  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 4 23
O predstavitvi podatkov v
računalniku: decimalna števila
J S
Z računalniki lahko dandanes izvajamo
kompleksne matematično-fizikalne izračune
in simulacije. V marcu 2020 je omrežje
Folding@Home, ki se uporablja za izračune zlaga-
nja proteinov, preseglo 1.5 exaFLOPS-a, to je več
kot 1,500,000,000,000,000,000 računskih operacij
na sekundo. Že v enoti sami, ki jo uporabljamo
za merjenje hitrosti FLOPS, se skriva glavni podat-
kovni tip, ki stoji za vsemi simulacijami. FLOPS na-
mreč pomeni floating point operation per second
in pove, koliko računskih operacij z decimalnimi
števili lahko naredimo v eni sekundi. V tem pri-
spevku se bomo poglobili v to, kako decimalna
števila sploh predstavimo v računalniku in kako
z njimi računamo.
Decimalna ali realna števila
Velikokrat se pogovorno reče, da v računalniku hra-
nimo realna števila. Nekateri programski jeziki, npr.
različne verzije SQL, tudi uporabljajo besedo real
za oznako tipa. Vendar kljub temu v računalniku
nekaterih realnih števil ne moremo predstaviti zelo
enostavno. Iracionalna števila, kot npr.
?
2 ali π , obi-
čajno le aproksimiramo. Ravno število π je v pro-
gramskem jeziku C definirano kot
#define M_PI 3.14159265358979323846,
torej »le« na 20 decimalk, precej manj kot trenutni
slovenski rekord 3333 decimalk, ki jih je znal na
pamet povedati zmagovalec zadnjega π -dneva. Kot
bomo videli, računalnik uporablja le racionalna šte-
vila omejene natančnosti – morebitna realna števila
so ustrezno zaokrožena. To nam omogoča enostav-
nost računanja in hitrost, natančnost pa ni največja.
A brez skrbi, večinoma so decimalna števila, ki jih
uporablja računalnik, povsem dovolj natančna.
Fiksna in plavajoča pika
FLOPS se v prvih dveh črkah nanaša na operacije
s plavajočo piko.1 Predstavitev decimalnih števil s
plavajočo piko je ena izmed dveh osnovnih načinov
predstavitve števil. Druga, enostavnejša možnost je
predstavitev s fiksno decimalno piko. Pri slednji
imamo na voljo nekaj mest za del pred piko in nekaj
mest za decimalno piko. Denimo, da imamo dve me-
sti pred in dve mesti po piki. Števila, ki jih lahko zapi-
šemo, so torej od 00.00 do 99.99. Interval od r0,100s
smo enakomerno pokrili s 10000 števili na razdalji
0.01. Tem številom rečemo predstavljiva, vseh osta-
lim pa nepredstavljiva. Vsako realno število, s kate-
rim želimo računati, moramo zaokrožiti; ponavadi
izberemo najbližje predstavljivo število. Za število x
bomo z flpxq označili predstavljivo število, kjer zao-
krožimo x.
Seštevanje in odštevanje predstavljivih števil je
enostavno in natančno, lahko pa pride do prekora-
čitve ali podkoračitve; to pomeni, da rezultat leži
izven razpona možnih vrednosti. Pri množenju in
deljenju pridemo do novih težav. Če pomnožimo
0.5 in 0.41, pri točnem računanju dobimo 0.205, kar
pa ni predstavljivo; rezultat je potrebno zaokrožiti
na najbližje predstavljivo število. V našem primeru
imamo dve izbiri: zaokrožimo lahko na 0.20 ali na
0.21. Čeprav je v resničnem življenju pogosto, da
polovice zaokrožamo navzgor, v računalništvu pona-
1Pogosto se jim v slovenščini reče tudi števila s plavajočo
vejico, saj je vejica v slovenščini ločilo, ki se uporablja za ozna-
čevanje decimalnih mest. Vendar je v računalništvu precej bolj
pogosta pika, zato jo bomo uporabljali tudi v tem prispevku.
