NOVICE 57 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 Ugotavljanje modela za višino človeka glede na velikost čevljev 1 Jerneja Bone, Zavod RS za šolstvo Modeliranje je dejavnost, s katero se učenci posredno srečujejo v življenju, neposredno pa se z njo seznani- jo pri pouku. Ob reševanju problemov z modeliranjem učenci prepletajo matematično znanje z veščinami, ki jim pridejo prav v ostalih okoliščinah in tudi pri drugih predmetih (zbiranje podatkov, iskanje virov, siste- matično beleženje, prevajanje vsakdanje situacije v matematično okolje …). Iskanje primerov iz vsakdanjega življenja, ki so primerni za modeliranje, ni enostavno. Lažje je, da v razredu, pri pouku, uporabimo primer, ki ga je že nekdo preizkusil. Zato smo pri izvedbi dejavnosti z učiteljicama izhajali iz primera, ki smo ga našli v strokovnem prispevku, in ga pripravili za učence, hkrati pa smo stremeli k temu, da je primer primeren za različne razrede, za učence z različnim matematičnim predznanjem. Pri izvedbi iste dejavnosti v različnih razredih (od 6. do 9. razreda) smo želeli ugotoviti, kakšne načine in poti reševanja problema bodo poiskali učenci. Predvideli smo, da bodo dejavnost izvedli v eni šolski uri, možnost pa je, da se dejavnost s predstavitvijo rešitev in konstruktivno razpravo izvede v dveh strnjenih šolskih urah. Z dejavnostjo smo sledili naslednjim vsebinskim in procesnim ciljem. Učenec: • opredeli matematični problem v dani realni situaciji, • poišče potrebne podatke, razložiti dogajanje v problemu, napovedati druga dogajanja, • predstavi problemsko situacijo, • predstavi način reševanja, • s svojimi besedami opiše model, • preizkuša model v podobni situaciji. Učenci lahko uporabljajo pri reševanju žepno računalo oz. drugo digitalno tehnologijo (računalnik), upora- bijo lahko milimetrski papir, različne merilne inštrumente ali iščejo relevantne podatke po spletnih in dru- gih virih, kjer jih opozorimo na navajanje uporabljenih virov. Za reševanje problema uporabi matematično znanje, ki ga je pridobil, npr. računanje z decimalnimi števili, razmerja, pretvarjanje količin (dolžina). Z dejavnostjo smo stremeli k razvijanju drugega gradnika matematične pismenosti (MP 2). 2.2 obravnava situacije z matematičnim modeliranjem. Bolj smo se posvetili razvijanju naslednjih podgradnikov in njihovih opisnikov: 2.2 obravnava situacije z matematičnim modeliranjem 2.2.1 prenese situacijo v matematični kontekst a) prepozna, da bo dano situacijo lahko matematično modeliral b) opiše življenjski problem (npr. osebni, družbeni, strokovni) v matematičnem jeziku c) prepozna količine, matematične pojme in odnose v obravnavani situaciji in odloča o njihovi relevantnosti e) predstavi situacijo z matematičnimi sredstvi in oblikuje problemska vprašanja v matematičnem kontekstu 1 Članek je prirejen po prispevku: Bone, J. in Starčič, T. (2022). Ugotavljanje modela za višino človeka glede na velikost čevljev. V Suban, M. in Rupnik Vec, T. (ur.) Kritično mišljenje pri naravoslovju in matematiki. Priročnik za strokovne delavce v vrtcih in šolah. Ljubljana: ZRSŠ. Dostopno na: www.zrss.si/pdf/Kriticno_mislenje_prirocnik.pdf NOVICE 58 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 Avtorica: Jerneja Bone Vzgojno-izobraževalni zavod: OŠ Danila Lokarja Ajdovščina Področje predmet: MATEMATIKA Razred: 7., 8. in 9. razred Učni sklop: Matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami Trajanje: 1–2 šolski uri Naslov dejavnosti: Ugotavljanje modela za višino človeka glede na velikost čevljev Vključeni (pod)gradniki MP: MP 2.2 Obravnava situacije z matematičnem modeliranjem Operativni cilji dejavnosti: Učenci znajo: • opredeliti matematični problem v dani realni situaciji • poiskati potrebne podatke, razložiti dogajanje v problemu, napovedati druga dogajanja • predstaviti problemsko situacijo • predstaviti način reševanja • s svojimi besedami opisati model • preizkušati model v podobni situaciji 2.2.2 oblikuje matematične modele za dano situacijo a) pri načrtovanju modela opredeli spremenljivke, formulira predpostavke in navede omejitve modela b) izbere ustrezno zvrst modela (empirični, simulacijski, teoretični, algoritmični itd.) glede na dano situacijo c) prepozna in zapiše odnose med izbranimi spremenljivkami oziroma predlaga matematično strukturo za dano situacijo (npr. funkcijski predpis, graf, linearna enačba, sistem linearnih enačb, diagram, preglednica, geometrijski objekt, slika, opisno ali kako drugače) d) pri izdelavi modela uporablja ustrezna matematična in tehnološka orodja 2.2.3 uporablja matematične modele a) opiše dane in lastne modele z različnimi matematičnimi reprezentacijami b) uporablja dane in lastne modele c) razloži model in upošteva značilnosti konteksta (ustrezne enote, natančnost, zaokroževanje) d) pri uporabi modela se poslužuje tehnoloških orodij (računalo, računalniške preglednice, razni programi, spletne aplikacije itd.) f) interpretira matematične rešitve (izračune, dobljene z modelom) v kontekstu 2.2.4 vrednoti matematične modele a) obravnava ustreznost (smiselnost, pravilnost, natančnost) modela v različnih okoliščinah (npr. obravnava mej, obravnava predpostavk, zanemarjenih količin) d) primerja različne modele (npr. glede na točnost, obseg uporabnosti, zahtevnost uporabe) NOVICE 59 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 Aktivnost učencev Podgradnik MP Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila Učenci so razdeljeni v heterogene skupine po 3 ali 4 člane. Razgovor o temi: velikost čevljev Učenci opišejo, kaj vedo o velikosti čevljev – dolžini stopala. MP 2.2.1 a), b), c) Učitelj vodi razgovor o velikosti čevljev: Katero velikost čevljev ima Luka Dončić? Kolikšna je dolžina vašega stopala? Zapisi, kaj že vedo o velikosti čevljev (na učnih listih). Realistična situacija Po Guinnessovi knjigi rekordov (2002) so največji čevlji dolgi 5,29 m in široki 2,37 m. Učenci zastavljajo vprašanja. (Kaj nas zanima?) Izbor ključnega vprašanja. Približno kako visok bi bil velikan, ki bi obul te čevlje? MP 2.2.1 e) Učitelj spodbudi učence, da razmišljajo o možnih vprašanjih, ki jih to dejstvo predstavlja. Zapisi vprašanj na tablo. Oblikovanje modela in njegova uporaba na velikanovih čevljih Oblikujejo predpostavke. Učenci iz predpostavk sklepajo na potrebne podatke. Poiščejo podatke, ki jih potrebujejo za reševanje problema. Učenci iščejo in zapisujejo možne rešitve. Svoja razmišljanja rišejo, pišejo, računajo. Predstavijo rešitev. MP 2.2.2 a), b), c), d) MP 2.2.3 b), c), d) Učitelj usmerja/podpira učence. Če učenci izrazijo, da potrebujejo določen pripomoček, jim ga da. Vodi pogovor o predstavljenih modelih. Opisujejo situacijo, predlagajo možne rešitve. Zapisi na učne liste. Predstavitve modelov – rešitev (zapisi na folije piši-briši). Interpretacija modela Pri katerih modelih smo dobili