Glasilo Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije 
Ljubljana, JANUAR 2015, letnik 62, številka 1, strani 1–40 

Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski raˇ03100–1000018787 cina 4, 
cun: Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovšˇ
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohori ˇ
c (urednik za .ziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši ´
c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehni ˇ
cni urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Raˇ
cunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. ˇ
Clani društva prejemajo Obzornik brezplaˇclanarina znaša 24 EUR, za druge 
cno. Celoletna ˇdružinske ˇcnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
clane in študente pa 12 EUR. Naro ˇPosamezna številka za ˇ
clane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je v ˇclanjeno v Evropsko matemati ˇcno društvo (EMS), v Mednarodno matematiˇcno unijo (IMU), v Evropsko .zikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za ˇcisto in 
uporabno .ziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o reciproˇcnosti z Ameriškim matemati ˇc­nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. So.nancira jo Javna agencija za raziskovalno 
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega prora ˇ
cuna iz naslova razpisa za so.­nanciranje doma ˇcnih publikacij. 
cih znanstvenih periodiˇ©c2015 DMFA Slovenije – 1957 Poštnina pla ˇcana pri pošti 1102 Ljubljana 
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV 
Revija Obzornik za matematiko in .ziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne ˇ
clanke iz mate­matike, .zike in astronomije, v ˇcasih tudi kak prevod. Poleg ˇclankov objavlja prikaze novih knjig s teh podroˇcila o dejavnosti Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije ter vesti 
cij, poroˇ
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. ˇ
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle­ˇcek v angleškem jeziku, klasi.kacijo (MSC oziroma PACS) 
cek v slovenskem jeziku, naslov in izvleˇin citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevil ˇcene, morajo imeti dovolj izˇcrpen opis, da jih lahko veˇceno od besedila. Avtorji ˇ
cinoma razumemo tudi lo ˇclankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v raˇ
cunalni­ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost ˇ
crk 
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma .ziko na zgoraj na­pisani naslov uredništva. Vsak ˇ
clanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natanˇcno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matemati ˇclankih splošnost) rezultatov. ˇ
cnih ˇCe je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne raˇ
cunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih razliˇcic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo ˇ
clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. 
ARHITOVA KRIVULJA 
MARKO RAZPET 
Pedagoˇska fakulteta 
Univerza v Ljubljani 

Math. Subj. Class. (2010): 01A20, 14H50, 53A04, 53A05 
V prispevku je predstavljena Arhitova krivulja. Navadno jo omenjamo v zvezi z antiˇcnim problemom podvojitve kocke. Nastane kot presek rogatega torusa in kroˇznega valja, ki se torusa dotika v dveh toˇckah. 
THE ARCHYTAS CURVE 
In this contribution the Archytas curve is presented. It is usually mentioned in con­nection with the ancient problem of doubling the cube. It is created as the intersection of a horn torus and a circular cylinder which touches the torus at two points. 
Uvod 
Arhitova krivulja A je za matematiko in njeno zgodovino dovolj zanimiva, ker ni povezana le s problemom podvo jitve kocke, ampak ˇze sama po sebi ponuja neka j novih izzivov. Spoznali bomo, da je A presek rogatega torusa z valjem, ki se torusa dotika natanko v dveh toˇckah. Zapisali bomo ustrezne enaˇcbe v primernem pravokotnem karteziˇcnem koordinatnem sistemu Oxyz, pa tudi pravokotne pro jekcije krivulje A na koordinatne ravnine, pri ˇcemer bomo naˇsli celo zlato razmerje . . Za krivuljo A bomo poiskali tudi regularno parametrizacijo. 
Starogrˇski matematik, mehanik, drˇzavnik in strateg Arhitas iz Tarenta (........ . .........., 428–347 pr. n. ˇst.) je bil pitagorejec. Po [1] na j bi sklanjali Arhitas, Arhita, Arhitu, . . . , ustrezni svo jilni zaimek pa zapisali kot Arhitov. Znan je tudi po tem, da je otel iz rok sirakuˇskega tirana Dionizija Mla jˇsega (396–337 pr. n. ˇst.) samega .lozofa Platona (427–347 pr. n. ˇst.). Platon se je namreˇc, razoˇcaran nad atensko demokracijo, ki je bila na smrt obsodila njegovega uˇcitelja Sokrata (470–399 pr. n. ˇst.), za dlje ˇcasa umaknil iz Aten, precej potoval in se sreˇcal z matematikoma Teodorjem iz Kirene ter Arhitom iz Tarenta. V Sirakuzah je poskusil udejanjiti svo je zamisli o idealni drˇzavi. Toda s tiranom se je tako hudo sporekel, da ga je moral reˇsevati Arhitas. Leta 387 pr. n. ˇst. je Platon v Akademovem ga ju blizu Aten ustanovil znamenito Akademijo, v kateri so ˇstudirali tudi znani antiˇcni matematiki, geometri in astronomi: Tea jtet (417–369 pr. n. ˇst.), Evdoks iz Knida (410–347 pr. n. ˇst.), tudi Arhitov uˇcenec, brata Dejnostrat (390–320 pr. n. ˇst.) in Mena jhmos (380–320 pr. n. ˇst.) ter Avtolik iz Pitane (360–290 pr. n. ˇst.). V Platonovi Akademiji je seveda beseda nanesla tudi na velike geometrijske probleme (veˇc o tem na primer v [3–5]). Platon je vztra jal, da je treba geometrijske probleme reˇsevati samo s ˇsestilom in neoznaˇcenim ravnilom, in to v ravnini. Problem podvo jitve kocke, to se pravi konstrukcije roba b kocke, ki ima dvakrat veˇcjo prostornino kot kocka z robom a, je na problem vmesnega sorazmerja prevedel Hipokrat s Hiosa (470–410 pr. n. ˇst.). Njegova ideja je bila, dani daljici dolˇzine a na jti daljici dolˇzin b in c, za kateri velja relacija: 
ab c 
= = . (1) 
b c 2a 
Iz nje namreˇc dobimo na jprej
 r
3
a abc 1 
= · · = ,
b bc 2a 2 
. . 
nato pa b = a 3 2 in c = a 3 4. Problem je enakovreden iskanju kratkega geometrijskega zaporedja a, b, c, 2a. 
2
Ker veljata relaciji b2 = ac in c= 2ab, lahko tudi reˇcemo, da je par 2
(x, y) = (b, c) neniˇcelna reˇsitev sistema enaˇcb x= ay, y2 = 2ax, to se pravi 
netrivialno preseˇciˇsˇce dveh parabol. Ker je tudi bc = 2a2, je par (x, y) = 2 2
(b, c) tudi reˇsitev sistemov enaˇcb x= ay, xy = 2a2 in y2 = 2ax, xy = 2a, kar pomeni preseˇciˇsˇce hiperbole xy = 2a2 z eno od omenjenih parabol. Tako je Mena jhmos s stoˇznicami reˇseval problem podvo jitve kocke. Starogrˇski matematiki so naˇsli ˇse druge naˇcine reˇsevanja problema podvo jitve kocke 
ˇ
(veˇc na primer v [3, 5]). Platon seveda ni bil z nobeno zadovoljen. Zal ni vedel, da je problem nereˇsljiv na naˇcin, ki si ga je zamislil. To so dokazali ˇsele v 19. stoletju. 
Nastanek Arhitove krivulje 
Arhitas iz Tarenta je bil prvi, ki je v geometrijo vpeljal gibanje. Problema podvo jitve kocke se je lotil na povsem svo jstven naˇcin, s prehodom iz rav­nine v prostor. Da bi mu laˇze sledili, bomo vse obravnavali v pravokotnem karteziˇcnem koordinatnem sistemu Oxyz (slika 1), ˇceprav je Arhitas na­logo reˇseval brez koordinatnega sistema, ki ga ni poznal. V ravnino Oxy poloˇzimo kroˇznico Kxy s polmerom a, njeno srediˇsˇce pa v toˇcko S(a, 0). Ko­ordinatnemu izhodiˇsˇcu diametralno nasprotna toˇcka na Kxy je A(2a, 0). Na Kxy izberemo toˇcko N(x, y), konstruiramo poltrak p od koordinatnega izho­diˇsˇca O skozi N in kroˇznico K.. s polmerom a skozi O, s srediˇsˇcem P na p, in sicer v ravnini, ki vsebuje os Oz. Koordinatnemu izhodiˇsˇcu diametralno nasprotno toˇcko na K.. oznaˇcimo z M. Pravokotnica skozi N na ravnino Oxy seka to kroˇznico v toˇckah T+ in T-. 

Slika 1. Nastanek Arhitove krivulje. 
Ko toˇcko N vodimo po kroˇznici Kxy, toˇcki T±(x, y, ±z) opiˇseta krivuljo, ki ji pravimo Arhitova krivulja in jo bomo oznaˇcevali z A, njene pravokotne pro jekcije na koordinatne ravnine Oxy, Oyz, Oxz pa ustrezno Axy, Ayz , 
Axz. Poltrak p na j z osjo Ox oklepa kot ., polarni kot toˇcke N. Polarni 
e 
2
radij toˇcke N je . = |ON | = x2 + y. Pri tem je -./2 . . . ./2. Ker je trikotnik OAN pravokoten, lahko tako j zapiˇsemo enaˇcbo kroˇznice Kxy v polarnih koordinatah z . = 2a cos ., v pravokotnih koordinatah z 
2
x+ y2 = 2ax, v parametriˇcni obliki pa kot 
x = 2a cos 2 ., y = 2a cos . sin .. (2) 
Ker sta tudi trikotnika OM T± pravokotna, dobimo po viˇsinskem izreku 
2 2
zanju relacijo z= .(2a - .) = 4acos .(1 - cos .). S tem smo naˇsli 
± 
parametriˇcne enaˇcbe Arhitove krivulje A: 
e 
x = 2a cos 2 ., y = 2a cos . sin ., z = ±2a cos .(1 - cos .). (3) 
Ker je za raˇcunanje ugodno, da v parametrizaciji krivulje nastopata funkciji sin in cos racionalno, ne pa pod korenskim znakom, bomo v nadaljevanju poiskali boljˇso parametrizacijo. 
Oˇcitno krivulja A leˇzi hkrati na valju V, ki ima v koordinatnem sistemu 
2
Oxyz enaˇcbo x+ y2 = 2ax, in na torusu T , ki nastane z rotacijo kroˇznice K.. okoli osi Oz, ki je tangenta na to kroˇznico. Torus nima odprtine, zaradi znaˇcilne oblike v okolici njegovega srediˇsˇca mu pravimo rogati torus. 
22 2
Iz parametriˇcnih enaˇcb (3) dobimo na jprej x+ y= 4acos2 ., z2 = 2 2222
4acos .(1-cos .), nato ˇse x+y+z2 = 4acos2 .+ 4acos .(1-cos .) = 
2
4acos ., nazadnje pa enaˇcbo torusa T : 
22 2
(x + y + z 2)2 = 4a 2(x + y 2). (4) 
22 2
Arhitova krivulja je potemtakem presek torusa (x+y+z2)2 = 4a2(x+y2) 2
in valja x+ y2 = 2ax. Arhitas je problem podvo jitve kocke v bistvu reˇsil tako, da je svo jo krivuljo A presekal s kroˇznim stoˇzcem S, ki ima vrh v srediˇsˇcu torusa T in os skozi zunanje dotikaliˇsˇce valja V in torusa T , to je toˇcko A. Kot ob vrhu stoˇzca S je treba ˇse pravilno izbrati. Enaˇcbo stoˇzca S
e 
zapiˇsimo kot .x = y2 + z2, kjer je . pozitivna konstanta. Presek Arhitove 
e 
krivulje s stoˇzcem .x = y2 + z2 pa nam ob primerni izbiri faktorja . da daljice, ki so uporabne za podvo jitev kocke. V jeziku algebre to pomeni, da reˇsujemo sistem enaˇcb: 
e 
22 22 2
(x + y + z 2)2 = 4a 2(x + y 2), x + y 2 = 2ax, .x = y2 + z. 
3
Brez teˇzav izloˇcimo y in z in dobimo enaˇcbo x4(1 + .2)2 = 8ax, ki ima 
e 
trivialno reˇsitev x0 = 0 in netrivialno reˇsitev x1 = 2a/
3
(1 + .2)2 
. 

