam ea in centum multiplicata eft: quia
minuibe prod aft £ denommatorem babebunt eundem,
qwn dim for tide 6  numerator earum folus per diuiforis
nume rat oremjntegrorum ritu,fecetur.ftcut in proximo
quftto monftratamus-cuius ret rationem iliic aperuimus,
fvtes autem cuiufquc apparcbimlfta quafequmtur  *

* 5 *

ARTIS S V  P,

3 Primus  17 t |-t

4  Secundus  23

£ii 100

4 4  TerfKM 27 isr.qMfuntjrfi

5 if Qudrtus  31 T ||

QU£jiio XXV .

E GIO bibet pcditum fcx milhd <&■ centuttf.Equi*

tes [eptingentos uigintifex . Efto,pedesJlipendim
quatuor nummos fejlertios in diem capiat: eques notion.
Si duorum mitttum aureortim pr£da fecundum union
rationem inter eos diftribuenda fit : quantum confequetin
tur equites t quantumque pedites finprimis multiplied
oportet equitum numerum innumcrum ftipendij ,quod
torum quihbet in diem capit:  er [urgent  s 534. qute fum *
met feorfumerit annotanda . Itidemq; faciendum eft it
peditum numcro:  er fient  24400 .qu£ feorfumetwn
notentur. deinde illi duo numeri procreati fimul addM*
turug-proiibunt  50934 , que funtma fi report a effet :
hmHo ncgocio inter equites cr pedites poffet diuidi. At$
ideo dd illdrum fummdrum produftirum exemplum:b.ec,
qu£propofitd eft, fummd duorum miUium erit diuiden 1
dd. N dm qu£proportio eft amborum produflorum nu a
merorum dddlierum ex duftu equitum in fud fhpenid
ttatumteadem comperietur numeri propofiti duorum
mtlhm dd em nmermiquem equites exprxda habere

LIBER III*


ieknt.Et permutatim. qux proportio eft drnlonm nu «
mrorurn produftorum ad numerum propoftjum duos
nmmUium: eadement altermcxduftucquitumin fui
jiipmdia nati,ad numerum, quem equites ex prceda confer
femur. Quare ut primum de equitibus abfoludmws: pri
mo loco ambos numcros produftos fimul additoslocea
1 m. Secundo numerum ex duftu equitum inptaftipendia
procredtum. Tertio numerum diftribuendum ducrum mil
Him. Deindeex quatuor proportionahum regula dcpr<e a
bmdemusequitibus obucnire  422 . qiue punt

tfi?? - E a fumma c ft,quam equites uniuerficonpcquen
hr,quam ipftm ft per cquitum numerum poftea diuidas :
turndcpr<ehcndes, quantum unuPquifq- cques babiturus
eft. Bt quondam ea minor eft, qudm ut per equitum numt
tm  / ecari pofiitvn uiliorem pecumam multiplicanda eft:
Htfeftionem fubire ualeat.  De peditum portione inuefiis
&nda, ft,niliter agendum erit.  Njim qu<e proportio eft
imborum produftorum numerorum,ad alter urn ex duftu
peditum m pua [ttpendia natumteadem reperietur propos
fi'i numeri duorum miUiutn, ad eum numerum ; quern pea
kes ex pneda copequenlur. Etpermutatim,qu<e propor
Ho eft amborim produftorum numeronm ad numerum
propofitum duorum miUium  : eadem erit alterm ex
duftu peditum in puaftipcndianati,ad numerum,quern
piditesexpratdahabituripunt. Cattcraeomodoexpedia
uniur , quo de equitibus diximus, V peditum portto erit

'177  i,


JLZ°  S *'

2 <$  ARTIS S V P,

A D eundemmodmdiflributio fiatifi inter canom
cos cr alios cuiufuis temph facerdctcs pecunim
dtUidtre ftc oporteatiut quoties inferior i facerdoti triad)
vemunt'.canonico accrcfcant quinque »

QUijiio  XXVI.

I N unamcletrinatrin£mokrcperiuntur:quarum #i
njeduodecimhoris niodiostriad decern O' ofto m
Hunt. Secund£ per idem tempus modios tredecim. Tertit
tanto tempore modios oflo. Accedit ad moletrinam rulii‘
cut,tritici modios affvrcns uiginti quatuor: quos omnik
molisftcfupponi defyderatiut uno monento fingukfii*
um opus abfolmnt. o feire cupit a mohtorr.quamo ten
pore fit expedandm, ut res expcdiatur:quantumq ;  fi J -
bufque molis fit fubtjciendmtut omnes una definant • P ri
nu quaflio facdu explicatu uidetur: fi omnes modios ft‘
mul jtddamus:qu£ duodecim boris moliuntur  <i trims mo >
lis:cum du£ proportionesdepr<£hendentur.unade omr.i 1
b is dl is modijsjimladditis: qmfunttrigima nor cm id
modios uigmtt quatuor a rufhco allatos. Altera deduoik
cm boris, ad lUum horarum numcrum, quo mok expdl
cntopws-Etemm ficutomnes modij fimul additi . quifad
39 ,fe habent ad  14 modids a rufhco allatostfic hor£ duo 1
d. cim ad ilium horarum mmerura, quo res abfolui po‘-
tesl,fe habere debent . Ef permutatim, ficut ilh  39 n.’oJij
ftmul additi fc habent ad duodecim horasific  24 modif'A
irmnhorarmmimcrm,quoresfinictur,lti(den:uttii*

quatnot

liber  nr. 254

futuor proportionalium rcgulu comperietur, uiginti
tjumor modios a trmisillis molis cxpedtrt poffc fcptcnt
bans O' qmieam true [inns norm t

l&odij Modij  Hone H oM

39  24 *2 7v|

Poftqudtti delude quxfi: um de tempore, quo modij 24.fi*
muUbfohn pojjitnt.explordtum csl .poftcrius quxji urn
iimodiorum numero,quifingulis qutbufquemolu fubijei
depa: conttnuo pnefl cxcuti : cum de tempore tain certo
«{ jlnguhrum molarum modiosquteflio ficuerfa.Nam
lictfi n borefc kabent ad boras  7 & jy pc 1$ modij,qui
per pnmas molas  1 i horn conficiuntur: ad ilium modio *
Urnitvimerum fe'bib'rcdcbet'.quiboris ~ Crfy  molts
tifdein fubijaentur. Etpermutatim.flcut  i» horeefeha*
hit ad modios  is, qui per primus molas e0 tempore expo
imtur.fic horje  7 c Triad iUummodtorum numerwni t ,
tjuieifdem molts per id tempiu funt fubijaendt , Adquem
inodum ft per fecundas dtq- item tertias molas compard *
bonem facias: ?v£ res an:e obfatrauifa c si :d rcgulaqud
tor proportion a’tum tUuflrabitur, id quod jldttmfact: ft
P mo loco koras n ftatuas.Secundo boras  7 zj jy.
Tertio ilium modiorum numcnm - qui a fingulis molis
duodecim bans conjici pot csl,ahum[kb alio [corf urn att*

R 2

25 ?

ARTIS S V P

lliodij

iS trim*molxii  ? |f♦ quxficiunt  T J

H oy&  Hone

12  7 jy 13 Sccund£ mok  8

S Tartu moU  4 ±ff qu£fdcml\\

) T A compericmus primis mclis fubijciendos efft m
d'os undecim cr uttius modij unamdecimam tcrtutm. Sc-
cundis molls modios otto.Tertijs modios quatuor  er duo
decimdetimastertias. Quimodtorumnumerusinfrn 1
mam colleclus, projvrt mginti quatuor modios  4 ruftico
allatos  ,Ex quo liquerepoteft rede fupputatmeffe ♦

Qutjiio  XXVII.

A QVAE plenaciftcrnaqu£piamfiftulastreshi*
bct:ex quartern maxima ft extrahas epiflomiimi
ma bora aqua tota cffluct, Secundafiftula,qu£ minor est
aquam euomit boris duabus. Tertia qu£ minima efl: trr-
bus boris emittit aquam . Umfi exempt is epijiomijs, uni
cmnes fiHul£ pateant: Ambigitur , quanto tempore ton
aqua efflueti  in bac b£fitatione explicdndaquoniamttni
bora intcgra,maximafijlula totam aquam jiindit : minor
boris duahusimmima tnbus: minimus numerus in primis
inquirendus eftiquem hi numeri,umm,duo,Qr tria,numo
rant, Quiquemadmodmfic mucjhgandus: [uperiorih*

broedo-

1

1

!

f

l

f

Cl

k

h

EIBER III. 256

bro tdocuimus . is autem compenetur numerus fenarius  *
mnumcrcs hosfi qmbus numcratur.partcs frn habet »
Bqmintra feeompleftiturmmeros illos omnes, a qui
bus numerdtur, qut tempus aqu# numerant per fmguldi
fftulas feorfum exetmtis, diuidcndus exit . un mox dices
mm.Vested confyderandum eft,ficut mdxima fiftuldumt
hard totdtn dqudm cxbdurtf.itd qu£ dudbus horis id ficit:
m bora aqua dmdium ejfundit. qu£ tribus horis id per
rtg itiuna hora tertians aqu£partem emiitit , Deindequid
0nines fiftuLe mo tempore apertuntur: omes numeri ins
clufiin integro dlo  er eius part tbits,quas numeriemnu*
mantes denominant: educendi funf.ut fimul addantur  .
Idquodftatim ficC./i integrum ilium per lingular u.m par*
timdenomindtionem feorfum dimdas.quippefi f ex per
duo feces. trid inuenies.fi per trid duo . Njm quid names
m fenarius numerus minimus integer eft: quern mm  ,
diio,gr trid numerdnt.quiq; partem undm feemdam atq-
umntertidmhabedf.ipfeinteger fumendus eft,cuius pdrs
quidemfecundd,tridtertid uer'o duocominet. Hi autem
Humeri fex,trid,w duo fimul addttiprocreabunt unde *
dm.qui numerus ternpus aqua per omnes ftftulds fluent is*
Kprimit: numerosq- omnes ex integro illo & eius parti*
his cxeuntes fimul addites capit. Hie dmifork partibus
fageturinhocqudfiuo. C£termquoniam[exabunde*
( un diuidi nequeunt, ut uterq- numerus integer maneat .
Meo numerus ille horarwm fenarius in fexagmta momen*
hiftis partes[unt unm hone:muldplicandus efttub

R 3

557 ARTIS S V P*

Jeftionem ferat . ltd numerics tontinenstcmptu dqt/terx
jingutis fijlulii fcorfurtufluent is: per nur.erum moment
torum depute flinu,lex un.uerfis t rum pen us dtuidetur. qui
qiiotiesinbordrumnumcrodiuiiendofucritinuemusuot
tffl-centis aqute momenta comp, nentur «

I D Qv  E ltd habere burn fmodi c or. fy derationed!*
prabcndi pctcfl.Ndm cum numerics fenartm complecit
turomne tempus fepantmelabentisaqute. pfluid , que
Una bora dquam edueir.fcx her is fextes id facer et.qucc ut
ro dual us horis dquam emittittfex boris ter id perageret-
qute tnbtcs boris aquim exhdunt: [ex horis bis aqmn
tffunderet.diqueita ftmul omttes fifhdte fex horis e.cjuM
mdecicseducerent . Vcrum quid m qudjhone prepeft i
ttqud tdmum femelnon undecies ex eifterna fundenda cfl:
qur proper no cfl inter undeem ertinum cade merit in*
ter fex, O' depute cffundend<e tempm.  Ef permutdtim,
qiw proportio csl inter undecim o 6  '■ eddem ent inter  i
Or ternpus depute fundendte.Secundum reguhm igiturepd
tuor proportiondLum,per n fccantes boras & pruts into
Momenta multiphcdtastuti idtr. diximusu ompcriemus out
tiesciflerntefijhddspdientestrigintd duobus unnts horb
momenta dtqueocio undecimis totam aquam cmittcre .

60

1  6 3 z ii

po

Ve’J.

u

LIBER III. 258

1  VEL Cl liba 6 per uinmmutiasfecare:dcpr<eben»
detnia  it wmhone-.qute tetnpus monjiront cxluu*
ri end# dqu£. qui fccan.h modus cum priori con/an it .
quippecuminutuhora  <So fintmomenta : quorum pars
tcs undcdma montentd s O it:  mpmentorm cdpi  *
tt:ed pits fexies fibt addita prcfcrt momenta o
tf . Pored momenta  5 fcxicsaccumuUtacream  30.
RiirjiM tt 'momentorum(exit'saggregatecducunt
momentorum: qu& duo Integra momenta ccnfkuuat
Cr xl <■

P O R RO ft id genusquaflioniunumintegruntnon,
admifceaturifacilitu midio explicabitur. ncc cut ne*
ceffe numerum diuidendum,in partesfuasfr anger e. quoit
docjttidcm maior diuifore compcrtetur. Velutift after n £
dicuim ires ftnt ftjluLe: quartern ft maxima aperiatur :
quatuor boris aqua eftiuet. ft minor ;hor is fix. ft minima:
bom afto . o dtnbigmr: ft uni omnes ftftuhe, fubiati
tpi{lomij),patcfiant:quamo tempore ex cijierna aqua to=
it exiht ■ Principio minimus numeric wucjligandus eft:

J uem quatuor, fex ,0 ofto numerant . is autem compe=
rictur, uiginti quatuor. quipartes fuas habet numeros
ttos omnes Jquibtis numeratur.temput numer antes aqu£
per ftngutas fi(lulus feorfum exetiniis. Uic nunterus je=
fttndus eft:  ut qua (hum eruamus . Turn confyderanaum
eft ftcut fijlula, qua cijicrnam quatuor exbaura horis  .
bora quartam eius partem emittit tftc qua [ex horis

K  4

2 59 ARTIS S V P.

id compld: undhord fextdmeius pdrtem fudtuacuMf
qu£horis oflo aqudmcdueit: unaborapartemochum
uuffrt . Deinde quid omnes fjluk uno tempore flaunt:
cnines numericompnehcft in ill us integri pdrtibus, quits
numeri cum numerdntes dcnomindnfuxquirendijunt.at-.
que una. dddendt. ut per cos integi r tile, qutjuis pdrtibus
cosincludit:diuiddtur.Etquid ex  24, quarto, pars i otinct
ftxtfcxtd+tofiuud trid.fex, qudtuor C7 trufimul odds
tur.Qrfient n quinumcrus tempusaqu£ per omnes fftut
Idsfimul(ffluentis numeral. Hie numcrus d:wfor,nurne*
rum  14 integrum partium fuaru denominationals tern
pusaqu£ per ftngulas fftidM fcorfum fufa dcmonflnn--
tem,atquemtra funs partes numcrcs additos includen*
tem, fecaredebet. Qujppe cumnumcrus 14 capiat omne
tempus feparatim effluent is aqu£:fjlula,qu£ ctffernams
boris cxbaur:t:horis  24, fcxies id fdeeret. queefex bar is
aquam fundit: boris 14. quater id compleret.qux boris 0*
flodqitameducit : 24 boris ter eamcmitteret . dtqueiti
omnes fimul 14 boris aquam trcdecies educerent.  V errs
qu a in quf/lionc propo/itd dqud tantu fcmel, non trede *
cics , fx afterna fundendd eft : qu£ proportio eft inter a
Z?umm: eddem erit inter  24 cr dqu£ effundend£tem*
pus.Et permutatim.qu£ proportio eft intern O’ za'.M*
dem erit inter unum ty tempus aqu£ exbaunend£  .Sf*
cundumregulamigitur qudtuor proporlionaliumper  u
[eantesHicomperiemus omnibus f.Hulii apertis,aquum

LIBER III. 26°

cxctflerna cffiaere bora. una  c r  undecim dccimis tertijs ,

- 1 r

v  i *4 *ir

Qutflio  XXVIIf*

E STO,  cifternaquspiamtrcs h abeat fifluids :cftid«
rummaxima per bor£ quae rantem phnani after*
Mm exbaunat: minor per bor£ dimidium:qu£ minimi
tslper bone jftacium totam aquam fundnt.fifublatis epi
ftomjs,una omnes fiftuls pateant: quanto tempore uncus,
reddetur cifterna ~ Yufiutio hxc fupenoriftmilis edp
VrftmiHmodo folUenda, pr£tcrquamqwdiliic de horis
Integra,hie de unius hone partibus quie/itum eft . Verun*
tmen ft quem minuttas u. it are muat: id quod plenqueo *
nines,quantum fieri potcsl: ctiprunt; bicquoqueintegroa
Yum more cun.da expediripcfjhnt: ut borne quadrans ue*
lut integrum quiddamcomputetur.hora dimidwm, quod
duos quadr antes continef.pro duobus intcgris.hcraue*
to,qua: quatuor quadr antes capittpro  4 mtegris.Ua mini
mumnumerum,quern mum, duo cr  4 numcrantinucfti*
mantes,dcprshendemtis  s . qutnumerus omnetempus eld
Mentis aqu£ compledens dimdendus eft , Deinde confy*
deremus emfiftulam ,qu£ perhor£ quadrantem totam
<K{uatr.fiindit'.per odoquadrantes odustdejficcrc. qua
per bonedimidium aquam cmittit : per odo quadr antes
luaterid preftare.qu£ per bone fpacium aquam exhaua
tipper odo quadr antes bis eameduccretatqucitafifhiUs
Mnes una pateniesper odo quadrates dedcs cr quatet

R 5

26 l  A R T I S S V  P.

tquiivfundere • Sed quid in qusfhoncpropofitd iqui tin
turn femel, non dectcs  er quutcremittenda eft: quje proa
portio eft inter  14 er 1: r idem cnt inter  s, c? iqu£ ex*
bmiende tempus . Et permutitim. qu£ proportio eft
inter  14 cr s ted iem erit inter  1 ey tempus aque effunden*
d£.  14 igitur numerus dm for cnt.  E? quia s numerus diui «
dendus , qui honrum quidnntes numcrat: minor cjl
qum diuifor:propierca. mu'tipkcetur in honrum rr,o*
tnenti totidem: quot hor£ quadrintern t ffxciunt ea autem
funt  if , ltd [urgent no. qu£liper  14 fcccntur.pjr*
titionis numerus preferet  8 xf. totidem ndmque inoimtl
tis after tii Udcuet fet.

Que/lio  XXIX.

A ( 1 V E duttus per filientem quituor horisci «

IIcrnimimplct. Ohftrufouero fahentc,fifanin
ci[lern£ fundo, ft tollis epiftomium: undeeim borise 1
tnittitaqum.Urn ftudeuam after n.impatejiftus fdli*  I
tns impleat: atque per idem tempos dperta [fluid 1 xhiu*
riat: intrd quintumtempori; plem erit ciflermi  Ex hoc
Ubynntbo fic tete extncabk . Quidctfternam implendi
tempus,quod quituor eft honrum: cum euacuindt tempo
re, quod eft honrum undecim:concurrit: qmtuor in un•
deam ducere oportet: ut unus numerus de utroque fiif.qul
partes omnes utrtufque temporis intrd fe compleftatur •

U autem numerus erit  44 . Et quia tempus impletub
ederius eskcteuictmdi tardiur.obfeructre oportet utfi*

LIB E R III* ±62

ufqftcmporisintcrfcdftantidm. Earn auiem, ft after urn
tempos abahcro fkbducas: nutfferus re flans indicabit ^
quircptrietur feptem . it a fi turner unux utriufquetem*
pem muftipheationeprocrcatumd:iiid*t per tor urn :n»
(<r fediftantiam: numerus fettionis pate fra a: quotbo »
tis , < flhentis aqu* tarditatem cclerifds influent is cjfcm
qietur.Hor*tgitur  44 diuif* per feptem, m mtmno
ptrtuionis educutit 6  boras cr y. intra quas after*
tut plena erit. Sic omnes boras &r tmplcndi &r exhauri*
tndi per mulrplicaticncm in) mum numerum c die it at
earum inter fe differentia fecabit: at qu*fttum  1 xphccs .
idq-tta habere uelex ilia ccnfyderatione hquere potefl :
quod faliens qualuor horn aflernam implens unabora.
quartan em partem reddit plenum . ftfhtla autem, qtt*
undecim borii aquam educit: una bora partem unde a*
num eiufdcm quart*partisexhaurit, Ideo utfetamus :
quantum una bora conftret ad impkndum: ab una quartet
parte pars una undecimafubducatur.  er fuperfunt  .
qu* nnnuti* rejlantes indicant: quot partes ciftern* unit
boraimplentur .nempede quadragmta qualuor parti  *
bus foU feptem  . Qftoiies itaquefeptem in  44 haben  •
tur.totidemhor£ requtr untub ad ciftern am implcndam .
biamficut feptem ciftern* partes fe babent ad 44. :qu*
funtomnes eius partes: jic una bora, qua feptem ciftern*
partes implt ntur tad ilium borarum numerum, quo tot*
plena enttfe habere debet. Et permutatim. (icutfephm
partes ciftern* fe babent ad mam foramina  44 fo*

2 . 6 ^  ARTIS SVP.

funt omnes ciftcrnee partes ; dd eum hordrm ttumerm ,
quo potent implen-  7441 e|-.

V R RIS extruendd efl : «w« dltitudo crit qua a

drdgintd cubitorum.ftngula Idtcrd exterius latitu*
thnem habebunt cubitoruen uiccnum.interior dutem hdbi*
tdtio ad ufushominum per finguld Idterd cubitos patebit
quindenos, comenitq; cum opens rcdemptore,fingulos
durcos in ftngulos cubitos dari.qudntiigitur conftdbit to*
tius turris [ubftruftioi  A d hoc quzfitum pcruefiigdit «
dum,in primes quia Idterd omnid pdrid funt:eorum latitie
dmern in fetnultipliodre oportct.cr [urgent quddringen *
td. Deindc numerusiUe cxlutitudinisduftu procreatm,
rurfusin dltuudinem duccndus efttO"prouenientfexde*
cim miUid.tot dureis conjldret turristji effetfdiddtmhih
que hdberet concdui . G tterum quid interna habitdtio per
finguld Idterd cubitos patebit qumdenosiipfam concauiti
tern in fe multiplicdre oportet . unde prodibunt ducentd
uigintiquinque. Quinumerus exconcauitatis in fe du(tu
creatus denuo in altitudinem ducendus ejhdtque it a cxibut
nouem mittid. tot cubitos capit uniuerfd concduitas . qM
fi dematur de turris [oliditdte-.qude [exdccim miUium ctibi
torum erat-jejiabutn feptem miUid,tdnti conftdbit ab[o a
Intel turris.

Qucftio  XXX.

SMr0

Oyeftio xxxi.

LIBER III- 2<54

M V R V S erigendus eft'.qui milk cubitos in longi =
tudincm porrigetur. furgct autem in altitudmem
cubitos qundrJ.gmU.dt crafiitudo erit cubitorum quinq
Is fiet ex Upidibus [eft it quorum unufquifquedimtdij cu*
bin longttudincm habebit: latitudinm partis terti£ unms
tubitixraftitudincm partis quarts. Quot eiufmodi 1dpi  a
its muro extruendo fufficientiUsfitdtio hscfic cxtricd *
hi ur. Muri longitudinem,qu£ cubitorum eft miUetin dlti a
inlinequ<e quadragintdefttmultiplicareoportct.  ©“fur
lent qiiddragintd niiUta « qumumcrus procreatusrurfus
in craftitudinem,qu£ quinq • cubitos impletiducendus eft „
V proucment ducentd mdha. tot cubitos tenet totd muri
tjuadratura. Similiter ldptdum dimenfio, qus conftdt ex
mimtijst in fcrntdcipltcundaesl  £ ..&■ prodibit una

ukefima quartd umus cubiti. qusfcfli cuiufq .• Idpidis di *
tnenfionem cdpit. lam ut fcias,quotlapides murum con ?
fummabunt: per lapidum dimen/ioncm minutias babetem
ȣ diuidcre oportetmuri quadraturam: qus ex integris
numer is conftdt -°x-°. V tide creab untur quater miUea
m dtq- oftingeta miUia^sooooo.toties enim in muri qua
iutura dimenfio lapidum repcritur.ktq; ideo tot lapides
Hiuro e rigendo fufficient.

Qusftio  XXXII.

VATVOR Architcftiadpratoriumsdifi*

1 j candumcuocantur.primus uno anno conftflum
opus dare ffondct.Scdtdus bicnnio.Tertm tri *

2<$r  ARTIS S V Ps.

cnrtio. Quartutquadricnnio. l.imftunitomncsaggreib
antur opus : quantotempore abfolutumeritpr^toriumf
Qut'jtio b.ec (imits eft illt de cijlerna  fro habente fiftu «
las : cr (imili modo foluenda . N<tm minimus numeritsin
prints inquirendus eft: quern hi mtmeri, unum, duo, tni,
fyqu.auornumcr.tnt. Huttc autcminuemcmus,duodcm
viumiqui numeros illos omncs ,k quibus numcratur: fepa*
rutm; cxtrucnii opens tempos numerantes,intrafe com*
pleftitur. atq ;  ideo annotanduseft; ut feftsonem fubeM.
1 llud poslea animaduertendumeft. Qjii annum pofeit: an
no integro rent abfolutamdabit. Qui biennium petition*
no uno operisdumdum confictet. Quitriennium '.anno
unotertim operis partem exiget. qui quads ienmum:
anno unoquartam cedtftcabit. Dcinde. quoniam omius
architctti operas fuas in unum confvrunt ; omncs numeri
tompr£henfiin integro iUoey, em partibus,quas niton*
rieum numeratesdenominant:perferutandtfum:<o fa
tnuladdcndi.cuo fter.ut cum duodenarius numerus mint*
tnus integer exftatiquiab uno,duobiis,tribus, (y quM 1
or numcratur: qtuq; i f <y % haheat: pro uno anno
integro numerus ipfe integer fumendus fit.  E t cum etui
dmdtum,  <? contmeatuertid, 4 .,quanta  3  .numcriilb,
fcx,quxtuor, cy tria, quidenominaiisillispartibus[tint
inclufi,ad u aidantur,z? fiem is . qui numerus tempos
mmerattquo omnes arebitefti fimul operas confer uni.
Bic diuifor entity numerumilium  » in fe atque in fad
partibus numeros addttos mcludcntcm : [cpardUmq; edift

CMtlM

LIBER III. 266

mtium tempord compkftentemjecdre debet , It a tempo
ru fepar.tum extruendi opens unoanno compr<chcnf<( t
per tempos tunfltmerigendiduudentur.Ndm cwmnume
m duodcnarius compltflatur omne tempos operis fcpd
ulm extruendi:ctrchite£lus,quimo etnno pnetonu £di*
ficxbir .; duodecim amis duodecies tddbfolucret. qui bicn*
nioideoplebit :u annisfexiesidefficeret.quitriennio
miis quater opus erigeret. qui quadriennto: n dmus
ter opus confumaret .atqueitaundomnesarchitefli  «
mis uiciesv quinquies opus abfoluerent . Sed quia in
quejlione propofitu opus tantu fiemefinon nicies v quin «
qw.es fieri debetudeo qu£ proportio eil inter  zy er hid¬
den) cr it inter  u cr temposfiniendioperis. Et permit*
txtm, quce proportio esl inter zf cr n leademcrit inter
i%r operis finiendi tempusjtaque per is fecare nopor
let , cr quomam numcrus diwA ndus dtuifore minor efi:
u qweannos numcranttin  u menfes,qu£partes fuos
unmamiiducdntur.cr prodibunt  144 ,qu£ fedaper
uireddent menfes s & if . quo tempore pr£tormt
ernes confumnubunt . 1? * «

< 12 .

/ M

QvAE fnwmexplicari fkdliuspotuifict: Jtumm
integrum non fuijfet idmmum.ficuuin fijhUrum qu£s
fUotied.ximus.

Queflio  XXXIH.

257

ARTIS S V P.

VO drftitefti fufcipiunt opusfadcndum  : quern

rum alter diebus trigintd fclusidpcrficeret .AU
ter folut diebus quddrdginid . Hi, quo edema rcmji a
tuant: tertium drcbitetium dccerfum: dtque otnncs uni
tonferernes operas,diebus quindecim totim opus conjia
tiunt. Qji-eritur, quot diet us ter tuts dccerfinis id folut
efjvciffctf Vtremdbjlrufdtn trudmus: prinetpio excute*
re oportct quantum illius opens unodie,primorm dim
rumuterque propirte fud feat . E tquidem feitu fault
til: fiquindecim illos dies fa.ch db omnibus operis pet
utriufquedies,qu;bus folusid dbfoluifjet.feorftm diui-
ttxmus. ltd ft dies quindecim per dies primi tngintd fece‘
musicum mdior numerusfit diuifor , minor diutdendm,
t£ minutk prodednt neccffe eft: quds numerus diuiden *
this faftus numerator , er numerus diuifor denomimtot
fjjvciuscredbunt. uidehcet f~ , que ddminimdmno‘
mencldturdm redatt# faciunt £■ . tdnlum de illo opt‘
re primus u no die fecit. Similiter dies fecundi  40 fccan*
tes if , procrednt  5— . qu£ faciunt  § . tdntim it
ilh optre feundusuno dieperegit. UntUero fi  £ (Jt
| fund addamur; coUiguntur  f . tdntm uno die it
tiloopere umbo confeceruntireliquim fecit tertius.  QH-tf
turn dutem idjinfeics fiab uno die,quo fimulomnes opM
ficmt.fubducds opus dduobus primis faciuminempej* ‘
itdfupereat f . qu£ minutix refidntes iniicdnt otti*  '
mm operis pdrtem uno die a tertio fait dm effe . Qvfi '
cum eft compertimiuidendm eft, quotics in quindecM 1

LIBER. III., 2<$Q

fflisdiebus totiusoperis fufti,mimti£ itl£,qu£tertij opus
ianonjlranf.-ontineamur. \d,quod cuejbgio per (eftios
turnpatepet.namfiper { quindccimfecentur numerus
pmitmis proferet centum uiginti. quo dierum nuntcro
isrttm folttso'pm confummafjlt .

oueftio  xxxinr.

r Y *'.'KRIS cuiujpiam pars tenia fub terra latet «
X Quart a pars fub aqua demergitur.cubnt [exagin*
Ufupraaqium eminent. Ambigitur.quotcubitim terri
fmquot in aqua . Minimum numerum exquirere oper*
tetiquem partium <Uartm fub aqua ZT titrate ft arum
imominatores numerant.  Is autem fi denominator alter
inalierumducatur: inuenictur  ». qui numerus non fo *
lm laremes iUm  turris partes infra fe compleftitur: fed
totum etiam turris eorpm.cum dice pint partes. Qua ri
Hone partes quoq ;  extern eminentes umuerfas capit.ua-»
p ft a term cr quarta turris parte rehquas feparare
uokmutfubaucamusd a ambas Mas fub aqua  er terra U
toitium part-item dcnominationcs,qu£ fitauntyO' reflx
bunt  5  partes rehquee de iz . He autem partes funt fit-
pra aquun ex-antes. qii£cubitos <So infe continent ■lam
Kffo pojiquam comperiemustothnes turris partes ejfe u.
*'queearumquinquecaperecubitos so .$citufacile eft:
1“ot cubici ftnt in tot a turri . N am ficut turris partes  y
f'babent ad partes n,qu£ funt miucrfx. fie cubiti 6a
d cm cubttorm numerum , qui in tota turri continent

S

2<& A R f I S S V P .

tur,fehaberedebent.Etpcrmutatim.ficut partes  y Hi
risfehabentadcubitos 60 quos continent :/ic partes a
qu.efunt unwerfaadeum cubitorum numerum,quos to*
ta l unis capit. Igitur defignatis in cum ordinem proper*
tion:bus,utprimolocofint $ ,fecundo u.,tcrtio 6o,qut*  I
tuor proportionalum regula deprahendit in lota turn
cubitos 144. contineri , y u 60 m
Deinde cubitorum numem, quos tertiapars fub temtt
gif.fdaleeruitur.fi numerum uniuerforum turns cubilo*
rum diuidas in tria. fefiionis entm numem  4s cubital
profert.quifub terra, latent-cadm facilitate menirehat
numerum cubitorum, quos pars quarta fub aquis dimer*
fos tenef.fi uniuerfos turris cubitosin quatuor feces.NM
numerus partitions educet ss .Uidemfi uniuerfuntcti*
litorum numerumuidelicet  144 mpartiumumuerfariin
numerum,nempe n,diuidas:in numero feftionis  » [w ■
gent.Exquo fare licet 60 cubitos  y partes totals numtii  (
capere.quinquiesenim n,creant  <so. t

1

QU/flio XXXV, 1

R O MAH ex Britannia quifpkm proficifcensfo
gulis diebus uiginti miUia paffuumconficit. Septi*
mo po fl die alter iter ingreffus triginta tria paffutm mil*
Hiquotidieprogreditur. Quot diebus ilium preceded
tern bic fequens affequetur f vtrem confejlmexpW'
jfaaum inprimis annotare oportet apnore confix

f

(

tk

LIBER III.* 2 7 ®

'intcquam pojlerior profettmcft. id eft centum uiginti
miId pdffuum,fex diebus confetti,  q u£  fumma diuiden *
id est. At tUud ff>dcium,quod quotidie posterior dmplius
yum prior conftcifJiuifor nobis crit. id dutcm eft trede
cun millid pdffuum . ltd ftcentum uiginti pcrtredecimfe*
emus: dcpraehendemm in numero fettionis, nouem dies
tres tertus decmm . per quod tempos pojlerior prior cm
t onfequetur  u i no p  7 |

Quafiio XXXVI.

N avis  ex Britannia in Valeflinam proftcifcensJ fa
guiis diebus feptuaginta millid pdffuum procedit :
ntthbus aero refldhte ucnto, retro a curfufuo quindeemt
mlliireijcitur. lam cum totdtuuigdtioquater millena mil
lu pdffuum a.pidt : quando in Pakjhnam appdlet nauisi
facile id extricdtu eft. namnotturna milliaria a diurnis
deducenda funt. o fimma reftdns,qu& curfu nauis indi*
utdnuforis partes fubibitiper quam fecare'oporiet toti*
wmuigatioiwnumeruminempe  4000 A ta fettionis nu*
1 m us demonftrabit, f•ptuaginta duobm dicbm o qua*
dugmuquinquage/imisqumtis nauigationem bancab*
foluipoffe. cs a  4000  7 Z  a 7

Queflio  XXXVII.

C VRSOR ah Ebordco Londinum profeifeens s
quinquedicbm iterconficit.At altermdgisexpe*
4 ‘tas a londino Ebomm tribrn diebus excurrit. si  eo*

§ 2

271 ARTIS S V P.

dem temper eutercfc, alter a Londino,ab  E loricoaltet
dijccdit,mtraquamumtempus occurret alter altcriiAl
hoc quofiium eruendum, ex hie duobus cur for is utriufy
temporibus, lateru mean fubiturts per multiplicatiom
alterius in alter urn, unum mmerim produccrc oportet:
qni timer is ab utroque feparatim conficiendt umuerjm
tempus per multiphcationem ccaccruatum intra fecom
plettatur. triaigiturin  ? dutta,  i $• progenerabunt ■ cjiti
mmerus annotand'M eft: ut fettioncm patiatur. Ddnit
quia uterque uno tempore iter Jidtiutmfquc tempus li-
mule ft addendum . wper fummamexhoc furgemem:
qu<e eft s: continuodiuidere oportet numerwm ilium it
produttum. Uafetticnts mmerus tempos occurfus moiu
ftrabit.ldqueitacjje hueconfyderationedeprehenie*
mus.quod qui quinque diebusitcr peragit: uno die corf
cit part e cuts quint am.quitribusdiebusiunodieteriwn .
Quocirca numcri rncluji in produtt i numeri partibiu  I*
denominate , quas uterq; uno die conficit: inueftigtd
funt,  e*r fimuladdendi. Quo fiet.ut cum de qumdecim
quinta pars tria, tertia quinq. ;  capiat: quinque V trial*
muladdantur: ztr furgent otto.quaefmrna tempos0f
ufq■ itincris uni conftacndi numcrat, isdiuifor erit- W*
mmerus intra fecomplettens feparatim peragendiitiw
re tempora tnfe multiplicata,fecabitur per numerW  ®
tier is und conficiendi. Et quo ties hie in iUo deprehenio
tur.tot dies ad curforu requiruntur occurfum. Itafift 111

deem per otto dmdatuur: partition^ mmerus unu  <W

qy fcptttt

i

t

<

it

(

c

ti

P

P

£ 1BER III. 272

y-fcptcmoftauas preferet. quo tempore in itinerc alter
ttlceri occurret  s t i? 5 f. .

