23 INTERPOLACIJA IZMERJENIH 24-URNIH PADAVIN V PRAVILNO MRE O ZA NAMEN PRIMERJAVE Z NUMERI NIM MODELOM ZA NAPOVEDOVANJE VREMENA Gregor Skok * , Toma Vrhovec * Povzetek S primerjavo izmerjenih padavinskih polj, dobljenih s tremi razli nimi interpolacijskimi metodami, smo ugotovili, da je pri izbiri obmo ja interpolacije potrebno paziti, da ne pride do ekstrapolacije. Ugotovili smo, da je interpolacija v visoko lo ljivost (1 km, 2 km) nezanesljiva, ker dajejo razli ne interpolacijske metode iz istih podatkov precej razli ne rezultate. Rezultat je ponavadi najbolj razli en tam, kjer je koli ina padavin ve ja, saj so tam tudi ve ji gradienti koli ine padavin. Ugotovili smo, da pri lo ljivostih interpolacije, ki so bolj grobe, kot je razdalja med merskimi postajami, razli ne metode dajejo podobna polja. Pri tem pa je treba paziti, da naredimo interpolacijo v pravilnem vrstnem redu: najprej interpoliramo v boljšo lo ljivost (npr. 1 km) in šele nato agregiramo v slabšo. Tako dobljena polja so dokaj neodvisna od izbrane interpolacijske metode in primerna za primerjavo z numeri nim modelom za napovedovanje vremena. Uvod Trenutni numeri ni modeli za napovedovanje vremena na omejenem obmo ju (Limited Area Model - LAM) imajo lo ljivost okoli 10 km. Modeli kot izhod podajo dvodimenzionalno polje akumulacije padavin v izbranem asovnem intervalu. Da bi ocenili njihovo sposobnost napovedovanja padavin, pa je treba modelsko polje primerjati z izmerjenim. Realnega polja padavin v resnici ne poznamo, lahko ga samo ocenimo iz meritev. Najve meritev operativnih mre ima 24-urni akumulacijski interval. Slovenska 24-urna padavinska merilna mre a je sestavljena iz okoli 200 padavinskih postaj, ki so bolj ali manj enakomerno razporejene po obmo ju Slovenije. Ker so postaje bolj ali manj naklju no razporejene po obmo ju, model pa poda padavine v pravilni mre i, je potrebna interpolacija meritev v pravilno mre o. Ponavadi interpoliramo vrednosti s postajaj na mre o modela, v asih pa se dela tudi obratno (modelske vrednosti se interpolira v to ke postaj). Vendar pa je med padavinami iz modela in meritvami iz postaj še ena pomembna razlika. Model namre poda povpre ne padavine v modelski celici, postaje pa podajo to kovne vrednosti padavin (Slika 1 levo). * Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko, Jadranska 19, Ljubljana. 24 Slika 1 - Levo: Obmo je z modelskimi to kami (sivi krogi, obrobljeni s rno) in padavinskimi postajami (rde i krogi). S pravokotno mre o je ozna ena velikost modelskih celic. Neznano vrednost v osen eni celici dobimo z interpolacijo iz vrednosti okoliških postaj (ozna enih z roza puš icami). Desno: metoda agregacije. Zdru imo 4 x 4 to ke ( rne pike) v eno povpre no vrednost celice (modri kvadrati z rde o piko na sredini). Uporabljene interpolacijske metode Uporabljali smo tri vrste interpolacijskih metod:  Metoda tehtanih drse ih sredin  Univerzalni kriging  Metoda radialnih baznih funkcij Metoda tehtanih drse ih sredin (IWD) Metoda izra una vrednost v izbrani to ki z uporabo ute enega povpre ja meritev na okoliških postajah, ) ( ...... ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 nn x F x F x F x F + + + = , (1) kjer so ) ( ),..., ( ), ( 2 1 n x F x F x F na postajah izmerjene vrednosti in n ,...., , 2 1 ute i. Število bli njih postaj, ki jih upoštevamo - n, je skoraj vedno manjše od celotnega števila postaj N. Privzamemo namre , da postaje dale stran na našo vrednost ne vplivajo - metoda je lokalna. Pri naših interpolacijah smo si izbrali n = 10. Pri tem za ute i velja: , 1 2 i i r kjer je i r evklidska razdalja med našo to ko in postajo. 