STATISTIČNO NAČRTOVANJE POSKUSOV Dr, Marijan Blejec IEOP 53/71 INSTITUT ZA EKONOMIKO IN ORGANIZACIJO PODJETJA RCEF Raziskovalni center Ekonomske fakultete Univerze v Ljubljani 1971 £S // W ^7^3 KAZALO str. 1. UVOD o PRVINE STATISTIČNEGA NAČRTOVANJA POSKUSOV 1 Poskusno gradivo 4 Poskusni načrt 8 Opredeljujoči faktorji 9 Določljivi faktorji lo Postopek, kompletna množica postopkov 15 Ponovitev postopka, ponovitev poskusa 18 Shema, vključevanja prvin načrta v statistični načrt poskusa 2 o 2. Vzorčenje, ocenjevanje; Preizkušanje domnev 21 Normalna porazdelitev 24 Normalna porazdelitev kot verjetnostna porazdelitev 26 2 X porazdelitev 3o Študentova t- porazdelitev 33 F - porazdelitev 37 2 Zveza med z. X f t in F porazdelitvami 4§ Vzorčni izrazi za povprečja in variance 42 Intervalne ocene 44 Preskušanje domnev 45 Ničelna domneva 45 Sestavljene domneve 49 Preskušanje domnev za parametre populacij 53 3. Analiza-varianc 55 Homogenost varianc 61 Bartlettov preskus o homogenosti varianc 62 Cochranov preskus o homogenosti varianc 65 Transformacije podatkov 65 str. 4. Čisti slučajnostni poskus ^ Intervalne ocene učinka postopka Posterioma analiza Apriori načrtovane multiple primerjave g 2 Ortogonalni polinomi gg 5 o Slučajnostni poskus v popolnih blokih 112 Relativna uspešnost slučajnostnih popolnih blokov 122 Manjkajoče vrednosti pri slučajnostnih popolnih blo¬ kih 125 Ranhiti v slučajnostnih blokih 131 Friedmanova analiza variance 135 6. Latinski kvadrat 14o Standardni latinski kvadrati I43 Uspešnost poskusov v latinskih kvadratih I48 Manjkajoči podatek v latinskem kvadratu 154 Grško-Iatinski kvadrat 155 Prednosti in pomanjkljivosti latinskih in grško- latinskih kaadratov 158 Latinski kvadrat v blokih 16 o Ponavljanje meritev v latinskem kvadratu 163 Spojeni latinski kvadrati 165 7 » Faktorski poskusi 17 o Glavni učinek Interakcija 17 o Lvofaktorski poskusi 179 Čisto slučajnostni dvofaktorski poskus 18 0 Različni modeli čisto slučajnostnega dvofaktorske- ga poskusa I83 Apriorne primerjave v dvofaktorskem poskusu 186 Značilnosti razlik med učinki enega faktorja pri različnih nivojih drugega faktorja I87 str. Ortogonalne primerjave v dvofaktorskem poskusu 191 Trofaktorski slučajnostni poskus s ponovitvami 2oo Faktorski poskus 2° 2o9 Faktorski poskus 2^ 21o Razširitev metodologije na 2° 216 8. Čisti hierarhični poskus 221 9. Delni bloki - Split plot 225 Delni bloki v slučajnostnih blokih 236 10. Delni bloki z žrtvovanimi informacijami 239 11. Frakcionalni poskusi 2-1-7 12. Analiza kovariance 252 Analiza kovariance v slučajnostnih popolnih blo¬ kih 261 ' ■ , 3 : : ■ 1, UVOJJ. PRVINE STATISTIČNEGA NAČRTOVANJA POSKUSOV. 1,1 Statistična metodaLogija načrtov poskusov se je razvila iz potreb poskusništva predvsem v agronomiji in biologiji. Iz tega izvira tudi- vrsta ustaljenih izrazov, ki so sicer umestni v agronomskih poskusih, so pa v splošnem preživeli, ker se je uporaba metod statističnih poskusov razširila na najrazličnej¬ ša področja. Tako so metode razdeljenih površinic po imenu ne pa po načrtu brez smisla v psihologiji, industrijskih raziska¬ vah ipd. Podobno je tudi s samim nazivom načrtovanj© poskusov. Metode statističnega načrtovanja poskusov namreč s pridom upo¬ rabljamo tudi v problemih, ki nimajo značaj poskusa v ožjem smislu. Poskus v ožjem smislu je umetno ustvarjanje določenih pogojev, ki delujejo na poskusne enote oziroma gradivo. V tem smislu s poskusom proučujemo vpliv določene vrste gnojila in agrotehnič¬ ne mere tako, da parcelice, ki jih v poskusne nambne pripravimo, gnojimo ali ne gnojimo z iaziskovanim gnojilom in jih obdeluje¬ mo ali neobdelujemo na raziskovan način. Pri raziskovanju učinka različnih tehnoloških postopkov pri proizvodnji določe¬ nih izdelkov enako poskusne enote obdelujemo na predpisane na¬ čine pri različnih temperaturah, pri različnih recepturah me¬ šanic ipd,, jih obdelujemo na različne načine ipd. 'in po izve¬ denem poskusu merimo značilnosti izdelkov, kot so trdnost, življenjska doba ipd. Nakazano agronomsko raziskavo pa moremo izvesti tudi na način, ki nima značilnosti pravega poskusa, pri katerem v poskusne namene Pretiramo poskusne enote na določene načine. Ustrezno število parcel, obdelanih na en izmed štirih postopkov poskusa: GAqo GAqi GA-^q GAii zasejane z raziskovalno kulturo, moremo dobiti brez izvedbe poskusa. Iz obstoječe populacije gospodarstev oziroma parcel, ki so bile obdelovane po enem izmed štirih proučevanih postopkov moremo na slučajnosten način izbrati planu ustrezno število parcel,- ki veljajo kot ponovitve poskusa. Ni potrebno posebej poudarjati, da je osnovno načelo, 2 da iz obstoječe populacije oziroma štirih populacij izberemo potrebno, število ponovitev slučajnostno. Meritve donosa na izbranih parcelah,, so osnova za analizo podatkov enako, kot če bi izvedli poskus v pravem pomenu besede. Kateri izmed obeh nakazanih načinov: pravi poskus na razmeroma homogenem poskusnem gradivu ali slučajno izbrane enote iz po¬ pulacij posameznih postopkov iz obstoječih stvarnih populacij je boljši oziroma primernejši, zavisi od cilja raziskave. Pri pravem poskusu, ki je izveden na razmeroma homogenem poskusnem gradivu, odkrijemo značilnosti razlik že z razmeroma majhnim vzorcem oziroma poskusom. Ker pa ima tak poskus laboratorijski značaj, njegove rezultate razmeroma težko posplošimo na razme¬ re, kakršne obstojajo v življenju. Po drugi strani pa zbrani podatki, ki so bili po načrtu raziskave izbrani iz stvarnih populacij, trpe na večji heterogenosti, ki izvira iz večjega kompleksa individualnih faktorjev. To je v škodo značilnosti izsledkov, kar moremo in moramo odpraviti z večjim številom ponovitev. Velika prednost drugega načina pa je v tem, da so izsledki praktično uporabnejši, ker so slika dejanskih odnosov v življenju, ne pa v laboratoriju. Če se dataknemo še težav pri izvedbi raziskave po enem ali drugem načinu, spoznamo, da je pravi poskus v toliko enostavnejši, ker podatke zberemo na enem mestu, težava pa je v tem, da je treba na umetno ustvarje¬ nih poskusnih enotah poskuse izvesti, kar terja finančna sred¬ stva za izvedbo in čas, kar zakasni rezultate. Za iz obstoječih populacij izbrane vzorce pa je treba spoznati ustrezne populacije za posamezne postopke, izvesti izbor in zbrati podatke o enotah, ki so včasih geografsko na različnih mestih. Vendar pa je običajno čas, v katerem pridemo do rezul¬ tatov krajši kot pri izvedbi pravega poskusa, ker za izbrano enoto ob izboru preskočimo fazo izvedbe poskusa, ker je posto¬ pek na enoti že izveden. Možna je seveda tudi raziskava, ki ima elemente pravega in vzorčnega poskusa, če iz populacije širšega razmaka izberemo slučajnostno potrebno poskusno gradivo in na njem izvedemo poskus bodisi delno ali v celoti. 3 1.2 Metoda slučajnostnega izbora iz stvarnih populacij po po¬ sameznih postopkih je zelo razširila možnost uporabe metod statističnega načrtovanja poskusov. Imamo namreč primere, za katere ne moremo izbirati med alternativnima postopkoma, ker je npr. pravi poskus nemogoč, he moremo in nobenega smisla nima, da bi v poskusne namene umetno sestavljali gospodinjstva z določenimi značilnostmi in proučevali razlike v porabi v odvisnosti od proučevar ih faktorjev. Po zgornjem načinu izbere¬ mo iz populacij posameznih postopkov določeno število gospo¬ dinjstev, ki imajo značilnosti postopka in izbrane podatke obdelamo, kot da bi bili dobljeni s poskusom v pravem pomenu besede. Vzemimo, da raziskujemo ali in kako je poraba mlečnih izdelkov odvisna od števila članov gospodinjstva, socialno ekonomske skupine in višine dohodkov. Za (4 velikosti gospo¬ dinjstev) (3 socialno ekonomske skupine) (5 skupin višine do¬ hodkov) = 60 postopkov izberemo iz 60 populacij z značilnostmi postopkov slučajnostno npr. po fl. = 5 gospodinjstev in zanje zberemo podatke o višini izdatkov za mlečne izdelke v prouče¬ vanem razdobju. Teh n = 3č0 podatkov preustavlja rezultate trofaktorskega poskusa Č.S.D. = 4.3.5. v petih ponovitvah. Element blokov bi mogli v tem primeru vključiti v našo raziska¬ vo tako, da bi po 4.3.5 = 60 postopkov za eno ponovitev poiska¬ li na homogenih področjih. Podobno postopoma v raziskavi tržišča kjer načrtu raziskave oziroma poskusu ustrezne podatke dobimo bodisi z resničnim poskusom (npr. v izbrani trgovini v poskusne namene prodajamo določen izdelek na določen način) ali vzorčno, ko izberemo iz populacije vseh trgovin take, ki prodajajo na določen način in proučujemo njihovo prodajo. Tudi v teh primerih moremo kom¬ binirati pravi poskus z vzorcem. Za postopke, ki jih je živ¬ ljenje samo ustvarilo, izberemo poskusne rezultate s slučaj- nostnim vzorcem, postopke, ki jih ni najti v stvarnosti, pa realiziramo s poskusom. Tako dobimo podatke o učinku standardne klasične prodaje z vzorcem obstoječih trgovin, medtem ko 4 prodajo po novem načinu poskusno izvedeno v slučajnostno iz¬ branih trgovinah.. V praksi vzorčne poskuse, kot bi lahko ime-' novali drugo skupino poskusov, izvedemo tehnično tako, da iz celotne populacije vseh postopkov slučajnostno izbiramo enote in jih vgrajujemo glede na značilnosti v shemo poskusa. Za vsak postopek vnašamo rezultate za predpisano število ponovitev. Ko je za določen postopek doseženo ustrezno število ponovitev, v nadaljnjem vse enote za tak postopek izločimo oziroma jih ne upoštevamo. S to tehniko nadaljujemo dokler za vsak načrtovan postopek ne dosežemo ustrezno število ponovitev. 1.3 Poskusno gradivo. Poskusnp gradivo sestoji iz množice fizičnih enot ali dogodkov, na katerih-v toku posku- Z sa glede na načrt poskusa izvedemo posamezne postopke ali brez ponovitev. Tako v našem primeru predstavlja poskusno gradivo 3o delavcev, ki smo jih določili oziroma bolje rečeno izbrali, da bodo sodelovali v našem poskusu o vplivu načina dela na produktivnost dela. Poskusno gradivo mora predstavljati 64 kosov določene vrste lesa, na katerih bomo izvedli poskus 2* v dveh ponovitvah. Ti kosi lesa morej.o biti vsi iz enega debla ali iz različnih dreves. V prvem primeru je poskusno gradivo bolj homogeno kot v drugem. Poskusno gradivo sestavimo tako, da iz obstoječih enot, ki so na razpolago, izberemo načrtu posku¬ sa ustrezno število enot. Če je možen obseg enot, ki zadoščajo opredeljujočim pogojem, poskusa večji kot pa:'.jih zahteva načrt poskusa, iz zaloge ustreznih enot izberemo potrebno število na slučajnosten način. Poskusno gradivo predstavlja skupina delavcev, ki opravljajo določeno delo po poskusnem načrtu. Poskusno gradivo predstavlja tudi določeno število parcelic na večji površini, ki jih obravnavamo z različnimi proizvodnimi, faktorji, katerih učinek raziskujemo. Poskusno gradivo morejo v proizvodnih poskusih predstavljati vsakovrstne surovine, To gradivo je že vnaprej dano v diskretnih enotah, v primeru, da je zvezno, pa ga razdelimo v diskretne, enote za potrebe poskusa. Če preskušamo npr. cement, moremo iz vreče cementa sestaviti poskusne enote po 10 dkg cementa, ki naprej predstavljajo poskusne enote. 5 1,4 Posamezne prvine statistično načrtovanega poskusa nakažimo s praktičnim primerom. Vzemimo da proučujemo uspešnost treh načinov dela (N^ I 2 na produktivnost dela (y) , ki je izražena s številom kosov, izdelanimi v enoti časa. V ta namen v enostavni raziskavi vključimo 3o delavcev z enoletnim delovnim stažem in določimo, da po deset delavcev dela po vsakem izmed treh proučevanih načinih. Rezultati izvedenega poskusa y ^ o individualnih pro¬ duktivnostih dela so osnova za primerjalno analizo uspešnosti dela po treh proučevanih načinih. To analizo izvedemo s statis¬ tično tehniko analize variance (AVAR), s katero objektivno v mejah zanesljivosti, ki je zvezana s statističnimi metodami sklepanja, presodimo, ali in kolikšne so razlike v produktiv¬ nosti po različnih načinih dela. V poskusu eksplicitno nastopa samo dejavnik ; katerega vpliv proučujemo - tj. način dela. Pri proučitvi problema pa takoj zasledimo, da individualne produk¬ tivnosti dela niso rezultat samo različnega načina dela, ampak niza drugih dejavnikov. Če poskus izvedemo na skupini delavcev, katerih staž je tri mesece, so rezultati o produktivnosti dela in razlike med posameznimi načini dela drugačne, kot pa pri skupini delavcev z enoletnim stažem. Če primerjamo med seboj podatke o produktivnosti dela za posamezne delavce, ki so delali po istem načinu dela, odkrijemo, da so ti podatki med seboj različni. Te razlike so rezultat vpliva najrazličnejših dejav¬ nikov, ki vplivajo na produktivnost dela in niso enaki za vse delavce v poskusu, ampak se od delavca do delavca menjajo. Po¬ samezni d elavci so različno stari, različni so po prizadevnosti, imajo različne zmogljivosti, trenutno so različno razpoloženi ipd. Nekatere od teh motečih, a vedno prisotnih individualnih dejavnikov moremo vrednosti na posameznih enotah identificirati oziroma opredeliti. Razen opredeljivih dejavnikov pa nastopa še niz nedoločjivih, katerih vrednosti so težko, če že ne neizmer¬ ljive. Te vključimo v skupino, slučajnostnih vplivov. Tako pojavljanje kot velikost slučajnostnih vplivov je vnaprej nedo¬ ločljiva. 6 V naš poskus je vključenih 30 delavcev in po deset delavcev • dela po vsakem načinu dela. Pravimo, da smo poskus izvedli tako, da je vsaka vrednost faktorja uporabljena v desetih ponovitvah . Po zakonih o velikih številih se učinek individual¬ nih faktorjev v povprečju zmanjša in sicer je varianca povpreč¬ ja n-krat manjša od variance individualnih vrednosti. Seveda pa zakonitost zvezana za zakon velikih številih velja le za slučajnostne dogodke. Zato se vpliv starosti na produktivnost dela ne eliminira, če vzamemo, da so vsi delavci, ki delajo po načinu A-^ stari od 20 do 24 let, delavci, ki delajo po načinu Ag od 25 do 29 let in delavci stari 30 do 34 let po načinu A^. V tem primeru razlike v povprečjih kažejo združeno razliko za¬ radi dveh dejavnikov; starosti in načina dela. Jasno, da je taka analiza brez vrednosti. Da se izognemo sistematičnemu učinku dodatnih dejavnikov, ki s proučevanjem nimajo zveze, dodeljujemo posamezne načine dela posameznim delavcem na slu¬ čajno st en način. (Tako dobijo vsi dejavniki, ki imajo pod dolo¬ čenimi pogoji značaj sistematičnosti in zato moteč vpliv zna¬ čaj služnostnih dejavnikov.) Če po vrsti pogledamo nakazan načrt poskusa, moremo iz njega izdvojiti osnovne prvine statističnega poskusa. ha kriterialnem znaku , ki je najobičajnejše numeričen, posredno ugotavljamo vpliv proučevanih faktorjev. Kriterialni znak, ki ga pogosto kvalificiramo kot odvisno spremenljivko, je vedno rezultativen znak. Njegova vrednost je pogojena z velikostjo faktorjev, ki na proučevan pojav delujejo. Kriterialni znak je v našem primeru produktivnost dela, izražena s številom kosov, izdelanih na enoto časa. Pri kmetijskih poskusih’je kri¬ terialni znak najpogosteje donos, ki ga dosežemo pod določenimi pogoji. Y psiholoških raziskavah je kriterialni znak število točk, ki jih preizkušana oseba doseže pri določenem testu. V raziskavi kvalitete dela je kriterialni znak število napak, kijih tipkarica na določeno dolžino teksta napravi. V raziskavah 7 proizvodnih sektorjev je kriterialni znak po pravilu znak, ki podaja kakovost izdelka, kot je trdnost, življenjska dola ipd. Kriterialni znak more biti tudi znak, ki ima ordinalni značaj. Tako more biti kriterialni znak rang, ki ga pod določenimi po-, goji pripiše določenemu izdelku poskusni preskuševalec. Kaktorje , ki vplivajo na kriterialni znak, delimo v več vsebin¬ sko in tehnično različnih skupin. Osnovna delitev faktorjev je v one, katerih vrednosti ne moremo na konkretnem primeru točno določiti. Tak faktor je npr. v našem primeru način dela, ki ga moremo točno predpisati in tudi izvajati. Določljiv faktor je v nakazanem primeru tudi starost. Pri kmetijskih poskusih je npr. določljiv faktor količina umetnega gnojila, agrotehnič¬ na mera i d. V psiholoških raziskavah je določljiv faktor, ki pogojujejo število točk pri določenem testu, starost testiran¬ ca, pogoji testiranja ipd. Pri raziskavi o kakovosti dela tipkarice je faktorhlni znak hitrost diktiranja, staž daktilo- grafinje, različen način rokopisa ipd. V raziskavah o kakovosti izdelkov v proizvodnji so dosegljivi faktorji najrazličnejši proizvodni faktorji od kakovosti suro¬ vin do novega proizvodnega postopka v najširšem smislu. V konkretnem primeru je faktor določen s svojo vrednostjo , ravnijo. Paktorji imajo po pravilu več vrednosti. Najmanjše število možnih vrednosti za določen faktor je dva. Število možnih vrednosti oziroma nivojev za določen faktor pa mora biti tudi neomejeno. Tako ima spol kot faktor dve vrednosti: moški ženski, faktor izmena tri.vrednosti: dopoldanska, popoldanska in nočna izmena. Paktor starost je zvezni znak in mora zavzeti neomejeno število vrednosti. Podobno je količina umetnega gnojila faktor- z neo¬ mejenim številom vrednosti. Tudi hitrost tipkanja je faktor s teoretično neomejenim številom vrednosti. To velja po pravilu za vse faktorje, katerih vrednosti so zvezne, 8 Kot faktor more v določenih raziskavah v gozdarstvu nastopiti tudi npr. drevo, ker je vrednost kriterijalnega znaka odvisna od drevesa. Prav tako more kot faktor'nastopiti v določenih raziskavah delavec, če prpučujemo kakšne so razlike v kakovosti dela v odvisnosti od delavcev. Po enaki logiki je enake vrste faktor tudi stroj, če proučujemo odvisnost produktivnosti dela od stroja. faktor enakega tipa.je v raziskavah trga kupec, pro¬ dajalec ali trgovina, če proučujemo odvisnost od višine proda¬ nega blaga, od kupca, prodajalca ali trgovine. Kot smo nakazali, 'faktorji v raziskavi nastopajo z različno učinkovitostjo, ki je podana z vrednostjo faktorja. 1.5Poskusni načrt. Poskusni načrt sestogii iz predpisa za izvedbo poskusa. Cilj poskusnega načrta je, da za dan raziskovalni problem v danih okoliščinah da z najmanjšim obsegom raziskave oziroma z najmanjšimi stroški dobimo zadovo¬ ljive sklepe o vplivu proučevanih faktorjev na rezultativen ali kriterialen znak oziroma podatek. Za razliko od statistične raziskave, v kateri zberemo podatke o enotah proučevane popula¬ cije v celoti ali z vzorcem in dobljene podatke analiziramo, v statistično planiranem poskusu na enotah poskusnega gradiva zavestno po določenem vnaprej načrtovanem postopku izzovemo delovanje dejavnikov, katerih vpliv proučujemo. Vzemimo, da proučujemo vpliv različnih načinov dela na produk¬ tivnost dela. Če vzamemo da proučujemo vpliv treh različnih načinov dela na produktivnost v najenostavnejšem zametku teh poskus izvedemo tako, da trije delavci delajo vsak po- enem izmed proučevanih načinov dela. Tak načrt ima niz pomanjklji¬ vosti in ugovorov. Prvo vprašanje je, katere delavce izberemo v poskus. Drugo vprašanje je, na kakšen način razmestiti prou¬ čevane načine posameznim delavcem. Takoj se pojavi tudi problem, ali so trije delavci oziroma ali je poskus, v katerem po vsakem postopku dela le po en 'delavec, zadosten, da objektivno odkrije¬ mo eventuelne razlike v produktivnosti dela po posameznih 9 načinih dela. Izkaže se, da razen načina dela vpliva na produk¬ tivnost dela še niz določljivih in nedoločljivih dejavnikov, ki vplivajo na produktivnost dela, ki je izražena npr. s številom izdelkov izdelanih v enoti časa. 1.60predeljujoči faktorji. Poskusno gradivo je določeno s posebnimi pogoji, ki so podani z opre¬ deljujočimi pogoji poskusa. Opredeljujoči pogoji poskusa so do¬ ločeni z vrsto omejitev in predpisov, ki jim morajo ustrezati posamezni poskusi. Te omejitve se nanašajo na poskusne enote, ki sestavljajo poskusno gradivo ali na samo izvedbo poskusa. Bistvo opredeljujočih pogojev je v tem, da so enaki za vse poskusne enote, t >rej so določeni z eno samo vrednostjo ali z omejenim variiranjem opredeljujočega pogoja. Tako pri raziskavah tržišča omejimo raziskavo oziroma poskus le na žensko prebivalstvo v določenem mestu v starosti od 25 do 30 let, ki ima visokošolsko izobrazbo. S temi opredeljujočimi faktorji, od katerih ima spol le eno vrednost, variiranje,^ vseh drugih opredeljujočih faktor¬ jih pa je omejeno, dobimo razmeroma homogeno poskusno populacijo Visoka homogenost poskusnega gradiva je v prid lažjega in preciz nejšega ugotavljanja učinka proučevanih faktorjev. Zato je kla¬ sični poskus težil za čim bolj Izenačenimi opredeljujočimi po¬ goji poskusa kar so dosegali z razmeroma težavnimi sredstvi in dragimi aparaturami. Čim večja homogenost poskusnega gradiva, ki je dana s čim popolnejšo opredelitvijo je osnovna komponenta pri statistično načrtovanem poskusu vendar ni alfa in omega dobrega poskusa iz dveh razlogov. Do zadovoljivih rezultatov o učinku proučevanih faktorjev pridemo tudi za ne preveč homogene populacije po drugi poti s ponavljanjem poskusa. S ponavljanjem poskusa se učinek heterogenosti po zakonu o velikih številih izravna. Učinek neenakosti v talnih pogojih pri poljskih posku¬ sih omilimo s~ponovitvijo poskusov. Poprečje, izračunano iz po¬ novitev, daje dosti zanesljivo sliko o vplivu poprečnih talnih pogojev. Drugi razlog, zaradi katerega ne težimo iz vsebinskih razlogov k pretirani homogenosti poskusnega gradiva, pa je v c* tem, da čim natančnejšo opredelitvijo poskusnega gradiva sicer 10 dosegamo večjo in večjo homogenost, obenem pa postaja poskusna populacija bolj in bolj specialna in selekcionirana. Raziskava takih populacij pa ima v večini primerov drugorazreden pomen, ker je zelo odmaknjena od življenja. Agronomski poskus v zelo izenačenih opredeljujočih pogojih v lončkih v toplih gredah da sicer razmeroma zanesljive razlike v učinku proučevanih faktorjev, vendar so ti rezultati omejenega, če že ne brez pomena za praktično uporabo v poljskih pogojih. Podobno je tudi z raziskavami tržišča, kje’r zelo podrobno opredeljevanje kupcev, ki nastopajo v raziskavi, dovede do rezultatov, ki so praktično slabo uporabni, ker so reprezentativni le za zelo selekcionirano populacijo kupcev. 1.7 Določljivi faktorji. V statističnih načrtih poskusov je večina faktorjev določljivih. Določljiv faktor je vsak faktor, katerega vrednosti moremo v konkretnem primeru realizirati ali ugotoviti. Tako je količina gnojila, s katerim pogojimo poskusno parcelo, določjiv faktor, ker mo¬ remo .v vsakem primeru parcelo pognojiti s predpisano količino gnojila. Prav tako je starost kupca določljiv faktor, ker moremo njegovo starost v vsakem konkretnem primeru ugotoviti. Določljiv faktor, kini opredeljujoč, ima v dani raziskavi naj¬ manj dve vrednosti. Ali določen faktor učinkuje na kriterialni znak, moremo določiti le, če je faktor vsaj na dveh nivojih. Da ugotovimo ali določena količina gnojila učinkuje na donos, moramo uvesti faktor z vrednostima: gnoj eno-negnojeno. Razlika donosu pri parcelicah, ki so bile gnojene v primerjavi s parce¬ licami, ki niso bile gnojene, poda sliko o učinkovitosti gnoji¬ la. Faktorji z samo dvema vrednostima so v poskusništvu zelo cenjeni iz dveh razlogov. Z alternativno vrednostjo, ki je obi¬ čajno negacija določene vrednosti faktorja, uspemo iz faktorja z navidezno eno samo vrednostjo dobiti faktor z dvema vrednosti¬ ma, kar omogoča proučitev učinka faktorja. Alternativna vred¬ nost, pogosto imenovana kontrolna vrednost faktorja se v praksi pojavlja v najrazličnejših inačicah. Pri proučevanju učinka določenega zdravila imamo poleg vrednosti faktorja: "zdravilo 11 uporabljeno" kontrolno vrednost s "zdravilo ni bilo uporabljeno". Pri "novem načinu" proizvodnje nastopa kot kontrolna vrednost "star način" proizvodnje. Poleg že omenjenega primera gnojeno- negnojeno imamo v kmetijstvu niz faktorjev, ki imajo dve vred¬ nosti kot agrotehnična mera: "je bila" - "ni bila uporabljena" ipd. Drug razlog za uporabo faktorjev s po dvema vrednostima pa je, da s poskusi, v katerih nastopajo faktorji s po dvema vrednosti- ma analiziramo kompleksen učinek razmeroma velikega števila faktorjev. Medtem ko je ena ponovitev kompleksnega poskusa s šestimi faktorji s po dvema vrednostima 2^ = 64 postopkov, jih ima poskus istega obsega s faktorji po tri vrednosti ima' 36 _ 729 postopkov. Zelo pogosto v poskus ne vključimo vseh možnih vrednosti faktor¬ jev. To je dostikrat nemogoče (število vrednosti neomejeno ali raziskavi faktor reduciramo na nekaj, najmanj na dve vrednosti. Reducirano število vrednosti predstavlja vrednosti, za katere na zanimajo razlike v učinku. Tako v raziskavi trga za socioekonom- ' .ski faktor vzamemo kot eno vrednost delavec kot drugo pa nameščenec. Poseben primer redukcije vrednosti faktorja so' nu¬ merični faktorji. Da dobimo zadostno sliko o vplivu starosti ni treba vzeti osebe z vsemi starostmi, kar je tudi izvedljivo, temveč v proučevanje vključimo le nekaj vrednosti v razmaku starosti, ki je za raziskovanje zanimivo. Teh nekaj vrednosti, če ni drugih razlogov, vzamemo v enakih razmakih. Če je npr. za raziskavo zanimivo ponašanje kriterialnega znaka v odvis¬ nosti od starosti v razmaku od 2o do 50 let dobimo zadostno sliko o vplivu starosti, če vzamemo starost v petletnih razma¬ kih: 20 25 30 35 40 45 50. Namesto s sedmimi vrednostmi moremo proučiti vpliv starosti tudi s štirimi vrednostmi: 20 ' 30 40 50 vendar je v tem primeru potek odvisnosti od starosti 1.8 zelo veliko) potrebno. Zato v 12 manj jasen, ker so razmaki širši. Problem je zelo podoben kot : pri risanju funkcij, kjer z nekaj vrednostmi zadostno nakažemo potek zveznih funkcij. V teh primerih je starost nadomeščena z aritmetičnim zaporedjem starosti. Pddoben primer je pri ugo¬ tavljanju kakovosti izdelkov v odvisnosti od temperature pri obdelavi izdelka. Poslužimo se iste tehnike in kompleten fak¬ tor nadomestimo z nekaj vrednostmi temperature v razmaku, za katerega proučujemo vpliv temperature. Enak problem je pri različnih dozah gnojila pri gnojilnih poskusih. Različne doze gnojila določimo tako, da tvorijo v proučevanem razmaku arit¬ metično zaporedje. Obnašanje kriterialnega znaka za nekaj vred¬ nosti intervalnega znaka zadošča za opis vpliva v zveznem raz¬ maku. Z interpolacijo moremo namreč dobiti ocene za vse intere¬ santne vrednosti (npr. ekstrem). Pri nominalnih faktorjih dostikrat izdvojimo'samo določene vrednosti, ki nas v konkretni raziskavi zanimajo. Pri raziska¬ vi o razlikah v ponašanju potrošnika navadno ne vzamemo vse socialno ekonomske skupino temveč le določene, ki so za plani¬ rano raziskavo zanimivi. 