i
i
“Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 35 — #1 i
i
i
i
i
i
The Origin of Geometry in India
Ramkrishna Bhattacharya, The Origin of Geometry in India, A
Study in the Śulbasūtras, Cambridge Scholars Publishing, Newca-
stle upon Tyne, 2019, 221 strani.
Predstavljena knjiga je prva celovita štu-
dija nastanka geometrije v Indiji. Šulba-
sutre so prva razpoložljiva besedila, ki
uporabljajo geometrijo in merjenje. Se-
stavljene so bile okoli leta 600 pr. n. št.,
čeprav so obstajale v ustnem izročilu že
vsaj 900 let prej. Beseda Šulbasutra po-
meni navodilo za merjenje z vrvico.
Značilnost staroindijske matematike
je bila na začetku predvsem uporabnost
v religioznem in vsakodnevnem življenju.
Pri tem imamo v mislih merjenje, tehta-
nje, trgovino, gradbenǐstvo, namakalne
sisteme, astronomska opazovanja, velika
števila itd.
Geometrijo lahko upravičeno štejemo
za najstareǰso vejo staroindijske mate-
matike. Njene začetke lahko postavimo
v predarijsko obdobje, v čas okoli 2500
let pr. n. št. v dolino reke Ind, in to na podlagi arheoloških izkopavanj v me-
stih Harappa in Mohendžo Daro, sedaj oboje v Pakistanu. Mesti sta imeli
med seboj pravokotne ulice, trinadstropne hǐse, zgrajene iz opeke, skladǐsča,
vodovod in kanalizacijo ter javna kopalǐsča. Težko si je predstavljati, da bi
vse to lahko zgradili brez znanja geometrije in računstva. Našli pa so tudi
pečate, poslikave in pisavo, ki še ni razvozlana, mere in uteži ter zametke
desetǐskega številskega sistema.
V predarijskem obdobju so na indijski podcelini prevladovali temnopolti
Dravidi, v drugem tisočletju pr. n. št. pa so se na podcelino z območja osre-
dnje Azije prek današnjega Irana in Afganistana množično priseljevala arij-
ska plemena, ki so prvotne prebivalce podjarmila ali jih postopoma potisnila
proti jugovzhodu. Takrat se je oblikoval tudi znani kastni sistem.
V arijskem obdobju so se v Indiji pojavile Vede, sveta besedila, ki so
se prvotno prenašala ustno iz roda v rod, dokler jih niso v sanskrtu tudi
zapisali. Nastala naj bi v 2. tisočletju pr. n. št., nekateri pa njihov začetek
pomikajo še kakih tisoč let nazaj v zgodovino. Beseda veda pomeni znanje.
Indijci so prepričani, da imajo Vede božji izvor, da so torej dar bogov.
Obstajajo štiri Vede: Rigveda, Jadžurveda, Samaveda in Atharvaveda.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 35
i
i
“Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 36 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Za matematike je najbolj zanimiva Jadžurveda, ki vsebuje navodila za
čaščenje, spoštovanje in žrtvovanje ob raznih priložnostih. Jadžurveda ima
dodatke, ki natančno razlagajo, kako je treba opravljati žgalne daritve v čast
božanstvom. V ta namen so uporabljali oltarje, ki so bili narejeni iz tesno
prilegajočih se opek različnih velikosti in oblik. Število opek je šlo včasih v
tisoče. V tlorisu so bili oltarji pravokotni, okrogli, pa tudi nenavadnih oblik,
ki spominjajo na želve in ptiče.
Del navodil so Šulbasutre, ki dajejo natančne napotke za geometrijsko
oblikovanje oltarjev. Indijci so namreč verjeli, da nepravilno narejen oltar ali
nepravilen potek vedskega obreda žrtvovanja na njem ne bo pri božanstvu,
ki mu je bil namenjen, dosegel svojega namena. Zato so bili pri izdelavi
oltarjev zelo natančni.
