i Li m moCmk- J>V* • i GEOMETRISCHE FORMENLEHRE FSB MADCHEN-BURGERSCHULEN. /L / }o f / r Mocniks Madchen-Burgerschulen. Bearbeitet von E. F. Wengliart, BiirgerschuldirektoTr. Mit 1 G 2 Figwrun und 1 1 8 geometmclien Ornainentcn. Dritte, verbcsserte Auflage. Mit hohom k. k. MinisterialerlaG vom 30. September 1903. Zahl 31943, allgemein zuliissig erklart. Preis, gebunden l K 70 li. w I E N. V E R L A G VON F. T E M P SIC Y. 1904. 1. Abschnitt: Betraelitung Seite 1. Grundvorstellnngen derRaum- gebilde. 1 2. Die Punkte. 3 3. Die Linien. 4 4. Das Messen der Strecken . . 7 5. Die Kreislinie. 8 6. Lage zweier Linien im Raume 10 7. Die Winkel. 11 8. Das Messen der Winkel ... 14 9. Nebenwinkel und Scheitelwinkel 16 10. Gegenwinkel, Wechselwinkel und Anwinkel. 18 11. Arten der Flachen. 21 12. Die Gerade und die Ebene . 22 13. Lage zweier Ebenen .... 24 14. Korperecken. 25 15. Die Figuren. 25 16. Das Dreieck. 27 der geometrischen Gcbilde. Seite 17. Kongruenz der Dreiecke ... 31 18. Anwendnng der Kongruenz- satze. 34 19. Das Viereck. 37 20. Das Vieleck (Polygon) .... 43 21. Die regelmaGigen Korper . . 47 22. Das Prisma. 49 23. Die Pyramide. 50 24. Ahnlichkeit. 51 25. Der Zylinder. 52 26. Nahere Betracbtung des Kreises 54 27. Konstrnktionen iiber den Kreis 56 28. Die Ellipse und die Eilinie . 61 29. Die Spirale und die Schneoken- linie. 64 30. Der Kegel. 65 31. Schnitte am geraden Kegel . 66 32. Die Kugel. 68 2. Abschnitt: Kopieren, Ycrgroflcrn und Ycrkleincrn der Ficuren. Seite 33. Kopieren der Figuren .... 69 34. Kopieren von Schnittmustern 70 35. Verhaltnisse der Strecken. Pro- . portionen . 73 36. Ahnlichkeit der Dreiecke . . 74 •• 37. Ahnlichkeit der Yierecke und der Polygone. 76 38. Der Proportionalwinkel . . . 39. Das Verkleinern und Yer- groGern gegebener Figuren 40. Das Yerkleinern und Yer- groGern von Schnittmustern Seite 78 79 81 3. Abschnitt: Fin fang und Seite 41. Umfang und Flacheninhalt im allgemeinen. 84 42. Das Quadrat. 85 43. Das Rechteck. 87 44. Das scliiefwinkelige Parallelo- gramm. 90 45. Das Dreieck. 91 46. Der pythagoraische Lehrsatz . 93 47. Das Trapez. 96 4. Abschnitt: Oberfliielic ii Seite 55. Oberflache und Kubikinhalt im allgemeinen.112 56. Der Wiirfel.114 57. Das Prisma.116 58. Die Pyramide.120 59. Die fiinf regelmaGigen Korper 123 Flilcheninhalt der Figuren. Seite 48. Das Trapezoid. 98 49. Das Vieleck. 99 50. Umfang und Flacheninhalt■ ahn- m licher geradliniger Figuren 102 51. Ahnlichkeit im Raume ... 103 52. Umfang des Kreises.104 53. Flacheninhalt des Kreises . . 106 54. Flacheninhalt der Ellipse . . Ill Kubikinhalt der Korper. Seite 60. Der Zylinder.124 61. Der Kegel.127 62. Die Kugel.130 63. Korperinhalt der Fasser ... 133 64. Bestimmung des Kubikinhaltes durch das Gewicht .... 134 Die geometrischen Ornamente sind zum Teil der Grammatik der Ornamente von Owen Jones und der Ornamentik von Franz Salis Mayr entnommen, die Haud- arbeitsbeispiele groGtenteils der in dieser Beziehung so reicli ausgestatteten Zeit- schrift „ Wiener Mode . n Gebriider Stiepel in Reichenberg. I. Abschnitt. Betrachtung der geometrisclien Gebilde. 1. Grundvorstellungen der Raumgebilde. (Der Wtirfel wird auf dem Tische oder einem Stative so aufgestellt, dafl zwei Flachen eine horizontale Lage liaben und eine Flache den Schillern zugewendet ist.) Wir koinieii durch unsere Sinne eine grofie Menge von Gegen- standen wahrnehmen, so beispielsweise im Schulziinmer den vorstehenden Wtirfel, die Schultafel, den Kasten, die Banke u. s. w. — Alle diese Gegenstande nehmen einen Raum ein, welcher von ihnen nacb alien Riclitungen ausgeflillt wird; sie sind nach alienRichtungen bin begrenzt. Ein von alien Seiten begrenzter Raum b e i fi t Kbrper. Der Wtirfel ist ein Korper. Die sinnlich wabrnehmbaren Gegenstande werden von einem Stoffe (Materie, Substanz) aus¬ geflillt; sie heiden aucb p by sis die Korper. • Denkt man sicli nun aus ibrem Raume den Stoff, aus welchem sie besteben, weg, so erhalt man die Vorstellungeines geometriscben Korpers. Wahrend man bei pbysischen Korpern bauptsachlicb den Stoff, aus welcbem sie besteben, und dessen Eigenscliaften beriicksicbtigt, siebt man bei geometrisclien Korpern auf ibre Form. Obwohl die Korper nacb alien Richtungen ausge- debnt sind, unterscheidet man docb 3 Hauptricbtungen der Ausdelm ung (Dimensi on en): die Lange, die Breite und die Dicke (Tiefe oder Holie). Zeige am Wtirfel und an andern Gegenstanden des Scbulzimmers ■ diese 3 Hauptricbtungen! Der Wiirfel wird von 6 Flacben eingeschlossen. Diese sind: die obere und die untere, die vordere und die riickwartige, die recbte und die linke Flache. Wie viele Flachen zeigen sicb am Kasten, an einer zylindrischen Federscbacbtel, an einem Zuckerhute, an einer Kugel? Mocnik -W enghart, Geometrische Formenlehre #0r Madchenbllrgerachulen. 1 2 Die Kbrper sind von Flachen begrenzt. Jede Fliiche des Wtirfels ist nacli 2 Hauptrichtungen ausgedehnt; so die untere Fliiche von links nach rechts und von vorne nach ruckwarts. Aucb an der Tafelflache, an den einzelnen Flachen des Kastens n. s. w. lassen sich zwei Hauptausdehnungen nachweisen. Die Flachen liaben 2 Hauptausdehnungen, namlich eine Lange und eine Breite. Jede Wtirfelflache wird von 4 Linien (Kanten) eingeschlossen. Von wie vielen Linien wird ein Dreieck, ein Sechseck, die Kreisfliiche begrenzt? Die Flachen werden von Linien eingeschlossen. Bestimme mit Hilfe eines Maftstabes die Lange einer Wtirfelkante! — Linien lassen sich nur nach einer Richtung ausmessen, sie besitzen daher nur eine Dimension. Die Linien baben nur eine Ausdehnung, namlich eine L a n g e. Die beiden Grenzen einer Linie (Kante) beibt man Punkte (Ecken). Die Linien werden von Punkten begrenzt. Die Punkte nehmen keinen Raum ein, sie lassen sich daher auch nicht abmessen. Die Korper, Flachen und Linien nennt man Raum- groflen, weil sie sich im Raume ausdehnen. Die Punkte sind keine Raumgrbflen. Die Lehre von den Raumgrolien heifit Geometrie. Im gewblinlichen Leben betraclitet man hiiufig ein Blatt Papier als eine Fliiche und feinen Draht, diinne Fiiden etc. als Linien, obwohl strenge genommen alle diese Dinge eine gewisse Lange, Breite und Dicke besitzen und daher eigentlicli Korper sind. Wenn der Nil aus seinen Ufern tritt, so pflegt er nicht selten die Grenzen der einzelnen Grundstiicke zu zerstoren und unkenntlich zu machen. Deshalb sah man sich schon im Altertum (unter Sesostris) genotigt, um unniitzem Streit unter den einzelnen Grundbesitzern vor- zubeugen, das vom Nilschlamme befruchtete Land alljahrlich zu ver- messen und zu verteilen. Dieses von der Priesterkaste vorgenommene Geschaft fiihrte zum Studium der einzelnen Figuren und deren Eigen- schaften und gab so die Veranlassung zum Entstehen einer neuen Wissenschaft, der Lehre von der Erdmessung oder Geometrie. Die Agypter selbst und spater die Perser, Griechen, Araber und andere Volker haben diese Wissenschaft, die im Altertume als eine hoch- ansehnliche gait, immer mehr ausgebildet und entwickelt. 3 2. Die Punkte. Die Punkte konnen, da sie weder eine Liinge nocli Breite oder Dicke besitzen, nur gedacht werden. Um nun die Stelle, wo man sich einen Punkt hinzudenken hat, sichtbar zu machen, bringt man an dem betreffenden Orte der Zeiclienflache mit dem Bleistifte, mit der Peder oder der Kreide einen Tupfen an. Solclie Tupfen sind jedoch niclit wirklichePunkte; sie sind blob Z e i c h e n derselben. Manchmal beniitzt man auch als Zeichen fiir die Punkte Ringelclien, kleine Kreuze oder mitunter auch cv Sternchen. Die Punkte werden dadurch angegeben, dafl man zu den m f m •• m dieselben versinnlichenden Zeichen Buchstaben des lateinischen Alphabetes oder auch Ziffern setzt. Zu- weilen werden auch melirere Punkte mit demselben Buchstaben be- zeichnet; nur mu8 man dann diese Buchstaben zur Unterscheidung rechts oben mit kleinen Strichen versehen oder denselben rechts unten kleine Ziffern (Indices) anfttgen. Man sagt: der Punkt a, 6, c, A , 77, 7, 4, //, 777, m\ m", r t ,r 2 , r 8 u. s. w. Verwendungsbeispiele (Gruppe I). \ '\ '\ '\ L v/_ \ 'C / v/ r '< '• x / -s/ v/ v >*/ 1 und 3 agyptische Wandmalerei. 2 "Weiflstickerei. 4 Tupfmuster fur Hakel- arbeit, Kreuzstich oder zum Stopfen des Netzes. 5 ein Tischtuck. 6 ein Sack- tuch. 7 Kreuzstich, in Farben ausfuhrbar. 8 von einem Teppich (Filet Gobelin). 1 * 4 Es ist Bedlirfnis eines jeden Menschen, alles, was ihn umgibt, Oder was er an sich tragt, zu verschonern, zu verzieren. Schon bei den altesten Volkern linden wir Tupf, Kreuz oder Stern, mit welchem der Mann seine Waffe kennzeielinete oder seinen Rang darstellte. Bald nahmen diese Tupfen Reihenfolge oder wieder- liolende (rhythmische) Ordnung an und wurden zur Zierde, zum Ornament. 3. Die Linien. (Betrachtung des Wtirfels und des geraden Kreiszylinders.) Alle Kanten des Wtirfels sind gerade Linien. Solclie Linien entstehen, wenn sich ein Punkt (Spitze des Bleistiftes, Kreidenspitze etc.) immer nach einer und derselben Richtung bewegt. Teilt man eine gerade Linie in mehrere gleiche Teile und beobachtet die Richtung derselben, so sielit man, dafl diese bei alien • Teilen unverandert und gleichbleibend ist (Fig. 4). ^ GeradeLiniensindsolche Linien, welche in alien ihren Teilen eine gleiche Richtung haben. Betrachtet man dagegen die am Zylinder (Fig. 3) oben und unten vorkommenden Linien und denkt sich auch diese wieder in mehrere gleiche Teile zerlegt, so sielit man, dafi jeder Teil eine andere Richtung besitzt; man nennt derartige Linien krumme Linien (Fig. 4). — Wie entsteht eine krumme Linie? ^ Krumme Linien sind solche Linien, von denen jeder Teil eine andere Richtung hat. Nenne Gegenstande an denen sich gerade Linien vorlinden, und zeige die letzteren! — An welchen Gegenstanden bemerken wir krumme Linien? Zeige sie! Zeiclme eine gerade und eine krumme Linie an die Tafel! Linien, welche sich a us la u ter geraden Linien von verse hi edener Richtung zusammensetzen, heifien gerad- gebrochene Linien (Fig. 5). Linien, welche sich aus lauter krummen Linien zusammensetzen, nennt man krummgebrochene Linien. Linien, welche teils aus geraden, teils aus krummen Linien bestehen, heihen gemischte Linien. Fig. 3. Fig. 4, 5 Man unterscheidet gerade, krumme, geradgebrochene, krummgebrochene und gemischte Linien. Die Linien benennt man mit 2 Buchstaben oder Ziffern oder auch mit einem Buchstaben oder einer Ziffer; im letzteren Falle werden diese Buchstaben oder Ziffern in der Mitte der Linie gesetzt und zumeist eingeklammert (Fig. 6). Man sagt: die Linie AB oder 4 , 6 oder m oder 2. Fig. 5. Fig. 6. Fig. 7. Fine beiderseits [begrenzte Gerade heiflt Strecke. Z. B. ab (Fig. 7). Linien, welche wohl einen Anfang, aber kein Ende haben, nennt man Strahlen. Das Fortlaufen einer Linie pflegt man durch einen Pfeil anzudeuten. Z. B. cx. Linien, welche weder einen Anfang noch ein Ende besitzen, werden unendliche Linien genannt. Z. B. yz . Die Naht, welche die Frau zum Zusaminenfugen der Teile der Kleidung verwendete, fiihrte zum Linienornament, denn bald Verwendungsbeispiele (Gruppe II). 1 gerade und krumme Linie. 2 die Naht als gebrochene Linie. 3 deren Verwendung zur Verlangerung eines Kinderrockes. 4 Yorlage fur Hakel- und Stickmuster. 6 Fig. 8. TbT (Cl Fig. 9. yerstand sie aus der Not eine Tugend, aus der Naht eine Zierde zu machen. " Eine Gerade, welche die Richtung des Bleilotes oder Senkels hat, hei 131 lotrecht oder vertikal. Z. B. die Linie a (Fig. 8). Ein freifallender Korper bewegt sich in — vertikaler Richtung nach abwarts. Eine Gerade, welche die Richtung eines auf dem ruhigen Wasserspiegel (cl) / schwimmenden Stabchens oder eines auf beiden Seiten gleichbelasteten Wagebalkens hat, heiflt wasserrecht, wagrecht oder horizontal. Z. B. die Linie b . * Eine Gerade, welche weder lotrecht noch wagrecht ist, heiflt schief oder schrage. Z. B. c. Die gerade Linie kann lotrecht, _ wagrecht oder schief sein. Zum Zeichnen gerader Linien bedient man sich des Lineals. ..— Die Linien werden entweder in einem Zuge oline Unterbrechung ausgezogen und heifien dann voile Linien, oder sie werden punktiert oder gestrichelt oder endlich gestrichelt- punktiert (Fig. 9). Strenge genommen sind die aus lauter Bleistift- oder Kreide- teilchen sich zusammensetzenden Striche keine Linien; man be¬ dient sich jedoch gewohnlich derselben als Zeichen (Symbole) der letztereu A u t g a b e n. 1. Zeichnet eine gerade, eine krumme, eine geradgebrochene, eine krummgebrochene und eine gemischte Linie! Bezeichnet jede dieser Linien mit 2 Buchstaben. 2. Z'ehet mit Hilfe des Lineals eine Strecke, einen Strahl und eine unendliche Linie! Jede dieser 3 Linien ist mit 2 Ziffern zu bezeichnen. 3. Ziehet eine lotrechte, eine wagrechte und eine schrage Gerade! Benennt diese 3 Linien mit je einem Buchstaben! 4. Zeichnet eine voile, eine punktierte, eine gestrichelte und eine strichpunktierte Linie! Die einzelnen Linien sind mit je einer Ziffer zu bezeichnen. 7 Verwendungsbeispiele (Gruppe III). 1 gerade Linien von verschiedener Richtung. 2 wie man Linien auf Tupf- papier iibertragt. 3 Vereinigung lotrechter und wagrechter Linien zu einer Randverzierung mit Eckbildung, verwendbar fur Decken und Deckchen mit aufgenahter Schnur. 4 und 6 Tupfvorlagen fur Hakelarbeit, Kreuzstich, ge- zahlten Flachstich, zum Ausnahen des Netzes und fur Perlarbeit. 5 sckiefe Linien. Ornament, verwendbar wie 3 aucli fur Stiel- und Schnurstich. 7 Orna¬ ment, verwendbar zur Bandchenbenahung fur Kinderkleider u. dgl. 4. Das Messen der Strecken. ^ Die Lange einer Strecke bestimmen, heifit diese messen. Hiezu nimmt man eine Strecke von bekannter Lange als Einheit an und untersuclit, wie oft diese als Einheit angenommene Strecke in der zu messenden enthalten ist. Die Zahl, welclie dies angibt, heifit die Mafizahl der Strecke. Als Einheit des Langenmafles gilt das Meter (m), das in 10 Dezi- meter (dm) eingeteilt wird. 1 Dezimeter hat 10 Zentimeter (cm), und jedes Zentimeter ist gleicli 10 Millimetern (mm). 1000 Meter geben 1 Kilometer (km), und 10 Kilometer machen 1 Myriameter (fim) aus. In Zeichen: 1 (im — 10 km 1 km = 1000 m 8 1 m =10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm Das Meter ist der 40,000.000 ste Teil ernes Erdmeridians. Zmn Ansmessen der Langen bedient man sich gewohnlich eines Stabes von Holz oder Metall, worauf eines der Langeninafle nebst den entsprechenden Untereinteilungen aufgetragen ist (Mafistab). Fig. 10 stellt die Lange eines Dezimeters mit dessen Einteilung in Zentimeter und Millimeter dar. Fig. 10. 1 j i m 100 cm Schatze dem Augenmafle nach die Lange des lotrechten und des wagrecliten Tafelrandes und bestimme sodann mit Hilfe eines Mnfistabes, um wieviel du gefehlt hast! Versuche dies ebenso mit andern Linien! 5. Die Kreislinie. Von alien krummen Linien ist die Kreislinie (kurzweg: der Kreis) die wiclitigste. An welchem Korper haben wir Kreise gesehen? Zur Darstellung des Kreises bedient man sicli des Zirkels. Wahrend die eine Spitze in einem bestimmten Punkte (dem Mittel- punkte) eingesetzt wird, beschreibt die zweite Spitze eine in selbst zurtickkehrende krumme Linie. Da hierbei die beiden Zirkelspitzen immer dieselbe Entfernung von einander beibehalten,' so haben alle Punkte der Kreislinie von dem Mittelpunkte die gleiche Entfernung. Daher kann man sagen: Eine Kreislinie ist eine in sich selbst zuriickkeh- rende krumme Linie von der Beschaffenheit, dafi alle ihre Punkte von einem gegebenen Punkte die gleiche Entfernung haben. Der in der Mitte der Kreislinie (Fig. 11) gelegene Punkt 0 heifit Mittelpunkt oder Zentrum. Jede gerade Linie, welche den Mittel¬ punkt des Kreises mit irgend einem Punkte der Kreislinie verbindet, heifit Halbmesser oder Radius. Z. B .AO. Alle geraden Linien, welche zwei entgegengesetzte Punkte der Kreislinie verbinden, nennt man Durchmesser oder Diameter. Z. B. B C. 9 Fig. 12. In welchem Punkte treffen alle Halbmesser eines und desselben Kreises zusammen? In welchem Punkte sckneiden sich samtliche Durchmesser ? Alle Halbmesser eines und desselben Kreises sind untereinander gleich. Warum? AlleDurclimesser desselben Kreises baben g 1 e i c h e Grflfie. Weshalb? Jeder Durchmesser ist doppelt so grofi als ein Halbmesser dessel¬ ben Kreises. Warum? Ein Teil der Kreislinie heifit Kreis- bogen oder kurz Bo gen. Z. B. Fig. 12, D E F. Jede Strecke, welclie zwei beliebige Punkte des Kreisumfanges verbindet, wird Sehne genannt. Z. B. D F. Die Lange der Kreislinie nennt man auch Umfang oder Peripherie. “ ; Die ganze Kreislinie pflegt man in 360 gleiche Bogen einzu- teilen; jedes Sttick heifit ein Bo gen grad. Wie viele Bogengrade enthalt a) der Halbkreis? b) ein Viertelkreis oder Quadrant? c) ein Achtelkreis oder Oktant? x Verwendungsbeispiele (Gruppe IV). -1 6 “T* 7 Z S 9 1 und 3 Kreisreihen, wie wir sie an Perlenschniiren sehen; kleine Metallplattchen werden oft in dieser Weise an Handarbeiten gereiht. 2 ubereinander gereibte Kreise. 5 gereihte Halbkreise; sie finden Yerwendung bei Perlenketten; aus ihnen bildet sich 6 der gotische Bogen, der so wie 4 und 7 als Ausschlage- muster fur nicht fransende Stoffe wie Tucb, Flanell u. s. w. Yerwendung findet. • • 8 Reihung von Viertelbogen zur Wellenlinie, welche in mehrfacher Ubereinander- legung die geometrische Grundlage der Flecktbander bildet. 