9 770351 665814 1 M A T E M A T IK A +F IZ IK A +A S T R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ T V O # ISSN 0351-6652 9 7 7 0 3 5 1 6 6 5 8 1 4 PR E S E K L E T N I K 4 8 ( 2 0 2 0 / 2 0 2 1 ) Š T E V I L K A 1              ̌:  ̌                  P                     Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 48, šolsko leto 2020/2021, številka 1 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Jure Slak (računalništvo), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2020/2021 je za posamezne naročnike 22,40 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka 6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 30 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikacij. Založilo DMFA–založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1300 izvodov © 2020 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 2117 ISSN 2630-4317 (Online) ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.) Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Pri- kaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem viš- jih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte- vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps . . . ), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri- ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni- štva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re- cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po- tem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu.         ̌           b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b     ̌         P 48 (2020/2021) 12 Slika črne luknje Slika prvega obrisa črne luknje je bil velik uspeh astrofizike, vendar podobno kot ostali znanstveni in tehnološki preboji tudi ta ne bi bil mogoč brez ma- tematike. S pomočjo geometrije, trigonometrije in kompleksnih števil so znanstveniki uskladili in zdru- žili ogromne količine podatkov osmih observatorijev v slikovno predstavo, za katero bi sicer potrebovali teleskop v velikosti Zemlje. Da so zagotovili nepri- stransko obravnavo podatkov, je signale analiziralo več neodvisnih ekip, ki so s pomočjo matematičnih metod podatke spremenile v sliko črne luknje, ki jo lahko vidite na tej strani. Ker so se slike različnih raziskovalnih skupin presenetljivo ujemale v tisoče- rih parametrih, je bil to dovolj trden dokaz, da so svetu lahko predstavili nekaj, kar je bilo prej nevi- dno. Slika je navdušila tudi, ker potrjuje mnoge teore- tične rezultate o črnih luknjah, ki izhajajo iz enačb splošne relativnosti. Čeprav so te enačbe zelo težko rešljive, je 50 let po njihovi postavitvi matematik Roy Kerr navdušil znanstveno srenjo z eksaktnimi reši- tvami enačb za primer vrtečih se črnih lukenj in s po- membnimi lastnostmi, ki jih opisujejo, npr. njihovo vrtilno količino. Takšne raziskave skušajo razumeti zelo pomembna, a na videz protislovna astronomska telesa, ki so hkrati črna in svetla ter imajo ogromno maso skoncentrirano v majhni točki. Boljše poznava- nje črnih lukenj bi lahko prispevalo celo k poenote- nju teorij kvantne mehanike in gravitacije. Kogar tema bolj zanima, si lahko prebere članek »Black hole imaged for first time«, ki ga je v reviji Nature aprila 2019 objavil Davide Castelvecchi. ˆ ˆ ˆ S  : Komet NEOWISE z uradno kataloško oznako C/2020 F3 so astronomi odkrili konec marca letos. Po prisončju je sicer prej skromni komet razvil velik prašnati in nekoliko manj izrazit ionski rep in postal v juliju viden že s prostim očesom. V začetku julija smo ga lahko občudovali na jutranjem nebu, od sredine julija pa na večernem nebu. NEOVISE je dolgoperiodǐcni komet z zelo ekscentrǐcno orbito in izhaja iz Oortovega oblaka, skrajnega roba Osončja. Njegovo jedro je veliko vsega 5 kilometrov. Fotografija: Andrej Guštin ̌  2 Slika črne luknje  4–5 Marija Vencelj (1941–2020) (uredništvo) 6–13 Glasbena lestvica (Marija Vencelj) 13–14 Skrita računa na vazi (Marija Vencelj)  15, 18–19 Slike znakov na morskih valovih (Nada Razpet)  23–26 Retrogradno gibanje (Vid Kavčič) ̌̌ 27–31 O predstavitvi podatkov v računalniku: cela števila (Jure Slak)  16–17 Nagradna križanka (Marko Bokalič) 20–22 Magneti 2: Kaj smo spoznali o magnetnih sučnih nihalih? – odgovor naloge (Mojca Čepič) 31 Rešitev nagradne križanke Presek 47/6 (Marko Bokalič)  priloga 11. tekmovanje iz znanja astronomije – šolsko tekmovanje priloga 58. fizikalno tekmovanje srednješolcev Slovenije – šolsko tekmovanje      P 48 (2020/2021) 1 3 Kazalo P 48 (2020/2021) 14 Marija Vencelj (1941–2020) ̌ Sredi junija 2020 je umrla upokojena višja pre- davateljica mag. Marija Vencelj, bivša odgovorna urednica Preseka. Urejala ga je v letih od 1991 do 2003 in obenem skrbela tudi za matematično vse- bino časopisa. Rojena je bila v Kranju, kjer se je šolala, preden je leta 1959 na Univerzi v Ljubljani začela študirati ma- tematiko. Diplomirala je leta 1963 kot pripadnica prve generacije t. i. tehničnih matematikov. V za- četku se je ukvarjala z numerično matematiko in bila v pionirskih časih računalništva na Slovenskem ena od prvih računalniških pogramerjev. Potem je po- stala asistentka na katedri za matematiko ljubljan- ske univerze, kjer je vodila vaje iz analize in dru- gih predmetov. Istočasno je na 3. stopnji v Zagrebu študirala topologijo in tam leta 1970 magistrirala. Čez pet let je bila v Ljubljani izvoljena za predavate- ljico (štiri leta kasneje za višjo predavateljico) in pri- čela predavati na pedagoški smeri matematike pred- met elementarna matematika z metodiko, v začetku osemdesetih let pa še voditi pedagoški seminar. Od tedaj je vse do svoje upokojitve imela na skrbi iz- obraževanje bodočih srednješolskih (in nekaj časa tudi osnovnošolskih) učiteljev matematike. Pripra- vljala jih je na pedagoški poklic, po njihovi diplomi pa z njimi še naprej sodelovala v zvezi s hospitaci- jami in nastopi vedno novih generacij študentov. Po- leg tega je predavala osnovno matematiko še na dru- gih, v glavnem tehniških, študijskih smereh ljubljan- ske univerze. SLIKA 1. Mag. Marija Vencelj (foto: Peter Legiša). Še bolj kot na pedagoškem je mag. Marija Vencelj zaznamovala slovensko matematiko na področju po- pularizacije matematike. V okviru stalnega strokov- P 48 (2020/2021) 1 5 nega izpopolnjevanja učiteljev matematike in na strokovnih srečanjih Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije je na seminarjih večkrat pre- davala učiteljem o različnih matematičnih temah. O njih in o številnih drugih zanimivostih iz elementar- ne matematike in njene uporabe je veliko pisala v slo- venske matematične časopise, kot so Presek, Obzor- nik za matematiko in fiziko ter Matematika v šoli. Za zbirko Knjižnica Sigma je prevedla Matematični leksi- kon za nematematike avtorja Zlatka Šporerja. Prispevala pa je svoj del tudi k drugim knjižnim iz- dajam pri društvu in drugje. Njeno glavno in najpomembnejše delo v zvezi s popularizacijo matematike pa je povezano prav s ča- sopisom, ki ga držite v roki. S Presekom je začela intenzivneje sodelovati konec osemdesetih leti prej- šnjega stoletja. Leta 1989 je postala članica uredni- škega odbora, čez dve leti pa odgovorna urednica in urednica za matematiko. To dolžnost je opravljala do leta 2003. Bila je prva, ki je Presek urejala tako dolgo obdobje; prejšnji uredniki so zdržali največ štiri leta. Urejala ga je z veliko predanostjo v skladu z njegovim poslanstvom, tj. širjenjem zanimanja za matematiko med mladimi, z veliko lastno angažira- nostjo in z občutkom za bralce. Imela je posluh za jezik, za lepo slovensko besedo in tudi smisel za či- sto tehnična vprašanja urejanja publikacije. S pri- merno in raznovrstno vsebino časopisa je skrbela za ohranjanje visokega strokovnega nivoja. Predvsem pa je v času urejanja, pa tudi še desetletje po tem, zelo veliko sama pisala v Presek. V njem je obja- vila (poleg 13 prevodov besedil drugih avtorjev) več kot 200 lastnih prispevkov, večino v zaporednih le- tih od 1988 do 2010, kakšno leto tudi več kot 20 zapisov. Med njimi je seveda veliko kratkih prispev- kov (raznih ugank, zanimivih igric in matematično pobarvanih zgodbic, posameznih domiselnih nalog in njihovih rešitev), a tudi daljših besedil (npr. ocene novih slovenskih knjig ali poročil o aktualnih doma- čih in tujih dogodkih o matematičnih temah). Ob- javila je celo nekatere prave več strani dolge stro- kovne razprave, nekatere v nadaljevanjih. Vsebin- sko je obravnavala naloge iz teorije števil (npr. razni kriteriji za deljivost, številski sestavi), tudi iz kom- binatorike, pa seveda številne probleme iz elemen- tarne geometrije (npr. različne konstrukcijske naloge in drugo), topologije (npr. mala šola topologije v več delih, vprašanje dimenzije). Daljše razprave je napi- sala tudi o geometriji (npr. Eulerjeva poliedrska for- mula, Cevov izrek, posebne konstrukcijske naloge, Pitagorov izrek, Reuleauxov trikotnik), kriptografiji (npr. šifriranje, tajnopisi), o uporabi matematike pri proučevanju naravnih in drugih pojavov (npr. ma- vrica, vzorci v naravi, urejena lepota rastlin: filota- ksa in Fibonaccijeva števila, matematika in glasba). O znamenitih svetovnih matematikih preteklih stole- tij najdemo serijo zapisov (o Sonji Kovalevski, Loba- čevskem, Descartesu, Hilbertu, Laplaceu, Da Vinciju, Galoisu, Vièteu, Abelu, Jacobiju, Cramerju, Gaussu, Bernoulliju in Eulerju), med poročili o aktualnem do- gajanju pa omenimo zapise o srečanju mladih razi- skovalcev, o petindvajseti obletnici smrti profesorja Plemlja, o državni znanstveni nagradi profesorju Vi- davu, o rešitvi Fermatovega problema, o prvem kon- gresu matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, o ustanovitvi Abelove nagrade in njenem prvem dobi- tniku, o 90-letnici profesorja Vidava ter o priznanju Preseku s strani Slovenske