Načela in metode dinamike Njihova uporaba za sisteme s koničnim številom prostostnih stopenj Udo Fischer Wolfgang Stephan Načela in metode dinamike: njihova uporaba za sisteme s končnim številom prostostnih stopenj Avtorja: Udo Fischer, Wolfgang Stephan Prevajalec in urednik: prof. dr. Milan Batista Oblikovanje naslovnih strani: Microsoft Copilot Založnik: Založba Univerze v Ljubljani (University of Ljubljana Press) Za založnika: prof. dr. Gregor Majdič, rektor Univerze v Ljubljani Izdajatelj: Univerza v Ljubljani, Fakulteta za pomorstvo in promet Za izdajatelja: prof. dr. Peter Vidmar, dekan Fakultete za pomorstvo in promet Univerze v Ljubljani © Udo Fischer; Wolfgang Stephan Portorož, Ljubljana, 2024 Publikacija je brezplačna. Prva e-izdaja. Publikacija je izšla s podporo Javne agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije. Prva e-izdaja. Publikacija je v digitalni obliki prosto dostopna na: https://ebooks.uni-lj.si/ DOI: 10.70587/9789612974503 Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani COBISS.SI-ID 214417411 ISBN 978-961-297-450-3 (PDF) To delo je prevod prvih štirih poglavij ter delov petega in šestega poglavja knjige Prinzipien und Methoden der Dynamik , ki sta jo napisala Prof. Dr. Udo Fisher in Doc. Dr. Wolfgang Stephan iz Tehnične univerze Otto von Guericke v Magdeburgu in jo je leta 1972 izdala založba Fachbuchverlag iz Leipziga. Milan Batista Portorož, avgust 2023 Vsebina 1. Uvod 1 2. Osnovni pojmi in opredelitve 3 2.1. Prostor in čas 3 2.2. Kinematične osnove 4 2.2.1. Kinematika materialne točke 4 2.2.2 Virtualni pomiki 10 2. 3. Masa 11 2.4 Sila 17 3 Aksiomi mehanike 22 3.1 Temeljni aksiom mehanike 22 3.2 Newtonovi aksiomi mehanike 23 3.2.1 Newtonov prvi aksiom: zakon vztrajnosti 23 3.2.2 Drugi Newtonov aksiom: temeljna enačba dinamike 23 3.2.3 Newtonov tretji aksiom: zakon vzajemnega učinka 24 3.3 D'Alembertov aksiom 26 3.4 Neinercialni sistemi, Galilejevo načelo relativnosti 27 4. Izreki mehanike 30 4.1 Izreki o skupni gibalni količini, vrtilni količini in energiji mehanskega sistema 30 4.1.1 Izrek o masnem središču 30 4.1.2 Zakon o ohranitvi gibalne količine in zakon o ohranitvi vrtilne količine 31 4.1.3. Izrek o kinetični energiji (zakon o ohranitvi energije) 31 4.2 Načela 34 4.2.1 Uvodne opombe 34 4.2.2 d'Alembertovo načelo 35 4.2.3 Načelo virtualnega dela 36 4.2.4 Hamiltonovo načelo 37 4.2.5 Jourdainovo načelo in Gaussovo načelo najmanjše prisile 40 5. Sistemi s končnim številom prostostnih stopenj 42 5.1 Modeli s končnim številom prostostnih stopenj 42 5.2 Kinematika sistemov s koničnim številom prostostnih stopenj 42 5.2.1 Kinematika holonomnih in linearno neholonomnih sistemov 42 5.2.2 Splošne pogojne enačbe 46 5.2.3 Kvazi-hitrosti, kvazi-koordinate 48 5.3 Ravnotežne lege sistemov s končnim številom prostostnih stopenj 50 5.4. Enačbe gibanja sistemov s končnim številom prostostnih stopenj 56 5.4.1. Lagrangeve enačbe gibanja prve vrste 56 5.4.2 Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste 59 5.4.3. Kanonične gibalne enačbe za holonomne sisteme s konservativnimi vtisnjenimi silami 63 5.4.4 Hamiltonova-Jacobova parcialna diferencialna enačba 66 5.4.5 Predstavitev Lagrangevih enačb gibanja s pomočjo kvazi-koordinat 70 5.4.6 Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste brez uporabe Lagrangevih parametrov 76 5.4.7 Applove gibalne enačbe 78 5.4.8. Gibalne enačbe za sisteme z nelinearnimi neholonomskimi omejitvami 80 5.5 Gibalne enačbe za togo telo 82 5.5.1 Kinetična energija in kotni moment togega telesa, vztrajnostni momenti 82 5.5.2. Eulerjevi koti 92 5.5.3. Eulerjeve enačbe 96 5.5.4 Ravninsko gibanje togega telesa 99 6. Primeri uporabe 103 6.1 Ravnotežna lega vrteče gredi 104 6.2 Dvigalo 109 6.3 Prostorsko nitno nihalo s premikajočo se visečo točko 113 6.4 Ravninsko nitno nihalo s premikajočim obesiščem 117 6.5. Bič 120 6.6. Vibracijska igla 123 6.7 Težka os na nagnjeni ravnini 129 6.8 Pogonski sistem z nenadnim nastopom stalne obremenitve 138 Literatura 141 1 1. Uvod Mehanika je študija gibanja materialnih teles in fizikalnih vzrokov zanj. Pri tem gibanje pomeni mehansko gibanje, tj. spremembo lege makroskopskih teles kot celote ali njihovo deformacijo. Gibanje vključuje stanje mirovanja. V tem primeru mehanika podaja pogoje, pod katerimi so lahko materialna telesa v mirovanju. V tem splošnem pa je mehanika veja fizike. Razvoj fizikalnega znanja v 19. in 20. stoletju je porušil predstavi o absolutnem prostoru in absolutnem času, ki sta bila del osnovnih pojmov klasič ne mehanike, ter spodbudil razvoj relativnostne mehanike in kvantne mehanike. Zakoni relativnostne mehanike se združijo z zakoni klasične mehanike, kadar se uporabljajo za telesa, katerih hitrosti so majhne v primerjavi s svetlobno hitrostjo. Uporaba kvantne mehanike je potrebna le, če so mase preučevanih teles tako majhne, da se uvrščajo v velikostni red atomov. Tehnični sistemi so praviloma sestavljeni iz teles velikostnega reda večjega od atomskega in se gibljejo s hitrostmi, ki so v primerjavi s svetlobno hitrostjo majhne. Zato za raziskovanje gibanja tehničnih sistemov zadostujejo osnovne ideje klasične mehanike. Če predpostavimo, da je klasična mehanika popolna v svoji osnovni strukturi, potem je očitno, da jo lahko zgradimo kot deduktivni sistem. Po [2] je deduktivni sistem vsaka množica izjav, ki vsebuje vse njihove posledice. V skladu s tem bi morala tako zasnovana mehanika vsebovati vse izreke, ki so potrebne za izračun gibanja tehničnih enot. Vendar pa raznolikosti možnih interakcij med deli mehanskega sistema in njegovim okoljem na splošno ni mogoče razumeti. Vzajemno delovanje med deli teles, katerih učinek je pospeševanje, imenujemo sile. V mehaniki je pomembno le to medsebojno delovanje. Funkcijsko odvisnost sile od geometrijskih in fizikalnih parametrov ter časa imenujemo zakon sile. Ker je nemogoče v celoti in na splošno zajeti vse zakone sil, ki delujejo v mehanskem sistemu, se bistvene mehanske lastnosti realnega sistema prenesejo na model sistema. Takšno modeliranje vključuje opredelitev posebnih zakonov sil in nekatere geometrijske poenostavitve. Deduktivno izgradnjo mehanike je tako mogoče izvesti le za celoto vseh modelnih teles, za katera so podani zakoni sil. Sile ne smejo biti odvisne od fizikalnih količin, ki mehaniko povezujejo z drugimi fizikalnimi zakoni (npr. z zakoni termodinamike ali elektrodinamike). Če upoštevamo zakone sil kot dane, lahko vse druge izreke reduciramo na nekaj nedokazljivih temeljnih zakonov, ki jih imenujemo aksiomi. Vse izjave deduktivnega sistema, ki izhajajo iz 2 teh aksiomov, se imenujejo izreki. Celota aksiomov tvori sistem aksiomov. Izbor določenega števila izjav kot aksiomov iz množice izjav deduktivnega sistema je mogoč na različne načine. V naslednjih poglavjih nas bodo pri izbiri aksiomatskih sistemov, primernih za gradnjo mehanike, vodiki razlogi namenskosti. Nač ela mehanike so tisti splošno veljavni izreki, ki so zaradi svoje povezave s temeljnim pojmom virtualnih pomikov še posebej primerne za izpeljavo enačb gibanja. Njihova prednost se še posebej pokaže pri modelih s togimi vezmi, ki se pogosto uporabljajo v inženirskih sistemih. S tehnič no mehaniko označujemo tehnično znanost, ki preučuje gibanje tehničnih sistemov, tj. gibanje mehanizmov, strojev in podpornih konstrukcij, sile, ki delujejo med njihovimi elementi, ter napetosti in deformacije, ki jih povzročajo. Vsebina inženirske mehanike v različnih pogledih presega vsebino klasične mehanike. Prvič, ponuja jasne in smiselne metode za analizo tehničnih sistemov in vključuje dodatne predpostavke za poenostavitev, ki jih klasična mehanika ne vsebuje. Drugič, vsebuje navedbe glede tega, katere lastnosti realnega sistema mora ponazoriti model, tako, da je pri izračunu z zadostno natančnostjo zajeto delovanje dejanskega sistema. Tretjič, vsebuje merila za to, ali so ugotovljene vrednosti napetosti in deformacije v takšnih mejah, da je 1. določen način delovanja je zagotovljen, da je 2. skladnost med modelom in dejanskim sistemom dovolj natančna in da je 3. zagotovljena zadostna varnost pred zlomom sestavnih delov. V skladu z razmišljanji v predgovoru, smo poskušali klasično mehaniko zgraditi tako, da so povezave s tehnično mehaniko jasno prepoznavne. Poleg tega smo v obravnavo vključili nekatere bistvene posebnosti tehnične mehanike. 3 2. Osnovni pojmi in opredelitve 2.1. Prostor in čas Klasična mehanika obravnava dogajanje v absolutnem prostoru in absolutnem č asu. Lastnost »absolutno« pomeni, da lastnosti prostora in časa niso odvisne od fizikalnih procesov; so nespremenljive. Vsaka točka v prostoru je v kartezičnem koordinatnem sistemu določena s tremi koordinatami x, y, z. Prostor je torej tridimenzionalen. Je evklidska, saj ima element loka prostorske krivulje dolžino 2 2 2 ds = dx + dy + dz . Prostor je homogen in izotropen, kar pomeni, da potek mehanskih procesov v zaprtem sistemu ni odvisen od tega, v katerem delu prostora se sistem nahaja in kako je usmerjen glede na osi koordinatnega sistema. Zaprti sistemi so sistemi, za katere lahko domnevamo, da nanje okolje praktično ne vpliva. Pri zaprtih sistemih vplivata lokacija in lego sistema na potek mehanskih procesov le, če se zaradi spremembe medsebojne razdalje in usmerjenosti lahko spremeni interakcija s sosednjimi sistemi. Vendar to ni v nasprotju s homogenostjo in izotropijo prostora. Prostor je zvezen in neomejen, tj. koordinate x, y, z lahko zavzamejo vse vrednosti, ki so večkratniki dolžinske enote. Navedba časovne vrednosti služi za jasno opredelitev zaporedja dogodkov in njihovega trajanja. Potek jw enosmeren – iz sedanjosti v prihodnost. Procesi so ponovljivi le, če se v različnih časovnih obdobjih in pod enakimi pogoji odvijajo na enak način. To izraža homogenost časa. Tako kot prostor je tudi čas zvezen in neomejen, kar pomeni, da lahko časovni koordinati t kot vrednosti pripišemo vse realne mnogokratnike časovne enote. Zgoraj omenjene lastnosti prostora in časa ter vsi sklepi, ki izhajajo iz njih, se na področju klasične mehanike ujemajo z izkušnjami. Te lastnosti so tako splošne, da jih je treba postaviti pred vse druge zakone mehanike in jih obravnavati kot aksiome. Če povzamemo, jih lahko opišemo na naslednji način: - Prostor je absoluten, tridimenzionalen, evklidski, zvezen, neomejen, homogen in izotropen. - Čas je absoluten, enodimenzionalen, zvezen, neomejen, homogen. 4 Homogenost in izotropnost prostora ter homogenost časa veljata v vsej fiziki tudi zunaj klasične mehanike. 2.2. Kinematične osnove 2.2.1. Kinematika materialne točke Za nedvoumen opis gibanja materialne točke je potreben ustrezen opazovalni sistem. Kartezični koordinatni sistem je prva izbira. Lego materialne točke P je enoznačno določena z navedbo njenih projekcij na koordinatne osi x, y in z, glej sliko 2/1. Slika 2/ 1 Lega materialne točke P v kartezičnem koordinatnem sistemu Glede na predstavljeni koordinatni sistem je lega točke P enolično določena s krajevnim vektorjem r , ki je od projekcij x, y, z odvisen na naslednji način: r = i x + j y + k z . (2.1) Vektorji i, j, k so enotski vektorji v smeri koordinatnih osi. V nadaljevanju vedno predpostavimo, da je krajevni vektor dvakrat odvedljiv po času. Vektor hitrosti v opredelimo kot odvod krajevnega vektorja po času, vektor pospeška a pa kot odvod vektorja hitrosti po času: d = r v ≡  r , (2.2) dt 2 dv d = ≡  = r a v ≡  r. (2.3) 2 dt dt 5 V običajnem, skrajšanem zapisu mehanike je s piko označen odvod glede na čas. Komponente vektorja hitrosti in vektorja pospeška dobimo s primerjavo enačbe (2.1) z enačbama. (2.2) in (2.3):  v = x v = y v = z x , y ,  z  (2.4)  a = v = x a = v = y a = v = z  x x , y y , z z  Poleg zapisa krajevnega vektorja v skladu z enačbo (2.1) tj. s konstantnimi enotskimi vektorji, je pogosto zelo uporabna tudi zapis, pri katerih se enotski vektorji spreminjajo skupaj z krajevnim vektorjem. Posebej pomemben je prikaz poteka tira s pomočjo tako imenovanega potujočega triedra (slika 2/ 2). Slika 2/2 Tir materialne točke P s potujočim triedrom Iz začetne točke A izmerimo dolžino loka s krivulje. Tangencialno na krivuljo skozi P v smeri naraščajoče dolžine loka leži tangentni vektor t tj. enotski vektor, katerega vrednost je d = r t . (2.5) ds Pravokotno nanj, v ravnini ukrivljenosti krivulje tira, leži še en enotski vektor n, vektor glavne normalne. Določen je z 2 d r dt 2 ds ds n = = . 2 d r dt 2 ds ds Ker je ds ukrivljenost krivulje κ , dobimo dt 6 dt =κ n. (2.6) ds Enotski vektor n je vedno usmerjen proti središču ukrivljenosti. Zveze, ki so tu navedena brez dokaza, so znane iz diferencialne geometrije prostorskih krivulj; zadnja navedena je na primer ena od FRENETOVIH formul [3]. Vektor binormale b , ki je pravokoten na t in n, izhaja iz b = t × n . (2.7) Z uporabo verižnega pravila odvajanja dobimo dr ds v =  r = = s t . (2.8) ds dt Torej je ds s = . dt velikost vektorja hitrosti, t pa označuje njegovo smer. Če ponovno odvajamo, dobimo dt ds a = r = s +    t dt dt . dt ds = s + t s ds dt Z upoštevanjem enačbe (2.6) dobimo 2 a = κ s n + s t . (2.9) Pospešek lahko torej predstavimo kot vsoto normalnega pospeška 2 a = κ s n (2.10) n in tangencialnega pospeška a = s t . (2.11) t Iz enačb (2.8) in (2.9) je razvidno, da vektor hitrosti in vektor pospeška ležita v ravnini, ki jo določata t in n, tako imenovani pritisnjeni ravnini krivulje tira. Kot preprosta primera uporabe zgoraj navedenih zvez si oglejmo premočrtno in krožno gibanje točke. Za premočrtno gibanje je značilno, da je t ( s) = const. (2.12) 7 Z odvajanjem enačbe (2.7) dobimo a = a = s t . (2.13) t Normalni pospešek je enak nič. Pri krožnem gibanju sta ukrivljenost 1 κ = in vektor binormale b konstantni (slika 2/3). R Slika 2/3 Premikanje materialne točke po krožni poti Gibanje je smiselno opisati s pomočjo vektorja  . Velikost  , tako imenovana kotna hitrost ω , je posledica časovne spremembe kota ϕ dϕ 1 ds v ω = = = . (2.14) dt R dt R Če vektorju  pripišemo še smer in usmerjenost binormale b , potem v skladu s sliko 2/3 velja naslednje: v = × r . (2.15) Veljavnost te zveze uvidimo tako, da upoštevamo, da je skladno z definicijo vektorskega produkta in skladno z enačbo (2.14) hitrost enaka v = v t = × r t = ω r sin ( , r) t = ω R t Iz enačbe (2.15) dobimo pospešek a =  v =  × r + ×  r =  × r + ×( × r) . (2.16) Vektor  =  imenujemo kotni pospešk. Če v (2.16) vstavimo  = ω b ,  ε b . 8 dobimo 2  a = ε b× r +ω b×( b× r)  =ε r sin( b, t) 2 t +ω b× r sin ( b, t) t  . (2.17) 2  = ε Rt + ω Rb× t  2  = ε Rt + ω Rn Če označimo 1 κ = , s = Rω , s = Rε , R lahko ta rezultat dobimo tudi neposredno iz enačbe (2.9). Pri krožnem gibanju a =  × r = ε R t t imenujemo tangencialni pospešek in a = ×( × r) 2 = ω R n n centripetalni pospešek. Za opis gibanja materialne točke se pogosto izkaže kot smiselno, da iz danega koordinatnega sistema x, y, z z izhodiščem v O preidemo v drug koordinatni sistem x , y , z z izhodiščem v 1 1 1 O . Pri tem je treba določiti zvezo med krajevnimi vektorji točke v obeh koordinatnih sistemih 1 ter njihovimi prvimi in drugimi odvodi. Gibanje koordinatnega sistema O glede na sistem O 1 je običajno sestavljeno iz translacijskega gibanja izhodišča O in kroženja okoli katere koli osi 1 skozi O . 1 Med krajevnima vektorjema, ki določata lego točke P , v skladu s sliko 2/4 obstaja zveza r = r + r . (2.18) 0 1 9 Slika 2/4 Gibanje materialne točke P glede na premikajoč koordinatni sistem (relativno gibanje) Če v sistemu O za označitev odvoda glede na čas uporabimo piko, potem sta  r =  r +  r (2.19) 0 1 in  r =  r +  r. (2.20) 0 1 Vektorja  r in  r označujeta hitrost in pospešek izhodišča O glede na O . Količini  r in  r je 0 0 1 1 1 treba še pojasniti. Najprej je treba upoštevati poseben primer, ko je r konstanten in P v 0 sistemu O miruje. Potem se točka P giblje po kro 1 žnici glede na O okoli osi  (slika 2/4), kjer je  na splošno spremenljiv vektor kotne hitrosti sistema O . Rezultat za ta primer je 1  r = × r . 1 Če se po drugi strani točka P giblje glede na O , je treba upoštevati tudi časovno odvod r 1 1 glede na ta sistem, ki ga bomo označili z ′ r . Tako dobimo 1  r = × r + r′. (2.21) 1 1 1 Enačbo (2.21) lahko razumemo kot pravilo odvajanja za vektor r v gibajočem sistemu. Jasno 1 je, da to pravilo velja za kateri koli vektor w :  w = × w + w′. (2.22) Iz enačb (2.19) in (2.21) je hitrost točke P glede na sistem O v =  r =  r + × r + r′ = v + v + × r , (2.23) 0 1 0 1 1 10 kjer je v =  r 0 0 hitrost koordinatnega izhodišča O in 1 v = r′ 1 1 hitrost točke P glede na O . 1 Če sistem O miruje, potem v imenujemo absolutna hitrost P , v relativna hitrost in 1 v = v + × r (2.24) f 0 1 sistemska hitrost. Torej je v = v + v . (2.25) f 1 S ponovnim odvajanjem enačbe (2.23) ob upoštevanju enačbe (2.22) dobimo:  a =  r =  r +  × r + ×  r + r′ 0 1 1 1  =  r + ×  + ′ × r + × × r + r′  0 ( ) 1 ( 1 1 )  + × r′+ r′′ (2.26) 1  =  r + ′× r + × × r + 2 × r′+ r′′ 0 1 ( 1 ) 1 1  = a + a +  a f 1 c Pri tem je a =  r + ′× r + × × r (2.27) f 0 1 ( 1 ) sistemski pospešek, ki izhaja iz enačbe (2.26) za absolutni pospešk a pri v = 0 , 1 a = r′ (2.28) 1 1 je relativni pospešek in a = × r′ (2.29) c 2 1 tako imenovani Coriolisov pospešek. 2.2.2 Virtualni pomiki Pojem virtualnih pomikov se je v mehaniki izkazal za izjemno pomembnega. Virtualni pomiki so poljubna, neskončno majhna odstopanja od dejanske lege sistema. Krivulja, ki jo opisuje 11 krajevni vektor r materialne točke, r = r ( t), je dejanska krivulja tira ali preprosto dejanski »tir« točke. Virtualni tir, ki ustreza virtualnim pomikom, »meji« na dejanski tir, sicer pa poteka povsem poljubno. Virtualni tir na splošno ne izpolnjujejo zakonov mehanike. Virtualno spremembo krajevnega vektorja označimo z δ r . Če so x, y, z komponente krajevnega vektorja r , potem so δ x , δ y in δ z komponente δ r . Ker je δ r po definiciji neskončno majhen, si lahko δ razlagamo tudi kot poseben simbol za odvajanje glede na krajevni vektor. Virtualni pomik je le navidezna in ne nujno dejanska sprememba lege. Zato čas prehoda iz dejanske lege v sosednjo virtualno lego ni pomembno. Virtualni pomiki so torej brezčasni (potekajo z neskončno hitrostjo). Poleg tega bomo spremembe fizikalnih količin, ki so posledica prehoda mehanskega sistema v namišljeno sosednjo lego, tudi imenovali virtualne. Novi pojmi in posledice, ki izhajajo iz njih bodo podrobneje obravnavani v nadaljevanju. 2. 3. Masa Doslej smo obravnavali osnovne kinematične pojme, s pomočjo katerih lahko določimo lego, hitrost in pospešek poljubne točke telesa v poljubnem času t , če poznamo njen krajevni vektor kot funkcijo časa. Pri tem ni bilo pomembno, ali je točka dejansko telo ali le geometrijska točka. Ker pa mehanika raziskuje gibanje materialnih teles, pri določanju mehanskih zakonov nikakor ne moremo zanemariti materialnosti teles. Izkušnje učijo, da je bistvenega pomembna »količina snovi« v omejeni prostornini V ∆ in njena porazdelitev v njej. »Količina snovi« telesa je izražena s pojmom mase telesa. Z ustrezno izbrano enoto mase lahko torej »količino snovi« katerega koli telesa – njegovo maso m – izmerimo s primerjavo s to enoto. V okviru klasične mehanike veljajo za maso naslednji aksiomi (Hamel [4]): 1. Masa m telesa je vedno pozitivna: m > 0. 2. Masa m telesa se s časom ne spreminja: dm = 0 dt 3. Če je telo sestavljeno iz dveh drugih teles z masama m in m , ima celotno telo maso 1 2 m = m + m (aditivnost mase). 1 2 Iz tretjega aksioma neposredno izhaja: 12 Če telo z maso m zavzame prostornino V , potem lahko s poljubno delitvijo prostornine na delne prostornine V ∆ telo razdelimo na delna telesa z masami m ∆ , tako da velja: i i m = ∑ m ∆ . i i Zaradi raznolikosti fizikalnih lastnosti in geometrijskih oblik dejanskih teles smo v mehaniki vedno prisiljeni omejiti preučevanje gibanja na ustrezne modele teles. Najpreprostejši model telesa je masna toč ka. Ta model – ki je pod določenimi pogoji dopusten – nima geometrijskih razsežnosti dejanskega telesa; telo je skrčeno v točko, njej pa je pripisana celotna masa m telesa (zgoščena posamična masa). Posplošitev tega modela je sistem točk, ki je sestavljen iz končnega ali neskončnega števila masnih točk. Drugačna vrsta modela telesa je togo telo, pri katerem je razdalja med dvema točkama popolnoma nespremenljiva. Če telesa ne moremo obravnavati kot sistem točk ali kot togo telo, moramo uporabiti splošnejši model deformabilnih teles. Ti modeli so poenostavitev (idealizacija) dejanskih teles, kar se kaže v privzetih fizikalnih lastnostih. Vendar se s tem ne bomo ukvarjati. V vsakem primeru pa lahko zanemarimo dejansko strukturo snovi (atomsko strukturo). Našteti modeli teles imajo zato lahko maso porazdeljeno diskretno (masna točka, sistem masnih točk) in zvezno (togo telo, deformabilno telo). Za enotno matematično predstavitev zakonov mehanike se izkaže smiselna uvedba masnega elementa dm , tako da je razlikovanje med diskretnim in zveznim sprva nepotrebno. Da bi lahko izpeljali potrebne pojme, v kartezičnem koordinatnem sistemu z osmi x , y , z , obravnavamo kvader katerega robovi z dolžinami a = a − a ; b = b − b ; c = c − c (2.30) 1 0 1 0 1 0 ležijo vzporedno s koordinatnimi osmi, tako kot kaže slika 2/5. Točka P , ki je najbli 0 žje koordinatnemu izhodišču, ima koordinate a , b , c , diagonalno nasprotno oglišče P pa ima 0 0 0 1 koordinate a , b , c . Potem lahko vsako točko P znotraj kvadra (vključno s točkami na 1 1 1 mejnih ploskvah, robovih in ogliščih) določimo s koordinatami x , y , z kjer je  a ≤ x ≤ a 0 1  b ≤ y ≤ b (2.31) 0 1  c ≤ z ≤  c 0 1 13 Slika 2/5 Kvader z maso v kartezičnem koordinatnem sistemu Naj bo v prostornini V = abc kvadra porazdelitev mase poljubna. Potem m( x, y, z) pomeni maso, ki je v prostornini V = x − a y − b z − c . (2.32) x ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) Masa m( a , b , c je npr. enaka masi, ki je skoncentrirana v oglišču P . 0 0 0 ) Če te mase ni, je 0 m( a , b , c = 0 . Skupno maso v kvadru označimo z m( a , b , c . Upoštevamo tudi, da je 1 1 1 ) 0 0 0 ) funkcija m( x, y, z) iz fizikalnih razlogov naraščajoča funkcija, saj se, ko se omejena prostornina poveča, masa v njej ne more zmanjšati. V točkah nezveznosti (točkah skoka) funkcije m( x, y, z) predpostavimo zveznost z desne v skladu z zvezami  m( x + 0, y + 0, z + 0) = m( x, y, z)  m( x+0, y+0, z) = m( x, y, z)  m( x+0, y, z +0) = m( x, y, z) (2.33)  m( x, y + 0, z + 0) = m( x, y, z)  m  ( x + 0, y, z) = m( x, y + 0, z) = m( x, y, z + 0) = m( x, y, z) Sedaj si predstavljamo kvader, ki je razdeljen na poljubno število delnih kvadrov z ravninskimi rezi, ki so vzporedni s koordinatnimi ravninami. Upoštevamo takšen delni kvader, pri katerem se dolžine robov x ∆ , y ∆ , z ∆ nahajajo v celoti znotraj kvadra. Oglišče P , ki je najbli i j k i, j, k žje koordinatnemu izhodišču, ima koordinate x , y , z , diagonalno nasprotno oglišče, tj. točka i j k 14 Q pa ima koordinate x + x ∆ , y + y ∆ , z + z ∆ . S m ∆ označimo maso, ki se nahaja na i, j, k i i j j k k i, j, k območju  x < x ≤ x + x ∆ i i i  y < y ≤ y + y ∆ (2.34) j j j  z < z ≤ z + z ∆  k k k in je  m ∆ = m x + x ∆ y + y ∆ z + z ∆ i j k i i , j j , , , ( k k )  − m( x + x ∆ y + y ∆ z − m x y + y ∆ z + z ∆ i i , j j , k ) ( i, j j , k k )   − m( x + x ∆ y z + z ∆ + m x + x ∆ y z (2.35) i i , j , k k ) ( i i , j , k )  + m( x y + y ∆ z + m x y z + z ∆ i , j j , k ) ( i, j, k k )  − m  ( x y z i , j , k ) Pri tem vedno velja m ≥ . (2.36) i j k 0 , , Iz neenačb (2.34) je razvidno, da točke na ravninah x = x , y = y in z = z ne spadajo v i j k obravnavano območje. To zagotavlja nedvoumno dodelitev porazdelitve mase delnim kvadrom tudi v primeru, ko so posamezne mase zgoščene na presečnih ploskvah, robovih ali ogliščih. Zaradi enostavnosti lahko brez vpliva na splošnost predpostavimo, da na mejnih ploskvah celotnega kvadra ni nezvezne porazdelitev mase (posameznih mas). To lahko vedno dosežemo tako, da izberemo mejne ploskve kvadra tako, da je masa v celoti porazdeljena v njegovi notranjosti. Poleg tega naj bo podana funkcija f ( x, y, z), ki je zvezna na območju  a ≤ x ≤ a 0 1  b ≤ y ≤ b . 