9 das Wellenband, wie es als AbschluO von Wasckestucken haufig verwendet wird. 10 Bei feineren Messungen wird jeder Grad tlberdies in 60 Bogen- mi nut en und jede Bogenminute in 60 Bogenseklinden eingeteilt. Die Grade, Minuten und Sekunden werden mit °, ' und " be¬ zel eh net. Man schreibt: Der Kreisumfang enthiilt 360°, 1° = 60' und 1' = 60". I Wie viele Grade enthalt ein Sechstel (Sextant) desKreises? Wie viele Grade kommen auf die Halfte eines Sechstelkreises ? Wie yiele Grade entbiilt ein Kreisbogen, der sich aus einem Sechstel- kreise und aus der Halfte eines zweiten Sechstelkreises zusammen- setzt? Wie konnte man ein solclies Bogensttick nach dem frtiher Gesagten bezeichnen? Wie viele Grade enthalten 2 Sechstelkreise ? Fig. 13. A C 6. Lage zweier Linien im Raume. (Betrachtung des Wiirfels.) Die obere und die untere Kante der zugewendeten Wiirfelflache haben tiberall die gleiche Entfernung von einander; dasselbe gilt auch bezilglich der linken und rechten Kante dieser Fliiche. GeradeLinien, welche tiberall eine gleiche Entfernung von ein- anderhaben,heifiengleichlaufend oder parallel. Zeichen hierftir: |j . Parallele Linien schneiden sich nie, wenn sie auch noch so weit verlangert werden; parallele Linien sind Linien von gleicher Richtung (Fig. 13). Suchet parallele Linien im Schulzimmer auf! Betrachtet man am Wtirfel die obere und die linke Kante des E G F H £ D vordern Quadrates, so findet man, dafi sie sich in einem Punkte (der Wtirfelecke) schneiden. Gerade Linien, welche sich in einem Punkte treffen, heiflen sich schneidende Gerade. Nach jener Richtung, wo sie zusammenlaufen, lieihen sie konvergierend und dort, wo sie aus einandergehen, diver- gierend (Fig. 14). Zeige im Schulzimmer Linien, welche sich schneiden! Wo ist ihr Sehnittpunkt? Zeiget die obere Kante der vordern Wiirfelflache! Suchet die rechts liegende Kante der riickwartigen Wiirfelflache auf % 11 Sind diese Kanten zu einander parallel? Treffen sie sich in einem Punkte ? Von Linien, welche nicht zu einander parallel sind und auch so aneinandervortiber- gehen, dah sie sich nicht in einem 14 ‘ Punkte treffen, sagt man: sie kreuzen sich. Welclie Kanten des Schulzimmers kreuzen sich ? Zwei gerade Linien sind entweder zu einander parallel oder sie schnei- den sich oder sie kreuzen sich. Zeichne an die Tafel eine lotrechte Linie und zieh zu ihr nach dem Augenmafie eine Parallele! Dasselbe soil auch zu einer wagrechten und zu einer schiefen Geraden geschehen! Zwei parallele Linien zeigen uns den Sanm als Schmuck nicht nur der Kleidungs- und Waschestucke, sondern auch der einfach, getiinchten Wand, der Flachen unserer Mobel, der Seiten eines Buches u. s. w. Als Schraffierung begrenzter Flachen erscheinen parallele Linien schon seit altester Zeit. Verwendungsbeispiele (Gruppe V). 0 A i \ ko noerg ter end l k 5 1 aus agyptischen Grabern. 2 Verwendung paralleler Linien in der Stickerei. 3 von einem Mumienkasten. 4 Federn, Graten u. s. w. 5. Schraffierung. 7. Die Winkel. Dreht sich der Strahl A 0 (Fig. 15) um den festen Punkt 0 so, dafi er nach und nach in die Lagen OB , OC\ OD und OE kommt und zuletzt wieder in die urspriingliche Lage zurtickkehrt, 12 so weicht er bei dieser Drehung yon seiner ursprtinglichen Lage A 0 immer mehr ab. Fig. 15. c Der Unterschied in der Rich tun g zweier von dem- selben Punkte ausgehenden S trail len bei fit Winkel. ZeichenftirWinkel: -^oder/_. Die beiden Strahlen, welche den Winkel bilden, heifien S c h e n- kel; illr Durchschnittspunkt wird Scheitel oder Spitze des Wink els genannt (Fig. 16). Man bezeichnet einen Winkel (Fig. 17) entweder durch einen Bucbstaben am Scheitel (z. B. /_ a) oder durch zwei Bucbstaben in der Mitte der Schenkel (z. B. Winkel rs) oder durch 3 Buchstaben, yon denen zuerst der Buchstabe an deni Elide des einen Sclienkels, dann der Buchstabe am Scheitel und 'zuletzt der Buchstabe am Ende des andern Schenkels ausgesprochen wird (z. B. /_ ABC oder /_ CBA). Fig. 16. Fig. 17. Zeichne einen beliebigen Winkel an die Tafel! Verlangere jeden Schenkel desselben und gib an, ob sich hierbei die GroBe des Wink els geandert hat! Wie miiflten die Schenkel gezeichnet werden, damit der Winkel groBer wiirde? Ein Winkel wird desto groBer, je mehr seine Schenkel von ein an der abweichen; die Lange der Schenkel hat aber keinen EinfluB auf die Grofie eines Winkels. Zwei Winkel sind gleich, wenn sie so auf ein an der gelegt werden konnen, dafi sowohl die Scheitel als aucli die Schenkel sich bezieliungsweise decken. 13 Macht der Strahl weniger als ein Viertel einer vollen Umdrehung, so entstelit ein spitzer Wink el (/_«). BetrSgt diese Drehung gerade ein Viertel einer vollen Umdrehung, so heifit der Winkel ein rechter {/__ b). Zeichen ftir den rechten Winkel: B. Macht die Drehung mehr als ein Viertel einer vollen Umdrehung aus, er- reicht sie jedoch noch nicht eine halbe Umdrehung, so nennt man den Winkel einen stump fen (/_ cj.v Betragt die Drehung bereits eine halbe Umdrehung, bilden also beide Schenk el eine gerade Linie, so heiflt der Winkel ein g era der oder gestreckter (/_ d). Winkel von mehr als einer lialben Umdrehung nennt man erhabene Winkel (/__ e). Hat der Strahl eine ganze Umdrehung gemacht, so entsteht ein v o 11 e r Winkel (/_ /). 1 Der spitze und der stumpfe Winkel heifien auch s c h i e f e W i n k e 1. * Verwendungsbeispiele (Gruppe VI). 1 Zickzackband. 2 Fischgratenstich, haufig verwendet auf Waschegegenstanden oder als Ziersticli auf Kleidern. 3 Zackenlilze als Einsatz zwischen zwei ge- saumten Stoffteilen. 4 Ausschlagemuster fiir Tuch, Flanell u. s. w. 5 Treppen- form der Assyrer. Fig. 18. 14 Fig. 19. c Der spitze, der reclite und der stumpfe Winkel werden haufig auch holile Winkel genanut. * Strenge genommen bilden die beiden sicli schneidenden Strahlen immer zwei Winkel. So bat man es bei den 2 sicb schneidenden geraden Linien AB und BC (Fig. 19) mit den Winkeln m und n zu tun; gewohnlicb bezeicbnet man den kleineren (/_ m) als innern und den grofieren als aufiern Winkel. Beide Winkel erganzen sicli zu einem vollen Winkel; darum wird jeder von ihnen der Erganzungswinkel desanderngenannt. Jenen von den 2 Winkeln, welcheu man meint, hebt man in der Zeiclinung gewohnlicb dadurch hervor, dafi man zwischen seinen Schenkeln einen kleinen Kreisbogen zieht, wie dies in Fig. 18 zu ersehen ist. Zeichne einen stumpfen Winkel an die Schultafel und halbiere ihn! Es soli ein spitzer Winkel an die Tafel gezeichnet und hierauf 4 gleiche Teile geteilt werden! (Immer nacli dem Augenmafle). Was fitr einen Winkel beschreibt der Minutenzeiger einer Uhr 10, 15, 25, 30, 40 Minuten? Welchen Winkel macht derselbe 1 Stunde? Was fur einen Winkel bilden die beiden Zeiger einer Uhr a) um 3, 6, 9 Uhr? b) um 2, 5, 10 Uhr? Durch Reihung von Winkeln diirfte das unter dem Namen Zickzack bekannte Ornament entstanden sein, das bei den Assvrern Treppenform annahm und wohl auch die Grundlage des Zahnschnitt- ornamentes bildet. V m in in 8. Das Messen der Winkel. Wie friiher bemerkt wurde, hangt die GroGe eines Winkels nur von der GroGe der Umdrehung ab. Man nimmt nun den rechten Winkel wegen seiner unveranderlichen GroGe als Ausgangspunkt des WinkelmaGes an und teilt ihn in 90 gleiche Winkel, welche mail Winkelgrade nennt. Ein Winkelgrad entsteht, wenn der den Winkel erzeugende Strahl bei seiner Drehung nur den 360. Tei 1 einer vollen Umdrehung beschreibt. Bei feineren Mes- sungen wird jeder Winkelgrad in 60 gleiche Teile zer- legt, welche man Winkel minuten nennt; desgleichen teilt man jede Winkelminute in 60 Winkelsekunden ein. Die Winkelgrade, Minuten und Sekunden bezeicbnet man (wie eim Kreise) durch °, ', 11 . P 15 Die Grofie eines Winkels ist vollkommen bestimmt, wenn man angibt, wie viele Grade und Gradteile er enthalt. Aus diesen Erklarungen folgt: Ein spitzer Winkel enthalt weniger als 90°, ein rechter Winkel 90°; ein stumpfer Winkel hat mehr als 90°, aber weniger als 180°; ein gestreckter Winkel enthalt 180°, ein erliabener Winkel mehr als 180°; der voile Winkel hat 360°. Teilt man die Peripherie eines Kreises in 360 Bogengrade und zieht vom Mittelpunkte zu jedem Teilungspunkte einen Halbmesser, so entstehen um den Mittelpunkt 360 Winkel, welche alle unter einander gleich sind (Winkelgrade). Jedem einzelnen Winkelgrade entspricht je ein Bogengrad. Demnach enthalt ein Winkel eben so viele Winkel¬ grade, als der zugehorige Bogen Bogengrade hat. Daher kann jeder Winkel durch den Kreisbogen, welchen man aus dem Scheitel zwischen den Schenkeln beschreibt, gemesse n werden. Fig. 20. Darauf beruht der Ge- brauch des Winkelmessers oder Transporteurs; der- selbe dient teils zum Messen eines gegebenen, teils zur Kon- struktion eines verlangten Winkels. Fig. 20 zeigt, wie ein gegebener Winkel DCE abzu- messen ist; derselbe enthalt55°. Haufig kommt die Aufgabe vor, einen gegebenen Winkel ABC (Fig. 21) abzuzeichnen oder zu kopieren. Gesetzt, es ware dieser Winkel an die Gerade A 1 B‘ zu iibertragen. Man ziehe von B aus den Bogen mn und von B‘ aus mit gleichem Halbmesser den Bogen m‘ x . Nun messe man mit Hilfe des Zirkels die Lange des ersten Bogens m n und tibertrage sie auf den zweiten Kreisbogen (m‘ n 1 ). Zieht man noch B 1 C\ so Fig. 21. nv X ^ A.' 16 erhalt man den Winkel A 1 B‘ C\ welcher ebenso grofl ist als ABC, weil beide Winkel gleiche Umdrebungsbogen besitzen. Zeichne an die Schultafel mehrere spitze, stumpfe und erhabene Winkel, schatze deren Gradzahl zuerst mit freiem Auge ab und bestimme sodann die letztere mit Hilfe des Transporteurs! Aufgaben. 1. Zeichnet an der Schultafel einen spitzen Winkel und iiber- traget denselben an eine andere Stelle! Dasselbe soil mit einem stumpfen Winkel geschehen! 2. Zeichnet nach dem Augenmafte Winkel von 60°, 30°, 15°, 120°, 90°, 45°! (Nachmessen mit dem Transporteur). 3. Zeichnet mit Hilfe des Transporteurs Winkel von 36°, 72°, 135°! 9. Nebenwinkel und Scheitelwinkel. Fig. 22, B Wird ein Schenkel eines Winkels iiber den Scheitel hinaus verlangert, so entstehen zwei Winkel, welche denselben Scheitel und einen gemeinscluiftlichen Schenkel haben, und deren beide andern Schenkel auf entgegengesetzten Seiten des Scheitels in einer geraden Linie liegen. Solche Winkel lieiflen Nebenwinkel. AOB (Fig. 22) ist ein Nebenwinkel von BOCj ebenso sind AOD und CODNeben- winkel. Da je zwei Nebenwdnkel zusammen genommen einen gestreckten Winkel geben, so folgt: Die Summe zweier Nebenwinkel ist gleich zwei Rechten. Was fill’ Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie gleich sind, und was fur Winkel sind sie, wenn sie ungleich sind? Wie grofl ist der Nebenwinkel von 20°, 35°, 64°, 100°, 148° 5 55° 40', 115° 16' 45"? Bildet eine Gerade mit einer andern Geraden zwei gleiche Nebenwinkel, so sagt man: sie steht auf ihr senkrecht oder normal. Bildet eine Gerade mit einer andern Geraden zwei ungleiche Nebenwinkel, so steht sie auf ihr schief. Eine Senkrechte bildet also mit der Geraden, auf welcher sie senkrecht steht, zwei reclite Winkel; eine Schiefe bildet mit der andern Geraden einen spitzen und einen stumpfen Winkel. 17 In Fig. 22 ist B 0 senkrecht auf AC, was man so bezeichnet: BO J_ AC] dagegen steht DO auf AC schief (Zeichen: _/). Wenn sicli eine horizontale und eine vertikale Linie treffen, so bilden sie stets einen rechten Winkel, stehen also immer senkrecht auf einander. Aber nicht von je zwei senkrechten Linien kann man sagen, dad die eine horizontal und die andere vertikal ist. Bei der Wage steht immer das Ztinglein senkrecht auf dem Wagebalken. Doch ist das Ztinglein nur dann vertikal und der Wagebalken hori¬ zontal, wenn die beiden Schalen leer oder gleich belastet sind; in jcdem andern Falle sind sie schrage. Verwendungsbeispiele (Gruppe VII). Durch Ubereinanderlegen zweier gerader Linien gewinnen wir das Kreuz u. z. 1 nnd 2 das liegende oder griechische Kreuz, das in unseren Handarbeiten als Kreuzstich vielfach Verwendung findet; das stehende oder Andreaskreuz wird in unseren Kreuzsticharbeiten iiber das liegende gelegt, wenn init demselben grofle Muster erzeugt werden sollen. 6 das sogenannte Swastikakreuz, aus welchem die Griechen jenes herrlicbe Ornament bildeten, das unter dem Namen ge- brocliener Stab, auch Maander bei alien Kulturvolkern heute noch vielfacbe Ver- wendung findet; so in 7, 10, 11 und 12 als Randborte mit Eck- und Mittel- bildung, in 8, 9 und 14 als Flachenfullung. 13 gibt das Ilakenkreuz, 3 und 5 durch Reikung des liegenden Kreuzes den Rautenstab. 4 Reihung des liegenden Kreuzes zur Bandverschlingung. Mocnik -Wenghart Geometrische Formenlelire fiir Miidchenblirgerschulen. 2 18 Zieli eine Gerade, nimm darin fiinf Punkte an und errichte in jedem derselben auf die Gerade eine Senkrechte! Welche Lage gegen einander haben diese Senkrechten? Zeichne zwei parallele Gerade, nimm in der einen fiinf Punkte an und falle aus jedem auf die andere Gerade eine Senkrechte! Wie ver- halten sich diese Senkrechten in Bezug auf ihre Lange? Verlangert man beide Schenkel eines Winkels AOB (Fig. 23) fiber den Scheitel 0 hinaus, so heiflt der von diesen Verlangerungeu Fig. 23. _ gebildete Winkel COD der Sc heitel- wi nk e 1 des gegebenenWinkels A OIL Scheitelwinkel werden also von den- . selben zwei geraden Linien auf ent- gegengesetzten Seiten ihres Durch- schnittspunktes gebildet. ^ Da zwei sich schneidende Gerade auf beiden Seiten des Durchschnittspunktes ihre Richtungen beibe- halten, so ist auch die Abweichung dieser Richtungen auf beiden Seiten dieselbe; d. h.: Je zwei Scheitelwinkel sind ein¬ ander g 1 e i c h. 10. Gegenwinkel, Wechselwinkel und Anwinkel. Werden zwei gerade Linien von einer dritten geschnitten, so entstehen um die beiden Durchschnittspunkte acht Winkel. Die vier Winkel, welche zwischen den beiden geschnittenen Geraden liegen, heifien inn ere, die andern vier an Here Winkel. In Fig. 24 sind AB und CD die beiden geschnittenen Geraden, EF ist die schneidende Gerade; c, d , m und n sind innere; a, 6, o und p sind aufiere Winkel. Ein aufierer und ein innerer Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf derselben Seite der Schneidenden liegen, heifien Gegen- wink el. Zwei aufiere oder zwei innere Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf verschiedenen Seiten der Schneidenden liegen, werden Wechselwinkel genannt. Zwei aufiere oder zwei innere Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf derselben Seite der Schneidenden liegen, heifien Anwinkel. 19 Fig. 24. Schreitet die Gerade AB (Fig. 24) langs der EF mit sich selbst parallel fort, bis sie in die Lage CD kommt, so wird sie, da sich dabei ihre Lage gegen die EF nicht andert, mit dieser stets dieselben vier Winkel bilden; es werden also, wenn AB nach CD gelangt, je zwei Gegenwinkel auf einander fallen, also einander gleich sein; je zwei Wechsel- winkel werden in zwei Scheitelwinkel tibergehen, also auch einander gleich ^ sein; je zwei Anwinkel endlich werden geschnitten, so sind 1. je zwei Gegenwinkel einander gleich, 2. je zwei Wechselwinkel einander gleich, 3. je zwei Anwinkel zusammen gleich 180°. Umgekehrt folgt: Werden zwei Geradevon einer dritten so geschnitten, dad entweder zwei Gegenwinkel oder zwei Wechselwinkel gleich sind oder zwei Anwinkel zu¬ sammen 180° betragen, so mtissen die geschnittenen Geraden parallel sein. Es sei (Fig. 25) AB || DE und AC || DF. Fig. 25. E In I sind die parallelen Sclienkel der Winkel a und m gleichge richtet und ist, da a = x und m = x als Gegenwinkel, auch a = m 2 * 20 Fig. 26. In 11 sind die parallelen Schenkel der Winkel a und m ent- gegengesetzt gerichtet; da a dem Winkel x als Gegenwiukel und m dem Winkel x als Wechselwinkel gleicli ist, so ist auch in diesem Falle a = m. In 111 haben die Winkel a und n auch paarweise parallele Schenkel; es ist jedoch nur ein Paar paralleler Schenkel nacli der- selben Seite, das andere Paar aber nach entgegengesetzten Seiten gerichtet. Da a + y = 2 R und n = y ist, so ist auch a + n — 2 JR. Daraus folgt: a) Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise ein an- der parallel sind, sind einander gleich, wenn beide Paare der parallelen Schenkel nach derselben Seite oder beide Paare nach entgegen* gesetzten Seiten gerichtet sind. b) Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise einander parallel sind, betragen zusammen 180°, wenn nur ein Paar der parallelen Schenkel nach derselben Seite, das andere aber nach der entgegengesetzten Seite gerichtet ist. Haufig bedient man sich zum Ziehen paralleler Linien des Lineals und des Drei- eckes. Ware zur Geraden AB (Fig. 26) eine Parallele zu ziehen, so lege man das Dreieck mit einer Seite (am besten mit einem Schenkel des rechten Winkels) bei A an und langs der zweiten Seite (des andern Schenkels des rechten Winkels) gebe man das Lineal. Nun gleite man mit dem Dreiecke an dem festgehaltenen Lineal so weit herab, bis man an jene Stelle kommt, wo die Parallele gezogen werden soil, und zeichne die Linie Fig. 27. E CD. Die Geraden AB und CD sind parallel, weil sie mit der Geraden A C gleiche Gegen- winkel (JR) bilden. In Fig. 27.1 und II, sind zwei spitze Winkel, beziehungsweise ein spitzerund ein stumpfer 21 Winkel ersichtlich, deren Schenkel auf einander senkrecht stelien. Es lafit sicb leiclit zeigen, dafi / a = m ist, beziehungsweise die /_ a und n zusammen genommen 2 R bctragen. Man braucht nur die Winkel m und w, ohne ihre Grofie zu andern, um einen Viertelkreis zu drehen, und in die punktierte Lage zu bringen; die Winkel a und ra, beziehungsweise a und n sind dann Winkel mit parallelen Schenkeln und es gelten dann die oben angegebenen zwei Satze. Hieraus folgt: Winkel, deren Schenkel senkrecht auf einander stelien, sindentweder einandergleich odersie erganzen sich zu 180°. Verwendungsbeispiele (Gruppe VIII). 