YU ISSN 0351-6652 DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE, 19-(1991-92) PRESEK - list za mlade matematike. fizike . astronome in računalnikarje 19. letnik. leto 1991/92. številka 3 . strani 129-192 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA RAtUNAlNIŠTVO ASTRONOMIJA NOVE KNJIGE NALOGE TEKMOVANJA RAZVEDRilO REŠITVE NALOG NA OVITKU Orna me nt i na t raku (Mil ena St rnad) 130-136 Ob sto let nici smrt i So nje Kovale vske (Marija Vencelj) 133-14 2 I zra čun izjemno velikih pad avin ( Zd ravko Petkovšek , Tomaž Vrho vec) 144-1 52 Razp oznavanje cifer - bra ini pom nilnik in nevronska omrežja (Veselko Gušti n) . . 15 4- 153 Uganki za krat ek čas (Marja n Je rma n) 190-192 Zanimivosti o Ulugbe kovi zvezdarni (M arijan Prosen) 178-181 Naše nebo in Zem lja 1992 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 164 Felda D. in dr . , Rešene naloge iz matem at ike s šo lskih in izbirni h t ekmovanj 1975-1 991 (Go razd Lešnjak ) 168 Soc! (Boris Lavrič) 129 Tehtanje z verigo (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 165 Tet ivni ose mnajstkotnik (Boris Lavr i č ) 165 Siste mi linearnih enačb (Izbra l Vilko Domajnko) 166-168 27. rep ubliško te kmovanje os novnošolcev iz matematike (A leksander Potočnik) 169-1 71 35 . repub liško te kmovanje sred nješolcev iz matematike (J aka Erker, Darjo Felda) 172-176 7 . šols ko in 17. izbirno tek mova nje sred nješolcev iz ma te matike (Darjo Felda) 181 Številska križanka (D .M.Miloše vic, prev. Damjan Kobal) . 188-189 Ta ngramski par ado ksi (Vilko Dom ajnko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Kvadra t na sest avlja nka - s str . 83 (Marija Ven celj) . . . . . 136-137 Dva neort odoksna kriptog ra ma - s st r. 101 (M irko Dobovišek) " . . . 142 J ezerce z otočkom - s str. 65 (Bori s Lavrič) 143 tgo /2 + t gf3/2 + tg-y/2 = 2 - s st r. 121. Rac iona lni sinusi kotov v t rikotn iku· s str. 117 ( Ivan Vidav) . . 153,1 59 Turnir - s st r. 100 (Marija Vencelj) .-. . . . . . . . . . . . . .. 159 Strela - s str. 32 1, P-XVIII/ 6 (Boris Lavrič) 160-164 Dve o igra h - s st r. 71 (Karas ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 Račun z zna ki - s str. 110 (Martin J uvan) . . . . . . . . . . . . . . .. 176 Vriši pravo kotni k - s st r. 101 (Marija Venc elj) 176 -177 Skozi vse točke - s s t r. 71 (B ojana Dvorža k) . . . . . . . . . . . . 184 26. občinsko t ekmovanje os novnošolcev iz ma te matike - s st r. 34 (A leksa nde r Potočni k ) 182-134 Mojst er R.A. skrije šahovsko figuro v žep - s str. 111 ( Marko Lovreč ič Sa ražin) 185 -187 Križanka Nobe lovi nag raje nc i iz fizike 1. - s str. 96 (M arko Bokalič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188 Zloženka - s str. 115 (S ta vra V.Ra doj kovic) 192 Slika la , b , c in slika 3 k čl a nku na str. 130 1. IV Dato te ka: p3ii, stra n 2 129 SOD Valjasti sod s premerom 1m stoji pokončno na vodoravnih tleh. Podlaga je dovolj gladka, da sod zlahka drsi po njej, sod pa pretežak, da bi ga prevrnili na bok . Radi bi ga spravili z ene strani bazena na drugo, vendar nas ovira stopnica ob vogalu bazena, ki je od njega oddaljena 15cm in postavljena kot kaže slika . Bomo uspeli to storiti le z drsenjem soda po osnovnici in brez podpore s strani? p 15cm c Boris Lavrič PRESEK list za mlade matematike, fizike. astronome in računalnikarje 19. letnik, šolsko leto 1991/92. številka 3. strani 129 - 192 UREDN iŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj , Tanja Bečan (jez ikovni pregled), Dušica Boben (obl ikovanje teksta), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli, Marjan Hri- bar, Martin Juvan (računalništvo), Sandi Klavžar, Edvard Kramar, Boris Lavrič, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Franci Oblak, Peter Petek, Marko Petkovšek (glavni urednik) , Pavla Ranzinger (astronomija), Marjan Smerke (svetovalec za fotografijo), Miha Štalec (ris- be) , Ciril Velkovrh (urednik, nove knjige, novice), Marija Vencelj (matematika, odgovorna uredn ica). Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov : Društvo matematikov, fizikov in astronomov Sloven ije - Podružnica Ljubljana - Komisija za tisk, Presek, Jadranska c. 19,61111 Ljublja- na , p.p. 64 , tel. (061) 265-061/ 53, št. žiro računa 50101-678-47233. Naročnina za šolsko leto 1991/92, vplačane do 15.1.1992, je za posamezne naročnike 400 SlT, za skup inska naročila šol 300 SlT, posamezna številka 75 SlT (60 SlT), za tujino 12000 LIT. List sofinancirajo MZT, MŠŠ in MK Ofset t isk DELO - Tiskarna , Ljubljana Tekst je postavljen z računalnikom SLlM 286 , ALTECH , Ljubljana © 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1091 I"'-'-'-I"O-'~'-' .I" lelI' 1" ,,, _ ORNAMENTI NA TRAKU Kdo še ni občudoval lepih ornamentov na blagu, preprogah, tapetah, freskah? Kdo ne pozna čudovitih ornamentov starih Egipčanov, Inkov, Grkov, Kitajcev, s katerimi so okrasili razne uporabne in okrasne predmete, grobnice, svetišča (slika 1 na IV. strani ovitka)? Največje mojstrstvo v ustvarjanju ornamentov pa so nedvomno dosegli arabski umetniki . Ker jim vera prepoveduje upo- dab ljat i boga in dogodke iz življenja , so "božansko neskončnost" izražali z abstraktnimi ornamenti v obl iki prepletajočih se stil izirani h listov trte , ki jim pravimo arabeske (slika 2). Listost linij še poudarijo skopo in skrbno izbrane barve. Največ je modre barve , ki simbolizira neskon čnost , in zlate, s katero slavijo Alahovo ime. Lloveku zastaja dih, ko občuduje umetniško ubranost rnošeje Doma svete skale v Jeruzalemu , Modre mošeje v Carigradu ali dvorca Alhamb re v Granadi (slika 3 na naslovni st rani). Pri opazovanju ornamentov le malokdo pomisli , da njihova lepota temelji na preprostih matematičnih zakonih. Ornament pritegne našo pozornost zaradi ponavljanja in notranje urejenosti . Da bomo to "urejenost" pojasnili , se bomo oprli na pojem izometrije.1 Začnimo z definicijo , da je izom etrija ravnine taka preslikava v ravnini, ki ohranja medsebojne raz- dalje : poljuben par točk A in B pre- slika v tak i točki A' in B' , da sta da- Ijici AB in A'B ' enako dolgi. Bralec lahko sam dokaže , da je izometrija povra tno enolična preslikava ter da preslika premico v premico in tr ikot- nik v skladen t rikotnik . Prime ri se lahko, da se preslikana točka pokri- je s prvotno. Tako točko imenujemo negibno točko. Le je negibnih točk več , ležijo vse ali na premici ali pa so sploh vse točke negibne. Tudi to trditev naj poskusi dokazati bralec sam , mi pa naštejmo osnovne tipe izom etrij: Slika 2. Arabeska 1 Izomet rijam pravimo tudi (toga ) gibanja , a ker se t a izraz up ora blja v številnih drugih zvezah , bomo raje ostali pri izom etriji . 131 o Identititeta je izometrija, ki ohranja vse točke . Označujemo jo z I . o Vzporedni premik Ta (translacija) premakne točke za dano dolžino v dani smeri, torej nima nobene negibne točke (slika 4) . o Vrtež RN,Cl (rotacija) točke "zavrti" v določeni smeri za kot cx okrog izbrane negibne točke N , ki ji rečemo središče vrteža (slika 5) . o Zr caljenje Zp preko izbrane premice p poljubno točko T preslika v tako točko T', da je daljica TT' pravokotna na p in da p daljico TT' razpolavlja (slika 6) . Včasih govorimo tudi o zrcaljenju preko izbrane točke . Bralec naj sam pove definicijo in se prepriča , da je to kar vrtež za kot 180° . A A' u ···· ···· ···· · ·· ··· ···· 0 T~ : A .... A ' Q Slika 4. Vzporedni premik -- --d8 R N : 8 .... 