Arhitovo krivuljo A preseka stoˇzec S v ˇstirih toˇckah, ki ima jo absciso x1, njihove ordinate pa dobimo iz enaˇcbe valja V. Pro jekcije (vse pro jekcije v prispevku so pravokotne) teh toˇck na ravnino Oxy ima jo tudi abscise x1,
.. . 
33
1 + .2 
.

za polarni radij pa .1 = 2ax1 = 2a/
. . 
Za . = 1 je x1 = b = a 
2, 

3
2. V prvem primeru je kot ob vrhu stoˇzca 90.za . = 3 pa je .1 = b = a 
, 

v drugem pa 120. . V obeh pa s tem reˇsimo problem podvo jitve kocke. 
Iz zgodovinskih virov, ˇzal tudi ne iz [3], ne razberemo, ka j je Arhita vodilo, da se je lotil na opisani naˇcin reˇsevati problem podvo jitve kocke. Poudarja jo pa njegovo genialnost. Da pa je njegov naˇcin tesno povezan z relacijo (1), lahko preberemo ravno v [3] ali pa v [4]. 
Projekcije na koordinatne ravnine in regularna parametrizacija 
Pro jekcijo Axy = Kxy lahko vˇcrtamo v kvadrat s stranico dolˇzine 2a z ogliˇsˇci (0, ±a), (2a, ±a) in dotikaliˇsˇci (0, 0), (2a, 0), (a, ±a) v ravnini Oxy. Izkaˇze se, da tudi drugi dve pro jekciji lahko vˇcrtamo v prav tako velik kvadrat. 
Z izloˇcitvijo koordinate y iz enaˇcb torusa in valja dobimo pro jekcijo Axz krivulje A na ravnino Oxz v implicitni obliki: 
3
(2ax + z 2)2 = 8a x. 
Zelo lep izraz dobimo za ploˇsˇcino S lika, ki ga omejuje (slika 2): 

  2a  2a
. . S = 2z(x) dx =2 2a2ax - x dx. 
0 0
S substitucijo x = 2au2 se nam izraz poenostavi:  1  1
e 
22
S = 16a u u - u2 du = 16a u 3/2(1 - u)1/2 du. 0 0 
Z uporabo funkcij B in . tako j dobimo: 

2 .(5/2).(3/2)
S = 16a 2B(5/2, 3/2) = 16a = .a2 . 
.(4) 
To je ravno ploˇsˇcina kroga, ki ga omejuje Kxy. ˇ2
Ce bi v prejˇsnjem integralu postavili u = cost, bi se nam integral tudi poenostavil tako, da v njem ne bi bilo korenov. To pa pomeni, da bi 
2 4
bilo smiselno krivuljo Axz parametrizirati z x = 2au= 2a cost. Potem zlahka dobimo ˇse z = a sin 2t. En obhod po krivulji dobimo, ˇce vzamemo -./2 . t . ./2. Preprosta parametrizacija krivulje Axz v ravnini Oxz je torej 
4 
x = 2a cos t, z = a sin 2t, -./2 . t . ./2. 
Brez zapletov lahko izraˇcunamo preseˇciˇsˇca te krivulje s kroˇznico x2+z2 = 2ax. V ta namen reˇsimo naslednji sistem enaˇcb: 
3 2
(2ax + z 2)2 = 8a x, x + z 2 = 2ax. 
3
Izloˇcimo z in dobimo enaˇcbo (4ax - x2)2 = 8ax, ki jo poenostavimo v 
2 3 
x 4 - 8ax 3 + 16a x 2 - 8a x = x(x - 2a)(x 2 - 6ax + 4a 2) = 0. 
Enaˇcba ima 4 reˇsitve: 
. . 
x1 = 0, x2 = 2a, x3 = (3 - 5)a, x4 = (3 + 5)a. 
Reˇsitev x4 > 2a ne pride v poˇstev. Skupne toˇcke obeh krivulj v ravnini Oxz so torej: 
   
. . O(0, 0), A(2a, 0), B±a(3 - 5), ±2a5 - 2. 
. 
Pro jekcija toˇck B± na os Ox je toˇcka C((3 - 5)a, 0), ki deli daljico OA v zlatem razmerju. Velja namreˇc: 
. 
|OA| |C A| 1+ 5 
== = .. 
|C A| |OC | 2 

Slika 2. Projekcija Arhitove krivulje na ravnino Oxz. 
O tem se hitro prepriˇcamo, ˇce upoˇstevamo izraze: 
. . |OA| = 2a, |C A| = a( 5 - 1), |OC | = a(3 - 5). 
Izraz zlato razmerje je v resnici precej nov, ˇceprav so sam po jem ˇze upo­rabljali v antiki, na primer Evklid v svo jih Elementih, kjer na veˇc mestih namesto besed zlato razmerje na jdemo ..... ... µ.... ....., kar pomeni, ˇce pogledamo v [2], skrajno in srednje razmerje. Luca Pacioli (1445–1517) je to razmerje imenoval divina proportione, boˇzansko razmerje. Med prvimi, ki so uporabljali izraz zlato razmerje, v nemˇsˇcini goldene Proportion, je bil nemˇski matematik Martin Ohm (1792–1872), brat .zika Georga Ohma (1789–1854), po katerem se imenujeta Ohmov zakon in enota ohm (.) za elektriˇcno upornost. Zlato razmerje . ima preprost razvo j v veriˇzni ulomek: . = [1; 1, 1, 1, . . .]. Dobimo ga iz relacije . = 1 + 1/.. 
Krivuljo Axz lahko vˇcrtamo v kvadrat s stranico dolˇzine 2a z ogliˇsˇci (0, ±a), (2a, ±a), dotikaliˇsˇca pa so v toˇckah O(0, 0), A(2a, 0), D±(a/2, ±a) v ravnini Oxz. 
ˇ
Zal pa se z zadnjo parametrizacijo krivulje Axz ne da parametrizirati same krivulje A v obliki, ki ne bi vsebovala korenov funkcij. Izraza za y se ne da poenostaviti v racionalno obliko, ki bi vsebovala le funkciji cos in sin. Zato se parametrizacije lotimo nekoliko drugaˇce. 
Kroˇznico x2 + y2 = 2ax v ravnini Oxy smo z (2) ˇze parametrizirali s polarnimi koordinatami . in .. Razmere predstavimo v pomoˇznem pravo­kotnem karteziˇcnem koordinatnem sistemu O.. na desni polovici enotske kroˇznice (slika 3). 

Slika 3. Enotska kroˇznica v koordinatnem sistemu O... 
Toˇcko (cos ., sin .) poveˇzemo s toˇcko (-1, 0) z daljico, ki seka os O. v toˇcki (0, v). Oˇcitno daljica oklepa z osjo O. kot ./2. Ordinata v = tan(./2) pa je s kotom . cno doloˇ
= ±. natanˇcena. Znani enakosti 
1 - tan2(./2) 2 tan(./2) 
cos . = , sin . = ,
1 + tan2(./2) 1 + tan2(./2) 
ki ju sreˇcamo pri integraciji funkcij, ki se racionalno izraˇza jo s cos . in sin ., nam dasta izraza 
2
1 - v2v 
cos . = , sin . = .
2 2
1 + v1 + v
2 2
Vemo, da pri kroˇznici x+ y= 2ax velja omejitev -./2 . . . ./2, kar prinese omejitev -1 . v . 1. Zato lahko enoliˇcno zapiˇsemo v = sin t za -./2 . t . ./2 in dobimo 
cos2 t 2 sin t 2 sin2 t 
cos . = , sin . = , 1 - cos . = . 
1 + sin2 t 1 + sin2 t 1 + sin2 t 
2
S tem imamo naslednjo parametrizacijo kroˇznice x+ y2 = 2ax: 
4
2a cost 2a cos t sin 2t 
x = , y = , -./2 . t . ./2. 
(1 + sin2 t)2 (1 + sin2 t)2 
Hitro se vidi, da lahko iz tretje relacije v (3) izrazimo 
2 2 
2 8acost sin2 t 2a2 sin2 2t 
z 2 = 4a cos .(1 - cos .) = = . 
(1 + sin2 t)2 (1 + sin2 t)2 
S tem smo naˇsli: 
. 
a 2 sin 2t 
z = ± . 
1 + sin2 t 
Ker velja x(. -t) = x(t), y(. -t) = y(t) in z(. -t) = -z(t), se odloˇcitvi pri izboru predznaka za z(t) izognemo tako, da namesto intervala parametriza­cije -./2 . t . ./2 vzamemo interval -. . t . .. Potem y in z ˇstirikrat zavzameta vse vrednosti od -a do a ter x ˇstirikrat vse vrednosti od 0 do 2a, kar je v skladu z de.nicijo Arhitove krivulje kot preseka torusa in valja. Krivulja A v vektorski parametriˇcni obliki je 
  
. 
2 cos4 t 2 cos t sin 2t 2 sin 2t
fr (t) = a, , , -. . t . .. (5) 
(1 + sin2 t)2 (1 + sin2 t)2 1 + sin2 t
Pri spreminjanju parametra t po intervalu [-., .] toˇcka, ki je izraˇzena z zgornjim kra jevnim vektorjem, doseˇze vsako toˇcko krivulje A natanˇcno en­krat, razen samopreseˇciˇsˇca A(2a, 0, 0) za t = 0 in t = ±. ter samodotikaliˇsˇca O(0, 0, 0) za t = ±./2. Izkaˇze se, da je |fr˙(t)| > 0 za vsak t, kar pomeni, da je po [9] A regularna sklenjena krivulja (slika 4). 
Krivulja Ayz , pro jekcija krivulje A na ravnino Oyz, ima enaˇcbo: 
2 22
(z 4 + 4a y 2)2 = 8a z 2(4a y 2 - z 4). 
Do te enaˇcbe lahko pridemo z izloˇcitvijo spremenljivke x iz enaˇcb 
22 22
(x + y + z 2)2 = 4a 2(x + y 2), x + y 2 = 2ax, 
ˇce ne gre drugaˇce, z rezultanto R[p(x), q(x)] polinomov (veˇc o rezultanti polinomov na jdemo na primer v [8]) 
2 2 - 2a 2 2)2 - 4a 22 2 
p(x) = x 4 + 2(y + z 2)x 2 + (y + z y , q(x) = x 2 - 2ax + y 
spremenljivke x, pri ˇcemer sta y in z parametra: 
R[p(x), q(x)] = 

Slika 4. Arhitova krivulja. 
1  0  2(y 2 + z 2 - 2a 2)  0  (y 2 + z 2)2 - 4a 2 y 2  0  
0  1  0  2(y 2 + z 2 - 2a 2)  0  (y 2 + z 2)2 - 4a 2 y 2  
1  -2a  y 2  0  0  0  

            
0  1  -2a  y 2  0  0  
0  0  1  -2a  y 2  0  
0  0  0  1  -2a  y 2 

. 
Primerno raˇcunalniˇsko orodje za delo z matrikami in determinantami nam izraz poenostavi: 
4 22
R[p(x), q(x)] = 16a y 4 + 8a y z 2(z 2 - 4a 2) + z 6(z 2 + 8a 2). 
Po preureditvi ˇclenov imamo enaˇcbo iskane krivulje v ravnini Oyz: 
2 22
R[p(x), q(x)] = (z 4 + 4a y 2)2 - 8a z 2(4a y 2 - z 4) = 0. 
ˇ

Ce v tej enaˇcbi za ma jhne y in z zanemarimo ˇclene stopnje 6 ali veˇc, dobimo: y2(y2 - 2z2) = 0. To pomeni, da se krivulja A dotika sama sebe v toˇcki (0, 0, 0), njena tangenta pa je tam os torusa, v toˇcki A(2a, 0, 0) pa 
. 
samo sebe seka pod kotom 2 arctan( 2/2). Krivulja Ayz v parametriˇcni obliki je . 
2a cos t sin 2t a 2 sin 2t 
y = , z = , -. . t . .. 
(1 + sin2 t)2 1 + sin2 t 
            

Slika 5. Pro jekcija Arhitove krivulje na ravnino Oyz. 
Ima obliko rahlo popaˇcene ˇstiriperesne deteljice. Ploˇsˇcino S lika, ki ga omejuje, se da izraˇcunati po formuli: 
./2 ./2 2
1 . sin3 t cost(2 + cos2 t) dt
2
S = 4 · (yz˙- zy˙)dt = 16a 2 . 
2 0 0 (1 + sin2 t)4 
Po daljˇsem raˇcunu dobimo: 
. 
. 
2
2
S = 4a ln(1 + 2) - . 
3 
. 
V izrazu opazimo srebrno razmerje ( = 1 + 2, za katero je ( = 2 + 1/(, razvo j v veriˇzni ulomek pa je, prav tako kot za zlato razmerje, preprost: ( = [2; 2, 2, 2, . . .]. Krivuljo Ayz lahko vˇcrtamo v kvadrat s stranico dol­
re 
. 
ˇzine 2a z ogliˇsˇci (±a, ±a), dotikaliˇsˇca pa so v toˇckah ±a, ±a 2 2 - 2 , 
. 
(±a 3/2, ±a) v ravnini Oyz (slika 5). Celotna Arhitova krivulja A je zaprta v kocki z robom 2a in ogliˇsˇci (0, ±a, ±a), (2a, ±a, ±a). 
Za konec 