1 und 2 Linienverzierungen zur Ausfulirung fur stumpfe Ecken. 3 und 5 Linienmaander. 4 Bandverschlingung. 11. Arten der Flachen. (Betrachtung des Wtirfels, des Zylinders und der Kugel.) Auf jeder Wiirfelflache lassen sich nach alien Richtungen gerade Linien so ziehen, dab sie in alien ihren Teilen mit der Wiirfelflache zusammenfallen; man nennt solche Flachen ebene Flachen. Ebene Flachen (auch Ebenen genannt) sind solche Flachen, in welchen man nach allen Richtungen gerade Linien ziehen kann. Betrachtet man dagegen die den Zylinder umhiillende gekrtimmte Flache, so sielit man, dafi man auf letzterer nur nach einer Richtung (u. zw. von der obern zu der untern Grundflache) gerade Linien 22 ziehen kann; alle nach einer andern Richtung auf dieser Flache ge- zogenen Linien sind krumrae Linien. Eine ahnliche Flache bemerkt man auch bei einem Zuckerhute. Flachen, auf welchen sich nur nach einer Seite gerade Linien ziehen lassen, heibeneinseitiggekriimmte Flachen. An der Oberflache der Kugel ist es nicht moglich, gerade Linien zu ziehen. yf Solche Flachen, auf welchen man nach gar keiner Richtung gerade Linien ziehen kann, lieiben allseitig gekrtimmte Flachen. Nenne Gegenstande, die von allseitig gekriimmten Flachen einge- schlossen werden! Hieraus folgt: ^ Es gibt ebene, einseitig gekrtimmte und allseitig gekrtimmte Flachen. v Die ebenen Flachen sind entweder lotrecht, wag- recht oder schief. Zeige die 4 lotrechten Wande des Schulzimmers! Was fur gerade Linien lassen sich hier ziehen? * Lotrechte Ebenen sind solche Ebenen, auf welchen sich lotrechte, wagrechte und schiefe Linien ziehen lassen. Halte dein Heft wagrecht! Was ftir Linien kann man hier zeichnen ? Eine wagrechte Ebene ist eine solche Ebene, auf welcher blob wagrechte Linien gezeichnet werden konnen. y Neige das Heft so, dab es eine schiefe Fig. 28. oder schrage Lage einnimmt, und bestimme sodann, was ftir Linien sich nunmehr auf demselben ziehen lassen! Schiefe Ebenen sind solche Ebenen, auf welche sich teils wagrechte, teils schiefe Linien ziehen lassen. Man benennt die Ebenen gewohnlich mit 2 Buchstaben, welche man an zwei gegentiberliegende Ecken schreibt. Z. B. (Fig. 28) die Ebene MN. 12. Die Gerade und die Ebene. Halte den Bleistift so, dab er von der Bankflache liberal! gleich weit entfernt ist! 23 Eine gerade Linie, welche von einer Ebene an alien Stellen denselben Abstand hat, ist zu ihr parallel. Z. B. AB || MN (Fig. 29). Welche Kanten des Schul- zimmers sind zum Fudboden parallel? Welche zur vordern Zimmerflache? Halte den Stift geneigt und zwar so, dad er die Bankflache in einem Punkte trifft! Dieser J Punkt heidt Fudpunkt. Die einzelnen Punkte der Geraden sind nicht mein* gleich weit von der Ebene (Bankflache) entfernt. Die gerade Linie bildet mit den einzelnen durch ihren Fudpunkt gelienden und in der Ebene gezogenen geraden Linien bald grodere, bald kleinere Winkel. Der kleinste unter diesen Winkeln heidt Neigungs- winkel; er ist ein spitzer Winkel. Eine gerade Linie, welche eine Ebene unter einem spitzen Winkel trifft, ist zu ihr geneigt. Z. B. CD J_PQ Fig. 29. A _,- v s Halte den Stift zur Bankfliiche so, dad er mit alien durch seinen Fuflpunkt gezogenen Geraden immer nur rechte Winkel bildet! Man sagt: er steht zur Bankflache senkrecht. .# Eine gerade Linie steht auf einer Ebene senkrecht wenn sie von derselben nach alien Seiten unter einem rechten Winkel absteht. Z. B. EF 1 RS. Welche Kanten des Schulzimmers stehen auf dem Fudboden senkrecht? Welche Kanten sind senkrecht zur vordern Zimmerflache gerichtet? Nach dem Gesagten unterscheiden wir also eine dreifache Lage der Geraden zur Ebene: Eine gerade Linie ist entweder zu einer Ebene parallel oder zu ihr geneigt, oder sie steht auf ihr senkrecht. 24 Fig. 31. 13. Lage zweier Ebenen. Der Fuflboden und die Zimmerdecke haben Uberall denselben Abstand. Zwei Ebenen, welche an alien ^ Stellen von einander gleichweit entfernt sind, lieiben parallel. Z. B. MN || PQ (Fig. 31). Welche Wande des Zimmers sind zu einander parallel? Zeige andere || Ebenen! •• Offne das Buch nur teilweise, aber so, daB jedes einzelne Blatt desselben von dem andern getrennt ist! Je zwei Blatter treffen oder sckneiden sich in einer ge- raden Linie (Rilcken des Buches). Ebenen konnen sich nur in einer geraden Linie treffen. Zwei Ebenen, welche sich in einer geraden Linie schneiden, heiflen geneigt. Z. B. MN]_ MP (Fig. 32). Die gemeinschaftliche Durclischnittslinie heiflt auch Spur oder Trasse. Fig. 32. c p Der von beiden Ebenen gebil- dete Winkel wird durch den Nei- gungswinkel gemessen. Umihn S zu bestimmen, walile man in der Trasse einen beliebigen Punkt B und ziehe auf dieselbe in jeder Ebene eine Senkrechte. /__ ABC ist der Neigungswinkel der beiden Ebenen MN und MP. Ist der Neigungswinkel zweier Ebenen ein rechter, so sagt man, sie stehen auf einander senkrecht Z. B. 8T±SU. Betragt der Neigungswinkel weniger als 90°, so stehen die beiden Ebenen auf einander schief. Welche Wande des Schulzimmers stehen senkrecht auf einander? Aus dem Gesagten folgt: Zwei Ebenen sind entweder zu einander parallel, oder sie stehen auf einander senkrecht, oder sie sind gegen einander schief gerichtet. 25 14. Korperecken. (Betrachtung von drei-, yier- und melirseitigen Pyramiden.) Die vorgeftihrten, in eine Spitze auslaufenden Korper heifien Pyramiden. Wie viele Flachen treffen bei jeder dieser Pyramiden in einer Spitze zusammen? Der nacli einer Seite unbegrenzte Baum, den me hr ere sicb sclineidende und in einem Punkte zu- sammenstoflende Ebenen einschliefien, heifit ein korper- licherWinkel oder eine Korperecke. Fig. 33. Die Geraden, in denen sicb je 2 auf einander folgende Ebenen schneiden, nennt man Kan ten. Der Punkt, in welcbem alle Ebenen zusammenstofien, heifit Scheitel oder Spitze des Korperwinkels. Ein Winkel, welcber von 2 benacbbarten Kanten gebildet wird, heifit Kantenwinkel. (Fig. 33.) Zwei Ebenen bilden nocb keine Korper¬ ecke, weil dieselben einen nacli 2 Seiten offenen Raum einschliefien. Erst wenri dieser Raum noch dureh eine dritte Ebene vollstandig abgescblossen wird, entstebt ein korperlicher Winkel. Zur Bildung einer Korperecke sind mindestens 3 Ebenen erforderlich. Es gibt 3-, 4- und mehrseitige Korperecken. Zeige diese Korperecken an den einzelnen Pyramiden! Scbneide einen beliebigen Winkel (etwa yon 45 °) aus Papier mehrmals (z. B. 9mal) aus und versuche sodann mit 3, 4, 5 etc. in einem Punkte zusammenstofienden Winkeln eine Ecke zu bilden! Dies gelingt nur so lange, als die Summe aller Kantenwinkel die Zahl 360 0 nicht erreicbt. In jeder Korperecke ist die Summe aller Kanten¬ winkel kleiner als 360°. Wie viele Korperwinkel entlialt das Scbulzimmer? Von wie vielen Ebenen wird jede dieser Korperecken gebildet? Wie grofl ist jeder Kantenwinkel? Sucbe die Summe aller Kantenwinkel an jeder dieser Korperecken auf! 15. Die Figuren. (Betrachtung des 3-, 4- und mebrseitigen Prismas.) Die vorstehenden, oben und unten gleich weiten Korper heifien Prismen. Ihre Begrenzungsflacben sind lauter Ebenen; 26 jede dieser Ebenen wird von geraden Linien nach alien Seiten hin begrenzt. Eine nach alien Seiten begrenzte ebene F1 ache heidt Figur. Am Prisma bemerken wir nur solche Figuren, welche von ge¬ raden Linien eingeschlossen werden. Die Kreisflache dagegen wird yon einer krummen Linie begrenzt. Ein Halbkreis wird von einer geraden und von einer krummen Linie eingeschlossen. Es gibt geradlinige, krummlinige und gemischt- linige Figuren (Fig. 34). Fig. 34. Geradlinige Figuren sind solche Figuren, welche nur von geraden Linien begrenzt werden. Krummlinige Figu¬ ren sind solche Figuren, welche nur von krummen Linien eingeschlossen werden. Gemischtlinige Figuren sind solche Figuren, welche teils von geraden, teils von krummen Linien einge¬ schlossen werden. Zeige im Schulzimmer geradlinige, krummlinige und gemischt¬ linige Figuren! Betrachtet man die Deckfiiichen der vorstehenden Prismen, so sieht man, dad die geradlinigen Figuren von 3, 4 oder von mehr als 4 Strecken (auch Seiten genannt) eingeschlossen werden konnen. Die von mehr als 4 Strecken eingeschlossenen geradlinigen Figuren heifien Yielecke (Polygone). Die geradlinigen Figuren werden eingeteilt in Dreiecke, Yierecke und Yielecke oder Polygone. Ein Dreieck ist eine geradlinige Figur, welche von 3 Strecken eingeschlossen wird (Fig. 35, I). Zeichen fur Dreieck: Fig. 35. EinViereck ist eine gerad¬ linige Figur, welche von 4 Strecken einge¬ schlossen wird (Fig. 35, II). Ein Vieleck oder Polygon ist eine geradlinige Figur, welche 27 von m e h r a 1 s 4 Strecken e i n g c s c h 1 o s s e n w i r d (Fig. 35, III). Zeige im Schulzimmer Dreiecke, Vierecke und Vielecke! Die Figuren werden benannt, indem man die einzelnen an die Ecken gesetzten Buchstaben der Reihenfolge nach ausspriclit; so heifit das in Fig. 35 abgebildete Dreieck: ABC. Benenne in gleicher Weise das Viereck und das Polygon! Aufgaben. 1. Zeichnet mit Hilfe des Dreieckes und des Zirkels eine gerad- linige, eine krummlinige und eine gemischtlinige Figur (z. B. ein Viereck, einen Kreis und einen Viertelkreis)! 2. Zeichnet ein Dreieck, ein Viereck und ein Vieleck! 16. Das Dreieck. (Betrachtung des Tetraeders, einer geraden und einer schiefen Pyramide.) Was ftir geradlinige Figuren sind die Seitenflachen der vor- stehenden Pyramiden ? Eine von drei Strecken begrenzte Figur heifit ein Dreieck. Die drei Strecken heifien Seiten des Dreieckes. Jedes Dreieck hat drei Seiten und drei Wink el. Jede Seite hat zwei anliegende und einen gegentiberliegendenWinkel. Jeder Winkel wird von zwei Seiten ein- geschlossen; die dritte Seite liegt ihm gegenttber. Nenne in dem Dreiecke ABC (Fig. 36) alle drei Seiten und alle drei Winkel! Nenne zu jeder Seite die anliegen- den Winkel und den gegeniiberliegenden Winkel! A Nenne zu jedem Winkel die Seiten, von denen er eingeschlossen wird, und die Seite, welche ihm gegentiberliegt! In jedem Dreiecke ist die Fig- 37. Summe zweier Seiten groiler als die dritte. Denn der Umweg iiber AC und CB, urn von A nach B zu gelangen, ist langer als der gerade Weg iiber AB. Diejenige Seite, iiber welche man ^ sich das Dreieck errichtet denkt, heifit die Grundlinie. Da man sich iiber jeder Seite das Dreieck er¬ richtet denken kann, so kann im allgemeinen auch iede Seite die Moonik-Wenghart, Geometriscke Formcnlehre fur Madchenburgerschulen. 2 28 Grundlinie sein. Der Scheitel des AAlnkels, welclier der Grundlinie gegeniiberliegt, wird die Spitze oder der Scheitel, und die Senkrechte, die von der Spitze auf die Grundlinie gefallt wird, die Hohe des Dreieckes genannt. Nimmt man im Dreiecke ABC (Fig. 37) AB als Grundlinie an, so ist C der Scheitel und CD die Hohe. Wird in dem Dreiecke ABC (Fig. 38) die Seite AB verlangert und durch B die BE || AC gezogen, so entstehen die zwei Winkel m und n, von denen m dem Winkel a als Gegenwinkel, n dem Winkel c als Wechsel- winkel gleich ist. DieSumme der drei Winkel a, c, b ist daher so grofi wie die Summe der Winkel m, n, b. Die letztere Summe aber betriigt einen gestreckten AYinkel oder zwei Rechte; also mud aucli die Summe von a, c und b zwei Rechte betragen. Die Summe der drei Winkel eines Dreieckes ist gleich zwei Rechten oder 180°. Aus diesem Satze folgt: 1. Zwei Dreieckswinkel betragen zusammen weniger als 180°. Konnen in einem Dreiecke zwei rechte AVinkel oder zwei stumpfe Winkel oder ein rechter und ein stumpfer Winkel vorkommen? — Jedes Dreieck hat daher wenigstens zwei spitze Winkel. < 2. Wenn in einem Dreiecke zwei AVinkel bekannt sind, so findet man den dritten, indem man die beiden gegebenen Winkel addiert und ihre Summe von 180° subtrahiert. Zwei Winkel eines Dreieckes sind: a) 65 0 und 87 °; b) 43 0 10' und 102° 27'; c) 25° 46' 21" und 74° 48' 49"; d) 57° 38' 34" und 61° 10' 16"; wie grofl ist der dritte Winkel? 3. Sind zwei Winkel eines Dreieckes gleich zwei Winkeln eines andern Dreieckes, so miissen auch die dritten Winkel in beiden Dreiecken gleich sein. Betrachtet man die einzelnen Dreiecke der vorstehenden Pyra- miden genauer, so findet man, daft diese rticksichtlich ihrer Seiten auffallende Unterschiede zeigen. AVahrend die erste Pyramide (auch Tetraeder oder Vierflachner genannt) solche Dreiecke enthalt, deren samtliche Seiten gleich sind, finden sich bei der zweiten Pyramide Dreiecke vor, in denen je 2 Seiten (Schenkel) dieselbe Lange haben; die schiefe Pyramide enthalt Dreiecke, in welchen alle 3 Seiten ungleich sind. 29 In Beziehung auf die Lange der Seiten unter- scheidet man gleickseitige, gleichschenkelige und ungleichseitige Dreiecke. v E i n D r e i- e c k, in w e 1- c h e m a 11 e 3 Seiten gleich lang sind, heifit gleickseitiges Dreieck (Fig. 39, I). Jr c A B Fig. 39. F D E J Um ein gleickseitiges Dreieck zu erhalten, zeichne man eine Gerade AB, fasse diese in den Zirkel und zieke von A und B aus 2 sick in C sckneidende Bogen. Wird nun C mit A und B durck Gerade verbunden, so erkalt man das gleickseitige Dreieck ABC. Ein Dreieck, in welckem nur 2 Seiten einander gleicli sind, kei61 gleicksckenkeliges Dreieck (Fig.39,II). Die zwei gleicken Seiten nennt man auck Sckenkel, die dritte Seite Grundlinie oder Basis und die ikr gegentiberliegende Ecke den Sckeitel. Soil liber der Geraden DE ein gleichschenkeliges Dreieck ge- zeicknet werden, so besckreibe man mit einer beliebigen Zirkelweite (aber mehr als die Halfte von DE) yon D und E aus 2 sick in F sckneidende Bogen und verbinde dann den Scknittpunkt F geradlinig mit D und E. Ein Dreieck, in welckem alle drei Seiten eine ver- sckiedene Lange kaben, heifit ungleichseitig (Fig.39,III).— Das gleickseitige Dreieck entkalt 3 spitze Winkel. — Verfertige ein gleickseitiges Dreieck aus Papier und falte es in seiner Mitte zusammen! Man bekommt nun 2 Dreiecke, wovon jedes einen rechten und 2 spitze Winkel entkalt. An der sckiefen Pyramide finden sick ferner auch solche Dreiecke vor, die einen stumpfen Winkel entkalten. Nach dem Gesagten zeigen die Dreiecke auck bezliglich ikrer Winkel auffallende Untersckiede. Mit Rticksicht auf die Winkel gibt es spitz wink e- lige, recktwinkelige und stumpfwinkelige Dreiecke. \Ein Dreieck, welches drei spitze Winkel entkalt, heifit spitzwinkeliges Dreieck (Fig. 40, I). Ein Dreieck, in welckem ein reck ter und zwei spitze Winkel Yorkommen, heifit rechtwinkeliges Dreieck i(Fig. 40, II). Jene 2 Seiten (EF und FG), welcke 30 den rechten Winkel bilden, werden Katheten genannt; die dem rechten Winkel gegentiberliegende Seite (EG) keifit Hypotenuse. Verwendungsbeispiele (Gruppe IX). l 2 K O 1 Netzunterlage fiir viele Dreiecks- muster. 2 byzantinische FuGbodenmosaik. 3 fiir Auflegearbeit Oder Plattstich verwendbar, sowohl fiir drei- eckige Decken oder fortgesetzt als Fu-Gbodenmosaik. In Plattstich ausgefiihrt, als Randverziernng mit Eckbildung verwendbar. 7 und 9 in Stielstich ausfiihrbar fiir kleine Untertassen. 8 Hakel- muster. 10 das vielfach verwendete dreieckige Tuch, das wir in Leinen aus- fiihren oder stricken, haufig aber hakeln. Flachenfiillung. 4 und 6 eignen sich besonders als Fiillstich- muster mit schwarzer Seide auf hellem Atlas fiir Kleider- einsatze oder als Borte von beliebiger Breite. 5. pompeanische 31 Fig. 40. K fy Ein D r e i e c k, in we 1 chem ein stumpfer und zwei spitze Winkel vorkommen, heifit stumpfwinkeliges Dreieck (Fig. 40, III). Einer der bei- den spitz en Winkel eines rechtwinke- ligen Dreieckes ent- halt 44° 51' 16"; wie grofi ist der andere ? Stellt in jedern der in Fig. 40 ab- gebildeten Dreiecke immer die untere Seite die Grundlinie oder Basis vor, so siebt man, dafl im spitzwinkeligen Dreiecke die Hohe inner- halb der Dreiecksflache fallt; im rechtwinkeligen Dreiecke trifft sie mit einer Kathete zusammen; im stumpfwinkeligen Dreiecke fallt sie aufierhalb der Dreiecksflache, weshalb die Grundlinie entsprechend verlangert werden muB. Konstruiere ein gleichseitiges und ein gleiclischenkeliges Drei¬ eck, zieh iiberall die Hohe und vergleiche nun die einzelnen Dreiecke, in welche das gleichseitige und das gleiclischenkelige Dreieck zerfallt! Aufgaben. 1. Zeichne mit Hilfe des Zirkels und des Dreieckes ein gleich¬ seitiges, ein gleichschenkeliges und ein ungleichseitiges Dreieck! 2. Zeichne a) einen spitzen, b) einen rechten und c) einen stumpfen Winkel und verbinde bei jedem dieser Winkel die freien Enden! Was fur Dreiecke erhalt man dadurch? 17. Kongruenz der Dreiecke. Zieht man in einem gleichschenkeligen Dreiecke die Mittellinie, so erhalt man 2 kleinere rechtwinkelige Dreiecke. Ausgeschnitten und gehorig ttber einander gelegt, decken sich diese vollstandig (d. h. in alien Seiten und Winkeln). Die beiden Dreiecke sind nicht nur gleich groB, sie stimmen auch in ihrer Gestalt tiberein (beide enthalten biespielsweise je einen rechten und zwei beziehungsweise gleiche spitze Winkel); man sagt: die 2 Dreiecke sind kongruent. Kongruente Figuren sind solche Figuren, welche dieselbe Gestalt und dieselbe GroBe haben. Werden kongruente Figuren liber einander gelegt, so decken sie sich. Zeichen fiir kongruent: 32 Obwolil jedes Dreieck seeks Bestimmungsstticke (namlich drei Seiten und drei Winkel) enthalt, so sind docb im allgemeinen nur 3 Stticke notwendig, um bereits auf die Kongruenz zweier Dreiecke seblieflen zu konnen, weil durcb diese 3 Stiicke die Grofle der andern bestinimt wird. Wir wollen im folgenden zeigen, welclie Bestandteile in zwei Dreiecken paarweise gleicli sein mttssen, um auf deren Kongruenz schliefien zu konnen. 