1.9 Vsi nakazani faktorji, ne glede na to, ali so v poskusu zasto¬ pane vse njihove vrednosti ali samo nekateri možni nivoji ' imagio, ko so enkrat odrejeni, značaj popolne opredelitve fak¬ torja za dano raziskavo. Faktorje za katere so v okviru razi¬ skave vključene vse vrednosti, imenujemo fiksne faktorje . V nadaljevanju bomo take faktorje in vse njihove elemente po pravilu zaznamovali z velikimi črkami. Fiksen faktor (P) ima P nivojev, ki jih moremo individualno zaznamovati s P^ , P 2 ... P^ . Mogoče v začetku malo nenavadno zaznamovanje se izkaže v nadaljevanju kot izredno koristno. V poskusu imamo običajno kompleks faktorjev in je asociacija med elementi posameznega faktorja neposredna, ker je vezana na isto črko. Tako je gotovo manj prikladno pisanje da ima faktor P skupno f nivojev, da so 13 poprečja za faktor P jh, pri čemer gre i = l,2...r Če vključimo v raziskavo faktorje, kot so npr« drevo v raziska¬ vah, v gozdarstvu, delavec v raziskavi o produktivnosti dela, stroj pri raziskavi o kakovosti dela, kupec ali trgovina pri raziskavi trga ipd. spoznamo, da je tip teh faktorjev razli¬ čen od tipa faktorjev, ki smo jih obravnavali doslej. Posedaj smo v raziskavo vključili ali vse vrednosti faktorja (npr, spol) ali pa določeno število fiksnih (odtod tudi ime faktorja) vred¬ nosti, ki reprezentira vrednosti v določenem razmaku ali fak¬ tor v okviru poskusa opredeljuje. Za faktorje tipa kot so drevo, stroj, delavec, kupec, trgovina, pa je situacija drugač¬ na. Ti faktorji mor§,jo imeti dvojni značaj. V izolirani razi¬ skavi more določeno število strojev v podjetju šteti kot fiksen faktor, če se omejimo na instalirane stroje. Prug značaj pa dobi stroj kot faktor v primeru, če skušamo rezultate poskusa posplošiti na populacijo določenih strojev na splošno. V tem primeru vseh strojev umišljene populacije ne moremo vključiti ' v raziskavo, ker je število strojev lahko tudi neomejeno, tem¬ več vključimo samo nekaj strojev, nekaj dreves, nekaj delavcev, nekaj trgovin, ki naj reprezentirajo populacijo vseh vrednosti faktorjev iz umišljene populacije. Ker predpostavljamo, da je nekaj proučevanih vrednosti izbrano iz umišljene populacije na slučajnosten način, v takem primeru govorimo o sluč aj no stnih faktorjih . Slučajnostne faktorje in njihove ustrezne elemente po pravilu zaznamujemo z malimi črkami (a), število vrednosti v raziskavi je a, poprečja po vrednosti tega faktorja pa ipd. faktorji nakazanega tipa morejo imeti bodisi značaj fiksnega faktorja, če gre za izolirano proučitev vpliva tega faktorja ali značaj slučajnostnega faktorja, če gre za posplošitev učin¬ ka tega faktorja na umišljeno populacijo vrednosti. Tako je pet strojev fiksen faktor, če jih gledamo s stališča podjetja, ki z njimi razpolaga, ali slučajnosten faktor, če jih gledamo s stališča proizvajalca, ki proizvaja veliko teh strojev. Druga možna varianta slučajnostnega faktorja je primer, da je število možnih vrednosti faktorjev končno npr. A za faktor (a), 14 iz njih proučevano število vrednosti faktorja (a) v poskusu pa smatramo kot slučajnosten vzorec iz končnega števila vseh možnih vrednosti, in o faktorjih modela III, če gre za slučaj¬ nosten faktor iz končne populacije vseh možnih vrednosti. Terminološko govorimo o faktorjih modela I, če je faktor fiksen, o faktorjih modela II, če je faktor slučajnosten. Nakazane lastnosti posameznih tipov faktorjev moremo strniti V naslednjo razpredelnico. Analogno govorimo o poskusu modela I, če v poskusu nastopajo samo fiksni faktorji, o modelu II, če nastopajo samo slučaj- nostni faktorji tipa II, in o mešanih modelih, če v istem poskusu nastopajo faktorji različnih tipov. 1.10 Določljivih faktorjev, ki v poskusu vplivajo na pojav, je j ih običajno veliko. Od njih/je samo nekaj, katerih učinek prouču¬ jemo in zavestno ustvarjamo pogoje, da izzovemo njihovo delo¬ vanje in merimo njihov učinek. Vsi drugi določljivi, a za raziskavo nepomembni faktorji pa so v splošnem nezaželjeni, ker v glavnem zabrišejo jasnost delovanja proučevanih faktorjev. Določljive, a za raziskavo nepomembne faktorje obravnavamo različno. Če tak faktor držimo v vsem poskusu na istem nivoju, preide v opredeljujoče pogoje. 15 Zelo uporabljana tehnika obravnavanja teh faktorjev je kontrola nad učinkom , Ta je izvedena preko načrta poskusa. Upoštevanje nepomembnih faktorjev v poskusu ima za cilj izločitev vpliva preko načrta poskusa. Ta tehnika je osnovna prvina načrtovane¬ ga poskusa. Tako z metodo blokov izločamo vpliv enega tipološ¬ kega faktorja, z latinskimi kvadrati uspemo kontrolirati vpliv dveh določljivih, a za raziskavo nepomembnih faktorjev ipd. Tretji način izločitve sistematičnega vplivanja določljivih, a za raziskavo nepomembnih faktorjev, pa je slučajnostno dode¬ ljevanje postopkov poskusnim enotam. S slučajnostnim dodelje¬ vanjem postopkov poskusnemu gradivu spremenimo značaj preostalih določljivih, a za raziskavo nepomembnih faktorjev. Njih sicer ne kontroliramo in njihov učinek ne izločamo, pač pa s slučaj¬ nostnim dodeljevanjem uspemo spremeniti značaj teh faktorjev v slučajnostne. Za slučajnostne faktorje sicer ne moremo ugotav¬ ljati individualnega učinka, njihov sumarni učinek pa moremo meriti preko standardnega pogreška. Z vključevanjem nepomembnih faktorjev v slučajnostni pogrešek sicer povečujemo nezaneslji¬ vost rezultatov o učinku proučevanih faktorjev, vendar je ta pot še vedno korektnejša kot pa, da bi ti faktorji sistematično pačili rezultate poskusa. Na srečo pa imamo možnost zmanjše¬ vanja učinka slučajnostnih faktorjev z nadaljno prvino statistič¬ no načrtovanega poskusa s ponavljanjem poskusa. Izkoriščanje vseh navedenih prvin poskusa s ciljem, da v danih okoliščinah čim jasnejše pokažemo učinek vpliva proučevanih faktorjev, daje ustrezen načrt poskusa. 1.11 Postopek, kompletna množica postopkov. V statistično" načrtovanih poskusih po pravilu vključujemo v raziskavi več faktorjev hkrati. Pri izvajanju poskusa in pri statistični obdelavi podatkov poskusa upoštevamo v tem primeru vse kombinacije posameznih vrednosti nastopajočih faktorjev. 16 Iz faktorja; količina določenega gnojila s štirimi vrednostmi Gi G 2 G 3 G^ in faktorja; agrotehnična mera s tremi vrednost¬ mi T-^ T '2 ^3 sestavimo 4 x 3 = 12 kombinacij vrednosti prouče¬ vanih. faktorjev gnojilo - agrotehnična mera. G 1 T 1 G 1 T 2 G 4 T 3 G 1 T 3 g 2 t 1 G 2 T 2 G 2 T 3 g 3 T 1 G 3 T 2 S 3 T 3 G 4 T 1 G 4 T 2 Vsako izmed možnih kombinacij vrednosti faktorjev imenujemo postopek , skupnost vseh možnih postopkov pa kompletno množico postopkov , V našem primeru sestoji kompletna množica postopkov iz A = 12 individualnih postopkov. Kombinacijo faktorjev v postopke moremo smatrati za samostojen kombiniran faktor gnoji- lo-agro mera GT z A = 12 vrednostmi- postopki . g Analogno ima poskus 2, v katerem proučujemo šest faktorjev s po dvema vrednostima, skupno 64 različnih postopkov. Vsak postopek pa sestoji iz kombinacije po šest faktorjev. Ni nujno, da poskus vsebuje vse postopke kompletnega sistema postopkov. V poskus vključujemo včasih nekatere kombinacije različnih faktorjev, pač tiste, ki nas v konkretni raziskavi zanimajo. Tako bi mogli iz zgornjega kompletnega sistema postop¬ kov, sestaviti okrnjen sistem postopkov; npr. G-j^A-^ G p A“j- ^2^2 G^A 2 G^A^ G^A^ Seveda tak okrnjen sistem kombinacij faktorjev nima možnosti take analitične obdelave kot jo ima popoln sistem postopkov. 1.12 Odvisno od cilja poskusa dostikrat skupnost postopkov niti ne sestavljajo vse možne kombinacije vrednosti faktorjev. Tako morejo biti faktorji P, T, R kombinirani v sistem postopkov v obliki P + T. R. V tem primeru sistem postopkov sestoji iz faktorja P z vsemi njegovimi vrednostmi in iz kombinacij fak¬ torjev T in R. Če je npr. vsak izmed proučevanih faktorjev na 17 dveh nivojih, imamo,v celoti šest postopkov; A 1 = p i A 2 = P 2 A 4 = TE 11 A 4 = TR 12 A 5 = TR 21 A 6 = TR 22 Če gre za večfaktorski poskus, običajno vanj vključimo popoln sistem postopkov. V tem primeru dobimo s primerno analizo kom¬ pleksne in popolne informacije o delovanju vseh proučevanih faktorjev. Včasih pa v poskus ne vključimo vseh možnih postopkov. Razlogi za to so lahko različni. Ker število postopkov z kom¬ biniranjem velikega števila faktorjev hitro raste, je uvedba otežkočena zaradi velikega obsega poskusa. Z velikim številom postopkov pa more postati gradivo tako heterogeno, da ogroža možnost izvrednotenja rezultatov poskusa. Tako govorimo o frakcionalnih poskusih, če izmed vseh možnih kombinacij postopkov vključimo v poskus samo nekatere, ali.o poskusih v delnih blokih, če v določenih blokih za nekatere faktorje vključimo vse kombinacije faktorjev, a za nekatere faktorje samo posamezna vrednosti. V tehniki delnih blokov so npr. vrednosti faktorjev P(3) R(2) T(2) kombinirane v naslednji shemi; „ . _ ___ PR ?iu>__ Raktorja P in 1 sta v vsakem izmed blokov kombinirana v vseh kombinacijah, medtem ko so vrednosti faktorja P povezane z blokom. 1.13 Če je v posameznih blokih povezanih le nekaj vrednosti enega faktorja govorimo o nepopolnih blokih v pravem smislu besede, Nepopolni bloki pridejo v poštev posebno v raziskavah, kjer ima en faktor (npr. sorta določene kulture ipd.) toliko različ¬ nih vrednosti, da je težko ustvariti homogeno poskusno gradivo za tako veliko število vrednosti enega znaka. 18 Enostaven primer nepopolnih blokov je npr. naslednja skupina 0 . Blok 1 A-^ Ag A^ Blok 2 A 2 A^ A| A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 4 Blok 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 4 Blok 4 L 1 A 3 A 4 Ao Ao A/ Pri delnih blokih so posamezne vrednosti določenega faktorja združene z bloki. V tem primeru je pri enem samem poskusu čist učinek tega faktorja združen z blokom. Poseben razpored postop kov večfaktorskega poskusa pa omogoča, da z blokok ne združimo glavni učinek določenega faktorja, temveč vzajemni učinek ozi¬ roma interakcijo več faktorjev. Ker so interakcije višjih sto¬ penj manj pomembne in dobivajo v-se-bolj značaj slučajnostnih vplivov, je ta rešitev dostikrat priporočljivejša kot delni bloki, če je le dana možnost izvedbe takega poskusa. 3 Pormiranje postopkov poskusa 2 v dva nepopolna bloka, v kate¬ rih je z bloki združen učinek interakcije vseh treh faktorjev hkrati, je dana s shemo Blok 1 Blok, 2 PRT 111 PRT PRT 211 221 ■ PRT PRT 212 PRT 122 121 PRT 112 PRT 222 1.14 Ponovitev postopka, ponovitev po s k u s a . Navedli smo že, da je ponovitev poskusa eden izmed osnovnih prvin statističnega načrtovanja poskusov. Ponovitev postopka je po pravilu ponovitev izvedbe poskusa oziroma postopka na različnih enotah poskusnega gradiva. Tako moremo npr. poskus o produktivnosti odvisnosti produktivnosti dela od treh načinov dela h 2 izvesti v dveh ponovitvah, če po vsakem načinu delata po dva/poskusnega gradiva (šest delavcev) na slučajnos- ten način izbrana delavca. Enako je raziskava o ocenjevanju kakovosti petih raznovrstnih pijač izvedena v treh ponovitvah, - 19 če izmed petnajstih poskuševalcev po trije na slučajnosten način izbrani preskuševalci ocenjujejo posamezno izmed petih pijač, V smislu gornje opredelitve moremojposkusu posamezne postopke izvesti v enakem ali različnem številu ponovitev. Tako bi moglo po načinu delati n^_ = 5» po načinu h 2 n 2 = 3 in po načinu n^ = 8 delavcev. Iz vsebinskih, a pred¬ vsem iz tehničnih razlogov vzamemo v posameznih primerih vsak: postopek v poskusu z enakim številom ponovitev n, če ni nekega posebnega razloga, da to pravilo kršimo. V tem primeru ®ečemo, da je bil poskus izveden -v h ponovitvah. loseben poudarek pri opredelitvi ponovitve postopka je v tem, da mora biti postopek ponovljen na različnih enotah, če naj bo učinek ponovitve tak, kakor ga od ponovitve pričakujemo. Tako v primeru poskusa o produktivnosti dela ne moremo govoriti o ponovitvi poskusa, če bi po planu predvideli, da bi vsak izmed treh izbranih delavcev delal po ehem in istem načinu dvakrat, da bi prvi delavec delal dvakrat po načinu drugi dvakrat po načinu h 2 , tretji delavec pa dvakrat po načinu Ker gro v tem primeru za ponavljanje poskusa na istih poskusnih enotah (istih delavcih) je poprečna produktivnost po vsakem izmed načinov izraz učinka načina dela in individualnih sposob¬ nosti delavca, ki dela po posameznem načinu. Če število merjenj po posameznem načinu še tako večamo, se bodo slučajnostni vplivi zaradi zakona o velikih številih zmanjševali, učinek individualne sposobnosti posameznega delavca pa se ne bo iz¬ ravnaval, ker dela v vseh ponovitvah isti delavec. Šele pravo ponavljanje poskusa, pri katerem na slučajnosten način izberemo n delavcev, ki delajo po načinu enako število na slučaj¬ nosten način izbranih delavcev, ki delajo po načinu h 2 in isto za način vključimo individualne sposobnosti kot slučajnost- no spremenljivko v poskus in se v poprečju izravnavajo tako, da pride v poprečju bolj in bolj do izraza učinek raziskovanega faktorja, tj. načina dela. 20 Še bolj pride do izraza neuspešnost ponovitve na istih poskus¬ nih enotah v primeru ocenjevanja kakovosti pijač. Pri večkrat¬ nem poskušanju določene vrste pijače pride še v večji meri do izraza individualni okus preskuševalca. Razlike med ocenami merijo le trenutno menjanje okusa iste osebe, medtem ko so pri pravi ponovitvi razlike v ocenah predvsem izraz različnih oku¬ sov ljudi, kar je v konkretnih raziskavah zelo pomembno, če hočemo ugotavljati poprečno oceno kakovosti pijače. V statistično načrtovanih poskusih sicer izvajamo kvazi-pono- vitve na istih poskusnih enotah, vendar imajo te ponovitve v osnovi drugo nalogo in funkcijo kot pa prave ponovitve tj. po¬ novitve na različnih poskusnih enotah. Ponovitve postopka na istih enotah imajo namen, da zanesljiveje izvrednotimo rezul¬ tate poskusa v.tem smislu, da iz individualnih meritev izlo¬ čimo vpliv slučajnostnih faktorjev v ožjem smislu. Ker indivi¬ dualno' meritev oziroma rezultat nadomestimo z več meritvami in te meritve predstavljajo vzorec iz umišljene populacije posku¬ sa pod enakimi pogoji, s kvazi-ponovitvami na istih poskusnih enotah prispevamo sicer k zmanjšanju slučajnostnih vplivov predvsem pa na ta način ocenimo vpliv slučajnostnih faktorjev v poskusu. 1,15' Shema vključevanja prvin načrta v statistični načrt po s k u s a . Osnovne prvine statističnega načrta poskusa: slučajnostnost dodeljevanja, ponavljanje postopkov, kontrola določljivih faktorjev v povezavi z različnimi faktorji, ki vplivajo na kriterialni znak, moremo strniti v naslednji shemi: 21 2. VZORČENJE* OCENJEVANJE. PRESKUŠANJE DOMNEV. 2.1 Statistika se bavi s proučevanjem množičnih pojavov, preko zbiranja, obdelave in analize podatkov o populacijah. Značilnosti populacij podajamo z njihovimi parametri, ki so izraz opredeljujočih pogojev. Tako je npr« poprečna poraba določenega izdelka na gospodinjstvo rezultat kategorije gospo¬ dinjstva, višine dohodka, kraja in časa, za katerega veljajo podatki. S primerjavo parametrov za dve li več. populacij, ki so različno opredeljene, analiziramo vpliv razlik med popula¬ cijami. Razlika v poprečjih porabe za dve skupini prebivalstva je izraz vpliva skupine na prodajo, razlika v poprečjih porabe za več zaporednih časovnih razdobij za isto skupino, pcnM^jjK} dinamiko porabe ipd. Eden najpočasnejših parametrov, preko katerega proučujemo vpliv spremenjenih pogojev,je vsekakor poprečje. Iz individual¬ nih podatkov pridemo do poprečja s predpostavko, da se odkloni individualnih podatkov od poprečja v vsoti uničijo £(y - m) = o ( 2 . 1 ) iz česar sledi, da je M = - > y N ( 2 . 2 ) Analitično najbolj nesporen sintetičen pokazovalec velikosti individualnih odklonov od poprečja je poprečen kvadratičen odklon ali varianca /_(y - My) 2 < 2 . 3 ) Z 2 varianco C 7 in iz nje izpeljanim standardnim odklonom cy (2.4) merimo jakost individualnih, v posebnih primerih slučajnostnih vplivov. 22 2.2 Individualne vrednosti yu se okrog aritmetične sredine ali poprečja porazdeljujejo različno, odvisno od individualnih, vplivov. To variiranje prikažemo s frekvenčno porazdelitvijo vrednosti, frekvenčna porazdelitev pove pogostnost vrednosti v populaciji. frekvenčno porazdelitev podamo za končne populacije s frekven¬ čno porazdelitvijo, v, kateri pokažemo, koliko enot - ali kolik del populacije ima vrednosti v posameznih razredih - grupi vrednosti. Za primer frekvenčne porazdelitve vzemimo trdnost patentirane jeseniške žice. Tabela 2.1 frekvenčna porazdelitev za trdnost patentirane K = 153 153 100.0 frekvenčno porazdelitev prikažemo grafično s histrogramom ali s poligonom kot kažeta sliki 2.1 in 2.2 * - 23 Sl.2.1 Histrogram Sl.2.2. Frekvenčni poligon. 24 2.3 Kormalna porazdelitev. Pogosto se v praksi pojavljajo porazdelitve, za katere se vrednosti gos.te okrog poprečja simetrično, unimodolno (en sam vrh) njihovi grafikoni imajo zvonasto obliko, lake porazdelitve so dostikrat izraz homogenih populacij, na katere razen splošnih opredeljujočih faktorjev vplivajo samo slučajnostni vplivi. Tako zakonitost pojavljanja moremo ponazoriti z enostavnim linearnim modelom 2 j ± = M + aj_ e ± = :N(O,<3 0 ) (2.5) po katerem so posamezne vrednosti vsota M, ki je rezultat sp&šnih faktorjev in je za vse enote isti in slučajnostne kom¬ ponente e^, ki se spreminja po Zakonitosti normalne porazdelit¬ ve z aritmetično sredino M Q = 0, in varianco 0 C? Gostota relativne frekvence 0pa je njihova variacija večja ali manjša. ^osebno vlogo igra standardizirana normalna porazdelitev £ = ; 11(0,1) (2.7) za katero je Mg = 0 in G*, = 1 Ta porazdelitev je tabelirana. Preko standardiziranega z odklona £ =-£-=- d ( 2 . 8 ) moremo vsako normalno porazdelitev transformirati v normalno porazdelitev in obratno. Gostota relativne frekvence za standardizirano normalno poraz¬ delitev je . • * g integral * (z) z) dz (2.9) • ( 2 . 10 ) J 1 pa nakazuje ploščino pod normalno porazdelitvijo v razmaku z-jLizr ^ kot funkcijo spodnje meje z. 26 2,4 Normalna porazdelitev kot verjetnostna porazdelitev. Če iz normalno porazdeljene populacije slučajnostno (vsaka enota ima enako šanso, da je izbrana v izbor) izberemo enoto, je verjetnost, da je standardiziran odklon z-odklon večji od z enak P(z), kar pomeni, da je pri ponavljanju slučajnostnega izbora delež enot z vrednostjo večjo od z enak P(z). Za nekaj karakterističnih, vrednosti naznačimo odnose.med z in P(z). Tabela 2,2 Odnosi med z in P (z) za normalno porazdelitev Z - oc 000 '674 1.000 1.645 1.960 2.000 2.376 2.576 3.000 3.070 3,.£ P(z) 1.0000 *5000 ‘2500 ‘1587 '0500 '0250 *0227 *0100 ‘0050 ‘0013*0010 *00C Iz P (z*) moremo dobiti posredno tudi' relativne frekvence ali verjetnosti tudi za druge razmake; P r ( < /z/<.4z 1 ) = 1-2P (z) P r ( z < Zj) = l-P^) £ r (I z ! > z l) =2 P(z 1 ) P r (0< z 30. Z uporabo zgornjega izraza dobimo, da je x| - rrUp +1/2m 1) 2 (2.16) Verjetnostim P ustrezne vrednosti dobimo iz tabele o normalni porazdelitvi, ki je v skrčeni obliki dana za karakteristične vrednosti v naslednji tabeli. labela 2.4 Tabela Zp , J* ’ 9 j * g 5 *5« * 3 0 f *2# *?• *05 *02 *»1 *001 Z -2.3263 -1,6449 0,0000 0,5244 0,84 16 1.2816 1.6449 2,0537 m 2.3263 3.0902 I* n ' - 33 Ker se da poljubna normalna porazdelitev z enostavno linearno transformacijo Z = prevesti v standardizirano normalno, so s standardizirano normalno porazdelitvijo dane vse druge. Z X 2 - porazdelitvijo pa ni tako. Zato bi morali imeti tabeli- rano X 2 -porazdelitev za vsako stopinjo prostosti m posebej. p Ker pa potrebujemo praktično le Xp za nekatere karakteristične vrednosti P je možno podati te vrednosti za vsak m v eni sami vrstici. Te vrednosti za P = 0.99 , 0.95, 0.50 so podane v 2 tabeli 2,5 do m = 30 za X -porazdelitev z m >30 pa dobimo ustrezne vrednosti za X 2 preko zveze s standardiziranim z- odklonom, 2 • . Tabela. 2.5 Kritične vrednosti za X - porazdelitev. 2.8 Študentova t- porazdelitev. Za med seboj neodvisni slučajnostni spremenljivki z = sN(0,l) O p m X = :X (m), od katerih se z porazdeljuje standardizirano 2 2 normalno, X pa v X -porazdelitvi z m stopinjami prostosti, se izraz —-f— = s t(m) (2.17) 'U /m porazdeljuje v porazdelitvi, ki jo imenujemo Študentovo t-poraz- delitev. Zanjo je število stopinj prostosti m, gostota verjet¬ nosti pa je dana s funkcijo t'(t) = M 1 + S” ^ir (2.18) Kot kaže funkcija za gostoto verjetnosti t /^(t) in slika, je t-porazdelitevumjjmdialna, simetrična in zvonasta. Z večanjem m * t-porazdelitev preide v standardizirano normalno porazdelitev. 2 Iz istega ražloga kot za X so tudi za t-porazdelitev tabelira- ne le tp za določene karakteristične vrednosti P. OJtOi- ©v£>C04Ol Vrt4*UJ|Ol- O^CO-JO, U^WK>h O p p p .4 -4 VO N) Vrt 00 O O 00 00 OO «4 Ov VO Ov -4 >— 4» o\ VO to E IO VO Ov Oj o\h*Ow rt CA GO O tO 5 VO CO -o Oi P Vrt 4» Vrt v£> -4 p p p 4* ►— Vrt 00 *— 4*- vo O *-* oj to« to >- Vrt 4* oo t J — O vo vo 00 ~4 Ul OO O to Vrt Ov O 4- vO OJ VO Ov -4 >— VO 4* Ov CO O tO Ov OV Ov -4 00 O, 4* -4 (O ►— -JvO-l- VO Vrt ~ ' 4 to O *- U4.(rtOv4 Vrt>-4VrtVrt 4- pfOtO — bovovoo*-* vJUvOlrtH to to to OJ Vrt oo vo o •— to G> Vj Vrt OV 00 to 00 VJ« OJ to to to to P vo 00 -4 ov »- to OJ OJ 4«. -4 4-0-4 4» OO tO -4 Oj O to OJ Oj OJ 4» OO — 4* 4 O to oj 4» Ov vo oj oj oj oj oj P 00 --4 Ov Vrti Oj Oj Oj oj OJ oj oj oj oj oj V rti Vrt Vrti Ov Ov rtVrt VrtVrt D Ov oj O ■J4»Vrtlrt f J ►- O -O G Oi 4 -4 4 - VO OJ Ov 00 V Oj Oj OJ OJ OJ Oj Oj oj Oj OJ Ov Ov Ov Ov OV 4» 4» 4 » oj o 44»«w; vrt -U oj •— u 00 4 4 Ov Ov Vrt vO Oj Ov VO “O Vrti ►— Ort GO Vrti Ort 4» 4» 4» — O O 00 -4 00 Ov Vrt OJ k» -* OJ K» VO OJ Vrt Vrti t- 4 Vrt Oj — O 00 t-J 4» tO ^0 J Jv Ov Ov go 4» «— CO O . 'J 00 OO OO Ov •— Oj —• 5 Vrt o JU cž J Vrt Oj Ov Vrt K* VO Ov OJ C 4 (Ji 4- (J Ž Vrt 4» GO GG O Ov tJ OO 4. O •— 4» -| 00 VO ^404« OJ OJ t4 p p -4 4» bo i- 00 tO Ov O Ov 4 «— »— 00 O o vo p 00 00 Vrt CO tO OV O tJOOCV*»VJ O OV O OJ 4*. 4» 4» Oj t4 t4 p O O p 00 VO tO Ort 00 i— Vrt OO — Vrt CO Ort Vrt Ov -4 »O to Vrt VO 4» VO OJ Ov Vrt VO OC 4rt OV OV tO -4 -J O OJ Vrt oo '040-4 4. *-* 4 00 OJ 4* 00 _4 pl Ov Vrt 4» 4 VO I— Ul VO O to Vrt -4 oj OO CjO ►— VO 4 Ov Vrt 4. OJ -4 -4 «4 OV Vrt 00 Ov K» Ov VO fOi—OvO- Vrt Oj to — V4 O VO -4 tO V J ON p » — vo tO vO -4 4. tO O Ov tO 0C Oj Oj Ov Vrt O to »J O 4 4 .