i
i
“4-3-Petek-naslov” — 2009/3/27 — 9:36 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 4 (1976/1977)
Številka 3
Strani 139–143
Peter Petek:
KAKO SE JE GODILO ŠTEVILU π?, I. Del
Ključne besede: matematika, geometrija, ploščina kroga, obseg kroga,
število π .
Elektronska verzija: http://www.presek.si/4/4-3-Petek.pdf
c© 1977 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
1
KAKOSE JE GODI LO šTEVI LU n
l. DEL
č lovek je že da vno v pr a zg odovin i opazi l , da je obseg kroga
ne ka ko trikrat v e č ji kot nj egov prem er. Ta podate k je s l uži l
pletar j u, ki je zv i jal šibe v okrog l e koš e , pa kolar j u, ki j e
i zd e lov al kolesa za bojne vozove.
V stari h kita jsk i h knj igah, papiru sih Ind ije in Egi pta a li
na g linastih p loščicah Mezopotamije j e moč srečati na loge, ki
zah tevajo ra čunanje ob sega kr oga, a l i obratno, premer kroga pri
z na nem obsegu . Tol e so na pr imer na šli na ploščici s kl i na s t i mi
zna ki :
Če je krožni~a 60, je t r etj ina od 60 e nak a 20. To j e prem er .
Tu že opaz i mo napr ede k od č i s t o obrtni škega navod ila, čeprav
se j e tedanja ma t ema t i ka zad ovolji la z nekaj r e š e ni mi pr imer i,
od koder je u č ~n e c sam ra zbr a l s plo šno prav ilo . Da nda ne s s i mo-
r amo za pom nit i l e for mu lo o =n d i n v edet i , da pome ni o obse g
in d pr emer krog a. Ka j pa pomeni gršk a črka n ( pi ) ? No , t o pa
je, kot vs i dobro vemo , sta l no razmerje med obsegom i n pr emerom
kr oga, ki zna ša pr i bl t ž no 3,14 .
V Egiptu $ 0 učenja k i prvi č opazili, da število 3 ne preds ta v -
lja popo lnom a natank o tega r az merja . Resd a je bi lo v Egiptu
š t ev i io n s krito v drugačno pre obleko . Egipčani so se dosti u k-
varja li z merjenjem p l o ščin; vemo pa , da pomeni n t udi razmerj e
med ploščino kr oga i n kvadr a t a , ki ima za po l mer str ani co. Ali
s form ulo p =n: r 2 •
Al i je kaj presenetljivega v tem, da s e š tev i lo n poj avlj a v
obeh formu lah, za obseg in za plo-
š č i n o kroga? Ne , se ved a ne . Ka r o-
g lejmo si s l ik o l . P lo ščino kr oga
si sestavi mo iz ve l i kega š t ev i l a
kr ožn i h izs e kov . č e j~ ' izsek do -
volj majhe n, ga mi r no la hko nado -
me s timo s trikotn ičkom . Višin a
tr ikotnička je ena ka po lmeru r,
osnovnico označimo z a . P loščina
mu je tedaj ra / 2 . Da d ob i mo plo-
šč ino kr oga , mo ra mo se šte t i plo-
šč ine vse h i z s e k ov- tr i k ot n i č k o v.
139
3
211:r. Po krajšanju z 2o =
č e v vs oti izpos tavi mo r/2, nam os ta ne r avn o vso ta vseh os nov-
ni c , t o je pa na tanko obseg kroga
imamo p = 11: r 2 .
V znamen i t em Rhindovem papir usu j e izračunana p lošč ina kroga,
ki ima pr emer 9 hetov*. Og lej mo si s liko 2 . Plošč ina kroga je
(seve pr i bliž no) enaka pl o š či ni osmerokotnika , ki ga do bimo, ko
odreže mo kvadratu ABCV voga le - D C
ena kokra ke pravokotne t r i kotni ke s
s tran ico t reh he t ov . Pl o š čin a ce le -
ga kvadrata je enaka 81 setov**,
p loščina vseh št iri h odrezkov j e e -
naka dvojni p loščini kvadrata s
strani co 3 he t ov , to je 18 setov .