ˇ
V zvezi z Arhitovo krivuljo bi lahko reˇsili ˇse kakˇsno nalogo. Ce prereˇzemo valj vzdolˇz osi Oz in ga nato z Arhitovo krivuljo vred razgrnemo v rav­nino x = 2a, dobimo v njej osmici podobno krivuljo, za katero se da lepo 
. . izraˇcunati ploˇsˇcino S lika, ki ga omejuje: S = 16a2( 2 - ln(1 + 2)). Lepo se da z uporabo GeoGebre 5 predstaviti Arhitovo krivuljo v pro­storu, jo sukati in opazovati njeno anaglifno sliko. Po jasnimo na kratko, za ka j pri slednji sploh gre. Potrebe po izdelavi dobrih naˇcrtov ob jektov, kot so na primer stro ji, zgradbe in prometnice, so prispevale k razvo ju opisne geometrije. Med pr­vimi jo je ˇstudiral in uvedel v ˇsole Gaspard Monge (1746–1818), Napoleonov general [5, 7]. Kmalu so spoznali naˇcin, kako prevarati ˇcloveˇske oˇci, da bi videle prostorsko. Eden od naˇcinov je ravno omenjena anaglifna slika, ki jo sestavljata skora j identiˇcni, malo razmaknjeni ravninski sliki, ki sta obi­ˇca jno obarvani, ena rdeˇckasto, druga zelenkasto, in narisani na isti ravnini, gledani skozi rdeˇce-zelena oˇcala pa se v naˇsih moˇzganih ustvari vtis prave prostorske slike. Gledati pa je treba hkrati z obema oˇcesoma, ka jti ravno razdalja med njima omogoˇca, da anaglifno sliko vidimo prostorsko. Prvo metodo za izdelavo anaglifnih slik je ˇze leta 1852 razvil Wilhelm Rollmann (1821–1890) iz Leipziga. Sama beseda anaglifen izvira iz grˇskih besed ..., kar pomeni na, drug na drugega, in ....., dolbem, graviram, predstavljam. Sorodna beseda je hieroglif, pri kateri prvi del izha ja iz grˇske besede ....., kar pomeni sveti, boˇzanski. Eden od redkih uˇcbenikov o anaglifnih slikah, ki ga dobimo pri nas, je v hrvaˇsˇcino prevedena knjiga [6], ki jo je napisal v madˇzarˇsˇcini Imre P´al (ro jen 1911) ˇze davnega leta 1959 in je bila prevedena v veˇc jezikov. Izvirni naslov je T´erl´attat´os ´abr´azol´o m´ertan, kar pomeni Opisna geometrija z anaglifnimi slikami. 
LITERATURA 
[1] 	B. Aubelj, Antiˇcna imena po slovensko, Modrijan, Ljubljana, 1997. 
[2] 	A. Dokler, Grˇsko-slovenski slovar, Knezoˇsko.jski zavod sv. Stanislava, Ljubljana, 1915. 
[3] 	T. Heath, A history of Greek mathematics, Vol. I. Dover Publ., New York, 1981. 
[4] 	M. Jerman, Reˇsevanje treh velikih starogrˇskih problemov, Obzornik mat. .z. 59 (2012), 182–192. 
[5] 	U. C. Merzbach in C. B. Boyer, A history of mathematics, John Wiley & Sons, Ho­boken, New Jersey, 2011. 
[6] 	I. P´al, Nacrtna geometrija u anaglifskim slikama, Tehniˇcka knjiga, Zagreb, 1966. 
[7] 	D. J. Struik, Kratka zgodovina matematike, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 1986. 
[8] 	I. Vidav, Algebra, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 2010. 
[9] 	I. Vidav, Diferencialna geometrija, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 1989. 
PLEMLJEV TRIKOTNIK IN NEGIBNE TO ˇ
CKE TRANSFORMACIJ 
IVAN PUCELJ 
Pedagoˇska fakulteta 
Univerza v Ljubljani 

Math. Subj. Class. (2010): 51M04, 51M15 
»Konstruiraj trikotnik z dano dolˇzino osnovnice in viˇsine nanjo ter znano razliko notranjih kotov ob tej osnovnici« – to je vaja iz uˇcbenika, po katerem je uˇcil geometrijo v srednji ˇsoli Plemljev profesor Borˇstner. K tej vaji se je profesor Plemelj zelo rad vraˇcal, posebno na boˇziˇcnih poˇcitnicah, in je sestavil kar zajetno zbirko razliˇcnih reˇsitev [1]. 
PLEMELJ’S TRIANGLE AND FIXED POINTS OF 
TRANSFORMATIONS 

»Construct a triangle if one side, its altitude and a di.erence of two angles along it are given« – this is an exercise in the geometry textbook that was used by professor Borˇstner who taught Josip Plemelj in the high school. This problem attracted professor Plemelj later in his life (especially during Christmas holidays), and so he found several di.erent solutions [1]. 
V tem zapisu predstavimo naˇcin, kako reˇsiti nalogo, ki ga je nam, ˇstuden-tom matematike, v letih 1952/53 (v svojem predavanju »Osnove geometrije, projektivna geometrija«)omenil profesor Ivan Vidav. 
Oznaˇcimo osnovnico trikotnika AB C in viˇsino nanjo (toˇcneje njuni dol­ˇzini) c = AB in v ter razliko kotov ob osnovnici . -ß = .. 
Nariˇsimo vzporednici v medsebojni razdalji v in daljico AB na spodnji vzporednici. Iz ogliˇsˇca A potegnimo pod poljubnim kotom .= 0 poltrak in iz ogliˇsˇca B poltrak pod kotom . - .. Oznaˇcimo preseˇciˇsˇci poltrakov (ali njunih nosilk) z drugo vzporednico: T in T ' .

T ' 
T 
A B 
Kakˇsna je zveza med T in T ' ? Koti v tej »igri« so usmerjeni. Postavimo izhodiˇsˇce koordinatnega sistema xy v toˇcko A, abscisno polos x > 0 skozi toˇcko B in vzemimo, da je c = v = 1! Potem je enaˇcba druge 
Plemljev trikotnik in negibne to ˇ
cke transformacij 
'
vzporednice kar y = 1, medtem ko sta (enaˇcbi premic) AT in B T dani z enaˇcbama: 
y = (tan .)x in y = -tan(. -.)· (x -1). ' ' ˇ
Naj bosta x in x zaporedoma abscisi toˇck T in T . Ce na kratko oznaˇcimo a = tan . in d = tan . ter uporabimo adicijski izrek za tangens (ki velja za poljubna kota!), izpeljemo zvezi: 
1 1 + ad 
' 
x = in x = 1- , (1) 
a a -d ˇce je le a = 0 in a = d. Torej imamo zvezo: 
(d + 1)x + (d -1) 
' 
x = , (2) 
dx -1 
1
ˇce je x = .
d 
'
Konstruirati ˇzeleni trikotnik pomeni reˇsiti enaˇcbo x = x, torej kvadra­tno enaˇcbo: 
dx2 -(d + 2)x -(d -1) = 0. Diskriminanta (d + 2)2 + 4d(d -1) = 5d2 + 4 je vedno pozitivna in korena enaˇcbe sta: 
1 
x1,2 = ((d + 2) ± 5d2 + 4), ˇce je d = 0. (3) 
2d 
' '
Ce pa je ˇd = 0, torej . = 0, dobimo iz (1) x = 1-x in enaˇcba x = x 
1
ima reˇsitev x = . Trikotnik AB C je enakokrak. 
2 
Konstrukcijo negibnih toˇck transformacije (2), torej konstrukcijo »Ple­mljevega trikotnika«, opremo na tale znani izrek elementarne geometrije (ki je sicer zelo uporaben): 
Mnoˇzica vseh takih toˇck v ravnini, iz katerih se »vidi« dana daljica pod predpisanim kotom . (0 < . < +.), sestoji iz dveh kroˇznih lokov brez krajiˇsˇc (dane daljice). 
Iz zveze (3) v prvem delu sklepamo, da je mogoˇca za konstrukcijo negibne toˇcke klasiˇcna konstrukcija s ˇsestilom (in ravnilom). Oglejmo si jo (eno izmed ˇstevilnih): 
Podatki: osnovnica AB z dolˇzino c, viˇsina v in kot z velikostjo . . (0, .), ki je razlika kotov ob osnovnici, recimo ß -. = .. 
.
Potek konstrukcije: omejimo se na primer 0 < . < ; dani premici p0,
2 
nosilki osnovnice AB , postavimo v razdalji v vzporednico p; bodi s simetrala daljice AB ; oznaˇcimo polravnini .- in .+ premice p, tako da sta A in B na .+; simetrala s seˇce premico p v toˇcki S; na premici p izberimo poljubni razliˇcni toˇcki D in D1 simetriˇcno glede na S; toˇcki D1 in A naj bosta na skupni polravnini premice s; dani kot . prenesemo na polravnino .- tako, da je D1 vrh kota in je poltrak D1S en krak, drugi krak pa zaznamujmo s h; v D1 postavimo pravokotnico na h; pravokotnica seka simetralo s v toˇcki S1; oznaˇcimo s k kroˇznico s srediˇsˇcem S1 in s polmerom S1D1; naj bo toˇcka 

h 
.- 
D1 .C1  S  DC  p  
.+  
.  
A  v S1  B  p0  
.  

 k  
s  
B1  

B1 presek premice S B s kroˇznico k na polravnini .+; skozi B postavimo vzporednici premicama B1D in B1D1; ti dve vzporednici seˇceta premico p npr. v toˇckah C in C1. DB1D1 je enak ..
Obodni kot -Trdimo: trikotnik AB C ustreza podatkom, ima osnovnico c, viˇsino v in razliko kotov ob osnovnici enako .. 
Dokaz. Zaradi podobnosti trikotnikov D1B1D in C1B C je kot ­
C1B C enak .. Ker sta trikotnika AB C in B AC1 simetriˇcna glede na premico s, je kot 
-
AB C1 enak kotu ., torej imamo ß = . + .. 
Dodatek: Na podlagi podobnosti pokaˇzemo, da je konsturirani (Ple­mljev) trikotnik neodvisen od izbire temeljnih toˇck D in D1 (eliptiˇcnega kroˇznega ˇsopa). Bralcu predlagamo pregled ˇclanka [3]. 
LITERATURA 
[1] J. Plemelj, Iz mojega ˇzivljenja in dela, Obzornik mat. .z. 39 (1992), 188–192. 
[2] D. Modic, Plemljev trikotnik in njegovi bratje, [predavanje], Strokovno sreˇcanje in 65. obˇcni zbor DMFA Slovenije, Bled, 15. in 16. november 2013, str. 52–53, 2013. 
[3] O. Sajovic, Kroˇzni ˇsopi in enakoosna hiperbola, Obzornik mat. .z. 1 (1951), 2–8. 
NA OBISKU PRI KOMETU 
JANEZ STRNAD 
Fakulteta za matematiko in .ziko 
Univerza v Ljubljani 

PACS: 96.30.Cw 
ˇ
Vesoljsko sondo Rosetta, ki se kot umetni satelit giblje okoli kometa Curjumov-Gerasimenko, in pristanek njenega pristajalnika Philae na tem kometu pogosto navedejo kot najpomembnejˇsi doseˇzek v .ziki leta 2014. Izˇsla so tudi ˇze prva poroˇcila o rezultatih merilnikov na Rosetti. 
VISITING A COMET 
The spacecraft Rosetta, that is moving as an arti.cial satellite around the comet Churyumov-Gerasimenko, and the landing of the lander Philae on this comet is often quoted as the breakthrough of the year 2014 in physics. First results obtained with instruments on Rosetta have already been published. 
Kometi 
Komete med vsemi telesi v Osonˇcju sestavlja snov, ki je na jbolj podobna snovi na zaˇcetku Osonˇcja. Astro.ziki si prizadeva jo, da bi ugotovili sestavo snovi kometov. Zanima jo jih tudi organske spo jine v njej, ki bi utegnile osvetliti razvo j ˇzivljenja na Zemlji. Veˇcina aminokislin v ˇzivih bitjih na Zemlji je levosuˇcnih. Ali je med nesimetriˇcnimi organskimi molekulami na kometu veˇc levosuˇcnih kot desnosuˇcnih? 
Ob vrnitvi Halleyjevega kometa leta 1986 so proti njemu usmerili veˇc sond, da bi spoznali njegovo sestavo. Pozneje so proti raznim kometom poslali ˇse neka j sond. Pri hitrih obletih (.yby) mimo kometa so sonde za jele in analizirale le snov kome, to je oblaka plinov in prahu, ki obda ja jedro kometa. Spoznali so, da tako ne bo mogoˇce dobiti podrobnih podatkov 
o sestavi kometnega jedra. Z obleti tudi niso mogli neposredno zasledovati po javov na kometu, ko se bliˇza Soncu in se razvijejo koma in znaˇcilna repa. 
Pri Evropski vesoljski agenciji ESA in Severnoameriˇski vesoljski agenciji NASA so se lotili naˇcrtov. Pri ESA so se odloˇcili za sondo, ki na j bi se z vzorcem kometnega jedra vrnila na Zemljo, pri NASA pa za sondo, ki na j bi od blizu posnela sreˇcanje kometa in asteroida. Leta 1992 se je NASA zaradi pomanjkanja sredstev odpovedala naˇcrtu. Leto pozneje je iz enakega razloga ESA spremenila naˇcrt. Po novem na j bi leta 2003 izstrelili sondo Rosetta, ki bi se kot umetni satelit gibala okoli kometa 46P/Wirtanen in nanj poslala prista jalnik Philae. Toda leto pred tem se je ponesreˇcila izstrelitev rakete, kakrˇsno so nameravali uporabiti. Dokler niso ugotovili vzroka za napako, so zadrˇzali izstrelitve. Tako se je izstrelitev Rosette zakasnila. Zato so izbrali komet 67P/ ˇcji od kometa Wirtanen, 
Curjumov-Gerasimenko, ki je veˇin prilagodili dele naˇcrta. 
67P je komet iz Jupitrove druˇzine, ki se mu je zaradi vpliva Jupitra in asteroidov v pasu med Marsom in Jupitrom perihelij, to je na jmanjˇsa razdalja, do katere se je pribliˇzal Soncu, s ˇcasom manjˇsal. Po letu 1959 pa se je tirnica ustalila. Komet je periodiˇcen z obhodnim ˇcasom 6,55 leta. Njegov vrtlja j tra ja 12,4 ure. Giblje se po elipsi z veliko polosjo a = 3,463 a.e. in ekscentriˇcnostjo . = 0,641 (astronomska enota, a.e., je pribliˇzno enaka povpreˇcni oddaljenosti Zemlje od Sonca). Perihelij meri rmin = a(1 - .) = 1,243 a.e., in afelij, to je na jveˇcja razdalja, rmaks = a(1 + .) = 5,683 a.e. Masa je 1013 kg. Komet je nepravilne oblike s prostornino 21,3 km3 in povpreˇcno gostoto 470 kg/m3 (slika 1). 