0 1  c ≤ z ≤  c 0 1 Tvorimo vsoto 15 n p q  S = ∑∑∑ f ξ η ζ m ∆  i j k i , j , , , ( k ) i, j, k i 1 = j 1 = k 1 =  n p q  ∑∑∑ f (ξ η ζ × i , j , k )  i 1 = j 1 = k 1 =  m × ( x + x ∆ y + y ∆ z + z ∆  i i , j j , k k )  − m( x + x ∆ y + y ∆ z − m x y + y ∆ z + z ∆ . (2.37) i i , j j , k ) ( i, j j , k k )  − m( x + x ∆ y z + z ∆ + m x + x ∆ y z i i , j , k k ) ( i i , j , k )  + m( x y + y ∆ z + m x y z + z ∆ i , j j , k ) ( i, j, k k )  − m( x y z i , j , k )  kjer je  x ≤ ξ ≤ x + x ∆ i i i i  y ≤η ≤ y + y ∆ (2.38) j j j j  z ≤ζ ≤ z + z ∆  k k k k Če zdaj z ustrezno izbiro vse bolj drobne delitve kvadra na prostornine V ∆ = x ∆ y ∆ z ∆ i, j, k i j k preidemo v limito (za več podrobnosti o natančni izvedbi tega limitnega prehoda glej npr. v SMIRNOV, vol. 5 [5]), potem pod zgoraj navedenimi pogoji limitna vrednost obstaja in velja  f (ξ η ζ = f P f x y z = f P i , j , k ) ( i j k , , , , , ) ( ) ( )  n p q  (2.39) lim ∑∑∑ f ( P m ∆ =  f P dm P i, j, k ) i, j, k ∫ ( ) ( )  i 1 = j 1 = k 1 =  ( V ) V tem primeru pravimo, da je funkcija f ( P) integrirana glede na funkcijo m( P), sam integral pa imenujemo STIELTJES–ov integral. Za f ( P) =1 je v enačbi (2 .39) podana celotna masa, ki je v prostornini V : dm = m ∫ . (2.40) ( V ) Če na obravnavanem območju obstaja zvezna porazdelitev mase, obstaja tudi limita lim m ∆ dm = = ρ , V ∆ →0 V ∆ dV 16 izraz dm = ρ dV pa je integrabilen po Riemannu. Tu je ρ ( x, y, z) gostota mase ali preprosto gostota kontinuuma, ki je odsekoma zvezna funkcija lege. V tem primeru se masa masnega elementa z dV enakomerno približuje ničli. Kot primer linearne porazdelitve mase si oglejmo nosilec s konstantno porazdelitvijo mase µ = ρ F in tri posamezne mase v skladu s sliko 2/6. Funkcija m( x) ima krivuljo, prikazano 0 na sliki 2/7. Pri tem so m( x) je masa na intervalu [ a, x], m( a) je zgoščena enojna masa m , 1 m( b) skupna masa. Slika 2/6 Nosilec z zvezno porazdelitvijo mase in tremi posameznimi masami Zaradi zveznosti z desne, izražene z m( x + 0) = m( x) , je m( c) − m( c − 0) = m (zgoščena enojna masa pri x = c ) in 2 m( b) − m( b − 0) = m (zgoščena enojna masa pri x = b ). Ker je m ∆ = m x + x ∆ − m x i ( i i ) ( i ) 2 masa v intervalu x < x ≤ x + x ∆ , je skupna masa m rezultat i i i b m = lim dm = lim  m ∫  ( b) − m( a − ε ) = m  ( b) . (2.41) ε →0 ε →0 a−ε Slika 2/7 Porazdelitev mase m( x) za primer na sliki 2/6 17 Doslej smo upoštevali kartezični koordinatni sistem. Jasno pa je, da jih je mogoče na enak način izdelati za katere koli druge, običajno krivuljne koordinate (α, β,γ ) , če so takšne, da je mogoče vsak prostorninski element V ∆ ali vsak masni element m ∆ α β γ nedvoumno opisati i j k , , , , ( ) i, j, k v skladu z enačbo (2.35). Zato določenih območij koordinat ne smete prečkati več kot enkrat. 2.4 Sila Enako temeljnega pomena za strukturo mehanike kot so kinematični pojmi in pojem mase je pojem sile, ki ga bomo obravnavali v nadaljevanju. Pri iskanju mehanskih zakonov moramo predpostaviti, da vsak mehanski sistem (sistem materialnih teles) učinkuje z drugimi materialnimi telesi, ki so v bližnji in bolj oddaljeni okolici. V sistemu posamezni elementi medsebojno vplivajo drug na drugega. Opozoriti je treba, da je razmejitev med obravnavanim mehanskim sistemom in njegovo okolico vedno povsem svobodna in namišljena ter je na splošno določena le z namembnostjo. Namreč, da bi bil mehanski sistem dostopen raziskavi, ga je treba ločiti od okolice, ga iz nje »izrezati«. Izkušnje učijo, da ni pomembno, ali je namišljeni »prerez« narejen skozi »prazen prostor«, ki obdaja materialna telesa, ali skozi sama materialna telesa. Zato lahko rez v celoti leži tudi v materialnem telesu. Na podlagi te predpostavke si lahko vsako telo predstavljamo kot telo, razdeljeno na masne elemente dm , kot je predstavljeno v razdelku 2.3, z ustreznimi »rezi«. Mehansko obnašanje podsistema, ločenega od okolice, je seveda mogoče smiselno raziskati le, če se upošteva vpliv okolice na sistem. Od vseh možnih interakcij med mehanskimi sistemi nas zanimajo le tiste, ki skušajo pospešiti masne elemente obravnavanega sistema. Za opis takšnih interakcij se uporablja izraz sila. Slika 2/8 Primer razmejitve med mehanskim sistemom in okolico 18 Vsak vpliv masnega elementa na kateri koli drug masni element mehanskega sistema, ki skuša povzročiti pospešeno spremembo lego slednjega, lahko predstavimo s silo. Vendar pospešek masnega elementa ni nujen za obstoj sile. Možno je, da obravnavani masni element še vedno učinkuje z drugimi masnimi elementi, ki izničijo učinek prvega elementa glede na okolico in tako preprečijo njegov pospešek. Izkušnje učijo, da so sile vektorji, ki so na splošno vezani na točko delovanja. Iz tega sledi, da se sile, ki delujejo v isti točki delovanja, lahko vektorsko seštevajo (izrek paralelogramu sil). To nikakor ni geometrijski, temveč fizikalni izrek, ki izraža, da prisotnost drugih sil ne vpliva na učinek posamezne sile. Zato predpostavimo, da je mogoče učinek okoliških masnih elementov na obravnavani masni element nadomestiti z eno samo silo dF . Sile, ki delujejo na mehanski sistem od zunaj, imenujemo zunanje sile in jih označujemo z dF ali F . Sile, s katerimi podsistemi znotraj obravnavanega sistema delujejo drug na a a drugega, se imenujejo notranje sile dF ali F . Katere sile so notranje in katere zunanje, je i i odvisno izključno od razmejitve med mehanskim sistemom in njegovo okolico. S spreminjanjem mej sistema lahko vsaka zunanja sila postane notranja sila in obratno. Obravnavajmo na primer sistem treh masnih elementov (glej sliko 2/8), ki drug na drugega delujejo s silami dF ( i, k =1,2,3) . V sistemu »1« so vse sile notranje sile, medtem ko v i, k sistemu »2« le sili dF in dF spadata med notranje sile. Nasprotno pa sta dF in dF postali 31 13 21 23 zunanji sili, ker na ta sistem delujeta z masnim elementom dm , ki ne pripada sistemu »2«. V 2 tem primeru sili dF in dF nista več zanimivi, ker ne delujeta na sistem »2«. Pomembne so 12 32 le pri obravnavi mehanskega obnašanja masnega elementa dm . Nazadnje, v sistemu »3« 2 obstajata le zunanji sili dF in dF , ki izhajata iz masnih elementov dm in dm , ki ne 21 31 2 3 pripadata sistemu. Sistemi, na katere ne delujejo zunanje sile, se imenujejo zaprti. Vsi drugi sistemi niso zaprti. Slika 2/9 Učinek sile med dvema masnima elementoma 19 Predpostavimo, da so sile, ki delujejo na masni element, odvisne le od njegove lege in hitrosti ter lege in hitrosti drugih masnih elementov, časa in fizikalnih konstant, ne pa tudi od pospeška ali višjih odvodov krajevnega vektorja. Ker iz homogenosti prostora izhaja, da je določitev lege in hitrosti masnega elementa smiselna le glede na drugo telo, tj. da obstajajo le relativne lege in hitrosti, so zato sile odvisne le od razlik v koordinatah in hitrostih. Če masni element dm deluje 2 s silo dF na masni element dm , je ta sila na splošno lahko odvisna od r ,  r in t (slika 21 1 21 21 2/9): dF = dF r ,  r , t = dF r − r ,  r −  r , t 21 21 ( 21 21 ) 21 ( 1 2 1 2 ) Poleg tega se v tem zakonu sile lahko pojavijo še druge fizikalne konstante. Če nastala sila dF deluje na masni element dm mehanskega sistema in se ta elementi navidezno premakne za δ r , potem izraz δ ( dW ) = dF ⋅δ r (2.42) imenujemo virtualno delo, ki bi ga ta sila opravila na obravnavanem masnem elementu pri pomiku δ r . Z integracijo tega izraza po vseh masnih elementih sistema dobimo virtualno delo vseh notranjih in zunanjih sil, ki delujejo na sistem pri virtualnih pomikih vseh masnih elementov: δ W = d ⋅δ ∫ F r (2.43) ( S) Dejansko delo dW , ki ga opravijo sile dF pri diferencialnem pomiku masnih elementov, dobimo iz enačbe (2.43), če vzamemo, da so virtualni pomiki δ r enaki dejanskim pomikom dr : dW = d ⋅ d ∫ F r (2.44) ( S) Posebej pomemben je primer, ko so sile odvisne le od lokacije masnega elementa, ne pa tudi od njegove hitrosti in časa: dF = dF ( r) (2.45) Pri tem je r krajevni vektor obravnavanega masnega elementa, na katerega deluje d F . (Morebitna odvisnost te sile od krajevnih vektorjev elementov, ki so v interakciji z njo, tu ni 20 navedena). V tem primeru je mogoče, da obstaja potencialna funkcija d U ( r) , na kratko imenovana tudi potencial, ki je z d F povezana takole d F = −∇(d U ) = −grad(d U ). (2.46) Za obstoj potenciala je potrebno, da je ∇×d F = rot d F = 0 (2.47) ker je v skladu z enačbo (2.46) ∇× d F = −∇×∇(d U ) . produkt ∇×∇ enak nič. Toda pogoj (2.47) je tudi zadosten, saj iz enačb. (2.43) in (2.46) sledi: δ ( dW ) = dF ⋅δ r = −∇( dU )⋅δ r  (2.48) = − δ ∂ ∂ ∂  x + δ y + δ z ( dU ) = δ −   ( dU )  x ∂ y ∂ z ∂  Operator δ x ∂ δ y ∂ δ z ∂ + + x ∂ y ∂ z ∂ uporabljena na dU , daje popolno spremembo te spremenljivke pri virtualnem pomiku δ r masnega elementa. Pri integraciji enačbe (2.48) po virtualni poti masnega elementa vzdolž krivulje C je torej rezultat odvisen le od končnih točk integracijske poti, ne pa tudi od same integracijske poti. Tako za silo dF , ki izpolnjuje pogoj (2.47), obstaja potenciala d U r dU ( r ) = dU ( r − dF ⋅δ r (2.49) 0 ) ∫ 0 r Iz tega je razvidno, da je razlika potencialov dU ( r) − dU ( r enaka negativnemu delu sile 0 ) dF , ki ga opravi pri virtualnem pomiku točke njenega delovanja r v točko r . Zato 0 dU ( r ) imenujemo tudi potencialna energija sile dF glede na začetno točko, ki jo določa r . Poseben 0 primer, ko je virtualni pomik δ r enaka dejanskemu pomiku d r , je vsebovan v enačbi (2.49) in v prejšnji izpeljavi. Sile dF , ki jih je mogoče na tak način izpeljati iz enolične potencialne funkcije dU ( r), imenujemo konservativne sile. 21 Pri tem je treba še posebno poudariti razliko med splošnim znakom δ pri δ ( dW )) in znakom, uporabljenim v enačbi (2.48). Medtem ko lahko v izrazu δ ( dU ) δ razumemo kot diferencialni operator, ki se uporablja za funkcijo dU , ki je odvisna samo od krajevnega vektorja, je takšno razumevanje v izrazu δ ( dW ) mogoče le, če imajo obravnavane sile potencial. V splošnem primeru znaka δ ni mogoče ločiti od dW , saj δ ( dW ) kot celota pomeni virtualno delo sile dF pri pomiku δ r . Pojem potenciala posplošimo, če lahko silo dF ( r, t) , ki je eksplicitno odvisna od lege in časa, izpeljemo iz skalarne funkcije dU ( r, t), tj. časovno odvisnega potenciala, in sicer z dF = −∇( dU ( r, t)) (2.51) Za obstoj takšnega potenciala je veljavnost enačbe (2.47) spet potrebna in zadostna. V nasprotju z razmislekom o povsem lokacijsko odvisnem potencialu pa je tu zveza (2.49) smiselna le za virtualne pomike. Za dejanski pomik d r je iz enačbe (2.48) razvidno  d ( dW ) = dF ⋅ dr = −∇( dU )⋅ dr   ∂ ∂ ∂   = − dx + dy + dz ( dU ) (2.51)   x ∂ y ∂ z ∂    ∂ = − d −  dt  U   t ∂  Iz enačbe (2.51) pa d U ne moremo več dobiti kot funkcije, ki je neodvisna od poti integracije. Količina d U ( r, t) zato nima več zgoraj omenjenega preprostega fizikalnega pomena kot potencialna energija. Sile, ki so odvisne od časovno odvisnega potenciala, ne spadajo med konservativne sile. 22 3 Aksiomi mehanike 3.1 Temeljni aksiom mehanike Na začetku tega poglavja je treba postaviti aksiom, ki v povezavi z aksiomatskimi lastnostmi prostora in časa, mase in sil, navedenimi v drugem poglavju, omogoča izpeljavo vseh splošnih zakonov klasične mehanike. Ta aksiom lahko izrazimo na naslednji način. Obstaja vsaj en koordinatni sistem ( inercialni sistem), v katerem za vsak mehanski sistem S veljata enačbi ( dF − dmr = ∫  a ) 0 (3.1) ( S) in r ×( dF − dm r = ∫  a ) 0 . (3.2) ( S) Simbol integracije pomeni, da je treba integracijo izvesti prek vseh masnih elementov, ki pripadajo sistemu. Integrale je treba razumeti kot Stieltjesove integrale v smislu, kot je razloženo v razdelku 2.3. V teh enačbah je r krajevni vektor posameznega masnega elementa, d m pa njegova masa. Sila dF pomeni rezultanto vseh sil, ki delujejo na obravnavani masni a element in je posledica interakcij s telesi zunaj sistema S . Zmnožek mase d m masnega elementa in njegove hitrosti določa njegovo gibalno količ ino dp = dm  r . Izraz d m r je torej časovna sprememba gibalne količine. Zato enačbo (3.1), ki jo lahko zapišemo v obliki ( d − d = ∫ F p a ) 0 (3.3) ( S) imenuje tudi zakon o gibalni količ ini. Količina dL = r × dp je vrtilna količ ina masnega elementa. Njen odvod po času je 23 d  L = ( r × dm  r) =  r× dm  r + r × dm  r Prvi člen desne strani je v skladu z definicijo vektorskega produkta enak nič. Zato enačbo (3.2), zapisana v obliki ( r× dF − dL = ∫  a ) 0. (3.4) ( S) imenujemo zakon o vrtilni količ ini. 3.2 Newtonovi aksiomi mehanike Iz pravkar obravnavanega aksioma je mogoče izpeljati izreke, ki vzeti kot aksiomi odražajo zgodovinski razvoj mehanike. Takšna razčlenitev zakona o gibalni količini in zakona o vrtilni količini na vrsto delnih aksiomov je prav tako zelo koristna za razumevanje zakonov mehanike in za njihovo uporabo. Zato bomo v nadaljevanju obravnavali te delne aksiome. 3.2.1 Newtonov prvi aksiom: zakon vztrajnosti Če za masni element, na katerega ne delujejo sile, uporabimo zakon o gibalni količini (3.1), dobimo naslednje dm r= 0 (3.5) tj. dp = dm  r = const. (3.6) To pomeni, da je v inercialnem sistemu gibalna količina masnega elementa konstantna, če nanj ne delujejo sile. Ker je masa nespremenjena, sledi, da tudi hitrost ostane nespremenjena. NEWTON je to dejstvo izrazil takole: Vsako telo vztraja v stanju mirovanja ali enakomernega premoč rtnega gibanja, č e ga sile ne prisilijo v spremembo tega stanja. Kot vidimo, Newtonovo »telo« postane identično z našim masnim elementom, če za določitev njegove lege zadostuje krajevni vektor r . 3.2.2 Drugi Newtonov aksiom: temeljna enačba dinamike Če za masni element uporabimo izrek o gibalni količine brez izrecne zahteve po izničenju sil, dobimo iz enačbe (3.1) 24 dF − dm  r = a 0 . Pri posameznem masnem elementu lahko opustimo označevanje sile in mase kot diferencialnih količin ter indeks a za silo, saj notranjih sil masnega elementa ne upoštevamo. Tako dobimo enačbo F = m r ≡ m v ≡ ma (3.7) ali F =  p (3.8) To je tako imenovana temeljna enač ba dinamike (masne točke). Drugi Newtonov aksiom, ki ni dobesedni prevod Newtonovega originala, lahko (3.7) izrazimo v obliki: Sila, ki deluje na masni element, je enaka produktu njegove mase in pospeška. Ta izjava se nanaša na izraz (3.8): Sila, ki deluje na masni element, je enaka spremembi njegove gibalne količ ine v č asu. 3.2.3 Newtonov tretji aksiom: zakon vzajemnega učinka Obravnavamo mehanski sistem S , ki ga navidezni presek deli na dva podsistema S in S , glej 1 2 sliko 3/ 1. Iz vsakega podsistema izberemo masni element. Naj bosta d F in d F rezultanti 1 a a 2 zunanjih sil, ki delujejo na ta masna elementa glede na S . Nasprotno pa je d F rezultanta vseh 2 sil, ki delujejo iz sistema 2 na obravnavani element v S . Skladno s tem d F predstavlja 1 1 rezultanto vseh sil, ki delujejo iz sistema 1 na obravnavani element v S . S 2 Če za podsistema 1 in S uporabimo izrek o gibalni količini v obliki (3.1), dobimo 2 ( dF + dF − dmr = ∫  dF + dF − dm  r = 1 a 2 ) 0; ∫ ( a 2 1 ) 0. ( 1 S ) ( S 2 ) Če obe enačbi seštejemo ter upoštevamo, da veljata zvezi dF + dF = d ∫ F ; d m  r+ d m  r = d m  r, 1 a ∫ a 2 ∫ a ∫ ∫ ∫ ( 1 S) ( S 2 ) ( S) ( 1 S ) ( S 2 ) ( S) dobimo ( dF − dm r + dF + dF = ∫ a ) ∫ 1 a ∫ a 2 0 . (3.9) ( S) ( 1 S) ( S 2 ) 25 Slika 3/1 Mehanska interakcija med dva podsistema Prvi integral je enak nič zaradi veljavnosti izreka o gibalni količini za celoten sistem. Če skupno silo, s katero S deluje na S , označimo z 2 1 F = dF , 21 ∫ 2 ( 1 S) skupna sila, s katero S deluje na S , pa z 1 2 F = dF 12 ∫ 1 ( S 2) potem iz enačbe (3.9) dobimo F = − F (3.10) 12 21 Če za podsisteme uporabimo izrek o vrtilni količini, dobimo: r ×( dF − dm  r + r × dF + r × dF = ∫ a ) ∫ 2 ∫ 1 0 . (3.11) ( S) ( 1 S) ( S 2 ) Prvi integral odpade zaradi veljavnosti izreka o vrtilni količini (3.2) za celotni sistem. Iz tega sledi r × dF + r × dF = ∫ 2 ∫ 1 0 , ( 1 S ) ( S 2 ) tj. moment M = r × dF = r × F . (3.12) 21 ∫ 2 1 21 ( 1 S ) sil, s katerimi deluje sistem 2 na sistem 1, je obratno enak momentu M = r × dF = r × F . (3.13) 12 ∫ 1 2 12 ( S 2 ) 26 sil, s katerimi sistem 1 deluje na sistem 2: M = − M . (3.14) 21 12 Slika 3/2 Skupna linija delovanja sil vzajemnega delovanja Zvezi (3.12) in (3.13) določata dve premici, ki ju opisujeta krajevna vektorja r in r ; glej. 1 2 sliko 3/2. Iz enačb (3.10) in (3.14) sledi F × r − r = 12 ( 1 2 ) 0. (3.15) tj. sili F in F le 21 12 žita na isti premici. Izjavi (3.10) in (3.15) vsebujeta tako imenovani zakon vzajemnega učinka, imenovano tudi načelo nasprotnega delovanja: Sila, s katero telo 2 deluje na telo 1, in sila, s katero telo 1 deluje na telo 2, sta enaki, nasprotno usmerjeni in lež ita na skupni premici delovanja. 3.3 D'Alembertov aksiom Če za sisteme, katerih elementi mirujejo ali se enakomerno gibljejo v inercialnem opazovalnem sistemu, uporabimo izreka o gibalni količini in vrtilni količini, dobimo naslednji temeljni enačbi statike za te sisteme: d = ∫ F × d = a 0 ; ∫ r Fa 0 . (3.16) ( S) ( S) To pomeni, da sistem ohranja stanje mirovanja ali enakomernega gibanja, če in samo če so zunanje sile in njihovi momenti za ta sistem in vse njegove podsisteme enaki nič. To stanje se na splošno imenuje statično ravnotežno stanje, in sicer zato, ker je raziskovanje ravnotežnih stanj v mehanskih sistemih naloga statike. Če sistem ni v statičnem ravnotežju, tj. če vsi d m r niso enake nič, potem lahko −d m  r razumemo kot sile, imenovane vztrajnostne sile ali masne sile, in postavimo * dF = dF − dm r (3.17) a a 27 S tem lahko enačbi (3.1) in (3.2) zapišemo v obliki * d = ∫ F * × d = a 0 ; ∫ r Fa 0 , (3.18) ( S) ( S) ki formalno ustrezata enačbama (3.16). Če torej uvedemo pojem dinamičnega ravnotežja, potem enačbi (3.17) in (3.18) izražata naslednje: Če silam, ki se pojavljajo v sistemu, dodamo vztrajnostne sile −d m  r , potem lahko vsak mehanski problem obravnavamo kot problem ravnotežja. To je d'Alembertov aksiom, imenovan tudi d'Alembertovo načelo. D'Alembert-ov aksiom je enakovreden temeljnemu aksiomu, ki je obravnavan v razdelku 3.1. Vendar pa lahko vidimo, da sta pri obravnavi mehanskih sistemov možna dva temeljno različna pogleda. Prvi, imenovan dinamični pogled (Budó [6]), temelji na načelu, da sile povzročajo pospeške. To je najbolj jasno izraženo v Newtonovim temeljnem zakonu. Drugi, ti. statični pogled, pa obravnava −d m  r kot sile, imenovali smo jih vztrajnostne sile, ki so v ravnotežju skupaj z drugimi silami. To je osnovna ideja d'Alembert-ovega aksioma. Naš temeljni aksiom mehanike dopušča oba pogleda. V primerjavi z Newtonovimi aksiomi, obravnavanimi v razdelku 3.2, je širši, saj vsebuje »načelo rezov«, ki je postulirano v razdelku 2.4. Da pa bi lahko vse mehanske sisteme obravnavali z Newtonovimi aksiomi, je ta nujno potreben. 3.4 Neinercialni sistemi, Galilejevo načelo relativnosti Raziščimo sedaj, kakšno obliko imata izrek o gibalni količini in izrek o vrtilni količini, v koordinatnem sistemu, ki se gibljejo glede na inercialni sistem. Naj bo r krajevni vektor masnega elementa v inercialnem sistemu z izhodiščem v O , r krajevni vektor istega masnega 1 elementa, v sistemu, ki se giblje glede na inercialni sistem z izhodiščem v O in r = r − r 1 0 1 krajevni vektor izhodišča O , glede na inercialni sistem. Vektor kotne hitrosti  označuje 1 vrtenje premikajočega se sistema, glej sliko 2/4. V skladu z enačbo (2.26) dobimo za  r izraz  r =  r +   × r +  ×  × r + 2  × r′+ r′ (3.19) 0 1 ( 1 ) 1 1 Izrek o gibalni količini (3.1) ima tako obliko: ∫ { dF − dm r +  × r + × × r + × r′+ r′′ = a 2  0 1 ( 1 ) 1 } 0 (3.20) ( S) 28 Ta zveza se za poljubne sisteme skrči na enačbo ( d − dm ′ = ∫ F r a 1 ) 0 (3.21) ( S) le v primeru če sta  r in  identično enaka nič . V tem primeru je iz izreka o vrtilni količini 0 razvidno, da je ( + × d − dm ′ = ∫ r r F r 0 1 ) ( a 1 ) 0 . (3.22) ( S) Če od tega odštejemo enačbo (3.21), ki je vektorsko pomnoženo z r , dobimo 0 ×( d − dm ′ = ∫ r F r a 1 ) 0 . (3.23) ( S) Razen simbola časovnega odvoda krajevnega vektorja in indeksa 1, se enačbi (3.21) in (3.23) ne razlikujeta od enačb (3.1) in (3.2). Za  r = 0 0 in  = 0 sta torej oba koordinatna sistema enaka; oba sta inercialna sistema. Z drugimi besedami: Vsak opazovalni sistem, ki se giblje enakomerno translacijsko (  r = konst ,  = 0 0 ) glede na inercialni sistem, je prav tako inercialni sistem. To je bistvo Galilejevega nač ela relativnosti. Iz pogojev enakomernega gibanja  r = konst ,  = 0 0 dobimo z dvakratno integracijo enačbe (3.19) r = v t + r 0 + r ,  = 0 (3.24) 0 0 ( ) 1 ali v koordinatnem zapisu  x = v t + x + x x 0 0 0 ( ) 1   y = v t + y + y (3.25) y 0 0 0 ( ) 1  z = v t + z + z  z 0 0 0 ( ) 1 Pri tem je v =  r =  v v v   x , y , 0 0 0 0 z 0  konstantna translacijska hitrost sistema O glede na sistem 1 O in 29 r 0 =  x 0 , y 0 , z 0  0 ( )  0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) začetni krajevni vektor koordinatnega izhodišča O v času . Enačbe (3.24) oz. (3.25) 1 t = 0 predstavljata tako imenovano Galilejevo transformacijo. Kadar pogoja  r = 0 0 in  = 0 nista izpolnjena hkrati, tj. ne velja Galilejeva transformacija, se v izreku o gibalni količini in izreku o vrtilni količini pojavijo dodatni členi pospeška, ki jih je treba upoštevati za sistem, ki je pospešen glede na inercialni sistem.. Toda tudi v tem primeru lahko izreka o gibalni količini in vrtilni količini formalno izrazimo v obliki (3.1) in (3.2), če dodatne člene pospeška v enačbe (3.19), pomnožene z −d m, obravnavamo kot sile, tako imenovane vztrajnostne sile, in jih dodamo k d F . Izraz a − dm  r +  × r + × × r   0 1 ( 1 ) imenujemo sistemska sila. Če je  konstanten in izhodišče gibajočega se sistema miruje, jo imenujemo centrifugalna sila. Coriolisov pospešek, pomnožen z −d m − dm(2  × r′ 1 ) se imenuje Coriolisova sila. 30 4. Izreki mehanike 4.1 Izreki o skupni gibalni količini, vrtilni količini in energiji mehanskega sistema Iz aksiomov, navedenih v poglavju 3, je mogoče neposredno izpeljati sklepe, ki omogočajo splošne izjave o obnašanja sistema kot celote. Ti izreki se nanašajo na gibalno količino, vrtilno količino in energijo sistema, pri čemer se v teh izrekih jasno pokaže njihov velik pomen. 4.1.1 Izrek o masnem središču Masno središč e mehanskega sistema, je opredeljeno s svojim krajevnim vektorjem r : m dm ∫ r ( S) 1 r = = dm r (4.1) m ∫ dm m ∫ ( S) ( S) kjer m pomeni skupno maso sistema. Zaradi nespremenljivosti mase iz enačbe (4.1) po odvajanju glede na čas sledi p = dm r = m ∫   r (4.2) m ( S) Skupna gibalna količina sistema je torej zmnožek skupne mase in hitrosti težišča. Nadaljnji odvod da  p = dm  r = m ∫  r (4.3) m ( S) Če s d F označimo rezultanto vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem, potem je v skladu z a enačbo (3.1) F = dF = dm r = m r a ∫ a ∫   m ( S) ( S) in s tem F = m  r . (4.4) a m Če primerjamo enačbo (4.4) z Newtonovim temeljnim zakonom (3.7), dobimo izrek o masnem središču (izrek o težišču): 31 Masno središč e mehanskega sistema se giblje tako, kot da bi bila v njem združena celotna masa in bi nanj delovale vse zunanje sile. Ta izrek pod določenimi pogoji omogoča obravnavo teles končnih razsežnosti kot masne točke. 