—— j- Ov —4 CO VO O Ov OV • w to _m o p r ž s ^ šž 4WWtO - bv bo ’o oj v -4VOV O 00 -4 Vrt '-4 VO >— 'to voOvgj — vO VO 00 V£> 4k to to to to to >— p _to — o vO OJ 4* Vrt -4 00 OV -4 00 O to 4* Vrt 00 OJ o Vrt Vrt Ov -4 -4 044*-'0 00 -4 -4 vo to to to to to to -4 Ov Vrt _4» OJ 4» 4» Vrt Vrt Vrt i- -4 O 4- -4 to Vrt VO A vo Oj Oj oj oj OJ Ov Ov Ov Ov Ov OJtototO*— ►— 00 4» •— 4 Ov Oj VO 4- vO Vrt 4. OJ OJ to oj ov vo »— 4» O — vo Ov VO -4 4». — VO 4toOvvOto vo t J — 4- OJ Ov oj o -4 4 4» Ov -4 00 Ov 4» CA — v< -4 Ov Ov Vrt Vrt 4» bo ‘to CA p oj 4» 0"O 4» 4*4» Vrt 4 to po p -4 Ov Vrt to bv o 4» bo Ov Oj — O — VO 00 00 p ov Vrt P to Vrt O VO O OJ Ov O — -4 — 4»- 00 **pwww S O Vrt O bv 40v40 •— Vrt Vrt 4» OJ Vrt 4» 4» p oj to bv •— vrt o tO Ov O -4 Vrt tOOvf Ov to c to VO M to J- h- p p •-obb bv Vrt Oj 4» 00 4 Ov Vrt 4*\£> Ov to top p o Vrt 'o Ort 'to bo Vrt 00 4» OJ 4 00 00 Ov VO to J fo to p P J 4 bv 'to O p P P 4 GO i— bj ’ov vo - 00 — •— 4 C to Vrt 00 to -juv Ov —I O IJ -J 4. to to — —* tO Oi Vrt O Gj GJ to to » VO OJ 4 —— C Oj Ov V Ov on 4» 4 . oj 4* bv bo o ‘to 4 Vrt 4» 4» 4* 00 00 p OV Vrt vo O *— OJ 4* 4* Ov co — 4» O p P CO 4 bovoo^—I— Ov 4» to o 00 4 OJ ►- <— to tototo*—>— to p o p 00 Ov Ov Ov 4 4 1— Ort O tO Ov OV tO O vO 00 tO ►— O O vO 4» 4- oj 4 4 bo •— 4» 00 to Ov Ov O OJ p Vrt 00 o w ♦* 4» OJ tO Vrt 4 00 O 4 ~ Vrt O Vrt 00 Ov 4 tO tO p O p p p p OV Vrt 4- p OJ OJ 4» b\ CO v© i-GJUlCOO O Ov Oj O CO 4 00 vo to 4 o o o p o 4* M ‘o O 'o — © 4 »- »• MmNOM vrt to — o o Vrt VO — I J bi 4* 4 Ort O — O O O O O bo 4. 'to O O OJ 00 »— Vrt Gl »- 4» OV •— -O — O OO p I— '4 'oj o r* r p o p ov O Vrt 'to o p 00 »— — O 4- 4. — Ov K) — -OO k£8£| Oj P Vrt Ov 4* 4 p Vrt 4» OJ 00 00 00 vo VO S Vrt vo oj 00 O oj 4 oj I-Oppp -ioovoo — to Ki t J Oj 4. — OV 4- OO GJ K) - O iO o 'o — K) VO 00 4 Ov Vrt 4» OJ to —* O Oj Oj OJ Oj OJ OJ OJ oj Oj oj 4 4 4 4 4 to to to tO IO Ov p 4» p p “bob 4» CP Ov OJ vO OJOvvO-b- ►— O O vO 00 —0 vo —• OJ Vrt to ov 00 vo 00 OJ to to to N O p P 4 o OvVrt4»OJ- 4 Vrt tO O -■ Vrt OJ VO ►— >- GJ •— O 00 OV OCVOO-- to Oi 4 OJ Vrt Ov 4» ~ VO Ov Vrt — 4 tO 4 to Vrt to 4. ►— P p 00 4 P b> bp 00 bo *4 Vrt — ov to CO “OG04O 4 Ov g Vrt 4» Ort VO — — OO p 4 Ov 4. S — Ov Vrt Vrt J vo 4 O P OD Ov 4 * vo vo t- 4» — GO Vrt to — 4» Ov 00 O O 4» vO 4 Ov oj Oj Oj oj to 4» 4* 4 * 4.'OJ oj Oj oj oj OJ OJ to U JO - Op 4 p 4» p to O p OJ vO Ov to VO Vrt — 00 4» < ►— CO OJ OD OJ CA vo O p < 4 » O 00 vo to Ov>—GrtvO< Ov to 4 4 4- OD — to 00 “• 00 4 Vrt Ov vii 4» to — Ov OJ vo Ov to 4 OJ P 4- p to Ov OJ Vrt o Vrt Vrt Vrt Vrt Vrt VO p p _Vrt 4- 4 oj oo 4* O O O vo --I Vrt oj to to Ov to VO Vrt — 4 to UP OO Vrt — Ov 4 tO OV 00 4 Ov — 4 tO 4 t J '1 (O Oi v£i O VO 00 00 4 •J CO OJ 4 t- -IJ — vpv rt O to O h OOGJCOGJ- O--OV — vo vo O - Ov •— Vrt S VO to IG v 4 Vo 00 v^ 4 Ov Vrt 4*- OJ Gl K) — O O Ui 4 w to - 4 bv Ov Ort Vrt OJ M OJ CO OJ OJ Vrt Ov 4» O 4 p Vrt 4» tO OJ K) — O CO to to — — VO to tO vo — vo GJ“VOOOOl — Vrt 00 — OJ — — Vrt to — 00 4 p Vrt 4* K> OJ 4» 4» Vrt vo Vrt tO VO 4 Vrt 4 OJ OJ O VO p 4 p Vrt • OJ OJ OJ OJ OJ 4» 4* 4» 4» 4» to Oj 4» Ov 00 O VO p 4 p 4» 4* OJ to to »G »—* Vrt GO — GJ 4 “ GJ“ — O p p 4 4 bv vrt oj to 00 Vrt tO 00 OJ »— Ov 4» OJ —• OJ to — p p 4- to O CO Vrt 4. 4 . oj O Vrt* Vrt 4* p P O vOOvojOOV .00 00 CA — 4» -O 4» tO 4 Vrt 00 OV Vrt 4» to VO Ov oj O Ov vO 00 Ov t J 4 Ov Vrt to Ov Vrt p N* p p © Ov 4 bo O 'to Vrt Vrt Ov to 4 Ul OJ vo tO Vrt 4. OJ W p o GJ gj Oj GJ ' 4. Vrt 4. 4 p O L O b bo ^ OJ JI 4 . Oj O K» Vrt Oi OJ 00 Ov 4* OJ tO P kskžg 4» 00 Vrt 00 ♦*• Nj Vrt 4* p p 'tO VO g tO OO — Oj v- tO 00 VO Ov Ov o O p 4 p p 4- O bi O 4*- 00 to Gj — 4. Oj Oj Vrt OJ iO j p p 4 Vrt 00 — OJ GJ O GJ 4 4 4 tJ to OJ 00 00 4* tO to K) •—>— — — — -Op P Vrt p p p p o 4» bo O to oj to Ov P 4 — M44-GJ P Vrt to Ov 4 Vrt O Vrt to Ov C S Ov vj Oi C — Vrt v© tO Vrt 00 00 Vrt 4 4» 00 V© Vrt 00 00 .Vrt OC — Oj 4* 00 4 tO tO Vrt 00 4 Vrt to 00 p4top - 4 00 bo bi b Ui CigjvO - O O 00 4 V o p ov p o Vrt 4» to 00 bo »— ©v p — t J Vrt 4 p ov 00 o ! S P 4 o< 3 .■p cd Ki > \) -J Kritične vrednosti za F - porazdelitev I porazdelitev -• nadaljevanje — rt ( M J porazdelitev (na-daljevanje) porazdelitev -(nadaljevanje) - 42 p 2.10 Zveze med z, I , t in J porazdelit¬ vami. Med obravnavanimi štirimi porazdelitvami so naslednje zveze: z 2 = : X 2 (l) (2.21) X 2 (m 1 ) + X 2 (m 2 ) = : X 2 (n^ + m 2 ) (2.22) t( m) = 2* (1, m) (2.23) X 2 (m^)n = : k (m, ^ ) (2.24) 2.11 Vzorčni izrazi za poprečja in variance. Če iz normalno porazdeljene populacije y = » M(M y< *|) (2.25) . p s parametroma aritmetično sredino IV^-in varianco C7 y izberemo slučajno sten vzorec z n enotami, dobimo naslednje zakonitosti za aritmetične sredine iz vzorca 7 in varianco iz vzorca s 2 = S(y-y) 2 n - 1 y - r~ —v n = : Oy V '\jn = : t (m = n-1) (n-l) s c 2 ' " CT = : (m = n-l) Ce iz dveh normalnih porazdelitev, v katerih se y 1 = : N(M 1 , in y 2 = : N(M 2> X 2 ) izberemo neodvisna vzorca z n y in n 2 enotami, velja: (2.26) (2.27) (2.28) (6.29) - 43 (y 2 ~ yp) - ( m 2~ m i) 6' ' n l n 2 n-^ + ng ( 2 . 30 ) (y 2 -7l) - (Mg-Mj^) fn-^ n g f n l +n 2 ; t(m = n^+n 2 - 2) (2.31) pri čemer je s (n-^-1) s^ + (ng-l) Sg n l + n 2 “ ^ ( 2 . 32 ) ’1 T : 3? (m-^ = n^ - 1 , 2^-1) [2.33) Če iz dveh normalno porazdeljenih populacij y-^ = ; h (M, C ”l) in : N (M, G”!) izberemo slučajnostna vzorca^ in enotami, velja 2 - .r 2 S 1 7 1 "2 e ^ = i ^(m^ = n^-1, m .2 = n 2 -l) s 2 / 2 [2.34) Kot vidimo je izraz 3.33 samo poseben primer za izraz 2.34, če -2 .2 _ .2 je 1 Če iz k populacij, v katerih se v vseh populacijah enako normalno porazdeljuje z y-^ = : h (M, (J^) z enakimi aritmetičnimi sredinami M in enakimi variancami,izberemo neodvisne vzorce z , n 2 ... n-^ enotami, velja S (n.-l) s? ? - 2 = : X £i (m 1 = n-k) (2.35) j=l n. y 1 ^2 (Sn j y .t n k - 1 (2.36) i P(m- L =k-1, m 2 = n-k) S (n.-l) s^ - d _lL n-k - 44 2.12 Intervalne ocene. Zgornje zakonitosti izkoriščamo za ocenjevanje parametrov iz slučajnostnih. vzorcev in za preskušanje domnev o parametrih. Iz izrazov, ki smo ji±L nakazali v 2.11 dobimo naslednje verjet¬ nostne neenačbe za dvostransko ocenjevanje parametrov M in (fT' s tveganjen£>0= 2P f - —f- + z p O Vn yn (2.37) 7 - tp(n-l) — <^M <^y + t p (n-l) nI n \in (2.38) (n-l)s 2 (gT ^ (n-l)s 2 Ir (n-1) P £ (n-l) 1-p (2.39) (y 2 - yp)- z p (5v m-. + n 0 1 _£ / n p . n 2 (Mg - M 1 )<(y 2 - j j) + n ! + n 2 + Zp5\f--- \ n i * n ; (y 2 " yi) “ 'fcp (n 1 +n 2 -2) s \ ! n n + n 0 I 2 (2.40) *! n l * n 2 < (M 2 -M 1 )< s (y 2 -y 1 ) + + tp(n 1 +n 2 -2) s y- n p + n 2 (2.41) n-, . n r v n i 1 i'p(ni- 1 ;n 2 - 1 ) 2 2 ■—\ ( n 2 -1 (2.42) - 45 s( 'r 1 ) .!L < r . Hp : Pa 3 1° H q : P 4 3/* - 46 2.15 Mehanizem preskušanja domnev razložimo na praktičnem pri¬ meru. Vzemimo v preskus enostavni domnevi ; osnovni domnevi, da je za normalno porazdeljeno populacijo z :T= 5, aritmetična sredina M-^ = 20 ; M = '= 20 postavimo ustrezno ničelno domnevo, da je za normalno porazdeljeno populacijo z 'S = 6 aritmetična sredina M =15 H Q % M =.M Q = 15* Domnevi skušamo preskusiti s s Inčajnostnim vzorcem z n = 9 enotami. Iz zakonitosti o vzorcih iz normalnih populacij vemo, da velja za aritmetično sredino iz vzorcev ■= • z (2.44) Če velja ničelna domneva, da prava aritmetična sredina ustreza ničelni domnevi M = M = 15 velja zakonitost y - ML' -——- \ n = s z (2.45) V tem primeru je velika verjetnost (1 = 0.95), da je iz podatkov iz vzorca (y) in domneve (M Q ) in podatkov o (n . v ) izračunani izraz z< z Q = + 1.645 manjši od z Q in majhna verjet¬ nost (o. = 0.05), da ho izračunani z >> z Q = 1,645 enak ali večji od z Q . ‘ Ker je velika verjetnost, da je v primeru, da velja ničelna domneva z r sprejet)= 0.80*/0.9272 = 0.7418 Pr(HiUHi zavrnjen) =P r (H^) ,P r (H-jjH-^zavrnjen) = 0.80.0.0728 = 0.0582 Y tej situaciji pričakujemo, da bomo z verjetnostjo P x (H 0 UH 0 sprejet) + P r (H-^UH-^sprejet) = 0.1900 + 0.7418 = 0.9318 sklepali pravilno in z verjetnostjo P r (H-jUH-^ zavrnjen) + P x (H o UH o zavrnjen) = 0.o582 + 0.0100 = 0.0682 v celoti skepali napačno. 2,18 Sestavljene domneve. V nakazanem primeru sta bili načelna in osnovna domneva enostav¬ ni, ker sta obe predstavljali eno samo vrednost. Če bodisi ničelna, ali osnovna domneva obsega več vrednosti - običajno vse vrednosti na določenem razmaku, govorimo o sestavljenih domnevah. Pogost primer sestavljene domneve o določenem para¬ metru G je H 0 s G£G 0 H-l : G>G 0 . Tako je npr. pri preverjanju kakovosti osnovna domneva, da je delež slabih izdelkov v pošiljki večji od P Q (H-^sP .>P Q ) ustrezna alternativna ničelna domneva pa je, da je delež defektnih izdelkov manjši ali enak P Q (H Q : P džs-P ). Kot moremo pri eno!n?ž n jomnevah za ničelno in osnovno domnevo ugotoviti verjetnost, da sprejmemo ničelno domnevo (pri E Q P r (H Q , H q sprejet) = 1 - c*- , pri P r (H-]_ , H Q sprejet) = (3 , moremo ustrezne verjetnosti za sprejem ničelne vrednosti pri posamez¬ nih pravih vrednostih parametra G ugotoviti verjetnost za - 50 • sprejem'ničelne domneve. V grafikonu vse te vrednosti strnemo v operativno karakteristično krivuljo, ki kaže kako j'e verjet¬ nost za sprejem ničelne domneve odvisna od vrednosti parametra. Za zgornji primer enostranske domneve je operativna karakteristič¬ na krivulja naslednj as e G o ničelna osnovna domneva" domneva Slika 2.9 Operativna karakteristična krivulja za enostranske ' sestavljene preskuse Y razmaku G c) • la se manjša, če se G "bliža G 0 in doseže za to vrednost najmanjšo vrednost 1 ~Xo. - 51 ■Komplement do 1 predstavlja od zgoraj navzdol napako^- , ki zavzame največj o vrednost e* ) pri G Q . Verjetnost za sprejem ničelne domneve za prave vrednosti, ki' so enake ali vežje kot G q je enaka napaki-druge vrste (i . Ta je največja (1 - K Q ) pri G = G q in se manjša, čim večja je prava vrednost G, obratno pa se moč preskusa 1 - (3 z večanjem G veča. Slika, ki. prikaže odvisnost napake cK in napake (iv odvisnosti od prave vrednosti parametra, je podana v sliki 2.10. Slika 2.10 Napaka^ in napake pri enostranskem sestavljenem preskusu v odvisnosti od prave vrednosti parametra G. - 52 2.19 Tveganje, podano z verjetnostjo nepravilnega sklepa, pa je enostransko prikazovanje stvarnega tveganja. Večji odkloni od mejne kakovosti, ki je še ustrezna, so vsebinsko pomembnejši kot pa manjši odkloni. Škoda, ki jo utrpi kupec, če kupi proiz¬ vodnjo neustrezne kakovosti, je proporcionalna razliki med stvarnim deležem P in mejnim deležem P 0 , Cn(P - P Q ) pri čemer pomeni > denarni ekvivalent izgube za . en odstotek odklona 'kakovosti od predpisa. Obratno je izguba, ki jo utrpi proizvajalec, če boljšo kakovost P proda kot kakovost P Q pro¬ porcionalna C 0 (P Q - P) pri čemer pomeni C Q denarni ekvivalent za škodo, ki jo utrpi proizvajalec, če proda pošiljko za en odstotek boljšo od predpisane. Ustreznejša ponazoritev resnič¬ nejšega tveganja je matematično upanje za izgubo, ki jo utrpi proizvajalec ali kupec, ti sta dani z It Oc(P) . C D (P 0 - P) za proizvajalca, oziroma Tfe (b (P) . C 1 (P - P Q ) za kupca Grafikon teh mer tveganja je dan v naslednjem grafikonu, ki - 53 Iz slike vidimo, da je tako merjenje tveganja realnejše. Tve¬ ganje za 1 v neposredni okolici P Q je majhno, ker so majhni odkloni vsebinsko nepomembni, za velike razlike od P Q pa je tveganje za napačen sklep majhno, ker je verjetnost napačnega sklepa (bodisi ali ) majhna. Preskušanje domnev za parametre populacij. Princip preskušanja domnev smo nakazali s preskusom za aritme¬ tične sredine z izrazom Podobna tehnika velja tudi za druge parametre in jo moremo strniti v naslednji postopek. ustrezno ničelno domnevo. H 0 . 2. Iz vzorca za proučevano populacijo izračunamo oceno za preskušan parameter. 3» Poiščemo vzorčni izraz, ki vsebuje preskušani parameter in vzorčno oceno parametra. Vanj kot pravo vrednost postavimo vrednost pri ničelni domnevi. 4. Za vzorčni izraz, ki se porazdeljuje v ustrezni verjetnostni porazdelitvi, poiščemo ničelni domnevni in tveganju ustrezen kritičen razmik. 5. Proučimo odnos izračunanega vzorčnega izraza pod H . Če pade v kritičen razmik, ničelno domnevo zavrnemo oziroma sprejme¬ mo osnovno domnevo 6. kar tolmačimo tako, da sklepamo, da je stanje od ničelne domneve značilno različno. V nasprotnem primeru je razlika neznačilna. Neznačilna razlika ne pomeni, da stvarno stanje ni različno od domnevnega, temveč le, da značilnost razlik z obstoječim preskusom, nismo odkrili. z 1. ^snovni domnevi o preskušanem parametru postavimo - 54 Y nadaljevanju podajamo vzorčne izraze 2.26 do 2.36 prirejene za preskušanje ustreznih domnev. Za domneve o aritmetični sredini Mg a) ( ■" znan y - % r -— Wn = z primerjamo z Zp b) CT neznan j - M, n = t primerjamo s tp(n-l) c) razlike med aritmetičnima sredinama za dve populaciji z isto varianco H % M n o 1 Mr d) znan y 2 - y~l , [ n ]_ n 2 O \j n^ + n.2 = z primerjamo z Zp 4) G" ne znan j 2 - y-, n-, n p -i\ —i—— = t" primerjamo s tp(ntlji _2) s , n^ + n 2 , f) razlike med aritmetičnimi sredinami za k populacij g) domneve o varianci Fp (nip=k-l, m 2 =n-k) , ( . 4~ . d) . s . _ primerjamo z (n - 1) r -2 * H 2 2 h) domneve o dveh variancah H : fS% = o ^ i u 2 s 1 — 2 “ = i 1 primerjamo z ]?(mp=np-l, n^ng-l) 55 3. ANALIZA VARIANCE 3.i Z analizo variance moremo preskušati domneve o razlikah med aritmetičnimi .sredinami oziroma poprečji med več populacijami hkrati. Ker so aritmetične sredine izraz vpliva splošnih dejav¬ nikov, oziroma opredeljujočih pogojev posameznih populacij, so razlike med aritmetičnimi sredinami izraz spremenjenih poskus¬ nih pogojev ali tolmačeno vsebinsko izraz delovanja faktorjev, po katerih se posamezne populacije poskusov razlikujejo. Zaradi tega je analiza variance eden izmed osnovnih instrumentov pri obravnavanju poskusnih podatkov. Predpostavke, pod katerimi izvajamo analizo variance so nasled¬ nje. Iz A populacij, za katere se y.. porazdeljuje normalno z Al 2 enakimi aritmetičnimi sredinami M in enakimi variancami 6’ ^ Al N (M, £ ) (3.1) izberemo vzorce z enakimi obsegi n. n. Iz podatkov vzorcev A ? moremo dobiti dve neodvisni oceni za varianco /j . Ce iz posa¬ meznega/^ osamezen vzorec ocenimo varianco yAi S(y Al - y d A' n - 1 (3.2) dobimo sestavljeno oceno variance za kot tehtano varianco iz posameznih populacij 62 I (a-i)s 2 y A1 I(y Ai -y A ) 2 s y “ Z (n - 1) Z- (n T 1) 2 ^A 'iA n - A ^Ai ~ Q A n - A (3.3) Zaradi predpostavk, katerim zadoščajo posamezne populacije in zaradi adicijskega teorema o slučajnostnih porazdelitvah X , se - 56 (n - A) s J 9 -= s X 2 (m = n - A) (3.4) porazdeljuje v X 2 porazdelitvi z m = n-A stopinjami prostosti. Iz znanih zakonitosti o aritmetičnih sredinah vzorcev in zaradi zgornjih predpostavk, velja, da je ocena variance aritmetičnih sredin vzorcev 2 s- y A . X (y A - j ) 2 a - i ocena za -2 — (5 /n . Zato je 2-2 s A = n s_ Q a - Q h ^-( y A - ^ ) 2 A - 1 £ - n A n A - 1 A - 1 (3.5) (3.6) ocena variance C- , ki sledi zakonitostim, da se (A - D s A '~2 = s X^ (m = A-l) (3.7) porazdeljuje v X porazdelitvi z m = A - 1 stopinjami prostos¬ ti. Po definiciji P-porazdelit ve se izraz Ul / m 1 m 2 = ; P (m-j^ m 2 ) (3.8) porazdeljuje v P-porazdelitTi, če sta slučajnostni porazdelitvi 2 2 2 X in X med seboj neodvisni. Moremo dokazati, da sta s. in 12 A 2 2 s^ neodvisni oceni za , garadi tega velja s? / s ?i = 5 ^(“h = A - 1, m Q = n - A) (3.9) -57 3.2 Če pa so aritmetične sredine proučevanih populacij med seboj različne ^ Mg ^ ... ^ moremo dokazati, da s? ni nepristanska ocena za G 2 , temveč A p je matematično upanje za E (s*) = g^v+ h sl (3.10) pri čemer pomeni razen znanih količin S A = — Z (A > 2 Če ^ = K " M ) (3.H) (A-l)s? 2 —- se v tem primeru ne porazdeljuje v X porazdelit¬ vi temveč v necentralni X^ porazdelitvi. 2 je torej poprečen kvadratičen odklon grupnih aritmetičnih sredin^ (A) pa odklon grupne aritmetične sredine od skupnega poprečja M sledi, da je (a) = 0. Ker je tudi v tem primeru, da so aritmetične sredine populacij med seboj različne E( S 2) ^ sledi, da razmerje v primeru različnih aritmetičnih sredin ni porazdeljeno v E- porazdelitvi, ampak v porazdelitvi, ki v posebnem primeru, da 2 j e Sa = 0 oziroma, da so aritmetične sredine med seboj enake, preide v E-porazdelitev. To porazdelitev imenujemo necentral- no E-porazdelitev. hecentralna E-porazdelitev zavisi razen * od stopinj prostosti m-^ in mg še od parametra necentralnosti;. S = V (A-l) iisiJ/gT 2 e ( 3 . 12 ) i - 58 Razmerje matematičnih, upanj 2 ) E < s e> .2 - a 2 e + n S A -"2- '"e (|a) r 2 - 1 +--nS A /C 0 Q f "T 9 = 1 + ~/(A-l)' (3.13) je odvisno od parametra ne centralno st i in je 1, če je.6= o. Zgornje razmerje je tembolj' različno od 1 čimvečja je. necen- zfralnost (čim večje so razlike med aritmetičnimi sredinami). Nakazane zakonitosti moremo koristiti^ za preskušanje domnev o aritmetičnih sredinah; za več populacij. 4 ... V*' pfifnkiu, 'la post-avitfo^ni-cč Ih o domnevoj _daj. : sp aritmetične sredine med s e bo j_ enake, kar je enako-. domnevi H s (A) =0, da so komponente 1 ” (A) = 0, nasproti ° ir jr\;v ■/ , ■ M A ‘ ‘.T O' osnovni domnevi, 5 ^ Mg ^ . ki je istovetna domnevi, da niso vse komponente (A) enake nič, , ■ ■ ■ 2 moremo ti domnevi pisati tudi v obliki, H c * ° — ^ 2 ' " 4 TT - C 0 ‘ E ± sS ^ 0 H 1 ^ 0 ali H Q s 8 S 1 = 0 .2 /2 Če velja domneva H-^ je razmerje s^/s^ sistematično večje, kot pa bi bilo v primeru, da velja H , pri kateri se razmerje 2 2 ^ s A /s g = ; i'(m 1 ,m 2 ). Situacijo v tem primeru ponazorimo grafično s sliko centralne (E ) in ne centralne (H^) porazdelitve Kritična vrednost E je določena iz centralne E-porazdelitve in ustreznih tablic s necentralna E-porazdelitev, ki se reali¬ zira v primeru H^, je tembolj pomaknjena proti desni, čimvečji je parameter ne centralno st i . V tem primeru je tudi moč 302015 1210 9 8 60 preskusa 1 -[6 tem večja, kar intuitivno sledi iz zveze. Čim večje so razlike med aritmetičnimi sredinami proučevanih popu¬ lacij, tem večji je parameter necentralnosti in tem večja je moč preskusa. 3.3 Odnose med m^ , m 2 , a, S in 1 - je podrobneje proučil Tang. Z ustreznimi momogrami zlahka dobimo odnose med temi količinami. i“/ o V grafikonu je namesto p kot prametra necentralnosti vpeljan parameter - / 0 . s/v a = i 4 ' A čf Kot primer je v sliki dan Tangov monogram ta m-^ = 3 Iz njega moremo npr. sklepati na naslednje odnose: Ce je napaka prve stopnje določena zA = 0,05 parameter necentral¬ nosti je 0 = 2, m-^ = 3 in m 2 = 20, je moč preskusa (1 -'3 ) to je verjetnost da odkrijemo z analizo variance značilnost razlik med štirimi sredinami odčitana iz nomograma 1 - = 0,88. Tangov rmomogram moremo uporabiti tudi za določanje potrebnega števila ponovitev. Vzemimo za primer naslednje odnose. Pri preskušanju domnev v 2 2 postavimo, da j e A = 0,05. Ce je znano razmerje S ,/CS = 2,5 (določeno iz znanih zvez ali spekulativno) število postopkov v poskusu pa je A = 4. V koliko ponovitvah h mora biti poskus izveden, da je moč preskusa 1 -(3 = 0,95? ,2 , 2 Iz razmerja Sf/6'f = 2.5 dobimo, da je xx y 0 = ’. n .’ A-l A S 72 .— A = V n v 4-1 2.5 = v 1,875 S m 2 = A(n - 1) = 4(n-l) 4 61 S poskusnim številom ponovitev ugotovimo iz Tangovega monodra¬ ma Iz rezultatov sklepamo, da se najbolj približamo postavljenim odnosom, če vzamemo- število ponovitev fi = 4. V tem primeru je iz monograma odčitana vrednost za moč preskusa 1 - /i= 0.98 torej bliže zahtevane, medtem ko je za n = 3 moč preskusa premajhna v primerjavi z zahtevano. 3.4 Homogenost varianc. Osnovni pogoji, katerim morajo zadoščati poskusni podatki, da moremo na njih uporabiti analizo variance, je stavljena na poskusni pogrešek. Ta naj bi ustrezal pogoju = :N(0, 5 e ) Poskusni pogrešek naj bi se porazdeljeval normalno, a konstantno varianco po posameznih grupah. Če rezultati poskusa tej zahtevi ne ustrezajo, analiza variance ni neposredno izvedljiva. V zvezi s tem se javljata dva metodološka problema. Prvi obstoji v tem, da preskusimo ali poskusni pogoji ustrezajo temu pogoju, drugi pa v tem, kako doseči, da bodo poskusni podatki ustrezali predpisanim pogojem. Prvo nalogo rešujemo z ustreznimi preskusi o homogenosti varianc, od katerih bomo nakazali dva, ki se v praksi najpogosteje upo¬ rabi j at as Bartlettov preskus in Cochranov preskus homogenosti varianc . Če odkrijemo da variance niso homogene in obstajajo med njimi značilne razlike, običajno skušamo z ustrezno trans¬ formacijo podatkov doseči homogenost varianc in normalnost poskusnega pogreška. Postikrat pa je značaj razlik nakazan že s 62 samim podatkom npr. odstotki, za katere je varianca Var p = odvisna ne le od n, temveč tudi od velikosti parametra P? 3.5 Bartlettov preskus o homogenosti vari a n o . Najpogosteje preskušamo homogenost varianc z Bartlettovim ali Cochranovim preskusom. Bartlettov preskus o homogenosti varianc izvedemo na splošno na naslednji način. Z ničelno domnevo H Q :(j p ~ 'o 2 ~ • • • 2 preskušamo homogenost ocene varianc s. j = 1 ... A s po m. J J stopinjami prostosti z Bartlettovim preskusom z naslednjim izrazom B _ 2,30259 m log s 2 - m j l0g S j 2,30259 m lQ Ms^ Gs (3.14) Pri tem je C 1 1 3 JL ^ ti i m 3(4 - 1) (3.15) B se za primere, da je m. >■ 5 približno porazdeljuje v J X 2 (m = A-l) Vzemimo za primer ocene štirih grupnih varianc: - 63 3(1-1) 3(4-1) log? = 1,85979 B = - 2 -j- 3Q259 jmlog?- 2 : m, log j p w J J j 2,30259 1.05 43.1,85979 - - 79,815431 = 3,410 Ker je B = 3,410 lo (m = 4-1 ~ 3) = 6,2? . smatramo, da so razlike med ocenami varianc on ©.značilne. „ largcst dj L = s dj Reprinted from chaptcr 15 of Techniques of Statistical Analysis, edited by C Eisenhart, M.W. Hastay, and W. A. Wallis, McGraw-Hill Book Company, 1947. I \ t TABELA 3.1. Kritične vrednosti za Cochranov preskus ■ \ -i r - 65 3.6 Cochranov preskus n-osti varianc. h o m o g e - Ta ie zasnovan na preskusu razmerja med najvisjo oceno varian- 2 2 ce s ^ in vsoto vseh ocenjenih varianc < sJ mar s„ C = mar ,2 (3.16) Pri tem morajo "biti vse variance izračunane z enakim številom' stopenj prostosti m. Razlike med variancami smatramo za zna¬ čilne, če je izračunani C večji kot tabelirana vrednost G-s(A,m). p Vzemimo, da so variance s h v ponovitvah štirih postopkov z m= 4 stopinjami prostosti Sp = 185,7; s| = 962,5; s^ = 523,2; s^ = 1218,2; s^ = 2889,7 Razmerje C je C = _ 1218,2 _ Ž..S? 2889,7 Iz tabele kritičnih vrednosti za C dobimo, da je fi „c(4,4) = = *6287 iz česar sklepamo, da razlike v variancah, čeprav so navidezno velike, niso značilne. 3.7 Transformacije podatkov. Nenormalnost in neenakost varianc v poskusnem gradivu pogosto odpravimo ali vsaj zmanjšamo z ustreznimi transformacijami. 3.8 Pogosto so poskusni podatki taki, da je po grupah konstan ten koeficient variacije oziroma relativna varianca, ne pa standardni odklon ali absolutna varianca. 66 izraziti z 2 2 C (3.17) V takih primerih dosežemo z logaritemsko transformacijo podat¬ kov u = log y (3.18) 2 da je varianca transformiranih podatkov po grupah kontantna. Da se izognemo težavam pri izračunu logaritmov, ce je y = 0, namesto zgornje transformacije za take primere uporabljamo u = log (1 h- j ) (3.19) 3.9 če je kriterialni podatki strukturni delež vemo, da se p porazdeljuje v binomski porazdelitvi, varianca zanj pa zavisi razen od velikosti vzorca tudi od strukturnega deleža P. E (jf 0 ) = Var y = ■ £■ ■■ ? .Q- - = ( 1 - ,- E lI n n ^a tako primere s transformacijo u = are sin \[y~ (3.20) dosežemo, da transformirani podatki zadoščajo normalnosti in enakosti varianc po grupah. Ustrezna tabela transformacije u = are sin \y je dana v(dodatku) tabeli 3.3 Tabela 3,3 nadaljevanje f Ibr-iONCO N v rr ticc voo N N r rr O »-< n c'', co t'f •<}■ in io 'O 00 O T— X tj u-> O 0~ 1 O^—CvJc^Tf- O O O o o • m- rj in x mcoc\TH m ^ uvo r' ’ £; >2 £) 00 KT' r° O ^Nhr-m Oh c\ th m co v o o ,h r-H x cn tj ! oo^hnn cnm vmm oom»i» ni m x x d I Oj CM CM CM CN CM CM CM CM CM X X X X X Cb cn Cb fb fb X X X X X fO V V V M" M" M" v v ‘ ^ ^0 *— 5 ^ S5 Cl ^ ^ oor-*mco "rnmoh J^ J~ no x x m © oo x x th co > . ^ ^ ^ X CM CN vO X O NO X Cn X (Mco VOO CMCO VOO (M CO v CTmCi <-- |^ (M c ‘b'£>OCOO o o o o o — • — . '—j v_/ i H \y r* i < i , m cn t- oo x m cn \o x oocncun I £! £! ^^3^ COC ' OOr-.