P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 19 (1991/1992) Številka 2 Strani 66-71
Boris Lavric: IZMERIMO SVITEK
Ključne besede: matematika, kolobarji.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1083-Lavric.pdf
© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
					
Hi	m	E	1		m
IZMERIMO SVITEK
Za začetek na kratko povzemimo, kaj o svitku pravi Slovar slovenskega knjižnega jezika :
Svitek je obročasta, spletena ali iz blaga narejena priprava za lažje prenašanje bremena na glavi, pa tudi tisto, kar je po obliki podobno tej pripravi (na primer napihnjena avtomobilska pnevmatika).
Matematični opis svitka mora biti seveda natančnejši. Pa si ga oglejmo: Svitek ali torus je vrtenina, ki nastane, kadar sučemo krog okrog premice, ki leži v ravnini tega kroga in ga ne seka.
5 pomočjo te definicije lahko preprosto izmerimo velikost svitka. Dva podatka zadoščata: polmer kroga, ki ga sučemo, in oddaljenost njegovega središča od osi vrtenja. Polmer kroga bomo označevali z r, oddaljenost središča od osi pa z R.
S tema podatkoma bomo izrazili prostornino in površino svitka.
1. Prostornina
Najprej se lotimo kolobarjaste plošče. Krožni kolobar z notranjim polmerom Rl in z zunanjim polmerom i?2 odebelimo v kolobarjasto ploščo debeline d. Širina te plošče tedaj meri R2 — Ri- Nato ploščo izravnajmo v enako debelo in široko pravokotno ploščo z isto prostornino (glej sliko 2). Poiščimo zdaj njeno dolžino I. Izenačimo prostornini prvotne in izravnane plošče
k(/?! -R\)d = (R2 — Ri) d I
in že dobimo I — t (Ri + R2). Torej je I natančno obseg kroga, ki teče po sredi kolobarja, saj ima le-ta polmer R enak
R = /?! + (ff2 - Rt)/2 = (/?i + R2)/2.
1 i
1
Slika 1
Slika 2
Zdaj pa svitek razrežimo na kolobarjaste rezine z ravninami, ki so pravokotne na njegovo os. Ena od teh ravnin naj razpolovi svitek, rezine pa naj bodo enako debele.
Slika 3.
prerez
V vsako rezino včrtajmo največjo kolobarjasto ploščo, ki je vsebovana v tej rezini, nato pa 5e očrtajmo rezini najmanjšo kolobarjasto ploščo, ki rezino vsebuje (glej sliko 4).
Seveda je vsota Vj prostornin vČrtanih plošč manjša od prostornine V svitka, ta pa manjša od vsote prostornin očrtanih kolobarjastih plošč, torej
Vi < V < V2.	(1)
Razlika — V\ je enaka dvakratni prostornini največje očrtane kolobarjaste plošče, kar lahko ugotovimo tako, da od očrtanih plošč odvzamemo
Slika 4.
včrtane In ostanek zložimo kot kaže slika 4 desno. Torej velja
V2~V! = SirRrd, (2)
kjer smo z d označili debelino plošč.
Nadalje opazimo, da imajo vsi krogi, ki tečejo po sredinah kolobarjev z osnovnih ploskev teh plošč, polmer R. Izravnajmo vse plošče hkrati, tako kot smo prej storili z eno samo. Dobimo pravokotne plošče. ki so vse dolge 2ir/?. Zložimo
jih, kot kaže slika 5. Plošče, ki so zdaj vsebovane v valju, visokem 2irR polmerom r, izravnane očrtane plošče | meri (zr7)2ivR, zato velja
Slika 5.
pri izravnavi nastale iz vErtanih, so . katerega osnovna ploskev je krog s a ta valj vsebujejo. Prostornina valja
Vi < 2x2r2R < V2.
(3)
Če svitek narežemo na dovolj tanke rezine, je razlika V2 — Vi zaradi (2) majhna kot ie želimo, torej iz (1) in (3) sledi iskana formula za prostornino svitka
V = 2 ir2r2R.
2. Površina
NareŽimo svitek na rezine, kot smo to storili pri računanju njegove prostornine. Površje svitka sestavljajo plašči teh rezin. Vsak je sestavljen iz dveh delov, ki ju dobimo s sukanjem ustreznih krožnih lokov na krožnici s polmerom r (glej sliko 6).
Ci5
O i
1
Slika e.
Namesto teh lokov zasukajmo tetivi, ki jima pripadata. Tako dobimo plašča dveh prisekanih stožcev. Poglejmo na sliko 7 in po formuli izračunajmo njuni površini pln in p/7,
pln = tcs({R- a) + (R- b)) = ts(2« - {a + b))
PU = * s{(R + a) + {R+ b)) =	+ (a + b)).
Vsota obeh je torej enaka
pl = pln + plz = AirRs,
kjer je s dolžina tetiv, ki smo ju sukali Zdaj seštejmo površine plaščev vseh obravnavanih prisekanih stožcev. Dobimo z 2ttR pomnožen obseg večkotnika, ki ga sestavljajo vse tetive. Če rezine tanjšamo, se obseg večkotnika bliža obsegu kroga s polmerom r, vsota površin plaščev prisekanih stožcev pa iskani površini svitka. Torej za površino P svitka velja formula
P = A-K2Rr.
Pravkar dobljeni obrazec lahko utemeljimo še drugače. Na površje svitka s podatkoma R in r nanesimo enakomeren sloj debeline d, tako da vrh sioja tvori nov svitek z enakim R, namesto r pa je sedaj r + d. Prostornina V^ dodanega sloja potem po formuli za prostornino svltka meri
Vd = 2tv2R(r + d)2 - 2-k7 Rr2 = 2tt2 R{2r + d)d.
Ker površje svitka nt preveč nagubano, je pri zelo tankem sloju (torej pri majhnem d > 0) njegova površina približno enaka z d pomnoženi površini P prvotnega svitka: V'¡j = Pd. Od tod dobimo
P ±2*2R{2r + d),
s tanjšanjem debeline d pa brž dobimo enakost P — 4-k2 Rr, ki smo jo želeli utemeljiti.
Slika 7.
Za konec postavimo bralcu se nekaj nalog :
1.	Bi bih dobra tudi naslednja definicija svitka: Svitek (s podatkoma R in r) je množica točk, ki so največ r oddaljene od dane krožnice s polmerom R.
2.	Kakšen mora biti svitek, da obstaja po površini enak svitek z dvakrat večjo prostornino ?
3.	Osnosimetricen ravninski lik s ploščino p in z obsegom o zasučemo okrog premice, kije vzporedna simetrijski osi lika, leži v njegovi ravnini in ga ne seka. Kolikšni sta prostornina in povrSina nastale vrtenine ?
Boris L a vrič