znanstvene fundacije. Za svoje pedagoško delo in za trud na področju popularizacije matematike je leta 1999 prejela dru- štveno priznanje, leta 2002 pa je gospa Marija Ven- celj postala častna članica DMFA Slovenije. Obema priznanjema se s posthumno zahvalo njenemu pre- danemu in požrtvovalnemu delu za mladino s tem zapisom pridružuje tudi uredništvo Preseka. *** V tej številki prinašamo ponatis dveh daljših člankov mag. Marije Vencelj s skupnim naslovom Glasbena lestvica iz prve in druge številke 16. letnika Preseka (1988/89) ter nalogo z naslovom Skrita ra- čuna na vazi iz prve številke 36. letnika (2008/09). ˆ ˆ ˆ www.presek.si dmfa-zaloznistvo.si       P 48 (2020/2021) 16 Glasbena lestvica M V Ste že kdaj pogledali v klavir pod tisti veliki po- krov, ki ga na koncertih dvignejo? Koliko strun skriva v sebi, posebno če ga primerjamo s kitaro ali violino! ln vendar je teh strun v nekem smislu malo, kot bomo videli. Da se bomo laže razumeli, si za začetek oglejmo nekaj fizikalnih in glasbenih pojmov. Pri tem se bo- mo omejili le na najnujnejše, kar potrebujemo za ta sestavek. Vsako nihajoče telo je izvir prostorskega longitudi- nalnega valovanja, ki se širi na vse strani in po vseh snoveh. Ena od bistvenih značilnosti nihanja telesa in z njim vzbujenega valovanja je njuna frekvenca, to je število nihajev v eni sekundi. Merska enota za frekvenco je 1 s´1, za katero pogosto uporabljamo tudi oznako 1 Hz (Hertz). Človeško uho je sposobno zaznati valovanje zraka v širokem frekvenčnem ob- močju od 16 do 20 000 Hz in ga pretvoriti v slušni dražljaj. Prostorsko longitudinalno valovanje v tem frekvenčnem območju imenujemo zvok. Zvok je to- rej vse, kar lahko slišimo. Nihajoče telo, ki je izvir zvoka, bomo imenovali zvočilo. Pomudimo se še malo ob zvoku. Zvočne pojave lahko razdelimo na tone, zvene in šume. Če obidemo strogo fizikalno definicijo, lahko rečemo, da je šum neurejena mešanica valovanj vseh mogočih frekvenc, ki jih s sluhom ne ločimo med seboj. Glede zvenov in tonov se glasbena in fizikalna definicija nekoliko raz- likujeta. Ton je s fizikalnega stališča zvok z neko na- tanko določeno frekvenco. Mi bomo takemu zvoku rekli čisti ali sinusni ton, za razliko od glasbenega tona. Ustvarimo ga lahko le umetno s tonskimi ge- neratorji. Glasbeni ton pa je posebna kombinacija čistih tonov. Poleg osnovnega, to je tona, ki ima v tej kombinaciji najmanjšo frekvenco, recimo f , na- stopajo v njej še tako imenovani delni ali alikvotni toni, to so sinusni toni, katerih frekvence so večkra- tniki frekvence osnovnega tona: 2f , 3f , . . . . V našem ušesu zveni taka kombinacija sozvočno. Dejansko posameznih delnih tonov s sluhom niti ne razločimo, zaznavamo eno samo tonsko višino – višino glasbe- nega tona. Ta je določena s frekvenco f osnovnega tona. Čim večja je ta frekvenca, tem višji se nam zdi ton. Od števila in medsebojnega razmerja jakosti po- sameznih delnih tonov pa je odvisna tako imenovana barva glasbenega tona. Več jih je, bogateje in pol- neje nam ton zveni. Na vprašanje, zakaj je tako, je odgovor preprost: tako smo pač narejeni. Glasbeni ton je poseben primer tistega, kar v fiziki imenujemo zven. Ta je sestavljen iz večjega števila čistih, ne nujno alikvotnih tonov. Razen za glasbene tone se pojma fizikalnega in glasbenega zvena ujemata. Za primer navedimo, da je zven npr. zvok zvona, gonga, činel. b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b frekvenca 260 294 330 349 392 440 494 523 ton c1 d1 e1 f1 g1 a1 h1 c2 TABELA 1.       P 48 (2020/2021) 1 7 Vsi zvoki lahko postanejo glasbeno gradivo. So- dobne skladbe vsebujejo tudi šume, evropska glasba zadnjih stoletij pa je uporabljala predvsem glasbene tone in zvene. Najosnovnejši zidaki so glasbeni toni. Kako neizmerno je to zvočno gradivo, povesta dva podatka. Da sega naše slušno območje od 16 Hz do 20 000 Hz, že vemo. Drugi podatek pa pravi, da smo v bolj občutljivem delu tega območja tja do 4000 Hz sposobni med seboj ločiti tona, ki se razlikujeta za vsega 1 Hz. Zato ni čudno, da si je človek že od nek- daj prizadeval v glasbo vnesti določeno enotnost in red. Nastali so razni tonski sestavi s svojimi glasbe- nimi lestvicami, ki so določale množico tonov, iz ka- tere je dani tonski sistem črpal svoje tone. Poznamo veliko lestvic, ki so bile v različnih zgodovinskih ob- dobjih različno pomembne. Prav gotovo vsi poznate C-durovo lestvico, ki je del zahodnoevropskega ton- skega sestava, v katerem oblikujejo skladbe že več kot tristo let. Poglejmo tabelo približnih frekvenc za tone prve oktave: Že iz tabele 1 lahko sklepamo, da v glasbi upo- rabljamo le majhno število tonov. V tem sestavku bomo pogledali, na osnovi kakšnih principov so iz- brani toni evropskega tonskega sestava in do kakšne mere so ta načela realizirana. Prej pa smo dolžni še neko pojasnilo. Zgoraj smo rekli, da so tonski sestavi nastali iz človekove želje po urejenosti v glasbi, ne nazadnje zaradi možnosti njenega zapisa. Mogoče pa se to vprašanje sploh ne bi pojavilo, ali vsaj ne s tako nujnostjo, če bi na vsa- kem glasbilu lahko dobili ton poljubne višine – glede na frekvenco zvezen zvok brez presledkov. Na šte- vilnih glasbilih – na kitari, violini, violončelu . . . – res lahko zaigramo poljuben ton (v mejah obsega glas- bila). Obstajajo po tudi instrumenti, katerih zgradba dopušča le razmeroma majhno število možnih tonov, denimo orgle, klavir, harfa. Če bi povečali število do- pustnih tonov v tonskem sistemu, bi to izredno po- večalo nekatere instrumente in zapletlo njihovo kon- strukcijo. Vidimo torej, da je tudi iz tehničnih razlo- gov potrebno, da vsebuje glasbena skala razmeroma malo tonov. Pozoren bralec je lahko opazil, da smo že dva- krat primerjali klavir z godali. Ugotovili smo, da ima klavir precej strun, pa zmore razmeroma malo to- nov, violina pa ima strun malo, tonov pa lahko iz nje izvabimo zelo veliko. Kako razložiti to navidezno nasprotje, še večje, ker je v obeh glasbilih osnovno zvočilo struna? Za to je potrebno vedeti, kako niha struna, in pozorno opazovati igri violinista in piani- sta. Nihanje strune je mogoče teoretično obravnavati s sredstvi višje matematike. Pojav je zelo zanimiv za fiziko, pa tudi z glasbenimi instrumenti se da na- praviti nekatere poskuse, ki nam dajo določene in- formacije o frekvencah, s katerimi struna niha. Mi se bomo tu seznanili le z rezultati. Najprej povejmo, da struna nikdar ne niha z eno samo frekvenco. Po- leg najmanjše frekvence, s katero niha, to je osnovne lastne frekvence f , niha še z vsemi frekvencami, ki so večkratniki te osnovne frekvence. Struna torej ne oddaja čistega tona, ampak glasbeni ton. Osnovna frekvenca f oziroma višina tona je odvisna od karak- teristik strune. To so dožlina in presek strune, go- stota materiala, iz katerega je narejena, ter velikost sile, s katero je struna napeta. Pri dani struni sta njen presek in gostota materiala določeni, nespremenljivi količini. Pač pa lahko npr. spremenimo silo, s katero je struna napeta. Vsi smo že kdaj videli violinista pri uglaševanju violine. Dejansko pri tem s sukanjem ključev na vratu violine uravnava velikost sil, ki na- penjajo strune. Podobno je pri klavirju. Od časa do časa vijaki, s katerimi so napete strune, popustijo in poklicati je treba uglaševalca. – Pa denimo, da sta sedaj violina in klavir vsak po svoje dobro ugla- šena. Torej o višini tona odloča le še dolžina strune. No, tu pa je bistvena razlika med klavirjem in vio- lino. Klavirske strune določenih dolžin so pritrjene lepo na varnem v resonančni omari instrumenta. Pi- anist povzroči, da struna zaniha, tako da udari tipko klaviature, udarec pa se nato preko kladivca prenese na struno. Po vsem, kar smo povedali, je očitno, da lahko iz klavirja izvabimo kvečjemu toliko glasbenih tonov, kot je v njem strun. Drugače je z violino. Vi- olinist povzroči nihanje strune tako, da potegne po njej z lokom. Istočasno s prsti proste roke pritiska strune ob podlago in pri tem mesto pritiska nepre- stano menjava. S tem spreminja dolžino nihajočega dela strune in z njo tonsko višino. Očitno torej res lahko na violino zaigramo poljuben ton v mejah nje- nega obsega. Povrnimo se sedaj k našemu problemu. Radi bi odgovorili na vprašanje, zakaj so ravno nekateri toni vključeni v glasbeno skalo. Konstrukcija glasbene skale ni tako preprosta kot na primer zgradba temperaturne skale. Tam je inter-       P 48 (2020/2021) 18 SLIKA 1. val med zmrziščem in vreliščem vode razdeljen na sto enakih delov. Pri glasbeni skali pa je treba upo- števati določena načela, ki slede iz narave zvočil in iz občutkov, ki jih v nas ustvarjajo razne kombina- cije tonov. Po prvem načelu je treba skalo izbrati tako, da bodo uporabljeni toni najbolj sozvočni. Po- vedali smo že, da so toni dvojne, trojne, . . . frekvence povsem sozvočni s tonom osnovne frekvence. To- rej moramo zahtevati, naj glasbena skala hkrati s to- nom frekvence f vsebuje vsaj ton frekvence 2f . Če bomo govorili tudi o frekvencah, manjših od f , bomo najprej postavili zahtevo po tonu frekvence f {2. In- terval med danim tonom in tonom dvojne frekvence imenujemo oktava. Je kar precej širok in za glasbo so samo oktavni intervali premalo. Pri izbiri nadalj- njih tonov, ki naj zapolnijo oktavne intervale, mo- ramo izpolniti še en pogoj. Vsi vemo, da lahko isto pesem pojemo više ali niže, pač glede na glas. Če zanemarimo ritem, torej o melodiji ne odloča zapo- redje tonov določenih višin, saj bi se ob prenosu na višje ali nižje sicer skazila. Tudi razlike med frekven- cami zaporednih tonov niso odločilne za melodijo, kot bi kdo lahko prehitro napak pomislil. Isto me- lodijo slišimo, če je razmerje frekvenc tonov, ki jo sestavljajo, obakrat isto. Spet bomo rekli, da smo tako narejeni. Prenesti melodijo više torej