A L \  A (turn confydcrationc rent ita fe habere feci*
lefetripoteft: quod m quindectm ilhs debits ex utruifq-
tempore in fe muhipheato produttis, alter cur for quins
quies, alter ter iter abfoluifjet , Qua ratione umbo uni
ottics  per id tempus iter conjicijjhn, Veruntamen quia in
queflionepropo/itaambofemel,  er non odics fetor funt
jitturi: qu<rproportiocR inter s &  i: eadem cm inter
1 ; er tempus occur fern. igiur fccundum regulam qua=
tuer proportionalium per s ft cantos 1;: in mmcrofeiho
nisinuctucmus  if»

Qileeftio  XXX VIII,

S P A C! V M eft: quod expeditus cur for into die ter
corfedt. Alter paulo fegnior mo die bis iUudperme *
it.fialter alteri obuiant eodem temporeprodeatiquanda
inter fe occurrentfSirem bene confydferesiquoniam urns
wstotum tempus utrmfque itineris peragendi intrafe
eompkttiturdiuidcre oportet unu diem per tempus utri*
Hfque femul additumiquodm fumma feat qumqmex qui
fettione proferetur una diet pars quinta: qute tempus oc a
wfusindicabit . I dque itaeffe ex hoc apparebir.quod qui
tor uno die ffaanm iranfcurntitertia diet parte fcntel id
c °nficit qui uero bis wo die id fecit, dimidia diet id corns
t’tot.. Secundum itaqueea , quaprxeepta funt qu&ftionc
proxima: fi  f ducatur in  f : exit  f diem qua alter  f

s  3

275 ARTIS S V P.

fui itineris,alter f expediet. Deinde quia mho fimul iter
fdciunt: amborum tuner a fimul addantur; hoc eft  - d
§■. &■ fummufurget  f . in quibus fimul ambo qttinquies
% fui inner is in  ~ dwi parte facient, Catcrum qua  m
qua (hone propofita ambotantumfemel  £ fu: inner an
£ diei pdrte funt fhtturi: qti£ proportio eft inter  £ w
unitatemieademeritinter  £. O'iempui,quo inter feocs
current. Igitur fecundum regukm qudtuor proportions
hum,per  £ fecanics  £ ,innumero fedionts deprahenk
tnus — .qua adminimumnomenckturmrcdadajkf-
ant j  . qua dicipetrtc ambo inter fc occur rent .

Qudio  XXXIX.

P ATER familias miniftro qudtuor dureos trdditi
tubetque emi piperis,Zmgiberis,amigdduum,  cr
faccari tot libras aqudlinumero : quot ea pecunid fupps
ditare poteft,  M int(ier cum pharmacopeia hafitatiauot

libra de/ingulisgcneribmfumidcbeant. Ncgociumhoc

fie extricdbis.lnpnmis animaduertc: quantiuna iibratf
tierum finguiorum in pecunid minutiori conjlabit. eaq; ip‘
fa unius libra finguiorum precid (imuladde . isnumeriil
fiiturus eft diuifor . Deinde in cum pecunia eiufdem miffl
t tor is numerum : quo precium unius aurci [diet aftnnari:
quatucr dureos mukiplicdt'e oportet : mtnerUmq j cx hot
enatu per diuifore feedre. ltd feftionk mmerus rein tott
patefd.iet ■ Exempli grata . E fto piperis Ubrauendattit
“ ' nuniivii

LIBER III*

274

humiifexdecim. Zingiberis dece&oflo.dmygdalaru
imbmfxccari qmtuor. Vrecid hscfimul adds, gr fur =
g cut  40; Tam quid units aureus centum nurnmis sflima*
tur: quituor aureos in numerm centenarium multiplied
V qudringentd produces, qusfettaper quadraginta ,
t iucent dccem •tot hbrasfingulorum generum referunt
met quatuor. Ratio csl in promptu.  N am cum de uno
quoty gencrc,figularum hbrarum precia in unum diuifo
remftnt coaccruataincceffecft: quotics is in dmidendo
mpsrku(lr:tothbr<e cuiufquegeneris prodeant squall
none ro,  40 & 400 ' *o

VRI librdm quiff iam minijlro tradit in uiiio «

rem pecuniam nb argentmo permutandam ,  er
cum auri libra conftet ex ditreisquadraginta oclo t du*
ton autem capiat denarios uiginti quinque: quinarios
qtiinqmgintdinummos fcflercios centu: ex finguhs <equa
km numerum,qudntushaberipotcsl'-fibiiubetnferri.Mi
m/ier cum,argentdrio dehberattquot de quoque genire
tommifmata fumi debeantuit nv.meriferaetur squalid
tof. H sc hdfitdtio proximo, quam modocxphcauimus:
fmuliseft:firm'dmodofoluendd. Exquirenda namq•
tritab.qudpecuniduilior . qu'amfintulld mmrnfmatain
commutatio, atq- in eamfingula cuiufque gene ®
r ‘ s nmmifmdtd } qu£plurisudlent;r0gendafim.Quod

Qusftio  XL,

S 4

27 ? ARTIS S P.

ft nullaminutiorin ufu repentur.fmgdmus uilior’r.dlqm
in eamnumm fmdta,qu£ nobis reddi uolumus rcm^amm.
Ef quomam apud uetcrcs nummis fcfhrtius,qut dcopais
tfl minimut.dccem cercis quadranttbut tefttmabxnriuni*
tier fa nummifmatd fohunm m quadratics. Sic a. aureo
in quadr Antes daft o,prodeur,t  1000 : e x denar to ±o\a
quinario zo  roc nwtmo feftertio to . Ornms deimlebi
mmerifimulfunt addendt:  er [urgent 1070 .quamm
rus cuiufq; generis unum numrmfma ccntwct. h<c d uifot
tr it. Polled dun libra in ipfos trees quadratics mult fli*
cctur.o-fient  4S000 . quernnumerumproduflutn/ipir
diuiforem [ecdbis: fetfionts numeric quadraginta qiti>
tuor Integra prcfirct .Tot idem cnim&ncn p’uracuiuj «
que generis nummifmatd, <equalinumero tninijlc r ex airi
hbrarejirrepotcfl ■ Cattcrum mmutiee adhuc fuperfmt ,
ttoningenti uiginti quadrantes. quiquonum Jingulorum
vummifmatum ^qualem numerum praflare nequeurtt:
pro a; bitrio in quamlibct pecutHam ccmnmtandi fund.
Aurcumb'c fumo,quales Romani uetcrcs fucruntiquo *
rum plenq- adbuc ixftanr.atq- inflar gemmarum in pre*
ctohabentur. quaksq-noflraus Nobilesro[ati:quiuctc‘
nbiis Romanis pondcrerejpondenc.duriucro indicaturi
paululum quiddam^ccdum: cum nacres Eduardei noflti
tes  ©■ indicaturam  er por.dus ucierum Rcmanorum re*
fir ant  *

JCCO

LIBER III*

tjS

1000

40

20

IO

~ToJo“ t  48C00 44 -ri‘t

XLI.

P Ccictdtem trcs in dunum inicrmt .Trimm ditreos
U fcxdgwtdcontuht: menfcsq- tantum fexmfocietaie
mnfit■ Sccundus aureorum [ummam attulit: qucefeptem
incuftsfoujs communis fiat. Tertm fucsaurccs in medi
um prelates quir.q; menftbus cum c ceteris ccmmumcduit  •
Lucrum ex his par turn esl,qucd diuidunt <cqualiier. qu£*
rilurquot aurecs fecundm: quo! tertm in focietatem in's
tulitfNcdumhune ficfolucs.Cumfingulorumpecunieefuot
Mcnfes habcdnf.primi auncs fexagintd in numerum fuo*
rum menfium ,quihus communes fuerunt multiplied ■<&
(urgent 360  • D cittde lucrum squallier dimfum iniicdt -
tttam d'iorum aureos in fuos menfesmulttplicatos,qui lit
f  rum peper erunticdndem feci ffefummdmiquieprimt mat
fium  gy pccuni<e eratQpudref utmufque dureorum fum*
mm i numcYo fuorum merfumfeparare Holes: futnmam
ilium ex prtmi menfium z? pecums multiplications col*
leftam bis diuidr.fcmel per men fes Jecmdi,qui flent 7-ZT
Humerus feftionispecuniamahillocclhtatndicabit qi
lUrun fyper U riij menfes  /; ©• p animus mmem tut*

S 9

'1

277 ARTIS SVP.
reos ab to commmicatos manifejlabit • 7* *

QJZ#llio  XL II,

I N faccithcommunem aurcorum fummamtrcshahc-
bdnttquorum unufquifque fu£fumm£ numerum tgno*
rabat-Veruntamen corum primus fccios fuosfciebatam*
bos centum v quinquaginta aureos habere. Sccundus
cognofcebat alios ambos habere duccntcs  <y quadragin*
ta. Ter tins rcliquos habere trecentos uiginti fex. A perto
deindc fiacculo.coniedo'q- tllo aurecrum numero in gran*
dem alien# pecuniae accruum, hxfitant inter fe:cum [turn
quifque nefeiat: quot aureos in uniuerfum omnes, qt/oiq
(mguU repetere debeant  • Difficile uidetur expltcatu pri*
raa facie. C£terum pemtius: introffncientires fefeaperit.
Nam cum tres fint cr corum unufquifq • pecuni£ aide*
ii£ numerumfeiat;fu# nefeiat: pecuni£ portio, qu#ai
quemqucdttmetab ipfo ignorata, cogmta csl a rcltquis
duobus.  Q uare ft omnes aliorum mmerosabunoquofy
ccgnitos in unum addamus:bisfingulorum pecuniam nu*
nterus tile tenebit . Coliefliautcm omnes hi numeripro*
creabunt feptingenta fcxdccim • qui numerus uniuerfam
omnium pecuniam bis capiat tnecejje eft. quo fit: ut di*
tnidiumeius aureorumnumerum,quicx facculo effufus
ed;demonflret • is autem efi  35s • Eafiumma efi omnium
ttureorum.Deinde ft ficire libef.quot aureos adprimuat*
Unthtfad dimidiate) tllo numero, qui omnium aureos a*

pit; fib*

liber  nr. 273

pit: fubtrahe fummam, quamipfc duos yeliqucs habere
fcicbdt.ita rcltdus numcrus amcos eius indicabit  10S.
Iter urn [tab eodem dimidiato nuttier0 fubducatur ntimc *
m, quern fccundus reltquos duos habere cognofcebat :
remanebunt centum decem&r- odo -quinumerus aureo*
rumfccundierat. Rurfusfab tUo dimidiato twmero de*
was numerum : quern tcrtiui reltquos ambos habere non
ignorabaturigmtaduo reftabunt.totidcm erant aura ter
tij.  C ertum eft argumenturn rede fupputat urn cjfr.ficol
kfttomnesnumeri pod fubdudioncm reftantes, qm fin-
gulorwm aurcos indicant: fwmm<e dimidiate , qu<e om  =
niumaureos capit: & ex qua ft fubdudio: rcjfion*
det.

Q_V O  D fide quatuor propofita fiiffet quaftio .
quorum quifquepecuniam fciuifjct aliorum: fuam igno  »
raffet. quia pecuniae pertio, qtueadquemque jfefiaffet ;
al ipfo ignorata,d rekquis tnbm cognita fiaffet : f mutts
omnium cognitce in union addits ter pccumam omnium
tollegiffent. atq- ideo rnmerrn tUe ex omnibus colic Cun
in tnafecandm futfftttut numerics fedionis omnium pc *
ouniam monftraret.Ex quo fedionis numerofingulonm
deinde partes perfubdudionem muejligandne futffent : e0
moio quo didum eft.  Itidem ft de quinque fiaffetpc in =>
fifitum. quia pecunis portio ad quemque jfedans ab
ipfo ignorata, a quatuor rehquvs futffet cognita: numcrus
cx  cognitis fummis ccaceruatus, pccumam comnumm
quatertmiffet : at<fc in quatuor fiaffet (ccandm : ut cm*

279 ARTIS S V  P.

niumpecwridMpdtefaceret.Eodemmoio Jifexfuiffcnt .
pcrquinque: ft fepiem, per fi x fecdndusfiitffet colledus
tile numeric: quod toties caperet fingulorum pecunidm  •
Cr pcdemccps in infinitum. querendreq; cjfent per fub*
diiflionempurtespngulorm to modo,quodiximus •

Q»#° X L III.

S ACERDOTEM tenentemin crumendpeemU
dm paupenbm erogandum mcndicttres adcunt.ls a
rum inopiie mifertus dimidium tllius, quod in crumeni
crat:primo mcndkocontulittz.? duos pr<£tcreanummos.
Secundo uero donmttms. quod rdtflum ent : dimidium:
dui- ultrd id nummos tres.Tertio quoquefupra dimidium
tins, quod repdbdtiquAtuornummos dedit ■ Quopfium
cft.ut unions nummus (upereffet.Libet inucftigure'.quot
nummi in crumend erdnt.Multo palms eft enumtu,
audm prims fronte uidetur ; fi d ttrtio mendico numeral
or dine retrogrddo colhgere incipids.  N am paduniem
nummuin crumend r did urn addus qu.ituor:fient f.quo:
propter dimidium tertio preeter cos a  fdeer dote donutm
duplicdreoportet.pcprodeunt to. Histrcsnummosfe*
cundo ultrd dimiditm donutos dddere debemus. eyfur*
gent  13 , quos propter dimidium d (deerdote eicolhtm
duplicare eft opus. Qud ratione is punt. His p rurftif
duos nummos fuprd dimidium primo ddtos addns: cred*
bisis. quos ipfos eitdmmm dupliedre necefji eft propter
dmiirnprimo <ktm tfodsniquc a enafcuntur.qid

mmn>°‘

LIBER III. 2So

rmworutmmerus incrumcnaerat.idqfi^dbahmproa
libit'-fi numerum ilium colic flu eo ordine diflribuur.quo
ficerdcs fiat. Quip pc ft primo don s dimidiutfuperfunt
js  . ex quibus ft duos amplius ei erogesireftant us. iterum
cos propter[ccundumdimidLi,crmanent  ij, de quibut
tmeifupererogitirelmqunt w . Eosrurfws propter ter
tvmdimidiatereliquosbubcs j .quorumft  4 euonfi
mumcusnmmus refiabit  ♦

QUcejlio  XLIIll.

Q VI durcos ex regio culiculo fumpuerat-.fiffica
flm ab hojharic fitrti.  ©- dctcntuf,eorim dimi*
diirn : utddbcrcrar:chrgituscsl.hojliarm in *
fontem puunsduos auras a reddidit. Iterum fecundits
hjlurius ,iUimf  i ifpcflurn habens , exitu prohibuit. cui
firdimidiumem quod fiuperfiat'.obtulit. tsquoqueinfon
temexilhmansredditis aurcis  4 , ilium ditwfit. Rurfus
ilium palacio cxcuntc port# idmlor comprtboidit.  H me
turn fir dimidium eius, quod reftabat: uelut cam off ant
obiecit. At is extent bemgnior dtmiffi fix aurecs rcjiitu,*
it.JidcmumfireLipfusdureostantum  iz exfitrtodepor
tauit.inuejhgemiutquot aureosfn minerfimfurripuuS
Rm fic extriubitur,qucmadmodtm in proximo qucefitoi
ut ordi  ;en trogrado d poflremo adprimum tendamus  ;
njiquoi illic ad finguly, dupliCAtiones,propter aurecs
fipenregatos^ddume opment.hicddfingim dupli*

28 *

ARTIS  SVP.

cationes , propter mcos reftitatos, fubduftio tteceffitrii
f&Mdlj; ftd  u illis ctureis cx furto dcportdtis  <s a  mi*
tore rejhtutos demdr.fuperfunt 6'.qu£,propteredquoi
tertiofiir dimidium deditduplicdreoportct:& pent n,
A bbis propter  4 ,d fee undo bojliuriorelhtutos fubtu*
humus  4 - fie sremnebuttt.Eddcindcidcodup'itccnmi
quod fecundo fur dumdum contulit, ita[urgent is.A qui
but  i ob id deducenddfunt: quid primus hofiidrius 1 rd
didit. Qy* rdtione relinquuntur  14, er quantum prim
hofiiurojurti dimidium obldtum eft: ect duplicentur . £3*
* prodibunt z$ . qui numeric unmerfos aureos furreptos
cdpit. Vt uutem probentus non errafje cakulum: conuajo
crime mmerurn bunc dd juris exemplum dijlribuumus .
(Q-de is primo bojiiano dimidium, quod eft 14.,offered
tttws.  is nobis redddt 1, ey fient 16 .Horum dimidium ft*
cundo hoffiario demus, nempe  s: qui nobis  4 rcjlmt.
fiebdbentur n.Eorumdeinde dimidium quod eft j>:tct
tioianitoriofftrumus.ls s reddatterrurfu*fient n,<}M
cxumucrfofurtorefidbdnt . Adeundemmodum reset*
pUcdbitur: ft cuipiuminuefiigurelibet: quantum ftbiquifi
que hofiidrius retinuit. Liquet mmque prirnum bofiun*
m  u fibi fcmfft: fecundum  4; tertium mitorem red*
nutjfe nihil ,


QJJ#(0 XLV>

% 1  B E R III

2S2

V A N D O rota lined dimcticHS, quint Greed
diametronuocant: feplem pedes habet: quantus

erit ambitus apftdis extrema: i quoties in mih -

le p'afibus rota circumuoluclur t in premie obferuare
cportet'Geometnca ratione ab Arcbimede deprdhenfum
tjfc, diametrum tertiamcirculipartemterti&paulo*
mat feptimam comprdhendere,  Nam dimetiens ( utitte
ait )ftm partes feptuageftmat fecctttr: capit ultra tertk
dm circuit partem, minus quam decern feptudgeftmat i
qu partem feptimam fkeiunt. At ft in feptuageftmaxpri*
mas diuidatur: ultra ter Ham circulipartem plut capit
quamdcccm feptudgeftmat primasiquje partes funtfe*
ptuageftmit m:nores:ncc feptimam partem impltnt . Pro
pint accedcre non potuit Archimedes, tametftmulta co *
nitus: ut diametn ad arculum rationem inueniret . quie
ficompertacffetiiam quidratura circuit fitiffet inuenta  »
quam affequi defter arunt pterique omnes Philo fophi qui
adhuc juerunt, et in primis Anfloteles ipfe • Vltra Arc hi
tnedem penetrare nano haUcnwspotuit. itaquecumom *
tiis circulut ter diametrum  er dtametri paulominas fepti
tram colhgat :fed quant ulo minus adhuc non fit camper *
tm.iiludficiamus, quod Gcometr# folent : ut pro fepti*
tna,cui paululum deejhfeptimamfumentes integrant,per*
Hide computcm m : ac ft demetiens tertiam circuit partem ,

Cr tertue feptimam capiat . oust ratione ft extremes ap*
fidis ambttum ex diametro coUigcre uelinm : multiplied*
re ogortet feptem ; qu i numem esi dimetri: in tna ,  e?*

28? .ARTIS S V P,

it tmcro proiufto adder e unam feptmxm l tx.fienf digit
ti duo. qu£ rx'io exit apfidis rots ad dime.rum. z? wt
pedes rnx circumuolutio cxpiet. Quod poftquxm cxplo-
raturn esi:per turnerm ilium zi jecarc oponet illunt pc
dumnumerum quern milk pajf is continent, sxuietnd
quinq-milha.Uxm paffas  (utxit Columella) quinquept
dcsbubec Quofiet:utfeftionknumerics 22/—pro*
ferat.que fliunt  . Tolies fire circumuoluetur roti
in mille pafiibus. Proptus id fan non poteflproptcr ccr*
turn dixmetri adcirculum rationem adhuc mcompsrtani.
Et tax txtidemmimmenfo Jfacio depr£bendi pole tier*
tor.

Queftio  XLVF.

Q V l S non putarct nornt£florkande artiftciunt
delegandum effc florist At cmendxt£ normeft-
ciend£ ratio totx pendet d numeris quxm Pytha¬
goras inuemjje tradttur. Ex autem eft hmfrnod . Pon'o
ft fumxntur reguk tres: e qtnbus unx longt ft: pekl
tres: altera pedes quit nor:tertia pedes qmnq-. Hfl; w
gute inter[e compofit£ fummis cxcu nimbus, alia xlixm
txngxnt: trigom bxbebun: jfecian: z? normxtn emend#
tarn formabunt. Nam fecundum Euclidis regulam , ubi
quodab uno tridguh latere in fe ipfum dufto producitur'.
eequxle reperitur duobus quadrat is, qti£ a iuobus rebqxil
later thus defer ibuntur: reft us cslangulus cut latusilhtl
opponitur.itaquefihuiustrigoni (ingulalaterain feip‘-
fa midiiplicesinHitterosck ttapmrees quadrat os. qu‘ £ *

haw*

liber  nr. ;;84

bit mJxtmus erif.tantm infecontinebit, quantum duo re
lifii quairdtifimul additi.quippe tria in fe dufta educunt
mem,q:Wuorq • item in[: multiplieata f xdecim.qut nit.
turn in mum additi, uiginti qumque prefer unt. At ft quin
fie in feipft ducantur  ( quodlatus e tribut maximum
eft) it idem enafcentur uiginti quinque.qui numcrut aqua
Ik eft duobiK quadratit reliquis. id  P yihagom cum in*
mij]e:nondubitansfedmu/isin ea mueniioneadiuium,
bojlusbisimmolmffcdiciiur'hbiUo igiturcerta ratio<
normam jkbricandiper numerosdeprahenfa, eft:cum
tnte cum fibri normam jacientcs uixmagno labore rem
Aduerumperducerent.Nihilautcmrefert,quodmcnfurte
gfiiffs twmeretur ah ipfis numeric normam cfjicientibuf*.
N® ftue unci# fiierint: fine palmi,fiue pedes,flue cubiti,
fmealiud quid libef.com fummi cacumina Jimul cceuntia
uorniddefbrmabut Jam quodhinumeri prim Jrij,tria y qua.
tuor,<zr qumque , in quibut norm£ ratio primum inuenti
fuifperficiunt: itidem id praflabunt omnes numeri maio*
fes candcrn rationem babentes . cuiufmodi funt triginta *
f-iidragmta, quinquaginta. quorum qui maximize ft: in
fe duftm quadratum producct aqualem duorum reliquo «
tumquadratis »

30  40 poo 50.

30  40 1600  50

""peg~itfoo  2500 2500

FINIS LIBRI
i Tertij*

t,

28$ ARTIS $ V P.

CVTHEBERTI TONSTALLt
IN L1BRVM Qy ARTVM
Vrtfatio .

VI in nmerorum dbdita pcnetrn
re uolet: proportionibus dtncfccniii
operam dare debet -quarum nonfo •
lum in numeris , uermetkm in toil
rerum ndtura tdntd uis eft: ut fineH
tubtluelad ufus bominum utile, uel ad ajpeftas dmoenrn,
reperire pcfiit. id quod , quocunque oeulos tuleris : ficilt
intcthgds. Princtpio qu£ ddhabitdttonem nofir dm dtt
fibriefaftte funt ; mfi laxitdtem longitudimdtque dltituii 1
tti congruentem habeant: in dtnoens O' incommoded
omnibus exijlimdntur . Si nimis funt luminofc: prtW
qumquodfub diobabitdre uidemur. ddfrigord drcai 1
da tempefidtesq; ferenddt inuttks putdntur  • Si lumuu in
bis uelanguftd funf.uel rdrd-.cdrceris fpeciem nferWt,
Si pdrictes mmium crafiiicafldU uidentur. Contrdfim 1
mium tenuesipdrum tutus dfuribus credimusMd mfifw
guU <edium partes Cibi proport tone rcfpondednt: cir0
grdtid totd pent. Piftorum uero ars totd, qu£ di boitii 1
numoblcftdtionetn inuentd, magncq-inprecio dpudnt■
teresbabitdeft: nthtlprxjldbitgratum ; ft qu£ ilhiftrrt
deberent,fu[cis obfeuremur coloribus: (i qu£ obfaiM
font idujlrw.fi in cor pore depingendo membra alia (f-

LIBER nil. 2Sd?

m,d!U exilta inter fe non confcntidnt.quippe rifum non
uoluptatem irritus labor pariet. At ft colorcs flortdi tern*
perentur aufleris: candiii fiifcis: fiilgcntcs umbrofts ; ut
qti£ longinqud funt,reccfttffeuideantur:qu£ propmqua ,
fieeminim: ut extarelmdcripoftint : ft uniuerfahnia*
menuftbi proportions confcntidnt: netninem non ea ars
fummopere deled obit- Quidifciplin£mihtdridantope <s
um Zfr arma corporibus,or teld tormentis bdbiliaqu£ *
mt. qui claffem &diftcdnt:drmdmentdpronduiumpd*
rent magnitudme. Sarcindtores,qui uefUmcntaftcimt t
jit ed dptdre ftudent ; ut corporumfcruent fymmetriam*
Cetera itidcmartificia proportionum cogmtionem uni =
mfdpofiuldnt. Quid media,qui pharmaca dant cegro  a
tisi An noneorum fummacuraesl: ut poflqttdmmorbi
uimfagacifolertid deprdhenderunt ;ftc cahdd fiigidis  ,
fic bumiid ftccis mif cednt : ut £groti corporis tempera  a
mento conuenidntfid quod ignoratis proportionibuf,fie*
ti nequdqudm poteftlpfd etiam ciborum noftrorum con*
dimenta dum fanifmm: tvfifktfd recentibm, acrid dul  a
cibiu,dujleru lenibm.temperentur.ingratipa!dto,dtque
infipidd comperiemm . ltdnec corporis bumanifanitds
incolumis feruari, nec labefiddta reficiftneproportio *
notitia facile poterit: ut non abs re exiflimare pofiit »
corpora nojlra no iwgis exquatuor dementis,qttam  eo=
rum proportions conjidre.Denique omnium opifix Dews
V mundi jibric£  ©- rebus in eacreatis uniuerfts earn
fimmdedif.ut cunfttt inter fe fymmetrwn tenerent*

X 2

2Sy  ARTIS S V P.

id quod in fingulis licet ccrnere: fine ccelum, fine term
fades. Quocircd facr#Liter#htcnfura, numero ,er
pondere,quibusin rebus maximeuis proper tionum emu
net: Dcum omnia diffofuiffe teflantur. Etne in confirm
mandis his,qu# in conftffi funt.longius immoremur-cm
palm fit nihil ufqum ucl affeftudecorum, uel ufugrd*
turn ef]'e:cuidefit proportio , propter ea cognitionemeiu s
ad tiitam trdnfigcnddm operxprecium erit expctcre .
Quod cum ad extern negocid commodius gerenda, turn
prxeipue ctd drtem fupputdndi difcendam,plurimim con
ducct. in qua fine propor tionum notitid nihil arduum ex
phcdripotefl . 1 gitur in hoc hbro genera propor tionum
pdulo dltius in primis repet ere eft animus.Deinde earm
fubijc tenuis ddditionemfubduttionem,multiplied*
tionem etfeflione . P oflremo regu'as qua fa
dam ad fupputationem utiles, qu#
fine his ne intelligi quidem
queunt ftudiojis pro =
demits t

QyAti*

LIBER IIII. 258

Qj/ANTITATIS  SPECIES.

t'' Vantitatumfpecies dtue reperiuntur , At*
tera contimu eft: qiu magnitudo did •
tur . Altera difcretatquie fine muhitu *
do , fine nutnerui appellatur.lpfa etiant
mgnitudoftecics babe t duas. Altera eft inmobiUstquam
' Geometria traftat. Altera mobdir.de qua Aflrologia con
fyderat. itidem multitudinis ducejpectes occurrunt. Ed*
rm dlterd per fe confyderatur: de quit difierit Arithme*
tied. Alter j refer tur adahud.cm MujicapertraftdU
Humerus uero eft imitatum co'dettio ,

DE PROPORTIONE ET
tins getter ibus .

P R O P O R T i O, eftduarum,quant £cunq-fund
eittfdemgeneris quantitdtwm,certaditcrm ad alte*
rm comparatio, dtque habitudo. propofitis namq- qui =
tufuis duabus quantitdtibits,necefjc eft alter dm altera uel
tniwrcm,ueUqudcm,ueiminorem effe. tUaitaque badi*
klo,qua fefe uehequaliter, qudndo funt aquales: mutuo
nfficiunt.uelinxquditir.quandoearum altera maiorre
lqua,aut minor eft: appellatur proportto-quee mb! aliud
rft,qudmearum inter fecomparatio.Eiufdem quoque  ge
Hera quantitates effe debentiinter quas caditproportio  „
Veluii duo numeri,du£ line£,du£ fiperficies, duo corpo*
Mho loca,duo tempora.neque enimlinea maior am mi*

T  5

2Bp  ARTIS SVP.

norfuperficieeft,dut corporemec tempos loco mam eft,
mtminus. f:dlinedlineie: fuperjicics fupcrficie: corpus
corpore.fola enim,quae untus funtgeneris inter fe comps
rabiliafunt. Proportio autem babitudo certdeft  (quafi
diceres) flc determinate ut hac fit,  er non alia. Ncpue
enim necejje eft: ut omnis duarum quantitattm babitudo
uelanobisfciatur.uel a rerwmnatura . Quippeproper*
tiodpud ueteres in trid fecaturgenera. quorum mm
efl diferetoru, utdelicet numerorunr.quod uocant Arid n
tnetiem. Alter um continuorum'.quod Geomctricumap
peUant.Tertiu/m fonorum  er concentuwm,quod harmoni
turn nuncupant,ex tUorum utroquemixtwmiquod mvfici
in paufis  er prolmombm tempos feed et:m mbrante  ho*
cum notdnmq • diut/ione,numeros .Et quid adinftitutM
itoflrum ter turn hoc genus non attinetiparim admodm
inhoclibrodeeodifturifumus. Innumeris autemomnis
minor eft: pars dut partes maioris. quamobrem in eis otr-
ttibus certd eft babitudo  er nota.Atuero in continuis pro
portio eftmagis largd . Nonnunquam enim in eis minor
quantities eft pars aut partes maioris. O' talium omnium,
interuenientibus atque adiuuantibus numeris ,notaeft
proportio. qu£  er ratiomlis uocatur . H uiufmodi autem
quantitates fine communicantes,Jiue commenfirabiks di
cuntur: quia cos una  er eadem quantities neceffano meti*
tur. quo fiet:ut omnes numeri fint communicdntesiquod
emnes eos metiatur unit as. Saepenumero autem in cordi «
Hues minor quantities no eft pars aut partes maioris, & i»

t ie e r  rirr, 290

"falibut proportio ncque nobis notd cfbnec Mlitre,. quilh
(ftinter quadrati dtanietrugr eius coflamicum nulla un=
mum menfurd, qua ulricfc fit communis, imemrtpofat:
tmetfi chametri quadratum duplum fit ad quadratum
cojhe.Huiufmodi dutcm prcportio irrationalis nuncupa*
tur-cr hie qudntitdtes incommunicantcs,fiue mommas*
furdbiles. Vndefif.utquacunque proportio cccurrit in
numtris'.eadem reperiaturin omnigenere continuorum,
putd in kneis,fuperfiatbus>corporibus, cr temporibus .
At non e cornerfo idem dccidet, \nfinite ndmquereperi *
untur in contimis proportionessqm numerorum natural
non fuflinct . Ceeterum queecumqtie proportio in uno gene
re continuorum accidit,eadem ccmperktur in omnibus
alijs.Ndni qualitercumq•• fs hubet aliqua lined adqu&mli*
let dlidm : fic fehabet qudibet fuperficies ad aliquant
Him :& quodhbet corpus ad aliquodaliud:fimilitercr
tempus. non autem fic fe baba quihbet Humerus ad ah *
quern alium. Quoarca in continues proportio mdgis lav*
gaefl,qudmindifcrctis . Quo fitmanifvftum,proportio
nem Geometric dm tnaiorts abflra£iionk,qudm Aritbmea
ticdm efje . Omncs emm proportions, circa quds Anth*
tnetied uerfdtur.rdtiondles funt, dc quibu* hoc hhromaxi
mditturi fumus.Geometricauero & rationales £'? urrd
donates tqualiter confyderdt ,

PROPORTIONS RATIO
rnlis ffecics ,

T 4

2pt

ARTIS S' V P.

RQPORTJON1S rationalefaeriesftcdinot

1 -'fees . Qmnts quantitat ad alum comparaia, autci
Squallsautinaqualis reperitur. Quantitat /equalised;
qu£ nee jibicomparatamexcedit xnec abca ixccduur,
Veluticubitut ad cubitumcoUatut.pes adpedem. mm*
rut quaternaries ad quaternaritm-lmequalis autemqm
titat,qu£_[ibicomparatam excedit. proportionem ad ih
lam babet in<equalitatis maioristuelutt cubitus ad pedent,
ttumerut quaternaries ad binarium. Quod fiab ilia exci
ditur.mmorisad lUam imequalitaiis proportion?babet*
tteluti pes ad cubitummcrut bmarm adquaternarim .

AIO RI S uero iruequalitatis faeries funt quilt*

m que: quarwm tres funt ftmphces : uidelicct multi*
plex,fuperparticularis,o- fupcrpartiens,Du£ uero reli*,
qu£ eompofit£,nempe multiplex fuperparticularis, et
multiplex fuperpartiens  ,ex prima  er duabut rehquis
conficiuntur, Quibut rurfus alia quinq- faeries in  < equi*
lit at is minor is opponuniur, qu£ eademferuant nominal
pr£terquam quod pr£pofino b£C,fub,in fingulis nomini
but apponitur: ut fubmultiplex, [ubfuperparticular it,

j fubfuperpaiicns zr fie deinceps .

■*

P o R R O ut de prim it quittq■ fuo or dine dicamt.

Quant it at ad lUam multiplex eft: qu£ earn pluri 9
csintegrant conduct. Etfibis earn capit: dupladicitur ♦
fiterttripla.fiqmter:quadruplet. Jicifi in infinite fatci*

esM*

LIBER HIT, 2$>Z

audriatur . Vf igitur fciatur,quomodo finguU eiusffie*
(ics generantur.fiufta rnmcrorwm fcrie naiurali,ueluti  *
i,i.}.4..t,<s.7.s. 9 .quilibcteorm,quipr(Cccdentemper
mitdtcinfuperdtifubdlia o- alia Jfiecie multiplex esldd
mum. f■( undus cnim dttplus eft : tert'm triplus: quartut
qiudrup'us. cr Jic deinceps ■  E t ficut in infinitum in hoc
Uturali numerorum pregreffujfiecies multipltciter uari
intur: ita etim in qualibet/fieciegenerart pojfunt infimti
numeric

I)VPLORVM inprintisgenerdtiohuiufmodieft.
ficut cnim primus numcrus pctr.uidehcet Unarm,duplut
efiad unitdtem: itd fccundus par,qui eft quaternariusidd
binarium numerum duplut erit.ey-tertius pdr,quieftfe«
' mrius:adternanum.quartuspar,qui eftoftonarw.ad
qudternariu'm.quintutq; par,quieft denarius: ad quinari
mnumerum dupluscrit. &■ fie deinceps in infinitum in
imeratione duplonm progrejfius fieri poteft

TRJPLORVM dutemgenerdttofieo'bfcrudtur.
bindturalinumerorim fcriepoft terndrium,quiunitdti
triplus eftiduobus intermifiis, putd quaternario  er quini
tio,fendrius,qui fequiturUriplus ad fecundum numerum
Muralis ferieibinammcomperietur, Itcrum etiam o =
oiifiis dlijsduobus, uidelicet feptenario & oft onar toper
utnietur ad nouenarium, qui triplus eft tertij numert.  E t
furfus 10 . cr  u intermifiis, duodenanus triplus erit ad
fflirtum numerum.ad quern modum fine fineprogredi  *
wtcsjripios inueniemus, Erittfi triplorum continue umttr

T 5

2 p}  A R T I S S V  P.

impar,dliut pardlternatim.

Quctdruplorum uero generatio incipit .jftquis pcft
quaternarium tres numeros,uclutiquinartum, fenamm,
gr feptenarium intermittat . quartet enim occurrit oclo
nariut tquiad bmartum numcrum , quifecundtts eft qua  a
druplus reperitur.Atrurfes  9 . io. gr u intermif*
(isjuodenartws rnrnem ternarij numeri,qui ter tint eB.
quadruples erit.grfie de'mceps.finguli auiem quadru*
pH numeri funt pares: ficut in duplis euenit.

Similiter fiquatuor numeros intermittat: quintupli
inueniuntur./i qumque,fcxtupli,/i fexfeptupli. dtquei*
ta femper proportions generandoe denominate per u  «
nit item fupeirabit numeros omittendos . Omnium au *
tem numerorum multiplicium, quorum denominate
tslmpdriunmpargr aim impar altcrnatimertt.fed
multiplicium,quorum denominate eft par ifingultpares
erunt •

f  •

Q VMiUi fuperparticulars aid alum iicitur.qu
femel earn continet : gr aliquam eiut partem .
E t ft earn gr ties dimidium continet uocatvx
fefquialtera . fieamgrem tertiam: diciturfefquitertia .
(teamgrcm quartamierit fefquiquarta. grjtcin inf*
nitum nominal ducere licet. In comparatione tali numeri
maiores dicuntur ducestminorcsuero comites. Generan•
turatutem fuperparticulares proportions ad hutic mo*
dm,

m (ri *

liber  irm 2<?4

Ef primumquidemde fefquialterteorigine dicamus .
Ttiffofitis mo or dine fingulis numeris tertim partem
habcntibut,quiper continuant additionem ternarij in in  ■
finitom procedunt. ficuti. j.6.^.n.is.zs.omnes duces
procreabuntur proportions  / efquialter<equibus ftfingu
li numen partes [ua ferie fubfcribantur: prcucment om=
itcs eiufdem proportions comitcs: ft pnmum primo: fea
atndum fecundo conferamus.z? fie deinceps .

