Univerza v Ljubljani Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo < \ ' , ,TT| i 1 i|. ,771 11 ill 11 ili m I üTTlTTilTTTTi BORUT KORPAR, univ. dipl. inž. grad. OCENA UPORABNOSTI N2 METODE ZA TIPIČNO AB STENASTO STAVBO MAGISTRSKO DELO PODIPLOMSKI ŠTUDIJ GRADBENIŠTVA Ljubljana, 2012 HRBET NALOGE: KORPAR BORUT 2012 Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Jamova 2, p.p. 3422 1115 Lubljana, Slovenija telefon (01) 4768 500 faks (01) 42 50 681 fgg@fgg-un'-jsi MAGISTRSKI STUDIJ GRADBENIŠTVA KONSTRUKCIJSKA SMER Kandidat: BORUT KORPAR, univ. dipl. inž. grad. OCENA UPORABNOSTI N2 METODE ZA TIPIČNO AB STENASTO STAVBO Magistrsko delo štev.: 227 ESTIMATION OF THE APPLICABILITY OF THE N2 METHOD FOR A TYPICAL RC WALL BUILDING Master of Science Thesis No.: 227 Predsednik komisije: prof. dr. Goran Turk Somentor: doc. dr. Iztok Peruš Član: prof. dr. Vojko Kilar, UL FA Mentor: akad. prof. dr. Peter Fajfar Ljubljana, 5. januar 2012 IZJAVA O AVTORSTVU Podpisani BORUT KORPAR izjavljam, da sem avtor magistrskega dela z naslovom OCENA UPORABNOSTI N2 METODE ZA TIPIČNO AB STENASTO STAVBO. Izjavljam, da je elektronska različica v vsem enaka tiskani različici. Izjavljam, da dovoljujem objavo elektronske različice v repozitoriju UL FGG. Ljubljana, 3.1.2012 _ Ta stran je namenoma prazna BIBLIOGRAFSKO-DOKUMENTACIJSKA STRAN Z IZVLEČKOM Somentor: Naslov: Obseg in oprema: Ključne besede: Avtor: Mentor: UDK: 624.012.45:624.131.55(043.3) Borut Korpar akad. prof. dr. Peter Fajfar doc. dr. Iztok Peruš Ocena uporabnosti N2 metode za tipično AB stenasto stavbo 106 strani, 28 preglednic, 95 slik, 56 enačb Potresno inženirstvo, N2 metoda, nelinearna dinamična analiza, projektiranje potresnoodpornih konstrukcij, Evrokod 8, armiranobetonska stavba Izvleček Preučevali smo uporabnost razširjene N2 metode na primeru tipične osem etažne armiranobetonske stenaste stavbe. V nalogi smo prikazali analizo in dimenzioniranje glavnih nosilnih elementov konstrukcije kot tudi pripravo modela za nelinearno analizo. Pri dinamičnih analizah smo uporabili 10 različnih akcelerogramov s po dvema vodoravnima komponentama. Opravili smo parametrično študijo obnašanja konstrukcije pri različnih kombinacijah smeri delovanja potresne obtežbe in dveh jakosti potresne obtežbe. Primerjali smo rezultate parametrične študije z rezultati iz razširjene N2 metode. Iz rezultatov in primerjav smo lahko zaključili, da razširjena N2 analiza daje inženirsko zadovoljive in smiselne rezultate. Hkrati smo na primeru pokazali, da je razširjena N2 metoda dovolj enostavna in primerna za uporabo v inženirski praksi. Poleg tega se je pokazalo, da je vpliv izbire smeri delovanja potresne obtežbe pomemben, saj lahko pride pri različnih kombinacijah smeri in predznaka dveh komponent istega akcelerograma do precejšnjih razlik v odzivu konstrukcije. V nalogi smo izpostavili tudi nekatere probleme pri samem dimenzioniranju elementov in pri pripravi nelinearnega modela. Težave pri zajemanju in ovrednotenju velike količine rezultatov, ki jih dobimo pri nelinearnih dinamičnih analizah, nakazujejo prednost razširjene N2 metode. BIBLIOGRAPHIC-DOCUMENTALISTIC INFORMATION Notes: UDC: Autor: Supervisor: Co-Supervisor: Key words: Title: 624.012.45:624.131.55(043.3) Borut Korpar akad. prof. dr. Peter Fajfar doc. dr. Iztok Peruš Estimation of the applicability of the N2 method for a typical RC wall building 106 pages, 28 tables, 95 figures, 56 equations Earthquake engineering, N2 method, non-linear dynamic analysis, design of structures for seismic resistance, Eurocode 8, reinforced concrete building Abstract The application of the extended N2 method for a typical eight storey reinforced concrete wall building has been studied, which is due to its layout at the limit of the applicability of N2 method. In the master thesis analysis and design of the main load-bearing elements as well as the modelling for the nonlinear analysis and non-linear analysis itself have been performed. For dynamic analyses 10 different accelerograms with two horizontal components were used. Parametric studies of the structure's behavior for several different combinations of earthquake loading directions and for two earthquake loading intensities were performed. The comparison of the parametric study results with the extended N2 method results confirmed that the extended N2 method provides adequate and reasonable results to the user. Also it has been shown that the extended N2 method is simple enough for use in every-day engineering work. In addition, it was demonstrated that the choice of the earthquake loading direction is important. Different combinations of the direction and sign of two components of the same accelerogram can yield quite different structural response. In the master thesis some problems related to dimensioning of structural elements and to the preparation of a non-linear model are pointed out. Difficulties related to fetching and evaluating the large amount of data obtained when performing a non-linear time history analysis suggest the advantages of the N2 method. ZAHVALA Naloge ne bi mogel dokončati brez nesebične pomoči in koristnih nasvetov mentorja, akad. prof. dr. Petra Fajfarja. Hvala za priložnost, ki ste mi jo dali, za izkazano zaupanje in potrpežljivost. Prav tako se iskreno zahvaljujem somentoiju, doc. dr. Iztoku Perušu, za odkrite pogovore, nesebične nasvete, kritike, mnenja, pohvale in vzpodbude, pa tudi za prikaz »drugačnega« pogleda na svet. Hvala sodelavkam, sodelavcem in prijateljem, ki so poskrbeli za prijetno vzdušje v III/7, v ostalih kabinetih in izven njih. Hvala vam za čudoviti leti v Ljubljani. Hvala staršema za zaupanje, hvala za vso dobroto, prijaznost, potrpežljivost in ljubezen. KAZALO VSEBINE IZJAVA O AVTORSTVU.......................................................................................................................I BIBLIOGRAFSKO-DOKUMENTACIJSKA STRAN Z IZVLEČKOM.............................................III BIBLIOGRAPHIC-DOCUMENTALISTIC INFORMATION............................................................IV ZAHVALA..............................................................................................................................................V KAZALO VSEBINE.............................................................................................................................VI KAZALO PREGLEDNIC...................................................................................................................VIII LIST OF TABLES..............................................................................................................................VIII KAZALO SLIK.......................................................................................................................................X LIST OF FIGURES..............................................................................................................................XII 1 UVOD.............................................................................................................................................1 2 OPIS UPORABLJENIH METOD...................................................................................................3 2.1 Linearna dinamična analiza - integracija korak za korakom......................................3 2.2 Modalna analiza in analiza s spektri odziva................................................................5 2.3 N2 metoda...................................................................................................................7 2.4 Nelinearna dinamična analiza...................................................................................12 3 ZASNOVA KONSTRUKCIJE IN OBTEŽBA.............................................................................14 3. 1 Skice konstrukcij e.....................................................................................................14 3.2 Materiali in prerezi....................................................................................................16 3.3 Vertikalne obtežbe.....................................................................................................19 3.4 Mase..........................................................................................................................21 3.5 Spektri.......................................................................................................................22 3.6 Akcelerogrami...........................................................................................................26 3.7 Analize.......................................................................................................................29 4 ELASTIČNA ANALIZA S SPEKTRI ODZIVA IN PROJEKTIRANJE PO EC8......................30 4.1 Analiza lastnega nihanja............................................................................................30 4.2 Upoštevane nihajne oblike........................................................................................30 4.3 Rezultati elastične analize.........................................................................................33 4.3.1 Celokupna prečna sila ob vpetju........................................................................34 4.3.2 Osne sile.............................................................................................................34 4.3.3 Obremenitve - greda...........................................................................................35 4.3.4 Obremenitve - »T« stena...................................................................................36 4.3.5 Obremenitve - »L« stena...................................................................................37 4.3.6 Pomiki in etažni zamiki konstrukcije.................................................................39 4.4 Dimenzioniranje elementov......................................................................................42 4.4.1 Dimenzioniranje grede.......................................................................................42 4.4.2 Računski upogibni momenti za stene.................................................................44 4.4.3 Dimenzioniranje »T« stene................................................................................46 4.4.4 Dimenzioniranje »L« stene................................................................................49 4.4.5 Računske prečne sile - kontrola striga ob vpetju...............................................52 4.4.6 Kontrola lokalne duktilnosti elementov.............................................................53 4.4.7 Skice armature v stenah.....................................................................................55 5 LINEARNA DINAMIČNA ANALIZA........................................................................................59 6 MODELIRANJE ZA NELINEARNO ANALIZO........................................................................64 6.1 Priprava modela.........................................................................................................64 6.2 Greda..........................................................................................................................65 6.3 »T« stena....................................................................................................................65 6.4 »L« stena....................................................................................................................67 7 N2 METODA.................................................................................................................................70 7.1 Analiza v X smeri......................................................................................................71 7.2 Analiza v Y smeri......................................................................................................77 7.3 Korekcijski faktorji za razširjeno N2 metodo............................................................82 7.3.1 Normirani pomiki iz elastične modalne analize.................................................82 7.3.2 Normirani pomiki iz nelinearne statične (potisne) analize.................................83 7.3.3 Korekcij ski faktor...............................................................................................84 8 NELINEARNA DINAMIČNA ANALIZA...................................................................................85 9 PRIMERJAVA REZULTATOV IN DISKUSIJA.........................................................................97 10 ZAKLJUČKI, UGOTOVITVE....................................................................................................100 11 POVZETEK.................................................................................................................................103 12 SUMMARY.................................................................................................................................104 VIRI.....................................................................................................................................................105 KAZALO PREGLEDNIC Preglednica 1: Rekapitulacija vertikalnih obtežb......................................................................................21 Preglednica 2: Vrednosti parametrov, ki opisujejo elastični spekter odziva.............................................23 Preglednica 3: Izbrani akcelerogrami in njihovi podatki...........................................................................27 Preglednica 4: Faktorji za normiranje akcelerogramov a .....................................................................28 Preglednica 5: Prvi trije nihajni časi za različne modele...........................................................................30 Preglednica 6: Efektivne modalne mase, njihova kumulativna vsota za X in Y smer ter rotacijo okoli Z osi (model RE5).........................................................................................................................................31 Preglednica 7: Celotna prečna sila ob vpetju (CPS)..................................................................................34 Preglednica 8: Obremenitve v gredi CD-2-H3..........................................................................................36 Preglednica 9: Tabela pomikov CM v posamezni etaži............................................................................39 Preglednica 10: Kontrola pogoja (3.12)....................................................................................................41 Preglednica 11: Premiki momentnih črt....................................................................................................44 Preglednica 12: Računske vrednosti obremenitev momentov in osnih sil................................................46 Preglednica 13: Efektivna širina pasnice...................................................................................................48 Preglednica 14: Računske vrednosti obremenitev M in N........................................................................49 Preglednica 15: Potrebna strižna armatura v prerezih sten ob vpetju........................................................52 Preglednica 16: Nosilnosti, zahtevane duktilnosti, obe ukrivljenosti, duktilnost prerezov in potrebne dolžine robnih elementov..........................................................................................................................54 Preglednica 17: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija za gredo in moment na meji tečenja . 