V LJUBLJARI Kaaravoalovna fakulteta ODVISNOST TRAN3PGRTBIFI LASTR0S7I RSAKTCHJBV IB OD LASTKO531 SESDAVBIH BELCV /Dlsertacija/ ti M.RIBAHIČ Airgust 1959 V 11151359 KAZALO Iftrpfl • ••• 1 1« Refleksijske laetppgtl a) Hest&cion^rnl poj&vi •••• 2 b) Stacion-rni pojavl ••¦• 5 2« Adici^gke rpyaule z& refleksljske lastnpstl •••• 6 3« Iiaetnoati eest^.vlJenef-nL telesa ,prl, enakcmegriea sl a) Kestacionnreis prlaer ••¦• 14 b) Stnoion^ren priiaer •••• 15 jPovzstek •••• 18 Bodatek «••• 19 Tlvod. Pri telesih, ki nam r?*bijo zb nevtronoke reflektorje, so lmjvaSneJSe njihcve refleksijske laotiicsti. Z njiai je do-ločeua dvisnost med vslopajočisii ir« izstopajočlmi nevtroni* Pri nestavljenih reflektorjih se ojavl vpra^anje» kako so odvisne njihove refleksijske lastnooti od lastncsti sestev— nih delov. 2a reSitev t«La vprašanja iaor?i.mo polekati adicij-ske formule, ki nnm bodo po^aza^-ef kakSns je ta odvisnost. Problem obdelamo matematlčnc t Kof da polšdemo najprej - v okviru linearne tr^nsportne tcorije - matemstičen opis refleksijskih lsietiiostl, iiato pa iapeljemo iskane adicijske formule za telesa, ki so sest'vljena ±z dvvh Jelov. S ?em je problem adicijskih formul reSen tuUi aa telesaf ki so Ijena iz ve5 delov* Z lastncstmi oestavnih delov iz tudi po^oj aa kritignoet sest vljene^a telesa - restktorja. Podrobneje pa smo si og^Ledali lfistnosti sestavl jenega teleoa ir 'primeruv ko je sipouje v nekem amlslu ©nakomerKo. V tem prlmeru laiiko m^te^naticRo dokaSeao »ekatere lastnosti reaktorja* ? dodatku &)r\o isdelali m^te^atična eredatva is funk-clonaliie analizc, kl. jlh potrc-bujeao pri obr^vnivi navedenega problema« B»Ll«kgijske laatrjosti telesa* st) ^e^t^clpjiarnl iiojjavl^ Zaradi enootavttosti privzeniimof d& ±sm obrav&avono telo T staluo obllko in konšno rasse>;not o&sekoma gla&ko mejno ;>loskev ?I% Skosi njo naj prcV».jaj© raaaliCno hifcri nevtronlf ?L /OfcA Snier prehod^ osnaSlmo s L• V vsalcl toSkl r L M 3rasdelira.o pro— storslct kot Q « 4-T n-f^ delQ^ fi ki ga tvorijo vo© smeri a^ vstoppJoSlh ter iia del Q • tvorjen ia miGri s i^topajočih nevtronovf QQ (1.1) "tevilo r-.evtroaoVf kl ;jredo 3 aed v in v+dv v Ssisovnen Ititervalu ed t In t+dt ˇ okolioi dS točke r skoai mejno ploskev n r snerehf ki leie v elenentu prcstorekega kota dQ okoli snerl &• Bo.^njaaj® L*a ejni ploslrri M v Sasovneii l^tervalu /0,t / opi-;ino s gostoto nevinron-* skega tolca i > i(v,r>s,t); vL A-fc/, r€ -t L€ Q t ^ € /Qft / dJ « ^(Vt^Tf^t t) dv dS db? dt« (1*2) ^orr.zdelitvena fuiikcija i je pri rasličnlh okolišSln^h raislidnaf nikoli ne^etivim ter vediio tnka, &fi je cclotno ^tevilo nevtroisov dtf (1.3) ki c;r©&> skoasi ?! v 2*a^dobju /0tt/f konSno. Prlv^emi of dn imitjo flslkalen pomcn vse porasddlitve i^Cf jrl Iraterih ja «F oEnaSili rasSlrJenl ©perator % isto črko* Gpearstor A jo posploSenje pojmor albeda in trancparence iz transportn« teorije^ 'f aato au reelmo albedo» Albedo ln $ kmrltteterisirata roflek8lj8ke laet&fteti telesa* V ofcviru natančnoBtl9 ki uetrosa line^mi tra&i;portnl teorijl &r*jte&arlm0 medsebojni vpliv cevtronov ter njUiev vpllv aa laetnosti tolesa* 2ato privs«mlmot 1) Otjerator A nreelika voako porasdelitov lCK T .porassdeliter Isb K^ A KC k, (1«1o) ii) % poljutal