Kvantna teorija polja Borut Bajc 2009 CIP - Katalozni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 530.22(0.034.2) BAJC, Borut Kvantna teorija polja [Elektronski vir] / Borut Bajc. - El. knjiga. - Ljubljana : samozal., 2009 NaCin dostopa (URL): http://www-f1.ijs.si/ bajc/ktpstalno.pdf ISBN 978-961-92817-1-0 250121216 Kvantna teorija polja Borut Bajc Institut J. Stefan, 1000 Ljubljana, Slovenija 1 Lekcija 1 (45min): Uvod, relativnost Te skripte se bodo stalno spreminjale in dopolnjevale. Je v bistvo kratek pregled tega, kar je (bilo) predavanega. Za bolj natancne opise in izpeljave pa naj bralec seze predvsem po knjigi Ryder-a, ki je približno prave dolžine in globine za enosemesterski teCaj, Ce izpustimo nekaj poglavij. Za tiste, ki jih snov posebno zanima, pa svetujem knjigo Peskina in Schroederja [1], ali pa npr. skripte Siegela [2], ki se dobijo zastonj na spletu (so pa zelo obsirne), ali Weinberga [3, 4]. Za poljubno informacijo o fiziki osnovnih delcev priporocam spires [5], za dnevne novosti (novi clanki) pa [6]. V teku predavanj se bom skoraj vedno drzal konvencije c = 1 in h = 1. To ne predstavlja nic drugega kot posebno izbiro enot. Tako imajo npr. mase in energija isto enoto, ki jo izberemo tipicno GeV (gigaelektronvolt=109 eV), cas in lega pa GeV-1. Pretvorba iz teh enot v klasicne gre zelo enostavno: kolicino, ki jo zelimo pretvoriti, pomnozimo s pravimi potencami h oz. c. 1.1 Motivacija in cilji Dodiplomski studij fizike nas je izucil tako iz kvantne mehanike kot iz relativnosti (tu in skozi cel tecaj imam v mislih posebno teorijo relativnosti). Pri fiziki delcev pa pridemo zelo hitro do hitrosti le-teh blizu svetlobne. Torej je opis nepopolen. Smisel tega tecaja je nauciti, kako lahko izracunamo merljive fizikalne kolicine kot sta sipalni presek in razpadna sirina na relativisticno in-varianten nacin. 1.2 Lorentzove transformacije Bistvo relativnosti so Lorentzove transformacije. Te bomo izpeljali kot rotacije 4-dimenzijonalnega prostora (cas x0 in prostorske koordinate x%, na kratko xa). Indeksi z latinskimi crkami bodo oznacevali prostorske koordinate in tekli od 1 do 3, indeksi z grskimi crkami pa od 0 do 3. Spomnimo se najprej, kako opisemo rotacije v ravnini (2-dimenzijonalnem prostoru). Cisto enostavno je x' \ I cos a sin a \ ( x (1) yf J \ — sin a cos a ) \y ) Rotacijsko matriko zapisemo lahko (preveri!) na nekoliko cuden nacin kot „ , cos a sin a , , , , , O = = exp (tal ) (2) sin a cos a kjer imenujemo matriko t = "'( — 0) (3) generator rotacije v 2-dimenzijonalnem prostoru. Matrike (2) tvorijo Lie-jevo grupo SO(2). Lie-jevo zato, ker je parameter a zvezen, SO(d) pa v splosnem pomeni ortogonalne (OOT = OTO = I) rotacije v d-dimenzijonalnem prostoru z enotsko determinanto (detO =1). Taka oblika je zelo uporabna pri posplositvi. V d-dimenzijonalnem prostoru zarotiramo vektor x = (x1, ...,xd)T preko grupnega elementa O (d x d matriko). Vsi ti elementi tvorijo grupo SO(d), vsak element pa je opisan z d(d — 1)/2 koti aab = —aba preko O = exp (VbTab) (4) in prav tolikimi generatorji rotacije (Kroneckerjev 8 je 1, ce sta indeksa enaka in 0 drugace) (Tab)kl = —i (8ka8b — 8k8a) (5) Spomniti se moramo, da označita indeksa a in b generator (lahko bi označili drugače, npr. z zaporednim stevilom od 1 do d(d — 1)/2, T12 ^ T1, T13 ^ T2, itd.), medtem ko nam k in l povesta, o kakSnem elementu matrike govorimo. V primeru SO(2) je seveda en sam element, T12, ki smo ga označili zato kar brez indeksa. Upodobitev generatorjev preko (5) je le ena izmed neskončno mnogih. Le-te lahko upodobimo kot n x n matrike, upodobitev (5) je najnize di-menzijonalna (d) in imenujemo fundamentalna upodobitev grupe SO(d). V splosnem pa vsi generatorji (poljubne upodobitve) zadosčajo algebri generatorjev grupe SO(d), ki je definirana preko komutatorja [Tab, Tcd] = i (SacTbd + SbdTac — SbcTad — SadTbc) (6) Upostevajoč, daje Tab = —Tba in Sab = +Sba, lahko preverimo konsistenčo zgornje oblike tako, da zamenjamo 1) a ^ b, 2) c ^ d, 3) istočasno a ^ c in b ^ d. Ni tezko tudi preveriti, da upodobitev (5) res zadosča definičiji (6). Se nekaj: če bi dopustili, da je determinanta ortogonalnih matrik lahko tudi —1, bi dobili grupo O(d) namesto SO(d). V treh dimenzijah to pomeni npr., da imamo tudi zrčaljenje okoli poljubne ravnine (x% ^ —x% za en sam i) ali inverzijo (x* ^ — x% za vse i). Sedaj pa se povrnimo k Lorentzovim transformačijam. Prostor-čas je sičer res 4-dimenzijonalen prostor, vendar posebnega tipa, saj čas kljub vsemu ni prostor. To se vidi npr. pri invariantah. Spomnimo se, da je razdalja elementov v 4-dimezijonalnem prostoru c2(At)2 — (Ax)2 — (Ay)2 — (Az)2, ne pa vsota kvadratov, kot bi bila v navadnem Evklidskem prostoru. To pomeni, da dobimo produkt dveh vektorjev v prostoru Minkowskega, če med njima damo matriko - metrični tenzor, ki posebej skrbi za te dodatne minuse. Ce sta npr. a^ = (a0, a*) in b^ = (b0, b*), potem je produkt a0b0 — a1b1 — a2b2 — a3b3 = bv (7) kjer je metrični tenzor /10 0 0 —10 0 0 1 0 0 0 (8) Vo o o —1/ Vedno se poslužujemo konvecije, da pomenita dva enaka Lorentzova indeksa seštevanje (to je brez eksplicitnega sumacijskega znaka), nastopati pa morata eden zgoraj, eden pa spodaj (nikoli oba zgoraj ali oba spodaj). Zato je tu uporabno tudi dvigovanje oz. znizevanje indeksov preko metriCnega tenzorja. Tako lahko zgornjo enaCbo zapisemo na veC ekvivalentnih naCinov a"g„v bv = a^b, = a,g,v bv = a,b, (9) kjer smo definirali a, = g,vav = (a0, ai, a2, a3) = (a0, -a1, -a2, -a3) (10) ter inverz metriCnega tenzorja, to je ,v ki je definiran preko 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 (11) gg l) = g,ag -i g g 6, g, gav 6^v (12) (13) 6,v. Odtod tudi vidimo, da je g,v Prejsnje definitije za SO(d) grupe sedaj posplosimo za SO(d+,d-), kjer imamo metriCni tenzor v diagonali d+ eniC in d- minus eniC (v nasem primeru nas zanima primer SO(1,3)). Vse zgornje definiCije so v redu, le da moramo sistematiCno vse 6 zamenjati z g in vse produkte matrike razumeti z vmesnim g. Tako je npr. definiCija komutatorja v algebri SO(1,3) [Taf3, T,v] = l (ga,Tf3v + gf3vTa, — gfi,Tav — gavT>,) (14) definiCijo za grupni element (4), kar je matrika v 4-dimenzijonalnem prostoru Minkowskega, pa moramo pri razvoju v vrsto razumeti kot A, n ai/3i = 6*v + 2 (iTail3l )" 1 n ®i/3i g »2^2 v +22 +... (15) 2 av Sedaj pa ni tezko preveriti, da opisuje (15) res Lorentzove transformacije x'M = AM, X (16) Preverimo npr., da opisuje rotacija v smeri O01 = a res Lorentzovo transformacijo v smeri x. Tedaj je Iz definicij sledi 8 + a (iToi.g) + — (iToi.g)2 + ... (17) iToi.g in koncno 0 1 0 0 1 0 0 0 0 —1 0 0 —1 0 0 0 0 —1 0 0 —1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —1 0 0 0 0 (18) (19) { cosh a — sinh a 0 0 \ - sinh a cosh a 0 0 0 0 10 \ 0 0 0 1/ Koncno uvedemo novo spremenljivko, cosh a = 1/V 1 — v2, ter dobimo natanko Lorentzovo transformacijo (v je hitrost). Podobno se pod Lorentzom transformira poljuben tenzor T'«l...«n = A®1 A®n T $1 ...fin $1 ... (20) Dobro si je se zapomniti, da sledi iz definicije (15) zaradi antisimetrije generatorjev A/ = A-1 odkoder sledi relacija Zato so produkti vektorjev Lorentzovi skalarji: AMV A/ = 8% a'% = A^v av A/ ba = av bv (21) (22) (23) m 2 v a M 2 Lekcija 2 (45min): Se o Lorentzovi grupi 2.1 Spinorji Na prvi pogled se zdi, da je fundamentalna upodobitev genaratorjev (5) tudi najosnovnejsa upodobitev, iz katerih lahko dobimo transofrmacije visjih tenzorjev po vzoru (20). V resnici pa to ni res, kajti obstaja se bolj enostavna upodobitev Lorentzove grupe, iz katere lahko izpeljemo celo transformacijsko matriko AMv, ki nastopa v (16) oz. (20). To sledi iz sledece izpeljave (omejimo se na stiri dimenzije): predstavljamo si, da obstajajo 4 matrike velikosti 4 x 4, ki zadoscajo Diracovi algebri Tedaj matrike {Y yv } = + Yv Y M = 2g^v (24) = 4 [7^,7v] (25) zadoscajo komutacijskim pravilom (14). Matrike, ki jih rabimo lahko napisemi npr. (v kiralni upodobitvi) kot T =(; o) (26) kjer so aM = (1,al), (28) Pod parnostjo postane tf ^ Y0tf (29) oz. ^L ^ ^R (30) Matriko Lorentzove transformačije v fundamentalni upodobitvi AMv kot obljubljeno izpeljemo lahko iz matrike Lorentzove transformačije v spinorski upodobitvi A1/2: A-/127^A1/2 = A»v yv (31) Za poznejso rabo uvedemo se matriko 4 x 4 Y5 - iY0Y17273 = (J —0J (32) ter tf = tft y 0 (33) ki se transformira kot tf' = tfA-/12 (34) Vseh 16 moznih bilinearnih kombinačij Diračovih spinorjev zapisemo lahko kot S= tftf (35) P= tf y 5tf (36) VM = tf y Mtf (37) A^ = tftfY5tf (38) T ^v _ tf [y^,7v] tf (39) Izbrane črke so kratiče (S =skalar, P =psevdoskalar, V =vektor, A =ak-sijalni vektor, T =tenzor), ki označujejo obnasanje pod Lorentzovimi trans-formačijami in parnostjo (S ',P') (V 'M,A'M) T mv (S, P) AMV (Vv,AV) A^A^ T (40) (41) (42) S _ +S P _ _P VM _ (—1)^M0 + 1 VM AM _ (—1)*"° AM Tmv _^ (_t^v 2.2 Vse upodobitve Lorentzove grupe Splosne generatorje SO(1,3) lahko oznacimo kot T0 0a Kn Ta ab (43) (44) (45) (46) (47) tabcJc (48) kjer je tenzor Levi-Civite eabc antisimetricen na izmenjavo poljubnih dveh indeksov ter e123 = 1. V generatorjih K spoznamo generatorje Lorentzovih premikov (boost), v generatorjih J pa generatorje vrtenja v 3-dimenzijonalnem prostoru (vrtilna kolicina!). Tedaj se komutacijska pravila (14) zapisejo kot [Ka,Kb] [Ja,Kb] [Ja, Jb] i^abcJc i^abcKc i^abcJc (49) (50) (51) Ceprav to zgleda bolj nekompaktno od prejsnjega zapisa, nam