1. Fall. Gesetzt es ware das Drei¬ eck ABC (Fig. 41) gegeben. Man mache zuerst die Strecke A 1 B‘ = AB. Nun fasse man die zweite Seite AC in den Zirkel und besclireibe damit von A J aus einen Bogen. Fi J_ Es ergeben sicli daber folgende Satze: 1. In einem gleichschenkeligen Dreiecke sind die Winke 1 an derGrundlinie g 1 eich. In einem gleicbseitigen Dreiecke sind alle drei Winkel gleicb. , , L 2. Die Strecke, welche in einem gleichschenke¬ ligen Dreiecke dieMittederGrundliniemitdemScheitel verbindet, stelit auf der Grundlinie senkrecbt. 3. Umgekehrt: Die Senkrecbte, welche man in der Mitte der Grundlinie eines gleichschenkeligen Drei¬ eckes auf diese errichtet, gelit durch den Scheitel. 4. Zieht man in einem gleichschenkeligen Dreiecke vom Scheitel eine Senkrechte auf die Grundlinie, so wird diese dadurch halbiert. 5. Sind me hr ere gleichschenkelige Dreiecke mit einanderkongruent, sohaben auch diegleicliliegenden Hohen dieser Dreiecke dieselbe Grohe. Wie grofi ist jeder Winkel eines gleichseitigen Dreieckes? Wie groh ist der Winkel am Scheitel eines gleichschenkeligen Dreieckes, wenn ein Winkel an derGrundlinie a) 52 °, b) 37 0 12'50" ist? Wie groh ist ein Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkeligen Dreieckes, wenn der Winkel am Schenkel a) 71 °, b) 26 0 46 " c) 59 0 19' 42" betragt? Wie grofi ist jeder spitze Winkel eines gleichschenkeligen recht- winkeligen Dreieckes? Zeichnet man iiber der Grundlinie AB Fig. 46. (Fig. 46) zwei gleichschenkelige Dreiecke ABC und ABD und zieht durch die Scheitel C und D die Strecke CD , so sind die Drei¬ ecke ACD und BCD kongruent (warum?). Aus der Deckung dieser Dreiecke folgt Winkel a = b und c — d; ferner AE— BE. Endlich ist Winkel AEC = BEC, d. h. A CE J_ AB. Hieraus ergibt sich der Satz: Zeichnet man liber derselben Grundlinie zwei gleichschenkelige Dreiecke und zieht durch die Schei¬ tel eine Gerade, so halbiert diese 1. die Winkel an den Scheiteln, sie halbiert 2. die gemeinschaftliche Grund¬ linie und steht 3. auf der Grundlinie senkrecht. 36 A Konst ruktionsa u fgaben: 1. Eine gegebene Strecke AB (Fig. 47) zu halbieren. Die Auflosung berubt auf dem eben mitgeteilten Satze. Man braucht nur tiber AB zwei gleichschenkelige Dreiecke zu konstruieren und ihre Scbeitel C und D durch eine Gerade zu ver- binden. Dabei sind jedocb die Schenkel der gleich- schenke- ligen Drei- -B ecke ftir die Losung der Aufgabe entbebrlich. Au flo- sung: Man beschreibe aus den Endpunkten der Strecke mit demselben Halbmesser nach oben und unten Kreisbogen, welche sicb in zwei Punkten schneiden, und ziehe durch beide Punkte eine Gerade; diese Gerade halbiert die gegebene Strecke. Wird nun weiter jede Halfte (AE und EB , Fig. 48) auf die eben angegebene Weise neuerdings halbiert, so hat man die Gerade AB in 4 gleicbe Teile zerlegt. Zeichne verschiedene Strecken und balbiere jede derselben! Zeichne eine Strecke und teile sie in 4, 8 gleiche Teile! 2. Einen gegebenenWinkel AOB (Fig. 49) zuhalbieren. Um einen Winkel zu halbieren, beschreibe man aus dem Scheitel einen Bogen, welcher die beiden Schenkel schneidet; aus den Durcbschnittspunkten beschreibe man wieder mit demselben Halbmesser zwei Bogen, welche sich 0 > Gerade Prismen, deren Grundfliichen regel- mafiige Figuren sind, heiflen regelmiiflige Prismen. Ein Prisma, dessen Grundflaclien Parallelo* gramme sind, wird nur von Parallelogrammen (u. zw. immer von 6 Parallelogrammen) eingeschlossen; es heifit darum aucli Parallelepiped. Beim Parallelepiped kann jede Seitenflacke als Grundflache angesehen werden. Der Wiirfel ist ein gerades Parallelepiped. Wie viele Grundkanten und wie viele Seiten¬ kanten enthalt a) ein dreiseitiges Prisma? b) ein Parallelepiped? c) ein sechsseitiges Prisma? Schneidet man ein gerades Prisma (Fig. 72) mehrmals parallel mit den Grundflaclien, so erhalt man lauter Figuren, welclie sowohl untereinander als auch mit den beiden Grundflaclien gleicli grofl sind. Alle diese Figuren haben dieselbe Gestalt und dies el be Grofle. tber einander gelegt, decken sie sick; sie sind kongruen t. 23. Die Pyramide. (Betracktung von geraden und von schiefen Pyramiden.) Jede Pyramide (Fig. 73) enthalt blofl eine Grundflache. Auflerdem wird sie nocli von so vielen Dreiecken (als Seiten¬ flachen) begrenzt, als die Grundflache Seiten hat. Diese Dreiecke laufen in einem Punkte, der Spitze, zusammen. Eine Pyramide ist ein Korper, der von einer geradlinigen Figur als Grundflache und an der Seite von ebenso vielen sich in einer Spitze vereinigenden Dreiecken eingeschlossen wird, als die Grundflache Seiten hat. 51 Man kann sich eine Pyramide dadurch entstanden denken, daft sicli eine geradlinige Figur aus ihrer Ebene heraus mit ihrer anfanglichen Lage parallel, in stetig abnehmender Grofie so fortbewegt, dafi ihre Endpunkte gerade, in einer Spitze zusammentreffende Linien bescbreiben. Alle Seitenflachen zusammen nennt man den Mantel und die Seitenflachen samt der Grundflache die Oberflache der Pyramide. Jene Kanten, welche die Grundflache einschliefien, heiflen Grundkanten. Diejenigen Kanten, in welchen sich je 2 benach- barte Seitenflachen treffen, werden Seitenkanten genannt. Mit Rttcksicht auf die Zahl der Seitenflachen gibt es drei-, vier- und mehrseitige Pyramiden. In einer drei- seitigen Pyramide kann jede Seitenflache auch als Grundflache ange- nommen werden. Eine Pyramide, bei welcher alle Seiten- kanten gleich lang sind, heiflt gerade; ist dieses nicht der Fall, so heifit die Pyramide s c h i e f. Nach der Lange der Seitenkanten gibt es gerade und schiefe Pyramiden. Der Abstand zwischen Grundflache und Spitze der Pyramide wird ihre Hohe genannt ("Fig. 73, AB und CD). Gerade Pyramiden, deren Grundflachen regelmafiige Figuren sind, heifien regelmafiige Pyramiden. L Das Tetraeder ist eine regelmafiige dreiseitige Pyramide. Das Oktaeder ist eine quadratische Doppelpyramide. Wie viele Grundkanten und wie viele Seitenkanten enthalt a) eine dreiseitige Pyramide? b) eine yierseitige Pyramide? c) eine ftinfseitige Pyramide ? 24. Ahnlichkeit. Schneidet man eine Pyramide parallel zur Grundflache, so erhalt man zwei Teile: eine kleinere Pyramide (Fig. 74, I) und den Pyramidenstumpf oder die abgektlrzte Pyramide (Fig. 74, II). Fig. 73. A C 4 * 52 Betrachtet man nun die Schnittflache (abed), so sieht man, daB sie zwar mit der Grundflache ( ABCD ) dieselbe Gestalt oder # Form, aber niclit dieselbe Grbfie bat. Fig. 75. Nimmt man ) >ei einer Pyra- mide den paralle- len Sclmitt mehr- mals an verschie- denen Stellen vor, so ist leicht einzu- sehen, daB der- selbe u m so kleinere Fi¬ guren gibt, je weiter er gegen die S p i t z e der Pyramide ge- schielit (Fig. 75). Figuren, welche zwar dieselbe Form, aber eine ungleiclie GroBe besitzen, lieiBen aim lick. Zeichen fUr ahnlich: c\J. In ahnlichen Figuren sind, wie aus Fig. 75 ersichtlich ist, die gleichliegenden Winkel gleich grofl, dagegen nimmt die GroBe der Seiten in einem bestimmten Verhaltnisse ab. Hatte man beispiels- weise die Hohe der Pyramide in 3 gleiche Teile zerlegt und durcli jeden Teilpunkt einen parallelen Schnitt zur Grundflache vor- genommen, so ware die Seite s 3 der Schnittfigur III gleich einem Drittel der Seite s t der Grundflache, dagegen die Seite s 2 der Schnitt¬ figur II gleich zwei Dritteln der Seite s x . In welchem Verhaltnisse wiirden die einzelnen Seiten der Schnittflachen zu den gleichgelegenen Seiten der Grundflache stehen, wenn man eine Pyramide in jedem Ftinftel ihrer Hohe parallel zur Basis geschnitten hatte? 25. Der Zylinder. (Betrachtung eines geraden und eines schiefen Zylinders.) Ein Zylinder ist ein Korper, we 1 cher von-zwei kongruenten und parallelen krummlinigen Figuren als Grundflachen und von einer einseitig gekrtimmten Flache als Mantelflache eingeschlossen wird. 53 Am haufigsten sind jene Zylinder, deren Grundflachen Kreise sind; man nennt sie Kreiszylinder oder auch Zylinder schlechtweg. Wir wollen im folgenden nur Kreiszylinder voraussetzen. Man kann sich einen Zylinder dadurch entstanden denken, dafl sich eine Kreisflache aus ihrer Ebene heraus mit ihrer urspriinglichen Lage parallel, in unveranderter Grofle so fortbewegt, dad der Mittel- punkt stets in derselben Geraden bleibt. Die gekrtimmte Seitenflache des Zylinders lieifit der Mantel desselben. Jcde gerade Linie, welclie anf der Mantelflaclie von der obern zu der untern Grundflache ge- / Fig. 7G. JJ zogen wird, lieifit Mantellinie oder Seite des Zylinders. Die Gerade, welche die Mittel- punkte beider Kreisflaclien ver- bindet, wil’d die A c h s e des Zylinders genannt. Z. B. AB und CD (Fig. 76). Unter Ho he versteht man den Abstand der beiden Kreisflaclien von einander. Z. B. AB und CE (Fig. 76). Steht die Achse auf den Grundflachen senkrecht, so lieifit der Zylinder ein g era der, sonst ein schiefer. Es gibt gerade und schiefe Zyli nder (Fig. 76, I und II). Beim geraden Zylinder fallen Achse und Hohe zusammen; beirn schiefen Zylinder ist dies nicht der Fall. 1st bei einem geraden Zylinder die Achse gerade so grofl wie der Durchmesser der Grundflache, so heifit er ein gleichseitiger Zylinder. Einen geraden Zylinder kann man sich auch dadurch entstanden denken, dafl sich ein Reclit- eck um eine seiner Seiten herumdreht; er ist ein Umdrehungskorper. Schneidet man einen geraden Zylinder (Fig. 77) parallel zur Grundflache, oder, was dasselbe ist, senkrecht gegen die Achse, so erhalt man stets einen Kreis (I). Alle auf diese Weise erhaltenen Kreise sind untereinander kongruent. (Siehe Seite 50.) Erfolgt der Schnitt schrag gegen die Achse, so bekommt man eine Ellipse (II). Fig. 77. 54 x Beide Schnittfiguren erhalt man auch in der freien Ober- flacke einer Fliissigkeit, welche man in ein zylindrisches GlasgefaB giefit; bei gewobnlicher Stellung des Gefiifies bildet die freie Oberflaclie einen Kreis, wird dasselbe aber geneigt, so erhalt man eine Ellipse. 26. Nahere Betrachtung des Kreises. ^ (Siehe Seite 8.) Was ist ein Kreis? Was verstelit man unter Kreislinie, was uiiter Kreisflache ? Was ist ein Halbmesser oder Radius? Was ist ein Durchmesser oder Diameter? Wie viele Bogeugrade entkalt der Umfang eines Kreises? Wie viele Minuten kommen auf einen Grad und wie viele Sekunden auf eine Minute? Eine Strecke AB (Fig. 78), welche zwei Punkte des Umfanges verbindet, heifit, wie bereits frtiher gesagt wurde, Seline. Eine Seline ist um so groller, je naher sie dem Mittelpunktc liegt. • Die liingste Sehne ist daher diejenige. welche durch den Mittelpunkt selbst geht; das ist der Durchmesser. Eine Gerade CD, welche durch die Verlangerung einer Sehne entsteht, lieiBt eine Sekante. Eine Gerade EF, welche den Kreis in einem Punkte (m) bertihrt, heifit Bertihrungslinie oder Tangente. Welchen Winkel bildet eine Tangente (EF) mit dem dazu- gehorigen Halbmesser (mO)? Der durch eine Sehne abgeschnittene Teil eines Kreises (I) heifit Kreisabschnitt oder Kreissegment. 7Q Ein Teil der Kreisflache, welcher von zwei Halbmessern und dem dazwischen lie- genden Bogen eingescklossen wird, heifit Kreisausschnitt oder Kreissektor (II). Zwei Kreise, welche einen gemeinschaft- lichen Mittelpunkt haben, heifien konzen- trische Kreise (Fig. 79). Die zwischen den beiden Kreisen lic- gende Flache heifit Kreis ring. AB wird die Breite des Kreisringes genanut. Wo finden sich konzentrische Kreise vor? 55 Verwendungsbeispiele (Gruppe XII). 4 6 5 1 Verwendung des Kreises in der Weitfstickerei. 2 Stickmuster auf Seide. 3 in alien Stilarten verwendete Kreisverschlingung. 4 und 5 praktische Ver- wertung derselben fur Handarbeiten. 6 aus der Gartenlaube (August 1901). Zwei Kreise, welche keinen gemeinschaftlichen Mittelpunkt kaben, heifien exzentriscbe Kreise (Fig. 80 u. 81). Jene Gerade, welche die Mittelpunkte zweier exzentrischer Kreise yerbindet, heibt die Zentrale der beiden Kreise. Fig. 80. I It M Zwei exzentriscbe Kreise konnen sicli entwedcr von innen oder aufien bertihren (Fig. 80, I und II), oder sie konnen sich scbneiden (Fig. 80, IIIJ, oder es ist keines von beiden der Fall (Fig. 81). Bei der inn ere n Beriihrung (I) ist die Zentrale gleich der Differenz der beiden Halbmesser; bei der aufiern Bertibrung (II) 56 ist die Zentrale gleich deren Summe. In beiden Fallen liegt der Bertihrungspunkt A in der Zentrale. Zwei Kreise schneiden sicli (III), wenn ihre Peripherien zwei Punkte ge- I If Fig. 81. meinschaftlich haben. Dasgemeiu same Flachensttick der beiden Kreise heifit Li use, jedes der nicht gemein- schaftlichen Stticke wird Mond genannt. Zeige in Fig. 80, III, die Linse und die beiden Monde! Zwei exzentrische Kreise, welche sich we der bertihren noch schneiden, konnen entweder ganz in ei nan der oder ganz aufier einander liegen (Fig. 81, I und II). Fig. 82. Fig. 83. 27. Konstruktionen uber den Kreis. Zeichne an die Schultafel einen Kreis und zieh eine beliebige Seline AB (Fig. 82)! Errichte im Halbierungspunkte eine Senkrechte Cxi Diese Linie geht durch den Mittelpunkt des Kreises O. (Warum ?) Die Senk¬ rechte, welche man in der Mi 11 e derSehne eines Kreises er- richtet, geht stets durch den Mittelpunkt des Kreises. Ware daher der Mittelpunkt eines Kreises auf- zusuchen (Fig. 83), so ziehe man in demselben 2 zu einander geneigte Sehnen (AB und AD) und errichte auf diese in ihren Halbierungs- punkten (C und E) zwei Senkrechte (Cx und Ey)j der Durchschnitts- punkt ( 0) dieser Senkrechten ist der gesuchte Mittelpunkt. Soil zu einem Punkte m (Fig. 84) eine Tangente konstruiert werdenu so zeichne man erst den dazu gehorigen Halbmesser mO ' ^ \ 57 Fig. 84. Fisr. 85. und errichte auf denselben in m eine Senkrechte AB ; letztere stellt die verlangte Tangente vor. Haufig kommt die Aufgabe vor, die Kreislinie in me brer e gleiche Teile zu teilen. Man bestim- me vorerst durch A Kechnung die zu dem verlangten Bogenstiicke ge- horige Gradzahl, indem man 360° durch die Zahl der verlangten Teile dividiert, konstruiere mit Hilfe des Trans- porteurs den dazu 13 gehorigen Winkel am Mittelpunkte (Zentri wink el) und trage den durch seine Schenk el abgeschnittenen Bogen in der Peripherie gehorig auf. Gesetzt, es soil die Peripherie eines Kreises in 9 gleiche T e i 1 e eingeteilt werden (Fig. 85). Der 9. Teil von 360 0 ist gleich 40 °. Nun zeichne man mittelst des Transporteurs am Mittel¬ punkte O einen Winkel von 40°; der zwischen 1 und 2 liegende Bogen lafit sich gerade 9mal auf der Peripherie auftragen. Es sei (Fig. 86) ein regelmafliges Vieleck gegeben. Halbiert man zwei benachbarte Winkel, z. B. A und B , so besitzt der Durchschnittspunkt 0 der beiden Halbierungslinien die Eigen- schaft, daB er von alien Seiten und ^ von alien Eckpunkten gleichweit absteht (Seite 45). Beschreibt man daher aus 0 mit der auf AB Senkrechten OG als Halbmesser einen Kreis, so muB der Umfang desselben durch die Punkte G , H, J, K , i, M gehen. Die Seiten des Vieleckes sind Tangenten zu diesem Kreise. Wir sagen: Der Kreis ist dem Yielecke eingeschrieben, oder das Vieleck ist dem Kreise urn- geschrieben. Beschreibt man ebenso aus dem Mittelpunkte 0 mit dem Halb¬ messer AO einen Kreis, so muB derselbe durch alle Eckpunkte A , Fig. 86. c 58 B , C, I), E, F gehen. Die Seiten des Vieleckes sind Sehnen zu diesem Kreise. Wir sagen: Der Kreis ist dem Vielecke u m- geschrieben, oder das Vieleck ist dem Kreise einge- s c h r i e b e n. Hieraus folgt: 1. JederregelmafligengeradlinigenFigurlafitsicb e i n Kreis einschreiben. Die Figurselbst h e i B t d a n n dem Kreise umgeschrieben; ihreSeiten sind Tangenten des Kreises. Der Radius des eingeschriebenen Kreises ist g 1 eich dem Abstande desMittelpunktesvoneinerSeite. 2. JederregelmafligengeradlinigenFigur 1 aB t sicli ein Kreis umschreiben. Die Figur se 1 bst lieiBt dann dem Kreise eingeschrieben. Ihre Seiten sind Sehnen des Kreises. Der Radius des umgeschriebenen Kreises ist gleicli der Entfernung desMittelpunktes von einem Eckpunkte. Durch Umkehrung des letzteren Satzes gelangt man zu folgendem ftir das geometrische Zeiclmen sehr wiclitigen Satze: Teilt man den Umfang eines Kreises in mehrere gleiclie Teile und zieht durch je zwei auf einander folgendeTeilpunkte die entsprechende Sehne, so ist das von diesen Sehnen gebildete Vieleck regelmafiig. Wtirde man daher in Fig. 85 je 2 benachbarte Teilpunkte durch Sehnen verbinden, so bekame man ein regelmaBiges Neuneck. Hiermit ist die Aufgabe gelost, eine regelmafiige gerad- linige Figur von beliebiger Seitenza hi vollstandig Es sei (Fig. 87) 0 der Mittelpunkt eines Kreises und AB = AO. Das Drei- eck ABO ist gleichseitig, daher jeder Winkel desselben gleich 60 °. Schneidet man also in einem Kreise mit dem Halbmesser als Sehne einenBogen ab, so betragt der dazu gehorige Zentriwinkel 60°, und der Bogen selbst ist der sechste Teil der Peripherie. Hieraus folgt: eines Kreises laBt sicli auf dem Umfange desselben genau sechsmal als Sehne auf- tragen. (Fig. 88.) genau zu zeichnen. Fig. 87. Der Halbmesser Fig. 88. Fig. 89. Fisr. 90. Mit Hilfe dieses Satzes liidt sich leicht ein regel- mafliges Secliseck kon- struieren; man brancht nur den Halbmesser secbsmal als Sehne auf der Peripherie des Kreises aufzutragen und die einzelnen Teilpunkte 5 der Reihe nach geradlinig zu verbinden. (Fig. 89.) 