pomeni izvesti jo z drugimi, primerno višjimi toni, toda z natančno ohranitvijo razmerij frekvenc tonov, ki jo sestavljajo. Naša druga zahteva, ki jo bomo posta- vili pri konstrukciji glasbene skale, bo sposobnost poljubnega prenosa katerekoli melodije više ali niže. Predpostavimo, da smo uspeli konstruirati tako skalo, to je skalo, ki izpolnjuje naslednja pogoja: a) hkrati s tonom frekvence f vsebuje tudi tona frekvence 2f in f {2, b) dopušča naj prenos vsake melodije brez skaže- nosti. Denimo, da so v tej skali v mejah ene oktave toni naslednjih frekvenc: f “ f0 ă f1 ă f2 ă . . . ă fm´1 ă fm “ 2f Že zaporedje teh tonov pomeni preprosto melodijo. Prenesimo jo navzgor neskvarjeno tako, da bo naj- nižji ton f0 prešel v f1. Nova melodija bo začela s to- nom f1 in se končala z nekim tonom fm`1, ki mora biti oktavni dvakratnik tona f1, ker je fm “ 2f0. Po- leg tega mora biti razmerje med prvim in zadnjim tonom melodije obakrat isto. Ton fm`1 je že višji od zadnjega tona fm v oktavi, je pa prvi za njim. Res. Če bi naša skala vsebovala neki ton f 1 med fm in fm`1 “ 2f1, potem bi bil zaradi zahteve a) v njej tudi ton f 1{2, za katerega bi iz 2f0 “ fm ă f 1 ă fm`1 “ 2f1 sledilo: f0 ă f 1{2 ă f1. To pa je protislovje, ker med f0 in f1 po predpo- stavki ni nobenega tona v skali. Naša začetna melodija sestoji iz pm` 1q različnih tonov. Navzgor prenešena jih ima seveda prav toliko, začenja pa s tonom f1 in končuje s tonom fm`1. To- rej mora porabiti ravno vse tone od f1 do fm`1 in je takale f1 ă f2 ă . . . ă fm ă fm`1. Ker mora biti zaradi zahteve b) neskvarjena, sledi od tod enakost razmerij: f1 f0 “ f2 f1 “ f3 f2 “ . . . “ fm`1 fm . Zahtevama a) in b) torej lahko ustrezajo le tako ime- novane enakorazmerne skale. Matematično se lepše sliši, če rečemo, da morajo frekvence f0, f1, f2, . . . , fn tvoriti geometrijsko zaporedje. Začetni člen je f0, poiščimo še količnik. Če ga označimo s q, imamo fm “ qmf0 “ 2f0, torej qm “ 2. Skala bo natančno določena, če bo znano število m, to je število stopničk med f0 in 2f0.       P 48 (2020/2021) 1 9 Geometrijsko zaporedje navadno podamo z zače- tnim členom, količnikom in številom členov. Pri glas- beni lestvici je naravneje podati namesto začetnega člena kakšen ton iz dobro slišnega območja, takšen, ki ga lahko zaigramo na večino inštrumentov in ki ga lahko zapoje večina ljudi. Po mednarodnih stan- dardih je to ton a1, ki ima frekvenco 440 Hz. Le- genda pripoveduje, da je v starem veku vsako jutro ob zori oddajal ta ton ogromen Memnonov steber v bližini egipčanskih Teb, tako da so po njem glasbe- niki lahko uglaševali svoje inštrumente. Steber naj bi prenehal zveneti ob začetku našega štetja. Danda- našnji pa ta ton oddajajo običajno glasbene vilice, ki jih uporabljajo uglaševalci. Od tona a1 navzdol in navzgor je nato zgrajeno geometrijsko zaporedje teoretično smiselno do mej našega slušnega območja. Ugotovili smo že, da ustreza količnik tega zapo- redja enačbi qm “ 2 (1) kjer je m naravno število, ki pove, na koliko delov je razdeljen oktavni interval. Število m ne sme biti pre- veliko, ker bi bila potem tudi nekatera glasbila pre- velika; prav tako ne more biti enako ena, ker bi bila glasba s samimi oktavnimi intervali revna. Število m pa je sicer lahko še poljubno, kar nam omogoča, da za glasbeno skalo postavimo še kakšno dodatno zah- tevo. Lahko bi npr. v glasbeno lestvico na intervalu pf ,2f q uvedli kakšen tak ton, ki bi bil lepoti glasbe posebej v prid. Sama od sebe pa se ponuja tudi misel, naj bi bil v skali razen 2f denimo še alikvotni ton 3f (ton frekvence 4f je kot dvakratnik 2f že vključen). Videli bomo, da si želji pravzaprav ne nasprotujeta. Poleg pogojev a) in b), ki smo ju postavili v prvem delu, postavimo torej še pogoj c) hkrati s tonom frekvence f naj vsebuje skala tudi ton frekvence 3f . Ker mora zaradi pogoja a) skala z vsakim tonom vse- bovati tudi ton polovične frekvence, to pomeni pri- sotnost tona 32f v skali. Ta ton pa leži med f in 2f . Interval ´ f , 32f ¯ se imenuje čista kvinta, harmo- ničen (sočasen) zveni posebej lepo. Dejstvo, da člove- škemu ušesu čista kvinta lepo zveni, potrjujejo tudi analize narodne glasbe. To je eden intervalov, ki naj- pogosteje nastopajo v narodni glasbi večine evropskih narodov. Zdi se, kot da smo pri koncu naše naloge. S po- močjo pogoja c) bomo določili še eksponent m iz enačbe (1) in delo bo opravljeno! Pa temu ni tako! Vse skupaj se šele sedaj prav zaplete: čiste kvinte v enakorazmerni razdelitvi ok- tavnega intervala ni mogoče realizirati. Nobeno geometrijsko zaporedje namreč ne more hkrati vsebovati členov f , 32f in 2f . Res! Za vsako geometrijsko zaporedje s količnikom q, katerega čle- na sta f in 2f , velja enačba (1) za neki m P N. Če bi tako zaporedje vsebovalo še člen 32f , bi to pomenilo, da obstaja tako naravno število k, za katerega je fqk “ 3 2 f , (2) torej qk “ 3 2 za neki k P N. S potenciranjem dobimo iz enačbe (1) qkm “ 2k in iz enačbe (2) qkm “ ˆ 3 2 ˙m . To da 2k “ ˆ 3 2 ˙m (3) oziroma 2k`m “ 3m. (4) Enačba (4) pa je za k,m P N protislovna, saj imamo na levi sodo, na desni pa liho število. Čiste kvinte torej v enakorazmerni skali ni! Kaj sedaj? Treba se bo nečemu odpovedati. Ena- korazmerni skali bi se zaradi prenosa melodij težko, laže se odpovemo čisti kvinti. Natančneje povedano, odpovemo se njeni čistosti, kvinti sami pa pravza- prav ne. To naredimo z izbiro takega m v enačbi (1), da bo v enakorazmerni skali nastopal tudi ton, ki bo dober približek za 32f . Dober približek pomeni to, da naše uho ne bo zaznalo razlike, torej se bo moral ta približek v slušno najbolj občutljivem območju raz- likovati od 32f za manj kot 1 Hz. Videli bomo, da       P 48 (2020/2021) 110 se to res da doseči in to pri relativno majhnem m. Poglejmo! Potrebovali bomo nekaj več matematičnega zna- nja kot doslej. Nadomestimo obe strani enačbe (3) z njunima logaritmoma z osnovo 2. Če nato še de- limo z m, dobimo k m “ log2 3 2 . (5) Ker ni takih naravnih števil k in m, ki bi ustrezali enačbi (3), sledi, da ni takega ulomka km , da bi bila izpolnjena enačba (5). Lepše povedano: log2 3 2 ni ra- cionalno število. So pa racionalna števila povsod go- sta v množici realnih števil. To pomeni, da lahko k vsakemu realnemu številu najdemo tak racionalen približek, da bo razlika med njima poljubno majhna. Torej obstaja tudi tak ulomek km , ki bo za naše po- trebe dovolj blizu števila log2 3 2 . Za konstrukcijo racionalnih približkov iracional- nih števil so zelo dobro sredstvo tako imenovani ve- rižni ulomki, to so izrazi oblike a1 ` 1 a2 ` 1 a3 ` 1 a4 ` . . . kjer so a1, a2, a3, . . . naravna števila, a1 pa je lahko tudi 0. Vsako pozitivno realno število lahko na en sam način razvijemo v verižni ulomek – neskončen, če je število iracionalno. Najnujnejše informacije o verižnih ulomkih, kakor tudi to, kako pridemo do razvoja števila log2 3 2 v verižni ulomek, boste našli v dodatku ob koncu tega sestavka. Zapišimo nekaj prvih členov tega razvoja: log2 3 2 “ 1 1 ` 1 1 ` 1 2 ` 1 2 ` 1 3 ` . . . (6) Vrednosti zaporednih delnih ulomkov 1 1 “ 1, 1 1 ` 1 1 “ 1 2 , 1 1 ` 1 1 ` 1 2 “ 3 5 , 1 1 ` 1 1 ` 1 2 ` 1 2 “ 7 12 , 1 1 ` 1 1 ` 1 2 ` 1 2 ` 1 3 “ 24 41 , itd. so čedalje boljši racionalni približki števila log2 3 2 . Povejmo še to, da so približki, ki jih dajejo delni ulomki verižnega ulomka, v nekem smislu najprepro- stejši racionalni približki danega števila. Velja na- mreč, da ima vsak ulomek, ki dano število aproksi- mira bolje kot neki delni ulomek temu številu prire- jenega verižnega ulomka, imenovalec večji od imeno- valca tega delnega ulomka. Za nas je ta vidik še kako pomemben. Imenovalec ulomka km , ki ga bomo vzeli za približek števila log2 3 2 bo, kot vemo, pomenil šte- vilo tonov v eni oktavi. Torej bomo dobili z verižnimi       P 48 (2020/2021) 1 11 ulomki optimalno aproksimacijo kvinte glede na šte- vilo tonov v eni oktavi. Poglejmo zaporedne približke! Prva dva: 1 in 1/2 sta pregroba že na prvi pogled. Izračunajmo, kako natančen približek čiste kvinte v prvi oktavi dajejo naslednji ulomki. Prva oktava začenja s tonom c1, ki ima frekvenco 262 Hz. Torej nas zanima aproksi- macija tona s frekvenco 32 ¨ 262Hz “ 393 Hz. Če vzamemo tretji približek, torej log2 3 2 « 3 5 , je 3 2 « 23{5. Hitro lahko izračunamo, da je 23{5 ¨ 262 Hz “ 397 Hz. To pa je preslab približek za 393 Hz, saj je razlike kar za 4 Hz. Po teoriji mora biti naslednji približek boljši. Res dobimo za km “ 7 12 vrednost 27{12 ¨ 262 Hz “ 392,5 Hz, kar pomeni aproksimacijo čiste kvinte na 0,5 Hz natančno. Zato se bomo odlo- čili za približek 712 . To sicer pomeni, da bo napaka čiste kvinte v drugi oktavi, kjer so vse frekvence po- množene z dva, že enaka 1 Hz. Toda raje se bomo sprijaznili s tem, kot da bi vzeli naslednji približek, ki nam ponuja kar 41 stopenj v eni oktavi. Vidimo torej, da tako imenovana dvanajststopenj- ska enakorazmerna lestvica uspešno reši naš problem. Omeniti pa moramo še nekaj. Iz analize narodne in umetne glasbe sledi, pa tudi teoretično lahko spoznamo, da so poleg oktave in kvinte v glas- bi pomembni še nekateri intervali, npr.: velika se- kunda ´ f , 98f ¯ , mala terca ´ f , 65f ¯ , velika terca ´ f , 54f ¯ , kvarta ´ f , 43f ¯ , mala seksta ´ f , 85f ¯ , ve- lika seksta ´ f , 53f ¯ , velika septima ´ f , 158 f ¯ . Tudi ti intervali so v dvanajststopenjski lestvici dokaj do- bro aproksimirani, čeprav ne tako zelo dobro kot kvinta. Še najbolj moti slaba velika terca, pomemben interval, aproksimiran v prvi oktavi le z natančnostjo 2,5 Hz. Tako smo matematični del naloge opravili. Glas- bena lestvica je torej zaporedje tonov, katerih fre- kvence tvorijo geometrijsko zaporedje s členom a1, ki ima frekvenco 440 Hz, in količnikom q “ 12 ? 