IZ RAZREDA
46
Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018
Moessnerjevo sito
dr. Marko Razpet
Aleksandrijski učenjak Eratosten iz Kirene, grško  
 (276–194 pnš.), je bil vodja slovite aleksandrijske 
knjižnice, narisal je zemljevid takrat znanega sveta, genialno in 
razmeroma natančno je izračunal velikost Zemlje. Matematiki pa 
ga poznamo predvsem po postopku, kako iz zaporedja naravnih 
števil izločiti praštevila. Temu slikovito pravimo Eratostenovo 
sito.
Z naravnimi števili so se ljudje vedno radi ukvarjali, tudi nema-
tematiki. Veliko zanimivih lastnosti naravnih števil so odkrili 
razvedrilni ali rekreativni matematiki. Eden takih je bil Nemec 
Alfred Moessner iz Gunzenhausna na Bavarskem, o katerem ne 
vemo prav veliko, razen da je iznašel postopek, kako iz narav-
nih števil izluščiti zaporedje k-tih potenc. Postopek imenujemo 
Moessnerjevo sito. Moessner ga je leta 1951 brez dokaza objavil 
v neki publikaciji Bavarske akademije znanosti. Že istega leta je 
znani nemški matematik Oscar Perron (1880–1975) objavil do-
kaz o pravilnosti Moessnerjevega postopka. Preden nadaljujemo, 
povejmo, da so členi s
1
, s
2
, s
3
, ... zaporedja delnih vsot danega šte-
vilskega zaporedja a
1
, a
2
, a
3
, ... definirani takole:
s
1
 = a
1
, s
2
 = a
1
 + a
2
, s
3
 = a
1
 + a
2
 + a
3
, ...
Da pridemo do zaporedja kvadratov 1
2
, 2
2
, 3
2
, ..., po Moessner-
ju najprej zapišemo primerno dolgo zaporedje naravnih števil, 
nato pa v njem prečrtamo vsak drugi člen, začenši z drugim. Za 
dobljeno okleščeno zaporedje zapišemo zaporedje delnih vsot in 
že smo pri zaporedju kvadratov.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 3 5 7 9 11 13 15 17
1 4 9 16 25 36 49 64 81
Do zaporedja kubov 1
3
, 2
3
, 3
3
, ... pridemo po Moessnerju tako, da 
najprej zapišemo primerno dolgo zaporedje naravnih števil, nato 
pa v njem prečrtamo vsak tretji člen, začenši s tretjim. Za doblje-
no okleščeno zaporedje zapišemo zaporedje delnih vsot, nato pa 
v njem prečrtamo vsak drugi člen, začenši z drugim, in za novo 
zaporedje zapišemo zaporedje delnih vsot. Dobimo zaporedje 
kubov.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17
1 3 7 12 19 27 37 48 61 75 91 108
1 3 7 12 19 27 37 48 61 75 91 108
1 7 19 37 61 91
1 8 27 64 125 216
Prav tako pridemo do bikvadratov (četrtih potenc). Prečrtamo 
vsak četrti člen v zaporedju naravnih števil. Zapišemo zaporedje 
delnih vsot dobljenega zaporedja in v njem prečrtamo vsak tretji 
člen. Zapišemo zaporedje delnih vsot novega zaporedja in v njem 
prečrtamo vsak drugi člen. Nazadnje zapišemo zaporedje delnih 
vsot slednjega zaporedja. Dobimo zaporedje bikvadratov.
Sedaj, ko obvladamo postopek, lahko v tabeli nekaj vrstic izpus- 
timo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 3 6 11 17 24 33 43 54 67 81 96 113
1 4 15 32 65 108 175 256 369
1 16 81 256 625