65 Preglednica 18: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »T« steno - X smer...........................................................................................................................................66 Preglednica 19: Vhodi podatki za izraz (3.18) , plastična rotacija in moment na meji tečenja za »T« steno - Y »+« smer....................................................................................................................................66 Preglednica 20: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »T« steno - Y »-« smer.....................................................................................................................................67 Preglednica 21: Vhodni podatki za izraz (3. 18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »L« steno - X »+« smer....................................................................................................................................68 Preglednica 22: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »L« steno - X »-« smer....................................................................................................................................68 Preglednica 23: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »L« steno - Y »+« smer....................................................................................................................................68 Preglednica 24: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »L« steno - Y »-« smer.....................................................................................................................................69 Preglednica 25: Vektor pomikov, normirani vektor pomikov (iz analize lastnega nihanja), produkt normiranih pomikov in mase za obe smeri................................................................................................70 Preglednica 26: Plastifikacije elementov, pri čemer se točke sklicujejo na sliko 68.................................76 Preglednica 27: Plastifikacije elementov, pri čemer se točke nanašajo na sliko 72..................................81 LIST OF TABLES Table 1: Summary of vertical loads.......................................................................................................21 Table 2: Parameters describing elastic response spectrum....................................................................23 Table 3: Choosen accelerograms and their data....................................................................................27 Table 4: Accelerogram normalization factors.......................................................................................28 Table 5: First three eigenperiods for different models..........................................................................30 Table 6: Effective modal masses, cumulative sum for X, Y direction and rotation around Z axis (model RE5).......................................................................................................................................................31 Table 7: Base shear................................................................................................................................34 Table 8: Forces in beam CD-2-H3.........................................................................................................36 Table 9: Displacements of centre of mass in each story........................................................................39 Table 10: Check of condition (3.12)......................................................................................................41 Table 11: Moment shift values...............................................................................................................44 Table 12: Design values of moments and axial forces...........................................................................46 Table 13: Effective width of flange........................................................................................................48 Table 14: Design values for M and N....................................................................................................49 Table 15: Shear reinforcement at base...................................................................................................52 Table 16: Bearing capacity, ductility demand , curvature, calculated ductility, boundary element lenghts....................................................................................................................................................54 Table 17: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for beam.................................65 Table 18: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »T« wall - X dir...............66 Table 19: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »T« wall - Y »+« dir........66 Table 20: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »T« wall - Y »-« dir........67 Table 21: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »L« wall - X »+« dir........68 Table 22: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »L« wall - X »-« dir.......68 Table 23: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »L« wall - Y »+« dir.......68 Table 24: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »L« wall - Y »-« dir.......69 Table 25: Displacement shape vector, normalized displacement shape, product of mass and normalized displacements for both directions...........................................................................................................70 Table 26: Yielding of elements with reference to Figure 68..................................................................76 Table 27: Yielding of elements with reference to Figure 72..................................................................81 KAZALO SLIK Slika 1: Elastični in neelastični spekter v AD formatu (pospešek - pomik) in krivulja kapacitete. Primer za T* 1.37, kar je pogoj za dosego stabilnosti metode. V naših izračunih smo uporabili vrednost parametra 6 = 1.40 . Za izračun z Wilsonovo metodo potrebujemo nadomestno togost, ki jo izračunamo samo na začetku (v kolikor gre za linearni problem) ali v vsakem koraku (nelinearni problem) r K1 = —^ [ M ] +—[C ] + [ K ] L J (6Atfl J 6AtV J L J (2.2) Potrebujemo tudi vektor nadomestne obtežbe, ki ga izračunamo za vsak časovni korak [^({F I-IFZIM M] {Dt[Ü} + 3{UŽ}] + [C] [3{Ü} + D [Ü^ (2.3) V vsakem časovnem koraku nato rešimo sistem algebraičnih enačb [ K] [D Ü} = [F} (2.4) in na koncu še izračunamo pospeške, hitrosti in pomike za konec časovnega intervala, ki postanejo v naslednjem koraku začetne vrednosti 6 /r ^ _ r r-ri\ L 3 iij'}=qD d-D^[1 -q M o» m=[v.}D{ut}+[u}) (2.6) 2 [Ük } = {ÜZ } + At[Uz } + D6l ({uk } + 2 [üz}) (2.7) 6 Pri tej metodi (za razliko od tiste, ki sledi v poglavju 2.2), ni omejitev glede izbora matrike dušenja [C], ki je lahko poljubna, vendar podana v eksplicitni obliki, kar lahko povzroča težave, saj je dušenje najbolj negotov podatek pri konstrukcijah. Za določitev matrike dušenja obstaja več načinov. Najpogosteje se uporablja matriko dušenja, ki je linearna kombinacija togostne [ K] in masne matrike [ M ] [C] = a0 [M] + a [K] (2.8) Konstanti a0 in a izberemo tako, da bo dušenje konstrukcije ustrezalo zahtevanemu, zato moramo obe konstanti izraziti s koeficienti kritičnega dušenja %. Enačbo (2.8) diagonaliziramo s pomočjo matrik lastnih vektorjev. Vsaka izmed enačb ima obliko C. = a,Mi+aK Iz literature, npr. (Fajfar, 1984), je poznana enačba (2.9) C = 2XWiMi (2.10) S pomočjo enačb (2.9) in (2.10) dobimo zvezo (2.11) Za določitev koeficientov 50 in a1 uporabimo samo dve enačbi (2.11) oziroma dva koeficienta kritičnega dušenja X. V našem primeru smo upoštevali 5% kritično dušenje za obe prvi translatorni nihajni obliki v globalni X in Y smeri. 2.2 Modalna analiza in analiza s spektri odziva Druga metoda za reševanje sistema diferencialnih enačb (2.1) je modalna analiza, ki temelji na zakonu superpozicije in se zato lahko načeloma uporablja samo za linearno analizo. Običajno nas pri analizi konstrukcij zanimajo le ekstremne vrednosti sil in pomikov, pri tem pa nas trenutek nastopa le-teh ne zanima oz. ni pomemben. V tem primeru lahko uporabimo spektre odziva, ki bistveno zmanjšajo obseg računa. Osnovi cilj metode je še vedno rešitev enačbe (2.1), le da jo tokrat prevedemo na sistem nevezanih diferencialnih enačb, kar storimo s transformacijo preko lastnih vektorjev in vrednosti, ki pri tej metodi predstavlja največji računski napor (2.12) Ko imamo izračunane lastne vektorje {F}, lahko diagonaliziramo vse matrike enačbe (2.1) in še njeno desno stran (2.13) (2.14) (2.15) (2.16) Enačba vsiljenega nihanja v glavnih koordinatah se tako glasi [Mim*[Cp} +MM^ (t)} (2.17) Zaradi diagonaliziranih matrik razpade sistem enačb (2.17) na sistem neodvisnih diferencialnih enačb (2.18) oz. (2.19), od katerih lahko vsako napišemo v obliki My + Ciyi + Ktyt = F (t) (2.18) oziroma F (t) y + 2Ciaiyi + wy =-M± (2.19) Nevezane enačbe lahko potem rešimo z uporabo postopkov znanih iz literature, npr. (Fajfar, 1984) ali (Chopra, 2001). Za posamezne komponente vektorja obtežbe ob tem velja F (t) = -(t){F}T [M*]{5} (2.20) kjer upoštevamo, da se naša zunanja obtežba (potres, ki predstavlja gibanje podpor) zapiše kot F = -mytal in {5}je smerni vektor. Enačbo (2.19) ob upoštevanju desnih strani (2.20) rešimo po literaturi, npr. (Fajfar, 1984) ali (Chopra, 2001). Ob tem se vpelje skalar , ki ga imenujemo faktor participacije in lahko služi kot ocena vpliva posameznih nihajnih oblik na celotne pomike ter je {F }T [ M ]{5} definiran kot G. =-t-. Manjša je njegova vrednost, manjši je vpliv nihajne oblike na {Fi} MF pomik konstrukcije. Dobljene pomike moramo še transformirati v osnovni koordinatni sistem m m D (t) M0} = [F]{nt)} = Z {Fi} Ji (t) = BFlG-^ (2.21) i=1 i=1 Običajno nas zanima največji pomik, zato za njegovo določitev uporabimo vrednosti iz spektra, kjer so po definiciji zbrane maksimalne vrednosti pomika (ali pospeška) v odvisnosti od lastne frekvence za sisteme z eno prostostno stopnjo. Ker imamo spekter v splošnem na voljo (SIST EN 1998-1/A101:2006), se izraz za maksimalno vrednost pomika v glavnih koordinatah glasi y,max =GiSd (wz ) = GS ) (2.22) Ustrezne pomike in notranje sile (potresne sile) v osnovnem koordinatnem sistemu dobimo z enačbama {U }max ={F]rsd (w ,z ) = {F}r (2.23) (F/L =[ M]{F}GSa (aZ) (2.24) Tako dobljene maksimalne količine za posamezne nihajne oblike pri potresni obtežbi moramo medsebojno ustrezno kombinirati, da dobimo največji odziv konstrukcije. Pri tem uporabimo popolno kvadratno kombinacijo (CQC) za kombinacijo nihajnih oblik (podrobni opis npr. v (Fajfar, 1984) ali (Chopra, 2001)). V računu običajno upoštevamo samo nekaj najpomembnejših nihajnih oblik. Seveda se z večanjem števila uporabljenih nihajni oblik veča natančnost metode, vendar račun večjega števila nihajnih oblik zahteva tudi več časa. Standard (SIST EN 1998-1/A101:2006) zato olajša projektantom odločitev o številu uporabljenih nihajnih oblik. Zahteva namreč, da se upošteva toliko nihajnih oblik, kolikor jih pomembno prispeva k deformaciji konstrukcije. Tej zahtevi je po predpisu ugodeno, če se upošteva toliko nihajnih oblik, da vsota efektivne modalne mase znaša vsaj 90 odstotkov celotne mase konstrukcije ali pa se upoštevajo vse posamezne nihajne oblike z efektivnimi modalnimi masami večjimi od 5 odstotkov celotne mase. Običajno se v program za analizo konstrukcij poda spekter odziva in program sam izračuna pomike in sile, ki izhajajo iz potresne obremenitve. Popolna kvadratna kombinacija in druge metode kombiniranja nihajnih oblik so že vgrajene v vse resne programe za analizo konstrukcij. 2.3 N2 metoda Metodi, omenjeni v poglavjih 2.1 in 2.2, sta uporabni ob predpostavki, da je obnašanje konstrukcije linearno. V praksi se metoda s spektri odziva uporablja tudi pri močnejših potresih, kjer se konstrukcije obnašajo neelastično, pri tem pa ugoden vpliv neelastičnega obnašanja pri duktilnih konstrukcijah upoštevamo na približen način z redukcijskimi faktorji (faktorji obnašanja v Evrokodu 8). Za bolj zanesljivo simulacijo dejanskega obnašanja konstrukcij pri močnih potresih potrebujemo nelinearno analizo. Potresa v Northridgu (1994) in Kobe-ju (1995), sta kljub svoji moči in dejstvu, da sta se zgodila na zelo gosto naseljenih področjih, terjala relativno majhno število smrtnih žrtev (72 Northridge, 6434 Kobe). Osnovni cilj potresnega inženirstva, tj. varovanje človeških življenj, je bil izpolnjen. Na drugi strani pa sta oba povzročila ogromno gospodarsko škodo (20 milijard USD Northridge in 102.5 milijard USD Kobe). Poleg reševanja človeških življenj, predstavlja omejitev materialne škode temeljni koncept t.i. projektiranja kontroliranega obnašanja (»Performance based design«). N2 metoda (Fajfar in Fischinger, 1988), (Fajfar, 2000) je zasnovana tako, da se vključuje v ta koncept in sledi njegovim ciljem. Metoda je nastala sredi osemdesetih let v IKPIR-ju in se je z leti razvila v zrelo metodo, ki je uporabna za visokogradnjo in mostove (Fajfar, 2002). V visokogradnji se poleg običajnih okvirnih in stenastih konstrukcij med drugim lahko uporablja tako za okvirne konstrukcije s polnili (npr. (Dolšek in Fajfar, 2008)), kot za konstrukcije izolirane z elastomernimi ležišči (npr. (Kilar in Koren, 2010), (Koren in Kilar, 2010)). Vključena je v evropski standard Evrokod 8. Primerna je tako za projektiranje novih konstrukcij, kot tudi za oceno obnašanja obstoječih. Ker je metoda nelinearna, moramo pred začetkom računa poznati vse bistvene značilnosti konstrukcije (togost in nosilnost). Z N2 metodo nato preverjamo obnašanje projektirane ali obstoječe konstrukcije, še vedno pa ostanejo v uporabi vsi dosedanji postopki, s katerimi določamo prvi približek konstrukcije. Poudariti je potrebno, da ima osnovna verzija N2 metode, ki je vključena v Evrokod 8, omejen obseg uporabe, tako kot vse približne metode. Metoda daje zadovoljive rezultate pri konstrukcijah, ki nihajo pretežno v eni sami nihajni obliki. Tega pogoja ne izpolnjujejo visoke stavbe, kjer so lahko pomembne višje nihajne oblike. Pri prostorskih konstrukcijah pa tega ne izpolnjujejo torzijsko podajne konstrukcije, kjer je osnovna nihajna oblika torzijska. Za uporabo N2 metode razširimo naš računski model v nelinearno območje. Najenostavnejši način je dopolnitev linijskega modela, ki se običajno uporablja v analizi konstrukcij, s plastičnimi členki, katerim predpišemo nelinearen odnos med momentom in zasukom. Tako razširjen model konstrukcije obremenimo z vodoravno statično obtežbo, ki jo postopoma povečujemo in zasledujemo