PO SLEDEH NEKE GEOMETRIJSKE KONSTRUKCIJE
MARKO RAZPET IN NADA RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A55, 51M04, 51M15
V prispevku obravnavamo nekatere geometrijske konstrukcije trikotnika z dano osnov-
nico c, vǐsino vc nanjo in razliko α− β kotov ob osnovnici. Nalogo je Josipu Plemlju dal
leta 1891 njegov profesor matematike Vincenc Borštner na ljubljanski gimnaziji. Plemelj
je nalogo rešil na originalen način.
ON THE TRACKS OF A GEOMETRIC CONSTRUCTION
In this contribution we discuss certain geometric constructions of a triangle with a
given base c and altitude hc to the base, and the difference α−β between the angles at the
base. The problem was posed in the year 1891 to Josip Plemelj by his mathematics teacher
Vincenc Borštner in secondary school in Ljubljana. Plemelj has solved the problem in an
original way.
Uvod
Ob okroglih obletnicah slavnih matematikov se po navadi znova poveča zani-
manje zanje. Dne 22. maja 2017 smo v Plemljevem seminarju na Jadranski
ulici 19 v okviru Seminarja za zgodovino matematičnih znanosti skromno
počastili točno 50. obletnico smrti našega velikega matematika akademika
prof. Josipa Plemlja (1873–1967). V ta namen smo povabili prof. Antona
Suhadolca, enega izmed redkih še živečih Plemljevih študentov, da nam
je povedal nekaj iz življenja in dela našega svetovno znanega matematika.
Prof. Suhadolc je pred leti urejal Plemljevo pisno zapuščino, ki je sedaj shra-
njena v Arhivu Republike Slovenije (ARS) v Ljubljani. Ob tem zahtevnem
in hvalevrednem delu je odkril marsikaj zanimivega, kar pred desetletjem še
ni bilo splošno znano, predvsem o težavah s pridobivanjem profesorjev fizike
v prvih letih po ustanovitvi ljubljanske univerze leta 1919. Njen prvi rektor
je bil namreč ravno prof. Plemelj. Čeprav je imel možnosti, da bi svoje
znanstveno delo nadaljeval na kakšni že utečeni univerzi, se je raje posvetil
ljubljanski, na kateri je dolga leta predaval matematiko bodočim profesorjem
matematike in fizike ter inženirjem, in sicer vse do upokojitve leta 1957. Šte-
vilni Plemljevi študentje so ostali tudi na visokih in vǐsjih šolah, napredovali
v profesorje in nadaljevali s širjenjem matematičnega znanja. V glavnem je
vse, kar je o prof. Plemlju povedal prof. Suhadolc, zapisano v članku [10]. Še
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 161
Marko Razpet in Nada Razpet
več pa je o prof. Plemlju in njegovem delu zapisal njegov najbolǰsi študent,
akademik prof. Ivan Vidav (1918–2015) v [11].
Kot dijak ljubljanske klasične gimnazije se je Plemelj vnaprej sam naučil
toliko matematike, da je lahko inštruiral dijake vǐsjih letnikov, zlasti matu-
rante. Tako se je laže spopadal z revščino, ki so jo tolkli v njegovi družini.
Ni pa ostal le pri gimnazijski matematiki, posegel je tudi po vǐsji. Plemljev
profesor je bil Vincenc Borštner (1843–1917), ki je spoznal in spoštoval nje-
govo nadarjenost za matematiko. Zato je Plemelj zlahka nadaljeval študij
matematike na Dunaju.
Ob tej priložnosti se spodobi, da navedemo nekaj osnovnih, manj znanih
podatkov o Vincencu Borštnerju. Z vztrajnim iskanjem se jih najde na
svetovnem spletu. Rodil se je 8. januarja 1843 v Lažǐsah, vasici, ki sedaj
spada pod občino Laško. Gimnazijo je obiskoval v Celju in Mariboru, nato je
študiral na graški univerzi. Leta 1870 je bil imenovan za asistenta za vǐsjo
matematiko in fiziko na graški tehnǐski visoki šoli. Obenem je poučeval
kot učiteljski kandidat na neki graški gimnaziji, od 1871 pa nadaljeval s
pedagoškim delom na celovški in ljubljanski gimnaziji. V Ljubljani se je
prof. Borštner na lastno željo upokojil leta 1903. Umrl je pred sto leti, 31.
maja 1917 v Ljubljani.