nudi vec vpogleda. Zadnja enacba ni nic drugega kot komutacijska pravila za operator vrtilne kolicine. Definiramo lahko nove linearne kombinacije generatorjev Aa = 2 (Ja + iKa) Ba = 2 (Ja _ ika) (52) (53) Cigar komutaCijska pravila se poenostavijo [Aa,Ab] = itabcAc (54) [Aa,Bb] = 0 (55) [Ba,Bb] = itabcBc (56) To so pa komutaCijska pravila za rotaCijo v 2-dim kompleksnem prostoru (glej zgornja pravila za operatorje vrtilne koliCine). Govorimo torej o grupi SU(2), ki imajo tri elemente (splosen SU(n), to so rotaCije - ne veC ortogo-nalne, paC pa unitarne matrike - v n-dim kompleksnem prostoru, ima n2 — 1 generatorjev). A in B so torej generatorji dveh grup SU(2). Generatorji grupe SO(4) se torej razdelijo na generatorje dveh loCenih in neodvisnih rotatij, dveh SU(2) (en z generatorji A, drugi z generatorji B). Torej je grupa SO(4) lokalno ekvivalentna grupi SU(2)xSU(2). Polja, ki opisujejo osnovne delCe, se transformirajo kot iruditibilne upodobitve Lorentzove grupe, in jih lahko karakteriziramo z dvema veCkratnika poloviCke, to je z enim spinskim stevilom za vsak SU(2). Tako je najenos-tavnejsa upodobitev Lorentzov skalar (0, 0). Nato imamo dve vrsti spinorjev. Zgornji grupi oznaCimo z indeksoma L (left) in R (right), tako da imamo lahko dve vrsti osnovnih (Weylovih) spinorjev ~ (1/2,0) oz. ~ (0,1/2), ki ju imenujemo levoroCni oz. desnoroCni spinor. Fizikalno lahko opisujemo z vsakim od njiju le brezmasne fermione, medtem ko potrebujemo oba (oz. DiraCov spinor) za opis masivnega fermiona. Slednji se transformira nad Lorentzovimi transformaCijami preko A1/2, glej (27), odtod tudi oznaka 1/2, saj imamo opravka z delCi s spinom 1/2. Se zadnjo upodobitev, ki jo bomo stalno uporabljali: to je vektorski bozon A, ~ (1/2,1/2), ki je delno spin 0 (= 1/2 — 1/2) in delno spin 1 (= 1/2 + 1/2). Pod Lorentzom se transformira kot (16). 2.3 Vaje 1. Preveri, da £,v = c [7,, Yv] zadosCa komutatijskim pravilom za SO(d+, d-) in doloCi c. 2. Pokazi, da so £,v bloCno diagonalni v kiralni upodobitvi 7 matrik. 3. Dokazi enaCbo (31). 4. Preveri enacbe (49)-(51), oz. preveri proporcijonalni faktor pri definiciji operatorja vrtilne kolicine iz Tab. 5. Pokazi, daje Diracova enacba Lorentz kovarijantna. 3 Lekcija 3 (45min): Kvantna mehanika, enaCbe za razne spine 3.1 Schrodingerjeva enaCba V kvantni mehaniki smo tipicno resevali Schrdingerjevo enacbo oblike d ( 1 \ 'm tf = (" vk + V) tf (57) kjer sestevamo po vsek delcih k =1,..., N, tf je valovna funkcija sistema, V pa potencijal. Odtod se da izpeljati kontinuitetno enacbo d_ dt kjer je dP = —Vk. j k (58) p = tf*tf (59) pozitivno definitna kolicina, in jo lahko torej interpretiramo kot verjetnostna gostota (verjetnost, da je sistem v takem stanju), jk = —^ (tf*Vktf — tfVktf*) (60) 2mk pa verjetnostni tok k-tega delca. Enacba (57) nam pove samo to, da se verjetnost ohranja. 3.2 Klein-Gordonova enacba Schrodingerjeva enacba je eksplicitno nerelativisticna. Izvira iz nerelativis-ticne zveze za energijo jp 2 E = j + V (61) in zamenjavo energije in gibalne količine z ustreznimi operatorji d E — i— , — — —iV (62) Posplositev za relativističen primer se zdi torej enostavna: iz E2 = —2 + m2 (63) dobimo Klein-Gordonovo (KG) enačbo (za prosti deleč) — V2) $ = —m2$ (64) Ce vpeljemo =^=(V) <65> lahko KG enačbo zapisemo ekspličitno relativistično invariantno: = —m2$ (66) Enačba ima dve glavni napaki. Prvič, resitev vsebuje tudi negativne energije, saj je koren enačbe (63) E = 2 + m2 (67) Ko bi vpeljali poljubno interakčijo (zgornja oblika KG enačbe opisuje le kinematiko, saj je za prost deleč), bi lahko deleč s pozitivno energijo presel v enakega z negativno, kar se gotovo ne zgodi. Drugič, podobno kot v primeru Sčhrodingerjeve enačbe lahko poisčemo relativistični tok j = ^ ($*— $dM$*) (68) ki zaradi KG avtomatično zadosča kontinuitetni enačbi d j » = 0 (69) Na zalost pa zdaj P = j0 = — (V d $ — $ d $*1 (70) ' J 2m\ dt dt y ' ni vec pozitivno definitna kolicina in je torej ne moremo vec interpretirati kot verjetnostno gostoto. Drugace povedano, resitev KG enacbe $ ni vec valovna funkcija. Izkazalo se bo, da se vsi problemi resijo, ko polje $ interpretiramo kot operator, ki spreminja stevilo delcev. 3.3 Diracova enacba V prejsnjem razdelku nismo nikjer povedali, za katere delce (s kaksnim spinom) velja KG enacba. Odgovor je preprost: ker je to le kinematska enacba, v njej ni nobene interakcije in izvira le iz zveze med energijo, gibalno kolicino in maso. Torej naj bi veljala za poljuben spin. In to je res, vendar je to tudi vse le za skalarje, to je delce s spinom 0, ali drugace povedano, za upodobitve (0, 0) Lorentzove grupe. Za drugacne delce pa imamo se dodatne zveze. Tako velja za delce s spinom 1/2 ze znana Diracova enacba (id _ m)t = 0 (71) kjer smo uporabili znano Feynmanovo konvencijo a = 7% (72) Diracova enacba je kovarijantna na Lorentzove transformacije, za brez-masne delce pa se zreducira na dve neodvisni enacbi, eno za eno za . Relativisticno invarianten tok jM = t (73) ima pozitivno definitno nicto komponento, ki jo torej lahko intepretiramo kot gostoto verjetnosti, podobno kot pri Schrodingerjevi enacbi. Z nastavkom (px = pMxM) t = u(a)e-ipx (ali v(a)e+ipx) (74) lahko enacbo resimo in vidimo, da sta dve lastni vrednosti (a = 1, 2) za energijo pozitivni (u), dve pa negativni (v). Ker pa opisuje Diracova enacba delce s spinom 1/2, so te negativne energije nenevarne. Obratno: Dirac je zaradi resitev z negativno energijo napovedal obstoj antidelcev, to je delcev, ki imajo vse naboje obratne od delcev. Da bi prepovedal prehod delcev s pozitivno energijo k negativnim energijam, je vsa mozna stanja z negativno energijo zapolnil. Vakuum (osnovno stanje sistema) ima torej vsa stanja z negativno energijo zapolnjena. Stanje enega delca s pozitivno energijo je torej stabilno, saj ne more, zaradi Paulijevega izkljucitvenega nacela, preiti v stanje z negativno energijo, ki je ze zapolnjeno. Po drugi strani pa tak vakuum dopusca, da z dodatkom energije en delec z negativno energijo spravimo v stanje s pozitivno energijo, njegovo prejsnje stanje pa ostane prazno. Luknja v negativnih stanjih pomeni antidelec, tako da smo z dodatkom energije iz vakuuma tvorili par delec-antidelec. Ceprav je Diracova enacba dosti boljsa od KG ali Schrodingerjeve, saj nima prejsnjih tezav in je eksplicitno relativisticna, kljub temu pri dovolj visoki energiji odpove. Razlog za to je v tem, da ni zmozna opisati spremembe stevila delcev, to je pa nujno, kot smo ravnokar videli (iz vakuuma lahko dobimo dva nova delca, pravzaprav en delec in en antidelec). To stanje bo resil sele konsistenten opis v okviru kvantne teorije polja. 3.4 Maxwellove enacbe Se zelo kratka omemba Maxwellovih enacb. Te lahko zapisemo eksplicitno relativisticno kovarijantno kot F^v = dA — 3V Atu (75) O^F^v = Jv (76) kjer je AM potencijal elektromagnetnega polja. F^v se seveda (to je razvidno iz oblike) pod Lorentzom transformira kot tenzor z dvema indeksoma, AM in j pa kot vektorja. 3.5 Vaje 1. Resi Diracovo enacbo za prost delec, zapisi eksplicitno u(a)(p), v(a)(p). 2. Ob normalizaciji u(a)(p)u(a' )(p) = 2m 5aa' (77) v(a)(p)v(a' )(p) = —2m8aa' (78) izračunaj količine 2 P+ = ^ u(a)(p)U(a) (p) (79) a=1 2 («)(p)v(«)/ P- = v(a)(p)v(a)(p) (80) a=1 3. Ob privzetku, da velja u(a)u(a) = 1 (1 + Y5/(a)) P+ (81) izračunaj eksplicitno četverec polarizacije S(spin) ter preveri, daje = 0. Vajo ponovi se za v(a). 4. Izračunaj za n = 0,..., 4 Tr (yw...Y^n) (82) (Y5YM1 ...Y^n ) (83) 5. Kaj se zgodi z Diračovo enačbo, če je m = 0 (Weyl, dvokomponentni spinorji)? 6. Iz Maxwellovih enačb zapisanih preko električnega polja 1 in magnetnega polja B izpelji relativistično invariantne enačbe za vektorski potenčijal AM. Diskutiraj o izbiri umeritve. 4 Lekcija 4 (45min): Enacbe gibanja, interne simetrije 4.1 Akcija Vse zgornje enačbe gibanja se dajo izpeljati iz znanega prinčipa ekstrema ak- čije, ki ga ze poznamo iz klasične mehanike. Tu ga le posplosimo za primer polj v 4-dim. prostor-času. Predstavljamo si, da imamo Lagrangevo gostoto (od tu dalje jo bom večkrat imenoval kar Lagrangian), ki je skalar nad Lorentzovimi (a tudi ostalimi, glej pozneje) transformačijami. Je funkčija polj 0 ter njihovih prvih odvodov 3,0, torej L(0,d,0). Akčija je definirana kot prostorski in časovni integral Lagrangiana S[0] = J d4xL(0,d,0) (84) Prinčip ekstrema akčije pravi, da dobimo enačbe gibanja, če zahtevamo, da se akčija ne spremeni ob majhni spremembi vrednosti polj 0 — 0' = 0 + 80) S[0'] — S [0] d4x [L(0',d,0') — L(0,d, = d x d4x W80 + 8(^0) " ( dL _,) (dL _ ( dL ' MWJ) 8V HdL — M (85) 80 V prehodu na zadnjo vrstičo smo upostevali, da je razlika odvodov enaka odvodu razlike 8(d,0) = 3^80 ter integrirali per partes. Prvi člen je totalen odvod. Njegov integral je torej odvisen le od vrednosti polj na robu (v neskončnosti). Ce se omejimo na polja in/ali na spremembe polj 80, ki so v neskončnosti dovolj majhna, potem ta člen nič ne prispeva. Akčija je torej ekstremalna za vrednosti polj, ki zadosčajo Euler-Lagrangevim enačbam 0 I" a»( dMH (86) Kaksne Lagrangiane sploh uporabljamo? Kot smo ze omenili, naj bo Lagrangian skalar nad Lorentzovimi transformačijami. Zelimo tudi, da v primeru prostih polj (nič interakčije) pravilno reprodučira enčbe iz prejsnjega poglavja za različne spine, to je Klein-Gordonovo enačbo (spin 0), Diračovo enačbo (spin 1/2) in Maxwellove enačbe (spin 1). Ni tezko preveriti, da je Lagrangian za prosto realno skalarno polje L = 13,03^0 — 2 m202 (87) kjer izvira normalizacija na polovicko v prvem clenu (z odvodi) iz podobne definicije pri klasicni mehaniki: L = 2™ (fJ' <88» Spomniti se moramo namrec, da ustreza casu t in koordinatam delca 1 (t) v klasicni mehaniki cetverec xM = (t,1) in polja 0j(xM) v teoriji polja. Za prosto kompleksno polje pa L = 8^0*8^0 _ m20*0 (89) Normalizacija je v zadnjem primeru izbrana tako, da se kompleksno polje izrazi z dvema skalarnima kot 0 = (01 + i02) /v^2. Podobno je za fermione L = i (i7^ _ m) i (90) kjer moramo pri izpeljavi Euler-Lagrangevih enacb obravnavati i in i kot neodvisni polji. Koncno dobimo Maxwellove enacbe iz L = _ 4 F,v F»v + Lgf (91) kjer je zadnji clen odvisen od izbire umeritve (gf=gauge fixing). Ce je umeritev npr. Lorentzova, potem je Lgf = _ -t(d,A^)2 (92) 1 2Č kjer je £ Lagrangev multiplikator. Faktor _1/4 v (91) dobimo, ce za produkt casovnih odvodov krajevnih komponent vektorja A1 tudi zahtevamo normalizacijo podobno kot v (87). Za casovne komponente A0 pa sploh nimamo tega kineticnega clena, kar samo potrjuje, da vse stiri komponente v AM niso fizikalne, in se dodatno klice po clenu, ki doloca umeritev (recimo (92)). 