deformacije konstrukcije (nelinearna statična potisna, angl. »pushover« analiza). Pri določeni velikosti statične obtežbe pride do tečenja prvega elementa konstrukcije in s tem zmanjšanja togosti tega elementa in posledično celotne konstrukcije. Če povečujemo obtežbo še naprej, se pojavi tečenje tudi drugih elementov in nastanek plastičnega mehanizma. Tako lahko dobimo odnos med obtežbo in pomikom za celotno konstrukcijo. Običajno nas zanima odnos med celotno prečno silo in pomikom na vrhu konstrukcije. Rezultati so odvisni od razporeditve vodoravnih sil po višini konstrukcije. Razporeditev sil po višini mora biti smiselna. Običajno uporabimo enakomerno obtežbo po višini in osnovno obliko, ki jo lahko aproksimiramo z obrnjenim trikotnikom. Rezultate analize narišemo v obliki odnosa med celotno prečno silo in pomikom na vrhu konstrukcije. Ker metoda uporablja spektre odziva, ki so po definiciji uporabni samo za sisteme z eno prostostno stopnjo (SDOF), je potrebno sistem z več prostostnimi stopnjami (MDOF) prevesti v ekvivalenten sistem z eno prostostno stopnjo (SDOF). Postopek je znan iz dinamike konstrukcij (glej npr. (Fajfar, 1984)), za nelinearne sisteme pa dobimo enačbi za pretvorbo sil in pomikov (Fajfar, 2000), ki temelji na predpostavki, da je nihajna oblika konstrukcije časovno nespremenljiva „ V F = — (2.25) r „ D D = D (2.26) r Obe količini z zvezdico sta sila oz. pomik ekvivalentnega sistema z eno prostostno stopnjo, G je faktor za pretvorbo, ki je odvisen od predpostavljenega približka za nihajno obliko in od razporeditve mas V m&. r=^ '' (2.27) V Ker je pretvorba enaka za sile in pomike, se oblika odnosa med obtežbo in deformacijo ohrani, prav tako se ohranijo togosti in nihajni čas. Za ekvivalenten sistem z eno prostostno stopnjo velja isti diagram obtežba - deformacija, kot za sistem z več prostostnimi stopnjami, le da je merilo spremenjeno. V enačbah je upoštevano, da je deformacijska oblika normirana tako, da je pomik na vrhu = 1. Faktor za pretvorbo G je praviloma večji od 1, razen v posebnem primeru, ko predpostavimo konstantno obliko po višini {&} = 1 . Naslednji korak je idealizacija odnosa med silo in pomikom. Pretvorimo ga v bilinearno obliko, kjer elastičnemu delu sledi plastično tečenje brez utrditve. Rezultati analize so odvisni predvsem od izbire ekvivalentne elastične togosti. Ker enolične rešitve tega problema ni, so v raznih predpisih in navodilih podana pravila za idealizacijo. V predpisih (SIST EN 1998-1) je predvideno, da sta ploščini pod originalnim in idealiziranim odnosom med obtežbo in pomikom enaki. Pri tem se za pomik, ki predstavlja zgornjo mejo diagrama, vzame pomik, pri katerem se tvori plastični mehanizem. Nosilnost v tej točki je privzeta kot nosilnost idealiziranega sistema. Ena izmed možnosti, ki je dovoljena, je iteracijski postopek, kjer pri določitvi idealizacije bilinearnega odnosa upoštevamo pomik sistema, izračunanega v prejšnjem koraku. Idealiziran odnos med silo in pomikom primerjamo z zahtevami potresa, ki ga definiramo v AD formatu (pospešek - pomik). V ta namen je potrebno silo F* deliti z * maso m ekvivalentnega SDOF sistema. Dobljeni diagram imenujemo krivuljo kapacitete. Cilj projektiranja običajnih konstrukcij ni preprečitev poškodb, pač pa želimo preprečiti porušitev konstrukcije. S poškodbami, ki so povezane z neelastičnimi deformacijami, se v duktilnih konstrukcijah sipa energija. To je ugoden vpliv, ki ga v običajnem računu po predpisih približno zajamemo z upoštevanjem redukcijskega faktorja q, s katerim zmanjšamo zahtevano nosilnost konstrukcije. Velikost tega faktorja je odvisna od konstrukcije in njene sposobnosti, da se deformira v neelastičnem območju in od dodatne nosilnosti, tj. nosilnost nad računsko potrebno nosilnostjo. Pri N2 metodi potrebujemo neelastični spekter odziva, ki zajema ugoden vpliv plastifikacije duktilne konstrukcije. Za neelastični sistem z bilinearnim odnosom med obtežbo in pomikom lahko določimo spekter pospeškov in spekter pomikov z naslednjimi enačbami: S Sa _(2.28) Rm S d = IT, Sde _ ^ —2, Sae _ m—2 Sa (2.29) m S t2 c _ m t Rm ' de R Redukcijski faktor Rm je v N2 metodi definiran kot: R ' de Rm 4p2' ae 4p2 mm Rm_(m-1)T +1 ... TTc kjer je Tc karakteristični nihajni čas gibanja tal, ki je običajno definiran kot nihajni čas na meji med konstantnim spektralnim pospeškom in konstantno spektralno hitrostjo v zglajenem elastičnem spektru. Pomembna značilnost N2 metode je v tem, da lahko potresno obremenitev ekvivalentnega SDOF sistema določimo tudi grafično (slika 1). Na isto sliko narišemo spektre obremenitev in krivuljo kapacitete. Presečišče radialne linije, ki predstavlja nihajni čas idealiziranega bilinearnega sistema T, z elastičnim spektrom Sae , določa zahteve potresa, izražene s pospeškom (in nosilnostjo), ki bi ga morala konstrukcija prenesti, če naj bi ostala v elastičnem območju, in s pomikom, ki bi ga morala prenesti taka konstrukcija. Nihajni čas idealiziranega bilinearnega sistema izračunamo kot T" _ 2p mUY (2.31) Fy kjer je F* meja tečenja in D*pomik na meji tečenja. Pospešek na meji tečenja Saypredstavlja tako zahteve kot kapaciteto neelastične konstrukcije. Redukcijski faktor Rß je definiran kot razmerje med pospeški elastičnega in neelastičnega sistema „ Sae (T*) Rm _ S <2-32) Say Če je nihajni čas TVečji ali enak TC, velja pravilo o enakosti pomikov, po katerem je pomik neelastične konstrukcije Sd enak pomiku pripadajoče elastične konstrukcije Sde . Iz podobnosti trikotnikov na sliki sledi, da je zahtevana duktilnost JU, ki je definirana kot razmerje med zahtevanim pomikom in pomikom na meji elastičnosti (j =Sd/D*), enaka redukcijskemu faktorju RU Sd = S de (t *) ... T * > tc (2.33) m = Rj (2.34) V primeru, da je elastični nihajni čas manjši od TC, lahko zahtevano duktilnost izračunamo s preureditvijo enačbe (2.30) U = (Rj-1)T* +1 ... T* < Tc (2.35) Pomike konstrukcije izračunamo iz enačb (2.29) z upoštevanjem zvez iz enačbe (2.35) Sd=UD*=R- [1+(RU-1) Tc (2.36) V obeh primerih (T* < TC in T* > TC) so zahteve neelastične konstrukcije, izražene s pospeškom in pomikom, določene s presečiščem krivulje kapacitete z neelastičnim spektrom za duktilnost j. V presečišču je faktor duktilnosti, določen iz krivulje kapacitete enak faktorju duktilnosti, ki ustreza uporabljenemu spektru. Celoten postopek je seveda možno izvršiti popolnoma numerično. Slika 1: Elastični in neelastični spekter v AD formatu (pospešek - pomik) in krivulja kapacitete. Primer za Tßag ags 25 f TT J g q I T2 J za Td < T > ßag (3.5) Parametri S,ag, TB, Tc, TDso že definirani pri elastičnem spektru, S, (T) je projektni spekter, q faktor obnašanja, ß je faktor, ki določa spodnjo mejo spektra, njegova vrednost v Sloveniji znaša 0.2. Za določitev faktorja obnašanja naše konstrukcije moramo najprej izbrati razred (stopnjo) duktilnosti in vrsto konstrukcije. Stopnja duktilnosti pomeni sposobnost histereznega sipanja energije. Odločili smo se, da konstrukcijo projektiramo za srednji razred duktilnosti - DCM. Konstrukcijski sistem v X smeri predstavljajo stene z odprtinami, v Y smeri pa imamo nepovezane konzolne stene. S temi podatki in pravili v predpisih lahko določimo faktorje obnašanja za konstrukcijo. Faktor obnašanja za stene z odprtinami tako znaša qx = 3.0— = 3.0-1.2 = 3.6 (3.6) a Za nepovezane konzolne stene je faktor obnašanja qy = 3.0 (3.7) Z znanima faktorjema obnašanja lahko določimo projektni spekter za obe smeri. 0.7 0.6 0.5 3 0.4 ro OT 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 T (s) Slika 16: Elastični in projektna spektra Figure 16: Elastic and design spectra 3.6 Akcelerogrami Razvejana mreža potresnih opazovalnic pri nas in po svetu neprestano beleži potrese. Med rezultate, ki jih potresne opazovalnice zberejo, sodijo tudi akcelerogrami, ki predstavljajo časovni potek pospeškov med potresom. Pri natančnejših metodah analize služijo kot vhodni podatki za zunanjo obtežbo. Za naš primer smo v evropski bazi akcelerogramov (Ambraseys in sod., 2002) izbrali 10 zapisov, ki so bili zabeleženi za podobna tla (tip C), kot je bilo predpostavljeno za našo konstrukcijo in so po povprečnem spektru odziva podobni elastičnemu spektru odziva iz predpisa. Od vsakega potresa smo pridobili komponento v smeri sever-jug (N-S) in komponento v smeri vzhod-zahod (E-W). V preglednici 3 so zbrani podatki o imenu potresa, državi nastanka, datumu, ter kje je bil registriran. Za posamezno komponento potresa sta zapisana največji pospešek in dolžina zapisa. Preglednica 3: Izbrani akcelerogrami in njihovi podatki Table 3: Choosen accelerograms and their data Št. potresa Ime potresa Država Datum Registracija Komponenta 3g (m/s2) Dolžina zapisa (s) 1 Ionian Grčija 4.11.1973 Lefkada N - S -5.1 26.5 OTE Building E - W 2.5 26.5 2 aftershock Italija 15.9.1976 Buia N - S 1.1 26.4 (Friuli) E - W -0.9 26.4 3 Basso Tirreno Italija 15.4.1978 Patti-Cabina N - S 0.7 30.9 Prima E - W 1.6 30.8 4 Thessalonika Grčija 20.6.1978 Thessaloniki N - S -1.4 30.6 City Hotel E - W -1.4 30.6 5 Tabas Iran 16.9.1978 Boshroyeh N - S 1.0 35.0 E - W 0.9 35.0 6 Alkion Grčija 24.2.1981 Korinthos N - S 2.3 41.9 OTE Building E - W 3.0 41.9 7 Alkion Grčija 25.2.1981 Korinthos N - S -1.1 28.6 OTE Building E - W -1.2 28.6 8 Spitak Armenija 7.12.1988 Gukasian N - S 1.8 22.9 E - W 1.8 23.0 9 Manjil Iran 20.6.1990 Tonekabun N - S -1.3 35.5 E - W -0.9 35.4 10 Umbro- Italija 26.9.1997 Castelnuovo- N - S -1.6 55.1 Marchigiano Assisi E - W -1.1 55.1 Za navedene akcelerograme smo izračunali spektre odziva za vsako komponento posebej. Da bi lahko primerjali rezultate med sabo, smo morali akcelerograme normirati. Odčitali smo spektralne pospeške za prve tri nihajne čase konstrukcije v izbranem spektru in izračunali povprečen pospešek a=a(T)+a(T)+a(T3) 3 Nato smo izračunali razmerje med pospeška iz spektra Sa z vrednostjo povprečnega pospeška iz (3.8) S a = (3.9) a Vsak akcelerogram smo pomnožili z izračunanim faktorjem a. Spektre odziva, dobljene iz akcelerogramov, smo normirali na težnosti pospešek g, nato smo izračunali povprečen spekter in njegov standardni odklon s (slika 17). Primerjava s spektrom iz predpisov pokaže zelo dobro ujemanje. Kljub temu je treba upoštevati, da povprečni spekter akcelerogramov in spekter po predpisih nista povsem enaka in da razlika v obeh spektrih povzroča tudi en del razlik med rezultati analize časovnega odziva in rezultati modalne analize s spektri odziva, kjer je uporabljen spekter po predpisih. Preglednica 4: Faktorji za normiranje akcelerogramov a Table 4: Accelerogram normalization factors Potres N-S E-W 1 0.76 1.11 2 3.10 2.98 3 3.94 1.82 4 1.74 2.74 5 3.00 3.45 6 1.34 0.98 7 2.50 1.91 8 1.59 2.43 9 2.85 3.27 10 2.28 2.90 Obstaja 8 kombinacij hkratnega podajanja akcelerogramov na konstrukcijo, kar smo seveda upoštevali pri analizi (slika 18). Slika 17: Povprečen spekter (mean) za obe komponenti, elastični spekter iz predpisov in standardni odklon povprečnega spektra (sigma) - (levo za X smer, desno za Y smer) Figure 17: Mean spectra for both components, standard deviation and elastic spectra from standards (X dir. - left, Y dir. - right) E-W SET1 .CM N-S SET5 .CM k N-S 1 E-W E-W SET2 .CM N-S SET6 .CM rN-S rE-W E-W SET3 CM N-S SET7 CM rN-S rE-W E-W SET4 CM N-S SET8 .CM ' N-S ' E-W Slika 18: Kombinacije delovanja potresa (»set«) Figure 18: Combination of simultaneous earthquake action (»set«) 3.7 Analize Zadani cilj naloge je preveriti uporabnost razširjene N2 metode na primeru 8-etažne AB stenaste stavbe. Opravljenih je bilo več analiz: • linearna elastična analiza s spektri odziva (poglavje 4), katere rezultat je v končni fazi potrebna armatura za prevzem potresnih obremenitev in vhodni podatek za pripravo nelinearnega modela. Pri analizi smo upoštevali projektni spekter po SIST EN 1998-1 (poglavje 3.5, slika 16); • dinamična analiza z upoštevanjem linearnega in nelinearnega obnašanja konstrukcije (poglavji 5 in 8). Pri dinamičnih analizah smo upoštevali 10 akcelerogramov (poglavje 3.6, preglednica 3). Njihove N-S in E-W komponente smo kombinirali na 8 možnih načinov (set) (poglavje 3.6, slika 18). Pri nelinearni dinamični analizi smo upoštevali tudi dve različni jakosti potresov. V obeh primerih je bilo upoštevano dušenje proporcionalno masni in togostni matriki (poglavje 2.1). Pri rezultatih dinamičnih analiz prikazujemo srednje vrednosti rezultatov (mean) in standardna odstopanja (sigma) rezultatov; • razširjena N2 metoda (poglavje 7), kjer smo upoštevali EC8 spekter, potisne krivulje z različnimi razporeditvami sil po višini in z upoštevanjem korekcijskih faktorjev za torzijo; 4 ELASTIČNA ANALIZA S SPEKTRI ODZIVA IN PROJEKTIRANJE PO EC8 4.1 Analiza lastnega nihanja Analiza lastnega nihanja je bila narejena s programom SAP 2000. Analiziranih je bilo več različic konstrukcije. V analizi smo upoštevali nerazpokane (N) in razpokane prereze (R) (tu smo pomnožili strižne prereze in vztrajnostne momente s faktorjem 0.5) ter centrično (C0) in ekscentrično (E5) postavitev mas. Skupno smo analizirali 4 različne modele. Prvi trije nihajni časi posameznih modelov so prikazani v preglednici 5. Tx je nihajni čas pri nihanju (pretežno) v X smeri, Ty pri nihanju (pretežno) v Y smeri, Tzz pa pri (pretežno) torzijskem nihanju. Preglednica 5: Prvi trije nihajni časi za različne modele Table 5: First three eigenperiods for different models NC0 NE5 RC0 RE5 Tx [s] Ö22 023 031 Ö32 Ty [s] 0.19 0.17 026 0.25 Tzz [s] ÖÖ9 020 0.27 029 Iz preglednice 5 je lepo tudi razvidno, da je razmerje med nihajnimi časi razpokane in nerazpokane konstrukcije približno 1.40, kar je pričakovani rezultat. V elastični analizi smo upoštevali model konstrukcije z oznako RE5. 4.2 Upoštevane nihajne oblike V računu je potrebno upoštevati vse nihajne oblike, ki pomembno prispevajo h globalnemu odzivu. Predpis (SIST EN 1998-1) omogoča to zahtevo izpolniti z dokazom, da je vsota efektivnih modalnih mas za upoštevane nihajne oblike 90% celotne mase konstrukcije ali da se upoštevajo vse nihajne oblike z efektivnimi modalnimi masami, večjimi od 5% celotne mase. Pri prostorskem modelu konstrukcije, kot je naš, se morajo preveriti vse ustrezne smeri. Preglednica 6: Efektivne modalne mase, njihova kumulativna vsota za X in Y smer ter rotacijo okoli Z osi (model RE5) Table 6: Effective modal masses, cumulative sum for X, Y direction and rotation around Z axis (model RE5) Oblika T [s] Ux Uy SumUX SumUY Rzz SumRZZ 1 0.32 0.72 0.01 0.72 0.01 0.09 0.09 2 0.29 0.06 0.35 0.79 0.36 0.36 0.45 3 0.25 0.01 0.34 0.79 0.70 0.24 0.70 4 0.10 0.12 0.00 0.91 0.70 0.01 0.70 5 0.07 0.00 0.12 0.91 0.82 0.13 0.83 6 0.06 0.00 0.10 0.91 0.92 0.09 0.92 7 0.05 0.05 0.00 0.96 0.92 0.00 0.92 8 0.04 0.02 0.00 0.98 0.92 0.00 0.92 9 0.03 0.00 0.03 0.98 0.95 0.03 0.95 10 0.03 0.00 0.02 0.98 0.97 0.02 0.97 11 0.03 0.01 0.00 0.99 0.97 0.00 0.97 12 0.02 0.00 0.00 1.00 0.97 0.00 0.97 Vidimo, da je pogojem iz predpisa zadoščeno že, če v računu uporabimo prvih 6 nihajnih oblik (slike 19,20 in 21). V našem primeru smo jih v računu upoštevali prvih 12. 