MATEMATIKA
—^ deljenje s 5 pa je enakovredno množenju z 2 in nato deljenju z 10, kar tudi ni težko, deljenje z 8 pa je isto kot trikratno zapovrstno deljenje z 2. Dasejev izračun s komentarjem Strassnitzkega je bil objavljen leta 1844 v ugledni nemški matematični reviji Crel-les Journal. Revija izhaja še danes, le da pod drugim imenom: Journal für die reine und angewandte Mathematik - Revija za čisto in uporabno matematiko. Dase, ki ni bil posebno dober matematik, je slovel kot izvrsten računar na pamet, s čimer se je preživljal. Sodeloval je tudi z matematikoma Gaussom (1777-1855) in Jačobijem (1804-1851).
Strassnitzki, po rodu iz Krakova, je od leta 1827 do leta 1834 poučeval matematiko na ljubljanskem ličeju. Pot ga je zanesla v Ljubljano, ker bliže doma in Dunaja ni našel službe. Napisal je več matematičnih učbenikov, v Ljubljani je prirejal javna predavanja iz matematike in astronomije, ukvarjal pa se je tudi s kristalografijo. Odlično se je razumel z Matijo Copom (1797-1835), ki je takrat služboval na isti ustanovi. Strassnitzki je navdušil za študij matematike tudi Franča Močnika (1814-1892), matematičnega pedagoga, šolskega nadzornika in pisča številnih učbenikov za matematiko. Študent Strassnitzkega je bil tudi Mihael Peternel (1808-1884), duhovnik, profesor, naravosloveč, polihistor, politehnik in samouk, ki je na Močnikov predlog postal leta 1852 ravnatelj prve trirazredne ljubljanske realke. Do razpada Avstro-Ogrske monarhije je bil edini Sloveneč, ki je na tej šoli opravljal tako pomembno funkčijo.
Znane so podrobnosti, kako je Jurij Vega računal število n. Združeval je po dva in dva člena v vrsti (1), da je lahko računal samo s pozitivnimi členi. Ni pa znano, kako je računal Dase. Zagotovo je člene računal na malo več kot 200 dečimalk zaradi nujnega zapisa le končnega števila dečimalk, pri čemer nastane napaka na zadnjih dečimalkah v končnem rezultatu.
■ Preverite formuli (4) in (5) z uporabo enakosti
tg(u + v) =
tg u + tg v 1 - tg u tg v '
Z oceno (2) nastavite za vsak sumand v (5) neenakost za potrebnih 200 točnih decimalk. Ocenite, najmanj koliko členov je moral Dase v ta namen sešteti.
_ XXX
Kovinska razmerja
Marko Razpet
-> Obravnavali bomo kovinska razmerja, ki so po-splošitev dobro znanega zlatega razmerja. Pot, ki jo bomo ubrali, bo najprej vodila preko verižnih ulomkov, nato pa bomo podali še geometrijsko razlago. Da pa bomo za to imeli motiv, začnimo pri pisarniških listih, s katerimi imamo opravka skoraj vsak dan.
Pisarniški list papirja formata A4 je pravokotne oblike in ima to lastnost, da po prerezu po njegovi krajši srednjici dobimo dva lista, ki sta podobna začetnemu. Nova lista sta formata A5. Delitev lahko na ta način nadaljujemo in dobimo formate A6, A7 itd. Lahko pa gremo tudi v obratni smeri. Lahko rečemo, da je list formata A4 je nastal z opisano delitvijo lista formata A3, ta z delitvijo lista formata A2, ta z delitvijo lista formata A1. Ker se moramo nekje ustaviti, je začetni format A0 tisti, ki z opisano delitvijo da format A1. Pola papirja formata A0 pa je tako opredeljena, da meri ploščina izbrane strani 1 m2. Listi formata A so pripravni ravno zato, ker z razpo-lavljanjem dobimo spet liste formata A. Pri tem ne nastajajo nepotrebni odpadki. Pa tudi pakete, v katerih je po nekaj sto takih listov, lahko lepo zlagamo enega na drugega, ne da bi nastale med paketi velike špranje.
