i
i
“1538-Mlakar” — 2010/8/25 — 12:28 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 31 (2003/2004)
Številka 1
Strani 13–15
Matej Mlakar:
Z NETRANZITIVNOSTJO V IGRI KOCK DO „SKO-
RAJ ZANESLJIVE“ ZMAGE
Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, matematika, teorija iger, koc-
kanje.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/31/1538-Mlakar.pdf
c© 2003 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
I Zanimivosti - Razvedrilo
Z NETRANZITIVNOSTJO V IGRI KOCK DO
'SKORAJ ZANESLJIVE' ZMAGE
Verjetno je odveč omenjati , da v igri dveh pošten ih , standardno označenih
kock J((1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6) pad e šestica na prvi kocki z enako verj etnostjo kot šest ica
na drugi kocki. Enako velja za vsako drugo število pik. Odloča naključj e .
Za spremembo si za mis limo malce drugačno igro s kockami. Recimo,
da je šte vilo pik na vsaki izmed kock drugače razp orejeno (primer množice
t akih kock je na sliki 1) . Pravil a igr a so preprosta. V igri dveh igralcev
vsak igralec izbere eno izmed kock, nasprotnik izb ere eno izmed preostalih.
Koc ke mečeta igralca večkrat (rec imo desetkrat ali več) , zmaga t isti, ki v
teh metih večkrat vrže večje št evilo pik.
Nasprotnik bi že navid ez lahko podvomil v poštenost igre, zato je
najmanj , kar lahko zahte va , mož nost prve izbi re. Z nekaj osnovami ver-
jet nosti pa lahko pokažemo , da je pr av možnost pr ve izbi re nasprotnika
pot k po raz u . Kako je to sploh mogoče? V šahu (ki nima veliko opraviti
z naključji ) je prva poteza določena prednost. Tudi v nekaterih igrah na
srečo je tako. Kd or prej pride, dostikrat prej melje.
Tukaj pa bo prva poteza 'skoraj zanes lj ivo ' pomenil a por az.
Vzemimo množico štirih kock , vsako označimo drugače , kar je pr ed-
stavljeno na mrežah sp odaj (število pik na posamez ni ploskvi je označeno
s števi lom).
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
5
Slika 1. Koc ke [( 4 ,4 ,4 ,4, 0 ,0 ) , [( 3 ,3 ,3, 3 ,3 ,3 ), [(2 ,2,2 ,2 ,6 ,6) in [((1,1,1 ,5 ,5,5 ) ·
Zavedati se moramo, da v prime ru našega zmagovanja nasprotnik
zaradi možnost i prve izb ire lahko izbere našo, zmagovalno kocko. Kljub
temu mu to ne pomaga kaj dosti . Zakaj?
V taki množici kock namreč velja, da
• prva kocka J( 4 ,4 ,4 ,4 ,O,O) 'skoraj za nes ljivo ' pr emaga drugo kocko
J( 3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3) ;
• kocka J( 3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3) 's koraj zaneslj ivo ' premaga kocko J( 2,2 ,2 ,2,6 ,6 ) ;
• kocka J( 2,2 ,2 ,2 ,6 ,6 ) 'skoraj za neslj ivo ' prem aga kocko J(1 ,1,1,5 ,5,5) ;
• in presenetljivo: krog je sklenjen s tem , da kocka J((1,1 ,1,5,5,5) 'skoraj
za nes lj ivo ' prem aga kocko J( 4,4 ,4 ,4,O,O).
Zanimivosti - Razvedrilo I
Priporočljivo je zapisat i vseh 36 možnosti pri metu vsakega izmed parov,
kjer ugotovimo, da je ra zmerje zmag v vsakem pr imeru 24 : 12, kar
pomeni , da je relacija 'skora j zaneslj ivo pr emaga ' dejansko dvakrat večj a
verjetnost zmage.
Sklenjen krog, v katerem ni absolut no najboljšega, pomeni , da ta
relacija na tej mn ožici kock ni tran zitivna . Prav neprehodnost relacije pa
nam omogoča, da s pr vo izbi ro nasp rotnika 'skoraj zanes lj ivo' zmagamo.
Če je na primer izbrana kocka K (3 ,3,3 ,3 ,3,3) , moramo izbrati K (4 ,4 ,4 ,4,O,O)
in kocka K (3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3 ) je poražena z dvakrat večjo verjet nostjo.
To velja tudi za ostale omenjene pare.
Če pa se število metov veča , je zmaga t istega , ki izbira drugi, to liko
verj etnej ša - pri desetih metih pa nasprotnik praktično nima nikakršnih
možnosti .