24 21 18 15 N 12 9 6 3 0 X Slika 19: Prva nihajna oblika Figure 19: First eigenform 2 - nihajna oblika N N 24 21 18 15 12 9 6 3 0 24 21 18 15 12 9 6 3 0 2 - nihajna oblika X 3 - nihajna oblika Y 3 - nihajna oblika X Y 4 - nihajna oblika 4 - nihajna oblika X X Slika 20: 2 do 4 nihajna oblika Figure 20: 2nd to 4th eigenform 5 - nihajna oblika N 24 21 18 15 12 9 6 3 0 X Y 6 - nihajna oblika 5 - nihajna oblika 6 - nihajna oblika X Slika 21: 5 in 6 nihajna oblika Figure 21: 5th and 6th eigenform 4.3 Rezultati elastične analize Za kombiniranje vplivov nihajnih oblik smo v računu s programom SAP 2000 upoštevali popolno kvadratno kombinacijo (CQC) za vplive nihajnih oblik. Za vpliv hkratnega delovanja obeh horizontalnih komponent potresa je bila uporabljeno SRSS pravilo (kvadratni koren vsote kvadratov). Pri dimenzioniranju elementov je potrebno upoštevati, da pri kombinaciji izgubimo informacije o predznaku obremenitve. 4.3.1 Celokupna prečna sila ob vpetju Celokupna prečna sila ob vpetju (angl. »base shear«) predstavlja oceno največje pričakovane sile ob vpetju konstrukcije pri potresni obtežbi. Njena vrednost služi tudi za kontrolo smiselnosti elastične dinamične analize, pri čemer preverimo razmerje med celokupno prečno silo in celotno težo konstrukcije. Preglednica 7: Celotna prečna sila ob vpetju (CPS) Table 7: Base shear CPS X [kN] CPS Y [kN] SRSS X [kN] SRSS Y [kN] Potres X 8257 1380 8421 Potres Y 1655 7574 7699 Razmerje med celokupno prečno silo in težo konstrukcije znaša 15% za X smer in 13 % za Y smer. 4.3.2 Osne sile Osne sile dobimo po kombinaciji (SIST, 2004): G"+"AE,d"+>2,1Qk,1 (3.10) Za naš primer to pomeni: G"+"AE,d"+"0.3Qkl (3.11) V enačbah (3.10) in (3.11) pomenijo oznake: G - obremenitve, ki izhajajo iz stalne obtežbe »+« - v kombinaciji z AE,d - obtežbe, ki izhajajo iz nezgodnih obtežnih slučajev Qk,i - obtežbe, ki izhajajo iz spremenljivih obtežnih slučajev - delni količnik varnosti Natančnejša razlaga oznak je podana v (SIST EN 1990). Za dimenzioniranje potrebujemo absolutno največjo in najmanjšo osno silo, ki jo lahko dobimo po enačbi (3.11). V nadaljevanju so prikazane največja in najmanjša osna sila, ki se pojavi v najbolj obremenjeni »T« in »L« steni. 8 _[J -386 -428 7 -1.007 -1.088 -1.630 -1.746 -2.259 -2.401 -2.893 -3.055 □ Nmax □ Nmin -3.534 -3.706 -4.184 4.354 -4.840 -5.00 -500 -1000 -1500 -2000 -2500 -3000 -3500 -4000 -4500 -5000 -5500 Osna sila [kN] Slika 22: Grafični prikaz ovojnice osnih sil v »T« steni Figure 22: Axial force envelope in »T« wall 2 1 0 -500 -1000 -1500 -2000 -2500 -3000 -3500 -4000 -4500 -5000 -5500 Osna sila [kN] Slika 23: Grafični prikaz ovojnice osnih sil v »L« steni Figure 23: Axial force envelope in »L« wall 0 4.3.3 Obremenitve - greda Pri rezultatih obremenitev gred upoštevamo element CD-2-H3, ki izkazuje največje obremenitve pri potresni obtežbi. Vrednosti so prikazane v preglednici 8. Preglednica 8: Obremenitve v gredi CD-2-H3 Table 8: Forces in beam CD-2-H3 OBTEZNI PRIMER V [kN] M [kNm] Potres X 238 155 Potres Y 41 27 Potres X »+« Y (SRSS) 242 157 4.3.4 Obremenitve - »T« stena V rezultatih elastične analize s spektri odziva smo poiskali najbolj obremenjeno steno »T« prereza (E2). Obremenitve so vedno podane v lokalnem koordinatnem sistemu prereza (slika 8). 8 1 191 7 351 6 1 491 5 1 611 4 1 708 3 782 2 1 827 1 1 831 0 200 400 600 800 1000 Prečna sila [kN] Slika 24: Prečna sila v lokalni Y smeri Figure 24: Shear force in local Y direction Upogibni moment [kNm] Slika 25: Ovojnica upogibnih momentov okoli lokalne Z osi Figure 25: Bending moment envelope around local Z axis 8 7 6 >n 5 « 200 400 600 Prečna sila [kN] 800 1000 Slika 26: Prečna sila v lokalni Z smeri Figure 26: Shear force in local Z direction 5000 10000 15000 20000 Upogibni moment [kNm] Slika 27: Ovojnica upogibnih momentov okoli lokalne Y osi Figure 27: Bending moment envelope around local Y axis 4.3.5 Obremenitve - »L« stena 0 0 Podobno kot smo prikazali za »T« steno naredimo za »L« steno. Ponovo poiščemo najbolj obremenjeno steno (F2) in prikažemo obremenitve (slike 28 - 31) v njenem lokalnem koordinatnem sistemu (slika 9). 8 1 108 7 186 6 1 253 5 1 309 4 1 354 3 387 2 1 413 1 1457 0,0 100,0 200,0 300,0 400,0 500,0 Prečna sila [kN] Slika 28: Prečna sila v lokalni Y smeri Figure 28: Shear force in local Y direction 24 21 18 I 15 g 12 iS 9 > 9 6 3 0 500 1000 1500 2000 Upogibni moment [kNm] Slika 29: Ovojnica upogibnih momentov okoli lokalne Z osi Figure 29: Bending moment envelope around local Z axis 0 a >N a 8 7 6 5 4 3 2 1 230,6 447,0 612,2 741,0 842,6 I 92 3,1 987,7 3 1040, 200 400 600 800 1000 1200 Prečna sila [kN] Slika 30: Prečna sila v lokalni Z smeri Figure 30: Shear force in local Z direction 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Upogibni moment [kNm] Slika 31: Ovojnica upogibnih momentov okoli lokalne Y osi Figure 31: Bending moment envelope around local Y axis 0 4.3.6 Pomiki in etažni zamiki konstrukcije Poleg obremenitev konstrukcije nas zanimajo tudi pomiki konstrukcije in etažni zamiki. Da dobimo dejanske pomike, moramo pomike konstrukcije iz elastične analize s spektri odziva pomnožiti s faktorjem obnašanja za vsako smer. Preglednica 9: Tabela pomikov CM v posamezni etaži Table 9: Displacements of centre of mass in each story SRSS Ux Uy 9z h [m] [mm] [mm] [mrad] 0 0 0 0.00 3 2 1 0.60 6 5 3 0.17 9 9 5 0.31 12 13 8 0.48 15 16 11 0.66 18 19 14 0.85 21 21 17 1.04 24 23 20 1.23 V preglednici 9 je že upoštevana SRSS kombinacija smeri. Alternativno bi lahko namesto projektnih spektrov za račun pomikov upoštevali kar elastični spekter, s čimer bi si prihranili množenje s faktorjem obnašanja in rezultate bi lahko uporabili neposredno iz programa. Pomike CM prikažemo še grafično na sliki 32. Slika 32: Pomiki konstrukcije v X in Y smeri Figure 32: Displacements of structure in X and Y direction Poleg pomikov konstrukcije so pomembni tudi etažni zamiki. Upoštevamo člen iz SIST EN 1998-1 (4.4.3.2), ki predpisuje omejitev etažnih zamikov. Pri tem upoštevamo, da spada naša stavba v kategorijo pomembnosti II, s čimer je vrednost v določena in znaša 0.5. Kontrola, ki mora biti izpolnjena, je sledeča d v < 0.005 (3.12) h Kjer so: dr - etažni zamik, dobljen iz elastične analize pomnožen s faktorjem obnašanja q v - faktor pomembnosti h - etažna višina (3.0 m) Rezultati kontrole so prikazani v preglednici 10, pri čemer so pri računu zamika upoštevani pomiki centrov mas (CM) v obravnavanih etažah. Preglednica 10: Kontrola pogoja (3.12) Table 10: Check of condition (3.12) Etaža d y. X h ' X <0.005 h ' Y <0.005 1 0.0004 DA 0.0002 DA 2 0.0006 DA 0.0003 DA 3 0.0006 DA 0.0004 DA 4 0.0006 DA 0.0004 DA 5 0.0005 DA 0.0005 DA 6 0.0005 DA 0.0005 DA 7 0.0004 DA 0.0005 DA 8 0.0003 DA 0.0005 DA Kontrola zamikov je ustrezna za obe smeri. Upoštevan je najstrožji kriterij, ki predvideva, da imamo na stavbo pritrjene krhke elemente. Zamiki so prikazani še grafično na slikah 33 in 34. >N 0,0016 0,0022 ,0028 0,0033 0 0,003 0,0023 0036 0037 3 0,0000 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 Zamik >N 8 0 ,0030 7 0,0031 6 0,0031 5 0, 0029 4 0, 0027 3 0,0023 2 0, 0017 1 0,0010 0,0000 0,0010 0,0020 0,0030 Zamik Slika 33: Etažni zamiki v X smeri Figure 33: Story drifts in X direction Slika 34: Etažni zamiki v Y smeri Figure 34: Story drifts in Y direction Ker razširjena N2 metoda predvideva korekcijo rezultatov z rezultati modalne analize s spektri odziva (razlaga v poglavju 2.3), so na tem mestu prikazani še normirani pomiki po etažah. Pomiki so normirani na pomik masnega središča v posamezni etaži in v izbrani smeri. 1.8 1.6 1.4 1.2 _X et1 et2 et3 et4 et5 et6 et7 et8 1.8 1.6 1.4 1.2 Togi r. CM Podajni r. Togi r. Podajni r. Slika 35: Normirani pomiki iz modalne analize po posameznih etažah v X smeri (levo) in Y smeri (desno) Figure 35: Normalized displacements from modal analysis in individual storys in X direction (left) and Y direction (right) Y 1 1 4.4 Dimenzioniranje elementov Cilj dimenzioniranja je določitev potrebne armature, ki zagotavlja varnost in odpornost konstrukcijskih elementov na predvidene obtežbe. Dimenzioniranje nosilnih elementov konstrukcije je bilo opravljeno v skladu z veljavnimi predpisi (SIST EN 1992-1-1), (SIST EN 1998-3/A101:2006), (SIST EN 1998-1) in (SIST EN 1998-1/A101:2006). Za dimenzioniranje smo upoštevali materiale navedene v poglavju 3.2. V pomoč nam je bil program INCA2 (Pfeiffer, 2001), ki je prosto dostopen na medmrežju. 4.4.1 Dimenzioniranje grede Vse grede so armirane z enako armaturo. V računu je bila upoštevana najbolj obremenjena greda CD2H3. Obremenitve grede so povzete po preglednici 8. Ker smo predpostavili, da je greda armirana simetrično, je predznak upogibnega momenta nepomemben. Prečna sila se določi na osnovi načrtovanja nosilnosti, zato vrednost iz elastične analize nima uporabne vrednosti. Prerez armiramo z armaturo po sliki 36. Privzamemo tudi, da je armatura enaka po celotni gredi. i—i i i -04016 -© 08-7.5 -©4016 \ 20 \ Slika 36: Izbrana armatura v gredi Figure 36: Reinforcement in beam Izbrana armatura mora biti med pmin in p, Pmn = 0.5 Pmax =P'+ Atlac f f ^ ctm f V fyk J 0.0018 f = 0.5026 = 0.26% 0.50 cd P = mfeys ,d fyd 8.04 bd 20 • 51.5 = 0.78% m= 1 + 2(90 -1)T = 1 + 2(3.6-1)031 = 11065 0.0018 1.66 Pmax = 0.78% + - 11.065 • 0.00217 43.5 Pmin < PdeUnat = 0.78% < Pmax = 1.06% (3.13) Upogibno nosilnost smo določili s programom INCA2. Maksimalni upogibni moment, ki ga lahko tako armirani prerez prenese, znaša MRd = 169.6kNm. Iz te vrednosti upogibnega momenta lahko določimo največjo prečno silo, ki v gredi lahko nastopi: MRd, + MRdd 2 -1696 V = _Rdj-= z Lvy v = 260.8kN l 1.3 (3.14) Predpostavimo, da je nosilnost betona brez strižne armature prekoračena, zato celotno prečno silo prevzamemo s stremeni. Potrebna stremenska armatura znaša: A V 260.8 s 0.8lf 0.8 - 55 - 43.5 = 0.136cm ^ 13.6 cm m (3.15) Izbrali smo dvostrižno streme f8/7.5cm (Asdej = 13.40 cm2/m ~ 13.60 cm2/m). Izbrana armatura v gredi je prikazana na sliki 36. 4.4.2 Računski upogibni momenti za stene V skladu s točko 5.5.2.4.1(5) (SIST EN 1998-1) moramo upoštevati nezanesljivost razporeditve momentov pri vitkih potresnih stenah (vitke stene so tiste, pri katerih je razmerje med višino in dolžino večje od 2). Vse stene v obravnavani konstrukciji spadajo po tej definiciji med vitke. Premik momente črte v skladu s predpisi znaša približno 80% dolžine stene v obravnavani smeri. Premiki za vse stene so prikazani v preglednici 11. Preglednica 11: Premiki momentnih črt Table 11: Moment shift values Stena - smer Premik momente črte [m] T - X 0.8 * 6.0 = 4.80 T - Y 0.8 * 9.60 = 7.84 L - X 0.8 * 3.10 = 2.48 L - Y 0.8 * 9.80 = 7.84 Računski upogibni momenti za oba prereza sten so prikazani grafično (slike 37-40). Oznake lokalnih osi prerezov so razvidne v poglavju 3.1. 24 21 18 15 1= I 12 i« > 9 6 3 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 Moment [kNm] Slika 37: Ovojnica momentov za dimenzioniranje - »T« stena, momenti okoli lokalne Y osi Figure 37: Design envelope - »T« wall, moments around local Y axis 24 21 18 15 I 12 > 9 6 3 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Moment [kNm] Slika 38: Ovojnica momentov za dimenzioniranje - »T« stena, momenti okoli lokalne Z osi Figure 38: Design envelope - »T« wall, moments around local Z axis 24 21 18 15 1= I 12 MB > 9 6 3 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 Moment [kNm] Slika 39: Ovojnica momentov za dimenzioniranje - »L« stena, momenti okoli lokalne Y osi Figure 39: Design envelope - »L« wall, moments around local Y axis -----M -Id omentni diagram iz analize ealizirana momentna črta oment za dimenzioniranje " \ * X. \\ • X. A \ 1 i i / / » / ♦ / ♦ / * \ ------- -------- ------- 24 21 18 15 1= I 12 > 9 6 3 0 0 500 1000 1500 2000 Moment [kNm] Slika 40: Ovojnica momentov za dimenzioniranje - »L« stena, momenti okoli lokalne Z osi Figure 40: Design envelope - »L« wall, moments around local Z axis 4.4.3 Dimenzioniranje »T« stene »T« steno smo dimenzionirali na enoosni upogib z osno silo v globalni X oz. Y smeri. Upoštevali smo, da v globalni X smeri vse obremenitve prenaša samo pravokotni del stene (slika 41), v globalni Y smeri pa obremenitve prevzame celoten »T« prerez. Preglednica 12: Računske vrednosti obremenitev momentov in osnih sil Table 12: Design values of moments and axial forces T - X T - Y OSNA SILA Višina [m] Moment [kNm] Moment [kNm] Nmax [kN] Nmin [kN] 0 3746 15765 -4840 -5001 3 3746 15765 -4184 -4354 6 3596 15765 -3534 -3706 9 3220 15003 -2893 -3055 12 2844 13032 -2259 -2401 15 2468 11062 -1630 -1746 18 2092 9091 -1007 -1088 21 1716 7121 -386 -428 24 1341 5150 -386 -428 Izbrali smo minimalno armaturo po predpisu SIST EN 1998-1, točka 5.4.3.4.2 (slika 41). S pomočjo programa INCA2 smo naredili interakcijski diagram N-M za prerez s slike 41 in vanj vnesli obremenitve iz preglednice 12. Ker so točke obremenitev znotraj območja nosilnosti, prerez prenese le-te. Zaradi simetrije je prikazana samo polovica interakcijskega diagrama. o CNI 1)7012-15 i i i i i i Q257-A 7012-15 (1 i i i i i i 6.00 Slika 41: Izbrana armatura Figure 41: Reinforcement proposal 5000 Y<3- 2Q_ -5000 Z £ -10000 N -15000 -20000 -25000 0 50 50 00 150 00 200 X OBREMENITVI M [kNm] Slika 42: Interakcijski diagram z označenimi obremenitvami iz preglednice 12 Figure 42: Interaction diagram with loading from Table 12 0 Pri dimenzioniranju v globalni Y smeri upoštevamo prerez kot celoto (»T« - prerez). Pri tem moramo še upoštevati sodelujočo širino pasnice. Sodelujočo širino določimo v skladu s 5.4.3.4.1(4) (SIST EN 1998-1). Sodelujoča širina pasnice, merjena od lica stojine, je enaka najmanjši vrednosti od dejanske širine pasnice, polovične razdalje med sosednjima stojinama stene ali 25% celotne višine stene nad obravnavanim nivojem. Zadnji del določa, da se sodelujoča širina pasnice spreminja z višino, kar smo upoštevali pri dimenzioniranju. Pri interakcijskem diagramu upoštevamo minimalno armaturo iz predpisov (SISTN EN 1998-1, točka 5.4.3.4.2). Minimalna armatura je prikazana na sliki 41. Preglednica 13: Efektivna širina pasnice Table 13: Effective width of flange H [m] DEJANSKA ŠIRINA PASNICE [m] 25% VIŠINE NAD OBRAVNAVANIM NIVOJEM [m] EFEKTIVNA ŠIRINA [m] 0 6,0 6,00 6,00 3 6,0 5,25 5,25 6 6,0 4,50 4,50 9 6,0 3,75 3,75 12 6,0 3,00 3,00 15 6,0 2,25 2,25 18 6,0 1,50 1,50 21 6,0 0,75 0,75 3.00 o CM 1)7012-15 i i i i i i Q257-A 7012-15(1 i i i i i i o o o cd cnl II -£= od lo cn) T -£= T _£= ¥ 1 Q257-A CNJ S , 20 -?—?