2, kar za m “ 12 izračunamo iz (1) . Glasbeniki tako izbiro osnovnih zidakov glasbe imenujejo tudi dvanajststo- penjske temperirana uglasitev. Frekvenci dveh sosednjih tonov v skali se torej raz- likujeta za faktor 12 ? 2. Ta najmanjši možni zvočni in- terval imenujemo polton. Interval, ki sestoji iz dveh sosednjih poltonov, se imenuje cel ton. Poleg tona a1 imajo imena tudi drugi toni glasbene lestvice. Vsa skala je razdeljena na oktave, istoležni toni v posameznih oktavah imajo isto ime. Iz katere oktave so, ločimo z indeksi ali velikostjo črke, npr. A, a, a1, a2, . . . Razdelitev na oktave je prikazana na sliki 2. Poimenujmo sedaj tone prve oktave. V njej leži tudi ton a1, in sicer devet poltonskih stopenj za za- četnim tonom. Začetni ton se imenuje c1. Najprej poimenujemo osnovne tone, to so toni, ki so v naši le- stvici približki za veliko sekundo, veliko terco, kvarto, kvinto, veliko seksto in veliko septimo. V raz- dalji celega tona od c1 je ton d1, še cel ton dalje je e1 in še pol tona više f1. Ti štirje osnovni toni tvo- rijo tako imenovani tetrakord. V drugem delu oktave imamo drugi tetrakord, kot melodija identičen s pr- vim. Začenja z g1, ki tvori s c1 kvinto, čez cel ton imamo a1, še čez cel ton h1 in nato še polton do c2. To pa je že oktavni dvakratnik c1 in smo ga zato spet imenovali c. To so toni, za katere smo navedli fre- kvence v tabeli 1 na začetku sestavka. Zaigramo jih lahko z belimi tipkami na klavirju. Ostalo nam je še pet tonov. Tem damo imena po sosednjih osnovnih tonih z dodajanjem besedice is ali es, kar pomeni za polton više ali za polton niže od ustreznega osnov- subkontraoktava kontra- oktava velika oktava mala oktava prva oktava druga oktava tretja oktava četrta oktava peta oktava SLIKA 2.       P 48 (2020/2021) 112 1 2 3 4 5 mala oktava prva oktava druga oktava g a h c1 d1 e1 f1 g1 a1 h1 c2 d2 e2 1´ cis “ des 2´ dis “ es 3´ fis “ ges 4´ gis “ as 5´ ais “ hes (tudi b) SLIKA 3. nega tona. Na klavirju jih predstavljajo črne tipke (slika 3). »Melodija« iz osnovnih tonov c, d, e, f , g, a, h, c se imenuje C-durova lestvica. Če to melodijo pre- nesemo nespremenjeno navzgor, z začetki na različ- nih mestih v oktavi, dobimo še 11 durovih lestvic. Vsaka nosi ime po svojem začetnem tonu. Obstaja pa še 12 tako imenovanih molovih lestvic. Tako ima c-molova lestvica melodijo: c, d, es, f , g, as, b, c. Ostale dobimo z ustreznim prenosom. Medtem ko je intervalni sestav durovih lestvic: cel ton, cel ton, polton, cel ton, cel ton, cel ton, polton, imamo za molove lestvice: cel ton, polton, cel ton, cel ton, pol- ton, cel ton, cel ton. Praviloma so skladbe pisane v nekem izbranem duru ali molu, pri čemer – razen morda na redkih posamičnih mestih – uporabljajo le tone ustrezne lestvice. Drugače izbrani osnovni toni molskih tonalitet vnašajo v melodije neko prikrito di- sonanco, zato imajo v molu pisane skladbe značilen mehko otožen značaj. Za zaključek omenimo še nekaj, česar glasbena te- orija doslej še ni povsem razjasnila. Naša zgornja premišljanja nas silijo k zaključku, da vseh 12 duro- vih tonalitet identično zveni, podobno vseh 12 mo- lovih. Vendar glasbeniki ugotavljajo, da imajo po- samezne tonalitete individualne lastnosti. Tako npr. C-dur ustvarja sončne, jasne, spokojne občutke (Be- thovnova »Aurora«), E-dur strastno napeto pričako- vanje (številna Lizstova dela, Čajkovskega »Bo pre- vladal dan«) in Fis-dur romantično veselje (Griegova »Pomlad«). Možato žalost oznanja c-mol (»Posmrtna koračnica« iz Bethovnove simfonije »Eroica«), globo- ko tragiko es-mol (arija Pauline iz Čajkovskega opere »Pikova dama«). Ni povsem jasno, ali gre pri tem za ustaljeno tradicijo ali za kako objektivno za- konitost. Dodatek Verižni ulomki Verižni ulomki so bili in so še predmet številnih ma- tematičnih raziskav. Obstajajo cele knjige, ki obrav- navajo le verižne ulomke. Če zapišemo neko pozitivno realno število a v obliki a “ a1 ` 1 a2 ` 1 a3 ` 1 a4 ` . . . (7) kjer so členi a1, a2, a3, . . . naravna števila, a1 pa je lahko tudi 0, pravimo, da smo število a razvili v veri- žni ulomek. Tako je npr. 7 4 “ 1 ` 1 1 ` 1 3 in ? 2 “ 1 ` 1 2 ` 1 2 ` 1 2 ` . . . kjer se člen 2 ponavlja v nedogled. Verižni ulomek je torej lahko končen ali neskončen. Ni pa nujno, da je periodičen, kot je naš drugi zgled. Končne veri- žne ulomke imajo racionalna števila, neskončne vsa ostala.       P 48 (2020/2021) 1 13 Verižne ulomke a1, a1 ` 1a1 , a1 ` 1 a2` 1 a3 , . . . ime- nujemo delni ulomki verižnega ulomka (7). Njihove vrednosti so očitno racionalna števila. Te vrednosti konvergirajo k številu a, vsaka naslednja je bliže a od vseh prejšnjih. Kot zanimivost povejmo še, da so izmenično ena manjša, druga večja od a. Kako po iščemo nekaj začetnih členov verižnega ulomka, če je število a iracionalno, ilustrirajmo na primeru a “ log2 32 . Po definiciji logaritma je 2a “ 3 2 . (8) Ker je a ă 1, je a1 “ 0. Člen a2 bomo dobili kot celi del števila x “ 1a . Iz (8) dobimo ˆ 3 2 ˙x “ 2. (9) Ker je ˆ 3 2 ˙1 “ 3 2 ă 2 in ˆ 3 2 ˙2 “ 9 4 ą 2 leži x med 1 in 2, torej je a2 “ 1. Zapišimo sedaj x “ 1 ` 1y . Izračunajmo a3, ki mora biti celi del števila y . V ta namen preoblikujmo enačbo (9) v 3 2 ¨ ˆ 3 2 ˙1{y “ 2, od koder dobimo ´ 4 3 ¯y “ 32 . Spet ugotovimo, da je ´ 4 3 ¯1 ă 32 ă ´ 4 3 ¯2 “ 169 , kar pomeni, da je a3 “ 1. Če tako nadaljujemo, dobimo še a4 “ a5 “ 2 in a6 “ 3, tako, da je začetek razvoja števila log2 3 2 tak, kot ga kaže formula (6). Literatura [1] G. E. Šilov, Prostaja gama – Ustrojstvo mu- zykal’noj škaly, Moskva, 1980. [2] Leksikon CZ, Glasba, Ljubljana 1980 [3] H. Davenport, The higher aritmetic, New York, 1960. [4] J. Grasselli, Diofantske enačbe, DMFA SRS, Lju- bljana, Knjižnica Sigma 38, 1984. ˆ ˆ ˆ Skrita računa na vazi M V Matematiku so prijatelji za rojstni dan poklonili šopek vrtnic z vazo, na katero so napisali dva skrita računa seštevanja, enega v angleškem in drugega v francoskem jeziku.1 1Računa so prijatelji priredili iz ene od angleških knjig rekre- ativne matematike.       P 48 (2020/2021) 114 Poskusite ju rešiti tudi vi. Za reševanje veljajo pra- vila, ki so pri takih nalogah običajna. Nad vodoravno črto so skrito zapisani seštevanci, pod njo njihova vsota. Enake črke moramo nadomestiti z enakimi de- setiškimi števkami in različne z različnimi tako, da dobimo pravilen račun. Vodilne števke nastopajočih števil so od nič različne. H A P P Y H A P P Y H A P P Y D A Y S A H E A D 1. račun (slika 1) V nalogi je pravzaprav v angleščini zapisano vo- ščilo prijatelju (happy = srečen, day(s) = dan (dnevi), ahead = spredaj, v prihodnje). Računi, ki imajo, tako kot tale, tudi v skriti obliki določen pomen, so nekaj posebnega in jih je težko sestaviti. Posebej imenitni so taki, ki imajo samo eno rešitev. U N U N D E U X D O U Z E DOUZE | D O U Z E S E I Z E 2. račun (slika 2) Tudi drugi račun ima pomen že v skriti obliki. Po- glejmo prevod uporabljenih francoskih besed: un = ena, deux = dve, douze = dvanajst in seize = šest- najst. Res je 1 ` 1 ` 2 ` 12 “ 16. Pri reševanju bistrovidno upoštevajte tudi pripis de- sno ob računu, pa naj se vam zdi napisani pogoj še tako čuden in nepotreben.2 Napisan je bil tudi na vazi, a se na fotografiji ne vidi. 2Nenavaden zapis DOUZE | D O U Z E pomeni, da je število, ki je, zapisano s števkami D O U Z E, deljivo z 12. V izvirni inačici naloge je na vazi poleg francoske dvanajstice pisalo na še bolj zavit način n ” 0 pmod nq, kar je nalogo naredilo težje razu- mljivo. SLIKA 1. SLIKA 2. SLIKA 3. Ob praznovanju devetdesetega rojstnega dne je med drugimi darili profesor Vidav dobil od svoje nekdanje asistentke in dol- goletne sodelavke mag. Marije Vencelj lep šopek vrtnic in vazo, na kateri sta bila napisana njemu v razvedrilo dva skrita računa (kriptaritma) v angleščini in francoščini (glej sliki vaz). ˆ ˆ ˆ       n a d a lje va n je n a st ra n i 18 P 48 (2020/2021) 1 15 Slike znakov na morskih valovih N R Na mirni vodni gladini mlak, jezer ali počasi te- kočih rek lahko opazujemo slike okolice. Kaj pa na morski gladini? Odgovor je – kakor kdaj. SLIKA 1. Tri fotografije slik kopaliških znakov na rahlo vzvalovani mor- ski gladini. Nekega pomladanskega jutra, ko je bilo Sonce še nizko nad obzorjem in morje le rahlo vzvalovano, smo na morski gladini opazili slike kopaliških zna- kov (slika 1). Včasih je bilo slik več, včasih manj. Opazili smo, da je bil na nekaterih slikah najvišje po- stavljeni kopališki znak zgoraj, na drugih pa spodaj. Trije kopališki znaki so bili postavljeni na skupnem drogu in obrnjeni proti vzhodu, tako da jih je Sonce ravno lepo obsijalo (slika 2). SLIKA 2. Kopališki znaki na skupnem drogu, pritrjenem ob koncu po- mola, obrnjeni proti vzhodu. Pri poskusu smo namesto znakov uporabili tulec, na katerega smo nalepili tri dvojne obroče izo- lirnega traku. Poskusi z zrcalno folijo Seveda nas je zanimalo, ali lahko naredimo poskus, pri katerim bi opazili podobne slike na rahlo nagu- bani površini. V ta namen smo vzeli kos samole- pljive zrcalne folije. Njene zaščitne podlage nismo odstranili. Na debelejši karton smo na vsakih osem centimetrov nalepili dvostranski selotejp in nanj na- lepili zrcalno folijo. Gube smo naredili s približno dva centimetra širokimi in pet milimetrov debelimi letvicami. Namesto znakov smo na kartonski tulec nalepili šest trakov. Uporabili smo dva rdeča, dva           P 48 (2020/2021) 116 Nagradna križanka ˆ ˆ ˆ      Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. oktobra 2020, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo pre- jeli knjižno nagrado.           