IZ TEORIJE ZA PRAKSO 10 Matematika v šoli, št. 2., letnik 26, 2020 Preiskovalne naloge pri matematiki 1 mag. Mojca Suban Zavod RS za šolstvo 1 Prispevek je obljavljen v e-priročniku Ugotavljanje matematičnega znanja, str. 13–17 in 31–37. Uvod V matematiki se kot prevod termina Inquiry Based Learning (IBL) uveljavlja učenje s preiskovanjem (Suban M., 2017). Magaj- na in Žakelj (Magajna Z., Žakelj, A., 2000) v kontekstu obdelave podatkov navajata, da s preiskovanjem označujemo osnovno- šolsko obravnavo problemskih situacij z nejasnimi cilji. Posto- poma je učenje s preiskovanjem preseglo omejitev na določeno matematično vsebino ali nivo izobraževanja ter se uporablja kot pristop k učenju in poučevanju matematike s poudarjeno aktiv- no vlogo učenca. Preiskovalni pristop je našel pot tudi v učne načrte in kataloge znanj, kjer se pojavi na ravni didaktičnih priporočil kot pripo- ročeni način obravnave posameznih matematičnih vsebin. Na- vajamo zapis iz učnega načrta v osnovni šoli: branje z razume- vanjem, samostojno oblikovanje vprašanj in ciljev raziskovanja, izpisovanje bistvenih trditev in podatkov, razprave o potrebnih in zadostnih podatkih v nalogi, prevajanje besedilnih nalog v različ- ne sheme (enačbe, diagrame, formule, algebrske izraze, geometrij- ske konstrukcije itd.) ter podobni preiskovalni pristopi omogočajo učencem uspešnejše reševanje besedilnih nalog. Poleg tega, da je preiskovanje prisotno v didaktičnih priporočilih, ga v obliki do- kaza o učenju najdemo tudi med operativnimi cilji, npr. v učnem načrtu je med cilji v 3. vzgojno-izobraževalnem obdobju navede- no, da učenci izdelajo empirično preiskavo. Preiskovanje se prične z odprtim problemom ali vprašanjem, v nadaljevanju procesa pa učenec lahko oblikuje dodatna vpra- šanja (za razjasnitev izhodiščne situacije ali za določanje cilja), opazuje, prepoznava vzorce, rešuje problem, modelira, mate- matizira, išče vire in ideje, raziskuje, analizira odnose med spre- menljivkami, eksperimentira, postavlja domneve, preizkuša do- mene, razlaga in utemeljuje svoje ugotovitve, predstavlja svojo preiskovalno pot in sporoča dokončne ugotovitve (Slika 1). Preiskovanje lahko pri pouku matematike poteka v različnih oblikah in v različnih časovnih obsegih: kot krajša nekajminutna dejavnost do daljše (lahko skozi daljše časovno obdobje) dejav- nosti, ki se lahko zaključi z oblikovanjem izdelka v obliki mate- matične ali empirične preiskave. Z vidika odprtosti procesa pre- iskovanja oziroma količine navodil, ki jih učenci dobijo za svoje delo, ločimo več možnosti. Učitelj prilagodi stopnjo odprtosti za različne skupine učencev na način, da ohrani didaktični potenci- al naloge in motivacijo učencev (Slika 2). modeliranje matematizi- ranje iskanje virov in idej preizkušanje prepoznavanje vzorcev raziskovanje oblikovanje vprašanj strukturiranje analiziranje podatkov reševanje problemov oblikovanje ugotovitev prepoznavanje spremenljivk utemeljevanje dokazovanje postavljanje hipotez eksperimenti- ranje predstavljanje sporočanje Slika 1: Dejavnosti učenca v procesu preiskovanja Slika 2: Stopnja odprtosti preiskovalnega procesa Učenci obtičijo in izgubijo motivacijo. Preiskovanja skoraj ni. Učni potencial je uničen. Popolnoma odprto preiskovanje (premalo navodil) Stopnjo vodenja in strukturiranosti preiskovalnega procesa je treba ustrezno uravnovesiti glede na značilnosti posameznih skupin učencev. Strukturirano preiskovanje (preveč navodil) V razvojni nalogi so učitelji z učenci preizkušali različne preisko- valne naloge in poročali o svojih izkušnjah. Poročali so, da so bili nekateri učenci ob prvem srečanju s preiskovalnimi nalogami precej zmedeni in negotovi. Niso vedeli, kaj se od njih pričaku- je in kaj morajo izračunati. Zastavljali so vprašanja, kot npr. kaj moram narediti, kaj naj napišem, kaj naj izračunam, kaj je rezul- tat. Ko so pristop s preiskovanjem pri pouku večkrat uporabili, so postopoma prepoznali njegov namen in učitelji so ugotavljali, da so se nekateri učenci izkazali nad pričakovanji. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 11 Matematika v šoli, št. 2., letnik 26, 2020 Ob tem so učitelji opozorili na svojo spremenjeno vlogo, za katero je značilno, da učitelj: • načrtuje in predstavi raznolike probleme, ki učence spodbudijo k razmišljanju ob usvajanju vsebine in ustvarjanju povezav, • vzpostavi sodelovalno okolje, v katerem učenci izmenjujejo ideje, • zastavlja vprašanja, ki sprožajo miselne procese, omogočajo komunikacijo, podpirajo učence pri preiskovanju, razkrivajo napačne predstave učencev, odpirajo prostor za raziskovanje alternativnih poti, • ustvarja priložnosti, da učenci prevzemajo odgovornost za učenje in jih podpira pri prevzemanju dejavnejše vloge. Pri podpiranju učencev pri preiskovanju je pomembno, da uči- telj s premišljenimi vprašanji usmerja miselne procese učenca, pri tem pa mu ne razkrije strategije reševanja ali rešitve. Učitelju in učencu so lahko v pomoč nekatera vprašanja v nadaljevanju. Vprašanja so lahko na plakatu pripeta na vidno mesto v učilnici in jih učenec uporabi, ko pri preiskovanju obtiči ali zaide (Slika 3). V primeru, ko se raziskovalnim dejavnostim posveti (vsaj) ena učna ura v celoti, proces preiskovanja lahko v razredu teče po korakih, ki jih prikazuje Slika 4. Koraki so sestavljeni iz uvo- dnega seznanjanja s problemom in razjasnjevanja konteksta, iz samostojnega preiskovanja v paru ali skupini, predstavitev rešitev parov ali skupin ter iz povzetka ugotovitev v formalni obliki. Slednje opravi učitelj, pri čemer obvezno izhaja iz ugo- tovitev, ki so jih predstavile posamezne skupine. Znanje v insti- tucionalizirani obliki učitelj navadno zapiše na tablo, učenci pa zapišejo v svoje zapiske. Koraki so povzeti iz projekta MERIA, kjer je bilo teoretično izhodišče Teorija didaktičnih situacij (Winsløw, 2017). Slika 4: Možni koraki za izvedbo preiskovanja pri pouku matematike Ko so se učenci navadili na način dela s preiskovanjem, so lahko pričeli z vrednotenjem kakovosti svojega preiskovalnega procesa in izdelka, ki je ob tem nastal. V ta namen je v razvojni skupini nastal predlog splošnih kriterijev za vrednotenje preiskovalnih nalog z opisniki na treh ravneh (Preglednica 1). Splošni kriteriji se lahko prilagodijo ali razširijo glede na vsebinska in procesna znanja, ki jih pri preiskovanju razvijamo, in glede na obseg pre- iskovanja. Slika 3: Vprašanja v podporo procesu preiskovanja Scenariji izvedbe učne ure, pri kateri učenci izvajajo preiskovalne dejavnosti, so lahko precej različni. Razlikujejo se lahko v deležu časa, ki je znotraj učne ure namenjen preiskovanju, obliki dela (individualno, v paru, skupinsko), stopnji odprtosti problema in s tem povezane podporne vloge učitelja, namenu in ciljih pre- iskovalnih dejavnosti (npr. obravnavanje procesnih ciljev skozi preiskovalne dejavnosti, ugotavljanje matematičnih zakonitosti, pravil, formul, uvod v novo vsebino …). IZ TEORIJE ZA PRAKSO 12 Matematika v šoli, št. 2., letnik 26, 2020 V rubriki Iz razreda navajamo dva primera priprave na pouk dveh učiteljic, v katerih sta uporabili pristop s preiskovanjem. Nabor nalog za preiskovanje pri matematiki Za preiskovalne naloge se lahko učitelj odloči v različnih fazah vzgojno-izobraževalnega