podobne velikosti velikana? V čem so si modeli podobni, v čem različni? Ali so modeli uporabni/prenosljivi? Kje? Kako? MP 2.2.4 a), d) Učitelj vodi pogovor. Zapisi modelov – rešitev. NOVICE 60 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 Aktivnost učencev Podgradnik NP Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila Refleksija Učenci odgovorijo v povedih na zastavljena vprašanja na delovnih listih. MP 1.3 c) Učencem razdeli učne liste in jim pojasni, kaj od njih pričakuje. Učitelj učencem poda povratno informacijo o znanju. Zapisi na učnih listih. Opomnik in dodatni napotki za izvedbo dejavnosti: Pripravljeni računalniki/tablice s povezavo na splet. Priprava žepnih računal. Priprava milimetrskega papirja, karo papirja. Priprava različnih metrov. Viri: Viryent, A. (2017). Največji čevlji na svetu. Dostopno na: https://viryent.com/blog-sl/najvecji-cevlji-na-svetu/. World‘s Largest Shoes. Dostopno na: https://www.atlasobscura.com/places/world-s-largest-shoes. Blum, W., Ferri, R. B. (2009). Mathematical Modelling: Can It Be Taught And Learnt?. Journal of Mathematical Modelling and Application, 1 (1), 45–58. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Vreš, S., Kretič Mamič, V., Ternar, V., Angelov Troha, K., Zadel, V., Lipovec, A., Žakelj, A., Klemenčič, E., Fras Bero, F. (2022). Matematična pismenost. Opredelitev in gradniki. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf NOVICE 61 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 134 | Kritično mišljenje pri naravoslovju in matematiki | Učni list Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Največji čevlji V Šp ortnem cen tru v Marikini na Filipinih imajo shr anjen najv ečji par če vlje v na s v e tu. Po Guinnesso vi knjigi r ek or do v (2002) so dolgi 5,29 m in šir oki 2,37 m. Približno k a ko visok bi bil v elik an, ki bi lahk o obul te če vlje? Pri r eše v anju nal og e lahk o upor abit e ž epno r ačunalo in r ačunalnik s p o vezavo na sple t. Če bos t e potr ebo v ali še k ak šne drug e pripomočk e, vpr ašajt e učit eljic o. Z apisujt e vs e k or ak e r eše v anja. P ojasnit e pot ek r eše v anja oz . r ešit e v , ki jo bos t e pr eds t a vili. R e flek sija po r eše v anju: 1. K ak šna se ti je z dela nalog a? 2. K aj ti je uspelo (dobr o šlo) pri r eše v anju nalog e? 3. K aj ti je bilo pri r eše v anju nalog e najt e žje, kje si imel najv eč težav ? 4. Ali si še ž eliš r eše v a ti podobne nalog e? Z ak aj? 5. K a t er o ma t ema tično znanje si upor abil pri r eše v anju nalog e? NOVICE 62 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 | 135 Primeri iz prakse Nalog a je primer na za uv ajanje učence v v r eše v anje t o vr s tnih pr oblemo v – modelir anja. Ke r učenci niso imeli izk ušenj z r eše v anjem t o vr s tnih nalog , smo se na z ače tk u pog o v orili o dolžini s t opal, v elik os ti če vlja in jim t ak oj pr eds t a vili nalog o oz . vpr ašanje. V naslednjih iz v edbah jim ne bomo t ak oj ponudili t ablic, ampak bomo pus tili, da sami izr azijo potr ebo po določenih pripomočkih, ki jim bodo vidni na mizi v učilnici. Učenci so t ak oj z ačeli isk a ti po sple tu, isk anje ni bilo usmerjeno. Učenci so z apisali, da se jim je z dela nalog a z animiv a; da so delali v sk upini in z r ačunalniki. Zabavna in drugačna, saj si moral razmišljati ven iz okvirja in ni samoumevno kakšen bo odgovor. Dobr o so se ocenili pri isk anju z ače tnih poda