- Slika 43: Skica predpostavljene armature za dimenzioniranje v Y smeri z označenimi efektivnimi širinami Figure 43: Reinforcement proposal for design in Y dir with effective widths M [kNm] -100000 -50000 0 50000 100000 10000 0 -10000 f -20000 z -30000 -40000 -50000 -60000 O OBR. -h = 0 ........h = 3 -h = 6 ........h = 9 -h = 12 ........h = 15 -h = 18 ........h = 21 -h = 24 Slika 44: Interakcijski diagrami za prereze na različnih višinah z vrisanimi obremenitvami Figure 44: Interaction diagram for sections on different levels with loading 4.4.4 Dimenzioniranje »L« stene Podobno kot smo dimenzionirali »T« steno, smo dimenzionirali »L« steno. Upoštevali smo enoosni upogib z osno silo v globalnih smereh in dva nadomestna prereza za vsako smer. Hkrati smo umetno naredili oba prereza še simetrična. Prav tako smo upoštevali sodelujočo širino pasnice, ki se spreminja z višino. Preglednica 14: Računske vrednosti obremenitev M in N Table 14: Design values for M and N L - X L - Y OSNA SILA Višina [m] Moment [kNm] Moment [kNm] Nmin [kN] Nmax [kN] 0 1765 11612 -4552 -1767 3 1242 11612 -3986 -1511 6 1112 11612 -3352 -1316 9 981 11051 -2700 -1133 12 851 9599 -2058 -937 15 720 8148 -1442 -711 18 590 6696 -862 -446 21 460 5245 -321 -142 24 329 3793 -321 -142 o CO CT5 Slika 45: Nadomestni prerezi »L« stene za X in Y smer - dejanski in idealizirani Figure 45: »L« sections for X and Y direction - real / effective Slika 46: Nadomestni prerez s predpostavljeno armaturo za dimenzioniranje in vrisanimi efektivnimi širinami za globalno X smer Figure 46: Effective cross-section with design reinforcement, indicated effective widths for global X direction -15000 5000 0 -5000 -10000 -15000 -20000 -25000 -30000 -35000 X -10000 -5000 OBR h = 12 h = 0 h = 15 M [kNm] 0 5000 10000 h = 3 h = 18 ■h = 6 h = 21 15000 SBS swarm mm mm MŠI inn MM AM «1 aw 91 P^l BB W0K vS fcH S BfeS m MP BN S rA SS ■BR 9 S M SH ™ p|p 2d ME K giQ gri pp ma MB h = 9 h = 24 Slika 47: Interakcijski diagrami za prereze na različnih višinah z označenimi obremenitvami (globalna X smer) Figure 47: Interaction diagramm for effective cross-sections with loading (global X dir.) Slika 48: Računska armatura v »L« steni za Y smer z vrisanimi efektivnimi širinami pasnice za globalno Y smer Figure 48: Effective cross-section with design reinforcement, indicated effective widths for global Y direction -80000 -60000 -40000 -20000 0 20000 40000 60000 80000 10000 0 -10000 3 -20000 Z -30000 -40000 -50000 -h = 0 ........h = 15 -h = 18 ........h = 21 -h = 24 X OBR Slika 49: Interakcijski diagrami za prereze na različnih višinah z označenimi obremenitvami (globalna Y smer) Figure 49: Interaction diagramm for effective cross-sections with loading (global X dir.) m • V • 1 • % .*/ r • a w • K r * i • i k * \ v % ^ * \ • ^CT 1 1 * ' M • m M l • \ 1 • 1 * \ % v • m. •v- M • A ' • M • M M m • 1 • t • M M m • M [kNm] 4.4.5 Računske prečne sile - kontrola striga ob vpetju Za dokaz strižne odpornosti sten potrebujemo računske strižne sile. Predpisi za srednjo stopnjo duktilnosti (DCM) zahtevajo, da se računske sile, ki jih dobimo iz elastične analize, povečajo s faktorjem 1.5. Strižno nosilnost in potrebno armaturo določimo v skladu z 5.4.3.4.1(1)P, ki nas usmeri na SIST EN 1992-1-1:2004. Ker so stene šibko armirane, osne sile pa razmeroma majhne, predpostavimo, da je strižna nosilnost betona brez strižne armature nezadostna, zato celotno strižno silo v celoti prevzamemo s horizontalno armaturo, kot jo določa predpis. A VM sw >-Ed— (3.16) s 0.81wfyd Preglednica 15: Potrebna strižna armatura v prerezih sten ob vpetju Table 15: Shear reinforcement at base Stena / smer 0.8lw [cm] VEd [kN] As (cm2 / m) Dodatna armatura L-X 248 685 6.30 1012 / m / stran L-Y 784 1561 4.75 / T-X 480 1246 5.96 1010 / m / stran T-Y 784 1298 3.81 / 4.4.6 Kontrola lokalne duktilnosti elementov Ker smo v analizi upoštevali, da so konstrukcijski elementi duktilni (mišljena je duktilnost prereza), moramo njihovo duktilnost tudi dokazati. Poleg dokaza o duktilnosti prereza nas zanima tudi dolžina robnega elementa v stenah, katerega dolžino prav tako dobimo ob dokazu duktilnosti prereza. Kontrolirati moramo 4 različne prereze. Zanje je potrebno zagotoviti najmanj takšno duktilnost, kot jo zahteva člen 5.4.3.4.2(2) v (SIST EN 1998-1), kar pomeni m= 1 + 2(q-l)T^ T < Tc 1 (3.17) M Ed q = q0 — 0 MR, Pri stenah kontroliramo tudi dolžino robnega elementa. V računu odnosa med momentom in ukrivljenostjo prereza smo za beton upoštevali karakteristične vrednosti, kar sicer ni popolnoma v skladu s predpisi, vendar so rezultati na varni strani (Beg, Pogačnik, 2009 - stran 8-156). Privzamemo, da prerez doseže mejo tečenja, ko skrajna armaturna palica v prerezu doseže deformacijo na meji tečenja, ki znaša za jeklo e = 2.175%o. Na podlagi deformacij prereza se določi tudi potrebna dolžina robnega elementa lcr (slika 50), ki pa ne sme biti manjša od predpisane. Slika 50: Deformacija prereza in definicija dolžine robnega elementa lcr Figure 50: Strain distribution and boundary element length definition lcr Zahtevane duktilnosti so prikazane v preglednici 16, navedene pa so še ukrivljenosti na meji tečenja in na meji nosilnosti prereza, izračunana duktilnost in izračunana dolžina kritičnega elementa. Pri računu smo upoštevali največjo tlačno osno silo, ki nastopa v prerezu, saj tlačna osna sila zmanjšuje duktilnost prereza. Preglednica 16: Nosilnosti, zahtevane duktilnosti, obe ukrivljenosti, duktilnost prerezov in potrebne dolžine robnih elementov Table 16: Bearing capacity, ductility demand , curvature, calculated ductility, boundary element lenghts Stena / smer MRd [kNm] ^•zahtevan ktečenje X 103 [1/m] kmejni X 10"3 [1/m] ^-dejanski lcr [m] T - x 11530 2.78 0.5514 2.855 5.17 0.53 < lmin T - y 54537 0.361 0.3201 5.2178 5.22 121< lmin L - x 10743 -1.231 1.0850 1.8113 1.67 0.83 > lmin L - y 41779 0.201 0.3035 1.5277 5.03 0.98 < lmin 'Zahtevana duktilnost je manjša od 1 ali celo negativna in je zato nesmiselna! Pri izračunu zahtevane duktilnosti so se pojavili nesmisli, npr. zahtevana duktilnost iz (3.17) je manjša od 1 ali celo negativna. Pri »L« steni je bilo potrebno v globalni X smeri podaljšati robni element iz minimalnih 60 cm na 90 cm. Pri vseh ostalih prerezih niso bilo potrebne nobene spremembe in so minimalne zahtevane dimenzije za robne elemente zadoščale. 4.4.7 Skice armature v stenah Ker je bila v računih izbrana minimalna armatura, se le-ta po višini ne spreminja. Dopustna so skrajšanja robnih elementov nad kritičnim območjem na minimalno dolžino, ki jo zahtevajo predpisi. 9.80 -j C> Y Slika 51: Vertikalna armatura »L« stene Figure 51: Reinforcement sketch of »L« wall L_6J00_, , 2.90 2.90 Figure 52: Reinforcement sketch of »T« wall T) 7(812-15 M 7)08-10 \T\ Q257-A r-rCD2012"15 7012-15 M, -10(7 c i v c i j i m c : r: i:J C (4)008,1 4)08-10 6.00 H4 L=2.34m 08-10(4 Pos. 4 {T| Q257-A 0 to 01 © 0 -16- KŠ> Slika 53: Armatura v »T« steni - prerez ob vpetju Figure 53: Reinforcement in »T« wall at base point 4 )O08,L=1.74m 63- 7 )O0B,L=1.18m -35- 3.10 4108-101 | ^5012-15 7)08-10 m 6)08-10 M Q257-A 6 ) O08,L=O.3Om '07012-15 3^) O08,L=2.34m ■Q] Q2B7-A O oq CT) 20 -16- 2*0) 11012-15 Slika 54: Armatura v »L« steni - prerez ob vpetju Figure 54: Reinforcement in »T« wall at base point 5 LINEARNA DINAMIČNA ANALIZA Kot smo že zapisali, je linearna dinamična analiza uporabna, dokler ostanejo elementi pretežno v elastičnem območju (dokler ne pride do tečenja armature ali strižne porušitve), tj. pri šibkejših potresih. Rezultati linearne dinamične so dobljeni z akcelerogrami iz poglavja 3.6, pri čemer smo upoštevali kombinacije smeri, ki so prikazane na sliki 18. Prikazani rezultati veljajo za masno središče v posamezni etaži, v kolikor ni navedeno drugače. Prikazane so ovojnice srednjih vrednosti pomikov konstrukcije z odstopanji (slika 55) in ovojnice srednjih vrednosti etažnih zamikov ter njihova odstopanja (slika 56). Za primerjavo so v obeh primerih dodane vrednosti pomikov iz modalne analize s spektri odziva (slika 16). X- smer Y - smer ca 5 'S W 4 ■ J mean+o 1 mean J mean-o * Mod. an. 9 r 8* 76* 5 >N CÖ W 4 3 2 1 0L -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 -0.01 0 0.01 0.02 Pomik |ml Pomik |ml Slika 55: Pomiki konstrukcije v X smeri (levo) in Y smeri (desno) Figure 55: Displacements in X dir. (left) and Y dir. (right) X - smer Y - smer 8 7 6 5 =3 >N 04 3 2 1 0 mean+o ^ ~ mean i-1 I_I mean-o W 4 -3 -2 -1 0 1 Etažni pomik [m] -2 0 2 Etažni pomik [m] x 10 Slika 56: Etažni pomiki - X smer (levo) in Y smer (desno) Figure 56: Story displacements - X dir. (left) and Y dir. (right) x 10 2 3 4 Pri linearni analizi časovnega odziva so prikazani tudi normirani pomiki vseh 8 kombinacij delovanja potresa na vrhu konstrukcije za obe smeri. Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 CM SET2-X Pcdajni r. TH ■ mean mean+o mean-o 2 1.8 1.6 S 1.4 ^1.2 1 0.8 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Podajni r. Togi r. Podajni r. Podajni r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Togi r. TH ■ mean mean+o / mean-o / __i___ i - - / . Podajni r. S 1.4 ^1.2 1 0.8 Togi r. Podajni r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Togi r. CM SET8-X Podajni r. 2 1.8 1.6 S 1.4 jf 3 1.2 1 0.8 -TH "mean mean+o mean-o Togi r. Slika 57: Normirani pomiki v X-smeri na vrhu konstrukcije, dobljeni z elastično analizo časovnega odziva za posamezne kombinacije potresov Figure 57: Torsional effects in terms of normalized top displacements in X dir. obtained by elastic time history analysis for different sets of aceelerograms SET1-X SET5-X SET6-X SET3-X SET7-X 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. CM SET2-Y Podajni r. 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 s 14 O ■i 1.2 1 0.8 Togi r. Podajni r. 2 1.8 1.6 s 14 o 13 = 1.2 1 0.8 Podajni r. Togi r. Podajni r. 2 1.8 1.6 s 14 o 13 = 1.2 1 0.8 Podajni r. 2 1.8 1.6 s 14 o 13 = 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. Podajni r. V" -----TH ^^^ mean mean+o mean-o _ ^ XX_________ Togi r. Podajni r. Togi r. Podajni r. SET1-Y SET5-Y SET7-Y SET8-Y Slika 58: Normirani pomiki na vrhu konstrukcije v Y-smeri, dobljeni z elastično analizo časovnega odziva za posamezne kombinacije potresov Figure 58: Torsional effects in terms of normalized top displacements in Y dir. obtained by elastic time history analysis for different sets of accelerograms Naredili smo tudi primerjavo normiranih pomikov na vrhu konstrukcije za posamezne potrese za 8 kombinacij smeri delovanja potresov (S). 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Togi r. U/IX„ - X - POTR.1 U/IX„ - X - POTR.3 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 U/UCM - X - POTR9 4- -1 1 ------1----------- 1 1 r " i 4~ 1 Podajni r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Togi r. Podajni r. Slika 59: Normirani pomiki na vrhu konstrukcije v X-smeri, dobljeni z elastično analizo časovnega odziva za posamezne potrese Figure 59: Torsional effects in terms of normalized top displacements in X dir. obtained by elastic time history analysis for individual accelerograms UCM - X - POTR2 U/UCM - X - POTR4 U/UCM - X - POTR5 Togi r. CM Podajni r. Togi r. CM Podajni r. Slika 60: Normirani pomiki na vrhu konstrukcije v Y-smeri, dobljeni z elastično analizo časovnega odziva za posamezne potrese Figure 60: Torsional effects in terms of normalized top displacements in Y dir. obtained by elastic time history analysis for individual accelerograms 6 MODELIRANJE ZA NELINEARNO ANALIZO Za analizo konstrukcije z N2 metodo in z nelinearno dinamično analizo potrebujemo računski model, ki zna opisati nelinearno obnašanje. Obstaja več načinov implementacije materialne nelinearnosti v računske modele, ta pa je odvisna od uporabljenega programa. V našem primeru, kjer smo uporabili program SAP2000, smo uporabili možnost, da elastičnemu 3D elementu na obeh konceh podamo plastične členke, katerih lastnosti (meja tečenja, plastična rotacija) izračunamo sami. 6.1 Priprava modela Kot je bilo že omenjeno, smo pri neelastičnih modelih vezani na možnosti, ki nam jih ponuja program, s katerim nameravamo analizirati konstrukcijo. Program SAP2000 omogoča uporabo elastičnega končnega elementa, kakršnega smo uporabili za elastično analizo, z dodanim plastičnim členkom na poljubnem mestu. Uporabljeni plastični členek je razvezan členek, kar pomeni, da nima interakcije med upogibnim momentom, prečno in osno silo. Program sicer dopušča poljubno število plastičnih členkov v linijskem elementu, vendar smo v našem računskem modelu na vsakem koncu elastičnega elementa uporabili le po dva plastična členka za oba lokalna upogibna momenta (MY in MZ). Za naš računski model smo uporabili nesimetrične karakteristike plastičnega členka. Ovojnica je prikazana na sliki 61. Karakteristične točke ovojnice so moment na meji tečenja (Myield), »mejna rotacija« (uporabljena je enačba za plastični del mejne rotacije (fpl) po Evrokodu 8-3) in rotacija pri porušitvi, za katero smo predpostavili, da se zgodi pri trikratni mejni rotaciji. Mejna rotacija predstavlja rotacijo, pri kateri nosilnost prične padati, rotacija pri porušitvi pa rotacijo, pri kateri nosilnost členka pade na nič. Upoštevane so samo plastične rotacije, elastični del rotacije je vključen v osnovni elastični del elementa. V vseh analizah smo predpostavili, da imajo vsi elementi zadostno strižno nosilnost, tako, da ostanejo v elastičnem območju. M • -My,« Slika 61: Ovojnica plastičnega členka Figure 61: Hinge backbone Momente na meji tečenja smo določiti s programom INCA2, za izračun mejnih rotacij pa smo uporabili enačbo A.3 iz (SIST EN 1998-3). 0P> = — 0.0145 •( 0.25v) gel V ! max(0.01;W) max(0.01; w) 0.3 • f ■0.2 Ll h -0.35 25 aPsx •(l.275100rd) (3.18) gel = 1.5 - konstanta za primarne elemente h - višina prereza LV = M/V; strižno razmerje dobljeno iz elastične analize v = normirana osna sila (tlak je pozitiven) w in W sta mehanska deleža armature fc in fyw sta tlačna trdnost betona in meja plastičnosti jekla v MPa rsx - delež stremenske armature a - faktor učinkovitosti objetja rd - delež diagonalne armature Pri vseh izračunih smo upoštevali: fc - 25 MPa; fyw - 500 MPa; pd = 0 - nikjer ne uporabimo diagonalne armature 6.2 Greda Pri izvrednotenju izraza (3.18) smo za gredo upoštevali njen celoten prerez. Faktor objetja je bil izračunan na podlagi skice armature (slika 36). Osna sila v gredah ne nastopa, zato je normirana osna sila v enaka 0. Ker je armatura simetrična, je tudi vrednost razmerja med mehanskima vrednostnima natezne in tlačne armature enaka 1. Diagonalnih armaturnih palic v gredah ni. Pri računu strižnega razmerja (LV) je bila upoštevana polovična dolžina grede. Preglednica 17: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija za gredo in moment na meji tečenja Table 17: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for beam A [m2] As [cm2] As' [cm2] w ' Lv [m] h [m] Lv/h a px 9pi [rad] M [kNm] 0.11 8.04 0.1462 8.04 0.1462 0.65 0.55 1.2 0.358 0.006 0.0228 163.5 6.3 »T« stena T steno smo v X smeri obravnavali kot pravokotnik. Za delež tlačne oz. natezne armature smo določili območje robnega elementa. Armatura v stojini ni bila upoštevana. S to predpostavko je člen, ki upošteva razmerje med tlačno in natezno armaturo, vedno enak 1 po celotni višini. Pri normiranju osne sile smo upoštevali silo iz kombinacije G+0.3Q. Upoštevali smo samo delni prerez, ki znaša 1.2m2 (slika 62 levo ). Prav tako smo v računu osno silo pomnožili z razmerjem med površino delnega prereza in celotnega prereza (0.385). m ■! ■ C I n Slika 62: Skici upoštevane armature za X in Y smer Figure 62: Effective reinforcement for bending in X and Y direction Preglednica 18: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »T« steno - X smer Table 18: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »T« wall - X dir. h [m] gel A [m2] N [kN] V As [cm2] w As' [cm2] w ' Lv [m] H [m] Lv/h a px 9pi [rad] M [kNm] 