IZ RAZREDA 23 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Raziskovanje kvadratnih palindromov Exploring Square Palindromes Kaja Vreš, dijakinja Gimnazije Ravne na Koroškem Mentorji: Dragomir Benko, Šolski center Ravne, Gimnazija Ravne na Koroškem Domen Vreš, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za računalništvo in informatiko Simona Vreš, Šolski center Ravne, Gimnazija Ravne na Koroškem Izvleček Kvadratni palindrom smo definirali kot par števil, za kateri velja, da ima eno število števke v obratnem vr- stnem redu kot drugo, in to velja tudi za njuna kvadrata. V članku predstavimo, kakšni so pogoji, da je število kvadratni palindrom. Ugotovimo, da ne sme prihajati do prenosa enote pri kvadriranju števila. Predstavimo različne primere kvadratnih palindromov in posledice dejstva, da ne sme prihajati do prenosa enote. Ključne besede: palindromi, kvadratni palindromi, indukcija Abstract A square palindrome is a pair of numbers whose digits are in reverse order to the other, and the same applies to their squares. This article describes the prerequisites for a number to be a square palindrome. When squaring an integer, we must ensure that no units are transferred. We give several examples of square palindromes and discuss the implications of the assumption that there must be no transfer of units. Keywords: palindromes, square palindromes, induction 1 Uvod V raziskovalni nalogi iz leta 2022, ki je nastala pod okriljem Gi- mnazije Ravne na Koroškem, raziskujemo dokaj neraziskano področje matematike – kvadratne palindrome. V tem članku so predstavljene bistvene ugotovitve, bralce pa vljudno vabimo, da si dokaze, ki so v tem članku izpuščeni, ogledajo v sami razi- skovalni nalogi. Čeprav so kvadratni palindromi v literaturi, ki preučuje palindrome, velikokrat omenjeni, so navedeni le kot zanimivost. 1.1 Definicija kvadratnega palindroma Palindrom je število, ki se enako prebere naprej in nazaj (si- metrično število v matematiki). To pomeni, da so v njegovem desetiškem oziroma decimalnem zapisu vse števke razporejene simetrično (prva števka je enaka zadnji, druga števka je enaka predzadnji …). Lahko ga zapišemo kot: . V raziskovalni nalogi raziskujemo posebno vrsto številskih pa- lindromov, ki jo poimenujemo kvadratni palindrom. To poime- novanje uvedemo za potrebe raziskovalnega dela in je še nede- finiran pojem. Kvadratni palindrom dobimo, ko kvadriramo dve števili, ki imata števke v obratnem vrstnem redu in sta njuna kvadrata rav- no tako števili, ki imata obrnjen vrstni red števk. To je torej par števil (k, l), za kateri velja: (1) Primer: 12 2 = 144 21 2 = 441 (2) Opomba: Na začetku se osredotočimo na pare števil, ki imajo enako število števk, oziroma na števila, ki nimajo 0 za zadnjo števko. 1.2 Metode dela Pri raziskovanju in pisanju naloge smo kot temeljno metodo dela uporabljali metodo matematičnega sklepanja in dokazovanja. Kvadratne palindrome smo opazovali s pomočjo generira- nih kvadratnih palindromov, ki smo jih generirali v programu Microsoft Excel. Grafe smo narisali s pomočjo programa Geo- Gebra. 2 Generiranje kvadratnih palindromov Najprej smo na podlagi opazovanja poskušali zapisati nekaj po- gojev, ki jim morajo ustrezati števke, da je število kvadratni pa- IZ RAZREDA 24 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 lindrom. S pomočjo aplikacije Microsoft Excel smo zapisali vsa dvo-, tri-, štiri- in petmestna števila. To smo lahko storili, saj program samostojno prepozna zaporedje in smo tako napisali prvi dve števili, nato pa razširili zaporedje na naslednje celice. Na koncu smo s pomočjo preproste funkcije A^2 izračunali kva- drate teh števil. Funkcija, ki obrne vrstni red števk števila, je malo zahtevnejša in se razlikuje glede na število mest. Zapisali smo jo s pomočjo vgrajenih funkcij QUOTIENT in MOD. Dobljena števila, smo kvadrirali enako, kot smo kvadrirali prvotna števila. 