i i “Legisa2” — 2020/7/20 — 8:17 — page 31 — #1 i i i i i i Infinite Powers, The Story of Calculus Steven Strogatz, Infinite Powers, The Story of Calculus, The Lan- guage of the Universe, Atlantic Books, London 2019, 360 str. Avtor knjige je bil v letih 1989–1994 pro- fesor na univerzi MIT, zdaj pa je pro- fesor uporabne matematike na univerzi Cornell v New Yorku. Ima zelo impre- sivno bibliografijo. On in Duncan Watts sta v reviji Nature leta 1998 objavila čla- nek [1] Collective dynamics of small- world networks, ki je bil citiran več kot 42000-krat. Strogatz je avtor štirih knjig. Ena od njih, The Joy of x, je dobila leta 2014 nagrado Euler Book Prize, ki jo po- deljuje The Mathematical Association of America (MAA). Znan je tudi po polju- dnih člankih v časopisu The New York Times, s katerimi je veliko naredil za predstavitev lepote in uporabnosti ma- tematike v širši družbi. Snov teh zapisov je uporabil v svojih knjigah. Knjiga Infinite Powers je bila leta 2019 na lestvici najbolj prodajanih knjig časopisa The New York Times. Namenjena je širšemu krogu bral- cev. Pisec na ležeren, zelo poljuden, a vseeno korekten način predstavi zgodovinski razvoj in lepoto matematične analize, predvsem odvoda in in- tegrala. Matematik ali fizik že pozna večji del snovi knjige. Vseeno jo je ta poročevalec rad prebiral, ker je zelo lepo napisana in priča o avtorjevem izredno dobrem vpogledu v snov. Marsikaj je predstavljeno na izviren na- čin, drugače, kot smo navajeni s predavanj Analize. Poleg tega pa so, zlasti v drugem delu, navedeni zanimivi primeri uporabe matematične analize. Spremna beseda pravi, da je knjiga nastajala dve leti in da so bili uredniki zahtevni, tako da so šla številna poglavja skozi več verzij. Delo helenističnega matematika in fizika Arhimeda predstavlja enega od vrhuncev antične znanosti. Knjiga opǐse njegovo oceno števila π navzgor in navzdol in to poveže z aproksimacijo krivulj s poligoni, analogijami takih približkov v več razsežnostih in uporabo v računalnǐski animaciji. Znano je, da je Arhimed izračunal ploščino med parabolo in premico. Njegova ma- tematično neoporečna pot do te formule, predstavljena recimo v dodatku h knjigi [2], pa je zahtevna in človek se vpraša, kako je sploh prǐsel do Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 31 i i “Legisa2” — 2020/7/20 — 8:17 — page 32 — #2 i i i i i i Nove knjige nje. Leta 1899 so v Samostanu svetega groba v Jeruzalemu našli rokopis iz desetega stoletja. Nabožno besedilo je bilo napisano čez delno izbrisan matematični rokopis. Izkazalo se je, da gre za Arhimedovo delo z naslovom Metoda. Šele takrat so matematiki izvedeli, da je formula v resnici nastala na i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 fizikalen i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na orig nalni slik (večinoma nezanimiv del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in orig nal ne moremo več nat nčno rekonstruirati. Na tipični slik ma kvantiz rana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matrik , v kateri je večina el mentov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantiz rana matrika je torej praviloma razpršena. V fot apar tu z velik m senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi el menti, velikosti recimo d 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela el mente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi el menti kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrat . Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamer tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainter sirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zel no plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitaliz cija Nekateri študenti na izpit h rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnes . Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati z njihovih vrednosti na diskretni množic točk. V knjig [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj interval [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f dol čena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 način: z razrezom odseka parabole na neskončno rezin, pre- stavljanjem rezi in u avnovešenjem s preprosteǰsim likom (trikotnikom) na primerno postavljeni gug lnici ali tehtnici. To že spominja na metode mate- matične analize. Vendar pa je bila ta pot za antične matematike vprašljiva, tako da je Arhimed formulo naknadno dokazal drugače. Strogatzova knjiga predstavi bistv te i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri štude ti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po t čkah«. Večinoma se to ne ob es . Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko doka ati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 fizikalne i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zani ivosti vrgli smo del informacije na orig nalni slik (večino a nezanimiv del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in orig nal ne moremo več nat nčno rekonstruirati. Na tipični slik ma kvantiz rana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matrik , v kateri je večina el mentov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantiz rana matrika je torej praviloma razpršena. V fot apar tu z velik m senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi el menti, velikosti recimo d 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela el mente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi el menti kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrat . Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamer tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainter sirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zel no plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti izpit h rǐsejo gr fe f nkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnes . Vendar pa je mogoče velik razred funkcij p polnoma rekonstru- irati z njihovih vrednosti na diskretni množic točk. V knjig [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko doka ati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj interval [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f dol čena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 izpeljave. S v da pa nekatere izračune spu- sti, ker tudi i niso ravno en stavni. Na podoben, a laže razumljiv način je Arhim d prǐsel tudi d prostor ine krogle, kot lahko preberete v članku v reviji Presek [3]. Tudi po tem, ko je Arhimed imel formulo za ploščino od- seka parabole, je bil njegov neoporečen dokaz netrivialen in priča o njegovi genial osti. Knjiga ima zelo obsežno bibliografij , v kateri najdemo reference za vse, kar Strogatz ni mogel ali želel razlagati na tem nivoju. Strogatz lepo predstavi delo Galilea, Keplerja, Descartesa in Fermata. Avtor je odličen pripovedovalec zgodb. Tako izvemo, da je Isaac Newton sestavil seznam grehov pred devetnajstim letom starosti: i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i Zanimivosti vrgli smo del infor acije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temni i deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj š patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Pri trin jstih: Grozil mojemu očetu in materi Smith, da ju bom zažgal s hǐso vred. i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informac je n o ginalni sliki (večinoma nez nimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drug h podatkov in original ne oremo več natančno konstruirati. Na tipič i sliki ima kvantizirana matrika mnog ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgo aj omenj na matrika Q obi- čaj o s iko stisne z faktor približno 7. Ma i i, v kat ri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, r čemo razpršena matrika. Kvantizirana m trika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastav t v na fino (an- gleško fine) a kvantizacijsko matrik z bistv no manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 o 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za f ktor 2. Pri malih tipa ih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v nač nu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivost . Pri de odir nju pomnožimo matriko naz j z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrik in opravimo in erzno transformacijo k DCT. Dobim pri- bližek prvot e slike našega kvadrata. Na slikah z mehki i prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to d luje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem pojavi pri slikah z ogrom o podrobnostmi, kot o trava, krzno. Bolǰse kamere ta o sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z gromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nism zainteresirani za p drobno repr dukci o.) Pri poceni kamerah pa lah o kombinacija n kakovostn ga zoom objektiva in neprilagod ivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal n podl gi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakov stih. Zel dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na iz itih rǐsej graf funkcij »po toˇkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti a diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourier va transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i Zanimivosti vrgli sm del inform c je n origi aln sliki (veči oma nezanimivi del), se zadovoljili s približk k terih drug h podatk v in original ne moremo več n tančno reko struir ti. Na tipični sliki im k antizir na matrika m ogo , predvs m v des e spodnjem delu. Zgoraj omenj na matrika Q obi- čajno sl k stisne za fakt r približno 7. Matriki, v kateri je v čina elementov ničelnih, preostali pa n majo posebne strukture, rečemo razprše matrika. Kvantizir na matrika je torej pravil ma razpršena. V foto paratu z veli im sen