1st die Aufgabe gegeben, ein regel mad iges Achteck (Fig. 90) zu konstruieren, so zeichne man einen Kreis und in dem- selben 2 aufeinander senkrecht stehende Durchmesser AE und CG. Nun beschreibe man von den Punkten A , C und E mit derselben Zirkeloffnung Kreisbogen, welche sich in m und n schneiden. Hierauf ziehe man durch diese Punkte und durch den Mittelpunkt des Kreises die Geradenrai^undni/. Es sind nun nur noch die Punkte A, B, C, 0, E ; F, G und H ent- sprechend zu verbinden. Um ein re gel mad ige s V i e 1 e c k von beliebiger Seitenzahl, z. B. ein regelmadiges Siebeneck, annaherungsweise zu erhalten, bediene man sich folgender von Renaldin angegebenen Konstruktion (Fig. 91): Man zeichne 1 Jg * 91 * einen Kreis und in ^ demselben einen lot- rechten Durch¬ messer AH. Nun teile man denselben (nach dem auf Seite 42, Fig. 59, angege¬ benen Verfahren) in so viele Teile, als das verlangte Viel- eck Seiten haben soli (in unserem Falle in 7 gleiche Teile). Jeder zweite Teilpunkt GO wird nun eigens markicrt, etwa durcli Ziffern (1, 2, 3). Hierauf besclireibe man yon A und II aus mit einer Zirkelbffnung, die deni Durchmesser des Kreises gleichkommt, 2 sicli in m und n sclinei- dende Kreisbogen. Werden nun von m und n aus durcli die frtiber markierten Punkte des Durchmessers (1, 2, 3) die Geraden mB , mC, mD und nG , nF, nE gezbgen, so erlialt man in den Schnittpunkten B , C, D E\ F und G seeks Eckpunkte des regelmafiigen Siebeneckes; der siebente Eckpunkt ist der obere Endpunkt des Durchmessers, namlich A. Ware aber die Aufgabe gestellt, eine regelmafiige geradlinige F i g u r zu konstruieren, deren S e i t e n eine bestimmte Lange liaben sollen, so kame es nur darauf an, den Halbmesser des dazugehorigen Kreises zu linden. Angenommen, es ware ein regelm&fiiges F tin feck (Fig. 92) von der Seitenlange AB zu konstruieren. Die Winkclsumme einesFtinfeckes betragt (Seite 43) 5mal 180° weniger 360°, d. i. 540°. Da unser Ftinfeck ein regelmaCiges ist, so betragt jeder Ftinfeckswinkel den ftinften Teil von 540°, d. i. 108°. Man zeichne daber mit Hilfe des Transporteurs 108 0 bci A und B Winkel von —^— = 54 0 und konstruiere so das gleichsclienkelige Dreieck AOB . Der 3. Winkel (Zentri- winkel) betragt 180° weniger 2mal 54°, d. i. 72°. Da nun 72° der fiinfte Teil von 360 0 ist, so laflt sick die Sekne AB 5mal auf der Peripherie des Kreises auftragen, dessen Mittelpunkt in O liegt und dessen Halbmesser den Schenkeln AO und BO des gleich- sclienkeligen Dreieckes gleichkommt. Die Punkte B , C, D, E und A , cntsprechend verbunden, geben das verlangte Yieleck. Aufgabe n. 1. Suclie durcli Ivonstruktion den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises auf! 2. Zeichne einen Kreis und zieh zu einem beliebigen Punkte der Peripherie eine Tangente! 3. In einen gegebenen Kreis ist mit Hilfe des Mittelpunktwinkels ein regelmabiges Zwolfeck einzuzeichnen. 4. Konstruiere ein regelmafiiges Neuneck, dessen Seitenlange 3 cm betragen soil! 5. Zeichne ein regelmafiiges Seehseck! (Nacli Fig. 89). 6. Konstruiere ein regelmaBiges Achteck! (Nacli Fig. 90.) 7. Es soli ein regelmaBiges Fiinfeck gezeichnet werden! (Nacli Fig. 91.) Fig. 92 E C 61 28. Die Ellipse und die Eilinie. Man befestige in 2 Punkten F 4 und F u (Fig. 93) die beiden Enden einer Schnur, welclie ebenso lang ist wie die Gerade AB. Nun spanne man mit Hilfe eines Zeichenstiftes die Schnur so, dafi die Spitze des Stiftes etwa nach ra kommt, und bewege sodann den Zeichenstift bei immer straff gespannter Schnur um die beiden Punkte allmahlich herum. Die Spitze kommt nun der Reihe nach in die Lagen m', ra", B , D, A , C und kehrt endlich wieder nach ra zurtick; sie be- schreibt eine krumme Linie, die wir Ellipse nennen. Die Geraden F‘m und ferner F 4 m 4 und m l F il , dann F*m u und ra" F , stellen dabei die Lange der Schnur yo.r; da letztere wahrend der ganzen Drehung immer dieselbe Lange beibehalt, so folgt, dafi die Summe der Entfernungen eines jeden Punktes der Ellipse von den zwei ge- gebenen Punkten F und F 4 immer dieselbe bleibt. Eine Ellipse ist eine in sick selbst zurtickkehrende krumme Linie yon sole her Beschaffenheit, dab die Summe derEntfernungen eines jeden ihrer Punkte von zwei gegebenen Punkten immer dieselbe ist. X Die zwei Punkte F l und F 4 heiflen die Brennpunkte der Ellipse. Die zwei Entfernungen eines Punktes der Ellipse yon den beiden Brennpunkten werden Leitstrallien dieses Punktes genannt. Die Gerade AB , welche durch die beiden Brennpunkte geht, heiBt die grofie Achse; ihre Endpunkte A und B werden die Sclieitel der Ellipse genannt. Den Halbierungspunkt 0 der grofien Achse nennt man den Mittelpunkt der Ellipse. Kommt der die Ellipse besekreibende Zeichenstift nach A, so stellen AF 4 und AF 44 die beiden Schnurteile dar. Nun ist AF 4 gerade so grofi wie F 44 B. Demnach geben die beiden Schnurteile AF 1 und AF 44 zusammengenommen gerade die grofie Achse. Man kann dalicr sagen: v-Die Summe der 2 Leitstrahlen eines jeden Punktes der Ellipse ist der grofien Achse gleicli. x^Die Normale CD , welche im Mittelpunkte 0 auf der grofien Achse erriclitet wird, heifit die kleine Achse. Fig. 93. A - B > Die Entfernung eines Brennpunktes der Ellipse von dem Mittel- punkte derselben wird die Exzentrizitat der Ellipse genannt. Je kleiner die Exzentrizitat einer Ellipse ist. d e s t o m e h r n a h e r t s i e s i c li e i n e m K r e i s e. E i n K r e i s kann dalier als eine Ellipse, deren Exzentrizitat gleich null ist, angesehen werden. Die Ellipse kommt sehr oft vor; so bei Gewolben, Wasser- behaltern, Rasenplatzen, Blumenbeeten u. dgl. Am wichtigsten aber ist diese Linie in der Astronomic, indem unsere Erde und alle Planeten unseres Sonnensystems in mebr oder weniger gestreckten Ellipsen sich um die Sonne bewegen, die sieh in einem der Brennpunkte aller jener elliptischen Bahnen befindet. > Fig. 94. Fig. 95. Soli in ein gegebenes Bechteck ABCD (Fig. 94) eine Ellipse gezeichnet werden, so ziehe man zuerst die beiden Diagonalen und durch ihren Schnittpunkt 0 die beiden Mittellinien des Rechteckes. Die Punkte E, F, G und H geben 4 Punkte der Ellipse. Vier weitere Punkte erhalt man, wenn man die Gerade AB in 7 gleicbe Teile einteilt und durch den ersten und letzten Teilpunkt (m und m l ) parallele Linien zu AD und BC zieht; ihre Durchschnitts- punkte Jy K , L und M sind gleichfalls Ellipsenpunkte. Ein ahnlicher Vorgang ist ein- zuhalteo, wenn in ein Trapez (Fig. 95) eine Ellipse einzuzeichnen i \ \ x. it ist; nur mud man hierbei beide paral- ; / I s \ v \ lelen Seiten (. AB und CD) in je 7 - 0~ -gleicbe Teile einteilen. (Manbeachte \\ ; / j \/ ferner, dad dieGeraden AD, ML, EG. JK und BC , hinlanglich verlangert, sich in einem Punkte, dem Fluchtpunkte, treffen wiirden.) Ware die Aufgabe gestellt, aus Kreisbogen eine gescblossene krumme Linie (Langrund) (Fig. 96) zu kon- 63 1 Ellipsenreihe. Aufnaharbeit. 2 das Eirund. Weitfstickerei. 3 die Ellipse. Hakelarbeit. 4 elliptiscbe Bogen zur Randverzierung, ausfiihrbar in Schnnr- und Plattstich, verwendbar als Kleiderputz u. s. w. Fig. 97. struieren, welche sich an Gestalt einer Ellipse nahert, so verfahre man auf folgende Weise: Man zeichne einen Kreis und in denselben die Durchmesser AB und CD sowie das auf der Spitze steliende Quadrat ACBD. Nun beschreibe man von A und B aus mit dem Durchmesser des Kreises zwei Bogen, welche die verlangerten Quadratseiten in den Punkten E, F, G und H treffen. Werden noch von C und D aus die Yiertelkreise GJE und HKF ange- A schlossen, so erscheint die Aufgabe gelost. Die Eilinie oder das Oval (Fig. 97) setzt sich aus einem Halbkreise und aus einem halben Langrund zusammen. Um diese Kurve zu erhalten, zeichne man vor- erst einen Kreis und ziehe in demselben einen lotrechten und einen wagrechten Durchmesser. Nun wiederhole man die beim Langrund eingehaltene Konstruktion mit dem Unter- schiede, dab dieselbe nur auf einer Seite des Kreises vorzunehmen ist. Verwendungsbeispiele (Gruppe XIII). A u f g a b e n. 1. In ein gegebenes Rechteck ist eine Ellipse einzuzeichnen! 64 2. Zeichne ein Trapez und konstruiere die dazu gehorige ein- geschriebene Ellipse! 3. Konstruiere ein Langrund! 4. Zeichne ein Oval! 29. Die Spirale und die Schneckenlinie. Sehr haufig vorkonnnende krummeLinien sind noch die Spirale und die Schneckenlinie. Die Spirale und die Schneckenlinie sind krumme Linien, welche sich von einem gegebenen Punkte nach einem bestimmten Gesetze in immer grofler werdenden Windungen entlernen. Der gegebene und als fest anzusehende Punkt heiflt Pol. Die Windungen haben entweder stets dieselbe Ent- fernung von einander, oder der Abstand derselben wird immer g r o 3 e r; krumme Linien der ersten Art heifien S p i r a 1 e n (Fig. 98), wahrend solclie mit immer weiter abstehenden Windungen Schneckenlinien genannt werden (Fig. 99). Fig. 98. Fig. 99. Urn eine Spirale (Fig. 98) zu erhalten. nehme man in einer Geraden XY zwei Punkte 1 und 2 an. Nun beschreibe man aus dem Punkte 1 einen Halbkreis A2 nach oben, dann aus 2 mit dem Halbmesser A2 einen Halbkreis AB nach unten und so fort immer weitere Halbkreise (aus 1 stets nach oben, aus 2 nach unten). — Die einzelnen Halbkreise sind konzentrisch, daher die Abstilnde von je 2 benachbarten Windungen immer gleich grofl. Soli eine Schneckenlinie (Fig. 99) konstruiert werden, so trage man auf der Geraden XY von einem Punkte 0 aus beliebig mehrere (z. B. 3) gleiche Strecken nach rechts und links auf und beschreibe zuerst aus 0 mit dem Halbmesser AO einen Kreis (das Auge). Dann zeichne man, immer abwechselnd nach unten und nach oben, aus 1, 2, 3, 4 die Halbkreise AB , BC, CD , DE u. s. w. 65 A u f g a b e. Konstruiere eine Spirale, eine Schneckenlinie! Verwendungsbeispiele (Gruppe XIV). 1—3 WeiCstickereien. 4 griechische Welle, auch laufender Hund, aus full r bar in Auflegearbeit, verwendbar als Randverzierung. 5—8 Liuienziige mit Eck- bildung, Schlufl zur Mitte und Kreisbiegung, verwendbar fur Stiel- und Schnur- stich Oder zur Benahung mit Bortchen. 9—13 moderne Monogramme. 30. Der Kegel. (Betrachtung eines geraden und eines scliiefen Kegels.) Ein Kegel is t ein Korper, w e 1 c h e r von einer krummlinigen Figur als Grundflache und von einer einseitig gekrtimmten, in eine Spitze auslaufenden FI lie he als Mantelflache eingesclilossen wird (Fig. 100). Mocnik-Wenghart, Geometrische Formenlehre iur Miidclienburgerschulen. 5 Am haufigsten sind jene Kegel, deren Grunddachen Kreise sind. Man nennt sie Kreiskegel oder auch Kegel schlechtweg. Wir wollen im folgenden nur Kreiskegel voraussetzen. Man kann sich einen Kegel dadurch entstanden denken, dad sich eine Kreisdache aus Hirer Ebene heraus mit ihrer anfanglichen Lage parallel, in stetig bis zu einem Punkte abnehmender Grode so fort bewegt, dad der Mittelpunkt immer in derselben Geraden bleibt. Die einseitig gekriimmte Sei- lg ' 10 °* tenflache des Kegels beidt der Mantel desselben. Jede gerade Linie, welche auf der Mantel- dache eines Kegels von einem Punkte des Umfanges der Grund¬ dache bis zur Spitze gezogen wer- den kann, beidt Mantellinie oder Seite des Kegels. Die Gerade, welcbe den Mittelpunkt der Grunddache mit der Spitze verbindet, wird Acbse genannt. (Fig. 100, AB und CD.) Unter Ho he versteht man den Abstand der Spitze von der Grunddache (Fig. 100, AB und CE). Stebt die Achse senkrecht auf der Grunddache, so beidt der Kegel ein g era der, sonst ein schiefer. Es gibt gerade und schiefe Kegel (Fig. 100, I und II). Beim geraden Kegel fallen Achse und Hohe zusammen; beim schiefen Kegel ist dies nicbt der Fall. 1st bei einem geraden Kegel die Seite gerade so grod wie der Durchmesser der Grunddache, so heidt ereingleichseitigerKegel. Einen geraden Kegel kann man sich auch dadurch entstanden denken, dad sich ein rechtwinkeliges Dreieck um eine Kathete herumdreht; er ist ein Umdrehun gs korper. 31. Schnitte am geraden Kegel. Wird ein gerader Kegel durch eine Ebene, welche mit der Grund¬ dache parallel ist, geschnitten, so entstehen zwei Korper, u. zw. ein kleiner Kegel und der zwischen den zwei parallelen Kreisdachen ent- haltene Korper, welcher abgekiirzter Kegel oder Kegel- stumpf genannt wird (Fig. 101). Die Entfernung Pp der beiden Kreisdachen bestimmt die Hohe des Kegelstumpfes. 67 Eine Strecke (wie Aa), welelie von dem Umfange der obern Grundflache langs der Mantelflache bis zum Umfange der untern Grund- flache gezogen wird, nennt man eine S e i t e des abgektirzten Kegels. Erfolgt, wie oben angenommen wurde, der Schnitt parallel zur Grundflache, so ist der obere Teil des Kegels selbst wieder ein gerader Kegel; wird dagegen der Schnitt sell rag zur Grund¬ flache vorgenommen, so ist der obere Teil ein schiefer Kegel. Wird ein ge- Fig. 101. Fig. 102. Fisr. 103. S rader Kegel melir- mals parallel zur Grundflache, oder, was dasselbe ist, senkrecht gegen seine A c h s e ge- schnitten, so erhalt man lauter K r e i- s e. Diese werden umso kleiner, je naher der Schnitt gegen die Spitz e zu erfolgt. (Siehe Seite 52.) Stelit aber die schneidende Ebene nicht senkrecht auf der Aclise, so sind drei Falle moglich. Trifft die schneidende Ebene alle Seiten des Kegels, so ist die Schnittfigur einer Ellipse (Fig. 102, AB). C_ Ist die Schnittebene parallel zu einer Seite des Kegels, so ist der Schnitt eine nach einer Seite offene krummlinige Figur (CDE), welche Parallel lieifit. Jede Parabel wird durch die Mittellinie oder Aclise (. DD‘) in zwei symmetrisch gelegene Halften (Aste) zerlegt. Die Parabel besitzt (ahnlich wie die Ellipse) einen Brennpunkt. Ist endlich die schneidende Ebene parallel zur Achse des Kegels, so ist der Schnitt ebenfalls eine nach einer Seite offene krummlinige Figur (FT?//), welche Hyperbel heiflt; man erhalt jedocli hierbei nur die eine Iialfte dieser Kurve. Will man die gauze Hyperbel bekommen, so erweitere man die Mantelflache eines geraden Kegels liber die Spitze liinaus (Fig. 103) und sclmeide den so erhaltenen Doppelkegel durch eine Ebene parallel zur Achse. Die voll- standige Hyperbel besteht aus zwei As ten (ABC und A '/?'(?'). Die gemeinschaftliche Mittellinie heifit Achse (xx*). Jeder Ast besitzt einen Brennpunkt. r»* 68 Fig. 104. Der Kreis, die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel heifien auch Kegelschnittslinien, weil sie durch den Sclinitt des Kegels mit einer Ebene entstehen. (Die Kegelschnittslinien lassen sicli auf eine sehr anschauliche Weise darstellen, wenn man ein kegelformig zugespitztes Trinkglas zum Teile mit gefarbtem Wasser fiillt, dann oben verschliefit und ent- sprechend neigt.) K. 32. Die Kugel. (Betrachtung der zerlegbaren Kugel.) Die Kugel (Fig. 104) i s t e i n K o r p e r, w e 1 c b e r von einer allseitig gekriimmten Flache der- gestalt eingesch lossen wird, dad jeder Punkt dieser Flache von einem innerhalb liegenden Punkte gleich we it absteht. Der in der Mitte der Kugel liegende Punkt lieifit der Mittel- punk t derselben. Die allseitig gekrtlmmte Flache, von welcher die Kugel einge- sclilossen wird, bildet ihre Oberflache. Jene Gerade, welche vom Mittelpunkte bis an die Oberflache ge- zogen wird, heiBt ein Halbmesser oder Radius der Kugel. Alle Halbmesser einer Kugel sind einander gleich. Warum ? Jede Gerade, welche von einem Punkte der Oberflache durch den Mittelpunkt bis zum entgegengesetzten Punkte der Oberflache geht, lieifit Durchmesser oder Diameter der Kugel. Alle Durchmesser einer Kugel sind einander gleich. Warum? Man kann sich jede Kugel durch Umdrehung eines Halbkreises um seinenDurchmesser entstan- den denken. Die Kugel ist also ein Umdre¬ hung s k o r p e r. Dieser Durchmesser lieifit A c h s e (Fig. 105, AB ); seine Endpunkte werden Pole der Kugel genannt (A und B). Jeder grofite Kreis, welcher durch die beiden Pole geht, lieifit Meridian. Alle Meridiane treffen sich in den beiden Polen und sind gleich grofi. Ein zwischen zwei benachbarten Meridianen gelegenes Stuck der Kugelflache heiBt ein spha rise lies Zweieck, z. B. ACBD . Jener grofite Kugelkreis, welcher von den Polen gleich weit ab¬ steht, wird Aquator genannt. Die Ebene des Aquators steht senk- 69 recht auf der Aclise und trifft diese im Mittelpunkte der Kugel. Alle Kreise, welclie auf der Kugelflache parallel zum Aquator gezeichnet werden konnen, heiflen Parallelkreise. Die Parallelkreise werden gegen die Pole zu immer kleiner. Durcli die eben besprochenen Kreise erlialt man auf der Ober- flaclie der Kugel ein Netz, Fig. 10G. // welches sich aus dreieckigen und viereckigen Flachen zu- sammensetzt; diese Flachen- stlicke lieifien spharische^ D r e i e c k e, bezieliungsweise spharische Vierecke. Durcli den Schnitt einer Kugel mit einer Ebene zerfallt die Kugel in zwei Teile, welclie man Kugelabschnitte heifit. Letz- tere sind einander gleich oder haben verschiedene Grofle, je nachdem die sclineidende Ebene durcli den Mittelpunkt der Kugel oder auflerhalb desselben gelit; im ersten Falle heifit jeder der beiden Kugelabschnitte eine Halb kugel (Fig. 106, I). Die gekrtimmte Oberflache eines Kugelabschnittes (Fig. 106, II, ASM) wird K u g e 1 m it t z e oder K a 1 o 11 e genannt. Wird eine Kugel durcli zwei parallele Ebenen durchschnitten, so heifit der zwischen ilinen betindliche Teil der Kugel eine ICugel- s chic lit; der dazugehorige Teil der Kugeloberflache wird Ku gel- zone oder Gtirtel genannt (Fig. 106, II, BCZ). II. Al)sclmitt. Kopieren, Yergroiiern und Yerkleinern der Figuren. 