2.1 Dvomestna števila Ko smo zapisali vsa dvomestna števila in njihove kvadrate, smo obrnili vrstni red števk s funkcijo: = QUOTIENT(A; 10) + MOD(A; 10) * 10 pri čemer je A število, katerega vrstni red števk želimo obrniti. Ko smo dobljena števila kvadrirali, smo lahko opazovali, katera števila so kvadratni palindromi. Dobljeni rezultati so prikazani na Sliki 1. Dvomestna števila, ki so kvadratni palindromi, so: 11, 12, 13, 21, 22, 31. 2.2 Trimestna števila Vrstni red števk trimestnega števila smo obrnili s funkcijo: = QUOTIENT(A; 100) + MOD(QUOTIENT(A; 10); 10) * 10 + + MOD(A; 10) * 100, pri čemer je A število, katerega vrstni red števk želimo obrniti. Nato smo dobljena števila ponovno kvadrirali. Rezultati so pri- kazani na Sliki 2. Iz te je razvidno, da so trimestni kvadratni pa- lindromi: 101, 102, 103, 111, 112, 113, 121, 122, 201, 202, 211, 212, 221, 301, 311. 2.3 Štirimestna števila Za obračanje vrstnega reda števk štirimestnega števila smo upo- rabili funkcijo: = QUOTIENT(A; 1000) + MOD(QUOTIENT(A; 100) ;10) * 10 + + MOD(QUOTIENT(A; 10); 10) * 100 + MOD(A; 10) * 1000, pri čemer je A število, katerega vrstni red števk želimo obrniti. Rezultati so prikazani na Sliki 3. Ugotovili smo, da so štirimestna števila, ki so kvadratni palin- dromi: 1001, 1002, 1003, 1011, 1012, 1013, 1021, 1022, 1031, 1101, 1102, 1103, 1111, 1112, 1113, 1121, 1122, 1201, 1202, 1211, 1212, 1301, 2001, 2002, 2011, 2101, 2102, 2012, 2021, 2022, 2111, 2121, 2201, 2202, 2211, 3001, 3011, 3101, 3111. 2.4 Petmestna števila Vrstni red števk petmestnega števila smo obrnili s funkcijo: = QUOTIENT(A; 10000) + MOD(QUOTIENT(A; 1000); 10) * 10 + + MOD(QUOTIENT(A; 100); 10) * 100 + MOD(QUOTIENT (A; 10); 10) * 1000 + MOD(A; 10) * 10000, pri čemer je A število, katerega vrstni red števk želimo obrniti. Slika 1: Preglednica dvomestnih kvadratnih palindromov. Slika 2: Preglednica trimestnih kvadratnih palindromov. IZ RAZREDA 25 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 za v drugem delu potrdimo, da so te števke skupaj z 0 edine, ki se lahko pojavijo v kvadratnih palindromih. V obeh dokazih predpostavimo, da imamo par števil (k, l), ki tvorita kvadratni palindrom. Njuna desetiška zapisa sta: . V obeh dokazih opazujemo kvadrata teh števil, ki ju zaporedoma označimo z x in y. (3) Eden od pogojev, da je število kvadratni palindrom, je, da je na prvem oziroma zadnjem mestu ena izmed števk 1, 2 ali 3, torej velja: oziroma . 4 Posplošitev za celotno število Petmestnih števil, ki so kvadratni palindromi, je veliko (90), zato si oglejmo le nekaj primerov, in sicer: 10001, 10002, 10003, 10011, 10012, 10013, 10021, 10022, 10031, 10101, 10102, 10103, 10111, 10112, 10113 … Nekaj primerov petmestnih kvadratnih palindromov je prikaza- nih tudi na Sliki 4. Slika 4: Primer najdenih petmestnih kvadratnih palindromov. 2.5 Ugotovitve Z opazovanjem pridobljenih kvadratnih palindromov smo ugo- tovili, da so ti sestavljeni samo iz števk 0, 1, 2 in 3, zato lahko sklepamo, da je to eden od pogojev, da je število kvadratni pa- lindrom. Opazili smo tudi, da se z večanjem števila mest veča število kvadratnih palindromov. 3 Števke, ki tvorijo kvadratni palindrom V raziskovalni nalogi najprej dokažemo, da so lahko na prvem oziroma zadnjem mestu le števke 1, 2 in 3. S pomočjo tega doka- Slika 3: Preglednica štirimestnih kvadratnih palindro- mov. x: y: IZ RAZREDA 26 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 1. Ker mora biti a 0 ≤ 3 in s tem a 0 2 ≤ 9, ne pride do prenosa enote z enic na desetice v številu x, saj je a 0 2 ≤ 10. 