P 48 (2020/2021) 1 17       n a d a lje va n je s st ra n i 15 P 48 (2020/2021) 118 SLIKA 3. Zrcalno folijo smo v enakih razdaljah z dvostranskim selotej- pom zalepili na karton in vmes pod folijo potisnili pet milime- trov debele letvice. Na »valovih« se vidijo slike barvnih trakov. Kaj vidimo, je odvisno od razdalje in višine, s katere gledamo na folijo. Sliki sta posneti iz enakih višin in razlǐcnih razdalj. rumena in dva modra izolirna trakova. Tulec smo postavili navpično na podlago tako, da smo na foliji videli slike barvnih obročkov (slika 3). Koliko slik in katere barvne obroče vidimo pri dani valovitosti folije in legi tulca, je odvisno od razdalje in višine, s katere gledamo. Opazimo, da je na nekaterih slikah rdeč obroček zgoraj, na nekaterih pa spodaj. Ker so letvice, ki smo jih potisnili pod folijo, približno vzporedne, so hrbti valov med seboj vzporedni – rečemo, da smo naredili ravne valove. Slike niso »zverižene«, kot to opazimo na fotografijah. Hrbti so izbočena cilindrična zrcala, doline pa vbočena cilindrična zrcala. Zdaj pa prečke premaknimo tako, da niso vzpore- dne. Opazimo, da so zdaj slike obročkov nekoliko »zverižene« (slika 4 levo). Če folijo pustimo dolgo časa zalepljeno na kar- tonu in podprto z letvicami (dan ali dva), potem pa jo odlepimo, je folija še vedno rahlo nagubana. Ko pogledamo slike, opazimo, da so precej podobne fo- tografijam kopaliških znakov (slika 4 desno). Naredimo še skico poskusa. Omejimo se na en hrbet in eno dolino. Na izbočenem delu folije se se- kajo podaljški odbitih žarkov, slika je pokončna in navidezna. Na vbočenem delu pa se sekajo odbiti SLIKA 4. Levo: Slike obročev na foliji, ko valovni hrbti niso vzporedni. Desno: Slike obročev na foliji, ko smo po enem dnevu odstranili letvice in jo odlepili od podlage. žarki, slika je realna in obrnjena. Na sliki 5 smo z de- belo puščico označili tudi smer gledanja. Da vidimo slike obročev, mora pasti odbita svetloba od zrcala v oko, zato s premikanjem višine glave vidimo raz- lične slike, odvisno od tega, katere odbite žarke zaja- memo. Na skici smo tulec postavili bliže hrbtu zato, da je skica preglednejša. Če želimo videti več slik, morajo od obročev odbiti žarki na folijo vpadati pod večjim vpadnim kotom, torej moramo tulec oddaljiti od roba ali pa obročke postaviti nižje. Pri tem se obe sliki pomakneta bliže površini zrcala in težko opazimo, da je ena slika v »zraku«. Da je ena slika navidezna, ena pa realna, se pre- pričamo tudi tako, da naredimo malo daljši val in predmet postavimo nad valovito folijo. Če predmet postavimo v pravo razdaljo in gledamo z ustreznega       P 48 (2020/2021) 1 19 SLIKA 5. Slika pik na izbočenem delu folije, konveksnem cilindrǐcnem zrcalu, je navidezna in pokončna, sekajo se podaljški žarkov. Slika pik nad vbočenim delom, konkavnem cilindrǐcnem zrcalu, pa je realna in obrnjena. Gledamo v smeri debelejše puščice. mesta, vidimo, da slika »lebdi« nad zrcalno folijo. Imamo dve očesi, zato vidimo globinsko; fotoaparat pa ima le eno »oko«, zato lahko razliko opazimo le, če nastavimo ostrino na realno sliko, potem so ostale slike in predmeti, ki so v drugačni oddaljenosti, ne- jasne. To je vidno na fotografiji 6. Realna slika pred- meta je spodaj desno. Na takšni valoviti zrcalni foliji lahko torej poka- žemo sliko enega predmeta v dveh različnih zrcalih hkrati, na izbočenem in vbočenem. Hitro pripravljen poskus Ali lahko take slike na vodnih valovih opazujemo tudi doma, v sobi? Odgovor je pritrdilen. V kadičko smo nalili vodo, na dno pa postavili črno folijo. Do- datno smo tulec osvetlili še z baterijsko svetilko. Na levo stran kadičke smo postavili zaslon in tako za- strli svetlobo, ki prihaja skozi okno. Tanjšo deščico smo enakomerno pomakali v vodo in jo hkrati malo odrinili proti tulcu. Hitro smo opazili, da moramo ujeti pravo frekvenco pomakanja in da deščice pri tem ne smemo preveč odriniti. Pri ravno pravih valo- vih opazimo slike obročev (slika 7). Poskusite! www.dmfa.si www.presek.si SLIKA 6. Predmet smo postavili nad folijo, vidimo ga na zgornjem de- snem robu fotografije. Ostra je le fotografija realne slike predmeta. SLIKA 7. Hitro postavljen poskus na jedilni mizi. Tulec dodatno osve- tlimo z baterijsko svetilko. V kadǐcko nalijemo vodo, na dno pa postavimo črno folijo. Za boljšo vidljivost slik postavimo na levi strani še zaslon. Valove delamo s pomakanjem deščice v vodo. ˆ ˆ ˆ       ̌                   P 48 (2020/2021) 120 Magneti 2: Kaj smo spoznali o magnetnih sučnih nihalih? O            M Č̌ Danes se posvetimo raziskovanju magnetnih ni- hal. Naj na hitro predstavim še eno inačico izde- lave magnetnega nihala. Med dva neodimska ma- gneta je potrebno napeljati tanek, 20 do 30 cm dolg sukanec. Najenostavneje je, da magnet nalepite na selotejp, selotejp z gladko stranjo položite na mizo, preko magneta na mizi pa na selotejp nalepite še sukanec (slika 1 a). Nato ob strani z dvema prstoma priti- snete lepilni trak s sukancem vred ob mizo (slika 1 b), tej kompoziciji pa približate drugi magnet. Ko bo drugi magnet dovolj blizu, bo »skočil« na prvega in trdno stisnil sukanec med oba magneta. Drugi ma- gnet trdno držite in ga poskušajte približati čim bolj počasi, da preprečite preveč sunkovit »skok«. Ma- gneti so namreč krhki in se radi polomijo (slika 1c). Selotejp z zunanje strani odstranite in nihalo je nare- jeno. Daljši sukanec potrebujemo zato, da si 10–20 cm sukanca navijemo okoli dlani, magnetni dvojec pa prosto visi in se suče na približno 10 cm dolgem prostem delu sukanca. Sedaj se pa posvetimo nalogam oziroma povze- mimo, kaj ste najverjetneje opazili, če ste se z ma- gnetnimi nihali igrali. Naloga je bila [1]: Sukanec dvignimo, da magnet prosto obvisi. Oglejte si ga? Kako je usmerjena sime- trijska os magnetov? Če niste magnetov na sukancu dvignili preveč sun- kovito, je dvojec sučno zanihal in se počasi umiril. Če eno stran dvojca označimo, opazimo, da ob hoji po prostoru orientacija magnetov ostaja enaka. Tudi če se zasučemo, sta magneta vedno zasukana v enako smer. SLIKA 1. Leva: Potrebščine za pripravo nihala. Srednja: Z eno roko trdno primemo selotejp z nalepljenima magnetom in sukancem, z drugo pa približamo drugi magnet. Desna: Bodimo previdni, ker so neodimski magneti zelo krhki in se radi lomijo.       P 48 (2020/2021) 1 21 Kot smo omenili že zadnjič, je Zemlja velik ma- gnet, vsi pa se neprestano nahajamo v njenem ma- gnetnem polju. Magnetno polje ni prav veliko. Vodo- ravna komponenta gostote magnetnega polja v Slo- veniji je približno 22 µT in velikost gostote magne- tnega polj približno 48 µT. Pri nas smer gostote ma- gnetnega polja oklepa približno 63° z vodoravnico. Da smer magnetnega polja ni vodoravna pokaže tudi naše nihalo, saj simetrijska os dvojca magnetov okle- pa z vodoravnico manjši kot (slika 2). SLIKA 2. Magnetni dvojec visi navpǐcno ob lesenem ravnilu in se ga z gor- njim robom dotika. Vidimo, da spodnji rob dvojca odmaknjen od roba ravnila. Navor zaradi zemeljskega magnetnega polja poskuša dvojec zasukati v nasprotni smeri kot navor njegove teže. Pozorno oko pa opazi, da se orientacija dvojca ma- gnetov včasih spremeni. Če dvojec približamo žele- znemu predmetu, se bo zasukal tako, da bo simetrij- ska os dvojca bolj ali manj obrnjena proti predmetu. Železo se namreč v magnetnem polju dvojca magne- tizira, predmet iz železa postane magnet in povra- tno spremeni polje na mestu, kjer dvojec visi. To je razlog za privlak železnih in drugih predmetov iz fe- romagnetnih snovi. Če orientacija dvojca na nekem mestu odstopa od običajne, boste v neposredni bli- žini gotovo našli kaj feromagnetnega. Magnet na sukancu tudi sučno niha. Če ga pribli- žamo železu ali drugemu magnetu, vidimo, da se fre- kvenca sučnega nihanja poveča, iz česar lahko skle- pamo, da velja: v čim večjem magnetnem polju se dvojec magnetov nahaja, tem večja je frekvenca ni- hanja. Sedaj pa poskusimo frekvenco še zmanjšati. Lah- ko povečamo vztrajnostni moment magnetnega dvoj- ca. Vzemimo približno 4 cm dolg in 1,5–2 cm širok kos papirja in ga po dolgem dva do trikrat preložimo. Vsako stran tako nastale ploske paličice vpnemo v dvojec magnetov, na sredino paličice pa privežemo sukanec (slika 3). Kako niha paličica z magnetnim dvojcem? V kateri smeri se paličica umiri, če sta ma- gneta na obeh konceh enako orientirana? V kateri pa, če sta nasprotno? Kakšna je frekvenca nihanja v obeh primerih? Ta vprašanja so že nova naloga. SLIKA 3. Magnetno nihalo z večjim vztrajnostnim momentov. Orienta- ciji dvojcev sta lahko enaki ali nasprotni in to vpliva na smer ravnovesne lege in sukanje. Kako? Sedaj pa še malo teoretične razlage. Kot že ome- njeno, je dvojec magnetov magnetni dipol. Magne- tni dipolni moment označimo s pm. Magnetni dipol dvojca je vektor v smeri simetrijske osi usmerjen iz severnega pola dvojca, ki smo ga določili že zadnjič. Kadar dipol oklepa z magnetnim poljem na mestu di- pola nek kot, se pojavi navor, ki ga suče v ravnovesno       P 48 (2020/2021) 122 lego, v kateri je smer dipola vzporedna z magnetnim poljem. M “ pm ˆ B (1) Zaradi navora magnet zaniha okoli ravnovesne lege pmB sinϕ “ J :ϕ (2) kjer je ϕ kot med dipolom in magnetnim poljem, J vztrajnostni moment dvojca okoli osi v smeri vr- vice ter :ϕ je trenutni kotni pospešek sukanja dvojca magnetov. Za majhne kote je nihanje sinusno in iz enačbe (2) razberemo kotno frekvenco nihanja ω “ 2πν oziroma frekvenco nihala ν “ 1 2π c pmB J (3) Odgovorimo še na zadnje vprašanje. Kako zmanj- šati frekvenco nihanja ali celo doseči, da se magne- tni dvojec prosto vrti? Odpraviti oziroma zelo zelo zmanjšati moramo magnetno polje. A Zemljino ma- gnetno polje je povsod okoli nas. Narišimo najprej silnice okoli dvojca magnetov (slika 4). Dvojec magnetov stoji na robu na podlagi, ki je na sliki označena z dolgim modrim pravokotnikom. Simbolično sta označena tudi severni (N) in južni (S) pol dvojca. Silnice magnetnega pola so zaključene, tudi tista na sredini, ki se daleč stran obrne . . . Sil- nice ponazarjajo