i
i
“1075-Ambrozic-0” — 2010/7/8 — 12:04 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 19 (1991/1992)
Številka 1
Strani 56–60
Milan Ambrožič:
OD IGRE „KRIŽCI IN KROŽCI“ DO IGRE „REN-
DZJU“
Ključne besede: razvedrilo, naloge.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1075-Ambrozic.pdf
c© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
0°7
'
IClfJOl1 l-7", '_'I'L_"'L_ .
OD IGRE "KRIŽCI IN KROŽCI" DO IGRE "RENOZJU"
Gotovo ste že sliša li za igro, kjer na liku s 3 x 3 polji nasprotnika poskušata
postaviti tri križce oziroma krožce v vrsto . Zmaga tisti, kateremu to prvemu
uspe . Vrsta je lahko vodoravna , navpična ali diagonalna . Igralec A, ki začne ,
vpisuje križce, igralec B pa krožce, Vpisovanje je seveda izmenično .
S pravilno igro obeh igralcev je rezultat vedno neodločen . V naslednjih
slikah označujejo indeksi nad križci in krožci vrstni red vpisov. Vpise (poteze)
štejemo skupaj za oba igralca .
0 6 0 8 x9
x3 X' 0 4
0 2 x7 x5
0 6 x3 x 9
x7 X' 0 8
0 2 0 4 x5
x3 x7
0 6 x '
x5 0 2 0 4
Slika 1. Primeri iger z začetnim vpisom križca v središče lika. te B ne odgovori diagon alno,
potem izgubi, kot vidimo pri tretjem primeru.
Kaj se zgodi , če liku dodamo še eno polje? Tedaj s pravilno igro Avedno
zmaga :
0 2
0 4 x ' x3
x5
'---
0 4
X5 x'
X
3
0
2
-
0
2
,
X
3
X
-
Slika 2a. Dodano polje ob liku. V vseh treh primerih pomeni zadnja poteza dvojni napad .
u
Slika 2b. Dodano polje na diagonali .
I 57
Zaradi simetrije je dovolj , da pokažemo, kaj se zgodi, če kvadratek
dodamo le ob spodnjem robu lika.
Le v primeru , ko dodamo polje od diagonali , kot vidimo na sliki 2b, je
izid lahko neodločen . Bralcu je prepuščeno , da predvidi vse možnosti .
Igra na tri znake v vrsto na liku, ki je večji od 3 x 3, torej ni smiselna .
Kaj pa, če si postavimo za cilj štiri znake v vrsto na neomejenem liku? Tedaj
s pravilno igro spet vedno zmaga igralec , ki začne. Na sliki 3 sta prikazani
poti prvega igralca do zmage , če se drugi igralec brani stransko ali diagonalno .
Sedaj raje vpisujmo znake na križišča črt namesto na polja med črtami, ker
se tudi pri igri rendzju postavlja ploščice na križišča črt.
2
1 [, 3
5
2 3, 5
[,
Slika 3. Ig ra na štiri znake v vrsto. V obeh primerih grozi trojka v dveh smereh hkrati in
drugi ig ra lec ne more preprečiti zmage križcev.
Treba je torej poskusiti z igro na pet ali več znakov v vrsto . Igre,
v kater i bi npr. skušali postaviti šest križcev v vodoravno, navpično ali
diagonalno vrsto, bi se torej naveličali kot prežvečenega žvečilnega gumija . Še
po maratonsko dolgi igri ne bi bilo zmagovalca. Preostane nam le igra na pet
znakov v vrsto . Igra je močno razširjena in zanjo obstajajo tudi računalniški
programi. Taka igra se je pojavila že precej pred našim štetjem na Kitajskem,
v Ameriki in v Grčiji. Igrali so na neomejenem igralnem liku tako , da so
postavljali bele in črne kamne na križišča vodoravnih in navpičnih črt . Kasneje
se je igra razširila s Kitajske na Japonsko , kjer so jo razvijali naprej . Turnirji
so pokazali, da črni igralec , ki začne , skoraj vedno zmaga . Zato so lik najprej
omejili na velikost 19 x 19, tako kot je veliko polje pri znani japonski igri go .