V Celovcu je 1875 objavil razpravo Zur Theorie der Potenzen von Kre-
isen und Kugeln (O teoriji potenc krogov in krogel). Borštner je objavljal
svoje strokovne prispevke tudi v celovškem Kresu, leposlovnem in znanstve-
nem listu, v katerem je na primer leta 1881 objavil v treh nadaljevanjih
prispevek Spektralna analiza kot pripomoček v astronomiji, naslednje leto
pa O telegrafičnih vremenskih poročilih, prav tako v treh nadaljevanjih.
Pisal je tudi ocene knjig, na primer leta 1881 Oko in vid Jakoba Žni-
daršiča (1847–1903) in pozneje dveh predelanih Močnikovih učbenikov za
aritmetiko in geometrijo. Baje je Plemelj kot dijak rad prebiral Borštner-
jeve astronomske prispevke v Kresu, zato ni čudno, če se je navduševal nad
astronomijo.
Prof. Borštner je prǐsel v našo zgodovino matematike morda predvsem
zaradi konstrukcijske naloge, ki jo je narekoval iz neke zbirke mlademu
petošolcu Plemlju leta 1891:
(A) Konstruiraj trikotnik, če poznaš stranico c, vǐsino vc in razliko
kotov α− β.
Pri tem vzamemo, da je α > β, ker je za α = β naloga trivialna. Seveda
je pri tem mǐsljena klasična konstrukcija, samo z neoznačenim ravnilom in
162 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5
Po sledeh neke geometrijske konstrukcije
šestilom. Plemelj je nalogo rešil, najprej analitično, nato pa še konstruk-
cijsko v veliko profesorjevo zadovoljstvo. Rešitev sicer ni bila taka, kot je
bila v zbirki in kakršno je pričakoval profesor. Vsaj dve rešitvi, drugačni
od Plemljeve dijaške, pa sta bili znani že vsaj 60 let pred tem dogodkom,
kot bomo videli pozneje. Plemelj je o tej nalogi še večkrat razmǐsljal, zlasti
med novoletnimi počitnicami, in našel več drugačnih konstrukcij. Sicer pa
je znano (glej na primer [11]), da se je prof. Plemelj ukvarjal s težkimi pro-
blemi v teoriji potenciala, diferencialnih in integralskih enačb, analitičnih
funkcij ter algebri in teoriji števil. Pri prebiranju virov v zvezi z nalogo (A)
pa naletimo na nekaj težav in nejasnosti.
Ni znano, ali je prof. Plemelj svojo konstrukcijo trikotnika pred letom
1949 kje javno predstavil. Zgodilo pa se je, da je novembra tega leta na
Bledu potekal 1. kongres Zveze jugoslovanskih društev matematikov, fizikov
in astronomov, kjer je Plemelj kot domačin imel govor o svojem življenju in
delu. Ob tej priložnosti je pokazal tri konstrukcije svojega trikotnika: dve
lastni in tisto iz Borštnerjeve zbirke. Prispevek s konstrukcijami vred je bil
objavljen v Beogradu leta 1951 v zborniku kongresa, v Ljubljani pa šele 101
leto po Plemljevi dijaški rešitvi, to se pravi leta 1992, in sicer v Obzorniku
za matematiko in fiziko (glej [7]), kar ni nič čudnega, saj v času kongresa v
Sloveniji še nismo imeli matematične strokovne revije, kaj šele znanstvene.
