Zlepki nad Powell-Sabinovimi triangulacijami - Grošelj, Jan (visokošolska dela, 2016)
Powell-Sabinova triangulacija je dobljena z delitvijo neke dane splošne triangulacije tako, da se vsak njen trikotnik razdeli na šest manjših trikotnikov. Standardna konstrukcija zvezno odvedljivih kvadratičnih zlepkov nad razdeljeno triangulacijo je dodobra raziskana in je predvsem na račun znane B-reprezentacije uporabna na različnih področjih numerične analize. Disertacija obravnava možnosti konstrukcije splošnejših polinomskih zlepkov nad Powell-Sabinovimi triangulacijami. V njej so analizirani prostori višjih stopenj in redov gladkosti, ki posplošujejo prostor zvezno odvedljivih kvadratičnih zlepkov. Poseben poudarek je na konstrukciji baznih B-zlepkov, ki omogočajo stabilno in geometrijsko intuitivno predstavitev zlepkov nad Powell-Sabinovimi triangulacijami. Začetni del disertacije je namenjen pregledu osnovnih rezultatov o polinomskih zlepkih nad triangulacijami. Podrobneje so predstavljeni kvadratični Powell-Sabinovi zlepki. V nadaljevanju so obravnavani kubični zlepki. Prostor zvezno odvedljivih kubičnih Powell-Sabinovih zlepkov do nedavnega ni bil raziskan, a se izkaže kot zelo primeren za uporabo v numerični analizi. Tovrstne zlepke lahko predstavimo z B-zlepki na dva različna načina. Obe predstavitvi imata prikladno kontrolno strukturo, ki temelji na konveksni razčlenitvi enote. Ena izmed predstavitev omogoča tudi enostaven opis kvadratičnih zlepkov in kubičnih zlepkov z dodatnimi pogoji gladkosti. Zadnji dve poglavji disertacije se ukvarjata s konstrukcijo Powell-Sabinovih zlepkov višjih stopenj. Predstavljen je prostor zglajenih zvezno odvedljivih zlepkov stopnje 4 s številnimi dodatnimi pogoji gladkosti reda dve. Opisana je tudi družina prostorov Powell-Sabinovih zlepkov s predstavnikom za poljubno stopnjo. Zlepke vseh obravnavanih prostorov je mogoče izraziti z B-zlepki, ki so posplošitve kvadratičnih in kubičnih Powell-Sabinovih B-zlepkov.
Keywords: B-splines; B-zlepki; control structures; convex partition of unity; geometric design; geometrijsko oblikovanje; interpolacijski problemi; interpolation problems; kontrolne strukture; konveksna razčlenitev enote; kvazi-interpolacija z zlepki; macro-elements; makro-elementi; Powell-Sabin splines; Powell-Sabinovi zlepki; spline quasi-interpolation; splines on triangulations; zlepki nad triangulacijami