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 424
vadi velja, da polovice zaokrožamo proti »sodemu
številu«. V našem primeru bi zaokrožili k 0.20, saj
je zadnja števka 0 soda. Tako pravilo uporabljamo,
da bolj enakomerno razporedimo realna števila k nji-
hovim decimalnim številom, saj se nekatere polovice
zaokrožijo navzgor, nekatere pa navzdol. Računanje
s fiksno decimalno piko zagotavlja določeno absolu-
tno natančnost: v našem primeru bo zaokrožitvena
napaka kvečjemu 0.005, polovica ločljivosti števil, s
katerimi delamo. Napisano z enačbo:
|x ´ flpxq| ď 0.005.
Absolutna natančnost pa prinese tudi svoje težave.
Kaj če želimo izračunati 0.05 ˆ 0.08? Točen rezultat
bi bil 0.04, kar se zaokroži na 0. Podobno ne mo-
remo izračunati 30.12 ˆ 40.23, saj je rezultat večji
od 99.99. Računanje s fiksni decimalno piko prepro-
sto ni dovolj fleksibilno za delo z velikimi ali majh-
nimi števili; dobro deluje le, če so vsa števila, s ka-
terimi delamo, med 0 in 99.99. Tukaj pa je pred-
nost drugega sistema predstavitve števil, predstavi-
tev s plavajočo piko (angl. floating point). V tem sis-
temu števila predstavimo v obliki mˆ 10e, za število
m P r0,1q, ki se imenuje mantisa, in naravni ekspo-
nent e. Kako sistem deluje, si poglejmo na podob-
nem primeru kot pri predstavitvi s fiksno decimalno
piko. Denimo, da imamo na voljo dve mesti za man-
tiso m in dve za eksponent e. Nekaj možnih števil
je tako 0.23, 0.54 ¨ 1012, 0.10 ¨ 101. Za eksponente
bomo namesto dvomestnih števil od 0 do 99 dovolili
števila od ´50 do 49. Še vedno obdržimo enako koli-
čino števil, le malo jih zamaknemo, da lahko delamo
tudi z negativnimi eksponenti. Tako so tudi števila
0.1 ¨ 10´12 in 0.43 ¨ 10´33 veljavna.
Ker lahko števila zapišemo na več različnih nači-
nov (npr. 1 “ 1 “ 0.1 ¨ 101 “ 0.01 ¨ 102q, se dogovo-
rimo, da vedno pišemo v normalizirani obliki, to je
v obliki, kjer se število začne z 0.x, za neničelno de-
cimalko x. Število 0.0062 bi napisali kot 0.62 ¨ 10´2,
število 123 pa bi zaokrožili na 0.12 ¨ 102. Razpon šte-
vil, ki ga s plavajočo piko lahko dosežemo s štirimi
mesti, je precej večji kot pri fiksni piki: najmanjše
normalizirano pozitivno število je 0.1 ¨ 10´50, torej
0.0000000000000000000000000000000000000000
00000000001, največje 0.9 ¨ 1049, torej 900000000
00000000000000000000000000000000000000000.
Seveda nimamo povsod enake absolutne natančno-
sti, saj imamo še vedno na voljo samo 10000 števil –
pri številih okoli 500 bo razlika med sosednjimi šte-
vili 10 (npr. med 0.5 ¨ 103 in 0.51 ¨ 103), pri številih
okoli 700000 bo ločljivost 10000, pri številih okoli
0.0003 pa 0.00001. Vidimo, da se ločljivost prilagaja
velikosti števil. To je tudi smiselno: če računamo ne-
kaj v kilometrih, pričakujemo tudi natančnost v redu
velikosti kilometrov, če pa računamo v mikrometrih,
prav tako pričakujemo natančnost v mikrometrih. Za
števila, predstavljena s plavajočo piko, pravimo, da
imajo približno enako relativno natančnost. Če šte-
vilo x zapišemo s plavajočo piko, bo absolutna na-
paka pri zaokrožitvi morda velika, relativna napaka
| flpxq ´ x|
|x|
pa bo vedno manjša od 0.05. Tej vrednosti rečemo
osnovna zaokrožitvena napaka.