8' , cx Slika 5. Vrte ž p bA' Slika 6. Zrcaljenje Izomet rije sestavljamo, kakor smo pač vajeni sestavljati preslikave. Re- čemo tudi , da tvorimo njihov produkt. Pravzaprav lahko vsako izometrijo zapišemo kot sestavo osnovnih izom etrij - od tod njihovo ime. Le je produkt dveh izometrij identiteta , pravimo , da sta si izometriji nasprotni (inverzni) . Bralec naj se prepriča , da je v produktu dveh nasprotnih izometrij vrstni red sestavljanja nepomemben (zat o lahko rečemo , da je nasprotnost vzajemna). Navedimo nekaj zgledov: o Dva vzporedna premika Ta in T b sestavimo v nov vzporedni premik Ta+b = T b Ta = Ta Tb = Tb+a : pri tem je vrstni red sestavljanja premikov nepomemben (slika 7). Nasprotni vzporedn i premik k danemu je kar vzporedni premik za isto dolžino, le da v nasprotni smeri: T- a Ta = = TaT-a = I . o Dva vrteža R N ,Cl in R N,{3 okrog iste točke sestavimo v nov vrtež RN,Cl+{3' Tudi vrstni red sestavljanja vrtežev z istim središčem je nepo- memben : R N,Cl+{3 = R N,{3R N ,Cl = RN,ClRN,{3 = R N,{3+Cl ' Nasprotn i vrtež dobimo z vrtežem v obratni smeri : R N ,-Cl RN,Cl = RN,Cl RN,-Cl = 1 (slika 8) . 132 A ...... A' A',...... A" A ,... AU Ta : A ,......A' TiJ: A',......A" To+5 : A ""'" A" Slika 7. Sestava vzporednih premikov RN,cx RN , (3 : RN 0<+ 5 :I I Slika 8. Sestava vrte žev o Pri zrcaljenjih ni vse tako preprosto. Sestava ZPl ZP2 zrcaljenja ZPl preko premice PI in zrcaljenja ZP2 preko premice P2 je bodisi vzpo- redni premik bodisi vrtež . Le sta premici PI in P2 vzporedni, gre za vzporedni premik, če se premici PI in P2 sekata, je sestavljena izometrija vrtež . V prvem primeru je razdalja med prvotno in preslikano točko enaka dvakratni razdalji premic PI in P2. V drug em primeru je kot sestavljenega vrteh enak dvakra tnemu kotu med PI in P2 (slika 9) . Obakrat je pomem ben vrstni red: nasploh velja ZP1ZP2 f. ZP2ZP1' Zrca ljenje preko ist e premice pa j e samo sebi nasprotno: ZpZp = I. o Od preostalih možnosti omenimo le produkt zrcaljenja in vzpo rednega premika v smeri premice , preko katere zrca limo. Pri tem je vrstni red sestavljanja nepomemben . Imenujemo ga zrcalni premik (slika 10) in ga včasih št ej emo kar k osnovnim izometrijam. T ,... T' T'- T" T ,... T" - -6 T _----..,~--L..___;_--........-_p, T' T" ···· · 0·· · .. · · · . . . . . ··0 2d p, T o·· ·.... · ····· .. ·· Slika 9. Se stava zrcalj en] 133 T ..... T' T'....- T" Zp T-a T"·· ··· ·0 Slika 10. Zrcalni premik T -~------p Zdaj lahko povemo , kaj je izom et rij a kakega omejenega ali ne- omejenega dela ravnine . Defini cija je enaka kot prej , le da mora v tem primeru izometrija preslikati izbra ni del ravnine samega nase. To pome- ni, da smo tu bolj omejeni kot pri izom et rij a h vse ravnine. Vzemimo na primer neskončno dolg trak . Od osnovnih tipov izometrij pridejo v poštev (poleg identitete) kvečjemu vzporedni premik vzdolž traku, vrtež za 1800 ok rog točke na srednjici ter zrcaljenje preko srednjice traku oziroma preko premice , ki je pravokotna na srednjico. Končno se lotimo ornamentov. Zaradi enostavnosti obravnavajmo v tem članku samo ornamente na neskončnem traku . Ornamente na ravnini si bomo ogledali morda kdaj kasneje . Najprej se dogovorimo , kaj ornament na traku sploh je. Občutek nam narekuje, da je to vsaka risba "sestavljena iz končnega vzorca", ki se vzdolž traku "neskončnokrat ponovi" , na primer .JJ J J JJJJ ·J 1J 1J 1J l Ta formulacija je nekoliko ohlapna, natančno definicijo naslonimo na z- nanje o izometrijah. Ornament na danem traku je vsaka risba na tem traku, za katero obstaja tak do > O, da velja o vzpored ni premik za dolžino do risbo ohranja, to je, pri tem premiku risba preide "sama vase" . Se drugače : risba je neobčutljiva (invariantna) na ta premik. o za noben pozitiven d , d < do, vzporedni premik za dolžino d risbe ne ohranja . Definicija terja nekaj razlage . Prva točka zagotavlja, da ornament se- stavlja ponavljajoči se končni vzorec. Toje kar del risbe na poljubnem " koščk u traku" z dolžino do. Pozor: ornamentov je neskončno, ker je neskončno 134 mnogo različnih vzorcev; obstaja pa tudi neskončno mnogo vzorcev , ki po- rodijo enak ornament! Bralec bo sam uvidel , da je ornament neobčutljiv na vsak vzporedni premik za dolžino d = kdo , kE N, a ni neobčutljiv na noben drug vzporedni premik . Ali drugače: vsak ponavljajoči se vzorec, ki sestavlja ornament , je "večkratnik" kakega vzorca z do lžino do . To pa je natanko vsebina druge točke v defi niciji ornamenta : zahteva, da je vzorec z dolžino do - osnovni vzorec - najkrajši vzo rec, s katerim še lahko napolnimo trak . Tako na primer risba ni ornament , ker je neobčutljiva na poljubno majhen vzdolž ni premik in ni najmanjšega vzorca; prav zato deluje za oko kar nekam dolgočasno. Deloma smo tako že odgovorili na začetno vprašanje o urejenosti in zgradb i ornamentov na traku . Njihova temeljna značilnost je , da so neobču­ tljivi na vzporedni premik (kot tip izometrije) . Za popolnejši odgovor pa se moramo ozreti ne le na vzporedni premik, ampak na vse mogoče tipe izometri- j , na katere je dani ornament neobčutljiv. Na primer: ornament z osnovnim vzorcem J ohranja edino vzporedni premik. Kaj pa ornament z vzorcem J 17 Tega ohranja tud i zrcalni premik (za polovično osnovno dolžino) . Zato bomo rekli , da ima ta drugi ornament bolj zapleteno in bogatejšo simetrijo . Definirajmo: Simetrijo ornamenta predstavljajo vsi različni tipi izometrij , ki ornament ohranjajo. Ne bo odveč , če pripomnimo , da izraz simetrija uporabljamo v bolj splošnem pomenu , kot je navada v vsakdanjem življe- nju , ko dojemamo simetrijo pač kot neobčutljivost na zrcaljenje preko kake premice. Ali moremo že iz samega vzorca uganiti, da bo ornament imel bogatejšo simetrijo? Lahko , če ima že vzorec sam v sebi simetrijo . To pomeni , da je neobčutljiv na izornetrijo, ki ni identiteta (v po štev pridejo edino zrcaljenji ter vrtež) . Poglejmo nekaj primerov. (rke E. A. N so trije preprosti simetrični vzorci . Prvo ohranja vodoravno zrcaljenje , drugo navpično zrcaljenje , tretjo vrtež . trko H ohranjajo vse tri izometrije, ki ohranijo črke E. A in N (slika 11) . Pripadajoči ornamenti ... EEEEEE ... AAAAAA ... NNN NNN ... HHHHHH ... .c . A A A A A A .VVVVVV . .. bd bd bd bd . . . . bddbbd bddbbd . imajo zato različne simetrije. Seve- da je lahko vzorec povsem nesime- tričen (ohranja ga le identiteta) , or- nament pa je kljub temu neobčutljiv na izometrijo , ki ni vzporedni pre- mik. Primer za to je prav ornament z vzorcem Jl Naredimo tale sklep: po sime- tr iji lahko ornamente razvrstimo v sim etrijske skupine s pravilom : dva ornamenta sodita v enako skupino, če imata enako simetrijo . Na pri- mer, vzorci, ki so neobču tljivi zgolj na vzporedn i premik, tvorijo skupi- no, ki ima očitno najrevnejšo simet- rijo. Skupaj sodijo t udi ornamenti Slika 11 . Sime trije vzorcev Slika 12. Pr imer i ornamentov na t raku z različnim i simetrijami: starog rški (a), srednjeveški (b). starogrški (c ) , indija nski (pleme Navajo)(d) , islamski (e), inkovski (f) in kita jski (g). 136 Bralec naj ugotovi , katere izometrije jih ohranjajo. Mogoče je pokazati, da je simetrijskih skupin ornamentov na traku natanko 7 (slika 12). Ornamenti 1. . . . JJJJJJJJ . 2. . . . J1J1J1J1 . 3 V V V V V V .. 4 NNN NNN .. 5. . V AVA VA . 6. . E E E E EE . 7. . H H H H H H .. simetrijske operacije 1 vzporedni premik 1 vzporedni premik in 1 zrcaljenje 1 vzporedni premik in 1 zrcaljenje 1 vzporedni premik in 1 zasuk za 1800 1 zrcaljenje in 1 zasuk za 1800 1 vzporedni premik in 1 zrcaljenje 3 zrcaljenja Ali ni prav presenetljivo spoznanje, da se pri ustvarjanju ornamentov povezujeta dve tako različni zahtevi, kot sta neizmerna svoboda pri izbiri vzorca in neizprosna geometrijska omejitev? Ornamenti že tisočletja privlačijo umetnike in obrtnike z vseh celin. Pri risanju ornamentov so se, ne da bi se tega zavedali, opirali na zakone, ki so jih matematiki dokončno utemelj ili šele v 19. stoletju . Milena Strnad KVADRATNA SESTAVLJANKA - Rešitev s str. 83 Za n = 1 nimamo česa dokazovati. Posebej poglejmo , kako je pri n = 2. l.e kvadrata nista enaka, označimo stranico večjega z a, stranico manjšega z b. Na stranicah večjega odmerimo D Slika 1 Slika 2 137 odseke dolžine x = a1 b , ga razrežemo, kot kaže slika 1, in zložimo kose okrog manjšega kvadrata kot na sliki 2. Sami se lahko prepričate, če prirnerjate kote, da je dobljeni lik res kvadrat. Opisani postopek lahko uporabimo tudi, če sta kvadrata enaka (slika 3) . Lahko pa ju prerežemo