33. Kopieren der Figuren. (Sielie Seite 34, 42 und 47.) Eine F i g u r kopieren h e i fl t eine F i g u r z e i c h n e n, welclie mit einer gegebenen Figur kongruent ist. Die vorgelegte Figur, nacli der man zeichnet, lieifit Muster oder Original, die Nackahmung davon Kopie. Wie wird ein gegebenes Dreieck kopiert? Wie ein gegebenes Viereck? Wie kopiert man geradlinige Figuren von melir als 4 Seiten ? 70 Geradlinige Figuren von mehr als 3 auf folgende Art kopieren. / Fiff. 107. II Seiten lassen sich auch Man zielie ini Originale (Fig. 107,1) eine Diagonale AD und falle von den einzelnen Eck- punkten Senkreclite auf AD. Die Ge- rade AD wird auch Abszisse genannt, die D, hier die Punkte B\ F\, C\ darauf Senkrechten (BB\ CC\ EE\ FF l ) heifien die Or din at en. Kun zeichne man A l D l gcrade so lang wie AD und tibertrage die Teilstrecken AB\ B'F \ PC* und C* E nach A X D X , wodurch man und E\ erhalt. Hierauf errichte man in diesen Punkten die Senkrechten B\B 1% F* X F U C\C 19 E\ E y , welche gerade so lang sein mtissen wie die ent- sprechenden Strecken im Originale. BB t = B l B , u CC l = C\ C\ , EE i = E 1 E l , FP = F 1 F 1 . Durch gehorige Yerbindung der Punkte A^ 7J 1? C 1? _D n E i und F 1 mit einander ergibt sich die Kopie in II. Dieses Verfahren liiCt sich mit Yorteil auch dann anwenden, wenn / die zu tibertragende Figur eine krummlinige ist. Man tiber- tragt hierbei, wie dies spater gezeigt werden soil, in gleicher Weise die vorzuglichsten Brech- und Kriimmungspunkte des Originales auf das Kopierblatt und zieht die krummen Linien nach dem Augenmafie mit freier Hand. Aufgaben. 1. Zeichne ein beliebiges Dreieck und tibertrage es an eine andere Stelle der Schultafel! 2. Zeichne ein Fiinfeck, zerlege es durch Diagonalen von eineni beliebigen Eckpunkte aus in Dreiecke und tibertrage dies der Ord- nung nach an eine andere Stelle der Zeichenflache! 3. Ein gegebenes Siebeneck soil mittelst der eingezeichneten Abszisse und der entsprechenden Ordinaten kopiert werden. 34. Kopieren von Schnittmustern. Um ein gegebenes Schnittmuster (Fig. 108, Riickenteil einer Nacht- jacke) zu kopieren, zeichne man um dasselbe vorerst ein Rechteck so, daG sich das letztere den geraden Linien des Schnittmusters moglichst anschliefit und auch besonders wichtige Eck- oder Kriimmungspunkte desselben aufnimmt. Hierauf fiille man von alien innerhalb des Recht- 71 eckes gelegenen Eckpunkten des Schnittmusters (F und H) S e n k- rechte auf die ihnen zuuachst liegenden Seiten des Recht- eekes. Dasselbe muB auch mit jenen hervorragenden Krummungs- punkten gescliehen, welche fill* die Form der einzelnen krummen Linien von besonderer Bedeutung sind (wie G ). Nun zeiclme man auf dem * 1 °* 108 * Kopierblatte ein eben so groBes Recliteck wie ABCD , tibertrage der Ordnung nach mit Hilfe des Zirkels oder eines MaBstabes die in den 4 Seiten gelegenen Punk- te und errichte die entsprechen- den Senkrechten, deren GroBe man vom Originale ab- nimmt. Hierdurcli ist die Lage aller Punkte in der Kopie bestimmt. Die einzel¬ nen geraden Li¬ nien werden mit Hilfe eines Li¬ neals gezeichnet, wabrend man die krummen Linien mit freier Hand eintragt. Nicht seiten , . tiberzieht man das Original mit einem entsprechenden Quadrat- net z e, welche Einteilung auch auf der zur Kopie bestimmten Flache zu zeichnen ist. Nun beginnt das Kopieren, indem man von Quadrat zu Quadrat die einzelnen Linien entweder durch blofie Absehatzung oder der groderen Genauigkeit wegen mit Hilfe eines Zirkels so auf M ot i.ik-Wenghart, Geometrisclie Formenlehre far Madchenburgerscliulen. 4 die Kopie iibertragt, wie sie im Originale vorliegen. Man fangt ge- wohnlich bei der linken obern Ecke zu zeichnen an. Fig. 109. Fig. 109 zeigt das Quadratnetz fur den Schnitt des Vorderteiles und Riickenteiles eines Herrenhemdes. 73 •• Ofters bedient man sich auch stigmographischer (punktierter) N e t z e. Dieses Verfahren unterseheidet sich von dera vorhergehenden nur dadurch, dafi man sowohl das Original als das Kopierblatt mit quadratisch angeordneten Punkten statt mit Qnadratnetzen tiberzieht. Fig. 109 zeigt auch das stigmographisclie Netz fur den Schnitt der Hbrigen Teile des Herrenhemdes. Die Obertragung krummliniger Figuren mittelst der Netze findet hauptsachlich Anwendung bei Anfertigung von Kartenskizzen. Auch Monogramme. Schling- und Stickmuster lassen sich mit Qnadratnetzen leicht kopieren. Hierher geliort auch das Pausen, wobei man sich vorerst mit Transparentpapier oder Pausleinwand eine mogliclist genaue Kopie vom Originale verschafft und letztere sodann auf die Kopierflache iibertragt. Am haufigsten aber erfolgt das tfbertragen des Schnittes un- mittelbar auf den Stoff. Hierbei befestigt man vorerst das Schnittmuster mittelst Stecknadeln an dem Stoffe, worauf die Bander des Schnittes mit Hilfe eines abfarbenden Korpers (etwa mittelst Kreide) auf die Unterlage tibertragen werden, oder man schneidet den Stoff sofort nacli dem darauf befindlichen Schnittmuster zu. A u f g a b e. Die in den Fig. 108 und 109 dargestellten Schnittmuster sind zu kopieren. 35. Verhaltnisse der Strecken. Proportionen. Vergleiclit man (Fig. 110) die zwei Strecken AB und CD mit einander, so sieht man, dab CD in AB 3mal enthalten ist. Hierdurch erhalt man das Verhaltnis von AB zu CD. — Schriftliehe Darstellung: AB : CD. AB heifit das Vorderglied, CD das Hinterglied. Da CD in AB Fig. no. 3mal, in CD aber ABE F •- * -1-> --(-1-i-1-1 1 mal enthalten ist, so verhalten sich ,£_ Q f 7 M , _ ff die Strecken AB und CD wie die Zahlen 3 und 1, oder sie haben das Verhaltnis 3:1. Umgekehrt verhalt sich CD zu AB wie 1 : 3. Man sagt: die Strecke AB wird durch die Strecke CD gemessen, und nennt darurn auch CD ein Mafi von AB. Ist ferner die Strecke CM in EF 5mal und in GE 3mal enthalten, so haben die beiden Geraden EF und GH das Verhaltnis 5 : 3. Die Strecke GM ist ein gemeinschaftliches Mafi von EF und GH. 74 Einfach laflt sicli das Verlialtnis zweier Strecken ermitteln, wenn man diese mit Hilfe eines Mafistabes abmifit und die erhaltenen Mafizahlen als die beiden Glieder des gesuchten Verhaltnisses anschreibt. Aufgaben. 1. Bestimme das Verhaltnis zwischen der Lange und der Hohe der Scliultafel! 2. Welches Verhaltnis besteht zwischen der Breite und Hohe eines Fensters des Schulzimmers? Fig. 111. Fig. 112. B F C D G // Die beiden Strecken AB und CD (Fig. Ill) verhalten sicli wie 3 zu 2; dasselbe Ver¬ haltnis besteht aber auch zwischen den Strecken EF und GH (Fig. 112). Man hat es also hier mit zwei gleichen Verhaltnissen zu tun. Daher kann man sagen, AB verhalt sich zu CD gerade so, wie EF zu GH. In Zeichen: AB : CD = EF: GH. Man sagt in diesem Falle auch: Die Strecken AB und CD sind den Strecken EF und GH proportioniert oder proportional. Die Gleickstellung zweier gleicher Ver haltnisse wird eine Proportion genannt. In obiger Proportion bildet AB das erste, CD das zweite, EF das dritte und GH das vierte Glied; AB und GH heiflen die auBern, CD und EF die innern Glieder der Proportion. 36. Ahnlichkeit der Dreiecke. Fig. 113. (Siehe Seite 52.) Wir haben schon bei den parallelen Schnitten an der Pyramide gesehen, dafi dort Figuren entstehen, welche zwar dieselbe Gestalt haben, aber gegen die Spitze zu immer kleiner werden; solche Figuren heifien ^ a h n 1 i c h (c\J). Um die Merkmale zweier ahnlicher Dreiecke anschaulich darzustellen, lasse man eine Gerade AM (Fig. 113) auf einem Schenkel AR des Winkels RAS immer parallel zu ihrer erstenLagesofortschreiten, dafl sie auf jenem Schenkel gleiche Stticke AB = BD — DF = FH = HK ab- S schneidet; dann werden auch die Abschnitte 75 des zweiten Schenkels unter einander gleich sein (Seite 40). AC = ^ E = EG — GJ = JL. Gleichzeitig sieht man, dal] hierdurch die Dreiecke ABC , ADE , Aidfr, AHJ und AKL entstehen, welche zwar verschiedene Grolle Iiaben, in der Gestalt jedoch tibereinstimmen, somit ahnlich sind. Yergleicht man nun irgend zwei Dreiecke, z. B. ADE und AKL , so findet man, dafi sie zunachst paarweise gleiche Winkel besitzen; denn der Winkel A ist beiden Dreiecken gemeinschaftlich, die anderen zwei Winkel aber (D und K , sowie E und L) sind als Gegenwinkel einander gleich. Betrachtet man ferner die Seiten der beiden Dreiecke, so sieht man, dafi AD zwei solcher Teile enthalt, yon welchen auf AK 5 kommen ; die Seiten AD und AK haben also das Yerhaltnis 2 : 5. Ebenso ent¬ halt AE 2 solcher Teile, yon welchen auf AL 5 entfallen; es haben also auch die Seiten AE und AL das Verhaltnis 2: 5. Zieht man ferner durch jeden Teilpunkt von AK eine Parallele mit AL , wie dies die punktierten Linien andeuten, so zerfallt DE in 2 und KL in 5 gleiche Teile; demnach verhalten sich also auch die Seiten DE und KL wie 2 zu 5. Man hat also: AD : AK=AE: AL = DE : KL. Mithin sind in den beiden Dreiecken j e 2 Seiten, welche den gleichenWinkelngegentiberliegen, einander proportional. Hieraus folgt: 1. In ahn lichen Dreiecken sindalle 3 Winkel paar¬ weise gleich und die gleichliegenden Seiten propor¬ tion i e r t. 2. Man erhalt zu einem gegebenen Dreieck ein ahn- liches, wenn man in demselben eine Parallele zu einer der drei Seiten zieht. Es sei in den Dreiecken ABC und DEF (Fig. 114) Winkel A = D,B = E und C — F. Nun denke man sich das Dreieck DEF so auf das Dreieck ABC gelegt, dafi sich die Winkel C und F decken. Die Punkte D und E fallen auf die Punkte G und H . Man erhalt hierdurch ein neues Dreieck CGH, welches mit dem Dreiecke DEF kongruent ist. Die Seite GH des neuen Dreieckes ist aber mit AB parallel, da der Winkel G gleich ist dem Winkel D : also auch dieselbe Grofie besitzt wie der Winkel A . Hieraus ergibt sich zunachst die Ahnlichkeit der Dreiecke ABC und Fig. 114. C F 76 CGH. Nun ist aber das Dreieck 6 7 (?i/kongruent mit dem Dreiecke DEi\ weshalb auch das Dreieck DBF dem Dreiecke ABC ahnlick sein muB. Hieraus ergibt sich: Zwei Dreiecke sind ahn 1 ich, wenn in denselben alle drei Winke 1 wechselseitig g 1 eich sind. I Mit sichtaufdiesen Satz liiBt sich leicht zu einem Dreiecke ein ahnliches kon- struieren. Man braucht nur zu jeder Seite des gegebenen Dreieckes eine Parallele zu zeicknen (Fig. 115). Die Winkel des neuen Dreieckes sind be- ziehungsweise den Winkeln des gegebenen Dreieckes gleich, da ihre Fig. 116. / R Schenkel parallel laufen; duller sind beide Dreiecke einander ahnlich. Hierbei sind 3 Falle moglicli: entweder umschliefit das grofiere Dreieck das klei- nere, oder die beiden Dreiecke liegen aufierhalb einander, oder ihre Flachen decken sich zum Teile. — Zwei ahnliche Dreiecke konnen ferner auch entweder eine Seite oder auch zwei Seiten teilweise gemeinsam haben (Fig. 116). A u f g a b e. Zeichne 5 beliebige Dreiecke und konstruiere zu jedem derselben ein ahnliches, wie dies in den Fig. 115 und 116 dargestellt ist! 37. Ahnlichkeit der Vierecke und der Polygone. Zieht man in dem Vierecke ABCD (Fig. 117) die Diagonale AC und ferner die Gerade be II zu BC und ebenso cd || CD, so erhalt Fig. 117. D man ein neues Vier- eck Abed , welches dem urspriinglichen ahnlich ist. Man hat namlich: Abe CVJ ABC und Aed cv) ACD ; daher Vier- eck Abed CV) ABCD. Die Winkel beider 77 Fig-. 119. V i e r e c k e sind paar- weise gleich und die gleichlie- gen den Sei- ten zu einan- der propor¬ tional. Auf gleiche Weise lafit sicli auch zu einem gegebenen Vielecke ABODE { Fig. 118 ) leicbt ein ahnliches zeichnen. Man ziehe zuerst von einem beliebigen Punkt A aus alle mdglichen Diago- nalen AC und AD und ferner die Gerade be || BC, cd || CD und de || DK Dann ist Abe c\J ABC, /\ Acd C\J ACD und Ade CO ADE und daher auch Yieleck Abede C\J ABCDK Ferner gilt, wie leicht ein- zusehen, auch beziiglich der Yielecke der Satz, dafi ihre Winkel paar weise gleich grofi und die gleich- liegenden Seit en proportional sind. 73 Hieraus ergibt sich: 1. Zwei a h n 1 i c h e g e r a d 1 i n i g e Figurenvon mehr als drei Seiten lassen sicli immer in gleich viele Dreiecke zerle g en, w elc h ederO r d nun gnacheinanderahn lie h sind. 2. In ahnlichen geradlinigenFiguren von mehr als drei Seiten sind dieWinkel paarweise gleich g r o B und die gleichliegenden Seiten proportioniert. Der Punkt A in den Fig. 117 und 118 wird der Ahnlichkeits- punkt genannt. Dieser Punkt kann tibrigens beliebig gewahlt werden; man kann denselben in eine jede Seite, ferner innerhalb der Flaclie der gegebenen Figur oder auch aufierhalb derselben ver- legen (Fig. 119). Aufgabe. Zeichne ein beliebiges Viereck, Fiinfeck, Sechseck und Siebeneck und konstruiere hierzu die entsprechende ahnliche Figur! Der Ahn- lichkeitspunkt soli beim Yierecke in der Mitte desselben liegen; beim Funfecke ist derselbe in einer Ecke anzunehmen; beim Sechsecke soli er in einer der Seiten und beim Siebenecke aufierhalb der Flache desselben angenommen werden. A> C* £' Fig. 120. *D B z N F J” N’ ML \5 9 38. Der Proportionalwinkel. Es seien die Strecken AB , CD und EF (Fig. 120) nach dem Verhaltnisse wie 5:3 zu verkleinern. Man zeichne eine beliebige Gerade Oa?, u. zw. etwas langer als die grofite Strecke AB, und trage auf dieselbe von dem einen Endpunkte O aus 5 gleiche Teile auf. Nun beschreibe man von 0 aus den Bogen 5z, nehme y von den auf der Geraden Ox liegen- den Teilen eine Strecke gleich drei solchen Teilen ab und durchschneide damit vom Punkte 5 aus den frtlheren Bogen in 5 Hierauf ziehe man die Gerade Oy , wodurch sich der Winkel a ergibt. Der Konstruktion zufolge verhalt sich 05 zu 5 5 l wie 5 zu o. Nun trage man von O aus die Geraden AB, CD und EF auf Ox auf lyid zeichne die entsprechenden Kreisbogen MM 4 , NN‘ und PP\ Die Sehnen dieser Kreisbogen, welche in der vorstehenden Zeichnung clurch voile Linien angedeutet sind, geben, wie leicht einzusehen ist, die zu AB , CD und EF ge- suchten, im Verhaltnisse wie 5 zu 3 verkleinerten Strecken an. 79 Mit Hilfe eines solchen Winkels a lassen sich also mehrere gegebene Strecken auf eine sehr einfache Weise proportional ver- kleinern: deshalb nennt man die- ’ . Fig. 121. sen Winkel auch Proportional- x w i n k el. A Der Proportional winkel kann p auch ftir Yergrflfierungen E 1 . { F angewendet werden, aber nur G * dann, wenn die Strecken n i c h t iiber das zweifache ver- groflert werden sollen. Warum? Ware die Aufgabe gestellt, die Strecken A B , CD, EF und GH (Fig. 121) im Verhaltnisse wie 3 : 4 zu vergrofiern ; so trage man auf der Geraden Ox von 0 aus 3 gleiche Teile auf und ziehe den Bogen 3z ; nun fasse man 4 solcbe Teile in den Zirkel und durch- schneide den frliheren Bogen von dem Pnnkte 3 aus in 3‘ . Jie Strecke 03 verhalt sich nun zu 3 3 l wie 3 : 4. Werden nun die zu vergro Bern den Strecken AB , CD , EF und GH von 0 aus auf Ox aufgetragen, so geben die Sehnen MM\ NN\ PP l und QQ l die gesuchten vergrofierten Strecken an. Aufgabe n. 1. Zeichne 4 beliebige Strecken und verkleinere diese mit Hilfe des Proportionalwinkels wie 7:3! 2. Zeichne 4 beliebige Strecken und vergroBere diese mit Hilfe des Proportionalwinkels im Verhaltnisse wie 2:3! 39. Das Verkleinern und Vergrofiern gegebener Figuren Diese Aufgabe stiitzt und kann auf verschie- dene Weise bewerk- stelligt werden. Einige Beispiele mogen dies veran schaulichen. Das D r e i e c k ABC (Fig. 122) soil nach dem S e i t e n v e r- A sich auf die Konstruktion ahnlicher Figuren so Fig. 123. c haltnisse 3:2 verkleinert werden. Man teile zunachst jede der Dreieckseiten in 3 gleieke Teile und konstruiere nun mit je 2 soldien Teilen ein neues Dreieck abc. Zu diesem Zwecke mache man zunachst ab=\AB. Hierauf fasse man 2 Teile von AC in den Zirkel und beschreibe yon a aus den Bogen ran, dann nehme man 2 Teile von BC ab und zielie von b aus den Kreisbogen pq. Der Durch- schnittspunkt beider Kreisbogen c gibt, mit a und b geradlinig ver- bunden, das verlangte ahnliche Dreieck. £s sei zu einem gegebenen Vielecke abcde (Fig. 123) ein ahn¬ liche s Yieleck so zu konstruieren, dab die Seiten der zwei Yie 1- ecke ein gegebenes Yerhaltnis, z. B. 3:5, h a b e n. Man zerlege das ge- gebene Yieleck von einem Punkte a aus durch Dia- Seite sowolil als aucli die Nun konstruiere man mit je 5 solchen Teilen zu¬ nachst das Dreieck I, hierauf ansckliebend das Dreieck II und endlich nock das Drei¬ eck III. — Die Zer- legung in Dreiecke konnte auch von einem Punkte im Innern des gegebenen Yieleckes aus gesckeken. Zum Yergrobern oder zum Yerkleinern der Seiten bedient man sick auch selir vorteil- haft des Proportio¬ nal w i n k e 1 s. Gesetzt, es soil das Trapezoid ABCD (Fig. 124) nach dem Seitenverhaltnisse 4:3 verkleinert werden. Man gonalen in Dreiecke und teile jede einzelnen Diagonalen in 3 gleiche Teile ein. 81 zeichne zunachst den zu diesem Verhaltnisse gehorigen Proportional- winkel a. Nun verkleinere man mit Hilfe desselben sowohl die ein- zelnen Seiten als auch die Diagonale AC und konstruiere aus diesen Stlicken zuerst das Dreieck abc und anschliefiend hieran dasDreieck acd. Das Yergrofiern und Yerkleinern von Figuren kann aber auch, ahnlich wie das Kopieren, mittelst Abszissen und Ordinaten durchgeftihrt werden. Fig. 125. B A Man soil das in Fig. 125 dargestelite Muster fitr Litzenaufnahen im Yerhaltnisse wie 5 : 7 vergroBern. Wie leicht einzusehen ist, mufl man zunachst sowohl alle einzelnen Abszissenabstande (ad, df u. s. w.) als auch die Ordinaten (ab, cd, e/ u. s. w.) nach dem verlangten Yerhaltnisse yergroBern. Es unterliegt sodann keiner Schwierigkeit, aus diesen Stlicken das verlangte ver- grofierte Muster zu konstruieren. A u f g a b e n. 1. Das in Fig. 107 dargestellte Yieleck soli nach dem Seiten- verhaltnisse 2:3 vergroBert werden. 