NOVICE 61 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Predstavitev nove knjige: Iteracije in fraktali Gustavo N. Rubiano O. in Borut Jurčič Zlobec Zveza za tehnično kulturo Slovenije Ljubljana, 2016 210 strani Cena: 25,00 EUR V založništvu Zveze za tehnično kulturo Slovenije je izšla matema- tična monografija z naslovom Itera- cije in fraktali [s sistemom Mathe- matica], katere avtorja sta Gustavo N. Rubiano O. in Borut Jurčič Zlo- bec. Delo obravnava zelo privlač- no strukturo, ki se imenuje fraktal. Fraktal je sebi podobna množica, katere posamezni sestavni deli so podobni celoti. Sebipodobnost omogoča, da z dokaj enostavnim opisom sestavljamo vedno bolj za- pletene strukture. Omenjeno lastnost s pridom uporablja narava, kjer lahko naj- demo veliko sebi podobnih struktur (sne- žinka, vrtnina rimski brokoli, drevesni sistem vej, listi praproti, vaskularni sistem pljuč). V matematiki se fraktali pojavijo zelo pozno. Prvič so nanje naleteli pro- ti koncu 19. stoletja, ko so konstruirali zvezne, a nikjer odvedljive funkcije. Ma- tematična definicija fraktala je bila posta- vljena leta 1975 in razcvet sodobne frak- talne geometrije je dejansko omogočilo šele računalništvo. Osnovni postopek, s pomočjo katerega avtorja konstruirata in predstavljata fraktale, je iteracija. Sama vizualizacija fraktalov je opravljena s pro- gramskim orodjem Mathematica. Knji- ga je napisana zelo skrbno, postopno in matematično korektno ter vsebuje veliko vsebin, ki so še posebej zanimive za mla- de raziskovalce v srednji šoli in njihove mentorje. Zato odločitev za njeno pred- stavitev v reviji Matematika v šoli. Vsebina. Uvodoma avtorja opišeta frak- tal in predstavita klasične primere frak- talov: Cantorjevo množico, Kochovo snežinko, trikotnik Sierpinskega. Vpe- ljana je fraktalna dimenzija, ki omogoča matematično definicijo fraktala. Drugo poglavje obravnava iteracije, s pomočjo katerih so v množici kompleksnih števil (ravnini) konstruirani različni fraktali. Pri tem je uporabljena znana Newtono- va tangentna metoda. V tretjem poglavju preko dinamike razvoja populacij spo- znamo osnove dinamičnega procesa, ki se lahko vede predvidljivo ali kaotično. Ker naravna rast (eksponentna funkcija) seveda ne more trajati v nedogled, se v praksi za modeliranje omejene rasti po- pulacij uporablja logistična enačba. Preko modificirane logistične enačbe pridemo do Mandelbrotove množice, za katero se je ustvarilo mnenje, da je najbolj zapleten fraktalni objekt v ravnini. V četrtem po- glavju je natančno opisana anatomija te množice in v petem poglavju so predsta- vljene Juliajeve množice. Posebej velja iz- postaviti, da omenjeni poglavji krasijo ga- lerije čudovitih slik. Omenimo, da avtorja vse fraktalne objekte prikažeta v črno-beli tehniki. Pri tem je posebej razvidna bo- gata struktura Juliajevih množic. Morda v delu pogrešamo kakšno barvno sliko. Sledita poglavji, kjer sta predstavljena še dva druga pristopa k fraktalni geometri- ji: Lindenmayerjevi sistemi in iterativni funkcijski sistemi afinih preslikav. Lindenmayerjevi sistemi, poimeno- vani po biologu, ki jih je prvi upo- rabil za modeliranje rastlin, so del računalniške grafike in omogočajo lepe konstrukcije fraktalov iz nara- ve (predvsem drevesa in praproti). Tukaj na primer spoznamo krivulji (zmajeva in Gosperjeva krivulja) s fraktalno dimenzijo 2, čudni kri- vulji, ki zapolnita prostor v ravnini. Zaključno osmo poglavje je name- njeno filotaksi. Filotaksa nam na primer pojasnjuje razporeditve li- stov pri rastlinah, razporeditve cve- tov (popkov, semen) pri socvetjih in razporeditve lusk pri storžih. Zakaj pri filotaksi naletimo na Fibona- ccijevo in Lucasovo zaporedje? Za- kaj se cvetovi (semena) v socvetjih razporejajo v obliki različnih spiral? Kje se pri vsem tem skrivajo veriž- ni ulomki in znamenito razmerje zlatega reza? Se narava podreja ne- kakšnemu mističnemu načelu, da se stvari tako čudovito matematično ujemajo? Avtorja utemeljita, da resnična lepota razmerja zlatega reza v naravi na- stopi iz praktičnih razlogov. Uporabnost z vidika učitelja matema- tike. Kot strokovno literaturo dano delo priporočam v branje učiteljem matemati- ke v srednji šoli in tudi v višjih razredih osnovne šole. Pri tem bi posebej izposta- vil tri vidike uporabe. Avtorja k predstavitvi vsebine pristopita na raziskovalen način, ker imata v mislih mlade raziskovalce in njihove mentorje, za katere je knjiga lahko uporaben vir pri izbiri tem za raziskovalne naloge. Zato za razumevanje večine tematike zadošča že srednješolska matematika. Skoraj vse slike in fraktali v knjigi so opremljeni s programsko kodo, ki je zapisana s progra- mom Mathematica, da lahko bralec tudi sam preiskuje in ustvarja nove fraktale. V knjigi so tudi vsebine, primerne za razi- skovalne naloge v osnovni šoli. Določene zanimive lastnosti so lahko tematika ali iztočnica za matematične krožke in matematične