6.  p. 12.  15 . IS. xx.

2.  4* 6.  8- to* 12. 14.

ltemdiffofuis fingulis numeric quartam partem ba*
lentibus,qui per quaternary conlinuam additionem pro•
creantur.ueluti.4.s.iz,i6-prodibunt cmnes duces pro•
portions fefquitertiteiqui ontn.es numeros triples fine ter
tiam partem habentes comites habebunt-ft primus primo t
feeundws fecundo comparetur . v fic deinceps.

4. 8* J2. 16. 20.

3. 6. 9 . 12. iq.

Similiter generator proportiofefquiquarta:fiad fitt»
gulos quadruplos finguli quintuple comparentur.

5. 10. 15, 20.

4. 8 . 12. 16.

Atque ita deinceps procedctur per proportions fat
per particular is lingulas alias faeries.

ACC 1 DIT Autem proportmi fupcrparticulm

3P5 ARTIS S7P,

aimitdnix h<ec proprietds: ut in quibufcumque numeris
bums jpeciei, primus dux prim urn comitem ptrfokm uni,
tdtemtrdnfcenddtifecundus fecundum per binarim :nr
tins terthm per ternarium: o it* deinceps per ordincm
fit dfeenfus . Potesl dutem tabdU depingt: in qux propor
tionum turn multiplidum qudm fuper particulmu, quota
quot uoluerimus: /pedes generentur .

Cuius fbrmdm fiprd libro primo de numerorum mltipli*
edtione prsecipicntcs defcripfinm-tiic dutem iter mi em
eculis fubijccre putdmusopsnepreduvn  *

IN

LIBER HIT. 2$»g

IN bic tabelleformula, fecundum longitudinem ©r
Utitudinem, eadem eft numerorum progrefiio.Uaq; fife
cundus or do flue in longitudtne,fiue in ldtitudine,ad pri*
mm comparciuriaccidit continue generatio pnmae ml •
tiplicium Jfcctec.uidelicet duplonm, fi enim z ad i, aut
4.ad 1 ,aut 6 dd  3, er itdulterius compAmrw.pro*
umt ubique dupla proportio. unde & in ifla proper*
tionis jfecie, primus dux printum comitcm per folant
unit atom fuper At. fecundm fecundum per buurim. t  er«
tiusteyum perterndrim.  ©- itA per ordinem fit Afccn•
fus. itidcmfitertiusordoad primum confer at ur  :gene«
ubitur ffccics tertiA multiphcium, nempe proportio tri»
pin: fuperabitque primus dux primum comitcm per bin a
rum : fecundus fecundmper quaterndriumicrita per
incrementm binarij continue fit progrejfus . A dbeec ft
par turn ordinem comp Ares Ad primum: quadruplorum
gene ratio preuenici. & primus dux primum cxcedet
comitcm per ternarium: fecundus fecundum perfetiAri *
m: o~ itApcrAdditionemterriArijcontinuA ft Accumu*
htio. Jicq.• per finguls multipltcium ffecics procedere in
infinitum licet. Generdtio uero [uperparticularium aA
bunc modiim confyderabitur .Sienimtertium ordinem
c ompAremus Ad fecundum: Accidet procrcatio contimii
proportions fcfquialtera. item fiquArtum ordinem dd
tertium confer aims: prodibit proportio fefquitertid.fi
pint urn ad quartum: fefquiquartagenerabitur. EttU
per ordinem fingule fupcrpArticukrim Jfecies procre  *

' '”* r  ARTIS SVP,

Mur. fupcrabitcfc inomnieius ffecie primus dux pH*
mum comitem per unumfecundus fecundum per duo: ter
tm tertium per triaicr fie demcepsiquemadmodu in du*
pits euenit.

Accidutit dutempraditt a formula proprieties ad *
miranda quinque. quorum primahac ett.  N umeriiflh
us formula ab unitate angukriter fecundum quadratidi *
metrumdefeendentes putd i .  4.9.16. dtqueitddcin a
ceps , finguli funt quadrati. (icq• ad Jingulos quadrates
deuenire licet, furgentes e x numerorum duttu in feipfos,
Secundd formula hum propriety eft-finguli eias numc*
rilongilaterifuntiqui immediate numeros angukrescir*
cumcingunt . Sunt autem numcn longikteri: qui ex dti  a
orum numerorum duttu,unites in dlterum,producuntiir:
quorumunusdlterumfold unitdte fuperdt. Vcluti circa
+ funt  i cr <s . quorum binarius ex duttu umtatisin
a : zy-fendrm ex duttu  a in  ? procredtur• Similiter
circa  9 funt s o- n . ficq-, per ordinem inuenies
omnes numeros longildteros, circa numeros dngulares.
Tertidhuius formula proprietas efl ,fi duo numcrialt*
cui numero angukri : circumpofiti, coniunttum addantut
adduplum ipfius numeri angular is:furget numerusqud*
dratus. Veluti additis 1  ©“ <s ad bis  4: prodeunt
16 . Quarto, proprietasett.fiduoquadrati ungulates
proximi ,fimul addantur ad duplum numeri ab ipfis cir i
tumfcptiimmerusndfcetur quadratic HUM Additis
9 ad bis 6: produmtur as  *

fciBfiR. Itir* 2<5g

Quinta propriety eft. ubicunque in hie formula re*
peritur aliquafigura quadrata: idem ex duflu angeelo*
rum oppofitorum in oppofitos producetur. puta fi  4 me,
due as  : aut s in 6  . nam idem utrobique cxibit  • ucl fi  5
in i; ducastaut sin  9 : idem producctur-Multa aha ad*
miranda atque utilia in hac tabeUee formukreperiripof *
pent: qualiafuntea,qu&de multiplication er diuifionc
per earn fdcienda,pnmo libro monftrauimus . Verm his
omifiis,ad propojitum reuertamur.

Q Vantitas ad aliam fuperpartiens dicitur: qua
ipfam femel intrd fe capit: o infuper aiquet
cius partestde quibus fimulfumptis non fit ma  *
ioris quantitates pars una aliquot a  . que frccies tarn ex
numero partium fuperflucntium: qudm ex earum deno  *
minatione uariatur in infinitum. Ex numero partium.
teeluti fi numerics maior minor em eontinet, o eius partes
duos: dicitur fuperbipartiens .fiueroeam capit, o tres
cius partes: fupertripartiens dicitur .O' fic deinceps.
Mem ex denominations partium, puta ft maior minor ent
femel eontinet, O'duos em partestquarum qitdibet ter *
turn facet: uocatur fuperbipartiens tertias: uel magis
germanouocabulofuperbitertm . O' fiminorem inclu  =
dtt, o tres em partesiquarum qudtbet quarta eft-.dici  ■
tur fupertripartiens quartastuel mages fupertriquartiK  *
tteque in tali progrcjfu flatus aliquis erit.  H uiufmodi ate *
tern proportio, ubi tarn timer us partium, quam earum

2p9 ARTIS S V P.

denomindtio UAridtur ‘.continue generdri potefl: fiferiei
met numerorwm fht A terndrio incipient,erqu Ant muis
tiltertus fccundm ordmem ndturdlem procedens. Dei ««:
iic fktaliA f:rie$:in qui fumpto initio a  quinxrio numero,
finguhfequentes impdres per ordmem[ubfcribxntur,

3. 4» 5. 6,  7. 8, p. 10. xi. i2.
5. 7. p. n, 13.  15* 17. xp. 21. 23,

NAM ft primtmordinis inferiors ad primm fit*
periods confer AmiK: proportio orictur fuperbipxrtienS
lertixs,fiue fuperbitertix: fifecundwmfecundo: fupertri
pxrtiens quxrtxs,fiue fupertriquxrtd , ©• fie fine fine.
Quod ft ftngulos utriufqtie feriei numeros duplicenm:
fecundi numeri prodibmt fub cifdem proporf.onibm
conftitutLfuntcmm  10 er g fecundi numeri,inter quos
cii fuperbitertidproportio , Similiter (idtiplicemmdu*
os fecundosifunl  3^14 quifunt fecundi numeri: in*
ter quos cadit fupertriqudrtd proportio, fie dein•
ceps, itidem It utriufj; feriei numeros triplicemus: ter*
tif numeri ndfeentur proportioncm exndem uendicdniesi
ut if ad  9 , 21 ad  ii . O' fic in infinitum progrejfit
fieripoteftperfingulxsffeciss, Exhoc Arithmeticide*
pr&hendunt hie dormitxjfe Boetium non incelehrem ah*
thorem : qui in generdtione continud huiufmodi numero*
rum dicitfecundm duc^n O' fecundm comitem, inter
quos eft proportio prim a  fupertriqudrtd: deberetripli*
cm , o tertim intent  er tertim eomitem , inter quos

liber  irir. I©© >

W? proportio fuper quadriquinta, quadruplicari: cr it <*
damps ut per hoc nafeantur fecudi numeri fub eifdent
proportiombus conftitutt. Hide ctim hie admonet nume
ros triple dtos a crura triphcaridcbere: quadruplicates
iterant quadrupheari , ut ccctcri uumeri [ub eifdem pro•
portiombus procrcentur.Pneterea Boetius in generate*
one fuper par tient turn debts tanturn admonu.it :in quibui
ienominatto partium per unit atom folam numertm ea*
nndemfuperat. Veluti de fuperbitertia,fupertriquar•
tdjuperquadriquinta. z? butufmodi.nec dccct quomo*
do[uperbsfepnma.uel ali£ humfmodigeneretur. Etidco
lit de cumlbet jfoeciei generations inftruamur: capia*
ms numermdenominantem partes proportionis pro*
pofic £. qutnumcrus erit primus comes proportion’s il «
Im. cuidcmde addamus numcratorem partiim pro  s
portionis eiufdenr.fic procrcabimusprimim ducemVer
hgratia.ftproportiofupertrifeptima gcncranda pro «
ponaturtcapimus 7, cui ft addamus s'prodibunt  jo. funt
vaq- 10 ZTrmintmt numeri:inter quesproportio fuper
ttifeptimareperitur. qui'rn duplicate:exeunt numeri
fecundieiufdem proportionis .&■ triplicate,funt ter «
tij . id, quod per banc regulam fit mamfeflum , uiddicet ,
fita multiphcium or fub muluplicium proportio femper
deadem.

Q Vantitat multiplex fuperparticularis ad aliam
dtcitur qux earn plures quamfcmel, & aliquant
partem sins aliquot am continent?- hoc uana*

V

JOt A R f I S S V  P»

lur tamexpdrte multipliers,uelutidupla fuperparticuU*
rif,quamcx parte fuperparttcularis , ut dupla fefquiitt
ra,tripla fefjuitertia. Vbi autemftante denominatwneex
parte multiplied, Jfeciesfolummodo ex parte fuperpar•
ticulariu uartantur. ficutin dupla fefqutaltera duplafef «
quitertia: fet e or urn getter atio perhunc modum.Dijfo*
ttantur numen a bwario fecundim ordittem naturalent:
quibrn finguli impares d qumario fubfcribantur. compi--
r antes itaque primum ad primwm,babcbmm proportiot
ttem duplam fefquialteram: ficundwm adfecundum, in «
plum fefquiterttam: tertim,ad tertirn, duplam fefquit
quartam .

^4  7* 81 p*

5. 7. p. u.  13. 1% 17•  ip.

Pro generation autem triplorm fuperparticular'M
fiat primus ordo,ut prim: er in fecundo or dine,poil ini*
r item a feptettario  / urnptum,numen continue peraddttio
nemternarijaugcantur .

^4 7*

7. io» 13, itf. ip. 22.

At pro quadruplortm fuperpardcularimgeneration,
ft ante priori or dine,mmcrim fecundo d 9  fumentesint*
tium,per adduioncm quaternary continue augeantur. (7
it a deinceps, quantumcuncfc uolueritnm: procedemus . 1
poftquam nerd in pratdiftts ordimbus mineri primi O’ 1

minimi

LIBER rill. JO*

Mini in fu's proportiombus conjhtuii funt,ficosdupli
cauerimur.numennafcentur fecundt. fi cos tripltcaueri•
tms:tertij eif4m proportionates congruentts •

2* c jt* y •

P* 13. 17. 21* 25. 2p.

Q Vantitas dd altam multiplex fuperpartiensdl*
citur: qua cm pluries qudmfemel, cr citsali*
quotpartescontmcf.cxquibws non fit maiorct
fmtitats una ahquota. quafjpecies tain cx parte multim
plies, qum cx parte fuperpartients in infinitum uaria*
tur. Acadtt autem huiufmodi proportions generatio
tdhunemodum. Propofita quauistaliprcportione,ca  *
piatur numerics denominans partes minors numeri in
taiem: w die fie primus comes: dande uel duplicetur,
ltd tnplicctur illc numcrus fecunduvi denommationan
Multiplies in ilia proportion? • tatif numero fie multi*
plicaiio addantur,unirates,fecundim mimerum partttm.
proportions propofita:  er prinns dux in ea propor*
Hone nafeeturcomparandus ad primum comitem. Vcr*
hgratia, in proportion? triplafuperquintifeptimaca*
piantur r . quibis triplicate  er s fuperaddtiis ,fur *
gent is. itaque 16 v 7, funtpriminumerifubpro*
port one propofita conflituti.  Q uibus duplicate nafeen•
tur fecundt: triphcatis ,tertij.  er itadeuenirehcetado*
tones numerosfub ea proponionc confiflentes.Annotatt
im autem efljinguks jfecies harm qumque in for mu*

V i

503 ARTIS  S V P.

U quddrildterd fuper'mfcriptd inucniri pcjfc.ft in mtnteti
fim ulterius extenddtur.Adprtmumcnim ordrnm relit
qui ftngulicompdrdti,fingulds multiplied fpecies proem
bunt, item ft tertium or dinemdd fecundum:  er quartum
ad tertium:O'itd ulterius conferamur.mille fuperpartieu
hrium)peeks orientur.Quod(iquintum ordinemad ter
tium,  er feptimumdd quartum, o nonumid quintum
compdremus:  er itd progrediamur: babebimus ftngulat
(peeks fuperpdrtientium.Item ft fecundumordinem d
quintum,o ad feptimum,  er dd nonum,  er itd deinceps,
contulerimus: multiplied fuperparticuldris (pecks writ
prodibunt. At multiplicium fuperpdrtientium procrea*
buntur (peeks: ft dd ter tium ordinem odduus,o undeci*
mus,o quartets decimus, ateque fecundum earn rdtionem
alij referdntur .

HAE quinque (pecks, quaiam funtdeferiptce:dial
etidm quinque, quzftbi fmt oppoftt<e:mdmfe(lant.  E tt*
nim hoctdntum inter eas intere&: ut cum per ftngulas hits
(pecks maior numem,ficuti diximur.ad minorem com•
pdretur.in illis contra fat: ut minor conftratur dd mdio•
rem. Atque idco,fub,pr£pofitio,ftnguUs edrum nonnni*
bus dpponatur. Qceterum iUarum generatio  er barum eft
tadem «

DE PROPORTIONALITATE*

P Roportiondlitat,  cB proper tionum inter fe ftmilittt
do&aautcmbifimm fecatur, Altera namque pro*

LIBER IIJI. 504

porlionalit as  comma eft, Altera incontinuatquam can*
dem feparatam appellarc licet  •

Continua proportionality eftteum quolibet quantity*
turn eiufdem generis,qua proportione prima mecedit fe
cundm: eadem qunhbet aliarum proximo confequentent
Meccdit.ExempluminnumeriS’ficut s febabentad  4,
fie 4 ad a ad t, Complurimum Mem quantity*
turn continue proportionalium, quohbet gr antecedent
C r confequcns eft-hoc eft, gr uieem primi extremi in pro
poftione gr fecundi fupplet : excepta prima, qu£ folum
Mecedit :gr poftrema,qu£ tintum confequitur-Et tnbac
quidem proportionalitatc,propter continuationem proa
portionum, neccffe eft omnes quantitates effe eiufdem gea
ncrisieo quod inter,.diucrjorum gencrum quantitates non
tnftat proportio• Hec uer'o proportionalities in punch*
ribus quantitatibm,qum in tribus■ inuentri nequit-quan*
quam etiam in illis,media quantity,dum bis rcpctwtui•
tan fubit duarum  •

I ncontinua autemproportionality eftteumquatuor
qmtitatum, qua proportione prima antecedit fecun*
dmeadem tertia antecedit quart am-Exemplum in nume
tis,ficut  3 febabentad 4tfic 6ad i,erit'q-earumquan «
titatum queelibetaut tantumantecedenstaut tantum confe
qums.Et quia prior is proportionis extremum, quod con
fequens eft: non cominuatur antecedenti: quod eft print
txtremum proportions fecund<e. neccffe non eft: ut om *
IKs quatuor fint generis eiufdcmtficutin proportionality

V 3

'

ARTIS S V P.

te continue trdt.fed fieri poteli: utfittt ciufdemgeneris «
wferipoteft: utfintdiuerforum • Sicut earn Imeam dun
plant aut triplam ad lineam reperiri contigtt: it a fuperf*
ticmad fuperfcicnr.corpus ad corpur.tcmpus ad tempos:
numerum ad mnterum . H±ec uero proporttonalitas in
paueioribusquantuattbus. quant mqualucrimtemrine*
quit.

Porroin proportiombus extrema ipfa flue antece*
iunt,fiue conf rqmntur, termini ab Arithmetics nuncu «
pantur.

Quantitates autcm,quarumproportio eft/tmtls,pro
poruonalesuocantur  •

O M nis dutcm proportionality fiue continua fit , ft*
ue feparata :f ex mods inter argumentandum  M4*
riartpoteft.

Quantitates enim,inter quds fimilitudo eft proporiio
twmtvidem fimilium proportionum erunt: aiamfi comps
ratio, qua ab antccedente quantiate ad confequentcnt
fa ft a erat e conuerfoaconfcquentcad antecedentem fat,
Qu.t proportionality conuer fa mmcupatur.qi'oi quart*
ttraces antecedentes in confequentes: £r confequentes in
antccedentcs conucrtantur . E xemplum demus in nume*
ris.ftcut s febabentad  4  :fic 6 adj.eadcmctiamft*
tn ittudo e comerfo euentctMfieut  4  febabentad s:fi(
§ ad 6 (ehxbent,

l hi quantitdtibdi /Indium (roportwnm, q^°

(drum

t I B E R IIII.

timnMccidcnks ad fm confequentes cotoparantur:
proporticnumommnofimlitudocddetietiam fipcrmuti
tin) quantity uniw antecedent ad aIterius antecedentcm ,
Cp confequens unmad alterm confequentem confer a*
tar.  Q uji  proportionality permutata uocatur. in qua an
teccdens proportions fecunda fit confequens primmer
confequens prume ft antecedens fccundx . E xemplum in
numerS ficut s fehabentad^:fic sad j-Quarecttatn
permutatimficut  s fehabentad 6tfic  4 ads .E xquo
1 diere licet in permutata proportionalitate id euenire, ut
mbo extrema prima proportions fiant anlcccdcnlid ;
Cr ambo extrema fecundd confequentia .

Coniunftd uerbproportionality dicitur: quotiesfi*
cut unius proportions quantity antecedens, cum fid
confequcnte comunda fchabetad fuamconfequentem:
[ic ctiam alterm proportions quantity antecedens,turn
fm confequcnte coniunda , fe ad fuam confequentem
i abet . q w coniunda proportionality ex fimiiitudm
proportwnum inftreur . E xemplumin numerS . ficut  a
fehabentad  4: fie 0 ad  j. Quocircaficut  s c? 4 con
knfta,fehabentad 4 :fic & cr i coniunda, fehabent
id  ?,

Difhtnda proportionality eft: in qua dc quantitate
bus coniundS ad confequentes fuy collates, compara  «
Hows illatio fit etiam ad diuify.  E xemplum in numerS .
ficut  8 4 fehabentad4'fic 6 £r  j fehabentad t.
Quamobremetiamficut  s fehabentad  4: fie 6 ad %.

V 4

ARTIS S VP.

Eucrfa proportionality eft: quando ficut unm pro*
portions quantity antecedent , cum fua confequeme coit
iunfta,fe habet ad fuam antecedent em : fie ettam alteriut
proportions quantity antecedent, cm fua confcquente
coniunfla,fe ad fuam antecedentem babet. Qu<e proper *
tionality euerfa ex proportionm fimilitudinc.o- aptifii
me ex proportionahtate coniunftajnfirripoteft.  E xcm*
plum in numcris . ficut s  er 4 fe babentad 4 :fic 6
C r t ad j. quo fiettutficut s cr  4 [ebabent ad s:
fic a cr t ad 6 febabeant .

AE qua proportionality efttquandoplures quantita¬
tes in unam propertionem ex parte unaf muntur tatque
ali<e totidem uel eiufdemgeneris, uel alteriut , ex parte ah
tern fecundum tandem proportionem applicants :c 7
mediorum aequali numero remoto, fimilitudo proportion
mm in extremis infertur. Exemplum in numeru. fuui
B ad  4:0* 4 ad ifebabent.fic n ad  <s: Z7  <> adj,
Quamobremficut $ ad 1 fehabenttfic u adz.  idea
tnt : etiamficomparationis ordoconuerfus atque inter*
mixtut fu:rit,ueluttfi dicat ur; ficut sad 4 :fic u ad  6.
Cr ficut 4 ad 1 fic o ad t . Quoctrcaficut s adz '-fit
it ad i. Preportionahtatumahaetiam diuifio eft:quit
ex medietatibus mox enarrandis apparebit .

DE MEDIETATIBUS.

M ED IE T A S , eftconnexio quadamextremo*
rummer bibitudmem utriufque ai medium. Sit

eoM

LIBER IIII.

(nim a pkrifque uctenbus appclktur: quteako nomine
proportionalities uocatur ab Euchde. Medictatim auicm
triagenera Pythagoras, Plato, Ariftotc'es , er plerique
omnes ueteres pofuerunt, Alias emm medietatcs A riihme
tics cffe uoluerunt. Aim Geometries. Aim  H armontt
cas.De quibusfingulatim or dine dicemus .

A Rithmetica medtets eft: quando maximi medij  er
minimi differentia funt (/equates.id efttubi proper*
tionis ecqualitate neg'eftd,<equalii inter temittos difjvrat
lit cuftoditur.fiue in numerorum or dine natural 1. utpete
M.1.4. fiue/equates numericontinue fintomifii.ficut  1,
4.7. 10. Sietttm mm omitts:d fjvrentia erit a. Si »:
different id er it  * : Si t -.differentia erit  +. eyy fie dein*
ceps . Differentia uero appellatur excefjuitllenumerii
fo maior numem minoremfuperat .

Hum autem medietatis proprimiUudcft. Udximt
(i medium non eft eadem proport 10, qua: medij ad mini*
turn:fed medij ad minim m propor.tofcmper maior  eft:
qudm maximiadmedim. quo  fit,ut inminoribtunume
tisproportio femper maior (it: ep in maioribits minor  .
VcrW gratia.inter  s er 4. fecundum iflammedietatem
toedius eft fenarm: dfferentiam utrobique numem biM
f ius ficit. At maior eft proport 10 medij ad minimum,ui*
delicet 6  ad  4, quefefquialteraiquam maximi admedi*
im,uidelicet s ad  s ,qu£ eftfefquitertia  .

Ahaeius propriety eft ,fi buiufmodi proportions

V f

$0P ARI1J SVP.

in tribus terminis diffonanturiextremafimul additatan*
turn facient,quantum medium duplicatum . ficut 6.4.1. c
quibusbn 4, faciunts .Uemq ;  <> er x, ficiunt s. Quod
ft in quatuor terminis ponantur : tunc duo media per addi
tionem coniunfta, tantrn efficient quantum duo extrema
ficiunfta.Vt ft ponantur s. 6.4.1, tdntumenimcreant  «
tdditaad  4: quantum s ad  1 addita.Exhacproprie>
tate fumi poteft ratio generalis progrefiionis fupri in m•
tegrispofita.

rut fits alia cm propriety eft. fi hac medic tate con*
(litutdin tribus terminis pnut muluplicentur extrema :
deinde medium per feipfum,td quod prouenict ex me*
dij dufiu in fe ipfumitantum fuperabit id, quod ex mull  1*
plicatione extremor um prodibitsquanttm producctur ex
diterm differentia in alteram duftu . E xemp’um in his
terminis  1. 4. 6. sicut 1 fchabcntdi  4: ita 4 ad  <5. bis
* fdciunt  w. quater  4 creant  is: qua per  4 exec*
dunt  11 . Quicxcejfut etiam prouenit exduttudiffvreti*
tiaruminfedijfirentiaenimutraqueeft  1 • bisautem 1
fiaunt  4. E odemmodofitermini  4 ponantur  er muU
tiplicatis extremis alter um medium in alter tm ducatur :
id quod proueniet cxalterius medij in alter urn duftw. tan*
turn fuperabit id, quod ex multiplication extrernorum
prodibit: quantum producetur ex multiplicatis differen *

quater « (iciimt w'- quae per  « txcedutit v>. idem  j

(Wien)

tijs duabus,qua funt inter alterutrum illorm mediorunt
V extrema. Veluti/ieffcnt 1.4.6.s.bis s creant

liber  mr.

intern exccjfis cx multiplications dffirenthrm, qua
funt inter alterutrum tUorum mediorum o extremr.pro
ducetur.nam ft dc duobm medijs id,quodprimus eft: ca •
p\m : nidi licet  4 • differentia inter print extremum o
ipfum midiumeft 1 :od ffvrcntia inter ipfum opoftf
rm extremum eft  4 .itdcfc differentia ipja 1 & 4. in
fedufta procrcant a. Similiter fide duobm medijs id,
quod pefterius eft , / umds: uideheet 0 : dffvrentid inter
ipfum o primum extremum eft 4,0 differentia inter
ipfum o fecundum extremum eft  1, qua: differentia in
fcdufla,creant s.

E ometncamedictM eft : qudndo mmmi ad media

urn eadem eft proportio, qua medij ad minimum,
in qua medictate differentiarum aqualitate ncglcftd, pro
portionum aquahtos obferuatur .ficut cernere licet in
hisnumeris ^..s.  9. Vbimedius numeral eft s.  Se«
mdum banc medictdtem multoaptius proportionality
eppelldtur.qudm fecundum Arithmeticam, Etenim in ilk
proportionality fecundum exceffum inteUigitur, per a *
9 idles differently. At non per fimditudinemproportH
wumiquemadmodumin bdceucnit.

Hum medietdtis propnum cftiUud.Inmaioribus ter
minis o in minonbus,proportio femper aqudlii eft.  Vc=
luti inter to o 10,eddem eft proportio qua inter so**
Aha cius propriety eft . mproportionalitateconti *
tiud,d ffv entiaterminorum eadem inter[e funt propor*
Ucnc.quafunt termini, quorum funt differentia . Uxem*

jit ARTIS S VP.

plum ficut sdi4.dup'd funt’.fic  4 id  *. Similiter diffi*
rent id inter  s cr 4 ,qu*eft  4: dupUeftdddifferen*
turn inter  4 v z:qu<eeft z.

Rurfus dliiproprietis geometric* medietdtis in pro*
portionditctte continud multiphcium b*c eft. in numeris
duplis minor terming pcrf: tpfum cxceditur d mdiori uc
lull  1.1.4. s, in numeris triplis minor terminus fupen*
tur per feipfum duplicdtum. ficut  1.3.9.17. in quadruple
per feipfum triplicdtttm ficut 1. 4-16.64. cr ltd deinceps
minor terminus cxceditur d mniore.

Alid prcetered propriety eft:. Si h<ec medietis confli •
tudtur in tribus terminis: quicquid ex duftu dlterius extre
mi in dlterum producetur:<equdleerit ei,quodexmedijin
feipfumduttumtumerit.Velutififumis 3.4.1.bis s,funt
1 s. quctter  4: tdntundem. Similiter in qudtuor ter •
minis,quicquid exdlterius extremi in dlterum multiplied*
tione ndtum erit: *qudkerit ei , quod exdlterius medij in
dlterum duftu produce tur, ficuttfi capias is. s. 4.  ».
bis \ 6 ,irednt n.qudters, tdntundem. Ex bdeproprie •
tdte dependet Celebris iUd qudtuor proportiondlium re •
guldi qu£ de tribus notisqudrtum ignotumproferentibul
fupra ddtd eft. per quam m negomiombus, imumerd in
kcemueniunu

H Armonied medietds eft: ubi pofitis tribus termi -
nis, ficut mdximus eorum febabet dd minimum:
ltd differentia inter maximum & medium fe bdbet id

dtfjt*.

LIBER Ilir. JU

difffrentkm inter medium &■ minimum.  Hi ec etutem me*
diets cum comm uniter  cr differ entis zr proportio ■
nesadmittdt: tamen neque aquahbui differentijs, neque
aquahbsproportiombusconjlituitur. Vehitifiinter s
cr i mediaponctntur  ? :ibi triplaproportio efl maxi*
niad minimum tuidelicet  s t. Eademq-cflpropor
tio differentie maximi ad medium', quee efl  ? ad differ en  •
tkmmedij ad minimum :qu£ eft units.nam* aditri *
p!<ff« rtioff m proportionem furiunt: quae cum extremorum
proportion confentit. Ex bac medic tat  e eliciuntur om*
nesmuficx concentus.

iUud huius medietatis efl proprium. In maioribus ter*
minis maiorfemper efl proporttoiatque in minoribus mi•
nor.quod contra efl in medietate Arithmetica-Verbigra
Ik,cape 6,;.z,De quibus <s adjcomparataduplampro
portionemhabent.i.uero ad i,ft:[quialteram: qu£ minor
efhquamdupla.

Aha huius propriets: quota parte minimi terni•
ni, minimus ipfeexcediturd medio:totidempartibusma•
ximi.mediusfuperaturabipfomaximo.Verbigratiatfu*
me (s.i.i.Tmexcedunturdiperdimidiim ipfmbtnd*
rij.quodcff units. Similiter s excedunt j perdtmidium
ipfius fcnarij.quodefl  j. Eurftis huius proprium efl. Si
txtremi termini proportionem ftmul iungantur,crtom
iwm iUud addittm multiplicetur per medium: id,quod in*
deproueniet, indupla proportion fe babebit ad iUud :

S tod  cx multiplications extremiper extremum produce *

jt5 Artis s v  ?l

J«r. Verbigratia: funt s. t. i.Adde 6  ad i-.fient
8  : multiplicentur s per j , qi£ medium tenent: <y
furgent  14 . Item ft multipHces extremum per extre»
mm-uidehcet <s per 1: prodibunt u.qaaJiaum;dt»
midiumde  14.

tlludannotandum e&,bastres medietates inter duos
terminosinuemripojfe, utpote inter  10 er  40 . quip*
pe/tinmedioIhtuat if,  A rithmcttcamedietasprodtbit f
Siponas 10,medietasGeometricaerit, Sits, Harm*
mea medietas naf:etur .

Q.VOMODO PROPOSITI S DVO*
bus ter minis medium proportionale
Jitmueftigandm ,

Xopofi isduobmtermin's medium Aritbmeticui

ficexquircs , Demaionnumero fubtrabemino*
remicr reliqui dimidiwm adde minorv.ita quod indetxi-
bit, medium proportionate erit,Exempli can fa, inter 10
Cr  40 (ubdudiodepreehcnditrelqmmcff - fo.borum
dimidium if adde mmorinumcro  10. & prodeimtiu
quod medium esl qtufi , urn . V el ft libet facility, Contuit*
ge utrumque extremum  : er to ius coniuntti dimiitent
proportional: Arithmetic merit. Hamfifumas  10 C/
40: dddeeafimuffiunt fo, Edjidimidiesikabebis  tp
id medium e(t Aritbmeticum.

Qipdfitruereojdemterminof to  4 , medium

t  1  B ER IHti 514

proportionate Geometricum cruereuolestalterm in ah
term multiplica,uidchcet  10 in 40: O' procreabis  40 »
cum numen produfti radicem quadratam extrabere
cponct:qu£ medium proportionate Geometricum erit .
radicem autem earn in 10 muenies.

Atfi medium proportionate Harmomcuminucnire lie
let. Primumiungecx remaipfa,uidchcet  10 gr  40 >jic
[urgent  ;o. Dandc fibtrahe minorem de maiore:  er re*
liquumcrit  30. differentia utrtufy numeric quam ft in
mm extremum y  uidehcet  10 ,ciucas;nafcentur  300 .
lumnumcrum produdum diuide per fummam utriufy
txtremiconiunflm uidelicet  30 e T 6  exibunt.qiuead*
ieminoritermino  10 terprodeunt  i<s. Hoc eft proper
donate medium. Harmonicum inter  10 e 7  40.

Qvae MEDIETATES Qvibvs
rerum publtcarum ftatibus
comparentur .

A Rithmetica medietas reipublicaeddfimilititr.qufi  I
paucii rcgitur.qubd in minoribm dm termink ma
for fit proportio . Harmonica uerd me diet at optimatunt
mpublioe comparaturiquod in maionbm cm ter mi*

His proportio ptmaior. At medietas Geometrica, quod
1 Hmaioribustermink &■ minoribus proportionem<equd
Ion [cruet: poputarem quodammodo rem publicam re*
fa: in qua dues ornnes , erfummatt:^ plebeij^m tequd
faendicant.

Ji; A R T I S S V  P.

Prtter has trrs medietates pradpuas 4 ueteribus pro
ditas. lordanus ofto alias . quas collaterales uocut: addi*
dittquas quicognofcereuolet,abipfopetat Habit, Not
uero,quide proportionibus tantumea,que ad fupputiti
ortcm in uitx neceffariam perchfcendam,jpeftant dcgm
flare: non untuerfas proportionum ud rcgulas. uelprot
prietates attingere decreuimus.cater as medietates a po
far is ad ueritate proportionalitatum perfcrutandm,
curiofius adiedas , tanquxm ad injhtutum ttojlrum non
attinentes.omiticndas cenfuimus.

QVOMODO PROPOSITI* DVO«
bus quibusuis terminis,proportio inter
cosinueniri pofiit.