Slika 1. Komet ˇSvetlana Gerasimenko je na Astro.zikalnem 
Curjumov-Gerasimenko. inˇstitutu v Almi Ati posnela fotogra.je nekega kometa. Curjumov je po vrnitvi v 
Klim ˇKijev leta 1969 ugotovil, da gre za nov komet in ne za tistega, ki so ga ˇzeleli opazovati. Potem so novi komet zasledili tudi z velikimi teleskopi. Komet ima nenavadno obliko. Po eni od domnev je nastal, ko sta se spojili dve telesi. Za manjˇsega navaja jo okvirne razseˇznosti 2,5 km krat 2,5 km krat 2,0 km, za veˇcjega pa 4,1 km krat 3,2 km krat 
ˇ
1,3 km (a). Ceprav je komet ˇse precej daleˇc od perihelija, je mogoˇce opazovati, kako iz nekaterih delov odparevajo curki plinov in delcev prahu (b). Naredili so zemljevid povrˇsja kometnega jedra in predelom dali imena iz egipˇcanske mitologije. 
Rosetta in Philae 

Na sondi Rosetta sistem za prenos podatkov sestavlja jo premiˇcna 2,2-metrska paraboloidna antena, nepremiˇcna 0,8-metrska paraboloidna antena in dve neusmerjeni anteni. Na sondi je 24 parov motorjev s potiskom po 10 new­tonov, od teh ˇstirje pari delujejo v sunkih. Silicijeve sonˇcne celice s po­vrˇsino 64 m2 v ugodnih razmerah da jejo moˇc 1500 W (slika 2a) [11]. V mirovanju potrebujejo naprave le 400 W. Preseˇzno energijo hranijo ˇstiri nikelj-kadmijeve baterije po 10 Ah. Grelniki skrbijo, da se merilniki preveˇc ne ohladijo. Masa sonde je ob izstrelitvi merila 2900 kilogramov vkljuˇcno s prista jalnikom Philae z maso 100 kilogramov. Na voljo je bilo 1719 kg goriva in oksidacijske snovi. 

Slika 2. Sonda Rosetta (a) [11] in prista jalnik Philae (b) [12]. Imena so duhovita. Kamen iz Rosette so naˇsli med Napoleonovim pohodom v Egipt blizu kraja Rosette (Rashid). Na kamnu je bila izklesana uredba iz leta 196 pr. n. ˇst. v hierogli.h in demotski ter grˇski pisavi. To je bilo v pomoˇc pri razvozlavanju hieroglifov. Na enem od otoˇckov Philae (File) v Nilu je bil na obelisku napis v dveh pisavah, ki je imel podobno vlogo. Tempelj so z otoˇcka zaradi starega asuanskega jezu preselili na bliˇznji otok Agilkia (ti otoki leˇzijo pod novim asuanskim jezom). Po javnem nateˇca ju je ESA tako imenovala naˇcrtovani kraj pristanka. Novi kraj pristanka nima imena. 
Sonda Rosetta nosi dvana jst merilnikov. Polovica jih zaznava elektro­magnetno valovanje. Ultravijoliˇcni spektrograf meri deleˇz ˇzlahtnih plinov, po katerem je mogoˇce sklepati, ka j se je v preteklosti doga jalo s snovjo. Posebna kamera omogoˇca slikanje v vidni in infrardeˇci svetlobi. Drugi spek­trometer da je slike v vidni in infrardeˇci svetlobi. Mikrovalovni merilnik ugotavlja deleˇz in temperaturo hlapnih snovi. Radar raziskuje globlje pla­sti kometnega jedra z valovi s prista jalnika. Merilnik za raziskovanje jedra in bliˇznjih delov kome izkoriˇsˇca radijske valove, sicer namenjene prenosu sporoˇcil. 
Druga polovica merilnikov zaznava delce. Magnetni masni spektrome­ter zaznava ione in nevtralne delce. Mikroskop na atomsko silo otipa delce prahu, ki se naberejo na silicijevi ploˇsˇcici. Analizator mase ugotavlja se­stavo delcev prahu po obstreljevanju z indijevimi ioni. Drug analizator z merjenjem sipalnega preseka svetlobe ter gibalne koliˇcine, hitrosti in mase zaznava delce prahu. Merilnik plazme ugotavlja delce v sonˇcnem vetru. 
V prista jalniku Philae je pod delom z merilniki mehanizem za prista­janje, ki ga sestavlja jo kardanski zglob, duˇsilniki, ogrodje in tri noge (slika 2b) [12]. Ob dotiku na j bi se sproˇzili harpuni in prista jalnik zasidrali na ko­metu. Enako vlogo na j bi imeli ledni vijaki, ki bi se privili v led kometnega jedra. Ob pristanku na j bi reakcijski motor deloval s silo proti kometu. 
V prista jalniku je devet merilnikov. Spektrometer po rentgenskem se­vanju, ki ga sproˇzijo delci . iz radioaktivnega izvira, ugotavlja elemente na povrˇsju jedra. Drugi merilnik zdruˇzuje plinski kromatograf in masni spektrometer na ˇcas preleta in ugotavlja elemente v komi. Merilnik meri deleˇze obsto jnih izotopov v komi. Merilnik s sedmimi enakimi kamerami za panoramsko slikanje povrˇsja s polprevodniˇskimi slikovnimi napravami CCD vsebuje ˇse optiˇcni mikroskop in infrardeˇci spektrometer ter zaznava sestavo, zgradbo in odbo jnost vzorcev s povrˇsja. Kamera CCD med spuˇsˇcanjem proti kometu snema povrˇsje z visoko loˇcljivostjo. Radar ugotavlja notranjo zgradbo jedra. Veˇcnamenski senzorji da jejo podatke o toplotni prevodnosti ter o gostoti in drugih mehaniˇcnih lastnostih povrˇsja in plasti tik pod njim. Magnetometer in merilnik plazme ugotavljata magnetno polje in delovanje sonˇcnega vetra. Merilnik na tri naˇcine z zvokom preiskuje lastnosti povrˇsja in prahu na njem. Sveder da je vzorce do globine 23 cm in jih posreduje de­setim peˇcicam za srednjo in ˇsestna jstim za visoko temperaturo ter drugim merilnikom. 
Od 21 merilnikov je tri prispevala NASA, pri drugih pa so sodelovale raz­iskovalne ustanove iz Kanade in evropskih drˇzav: Anglije, Avstrije, Belgije, Finske, Francije, Irske, Italije, Madˇzarske, Nemˇcije, Nizozemske, Poljske, 
ˇ
Spanije in ˇ
Svice. Delovanje sonde nadzorujejo iz Evropskega centra za ve­soljske operacije ESOC v Darmstadtu v Nemˇciji. Za zbiranje, shranjevanje in razˇsirjanje podatkov skrbi Evropski vesoljski astronomski center ESAC v Villanuevi de la Ca~nada blizu Madrida. Podvig je stal okoli milijarde in tristo milijonov evrov. V njem je sodelovalo ali sodeluje okoli dva tisoˇc strokovnjakov. 
Pot 
Drugega marca 2004 so z izstreliˇsˇca v Francoski Gva jani izstrelili nosilno ra­keto Ariane 5G. Zadnja stopnja se je na jprej gibala po tirnici okoli Zemlje. Potem so jo pospeˇsili do ubeˇzne hitrosti in usmerili na tirnico okoli Sonca, nato se je od nje loˇcila sonda. Ma ja so sondo preusmerili proti kometu. Marca 2005 je sonda ob prvem obletu Zemlje z gravitacijsko pomoˇcjo (gra­vitational assist) dobila dodatno hitrost. Februarja 2007 se je to ponovilo ob obletu Marsa. 
Novembra 2007 je sledil drugi oblet Zemlje s hitrostjo 12,5 km/s (ubeˇzna hitrost z Zemlje je 11,2 km/s). Teda j so nekateri opazovalci z Zemlje sondo zmotno imeli za asteroid. Nato je sonda letela mimo asteroida 22867 ˇ
Steins iz pasu asteroidov. Novembra 2009 je ˇse tretjiˇc obletela Zemljo s hitrostjo 13,3 km/s. Julija 2010 je letela mimo velikega asteroida 21 Lutetia iz pasu asteroidov. Ob obletih so preizkusili delovanje nekaterih merilnikov in po­sneli zanimive slike teles, mimo katerih je sonda letela. Sicer so merilniki poˇcivali. Sonda je dohitela komet 6. avgusta 2014 v oddaljenosti 3,7 a.e. od Sonca. Motorji so hitrost glede na komet od 775 m/s zmanjˇsali na 7,9 m/s. Sonda se je postopno pribliˇzala kometu na 100 km in nato na 50 km. Na­posled se je zaˇcela gibati okoli kometa kot njegov satelit. Zda j se giblje v oddaljenosti okoli 10 km. 
ˇ
Ze to je bil doseˇzek. Po veˇc milijard kilometrov dolgi in skora j ena jst let tra ja joˇci poti so sondo pripeljali tja, kamor na j bi po naˇcrtih prispela. Pred izstrelitvijo so tirnico kometa poznali le na sto kilometrov natanˇcno. Sondo so usmerjali z motorji, ki so jih vkljuˇcevali po ukazih z Zemlje. Ukaz je nazadnje do sonde potoval 28 minut. Toliko potuje tudi poroˇcilo s sonde. 
Pristanek 

Dvana jstega novembra, ko je bil komet 3 a.e. oddaljen od Sonca, se je pri­sta jalnik loˇcil od sonde, se zaˇcel spuˇsˇcati proti kometu in ga v sedmih urah dosegel. Nazadnje na j bi se spuˇsˇcal s hitrostjo okoli 1 m/s, kolikor nava ja jo za ubeˇzno hitrost s kometa v modelskih raˇcunih. Komet ima zelo nepravilno obliko in njegovo gravitacijsko polje izrazito odstopa od krogelne simetrije (slika 3). 
Ob spustu se je prista jalnik jedra kometa dotaknil na predvidenem kra ju. Vendar je bil dotik bolj rahel, kot so predvideli, in harpuni nista delovali. Za motor, ki na j bi deloval proti jedru, so ˇze prej ugotovili, da je pokvarjen. Kaˇze tudi, da je bil led zelo trd in ledni vijaki niso prijeli. Prista jalnik se je odbil s hitrostjo 0,38 m/s. Nava ja jo, da bi odletel v vesolje, ˇce bi hitrost dosegla 0,44 m/s, kolikor na j bi merila ubeˇzna hitrost na kra ju dotika. Po uri in 51 minutah je prista jalnik padel naza j na komet. ˇ
Se enkrat se je odbil s hitrostjo 0,03 m/s in ˇze po slabih 6 minutah padel naza j. Obmiroval je na kra ju, ki ga niso predvideli. V konˇcni legi sonˇcne celice leˇzijo v senci in ne morejo poganjati merilnikov. Ti so delovali le 57 ur, dokler se niso izpraznile baterije. Nadeja jo se, da bodo sonˇcne celice dobile dovolj svetlobe, ko se bo komet pribliˇzal periheliju 13. avgusta, in bodo merilniki na prista jalniku zopet delovali. 

Slika 3. Okvirna risba kaˇze lego teles v Osonˇcju na njihovih tirnicah ob istrelitvi marca 2004 (levo), ob prihodu sonde v bliˇzino kometa maja 2014 (sredina) in ob koncu misije decembra 2015 (desno) [11]. 
Rezultati z Rosette 
Teˇzave pri pristanku Philae niso zavrle raziskovanj. Glavno delo na j bi tako ali tako opravili merilniki na Rosetti. Predvideva jo, da bo delovala do decembra 2015, ko bo spremljala komet na poti okoli Sonca. Podatke me­rilnikov na Rosetti so ˇze obdelali in prve rezultate ob javili [3–12]. Podatke merilnikov s Philae ˇse obdelujejo. 
Posnetki kaˇzejo, da sestavljata jedro dva dela, ki ju povezuje ozek vrat. V veˇcji razdalji od Sonca kot 3 a.e. izha ja jo curki plina in prahu v glavnem iz vratu. Jedro izgublja snov s sublimacijo in z izbruhi zaradi naraslega tlaka v notranjosti [8]. Ni jasno, ali je jedro nastalo s trkom in spo jitvijo dveh teles ali z odparevanjem snovi z veˇcjega telesa. Med oddaljenostma od Sonca od 3,4 do 3,6 a.e. je jedro zapustilo 35 zrnc prahu z maso med 10-7 in 10-4 g in 48 zrn z maso od 0,01 in 10 g. Ugotovili so, da je v povpreˇcju za osvetljeni del povrˇsja razmerje med tokovoma prahu in plina okoli 4 [7]. Jedro obkroˇza oblak kep, od katerih ima jo na jveˇcje premer okoli meter. Na jbrˇz so preostale od prejˇsnjega perihelija. Povpreˇcna gostota jedra je precej manjˇsa od priˇcakovane gostote ledu in prahu od 1500 in 2000 kg/m3 . Jedro je torej precej luknjiˇcavo. 
Opazovali so, kako nastane magnetosfera, ko se komet bliˇza Soncu. Spo­ˇcetka gre sonˇcni veter nemoteno skozi zelo redko komo. Z odparevanjem koma posta ja vse gostejˇsa. Sonˇcna ultravijoliˇcna svetloba in tudi delci sonˇc­nega vetra ionizira jo molekule v njej. Gostejˇsi prevodni plin zaˇcne odbijati 