4.2 Noetherin izrek Povrnimo se k enacbi (85). Privzamimo, da polja 0 zadoscajo enacbam gibanja. Zanimajmo se na interne simetrije Lagrangiana, to je na take 80, za katere je Lagrangian invarianten. Tedaj je prvi clen pod integralom enak nic po celem prostoru (in ne samo po integraciji ali, drugace povedano, v neskoncnosti, kot za poljuben 8$) s- (im 8$)=0 (93) Ce je polj vec, moramo posamezne prispevke seveda sesteti. Tu se zanimamo za zvezne transformacije, ki jih opisujemo z Lievo grupo (Ta so generatorji) $ = eiaaTa $ (94) Tedaj je 8$ = iaaTa$. Skupno dobimo toliko ohranitvenih tokov, kolikor generatorjev transformacije imamo: dJ = 0 J = W$fa ^ (95) Poglejmo ze znan primer Lagrangiana za prosto kompleksno polje (89). Simetrija tu je U(1) faza: $ = eia$ , $ = e-ia$* (96) na katero je invarianten Lagrangian (89). Tedaj je tok J" = i ($d"$* — $) (97) Ta tok smo ze spoznali v prejsnjem poglavju in je izviral iz Klein-Gor-donove enacbe, tu pa kar iz simetrije Lagrangiana. Pravimo, da se tok (95) ohranja, ker se kolicina Qa = / d3xj°a (98) ki ji pravimo naboj, s casom ne spreminja: ^ = J d3xdoj°a = J d3xdj = 0 (99) Upostevali smo, tako kot ponavadi, da polja dovolj hitro padajo v neskoncnosti, ter uporabili Gaussov izrek (integral po prostoru divergence je integral po robu). Tok (95) in naboj (98) imenujemo Noetherin tok in Noetherin naboj. Noetherin izrek pravi, da se taki naboji ohranjajo. 5 Lekcija 5 (45min): Umeritvena invarianca Pri transformačijah (94) smo se do sedaj omejili na take, pri katerih so prametri aa konstante. V tem razdelku bomo obravnavali izredno pomemben primer, ko so ti parametri funkčije koordinat, aa = aa(x). Take imenujemo umeritvene transformačije. Motivačija za le-te izvira iz umeritvene invarianče Maxwellovih enačb. Ce zelimo fermion L = i)iYMdM^ (100) sklopiti z EM poljem, to naredimo po ze znanem rečeptu iz kvantne mehanike id m i Pm i Pm + eAM i id m + eAM i (101) Definirali smo kovarijantni odvod Dm^ = (dm - ieAM) ^ (102) Lagrangian Li = ^IYmDm^ (103) je invarianten na umeritvene (gauge) transformačije ^ i eta(xV , am i am + 1 d^a (104) saj je lastnost kovarijantnega odvoda na polje ta, da se transformira pod umeritvenimi transformačijami kot polje samo (Dm4>)' = eta(x) dm^ (105) Podobno je kinetični člen za EM polje L2 = -1 Fmv Fmv (106) invarianten na umeritvene transformačije, saj je to ze tenzor EM polja sam F^v = dA _ dvAtu (107) F^v = F,v (108) Vsota (103) in (106) tvori Lagrangian za fermion plus EM polje. Transformacije (104) tvorijo, kot vemo, grupo U(1), to je sprememba faze fermiona. Stvar lahko posplosimo za druge grupe, in to sta prva naredila Yang in Mills v petdesetih letih, ki sta prva zapisala Lagrangian invarianten na umeritvene transformacije grupe SU(2). Se bolj splosno, zelimo razumeti, kaksni Lagrangiani so invariantni na i' = Ui , U = U(a(x)) , U] = U-1 (109) kjer so U unitarne matrike, elementi grupe SU(N). Cleni oblike ii bi bili invariantni, zaradi unitarnosti transformacijske matrike U. Problemi pa nastanejo, ko imamo opravka z odvodi: 6^' = U8,i + (^U) i (110) tako da zaradi drugega clena kineticni clen v Lagrangianu ni invarianten i'iY ^i' = iiY11 d(111) Podobno kot prej s poljem fotona A^ zelimo tudi zdaj navaden odvod pretvoriti v kovarijantnega. Spomnimo se, da imamo zdaj grupo SU(N) in torej N2 _ 1 umeritvenih bozonov, enako stevilo kot stevilo generatorjev transformacij. Najprej definiramo matriko Ai = Aa;ia (112) kjer naj bodo generatorji Ta v isti upodobitvi kot i. Ce je npr. i v funda-mentalni upodobitvi, so v primeru SU(2) generatorji Ta kar pravilno normalizirane Paulijeve matrike aa/2, v primeru SU(3) pa Gell-Mannove matrike.V vsakem primeru je konvencija, da so generatorji v fundamentalni upodobitvi normirani na Tr (TaTb) = 18ab (113) (drugacna izbira za normo pa samo redefinira sklopitveno konstanto g). Uporabimo podoben trik kot prej. Uvedemo kovarijantni odvod D,i = (d, — igA,) i (114) ki naj se nad gauge transformačijami i' = etaa(x)Tai , A, = UA,U + Cd, (U) U (115) g obnasa kot (105). Spremembo vektorskega polja (pravzaprav matrike (112)) smo poskusili uganit, konstanto c pa določimo preko pogoja (105) za a(x) = aa(x)Ta in dobimo c = —i. Kako pa dobimo invarianto za kinetične člene umeritvenega bozona A,? Smiselno je določit podobno obliko kot prej, le da vzamemo sedaj sled, ker imam o opravka z matrikami: L = —-1-Tr (F,vF,v) (116) 4c2 kar se ne pove dosti, saj se nismo definirali F,v za splosno SU(N) grupo. Poskus z (107) se izkaze za neuspesnega, zato poskusimo z nastavkom (zahtevamo antisimetričnost na zamenjavo indeksov) F,v = d,Av — dvA, + ag [A,, Av] (117) Zahteva po F',v = UF,v U (118) in torej po invarianči (116) določi ci = —i. Zadnjo konstanto c2 pa določimo preko normalizačije. Zelimo imeti za vsako umeritveno polje A, enako nor-malizačijo kinetičnega člena kot za primer elektromagnetizma. Tedaj je c2 le normalizačijski faktor generatorjev (v dani upodobitvi) Tr (TaTb) = c28ab (119) in torej enak 1/2 v primeru fundamentalne upodobitve. Se dva komentarja. Prvič, splosne formule za SU(N) lahko uporabimo tudi za primer elektromagnetizma, le da je sedaj edini generator Ta = q konstanta, ki ni nujno normalizirana enako za različna polja. To pomeni, da ima lahko vsako polje iq svoj lasten q. Tako lahko npr. interpretramo e kot naboj elektrona (zanj je q = 1), tako da ima up kvark q = 2/3, kvark down q = —1/3, itd. Produkt qe je torej U(1) naboj polja ^q. Tu je razlika med abelovimi U(1) in ne-abelovimi SU(N) grupami. Medtem ko ima lahko v abelovem primeru vsako polje svoj naboj, je naboj v neabelovem primeru odvisen le od upodobitve grupe. Drugic, tako kot smo definirali kovarijantni odvod za fermione, bi lahko enako za bozone. = (d" — igA") $ (120) invariantni kineticni clen pa L =(D"$)t D"$ (121) 5.1 Vaje 1. Pokazi, da pomeni Noetherin izrek za translacije in rotacije ohranitev energije, gibalne kolicine in vrtilne kolicine. 2. Izracunaj c\ iz enacbe (117), tako da preveris, ali se polje elektromagnetnega tenzorja transformira pravilno kot F'v = UF"VUt. Preveri, ali se isti tenzor da zapisati kot D "Av — DvA" ali [D ",Dv]. 3. Zapisi invarianten Lagrangian za adjungirano upodobitev umeritvene simetrije SU(N). 4. Zapisi eksplicitno kineticne clene za vsa polja standardnega modela. 6 Lekcija 6 (1h30min): Kvantna mehanika drugace 6.1 Greenove funkcije Schrodingerjeva enacba ohranja stevilo nastopajocih delcev, resitev (valovna funkcija) se pa iz ^(xa,ta) (xa se nanasajo na koordinate vseh delcev ob zacetnem casu ta) spremeni v ip(xb,tb) (xb se nanasajo na koordinate vseh delcev ob koncnem casu tb). To lahko nazorno zapisemo preko Greenove funkcije G(xb,tb; xa,ta): V.(Xb,tt)=/ G(XbM, Xa,ta)^(xa,ta)dx„ (122) Sistem torej poznamo v čeloti, ko poznamo Greenove funkčije. To bo res tudi pozneje v teoriji polja, ko se lahko stevilo nastopajočih delčev spremeni, vendar tedaj interpretačija (122) seveda ne bo veljala. V splosnem je enačba, ki jo resujemo, oblike OXb,tb ^(xb,tb) = 0 Ta je npr. lahko X 1 d ■—Vxb + V(xb,tb) - ^ (123) (124) Ce bi znali enčbe resevati eksaktno, bi se tu poglavje zaljučilo. Ker pa jih praktično nikoli ne znamo, se moramo posluzevati priblizkov. Najpogosteje to naredimo na sistematičen način tako, da uporabimo perturbačijski razvoj. Operator O razdelimo na del, ki ga znamo analitično resiti (to je tipično sistem brez interakčije) ter ostanek: O = O0 + O1 (125) Operator O0 izberemo tako, da znamo resiti tako homogeno kot nehomogeno enačbo O0,t ^o(x,t) = 0 O°2,t2Go(x2,t2, xi,ti) = -ib(x2 - xi)S(t2 - ti) (126) (127) V primeru (124) je za en deleč v D prostorskih dimenzijah to rečimo (Heav-isideova funkčija 9(t) = 1 za t > 0 in 0 drugače) O0 O1 1 d -—V- i — 2m dt V ^o(x,t) « e-t(Et-iPix) , E = i 2m G0(x2, t2, x1, ti) ( m \D/2 (žtoTt exp im x 2t 9 (t) (128) (129) (130) (131) kjer sta Ht = Ht 2 — Ht 1 in t = t2 — t1. Za D = 1 izpeljimo (131) iz (127). Kot ponavadi nam invarianca na traslacije pove, da je Greenova funkcija Go odvisna le od razlik t x 12 11 in tt = ti — ti: Go(t2,t2; ti, ti) i Go(t) Resitev (127) nastavimo preko integrala Go (t) = d2 k (2n) Go(k)e —ikx (132) (133) Dobimo Go(k) kt — kX/(2m) (134) To je bilo izraCunano