po diagonali in zložimo, kot kaže slika 4. Slika 3 [2J [2J Slika 4 Naj bo sedaj danih n + 1 kvadratov KI, K2, ..., Kn+l in denimo. da smo že dokazali, da lahko iz n poljubnih kvadratov sestavimo kvadrat. Iz dveh kvadratov , recimo Kn in Kn+1. naprav imo najprej po zgornjih napot- kih nov kvadrat K . Po indukcijski predpostavki lahko nato n kvadratov K, K1. K2, .... Kn-1 tako razrežerno, da se da iz kosov sestaviti nov kvadrat. Slika 5 Na sliki 5 sta dve različni sestavljanki iz treh enakih kvadratov . Marija Vencelj 138 OB STOLETNICI SMRTI SONJE KOVALEVSKE Ko je leta 1891 v Stockholmu za plju čnico umrla profesorica matematike na tamkajšnj i univerzi Sofija (Sonja) Kovalevska , je , čeprav ji je bilo komaj 41 let , že uživala velik mednarodni sloves . Delno iz napa čnega razloga: manj kot odlična rnatematičarka . kar je dejansko bila, in bolj kot " ženska matematik" - čuden in presenetljiv pojav. Njeno življenje je bilo na ta ali oni naein povezano s pomembnimi osebnostmi njenega casa : Dostojevskim , Strindbergom , Georgom Eliotom , Helmholtzom , Darwinom , Mendelejevom, z voditelji pariške komune in tudi z največjimi matematiki tistih dni : Weierst rassom , Hermitom, Poincarejern , Picardom , Lebyševom , Cantorjem , Kroneckerjem , Mittag-Lefflerjem in drugi- mI. Ob njeni smrti so prijatelji in sorodniki pohiteli s pisanjem spominov nanjo in celo ljudje , ki so jo komajda poznali , so pisali o njej romantizirane spomine. V petih letih po njeni smrti so v Evropi in Ameriki o njej izšle štiri veeje biografije, nekaj zbirk pisem in številne izdaje in prevodi njenih literarn ih del. Mitu še danes ni konca . Tako smo prednekaj leti tudi na naši televiziji lahko gledali romanti čen film o zadnjih letih njenega življenja , film, ki se Kovalevske kot maternatičarke komaj dotakne , č ep rav so bila to njena najbolj plodna znanstvena leta . Na zaeetku letošnjega leta pa smo si lahko ogledali zelo dobro nadalje- vanko o njenem življenju in delu z naslovom Sophie. Poleg tega je v zadnjih dvanajstih letih izšlo v svetu kar pet odli čnih monografij , plod resnih raziskav , ki v pravi luči preds tavljajo to talentirano rnaternatičarko 19. stoletja . Sofija Vasiljevna se je rodila 1850 v Moskvi v aristokratski druž ini ge- nerala Vasilija Vasiljevi ča Korvin-Krukovskega. Bila naj bi daljna potomka Matije Korvina , ogrskega kralja Matjaža . Vendar pri ča o tem le rodb insko drevo, ki krasi druž insko knjižnico Krukovskih v Polibinu, uradnih zapiskov, ki bi dokazovali pristnost te trditve , niso našli. Mati je bila vnukinja nemškega astronoma Schuberta , ki se je naselil v Rusiji za casa Katarine Velike. Od devetega leta dalje j e Sonja odraščala na družinskem posestvu v Polibinu ob vzgoji doma čih učiteljev in guvernant . Angleško in francosko je govor ila skorajda tako dobro kot rusko . Že trinajstletna je pokazala veliko zanimanje in nadarjenost za matematiko. Potrebna pa so bila dolga leta prepričevanja, da ji je oce - sicer tudi sam lj ubitelj matematike - dovolil in omogočil izredno kvaliteten privatni študij nekaterih matematičnih disciplin med vsakoletn im bivanjem družine v Petrogradu . Osemnajstletna se je Sonja poročila z Vladimirjem Kovalevskim, ka- 140 snejsrrn svetovno znanim paleontologom. Zgodba tega zakona je dolga in komp licirana, lahko pa rečemo, da zakon ni bil srečen. Po poroki je Kovalevska 1868 odšla v Petrograd v upanj u, da j i bodo dovolili štud irat i na univerzi. Tedaj so bile v Rusiji, kot v vsej Evropi, visoke šole i z k lj u čn o moške šole . V Pet rogradu ni uspela . je pa post ala naslednje leto prvi ženski študent na univerzi v nemškem Heidelbergu . V Heidelbergu je naglo zaslovela kot talentiran matematik in nara voslo- vec. Njen profesor Konigsb erger je imel o njej tako visoko mnenje, da j i j e leta 1871 omogočil, da je odšla št udirat v Berlin h Karlu Weierstrassu , velikemu spec ialist u za matem atično analizo. Med Kovalevsko in Weierstrassom je vladalo toplo č l ov eško in st rokovno razmerje . ~tel jo je za svojega najbolj šega učenca in skrbno bedel nad njen imi korist mi. Prij at eljstvo je traja lo vse življenje. V treh letih delovanja v Berlinu je Kovalevska izdelala tri doktors ke di- sert acije, katerih vsaka zase je bila po Weierst rassovem mnenju vredn a dokto- rat a. Toda nista hot ela tveg ati. Ker je šlo za prvega ženskega doktoranda , je bilo pričakovati izjemno strogo presojanje. Tretje teh del je tudi eno od dveh najp om embnej ših njeni h raziskav sploh . To je Uvod v teo rijo parcialnih diferencia lnih ena č b . Delo vsebuje tud i pomemben izrek, ki ga danes imenujemo izrek Cauc hyja in Kova levske. Zanj so j i leta 1874 na univerzi v Cottingenu podelili dokto rat . Bila j e prva ženska na svetu , ki je dosegla doktorat iz matemati ke v modernem sm islu, in ena prvih doktoric znanosti sploh. Toda po povratku v Rusijo ni dobila službenega mesta na univerzi. Kot ženska sploh ni imela nobene možnost i poučeva nj a na kolikor tol iko visoki stopnji . Nič bolje ni bilo v zahodni Evropi, kjer naj bi kot Weierstrassova učen ka imela določeno prednost . To da celo Weierstr ass je bil prepri čan. da ima kot ženska sicer pravico do izobrazbe - denimo iz int elekt ua lnega zadovolj stva - ne gre pa , da bi se poročena ženska sa ma vzdrževala . Tako je v letih 1874 do 1878 - t edaj j e tu di rodila h čerko Fufo - bolj ali manj opust ila znanstveno delo. Toda, ob zakonskih te žavah in nerazu mevanju moža za nje no delo, j e Sonja odk rila. da ne more živeti brez svoje matematike. Povrat ek ni bil lahak . Spet j e vzpostav ila stike z ruskimi matem a ti čnimi krogi in si začel a dopisovati z Weierst rassom in njegovim švedsk im u čen cem Mitt ag- Lefflerjem. Leta 1881 se je od Vladim irja ločila in odšla v Pa riz. Tam je delovala s Herrnitorn, Picardom, Poincar ejern , Bertr andom , bila je akt ivna udeležen ka matematičnega življenja Pariza in Berlina , vendar ni imela nikakršnega urad- nega položaja. 141 Mittag-Leffler ji je sicer leta 1881 poskušal najti mesto najprej na univerzi v Helsinkih in nato v Stockholmu , vendar je naletel na ostro nasprotovanje v nematematičn ih krogih. Leta 1883 je Vladimir naredil samomor. Medtem , ko so paleontologi žalova li, so matematiki v tem videli rešitev Sonjinega problema. Nič ni bilo zanjo bolje, kot biti vdova . To ji je dajalo pravico do samostojnosti. V zelo kratkem času po Vladimirjevi smrti ji je bilo ponujeno mesto privatnega docenta na sto ckholmski univerzi. V naslednj ih sedmih letih do sm rti je doživela vrsto pomembnih prven- stev . Leta 1884 je posta la urednica skandi navskega matematičnega časopisa Acta Mat hematica - verjetno prva ženska urednica pomembne znanstvene revije na svet u. Leta 1884 je bila imenovana za izrednega profesorja za dobo pet ih let. Verjetno je tudi to bil prvi tovrstni primer in Mittag-Leffler je za njeno nastavitev bil hude bitke . Leta 1888 je prejela Bordinovo nagrado francoske akademije znanosti za svoje delo o rota ciji tog ega telesa okrog fiksne točke . To je njeno najbolj znano delo in Bordinova nagrada je bila v nekem sm islu zmagoslavje njene kariere. Postala je slavna po vsej Evropi. Zanim iva je epizoda v zvezi z Bordinovo nagrado. Natečaj je bil anoni- men, vendar je očitno, da seje fra ncoska akad emija odločila razpisati leta 1888 nagrado za rešitev problema rotacije togega telesa prav zato , ker so vedeli, da se Kovalevska ukvarja s t em problemom. Hermite je celo že mesece pred iztekom n a t ečaj a pisal Mittag-Lefflerju, da utegne biti nagrada to leto celo poveča n a (in je res bila) in tu di rok bi podaljšali, če Kovalevska dela ne bi dokon čala pravočasno . Zato nikakor ni moč priteg niti nekaterim domnevam , da Kovalevska nikoli ne bi dobila nagrade , če bi natečaj ne bil anonimen in tako komisija ni vedela, da zmagovito delo pripada ženski. Vidimo , da gre dejansko prav za nasprotno. Imeli so jo za dovolj pomembno, da prejme nagrad o, ukrojeno po meri njenih