^-CM X X tj ui X OOMMCC Cn Cn O © d M M (O tn > I CM CM za katerega je linearni model y A1 = M + (A) + e Ai (4.5) v okviru postopka normalno porazdeljena slučajnostna spremenljiv¬ ka. 4.6'Analizo variance za tak primer obračunamo kot enostavno analizo variance po naslednjem postopku: Izračunamo iz osnovnih podatkov y ^ a) osnovne vsote ^Ai ?A = t , r Ai y= Ai S y A i=5. y A (4 - 6 > Iz y Ai , y A in y izračunamo pomožne količine D Q a -i - T y a -» n_A<2 A 12 Ai A ^i^Ai ^A n ^ ^A ^ n ^ (4.7) c)S tem, da odštejemo od pomožnih količin Q, izračunamo po¬ možne reducirane količine. a Ai “ a Ai “ Q q A ~ Q A " Q (4.8) - 75 (4.9) d) Analizo variance obračunamo po naslednji shemis E, preko kritičnih vrednosti za E-porazdelitev preskušamo v & p p čilnost oziroma razlik med (A). Iz izrazov za E,(A ), A 2 tudi idejo, kako oceniti vrednost (5^ po obrazcu*. zna- dobimo ( 4 . 10 ) 4.7 Če izvedemo za naš primer po nakazanem postopku analizo variance, dobimo po vrsti; a) ustrezne tabele y^_. y A y imamo podane že v tabeli ... b) vrednosti pomožnih količin Q A ^, Q in Q i so; Q a1 = 8 2 + 7 2 + ... 8 2 + 10 2 = 3511 •A. 1 Q a =5 = 35"L 332 + 452 + *** + 422 j =■ \ 16969 = 3393,8 Q = n y 2 = 35” 3252 = 1Q 3625 = 3017,86 q A . = 3511 - 3017,86 = 495,14 q, A = 3393,8 - 3017,86 = 375,94 - 76 4.8 Intervalne ocene učinka postopka. Ker je matematično upanje za aritmetično sredino postopka E f A = E(M + (A) + e A ) = M + (A) (4.11) je y A nepristranska ocena za skupen učinek, ki izvira iz opredeljujočih pogojev M in učinka postopka. Iz znanih zako¬ nitosti o aritmetičnih sredinah vzorcsr posnamemo, da je vari¬ anca Var y A = ^ <5 I n ocena variance pa vary A e n Iz zakonitosti t porazdelitve pa sledi, da je intervalna ocena za aritmetično sredino s tveganjem ■ s. M A M + (A) = y A ± U /a ji_m e = A (n - D ; (4.12) kritična vrednost za t se ravna po m 0 , ker je s 0 izračunan z m tolikimi stopinjami prostosti. V hašem primeru je standardni pogrešek povprečij X" ! / n n 0.915 s e(y A ) - S e -^ 4,19 = 1 - \ n \ 5 Maksimalni verjeten odklon pa dy A = se ^A^ = ^/2 (“e = 28 ^ 59 (y A ^ = 2,05 * °* 915 4.9 Najmanjša značilna razlika NZR Pri primerjavi ocene aritmetičnih sredin dveh populacij oceni¬ mo varianco razlike dveh aritmetičnih- sredin po obrazcu var y = s 2 S’ n + _i e i n 1 n 2 n^ + n 2 n l n 2 (4.13) pri čemer je - 77 2 s e = Oa-jL - l)s^ + (n 2 - 1) s| združena varianca. (4.14) mi+ n g - 2 Pri primerjavi aritmetičnih sredin, dobljenih iz analize variance, izračunamo varianco razlike aritmetičnih sredin ana- p logno le, da je s g varianca poskusnega pogreška. V posebnem primeru, da je število ponovitev vsakega postopka n^ = h = const je 2 b‘ var Ay (4.15) n maksimalna verjetna razlika (pri H Q ) ali najmanjša značilna razlika (pri H^) pa je analogno d(Ay A ) = t^ /0 (me) */2 za naš primer je d(Ay A ) (4.16) 2 . 4.19 _ 2,66 Najmanjša značilna razlika je bila dolgo najpogosteje uporabljan pokazovalec, na osnovi katerega so odločali ali je razlika poprečij dveh postopkov značilna ali ne. 4.10 Posteriorna analiza. Vendar je pri uporabi najmanjše značilne razlike treba biti oprezen. Neoporečna je njena uporaba le, če sta v poskusu dva postopka. Ce je postopkov A^2 število vseh možnih razlik med poprečji postopkov ( g)- 4(A-l) ^p-^ro narašča. V tem primeru je velika verjetnost, da bo vsaj ena izmed razlik med poprečji večja,- k^t^e d(Ay). Vari? cijski razmak By = - y min Y Pos¬ kusu zada so = M, namreč ne zavisi samo od m g , 2 . " s g m n temveč tudi od števila postopkov A, oziroma vzorcev. Z večanjem števila poprečij se veča tudi R(y). Zato moremo npr. z uporabo najmanjše značilne razlike d(Ay) sklepati, da je npr. y max “ ^min zna čilen, čeprav gre za poprečja iz iste populacije ali za primer, da je(5 A = 0. Najmanjša značilna razlika je torej premajhna za vse razlike med ocenami poprečja. Čim več je poprečij med primerjanima aritmetičnima sredinama, tem večja je napakah pri sklepanju - 78 na osnovi NZR. Poznamo več metod, s katerimi odklonimo pristra¬ nost -pri -sklepanju z NZR« 4.11 Ena izmed njih je Tukejeva "resnično značilna razlika” (honestly signifioant difference). Resnično značilna razlika (RZR) postavlja značilnost razlik na nivo napake za vse pare razlik med sredinami. Ta preskus je vezan na vse omejitve, na katere je vezana analiza variance. Po preskusu resnično značilne razlike poprečij dveh postopkov je razlika značilna če je absolutno večja kot W A RZR = (m 0 ;A) se(y) = cl < (m 0 ;A) ^ -=~ ( 4 . 17 ) q^(m ;A) je dobljen iz ocene študentiziranega razmaka ^max ~ ^min s y ^strežna tabela q x (m ;A) je dana v tabeli 4.1 Za naš primer je interpo?irana vrednost * 1 (me =28;A=7) = 4,49 =o.o5 r 2"" m RZR = (m© =28;A=7 )y —§- = 4,49.0,915 = 4,1 — O • O 5 ' 21 S tveganjem 2 ) = t^(m e ).V2 , kar je v skladu z definici¬ jo najmanjše značilne razlike. A priori načrtovane multiple primerjave. 4.14 Splošen E-preskus analize variance je pogosto šele prva stopnja v analizi podatkov, ki jih dobimo s poskusom. Splošen E-preskus pove samo ali so ali niso med postopki značilne razlike. Z a posteriono analizo podatkov analizirajo značilnost razlik med dobljenimi poprečji po opravljenem poskusu. Eogosto pa moremo podobno kot napravimo splošno domnevo, da,so m$d postop¬ ki razlike oziroma da proučevan faktor vpliva na pojay, vnaprej -'apriori napraviti določene posebne domneve o zvezah med vrednostmi faktorjev na različnih nivojih. 83 Najenostavnejša taka a priori ničelna domneva je, da sta učinka dveh izmed več postopkov enaka, kar izrazimo z ničelno poddomnevo H 0 : = M 2 , ki jo moremo izraziti tudi kot o : ^1 ^2 ~ ® Ustrezna protihipoteza je H-l : M x - M 2 £ 0 Podobno moremo postaviti tudi ničelno.poddomnero da je učinek postopka A^ enak poprečnemu učinku postopkov A-j_ in A 2 * To ničelno poddomnevo izrazimo z + Mp M-, + M p H : —--- = Mn ali H : —--- - M, = 0. o 2 3 0 2 3 M 1 + M 2 Ustrezna protidomneva je H-, : - - M. ^ 0 - 1 2 ^ Ustrezne ocene teh količin dobimo iz ocen. aritmetičnih sredin poskusa y^,če prave vrednosti sredin zamenjamo z ocenami. Tako je ustrezna ocena za enaka y 2 - Jp = U. ali za M x + M 2 2 - m 3 » yp + y 2 2 4.15 Ker v primeru y 2 ~ primerjamo y 2 v primeru 7i + y 2 - y 3 poprečje ^1 + ^2 primerjamo z imenujemo te linearne izraze med poprečji primerjave . Na splošno opredelimo kot primerjavo vsako linearno zvezo med ocenami aritmetičnih sredin A °k te = u k=l (4.19) - 84 ki ima to lastnost, da je vsota koeficientov Cg enaka nič. A ' c k = 0 (4.20) K=1 Za preskus ugotovimo,, da je u-^ = y^ - y 2 • primerjava v smislu zgornje opredelitve. u x = (1)^ + (-l)y 2 ali ( 1 ) + (- 1 ) = 0 Iz istega razloga je primerjava tudi y-i + yp _ -1 _ i ^2 = ---^3 = ('%) yi + + (- 1 )y3» ker je ^ + (-1) = 0 Tej primerjavi ekvivalentna primerjava je tudi U 2 = ^1 + ^2 ~ 2 ^3 » ker 0 e 1 + 1 - 2 = 0 Vsaka primerjava nakazuje določena vsebinsko utemeljeno zvezo med aritmetičnimi sredinami. Če upoštevamo opredelitev primer¬ jave in zakonitosti linearnih zvez slučajnostnih spremenljivk dobimo, kako se porazdeljuje primerjava U kot linearna zveza med aritmetičnimi sredinami. Če izhajamo iz modela y M = M + (A) + e A . (4.21) so aritmetične sredine postopkov y A = M + (A) + S A = M a + e A (4.22) - 85 primerjava U pa ' r - C A^A " C A M A + °A e A (4.23) Ker se e^ porazdeljuje, se porazdeljuje normalno tudi U, ker je linearna zveza neodvisnih slučajnostnih spremenljivk e^. Pri tem je E n = EUC a M a + ZC A e A ) =2 ,C a M a +ZC a ES a =£0 a M a (4.24) ker je Ee^ = O po definiciji. Var n = E (U- E(U) 2 = E(J C A e A ) 2 = > C 2 2 .. e V posebnem primeru, če je n A = h = konst je 2 A A J l A A ¥ar n = .... e /C, E ' ' A (4.25) (4.26) Ce strnemo dobljene zveze, dobimo, da je U normalno porazdeljen z naslednjimi parametri n =Zc A y A = : ) (4.27) Iz lastnosti normalnih porazdelitev povzamemo, da se s (n -ZC a m a ) x 2 (l) (4.28) p porazdeljuje v x Ker je m. B?/S? e - porazdelitvi z eno stopinjo prostosti. x 2 (m e ) velja, da se- izraz 86 n fa - g) 2 / _!§ ; e —6^ O g n (n - U)' t^r x 2 (l) Ai) : ]?(l:m e ) (4.29) porazdeljuje v P-porazdelitvi z m^ = 1 in = m g stopinjami prostosti. Iz tega izraza dobimo dva pomembna rezultata: 1. Pri ničelni domnevi H q : U =^.C A M. = 0 uporabljamo izraz - 2 n n,- 2 - n Ž s > C. e A S k°A^A )Z ■ , s 5 7 Ž- = : ®< 1 .m e ) to e U A (4.30) za preskušanje značilnosti primerjave n. 2. Ker pa velja, da je p(l,m e ) = t(m e ) moremo izraz (n - U)jn _ . t(m ) (4.31) uporabiti za preskušanje domnev o primerjavi fj, obenem pa tudi za določanje intervalne ocene za U. Iz izraza 4«31 namreč sledi: Pr - V2 (m e )s e S c 2 I o 2 A / , * . r„. v. Aa sr C A — a A (4.33) (4.36) je E^ v primeru, da velja H Q ^Aj^A = ^ ne P xis 4 x ana ocena za£C z eno stopinjo prostosti 88 Cochrarov teorem: Z A - 1 med seboj ortogonalnimi primerjavami moremo razstaviti vsoto kvadratov K. na A - 1 prispevkov ortogonalnih primerjav tako, da je j=l (4.37) S tem postopkom moremo skupno (amorfno) vsoto kvadratov K.2 z jCX m^ stopinjami prostosti razstaviti na m^ delov po eno stopinjo prostosti. Tako uspemo podrobneje analizirati odnose med učinki postopkov. Vendar je treba opozoriti, da je metoda ortogonalnih primerjav korektna le, če primerjave načrtujemo vnaprej, ne pa da jih prilagodimo poskusnim rezultatom še izvršenega poskusa. V praksi moremo razdeliti vseh m^ stopinj prostosti na m^ prispevkov z individualnimi stopinjami prostosti, ali pa izdvojimo le nekaj najpomembnejših. 4.17 Če vzamemo za primer poskusov katerem preskušamo učinkovitost petih postopkov, od katerih se prva dva razlikujeta od nasled¬ njih treh po določeni komponenti. Učinkovitost primerjamo s standardno tehniko, ki jo vključimo v poskus kot šesti posto¬ pek. Določiti je treba ortogonalni primerjavi, s katerima preskušamo: a) ali je skupina novih postopkov značilno različ¬ na od standardnega in b) ali kažeta grupi dveh in grupi treh postopkov značilne razlike. Če je število ponovitev enako za vse postppke, se ustrezne primerjave dane z naslednjimi koefi¬ cienti: - 89 L 1 Ar A 3 Ar a b c d e y i i . 3 . Y' o o y 2 1 3 _ i * o o y i -2 o" 1 1 3 y 4 1 -2 0 -1 1 y 5 1 -2 O O -2 y 6 -5 _0_ o o o Primerjava n & = y 1 + y 2 + ^3 + + 7^- -5y 6 . Ta primerjava je identična s primerjavo y x + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 n a = 5 - y 6 ki kaže na primerjavo poprečij novih postopkov s standardnim. Pri tem je treba opozoriti, da je bistvo primerjave, da je ničelna domneva H. 5 A=1 M A M, ) v tem, da je poprečje novih postopkov (prvih petih) enako poprečju standardnega postopka in ne, da so učinki posameznih postopkov enaki. Analogno moremo primerjavo n 2 ~ 3y l + 3y 2 “ ^ y 3 ~ “ 2y^ prevesti v obliko n 2 = y l + y 2 y 3 + y 4 + y 5 2 3 S to primerjavo preskušamo poprečen učinek prve vrste postop¬ kov s poprečnim učinkom postopkov druge vrste. Ortogonalne primerjave c d in e so primerjave med postopkoma prve vrste (1,2) d in e pa med postopki druge vrste (3,4,5). - 90 Čisto slučajnostni poskus z neenakim številom ponovitev $ A ^ const 4.18 V splošnem ne„enako število ponovitev pri posameznili "t © Z £IV 0 poskusih povzroče/pri obračunavanju poskusnih podatkov tako, da pogosto izločimo ustrezno število poskusnih rezultatov, da dosežemo izenačenost ponovitev ali pa določene podatke, če teh ni preveč, ocenimo, da dosežemo izenačenje. V najenostavnejšem primeru čisto slučajnostnega poskusa pa pri obračunu ni posebnih težav. Zato se takih primerov, če zanje obstojajo pogoji., ne izogibamo. Model čisto slučajnostne- ga poskusa je slejkoprej isti y Ai = M + (A) + e Aj . (4.38) s pogoji: A M a (A) =0 S A = (4.39) A=1 2 i A = : N (0, ) (4.40) .A. osnovne tabele so s (4.41) Pomožne količine n 2 q Ai ~ Q Ai " Q q A _ Q A ' Q (4.42) - 91 4.19 Za primer vzemimo študijo o vplivu razvojnega materiala na prodajo krompirja. Trije postopki so; A-^ = predpakirano v prozornih plastičnih vrečkah Ag = pakirano v močnih papirnatih vrečah A^ = raztresen v razstavnih košarah Kot poskusno gradivo smo izbrali 20 trgovin istega tipa in na slučajno st en način izbrali izmed njih n-^ = 5 trgovin, ki naj bi prodajale po postopku A-^ ia .2 = 10 trgovin, ki naj bi prodajale po postopku Ag n^ = 5 trgovin, ki naj bi prodajale po postopku A^ Kot kriterialni znak je vzeta prodana količina na 10.000 din skupnega prometa. S. to opredelitvijo smo iz kriterialnega znaka izločili velikost trgovine oziroma zaledja, ki bistveno vpliva na višino prodaje. * Rezultati izvršenega poskusa so? 92 Q = X 2 /n = = 18000 20 Analiza variance: Ker je kritična vredntst ]? 0 ^ 05 "^ = ^>59 ^o^ol^ = 6 ,11, smatramo, da P^ = 5,75 nakazuje razlike v deležu prodaje v odvisnosti od načina embaliranja. Vzemimo, da nas ne zanima le splošna ugotovitev, ali so razli¬ ke značilne, temveč smo vnaprej načrtovali, da primerjamo - 93 embalirano proti razsutemu blagu; Temu pastiilma ustrezna primerjava je u = j-L + y 2 “ 2 ^3 = 39 + 31 - 2.19 = 32 Tej primerjavi ustrezen del iz vsote kvadratov je: u 2 32 2 32 2 10240 _ ŠSF = 7' 1 Ž + l r = “IT 7T ■ 93 r ~ 7 is S to primerjavo je z eno stopnjo prostosti pojasnjene 931 od skupno 1020 vsote od K^ z dvema stopinjama prostosti. Če ustrezno predelamo analizo variance, dobimo: Ker je ]? o = 8,40, je primerjava 1+2:3 značilna na stopnji o>c = o.ol, ostanek pa je neznačilen. Predelana analiza variance je odkrila, da gre večina variabilnosti na račun prednosti embaliranega blaga v primerjavi z razsutim blagom, Če izračunamo še- meje zaupanja za u = y l +y 2 - y ^ dobimo iz podatkov analize variance u = 16 v- C u - S A /— = 16 i 2,11 . \j 88,7 -i- + + -p- o.o5 V e \ 2S5 2 2 .10 1 2 .5 n, = 16 £ 11,33 - 94 Če je število ponovitev za posamezne postopke različno “A * 5 . ... je varianca za primerjavo u = enaka ,2 Var u = 6" L C A n A primerjavi u-^ in Ug p®, ata v tem primeru ortogonalni, če je izpolnjen pogoj ? P A3°A2 . n 0 A Za primer embalaže krompirja primerjava u 2 = - y 2 med različno emabalažo ni ortogonalna s primerjavo ti-L = y x + y 2 " 2 ^3 ■ ’ ker / e 'Al°A2 = (l).(l) + (-D.(l) + (0)-(-g) = -1_ ^ o 10 u A k G2 5 10 5 Z(c A y A ) 2 Qq - 3i) 2 = U A A 1 . 1 5 + 1o 213 ker u-^ in Ug nista ortogonalni primerjavi. - 95 K C2 + K C1 = 951 + 213 = 1144 ^ 1020 ’ kot bi dobili»če ti bili primerjavi ortogonalni. 2 s^ = 7^ + 7^ “ 2 ?3 ustrezna ortogonalna primerjava je n 2 = 5^2 - 672 + • Če preskusimo, dobimo, da je \ / C A1 C A2 = tl).(5) + (l).(-6) + (-2)-(D = o n, 10 k Prispevek te primerjave/K^ pa je 3 K „ = (5.39 - 6.31+ 1.19 ) 2 = d28) 2 .10 = 89 _ 5 _ + _£. , l 2 XI 88 10 v šota 1-0 --^ + Kq 2 = 931 + 89 — 1020 4.20 Ortogonalni polinomi. Z ortogonalnimi primerjavami preskušamo vnaprej domnevane zveze in zakonitosti delovanja faktorjev. Če je proučevan faktor numeričen, morejo biti te domnevane zakonitosti ne samo primerjave med skupinami poprečij, linearno povečavanje koli¬ čine gnojila more imeti na kulturo tak vpliv, da donos narašča linearno ali krivuljčno. Čas učenja ima za rezultat linearno ali krivuljčno povečanje znanja. Različna temperatura pri obdelavi določenega izdelka vpliva do določene temperature pozitivno in se kvaliteta izboljšuje, pri višjih, temperaturah pa kakovost pada ipd. Čeprav so krivulje, s katerimi opisujemo zvezo kriterialnega znaka 7 od numeričnega faktorja A najrazličnejše, najpogosteje opisujemo odvisnost 7 od A s polinomom določene stopnje - 96 + b-^A + To 0 A 2 + bjA? + (4.44) Če je zveza linearna, opišemo zvezo z linearno funkcijo y = + b x A (4.45) če je zveza kvadratična s parabolo druge stopnje y=l' + b£A + b£A 2 (4.46) Parabole višjih stopenj se poskusnim podatkom seveda bolje prilegajo kot parabole nižjih stopenj. Za potrebe analize poskusnih podatkov pa so polinomi, dani v gornji obliki neprikladni. Primernejši so takoimenovani orto- gonalni polinomi, ki so v ozki povezavi s pojmom primerjave. Polinom r-te stopnje moremo pisati v obliki X = B q X o + B-^X-^ + B^X-^ ... (4.47) Pri tem so X Q Xg X^ X K f un kcije od A ustrezne stopnje X-j^ — + 9 q_iA (4.48) Xg = & 2 0 a-2pA + a^2-4 z naslednjimi lastnostmi. Če imamo v poskusu numeričen faktor A vrednosti A-j_ Ag • • • A^. , imajo polinomi X^ lastnost, da je vsota produktov X~(A)E,(A) =0. če je K ^ j (4.49) = .~x£(A) če je k = j A=1 Ti polinomi imajo torej lastnost ortogonalnih primerjav, zaradi česar jih imenujemo ortogonalni polinomi. - 97 Za stvarno vrsto poprečij poskusnih. podatkov j^ dobimo parametre polinoma izraženega z ortogonalnimi polinomi zlahka, če model f A =ZB^k(A) + e A (4.50) pomnožimo z vrednostmi ortogonalnega polinoma K■ (A) za J vrednosti faktorja A dobimo Ji h X A = Ji \ VM + 1 ®A X A 111 dal 3e zaradi (4.51) 4.49 Z h 4 = 1(4) 2 + 1 ?« xj in A A A A (4.52) J y Y J '~ J A A A b 4 + 2- § a4 ZCxj [) 2 “•> T V(xb 2 (4.53) oziroma B. = z? a 4 J -ž (Xj>) 75 — je ortogonelna primerjava, katere vrednost pojasnjuje pomembnost komponente stopnje j A A v polinomu. Od vseh edino B Q nima značaj primerjave, ker jeZ.X^ = konstanta in torej vsota A o i i Z. 0. Ker pa je primerjava, sledi, A=1 A A A y y°tJ ^ATA A=1 A , r° J Y^ '-A ~~ "A A A=1 0 če je j ^ 0 (4.54) da imajo vrednosti vseh drugih ortogonalnih polinomov značaj primerjav. Prispevek komponente j k skupni vsoti K^ faktorja A je Nepristanska ocena parametra B. je J ; _ 2.h x i B j „ tv.U2 <> t x i>' (4.56) Varianca za B. je * d 2 A A p O Var B. = — ^ n A=1 j o ( x ,,) 2 (4.57) ocena variance pa Var B, = d n A !T A=1 e s: uj) i \ 2 (4.59) Običajno so vrednosti faktorjev dane v enakih razmakih. Za take primere so ortogonalni polinomi do pete stopnje naslednj X 1 = )\ 1 (x - x) X 2 = n r J (x - x) 2 - / 4 - L X 3 = ^3 j (x - x) 3 - X 4 => 4 [(x - i) 4 - — (3 A 2 - 7) (x - x).J 20 — (3A 2 - 13)(x - x) 2 + 14 V tabeli so izračunane vrednosti polinomov kvad rat ov ž_ (x |) 2 (4.59) X_(a 2 - 1) (a 2 -9) 560 X^ in vsote - 99 Tabela 4.1 Ortogonalni polinomi za faktorje z vrednostmi v enakih razmakih (j=l...5? A=2 ... 10) 100 r 102 4.21 Za primer vzemimo proučevanje pripravljenosti za nakup določenega izdelka v odvisnosti od stopnje reklamiranja. Kri- terialni znak je odstotek gospodinjstev, ki so po kampanji izrazile v določenem kraju oziroma trgu pripravljenost, da kupijo reklamiran izdelek. kaktor "stopnja reklamiranja" je izražena v stroških, ki so bila uporabljena v določenem kraju za reklamo na 1000 gospo¬ dinjstev. Ta faktor ima naslednjih šest vrednosti: 20 din, 30 din, 40 din, 50 din, 60 din, 70 din. Ker je v načrtu, da poskus izvedemo v treh ponovitvah, potrebujemo 18 poskusnih enot. Za poskusne enote je bilo izbranih 18 trgov oziroma krajev. Tem krajem smo na slučajnosten način dodelili inten¬ zitete reklamiranja blaga v treh ponovitvah. Z anketo je bil i v vsakem izmed teh krajev po kampanji reklamiranja ocenjen odstotek gospodinjstev, ki so pripravljena nabaviti reklamira¬ no blago. Da bi ustalili varianco strukturnih deležev, ki je odvisna od vrednosti odstotka in velikosti vzorca, je bilo za vzorec v vsakem kraju izbranih po 200 gospodinjstev. Iredvideno je, da se odvisnost variance od vrednosti odstotka odpravi z ustrezno transformacijo osnovnih podatkov ( Rezultati raziskave (umišljene) so naslednji: v 594,94 103 Če za transformirane podatke ; za katere smatramo, da ustrezajo pogojem analize variance, obračunamo varianco, dobimo: Q a . = lS v 2 . = 17,46 2 + ... + 50,18 2 = 22184,3670 Q a = i -. 2 , v 2 = j (41,92 2 + ... + 140,18 2 )= 21961,7656' Q = ; v 2 = 594.94 2 = 19664,0890 n 63 dalje je q Ai = Q A± - Q = 2520,2779 q.£ = Q a - Q = 2297,6765 a analiza variance Splošna analiza variance pokaže, da je intenziteta reklami¬ ranja zelo značilen faktor ( F Q Q1 ( 5,12) = 8,89). Vendar ta splošen rezultat nič ne pove o zakonitostih teh zvez. Ker je faktor ".intenziteta oglašanja" numeričen faktor, za katerega so vrednosti v enakih razmakih, moremo skupen učinek analizi¬ rati z ortogonalnimi polinomi po komponentah. Za A = 6 so koeficienti za linearno in kvadratično komponento z ortogonalnimi polinomi enaki -104 A 20 . 30 40 50 60 70 -5-3-1 1 3 5 X 6 2 5 --1-4 -4-1. 5 y A .13,97 22,55 34,80 39,31 40,95 46,73 Če se zadovljimo s pojasnitvijo linearne in kvadratične kompo¬ nente, dobimo naslednjo revidirano analizo variance - N 2 (X 6 ) 2 5Xgy A - 70 223,47 84 - 36,45 n .ii z 6 y A ) - 5 - <* 6 > 240,30 113,82 Ker je P Q#05 (1,12) = 4.75, P 0#01 (l,12) = 9,33 in K 0 ooi^»'* ;2 ^ = moremo sklepati, da je linearna komponenta za transformirane podatke visoko značilna (&- = 0.001), kvadra- tična komponenta pa značilna na nivoju (o<. = 0.05). Komponente višjih stopenj (tretje, četrte in pete) so se v skupnem izka¬ zale kot neznačilne. 2 Opomba: če pride s. ali za katerokoli njegovo komponento 2 2 A s A <-s A včasih ta del kot čisto slučajnosten vključimo v poskusni pogrešek. Tako se združena ocena za pp zmanjša, obenem pa pridobimo na stopinjah prostosti. V našem primeru je revidirani 105 2 43.5558 + 222,6014 g _ -2-- e 3 + 12 zrn =15 stopinjami prostosti t/ in pridejo izračunani in nekoliko večji in število stopinj prostosti ni = 15. Vendar razlika ni tolika, da bi © bistveno vplivala na odnose značilnosti. Če izračunamo ocene parametrov B-^ in dobimo, da je B = - ■ = 223i£7 = 3yl92 1 ^(Xg) 2 70 A 2 - X 6 y A = - 36,45 >(Xg) 2 84 0.672 Iz tek parametrov spoznamo, da se transformirani strukturni delež n^ z večanjem intenzitete oglašanja na vsakih 10 din dvigne za 3,192 . 2 transformiranega deleža, da pa je narašča¬ nje degresivno, ker je koeficient kvadratične komponente negativen. ker somkomponente tretje do pete stopnje neznačilne moremo smatrati ; a = Vo + =1 X 1 + Vs kot točkovno oceno poteka krivulje poprečnega transformiranega efekta oglaševanja. „ - £ v A Ocena B = —-—-- je v našem primeru 0 A A = 223,47 33,052 6 106 sivno narašča, več vložena sredstva imajo manjši učinek na delež pozitivnih, kar je v skladu s pričakovanjem. Po obrazcu ( ) je ocena variance parametrov funkcije odvisnosti deleža od intenzitete oglašanja, naslednja var B 1 = £ ( X l) 2 = . 70 = 432,833; n 3 /*v ' A * s B-i = V var B =20,81 0 -L < y var B 0 = -^-£(X 2 ) 2 = - - • ■ 55 = 319,40 ; ' 00 24 + s 2 = 15,33 loc^ + perv s e = 1,53 1 6^ Sk K = q pv 5= 184 Sp) K p = S - 128 m P 5-1 = 4 m = 4-1=3 v = 12 m 5.4-1= 19 - 117 Če vzamemo vnaprej izdelane primerjave in pri tem upoštevamo, da se in Y 2 razlikujeta od in V^ v nekih posebnih ele¬ mentih, moremo to i h h 4 1+2 s 3+4 1 1:2 1 3:4 0 Eer je Q5 (1,12) raziti s primerjavami 7 2 ^3 ^4 C Y ^Y 6 8 6 1-1 -1 - 4 -1 0 0 - 2 0 1-1 2 4.75 F 0 .01 (l ’ 12 > = p. 2 2 p('C v y y ) 4 20 15 =20/1,33 2 10 7.5=10/1.33 2 10 7.5=10/1.33 40 9.33 sklepamo, da je poprečni učinek vskladiščenja po načinu 1 in 2 značilno različen od poprečnega učinka vskladiščenja po načinu 3 in 4 na stopnji^= O.ol, 1 od 2 in 2 od 3 pa na stopnjiii = 0.05. Iz primera je razvidno, da je vsota prispevkov individualnih stopenj prostosti enaka skupni vsoti K y = 20 + 10 + 10 = 40 kar je posledica tega, da so vse tri primerjave med seboj ortogonalne. v /2 Ce upoštevamo E(s ), moremo oceniti posamezne komponente variabilnosti. 2 Tako je ocena zač'p enaka 2 2 72 = s p ~ s e = 32 - 1,33 = ! P ocena za o Y 1 > (Y) 2 = 7,67 V V-l Y - s _ 13,33 - 1.33 5 5 = 2,4 118 5.4 Obračun in analiza variance se v primeru, da so bloki ali bloki in faktor, ki ga proučujemo, slučajnostni, bistveno ne spremeni. Oznake za posamezne komponente pišemo ustrezno z velikimi črkami za fiksne in z malimi črkami za slučajnostne, Bistveno drugačno pa je seveda tolmačenje dobljenih rezultatov in pomen posameznih oznak, so Za primer, da/bloki fiksni, so vrednosti bloka vezane na pogoj ■2 kB 0 B pa je B B - 1 k(B)' (5.7) Ce pa so bloki slučajnosten faktor in predpostavljamo, da je b blokov vzorec iz populacije neomejenega števila blokov, za katere predpostavljamo, da so vrednosti bloka slučajnostna O spremenljivka b = : U( 0 ,CT^) enako velja za faktor A A fiksen , 2 B i O + B O a O d + a., + b(5 2 b -2 a (5.10^ 119 5»5 če ne predpostavljamo, da so učinki ulokov in proučevanega faktorja vezani aditivno oziroma, da so neodvisni ^ ^ 0, je model elučajnostnega poskusa v popolnih blokih z i meritvami na poskusni enoti Y bai = M + + + ( ba ) + e bai (5.11) analiza variance pa Za posamezne kombinacije vrst faktorjev moremo•dobiti model I, (B,A blok in faktor fiksen faktor) mešana modela (b, A in B, a) od katerih v praksi pogosto nas 1- ' prvi model II, (b, a blok in faktor slučajnostna) E(s ) posamezne modele so naslednji: (5.13) Model I. BA Mešan model b, A Model II, b, a 120 V obrazcih za E(s nakazane variance imajo naslednji pomen 2 A 1 / . n 2 - (A) A-l A 2 = 1 AB (A-l) (B-l) (AB) 2 2 1 A 2 . , = - b A lpd * * bA A-l A=1 DA 5.6 V primeru, da na posamezni poskusni enoti izvedemo eno samo meritev (n = 1) je shema analize variance naslednja; (5.14) Sk ®ba at - 1 Ker je n = 1, odpade zadnja vrstica za vzorčni pogrešek. She^ moremc s kombiniranjem, da male črke zamenjamo z velikimi, preurediti za Model I ali za mešan model. Pri tem je & = 1 - | ; To = 1 - ~ ; če je faktor ali blok fiksen spoznamo, da sta količini & = 1 = 0 ali = 1 - § = 0 Če pa je faktor slučajnosten (A =o“) ali blok slučajnosten (B =c^) je * -i a -j . b a = 1 - = 1 b = 1 - - = 1 Izrazi kot so a in b z naznačenim pomenim se javljajo v različ¬ nih načrtih. Če je faktor take narave, da iz končnega števil: 121 možnih vrednosti A izberemo v poskus a slučajnostno izbranih vrednosti faktorja je seveda na splošno a 1 - S Če upoštevamo pomen nakazanih simbolov, dobimo naslednje variante za proučevani primer ( 5 . 