formalno, za integracijo po d2k pa rabimo se predpis, kako se izogniti polu na realni asi kt = k2x/2m. To naredimo tako, da dodamo v imenovalcu clen +ie, kjer je e > 0 infinitezimalno majhen in ga bomo na koncu racunov lahko postavili na nic. Tedaj je nov pol k2 kt = ^ — ie 2m (135) to je v cetrtem kvandrantu kompleksne ravnine (Re(kt), Im(kt)). Integracijo po (realnem) kt od —to do lahko torej pretvorimo v zakljucen integral okoli zgornje polravnine, ce je t < 0 ali okoli spodnje polravnine za t > 0 (integral na polosi v neskoncnosti konvergira, ce Re(—iktt) = Im(kt)t < 0). Edini pol v celi kt ravnini pa je, kot receno v cetrtem kvadrantu, torej je integral avtomaticno nic za t < 0. V obratnem primeru pa dobimo Go (t) = 9(t) [ dkx exp J—oo 2n i k2 t kxt 2(m + ie) (136) (da novi e ni cisto enak prejsnjemu, nas v resnici ne zanima, vazno je le, da ima isti predznak). Da je za t < 0 integral nic smo poskrbeli s Heavisideom. Zadnji integral pospravimo s pomočjo dte —Xx2 (137) kar je res pod pogojem, da je Re(X) > 0, za kar se moramo v nasem zgornjem primeru zahvaliti pozitivnemu e-u. To uporabimo in pridemo do (131), kar smo zeleli dokazat. Tipičen pročes, ki ga bomo studirali, bo sipanje, ko delči prihajajo od zelo daleč. Tedaj (ta — —to) so ti delči v bistvu prosti, torej resijo homogeno enačbo (126). Seveda to ne more biti čisto res, saj je ravni val prisoten po čelem prostoru, torej tudi v blizini, kjer je interakčija. V resniči pa so delči seveda paketi in v neskončnosti ne čutijo interakčije. Priblizek, da je valovna funčija v neskončnosti za proste delče mora torej dobro veljati: i(xa, ta) = io(xa, ta) (138) Resitev (123) zadosča integralski enačbi i(xb,tb) = io(xb,tb) — i J G0(xb,tb; x,t)Olx ti(x,t)dxdt (139) kar se lahko prepričamo, če direktno delujemo z operatorjem O° t . Sedaj smo pa ze tu: i na desni strani zopet razvijemo podobno kot nam nakaze enačba sama, in dobimo perturbačijski razvoj (za O1 = V) i(xb,tb) = i0(xb,tb) + J G0(xb,tb; x,t)(—i)V(x,t)i0(x,t)dxdt (140) + J G0(xb,tb; x, t)(—i) V(x,t)G0(x,t; x',t')(—i)V(x',t')i0(x', t')dxdtdx'dt' + ... S i0(x,t) imamo v mislih enako funkčijo kraja in časa kot smo jo imeli na začetku (ista gibalna količina), to je i0(x,t) = / G0(x,t; xa,ta)i>0(xa,ta)dxa (141) ki velja za t > ta, zato da je zadosčeno (126). Enak razvoj lahko seveda ponovimo za Greenovo funkčijo, kar nam da G(xb,tb; xa,ta) = G0(xb,tb; xa,ta) (142) + / G0(xb ,tb; x, t)(—i) V (x,t)G0(x,t; xa,ta)dxdt + ... 6.2 Vaje 1. V Ryderju si poglej kanonicno kvantizacijo. Natancno predelaj primer realnega skalarnega polja. 2. Isto naredi tudi za kompleksno skalarno polje, fermion in brezmasni vektorski bozon, s poudarkom na razlike v primerjavi z realnim skalarnim 7 Lekcija 7 (1h30min): Od kvantne mehanike do kvantne teorije 7.1 Popotni integral Enacbo (122) bi lahko v principu posplosili za primere, ko se stevilo delcev ne ohranja (to bomo rabili v kvantni teoriji polja in dosegli z ustrezno interakcijo) kjer smo vse integracije izpustili, stevilke v oklepaju pa oznacijo stevilo delcev. Ta formalen zapis se ne pove, kako se Gij racunajo. Schrodingerjeva enacba ohranja stevilo delcev, tako da jo lahko uporabljamo (za nerela-tivisticne delce) kvečjemu za diagonalne elemente Gii. V kvantni teoriji polja poznamo tak neskoncno dimenzijonalen sistem integralno diferencialnih enacb za elemente Gij pod imenom Schwinger-Dysonovih enacb. Za vecino primerov pa bi radi nasli kaj bolj uporabnega: da bi lahko Greenovo funkcijo reda n (to je enako stevilu vhodnih plus izhodnih delcev) racunali brez ozira na Greenove funkcije visjega reda. To bomo dosegli s tako-imenovanim popotnim integralom, ki ga je Feyn-man vpeljal v stiridesetih letih prejsnjega stoletja. Vse izhaja iz preprostega argumenta: interferencni pojav z rezami, ki je pri klasicni optiki znacilen za svetlobo, velja v kvantni mehaniki tudi za delce. To v bistvu pomeni, da je delec pravzaprav opravil vse mozne poti. poljem. polja (143) Recimo, da je v casu ta valovna funkcija delca ^>(xa, ta), želimo pa izračunati, kaksna je valovna funkcija v končnem času ^>(xb,tb). Rabimo torej poznati Greenovo funkcijo G(xb,tb; xa,ta). Potegniti moramo torej vse poti, ki iz poljubne zacetne tocke xa v casu ta preidejo v poljubno koncno tocko xb v casu tb. Za dolocen x(t) s pravim zacetnim in koncnim pogojem x(ta,b) = xa,b pride do spremembe faze I' b ftb r tb A0 = (pdx — Edt) = dt (px — H(x,p)) = dtL(x,x) (144) J a J ta J ta kjer je kot ponavadi p = dL(x,x)/dx. Ce je mozna ena sama pot xi(t), potem je G(xb, tb; xa, ta) a eiA^ (145) ce sta mozni dve, x1(t) in x2(t), imamo G(xb,tb; xa,ta) a eiA^1 + eiA4, ostale stiri potence pa stirje odvodi iz definicije 4-tockovne Greenove funkcije iz generatorskega funkcionala (163)). Daljsi racun nam da G1(x1,x2,x3,x4) = N Go(x1,x2,xs,X4) + (-iA) J d4z (179) x iAF (x1 — z) iAF (x2 — z) iAF (x3 — z) iAp (x4 — z) + nepovezani grafi ] Tu smo upostevali definicijo povezanih grafov: to so tisti grafi, v katerih je vsaka tocka zvezno povezana z vsako drugi tocko. Nepovezani grafi so pa seveda vsi ostali. To razdelitev na povezane in nepovezane grafe smo naredili nalasc. Imamo dve vrsti nepovezanih grafov: tiste, v katerih vsaj del interakcije ni povezan z nobeno zunanjo tocko, in ostale. Za prve poskrbi normalizacijski faktor N, ostali pa so v bistvu diagrami, ki jih lahko dobimo kot zmnozek nize tockovnih Greenovih funkcij. Poglejmo to bolj natancno: iz definicije je N 1 + d4z —i- A\ (1 S4 47 \i4 SJ4(z) + ■ ■ ■ Zo[J ] (180) J=o Pisimo W[J] = log Zo[J] = 1 J d4u j d4viJ(u) iA(u — v) iJ(v) (181) Tedaj je N do reda A enak N = !+ I d4z (—i l)(1J)) 4 2 W2'J] A j=o = 1+ (—i 3 [iA(0)]2 J d4z (182) 4-tockovna Greenova funkcija iz (178) je torej g<—) = 2 n( J, (183) X 1 W2[J] + /d4z —i:^ J 4W4JJ Oglati oklepaj je enak 1 2 4 A 1W 2[J] + / d4z (-i A) f c- 3 n o2W[J]\' 2 vi2 OJ2(z) J W2 [J ] 1 O2W[J]\ (1 8W[J]\ 2 i oJ (z kjer moramo se upostevati +H* jS) Ujm J w|j] + (1 OWJ )4| (184) 1 0W [J ] i OJ (z) 1 O2W [J ] i2 o j2 (z) = J d4uiJ(u) iA(u — z) (185) = iA(0) (186) Vpliv normalizacijskega clena N je ravno ta, da krajsa prvi clen v oklepaju, ki tako odpade, drugi clen v oklepaju pa je nebistven, saj vsebuje dvotoCkovne Greenove funkcije zunanjih toCk iA(xi — Xj), in jih zato izpustimo. KonCni rezultat za 4-toCkovno Greenovo funkcijo je torej (do reda A) Gi(xi, x2, x3, x4) = (—iA) J d4 z (187) x iAp (x1 — z) iAp (x2 — z) iAF (x3 — z) iAF (x4 — z) To lahko dobimo Cisto nazorno (Feynmanova pravila za teorijo 04 (176) v koordinatnem prostoru): 0) Narisi vse povezane Fynmanove grafe z danimi zunanjimi toCkami x1, . . . , xn 1) vozlisCe ali verteks je v toCki z, njemu pripada Clen — iA (i ker imamo vedno exp (iS), —A pa ker tako zgleda interakdjski Clen v (176), faktorja 4! pa smo se znebili, ker je ravno toliko naCinov, da stiri zunanje toCke xi povezemo z verteksom); 2) vsaki povezavi pripada propagator iAF (xi — z); 3) integrirati moramo po Celem prostoru z. Naslednji korak je transformirati po Fourieru vse propagatorje na desni strani enaCbe kot v (171) ter integrirati po legi interakdje z , . r d4pi r d4p2 f d4p3 r d4p4 G1(x1, x2, x3, x4) = J (2n)4J (2n)4J (2n)4 J (2n)4 x (2n) V(p1 + p2 + P3 + p4)e-i(pixi+p2x2+p3 X3+P4X4) X (—iA)-^————- (188) p2 — m2 p2 — m2 p3 — m2 p4 — m2 V splosnem lahko definiramo n-toCkovno Greenovo funktijo v p prostoru |a)in (193) kjer so zacetna in koncna stanja |a)in in IP)out zapisana v razlicnih bazah in in out. Matrika S spreminja bazo in v bazo out. Isto stanje lahko zapisemo razlicno out {P I = out{0| CLout(P) = in{0|Sw(P) = in{P IS= in {01 CLin (P )S (194) kjer sem rabil simbolicno ain(P) in Sout(P) za skupino anihilacijskih operatorjev, ki tvorijo iz vakuuma in ali vakuuma out stanje in{P| in out{P|. Odtod sledi seveda S out (p) = SjSinS (195) in seveda 0out (x) = Si4>in(x)S (196) za asimptotske operatorje iz kanonske kvantizacije (Sin,out(x) = J (2?d)3P2po (am,out(p)e-ipx + Sjn,out(p)eipx) (197) ki zadosca KG enacbi (p2 = m2, p0 > 0 !) (d2x + m2) 0in,out(x) = 0 ( 1 98) Sedaj zapisimo operatorsko identiteto 0(x) = 0hom(x) + j dy G(x - y) (dJ + m2) 0(y) (199) ki je veljavna ob pogoju (dX + m2) 0hom(x) = 0 (200) (dX + m2) G(x - y) = 8(x - y) (201) V (199) integriramo per partes in dobimo izraz za resitev homogene KG enacbe (200) 0hom(x) = - I - )d3y G(x - y)dy00(y) - 3yoG(x - y)0(y) (202) V-^jo Jyo / ki naj velja za y0 < x0 < y+. Izberimo dve moznosti za resitev (201), takoimenovano retardirano in advansirano Greenovo funkcijo G kar d4p _e~ipz Aret(z) = ( + . )2 —>2-2 (203) J (2n)4 (p0 + ie)2 - — - m2 d4p _e ipz Aadv (z) = --. )2 ^2-2 (204) J (2n)4 (p0 - ie)2 - p - m2 Ni tezko preveriti, da velja Aret(z) = 0, ko z0 < 0 (205) Aadv(z) = 0, ko z0 > 0 (206) odtod tudi njuni imeni. Enacba (202) se v teh dveh primerih zapise kot CL(x) = d y Aret(x — y)3y0j(y) — dy0Aret(x — y)((y) (207) Jy0 fc(x) = — + d3y \Aadv(x — y)dy0((y) — dy0Aadv(x — y)((y) I (208) Sedaj potegnimo limiti y± ^ ±to. Po definiCiji je torej ((y) v (207) pisan v bazi in, (j(y) v (208) pa v bazi out. Torej velja CL(x) = (n(x) (209) fc(x) = (ut(x) (210) Da ponovimo: sledeCi identiteti sta veljavni za poljubne operatorje (j(x), ki so asimptotsko enaki (f)in,out(x): ((x) = (in(x) + J dy Aret(x — y) (5y2 + m2) ((y) (211) ((x) = ((out(x) + J dy Aadv (x — y) (dj + m2) ((y) (212) Kot naslednji korak uvedemo operator I [J] = Texp ^ dzJ(z)j(z)^ (213) kjer je T Casovno urejeni