25 Univerzalni kriging Pri univerzalnem krigingu je najprej potrebno oceniti obliko trenda polja (ponavadi vzamemo kar linearne in kvadratne trende). S pomo jo vrednosti na postajah, od katerih smo trend e odšteli, nato poizkušamo oceniti prostorsko povezanost padavin. Takšna ocena nam omogo a izra un ute i n ,...., , 2 1 , ki kar najbolje ustrezajo našim podatkom. Ko imamo ute i, vrednost izra unamo identi no kot pri metodi tehtanih drse ih sredin (Ena ba 1). Ve o tem v Creesie, 1993, ali Kastelec D., 2001. Metoda radialnih baznih funkcij (RBF) Vrednost v neki to ki dobimo kot: ) ( ...... ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 NN r a r a r a x F + + + = , (2) kjer so ) ( ),...., ( ), ( 2 1 N r r r radialne bazne funkcije iste oblike, odvisne le od evklidske razdalje med to ko interpolacije in neke postaje - i r . Koeficienti i a se dolo ijo s tem, da mora biti vrednost funkcije ) (x F na lokacijah postaj enaka izmerjenim. Za radialno bazno funkcijo smo si izbrali multikvadratno: 2 2 ) ( cr r += , pri emer smo si za koeficient c izbrali povpre no razdaljo do najbli je sosednje postaje. Kot vidimo pri izra unu interpolirane vrednosti, upoštevamo prav vseh N postaj. To pomeni, da lahko postaje tudi dale stran vplivajo na našo vrednost. Metoda je zato globalna. Agregacija Agregacija ni interpolacijska metoda v pravem pomenu besede. Omogo a nam gladek prehod v slabšo lo ljivost. Pri Agregaciji K-tega reda zdru imo K x K to k v eno povpre no (aritmeti no povpre je) vrednost celice (Slika 1 desno). Ta vrednost nam predstavlja povpre no koli ino padavin na celotni celici. S tem dobimo K-krat slabšo lo ljivost. Metoda je liearna in ima tudi lepo lastnost, da ohranja skupno koli ino padavin na obmo ju. Obmo*je interpolacije Za obdelavo smo si izbrali obmo je Slovenije. Da bi se izognili efektom ekstrapolacije, smo to obmo je zmanjšali na velikost, ki je vidna na Sliki 2. 26 Slika 2 - Topografija Slovenije (barvna lestvica) z ozna enimi lokacijami padavinskih postaj (bele pike) in ozna enim obmo jem interpolacije (osvetljeno obmo je) Izbrane vremenske situacije Za obdelavo smo si izbrali štiri vremenske situacije. Dve od teh sta bili situaciji z ekstremno veliko koli ino padavin, ko je bilo na vsaj eni izmed postaj izmerjeno nad 200 mm padavin (6.9.1998 in 7.10.1998). Drugi dve sta bili situaciji z nekoliko manjšo, a še vedno veliko koli ino padavin (26.3.1990 in 12.11.2001). Ve podatkov o situacijah je v Preglednici 1. V Preglednici 1 je dobro viden tudi razpon izmerjenih padavin. Pri situaciji 7.10.1998 je bilo na eni izmed postaj izmerjeno 237.3 mm, na neki drugi pa le 0.4 mm. Takšni podatki nam povedo, da je prostorska variabilnost 24-urnega padavinskega polja lahko zelo velika. N min [mm] max [mm] Povp. [mm] std. dev. [mm] 6.9.1998 229 9.1 219.5 60.9 30.0 7.10.1998229 0.4 237.3 35.2 30.9 26.3.1990179 14.1 81.3 39.5 14.0 12.11.2001176 0.4 60.3 14.5 9.5 Preglednica 1 - Izbrane vremenske situacije. N - število delujo ih padavinskih postaj, min - najmanjša izmerjena koli ina padavin, max - najve ja izmerjena koli ina padavin, povp. - povpre na vrednost izmerjenih padavin za vse postaje, std. dev - standardna deviacija izmerjenih padavin Interpolacija z razli*nimi interpolacijskimi metodami Ee uporabimo postopek navzkri nega preverjanja 1 , je najboljši univerzalni kriging, sledi IWD in na koncu RBF. Vendar so pri tem razlike med metodami minimalne. Te ko re emo, da je ena metoda boljša kot druga. Pri vseh metodah se na nekaterih postajah pojavljajo odstopanja v velikosti do 50 mm. 1 Navzkri no smo preverili le postaje, ki nam padejo znotraj obrezanega obmo ja iz Slike 2 27 Na Slikah 3 in 4 so vidne interpolacije za situacijo 6.9.1998. Narejene so v 1 km mre o, v 8 km mre o agregirano iz 1 km in v 16 km mre o agregirano iz 1 km. Pri 