4.1.2 Zakon o ohranitvi gibalne količine in zakon o ohranitvi vrtilne količine Iz enačb. (4.3) in (4.4) sledi za F = a 0 tako imenovani zakon o ohranitvi gibalne količine  p = m r = p = m  r = (4.5) m 0 , m const. za celoten mehanski sistem. To pomeni, da če zunanjih sil ni ali če njihova rezultanta nična potem skupna gibalna količina ostaja konstanta, masno središče pa se giblje enakomerno premočrtno. Ta izrek ne pove ničesar o gibanju posameznih masnih elementov sistema. Zato se lahko ti gibljejo poljubno. Podoben izrek za skupno vrtilno količino mehanskega sistema lahko izpeljemo iz enačbe (3.4). Če z M = r × dF . (4.6) a ∫ a ( S) označimo rezultanto moment vseh zunanjih sil in z L = dL = r × dm ∫ ∫  r . (4.7) ( S) ( S) vrtilno količino sistema ter upoštevamo  L d ∫  L ∫ ( r dm  r)⋅ = = × = ∫ (  r× dm  r + r × dmr)  = r × dm ∫  r. ( S) ( S) ( S) ( S) dobimo iz enačbe (3.4): M =  L (4.8) a Ko ni zunanjih sil ali pa njihov moment ničen, iz enačbe (4.8) sledi zakon o ohranitvi vrtilne količ ine  L = 0, L = const. (4.9) 4.1.3. Izrek o kinetični energiji (zakon o ohranitvi energije) Izhajamo iz zakona o gibalni količini (3.1), ki ga za masni element zapišemo v obliki 32 dF = dm r. (4.10) Indeks a pri sili je tukaj izpuščen iz istih razlogov kot pri razlagi Newtonovega aksioma v razdelku 3.2. Če enačbo (4.10) pomnožimo z diferencialno majhnim pomikom d r masnega elementa, dobimo na levi strani delo sile dF pri pomiku dr : d ( dW ) = dF ⋅ dr = dm  r⋅ dr (4.11) Ko se masni element pomika pod vplivom sile d F po krivulji C (slika 4/1), je delo, ki ga opravi sila dF na masnem elementu na poti od P do P , v skladu z enačbo (4.11). 1 2 2 r 2 r dW = dF ⋅ dr = dm r ⋅ d ∫ ∫ r (4.12) 1 r 1 r Slika 4/ l Delo sile d F med gibanjem masnega elementa po krivulji C Desno stran lahko preoblikujemo na naslednji način: 2 r 2 r 2 r v 2 v 2 d r dr 1 dm  r⋅ dr = dm ⋅ dr = dm d r ⋅ = dm v ⋅ dv = dm d ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( 2 v) dt dt 2 1 r 1 r 1 r 1 v 1 v (4.12) 1 r = dm( 2 2 v − v = dm  r⋅ dr 2 1 ) 2 2 ∫ 1 r Količino 1 2 dT = dmv (4.14) 2 imenujemo kinetič na energija masnega elementa. Iz enačb. (4.12), (4.13) in (4.14) izhaja iz izreka o kinetični energiji: dW = dT − dT . (4.15) 2 1 33 Z besedami: Delo, ki ga opravi sila d F na masni element, je enako spremembi kinetič ne energije masnega elementa. Z integracijo enačbe (4.15) za vse masne elemente sistema dobimo izrek o kinetični energiji celotnega sistema: 2 r 2 1 r W = dF ⋅ dr = dm ∫ ∫ ∫ ∫ ( 2 2 v − v = T − T 2 1 ) 2 1 (4.16) ( ) 2 S 1 r ( S) 1 r tj. W = T − T (4.17) 2 1 Enačba. (4.16) definira delo in kinetične energije celotnega sistema. Pri oblikovanju celotnega dela je treba upoštevati, da se pri integraciji upoštevajo vse sile d F , ki delujejo na masne elemente, tj. vse notranje in zunanje sile celotnega sistema. Zdaj obravnavamo primer, ko so vse sile, ki opravljajo delo v sistemu, odvisne od potencialne funkcije v skladu z enačbo (2.50). V tem primeru za delo v skladu z enačbo (4.16) sledi: 2 r 2 r r  ∂ ∂ ∂  W = dF ⋅ dr = − ∇ dU ∫ ∫ ∫ ∫ ( r, t) 2 ⋅d r = − dx + dy + ∫ ∫ dz  dU ( r r r  x ∂ y ∂ z ∂ S )  1 ( S) 1 ( S) 1 2 r 2  ∂  r  dU ∂ d dt dU d ∫ ∫ ∫ ∫ ( dU ) dt = − − = − −     (4.18) ( r  t ∂  r  t ∂ S )  1 ( S) 1 t 2 t  dU  ∂ U ∂ = −  dU − dU − dt = − U − U + dt ∫ 2 1 ∫ ( 2 1) 2∫ (  t ∂   t ∂ S ) 1 t  1 t Po vstavitvi enačbe (4.18) v enačbo (4.17) dobimo t 2 U ∂ T + U = T + U + dt 2 2 1 1 ∫ (4.19) t ∂ 1 t V primeru konservativnih sistemov, za katere velja U ∂ = 0 t ∂ je torej T + U = T + U 2 2 1 1 34 ali T + U = E = const. (4.20) To je zakon o ohranitvi mehanske energije, ki ga imenujemo tudi zakon o ohranitvi energije ali na kratko energijski zakon. 4.2 Načela 4.2.1 Uvodne opombe Kot je bilo že pojasnjeno v poglavju 3, izreka o gibalni količini in vrtilni količini vzeta kot temeljna aksioma v povezavi z osnovnimi pojmi prostora, časa, mase in sile (poglavje 2) zadostujeta za raziskovanje vseh problemov klasične mehanike, če poznamo posebne zakone sile dF = dF ( r,  r, t) . Vendar pa je treba nalogo, da bi neposredno raziskali mehanski sistem brez kakršnihkoli idealizacij, obravnavati kot praktično nerešljivo. Če že ne upoštevamo dejstva, da sama klasična mehanika temelji na idealiziranem modelu fizikalne realnosti, potem predvsem ni mogoče na splošno razumeti raznolikosti učinkov notranjih in zunanjih sil. Obravnava posebnega problema s pomočjo splošno veljavnih aksiomov je torej mogoča šele po nadaljnji idealizaciji sistema. Eden od osnovnih pojmov pri modelih mehanskih sistemov je toga vez. Ta temelji na predpostavki, da med posameznimi ali neskončnim številom masnih elementov in njihovim okoljem obstajajo lege, ki so popolnoma nespremenljive. Utemeljitev te predpostavke temelji na dejstvu, da obstajajo mehanski sistemi, v katerih lahko med določenimi masnimi elementi pride le do majhnih sprememb lege, saj med njimi delujejo sile, ki preprečujejo večje medsebojne premike. Idealizacija je v tem, da se takšne spremembe lege, ki so majhne glede na druge možnosti gibanja sistema, enake nič. Sile, ki v tem smislu ustvarjajo toge vezi med masnimi elementi, imenujemo vezne sile [ali reakcije]. Teh ne moremo določiti iz zakonov sil, ki veljajo za dejanski sistem, kar pomeni, da se njihova odvisnost od fizikalnih lastnosti izgubi. Da jih razlikujemo vse sile, ki niso vezne sil, imenujemo vtisnjene sile [ali aktivne sile]. Uvedba veznih sil ima posledice za virtualno delo v celotnem sistemu, ki jih bomo podrobneje obravnavali v nadaljevanju. Če virtualni pomiki zadoščajo predpisanim togim vezem, potem za virtualno delo veznih sil velja naslednje ( z) d ⋅δ ≥ 0 ∫ F r (4.21) ( S) 35 Če oblikujemo virtualno delo za tiste vtisnjene sile, ki v limitnem prehodu v togo vez postanejo vezne sile, lahko s poznavanjem posebnih zakonov sil dokažemo pravilnost te predpostavke. Vendar pa splošni dokaz ni mogoč. Veljavnost neenakosti (4.21) je torej treba obravnavati kot aksiom za sisteme s togimi vezmi. Pri togih vezeh je treba razlikovati med tako imenovanimi enostranskimi in dvostranskimi vezmi. Naj obstaja poljubna kombinacija virtualnih pomikov δ r , ki pripadajo masnim elementom in so združljivi z vezmi. Če je ista kombinacija virtualnih pomikov možna v nasprotni smeri, torej. δ − r , potem govorimo o dvostranskih vezeh. Če po drugi strani za vsako možno kombinacijo δ r pomik δ − r ni združljiv z vezmi, potem govorimo o enostranskih vezeh. V primeru dvostranskih vezi velja v izrazu (4.21) znak enakosti. Pravilnost tega izreka je razvidna, če na primer predpostavimo, da je leva stran neenakosti (4.21) pozitivna za nek δ r . Če zamenjamoδ r z δ − r , dobimo negativno vrednost integrala, kar je protislovje. V primeru enostranskih vezi izreka (4.21) ni mogoče podrobneje določiti. Izkaže se, da je neposredna uporaba temeljnega aksioma, tj. enačb (3.1) in (3.2), ni vedno primerna, zlasti ne v primeru togih vezi. Vendar pa je iz njega mogoče izpeljati izreke, ki so primernejši za določene naloge, predvsem zaradi njihove obsežne matematične dodelanosti. Na splošno se imenujejo nač ela mehanike. V nadaljevanju jih bomo, tako kot njihovo uporabo. podrobno obravnavali. 4.2.2 d'Alembertovo načelo Eno od temeljnih načel mehanike je d'Alembertovo načelo. Za njegovo izpeljavo izhajamo iz temeljnega aksioma (3.1 ) za en sam masni element d m : dF − dm  r = 0 . Če ta izraz pomnožimo z virtualnim pomikom δ r , potem seveda velja ( dF − dmr)  ⋅δ r = 0. Ko to enačbo integriramo po Stieltjesu prek vseh masnih elementov sistema, dobimo ∫ ( dF − dmr)⋅δ r = 0 . (4.22) ( S) 36 Pri tem so dF vse notranje in zunanje sile, ki delujejo na posamezni masni element sistema. Če te sile nadalje razdelimo na vtisnjene sile ( ) d e F in vezne sile ( ) d z F , potem iz (4.22) ob upoštevanju aksioma (4.21) dobimo: ( e) ∫ ( dF − dmr) ( z)  ⋅δ r = − dF ⋅δ r ≤ 0 ∫ ( S) ( S) oz. ( e) ∫ ( dF − dmr)⋅δ r ≤ 0. (4.23) ( S) Enačba (4.23) je d'Alambertovo načelo v Lagrangevi obliki (Hamel [4]). Virtualni pomiki, ki se v njem pojavljajo, niso več povsem poljubni; izpolnjevati morajo pogoje togih vezi v sistemu. Če so prisotne le dvostranske vezi, potem tudi tu velja , tako kot v izrazu (4.21), znak enakosti. Če ni rečeno drugače bomo v nadaljevanju vedno predpostaviti dvostranske vezi. Ko ni enostranskih vezi, potem velja d'Alambertovo načelo v obliki ( e) ∫ ( dF − dmr)⋅δ r = 0. (4.24) ( S) Za izpeljavo tega načela smo uporabili le temeljni aksiom (3.1). Zato je enačba (4.24) ni enakovreden celotnemu temeljnemu aksiomu (3.1) in (3.2). To se kaže v dejstvu, da je treba pri raziskovanju sistemov na splošno uporabljati tudi zakon vzajemnega učinka za notranje sile (glej 3.2., str. 32). Zveza (4.24) zadostuje le, če so vse notranje sile vezne sile, saj aksiom (4.21) vsebuje zakon vzajemnega učinka le za vezne sile. Iz povedanega sledi, da d'Alambertovo načelo v obliki (4.24) skupaj z zakonom vzajemnega učinka za notranje sile popolnoma enakovreden temeljnemu aksiomu tj. enačbam (3.1) in (3.2). Če ta dva izreka razumemo kot aksioma, potem omogočata izgradnjo mehanike na enak način kot zakona o gibalni in vrtilni količini. 4.2.3 Načelo virtualnega dela Za sisteme, katerih masni elementi niso pospešeni, načelo virtualnega dela izhaja iz d'Alambertovo načela v Lagrangevi obliki: ( e) ( e) δ W = d ⋅δ = 0 ∫ F r . (4.25) ( S) 37 V statiki preučujemo sisteme, ki glede na inercialni sistem mirujejo ali pa so v stanju enakomerno premočrtnega gibanja. Načelo virtualnega dela lahko torej razumemo kot splošno načelo statike. Posebej pomembni so sistemi, katerih sile, ki nanj delujejo, je mogoče izpeljati iz potenciala. Namreč, za njih, z upoštevanjem ( e) dF = −grad( dU ) velja [prim.enačbo (2.46)]: ( e) ( e) δ W = dF ⋅δ r = − grad ∫ ∫ ( dU )⋅δ r = − δ ∫ ( dU ) ( S) ( S) ( S) = − d ∫ (δ U ) = δ − U = 0 ( S) tj. δ U = 0 . (4.26) Pri tem je treba simbol δ razumeti kot znak variacije v smislu variacijskega računa.δ U torej pomeni prvo variacijo potencialne energije U . 4.2.4 Hamiltonovo načelo Iz d'Alambertovega načela (4.24) lahko izpeljemo še eno načelo, ki je pomembno za uporabo in temelji na pojmih delo in energija. Pri njegovi izpeljavi izhajamo iz enačbe (4.24), ki jo zapišemo v obliki ( e) dm  r⋅δ r = dF ⋅δ r = 0 ∫ ∫ . (4.27) ( S) ( S) Desna stran enačbe (4.27) predstavlja virtualno delo, ki ga vtisnjene sile opravijo na celotnem sistemu med virtualnim pomikom posameznih masnih elementov v sistemu. Označimo ga z ( e) δ W : ( e) ( e) δ W = d ⋅δ ∫ F r . (4.28) ( S) Levo stran enačbe (4.27) lahko preoblikujemo na naslednji način: d 1 2 δ dr − dδ dm ⋅δ = dm  ⋅δ −δ dm  + dm  ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ r r r r r r r . (4.29) ( ) dt ( ) ( ) 2 dt S S S ( S) Veljavnost te zveze zlahka preverimo z odvajanjem prvega integrala na desni strani. Ker pa je v skladu z (4.14) integral 38 1 2 dm ∫  r ( ) 2 S kinetična energija celotnega sistema, je 1 2 δ dm = δ T ∫  r (4.30) ( ) 2 S sprememba kinetične energije sistema. Z uporabo enačb (4.28), (4.29) in (4.30), dobimo iz (4.27) tako imenovano posplošeno osrednjo Lagrangevo enač bo: d 1 2 d m  r δ r δ d m  r d F δ r d m  r δ  ∫ ∫ ∫ ∫   r (δ r )⋅ ⋅ = + ⋅ − ⋅ −  d t 2  ( S) ( S) ( S) ( S) (4.31) ( e) δ T δ W d m  r δ  ∫  r (δ r)⋅ = + − ⋅ −    ( S) Integracija Lagrangeve osrednje enačbe po času med dvema poljubno izbranima trenutkoma t 1 in t da naslednji rezultat: 2 t 2 t 2 ( e) ∫(δ T +δ W ) t ⋅ 2 dt = dm  r ⋅δ r + dm  r ⋅ δ   r − ∫ ∫ ∫  (δ r)  dt . (4.32) t  t ( S) 1 1 1 t ( S ) To je najsplošnejša oblika Hamiltonovega nač ela. Virtualni pomiki pomenijo poljubno diferencialno spremembo lege sistema, ki je popolnoma poljubna v katerem koli času znotraj intervala t ≤ t ≤ t . Tako v vsakem trenutku t pripada 1 2 drugačen δ r . Dogovorimo se, da v času t in t ni virtualnih pomikov, tj. določimo 1 2 δ r ( t = δ r t = 1 ) ( 2) 0 (4.33) v prvem člen desne strani enačbe (4.32). Poleg tega predpostavimo, da sta za krajevni vektor zamenljivi operaciji δ in d: δ dr dδ r  r (δ r)⋅ − = −  dt =  0 . (4.34) Pri uporabi prikazani v nadaljevanju, bomo videli, da ima nezamenljivost obeh operatorjev pomembno vlogo pri določenih sistemih s končnim število prostostnih stopenj. Pogoji za zamenljivost so podrobno opisani v poglavju 5.2. Z upoštevanjem (4.33) in (4.34) dobimo iz enačbe (4.32) Hamiltonovo načelo v obliki 39 t 2 ( e) ∫(δ T +δ W ) dt = 0 . (4.35) 1 t Kot je razvidno iz izpeljave, se tu razlikuje pomen simbola δ v izrazih δ T in ( e) δ W . V prvem primeru ima δ natanko tak pomen kot znak variacije v variacijskem računu. Tako je δ T prva variacija kinetične energije T sistema. Nasprotno pa ( e) δ W označuje virtualno delo vtisnjenih sil in ga je treba razumeti kot enoten simbol. Na splošno ni mogoče obravnavati ( e) δ W kot variacijo dela ( e) W vtisnjenih sil. Da bi poudarili te razlike, nekateri avtorji, na primer Hamel [4] in Budó [6], v izrazu za virtualno delo vtisnjenih sil namesto δ uporabljajo znakδ ′, za samo virtualno delo pa ( e) δ W ′ . Še posebej pomembno je, da imajo vtisnjene sile potencial. Z upoštevanjem enačbe (2.26) izhaja iz enačbe (4.28) ( e) ( e) δ W = dF ⋅δ r = − grad ∫ ∫ ( dU )⋅δ r = − δ ∫ ( dU ) ( S) ( S) ( S) (4.36) = − d ∫ (δ U ) = δ − U ( S) Poudarjamo, da ta predstavitev velja tako za konservativne sisteme kot tudi za sisteme, v katerih imajo vtisnjene sile časovno odvisen potencial (za več podrobnosti glej poglavje 2.4.). V enačbi (4.36) predstavlja δ U prvo variacijo potencialne energije U sistema. Iz enačbe (4.35) sledi z enačbo (4.36) Hamilton-ovo načelo za sisteme, v katerih imajo vtisnjene sile potencial: t 2 t 2 t 2 ( e) ∫(δ T +δ W ) dt = ∫(δ T −δ U ) dt = δ ∫ ( T − U ) dt = 0 . (4.37) 1 t 1 t 1 t Če uvedemo tako imenovano Lagrangevo funkcijo (imenovano tudi kinetični potencial) L = T − U (4.38) in uporabimo zamenljivost integracije in variacije, dobimo t 2 t 2 δ L dt = δ L dt = 0 ∫ ∫ (4.39) 1 t 1 t oz. t 2 L dt = stac. ∫ (4.40) 1 t 40 V obliki (4.39) oziroma (4.40), Hamiltonovo načelo postane problem ekstremnih vrednosti v smislu variacijskega računa, tj. variacijsko načelo. 4.2.5 Jourdainovo načelo in Gaussovo načelo najmanjše prisile Za sisteme z zapletenimi vezmi d'Alambertovo načelo ni primerno (za več podrobnosti glej 5.2.2.). Bolj primerna sta Jourdainovo nač elo in Gaussovo nač elo najmanjše prisile. Namesto aksioma (4.21), ki v primeru dvostranskih vezi zahteva ničnost skupnega virtualnega dela veznih sil, Jourdainovo načelo predpostavlja ( z) dF ⋅δ ′ r = 0 ∫  , (4.41) ( S) Gaussovo načelo pa ( z) d ⋅δ ′ = 0 ∫ F r . (4.42) ( S) Za oznako Jourdainove variacije uporabljamo simbol δ ′za katero velja δ ′ r = 0 , .δ ′ r ≠ 0 ., δ t′ = 0 . (4.43) Simbol δ ′ je oznaka Gaussove variacije za katero je δ ′ r = δ ′  r = 0 , δ ′ r ≠ 0, δ ′ t′ = 0. (4.44) To pomeni, da Jourdainova variacija primerja sisteme, ki imajo enako lego, vendar različne hitrosti, medtem ko Gaussova variacija primerja sisteme, ki imajo enak lego in hitrost, vendar različne pospeške. Če ravnamo podobno kot pri izpeljavi d'Alambertovega načela v razdelku 4.2.2. in v enačbi (4.22) zamenjamo δ r z δ ′ r oziroma δ ′ r, dobimo za dvostranske vezi ob upoštevanju enačb (4.41) in (4.42) Jourdainovo načelo ( e) ∫ ( dF − dmr)⋅δ′ r = 0, (4.45) ( S) oziroma Gaussovo načelo ( e) ∫ ( dF − dmr)⋅δ′′ r= 0. (4.46) ( S) 41 Ker sta δ ′ r oziroma δ ′ r poljubna sta obe načeli za proste sisteme identični z d'Alamberovim načelom. Kot bomo videli v razdelku 5.2.2., se dodatne možnosti uporabe za vezane sisteme pojavijo le, če so prisotne tako imenovane nelinearne neholonomske vezi. Neodvisnost sil od pospeškov, ki je bila postavljena v razdelku 2.4, omogoča formulacijo Gaussovega načela (4.46), kot ekstremalnega načela. Če simbol δ ′ razumemo kot variacijski simbol in ga uporabimo na vtisnjene sile, potem na podlagi Gaussova variacije (4.44) dobimo ( e) ( e) ( e) ( e) δ = δ ( , , ) d ∂ F d d d t = ⋅δ ∂ ′′ ′′ ′′ + F F F r r r ⋅δ ′′ r = 0 . (4.47) ∂ r ∂ r Zato v enačbi (4.46) lahko pred integralom zapišemo znak variacije in sicer če zapišemo: ( e) 2 ( e)  dF   dF  δ ′′ dm ∫  r−  = − dm ∫  r− ⋅δ ′′      r ( dm dm S )   ( S)   (4.48) ( e) = 2 − ∫ ( dF − dmr)  ⋅δ ′′ r = 0 ( S) Ta ugotovitev je enakovredna zahtevi, da mora imeti integral na levi strani enačbe (4.48) ekstrem. Ker ta izraz predstavlja pozitivno definitno kvadratno formo, je to minimum. Načelo je torej mogoče zapisati v obliki ( e) 2  F  d Z = dm ∫  r−  = min   , (4.49) ( dm S )   oz. δ ′ Z ′ = 0 . (4.50) Količina Z se imenuje prisila, načelo v obliki (4.49) ali (4.50) pa se imenuje Gaussovo načelo najmanjše prisile. Ponovno je treba poudariti, da je treba pri oblikovanju Z upoštevati pravila variiranja podana z enačbami (4.44). 42 5. Sistemi s končnim številom prostostnih stopenj 5.1 Modeli s končnim številom prostostnih stopenj V razdelku 2.3. smo že pojasnili, da se raziskovanje gibanja mehanskih sistemov vedno nanaša na modele teles. Med drugim smo omenili masno točko in togo telo. Zdaj se bomo s temi modeli ukvarjali podrobneje. Realno telo je mogoče idealizirati kot masno točko, če so njegove dimenzije dovolj majhne glede na sistem kot celoto ali če ne izvaja rotacijskega gibanja glede na svoje masno središče in medsebojno gibanje njegovih elementov ni pomembno. V teh primerih je zasuk, povezan z masnim središčem, zanemarljivo majhen ali enak nič. V skladu z enačbo (4.4) je to enakovredno redukciji telesa v njegovo masno središče. Več takih teles, ki medsebojno delujejo, lahko obravnavamo kot sisteme masnih točk. Telesa, katerih dimenzije niso majhne glede na celoten sistem in katerih rotacije okoli osi skozi masno središče ni mogoče zanemariti, lahko reduciramo na model togega telesa, in sicer če je sprememba razdalje med poljubnima elementoma tako majhna, da jo je mogoče za potrebe obravnave problema enačiti z ničlo. Če je sistem sestavljen iz več teles, za katera so izpolnjeni omenjeni pogoji, je možna redukcija na sistem togih teles. V tem primeru lahko med togimi telesi sistema obstajajo brezmasne vezi, ki niso nujno toge, kot na primer elastične vzmeti. Pogosto se uporabljajo tudi sistemi, zgrajeni iz togih teles in masnih točk. 5.2 Kinematika sistemov s koničnim številom prostostnih stopenj 5.2.1 Kinematika holonomnih in linearno neholonomnih sistemov Naj bo dan mehanski sistem, sestavljen iz končnega števila masnih elementov ali iz neskončnega števila masnih elementov, med katerimi obstajajo takšne vezi, ki omogočajo, da je lega sistema v vsakem trenutku enolično določen s končnim številom parametrov q . Potem i je mogoče krajevni vektor vsakega masnega elementa predstaviti kot funkcijo teh parametrov, tako imenovanih posplošenih [ oz. generaliziranih] koordinat, v oblik r = r ( q , q ,, q t . (5.1) f , 1 2 ) 43 Posplošene koordinate q so sprva neznane funkcije časa. Gibanje vsakega masnega elementa i in s tem gibanje celotnega sistema je popolnoma opisano, če je mogoče določiti posplošene koordinate q kot funkcije časa, saj so krajevni vektorji lege r podani z enačbo (5.1). i Če je za popoln opis gibanja sistema potrebnih natanko f posplošenih koordinat q , q ,, q , 1 2 f potem je f število prostostnih stopenj sistema. Včasih je smiselno uvesti več koordinat, kot jih ima sistem: r = r ( q , q ,, q t . (5.2) n , 1 2 ) V tem primeru med posplošenimi koordinatami obstajajo pogojne enačbe – imenovane tudi vezi – ki imajo obliko f q q  q t = ; p =1,2,, r = n − f . (5.3) p ( , , , n, 0 1 2 ) Z izračunom popolnih diferencialov f dobimo linearne zveze med diferenciali posplošenih p koordinat: f ∂ f ∂ p p df = dq + dt = a dq + a dt = (5.4) p i pi i p 0 0 q ∂ t ∂ i p =1,2,, r i =1,2,, n kjer so f ∂ f ∂ p = a q q  q t ; p = a q q  q t . p , , , n, 0 ( 1 2 ) pi ( , , , n, 1 2 ) q ∂ t ∂ i Za poenostavitev zapisa smo uporabili Einsteinov dogovor o seštevanju. Ta določa, da je treba v primerih, ko se indeks v zmnožku pojavi večkrat, indekse sešteti v predpisanih mejah. V nadaljevanju bomo ta dogovor o seštevanju vedno uporabljali. V izjemnih primerih bomo indekse, ki se ne seštevajo, navedli v oklepaju. Koeficienta a in a izpolnjujeta pogoje pi p 0 integrabilnosti, tj. velja: a ∂ a ∂ pi pj  − = 0 q q  ∂ ∂ j i  (5.5) a ∂ a ∂ pi p 0 0  − = t q  ∂ ∂ i  44 To izhaja iz veljavnosti Schwarzovega pravila o zamenjavi za druge odvode funkcij f . p Pogojne enačbe v obliki (5.3), v katerih se poleg časa t pojavljajo le posplošene koordinate q , i ne pa tudi njihovi odvodi po času, imenujemo holonomne pogojne enačbe. Poleg tega jih imenujemo skleronomne, če v njih čas ne nastopa eksplicitno, sicer jih imenujemo reonomne. Sam mehanski sistem pa lahko imenujemo skleronomen le, če ni reonomskih pogojnih enačb in če krajevni vektorji masnih elementov niso eksplicitno odvisni od časa. V splošnem primeru se v pogojnih enačbah poleg posplošenih koordinat lahko pojavijo tudi njihove prvi časovni odvodi q , tako imenovane posplošene hitrosti ali koordinate hitrosti. i Takrat imajo obliko ϕ q q  q q q  q t = ; p =1,2,, s . (5.6) p ( , , , n, , , , n, 0 1 2 1 2 ) in se imenujejo neholonomske pogojne enačbe. Razlikujemo tudi med skleronomskimi in reonomskimi neholonomskimi pogojnimi enačbami. Med neholonomskimi pogojnimi enačbami so posebej zanimive tiste, ki so linearne v koordinatah hitrosti. Ko je dq = q dt i i lahko pogoje (5.6) po množenju z dt prevedemo v obliko dϕ = a dq + a dt = . (5.7) p pi i p 0 0 Tako kot pri enačbi (5.4) sta koeficienta a in a prav tako odvisna od posplošenih koordinat pi p 0 q in časa t. V nasprotju z enačbo (5.4) koeficienti v enačbi (5.7) ne izpolnjujejo vseh pogojev i integrabilnosti (5.5). V nasprotnem primeru bi bilo mogoče reducirati enačbo. (5.6) na obliko (5.3). Zato tudi ni mogoče zmanjšati števila potrebnih posplošenih koordinat s pomočjo neholonomskih pogojnih enačb. Pogojne enačbe (5.4) ali (5.7) omejujejo dejanske možnosti gibanja sistema. lZahtevamo pa lahko, da virtualni premiki prav tako izpolnjujejo te pogoje. Ustrezne pogojne enačbe za virtualne pomike imajo zaradi δ t = 0 obliko a δ q = . (5.8) pi i 0 Tovrstne pogojne enačbe ustrezajo dvostranskim vezem, ki so opredeljeni v točki 4.2.1. Še vedno pa predpostavljamo, da v množici vrednosti posplošenih koordinat q ne obstaja i 45 kombinacija, za katero bi vsi koeficienti a q q  q v eni od teh enačb odpadli. Pogoje, pi ( , , , 1 2 n ) ki tega ne izpolnjujejo, bomo imenovali degenerirane. Za holonomne sisteme a izpolnjujejo pi pogoje integrabilnosti a ∂ a ∂ pi pj − = 0 q ∂ q ∂ j i Če virtualne premike podredimo pogojem (5.8), potem sledi, da operatorja d in δ za neholonomne sisteme nista zamenljiva, medtem ko sta za holonomne sisteme ta operatorja vedno zamenljiva. To lahko dokažemo na naslednji način. Če uporabimo operacijo δ na enačbo (5. 7), dobimo: a ∂ a ∂ pi δ q dq + a δ dq + δ q dt = . (5.9) j i pi ( i ) p 0 j 0 q ∂ q ∂ j j Z uporaba operatorja d na enačbo (5 .8) pa dobimo: a ∂ a ∂ pi δ q dq + a d (δ q ) pi + δ q dt = . (5.10) i j pi i i 0 q ∂ t ∂ j Če oblikujemo razliko enačb. (5 .9) in (5 .10) ter zamenjamo indeksa seštevanja i in j v prvih dveh členih zadnje enačbe, dobimo :  a ∂ a ∂   a ∂ a ∂  pi pj p 0 p 0  − δ q dq +  − δ q dt + a δ d − dδ q = . (5.11) j i j pi ( ) i 0  q q   q t  ∂ ∂ ∂ ∂  j i   j  Izrazi v oklepaju prvih dveh členov v enačbi (5.11) v skladu z enačbo (5.5) odpadejo le, če so izpolnjeni pogoji integrabilnosti, kar pa za vse te izraze v neholonomnih sistemih ne velja. Poleg tega, ker lahko δ q izberemo poljubno, je enačba (5.11) izpolnjena le, če je i  a ∂ a ∂   a ∂ a ∂    a δ d − dδ q = −  − δ q dq +  − δ q dt ≠  pi ( ) pi pj p 0 p 0 i j i j 0   q ∂ q ∂   q ∂ t ∂   . (5.12) j i   j      p =1,2,, s; i, j =1,2,, n  To je s nehomogenih linearnih enačbe za n izrazov (δ d − dδ ) q , i =1,2,, n. Zato lahko n − s i teh izrazov izberemo poljubno, tj. lahko jih izenačimo z ničlo. Izraza je potem mogoče določiti nedvoumno in praviloma nista enaka nič. Iz tega sledi, da za s posplošenih koordinat q ne velja i zamenljivosti operatorjev δ in d. 46 To pomeni, da prav tako velja δ dr ≠ dδ r . Da bi to trditev dokazali, pokažemo, da iz enačbe (5.1) sledi d ∂ r dq ∂ = + r r dt i q ∂ t ∂ i in δ ∂ = r r δ q i q ∂ i Nadalje sledi 2 2 δ d ∂ r δ q dq ∂ r δ dq ∂ = + + r r dtδ q j i i i q ∂ q ∂ q ∂ t ∂ q ∂ i j i i in 2 2 dδ ∂ r δ q dq ∂ r δ dq ∂ = + + r r δ q dt i j i i q ∂ q ∂ q ∂ q ∂ t ∂ i j i i Če uporabimo Schwarzovega pravilo o zamenjavi delnega odvajanja, in zadnji dve enačbi medsebojno odštejemo dobimo (δ d dδ ) ∂ − = r r (δ d − dδ ) q (5.13) i q ∂ i Ker vsi členi na desni strani enačbe (5.13) ne odpadejo, je trditev dokazana. Druga možnost je, da za izpolnitev pogojne enačbe (5.7) zahtevamo le dejanske pomike. Potem na splošno virtualni pomiki izpolnjujejo ustrezne pogoje v obliki enačbe (5.8). V tem primeru sta tudi za neholonomske sisteme operatorja d in δ zamenljiva za vse posplošene koordinate. Vendar potem v primeru virtualnih pomikov sile, pogojene z enačbami (5.7), opravijo virtualno delo, kar je treba upoštevati pri uporabi raznih načel. 