IZBRANI PRISPEVKI DSI 2006
S Izbira optimalne odločitve z uporabo večkriterialnega programiranja in
mehke logike
Lidija Zadnik Stirn
Univerza v Ljubljani, Biotehniška fakulteta. Večna pot 33. 1000 Ljubljana iidija.zadnik@bf.uni Ij.sf
Povzetek
V podporo za primerjavo in rangiranje večkritenalnih stohastičnih odločitev smo oblikovali matematični model, ki teme!|i na analitičnem hierarhičnem procesu in teoriji mehke logike Odločitve so razvrščene na podlagi parnih pnmenav in metode mehkih dominantnih povezav. Z modelom lahko izberemo tisto odločitev, ki maksimira hkrati več kriterijev, kot na primer ekonomske, naravovarstvene in socialne, ob upoštevanju številnih omejitev m nejasno definiranih spremenljivk. Model ¡e ilustriran na enostavnem okoljskem problemu Ključne besede: večkriterialno odločanje, analitični hierarhični proces, mehke dominantne povezavs, optimalno uprsvljsnjs okolj3
Abstract
SELECTION OF AN OPTIMAL DECISION USING MULTI-CRITERIA PROGRAMMING AND FUZZY LOGIC
A mathematical decision support mode! for comparing and ranking multi-criteria stochastic solutions is presented The model is based on a concept of analytic hierarchy process and fuzzy set theory. The decisions are ranked using pairwise comparisons within fuzzy domination relations. The model enables to determine the decision that |ointiy maximizes multiple objectives, as for example, economic, ecological and social objectives, subject to prescribed constraints, and respects imprecision. To demonstrate the model, a case study involving management of a simplified environmental system is used.
Keywords: multi-criteria decision-making, analytic hierarchy process, fuzzy domination relations, optimal management of environmental system
1 UVOD
Pri optimalnem upravljanju s kakršnim koli sistemom, bodisi proizvodnim ali okoljskim, stoji odločevalec vedno pred odločitvijo, katero izmed možnih odločitev naj izbere, da bo ravnal najbolj racionalno. V podporo odlačevalcem za izbiro optimalne odločitve smo oblikovali matematični model. U modelu smo izhajati iz dejstva, da predstavlja problem izbire optimalne odločitve večkriterialni proces, pri katerem je treba upoštevati ekonomske, socialne in ekološke funkcije oziroma vloge in z njimi povezane koofliktne interese različnih udeležencev v procesu (sistemu) [7], Upravljanje s sistemom je namreč razpeto med možnosti (potenciale), ki jih daje sistem, zahteve tistih, ki s sistemom gospodarijo (lastniki) in zahtevami, ki jih postavlja družba [1] (slika 1). Nadalje je pomembno pojasniti, da obstoji razlika med funkcijo in vlogo sistema. Funkcije sistema so procesi, ki potekajo v vsakem sistemu neodvisno od človekovih potreb. Gre torej za delovanje sistema, ki se s časom malo spreminja. Blede na to so funkcije stabilne in predvidljive. Kot vlogo sistema pa pojmujemo sposobnost sistema (procesov), da zagotavlja dobrine in storitve, ki posredno ali neposredno zadovoljujejo
človekove potrebe. Uloge so izpostavljeoe spremembam časa, ker se s časom spreminjajo tudi človekove potrebe. Zato so vloge nestabilne in nepredvidljive [3]. Skladoo s sliko 1 lahko še poudarimo, da ima sistem, ki ga obravnavamo v tem prispevku, značilnosti javne dobrine. Za javne dobrine pa sta značilni netekmovalnost in neizločljivost [5], Netekmovalnost pomeni, da se v primeru, če neko dobrino uporablja posameznik, s tem ne onemogoči njene uporabe drugim posameznikom. Neizločljivost pa pomeni, da se porabe neke dobrine ne da prepovedati oz. da koristi od uporabe določene dobrine ni mogoče omejiti le na določenn skupino posameznikov.