magnetno polje dvojca, mali dvojci pa svojo orientacijo, če bi v označenih položajih pro- sto viseli in ne bi bilo drugih magnetnih polj, npr. Zemljinega. Kjer so silnice bolj goste, je magnetno polje večje in sučno nihalo iz magnetnega dvojca bi nihalo z večjo frekvenco. Takle, na svojem robu na mizi stoječi dvojec pa lahko izkoristimo tudi za izničenje Zemljinega ma- gnetnega polja. S pravilno orientacijo dvojca na mizi lahko dosežemo, da je v eni točki magnetno polje, ki ga povzroča magnetni dvojec na mizi, nasprotno enako zemeljskemu. Ker je ploskev dvojca na vrvici skoraj navpična, je dovolj, če najdemo točko, v ka- teri sta nasprotno enaki vodoravni komponenti. V tej točki se bo sučno nihalo iz magnetnega dvojca sko- raj prosto vrtelo. V ravnovesno lego ga vrača le še sukanec, navori zaradi zvijanja sukanca pa so zelo zelo majhni. Kako je potrebno zasukati dvojec na mizi, da to lahko dosežemo? Pa je pred vami še ena nalogica. Tudi ta delavnica je nekoliko predelana delavnica Leoša Dvoraka [2, 3]. SLIKA 4. Pogled s strani na dvojec magnetov, ki na podlagi stoji na robu. Simbolǐcno sta pola označena tudi barvno, položaj črk naj ne zavede. Na desni je južni pol kombiniranega magneta, a levi severni. Če bi magneta razdružili, bi za vsakega od njiju lahko označili oba, moder in rdeč del, kot kažejo simbolǐcne slike manjših magnetov in njihove orientacije v magnetnem polju dvojca. Literatura [1] M. Čepič, Magneti 1, Presek: list za mlade ma- tematike, fizike, astronome in računalnikarje, 2019/2020, 47, 1, 18–20. [2] Dvořák L., O magnetu, magnetických těle- sech a velikém magnetu Zemi, In: Dílny He- uréky 2016/Heureka Workshops 2016. Sbor- ník konference projektu Heuréka. E.: V. Koudelková. Matfyzpress Praha 2017. ISBN 978-80-7378-338-9 (PDF, v češčini), str. 7– 23. Dostopno na kdf.mff.cuni.cz/heureka/ sborniky/DilnyHeureky_2017.pdf, ogled 6. 12. 2019. [3] Dvořák L., Magnets and magnetic field around them: what can we learn from simple experi- ments, sprejeto v objavo v zbornik konference GIREP v Dublinu 2017. ˆ ˆ ˆ         P 48 (2020/2021) 1 23 Retrogradno gibanje V K̌̌ Uvod Telesa v našem Osončju, to so planeti, pritlikavi pla- neti, kometi, asteroidi in ostala telesa, se gibljejo okoli Sonca. Če Osončje pogledamo iz smeri nad Sončevim severnim polom, se večina teles giblje v na- sprotni smeri urinih kazalcev, nekatere izjeme pa v smeri, enaki gibanju urinih kazalcev. Za prve od teh pravimo, da je njihovo pravo gibanje progradno, iz- jeme pa se gibljejo retrogradno. Skoraj vsi planeti Osončja (Merkur, Zemlja, Mars, Jupiter, Saturn, Uran, Neptun) se gibljejo okoli svoje osi progradno, izjema je Zemljina dvojčica Venera, ki se okoli svoje osi edina giblje retrogradno. Toda prav vsi planeti se gibljejo progradno po svojih tirnicah okoli Sonca. Predstavljajmo si, da sredi neke jasne noči na ne- bu opazujemo rdeči planet Mars. Ker se tako naša modra Zemlja kot tudi Mars okoli Sonca gibljeta pro- gradno in je kotna hitrost Zemlje okoli Sonca večja od Marsove, gre sklepati, da se Mars na našem nebu glede na zvezde pomika v smeri vzhoda. Pomika se in pomika, vzhodno in še bolj vzhodno, po nekem času pa bo naredil polni obhod, čez nekaj časa še enega, potlej še enega . . . Vse se zdi prav enostavno, a le na prvi pogled. Zmoti nas Marsovo nadvse ču- dno vedenje. Opazimo ga, če pod nebesnim svodom preživimo mnogo dni, veliko enostavneje pa lahko njegovo nenavadno vedenje razberemo s slike 1. Mars se očitno do neke točke giblje povsem obi- čajno v smeri vzhoda, nakar se začne premikati v nasprotno stran – v smer zahoda, čez čas pa si pre- misli in svojo pot kot prej ponovno nadaljuje v smeri vzhoda. Navideznemu gibanju planeta v nasprotni smeri gibanja ostalih teles v Osončju pravimo navidezno retrogradno gibanje. Ker je le-to za nas na tem me- stu veliko zanimiveje od pravega retrogradnega giba- nja, bomo sedaj z besedno zvezo retrogradno giba- nje mislili na navidezno retrogradno gibanje. Za opa- SLIKA 1. Zanimanja vreden posnetek Marsovega vedenja zovalca na Zemlji je retrogradno gibanje predvsem gibanje zunanjih planetov, ki so od Sonca oddaljeni bolj kot Zemlja. Retrogradno gibanje je za astronome sicer zelo za- nimiv pojav. Pred davnimi časi so še verjeli, da je Ze- mlja središče vesolja, v veljavi je bil t. i. geocentrični sistem. Ko so hoteli na podlagi tega modela uteme- ljiti retrogradno gibanje, so s težavo ugotovili, da vsak planet, ki kroži okoli Zemlje, še posebej kroži okoli navidezne točke na svoji orbiti, kot prikazuje slika 2. Kopernik je šele na prehodu iz 15. v 16. stoletje utemeljil svojo heliocentrično teorijo, ki upošteva, da se planeti in ostala telesa gibljejo okoli Sonca in ne Zemlje. Tedaj je bilo potrebno poiskati novo raz- lago za retrogradno gibanje planetov. Kaj se zares zgodi? Odgovor na to vprašanje še najbolje razkriva slika 3, ki prikazuje resnično gibanje Zemlje in Marsa ter navidezno gibanje Marsa na nebesni sferi. Gibanje nekega zunanjega planeta je torej retro- gradno v času, ko ga Zemlja prehiteva, kar pa se do- gaja v času okoli opozicije. Kar hitro pa se pojavi         P 48 (2020/2021) 124 M Z SLIKA 2. Tako so skušali retrogradno gibanje pojasniti z geocentrǐcnim sistemom. Zemlja se giblje po majhni krožnici okoli središča vesolja. Mars kroži okoli navidezne točke, ki pa se premika po rdeči tirnici okoli središča vesolja. vprašanje, koliko časa retrogradno obdobje sploh traja. Vsekakor bi to lahko ugotovili ob nekaj dnev- nem druženju z našim rdečim prijateljem, pa vendar bi bilo verjetno hitreje in morda tudi bolj zanimivo, da bi trajanje retrogradnega gibanja kar izračunali. Poskusimo torej! Čas retrogradnega gibanja Za začetek narišemo dovolj verodostojno skico in skušamo opisati lego Zemlje in Marsa v odvisnosti od časa t. Predpostavimo, da sta orbiti Zemlje in Marsa kro- žni in da ležita v isti ravnini. V to ravnino postavimo pravokotni koordinatni sistem s središčem v Soncu in abscisno osjo skozi zveznico Sonce, Zemlja, Mars v času opozicije Marsa, torej ko ležijo kolinearno. Za planeta Zemljo in Mars napišemo koordinate v odvisnosti od časa. Pri tem upoštevamo, da je kot ϕ “ ω ¨ t. V enačbah je d oddaljenost posameznega planeta od Sonca in ω kotna hitrost posameznega planeta. Za Zemljo pišemo xC “ dC ¨ cos pωCtq , yC “ dC ¨ sin pωCtq , zelo podobno tudi za Mars x♂ “ d♂ ¨ cos pω♂tq , y♂ “ d♂ ¨ sin ` ω♂t ˘ . Opazovali bomo smerni količnik zveznice Zemlja- Mars. Med progradnim gibanjem Marsa se le-ta veča, med retrogradnim pa manjša. Zato s pomočjo že do- bljenih zvez zapišimo izraz za ta smerni količnik k v odvisnosti od časa t. k “ ∆y ∆x “ y♂ ´yC x♂ ´ xC “ d♂ ¨ sin ` ω♂t ˘ ´ dC ¨ sin pωCtq d♂ ¨ cos ` ω♂t ˘ ´ dC ¨ cos pωCtq (1) Spreminjanje kotnega količnika kptq grafično prika- zuje slika 5. Zanimata nas lokalna ekstrema tega količnika; čas med trenutkom enega in drugega je namreč čas re- trogradnega gibanja. Zato moramo k odvajati in odvod izenačiti z 0. Ker nas zanimajo lokalni ekstremi, je dovolj, da ugoto- vimo, kdaj je števec odvoda enak nič. Označimo števec in imenovalec k-ja: a “ d♂ ¨ sin ` ω♂t ˘ ´ dC ¨ sin pωCtq , b “ d♂ ¨ cos pω♂tq ´ dC ¨ cos pωCtq . Zaradi preglednosti najprej odvajamo posebej a in b. Pri tem uporabimo pravili za posredno odvajanje kotnih funkcij sinusa in kosinusa, ki sta tudi posebej navedeni v dodatku. a1 “ ω♂d♂ ¨ cos ` ω♂t ˘ ´ωCdC ¨ cos pωCtq b1 “ ωCdC ¨ sin pωCtq ´ω♂d♂ ¨ sin ` ω♂t ˘ . Po pravilu za odvajanje količnika je števec odvoda enak nič, ko velja a1b ´ ab1 “ 0 a1b “ ab1 (2) V (2) vstavimo izraze za a,a1, b in b1 ter z uporabo zvez med kotnimi funkcijami in adicijskega izreka za kosinus razlike, navedenimi v dodatku, dobimo zvezo cos `` ω♂ ´ωC ˘ t ˘ “ ω♂d 2 ♂ `ωCd2C dCd♂ ¨ pωC `ω♂q . (3)         P 48 (2020/2021) 1 25 S Z7 Z1 Z4 M4 M7 M1 Z5 Z6 Z2 Z3 M5 M3 M2 M6 T2,5 T3,6 T4 T7 T1 nebesna sfera SLIKA 3. Skica, ki nazorno razloži retrogradno gibanje. Z rumenim S je označeno Sonce, najmanjša krožnica je Zemljina tirnica, sledi ji Marsova tirnica. Označenih je sedem zaporednih položajev Zemlje in Marsa, ki so v časovnem razmiku okoli enega meseca. Krožni lok na desni strani predstavlja nebesno sfero (na videz nepremǐcno ozadje daljnih zvezd), na kateri so s Ti označene projekcije zveznice ZiMi v položaju i, ki so pravzaprav tisto, kar vidimo na nebu. Na sferi se tako Mars iz T1 premakne v točko T2,5, potlej v T3,6, sledi položaj opozicije T4, nato pa se Mars zopet premakne v T2,5, nadalje pa spet v T3,6 in potem v T7. Dobimo dve družini rešitev t1 “ arccos ˜ ω♂d 2 ♂ `ωCd2C dCd♂ ¨ pωC `ω♂q ¸ ¨ ¨ 1 ω♂ ´ωC `K ¨ 360˝, t2 “ ´ arccos ˜ ω♂d 2 ♂ `ωCd2C dCd♂ ¨ pωC `ω♂q ¸ ¨ ¨ 1 ω♂ ´ωC `K ¨ 360˝. Čas retrogradnega gibanja izrazimo kot ∆t “ t1 ´ t2 “ 2 ¨ arccos ˜ ω♂d 2 ♂ `ωCd2C dCd♂ ¨ pωC `ω♂q ¸ ¨ 1 ω♂ ´ωC . (4) Na spletu najdemo natančne podatke oziroma te iz- računamo; v enačbo (4) vstavimo dC “ 1 a.e., d♂ .“ 1,524 a.e., ωC .“ 0,986 ˝{dan, ω♂ .“ 0,524 ˝{dan. Dobimo ∆t “ 72,72 dni, kar se lepo sklada s po- datkom 72 dni, ki ga dobimo v viru [1]. Razlog za odstopanje utegnejo biti nekolikšna sploščenost in medsebojna nagnjenost (inklinacija) orbit obeh pla- netov, privzeli smo namreč, da sta orbiti planetov krožni in da krožita v isti ravnini. Zdaj pa bralca vabim, da se preizkusi v spodnjih bolj ali manj trdih astronomskih orehih. Naloge bralcu Koliko časa traja retrogradno gibanje Jupitra? Veš le, da je Jupiter od Sonca oddaljen okoli 5,2 a.e., njegov obhodni čas okoli Sonca pa je 11,86 leta. Čeprav je Merkur notranji planet, lahko tudi pri njem opazimo retrogradno gibanje. Koliko časa traja obdobje retrogradnega Merkurja? Veš le, da je Merkur od Sonca oddaljen približno 0,39 a.e. Čezvesoljska zombi ladja obišče pritlikavi planet Ceres. Zombija Miho zanima, koliko časa na nji- hovi postojanki traja retrogradno gibanje Saturna.         