Pr ibližno bi bi la t eda j pl o š či n a
kroga enaka 63 he t om. Vendar pa je
nez nani r a č u n ar vze l rajši rezu ltat 2
64 he t ov . Pog lej mo zaka j . No, morda AO-~--~~~--~~L-~~--OB
se mu je kar tako le na oko zde lo, da j e p lošči na kroga l e neko-
li ko večja kot ploščina os merokotn ika . Prav gotovo mu je bilo pa
važno, da je dobi l l e p rezu ltat : krog i ma isto p loščino kot kva-
kvad rat s stranico 8 hetov . Tud i do t ega re zultata je prišel s
pomočjo r isbe - slika 3 . P loščini
obe h kvadratov je odvzel ta ko, da
je od ve l ikega kvadrata s stranico
9 heto vodreza l dva pra vokotn ika,
ki sta vsak zas e p loščinsko enaka
kvadrat u s s tran ico 3 het ov . Resda
je pr i te m štel potemnjeni kvadra-
t e k v prese ku obe h pravokotn ikov
dvakrat, a to ga ni moti lo glede na
pr ib l ižnost raču na i n lep i rezu l-
ta t. Sa j je vend aro s ta 1 kot plo -
ščinsko enak krogu spet kvadrat, tokrat s stran ico 8 hetov .
Kakšen je prib l ižek za število ~ dob imo i z z g o r n j e ga egipčan ­
skeg a raču na. Polmer kroga je enak r = 9/2, njegova p loščina
p = 11:.81/4. Po Rhi ndovem papirusu bi bi lo to enako 64, torej
__~ 841~__,:,1i 11: = 4 . ~ = 4 . {~) 2
* he t egipčanska do lžinska mer a
** set = kvadrat n i het
140
znan in ga š e danes često upo rab- !i
1j amo kot nadomestek š tev ila n,
saj je ličen ulom e k, kj er ne š tevec ne imenovalec nista preve-
liki števili.
Pomen Arhimedovega računa pa je dal ek ose žnej ši od samega pri-
bl iž ka . Dve stvari s ta, ki dv i ga ta njegovo del o v i s oko nad ra-
če izračunamo dve decimalki, dobimo približek za n enak 3,16,
kar je re sda za celi dve s to t i nk i p rev eč, a nap redek od približ-
ka n = 3 je veli kans ki .
Plam eni c o zna nos t i so od Egip č anov pr evze l i Grk i. Matematika
jim ni pomenila več samo zbi r ke recept ov za računanje in zemlje-
merstvo, ampak s o jo predelali v logi č en sistem, kjer je bilo
tr eba vsa ko trditev d oka za ti , izv esti i z neka j os novn ih , oč i tn i h
resnic - aksiomov. Plo ščine kr oga se je lotil ed e n največjih u-
mov antike - Arhimed iz Sir a kuz (287- 21 2 p.n.š.) . Bilo je to
t i so č l e t j e in pol po na stanku Rhindoveg ~ papirusa.
Poglejmo , kak o je ra čun a; Arhi -
med!' Na sli ki 4 . vidimo kr og pol me-
ra a in vanj včrtan pravilni š es t -
kotnik . Obseg šestkotnika j e n~k o ­
li ko manjši kot obseg kro ga. Enak
je 6a. če bi iz tega pribl i ž ka iz-
računali število sc , bi dob ili pra -
stari rezultat n = 3 . če namesto
pravilnega šestkotnika vzame mo pr a -
vilni dvanajstkotni k, dobimo bolj ši ~
rez ult at , kip ada za št ev i l o n š e
vedno premajhno vrednost. Krogu o črtan i šest kotnik ima vec j t ob-
seg od kr oga , očrtani dv an a j s t kotn ik i ma s pe t manjši obseg od
šestkotnika, š e vedno pa sev eda več jega od kr oga (slika 5) .
Arhimed je nadaljeval to igr o z
včrtanim in očrtanim 24-kotni kom,
48- kotnikom in 96- kotni kom . Dobil
je na ta način zgornjo in s podnj o
oceno za število n . Njegov r ezul-
tat se glasi : Š t e v i l o n j e večj e
1 0 1od 37I in manj še od 37 , Pos eb no
zadnji približek 3+ = ~ j e dobr o
141
6
Arhim ed
tič ni puris ti . Reš itev kake
geometr i jske na l oge so priz - ~
nali le, če j e bi l a konstruk - , ~
cija iz ved ena z ravn ilom i n
š es t i lom . Tako so se lotil i
tudi kroga i n na s t al je zna -
me nit i prob l em kvadratu re
kroga, ki za hte va : samo s šesti lom i n r avnil om pretvor i da ni
kro g v pl o š čin s k o enak kvad rat . Rec imo, d a i ma kr og po l mer r,
i s kani kva dra t st r an i c o a ; potem j e 11:1. 2 = a 2 in a = r ffl-. Ta
r ač un na m po ka ž e, d a j e r ešitev na log e o kva draturi kroga m o č n o
od v is na od š te v i la 11:. Ker pa je nal oga t a ko e nos tav no f ormuli-
r an a - re šitev pa sploh n i eno sta vn a - so se j e l ot e v ali ne štet i
mat ematiki i n " mat e mat ik i " . Kvadra t ur a kr oga je pos t a la ž e prava
bole z en in je pov zr o čila pop lavo č la nk o v z "r e šitvam i ", dokl er
n i kon čn o Lindem ann let a 18 8 2 d oka zal, da j e na lo ga ne r e šljiv a .