5.2.2 Splošne pogojne enačbe Zdaj pa si oglejmo primer poljubnih pogojnih enačb (5.6), ki so nelinearne, predvsem v koordinatah hitrosti. Te pogojne enačbe določajo omejitve za dejanska gibanja. V tem primeru ni mogoče podati pogojnih enačb med virtualnimi premiki v obliki (5.8). Z uporabo pojma 47 Jourdainove variacije skladne s pogoji (4.43) pa lahko navedemo zveze za virtualne hitrosti δ q ′ , ki so podobne enačbam (5.8). i Najprej ugotovimo, da so spremenljivke δ q ′ lahko enaki nič, saj iz enačb (5.2) in (4.43) sledi i δ ∂ ′ = r r δ q ′ = (5.14) i 0 q ∂ i Zato z uporabo operatorja δ ′ na enačbo (5.6) dobimo zvezo ϕ ∂ p δ ϕ ′ = δ q ′ = (5.15) p i 0 q ∂  i Če poleg pogojnih enačb (5.6) dodamo še holonomne pogoje, ki ustrezajo enačbi (5.3), jih je treba pred uporabo Jourdainove variacije popolno odvajati glede na čas. Tako dobimo: f ∂ f ∂ p p  f = q + = p i 0 q t  ∂ ∂ i  (5.17) f ∂ ∂  f ∂ f ∂  f ∂ p p p p δ f = δ q =  q + δ q = δ q  ′ ′ ′ ′ = p i i i i 0 q q  q t  q  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i i i i  Podobno se Jourdainova variacija vektorja hitrosti oblikuje s pomočjo enačbe (5.2): ∂  r q ∂ =  + r r i q ∂ t ∂ i ∂ r ∂  ∂ r ∂ r  δ  = δ q = r r  q + δ q ∂ ′ ′ ′ = δ q ′ (5.17) i i i i q ∂  q ∂   q ∂ t ∂  q ∂ i i i i Tudi variacija po Gaussu v skladu z pogoji (4.44) nam omogoča obravnavo pogojnih enačb v obliki (5.6). Pri tem sta količiniδ q ′′ in δ q ′′ enaki nič, kar sledi iz i i δ ∂ ′′ = r r δ q ′′ = (5.18) i 0 q ∂ i δ ∂/ ′′ =  r δ q ∂ ′′ +   r r δ q ′′ = (5.19) i i 0 q ∂ q ∂  i i Podobno kot pri izpeljavi enačb (5.15) do (5.17) dobimo, če uporabimo Gaussovo variacijo, naslednje zveze: 48 ϕ ∂  ϕ ∂ p p δ ϕ ′′ = δ q ′′ = δ q ′′ = (5.20) p i i 0 q ∂ q ∂  i i f ∂ f ∂ p p δ ′ f = δ ′ q ′ = δ ′ q ′ = (5.21) p i i 0 q ∂ q ∂  i i δ ∂ =   r δ q ∂ ′′ ′′ = r r δ q ′′ (5.22) i i q ∂ q ∂  i i Vidimo lahko, da bi bila z uporabo Gaussove variacije možna tudi obravnava pogojnih enačb v obliki ψ q q  q q q  q q q  q t = . (5.23) p ( , , , n, , , , n, , , , n, 0 1 2 1 2 1 2 ) Pogojne enačbe med virtualnimi pospeški bi bile potem ψ ∂ p δ ψ ′′ = δ q ′′ = (5.24) p i 0 q ∂ i Mehanski sistemi, za katere veljajo pogoji v skladu z enačbo (5.23), Hamel [4] imenuje neholonomske sisteme drugega reda. Vendar vezi, ki vključujejo pospeške nasprotuje aksiom, ki pravi da sile, torej tudi vezne sile, ne morejo biti eksplicitno odvisne od pospeškov (glej tudi 2.4.). Zato menimo, da se takšne pogojne enačbe pojavijo kvečjemu kot posledica postopka eliminacije in se jim zato lahko vedno izognemo. V skladu s tem so sistemi, za katere veljajo pogoji v skladu z enačbo (5.6), mogoče obravnavati že z uporabo Jourdainove variacije. Vendar ima uporaba Gaussove variacije prednost, saj lahko Gaussovo načelo formuliramo kot ekstremalno načelo. 5.2.3 Kvazi-hitrosti, kvazi-koordinate Na tem mestu želimo predstaviti pojma kvazi-hitrost in kvazi-koordinata. Naj obstaja linearna kombinacija posplošenih koordinat hitrosti q v obliki j ω = a q + a , i, j =1,2,, n . (5.25) i ij j i 0 Koeficienti a in a so v splošnem funkcije posplošenih koordinat q in časa t. Poleg tega ij i 0 j predpostavimo, da so enačbe (5.25) med seboj linearno neodvisne, tj. det ( a ≠ . (5.26). ij ) 0 49 Spremenljivke ω ; lahko obravnavamo kot nove hitrostne koordinate le, če je desna stran enačbe (5.25) popolni odvod po času. To velja, če koeficienti a in a izpolnjujejo pogoje ij i 0 integrabilnosti a ∂ ij a ∂  ik − = 0 q q  ∂ ∂ k j  (5.27) a  ∂ ij a ∂ i 0 0 i, j, k 1,2,, n  − = = t ∂ q ∂  j  Naj bo ω = π , i i pri čemer lahko spremenljivke π obravnavamo kot nove posplošene koordinate. Če pa enačbe i (5.27) niso izpolnjene, potem se spremenljivke ω imenujejo kvazi-hitrosti. Integrali i t π t = ω dt +π t i ( ) ∫ (5.28) i i ( 0 ) t 0 potemtakem niso odvisni samo od stanja sistema, označenega s q , q , …, q sistema v času 1 2 n t, temveč tudi od integracijske poti. Ker π , zdaj niso več dejanske koordinate, jih imenujemo i kvazi-koordinate. Če zdaj zahtevamo, da kvazi-koordinate ne opisujejo le dejanskih, temveč tudi virtualna stanja sistema, iz enačbe (5.25) ne sledi le dπ = a dq + a dt (5.29) i ij j i 0 temveč tudi δπ = a δ q (5.30) i ij j Če tvorimo razliko (δ d − dδ )π , dobimo i (  ∂ ∂   ∂ ∂  δ d − dδ )π − a (δ d − dδ ) aij a a a ik i 0 ik q =  − δ q dq +  − δ q dt (5.31) i ij j k j k  q ∂ q ∂     q ∂ t ∂ k j k  Ker kvazi-koordinate na desni strani enačb (5.31) ne odpadejo, sklepamo, da lahko zamenljivost operatorjev d in δ predpostavimo samo za π ali pa za q . i i 50 5.3 Ravnotežne lege sistemov s končnim številom prostostnih stopenj Preden se lotimo raziskave gibanja mehanskih sistemov, raziščimo ravnotežne lege takih sistemov. Ravnotežna lega je vsaka lega, v katerem lahko sistem ostane v mirovanju pod vplivom vtisnjenih in veznih sil. Pri tem ne zahtevamo, da je osnovni koordinatni sistem, na katerega se nanašajo krajevni vektorji r masnih elementov, inercialni sistem. Najprej 1 izpeljemo načelo virtualnega dela za splošni koordinatni sistem. V ta namen izhajamo iz d'Alambertovega načela, tj. enačbe (4.24): ( e) ∫ ( dF − dmr)⋅δ r = 0 (5.32) ( S) Pri tem je  r drugi odvod krajevnega vektorja po času, ki se nanaša na inercialni sistem. Zveza med tem tako imenovanim absolutnim pospeškom in relativnim pospeškom a , ki se nanaša na r kateri koli gibajoči se koordinatni sistem, je glede na enačbo (2.26)  r = a + a + a . (5.33) f c r V skladu z enačbo (2.18) velja r = r + r (5.34) 0 1 in ker izhodišča gibajočega se koordinatnega sistema, označenega z r , miruje, je očitno 0 δ r = δ r 1 Z enačbama (5.33) in (5.34) dobimo iz enačbe (5.32) ( e)  dF − dm ∫  ( a + a + a ⋅δ r = (5.35) f c r ) 0 1  ( S) Če združimo vztrajnostni sili, tj. sistemsko silo in Coriolisovo silo, z vtisnjenimi silami ( e) dF v silo * ( e) dF = dF − dma − dma (5.36) f c dobimo d'Alambertovo načelo glede na poljubno gibajoči se sistem: ( * d − dm ⋅δ = ∫ F a r . (5.37) r ) 0 1 ( S) 51 V skladu z našo definicijo ravnotežne lege, ki smo jo podali zgoraj, mehanski sistem ostane v mirovanju glede na gibajoči se koordinatni sistem, če sta relativni hitrosti v in relativni r pospešek enaka nič. Tako je načelo virtualnega dela za poljubno gibajoči se koordinatni sistem: * * δ W = d ⋅δ = 0 ∫ F r (5.38) 1 ( S) Opozoriti je treba, da je v tem primeru * ( e) dF = dF − dma (5.39) f saj a = ω× v zaradi v = 0 odpade. c 2 r r Pri sistemih s končnim številom prostostnih stopenj so krajevni vektorji odvisni od končno mnogo posplošenih koordinat, ki jih izbremo tako, da r ni eksplicitno odvisen od časa: 1 r = r q , q ,, q . (5.40) 1 1 ( 1 2 n ) Takšna izbira posplošenih koordinat, ki je vedno mogoča, se zdi najprimernejša pri preučevanju ravnotežnih leg. Iz enačbe (5.40) sledi ∂ r 1 δ r = δ q , i =1,2,, n (5.41) 1 i q ∂ i Virtualno gibanje lahko omejimo z r holonomnimi in s neholonomnimi pogoji v obliki a δ q = , i =1,2,, n; p =1,2,, r + s (5.42) pi i 0 Če enačbo (5.41) vstavimo v enačbo (5.38), dobimo *  * ∂ 1 δ W d  = ⋅ δ q =  ∫ r F  . (5.43) i 0 ( q ∂  S) i  Iz integrala smo lahko izpostavili δ q , saj jih je treba obravnavati kot konstantne glede na i integracijo prek masnih elementov sistema. Količini * * ∂ 1 Q = d ⋅ ∫ r F . (5.44) ( q ∂ S ) i imenujemo posplošene vtisnjene sile, saj pomnožene z virtualnimi spremembami posplošenih koordinat dajo virtualno delo: 52 * * δ W = Q δ q . (5.45) i i Če je q dolžinska koordinata, je * Q sila, če je q kotna koordinata, pa moment. * Q so na i i i i splošno odvisne od vseh q in t. i Iz načela virtualnega dela v obliki * * δ W = Q δ q = . (5.46) i i 0 še ne sledi splošno izničenje posplošenih sil * Q , saj q zaradi enačbe (5.42) niso neodvisne i i druga od druge. Če pa enačbi (5.46) dodamo pogoje (5.42), ki jim dodamo še neznane množitelje λ , potem sledi p ( * Q + λ a δ q = . (5.47) i p pi ) i 0 Pri tem je r + s virtualnih pomikov medsebojno odvisnih, preostalih n − ( r + s) pa je neodvisnih drug od drugega. Določimo λ tako, da koeficienti, ki pripadajo r + s virtualnim p pomikom, odpadejo. Tudi preostalih n − ( r + s) koeficientov mora biti enaki nič, saj so zdaj pripadajoči virtualni pomiki poljubni. Enačba (5.39) tako daje pogoje ravnotežja sil v obliki * Q + λ a = ; i =1,2,, n; p =1,2,, r + s (5.48) i p pi 0 Za fizikalno interpretacijo parametrov λ predpostavimo, da virtualni pomiki δ q ne p i izpolnjujejo pogojnih enačb (5.42). Potem, kot je navedeno v 4.2.1, vezne sile opravljajo virtualno delo, tako da moramo namesto enačbe (5.43) zapisati * ( z) * ( z) δ ∂ W +δ W = ∫ ( dF + dF ) r 1 ⋅ δ q = . (5.49) i 0 ( q ∂ S ) i Sedaj uvedemo posplošene vezne sile določene z ( z) ( z) ∂ 1 Q = d ⋅ i ∫ r F . (5.50) ( q ∂ S ) i Z enačbama (5.44) in (5.50) se enačba (5.49) spremeni v zvezo * ( z) ( Q + Q δ q = . (5.51) i i ) i 0 Ker so δ q poljubni sledi, da se njihovi koeficienti izničijo: i 53 * ( z) Q + Q = . (5.52) i i 0 Primerjava enačbe (5.48) z enačbo (5.52) da ( z) Q = λ a . (5.52) i p pi Vsak element iz vsote λ a je tisti del vezne sile ( z) Q , ki ga povzroči p-ti pogoj. Količina ( z) Q p pi i i je tako posplošena vezna sila, ki pripada i-ti koordinati q . i Posebno poenostavitev dobimo, če so vtisnjene sile konservativne in ni vztrajnostnih sil ali pa so te prav tako konservativne. Potem lahko primerno uporabimo enačbo (2.51) * dF = − ( * grad dU ). Iz enačbe (5.44) tako dobimo ∂ ∂ r dU ∂ ∂ r dU * * ( *) ( *) * U Q dU ∂ = − ⋅ = − ⋅ = − = − . (5.54) i grad ∫ ( ) 1 1 ∫ ∫ ( q ∂ ∂ r q ∂ q ∂ q ∂ S ) i ( S) 1 i ( S) i i Pogoji ravnotežja (5.48) pa dobijo obliko * U ∂ − + λ a = . (5.55) p pi 0 q ∂ i Če so prisotne samo holonomne pogojne enačbe, potem lahko koeficiente a interpretiramo pi kot delne odvode funkcije f q q  q = : p ( , , , n 0 1 2 ) f ∂ p a = . pi q ∂ i V tem primeru iz enačbe (5.55) dobimo * U ∂ f ∂ p − + λ = . p 0 q ∂ q ∂ i i oz ∂ ( * U − + λ f = . i =1,2,, n; p =1,2,, r + s (5.56) p p ) 0 q ∂ i 54 Opozoriti je treba, da so lahko parametri λ funkcije q . Kljub temu je zapis z enačba (5.56) p i mogoč, saj zaradi f = velja p 0 ∂ f ∂ λ ∂ f ∂ (λ f ) p p p = λ + f = λ . (5.57) p p p p p q ∂ q ∂ q ∂ q ∂ i i i i Enak rezultat dobimo, če izhajamo iz načela virtualnega dela v obliki (4.26) in ga razumemo kot ekstremalno načelo s pogoji f = . p 0 Upoštevati je treba, da je potencial vztrajnostnih sil vključen v U. Za določitev ravnotežnih leg imamo na voljo n enačbe (5.48) ali, zlasti za konservativne holonome sisteme, enačbe (5.56) in r holonomnih pogojev (5.42), ki jih bomo zapisali v obliki f q q  q = ; p =1,2,, r (5.58) p ( , , , n 0 1 2 ) Spremenljivke * Q , ki nastopajo v teh enačbah, so lahko odvisne od posplošenih koordinat in i časa, a pa so le funkcije posplošenih koordinat. pi Če je n − ( r + s) = k > 0 , je mogoče λ določiti iz ( r + s) enačb (5.48) ali (5.56) kot funkcije q in časa t . Iz preostalih p i k enačb lahko izločimo λ , tako da nastane k zvez med posplošenimi koordinatami in časom: p h  = ; µ =1,2,, k (5.59) µ ( q , q , , q t n ; 0 1 2 ) Zveze (5.58) in (5.59) določajo ( n − s) pogojev za ravnotežne lege sistema. Glede na lastnosti teh enačb lahko ne obstaja nobena, ena, več ali neskončno mnogo ravnotežnih leg. Za ravnotežne lege veljajo le tiste rešitve, pri katerih so q neodvisne od časa t in realne. i V primeru n − ( r + s) = k = 0 , 55 lahko iz enačb. (5.48) oziroma (5.58) enolično določimo vseh n-vrednosti λ kot funkcije p posplošenih koordinat q , saj so te enačbe linearne v λ , determinanta njihovih koeficientov i p pa - če ne gre za degeneriran primer - ne more biti nič zaradi linearne neodvisnosti pogojev (5.42). Zato so lahko ravnotežne lege odvisne le od pogojev (5.58), ne pa tudi od vtisnjenih sil. Če je n − ( r + s) = k < 0 , je za določitev r + s > n parametrov na voljo samo n linearnih enačb (5.48) ali (5.56). To pomeni, da v tem primeru λ ni mogoče določiti, tj. veznih sil ni mogoče določiti brez p spremembe modela. V primeru k = 0 so ravnotežne lege običajno določene z geometrijo sistema in so zato znane že na začetku. Obstoječe enačbe tako služijo za določitev veznih sil. Ker je to za ne-degenerirane sisteme vedno nedvoumno mogoče, se taki sistemi imenujejo statično določeni. Nasprotno se sistemi, za katere je k < 0 , imenujejo statično nedoločeni. Stopnja statične nedoločenosti je k in izhaja iz števila pogojev, ki bi jih lahko izpustili, ne da bi spremenili ravnotežno lego za katero koli vtisnjeno silo. V primeru k > 0 , ko vsaka sprememba vtisnjenih sil praviloma povzroči tudi spremembo ravnotežne lege ali motnjo ravnotežja, je sistem premičen. Med take sisteme spadajo tudi ti. kinematične verige. Ker na začetku izračuna vezne sile še niso znane, je običajno treba preveriti, ali imajo te smiselne vrednosti za izbrani model. Na primer, za vezne sile se lahko omejimo glede njihove velikosti in smeri. Če je bilo na primer v modelu predpostavljeno, da se dve stični površini držita druga druge brez drsenja, to velja le do določene mejne vrednosti tangencialne sile med površinama. Če je ta mejna vrednost presežena, pride do drsenja in tangencialno silo, ki deluje med površinama, je treba obravnavati kot vtisnjeno silo drsnega trenja. To pa pomeni spremembo modela. Drugačne pogoje dobimo, če v modelu prvotno enostranske vezi obravnavamo kot dvostranske. Takrat je treba preveriti, da te ne popustijo pod vplivom določenih veznih sil. Do popuščanja vezi pride na primer pri vrveh in verigah, če se izkaže, da je vezna sila tlačna. Pri sistemih z znano ravnotežno lego, k = 0 , je pogosto praktično opustiti uporabo načela virtualnega dela in iz osnovnega aksioma, enačb (3.1) in (3.2), dobiti potrebne enačbe za določitev veznih sil. Pri tem izhajamo iz enačb (3.16), opisanih v razdelku 3.3 kot osnovne enačbe statike, ki jih zapišemo v obliki 56 * * F = dF = , * * M = r × dF = (5.60) S ∫ 0 ∫ 0 i a Si 1 a ( Si ) ( Si ) pri čemer je treba podsisteme S izbrati tako, da dobimo potrebno število linearno neodvisnih i enačb. V ta namen je treba upoštevati točke delovanja in smeri veznih sil, kot izhajajo iz pogojev. 5.4. Enačbe gibanja sistemov s končnim številom prostostnih stopenj 5.4.1. Lagrangeve enačbe gibanja prve vrste Za izpeljavo tako imenovanih Lagrangevih enačb gibanja prve vrste izhajamo iz d'Alembertovega načela, tj. enačbe (4.24), ( e) ∫ (d F −d mr)⋅δ r = 0. ( S) Za sisteme s koničnim številom prostostnih stopenj lahko v skladu z enačbo (5.2) krajevni vektor r masnih elementov dm podamo kot funkcijo posplošenih koordinat q , n =1,2,, n in i t: r = r ( q , q ,, q t . n , 1 2 ) Z dvakratnim odvajanjem krajevnega vektorja po času dobimo pospešek masnih elementov: ∂  r q ∂  r r k  n  = + = k , 1,2, , q t  ∂ ∂ k  (5.61) 2 2 2  ∂  r q q ∂  r q ∂  r q ∂  r r k l  n  = + + + = k l 2 k k , , 1,2, , 2 q ∂ q ∂ q ∂ t ∂ q ∂ t ∂  k l k k  Poleg tega, ker je δ t = 0, je: δ ∂ = r r δ q . (5.62) k q ∂ k Zaradi kratkosti označimo, tako kot v 5.3, prvo delno izpeljanko lokacijskega vektorja r glede na posplošeno koordinato qμ z r1μ- V skladu s tem rIo predstavlja delno izpeljanko lokacijskega vektorja glede na čas. Za višje izpeljanke je postopek analogen. Seveda tudi s tem skrajšanim zapisom ostane dogovor o surmanaciji. Z uporabo enačb. (5.61) in (5.62) lahko enačbo (4.24) zapišemo na naslednji način: 57 2 2 2   ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r  ( e) ∫ r d F d m q q q q ∂ − + +  +  ⋅ δ q = . (5.63) k l 2 k k j 0 2 (   q ∂ q ∂ q ∂ t ∂ q ∂ t ∂  q ∂ S ) k l k k  j Če so posplošene koordinate med seboj neodvisne, tj. če med njimi ni povezave, potem iz enačbe (5.63) izhaja da so δ q poljubni: j 2 2 2   ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r  ( e) ∫ r d F d m q q q q ∂ − + +  +  ⋅ = . (5.64) k l 2 k k 0 2 (   q ∂ q ∂ q ∂ t ∂ q ∂ t ∂  q ∂ S ) k l k k  j Kadar pa med δ q obstajajo povezave, ki jih skladne z enačbo (5.8) zapišemo v obliki j a δ q = ; p =1,2,, s ; j =1,2,, n (5.65) pj j 0 ta sklep sprva ni mogoč. Ko pa enačbi (5.63) dodamo enačbe (5.65) s še neznanimi množitelji λ , potem lahko, kot je bilo pojasnjeno že v razdelku 5.3, izničimo koeficiente pri vseh δ q . p j Tako dobimo 2 2 2   ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r  ( e) ∫ r d F d m q q q q ∂ − + +  +  ⋅ + λ a = . (5.66) k l 2 k k p pj 0 2 (   q ∂ q ∂ q ∂ t ∂ q ∂ t ∂  q ∂ S ) k l k k  j Te Lagrangeve gibalne enačbe prve vrste zaradi velikega števila potrebnih integracij niso povsem primerne za splošno uporabo. Njihov pomen je pri uporabi za sisteme z masnimi točkami, saj se pri tem Stieltjesevi integrali pretvorijo v končne vsote. Vendar pa je mogoče število potrebnih integracij precej zmanjšati in tako enačbe (5.66) spraviti v obliko, ki je primernejša za uporabo za sisteme togih teles. Da bi to pokazali, uvedemo oznake g ∂ ∂ = = ⋅ µν gνµ dm ∫ r r . (5.67) ( q ∂ ∂ µ q S ) ν S temi količinami lahko Christoffelove simbole prve vrste zapišemo na naslednji način:  g ∂ ∂ ∂  σµ g g 1 νσ µν Γ =  + − . (5.68) µνσ  2  q  ∂ ∂ ∂  ν qµ qσ  Če enačbo (5.67) vstavimo v enačbo (5.68), dobimo: 58  2 2 2 2 1  ∂ r ∂ r ∂ r ∂   r ∂ r ∂ r ∂ r ∂   Γ = r  ∫  ⋅ + ⋅  +  ⋅ + ⋅   µνσ dm 2     (  q ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  σ qν qµ qσ qµ qν q   ν qµ qσ qν qσ q S ) µ  . (5.69) 2 2  ∂ r ∂ r ∂ r ∂  2 r ∂ r ∂ r  − ⋅ + ⋅  = dm ⋅ q ∫    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ µ qσ qν qµ qν qσ  ( qµ qν q S ) σ  Če v skladu z enačbo (5.44) uvedemo posplošene vtisnjene sile ( e) ( e) Q d ∂ = ⋅ j ∫ r F , (5.70) ( q ∂ S ) j dobimo iz enačbe (5.66) z uporabo enačb (5.67) in (5.69) ( e) g q + Γ q q + Γ q + Γ = Q + λ a  jk k klj k l 2 k 0 j k 00 j j p pj . (5.71) j, k, l =1,2,, n  Nadaljnje seštevanje na levi strani enačb (5.71) je mogoča, če čas t formalno nadomestimo s koordinato q in razširimo vsote po k in l od 0 do n. Z q = 0 in q =1 dobimo 0 0 0 ( e) g q + Γ q q = Q + λ a  jk k klj k l j p pj  (5.72) j =1,2,, ; n k, l = 0,1,2,, ; n p =1,2,, s  Za določitev g v skladu z enačbo (5.67) je treba v splošnem primeru zaradi g = νµ g νµ µν n +1 n + 2 izračunati 1+ 2 ++ ( n + ) ( )( ) 1 = integralov. Z neposredno uporabo enačbe (5.66) 2 n( n + ) 1 ( n + 3) pa bi bilo potrebnih integralov. 2 Če je matrika koeficientov g nesingularna, je ločitev pospeškov v enačbah (5.72) mogoča z jk množenjem z recipročno matriko koeficientov. Elemente te matrike opredelimo s 1 i = k * g g = δ ; δ = (5.73) ij jk ik ik 0 i ≠ k Če uvedemo Christoffelove simbole druge vrste i * Γ = g Γ (5.74), kl ij klj potem dobimo iz enačbe (5.72) po množenju z * g in seštevanju po indeksu j člene s ij samostojnimi pospeški 59 i ( e) * q + Γ q q = g Q + λ a  k kl k l ij ( j p pj )  (5.75) i, j =1,2,, ; n k, l = 0,1,2,, n  Če so vtisnjene sile konservativne in so prisotne samo holonomne pogojne enačbe v obliki f q q  q = , dobimo iz enačb (5.72) ali (5.75) zaradi p ( , , , n 0 1 2 ) f ∂ ( e) U Q ∂ = − , p a = (glej 5.3) j q ∂ pj q ∂ j j U ∂ f ∂ p  g q + Γ q q = − + λ j k l =  n jk k klj k l p , , 1,2, , ; q q  ∂ ∂ j j  (5.76) p 1,2,, s  =  oz.  U ∂ f ∂   i * p q + Γ q q = g  − + λ  i j k l =  n k kl k l ij p , , , 1,2, ,   q ∂ q ∂   (5.77) j j   p 1,2,, s  =  5.4.2 Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste V prejšnjem razdelku smo enačbo (5.72) izpeljali iz d'Alembertovega načela, ki nam omogoča, da določimo gibalne enačbe za sisteme s končnim številom prostostnih stopenj, pri čemer poznamo funkcije r = r ( q , q ,, q t in morebitne vezi. Pomanjkljivost te metode je n , 1 2 ) nejasnost koeficientov g in Γ . Poleg tega je pri uporabi veliko spremenljivk Γ pogosto jk klj klj enakih nič, teh pa ni mogoče na splošno prepoznati pred njihovo določitvijo. Tem pomanjkljivostim se izognemo z uporabo tako imenovanih Lagrangevih enačb gibanja druge vrste, v katerih ima pomembno vlogo pojem kinetične energije. V nadaljevanju bomo te gibalne enačbe izpeljali iz d'Alembertovega načela v različici (4.24). Najprej v skladu z enačbo (5.70) uvedemo posplošene sile in tako iz enačbe (5.62) dobimo ( e) ( e) ∂ ( e) d ⋅δ = d ⋅ δ q = Q δ q ∫ ∫ r F r F ; j =1,2,, n (5.78) j j j ( q ∂ S ) ( S) j Poleg tega tvorimo dm  δ dm ∂ ⋅ = ⋅ r r r r δ q ∫ ∫ . (5.79) j ( q ∂ S ) ( S) j 60 Izraz ∂ ⋅ r r preoblikujemo na naslednji način : q ∂ j ∂ r d  ∂  r ∂ r d  ∂    r ∂ ⋅ =   r r   r ⋅  −  r ⋅ =   r ⋅  −  r ⋅  q dt  q  q dt  q  ∂ ∂ ∂ ∂  q ∂ j  j  j  j  j   (5.80) d  ∂( 2  r )  ∂ ( 2 1 1  r )  =   − 2 dt q ∂  q    ∂ j 2 j    Pri tem smo uporabili zvezo ∂ r ∂ =  r (5.81) q ∂ q ∂ j j katere veljavnost lahko dokažemo na naslednji način: Iz r = r ( q , q ,, q t n , 1 2 ) dobimo ∂  r q ∂ =  + r r j q ∂ t ∂ j in iz tega, po parcialnem odvajanju glede na q , enačbo (5.81 ), saj r ni odvisen od q . j j Če enačbo (5.80) vstavimo v enačbo (5.79) in upoštevamo, da je kinetična energija 2 T = dm ∫  r ( S) dobimo: 1 d  ∂( 2 r)  1 ∂( 2 r)  dm  r⋅δ r = dm    − δ q  ∫ ∫ j   ∂  ( dt q q ∂   S ) ( S) 2 j 2 j      2 2  ∂   r  ∂   r   d dm dm ∫     δ q  = − . (5.82) j  (  dt q ∂     q ∂ S ) j 2 j  2    d T ∂ T ∂   δ q  = − j  dt q ∂  q ∂    j j   Z enačbama (5.78) in (5.82) dobimo iz enačbe (4.24): 61   ∂ ∂  ( e) d T T  Q −  − δ q = . (5.83) j j 0   dt q ∂  q ∂    j j  Če upoštevamo splošni primer, da med δ q obstajajo vezi v obliki j a δ q = ; p =1,2,, r ; j =1,2,, n pj j 0 potem iz enačbe (5.83) izhajajo Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste skladno z metodo sklepanja, uporabljeno v 5.4.1: d T ∂ T ∂ ( e) − = Q + λ a ; (5.84) j p pj dt q ∂  q ∂ j j Pokažimo, da če odvajamo levo stran enačbe (5.84) potem dobimo Lagrangeve gibalne enačbe prve vrste, tj. enačbe (5.72). Da bi to pokazali, zapišemo kinetično energijo 2 T = dm ∫  r . ( S) s pomočjo enačbe (5.61) v obliki T dm ∂ r q ∂ = ⋅ r q ∫   ; k, l =1,2,, n. k l ( q ∂ q ∂ S ) k l S primerjavo z enačbo (5.67) dobimo T = dm g q q ∫   ; k, l =1,2,, n. (5.85) kl k l ( S) Z odvajanjem dobimo: T ∂ 1 = ( g q + g q ) q ∂  2 jl l kj k j d T ∂ 1 = (  g ∂ g ∂  g q + g q +  +  q q jl l kj k ) 1 jl kj dt q ∂   q ∂ q ∂ j 2 2 k l k l  1  g ∂ g ∂  jl kj = q q +  +  q q jk k 2 k l q ∂ q ∂  k l  ∂ ∂ T 1 gkl = q q q ∂ 2 k l q ∂ j j 62 Če to vstavimo v enačbo (5.84) in uporabimo Chrlstoffelove simbole prve vrste potem iz enačbe (5.68) sledi ( e) g q + Γ q q = Q + λ a ; j =1,2,, ; n k, l = 0,1,2,, n jk k klj k l j p pj kar dokazuje našo trditev. Če so vtisnjene sile konservativne, lahko ponovno (glej 5.3.) določimo ( e) U Q ∂ = − . j q ∂ j Če upoštevamo, da potencialna energija vtisnjenih sil ni odvisna od posplošenih koordinat hitrosti q , torej da je j U ∂ ≡ 0, q ∂  j potem lahko enačbo (5.84) z uvedbo Lagrangeve funkcije L = T − U , (5.86) zapišemo v obliki d L ∂ L ∂ − = λ a ; (5.87) p pj dt q ∂  q ∂ j j Če so poleg tega vezi holonomne, tj. če velja f ∂ p a = , pj q ∂ j potem lahko enačbo (5.87) z uporabo F = L − λ f (5.85) p p in ∂ f ∂ λ ∂ (λ f ) p p = λ + f = . (5.89) p p p p 0 q ∂  q ∂  q ∂  j j j kjer sta 63 f ∂ p ≡ 0 ; f = p 0 q ∂  j zapišemo v obliki d F ∂ F ∂ − = 0; j =1,2,, n . (5.90) dt q ∂  q ∂ j j Če pri določanju gibalnih enačb ne potrebujemo tudi določitve posplošenih veznih sil f ∂ ( z) p Q = λ ; p =1,2,, r ; j =1,2,, n j p q ∂ j je za holonomne sisteme priporočljivo odpraviti r koordinat. Med preostalimi koordinatami f = ( n − r) potem ni več pogojnih enačb, tako da lahko namesto enačbe (5.90) zapišemo d L ∂ L ∂ − = 0; j =1,2,, f (5.91) dt q ∂  q ∂ j j Enačbe (5.91) so Eulerjeve enačbe variacijskega problema, ki izhajajo iz Hamiltonovega načela za L = L( q , q ,, q q q  q t , f , , , , f , 1 2 1 2 ) [glej 4.2.4., enačba (4.40)]. 