P 48 (2020/2021) 126 ϕ d T pd cosϕ,d sinϕq d sinϕ d cosϕ SLIKA 4. Dovolj verna skica, s katero opišemo koordinate posameznega planeta v odvisnosti od časa. Pomagaj Mihi potešiti njegovo zombi radovednost! Pri tem si lahko pomagaš le s podatkoma, da je Ce- res, ko je glede na Zemljo v (zgornji) konjunkciji, od Zemlje oddaljen približno 3,77 a.e., in da Sa- turn za obhod Sonca potrebuje 10365 dni več kot Ceres. Jupiter je bil v opoziciji 10. junija 2019. Kdaj se je oziroma se bo po tem datumu pričel zopet gi- bati retrogradno? Veš, da je navidezna magnituda Jupitra na Zemlji v času opozicije ´2,7, v času ko- njunkcije pa ´1,85. Izrazi čas retrogradnega gibanja planetov kot funkcijo obhodnih časov dveh planetov. Dodatek V tem razdelku pojasnimo nekaj zvez v povezavi z odvodom in kotnimi funkcijami, ki jih uporabimo v rešitvi. sin2 x ` cos2 x “ 1 cos px ´yq “ cosx ¨ cosy ` sinx ¨ siny sin1 paxq “ a cos paxq cos1 paxq “ ´a sin paxq ` a b ˘1 “ a1b´ab1b2 SLIKA 5. Zgoraj: Spreminjanje smernega kolǐcnika k v času retrogra- dnega gibanja. Spodaj: Vidimo, da se v časovnem intervalu, ki ga prikazuje graf, retrogradno obdobje dogodi trikrat. Grafa odvisnosti smernega kolǐcnika zveznice Zemlja-Mars v od- visnosti od časa kptq. Časovna enota je dan. Če smo prebri- sani, lahko čas retrogradnega gibanja približno odčitamo tudi iz grafov. Literatura [1] Apparent retrograde motion, Wikipedia, do- stopno na en.wikipedia.org/wiki/Apparent_ retrograde_motion, ogled: 13. 3. 2020. [2] Vzvratno gibanje, Wikipedija, dostopno na sl.wikipedia.org/wiki/Vzvratno_gibanje, ogled: 13. 3. 2020. [3] What is retrograde motion, EarthSky, do- stopno na earthsky.org/space/what-is- retrograde-motion, ogled: 21. 3. 2020. ˆ ˆ ˆ   ̌      ̌    P 48 (2020/2021) 1 27 O predstavitvi podatkov v računalniku: cela števila J S Velikokrat slišimo, da računalniki vse podatke hranijo kot zaporedja ničel in enic. Vse lepo in prav, to za moderne računalnike drži, vendar ne pove prav veliko o tem, kako so shranjeni konkre- tni podatki. Večina podatkov, ki jih shranjujemo, npr. slike, zvok ali besedilo, so shranjena kot zapo- redja celih števil. Obstaja več dogovorjenih načinov, kako sliko, zvok ali besedilo pretvorimo v zaporedje števil. Ti načini so večini ljudi znani kot datotečni formati, za slike poznamo jpg, png, gif (in druge), za zvok mp3, flac ipd. Običajni uporabniki ne potrebujejo nobenega znanja o tem, kako formati delujejo, po- membno je le, da oba programa, tako tisti, ki shra- njuje, kot tisti, ki prikazuje, uporabljata enak format. S predstavitvijo večjih kosov podatkov, kot so slike ali besedilo, se bomo ukvarjali kdaj drugič; tokrat pa se bomo spustili še en nivo globlje in se vprašali, kako delamo s seznamom števil oziroma celo kako predstavimo le eno celo število. Morda je odgovor na prvi pogled preprost: pretvorimo število v dvoji- ški sistem, pa smo! To je tudi res, vendar bo po poti potrebno rešiti še nekaj težav. Dvojiški sistem Kot vam je verjetno znano, števila običajno zapisu- jemo v desetiškem sistemu in za zapis števil upora- bljamo števke od 0 do 9. Število 593 tako pomeni 593 “ 5 ¨ 100 ` 9 ¨ 10 ` 3 “ 5 ¨ 102 ` 9 ¨ 101 ` 3 ¨ 100. Podobno lahko vsako število zapišemo v kakšnem drugem sistemu, za računalništvo je posebej zani- miv dvojiški, saj ima le dve števki: 0 in 1. Število 593 bi tako napisali kot 593 “ 1 ¨ 512 ` 0 ¨ 256 ` 0 ¨ 128 ` 1 ¨ 64 ` 0 ¨ 32` ` 1 ¨ 16 ` 0 ¨ 8 ` 0 ¨ 4 ` 0 ¨ 2 ` 1 ¨ 1 “ 1 ¨ 29 ` 0 ¨ 28 ` 0 ¨ 27 ` 1 ¨ 26 ` 0 ¨ 25` ` 1 ¨ 24 ` 0 ¨ 23 ` 0 ¨ 22 ` 0 ¨ 21 ` 1 ¨ 20 “ 1001010001p2q, kjer s podpisano (2) označimo, v katerem sistemu je število zapisano (v desetiškem podnapis ponavadi izpustimo). Drugi zanimivi sistemi so potence dvojiškega, npr. osmiški in šestnajstiški, saj dovolijo krajši zapis kot dvojiški, vendar jih je še vedno enostavno pretvoriti v dvojiškega ali nazaj; enostavno pretvorimo vsako števko posebej v ustrezno število bitov (običajno bi morali uporabiti npr. Evklidov algoritem). Zgornje število bi v osmiškem zapisali kot 1121p8q. Sistemske omejitve Osnovna enota informacije je en bit – vrednost, ki je lahko le 0 ali 1. Toda, računalniki s posameznim bitom naenkrat ne morejo delati neposredno. Naj- manjša enota, ki jo lahko neposredno uporabimo, je en bajt – ta ima osem bitov. Računalniški pomnilnik (RAM) si lahko predstavljamo kot ogromno tabelo s prostori, ki so veliki en bajt. Če imamo npr. 4GiB1 pomnilnika, imamo torej prostora za 4 294 967 296 1Formalno obstaja razlika med enotama GiB in GB. Enote brez ›i‹, kot so kB, MB, GB, uporabljajo standardne fizikalne pred- pone kilo-, mega-, giga- in faktor 1000, medtem ko enote z ›i‹, torej KiB, MiB, GiB, uporabljajo predpone kibi-, mebi-, gibi- in faktor 1024. V praksi se uporablja zmešnjava vsega. Več o stan- dardizaciji lahko preberete na strani ameriškega nacionalnega inštituta za standarde in tehnologijo: physics.nist.gov/cuu/ Units/binary.html   ̌      ̌    P 48 (2020/2021) 128 bajtov. Vsak bajt predstavimo kot zaporedje osem bitov in ga shranimo v posamezno celico, kot je she- matsko prikazano na sliki 1. naslov podatek 0 10101001 1 10110001 2 01011000 3 10100011 4 00001001 ... 4294967294 01000000 4294967295 10011110 SLIKA 1. Shema računalniškega polnilnika Sedaj ko poznamo omejitve sistema, se lahko po- govorimo o tem, kako velika števila bomo shranje- vali. Nekateri programski jeziki, npr. Python, dopu- ščajo uporabo poljubno velikih števil. Vendar je to zgolj iluzija za uporabnika: ko števila postanejo pre- velika, se v ozadju shranijo kot zaporedje manjših števil. Če dopuščamo le omejena števila, je najbolj skopuška možnost, da bi omejili delo s števili na en bajt. Največje število, ki bi ga tako lahko zapisali, bi bilo 11111111p2q oz. 255. To bi bilo za vsakodnevno uporabo premalo, saj si hitro lahko zamislimo upo- rabo za večja števila. Običajno imamo pri programi- ranju opravka s števili, ki so velika 32 ali pa 64 bitov (torej štiri ali osem bajtov). Največje število, ki ga lahko shranimo v 32 bitov, je 111111111111111111 11111111111111p2q oziroma 232 ´1 “ 4 294 967 295, kar je malo več kot štiri milijarde. Največje 64-bitno število, pa je 264 ´ 1 “ 18 446 744 073 709 551 615, kar je nekaj več kot 18 trilijonov. Že 32 bitna šte- vila so dovolj za večino praktičnih potreb, vendar so kdaj neustrezna. Naštejmo nekaj znanih težav, kjer 32-bitna števila niso bila zadostna. Ponavadi imamo opravka s predznačenimi števili, ki lahko hranijo po- zitivne in negativne vrednosti, tako da se zgornja meja zmanjša za približno polovico, na 2 147 483 647. Pred nekaj leti je YouTube video Gan- gam style dosegel dovolj ogledov in so morali šte- vilo ogledov hraniti v 64-bitnih številih. Za težavami z omejenimi števili trpijo tudi marsikatere (pogosto starejše) računalniške igrice. Igra Minecraft je do ver- zije 1.7.3 napačno generirala teren, če je igralec šel predaleč od sredine sveta (ta teren je postal znan pod imenom Daljne dežele (Farlands)), in še danes imajo nekatere verzije to težavo. Zanimiva težava, ki nas še čaka, pa je povezana s shranjevanjem časa. Računalniki pogosto shranjujejo trenutni čas kot šte- vilo sekund od 1. januarja 1970 in v torek 19. janu- arja 2038 bo število sekund preveliko, da bi ga shra- nili v 32-bitno število. Ta datum je znan kot »ko- nec časa« in do takrat morajo programi začeti upo- rabljati 64-bitna števila. Pri shranjevanju časa bodo 64-bitna števila zadostovala še za naslednjih 585 mi- lijard let in nas pred tem lahko skrbi marsikaj dru- gega. Kljub temu, da kdaj povzročajo težave, so ome- jena števila praktično neizmerno uporabna. Če se dogovorimo, da bomo uporabljali 32-bitna števila, ve- mo, da moramo prebrati naslednje štiri bajte, in ti vsebujejo naše število. V nasprotnem primeru bi mo- rali na kakšen bolj zapleten sporočiti, kako dolgo je število (morda najprej poslati dolžino, toda tudi to je število, kako pa sporočimo število). V praksi se pri večini zapisov in protokolov dogovorimo za omejitev velikosti števil. Veliki in mali endian Denimo, da želimo zapisati ali poslati število 2 740 498 857 z bitno reprezentacijo 2 740 498 857 “ 10100011 01011000 10110001 10101001, kjer smo števke s presledki ločili po bajtih. Za lažje razumevanje jih oštevilčimo: 10100011 01011000 10110001 10101001 1. bajt 2. bajt 3. bajt 4. bajt Pojavljata se dva smiselna načina pošiljanja: ali bajte pošljemo v vrstnem redu 1234 ali pa 4321. Bomo najprej poslali bajt 1, ki vsebuje »največje« števke (t. i. most significant byte) ali četrti bajt z »naj- manjšimi« števkami? V praksi glede tega ni bilo skle- njenega kompromisa in uporabljata se oba načina. Pri komunikaciji prek omrežja se bajte ponavadi po- šilja v vrstnem redu 1234, torej najprej »z velikega konca«, pri zapisu v pomnilnik ali pri procesorskih operacijah pa se na večini modernih arhitektur upo- rablja zapis 4321, torej »z manjšega konca«. Zgornje   ̌      ̌    P 48 (2020/2021) 1 29 število je v pomnilniku na sliki 1 zapisano z manj- šega konca v celicah 0–3. Prikaz obeh zapisov je bolj pregledno napisan na sliki 2. mali endian naslov podatek x 10101001 4. bajt x ` 1 10110001 3. bajt x ` 2 01011000 2. bajt x ` 3 10100011 1. bajt veliki endian naslov podatek x 10100011 1. bajt x ` 1 01011000 2. bajt x ` 2 10110001 3. bajt x ` 3 10101001 4. bajt SLIKA 2. Mali in veliki endian zapis števila 2 740 498 857 Zapis števila 4 kot 32-bitnega števila z »manjšega konca« bi bil tako 4 “ 00 . . .0100 “ 00000100 00000000 00000000 00000000 . Angleški izraz za zapis »z velikega konca«, torej 1234, je big endian, za zapis »z manjšega konca«, torej 4321, pa little endian. Izraza izhajata iz satirič- nega romana Guliverjeva potovanja, ki ga je napisal Johnatan Swift leta 