delavnice. Poleg samih fraktalnih struktur izpostavimo še NOVICE 62 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 tematiko zlatega reza, verižnih ulomkov in Evklidovega algoritma, modulsko po- števanko, tri vrzeli in Fibonaccijevo zapo- redje ter Fordove krožnice. Zelo zanimivi so Fareyevi nizi ulomkov, ki imajo lepo geometrijsko konstrukcijo in kopico ne- navadnih lastnosti. Tako osmislijo sešte- vanje ulomkov, kjer iz ulomkov in do- bimo ulomek . Omenimo, da Fareyev niz F(n), kjer je n naravno število, tvorijo okrajšani ulomki z intervala [0,1], katerih imenovalec ne presega n. Na primer niz F(4) sestavljajo števila . Računalniško podkovani učitelji se lahko pri krožkih in delavnicah lotijo tudi vizu- alizacije fraktalov, še posebej fraktalnih krivulj z uporabo t. i. želvje grafike. Zadnji vidik je vključevanje fraktalnih struktur in drugih primerov iz knjige pri pouku matematike kot motivacijskih pri- merov, zanimivosti ali primerov uporabe pri utrjevanju snovi. Skratka za popestri- tev raznih matematičnih vsebin pri pou- ku. Fraktali se lahko naravno vključijo k vsebinam, ki obravnavajo vzorce in za- poredja. Začetne konstrukcije fraktalov, kot sta Kochova snežinka ali trikotnik Sierpinskega, se lahko predstavijo pri vsebinah o geometrijskih likih, tematiki preštevanja objektov, računanju ploščin, ugotavljanju potenčnih povezav. V sred- nji šoli jih lahko naravno uporabimo pri obravnavi geometrijske vrste. Sama ite- racija je kot zanimiv primer lahko upo- rabljena pri obravnavi odvoda in enačbe tangente. Zanimivost. Ste vedeli, da je zaporedje 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 … (rekurzivno poda- no kot a 0 = a 1 = 1 in a n = a n – 1 + a n – 2 za n ≥ 2) z imenom Fibonaccijevo zaporedje poimenoval francoski matematik Lucas v 19. stoletju? Če v rekurziji za Fibonacci- jevo zaporedje spremenimo začetno vred- nost a 0 = 2, dobimo Lucasovo zaporedje 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … Analiza pri štetju parov spiral pri borovih storžih je poka- zala, da so v 95 % v Fibonaccijevem za- poredju, v 4 % v Lucasovem zaporedju in 1 % je neopredeljenih. Ne samo matema- tika, tudi narava očitno pozna statistične stopnje značilnosti! ■ Dominik Benkovič, Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru Raziskovalne naloge iz matematike na Srečanju mladih raziskovalcev Slovenije 2016 Borut Jurčič Zlobec Fakulteta za elektrotehniko Univerze v Ljubljani Uvod V letu 2016 je potekalo že 50. državno srečanje mladih raziskovalcev v Murski Soboti. Na končnem izboru za srebrna in zlata priznanja je bilo pred komisijo pred- stavljenih 10 raziskovalnih nalog. Komi- sijo so sestavljali Polona Repolusk, Mateja Grašič, Dominik Benkovič in Borut Jurčič Zlobec. Komisija je izbrala šest nalog za srebrno priznanje, štiri naloge pa so dobi- le zlato priznanje. Odločili smo se, da bomo vsako leto ob- javili recenzijo zanimivih nalog. Po eni strani, da povemo širši javnosti, kaj delajo naši mladi raziskovalci, po drugi pa, da spodbudimo druge, da bi jim sledili. Mor- da jim bomo s tem dali kakšno idejo ali pa jih spodbudili, da še oni zapišejo svoje misli, ki so se jim ob tem porodile. Seve- da imajo tu mentorji pomembno vlogo in enako velja seveda tudi zanje. Predstavljene so bile štiri naloge iz teori- je števil, tri geometrijske, dve iz diskretne matematike, ena iz kombinatorike. Poleg zmagovitih nalog omenimo tudi nalogo, ki ni dosegla najvišjega priznanja, ki pa bi ga lahko, če bi mentor skrbneje usmerjal učence k matematičnemu raz- mišljanju. Kako lahko raziskovalne naloge še izboljšamo Tu bomo omenili nalogo z naslovom Od- daljenosti in krivulje v ravnini. Naloga go- vori o geometrijskem mestu točk, katerih vsota ali razlika razdalj od dveh danih točk je konstantna. V nalogi so problem posplošili tudi za primere, ko je eno od točk nadomestila premica oziroma krož- nica. Pri tem so naleteli na krivulje dru- gega reda, elipso, hiperbolo in parabolo. Naloga je bila skrbno narejena. Učenci so pokazali, da obvladajo programsko orod- je Geogebra. Motilo je edino to, da niso opazili, da je mogoče en problem prevesti na drugega tako, da ni treba vedno znova ponavljati celotnega izračuna. Na primer, geometrijsko mesto točk, ki so enako od- daljene od krožnice in točke lahko preve- demo na geometrijsko mesto točk, katerih razlika razdalj od dane točke in središča krožnice je enaka polmeru krožnice, če točka leži zunaj krožnice, in katerih vsota razdalj je enaka polmeru krožnice, ko se točka nahaja znotraj krožnice. Podobno bi lahko pojem razlike razdalj od točke in premice prevedli na enako oddaljenost od točke in primerno izbrane njej vzporedne premice. Naloge, ki so dosegle zlata priznanja Najvišja priznanja so dosegle štiri razisko- valne naloge, dve osnovnošolski in dve srednješolski. 1. Paposova veriga v arbelosu Avtorica: Tijana Gajanović Mentor: Vesna Harej Šola: OŠ Dravlje, Ljubljana