Imeli smo pa Proteus, ilustriran časopis za poljudno naravoslovje. V času
kongresa je izhajal njegov 12. letnik, njegov dolgoletni urednik pa mu je bil
prof. Lavo Čermelj (1889–1980). Čermelj je v Proteus vpeljal rubriko Za
bistre glave, v kateri je postavljal vprašanja z različnih področij naravoslovja,
fizike in matematike, v naslednjih številkah pa je objavljal in komentiral
odgovore bralcev. Ko je Čermelj izvedel, da je prof. Plemelj na blejskem
kongresu govoril tudi o konstrukcijski nalogi (A), je takoj v rubriki Za bistre
glave objavil Vprašanje št. 6 (več v [3]). To je verjetno naredil z namenom,
da bi bralci našli še kakšno rešitev. Zapisal je, da je sam Plemelj že našel
kakih dvajset različnih rešitev. Najprej se je verjetno na urednikovo prošnjo
odzval sam prof. Plemelj in v Proteus poslal tri rešitve iz svoje zbirke: tisto
iz Borštnerjeve zbirke in dve svoji, od katerih je zadnja tista iz njegovih
dijaških let, pri kateri si je pomagal s trigonometrijo. Vse so bile objavljene
v [8]. Kot kaže, je to bila prva objava njegovih trikotnikov v tiskani obliki.
Prispele so tudi rešitve nekaterih bralcev, ki pa so bile pomanjkljive. Ing.
Mitja Brodar, ki je našel pravilno rešitev, pa je bil prepozen in je prǐsel na
vrsto v naslednji številki Proteusa, to je v [2]. Zanimanje za konstrukcijo
še ni upadlo, kajti bralec Ivan Munda je poslal še eno pravilno rešitev, ki je
pristala v [6]. Še nekaj bralcev je poslalo rešitve, ki pa so bile pomanjkljive
161–170 163
Marko Razpet in Nada Razpet
in so zato ostale neobjavljene. Urednik je dopisal, da so vse pravilne rešitve
bralcev že v Plemljevi zbirki. Tako je Proteus odigral pomembno vlogo tudi
na področju matematike.
Toda na omenjeni blejski konferenci je prof. Plemelj povedal, da je sam
našel še devet različnih rešitev, zadnjo, kot je sam dobesedno zapisal v [7],
v noči 1. januar 1940, po Silvestru 1939. Poleg teh je dve rešitvi dobil
od drugod. Potožil pa je tudi, da nima naslova Borštnerjeve zbirke nalog,
ker si ga ni zapomnil. Tako zbirko sta mu pokazala v Černovicah, kjer je
služboval kot profesor matematike, dva študenta. V njej je bila tudi ome-
njena naloga iz Borštnerjeve zbirke. Žal si naslova te zbirke ni zapisal. Tako
ostane odprto vprašanje, katero zbirko je uporabljal prof. Borštner. Pač pa
je prof. Plemelj na ljubljanski klasični gimnaziji našel Wiegandovo knjigo
[12] z geometrijskimi nalogami. V [7] je v njenem naslovu uporabil izraz
Obergymnasien (vǐsje gimnazije) namesto höhere Lehranstalten (vǐsje učne
zavode), kar je nekoliko oteževalo iskanje po svetovnem spletu. S pravilnim
naslovom pa Wiegandovo knjigo zlahka najdemo celo v elektronski obliki.
O avtorju Augustu Wiegandu ne vemo veliko, znano pa je, da je leta 1845
poučeval matematiko na realki v nemškem mestu Halle ob Saali. V tem
mestu je od leta 1869 deloval Georg Cantor (1845–1918), oče teorije mno-
žic. Wiegandova zbirka [12] iz leta 1865 vsebuje raznovrstne konstrukcijske
naloge z obrazložitvami in rešitvami za trikotnike, štirikotnike in krožnice.
V njej najdemo na strani 147 nalogo:
(B) Konstruiraj trikotnik, če poznaš kotno simetralo iz enega ogli-
šča, iz drugega pravokotnico nanjo, v tretjem oglǐsču pa kot.
Za to nalogo prof. Plemelj v [7] pove, da je povezana z nalogo (A) in da je
dobil novo, prav lepo konstrukcijo.