Knjiga tudi podaja podroben opis zgodovine geometrije v Egiptu, Mezo-
potamiji in Grčiji ter pokaže, da se geometrija povsod začne z zidarskimi
deli, ne pa z merjenjem zemlje, na čemer temelji beseda geometrija. V In-
diji so bili po avtorjevem mnenju, ki je podkrepljeno z raziskavami drugih
znanstvenikov, glavni uporabniki geometrije zidarji in tesarji. Kjer je bilo
na razpolago dovolj gline, so ljudje kmalu začeli izdelovati opeko in iz nje
zidati stavbe. Pri tem so si, kar se geometrije in merjenja tiče, pomagali s
preprostimi orodji: vrvicami, palicami, gnomoni in šestili. V Šulbasutrah je
nedvoumno zapisan Pitagorov izrek v trditvi, ki pove, da je kvadrat nad di-
agonalo pravokotnika enak vsoti kvadratov nad njegovima stranicama. Brez
tega védenja najbrž ne bi mogli zapisati navodila, kako konstruirati kvadrat,
ki ima za ploščino vsoto oziroma razliko ploščin dveh danih kvadratov. Niso
pa tega nikjer dokazali v današnjem smislu. To pomeni, da so izrek Indijci
poznali vsaj 200 let pred Pitagoro. Uporabljali so tudi pitagorejske trojice,
na primer (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (12, 35, 37).
V Šulbasutrah so navodila, kako z navpično palico in senco (gnomo-
nom) določimo smer vzhod–zahod in nato še smer sever–jug. To je bilo
pomembno za pravilno orientacijo oltarjev. V Šulbasutrah so navodila,
kako konstruiramo kvadrat, enakokraki trikotnik, romb, enakokraki trapez,
kako pretvarjamo dane like v ploščinsko enake druge like, vključno s pri-
bližno pretvorbo kvadrata v krog. Iz slednje pretvorbe, ki je podrobno
opisana, lahko izluščimo približek števila π, ki pa je precej nenatančen:
π
.
= 18(3 − 2
√
2)
.
= 3,088. Šulbasutre poznajo precej dober racionalni pri-
bližek za
√
2:
√
2
.
= 1 +
1
3
+
1
3 · 4 −
1
3 · 4 · 34 .
Kako so do tega prǐsli, ni znano. Na splošno takrat Indijci niso še ničesar
dokazovali. Njihova geometrija je bila drugačna kot Evklidova in je imela
popolnoma drug, namreč praktičen namen.
36 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 37 — #3 i
i
i
i
i
i
Loving + Hating Mathematics, Challenging the Myths of Mathematical Life
Knjiga poudarja, da je geometrija v Indiji dolgo temeljila bolj na dolži-
nah, za razliko od tiste v Grčiji, ki je uporabljala tudi kote. Pomislimo na
primer na besede trikotnik, pravokotnik, večkotnik, ki so dobesedni prevodi
ustreznih grških besed. Vse so zgrajene na besedi kot. V sanskrtu je na
primer trikotnik tribhudža, beseda bhudža pa pomeni stranica.
Besedilo je bogato ilustrirano s skicami oltarjev različnih oblik. Žal ne
prispeva nobene fotografije. Najdemo pa jih na svetovnem spletu, če ǐsčemo
fire altars India.
Avtor Ramkrishna Bhattacharya, rojen 1947, je doktoriral na Univerzi
v Kalkuti. Poučeval je angleščino na nekaterih visokih šolah v Kalkuti.
Od leta 2008 je v pokoju. Njegova raziskovalna dela vključujejo filozofske
študije, študije o noveǰsi zgodovini Indije in o zgodovini znanosti v Indiji.
Marko Razpet
Reuben Hersh in Vera John-Steiner, Loving + Hating Mathe-
matics, Challenging the Myths of Mathematical Life, Princeton
University Press, Princeton in Oxford, 2011, 428 strani.
Reuben Hersh je zaslužni profesor mate-
matike na Univerzi v Novi Mehiki. Je
avtor ali soavtor več zelo branih in tudi
nagrajenih knjig.
Vera John-Steiner je profesorica ling-
vistike in izobraževanja na Univerzi v
Novi Mehiki. Je tudi zgodovinarka in
sociologinja. Tudi ona je avtorica na-
grajenih knjig.
O življenju in delu matematikov ob-
staja veliko knjig namenjenih širokemu
krogu bralcev. Pri noveǰsih knjigah o tej
tematiki pogosto zasledimo že večkrat
objavljene in dobro znane citate in anek-
dote. Nekaterim od teh se tudi Hersh
in John-Steinerjeva nista mogla izogniti,
vendar sta uporabila tudi druge, do se-
daj manj upoštevane vire. Knjiga je zato zanimiva tako za tiste, ki o zgo-
dovini matematike že nekaj vedo, kot tudi za tiste, ki se s to temo šele
spoznavajo.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 37