Kolikšne so straniče lista formata A0? Vsi listi formata A so pravokotne oblike. Ce ima A0 krajšo straničo dolžine a in daljšo straničo dolžine b, potem ima A1 krajšo straničo dolgo b/2, daljšo pa a. Ker si morata biti ustrezna pravokotnika podobna, velja: b/a = a/(b/2). Iz te relačije dobimo enačbo b2 = 2a2, kar pomeni b = aV2. Pri vseh formatih A je torej daljša straniča lista V2-krat daljša od krajše straniče. Pri formatu A0 pa je po opredelitvi ploščina p = ab = b2/V2 = 1 m2. Torej ima format A0
10
PRESEK 44 (2016/2017)4
MATEMATIKA
stranici
■ a = 1/ \/2 m = 841 mm,
b = m = 1189
mm.
IEF | IEBI
a
a(V2 - 1)
= 1 + V2.
D
F b—a
A
C
E
B
SLIKA 1.
Nastanek srebrnega pravokotnika EBCF.
dobimo razvoj v verižni ulomek:
2
V = 2 + — = 2 + —1 V
Iz tega lahko izračunamo stranici papirja formata A4, ki ga najbolj pogosto uporabljajo po pisarnah in za tiskalnike. Daljša stranica je dolga 297 mm, krajša pa 210 mm. Bralec lahko sam izmeri list, da bo videl, koliko se izracunana podatka ujemata z meritvijo.
Po vsem tem ni težko ugotoviti, da ima papir formata An daljšo stranico dolgo	m, krajšo pa ^Ž/VŽ^+imin plošcino 1/2n m2.
Zakaj smo pravzaprav obravnavali vse te formate papirja? Zato, ker se v njih skriva zanimivo razmerje oziroma število. Ce namrec vzamemo katerikoli pravokotnik ABCD (slika 1), v katerem je razmerje daljše in krajše stranice enako V2, in ga razdelimo z daljico EF, ki je vzporedna krajši stranici, na kvadrat AEFD in pravokotnik EBCF, potem ima slednji stranici |EF| = a in |EB| = b - a = a(\[2 - 1) v razmerju
2 + 1 V
2
2
2 + ^
Število V = 1 + V2 imenujemo srebrno razmerje ali srebrno število. Zakaj srebrno, bomo pojasnili v nadaljevanju. Vsak pravokotnik, ki ima za razmerje stranic število V, imenujemo srebrni pravokotnik. Na sliki 1 je EBCF srebrni pravokotnik.
Število V zadošca enacbi V2 = 2 V + 1, o cemer se lahko prepricamo s kratkim racunom. Iz nje hitro
Krajše ga zapišemo kot
■	V = [2;2, 2, 2,...],
kjer dvojka pred podpicjem pomeni celi del števila V. Ker na velikih tekmovanjih v doloceni disciplini drugi dobi srebrno odlicje, je res smiselno imenovati
V	srebrno število.
Zlato razmerje ali zlato število p ima temu ustrezno v verižnem ulomku enke:
■	p = [1; 1,1,1,...].
Število p zadošca enacbi p = 1 + 1/p oziroma p2 = p + 1, iz katere najdemo p = (1 + V5)/2. Brez zadrege lahko vpeljemo tudi bronasto razmerje ali bronasto število (tretji najboljši prejme bronasto odli-cje)
■ x = [3; 3, 3, 3,...],
ki zadošca enacbi x = 3 + 1/x oziroma x2 = 3x + 1. Eksplicitno je x = (3 + vT3)/2.
Vsak pravokotnik, ki ima za razmerje stranic število p, imenujemo zlati pravokotnik. Analogno pa imenujemo vsak pravokotnik, ki ima za razmerje stranic število x, bronasti pravokotnik.
Na dlani je potem vpeljava n-tega kovinskega razmerja ali kovinskega števila Kn = [n;n,n,n,...], ki zadošca enacbi Kn = n + 1/Kn oziroma Kn = nKn + 1, n = 1,2, 3,____ Seveda je k1 = p,K2 = V,k3 = x.