porasdelltvl i\ i'€ E veljat A(l% i##) * Ai* 4- Ai". (1.11) Za o:eratorf kl sadoHda reincljam (l.lo) in (1.11), bo?ao reklif da jo adltlven (B.4). Zaradl ˇhodnegs toka i prido-.v 3rawjdobju /0ft / v telo lliji 2apu©ti pa t?a fl Ai^Jf i evtroi ov» Hassaerje « Ai^"/»i^* j® cdvisno od >orasdelltve toka l^f ven^r je pri realnom tele-su navzgor oraejeno« Ilje^ove natončn^ zgornja oieja je albedova IAH - sup llAl M / » i« « sup II Ai_ K / » i_fl . (1*12) Albedo realnega teleea jo suato om©jen operator. fo pa slod tudi 2® 1b n4©^iir# adltivrioeti (D.5). 10 j@ «A^ ^ lf morerao dobiti pri T>rim0rni Dorasdalitvl i v ar sdob jm /0tt / iss telesa ve^ nevtronoT !cot ®mo jih O2*sbili z& n;ihov 5o Je Ia II <. 1, po to iii mogo5e. fok iSBstopajoSih teirtronov je t rassdobjm /0t%./f 0 ^ t. ^ t 9 i4 0odvis©n ©d nosn©ja©ga toka vstopajodlh neirtronov« x o Albedo tsm zmto Inmtno&t 'fcaTB^lnostif Al^ « 0 sa t e/0f t /f 50 J# 1^*0 ssa t ^/O^A (1.13) D0I vetopaj clh evtronoir gre rr ravnost ln nmoteno skosl telo* d©l pa «© Jih v telesu ©ipat absorbira in miiltlplioira* S p^aodjo adltivnlli opcrettorjev D in S opiSimo isliodni tokf ki pov^roSe v©topajočl novtroni dir^ktno osiroma T A m D ¦ S* (1*14) S lfi B lm«ta tudi last&ost kinraalno©ti» Kmr sorejo kv®B imm vstop&joŠSi nevtroni priti nemotcao okossi t@lof Iz pomena operatorja D eledif Sa Je odvleen le od skih lastnosti tolesa« č# telo »e vsebmje afiterijef j@ S » 0 ln BB/I.l. Slpoajft nevtronoir Ba atomih Je okoraj i«otr#i^o* Pri dovolj Y€5lik©m teltsu teajo 8ipani isetop^JoSi Devtr molne hltaroetlf ne glede na porozd^litev 'le-tch pri vj četudi pridejo vai r;evtrcmi i^ iatodaano v telo« ga siprmi ne aapuste ieto^asrio« V sploSnem so zato sipaiii nertroni Sl^ porass— deljeni bolj enakor-^mo tot votopajo^l i^ l^odroteeje ©i bomo ogledsll t©le©af pri katerlh 3« vpliT p raadelitv« vho :«¦ (2.1) JDog^janje na ploskvnh A'/ in MM ©pl^«s*o m ustrezntaa taiaa nevtronsklh tokov i'^K# In iw C Ent Frivseaimo za laatn ®ti q^ in A- dela T# ter cj^ i« A2 3©3La den sestavinio T* in T"f ju enako .emo prena^lmo z vo tanko plastjo absorbirajoS© finoTi* Tte plast ssroanjSa pri prohodu B0Ttronsfe:©^i toka njegovo intenžlteto ssa nekifoktor vA C/Cfl/» ^sto se s premnsetnjm špre^aie lastnosti T' ln A' « A A x i# m q' + Č# vs#baj« snovf s fcatero smo prcjsBssali eeotavr.a dola, sne izvore, prlde h q# iis qw Se dod tea sosaiid« Ha etičai ploekirl Bf^M1* rrehajajo n^vtroai iz encga dela t^leea v drugi *t«l» fo dejstvo igjr&atao z i^ « 12 t«r C • i^ zb. T&m0f\ir\ (2.3) Ifa ploekvt E1 pa eaj bo izstoi^ajo^im Bevtroii®a i' in i* ˇ telo ?» Sato sta vhodna tokora 3/ lis l^ na nieji I! aed ©#boj ieot1vlana. Taa ss njiiaa goatoto vhodr©ga toka l^ ©astavljen©^ telesn, -7 - Podolmo definiramo ttadi ^ostot© i&liodnega toka i nega l^ « i; , K e «- 3i% * i» f L i't 1% 1_, IJ^t ij^L X izr^lajo s funkcljo 1# L€ Q;Qi Qi Qi. QlQi i^ 10 0 0 10 l^ 0 1 0 0 0 1 i» 0 0 10 0 1 l^ 0 0 0 1 10 l^ 10 10 0 0 1_ 0 1 0 1 0 0 Tabela !