tkih. 1. Kaj ti je uspelo (dobro šlo) pri reševanju naloge? Iskanje podatkov in delo v skupini. Te ž k o jim je bilo , ka ko z ače ti r eše v a ti nalog o. Z apisali s o, da so pri r eše v anju up or abili (r azlični učenci so r azlično z apisali): mno ž enje, pr emo sor azmerje, križni r ačun, seš t e v anje in odš t e v anje, pr e tv arjanje enot. 2. Kaj ti je uspelo (dobro šlo) pri reševanju naloge? Ugotovili smo, da telo ni sorazmerno s stopalom. Evalvacija, refleksija učiteljice Refleksija učencev NOVICE 63 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 | 135 Primeri iz prakse Nalog a je primer na za uv ajanje učence v v r eše v anje t o vr s tnih pr oblemo v – modelir anja. Ke r učenci niso imeli izk ušenj z r eše v anjem t o vr s tnih nalog , smo se na z ače tk u pog o v orili o dolžini s t opal, v elik os ti če vlja in jim t ak oj pr eds t a vili nalog o oz . vpr ašanje. V naslednjih iz v edbah jim ne bomo t ak oj ponudili t ablic, ampak bomo pus tili, da sami izr azijo potr ebo po določenih pripomočkih, ki jim bodo vidni na mizi v učilnici. Učenci so t ak oj z ačeli isk a ti po sple tu, isk anje ni bilo usmerjeno. Učenci so z apisali, da se jim je z dela nalog a z animiv a; da so delali v sk upini in z r ačunalniki. Zabavna in drugačna, saj si moral razmišljati ven iz okvirja in ni samoumevno kakšen bo odgovor. Dobr o so se ocenili pri isk anju z ače tnih poda tkih. 1. Kaj ti je uspelo (dobro šlo) pri reševanju naloge? Iskanje podatkov in delo v skupini. Te ž k o jim je bilo , ka ko z ače ti r eše v a ti nalog o. Z apisali s o, da so pri r eše v anju up or abili (r azlični učenci so r azlično z apisali): mno ž enje, pr emo sor azmerje, križni r ačun, seš t e v anje in odš t e v anje, pr e tv arjanje enot. 2. Kaj ti je uspelo (dobro šlo) pri reševanju naloge? Ugotovili smo, da telo ni sorazmerno s stopalom. Evalvacija, refleksija učiteljice Refleksija učencev 136 | Kritično mišljenje pri naravoslovju in matematiki | Primeri iz prakse 2. sk upina Učenci so izmerili višino eneg a od sošolce v in dolžino njeg o v eg a s t opa la. K oličnik, ki so ga dobili, so pomno žili z dolžino v elik ano v eg a če vlja. Dobili so podoben r e z ult a t ko t p r va sk upina. Pr e v erili so svo j model t a ko, da so izmerili višino drug eg a sošolc a in dolžino njeg o v eg a s t opala, in dobili so enak k oličnik. Ko pa so to s t orili pri tr e tjem sošolcu, k oličnik ni bil enak. Pr esenečeni so bili, da r ešit e v ni enolična. 3. sk upina Sk upina je na spl e tu našla poda t e k, da bi bil ta k v elik an v elik 40 me tr o v (niso si shr anili sple tneg a m e sta – opo z orilo na delo z viri). P ot em pa so hot eli iz r ešitv e sklepa ti na pot r eše v anja. N a sple tu so pot em našli poda t ek, da je pri obutvi s š t e vilk o 40 s t opa lo dolg o 25,5 cm. N ato so izr ačunali, k olik šna bi bila š t e vilk a če vlja v elik ana. Tu se jim je r eše v anje v č asu, ki jim je bilo namenjeno , us t a vilo. Priloženi dokazi, izdelki učencev 1. sk upina Sk upina je na sple tu našla poda t ek , da ima 250 cm visok člo v ek s t opalo dolg o 38 cm. Izr ačunali so k oličnik med višino člo v ek a in dolžin o s t opa la. Dobljeni k oli čnik so pot em pomno žili z dolžino v elik ano v eg a če vlja in dobili v elik os t v elik ana. Učenci si niso shr anili sple tne s tr ani, kjer so poda t ek o v elik os ti člo v ek a (250 cm) dobili. Opomnili smo jih na delo z viri.