15 ) Model I, Mešani modeli Model II. 'j Iz E(s ) za različne kombinacije spoznamo, da edino mešan model (b, A) in Model II (b, a) 'omogočata korekten F-preskus za varianro faktorja, medtem, ko za model I. (B,A) in mešan model (B,a) to ni mogoče in dobimo v splošnem F premajhen, ker je£5~-g^ oziroma ^Ba navzoč le v imenovalcu, ne pa tudi v števcu. Ker v praktič¬ nih primerih pogosto predpostavljamo, da so bloki b slučajnost- ni, moremo za te primere obračunavati analizo variance neglede na to ali je £v^ a = 0 ali ne. Podobna analiza variance in sklepi slede tudi v primeru, da je H ■ 1 le da moremo v tem primeru še z ^ pre8kuSatl zna6il _ nost komponente (5^ 122 Problematika analiz odnosov posameznih postopkov je pri pop nih blokih enaka kot pri čisto slučajnostnem poskusu. Tudi v tem primeru veljajo apriorne in aposteriorna analiza, ortogo- nalne primerjave, ortogonalni polinomi za numerične faktorje ir 5.7 Relativna uspešnost slučaj- nostnih popolnih blokov. Uspešnost določenega poskusnega načrta se pokaže na zmanjšanju poskusnega pogreška pri stalnem.skupnem obsegu poskusa n. Tako kot merilo uspešnosti služi razmerje s 2 s e 5 CSP s .SRB e (5.16; med poskusnim pogreškom pri čisto slučajnostnem poskusu in poskusnim pogreškom pri slučajnostnih popolnih blokih. Koli : bi pri istem poskusu bila s^.ČSP, dobimo z združenjem sf in ' seveda tehtano z ustreznim številom stopinj prostosti 2 3 e e. ČSP m b s b +.(m A +m 0 )s; (5.17) m Pisherjeva korektura razmerja iz'5.16 je 2 + oi e e ( m b + l) (m b +m Q +5) CSP (m b +5) (m b +m e +l) ' V našem primeru je uspešnost naslednja; 2 4,32 + (3+12)1,33 148 ,, ™ 5 e„ČSP “ “ " - - " ( 5 , 18 ' 19 19 E ‘SB; ČSP = (4+ 1)(16+3 ) a 7.79 (4+3M16+1) 3 1.33 4,66 Izračun pokaže, da je uspešnost slučajnostnih popolnih bloke v E ar 4,66 kar pomeni, da bi morali vzeti 4,66 krat večji čist' slučajnostni poskus, da bi dosegli tako natančnost, kot sr-' dosegli s slučajnostnimi popolnimi bloki. - 123 5.8 lioskusimo metodo slu^ajnostnih blokov še na simuliranem poskusu, Ker predvidevamo, da je v gradivu sistematičen trend združimo v bloke po tri zaporedne enote poskusnega gradiva Blok 1 (1,2,3) Blok 2 (4,5,6) Blok 3 (7,8,9) Znotraj blokov pa je razmestitev postopkov slučajnostna. Blok 1 Blok 2 Blok 3 Q = = 90000 9 9-BA - 17720 q B = 4992.7 q A = 11980.7 124 a analiza variance je P-preskus je odkril visoko značilne razlike. Ocene efektov A A A (35, 15.3, -50.4) so se znatno približale pravim vrednostim A a (40, 10, - 50) Da preskusimo relativno uspešnost slučajnostnih popolnih blokov v našem simuliranem primeru, izračunajmo koeficient uspešnosti: Ocena variance pri čisto slučajnostnžm poskusu je: 2 2 _2 m B S B + ( m A + m e' s e 2 . 2496,3 + (2+4)186,6 ^ „ s e.ČSP " " _ 8 “ '° 4,u E . . = (2+1).(2+4+3) 764,0 = 3 16 CSB:CSP (2+3).(2+4+1) 186,6 - 125 5.9 I- a n j 1 a j o č e vrednosti .pri slučajno s t n i h. popolnih. blokih Že na več mestih smo opomnili, da je enako število ponovitev tehnično in vsebinsko utemeljeno, ker olajša izračune in interpretacijo rezultatov. Posebej velja to za slučajnostne popolne bloke pri katerih iz definicije blokov sledi, da mora celoten poskus vsebovati n = b.A enot. Včasih pa se le zgodi, da iz kateregakoli vzroka (posamezen poskus neuspel, ga ni bilo možno izvesti, donos uničen ipd.) iz popolnega poskusa izpade eden ali več rezultatov. Za take primere moremo za slučajnostne popolne bloke po posebni tehniki, ki je podlaga tudi pri manjkajočih podatkih, pri drugih statističnih načrt ih, en ali več podatkov, oceniti. Seveda je tako ocenjevanje uspešno le, če manjkajočih podatkov ni preveč.. Pri ocenjevanju manjkajočega podatka vzamemo kot osnovno nače¬ lo, da je ocena za manjkajoči podatek najboljša tista vrednost, 2 2 pri kateri je s najmanjši. Ker s" zavisi od vseh vrednosti © ... © poskusa ; jasno zavisi tudi od manjkajočega. To načelo je logič¬ no, ker vemo, da bi ocena, ki bi bila zelo nerealna in izven 2 stvarnih rezultatov poskušajs g samo povedala. v ✓ Ce z zaznamujemo ocenjeno vrednost za postopek A v bloku B, je po zgornjem načelu By' + A - y' 7 ( 5 . 19 ) BA (B-l)(A-l) pri tem je y^ vsota 'znanih vrednosti v bloku v katerem podatek manjkajy^ analogna vsota znanih vrednosti v vsoti za postopek A in y'vsota vseh znanih vrednot v celotnem poskusu seveda brez ocenjenega y' 126 Vzemimo za primer, da v našem poskusu število bakterij v mleku nimamo podatka za V^, v drugi pošiljki (izmerjena vred¬ nost y 3 2 = 12). Potrebne vsote (vsote brez ocenjevane) so j' =24 j' k2 = 28 y'= 109 B3 ker je B = 5 in A = 4 dobimo y ' = 5.24+4.28-109 B3A2 (5-1)(4-1) = 10,25 12 Ocena torej ne odstopa dosti od prave vrednosti (le Če obračunamo analizo variance z ocenjenim podatkom p s' k pristransko precenjen in ga je treba zmanjšati za 1,75). za (y- - (1-1)7 bA )2 b(b-l) (5.20) analogno moramo znižati število stopanj prostosti za standard ni pogrešek m g za 1 m' = m e -l = (t-1)(i-1) -1 varianca razlike med dvema povprečjema za postopke Var Ay A -~2 2 b : e - b A(A—1) (b-1) ’ namesto P 2 Var Ay A = - e b (5.21) v primeru, da ni manjkajočih podatkov. - 127 5.10 Metoda parov. Poseben primer metode blokov je metoda parov. Če sta v poskusu samo dva postopka A^ in A 2 , ki ju proučujemo v blokih, se analiza variance in proučitev rezultatov takega poskusa zelo poenostavi. Priredimo model za poskus s slučajnostnimi bloki za A = 2. y bl = M + Al + (B) + e bl e bA = ; H(0 > e> (5>22) ^b2 = ^ + A 2 + (B) + e^g d b = y b2“ y bl = A 2 - A ± + (e b2 - e bl ) Iz razlike vrednosti poskusov iz istega bloka, d^ = je izginila splošno poprečje M in kar je še važnejše, učinek bloka. Iz zgornjega modela sklepamo, da se 2 2 d b = sW(A 2 - A ± : 2 « Q) (5.23) in poprečje a 2 / <5 d N(A 9 - A-i s ——) ^ x b (5.24) Nepristranska ocena za sf je s d = s < a t- a ) b-1 (5.25) Celoten problem se je reduciral na problem ocene poprečja ki služi za .osnovo ničelne domneve H Q sA 2 = A^ oziroma H q sD = 0, ali za intervalno oceno razlike A 2 -A d « Preko analize variance pridemo do enakega rezultata po naslednjih stopnjah - 128 ^A y A y b = ^bAl + y bA2 . y = ssy l L = s(yI x + y? 2 ) «a = E | 4 = I (y ? + y 2 } % - I $ 4 y b2> 2 Q = — / = — (y n + y 2 ) 2b 2b x ^ (5.26) (5.27) - 129 Ker je E(l.b-l) = t 2 (b-l) je U . = s t(b-l) (5.29) \ B d Dobljeni rezultat je identičen s prvotnim rezultatom. Metoda parov je zaradi svoje enostavnosti zelo uporabljana metoda. S pridom jo uporabljamo povsod tam, kjer proučujemo faktor z dvema vrednostima in je podana možnost za sestavljanje blokov oziroma parov vrednosti. Tako pri proučevanju značilnosti raz¬ lik v produktivnosti po dveh načinih dela (stari - novi) vza¬ memo kot blok poskusno enoto delavca, ki dela po starem in novem načinu. Pri proučevanju uspešnosti reklamiranja določenega blaga na prodajo vzamemo kot blok posamezno trgovino, v kateri proda¬ jamo po starem in novem načinu in proučujemo dalje razliko v indeksih prodaje. Pri proučevanju uspešnosti prepariranja lesa vzamemo kot blok košček lesa, ki ga razpolovimo. En delček pre- 0 0 * 0 , pariramo; drug/pa ne in proučujemo razlike v karakteristikah obeh delcev, ali poskusne parcele razpolovimo in eno polovico posejemo negnojeno, drugo pa gnojeno. 7 posameznih primerih iz diferenc, ki jih izračunamo iz parov - bloka izločimo iz posku¬ sa heterogenosti med bloki npr. med delavci, med trgovinami, med različnimi njivami. Pri poskusih, v katerih so poskusne enote ljudje, z metodo parov iz poskusa izločimo osebnostno komponento. 5.11 Za primer vzemimo proučitev spremembe cen določenega kmetijske¬ ga izdelka A v dveh različnih razdobjih T-^ in T 2 . 7 ta namen smo na slučajnosten način izbrali b = 15 trgov in zanje zbrali podatke o cenah ob času T-^ in Tg. Rezultati registracije so naslednji; - 130 podražitev Proučiti je treba, ali je/v času Tg značilna in če je, ugotoviti, za koliko se je cena s tveganjema = 0.05 najmanj povečala. S £L m n - 1 240 - % '15-1 = 2.210 a = .2 = & n 15 a _ = a - t 3.733 > -i i s & 2 & = nr \ 2,210 15 0.384 (14) se- / -=P=o.o5 d 3,733 - 1,761.0.384 = 3,057 - 131 5*12 Rankiti v slučajnostnih blokih. Pri preskušanju kakovosti izdelkov glede na okus potrošnika moremo postopati tako, da vsak preskuševalec oceni eno samo vrsto izmed preskušanih izdelkov-in da o njem določeno oceno v točkah (od 1-5, 1-10 ali 1-100 točk). Izkaže pa se, da so rezultati uspešnejši, če ena in ista oseba primerjalno ocenjuje več oziroma vse proupevane vrste izdelka in ne samo eno; ta način ima vse elemente metode blokov, pri čemer ima ocenjevalec vlogo bloka. Tako v veliki meri iz raziskave izločimo splošno osebnostno komponento ocenjevalcev, ki ocenjujejo bolj ali manj kritično in so njihove ocene v splošnem manjše ali večje. Pogosto od ocenjevalca niti ne zahtevamo, da za vsako vrsto ocenjevanega izdelka da oceno s točkami, temveč se zadovoljimo s tem, da preskušana oseba določi vrstni red ocenjevanih izdel¬ kov, 'tj. da jih rangira po kakovosti oziroma okusu. Z rangom izdelka dobimo pogosto zadostno primerjalno informacijo o kako¬ vosti posameznih vrst blaga. Običajno nas ne zanima točkovna ocena za določeno vrsto blaga, temveč vrstni red izdelkov glede na oceno potrošnikov. Tak rezultat daje indikacijo o tem, katera vrsta blaga bolj ali manj ustreza okusu in željam potrošnika. Za take vrste raziskav je v smislu statistične metodologije posamezen ocenjevalec blok,, poskusna enota posamezno ocenjeva¬ nje, postopek - ocenjevanje določene vrste blaga, kriterialni znak pa rang, ki ga posamezen ocenjevalec določi v primerjalnem ocenjevanju različnim vrstam blaga. Rang kot kriterialni znak pa ne ustreza pogojem analize variance. Iz pravokotniške poraz¬ delitve rangov pa dobimo s transformacijo rangov standardizirano normalno porazdelitev rankitov (glej tabelo 3»4). Ker rankiti ne zadoščajo pogojem normalnosti, jih moremo obravnavati z analizo variance. 132 5.13 če postopek analiziranja podatkov poskusa slučajnostnih popolnih blokov prenesemo na naš primer je postopek naslednji: Da bi proučili kakovost A različnih vrst blaga, izberemo b ocenjevalcev od katerih vsak oceni z rangi R^ od 1 - A ocenje¬ vane vrste blaga - postopke. Kako izberemo b ocenjevalcev je odvisno od cilja raziskave. V specializiranih raziskavah so to ocenjevalci ali preskuševalci - strokovnjaki. Če pa želimo do¬ biti rezultate, veljavne za populacijo potrošnikov, izberemo b potrošnikov - ocenjevalec^, slučajnošteta. b kot faktor je v drugem primeru slučajno sten, medtem ko ima v prvem primeru običajno značaj fiksnega faktorja. Range R^ s transformacijo prevedemo v tabelo rankitov Z^. Iz definicije rankitov (standardizirani) povzamemo, da je (5.30) Z A 2=0 (5.31) (5.31) Q = 0 q bA “ Q bA ~ b ~ Z R v t ■ 2 Številu postopkov A ustrezne vrednosti Z^ so tabelirane v tabeli rankitov. Analiza variance rankitov je naslednja: - 135 (5.32) 5.14 Vzemimo za primer analizo okusnosti štirih vrst sladoleda; A-j- = mešanica naravne in umetne vanilije; Ag = naravna vanilija A^ = umetna vanilija; A^ = brez dodatka vanilije. Vnaprej so planirane naslednje tri ortogonalne primerjave, a) ali dodana vanilija daje značilno boljši okus (neglede na to v kakšni kombinaciji), b) ali je mešanica značilno različna od čistega dodatka vanilije (neglede kakšnega), c) ali da naravna vanili¬ ja v primerjavi z umetno drug rezultat. V preskus je vključeno b = 29 na slučajnosten način izbranih otrok, od katerih je vsak poskusil vsako izmed štirih vrst sladoleda in njihov .okus rangiral z 1 - 4. Da preskuševalci ne bi vedeli za posamezne vrste, katere so, so bile vse vrste sladoleda na oko med seboj enake. Posamezne vrste so bile dane poskusnim osebam na slučajnosten način v tem smislu, da je bil vrstni red poskušanja slučajnosten. S tem je bil dodatni do¬ ločljiv faktor, ki bi mogel vplivati na oceno - vrstni red vključen v slučajnostne vplive. < - 134 Rezultati poskusa so naslednji 0 . Q M = S 5 Z^ A = bjlZ 2 = 29' l,03 2 +'30 2 +(- # 30) 2 +(-r03) 2 ;= 66,7522 "b .A. q = - (R fi -R ) 2 12 . P ? --A- = - „ E i - 3b(A+l) = : X^(m = A-l) (5.34) E bA(A+l) A 2 da se zgornji izraz porazdeljuje približno v X - porazdelitvi z m = A-l stopinjami prostosti, če velja ničelna domneva, da je A^ = Ag ~ A^ ... = A A » Vzemimo za primer, da pet ocenjevalcev ocenjuje z razvrstitvijo po kvaliteti 4 različne vrste izdelkov. Ocena za vsako vrsto, da z rangi od 1 do 4. Rezultati raziskave so naslednji: ocenjevalec (b) R = 50 = ^il l l i+l). _ 5Q ' 2 Preskusni izraz je: -f6 2 +18 2 +16 2 +10 2 ! - 3.5(4+1) = 10,92 5(4+1).4 - - 13 ? 2 0.05 (m=4 ‘ 1=3) = 9 ’ 21 X 0.001 (m=3) = 13 > 08 Preskus je pokazal, da so razlike značilne na stopnji X = 0.01 tveganja. Seveda 1’riedmanova analiza variance odkrije samo značilnost razlik med rangi. 5.16 Značilnost apriornega vrstnega reda i A^ ' Ag .• .. A^ pa preskušamo z 1 - preskusom. V ta namen iz vsot rangov R^, ki so urejene po vrstnem redu, kot predvideva H^, izračunamo izraz A X "Al 1E Ax (5.35) Kritične vrednosti za 1 pri danem 1 in A so za b = 2 do 25 in A = 3 do 10 dane v tabeli 5.1. Če za naš primer vnaprej domnevamo, da je vrstni red kakovosti E i da je Ker je 1 - I.Rjli + ^®a_4 + ^ E A2 + 4r A3 — = 1.6+2.10 + 3.18 + 4.16 = 144 ,0 <01 (b=5,A=4) = 141 m i 0<001 (b=5,A=4) = 145 vzamemo, da se je apriorna razvrstitev izkazala kot značilna na stopnji^. = 0.01 Za Ač»10 in velike b moremo vzeti kot približek, da se 1 2L - 3bA(A+l) 2 bA 2 (A 2 -l)(A+l) = : X 2 (m=l) (5.36) s kritičnimi vrednostmi tj.A 15 = 2 >^ = 3+4 4UP = e.63 = 10,8 r~T ~ o Tabela 5.1. Ku tl 2-C . Jt A ^✓wu. -wYytc. oO 4 /• vrvto- t<: -a c ■ c> A 0 za poskusni pogrešek pa velja predpostavka e VSA s(o,rp. Iz konstrukcije latinskega kvadrata sledi, da moremo iz osnovnih podatkov '‘'VSA sestaviti vsote y v , y g , y^ . Ker so v vsotah yy zastopane vse vrednosti stolpcev in vsi postopki y^ variira zaradi razlik v učinku faktorja V in poskusnega pogreška. Podobno velja za (S) in (A). Analizo variance za latinski kvadrat obračunamo po naslednjem postopku. Če izhjamo iz modela Y VSA = M+(V) + (S) + (A)+e VSA > (V) = 0 >I.(S) = 0 }JA) = 0 e VSA = sl ^°’ ^ (6.2) v katerem smatramo, da so učinki vseh treh faktorje/vezani aditivno, so torej med seboj neodvisni, izračunamo najprej iz fyg A ustrezne vsote. - 142 VSA X V X c (6.3) A Iz teli vrst izračunamo pomožne količine: Q VSA = 4 | | y VSA Q- V 1 A 7 V V Q< 1 2 II ys q VSA ~ Q VSA " Q QLy ~ Qy ** ^ q g - Q s - Q (6.4) «A=^ n 12 Q - p y q A ~ Q A ~ Q Iz njih pa obračunamo analizo variance po naslednji shemi: q VSA V shemi nakazan primer predpostavlja, da je za raziskavo po¬ memben samo faktor (A). More pa biti za raziskavo pomemben tudi faktor (V) ali (S) ali oba. Vendar moramo paziti, da moremo v latinskem kvadratu kombinirati raziskavo dveh ali treh faktorjev - 143 le, če moremo predpostavljati, da so ti faktorji med seboj neodvisni. V tem primeru faktor (V) in (S) primerjamo z 2 2 V S e in kg 2 e 6,3 Standardni latinski kvadrati. latinski kvadrat imenujemo standarden, če sta prvi stolpec in prva vrsta urejena po zaporedju postopkov (ali po abecedi ali numerično npr. standarden latinski kvadrat 3x3 predstavlja poskus z naslednjo ureditvijo postopkov: A-*^ *A. 2 A^ a 2 a^ a^ Ag A-l A 2 ( 6 . 6 ) Dva latinska kvadrata sta konjugirana, če so vrstice enega kvadrata identične stolpcem drugega. Konjugiran v sebi pa je kvadrat, če je konjugiran kvadrat identičen osnovnemu kvadratu Tako je npr, kojugiran v sebi naslednji latinski kvadrat 4x4 A^ A 2 A 3 A^ A 2 A 1 A 4 A 3 A-^ A^ A/p A-^ A^ A^ A-^ A2 (6.7) Iz vsakega standardnega latinskega kvadrata moremo s preuredit vi jo vrst ali stolpcev dobiti A ! (A-l)! različnih latinskih kvadratov. Za latinske kvadrate od 2 x 2 do 6 i 6 je število različnih kvadratov naslednje: - 144 latinski Število standardnih Število možnih kvadrat latinskih kvadratov razvrstitev 2x2 3x3 4x4 5x5 6x6 1 1 4 56 2 12 576 9.408 161.280 812.851.200 Število standardnih LK, še "bolj pa število možnih razvrstitev z večanjem 1K močno narašča. Slučajnostne 1K dobimo tako, da najprej izberemo na slučajnosten način standarden 1K nato pa slučajnostno razporedimo vrste in stolpce. Tako npr. iz stan¬ dardnega LK 4 x 4 najprej z nakazano slučajnostno permutacijo vrstic dobimo 4 3 12 2 | ■&! Ag A^ A^ 4 A 2 A x A 4 A 3 3' j A3 a 4 a 2 a 4 1 j A^ A ^ A~^ A 2 1 j a 4 a^ a 1 a 2 ^ j Ai A 2 A^ A^ 3 A^ A^ A 2 A-^ 4 A 2 A-l A^ A^ nato pa s slučajnostnimi permutacijami stolpcev 12 3 4 1 A^ A 2 A^ A^ 2 a 3 a 4 a 2 A^ 3 A 2 A-l a 4 a 3 4“ A^ A^ A*-^ Ag /ar*' 'v l '* V-*- » » «ss- 3X3 4X4 12 3 4 8X8 9X9 uto. /CtlricMJLob‘‘fL - 146 V tabeli 6.1 je danih nekaj izbranih 1K iz katerih na opisani način dobimo s permutiranjem vrstic in stolpcev slučajnostne LK 6.4 Za primer latinskega kvadrata 4x4 vzemimo raziskavo avtomobilskih gum s cestnim testom, faktor, ki ga proučujemo je vrsta gume, uporabljena za izdelavo avtomobilskih plaščev (4 vrste: A^ A 2 A^ A^)* Kriterialni znak je debelina sloja gume na kolesih po določenem številu kilometrov. 4 plašči vsake vrste (n = 16) so bili montirani na 4 kolesa štirih avto¬ mobilov tako, da je en faktor predstavIjila pozicija kolesa SD, Sl, ZD, Zl. Poskus za faktor (A) je bil načrtovan v latin¬ skem kvadratu s faktorjema vozilo in pozicija (V) in (S) in vrsto plašča kot faktorja, ki ga raziskujemo. Rezultati, pisani poleg ustreznih oznak postopkov, so naslednji Pozicija Ap Ag A ^ A^ - 147 A _ 1 y2 = l( 43 2 +43 2 +41 2 +45 2] = 1851 = 2,0 b 4 S b 4 L q = i>.y 2 = i[22 2 +28 2 +50 2 +72 2 ) = 2238 q. = 389,0 A 4 a A 4>- A q = 1 y 2 = 1 17 2 2 = 1849 4 2 4 2 Analiza variance; Ker je K (3,6) = 9,18 znatno manjši kot izračunani K, sklepam cK-o. ool da so razlike v kvaliteti gum visoko značilne. Analiza poprečij za posamezne vrste, gum nakaže naslednje sklepe Ker ni-smo vnaprej načrtovali nobenih primerjav, izvedemo posteriorno analizo y Al 22 4 = 5,5 y A2 28 4 = 7 y A3 ^ = 12,5 y A4 72 ,4 = i - 148 - 18 A 3 = 12.5 A 2 = 7 A-j_ = 5.5 Kot značilno različni-• = o.o5 so se pokazali plašči kakovosti A^ od kakovosti A-^ in A 2 » 12.5 11 5.5 7 K " 5 5.5 1.5 K=2 6.5 Uspešnost poskusov v lat iaa s k i h kvadratih. Uspešnost poskusov v latinskih kvadratih v primerjavi s čisto slučajnostnim poskusom ali poskusom v popolnih blokih enake veličine dobimo s primerjavo ocen varianc poskusnega pogreška z vključitvijo doprinosov izključenih faktorjev. Tako je ocena variance poskusnega pogreška pri čisto slučajnostnem poskusu p s 0 yg iz podatkov analize variance 2 2 /. \ 2 + Sg + (A-I)s e m+T) S e.VS ( 6 . 8 ) - 149 Ocena variance poskusnega pogreška pri metodi blokov, če so bloki vrstice s 2 »(A-lJs^ e. S Če pa so bloki stolpci _2 Sg + (A-l)s 2 E-, E 'LKjSB.V E EKsSB.S (6.9) ( 6 . 10 ) J ČS s. D (A) S e ,_s SB ( 6 . 12 ) s. D SB (6.13) s . Korekturni členi D^,g in Dg-g, .ki .so funkcije velikosti latinskih kvadratov so blizu 1 in imajo za A=3 do A=8 naslednje vrednosti s - 150 6.6 V našem primeru raziskave z avtomobilskimi gumami se izkaže naslednje: E. LK.CSP - Dq 3 -(A) S V + s S + 3 s e 5 s: _ • 8974 3«5 + 0,-67 + 3«2,58 _ »72.79 5 . 2,58 2 o 2 s s + 3 s E LK:SB. S “ E SB^ ^2 “ = ‘9333 + ^ «_2,58 _ »^505 4 . 2,58 sS + 3 s 2 E LK:SB.¥ = D SB^ 4 # s '2"■ = = * 9333 ■ . 2? . 5 + . 3 » 2 ^ 5 8 = . 2., 0165 4 . 2,58 Koeficienti uspešnosti pokažejo, 'da je latinski kvadrat dal le v primerjavi z s slučajnostnimi bloki vrstic za 1,65$ boljše rezultate. - 151 6.7 Za simulirani primer s trendom v uosnovnem gradivu ima smisel uporabiti latinski kvadrat. V njem z razvrstitvijo osnov nega gradiva, ki je urejen po velikosti 5 1 V Yr 1 V 3 1 4 7 Sr 2 5 8 S, 3 6 9 z vrsticami izločimo vpliv dolgoročnejšega vpliva linearnega trenda (prva vrstica 1-3 so enote na začetku, druga vrstica 4 - 6 so enote v sredini in tretja vrstica so enote na koncu gradiva) s stolpci pa kratkoročni vpliv trenda (v prvem stolpcu 1, : 4,7 so prve enote v blokih - vrsticah, v drugem stolpcu 2, 5, 8 so srednje enote v blokih in v tretjem stolpcu so zadnj enote v blokih 3, 6, 9. če tako razporejenim poskusnim enotam pripišemo postopke, v shemi latinskega kvadrata, dobimo načrt s Če prepišemo zgornje podatke v standardno obliko latinskega kvadrata, dobimoi - 152 9 - 153 -Analiza variance pa je Iz analize variance se jasno vidi, da so "bloki po vrsticah (strS-ttimmi) pojasnili znatno več od skupnega K (4992.67) kot pa stolpci (samo 844.67). Uspešnost latinskih kvadratov v primerjavi z enotnim slučaj¬ no stnim poskusom je naslednja; 2 _ 2496.33+422,33+(3-1)«30,33 = 744 88 e.V3 ' 3 + 1 ’ ; E. IKsCSP ■77X4 . '= 18,94 30,33 Uspešnost latinskih kvadratov je v tem primeru zelo velika. To ni slučajno. Zato je uporaba latinskih kvadratov, v vseh pri¬ merih poskusnega gradiva, v katerem je trend če že ne linearen, vsaj monotono naraščajoč ali padajoč, priporočljiva. - 154 6.8 Manjkajoči podatek pyo lat in¬ skem kvadratu. Iz istih razlogov kot pri slučajnostnih popolnih blokih more tudi pri latinskem kvadratu manjkati en ali več osnovnih po¬ datkov. Če manjka le eden, ga moremo po načelu, da je najbolj¬ ša ocena tista, ki da najmanjši poskusni pogrešek, oceniti po obrazcu y VSA A(yy + yg T y' A ) - 2y (A-l) (A-2) (6.14) Seveda je treba število stopinj prostosti za poskusni pcgrašek m e zmanjšati za 1 m' = (A-l)(A-2)-1), vsoto kvadratov sa za postopek pa popraviti po obrazcu K A ( V- yf - yg - (A-!) y^j [ (A-l) (A-2)* 1 2 (6.15) yy » yg > y' A i* 1 y^so ustrezne vsote za vrsto, stolpec in po- g±e|>ek, v katerem manjka podatek. Če vzamemo &a primer, da_ v simuliranem primeru manjka podatek y-^p to je podatek iz prve vrstice, prvega stolpca za postopek A^_ je ocena y£-j^ nas lednja; yy 1 = 78+33 = Ul yg 1 = 36+126 = 162 y' 1 = 142+178 = 320 y'=. 78+33+ ... 178 = 799 , A = 3 t če vstavimo te podatke v zgornji obrazec dobimo = 3(111+162+162+320) - 2.799 = 90 5 111 (3-D (3-2) prava vrednost pa je 101 - 155 6.9 Grško - latinski kvadrati. Z latinskim kvadratom izločimo dva določljiva, a za raziskavo nepomembna faktorja, ki ju v dani shemi tehnično vključimo enega v vrstice, drugega pa v stolpce kvadrata. Z grško-latin¬ skim kvadratom izločimo tri določljive, a za raziskavo nepo¬ membne faktorje. Grško-latinski kvadrat sestoji iz dveh ortogonalnih kvadratov. V njem so prirejene vrednosti tretjega nepomembnega faktorja T tako, da so ortogonalne faktorjem vrstic, stolpcev in proučevanega faktorjaA. Kot primer grško-latinskega kvadrata v originalni obliki, v kateri so vrednosti enega faktorja v kvadratu zaznamovane z latinskimi, drugega pa z grškimi črkami, vzemimo grško latin¬ ski kvadrat 4x4 stolpci ( 6 . 16 ) Če vzamemo npr. postopek A, dobimo da so z A vezani Aoi ■ A%\ Ao ( A(3 , torej vse vrednosti faktorja zaznamovanega z grškimi črkami. Enako so npr. z vrednostjo vezani C,r A £ B D ^ vse vrednosti faktorja zaznamovanega z latinskimi črkami. V grško-latinskem kvadratu vezane vrednosti štirih faktorjev moremo za naš primer 4x4 pisati tudi v obliki: - 156 Pos irasna enota V S c7v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 111 12 2 1 3 3 14 4 2 14 2 2 3 2 3 2 2 4 1 3 12 3 2 1 3 3 4 3 4 3 4 13 4 2 4 4 3 1 4 4 2 z so vezane enote Enota V S o* A 4 ( 1 4 4 4 ) 5 ( 2142 ) 11 ( 3 3 4 1 ) 14 ( 4 2 4 3 ) A 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 Iz primera vidimo, da sooG^ vezane vse štiri vrednosti V, S in M . - 157 6.10 Model poskusa s ponovitvami v grško-latinskem kvadratu je ^YS°t“A = M+ (Y) + (S) + (=»*) + (A) +e yg 0 / ^ e YS'KAi ~ (6.17) A analiza variance za grško-latinski kvadrat A x A fiksnih faktorjev (Model I) je naslednja: Če je za raziskavo pomemben le faktor A, z k-preskusom, pri- mer jamo le k^ = . Podobno kot v latinskem kvadratu pa morajo biti vsi ali nekaj faktorjev, ne pa samo eden, za raziskavo pomembni faktorji; če le moremo predpostaviti, da so med seboj neodvisni. V tem primeru je k-preskus uporaben za vse za raziskavo pomembne faktorje. - 158 6,11 Prednosti in pomanjkljivosti latinskih in grško-latinskih kvadratov. Glavne prednosti latinskih in grško-latinskih kvadratov so v tem, da moremo v njih z razmeroma majhnim obsegom poskusa izločiti tudi do tri določljive, a za raziskavo nepomembnih faktorjev, kar vpliva na zanesljivost poskusnih rezultatov. 