Za konec si razliko med fiksno in plavajočo vejico
poglejmo še grafično. Na sliki 1 vidimo primerjavo
predstavljivih števil v fiksni in premični piki.
Računanje s premično piko
Premična pika je bolj fleksibilna pri računskih ope-
racijah. Računalnik nam za osnovne računske ope-
racije (+, ´, ˆ, {) zagotavlja, da bo rezultat opera-
cije zaokrožen na najbližje predstavljivo število. Če
seštejemo 6.3 in 7.4 bi pri točnem izračunu dobili
13.7, vendar se rezultat zaokroži na 14, saj imamo
na voljo le dve mesti natančnosti. Formalno izračun
poteka tako:
0.63 ¨ 101 ` 0.74 ¨ 101 “ flp1.37 ¨ 101q “ 0.14 ¨ 102.
Podobno se zgodi pri množenju: 6.3 pomnoženo s
7.4 bi s točnim računanjem dalo 46.62, v premični
piki, pa se izračuna v
0.63 ¨ 101 ˆ0.74 ¨ 101 “ flp4.662 ¨ 101q “ 0.46 ¨ 102.
Ker imamo le dve mesti natančnosti, moramo pri re-
zultatu zavreči dve decimalki, toda relativna napaka
p46.62´46q{46.62 « 0.013 je manjša od osnovne za-
okrožitvene napake 0.05. Poglejmo še primer 0.05 ˆ
0.08, ki je pri fiksni decimalni piki povzročal težave.
Točen rezultat je 0.004, v premični piki dobimo
0.5 ¨ 10´1ˆ0.8 ¨ 10´1 “ flp0.04 ¨ 10´1q “ 0.4 ¨ 10´2,
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 4 25
0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12
0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12
fiksna pika
plavajoča pika
SLIKA 1.
Primerjava pogostosti predstavljivih
števil na treh razlǐcnih delih realne
osi. Števila s fiksno piko imajo enako
absolutno natančnost ne glede na lo-
kacijo, števila s premǐcno piko pa po-
stajajo čedalje bolj redka, toda ohra-
njajo enako relativno natančnost. Na
grafih se spreminjajo enote, zato šte-
vila s fiksno piko izgledajo, kot da so
čedalje bolj gosta, števila s premǐcno
piko pa se zdijo enako gosta.
kar je popolnoma točno. Če bi dodali malo več deci-
malk in izračunali 0.053 ˆ 0.082, bi izračun potekal
tako:
0.53 ¨ 10´1 ˆ 0.82 ¨ 10´1 “ flp0.4346 ¨ 10´1q
“ 0.43 ¨ 10´2.
V tem primeru rezultat ni točen, je pa precej boljši
kot pri fiksni piki. Njegova relativna napaka je pribli-
žno 1%.
Poučno je tudi,kaj se zgodi, če izračunamo npr.
100 ` 0.1. Dobimo
0.1 ¨ 103 ˆ 0.1 “ flp0.1001 ¨ 103q “ 0.1 ¨ 103.
Rezultat je zopet točno 100, saj vrednost 0.1 ni bila
dovolj velika, da bi jo upoštevali, in se je zgubila pri
zaokroževanju. Še vedno pa je to znotraj zaokroži-
tvene napake: 0.1 predstavlja le 0.1% od 100, kar je
močno znotraj dovoljene 5% napake.