produkt operatorjev, definiran kot TA(x)B(y) = A(x)B(y)Č(xu — y0) + B (y)A(x)0(y° — x0) (214) EnaCbi (211) in (212) pomnozimo z desne z I[J] ter delujemo se naknadno z leve s T. Upostevamo se, da Tjin(x)I [J ] = I [J ](jin(x) (215) T(jout(x)I [J] = jout(x)I [J] (216) saj sta (jin(x) in (jout(x) izraCunana preko (j(y) za y0 ^ —to oz. y0 ^ +to in torej morata v Casovno urejenem produktu na desno oz. levo. Zanju dobimo iM OiJ (x) iM OiJ (x) /[J]0in(x) + / dy Aret(x — y) (d? + m2A 0o«t(x)/[J] + / dy Aadv(x — y) (d? + m2 OiJ (y) i/UL OiJ (y) (217) (218) Enačbi zdaj odstejemo, pomnozimo z leve s sipalno matriko S ter upo-stevamo (196): 0in(x), S/[J] = I dy (Aret — Aadv) (x — y) (d? + m2 Resitev te enačbe je oblike N OS/ [J ] OiJ (y) (219) S/ [J ] = N exp i / dz0in(z) + m OiJ (z) F [J ] (220) kjer je N normalno urejeni produkt. Definiran je tako, da so vsi kreačijski operatorji na levi vseh anihilačijskih operatorjev. Zgornji izraz velja za poljuben F [J]. Preverimo ga tako, da vstavimo (220) v enačbo (219), upostevamo, da veljata zveza 4>in(x),4>in(y) = —i (Aret — Aadv) (x — y) in lastnost A, N (eB A, B Ne (221) (222) za poljubne linearne kombinačije kreačijskih in anihilačijskih operatorjev A in B. To zadnje dokazemo z lahkoto: aitti + a at, N (e/ja aiai + a at, e^e^fcdfc O P j j Pk ak aiai, efjj e aA , ePj a f + aiaf, ePaj> ePka epk ak + epj aj aiaf, ePka aa, Pi af epj a'j epkak + epj aj aih\, Pi&i Aak N ( epj aj a] aiai + aid], Pidi + paf Dolociti moramo samo se F [J]. V ta namen izberemo polje 0(x) (do sedaj je bilo namrec poljubno) kot funkcijo prostega polja 0in(x). Predpis 0(x) = [U(x0, -to)]] 0in(x)U(x0, -tO) U (x0,y0) = T exp (i/ dzLn (0(z)) 'yo rx o (223) (224) omogoca nazorno interpretacijo spremembe baze: polje 0(x), ki ga ne znamo zapisati takoj v casu x0, zarotiramo v cas -to, ko ga znamo zapisati in je kar prosto polje 0in(x). Preko te definicije poljuben casovno urejen produkt polj zapisemo kot (privzamemo xn > x ... > x°l) U (x°n, -tO) '0 in n )U ( xn, xn— 1) 0in (xn-1 )U (x n-1 ,xn-2) T0(x1) . ..0(xn) U(xn, -to) f 0in ...U (x2,x0 )0in(x1)U (x1,-to) (225) kjer smo uporabili Hermitskost interakcijskega dela Lagrangiana Lfnt = Lint. Zgornjo interpretacijo uporabimo pri zapisu vakuumskega stanja. Podobno kot je 0(x) v x0 — -to asimptotsko enako 0in(x), je v isti limiti tudi vakuumsko stanje |0> = 10)in (226) enako vakuumskemu stanju |0>in v primeru prostega polja (ain(k)|0>in = 0). Podobno dobimo vakuumsko stanje (0| v casu t — +to iz zacetnega vakuumskega stanja in(0| (to je vakuumsko stanje v primeru prostega polja, in(0|a|n(fc) = 0) preko operatorja U(+to, -to): ,0, = in(0|U (+TO,-to) (227) ( 1 in (01U ( + TO, -TO)|0>in ( ) Ne sme nas presenetiti, da (0| = (|0))^, saj sta stanji računani v različnih časih, eno v —to, drugo pa v +to, potem ko delujemo z interakcijo. Odtod tudi vidimo, da je (0| = out (0| (228) in dobimo torej zanimivo reprezentacijo za S-matriko S = , U(+TO' —TOL (229) in(0|U ( + TO, —TO)|0)in V 1 kar popolnoma sovpada z intepretacijo spremembe baze preko časovnega prenosa z matriko U. Normalizacijski faktor v imenovalcu desne strani enačbe (227) sledi enostavno iz zahteve in(0|£|0)m = (0|0) = 1 (230) Drugače povedano, S matrika ne spremeni vakuuma, če je ta Lorentz invarianten, po domače prazen prostor. Sedaj vzemimo vakuumsko pričakovano vrednost izraza (220), to je, po-mnozimo z leve z in(0| in z desne z |0)in. Levo stran enačbe (220) razvijemo po potencah J (z) upostevajoč definiciji (229) in (213) /mcrrnmv ^ 1 u \ u ^n(0|U (+TO —to)T((xI) ... ((xn)|0)in in (01S I[J J|0)in = —\J (x1) . . .J (xn)-/n\TTf^-^- i=0 n! in (01 U ( + TO, —TO)|0)in (231) Operator med vakuumskima stanjema v stevcu desne strani lahko prepi-semo podobno kot (225) za enak primer urejenosti +to > x°n > x°n_ 1 > ... > x°1 > —to (232) kot U( + TO, —TO)T((Xi) . . . ((Xn) U ( + TO, n in n )U ( Xn, Xn— 1) (in (xn— 1 )U(xn— 1, Xn— 2) ...U (x0 ,x°i)(in(xi)U (x0 , —to) T(in(Xl) . . . (in(Xn) exp [l dzLint ((in (z))) (233) KonCno je torej saj je v splosnem ,(0\SI[J ] |0) in = Z [J ] (234) , (0 \T F [(in] ei I 10} in J (x) F [(] jI(Lo (*)+Lint m J V((x)eiS (Lo W+A-t^ (235) kjer so na levi (in(x) operatorji prostih polj, ki jih razvijamo kot ponavadi preko kreaCijskih in anihilaCijskih operatorjev (kanoniCna kvantizaCija), na desni pa ((x) navadne funkCije. Desna stran enaCbe (220) je pa kar enaka F[J], saj velja za poljubno linearno kombinaCijo kreaCijskih in anihilaCijskih operatorjev B (0\N(eB) \0}in = 1 Torej je in konCno F [J ] = Z [J ] (236) (237) S = N exp ^i j dz (in (z) (d2z + m2) ^J-y Odtod pa res ni tezko priti do (192). Z [J ] J=0 (238) 9.2 Vaje 1. Opisi WiCkov teorem ter ga dokazi v primeru stirih skalarnih polj. 2. V znanem modelu (4 pokazi enakost (235) do reda A v primeru 4-toCkovne Greenove funkCije. Primerjaj posamezne Clene v obeh postopkih. 9.3 Sipalni presek Kot vemo ze iz kvantne mehanike, je glavni podatek pri sipanju sipalni presek. Ko imamo amplitudo, se sipalni presek dobi podobno kot v KM. To dajmo na kratko ponoviti. Za poenostavit problem, obravnavajmo primer sipanja dveh skalarnih delcev v dva skalarna delca (posplositev na končno stanje z več delci je direktna, primer fermionov ali umeritvenih bozonov pa bomo komentirali pozneje). Kot smo izpeljali v prejsnjem poglavju, je amplituda za tak prehod (P3P4|S — I|kik2) = i(2n) 5 (ki + ^ — P3 — P4)A(ki,k2,P3,P4) (239) Zečetni delci so v resnici valovni paketi, to so porazdelitve za različne gibalne količine z dokaj ostrim vrhom okoli pi oz. p2 (taka je ponavadi eksperimentalna situacija). Začetno stanje je bolj točno opisano z J dkij dk2 fi(ki) 12^2)^2) (240) kjer smo uporabili krajso oznako za Lorentzovo invariantno integracijsko 2 mero (u2 — k = m2) d3k dk = d,k (241) (2n)32u y ' Kvadrat amplitude je tedaj J dki J dk2 J dki J dk2fi(ki)f*1(qi )f2(k2)f2*(®0 x (2n)454(ki + k2 — P3 — P4)(2n)454(qi + q2 — P3 — P4) x A(ki ,k2 ,P3 ,P4)A*(qi,q2,P3,P4) Drugo 5-funkcijo v (242) prepisemo kot (upostevajoč prvo 5-funkcijo) (2n)454(qi + q2 — P3 — P4) = (2n)454(qi + q2 — ki — k2) = J d4xei(qi+q2-kl-k2)x (242) upostevamo, da imajo valovni paketi izrazit vrh pri Pi oz. P2, tako da lahko zapisemo (2n) O (&1 + k2 — p3 — p4)A(fc1,fc2,p3,p4)A* (Q1, Q2,p3,p4) « (2n)4O4(p1 + p2 — p3 — p4) |A(p1,p2,p3,p4)|2 (243) ter definiramo Fourierovo transformačijo porazdelitev /i(fci) /i(x) = J dki/i(ki) (244) tako da je kvadrat amplitude zdaj (v preostali O-funkčij smo ze prej ki zamenjali s pi) d x /1(x) h(x) (2n)4O4(p1 + p2 — p3 — p4) |A(p1,p2,p3,p4)|2 (245) V končnem stanju ne isčemo stanj z neskončno točnimi gibalnimi količinami "3 4, pač pa vsa stanja z gibalnimi količinami v območju med "3 4 in "34 + d"34, torej moramo zgornji izraz se pomnoziti z Lorentz invariantnim stevilom takih stanj dp3dp4 (246) Skupno je torej verjetnost prehoda na enoto volumna in časa dW VT ""2 ~ 2 2 /1(2;) /2(2;) |A(p1 ,p2,p3,p4)| dLips2(p1 + p2;p3,p4) (247) kjer je Lorentz invarianten fazni prostor (phase spače) za n delče s skupno gibalno količino P v splosnem definiran kot nn dLipSn(P; p1,... ,pn) = (2n)4 O4(P — £ pi) n d3pj i=1 j=1 (2n)32^j (248) Sipalni presek da je definiran preko dW VT = daj p (249) kjer je gostota tarče (damo se v laboratorijski sistem, v katere mirujejo delči 1-tarča) p = h(x) 2m (upostevali smo standardno normalizatijo stanj na 2p0), fluks pa J = 2 f1(x) 2\^p 2\ (250) (251) V splosnem sistemu lahko navidezno neinvarianten produkt m\"p2\ zapi-semo na Lorentzov invarianten naCin kot m\~f 2 \ = (p1P2) — PIP2 1/2 (252) KonCno je diferenCialni sipalni presek enak da(p1p2 ^ p3p4) \a(p1,p2,p3,p4)\2 4 [(p1p2)2 — p2p2 1/2 dLips2(p1 + p2; p3, p4) (253) Ta koliCina je Lorentzov skalar, neodvisen od izbire sistema, v katerem merimo. Posplositev za sipanje dveh delCev v n delCe je sedaj logiCna in neprob-lematiCna: da(p1 p2 ^ p3 ...pn) \A(p1,p2,p3, . . . ,pn)\ 4 (p1p2)2 — p1p2 1/2- dLipSn (p1 + p2; p3, . . . ,pn) (254) 9.4 Razpadna sirina Ponavadi se ne zanimamo za moznost, da se tri ali veC zaCetnih delCev siplje, saj je verjetnost, da bi se trije delti sreCali zanemarljivo majhna. Imamo pa lahko drugaCno moznost, to je da en sam zaCeten deleC razpade v veC konCnih. V tem primeru ne govorimo o sipalnem preseku, paC pa o razpadni sirini. Ta se, kot dobro vemo, spremeni v razliCnih sistemih (delti, ki letijo, zivijo za mirujoCega opazovalCa dlje, kot enaki delti, ki mirujejo). Kar se ponavadi omenja je lastna razpadna sirina, to je za mirujoCi deleC. Zgornjo enaCbo za presek lahko za ta primer le rahlo spremenimo (izpustimo fluks) in dobimo 2 2 dr(P — P1 ...pn)= |A(P,P1,-,pn)|2 dLipSn(P; P1,...,Pn) (255) 2m kjer je v sistemu razpadajočega delca seveda P = (m, ——). 