V	splošnem: Kn = (n + Vn2 + 4)/2. To število bi v športu ustrezalo za osvojeno n-to mesto. Ce uporabimo enakost Kn = V1 + nKn, lahko izrazimo tudi z vgnezdenimi koreni:
Kn 1 nKn 1 n 1 nK
= 1 + 1 + n\ 1 + nVTTTTT.
Vsak pravokotnik, ki ima za razmerje stranic število Kn, imenujemo kovinski pravokotnik reda n. Ce _^
1
1
1
a
a
10	PRESEK 44 (2016/2017)4

MATEMATIKA
—^ je njegova krajša stranica enaka 1, je daljša enaka Kn. Tak pravokotnik lahko razdelimo na n skladnih kvadratov s stranico 1 in manjši pravokotnik s krajšo stranico Kn - n ter daljšo stranico 1. Manjši pravokotnik je tudi kovinski pravokotnik reda n, saj je podoben velikemu:
1
Kn- n
Kn - nKn
1
D
1
F $-1 C
A
E
B
SLIKA 2.
Zlati pravokotnik je kovinski pravokotnik reda 1.
D1
1 F V-2 C
A
EB
SLIKA 3.
Srebrni pravokotnik je kovinski pravokotnik reda 2.
D
F x-3 C
A
E
B
Slike 2, 3 in 4 kažejo kovinske pravokotnike ABCD za n = 1, 2, 3. To so zlati, srebrni in bronasti pravokotnik. V vseh primerih je pravokotnik ABCD podoben pravokotniku EBCF. Brez kakršnekoli škode za splošnost smo vzeli, da je krajša stranica pravoko-tnika ABCD enaka 1. Tako je na splošno | AE| = n in |EB| = Kn - n.
Pravokotnik EBCF bi lahko spet razdelili na kvadrate in na manjši pravokotnik, ki je podoben začetnemu. Očitno to pocetje lahko nadaljujemo v nedogled.
Kovinska števila Kn, imenovana tudi kovinske sredine, je vpeljala argentinska matematicarka Vera Martha Winitzky de Spinadel (1929-2017) konec pre-
SLIKA4.
Bronasti pravokotnik je kovinski pravokotnik reda 3.
teklega tisocletja. Beseda sredina je uporabljena zato,
ker velja n < Kn < n + 1, kar ni težko dokazati.
Za konec še naloge. V veliko pomoc vam bodo primerne skice.
■	Srebrnemu pravokotniku nacrtajte diagonalo in nato skozi njeni krajišci daljici, ki oklepata s stranicami pravokotnika kot 45°. Preverite, da ste s tem razdelili pravokotnik na štiri trikotnike, in sicer dva skladna pravokotna enakokraka trikotnika in dva skladna topokotna enakokraka trikotnika. Nato poišcite kot med diagonalo in daljšo stranico pravokotnika, nazadnje pa še kot med diagonalama.
■	Poišcite razmerje med stranico in njej vzporedno diagonalo v pravilnem osemkotniku. Pomagajte si s prejšnjo nalogo. Preverite, da pravilen osem-kotnik lahko pokrijemo s štirimi skladnimi srebrnimi pravokotniki, ki imajo skupno središce v središcu pravilnega osemkotnika. Pri tem krajše stranice srebrnih pravokotnikov sovpadajo s stranicami, daljše pa s srednje dolgimi diagonalami pravilnega osemkotnika.
■	Poišcite razmerje med diagonalo in stranico pravilnega petkotnika. V njem nacrtajte diagonali, ki se sekata v notranjosti petkotnika, nato njuni kra-jišci povežite še s tretjo diagonalo. Do iskanega razmerja pridete nato z nastalima podobnima ena-kokrakima trikotnikoma.
Literatura
[1] V. M. W. de Spinadel, From the Golden Mean to Chaos, Nueva Libreria, Buenos Aires 1998.
_ XXX
1
1
1
1
K
K
n
n
1
1
10
PRESEK 44 (2016/2017)4