Dejanska števila v računalniku
Pri delu z decimalnimi števili v računalniku ne upo-
rabljamo le dveh decimalnih mest, kot smo jih mi
do sedaj, a principi računanja kljub temu ostanejo
enaki. Delo z decimalnimi števili predpisuje stan-
dard IEEE 754. Glavni tip, ki ga najpogosteje upo-
rabljamo, se imenuje double. Velik je 64 bitov in
se imenuje dvojna natančnost – tako ime ima, ker je
dvakrat večji od 32-bitnega tipa single, ki predsta-
vlja enojno natančnost. Decimalna števila so shra-
njena v dvojiškem sistemu, ne v desetiškem. Primer
števila bi bilo npr.
0.101101 ˆ 23,
kar pretvorimo v
p1¨2´1`0 ¨2´2`1 ¨2´3`1 ¨2´4 ` 0 ¨ 2´5`1 ¨ 2´6q
ˆ 23 “ 5.625.
Izmed 64 bitov, ki so na voljo, jih je 11 rezervira-
nih za eksponent, 52 za mantiso (decimalke), in 1 za
predznak števila (+ ali ´). 11-bitni prosto za ekspo-
nent nam omogoča eksponente od ´1022 do 1023,
najmanjši in največji eksponent ´1023 in 1024 pa
sta rezervirana za posebna števila, o katerih bomo
več povedali kasneje. V dvojiškem sistemu velja ome-
niti tudi posebno obliko normaliziranega zapisa. Če
število zapišemo v običajnem normaliziranem zapi-
su, bo oblike 0.x, kjer je x neničelna števka. Toda v
dvojiškem je ta števka lahko le 1, zato je nepotrebno,
da jo shranjujemo, in se raje dogovorimo, da kot nor-
malizirano obliko za dvojiška decimalna števila vza-
memo 1.x, kjer je x poljuben, 0 ali 1. Tako najbolje
izkoristimo 52 dvojiških decimalk, ki jih imamo na
voljo, kar je enako približno 16 desetiškim decimal-
kam natančnosti. V tem sistemu je osnovna zaokro-
žitvena napaka enaka 1.11 ¨ 10´16.
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 426
Decimalno število s 64 biti je v računalniku pred-
stavljeno kot:
s eee . . . eee
looooomooooon
11 bitov
za eksponent
mmm. . .mmm
loooooooooomoooooooooon
52 bitov za mantiso
,
kjer s predstavlja en bit za predznak.
Poglejmo si konkreten primer. Bitni zapis števila
4269.6842 je enak
0 10000001011 0000101011011010111100100
111101110110010111111101100,
kjer so vrinjeni presledki za lažje branje. Prvi bit je
enak 0, kar nam pove, da je število pozitivno. Sledi
eksponent; če 10000001011 pretvorimo v desetiško,
dobimo 1035. Vendar so eksponenti zamaknjeni, saj
nimajo razpona od 0 do 2048, temveč od ´1023 do
1024. Z upoštevanjem zamika je iskani eksponent
enak 1035 ´ 1023 “ 12. Zapisano število je tako
enako
1.000010101101101011110010011110111011
0010111111101100 ˆ 212,
kar je enako
1000010101101.101011110010011110111011
0010111111101100
oz. približno 4269.6841999999996915. Kot vidimo,
rezultat ni točno 4269.6842, temveč je za približno
3.09 ¨ 10´13, kar (relativno gledano) ustreza osnovni
zaokrožitveni napaki.
Posledice zaokroževanja
Zaokroževanje na najbližjo vrednost pomeni, da obi-
čajna pravila računanja ne držijo več. Če v računal-
niku izračunamo pa ` bq ` c, to ni več nujno enako
kot a` pb` cq. Poglejmo primer: vzemimo a “ 0.88,
b “ 0.56 in c “ 0.13 ¨ 101. Če izračunamo a` b ` c
od leve proti desni, dobimo
a` b ` c “ 0.88 ` 0.56 ` 0.13 ¨ 101
“ flp1.44q ` 0.13 ¨ 101
“ 0.14 ¨ 101 ` 0.13 ¨ 101
“ flp0.27 ¨ 101q “ 0.27 ¨ 101.