Kaj pa, če se nasprotnik odreče možnosti prve izbire?
V prim eru, da ugotovi st rategijo , so naše vloge in možnost i zame-
njan e. Bolje je, da igro čimprej končamo. Lahko pa se zgodi, da je po
naši izbir i kocke njegova izbira še vedno naključna. Mora se pač odločiti
med pr eostalimi t remi kockami. Oglejm o si, katera izbira kocke bi nam
prinesla največ možnosti za zmago.
• Izberemo K (4 ,4 ,4 ,4 ,O,O) ' S to kocko 'skoraj zanes lj ivo' pr em agam o
K (3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3 ) (razmerje 2 : 1) , t esno izgubimo s K (2,2 ,2 ,2 ,6 ,6 ) (razmerje
4: 5) te r 'skoraj zaneslj ivo' izgubimo s K (1 ,1 ,1,5,5,5) (razme rje 1 : 2) .
• Če izb erem o K (3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3) ' 'skoraj zaneslj ivo' pr emagamo K (2,2 ,2 ,2,6 ,6 )
(razmerje možnosti 2 : 1), s K (1 ,1,1 ,5 ,5 ,5 ) imamo enake možnosti za
zmago, s kocko K (4,4 ,4 ,4 ,O,O) pa 'skoraj zanes lj ivo' izgubimo (razmerj e
1 : 2).
• Če izb erem o K (2,2 ,2 ,2 ,6 ,6 ) , so možnosti za našo zmago s kocko
] <"(4 ,4 ,4 ,4 ,0 ,0 ) t esno n a m v prid (ra zmerj e 5 : 4 ) , 'sko r a j zanes lj ivo '
izgubimo s K (3 ,3 ,3 ,3 ,3,3 ) (raz merje 1 : 2) ter 'skoraj zaneslj ivo' pr ema-
gamo K (1 ,1 ,1 ,5 ,5 ,5 ) (razmerj e 2 : 1).
• Če pa izb eremo K(1 ,1 ,1 ,5 ,5 ,5) , smo v podobni situaciji kot pri izbiri
kocke K (3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3). Enkrat imamo enake možnosti , enkrat 'skoraj
zanes lj ivo' izgubimo (s K (2,2,2,2,6,6) ) ' enkrat pa 'skoraj zaneslj ivo'
zmaga mo (s K (4 ,4 ,4 ,4 ,O,O) ) .
I Zanimivosti - Razvedrilo
Iz celot ne obravnave je razvidno , da bi nam , če naspro tnik strategije ne po-
zna, najbolje služ ila kocka K (2 ,2,2 ,2 ,6,6 ), kocki K (3,3 ,3 ,3 ,3, 3) ter K(1 ,1 ,1,5,5,5)
sta verjet nostno nevtralni, medtem ko bi s K (4 ,4 ,4 ,4 ,O,O) naj verjetneje iz-
gubili.
Naloge
1. P okaži, da je množica kock
2
10
11
8
8
7
G
G
G
4
4
4
Slika 2. Kocke K (3 ,3 ,2 ,9, lO ,1l ) ' K (O,1 ,7 ,S,S,S) ' K (5 ,5 ,6 ,6 ,6 ,6 ) in K(4 ,4 ,4,4,1 2,12) '
množica netranzit ivnih kock , v kateri prva premaga drugo , druga
tretjo, tretje četrto ter četrta prvo .
2. Pokaži , da je relacija 'skoraj zanesljivo prem aga ' na množici kock
K (3 ,3 ,5 ,5 ,7 ,7) , K (2,2 ,4 ,4 ,9 ,9) , K (1 ,1,6 ,6,8,8)
net ran ziti vn a.
(a) Pokaži, da obstaja magični kvadra t velikosti 3, v kater em nas t o-
paj o števke, ki določajo števila pik na teh t reh kockah.
3. Poišči množ ico t reh kock z lastnostjo netranzit ivnosti , ki imajo vsoto
pik po vseh plo skvah enako 42.
Ma tej Mlakar
Literatura
[1] Savage Jr. , R. P . The p aradox of nontransitive dice. American Ma-
t he matical Month ly 101, Maj 1994, stran 429-436.
[2] Peterson , 1. 1997. Mailb ox: Magic dice; Monopoly and contra dan-
cing . Scien ce News Online at
htpp://www.sciencenews.org/sn_arc97/12_20_97/rnathland.htrn
Rešitve nalog so na str . 46.