i i “1432-Potocnik-0” — 2010/8/23 — 9:11 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 28 (2000/2001) Številka 2 Strani 106–107, VI Primož Potočnik: MILIJON DOLARJEV ZA DOKAZ GOLDBACHOVE DOMNEVE Ključne besede: novice, zgodovina matematike, teorija števil, prašte- vila, Goldbachova domneva, denarna nagrada. Elektronska verzija: http://www.presek.si/28/1432-Potocnik.pdf c© 2000 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. INov ice GOLDBACHOVA DOM NEVA Del Go ldbac hovega pisma Eulerj u iz let a 174 2, v katerem je Goldbach ob robu zapisal domnevo, da lahko vsako od 2 večje naravno število zapišemo kot vsoto treh praštev il (Goldbach je tudi število 1 štel k praštevilom). Domneva še do danes ni niti dokazana niti ovržena. Novice I MILIJON DOLARJEV ZA DOKAZ GOLDBACHOVEDOMNEVE Gotovo nas je že veliko razmišljalo, kako pri ti do denarj a, ki bi nam omogočil ob lepih bančnih obrestih lagodno preživeti preostanek življenja. Reševanj e matematičnih problemov se verjetno nikomur ni zdela pr ava pot za dosego takšnega cilja. In vendar lahko z matematiko pridemo do zajetnega kupčka denarj a. Vse, kar je potrebno st oriti, je dokazati dobrih 250 let staro domnevo pru skega zgodovina rja in matematika Christiana Goldbacha. Komur usp e do 15. marca 2002 dokazati , da je vsa ko od 5 večje nar avno število vsota treh praštevil , mu bo angleški založnik Toby Faber izplačal milijon ameriških dolarj ev nagrade. Oglejmo so Chr ist iana Goldbacha in njegovo domnevo malo pobliže. Christ ian Goldbach se je rodil let a 1690 v mest ecu Konigsberg' v te danji Prusiji. Pomemben del njegovega matematičnega ust varjanja je zajet v živahnem dopis ovanju z Eulerj em . Tako je let a 1742 v enem od pi- sem post avil domnevo, da lahko vsako od 2 večje naravno število zapišemo kot vsoto treh prašt evil (Goldb ach je št evilo 1 prišteval k pr aštevilom) : Es scheinet wenigstens das eine jede Zahi , die grasser ist els 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey. Euler je opazil, da je Goldbachova domneva ekvivalent na t rditvi, da lahko vsako od 3 večje sodo število zapišemo kot vsoto dveh praštevil , in do- dal , da je v pr aviln ost t rditve prepričan , čeprav dokaza ne naj de. P rvi večji korak v smeri dokaza Goldbachove domneve je bil storjen šele let a 1930, ko je ruski matematik Šni1erman dokazal , da lahk o vsako naravno število zapišemo kot vsoto ne več kot 20 prašt evil. Sedem let kasn eje je Vinogradov dokazal , da obstaja število M; za katero se vsako od lVI večje liho število zapiše kot vsota ne več kot t reh pr aštevil. Na jboljš i rezultat trenutno pripada kitaj skemu matematiku Chen Jing Runu, ki je let a 1973 objavil dokaz trditve, da se vsako dovolj veliko sodo število zapiše kot vsota praštevila in produkta dveh pr ašt evil. Goldbachova domneva malce spominja na Fermat ov zadnji izrek. Obe trditvi sta preprosti in njuno vsebino lahko razume prav vsak . Kljub 1 Kiinigsbe rg je matem atikom znan t udi zaradi Eulerj evega problema konigsb erških mostov, kater ega rešit ev šteje mo za začetek danes ene na jhitreje razvijajočih se vej matem atike - teorije grafov. I Novice svoji preprostosti pa sta vse prej kot enostavno dokazljivi. Obe trditvi st a bili postavlj eni na robu papirja, Fermatov teorem kot izrek , ki mu avtor zaradi pom anjkanja prost ora na listu ni dodal čudovitega in preprostega dokaza, Goldbachova domneva pa kot pripomba na robu pisma Eulerju. Na dokaz Fermatovega izreka smo čakali 350 let . Bomo morali na od govor o pravilno sti 250 let st are Goldbachove domneve čakat i še nadaljnjih 100 let ali pa bo lepa denarna nagrada posp ešila razvoj na te m področju in pripomogla k skorajšnj i rešitvi problema? St rokovnj aki s področja teorije šte vil so skeptični . Po besedah nosilca Fieldsove medalj e", Alana Bakerj a , denar vrhunskim matematikom ne predstavlja ključne motivacije: Kdor bi znal, bi domnevo dokazal zaradi izziva samega. Angleški založniški mogotec Toby Faber je visoko denarno nagrado razpisal mar ca letošnjega let a ob izidu romana Stric Pet er in Goldba- cbove domneva grškega pis atelja Apostolosa Doxiadisa. Knj iga govori o uspešnem grškem matematiku, Petrosu Papach ristouju, z ugledno mate- matično karirero, ki pa ga dolgoletna obs edenost z Go ldbachovo domnevo pahne na rob družbe. Avtor pripoveduje zgodbo skozi oči matematikovega nečaka , ki počasi odkriva resni co o čudaškem st ricu Petru in ki ob stričevi skriti strasti nikakor ne ostane ravnodušen . Roman še ni pr eveden v slovenščino, Presekovi bralci, ki jim angleščina ne povzroča t ežav, pa lahko knjigo za 18 ameriških do larjev naročijo preko interneta. Ker je roman v pol let a , odkar je izšel angleški prevod, postal ena najbolje prodajanih knjig v Angliji in Zdru žen ih dr žavah, se je razpisana denarna nagrada založnikom gotovo že povrnila (mimogrede, založniki so se za primer uspešne rešitve Goldbachove domneve zavarovali pri zavarovalnici, tako da lahko tudi sami z vso iskrenostjo želijo srečo vsem, ki jih bo za jet en kupček dolar jev premamil in se bodo podali na nevarno pot junaka njihove zgodbe). Za kon ec pa naj razočaram vse t iste vn ete bralce Preseka , ki so se že videli na kakšnem od tihomorskih otokov s po lnimi žepi dolarskih bankovcev - za milijonsko nagrado lahko kandidirajo le po lno letne oseb e s stalnim prebivališčem v Veliki Britaniji ali Združenih državah Am er ike. Podrobnejše pogoj e razpisa nagrade si lahko ogledate na intern et ni strani www. f aber . co . uk/ f ab er / goldbachr ul es . Primož Potočnik 2 Fi eldsova medalj a je ekviva le nt Nobelov i n agradi, ki je, kot ve m o, za dosežke v matematiki ne p odeljujejo. Kljub t emu pa je med nosilci Nobelove nagrade veliko matematikov . V zad nj ih letih je nagrada za dosežke v ekonomski znanos t i p raviloma pripadla matematiku .