10 Lekcija 10 (45 min): Pričakovana vrednost polja 10.1 Negativen m2 Do sedaj smo vedno privzeli, da je m2 v (87) pozitivno Stevilo. To je bilo tudi smiselno, saj je enačba gibanja, ki odtod izvira KG, katere resitve so periodične le v takem primeru. Ce pa imamo se interakcijo, to ni več res. Negativen m2 v tem primeru nakazuje na nestabilnost (eksponentno rastoče ali padajoče funkčije), ki je poslediča dejstva, da smo resitev iskali in razvijali okoli maksimuma potenčijala namesto okoli minimuma. Ce namreč pisemo 1 2 L = - (d0)2 - V(0) (256) potem je gostota Hamiltoniana H = 2n2 + 2 (V0)2 + V(0) (257) dC n s =dk0 (258) Prva dva člena sta pozitivno definitna, torej ima sistem minimalno energijo za konstantne resitve enačbe T- -59) Kot primer vzamemo ze znan primer 04 V (0) = mL 02 + 04 (260) Enačba gibanja m2 ( + 3 = 0 (261) 6 ima eno samo resitev za m2 > 0 (o = 0 (262) ima pa tri resitve v primeru m2 < 0 (o = 0 , = (263) Prva ustreza maksimumu, drugi dve pa minimuma, kar lahko preverimo z izračunom drugega odvoda potencijala d2V(() 2 - (2 , ^ -fl(r = m2 + - (2 (264) v točkah ekstremov (263): d2V d2V — ((o) = m2 < 0 , — ((±) = —2m2 > 0 (265) Pravi postopek je sedaj razviti okoli pravega minimuma (vakuuma), ki naj bo recimo (+: ((x) = (+ + p(x) (266) To vstavimo v začeten Lagrangian in dobimo L = 1(<^)2 — V ((+ + 0) L = 2(3"? )2 + Y ?2 — 1 / (271) ki je invarianten na O(4) rotaCije, 0 = (01,02, 03,04). Dobi minimum potenCijala (uporabi simetrijo O(4), daje samo (04) = 0). Razvij Lagrangian po novih poljih (01,2,3 ostanejo enake, 04 ? (04) + o). Kaksne so mase delCev? Kaksna je preostala simetrija sistema po zlomitvi simetrije O(4)? 2. Izpelji Feynmanova pravila. 3. V najnizjem redu A izraCunaj amplitude GO " 0i0j 0i0j " 0k0l 4. Nakazi, kako bi izračunal sipalni presek za enega izmed zgornjih pro-česov (ni treba integrirati po kotih). 10.3 Nambu-Goldstonov teorem V zgornjem primeru smo spontano zlomili diskretno simetrijo Z2 (269). To je grupa, ki ima samo dva elementa, +1 in —1. Zato smo tudi imeli dva mozna vakuuma, 0+ in 0_ v primeru negativnega m2. Stvar lahko posplosimo na vise diskretne grupe in čelo na zvezne, to je Lie-jeve grupe. Prav te nas bodo zanimale zdaj. En tak primer smo videli v a-modelu. Simetrijo Lagrangiana O(4) je neničelna vakuumska pričakovana vrednost vektorja spontano zlomila na O(3). To si ni tezko predstavljati: neničelni vektor kaze v eno določeno (čeprav poljubno) smer v stiri-dimenzijonalnem prostoru O(4); prostor, ki je ortogonalen nanj je seveda tri-dimenzijonalen prostor O(3), ki je preostala simetrija Lagrangiana po zlomitvi originalne simetrije O(4). Število začetnih generatorjev 6 se je zredučiralo na končnih 3. Razlika 6 — 3 = 3 nam pove Šstevilo zlomljenih generatorjev. Nambu-Goldstonov teorem pove, da je stevilo brezmasnih delčev (tako-imenovanih Nambu-Goldstonovih bozonv) enako stevilo zlomljenih generatorjev. To smo tudi preverili v primeru a modela, velja pa čisto splosno (pod pogojem, da je vakuum Lorentz invarianten). Poglejmo se en primer, ad-jungirana upodobitev v SU(2). Vzemimo iz enostavnosti samo člene, ki so maksimalno četrte potenče polja. Najbolj splosen potenčijal je V = —^2TrS2 + A (TrS2) 2 (272) kjer je adjungirana upodobitev SU(2) (ri so Paulijeve matrike) S = 0iTi Seveda je sled kvadrata 03 0i + i02 01 — i02 — 03 TrS2 = 01 + 02 + 03 = 0' (273) (274) Drugače povedano, fundamentalna upodobitev O(3) je isto kot adjungi-rana upodobitev SU(2). Edina invarianta v primeru SU(2) je seveda sled kvadrata, v primeru SO(3) pa velikost vektorja. Minimizačija potenčijala gre po znanem rečeptu. Zaradi simetrije si lahko mirne duse izberemo smer, v katero kaze vakuumska pričakovana vrednost (0a) = v (0) oz., kar je isto, 0 0 | (275) \v, (s) = ( 0 -J <276) Kakorkoli ze, tole vstavimo v (272) in dobimo V = -A2 + ^v4 (277) Enačba gibanja je zadosčena, če minimiziramo potenčijal ^ = 0 (278) dv Za pozitivne p2 je minimum v v <279) Sedaj pa razvijemo polje okoli pričakovane vrednosti ( 01 -—0 = 02 | (280) \v + Ob upostevanju (279) dobimo V = konst. + p a + interakcija (281) kjer predstavlja interakčija trilinearne in stirilinearne člene v poljih a, 01,2. Masa je za realen skalarni deleč 0 definiran kot koefičijent pred 02/2 v poten-čijalu (—02/2 v Lagrangianu), oz. kot drugi odvod potenčijala v minimumu. Torej imamo en sam masiven deleč, a, z maso 2p2, ter dva brezmasna delča (i,2. To sovpada z Nambu-Goldstonovim teoremom. Fundamentalna upodobitev (vektor) je zlomila simetrijo O(3) na simetrijo O(2). Število zlomljenih generatorjev je enako generatorjem na začetku (3) minus generatorjem na koncu (1), torej enako 2. To je pa tudi enako stevilu brezmasnih delcev. 11 Lekcija 11 (1h 30 min) Kvantna elektrodinamika (QED) 11.1 Lagrangian To je teorija polja, ki opisuje elektron in foton, to je elektromagnetno interakcijo nabitega fermiona. Lagrangian, ki to opisuje, smo ze zapisali, L = tj i^ (d, — ieA,) t — mtjtj — 1 F,vF,v (282) kjer je F,v = d,Av — dv A, (283) in ga dobimo preko zahteve o invarianci na lokalne (krajevne in časovno odvisne) transformacije faze U(1): t ^ eia(x)t , A, ^ A, + ed,a(x) (284) 11.2 Feynmanova pravila Feynmanova pravila lahko izpeljemo podobno kot za primere s skalarnimi polji. 11.2.1 Propagatorji Najprej se omejimo na propagatorje. Te dobimo v p prostoru nekako kot inverz kvadratnega dela Lagrangiana. V primeru realnega skalarja je i krat akcija v eksponentu popotnega integrala bila iS[(] = i J d4zL(((z),d((z)) = i J d4z 1 [(d()2 — m2(2 + — d4z0(z) i(d2 + m2)0(z) 1 2 1 f d4p 0(—p) [(—i)(p2 — m2)! 0(p) (285) 2 J (2n)4 kjer smo v drugo vrstiCo prisli z integraCijo per partes, v tretjo pa preko Fourierove transformaCije 0(z) = J (d^0(p)e_ipz (286) Propagator realnega skalarnega polja v p prostoru je definiran kot inverz oglatega oklepaja v (285), torej Gs (p) = ^ (287) p2 - m2 Ce bi imeli opravka s kompleksnim skalarnim poljem, bi ne bilo poloviCke ze na zaCetku, in tudi ne na konCu, rezultat bi bil pa enak kot (287). Cisto podobno sklepamo pri fermionih ter dobimo G f (p) = (288) p) — m kjer smo oznaCili p = l^p^ (289) Do tezave pride pa pri istem postopku za vektorske delCe. V tem primeru dobimo po integratijah per partes ter prehodu v p prostor i J dz (— 4) F,v= — 2 J (l4^A»(— p) [i (p2g,u — p,pv)] a4v(p) (290) Inverz oglatega oklepaja pa ne obstaja, saj ima matrika p2g,v — p,pv lastni vektor pv z lastno vrednostjo niC! Ceprav nas to preseneCa, kaksno tezavo bi si pa le morali priCakovati, saj nismo se izbrali umeritve. Zato takoj popravimo napako in ne da bi zlomili Lorentzove simetrije dodajmo Clen (92): Lgf = — ^ (dA)2 (291) To lahko se boljse razumemo s popotnim integralom. Ce ne dodamo clena, ki zlomi umeritveno invarianco, imamo namrec integral T>A eiSinv[A] (292) kjer je Sinv invarianten del akcije. To bi bilo nekako tako, kot da bi integrirali periodiCno funkcijo kota a, npr. f (cos(a)), od —to do +to namesto od 0 do 2n. Drugace povedano, integrand v (292) ima prevec simetrije. Integrirati moramo samo po "eni periodi", zato izberemo umeritev, to je zgornji integral zamenjamo z npr. Ponovimo zgornji racun 4) F«vF"v - 2£( Za e = 0 je integral seveda neskoncen, saj ostane za velike k v bistvu kdk. To pa ni vec res za splosen necel e. Pogledamo recimo v Peskina: jd r dk^ 1 = (-1)ni r(n - d/2) d/2 (3fiq) J (2n)d (k2 - A)n (4n)d/2 r(n) ( ) To izkoristimo za nas primer, uporabimo relacije r(x + 1) = xT(x) (370) lini r(e/2) = 2/e - 7 + O(e) (371) kjer je 7 ~ 0.577 Euler-Mascheroni-jeva konstanta, ter dobimo koncno r(2)(p2,m2, A, e) = p2 - m2 + ^^ (- - 7 + ln4n + 1 - lnm2) (372) 2(4n)2 Ve ) Izraz postane jasno divergenten v smiselni fizikalni limiti stirih dimenzij. Podobno dobimo za stiritockovno 1-PI G.f. do reda ene zanke r(4)(p,,m2,A,e) = -A + I (s,m2 ,A,e) + I (t,m2,A,e) + I (u,m2,A,e) (373) kjer je I(p2,m2,A,e) = 11(-iA)2 f d\J ;2 i 2--i-2 (374) ' ' ; i 2 'J (2n)4-e k2 - m2 (k + p)2 - m2 v ; in smo uvedli Mandelstamove spremenljivke (upostevamo pl +p2 +pa +p4 = 0) s - (pi + P2)2 = (pa + P4)2 (375) t - (pi + pa)2 = (p2 + p4)2 (376) u - (pi + p4)2 = (p2 + pa)2 (377) za katere velja s + t + u = 4m2 (378) (v splosnem je desna stran enaka m2 + mž, + m2 + m^). Zopet nam priskoci na pomoc Peskin. Najprej uporabimo 1 ri ri f n \ (n - 1)! - 1 dxi... dxn S E xi - 1)7—;;—(-/' ,n (379) Ai ...An J0 J0 \i=i ) (xiAi + ... + xnAn)n da dobimo , 2 2 A . A2 r d k 1 . 1 (p >m >A>c) = TiJ (2^ L dx [k 2 - m2 + (p2 + 2pk)x]2 (380) S spremembo spremenljivke k' = k + xp (381) se znebimo clena linearnega v k-ju, tako da lahko zopet uporabimo enacbo (369). Rezultat je A2 I (p2, m2, A, e) 2(4n)2 --Y + ln4n -J dx ln (m2 - p2x(1 - x)j 0 (382) 13.2 Renormalizacija Dvo- in štiri-točkovni 1-PI G.f. smo regularizirali, vendar ostajata neskončni v limiti e ^ 0. Se preden to limito opravimo, redefiniramo parametre našega modela: m2 in A. To lahko naredimo, saj so konec koncev fizikalno merljive količine amplitude oz. 1-PI G.f., ne pa nujno tudi direktno parametri La-grangiana. Torej zapiSsimo m2 = mR - 5m2 (383) A = Ar^Zx (384) Z indeksom R označimo renormalizirane, to je končne, količine. Seveda stlačimo vse nevarne člene 1/e v 5m2 oz. 5ZX = Zx - 1, lahko pa tudi nekaj končnega. Moznih izbir je seveda neskončno, fizikalne količine pa od te izbire seveda ne smejo biti odvisne. Kot smo rekli, je v definičijah (383) in (384) se veliko moznosti izbire. mR in Ar naj bosta končna. Neskončnosti se znebimimo, če izberemo npr. sledeče renormalizačijske pogoje: r(2)(mR ,m2,A,e) = 0 (385) r(4)(0,m2,A,e) = -Ar/ (386) Formalno sta 5m2 in 5Z\ visjega reda v sklopitveni konstanti AR kot mR oz. 1. To pomeni, da sta 5m2 = - - Y + ln4n +1 - ln (387) 5Z = J^ (2 - Y + >n4n - in ^) (388) Definirajmo renormalizirane funkčije rRn), ki so funkčije renormaliziranih parametrov, kot (kot bomo videli pozneje, se ta definičija rahlo spremeni v bolj splosnih primerih, v nasem primeru 04 na eni zanki, pa je v redu) rR](Pi,m2R,Ar) = r(n)(pi,m2, A, e) (389) Torej so sedaj renormalizirane 1-PI G.f. (medtem smo se končno vrnili v stiridimenzijonalni prostor, to je, pognali smo limito e — 0) rR2)(p2,m|,AR)= p2 - mR (390) oz. rR)(pi,m2R, Ar) = -Ar + Ir(s, mR,AR,mR) (391) + lR(t, mR, Ar, mR) + Ir(u, mR, Ar,mR) kjer smo označili . 