1 km mre i se na lokacijah kamor ka ejo puš ice, vrednosti, dobljene z razli nimi metodami, mo no razlikujejo. IWD tam dolo i okoli 74 mm, univerzalni kriging 100 mm, RBF pa 120 mm. Kljub temu, da smo za interpolacijo uporabili iste podatke, je vsaka metoda za to lokacijo napovedala precej druga no vrednost. Situacija je podobna pri 8 km mre i. IWD poda okoli 80 mm, univerzalni kriging 100 mm, RBF pa 120 mm. Ko preidemo v 16 km mre o, se razlike med metodami ob utno zmanjšajo. IWD poda okoli 70 mm, univerzalni kriging 75 mm, RBF pa 80 mm. 74 mm 80 mm 100 mm 100 mm 120 mm 120 mm Slika 3 - Situacija 6.9.1998. Interpolacija padavin v 1 km mre o (levo). Agregacija 1 km padavin v 8 km mre o (desno). S puš icami so ozna ene lokacije, kjer primerjamo vrednosti interpoliranih padavin. IWD IWD kriging kriging RBF RBF 28 Izka e se, da je razlika v tem, da v našo izbrano celico tudi pri lo ljivosti pri 8 km ne pade nobena postaja, pri 16 km pa dve (Slika 5). Izka e se, da mora biti v vsaki celici vsaj nekaj postaj, e ho emo, da bo naše interpolirano polje neodvisno od metode interpolacije. Ee privzamemo še, da so postaje enakomerno razporejene po obmo ju, lahko re emo, da je prejšnji pogoj enak tudi trditvam, da mora biti lo ljivost interpoliranega polja slabša, kot je lo ljivost postaj, ali da mora biti število postaj na obmo ju ve je, kot je število to k interpolacijske mre e. Omenimo še, da je bilo za omenjene štiri situacije narejenih veliko primerjav med polji, dobljenimi z omenjenimi interpolacijskimi metodami, ki jih tukaj nismo omenili. Z njimi za vse štiri situacije dobimo podobne ugotovitve kot zgoraj. Slika 4 - Situacija 6.9.1998. Agregacija 1 km padavin v 16 km mre o. S puš icami so ozna ene lokacije, kjer gledamo vrednosti interpoliranih padavin. Slika 5 - Situacija 6.9.1998. Agregacija 1 km padavin v 8 km (levo) in 16 km mre o (desno) z metodo RBF. Z belimi pikami so ozna ene lokacije postaj. 75 mm 70 mm 80 mm RBF IWD kriging 29 Zaklju*ek Pri interpolaciji izmerjenih padavin v pravilno mre o je treba paziti, da je obmo je interpolacije na vseh straneh obdano z dovolj postajami, da ne pride do ekstrapolacij. Na naših štirih situacijah se je izkazalo, da interpolacija v visoko (1 km, 2 km) lo ljivost ni smiselna, saj lahko razli ne interpolacijske metode dajejo povsem razli ne rezultate. Polja se ponavadi bolj razlikujejo tam, kjer je padavin veliko, tam imamo namre ponavadi tudi ve je gradiente. Smiselna je agregacija teh polj v bolj grobo lo ljivost (slabšo kot je lo ljivost postaj). Tako dobljena polja so dokaj neodvisna od interpolacijske metode. Res je, da je lo ljivost teh polj v Sloveniji omejena na okoli 10 km, vendar je takšna lo ljivost tudi trenutnih numeri nih modelov. Boljša lo ljivost pri interpolaciji 24-urnih akumulacij ni smiselna, saj je povsem odvisna od interpolacijskega postopka. Še bolj groba lo ljivost je smiselna za urne akumulacije padavin, saj je tam razdalja med postajami ve ja od 25 km. Ko pa bo ez as lo ljivost prognosti nih modelov boljša od sedanje lo ljivosti 10 km, pa direktna primerjava modelskih padavin z izmerjenimi 24-urnimi sploh ne bo ve mogo a. Najpreprostejšo rešitev predstavlja agregacija modelskega polja v slabšo lo ljivost in preverjanje delovanja modela v takšni lo ljivosti, kakršno ima merska mre a. Boljša in seveda dra ja rešitev pa je zgostitev merske mre e. Literatura Cressie N. A. C., 1993: Statistics for Spatial Data, Revised Edition Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. 900p. Kastelec D., 2001: Objektivna prostorska interpolacija meteoroloških spremenljivk in njihovo kartiranje. Doktorska disertacija, Fakulteta za matematiko in fiziko v Ljubljani, Univerza v Ljubljani. 152p.