raziskav. Leta 1889 je Kovalevska dobila katedro za ana lizo na stockholmski uni- verzi. Prav gotovo ji j e pri t em pomagala tudi Bordinova nagrada. Postala je dosmrtna redna profesorica in bila prva ženska moderne dobe , ki ji je pripadla ta čast. To je bilo veliko leto za Kovalevsko. Prej ela je tudi Oscarjevo nagrado švedske aka demije za nadaljeva nje dela o rotaciji togega te lesa. Postala je prvi ženski dopis ni član ruske akademije znanosti , katere pravila so spremenili prav v ta namen. Kaže, da so v času njene prezgodnje smrti tekle že tudi priprave , da postan e redna č l an ic a akadem ije. 142 Omenimo še, da v teh izjemno plodnih sedmih letih njeno delo ni bilo omejeno zgolj na matematiko. Poskusila se je v pisanju in v zadnjih petih letih njenega življenja so nastala literarna dela: Rusko otroštvo, Nihilistka, dve igri, osebni spomini na Georga Eliota, številni eseji o političnih in družbenih vprašanjih in nekaj poezije. Dela so bila zelo dobro sprejeta , posebno v Rusiji in Skandinaviji. Umrla je polna velikih tovrstnih načrtov. Kovalevska ni bila nikakršen revolucionar v matematiki. Bila pa je emi- nenten matematik svojega časa in čedalje večja uporaba njene asimptotične metode v matematični fiziki, dandanes, je znak njene ostre matematične in- tuicije in veščine. Marija Vencelj DVA NEORTODOKSNA KRIPTOGRAMA - Rešitev s str. 101 1. 2. 2 8 5 3 9 7 7 5 3 3 8 5 5 2 3 2 5 2 5 6 5 2 3 2 5 1 1 1 1 5 2 5 5 7 5 Prvi kriptogram rešimo na običajen način . Z drug im je več težav. Morda je še najboljš i na čin reševanja naslednj i: Najprej poiščemo vsa trimestna števila s praštev ilskimi ciframi, ki pomnožena zenomestnim praštevilom dajo štirimestno štev ilo s praštev ilskimi cifram i. Samo št irje tak i primeri so: 775 555 755 325 Ker so trimestni faktorji na levi sestavljen iz dveh enakih cifer. preverjanjem iz ločimo pravo. 3 2325 5 2775 5 3775 7 = 2275 med seboj različni, mora biti drugi faktor Ostanejo le štiri možnosti . Z direktnim Mirko Dobovišek OC':/-' 'C /\'0' 111:"L _, 1,1' L " ..IL__1 ., . . JEZERCE Z OTOČKOM - Rešitev s str. 65 Denimo, da so Katja, Luka in Ma- tjaž oddaljeni od otoka zaporedoma a, b in c , z r označimo polmer o- toka, z R polmer jezera, z d pa razdaljo med njunima središčema . Poglejmo na sliko in sestavimo tri enakosti : R=a+r+d (1) 2R=a+2r+c (2) d2=(r+bf-R2 (3) Privoščiimo si še splošni oznaki za podatka v nalogi p = b - a , q = c - b in postopoma izrazimo R z njima. Najprej iz (1) in (2) brez težav izračunamo d=(c -a)f2, r=R-(a+c)f2 in to vstavimo v (3) . Tu razčlenimo desno stran in dobimo Upoštevajmo še enakosti p-q=2b-(a+c), p+q=c-a (4) in že lahko določimo R . Kratek račun nam da iskano zvezo R = pqf(p - q) V konkretnem primeru je p = 60 m, q =40 m, torej polmer jezera meri R = 120 m. Le poznamo še polmer otoka r , lahko poiščemo razdalje a , b in c . S pomočjo zvez (1), (2) in (4) namreč brž dobimo a = R - r - (p + q)f2 , b = R - r + (p - q)f2 , c = R - r + (p + q)f2, to rej v našem primeru velja a =30 m, b =90 m in c =130 m. Boris Lavrič -'-,-,'/., ,,-,L "" ,,- IZRAČUN IZJEMNO VELIKIH PADAVIN UVOD Izjemno velike količi ne pada vin, ki v kratkem ča s u padejo na zemeljsko površje, lahko povzroče najrazličnejše nevšečnosti . Le so tla že povsem namočena, tako da ne morejo več vezati tekoče vode , vsa padav inska voda odteče , se zlije v vodotoke in zaradi velikega dotoka in omejene možnosti odtoka se potoki in reke razlijejo iz korit. Natančen izračun količine padavin , ki pade iz oblakov, je v splošnem zelo zahteven , v nad aljevanju si bomo ogledali , na kakšen način je mogoče iz polj meteoroloških spremenljivk ocenit i predvideno koli čino padavin . VODA V OZRAČJU V ozračju se voda pojavlja v treh ag regatnih sta njih : kot vodna para , kot kapljice in kot ledeni kristal i. Vodna para prihaja v ozračje predvsem z izhlapeva njem z vodnih , vlažnih in poraščen ih površin. Le se zrak ohlad i pod temperaturo rosišča , se iz vlažnega zraka kondenzira vlaga v obliki kaplic ali kristalov . Nastane ob lak ali megla . Ponavadi so ob laki sestavljeni iz drob nih kapljic. V oblaku so lahko tu di ledeni kristali , Do nastanka kristal ov pride, če so temperature zraka v oblaku pod lediščem in so v oblaku prisotna sublimacijska jedra - trdni zametki kristalov , d rugače pride do nastan ka podhlajenih kaplj ic. Le so v oblaku sočasno kapljice in ledeni kristali, začno ledeni krista li rasti na škod o kapljic. Kapljice izhlapevajo in para se i z l o ča na kristalih . Večje kapljice in krista li padajo hitr eje od drobnejših in pri svojem padanju skozi obla k večji padavinski elementi zbiraj o drobn ejše . Ledeni krist ali in kapljice postajajo vse v ečji , padajo vse nižje , kjer je zrak vse topl ejši, kristali se tal ijo in iz oblaka se vsuje dež . V zraku pri dani t em peraturi ne more biti poljubno mnogo vodne pare . Gostota vodne pare , ki ji rečemo t udi absolutna vlažnost , ima pri vsaki tem - pera turi in pritisku določeno zgornjo mejo . Le se temperatura zniža , se zniža tu di zgornja meja absolutne vlage . Le je v zra ku več pare , kot je ta zniža na zgornja meja, se presežna vodna para izlo či, v tekočem ali trdn em stanju . Največja absolutna vlaga se s temperatu ro in pritiskom eksponent- no spreminja. Tako npr. pri 20 stopinjah Celzija lahko zrak vsebuje 17.3 g vodne pare v kubičnem metru, pri ledišču pa le še 4.8 g. Le se torej zrak , ki je pri 20 stopinjah nasi čen , ohlad i do l e d i šča, se mora iz vsakega 145 kubičnega metra zraka kondenz irati 12.5 g vode. Pri temperaturah nad lediščem (pa tudi pri negativnih temperaturah) se ta voda izloči kot vodne kaplj ice . Ledeni kristalč ki nastanejo pri nizkih temperaturah , če so v oblaku prisotna sublimacijska jed ra, na katere se vodna para izloči v trdnem stanju . Pri zelo nizkih temperaturah (pod -20 stopinj Celzija) za čno posamezne kapljice zmrzova ti . Najpogosteje se zrak v ozračju ohladi zaradi dviganja . Pri dviganju zrak pridobiva pot encialno energ ijo, se razpenja (opravlja delo proti okolici) in tako se mu not ranja energija zmanjšuje na ra čun opravljenega dela. Zaradi zm anjševanja not ranje energije se zmanjšuje temperatura zraka . Dviganje zra ka nastopa v atmosferi v ciklonih , ob frontah , včasih ob pobočjih , pogosto zarad i pregretja posameznih zračnih balonov pri tleh (kon- vekcija) . Pri vsa kem dviganju zraka , ko se zrak ohladi pod rosišče , se pojavijo oblaki, pogos to pa t udi padavine . OSNOVNllZRAtUN KoutlNE PADAVIN Kako iz računati količ i no padavin , ki se izlo či iz dvigajočega zraka? Prvi zakon te rmod inami ke govori o tem, da se mas i zraka dovede na toplota !:J.Q porabi za sprem embe temperature , pritiska in količine vode . (1) (2) Za zrak , ki je nasi čen z vlago, velja, da se v primerih , ko ne dovajamo toplote , sprememb e temperature odražajo v spremembah pritiska in v spre- membah mase tekoč e vode . Spremembe temperature !:J.T so pri tem odvisne od specifične toplot e zraka cp , spremembe pritiska !:J.p od prostornine zraka V , spremembe mase t eloč e vode !:J.m v pa od izparilne topl ote L. Z nekaj r a čunanja (z upoštevanjem plinske enačbe , hidrostatične ena čb e in nekaterih drug ih) sledi en a čba za največjo možno jakost padavin (največjo možno gostoto masnega toka i zloč a nj e tekoče vode ) J . J = (1 _ "tW ) w !:J.p "ta L kjer "[w in "ta merita , za koliko se ohladi ob dviganju nasičen oziroma ne- nasi čen zrak , w je vert ikalna hit rost zraka in !:J.p = - pg !:J. z je z razliko pritiska izražena debelina z ra čne plasti, iz katere padajo padavine. Za t ipi čen primer vzem imo naslednje vrednosti "[w = 5 K/km , "ta = = 10 K/km, w = 0.3 mis, !:J.p = 300 mb (cca 4 km) , L= 2.5 MJ/kg . Po gornji ena čbi dob imo ja kost padavin 7kg/ m2 h. Ta bi dala v 48 urah 336 mm 146 (ali litrov oziroma kilogramov na m 2 ) padavin. Seveda se prav vsa voda ne izloči v ob liki padavin, nekaj je ostane v oblakih, ki jih odnese veter . Ocenimo , da v oblakih ostane tr i desetine izločene vode, zato zmanjšamo zgornjo količino padavin za faktor 0.7 in dobimo za 48 ur količino 235 mm padavin . Vrednosti 'Ya in L sta le ma lo odvisni od temperature , različne pa so lahko vlažnost zraka (zajeta v 'Yw), vertikalna komponenta hitrosti vetr a (w) in debelina plasti izločanje vlage (t:.p). V nadaljevanju si bomo ogledali vpliv posameznih členov enačbe 2 na količino izločenih padavin . *\*~~ *·*Jr~: * * lo o o o OO~ oo : o '.