  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 1 27
O predstavitvi podatkov v
računalniku: cela števila
J S
Velikokrat slišimo, da računalniki vse podatke
hranijo kot zaporedja ničel in enic. Vse lepo in
prav, to za moderne računalnike drži, vendar ne
pove prav veliko o tem, kako so shranjeni konkre-
tni podatki. Večina podatkov, ki jih shranjujemo,
npr. slike, zvok ali besedilo, so shranjena kot zapo-
redja celih števil.
Obstaja več dogovorjenih načinov, kako sliko,
zvok ali besedilo pretvorimo v zaporedje števil. Ti
načini so večini ljudi znani kot datotečni formati,
za slike poznamo jpg, png, gif (in druge), za zvok
mp3, flac ipd. Običajni uporabniki ne potrebujejo
nobenega znanja o tem, kako formati delujejo, po-
membno je le, da oba programa, tako tisti, ki shra-
njuje, kot tisti, ki prikazuje, uporabljata enak format.
S predstavitvijo večjih kosov podatkov, kot so slike
ali besedilo, se bomo ukvarjali kdaj drugič; tokrat
pa se bomo spustili še en nivo globlje in se vprašali,
kako delamo s seznamom števil oziroma celo kako
predstavimo le eno celo število. Morda je odgovor
na prvi pogled preprost: pretvorimo število v dvoji-
ški sistem, pa smo! To je tudi res, vendar bo po poti
potrebno rešiti še nekaj težav.
Dvojiški sistem
Kot vam je verjetno znano, števila običajno zapisu-
jemo v desetiškem sistemu in za zapis števil upora-
bljamo števke od 0 do 9. Število 593 tako pomeni
593 “ 5 ¨ 100 ` 9 ¨ 10 ` 3 “ 5 ¨ 102 ` 9 ¨ 101 ` 3 ¨ 100.
Podobno lahko vsako število zapišemo v kakšnem
drugem sistemu, za računalništvo je posebej zani-
miv dvojiški, saj ima le dve števki: 0 in 1. Število
593 bi tako napisali kot
593 “ 1 ¨ 512 ` 0 ¨ 256 ` 0 ¨ 128 ` 1 ¨ 64 ` 0 ¨ 32`
` 1 ¨ 16 ` 0 ¨ 8 ` 0 ¨ 4 ` 0 ¨ 2 ` 1 ¨ 1
“ 1 ¨ 29 ` 0 ¨ 28 ` 0 ¨ 27 ` 1 ¨ 26 ` 0 ¨ 25`
` 1 ¨ 24 ` 0 ¨ 23 ` 0 ¨ 22 ` 0 ¨ 21 ` 1 ¨ 20
“ 1001010001p2q,
kjer s podpisano (2) označimo, v katerem sistemu
je število zapisano (v desetiškem podnapis ponavadi
izpustimo).
Drugi zanimivi sistemi so potence dvojiškega, npr.
osmiški in šestnajstiški, saj dovolijo krajši zapis kot
dvojiški, vendar jih je še vedno enostavno pretvoriti
v dvojiškega ali nazaj; enostavno pretvorimo vsako
števko posebej v ustrezno število bitov (običajno bi
morali uporabiti npr. Evklidov algoritem). Zgornje
število bi v osmiškem zapisali kot 1121p8q.
Sistemske omejitve
Osnovna enota informacije je en bit – vrednost, ki
je lahko le 0 ali 1. Toda, računalniki s posameznim
bitom naenkrat ne morejo delati neposredno. Naj-
manjša enota, ki jo lahko neposredno uporabimo, je
en bajt – ta ima osem bitov. Računalniški pomnilnik
(RAM) si lahko predstavljamo kot ogromno tabelo s
prostori, ki so veliki en bajt. Če imamo npr. 4GiB1
pomnilnika, imamo torej prostora za 4 294 967 296
1Formalno obstaja razlika med enotama GiB in GB. Enote
brez ›i‹, kot so kB, MB, GB, uporabljajo standardne fizikalne pred-
pone kilo-, mega-, giga- in faktor 1000, medtem ko enote z ›i‹,
torej KiB, MiB, GiB, uporabljajo predpone kibi-, mebi-, gibi- in
faktor 1024. V praksi se uporablja zmešnjava vsega. Več o stan-
dardizaciji lahko preberete na strani ameriškega nacionalnega
inštituta za standarde in tehnologijo: physics.nist.gov/cuu/
Units/binary.html
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 128
bajtov. Vsak bajt predstavimo kot zaporedje osem
bitov in ga shranimo v posamezno celico, kot je she-
matsko prikazano na sliki 1.
naslov podatek
0 10101001
1 10110001
2 01011000
3 10100011
4 00001001
...