0 1.5 1.2 4920 0.095 15.82 0.026 15.82 0.026 24 6 4.0 0.227 0.005 0.0169 9347 3 1.5 1.2 4268 0.082 15.82 0.026 15.82 0.026 21 6 3.5 0.227 0.005 0.0164 8757 6 1.5 1.2 3620 0.070 15.82 0.026 15.82 0.026 18 6 3.0 0.165 0.003 0.0153 8269 9 1.5 1.2 2974 0.057 15.82 0.026 15.82 0.026 15 6 2.5 0.165 0.003 0.0146 7885 12 1.5 1.2 2330 0.045 15.82 0.026 15.82 0.026 12 6 2.0 0.165 0.003 0.0137 7221 15 1.5 1.2 1688 0.032 15.82 0.026 15.82 0.026 9 6 1.5 0.165 0.003 0.0126 6482 18 1.5 1.2 1047 0.020 15.82 0.026 15.82 0.026 6 6 1.0 0.165 0.003 0.0111 5733 21 1.5 1.2 407 0.008 15.82 0.026 15.82 0.026 3 6 0.5 0.165 0.003 0.0089 5059 V globalni Y smeri je bil upoštevan celoten prerez. Za tlačno/natezno armaturo smo upoštevali armaturo robnega elementa v stojini (L = 1.50 m) in na drugi strani smo upoštevali celotno armaturo pasnice (slika 62, desno). Pri stremenski armaturi je bila upoštevana stremenska armatura okoli objetega robnega elementa. Preglednica 19: Vhodi podatki za izraz (3.18) , plastična rotacija in moment na meji tečenja za »T« steno - Y »+« smer Table 19: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »T« wall - Y »+« dir. h [m] gel A [m2] N [kN] V As [cm2] w As' [cm2] w ' Lv [m] H [m] Lv/h a px 9pi [rad] M [kNm] 0 1.5 3.12 4920 0.095 52.71 0.034 24.86 0.016 24 9.8 2.4 0.187 0.005 0.0176 28717 3 1.5 3.12 4268 0.082 52.71 0.034 24.86 0.016 21 9.8 2.1 0.187 0.005 0.0171 26861 6 1.5 3.12 3620 0.070 52.71 0.034 24.86 0.016 18 9.8 1.8 0.143 0.003 0.0160 25014 9 1.5 3.12 2974 0.057 52.71 0.034 24.86 0.016 15 9.8 1.5 0.143 0.003 0.0152 23170 12 1.5 3.12 2330 0.045 52.71 0.034 24.86 0.016 12 9.8 1.2 0.143 0.003 0.0143 21329 se nadaljuje ... nadaljevanje Preglednice 19 [m] Yel A [m2] N [kN] V As [cm2] w As' [cm2] w ' Lv [m] H [m] Lv/h a px 9pi [rad] M [kNm] 15 1.5 3.12 1688 0.032 52.71 0.034 24.86 0.016 9 9.8 0.9 0.143 0.003 0.0132 19491 18 1.5 3.12 1047 0.020 52.71 0.034 24.86 0.016 6 9.8 0.6 0.143 0.003 0.0116 17655 21 1.5 3.12 407 0.008 52.71 0.034 24.86 0.016 3 9.8 0.3 0.143 0.003 0.0093 15820 Preglednica 20: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »T« steno - Y »-« smer Table 20: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »T« wall - Y »-« dir. h [m] Yel A [m2] N [kN] V As [cm2] w As' [cm2] w ' Lv [m] H [m] Lv/h a px 9pi [rad] M [kNm] 0 1.5 3.12 4920 0.095 24.86 0.016 52.71 0.034 24 9.8 2.4 0.397 0.005 0.0120 53929 3 1.5 3.12 4268 0.082 24.86 0.016 52.71 0.034 21 9.8 2.1 0.397 0.005 0.0117 51492 6 1.5 3.12 3620 0.070 24.86 0.016 52.71 0.034 18 9.8 1.8 0.302 0.003 0.0105 46995 9 1.5 3.12 2974 0.057 24.86 0.016 52.71 0.034 15 9.8 1.5 0.302 0.003 0.0100 43874 12 1.5 3.12 2330 0.045 24.86 0.016 52.71 0.034 12 9.8 1.2 0.302 0.003 0.0094 41498 15 1.5 3.12 1688 0.032 24.86 0.016 52.71 0.034 9 9.8 0.9 0.302 0.003 0.0087 36516 18 1.5 3.12 1047 0.020 24.86 0.016 52.71 0.034 6 9.8 0.6 0.302 0.003 0.0077 32811 21 1.5 3.12 407 0.008 24.86 0.016 52.71 0.034 3 9.8 0.3 0.302 0.003 0.0061 30861 6.4 »L« stena V globalni X smeri smo za »L« steno upoštevali njen celoten prerez. Za njeno višino smo upoštevali dolžino v izbrani smeri (3.10 m). Za natezno/tlačno armaturo v stojini smo upoštevali armaturo robnega elementa. V pasnici smo upoštevali celotno armaturo (robni element in mreža). V Y smeri smo prav tako upoštevali celoten prerez stene. Upoštevana armatura v stojini je bila samo tista iz robnega elementa, v pasnici pa smo upoštevali celotno armaturo (robni element in armaturna mreža). Enako kot pri »T« steni smo za delež stremenske armature upoštevali samo armaturo v robnih elementih. I Slika 63: Skici upoštevane armature za X in Y smer Figure 63: Effective reinfrocement for bending in X and Y direction Preglednica 21: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »L« steno - X »+« smer Table 21: Input data for eq. (3. 18), plastic rotation and yield moments for »L« wall - X »+« dir. h [m] gel A [m2] N [kN] V As [cm2] w As' [cm2] w ' Lv [m] H [m] Lv/h a rx qpl [rad] M [kNm] 0 1.5 2.54 3159 0.075 75.22 0.059 24.86 0.020 24 3.1 7.74 0.278 0.005 0.0311 1830 3 1.5 2.54 2784 0.066 75.22 0.059 24.86 0.020 21 3.1 6.77 0.278 0.005 0.0300 1764 6 1.5 2.54 2333 0.055 75.22 0.059 24.86 0.020 18 3.1 5.81 0.212 0.003 0.0275 1698 9 1.5 2.54 1916 0.045 75.22 0.059 24.86 0.020 15 3.1 4.84 0.212 0.003 0.0261 1632 12 1.5 2.54 1497 0.035 75.22 0.059 24.86 0.020 12 3.1 3.87 0.212 0.003 0.0245 1566 15 1.5 2.54 1076 0.025 75.22 0.059 24.86 0.020 9 3.1 2.90 0.212 0.003 0.0225 1500 18 1.5 2.54 654 0.015 75.22 0.059 24.86 0.020 6 3.1 1.94 0.212 0.003 0.0198 1433 21 1.5 2.54 231 0.005 75.22 0.059 24.86 0.020 3 3.1 0.97 0.212 0.003 0.0157 1367 Preglednica 22: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »L« steno - X »-« smer Table 22: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »L« wall - X »-« dir. h [m] gel A [m2] N [kN] v As [cm2] w As' [cm2] w ' Lv [m] H [m] Lv/h a rx qpl [rad] M [kNm] 0 1.5 2.54 3159 0.075 24.86 0.020 75.22 0.059 24 3.1 7.74 0.278 0.005 0.0167 11328 3 1.5 2.54 2784 0.066 24.86 0.020 75.22 0.059 21 3.1 6.77 0.278 0.005 0.0162 11127 6 1.5 2.54 2333 0.055 24.86 0.020 75.22 0.059 18 3.1 5.81 0.212 0.003 0.0143 10890 9 1.5 2.54 1916 0.045 24.86 0.020 75.22 0.059 15 3.1 4.84 0.212 0.003 0.0136 10102 12 1.5 2.54 1497 0.035 24.86 0.020 75.22 0.059 12 3.1 3.87 0.212 0.003 0.0128 9206 15 1.5 2.54 1076 0.025 24.86 0.020 75.22 0.059 9 3.1 2.90 0.212 0.003 0.0117 8457 18 1.5 2.54 654 0.015 24.86 0.020 75.22 0.059 6 3.1 1.94 0.212 0.003 0.0103 7859 21 1.5 2.54 231 0.005 24.86 0.020 75.22 0.059 3 3.1 0.97 0.212 0.003 0.0082 7400 Preglednica 23: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »L« steno - Y »+« smer Table 23: Input data for eq. (3. 18), plastic rotation and yield moments for »L« wall - Y »+« dir. h [m] gel A [m2] N [kN] V As [cm2] w As' [cm2] w ' Lv [m] H [m] Lv/h a rx qpl [rad] M [kNm] 0 1.5 2.54 3159 0.075 35.09 0.028 24.86 0.020 24 9.8 2.4 0.397 0.005 0.0172 20879 3 1.5 2.54 2784 0.066 35.09 0.028 24.86 0.020 21 9.8 2.1 0.397 0.005 0.0166 20023 6 1.5 2.54 2333 0.055 35.09 0.028 24.86 0.020 18 9.8 1.8 0.302 0.003 0.0149 19172 9 1.5 2.54 1916 0.045 35.09 0.028 24.86 0.020 15 9.8 1.5 0.302 0.003 0.0141 18322 12 1.5 2.54 1497 0.035 35.09 0.028 24.86 0.020 12 9.8 1.2 0.302 0.003 0.0133 17474 15 1.5 2.54 1076 0.025 35.09 0.028 24.86 0.020 9 9.8 0.9 0.302 0.003 0.0122 16629 18 1.5 2.54 654 0.015 35.09 0.028 24.86 0.020 6 9.8 0.6 0.302 0.003 0.0107 15783 21 1.5 2.54 231 0.005 35.09 0.028 24.86 0.020 3 9.8 0.3 0.302 0.003 0.0085 14940 Preglednica 24: Vhodni podatki za izraz (3.18), plastična rotacija in moment na meji tečenja za »L« steno - Y »-« smer Table 24: Input data for eq. (3.18), plastic rotation and yield moments for »L« wall - Y »-« dir. h [m] gel A [m2] N [kN] V As [cm2] w As' [cm2] w ' Lv [m] H [m] Lv/h a px 9pl [rad] M [kNm] 0 1.5 2.54 3159 0.075 24.86 0.020 35.09 0.028 24 9.8 2.4 0.397 0.005 0,0140 30363 3 1.5 2.54 2784 0.066 24.86 0.020 35.09 0.028 21 9.8 2.1 0.397 0.005 0,0135 29336 6 1.5 2.54 2333 0.055 24.86 0.020 35.09 0.028 18 9.8 1.8 0.302 0.003 0,0121 28526 9 1.5 2.54 1916 0.045 24.86 0.020 35.09 0.028 15 9.8 1.5 0.302 0.003 0,0115 27948 12 1.5 2.54 1497 0.035 24.86 0.020 35.09 0.028 12 9.8 1.2 0.302 0.003 0,0108 27236 15 1.5 2.54 1076 0.025 24.86 0.020 35.09 0.028 9 9.8 0.9 0.302 0.003 0,0099 25339 18 1.5 2.54 654 0.015 24.86 0.020 35.09 0.028 6 9.8 0.6 0.302 0.003 0,0087 23425 21 1.5 2.54 231 0.005 24.86 0.020 35.09 0.028 3 9.8 0.3 0.302 0.003 0,0069 21612 7 N2 METODA Osnovne ideje in principi N2 metode so zapisani v poglavju 2.3 skupaj z vsemi pomembnimi zvezami med količinami, ki jih potrebujemo za analizo. Obravnavano konstrukcijo smo analizirali v obeh pravokotnih smereh. Razporeditev horizontalne obtežbe po višini je določena v EC8, točka 4.3.3.4.2.2, ki zahteva najmanj dve razporeditvi po višini. Ena je »enakomerna« razporeditev, kjer so horizontalne sile v etaži sorazmerne masam, ne glede na višino, kar ustreza enakomerni porazdelitvi pospeškov. Druga razporeditev je t.i. »modalna« razporeditev, kjer so vodoravne sile sorazmerne produktu mase in normiranega prvega lastnega vektorja nihajne oblike v izbrani smeri. Horizontalne sile morajo delovati v masnih središčih ob upoštevanju 5% masne ekscentričnosti. Preglednica 25: Vektor pomikov, normirani vektor pomikov (iz analize lastnega nihanja), produkt normiranih pomikov in mase za obe smeri Table 25: Displacement shape vector, normalized displacement shape, product of mass and normalized displacements for both directions X-SMER Y-SMER h [m] Fmod Fnorm m X F m X F 2 Fmod Fnorm m X F m X F 2 3 0.00186 0.10 68.1 6.8 0.00094 0.05 34.8 1.8 6 0.00460 0.25 168.8 41.6 0.00255 0.14 94.5 13.0 9 0.00765 0.41 280.7 115.0 0.00469 0.25 173.5 44.0 12 0.01065 0.57 390.7 222.9 0.00720 0.39 266.7 103.9 15 0.01337 0.72 490.3 351.0 0.00996 0.54 368.8 198.6 18 0.01565 0.84 574.0 480.9 0.01283 0.69 475.1 329.5 21 0.01741 0.93 638.7 595.6 0.01571 0.85 581.5 493.7 24 0.01867 1.00 685.0 685.0 0.01850 1.00 685.0 685.0 S kurzivno pisavo so označene vrednosti, ki so uporabljene za »modalno« razporeditev sil pri nelinearni statični analizi. 8 7 6 « 5 >N J Ct W 4 3 2 1 582 475 369 267 174 95 5 68 281 69 391 574 490 63 685 Y X 0 100 200 300 400 500 600 700 Sila [kN] Slika 64: Razporeditev sil za razporeditev po prvi nihajni obliki za X in Y smer Figure 64: Loading pattern for X and Y direction ) 7.1 Analiza v X smeri Efektivna masa m* je, pri čemer upoštevamo maso 685t v vsaki etaži: m* = £ mpi = 3296.3t Faktor transformacije G (enačba (2.27)) znaša: r=n^ = 32963 = £ mp] 2498.8 Nosilnost ekvivalentnega sistema z eno prostostno stopnjo je (F*): F * = F = 14566kN = 11043kN r 1.32 F - nosilnost sistema z več prostostnimi stopnjami, ki jo odčitamo iz potisne krivulje (slika 65), kjer upoštevamo krivuljo z oznako PEXPOZM, ki izkazuje najnižjo nosilnost. Z -i v a > -D O « i« 20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 —PCXPOZ —PCXNEG PEXPOZ PEXNEG —PCXPOZM —PCXNEGM PEXPOZM + PEXNEGM -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 Pomik na vrhu [m] Slika 65: Potisne krivulje za X smer Figure 65: Pushover curves in X dir. Krivulje kapacitet, ki smo jih dobili pri nelinearni statični analizi, so označene po naslednjem ključu: druga črka C/E označuje centrično/ekscentrično tretja črka X/Y označuje smer sklop POZ/NEG označuje pozitivno/negativno smer dodatna črka M označuje, da gre za »modalno« razporeditev sil Razlika med pozitivno in negativno smerjo je tako majhna, da je na sliki 65 ni moč opaziti. Pomik na meji tečenja za sistem z eno prostostno stopnjo (enačba SIST EN 1998-1, B.6): d;=2 ( E ^ dm- EFm v j ( 287.88 1 = 21 0.031--I = 0.011m V 11034 J Em* - površina pod diagramom pomik-sila dm* - pomik definiran v sliki B1 v EC8-1 za SDOF sistem (upoštevamo pomik, ki sovpada z največjo nosilnostjo). 15000 g 10000 -O o ca S 5000 0 0 Pushover - MDOF Pushover - SDOF Idealizacija - MDOF Idealizacija - SDOF tocka dm - MDOF tocka dm - SDOF pomik - MDOF pomik - SDOF 0.05 0.25 0.3 0.1 0.15 0.2 Pomik na vrhu (m) Slika 66: Idealizacija diagrama sila - pomik za X - smer Figure 66: Pushover curves and bilinear idealizations for loading in X dir. Nihajni čas SDOF konstrukcije: T = 2k. * j* i m d* 3290kg■ 0.011m _ -y = 2k. -^-— = 0.36s F ' y 11034kgms -2 Kapaciteta konstrukcije Sa=F/m; S, = 5*= 1103M = 0.34 g a * m 3290t Potresne obremenitve SDOF modela Redukcijski faktor Rm znaša: S, = 071 = 2.1 m S 0.34 Redukcijski faktor Rm je enak razmerju med vrednostjo iz elastičnega spektra pospeškov, izračunanem pri nihajnem času T in vrednostjo neelastičnega pospeška. Faktor duktilnosti (enačba (2.35)) m 1+(R.-1) f 1 + (2.1 -1) 0.6 0.36 2.83 O 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 Sđ(m) Slika 67: Primerjava zahtev potresa in kapacitete konstrukcije Figure 67: Elastic and inelastic demand spectra and capacity curve Elastični pomik SDOF konstrukcije: Sde = ( T* 2 A v 4p j Sae • g = ( 0362 A v4p y • 0.72 • g = 0.023m Neelastični pomik SDOF konstrukcije tako znaša (upoštevamo, da je nihajni čas SDOF konstrukcije manjši od TC) po enačbi (2.36): S 0 023 S. = ^ m = __£_2.83 = 0.031m d R,, 2.10 Če želimo dobiti pomik na MDOF sistemu moramo pomik pretvoriti s faktorjem transformacije G Pomik MDOF sistema tako znaša 0.031mX1.32 = 0.041m. Lokalne obremenitve konstrukcijskih elementov pri prej izračunanem pomiku so približno enake tistim, ki bi nastale, če bi na konstrukcijo deloval potres (takšen, ki ustreza spektru iz EC8). 16000 5 4 n B 6 -PEXPOZM I4000 f \ 7 . ciljni pomik 12000 T 3 --• El. proj. sila - 10000 ' ^ '""8000 >V 6000 ' 4000 2000 0 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 Pomik [m] Slika 68: Diagram sila - pomik z vrisanimi stanji konstrukcije Figure 68: Pushover curve with indicated structure's states Na sliki 68 je prikazan diagram sila-pomik (potisna krivulja), na katerem so vrisane pomembnejše točke, ki prikazujejo spremembe stanja plastičnih členkov. Stanja plastičnih členkov v nosilnih elementih so prikazana v preglednici 26 (črni krogi pomenijo plastifikacijo členka, trikotniki pa odpoved členka - porušitev). Številke točk sprememb stanja plastičnih členkov v sliki 68 se nanašajo na posamezne slike v preglednici 26. Stanje plastičnih členkov pri ciljnem pomiku je prikazano v preglednici 26, slika točke - 5. Plastificirane so vse stene ob vpetju, prišlo pa je tudi do upogibne odpovedi nekaterih gred. Zaradi dimenzioniranja gred na strižne sile pri mejnem momentu ne more priti do strižne odpovedi gred. Tudi sicer sama odpoved gred za konstrukcijo ni kritična, saj gre le za lokalno odpoved in ne za odpoved celotne konstrukcije. 5 J* 1 1 1 1 1 4 4 6 -PEXPOZM • Ciljni pomik • El. proj. sila - 3 7 1 J 8 i 9 Preglednica 26: Plastifikacije elementov, pri čemer se točke sklicujejo na sliko 68 Table 26: Yielding of elements with reference to Figure 68 Pomen oznak: • - plastifikacija členka; ▲ - presežena mejna rotacija členka 7.2 Analiza v Y smeri Postopek je analogen tistemu iz točke 6.1. Efektivna masa m*, pri čemer upoštevamo maso 685t v vsaki etaži, je: m* = Z m101 = 2680t Faktor transformacije G (enačba (2.27)) znaša: r m * 2680 Z mF 1869 1.43 35000 30000 25000 20000 a > 10000 5000 \ -S ---- —i L— — t 0 -0,40 -0,30 -0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 Pomik [m] -PCYPOZ ----PCYPOZM -PCYNEG ----PCYNEGM -PEYPOZ ----PEYPOZM -PEYNEG ----PEYNEGM Slika 69: Potisne krivulje za Y smer Figure 69: Pushover curves in Y dir. Izmed potisnih krivulj smo izbrali tisto z najmanjšo nosilnostjo (PEYNEGM). Nosilnost sistema z več prostostnimi stopnjami smo določiti iterativno z idealizacijo potisne krivulje. Nosilnost ekvivalentnega sistema z eno prostostno stopnjo je (F*): F* = F = 21525kN = 15053kN G 1.43 F - nosilnost sistema z več prostostnimi stopnjami. Pomik na meji tečenja za sistem z eno prostostno stopnjo (enačba SIST EN 1998-1, B.6), znaša: d* = 2 ( E ^ d * m m r-* Fy J ( 173.22 ) 21 0.0170--I = 0.011m I 15053 J v15000 Em* - površina pod diagramom pomik-sila dm* - pomik na meji tečenja za SDOF sistem; Na sliki 70 je prikazana idealizacija diagrama sila - pomik (Y - smer) 2.5 r x 10 £ 1.5 o > -O o C3 0.5 0 0.05 - Pushover - MDOF Pushover - SDOF Idealizacija - MDOF Idealizacija - SDOF tocka dm - MDOF tocka dm - SDOF pomik - MDOF pomik - SDOF 0.1 0.15 0.2 Pomik na vrhu (m) 0.25 0.3 Slika 70: Idealizacija diagrama sila - pomik (Y - smer) Figure 70: Pushover curves and bilinear idealizations for loading in Y dir. Nihajni čas SDOF konstrukcije v Y smeri znaša: T = 2p \ * i* i md, = 2p 2680kg■ °.