5.4.3. Kanonične gibalne enačbe za holonomne sisteme s konservativnimi vtisnjenimi silami Iz Lagrangevih gibalne enačbe druge vrste za holonomne sisteme s konservativnimi vtisnjenimi silami, ki nimajo presežnih koordinat1, bomo zdaj izpeljali tako imenovane kanonične enačbe. Te imajo elegantno obliko in prednost, da neposredno vodijo do sistema diferencialnih enačb prvega reda. So izhodišče za obsežno integracijsko teorijo in v mnogih primerih omogočajo, da pridemo neposredno do kvalitativnih sklepov o gibanju sistema. Najprej z zvezo L p ∂ = ; j =1,2,, f (5.92) j q ∂  j 1 Koordinat vezanih s pogojnimi enačbami (OP) 64 vpeljemo tako imenovane koordinate impulza p . Z njimi lahko Lagrangeve gibalne enačbe j (5.91) zapišemo v obliki L p ∂  = (5.93) j q ∂ j Iz zveze (5.92) je razvidno, da so koordinate impulzov – tako kot Lagrangeova funkcija L – na splošno odvisne od posplošenih koordinat q , koordinat hitrosti q in od časa: i i p = p q q  q q q  q t . (5.94) j j ( , , , f , , , , f , 1 2 1 2 ) Ker je L kvadratna forma v q , so p linearno odvisni od koordinat hitrosti. Rešitev enačbe i j (5.93) po q je mogoča, če je matrika koeficientov i 2 2 ∂ L ∂ T g = = (5.95) ij q ∂  q ∂  q ∂  q ∂  i j i j nesingularna. To predpostavimo in zapišimo: q = q q q  q p p  p t . (5.96) i i ( , , , f , , , , f , 1 2 1 2 ) Če v L = L( q , q ,, q q q  q t . (5.97) f , , , , f , 1 2 1 2 ) s pomočjo enačbe (5.96) nadomestimo q s spremenljivkami q , p in t, dobimo še eno i i i funkcionalno odvisnost Lagrangeve funkcije, ki jo bomo označili z * * L = L ( q , q ,, q p p  p t . (5.98) f , , , , f , 1 2 1 2 ) Sedaj uvedemo Hamiltonovo funkcijo H = H ( q , q ,, q p p  p t . (5.98) f , , , , f , 1 2 1 2 ) ali, zapisano v poenostavljeni obliki, H = H ( q, p, t) z zvezo H = H ( q p t) = p q q p t − L q p t (5.99) k k ( ) * , , , , ( , , ) 65 in tvorimo * * H ∂ q ∂  L ∂ q ∂  L ∂ q ∂  k k k = q + p − = q + p − . j k j k p ∂ p ∂ p ∂ p ∂ q ∂  p ∂ j j j j k j * Če izraz L ∂ v skladu z enačbo (5.92) nadomestimo s p , dobimo: q ∂  k k H ∂ = q j p ∂ j Iz * H ∂ q ∂  L ∂ q ∂  L ∂ L ∂ q ∂  k k k = p − = p − − k k q ∂ q ∂ q ∂ q ∂ q ∂ q ∂  q ∂ j j j j j k j sledi z enačbami (5.92) in (5.93) H ∂ = − p . j q ∂ j Tako dobljene enačbe H q ∂   = j p  ∂ j  (5.100) H  p ∂  j  f  = − = j ; 1,2, , q ∂  j  so iskane kanonične gibalne enačbe, ki tvorijo sistem 2 f diferencialnih enačb prvega reda. Hamiltonovo funkcijo, ki nastopa v njem, je treba v splošnem primeru določiti v skladu z enačbo (5.99). Pri skleronomnih sistemih, kjer krajevni vektor r = r ( q , q ,, q 1 2 f ) ni eksplicitno odvisen od časa, je kinetična energija 1 T = g q q ; i, j =1,2,, n 2 ij i j kvadratna forma koordinat hitrosti, prim. (5.85). Tako je v skladu z enačbo (5.92) zaradi U ∂ = 0 q ∂  k 66 T ∂ * p q = q = g q q = T − T . (5.101) k k k ik i k 2 q ∂  k Zvezdica pri spremenljivki * T spet pomeni, da smo pri tem s pomočjo enačbe (5.96) odpravili koordinate hitrosti. Tako iz enačbe (5.99) z uporabo enačbe (5.101) postane Hamiltonova funkcija za skleronomne sisteme H ( q p) * , = T + U (5.102) enaka celotni mehanski energiji sistema. Če se v Hamiltonovi funkciji H ( q, p, t) nekatere koordinate q ne pojavijo eksplicitno, se te posplošene koordinate imenujejo ciklične. Glede na i enačbo (5 .101) sta za te koordinate p = i 0 in p = (5.103) i const. 5.4.4 Hamiltonova-Jacobova parcialna diferencialna enačba Predpostavimo, da je znana rešitve kanonskih enačb (5.100). Potem je mogoče koordinate impulzov izraziti kot znane funkcije posplošenih koordinat in časa: p = w q q  q t . (5.104) i i ( , , , f , 1 2 ) Zdaj je potrebno preveriti, katere pogoje morajo izpolnjevati funkcije w , da so izpolnjene i kanonične enačbe (5.100). Za razlikovanje med njima bomo uporabljali H ( q, p, t) = H ( q , q ,, q p p  p t (5.105) f , , , , f , 1 2 1 2 ) za označevanje Hamiltonove funkcije, uporabljene v kanoničnih enačbah, in H ( q, , w t) = H ( q , q ,, q w w  w t . (5.106) f , , , , f , 1 2 1 2 ) za označevanje funkcije, dobljene iz enačbe (5.105) z zamenjavo znanih funkcij (5.104). Medtem, ko iz enačbe (5.104) izhaja ∂ ∂ w w i i p = + q , (5.107) i j t ∂ q ∂ j 67 dobimo iz enačbe (5.106) z uporabo enačbe (5.100) ∂ ( ∂ ∂ w ∂  H q, , w t) = H ( q, p, t) + H ( q, p, t) j q q p q  ∂ ∂ ∂ ∂ i i j i  (5.108) w ∂ j p q  = − +  i j q  ∂ i  Z izločitvijo p iz enačb (5.107) in (5.108) sledi i w ∂ ∂  w ∂ ∂  w i = − H ( q, , w t) j i +  −  q (5.109) j t q  q q  ∂ ∂ ∂ ∂ i  i j  Teh f enačb je očitno neprotislovnihj le, če lahko w predstavimo kot i G w ∂ = , G = G ( q , q ,, q t (5.110) f , 1 2 ) i q ∂ i Iz enačb (5.109) potem sledi  ∂ ∂  ∂ ∂ ∂  G  +  , ,, G G G H q q q  t  = . (5.111) f , , , , , 0 1 2 q ∂  t ∂  q ∂ q ∂ q ∂  i   1 2 f  Integracijska »konstanta«, ki nastopa pri integraciji teh enačb, je lahko le funkcija časa: ∂  ∂ ∂ ∂  G +  , ,, G G G H q q q  t  = c t (5.112) f , , , , , 1 2 ( ) t  q q q  ∂ ∂ ∂ ∂  1 2 f  Rešitve te diferencialne enačbe se pri različni izbiri c( t) razlikujejo le za aditivno funkcijo časa. Pri tem so vrednosti p , kot je razvidno iz enačb. (5.104) in (5.110), niso odvisne od te i funkcije časa. Iz tega sledi, da funkcija c( t) ni pomembna pri določanju p in ji zato lahko i damo vrednost nič. Na ta način dobimo Hamilton-Jacobovo parcialno diferencialno enačbo ∂  ∂ ∂ ∂  G +  , ,, G G G H q q q  t  = (5.113) f , , , , , 0 1 2 t  q q q  ∂ ∂ ∂ ∂  1 2 f  Tako pridemo do rezultata, da so koordinate impulzov p posledica i G p ∂ = , (5.114) i q ∂ i 68 pri čemer mora funkcija G izpolnjevati enačbo (5.113). Funkcija G v splošnem ni odvisna le od f koordinat q in časa, temveč tudi od f +1 poljubnih i konstant a , a , …, a : 0 1 f G = G ( q , q ,, q t a a  a . (5.115) f , , , , , 1 2 0 1 f ) Če oblikujemo f +1 parcialnih odvodov G ∂ , G ∂ ; i =1,2,, f t ∂ q ∂ i lahko izločimo f +1 konstant a , a , …, a in spet dobimo enačbo (5.113). Ena od konstant, 0 1 f npr. a , je aditivna, saj sta tako G kot G + a rešitev enačbe (5.113). Rešitev v obliki (5.115) 0 0 se v matematiki imenuje popolna rešitev. S pomočjo popolne rešitve (5.115) lahko dobimo tudi posplošene koordinate kot funkcije časa v implicitni obliki. V ta namen tvorimo d G ∂ ; i =1,2,, f dt a ∂ i in z enačbami (5.113), (5.114), (5.115) in (5.112) dobimo 2 2 d G ∂ ∂ G ∂ G  = + q j dt q t q q a  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i i j i  H ( q, , w t) 2 G  ∂ ∂ = − + q  j a ∂ q ∂ a ∂  i j i  (5.116) H ∂ ( q, , w t) 2 p ∂ j ∂ G q  = − +  j p a q a  ∂ ∂ ∂ ∂ j i j i  2 2 ∂ G ∂ G  = − q + q = j j 0 q a q a  ∂ ∂ ∂ ∂ j i j i  Iz tega sledi, da morajo biti parcialni odvodi funkcije G po a konstante. Skupaj z enačbo i (5.114) dobimo zveze: 69 G p ∂  = i q  ∂ i  (5.117) G  b ∂ i  f  = = i ; 1,2, , a ∂  i  Pri tem so b nove konstante, ki jih je treba tako kot a določiti iz začetnih pogojev. Prva enačba i i (5.117) podajo impulze kot funkcije posplošenih koordinat in časa, druge enačbe pa implicitno določijo koordinate kot funkcije časa. Tako smo rešitev kanonskih enačb (5.100) nadomestili z rešitvijo Hamilton-Jacobjeve parcialne enačb (5.113). Uporaba Hamilton-Jacobjeve parcialne diferencialne enačbe ima prednosti v tako imenovanih ločljivih sistemih, v katerih lahko funkcijo G oblikujemo kot vsoto parcialnih funkcij, od katerih je vsaka odvisna le od ene koordinate, vključno s časom: f G = G t, a , a ,, a + ∑ G q a a  a + a f i , , , , 0 ( 1 2 ) 0 ( 1 2 f ) 0 . (5.118) i 1 = Poseben primer tvorijo skleronomni sistemi, v katerih je Hamiltonova funkcija skupna energija sistema, ki ni odvisna od časa. Tako je H ( p, q) konstantna in enačbo (5.113) nadomestimo z  G ∂ G ∂ G ∂  H  q , q ,, q   = E f , , , , 1 2  (5.119) q ∂ q ∂ q ∂   1 2 f  kjer je G ∂ = − E t ∂ in G = a − E t − G q , q ,, q E a a  a f ; , , , , 0 ( 1 2 1 2 f ) . (5.120) Pri tem smo konstanto a izrazili z a do 1 2 a in skupno energijo E. Namesto enačbe (5.117) f tako dobimo 70 G ∂  p = i =  f i ; 1,2, , q  ∂ i  ∂  G b t  = − + (5.121) 1 E  ∂  G ∂  b = i =  f i ; 2, , a  ∂ i  Srednja vrednost iz enačbe. (5.121) opisuje odvisnost q od časa, zadnja enačba pa opisuje i »pot« sistema v » konfiguracijskem prostoru« sistema, ki ga zajema q , povsem geometrično, i brez odvisnosti od časa. Ločljivi skleronomni sistemi se imenujejo Stäckelovi sistemi. O posplošenih Stäckelovih sistemih govorimo, če so ločljivi, ne pa skleronomni. Tehničnih sistemi z več prostostnimi stopnjami v večini primerov niso ločljivi. Zato je pomen Hamilton-Jacobijeva parcialna diferencialna enačba v tehnični mehaniki majhen. Po drugi strani pa se uporablja v nebesni mehaniki in kvantni mehaniki. Več podrobnosti o Stäckelovih sistemih lahko najdete npr. v Forbat [7]. 5.4.5 Predstavitev Lagrangevih enačb gibanja s pomočjo kvazi-koordinat Sedaj obravnavamo možnost določitve Lagrangevih enačb gibanja druge vrste za linearne-neholonomske sisteme brez uporabe Lagrangevih parametrov. Izberemo splošno predstavitev v kvazikoordinatah. Prednost tega je, da so gibalne enačbe na voljo tudi za holonomne sisteme, za katere so kvazikoordinate primerne zaradi smotrnosti. Za uvedbo kvazikoordinat uporabimo enačbo (5.29), ki jo zapišemo v naslednji obliki: π = a q , a = a q q  q , q = t ; i, j = 0,1,, n (5.122) ij ij ( , , , 0 1 n ) i ij j 0 Iz tega sledi q =1, δ q = 0 . Poleg tega določimo 0 0 π =1, δπ = 0 0 0 in π = a q ; j = 0,1,, n (5.123) i ij j Nadalje predpostavljamo, da je matrika koeficientov a nesingularna. Inverzna matrika ima ij elemente b , tako da obstaja zveza ij a b = δ ; i, j, k = 0,1,, n (5.124) ij jk ik 71 Iz enačb. (5.123) in (5.124) sledi b = δ ; k = 0,1,, n (5.125) 0 k 0 k Poleg tega sledi iz enačb (5.122) in (5.124) q = b π ; j, k = 0,1,, n (5.126) j jk k Med virtualnimi spremembami dejanskih koordinat in kvazikoordinatami obstaja v skladu z enačbama (5.122) in (5.126) zveza δπ = a δ q , δ q = b δπ ; i, j, k = 0,1,, n (5.127) i ij j j jk k Za izpeljavo enačb gibanja začnemo z d'Alambertovim načelom, enačba ( 4.24) in najprej upoštevamo izraz  r⋅δ r . Iz r = r ( q , q ,, q . (5.128) 0 1 n ) sledi ∂ r  r = q =  r q q  q q q  q i =  n i ( , , , n, , , , 0 1 1 2 n ) , 0,1, , . (5.129) q ∂ i V tem izrazu zamenjajmo q v skladu z enačbo (5.126) s kvazi-veličinami, nato pa za i označevanje te nove funkcionalne odvisnosti namesto  r uvedemo oznako * r :  r( q , q ,, q q q  q  n , , , , 0 1 1 2 n )  =  r( q , q ,, q b π  b π , i = 0,1,, n . (5.130) n , k k , , 0 1 1 nk k )  * =  r ( q , q ,, q π  π n , , , 0 1 1 n )  Iz enačbe (5.129) dobimo ∂ r *  r = b π = a π i j =  n ij j j j , , 0,1, , . (5.131) q ∂ i in ∂ r ∂ r * δ r = δ q = b δπ = a δπ i ij j j j (5.132) q ∂ q ∂ i i kjer je 72 ∂ r a = b i j =  n j ij , , 0,1, , (5.133) q ∂ i Iz enačbe (5.131) sledi * ∂ r = a (5.134) j π ∂  j Pri tem upoštevamo, da tu j teče samo od 1 do n, saj je odvod po π =1 ni smiselen. 0 Zdaj z enačbo (5.132) tvorimo * *  r⋅δ r =  r ⋅δ r =  r ⋅ a δπ ; j = 1,, n (5.135) j j in izraz *  r ⋅ a pretvorimo na naslednji način: j d *  r ⋅ a = ( * r ⋅ a ) * −  r ⋅  a (5.136) j j j dt Prvi člen desne strani lahko z enačbo (5.134) zapišemo v obliki  * d d ∂   r d ∂ ( r ⋅ a ) =   r ⋅  = ( 2 * * *  r j ). (5.137) dt dt  π  ∂  dt π ∂   j  j Za preoblikovanje drugega člena desne strani enačbe (5.136) izvedemo diferenciacijo a z j uporabo enačb. (5.133) in (5.126): d  ∂ r  d  ∂ r  ∂ r b ∂  ij  a =  b  =   b + q j ij ij k dt  q ∂  dt  q ∂  q ∂ q  ∂  i i i k  (5.138) ∂ r ∂ r b ∂ ij b b π  = +  ij kl l q q q  ∂ ∂ ∂ i i k  i = 0,1,, n, j =1,, n Po drugi strani pa je * ∂ r ∂  ∂ r  ∂ r ∂ r b ∂  kl =  b π  = b π + π kl l kl l l q ∂ q ∂  q ∂  q ∂ q ∂ q ∂ q  ∂  i i k i k k i  (5.139) ∂ r ∂ r b ∂ kl π  = +  l q q q  ∂ ∂ ∂ i k i  i, k, l = 0,1,, n 73 ∂ r Pri tem smo uporabili zveze (5.131), (5.126) in (5.129). Enačb (5.139) rešimo po in tako q ∂ i dobljeni izraz vstavimo v enačbo (5.138): *  ∂ r ∂ r b ∂  ∂ r b ∂ kl ij  a =  − π  b + b π (5.140) j l ij kl l q ∂ q ∂ q ∂  q ∂ q ∂  i k i i k i, k, l = 0,1,, n , j =1,, n Če iz enačb odstranimo (5.133) in (5.134) a za j ≠ 0 , potem z uporabo enačbe (5.124) dobimo j naslednja odvisnost: * * ∂ r ∂ ∂ r ∂ =  r a in =  r a (5.141) sk q ∂ π ∂ si q ∂ π ∂  k s i s s, k, i =1,2,, n Zaradi posebne določitve (5.123) ostanejo razmerja (5.141) za k, i ≠ 0 pravilna, tudi če člene z indeksom s = 0 izpustimo iz seštevanja po s. Čeprav po enčbi (5.141) izrazi ∂ r ∂ r in q ∂ q ∂ k i za k, i = 0 niso definirani, jih lahko vstavimo v enačbo (5.140) in seštejemo po k oz. i od 0 do n, saj členi ∂ r b ∂ ∂ r b ∂ 0 l oz. 0 j q ∂ q ∂ ∂ ∂ 0 i q q 0 k zaradi enačbe (5.125) odpadejo. Poleg tega iz enačbe (5.124) izhaja: ∂ ( ∂ ∂ a b ) a b sk kl b a  = + = sk kl kl sk 0 q q q  ∂ ∂ ∂ oz. i i i  (5.142) ∂ ( a ∂ b ∂ a b b a  = + = si ij ) si ij ij si 0 q ∂ q ∂ q ∂  k k k  i, k = 0,1,, n Z uporabo enačb (5.141) in (5.142) dobimo za  a naslednje izraz: j 74 * * ∂ r ∂ r  a ∂ a ∂   si sk  a = b − b b  − π  j ij ij kl l q ∂ π ∂  q ∂ q ∂ i s k i   (5.143) i, k, l 0,1,, ; n j, s 1,, n  = =  Z enačbami (5.135) do (5.137) in (5.143) dobimo z enačbo (5.128) d'Alambertovega načela,  d  1    ∂ 2 ∂ 1 2 * *  dm  r  −  dm  r  b  ∫ ∫  dt π ∂   2 ij  q ∂   j  ( S) i 2   ( S)  (5.144)  ∂ 1    ∂ ∂  2 a a si sk ( e) * +  dm  r  b b ∫  − π δπ = dF ⋅ a δπ π ∫ ∂   2 ij kl l j j j     q ∂ q ∂ s ( S) k i   ( S)  Naj * 1 2 * * T = dm r = T ∫  ( q , q ,, q ;π ,,π (5.144) 1 2  ) 2 n j n ( S) označuje kinetično energijo, izraženo z realnimi koordinatami in kvazivelocitetami. Naj ( e) ( e) ( e) Π = d ⋅ = Q b j ∫ F a (5.146) j j ij ( S) označuje posplošeno silo, povezano z j-to kvazikoordinato. Tako dobimo iz enačbe (5.144) * * *  d T ∂ T ∂ T ∂  a ∂ a ∂    si sk ( e)  − b + b b  − π δπ = Π δπ  ij ij kl l j j j  dt π ∂  q ∂ π ∂    q ∂ q ∂ (5.147) j i s k i    i, k, l 0,1,, ; n j, s 1,, n  = =  Če je zdaj prisotnih r vezi a δ q = , j = m +1, m + 2,, n (5.148) jk k 0 z m = n − r , potem lahko izberemo kvazikoordinate tako, da zadnje r velikosti δπ izginejo j identično: δπ = a δ q = , j = m +1, m + 2,, n ; k =1,2,, n (5.149) j jk k 0 Prvih m velikosti δπ je potem poljubnih, tako da enačba (5.147) lahko obstaja le, če velja j * * * d T ∂ T ∂ T ∂  a ∂ a ∂   si sk ( e) − b + b b  − π = Π  ij ij kl l j dt π ∂  q ∂ π ∂   q ∂ q ∂ j i s k i   (5.147) i, k, l 0,1,, ; n s 1,, ; n j 1,, m  = = =  75 To so Lagrangeve enačbe druge vrste v kvazi-koordinatah. Seveda je mogoče r vezi izraziti tudi kot pogojne enačbe med δπ v obliki j c δπ = , p = 1, 2,, r ; j =1,2,, n (5.151) pj j 0 Potem so vezi po množenju s parametri λ prav tako »povezane« z enačbami (5.147), kot je p razloženo v prejšnjih razdelkih. Tako dobimo * * * d T ∂ T ∂ T ∂  a ∂ a ∂   si sk ( e) − b + b b  − π = Π + λ c  ij ij kl l j p pj dt π ∂  q ∂ π ∂   q ∂ q ∂ j i s k i   (5.147) i, k, l 0,1,, ; n j, s 1,, ; n p 1,, r  = = =  Oblikovanje dvojne vsote v enačbah (5.150) in (5.152)  a ∂ a ∂  si sk γ = b b  − (5.153) jsl ij kl q q  ∂ ∂  k i  za vse kombinacije indeksov j, s, l postane zlahka zapleteno. Zato v nadaljevanju prikažemo možnost, da te količine izračunamo na enostavnejši način. Izhajamo iz enačbe (5.31) in predpostavljamo zamenljivost operatorjev δ in d za naravne koordinate q : j (δ d − dδ ) q = (5.154) j 0 Z dogovorom q = t , 0 ki smo ga uvedli v tem razdelku, dobimo (  ∂ ∂  δ d − dδ ) a a si sk π =  − δ q dq (5.155) s k i q ∂ q ∂  k i  Z uporabo enačb (5.126) in (5.127) dobimo (δ d − dδ )π = γ δπ dπ (5.156) s jsl l j Upoštevamo, da so izrazi γ asimetrični glede na zunanje indekse, to pomeni, da velja jsl γ = γ − (5.157) jsl lsj velja, ker je 76  a ∂ a ∂   a ∂ a ∂  sl sk sk sl γ = b b  −  = b b  −  = γ − jsl il kj kl ij lsj q ∂ q ∂   q ∂ q ∂  k l i k  Iz tega sledi tudi, da te količine izginejo, če sta oba zunanja indeksa enaka. 5.4.6 Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste brez uporabe Lagrangevih parametrov Seveda je mogoče določiti tudi Lagrangeve gibalne enačbe, ki ustrezajo enačbam. (5.150) z uporabo realnih posplošenih koordinat namesto kvazi-koordinat. V nadaljevanju bomo pokazali, kako jih lahko iz enačb. (5.150) izpeljemo. Pri tem predpostavljamo, da jo prisotno r vezi a q = ; i =1,2,, r ; j = 0,1,, n ; q = t (5.158) ij j 0 0 Te razrešimo glede na zadnje r koordinat hitrosti q . To je vedno mogoče, če so vezi med seboj j linearno neodvisne in če so posplošene koordinate ustrezno oštevilčene. Enačba (5.158), rešena glede na »presežne« koordinate hitrosti, ima lahko obliko q = c q ; i = m +1, m + 2,, n ; j = 0,1,, m ; m = n − r (5.159) i ij j Med kvazi-veličinami in dejanskimi koordinatami hitrosti obstajajo naslednje zveze: π = q i =  m i i za 0,1, ,  ; (5.160) π q c q i m m  n j  m  = − = + + = i i ij j za 1, 2, , ; 0,1, ,  Potem enačbe π = i = m + m +  n ; (5.161) i 0 za 1, 2, , izpolnjujejo vezi (5.158). Inverzija enačbe (5.160) da  = π = q i  m i i za 0,1, ,  (5.162) q π c π i m m  n j  m  = + = + + = i i ij j za 1, 2, , ; 0,1, ,  Primerjava relacij (5.160) in (5.161) z enačbama (5.122) in (5.126) vodi do α = δ i =  m ij ij za 0,1, ,  (5.163) α δ c i m m  n  = − = + + ij ij ij za 1, 2, ,  in 77 b = δ i =  m ij ij za 0,1, ,  (5.164) b δ c i m m  n  = + = + + ij ij ij za 1, 2, ,  Opozoriti je treba, da je v skladu z enačbo (5.159) c za j > m enaki 0. Kinetično energijo * T , ij ki jo določa enačba (5.145), lahko na podlagi enačbe (5.160) zapišemo kot * T ( q , q ,, q π π  π n ; , , , 0 1 1 2 n ) * = T ( q , q ,, q q q  q π  π (5.165) n ; , , , m; m+ , , 0 1 1 2 1 n ) = T ( q , q ,, q q q  q n ; , , , 0 1 1 2 n ) Iz tega sledi za izraze v enačbi (5.160) * * T ∂ T ∂ = za j =1,2,, m π ∂  q ∂  j j * T ∂ T ∂ q ∂  T ∂ i = = za s = m +1, m + 2,, n π ∂  q ∂  π ∂  q ∂  s i s s Za vrednosti s ≤ m izraz m iz okroglega oklepaja v enačbi (5.150) izgine, kar je razvidno iz primerjave z enačbo (5.163). S temi transformacijami iz enačbe (5.150) končno dobimo Lagrangeve gibalne enačbe za sisteme z linearnimi neholonomskimi vezmi, izražene z realnimi koordinatami, brez Lagrangevih parametrov * * d T ∂ T ∂ T ∂  a ∂ a ∂   sl sk − b + b b  −  = Q b  ij ij kl i ij dt q ∂  q ∂ q ∂   q ∂ q ∂ j j s k l   ; (5.166) i, k 0,1,, ; n j, l 1,2,, ; m s m 1, m 2,, n  = = = + +  Ker po π z s > m te enačbe niso več diferencirane, lahko te količine v * T v skladu z enačbo s (5.165) postavimo enake nič, tj. * * T = T ( q , q ,, q q q  q . n ; , , , 0 1 1 2 m ) je preprosto izraz za kinetično energijo sistema po izločitvi »odvečnih« koordinat hitrosti. T ∂ Vendar je treba opozoriti, da po drugi strani v izrazu v kinetični energiji ni mogoče izločiti q ∂  s nobenega hitrostnega parametra, kar pomeni, da je T = T ( q , q ,, q q q  q . n ; , , , 0 1 1 2 n ) 78 m enačb (5.166) skupaj z r pogojnimi enačbami (5.158) ali (5.159) daje m + r = n diferencialnih enačb za n posplošenih koordinat. Nasprotno pa enačbe (5.84) s Lagrangevimi parametri skupaj z r pogojnimi enačbami dajo n + r diferencialnih enačb za določitev n posplošenih koordinat in r parametrov. Vendar pa s pomočjo enačbe (5.166) ni mogoče določiti veznih sil. 5.4.7 Applove gibalne enačbe Z Lagrangevimi enačbami gibanja, obravnavanimi v prejšnjih dveh poglavjih, je bilo mogoče upoštevati tudi neholonomske vezi brez »spajanja« z Lagrangevimi parametri. Drugo možnost za obravnavo neholonomskih vezi, ki so linearne v koordinatah hitrosti, brez uvajanja Lagrangevih parametrov, dajejo Appellove gibalne enačbe. Ponovno obravnavamo sistem s koničnim številom prostostnih stopenj, ki ga določa r = r ( q , q ,, q , q = t . (5.167) 0 1 n ) 0 in vsebuje pogojne enačbe v obliki a dq = ; i = 0,1,, n ; p =1,, r (5.168) pi i 0 od katerih naj bi bila vsaj ena neholonomna. Iz enačbe (5.167) najprej sledi ∂ r dr = dq i =  n i , 0,1, , . (5.169) q ∂ i Enačbo (5.168), za katero predpostavljamo, da je linearno neodvisna, rešimo r diferencialov dq : i dq = b dq ; i = m +1, m + 2,, n, j = 0,1,, m ; m = n − r . (5.170) i ij j Predpostavili smo, da je rešitev glede na zadnjih r diferencialov dq mogoča. To lahko vedno i dosežemo s preureditvijo indeksov. S pomočjo enačbe (5.170) ote dq odpravimo iz enačbe i (5.169) in dobimo  ∂ r ∂   d = r r  + b  dq = c dq ij j j j   q ∂ q ∂   j i   c = c q q  q (5.171) j j ( , , , 0 1 n )  i m 1, m 2,, ; n j 0,1,, m  = + + =  79 Iz enačbe (5.171) dobimo naslednje izraze za hitrost in pospešek masnih elementov:  r = c q ; j = 0,1,, m (5.172) j j dc ∂ c j j  r = q + c q = q q + c q ; j, l = 0,1,, m (5.173) j j j l j j j dt q ∂ l Gaussova variacija r je torej δ ′′ r = c δ q ′′ ; j =1,, m (5.174) j j Če zdaj iz Gaussovega načela, enačba (4.46), izhajamo iz ( e) ∫ (d F −d mr)⋅δ′′ r= 0. ( S) dobimo z enačbo (5.147) 1 ( e) δ ′ d m  r = d F ⋅ c δ ′ q ′ = ∫ ∫ . (5.175) j j 0 2 ( S) ( S) Podobno kot v 5.3. v skladu z enačbo (5.44) uvedemo posplošene sile ( e) ( e) Π = ⋅ i d ∫ F c . (5.176) j ( S) Tu uvedene količine se od posplošenih sil po enačbi (5.44) razlikujejo po tem, da c na splošno j niso parcialni odvodi krajevnega vektorja glede na koordinate. Poleg tega s pomočjo enačbe (5.173) uvedemo Applovo funkcijo 1 S = d m r = S ∫  ( q , q ,, q ; q , q ,, q , q , q ,, q . (5.177) 0 1 1 2 1 2  ) 2 n m m ( S) Zaradi S δ S ∂ ′′ = δ q ′′ ; j =1,, m j q ∂ j dobimo iz enačb (5.175) in (5.176)  ∂  ( e) S Π − δ q ′′ = ; j =1,, m (5.178) i j 0  q ∂    j  80 Pri tem je m spremenljivk δ q ′′ med seboj neodvisnih in so poljubno izbirne. Zato je enačba j (5. 178) možna le, če je S ∂ ( e) = Π ; j =1,, m . (5.179) i q ∂ j To so Appelove gibalne enačbe. Njihova struktura je posebno preprosta. Vendar je lahko izračun funkcije S računsko precej zamuden, zlasti kadar ne gre za točkovne sisteme in je prisotno večje število prostostnih stopenj. 