P vopoft is duebustermini'sqmbuscunque.neccffetjl
altenm xhero ud maiorem,uelaqua!em,uel mino «
remcffe. \taqu: ft aqualcs funt :<equalitatis eftpropor*
tio, qua neminem latere poic ft. Sin dutem alter alto 0
maior eft,aut minor: quamuis inaquahtatis fit propof
tio, quacomplurcs (pecies habet: facile tamenin quail
fpeciem bxbitudo ea cadat: cognosces ad bunc modm  *
Maior terminus per minorem continue f icandas eft.fo
fictiut quot in numero partitionis exif.proportionem ^
tiominet . quainter utrumque extremum babetur. idf 1
perpetuum eft: quando maior terminus in comparatioitt
precedent, maioris inaquahtatis proportionem fait  *
Vduti ft inter  s qr 4 proportionem quads : diuidt »

per *<

-

I

I

(

p

a

ic

ft

it

rt

1  I B E R fill. ,

per  4; cr inniimeropartitions i exeunt: qu* denom*
mtia proport mem illam monftrant  i j)l duplum. quant
tn mlciphciuK jfeciem cadcrc palm eft. Similiter ft in  *
Ur  j er i proportioncm quxris: t per x fed a m
wmerofedtor.s  l{- profirunt . qui numerui propora
tionemfefquultcram indicat : quae mfuperpartii ularum
fiedem caatt, it a muenics in rehqus . Qaterumfi minor
terminal in compared me pr£cedens, minor is msequati  a
titis proportionem fiat: tunc prepofuio bdeffub, denos
tninmoni proportions cx numero fedionis eruend&
prteponenda eft. Velutv.fiinter  4 x?  1 proportio qua :*
utur.quia poft fedionem maiors fid am per minor cm t
in numero partitions inucniunturtfubdupla erit propor=
tio. qu£ m fubmultiphcium fpccie continetur . Si inter x
V  3 proportionem qu£rs:quid minor numeral in com •
pirationc preecedit : er fedio maiors per minor cm fidd
tnnumero partitions  1 £ inuenit: fubfefquialtcrapro*
portio erit. quamdefnperparticulariumjpccieprcdire
tthtmfiflumeft • At/i qusfcirecupit,qucmnam[cnjunt
effirathde preepoftno, fub, minors imequahtatis pro a
portiombisprapofba iUudokferuareoportet. Querne
iimodum per fingules maiors inaqualitatts fpecics ma •
iortermiinsminorcmplufquam femel contmet: tta per
fingulas mtnorisin<equaluaus jfiecies, quantum minor a
lMore fuperatur: tantum dee ft ad integrum matorem
tomponendum. Quarecum ca minors ad maiorem coma
itmio pam rnimm 1 ad mandm mm denomin
. ‘ ‘ X

|i7 X ft T f § $ V P.

tmetn } ueteres pr<tpofitment hanc,fub,ad finguW m
ioris imequalitatis fpecies addiderunt: tantum decfiefn
gnifeantes ad integrum componendum : quantum major
terminus [uperaretmmorem. Verum fiexquircrehbcti  |
quas minutias h<c proportionspariunt: continue* idcot  |
gnofees:ftminoremternunum , quimproportionepnt  ! |
cedittin minutiae frangasfiecans per maiorcm, co mods ; | (
quo in minuttarum libro admonuimus. ita ante octilot  11
apparebunt minuti<£,in quauis minoris insqualitaitsfie* i
ae occurrentes.Exempli gratia.fi prcportionm inter + (
Crs quiris:  4 per  s dmdc.crfient queeminutie t

fignificant  4 partes dc  s adhuc dee fie ad integrum com h
ponendum proportionemq■ <equalitatis creandam.  Qjji* p
tuor uero o£lau£ ad minimam nomenclaturam redact, 1
fdciunt jt ita adhuc ali<e  |, qii£ funt f. defuntud t
fiat unit mtegru . Quo fit mamfiflum  £, fiicere dimidim  «
dim proportion^, qu£ square deberet  s, Sicutecon•  «,
trario,fisad  4 comparentur.duplaeritproportioned  l
s infecapiantbis  4. Similiter fij ad  9 comparcntttr: ^
t per  9  [ettaprofcrent\: qu£ficiunt~ . E t$qM  n
creant f, defunt'.ut£qualitatisproportioad 9 pro• i (
ducatur.ita % tertiam partem fdciuntiUmproportio*  n,
m:qu£  9 £quaredeberct, ltemfiproportioncmdem
ad f uoles fare :fcflio maioris per minorem fitta de*
prxhenditmnumero partitions  3-. qui numeral cun
minutifs triplam fefquiquintam indicat : qu£ in multipd*  Q
ttsfuperpart iculamfiedemcadit,Contra fit de s ad

pro*

liber  rm. p $

proportionem qusris: s per  *s fe fix ,cr cant  yf .qu#
de  i s pxrtibm foLts qumque inueniri dcmonjlrxnt. its
defuitc  -f? • ut integrum producxtur:cr jcquxhtatis pro
\ portioftxt.Pideundem rnodu inter quofu : snumercs proa
j portionem nuih negocio inueflgxre licet. H.ecau-emex
' E udihs uer’ois emmtur.ubt in Ubrofeptmodidt. De  ho*
motto proportions mmorisnu neri admxiorem iicim
I hrpxrs,uel partes ipfiiti minor is: qnein maiore funt  .
Moris autemad minoremjonm^l totum &• pars,uel
fines,prout mxior fuperflut. QH^ns uerbis denomwa »
bonen proportions,qu£ de mtnore numero ad mxiorent
lnbetur:dicit cffe , uel partem umcam : ueluti ij-^ .uel
pirtes pluresijicut f .quas inuetties eo modo,quo dim
dmeft-Cetenm denominxtionem proportions mama
tis nutter i ad minor em, admonet ejje uel totum: ficut tit
tmltiphci udtoum &■ partem, (tout in fuperpxrticuUrt.
lid totum or partes: ficut in muitiplia fuperpartienti *
liquet usque in minor isinaquahtatis fpecic, utrarncunm
f ie w m fcqture: rem ad idem reddere : fiue ad uttandxt
ninutias banc prapofitioncm f ib, maioris maquxhtatts
itnommationibus pratponas: fiue minutiat ipfasfuis noa
nimbus jingulas cxprimxs .

QVOMODQ COGNOSCATVR 1
una proportto alia effem uor  ♦

S imiles dicuntur proportiones :qu£ eandem deno*
mmationem recipiunt: quas etum interdum mm

55  1

a  k r t  § s v p.

tionem,ueteres pnpofitionem hanc,fiub,ad Jingulat m
ioris imqualitatis jfiecies addtderunt: tantum decffiefin
gnificantes ad integrum componendum: quantum mdicr
tcrmimu fuperaretminorem. Verum fiexquirerelibit:
quas minutiae hi proportiones pariunt ; continuo id cot
gnoficest/imtnorem temmum, qui in proportione pm
cedtcinminutia* jrangas, [coins per maiorem,eo modo:
quo in minuttarum libro admonuimut. ita ante oculoi

apparebunt minutn,in quauis minors iniquahtatis j

cie occurrentcs.Exempli gratia, ft proportioncm inter\
ers quarts: 4. per  s diuide.ey fient  f. quaminutit
Significant 4. partes des adhuc dee fife ad integrum com
ponendum proportionemq- aqualitats creandam. Qui*
tuor uer'o odauaad minimam nomenclaturam redafti,
freiunt fit itaadbucalii  f , quifiunt dcfimtiHt
fiat unu mtegru. quo  fit maniftjium  f, freer e dirnidim
lUm proportions,qua aquare deberet  s, Sicuticm
trarw,(is ad  4 comparentur.dupla erit proportioned
s infiecapiantbis  4. Similiter jtj ad  9 comparentur:
t per  9 fedaproferent §: quifreiunt  y. Et$qui
ereant f, defiunt: utiqualitat is proport to ad  9 pro *

t

ducatur.ita tertiam partem ficiuntiUm proportion

mtquic) iquaredeberct. Item ft proportioncm de s
ad f uoles ficire : fiedio maioris per minorem frda dc 1
pnhendit in numero partitions qui numerus cun

minutijs triplamfefquiquintam indicat: quiin multiple*
(is fiuperpartmUm ffieciem cadit.Contract de s ad

pro*

LIBER ft!!. pB

proportmem quirii : s per is fe fix,credit ,qu£
tic is p trtibus folas qumque mueniri demonflrant, its
de[unc  . ut integrum producatunzy £quxhtdtis pro
portiofixt. i\i eundem modu inter qnofu : s numercs pro•
portionem nutlo negoeio tmeflgare licet.  H ec aicem ex
' Euclidu uerbis eruuntur.ubi in libro feptimo drit.  D enom
minitio proportions minoris nuneri admxiorem iicim
txrparSyUelpxrtesipjius minoris :qt£ in maiore funt  .
i tutor is autemad mmorem,totum,uel totum zy pars, uel
p trees,prout maior fuperflut. QJ$bus uerbis denommam
tmem proportions,qu£ d: mmore numero ad msiorent
lubetur.dicit efje , uel partem umcam : ueluti  - f f . uel
pjrtfs pluresificut ~  | f. quas inuenies eo modo,qao dim
ttmefl-Csterm ienominationem proportion^ maiom
tis nuneri ad minor em , admonet ejfe uel totum: ficut  irt
mittphei uel to: urn zy partem, ficut in fuperparticular!,
uel totum  cr partes: ficut in multiplici fuperpartienti,
Liquer itaque in minoris insquahtdtis frccie, utrameunm
fie uiam fequxre: rem ad idem recidere tfiuc ad uitetndaf
mnutias banc preepofinoncm fub, maior is imequalttatt%
itiommtionibus preeponas: fiue minutias ipfasfuis non
nimbus Jingu las exprimas .

QVOMODQ COGNOSCATVR
una proportio alia ejjemtior »

S imiles dicuntur proportiones:qu£ eandem deno*
mmionem recipmt; quas (turn interJum unm

& %

p9

ARTIS $V  P.

proportion^,nonnunquam eiufdem,Ari;hmeticiuccctnb
Maicr dutemproportio eft,qua maiorem denommiqt
vemhabet. Minor uerb,qua minorem.Denomindtto m*
temomnis tamgrandis ejfe dicitur: quam numerus csi,
qui earn defignat .vndefi de triplet  ©• quadruple qum *
tur utra mum fit metior fquiu maior numerus eft qum
norm denominates quadruplam, qum tamrim tri «
plm denotins ; idea quadruple minor erit, qum triplet:
tt quintuple,qum quadrupld,fcxtupld,qudm quintuple
O' fie in infinitum,Geterufefquialterd metior eft, quint
fefquitertiatpropterea quod fcfquidltera denominate dc
l±.gr[fquitertia del-.  o quanquaminutrdty tf«*
mrui integer aqualis eft: minutiee tamen his ctdmtte
funt inaquales.Porro minores in fefquitertia, naminjhg
mentis ( uti ftperius libro fecunio admonuimus) quanto
mum eft denominator: Unto minus eft frdgmenttmt.
Quocirca^minor eft quam f .ficutf minor, quamr
atq; ideo fefquialterdmaior eft,quam fefquitertia. O'ft!
quiquartd maior eft fefquiqumtafiefquifcxtdq • maiorfif
quifeptima. o Rede cater is in infinitum :ubi minutiee in
denominadone occurrunt. Vnde dppdrcitripkmfefqui
alter dm, utpote de  7 ddi mdiorem effe,qum triplamfef*
qmtertidm.Nihlominustdtnentripld fefquitertia maior
eft,qum dupla fefquitertid,ueldupld fefquixlterd,qttoi
euenit non ratione minutiartm adiunttarim, qua maio»
res funt in fefquialteratfed ratione denominations exin*
tegris defignatic, triplet  c nim a $ denomimtw: dupla a u

SedqM


tin

LIBER. IIII*

$eiqu£cm'q; minutk per fefqui,denoldntur; nunquunt
i mm integrum cequdre pojfunt, quure maior exit pro *
portio triple fefquitertite: qumdupk fefquidltcrc proa
per nutiorem tripk denommtionem „

Qv omod'o proportioned
ex pluribus compofttdm effe cognofcas .

D E continue proportiondlibus prim, dcindc de im*
proportionuhbus dicere defimmm : quomodo in
bis proporlionem  rx pluribus effe compofitm cogno *
feus . utquein continue quidem proportionulibus, de  mV
busqudntitdtibusddmonetnos Euclides ad hunc modem*
Si filer int ires quantitates continue proportionalcs:
proportioprim#ad tertimdiciturproportioprime ai
frndm duplicate. Quibm uerbis doccs, ft fkerit
proportio primiadfecundum, ficut fecundi ad tertian
tunc proportio primi ad tertiumerit,ficut primi ad fe*
mdurn, duplicatetid eft, ex dubus tahbus compofita .
peeompofttio cognofcetur per multiphcationcm deno
nutionis ip fins proportions in fe. Vcybi gratia- Sint
tresnumericontmeproportionales,dupliuclutiz.4. s .
inhis proportio inter primutn w fecundum dupla eft.fi
itnaioreincipiatcomparatio.alioquifi kminore; fubdu
Pkeft- Denominatedutemdupktienitd i „ Igiturfn
infeducdnturtndfcentur  4 :qu<e inter primutn nume*
futn z? tertium quadrupkm effe proportioncm denote *

£2* iRTI J SVP,

bunt.it a iemnr.fi ama’creincipiat comparatio  * alicqu  j
/ taminorefubquadruplaerit . I pfa autem quadruplet i si
dupla duplstquia eonftat ex duabus duplis.F urjus de  +.
quantitatibus Buchdcsadmonet,inqutens. Sifiuriniqui*
tucr quantitates continue proper Pennies: prepettio
prims ad quartans dieetur preportio prims ad feeun•
dam triphcdta . Quorum uerberum fenfu- hie eft. St fue*
tint  4 quantitates continus proportionates: preportio
prims ad qudrtam crit,fieut prims ad fecunddm tnpltea
ta:hoc eftprm infe.pcfteain prcduflum,nlulttplicata.
Verb/ gratia. ftnt quatuor numcritriplt eontmspro•
portionaies . Veluti  1.3.9.17. pnportwir.tcr pr mint
Wfccundumtrtpldcft ifi a maicrcmapiaticmparaiio,
qus denominator a t. tria autem in jcdiflaprcducutit
f  .ipfaautem  9 rurfusm t dtfta preerear.t 17.$*
ti'gmti feptuplamprcpcrttonem mar primem (? quart
turn denotant: ft mator inccmparattone prscedtt. ea an*
tem eft trtpls trip's: quia ter ft at ex trikh triplis. Ftr *
indt itaque eft, ac ft diceretur . P repertio eft duaruin
quantita urn /implex inter ualuni,ohalet natur am Jim
pita's dtmen/ionis:ut lines.  F ropcrtionalras autem in
trtbuf, eft duplex in eruatium.habint ur urn medium :V
r< ftrt naturam dupheis dimer fioris:ut fupt rficui. Pro•
pomonalitus autem in quatuor, eft triplex interual'um,
babens duo media: cr nfert naiuram tr plicis dimenfio*
r.is: ut foliii . Similiter ft quinque termini continue pro *
potuemla forint: property extremu m eemplefc*

LIBER IIII. pi

tur proportionem primorm quater .fifex fiiemtiqum*
quieseim capict.fi/epte: fexus,cr ita detnceps. ut/em  a
per proportio cxtremormtoties contmeat proportion
item primorm: quot [tint omnes termini dempto uno  „

1  Ham cum proportions fint interuaUa qu£dam: intern
| mUrn autem ttifiinter duo extrema effe nequeat: neceffe
d terminos ipfos interuaUa concludentes, unoplures efs
j fr.quam fim ipfa interuaUa. lgitur fiquatuor termini fit  a
mttficut i.  s. 4. s. proportio extremorm,uide*
licet s ad  1 erttoflupla.crquiaproportioprimortm
eft dupla.i7 triafunt interuaUaioflupla itla conftabit ex
tn'm duplis.Si quinque terminifuerint: ueluti 1. z.  4.
8 r  is. proportio extremorm,uidelicet is adieritfc *
iecuplatqux quia primorumproportio eft dupla: &  4
fmt interuaUa: conftabit ex quatuor duplis. qua rat tone
proportio de  31 ad  1 compofita eritexquinqueduplis,.
Cr fie in inftmtm. Quo fit maniftftmjn proportionate
tite continnd proportionem extremorum product ex 0 •
nmbut proportionate medijs. Vel fit alia uia fare uolcs  ,
pluribus continue propertionalibus propofine,qua pro»
p ortiofit inter extrema, proportionem inter primadud
obferuabkificut in exempb pr oxime datotubi dupla erat
inter 1  er 1* in qua denominator e'm infe ducatur.er
[urgent 4. qux inter extremes trium terminorum ,
fieuti  1. z.  4. quadruplam proportionem defignant »
beindefidenominator iUe proiudus,uidelicet  4 uterunt
iucatur in denominatorem primes proportion >uidek*

x 4

£2$ ARTIS S VP t

tet i: nafcetur proportio inter extremos.qudtuor ter a
minormjutputa  i.x +-s. qua eft oftupla . bis emm  4
funt 8. Rurfus fi oflo in denomnatorem prim* pro*
portionis 1 duumur: fient is  . qua inter extremos
quim^terminorum^eluti 1.1.4.s. is. fedecuplam mon*
(Iraniproportionetn. Denuofl is in prime propor*
tioms denominator em,uidelicet 1  , ducantur: prodibunt
si. qti£ proportionem inter extremos fex terminorum,
Utpote  ». t,  4. s- is- }i. denommabum.cr pc in injini*
turn poflrcme proportions dcnominatorem , production
per denommatorem prime mult iplicando, precedenti*
cet.  I ta in tonga ftirecontinueproporiionahum, omnet
multiplications pauciores per mmerurn fynariumeue*
niennquamfunt ipfi termini propopd.pcut ex pradidK
tpparet‘

QVOMODO IN TERMIN1S IMPRO
portionalbut tonga ferie continuatismam
proportionem ex pluribut com  »
pofuam effecognofcds.

H f C putdmilfoperaprecium pdued quadxmobit
ter prafatiiqui termini funt improportionates t
Suntautem 1U1 improportionaks , inter quosproportion
Hum d fiimitiludo cadit.tiam peut proportionum pmi•
litudo proportlonahtas  „ pcdpimilitudo improportio •
Halit as uocdtur.quje etiam tpfa, continud, & fepard *

U file potest , improponmaUas Mem eontmuaefti

tIBER IIII. 524

0t quiamaior  t ft proportio primi ad fecundum, quant
fccundi ad ter mm : o fie deinceps,aut quia minor, udut
inter i.z.6.z4.ubitresfuntproportionsdifiimilestqud
rum primadupb eft,inter z  cr » fecundatripla,inter 8

0 z qu£ mator eft,quam dupla.tertia quadruple ft,
inter  14 O’ 5  queemaior eft,qudmtnpl.i , 1 mprcportiou
ual.tafuero feparata fiv e incontmua eft: nut quia mator
eft proportio primi ad fecundum, quant teriij adquarn
tmtutpote inter w & z dc & &■ 4 : ant quid minor *
Hum autem inter proport tones dtfiimiliiudints,fiue con*
timid fit: fine fcparatadutc fipecies kabentur. Altera eft :
quando mator eft proportio primi ad fecundum, quam fe
cundiadtcrtium in continue pel quam teriij adquar *
tm,infeparatii. qu<e maior improportionaluos tiunctp
patur. utputainter  s o-t,ac 6  O" 1 •

Altera eft, quando minor eft proportio primi ad frun *
dm,quam fecundiad tertium,in contmuis:uelquam  ter*
tijadquartwmjnfeparatis.ficutiinter 6%r  j acs ey

1 .qu<e minor improportionahtac appeUatur . Ad hum
rnodm plertque omnes improportionahtatem  O’ diffi  *
ntunt,er diuidunt,

Cictcrum quomodocumque termini ccmplures flue
proportionals flue impropornonales longa ferie fint
continuati : O" quantacumque inter improportionalts
difiimihtudo interueniat : proportionem femper inter
primum  or ultimum ex omnibus effe colic flam , Euc/i*
dsnosadmm,inqum, Cm contmuateefuerint pht*

K  J

£ 2 5 ARTIS SVP,

yes proportions ,fiue eademfiue diuerfaproportio prh
mi ad ultimwm dicttur ex omnibus compofita.  Q uocircs
ft plum proportions, flue fimiles , flue difimiles, inter
prirnm ter minim cr ultimm media mteruentuntipro*
portio inter ipfos extremes terminos mediae iHas pro>
portiones omnes, quotquot fucrint: comp'.eftctur . Dti
nommationem autem habebtt a numero produftoex mul»
tiplicatione denominationwm omnium proportionim me
durum , nempe primarum duarum , alterius in alt cram  ?
deinde produfti cuiufque numeri continuoin quamque
' proximam: donee per omnes fit dtf:urfimMam propor*
tio componi ex duabus proportionibus diatur: quanio
denominatio iUius producitur ex duftu denominationum
iUarum proportionim alterius in alterant. Similiter ex
pluribus proportionibus componi dicctur: quando dc*
Uominatio iUius producitur ex duarum primarum deno*
minationwm alterius in alteram, deinde produfti in quern
queproximam duftu ufquead finem.  Nec refert abut*
trantanu denominations ipfos multiplicarc incipias,fi•
uca dextra,fiuea fimjlratdummodo ceptum fequens or*
dinem,per omnes difeurras.  I dquetam in proportionali*
Ulefontma, quant in omniimproportmalitateperpc•
turn eft.

Dr proportionalitdtc autem continua, quamquam ex
pradiftis licet id uidereimum tamen exemplum dare non
grauabimur. Efto,proponantur hiqutncfc numeridupli
a. •, 4 , 9. t <s. a  dexira mcipittn inter duos primes  »<s
' ■ " . er 8 da*

LIBER Ilir. 2 26

Cr 3  duplam prepcrtionemmenintM.iterum prcgrc*
an nus inter s e?  4 ahumduplam depnhendmm.  D««
tguur ilie di ncminationes alter am alteram duds quadra
f dam  r/r cedent preportwnem inter 16  er 4 . R urfa*
protcdtntcsinter 4 & 1 alam duplamccrmtms.quam
in dinominaticnem pm* exalijs produfiam uideheet qua
druplamducentes.oduplamfbrmahmut.ficinter  16 CT
1 cdnplam emperimus. Denuo prcgrcdientes inter  »
Cr  * duplametiamnumhabemw.eamautcm incduplatit
prions ecmpkficnte m,ducentes,fcdecuplam tandem pr •
ducimus. qu<e propertio inter 6 er 1 mueniturmcaias
cmr.es ccmp'edentes. Wdtm in omnialia proportionally
tate comma euinietiquoUumquc prepcrimes mcaco*
tiettantur .

Nh«c exempla de improporticnalitate dcmti*: quart  •
doproportmtsd fl.miles inter primum  er peftrernum
meruemunt .  Et exempli caufa fumanus hes quatucr
tiumeros 1.1.6.14.. inter quatuorhos mmcrcstres funt
proportions.qudrumprima,inter 1  cr » eftdupla.
fecunda,inter 6 er 1 edtripla. ter tia, inter 14 er 6
edquadrupla, Ignur fifeire uolesiqus propertio fit in*
ter extrema, utdelicet 14 er  1 :inutjUga primum prom
pertmem inter duo pnma,uideheet 1 O'  1 :e rdu*
piam habebis. iter urn inuefhga inter  <s er t.*cr<rt«
platibioccurret. qusdt nominationsaltera in alteram
duftsprocreantfextup'am.eaentproportiomter 6
* *Beinde fiprcgreditns qua is preporuomm later 14

£27  i'RTlS SVP

er 6  :quadruplaminuenies. e a autem fiin denomination
item  ex prior thus colic flam uiddicet fbptuplam ducatur;
uigmti quadruple nufcetur, qudm proportionem cx da*
pta triplet  er quadrupla compofitm uidcre licet .in hoc
excmplo minor improportionahtascontinua ehtftk ft»
ntflra in dextram tender. & k maioribus terminis <xd mi »
norcs compdutioncm in fingul's proportionibui faddy.
Mtinosiamfvcimus .

Similis compojitio proportions inter extrema erit ;
ekam ft propertiones omnes cx integr's  or mmtijs, uel
minutijs foUsfintdenominau. Quodutmagis appart*
at: exempli gratia fumamtts hos quatuor numeros  4. c %
#.10. inter quos tres proportioned difmules habentur,
videlicet inter  <s er 4 fefquialiera . inter  s ©* <s
fefquitertia- inter to  er $ fefquiquarta.quarim pro
portionim denominator cscapiamus. uidelicetprofcfqui
altera  if. pro fefquitertia  if . pro fefquiquarta
if. Ipformq ; prior es duos alter m in alter urn duca*
tmsyo modoquo inminutiarwm Ubroedocuinm . iti
producetur denominator proportions ex ambabus com
pofiu . Deinde produftm ex ilia multiplication deno*
minatorem iterrn in terti<e proportions denominator
rem ducentes , procreabimut denominatorem iUius pro *
portions : qute ex tribus illis componitur»Igitur ft k pri*
onbwduobismcipicntes  if in if ducamm ;ena*
feentur x . quee de fefquialtera z? fefquitertia duplam
proportionem componedemonflrant s  Deinde i in  1 f

LIBER III!. 32S

iucmuticr producentur  2|, qui numerus proper «
fiowem <fe tri&m ildisuarijs compofitam dupkmfefqui*
alteram denominabit . qu£ proportio erit inter extree
tnos omnium illarwm proportiontm terminos ,uide!icet
10 O' 4- in hoc exemplo maior improportionahtas
continua eft'-fiaJiniftra incipias,  ©■ maiores terminos
ad minores comparans in dextram tendas . utinos im
fecimus.

lam uero extmplm demm: quetndo improportionx
lit of feparatafiue incontinua occurrit, nam Euckdis re»
gula, qn£ infiar oraiuli, neminemfallit: de ca ctiam idem
prxapit . itaque conferamm hos quatUor terminos $
ad i pro prior e proper done: & 6  ads pro pofterio-
re  • inter priores duos  , eft quadrupla qu£ maior eft
qmm ca qu£ inter pofteriores duplaeft , atque ea pro *
pter maior improportionalitas in his reperitur.O" tamen
proportio inter prirntm termimm prior is proportion
nis,  er uldmitm pofterioris, ex omnibus proportiom  *
hsmedijscompofita comperietur:atque ctiam ex tUa:
qu£ duos utrinque pofitas media dijiungit, ca eft inter 1 ,
qua fiunt in fine prioris proportions:  er s qu£funtin
initio pojlenoris  . I dautem per rcgulam modo datum
fet mamfijhm. Ham ft quis d fimflraabofto faciens
initium in dextram tendat: inter s O' quaprimi
occurrunt: quadruplm habcbit . Deinde pregrediens
inter i e: quia minor terminus in comparatione
pracedit : (ubtriplam compmet: qtt£ minor is mquaktx

p9  ARTI J SVP.

tis efl proportio.dtq; tdcoficut fuperius monfir iu'mvMi
per minwuu fuss ienomindilr.u ddicet  - que funt
ltd ft?  <Ji« bine proportioned Jeno nnixt; iuci*
turin  4  que deitominxnt pnorem : nxfcentur f. que
urtun integrum cr unxm tertiimfkcientes, fefquitertidH
proportions inter  s O' s cxluxbuspnoribuscon »
pomdemonflrdnt. Rurfus progredienti inter  <s ©r %
proportioduph occnrrtt que,q iiad i dcnom'mtur.  t
in proluftumexpriorcmu'tiphcdtioe denomimtionan,
uidelicet i~ ducjntur-ennnumeroprodutfo ~ con*
perientur-que,/iadintegrd rciucM.inuenxntur 2~  .
queduptenfupcrbitertum proportion?™ inter  s er i
mnijijldnt ■ qum ex tnb.it iUis me&ijs compofttam ejp,
per regulnm Euclidiserplicdiumus ■ idquodptiloaper*
tint de induflridfecimmut nibil inter efje monftrdremufc
qui termini medij inter ex remos tnteruenmttetiim ji,
muore extremo fint m.tiorcs: nut minores minore .
Qunnqum pint,qui putunt ,fi id fidt: miiores in medio
proporttones nonnunquum occurfurdSiqudm que dim •
ter primmer ulttmum: zr fieri pojfc negmtiut purs
fuototoficmiior.Veruntamen id nibil objldbinquomi*
tins proportio inter primum er uldmum ex omnibus me*
dijscolhgitur. Nxmnunqutm dccidet-.ut miiortn me*
dto proportio , quxm que inter primum zr ulttmum eft :
intercede :quin (imul xltx minoris inequdiitnmproper*
tio medixetixm reperutur: que cum mdiore copuldti
untumsufiret: qiuntmilUnimiwn rcdmiit-.utpro*

atdtit.

LIBER III!; 33©

ereatio proportions inter primum O' ultimum ex mediji
omnibus ad equahtatem perducatur . E tjipergis qux *
rere: quomodo fieri pofaitiut proportioni adiuntta pro  ■
portio qutequam ab ca deir ah at‘.facile eft explicatui/i
quit proportionum naturam pernouit . Omnk namqut
proportio maioris inxqualitatk alteri maiork inxquali *
tat is addita, praportionem a eat altertitra nuiorem  • At
cmnis proportio minor k inxqualitatk alter minor is in?
tqualitatis ac'iunfla, minor em, quam altcrutra fat : pro »
fart • Cxtcrtm quando alter amaior is inxqualitatk pros
portio, o altera inxqualitatk minor k copulantur: pro  ■
portio. qux procreatur minor eft,quam qux maiorii
eft mxqualitdtk: omaior,quamqux minork ♦ quo
fatiut nonomnkpropartionmcoUeftio femper augeat.
Itaque quando proportioncm, quae eft inter primum &•
ultimum: exmedijs confaare lAaibematici tradunt: hoc
(xprimunt ex omnibus medijs proportiombus earn colli  ■
g quamuk non tot'a unaquxque mediafemper fit pan
ilhus: quod interdm iUa proportionum copulatio den da
bat. quod cum acciderit: quicquid de fingulk non detra*
ftum rejlabit, partis uicem prxftabit m ca proportioned
qua eft inter primum  er ultimum. RemiUuflremus  rx«
(mplo, m quo  er mdioreextremoteminomdiorem, 0“
minore minoYcm interponamus « capiamusq • hosquatua
or ter mines %•  i. io.  is. inter quos ft  i ad.  i zyzodi
i s coparemus'.maior improporuonalitatk feparatahis
btbitur. Hihil re fart ab utra matin multiplicand imtwfuv

$31 Artis s v

teat ; dummodoccptum ordrnem progrcd'cndo fcritel,
Igitur dfiniftra , fl Ubet ordiamur , ubi inter z O z du•
pla proportio inuenirur, at inter  i o  zo fubuigindu*
pin: qua proportio progrcdiendiproxtmiotcurru: o
bis minutijs exprimitur ideonumeroshis duos pro*

portiones denominates, alter um in at r e rum ducamm: iti
dcticet z in  ~ . o produccntur  vv . gu* fa-iunt
y£. er fubdccuplmproportionem inter z &• zo ex
prioribus illis duabtis compofitam indicant .rurfus inter
jo  cri 5  fefquiquetrtaoccurrit.quocirca numcrumem
denominantem, uidelicet \ \ ducamus in denominate •
nem i Um ex priortbm produftam, uidelicet  cr pro•

ducentur qu£ ficiunt \. o fuboftuplam pro*
portionem,inter z er 16 ex omnibus medijs proporti*
embus compofitam effe m.tmfeflant • Vidcsigitur mbilre
fine, qui termini inter primum O' ultimum medij inter *
Uenimtdmmodo multiplicity ab altero extreme add*
tcrumprogrediens, ceptumq ,• feruans ordinem mhder*
rettneq; minor is inequahtatis proportio pro maiorisfu*
matur.idquod multos fccpcfidt.Regula namque ab  E«*
elide data generates eft: fiue proportions eadem ,/iut
dtuerpe fuertnt-id efttfiue proportionates,fiue impropot
tionales termini occur rant-

Quamobrem quodde improportionaJi.ate fepariti
dictmus , proportionem inter primum o ultimum  c<
medijs omnibus conftare : multo magis in f rparata pro •  ;
portionditateuerum  era; in qua proportions: interpri* (

m0

LIBER II If. &2

mm & ultimum par tint ftmiles , partim funt diftimiles  »
Veluti ft compares 4 ad 2. cr s ctd t :inkis terminis
tres proportions habentur . quartern duos ftmiles tertfc
media difiimdis dtfiungit.  H ic  4 ac % ccUata duplant
creant.eaprimaeftproportio .iterim % ad 6 coUata %
[ubtriplam proportionem medium,qu& duos ftmiles utrirt
fediftungif.monftrant . Quccirca 1 in  f duftapro*
firent ~ . quae fubfefquialteram proportionem inter  4
0- s oftendunt.Rurfainter 6 cr  3 duplainuenitur,
prim.£ ftmilis: qu£ in produftam fubfefquialteram ducen
iaeft.nempc z in ~ . crproducentur f-. qu£ fefqui*
tertiam proportionem inter primum extremum termi =
mm prmi£ proportions, & ultimrn f tcundee pateftci*
lint, quant ex duabm ftmilibus propordonibus extremis ,
tertiacj; media diftimili compcfttam effe liquet. Ad eundern
mdimfiat: quotcmque & queecimque proportions*
ftue ftmiles  er eeedem, ftue diftimiles  er quantmcimque
turn inter primum termimm V poftremum mediae in*
terueniant .

q mret fortaffe quifriam: quorfumde proportionunt
mpofttione prm monftratim eft in continue propor  =
tionalibasi Deindein improportionalibus tam continue
fan fepardtim {  ©- dernim infeparatisproportionali  *
iusi quando una praecepito pro omnibus fufftcerc potuifc
fet. in promptu ratio  e/i. Euclidem fecutifumus: qui de
pjroportionm compoftttone in quantitatibus continue
ptoportmalibus prm docere, atefc ita per {aciliora dif*

X

33? ARTIS S V P.

centim dnimos id rngis drdui prtpdme uolult : qm
regulm hdnc emrrdtdm tarn multos recejfut tdm'cfc turi•
os dnfrdftos bubentem explicdret .

Qy ANDO PROPORTIO Qv  AE«
uis occurrif.quomodo proportions dlids
ip fan componentcs tnueftigibis.

Q Vi propofita proportion qudibet, pulitfe
pojje dicere: quot  er qiules disproportions
em componunttin chaos miximum inciditim =
prudens. Sexcente mmqucjmmo uero infinite propor »
tioncs cxquirt pojfiinf.exquibus qtsuis conftinpotesi*
id quod mox dpparebit . q uamobrem quot proper  =
tiones quamque firimre quant: emrtire nemopotefl,
quippe cum fmt innumerte, Cceterum complures tnueni *
ri pofjuntiex quibut qtsuis proportio confiet . Nun
propojitd proportion qmhbet, ect ( neceffe eft) duos
terminos habat. inter quos,fi ntfi unum medium ippo a
nes: hi tres termini duos proportions apient: exqui *
bus ed,qu£ inter extremosefl : omnino componetur »
Porro cum multts modis terminus medtus udrtiripof *
fit: muite  er uari<e proportions per id enafei poterunt .
id quod hocexemplo fiet minimum. Inter  is er  '■*
fedecupU proportio eft, inter qu£ ft medium terminuM
6 interpomnmtper hoc inter is zry proportio du 1
pkfuperbuertii hibetur.it inter 6  er i fextuph^
proportio, Vnde hquetproportionemfcdecuplitn ,

LIBER Hit. #4

tR into■ extrema: ex his duabus medijs con ft are . id it it
habere pr-obabis: ft dual lUas medias denominationes al *
ter am in alteram due as .nam 6 qua fextuplam denomi*
mat:dutiain 2~, qua:denominantalteram:  ia proa
ducunt. qu£ fedecuplam proportionem inter extreme
demonftrant » Quofttmamftftum , duplam fuperbiterti•
timer fextuplam componere fedecuplam . Quod ft inter
tadem extrema ahum termimm medium ponaf: alia pro
portionesorientur . Vtpote ft  s interfere . Eoftct, tat
inter is £r s dupla oriatur. at inter s  i oSlu*
pk habebitur. qua denominationes,altera in alteram du *
tte, fedecuplam iter urn creabunt . Quarationefedecu-s
pk ex dupla  er ofluplaconflata erit. At ft inter ip fa ex
trema plures termini fint interpoftti: plures it a propoir a
tiones enafeentur. quas uniuerfas ea, qu£ inter primum
erultimumeR-.complefletur.Velutift t.6,s.ftdtuamus
inter i er  i<s: utbic fit ordo  i.j.a.s.is. inter quin»
<jue bos termmos quatuor diuerfa propordones haben*
tur,inter  ? er i quintupla.intcr  a ©• ? fefquiquinta •
Jgitur s qu£qumtuplamdcnominant-Juftam ij-.qu£
denominantfefquiqumtam:procreant  -f. qu£  a mtc=s
%rafi.dunt:ezr fextuplam proportionem inter  c cr r
ex arnbabm compcfttam indicant. Dcinde progrediehs
inter s er  a fefquitertiam comperies ltd i j ml?
tiplices in  a, <jh<« ex pnoribm produttam proportto*
nem denominant: produces -*■ . qu£ ad integra redu&
tiaftemt s  :csr oftupUm inter s <y  i defignanU

'  ‘ .¥ a

335 ARTIJ SVP.

R urfut progrdm:ar inter is&s  dupla tibi occurrtt,
igitur i fi in  s. quit ex priorum dcnommcttionum multiph
cattoneproxima produfta funt,due asitandem produces
is. qu£ ftidecuplam proportionem inter  i<s er t denom \
nctnt . Quojitmaniftlium.fedecuplamproportionemcx  j
quint upla.fefquiquinta,fefquitertia, & duplet compofu
turn efje . igitur cum termtnos inter extrema interpown--
dosjnnumerit modis per minutiae in quas finguli frangi
poffunf.uariare licet: mantfijlo liquet,proportion e pm
pofita nequaquam explicaripojfe,quot  er qu£ proporti  j
ones earn pofint componere: cum infinite uarietas mm  i
dtque eandem proportionem producat . id quod per exm  I
pla tarn data uiderelicei.nam ut mult £ proportions,ex  1
quibm qums conjian/ucile inuenientur: ita omttes exfi  <
rere, qu£ earn formare pofint,injimti operis erit .

r

Q_VOMODO CVl  VSQ_VEPRO« "

portionis uel ambo extrema,uel alterum  p

per numerum ipfam denominantem
inuemri pofint.

O M nis preportio duo extrema babet, quorum ft
id,quod maius efhatq • unk ipfam proportionisit
nommationern cognofcimm: dirnfio ipftm noti extretni
per numerum,earn proportionem denominantem
noratum extremum minus innumero partitions pateft*
(let, Exempli gratia.E/to, proportio duplaproponaW'•

»»

ho

LIBER HIT*

1  cm itutiiti extremum nobis not urn fit w.ft minus extre
mmeruereuolumus:  10  per duo, qti£ dupkm icnomi*
mt‘.fecdntes,innumeropdrtitionis  y inueniemus.ficex*
(rmw  minus in lucem prodibit. At fi proportions deno*
matione cognitd,minus extremum nobis erit notum: z?

\ mitts ignordtum exquirere uehnius : ipfum minus extre*
mm in proportions denomindtionem ducctmusigr nume
mprodudus maim extremum erit.Veluti fi de proper*
tmetripld minus extremum feimus cjfe 6 trio, qu£ tri-
flimdenommntiin 6 ducdimts. nafeetur extremum
miusiuidelicet is . Cdterumfidenominutione proper no
B cognitd,neutr urn eius extremum bdbedmm notum nu*
tu ros quofcumque.qui earn proportionem foment: pro
trbitrio dpponere poterimus .

