ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 4 Strani 212-214
Marija Vencelj:
KONSTRUKCIJA ELIPSE S TRAKOM PAPIRJA
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1050-Vencelj.pdf
© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2009 DMFA - založništvo
KONSTRUKCIJA ELIPSE S TRAKOM PAPIRJA
Verjetno je med številnimi definicijami elipse najbolj znana tista, ki pravi:
Elipsa je geometrijsko mesto točk v ravnini, katerih vsota razdalij od dveh fiksnih točk ravnine je konstantna.
Zato tudi ni ni£ čudnega, daje med konstrukcijskimi metodami za elipso najbolj poznana "vrtnarska metoda". Saj vesta katera? To je tista, pri kateri vrtnar zabije v zemljo dva količka, nanju priveže primerno dolgo vrvico in s tretjim prostim količkom ob napeti vrvici, kot kaže slika 1, zariše na vrtu lepo
Slika 1.
Manjznanaje" papirčkova metoda" , konstrukcija elipse s pomočjo papirnatega traku, čeprav jo je že v 5. stoeltju učil bizantinski matematik Proklos. Prikazana je na sliki 2, nekoliko posplošena pa se glasi:
Naj bodo A, B, C tri fiksne točke premice I. če se premica I giblje tako, da dve od točk drsita vzdolž dveh med seboj pravokotnih premic p in q, vzdolž vsake po ena, opiSe tretja točka elipso s s red i ¡če m v presečišču premic p in q. Temena elipse ležijo na premicah p in q.
Dokaz je preprost. Pravokotni premici p in q izberimo za koordinatni osi, na drseči premici I pa izberimo oznake tako, da bo točka A drsela po premici
Slika 2.
p in B po premici q. Zasledovali bomo tirjočke C. Pri tem je vseeno, ali leži C na daljici AB ali izven nje. Naj bo AC = b, BC = a in a kot, k. ga oklepa premica I s premico p. Z x in y označimo koordinati točke C (slika
Slika 3
| x ]= a cos a
| y |= ¿siri a
Predznak koordinate je odvisen od kvadranta, v katerem se točka C nahaja. Iz (1) sledi
1*1
-—- = cos a a
b
in od tod enačba elipse
2 2 32 + ¿2
Točka C torej res opiše elipso s središčem v presečišču premic p in q in z osema na teh dveh premicah. Njeni polosi sta a in b, oddaljenosti točke C od točk A in B, ki drsita po premicah p in q.
Omenimo Se, da je v 17. stoletju holandski matematik Franciscus van Schooten mlajši, našel naslednjo, izredno lepo posplošitev Proklosove trditve: Če drsita v ravnini dve ogliiči togega trikotnika po dveh sekajočih se premicah, opiše tretje oglišče elipso s središčem v presečišču obeh premic. Prikazana je na sliki 4, več o njej pa morda kdaj drugič!
Marija Vencelj