Slika 4. Kamera z Rosette je spremljala spuˇsˇcanje pristajalnika Philae. Na posnetku po odboju ob 15:43 je mogoˇce videti sledi treh nog. Tretjiˇc je pristajalnik pristal na neznanem kraju. Sonce osvetli dele kometa samo kratek ˇcas in kamera lahko naredi dober posnetek le, ˇce je sonda na pravem kraju. S teˇzavo so prepoznali 30 m ˇsirok in 350 m dolg pas, na katerem je pristajalnik. – Na spletu je mogoˇce dobiti veliko zapisov in fotogra.j v Googlu na Rosetta Mission. Na Comet 67P Churyumov-Gerasimenko & The Rosetta . . . je mogoˇce izvedeti trenutni oddaljenost kometa in hitrost. Nekateri podatki med seboj niso usklajeni. ESA/Rosetta. 
sonˇcni veter. V razdalji od Sonca okoli 3,3 a.e. magnetno polje kometa dobi mejo in nastane magnetosfera [2]. Magnetno polje kometa niha z niha jnim ˇcasom od 20 do 25 s. 
Na posnetkih je mogoˇce na povrˇsju jedra videti veliko razliˇcnih tvorb, ki so na jbrˇz nastale z neenakomernim odparevanjem. Povrˇsje jedra zapuˇsˇca jo tudi veˇcji kosi [6]. Masni spektrometer je za razmerje med devterijem, teˇz­jim izotopom vodika, in laˇzjim navadnim izotopom vodika v atmosferi dal (5,3 ± 0, 7) · 10-4 . To je precej veˇc od povpreˇcnega razmerja na Zemlji 1,5 · 10-4 . Po tem sklepa jo, da vode na Zemljo niso prinesli kometi, vsa j ne kometi iz Jupitrove druˇzine [10]. Morda so jo prinesli asteroidi. 
Spektrometer je izmeril sestavo kome. Na jveˇc je vode ter ogljikovega monoksida in dioksida. Sestava pa se spreminja v odvisnosti od vrtenja ko­metnega jedra in od oddaljenosti od Sonca. To kaˇze na zapleteno odvisnost kome od jedra, za katero utegne biti odloˇcilna razlika temperatur na povrˇsju in tik pod njim [1]. Pomembno vlogo ima prehod toplote in sublimacija ledu. 
Z mikrovalovi z valovno dolˇzino 0,5 mm in 1,6 mm so ugotovili, da je je­dro na jprej vsako sekundo izgubilo 0,3 kg, avgusta pa ˇze 1,2 kg snovi. Tok plinov in praˇsnih delcev se periodiˇcno spreminja tudi zaradi vrtenja jedra. Temperatura tik pod povrˇsjem se spreminja z oddaljenostjo od Sonca in za­radi vrtenja jedra [5]. Po izkuˇsnjah z drugimi kometi se po javita izrazitejˇsa repa kak mesec pred perihelijem. Delci medplanetnega prahu, ki pada jo na Zemljo, verjetno izvira jo iz kometov. 
Jedro kometa je zelo trdo in ga sestavlja led in meˇsanica ledu in prahu. Na nekaterih mestih ga pokriva do 20 cm debela plast prahu. Za tem­peraturo nava ja jo za zda j od -68 .C do -43 .C. Zaznali so vodno paro, ogljikov oksid in dioksid, amoniak, metan, metanol, natrij, magnezij. Po­vrˇsje kometa je temno in suho. Albedo je 0,06. Na povrˇsju ni vodnega ledu, a ga je obilo v notranjosti. Temno povrˇsje vsebuje ˇzelezov sul.d in veliko spo jin z ogljikom. 
Nekaj raˇcunov 
ˇ
Ceprav gravitacijsko polje jedra ni krogelno simetriˇcno, naredimo neka j pre­prostih raˇcunov za krogelno simetrijo. Za maso kometa vzamemo M = 1013 kg in za gostoto . = 470 kg/m3 . Prostornina homogene krogle je V = 4.r0 3/3 in polmer r0 = (3M/4..)1/3= 1,72 km. Teˇzni pospeˇsek na po­
vrˇsju je g = GM/r0 2 = 2,25 · 10-4 m/s2 in ubeˇzna hitrost vu = 2GM/r0= 0,881 m/s. Pri tem je G = 6,67 · 10-11 m3/(kg s2) gravitacijska konstanta. Taki raˇcuni ima jo le omejen pomen, ker se oblika kometa moˇcno razlikuje od krogle, pa ˇse porazdelitev mase ni znana. 
Iz zveze .2R = GM/R s kotno hitrostjo . = 2./T dobimo za obhodni 
ˇcas T sonde v razdalji R = 10 km od kometa T = 2./. = 2. R3/GM = 2,43 · 105 s = 67,6 ure. Koma bo s ˇcasom posta jala gostejˇsa, zaradi ˇcesar bodo razdaljo poveˇcali na 30 km. Obhodni ˇcas se bo poveˇcal na 14,6 dneva. 
14. februarja je sonda letela mimo jedra kometa v razdalji 6 km. 
Vkljuˇcimo v raˇcun ˇse ˇcas. V gravitacijskem polju kometa je na enoto mase prista jalnika preraˇcunana polna energija: 
1 
v2 - GM/r = -GM/Rm. (1)
2 
ˇ
Rm je skra jna oddaljenost, ki jo doseˇze prista jalnik. Ce se prista jalnik v radialni smeri odbije od povrˇsja kometa s hitrostjo v0, manjˇso od ubeˇzne hitrosti vu, velja: 
2 22 
v0 - 2GM/r0 = -2GM/Rm in = 2GM/(v - v0).
Rm u 
V enaˇcbo (1) vstavimo v = dr/dt in po neka j korakih dobimo zvezo:

 
. . 	 
xdx/ 1 - x = t/. z x = r/Rm in . =R3 /2GM.
m 
. 	 . 
Z novo spremenljivko u = 1 - x integral prevedemo v -21 - u2du in dobimo za ˇcas dviganja s povrˇsja krogle: 
 	. 
t = .(x0(1 - x0) + arcsin 1 - x0) s x0 = r0/Rm. 
Vzemimo, da se prista jalnik odbije s hitrostjo v0 = 0, 6 m/s. Pri ubeˇzni hitrosti vu = 0,88 m/s da to Rm = 3220 m in . = 5000 s = 1,39 ure. Z x0 = 1720/3220 = 0,534 je nazadnje ˇcas dviganja 1,25 1,39 = 1, 74 ure. ˇ
· Cas spuˇsˇcanja je enak, tako da dobimo, da odbo j prista jalnika tra ja 3,48 ure. To kaˇze primerjati s ˇcasom 1 ure in 51 minut = 1,85 ure. Po tem sklepamo, da raˇcun ni veliko vreden. V tem okviru si ni mogoˇce zamisliti podatkov, s katerimi bi se pribliˇzali tra janju 1,85 ure pri ubeˇzni hitrosti 0,44 m/s in hitrosti odbo ja 0,38 m/s. 
LITERATURA 
[1] 	K. Altwegg et al. 67P/Churyumov-Gerasimenko, a Jupiter family comet with a high D/H ratio, Science 347 (2015) 1261952-1-3. 
[2] 	F. Capaccioni et al., The organic-rich surface of comet 67P/Churyumov-Gerasimenko as seen by VIRTIS/Rosetta, Science 347 (2015) aaa0628-1-4. 
[3] 	S. Gulkis et al., Subsurface properties and early activity of comet 67P/Churyumov-Gerasimenko, Science 347 (2015) aaa0709-1-5. 
[4] 	E. Hand, Comet close-up reveals a world of surprises, Science 347 (2015) 358–359. 
[5] 	M. H¨
assig et al., Time variability and heterogeneity in the coma of 67P/Churyumov-Gerasimenko, Science 347 (2015) aaa0267-1-4. 
[6] 	H. Nilsson et al., Birth of a comet magnetosphere: A sppring of water ions, Science 347 (2015) aaa0571-1-4. 
[7] 	A. Rotundi et al., Dust measurements in the coma of comet 67P/Churyumov-Gerasimenko inbound to the sun, Science 347 (2015) aaa3905-1-6. 
[8] 	H. Sierks et al., On the nucleus striucture and activity of comet 67P/Churyumov-Gerasimenko, Science 347 (2015) aaa1044-1-5. 
[9] 	M. G. G. Taylor, C. Alexander, N. Altobelli, M. Fulle, M. Fulchignoni, E. Gr¨
un, P. Weissmann, Rosetta begins its comet tale, Science 347 (2015) 387. 
[10] 	N. Thomas et al., The morphological diversity of comet 67P/Churyumov-Gerasimenko, Science 347 (2015) aaa0440-1-6. 
[11] 	Rosetta (spacecraft), http://en.wikipedia.org/wiki/Rosetta (spacecraft), ogled: 
9. 2. 2015. 
[12] 	Philae (spacecraft), http://en.wikipedia.org/wiki/Philae (spacecraft), ogled: 9. 
2. 2015. 

NOVE KNJIGE 

Satyan L. Devadoss, Joseph O’Rourke: Discrete and Computatio­nal Geometry, Princeton University Press, Princeton and Oxford, 2011, 255 strani. 
Diskretna geometrija je otrok 
XX. stoletja, raˇcunska geome­trija pa 1970-ih let. »Diskre­tna« geometrija se osredotoˇca na konˇcne mnoˇzice toˇck, premic, trikotnikov in drugih geometrij­skih ob jektov, drugaˇce kakor »zvezna« geometrija, ki obrav­nava npr. gladke ploskve. 
Podroˇcji diskretne in raˇcun­ske geometrije sta tesno pove­zani, in vsak napredek na enem od njiju prinese napredek na drugem. Prvo pripada ˇcisti ma­tematiki, drugo aplikativni sme­ri v raˇcunalniˇski znanosti. Iz ˇstevilnih interakcij med njima je zrasla nova disciplina, ki po­meni idealen most med mate­matiko in raˇcunalniˇsko znano­

stjo. Knjiga je nastala prav iz ˇzelje, premostiti vrzel med njima. 
V skladu s tem ciljem so v knjigi (razdeljeni na sedem poglavij: 1. Poli­goni, 2. Konveksne lupine, 3. Triangulacije, 4. Voronoievi diagrami, 5. Kri­vulje, 6. Poliedri, 7. Kon.guracijski prostori) uravnoteˇzeno zastopani izreki in algoritmi. Ker gre za knjigo o geometriji, predstavljeni algoritmi ne te­meljijo na so.sticiranih programerskih trikih, ampak na jasni geometrijski intuiciji, zato so lahko razumljivo opisani brez uporabe kakrˇsnegakoli poseb­nega programskega jezika in celo brez psevdokode, tako da za branje knjige ni treba nobenega programerskega predznanja. 
V knjigi so ˇstevilni dokazi pomembnih izrekov. Tako je npr. dokazana poligonska verzija »Jordanovega izreka o krivulji«, pa tudi poliedrska razli­
ˇcica Gauss-Bonnetovega izreka S K dA = 2..(S), ki vzporeja »globalne« in »lokalne« lastnosti ploskve (za jete v »topoloˇskem« konceptu Eulerjeve ka­rakteristike .(S) in v »metriˇcnem« konceptu Gaussove ukrivljenosti K plo­skve S v vsaki njeni toˇcki). Dostikrat so omenjene tudi posploˇsitve izrekov na viˇsje dimenzije. Da bi bil »matematiˇcni del« dostopnejˇsi tudi ˇstudentom raˇcunalniˇstva, so nekateri dokazi le skicirani. Vsako v knjigi obravnavano podroˇcje je predstavljeno tudi v kontekstu aplikacij, ki so pogosto pred­stavljale prvotno motivacijo za njegovo raziskovanje. Predstavljeni so tudi nekateri zanimivejˇsi problemi (kot npr. znani Kleejev »Problem umetnostne galerije« o minimalnem ˇstevilu straˇzarjev, ki lahko nadzorujejo galerijo dane poligonske oblike). 
Avtorja v predgovoru programsko deklarirata trditev, na katero vˇcasih pretirano »algebraizirana« sodobna matematika rada pozablja: Geometrija ˇ
potrebuje slike! Stevilne barvne ilustracije resniˇcno naredijo knjigo veliko laˇzje berljivo in ola jˇsa jo razumevanje. Jezik razlage je pomensko bogat in obenem nazoren, veliko je vzporejanj in komparacij. Tako npr. avtorja primerjata vlogo poligonov v geometriji z vlogo celih ˇstevil v numeriˇcni matematiki: v obeh primerih gre za diskretno mnoˇzico v univerzumu vseh moˇznosti, ki omogoˇca uˇcinovito raˇcunanje, in triangulacije so za poligone pribliˇzno to, kar je za cela ˇstevila njihova faktorizacija na prafaktorje (ˇceprav triangulacije niso enoliˇcne). 
V knjigi je veliko va j oziroma nalog, in ker gre za relativno novo po­droˇcje, so omenjeni tudi ˇstevilni nereˇseni problemi. Tako je npr. problem karakterizacije »tetraedrizabilnih« poliedrov (tj. razdeljivih na tetraedre s paroma disjunktnimi notranjostmi) ˇse vedno nereˇsen. 
V knjigi na jdemo veliko zanimivih geometrijskih in kombinatoriˇcnih re­
1
zultatov, npr. formulo |.(xiyi-1 - xi-1yi)| za ploˇsˇcino poligona z ogliˇsˇci
2 
(xi, yi) in formulo za ˇstevilo triangulacij konveksnega (n + 2)-kotnika, ki je enako n-temu Catalanovemu ˇstevilu Cn. Eno kljuˇcnih orodij pri raziskavi triangulacij je t. i. ».ip graph«; njegova vozliˇsˇca so triangulacije dane konˇcne mnoˇzice toˇck v ravnini, dve triangulaciji pa sta »sosednji«, ˇce se razliku­jeta le v izboru diagonale AC ali BD, ki »triangulira« neki ˇcetverokotnik ABC D. 
Avtorja pokaˇzeta, da je mogoˇce problem iskanja konveksne ogrinjaˇce diskretne mnoˇzice toˇck v ravnini reˇsiti z razliˇcnimi algoritmi, da pa niso vsi enako dobri, sa j se le eden od njih (osnovan na metodi »deli in vlada j«) da posploˇsiti tudi na analogni tridimenzionalni problem. V Dodatku pred­stavita tudi osnove ocenjevanja raˇcunske zahtevnosti algoritmov in razlo­ˇzita osnovne koncepte, kot so npr. logaritemska, polinomska in eksponentna kompleksnost, NP-polni in NP-teˇzki problemi. 
Glavna odlika knjige je preplet teorije in prakse. Tako npr. de.niciji Voronoievega diagrama, ki za vsako toˇcko ravnine nazorno prikaˇze, kateri izmed konˇcnega ˇstevila toˇck v tej ravnini je na jbliˇzja, sledi tudi razlaga nje­gove algoritmiˇcne konstrukcije, pa tudi njegove povezanosti z Delaunayevimi triangulacijami in konveksnimi ogrinjaˇcami v treh dimenzijah. Podobno je v poglavju o krivuljah po jasnjena globoka zveza med »problemom skra jˇse­vanja krivulj« in Poincar´ejevo domnevo. 
Bolj »matematiki naklonjenemu« bralcu bo uga jala obravnava izrekov, kot je npr. »Cauchyjev izrek o rigidnosti«, ki pravi, da sta poljubna dva kon­veksna poliedra, ki sta kombinatoriˇcno ekvivalentna in imata skladna lica, tudi kongruentna (tj. imata skladna lica enako razporejena okrog vsakega ogliˇsˇca, in vsi diedrski koti ob ustreza joˇcih si robovih teh dveh poliedrov so enaki). Prav tako mu bo zanimiva matematiˇcna obravnava razliˇcnih »kon.guracijskih prostorov«. Tako ima npr. poligon, translatiran in roti­ran v trirazseˇznem prostoru, ˇsest prostostnih stopenj, njegov kon.guracijski prostor pa je R3 × SO(3), kjer je SO(3) posebna ortogonalna grupa. Bolj »raˇcunalniˇstvu naklonjenega« bralca pa bo pritegnila obravnava gibanja robotske roke, modeliranega z ustreznim »kon.guracijskim prostorom« od­prte poligonske verige. Avtorja nimata pomislekov bralcu v osnovnih obrisih predstaviti ˇse zahtevnejˇse problemske sklope, kot je npr. doloˇcitev kon.gu­racijskega prostra sklenjene poligonske verige (tako se npr. izkaˇze, da je kon.guracijski prostor sklenjene ravninske verige s ˇstirimi .ksiranimi dolˇzi­nami stranic ter .ksiranima ogliˇsˇcema A in B ter gibljivima ogliˇsˇcema C in D krog!), ali celo doloˇcitev kon.guracijskega prostora delcev na intervalu, katerih poloˇza ji lahko v doloˇcenih trenutkih sovpadejo. 
Na koncu vsakega poglavja so tudi reference in kratek opis, ka j lahko na jdemo v njih. Tudi v tem smislu je knjiga zelo prijazna do ˇstudenta, ki bi ga veselilo nadaljnje raziskovanje na tem podroˇcju in ki sam (bodisi zaradi nepoznavanja podroˇcja bodisi zaradi neveˇsˇcosti pri iskanju virov) morda ne bi mogel tako hitro ali zlahka na jti relevantne literature ali spletnih virov. 
Sklepna misel: knjiga bralcu pomaga spoznati osnove osrednjih podroˇcij hitro razvija joˇcega se, zelo zanimivega in mnogostransko uporabnega po­droˇcja diskretne in raˇcunske geometrije. Razblini tudi sleherni morebitni preostanek predsodka, da sta »ˇcista« in »uporabna« matematika loˇceni di­sciplini. Razumevanje, da je sodelovanje med obema nujno in plodno, je eden od naukov te knjige, ki si ga je vredno zapomniti, ko pozabimo vse drugo. 
Jurij Koviˇc 