Hi idenus de proportionum origine, generibusq- ed *
m,crcompo/itione-  N me rejidt, ut de earum Additio *
KSubdudione. Uultiplicdtione, <y Dmjionedicdmus*
iiquod huius libriimtio jiudiofis poUiciti fumus.

DE PROPORTIONVM
A dditione,

A D dido proportionum, flue continue funt,fiuefe*
pdrdt£'. flue fimiles,flue diuerfc: fieridebetdde =
titimodum,quern pdulofupcrius explieduimus, ut in bn *

?<< proportionum ferie ,primdrum duurum denomina*
fyduedtur dltera in dltcrdm,  D einde proportions per

X 3

ARTIS S V P,

hoc produce dcnommtio, in proximm dcnominatioi
vem duatur.itque itd deinceps produft£ cmfquedenos
mndtionis multiplicdtio in qirnque proximm, tifquein
finemperdgitur.quocm uentwm crif.poftrcmo produ=
fid denomimtio , uelut fummdquisddm,proportioned
tnonftrdbit onrnes tompkftmm. Etqimqudmexm*
pld de proportionu compcfitione idm Ante datd, poffunt
fufficere : unm tdmen dpponmm, in quo prcpor nones
pdrtim continue,pdrtim fepiratdsipdrtim fimttes, pdr  s
tim diuerfds,comeftemut . Eslo,fcptcm hi numeri pro *
pondntur jo. 14. n, e-  4. j. 1. inter hos feptemmtne*
rosintcrudlldfcx funtier totidemproportion.es, Quire
kfiniftra incipientesfinguloscp numcros mdioresadmi‘
nores compdrdntes, inueniemus primm proportioned
fefquiqudrtdin: fecunddm o ter dim duplets: quarm
fefquidlterdMiiterum quintm zrfextdm duplets.Omnes
bets denomindtiones ficdddcmus. Primam denomination
ttemfefquiqudrtdm,inter  ?o o  14 infecuhdmdtt*
pldminter  14 cr « ducentes, procredbmus duphtn
fefquialterdm: qtt£efl inter so o  u. D etndepro*
duilm illdrn duplrn f fquialterdm in proximm dupliin
inter  u o & ducemes,fomdbimusquintupldm inter
ifo o s .Rurfus quintuplet did product a  in proximffl
fcfquiihenm inter 6 o  4 multiplicdtd, producet je •
ptupldm fcfquidlterdm inter  30 o  4 . Denuo feptu s
pld fefquialterd 1Udpr0S.udd.fi in dupldm proximam in*
$er  4 O  » duedtun endfeetur qmdecupld inter v>

O  »*

LIBER IIII, 33ft

fyi . IDmrn quindecuplam iUm in poftremm duplam
mltiplicantes , producemus trigintuplam inter  jo. ©" *
gw proportio inter primum ejr ultinium ftc fbrmata,ue4
ht fumma quadam proportiones mediae omnes intra fc
eomplefletur . Hoc modo proportiones qua funt nume*
rorum inter fe habitudines: per additioncm in unamfutn
mumaptifitmecoUsgunturMonnulUs autem aim uia pro
portiones (ic addere placet-.ut arm omnim, quas funt
aditmiterminos priores a fimftra notent alium fub alio  :
dtque  4  dextra pofierions ear urn terminosprtoribus e
regione opponant . Poftea prior em terminm prima pro
portionism priorem fecunda multiphcant. numerumq;
produflum flat nurd priorem ierminum proportionis ex
mbabus compafita . D einde pofterioremterminumpri
rna proportionis in pofteriorem f ecunda ducunt. cr p>'o
duilum[imilitsTficiunt pofteriorem terminum eompoft
ta.Porro ft proportiones plans addenda fhermtitert’.a
proportions priorem terminum in priorem terminum
tx primis duabus compcfite ducunt : err produ&um ft a*
tuunt terminum priorem cx tribus illis compoftta. pofte
rioremq; terminum tertia, in pofteriorem ex duabus pri
mis compoftta dueentes,produflum terminum appcnunl
pofteriorem ex tribus lUis ccmpofita.Et pc ulterius,pri*
crew terminum cuiufque proportionis compoftta, m
terminum priorem proxima cuiufque proportions ad*
denda:, v pofteriorem cuiufque compoftta in pofterio
fern cuiufque addenda,ducunt, ufque in finem. quo fit %

* 4

33 P ARTIS SVP,
ut inter terminos poflremo produftos, proportio end fa
turomnes priorcs completions. Exemplmaffiramus .
Sint he tres proportions addende: prima fefqmtcrtia
inter  4 ZT  j .[ecundafefquialterainter s cr  1 .ter *
tiadupla inter z z? 1 . Si prime proport mis prio*
tern ter minim  4 duces in  ? priorem fecunde, creabis
$1. qui terminus erit prior proportions compoftte.  E t
fh pofterioremterminum prime duces in 1 posterior
remfecmdeiproduces  s ,qui terminus pojlerior compo
fite proportions erit . Itaprodufti ilii termini  » er $
dupkmproportmem babentes indicant ex fefquitertia
& fefquietlterd fimuladditis,fieri duplam. Id quod etiam
denominations ipfe, altera in alteram dufte,probant ,
Jam uero ft priorem terminwm proportions compoftte ,
videlicet  u intertie proportions priorem terminm *
mltiplicesiprodibunt  *4 .qui terminus erit prior pro*
portions ex tribus compoftte. Et ft  <s pofterioremter*
minim compoftte in pojlerioremtertie  1 ducesinihilwft
eaipfa s babebis.qui terminus erit poftenor proportio
tits ex tribus college. Ita proportio inter produftos ter*
minos 14 O" 6,monftratexfefquitertta,fefquialterd,v
dupla fimuladditis, nafciquadruplam . Nam,ut inquit
Eudides: Omnium duoru/m numerorm compofitorum
proportio unius ad alter urn, eft ex laterimfuorm pro*
dudaproporttonibus.hatera autem numcrorwm appel*
lantur-.quorum multiplicationnumenproducuntur . id
quofyuerm ejJe,proportionmdenommtiones, alia in

LIBER  ml- 340 !

'dictm (ftcuti pr<ecepimus )duft£, mdniftjlo probdnt .
Hie proportionum dddendi modus per edrum terminos
mltiplicdtos, uti diximus: produfiortm terminorum
rntuds bdbitudines obiter commonflrdt.Cdierum modus
iHcfuperior denomindtiones proportmm, dues in dlidt
ducendi, multo apertius indkdnt colleftdm edrm frn*
mm.

DE PROPORTIONVM
Subduftione .

S Vbduftio proportionum monfir dt,qudndo did pro*
portiones db dlijs fubtrdbuntur: qu£ proportions
reflabunt . Ed dutem turn demim fieri poteftift minores
funt:qu£ fubducuntur,qum d qutbus fit fubduftio: nel ft
pint eis dqudles. Neque emm per rerum mturam, quod
turns eft,ex minor edemi poteft. QUdmobrem plurimum
iuunbit memimjje, proportions us dlijs ntdiores ejje:
pd mdiores dlijs denomindtiones hdbent: minores dutem,
<jut minores. )d quodfiuperius ddmonuimus.  P orro mo a
ins fubducendi proportions longcfaciUimushic eft.  Dr*
tomindtio proportionum edrum, qua fubducend£ funt ;
& edrum, d qutbus fiet fubduftio: per numeros ipfds de»
fignantesfeorfum dtmotentur.Delude numcrusdenomh
tuns proportionm,d qudfit [ubduflio; diuiddtur per nu*
<nerum,quidenomindt proportionm fubduccnddm. z?
numerus fedionis proportionm exed fubdufltone  re*.
liflnm defigmbit . E t ut exempld remmdgisdperim  »

* 7

34* Artis svp.

Bfto,proportio fefquialterafubduci a duplidebeit ig
quaduplamdenommantdiuifa per li. qutfefquialtera
dant nomemin timero feftionis proferunt  #. qua ad in*
tegraredufta,fuciunt i- .atq-itamonflrant fefquiter*
tiam ex ea fubduftione reliftam .Cerium fpccimen eh
refte fubduftumejjet/iproportio rehftaad fubduftam
addita proportionem inhaurat: a qua fubdufta fiat ,/ieut
fit in numeris.Sefqmtertia namq• adfcfquialteramaddi*
ta, per alterius in alter am duftum ,duphm iter ununnua
mero feftionis format. Ahudexemplum demus, [efqui*
quartamcpfubducamusddupla fefquialtera Z  -j-. quade
nominant duplam fefquialteram, fefta per if, qua de*
fignanl fefquiquartam: tit numero feftionis monflmt
f 2. , qua f mt duo Integra:  er duplam proportionem ex
ta fubduftione fupereffe mnftrant. Rurfus fihbetcipc
fpecimenrcliftamq; duplam ad fefquiquartamadde ,du*
tens alteram in alteram: erm nuttier o feftionis dupli
fefquialtera iterum redibit.

Abut etiam modus proportionesper earum termirnt
fubducendi,traditur a quibufdam . Porro proportionem
utramfy qua fubduci, or aqua fubduftio fieri, debet:

minimis notant numeric : qui eas proportions babe anti
quo fkeilm reddatur opus, proportionem autem, d qui
fitfubtraftio, fupra [cnbunc.quauerb fubducendaeh,
infraiut terminitermmisrcfbondeant:prioriprwr-pofte‘
riorq; poficriori. Deinde prior em terminu proportionis
tius  , a qua ft fubduftioun pofleriorem aufirenda,  ,

poflerio «

fctBER Hit, 342

poflerioremq;cm terminum in Aufircnd£priorem,ob*
iique in formam crucK,ducunt:z^terminos cxhis dttAbut
mltiplicAtionibusprodudos ftafuun! eJJerelid£propor
tionis terminos, Exempli gratia .Aproportionc tripla in*
ter 6 tr  » fubduattur fefquitertk inter  4 er ; . I*
hitc fubdudione 6 in  ? dud a,  ere Ant is .  ©~ o
dud a in  4 ,proferunt s : inter quos terminos pro »
dudos,uidelicet is-  er s proportwduplet [efquiquar*
tA repcritur:qu£ ex fefquitertk fubdudiene detriplArc*
linquifur .

triplet dtipkfefquiqudrti

fefquitertia

SVBdtidioncm bAtic rede fad Am effe prohibit  ‘
/? proportions rclide denomimtionem dddes Ad fub*
dudte-.ficutimodo diximis . Vtlfimetuis; proper ttonent
relidAm ad proportionem fubduddm add£ ,pcr alte «
riut terminos in diteriiu ducendos ificuti proximo cJpia
tedocumm  . quAndcquidem iUa  etum uid redibit pro *
portio uquAfubdudiofdd a  ed.nAmfi is prior cm ter
nimimrelid£,ducAsin  4 prioremfubdud£:pent  71
O'/? s polierioremterminumrehd£ducAsin ipofle*
riorem [ubdudf. [urgent  *4  . queeproportmtmdlAm

54? artis  s y P»

fuiffe triplMA qud fubduflio fattd eshdcfignant .

. .Quodjipluresproportionesab uiufubducidebcnt:
prim in undm proportionem,uclut in fummdm qudndam
omnes funt addend# :&■ tumdemum dd ciuf fubdudioi
ticm prccedendum, modo non fit fid a. mdior.qum cd, d
qua fubdufliofiet-Porro funt nonnulh: qin fingulds feor*
fumfubducunt-C£tcrummdioremedre$kborempdriet:
qu 'tm ft quis omnes [ubducendas prim in fummdm codi•
gens,umcdm fubdudionem jicidt .

P ropordonum itoq^fubtrudionem duobm hismodis
fieri uides, Alter o per denomindtionum feftionem. Alte *
ro perearum terminos oblique, uti diximm:multiplic<m •
dos. Tertim quoq ;  modus ex his duobm mixtm muentut
eft: qui&proportionemreliftdm, & fubduftdm,nec
non iUam etidm,d qudfitfubtrd(lio:und operd ante ocu*
losponit.ls dutem eRhuiufmodi.Proportio iUd,iqudfit
fubduftio: fuis numeris in primis fiotetnr. Deinde inter
mdiorcm ithrn terminum  er minorem tertius numem
medim dppandtur.dd quern ed proport tone mdior termi
nmfe bobcat : qua fit ip[dproportio,qu<efubducidcht.
ltdinter numerum medium  er terminum minorem inueni
ttier ed proportiotqu# ex fubduftione rejlabit. Exempli
grdtid . Aproportionetripld inter <s v  i fubducd*
mmfefquitertidm.PoRqudmnotdtdfunt 6  er zl tin
tnerrn exquirendus esl: dd quern mdior terminus , uidcli*
eet 6 proportionfefquitertid, qu# fubducenda eft: fie
hdbcdt, Bum dutem numerum fide inuenies : ft memo*

ridte•

LIBER IIII. 544

Yidtcnesregukm, quum fuprd enamuimut. qu£ e&
buiufmodi. QUdndo tnaiorterminusproportionscu*
iufus un 'd cum cm denomindtione notus eft:fiipfum ter•
minm. per proportions illm denominattonem diuidut :
minor terminus ignordtut exnumerofettionisinuenie*
turjgitur <s ittd,qutefifefquiterti<eproportions,quant
imefttgduirmimnorem termin m pr<eftdnt:per cm de
nommationcm if diuidenddfunt .er numeruspdrtitio*
nisprcfiret  -f. qusfacimt  4f . is ter mins minor
crit proportions fefquitertite inter 6 &  4f. Dc=
inde poftqttdm per ccmpurdtionem mdiorii extremiui
medium numcruminterfcrtum ,proportionem dufcren*
idm dcprjebendifti : rurfus compard medium numerum
id extremum mimsio-proporttonem earn, qu£ex fub  «
dudione relinquetur, inter eos reperies, qtt£ eft dupkfcf
quiqudrtd.  I d ltd cfje probabsifi rehtt£ dupU fefquiqUdr
tedenomindtionem ddfubdufi£ fefquitcrti£(jicutimon*
ftrduimut)dddes.rurfus ndmquendfceturproportiotri*
pld. per hdnc fubducendi utdm,tres proportiones fimul
Me oculos licet cernere, unam, d qud[ubducityus. dlte ■
r<tm,qudm fubducimus,tertidm,qudmrelinquimus. Hi*
iem etidm dppdrent fingukrtim termini. Adh£c propor
tmumdiffvrcnti£,qu£ex[ubduftioneomntur,pdtefiQ
Mperhmcmodm.

34? ARTIS S V p

tripla

tertiet quiquartd

Proportionum igitur idditio Kultiphcdtioni mrnffl
rumfimilis effe uidetur. At ear urn fubdudio magnopek
diuifionis. prrffcrtim eius,qu£ fit in minutijs : Jimihtudi «
nan refert. id,quod ea,qu£ hoc capite,&-'proximo fuitt
didaimanifeflum (haunt .

DE PROPORTIONVM
Multiplications .

M Vltipliaitio proportionm longe diuerfaedd
ea,qu£ jit in numcris . N«i«cra namquc cd uni »
tatm colledio. Atproportio numerm non ed:fedipfo
rum mmeromm inter fe rtfpedus z? habitudo: qut
tnfi inter duos minimum, numeros efje nequit. Igitur pro =
portionem per proportionem ,uelut per quendam mi 1
merim, multiplicari, fenfus communis non admittih
Cztcrum quando proportto proportion ed addenda
numeri ip fas denominates,aut ip farm termini, per i*  i
liar urn denominationes, aut terminos multiplicari po[* i
funt:/icutifipra de earum additione fheienda didm ed . f
Qu.e denominationum aut ter minor urn multiplicatio cjl t,
add'.tioipfarmhabitudmuniMproportionumdiucrfa  |i

m

LIBER IIII. 54^

run coUctttoncm in mam fmmam: uulgus multiplicati•
cncm put at , quod per earn fiat: cum tamen fit additio ,
Quare proportionum aliarum per alias multiplication
to modo,quofit in numeris:nulla proprie cffepotesi,
Verum ft per proportionum multiphcationcm intelh*
gw fimilem o continuum getterationem plurium mime*
rorumproportionahum ex una flirpe nafcentium, ofe
mdurn datum proportioncmminimoru: cu fiet ad hunc
tnodum.Proportioqueuis,cuicompluresJimilescontmu
are cupis: minimis numeric,qui earn proportionem babe
ant: uelutftirpsqu<edem,ex qua ceteraproditure funt :
itotetur . D cindc prior aus terminus infe multiplicetur ;
produttusq; numcrus fignettir, iter urn idem terminus du
utur in pojteriorcm  . produttusty fecundus apponatur
numerus. Tertio poflerior terminus ducatur infeipfum .
nu mem'q- prcduftut tertius tertio loco flatuatur. atque
ita inter tres lUcs produttos termines duo interuaUa ha*
bmtur.o due proportions flirpis > ex qua dude funt:
fimiles nafeuntur, eaq- proportio , que inter corum ex*
tremos efltiuas alias medias compleftitur. Exempligra
tia-proportionem fefquialteram fignemus bis numeris
! o  2• ducamasij;  3 infe,o nouem furgent, lte*
tumq-  3 in z ducamus : erfient s • Bemdez infe
multiplicemus: o prodibunt  4. inter quos tres numeros
product os  9.5*4. due proportionsfefquialtere con
tinuantur  . o inter primm  9 O ultimum  4 dupla
ft fquiqurta ex Hits duabusfefquialceris,<ompofiU inue

347 ARTIS S VP.
nitur.Etquia  9 cr+ iUorum triumterminorumconti*
me proportionalium cxtremi, contra fe funt primi: idea
tres lilt fecundum datum proportionem funt tres minimi .
Hum fecmdumEuclidem,Si numerorum quothbet contU
nueproportiondliumduo extremi fuerint contra fepri*
mi: eos omnes, fecundum fuam proportionem in totidem
numeris fumptam,minima cffcnecejfe efl. Quod fi qua*
tuor numeros eadem proportione procreare uolumm
primum termmum jlirpis in omnes tres numeros produ*
ft os (ingulatim ducamus.numcrosc £ ex bis denuo produ*
flos feorfum notemus.Deinde fecundum terminumflirpis
multiplicemus in tertiumproduflum folum.  er numem
exhoc produ ft us quarto loco fignetur ..Igitur in exem*
plo priore quatuor numeros & tres fefquialterds pro*
creaturi,primum numerum produftum,uidelicet  9 in ;
ducamusicr [urgent 17• Iterivm s fecundum produ*
Urn in  ? ducentes,  is formabimus-Rurfus  4 terti*
tmproduflumin  j multiplicantes producemus a  •
V)emimq-fecundum terminum jlirpis,wdelicet % info*
lim tertim numerum ante produflurn,uidelicet 4.dn* •
centes , efjiciemus  s . quiquartuseritnumem. inter  j
quos quatuor numeros proporttones fefquialter£ tres  1
babcntur.crproportio inter primum 17 , V ultimoB  (
«, ex tribrn tllis coaceruata com per letur, tnpla fuper « <
tripartiensoflauas. Et quoniam 17, zr  s qui quatuor  <
iUorum continue proportionalium extremum locum tt*
nent: Junt contra [e primi: ideo quatuor tilt fecundum da  *

liber  irir. 54#

(dm proportionem funt quatuor minimi. Eodem modo
prioremtermimmftirpis ducentes in omnes quatuor il*
los numeros ultimo produdos, uotantcscfc numeros rur»
fm producendos, e1 deinde pojicriorem flirpis terminim
in folrn quartern poftremo product urn multiplicantes,
fbrmabimus quinque numeros,  e r[quatuor continue pro
portionesfefquialterds. Sic$ etiam ulterius quotlibet m *
tneros eadem proportion continue firmare licet  * uti
pbiede note monfir ant,

8i,  54. 3<S- 24, l Si.

2  7. 18. 12,  8.

9 , 6 ,  4.

5. 2.

Quod ft cuiproportionem per numerum aliqueni mu
tiplicarelibet: tunc proportionis denominatio uelutali *
qua alia res numerata dccipietur.ty ideo quot unitates in
numero produdo reperientur.totidem proportiones Mi  a
^denominations per numerum Mum produdum deft •
lubuntur-Veluti fimamtriplamper numerum ternari•
mmultiplicdreuelimustfurgent 3 triple,ft duos triplet
iitternariumduedmus: fient 6 triple. Similiter ft unant
quadruplam per ternariim multiplicemus: prodibunt  •?
quadruple./? % quadruplets internarim ducdmus,ori*
tntur s quadruple,crficdedli/sfiat,

DE proportionvm

Di uiftone,

%

J4 9  ARfli S ? P,

D luifio proportions fittquando inter eiusextremi
uelunus terminus medium , uel plum interponm
tur  , quo fit,ut diuidendaproportio in totidem alias pro*
portioncs fecetur: quot inter ualla inter eius extram ex
ilia mterpofmone oriuntur. quadere [uperius abunde
dtximus: quando docuimus,  qh omodo proportion qut
uis occurrente, proportions alias ipfant componentes
inuefiigares . E xempla lUic explicates hie tantmatm
gemus. Si proportionem duiidendam partin in duos pro*
portiones cupis: unicus terminus interferendus eft. ve*
luti ft in fcdecupla proportion inter 16 & i interpo*
trn  s : in duos proportions cam fecab is. quartern uni
inter 16 O'  s dupUerit. Altera inter s  er ioflu
pla. At /tin eadem fedecupla inter eius extrema y tres ter
mines interponestulpote  s. s,s, utquinque termino*
rum: Inc fit ordo  us.s.s.j.i. in quatuor proportions
fed to per hoc fiet. quarum prima erit dupla. fecundi
fefquitertia. tcrtiafefquiquinta , quartaquintupla . Si*
militer etiamfiet : fi quothbet terminos medios appor.es.
tiam in totidem proportions jitta entfeftio: quot inter
primwm  er ultimum comperientur interuaUa.Nec quit*
quam rejirtiqui termini medij inferanturtetiam ftniiuo*
re extreme maiores fint:aut minore minorestquemadmo*
dum iUiclatiusexphcauimus. Adhuncmodtmdmifiojit
in proportmibus: nec uUa alia 3 qudtn heec eftdn eis rept*
rifjflr.

Q.VQ

tiBER III!. 35G

t^VOMODO PROPORTIONEM
inter quosuis numeros afignatam inueniat
in minimis numer is ,qui earn proa
portionem babeint.

I fUter qmlibet numeros dfignatdm proportionem in*
ucture potes in numcris fecundim em proportio  a
item minimised kune modum. Principio obferuandtm
t& : an numeri ipjius data proportionis fint contra fc
pnrni : ut nuUus numcrus e m  mmeretprater unitatem «.
Mm Ji [unthuiufmodi'M ipftfunt ea proportione mini a
mi, Sin dutem alius numerus prater unitatem cos names
rat: mdximtts numerus utrunique comm uniter numerans,
tftimejUgandus. & per ilium muentum uterque numea
form, tarnantecedenS i quant confequcns diutdendus *.
Qmo fiet: ut in numeris ambarwm [eftmum minimi e  *'
iufdem proportions numeri appare&nt. Nam maximus
numerus duos comm uniter numerans numer at eos , per
totnimos illiusproporttonis numeros, Quomodoautent
maximus numerus duos communiter numerans [time*
ftigandus : fuprd libro [ecundo copiofius admonuimusi
3 undo docuimus, Quomodo partes ad minimam[u no  «
tnenchturam redigantur, quare quaiUic de numeratorc
V denominatore partium funtdifta : kic de numer0 ana
iteedente zpmmtro confequente cuiufque proportion
Hisrepetitaintettigantur. namidem utr obique modus e&
V- partes 4d minimum [ui tiomenckturam, w proper*

Artis s v p»

tiones id minimos numeros ipfets habentes, reducendu
Exemplumdemus in numeric contu fe pnmis. inter ?
Cr ? proportio dupk fefquitertid eft. ncc minores nit*
tneri habcri poffunt:inter quos Jit ed proportio.  E xem*
plum demus in dlijs numerts communicdntibus: quos com
munis dliquisnumem dimqukmunitds metitur . Veluti
inter x CT  iy: inter quos proportio dupkfefquitertid
ex fettionemdioris per minorem reperitur.  er quid utcr
que illorum numerorum numerdtur k  y, qui mdximm m
menu eft coscommunitertmmerdnsuitrumqueper  y di*
uidmWi .  er exfcttione  jy fi.ttd.pcr  y innumcropir*
titionis 7 inueniuntur.iter um per  y diuiddmus  iy :er
in numerofettionis % prodeunt. fic ex duibus iUisfeflio
nibut minimi numeri 7 V"  3 compcriuntur ".inter quos
proportio dupldfefquitertid hdberi poteft .

O.VOMODO PROPORTIO NVM DIS«
mttirusn Jimilitudo inueniri pofiitjn minima
numer is fecundum ip fas proportions
continue proportiondlibus .

P Rcportionum qudrumlibet, que fepttrdt<e funter
difiuntt£:fimilitudo in minimis numer is continuity
proportiondlibus fecunduilldsipfdsproportionsdifiuit
ttdsjnueniri poteft boemodo . Notentur qutuis proper
tiones di/tunttce,fuis qu £<£ minimis terminis . D einde mi
nimus numerus exquirdtur : quern prim* proportioni*  1
extremum confequens jy extremum Meesdens fecund*.  1

turn*

UBER IIII 35a

pmerant . Hunt is inuentusprimam proportioned cunt
fscunda copulabit.  E xtremum autem antccedens ei adiuit
%endum,itadcmum imeniemttttftprinue proportions
antccedens per eum mtmerum multtpltcamts: per quem
pnmee extremum confequens multiplicatum,producit mi
tninum ab co,z$-antecedentsfecund# numeration. Cons
fequensuero fecund# proportions continuand# exqui*
remusifiper eum numerm multiplicands confequens, ft
fund# proportions diftuntt#: per quem antccedens  e*
iufdemprocreat minimum numerm ab ipfo,z? prim#
dfmtt#confequentenumeratm, Dcinde ft antecedent
tertice proportions difiuntt#,per aliquem numerm nu*
rnrat confequens fecund# continual; per cundem multi
plica confequens terti# difiunft&ic? produces confer
quens proportions terti#,cm duabrn fuperionbus con
tmand#,Sin autem tertiu antccedens difiuntt# propor*
tionispernuUm numerm emmerat confequens fecun *

1 le continual: inquirendus eft minimus numerus, quem
mfequens fecund# continuat£,er antccedens terti# dif*
ittntt# numerantiis autem mentis, antccedens erit ter *
tie proportions continual#, Pojleafi confequens terti#
itjiunft# multiplier 's per eum numerm per quem an •
tecedens eiufdem multiplicatum,producit niminm ab eis
iwtneratmiprodibit confequens tertie continual pro  «
portions * Demdefi reliquos terminos antecontinuatos
toultiplicabs per em numerm: per quem confequens ft
tuute continuity producit minimum afe,erab anteem

% t

353 ARTIS S V  P.
dcnte proportions terti* di/iunfle numeritm: fret
proportions difiunftim propofit* conimgentur, idfy
in minimis terming. Et quantumdu£prim#propor*
tiones,ante in minoribus termini* coniunfl* eranf.bat
tmentres umuerfas in minoribus termini* copulare non
licet. Atquead eundem modum quotlibet proportions
eontinuari poffunt. Exemplum affix amus de tribus pro  *
portionibus: ut res magis apparent : redigamuscfc ad mi *
tumos numeros continue proportionates has tres propor
tionestuidelicet pr imam, triplam fupertriquar tarn. Sccim
dam,fubquadruplam fefquialteram. Tertiam, fefquialte*
ram . Porro minima tripla fupertriquarta reperitur in  *
ter is O’ 4-minima fubquadrupla fefquialtera inter »
C t  9. Et minima fefquialtera inters O'  *. quesnu*
merosminimosin ordmemdejignenm. Deindepmat
duos proportions per terminos continue proportiona*
lescopulaturi, minimum numerum inquiramus: quern  4
confequcns prim*, O'  » anteccdens fecund* mm*
rant . o quiahifunt numeri communicantes.ideo mini*
mi ittius proportions,cuius ip ft funt-jnqiurantur.illi an*
temfunt t O’  >•' quiinuentifubnotentur: t fub 4,0
1 fub  z« lta flue 1 in 4.,flue 1 in  i ducamus:compe*
riemus  4 minimum numerum mmcratum ah e is . nan
fecundumEuchdcm. Quihbet duo numerimmimosnu*
meros fu* proportions,maior mmoretn,aut minor ma 3
mem, multip’icantes minimum ab ipfis numeratum pro 3
due unt, quart fupra mtkminterprimmproportw•

nm&

user  Hir. 554

Hem<^fecundmiUm annotemus.  P ojlea antecedent ri

adiungendummsfhgcmus:  cr quid  4 confequcns pn 3
mmrntut  4 minimum numcnmnumeratmdconfer
quente prim&, ct antecedents fecund# per mitdtem. per
1  eammultiplicemiu antecedent primes:  or ipfa  ij pw=>
deunt: qu£ fupra uerticem pgnataantecedens erunt ai
Oht  4 fuprd annotata. Deindc ut confequcns fecund#
proportions command# exquinmut . quia 1 antece*
dens fecund# dipunft# per 1 multipliedta producunt
4: minimum uidelicct nmierum numeral am a tonfe*
quenteprim# dijiunft#,  or antecedents fecund# difium
h#:peritk % multiplicand  9 confequcns fecund# df*
iunft#:  or producemus  is: qu#fuprd uerticem fignata,
confcquens erunt proportions fecund# continual#. Sic
tx duabus proportiontbus dtfiunftis diias #didimus pro  «
portionescontmatM : quibis tertiam dtfimttamcopu*
iemus . E t quia ternarius antecedent tenk dtp,unci# nu¬
meral confequcns fecund# continual#, uidclicct is per
«imultiphcemus confequcns terti# diptwfl#: nempe %
per ittd ipfd 6i  or prodibunt ducdecim qu# erunt con  •
fequens terti# continuat #. ltd quatuor hi numeri 1 ;. 4.
is 11, continue proportionates erunt , fecundum tres iliac
proper tioncs dipuniias. uidelicet triplam fupcrtnqmr*
tarn, fubquadruplam fefquialteram, cr fefquialteram .
Minimi autem continue proportionals funtrm qmbui
bxs proportiones fecundum ills difumflas inuemre li «
«f. quia nullt totidem bis nmores hoc pr#ftare poffunt  *

555  (ARTIS SVP.

15 4 18 iz

15 4 I 2 P [ ? 2 f

Sin  ditfem (ertiuwt antecedent, prop ortionus diftun  a
ft<e, per nullum numerum numer at confequens fecundte
continuattciinquirendus eft minimiu numer us, quern  co«a
fequensfecunck continual CT tertium antecedent dipm
ft<e numerantiuelutift quadruplam inter 4 cr i , fefqui*
alteram inter  5 v  i, actriplam inter  ? ct-» contim*
arc uelimw.comperiemm eo modo,quo iam diximm:prU
was duets proportions quadruplam  er fefquialteram his
tribus minimis terminas n. j.o-ifecundumdataspro•
portions continuari • Quibus tertiam difmftam pojlei
copulemus.cnquia $ antecedent terti&difimtt<e, per
nullum numerum numer at conf:quens fecundte continue
tte i.mquirendws eft minimus numerusabbis numeral
tus.crquiis  er » funt numeri contra feprimi: alter in
alterum ducatur,cr producentur 6 . quteeruntantece*
dens tertie continuandteiutfupra uerticemconfequen*
tit fecundte. continuattereponenda funt. Deindequia t
antecedent tertiee difiuntta dutti in 1 produxerunt 6 ,
Similiter per iUa ip fa i, multiplicemus confequens ter*
titedifmnftte,uidclicet »: crprodcunt i-quteeruntcon*
fequens tertuecontinuat£. lamuero quia ter tiapropor*
tiocontinuata inter <s cr x maioreshabetterminor.
quam ut priced entes ante continuati cum ea congruant .
er confequens fecundte continual 1 multiplicataper t
produxerunt mimm/ti afe nttmeratum  ♦ mltipltcemM

UBER  IIII* yS

per flU t antecedent fecund# continual#,uidelicet $
prodcunt  9 . queiamerunt antecedent fecund# conti*
mat#:  er fupra uerticemante a (latuentur. Rurftu per
ilia i multiplicenmetiam antecedent pnm#contimat#.
uidelicet n : o-prcducentur ta, quxtameruntantece¬
dent prim# continual#: zr fupra uerticem ante  9 repo
nidebent .Itainhisquatuortermmis 16.9.6.1. contU
nuatcefunt inminimis teminis tresproportionet, uidcli*
cet quadrupla,fefquialtera tripla,fecundm Mat tret
Aifimftas datas.Exhac autem pojlrema ter minor um an•
te continuatorm mukiplic&tione per mm & eundem
numertm fatta, prepterea ut cm tertia continuata pro•
portione conueniant.producuntur e#dem proportions :
qu# ante in minor thus ter minis contimateerant.  N<o»
fecundm Euclidem, Siunmmmem inpluresducaturz
eadem crit numerorm inde produftorum, qu# mdtipli *
cat or urn propertto .

36  9  6 Z

12 3 2

41  | 3 2  j 5 I [

H acrationebis quartam proporttonemdifiundlamf
©* quothbet alias per terminos continue proportionates
connettere licet, nam de primis quibufq} proportionates
prim urn expedire oportet: atque bis adipiatis , ad allot
(ranfire.

DE  PROPORTIONE HABEN«
jemedim duo§extre m*

Z  *

#57 ARTIS S V  P.

A  Pud Geometm faeries quadam proportions bii
ge k pr&diftis diuerfa repentur . quam Euchdes
nuncupatproportionem habentem medium duoq- extrs*
nut • Ed mnquum in paucioribus terminis, qukm in trtbui
bdberipotcft-.cm extern proportions inter duo conn
ftent. Qua in re fimihtudinemproportionalitdtis refirt .
O' ud quorunddm corporum dimenfionem, qug fine ci
inteUigincquit .adinuenta . Geomtlxis dd multa conjirt:
ficuti Euchdes hbro  ij multis prgeeptis exphedt. qui
etidmhbro 6,propofitione 19 ,[ecundumeam propor*
tionemlmeamfecarcdocet . Verumtamen quia in nume•
ris huiufmodi proportio non babetur.nec ad fupputatm
nemficif.nos Geometris cam relinquamus .

DF. PROGRESSIONS NVME-
rorum continue proportionalium  *

P R Oportionm conttnuatarum progrefiio , quait
Geometricm uocant,eft plurium numerorim con
mueproportionaliim in mam fummam coUeriio :qua
compendium affart numerandi cos numeros , inter quos
continua cr gqualis e&proportiotquamuis mmerorm
differentig ftnt mqualcs . El quia proportionum fames
mm funtudeo uam in his dantur progrefaonum regu*
he,Quarekmulttphcium faerie,in qua dupli primum  oc«
currunf.fkciamut exordium .

l« compluribus numeris duplis longa ferie continue
tis, primus numerus k pojlremo fubduci, O' quod dc ipfo
j poflremo reliquim erit : dd ipfum integnm poftremum
\ > dddi

LIBER IIll. 359

gddidckt'Sic fumma, qu<e indc furget'.omes ferieicon*
tinebit imitates, nec quicquam refert'J quo numero [cries
initirn fumat.neque an mmeriproporticnalespnt inte*
griian minutig, Exemption dmws in his numeris  j. <?.
u. 14. 4 s. A poftremo  4s fubtrabe primum  3: gr fu*
percrunt44.ea addead  4 s:er fient 9 i.ea fummaeft il•
hm prcgreftionis. idem crit ft ab imitate mcipiaf,ueluti
1.1.4-8. 16.  jr. 64. ab ultimo 64demeprmum 1. gr
rehquaquafunt <ss ad 64 adde. gr crefccnt >17 . qu<&
fumma eft uniuerforum-Regula hue gr ccrta cft,gr per *
petuaificutiUa de tnplis-

Quando numm tnpli tonga feriecontinuantur: pri*
mmapeftremo fubducito: gr reliquidimidium, queddu
poftremofuperesh integro poflremo adde.  I ta numerus
umuerforum prodibit: a quoctmque numero ferics inci «
piat:etiamfiminuti£ inter ucniant.Exemplo fint hi nume
ri  i.3. 9.27. si.toUeprimum  1 dpeftremo  si: grrea
flant so. cuius nmeridimidium esl  40. ea adde ad sc-gy
fient in. quefummacftomnium.Stmilitereuemetfidt
incipias-i. 6- is. 14.deme t a  5-4: gr remanent si. cuius
numen dimidtum esl z s. ea adde ad  54: gr [urgent  8ot
qua fumma cfl uniuer[orttm.