1726. Roman je kritika takratne angleške družbe; v njem Guliver doživi brodolom in se zbudi v deželi Liliput, kjer živijo Liliputanci. De- želo težijo razdori in borbe med Liliputanci, eden iz- med glavnih razlogov pa je, ali je treba trdo kuhano jajce najprej razbiti na zgornji (manjši) ali spodnji (večji) strani. V angleščini so se zagovorniki strani, ki je jajce razbijala z manjšega konca (from the lit- tle end) imenovali little endians, njihovi nasprotniki pa big endians. Izraz je v računalništvu popularizi- ral Danny Cohen v malo manj, a kljub vsemu neza- nemarljivo satiričnem članku O svetih vojnah in pro- šnja za mir [1], objavljenem s strani takratne »de- lovne skupine za internet« (Internet Engineering Task Force (IETF)). Tam potegne nekaj vzporednic med zagovorniki ene in druge strani in jih tudi okliče za Little- ali Big-Endians. Od takrat se je izraz obdr- žal, splošnemu principu, kako lahko števila različno napišemo, pa rečemo endianess. V slovenskem pre- vodu se zgornji in spodnji del jajca pri Liliputancih imenujeta »vršek« in »tušek«, vendar terminologija (še?) ni prišla v rabo pri računalniških arhitekturah. Negativna števila Do sedaj smo se ukvarjali samo z zapisom pozitiv- nih števil. Običajna števila, ki jih uporablja računal- nik, so predznačena, torej imajo predznak + ali ´, in so lahko negativna. Kako pa zapišemo ta? En način je, da prvi bit žrtvujemo za predznak: dogovorimo se, da če je prvi bit enak 0, pomeni, da je število po- zitivno, sicer pa negativno, preostanek pa interpre- tiramo kot običajno pozitivno število. Tako bi npr. 00000001 pomenilo število 1, 10000001 pa ´1. Ta sistem se imenuje »predznak in velikost«, sign and magnitude Na žalost se ta način ne uporablja pri celih šte- vilih. Zgoraj opisani način ima med drugim težavo, da ima dve ničli (+0 in ´0), ki sta kot števili seveda enaki, bitna zapisa imata pa različna. To povzroča tudi težave pri postopku za seštevanje. Sistem, ki se večinoma uporablja dandanes, se imenuje »komple- ment dvojke« (two’s complement) in teh težav nima, ima pa tudi smiselno matematično strukturo. Da bo manj pisanja, denimo, da delamo z osem bi- tnimi števili. Pa se vprašajmo, katero število je ´5? To je število, ki ga moramo prišteti 5, da dobimo 0. Trdim, da je pri osem bitnih številih to število v re- snici 251. Pa poglejmo: 5 v dvojiškem zapišemo kot 101p2q, 251 pa kot 11111011p2q. Pisno ju seštejmo: 00000101p2q = 5 + 11111011p2q = 251 = 1 00000000p2q = 256 Ker imamo samo osem bitov, rezultatu »odpade« prvi bit in dobimo odgovor 0. Če torej velja, da je 5 ` 251 “ 0, je 251 nasprotna vrednost 5, torej ´5. Po enakem principu je tudi 5 “ ´251. Stvar dogo- vora je, kako si bomo posamezna števila interpreti- rali: če se dogovorimo, da binarni zapis 251 ne po- meni 251 ampak ´5, potem pač nimamo nobenega načina, da bi zapisali število 251. Ampak nič hudega, jasno je, da bomo morali nekaj števil žrtvovati. Vseh   ̌      ̌    P 48 (2020/2021) 130 števil je 256 in če hočemo imeti nekaj negativnih šte- vil, moramo na nekaj pozitivnih števil gledati kot na negativna. Smiselno je razdeliti na polovico. Šte- vila od 0–127 ostanejo nedotaknjena (to so števila od 00000000 do 01111111) in jih interpretiramo kot prej. Števila od 128 do 255 pa interpretiramo kot negativna števila. Namreč 255 + 1 = 256, kar je v 8- bitnem sistemu enako kot 0. Podobno velja 254+2 = 0, 253+3 = 0 in na koncu 129 + 127 = 0. Odločimo se torej, da bomo 255 “ 11111111p2q gledali kot ´1, in tako naprej do 129 “ 10000001p2q kot ´127. Od tod tudi razlog za ime »komplement dvojice«: v n- bitnem sistemu število negiramo tako, da ga odšte- jemo od 2n, v našem primeru od 28 “ 256. Rešiti moramo le še število 128, ki je samo sebi nasprotno število in ga lahko interpretiramo kot negativno ali pozitivno. Dogovor je, da ga gledamo kot negativno. To ima prednost, saj lahko predznačenost števila še vedno ugotovimo, tako da pogledamo prvi bit – 0 po- meni nenegativno, 1 pa negativno (le preostanek se drugače interpretira). Naš razpon števil torej izgleda takole: b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 11111111 255 ´1 11111110 254 ´2 ... ... ... 10000010 130 ´126 10000001 129 ´127 10000000 128 ´128 01111111 127 127 01111110 126 126 ... ... ... 00000010 2 2 00000001 1 1 00000000 0 0 število število bitni zapis nepredznačeno predznačeno Zanimiva posledica takega zapisa je, kaj se zgodi, če imamo predznačeno celo 8-bitno število, ki je na začetku 0 in ga povečujemo za 1 v neskončni zanki. Vrednost bo rasla do 127 “ 01111111p2q, nakar bo postala 10000000, kar si interpretiramo kot ´128. Ko na desni strani prekoračimo največjo vrednost, pridemo ven pri najmanjši vrednosti. Če sedaj na- daljujemo, bo naslednja vrednost, ko prištejemo 1, enaka 10000001, kar si interpretiramo kot ´127. Na- to bo sledila 10000010, kar je ´126. Vidimo, da se povečevanje pravilno obnaša, razen ko preskoči (kar ne drži pri predstavitvi, opisani na začetku). To pomeni, da lahko računalnik s števili pri seštevanju in odštevanju dela, kot da so pozitivna, in samo na koncu drugače pogleda na rezultat. Naredimo en primer s polnimi 32-bitnimi števili. Najprej izračunajmo razpon predstavljivih števil v n- bitnem sistemu. V zadnjih n ´ 1 bitov kot običajno zapišemo števila od 0 do 2n´1 ´ 1. Preostala števila od ´2n´1 do ´1 so negativna. V 32-bitnem sistemu je torej največje število 231 ´ 1 “ 2147483647, naj- manjše pa ´231 “ ´2147483648. Primer, ki si ga je enostavno zapomniti, je število z zapisom 11111111 11111111 11111111 11111111. To število je ´1, kar hitro vidimo na dva načina. Kot pozitivno število je enako 232´1, torej je njegova vre- dnost 232 ´ p232 ´ 1q “ 1, obravnavamo pa ga kot ne- gativno, ker ima prvi bit 1. Še lažje, pogledamo, kaj se zgodi, če prištejemo 1: dobimo same 0 in enico, ki pade čez rob – torej je to število plus 1 enako 0 in je število torej ´1. Za vajo si sedaj interpretirajmo še število z zapi- som 10100011 01011000 10110001 10101001. Običajno interpretirano je to število 2 740 498 857. Toda vidimo, da ima na prvem mestu 1, in si ga mo- ramo interpretirati kot negativno: izračunamo 232 ´ 2 740 498 857 “ 1 554 468 439 in vemo, da zgornji zapis predstavlja ´1554468439. S tem lahko tudi seštevamo, kot da delamo s pozitivnimi števili. Izra- čunajmo na ta način ´ 1554468439 ` p´5q, torej 2 740 498 857 ` 4 294 967 291 “ 7 035 466 148, kar v bitih izgleda kot 10100011 01011000 10110001 10101001 ` 11111111 11111111 11111111 11111011 “ 1 10100011 01011000 10110001 10100100           P 48 (2020/2021) 1 31 Enica, ki gleda čez, odpade in preostane vrednost, ki si jo interpretiramo kot ´1554468444, kar je pravilen rezultat. Enako velja tudi za priš- tevanje pozitivnih števil. Izračunajmo npr. ´1554468439 ` 1554468444 in pričakujemo re- zultat 5. Res, 2 740 498 857 ` 1 554 468 444 “ 4 294 967 301 “ 232 ` 5, oz. v dvojiškem 10100011 01011000 10110001 10101001 ` 01011100 10100111 01001110 01011100 “ 1 00000000 00000000 00000000 00000101, kar je po tem, ko odrežemo enico, enako 5. Za konec še trik, kako lahko hitro dobimo bitni za- pis nasprotnega števila, če že poznamo bitni zapis originala. Postopek gre takole: vzamemo bitni zapis originala in obrnemo vse bite (0 postane 1 in obra- tno). Nato prištejemo 1. Najprej preizkusimo na primeru, potem pa razlo- žimo, zakaj deluje. Vzemimo število 19 z zapisom 00000000 00000000 00000000 00010011. Obrnemo bite in dobimo 11111111 11111111 11111111 11101100. Prištejemo 1, dobimo 11111111 11111111 11111111 11101101 in trdimo, da je to ´19. Pa poglejmo: kot pozitivno število je to enako 4 294 967 277, toda ko ga sešte- jemo z 19 dobimo točno 232, kar je v 32-bitnih števi- lih enako kot 0, torej je moralo število res biti -19. Premislimo še, zakaj postopek res deluje. Imejmo na začetku število X, obrat bitov pa označimo z „X. Pokazati želimo, da je „X ` 1 nasprotno število od X. To je najlažje storiti tako, da ju seštejemo, in moramo dobiti 0. Poglejmo, kaj se zgodi, ko sešte- vamo „X in X. Ker so vsi biti nasprotni, je rezultat vedno enak 11111 . . .11. Ko temu prištejemo 1, do- bimo ravno same ničle in enico, ki pade čez rob, torej je rezultat res 0. Literatura [1] D. Cohen, On holy wars and a plea for pe- ace, Computer, 14(10), 48–54, 1981, dosto- pno na www.ietf.org/rfc/ien/ien137.txt, ogled: 5. 8. 2020. ˆ ˆ ˆ ̌  ̌  47/6 Pravilna rešitev nagra- dne križanke iz šeste številke Preseka je Algo- ritem. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Vid Kavčič iz Črnomlja, Martin Mah iz Šmar- tnega pri Litiji in Ema Hajnšek iz Ljubljane, ki bodo razpisane nagrade prejeli po pošti. ˆ ˆ ˆ Zgodovina znanosti v stripu Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižničarstvo pri Mestni knjižnici Lju- bljana že tretjič podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je pri- znanje prejelo za strip Življenja Marie Curie. Švicarski avtor Raphaël Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega časa. V vsakem razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je različica imena Marija, v čast veliki znanstvenici Marie Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem poučne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posrečenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odlično prevedel prof. dr. Alojz Kodre. 7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja ‚ Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter ‚ Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poučna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše pred- stavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naročite: http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA–založništvo 20 % popusta na zgornje cene – izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633.