2 Obratno pa moremo z obsegom poskusa A enot proučiti do štiri faktorje z po A vrednostmi. Razen razmeroma majhnega obsega je tudi analiza enostavna. Glavne pomanjkljivosti pa so v tem, da mora biti število vrednosti faktorjev za vse faktorje enako. Glede na to so latinski in grško-latinski kvadrati večji kot 8x8 redki. Pri latinskih in grško-latinskih kvadratih, ki so manjši kot 5x5 odpade malo število stopinj prostosti na poskusni pogrešek. Število stopinj prostosti na enostavne latinske in grško- latinske kvadrate 0 . Pogoj, da so faktorji neodvisni oziroma, da so učinki aditivni, je precejšnja omejitev za uporabo LK in GLK. 1 . Slučajnostni razpored, v 1K posebno pa v GRK je razmeroma kompleksen. Iz sheme je razvidno ; kako se skupna vsota kvadratov od načrta do načrta vse bolj razstavlja in kako se na ta način manjšata poskusni pogrešek (K in m ) 159 a M M Tabela 6.1 Primerjala formiranja komponent - 159 6.12 Kot primerjalni povzetek formiranja komponent v a) čisto slučajnostnem poskusu A postopki v A ponovitvah Id) slučajnostnih blokih A postopkov v A blokih c) latinskem kvadratu A X A d) grško-latinskem kvadratu A x A 2 vzemimo poskus z A poskusnimi enotami. Tabela 6.1 Primerja3raa formiranja komponent 160 Iz sheme je razvidno, kako se skupna vsota kvadratov od načrta do načrta vse bolj razstavlja in kako se na ta način manjšata poskusni pogrešek (K in m ). 6.13 latinski kvadrati v blokih. Poskus v latinskem kvadratu ima za standardni pogrešek m. = (A-l)(A-2) stopinj prostosti. Tako je pri A = 2 m = 0,pri AP^i m Q = 2, pri A = 4 je m„ = 6, pri A = 5 m = 12. Od 0 0 2 ^ skupnega števila stopinj prostosti m = A - 1 odpade razmeroma malo na standardni pogrešek. Zato pogosto poskuse v latinskih kvadratih ponavljamo, da pridobimo na številu stopinj prostos¬ ti za standardni pogrešek A. V tem primeru načrtujemo ponovit¬ ve tako, da predstavlja vsak 1K v celoti samostojen blok. Tako dosežemo, da iz poskusa izločimo heterogenost poskusnega gra- 0 diva, ki mora pri b ponovitvah oziroma blokih imeti n = bA enot. Tako moremo latinski kvadrat, s katerim proučujemo več vrst gnojila, ponoviti na več njivah - blokih. V tem primeru predstavlja vsaka njiva blok - razlike med njivami - bloki pa s takim poskusom izločamo. Shema latinskega kvadrata v blokih je naslednja: blok 1 blok 2 model latinskega kvadrata v blokih - oziroma ponovitvah pa je: 2 y bvsA = M+(b) + (bv) + (bs)+(A)+e bvgA = :N(0 ’ C5 ®) (6 * 20) - 161 Iz sheme in modela je razvidno, da tako vrstice kot stolpci nimajo med "bloki nobene zveze oziroma skupne značilnosti. Če npr. faktor v predstavljajo 4 trgovine, so v posameznih blo¬ kih po štiri različne trgovine. Stolpci oziroma vrstice pred¬ stavljajo v okviru glavnega bloka ppedbloke, zato je zanje komponenta (bv) in (bs), ne pa (v) in (s). Iz osnovnih podatkov poskusa v latinskih kvadratih v blokih ^bvsA i zra čnnamo naslednje vrste oziroma tabele. y bvSA ^bs ^bv ^b ^A 7 ( 6 . 21 ) in pomožne količine Q bvsA Q bs ~ -k At b v § A bvSA b s ^bs A 0' = — ^ ^ v^ Qlnr A b'v ybv A 1 S 2 % = “2 - • ^b D b D Qa = 1 bA ' £ y 2 A J A 2 /ir. A 2 7 /bA ( 6 . 22 ) ustrezne q_ v izračunamo, da od Q v odštejemo Q. Analiza variance IZ v blokih pa je: W I K im s 2 i E(s 2 ) (6.23) + (b) (bv) (bs) ^b q bv _q -b 2-bs -( ^b (A) j 1, s i b-1 i j b(A-l) b(A-l) i (A-l) 2 b 2 bv bs r "'‘~+Jk r-'^ +A v 2 + 33, ' e +i - bv " bs ---b „2_ e' • 2 + Ao k Z b\ ,2 PP ‘IbvSA-^v-lbS-Vil i (A-D [b (A-l) -£) A e + A C bA C 'l + bAt 'A e !j Ce Sk j q bvSA p * bA -1 - 162 Iz sheme za analizo variance povzamemo, da moremo značilnost za (bv), (bs) in (A) z R-preskusom ugotoviti tako, da ustrezen O P s delimo z s . To pa ni slučaj za medbločno komponento (b), e 2 2 2 ker ni direktno dana ocena za G e + Aco"-]^ + ^^bs * ^ er P a analiziranje značilnosti na b v tem primeru ni vprašanje, ta problem, ki je v drugih primerih pereč, ne bomo proučili na tem mestu. Iz analize variance spoznamo, da vsak nadaljnji p blok doprinese skupno A stopinj prostosti, od teh pa gre na p povečanje m g (A-l) . Ocena manjkajočega podatka v latinskem kvadratu v blokih. Oceno y^ vsA za podatek v bloku b, vrstici bv in stolpcu bs, v katerem je po planu apliciran postopek A, je po metodi najmanjših kvadratov za naslednje: y bvsA- + m^s + ^ (A-l) i b (A-l). - 1 ( 6 . 24 ) Rodobno kot pri slučajnostnih blokih oziroma latinskem kvadratu brez ponovitev, se m zmanjša za 1 oziroma za toliko, kolikor je ocenjenih podatkov. Ocena za več manjkajočih podatkov se znatno zaplete. Razen tega pa taki poskusi izgubljajo na pomenu. - 163 6.14 Ponavljanje meritev v 1 a t i n - skem kvadratu. V primeru, da gre za ponavljanje meritev na poskusnih enotah, se poskusni pogrešek razdeli v dve komponenti: pravi poskusni pogrešek e bvgA in vz®arčni pogrešek e bvgAi . Model latinskih kvadratov v blokih z h ponovitvami na posamez¬ nih poskusnih enotah je naslednji ^bvsAi = M + + < bs ) + + < A > + e bvsA + e bvsAi (6>25) analiza variance pa naslednja: Pomožne količine q so izračunane po znani splošni shemi q. = — , pri čemer je v našem primeru skupno u n ' ~ u n 2 - število vseh meritev n = bA n . Tako je npr* ^-bv bA "š 2 ^r2.7bv - y bA n bA 2 rn - 164 p S pomočjo E(s ) moremo oceniti tudi posamezne komponente variacije. Kot primer poskusa moremo vzeti gnojilni poskus na več njivah (bloki) na katerih izvedemo poskus v latinskih kvadratih (da izločimo spreminjanje kvalitete zemlje v dveh pravokotnih smereh v,s) na vsaki ploskvi'latinskega kvadrata pa merimo donos na več različnih rastlinah. 6.15 Kot je razvidno iz E (s^), v shemi za analizo variance, komponente (hv) in (A) z E-preskusom preskušamo tako, da p p p p s hv V i n s _& P r i me:ic j am0 s s e ? medtem ko značilnost varian¬ ce čistega poskusnega pogreška preskušamo z razmerjem Model in poskuse z latinskim kvadratom v blokih z več meritva¬ mi na posameznih poskusnih enotah in ustrezno shemo za analizo variance moremo uporabiti za štiri različne načrte z latin¬ skimi kvadrati b A n. Navaden LK 1K v blokih M z J meritvami na poskusnih enotah LK'v blokih z 2. meritvami na poskusnih enotah b A n 1 A 1 b A 1 1 A n Če ni blokov ali več'meritev vzamemo za b oziroma n kot faktor 1, b oziroma $. kot indeks pa odpade. - 165 6.16 Spojeni latinski kvadrati. Pri latinskih kvadratih v "blokih se z vsakim blokom m poveča o e za (A-l) . Ce je A = 2 se m poveča za 1, za A = 3 za 4, za A = 4 za 9. To povečanje se sicer z večanjem A veča s kvadratom, a je za poskuse z majhnim številom postopkov (A=2, A=3) razmeroma majhno; m g za 1K v blokih razmeroma hitreje povečamo s spojenimi latinskimi kvadrati. Paktor v je včasih take narave, da so njegove vrednosti enake v vseh blokih. Če je faktor v dan v tednu, je jasno, da faktor (bv) preide v faktor (v), ker je neodvisen od bloka, ker so v vseh blokih isti dnevi. Tako je tudi v primeru poskusa z avtomobilskimi gumami, ki je nakazan v primeru. Ta poskus bi mogli izvesti v blokih tako, da bi blok predstavljali po štirje avtomobili iste znamke, na teh avtomobilih pa bi po načrtu, ki je dan z latinskim kvadratom, montirali štiri različne vrste gum. Ker ima vsak avto, neglede na znamko, štiri točno podane pozicije koles (Sl, Sl, Zl, Zl), so te pozicije skozi vse bloke iste. Zato v analizi variance ta faktor (v) sodeluje le z m^ A-l stopinjami prostosti, a ne z m^ = b(A-l) stopinjami prostosti in preide nn v - m^ = (b-1)(A-l) stopinjo prostosti v m e * se torej poveča na m = (A-l) b(A-l)-l;+ (b-1)(A-l)‘= (A-l)(bA-2) (6.27( X, ' S povečanjem števila blokov za 1 se m_ poveča za A(A-l). »F Shema, model in AVAR. za poskus s spojenimi latinskimi kvadrati je: (6.28) 166 = M + < b) + W + ( ts ) + ( A ) + e b?sA (6.29) a analiza variance W : K m E(& 2 ) (6.30) A 9 A ( 6 ) 4 * (V) % b(A-l) A-l b-1 (A-l) ! PP ^sA^bs-^v^A (A-l)(bA-2)i sj! c| 2 ! 2 ? /-t— Sk 9b»sA Po značaju je ¥ običajno fiksen faktor, zato je kot tak vzet tudi v zgornji shemi. 6.17 V našem primeru je kot načelo za sestavljanje blokov vzeta znamka avtomobila. Isti poskus pa bi mogli izvesti tudi na bA avtomobilih iste znamke. V tem primeru bi kriterij za sestavljanje blokov odpadel in bi dobili glede na avtomobile čisto slučajnostno ponavljanje poskusa. Takih primerov je zelo veliko in so taki načrti poskusov zelo pogosti. Y tem primeru meje blokov odpadejo in je važno le, da je vsak A v vsaki vrsti b krat zastopan in da so v stolpcih vsi postopki. Shema, model in AVAR za tak poskus (Change-over poskus) je: - 167 (6.31) y ¥sA = M + (V) + (s) + (A) + e YsA e VsA = : K (O, ” 2 ) (6.32) Analiza variance je: s = M Po svoji obliki je celoten načrt sličen poskusu z enostavnim latinskim kvadratom (v njega tudi preide, če je b=l in je s = bA = A). V drugih primerih pa je to posebna oblika spoje¬ nega latinskega kvadrata. Za poskuse, v katerih je A=2 je tak način edino možen, ker je m = 0 za enostaven latinski kvadrat in tudi za latinske kvadrate v blokih. Y primeru tako spojenega latinskega kvadra¬ ta je za A=2 na splošno m g = (A-l)(s-2) = s-2 = 2(b-l). - 168 6.18 Za primer poskusa z opuščenimi spojenimi bloki v latin¬ skem kvadratu vzemimo naslednji poskus. Da bi proučili, ali način prodaje (2 načina prodaje) značilno vplivata na prodajo, so v osmih s=b.A=4. 2=8 slučajnostno izbranih trgovi¬ nah prodajali poskusno blago po obeh načinih. Trgovina v tem primeru predstavlja blok. Da bi izločili vpliv mesta, na ka¬ terem prodajajo blago, posamezen način prodaje ni bil določen posameznemu mestu (pri pultu, pri vratih, pri pultu v notra¬ njosti trgovine) čisto slučajnostno, temveč v skladu z načelom opuščenih spojenih latinskih kvadratov tako, da je vsak način prodaje bil apliciran na enakem mestu b krat (v našem primeru štirikrat). y V§A trgovina y Al = 391 y A2 = 423 q VSA “ vss y VSA ~ 7l2 + ••• + 482 41965 42744 - Il21 + ... + 107 j 2 " Q v = - !452 2 + 362 2 j = 41918,5 8 ' Q a = -|391 2 + 423 2 j= 41476,25 8 Q = — 814 2 = 41422,25 ^VSA 1321,75 Ig = 542,75 = 496,25 1' A = 54,00 16 - 169 Analiza variance je s Ker je = 1,416-^1,6) = 3,78, sklepamo,, da način pro¬ daje ne vpliva značilno na višino prodaje. - 170 7. PAVI PESKI POSKUSI 7.1 Po ustaljeni terminologiji govorimo o večfaktorskih posku¬ sih takrat,, kadar s poskusom kompleksno proučujemo dva ali več za raziskavo pomembnih faktorjev. Ta terminologija ne ustreza povsem, ker je tudi poskus, v katerem proučujemo en faktor, faktorski poskus. Tako je faktorski poskus sinonim za večfak- torski poskus. Eden izmed bistvenih prvin in značilnosti statističnega prouče vanja poskusnih podatkov.jev tem, da se je proučevanje enega samega faktorja s klasičnim poskusom razširilo na večfaktorski poskus, v katerem z istim poskusom obseženo analizo, vpliva več faktorjev hkrati. Kot bomo videli,trofaktorski poskus ni istoveten ® tremi enofaktorskimi poskusi in da trofaktorski poskus kompleksnejše rezultate o vplivu faktorjev. Tako npr. s trofaktorskim gnojilnim poskusom analiziramo in ugotovimo, katera kombinacija količine treh gnojil daje najboljši pride¬ lek. Podobno z večfaktorskim poskusom dodatkov določeni brez¬ alkoholni pijači ugotovimo kompleksen učinek mešanice na okus pijače. Ta rezultat ni v vseh primerih vsota za ocene dodatkov Enako je s kompleksnim' učinkom različnih proizvodnih dejavni¬ kov, ki vplivajo na kakovost izdelkov in podobno. Zato so včasih večfaktorski poskus imenovali tudi kompleksni poskus. 7.2 Glavni učinek. Interakcij a. Vzemimo za primer dva faktorja P s tremi vrednostmi in P z dvema vrednostima. S kombiniranjem vrednosti teh dveh faktor¬ jev dobimo A=6 postopkov. Učinek vsakega postopka (obenem z opredeljajučimi pogoji je dan z aritmetično sredino za kriterialni znak M^-g. Tako imamo toliko sredin, kolikor je postopkov oziroma kombinacij vred¬ nosti faktorjev. - 171 (7.1) so poprečja postopkov in izražajo vpliv opredeljujočih, faktorjev in vpliv faktorjev P in P. Aritmetične sredine M-n = 1 > L P ~ E R iJ PR 1 C M™ so sredine, ki variirajo Mt^t, sredine, ki variirajo samo zaradi vpliva p in ^ c iupp zaradi vpliva faktorja R. M = k- M p p “PR PR pa je skupna sredina, ki je... izraz splošnih faktorjev. Tako je torej M = M Mp = M + (P) M R = M + (R) Mpp = M + (P) + (R) + (PR) (7.2) M = M rezultat opredeljujočih pogojev Mp = vsota rezultatov opredeljujočih pogojev M in "glavnega učinka" faktorja (P) M r = vsota opredeljujočih pogojev M in glavnega učinka faktorja (R). Poprečja Mpp so rezultat kompleksnega učinka opredeljujočih faktorjev M in faktorjev P in R. Vendar so poprečja Mpp = M + (P) + (R) vsota rezultatov opre¬ deljujočih pogojev M in glavnih učinkov (P) in (R) le v - 172 primeru, če je vpliv obeh faktorjev neodvisen in so učinki aditivni. V splošnem pa je kompleksen učinek faktorjev med seboj odvisen. Vpliv enega faktorja na kriterialni znak je drugačen pri različnih nivojih drugega faktorja. Vpliv različ nih doz gnojila E je bistveno odvisen od doze gnojila P. To se pokaže v tem, da v Mpp razen od M in glavnih učinkov (P) in (R) nastopa še dodatna komponenta (PR), ki je izraz vzajem nega delovanja faktorjev P in R in ga imenujemo interakcijo med faktorjema P in R. Iz gornjih zvez moremo izvrednotiti iz M, Mp, Mp, Mpp glavna učinka obeh faktorjev (P) in (R) in interakcijo (PR). Tako zlahka'dobimo, da je (P) = Mp - M (R) = M r - M .(7.3) (PR) = Mp R - M p - M R + M Iz znanih zvez med M, Mp , Mp in Mp p dobimo, da je 1(P) =;> (M P - M) = 0 'P p * Vsota ali poprečje interakcije po katerikoli vrednosti faktor ja P ali R je enaka 0 po definiciji. - 173 7.3 Vzemimo shematične vrednosti za Mpp za primer 2x3 poskus brezalkoholne pijače. kaktor S je količina sladkorja v treh dozah; Sp = nizka koncentracija”, S 2 = srednja koncentracija; S^ = visoka koncentracija faktor D pa dodatek z dvema vrednostima; D Q = brez dodatka Dp = z dodatkom. S kombinacijo zgornjih dveh faktorjev dobimo A = 6 različnih pijač. Shematične vrednosti poprečne ocene za okus šestih pijač Mpg za zgornji primer so; Če po obrazcih 7.3 izračunamo tabelo glavnih učinkov (S) in (D) in interakcijo (SD), dobimo naslednjo tabelo; Če za primer Mgp = 92 kontroliramo dane zveze, dobimo - 174 M22_ = + S 2 + + SD 21 = 59 + (+16) + (+5)+ (+12). — 92 Za zgornji primer vrednosti ocen za okus šestih pijač, ki jih dobimo s kombiniranjem faktorjev sladkor in dodatek, dobimo naslednjo sliko loo Slika 7.1 Komponente faktorskega poskusa 2 z 3 - 175 Analiza grafikona poprečnih ocen za šest kombiniranih pijač pokaže, da je najvišjo oceno dosegla kombinacija: srednja koncentracija sladkorja z dodanim dodatkom = 92). Iz grafikona za Mg^ vidimo neposredno, da v učinku faktorjev S D obstaja interakcija. To sklepamo iz tega, ker je potek krivulje za oceno pri različnih koncentracijah sladkorja dru¬ gačen, če je dodan ali ni dodan dodatek D. Če pri istih glavnih učinkih (S) in (D) in sredin M sestavimo vrednosti Mg-p brez interakcije, dobimo naslednjo tabelo za Mg-p Iz tabele vidimo, da so Mp in Mg ostali zaradi nakazanih lastnosti interakcije enaki kot v osnovnem primeru, v katerem je bila tudi interakcija. Ce narišemo grafikon za Mgp za ' primer, da interakcije ni, dobimo naslednjo značilno sliko: pri neodvisnosti - 176 Če interakcije ni, je zveča med učinkoma obeh. faktorjev adi¬ tivna Mg D = M + (S) + (D), črte za Mgp enega faktorja pri različnih vrednostih drugega faktorja pa vzporedne. Če kritično premotrimo nakazani primer, je na splošno zelo pomemben naslednji sklep. Če interakcije ni, poprečna črta ... vedno podaja zakonitost poteka vpliva faktorja pri različnih vrednostih drugega faktorja, samo da je na poprečnem nivoju, razlike učinkov pa ostanejo iste. Y tem primeru je poprečno ponašanje faktorja (S) MS slika za ponašanje faktorja pri po¬ sameznih nivojih drugega faktorja Mgp Q ali Mgpp in M SD = M S + M D - M Če pa je interakcija obstaja, poprečje Mg ne kaže poteka niti pri D q niti pri Dp. Tako je ugotovitev, da (SD) ^ 0 znak, da je treba proučiti celo tabelo poprečij Mgp, če hočemo ugotovit zakonitosti vpliva dveh faktorjev, ker samo z Mg in Mp ne moremo pojasniti Mgp . Zato so v tem primeru Mg in Mp drugotne ga pomena. 7.4 Ker je glavni učinek (!) vezan na pogoj (P) = 0, je število stopinj prostosti za glavni učinek m = P - 1. AT V tabeli interakcije so interakcije vezane na pogoj, da so vrste po vrsticah in stolpcih enake 0. Zato je tabela inter¬ akcij določena že s tabelo vrednosti interakcij, ki ima en stolpec in eno vrstico manj torej z (P-l) (R-l) 'vrednostmi, vrednosti zadnje vrstice in zadnjega stolpca pa so določene z polnimi pogoji. Zato je število stopinj prostosti za inter¬ akcijo mg^ = (C-1)(R-1). V celoti je v dvofaktorskem poskusu PR stopinj prostosti razdeljenih na posamezne faktorje takole: M pr = M + (P) + (R) + (PR) (7.6) PR = 1 + (p-l) + (R-l) + (p-l) (R-l) = m = “M + “p + m R + ^R = PR - 177 7.5 Glavni učinki in interakcije pri trofaktorske, m poskusu. Če razširimo sklepanje iz dv.ofaktorskega poskusa na trofaktor ski poskus, dobimo iz tabele poprečij za n = CDE postopkov in tabele sumamih poprečij M c (7.7) M (7.8) + (E) + (E) + (CE) + (E) + (DE) + (E) + (CE) + (DE) + (CDE) Mcde 0 e tprej rezultat M, glavnih učinkov vseh faktorjev (C), (D), (E) vseh dvojnih interakcij (CD), (CE) in (DE) in trojne interakcije (CDE). To je izraz kompleksnega delovanja vseh treh faktorjev hkrati. Iz zgornjih enačb dobimo: M = M (C) = 'M C - M (D) = -Ep - M (CD) = M CI) - M c - M d + M (E) = M E - M (7.9) - 178 (OE) = M cb - M c - M e + M (DE) = M (CDE) = M V praktičnih primerih more iz modela M EEE katera komponenta izpasti, če so učinki faktorjev neodvisni in in kompleksnih učinkov. Pri popolni neodvisnosti dobimo Če za kontrolo po obrazcih za ta model izračunamo iz sumamih poprečij interakcije, se izkaže, da so enake nič. Število stopinj prostosti za glavne učinke in za dvojne inter¬ akcije poznamo. Z enakim sklepanjem kot zanje dobimo, da je število stopinj prostosti za trojno interakcijo = 1 + (C-l)+(D-l)+(C-l)(D-l)+(E-l)+(C-l)(E-1)+(D-1)(E-l)+ + (C-l)(D-l)(E-l) = CDE S podobnim sklepanjem razširimo sistematiko na faktorske posku¬ se z več kot tremi faktorji. Interakcija druge stopnje je razmeroma lahko- predstavljiva. Čim višja pa je stopnja interakcije, tem-težje je njeno prak¬ tično tolmačenje, Ta nepredstavljivost včasih doseže tako stopnjo, da interakcije bodisi vključimo v poskusni pogrešek kot slučajnostno komponento ali celo interakcije višjih sto¬ penj uporabljamo samostojno kot poskusni pogrešek. M CDE = M + (C) + (D) + (E) ( 7 . 10 ) = (C-l)(D-l)(E-l) ali skupno: CDE = m M + m c + m-p + + m E + m CE + m DE + m C])E ) 7 . 11 ) 179 7.6 Dvofaktorski poskusi. Dvofaktorski je vsak poskus z dvema pomembnima faktorjema. V zvezi z dvofaktorskim poskusom kot tudi v zvezi z večfaktor- skimi poskusi uporabljamo vse dosedaj nakazane metode čisto slučajnostnega poskusa, bloke, latinske kvadrate ipd. kot tudi še niz drugih postopkov, ki izboljšajo sklepe, ki jih moremo narediti iz poskusa. Prva naloga večfaktorskega poskusa je, da iz poskusnih podatkov z analizo variance ugotovimo, katere od komponent (glavni učinki, interakcije) so značilni, da na osnovi teh rezultatov modificiramo model poskusa in nadalje s primerjavami ali z analizo poprečij analiziramo poskusne podatke. Na splošno je vsota kvadratov postopkov = 9. C( ^» Vsota kvadratov odklonov za glavne učinke c in d K Q = q c in Ker je K^ _ c( ^ rezultat glavnih učinkov in interakcije, gre na račun interakcije K od = K A - E o - K d = 4 0d - 4 0 - q d >7.12) Zveza ~ K c + K d + K cd i 0 a = i 0 + i a + (i oa - a 0 - i d ) (7.13) m A = m o + m d + m cd cd-1 = (c-1) + (d-1) + (c—1)(d-1) so splošne zveze med vsotami kvadratov in med številom stopinj prostosti posameznih komponent učinkov v dvofaktorskem poskusu. Modeli in analiza variance dvofaktorskega poskusa. 180 7.1 Čisto slučajnostni dvofaktor- ski poskus. Če vzamemo, da vršimo dvofaktorski poskus kot čisto slučaj- nostni poskus, zgoraj nakazano razdelitev vgradimo v model in analizo variance za čisto slučajnostni poskus. Tako dobimo: ^CDi = ^ + (C) + (-D) + (CD) + e CDi K = % + ^ + K cd + K e ^CDi = ^ + 1q + % + ( < lcD -( ^C*" c ^D^ + ^0Di“^CD^ (7.14) n = CDn = 1 + (C-l) + (D-l) + (C-l)(D-l) + CD(n-l) Vse štiri enačbe so ldentu te^ ezveze med posameznimi komponen¬ tami pa dobimo, če jih čitamo v navpični smeri. Zgornje zveze strnemo v standardno obliko analize variance: 181 7.8 Z a primer dvofaktorskega poskusa v čisto slučajno stnem poskusu vzemimo raziskavo gostote briketov iz določene surovi¬ ne v odvisnosti od pritiska in temperature pri proizvodnji. Temperatura pri proizvodnji je bila na treh nivojih (T^= 1900°, T 2 = 2100°, T^ = 2300°) pritisk kot drug faktor na treh nivojih (p^ = 5.0 at, P 2 = 12.5 at, P^ = 20.0 at). Vsak izmed A = T.P = 3.3 = 9 postopkov, ki obstojajo iz vseh možnih kombinacij faktorjev T in P, je bil izveden v h = 2 ponovitvah. Poskusnemu gradivu (surovini) so bile v n = 18 poskusih dodeljeni po dve ponovitvi vsakega postopka. Osnovni rezultati poskusa, urejeni v tabeli, so naslednji: - 182 Pomožne količine so s Q PTi y PTi =260 2 + 224 2 ..+330 2 +304 2 = 1689592 Q = 1^21 y 2 = 1 ' ;504 2 +692 2 + # _ 634 2 = 1686228 n PT 2 L Q-d = - Ji. y 2 = -'1696 2 +1876 2 +1888 2 j = 1660056 P n P P 6 L Qrn = - A y 2 = - 1 1796 2 +2038 2 +1626 2 |= 1670489,33 1 n T 1 6 l. Q = - = — (5460) 2 = 1656200 n 18 i PTi = 1689592 - 1656200 33392 q. pT = 30028 Ip = 3856 = 14289,33 AVAR J® naslednja: i <*> P tfpupeisBu ©C aVAV 183 P • x 0.05 xx 0.01 XXX 0.001 RA (2,9) % (4,9) 4126 3,63 8,02 6,42 16,4 12,6 Kot sklepamo iz dobljenih razmerij K in kritičnih vrednosti iz tabel k porazdelitve, so razlike glavnega učinka pritiska zna¬ čilno različne na stopnjir\= 0.05, razlike v temperaturi na stopnji = 0.001 in interakcije na stopnji A = 0.01, kar je nakazano z ustreznim številom * pri vrednostih za k. Ker je značilna tudi interakcija (Pl) moramo v analizi upoštevati kombinacijsko tabelo poprečij ne pa sumarna poprečja. 17 " s s =f-f- ='f I2 f § = 41,071 poskusa d 0.05^PT^ - t i?i5 sey PT ~ 1 > 8 33. . 41,071 = 75,28 e 1 i čisto slučaj- faktorskega sta Nakazana analiza faktorskega poskusa in dan primea/ modela I. @ba faktorja C, D ali P,T imata namreč značaj fiksnih faktor¬ jev. Če nakažemo problematiko splošnejše vpeljimo v naš model za faktorja splošni oznlki c,d. Ta simbola sta v posebnem mali črki, če je faktor slučajnosten (model II.) in veliki črki, C in D, če je faktor fiksen (Model I.) po znanih zvezah je h = 1, d = 1 in C = 0, D = 0. - 184 Nakažimo postopek analize variance za ta splošen primer. Model; y cd± = M + (c) + (d) + (cd) + e cdi (7.16) Osnovna tabela podatkov ^cdi y c a y 0 y d 7 (7.17) Pomožne količine; Q oai =f!| y cai « c a = VT-s^ca «o = Š^o Q a ” n s y a «=i y2 ( 7 - 18 > 9-cdi = Q cdi " Q » q cd = Q cd" Q » q c = Q c " Q 5 9. d = Q d “ Q Analiza variance je: 2 • V koloni E(s ) so količine & in d, kar nakazuje različne E pri merjave za različne plane, v 2 Če jih navedemo eksplicitno, dobimo: E(s ) za različne modele. - 185 E(s 2 ) za različne modele: Model I. Model II. C,D fiksna c,d slučajnostna * 0) y CDi=M+(C)+(D) + (CD)+e CI)i 7 cdi = M+(c) + (d) + '(cd)+e cdi Mešana modela ( 7 . 21 ) C fiksen d slučaj no st en c slučajnosten, D fiksen V vseh štirih možnih variantah se jasno vidi, na katero kompo- 2 2 - 2 nento (s cd ali s e ) moremo primerjati s za glavne učinke, da odkrivamo značilnost razlik med glavnimi učinki faktorjev C in D. Razlike so tudi v pomenu komponent varianc. - 186 Tabela vaiianč v dvofaktorskem poskusu (7.22) i d i 1- D C cd 'C* 0 Cd C-l ~2“ C cD ' '"'Cd D-l _2 C CD 5 - D 'cD 2L2:(cd) 2 '7T d D D-l D ž (D) (C-l)(D-l) C D 2 2 I : OTT _2 c —£(c) C-l C 2 2 ^ 2 ^ Variance tipa I.ČT^, > 6^ so poprečni kvadrati učinka faktorjev 2 2 2 ^ Variance tipa II. č5~ O ^ so prave variance slučajnostnih 2 2 faktorjev Mešane variance <3^ pa so poprečja grupnih varianc. 