~ * -- Slika 1 Kumulonimbusni oblak nad hribom z idealiziranimi smermi in hit rostmi vetrov Vertikaine hitrosti V drugem razdelku smo omenili , da so gibanja zraka v n avpični (vertikalni) smeri najpomembnejši razlog za ohlajanje zraka . Razlogov za vertikalno gibanje zraka je več , hitrost dviganja je posled ica intenzivnost i meteoroloških procesov . Do dviganja zraka prihaja zaradi obsežnih (sinoptičnih) vremenskih pro- cesov (na tipičnih razdaljah 1000 km) . V ciklonih se zrak pri tleh steka proti središču ciklona in se počasi dviga . V ciklonih so tudi tople in hladne fronte, 147 v velikosti nekaj 100 km. Ob frontah se topli zrak dviguje nad hladnega, frontaini pas dvigajočega se zraka pa se počasi tudi horizontalno premika . Do dviganja zraka pride tudi zaradi lokalnih dejavnikov. Le piha veter proti goram, se mora tok zraka , ko pride do gora , prilagoditi oblikam reliefa. Zrak gore deloma obteče , deloma pa se ob njih dviga. Velikost hitrosti dviganja zraka je odv isna od st rmine , oblike in razsežnosti gora oziroma grebenov. Razsežnost teh pojavov je sorazmerna razprostranjenosti reliefnih oblik. Do dviganja zraka pride tudi zaradi lokalnega pregrevanja . Le se nad delom tal , ki so toplejša od okolice, zrak segreje, se zaradi vzgona začne dvigati in s tem ohlajati in kaj kmalu se iz njega začne izločati oblak . Velikost teh pojavov je nekaj deset kilometrov. Pri vsakršnem vertikalnem gibanju zraka pa pride zaradi razpenjanja še do dodatne labilizacije zračnih plasti. Dvigajoča se plast zraka se na zgornji meji dvigne višje kot na spodnji meji in zato se zrak na zgornji meji plast i ohlad i močneje kakor pa na spodnj i. Spodnje plasti stebra postanejo glede na zgornje pregrete, t.j. labilne, in v dvigajoč i se plasti pride do dodatnega vertikalnega mešanja zraka . Ko se iz zraka začno iz lo ča t i vodne kapljice, te pri svoji kondenzaciji oddajajo toploto in dvigajoči se nasičeni zrak se z dviganjem ohlaja manj, kot če bi bil nenasičen . Ti pojavi imajo razsežnost okoli deset kilometrov in več. PROCES vert. hitrost nt. padavin sinoptično: cikloni 5 cm/s 1 mmlh sinoptično: fronte 10 cm/s 4 mmlh mezo : orografsko 30 cm/s 1 mrn/h lokalno: konvekcija 100 cm/s 10 rnrn/h lokalno : nevihte 300 cm/s 30 rnrn/h Zgornja delitev pojavov je le načelna . Ob prehodu hladne fronte prek razgibanega gorskega reliefa se dviganja seštevajo: ob hladni fonti se topli zrak dviga , zaradi dviganja pride do labilizacije in s tem do nastanka neviht, gorske pregrade pa dviganje povečajo tako v hladnem kot v toplem zraku. V privetrju gorskih pregrad so padavine zato izrazitejše. V zavetrju gorskih pregrad pride do spuščanje zraka , s tem se zrak ogreva in v zavetrju gora je padavin manj. Le želimo zanesljivo izračunati , kakšna je razporeditev količine padavin 148 pri tleh , moramo upoštevati , da kapljice , ki nastanejo v oblakih, veter nosi s seboj . Kapljice tako ne padejo na tla tik pod mestom nastanka, pač pa jih veter razseje vzdolž svoje poti. Kapljice pri padanju skozi nenasičen zrak pod oblakom tudi de lno izhlapevajo in tako se količina padavin še nekoliko zmanjša . Debelina dvigajočih se plasti V enačbi 2 kot pomemben dejavn ik nastopa debelina plasti, v kateri se nasičeni zrak dviga . Največje debe line te plasti se pojavijo ob nevihtah , saj takrat steber dvigajočega zraka sega skoraj od tal (okoli 1000 mb) do tropopavze (okoli 200 mb). Ob frontalnih nevihtah se dvigovanje zraka ne za čne že pri tl eh, pač pa nekoliko višje v ozračju (okoli 900 mb) , višina vrha frontaino nevihtnih oblakov je odvisna predvsem od vertika ine razpored itve tempera ture. Količina vlage v zraku Količina vlage v zrak u je v enačbi 2 predstavljena prek temperaturnega gradi- enta "tw - Če je zrak pred začetkom dviganja topel , je v njem lahko bistveno več vlage, kot pa če je hladen . Intenzivne padavine se zato lahko pojavijo le, če je vreme razmeroma toplo in vlažno, ob hudem mrazu ni intenzivnih padavin. V hladnem zraku namreč ni vlage , ki bi se iz zraka lahko izločila , če bi se ta zrak še naprej ohlajal. OROGRAFSKO DVIGANJE ZRAKA Ob razsežnih gorovjih se mora pritekajoč] se zrak ob njih dvigniti . Posamezno, četudi visoko goro, bo veter večinoma obtekel in le malo zraka se bo dvignilo prek vrha gore, enako velja, če veter piha vzdolž grebena . Če je greben pravokoten na smer vetra, se bo prek njega dvigovalo največ zraka . Velikost vertikaine hitrosti je tako odvisna od nag iba reliefa v smeri pritekajočega zraka oziroma od nagiba tokovnic. Če torej za radi splošnega gibanja zraka v pretežno stabilni atmosferi (stab ilna atmosfera je takšna , ki se nerada vertikalno meša) vetrovi naletijo na gorske grebene, se pretakajo čeznje; pri tleh bolj zamotano, v višinah pa bolj zglajeno . Slika 2 prikazuje nekaj zglajenih tokovnic nad razgibanim gorskim reliefom . Dejanski relief je v resnic i trid imenzionalen in je sestavljen iz množice raznolikih oblik, ki so glede na veter najrazličneje orientirane . Vetrovi se tako 149 ponekod dvigujejo prek grebenov, drugod pa oblike obtekajo. Natančno določanje poti pretakanja zraka prek gorske pregrade , ob kateri pride do frontalnih in konvektivnih padavin , je zelo zamotano. V našem primeru bomo prikazali le tisti del vertikaine hitrosti vetra, ki nastane kot posledica dviganja ob reliefu. Za primer si oglejmo velike padavine v severni Sloveniji, ki so povzročile poplave v Savinjski dolini 1. in 2. novembra 1990. Na sliki 3 si lahko ogledamo 48-urne koli čine padavin . Opazimo lahko, da sta nad Slovenijo bili takrat dve maksimalni pod ročji padavin , prvo v Julijskih Alpah (Bohinj 280 mm, Kanin 220 mm , Vojsko 220 mm), drugo pa ob jugovzhodnem delu Kamniških in Savinjskih Alp (med dolino Kamniške Bistrice in Logarsko dolino 230 mm) . Razen omenjenih maksimumov se je pojavil še dodatni maksimum na Pohorju , vendar je tam padlo kar za 100 mm manj dežja kot pa na področj ih največjih padavin . Zanimivo je, da je na privetrni strani Kamniško Savinjskih )o )o )o )o W+ u t )o )o._-~-----------------------~ Slika 2. Nekaj idealiz iran ih tokovnic nad presekom razgibanega terena . 150 151 Alp (np r. postaj a Kamniška Bistr ica) padlo skoraj dvakrat toliko padavin kot pa v zavetrju (v Logarski dolini, postaja Sol čava ) . Z meteorološkimi meritvami so t akrat ugotovil i, da so nad severovzhodno Slovenijo piha li jugovzhodni vetrovi. Na sliki 5 je za območj e Kamniško Sa- vinjskih Alp prikazano, koliko pad avin bi dobili, če bi bile padavine povzročen e le z dviganjem zraka zara di gorske pregrade . Pri tem smo privzeli, da je debelina dvigajoč e se plast i povso d enaka (llp = 500mb) in da je t udi vlažnost zraka povsod enaka . Na sliki 5 prikazana razporedit ev padavin pokaže, da lahko s sorazmerno preprost im računom orografskega dviga in z njim povzročene kol i č i n e padavin , dobimo mnogo natančnejšo sliko razporeditve padavin, kot pa jo dobim o z redkimi terenskimi meritvami (slika 3) . Tako i zra čun a n e koli čin e padavin pojasnijo v precejš ni meri prostorsko razporeditev izjemn ih padavin in poplav, ki so v za četku novembra 1990 povzroč i le naravno katastro fo v Kamniških in Savinjskih Alpah ter v Savinjski dolini. Velike količine padavin nad pobočj i doline Kamn iške Bistrice (oznaka K. B. na sliki 5) in zahodno od Luč (Veža , Podvol ovjek) so padle na že poprej n a močena t la in so zato takoj od tekle v vodot oke, ki so nato poplavili doline. Padavine so nastale zaradi zelo počasi se premikajoče front aine cone , ob kateri so se prožile tudi nevihte , ki so se zara di prisilnega dviga ob gorski pregra di še okrepile. Slika 4 . Relief Kamniško Sa vinjskih Alp, aksonornet rič n a projekcija , pogled Z ju ga. Mrežna razdalj a je 1 km. Slika 3. 