5.4.8. Gibalne enačbe za sisteme z nelinearnimi neholonomskimi vezmi V prejšnjih razdelkih smo izpeljali gibalne enačbe za takšne sisteme, za katere v najbolj splošnem primeru veljajo holonomske in linearne neholonomske pogojne enačbe v skladu z enačbo (5.8) a δ q = ; p =1,2,, r ; i =1,, n pi i 0 Zdaj želimo dopustiti tudi nelinearne pogojne enačbe v obliki (5.6) ϕ q q  q q q  q t = ; h =1,2,, s . h ( , , , n, , , , n, 0 1 2 1 2 ) v koordinatah hitrosti. Kot je bilo že navedeno v razdelku 5.2.2, ni mogoče določiti pogojnih enačb med virtualnimi pomiki, tako kot v enačbi (5 .8). Zato uporaba d'Alembertovega načela za izpeljavo enačb gibanja ni mogoča. Po drugi strani pa obstajajo linearne zveze med Jourdainovimi ali Gaussovimi variacijami v skladu z enačbo (5.15) ϕ ∂ h δ ϕ ′ = δ q ′ = (5.180) h i 0 q ∂  i ali v skladu z enačbo (5.20). ϕ ∂  h δ ϕ ′′ = δ q ′′ = (5.181) h i 0 q ∂ i Jourdainovo in Gaussovo načelo (glej 4.2.5.) sta zato primerna za izpeljavo enačb gibanja za sisteme z nelinearnimi neholonomskimi vezmi. V nadaljevanju bomo uporabili Jourdainovo načelo, omenimo pa, da Gaussovo načelo daje enake rezultate. Iz enačbe (4.45) sledi zaradi enačbe (5.17): 81 ( e) ∫ (d −d m ) ∂  ⋅ r F r δ q ′ = , (5.182) j 0 ( q ∂ S ) j Če torej namesto enačbe (5.63) uporabimo enačbo (5.61): 2 2 2   ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r  ( e) ∫ r d F − d m q q + q + q ∂  +  ⋅ δ q ′ = . (5.183) k l 2 k k j 0 2 (   q ∂ q ∂ q ∂ t ∂ q ∂ t ∂  q ∂ S ) k l k k  j Iz tega dobimo iskane gibalne enačbe, če premisleke iz razdelka 5.4.1., ki so se nanašali na zveze med δ q , povsem analogno prenesemo na zvezo (5.180) med δ q ′ Te se glasijo j j 2 2 2   ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r  ∂ r ∂  ( e) ϕ ∫ d F −d m q q + 2 h q + q +  ⋅ + λ a + Λ = k l k k p pj h 0  2 (   q ∂ q ∂ q ∂ t ∂ q ∂ t ∂  q ∂ q ∂  . (5.183) S ) k l k k  j j  k, l, j 1,2,, ; n p 1,2,, r; h 1,2,, s  = = =  in v skladu z enačbo (5.72) ( e) ϕ h g q Γ q q Q λ a Λ ∂  + = + + jk k klj k l j p pj h q  ∂  j   j =1,2,, ; n k, l = 0,1,2,, ; n  (5.185) p =1,2,, r; h =1,2,, s  Zlahka vidimo, da lahko iz Jourdainovega načela izpeljemo tudi Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste ob prisotnosti nelinearnih neholonomskih pogojnih enačb. Pogojne enačbe je mogoče izpeljati na podoben način kot v 5.4.2. Namesto enačb (5.84) so to d T ∂ T ∂ ( e) ϕ h Q λ a Λ ∂  − = + + j p pj h dt q q q  ∂ ∂ ∂  j j j  (5.186) j 1,2,, ; n p 1,2,, r; h 1,2,, s  = = =  Seveda lahko bolj specifične oblike enačb gibanja za konservativne impresijske sile iz točk 5.4.1. in 5.4.2. uporabimo tudi ob prisotnosti nehomogenih nelinearnih pogojev, če jim dodamo člene ϕ h Λ ∂ . h q ∂  j 82 5.5 Gibalne enačbe za togo telo 5.5.1 Kinetična energija in kotni moment togega telesa, vztrajnostni momenti V prejšnjih poglavjih smo obravnavali različne metode za določitev diferencialnih enačb gibanja za poljuben mehanski sistem s končnim številom prostostnih stopenj. Primerno pa je, da gibalne enačbe za pogosto uporabljen model togega telesa podrobneje preučimo in jim s pomočjo ustreznih izrazov damo obliko, ki je bolj uporabna za neposredno uporabo. Slika 5/ 1 Opis gibanja togega telesa Najprej obravnavamo izraz za kinetično energijo, ki ga v znani obliki dobimo iz enačbe (4.14) z integracijo po masnih elementih togega telesa 1 2 T = dm 2 ∫  r . ( S) Za opis gibanja togega telesa uvedemo koordinatni sistem x, y, z z izhodiščem O. Gibanje tega koordinatnega sistema in s tem gibanje telesa je povezano s nepremičnim koordinatnim sistemom x , y , z z izhodiščem O , glej sliko 5/1. Vektor r označuje lego masnega središča M telesa glede na koordinatni sistem x, y, z. Kot je znano, lahko vsako diferencialno majhno spremembo lege togega telesa opišemo s premikom točke O in zasukom okoli trenutne osi, ki poteka skozi točko O. Ker so na sliki 5/1 poleg oznak enaka zveze kot na sliki 2/4, lahko uporabimo enačbo (2.23). Vektorju r′= v damo vrednost nič, saj pri togem telesu razdalja vseh masnih elementov med 1 1 seboj in do točke O ostane nespremenjena:  r =  r + ω× r (5.187) 0 1 83 ali, po množenju z dt dr = dr + ω dt × r . (5.188) 0 1 Z uporabo enačbe (5.187) dobimo iz enačbe (5.186): 1 T = ∫ (  r +ω× r )2 1 2 dm =   r + 2 r ⋅ω× r + ω×  r dm . (5.189) 0 1 ∫ 0 0 1 ( 1 )2 2   ( ) 2 S ( S) Z uporabo pravila o zamenjavi za mešani produkt dobimo: 2 r ⋅ω× r = 2 r ×ω⋅ r . (5.190) 0 1 0 1 Vektorja ω in r lahko v koordinatnem sistemu telesa zapišemo s pomočjo enotskih vektorjev 1 i, j, k v obliki ω = ω i +ω j +ω k . (5.191) x y z in r = x i + y j + z k . (5.192) 1 S pomočjo enačb (5.191) in (5.192) dobimo (ω r )2 (ω z ω y ω x ω z ω y ω x  × = − + − + − y z )2 ( z x )2 1 ( x y )2  2 ω y z ω x z ω x y  = + + + + + . (5.193) x ( 2 2 ) 2 y ( 2 2 ) 2 z ( 2 2 )  2ω ω x y ω ω y z ω ω z x  − − − x y 2 x z 2 z x  Z enačbama (5.190) in (5.193) dobimo iz enačbe (5.189) za kinetično energijo 1 2 T  r dm  r ω r dm  = + × ⋅ 0 ∫ 0 ∫ 1 2  ( S) ( S)  1 2 ω y z dm ω x z dm ω x y dm  + + + + + + (5.194) x ∫ ( 2 2 ) 1 2 y ∫ ( 2 2) 1 2 z ∫ ( 2 2) 2  ( S) 2 ( S) 2 ( S)  ω − ω x y dm −ω ω y z dm −ω ω z x dm x y ∫ x z ∫ z x ∫  ( S) ( S) ( S)  Pri tem smo količine  r , ω , ω , ω in ω zapisali pred integrali, ker jih je treba pri integraciji 0 x y z prek masnimh elementov obravnavati kot konstante. Ugotovimo, da drugi integral v enačbi (5.194) izgine, če točka O 84 miruje glede na prostorsko nepremičen sistem O ali pa sovpada z masnim središčem telesa. V prvem primeru se faktor pred integralom izniči , ker je  r = 0 , v drugem primeru pa odpade 0 sam integral v skladu z definicijo masnega središča po enačbi (4.1), ker je r = 0 . M V nadaljevanju bomo predpostavili, da je eden od teh dveh pogojev izpolnjen. Poleg tega uvedemo naslednje masne vztrajnostne momente J = dm ∫ ( 2 2 y + z , J = dm ∫ ( 2 2 x + z , J = dm ∫ ( 2 2 x + y (5.194) zz ) yy ) xx ) ( S) ( S) ( S) in naslednje odklonske ali centrifugalne momente J = J = − dm x y J = J = − dm y z J = J = − dm z x xy yx ∫ , yz zy ∫ , zx xz ∫ (5.194) ( S) ( S) ( S) Če upoštevamo še, da je m = dm ∫ ( S) skupna masa togega telesa, dobimo iz enačbe (5.194) za kinetično energijo izraz 1 2 1 T = m  r + ( 2 2 2 J ω + J ω + J ω + 2 J ω ω + 2 J ω ω + 2 J ω ω (5.197) 0 ) 2 2 xx x yy y zz z xy x y yz x z xz z Zlahka vidimo, da 1 2 T = m  r (5.198) trans 0 2 predstavlja energijo togega telesa, ki jo ima zaradi translacijskega gibanja svojega težišča in jo zato imenujemo translacijska energija. Rotacijsko energijo zapišemo kot 1 T = J ω + J ω + J ω + J ω ω + J ω ω + J ω ω . (5.199) rot ( 2 2 2 xx x yy y zz z 2 xy x y 2 yz x z 2 xz z ) 2 To je energija, ki jo ima telo, ko izvaja čisto rotacijsko gibanje okoli osi skozi točko O. Tako lahko celotno energijo togega telesa zapišemo kot vsoto translacijske in rotacijske energije: T = T + T . (5.200) trans rot 85 Treba pa je opozoriti, da je ta razčlenitev celotne energije mogoča le, če so izpolnjeni zgoraj navedeni pogoji glede točke O. V nasprotnem primeru se pojavi dodatni energijski člen, ki je odvisen od translacijskega in rotacijskega gibanja telesa. Masna momenta vztrajnosti in odklona, ki ju določajo enačbe (5.195) in (5.196), lahko razumemo kot elemente tenzorja drugega reda, vztrajnostni tenzor  J J J  xx xy xz J  J J J  =  yx yy yz   J J J   zx zy zz  Kot je razvidno iz enačbe (5.196), je ta tenzor simetričen. Elementi vztrajnostnega tenzorja so odvisni od izbranega koordinatnega sistema. Obnašanje elementov vztrajnostnega tenzorja pri rotaciji koordinatnega sistema lahko jasno ponazorimo, če s pomočjo tenzorja vztrajnosti preučimo zvezo med vrtilno količino L in vektorjem kotne hitrosti ω . V skladu z enačbo (4.7) lahko gibalno količino predstavimo kot L = r × dm ∫  r ( S) Z uporabo enačbe (5.187) in r = r + r 0 1 dobimo L = ∫ ( r + r ×  r +ω× r dm 0 1 ) ( 0 1 ) ( S) (5.201) = r ×  r dm + r ×ω× r dm + r dm×  r + r × ω× r dm 0 0 ∫ 0 ∫ 1 ∫ 1 0 ∫ 1 ( 1)   ( S)  ( S)  ( S) ( S) Pri tem predpostavimo, da je točka O bodisi miruje glede na prostorsko določen sistem O (v tem primeru zaradi enostavnosti določimo tudi r = 0 ) bodisi da je identična z masnim 0 središčem telesa. V prvem primeru ostane v enačbi (5.201) samo zadnji integral L = r × ω× r dm (5.202) 1 ∫ 1 ( 1) ( S) v drugem primeru pa L = mr ×  r + L (5.203) 0 0 1 86 Količina L je v obeh primerih vrtilna količina telesa glede na točko, fiksirano na telesu, ki je 1 hkrati točka, fiksirana v prostoru, ali masno središče. Delež mr ×  r je zasuk masnega središča 0 0 glede na izhodišče v prostoru fiksiranega koordinatnega sistema, če vzamemo, da je celotna masa skoncentrirana v masnem središču. Sedaj obravnavo omejimo na L in vzamemo razvoj vektorjev ω in r v skladu z enačbami. 1 1 (5.191 in (5.192) v enačbo (5.202). Sledi L = x i + y j + z k ×  ω i +ω j +ω k × x i + y j + z k  dm 1 ∫ ( ) ( x y z ) ( ) ( S) = ∫ ( xi + y j + z k)×(ω z −ω y i + ω x −ω z j + ω y −ω z k dm y z ) ( z x ) ( x y )  ( S) = ∫ {( 2 2 y + z )ω − yxω − xzω  i + − xyω + x + y ω − yzω  j x y z x   ( 2 2) y z  ( S) + − xzω − yzω + x + y ω  k dm x y  ( 2 2) z } Z uporabo enačb (5.195) in (5.196) postane L = J ω + J ω + J ω i + J ω + J ω + J ω j  1 ( xx x xy y xz z ) ( yx x yy y yz z )  (  (5.204) + J ω + J ω + J ω k zx x zy y zz z )  Desno stran enačbe (5.204) lahko razumemo kot skalarni produkt tenzorja vztrajnosti z vektorjem kotne hitrosti. To simbolično zapišemo L = Jω (5.205) 1 ali podrobneje v matričnem zapisu:  D   J J J  ω 1 x xx xy xz x   D   J J J  ω   = (5.206) 1 y    yx yy yz  y    D    J J J  ω   1 z  zx zy zz   z  Vidimo, da komponente vrtilne količine na splošno niso sorazmerne komponentam kotne hitrosti, tj. vektor vrtilne količine in vektor kotne hitrosti nista kolinearna. Zdaj se vprašamo, ali obstajajo vsaj nekatere smeri, za katere obstaja sorazmernost med vektorjema L in ω , tj. 1 za katere velja L = λω (5.207) 1 87 Če enačbo (5.207) odštejemo od enačbe (5.206), dobimo homogen sistem enačb za komponente ω :  J − λ J J  ω xx xy xz x  0  J J λ J  ω     − =  (5.208) yx yy yz  y 0      J J J − λ ω     zx zy zz   z  0 Ta sistem enačb ima netrivialne rešitve le, če je derminanta koeficientov nična: J − λ J J xx xy xz J J − λ J = (5.209) yx yy yz 0 J J J − λ zx zy zz Po izračunu determinante dobimo z uporabo simetrijskih zvez 3 λ − ( J + J + J λ + J J + J J + J J − J − J − J λ xx yy zz ) 2 ( 2 2 2 yy zz zz xx xx yy yz xz xy ) (5.210) − ( 2 2 2 J J J + J J J + J J J − J J − J J − J J = xx yy zz xy yz xz xz xy yz xx yz yy xz zz xy ) 0 Najprej predpostavimo, da so trije koreni algebrske enačbe (5.210) med seboj različni, tj. λ ≠ λ ≠ λ . Potem lahko pokažemo, da so ustrezni lastni vektorji ω , ω , ω , ki nastanejo 1 2 3 1 2 3 po vstavitvi korenov λ , λ , λ v enačbo (5.218), med seboj pravokotni. V ta namen določimo 1 2 3 desni strani enačb. (5.205) in (5.207) in jih zapišemo, npr. enkrat za ω in enkrat za ω : 1 2 Jω = λ ω 1 1 1 Jω = λ ω 2 2 2 Če zdaj prvo enačbe skalarno pomnožimo z ω , druge pa z ω , sledi 2 1 ω ⋅ Jω = λ ω ⋅ω 2 1 1 2 1 ω ⋅ Jω = λ ω ⋅ω 1 2 2 1 2 Na levi strani druge enačbe zamenjamo faktorja, kar je dovoljeno zaradi simetrije J. Nato obe enačbi odštejemo drugo od druge in dobimo 0 = (λ − λ ω ⋅ω (5.211) 1 2 ) 1 2 Če se λ in λ med seboj razlikujeta, potem je ničen skalarni produkta med ω in ω iz česar 1 2 1 2 sledi naša trditev o ortogonalnosti lastnih vektorjev. 88 Če zdaj tri medsebojno pravokotne smeri lastnih vektorjev uporabimo kot osi novega koordinatnega sistema ξ , η , ζ z izhodiščem O , je razmerje med komponentami L in ω zdaj 1 v skladu z enačbo (5.207) predstavljeno z zvezo  D  λ  ω  ξ 0 0 1 1 ξ  D   = λ  ω   (5.212) η 0 0 1  2    η   D   λ  ω    ζ   0 0 1 3   ζ  Lastne vrednosti λ , λ , in λ so zato za primerjavo z enačbo. (5.206) prikažemo kot elemente 1 2 3 vztrajnostnega tenzorja, povezane s koordinatnim sistemom ξ , η , ζ masne momente vztrajnosti λ = J = η +ζ  ξξ ∫ ( 2 2 dm 1 ) (  S )  λ = J = ξ +ζ  (5.213) ηη ∫ ( 2 2 dm 2 )  ( S)  λ J ξ η  = = + ζζ ∫ ( 2 2 dm 3 )  ( S)  Koordinatni sistem ξ , η , ζ se od vseh drugih koordinatnih sistemov, povezanih z istim izhodiščem, razlikuje po tem, da pri njem odpadejo deviacijski oz. centrifugalni momenti. Zato se osi tega koordinatnega sistema imenujejo glavne osi vztrajnosti in masni vztrajnostni momenti dani z enačbo (5.213) pa glavni masni vztrajnostni momenti. Prehod iz katerega koli ortogonalnega koordinatnega sistema x, y, z v sistem glavnih osi ξ , η , ζ se imenuje transformacija glavnih osi. Velja tudi, da je vsaka simetrijska os telesa tudi glavna os vztrajnosti. Vendar pa obrat tega izreka ne velja, tj. vsaka glavna os ni simetrijska os. Zdaj si oglejmo si primer, ko sta dve od lastnih vrednosti λ ali vse tri lastne vrednosti enake druga drugi. Če je na primer λ = λ ≠ λ , potem obstajata dva linearno neodvisna lastna vektorja za lastno 1 2 3 vrednost λ = λ ležita v ravnini, pravokotni na ω , v kateri je vsak vektor lastni vektor. Dve 1 2 3 medsebojno pravokotni, sicer poljubni osi v tej ravnini lahko nato izberemo kot osi ξ in η našega sistema glavnih osi in skupaj z osjo ζ tvorita enega od neskončno številnih možnih sistemov glavnih osi. Primeri teles, za katera so ti pogoji izpolnjeni, so vsa rotacijsko simetrična telesa, če koordinatno izhodišče leži na osi lika. 89 Če so vse lastne vrednosti med seboj enake, λ = λ = λ = λ ., potem so vse osi skozi 1 2 3 koordinatno izhodišče glavne vztrajnostne osi. Tako je vsaka pravokotnen sistema ξ , η , ζ sistem glavnih osi. Telesa, pri katerih je vsaka os skozi masno središče glavna os vztrajnosti, so na primer krogla in kocka. Zdaj bomo raziskali, kako se spremenijo komponente tenzorja vztrajnosti pri prehodu iz enega fiksnega koordinatnega sistema telesa x, y, z v drugi fiksni sistem telesa z osmi * x , * y , * z . Upoštevajmo dva posebna primera, ki sestavljata vsako splošno transformacijo. Slika 5/2 Vzporedni premik dveh koordinatnih sistemov V prvem primeru se lahko koordinatna sistema premakneta le vzporedno drug proti drugemu (glej sliko 5/2), pri čemer pa predpostavljamo, da mora biti izhodišče sistema x, y, z masno središče telesa. Glede na sistem x, y, z ima vektor razdalje komponente a, b in c. Potem dobimo, na primer, za *2 *2 2 2 J = y + z dm =  y + b + z + c  dm ∫ ∫ * * x x ( ) ( ) ( )   ( S) ( S) =  ∫ ( 2 2 y + z ) + 2 by + 2 zc + ( 2 2 b + c ) dm  ( S) = J + m b + c + b y dm + c z dm xx ( 2 2) 2 2 ∫ ∫ ( S) ( S) Zadnja dva integrala sta enaka nič kot statična momenta telesa glede na osi skozi masno središče. Tako dobimo 2 2 J = J + m b + c (5.214) * * x x xx ( ) Podobno dobimo 90 2 2 J = J + m a + c y* * y yy ( ) 2 2 J = J + m a + b z* * z zz ( ) Za centrifugalni moment J dobimo * * x y * * J = − x y dm = x + a y + b dm ∫ ∫ * * ( )( ) x y ( S) ( S) = − ∫ ( xy + ab + ay + bx) dm ( S) = J − m ab − a y dm − b x dm xy ∫ ∫ ( S) ( S) Ker so statični momenti spet enaki nič, sledi J = J − m ab (5.215) * < * x xy Podobno dobimo J = J − mbc y* * z yz J = J − m a c * * x z xz Transformacijski pravili (5.214) in (5.215) se imenujeta Steinerjeva izreka. Omogočata prehod iz »težiščnega sistema« x, y, z v koordinatni sistem, ki je vzporeden z njim, in obratno. Z dvakratno uporabo Steinerjevega izreka je mogoč prehod med katerima koli dvema vzporednima koordinatnima sistemoma. Slika 5/3 Zasuk dveh koordinat sistema s skupnim izhodiščem V drugem primeru imata lahko oba koordinatna sistema isto izhodišče in sta lahko zasukana drug proti drugemu (glej sliko 5/3). Ni nujno, da je izhodišče masno središče telesa. Oba 91 koordinatna sistema morata biti sposobna transformacije drug v drugega s pravo rotacijo, tj. oba sta hkrati desni ali levi sistem.Med koordinatami x, y, z in * x , * y , * z zato obstaja homogena zveza * x = x cos( * x, x ) + y cos( * y, x ) + z cos( * z, x )   * y = x cos( * x, y ) + y cos( * y, y ) + z cos( * z, y )  (5.213)  * z = x cos( * x, z ) + y cos( * y, z ) + z cos( * z, z )  Da bi poenostavili zapis naslednjih enačb, lahko ponovno uporabimo dogovor o seštevanju, od zdaj naprej pa želimo koordinatne osi označiti z indeksi, tj. postavimo x = x , x = y , x = z 1 2 3 in (5.217) * * x = x , * * x = y , * * x = z 1 2 3 Prav tako želimo poenostaviti zapis smernih kosinusov. Naj α = x x ; i, j =1,2,3 (5.218) ij ( * * cos i , j ) Potem enačbo. (5.216) lahko povzamemo v obliki * x = α x ; i, j =1,2,3 (5.219) i ij j Prav tako velja = α * x x ; i, j =1,2,3 (5.220) j ij i kot je razvidno iz zamenjave koordinat x, y, z s koordinatami * x , * y , * z v enačbi (5.216). Vidimo lahko, da so α komponente enotskih vektorjev * e sistema x . Zaradi ortogonalnosti ij j j teh vektorjev je * * e ⋅ e = δ , e e = δ . (5.221) i k ik j l jl Iz tega iz enačbo (5 .119) sledi * * e ⋅ e = α α e ⋅ e = α α δ = α α (5.222) i k ij kl j l ij kl jl ij kj tj. veljajo zveza 92 α α = δ (5.222) ij kj ik med smernimi kosinusi. Podobno iz enačbe (5.220) dobimo enačbo α α = δ (5.223) ij il jl V zgoraj dogovorjenem načinu predstavitve zdaj ponovno zapišemo enačbo (5.206), tako za * x - kot za x-sistem: * * * α L = J ω , L = J ω (5.224) ij 1 i kl k 1 j jl l Za komponente vektorjev L in ω velja transformacijsko pravilo (5.219), tako da lahko prvo 1 enačbo (5.224) zapišemo tudi na naslednji način: * α L = J α ω ij 1 j ik kl l Ko to enačbo pomnožimo z α in seštejemo po indeksu i, dobimo z enačbo (5.223) im * L = α J α ω 1 j ij ik kl l Primerjava z drugo enačbo (5.224) daje iskane enačbe transformacije za elemente vztrajnostnega tenzorja: * J = α J α ; i, j, k, l =1,2,3 (5.225). jl ij ik kl Inverzijo te zveze dobimo z uporabo enačb (5.222) in (5.223). Ta se glasi: * J = α J α ; i, j, k, l =1,2,3 (5.226). ik ij jl kl 5.5.2. Eulerjevi koti Da bi lahko gibanje togega telesa izrazili s posplošenimi koordinatami, tj. da bi določili zvezo r = r ( q , q ,, q t . (5.1) f , 1 2 ) v skladu z enačbo (5.2), uvedemo Eulerjeve kote. Ti opisujejo zasuk togega telesa okoli točke, ki je pritrjena na telo. Gibanje togega telesa lahko nato v celoti opišemo z gibanjem te točke in tremi Eulerjevimi koti, ki jih bomo v nadaljevanju uvedli. 93 Slika 5/4 Eulejevi koti ϕ , ψ , ϑ Naj bo mirujoč koordinatni sistem x , x , x , kot je prikazano na sliki 5/1. Osi * x , * x , * x 1 2 3 1 2 3 opisujejo koordinatni sistem, katerega izhodišče je povezano s fiksno točko telesa O, osi pa morajo biti vzporedne z osmi x , x , x (slika 5/4). Naj bo koordinatni sistem x , x , x spet 1 2 3 1 2 3 povezan s togim telesom kot na sliki 5/1 in naj ima prav tako izhodišče O. Zveze med komponentami vektorja r , povezanimi s sistemoma x , x , x in * x , * x , * x spet dajo enačbo 1 1 2 3 1 2 3 (5.216). Zdaj pa trdimo, da lahko smerne kosinuse izrazimo s tremi koti ϑ , ϕ , ψ tako, da ima enačba (5.216) obliko  * x  cosϕ cosψ − sinϕ cosϑ sinψ −cosϕ sinψ − sinϕ cosϑ cosψ sinϕ sinϑ   x 1 1        * x = sinϕ cosψ + cosϕ cosϑ sinψ −sinϕ sinψ + cosϕ cosϑ cosψ −cosϕ sinϑ x  2  2      * x      sinϑ sinψ sinϑ cosψ cosϑ     x  3 3  (5.227) Za dokaz zadostuje, da v enačbi (5.222) in (5.223) vstavimo elemente matrike koeficientov iz enačbe (5.227). Za geometrijsko razlago kotov ϑ , ϕ , ψ s primerjavo enačb (5.216) in (5.227) najprej ugotovimo, da je ϑ = ( * z, z ) = ( * x , x 3 3 ) kot med osema x in * x . Oglejmo si vektor K na ravnini ( x , x , ki je podan z 1 2 ) 3 3 x = cosψ , x = −sinψ , x = 0 1 2 3 94 (slika 5/4), in mu določimo komponente v sistemu * x , * x , * x 1 2 3 * x = cosϕ , * x = sinϕ , x = 0 1 2 3 Iz tega sledi, da ravnino ( x , x oblikujemo tako, da ravnino ( * * x , x zavrtimo okoli tako 1 2 ) 1 2 ) imenovane vozliščne črte k, v kateri leži vektor K, za kot ϑ . Os * x se z zasukom okoli ϕ v 1 ravnini ( * * x , x spremeni v vozliščno črto, ta pa se z vrtenjem okoli ψ v ravnini ( x , x 1 2 ) 1 2 ) spremeni v os x . Za določitev predznaka ϑ upoštevamo, da iz enačb (5.216) in (5.227) izhaja 1 cos( * z, x ) = cos( * x , x = sinϕ sinϑ , * x = sinϕ , x = 0 3 1 ) 2 3 tj. ϑ je pozitiven, če je 0 < ϕ < π ter če osi x in * x tvorita med seboj ostri kot. Količineϑ , ϕ 3 1 , ψ se imenujejo Eulerjevi koti; označeni so na sliki 5/4. Če zdaj izberemo kartezične koordinate x , x , x za opis izhodišča O, potem je zahtevana 1 O 2 O 3 O zveza (5.2) med komponentami krajevnega vektorja masnega elementa s koordinatami x , x , 1 2 x v koordinatnem sistemu vezanim na telo in posplošenimi koordinatami 3 q = ϑ, q = ϕ, q =ψ , 1 2 3 q = x q = x q = x O , O , 4 1 4 2 4 3 O podana z x = q +α ; i, j =1,2,3 (5.228) + x i i 3 ij j kjer so α elementi transformacijske matrike iz enačbe (5.227) ij α  α α  (α α  α α  = ij ) 11 12 13 21 22 23   α  α α   31 32 33  cosϕ cosψ − sinϕ cosϑ sinψ −cosϕ sinψ − sinϕ cosϑ cosψ sinϕ sinϑ  sinϕ cosψ cosϕ cosϑsinψ sinϕ sinψ cosϕ cosϑ cosψ cosϕ sinϑ = + − + −    sinϑ sinψ sinϑ cosψ cosϑ    Za komponente hitrostni masnega elementa dobimo α ∂ ij x = q +  ; i, j, k =1,2,3 (5.229) + q x i i 3 k j q ∂ k 95 Sedaj upoštevamo le čiste zasuke, zato postavimo q = q = q = 0. 4 5 6 Poleg tega vektor hitrosti s pomočjo transformacije (5.220) izrazimo z njegovimi komponentami glede na koordinatni sistem x , x , x vezan na telo: 1 2 3 α ∂ ij x = α q x ; i, j, k =1,2,3 (5.230) l il k j q ∂ k Koeficienti x v enačbi (5.230) so asimetrični glede na indeksa j in l. Iz enačbe (5.223) namreč j izhaja, ko jo odvajamo po času α ∂ α ij ∂ il α q +α q = . il k ij k 0 q ∂ q ∂ k k Primerjajmo enačbo (5.230) z enačbo (5.187) za  r = 0 . Zapisano v komponentah dobimo iz 0 enačbe (5.187) z ω = ω , ω = ω , ω = ω 1 x 2 y 3 z x = β x ; i, j, k =1,2,3 (5.231) l ij j z matriko β β β   0 ω − ω  (β β β β   ω ω  = = − (5.232) ij ) 11 12 13 3 2 0 21 22 23 2 1     β β β   ω − ω    0  31 32 33 2 1  Ker se morata enačbi (5.230) in (5.231) ujemati za vse masne elemente, sledi, da so vsi koeficienti x enaki. Podrobneje dobimo j α ∂ α ∂ i 2 i 3 ω α q α q α q  = = − = 1  i 3 k i 2 k 1 k k q q  ∂ ∂ k k  α ∂ α ∂  i 3 1 i ω = α q = α − q = α q 2 1 i k i 3 k 2 k k q q  ∂ ∂ (5.233) k k  α α  ∂ ∂ 1 i i 2 ω = α q = α − q = α q  3 i 2 k 1 i k 3 k k q ∂ q ∂ k k  i, j, k 1,2,3  =  Z uvedba količin a , a , a dobimo povezavo z enačbo (5.25), s katero so bile uvedene 1 k 2 k 3 k kvazi-veličine. Z računanjem dobimo za elemente matrike ( a : ij ) 96  a a a  cosψ sinϑ sinψ 0 ( a  a a a   ψ ϑ ψ  = = (5.235) ij ) 11 12 13 sin sin cos 0 21 22 23      a a a     0 cosϑ 1  31 32 33  Elementi te matrike ne izpolnjujejo vseh pogojev integrabilnosti (5.27), zato količine ω , ω , 1 2 ω niso odvodi posplošenih koordinat, temveč kvazi-veličine. Tvorimo še k ( a inverzno ij ) 3 matriko  cosψ −sinψ 0 b b b       ψ ψ  ( b = b b b =   (5.235) ij ) 11 12 13 sin cos 0 21 22 23    sinϑ sinϑ   b b b   31 32 33   cotϑ sinψ cotϑ cosψ 1 − −   Z enačbami (5.233) do (5.235) dobimo naslednjo zvezo med kvazi-hitrostmi ω , ω , ω ter 1 2 3 Eulerjevimi koti in njihovimi odvodi: ω = ϑ cosψ +ϕ sinϑ sinψ  1  ω = ϑ −  sinψ +ϕ sinϑ cosψ (5.236) 2  ω ϕ cosϑ ψ  = +  3  ϑ = ω cosψ −ω sinψ  1 2  sinψ cosψ ϕ ω ω  = + (5.237) 1 2 sinϑ sinϑ  ψ = ω − cotϑ sinψ −ω cotϑ cosψ +ω  1 2 3  5.5.3. Eulerjeve enačbe Sedaj s pomočjo enačbe (5.152) izpeljemo Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste za togo telo. Kinetično energijo izračunamo po enačbi (5.197) ob predpostavki, da je izhodiščna točka O (slika 5/1) miruje ali pa je v masnem središču togega telesa. Poleg tega izberemo koordinatni sistem telesa z osmi x = x , y = x , z = x tako, da so osi glavne vztrajnostne osi. Potem je 1 2 3 1 2 2 2 T =  J ω + J ω + J ω + m  ( 2 2 2 q + q + q  (5.238) 11 1 22 2 33 3 4 5 6 ) 2  Od 3 6 = 216 količin γ po enačbi (5.153) so vse tiste, pri katerih je indeks večji od 3, od jsl začetka enake nič, ker so q , q q q , q , in q 4  , in 5  odvodi posplošenih koordinat, koordinate 6 4 5 6 97 pa se ne pojavljajo v koeficientih a in b . Z uporabo enačbe (5.156) lahko preostalih 3 3 = 27 ij ij vrednosti γ izračunamo z enačbama (5.233) in (5.234): jsl dπ = cos q dq + sin q sin q dq 1 3 1 1 3 2 δ dπ = cos q δ dq + sin q sin q δ dq − sin q δ q dq 1 3 1 1 3 2 3 3 1 + cos q sin q δ q dq + sin q cos q δ q dq 1 3 1 2 1 3 3 2 Po drugi strani pa je δπ = cos q δ q + sin q sin q δ q 1 3 1 1 3 2 δ dπ = cos q dδ q + sin q sin q dδ q − sin q dq δ q 1 3 1 1 3 2 3 3 1 + cos q sin q dq δ q + sin q cos q dq δ q 1 3 1 2 1 3 3 2 Ker je, kot smo doslej vedno predpostavljali, za realne koordinate podana zamenljivost operatorjev d in δ (glej tudi 5.2.2.), sledi (δ d − dδ )π = −sin q δ q dq −δ q dq + cos q sin q δ q dq −δ q dq 1 3 ( 3 1 1 3 ) 1 3 ( 1 2 2 1 ) +sin q cos q δ q dq −δ q dq 1 3 ( 3 2 2 3 ) = −sin q cot q δπ dπ −δπ dπ  − cos q δπ dπ −δπ dπ 3  1 ( 1 2 2 1 ) 3 ( 1 3 3 1 ) +sin q (δπ dπ −δπ dπ ) cos q sin q 3 3 + δπ dπ −δπ dπ 3 2 3 3 2 ( 1 2 2 1 ) sin q 1  sin q  cos q 3 +sin q cos q −  (δπ dπ −δπ dπ ) 3 − δπ  dπ −δπ dπ 3 1 ( 2 3 3 2 ) 1 3 1 3  sin q  sin q 1 1 = −(δπ dπ −δπ dπ 2 3 3 2 ) Nadalje je (δ d − dδ )π = −cos q δ q dq −δ q dq + cos q cos q δ q dq −δ q dq 2 3 ( 3 1 1 3 ) 1 3 ( 1 2 2 1 ) −sin q sin q δ q dq −δ q dq 1 3 ( 3 2 2 3 ) = −cos q cot q δπ dπ −δπ dπ  − cos q δπ dπ −δπ dπ 3  1 ( 1 2 2 1 ) 3 ( 1 3 3 1 ) +sin q (δπ dπ −δπ dπ ) cos q cos q 3 3 + δπ dπ −δπ dπ 3 2 3 3 2 ( 1 2 2 1 ) sin q 1  sin q  cos q 3 −sin q sin q −  (δπ dπ −δπ dπ ) 3 − δπ  dπ −δπ dπ 3 1 ( 2 3 3 2 ) 1 3 1 3  sin q  sin q 1 1 = (δπ dπ −δπ dπ 1 3 3 1 ) in 98 (δ d − dδ )π = −sin q δ q dq −δ q dq 3 1 ( 1 2 2 1 ) sin q 1 = − (δπ dπ −δπ dπ 1 2 2 1 ) sin q 1 = −(δπ dπ −δπ dπ 1 2 2 1 ) Iz tega sledi γ = 1, + γ = 1 − 213 312  γ 1, γ 1  = − = + (5.239) 123 321  γ 1, γ 1  = + = − 132 231  Za vse druge kombinacije indeksov so γ enaki nič. jsl Z enačbami (5.236) in (5.237) dobimo iz enačb (5.152) in (5.153) končno e J ω − J − J ω ω = Π + λ c  1 1 ( 2 3) ( ) 2 3 1 p 1 p  e J ω J J ω ω Π λ c  − − = + (5.240) 2 2 ( 3 1) ( ) 3 1 2 p p 2  e J ω − J − J ω ω = Π + λ c 3 3 ( 1 2) ( ) 1 2 3 p p 3  in ( e) m q = Π + λ c  4 4 p p 4  ( e) m q Π λ c  = + (5.241) 5 5 p p 5  (  e) m q = Π + λ c 6 6 p p 6  Če ni omejitev in količine ( e) Π , ( e) Π , ( e) Π niso odvisne od koordinat q , q , in q ali 1 2 3 4 5 6 njihovih odvodov, potem enačbi (5 .240) in (5.241) medsebojno nista povezani. Ker so ( e) Π , ( e) Π , ( e) Π momenti vtisnjenih sil glede na osi x , x , x in so λ c , λ c , 1 2 3 1 2 3 p 1 p p p 2 λ c ustrezni vezni momenti, lahko enačbe. (5.240) zapišemo tudi v obliki Eulerjevih enačb. p p 3 a J ω − J − J ω ω = M  1 1 ( 2 3) ( ) 2 3 1  a J ω J J ω ω M  − − = (5 .242) 2 2 ( 3 1) ( ) 3 1 2  a  J ω − J − J ω ω = M 3 3 ( 1 2) ( ) 1 2 3  Količine ( a) M , ( a) M , ( a) M so zunanji momenti, glede na osi x , x , x . Če so ti momenti 1 2 3 1 2 3 bodisi ničelni , konstantni bodisi funkcije kvazi-veličin ω , ω , ω , potem, če je integracija 1 2 3 99 enačb. (5.242) uspe, lahko podamo stanje hitrosti, ki ga predstavljajo ω t , ω t , ω t . Da 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) bi določili lego telesa v odvisnosti od časa, je treba integrirati enačbe (5.237). Če pa so zunanji momenti odvisni od lege telesa, tj. če so funkcije Eulerjevih kotov, potem je treba iz Eulerjevih enačb s pomočjo enačbe (5.236) izločiti kvaziveličine. Tako dobljene enačbe niso enake diferencialnim enačbam, dobljenim iz Lagrangevih enačb gibanja druge vrste, če je kinetična energija od začetka predstavljena kot funkcija Eulerjevih kotov in njihovih odvodov. V slednjem primeru bi bili zunanji momenti na desni strani teh enačb povezani s poševnim sistemom osi, ki ga tvorijo vozliščna črta, os * x in os x . 