Če pa izračunamo a ` b ` c od desne proti levi,
dobimo
a` b ` c “ 0.88 ` 0.56 ` 0.13 ¨ 101
“ 0.88 ` flp1.86q “ 0.88 ` 0.19 ¨ 101
“ flp2.78q “ 0.28 ¨ 101.
Razlika je majhna, vendar števili nista enaki. To je
tudi eden izmed razlogov, da decimalna števila red-
ko neposredno primerjamo, ali imajo popolnoma
enako vrednost. Že majhne razlike v načinu izračuna
namreč lahko prinesejo napake pri zadnjih decimal-
kah. Poslužimo se raje primerjanja s toleranco: na-
mesto da bi pogledali, ali je a “ b, pogledamo, ali
je absolutna vrednost razlike med a in b manjša od
tolerance t: |a´b| ď t, za npr. t “ 0.00001. Z izbiro
vrednosti t lahko tudi določimo, kako velike napake
so še sprejemljive.
Še ena zanimivost se pojavi pri računanju aritme-
tične sredine dveh števil. V matematiki smo navajeni,
da aritmetična sredina a`b2 dveh števil a in b leži na-
tanko na sredini med številoma. Pri decimalnih števi-
lih temu ni tako: vzemimo npr. a “ 0.21 in b “ 0.24.
Njuna izračunana aritmetična sredina je
a` b
2
“ 1
2
p0.21 ` 0.24q “ 1
2
flp0.43q “
“ 1
2
p0.43q “ flp0.215q “ 0.22,
kar ni točen rezultat 0.215, toda je (eden izmed) naj-
boljših možnih približkov.
Oglejmo si še en primer izračuna aritmetične sre-
dine, tokrat za a “ 0.66 in b “ 0.67:
a` b
2
“ 1
2
p0.66 ` 0.67q “ 1
2
flp1.33q “
“ 1
2
p0.13 ¨ 101q “ flp0.65q “ 0.65.
Tokrat smo dobili, da je sredina števil 0.66 in 0.67
enaka 0.65, kar seveda leži izven intervala
r0.66,0.67s! Če pogledamo izračun, vidimo, da je bil
glavni krivec za izgubo natančnosti to, da smo zašli
v prevelika števila. Pri predstavitvi 1.33 smo lahko
obdržali le dve mesti in smo bili prisiljeni zadnjo za-
vreči, da smo shranili 1.3.
Izračun bi lahko popravili tako, da bi ga namesto
a`b
2 napisali kot a`
b´a
2 . V tem primeru ne bi prišlo
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 4 27
do dela s tako velikimi števili in rezultat bi bil
a` b ´ a
2
“ 0.66 ` 1
2
p0.67 ´ 0.66q
“ 0.66 ` 1
2
flp0.01q
“ 0.66 ` 1
2
p0.1 ¨ 10´1q
“ 0.66 ` flp0.05 ¨ 10´1q
“ 0.66 ` 0.5 ¨ 10´2 “ flp0.665q “ 0.66.
V tem primeru je rezultat do zadnjega koraka kljub
vmesnim zaokrožitvam točen, na koncu pa se zao-
kroži na najboljši možni približek.
Pokažimo še nekaj zanimivih primerov dejanske
dvojne natančnosti. V izbranem programskem je-
ziku (npr. Python) izračunajmo s “ 0.1 ` 0.1 ` 0.1 `
0.1`0.1`0.1`0.1`0.1`0.1`0.1. Če bi bilo računa-
nje točno, bi rezultat moral biti enak 1. Vendar, ko
preverimo s == 1, dobimo odgovor False, da ena-
kost ne drži. Res, če izpišemo vrednost s na dovolj
decimalk, dobimo s “ 0.99999999999999988898,
oz. razliko |s ´ 1| “ 1.110223 ¨ 10´16. Če bi pri pre-
verjanju uporabili toleranco npr. 10´15, bi dobili pra-
vilni rezultat, da sta odgovora enaka.
