i
i
“Cabric-trisektor” — 2010/6/16 — 12:35 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 17 (1989/1990)
Številka 3
Strani 132–133
Branislav Čabrić, prevod in priredba Marija Ven-
celj:
TRISEKTOR
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/17/982-Cabric-Vencelj.pdf
c© 1989 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
132
TRISEKTOR
Pod običajno uporabo ravnila in šestila razumemo v matematiki risanje premic
skozi dve točki, risanje krožnic in prenašanje razdalj. Znano je, da s tako
uporabo šestila in ravnila ni mogoče razdeliti poljubnega danega kota na tri
enake dele [ 1 J. Seveda trditev ne velja za nekatere posebne primere, kot so
npr. pravi kot, kot 450 , itd ... Tako se pojavi vprašanje, ali je moč v ta namen
konstruirati kakšen drug primeren inštrument. Znanih je več takih priprav;
imenujemo jih trisektorji [ 1 l. [ 2 ].
Na sliki 1 je narisan originalen trisektor, ki sem ga napravil sam. Se-
stavlja ga krožna plošča spoimerom R, ki jo obesimo na zid, tako da je premi-
Slika 1 Slika 2
ca AoBo navpična. Ročica a je vrtljiva okrog točke C, v točki B pa jo je moč
pritrditi, tako da oklepa dani kot a z navpičnico AoBo. Ročica b dolžine R je
brez trenja vrtljiva ok rog točke C, ročica c dolžine 2 R pa je vrtljiva okrog
točke B prav tako brez trenja. Ročici b in c imata enaki masi, recimo m . Ker
sta različno dolgi, lahko to dosežemo pri istem materialu npr. z različnima
debelinama. Ročica b ima na oddaljenosti R od točke C pritrjeno še drsno
vodilo A, ki lahko brez trenja drsi vvzdolžnem prerezu ročice c.
Če ročico a pritrdimo pod kotom a glede na navpičnico AoBo kot na
sliki 1 in pustimo, da drsno vodilo A drsi po prerezu ročice c, bo sistem ročic
b in ezavzel ravnotežni položaj, to je položaj minimalne potencialne energije.
133
Trditev. Če kot a ni večji od pravega kota, potem oklepa ročica b z verti-
kalo AoBo v ravnotežnem položaju kot a/3 (slika 1).
Dokaz. Težišče Tbročice b je za R12 oddaljeno od točke C, težišče Te
ročice c pa za R od točke B. Naj bosta "r» in "r, vertikalni komponenti
odmikov težišč Tb in Te pri odmiku ročice b za kot (3 in ročice c za kot 'Y od
njunih vertikalnih leg (slika 2). Potencialna energija sistema ročic b in c je
zaradi zemeljske težnosti glede na položaj, v katerem obe ročici visita navpič­
no, tedaj enaka
kjer je
h = .B(1 - cos (3)
Tb 2
(1)
(2)
(3)
(4)
"r; = R (1 - cos-y)
Če upoštevamo, da je obodni kot enak polovici središčnega kota nad
istim lokom.Iahko s slike 2 razberemo, da je
a _R
'Y= ---~­
2
Vstavimo (2) in (3) v (1) in dobimo
V = mg fi (1 - cos(3) + mgR (1 - cos _Q.=.l1 )
be 2 2
kjer je g zemeljski pospešek in a kot, ki ga želimo razdeliti na tri enake dele.
Ravnotežni položaj sistema ročic b in c, to je minimum potencialne ener-
gije Vbe' dobimo pri pogoju dVb/d(3 =O, kar da
a-(3
sin (3 - sin --2- = O (5)
Fizikalno je očitno, da bosta za kote a med OO in 900 kota (3 in 'Y = (a - (3)/2
ostra kota. Za take kote pa iz enačbe (5) sled i (3 = a/3, kar pomeni, da ročica
b in navpičnica AoBo v ravnotežnem položaju res oklepata tretjino danega
kota .
Literatura
Branislav Čebrič
prev. in prir . Marija Vencelj
[ 1] O. V. Maturnov i dr., Rečnik matematičkih termina sa turnsčenjims, Izd.
Naučna knjiga, Beograd 1969, str. 477 .
[ 2] E. Callandreu, Celebres Probtemes MatMmatiques, Izd. Albin Michel,
Paris 1949, str. 299.