3 3 Količine q , q , q so kartezične koordinate masnega središča M ali katere koli druge točke, 4 5 6 ki je fiksna v prostoru. Ker so ( e) Π , ( e) Π , ( e) Π rezultante vtisnjenih sil v smeri koordinatnih 4 5 6 osi, λ c , λ c , λ c pa ustrezne vezne sile, lahko enačbe (5.241) zapišemo tudi kot p p 4 p p 5 p p 6 ( a) m q = F  4 1  ( a) m q F  = (5.243) 5 2  ( a) m q F  = 6 3  Za primer, da je točka O masno središče, predstavlja enačba (5.243) izrek o masnem središču za togo telo, ki smo ga za vsak sistem v vektorski obliki že podali z enačbo (4.4). 5.5.4 Ravninsko gibanje togega telesa Enačbi gibanja togega telesa, enačbi (5.240) in (5.241), predstavljata nelinearni diferencialni enačbi, za kateri so rešitve v zaključeni obliki znane le za posebna gibanja. Takšna posebna gibanja so npr. - ravninsko gibanje, - vrtenje okoli prostorsko fiksne osi, - gibanje z ničelnimi zunanjimi momenti, - gibanje rotacijsko simetričnih teles okoli točke telesa, ki je fiksirana v prostoru in leži na osi simetrije pod vplivom gravitacije. V nadaljevanju se bomo ukvarjali predvsem z ravninskim gibanjem. Zanj je značilno premikanje masnega središča v ravnini in vrtenje telesa okoli glavne vztrajnostne osi, ki je vedno pravokotna na to ravnino. Ta glavna os vztrajnosti je os x . Naj se masno središče giblje 3 100 v prostorsko fiksni ravnini ( x , x . Potem ostane os x vedno vzporedna z osjo x . Kotna 1 2 ) 3 3 hitrost ω postane realna koordinata hitrosti, ker za ϑ = 0 količine a v enačbi (5.234) 3 3 k izpolnjujejo pogoje integrabilnosti (5.27). Naj bo ω = ϕ , 3 kjer je ϕ kot vrtenja telesa v ravnini ( x , x glede na začetno lego, ki je določen v prostoru, in 1 2 ) q = x , q = x 4 1 M 5 2 M kjer sta x in x koordinati masnega središča. Poleg tega naj bo 1 M 2 M J = J , ( a) ( a) M = M 3 3 S temi izrazi dobimo iz enačbe (5.242) ( a) M − Jϕ = 0 (5.244 in iz enačbe (5.243) ( a) F − m x =  M 0 1 1  (5.245) (  a) F − m x = M 0 2 2  Enačbi (5.244) in (5.245) predstavljata uporabo enačbe (3.18) za ravninsko gibanje togega telesa. Iz njiju je razvidno, da lahko dinamični problem spremenimo na statičnega tako, da momentu zunanjih sil ( a) M dodamo − Jϕ, zunanjima silama ( a) F in ( a) F pa - − m x oz. 1 2 1 M − m x . Glede na zgoraj navedeno so lahko zunanji momenti in sile sestavljeni iz vtisnjenih sil 2 M in momentov ter veznih sil in momentov. Ker se uporaba tega načela spremembe dinamičnega problema nazaj na statičnega pogosto izkaže za smotrno pri ravninskih sistemih, bomo v nadaljevanju podrobneje razložili postopek določanja enačb gibanja. 101 Slika 5/5 Ravninsko gibanje togega telesa Podane vtisnjene sile ( e) F , ki so odvisne od fizikalnih parametrov, razstavimo na komponente i v smeri x in x , ( e) F in ( e) F , in jih vnesemo v skico modela tako, da se smernici ( e) F in 1 2 1 i 2 i 1 i ( e) F sekata v prijemališču ( e) F (glej sliko 5/5). Vtisnjeni posamezni momenti, ki si jih lahko 2 i i predstavljamo kot enakovreden prikaz parov sil, ( e) M , so predstavljeni kot prosti vektorji, ki z i ukrivljeno puščico okoli masnega središča označujejo njihov smisel vrtenja. Enako velja za vezne momente ( z) M , katerih smer se lahko na začetku domneva, da je poljubna. Razlikovati i je treba med veznimi silami z znano smernico, ( z) F , in tistimi, za katere je znano le i prijemališče, ( z) F . Velikosti komponent ( z) F in ( z) F veznih sil ( z) F sta odvisni druga od j 1 i 2 i i druge; lahko ju izrazimo s še neznano velikostjo ( z) F in znanim kotom . Po drugi strani pa sile i ( z) F v prijemališčih vnašajo po dve komponenti, vsaka s še neznano velikostjo ( z) F in ( z) F . j 1 j 2 j Če na koncu vnesemo še sili pospeška mase m x in m x , ki sta nasprotni pozitivni smeri 1 M 2 M pospeška v masnem središču, ter moment pospeška mase Jϕ, ki je nasprotni pozitivnemu kotnemu pospešku, lahko sistem iz slike 5/5 obravnavamo kot statični sistem. Če s * F in * F označimo rezultanti vseh sil v smeri x oziroma x in z * M rezultatni moment 1 2 1 2 glede na katero koli točko ravnine, potem 102 * F = 0 , * F = 0 , * M = 0 (5.246) 1 2 Če v prvih dveh enačbah (5.246) npr. komponente sil, ki kažejo v pozitivnih x smereh, vpišemo kot pozitivne, potem moramo nasprotno usmerjene sile obravnavati z negativnim znakom. V primeru momenta veljajo ustrezne specifikacije za predznak. Opozoriti je treba, da moment * M poleg posameznih predstavljenih momentov vključuje tudi momente vseh komponent sil glede na izbrano referenčno točko ravnine. Dovoljeno je, da se odnosi * F = 0 in/ali * F = 0 v enačbi 1 2 (5.246) nadomestijo z nadaljnjimi pogoji ravnovesja momenta * M = 0 , če se za momente izberejo druge referenčne točke ravnine. Ker ima prosto togo telo v ravnini tri stopnje prostosti, telo ostane gibljivo le, če med koordinatami x , x in ϕ obstajata največ dva linearno neodvisna pogoja 1 2 a δ x + a δ x + a δϕ = . (5.247) p p p 0 1 1 2 2 3 Za vsako lego togega telesa obstajajo največ tri linearno neodvisne vezi. Te ustrezajo trem neznanim komponentam vezne sile ali veznega momenta. Če je v ravnini med seboj povezanih m togih teles, obstaja največ 3 m linearno neodvisnih vezi in temu ustrezno 3 m neznanih komponent veznih sile ali veznih momentov. Vendar se lahko ta sistem giblje le, če obstaja največ 3 m −1 vezi. 103 6. Primeri uporabe V spodnji tabeli je prikazano, na katere dele besedila se nanašajo posamezni primeri. Primer Poglavje Primer Poglavje 6.1 5.3 6.9 5.4.2 5.6.1.3 6.2 5.4.2 6.10 5.4.2 5.5.4. 5.6.2.1.2 6.3 5.4.1 6.11 5.4.2 5.4.2 5.6.1.3 5.6.2.212 5.6.2.2.2 5.6.2.2.3 5.6.2.2.4 6.4 3.3 6.12 5.5.3 5.4.1 5.6.1.2.2 5.4.2 5.5.4 6.5 5.4.2 6.13 5.4.2 5.6.1.2.4 6.6 5.4.2 6.14 5.4.2 5.71 5.6.2.2.1 5.7.2.1.2 6.7 5.4.2 5.4.6 5.4.7 6.8 5.4.2 5.6.1.1 5.6.1.2.2 5.6.2.1.1 5.6.2.1.2 104 6.1 Ravnotežna lega vrteče gredi Na vrteči elastični gredi je n diskov (zobniških koles, vztrajnikov in podobno). Predpostavljamo, da lahko sistem reduciramo na elastično gred, ki nima mase in na katero so pritrjene posamezne mase (slika 6/1). Elastične lastnosti gredi in ležajev so izotropne. Na os gredi, za katero predpostavljamo, da je idealno ravna, postavimo os kartezičnega koordinatnega sistema, ki se vrti s kotno hitrostjo Ω gredi (slika 6/2). V tem koordinatnem sistemu naj bo lega masnega središča i-tega diska za Ω = 0 podana s koordinatami ξ , η . Odstopanja od lege i i ξ = , η = , so npr. lahko posledica proizvodnih netočnosti. i 0 i 0 Slika 6/1 Elastična gred s posameznimi masami Težnost v nadaljevanju zanemarimo. Neznanke so koordinate x , y masnih središč za gred, i i ki se vrti s konstantno kotno hitrostjo. l. Določitev ravnotežnih pogojev Če so koordinate x , y , i =1,2,, n, posplošene koordinate, potem so komponente sil, ki i i delujejo na masne točke v smeri x in v smeri y, ustrezne posplošene sile. V skladu z enačbo (5.48), so te posplošene sile enake nič, če so posplošene koordinate med seboj neodvisne in zato med njimi ni pogojnih enačb. Ker vrteči koordinatni sistem ni inercialni sistem, v skladu z enačbo (5.36) vtisnjenim silam * F pripadajo tudi vztrajnostne sile. Za vsako masno točko je centrifugalna sila edina vztrajnostna sila, saj je centripetalni pospešek 2 a = − r Ω fi i sistemskega gibanja, ki je konstanten, edini pospešek. Če za i-to masno točko zapišemo enačbo (5.48) ob upoštevanju enačb (5.36) in (5.44), dobimo za posplošene vtisnjene sile 105 ( e)* ( e) 2 X = X + m x Ω  i i i ( i)  ( e)* ( e) 2 Y Y m x Ω  = + (1) i i i ( i)  i =1,2,, n  Količini ( e) X in ( e) Y predstavljata tako imenovani elastični sili [Rückstellkräfte], ki ju elastična i i gred izvaja na točko mase m v smeri x oziroma v smeri y (slika 6/3). i Slika 6/2 Lega masnega Slika 6/3 središča za mirujočo Vtisnjena sila v in vrtečo gred masnem središču Med pomiki f v točkah, označenih z indeksom i, in obremenitvenimi silami F , ki delujejo i j pravokotno na os palice, v meji sorazmernosti obstajajo linearne zveze f = α F ; i, j =1,2,, n (2) i ij j pri čemer faktorji sorazmernosti α = α (3) ij ji podajajo vpliv pomikov (slika 6/4). Slika 6/4 Upogibnica elastične gredi Če v skladu z enačbo (2) zapišemo zveze med premiki in silami za smer x oziroma y, in upoštevamo f = x −ξ i i i oz. f = y −η i i i 106 in ( e) F = − X j j oz ( e) F = Y − j j dobimo enačbi ( x −ξ = α − X  i i ) ( e) ij j  (4) (  y −η = α − Y i i ) ( e) ij j  Iz enačb. (1) in (4) dobimo ( x −ξ =α m x Ω  i i ) 2 ij j j  ( y η α m y Ω  − = (5) i i ) 2 ij j j  i, j 1,2,, n  =  ali z uporabo Kroneckerjevega simbola δ ij ( 2 α m −δ Ω − x = ξ − Ω −  ij j ij ) 2 j i  ( 2 α m −δ Ω − y = η − Ω −  (6) ij j ij ) 2 j i  i, j =1,2,, n  Z novimi koordinatami u = m x µ = m ξ  i i , ( i) i i ( i)  (7) v = m y ν = m η i i ( i) , i i ( i)  in spremenljivkami β = m m α (8) ij i j ( i)( j) dobijo enačbe (6), po množenju z m , obliko i ( 2 β −δ Ω − u = u − Ω −  ij ij ) 2 j i  ( 2 β −δ Ω − v = − v Ω −  (9) ij ij ) 2 j i  i, j =1,2,, n  107 Kot je znano, ima sistem enačb (9) enolično rešitev le, če je ( 2 det β δ Ω − − ≠ , i, j =1,2,, n (10). ij ij ) 0 Če je izpolnjena neenakost (10), potem lahko deformacije x , y enolično izračunamo iz enačb i i (7) in (9) ali neposredno iz enačb (6). 2. Razvoj rešitev po lastnih vektorjih Rešitev razstavimo po lastnih vektorjih problema lastnih vrednosti ( 2 β δ Ω − − w = , i, j =1,2,, n , (11). ij ij ) j 0 ki izhaja iz ničelne desne strani enačbe (9). Korene karakteristične enačbe ( 2 det β δ Ω − − = ij ij ) 0 označimo s 2 Ω − , k =1,2,, n. Če te vrednosti zaporedoma vstavimo namesto 2 Ω − v enačbo k (11), lahko lastne vektorje w določimo iz enačb jk ( 2 β δ Ω − − w = , i, j, k =1,2,, n (12) ij ij k ) j( k) 0 Ti lastni vektorji so ortogonalni, če, kar predpostavljamo, se vse lastne vrednosti 2 Ω − med k seboj razlikujejo. Poleg tega so normalizirani tako, da je w w = δ , ik jl kl tj. matrika( w je ortogonalna. Potem velja tudi jk ) w w = δ . ik jk ij Če zdaj pomnožimo prvo od enačb (9) z w , dobimo ik w ( 2 β δ Ω − ) 2 u w µ Ω − − = − . ik ij ij j ik i Zaradi simetrije β sledi ij ( 2 β δ − ) 2 w u w µ Ω − − Ω = − . ij ij jk i ik i Iz te zveze dobimo z enačbo (12) 108 δ ( 2− 2 Ω Ω − ) 2 w u w µ Ω − − = − ij k j( k) i ik i oz. 2 − Ω w u = − w µ (14) ik i 2 − 2 − i( k) i Ω − Ω k Ko (14) pomnožimo z w in seštejemo po k končno sledi jk 2 − Ω u = − w w µ (15) j 2 − 2 − jk ik i Ω − Ω k oz. 2 Ω k u = w w µ . (15) j 2 2 jk ik i Ω − Ω k Na podoben način dobimo 2 Ω k v = w w ν . (16) j 2 2 jk ik i Ω − Ω k Iz enačb (15) in (16) je razvidno, da se pri Ω → Ω faktor k 2 Ω k 2 2 Ω − Ω k približuje neskončnosti in da so deformacije, ki pripadajo k-temu lastnemu vektorju, še posebej močno vzbujene. V mejnem primeru Ω = Ω lahko deformacije ostanejo končne le, če je faktor k w µ ali w ν , ik i ik i ki pripada k-temu lastnemu vektorju, enak nič, tj. če sta vektorja µ in ν pravokotna na ustrezna i i lastna vektorja w . Poleg tega lahko vidimo, da se pri Ω → ∞ deformacije približujejo ik vrednostim u = , v = . Vendar to ne pove ničesar o stabilnosti te ravnotežne lege. j 0 j 0 109 6.2 Dvigalo Dvigalo je prikazano na sliki 6/5. Skica na levi strani prikazuje začetno stanje, ko breme miruje, skica na desni strani pa stanje po začetku gibanja. Predpostavimo, da so vrvi navpične in da jih lahko obravnavamo kot toge in brez mase. Slika 6/5 Dvigalo Podani so: J masni vztrajnostni moment vrvnega bobna in pogona, glede na os bobna 1 J masni vztrajnostni moment jermenice, glede na os jermenice, v kateri mora 2 ležati tudi njeno masno središče m masa vrvnega bobna 1 m masa kavlja, vključno z jermenico 2 m masa bremena 3 r oz. r povprečni polmeri ukrivljenosti vrvi na bobnu oz. na jermenici 1 2 M = M (ϕ pogonski moment podan kot funkcija kotne hitrosti 1 ) Iščemo kot zasuka ϕ vrvnega bobna v odvisnosti od časa in silo v vrvi. 1 Za določitev enačb gibanja bomo uporabili dve metodi: - metodo prerezov in gibalne enačbe za togo telo (razdelek 5.5.4.), - Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste (razdelek 5.4.2.). 1. Rešitev s pomočjo enačb za ravninsko gibanje togega telesa 110 Vrvi in povezavo z bremenskim kavljem prerežemo tako, da so vsa 3 telesa prosta. Odstranimo tudi osne ležaje vrvnega bobna. Pri tem vnesemo vezne sile F do F , ki jih povzročajo prvotne 1 5 toge vezi. Nadalje na telesa vnesemo vtisnjene sile m g , m g in m g ter vtisnjen moment 1 2 2 M (ϕ . Dodamo še vztrajnostne obremenitve m x m x J ϕ , J ϕ , ki so usmerjene v 1 ) 2, 3 , 1 1 2 2 nasprotni smeri od smeri predpisanih pospeškov (slika 6/6). Slika 6/6 Razrez dvigala Zdaj za izrezana prosta toga telesa uporabimo enačbe (5.244) in (5.245), ki jih potrebujemo za določitev iskanih veznih sile F in F ter za določitev enačb gibanja: 1 2 M (ϕ − F r − J ϕ = 0 (1) 1 ) 1 1 1 1 ( F − F r − J ϕ = 0 (2) 1 2 ) 2 2 2 F + F − F − m g − m x = 0 (3) 1 2 5 2 3 F − m g − m x = 0 (4) 5 3 3 Po izločitvi veznih sil sledi M (ϕ − 2 J r ϕ + J rϕ − m + m g + x rr = 0 (5) 1 ) 1 2 1 2 1 2 ( 2 3 ) ( ) 1 2 Ker je vrv toga, obstajajo med koordinatami ϕ , ϕ in x naslednje povezave: 1 2 111 f = rϕ − r ϕ − x = 0 (6) 1 1 1 2 2 (pogoj togosti desnega dela vrvi), f = r ϕ − x = 0 (7) 2 2 2 (pogoj togosti levega dela vrvi). Pri določanju vezi smo predpostavili tudi, da vrv ne drsi po bobnu in jermenici. S pomočjo vezi (6) in (7), ki jih je treba dvakrat odvajati glede na čas, lahko v enačbi (5) odpravimo količini x in ϕ : 2 4 M (ϕ r − 2 m + m grr 1 ) 2 2 ( 2 3 ) 2 1 2 ϕ = . (8) 1 2 2 4 J r + J r + ( m + m ) 2 2 r r 1 2 2 1 2 3 1 2 Po deljenju s števcem ulomka na desni strani in integraciji ob upoštevanju začetnega pogoja ϕ = 0 za t = 0, 1 sledi iz enačbe (8) 1 ϕ dϕ t 1 = ∫ . (9) 4 M ϕ r − 2 m + m gr r 4 J r + J r + m + m r r 0 ( ) 2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 1 2 2 3 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 Če poznamo M (ϕ lahko integral na levi strani enačbe (9) izračunamo numerično. Z 1 ) razrešitvijo po ϕ dobimo funkcijo 1 ϕ = ϕ t , (10) 1 1 ( ) ki po ponovni integraciji pripelje do iskane odvisnosti ϕ = ϕ t . (11) 1 1 ( ) Iskani sili v vrvi F in F izračunamo iz enačb (1) in (2) z uporabo enačb (5) in (6) kot funkcij 1 2 ϕ in ϕ : 1 1 112 1 F  M ϕ J ϕ  = −   1  ( 1) 1 1 r   1  1 r  1 F F J ϕ F J ϕ  = − = −  (12) 2 1 2 2 1 2 2 1 r 2 r  2 2  2 1      =  M (ϕ ) 1 r 1 −  J + J ϕ 1 1   2 2 1 r   2 r 1 2    Z zamenjavo ϕ iz enačbe (8) v enačbah (12) lahko F in F predstavimo kot funkciji ϕ ; z 1 1 2 1 uporabo enačbe (10) nato končno dobimo F t in F t . 2 ( ) 1 ( ) 2. Rešitev s pomočjo Lagrangevih enačb gibanja druge vrste Pri uporabi Lagrangevih enačb gibanja druge vrste se lahko izognemo skici prerezov prikazanih sliki 6/6. Vendar je priporočljivo, da v skico vnesemo vtisnjene sile, če seveda vse te niso potencialne sile (glejte sliko 6/7). Slika 6/7 Dvigalo z vtisnjenimi silami Na sliki je razvidno, da je delo vtisnjenih sil ( e) δ W = M (ϕ δϕ − m + m gδ x 1 ) 1 ( 2 3) v primeru virtualnega pomika sistema. Vtisnjene posplošene sile so koeficienti virtualnih pomikov v tem izrazu: ( e) Q = ϕ  ϕ M ( 1) 1  ( e) Q  = (13) ϕ 0  2 (  e) Q = − m + m g x ( 2 3)  113 Z variacijo vezi podanih z enačbama (5) in (6) dobimo rδϕ − r δϕ −δ x = 0  1 1 2 2 (14) r δϕ δ x 0  − = 2 2  Kinetična energija je 1 1 1 T = J ϕ + J ϕ + ( m + m ) 2 x 1 1 2 2 2 3  . (15) 2 2 2 S pomočjo enačb. (14) in (15) dobijo Lagrangeve enačbe (5.71) za q = ϕ , q = ϕ , q = x 1 1 2 2 3 obliko J ϕ = M ϕ + λ r  1 1 ( 1) 1 1  J ϕ = − λ − λ r (16) 2 2 ( 1 2) 2  ( m m x m m g λ λ  + = − + − + 2 3 ) ( 2 3 ) ( 1 2)  Ker pogojni enačbi (5) in (6) izhajata iz togosti desnega oziroma levega dela vrvi, sta v skladu s tem, kar je bilo povedano v 5.3 za enačbo (5.41) f ∂ 1 λ = −λ = F (17) 1 1 1 x ∂ sila v vrvi na desni strani, f ∂ 2 λ = −λ = F (18) 2 2 2 x ∂ pa sila v vrvi na levi strani. Tako so enačbe (16) enakovredne enačbam (1) do (4). V prvem primeru smo dobili dodatno enačbo, saj se z izrezom mase m pojavi F kot dodatna neznanka. 3 5 Parameter, ki bi ustrezal tej sili, bi se pojavil v enačbah. (16), če bi uvedli posebno koordinato in dodatno omejitev za navpično gibanje mase m . 3 6.3 Prostorsko nitno nihalo s premikajočo se visečo točko Viseča točka nitnega nihala se premika po danem zakonu gibanja ψ =ψ ( t) po krožni poti, ki leži v vodoravnem ravnini (slika 6/8). 114 Slika 6/8 Prostorsko nihalo Poiščemo diferencialne enačbe za gibanje nihala. Izpeljavo bomo izvedli s pomočjo Lagrangevih enačb gibanja prve in druge vrste. 1. Uporaba Lagrangevih enačb gibanja prve vrste Kot posplošene koordinate uporabimo kote q = ϕ , q = ϑ 1 2 prikazane na sliki 6/9. Čas lahko tako kot v točki 5.4 simbolično predstavimo s q . Krajevni 0 vektor masne točke m lahko nato določimo z zvezo r = i  r cosψ + l sinϕ cos  (ψ +ϑ)  (19) + j  r sinψ + l sinϕ sin  (ψ +ϑ) + k l cosϕ  kjer so i, j, k enotski vektorji v smeri koordinatnih osi x , y, z . Pogled A Slika 6/9 Prostorsko nihalo z registriranimi posplošenimi koordinatami 115 Zdaj določimo količine g v skladu z enačbo (5.67): µν ∂ r ∂ r 2 g m mψ ( 2 2 2 r 2 lr sinϕ cosϑ l sin ϕ  = ⋅ = + + 00 ) t t  ∂ ∂  g g m ∂ r ∂ r mlrψ cosϕ sinϑ  = = ⋅ = 01 10 t ∂ q ∂  1  ∂ r ∂ r 2 2 g g m mlrψ sinϕ cosϑ l ψ sin ϕ  = = ⋅ = + 02 20 t q  ∂ ∂ 2  (2) ∂ r ∂ r 2 g = m ⋅ = ml  11 q ∂ q ∂  1 1  g g m ∂ r ∂ = = ⋅ r = 0  12 21 q ∂ q ∂  1 2 ∂ r ∂ r  2 2 g = g = m ⋅ = ml sin ϕ  22 20 q ∂ q ∂  2 2  Od spremenljivk Γ podanih z enačbo (5.68) zapišemo le neničelne zadnje indekse, saj µνσ potrebujemo samo te: Γ = ml cosϕ ( 2 2 rψsinϑ − rψ cosϑ − 2 lψ sinϕ  001 )  Γ = ml sinϕ ( 2 rψcosϑ + rψ sinϑ + 2 lψsinϕ  002 )  Γ = Γ = 0  011 101  2 Γ = Γ = ml ψ sinϕ cosϕ 012 102  2 Γ = Γ = − ml ψ sinϕ cosϕ  021 201  Γ = Γ = 0  (3) 022 202  Γ = 0 111  Γ = Γ = 0  121 211  2 Γ = Γ = ml sinϕ cosϕ  122 221  2 Γ = − ml sinϕ cosϕ 221  Γ 0  = 222  Potencialna energija, ki se nanaša na ravnino z = 0, je U = − mgl cosϕ . (4) Z uporabo enačb (2) do (4) dobimo iz enačbe (5.76), po deljenju z ml , diferencialni enačbi gibanja: 116 lϕ cosϕ  rψsinϑ rψ cosϑ l sinϕ    (ψ ϑ)2 2  + − − + = − g sinϕ     2 l sin ϕ (ψ +ϑ)  + r sinϕ ( 2 ψcosϑ +ψ sinϑ)  (5)  + 2 lϕ sinϕ cosϕ (ψ +ϑ) = 0  2. Uporaba Lagrangevih gibalne enačbe druge vrste Krajevni vektor dan z enačbo (1) odvajamo po času:  r = i{− rψ sinψ + l ϕ   cosϕ cos(ψ +ϑ) −    (ψ +ϑ)sinϕsin(ψ +ϑ) } + j{ rψ cosψ + l ϕ   cosϕ sin(ψ +ϑ) +    (ψ +ϑ)sinϕcos(ψ +ϑ) } − k lϕ sinϕ in tvorimo kinetično energijo 1 2 T m  =  r 2  1 2 2 2 2 2 = m  r ψ + l ϕ + 2 lrψϕ   cosϕ sin ϑ  (6) 2   2 + lrψ (ψ +ϑ) 2 sinϕ cosϑ + l (ψ +ϑ) 2 sin ϕ    S pomočjo enačb (4) in (6) tvorimo Lagrangevo funkcijo L = T − U Iz Lagrangevih enačb gibanja druge vrste v skladu z enačbo (5.91) spet sledijo diferencialne enačbe gibanja (5), ker so d L ∂ = ml  lϕ+ rψcosϕsinϑ − rψϕsinϕsinϑ + rψϑcosϕcosϑ dt ϕ   ∂  L ∂ ml  rψϕ   sinϕ sinϑ rψ      (ψ ϑ)cosϕcosϑ l(ψ ϑ)2 sinϕcosϕ g sinϕ = − + + − + − ϕ ∂   d L ∂ = ml  l        (ψ +ϑ ) 2 sin ϕ + 2 lϕ (ψ +ϑ)sinϕ cosϕ + rψsinϕ cosϑ + rψϕ   cosϕ cosϑ dt ϑ ∂ − r  ψϑ sinϕ sinϑ L ∂ = ml  rψϕcosϕcosϑ − rψ    (ψ +ϑ)sinϕsinϑ ϑ  ∂ 117 6.4 Ravninsko nitno nihalo s premikajočim obesiščem Obesišče nitnega nihala se premika vzdolž premice v skladu z danim zakonom gibanja ξ = ξ ( t) (slika 6/10). Poiščemo diferencialne enačbe gibanja nihala in silo v nit. Nalogo rešimo: 1. s pomočjo Lagrangevih enačb gibanja prve vrste, 2. s pomočjo Lagrangevih enačb gibanja druge vrste, 3. z izrezom masne točke in uporabo d'Alembertovega aksioma. Slika 6/10 Slika 6/11 Ravninsko nitno nihalo Ravnina nihala z označenimi posplošenimi koordinatami 1. Uporaba Lagrangevih enačb gibanja prve vrste Kot posplošene koordinate se uvedemo v skladu s sliko 6/11 q = ϕ , q = r . 1 2 Omejitev je f ϕ, r, t = l − r = 0 (1) 1 ( ) Poleg tega ponovno izberemo q = t . 0 Krajevni vektor masne točke, povezan z izhodiščem sistema x, y, lahko izrazimo s funkcijo r = i ξ  ( t) + r sinϕ + j r cosϕ  (2) 118 Tako dobimo količine g v skladu z enačbami (5.67) µν 2 2 g = mξ g = mr  00 11  g = g = mrξcosϕ g = g = 0 (3) 01 10 12 21  g g mrξsinϕ g m  = = = 02 20 22  Od količin Γ podanih z enačbo (5.68) z σ ≠ 0 so od nič različne naslednje: µνσ Γ = mrξcosϕ  001   Γ = mrξ sinϕ  002  (4) Γ = − mr 112  Γ Γ mr  = = 121 211  Potencialna energija, ki se nanaša na ravnino y = 0, je U = − mgr cosϕ (5) Po vstavitvi enačb (1), (3) do (5) v enačbo (5.76), dobimo 2 mr ϕ+ mrξcosϕ + 2 mr ϕ  r  = mgr sinϕ   (6) 2 m r+ mξsinϕ − mrϕ = mg cosϕ − λ1  Temu dodamo omejitev (1) oz  r = 0 (7) Če vstavimo enačbe (1) in (7) v enačbe (6), potem sledi lϕ+ξcosϕ + g sinϕ = 0 (8) kot diferencialna enačba gibanja in 2 λ = − mξsinϕ + mlϕ + mg cosϕ (8) 1 V skladu z enačbo (5.53) dobimo silo v vrvici kot posplošeno vezno silo v obliki ( z) f ∂ 1 Q = λ a = λ = −λ . (10) 2 1 12 1 1 r ∂ Ta vezna sila deluje na masno točko v smeri naraščajoče koordinate r. Sila navoja F, vnesena na sliki 6/12, je torej enaka ( z) F = Q − = λ (11) 2 1 119 Slika 6/12 Razrez ravninskega nihala 2. Uporaba Lagrangevih enačb gibanja druge vrste Iz enačbe (2) ugotovimo, da je hitrost masne točke enaka  r = i (ξ + rsinϕ + rϕ cosϕ) + j( rcosϕ − rϕ cosϕ) (12) Izraz za kinetično energijo je potem 1 2 2 2 2 T = m ξ   + r + r ϕ + 2ξ( rsinϕ + rϕ cosϕ) (13) 2   Če upoštevamo potencialno energijo v skladu z enačbo (5), potem dobimo iz enačbe (5.87) zaradi d L ∂ = ml  lϕ+ rψcosϕsinϑ − rψϕsinϕsinϑ + rψϑcosϕcosϑ dt ϕ   ∂  L ∂ = m( 2 2 rrϕ   + r ϕ+ rξ  cosϕ + rξcosϕ − rξϕ   sinϕ) ϕ ∂ d L ∂ = m(ξ rcosϕ − rξϕsinϕ − gr sinϕ) dt r ∂ L∂ = m( 2 rϕ+ξϕcosϕ+ g cosϕ) r ∂ spet enačbo (6) ali, če upoštevamo enačbo (7) iz zvez (8) in (9). 