orjem (APS-C ipd.) nast vi ev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno nǰsimi element , v l kosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodira ju pomn žimo m riko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizac jske matrike in oprav mo inverzno tr nsformacijo k DCT. Dobi o pri bližek prvot e slik naš ga kvadrata. Na slikah z ehkimi preh di med vetlimi in te imi deli sl ke to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi roblem s poj vi pri slikah z ogr m o p drobnostmi, kot so trava, krzn . Bolǰse k mere tako sl ko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, e pravi uporabijo drugo kvan- izacijsko matr ko kot sicer. (Slika z ogro n šuma je tudi tež va, vendar p tu nis o z nteresir i za podrobn reprodukcijo.) Pri poceni kamerah lahko kombinacija nekakovostneg z om objektiva in neprilagodljivega stiskanja trav ik s remeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcij grafičnih podrobn sti. Za manǰse risbe grafike profesion lc raje uporablj jo format PNG. Za zvok je n stal na odlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še p tentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovo tih. Zelo dobe za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekat ri štu enti na izpi h rǐsejo grafe fu kcij »p t čkah«. Večinoma se t e obnese. Vendar pa je mogoče velik ra red funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskre ni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena F urierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Pri štiri ajstih: Želel smr in upal, da doleti nekatere. i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacij a riginalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadov ljili s pribl žki n katerih drugih podatkov in originala ne moremo več natanč o ekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, pred sem v d snem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za f ktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ičelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizir na matrika je torej praviloma razpršena. V foto paratu z veliki senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleš fine) da kva tizacijs matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo d 1 do 6. To po eni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo p 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela el mente reci o od 1 d 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivost . Pri d kodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in prav mo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in te nimi del sl ke to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrob ostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepozn jo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sic r. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa u nismo za teresir ni z podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko ko binacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiska ja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobn sti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabl ajo format PNG. Za zv k je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Om goča stisk nje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih ǐsejo gr fe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Ve dar p je goče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izr k 1. Naj b f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimiv sti vrgli smo del informacije na originalni sliki (več n ma neza vi del), se z dovo jili s pribliˇki nekaterih drugih podatkov i orig nala ne more o več ata čno r konstruirati. Na tipični sliki ima vantizirana atri a n go ničel dvse v desn m spodnj m delu. Zgoraj om njena matrika Q obi- čajno sliko sti ne za faktor ibl žno 7. Matrik , v kateri je eč na ele entov ničelnih, p eost li pa nimaj posebne strukture, rečemo razpršen m trika. Kvantizirana matrika je torej pravil a razprše a V fotoaparatu z velik senzo jem (APS-C ipd.) astavitev na fino (an- g ško fine) d kvantizacijsko matri bi tveno nǰsimi elementi, velikost re imo od 1 d 6. To pomeni nižjo ko pres o, nek ko z faktor 2. Pri malih t palih z diagonalo po 8 mm bo kvantizacijs a matrika v načinu fine imel elemente recimo od 1 do 15, saj ustrez e optike bicajno nimajo zelo dobre ločljivosti. P i dekodi anju pomnožimo matriko naz j z st ležnim lementi kvan izacijske atrike in opravimo inverzno tr n formacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvo e slik našega kvad ata. N slikah z mehkimi rehodi m d v tlimi in temnimi deli like o deluje sij j o. Algoritem za JPEG stiska nje j računsko nezahteve , hiter in robu te . Manǰsi p b em se poj vi pri ah z og omno pod ob ost i, k so trava, rzno. Bol se kamere t ko sliko prepoznajo in bistveno manj stisnej , se pravi uporabij drugo k an- tizacijs matr o kot