48-urne višine padavin; vsota za 1. in 2. novem ber 1990 , območje Ka mn iško Savinjsk ih Alp je uokvirjeno, ( Povzeto po reviji UJMA 5 (19 91) str.12 ) (levo) 152 Slika 5. Količina padavin v 48 urah nad delom se vern e Slovenije izračunana le z oro - gr afskim dvigom, vsaka izolinija predstavlja 20 kgm-2 h-1 . Sp odnja slika je zeml jev id obravnavanega področja lo > 1.688 1.488-1.600 1.200-1.400 1.000-1.200 Zdravko Pet kovšek , Toma ž Vrhovec tg ~+ tg ~+ tg I = 2 - Rešitev s str. 121 Zaznamujmo Po adicijskem teoremu imamo I ° 0.+{3 o. (3 tg- = tg(90 - --) = ctg( - + -) = 2 2 2 2 o. {3 o. {3= (1 - tg-tg- )(tg- + tg-) 2222 ' Torej je med števili p, q, r zveza 1- pq r=--- p+ q , ki jo lahko pišemo v obliki pq + pr + qr = 1. Denimo, da nobeden od kotov 0., {3, I ni top. Potem je O < ~ :::; 45°, torej O< tg~ = P :::; 1. Podobno O< q :::; 1 in O< r :::; 1. Od tod sledi p ~ p2, q ~ q2, r ~ r 2. Enakost nastopi v kakšni izmed teh neenačb natanko tedaj, kadar je ustrezni kot 90 ° . Ker je v trikotniku kvečjemu en kot 90°, velja enačaj kvečjemu v eni od teh neenačb . Zato je Naj velja zveza p + q + r = 2. Z upoštevanjem enačbe (*) dobimo 2 = p + q + r > p2 + q2 + r 2 = (p + q + r)2 - 2(pq + pr + qr) = 2. Ta neenakost pa je protislovna. Zato je eden od kotov 0., {3, I top . Ivan Vidav RAZPOZNAVANJE CIFER - braini pomnilnik in nevronska omrežja Vsa k, ki pozna os nove računaln ištva , je gotovo že slišal za braine pomnilnike ROM-e. Zanje lahko rečemo, da so v veliki meri pripom og li k hit rem u razvoju centralnih procesnih enot, pa tudi k preprostejšem u hranj enju zag onske pro- gramske op reme . Kratica ROM prihaja iz ang leščin e , pomeni namreč Read Only Memory. Ime samo pove, da so to pomnilniki , ki so namenjeni t rajnemu hranjenju info rmacij e in iz katerih lahko med uporabo le beremo. Vseb ino pa zapisuj emo v RO M-e na naslednje n a čine : v postop ku izdelave integri ranega vezja (ROM ) , z enkratnim kasnejšim vpisovanjem (PRO M) in z v eč k r a t n i m vpisovanjem t er brisanjem z ultra vijo l ično svet lobo ( EP ROM) ali ele k t r i č ni m brisanjem ( EEP ROM). Naveden im načinom zapis ovanja v bra ini pomnilnik rečemo tudi programiranje . Najbolj znan i so ROM- i, ki ji h lahko večkrat programiramo in brišem o. Uporablja moji h predvsem kot stalne pomnil nike. Vhodi, njihovo šte vilo bomo označili z 1, dolo čajo naslov ene od 21 možnih lokacij , njeno vrednos t pa dobimo na K izhodi h. Verjet no niste vedeli , da so ROM-i primer ni t udi za realizacijo ra zli čnih logi čn i h funkcij. ROM lahko nadomešča poljuben sklop logičn ih vrat ALI ter IN. To pa še ni vse ! V splošn em je progr amirani ROM vezje, ki omogoča i z ra ču n poljubne preslikave 21 vhodnih vrednosti v izhodne. To njegovo lastn ost lahko s pridom upo rabimo pri razpoznav anj u cifer. Posebno zani mive so preslikave č r n o- b e l i h slik, tisk ani h ali pisanih znakov, običaj no cifer, lahko pa tudi č rk . Predst avljaj mo si, da čez povečano tiskano ali pisano cifro postavimo mrežo, sesta vljeno na primer iz 5x7 = = 35 polj . Le izberemo vrednost" O" za vsa tist a polja , ki so bolj bela kot črna , in "1" za tista , ki so bolj črna kot bela , dobimo niz dolžine 35 , sestavljen iz samih " O" in " 1" . Takemu postop ku pravim o digitalizacija . Za razpoz navanje takih slik potr ebujemo le še RO M, ki ima 35 vhodov oziroma 235 lokacij, kamor shrani mo r a z l i č n e digitaliziran e slike zapisanih cifer. Tu seveda upošteva mo še vse take s like, ki so delno pokvarjen e in ne ustrezajo v celot i nobeni cifri. Na krat ko, v takem ROM-u se nahajajo prav vse mož ne digitalizirane slike cifer na mreži velikosti 5 x 7 n aj razl i čnej ših oblik, velikost i in pisav. Le se omejimo samo na ločeva nj e cifer, t edaj za došča 10 izhodov, za vsa ko cifro svoj . Naj prvi izhod predstavlja cifro "O", drugi izhod cifro " 1" , zad nji izhod pa naj ust reza cifr i " 9" . Na sliki 1 vidimo p r i č a kovan i odziv, za cifro " 8" vrednost " 1" na devetem izho du. Vse lepo in prav! Toda kaj kma lu ugotovimo, da tako velikega bralnega pomnilnika - nima mo. Za zapis vseh digitali ziranih slik cifer bi namreč potrebovali braini pomn ilnik približne 155 velikosti 235X10 bitov = 3.436· 1Q10 x 10 bitov = 34360x10 Mbitov! r.ar:sani osrn ici niz ničel in enic 011110100101001 1111 11001010010111 10 1111110001 10001 111111 00011000111 111 naslov podatek dva od iJS mo žnih vzorcev - p' eshkave_ dva od 20 učnih vzorc ev lO K:zt",oCov oo 0 10 000 o1 0 Slika 1. Kako dobimo niz "O" in " 1" iz cifre osem? To pa je že tolikšen pomnilnik , kakršnega nimajo niti najboljši (oseb- ni) računalniki skupaj z diskovnimi enotami . Vedimo tudi . da smo primer poenostavili . saj smo vzeli dokaj redko mrežo in zaradi tega vzorce tudi pre- cej popačili. Kaj bi šele bilo, če bi na primer potrebovali mrežo velikosti 10 x 20 ali celo večjo . Z njo bi vsekakor dosegli neprimerno boljše pokrivanje napisane cifre z mrežo in s tem tudi natančnejše razpoznavanje . Toda pravkar opisani pristop za ta namen ni primeren, saj zahteva braine pomnilnike skoraj nepredstavljive velikosti . Torej tu smo! To je zadosten razlog, da si zbralnimi pomnilniki nimamo več kaj pomagati . Za razpoznavanje cifer je bilo razvitih veliko algoritmov, ki temeljijo na črno-beli sliki, iskanju posebnosti vsake cifre in ugotavljanju njene pripadnosti . Tovrstna programska oprema je ponavadi obsežna in največkrat neprimerna za uporabo v realnem času . Ker gre pri razpoznavanju vselej za preslikavo iz opazovane cifre v njeno ime in ker tovrstne preslikave z ROM-om 156 ne moremo narediti, se spomnimo prispevkov o nevronskih omrežjih, ki sta bila objavljena v tretji in četrti številki Preseka 17 (1989/90) . Pokazali bomo , da želene preslikave hitro in enostavno naredimo z nevronskimi omrežji, če jih le omejimo na računanje z dvojiškimi vrednostmi . Le-te smo pri razpoznavanju tudi uporabljali! Zato bodo vhodi in izhodi omrežja imeli vrednosti ali O ali 1. Tudi zaviraine in vzbujevalne uteži bodo imele le dvoje različnih vrednosti O ali 1, a različnih po predznakih. Nevronsko omrežje z 200 vhodi in 10 izhodi ni nič posebnega . Za učenje omrežja potrebujemo le še spisek učnih vzorcev . Le-teh bo kakih sto, za vsako cifro po deset različnih. Naše omrežje naj sestavlja J nevronov na prvem nivoju , K nevronov na drugem , vhodov v omrežje naj bo 1, medtem ko je število izhodov K . Izhodne funkcije nevronov na drugem nivoju , označimo jih z y k za k = 1,2 , . .. , K, lahko enostavno izrazimo kot vsoto produktov izhodov prvega nivoja Xj in uteži Wj,k : če je t.i: Wj ,k . Xj ~ 1, tedaj je Yk = 1, sicer pa je Yk = O. Podobno izračunamo tudi izhode s prvega nivoja Xj . Med vhodi nevrona je potrebno upoštevati tudi pragovni vhod . Njegova vrednost je sicer 1, vrednost uteži pa izračunamo . S predznakom uteži w i ,k povemo značaj povezave med nevronoma. Pozitivne uteži so na vzbujevalnih povezavah, negativne pa na zaviralnih. Ker v našem primeru obdelujejo nevroni samo dvojiške vrednosti, se pri računanju izhoda nevrona izognemo realni aritmetiki . Če je xj f:. O, k delni vsoti prištejemo utež Wj ,k ' torej prištejemo ali odštejemo 1. Če pa je Xj = O, tedaj j-ti vhod sploh ne vpliva na vrednost Yk, tako da lahko preidemo kar na naslednji vhod nevrona . Tak preprost dvojiški ali Boolov nevron lahko učimo tudi drugače, kot smo to prebrali v omenjenih prispevkih. Posluževali se bomo kar naključnega iskanja primernih uteži. Naključno izberemo utež in na omrežje postavimo učne vzorce, drugega za drugim. Če je rezultat preslikave ugodnejši od prejšnjega, tedaj novo utež zadržimo. Če pa se preverjanje kje zalomi in so rezultati preslikave slabši , tedaj naključno izberemo novo utež . Učenje je