Ko ǐsčemo knjige, mimogrede najdemo tudi kakšno, ki je nismo pri-
čakovali. Tako smo naleteli na obsežno zbirko konstrukcijskih nalog [4] z
obrazložitvami in rešitvami. Zbirka je izšla v letih 1831 in 1832 v dveh delih
na 860 straneh, v vsakem so dodane izvedene geometrijske konstrukcije na
posebnih listih na koncu. V obeh knjigah je skoraj 2300 nalog. Že v prvem
delu je na strani 136 rešena naloga (A) z natančno razlago. Uporabljena
je metoda dopolnitve trikotnika v enakokrak trapez, kar najdemo v bistvu
tudi v [2, 7]. V drugem delu spet najdemo na strani 298 pod zaporedno
številko 1720 nalogo (A) z analizo in rešitvijo, ki se opira na izrek o potenci
točke glede na krožnico. Popolnoma možno je, da so pozneǰse zbirke nalog
črpale primere ravno iz te knjige, morda tudi Borštnerjeva zbirka.
164 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5
Po sledeh neke geometrijske konstrukcije
Avtorja zbirke [4] sta Hermann pl. Holleben in Paul Gerwien, v času
njenega izida polkovnika pruske vojske in učitelja v kadetskem korpusu.
Gerwien je leta 1833 v reviji, ki jo je ustanovil August Leopold Crelle (1780–
1855) in izhaja še danes pod imenom Journal für die reine und angewandte
Mathematik, objavil članek, v katerem dokaže izrek, da lahko poligona, ki
imata enaki ploščini, z ravnimi črtami razrežemo na iste poligone. Izrek po
Farkasu Bolyaiju (1775–1856), ki je izrek dokazal leta 1833, in Gerwienu
imenujemo Bolyai–Gerwienov izrek. Kot poseben primer lahko kvadrat ali
njemu ploščinsko enak enakostranični trikotnik razrežemo na sedem triko-
tnikov, iz katerih lahko sestavimo oba lika.
Nekaj geometrijskih konstrukcij
Ker nas je zanimalo, koliko rešitev naloge (A) je prof. Plemelj v resnici na-
šel, smo (I. Hafner, P. Legǐsa in avtorja) stopili v ARS. Ker je tamkaǰsnja
Plemljeva zapuščina obsežna, vsebuje 19 enot, smo natančneje pregledali
enoto številka 3 in v njej našli na več listih geometrijske konstrukcije, za
katere pa ni popolnoma razvidno, ali so popolne ali samo delne. Najbolj za-
nimiv je list stenskega koledarja za november 1939, na katerem je na hrbtni
strani več konstrukcij. Za nekatere pa je treba šele ugotoviti, kaj predstav-
ljajo, saj posebnih pojasnil, ki smo jih vajeni pri takih rečeh, skorajda ni.
Nekatere konstrukcije so pa vendarle zelo očitno rešitve naloge (A). Nekaj
zares elegantnih rešitev, do katerih se pride brez uporabe kotnih funkcij,
predstavljamo v pričujočem prispevku. Konstrukcij, ki so bile objavljene
v [2, 5, 8, 9], tukaj ne bomo ponavljali. Rešitev naloge (A), ki jo je prof.
Vidav obravnaval v akademskem letu 1952/53 pri geometriji in je objavljena
v [9], se le malo razločuje od rešitev v [1, 2, 4].
Bralec, ki želi bolje razumeti konstrukcije v nadaljevanju, naj jim sledi
z geometrijskim orodjem, še bolje pa z računalnǐskim programom za dina-
mično geometrijo (na primer GeoGebro), da bo lahko z lahkoto spreminjal
podatke. Kajti samo z gledanjem rešitev se bo bolj malo naučil.
1. Oglejmo si najprej rešitev naloge (B) iz Wiegandove zbirke [12], ki
jo omenja prof. Plemelj v [7]. Poznamo simetralo sγ kota γ iz oglǐsča C
trikotnika ABC, razdaljo p oglǐsča A od te simetrale in kot β (slika 1).