Pozneje so velikost lika še zmanjšali na 15 x 15, vendar tudi to ni bilo dovolj za
uspešno igro drugega igralca . V 17. stol. je japonski prvak Tataki predlagal
dodatne omejitve za prvaka igralca, ki uradno veljajo še danes . Japonec
Kobayashi je približno v istem času igro imenoval" rendzju" , kar v japonščini
pomeni" biserna ogrlica" . Igra je danes razširjena na Japonskem , v Sovjetski
zvezi in na Švedskem, kjer prirejajo tudi uradna tekmovanja.
Rendzju se igra z belimi in črnimi ploščicami valjaste oblike (premer 21
mm, višina 4-5 mm) na deski velikosti približno 33 cm x 33 cm. Na deski
58
je 15 vodoravnih in 15 navpičnih črt. Za radi lažje orientacije so vodoravne
črte označene s števili od 1 do 15 , navpične črte pa s črkami od a do p, pri
čemer črki č in j izpuščamo . Ploščice se postavlja na križišča črt. Za čne
igralec, ki ima črne ploščice. Navadno se igra s časovno omejitvijo , zato se
uporabljajo kar šahovske ure. Lrni mora odigrati prvo potezo v središče deske
(h8). Nato igralca izmenično postavljata ploščice na desko. Zmaga tisti ,
ki mu prvemu uspe postaviti pet svojih ploščic v nepretrgano vodoravno,
navpično ali diagona lno vrsto . Preden opišem prepovedane poteze za črnega ,
si oglejmo nekaj struktur, ki se pogosteje pojavljajo v igri:
- Peterka je nepretrgana vodorav-
na, navpična ali diagonalna vrsta 5
ploščic enake barve.
........ ..... .. .. ... ..•'IlII 'IlII 'IlII
""
.,
Slika 4. Peterka
- Dolga vrsta je nepretrgana vodoravna , navpična ali diagonalna vrsta 6 do
9 ploščic enake barve. Mogoče bo kdo pomislil , da dolga vrsta v igri sp loh ni
more nastati, ker bi igralec že prej zmagal s peterko. Toda na sliki je primer ,
ko dolga vrsta nastane, ne da bi prej imeli peterko.
.. .. .. ... ...1111>
'IlII 'IlII .. 'IlII .. - ... 11> ... .... .. .. .... .. .. ..
Slika 5. Nastanek dolge vrste.
- Odprta četverka je struktura, iz katere lahko na dva načina po eni potezi
nastane peterka. Ta struktura vodi do zmage v naslednji potezi, ker jo
nasprotnik veni potezi lahko zapre le na eni strani.
.. ...• ..., ..., ..., .,
Slika 6. Odprta četverka
- Zaprta četverka je struktura , iz katere lahko na en sam način po eni potezi
nastane peterka. Nasprotnik jo lahko zapre in se obvaruje pred porazom .
Zaprta četverka pa lahko vodi do zmage v kombinaciji z drugimi strukturami.
Slika 7a . Primeri zaprtih četverk.
- Trojka je struktura, iz katere lah-
ko po eni potezi nastane odprta če­
tverka. Nasprotnik mora trojko na
eni strani zapreti, da prepreči na-
stanek odprte četverke. Kombinaci-
ja dveh trojk vodi do zmage, če na-
sprotnik nima močnejšega napada.
Slika 8. Primeri vodoravnih trojk. Dve
črn i in ena bela trojka.
59
Slika 7b . Kombinacija dveh belih zaprtih
četverk vodi do zmage belega.
- Neprava trojka je struktura , iz
katere lahko po eni potezi nastane
zaprta četverka.
Slika 9. Primeri nepravih trojk.
Letverka in trojka sta napad ni strukturi, neprave trojke pa ne prištevamo k
napadnim strukturam.
- Hkratni napad je poteza, po kateri nastaneta dve ali več novih napadnih
struktur.
Edini dovoljeni hkratni napad za črnega je dvojni napad 3-4, za belega
pa ni nobenih omejitev. Poleg tega crni ne sme narediti dolge vrste, beli pa z
dolgo vrsto zmaga tako kot s peterko. Na videz nima črni nobenih možnosti
za pravo igro zaradi prepovedanih potez, vendar statistika kaže, da imata oba
igralca približno enake možnosti za zmago.
Bralcu priporočam še ogled članka Strategije Janka Gravnerja, ki je bil
objavljen v Preseku 13 (1984/85) 4, 194.