4294967294 01000000
4294967295 10011110
SLIKA 1.
Shema računalniškega polnilnika
Sedaj ko poznamo omejitve sistema, se lahko po-
govorimo o tem, kako velika števila bomo shranje-
vali. Nekateri programski jeziki, npr. Python, dopu-
ščajo uporabo poljubno velikih števil. Vendar je to
zgolj iluzija za uporabnika: ko števila postanejo pre-
velika, se v ozadju shranijo kot zaporedje manjših
števil. Če dopuščamo le omejena števila, je najbolj
skopuška možnost, da bi omejili delo s števili na en
bajt. Največje število, ki bi ga tako lahko zapisali, bi
bilo 11111111p2q oz. 255. To bi bilo za vsakodnevno
uporabo premalo, saj si hitro lahko zamislimo upo-
rabo za večja števila. Običajno imamo pri programi-
ranju opravka s števili, ki so velika 32 ali pa 64 bitov
(torej štiri ali osem bajtov). Največje število, ki ga
lahko shranimo v 32 bitov, je 111111111111111111
11111111111111p2q oziroma 232 ´1 “ 4 294 967 295,
kar je malo več kot štiri milijarde. Največje 64-bitno
število, pa je 264 ´ 1 “ 18 446 744 073 709 551 615,
kar je nekaj več kot 18 trilijonov. Že 32 bitna šte-
vila so dovolj za večino praktičnih potreb, vendar so
kdaj neustrezna. Naštejmo nekaj znanih težav, kjer
32-bitna števila niso bila zadostna. Ponavadi imamo
opravka s predznačenimi števili, ki lahko hranijo po-
zitivne in negativne vrednosti, tako da se zgornja
meja zmanjša za približno polovico, na
2 147 483 647. Pred nekaj leti je YouTube video Gan-
gam style dosegel dovolj ogledov in so morali šte-
vilo ogledov hraniti v 64-bitnih številih. Za težavami
z omejenimi števili trpijo tudi marsikatere (pogosto
starejše) računalniške igrice. Igra Minecraft je do ver-
zije 1.7.3 napačno generirala teren, če je igralec šel
predaleč od sredine sveta (ta teren je postal znan
pod imenom Daljne dežele (Farlands)), in še danes
imajo nekatere verzije to težavo. Zanimiva težava,
ki nas še čaka, pa je povezana s shranjevanjem časa.
Računalniki pogosto shranjujejo trenutni čas kot šte-
vilo sekund od 1. januarja 1970 in v torek 19. janu-
arja 2038 bo število sekund preveliko, da bi ga shra-
nili v 32-bitno število. Ta datum je znan kot »ko-
nec časa« in do takrat morajo programi začeti upo-
rabljati 64-bitna števila. Pri shranjevanju časa bodo
64-bitna števila zadostovala še za naslednjih 585 mi-
lijard let in nas pred tem lahko skrbi marsikaj dru-
gega.
Kljub temu, da kdaj povzročajo težave, so ome-
jena števila praktično neizmerno uporabna. Če se
dogovorimo, da bomo uporabljali 32-bitna števila, ve-
mo, da moramo prebrati naslednje štiri bajte, in ti
vsebujejo naše število. V nasprotnem primeru bi mo-
rali na kakšen bolj zapleten sporočiti, kako dolgo je
število (morda najprej poslati dolžino, toda tudi to je
število, kako pa sporočimo število). V praksi se pri
večini zapisov in protokolov dogovorimo za omejitev
velikosti števil.
Veliki in mali endian
Denimo, da želimo zapisati ali poslati število
2 740 498 857 z bitno reprezentacijo
2 740 498 857 “
10100011 01011000 10110001 10101001,
kjer smo števke s presledki ločili po bajtih. Za lažje
razumevanje jih oštevilčimo:
10100011 01011000 10110001 10101001
1. bajt 2. bajt 3. bajt 4. bajt
Pojavljata se dva smiselna načina pošiljanja: ali
bajte pošljemo v vrstnem redu 1234 ali pa 4321.