Zaradi enostavnosti vzemimo, da je β manǰsi od pravega kota. Enak pogoj
bomo v nadaljevanju privzeli za kot ε = α − β v nalogi (A). Za večje kote
potekajo konstrukcije podobno, le da je treba tu pa tam daljice podalǰsevati
na eno ali drugo stran.
Najprej narǐsemo simetralo sγ = CF kota γ in njeno razpolovǐsče ozna-
161–170 165
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 1. Rešitev naloge (B).
čimo z M . Oglǐsče B leži na krožnici K, s katere se daljica CF vidi pod
kotom β. (Takšno krožnico znamo narisati s pomočjo zveze med sredǐsč-
nimi in obodnimi koti. Sredǐsče O′ trikotniku CFB očrtane krožnice je vrh
enakokrakega trikotnika CFO′ z osnovnico CF in kotom med krakoma 2β.)
Z naslednjim premislekom bomo prǐsli do točke B. Predstavljajmo si,
da nam je trikotnik ABC že uspelo narisati. Skozi točko A potegnemo
pravokotnico na simetralo CF , ki seka stranico BC v točki E, CF pa v
točki G. Trikotnik AEC je enakokrak. Zato točka E leži na premici q,
ki je vzporedna simetrali CF in je od nje oddaljena za p. Skozi točko F
potegnemo pravokotnico r na CF in njeno presečǐsče s premico q označimo
z D. Štirikotnik FDEG je pravokotnik in |DE| = |FG|. Tudi točka D je
od simetrale CF oddaljena za p, zato jo znamo enostavno konstruirati. Z
N označimo presek premice q in stranice AB. Trikotnika AFG in FND
sta skladna, ker sta podobna pravokotna trikotnika z enako dolgo istoležno
kateto |AG| = |FD| = p. Zato je |FG| = |ND|. Od prej vemo, da je
|DE| = |FG|, zato je BD težǐsčnica trikotnika NBE. Trikotnika FBC in
NBE imata skupno oglǐsče B, stranici NE in FC sta si vzporedni, preostali
dve stranici pa se pokrivata, zato sta si podobna in njuni težǐsčnici iz B se
pokrivata.
Sedaj znamo skonstruirati točko B. Po eni strani leži na krožnici K, po
drugi strani pa na težǐsčnici trikotnikovNBE in FBC skoziB. Ta težǐsčnica
poteka skozi razpolovǐsči D in M točki B nasprotnih stranic NE in FC. Po
166 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5
Po sledeh neke geometrijske konstrukcije
korakih poteka konstrukcija takole. Narǐsemo daljico CF , določimo njeno
razpolovǐsče M in konstruiramo krožnico K. Na pravokotnici r na daljico
CF v točki F za p stran od F označimo točko D. Oglǐsče B iskanega
trikotnika je presek premice skozi M in D ter krožnice K. Oglǐsče A pa je
presečǐsče premice skozi B in F ter vzporednice s daljici CF , za p stran od
CF , na nasprotnem bregu kot B. Nazadnje izrǐsemo trikotnik ABC.
2. Kakšno povezavo ima naloga (B) z nalogo (A)? Naj bo ABC trikotnik
z osnovnico c, vǐsino vc nanjo in običajno označenimi koti (slika 2). Točka A
′
naj bo presek poltraka CA in premice skozi B, ki oklepa z BA kot β in se ne
pokriva z BC. Potem je daljica BA simetrala kota pri B v trikotniku A′BC.
Točka C je od BA oddaljena za vc. Kot α je zunanji kot trikotnika A
′BA
in je zato enak vsoti njegovih notranjih nepriležnih kotov: α = ∢BA′A+β,
iz česar dobimo ∢BA′A = α− β = ε.
Trikotnik A′BC po (1.) že znamo konstruirati. Vlogo kota β odigra
kot ε, simetrale sγ stranica c, razdalje p pa vǐsina vc. Točko A dobimo
kot presečǐsče stranice A′C s simetralo kota pri B trikotnika A′BC (slika 3
levo).
Slika 2. Pojasnilo k rešitvi naloge (A) s pomočjo naloge (B).