Ponovimo eksperiment z 0.5 namesto 0.1. Rezul-
tat bi v tem primeru moral biti 5, in vrednost s je
5.00000000000000000000 ter primerjava s == 5
vrne True. Zakaj tokrat nismo dobili 4.99999999999
999999 namesto 5? Odgovor je, da so bila vsa števila,
ki so v računu nastopala, torej 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5
itd. . . , predstavljiva in nikoli ni prišlo do zaokroževa-
nja. Tako je bil tudi rezultat točen. Če pazljivo izbi-
ramo števila, lahko sicer konstruiramo primere, kot
je zgornji, kjer napak ni. Vendar v praksi na kaj ta-
kega ne moremo računati – sprijazniti se je potrebno
z napakami in znati z njimi ustrezno ravnati.
Posebne vrednosti
Prej smo omenili, da sta eksponenta ´1023 in 1024
rezervirana za posebne vrednosti. To je potrebno,
ker poleg decimalnih števil standard vsebuje tudi po-
sebna števila ˘8 in NaN, ki predstavljajo (pozitivno
ali negativno) neskočnost, in pa posebno število »not
a number«, ki označuje, da je rezultat neveljaven ali
nedoločen. Najlažji način, da dobimo vrednost 8, ki
ga običajno napišemo z besedilom kot »inf«, je, da
poskusimo izračunati npr. 1.0 / 0.0. Večina program-
skih jezikov (z izjemo Pythona) bo vrnila vrednost
inf. Za računanje z neskončnostjo veljajo naslednja
pravila:
8 ` a “ 8
8 ´ a “ 8
8 ¨ a “
$
’
’
&
’
’
%
8; če a ą 0
NaN; če a “ 0
´8; če a ă 0
8{a “
#
8; če a ě 0
´8; če a ă 0
a8 “
$
’
’
&
’
’
%
0; če |a| ă 1
1; če |a| “ 1
8; če |a| ą 1
8a “
$
’
’
&
’
’
%
0; če a ă 0
1; če a “ 0
8; če a ą 0
Pri tem smo predpostavili, da je a običajno število
(torej ni 8 ali NaN). Definirano pa je npr. tudi 8`8 “
8 in 8 ¨ 8 “ 8. Definicije so smiselne z vidika
matematičnih limit: če imamo dve zaporedij števil,
ki gresta proti 8, gre proti 8 tudi njun produkt ali
vsota. Za razliko ali kvocient pa to ne velja, zato so
rezultati izrazov 8{8, 8 ´ 8, 0{0 ali 0 ¨ 8 enaki NaN.
Računanje z NaN pa je enostavno definirati: čim je
eden od operandov enak NaN, je tudi rezultat NaN:
torej a ` NaN “ NaN, a ¨ NaN “ NaN, aNaN “ NaN,
. . . S posebnimi vrednostmi pa znajo delati tudi ele-
mentarne funkcije. Velja npr.
?8 “ 8,
?
´2 “ NaN,
sinp8q “ NaN, arctanp8q “ π{2.
Za NaN pa velja še ena posebnost: če ga primer-
jamo samega s sabo, vrne False. Torej, če npr. nare-
dimo x = 0.0/0.0 in nato izračunamo x == x, do-
bimo False. Ta posebna lastnost velja samo za NaN
in ne drži za nobeno drugo decimalno število. Kot
smo videli, je to le ena izmed pasti, v katero se lahko
ujamemo pri delu z decimalnimi števili. S tem, kako
računati, da se v naše izračune ne prikrade preveč
napak, se ukvarja numerična matematika. Ta tudi
neveščemu računalničarju omogoča zanesljivo delo
z decimalnimi števili.
ˆ ˆ ˆ