°11m = 0.278s F * ' y 15053kgms -2 Kapaciteta konstrukcije Sa=F/m; s.=^ 1505M=0.57 g a * m 2680? Potresne obremenitve SDOF modela Redukcijski faktor Rm znaša: Se = 0718 = 1.26 m S 0.57 Redukcijski faktor Rm je enak razmerju med vrednostjo iz elastičnega spektra pospeškov, izračunanem pri nihajnem času T* in vrednostjo neelastičnega pospeška. 2 1 Faktor duktilnosti (enačba (2.35)): m 1 + (R 1) Ic. ] = + (1.26 -1)-06- ] = 1.56 m ' T j I V ; 0.278 j Slika 71: Diagram kapacitete konstrukcije Figure 71: Elastic and inelastic demand spectra and capacity curve Elastični pomik SDOF konstrukcije: S de = f t*2 V 4K j ■ S ■ g = ae o f 0.2782 ^ 0.718 ■ g = 0.014m Neelastični pomik SDOF konstrukcije tako znaša (upoštevamo enačbo (2.36)): Sd = m = °^1.56 = 0.017m d R.. 1.26 Če želimo dobiti pomik na MDOF sistemu, moramo pomik pretvoriti s faktorjem transformacije r. Pomik MDOF sistema tako znaša 0.017mX1.43 = 0.025m . Lokalne obremenitve konstrukcijskih elementov pri prej izračunanem pomiku so približno enake tistim, ki bi nastale, če bi na konstrukcijo deloval potres (takšen, ki ustreza spektru iz EC8). 25000 20000 — 15000 .2 ^ 10000 5000 0 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 Pomik [m] Slika 72: Diagram sila - pomik z vrisanimi stanji konstrukcije Figure 72: Pushover curve with indicated structure's states Na sliki 72 je prikazan diagram sila-pomik (potisna krivulja), na katerem so vrisane pomembnejše točke, ki prikazujejo spremembe stanja plastičnih členkov. Stanja plastičnih členkov v nosilnih elementih so prikazana v preglednici 27 (črni krogi pomenijo plastifikacijo členka, trikotniki pa odpoved členka - porušitev). Številke točk sprememb stanja plastičnih členkov v sliki 72 se nanašajo na posamezne slike v preglednicah 27. Stanje plastičnih členkov pri ciljnem pomiku je prikazano v preglednici 27 na sliki, ki ustreza točki 6. Plastifikacija se pojavi ob vpetju sten na podajnem robu in še širi proti togemu robu. V preglednici 27 je pogled na stene v Y smeri (pravokotno na os 1 in 2), s prikazanimi stanji plastičnih členkov. Preglednica 27: Plastifikacije elementov, pri čemer se točke nanašajo na sliko 72 Table 27: Yielding of elements with reference to Figure 72 Točka 1 OS 2 Točka 2 OS2 Točka 3 OS 2 ) ) ) > ) ) > 5-( i-( >-1 -€ -1 1-1 i-1 )-< -1 -1 1- i-* > ( i-1 > < >-( > < -< C -1 < ) > < > i OSL > < 1 1 ( < i OSI > 1 I > > < > < > < 1 1 ► < > i > i 1 i Točka 4 OS 2 Točka 5 OS2 Točka 6 0S2 c c * 1 < c < > OSI i ) > 4 OSI 1 1 > t OSI ( ( C t i > < 1 I Točka 7 OS 2 Točka 8 OS 2 Točka 9 OS 2 i i i i i ) » t i OSI t 1 1 i OSI OSI i-1 i- >- 1-« >-< i i i ( J 1-« )-( > > 1 i 1 i i i Pomen oznak: • - plastifikacija č enka; ▲ - presežena mejna rotacija v členku ... se nadaljuje .. nadaljevanje Preglednice 27 Točka 10 OS 2 Točka 11 OS 2 Točka 12 OS 2 ( ( ( ( ( ( ( 1 ( ( ( ( ( ( ( ( i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i > i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i > < i-1 i < i-1 > < i-1 i i i-1 1-< P > < i-1 i ( i-1 1-< P > < i-1 i ( i-1 1-( P > ( 1 1 i i OSI i i k * > 1 i i i t OSI i A k 4 > < i ( i-( i i i < OSI i-1 L. J >-< k 1 1 i >-1 i-< i-< 1-( 1-< 1 >-e i-< i-1 1-( 1-< 1 >-e i-< i-1 1-( 1-< 1 i-e i-i i c 1-( 1-< 1 ) ( i-( i-e >-( )-i ) ( i-1 i-f i-1 1-< 1 i-s >-( i-E >-1 t-4 i-f i-1 i-f i-1 1-< 1 ) < 1 1 i i i i • < ) i i i i i i i - i k i-f > i i-1 i i i-f i < i-1 i i »-1 i i 1 Pomen oznak: • - plastifikacija č enka; ▲ - presežena mejna rotacija v členku 7.3 Korekcijski faktorji za razširjeno N2 metodo Korekcijski faktorji za vpliv torzije so dobljeni iz elastične analize s spektri odziva in potisne analize (Fajfar in sod., 2005a). Krajši opis metodologije je opisan v podpoglavju 2.3. Na tem mestu so rezultati za študirano konstrukcijo prikazani grafično. 7.3.1 Normirani pomiki iz elastične modalne analize Normirane pomike iz elastične modalne analize po vseh etažah smo že prikazali na sliki 35. Na sliki 73 so prikazani samo normirani pomiki v zgornji etaži v obeh obravnavanih smereh. Normirani pomiki na podajnem robu v X smeri znašajo približno 1.2, na podajnem robu v Y smeri pa približno 1.7. Na togem robu v X smeri so normirani pomiki blizu 1, v Y smeri pa okoli 1.3. Normirani pomiki kažejo, da je konstrukcija v X smeri torzijsko toga, v Y smeri pa torzijsko podajna. Presenetljivo velika je amplifikacija na podajnem robu (1.7) v Y-smeri (pri 5% ekscentričnosti). 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Togi r. U/UCM primerjava Modalna analiza U/UCM primerjava CM Podajni r. 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Togi r. CM Podajni r. Slika 73: Normirani pomiki konstrukcije na vrhu za obe obravnavani smeri - X (levo) in Y (desno) Figure 73: Torsional effects in terms of normalized top displacements obtained by modal analysis for both investigated directions - X (left) and Y (right) Prikažemo še pomike konstrukcije v masnem središču (CM) in na obeh robovih za vsako smer. Iz pomikov konstrukcije oziroma njenih robov (slika 74), dobimo tudi potrditev slike 73 tudi za ostale etaže. V X smeri so pomiki masnega središča med pomiki podajnega in togega robu, v Y smeri pa so pomiki obeh robov večji od pomikov masnega središča. 3 W 4 Pomik - podajni Pomik - CM -] Pomik - togi j_i_i 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Pomik X [m] 9 8 7 6 cs 5 S 4 3 2 1 0 Pomik - podajni Pomik - togi Pomik - CM 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Pomik Y [m] Slika 74: Pomiki konstrukcije za obe obravnavani smeri - X (levo) in Y (desno) Figure 74: Displacements of structure for both investigated directions - X (left), Y (right) 5 7.3.2 Normirani pomiki iz nelinearne statične (potisne) analize Tudi pri nelinearni statični (potisni) analizi smo izračunali normirane pomike na vrhu stavbe za obe pravokotni smeri. Pri tem smo »potiskali« konstrukcijo do ciljnega pomika ucp in za primerjavo še do večkratnikov ciljnega pomika. U/U X smer cm 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Togi ll/ll = 1 cp 1 25 cp 1 5 cp 2 cp 3 cp 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 cp ..........u/u = 1 25 cp _____u/u = 1 5 cp 2 cp 3 cp 4 cp 5 cp U/U Y smer cm CM Podajni r. Podajni r. Slika 75: Normirani pomiki iz nelinearne statične (potisne) analize Figure 75: Torsional effects in terms of normalized top diplacemets obtained by pushover analysis Razmerje normiranih pomikov v X smeri je praktično konstantno za oba robova. V Y smeri se normirane vrednosti na podajnem robu pričnejo pri 1.55 in nato limitirajo k vrednosti 1.75. 7.3.3 Korekcijski faktor Korekcijski faktor predstavlja razmerje med normirani pomiki iz modalne analize in normiranimi pomiki iz nelinearne statične (potisne) analize. Pri tem je potrebno upoštevati dejstvo, da je najmanjša upoštevana vrednost normiranih pomikov iz modalne analize enaka 1.0 (ugodno delovanje torzije se zanemari). Upoštevali smo pomike iz potisne analize, kjer smo potiskali masno središče do ciljnega pomika, dobljenega iz N2 analize. U/UCM primerjava - X smer U/U«. primerjava - Y smer Slika 76: Normirani pomiki iz elastične modalne analize, nelinearne statične (potisne) analize in korekcijski faktor za razširjeno N2 metodo za X- (levo) in Y- smer (desno) Figure 76: Torsional effects in terms of normalized top diplacements obtained by modal analysis, by pushover analysis and correction factors for N2 method - X (left) and Y (right) 8 NELINEARNA DINAMIČNA ANALIZA Nelinearna dinamična analiza spada med najzahtevnejša, hkrati pa tudi med najboljša orodja, ki so na voljo inženirjem za analizo konstrukcij. Najzahtevnejša so zato, ker je za dobre rezultate potreben dober računski model, pri čemer se neizkušenost uporabnikov in nepoznavanje modelov hitro kaznuje z nepregledno množico popolnoma neuporabnih in celo napačnih rezultatov ter zapravljenega računskega časa. V našem primeru smo za nelinearno dinamično analizo uporabili enak model konstrukcije, kot smo ga uporabili za nelinearno statično analizo. Vpliv dušenja pri integraciji enačb gibanja smo upoštevali po enačbi (2.11). Predpostavili smo 5% dušenje na prvi translatorni nihajni obliki v X in Y smeri. Upoštevali smo idealno elasto-plastično histerezno obnašanje plastičnega členka, ki sicer ni najbolj primerno za betonske konstrukcije, je pa edino možno v uporabljeni verziji programa SAP2000. Histerezno obnašanje uporabljenega plastičnega členka je prikazano na sliki 77. Motr ent Slika 77: Histereza uporabljenega plastičnega členka Figure 77: Plastic hinge hysteresis Konstrukcijo smo obremenili z akcelerogrami (poglavje 3.6), pri čemer smo upoštevali 8 možnih kombinacij (seto^) dveh medsebojno pravokotnih komponent vsakega akcelerograma (slika 18). V nadaljevanju so najprej prikazani normirani pomiki na vrhu konstrukcije (slike 78-81), nato pa srednje vrednosti pomikov konstrukcije (slika 82) in etažnih pomikov (slika 83) v masnem središču po posameznih etažah z odstopanjem od srednje vrednosti za X in Y smer. V sliki 84 so prikazani še povprečni normirani pomiki na vrhu konstrukcije, ki predstavljajo povprečje rezultatov s slik 78 oz. 80 za X smer in s slik 79 oz. 81 za Y smer. SETI X SET2 X 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6- Togi r. mean-s CM SET3 X O 3 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 — 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 CM SET5 X CM SET7 X Podajni r. Podajni r. Podajni r. 0.6 Togi r. CM Podajni r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6- Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. -TH mean -------mean+s -mean-s CM SET4 X CM SET6 X SET8 X Podajni r. Podajni r. Podajni r. Podajni r. Slika 78: Normirani pomiki na vrhu konstrukcije v X-smeri, dobljeni z neelastično analizo časovnega odziva za posamezne kombinacije potresov Figure 78: Torsional effects in terms of normalized top displacements in X dir. obtained by nonlinear time history analysis for different sets of accelerograms 2 SET1 Y SET2 Y O 3 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r CM SET3 Y Podajni r. CM SET5 Y Podajni r. CM SET7 Y Podajni r. Podajni r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2- 1.8 1.6 1.4 1.2 i 1 0.8 CM SET4 Y Podajni r. o "3 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. CM SET6 Y Podajni r. CM SET8 Y Podajni r. Podajni r. Slika 79: Normirani pomiki na vrhu konstrukcije v Y-smeri, dobljeni z neelastično analizo časovnega odziva za posamezne kombinacije potresov Figure 79: Torsional effects in terms of normalized top displacements in Y dir. obtained by nonlinear time history analysis for different sets of accelerograms 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Togi r. N. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 0.8 . 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 U/IX,, - X - POTR.6 U/IX,, - X - POTR.7 - A - r Podajni r. Togi r. Podajni r. Slika 80: Normirani pomiki na vrhu konstrukcije v X-smeri, dobljeni z neelastično analizo časovnega odziva za posamezne potrese Figure 80: Torsional effects in terms of normalized top displacements in X dir. obtained by nonlinear time history analysis for individual accelerograms UCM - X - POTR 2 UCM - X - POTR8 U/UCM - X - POTR. 10 Togi r. CM Podajni r. Togi r. CM Podajni r. Slika 81: Normirani pomiki na vrhu konstrukcije v Y-smeri, dobljeni z neelastično analizo časovnega odziva za posamezne potrese Figure 81: Torsional effects in terms of normalized top displacements in Y dir. obtained by nonlinear time history analysis for individual accelerograms VSI SETI X VSI SETI Y / / 1 j 1 j 0 - 0 ' i i i ✓ i f i j_ i i i —e- mean+a —e- " mean —©- mean-a ).04 -0.03 1.8 1.6 1.4 1.2 0.8- Togi r. -0.02 -0.01 0 0.01 Pomik [m] 0.02 0.03 0.04 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Pomik [m] Slika 82: Pomiki masnega središča konstrukcije za X- (levo) in Y- smer (desno) Figure 82: Displacements of mass centre in X dir. (left) and Y dir. (right) SET komplet XC 1 ■ mean+a mean SET komplet Y, -2 0 2 Etažni pomik [m] x 10 -1 0 1 Etažni pomik [m] x 10 Slika 83: Etažni pomiki v masnem središču za X- (levo) in Y- smer (desno) Figure 83: Story displacements - X dir. (left) and Y dir. (right) u/u X smer cm u/u Y smer cm mean mean+a mean-a CM Podajni r. Togi r. Podajni r. Slika 84: Povprečni normirani pomiki na vrhu za X- (levo) in Y- smer (desno) Figure 84: Average torsional effects in terms of normalized top displacements - X dir. (left) and Y dir. (right) 6 4 4 6 3 2 2 3 ■3 -3 2 Konstrukcija se je pri ciljnem pomiku, določenem po predpisih, le minimalno plastificirala. Zato smo za primerjavo konstrukcijo analizirali pri večji intenziteti potresa. Akcelerograme smo povečali (pomnožili) s faktorjem 2. Kot v prejšnjem primeru smo narisali slike, kjer so prikazani normirani pomiki na vrhu konstrukcije za posamezne sete akcelerogramov in za kombinacije posameznih potresov. SETI X SET5 X 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r TH mean mean+s mean-s -------r---- i ----" i 4 CM SET2 X Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 CM SET3 X CM SET4 X Podajni r. Podajni r. Podajni r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 14 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. CM SET6 X Podajni r. CM SET7 X Podajni r. CM SET8 X Podajni r. Togi r. CM Podajni r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. CM Podajni r. Slika 85: Normirani pomiki na vrhu konstrukcije v X-smeri, dobljeni z neelastično analizo časovnega odziva za posamezne kombinacije potresov povečane za faktor 2 Figure 85: Torsional effects in terms of normalized top displacements in X dir. obtained by nonlinear time history analysis for different sets of aceelerograms, scaled by 2 to basic NLTH SET1 Y SET5 Y 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 : 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. CM SET2 Y Podajni r. CM SET3 Y Podajni r. 2 1.8 1.6 s 1.4 o 3 = 1.2 1 0.8 Togi r. CM SET4 Y Podajni r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. Podajni r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 CM SET6 Y Podajni r. o 3 = 1.2 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 CM SET7 Y Podajni r. o 3 = 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Togi r. CM SET8 Y Podajni r. Podajni r. Slika 86: Normirani pomiki na vrhu konstrukcije v Y-smeri, dobljeni z neelastično analizo časovnega odziva za posamezne kombinacije potresov povečane za faktor 2 Figure 86: Torsional effects in terms of normalized top displacements in X dir. obtained by nonlinear time history analysis for different sets of aceelerograms, scaled by 2 to basic NLTH 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 U/Ucm -X-f2, POTR.5 4- . 