2. Na zadnje mesto v številu X ne vpliva nobeno drugo me- sto, kar pomeni, da je vrednost zadnje števke števila x enaka vrednosti a 0 2 . Ker morata biti zadnja števka števila x in prva števka števila y enaki (da sta to kvadratna palindroma), to po- meni, da mora imeti tudi prva števka števila y vrednost a 0 2 . Iz tega sledi, da drugo mesto v tem številu ne sme vplivati na prvo mesto. Da to drži, mora biti 2a 2 a 0 ≤ 9. 3. Sedaj vemo, da velja a 0 2 ≤ 9 in 2a 1 a 0 ≤ 9. Torej je vrednost predzadnje števke števila x enaka vrednosti 2a 1 a 0 . Ker enice ne vplivajo na desetice in ker je ta vrednost manjša od deset, je predzadnja števka x enaka 2a 1 a 0 . Da bosta števili x in y kva- dratna palindroma, morata biti tudi druga števka števila y in predzadnja števka števila x enaki. Iz tega sledi, da mora imeti tudi druga števka števila y vrednost 2a 1 a 0 . Da to drži, ne sme priti do prenosa enote iz tretjega na drugo mesto števila y, torej tretje mesto ne sme vplivati na drugo. Iz tega sledi, da mora veljati (a 1 2 + 2a 2 a 0 ) ≤ 9. 4. Ta postopek bi lahko ponavljali, dokler ne bi prišli do prvega mesta števila x in zadnjega mesta števila y. Z indukcijo do- kažemo, da se na nobenem mestu ne zgodi prenos enote na naslednje mesto. 4.1 Pogoji, ki določajo kvadratne palindrome 4.1.1 Potence s sodimi eksponenti Vsota dveh sodih števil je sodo število in vsota dveh lihih števil je sodo število. Ko množimo potence z enako osnovo, storimo to tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa seštejemo. Potence s sodim eksponentom (2k) bodo zato pomnožene s ko- eficienti oblike: . (4) Ker ne sme priti do prenosa enote, iz tega sledi: 1) a k 2 ≤ 9 za 0 ≤ k ≤ n, 2) a k ≤ 3 za 0 ≤ k ≤ n. Kvadrati vseh števk števil k in l so manjši od 10, kar pomeni, da mora biti njihova osnovna vrednost manjša ali enaka 3, saj je 4 2 = 16 večje od 10, medtem ko je 3 2 = 9 manjše od 10. 4.1.2 Potence z lihimi eksponenti Potence z lihimi eksponenti (2k + 1) bodo pomnožene s koefi- cienti oblike: . (5) 4.2 Omejitve Pri kvadriranju moramo pomnožiti vsako števko z vsako števko po formuli 2a i a j . Ker smo ugotovili, da ne sme priti do prenosa enote v številu, to pomeni, da je 2a i a j ≤ 9. Iz tega lahko hitro ugotovimo nekaj pravil, ki jih ne smemo pre- kršiti, da bo neko število kvadratni palindrom. Pri tem nam bo v pomoč dejstvo, da kvadratni palindrom tvorijo le števke 0, 1, 2 in 3. S temi števkami dobimo devet možnosti (1 in 0, 1 in 1, 1 in 2, 1 in 3, 2 in 0, 2 in 2, 2 in 3, 3 in 0, 3 in 3), ki nam povedo, katera števila lahko soustvarjajo kvadratni palindrom in katera ne. Iz teh možnosti smo ugotovili: 1) števki 2 in 3 ne smeta biti v istem številu hkrati, da je le-to še kvadratni palindrom, 2) v številu je lahko samo ena števka enaka 3. 4.3 Dodatne omejitve Poleg vseh že ugotovljenih lastnosti in omejitev lahko pri opa- zovanju potenc v zapisu števila določimo dodatne omejitve. Te se razlikujejo glede na to, ali je število mest liho ali sodo. Preden raziščemo te omejitve, si poglejmo še nekaj desetiških zapisov in značilnosti, ki jih ob tem opazimo. Trimestno število: . (6) Najvišja stopnja potence števila 10 v zapisu trimestnega števila a je 2. Najvišja stopnja potence števila 10 v zapisu kvadrata danega tri- mestnega števila a je 4. Število členov, ki nastopajo v zapisu kvadrata pri posamezni po- tenci z osnovo 10 (od najvišje do najnižje stopnje), je: 1, 2, 3, 2, 1. Štirimestno število: (7) Najvišja stopnja potence števila 10 v zapisu štirimestnega števila a je 3. Najvišja stopnja potence števila 10 v zapisu kvadrata danega šti- rimestnega števila a je 6. Število členov, ki nastopajo v zapisu kvadrata pri posamezni po- tenci z osnovo 10 (od najvišje do najnižje stopnje), je: 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1. 