2. Das in Fig. 125 gegebene Muster ist nach dem Yerhaltnisse 4:3 zu yerkleinern. 40. Das Verkleinern und Vergroflern von Schnittmustern. Auch hierbei muB man in erster Linie die Langenaus- dehnungen des Originals nach dem gegebenen Yer¬ haltnisse verkleinern oder vergroBern, woraut mit diesen gean- derten Strecken die neue Zeichnung ausgeflihrt werden kann. Sehr zweckmaBig ist es, wenn man das gegebene Schnittmuster in ein R e c h t e c k einschlieBt, welches den geraden Linien des Schnittes moglichst angepafit erscheint, wie dies Fig. 126 (Frauenliemd ohne Sattel) darstellt. Wir wollen annehmen, es sei das vorliegende Schnittmuster im Yerhaltnisse 4 : 3 zu verkleinern. Man messe zunachst die Lange und Breite dieses Rechteckes mit Hilfe eines MaBstabes mbglichst genau (bis auf Millimeter) ab; ftir unsern im verkleinerten 82 Maflstabe gezeichneten Schnitt ergeben sich 9 cm und 4 cm. Die einzelnen Mafizahlen mnltipliziert man nun mit der dem gegebenen Verhaltnisse entsprechenden Reduktionszahl ^hier um die Lange und Breite des neuen Kecliteckes zu erhalten. 9 cm X — = 90mmX 4 270 mm 4 67 ‘Omm (Lange des neuen Rechteckes). a Ar . v ^ 3 120 mm OA 0 4 cm X — = 4U mm X — =-= oO mm = o cm 4 4 4 (Breite des neuen Rechteckes). Nun konstruiere man aus der so gefundenen Lange- und Breite- angabe das neue Rechteck, in welches der zu verkleinernde Schnitt eingezeichnet werden soil. Hierauf werden am Originale die einzelnen Strecken moglichst genau abgemessen und ihre Langen wieder, wie dies oben gezeigt wurde, gehorig reduziert. Man hat nun nur die eben gefundenen Langen in das neue Rechteck einzutragen, worauf mit freier Hand die nocli notwendigen Yerbindungslinien zu ziehen sind. 83 Da die Umrechnung der Mafizalilen des Originates, besonders bei verwickelteren Reduktionszahlen, eine umstandliche und zeitraubende Arbeit mit sich bringt, erscheint es empfehlenswert, sich hierftir einen eigenen, der jeweiligen Verkleinerung oder Ver- grofierung angepaflten Mali stab zu konstruieren. In Fig. 126 stellt M den gewohnlichen und M‘ den sogenannten ver- jtingten Mai]stab vor; in letzterem betragt jede Langenein- heit | des urspriinglichen Mafles. Beim praktischen Gebrauche derartiger Mafl- stabe bestimmt man yon jeder am Ori¬ ginate abgenommenen Strecke zuerst auf dem urspriinglichen Maflstabe die Maflzahl ihrer wahren Lange. Dann suclit man auf dem zweiten Maflstabe die dieser Maflzahl entsprechende redu- zierte Lange auf und setzt nun aus den so geanderten Strecken die neue Figur zusammen. Hiiufig bedient man sich auch zum Vergroflern und Verkleinern der einzelnen Strecken des friiher er- wahnten Proportionalwinkels. — 1st das Original in ein Quadra t- netz eingezeichnet, so hat man die Quadratseiten nur dem verlangten Ver- hiiltnisse gemafl zu yerkleinern oder zu yergrofiern, worauf die Ein- tragung der Figur in das neue Netz erfolgt. Auf alinliclie Weise mufl man yerfahren, wenn das Original mit einem stigmogra- phischen Netze versehen ist. Die Netzmethode findet namentlich im geographischen Unterrichte bei Herstellung von Kartenskizzen reichliche Anwendung. Aufgaben. 1. Die in Fig. 108 dargestellten Muster sind im Yerhaltnisse 4:5 mit Anwendung der entsprechenden Reduktionszahl zu yergrofiern. 2. Vergrofiere die Schnittmuster in Fig. 109 nach dem Yer¬ haltnisse 3:5! 3. Yergrofiere das in Fig. 127 gegebene Monogramm nach dem Yerhaltnisse 2:3! Fig. 127. 84 III. Abschiiitt. Umfang und Flacheninhalt der Figuren. 41. Umfang und Flacheninhalt im allgemeinen. Alle Grenzlinien einer Figur zusammengenommen nenut man deren Umfang. Um den Umfang einer geradlinigen Figur zu be- stimmen, brancht man nur die Seiten derselben zu messen und die gefundenen Mafizahlen, die sichoffen- bar auf das Liin gen mail beziehen, zu addieren. 1st die Figur gleichseitig, so ist der Umfang gleicli der Lange einer Seite, multipliziert mit der Anzahl der Seiten. Die Bestimmung des Umfanges einer geradlinigen Figur unterliegt daher keiner weiteren Scliwierigkeit. Der F1 a c h e n r a u m, w e 1 c h e r von den Grenzlinien einer Figur eingeschlossen wird, heifit Flachenin- halt einer Figur. Zwei Figuren, welche, gleiclien Flacheninhalt haben, heifien flachengleich. Sowie eine Linie nur durch eine Linie, ebenso kann eine Flache nur durch eine Flache gemessen werden. Um daher den Flachen¬ inhalt einer Figur zu bestimmeu, mud man irgend eine bestimmte Fliiche als E i n h e i t annehmen und untersuchen, wie oft diese in der gegebenen Flache enthalten ist. Die Zahl, welche dieses anzeigt, heifit die Mallzahl der Flache. , Als Einheit des Flache nmafles nimmt man ein Quadrat an, dessen Seite der Einheit des Langenmafles gleicli ist, von welcher dann das Quadrat den Nanien erhalt. Ein solches Quadrat heifit ein Quadratmeter (ra 2 ), ein Quadratdezimeter (dm 2 ) etc., je nacli- dem die Seite einem Meter, Dezimeter etc. gleicli ist. Eine Flache messen heiBt demnach untersuchen, wie viele Quadratmeter, Quadratdezimeter etc. die Fliiche enthiilt. Die Bestimmung des Flacheninhaltes geschieht iibrigens nicht durch unmittelbares Auftragen der genannten Quadratmafie auf die zu messende Flache, da dies miihsam und meistens aucli unaus- ftihrbar wiire. Man bestimmt vielmehr den Flacheninhalt mitt el- bar, indem man diejenigen Strecken, von denen die Grofie der Figur abhangt, mit dem LangenmaBe miBt und aus den Mafizahlen dieser Strecken den Inhalt der Flache durch Rechnung ermittelt, wie im folgenden gezeigt werden soil. 85 42. Das Quadrat. Die Seite des Quadrates ABCD , (Fig. 128) messe 3 dm . Teilt man jede Seite in 3 gleiche Teile, wovon jeder 1 dm lang ist, und verbindet dann die gegentiberliegenden Teilungspunkte durch gerade Linien, so zerfallt das gegebene Quadrat in lauter kleinere Quadrate, deren jedes 1 dm 2 vorstellt; und zwar enthalt der Streifen langs der Seite AB 3 dm 2 , der darttber befindliche Streifen ebenfalls 3 dm 2 und der dritte Streifen auch 3 dm 2 . Man hat also im ganzen 3mal 3 dm 2 = = 9 dm 2 . Zeichne ein Quadrat, dessen Seite 4 cm ist, und bestimme auf gleiche Weise, wie viel cm 2 es enthalt! Der Flacheninhalt eines Quadrates wirdgefunden, i n d e m man die M a 15 z a h 1 e i n e r Seite m i t s i c h s e 1 b s t multi- pliziert, d. i. zur zweiten Potenz erliebt. Daher kommt es, dab man auch im Rechnen die z w e i t e Potenz einer Zahl das Quadrat derselben nennt. Bezeichnet man die Mafizahl der Seite eines Quadrates durch s und den Flacheninhalt desselben durch F , so ist F = s 2 . Die Benennung des Flacheninhaltes hangt von der Benennung der Seiten ab; ist z. B. die Seite in Metern ausgedrtickt, so wird die Zahl, welche man als Flacheninhalt bekommt, Quadratmeter anzeigen; ist die Seite des Quadrates in Dezinietern angegeben, so erhalt man auch den Flacheninhalt in Quadratdezimetera. Wenn der Flacheninhalt eines Quadrates bekannt ist und man die Lange einer Seite finden will, so braucht man nur eine Zahl zu suchen, welche, mit sich selbst multipliziert, den gegebenen Flachen- inlialt gibt, d. h. man mub aus dem bekannten Flacheninhalte die Quadratwurzel ausziehen. Es ist also s = \/F, Ein Quadrat (Fig. 129), dessen jede Seite 1 dm = 10 cm be- tragt, hat 10 X 10 cm 2 = 100 cm 2 . Ein solches Quadrat ist nun 1 dm 2 . Also ist 1 dm 2 = 100 cm 2 . Auf gleiche Weise kann man zeigen, dab 1 m a = 100 dm 2 , 1 cm 2 = 100 m?>i 2 ist, u. s. f.; man hat daher: 1 am 2 = 100 km 2 1 m 2 = 100 dm 2 1 km 2 — 1000000 m 2 1 dm 2 — 100 cm 2 1 cm 2 = 100 mm 2 . Beim Bodenmabe heibt eine Flache von 100 m 2 ein Ar, eine Flache von 100 Ar ein Hektar. Ein Ar ist 10 m lang und 10 m breit. Ein Hektar ist 100 m lang und 100 m )>reit. Fig. 128. F £ Fig 1 . 120. /; c Aufgaben. y 1. Die Seite eines Quadrates betragt a) 21 m, b) 5 m 4 dm., c) 3 m 5 dm 9 cm, d) 0*715 m; wie grofi ist der Umfang, wie grofi der Flacheninhalt? 2. Der Umfang eines Quadrates ist 23 m 2 dm] wie grofi ist a) die Seite, b) der Flacheninhalt ? 3. Der Flacheninhalt eines Quadrates ist 15 m 2 52 dm 2 36 cm 2 ; wie grofi ist die Seite, wie grofi der Umfang? 4. Wie grofi ist die Seite eines Quadrates, dessen Flacheninhalt a) 376*36 dm 2 , b) 2 m 2 13 dm 2 16 cm 2 , c) 12*3201 m 2 ist? 5. Wieviel Spitzen sind zur glatten Umrandung einer quadra- tischen Tischdecke von 1*25 m Seitenlange erforderlich, wenn wegen der Ecken 24 cm hinzugerechnet werden miissen? 6. Wieviel kostet ein quadratischer Bauplatz von 36 m Seitenlange, wenn man das m 2 mit 11 K bezahlt? 87 7. Ein quadratischer Acker kostete 1250 K; wieviel m betriigt eine Seite desselben, wenn 1 a zu 8 K gerechnet wurde? 8. Die Seite eines Quadrates ist 3 dm, die eines zweiten Quadrates 12 dm ; wie verhalten sich a) die Umfange, b) die Flacheninhalte der beiden Quadrate? , ; . 9. Ein quadratischer Hof von 12 m Seitenlange soil mit qua- dratischen Steinplatten von 16 dm Umfang gepflastert werden; wieviel solche Steinplatten sind erforderlich ? 10. An der Fliiche eines Quadrates, dessen Seite 48 cm ist, wird der Rand 3 cm breit vergoldet; , wieviel dm 2 betragt die Ver- goldung? i... ; 11. Man will in einem quadratformigen Garten, dessen Seite 58 m 5 dm ist, ringsherum einen Weg maclien, der eine Breite von 1 m 2 dm liaben soli; welchen Flachenraum wird dieser Weg einnehmen ? 43. Das Rechteck. Es sei in dem Rechtecke ABDC (Fig. 130) die Grundlinie CD = 6 cm und die liolie AC = 4 cm. Teilt man nun CD in 6, ferner AC in 4 gleiclie Teile und zieht durch die Teilpunkte mit den Seiten parallele Linien, so ist ein jedes der dadurch ent- stehenden Quadrate 1 cm 2 . Man erhalt 4 Streifen soldier Quadrate von je 6 cm 2 ; der Flacheninhalt des Rechteckes ABDC betragt dalier 4mal 6 cm 2 = 24 cm 2 . Durch aknliche Zeiclmungen und Schliisse findet man, dab ein Rechteck, welches 7 m lang und 3 m breit ist, 3X7 m 2 =21 m 2 enthalt; dab der Flacheninhalt eines Rechteckes, dessen Grundlinie und Holie 8 dm und 5 dm sind, 5 X 8 dm 2 = 40 dm 2 betragt. Der Flacheninhalt eines Rechteckes wird ge- fundeii, indem man die Mabzahl der Grundlinie mit der Mabzahl der Hoke multipliziert. Man pflegt diesen Satz kiirzer so auszudrticken: Der Flacheninhalt eines Rechteckes ist gleich dem Produkte aus der Grundlinie und der Hohe oder der Lange mal der Breite. ' • ••«*. • % •» * • Ist der Flacheninhalt eines Rechteckes und zugleich die Grundlinie bekannt, so findet man die Hbhe, indem man den Flacheninhalt durch A Fig. 130. B C D Mocnik-Wenghart, Geometrische Formenlekre fur Madcbcnburgersohulen. 5 88 die Grundlinie dividiert. Ebenso wird die Grundlinie gefunden, indem man den Flacheninhalt durcli die Hohe dividiert. Bezeichnet G die Grundlinie, H die Hohe eines Rechteckes und F den Flacheninhalt desselben, so ist v A u f g a b e n. 1. Berechne den Umfang und den Flacheninhalt folgender Recht- 2. Der Umfang eines Rechteckes betragt 87 m 4 dm, die kiirzere 3. Ein Spiegel mit Rahmen ist 5 dm 8 cm breit und 8 dm 2 cm hoch; wie groB ist der Umfang? 4. Langs der Hecke eines Gartens, welclier 33 m lang und 21 m breit ist, werden ringsum Maulbeerbaume, welche 3 m von einander abstehen, gepflanzt; wie viel Maulbeerbaume sind dazu erforderlich ? 5. MiB die Lange, Breite und Hohe des Schulzimmers und be¬ rechne wie viel Flachenraum der Boden, die Decke und die vier Wande (Tiir und Fenster mitgerechnet) haben! 6. Die Seiten eines Rechteckes sind 9 dm und 6 dm, die Seiten eines zweiten Rechteckes sind doppelt so groB; wie verbal ten sich a) die Umfange, b) die Flacheninhalte der beiden Rechtecke ? 7. Berechne die Hohe der Rechtecke von 9. Wie groB ist die Flache einer Tischplatte, deren Lange 1 * 2 m und deren Breite g von der Lange betragt ? Seitenlange zusammengesetzt; wie viel Quadrate sind erforderlich, wenn die Decke 2*7 m lang und 1*71 m breit ist? 11. Ein Bettvorleger von 75 cm Breite und 1*5 m Lange soli ringsum mit einem 15 cm breiten Pliischstreifen besetzt werden *, wie viel ecke: a) Lange 9*2 m, b) „ 12 m 3 dm c) „ 3*215 m, Breite 5*8 m; „ 9 m 2 dm] 1*064 ml Seite 18 m 4 dm; wie grofi ist a) die liingere Seite, b ) der Flachen¬ inhalt ? a) 9 m 2 Flacheninhalt und 3*6 m Grundlinie; b ) 46*92 dm 2 „ „ 9*2 dm „ ; c) 22*3767 m 2 „ n 5 m 29 cm „ ! 8. Berechne die Grundlinie der Rechtecke von a) 24 m 2 Flacheninhalt und 3*2 m Hohe; b) 26 dm 2 55 cm 2 „ „ 4 dm 5 cm „ ; c) 5444*16 cm 2 „ „ 63*6 cm . „ ! 10. Eine gehakelte Bettdecke ist aus Quadraten von je 9 cm 89 cm sind davon erforderlich, wenn derPliisch 1*5 m Breite hat, und wie teuer kommt der Besatz, wenn das m dieses Stoffes 13*2 K kostet? 12. Wie viel Ar hat ein rechteckiger Garten von 38 m Lange und 32 m Breite ? 13. Ein Acker enthalt 63*84 Ar, seine Lange ist 42*56 m; wie grofi ist seine Breite ? 14. Jemand vertauscht einen Acker, welcher 746 m 2 20 elm 2 Flacheninhalt hat, gegen einen andern von gleichem Inhalte, welcher 18 m 2 dm breit ist; wie lang mufl dieser Acker sein ? 15. Ein Spiegel mit Rahmen hat 6 dm 3 cm Breite und 8 dm 5 cm Holie; wie grofi ist der Inhalt der sichtbaren Spiegelflaehe, wenn der Rahmen 5 cm breit ist? 16. Jemand kauft einen Bauplatz von der Form eines Rechteckes, 34 m 4 dm lang und 19 m 2 dm breit, und bezahlt das m 2 zu 11 K; wie viel kostet der Bauplatz? 17. Wie viel kostet die Verglasung von 8 Fenstern, derenjedes im Lichten 0*9 m breit und 1*5 m hoch ist, wenn man fur 1 m 2 Verglasung 5 K 60 h rechnet ? 18. Ein Fufiboden von 5 m Lange und 4*5 m Breite wurde mit Lack gestrichen; wie teuer kommt 1 m 2 Anstrich, wenn sich die Kosten auf 8 K 10 h beliefen ? 19. Ein Fufiboden von 7*5 m Lange und 6*4 m Breite soil mit harten Bretteln belegt werden: wie viel wird der Tischler dafiir verlangen, wenn er 1 m 2 Belegung mit 8 K 50 h berechnet ? 20. Ein Quadrat ist flachengleich einem Rechtecke von 54 m Lange und 24 m Breite; um wie viel ist der Umfang des Quadrates kleiner als der Umfang des Rechteckes ? 21. A hat zwei Garten von gleicher Grofie, einen quadratischen von 56 m Seitenliinge und einen rechteckigen von 49 m Breite ; um jeden dieser Garten will er eine Hecke anpflanzen lassen; um wie viel Meter wird die Hecke um den rechteckigen Garten llinger sein als die um den quadratischen? 22. 6 groflere Tiiren, jede 2*3 m hoch und 1*3 m breit, und 4 kleinere Tiiren, jede 1*9 m hoch und 1 m breit, sollen von innen und aufien mit Olfarbe angestrichen werden; wie teuer kommt der Anstrich, wenn das m 2 1 K 70 h kostet? 23. Der Umfang eines Rechteckes, dessen Seiten sich wie 5: 7 verhalten, betragt 47 m 4 cm ; wie lang und wie breit ist es ? 24. In einem Rechtecke, dessen Flacheninhalt 79 m 2 35 dm 2 betragt, verhalt sich die Lange zur Breite wie 5:3; wie grofi ist jede Seite desselben und wie grofi dessen Umfang? 90 25. Die Lange ernes Tiscliteppiches betragt um 32 cm mehr als die Breite. Zur Einfassung desselben waren 5 m 72 cm Borten notwendig. Welclie Liinge und welcbe Breite hat dieser Teppicli ? 26. Ein Zimmer von der Form eines Rechteckes wurde mit Wachs eingelassen, wobei das m 2 mit 16 h berechnet erscheint. Die Lange verhalt sicli zur Breite wie 7:5, u. zw. miflt die eine Ausdelinung um 2 m 84 cm mehr als die andere. Wie hoch kam das Einlassen des Fuflbodens zu stehen ? 27. Ein Quadrat von 36 cm Seitenliinge hat denselben Inlialt wie ein Rechteck, dessen ktirzere Seite 27 cm mifit. Welchen Umfang und Inlialt hat das Rechteck? 28. Ein Hof, welcher 45 m 72 cm lang und 38 m 4 cm breit ist, soli mit quadratischen Stcinen, deren jede Seite 12 cm betragt, ge- pflastert werden; wie viele Steine sind notwendig ? 44. Das schiefwinklige Parallelogramm. Jedes schiefwinklige Parallelogramm (Rhombus und Rhomboid, 1 und 77, Fig. 131) kann in ein Rechteck von derselben Grundlinie und Hohe verwandelt werden, indem man das rechtwinkelige Dreieck BCE von der einen Seite abschneidet und an die Stelle von ADF tibertragt. Um den Fig. 131. C F E F E E E C Inlialt des Recht- eckes zu linden, muli man die Grund¬ linie mit der Hohe multiplizieren; dalier der Satz: Der FI lichen inhalt eines schiefwinkligen Parallelogram ms ist gleich dem Produkte aus der Grundlinie und der Hohe. Verbindet man die benachbarten q Hal bier ungspunkte der Seiten eines Rechteckes ABCD (Fig. 132) geradlinig, so ergibt sich ein Rhombus EFGH. G Zieht man noch die zwei Halbierungslinien EG und 777, so zerfallt das ganze Recht¬ eck in 8 kongruente Dreiecke, von welchen B 4 auf den Rhombus entfallen. Demnach betragt die F lac he des Rhombus dieHalfte von derFlache des Rechteckes. 91 Da nun die Lange AB des Recliteckes der einen Diagonale EG des Rhombus entspricht, wahrend seine Breite AD der Lange der zweiten Diagonale FH des Rhombus gleichkommt, so kbnnen wir sagen: Der Flacheninhalt eines Rhombus ist gleich dem lialben Produkte aus seinen Diagonalen. Aufgaben. . 