Ob upoštevanju opisanih dimenzij veČkriterial-nega procesa so osnovni elementi modela za izbiro optimalne odločitve pri upravljanju s sistemom stanje (konfiguracija) sistema, možne odločitve in krileri-alne funkcije. Ker pa imamo pri določanju stanj in kriterijev opravka /. nejasno definiranimi spremenljivkami, smo v modelu uporabili mehko logiko. V modelu odločitve razvrstimo po pomembnosti in določimo optimalno z metodo parnih primerjav in
¿004- številka 3 -letnik XIV
upohtbki informatika 123
Lidija Zocir.ik Slirti: izbira optimalne odločitve i uporabo veikrlterialnega programiranja in mehke logike
Potencial sistema
PodraCje delovanja lastniki • sistem
Področje delovanja družba • sistem
Zahteve družbe
Področje dR lova n] a lastniki - družba
Zahteve In aktivnosti lastnikov
Slika 1 Upravljanje s sistemom je raketo meri druihn, lastnike in sistem
metodo mehkih dominantnih povezav. Pri tem ob-stojita dve možnosti: ali da so vsi kriteriji enako pomembni ali pa da so nekateri pomembnejši od drugih. V primeru, da so nekateri kriteriji pomembnejši, določimo kriterijem tako imenovane uteži. Pri tem uporabimo metodo analitičnega hierarhičnega procesa, Vse metode so na kratko predstavljene v naslednjem poglavju, kateremu sledi aplikacija modela in metod.
2 METODE, KI SESTAVLJAJO MODEL
2.1 Analitični hierarhični proces in mehka logika za identifikacija kriterijev
Izhajamo i/ dejstva, da odloče valeč pozna vse možne odločitve pri upravljanju s sistemom. Metodologija za določitev odločitev je opisana v |6|. Za vrednotenje odločitev in izbiro optimalne uporabimo kriterije. Določitev in vrednotenje kriterijev je kompleksna naloga. V predloženem modelu opišemo kriterije z atributi in nato uporabimo metodo analitičnega hierarhičnega procesa (AHI\ [4J> v kombinaciji z mehko logiko [8|. Metoda AHP lahko upošteva mnenje številnih ekspertov in uporabi kvantitativne kol tudi kvalitativne podatke. Temelji na parnih primerjavah, ki izražajo pomen posameznega atributa z. {(), 9) naraščajočo lestvico. Hierarhija kriterijev in atributov je predstavljena v obliki dveh nivojev. Na prvem nivoju se nahajajo kriteriji na drugem pa atributi, ki določajo
težo vpliva posameznega kriterija. V modelu ¡/.računamo težo vpliva posameznega kriterija poenostavljeno, in sicer kot linearno kombinacijo vplivov posameznih atributov, pri čemer upoštevamo tudi dejstvo, da imajo nekateri atributi večji vpliv (težo) na kriterij kot drugi. Skupen vpliv vseh atributov z vrednostmi x na kriterij k (k = 1,2,...,n, če imamo n kriterijev) označimo kot ck (na sliki 2 zapisan v kvadratku kriterija k) in ga izračunamo kot vsoto produktov med funkcijo pripadnosti u„ in utežjo wv posameznih atributov:
C* =Sw,U,
0)
Uteži atributov wv izračunamo z metodo Al IP na podlagi parnih primerjav med atributi. Uteži normaliziramo, tako da zavzamejo vrednosti med 0 in 1 in da velja V vv x -1. Vrednosti ux izražajo pripadnost atributa z vrednostjo x določenemu kriteriju. V modelu zaradi enostavnosti uporabljamo linearno funkcijo pripad nosti:
u = tli x J = i x
0	če x < a
I - ^ *" * če a < x < /i
p-a
če x > P
(2)
kjer je x vrednost atributa, ki jo v konkretnem sistemu dobimo z anketami, a in a pa sta mejni vrednosti posameznega atributa (tabela 1). Tudi vrednosti ck so med 0 in 1 (stika 2). Vrednost ck blizu I pomeni, da kriterij k veliko prispeva k celotni koristi posamezne odločitve, medtem ko pa vrednosti ck blizu (1 povedo, da kriterij k malo pripeva k celotni koristi odločitve.