• I ena&ho (2«8) mm rasšlrlll zalogo Trednosti or©ratorjeT A* in A* t podL^nnoSico nBO^lee K» ŽJ relacijama ili m A"P»1 f l€ E , (2.11) r^sširimo le njihova defliiicljska območja na v«o nno^ico K# En^čbi (2*2) ohranita p© vs«h t«h rasširitvah evojo obliko# Reflekaijske laetnostl ©est^vljenega telesa »pomsmo iz zvezo med vhodnim 1 iii izhodrum tokom 1 . Da bi u^otovili to 4M» ^ 2srezo» določiao lshoteA tokoim 1* in iw ir odvisnosti ©d tokm 1^» V ta zifmm moamao n^jprej iaraSunati vhedtu* tokovm i/ lii iL» \Th0toi toJc ij^ se;;t8Vljata &va i.oki' X&!io6nX tok ter dte Ishi filbedo .IoIckj r.c Xft&t&O0tl« dectevl .®no t©lo pn mor® ia«ti dokr^j drug atl« iTi-ner a?i to j© fi&dfcritlšno talo eeatf^vij^ac ls 8#0-av&lh'(!^l9r» Kajtl prl nnd&irltldnari teleou ni ^0t:S poljubcn istaolonfi«ii ^oinl toiu Sato s® pojsvl ¦ prl nmtmlJGiiem tclecu t) ai '- ii Im taoc olov, to ^« žf all inta i (2. X6) kir©^o-m ii) AXi Jc tcXo T s vhods i© to&cn 1 f l$sikaXnc mc L« 5e Jef Ir^ft ^iaUV^ (2,16) 2a talcs^-rl katerih j booo- ˇ iinalednj^ po^l^vju po-lrotanajc oblikos 4) .!te^V% (2#lu) 14» kve$3mm mm ©aso reSlter Xe (X - P«A*Ar^F«i* • 0f P1*!* L P^* 9 (2*17) imeti soetaiKlj^o teXo is;.o^i tckt ^ t (2.X8) (2,16) ^¦^i^^.iv.i Xe -*-* (2*X8) ei 0gXc. . t^clocara pris« © ^11 « 0 o« f?»J tm probX« realen, # * v T'J - 11 - Od tam &• jih del F*Aw'/| j^ natanSna agornja meja raaaarja II ^^(A^A*) ; P19^!! in ima naal®dnjo aantmlTO lastnostt Ali J« //^(A 1 n a • lt 2, 3t.. f ali pa ,1# lja|i P»(A*A*)nP'//» 0 drugi |>2rlm«rf ki bo zn nas possebno vai©nt nastopl »a . (:vl9) V aaal@dn4®M poglav^u bc«ao videlt v kakSni ssvezi J© A s«stctvlj^aegm t#l#sm» Sm »••tavna tUila nimata lasstnoatl je | aK< 1 in |I^1I<1 ln j sato liml Pff(A'Al')nP*|| « CU i j« A^ A t 4« enaSfca (2.16) anoliSno rešljiva aa . V t#a primeru dobiiso z aditiv&im operatoa>- x (B#16) is enačfc (2.10),(2.13)»(2.15) In (2.16) po pris&ami ureditvl zvrezo (2.20) vhodnla i^ in Ishodnlia takoa i . Xa zr®z& je podana z iahedniia okom - 12 - qt m 0? ¦ A)« (2.22). Iz (2.21) ridlmOjfcaJcG priepevata snonu iaiiodneaau toleu q toicova q* in d, (2.23) Zato 3© t teia priis©ni ©a®5b?9 (2.14) vodno reSljiva (D.12). lelacija (2.2J) eledi Iz p^nena o ©ratorja (B^B^)11, ki prir^di na meji M11 vstopajo^lm B©vtronom IJ^ **- meji 1# izstopajoS« nerferona (D'01*) iw . Ti naetamojo tz iw t ko, da grodo nevtroai iJJ n-krat sko«i T# la fw in pid t©m njihove prense poti sekajo - 13 - to ®OL06@ najveS d~kratf sedi (2,23) • la (2.23) in (l>»15) dobimot albe&o B * H>' ¦ P(l ¦ D*)(l - D*!}*)"*1!)1^! + 0*) (2.24) s*«*avlj®n©g& teleea ©e lzraž'* s končno vooto produktov or>@ratorjeT X># iii D% Ha analogen aaSln kot pri re- laciji (2#23) 80 prepri^aaos B»(V*V«)ng* m 0f n )fe no f (2*25) kj#r emo s n »assn^movnli naj^cmjše celo Števllo večje od (a • i)/2# če' ima »eatavljeno telo q ,in Af jlh moriko du Je enačba (2,16) vedno enoliSno re.sljiva. 8# pri-f da im&ta C#in ' Sn lastnost enakoiaerrega siprin.js (1»15)» mcremo te dofnnev© tudi doknsnti« ? ta naaien st oglejao lastnoeti opcratorja PWA'A»F*« PnD'T>"2* ¦ Pn(B'3B ¦ S'A*)P'. , (3.1) Siraand P^D^D^P* Je nilpotenten (2,25); ker je produkt opera» torjer, k laajo lastBost kavBalnoetl, liaa to lastnost tueli .Oru^i cumand P^D^S" ¦ S#Aw)r'* ima prav tako laatnost poleg tega pa Sc laetnost ^nakomarnega 8ipanjaf t y€ 8 « P«D*a» ¦ !{AW/1 Ptts% 0 e F1^* (3.20 (3*2) ©l@di Iz rlvzetjaf de Iraata. 8# tn J3" laetnost alpanja« 13 naštetlfa Imetnoati oper&torji* ## »ledi llfafB^A/A11)11?'!