č u n iz Rhi ndo vega papir usa. Arhimed je po dpr l svoj račun z d o-
kazom i n s e ni zadovo ljil l e s pr ib li ž no skico; n j e gov a metoda
daje možnos t - če je r a č u n a r do vo lj vztrajen i n natančen - i z-
ra ču n a t i š tevi lo 11: poljubno n a ta n č n o.
S ko r a j celih d va t i s o č l et se znanje o številu 11: ni premakni-
lo b i stveno naprej od Arhimedo vih s po z na n j . Resda so v tem času
izračunali precej boljših približ ko v od Ar h i med ov i h 22 i 7 , ven -
dar je metoda računanja ostala nj e g ova .
Od he lenskih matemati kov
po Arh imedu v el j a omen it i š e
Pto lemeja iz Aleksand rije
( pr i bli ž no leta 150 p.n.š . ) .
V zname niti knj igi Sy n t ax i s
mat he matica j e na vede l tab li -
co t et iv z a kote od OO d o
18 0 0 in s ice r s ko rako m po l
sto p i nje . Od tod je izv edel
tud i vrednost za š te v il o 11: .
Da l je pr i bl ižek 377 / 120, ki
s e uj ema s pr a vo vre dnostjo
11: = 3 ,14 1 5926 . . že na š t i r i
dec i malk e .
Grk i so b i l i hu d i matema -
142
E
7
B/1
Rim1jan i, ki s o za Grk i pre vze l i vod i 1no pol iti čno i n gos po-
dars ko vlogo v Sr edozem l ju , ni s o da li mat ematiki ni česar nove-
ga. A prav a ne s r e č a za zna nost se j e zače l a z nastopom srednje-
ga ve ka . Zan ima nj e za vs e ve d e , tudi za mat ematik o, je up adlo.
Sam osta ni s o s icer še hr anil i pri mer ke s t arih gr ških knj i g , a
bral in ra zumel jih ni več n i h č e.
Oglejmo si, ka ko s o s e lo tili kvadra t ur e kroga v srednjem
veku . Iz os lo vsk e kože a l i iz pe r gamen ta s o izrezali krog s
premerom 14 pal cev in pna vokotnik s strani cama 11 in 14 palcev .
Izre zan a li ka so potem polož ili na skode l ici te ht ni ce in ker j e
bila l e-ta v ravnov es ju , so s kl e pa li , da i ma t a oba li ka ena ko
pl o š či no. Seveda , č e vzamemo pribli že k n = 22/ 7 , res dobimo za
plo š čin o kr oga ( 22/7) . 72 = 22 .7 = 11 . 14, torej nsto plo ščino ,
kot j o ima pr av okot ni k. I n t ud i te htanj e l i kov kot ra ziskovalni
p r ipomoček bi bil o č isto v redu , če ne bi poznali že veli ko
bol j še ga Ar hime do veg a post opka . Ker t eda nji mat ematiki ni so ra-
zumel i , da je 22 /7 1e pri bl i že k, s o meni 1 i , da nastopi težava
še le zdaj , ko j e tre ba pr avokot ni k pretvor i t i v plo ščinsko enak
kvad r a t . Vem o pa , da j e t a nal og a otročj e lahka. Kar poglejmo na
sli ko 7. Prav okotn i k ABCD i ma str a -
ni c i 11 in 14. Na poda l j š e k st r an i- Dc;>- ----q~
ce AB nan es emo dal ji co BC = 14 in
dobim o t o č k o E . Nad dal j i co AE na-
ri š em o polkr og. Ta s eka dal j i c o BC N
v to č k i F in dalj ica BF j e st ran ica
i s kaneg a kva dra ta BF =~ (v i -
š i nsk i izr ek v pra vokotne m tr i kot- A
niku AEF ) .
Zal pa so s e dogaj al e v tem temnem čas u z matemat iko š e hu j -
š e r eči. Ke r je na nekem mest u v Bi blij i omenj en o starodavno
ob rtni ško navod i lo, da je obseg kro ga t ri kr at v ečji od premera ,
s o s e t a koj na š l i u če n j a ki, ki so z Bi bl ij o v r ok i do kazoval i,
da je n = 3 !
Pete r Petek
MATEMATIKA 101
143