Bomo najprej poslali bajt 1, ki vsebuje »največje«
števke (t. i. most significant byte) ali četrti bajt z »naj-
manjšimi« števkami? V praksi glede tega ni bilo skle-
njenega kompromisa in uporabljata se oba načina.
Pri komunikaciji prek omrežja se bajte ponavadi po-
šilja v vrstnem redu 1234, torej najprej »z velikega
konca«, pri zapisu v pomnilnik ali pri procesorskih
operacijah pa se na večini modernih arhitektur upo-
rablja zapis 4321, torej »z manjšega konca«. Zgornje
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 1 29
število je v pomnilniku na sliki 1 zapisano z manj-
šega konca v celicah 0–3. Prikaz obeh zapisov je bolj
pregledno napisan na sliki 2.
mali endian
naslov podatek
x 10101001 4. bajt
x ` 1 10110001 3. bajt
x ` 2 01011000 2. bajt
x ` 3 10100011 1. bajt
veliki endian
naslov podatek
x 10100011 1. bajt
x ` 1 01011000 2. bajt
x ` 2 10110001 3. bajt
x ` 3 10101001 4. bajt
SLIKA 2.
Mali in veliki endian zapis števila 2 740 498 857
Zapis števila 4 kot 32-bitnega števila z »manjšega
konca« bi bil tako
4 “ 00 . . .0100 “
00000100
00000000
00000000
00000000
.
Angleški izraz za zapis »z velikega konca«, torej
1234, je big endian, za zapis »z manjšega konca«,
torej 4321, pa little endian. Izraza izhajata iz satirič-
nega romana Guliverjeva potovanja, ki ga je napisal
Johnatan Swift leta 1726. Roman je kritika takratne
angleške družbe; v njem Guliver doživi brodolom in
se zbudi v deželi Liliput, kjer živijo Liliputanci. De-
želo težijo razdori in borbe med Liliputanci, eden iz-
med glavnih razlogov pa je, ali je treba trdo kuhano
jajce najprej razbiti na zgornji (manjši) ali spodnji
(večji) strani. V angleščini so se zagovorniki strani,
ki je jajce razbijala z manjšega konca (from the lit-
tle end) imenovali little endians, njihovi nasprotniki
pa big endians. Izraz je v računalništvu popularizi-
ral Danny Cohen v malo manj, a kljub vsemu neza-
nemarljivo satiričnem članku O svetih vojnah in pro-
šnja za mir [1], objavljenem s strani takratne »de-
lovne skupine za internet« (Internet Engineering
Task Force (IETF)). Tam potegne nekaj vzporednic
med zagovorniki ene in druge strani in jih tudi okliče
za Little- ali Big-Endians. Od takrat se je izraz obdr-
žal, splošnemu principu, kako lahko števila različno
napišemo, pa rečemo endianess. V slovenskem pre-
vodu se zgornji in spodnji del jajca pri Liliputancih
imenujeta »vršek« in »tušek«, vendar terminologija
(še?) ni prišla v rabo pri računalniških arhitekturah.
Negativna števila
Do sedaj smo se ukvarjali samo z zapisom pozitiv-
nih števil. Običajna števila, ki jih uporablja računal-
nik, so predznačena, torej imajo predznak + ali ´, in
so lahko negativna. Kako pa zapišemo ta? En način
je, da prvi bit žrtvujemo za predznak: dogovorimo
se, da če je prvi bit enak 0, pomeni, da je število po-
zitivno, sicer pa negativno, preostanek pa interpre-
tiramo kot običajno pozitivno število. Tako bi npr.
00000001 pomenilo število 1, 10000001 pa ´1. Ta
sistem se imenuje »predznak in velikost«, sign and
magnitude
Na žalost se ta način ne uporablja pri celih šte-
vilih. Zgoraj opisani način ima med drugim težavo,
da ima dve ničli (+0 in ´0), ki sta kot števili seveda
enaki, bitna zapisa imata pa različna. To povzroča
tudi težave pri postopku za seštevanje. Sistem, ki se
večinoma uporablja dandanes, se imenuje »komple-
ment dvojke« (two’s complement) in teh težav nima,
ima pa tudi smiselno matematično strukturo.