1 1 -------1----------- I I r ' i i _ 1 ii»^—~ I J- -I 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 U/Ucm -X-f2, POTR.8 i i i i r " i i -■Trrr^i,.. » . neelastično obnašanje). V posameznih primerih pa lahko vpliv predznaka preseže celo faktor 2! To pomeni, da lahko teoretično v primerih identičnih, v naravi zrcalno postavljenih stavb pride do zelo različnega obnašanja le-teh (npr. v skrajnem primeru do hujše ene izmed njiju, medtem ko bi se druga manj poškodovala). Ugotovitev in rezultati se ujemajo z ugotovitvami v članku (Fajfar in sod., 2005b). • Raztros rezultatov je bil relativno velik. Večji je bil pri neelastični analizi. Povprečen koeficient variacije za osnovno neelastično analizo je znašal 0.29 - 0.82 (mišljeni so posamezni seti - kombinacije smeri) pri elastični in 0.19 - 0.41 pri neelastični analizi, kar se ujema z rezultati drugih raziskovalcev (Fajfar in sod., 2005b). 2. Skupina - vpliv torzije v zvezi z uporabnostjo razširjene N2 metode: • Povprečne vrednosti, dobljene pri neelastični analizi so manjše od povprečnih vrednosti pri elastični analizi, ki jih lahko zelo dobro ocenimo z modalno analizo. Razširjena N2 metoda pa temelji ravno na predpostavki, da so torzijski vplivi večji pri elastičnem obnašanju kot pri neelastičnem, kar smo v našem primeru tudi potrdili. Zadnje raziskave drugih raziskovalcev (De Stefano in Pintucchi, 2010) kažejo, da razširjena N2 metoda daje ustrezne rezultate za konstrukcije, ki niso preveč torzijsko toge. Tipične večetažne stenaste konstrukcije, vključno z analizirano stavbo, ustrezajo temu pogoju, saj je obravnavana stavba na meji med torzijsko togimi in torzijsko podajnimi konstrukcijami (Wx= 1.1, Wy= 0.9). Primerjava rezultatov nelinearne analize z rezultati razširjene N2 metode je pokazala, da poenostavljena metoda daje konservativno oceno pomikov pri potresni obtežbi. Pri torzijsko zelo togih konstrukcijah, kjer razširjena N2 metoda po nekaterih raziskavah (De Stefano in Pintucchi, 2010) daje nekoliko premajhno oceno torzijskih vplivov, pa so torzijski vplivi absolutno majhni in v splošnem niso pomembni za konstrukcije. • Pri ciljnem pomiku gre konstrukcija zelo malo v nelinearno območje. V takih primerih so rezultati N2 metode zelo občutljivi na idealizacijo potisne krivulje (začetna togost). V našem primeru smo pokazali, da kljub občutljivosti rezultatov, daje N2 metoda konservativne rezultate, ki jih od poenostavljene metode tudi pričakujemo. • Odstopanje rezultatov lahko deloma pojasnimo tudi s tem, da se povprečni spekter izbranih akcelerogramov ne ujema povsem s spektrom iz SIST EN 1998-1, ki je bil uporabljen pri analizi z N2 metodo. • Idealno elasto-plastična histereza, ki je bila uporabljena v nelinearnem računskem modelu, zaradi velikega sipanja energije pomembno zmanjšuje pomike pri nelinearni dinamični analizi. • Konstrukcijo smo analizirali tudi s povečanimi akcelerogrami za faktor 2. Torzijski vplivi na konstrukcijo so bili podobni, a večinoma manjši kot tisti iz osnovne nelinearne analize, kar so opazili tudi drugi raziskovalci (Fajfar in sod., 2005b). Velja omeniti, da je nelinearna dinamična analiza zahtevala zelo veliko računskega časa, pri čemer sploh ni upoštevana zelo zahtevna izbira obtežbe in končna obdelava velike količine dobljenih rezultatov. Po drugi strani pa je bila analiza z razširjeno N2 metodo izvršena v nekaj minutah (potem, ko je bil izdelan model konstrukcije), pri čemer je treba poudariti enostavnost modela, transparentnost metode in enostavnost zbiranja in interpretacije rezultatov. Na osnovi vseh ugotovitev v magistrski nalogi lahko zaključimo, da je razširjena N2 metoda, ki je sposobna zajeti torzijske vplive nesimetričnih konstrukcij ali simetričnih konstrukcij z naključno ekscentričnostjo, uporabna za analizo obnašanja tipičnih AB stenastih konstrukcij v vsakdanji projektantski praksi. Pri tem morajo obravnavane konstrukcije biti znotraj omejitev uporabnosti N2 metode. Glede na zadnje raziskave tujih raziskovalcev lahko konservativne rezultate pričakujemo v vseh primerih, razen v primerih torzijsko zelo togih konstrukcij. Zelo velik raztros rezultatov dinamičnih analiz kaže, da je torzijski odziv konstrukcije zelo odvisen od detajlov potresnega gibanja tal, tega pa ne moremo predvideti. Zato je potrebno, da so metode za projektiranje konservativne. Logična nadaljevanja tega dela bi se lahko ukvarjala s preučevanjem vpliva večje masne ekscentričnosti, ekscentričnosti v togosti in/ali nosilnosti, vpliva drugačnih nihajnih časov konstrukcije in/ali drugačnih stavb. 11 POVZETEK Verjetnost, da bo v življenjski dobi objekta prišlo do močnega potresa, je majhna. Zavedati pa se moramo, da močan potres za veliko večino običajnih gradbenih konstrukcij predstavlja največjo obremenitev. Če želimo spoznati realistično obnašanje stavb med močnejšimi potresi, imamo na voljo nelinearno dinamično analizo in, v zadnjem času v porastu, poenostavljene nelinearne metode. Taka je tudi N2 metoda, oziroma razširjena N2 metoda. Metoda je bila razvita na IKPIR-ju, vključena je tudi v sodobne evropske in slovenske predpise o potresno odporni gradnji objektov. Kot vse približne metode, ima tudi N2 določene omejitve. Težavo predstavljajo vpliv višjih nihajnih oblik, tako po višini, kot po tlorisu (torzija). V nalogi je bila za testni primer izbrana osemetažna armirano-betonska stenasta stavba, tipična za nekatere dele sveta in Slovenijo, na kateri smo preučevali uporabnost N2 metode. Opisani so bili posamezni nosilni elementi konstrukcije, podana masa in vertikalne obtežbe. Za analizo je bilo pripravljenih več računskih modelov, ki so upoštevali razpokane in nerazpokane prereze, ter simetrično in nesimetrično varianto konstrukcije. Rezultati analize za nesimetrično varianto z razpokanimi prerezi, ki ustreza zahtevam Evrokoda 8, so bili uporabljeni za nadaljnjo analizo. Opravljena je bila modalna analiza s spektri odziva, dimenzioniranje nosilnih elementov skladno s predpisi Evrokoda 2 in Evrokoda 8 za mejno stanje nosilnost in mejno stanje uporabnosti. Iz evropske baze podatkov je bilo izbranih 10 akcelerogramov s po dvema vodoravnima komponentama. Ustrezno normirani akcelerogrami so bili uporabljeni za sprva elastično analizo časovnega odziva konstrukcije in kasneje tudi za nelinearno analizo časovnega odziva konstrukcije. Konstrukcija je bila analizirana z uporabo N2 metode, kjer je bila najprej narejena osnova varianta, nato pa še razširjena varianta, ki je upoštevala korekcijske faktorje iz elastične spektralne analize. Rezultate razširjene N2 metode smo primerjali z rezultati nelinearne dinamične analize. Ker se je pokazalo, da pri potresnih obremenitvah, ki ustrezajo projektnemu spektru, konstrukcija le malo plastificira, je bila celotna analiza ponovljena za podvojeno obremenitev. Primerjave vseh rezultatov so pokazale, da je predpostavka, na katerih temelji razširjena N2 metoda, to je, da so torzijski vplivi največji pri elastični konstrukciji in se zmanjšujejo z velikostjo plastičnih deformacij potrjena. Rezultati so pokazali tudi, da daje N2 metoda konservativne ocene, vendar bi bila konservativnost manjša, če bi bil upoštevan drug histerezni model. Raztros rezultatov je bil precej velik. Zanimiva je tudi ugotovitev, da je odziv konstrukcije precej odvisen od smeri in predznaka uporabljenih obremenitev, kar lahko pomaga razložiti opažanja, da so včasih enaki objekti na sosednjih lokacijah različno poškodovani. 12 SUMMARY Probability that in the structure's lifetime a strong earthquake could occur is small. However a strong earthquake represents for most structures the largest loading. If the true behavior of structures during large earthquakes is to be known, there are two possibilities; first a non-linear time history analysis or simplified non-linear methods. One of them is the N2 method, developed on IKPIR institute, incorporated into modern European and Slovenian codes. As for all of the simplified methods, the N2 has some limitations. The problem exists in taking into account the higher eigen-frequencies, as per height or in horizontal plane (torsion). In the thesis an eight storey reinforced wall structures was chosen, that can be found in some regions around the world and in Slovenia as well. Major load-bearing elements were described; also summary of mass and vertical loads has been done. For the analysis, several models have been prepared, that incorporated mass eccentricity and cracked/uncracked cross-sections. In further analysis the model with mass eccentricity and cracked cross-sections was used, since it is complied with Eurocode 8 provisions. A modal analysis with response spectra and reinforcement design according to Eurodoce 2 and Eurocode 8 for ultimate limit state and serviceability limit state has been done. From European strong motion database, a set of 10 accelerograms with two horizontal components were chosen and adequately normalized. The accelerograms were first used for linear time history analysis and later for non-linear analysis. The structure was also analyzed with the basic version of N2 method and with the extended version of the N2 method, taking into account the correction factors from linear analysis. The N2 results were compared with the results from the non-linear time history analysis. Since the structure was very little in the non-linear range for the load that corresponded to design earthquake load, we repeated the analysis for the double intensity. Comparison of all the results proved the basic assumption of the extended N2 method, saying that the torsional response is larger in the elastic structures and decreases with the growth of plastic deformation. Furthermore the N2 method provides conservative estimation of structure's behavior; however in the reality less conservative results are to be expected due to selection of more realistic hysteresis model. None the less, the basic assumption of the extended N2 method was confirmed. The method gives conservative results. The spread of results was quite large. Interesting discovery was also made: the response of the structure is dependant of the direction and sign of earthquake loading. This can help to provide understanding of why sometimes two identical structures in proximity have different damages under earthquake loading. VIRI Ambraseys, N., Smit, P., Sigbjornsson, R., Suhadolc, P., Margaris, B. 2002. Internet-Site for European Strong-Motion Data. European Commission, Research-Directorate General, Environment and Climate Programme. http://www.isesd.hi.is/ESD Local/frameset.htm (pridobljeno 15. 10. 2007). Autodesk Inc. 2009. AutoCAD. http://www.autodesk.com/about (pridobljeno 15. 11. 2007). Beg, D. (ur.), Pogačnik, A. (ur.) 2009. Priročnik za projektiranje gradbenih konstrukcij po evrokod standardih, Ljubljana, Inženirska zbornica Slovenije: 1077 str. Chopra, A. 2001. Dynamics of structures: theory and applications to earthquake engineering, 2. ed., New Jersey, Prentice Hall: 876 str. CSI. 2007. SAP2000 Advanced, Structural Analysis Program. Computers and Structures Inc. (pridobljeno oktobra 2007). De Stefano, M., Pintucchi, B. 2010. Predicting torsion-induced lateral displacements for pushover analysis: Influence of torsional system characteristics. Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 39, 12: 1369-1394. Dolšek, M., Fajfar, P. 2008. The effect of masonry infills on the seismic response of a four storey reinforced concrete frame--a probabilistic assessment. Engineering Structures. 30, 11: 31863192. Fajfar, P. 1984. Dinamika gradbenih konstrukcij, Ljubljana, Fakulteta za arhitekturo, gradbeništvo in geodezijo: 550 str. Fajfar, P. 2000. A nonlinear analysis method for performance based design. Earthquake Spectra. 16, 3: 573-592. Fajfar, P. 2002. Poenostavljena nelinearna analiza konstrukcij pri potresni obtežbi. Gradbeni vestnik. 51, 302-315. Fajfar, P., Fischinger, M. 1988. N2 - A method for non-linear seismic analysis of regular buildings. V: Proceedings of Ninth World Conference on Earthquake Engineering, Tokyo-Kyoto, Japan, 5: 111-116. Fajfar, P., Marušić, D., Peruš, I. 2005a. The extension of the N2 method to asymmetric buildings. V: Kappos, A. J. (ur.). Proceedings of the 4th European workshop in the Seismic Behaviour of Irregular and Complex Structures, Thessaloniki, Greece, Paper No. 41, p. 16. Fajfar, P., Marušić, D., Peruš, I. 2005b. Torsional effects in the pushover-based seismic analysis of buildings, London, ROYAUME-UNI, Imperial College Press: 24 str. Fajfar, P., Marušić, D., Peruš, I., Kreslin, M. 2008. The N2 method for asymmetric buildings. V Bento, R. (ur.), Pinho, R. (ur.). Nonlinear Static Methods for Design/Assessment of 3D Structures. Lisbon, Portugal, IST Press. Fardis, M. N. 2005. Designers' guide to EN 1998-1 and EN 1998-5 Eurocode 8: design of structures for earthquake resistance: general rules, seismic actions, design rules for buildings, foundations and retaining structures, London, Thomas Telford: 273 str. Fardis, M. N. 2009. Seismic Design, Assessment and Retrofitting of concrete Buildings, Based on EN-Eurocode 8, Dordrect, Springer: 743 str. Kilar, V., Koren, D. 2010. Simplified inelastic seismic analysis of base isolated structures using the N2 method. Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 39, 9: 967-989. Koren, D., Kilar, V. 2010. The applicability of the N2 method to the estimation of torsional effects in asymmetric base isolated buildings. Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 40, 8: 867-886. Lapajne, J., Motnikar, B. Š., Zupančič, P. 2001. Projektni pospešek tal. Ljubljana, Slovenija, MOP -Agencija RS za okolje, Urad za seizmologijo. Marušić, D., Fajfar, P. On the inelastic seismic response of the eight-storey reinforced concrete wall asymmetric building under bi-axial exitation. Neobjavljen članek. Osebna komunikacija. (prejeto november 2007). Marušić, D., Fajfar, P. 2005. On the inelastic seismic response of asymmetric buildings under bi-axial excitation. Earthquake Engineering and Structural Dynamics. 34, 8: 943-964. Paulay, T., Priestley, M. J. N. 1992. Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings, New York, John Wiley and Sons: 744 str. Peruš, I., Fajfar, P. 2005. On the inelastic torsional response of single-storey structures under bi-axial excitation. Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 34, 8: 931-941. Pfeiffer, U. 2001. INCA2. http://www.u-pfeiffer.de (pridobljeno 19.8.2008). Pravilnik o mehanski odpornosti in stabilnosti objektov. Uradni list RS št. 101/2005. SIST EN 1990:2004. Evrokod - Osnove projektiranja. SIST EN 1992-1-1:2005. Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij - 1-1. del: Splošna pravila in pravila za stavbe. SIST EN 1998-1:2005. Evrokod 8: Projektiranje potresnoodpornih konstrukcij - 1. del: Splošna pravila, potresni vplivi in pravila za stavbe. SIST EN 1998-3:2005. Evrokod 8: Projektiranje potresnoodpornih konstrukcij - 3. del: Ocena in prenova stavb. SIST EN 1998-3/A101:2006. Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij - 1-1. del: Splošna pravila in pravila za stavbe - Nacionalni dodatek. SIST EN 1998-1/A101:2006. Evrokod 8: Projektiranje potresnoodpornih konstrukcij - 1. del: Splošna pravila, potresni vplivi in pravila za stavbe - Nacionalni dodatek.