3. Uporaba d'Alambertovega aksioma Za določitev gibalne enačbe in sile v vrvici uporabimo zveze (3.18). Če jih uporabimo za točko z eno samo maso, so to 120 * F = 0 , * r × F = 0 (14) a a kjer je * ( e) ( z) F = F − m r = F + F − m r. a a a a V skladu z razlago v razdelku 3.3. uporaba teh enačb vodi do ravnotežnih pogojev masne točke z upoštevanjem vztrajnostnih sil. Slika 6/12 prikazuje vse sile, ki delujejo na masno točko: - vodilna sila z velikostjo mξ, - sila orbitalnega pospeška, ki je posledica relativnega gibanja, z velikostjo mlϕ in centrifugalna sila z velikostjo 2 mlϕ , - masa z velikostjo mg (vtisnjena sila), - sila pritiska z velikostjo F Coriolisova sila je tu enaka nič. Vse vztrajnostne sile so narisane nasproti smerem pospeška, ki so opredeljene kot pozitivne. V skladu s prvim enačbo (14) tvorimo vsoto komponent sil v smeri vrvice in pravokotno nanjo: 2 F + mξsinϕ − mg cosϕ − mlϕ = 0   (15) mξcosϕ + mlϕ+ g sinϕ = 0  Vidimo lahko, da je enačba (15) ob upoštevanju enačbe (11) identična z enačbama (8) in (9). 6.5. Bič Konec vrvice se giblje po ravni črti s konstantno hitrostjo x = v (slika 6/13). Vrvico obravnavamo obravnavati kot neprožno in gibko. Naj bo masa na enoto dolžine konstantna in jo označimo s µ . Poleg tega naj se vse točke vrvice gibljejo po isti premici, zanemarimo pa tudi zemeljsko težnost. V začetnem stanju mora vrvica dolžine l mirovati in zavzeti vodoravno lego: q(0) − x(0) = l   (1) q(0) = 0  Iščemo hitrost q prostega konca vrvice. 121 Slika 6/13 Bič 1. Diferencialne enačbe gibanja Oba dela vrvice z dolžino 1 ( l + x− q) in 1( l − x+ q) 2 2 lahko obravnavamo kot toga telesa s spremenljivo maso, ki se gibljeta translatorno. Kinetična energija je 1 T = µ ( l + x − q) 2 x + ( l − x + q) 2 q  . (2) 2   V skladu z enačbo (5.91) je zaradi U = 0 in x = v = const , d T ∂ d = µ  ( l − x + q) q = µ   ( l − x + q) q+ (− x + q) q , dt q dt  ∂ T ∂ 1 = µ ( 2 2 − x + q ) , q ∂ 2 rezultat diferencialne enačbe gibanja ( l − x + q) 1 2 1 2 q+ q − x q + x = 0 2 2 oz. ( l − x + q) 1 q+ ( q − x)2 = 0 . (3) 2 2. Rešitev enačb gibanja S pomočjo koordinatne transformacije 122 y = l − x + q  y x q  = − +   (4) y q ( x v const)  = = =  enačbo (3) preoblikujemo v 1 2 yy+ y = 0 2 oz. y 1 y = −  . (5) y 2 y To diferencialno enačbo lahko takoj enkrat integriramo:  ( ) 12 y cy − = . Po ponovnem integriranju dobimo = ( + )23 y A t B (6) z novima konstantama A in B. Z enačbo (4) najdemo = − + ( + )23 q x l A t B (7) Če v enačbo (7) vstavimo začetne pogoje (1) dobimo dve enačbi za določitev konstant A in B : 2 3 l − + AB = l 1 2 3 x + AB− = 0 3 Njuna razrešitev da 1 3 2 A = 36 lx , 4 l B = − 2 3 x Tako iz enačbe (7) dobimo  2   3 x t  = +  3 q x l 2 1− −   1 (8)   4 l     Za hitrost q velja    3 xt  =   − 3 q x 1 1 1− (9) 4 l    123 Dolžina prostega dela vrvice je 1 z = ( l − x + q) . 2 Če vstavimo enačbo (8) dobimo 2  3 x t  = 3 z l 1−  (10) 4 l    Z enačbama (9) in (10) lahko hitrost prostega konca vrvice predstavimo kot funkcijo njene dolžine:   1 q = x1−   z l    ali pri x = v , q 1 = 1− (11) v z l Kot je razvidno iz enačbe (11), hitrost prostega konca vrvice presega za z → 0 vsako mejo. Dejansko ostaja hitrost končna, ker vrvica ne more biti popolnoma toga in gibka. Kljub temu lahko z ustreznim gibanjem presežemo hitrost zvoka zraka, pri čemer se pojavi dobro poznani pok biča (glej sliko 6/14). Slika 6/14 Profil hitrosti prostega konca vrvice 6.6. Vibracijska igla Vibracijska igla za zgoščevanje betona je prikazan v prerezu na sliki 6/15. V valjasti posodi A, se vrti igla B, ki jo poganja gibljiva gred. Predpostavljamo, da posoda izvaja enakomerno krožno gibanje s polmerom a okoli točke O, ki je fiksirana v prostoru. Na posodo deluje dušilna sila 124 F = − k v (1) D M nasprotna vektorju hitrosti v . Nadalje so podane naslednje vrednosti M m masa posode µ masa igle m = m + µ skupna masa vibratorja 0 ϕ = Ω = const. hitrost vrtenja igle okoli svoje osi ρ polmer igle r polmer vrtenja središča igle v posodi Pod pogojem, da se igla gladko kotali vzdolž notranje stene posode, je potrebno naslednje F velikost normalne sile med iglo in posodo N F velikost tangencialne sile med iglo in posodo T a polmer krožnega premika središča posode M α = ϑ −ψ fazni kot med vrtenjem igle in gibanjem posode Poleg tega je treba določiti meje delovanja brez zdrsa, če je max FT ν = (2) FN koeficient trenja. Za rešitev je treba uporabiti Lagrangeve enačbe. Slika 6/15 Prerez vibracijske igle 1. Izpeljava enačb gibanja Čeprav ima sistem le dve prostostni stopnji, je treba, če že od začetka ne predpostavljamo a = 0 , za določitev veznih sil uvesti več kot dve posplošeni koordinati. Te so 125 a , ψ , ϑ , r Brez vpliva na splošnost za kot ϕ določimo ϕ = Ω t (3) Za dejansko gibanje velja omejitev  r ≤ 0 (4) kot izraz za togost igle in ohišja. Neenačba (4) predstavlja enostransko vez. Kot je v navadi, najprej predpostavimo dvostransko vez, ki ustreza  r = 0 (5) in preverimo veljavnost enakosti (5). Dodatna pogojna enačba izhaja iz pogoja kotaljenja brez podrsavanja igle po notranji steni posode. Ob upoštevanju enačbe (3) se ta glasi takole rϑ − ρΩ t = const. ali po odvajanju glede na čas rϑ − ρΩ = 0 Rešitev po ϑ da ρ ϑ = ω = Ω , (6) r pri čemer je bila zaradi krajšega zapisa uvedena kotna hitrost ω . Pogoji a = 0 , ψ = 0 (7) ki izhajajo iz predpostavljenega krožnega premika posode, po drugi strani niso vezi, saj jih ne povzročajo toge vezi, temveč metoda reševanja, ki jo bomo uporabili v enačbah gibanja, ki jih je treba še določiti, da bi problem poenostavili. Kinetično energijo sistema je 1 2 1 2 1 2 T = m v + µ v + JΩ 0 2 M 2 s 2 Pri tem je J masni vztrajnostni moment igle in njenega pogona, povezan z osjo vrtenja. Te vrednosti kasneje ne bomo uporabili. Izraženo s posplošenimi koordinatami je 126 1 T = m ( a + a ψ ) 1 + µ { a + rcos(ϑ −ψ ) − rϑsin(ϑ −ψ ) 2 2 2 2  0 2 2   +  aψ + rsin (ϑ −ψ ) + rϑ cos(ϑ −ψ ) 2    } 1 2 + JΩ 2 (8) 1 = m ( 2 2 2 a + a ψ ) 1 2 2 2 + µ  r + r ϑ + 2 ar cos ϑ −ψ − 2 ar  ϑsin ϑ −ψ 0 ( ) ( ) 2 2  2 + arψ sin (ϑ −ψ ) + 2 arψ cos(ϑ −ψ ) 1 2  + JΩ  2 Da bi določili posplošene sile, določimo navidezno delo. Delež dušilne sile pri virtualnem delu je ob upoštevanju enačbe (1) F ⋅δ r = − k ( 2 aδ a + a ψ δψ D M ) (glej sliko 6/16). Ker pogoja (5) in (6) ne veljata za virtualne premike, vezne sile prav tako opravljajo virtualno delo. To je − F δ r + F rδϑ . N T (glej sliko 6/17). Zato je δ W = − k ( 2 aδ a + a ψ δψ ) − F δ r + F rδϑ . N T Če označimo q = a , q =ψ , q = r , q = ϑ 1 2 3 4 so torej posplošene sile 2 = −  = − ψ  Q ka, Q ka 1 2  (9) Q = − Fg, Q = F r 3 4 T  Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste, so enačbe (5.84). Pri zapisu naslednjih enačb smo uporabili enačbe (5) do (7): −µ rω (ω −ψ )cos(ϑ −ψ ) 2 − maψ − µ rωψ cos(ϑ −ψ ) = − ka = 0 −µ qrω (ω −ψ )sin (ϑ −ψ ) − µ arωψ sin (ϑ −ψ ) 2 = − ka ψ −µ a(ω −ψ )cos(ϑ −ψ ) 2 − µ rω − µ aωψ cos(ϑ −ψ ) = − FN −µ rωψ sin (ϑ −ψ ) + µ arωψ sin (ϑ −ψ ) = F r T 127 Slika 6/16 Slika 6/17 Določitev virtualnega dela dušilne sile Določitev virtualnega dela vezne sile 2. Rešitev gibalnih enačb Zgornje enačbe lahko poenostavimo. Uvedemo fazni kot α = ϑ −ψ : 2 2 −µ rω cosα − maψ = 0 (10) 2 2 −µ arω sinα + ka ψ = 0 (11) 2 2 F = µ rω + µ aψ α (12) N cos 2 F = µ aψ α (13) T sin Ker mora biti ψ v skladu s pristopom reševanja enačbe (7) konstanta, je v skladu z enačbami (10) in (11) tudi α = ϑ −ψ je konstanta . Zato je v povezavi z enačbo (6) ρ ψ = ϑ = ω = Ω (14) r Vstavimo enačbo (14) v enačbe (10) do (13) in iz enačb (10) in (11) izračunamo a in α : µ µ 1 a = r = − r cosα (15) 2 m k m 1+ 2 2 m ω α = π − arctan k (16) mω S tako dobljenimi enačbama (15) in (16) sledi iz enačb (12 in (13): 128  µ 2 2 F µω r α  = − (17) N 1 cos m    2 µ 2 F = ω r α α (19) T sin cos m Kot je razvidno, je F ≥ . Igla je torej v stiku z ohišjem in enačba (5) je izpolnjena. Sedaj N 0 lahko formuliramo tudi pogoj za nedrseče kotaljenje: µ sinα cosα FT m = ≤ν (19) F µ 2 N 1− cos α m ali f =ν (2 −ζ −ζ cos 2α ) −ζ sin 2α ≥ 0 (21) kjer je µ ζ = m Če zahtevamo stabilno delovanje, tj. kotaljenje brez zdrsa za vse možne dušilne faktorje, mora biti enačba (20) izpolnjen tudi za α = α , pod pogojem da f (α doseže minimum. Ker v 0 ) 0 skladu z enačbo (16) iščemo minimum le za π ≤ α ≤ π , lahko namesto enačbe (20) izberemo 0 2 f =ν (2 −ζ −ζ cos 2α ) +ζ sin 2α ≥ 0 (21) π ≤ 2α ≤ 2π Uporabimo 2 df d f = ζ (ν sin 2α + cos 2α = 0 , = 2ζ ν cos 2α − sin 2α > 0 2 ( 0 0 ) 0 0 ) dα α α d 0 α0 Rešitev je 1 2α 2π arctanν − = − 0 tj. 129 1 − ν 1 sin 2α = − = − 0 2 − 2 1+ν 1+ν ν 1 cos 2α = = 0 2 − 2 1+ν 1+ν S temi vrednostmi iz enačbe (21) končno sledi iskani pogoj ν 2 ζ ≤ . (22) 2 ν + 1+ν 6.7 Težka os na nagnjeni ravnini Naj bo togo telo v ravnini ( x, y) podprto z dvema kolesoma, ki nimata mase in sta pritrjena na popolnoma gladko os (brez trenja), glej sliko 6/18. Naj bo masa telesa m, njegov vztrajnostni moment, povezan z osjo skozi masno središče M pravokotno na ravnino x, y, naj bo J. Naj bo sinus kota nagiba osi y proti vodoravni ravnini α , pri čemer se ravnina z večanjem y zmanjšuje. Slika 6/18 Težka os na nagnjeni ravnini Diferencialne enačbe gibanja je treba določiti s pomočjo 1. Lagrangeve enačb gibanja v osnovnih koordinatah z uporabo Lagrangevih parametrov (razdelek 5.4.2), 2. Lagrangeve gibalne enačbe s kvazikoordinatami (razdelek 5.4.5.), 3. Lagrangeve gibalne enačbe z osnovnimi koordinatami brez uporabe Lagrangevih parametrov (oddelek 5.4.6.), 4. Appelove gibalne enačbe (razdelek 5.4.7.). Gibalne enačbe je treba rešiti za začetne pogoje 130 ϕ (0) = 0, ϕ (0) = Ω   (1) x(0) = x(0) = y(0) = y(0) = 0  1. Rešitev s pomočjo Lagrangevih enačb gibanja v naravnih koordinatahi z uporabo Lagrangevih parametrov Omejitev gibanje osi zaradi koles izrazimo z naslednjim pogojem:  π dy tan ϕ  = + = −   cotϕ - dx  2  To vez lahko izrazimo v obliki xcosϕ + ysinϕ = 0 . (2) Začetni pogoji (1) izpolnjujejo to vez. Med virtualnimi pomiki torej obstaja zveza cosϕ δ x + sinϕ δ y = 0 . (3) Kinetična energija je 1 T = m( 2 2 x + y ) 1 2 + Jϕ , (4) 2 2 potencialna energija pa U = − mgα y (5) Za q = ϕ , q = x , q = y 1 2 3 so torej Lagrangeve gibalne enačbe v skladu z enačbo (5.87), če uporabimo L = T − U : Jϕ = 0  mx λ cosϕ  =  (6) my mgα λ sinϕ  = +  Iz prve enačbe (6) in začetnih pogojev takoj sledi ϕ = Ω , ϕ = Ω t (7) Ta rezultat vstavimo v drugo in tretjo enačbo (6): mx = λ cosΩ t  (8) my mgα λ sin Ω t  = +  131 Ker je lahko parameter λ funkcija časa, ga moramo pred integracijo enačbe (8) odpraviti. To storimo tako, da prvo enačbo (8) pomnožimo −sin Ω t , drugo s cosΩ t in ju seštejemo: m(− xsin Ω t + ycosΩ t) = mgα cosΩ t (9) Če upoštevamo enačbo (2) lahko izraz v oklepaju na levi strani enačbe (9) izrazimo kot d (− xsinΩ t + ycosΩ t) dt To lahko takoj dokažemo z izračunom. Iz enačbe (9) torej sledi α −  sin Ω +  cos g x t y Ω t = sin Ω t (10) Ω Integracijska konstanta je bila izbrana tako, da je izpolnjen enačba (1). Iz enačb. (2) in (10) lahko izračunamo x in y in tako dobimo gα 2 x sin Ω t  =  Ω  (11) gα  y sin Ω t cosΩ t  = Ω  Če upoštevamo začetne pogoje (1), so rešitve enačbe 1 gα x 2Ω t sin 2Ω t  = − + 2 ( )  4 Ω  (12) 1 gα  y 1 cos 2Ω t  = − 2 ( ) 4 Ω  To sta iskani funkciji x( t) in y( t) . Zanimivo pri rešitvah (12) je, da kljub naklonu osi y koordinata y masnega središča ostaja omejena (razen za Ω = 0 ), medtem ko x( t) neomejeno raste. Za poseben primer Ω = 0 veljajo gibalne enačbe iz enačbe (12) z dvakratno uporabo L'Hospitalovega pravila. Iz teh enačb dobimo znane formule x 1 = 0 , 2 y = gα t (13) 2 Ker je v skladu s tem, kar je bilo povedano v 5.3, enačba (3) λ cosϕ komponenta vezne sile v smeri x in λ sinϕ komponenta vezne sile v smeri y, predstavlja 132 2 2 2 2 λ cos ϕ + λ sin ϕ = λ velikost vezne sile. To lahko izračunamo iz prvega enačbe (8) z uporabo enačbe (12) dobimo mx sin 2Ω t λ = = − mgα = − mgα sin 2Ω t . cosΩ t cosΩ t 2. Rešitev s pomočjo Lagrangevih enačb gibanja s kvazi-koordinatami Kot kvazi-hitrosti izberemo π = ϕ 1  π xsinϕ y cosϕ  = − + (14) 2  π xcosϕ ysinϕ  = + 3  Količina π izbremo tako, da 3 π = 0 3 izpolnjuje pogoj (2). Inverzna vrednost enačb (14), izražena v matričnem zapisu, je ϕ   1 0 0  π1   x   0 sinϕ cosϕ π   = −  (15) 2        y 0 cosϕ sinϕ  π         3  Elementi matrike koeficientov v enačbi (15) so količine b , ki ustrezajo enačbi (5.126). jk Kot je razvidno s primerjavo enačbe (14) z enačbami za transformacijo med zasukanima koordinatnima sistemoma sta π = ω in π = ω komponenti hitrosti masnega središča, 2 2 3 3 povezani s koordinatnim sistemom, ki je vezan na telo (slika 6/18). Kinetična energija, izražena s kvazi-hitrostmi, je torej * 1 T = m( 2 2 π +π ) 1 2 + Jπ 2 3 1  (16) 2 2 Količine ( e) Π izhajajo iz enačbe (5.146) in enačbe (15) in so enake j ( e) ( e) U Π Q b ∂ = = − b . j i ij ij q ∂ i Izpisano je to: ( e) ( e) Q = Q = 0 , ( e) Q = mg 1 2 3 133 ( e) Π = 0 , ( e) Π = mgα cosϕ , ( e) Π = mgα sinϕ (17) 1 2 3 Količino γ v enačbi (5.150) določimo s pomočjo enačbe (14) in (15) iz enačbe (5.156): jsl (δ d − dδ )π = 0 1 (δ d − dδ )π = δ − dx sinϕ + dy cosϕ − d δ − x sinϕ +δ y cosϕ 2 ( ) ( ) = cosϕ ( dxδϕ − dϕ δ x) − sinϕ ( dyδϕ − dϕ δ y) = − dπ δπ + dπ δπ 3 1 1 3 (δ d − dδ )π = δ dx cosϕ + dy sinϕ − d δ x cosϕ +δ y sinϕ 3 ( ) ( ) = −sinϕ ( dxδϕ − dϕ δ x) + cosϕ ( dyδϕ − dϕ δ y) = dπ δπ − dπ δπ 2 1 1 2 Pri tem je bilo ponovno predpostavka (δ d − dδ ) q = . i 0 To pomeni, da je γ = γ − = γ − = γ = 1 (18) 123 321 132 231 Vsi ostali γ pa so enaki nič. jsl Z rezultati enačb (16) do (18) lahko oblikujemo gibalne enačbe v skladu z enačbo (5.150): Jπ + m π π −π π = 0 1 ( 2 3 3 2) mπ + mπ π = mgα cosϕ 2 3 1 Če v skladu z enačbo (2) in enačbo (14) upoštevamo tudi π = 0 , dobimo naslednji zvezi 3 Jπ = 0  1 (19) π mgα cosϕ  = 2  Prva enačba (19) ima rešitev π = ϕ = Ω t , 1 pri kateri so začetni pogoji že upoštevani. Tako je druga enačba (19) π = mgα cosΩ t , 2 njen integral pa ima vrednost α π = −  sin Ω +  cos g x t y Ω t = sin Ω t (20) 2 Ω 134 Integracijska konstanta je bila ponovno izbrana tako, da je izpolnjen enačba (1). Enačba (20) daje enak rezultat kot enačba (10), tako da lahko nadaljnji izračun poteka kot za enačbo (11). Opozoriti je treba tudi, da t t gα π dt = sin Ω t dt ∫ (20) 2 ∫ Ω 0 0 predstavlja razdaljo, ki jo prepotuje masno središče M vzdolž svoje tirnice. 3. Rešitev s pomočjo Lagrangevih enačb gibanja v osnovnih koordinatah brez uporabe Lagrangevih parametrov. Ponovno vzamemo q = ϕ , q = x , q = y in rešimo enačbo (2) po y : 1 2 3 y = xcotϕ . (21) Iz kinetične energije T v skladu z enačbo (4) dobimo * T tako, da izločimo y 1 T = m(1+ cot ϕ) 2 * 2 2 1 2 1 x 1 2 x + Jϕ = m + Jϕ . (22) 2 2 2 2 sin ϕ 2 Neničelni elementi matrike ( a , ki jih določata enačbi (5.160) in (5.164), so v skladu z enačbo ij ) (21) a =1, a =1, a = cotϕ (23) 11 22 32 Neničelni elementi k ( a inverzni matrike ( b so ij ) ij ) b =1, b =1, b = −cotϕ . (24) 11 22 32 Iz enačbe (23) je razvidno, da sta od količin  ∂ ∂  a a si sk  − q q  ∂ ∂  k i  iz enačbe (5.166) lahko le dve različni od nič, in sicer tisti s kombinacijama indeksov s = 3, i =1, k = 2 in s = 3, i = 2 , k =1 z vrednostma 135 ∂ ϕ cot 1 = − 2 ϕ ∂ sin ϕ in ∂ ϕ cot 1 − = 2 ϕ ∂ sin ϕ Iz tega za količine  ∂ ∂  a a si sk γ = b b  − ; j, l =1,2 jsl ij kl q q  ∂ ∂  k i  sledita vrednosti 1 γ = γ − = , (25) 132 231 2 sin ϕ medtem ko imajo za vse druge kombinacije indeksov γ vrednost nič. jsl Z rezultati enačb (4), (22) in (25) lahko zdaj, če so ( e) ( e) Q = Q = 0 , ( e) Q = mg , 1 2 3 določimo gibalne enačbe, ki ustrezajo enačbi (5.166): 2 − (− ) 1 2 mx cos myx Jϕ ϕ +   = 0 3 2 2 sin ϕ sin ϕ d mx  1  + my − ⋅ϕ = −   mgα cotϕ (26) 2 2 dt sin ϕ  sin ϕ  V obeh enačbah (26) nadomestimo y z − xcotϕ v skladu z enačbo (21) in tako dobimo Jϕ = 0 x −2 mx cos mx ϕ ⋅ϕ +   cotϕ ⋅ϕ = − mgα cosϕ 2 3 2 sin ϕ sin ϕ sin ϕ Prva od teh enačb ima ponovno rešitev ϕ = Ω t To vstavimo v drugo enačbo in jo pomnožimo z 1 sin Ω t : m 136 x x −  cosΩ t ⋅Ω = − gα cosΩ t . (27) 2 sin Ω t sin Ω t Levo stran te enačbe lahko zapišemo tudi v obliki d x dt sin Ω t To omogoča ločitev spremenljivk:    x d   = − gα cos Ω t dt  sin Ω t  Rezultat integracije je  α x g = − sin Ω t + C (29) 1 sin Ω t Ω gα 2 x = − sin Ω t + C sin Ω t (28) 1 Ω Za določitev integracijske konstante C začetni pogoj za x 1  ne zadostuje saj desna stran enačbe (28) tako ali tako odpade za t = 0. Zato vzamemo (21) in določimo α  = −  cot g y x Ω t = sin Ω t cosΩ t − C cosΩ t (29) 1 Ω Ker je y(0) = 0 lahko zdaj določimo integracijsko konstanto C kot 1 C = 0 . 1 Tako sta enačbi (28) in (29) enaki enačbam (11). 4. Rešitev s pomočjo Appelovihovih enačb gibanja Naj bo x krajevni vektor v opazovalnem sistemu, vezanim na telo, z izhodiščem v M (glej sliko 6/19). Potem za krajevni vektor r prostorsko fiksiranega koordinatnega sistema velja r = x i + y j + x  r = x i + y j +ϕ k × x 137 Slika 6/19 Lega masnega elementa dm v prostorsko fiksiranem sistemu x, y Če s pomočjo enačbe (21) nadomestimo y , sledi  r = ( i − cotϕ j) x +ϕ k × x (Glede odvajanja vektorja x v gibljivem sistemu glej 2.2.1.). Po ponovnem odvajanju dobimo  r = ( ϕ i − cotϕ j) x x+   j + ϕ k × x + kϕ × kϕ × x 2 ( ) sin ϕ  xϕ    2 = i x+ j − xcotϕ +ϕ k × x −ϕ  x − k k ⋅ x   2   ( ) sin ϕ    Izraz v oglatih oklepajih na desni strani te enačbe je projekcija vektorja x na ravnino x, y in ga označimo z y. Velja. k × x = k ×  y +  k ( k ⋅ y) = k ×  y . Za kvadrat pospeška dobimo: 2 2 2  xϕ    2  r = x + − xcotϕ +ϕ k × x ⋅ k × x +  2 xϕ  i ⋅ k ×  x 2 ( ) ( ) ( )  sin ϕ  2  ϕ 2 ϕ  i ⋅ y + 2 x   − x − xcotϕ ϕ j ⋅ k ×  y (30) 2  ( )  sin ϕ  2 2 2 + xϕ  cotϕ j ⋅ y − 2ϕϕ   y ⋅( k × y) + Cleni brez komponent pospeška Člene v enačbi (30) še nekoliko preoblikujmo: ( k y) ( k x) ( k y) k y    y k ( k y) 2 × ⋅ × = × × ⋅ = − ⋅  ⋅ y =  y 138 Poleg tega je izraz y ⋅ k × y , ki ga vsebuje enačba (30), enak nič, ker je k × y pravokoten na y. Pri oblikovanju Appelove funkcije v skladu z enačbo (5.177) upoštevamo, da dm ∫ y ( S) zaradi simetrije odpade, 2 J = dm ∫ y ( S) pa predstavlja masni inercijski mornent, povezan z osjo, pravokotno na ravnini x, y skozi M. Tako iz enačbe (30) končno izhaja 2 1   2 1 2  xϕ   1 2 S = dm  r = m  x + ∫   xcotϕ −   + Jϕ 2 2 (   ϕ (31) S ) 2 sin   2   + Cleni brez komponent pospeška Količine ( e) Π so v skladu z enačbo (5.176) enake količinam ( e) Q b iz enačbe (26), ker je bila j j ij odpravljena ista komponenta hitrosti. 6.8 Pogonski sistem z nenadnim nastopom stalne obremenitve Elektromotor poganja delovni stroj prek elastične gredi, glej sliko 6/20. Masna vztrajnostna momenta sta J za rotor motorja in J za delovni stroj, q in q sta ustrezni kotni koordinati, 1 2 1 2 Ω je kotna hitrost motorja v stanju brez obremenitve in k (Ω − q pa je moment, ki se prenaša 1  ) z magnetnega polja na rotor. Zaradi enostavnosti smo predpostavili, da je k konstanten. Moment obremenitve pogonskega stroja je do časa t = 0 enak nič, nato pa mora nenadoma dobiti velikost M in delovati v nasprotni smeri od smeri vrtenja. Torzijska togost elastične gredi je c. Slika 6/20 Pogonski sistem Določimo začetne vrednosti q 0 = q 0 = 0 ; q 0 = q 0 = Ω (l) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 139 in izračunajmo elastično torzijo gredi q t − q t za t > 0. V ta namen je treba določiti 1 ( ) 2 ( ) Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste. Njihovo rešitev je treba določiti - natančno s pomočjo nastavka rešitve, - približno z metodo zaporednih približkov in - numerično z metodo Runge-Kutta. 1. Določitev enačb gibanja Za izpeljavo enačb gibanja potrebujemo poleg kinetične energije 1 2 1 2 T = J q + J q 1 1 2  2 2 2 še posplošene sile. Te dobimo s pomočjo navideznega dela vtisnjenih sil, ki je sestavljeno iz navideznega dela pogonskega momenta k (Ω − q δ q , 1 ) 1 navideznega dela momenta − c( q − q δ q −δ q , 1 2 ) ( 1 2 ) ki izhaja iz elastičnega zasuka gredi, in navideznega dela obremenilnega momenta − Mδ q . 2 Posplošene sile so faktorji navideznih premikov v ( e) δ W (glej tudi 5.3.). Tako je ( e) Q = − kq − c q − q + kΩ  1 1 ( 1 2)  (3) (  e) Q = − c q − q − M 2 ( 2 1)  Ko enačbi (1) in (2) vstavimo v enačbo (5.84), dobimo gibalne enačbe J q + kq + c q − q = kΩ  1 1 1 ( 1 2)  (4) J q + c q − q = − M 2 12 ( 2 1)  2. Natančna rešitev sistema diferencialnih enačb Za homogeni sistem diferencialnih enačb, ki pripada enačbi (4), dobimo z nastavkom t q Aeλ = i i (glej tudi 5.7.1.) karakteristično enačbo: 140 2 J λ + kλ + c − c 1 2 − c J λ + c 2 (5) 3 2 = λ  J J λ + kJ λ + c J + J λ + kc = 0  1 2 2 ( 1 2)  Z uvedbo naslednjih oznak: J J J J 1 τ = , 2 1 2 ω + = c , 1 β = . k 0 J J J + J 1 2 1 2 lahko sistem enačb (4) zapišemo v obliki 1 − 2 q +τ q +ω 1− β q − q =τ − Ω  1 1 0 ( )( 1 2) 1  (7) 2 q + ω β ( q − q ) 1 − 2 = − c ω β M 12 0 2 1 0  karakteristično enačbo pa lahko predstavimo na naslednji način: λ ( 3 1 − 2 2 1 − 2 λ +τ λ +ω λ + βτ ω = 0 (8), 0 0 ) Od korenov karakteristične enačbe (8) je eden enak nič: λ = 0 1 Od preostalih korenov je eden negativen in realen, druga dva pa sta kompleksna. 141 Literatura [2] Autorenkollektiv: Die Wissenschaft von der Wissenschaft. Berlin: Dietz Verlag 1968 [3] KREYSZIG, E.: Differentialgeometrie. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig KG 1957. [4] HAMEL, G.: Theoretische Mechanik. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer-Verlag 1949. [5] SMIRNOW, W. J.: Lehrgang der höheren Mathematik. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1967. [6] BUDÓ, A.: Theoretische Mechanik. Berlin : VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1956. [7] FORBAT, N.: Analytische Mechanik der Schwingungen. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1966. Document Outline 1. Uvod 2. Osnovni pojmi in opredelitve 2.1. Prostor in čas 2.2. Kinematične osnove 2.2.1. Kinematika materialne točke 2.2.2 Virtualni pomiki 2. 3. Masa 2.4 Sila 3 Aksiomi mehanike 3.1 Temeljni aksiom mehanike 3.2 Newtonovi aksiomi mehanike 3.2.1 Newtonov prvi aksiom: zakon vztrajnosti 3.2.2 Drugi Newtonov aksiom: temeljna enačba dinamike 3.2.3 Newtonov tretji aksiom: zakon vzajemnega učinka 3.3 D'Alembertov aksiom 3.4 Neinercialni sistemi, Galilejevo načelo relativnosti 4. Izreki mehanike 4.1 Izreki o skupni gibalni količini, vrtilni količini in energiji mehanskega sistema 4.1.1 Izrek o masnem središču 4.1.2 Zakon o ohranitvi gibalne količine in zakon o ohranitvi vrtilne količine 4.1.3. Izrek o kinetični energiji (zakon o ohranitvi energije) 4.2 Načela 4.2.1 Uvodne opombe 4.2.2 d'Alembertovo načelo 4.2.3 Načelo virtualnega dela 4.2.4 Hamiltonovo načelo 4.2.5 Jourdainovo načelo in Gaussovo načelo najmanjše prisile 5. Sistemi s končnim številom prostostnih stopenj 5.1 Modeli s končnim številom prostostnih stopenj 5.2 Kinematika sistemov s koničnim številom prostostnih stopenj 5.2.1 Kinematika holonomnih in linearno neholonomnih sistemov 5.2.2 Splošne pogojne enačbe 5.2.3 Kvazi-hitrosti, kvazi-koordinate 5.3 Ravnotežne lege sistemov s končnim številom prostostnih stopenj 5.4. Enačbe gibanja sistemov s končnim številom prostostnih stopenj 5.4.1. Lagrangeve enačbe gibanja prve vrste 5.4.2 Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste 5.4.3. Kanonične gibalne enačbe za holonomne sisteme s konservativnimi vtisnjenimi silami 5.4.4 Hamiltonova-Jacobova parcialna diferencialna enačba 5.4.5 Predstavitev Lagrangevih enačb gibanja s pomočjo kvazi-koordinat 5.4.6 Lagrangeve gibalne enačbe druge vrste brez uporabe Lagrangevih parametrov 5.4.7 Applove gibalne enačbe 5.4.8. Gibalne enačbe za sisteme z nelinearnimi neholonomskimi vezmi 5.5 Gibalne enačbe za togo telo 5.5.1 Kinetična energija in kotni moment togega telesa, vztrajnostni momenti 5.5.2. Eulerjevi koti 5.5.3. Eulerjeve enačbe 5.5.4 Ravninsko gibanje togega telesa 6. Primeri uporabe 6.1 Ravnotežna lega vrteče gredi 6.2 Dvigalo 6.3 Prostorsko nitno nihalo s premikajočo se visečo točko 6.4 Ravninsko nitno nihalo s premikajočim obesiščem 6.5. Bič 6.6. Vibracijska igla 6.7 Težka os na nagnjeni ravnini 6.8 Pogonski sistem z nenadnim nastopom stalne obremenitve Literatura