Joˇze Peternelj in Tomaˇz Kranjc, Osnove .zike – Mehanika, termo­dinamika in molekularna .zika; Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeniˇstvo in geodezijo, 2014, 487 str. 
Joˇze Peternelj je profesor .zike na Fakulteti za gradbeniˇstvo in geodezijo v Ljubljani. Tomaˇz Kranjc predava razliˇcne pred­mete s podroˇcja .zike na Peda­goˇski fakulteti v Ljubljani, na Fakulteti za matematiko, nara­voslovje in informacijske tehno­logije (FAMNIT Koper) ter na Pedagoˇski fakulteti v Kopru. 
Knjiga je nastala na podlagi predavanj osnovnega teˇcaja .­zike. Obravnava osnovna po­droˇcja .zike: mehaniko, termo­dinamiko in molekularno .ziko ter valovanje v 17 poglavjih, ki so razdeljena ˇse na podpoglavja. Vsako poglavje se zaˇcne z opre­delitvami .zikalnih koliˇcin ter njihovih povezav, ki jih dopolnjujejo tudi ustrezni gra.ˇcni prikazi. Fizikalni zakoni so vedno zapisani z besedami in enaˇcbami, dodan jim je obseˇzen komentar, ki opredeli pomen in uporabo teh zakonov. V vsakem poglavju so navedeni reˇseni primeri z obrazloˇzi­tvijo, zakaj je bila uporabljena doloˇcena povezava med koliˇcinami oziroma kaj vse lahko zanemarimo. Klasiˇcnim primerom, ki jih najdemo tudi v drugih uˇcbenikih osnov .zike, so dodani ˇse manj znani primeri, s katerimi avtorja prikaˇzeta, kako navedene zakone uporabimo pri reˇsevanju proble­mov, vzpodbujata bralce k razmisleku in dajeta namige za reˇsevanje po­dobnih problemov. Natisnjeni so na svetlo sivi podlagi, tako da jih bralec, ki utrjuje le teoretiˇcne osnove, lahko preskoˇci. Knjiga ne vsebuje dodatnih nereˇsenih nalog za utrjevanje in ponavljanje snovi. 
Ker je knjiga obseˇzna, bomo pri posameznih poglavjih omenili le poseb­nosti in zanimive primere oziroma navedli le obravnavane teme. 
V prvem poglavju, Kinematika, avtorja najprej obravnavata gibanje toˇckastega telesa. Celotno poglavje ima 11 reˇsenih primerov s komentarji. Med zanimivejˇsimi primeri so: merjenje hitrosti izstrelka, padanja deˇzne kaplje in doloˇcitev tira gibanja toˇckastega delca s pospeˇskom Ca = Cv × C 
v ravnini, ki je pravokotna na konstanten vektor C 
, kar omogoˇca avtor-jema, da ˇze pri kinematiki obravnavata tudi gibanje naelektrenega delca v homogenem magnetnem polju. 
V drugem poglavju Newtonovi zakoni in osnove dinamike, ki obrav­nava Newtonove zakone, so zanimivi primeri: padanje kroglice v glicerinu, bungee jumping, padanje kroglice z visokega stolpa, ki leˇzi na ekvatorju. Na koncu je dodan ˇse kratek izsek iz dela Galilea Galileja o relativnosti gibanja. 
Vsebini tretjega in ˇcetrtega poglavja, Gibalna koliˇcina in Navor in gibanje togega telesa, opredelita ˇze naslova. Navedimo le zanimiva pri­mera iz ˇcetrtega poglavja, ki se med sebo j dopolnjujeta: 
1. 
V preteklosti se je Luna vrtela okrog svo je osi precej hitreje kakor danes, ko je kotna hitrost vrtenja Lune enaka njeni kotni hitrosti pri kroˇzenju okrog Zemlje. Ali je to posledica gravitacijskih privlaˇcnih sil, s katerimi Zemlja deluje na Luno? (Primer 3, stran 90.) 

ˇ

2. 	
Cisto za konec pa premislimo ˇse o naslednji trditvi. Zaradi medsebo jnih plimskih sil se vrtilni koliˇcini Zemlje in Lune okoli njunih osi zmanjˇsu­jeta, zato njuna oddaljenost naraˇsˇca, kar smo ˇze omenili v enem od prejˇsnjih primerov. Poskusimo na jti razlago s pomoˇcjo zakona o ohra­nitvi vrtilne koliˇcine. (Primer 15, stran 113.) 


Tudi iz petega poglavja Delo in energija navedimo le primer: 
S kolikˇsno moˇcjo vrti kolesar pedale kolesa pri voˇznji v klanec z naklon­skim kotom . = 10., ˇce je njegova hitrost ves ˇcas enaka v = 10 m/s? Skupna masa kolesarja in kolesa je m = 65 kg. Upoˇsteva j zraˇcni upor! (Primer 9 na strani 134.) 
ˇ
Sesto poglavje, Newtonov gravitacijski zakon, poleg klasiˇcnih tem nekoliko obˇsirneje, kot je to v drugih uˇcbenikih, obravnava plimske sile na Zemlji ter tire satelitov in planetov, kjer so navedeni podatki o gibanju planetov in nekaterih umetnih satelitov. Na koncu poglavja je omenjeno ˇse ˇsirjenje vesolja, dodani sta tudi dve zgodovinski opazki. 
Poglavje Nihanje predstavimo z dvema primeroma: 
1. 
Na lahkih vilicah z dolˇzino l je z lahkimi naperami pritrjeno kolo z maso m in polmerom R (slika 1). Drugi konec vilic je pritrjen na vodoravno os, okoli katere se vilice lahko vrtijo brez trenja. Nihalo izmaknemo iz ravnovesne lege za ma jhen kot .0 in spustimo. Doloˇci niha jni ˇcas, kotni pospeˇsek v trenutku, ko nihalo spustimo, in kotno hitrost, ko gre nihalo skozi ravnovesno lego. Pri tem upoˇsteva j, da (a) v leˇza ju C kolesa ni trenja in (b) da je trenje v leˇza ju C tako veliko, da se vilice in kolo gibljejo kot togo telo. 

2. 
Kakor je poroˇcal Lord Kelvin, je ˇzepna ura Archibalda Smitha iz Jor­danhilla, ki jo je dobil kot priznanje za svo je delo Deviations of Compass in Iron Ships, v 1299 sekundah prehitela za eno sekundo, ˇce je leˇzala na gladki vodoravni podlagi, prepuˇsˇcena sama sebi. Razloˇzi, zaka j gre ura hitreje, ˇce leˇzi na gladki vodoravni podlagi, kakor ˇce je .ksirana. Trenje med podlago in uro zanemarimo (slika 2). 



Slika 1. Nihanje kolesa. Slika 2. Ura na gladki podlagi. 
Poglavje se konˇca s tremi mislimi Isaaca Newtona. 
V poglavju Mehanske lastnosti snovi omenimo primer, ki je zanimiv predvsem zato, ker se danes s sondami da potopiti precej globoko: 
Za koliko odstotkov je gostota vode v globini 4 km veˇcja od gostote na gladini? Stisljivost vode je 4, 5 · 10-10 m2/N, gostota na gladini pa pribliˇzno .0 = 103 kg/m3 . Kolikˇsna je gostota elastiˇcne energije na tej globini? (Primer 5, stran 237.) 
Obravnava snovi v poglavjih Trki teles, Zgradba snovi, Toplota in Viskoznost je klasiˇcna. V poglavju Toplota je naslednji primer: 
Epruveto z dolˇzino L = 20 cm in stalnim preˇcnim presekom S obrnemo z odprtim koncem navzdol in jo poˇcasi potopimo v vodo do take globine, da zrak v njej zapolnjuje polovico prostornine epruvete (slika 3). Za koliko moramo ˇse potopiti epruveto, da se viˇsina zraˇcnega stolpca v njej zmanjˇsa za 1 mm? Temperatura zraka in vode je enaka. Zunanji zraˇcni tlak je p0 = 1 bar. (Primer 3, stran 283.) 
V poglavju Termodinamski procesi obravnavata avtorja hladilne in 

Slika 3. Ko potopimo epruveto v vodo (pri ves ˇcas enaki temperaturi), se tlak zraka v epruveti poveˇca, prostornina pa zmanjˇsa. 
toplotne ˇcrpalke, toplotne stro je v praksi, naravo ireverzibilnosti in entro­pijo. Ker se veliko govori o moˇznosti ˇzivljenja na Luni, navedimo ˇse primer: 
Prvi naseljenci na Luni bodo imeli poleg drugih teˇzav tudi teˇzave z vzdrˇzevanjem primerne temperature v bivalnih prostorih. Vzemimo, da je povpreˇcna dnevna temperatura na Luni +100 .C, povpreˇcna noˇcna tem­peratura pa -100 .C in da je toplotni tok skozi stene tipiˇcnega bivaliˇsˇca podan z enaˇcbo 
dQ/dt = 0,5 kWK-1 · .T , 
kjer je .T temperaturna razlika med eno in drugo stranjo sten. Naseljenci vzdrˇzujejo v bivalnih prostorih stalno temperaturo +20 .C s pomoˇcjo re­verzibilnih Carnotovih stro jev. S kolikˇsno moˇcjo mora jo poganjati stro je a) podnevi in b) ponoˇci? 
Poglavja Fazne spremembe, Povrˇsinski po javi in Preva janje to­plote ima jo zopet klasiˇcno vsebino, vendar vsebujejo neka j zanimivih reˇse­nih problemov z obseˇznimi komentarji. 
Zadnje poglavje Valovanje je na jobseˇznejˇse in obravnava razliˇcne vrste valovanj. Navedimo dva primera, ki se lahko povezujeta s problemi nekaterih voznikov: 
1. Akustiˇcni radar deluje na enak naˇcin kakor obiˇca jni radar, le da upo­rablja namesto elektromagnetnega valovanja zvoˇcno valovanje (slika 4). Doloˇci hitrost vozila na osnovi izmerjene frekvence zvoˇcnega valovanja. 