7.10 Apriorne primerjave v dvofak- torskem poskusu. Problematika primerjanja poskusnih podatkov dvofaktorskih po¬ skusov je ista kot primerjave pri analizi učinka postopkov na splošno. Enako z apriornimi primerjavami preskušamo vnaprej predvidene zakonitosti,z aposteriornimi primerjavami pa razlike med poprečji ali skupinami poprečij. - 187 7.11 Značilnosti razlik med učinki enega faktorja pri različnih nivojih drugega faktorja. Pod vplivom interakcije se učinek faktorja C različno ponaša pri rauličnih nivojih faktorja D in obratno. S preureditvijo analize variance moremo preskusiti značilnost razlik po enem faktorju na različnih nivojih drugega faktorja. ki je izraz delovanja glavnih učinkov (C), (D) in inter¬ akcije (CD), moremo pisati v obliki; q. C j) ” Q.q ima C(D-l) stopinj prostosti in ga moremo pisati (ip - q.)/.£ = doprinos faktorja D na nivoju C k skupni vsoti K vsota doprinosov faktorja D na vseh nivojih je enaka torej vsoti kvadratov odklonov glavnega učinka faktorja (D) in prostosti, skupno torej C(D-l) stopinj prostosti. Operativno izračunamo doprinos faktorja D na nivoju C drugega faktorja po obrazcu a CD ~ ^C + ^CD “ ^ _ ( 7 . 23 ) ^CD " ^C ~ ^6 ~ K D + K CD ( 7 . 24 ) interakcije (CD). Vsak izmed teh delov ima m^^D-l) stopinj ( 7 . 25 ) in obratno ( 7 . 26 ) - 188 7.12 Nakazano analizo izvedemo za naš primer analize učinka temperature in pritiska takole; 2 L - 189 Analiza variance nivojskih razlik je Analiza je pokazala, da so razlike v gostoti značilno odvisne od temperature na nivoju pritiska P p in P 2 , medtem ko so razlike neznačilne pri pritisku Ty Gostota pa se je obratno pokazala značilno odvisna od pritiska pri temperaturi T 1 in medtem ko pri T 2 obstaja le sum na značilnost. - 19 o - /UL/OA,-’ ■h'V - 191 Iz analize variance sta tudi razvidni zvezi: K pT + % = 9-rj/p! + lp/p2 + g -T/P3 11882,67+14289,33 = 12037,33+14117,33+17,34 = 26172 in K PT + K P = ^P/Tl + ^P/T2 + q P/T3 11882,67+3856,00 = 7045,33+2329,33+6364,00 = 15738,67 7,13 Ortogonalne primerjave v dvofaktorskem poskusu, V prejšnjem primeru smo iz splošne analize variance dvofaktor- skega poskusa vsoto kvadratov odklonov K p ^ + Kp z P(T-l) stopinjami prostosti razstavili na 3? nivojskih vsot kvadratov s po (T-l) stopinjami prostosti. Tako smo dolili osnovo za podrobnejšo analizo ponašanja enega faktorja na po¬ sameznih nivojih drugega faktorja, S podobno tehniko primerjav kot pri poskusih z enim faktorjem z A-l stopinjami prostosti uspemo kupno vsoto kvadratov razstaviti na A-l prispevkov s po eno' stopinjo prostosti, moremo tudi pri faktorskih poskusih skupno število stopinj prostosti urn = P R-l razstaviti na P-l individualnih prispevkov, ki pojasnjujejo zakonitosti glavnega učinka faktorja (P), (R-l) individualnih prispevkov, ki po¬ jasnjujejo zakonitosti glavnega učinka faktorja R in (P-l)(R-l) individualnih prispevkov, ki pojasnjujejo takonitosti inter¬ akcije (PR). / Z C p (P) zaznamujemo koeficiente £-te primerjave faktorja P, V sistem primerjav vključimo še C p (0) = (1, 1...1) vektor enic. Ta posreduje izraz U £ (0) = 2C p (0)y p l.y p = £ y p = y. f ni primerjava v pravem smislu, pač pa je ortogonalen z vsemi - 192 primerjavami, ker je > C r (0) C p (P) =/!“_C p (P) = 0. P=1 x r Analogno z C R (£) zaznamujemo ustrezne koeficiente za oibogonalen sistem primerjav z C R (0) =(tli,ll)z enakim pomenom kot C p (0). Če za vsak nivo faktorja E izračunamo primerjavo P ^C p (P)7 1 £=1 * 'PR “ U R^ (7.27) dobimo za P = 0, 1, 2 ... (P-l) vseeto primerjav. U R (P) so odvisni od R, če se primerjave P različno obnašajo po nivojih. Podobno kot iz poprečij ali vsot moremo tudi iz vrste primer¬ jav po faktorju P izračunati dalje primerjave po faktorju R R R , R p I c b<«>V*> = JjCptbrpB - PR > > U(P,R) = U(R,P) (7.28) 9 9 U(P,R) je primerjava, ki pojasnjuje interakcijo P-te primerjave faktorja P z fe-to primerjavo faktorja R. Prispevek komponente (P,R) k vsoti kvadratov K pR je fu (P,R)! 2 nčcč (i)X.G 2 (fe) P ^ R K Če najprej proučimo izraz K(0,0), dobimo, da je K ( |- c p(°) C R(°)ypR)2 ( 2 ^ y pR ) ( 0 , 0 ) - 2 — “ h m. C p (0).Z.C p (0) P r R * n . P.R = Q (7.29) (7.30) korekturni faktor v analizi variance. - 193 lalje so tr(P,E) = 'lc p (E)c E (0)y pE =i O p (I)y 5 = U(P) (7.31) PR 1 U(0,R) ,= >.lc p (0)C E (R)y pE = ;-.C r (R) y R = U(R) (7.32) PR R primerjave, s katerimi so pojasnjeni glavni učinki faktorjev P in R, njihovi prispevki k Q RR pa so: , ( c p( p ) c R(°)ypR) K (1,0) = —p-- -r—p- (P) .> C R (0) O. Cj?)y p ) 2 P * r nR . >.C R (P) K(P) (7.33) t = (1,2...P-l) oziroma , (g- Op (°) Or (R) T^pr) K(0,R) = —-p— R C r (R )yj R=1 R' Z 2 T27 n .7 C-p(©) r C r (R) > 2 , n •■ P * R=1 C R^ R ^ (7.34) = E(R) R = (1,2... R-l) H Q z eno stopinjo prostosti, k členavi; ]£]('žX) in (R-l) členi E(R) s po eno stopinjo prostosti za primerjave med glavnimi učinki, se pridruži še (P-l)(R-l) izrazov K(P,R) = n(P,R)J f p = 1,2...(P-l) n 2 G 2 (i)ŽC 2 (R) , R = 1.2...(R-l) (7.35) ki pojasnjujejo (P-l)(R-l) stopinj prostosti interakcije med (P) in (R). - 194 7*14 Za primer vzemimo poskus, v katerem preskušamo uspešnost pri delu v odvisnosti od načina učenja (stari N Q novi N(jL) in časa uvajanja (T^ = 5 dni, T 2 = 10 I 3 = 15 dni, T^ = 20 dni). Poskus je bil izveden v dveh ponovitvah. V poskusu je sodelovalo n = nN . T = 2.2.4 = 16 na slučajmosten način izbranih delavcev, katerim so bili postopki dodeljeni slučaj nostno. Osnovni podatki in ustrezne tabele so: Standardna analiza variance je : n j y NTj ?N = y ... + 77 2 = 37177 0 2 +... +149 2 ;- 37106,5 372 2 \ = 33033,625 ... + 263 2 j = 36561,75 16 = 33033,0625 - 195 q FIi = 4143,9375 i m = 4073,4375 % = 0,5625 q T = 3528,6875 Standardna analiza variance je odkrila splošno visoko značilno odvisnost uspeha od časa učenja, ne pokaže pa značilnih razlik v glavnem učinku načina učenja. Pač pa je visoko značilna in¬ terakcija med načinom učenja in časom učenja, kar kaže na to, da je časovno uspeh bistveno različen glede na metodo učenja. - 196 7* 15 Z analizo individualnih primerjav skušamo pojasniti za¬ konitosti, ki se nakazujejo v splošni analizi variance. Za faktor način učenja N z dvema vrednostima sta dve ortogonalni zvezi y 1 + f 2 = Q U N in f 2 - = n JJ, l u h katerih koefi.ciente strnemo v matriko »ČL- =/ 1 1 j pri čemer $ pomeni stopnjo primerjave iM w Ui i ) 9 ^ N = 0,1,2... N-l, h pa indeks koeficienta primerjave z h = 1,2 ... h. lodobno velja za drugi faktor T-čas, ki je numeričen v enakih časovnih razmakih. Zanj vzemimo kot sistem ortogonalnih pri¬ merjav ortogonalne polinome s / 9 p = / 1111 -3-1 1 3 1 - 1-1 1 -3 3-31 T = 0,1,2... 1-1 stopnja primerjave (vrstica) T = 1,2...h indeks koeficienta primerjave (stolpec) 2 0 halje je kvadrat matrike ^C-^: ^ matrika kvadratav koeficientov in = — 0 ® t 2 matrika. 0 1/2 inverzna 9 n p : T I Za faktor T je kvadrat matrike rp'Crp enak ,, = / 4 0 0 0 N 0 20 0 0 0 0 4 0 0 0 0 20 \ 1/4 0 0 0 0 \ 0 1/20 0 0 001/40 0 0 0 1/20 j - in inverzna matrika J - 197 Komponente z individualnimi stopinjami prostosti obračunamo iz tabele vsot po naslednji shemi (v matriki pomeni indeks levo vrstico, indeks desno pa stolpec). V našem primeru dobimo - 198 Iz zadnje matrike posnamemo: glavni učinek načina z eno stopinjo prostosti je enak = *5625 v standardni analizi variance. = 3528,6875,'ki odpade v standardni analizi variance z = 3 stopinjami prostosti na faktor 1-^ je razdeljen na tri individualne stopinje prostosti K™ = 3528,6775 = 3524.5125+*5625+3.6125, kar kaže na to, da je splošna line¬ arna odvisnost od časa visoko značilna, kvadratična komponenta neznačilna (0.5625) medtem ko je kubična komponenta značilna na stopnjin< = o.lo (obstajt/za značilnost). Obratno pa se izka¬ žejo vse tri komponente interakcije od skupno 544,1875 = = 465,6125 + 68,0625 + ; 10-,512'5 kot značilne, kar kaže na to,, da sta krivulji po obeh načinih v odvisnosti od časa bistveno različni v vseh komponentah. Največje razlike so v linearni komponenti, visoko značilne so tudi razlike v kvadratični komponenti, ki je za prvi način učenja h Q negativno (- 15) pri drugem načinu pa pozitivna (18). la stopnji tveganja-\= o.o5 so značilne tudi razlike v kubični komponenti. 7.16 Če po isti tehniki obdelamo, še primer faktorskega poskusa 3 x 3 o go st otibfciLketov v odvisnosti od pritiska in tempera¬ ture ob stiskanju, dobimo: / / s \ * * 165000,000 * 11881,00 2708,3333 ^ 3072,00 12 , 5000 ^ 6337 ' 5000 784,00 4988,1067 544,50000 + v J+(t)4- ! 'T.GVO£C0fJia (x) + (q)+M < - J : O t l o a v ; n>il... Matrika I' ;Vt . (a u j . O :ovb . ;o, 1X9X1 JOXXIlCJ •1: tild or. ji" er lO,/iS'X e u /.XX nx oixaox'o’ 0 6,44 xx 31/79' ,xxx ^ 1 8,22 x O 5 03 ^ . 16,96 2 2,10 13,35 XX 1,46 f ' o •4- f \ ►"> -r-r U \J 'Li V Če člene v matriki K(IT) delimo z s g = 373,78, dobimo matriko k za preskus značilnosti za posamezne komponente. Te vrednosti primerjamo s kritičnimi vrednostmi .P(l,9). k o. o5 (1.9) = 5,12 .Volf 1 - 95 = 10 > 6 "“»o.ool = 22 > 9 - iraMEOa : 5±QBX£J $ G ' - . j ..m is ; Z x so zaznamovane st^pjgijg značilnostipgosamekomponent. Za glavni u + -! U\ ro P ro ca to hi ro r- -i O J CD 'tO ro CD co< D3: 3 er O G< G G Pl P! Ot hj 'ro .p p ct to c\ ! i? M | j r DO ro B ros B ct B rov hf ro «. 4 ct tej tej 4 td ct> N I —' H- B' H- b a CD h - 1 4 - P 1 N 03 4 O H) © N-' ri ct O 4 m tej H* tej O ffl tej C m ^~N 4 a Cb a t— J C_l. CD C D d C_J. CD -n i K> 0 01 - 206 7.18 Posebnost pri mešanem poskusu P,r,t, v katerem je en faktor (P) fiksen, tika (r in t) pa slučajnostna in pri Modelu H p r,t, v katerem so vsi trije faktorji slučajnostni, je Ir J 1 J ^ v tem da P-preskus za g pri mešanem poskusu in P-preskusi za 2 o’ p 1 rfia. , in n pri Modelu II. ne moremo izvesti direktno. Niti v ^ P ^ ^ U- enem od teh primerov namreč ni dana zveza, na katero bi mogli te količine direktno primerjati. Če preskušamo v mešanem 2 _ „2 'P' 9 -S _ O _ 2 'Pr + n r ~ modelu (P, r, t) značilnost za moramo §£ • primer jati z 2 c: Pt 'e + n: "Prt lake količine pa v analizi variance ni. oceno, za katero je matematično upanje on + ncr-o^. + nt ot Gornji izraz pa je matemtično upanje kombinacije Sp r + Sp^. - s Prt* Velja namreč; + E (s Pr + s Pt - s ut) = E < s p r ) + E ( s pt) - E ( s lrt) + M? rt + n t ip x ) + (c'e + E »Irt + 5 r Gpt) (4 + E ^Prt } 'U> c + Sc|rt + s tef r + n t4 (7.45) Kot je razvidno iz sheme za P-preskus, si v tem primeru poma¬ gamo s "quasi P-preskusom" tako, da v imenovalec v P vstavimo ustrezno linearno kombinacijo iz s . Število stopinj prostosti 2 mg je izračunano iz števila stopinj prostosti posameznih s po obrazcu m P. rt ( s 2 , s 2 „ s 2 ) 2 ' s pr + s Pt s Prt ; —$- 7T -T- s pr , s pt , ^Prt ■ - . (7.46) m pr m pt m prt Analogno izračunamo tudi m^ ^ , m^, ^ in m^. ^ pri modelu II. (prt). - 207 To pravilo velja na splošno in ne samo za faktorske poskuse, se 7.20 Ustavimo se/pri simboliki za variance in izračun, ocen varianc. 2 V matematičnih upanjih E(s ) pri faktorskih poskusih naletimo 2 2 2 na variance samo fiksnih faktorjev npr. , c3pp > ^IRT ’ samo p 2 slučajnostnih npr. ^ , 2 2 2 -r t ..| ali mešani 'V-n , , . prt 'Pr * P.rt Za primere, da gre za varianco samo fiksnih faktorjev, izrazi 208 npr, 2 2 2 2 P > PR » PRT P omenl 0 o: -— ž (P) 2 P-l P 2 PR 1 (P-l)(R-l) pr ?- (PR) 2 W PRT (P-l) (R-l) (T-l) PRT (prt) ' (7.49) Za ocene variabilnosti samo slučajnostnih faktorjev so mate- 2 2 2 . matična upanja kvadratov učinkov npr. ,C5p r ’ ^prt ’ medtem ko so variance z mešanimi faktorji npr. £*p r j gp j Op rt enaki 2 Pr 1 > *2 ■ —O-n (p-i) p Pr 1 ^r 2-jQ PRt (P-l) (R-l) PR PRt 1 Prt (P-l) P~ (7.50) Ocene variance, ki nastopajo v faktorskih poskusih, cesto izračunavamo kot samostojne ocene odnosov med faktorji, ali" kot elemente za načrtovanje bodočih poskusov, če upoštevamo 2 matematična upanja različnih komponent variance s moremo s 2 primemo linearno kombinacijo iz s -tov dobiti nepristranske ocene določenih komponent varianc. Te ocene morejo računsko ispasti tudi negativne, V tem primeru ocenimo varianco z 0. p Če hočemo npr. iz mešanega poskusa P, r, t oceniti , dobimo to oceno po obrazcu •h 2 s t - s rt npr (7.51) Če upoštevamo odnose iz E(s^) v analizi variance, spoznamo da je 2 E .72 "t (7.52) 209 7.21 Eakt-orski poskusi 2 P , Z vsebinskega in metodološkega vidika predstavljajo faktorski poskusi 2 P , to so poskusi s faktorji, ki imajo po dve vred¬ nosti, posebno kategorijo. Že pri razpravi o faktorjih na splošno smo nakazali poseben pomen faktorjev, ki imajo po dve vrednosti, v katerih nastopata alternativni vrednosti, kot so: a Q ne gnoj eno - a-^ gnojeno, b Q star način - b-^ nov način, določena komponenta tehnološkega postopka: c Q ni bila uporab¬ ljena, je bila uporabljena; določen dodatek pijači: d Q = ni bil dodan, d^ je bil dodan. p 7.22 Model dvofaktorskega 2 poskusa Splošen model čisto slučajnostnega poskusa y ABi = M + U) + (B) + (Ah) + e AB± in ( 7 . 53 ) y AB = M + (A) + (B) + (AB).+ e^g 2 dobi v poskusu 2 za posamezne postopke naslednjo obliko y a^b3, = M + ^A + 7jB + ^AB + e -) ^ (7.54) y ^lbo = M + 2 A " 2 B - 2 15 + ®10 y %ob^_ = M- |A-^B-|AB + i 01 y agbg -M-2^"2 B ' i ’2 AB + ®oo Vrednosti komponent glavnih učinkov (A), (B) in (AB) so pogo¬ jene s tem, da na vsako odpade ena sama stopinja prostosti in da je vsota n.(A) = i-(B) =h.(AB) = -h.(AB) = 0, razlike v učinku A B pa A, B in AB. 210 Iz zgornjih, enačb dobimo dalje: a 5 [.V b, + b ! " v "1B1 1 o} 1 I - o ~ - a o U l ~0"'0 j ] = M 1 + ? A + e r l y a„ = 2 L 7 a b, + y a b ^ = M - 2. A + e o (7.55) y a = v, - y a = A + (®i,- 5 o2 1 o _ 1 i 2 > ^a-, b n + ^a b-, ^ L 11 O 1 M + ^ B + e ^b o 2 ^a-, b + ^a b > - M " \ B + 5 1 O 0 0 . o *b = Fb, - ^b n 1 o B + e - e „ .1 .o (7.57) ?(y a .b. - y a .b - y a b. + y a b > = “ + |( 5 u- 5 io- 5 oi +5 -) 11 lo ol oo 00 ' Dalje dobimo: 2 b n “ ^a-,b„^ ~ ^a_b-, “ ^a_b_^ 2 ^a n b ~ ^a^b 1 U 1 Q l u o l o u l ~o u o 2 ^ab-, ^ab - 1 - o AB + e ... (7.58) Interakcija AB je polovica razlike med učinkom faktorja b na nivoju a-^ in nivoju a Q in obratno polovica razlike med učinkom faktorja a na nivoju b-^ in nivoju b . 7.23 Zaradi tega, ker je število vrednosti posameznih faktor¬ jev v poskusih 2 P enako dva, se računski postopek analize variance in interpretacije podatkov znatno poenostavi, če vpeljemo posebno simboliko in definicije. Neglede na to, da smo črke aA uporabljali sistematično za zaznamovanje postopkov in b B za zaznamovanje blokov, uporabljamo črke po vrsti po abecedi a,b,c,d,e za faktorje v dvofaktorskih poskusih. Druga splošna poenostavitev v simboliki je v tem, da vsote poskusnih podatkov po postopkih zaznamujemo kar z ustreznimi indeksi tako, da v simbolu uporabimo ustrezno npr. črko a če je faktor vrednost a-, in indeks 'izpustimo, če ima faktor vrednost - 1 - 3 a . Tako npr. v trofaktorskem poskusu 2 treh faktorjev a,b,c npr. vsoto j zaznamujemo kar z "ab". S tem vemo, da je d-] D G to vsota podatkov, na katerih so bili od treh faktorjev aplicirane vrednosti a n b n in c . Vrednost v , = (1) . 1 1 o J a„b„c„ x ' postavimo v tej simboliki sistematično enako (1). Tako so v trofaktorskem poskusu po vrsti vsote po postopkih zaznamovane z: 'l u l°o 0 0 0 bc b c ( 7 . 59 ) (D V tej simboliki je a-1 efekt razlike faktorja a, na nivoju b Q in c q . \ '■ • • •* Enako je ab - b učinek faktorja a, pri b^ in c . Bodobno je ac - c učinek faktorja a, pri b Q in c-^ , in abc - bc učinek faktorja a pri b^ in c-^. 212 Glavni učinek faktorja a za ves poskus je poprečje teh delnih učinkov i'(abc - bc) + (ac - c) + (ab - b) + (a - 1) (7.60) Analogno velja za glavni učinek b Ji(abc - ac) + (bc - c) + (ab - a) + (b - 1)! (7.61) in za glavni učinek faktorja c J;(abc - ab) + (bc - b) + (ac - a) + (c - 1 )] (7.62) Interakcija (ab) na nivoju c Q je definirana .s polovično razli¬ ko učinka faktorja a in nivoju b-^ in b Q na nivoju c Q J i(ab - b) - (a-l)j (7.63) interakcija (ab) na nivoju c-^ pa s polovično razliko učinka faktorja a na nivogu b^ in b Q pri c-^ Jj(abc - bc) - (ac - c)j (7.64) Interakcija ab v celem poskusu pa je definirana s poprečjem med obema prispevkoma, torej AB = J ^ab - b) - (a - 1)1+ J j (abc - bc) - (ac - c) j (7.65) Analogno sta definirani tudi ostali dve dvojni interakciji AC ir BC, trojna interakcija ABC pa je dalje polovična razlika med interakcijo AB na nivoju c^ in na nivoju c Q , torej ABC = \ 1 , (abc - bc) - (ac - o); - J j (ab - b) - (a - iir® Zgornja simbolika omogoča izredno enostaven matematični izraz za formiranje linearnih zvez kombinacij postopkov. Za trofak- torski poskus formalni produkt (a ± 1) (b ± 1) (c ± 1) (7.67) - 213 omogoča sest sivi j anj e ustreznih line umih zvez takoj da uposte—• varno n + ", če faktor ne nastopa v učinku komponente in če nastopa v učinku komponente. Tako je npr. za interakcijo BC = ^75 (a + 1)(b - 1) (c - 1) = j!abc - bc - ac + c - ab + b + + a - 1 ipd. 7.24 Sistematično moremo prikazati formiranje posameznih komponent tudi v matriki koeficientov vrednosti +1 in -1, ki jih zaradi nazornosti zaznamujemo z ustreznimi predznaki + in 3 - . Za 2 je matrika naslednja; T 1 akt or Komponenta Z 7.25/Tatesovo metodo izračunavamo učinke posameznih komponent sistematično izredno enostavno. Potek izračuna in struktura 3 izračuna je nakazana za 2^ poskus. Tabela ima 2^ vrstic (kolona 1) - 214 1. V koloni 3 po vrsti pišemo vsote podatkov sistematično po posameznih kombinacijah od 1 dalje. 2. Seštevamo po dva in dva podatka iz kolone 3 in jih po vrsti vpisujemo v kolono 4. Za dvojnimi vsotami vpisujemo dalje razlike po dva zaporedna podatka (glej shemo v koloni 2). 3. Izračun iz točke 2 ponovimo na podatkih iz kolone 4 in rezultate vpišemo v kolono 5. 4. če ponovimo izračun iz točke 2 na podatkih iz kolone 5 dobimo, v koloni 6 linearne zveze, ki ustrezajo posameznim komponentam. _ ? 5. Ce podatke iz kolone 6 delimo z n2 dobimo v koloni 7 po¬ samezne komponente”, n pomeni število ponovitev ali blokov. 6. Če podatke iz kolone (6) kvadriramo in delimo z n 2 , dobimo v koloni 8 prispevke posameznih komponent k skupni vsoti kvadratov abc, ki izvira iz delovanja vseh treh faktorjev. Shematičen preskus lake sove metode za izračun komponent za poskus 2.^ je naslednji: Ki p P Q O to tri tri ! £ g | ~s3 \ H> Pl CD ; IV IV) ct ro Vsi CJ. CD P CD P M CD <© to IV) Vsi JV v .v w to tri to O to Q O tri S tri W to N g W t— 1 M CD 00 \ v Pl IV) VSI sO 2 P c_i. I l<> \ 07 : - 216 Če premotrimo koeficiente, s katerimi množimo vsote postopkov, da dobimo posamezne komponente, vidimo, da so te linearne zveze ortogonalne primerjave, ki pojasnjujejo z 2 3 -l = 7 individual¬ nimi stopinjami prostosti sedem komponent trafaktorskega poskusa, z osmo (vsota podatkov) pa še sredino. 7.26 Razširitev metodologije na 2 P poskus. Vse kar smo nakazali za trofaktorski poskus 2 , moremo zlahka razširiti na 2 P poskus. Formalni produkt za komponente moremo z istim tolmačenjem kot za poskus 2 3 razširiti na poskus 2 P (at 1) (b ± 1) (c ± 1) (d t l) ( e ± 1) ... (7.71) Tudi tabela komponent se da zlabka razširiti, če sistematično napišemo vse postopke a^ b^ c^ d^ e^ ... pripišemo predznake za individualne faktorje a b e d e in postavimo predznak ,! + ” , če postopek vsebuje vrednost na nivoju 1 in , če vsebuje vrednost na nivoju 0. Pri predznakih za komponente (glavne učinke in interakcije do stopnje p)pa algebrično množimo vrednosti 1 z ustreznimi predznaki za vse tiste faktorje, ki nastopajo v komponenti. 5 Tabela komponent do poskusa 2^ je prikazana v tabeli 7.2. Prav tako moremo uporabiti Jatesovo metodo, da sistematično po vrsti napišemo vse postopke, potrebno seštevanje in odšte¬ vanje pa izvedemo p-krat. Po p-kratnem ponavljanju procesa vsot in razlik, dobimo komponentam ustrezne linearne zveze postopkov. Če dobljene delimo zn. 2 P “ dobimo izvrednotene posamezne komponente T&^./n . 2^ = I pa so individualni prispevki posameznih komponent k skupni vsoti kvadratov zaradi faktorjev z 2 P ~^ stopinjami prostosti. A larger table svili bc found in [J 5.4]. Q O C) O Cr n a n ^ 0» fS 15 O* D ^ o Ci. ^ n, "i a er a r> ra c gr n **> ti. 5* I ^ sv. ^ ca. + + + + I I I I + + + + I I I I +1+1 I+I++I+I 1+1+ + + I I I ! ++ ++ I I II ++ + I I + I ++ 1 + I I + [ ++ I I + +' I + + 1 I + I I I I ++ + 1 + 1 +1 + 1 +1 + 1 +1 ++ I I ++ I I ++ I I ++ + 1 I + + I I+ + I I + +I + +++ MII + + + + + 1 + ! I + I+ +I + I + + I I I I ++ ++ 1.1 + I l'+ I ++ I + I I + +1+1+1+1 1+1+ ++I I ++I I I 1 + + + I I + +I I+ !++I + III III + i + I + I TJ O ra c+ 3 ‘W ++I I++ + + I + 1 + + + + I I ++ I I + + I I I I + + + I + + I ++ +' + + I + + + + + + ++II++II + + + + + + + + + + + + lili II I I + 1 + 1 1 + 1+ I + I + + I + N + I+ +I + I +1 + 1 I *+ I + + + I I I I +'+ I 'I ++ ++ M I I ++ ++ 1 I ++ I 1 + 1 1+ I++I 'I++1 +1 1+ I++I +1 I + + I 1 + II N0IS3C 'IV1N3WI>I301 (7.,14) = 4 , 8 Z A = 460,63 bomo z latesovo metodo razstavili na m, = 7 individualnih stopinj prostosti, od katerih vsaka pokaže po eno komponento trofaktorskega poskusa. 0 Kontrola; = 2 3 . y abc 220 Iz algebrične identitete sledi, da je vsota končnih y = n , ki jih dobimo z latesovo metodo enak na splošno SY( p ) = 2 p y abcd ... 3 V našem primeru je resnično: .> Xy.= 512 = 2 . 64 Enako se sklada vsota prispevka vseh sedmih komponent s skupno vsoto kvadratov postopkov. Če te vrednosti vnesemo v tabelo za analizo variance, dobimo: Analiza variance faktorjev je pokazala značilnost glavnega učinka faktorja (b) cene in faktorja (c) kakovosti. Inter¬ akcija (bc) ni značilna, ker je E q Tg) pa pogrešek, ki izvira iz poskusov z vključit¬ vijo drugega faktorja r. linearni model dvofaktorskega poskusa p x r v delnih blokih je torej: Jpir = M + (p) + e p i + (r) + (pr) + e pir (9.2) e pl = :N(0,oi> e pi r ~ iN(0,O g) 227 Osnovne podatke y pir za analizo, variance seštejemo v naslednje takele s pir J pr y pi y. y r y (9.3) Tabele v prvi vrsti sheme služijo za obračun komponent v blokih, v.drugi pa za obračun čisto slučaj nostnega poskusa faktorja p. Standardne pomožne količine Qg so: y . 2 Q pir “ ^f r y pir Q = - 2_ y n pr pr ■p j, Q-y. — ■ y r (9.4) ^ np r 1 5 2 Q . = - /L v . Q = pi r pi pi “ p 1 V. .2 -y, n r Q = 1 n pr iz njih je = Q, d - Q Analiza variance za delne bloke v čisto slučajnostnem poskusu, je naslednja: 228 Splošna shema analize variance nakazuje različne P-preskuse glede na značaj faktorjev p in r (fiksen ali slučajnosten). Če navedemo štiri možne variante, dohimo naslednje odnose s Model I.; P,R fiksna faktorja Mešan model: P fiksen, r slučajnosten ( 9 . 7 ) - 229 Mešan model]$> slučajno sten , R fiksen (9.8) Model II. p slučajnosten, x slučajnosten (9«9) 9.5 V z gornjem pogledu so iz splošnega modela in E (s 2 ) za P P posamezne komponente izpeljane ocene s in E(s ) za vse štiri možne kombinacije vrst faktorjev P,R; P,r; p,R in p,r. Iz E(s 2 ) so izpeljana ustrezna razmerja E, Iz pregleda vidimo, da je v modelih, v katerih je faktor r slučajnosten, možen za preskus faktorja p ali P samo "quaEi E-preskus". 250 Analogno kot pri quasi-F-preskusu pri običajnem faktorskem poskusu, tudi v tem primeru izračunamo linearni (s| + P P s_„ - sjp ustrezno približno število stopinj prostosti m^ pr m/ - 2 / 2 2 2x2 ( S ]_ + S TX-V< " S 0/ ,2 4 4 4 !i + f£I ^ m. 1 m pr m r 9.6 Glede na dvojnost poskusnega pogreška so variance za primerjave sredin odvisne od tega, katere sredine primerjamo. Če shematično nakažemo sredine v tabeli delnih blokov (9.10) y rl -f 2)~ r2 il> Ocena variance razlik sredin prvega faktorja p - 2b| var Ay = - ^ h r (9.11) (2) Ocena variance razlik sredin faktorja v blokih r 2 2 S ; • var £y r = n p (9.12) (3} Ocena variance razlik sredin v faktorju r na istem nivoju faktorja p 2 b‘, var i. plr n '(9.13) 231 4 Ocena variance razlik sredin v faktorju p na istem ali različnem nivoju faktorja r var ^7 pr = 2[/r-l)^2 + n r (9.14) 9.7 Metodo delnih blokov uporabljamo takrat, kadar je en faktor mogoče aplicirati le na večjih poskusnih enotah, drug faktor pa na pred enotah. Zanesljivost ocen učinka faktorja (p) je manjša kot za ocene učinka faktorja (r) in interakcije (pr). 