procesa: 1. pri ugotavljanju in aktivaciji predznanja, 2. pri uvajanju v nov matematični pojem in vsebino, 3. pri utrjevanju in ponavljanju že naučenih vsebin, 4. pri poglabljanju in širjenju že obravnavanih vsebin, 5. pri ugotavljanju in vrednotenju znanja, 6. pri povezovanju različnih (matematičnih) vsebin. V nadaljevanju navajamo nekatere primere preiskovalnih nalog, ki jih lahko učitelj uporabi po lastni presoji glede na razred, v ka- terega bo nalogo smiselno vključil, namena, ki ga želi z uporabo naloge doseči, ter ciljev in standardov, ki jih skozi nalogo dose- gajo učenci. Nekatere naloge obravnavajo matematični kontekst, nekatere pa so iz konteksta vsakdanjega življenja. Razlikujejo se tudi po obsežnosti in vključujejo primere, ki jih lahko učenci rešijo v krajšem času, in primere, ki zahtevajo bolj poglobljeno obravnavo, v katero je lahko zajeto tudi pridobivanje relevantnih podatkov in jih lahko učenci na koncu oblikujejo v bolj formalni zapis kot matematično ali empirično preiskavo. Opozorili bi še, da se lahko nekatere naloge uporabijo v različnih razredih, pri čemer pri pričakovanih ugotovitvah učencev in stopnji formal- nosti zapisov učitelj upošteva starost učencev in njihovo znanje matematike. Pozornost je treba nameniti tudi morebitnim pa- stem preiskovanja, kot so: rutinsko ugotavljanje pravil, pretirana usmerjenost na manj pomembne nematematične vidike proble- ma in neprepoznavanje povezanosti preiskovanja z obravnavani- mi matematičnimi vsebinami. 1. Razišči, koliko kvadratov se nahaja v šahovnici. (Primer reše- vanja učencev je prikazan na Sliki 5 in Sliki 6.) 2. Razišči, koliko pravokotnikov se nahaja v šahovnici. 3. Razišči, na koliko delov lahko razdelimo krog s premicami, ki dvakrat sekajo krožnico. 4. Razišči, koliko skupnih točk lahko ima premica s stranicami 7-kotnika. 5. Razišči, koliko skupnih točk lahko imajo stranice dveh 6-ko- tnikov. 6. Razišči, s katerimi števkami se končujejo kvadrati števil. 7. Razišči, s katerimi števkami se končujejo kubi števil. 8. Razišči, kaj se dogaja na naslednji sliki, ko točka M potuje po diagonali danega pravokotnika. Kaj bi lahko raziskoval? Zapiši nekaj svojih predlogov. Izberi si eno od možnosti in jo razišči. 9. Najdi podatek, kaj je to palindromsko število. Nato razišči, kako pogosta so palindromska števila. Svoje ugotovitve pri- kaži na čim bolj jasen in zanimiv način. 10. Razišči palindromska praštevila. Razišči, katero je najmanjše trimestno praštevilo. Katero je najmanjše (največje) štirime- stno praštevilo? Preglednica 1: Splošni kriteriji za vrednotenje preiskovalnih nalog z opisniki na treh ravneh znanja Kriterij Opisnik za minimalni dosežek Opisnik za optimalni dosežek Razumevanje problema Učenec razume problem; zapiše nekaj primerov (lahko s pomočjo učitelja), lahko so prisotne napake (računske, napake v zapisu …). Učenec razume problem; zapiše nekaj primerov (s pomočjo/z namigom). Učenec razume problem; zapiše nekaj primerov, iz katerih razvije strategijo. Strategija reševanja Učenec izbere in uporabi strategijo, ki je napačna ali pravilna le za nekaj primerov. Sistematičnost je vidna le v posameznih primerih, ob oporah učitelja. Lahko so prisotne napake (računske, napake v zapisu …). Učenec izbere ali uporabi strategijo, ki je pravilna, vendar uporabljena napačno ali pa je strategija manj primerna za dani primer. Sistematičnost je vidna v večini primerov (lahko s pomočjo učitelja). Učenec izbere in uporabi pravilno strategijo. Sistematično (na različne načine) razišče različne primere glede na določene kriterije. Zapis ugotovitev Pri reševanju učenec opazi neke zakonitosti, pravila, vzorce, posplošitve ubesedi in zapiše delne ugotovitve. Zapisane ugotovitve so jasne in pravilne. Nekatere pričakovane ugotovitve so izpuščene. Vse pričakovane ugotovitve so jasno zapisane in so pravilne. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 13 Matematika v šoli, št. 2., letnik 26, 2020 11. Obravnavaj enakokrake trapeze s plo- ščino 24 cm 2 . 12. Razišči količnike, ki nastanejo pri de- ljenju števila 1 z naravnim številom. (Calder, 2011) 13. Razišči like, ki nastanejo kot presečišče dveh (enakostraničnih) trikotnikov. 14. Na geoplošči razišči pravokotnike s ploščino 6 kvadratnih enot in ugotovi, kolikšen je njihov obseg. 15. Kvadrat lahko razdelimo na manjše kvadrate. Razišči, na koliko manjših kvadratov ga lahko razdelimo. Če ob- staja več rešitev, zapiši vse. Ali obstaja tako število n, da je razdelitev kvadrata na n manjših kvadratov nemogoča? Za- piši vse rešitve. (Fisch, 2018) 16. Kateri jogurti so bolj zdravi: sadni ali navadni jogurti? Utemelji svoj odgovor. 17. Za kakšen namen tvoji sošolci največ uporabljajo mobitel (razgovor, SMS, brskanje po internetu …)? Slika 5: Primer izdelka učenke 8. razreda OŠ Leskovec pri Krškem (Mentorica: Tatjana Kerin) Slika 6: Primer izdelka učenke 8. razreda OŠ Leskovec pri Krškem (Mentorica: Tatjana Kerin) IZ TEORIJE ZA PRAKSO 14 Matematika v šoli, št. 2., letnik 26, 2020 18. Kako vplivajo temperature zraka na obisk lokalnega kopali- šča? 19. Katera imena so najbolj priljubljena v tvojem razredu, na tvo- ji šoli, v državi? Pomagaj si z virom na spletni strani Statistič- nega urada RS http://www.stat.si/imena.asp. 20. Nejc je opazil plakat, ki vabi na otroško igrišče na menjavo sličic. Ker je vedel, da njegova mlajša sestra zbira sličice, si je plakat pozorno ogledal. Ugotovil je, da bo menjava potekala čez tri ure. S telefonom je fotografi ral del plakata, kjer sta za- pisani pravili menjave. Ko je prišel domov, je fotografi jo pokazal Petri, ki se je odločila, da bo šla na otroško igrišče. Nejcu je povedala, da ima 30 žival- skih sličic za menjavo na stojnici. Katere sličice ima lahko Petra po menjavi? Razišči vse možnosti. (Nalogo je po TIMSS 2011 (Japelj Pavešić, 2012) priredila mag. Valentina Herbaj. Primer reševanja učenca je prikazan na sliki 7.) Slika 7: Primer izdelka učenca 7. razreda OŠ Sladki Vrh (Mentorica: Lidija Jug). Učenec s sistematičnim zapisovanjem razišče možnosti za menjavo sličic. S ( r Slika 8: Primer izdelka dijakinje Ekonomske šole Novo mesto (Mentorica: Mojca Plut) IZ TEORIJE ZA PRAKSO 15 Matematika v šoli, št. 2., letnik 26, 2020 21. Razišči lastnosti družine funkcij . Če si uporabil tehnologijo, napiši, kje in kako. (Avtorica na- loge je Mojca Plut. Primera izdelkov dijakov sta na Sliki 8 in Sliki 9.) Slika 9: Primer izdelka dijaka Ekonomske šole Novo mesto (Mentorica: Mojca Plut) Viri Calder, N. (2011). Processing Mathematics Th rough Digital Technologies. Th e Primary Years. s.l.: Sense Publishers. Fisch, B., Schaetzel, S., Heuskin, K. (2018). Informatics and Communication Section - Section I ESC - Luxembourg. V International Ap- proaches to STEM Education. CIDREE Yearbook 2018. Luxembourg: Service de Coordination de la Recherche et de l‘Innovation péda- gogiques et technologiques, ur. Mysore, S. Magajna, Z., Žakelj, A., Petek, P . (2000). Obdelava podatkov pri pouku matematike 6-9. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Suban, M. (2017). Vzgoja in izobraževanje, št. 4, let. XLVIII. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Winsløw, C. idr. (2017). Priročnik MERIA za poučevanje matematike s preiskovanjem. Ljubljana: s.n.