2.2 Metoda parnih primerjat/ za razvrščanje odločitev
Odločitve d,,..„d,.......dr„ in njim pripadajoče vrednosti kriterijev (odločitveni faktorji) c^.....ct,...„c„
določajo vrstice oziroma stolpce matrike X-(xlk), Elementi xlk matrike X povedo, kako pomemben je posamezni kriterij oziroma odločitveni faktor ck za posamezno odločitev di (slika 2). Ker xik izvirajo iz anket (kvalitativnih podatkov), jih v modelu najprej normaliziramo, to pomeni, da pretvorimo njihove vrednosti v vrednosti med t) in 1. To naredimo tako, da vsak element matrike X delimo z največjim elementom v vrstici, v kateri se ustrezni element nahaja, kot kaže enačba (3). Tako dobimo matriko Y= (yik).
■
124 upuraeina informatika
2006 - številka 3 - lelnik XIV
Lidija Zadnik Stirn izbira optimalne odloiitve z uporabo večkritenalnega programiranja In mehke logike
	C1	... ct	.... Cn
di			
i		xik	
dn,			
Nato v matriko R' dodamo št1 stolpec Sj in vrstico bj, kjer sta S; in b| določena kot vsota i-te vrstice oziroma j-tega stolpca matrike R'. Vsota vrstice, s^ pove stopnjo, glede na katero odločitev d, dominira nad drugimi odločitvami, medtem ko bj meri dominira-nost drugih odločitev nad odločitvijo dr

'¡k
-,ks I.....n
(3)
max x ■
ik
Primerjave med odločitvami izvedemo s pomočjo mehkih podobnostnih primerjav kot je opisano v \2\. Z elementi matrike Y izračunamo elemente matrike (rij) kot je definirano z enačbo (4), kjer je d ustrezna funkcija, ki meri razliko med yik in y]k in c konstanta, ki mora biti izbrana tako, da velja OSr^dSl. Za vrednost konstante C je to edini pogoj, sicer pa izbira vrednosti konstante c nima vpliva na določitev podobnosti med odločitvami. Za funkcijo d(yjk,yjk) navadno izberemo kar direktno razliki) yat-y«! ali pa absolutno vrednost ra/like ylk- yjk. Če je vrednost r-( blizu vrednosti 1, pomeni, da sta odločitvi ds in dj primerljivi (podobni), če pa je vrednost r1( blizu 0, odločitvi d; in dj nista primerljivi.
= 1 - c
£ i y ¡k»y jk) k=i
(4)
2.3 Metoda mehkih dominantnih pouezau za identifikacijo optimalne odločitve
Določanje dominantnih odločitev temelji na mehkih dominantnih povezavah, kot je definirano v 12). Dominantne odločitve iščemo prek parov odločitev d, in d¡, ki nastopajo v matriki Y. Za vsak par odločitev df in d( definiramo matriko Dk(i,j), kjer je k-1,2,,.,, n in pomeni indeks kriterija:
Ok(iJ) =
0,če \'n -y¡k <0 za k-1,2,.,.,n (5) 0.5,čeyilL -yJk =0
Na podlagi matrik l\(i»j) izračunamo matriko
R'=(r tj')=
ru =<
^DL{it j),če i * j 0,če i = j
k i
za i,j = l,2,...,m (6)
3 flKOLJSKI PROBLEM ZA ILOSTRACIJO MODELA IN METOD
izberimo okoljski sistem, na primer gozd, ki predstavlja proizvodni sistem in ima hkrati vlogo javne dobrine. Interdisciplinarna skupina ekspertov je z namenom, da se določi optimalna strategija upravljanja s tem sistemom, raziskala procese v sistemu, in sicer z ekonomskega, okoljskega, socialnega, tehnološkega in družbenega vidika (na sliki 2 imamo tako na nivoju 1 podanih pet kriterijev; k-1 za ekonomski kriterij,...., k=5 za družbeni kriterij) ter določila vse možne odločitve [6]. V našem primeru obravnavamo štiri odločitve d,, d-j, d, in d., (na sliki 2 imamo prikazano le odločitev d,; za vse druge odločitve bi bila slika podobna). Tu bomo natančno prikazali le potek računanja vrednosti, ki nastopajo v matriki X, /a odločitev d|, saj je postopek računanja za druge odločitve podoben.