sicer. (S ik ogromno šuma je tudi težava, vend r tu nism z t resirani za p drobno reprodukcij .) Pri pocen k merah p lahk komb nacija nekakovostnega zoom o jektiva in eprilag dlj vega stiskanja travnik premeni v zeleno plund o. JPEG tudi ni ajb lǰsi za e- prod kcijo gr fičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in gr fike profesi alci raje uporabl ajo format PNG. Z zvok je nastal n podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj š patenti ani for at MP3. Omogoča sti kanje v različnih kakov stih Zelo d be z kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti a izpitih rǐsejo gr fe funkcij »po toč ah«. Večinoma e to ne obnese. Venda pa je m goče velik razred funk ij popolnoma rekonstru- ir ti iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najd mo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena F urierova transf mi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Pri p t ajstih: Udaril mn g . i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Za imivosti vrgli s del infor acije na rigi al i s i (v čin ma nezani ivi del), se z dov ljili s približ i nekaterih drugih podatk v in orig nala ne moremo eč n tančno reko struirati. N tipič i sliki im kva tizirana matrika mnog nič l, redvse v desnem sp dnjem delu. Zgoraj omenje a matrika Q obi- č jn sliko stis e z f o približn 7. Matriki, v ka eri je večina elementov n č lnih, r ostali pa ni ajo po eb e strukture, reč mo razpršena matrik Kvantiziran matrika je tor j pravi o ra prše a. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) stavitev na fino (an- gleško fine) da kva t zacijsko m trik z bistveno a ǰ imi elementi, velikosti reci o od 1 do 6. To pome i nižj ko presijo, kako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagon lo pod 8 m b vant zacijska matrika v nači u fine imela elemente recimo od 1 do 15, s j ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljiv sti. Pr dek dira ju pomnoˇimo matr ko nazaj z istolež imi elementi kvan- tizacijske matrike in oprav o inver o transfor acijo k DCT Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadra a. Na slikah z mehkimi prehodi med sv tlimi n temnimi deli slike to de uj sijajno. Algor m za JPEG stiska- nj j ačun o nezah ven, hiter in r busten. M ǰsi problem se pojavi p i sl k h ogromno pod obnostmi, k t so tr va, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoz j i bistv no nj stis j , se pravi uporabijo d ugo kvan- tiz cijsko matrik kot sic r. (Sl ka z ogr m o u je tudi težava, vendar pa tu nism zainte esirani z podrob o re r dukcijo.) Pri poceni kamerah p lahko kombin ci a ne kovos nega zoom objektiva in ne rilagodljivega stiskanj travnik spremeni v z le o plundro. JPEG tudi ni n jbolǰs za re- pr u cij grafičnih podrob osti. Z manǰse r sbe in grafike profesionalci raje up r bljajo format PNG. Za zv k nast l na podla i J EG ilju lje , zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanj v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodn format (Ogg) Vorbis. Vzorˇenje in digitalizacija Nekateri tu enti n izpitih rǐsej gr f funkcij »po točkah«. Večinoma se to e obnese. Vendar pa je mogoče veli razred funkcij popolnoma rekonstru- ir ti z njihovih vred sti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo n str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in n j bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj int rvala [−L,L], kj r je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 To je laže razumljivo, ˇ vemo, da ga je njegova mati pri treh letih i ročila v vzgojo babici. Izak je bil namreč roj n po smrti svojega očeta. Ma i se je znov poročila, njen novi mož, častiti Barnaby Smith, pa ni želel dečka imeti v hǐsi. Tudi sicer je bila mati precej trda do Newtona. Pri desetih letih ga je, spet vdova, dala v bližnjo internatsko šolo. (Newton ni bil edini čustveni invali , ki so ga dale te angleške vzgojne metode.) Pri šestnajstih ga je mati vzela iz šole, da bi vodil domačo kmetijo. Ker pa je kmečka opravila sovražil in posestvo slabo upravljal, ga je ponovno pustila v šolo. Med študijem na univerzi Cambridge je nanj naredila velik vtis knjiga Johna Wallisa Arithmetica Infinitorum. Pozimi 1664/65 je Newton po ana- logiji z binomsko formulo uganil potenčno vrsto za funkcijo f(x) = √ 1− x2. Že Wallis je znal izračunati ploščine pod krivuljo y = xn. Tako je Newton lahko ploščino pod krožnim lokom y = √ 1− x2 na intervalu od 0 do x izra- zil s potenčno vrsto. Od tod je Newton dobil idejo, kako z razvojem funkcij v potenčno vrsto dobiti ploščine pod njihovim grafom. Ko je to uporabil 32 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 i i “Legisa2” — 2020/7/20 — 8:17 — page 33 — #3 i i i i i i Infinite Powers, The Story of Calculus na hiperboli y = 1/(1 + x), je prǐsel do vrste za naravni logaritem (ki ga je Newton imenoval hiperbolični logaritem). Knjiga pove, da so tri pomembne potenčne