« 0 (B.ll)» 2a nrimer so gomje danncr«. © tea dokasane (B č® imata 3# in Sw lastnoot enakomernega sipanja je l^A")^*!!« c Ea veako vrednost / In je sato A.« oo (Bill)f (B#6)* Pri poljubnem A albedo A torej 6kei8tirnt je adltlven ter iiaa lastnoet kmrz^lnom^L tn enak-.semega ©ipanja. Slednjl dve lastnostl eledita I« (2,22}t(2.24)*(2,26)»(l)*16)fi2s kavzol-nostl o^eratorja a#a* in dejetva, dn im (A#A")n"2a-.i>d saradi (2*23) lastnoet enakoneme^a siprmja a^ , mxe K • (3-3) Funkoija s^ so podobno Issra^a z s' in s* kot funkcija s r (3*2). - 15 - b) Staclonaren prtm.er» Del FM(A*A*)ny IsstopajoSih nevtronov pt' (2.18) buje nevtrone9 ki eo bili sii>ani v T* in T* vsega ©kupaj najmanj /i/n ^/-icrat« eno slpanj«» Po ˇesakem sli-^nju je porasdeliteir nevtronskega tofc. \K>lj rasmastoia iu v nekem smlelu enakomernejSa« 25ato prlČ&kujemOf da bodo pri razllčLtih porazdelitvnh toka P"y obllke ustresiiUI poraz&elitev J?*lA'A")ny med oel>oj t«ra bolj podobce9 dim ireSje bo število /n/n J* Podrobneje si bomo ogledall lastnosti sestavljene^i Ie8a9 pri katerem se zaradi slpanja toliko zabriSe vpliv poras«-delitre toka P**yf da »oremo isbrati tako pormadelitev 8LP"K' in nr>r®vM število n2f da velja za vsak Pwy^P**iC# naslednja ^ ^ |P-^| 8 9 (3.4) kjer je L od P**y odTieno St©vilof kl j* poaitivrio ssa veak P**y / 0» Prl takem tclesu T bomo rekli9 dra je sipanje enakomemo. Č« pomnoSioo r@l cijo (3»4) e P^fA^A*1)81 irldiiaot d«a veljajo ana« logne reladje *a vse n^n^* Ekeponent n^ j© vedji od n ¦ ? olnjena aa vsak F«^ 4 0 m potaočJo poaitlimega L » «1 prtm@rt v katerem ne povm^oče tokovi in q** sobenega tok« nevtronoT iz T# ii) telo $ j# kritiguo, čo j@ ill) telo T je podkrttl^not 2e Je Pri na^krltl6»^s telesu »o re?ilm> mo5ni le taki prl katerlh je P*j * 0« U ? t^ prim^ru J@ t (2#16) ©Bolično MSljivm (3»19f0.23). 1% (2.15) in (2,13) ciobimo (3.8) - 17 - 11) PariL krltlčnm ieleea 00 soanl le talci $% <|w ln ^t prl katerth Je P*^jr « 0» Frobleaa ml enelično doloSea L A% * t% $ _ tokova i# In lw sta si enačbo (3*5) In moreta bltl od clč r?izlična tudl prl ^# * O qw * 0 in i^ • 0# lil) PoakrltlSno t©lo Ima eab«dof kl je pedaa z (2*22)9 Bealno ao moinl poljubnl tokovl * podbrobnoja /braviiairall v O^Iejiao. alf kafeo se spre&ilnjajo lasteostl podkritifeegm tcleoa ff le gre /\ psrotl kritiSni vretoostl A ¦ IsskirŽe ce (B#21)f da 3© iashodni tok Pn* prl poljubnea PMy i^ 0 tako vellk kot žellmot Se j© la A dovolj bllmi A » , /\ ->^ f Z"y 4 0 (3.9) oblika P11!* /1| P*l'|| pa J® teia bolj podobna lastnl funkelji krltlSM enacfbe (3*6), Sim bllSe je A kritlSni vrednostl ; /|;h (;) / II (^)(f ^ 0. Analogno relja tudl za i' iu i" . Zar-idi spoRtanlh eopiter ato&sklh j©der ima r©alBo telo vedno nekaj ©mostojniii lavorov q* ln ^11 • fl lETorlt kl laajo ^anejTiarljlvo jakostf povssročljo pri podkritičnem telesn T poljute© velik ishod&l tok 1 9 tudl prl i^ « of 5e je !