Tako imamo v tabeli 1 za odločitev d, dane povprečne vrednosti {vrednosti i/ anket, opisanih v [6]) za vrednosti atributov limitne vrednosti a in a, u(x) za d, izračunan po (2), in uteži wv. Uteži so biie dobljene s pomočjo ekspertnih mnenj. Eksperti so namreč naredili parno primerjavo za 4 atribute (količina proizvodnih in neproizvodnih dobrin, prodajne cene dobrin, stroški upravljanja in stroški raziskovanja sistema) glede na ekonomski kriterij, za 2 atributa (varovanje vode, zraka, zemlje, biodiverziteta) glede na okoljski kriterij, za 3 atribute (možnosti zaposlitve v sistemu, delovni pogoji, osebni dohodek zaposlenih) glede na sodiilni kriterij, za 3 atribute (uporabljena tehnologija, izobrazba zaposlenih, kvaliteta uporabljenih materialov) glede na tehnološki kriterij in za 3 atribute (možnosti dostopa in nabiranja dobrin, možnosti za rekreacijo, svež zrak in mir) glede na družbeni kriterij (stika 2). Tu je prikazano le računanje uteži z metodo Al II' za družbeni kriterij, kjer je v matriki A parnih primerjav atribut možnosti dostopa in nabiranja dobrin označen s Q, atribut možnosti za rekreacijo s P in atribut svež zrak in mir s 11:
2006 • številka 3 - letnik XIV
uporjbn» informatika 125
Udi|a Zadnik Stirn: Izbira optimalne odločitve z uporabo vedkriteriainega programiranja in mehke logike
g
h
Q v H
1
2
m
1/2 1
114
1
(a * r
\v = (t. 32 I
= 0.56
w
w
= 0.12

A
Tabela t Podatki o atributih za odločitev d, glede na ankete iz [G], enačbo 12) in metodo flHP
Atribut		Odločitev d, x vrednost	a	P	u(x)/d,	w,
Količina proizvodnih in neproizvodnih dobrin		2.67	1,82	d 50	0.32	0.20
Prudajne cene dobrin		3,69	1.60	4.30	0.77	0 34
Stroški upravl|sn|a		3.54	1.22	4,20	0,78	0.29
Stroški raziskovanja sistema		2.42	1 08	3.80	0 49	0,09
Varovanje vode, zraka, zemlje		4.50	2 30	4 60	0 96	0.66
Bi od iveri ite ta		3.97	245	4 80	0.35	0.34
Možnosti zaposlitve v sistemu		2,77	1.82	3.95	0 45	0.28
Da lovni pogoji		3.13	1.90	4.05	0.57	0.31
Osebni dnhorfek zaposlenih		4.50	2,10	4 90	0.68	0.41
Uporabljena tehnologija		3 69	2 10	4.G5	0 62	0 58
Izobrazba zaposlenih		340	1.80	4 10	0 82	0.12
Kvaliteta uporabljenih materialov		4 15	215	4.25	0.95	0.30
Možnosti do stopo in nabiranja dobrin		3B3	2 10	4 15	084	0 32
Možnosti za rekreacijo		4.62	3.12	4.98	0.B1	0 56
Svež zrak in mir		2.82	1.84	4 12	0.43	0,12
Z uporabo podatkov za u(x)/d, in wv v formuli (l) (zapisani so na nivoju 1 na sliki 2). Podobno izračuna-izračunamo vpliv posameznih kriterijev na odločitev mo vrednosti ck za druge tri odločitve. Rezultate zbe-dj: q=0.62, ^=0.75, c3=0.66, c4 = 0.74, in c5=0.77 remo v matriki X. iJo (3) izračunamo matriko Y.