vrste (za sinus, kosinus in arkustangens) že nekaj stoletij prej tem odkrili v Kerali v južni Indiji. Avtor naj bi bil Madhava iz Sangamagrame, ki je živel približno v letih 1340–1425. Vendar pa to znanje po vsej verjetnosti ni prǐslo do Evrope. V času epidemije kuge v letih 1665–67, ko je bila univerza zaprta, se je Newton umaknil na domače podeželje in tam naredil neverjeten napredek na področju matematične analize (in tudi fizike). Postavil je temelje infini- tezimalnemu računu. Večino teh odkritij je sprva zadržal zase in marsičesa dolgo ni objavil. Tako je Mercator tri leta po Newtonu odkril in kot prvi objavil vrsto za naravni logaritem. V knjigi imamo navedeno vrsto zanimivih uporab matematične analize. V reviji Presek je bilo pred kratkim navedeno, da je matematično znanje odločilno pomagalo pri terapiji okuženih z virusom HIV. Ta knjiga pojasni to zgodbo takole. Zdravniki so sprva ugotavljali, da nezdravljena bolezen poteka v treh fazah. V prvi fazi se virus namnoži in zelo zmanǰsa število obrambnih lim- focitov T v telesu, kar povzroči podobne simptome kot gripa. V drugi fazi se telo odzove in imunski sistem se začne boriti z virusom. Počutje se izbolǰsa in nivo virusa se stabilizira. Število limfocitov T pa se počasi zmanǰsuje. Ta druga faza lahko traja desetletje. V tretji fazi imunski sistem začne od- povedovati in nivo virusa se začne vǐsati. Infekcije, Kapošijev sarkom ipd. napadejo organizem. Zdravniki so ugibali, da je v drugi fazi, brez huǰsih simptomov, morda virus manj aktiven in v nekakšnem zimskem spanju (hibernaciji). Ekipa raziskovalcev, ki sta jo vodila dr. David Ho (ki je bil deležen tudi fizikalne izobrazbe) in matematični imunolog Alan Perelson, je v letih 1995/96 prǐsla do prelomnih spoznanj. Pacientom so poskusno dajali zdravilo – zaviralec proteaz. Zdravilo je preprečilo razmnoževanje virusov. Število virusov v krvi se je začelo (približno) eksponentno zmanǰsevati, z razpolovnim časom okrog dva dni. Če z V (t) označimo koncentracijo virusa, dobimo enačbo V (t) = V0 exp(−ct) in od tod dV/dt = −cV, V (0) = V0. Tu je V0 znana koncentracija na začetku zdravljenja. Ker poznamo razpo- lovni čas, poznamo tudi c. Nato sta Perelson in Ho poskusila koncentracijo virusa modelirati s preprosto enačbo dV/dt = P − cV. Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 33 i i “Legisa2” — 2020/7/20 — 8:17 — page 34 — #4 i i i i i i Nove knjige Tu je P hitrost produkcije virusov. Pri nezdravljenem bolniku v drugi fazi je leva stran v zadnji enačbi 0 (koncentracija virusa se ne spreminja in je enaka V0) in tako P = cV0. Ker poznamo desno stran v tej enačbi, zdaj poznamo P v drugi fazi. Tako izračunani P je velik, kar pomeni, da virus sploh ne spi. To je bilo izredno pomembno odkritje. Podrobneǰsi eksperimenti so dali še točneǰse podatke. Z njimi so zgradili bolǰse modele in ugotovili, da je P v drugi fazi zelo velik. Odkrili so tudi, da ima okuženi limfocit T življenjsko dobo le dva dni. V drugi fazi brez večjih simptomov se torej telo ves čas močno bojuje z virusom. Imunski sistem sčasoma začne odpovedovati. Pred tem so mislili, da je zdravljenje bolje prihraniti za zadnjo fazo, ker virus hitro postane odporen na posamezno zdravilo. Našli so še druge antivirusne kemikalije. Matematična obravnava je pokazala, da je edino smiselno in visoko učinkovito uporabljati koktejl treh antivirusnih zdravil, ki delujejo na različne tarče na virusu. Pacienti morajo to terapijo izvajati redno in doživljenjsko. Perelson je leta 2014 pomagal razviti tudi zelo učinkovito zdravilo za hepatitis C. Precej prostora v knjigi je namenjenega nihanju in valovanju in revo- lucionarnim idejam, ki jih je leta 1807 v obravnavi parcialne diferencialne enačbe za pretok toplote uvedel Joseph Fourier. Avtor se je zelo potrudil, da je v zgodbe o razvoju matematične ana- lize vključil prispevke matematičark. Še posebej dobro je poljudno razložil delo Sophie Germain in Sofje Kovalevske. Manj znano je, da sta med drugo svetovno vojno Mary Cartwright in John Littlewood pomagala razrešiti pro- bleme novo konstruiranih radarjev. Ojačevalci signala so bili nelinearni in so se pri delovanju v robnih razmerah začeli obnašati kaotično. Matema- tično znanje o nelinearnih dinamičnih sistemih, temelječe na delu Henrija Poincaréja, je pokazalo, da ni šlo za napako konstruktorjev. Ti so potem laže odpravili problem. Nelinearni in kompleksni dinamični sistemi so sicer Strogatzova specialnost. LITERATURA [1] D. Watts in S. Strogatz, Collective Dynamics of Small-World Networks, Nature 393 (1998), 440–442. [2] L. Russo, The Forgotten Revolution, How Science Was Born in 300 BC and Why it Had to Be Reborn, Springer Verlag, 2004. [3] P. Legǐsa, Arhimed, Presek 17 (1989/1990), 2–5, dostopno na www.presek.si/17/ 966-Legisa.pdf, ogled 13. 5. 2020. Peter Legǐsa 34 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1