i
i
“Razpet-geometrijska” — 2010/6/14 — 9:07 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 16 (1988/1989)
Številka 2
Strani 80–81
Marko Razpet:
GEOMETRIJSKA PONAZORITEV SKRČENJA
DOLŽINE IN PODALJŠANJA ČASA
Ključne besede: matematika, geometrija, fizika, svetlobna hitrost,
skrčenje dold̄ine, podaljšanje časa, koordinatni sistem, enotska kro-
žnica, projekcija, podobnost trikotnikov.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/928-Razpet.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
GEOMETRIJSKA PONAZORITEV SKRCENJA DOL21NE IN
PODALJSANJA CASA
V posebni teoriji relativnosti sta znani formuli za skrčenje dolžine (kontrakcija
dolžine)
1'=1 )1-(vlcf2
in podaljšanje časa (dilatacija časa)
r = ----~-----
)1 - (vlc)2
(1)
(2)
Omenjena pojava sta posledici Lorentzove transformacije. V formulah (1), (2)
pomenijo: c - hitrost svetlobe v vakuumu; v - hitrost telesa za opazovalca, ki
miruje; 1 - lastna dolžina telesa v smeri gibanja, to je tista dolžina, ki bi jo
izmeril opazovalec, ki sedi na telesu; t - čas med dvema dogodkoma za opa-
zovalca, sedečega na telesu; t' - dolžina telesa v smeri gibanja, ki jo izmeri
mirujoči opazovalec in t' čas med prej omenjenima dogodkoma, ki ga izmeri
mirujoči opazovalec. Natančno razlago o vsem tem najde bralec že v Presekovi
knjižnici: Janez Strnad, Relativnost za začetnike. Naš namen ni ta, da bi se
spuščal i v fizikalne podrobnosti, ampak da s preprosto geometrijsko konstru-
kcijo ponazorimo skrčenje dolžine in podaljšanje časa. Prepišimo formuli (1).
(2) v obliko
t'It = 1 _
)1 - (vlc)2
Podali bomo geometrijsko povezavo med števili vic, 1'11 in r/i. V ta namen
vzemimo pravokotni koordinatni sistem Oxy (dovolj je že prvi kvadrant) in v
njem enotsko krožnico z enačbo x 2 + y2 =1. Točka T(vlc, 1'11) leži na enotski
krožnici, ker velja (vlc)2 + (l'11)2 = 1. Na abscisni osi je torej treba vzeti točko
. T'(vlc, O). potegniti vzporednico z ordinatno osjo do točke T in število 1'11 je
ordinata točke T. Točka T"(O, 1'11) je pravokotna projekcija točke T na ordi-
natno os. Tangenta na krožnico v točki T seka ordinatno os v točki T"'(O, t'It).
Zakaj? Točka T" ima pri danem razmerju vic koordinati O in t it'. Trikotnika
OTT'" in OT"T sta si podobna, saj se ujemata v dveh kotih: pravem in tistem
z vrhom v točki O. Zato velja razmerje OT"': OT = OT: OT". Ker je OT= 1
in OT" = tit', dobimo takoj iskani rezultat: OT''' = t'It.
80