Nivo 1 Kriteriji
Nivo 2 Atributi
Slika 2 Kriteriji in atributi za ocenjevanje odločitve d,
126 upob.1bhj INFORMATIKA	2006 ■ številka 3 - letnik XIV
Lidija Zjdmk Stirn: Izb i ra optimalne odločitve 2 uporabo veikriteriatnega programiranja in mehke logike
X:
	C1	ca	c3	Ü4	c5
d,	0.62	0.75	0.66	0 74	0 77
d3	0.73	0.62	0 56 .	0,72	0.92
d3	0.60	0.72	068	0.69	0.79
d,	0.74	0 67	0.66	0.71	0.85
d, d,
D4Ii,j]: d3 da
d,
0,5 0 0 0
d:
'3
1
0.5
0
0
1 1
0.3 1
04
1 1 0
0.5
	c,	c3		c4	Ca		d,	da	da	d4
d,	0.94	1	0.97	1	0.84	d,	0.5	0	0	0
d?	0.99	0.B3	0.82 .	0.97	1	d2	1	0.5	1	1
d3	081	0.96	1	0.93	086	Ds(i|: d3	01	0	0.5	0
d.	1	0 89	0 97	0.96	0.92	d.	1	0	1	0.5
V:
Uporabimo (4) in izračunamo matriko R, kjer smo vzeli za d(yik,yjk) = yik - yjk in c=0.6:
	di	d3	d3	d„
di	1	0,98	0.95	0.96
d3	0.98	1	0.86	0.92
d3	0.95	0.86	1	0.89
	0.96	0.92	0.89	1
R:
[/ matrike R lahko povzamemo, da sta najbolj primerljivi odločitvi d| in d:, ki bi lahko tvorili eno skupim) odločitev, čl1 bi odločitve razvrščali v skupine.
Z namenom, da bi odločitve razvrstili po pomembnosti in določili glede na izbrane kriterije optimalno, izračunamo po (fi) matriko R', ki sledi i/ matrik l\(i,j), k =1,2,3,4,5, ki so izračunane po (5).
Dfeti.j):
	di	d3	d3	
di	0.5	0	1	0
ds	1	0.5	1	0
d3	0	0	0.5	0
d,	1	1	1	0.5
	di	d3	da	du
d,	0,5	1	1	1
dg	0	0.5	0	0
d3	0	1	05	1
d„	0	1	0	0.5
	di	ds	d3	d4
d,	0.5	0	1	0.5
d2	0	0,5	0	0
d3	1	1	0.5	1
d*	0.5	1	0	0.5
R':
d, ds da d-j b.
d.
0 2 2
2.5 6.5
4 3 0 3 10
d4 2.5 2 2 0
65
s,
B.5 7 6
85
Iz vrednosti stolpcev s, v matriki R' sklepamo, da imata odločitvi d; in d , isti rang in sta boli pomembni kot odločitvi d2in d3. Velja torej: d, = d., > d: > d3. Katero odločitev naj bi sprejeli, dj ali d4, pa bi se lahko odloČili šele na podlagi nadaljnjih raziskav (poste-riorna analiza). Na podlagi vrednosti v matriki ii namreč sklepamo, d.i ti dve odločitvi nista enakovredni, pač pa konkurenčni.
a SKLEP
Predstavili smo model, ki ga je mogoče uporabiti za iskanje optimalnih odločitev v različnih sistemih, tako proizvodnih kot okoljskih in socialnih, ob upoštevanju Številnih kriterijev, ki so merjeni s kvantitativnimi kol tudi kvalitativnimi kriteriji. Vrednosti posameznih kriterijev, ki so opisani /, atributi, so dobljene z anketami (v anketiranje je pogosto vključena tudi širša javnost) ali pa so zbrane kol tehnični podatki. Testiranja modela so pokazala, da je uporabnost modela predvsem v tem, da od ločevalen ne sugerira optimalne odločitve na Osnovi vhodnih podatkov, temveč mu omogoča preverjanje variant in usklajevanje možnih rešitev /. različnimi eksperti in uporabniki sistema.