• X dovolj bli^u kritlSni vredriostl A ^ KJagova oblika 1 /)| 1 || podsiaa 3 lastno fiuikcijo - 18 - Y linearneni prlbll^ku sino poiskali opis reflelceijskih lastnosti telesa z albedom A X: z neodvlsnimi isvori $• Laatnosti A in q sestaTljenega tclesa & c izr&ssill s po-modjo adicijsklh forraiil z lastnodtmi sestavnih delov« ;e je Glpanje v nekera 8:,?islu e^akosiernOt omolahko matematlčno do— nekaj "aMli lastnosti sestavljeriega telesa, kl jih o- Tiripisujeizio reaktorju: 1) V kcnčnoia rasdobju jc pri reaktorju, ki je seetav-Ijen ia poljubnih seatavnih delov, realno mošen poljub:© tok vstopajo^ih nevtronov« ii) Pri po&kritičneiB reaktorju ,1e dopusten poljuben tok vstapajodih i evtrcnov* Pri kritiSnem In nadkrltičnem reaktorju so možni le taki tokcvl vstopajočih nevtronov, pri katerih ni ©odelovanja raed ot>err*a podlcritiCneaa sestavniaa deloma. iii) če postaja realctor krlti5enf gre pri vhodnem tckia tok Izstopajočlh : evtronov c.ea vse raeje* tea s@ njegovs oblika vedno bolj pribli^aje obliki porasdelitvef ki je 8 kritično eraSbo določena do konstantne ga. faktorja* PartL enakoiaemea si atiju nnm je tudi uspelo Izrasltl kritiSen pogoj neodvieno od re?5itve krltlSče enačbe» - 19 - Podatek. 1 JDefinlciJa« V Banac&ovem prosfcoru B imamo zaprto ©nožico Kf katere eleiaenti iiaajo naaleonje lastnostlt .< ^ 0f (l) ce je xfy < 8 K» oo n 1« C & in S e je llm ii n H potem (3) vrsta sl x. konvergentna, to je !i x.L L• 2 Lema^ Za eleraente mno&ice K velja; x » 0, S@ je x,-x e Z, (X) in ||XJ^tiy/it 2e 3* x,y,x-yeK. (2) Do]fazi 1) Č« je x,-x $. Kf potem iz (1.3) bledl 0 «/j x - x?i ^ ;j Xj; in je zato x » 0. 2) če &q z,y,x-y ,L L9 potem je x = y + z, «<5 L¦ 2ato iz (1.3) doMao \\xi! «;i y ¦ zii±fjy $ . Q#i8#D. V prostoru L (Ofl) Je primer za K veaka [r(t)exp(i(/(t))i r(t)LLp(Ofl)||y(t) - <(t)j 4 a(t); f (1) ki je dolo6©aa 2 dveoa realnima fnnkcijaoia 0 ^o((t) ^ 27?- in 0 •» a(t) ^"iTAf t €/0fl/. Vreanosti funkcij Xz ki u©tr#«ajo določenl vr^dno&ti argxjwienta tf leže aa ravnini na kotia 21 o4prtino 2a(t) in vriiom v koordinatnem iziio-. Ujegova sistetrala oklepa z reaJLno objo kot X (t). la te g«offl#trijBke elike sledi9 da je K aaprta množica in da zadoŠ5a a (l.l),(1,2) in (1.3)» Relacijo (1*4) aoka^eaio 3 po~ moč jo Causir^jevega pogoja« Pri teta tti pomagamo © poiaožniin koor- - 20 - dinatnim eisteaiom t kosipleksni ravnini, ki ima osi e. * expi(x(t) - /4) ln ©2 * expi(x.(t) ¦ r/4), ter z (x ¦ y)p ^ x^ ¦ yP, xfy ^ ot p V pro&toru 1 so zgledi za mnašloo K analogni 4 Jefinicija» Kekli bomo, da j§ A aditiven operatorf Se je aa vse y € K in 5e v©lja A L CK (1) in A(x + y) * Ax + Ayf x,y ; K» (2) 5 Lema> Aditiven operator A je homog«n, 4( Ax) «Xax, Xi 0, x €L, (1) In oinejenf #A(x/»xU)J/ < const., x € K. (2) Zato eksistira norma IIA l( f ki je def inirana z II Altm 8Up !1AX fi /«X I« (3) Dokaz: 1) Xz (4*2) In (1*1) ne^ooredno eledl veljavnot>t relacije (5»1) za vse pozitivne racionalne • 2) Se A ni oaejent potem eksistira neakonono zaporedje (x i x €JCj flx^H*l| ilAx^ii>n3; n » lf2f3,.... } • (4) Če upoit#vaao (4.2),(1.3),(5.1) in (5.4), pridemo e poBioSjo vrste ^ x /a €k do protislovjat I n oo >J|a ^ x /n2 !l ^ lim(|A(x /n2)| i lim n • oo. X * n a n Zato je aditiven operator A vedno oiaejen. 3) K#r je A ©mejen, je tudi zvtizen. 2uto je (5.1) veljavna - 21 - 6 Alternativa. Za vsak aditlven operator A veljaf ali j# |An^ * X, n » l,2,3t.*.. t (1) aii pa je XI« IfA11/!« O# (2) n Za aditiven opeiator \A, A^ 09 velja (6*1), če je X^ \ , oziroma (6.2), 5e je X ^ • (3) Naj bouta A in B aditivna operatorja; potem je ||(AB)nJ| "l/n - lim |j (BA)n(| "l/n . (4) Bokazs X) Kaj bo za n » n^. norma J|A ^|| « q Izberimo tako naravno Stevilo Hf da je q ||a // Vlt 0 L X L il.