4.3.1 Pomembne ugotovitve Prva takšna ugotovitev je, da a n vpliva le na koeficiente od poten- ce 10 n do potence 10 2n . Nižje potence, pri kateri ima a n vpliv, ni, ker je najmanjša potenca, s katero lahko množimo potenco 10 n , potenca 10 0 oziroma 1. Druga pomembna ugotovitev je, da je vsota indeksov koeficien- tov v členih pri posamezni potenci števila 10 v zapisu kvadrata IZ RAZREDA 27 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 vedno enaka eksponentu potence števila 10. Tako je v kvadratu števila a potenca 10 k pomnožena z vsoto členov oblike a i . a j , pri čemer je i + j = k. Če v vsoti sodeluje a i 2 , je 2i = k. Število členov oblike a i . a j ; i + j = k, s katerimi je pomnožena potenca 10 k v zapisu kvadrata, linearno raste oziroma pada. Zato lahko število členov oblike a i . a j ; i + j = k, s katerimi je pomno- žena potenca 10 k v zapisu kvadrata števila izračunamo po formuli: (8) Največ členov nastopa pri potenci 10 n , kjer je tudi presečišče obeh grafov, ki sta prikazana na Sliki 5 in Sliki 6. Slika 5: Grafični prikaz števila členov za devetmestno število. Slika 6: Grafični prikaz števila členov za poljuben n. Tretja pomembna ugotovitev je prej navedena oblika vsote čle- nov, s katerimi so pomnožene posamezne potence števila 10. 4.3.2 Kvadratni palindromi z lihim številom števk Če je n sodo število, potem ima osnovno število liho število mest. Indeksi gredo pri števkah od n do pri prvem faktorju in od 0 do pri drugem faktorju. To velja za produkte oblike: 2 . a i . a j . Ker pa je n sodo število, je 10 n potenca s sodim ekspo- nentom, iz česar sledi, da se pojavi tudi člen . (9) Opazimo, da pri sodih n srednja števka števila ne sme biti 3, saj pri 10 n nastopa poleg še faktor 2a n a 0 , ki ima vrednost vsaj ena, saj je a n različno od nič, ker je prva števka. Ravno tako je a 0 različno od nič, ker je zadnja števka in raziskujemo kvadratne palindrome, ki imajo zadnjo števko različno od 0. Če bi bila števka , bi to pomenilo, da je in bi pri- šlo do prenosa enote, saj je 2a n a 0 zagotovo 1 ali več. Ta ugotovitev velja samo za kvadratne palindrome z lihim števi- lom števk, saj pri kvadratnih palindromih s sodim številom števk srednje števke ni in člen pri potenci 10 n ne nastopa. 5 Kvadratni palindromi, zgrajeni iz enakih števk V tej nalogi smo se ukvarjali tudi s kvadratnimi palindromi, ki so zgrajeni iz enakih števk. Ker smo do te točke ugotovili, da kva- dratne palindrome gradijo le števke 1, 2, 3 in 0, tudi kvadratnih palindromov, zgrajenih iz enakih števk, ne morejo tvoriti katere druge števke, vendar niti vse od teh števk ne tvorijo takšnih kva- dratnih palindromov, saj 0 in 3 ne prideta v poštev. 5.1 Kvadratni palindromi, zgrajeni iz samih enic Kljub temu da je 1 najmanjše naravno število, ob preveliki koli- čini enic v številu pri kvadriranju tega števila pride do prenosa enote in to število posledično ni kvadratni palindrom. S pomoč- jo aplikacije Microsoft Excel smo preverili, največ koliko mest lahko ima število, zgrajeno iz samih 1, da je to še lahko kvadratni palindrom. Rezultati so prikazani na Sliki 7. Slika 7: Preglednica kvadratnih palindromov, sestavljenih iz samih enic. Slika 8: Kvadriranje osemmestnega in devetmestnega števila, sestavlje- nega iz samih enic. IZ RAZREDA 28 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Ugotovili smo, da ima takšno število lahko 9 mest, da je še kva- dratni palindrom. Pri desetmestnem številu namreč pride do prenosa enote, saj je vsota členov pri potenci 10 10 enaka 10. Po- drobno dogajanje pri kvadriranju takšnega devetmestnega in de- setmestnega števila je razvidno na Sliki 8. 