Da bo manj pisanja, denimo, da delamo z osem bi-
tnimi števili. Pa se vprašajmo, katero število je ´5?
To je število, ki ga moramo prišteti 5, da dobimo 0.
Trdim, da je pri osem bitnih številih to število v re-
snici 251. Pa poglejmo: 5 v dvojiškem zapišemo kot
101p2q, 251 pa kot 11111011p2q. Pisno ju seštejmo:
00000101p2q = 5
+ 11111011p2q = 251
= 1 00000000p2q = 256
Ker imamo samo osem bitov, rezultatu »odpade«
prvi bit in dobimo odgovor 0. Če torej velja, da je
5 ` 251 “ 0, je 251 nasprotna vrednost 5, torej ´5.
Po enakem principu je tudi 5 “ ´251. Stvar dogo-
vora je, kako si bomo posamezna števila interpreti-
rali: če se dogovorimo, da binarni zapis 251 ne po-
meni 251 ampak ´5, potem pač nimamo nobenega
načina, da bi zapisali število 251. Ampak nič hudega,
jasno je, da bomo morali nekaj števil žrtvovati. Vseh
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 130
števil je 256 in če hočemo imeti nekaj negativnih šte-
vil, moramo na nekaj pozitivnih števil gledati kot na
negativna. Smiselno je razdeliti na polovico. Šte-
vila od 0–127 ostanejo nedotaknjena (to so števila
od 00000000 do 01111111) in jih interpretiramo kot
prej. Števila od 128 do 255 pa interpretiramo kot
negativna števila. Namreč 255 + 1 = 256, kar je v 8-
bitnem sistemu enako kot 0. Podobno velja 254+2 =
0, 253+3 = 0 in na koncu 129 + 127 = 0. Odločimo
se torej, da bomo 255 “ 11111111p2q gledali kot ´1,
in tako naprej do 129 “ 10000001p2q kot ´127. Od
tod tudi razlog za ime »komplement dvojice«: v n-
bitnem sistemu število negiramo tako, da ga odšte-
jemo od 2n, v našem primeru od 28 “ 256. Rešiti
moramo le še število 128, ki je samo sebi nasprotno
število in ga lahko interpretiramo kot negativno ali
pozitivno. Dogovor je, da ga gledamo kot negativno.
To ima prednost, saj lahko predznačenost števila še
vedno ugotovimo, tako da pogledamo prvi bit – 0 po-
meni nenegativno, 1 pa negativno (le preostanek se
drugače interpretira).
Naš razpon števil torej izgleda takole:
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
11111111 255 ´1
11111110 254 ´2
...
...
...
10000010 130 ´126
10000001 129 ´127
10000000 128 ´128
01111111 127 127
01111110 126 126
...
...
...
00000010 2 2
00000001 1 1
00000000 0 0
število število
bitni zapis nepredznačeno predznačeno
Zanimiva posledica takega zapisa je, kaj se zgodi,
če imamo predznačeno celo 8-bitno število, ki je na
začetku 0 in ga povečujemo za 1 v neskončni zanki.
Vrednost bo rasla do 127 “ 01111111p2q, nakar bo
postala 10000000, kar si interpretiramo kot ´128.
Ko na desni strani prekoračimo največjo vrednost,
pridemo ven pri najmanjši vrednosti. Če sedaj na-
daljujemo, bo naslednja vrednost, ko prištejemo 1,
enaka 10000001, kar si interpretiramo kot ´127. Na-
to bo sledila 10000010, kar je ´126. Vidimo, da
se povečevanje pravilno obnaša, razen ko preskoči
(kar ne drži pri predstavitvi, opisani na začetku). To
pomeni, da lahko računalnik s števili pri seštevanju
in odštevanju dela, kot da so pozitivna, in samo na
koncu drugače pogleda na rezultat.
Naredimo en primer s polnimi 32-bitnimi števili.
Najprej izračunajmo razpon predstavljivih števil v n-
bitnem sistemu. V zadnjih n ´ 1 bitov kot običajno
zapišemo števila od 0 do 2n´1 ´ 1. Preostala števila
od ´2n´1 do ´1 so negativna. V 32-bitnem sistemu
je torej največje število 231 ´ 1 “ 2147483647, naj-
manjše pa ´231 “ ´2147483648.