Sin quadruple r.umericontinue proportionates occur•
rent: deme primum de poftremo: gr terttam partem e  •
ius reliqui,qucd de poftremofupereshad tpfum integrum
poftremumadiunge. gr fumma uniuer forum babebitur*
Vjluninbii mimris u  4* i.«* s 4 . [ubtrahe primum

35P iiRns svp,

i s^cr  «* rcliftdfunt . quorumpdrstcrtideH  ». P4
addeadultimum 04.: &■ exeunt ss fummdomnium,lti»
demeritin  i.s.ji.us.tofle 1 at nsietrelinquutur  us.
quorumtertia eft 41 .qu£ddditadd ns . procrediit 170
furnmm uniuerforum ,

Af K&i numeriquintuplilongd ferie conned untur: fi
primus  4 pofiremodcmdtur,®-rchqui depoftremore «
fcfft pars 5 « 4 rt 4  4 d integrum pojbrcmum ddddtur : omm'«
urn ndfcetur fummd. Vtpote fubtrabe 1 ab

uy: Cr refldnt  «+ . quorumqudrtdeft n.  4444<&&<t

iitficiunt 1 $<s.qu£ fummdcdpitomnes.sk ininfim
turn procedit or do in multiplicibus . «f /? progrefiio jit in
fextupUs:poft fubduttionem primi db ultimo fittum purs
reltqui quintd iungdtur yltimo-Si in fextuplis:poft fittum
primi  4 pojlrcmo fubtnftioncm ddddtur ultimo pars [ex
td.Si inoftuplir.pofteiufmodifubduftionempdrs fepti*
m ddiungdtur. Si in nonuplisipdrs oftaud.Si intecuplis:
pdrs nona-e? fit in infinitum poftfibduftionem primi db
ultimo fdttdm eapdrs rcliqui,qu£denomindtur  4 numero
unitdte minore,qudm proportions denomindtio fitldddd
tur dd ipfum ultimum.  er omnium fummd prodibit .

Deprogrefiione dtuem numerorum [uperpdrticuld*
rium unius proportions,ddntur ctidm reguLe, &■ in pn•
ms hec de numers fefquidlteris.ln numers continue fef*
quidlteris fi primus duplicdtu 5 fubducdtur db ultimo tri•
plicdt o,id,quod reliquum eft: fummdm omnium numero•
mmtonftrdbit.Exemplofint  4 g. 6\ duplicd*

crfiwt

uber  inr. 5<^@

hfiunt  4. Triplica 6\:et[urgent Zo £ -Squibefub
train  4 terreftant 16%[ummauniuerforum.

At in fefquitertijs prtmm numem triplicate ah uku
mo quadruplicate demendeeft : w reliquum indicabit
omnium fummam*

I n fefquiquartts prime quadruplicate a pojlrcma
quintuphcatofubducatur.crreliqmmottflrabitfumma
is fefquiquintis prime quintuplicate ab ultimo fextu
plicato dematur. z? nltquum fummam profered
In fefquifextis prime fextuplicatutapoflrcmofiptua
plicato dmptm, omnium f mmarn relinquet* Et fie in in
fimtum, numem exmultiplicatione primiinproportion
nisdenominatmem produce, fubduci debet a numero
produfto  ex] multiplications peftremi in numeru moms
iorem>qu'am fit ipfa denominatio . ita reliquum monfir a*
lit uniuerforum fummam  * ttec rejert d quo numero pro  •
g refiio fumat initium .

Similiter ad alias proportionum ffeciesregule dari
poffunttfi cut obfxuare libet. Verutamen nifi/idles find,
mlto fade eritper additionem , ipforum numerorum
fummam coUigeretquam per fexuofas ambages compen
dium [eftari. nam quorfum progr efio-.fi compendium ni
*§rtt

DE FALSARVM POSI*
donum regulis.

S Vperefl nunc, ut uiam aperiamus-per qudm ex fir*
tmisconkdmk t at^ ipjis quiiem fiffis,  cr <td qm

£ ib br  mr.* $ 6 t

ertorcs infequuntur ipropofiie qu£fliotiis ueritas expli*
tetur.Arabcs o  P hoenices mercatura celebres,o d qui*
bus Arithmetic a projifta primum putaturtartem illm ue
ntatis inuemund£ barbaro uocabulo cathaym appel*
lant . Latini fiue fklfarum pofiuanum.Jiue fdlfarum conic*
fturarumregulas meant, per quas pene umuerfa, qu£ ad
ncgociationem attinent: dtet aha pieraq; pofjunt expedi*
ri tmodo aliqua reipropofit£ pars (itcerta o cogmtd.
Per cant namque miro compendio reliqua omnia ignora*
laiquantwmcunque £nigmapr£ fe firanticontmoinue «
fligatain noticiam profiruntur. Qua in re diet non po*
teft,qudm diuinis tngenijs prgditi fucrunt primi hunts fei
tntu inuentores: quorum folertia jdftm eft,utqu£plc
risep inperferutabdia uidcnturinuUo negocio in luce ueni
*nt. Porronumerorim qua/hones mulUfepe occur*
ratlin qmbus rei propofite pars aliqua nobis cognita eft.
fed alia ms pars,qua maxime feire cupimus: dfenfu com
muni longe f mmouetur.qum ut am parte nota congrti
ercfaciamus: pro arbitrionoftro finger e poterimus earn
effe, quse magis apta uidetur . o cum obferuauerimus,
uel qttdm props come ft wr a noftra rem attigit : uel qu'rn
longe a fcopoerrauif.iterum conijccre licet: ut fipriorc
conteftu parm proficerimus, faltemfecundo propius etc
tedamus. Quecumq; autem per unicam pofidoneminut
mnturiea etiam per duos expediri pojfunt ■ C£teru e con
utrfo non idem eueniet, neq- enim quicquid du£ pofitio*
m exphcantiid uttica prteftabit, Et quod maxime in his

adtnirm

t i8er  mr,

iit/nirdndum uidetur, nihil referttquAm longtconiefturi
ties fatlat,nam per illos ip [os e rrores, reguU mox dandfi
tios ad uentdtem perducent. De mb usdtcere Aggrcdte •
mr: v quidem pruts de ca,qu£ per unicam pofitionem,
id quod qurefitm eftteruit,

EEGVLrf DE VNlCA FAL«
fdpofitione.

I N numerorm qufifliombwsjn quibui purs eft cogni •
ta,pars eft tgnordta:frequenter euenit,ut unica conic*
ftura (brtuitd,tdm  er ft aberret k uero:id quod inueftigx
turmdniftflet.NAm cum obferuamustquid ipfuconieftu
rApArif.proportionemq-dtmotamus; qu<ceftinter id,
quodcoriqcimus'.o- id,quod ex eoconfequiturtad exem*
plum iUms, inter partem cognitacr partem ignoratam ,
proportioned alteram procrettrelicef.dummodo nos dd
Met quatuor proportionalium rcgula:qu£de tribus no*
tis quartern ignotum profirentibus fuprk data eft. Quip
pe cm triafintcognita: prim urn id,quod conijcimustfe*
cundm id,quod cx eo confequitur: inter qu£cadit pro*
portio: tertium, quod de queeftione propofitd eft cogni*
turn : certe qudrtum , quod ignoratum eft : er tertio re*
ffonderc debet: nequiquam Idterepoteft.ltd unied pofi *
do prtmdm proportionem fibi fingit.dd cuius exemplum
regula iUd quatuor proportionalium fucccdens, aliamcfc
ftmilem proportionem formas ,id quod qu£[ittmtft:con
tinuo in lucem profirt.Uxewpla rem magis Aperient,  „

563 ARTIS S V P.

Viator tot meos in itinere reperit:ut eortm pdrsfe i
eunda tertia$ quarto fiimul adiit£ facerent so- H£»

fitatur.quanamfumm rcperta eratfPone quamuisfam*
mam , qu£ partes eas habeat. ZT uide , aniUmfwmma
partes denminat£ fimul addit£fkciant so. Si faciunt:
ra fimrna e§l,quamqu£ris. Si non fkciuntiulterm inue*
fiigabis hoc modo.Ptnge fumniamrepertam, qu£ partes
eashabedt:e([e tz, cuius dimidium ek  <r, tertiapars 4,
quarto  3: qu£ omnes fimul addit£ faciunt ij. at tuque*
tis so. igitur coniefturd te longefifeUit.Veruntamen tile
ipfeerrorin uiam tereducet.firembeneconfydercs.  N a
ficut partes fmmeper conietturapofit£,qu£ fimul ad*
ditefiunt : fehabentadipfam fmmamtotam,queeh

tz: jicpartesfrnrne reperte fimuladditequefunt  ?<>:
ttdipfamfummm repertam,qu£ignoratur:[e haberede
tent. Atque idea ad regulam de tribus notis negocim fic
applicabis. Sit;,qu£ partes fimuladditas notanp-ueniunt
ex nmole dtepofitisicuimfumme partes tile eruntqui
cottett£complent so fSequens regulam multiplied so pet
tz: CT (urgent 600. edper  15  dutide: & prodibunt
i 11 '* f mm  dureortm reperta erat.cuius aid'
dimefl z^j.parstertiaif T f parsquarta Utj.qd
partes fimul addit£ faciunt s°. Similiter eueniet: qua '
ernqs alia fumma quam tz per conicduraponatur.nto*
do partes eashabeat.Videsitaq ; per auimmentumregU
he de tribus notis mica coniefturd firtuitd rem expediti
me dtubus pojitmbM ejfi opus*

LIBER 1 III. 364 ,

Prr hanc rcgulm exempla,que fequuntur.poffontex
plicari, qtt£ fobijcienda duximusM ad ea menes excreta
antur •

I Nuejligetur numerus: in quo f  fint ~ .Pone manta
runr.quem uolcsiquipartcseaskabcat-uektti  s ■ &trim
dequamumcapiant  f .erinuentis  4 -auttuquxris f.
Scrutamgitur.fi  4 jdciunt  f dc 6 ;aequo $ ample*
bum fftentaicrinuenies  7 f •

E xquiratur numerut: ex quo, pollquam pars tcrtu,
pirsquarta,c 7  pars quinta fubdud£ font: adbuc
fupererunt  *4 . Pone numerum aliqum : qui partes cue
babeat.Vcluti  so • Pofleddemepartes Matter uide,qmd
reftabit-er inucnies  u. Eccequdntumerraftiqutjiuifli
Htautmueniftinifi u. Quamobremfictecumratiocinct
re. si  ij poft partes fobduftas fuperfunt de 60 : de quo
numcro,pch fobduftas partes freliftaerunt  14. Tentat
per rcgukmde tribus notistcr mentis  no If- nume*
rum ilium effetcuius pars tertia eft 36  ff-.Q uarta  27
tf.Q uinta  22 T f -qu£ omnes fimul addit£ jdaunt  S <5
If. E tfi fubducantur d no jf : reflabunt  14.

S I quis numerum cxquiriiubet: a quoparte[ecunda,
tertia,  er quarta fobduftis: rcflent  14. Continuore*
ffondc,id fieri nequaquam poffe.  N am quicumq; numerus
fumatur.qui partes eas habeat : femper minor erit, quam
partiumipfiusfummacoaceruata.quofiet'.ut neiUaqui*
demfubducipoj!>it:nedumquicqudmreftare.Quippe(ub
obiter admoneamus) tres font nmerorum faeries . Vn 4

H r  r i s s v p.

eft eortm: qui partium fuarm fmmarn tnaiorembM
bcnt,quam fint Miipfi. Hi abundantes uocanturtcuiufmtS
dinumcruseft a. namhuiusdimidiumeft a: parstcr»
tia  4: quarta jtfexta 1 tduodecima  1 . qua partes fitniA
addit£ redundant m  «6: er corporisftti mrnerum uiit*
cunt. Item 14 numeruseftabundant.namciusdmdm
eft u: pars ter tia s. quartet eifexta  4: oftaua % -.dm
deeima nuicefimaquarta  1 . quar urn ftmma redundat
in  5 6. Altera eortmfyedcseft,quidimmtiuocantur-w
quibus ftmma partirn fimul pofita minor eft,qum lint
ipfi.cuiufmodi numeruseft  s. nameiusdimidam eft 4:

pars quarta 1: oftaua  » quarurn partim colicfta fm
m 7,minor eft : qu'am totum corpus .Item  1+ numerus
eft diminutut . namdimidim cm eft 7  . pars feptirn

1 : quartadectma  > . ftmma omnium 10 totocorpore
minor eft. Tertia Jpecies corum eft tin quibus partesin
fummamcolieft£ fuocorporifuntcequales. Hi, quianct
exceffum necdefeftu habent:perfeftiuocamur,cMufmo*
dinumerus eft 6. namemdimiditmeft s:pars tertia
tifexta  * . qii£ partes compofiu redduntetiam s:
Item is numerus eft perfeftus.namdimidiumhabet 14;  i
quart am partem  7*' feptimam  4 . quartamdccimam it  I
uicefirnamoftauam  1, qu<e partes coaceruat£ fuototo  |
mmertm tequalem fcteiunt is . Hi numeri perfefti, quod {
rari finttuiris bonis afiimulantur Ataque ut ad rem reded t

vifkttt'Sfa'niiiwixu nuvMPYUje/Ini  ~ 1?. . /’!(» I#

LIB E R LIII.

froferunt  13. qu<t <iu fubducifiequeunt.Quod finum*
m maior partes eafitmbabens funutur: partium fwi*
ma maior redundabit . nanunquamfietearim fubduflioi
nedumqutcquam rcflabit. Quarepropofitisbuiufmodi
quefmibw, > conimuo,prmf'quamad ititu rcffondemus'
nobifcum mcditemur, an pofibiliafuggerantme labor ira
rituffrujira fufcipiatur.

S I  4 cjfenf.6quisnumeruseffetlotPmfquamreffoti
des,qu<ereabinterrogate ‘.quid inmigat fcrmone
tdmambiguofutrit uelit  4 crefcere Ad 6,an  s minui ad  4?;
kenimfi^crefcuntad 6leaderatione loadifcrcfcent *
Ham ft 6  in  «o ducMtcrefcetSo.quat ftfeces per  4 :prode
unt At ft 6 ad  4 tnmuere uoks ficratione fncitoSi 6 ft

tnt^quid fient wfDucantur iinw.cr furgct4o.qu<e di
Hide per s: cr exeunt 6  f  • eoufq'• minuenda effent to  *
Itidemftquis ficrcget. Si ~ de 5 effent  3: ip fa  jr
turn numeri effent  j i queerendum ante omnia efkquid ft
tiuelit. Nam fidimiaium de  3, quod esc 2 f : crefcere
iebetad  3: E ademratione $ perregukmde tribuino•
Us erefeent ad 6  . tyerunt f de  14. At ft  3 minuide
Pentad 2 ~,Eadentrationc  3 perregulamdetribuino*
minui debent ad  4 f.crei'Wtf £ de 16  f .

S I 3 effent  f de 7  : qua pars  4 effent de n t ft
3 crefcere debent ad  3 . ferutare : quid fecundum
umrationem  4 tffe debent, wperregulam de tribus
Wicinuenieseaerefceread 4.-.tamuidendum  4 f «•
parsfutttde n. id quod fetes:flu per 4 f feces.jw.
i  - b a i

$ 6 ?  A R T IS HP

prodibunt .ea pars 4 erunt de  u. Njw fccundui
hoc themi u immota manent.Animaduertere itaq; opor
tet:qutdfit,quodqu£ratur:nere^on[umaberrtt 4 qua*
fito.  P orrd J?{de 4 minuideberentad  j; conuttft ratio
tie fupputandum cffe.ficut in proximk fupra dtflumcft.

E Xquirantur duonumeriunqmbut i CT f unim
(tnt, \vj altcriuc. Accipe aliquem numerumqid
unamfecundam yunam ter turn bibeat, putt  54, aim
icr r funt%.Poftcaut fciat cuiut numertiUa  4; fint
una quart a  er una quinta: per pofitwnem unicam wucjli
garc licet,hoc modo , P one quemuii numerum,qui
babeattutpote  <so .Deindeuide quit numerutJit quctrti
Cr quinta dliM. & inuemes eum ejfe  17. Attuqumbdi
4f . Sic igiturper regulam de tribut notit ratiocmare .Si
X7 funt quart a O" quinta de so: quit numerut eft: cuiut
quar taw quintafunt  4? f Scrutare [cquens regulam: w
inuenieseumeffe  100 .fic  45- ©* 100 numerifunt.quos
qunerebat. Alia etiam uia, atque ea quidem compendiofa,
id inuejligari poteft ad hunc modum. E£ minuti£,queai
unum numerum utrinq; fpettant :(imul addantur: utfmt
un£ minutiae .quo fret :ut £ V f per additionem col*
lefts,fiemt  £. A t ^ cr - per additionem iunfo fa*
ent  *£ . Deindchteminuti<efeorfumcoaccruat£,altera
contraalteras annotentur. zr uterq; denominator in at*
terarumnumeratoremobliq} in cruets formamducatur .
numeric^ produfti reponantur iuxta fuum uterefc denonti
valorem: a quo duftw eft  * Ita ex ea multiplication n

LIBER. IIH.

iuxti  | bibtb'Mur.O"  100 iuxtd .quinumeripdr
us eo modo , quo prafcriptum eft: communicates babe*
hunt. Numerusdutem,qtudmbobusexobliqudmultiplic<i
tione products inaqualtter commumcaf.is eft, qui ex nu»
mentorum mutuo in fe duttu furgit. uidelicet  4?. mm
« funt  | &■ j- de  *4. l temq;  4? funt  | ©- f de  100.
Hoc compendium inueniendi numeros,qui partes dd hunc
ntodum maquahtcr commumcantes babcant: ad multos in
numeris nodes expliedndos plurimum iuuabitfiinprom*
tlibabeatur .

» i i x

» 1 . . 4 s

54?X^ IO °

M E redtor argentihbram,quie de notd dtq- indicdtU
rd s fcrupulorum erdtiaurcis  9 emitiquaro: fife
mdumeamrationcmuclutdenota  10 fcrupulorum eme
re libras to: quot dureis conftdbunt t  Pone, ut libet: put a
mftiturdt dterek  ®o: utJtngula libra uancant dureis  4.
Vide quid fecundum earn rdtionem Md libra denota  9
fcrupulorum conflabit, id, quod facies fie ratiocinando,

Si drgenti notd de 10 profirt unius libra prectum  4 iquod
precium unius libra ddbitmta fcrupulorum $ i Scqucre
ftgulamdetnbmnotir.(?inuenicscam dare-  3 f .atiu
feis earn dare  9 . Qudmobrem fic fupputdbis- Si  3 f pro •
bunt ex so: qua conieftura pofuittde quo prodibunt 91
D ucantur  9 in  so: wfurgent 710- qua ftfeces per  3 f:
hnumcro partitionisprodeunt ns .totautek libra 10
b  10 fcrupulorum notd conftdbunt: quarumunaquaque
fttcijentdmorum kd  3

?<& ARTIS S V P.

a Vlargentilibfadeto fcmpulorunotafatireisx
emit: pofted librae urged-z$ de alia ,nota amis
zoo mercatus eft. queer o cuius net a fueruif qmm
tttrm unaqueq- conftitit aureis s: pc ratiocinabcre.Si  u
durei reddunt nota xo.quam notd reddentaurei  s t Scruti
re er menies  7 . Eanotacrmdicaturakbrarum  iy

trat. Hie propter pcilitatem nulla poftuonefuit opus.

Complures bmftmoii quxftmes, v tnultte etiain ex
bis,qttas fuprd hbrotertio expltcauimunper untiampoi
fittoncm.adiuuantercgulade mbits notk,falmpof[unt.
REGVLA DE DVABVS FAL.=
pspofhiombwt .

I N numeric qu£ftioneS in numeris occmunt ; qu £, tm
er pearwm parspt cogmtaiparspt ignorata: per mi
cam conietturam explicari nequeunt. At hse per duos po*
fitionesftattmexpedientur. Jn quibus ante omnia obferui
re oportettquam prope utraque poptio uel accedit ad  sc*
ytmiuel a uero recedit■ Item ip forum errorrn different^
magnoperc notanda efl-Nam per obferuationeappeoxu
mtionisutriufque poptionisad uerurn, cr per differed
tia errorum, qui ex his infequuntur :ueritas in lucent tie*
met. qu£ duobus modis inuenin polesl : uidelicet uel pet
regulas plans zx minoris :uel per diffvrentiarm obfer‘
uationem . I taque deplure zr tninore quatuor bate pU 1
cepta junt inprimii edifeenda. Primum . Si utraque pofi*
tio plus quant uerum conijcit: alter um plus fubducere ib
Gltiroplurc oportet  * Secundum , St utra% poptio mnf


11  & e  r  nn * '37a

|uatn  «er«»i aflvrt: alter m minus ab altero minorefub «
' mhcndum eft , TerfiJWH. Si prior po/m'o plus,pofterior
minus profirtitum plus cr minus in unumfunt addenda*
Quart urn. Si prior pofttio minus, pojierior plus conk •
fat item minus &■ plus inunumconiungantur. itacim
his quatuor moils conieftwa uarictur. Primus eorum
iuobus uidelicet fine utraque conieflura plus , fiueutra*
que minus ponatxalterius ab altero fubduftiofieri Mist*■
Atpoftremis duobm,uidshcet quando prior pofttio phis,
pofterior minus conijcitiuel e conuer[o:pluris  er minork
additio tteccjftria eft . Et quo jdciltus bos prsceptiones
ftudio/i memoria tenerent ; M orusjogatu nojiro, redigit
tik in hoc carmen*

A plure deme plufculum.
imnus minor e fubtrahs ,

Pluri minus comungito*

Atque ad minus plus adijee.

H  Arum prims reguls,inqua utraque pofttio plus
affvrttfenfuseft. Siperpnorem pojitionem at*
que item per pofleriorem plus quant ueritas exit: tunc
alter error plus afferent ab altero plus afferente jiibdu  *
j tendus cfl. id,quod refiat, diuifor.totm operationk

trit . P ofted prior error ducendusefhin pofttionempo*
fieriorem. Ucmq- error pofterior in pofitionem prio *
rem ad formam oblique cruets.& nurnerorum exbk dua
kts multiplicdtionibus product or irn alterius ab-altero
fit etiam [ubduftio. Deinde id,quod rehquum eft per cm

A a  4

37* ARTIS S V  P.

rorumdifjvrentimdiuiditur. AtqueitanumeruspartU
tionisueritatem profrrt. Exemplum prabeamus- Tret
mercatores aureos centum lucrijiftos fic diutferunt: ut
fecundut trcs aureos pluresquam primui caperetucrtiut
quatuor plures qumfecundus . Libet inucfligare ; quot
aureos quify babuit. in primts magnet crux obliqua, for*
mam refirens  ^ liter re Gr<ec<e,quamuulgus crucem
diui Andrc£ uocat : in abaco depingendi eft.  P oft id fo*
Hum conicfturas aggrediamur  : e r ponamus primim
mercatorem accepiffe  ?? aureos. quo fiet,ut fecundm^,
tertiut  40 debuerit accipere. queefummee collefte foci*
tint  109. Attantum  100 erant diuifi litain  9 err am
mut, qui error ex iUorum » fo\fapofitme,qu£nimia
erattnatus eft.ea propter lUam pofit mem  33 aduerti*
cem finijlrum depift<e cruets jignemut: errorem uero
exeainfecutum,quicapit  9, annotemus ad pedem ipfi*
1 is cruets finijlrum,  E t quia plus qum uerum coniefturi
peperit  P. litera ad ip fum plus figniftcandum, inter fini*
ftrumuerticem, &■ finijlrum pedem in mtimo cruets fi*
mfertbatur,  Dei nde quia priore conieflu parum profit*
cimus: itcrum tentantes fingamus primum mercatorem
aureos  ji habuiffe.exratione fecundus  34, tertius  ?3
acccpit . quorum fumma code ft a profert  103. At tan*
turn  100 funtdiuifi . Quocircafecundacotiiettura ctiM
ipfa plus qum uerum aiMitiO' errauitin  ?. q yarepo
jitoiUi fecunda de si aduerticemcrudsdextrum flatu *
tnda eft: err or cf ex ed infecutus ad pedem eius dextrum

erro

LIBER IIII. 37i

fukotetur.ty Pjiterdadplui Jtgnificdndtm inter dex
trumuerticem crpedem dextrum in mtimo fwu pond*
tur.  D einde minor error $, A maiori  9 fubduedtur.cr
6qt<£ refiabunt: medio fpaao inter utrunique errorem
notanddfunt. Poflca prior error  9 ducatur in fecun*
damp?fitment ft: cr enafeentur 179. item fccundus er
rort ducatur inpnorem pofitment  33 tgr producer
tur  99, quarumfummdrumproduftarumtmnor  99 fub
ducatur kmawre  179. &■ [upererunt i$o .hafiper
rum differentiam uidebcet 6, feccntur ; numerm pirn
tionisprojiret?o:qweucrdfummAprmierat . Prtmm
nmcp  30, fecundut  », tertiut  37 hdbuit . qug fumme
eoAceruittsficmt too , ficut thema propofuit. ltdde
mum ueritas per dm fh'.fu pofitiones inuentd medioff><
tio inter crucis ucrttces,m qutbut h£ fignaitfunt: an*
notanda eft »

tSo

hpofttio,  s==~5V 45 y%l

S Ecundte regule, in qua utraque pofitio minut affert
fenfus pene prim& fimilis,bmfmodi eft,Si per pm
t cm pofitionemidtque item per pofteriorem minut quant

Ad  5

$7? * R T 1 S S V  P*

I Kritas habetur.alter error ab altcro fubduci debet •&
reliquumerit diuifor.Tum prior error in pofleriorent
pofitionem,crerrorpoflerior inpofitionem prioremdtt
catur. produftorumq • numerator alterius ab alcero fit
fubdudto. cr quodrcliquumeH per errorumdifferenti*
Mmfecatur. Sic in numero partitions nontax apparebit,
Exemplum in tbemate modo datoprabeamus, or pom *
musprimummercatorembabuiffe z 7 ,fecundum  3 o,ter
tium 34..qu* fummif coUcdhe fnciunt  9 i. At 100 futttqm
fitaAn  9 igitur erratum efl. ltaq ;  pofitio i 7  in fimflrt
trucisuerticeierror  9 mfiniftropedeftatuatur.crquui
error minus attulit : M liter a, qu£ minus indicct: in fwi*
firum receffumjnter pofitionem cr errorem,condatur.
Iterumdeindeconietturatenternusicrfingamus-primim
tnercatoremaccepiffc i 9 ,fecundum }z,tertium  js. qua
uniuerfafaciunt  97. At fcopuscrat 100, fie  3 denu*
werodeflinatodefunt . Quocirca ipfa poflerior pofitio
>9 in dextro crucis uerticefignetur » cr error pollerior
9 in pede dextro:at%  M liter a,quod in minus fit erratum:
in dextro recefjk inter pofitionem cr errorem repond*
fur . Pofl id minor error  3 a maiori  9 fubducatur. CT
c qua re/lant, medio inter err ores jfacio ftatuantur.
Turn prior error  9 ducenduseft in pofleriorem po fitio
Hem i 9 :cr nafeentur vsi, item poflerior error t ducen
iuieH inpriorem pofitionem v ?: cr producentur  $1.
Horttffl autem numerorm produttortm,(i minor ami*
iore fubtrakaturrehnqueniur »*©. qua (i per errorum

LIBER III!. 574

(bffereiitiamuidelicet e fecentur:numerutpartitions ut
turn primi numcrum  jo monjlrabi t.

T Erliiregul#, in qua prior pofitio phi*, pofierior
tnirm a ffvrt : hie fenfusefl. si per priermpoft*
tiontm plus,per poftenorem autem minus, quant ueruat
inuenitur'.alter error ad aiterum aidi debetiut amborum
ftimma diuifor fat  • Pratcrea poRquam prior error in
pofitioncm pojleriorcm ,v error poflerior in pofitio•
nonpriorem dudierunt : numeri ex his multiplication
tiibus produch in unum ambo addendifunt 4 Quofiet:ut
fieorum fumma peradditorum errorum fummam feceia
tur: numerus partitions ueritatem tnlucem profir at.
Thema datum rurfus tradantes exemplum afieramus.et
ponamui primum mcrcatorem accepijfi n,ficundum^ t
tertium^qu# fumm# colled# fiauntios.ftc 6 redun*
dant : quum wo fint quxfita . Pofitio igitur a adfi*
niftrum crucis uerticcmnotetitr .atque error a ad pc*
dem eius finiftrum. V  P liter a, qua in plus erratum
ejje rnensat ; inter pofaiontm  er errorm in fin fir*

180

Hi £ 6 ®

? 7J ARTIS S V P.

cruris firm feribatur  • E tquia conicttura nirnirn attuliti
paulum infra tentemiu.fingamusi^primm mercatorem
babuiffe i 9 ,ftcundm fi,tcrtim j6.qui numericollefli
prcfcruntenMfyM  j defuntdenumcro  100 deftmto.
Edproptcr tpfa fecunda pofttio  x 9  ad dextrum crucis uer
Ucem: error autem  j ad pedemeius dextrum fignetur.
Cr M litera,qu<e in minus erratum ejfe monftret: incru•
cis dextrofinu inter pofitionem cr errorem reponatur .
Detnde posl amborim errerum ddditionem ,qu* fiat  9 :
prior error a in pofieriorem pofitionem  x 9  ducaturtcr
enafeentur in.Uempofterior error; in pofitionem pri
orem n duflutycducet  9 <s. Quinumert produdiam
botnunum addin componunt 170 . E a ft per amborum
trrorumcoUeftamfummd,uidelicet  9  fecenturtnumerut
partitions to procreabit . qu£ueraprm(umma erat,

270

s. pofttio,

Q Vaxtt regul<t,in qua prior pofttio minus poflt»
nor plus conic fiat udemper omnia fenfus, qui
terti* tR-.ntfi quod prior pofttio ,qux minus af*

firt.at

LIBER HI $ 7 #

fbt. dtycrrortxca inffquutwsfwftrim erucis pur tern
ienere debent. Poller ior uero pcfit 10  cum fuo errore dex
trctm.CdUerd omnia codem modo,oqum tertiaregukfd*
Hum eft expcdmtur.Exemplum in tbemate tarn datofa
Hindu ante oculos fubtecimusiquod ^uiuk frcilefine pt&.
tunic exphcabit•

360  >

t $z

vpofttio.  z8 \ jo 7v^~

3 l  \ / 3f  ■

3f  -M/\P

& It

DlFfERENTIARVM. . o
obferudtio.

P Luris  er mnorii regulis expeditis, differentlar-tm
obferuationem ab eifdem prieceptiombus penden «
tcm,qut etiam ipfi per duns ftilfds pofitiones expedituri
his adiungamiu.Et quo magis mdntftjhm fltiquantulunt
hie expheandi modus ab illo lam data difjert: idem themx
feruemus. Et fingamusprimummcrcdtorem dcccpiffe
is, fccundum js, tertmm 4.1, quorum fumma cob
lefia ficit tif.  fic comeftura is plura, qudmopus
erat-.peperit.Quarepofttio ss ddftmflrum cruets uer«
ticem:£r error ex ea natus is etd pedemeuis fimflrum
finuatur . cr P.. liter a,ad plus denotandum: mfiwftra

577 A ftj t  rs s\m

finucondatitr. Etquia corned uraphniujlo protulititei
rum tentemm,  er ponamus pnmum mercatorem habit *
iffe  ji ,fecundum  34, terttum  33 .quarationc omneS
icceperunt  103: cam fat»en tantum  100 funtdmfi.ltct
fecunda pofitto in  3 redundant: err amt, Qaoctrctf
ipfapofitio  31, aduerticcmcrticii dextxunr.error  3 rfd
pedemcmdextrum:  P htera,ad plus fignifcandu in dex
trojinu reponatur. Poftea pofitionum ipfarum differen»
lia,per minor is a maiore fubdudioncmdeprxbenfa. pan
(6 fupra medium inter utramc £ Jfacium notctur. caefl  4.
iU<j; itiiem error? differentia , per alterius ab altero fub
dudmem imenta : medio inter eos ff acio reponatur. ea
tfliz. Dcindeconfyderemuapriorcmpofuioncm 3>- oca
tultum infe exceffutn cr adbucignotum habentetn pro*
cr caffe err or cm cxcedentem in  if: cr fecundam pofitto
item  31 exceffutn etiam ignotum habentem : edidiffe erro*
rent cxcedentem in 3-Ex quo uidere licet pofitionm dtffi
rentiam  4 ,qux inter ear urn utramq ; media eft; peperijjf
diffvrentiamcrrorum  «■: quae media eft inter utrumque
errorem. Etquonim prior pofitio fuperat fecundam itt
4.:eomagisabducitd ueritateper 11 qu'am fecunda. At
fetunda pofitto quia minor eft prtore per  4: eomagis
Uppropinquatadueritatem. Nthilominus tamenuerita «
temcxceditin3. Quarcfimagis juiffetimminuta: pro*
piusad ueritatem accefiiffet: cr minorem aliquanto gc*
«uiffet errorem • E a propter inuejligare oportettad quent
turnerm fecunda pofttio  31 fit mmenda f ut nihil erro *

riipa*

LIBER III! 570

ru pdrMt- Uocautem manifeftufiet, ft confyderemus tre$
mmeros proportionates nobis ejfe notos.Primus eft po
fitionwm errantim difftrc-ntiaiquec eft4.. Secundum,qui
need nafciturteft errorim differentia  u .T ertius eft nu
mens fecundm error $ ex fecunda pofitwne err ante
txiens:qui magis adueru appropinquat per  ti. quam
prior error teo quod fccudt pofitio minor eft prior e per
4. q uocircaqu£proportioe ft inter errorumdtffvrem
tiamnlongmauerttdtediflantem, O' errorem fecum
dm t propm aduertm acccdentem, hoc eft inter u*
tramque fobolem : eadem ejfe debet inter utramq- geni*
tricem,uidelicet inter pofitionm djfferentiam 4, qu&
uerititem intercludens peperit difjerentiam errorim t
fcr itlamfecund£ pofidonis differ enuam d uero nos ex*
cludentem, ddbuc ignotam, qu<eexcejfm infecimdo
more edidit .Etpemutatim . qu£ proportio eft inter,
errorum d'ffveentiam iz,o d jfvrentiampofitmtm  4,.
qua earn peperit.eadem inter fecundum errorem  ? , er
t uero nos ixcludentem fecunda: pofitmis difjerentiam .«■
qua cm edidit: o adbuc ignota eft: ejfe debet .qk am*
obremregidade trtbm nods quartrn ignotumprefiren*
tibmrctn tot am patefaciet. nobis fic confyderantihm . Si.
trrorum differentia  u uenit ex faifartm pofitionwm dtf*
femtiauentatemintcrcludente:qu<eeft  4, dequafalft,
pofidonis differentia uentatem abfeondente ucniet ft*
Hindus error  ? iDucanturj WI4: cf furgent u .quefedd
per  u, inmmerofeftmk edmt  1. tatitmn mm*.

$7P ARTIS S V P.

debet fecmdapofitio ;i, utueritatinluccm ueniat.\Ud
enim unitM erat: qua: exceffm in fecunda pofitioneficii
ens (ecundum error cm in  ? peperit.quifubdufta,toUitur
omnisenor.cr soreflant.quinumeral ucritHtem expri
mens medio inter utramq; pofitionm ffracio notetur.

Quod ft cui fare libet: quis erat ille numerus, qui in
priore pofitione exccjjum fecit:confyderet,qmepropor*
tio eft inter error un  t differ entim  u, er pnorem errot
rem is: eandem effe debere inter pofitionm different i«
dm 4, cr iddm prior is pofitionis differcntiam,qu* k uero
nos excluditio" adhucignota cli.  E t permutatimqutcpro
portio eft inter errorim d fferentidm u, o pofitionm
difjvrentiam  4: eandem effe debere inter priorem  erro*
rem, is> 0 ~ ittam prioris pofitionis differentim k uero
nos excludentem  er ignotant. quire traftans regulam de
tribus notis tertioloco flatudt primum errorem  iy, hoc
tnoio.Sidifferentiaerrorim, qu<eeft n, uenitexfiifi
rum pofitionm differentia^* eft  4: de qua fklf* poft
tionis differentia ueritatem in priore pofitione occultm
te nafeetur error primus  ■ y f Ducantur ^mister  prodtf
eentur 60: qu<e [eftaper u,educent  y. I s excejfus in prio*
re pofitione peperit errorem in  iy quare fifubducatur:
rejiat ucrus numerus so. Sic fublata redmdante differed
tta,qu£ fkcit cxceffm: ueritas fola reltfta fefe offcrtlfl•
He ixceffm in f tcunda pofitione ,(iue in priore inuefligi
re. atq; aufirre libet. Atque ita per duos filfas pofitionef
quartern uira$ plmiujlo conijcit;ueritM emtur,pcrob*

t I B E R mi* 380

ferudtionem proportionum, qua funt inter differentiae
trrorm, cr difjvrentm pofitiomm, adiuuantereguht
mtuorProportionakm :ouormtriafunt note  *

A D eundem modum per aijjerenttarm ob\erudtio*
nem resexpediaturietiamfiutrd<£ pofitiominw
qum uer um ajfvrdt. Veluti ft ponamus primum mercata
remhabuiffe 17, fecundm,so tertium  ?4 .quafumme
coUeftafaciunt  91: cum  100 fintquafita.Quarepofitio
n adftmflrum crucis ucrtictm: error  9 ddfiniftrum
demMliterain mediofinu reponaturJterum (ententes,
fingdtmti primum dccepiffe i 9) fecundum sijertium  ?<s,
quafimuladditafaciunt c,7.ftc  j tie 100 defunt. Quare
ea omnia a dextrd,fto quaq; loco,Hatuantur:uidelicet pi
fitio ad uerticcm, error ad pedem : M literd finu medio  *
Delude quia utraqjconiedura minus dttulit: differentia5
trrorrn &■ pofitionem per fubduftionem capiemus >
Pofledconfyderdre oportetpriorempofitionum 17, de*
fiftumadhuc ignotum in fe habentem, procrcaffe erron
timed 9 de[unt,Q-[ecmdmpofitionem 19defiftm

$st ARTIS § V P.
turn igitetu habentem , tdidiffe errorem, cut defunt if
Quofitmanijillum.po/itionumdiffvrentiam i,quainter
tarm utram^ media eftpeperifTe errorum differential))

6  :qux media eft inter utrumq- errorem. Atq; ideo,ut ue*
ritatemexquiramusi/icratiocinemur.Si  <s differentia  er*
rorum nafcitur ex pcfuionum differentia i ucritdtemitt
tercludente : de qua, fecunde pofitionis differentia ueriti*
tem occultdnte, nafcetur [ecundus error % fOperarcfe•
cundrn regulam quatuor proportionahum:  er inueniet
tm ndfci ex t.quod quid fccundx pofitionidefiut tetiaiH
ipfd fecunda coniedura minus iuflo protulit,  Q ua pros
p ter unit as addita ueritdtm exprimit .