uspešno končano, ko najdemo take vrednosti uteži, da so izračunani izhodi enaki pričakovanim za vse učne vzorce. Če učenja ne moremo uspešno dokončati, tedaj ali dodamo nov nevron v prvem nivoju in s tem povečamo J ali pa povečamo število vhodov I in tako dodamo nov pragovni vhod. Za lažje razumevanje bomo nevronsko omrežje s slike 2 učili z logično funkcijo EX-OR (ekskluzivni ali). Na sliki so uteži določene tako, da omrežje 157 pravilno izračuna to funkcijo . Učenje začnemo tako , da za vsem utežem damo naključne začetne vred- nosti (-1 , O ali +1) ter za prvega od štirih učnih vzorcev postavimo vhodni vrednosti il in i2 na omrežje in i z r a ču n amo odgovor 01 . Nato poskusimo še z drugimi učnimi vzorci. te dobimo pri vseh štirih učnih vzorcih skup- no več pravilnih rešitev, ali pa vsaj toliko kot pri predhodnih utežeh, uteži zadržimo, sicer pa vrnemo stare vrednosti. te vsi odgovori niso bili pravil- ni, nato naključno izberemo vrednost nove uteži. Postopek ponavljamo to- likokrat , dokler za vse štiri učne kombinacije ne dobimo pravilnih izhodov . Iz izkušenj vemo, da se tako omrežje kaj hitro nauči, recimo v tisoč ali več poizkusih , ki jih osebni računalnik naredi v nekaj sekundah . Preslikavo samo, ko je omrežje enkrat naučeno, pa izračunamo v trenutku . Vrnimo se še enkrat k našim učnim vzorcem na mreži 5 x 7. te primer- jamo ugotovitve o razpoznavanju z vezjern ROM in z nevronskim omrežjem , opaz imo naslednje: - Vezje bralnega pomn ilnika (če bi le-tega res imeli) zahteva tabeliranje vseh možnih digitaliziranih slik, ki jih lahko dobimo na mreži 5 x 7. Seveda je nekaj smiselnih, veliko pa je takih , ki nimajo pravega pomena, na primer same O ali same 1. Ko na vhode postavimo neko vrednost , nam vezje - glede na vsebino lokacije, ki je določena z vhodom - da odgovor. Le-tega spremenimo tako, da zapišemo novo vrednost na ustrezno lokacijo v ROM-u . K = , J = 2+1 o O o 1 O 1 b o, O 1 1 O Slika 2a. Nevronsko omrežje Slika 2b. Tabela logične funkcije EX-OR 158 testni vzorec učni vzorci - 1- - 0 ~ 1/ /,1 '"ol ( ter kompleksni števili a ln w, pri čemer je w 3 = 1 in w i- 1. Pokaži, da obstaja natanko ena funkcija f : C --> C, da velja f( z) + f(wz + a) = g(z) za vsak z EC. ({ pomeni množico kompleksnih števil.) Na svečani podelitvi so nagrade prejeli: letnik prv i prvi tretj i drugi drugi drugi M. Krauthaker SCTPU Murska Sobota M. Mozetič SEN5 RM Kamnik J. Štrub elj ST5 Celje D. Reisman SN5 MZ Maribor B. Ipavec Gimn azija Polja ne Lj. V. Domanjko Gimnazija Be žigra d M. Zabret SEN 5 RM Ka m nik Gimnazija Tolm in F. Avsec Gimnazija Kra nj V. Domajnko Gimnazija Bež igrad NSC Nova Gorica Gimnazija Bežigrad Gimnazija Bežig rad Gimnazija Nov o mesto ST5 Celje Gim na zija Bežigrad šolamentor prof. F. Perne B. Dvoržak M. Grum A. Hržica D. Pavšek O . Arnuš učenec (učenka) - prva nagrada: Toma ž CEDILNIK Bojan GORNIK Mitja MASTNAK Andrej SRAKAR - druga nagrada: Narvika BOVCON Petra IPAVEC - tretja na g ra da: Arpa d BURMEN prvi Damijan DOLINAR prvi Kristij an KOCBEK tretji Mark o KRAJNC drugi Srečko MAKSIMOViČ prvi Domen PRA5NIKAR prvi Vojko REBOLJ četrti Tomi REJEC tretji Ma rko SLA PAR t re tji And rej ST RO JNIK t retji Pohvaljeni so bili: v pr vem letni ku: Deja n PA RAVAN (NSC Nova Gorica ), Maj a POHA R ( Gim na - zija Po lja ne Lj.), So nja RATEJ in Izt o k KAV KLER (S TŠ Ce lje), Coštjan KUZMAN (CSŠ Velenj e) , Jure VRHOVN IK in Nika NOVAK (G imnazija Bežigrad l.j .) v d rugem letniku : J ernej DOLEN5EK (ST5 Celje) , Luka 5 T RAVS in Borut KER5 EVAN ( Gim nazij a Be žigrad Lj .), Samo FI51NGER in Ma tej PRAPROTNI K (SN5 MZ Maribor) v tretjem let niku: Marko KUKRIKA ( Gimnazija Bežigrad Lj. ), Marko 5ETINC (G im- nazija Kranj ) , Ma rt in V UK (NSC Nova Gorica) , Smiljan VOD OV NIK (S5 T NP U Ravne na Ko roš kem) , Gregor IRT (S 5 R Ljubljana) , Elvis BELAC ( Gimnazija Ko pe r), Dea n V ELDIN (SNM 5 IUJ P iran) , Matjaž KOT NIK (SN5 MZ Mar ibor) 176 v četrtem letniku : Mojca JAZBIN ŠEK in Dušanka KOCI C (STŠ Celje) . Dominik ROB LEK (G imnazija Kranj). Urša DEM ŠAR in Igor PANi Č (G imnazija Šen tv id Lj. ). Leo ZORNADA (G im naz ija Kop er ) . Darko VEBERI Č (SCT PU Murska Sobota ). Marko PETRUŠi Č (Gimnazija Bežigrad Lj.) , Sim on KUMER ( CSŠ Velenje) Nagrajencem . pohvaljenim in nj ihovim mentorjem iskrene čestitke . Jaka Erker in Darjo Fe/da RAČUN Z ZNAKI - Rešitev s str. 110 Takole premišlja mo. Ker je vsota dveh dvomestn ih števil manjša od dvesto , dobimo iz druge vrstice D = 1. Pogledamo stotice. Prvi stolpec nam pove, da je A-H = 1, prva vrst ica pa , daje A-G = 1 ali 2. Ker paje A-H = 1, mora biti A - G =2. Prav tako iz zadnje vrstice sledi, da je H - F =1 ali 2. Tako imamo A - F = (A- H)+(H - F) = 2 ali 3. Ker paje A- G = 2, je tako A - F = 3. Sedaj pa nam enice v zadnjem stolpcu povedo, da je G = 3. Z vstavljanjem v že izpeljane zveze dobimo še A = 5, H = 4 in F = 2. Nato iz zadnjega stolpca določimo C = 7. iz drugega pa E =6. Iz prve in druge vrst ice nato izračunamo še B = O. / = 9 in J = 8. Na koncu preverimo, da so vse enačbe res izpolnjene . Naloga ima torej natanko eno rešitev : 507 162 = 345 + 98 + 74 = 172 409 - 236 = 173 Martin Juvan VRiŠi PRAVOKOTNIK - Rešitev s str. 101 Na skici (slika 1) sta c in v osnovni ca in višina danega t rikotnika A BC, x in y pa osnovnica in višina vrisanega pravokotnika DE FG zdiagonalo d. Daljica G H je vzporedna stranici Be. Naloga bo rešena, če bomo konst ruirali višino y . na kateri poteka pravokotnikova str anica G F. Po Pitagorovem izreku je: (1) I Ker sta trikotnika E B F ln O HG skladna , trikotnika ABC podobna , velja še: (c- x) :y=c :v. 177 ln AHG pa (2) Ne da bi rešili sistem enačb (1) in (2), vidimo, da sta x in y odvisna le od količin c , v in d . To pa pomeni , da poteka zgornja pravokotnikova osnovnica G F na isti višini za vse trikotnike , ki imajo osnovnico enako c in višino enako v. Izberimo takega med njimi , pri katerem z rešitvijo ne bo težav , npr. pravo kotni t rikotni k s katetama c in v in s pravim kotom v ogli šču B . Pot do končne rešitve je nato preprosta (slika 2) . Slika I c c Slika 2 Ne prezrimo, da smo spotoma pridobili še koristno informacijo o rešljivo- sti naloge in številu rešitev glede na podatke c, v in d. Ko iz ogliš ča B od merimo diagonalo d, seka krožni lok hipotenuzo ACI dvakrat, enkra t ali nob enkrat. 5tevilo presečišč je tudi število rešitev . Imamo: • nobene rešitve, če je 1 1 1 (d2 > 2" + 2) V (d 2: max(c, v));v c • eno rešitev za 1 1 1 (d2 = v2 + c2 ) V (min(c , v) :S d < ma x(c, v)) ; • dve rešitvi za 1 1 1 (d 2 < 2" + 2) /\ (d < min(c , v)).v c Marija Vencelj ====~I ZANIMIVOSTI O ULUGBEKOVI ZVEZDARNI Drugo polovico 14. stoletja in začetek 15. stoletja zaznamujejo poleg drugih zgodovinskih dogodkov tudi obsežna vojaška osvajanja legendarnega mon- golskega (uzbekistanskega) vladarja Timurja . Ob koncu svojega življenja (1405) je vladal ogromnemu imperiju, katerega prestolnica je bil Samarkand, eno najbolj bogatih in kulturnih mest tedanjega Vzhoda . Koncem 1393 je Timur začel veliki vojni pohod na Iran. Na eni vojnih postojank se mu je 22.3 .1394 rodil vnuk, ki so mu dali ime Muhamed Taragaj , v zgodovini bolj znan pod imenom Ulugbek (kar pomeni veliki knez) . Po Timurjevi smrti je postal Ulugbek poglavar že razpadajoče države . Za razliko od svojega starega očeta pa se ni odlikoval z vojaškimi veščinami, ampak ga je zanimala znanost. Kot poglavar - sultan - je dal graditi šole (medrese) , podpiral je znanstvenike, pesnike, zdravnike, zgodovinarje. Sam je pisal pesmi in sestavljal znanstveno delo o zgodovinsko pomembnih narodih Azije. Najbolj pa je bil predan astronomiji. Na hribu blizu Samarkanda so pod njegovim vodstvom zgradili največji astronomski observatorij 15. stoletja (Glej tudi prispevek Astronom iz Samar- kanda, Presek 3 (1973), 132). Kmalu po Ulugbekovi smrti (1449) je začela 0fooo L1u, ai1!JNA . ) eJ . : ~ Il~Q t2'!