-X# rako dotoimo aa potenco n i nx^t n a » 0,1,2,... f 0 ^ i ^itj-l, ocenos An// Lfjknill^m) JtAtf Idrektno VBOto H Banaehoviii prostorov E. « (x A zaanamujmo z 3 ajxj, (1) V njej definirajiao normo |x | z < Ž" |»1|P)1/P , P^l. (2) Zaanamujmo 2 P. ustrezne Proator B preslikajmo v proetor I L, x^,... , ^) in ffx'j/= ( ^I^J11)1^, (4) Tff takot da vtakeniu x^B priradimo x» ki ima komponente ^Bt 1 ^ i ^ N. (5) Ta preelikava ohranl normo bo K Banacnoveriiu prostoru B ustrezna zaprta P P anožica, ki lma lastnoati (l.l)f(1.2),(1.3)t(1.4) N bo A paožiol K ustrezni aditlvni operator* Operatorju A prlredimo z N operator A* v prostoru 1 • 8 Teorem. Norma produkta poljubnega §t©vila m adltivnili op@- ratorjev A, , ki ustrezajo množici KT» je manjša ali kvečjemu K ¦ p enaka nomi prodtikta n^im uatreznih matridnili operatorjev ii/f Bokazi Xs (7«5)t(7«3) in (7.8) sledi ocena ; -|| 2 ****(] x)ft L L& x. - (aX) , Če jo uporal3imot dobisio iz (7.6) ln (7.4) ooeno - 23 - ...... <|7T iz katere eledi (8.1). 9 Lema. Pri trikotniškl aatriol T, t4J « 1, j * i, 1 * i.^ ^1» (1) * Of J > 1, je n~ta potenoa x podana z 0 , i > i. Za normo H T || operatorJa T v prostoru 1 velja ocena H T11« ŽJ N max (ir11).,^ H(n + K)N, , (3) 3 : 1} Za n»2 preverimo (9.2) nepoeredno. Za poljuben n pa ei pomagaao s sklepom od n-1 na n; Iz (9.1) aledl Č« v ta izraz vstavlmo en&čbo (9»2) za n-lf neposredno sledi v©ljaimost za n pri iK j» Ea i » j pa dobimo S t©m je enaSba (9»2) dokaaana tuiii za n pri j ^ i» 2) Oceno (9.3) ^obimo m paiaoSjo Hoelderjleve n©ena5be Xz (9.2). 3,0 g©oreau Kaj bo A množici XT ustrfcsmi a&itivni operator, ki am ustreza operator A*; A^ • Ot 3 > it U) kii " « < 1# Operator A ima lastnost lim |j h \\ • Q# n Dokaz: Iz (3.1),(10.1) in (9.3) aledi lim ii A H 36 lia \(h') u * lim o žiX !i < lim a fi(n+U) « 0. 11 Z&led. Banaoiaov prostor L (0fl) « x(t) mor@mo inter- ------- ---- K P. j?r«tirati kot prostor B , ki je direktna vaota poljubn#ga vila K prostorov .» Za množico K4 vzemimo kar množico K v ki je podana as (3.1). Kot priiaer za teorea lo ©i oglejmo mnoiici K u^txie2nl «t ki 8x * 0f t€/0,t/, 5# je x (2) ¦ x - 0, t e/Oft^/, in kl uatreza za vtse zE IC relaciji X, 8LK. (3) Njemu mstrezni operator 5* Ima n:;.mreS pri isadobti velikem K last-nosti (lo.l). Dokasi 1) K«po©redno ia (7.8)f(7«3)tUl«l) i» (11.2) sledl 2) Iz (7.8)f(?.3)t(7.2),(2.2) ln (11.3) dobtmo ootno 5* * sujk> ijPJLL(iy:)!l /11x^1 ^»^sII - 25 - 11» q 4 llm max ||P.e ||» lim max ( /" js(t)jp dt ) /p « 0 f (4) ker je y|L Haj bo D aditlven nilpotenten. operator, if « Of n »* no, (5) ki JUna lastnoet kavzalnosti (11 • 2)» Operator A ¦ S + D je nilpotenten to j©« za vežiko vrednost konstunte A j« li« II ^Aa || . 0, n Dokasss Ker Imata S in B lastnost kavaalnobti (il.2), ima tudi (AA)no to l^atnost. Iz (11.5) in (11.3) pa »ledi, da zadošča (AA)n° tudi relaciji, ki ^e analo^aa relaciji (11.3)« Zato ima ((AA)no)' Pri zado&ti vellkem n la&tnosti (lu.l). Ior©4 je Aa)^>|| < 1 pri za»dO8ti veliitea naravnem števllu m. Zato do- bimo iz alternativ« 62 lia I (A ) K ¦ 0* ..