At Jifcire uolesiquantwm priori pofitioni <kfmt:inre»
g uld de tribus not is tertio loco quxffionem de primo mo
reffatue,bocmodo, Si errorum differentia 6  uenitit
differentia pofitionum : de qua folfx pofitionis differentia
tteritdtem in priorepofitione arcente, nafcetur primmer
ror  5 i  R egulamducem fequens deprxhendes iHamfuiffc
4 .ipfd igitur differentiaadditaadprimampofitiom>
defeftmeiui'replet . i

Sicquandoperdiffemtkrm obferuatmemuenUt t
inquiritur tftutrai £ pofitio minus affvrt: id quod uel pt* t
mx coniefturx uel fecundx deeffeper regulam de tritM  1 1
notisdeprxbenditur.fuppletur .ficutqudndoutraikp 6 ) 1  i
tio plus profirt: id,quod fine in priore conicftttra,]!^ t
pofteriore redundantem exceffwm facere per regulam & el
tnbia not is imnitur: auferenim eft, ut utritas expri*  !  ji

matur*  i

%  f 8 E 6 fllli jSJi

fttdtwt .ftcuti in proximo[uperiori exemplo uidcrelicwL

N ' vnc taaeamus , quomodo per differentiarim oh  •
ferudtionem res expedietur: qttando prior pofitio
plus,pojlerior minus affert. ueleconucrfo . Etinthemds
tt km ditto fingamus prirnm merutorem acccpiffe i} ,
fecmdim ss, tertiwm  40 .. Edits unam fummdm cel  *
Jeflft /daunt  109  . ex quo liquet  9  redunddre . Quarc
dfimjlrd cruets, pofitio uerticem,error pcdcm.V .liter d>
quteplus coniedum ejje demonjlrel'.jinum occupet, lte-
rumq-, tentdistes, pondmm primum meredtorem hdhuijje
19 , fecundum $1, tertium  ? s . quteper ddditionem cod*
ceruatafdciunt  97 . dtque ita  3  de 100 defunt.eadex •
turn teneant : M lit era,dd minus indiedndumtin ftnu dex
trorepofitd . Delude confyderare oportet prior is pofi *
tionisexceffumedidiffe exceffum prior is erroris: fecun*
id mem pofitionis deftttum pcperijfe defvttum errom
tisfecundi . Quocircahi duo err ores,quid alter in plus ,
niter in minus peccaf.in unum funt dddenditey furgent  »*•
^uerrorm cumuktiouemtcx differentia pofitiomm$

a

Artis s v p.

videlicet 4. >Ndm quid prior pc/itio  9 quamopof

tuitdttuht:fecundddutcmpofittoper  4 tantumabeadif «
ferens,non folumexccffmiUum prioris abffulit: fedeti*
ampluf,qumtuftum erattauferens,defedum fupenndu*
xit: ideo tdm di aufercndum priorit pofitionis cxcejfum,
qum dd fupplendum defedum pojlerioris ,fit iftd  erro<
rumddditio:utpercdm temper amentum inter exceffm
C? defedum inuenidtur. Ndm itdproportionum ratio in
utramuis partem,fiueexccffut,fiue defedusuim [urn
porrigere poteft. Etenim ft in dcxtram addefedumrcfti
tintM. qu£ proportio eft inter dmborum errorum crntu
ldtionem,C7 [ecunduntcrrorem: eadem inter pofitmm
diffvrentiam exceffum  er defedum cumuldntem,&lbt
differentidm,quie mfccundd pofttione ueriuttem occulttt:
tfie debet. Etpermutdtim.quxproportiocft inter ado
rum errorum cmuldtioncm ,0"pofitionum differential
txceffum crdeftdm cumuldntem, cxqudnafcitur:ti‘
dem inter fecundum errorem & itldm fecund£ pofttmit
differ entidm uerum dbfcotidentem , e  x qua nafcitur: eft
debet.  A fg* ed propter ftfire uolestquis fit numerm,fi  i
infecunddpofitionedefuit,utiuliumfuppleret:confydri \
re oportet, dd bunc modum . Si cumuldtio errorum fi 1
eft n: nafcitur a pcfitionum differentia ueritatemocat * f
ldnte,qu£ eft 4. tde qudfecunde fklfepofitionis differ® j
tid uerum abfcondente nafcetur fecundui error  ? f^lii  j
plied} in  4: cr producentur n. qua per  u feda won p

firant 1, inmmeropartitionii.Hocduttmddditumdd^ f

suttidif

t I B E R nn* 384

mimpofttionm tt>:quinumcrMuno deficitunfup*
pletid,quod defat.® punt 10: qui nurnem uerus primi
mercaiorkerat,

At fffcire uote ;: quantum priori pofftipniredundant!
dctrabendum ercthut fotum exceffum aujmet: er iuffum
ntmerum relinqueret: proportionum ratio a Jinijlra con
fyderandi eft . nam ficut amborum errorum cumulatio
adprioremerroremfebabef.ffc pofftionum differentia
id lUam differentiam, qua in priore poffdone ueritatem
occultat:fe habere debet »Ef permutatim. ficut am^orum
errorum cumulatio febabet ad differentiam pofftionum
ex qua nafdtur.ffc prior error ad 1 Ham priorispojitionis
differentiam uerum mtercludentem,ex qua nafatur.fe ha
krc debet.Et idea m operatione ficienda per regutam de
tribusnotis,tertioloco forma quaftionem de pnmo mo s.
re,qui plus attulit-.perinde quaff uerfo exemplopofftio
prior (uiffet minor:®- f?cunda maiorjioc modo.St ip cm
mktio errorum nafcitur d pofftionum differentia  4 ue
ritatem pnecludenteide quaprioris falfapofftionis differ
rentia ueritatem obfcondente,nafcetur primus  error $■ t
Ducantur 4 in  9 :&crefccnt is.qua fed a per %iitt
nuntcr0partitionifedunt 5. w exceffuserat,quiprimam
pofftionenin errarefecit, QuocircadernptolUocxceffu
fuperfunt  30, qui uerus erat primi mercatoris numerus-
itaq;quando alterapofftio plus, altera minus affvrt: ft
ptr regulam de tribus notis txquirismmerum, qui ex*
tfffm mpofftionsjccU: k inmtusfubducendus eft . At

I  I B E R IIII.

335

ft ftmerum inquiris, qui pofitioni dcfuit : is compcrtto
Hdcum eft dddendusiut ueritas apparcat .

12. 4.3. T. 12. 4.P.3.

S I quiffiam fcire cupittquando per differentiarumob•
[eruationem res expeditur : cur fiue utraq-, pofitio
plus fiue utrafy minus dfjerttalterius pofitionis ab alters : 1
dtfydlteriuserroris dbdlterofitfubdufliotAnimxduer* •
tere debet dd td qua did a funt.nempe quod diflantiaiuc
ritdte,uel dpproquinqudtio dd ueritdtem, per differenti*
m dlterius pofitionis db altera,atc^ alter ins erroris <tb A
ttro deprabcnditur . ipfaautm mmerorwm different
pcrfubduftionemmenitur . Ex proportion aut emit*
rum differentiarm, qua media funt inter errores & po
ficiones: ueritas imefligata per regulam dc tribus notis in
tucem uenit: fiue in dextram partem,fiue in fimflram  r«'
fficiat. Nam fi in dextram. qua proportio eft inter errs
rum difjerentiam crfecundm errorem: qui magis ad ue
vitatemapproquinquatieadem inter pofitiomm differed
tkm,qu*diffirentidm error mpepexit ; ©■ ilium feM *

4

4

LIBER. IIII. 38*

'ixpropofidonis numerum, qui ueritatcm adhuc abfcon*
dens fecundum errorem cdtdittcfp dcbet-Et permutatm•
qug proper do eft inter errorum differentiam,  er differ
rentim pofitiomm genitrictmfuam:eadem inter fecutt*
dmcrrorem,cr ignotum numerum matremfuamerit ,
At Jim fimjhramrefpiciis .ficut errorum differentia fe
babel ad prioretn errorem, qua longius  <i uero recedit:
fiepofidonum differentia adidam prioris pofitionis lam
tentem differentiam: qua priorem errorem edidit.Etper
mutatim. ficut errorum differentia ft habet ad differen*
tiam pofitiomm : Jic prior error ad illam prioris pofitiom
m latentemdifferendam.quie ipfam edidit-.fe habere de *.
let.  P orrb nifihxc proportioning ratio in diffirentijs po
fidonumatq- errorum mefjet: nulla unquam quxfhoper
regulas falfarunt pofitiomm folui qimifmodo pojfet.Suc
eedens dutem ilia quatuor proporii&ulmm regula tqut
quartum numerum ignotum latere non Jintt ; per tres num
meros notos flatim eum profirt . rem tot am explicat .

A T fi feire uoles :cur in regulis plum mnoris
fiueutraque pojitio plus, due utraque minus af*
fert:prior error ducitur in fectmdampofitionem fe*

tundus error in pojitionm priorem:pofteacp alterm
produtti ab altero,  er alterm error is ab altero fit fub*
duftio. Ratio hum rei pendetpartim ab kir.qu<e dediffe
rentiarim propordone did# pint: partim a. primao- fe
tunda rsguid Euclidis hbro fccundo . quas quanquamiUe
ielmispofuit iquiatmen intmtris etiam uerafutU;

Bb  4

jS 7 ARTIS SV P,

ttos de Hunter is tax demux,id hunt modum. Sifuemtduo
numeri, quorum unut in quotlibet partis diuidaiur : illud,
quod ex duftu alterius in alterum fiet: <tquum era his,qua
ex duftu numeri indiuijiin unamquamc^peritm numeri
particulatimdiuifiproducentur. item ft jucrit numcriu in
partes diuifut: lUui, quod ex duftu totiut in feipfun: fit:
aequum crtt his, qua producentur ex dudu eiufdem in cm
ties fuas partes, lta quando prior error in fecundam pc ft
tionem ducitur.perinde eft,quaff differentia errorum &
fecundus error,qui numeri funt partesprimi erroristdit•
santurineandem fecundam pofitionem. Veluttinprimo
txemploderegulispluris %r minor is datotubi utraq ; pcfi
tioplusaffert:

iQo

ereantur 179 .fie ft errorum differentia 6 feorfum in n
ducatur.nafcentur m >&fi sfecundut error inn dued
tur.fient  9?. qui numeri produfti ambo fimul additifici*
tint  179 • Similiter cum differentia pofitionum  *, e rfe*
mtdapofitio t ipartes fintprimxpopmiiniducen*

tesfe*

LIBER III!*

tesfecundumerrorem % mprimttmpcptionem ntpro*
ducemus  99 ,qui nuntem produHutcequdis (ft numero
producendoifiipfefecmdus trror  j fecrfm in pofuio*
mini differentia i,e?poftcdin}t ducalur.ficquoq; fur
gent  99. Uaqj cm inter difivrentiam err orm wfecio 1
dim errorem set fit proport'ic; quxeft mter different ism
pofimmm  er exceffm in fecund* pcjiime : qurntdo
mltiplicdnm difjvrtniimcrrorm 0 in fecund.impo*
fiuonem  n ifkmius  i3s. <&■ ducimus earn non folumiii
totm uerum nutnerum  30 :fed etium in excejfum, qui ue
ritdtemdbfeondtt: videlicet x .Etcmmultiplicanmfe»
(undm errorem %, in fecundm pofitmem  ji: ftcimut
9 i.qu£dddita*d i$s:crcdnt  *79 . Horum Mem utrm$
tdcite fecimus ducentes primwm errorem in fectmdctm po*
fitionem. ltd  99 fuprd uerum etddidimm . quod untune
eft: quctntm cdpit multiplicdtio fecundi err oris jinpri*
tndmpofitionem » .N<tw multiplicdtio diffirentu erro•
rum 6  in [ecunde pofitionis excejfum  1: qua tdcite fatl*
(ftiqududoduximus«in  ?t uequtpardtur multiplication
fecundi error is sjn differentiampoptionm i-Qutd cm
tUd qudtuorftnt proportionalidjicuti fuprd Mum eft .
qu<e db extremortm multiphcdione uenmtuequdlidfunt
bis,qu£ d mediorm. per reguldm de tribus notis.Et mut
tipliedtio fecundi erroris s, infeemiampofitmem  31?
qu<e tacitefiftdeft: qimdoduxmts primmerroremin
fecunddm po fitionem fiat  93. pc  99 fuprducritdiem
fmt ddiefld,  Qjjdrf f tbduftio numiper multiplied

f$9'  ARTIS S  V P.

item fecundi erroris in primam pcfitmem product, qut
ttiam efl 99 :exceffum omnem a ueritate  du/rrf:©- time
rum uerum uelut inturba latitantem rchnquit.fed quit fit:
ddbuc ignoramus.Ttiuifto dutemfafta pererrorumdffi
rentiam 6,quifnam fitojlenditiuidehcet jo.Namquart*
do ahquisnumem ex duorummulttplicdtione product•
Sur: am diuifio per alter u fafla profirt altcrum in nume
rofeftionis. Eademratione fubduftioalterim produfti
dt altero,cr alterius erroris ab attero fief.quando utra*
que pofitio minus afford .

Q Vod ft fcir edify derm : quando per differentia*
rum obferuationem res expeditur: cur errorm
fit additio: fine prior pofitio plus,pollerior mi•
ms affvrt:flue e conucrf j. Ratio iHa eft,quamcum exctn
piadaremmiattigimm, videlicet quodfi contingat priori
pofittctu illiquid fupcreffe, fecmdic illiquid deeffe: dif) r*
rentiapofitiomm non fohmtexceffum prioris pofitwnis
itufirtifed etiam dcfiflum in fecunda inducit. Velfi eueni•
at priorem pcfitmem dtfiftum afferretfeeundam excef•
fum:tum differentia pofitionum non folum id,quod priori
pofitioni deeftjupplerfed pirn tuflo aggregans exccffum
ift fecunda pofitme parit . Q uocirca ad inueniendunt
temperamentum inter exccffum defeditm, prior er*
rorex priore pofitione ueniens & poflerior exiense*
poftertore,in mm conmguntur.qm errorum cumuli*
tio inter duos errores media , in utramuis partem flue ex*
cejJuffmdefiditiiompmripoufl^mfidddeffauM
'• ' ~ reffm

L I B E R IIII.

refficimtuiSieut errorum cumulate a differentia pofitio  •
mm deftflum o exceffum accumulate nafeens fe habet
ad ilium errorm:<iui nafeitur ex defedu: fit pofitionum
differentia,adiUam ftlfepofiiionklatentemdifferentia
am : quadefidum edidit. Et permutatim.ficut errorum
c umuktio fe habet ad differentiam pefitionum : fic error
deftdum patiens ad ittam differentiam,qua defetfum atm
ht, f  e habere debet . At ft in alteram partem,ad exceffum
refficimui-.ficut errorum cumulatio fe habet ad errorem,
qut natut ek ab exceffu: fic differentia pofitionum ad  if*
lam filfa pofitionit latentemdiffvrentiam, qua peperit
exceffum. Et pemutafim ficut errorum cumulatio feba •
let ad differentiam pofitionum: fic error ab exceffu ad iU
lam differentiam,qua exceffum prdtulit.fe habere debet .
Atque ideoregula de tribut notis factk quart am tUam ig*
notam fiue exceffutfiue dcftftut differentiam,qu<e uerum
occultattmanifijlabit  - E a uero cognitaft exceffum affbrt :
fubducenda eft: ft deftftum ; addenda, ut uem numeral
'txeat.

P Orro fifcireuoles, cur inregulispluruermnoj
ris ,fiue prior pofitio plui, poflerior minuiaffert :
fiue e conuerf xfemper prior error ducitur in fecundam
pofitionem: O' fecundut error in pofittonem prioremt
pofleaq; altermt produfli ad alterum fit addition ama
lorum fumma per fummamerrorum diuidituriutucritat
exeat f Ratio tota hum retpendet,partim ab hit,qua de
Utione proportionum modo fmt diHatfim quibut hu*

$>* A

■JT :

wfrnodl qUtcfliones per ptlfarum pojuionum  reguw expu
tari nequeunt :partim d prtditiis Euclidis regulis prim4

tibus res mugit eluceut: repetamus iUud;quod in tertia pin
Tit v minor it reguh fuprd datum eft: m quo prior pop.•
tio pliK,pofterior minus afftrt. ubi prior error s duftui
in fecundampefitionem  19 ,proprt  174 .fecundutautem
error  j dutiusinpopuonempnorem 31, producit
quinumeri produtii umbo coniuntii ficiunt  . <?«*
fetid per  9 proprunt 30

mnem  *9 ,qu£ procreat  174 '-perinde cti,ac ft ipfe prior
errorduceretur in ueritutem 30 : erfierent i$o'pmtr*
qum quod tot umtdtes multiplication prior is error it in
fccundampoptionemjtfuntdd aquandmeam usritdti:
quod multiplicdtio prioxis error is in id,quod ueritdli in fe
eunia poptione deptit: ddderepoteti. Quocircdquid  *
defiut fecund* po/itioni: quoddutiumin 0 credret
ifco nmertts p rodutius ex multiply;ttione prioris erro
‘ ’•'*  ■  ' srit*

L I B E R lilt.

fJs in fecundam pofitionem  174 ,per <? diffvrt d numeral
qui prodUceretur ex multiplication* prior is error is in ue
ritdtem.quieffet iSo.quitntmcmper 6 fuperdt  174.
Similiter mlttpltcatio fecundi erroris 3 in priorem poft
iionem a. quxfkcit  9 <j :perinde eft,dcfi ipfefecundm
error 3 duceretur in ueritdtem  jo,er procrearentur  90.
nifi quod multipUcdtio fecundi error is in priorem pofitio
item, per tot mitutes fuperdt multipiicdtionem fecundi &
r or is in ueritdtem: quot multipltcatio fecundi erroris in
id,quod in priore pofitione ueritdtem excedit: producers
poteft. Qttnre cum in priore pofitione exceffus fuprd ut
r it stem fit nquiduttu* in fecundum errorem 3 ,credt <f:
ex e 4 muhiplicdtione fecundi erroris in priorem pbfltb*
new,qutficit  9 s. 6 phira prcducuntur,quam prccreari
deberent-.fiipfefecundui error 3 in ueritdtem 30 fuifffc
duHtui&credrentur soMdautem <s,quiehicueritdteifr
ixccdunt: in priore muhiplicdtione priorisenominfe*
tundm pofitionem,ueritdti defuerunt . E titd deftfltisuB
exccffu fuppletur . qux proport id eft inter excejfuA

prior is pofitionis  t,cr priorem errorem ex eo mtum  s:
eddem inter dcfcftum fecundi pofitionis 1 , er fecundum
errorem exed ttdtumt ,ommoerit.Etpemutdtim,qua
proportio eft inter exceffum prioris pofitionis 1 ,v di*
fiflum fecund* pofitionis ii eademerit inter priorem &
torem $  cr fecundum errorem t.Qudrecumfint  4 mi
meriprcportmJes:qu£ <tb extremorum multiplicdtione
producuntur.xqudiia funt his,qu£d mediorm,. tmm

Artis s v H

tttimfaciunt bUtriaiquantum femelfex. Quamobremfj!
*mbo numeri ex obliqua errortm in pofitiones multiplea
cationeprodufticoniunganturt dter alterm uitimfem
percorriget . Atfy is,cm deefl takemt exhawriet exccf*
fum-cr is.cuifupcreA'.dtertut fupplebitdefiftm-Qua
rat tone res ad <equalitatem reducetur.  er fient 170. Idem
dutem nurnem fimiliter etiam producetur, fiuterfyerro
turn feorfum in ueritatem $o ducatur,  N am 6 in so dufta,
cream  iso.erjwjo dutta componunt 90. quae fimul ad*
dita ficiunt etiam 170, Quamobrem cm ftmmaprodu*
ilorm ex obliqua errortm in pofitiones multiplicatione,
fit equals fumma: produttortm ex utriufq • feorfum  er»
tor is in ueritatem duftutEaq; multiplicatio utriufq; feor*
frn err oris in ueritatem,aqualis fi amborum errorm fi
mul additorum fmm<e in ueritatem duft<e,per pratditfant
Eucltdisprimamregulamfecundi:Necc(Jecfi,/iipfacrro
trum fumma cumuhta. qua e&  9 ftmmarn produilorm
cx obliqua errortm in pofitiones multiplicatione , uideli*
cct 170 diuidat: ipfaueritas  30 in numero feftionisink
cem prodeat . N am quando numcrus aliquis ex duorm
multiplication producitur.idemq; pereorm altermdi
ttiditurjnnumero partitions alter apparebit.

E Xpedttis fklfartm pofitiontm regulis : quomdgii
fludiofi in eis exerceantur : qu<e(lione$ aliquot,quit
per eas fold poffunt'.hic fubijeiemus .

S Ocij tres babuermt communes aureos  44 : quorum
fecundus bis tanfu,quantum primus, <tt$ eo amplius

mtet

LIBER Hilt

Msrebt  4 eontulit . term quantum imho reliqui , attest
ampUtts aureos o.quaro: quantum ah uno quoq; collatum
tfU  E xpenreper darn regulate. &■ comperietprimum
contulijjeaureos;,fecundum 14.,tertium is.  $

T  Res panni tek aureis  1,-0  funtempU, quarumfe*
cmda lie tanti,quantiprima conjlitit:at<fe eo plus
.rkaureis w. tertiabktanti,quantialk du<e 3 dt<fceoplu
tisaureouno. quarotquanti telaquieq; conjlitittTcntd
per data yegulas &• inuenies prima aureis  24 r empti
;  efiifecundamaurek  58 f Jcrtiamaurek 167.

O iifonatorquifpiam cmitincanam domimgaUina
i ypcrdices  4, phafianos s : nummk  s s. perdix
qujjq nummk % plum qudm gaUina conftitit: phafianus
quijque nummk  7 pluris,qu'amperdix. queerer, qudnll
qiueefc auk emptaefl?  T entdtts per datas rcgulas ccmpcs
rtesgallinamquam^ nummk 1, perdicem quem^num
ms f . phafianum quemq nummk a. conflitifle .

C vbm 6  panni rubri,cr 4 .panmuiridkualeittMf
nos s&.Eodempreciocubiti  9 panni rubri
7 panni mridis ualent aureos  57 . quaero'.quantixUf
iktst qtufque utrmfque panni conflict f Pone quo prede
libet a cubitos pannirubri,zr  4 panniutridk fiajje
emptos : dummodo de mbobus coloribut omnium  c««
bitorumprecium  ?<s tffciat.Dcindcuidefi  9 cubiti pan
tiirubri,z? 7 panni uiridis eodemprecio emanturquan
turn uel deerit , uel fupererit de $ 7 .V errore not da
i y fcffw ad emdem rnodm ponwperge, ludepr«e«

0P5 ARTIS S V P

fandcsperdatasregulas panni rubri cubitm awreos 4
nalereicubitumautem uiridti aureos  j.

G A Hint} ,pcrdices  4 ,phaftani < ualent nummis  71*
EodemprcciogaUiht t,perdices s&phajianh
ualent nummis P4f-  quero: quanti conftittt unaquty
auis i Regulas ducts fequens compericsgakind empta tffe
nummo  if, perdicemnumis q-yp^fianumnumis  pj*

M mificr cui, tradita a domino nummorum

mandat urn erat:ut quendam tritici modiorum m*
me rum emeret: in mercatum profeftus fttigulos triad
modios denis nummis licetur. qua ratiotiede fumma ac*
eeptammmos  40 ftbi [uperjuturos depr<ehcndit.At
tici uenditor duodenis nummis fingulos modios indicat
quod prtcium minifler foluere recufat; quod ear adorn
tomperit fibide juturos nummos 4o.qit<critUr;qime>
rat modiorum numerus,quern emi dominusiufiitSet quit
nummorum numer us ad id traditus erat '■{■ Si modiorum m
mem ejfet cognitust jimul etiam nummorum nurnem
feiretur . I deo ut exquiraf, quot modij triticifuerunt:  w*
nefligandus eft numeral,qui in 10 duftus,additis 40,tan
tumproducattquantumin  » multiplicatus fubduftis^o.
Ij inuentui modiorum numer urn monftrabit. quern ut ex*
quimiponc fuijje modios %<s . quoru/ifinguhconftarent
nummis denis fierent  ? so .his addenummos 40 quifu'*
pereffent: et [urgent  400 pro fumma miniftro data. Poft*
eduideamus: an uenditoris indicaturacum his quadret.
hits ftngulos modios nummos a pofeit, quaratme mo*

LIBER IIII. 3$>6

dij  3s confident numm'is  431 . a quibus ft  40 [ubducan
tur: qui ad precium ittud explendum defuerunt'.reftabuttb
t 9 z.ftc s dejunf.utfiant 400profummaminiflrodata*
Atty itapcfiuo modiorum  ?<s deftflumins profcrt.Qua
rc uerumponamusfiiiffe modios js .quorumfi (ingultdc
nisconftarentmmmis:fiercnt sso. quibus addamus  40
quae fupercffent:  er fient  410 profumma miniflro data  .
Veindeutdeamusianuenditorisindicqturade n mmmis
in fingulos modios  ?s quadretinam ficfierentnummi  4 56.
a quibus ft  40 pro his, qui ad explendum precium defiie*
runt: fubducas: relinquentur 41s. ltd defunt  4 :ut fiant
4x0 pro fmma mini fir 0 data.Sic utrafy pofitio crdess
trde  ?3 fit!fa eft. Ex quibus fi uer it diem per rcguldffu*
pra datos inuefiigarchbef.imeniesmodiorummmerum ,
querndomtnusemiuoluif.efje  40 • cr nummorumnume*
rum minijiro datum  400: in quibus numeris emptoris li a
citatiocumuenditorisindicaturaquadrabit .

Alio modo per compendium quajlio h<ec , dtquc alia
huiufmodi folui pofiunf.ut numerum,qui fuperfiufiet t
&numcrwti,quidefuiffct;inwam fummamaddas . De«
indeprccmmlicitantismimfiri,quod minus eft: a precio
maioreuenditoris indicantis fubducito . cr per precioa
rum differentiam‘.qu£ reftatuUam fummam nummorum ,
qui fuperfuiffent : cr qui dcfiafient : diuide. fic in nume ;»
to feflionis exibit modiorum turnerm:qui cetera om*
maaperiet,id,quod infequcnti quxfiim licebit etiamui*
dere t

$£7 ARTIS S V F.

O Perarij d patre famihds ad putandam uinectm iti
mum diem condufii mercedem opcrdrumptiut!
finguit nummos qmnos. tile cdufdtus ante uefperam abo*
pcre cos ceffifiefolum ter nos effort: quibus ft contentief
fent: exacts lecutis, deprahendit fibi fuperfuturos mm *
mos 7 .At ftquinifoluenii efientldefaturosssihbef.inut
ftigdre,quot operctnos habuit, &• quot nummos t Vt no «
dum hunc atq i  bumfmodi,per compendium j'oludsidddere
eportet nummos 7 qui fuperfofient: <tdnummos n quick
foment,  cr [urgent 10, quinumem feedndus eft.  D emit
fubducere oportet mercedem minorem oblatam a mm  ■
refldgitdtd,uidelicetj d s, &■ refidbunt i. quinumem
diutfor erit. ltd 10 per i fcftd in numero partiones decern
prefer cnt-Tot operdrij uincam putdrunt.Nummorum  f*
turn numerus,qutfuperfuificttddnumerumadditut,quids
fuifiet : diuidendus eft per mercedis petit £ cr oblat<e difi
ferentidm, ut numerus fed! ionis monfir et,quot mercedem
petunt. Pofiea/salefeitu efhquot nummos paterfomltd
bdbmt tiam mercedis obkt£ numtrtu in numeric open*
rtoru duftus td aperiet.  I tdty  5 in w dufta,procreabut  50.
quibus fi 7 ddddiprodibut;?. is nummoru numerus pd*
Irifimilids in loculis erdt. Frittered lioperarius quifq; t
in mercedemexcgifiet :operarij decb neccfieefibabutfiet
jo.  <i quibus fi  <j qui defuerunt-fubductu:fupererunt m
Votes etiam rem explicareifi per fiifcts pofitiones  «H
mcrucxquirdstquiin  j multiplicdtus,additiS7tantupro *
ducat quantum fi vt; ducatur.fubduftis tuisinuentuso^

pcrd*

t I B E R fill- $p§

pewiorm numeru indie obit, qui caterd omnid dperiet »

D Vo dureosbubentes, aq:idm quifq- numerum ai
emendum pannum in mercdtm uadunt. Alter i»
pdnni cubitos emit ; cut fuperjueruntdurei  iy. Alter co<*
dan precio pannicubitos emit to. cui defuerunt durei  zs.
in quibm remctnftt debitor, quaro quati eonjiitit panni ett
himquifqj:ciqudntuear urnuterq; in crumendhdbuitS
Votes per conicdurds filfdt rem explicdrr.fi numeru per
edsinuelhgcs qui in  u duftusddditis  i; tantuproduedtz
qudntu in 10  multipliedtusfubdutlis is.Velft maun per
compendium fuprd ddtrni rem dggredi licet,  er utroque
mododeprabendes unius cubitipreciu fiitjfe 6 ?.utrtm
queautem feorfum in crumem hdbiufje etureos  P4

M Ercdtor pdnni lineiteldm emptum , rdtione fit*
ttd,comperit:{i fingulos cubitos tuvmmis  3 cmdt ft
bifuperfutures nimtnos  yo.Af/? io nm.mis cubitifingii
iiconftenf.defiituros nrnmos $<>:quaro:quot cubitos tela
cdpiebdtf & qudittm iUi in loculis crdtfsi perfilfts pofi
Hones i rem tentdstper us inuclligdndus c& numcrur.qui
in ofto duftus,diditis quinqudgmtd tdntmproducdtz
quantum in decern multiplicdtus , fubduttis odogintd .
Qui rdtione inuenies telditi cubitos fexdgintd quinque Ion
gdmfutffe: himmosefc in loculis eumbdbuiffe  y 7 o .potes
etidmper compendium dd’am cotitinuo rem expliedre  «.

D Vo mercdtorcsnduem Unis onerdnddm condua
cunt * Alter in em fdeecs lm ftp tcni  alter Unfi

Ct 2

Jpp ARTIS $VP t

faccosn impofuit. cor urn uterque fcorfum profe ftcctm
unurn magtftro nauis tradttum ucndi , deq ;  prccio nau*
lumfolut,  er fiquidfupereffet:rcddimandauit . Quod
cum explctd nuuigdt me folium effet: magiflcr nmi , ti
..qui feptefdccos interpofuerat: aureos qumquaginta red *
■didtt.eiuero,qui  u fdccos: durcos io-qu<eritur : quantum
cuiufque facet naulum eraser qtidnti rndgi/icr nauis tnt »
ditum fdccumuendidit i  Per po/itiones inuejhgandus eft
"mmemtquiin 7 multiplicatus additis quinquagintajan*
tuproduedt-.quantum u.duliut,ddditisio.qui rumen
tut filer it: monfir obit fdcci cuiufque tidulum fit ffe dureos
7 }. fdccum dutem ilium magijlro r.duis trdditm t dureiS
102-i uenditm fuiffe.

Q V l faccdriltbm fex emerdt: interrogdtmie
uniut libreeprccio,rcJfondit .qtidnti hbrtfit
plurisdcccmnummisconlhterunt itdntt hbre to
Pluris 10 nummisfuntemptce . Qttcriturquodnatnprc *
cum eft unms hbreef Ad banc quaftionem cxplicandam
per po/itiones inquirendut eft nurnem, qui in fex multi*
phcdtuf.tantum fupra decern produedt : quantum in de*
cent dulius fuprd 10 profirret-ts dutem inuentus uniutli *
br<epreciwn mdicabit 2}. Velfimauis: dd hum gene 1
ns itnigmatd foluendd, compendium fequi licet dd hunt
modim-Minimwmnumcrimi medio fubducereoportet:  1
©■ qudiuor,refldbunt.qui numerutdiuifor ent. Deinde
medium numerum amaximo fubtrdhere eft opus,  cr
decern remmbmt t  Ed per dwformfeftdhbram unant

fWM®

LIBER III! 400

fiummis  2f ejJe uenditam in numero pirtitionis monfir a  .
hunt.in tribus namcy hs numerisi. to-w.du# fmtdiffv*  s
tenti£,fiucdmexceffur.quoruminorinhocqmfitomet *.
ioremfeure debet . Poflquam intern babestmusUbr-£
pmvm.nfyonfi snigmx in lucem uemt.Ham ft ltbr£ftx
in unius librt prccitm ducas'-procrantur numi  r y. A tq;
iterm filtbm decern per unim ltbr£ preciim multipit*
ces:furgent nummi  if. Iti mmemhic 3  aquahter fupe*
rat cr  *° nummos zy  »o.

A R cbiteftus qui intri 30  dies £ desreficicndasfu*
fcepir.ctm edrm domino uehementer urgente, ut
cperiinftiret:pepigit:utinfingulosdies,quibu 4 operare*
tur. mercedem acctperet nmmos  «s. a tfiquos dies cefpta
rettpro finguhs redderctdomino nmmos is, is tot’die*
bus tdtbus reficiendis opcram dedu: ey tot-diebus cc(ft *
mr.utfkftantionemhil et nfiaret-qu£ro:quct diebus ope
Titus eshty quot diebus cejpwii Piftim bene confyde *
Tins comperies de 30  pirtes % cxquircndis  e|?e: quorum
dteridutti in is tint urn producattquantm altera in  <>.
id, quod per pofitmes fortuity fkale inuejhgabts: ft fub
30 numerm dierm,quibus opeutus eft,conijctas-. am*
quc in  >s duos: deinde rehqmm partim de 30 multiplied
{ »n is pro cefftHonis diebus * Pofted uide-.uter numerus
produftus aitero miiorerit, Si numerus pro diebus cef *
fationis produftus alter m fuperdtipofido de operis die «
busdefiftm ojlentat. At ft numerus produftus ex ope«
rm diebus motor efhpofiuo in exceffu pc cat. v trams

&  3

4°I ARTIS S VP,

tWncjp autem euenerit : annotandm erit.cr iterum tern
tanda pofitio,Sequent itaq i  regulas datas compenes dies,
qutbus operates eft,cjft 14 j~ .rdiquosuerbufqueai
$» quibmcejfm^ejfe 15 }£.

480

'4y-

1T\/ %

I nterrogate quifpiam, quotum horam index horology
monftraret: rejpondit . tertia  er quarta pm bora «
rum } quas indicattfunt quinta v fexta pars earm, qm
indicare deberet. qu<ero:quotamboram index monfir a*
battey quotum monfir are dcbebattPriufquam refyondcs
ttnimaduertere eportet morem regiottis : in qua e ft bora
logium.  E/Jo ,fuerit in Italia, in qua borarm [upputatia
per diem cr diem  er noftem progreditur uffyad  14. Vi
tenigma hocfoluas: per pofuiones,du£ partes de  14 funt
inueftigand<e:quarum  f er  f uniat,[int yctfr  alterius.
ltd monies boras ab horologio monjlrataf effe  p r ~eas
uero,qu£ debwflent monjlrarr.effc  14 If ♦ Q u’ppedc
tertia pars eft Sf^.Qtiartd 2 y~-,qux partes ant
bet fimul adduce faciunt  5 |f, Atde  14 quinta
pars eft 2  |f .Sexto 2 qux ctiam partes mb* fund

udMtwreM  A«d

■ i

t I B E R nil

401

Vm duccnti inter duos akdtorcs acquit portiont  «

bus dirndl debuer untut eorrn utcrcj-ioodepor *
tarct. Ejfu/is e facco aurcis, cum rixd inter eos ortd ef  *
fetimieftis uterq- mambus aceruim deripiunt, de quo at* •
ter plus,niter mmus fuflulit. Cemumfedata rixd,conuen*
fum cfiut qutplus rdpwfftjimidium deponcretiqui mi*
W  5  partem tertim .qwefmme depofitg ,quum acquit
parttbus inter cos dimf<t fuiffent uterq; fe compcrit habc*
re Aurccs too : quemadmodum ab initio pur tit to fieri de*
butt.quero, quantum titcrq; rapuitfPer pofti iones mue  *
ttiesalterumnireos odogintaquinq■  er J?, alterum an*/,
reos centum quatucrdecim %r  £ raputfje. qtue fumm
sompofitafaciunt too.