2 2 A 2. A2 ri , n mi - p2x(1 - x) . lR(p2,m2,A,m2) = dxln i p 2(-) (392) 2(4n)2 Jo m2 13.3 Nadaljna komplikacija: renormalizacija polja Videli smo, da so popravki k dvo- in stiri-točkovni 1-PI Greenovi fukčiji oblike r(2)(p2, m2, A, e) = p2 - m2 + I(2)(p2, m2, A, e) (393) r(4)(pi ,m2,A,e) = -A + I(4)(pi,m2, A,e) (394) V primeru 04 do ene zanke je bilo dovolj renormalizirati maso in sklop-itveno konstanto. Pri dveh zankah ali pa pri malo bolj kompličiranih teorijah se pa izkaze, da je tudi I(2) funkčija p2 in sičer sorazmerna 1/e. V tem primeru moramo renormalizirati se polje 0 = Z]!20r (395) To moramo narediti tudi v primeru, da je I(2)(p2) končna, a neničelna v limiti e — 0. To vidimo na sledeči način. Definiramo m2POL kot r(2) (mROL, m2, A, t) = 0 (396) V nasih zgornjih primerih, je bil mR = mpOL, vendar to ni nujno res v splosnem. Residuum pola propagatorja v splosnem ni 1, pač pa lahko dr(2) — (m2poL,m2,A,e) = Z-i = 1 (397) Za take primere pa enacba za amplitudo ne velja. Izpeljali smo jo namrec za pravilno normirana = 1) polja, za katere KG operator spravi propagator zunanje noge na 8 funkcijo. Imenujemo tako polje 0R, njegov izvor ali ponor pa Jr. Izvor ali ponor J nekanonicno normiranega polja 0 pa definiramo preko Jr0r = J0 (398) odkoder J = Z-1/2 Jr (399) Shematsko je amplituda tedaj A(n) - Z-n/2 [-i(d2 + m2)]n G(n) - Zn^cax (400) kjer smo upostevali, da je (zopet shematsko) G(n) = [G(2)]n G^p (401) in -i(82 + m2 )G(2) = Z^ (402) Po drugi strani pa je G(n) - (0n) = Z^/2Gr (403) odkoder sledi, da je (kot smo pricakovali) A(n) - G^r (404) Odtod jasno sledi, da moramo renormalizirane 1-PI G.f. definirati kot rRn)(Pi,mR, Ar) = Zn/2(m2,A,e)r(n)(pi,m2,A,e) (405) Renormalizacijski pogoji so rR2)(mR,mR,AR) = 0 (406) dr1 (2) R C™ 2 dp (mR,mR, Ar) = 1 (407) rR°(0,mR, Ar) = = -Ar (408) s katerimi izracunamo Sm2, SZ\ in S Z$ = Z$ - 1. 13.4 Protičleni Zamenjavo golih kolicin m2, A, 0 z renormaliziranimi mR, Ar, 0R lahko naredimo ze od vsega zacetka. Goli Lagrangian L = 1(d0)2 - 1 m202 - A04 (409) zamenjamo z vsoto renormaliziranega Lagrangiana Lr = 1(d0u)2 - 1 mR0R - ^0R (410) in proticlenov (CT=counter-terms) 2sZ$(80r)2 - 2 (SZ$mR - Z$Sm2) 0R - (zAZ$ - 1) 0R Te nove clene obravnavamo kot prave clene Lagrangiana, izpeljemo zanje Feynmanova pravila ter jih upostevamo pri Feynmanovih diagramih. Seveda so formalno visje potence v sklopitveni konstanti AR. Lahko jih razvijemo po potencah sklopitvene konstante (koeficijenti so seveda lahko singularni v 1/e) Sm2 = SmjAu + Sm2 AR + ... (412) SZX = SZiiAu + SZX2RR + ... (413) SZ$ = SZ$iAR + SZ$2AR + ... (414) in torej jih moramo formalno upostevati v pravem redu v potencah po AR. 13.5 Različni renormalizacijski pogoji (sheme) Zgornji renorm. pogoji niso sveti. Lahko jih izberemo drugacne, in veckrat to tudi res naredimo. Na kratko opisimo sedaj takoimenovano MS, ki se dosti rabi predvsem v kromodinamiki. Tukaj nimamo nobenih pogojev v kinematicnih tockah kot prej, pac pa dolocimo proticlene enostavno z zahtevo, da se znebimo vseh delov 2/e - 7 + ln4n. Ime MS pomeni minimal subtraction, prečna pa je zato, ker poleg divergentnega dela, pospravimo v protičlen se zgornja končna. V prejšnjem primeru bi to pomenilo "m2 = - Am (! - Y + l»4n) (415) = 2HR2 (2 " Y + ln4n) <416> SZt = 0 (417) Seveda zgledajo renormalizirane 1-PI G.f. različno kot prej rR2)(p2,mR, Ar,^) = p2 - mR + (1 - ln ^ (418) rR4)(Pi,mR, Ar,/ = -Ar + Ir(s,mR, Ar,/2) (419) + lR(t,m2R,AR,/) + lR(u,mR, Ar,/2) Spomniti se pa moramo, da sta mR in AR zdaj nekaj čisto drugega kot sta bila prej (različni stevilki). 13.6 Vaje 1. K Lagrangianu za 04 dodaj fermion ter člene tjj (i/ - mf) — - yfr/— (420) 2. Izračunaj popravek k verteksu —j—fi na eni zanki ter renormaliziraj y v MS shemi. 3. Izračunaj verteks na eni zanki ter pokazi, da divergira. 4. Od tod sledi, da bi od vsega začetka morali dodati člen M03, renor-malizačija parametra M pa bi krajsala divergenčo pri verteksu 03, ki se pojavi na eni zanki, podobno kot je renormalizačija parametra y odpravila divergenčo verteksa 5. Kaj se zgodi v limiti mf ^ 0? Zakaj se tedaj (ob M = 0 seveda) verteks 03 ne generira na eni zanki? Kaksna simetrija to prepove? 13.7 Enacbe renormalizacijske grupe Zgornji izrazi so navidez nekoliko presenetljivi, saj zgleda, da so fizikalno merljive količine odvisne od poljubnega parametra p, ki se je pristulil v izraze preko dimenzijske regularizačije in zahteve po brezdimenzijski renor-malizirani sklopitveni konstanti. To bi se zgodilo čelo v teorijah brez masnega parametra: renormalizačija sama ustvari dimenzijski faktor, kar imenujemo dimenzijska transmutačija. Tako ali drugače, odvisnost od neznanega p je le navidezna. Pokazali bomo, da so renormalizirani parametri (mR, AR v MS shemi) tudi od p odvisni, tako da se skupni efekt nevtralizira in so fizikalne količine neodvisne od izbire p. To preveriti je seveda vazno, imeli bomo pa se nadaljno korist. Pokazali bomo namreč, da lahko preko tega trika sestejemo neskončno vrsto nevarnih velikih logaritmov, ki se pojavijo v nekaterih kinematskih limitah, ter tako resimo sam perturbačijski razvoj. Začnimo takoj s spoznanjem, da so vsi goli parametri neodvisni od p. 0 = p^ = p(ArP"Zx(AR, e)) dp dp Odtod dobimo enačbo dAR f dln Za(Ar,e)' eAR + p^— ( 1 + Ar- dp dA 0 (421) (422) R Resitev za neznanko nastavimo kot razvoj po pozitivnih potenčah renor-malizirane sklopitvene konstante (vise potenče pridejo v postev sele na nivoju dveh zank) dA p R dp Upostevajoč (416) dobimo AAr + BAR + ... (423) dA p R dp 3 AR -eAR + (4n)2 (424) Zdaj lahko mirno potegnemo limito e — 0 ter dobimo enačbo, ki opisuje spremembo renormalizirane sklopitvene konstante s skalo p. dA p R dp (4n) 3AR (- P (Ar)) (425) Desno stran, razvoj po potencah AR, imenujemo P funkcijo. Enacbo lahko integriramo Ar(") = ^ ^ (426) (4n)2 Mo Z vecanjem skale pridemo do singularnosti, ker je beta funkcija pozitivna. To pomeni nekako, da se sklopitvena konstanta veca s skalo, pri kateri jo merimo. Seveda pa priblizek odpove preden dosezemo singularnost, ki jo imenujemo Landau pol, saj postane AR dovolj velika, da se ne moremo vec zadovoljiti z nivojem ene zanke. Podobno lahko naredimo za maso: dm2 d 0 = ^^ = ^(mR - Sm2(mR, Ar,e)) (427) odkoder V dmR f 2 dAR dmR\ 1 /2 n , \ ^ -JR + + - 7 + In = 0 (428) Podobno kot prej razvijemo dv in ob uporabi (424) dobimo v prvem redu VdmX = CAr + ... (429) dmR Ax 2 . ^ . "nR = (4mR <430» katere resitev je (i - wž)/ 13.8 Ekspliciten primer Predstavljamo si, da imamo pospesevalnik delcev 0, ki jih opisujemo z nam ze dobro znanim Lagrangianom 04. Zanimamo se za elasticno sipanje dveh delcev (to pomeni, da je stevilo in tip delcev na koncu enako kot na zacetku). Vhodna delca imata cetverca gibalne kolicine v teziscnem sistemu (ki naj bo enak laboratorijskemu) p1 = (E, 0, 0,p) (432) p1 = (E, 0,0, -p) (433) koncna delca pa = -(E,p sin 6, 0,p cos 6) (434) p1 = -(E, -psin 6, 0, -pcos 6) (435) kjer je E2 - p2 = m2 (436) in je m2 pol propagatorja. V drevesnem redu je kar masni parameter v La-grangianu, v redu ene zanke pa mR definiran preko (390) v nasem posebnem primeru, oz. preko (396) v splosnem. To je tudi masa, ki jo cuti gravitacija in nastopa v Newtonovem gravitacijskem zakonu. Mislimo si, da nam nekako uspe izmeriti sipalni presek aexp v limiti, ko imata vhodna delca zelo majhno gibalno kolicino (to je ponavadi tezko, saj pravzaprav pomeni, da se vhodna delca sploh ne gibljeta, torej ne pride do sipanja, vendar si lahko mislimo nekaksno limito). To izberemo samo zato, ker so vse enacbe v tej tocki enostavnejse, v realnem primeru merimo v drugi tocki. V tej ugodni limitni (p ^ 0) kinematski tocki faznega prostora so Mandelstamove spremenljivke (437) (438) (439) (440) amplituda je neodvisna od gibalnih kolicin. Ker merimo presek, moramo izracunati se fazni prostor itd. po formuli (253). Rezultat je s t u 4m 0 0 R V drevesnem redu dobimo r(4)(pi, m, A) = -A 2 r(4) A2 a 64nE2 64nE2 (441) Sklopitveno konstanto A določimo preko izmerjenega aexp v limiti (437)-(439): A2 a exp 64nm2 Torej je v splosnem a aexp I ^ m e) 2 (442) (443) Recimo pa, da s to natančnostjo nismo zadovoljni. V tem primeru poskusimo uporabiti rezultate v naslednjem popravku, to je približku ene zanke. Za renormalizacijske pogoje izberimo (406)-(408), tako daje izraz za 4-točkovno 1PI G.f. (391). Ta je v kinematski točki, kjer merimo (437)-(439) enak (izračunati moramo integrale tipa (392)) r(4) = - ar + exp R 1 AR R (4n)2 (444) Pri kvadriranju r(4) ne smemo upostevati najvisje potenče AR, saj je ta ze naslednjega reda (če bi računali do dveh zank, bi imeli se red A3 v (444), kar bi, pomnozeno z drevesnim redom, dalo tudi isto potenčo), tako da je 1 a exp 64nmR 'aR - 2 AR (4n)2 (445) Preko te enačbe izračunamo numerično vrednost AR. Ce je ta dovolj majhna, to je da A R (4n)2 1 (446) perturbativni razvoj Greenovih funkčij konvergira in je račun konsistenten. Sipalni presek v poljubni kinematski točki pa seveda izračunamo preko (253) in (391), kjer pa je zdaj AR numerično nafitana preko (445). Kaj pa, če bi namesto (408) uporabili drugačen pogoj, npr. v limiti (437)-(439) 2 rR4) - -AR (447) Tedaj je A'2 - - Ar (448) 64nmR Kot vidimo, je AR numerično zdaj različen od AR, končni rezultat pa enak do popravkov formalno višjega reda v potencah sklopitvene konstante. Numerično je torej fizikalni