Primer, ki si ga je enostavno zapomniti, je število
z zapisom
11111111 11111111 11111111 11111111.
To število je ´1, kar hitro vidimo na dva načina. Kot
pozitivno število je enako 232´1, torej je njegova vre-
dnost 232 ´ p232 ´ 1q “ 1, obravnavamo pa ga kot ne-
gativno, ker ima prvi bit 1. Še lažje, pogledamo, kaj
se zgodi, če prištejemo 1: dobimo same 0 in enico, ki
pade čez rob – torej je to število plus 1 enako 0 in je
število torej ´1.
Za vajo si sedaj interpretirajmo še število z zapi-
som
10100011 01011000 10110001 10101001.
Običajno interpretirano je to število 2 740 498 857.
Toda vidimo, da ima na prvem mestu 1, in si ga mo-
ramo interpretirati kot negativno: izračunamo 232 ´
2 740 498 857 “ 1 554 468 439 in vemo, da zgornji
zapis predstavlja ´1554468439. S tem lahko tudi
seštevamo, kot da delamo s pozitivnimi števili. Izra-
čunajmo na ta način
´ 1554468439 ` p´5q,
torej 2 740 498 857 ` 4 294 967 291 “ 7 035 466 148,
kar v bitih izgleda kot
10100011 01011000 10110001 10101001
` 11111111 11111111 11111111 11111011
“ 1 10100011 01011000 10110001 10100100
         
P 48 (2020/2021) 1 31
Enica, ki gleda čez, odpade in preostane vrednost,
ki si jo interpretiramo kot ´1554468444, kar je
pravilen rezultat. Enako velja tudi za priš-
tevanje pozitivnih števil. Izračunajmo npr.
´1554468439 ` 1554468444 in pričakujemo re-
zultat 5. Res, 2 740 498 857 ` 1 554 468 444 “
4 294 967 301 “ 232 ` 5, oz. v dvojiškem
10100011 01011000 10110001 10101001
` 01011100 10100111 01001110 01011100
“ 1 00000000 00000000 00000000 00000101,
kar je po tem, ko odrežemo enico, enako 5.
Za konec še trik, kako lahko hitro dobimo bitni za-
pis nasprotnega števila, če že poznamo bitni zapis
originala. Postopek gre takole: vzamemo bitni zapis
originala in obrnemo vse bite (0 postane 1 in obra-
tno). Nato prištejemo 1.
Najprej preizkusimo na primeru, potem pa razlo-
žimo, zakaj deluje. Vzemimo število 19 z zapisom
00000000 00000000 00000000 00010011.
Obrnemo bite in dobimo
11111111 11111111 11111111 11101100.
Prištejemo 1, dobimo
11111111 11111111 11111111 11101101
in trdimo, da je to ´19. Pa poglejmo: kot pozitivno
število je to enako 4 294 967 277, toda ko ga sešte-
jemo z 19 dobimo točno 232, kar je v 32-bitnih števi-
lih enako kot 0, torej je moralo število res biti -19.
Premislimo še, zakaj postopek res deluje. Imejmo
na začetku število X, obrat bitov pa označimo z „X.
Pokazati želimo, da je „X ` 1 nasprotno število od
X. To je najlažje storiti tako, da ju seštejemo, in
moramo dobiti 0. Poglejmo, kaj se zgodi, ko sešte-
vamo „X in X. Ker so vsi biti nasprotni, je rezultat
vedno enak 11111 . . .11. Ko temu prištejemo 1, do-
bimo ravno same ničle in enico, ki pade čez rob, torej
je rezultat res 0.
Literatura
[1] D. Cohen, On holy wars and a plea for pe-
ace, Computer, 14(10), 48–54, 1981, dosto-
pno na www.ietf.org/rfc/ien/ien137.txt,
ogled: 5. 8. 2020.
ˆ ˆ ˆ
̌

̌
 47/6
Pravilna rešitev nagra-
dne križanke iz šeste
številke Preseka je Algo-
ritem. Izmed pravilnih
rešitev so bili izžrebani
Vid Kavčič iz Črnomlja,
Martin Mah iz Šmar-
tnega pri Litiji in Ema
Hajnšek iz Ljubljane, ki
bodo razpisane nagrade
prejeli po pošti.
ˆ ˆ ˆ