5 UIRI IN LITERATURA
[1]	BACHMANN. R. BERNASC0NI, A.: Neue Wege der forstlichen Plannung. Bundesamt fuer Urnwelt, Bern, 1996,
[2]	KAUFMANN, A. Introduction to the theory of the fuzzy subsets. Academic Press, New York, 1975.
ü
2
2DQ6 številka 3 - letnik XIV
vpokigni informatika 127
Lidija Zadruk Stifri: Izbira optimalni? odloči(vp z uporabo večkriterialncga programiranja in mehko logiko
[3]	MAVSAR. R.: Son i o-ekonomski pomen gozdov v Alpskem prostoru. Zbornik gozdarstva in lesarstva 77, 2005. str. 143-158.
[4]	SAATY, T. L Fundamentals of Decision Making and Priority Theory. RWS Publications, Pittsburgh, 1994.
[5]	TAJNIKAR, M.: Mikroekonomija s poglavji iz teorije cen. Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 2003.
[6]	ZADNIK STIRN, L.: A framework for generating development project alternatives. University of Ljubljana, Biotechnical Faculty. Ljubljana, 2003, 147 str.
|7] ZADNIK STIRM, L.: Decision making in natural resources and the environment regarding the interactions between experts and society. V: Quantitative modeling of human market interactions, The International Institute for Advanced Studies in Systems Research and Cybernetics, Windsor (Ont., Can,), 2004, str, 36-40.
[8] ZiMMERMANN, H. J. Fuzzy Sets: Decision Making and Expert Systems. Kluwer, Boston, 1987, 335 Str,
Lidija Zadnik Stim je doktorica in formacijsko-upravljavski h znanosti in profesorica za področje operacijskih raziskav na Univerzi v Ljubljani. Na Biotehniški fakulteti poučuje kvantitativne metode, matematične metode in metode operacijskih raziskovanj. Bila je gostujoči učitelj na univerzah v Triarju, ZRN in VVJSahington v SksUIu, ZDA. Njenu raziskovalno delu je usmerjene predvsem na področje metod optimiranja in v oblikovanje matematičnih modelov, ki služijo kot podpora pri sprejemaoju optimalnih odločitev pri upraviianju z različnimi sistemi ob upoštevanju ekonomskih, okoljevarstvenih m socialnih ciljev. Je predsednica sekcij za operacijske raziskave io podpredsednica 5DI
KOLEDAR PRIREDITEV
ICCD 3006 International Conference on Computer Design	1.-4. okt. 2006	San J ose. ZDA	htto ://www, iccd-confe renče.org
ASP LOS XII 12 International Conference on Architetural Support for Programming Languages and Operating Systems	21.-25, okt, 2006	San Jose. ZDA	http://www.pnnccton.edu/asplos06
Poslovna konferenca Menedžment poslovnih procesov - MPP 2006 Kako do konkurenčnega gospodarstva in uprave	30, nov.-l. dec. 2006	Ljubljana, Slovenija	
HiPEAC 2007 International Conference on High Performance Embedded Architectures & Compilers	29.-30, jan, 2007	Ghent. Belgija	http://www.hipeac.rtet/confercncc
Dnevi slovenske informatike 2007 DSI 2007 Z informatiko do novih poslovnih priložnosti	11-13. apr. 2007	Portorož, Slovenija	
128 uponiliiua informatika
2006 - MovilkaS - lelnik XIV