rezultat (sipalni presek kot funkcija gibalnih količin) lahko rahlo odvisna od izbire renormalizačijske sheme, vendar je pri dobri konvergenči (446) razlika primerno majhna. Kaj pa, če uporabimo MS shemo? Da se čimbolj izognemo komplikači-jam, uporabimo to shemo le za sklopitveno konstanto, medtem ko naj bo masa se vedno pol propagatorja: rR2) = P2 - mR (449) rR4) = -Ar(^) + ir (s,mR,AR(^),^2) + lR(t, mR, Ar(^),^2) + Ir(u, mR, Ar(^),^2) (450) Sklopitvena konstanta AR(y) je sedaj, z razliko od prejsnjih, drseča, to je odvisna od parametra ^ preko enačbe renormalizačijske grupe (425). To nas ne sme splasit. Po popolnoma enakem postopku kot prej dobimo najprej v limiti (437)-(439) rS, - -ArM + AH(i + 3ln m^) (451) Pri ^ = mR imamo isti izraz kot prej, glej (444) rgp = - AR(mR) + (452) torej je AR(mR) numerično enak AR, ki ga dobimo preko enačbe (445). Ko integriramo (425), upostevamo ta robni pogoj: Ar(/<) = 1 ^|n . (453) (4n)2 mR Pozoren braleč se lahko zdaj upravičeno vprasa, ali lahko sploh ta zadnji izraz ohranimo v tej obliki, ali pa moramo razviti po potenčah AR(mR), kot ponavadi. Vendar je tukaj razlika, saj nastopa se ln (p/mR), ki bi v prinčipu lahko bil velik. Ce je dovolj majhen ln ^ « 1 (454) (4n)2 mR lahko mirne duse razvijemo do kvadratnega reda, vstavimo v (450), ter dobimo r(4)(pi,mR, Ar) = -Ar + lR(s,mR,AR,mR) (455) + Ir(1, mR, Ar , mR) + Ir(u, mR, Ar ,mR) točno isto kot (391). V tem primeru ni popolnoma nobene razlike med originalno shemo in MS shemo. Do razlike pa pride, ko (454) ni izpolnjena, čeprav (446) je. To je jasno mozno le pri zelo (eksponentno) velikih razmerjih p/mR. V tem primeru nam je resitev RG pomagala sesteti vse potenče (AR(mR) 1 n . ln mR) (456) ki nastopajo v redu n-te zanke. Seveda nismo n-te zanke za n > 1 sploh računali, resitev enačb RG pa nam omogoča, da vsaj te, v tej limiti dominantne člene resumiramo. Pozoren braleč bo nedvomno spet zbegan. Zakaj bi pa sploh uporabljali tako velika (ali majhna) razmerja p/mR, saj jo lahko (vsaj v prinčipu) izberemo poljubno? Razlog za to najdemo, če se sprasujemo za obnasanje preseka za zelo velike energije, to je ko npr. s/mR ^ to. V primeru (391) bi popravek k drevesnemu redu — AR bil oblike A s -R-2 ln— (457) (4n)2 mR in ta stevilka sploh ni nujno manjsa od ena. Visji redi bi prispevali se vise potenče 74% ln " (458) ,(4n)- mR in razvoj ne bi konvergiral. Ta problem resimo z drsečo sklopitveno konstanto (453) in uporabo (451) pri / k E. Tedaj so namreč razmerja (tŠ^?)' (459» ki nastopajo v (451) in morebiti v visjih redih dovolj majhna, da se nam ni treba bati za konvergenčo. Seveda pa smo vse tovrstne prispevke teh visjih redov spravili v drsečo sklopitveno konstanto Ar (E) = t i±RL e (460) (4n)2 mR Celoten postopek konvergira pod pogojem , da Mf « 1 (461) kar pa ni res, ko se priblizamo Landau-ovem polu (tega se bomo izogibali kot hudiča). Vidimo, da smo z resumačijo resili perturbačijski razvoj v primeru zelo velikih (ali majhnih) energij. In v tem je moč sheme z drsečimi sklopitvenimi konstantami. 14 Lekcija 14 (2 h 15 min) Kvantna elektrodinamika do ene zanke V tem poglavju bom uporabljal metodo protičlenov, vse količine bodo renormalizirane, čeprav ne bom pisal ekspličitno oznake R. Tedaj je drevesni red renormaliziranega Lagrangiana za QED (izberimo si Feynmanovo umeritev £ = 1) L = —ji/— - m— + e//2—A— - \(8,AV - dvA,)2 - 2(dA)2 (462) medtem ko so protičleni enake oblike A 7 Lct = "Z—/— - "m—j— + 5Zle/€/2tjA— - "j3(d,Av - 8VA,)2 (463) Te nove clene obravnavamo kot majhno motnjo. So namrec visjega reda v potencah sklopitvene konstante (SZi in Sm so reda e), zato jih obravnavamo kot interakcijo. Zanje zapisemo sledeca Feynmanova pravila • proticlen za fermionski propagator i (SZ2/ - Sm) (464) • proticlen za fotonski propagator -i SZ3 {p2Qmv - PnPv) (465) • proticlen za verteks iSZ^2!^ (466) Da je prvi pravilen, lahko preverimo, ce upostevamo celoten kvadratni del za fermion (1 + SZ2)i])i/ip - (m + Sm)i]np Jasno je propagator v tem primeru (1 + SZ2)p - (m + Sm) Ce zdaj razvijemo dobimo (upostevamo da (M:M2)-1 = M-1 M-1) - m) + (SZ2/ - Sm) (/ - m)[1 + (p - m)-1(SZ2p - Sm)] i + —i— [i (SZ2/ - Sm)] — + — m / — m / — m kar sovpada z zgornjim pravilom. Podobno se ni tezko prepricati, da da celoten kvadratni del fotona ^^(dA - dvA,)2 - i(5A)2 sledeči propagator 1 g,v + 0Z3- (1 + 3 P2 ki lahko razvijemo v ig,v + ig,a P2 P2 -1SZ3 (p2gal3 - pV igpv + p2 zopet kot pravi F. pravilo. O korekciji verteksa pa seveda ne bi zgubljali besed. 14.1 Propagator elektrona Prispevek ene zanke k temu se ponavadi označi p - m / - m kar da za 1-PI G.f. elektrona 1 (—i£(p)) —1 (467) Sedaj pa k računu: ri2) (p) = P - m + 8Z2/ - Sm - E(p) (468) -iE(p) = (le^-f) f ^ (Z-PL ^n-f) («) Kot ponavadi uporabimo identiteto 1 / + m k/ - m k2 - m2 Definicija 7 matrik (470) (7^ } = 2g,v (471) velja v poljubnih dimenzijah (tudi nečelih), zato pa je (gaa = d) Ya Ya d = -(d - 2)7^ Dobimo najprej E(p) = -ie2^ J ddk -(d - 2)/ + dm (2n)d (k2 - m2)(k - p)2 z znanim trikom pa se (472) (473) (474) ^(p) = — ie2^€ J dx J ddk -(d - 2)/ + dm o J (2n)d [k2 - m2(1 - x) + (p2 - 2kp)x]2 Uvedemo novo spremenljivko k' = k — xp (in črtičo izpustimo) (475) S(p) ie2^ dx ddk — (d — 2)xp + dm eV (4n)d r(2 - d/2) f1 o (2n)d [k2 - m2(1 - x) + p2x(1 - x)]2 — (d — 2)xp + dm dx (4n)2 0 [m2(1 — x) — p2x(1 — x)]2 d/2 4m) 0 - j + ln4^ + O(1) Primerjamo z (468) in dobimo v MS shemi (476) 6Z2 8m - y + ln (4n)2 -4m - Y + ln4n (477) (478) 14.2 Propagator fotona Vse prispevke na nivoju ene zanke (vključno s protičleni) zapisemo kot p2 + p2 ina3 (p) - i8Z3 (p2ga3 - pap3 p2 +... (479) 1 o 2 e 2 e kjer je (spomni se na faktor (—1) zaradi fermionske zanke!) ddk ^ (P) = (—1'»/(d^ Tr (2n)d \/ + p — m ie»e/2j a. m -ieif/2Y3 eV ddk Tr (/ + p + m) (/ + m) y3 (2n)d (k + p)2 — m2 [k 2 — m2 ] (480) PosploSiti moramo velikost y matrik v d dimenzijah. Povsem konsistentno lahko definiramo Tr (1) = f (d) Tr^^ = f (d)ga3 Tr ) = f (d) (ga3g^ — ga^g3v + gavg3M) TI f pod edinim pogojem, da je f (4) = 4. Dobimo (481) (482) (483) ina3 (p) _ 2 r ddk 2kak3 + kap3 + pak3 + (m2 — k(k + p)) ga3 = —( )y [(k + p)2 — m2] [k2 — m2] = e2 6 f (d) f1 dx f ddk 2kak3 + kap3 + pak3 + (m2 — k(k + p)) ga3 = —e^f( Vo J (2n)d [k2 — m2 + (p2 + 2kp)x]2 Zopet uvedemo novo spremenljivko k' = k + xp (in Črtico izpustimo) ina3 (p) = — e2p6f (d) J1 dx J ddk x (2n)d [k2 — m2 + p2x(1 — x)] 2 , ^2 2 (484) — 2x(1 — x)pap3 + ((2/d — 1)k2 + m2 — p2x(1 — x)) g a3 kjer sem uposteval relacijo kak3 -»■ — g"3 (485) ki velja seveda pod integralom. 1 2 Preveriti želimo sedaj, ali dobi foton maso zaradi popravkov ene zanke. To bi bila katastrofa, saj bi pomenilo, da smo zlomili umeritveno invarianco. Kot bomo videli, na sreCo do tega ne pride, kar nam potrjuje prepriCanje, da dimenzijska regularizacija eksplicitno ohranja umeritveno invarianco. Morebitni masni clen dobimo, ko postavimo p ^ 0 v zgornjem izrazu. Sledi na'(0) = -e2„7(d)g- f1 /1* mW-^ Jo J (2n)d (k2 - m2) = -eV/(d)ga' 2 i r(2 - d/2) ( 1 \2-d/2 m (4n)d/2 r(2) (486) + (2/d- 1)---dr(2 - d/2 - 1) (-1^2-d/2-1' + (2/d (4n)d/2 2 r(2) U2 Ob uposetevanju (370) je rezultat tocno ina' (0) = 0 (487) kot smo pricakovali (in upali). Sedaj pa se divergentne dele. Pri dokazu o brezmasnosti fotona smo dokazali, da velja f ddk m2 + (2/d - 1)k2 = 0 (488) J (2n)d (k2 - m2)2 Odtod sledi r ddk m2 + (2/d - 1)k2 r ddk p2x(1 - x) J (2n)d [k2 - m2 + p2x(1 - x)]2 J (2n)d [k2 - m2 + p2x(1 - x)]2 ( ) odkoder (p) = -(p2g«p - pV) r( e~) f1 dx-x(1 - x) /2 (P) (4n)2-e/2 ^Pg PPJ \2j Jo [m2 - p2x(1 - x)]e/2 (490) Limita e —► 0 nam da .4 ^(Tn)2 Ob zahtevi, da SZ3 v (479) ravno krajša divergentne dele, dobimo in-/3(p) = -i(p?ga - papP) (2 - y + ln4n) + O(1) (491) 4 e2 /2 \ SZ3 = -3(4^ U - Y + H (492) 14.3 Vaje 1. Izračunaj amplitudo za proces e+e- ^ /+za nepolarizirane fermio-ne v QED na drevesnem redu. Izračunaj diferencialni sipalni presek da/dQ ter totalni sipalni presek a. (Peskin, str. 131-138) 2. Pri procesu e+e- ^ izračunaj vse mozne diferencialne preseke za polarizirane fermione. Pri računu vzemi priblizek me = m, = 0. (Peskin, str. 141-146) 3. Izračunaj diferencialni nepolarizirani sipalni presek za e-^ e-/-. Pri tem uporabljaj rezultate za e+e- ^ Podobno s pomočjo znanih rezultatov za Comptonsko sipanje ej ^ ej izračunaj presek za anihilacijo e+e- ^ 77. Komentiraj "crossing" simetrijo. (Peskin, str. 153-155 in 168-169) 4. Obravnavaj sistem z interakcijo Aa0i02. Za primer, ko pripadajoče mase zadosčajo ma > m1 + m2 izračunaj razpadno sirino rCT v drevesnem redu. Pokazi, da v najnizjem neničelnem redu A velja optični teorem mara = Im (^(m2)) kjer je r^(p2) 2-točkovna 1-PI G.f. za a. 5. V MS shemi pokazi v QED na nivoju ene zanke, da velja Z1 = Z2, kar sledi iz potrebe po umeritveni invarianči Da = da - ieAa = da - leRARo 6. Izračunaj anomalni magnetni moment elektrona v QED do 1 zanke. Rezultat primerjaj z najnovejsimi meritvami in teoretskimi napovedmi v PDG (dobis na [5]). References [1] M. E. Peskin and D. V. Sčhroeder, "An Introdučtion To Quantum Field Theory," Reading, USA: Addison-Wesley (1995) 842 p [2] W. Siegel, "Fields," arXiv:hep-th/9912205. [3] S. Weinberg, "The Quantum theory of fields. Vol. 1: Foundations," Cambridge, UK: Univ. Pr. (1995) 609 p [4] S. Weinberg, "The quantum theory of fields. Vol. 2: Modern appliča-tions," Cambridge, UK: Univ. Pr. (1996) 489 p [5] http://www.slač.stanford.edu/spires/ [6] http://arxiv.org/