9.8 Vzemimo za primer proučevanje odvisnosti produktivnosti dela od ropota in pozicije delovnega mesta, Paktor topot ima dve vrednosti (tišina - ropot', pozicija delovnega mesta pa tri vrednosti (svetlo, srednje svetlo, temačno). Po načrtu je predvideno, da poskus izvedemo v n = 3 ponovitvah. Ker moremo pogoje ropot - tišina ustvariti le za več delavcev v istem prostoru, ne pa za posameznega delavca, je načrtovan poskus v delnih blokih tako, da je faktor ropot v čisto slu- čajnostnem poskusu v treh ponovitvah, faktor pozicija delovne ga mesta pa v bloku. Poskus je izveden na np 3.2. = 6 osnov¬ nih enotah prve stopnje - prostoril.^ n na hp.r = 3.2.3 = 18 .osnovnih enotah druge stopnje - delavcih. Od šestih prostorov smo slučajnostno pripisali trem ropot, trem tišino in slučajnostno dodelili 18 delavcev pozicijam po prostorih. Urejeni rezultati poskusa so naslednji s 232 Pogoj dela P 11 P 12 ^PR P 1 I 2 ^R y PIR R 1 R 2 R 3 ^PI Q PIR y PIR 33 + *'* +17 15274 Q = I .2.. j 2 = i. ;93 2 +... +7 0 2 j = 15032' R Pl' ±u 3 • Q PR = - f R y PR = “jP°7 2 +...+55 2 j= 15228 Q p = — 2 yS = — ! !295 2 +219 2 ! = 14998,44 p n R P y 3*3 i- 233 Q = -l-2_ jI = -1- ] 195 2 +173 2 +146 2 j = 14878,33 4 “ *o.ol< 2 ’ 8 > = 8 > 65 I o. ( ^l ) = 18 >5, sta glavna učinka obeh faktorjev visoko značilna, interakcija pa neznačilna. V okviru poskusa smatramo, da sta učinka faktorjev pogoj dela in pozicija aditivna. - 234 V tabeli poprečij veljajo odnosi ^PR ^R var Ay-p var Ay r = 2 s‘ n . r 2 s2 I - . ?j>8 j- 39 ^ 1j86 4 3.3 . 2.9,93 = 3,317 n . p 3.2 var Ay , = --— = 2 * ^ 1 ■ — = 6,633 pxr • n 3 seAy-p = 1,36 seAy r =1,82 seAy-pir = 2,57 varAy 2 2 2[(r-l)e 2 + s 1 )j 2 ■ (3-1) 9,95+8,39 pr n r 3.3 = 6,287 seAy p r = 2,51 9.9 Delni bloki v drugih načrt ih Delne bloke ne uporabljamo samo pri čisto slučajnostnih pos¬ kusih, temveč jih kombiniramo tudi z 'drugimi elementi posku¬ sov. S pridom kombiniramo delne bloke s splošno tehniko slu¬ čaj nostnih blokov, z latinskimi kvadrati in podobno. Shema poskusa delnih blokov v slučajnostnih blokih je J 1 Pl P 2 Pl P! i r ! 3 i i j r 3 ! j r l j ;- ! -'i i --- •2 i i z 2 Jr.... ' i__ ‘I ! 3 Pp P 2 r l ! ' r 2 2 2 i L_2 (9.15) - 235 Ustrezen linearni model pa: X bpr = M +( b ) + (p) + e b p + (P) + (P r ) + ©b px 2 P e bp = : 6 1 ) e bpr = 5 N< $°’ <*P (9.16) Shema poskusa delnih blokov v latinskem kvadratu je: (9.17) ustrezen linearen model pa: Y Yspr = M + W + (s) + (p) + e Tsp + (r) + (pr) + e vspr 2 p e y S p = : N(0,Oi) ® Tspr = >S(0,ffp (9.18) Podobno kot imamo vzorčenje v več stopnjah tudi poskuse v delnih blokih razširimo na več faktorjev tako, da je poskusna enota višjega faktorja blok za naslednji faktor. Shema ene ponovitve takega načfta (split-split-plota) s tremi faktorji: p, r, t je: - 236 . Pl P 2 , r 3 t l *2 (9.20) linearni model split-split-plota pa je x pirt‘ = M + ^ p - )+ e pi + M + (pr)+e lr + (t) + (pt) + (rt) + (prt)+e ±rt e pi = ! »<0, ~1> e pir = :U(0, 6§) e pirt = F(0,U3> Y tem načrtu imamo torej tri poskusne pogreške: e p ^, e pir i* 1 e pirt* ^ emu ustrezna je tudi analiza variance in P-preskusi. 9.10 Delni bloki v slučajnostnih blokih. Ker pogosto delne bloke kombiniramo s slučajnostnimi bloki, bomo prikazali problematiko in metodologijo le-teh. Pri prouče¬ vanju vpliva agrotehnične mere in gnojenja, more biti blok posamezno kmetijsko gospodarstvo, na katerem izvedemo vse po¬ stopke poskusa v tehniki delnega bloka. Pri proučevanju vpliva tipa trgovine in načina prodaje na velikost prodaje, morejo biti bloki posamezni., kraji ali regije. Pri proučevanju odvisnosti produktivnosti dela od staža in načina dela morejo predstavljati bloke delavci enake starosti ipd. Če ponovimo shemo in model delnih blokov v slučajnostnih blokih, dobimo dalje: 257 Pl P2 'P 2 % Pl P 2 ■1 pt 3T-i 1 1 : 2 ! ( 9 . 22 ) Model delnih blokov v slučajnostnih blokih je; x bpr = M + ( b )+(P) +e bp + (*>:+(P*>+ ^pr Osnovne tabele so; ( 9 . 23 ) 2 e bp = :N(0 » 3*1 > e bpr ~ 2^ ^bpr SL r b P -br •pr ^p -r ^strežne pomožne količine so; ^b J ( 9 . 24 ) 9 tpx = f- r y bpr o = _i_S r 2 Qt px b b Q b = -^-Y b bp r bp bp V ■ iz b pr pr n ’_ 1 c v 2 9 bx p '^br St = — Zli (9.25) br p Q„ = -It bp r i-z 2 bpr - 238 (9.26) 9.11 Bistvo popolnih blokov je v tem, da vsebuje vsak blok vse možne postopke oziroma kombinacije faktorjev, ki jih proučujemo. Delni bloki temu pogoju ne ustrezajo. Od A = p.r postopkov, kolikor jih jev primeru enostavnih delnih blokov, jev samem bloku le r postopkov. V vsakem bloku so namreč postopki, ki vsebujejo vse vrednosti faktorja r na posameznih nivojih faktor¬ ja p. Za razliko od popolnih blokov, v katerih nastopajo vsi možni postopki spadajo delni bloki v skupino poskusov z nepopol¬ nimi bloki, ker v posameznih blokih zasledimo le nekatere postopke. - 239 10 DEMI BLOKI Z ŽRTVOVANIMI INEOBMACIJAMI. 10.1 Delne bloke uporabljamo iz dveh razlogov. Najpogosteje jih uporabljamo v primerih, kjer zaradi narave enega ali več faktorjev ne moremo izvesti postopke,na posameznih enotah neodvisno, lake situacije so bile nakazane v različnih prime¬ rih npr. v gnojilnih poskusih določeno agrotehnično mero ne moremo izvesti na osnovnih poskusnih parcelicah, ampak le na večji površini ipd. Drug razlog za uporabo delnih blokov pa je obsežnost popolnih blokov. Če je število postopkov v faktorskem poskusu veliko, to je bodisi zaradi velikega števila vrednosti posameznih faktor¬ jev, še večkrat pa zaradi velikega števila proučevanih faktor¬ jev, so bloki heterogeni. S tem pa je porušen smisel blokov, ki naj bi bili čimbolj homogeni. Heterogenost . blokov vpliva na poskusni pogrešek, zaradi česar so ocene in sklepi iz take¬ ga poskusa nezanesljivejši. Delni bloki so bolj homogeni kot popolni bloki, ker so po obsegu manjši. Kot je razvidno iz ana¬ lize variance v našem primeru, sta komponenti (r) za glavni učinek in interakcija (pr) samo pod vplivom poskusnega pogreška, ki izvira iz variabilnosti v delnih blokih (-g |) , medtem ko je glavni učinek faktorja (p) pod vplivom poskusnega pogreška, ki p izvira iz variabilnosti v delnih blokih (<<'*) in med delnimi bloki ( j) v skupnem poprečnem iznosu + n-5^ . Z delnimi bloki smo v našem primeru dosegli, da celotna varia¬ bilnost poskusnega gradiva vpliva le na glavni učinek faktorja (p), poskusni pogrešek za (r) in. (pr) pa se je zmanjšal. Dri delnih blokih z več faktorji je situacija podobna in se zaradi homogenosti delnih blokov manjša poskusni pogrešek vseh kompo¬ nent, razen za glavni učinek (p) tistega faktorja, ki je v načrtu v čisto slučajnostnem poskusu. Ker je v takih poskusih zanesljivost za glavni učinek nekega faktorja manjša kot za vse druge komponente (za glavne učinke drugih faktorjev in 240 interakcije vseh stopenj) je vprašanje, ali je tak poskus naj¬ racionalnejši. Vsebinsko so gotovo najpomembnejše informacije o glavnih učinkih in.interakoije med prevelikim številom fak¬ torjev (npr. druge stopnje), medtem ko interakcije izgubljajo na pomenu in predstavljivosti, čim višje stopnje so. Iz,tega se je rodila ideja, da prevzame vlogo glavnega učinka faktorja (p) npr. ena izmed interakcij višjega reda, npr. interakcija najvišje stopnje, katere informacijo brez škode žrtvujemo v tem smislu, da je zanjo poskusni pogrešek večji kot za druge komponente. Problematiko poskusa z žrtvovanimi'informacijami proučimo na poskusu 2 . 10.2 Delni bloki v poskusu .2^. Shema poskusa = axbxe v katerem sta faktorja a in b v delu'' bloku, faktor c pa čisto slučajnosten,,je: Blok delni blok 2 . 3 4 ab 1 a b I bo ! ! ! i j ac iabc i ( 10 . 1 ) v delnih blokih 1,3,5 so vse kombinacije faktorjev a in b na nivoju c Q (l,a, b, ab) v delnih blokih 2 4 in 6 pa na nivoju c^ (c, ae, bc, abc). Model zgornjega poskusa je: X Bcab = M +(B) + (c)+e B(5 +(a)+(b) + (ab) + (ac)+(bc)+(abc)+e Bcba (10. P 241 e Bc e Bcba :H(0,C \) Pri tem pomeni: (B) blok, apbin c pa faktorje. Analiza variance za ta poskus je: (10.3) Iz E(S 2 ) je razvidna diskriminirana vloga glavnega učinka faktorja c. če premotrimo razporeditev posameznih postopkov po delnih blo¬ kih, so v blokih 1.3.5 od glavnega učinka vrednosti c 0 (sami -) 242 in v blokih 2,4,6 c-^ (sami +), Za izračun vseh drugih kompo¬ nent je v ortogonalnih primerjavah v vsakem delnem "bloku enako število podatkov pozitivnih in negativnih. Zato se v okviru delnega bloka razen drugih učinkov, - s katerimi je primerjava ortogonalna, uniči tudi vpliv delnega bloka, e^ , ker je za vse enote bloka isti. 10.3 Poskus 2^ z žrtvovano interak¬ cijo (ABC). Analogno kot s tem, da vse postopke s c-^ ali + v ortogonalni primerjavi pripišemo enemu delnemu bloku in vse postopke s c q ali - v ortogonalni primerjavi pripišemo drugemu delnemu bloku in s 'tem združimo glavni učinek faktorja c z razlikami med delnimi bloki, lahko združimo iz poskusa učinek poljubne druge komponente z razlikami med delnimi bloki, Če v ene delne bloke vključimo vse postopke s +, v druge delne bloke pa vse postopke z - iz ustrezne ortogonalne primerjave, katere učinek združimo. Če se odločimo, da z variabilnostjo med delnimi bloki združimo učinek trojne interakcije (ABC), (za katero je interes najmanj¬ ši), dobimo naslednji načrt. Iz sheme zvez med postopki in komponentami dobimo: - 243 Če v delni blok 1 vključimo; abc a b c, v drugega pa; ab ac bc (1), dobimo željeno situacijo, ia interakcijo (ABC) so v prvem bloku sami + ; v drugem,- za vse druge kombinacije pa je število pozitivnih in negativnih vrednosti postopkov enako tako v prvem kot v drugem delnem bloku. Shema načrta 2^ v delnih blokih v štirih ponovitvah, v katerem je interakcija (ABC) žrtvovana, je; Ponovitev I _JEI. delni 1 23 blok ( 10 . 5 ) 4 5 6 7 8 Model poskusa; Y Pabc = M+(P)+(ABC)+e p(ABC) +(A)+(B)Š(AB)+ ( 10 . 6 ) (C)+ (AC)+ (BC) +e-p aPc 244 Analiza variance pa je-: < 10 . 7 ) - 245 10.4 Poskus 2^ z delno žrtvovanimi interakcijami (AB),(AC),(BC), (ABC) Y prejšnjem načrtu je bila žrtvovana interakcija (ABC) poveza¬ na z variabilnostjo med delnimi bloki. Če je poskus večkrat ponovljen, pa moremo postopke kombinirati tako, da je v vsaki ponovitvi žrtvovana druga interakcija. Tako moremo pri poskusu v štirih, ponovitvah po vrsti žrtvovati (ABC) , (AB) , (AC) in (BC) . Vsaka izmed štirih interakcij je v tem primeru žrtvovana le v eni ponovitvi oziroma ohranjena v treh ponovitvah. Ker je vsaka interakcija le delno žrtvovana, poskus imenujemo poskus z delno žrtvovanimi interakcijami. Prednost takega načrta je v tem, da se nezanesljivost rezulta¬ tov, ki j j g pri poskusu z eno žrtvovano interakcijo skoncentri¬ rana na eno samo interakcijo, enakomerno porazdeli na več inter¬ akcij. Shema poskusa 2^ z delno žrtvovanimi interakci jami(ALB@),, (S®) je Ponovitev 1 2 3 4 ( 10 . 8 ) 246 Analiza variance za zgornji poskus je TV Med ponovit¬ vami Med bloki v ponovitvah. (A) (B) (AB) '(C) (AC) (BC) (ABC) PP 2 mi E(s^) 3 4 1 1 1 2 1 2 :j ]_ + o 2 3 ' V 'P v. 1 + 4 2 + 1/4 y KB Q+ 1/2 'AB +1//2 c 'AC +1 / 2 c " BC 2 .2 ~'l + 16 ^ ;.21 + 16 ^B i + (10.9) r\ 6\ + 16 c 1 1 1 17 2 .' ‘1 .2 6 (5 AC 2 1 + . 6 ' 'BC 1 + 6C ABC 2 3 i Sk ! 31 ¥ zgornji shemi poskusa sta po dva delna bloka ene phnovitve sestavljena iz + pozitivnih in - negativnih postopkov v ortogo- nalni primerjavi komponente, ki je žrtvovana. To moremo kontro¬ lirati s pomočjo matrike predznakov za 2^ poskus. Za razliko s poskusom, v katerem je črtovana ena sama interakci¬ ja (ABC) in je zanjo analiza manj zanesljiva, ker je njen v -2 ■ 2 poskusni pogrešek - + 4 j 2 , je v primeru delnega žrtvovanja varianca med bloki v ponovitvah rezultat šestih komponent (torej nejasna), možna pa je analiza vseh sedmih komponent s ppg, ki vsebuje samo variabilnost znotraj delnih blokov. - 247 11. ThAK.OEONAMI POSKUSI 11.1 Y delnih blokih vzamemo v en blom samo del postopkov Celotnega poskusa, da zagotovimo homogenost v blokih, ki je ogrožena, če je število postopkov veliko, ker kombiniramo večje število faktorjev. Poskusi v pravih delnih.blokih in v blokih le z žrtvovanimi informacijami pa/obsegajo vseh A postopkov posku¬ sa.' Pri večjem številu faktorjev pa je število postopkov lahko tolikšno, da tako obsežen poskus niti v eni ponovitvi ne moremo izvesti z vsemi postopki. Tako se število postopkov v poskusu 2? z dodatkom novega faktorja podvoji pri poskusih 3^ pa potroji Y teh primerih si pomagamo s frakcionalnimi-delnimi poskusi, v katerih v poskus vključimo samo del vseh možnih kombiniranih post opkov. 11.2 Nakažimo splošne principe frakcionalnih poskusov na eno- stavnem primeru poskusa 2 , čeprav je tak poskus po obsegu pre¬ majhen, da bi bil frakcionalen poskus vsebinsko upravičen. V poskusu 2 3 imamo skupno 8 stopinj prostosti za oceno splošne¬ ga poprečja in sedmih učinkov. Če v poskus ne vključimo vseh osem postopkov, temveč samo nekaj, npr. polovico, se ne moremo izogniti določeni izgubi informacij in natančnosti. Ker je interes za naj višje interakcije, zaradi tega, ker jih težko interpretiramo, najmanjši, v našem primeru žrtvujemo informacijo o interakciji najvišjega reda (ABC). 248 Osem členov ortogonalne primerjave, s katero ocenjujemo inter¬ akcijo (ABC) moremo grupirati v dve skupini, prvo s pozitivnimi in drugo z negativnimi znaki s (ABC) + a + b +o + abc (11.1) - 1 -ab - ac - bc Vzemimo v frakcionalen poskus postopke s pozitivnimi predznaki in poglejmo, kaj je ostalo v tem primeru od drugih komponent. Če iz tabele 7.2 sestavimo tabelo predznakov za ta primer, (ABC) = (1) (A) = (BC) (U.3) (B) = (AC) (AB) = (C) Drugače pa so druge komponente med seboj ortogonalne npr. (A) in (B) (+1)(-1), + (-1)(+1) + (-1)(-1) + (+1)(+1) = O Enako velja za druge kombinacije. - 249 Vsaki komponenti ustreza druga komponenta, ki ima v okviru frakcionalnega poskusa enake predznake koeficiente primerjave Vsaka komponenta ima v tem smislu svojega "družabnika", ki ima to lastnost, da sta si v okviru frakcionalnega poskusa primerjavi, ki sta si družabnika, identični in zato njihova učinka spojena. Določeni komponenti dobimo družabnika, če jo 2 2 formal.no pomnožimo z ABC in vzamemo, da je A = 1, B =1, npr. komponenti (A) ustreza "družabnik" (A).(ABC) = A 2 BC = (BC) (11.4) Če izračunamo za določeno komponento ortogonalno primerjavo, zaradi značaja družabnikov, primerjava vsebuje skupen učinek ustreznih družabnikov, učinek drugih komponent pa se zaradi ortogonalnosti uniči. S frakcionalnim poskusom ne moremo dobiti torej čistih učinkov posameznih komponent, ampak le za skupen učinek družabnikov. 11.3 Splošna praksa, ki omogoča uporabo delnih poskusov v praksi je, da zanemarimo vpliv interakcije višjih redov. v C Če vzamemo za primer frakcionalni poskus 2 , pri čemer vključi- mo v poskus 2° = 32 postopkov določujočega kontra§ta - najvišje interakcije ABCDEB. Kavedimo komponente poskusa in njihove družabnike. 250 V prikazanem primeru moremo s predpostavko, da . interakcij tretje in višjih stopenj nič,iz opredeljujočega kontrasta interakcije ABCDEEs 1 at • ac ad ae i af bc M ; be bf cd ce cf de df ef abcd abce abcf abde abdf abcf acde acdf acef adef bede bedi bcef bdef edef abedef (11,6) - 251 analizirati vseh(^) = 6 glavnih učinkov, vseh (g) =15 dvojnih 1 6 interakcij, a za oceno poskusnega pogreška ostane še = 10 parov družabnikov interakcij tretje stopnje. Iz zgornjega pri¬ mera je jasno razvidno tudi formiranje komponente - družabnikas Dobimo jo bodisi iz zveze npr. za (BC) ABCDEE . BC = A.B 2 .C 2 .DEE = ADEE (11.7) ali pa tako, da je določeni interakciji ustrezen družabnik interakcija, katere faktorji dopolnjujejo do kompleta faktor¬ jev. Od kompleta ABCDEE je torej, BC ustrezen družabnik ADEE, ker je A BC IE]?< 11.4 Podobno kot s 1/2-ponovitvijo poskusa, moremo izvesti tudi 1/4-ponovitev poskusa, v katerem je 2 P ~ 2 postopkov. Erakcionalne-delne poskuse moremo razširiti tudi na faktorske poskuse 3 P , v katerih imajo faktorji po 3 vrednosti, razširjeni pa so frakeionalni poskusi za primere s -faktorji z več kot tremi vrednostmi. - 252 12. Mimi ZA KO VARIANCE. 12.1 Faktorje smo v vseh dosedanjih primerih poskusnih načrtov dajali klasifikatirarno s tem, da so faktorji dani le z nekaj, čeprav numeričnimi vrednostmi. Dosti numeričnih faktorjev pa je podanih za posamezno poskusno enoto z vrednostmi, ki so na določenem razmaku zvezane in morejo zavzeti vse vrednosti v tem razmaku. Tako moremo npr. .dohodek pri proučevanju porabe določenega izdelka podati z zneskom .X dohodka za vsako posamez¬ no raziskovano osebo, prav tako starost pri proučevanju navad prebivalstva. Take narave so tudi podatki o proizvodnih faktor¬ jih pri proučevanju proizvodnje, proizvodnosti dela ipd. Probleme, v katerih iščemo odvisnost kriterialnega znaka od faktorialnih znakov rešujemo z regresi jsko analizo. Faktorji, katerih vrednosti moremo izraziti numerično pa so v poskusih lahko tudi faktorji, ki za raziskavo niso pomembni in hočemo njih vpliv izločiti. To pa izvedemo z analizo kovariance tako, da iz variacije izločimo tisti del, ki gre na račun kovariance med kriterialnom znakom y in kovariantnim znakom x. Če raziskujemo, ali so razlike med porabo določenega izdelka v odvisnosti od tega, ali oseba živi v mestu ali na deželi, je gotovo višina dohodka faktor, ki vpliva na porabo, a je za raziskavo v konkretnem primeru nepomemben. Podoben primer je z velikostjo parcele pri poskusnih v agronomskih raziskavah. Da izločimo vpliv velikosti parcele na donos, vključimo velikost v opredeljujoče pogoje tako, da vzamemo poskusne parcelice vse enako velike. Če pa gre za vzorčni poskus, v katerem smo izbra¬ li parcele iz obstoječih parcel, pa velikost parcele variira. Vpliv velikosti parcele na donos in variacijo, ki izvira iz tega, izločimo z analizo kovariance. Podobno moremo izločiti vpliv števila dreves, rastlin ipd. Pri bioloških raziskavah je tak spreminjajoč faktor, ki ga obravnavamo z analizo kovariance, npr. teža poskusnih živali. - 253 Če/Splošen kompleks vpliva faktorjev, ki so obravnavani kot faktorji s končnim številom vrednosti nivojev M &/ je. linearni model poskusa r Gi = M G + e Gi (12.1) Če poskusni pogrešek razdelimo v dva dela; kovariantni, ki je izražen z linearnim delom b - £) in e^ x , ki je slučaj - nostni po izločitvi vpliva faktorja x, dobimo model za analizo kovariance *&i = Mg + b(x G1 -x) + e G1-X (12.g) Če izločamo. vpliv dveh ali večih kovariant spremenljivk, govo¬ rimo o multipli analizi kovariance, ki ima v primeru, da izlo¬ čamo, dva spremljajoča faktorja x in u za naslednji model; y Gi = M G + b l^ X Gi “ ^ + ' b 2^ U Gi ~ ^ + e Gi.XU ( 12 *3) 12.2 Splošen model čisto slučajnostnega poskusa z kovariantnim znakom X, je: y A1 = M + (A) + b(X A1 -S) + e A1>s e AliX = :N(0, cb'|> (12.4) Iz modela vidimo, da je poskusni pogrešek iz navadnega čisto slučajnostnega poskusa razstavljen v dbe komponenti kovariatni b (X^i - X) in slučajnostni del e^. Analizo kovariance pri čisto slučajnostnem poskusu pa obračunamo po naslednjem postopku; iz podatkov in J^ izračunamo ustrezne tabele kot pri čisto sluča jnostnem poskusu za L Ai ^Ai *A • X (12.5) - 254 Iz teh osnovnih podatkov izračunamo pomožne količine, ki so Iz teh količin izračunamo po znanem pravilu q xx , q V * * * * X ^ in tako, da od Q u odštejemo ustrezen Q npr. q^? ■ = ' Q x ? - Q xy Sestavimo trojno tabelo xx, xy in yy po isti shemi kot pri analizi variance za čisto slučajnostni poskuss V stolpcu 1, 2 in 3 so nakazani osnovni elementi analize variance pri čisto slučajnostnem poskusu. Stolpec 3 je simboli¬ čen in nakazuje, kako izračunamo količine v stolpcih 4, 5, 5 . V stolpcu 3 nakazane operacije izvedemo za stolpce 4,5 in 6 na xx xy in yy, V stolpcu 7 so vsote kvadratov kriterialnega znaka y če smo eliminirali vpliv x. (K xy)2 • K yy ln K yy e.x A+e.x izračunamo s korekturo znak. k •XX korigirano vsoto kvadratov za kovariatni K yy A,x K yy A+e,x K yy pa dobimo kot razliko ima • -a- -jn.“r0#X ©«3C m e -l stopinj prostosti. m je zmanjšan za eno stopinjo prostosti t/ zaradi korekture B.(x^ - x) , ki ima eno .stopinjo prostosti. Ocene variance in s^ y dobimo, če podatke iz stolpca 7 delimo z ustreznimi stopinjami prostosti iz stolpca 8. 3?^ pres¬ kus izvršimo na standardni način in ga primerjamo s kritičnimi vrednostmi k(m-^=A-l; m 0 = n-A-l). to to I , M to <4 M CD «• M .JV«, locj + <4 CD I to X + X CD Ji -rM CD ro or 1 t>^ ►i? to M N. o «4 o M ll W CD < h- 1 to \ .11 CQ tO<<< • <4J ffi CD <4 • <4 X X oj K X M FS m «4 v> ^ O 3 SSv - - 256 Č© iz modela izračunamo poprečja, dobimo i + (A) + b(x A -x) + e A>x y A = M b = TČ 7 /^ e ' e N ' _ _ ^ Ocena (M+(A)) = - x) = y^ #x var [(M+ (A) = y A>x )! = 1 + (V S)2 I n A K -XX f 2 1 var A s e^ x m ]L + m 2 + ali če je n A = n = const (i Al - X A2 } i K -XX a v = s w. ! s + (* A 1 - S«o) 2 j var ^ ?A.x 'A2' e,x ; - K -XX ( 12 . 8 ) (12.9) ( 12 . 10 ) ( 12 . 11 ) 12.3 2 a primer analize kovariance pri enostavnem slučajnostnem poskusu vzemimo simulirani poskus treh postopkov A^= 40 A 2 = 10 A^ = - 50 . Kot kovariatno spremenljivko vzemimo line¬ aren trend, ki se pojavlja v poskusnem gradivu in se od enote do enote veča za 10 , - Iz primera simuliranega čisto slučajnostnega poskusa iz odstavka 4.23 so osnovni podatki x A ^ in y A ^ naslednji; L 1 - 2515 Pomožne količine Q za analizo kovariance so; Q (V = > x?. = (-40)t(-30)Z n• (+20) ‘Ai - j ± ‘Al 6000 Qg = Z. = (-40) (101) + (—30). 108+... +(20).66 = *A " 0 * 909 X A D = ^ = ~ = °‘ 9 ° 9 E xx 2200 yi. cov 117-0.909 = 138,2 7 2 ,cov = 198 - 0.909(26.677) = 113,8 3. cov = 45 - 0.909(-3* 333) = 48,0 A-^ = 38,2 A 2 = 13,8 A^ = - 52.0 Iz analize kovariance povzamemo več važnih’ sklepov. Varianca poskusnega pogreška, ki pri čisto slučajno strtem poskusu vsebuje še trend x, je ocenjena s čistim slučajnostnim poskusom na p s = 314,pri analizi kovariance, pri kateri pa je iz po,skusnega e o pogreška izločen vpliv trenda x, pa je s g = 13,6. Popravljene ocene učinkov A (A-^cov = 38‘,2;A 2 cor = 13,8 ; A^cov = - 52,0) so se močno približale pravim vrednostim (A^ =40 ; A 2 = 10; A^ = - 50). 259 12,4 Ce strnemo rezultate za simulirani primer iz vseh obravna¬ vanih metod, dobimo naslednjo tabelo ocen efektov, uspešnosti E in Iz tabele je lepo razvidno večanje uspešnosti poskusa od čisto slučajnostnega preko blokov do latinskega kvadrata. Rezultati ocen- za faktor A so dani tudi grafično v sliki 12.1. Iz nje se nazorno vidi, kako se od načrta do načrta ocene izboljšujejo in točke za posamezne načrte vse bolj bližajjo toški PV za prave vrednosti faktorja A. Seveda so te točke kot ocene pod vplivom slučajnostnih faktorjev. j - 26o K Slika 12.1 Primerjalni pregled ocedn komponent postopka A za simulirani primer - 261 - 260 12.5 Analiza kovariance v s 1 u čaj¬ no s t n i h popolnih blokih. Analogno 5?sto slučajnostnem poskusu vpeljemo kovariatno kon¬ trolno spremenljivko v model slučajnostnih popolnih blokov, če v model slučajnostnih popolnih blokov vnesemo linearni člen b ( x BA " y Ba = M + (B) + (A) + b(x M - f) + e BA H X p to' td n 4-- o, n M te! ! te Cd N j X <=< << K PS i PnI tates O ’CD 1 u L x>ioxq qxuq.BOUL"ePnxs tad . i o Oti tre juga 0:4 Gktt; t.tiy 261 12.6 Analiza kovariance pxi latin¬ skem kvadratu. Iz prejšnjih, primerov moremo razširiti tehniko obračuna analize kovariance pri poljubnem načrtu, med drugim tudi za latinski kvadrat. Po standardni shemi za analizo variance pri ustreznem načrtu obračunamo ET 01 in Iz i n & e dobimo = K, . Za K, in K.,^ obračunamo reducirani vsoti kvadratov A+e A A+e (K xy ) 2 (K xy ) 2 “ K Se.x- - njih pa reduci- e £ A+e ramo vsoto kvadratov A* X K*/ - A+e.x e.x izračunamo ~yy A.x rr77 K A.x A-l m S' 77 e.x k •yy m e -l Iz teh količin pa poskusni izraz b A x P A = —, ki ga preskusimo z ^ (m^m^j m 2 = m e -l) e .x Če po tem postopku reproduciramo analizo kovariance v latinskem kvadratu, dobimo s • . ■ . . i . ' ' . . ' ...... .. , , : -26 3 y shemi je razen za faktor (A) nakazana analiza kovariance tudi za (V) in (S) , čeprav običajno analiziramo le faktor A. Razširjenje analize kovariance tudi na (V) in (S) je izvedeno zato, da vidimo, kako moremo razširiti analizo kovariance na več komponent. Razširitev za S in V je v našem primeru smiselna, če sta glede na raziskavo tudi faktor (V) in (S) za raziskavo vsebinsko pomembna. Za korigirano poprečje y A . cov = y A " b ^A " ^ ocena variance yy ,1 ( S 4 - S ) 2 Tar y A.eov. = 7 + - "le ) za razliko dveh poprečij y A. cov y A 0 .cov ~ y A-,.cov pa var '-'^A. cov s e.x j ^ ■ K xx ^ 'e - y, 0^ + CD II oF + M CD I ro Jtt + <4 CD X rt oKd + M CD I JU + M CD ro j. CD M «<4 II HH + <4 CD I CD O ro ro h4 m x<<; H bd it> tj cn <4' *=J "rsr* 0> M F s s o ft h- 1 ro o M OM {O 6X J