Slika 4. Cestni radar: avtomobil vozi v smeri zveznice z radarjem. 
2. Doloˇci hitrost avtomobila na osnovi izmerjene frekvence zvoˇcnega valo­vanja za primer na sliki 5. 

Slika 5. Avtomobil vozi pod kotom . glede na zveznico z radarjem. 
Pisanje uˇcbenikov ni posebej hvaleˇzno delo. Po eni strani bi avtorji radi kar se da razumljivo razloˇzili osnovne principe, po drugi strani pa to privede do debelih knjig. Avtorjema je uspelo obseˇzno snov predstaviti na 487 stra­neh. Nekatere razlage so klasiˇcne, sa j drugaˇce pri razlagah osnov tudi ne gre, druge, predvsem mehaniko in toploto ter del valovanja, avtorja temeljiteje obdelata in opiˇseta na naˇcin, ki sicer ni obiˇca jen, je pa naraven. Posebna odlika tega uˇcbenika je mnoˇzica dovolj natanˇcno in nazorno izdelanih slik ter izˇcrpnih komentarjev ob zgledih. Besedilo je skrbno izbrano in tekoˇce berljivo, poglavja in podpoglavja so premiˇsljeno razporejena in usmerja jo bralca k vrnitvi na ta ali oni komentar ali zakon, ki je potreben za nadaljnje razumevanje. Vsebino popestrijo tudi kratki zgodovinski dodatki. Po uˇcbe­niku bi lahko posegli tudi ˇstudentje naravoslovja (posebej .zike) in drugih tehniˇcnih fakultet, v njem pa bi naˇsel ka j zanimivega tudi radovedni bralec, ki pozna osnove diferencialnega raˇcuna. 
Nada Razpet 

VESTI 

MEDNARODNO LETO SVETLOBE IN TEHNOLOGIJ, 
POVEZANIH S SVETLOBO 

Generalna skupˇsˇcina Zdruˇzenih narodov je na svo jem 68. zasedanju leto 2015 razglasila za mednarodno leto svetlobe in tehnologij, povezanih s sve­tlobo [1]. To na j javnost opozori na doseˇzke pri raziskovanju svetlobe in o velikem pomenu doseˇzkov pri tem za ljudi. Tehnologije na podlagi svetlobe da jejo upanje na vzdrˇzni razvo j in ponuja jo ˇstevilne reˇsitve v energetiki, izobraˇzevanju, kmetijstvu, prenosu podatkov in medicini. 
Dejavnosti v mednarodnem letu svetlobe na j poveˇca jo razumevanje sve­tlobe in njene uporabe v javnosti in razˇsirijo zavest o velikem pomenu sve­tlobe in njene uporabe v modernem svetu. V leto 2015 padejo tudi po­membne obletnice, povezane z raziskovanjem svetlobe [2]: 
• 	
Knjiga o optiki Alhazena iz leta 1015; 

• 	
Opis svetlobe kot transverzalnega valovanja etra Augustina Fresnela iz leta 1815; 

• 	
teorija elektromagnetnega valovanja Jamesa Clerka Maxwella iz leta 1865; 

• 	
zaton etra ter svetlobni kvanti in opis fotoelektriˇcnega po java z njimi iz leta 1905 in obravnava svetlobe v kozmologiji v okviru sploˇsne teorije relativnosti leta 1915 Alberta Einsteina; 


• 	odkritje vesoljskega mikrovalovnega sevanja Arna A. Penziasa in Ro­berta W. Wilsona ter misel na svetlobne vodnike Charlesa Kaa iz leta 1965. 
Abu Ali al-Hasan ibn al-Ha jtam, Alhazen (965– 1040), arabski naravoslovec in matematik, ro jen v Basri, je Knjigo o optiki napisal v Kairu v letih od 1011 do 1021. Knjigo so prevedli v latinˇsˇcino in prevod natisnili v Baslu leta 1572. Knjiga je veljala za osrednje optiˇcno besedilo in je moˇcno vplivala na razvo j optike. Nekateri ima jo Alha­zena za »oˇceta sodobne optike«. Alhazen se je prvi odloˇcno odvrnil od zamisli, da vidimo, ker neka j izvira iz oˇci. S poskusi je ugotovil, da neka-tera telesa odda ja jo svetlobo in jo druga odbija jo. Raziskal je krogelno zbiralno zrcalo, opazil sferno aberacijo in ugotovil, da paraboloidno zrcalo nima te napake. Opisal je kamero obskuro in razmi­ˇsljal o nastanku senc. Lomnega zakona ni poznal, ugotovil pa je, da razmerje med lomnim kotom in vpadnim kotom ni konstantno. Zagotovil je, da je hitrost svetlobe v gostejˇsi snovi manjˇsa kot v red­kejˇsi. Raziskal je delovanje oˇcesa, a pri tem ni bil tako uspeˇsen. 


Augustin Fresnel (1788–1827), francoski inˇzenir, je v razpravi, ki jo je leta 1815 predloˇzil franco­ski akademiji, opisal poskuse s svetlobo in opozo­ril na prednosti valovne slike pred delˇcno. Pred tem je Thomas Young svetlobo po jasnil kot longi­tudinalno valovanje, ki potuje po etru z nemerljivo ma jhno gostoto tako, kot zvok potuje po zraku. Deli zraka niha jo v smeri potovanja in po zraku potujejo zgoˇsˇcine in razredˇcine. Young je polariza­cijo svetlobe po jasnil s transverzalnim valovanjem, ki je primeˇsano longitudinalnemu. Fresnel je razvil opis svetlobe s transver­zalnim valovanjem etra. Ni se ustraˇsil tega, da lahko tako valovanje potuje samo po trdni snovi. V obseˇznem delu je izraˇcunal bliˇznje uklonske slike na naˇcin, ki ga uporabljamo ˇse dandanes. 

James Clerk Maxwell (1831–1879), ˇskotski .zik, si je prizadeval predstave Michaela Faradaya o elek­triˇcnih in magnetnih po javih izraziti v matematiˇc­nem jeziku. To mu je uspelo v korakih. Na jprej se je skliceval na podobnost elektriˇcnih in magne­tnih po javov z mehaniˇcnimi in termodinamiˇcnimi po javi. Nato je to dosegel nekoliko bolj urejeno s podobnostjo z enim samim po javom, kar je poeno­tilo raˇcunanje. Naposled je leta 1865 v Dinamiˇcni teoriji elektromagnetnega polja zavrgel sklicevanje na podobnosti in vpeljal elektriˇcno in magnetno polje kot samosto jni koli-ˇcini. S tem je optiko povezal z elektrodinamiko, medtem ko je bila dotlej bliˇze mehaniki. 

. 
\ · E = 
.0 
\ · B = 0 .B
\ × E = - 
.t 
  
.E
\ × B = µ0j + .0 
.t
Albert Einstein (1879–1955) je v ˇcudovitem letu 1905 v ˇclanku O hevristiˇcnem glediˇsˇcu, ki za­deva nastanek in spremembo svetlobe uvedel sve­tlobne kvante. Pet let prej je Max Planck po ja­snil sevanje ˇcrnega telesa z zamislijo, da segreto telo z valovanjem v votlini energijo izmenjuje v obrokih, energijskih kvantih. Einstein je pri­vzel, da kvanti tudi potujejo po vakuumu »ne da bi se delili, in jih je mogoˇce absorbirati ali iz­sevati samo kot celote«. Po tej poti je po jasnil .uorescenco, fotoelektriˇcni po jav in ionizacijo plinov s svetlobo. Zapisal je enaˇcbo za energijo elektronov, ki jih pri fotoelektriˇcnem po javu iz kovine izbije svetloba, v od­visnosti od frekvence svetlobe. Leta 1922 (za leto 1921) je dobil Nobelovo nagrado. 

Ameriˇska astronoma Arno Penzias (1933) in Ro­bert Wilson (1936) sta leta 1978 prejela Nobe­lovo nagrado za odkritje mikrovalovnega seva­nja ozadja. To je termiˇcno sevanje, ki od vsepo­vsod iz vesolja dosega Zemljo in je nastalo ob za­ˇcetku vesolja. Odkritje 1964 je bilo nakljuˇcno, o njem pa sta poroˇcala leta 1965. Sevanje ozadja je kljuˇcno za razumevanje razvo ja vesolja. Prostor med zvezdami in gala­ksijami je z optiˇcnimi teleskopi videti popolnoma ˇcrn, obˇcutljive radijske antene pa zazna jo signal, ki ga ne moremo povezati z nobenim telesom in je v vseh smereh skora j popolnoma enak. Spekter ima vrh v mikrovalovnem delu in ustreza telesu, segretemu na slabe 3 K. Ma jhna odstopanja v jakosti svetlobe priˇca jo o na jzgodnejˇsih strukturah v vesolju. 


Charles K. Kao (1933), v Hongkongu ro jeni kita jski inˇzenir, ki je delal v Angliji in Zdruˇzenih drˇzavah, se je leta 1965 domislil, da bi svetlobo vodili po tan­kem vlaknu iz prozorne snovi. Po jav opazimo pri osvetljenih vodometih. Svetloba potuje po vodnih curkih in se s totalnim odbo jem na meji odbije na­

za j v vodni curek, ˇce ta ni preveˇc ukrivljen. Sredi prejˇsnjega stoletja je po jav postal zanimiv za prenos sporoˇcil. Sporoˇcila je mogoˇce tem bolje prenaˇsati, ˇcim viˇsja je frekvenca valovanja, s katerim jih prenaˇsamo. Kao je predlagal »optiˇcni valovni vodnik«. Ugotovil je, da je za ta namen na jprimernejˇsi nekristalni kremen. Neka j ˇcasa je tra jalo, preden je uspelo izdelati vlakna iz dovolj ˇcistega kremena, v katerem se je valovanje le malo oslabilo. Zda j je vse povrˇsje Zemlje prepredeno s svetlobnimi kabli. K hitri razˇsiritvi so prispevali odkritje polprevodniˇskih laserjev in ˇstevilne tehniˇcne izboljˇsave. Leta 2009 je Kao dobil polovico Nobelove nagrade. 

Dejavnosti v mednarodnem letu svetlobe koordinira Mednarodni center za teoretiˇcno .ziko v Trstu pod okriljem UNESCA. Z njimi na j bi: 
• 	
izboljˇsali razsvetljavo in dosegli boljˇso kakovost ˇzivljenja v razvitem in razvija joˇcem se svetu, 

• 	
zmanjˇsali svetlobno onesnaˇzevanje in izgube energije, 

• 	okrepili vlogo ˇzensk v znanosti, 

• 	
spodbudili izobraˇzevanje med mladimi in 

• 	
spodbudili tra jnostni razvo j. 