E ' T rib us dieatcrthus primus de pecunid fecundi.ii*.

,• ttndium lucrdtus eft. Sctmdm detcrtij pecunidpar
tem tertidm.Tcrtius de primi pecunid partem quintam t
tufucp finitio.difcedens corum quifque ccntumaurcos de*
portduit.qutero,qudntumqmbbet initio lufm dttulttiTat
tans per pofitiones comperies prmtm dttuhjje aurcot
quinquaginta qtunque  ©- Secundum durcos in-.
Tcrtium  133 j . Nam primus defud pecunid quintam
pdrtcm perdidit , uidelicet  llf. qua fed urn eft: ut ei
tefdrent quudragintd qudtuor v  £. qutbus dimidi *
um de f tcundi pecunid dcccfiic,nempe quinqudgmtd quin*
q uc Crj;. itd centum deportduit. Seemim defud pe *
tunia dimidium perdidit: Qr de tertij pceunid pdrtcm ter*
torn lucrdtus eh, uidelicet quddrug nta quatuor  ©r |.

Cc 4

ARTIS SVP.

quefiadddS ad alterum dimidium, quod remanfittfm
gentetiamcentum  .T ertiusdetenia partcpccunue fue
iafturam licit .Jic ei rcmanferunt oflogmta ofio  er f.
qubits Jiquintam partem de primi pecunia lucrijdftam,
videlicet ddiungas:fientetiam 1U1 centum,

D VO Viatores Cornelius er Antonius in itincre
crumenas duos,alter am rubram ,dlteram mgr am,
fubinde repererunt :m quartern altera aurei 10 pirns
quam in altera fuerunt : atq; in ambabus aurei centum ,
Cornelius fecum fupputans,ad Antomum inquit.Si tu mi*
hicrmenam rubram dabis , v aureos decern de tuisitum
tgotU£ pecunia: quadruplum fumkabiturus- Refpondit
Antonius. At ft tu mihi dabis crumenam nigram, cr de
tuis aureos uiginti: turn egotua pecunia quintuplumfum
habiturus.qu<eritur,quot aurei in rubra crumenaiquot in
nigra fuerunt quo t aureos Cornelius de fmsfquotq;

Antoniushabuit i Principio de centum duos partes (dare
o portef.quarum alter d fupcret alteram partibus decern  .
Hie funt quinquagmtd quinq;  4f.De inde uiatorum utri

tefque aureos per pofitiones exqui(itum,finge eorum  H*
trumque numcrum quemlibet habere: ajhgnans etiam eis
ut libet crumcnas-annotaq- erirorem. Cater um priufquam
ad fccundam pofitionem pergisicrumenarum afiignatio *
nem (feruata ip fa eadem pofitione ) commuta: obferuaefc
tetraeariemdpiignatiominorem errorem parit: ut ilium,
reiefla altera,etiam in fecunda pofitione teneas . lf<< feies
mr crmenam rubram,uter nigram habuii, Poftea adfe

cundant

LIBER mi.\ 4°4

etmdmpofitioncm decingerc: gr reguldS ddt, ds fequens
depr<ehendes Cptnelium defuis hdbuijfedureos  4°t?
Antomm  3<5 in crimiatd rubrafuiffe dureos  ff ,

in nigrA 4f.

M iles, qui in SUtioneeuf. A uidtore interrogdtus:

quot in pnefidto cffent; reffondit. Sitotidcm alif
accedercnt: dimidtum de tot idem: grquart d pdrs dc toti»
dem; omms una tecum ficcrcmus too . luudt fcire:quot
mlites cffent mpufidio , Ter nd per pofitionesigrinue*
niesjuiffetrigmtdfex .

M e rcdtor id trinas mmdinas [ubindeprofiflut,  prt
mis omnem fudm pccunidm per lucrum dupltca «
nit. gr infumpfit libras auriduodecim. Secundis id,quod
cx primisfuperfuit: per lucrum duplicauit : gr itcrum in •
fump/it libras duri duodccim . Tertijs id, quod ex fee un*
disrcmanfit'.per lucrum dupheauit .grrurfuunfumpfit
auri hbrdf n.Quo fiftum csl:ut nihil cmnino e i reflaret.
Qu£ritur, quantum pecunue ad primas mndinas ab ini  s
tio feeum extulit fTerna per pofitmts : gr comperies
turn extuliffeduri libras 10  ~. Ucetetiamfineullipofi a.
tmeqwcjfitumhoc explicdrcjidpoflremts nundinisinci
pirns, colligensq- per finguUs lucra qu<tq ;, gr fubducens
impenfds,ordine rctrogrddo dd primas nundinas per gas-
quemddmodum de fdeerdote tribus mendicis pccunidm
erogante librotertio monfir auimus .

T B.es pecunidm hdbent, dureorum quifq; fummam:
quorum primus dlijs duobus inquit,Si mthi dtmidi*
%  “ Cc 5

40? ARTIS S V 9

im pecunic ueftr<e contuleritis: habebo tma cum met
pecunia aureos  10 . Sccundut ucroceteris dicit,Sithi»
hi partem tertiam pecunia ueflrjedonauent'vs: babebou*
fid cum me a aureos 2o . Tertm quoq; reltquis ajfrmatu
(imihi partem quartam pccunue ueftra dederitn : babe*
bo una cum me a  aureos zo . QUtero, quot aureos babe t
cor umunufquifc^t Pone,uthbet: puta primim habere aw
nos  4. a!ij(necc[fe eft)habeantmfumma u. quorum
primo data factetiUi aureos za. iamuero,utfeorfuM
txquiras fccundi er tertij partes : po/ittoncsalias fucert
eportet Ad butte modim. Kdde fimul omnium partes
primapofitioneconiettitfior ficnt  ?s. Demdeutpar •
ternfccundiexquiras: muefhgare oportetde  3 s pdrtet
duos-.quorum alteri pars tenia alteriMmftaficiat zo  »■
id,quod obiter per alios pofitiond fkiendwm eft: or ea •
rum alteram imte tties  u. tantumhabcbitfecundus. Sic
primuscr tertuuhabebuttt 14.. equihus  4 funtpri *
mificut eftpofttumi  *0 ermttertij.Sicfecmdum the*
ota partes primi  er fecundicongruunt. c<eterum tertij
pars per hone pofttmem erit  14. quippefi primus  er
fccundus f  eiconferant tea erit  4. atipfehabet  10.
fiefiunt  »4, &  4 exeedentes in prima haepofitteni
redundant, lterumigitur pone, ut libet, putapnmumha *
here  8. quofiet,utfccundus  e r tertm habeant  14: quo*
rum  v ficieteiiquiprimus eft zo. Et ut partem fecun*
di menus: adle ca omnia fimul,  <7 ftent  31. peftedper
alias pofumes obiter inueftigare oportet de  51 partes

-LIBER Hit. 40dL

to :qudrm alteri pars tcrtk alterius mild ficiat  10.
Etinucnies alteram cfie 14. .Tantumhabebit fccundmm
fecunda hdc poftuonejn qua pnmm babet s.primus ue « !
to O' tertirn babcbunt is  . quorum } fecurtdo collect
ficietei  10. Si pnmm v fecundus babent 21: quorum  f
eft  5 ~,q;ue addita ad to, fkiwt  15 {■ . qua ratione
defunt  4f :ut fiant 10. atque ita fecunda pofitio dc*
ftflum pant . QBorirca ut inter has duos falfo pofitio  «
ties: qmrum prior exceftm, fecunda deft dm prcfcrt :
ueritat muenktur etdde umbos errores uidehcet  4 er
4 f Vfurgent  8 £•. qui nurnem diuifcr crit . Delude
primus error  4 ducatur in fecundam pofitionem  s:er
producentur  jx .Item fecunduserror'  4 f duulur ih
priorem pofitionem  4: oftent is.ea addita ad jz,ere  =
ant so.quefwmnu jlfcceturper 8 innumeropar*
titionii prodibunt  5 ~ „ tantwm habuitprimus.Iterim
pro fecundi parte exquirenda, ducatur prior error  4
in fecundam pofitionem  14: c crcfccnt  ys . ttidem fe*
tundus error  4 £ in priorem pofitionem  ix .erfient
14.qu<e addita ad ss,errant no  . tafifecCiUur per'S ~:
in nunuero par titionisexeunt 12 . tantim habuit fe-
cuadus . R urfus pro tertij parte meftigandd-ducatur
prior error  4 in fecunda pofitionem  to: er pent  40 *
Similiter fecundus error  4 r w priorem pofitionem  x 0 :
©■ jient  90 .qua addita ad  40 ,cream i;otBa fiper.Bi di
nidantur: in tiumero feftionis prodibunt 1 5 • tantum

bibuit tertius-Experire fecundm thema . & ttaefecont
ptries «

407 Si R T I S JVP.

Uuiufmodi pofitiom duphces nocanturquod dd confiri
mandatprxcipuMpofitiones, alue obiter fiant: qum jpca
£.indat ocutis bicfubiecimws: ut left or rnelm mtdltgat,

5>0  l$T? 40
54 12 U  5<5
i3 5 t? 32

Vrimut.

Se cundut,  £0

T mint.

LIBEK IIII.

4®S

I N fumm<t,pcr falfarum pofitionum regulat unmetfc
qutfimes : quit in negociatiombm interuenircfolent  *
facile exphcantur . Q u<e uero radium [upputationcm
m quadratures requtruntialdorem pofcunt artcmz
quam An bcs Algebramuocant . Ed monfir At rddicum
quadralarm cubicarumqut additionetn  , fubduflio •
mm, mukipliiationem.O'diuifionem. per quam
miner fa quant umuis ardua, quct ad nume<*
rosattmcnt poffuntexpediri. Ctetce
rum nos tantum ea, quae ad  id

tamcommunemtranfi
gendamnecef*
faria funt:
flu a

dioftscxplia
eanda fufcepimus.

PINTS L I B RI
Q.VARTI

4 °?

APPENDIX

EX B V DAE I LIB R O DE
ASSE  EXCERPTA, IN QVA
Prifcd Ldtinorum  er Gracpvum
fupputatio, ad aftimationetn
pecmi£,twnGallic<£,
turn Anglicare
uocatur>

PER AEPRECIVM ESSE P Ifi
tduimws nojlratcs fludiofos ddmonere :
quemadmodum prifcd, uel  R omand,uel
Gracd nummifmta eorumcp fumm£ quit
libet pecrnid nojtrate pofiint ajtimdn : ut
cum ueteres author es inmdnm legendos fumunt,fiqui
pecunia fummd interuenit ,eius aflirndtiontm protirtiM
agnofcant, id,quod BucLeui uir cum prtmis .etdtis noftra
cruditm in eo libro ,qucmde Affe & partibiu cm nuti
indujlmcompofuif.depecunid Galltcafuumgentemud*
monuit. quo nomine non tdnt urn GdUorum, fed omnium
ndtionumpofteritds ei plurimum debet: quod prifccrum
tbefduros refraflis bdrbdriei ninculis ,quibus conclufi
erdnt : dperuerit, ltdq;quibits pecunid Gallied notu eft:
fdtis db illo funt edoflr.qudnti ueterd quaefc nummifmdtdi
dtq; eorum fmm£ qu/hbet occurrentes aflimentur.  No
fir dies uero,quibw ed ignatu eft: per qu<eddm, qua ex

4 to

§{ius libro excerpta hie ftbnotduimustficile idem ccgnof «
tent.

Apud Romanos, dum ftoreret imperium, duri libri
Hummosaureosquadragenos oftonos capiebat’.quorum
firigu'i ualtbant denanos uicenos quinos. Exhis aunt
quaiuor uttcutm pendebant: poflea partim luxu, par tint
klhs cmhbus,externals opibus, imminuti furit aurei: ut
iertta pars pendcri dccederef-o feptuagmta duoexau «
ahbrafimm. Hifilidiuocan ceptifunt, qua/t integri i
ejuibas whddeefet.foltdum tnimantiquiintegrumuoca*
bant . Atque fextuU etiam nuncupati funt: quod corum
fex unciam complerent. Nunc,quod [cum: nufquamgett
mmillortim aureorum in/lar altquod mdnet,nifiapud no
jlratcs Anglos quorum aurei quatuor, quos Nobiles  Roe
fatos uulgo uccant: pendent unciam. qui ueteres aureos
Romanes o pondere a quint : o auri probitate pat
rum am mhilcedunt. item fex noftrates aurei, quos No  *
biles Angelos appeUamut complent unciam: o uetens
fohdos,qui fextuhe nuncupati fucruntio pondere  ©• in*
d.catura tquiparant . Pcrro Romani nummariam ar<
genn hbram centum denarios argenteos, quorum fingu*
lidrJcbmapondat<equabant:comp!fliuolaerunt.Den4 *
tius apud cos did us, quod denostereos afies ualeret , ut
i”quit varro.hu usdmidium Quinarius &rgentcus,ua*

I bat xrcos af.es quinq *. Atnummus Sejlertius argenteus t
duos afes  o femifem’.diftusqua/}femistertius.Horum
quatuor denartu ualebant.quofitwt quadringmifeftey

4 n

tij denarbs centum,hoc cftjibram nummariam ualercnh
QJM radone Seftertium neutrogcncre, quod duasargen
tilibmcrfemiffemcompleftebatur.miUefeftemosgene
re mafculino capicbat, Seftertm autem ipjc nummularis
duos libras O' fehbram complcflebatur: hoc eft duos df*
fes femifiem  . N am  At, eris libram duodecimuncw
€omple£lentem,ualebat,Sextans mmmifmaparuum,ua»
kbit duos aftes . Quadrats minimus areas,quartam aftis
partemtut Triens tertiamSemis autem duos ualebat qua*
dr antes. Huic nummarie rationi, quod id denarios,quia
ttarios z? feftertios dttinet tuetus petunia noftra quant
Sterlingimuocimus,peromnn (irnilis eft . Quod emm
ucterem Groftum Stcr'angunt nofir it e lingua dimwit: id
pondere el indkituri denar ium Romanum equal . Q uoi
ttetcremSemigrofiumuocdmus: Quinarium . Quod no*
firatium uutgus ueterem denar ium Sterlingum dppellat:
fftcrtium nurnmum equiparat.Ceterum nos libram Ster
tingam uocamus: quod apud Romano/ libre dimidiumfi
libra erat . At quod Romani neutrogenere feftertium uo*
tdbant, duos argentiiibras cr fetnifiem compleftens: nos
quinq- libras uocamwnqmd libra nofire fintfehbre  Rc»
mane .

lllud cbferuandum uidetur: ueteres Seftertium, quoi
duaslibras  e ? femiftemcaperetiper duo  L er mum  S
not are folere ad huncniodum LLS.fiue de feftertiji
nummts,fiue de alijsf ijlcrtijs intelligas, id quod adhuc  ec
tint es Itbri ueteres teftantur,

Seftertium netitri generis.
Vigmti qumq- durei co
rotuti.

Decern fejlertid. Ducenti
quinqudgintd coron.

Vigmti f’jlertid . Quingert
ticorondti .

Trigintd fejlertid. Septiti*
genti  er quinqudgintd
corondti.

QMdugmU fellertid  *
M lUe corondti.

Quinqudgintd fcjlertid  *
Mifle ducenti quinqua  ■
gintd corondti.

Centum fcjlertid-Duo mil*
lidcr quingeticorond.

Ducentd feftertid. Quincg
miUidcorondtorum.

QUddringcntd fejlertid .
Decern millid coron.

Quingetdfejlertid. Duo a
decim millid crquingc
ti corondti*

Sexcentd fejlertid.Quinde
cim millid corondtoru.
Oftingentd[e(lertid.Vigin

4U

Quinque Ubri flcrlingd.

Quinqudgintd librd fieri
lingt.

Centum librd (lerlingd »
Centum  er quinqudgintd

librd (lerlingd,

Ducentd librdflerlingdm

Ducentd quinqudgintd Us
brdfltrlingd.

Quingentd librd flerlin «

gd.

MiUe hbrd /lerlingd*

Duo millid librdrm fieri
lingartm.

Duo millid  ©• quingent&
librd flerlingd.

Trid millid librdrm fieri
lingdrum.

Qudtuor millid librdrm
D4

4 T f ... _ __ 5;

ti mittid corondhrw^* flerlingMffls

Witte fc/lertid-Vigintt quilt Quinque mittid hertfUM
quemitttdcorondtoru. fterlingdrum•

Deaes feftertium Romdni quodm fermon is compendia j
dicibant pro decks ccntaut mittid feftertiorum.quo ,
fignificabant idem quod milk feftertid . er fere fupri  I
ttnUcper dduerbut loqucbdntur: infra mittc,nmqu<un,

Vuodeciesfesiertitim.  Tri* Sex mittid librarum fter*

gintd mittid comutt. lingdrum.

Quindecies feftertiu ■ Tri* Septem miUid  er quin0m
gintdfeptem miUid  ©• i<ehbr<ffterling£.

quingenti coromti •

Vicks fcflerUu, Quinqud 'Decern mittid librdrum fttf
gintd mittid corondt. lingdrum.

Trities feftertium. Septuet Quitidecim mittid UbrdrS
gintd quin# mittid co  ■ fterlingdrum*

rondtorum,

duddrdgks feftertium. Viginti mittid librdru fter*

Centum mtttd corondt* lingdrum .

Sexdgtesfeftertium . Ce»« Trigintd mittutibrdrum

turnquinquagintd mil* fterlingdrum •

lidcoronatorum.

Qftogies feftertiumDU• QUddrdgjintd mittidttbrd*

centd mittid ccrondto. rum fterlingdrum.

Centiesfeftertiurn.Ducenm Qutnqudgintd mittidlitii

tdqumqudgmtdmittid rum fterlingdrum*

corondt or um*

HiicenlicsfefleYtili. Qyitt
gentamiflidcorondto .

QUddnngenties fefterhu.
Decies cetena millid co
ronatorum .

Quingentws feflcrtium.
Duodecies cetena. quin
quagmtd miUkcoron.

Oflingenties feftertium.vi
cies centenamdlkcoro
natorum.

Millies [eftcrtium. Vicks
quinquies cetena miUia
coromtorum.

tis millies feftertiu.Quin
quagies centend niiHiet
coronitorum.

Ter millies feflertium. Se=
ptudgies quinquies cen
tend mliid coronatorii.

Quater millies feflertium.
Centies centend tmUid
coronatorum.

Series millies feflertium i
Cities quinqudgiescen
tendmiHidcorondton

tofties millies feflertium.

4 T 4

Centum miUidlibrdr u Her
lingdrum.

Ducentd millid librarian
(lerlitigdrunu

Ducentd quinqudgintd  mi!
lid librarumflerlingd  «
rum.

Quadringetd miUia libra*
rumflerlingdrum*

Quingctd millid hbraruni
llerlingarum *

Decks citena mitlid libra*
rum fterlmgdrum,ftuc
miUiesmiUentehbne.

Quindea.es centend mUid
hbrarum [lerlingdrum*

Vicies centend millid, hoc
eftjbis miUena millid lit
brarum flerlingarum.

Tricies centend millid, hoc
efljermiUendmitlidli *
bmumfterlingdrtmi

Qttddrdgies cetena millid $

M z

Ducentkseentena mti« hoc eft, quitter mlflerti

ltd coronatorum . tmHia librarumfierlim

garurn . r-

DeciestmUtcsfeflertium  * Quinquagiescontendmill

Ducenttes quinquagtei ha, hoc eft, quinquicl

cenienamillia corona • tnilknannUia librarian

forum. ftcrlingdrum.

Vtries miUies feftertim  * Centies contend mitUa,hot
QUmgettescetena mil« eft, decies mtllcna  mil*

ltdeoronatorwm. ltd libraxu\lerlingam ,

QUddragiesmiUiesfeftcra Ducenttes contend mdltd,
tm.MiBktcentena mil « hoc eft, tucies miBena

lu coronatorm . tmUta hbraru (lerlwg ,

GRAECORVt*

Supputatio4

M ini apud GracoS idem eft,quod libra,  er pondo
apud Komanos .  H<ec centum drachmas confine
hat-hoc eft centum denarios Komanos,flue quadringen*
tosfeftertioS. Drdchmdenim & denarius park erant t*
ftimationk, Mina deem coronatos ualebat : Jiuc duos li‘
hr as fterlmgas.  D rachmain fex obolos diuidebatur: atfy
in tnentcs,quddrantesq;,Se(quioboluf Athenk,eratKo*
tnteSefl critics.

Talent u multiplexed,fed Atticu maxime ah  H iftork
ckcelebratu,fexdgtnta libras fiuemmas ualuit, hoc c ft,
(excentos coronatosJiue centum tugmtihbras fterlmgas.

Decern

Decern talentd»Sex ttffld
coronatorm.

Viginti talent a, Duodecim
miHiaeoronatorum*
Quadraginta talent a.  Vi*
ginti quatuor miUia  co«,
ronatomm.

Quinquagintd taleta.Tri*
gintamiUid coronat.
Centum takntd.Sexagintd
miUidcorotuttorm,
Ducsnta talenta, Centum
uiginti miUia coronat .
Trecenta talenta. Centum
cdudginta miUia coro*
natorum.

QUddrmgentd tdletd. Du*
eenta quadraginta mil*
Udcoromuorum.
Quingentd taletd.Trecen*
tamdhacoronatorum „
Sexentd tdletd, Trecento,
fexagintd miHid cor on*
Septingc.talcta■ Quadrin*
gentd utgmti md coro  *
0 (hngentatakntd. Qtid=>
dmgentd ottuaginti
mtHticoroiutorm*

Mifle & duett* Brafter
ting*.

Duo miHid crquddringcii
t*hbr*fterlmg£.

Quatuor miUia nonningett
telibraftcrling*,

Scxmillid librdrum fterliit
garum.

Duodecim milha librarm
fterlingarum.

Viginti quutuor miHidli*
br drum fterlingarum.

frigintd (ex mi Ilia Brum
fterlingarum ,

Quadraginta oflo mWi
llbrarum fterlingarum,

$cxdgin f d mitVa librdrum
fterlingarum.

Septuagmtd, duo miUia. It*
brarum fterlingarum.

0(1 uagintd,quatuor miUi*
llbrarum fterlmgdrum.

Uonagwtd fexmillid libr4
■ rum fterlingarum.

Vd $

4*7 t  _

tfomhgenti tdentd.'Qyin
gentaquadragintamil  *

Centum & otto niXlkli*
brurmfterlmgmm.

lid corondtorum »
faifle td/enf a. Sexdtd mil*
ltdcorondtorm.

Duo miUid tdlentwm.Duo
decks centend milltdco
romtorm .

Trw mittid talentm  ,D eci
ts zyodks cetem mil•
lidcorondtortm>
(Xuitucr mittid Idlcnttm .
Vic!« cr qudter cente*
ttd millid corondtorum-
Sex millid tdlentwm. Triti•
ts [exits centend millid
toirondtoum .
GdomiUid tdlentum.Qud
drdgies odtes centend
miUid corondtorum.
Decemmittia talent u.Scxd
gtes centend miUid  coV
rondtorm-

Qumdecim millid tdlentTu
Nondgies centend mil *
lid corondtorum .

Centuuiginti mittid libra i
rum Ihrlingarum. \

Ducenta quddragintd  mil*
Udlibrdrm Jierlingd *
rum.

Trecentd fexdgintd miUid
Ubrarti flcrUngirm*

QUdiringentd ofludginti
miUtd ItbrdrumfterUn*
garwm .

Sextingentd uigintimittidli
brdrmfterlingarm .

Honingetd fexdgintd mil •
lulibrarufterlingdriu

Uitte crducentdmiUuli*
brarum (lerlingarum*

Witte cr fexcentd mitts Ik

brarum fterlingdrutit.

4*8

tauiciesccntmmil&S UtniHiiVbrdnmflev

mronatorum. Imgarum •

mensvrae ex bv«

dailibrode Ajfe.

C Ytihus,duodecimo pars fextari], pendet uncut dtt
at drachmas [exdecim.

A cetabulu, quod dicitur Oxybapbur.quarta pm Coty •
kycontmct Qyatbrn & dtmidiu.pendet uncut tret.
Cotyla,qu<e Hemina dicitur tdimidiumfextarij c emmet z
Cyaiosfex.pendet libram mm.

Sextariutjexta pars Congij,continet Cotylat duos zCya*
thosduodecim. pendet libras duos.

Congius continet Sextarios fex:Heminat duodecimtCya•
thos feptuaginta duos .

Modiut, terlia pars Amphormcapit Sextarios fexdecim:
Heminas quadraginta oflo.

Amphora , qu<£Quadrantaldicitur , capit Vrnatduasz
Modios trestCongtos ofto: Sextarios quadraginta  o«
£lo:tieminas nonaginta  /be.

Cidus, qui etiam Metreta dicitur : capit Congios decern z
Sextarios fexaginta: Amphoram er quadrantem.

C uleut capit Ampborat uiginti 5 Vrm quadraginta : Mo«
dios fexaginta.

Medimntts capit modios fextAmphoras duos .

H A CT E Nut ex Budai libro de&ffe excerpfmws ■,
N«w mate neftra apudfingulas pene nationes an

Dd  4

I

4W

rei, pro regm dut prittcipm drbitrio , udrium babeni
precim. (ic libra, fic folidi,ut nunc funt uocabula : ma*
gnam pro regionibut diuerfitatem habent. Cater m i Hud
mirrn uideturiquomodo in tanta librarm  ejr folidorunt
eeftimationis differentia, pro fuo cuiufque regioms more,
mult a tamtn nationes confentiunt: ut uulgan lingua foil *
ium uocent,qucd denariolos duodecmuulgarescompk
Hitur:libram,quodfolidos uiginti-Quocirca mercatoriji
fupputatiombut in hac atatenoflraplurimumconducet:
fi quis in promptu teneattquosfolidos qualibet denarioru
fumma procreet ufq- ad mille-ld quod ante oculos pcrgrn
4 m quo[dam,numerorum not is fignandum duximwt .

pi.f.8.<L

IQO.f*

&2J. noo.L

7 SJ, uooj.

84  A 7t

$>o.d> 7.[.6A

pdA  S./t

FINIS APPENDICIS*

G V H EL MI B V D AE I
L P AR ISIENS I S,  SECRE-
tdrij rcgij , B rcuidrium deAffe.

A S , qui & A fits dicitur, in duodccint uttcidi diflrii
budur. As qudternos denanolcs nofir os udluit  er
pduxilio plus. Sic fit f ut duo affes  er [emis,fc(lertiumfkci*
ant,id ek,cdr oleum noflrum  er femiflem dendrioli  „

Duo ttffes,(extern diccbdntur, quod numifmupdrum
fuit,cuius mctmUPliniM o-Liutus.

Quddrdns etidm nummulus,  er udlebdt d[is qudrtdm
pdrtcm,<y Tritns tertidm,Semis dutemduos quddrunteit
Udlebdt .

A pud Grecos Jrdchmd in [ex obolos diuifx eR,  er its
trienteis,qMdrditteif$.Sefquiobolut Athenis erat Roma
[eftertius.

Seftertius,  er tiummtts idem erdnt dpud  R omdnos i
Seflertm aftim dtionc ttcflrd decern turonicis dettdm
\ii,Cr[emilJe dendrioli udluit .

Demins quatcrw [efterties nmmas udlebdt , foe

D4 f

tft,qudternoscarcolo! nojlros,er bms denariolos turn
nicos;exeo dittut denarius,, quod pro decern afitbut  /o«*
retur *reis,er cederet in folutum.

Sejlertius ex eo didut eft, quod duos ajfes, er f:mif*
fem ualeret, Qua ratione quaterni fcjiertij denarium
Romanum ualebant. Etfeflertiusdiftus, quia Urdus fa
suited,duofuntfolidi ajfes,er [emit . hie etiam nummus
dicehatur,crargenteus cut .

Libra Romana,qu£ er mina,erpondo dicitur, center
nosdeturios ,feu quod idem eft,centenos drachmas babe*
hat. Cum igitur denarius quaternos fejiertios aquaret,
pondere er cefiimatione,liquet in librd Romana quadrm
g entosfuiffe fejiertios, er in duabus librit er fehbra,mit
ie fejiertios, quardtionefit ,ut fejlerda (ingulanumero
plurali miUenos feflertias ualeant, hoc eft, duos libras,  er
femijfem . Vt emmfejlertius nummut dicitur, ex eo quod
duos ajfes  er femijfem ualebdt, hoc eft, duos libras <eris,
grauktO- feltbram:Ua fejlerda numero plurali cr gene*
reneutro ideo dicuntwr, quod Jinguld duos libras etfeli•
hr dm argenti ualerent,boc e fl,ducentos er quinquaginti
ienanosfiue mtUe fejiertios,quod idemeft. Sicjit,utdc•
gem [ejlertia,  er decern miUia fejlertium nmmorum pro
todem ab antiquis dicerentur .

lAitte fcjiertij, ajlimatione nojlra,uiginti quinq j coro•
natorum ualent . Dicitur autem mide fcjiertij, ermiUe
mmmi:uelmiUe fcllcrtium,cr mille nmmmiuel copuU
trjmtiefefiertim nmmum  ♦

CM

42 £

Cm Mem mflefefterttjtf eft,dueenli quinquagintd
denarij,duns libras,argenti,cr femiffem ualerent : fequi*
tur ut libra Romans,que er minadicitur er pondo, deco
aureos coromtos uduerit . Coronatos autem its inteUigi
uolo.ut finguh triginta quinquefolidos udeant, quod eft
legitimumprecium.

igitur decern miUia nummum, uel decern miUia fefter*
(turn,quod idem eft,ducentos, &■ quinquaginta aureos co
ronatos ualebat-Hac etiam decern feftertia dicuntur,cutn
fingula feftertia,fingula miUia Jignijicant .

Decies fefterttum, idem eft quod decks centemmiUii
feflerlium, qua fumma cetities maior eft decern feftertijs,
idem eft enim decks feftertium,quod nude feftertia. Cunt
enim fingula feftertia miUenos nummosfeflertios udeant,
fi miUe feftertia miUies multiplices,ftent decies cetena mil•
lia,quem lingua uernacukmiUionem uocant ,

Decies igitur feftertiucenties ducetos O' quinquagin*
tdaureosualet,hoceft,uigmti qumquemiUia, ficfiet, ut
miUioRonidnus uiginti qumq; miUia corcnatcru udeat »

Hoc igitur tenere opbrtet, quod quemadmodum, cunt
i nummbsfeftertijs, ad feftertia gcncre neutrofit tranfi •
trn, numeria miUiesmultipkcalur . ltd cum ad earn lo*
quutionem uentum eft,qua per aduerbia numeralta enun
ciatur, feftertia fingula conduplicata crefcunt.  Vf uerbi
jgrdtid . Si centum feflertia dicam, centum miUia feller •
tium inteUigere debeas. Qjj,odft cities feftertium dicam,
noum centum fejUrtkifed eenties centena feftertia,

42 ?

feu etudes centm mdlidfeftertiumjntcKigettdumfit*

Vt dutem fields,  er cbm jit umcutque eatum jum*
mxrum imcUigenti<i,qutedpudauthons idmidem lea
guntur, hocmcmimffe oportet, quodfequtturtutquta
misjumtm ctiom tn digitos deduct pofttt  > fine calcuhi  ,* ug
kbaco .

Decent feftertU
Vigintifejlerttd
Trigtntd feftertU

Qtudrdgintd feftertU
QwnquxginU feftertU

gexdginta feftertU
Centum feftertid.
Ducenea feftertU
QuctdringenU feftertU

duced quinquigintd dureh
qungentiauret,
feptwgenti, ip qumqtuu
gtmddurci,
mUcjurei-

tmUe ducenti,cr quinqutt*
g mtd aura
mUecrqumgenti.
duo mtlhx eg qumgenti
quinqucmiUu
decent miUtd corondtoru »

Cenfus equeftris fub tulio
Qeftre.

Qttingentd feftertU duodecim miUid et qmge,

Sexcenta feftertU quindecim miUid

Qclmgmti feftertU uigmtimiUu

Cenfus fendterius (trite ktu
guftum-

fHittc feftertU mgintiqumqut mUm

BiftedcducentdfeftertU tnfftiM miUid,

Cenfui

CenfutfendtcrmfubAti*

gufto-

Uotdndum quod fupra mitte fcflertidRomdni fire fem
per per .uiuerbu. loquebdntur, mfra mitte nunqumper
adut rbu loquuti funt,boc mode,
liecitsfefleruum, id eft mitte fejlertiet, uiginti

quinq; mittid.

Vuoduiesfeftertium , triginta mittid meorm

Cenfut [cndtoriuffub
Auguflo.

Quindecksfeflertim trigintd feptem mittid <$■

quingenti

Viaesfeflertium quinquagintd mittid

Iricus fcjlernum feptuagmtd quin# mittid

Quadrdgies fefiertium centummittid durtorm

Quinquages fefiertium centumxxv.mittiddur.

Tdnli teftirndtutcflunh
Ckopdtree.

Quidringenties fefiertium decies centend mittid,idt& 3
fti'Mio. billies miUe,td esl,mittio .

mrecrum

Sexagiesfeftertmm
Ccntiesfeftertium

duceti quinqudgintd mittid
dur corum.

centum quinquagintd mil «
liddureorum

Tantt teflimatui eil  <t Plinfo
oriutwLollu,

w

Millies feflerilm uicies quinquies cetenamil

lia,id ett,duo imUioms,Grquingentd millid-
tismiUtdfeftertium quinquagies cetena mtHid «
Cenfuitentuhdugurisfub
Augufto.

Crater mtUtes fettertim decent miUiones dicuntur j
hoc e/l, cedescctendimUidi
Dtcics rniUiet feflertim uigittti quinque millions*
QuadragiesmiUics fetter; centum miUiones.

Vicies fepttes miUies feflertium coegiffe Tiberius dicitur,

, id ettfexdgintdfcx miUiones, & quinquaginta mitfii
aureorum coronatorum.ut noflro [ermont loquar.
Libra  R omana in duqdecim uncias & famucum dU
uiditur,0‘mcidin ottom drachmas. Sic fit ut centring
drachma hbrdm v mindm,fcu pondo ficiant.

Drachma in terna fcrupuld diuiditur.ficfit ut fint ui*
cenaquaterna fcrupuld in uncia. Parifienfcs dr a chmani
grojfum appeUant, er fcrupulum appellant denarium,
cr bmadrachmafterlmiquinque dicuntur,idett,qu*
duns uncia .

H tccdepoltdere dittafufficiani .

GRAECORVH
Supputdtio .

MinaapudGracosidcett quodhbra crpondoapui
ttomanos.hac centu drdchmoscontinebat, hoc ett, cen*
turn dcnarios Kcmanos,[eu quadrtngentos feftertios.

Mini

4*6

Mnd igitur ieeem aurios brand* i tidbit . E t dmb
M tres folidos tttronicos  er fmi(fem, quanti fcilicct de*
nanus Romania oflimatus eft k nobis, hoc eft, qudterm
timmi •

Talentm multiplex fuit,ut in libro noftro latifiime
tnarratum eft. fed talentum Atticm quodplurimum cc*
lebratur ab hiftoricis, fexaginta libras ualuit,feu minor i
hoc eft,fex miUia denar iorrn uel drachmarum,qiu [exit
gits denos coronaios ualent.boc eft,fexcentos.
Talentum fexcentiaurei.

Decern talent a fex miUia aureorm  .

Quindecim talenta tiouem miUia aureorm*  '

Viginti talenta duodecim miUia .

Quinquaginta talenta triginta miUia aurcor unto

Quadringenta talenta ducenta  er quadringentd

Duo miUia talentum  . tnille  er ducenta miUia,
Decern miUia talentm> fexagics centena miUia.*

Tantifunerajje Alexander  Ef he  •
ftionemdicitur .

fcREVlARII BVDA1CI DE ASSB

finis.

Centum talenta
Ducenta talenta

fexaginta miUia .
centum miUia  er uiginti *

IftiUe talenta

miUia ,

fexcentamittia .

; i

■ ■ •' '• : ’ K '■ ;  - ' ■ '

^ _ ' v

X  v.t ^ ■ - T  .

• ^ •-*• 'VI

- ; -V • > ‘ i'. • ' ■

. - *■■»>"



r

’ ; •

* "y [  ■ ‘

- ...! -■ i?V‘

'3

■ i'ii.-'  ■■ ,

rr • . .!•
•..toW ,. f
:■ ■ . « r  '* ugry

;

l;  ■ 1  ' 1 ' s

V - V: ■ i‘X

- V.S- - '»

. ..::v*-V -sO-■

■ . ■

■: VI