Konstrukcijo lahko precej poenostavimo z zrcaljenjem preko nosilke stra-
nice AB (slika 3 desno). Pri tem trikotnika A′BA ni treba risati.
3. Zanimiva je tudi naslednja rešitev naloge (A), ki jo najdemo v [1].
Da bi jo razumeli, si oglejmo trikotnik ABC, ki je standardno označen,
razlika ε = α − β pa naj bo manǰsa od π/2 (slika 4). Trikotniku očrtamo
krožnico K s sredǐsčem v točki O, načrtamo simetralo s stranice AB in njuno
presečǐsče označimo z M . Skozi C potegnemo stranici AB vzporednico q,
ki seka simetralo s v točki D. Najprej se prepričajmo, da polmer OC s
161–170 167
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 3. Ena od rešitev naloge (A).
simetralo s oklepa kot ε. Očitno je ∢COA = 2β, ∢OAC = π/2 − β in
∢MAO = α − ∢OAC = α − (π/2 − β) = α + β − π/2. Zato je ∢AOM =
π/2 − ∢MAO = π/2 − (α + β − π/2) = π − α − β. Nazadnje je res
∢DOC = π − 2β − (π − α− β) = α− β = ε, kar je bilo treba preveriti.
Slika 4. Rešitev naloge (A) s podobnostjo trikotnikov.
Nato si na simetrali s izberemo poljubno točko O′ pod premico q in
narǐsemo trikotniku AOC podoben trikotnik A′O′C ′, pri čemer oglǐsče C ′
leži na premici q, stranica O′C ′ je vzporedna z OC in zato oklepa kot ε s
simetralo s, stranica O′A′ pa vzporedna z OA. Trikotnika AOC in A′O′C ′
sta enakokraka, točke D,A in A′ pa kolinearne.
168 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5
Po sledeh neke geometrijske konstrukcije
Sedaj se da iskani trikotnik preprosto konstruirati. Najprej narǐsemo
stranico AB z dano dolžino c, načrtamo njeno simetralo s, vzporednico q
stranici AB na dani vǐsini vc, označimo z D presečǐsče premic s in q, nakar
na s nekje pod q izberemo točko O′ in skoznjo pod danim kotom ε načrtamo
premico, ki seka q v točki C ′. Skozi C ′ načrtamo krožni lok K′ s sredǐsčem
v O′. Lok K′ naj seka premico skozi A in D v točki A′. S tem je trikotnik
A′O′C ′ določen. Stranici A′C ′ skozi A potegnimo še vzporednico, ki preseka
q v točki C, ki je tretje oglǐsče iskanega trikotnika. Izrǐsemo trikotnik ABC.
Če je π/2 < ε < π, poteka konstrukcija enako, le da točko O′ izberemo
nad premico q, v primeru ε = π/2 pa na q. V slednjem primeru lahko C ′
na q, levo od D, poljubno izberemo.
4. V [1], pa tudi v [5, 6], je rešitev naloge (A), ki temelji na izreku
o potenci točke glede na krožnico. Izraz je leta 1826 uvedel Jakob Steiner
(1796–1863), sam izrek pa je poznal že Evklid (Elementi, 3. knjiga, trditev
36), le da mu ni tako rekel. Obsežno delo [4] Steinerjevega izraza še ne
uporablja. Dokaže pa se ga preprosto s podobnimi trikotniki.
Do elegantne rešitve naloge (A) pridemo po obravnavi trikotnika ABC,
ki mu očrtamo krožnico K in njegovo sredǐsče označimo z O (slika 5 levo).
V trikotniku načrtamo tudi vǐsino vc. Podobno kot v preǰsnji rešitvi hitro
ugotovimo, da je kot med to vǐsino in polmerom CO enak ε = α − β. V
oglǐsču C konstruiramo na K tangento t, ki seka premico p, to je nosilko
stranice AB, v točki T . Po izreku o potenci točke glede na krožnico velja:
|TC|2 = |TA| · |TB| = |TA| · (|TA| + c). Tangenta t pa oklepa s p tudi
kot ε. Za uspešno konstrukcijo trikotnika je treba najti le še razdaljo |TA|.