- -rL 'P~OU/rJ Slika 1. Ulugbek (1394 do 1449) - risba iz 16 . stoletja Razglednica , ki sem jo pred leti pre- jel iz Samarkanda, prikazuje rekonstruirani del znamenite Ulugbekove zvezdarne - enega največjih dosežkov muslimanske astronomije. 179 180 zvezdarna propadati , pozneje so jo razrušili, zravna li z zemljo in nanjo povsem pozabili. 5e le 1908je samarkandski arheolog V.L. Vjatkin po napornih izkopa- vanjih odkril razvaline Ulugbekove zvezdarne. To je bila tri nadst ropna zgrad- ba v obliki valja s premero m osnovn e ploskve okoli 50 m. Imela je št evilne sobe in okna , pa t udi utrj ene t emelje, obda ne z mar morjem (slika 2) . Lez sredino stavbe je n avpi čno potekala široka zareza (Iina) , ki je ležala v ravnini krajevnega poldnevnika . V to zarezo so posta vili glavni (kotomerni) inst ru- ment zvezdarne, orjašk i kvadrant (slika 3). Lok kvadranta je pripada l krožnici s poimerom 40 ,2 m. V sred išču krožnice v zgornjem delu stavbe je bil os- novni diopter (muha) . Po loku kvadr at a je na posebn ih bronastih tra čn icah opazovalec premikal vizirno napravo (merek), s kater im so določali smer proti vesoljskim telesom. Pri opazovanju Sonca so lino kvad rat a zatemnili, da so dobili temno sobo (camero obscuro) . Son čev žarek skozi osnovni diopter je vrgel" zaj č ka" na bel zaslon , ki so ga premikali po loku kvadranta. Po sm eri svi nčni ce glede na zaslon so določevali opold ansko višino Sonca. Lok kvadranta je bil pravzaprav sestavljen iz dveh vzporednih lokov v medsebojni razdalji okoli pol metra in obložen z žgano ope ko te r prekrit z r----------- .-----. L-- -' Slika 2. Ulugbekova zvezdam a - rekonstr ukcija (levo) in pod zemn i del njenega glavnega ins tr ume nta - orja škega kvad ra nta (desno) . 'rT -'-4~!~ II.. 90' 181 Slika 3. Shema orjaškega kvadra nta . N- jegova globi na na južnem de lu je bila okoli 11 m. Polovica loka (približno do 45 °) se je nah ajala pod zemljo, os tal i del pa nad njo , do višine 29 m na se verne m delu. Ohrani le so se le marm ornate plošče, ki so ses tavlja le del podzem nega loka kvad- ranta od sr do 90° , in plošči, ki us- trezata 19 ° ,20° in 21° na dzemn ega de la loka , Arheološke raz iskave so pokazale , da se ostale masiv ne marmorna te plošče (nekate re težke t udi 100 kg ) niso izgubile. Raz t resene po razdejanju observa torija so po zneje upora bili kot gradbeni ma terial v Samarkand u in bližnjih na seljih. ma rmorj em. Vzdolž lokov so bili vrezani žlebovi , v kat ere so pritrdili t ra čn i ce . Razda lj e med razdeibami na st opinjs ki skali na loku kvadranta so bile 70, 2 cm. Ob lokih so bile stopnice za opazova lca. Ravnino krajevnega poldnev nika, v kate ro so post avili kvadr ant, so določili skrajno nata neno za t isti ča s (nap aka v azimutu je bila le 10 ') . S tem inst rumentom so sam arkandsk i ast ronomi izme rili lege 1018 zvezd, naklonsk i kot ekliptike k ekvatorju in dolžino tr ajanja leta . Marijan Prosen 7. ŠOLSKO IN 17. IZBIRNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV IZ MATEMATIKE Kot običajno so se tudi v prejšnjem šolskem letu že v decembru pomerili dijaki v reševanju matematičnih nalog na mnogih srednjih šolah. Kar 2000 učencev se je potegovalo za naslov prvaka šole . V marcu je nekoliko večje število učencev poskušalo na izbirnem tekmovanju doseči dovolj točk za uvrstitev na republiško srečanje. Nalog tokrat ne objavljamo, ker bodo kmalu izšle v zbirki Rešene naloge iz matematike s šolskih in izbirnih tekmovanj. Zbirka , ki bo izšla v Knjižnici Sigma, bo vsebovala okrog 370 nalog z rešitvami. Zahvaljujemo se vsem, ki so nam pomagali pri izvajanju naše dejavnosti , posebej še Ministrstvu za šolstvo in šport , Ministrstvu za znanost in tehnologi- jo, Fakulteti za elektrotehniko in računalništvo, Oddelku za matematiko in mehaniko FNT, Zavodu Republike Slovenije za šolstvo, Zavodu Republike Slovenije za mednarodno znanstveno, tehnično, prosvetno in kulturno sode- lovanje ter mnogim učiteljem - mentorjem. Darjo Felda OC':/-,'C /\IOll": ." -;"L_' I'''L 111,-_,,-J 26. OBČINSKO TEKMOVANJE OSNOVNOŠOLCEV IZ MATEMATIKE - Rešitve nalog s str. 84 6. razred 1. Iz ven, 75) = 450 in 450 = 2 ·3·3·5·5 ,75 = 3 ·3 ·5 dobimo tri možnosti : n = 2·3·3 = 18 , n = 2 ·3 . 3 ·5 = 90 in n = 2 ·3 · 3 · 5 ·5 = 450. 3em 27 cm 27 cm 4. Stranica notranjega kvadrata meri 27 cm, ploščina pa 729cm2 . 5. Trikotnik 6C B E je enako- krak, zato je «E = 67°24' in 8 then begin for i:=l to 4 do begin for j :=l to 3 do if g[i,j]=9 then write(" :3) else write(g[i ,j]:3); writeln ; { nova vrsta } end ; { for} writeln ; end { if } else begin for i:=l to 4 do for j := l to 3 do if g[i,j] < > 9 then begin {Ce tusmo v "odvecnem"} {kvadratku} if ((g[i,j]=O) and {in je predlagani kvadratek se} {praz en, hkrati pa nima skupnega oglisca s predhodno izbranim } { kvedre tkom ,} not((abs(kje .vrsta -i) <= l) and (abs(kje .stolp-j) < =1))) then begin g[i,j]:=n ; {V predlagani kvadra tek postavimo n. } {Pri naslednjem koraku moramo poznati prejsnjo potezo, da} { lahko preve rimo, ce kvadratka, v katera smo vstav ili} { zaporedni stevili, nimata skupnih oglisc.} p.vrsta :=i; p.stolp:=j ; Poskusi(n+1 ,p); g[i,j]:=O; {Po vrnitvi predhodno potezo zbrisemo.} 192 end; { ir} end; { ir} end ; { else } end; { Poskusi} begin ClrScr; for i:=l to 4 do for j:=l to 3 do g[i,j] :=O; g[l, l ]:=9; g[I,3] :=9; {Na zaeetku so vsa polja prazna .} {" Odvecne" kvadratke oznacimo z} { devetkami.} g[4,1] :=9; g[4,3]:=9 ; {Da bomo nasli vse resitve, poskusamo postaviti enko na} {vsa mesta.} {Rekurzivno poskusimo postaviti se ostala} {stevila.} {Po poskusu prejsn]o postavitev enke zbrisemo.}g[i ,j]:=O; end; for i:=l to 4 do for j:=l to 3 do if g[i,j]<>9 then begin {Seveda jo moramo postaviti v lik.} {V izbrani kvadratek postavimo enko in si zapomnimo koordinate .} q.vrsta .e-i: q.stolp :=j ; g[i,j]:=l ; Poskusi(2,q) ; end . Bralcem, ki imajo radi računalništvo, pa v izziv postavljam še problem, ki se mi je porodii ob prvi uganki: koliko rešitev ima prva uganka, ce pog oje omil imo tako, da sosednji števili ne smeta biti v kvad ratkih s skupn o st ra nico . Ugotovili boste, da presenetljivo veliko. Marjan Jerman ZLOŽEN KA - Rešitev s str. 115 Stavra V. Redojkovlč K O C K [AJ M O N [Q] M M I lliJ O R M [TI N U S ~ I N U S Vilko Domajnko zna . TANGRAMSKI PARADOKSI .Naj brŽ sta Američan Sam Loyd (1841 - 1911) in Anglež Henry Ernest Dudeney (1857 - 1930) poznana marsikateremu bralcu Preseka , saj njunega deleža na področju rekreacijske matematike preprosto ni moč spregledati . Oba sta zapustila opazne prispevke tudi v igri tangram. Poleg tega , da je vsak izmed njiju objavil precej originalnih tangramskih likov, sta si privoščila tudi kakšno prav duhovito šalo na račun logike. Seveda s pomočjo tangrama . Tako je Loyd avtor prvih treh tangramskih paradoksov, ki jih vidite na sliki, četrti pa je Dudeneyev . Oglejmo si risbice nekoliko pozorneje in poskušajmo ujeti njihovo spo- ročilo . Na prvi pogled se zdi , da je pri vsakem izmed štir ih primerov vse v kar najlepšem redu in da ni na njih naj- ti nič nenavadnega . Lepo je nam- reč videti, da je pri vsakem izmed štirih parov figura na levi sestavlje- na iz (najb rž) vseh sedmih tangram- skih ploščic , pri vsaki desni figuri pa manjka po ena izmed ploščic . Da, če bi bilo zares tako, .. . - saj potem v teh štirih risbicah ne bi bilo nobenega paradoksa! Ven- dar pa Loyd in Dudeney trdita , da je prav vsak izmed osmih narisa- nih likov sestavljen iz vseh sedmih ploščic! ln prav to je tisto, kar nape- ljuje k paradoksalnosti . Postavlja se namreč vprašanje - le kako lahko manjka nekaj , kar očitno nikakor ne sme manjkati? Tako, zgolj toliko. Levji delež zabave prepuščam bralcu . Zagat- nost teh štirih tangramskih parado- ksov naj si razloži, kakor pač ve in .. , ' '::''~ - - ' '- ". ! Slika 1. Ornamenti na marmo~ni oblogi s stilizi- ran imi rastlinskimi vzorci iz leta 970 (levo) , na kosu egipčanske tkanine iz 12. stoletja (desno), na čaši Karla Velikega iz 13. stoletja (v sredini). 1 :. .'. .. ~