Na domaˇci strani [3] si lahko ogledate vse podrobnosti v zvezi z mednaro­dnim letom svetlobe, na jdete obilico gradiva in poiˇsˇcete aktualne dogodke. ˇ
Ce sami naˇcrtujete aktivnosti, povezane s svetlobo, ali piˇsete blog o tem, sporoˇcite urednikom, da bodo to ob javili na strani. 
V Sloveniji dejavnosti koordinira dr. Matej Kobav z ljubljanske fakul­tete za elektrotehniko. Obvestila in vpraˇsanja mu lahko poˇsljete na naslov matej.kobav@fe.uni-lj.si. Za Slovenijo aktualna obvestila so ob javljena na spletni strani [4]. 
Mednarodnemu letu je prilago jena tudi tema letoˇsnjega izobraˇzevalnega seminarja DMFA Slovenije za uˇcitelje .zike in naravoslovja [5], ki ga organi­ziramo v sodelovanju s Pedagoˇsko fakulteto Univerze v Ljubljani. Seminar Poskusi s svetlobo je potekal v petek, 13. marca, popoldne, in v soboto, 
14. marca 2015 na Pedagoˇski fakulteti, Kardeljeva ploˇsˇcad 16, v Ljubljani. Drugo strokovno sreˇcanje na to temo bo 25. in 26. septembra v Ljubljani na Fakulteti za matematiko in .ziko. Za podrobnejˇse informacije o tem sreˇcanju spremlja jte domaˇco stran druˇstva www.dmfa.si. 
LITERATURA 
[1] 	http://www.un.org/ga/search/view_doc.asp?symbol=A/68/440/Add.2 http://www.light2015.org/dam/About/Resources/Resolution/Resolution_EN. pdf, ogled: 3. 3. 2015. 
[2] 	J. Strnad, Mala zgodovina svetlobe, (bo objavljeno v Proteusu). 
[3] 	http://www.light2015.org/Home.html, ogled: 3. 3. 2015. 
[4] 	http://www.iyl2015.si/, ogled: 3. 3. 2015. 
[5] 	https://www.dmfa.si/DMFA2015-PoskusiSSvetlobo.pdf, ogled: 3. 3. 2015. 
Aleˇs Mohoriˇc 
OB STOLETNICI ROJSTVA MARTINA GARDNERJA 
Ameriˇski matematik Martin Gardner (1914–2010), avtor ˇstevilnih knjig o razvedrilni matematiki, dolgoletni pisec znamenite rubrike Mathematical Games za revijo Scienti.c American, kateremu v poklon dandanes pri­reja jo sreˇcanja G4G (Gathering for Gardner ) in Celebration of Mind, je svo jevrsten fenomen: ˇceprav ni imel skora j nobene formalne matematiˇcne izobrazbe, se je v matematiˇcni skupnosti (pa tudi zuna j nje) prav v XX. stoletju, ko za amaterje in samouke v matematiki (vsa j raziskovalni) tako rekoˇc ni bilo veˇc mesta, svetovno uveljavil kot briljanten pisec neka j sto ˇclankov in knjig s podroˇcja t. i. rekreativne, pa tudi resne matematike so­dobnikov, ki mu jo je uspelo predstaviti na preprost, zanimiv, strokovno korekten in zabaven ter pouˇcen naˇcin. Ker nas Gardner tuka j zanima pred­vsem kot matematik, samo kot zanimivost omenimo, da se je ljubiteljsko ukvarjal tudi s ˇcarovniˇskimi triki in da je bil znan tudi kot avtor leposlovnih knjig in skeptiˇcni pisec o razliˇcnih .lozofskih vpraˇsanjih. Napisal je veˇc kot sto knjig z razliˇcnih podroˇcij. 
Med posta jami na njegovi ˇzivljenjski poti omenimo le na jvaˇznejˇse, kot je npr. obiskovanje univerze v Chicagu, kjer je ˇstudiral .lozo.jo. Potem je ˇsel v New York, postal svobodni pisatelj in se osem let preˇzivljal s pisanjem ugank za otroˇski ˇcasopis Humpty Dumpty. Prelomnico v njegovi karieri je pomenil ˇclanek o heksa.eksagonih, s katerim se je zaˇcelo njegovo 25-letno pisanje slavne rubrike »Mathematical Games« za revijo Scienti.c American. 
Neka j citatov sodobnikov o Martinu Gardnerju lepo osvetljuje njegovo osebnost in pomen njegovega dela: »Eden na jveˇcjih intelektov proizvedenih v tej deˇzeli v 20. stoletju« (Douglas Hofstadter), »Gardnerjev prispevek k sodobni intelektualni kulturi je enkraten – v svo jem obsegu, svo jem vpo­gledu, in razumevanju teˇzkih vpraˇsanj, ki so pomembna« (Noam Chomsky), »Pripeljal je veˇc matematike k veˇc milijonom kot kdorkoli drug« (Richard 
K. Guy). 
V ˇcem je skrivnost njegovega uspeha in izjemne priljubljenosti, ki pre­ˇ
raˇsˇca v legendo? Cesa se lahko od njega nauˇcimo? Kako bi se splaˇcalo raziskovati njegovo delo v prihodnje? Gardner je ra je govoril o drugih kot o sebi. Bil je skromen, zadrˇzan, a 
velik zagovornik kritiˇcne misli in nasprotnik antiintelektualizma. V nekem intervjuju je izjavil, da je v svo jem delu predvsem uˇzival in da je imel ˇse sreˇco, da je bil za to plaˇcan. Svo je pomanjkljive matematiˇcne izobrazbe ni imel za slabost, sa j je bil precej bister za matematiko in se je lahko sam nauˇcil vsega, o ˇcemer je pisal. Po lastnih besedah je imel na jra je tiste svo je kolumne, v katerih so se prepletale matematiˇcne in .lozofske teme. Bil je oster nasprotnik razliˇcnih »mejnih« znanosti, nasprotoval je npr. para­psihologiji, astrologiji, numerologiji, itd. Gardner je bil eden pionirjev na podroˇcju, ki ga bomo matematiki v prihodnosti morali vse bolje obvladovati: po jasnjevati javnosti, ka j delamo in zaka j je to zanimivo in pomembno. To je poˇcel zelo dobro (navsezadnje je bil tudi pisatelj) in v tem smislu se ob prebiranju njegovih ˇclankov in knjig lahko veliko nauˇcimo. Svo jih kolumen ni pisal po nikakrˇsnem udobnem kliˇseju, paˇc pa je pazil, da se prispevki med sebo j kolikor mogoˇce razlikujejo – tako po vsebini kot po slogu. 
Imel pa je tudi sreˇco, da je bil kot ˇze uveljavljeni pisec knjig in strasten ljubitelj matematike od dijaˇskih let pripravljen to niˇso zapolniti prav teda j, ko se je po javila (pronicljivi urednik Gerry Piel, navduˇsen nad Gardnerje­vim ˇclankom o »heksa.eksagonih«, je opazil porast zanimanja javnosti za matematiko ob izidu obseˇzne Newmanove knjige The World of Mathematics v ˇstirih delih, ki je nepriˇcakovano postala uspeˇsnica, in ga povabil k pisa­nju stalne rubrike za Scienti.c American). Kot je to skromno po jasnil in komentiral Gardner sam v intervjuju z Anthonijem Barcellosom za knjigo People of Mathematics : »Ostalo je zgodovina« (angl. »The rest is history«). 
Predvsem nas Gardnerjeva ˇzivljenjska pot uˇci, da talentiran samouk lahko tudi v matematiki na jde svo jo »niˇso«, pa ˇcetudi le v obrobnem, od profesionalnih matematikov dostikrat podcenjevanem »getu« rekreativne matematike. Gardnerju je to uspelo ne le zato, ker je preprosto in zanimivo pisal o zahtevnih temah, ampak tudi zato, ker je zavestno izbiral takˇsna podroˇcja in teme s podroˇcja »rekreativne« matematike, ki so pomembne tudi za »glavni tok« sodobne matematike. Tako je po eni strani matema­tiko pribliˇzal ˇsirˇsi javnosti, po drugi strani pa samim matematikom osvetlil njihovo delo iz drugaˇcnega, privlaˇcnejˇsega zornega kota. 
V Gardnerjevih ˇclankih na jdemo poleg obilice logiˇcnih in drugih ugank, paradoksov, ˇsahovskih problemov, trikov s kartami in drugega »ˇzeleznega re-pertoarja« rekreativne matematike (ki ga je v veliki meri prav on pomagal izoblikovati!) tudi ˇstevilne pomembne probleme iz diskretne matematike, kombinatorike, aritmetike, geometrije, topologije, logike, teorije ˇstevil, ma­tematiˇcne teorije iger, teorije vozlov, teorije kon.guracij, itd. Gardnerju je uspelo premostiti na videz brezdanji prepad med rekreativno in resno matematiko, in to je morda njegova na jveˇcja zasluga. Pokazal je, da tudi preprosti problemi rekreativne matematike vodijo k resnim in pomembnim problemom diskretne matematike, ki je po eni strani (po mnenju ˇstevilnih sodobnih piscev) matematika prihodnosti, po drugi pa je vsa j na osnovni ravni dostopna tudi uˇcencem in dijakom. Reˇsitve problemov je dostikrat pospremil tudi s pouˇcnimi komentarji, ki bralcu pomaga jo razumeti npr. tipiˇcne napake v miˇsljenju, vrednost ugank, ki terja jo izvirno razmiˇsljanje zuna j obiˇca jnih konceptov, ki ga potrebujejo vsi resniˇcno inovativni ma­tematiki, ipd. Profesionalni matematik v njegovih delih sicer morda ne bo naˇsel veliko takega, ˇcesar ne bi ˇze vedel, se bo pa lahko veliko nauˇcil o samem naˇcinu, kako matematika dejansko nasta ja. Ne pozabimo, da so cela ma­tematiˇcna podroˇcja (npr. verjetnostni raˇcun ali matematiˇcna teorija iger) dobila impulz za svo j nastanek prav iz obravnave problemov, ki bi jih mate­matiki tistega ˇcasa upraviˇceno lahko uvrstili v »rekreativno« matematiko. Rekreativna matematika torej ni neka »genetsko drugaˇcna vrsta« matema­tike, ampak se v njenih na videz trivialnih in zabavnih problemih dostikrat skriva zametek nove, vznemirljive in tehtne matematiˇcne discipline, ki pa jo mora nekdo kot takˇsno ˇsele opaziti in izumiti. 
Pisci matematiˇcnih uˇcbenikov in oblikovalci nacionalnih kurikulov s po­droˇcja matematike bi tudi v Gardnerjevih knjigah (kot tudi v knjigah drugih uveljavljenih piscev s podroˇcja razvedrilne matematike) lahko naˇsli obilico materiala za oblikovanje privlaˇcnih nalog in pro jektov, bolj povezanih z ˇzi­vljenjem in razvo jem sodobne matematike. 
Cilj tega prispevka pa ni le informativen (poroˇcilo o ˇzivljenju in delu M. G.) in vrednotenjski (ocena vpliva in pomena M. G.), ampak tudi motivacij­ski – na tem vzorˇcnem primeru (»ˇstudiji primera M. G.«) lahko vidimo, da je preuˇcevanje ˇzivljenja in dela matematikov oziroma raziskovanje zgodovine matematike (celo t. i. rekreativne, ki sicer med matematiki ni zelo cenjena) zelo koristno tako za dijake in ˇstudente kot tudi za uˇcitelje matematike in raziskovalce. Pomaga namreˇc tako pri razvijanju samih matematiˇcnih sposobnosti (npr. reˇsevanje problemov, spoznavanje metod reˇsevanja pro­blemov, zastavljanje novih problemov, itd.) kot tudi pri razvijanju veˇsˇcin pisanja o matematiki (ki je matematikom, celo dobrim, dostikrat primanj­kuje). Zato ni dvoma, da bo ˇstudij zgodovine matematiˇcnih znanosti, ki se po svetu ˇze vse bolj uveljavlja tudi kot doktorski ˇstudij, tudi pri nas prej ali slej pridobil ustrezno veljavo in podporo. 
Veˇc podatkov o ˇzivljenju in delu Martina Gardnerja, ki je vsekakor vre­dno nadaljnjih raziskav, lahko zainteresirani bralec dobi npr. na spletnem naslovu http://martin-gardner.org/. 
Jurij Koviˇc 
SPOˇCITELJI MATEMATIKE, FIZIKE IN 
STOVANI U ˇ
ASTRONOMIJE 

Druˇstvo matematikov, .zikov in astronomov Slovenije in Fakulteta za mate­matiko in .ziko vabita k sodelovanju na strokovnem sreˇcanju in 67. obˇcnem zboru, ki bosta 25. in 26. septembra 2015 na Fakulteti za matematiko in .ziko v Ljubljani. 
Matematiˇcni del strokovnega sreˇcanja bo potekal skupno s tradicional­nim seminarjem za uˇcitelje matematike, ki poteka na Fakulteti za mate­matiko in .ziko. Vodilna tema .zikalnega dela strokovnega sreˇcanja pa je posveˇcena mednarodnemu letu svetlobe. Potekala bo tudi astronomska delavnica. 
K sodelovanju vabimo vse uˇcitelje in ˇclane DMFA, da predstavijo svo je izkuˇsnje in ideje: 
• 
v obliki kra jˇsih predstavitev; 

• 
v obliki plakatov; 

• 
v obliki kra jˇsih delavnic. 


Vabimo tudi ˇstudente matematike, .zike in astronomije, da predstavijo svo je doseˇzke. 
Predavateljem bodo na voljo internet, pro jekcijsko platno in pro jektor. Raˇcunalnik s potrebno programsko opremo in druge pripomoˇcke mora jo predavatelji prinesti s sebo j. 
Prosimo vas, da nam prispevke poˇsljete do 20. avgusta 2015 na naslov nada.razpet@fmf.uni-lj.si. 
Prijave mora jo vsebovati: 
• 	
naslov prispevka, 

• 	
ime in priimek avtorja (ali veˇc avtorjev), naslov ustanove, kjer je avtor zaposlen, oziroma domaˇci naslov (ni obvezno) in elektronski naslov, 

• 	
kratek povzetek prispevka (pri velikosti ˇcrk 12pt na j ne presega 10 vr­stic), 

• 	
predlagano tra janje predstavitve. 


Izbor prispevkov bo opravila in razvrstila po sekcijah posebna komisija, ki jo bo imenoval upravni odbor DMFA Slovenije. Povzetki bodo ob javljeni v biltenu obˇcnega zbora. 
Vsa obvestila v zvezi z obˇcnim zborom in strokovnim sreˇcanjem bomo sproti ob javljali na domaˇci strani DMFA: http://www.dmfa.si. 
Predsednik DMFA Slovenije: prof. dr. Matej Breˇsar 
OBVESTILO 
V Obzorniku za matematiko in .ziko, letnik 49, ˇst. 2, str. 62–63, in na do-maˇci strani DMFA, www.dmfa.si/pravilniki/Pravilnik_Drustvena­Priznanja.html je ob javljen Pravilnik o podeljevanju druˇstvenih priznanj. 
Vabimo vas, da pisne predloge (z utemeljitvami) v skladu s tem pravilni­kom za letoˇsnja priznanja poˇsljete do 20. avgusta 2015 na naslov: DMFA Slovenije, Komisija za pedagoˇsko dejavnost, Jadranska ul. 19, 1000 Ljubljana. 
Predsednik DMFA Slovenije: prof. dr. Matej Breˇsar 
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO 
LJUBLJANA, JANUAR 2015 
Letnik 62, številka 1 

ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53 
VSEBINA 
ˇ
Clanki Strani 
Arhitova krivulja (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–11 Plemljev trikotnik in negibne to cke transformacij (Ivan Pucelj) ˇ. . . . . . . . . 12–14 Na obisku pri kometu (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15–23 
Nove knjige 
Satyan L. Devadoss, Joseph O’Rourke: Discrete and Computational Geometry (Jurij Kovi ˇ24–26
c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jože Peternelj in Tomaž Kranjc, Osnove .zike – Mehanika, termodinamika in molekularna .zika (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . 27–31 
Vesti 
Mednarodno leto svetlobe in tehnologij, povezanih s svetlobo (Aleš Mohori c)ˇ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32–36 Ob stoletnici rojstva Martina Gardnerja (Jurij Kovi ˇ37–40
c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vabilo (Matej Brešar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–III Obvestilo (Matej Brešar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
CONTENTS 
Articles Pages 
The Archytas curve (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–11 Plemelj’s triangle and .xed points of transformations (Ivan Pucelj) . . . . 12–14 Visiting a comet (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15–23 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24–31 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32–III