To pa nam uspe s pomožno krožnico K′, ki ima premer c in se v C dotika
t. Skozi T in sredǐsče O′ krožnice K′ potegnemo premico, ki K′ seka v
točkah E in F . Tedaj prav tako po izreku o potenci točke glede na krožnico
velja |TC|2 = |TE| · |TF | = |TE| · (|TE| + c). Ker ima kvadratna enačba
x(x+ c) = |TC|2 eno samo pozitivno rešitev, je |TA| = |TE|.
Konstrukcija trikotnika ABC je sedaj na dlani. Načrtamo vzporedni
premici p in q v medsebojni razdalji vc. Na p izberemo točko T in skoznjo
načrtamo premico t, ki oklepa s p kot ε. Njeno presečǐsče s q označimo s
C. Načrtamo krožnico K′, ki ima premer c in se v C dotika t. Sredǐsče K′
označimo z O′ in skozi T ter O′ potegnemo premico, ki K′ seka v točkah E
in F . Krožna loka s sredǐsčem v T skozi E in F sekata p v točkah A in B.
Načrtamo trikotnik ABC, ki je rešitev naloge.
Rešitev naloge (A), ki se nekoliko razlikuje od tiste v [1, 5, 6], najdemo
tudi v [4]. Levo na sliki 5 je konstrukcija iz [1], pri kateri začnemo s fiksirano
točko T oziroma C, desno pa iz [4], pri kateri začnemo s fiksno stranico AB.
161–170 169
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 5. Rešitvi naloge (A) s potenco točke glede na krožnico.
Za konec
Od devet v [7] in kakih dvajset v [3] omenjenih rešitev naloge (A) smo
v [1, 2, 7, 6, 9] našli šest bistveno različnih. Zato ostaja še veliko dela,
da ugotovimo, kaj je s preostalimi. Še vedno pa ne znamo odgovoriti na
vprašanje, iz katere zbirke je prof. Borštner izbral nalogo (A).
Kolega Izidor Hafner je nekaj rešitev naloge (A) obdelal s programom
Mathematica in jih objavil na svetovnem spletu: demonstrations.wolfram.
com/ThePlemeljConstructionOfATriangle/
LITERATURA
[1] AS 2012, Plemelj Josip, škatla 3, mapa 58, J. Plemelj, Razni matematični zapiski in
rokopisi.
[2] M. Brodar, Odgovor na vprašanje št. 6, Za bistre glave, Proteus 12 (1949/50), 8,
285.
[3] L. Čermelj, Vprašanje št. 6, Za bistre glave, Proteus 12 (1949/50), 4/5, 166.
[4] H. Holleben, P. Gerwien, Aufgaben-Systeme und Sammlungen aus der ebenen Geo-
metrie, I. in II. del, G. Reimer, Berlin 1831 in 1832.
[5] D. S. Modic, Trikotniki, Math, Ljubljana 2009.
[6] I. Munda, Odgovor na vprašanje št. 6, Za bistre glave, Proteus 12 (1949/50), 9,
323–324.
[7] J. Plemelj, Iz mojega življenja in dela, Obzornik mat. fiz. 39 (1992), 6, 188–192.
[8] J. Plemelj, Odgovor na vprašanje št. 6, Za bistre glave, Proteus 12 (1949/50), 7,
243–245.
[9] I. Pucelj, Plemljev trikotnik in negibne točke transformacij, Obzornik mat. fiz. 62
(2015), 1, 12–14.
[10] A. Suhadolc, O profesorju Josipu Plemlju, Obzornik mat. fiz. 57 (2010), 2, 53–57.
[11] I. Vidav, Josip Plemelj, Ob stoletnici rojstva, DMFA, Ljubljana 1975.
[12] A. Wiegand, Geometrische Aufgaben für höhere Lehranstalten, druga izdaja, Braun-
schweig, C. A. Schwetschke und Sohn, 1865.
170 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5