•^.D. 11 " 11 12 Lema. Haj bo (1 - A)x * yf y e^f (1) aditivnemu operatorju A ustrezna nehomogena ena^ba, ^eiimanova vreta \9 - ^9 A^ , (2) je rešitev enaSbe (12.1)t Se je xr g K. Bokaz: Kaj bo x C Kt ap «10 00 . y - A2.1 A y - J <¦ (1 ^J # ) liafl/i A 00 » M 11 13 feorem. Čm ima, aaačba (12.1) r@Žit@v xLL K9 potea je tudi x ^ L ajena rešitev. Hazlika x, - x * Haa k x_L & ustreza (1 - /i)x « 0, x6 IC. (1) - 26 - A2y «* ln ucoštevamo (2.2), dobimo n n ¦ Any ¦ i A*y Iz (13*3) in (1*4) ©ledif da je vrsta x ^ ap 12 x tudi r#šitev uetrezne enačbe (12»1) x (2) <. (3) ln je zato po lemi 2) Cau&ii^jeva pogoja za aaporeaje A 3L in sa vrsto x jl ata ekviv.tl^ntnu, kajtl iz (X3«2) dobimo n-na-l Ker je ajp x konvergentnu in & zaprta mno^ica, je Ilm AVgK, Iz (13*2) dabimo tudi u^treza raslika r. - x enačbi (13.1)» blecii iz x a~p x- -1 ap in - x 14 Teorem. Ce je ©naeba (1^.1) r©Sljivaf potent ima eno aamo reši« tev le tedaj« ko isia ubtruzna komogena eaaSba (13*1) l^ trivial-no reiltev. Dokaz: 1) xJotr-bnobt navedenega pogaja je očitna. 2) Naj ima #n.(13»i) 1® fcrivlalno rešit&v In en.(l2.1) reeitiv x-. ±ot@m je po teor^mu 13 tudi x reSitev, medtem ko je raalika x,- x reSitev enaLbe (13*1)• Ker smo privzelit da x ap ima en.(13.1) 1© trivialno rešitev, je ^^ » kazali, da je aavedeni pogoj tudi aadosten. - 27 - 15 Teoreau Kekli bomo, da je vrsta x ©nakamerno konver- ap ll enakomerno p gentna, 5e nad lino&ico fys yL&5 ijyj| « ll evem pogoju. Potreben In zadosten pogoj asa enakomerno konv®rgenco vxst« x je lim J|A /f « 0# ^e Je ta pogoj izpol— ap n njenf je x edina reSitev ena5b# (12.1), ki pripa&a K« ap Dokazt 1) ^ocrebnott pogoja je razvidna neposr drio Iz alternative 6 in d#firiieije za enakomerno konvei-_enco. 2) Zado&tnost pogoja eledi ia ocene C3HO . QO »1 H2T II *-j~ q «|f A Xtf 0, da je -Ls€K. (2) 19 Peoiem« Aditivnejstt in enakomei^nemu operatorju A 1) je realjiva «a n«k yx^ ^t Jn / 0 lef 5e j lim |fAn|j « 0. 11 Dokaz: 1) ^adoatnoat pogoja sledl Iz teorema 15« 2) Pokažlao Se njegovo potrebnoat« Haj bo en.(12.1) rešljiva a&a y«. la teoreoa 13 in (12.2) čsledii'lim||A la (18.1),(18.2) ln (2.2) dobimo z& vaak y K oc©no in je zato lim ||An|j l lim /fAny, /f/P « 0. Q^.D. (2) a a 1 wf 20 Lčjaa. J® je aditlviieiau in enakoaarneiau oparatorju A ugtrez-ni 1 < 00 in y / Of yC K.» potea je A y / 0, n * lf 2f 3t••• • Dokaasi Če bi bil za nek y. / 0 in n*n' A y- « 0» poteia bi iz ocane (IS.l) taledilo |jA |/ * 0 sa n * n , ter iz (6#3) A « ou • To pa je v protislovju » predpoetuvko AK o , 21 Teorem^ Oe j© enakom&rnemu in aditivnemu optratorju ustrez-ni A^^oo in y/ 0, y € ^t potam je lim || An(l - Aa)"^ II« oo, n « 0flf2f... ) ) y|| » ffi * n gr« »a vsak y € Kf y / 0t z raetoSim m proti oo, Y nasprotnem primeru ^ledi n.^ireS iss (1.4 )f leme 12 in teoi-ema 19* limljCA^A)11!! m ot kea: je v proti&lovju z alternativo 6. Zato sle- dl dokaz nepo&redno i2 teorema 16 in ocene n n a v kat«ri po&tane desna stran poljubno velikat dovolj veltko naruvno število ia A< A dovoli blissu V oo, potea 22 Lema. Če J« A aditivea in ttjaakomaren ter A V oo, ima množicci (nfA); x(ntA) «|/An(l -AAr1^1 An(l -Aa) / J, n • 0flt2f.. fAC(QfAo)}CK (1) lim I! (1 - Aa) x(nfA)W » 0 in /(^(n x (n,A) ek&i&tirajot Bl®di Lz teorema - 30 - 16 in leme 20. Liaita (22.2) pa eledi iz teorema 21 in ocen* lia jj (1 - A0-)*( lim (Ao - A 23 ff#or8ni. rri aditivnem izi enakoia^rn#ffl operutorju A j« (1 -Aa)x « 0, Kxll* lf x€Kf (1) rešljiva pri realniii A kveejemu za A » X • C# rešitev ekslati-ra, j© eaolična in ustreiaa relaeijaa A^2 b -xLL (2) tn x - fee^f O°* (3) Do&azi 1) Iz (23«1) ln (2.1) ^ledi, da more biti la&tna vrednost A kvečjemu pozitivna. Če je A laetna vr^dnost ln ^^ ustrezna laatna funkclja, potera dobimo Xz (cj.lj lim||(A,A) x_/|=r n * 1 »1. Zato bledi ia alteriiative 6 A^ ^ ^ • 2^ bi bil A_ vecji 1 o 1 A od A^t &i 12 (19a)f(19f2) in llmite lia || (A0A)nXl|| « lim( AQ/\)n|| (A^A^H . 0 dobili lim || (A ii)n/( * 0. To pa je ir protialorju z alt©rnativo 69 in je zato A^. » A • Belacije (23»2) in (23«3) slede nepoaredno A iz (18.1) ia (18.2) ter A > 0* o 2) PokaMia© Se9 da sta lastni funkciji x. in x«t kl ______________________ i f med seboj enakl. iV©rtmo razllko Jt- - ax2 ia poišSiaio supreaum vse& itevil a9 pri katerih & xx - a^^gK. 12 (23.2),(23.3) in (2.1) aedi a L ^/L teg» pa visd a ^ 0 usti#aajo tej relaeiji. 2ato eup a ra ln zaradi zaprtosti množice & velja* - 31 - %x - (sup a)x2 L- x# Uporabiaao za x- - (sup a)x relacijo (18.2); dobimo x^ - (sup a)x2 - L s L&. Iz te relaeije in (23.2) aledi x. - (sup a ¦ SX" 2)x ^K. Primerjajuto to relacijo z ti$Linicljo sup a } dobimo I?« 0» Zato ,j6 po definiciji 18 i x. - (sup a)x * 0, to je x. « x . 24 Teorea« Če je neka potenca a~ aditivnega in ©nakomemega operatorja A totalno zvezna ter uatrezni A < ct » potem je X laatna vrednost in x^ * lim x(n,A)f n ^ 0, (1) ustresna lastna funkoija % nornio ena* Dokazi Joka^imo najprej teoi^em za n=n_« Zato al ogl«jmo zapoiedja oblike X « (x(n.Aji k m 0,lf2t,. ; liai A . * A j • Isb (22.2)f ocaejenosti A in zaprtosti K eledi: limita x * * lim x(n,f X.,)9 IIx4 /1 « 1, vsakega konvergantnega saporedja 1. k 3 i-fc 1 x j© las-tai vrediiosti ^ usti^eani i^stni ir^ktor operatorja A« xo teor,aiu k3 liiajo zato vsa konvergeutna zaporedja 1 iuto limito. Saznamujmo jo z x , ler je A J totalno avezen, ^ledi nepo^re iz (22«l) eksisteaca vsaj enega konver^entnega »aporedjA !.• Po-kazimo, da konver^ira vsako iiaport . je 1 k x tn s tem za- kljuSimo prvi del dokaza« Če neko zaporedje a. ne konvergira k x f potem vsebuje tako neskoncno aaporedje l.f kater«ga elementi ssadoŠSajo relaciji ||x(n., X4, ) - x ll^o' > 0. 5?oda zaradi total-n# aveznoeti oper: torja A 3 vsebu^e tudi zapor@dje X. k x kon-vergentno podsaporedje* To pa je v protislovju z cieifinicijo za— porsdja Z.» larej vsako aaporedj« X. konvergira k x 9 s Simer je ea»(24»l) dokazaaa sa n » n-. Ba velja en.(24.1) ssa vae n * Of - 32 - sledi ia relacij« lim x(n,X) « llm x(n tX) , n ^ 0, ki jo dobimo nepoaredno ls teorema 16f(22»l) in teorema 21. Q»L*D Itlteraturat 1. Glacstoie, s«, ftdlund9 M.C*f The Klemcoite of luclear Reaetor B.f Lekciji po EHV.U ^i se nkadamiicu profesorju dr.A.-eterlinu za vsipod budo in aaklcnjen it, s kalero j@ apremljal moje d&lo« Prav ta^ amm dol^an znhvalo profesorju dr«l«KuL?erju in profesorju dr»J. Vidovu za komituktivno kritiko. i»j-"-' .V '; 'C*. i-'Pi L i. /J h= :?'; -.. ¦ -v'i ..-.r. ¦: i-'. •¦¦::¦*¦.•> ^,. v v\ NflRODNfl IN UNIUERZITETNfl KNJI2NICfl 00000437929