5.2 Kvadratni palindromi, sestavljeni iz samih dvojk Ponovno smo si pomagali s programom Microsoft Excel in napi- sali nekaj števil, zgrajenih iz samih 2, ter jih kvadrirali. Rezultati so vidni na Sliki 9. Slika 9: Preglednica kvadratnih palindromov, sestavljenih iz samih dvojk. Ugotovili smo, da sta takšna kvadratna palindroma samo dva, saj pri trimestnem številu že pride do prenosa enote, ker je vsota členov pri potenci 10 3 enaka 12. Podrobno dogajanje pri kvadri- ranju takšnega dvomestnega in trimestnega števila je razvidno na Sliki 10. Slika 10: Kvadriranje dvomestnega in trimestnega števila, sestavljene- ga iz samih dvojk. 6 Kvadratni palindromi z različnim številom mest Posebno obravnavo si zaslužijo tudi naravna števila, ki se končajo z vsaj eno števko 0. Ko zamenjamo vrstni red števk, ima dobljeno število v resnici v mestnem zapisu eno ali več mest manj. Kljub temu bi lahko bila nekatera takšna števila kvadratni palindromi. 120 2 = 14400 21 2 = 441 (10) Slika 11: Preglednica dvomestnih in trimestnih kubičnih palindromov. IZ RAZREDA 29 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Število 120 je torej neke vrste kvadratni palindrom, medtem ko število 140 ni. 140 2 = 19600 41 2 = 1681 (11) Ko smo generirali kvadratne palindrome, smo opazili, da je kar nekaj takšnih kvadratnih palindromov. Pri dvomestnih številih: 10, 20 in 30. Pri trimestnih številih: 100, 110, 120, 130, 200, 210, 220, 300, 310. Pri štirimestnih številih so takšni primeri: 1000, 1010, 1020, 1030, 1100, 1110, 1120, 1130, 1200, 1210, 1220, 1300, 2000, 2010, 2020, 2100, 2110, 2120, 2200, 2210, 3000, 3010, 3100, 3110. Kljub temu da lahko te kvadratne palindrome obravnavamo kot kvadratne palindrome z enakim številom mest, zanje ne veljajo vsa pravila in omejitve. Tako lahko imajo takšni kvadratni palin- dromi za srednjo števko 3. Ta omejitev zanje ne drži, ker je pogoj za ustreznost te omejitve, da sta prva in zadnja števka različni od 0, kar zagotavlja, da je 2a n a 0 enako 1 ali več. V tem primeru to ni zagotovljeno, torej lahko imajo takšni palindromi za srednjo števko 3. 6.1 Možne razširitve 6.1.1 Kubični palindromi Podobno, kot smo iskali pogoje, da je neko število kvadratni pa- lindrom, bi lahko iskali pogoje in lastnosti kubičnih palindro- mov. Opazovali bi jih lahko s pomočjo Microsoft Excela, saj je posto- pek popolnoma enak, samo da namesto A^2 uporabimo A^3. Rezultati tega so prikazani na Sliki 11. Ko opazujemo kubične palindrome, opazimo, da so sestavljeni samo iz števk 0, 1 in 2. 6.1.2 Vsota členov pri isti potenci manjša od 10 Kljub temu da smo v nalogi točno določili pogoje, kdaj je neko število kvadratni palindrom, ni lahko ugotoviti, ali vsota členov pri isti potenci ni večja oziroma enaka 10. Sicer smo odkrili, da se z višanjem števila mest viša tudi števi- lo členov pri isti potenci, vendar je težko določiti, katere števke sestavljajo te člene in kdaj se jih nabere toliko, da brez manjših števk pride do prehoda. Če bi uspeli odkriti še to, bi lahko točno določili, na katera mesta lahko postavimo katera števila in koli- kokrat lahko uporabimo katero od števil. Zaključek Definirali in raziskali smo dokaj neraziskano področje, kvadratne palindrome. Odkrili smo ključne pogoje, da je neko število kvadratni palindrom, in sicer: 1) pri kvadriranju števila ne sme priti do prenosa enote, 2) sestavljen je samo iz števk 0, 1, 2 in 3. Ko smo dokazali, da ne sme prihajati do prenosa enote, smo lahko iz tega dobili dva dodatna pogoja: 1) števki 2 in 3 ne smeta biti hkrati v istem številu, da je le-to še kvadratni palindrom, 2) v številu je lahko samo ena števka enaka 3. Poleg tega smo opazili, da se število kvadratnih palindromov veča z večanjem števila mest. Priloga 1. Excelova datoteka: Kvadratni palindromi.xlsx. Objavljeno na https://www.zrss.si/strokovne-revije/matematika-v-soli/ Viri in literatura Vreš, K. (2023). Kvadratni palindromi. Gimnazija Ravne na Koroškem. Dostopno na naslovu: https://zbirke.zotks.si/2022/resources/ SS_matem_1137.pdf.