1. In einem Rhombus ist die Grundlinie a) 108 dm, b) 17*7 dm , c) 8 m 5 dm 1 cm; die Holie a) 64 dm, b) 9*3 dm, c) 7 m 4 dm 8 cm; wie grofi ist der Umfang und Flacheninhalt? 2. In einem Rhomboid betragen zwei anstofiende Seiten 38 m und 23 m; wie grofi ist der Umfang? 3. Wie grofi ist die Flache eines Rhomboides, in welchem die Grundlinie 4m 3 dm 4 cm und die Hohe 2 m 3 dm 2 cm betragt ? 4. Der Flacheninhalt eines Rhomboides betragt 18 m 2 75 dm 2 , die Hohe ist 3 m 75 cm; wie grofi ist die Grundlinie? 5. Bestimme die Hohe eines Rhombus, dessen Flacheninhalt 31*79 m 2 und dessen Grundlinie 7*48 m ist! 6. Ein Acker von der Gestalt eines Rhomboids mifit 42 Ar 75 m 2 bei 225 m Hohe; wie grofi ist die Grundlinie? 7. Der l Jmfang eines Rhombus betragt 38 cm; wie grofi ist eine Seite ? 8. Ein Tischtuch hat die Form eines Rhombus; zu seiner Ein* fassung waren 4 m 96 cm Bortchen notwendig. Wie lang ist eine Seite? 9. Die beiden Diagonalen eines Rhombus messen 37 cm und 26 cm; wie grofi ist dessen Flacheninhalt? 10. In einem Blumenbeete von der Form eines Rhombus ver- halten sich die beiden Diagonalen wie 2:3. Wie lang ist jede Diagonale, wenn der Inhalt des Rhombus 9 m 2 72 dm 2 betragt? 45. Das Dreieck. Jedes Dreieck ABC (Fig. 133) kann als die Halfte eines Parallelo* gramms dargestellt werden, welches mit ihm gleiche Grundlinie und gleiche Hohe hat; man braucht nur durch zwei Eckpunkte B und C mit den gegentiberliegenden Seiten Parallele zu zielien. Um den Flacheninhalt des Parallelogramms zu erhalten, mufi man ^ die Grundlinie mit der Hohe multiplizieren ; zur Bestimmung der Dreiecksflache wird man daher auch die Grund¬ linie mit der Hohe multiplizieren, jedoch von diesem Produkte nur die Halfte nehmen. Fig. 133. 92 Der Flackeninkalt einesDreieckes wirdgefunden, indem man das Produkt aus der Grundlinie und der Hoke durch 2 dividiert. — Zu demselben Ergebnisse kommt man, wenn man die lialbe Grundlinie mit der ganzen Hoke oder die ka 1 bc Hoke mit der ganzen Grundlinie multipliziert. Wird der doppelte Flackeninhalt eines Dreieckes durck die Grund- linie dividiert, so erkalt man die Hoke; wird er durck die Hoke dividiert, so erkalt man die Grundlinie. Bezeicknet G die Grundlinie, // die Hohe und F den Flackenin- kalt eines Dreieckes, so ist F GXH G 2 2 XH H 2 xe, g 2 F H H 2 F G In einem recktwinkeligen Dreiecke wird gewoknlick eine Kathete als Grundlinie angenommen; die andere Katkete stellt dann die Hoke vor. Der Flackeninkalt eines recktwinkeligen Dreieckes istgleick dem kalbenProduktederbeiden Katkete n. Aufgaben. 1. Wie grofi ist der Umfang eines Dreieckes, dessen Seiten 38 m 7 dm, 25 m 4 dm, 31 m 5 dm sind? 2. Die Seite eines gleickseitigen Dreieckes ist a) 2* 3 m, b) 1 m 5 dm 2 cm, c) 971 cm; wie grofi ist der Umfang? 3. Wie grofi ist die Seite eines gleickseitigen Dreieckes, dessen Umfang 10 m 3 dm 5 cm betragt? 4. Bereckne den Flackeninkalt folgender Dreiecke: a) Grundlinie 3*6 m, Hoke 3*2 m; b) „ 4*25.dm, „ 2*84 dm; c) „ 1 m 4 dm 2 cm, „ 5 dm 9 cm\ 5. Ein Stuck Land von der Gestalt eines Dreieckes kat 108 m zur Grundlinie und 72 m zur Hoke; wie viel ist es wert, wenn das Hektar zu 2030 K gerecknet wird? 6. Bereckne die Hoke der Dreiecke von a) 2*75 m 2 Flackeninkalt und 2*5 m Grundlinie; b) 58*96 dm 2 „ „ 13*4 dm „ ; c) 2722*08 cm 2 „ „ 85*6 cm „ ! 7. Bereckne die Grundlinie der Dreiecke von a) 12 m 2 Flackeninkalt und 3*2 m Hoke; b) 33*54 cm 2 „ „ 10*32 cm „ ; c) 847*53 dm 2 „ „ 38*7 dm „ ; 8. In einem recktwinkeligen Dreiecke ist die eine Katkete 29 m 3 d?n, die andere 18 m 4 dm; wie grofi ist der Inkalt? 93 9. In einem rechtwinkeligen Dreiecke, welches 20 m 2 72 dm* enthalt, ist eine Katliete 7 m 4 dm ; wie grofi ist die zweite Kathete ? 10. Die Seite eines Quadrates ist 36 mm. Zeichne ein reclit- winkeliges Dreieck, welches ebeuso grofi ist wie jenes Quadrat und (lessen eine Katliete 54 mm ist? 11. Der Unifang eines Dreieckes betragt 45*6 cm ; die Seiten eines ihm ahnlichen Dreieckes sind 4*5 cm, 4*4 cm und 6*3 cm; wie grofi sind die Seiten des ersten Dreieckes? 12. Ein Turmdach besteht aus 4 gleichschenkeligen Dreiecken. Wie viel m 2 Blech braucht man zu dessen Deckung, wenn die Grundlinie eines solchen Dreieckes 2 m 2 dm, die Holie 4 m 5 dm betragt und fur Verschnitt und Falze 6^ hinzugerechnet werden? 46. Der pythagoraische Lehrsatz. Zeichne einen rechten Winlcel ABC (Fig. 134), trage auf den einen Sclienkel 3, auf den andern 4 gleiche Teile, z. B. Zentimeter, auf und verbinde die End- }>unkte durch eine Strecke AC ; die Hypotenuse des dadurch cntstandenen Dreieckes wird genau 5 Zentimeter enthalten. Das Quadrat von 3 ist 9, das Quadrat von 4 ist 16 und die Summe der Quadrate 25; das Quadrat der Hypotenuse 5 ist auch 25. Es ist also das Qua¬ drat der Hypotenuse so grofi wie die Summe aus den Qua¬ drat en der beiden Katheten. Dieses lafit sich auch bildlich darstellen. Beschreibt man namlich sowohl liber der Hypotenuse als auch liber den Katheten Quadrate und zerlegt jedes ders'elben in Quadratzentimeter, so sieht man, dafi in deni Quadrate der Hypotenuse ebenso yiele Quadratzentimeter vorkommen als in den Quadraten der beiden Katheten zusammengenommen. Hiedurch wird man auf den folgenden Satz geleitet: In einem rechtwinkeligen Dreieckeist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe aus den Quadraten der beiden Katheten. Jig. 134. 94 Dieser fur den weiteren gcometrischen UnteiTicht sehrwichtige L e h r s a t z wurdc von Pythagoras (584—504 v. Chr.) aufgefunden und daher der pythagoraische Lehrsatz genannt. Fiir das gleichschenkelige rechtwinkelige Dreieck lafit sich, wie Fig. 135 zeigt, die Wahrheit des pythagoraischen Lehrsatzes gleich- falls anschaulich darstellen. Fig* 135. Fig. 136. . Um sich jedoch zu iiberzeugen, dad dieser Satz fiir jedes reclit- winkelige Dreieck, z. B. ABC (Fig. 136), gliltig ist, errichte man liber der Hypotenuse AC das Quadrat AC BE, verlangere BC und falle darauf die Senkrechten BF und EG ; ebenso falle man auf EG die Senkrechten ATI und BJ, Dann sind die rechtwinkeligen ABC, CFB , EJD und A TIE, die wir ktirzer mit m, n, p und q bezeichnen wollen, kongruent. Die Figur ABFDJH enthalt nun die Quadrate der beiden Katheten A B und B C. Man erhalt aber offenbar denselben Flachenraum, wenn man von dieser Figur die zwei Dreiecke m und n unten wegnimmt und sie oben an die Stelle der Dreiecke p und q an- legt. Die Figur AC BE, die dadurch entsteht, ist nun das Quadrat der Hypotenuse AC, welches daher denselben Flacheninhalt hat wie die Quadrate der beiden Katheten zusammengenommen. Mit Ililfe des pythagoraischen Lehrsatzes kann man, wenn zwei Seiten eines rechtwinkeligen Dreieckes bekannt sind, die dritte Seite durch Rechnung finden. 1. Sind die beiden Katheten bekannt, so erhebt man jede Kathete zum Quadrate und addiert die Quadrate. Diese Summe gibt das Quadrat der Hypotenuse; um die Hypotenuse selbst zu erhalten, braucht man nur aus jener Summe die Quadratwurzel zu ziehen. . v 95 Es sci z. B. die einc Kathete 36 cm, die andere 160 cm; wic grod ist die Hypotenuse? f 36 cm 36 2 = 1296 Ivatlieten | 160 cm 160 2 = 25600 V26896 = 164; also midt die Hypotenuse 164 cm. 2. Sind die Hypotenuse und eine Katliete bekannt, so erhebe man beide zum Quadrate und subtrahiere vom Quadrate dcr Hypotenuse das Quadrat der bekannten Kathete; der Rest gibt das Quadrat der andern noch unbekannten Kathete. Will man dicse Kathete selbst linden, so braucht man nur aus jenem Reste die Quadratwurzel zu zielien. Es sei z. B. die Hypotenuse 2 m 8 cm, eine Kathete 8 dm ; wie grofl ist die andere Kathete? Hypot. 208 cm 208 2 = 43264 Kathete 80 cm 80 2 = 6400 r . • . " V36864 = 192. Die 2. Kathete betragt demnach 192 cm = 1 m 92 cm. Aufgaben. 1. Die Katheten eines rechtwinkeligen Dreieckes sind a) 33 m und 56 m, b ) 10'5 m und 8'8 m, c) 2 m 73 cm und 1 m 36 cm,. d) 10 m 54 cm und 6 m 72 cm; wie grod ist die Hypotenuse, dcr Umfang und der Flacheninhalt? . ^ “ . 2. Bei einem rechtwinkeligen Dreiecke ist ci) die Hypotenuse 51 dm , eine Kathete 24 dm] b) „ „ 6-5 m, „ „ 5-6 m; c) „ „ 1-94 m, „ 1-44 m; d) „ „ 9'37 m, „ „ 9* 12 m; wie grod ist die andere Kathete, der Umfang und der Flacheninhalt? 3. Wie lang mud eine Leiter sein, damit sic an einer Mauer 5*94 m lioch reiclie, wenn sie unten 1*2 m weit von der Mauer aufgestellt werden soli? 4. Berechne die Hypotenuse und den Flacheninhalt eines reclit- wiukelig gleichsclienkeligen Dreieckes, dessen Kathete 1 m 6 dm 4 cm betriigt! 5. In einem rechtwinkelig gleichsclienkeligen Dreiecke ist die Hypotenuse 58 mm; wie grod ist jede Kathete, wie grod der Flacheninhalt? 6. In einem gleichseitigen Dreiecke betragt eine Seite 1 dm\ wie grod ist die Hoke desselben? (Fiir die Seite = 1 ergibt sicli die Hohe 0*866, eine Zalil, welclie man im Gedachtnisse behalten soil.) 96 7. Berechne die Hohe und den Flaelieninlialt eines gleichseitigen Dreieckes, dessen Scite a) 2 dm 4 cm, b) 4 m 2 dm 6 cm betriigt! 8. Wie groC ist die Seite eines Quadrates, das einem gleich- seitigen Dreiecke von 4*8 dm Seitenliinge flachengleich ist? 9. In einem gleichschenkeligeu Dreiecke betragt die Grundlinie 2 m 28 cm und die Hohe 3 m 52 cm; wie groC ist ein Sclienkel? 10. In einem gleichschenkeligeu Dreiecke betragt die Grundlinie 1 m 36 cm und jede der glcichen Seiteu 2 m 93 cm; wie groC ist die Ilohe und wie groC der Fliicheninhalt ? 11. Wie groC ist die Diagonale eines Quadrates, dessen Seite 1 m ist? 12. Die Diagonale eines Quadrates ist 1 m 7 dm ; wie groC ist die Seite, wie groC der Flaelieninlialt? 13. Fine quadratische Tischplatte hat 0*9409 m 2 ; wie groC ist die Diagonale? 14. Die anstoCenden Seiten eines Rechteckes sind 8*5 m und 3*36 m; wie groC ist die Diagonale? 15. In einem Rechtecke betriigt die Diagonale 923 mm und cine Seite 355 mm. Wie groC ist die anstoCende zvveite Seite? Welclicn Umfang und Inhalt besitzt dieses Rechteck? 16. Wie groC ist die Diagonale eines Rechteckes, dessen Lange 5*2 m und dessen Flacheninhalt 20*28 m 2 betragt? 17. Die Diagonalen eines Rhombus betragen 1*3 m und 1*44 m; wie groC ist a) eiue Seite. b) der Umfang und c) der Flacheninhalt ? 18. Ein Garten hat die Form eines Rhombus; wie viel Ar entlhilt cr, wenn eine Seite 29 m und cine Diagonale 42 m betragt? 47. Das Trapez. Man ziehe in dem Trapeze ABCD (Fig. 137) die Mittellinie EF und errichte in den Punkten E und F zwei Senkrechte GH und JK auf die Grundlinie. Denkt man sich nun die beiden Dreiecke AEG und BFJ unten wegge- nommen und dafiir bei D EH und CFK angesetzt, so erhalt man das Rechteck GJKH , welches mit dem Trapeze gleich groC ist. Wie ersichtlich ist, hat das Rechteck dieselbe Ilohe LM wie das Trapez, wahrend seine Grundlinie der Mittellinie EF des letzteren eutspricht. Die Grerade EF stellt aber eine Linie vor, deren Lange Fig. 137. 97 gerade zwisclien der ktirzeren und langeren Parallelen des Trapezes liegt; sie ist das aritkmetische Mitt el aus diesen Parallelen und wird gefunden, wenn man letztere summiert und durch 2 teilt. Daraus folgt: Der F lac lie n in halt eines Trapezes wird gefunden, in deni man das arithmetische Mitt el (oder die halbe Summe) der beiden parallelen Seiten mit der Ho lie des Trapezes multipliziert. Betragen beispielsweise die parallelen Seiten 21 cm und 33 cm und die Holie 18 cm, so hat man fur die Mittellinie 21 cm -f- 33 cm 54 cm 2 2 27 cm als aritlimetisches Mittel der 2 Parallelen; der Flaclieninhalt ist dann gleicli 27 cm 2 X 18 = 486 cm 2 . Heifit die eine der Parallelseiten a, die andere b und die Holie 7i, so ist der Flaclieninhalt Aufgaben. 1. In einem Trapeze betragen die parallelen Seiten 35 m und 27 m, die llohe ist 18 m; wie grofl ist der Flaclieninhalt? 2. Bereclme den Flaclieninhalt folgender Trapeze: a) Parallelseiten 5 m und 7 m, Holie 4 m; b) „ 3*5 m und 2*7 m, Holie 1*6 m; c) „ 2 m 54 cm und 5 m 36 cm, Holie 4 m 28 cm! 3. In einem Trapeze, dessen Parallelseiten 51 und 4| m sind, betragt der Flaclienraum 20’79 m 2 ; wie grofl ist der Abstand der beiden parallelen Seiten? 4. Ein Trapez von 1*05 m Holie hat 2*6565 m 2 Flaclieninhalt; wenn nun die eine Parallelseite 2*75 m betragt, wie groB ist die andere? 5. Ein Bauplatz hat die Form eines Trapezes, worin die Parallel¬ seiten 185 m 5 dm und 140 m 2 dm betragen und 25 m 2 dm von einander abstehen; welchen Flaclienraum hat dieser Platz? 6. In einem trapezformigen Garten betragen die Parallelseiten 58*4 m und 46*8 m, ihr Abstand ist 34*5 m; wie viel ist der Garten wert, das Ar zu 50 K gerechnet? 7. Eine Dachflache hat die Form eines Trapezes, in welchem die untere Lange 24 m, die obere Lange (der First) 16*4 m und der Abstand des Firstes von der untern Seite 7*5 m betragt; wie viel kostet die Sckiefereindcckung dieser Dachflache, wenn 1 m 2 mit 3*6 K berechnet wird? 98 8. Ein Fufiboden hat die Form eines symmetrischen Trapezes; die parallelen Seiten betragen 6 m nnd 7*84 m, die Hohe mifit 5 \ m. Wie viel m Schutzleisten sind zum Umsiiumen dieses Zimmers nofc- wendig und wie teuer kommt diese Arbeit, w r enn das laufende m mit 18 h berechnet wird? 9. In einem rechtwinkeligen Trapeze messen die zwei Parallelen 3 m und 4*19 ra, die Hohe betriigt 1*2 cm; wie grofi ist dessen Umfang und Inhalt? 10. Fine Wiese hat die Form eines Trapezes; die Parallelseiten betragen 73 m und 111 m, der Abstand mi fit 37 m. Wie grofi ist das Ertragnis derselben, wenn fur 100 m 2 53 leg Heu geliefert warden und 100 leg Heu mit 4 K bezahlt werden? 11. Die liingere Parallele eines Baugrundes von der Form eines symmetrischen Trapezes verhalt sich zur ktirzeren Seite wie 5: 3. Wie grofi ist der Umfang und Flacheninhalt desselben, wenn die liingere parallele Seite 340 m und jede der beiden nicht parallelen Seiten 293 mifit? Welchen Wert hat dieser Bauplatz, wenn das m 2 mit 3 K berechnet wird? 48. Das Trapezoid. Ein Trapezoid wird seinem Fliicheninhalte nach berechnet, indem man es durch eine Diagonale AC (Fig. 138) in 2 Dreiecke zerlegt, jedes Dreieck einzeln berechnet und dann ilire Fliicheninhalte summiert. Fig. 138. M I ■ Fig. 139. Einfacher gestaltet sich der Vorgang bei einem sym* metrischen Trapezoid (Deltoid [Fig. 139]); dasselbe besteht aus 2 kongruenten Dreieck en ABB und B CD. Der Fliicheninhalt des Dreieckes ABB wird aber gefunden, wenn man die eine Diagonale BB mit der halben Hohe AE inultipliziert. Der Flacheninhalt beider Dreiecke ist jedocli doppelt so grofi, v r eshalb die Diagonale B D mit A E zu multiplizieren ist. Die Strecke A E stellt 99 aber die Hiilfte der zweiten Diagonale vor. Anstatt die eine Diagonale B D mit der Hiilfte der andern Diagonale zu multiplizieren, kann man auch das Produkt beider Diagonalen suclien und dieses durch 2 teilen. Demnach hat man: Der Flacheninhalt eines Deltoides ist gleich dem lialben Produkte seiner beiden Diagonalen. Aufgaben. 1. Die 4 Seiten eines Fufibodens von der Form eines Trapezoides betragen 5*4 m, 4*42 m, 5*16 m und 4*9 m; wie vicl m Scliutzleisten sind zur Umsaumung notwendig? 2. Wie grofl ist der Flacheninhalt des Trapezoides in Fig. 138, wenn AC = 6 cm, BE = 4 cm und DF = 3 cm ist? 3. Die Diagonale eines Trapezoides betragt 39 mm, die von den gegentiber liegenden Ecken hierauf gefallten Senkrechten messen 23 mm und 18 mm; welcher Flacheninhalt ergibt sicli hieraus? 4. Welchen Wert besitzt ein Wiesengrund von der Form eines Trapezoides, in welchem eine Diagonale 219 m miBt und die von den gegenuberliegenden Ecken auf sie gefallten Senkrechten 84 m und 96 m betragen, wenn fur das Ar 5 K gereclmet werden ? 5. Die 4 Seiten eines Trapezoides verhalten sicli wie 13:10:11:14. Wie grofi ist jede Seite, wenn der Umfang des Trapezoides 3 m 36 cm betragt? 6. Bereclme den'Umfang des Deltoides in Fig. 141, wenn AE — 48 mm, BE— 36 mm und ED = 64 mm ist! Suche auch dessen Flacheninhalt! 7. In einem Deltoidc betragen die beiden Diagonalen 7 m 26 cm und 4 m 58 cm; welchen Flacheninhalt besitzt es? 8. Die beiden Diagonalen eines Deltoides verhalten sicli wie 4: 7. Wie lang ist jede Diagonale, wenn der Flacheninhalt dieses Deltoides, 23 m 2 66 dm 2 betragt? . 49. Das Vieleck. Die Flache eines regclmafiigen Yieleckes ABCDEF (Fig. 140) findet man am leichtesten, indem man von der Mitte zu alien Eckpunkten gerade Linien zieht und die dadurch entstehenden Mittelpunktsdreiecke berechnet. Da aber diese Dreiecke kongruent sind, so braucht man nur eines zu bestimmen und die gefundene Flache mit der Anzalil der Dreiecke zu multiplizieren. Der Flachen¬ inhalt eines Teildreieckes A 0 B ist gleich der Grundlinie AB, multi- pliziert mit der lialben Holie OH ; dalier die Flache aller 6 Drei- ^cke 6 mal AB, multipliziert mit der lialben Holie OH; 6mal A B 100 Fig. 140. ist aber der Umfang des Vieleckes, OH ist der Abstand des Mittel¬ punktes von der Seite des Vieleckes; daher gilt der Satz: Der Flacbeninhalt eines regel- mafiigen Vieleckes ist gleich dem Umfange, multi pliziert mit dem halben Abstande desMittelpunktes von einer Seite. Bezeichnet U den Umfang, a den Ab¬ stand des Mittelpunktes von einer Seite und F den Flacbeninhalt, so ist a -i*- // F U. 2 * V) T) r> Der Abstand des Mittelminktes von einer Seite kann nicht JL willktirlich angenemmen werden, er hangt auf eine ganz bestimmte Weise von der Lange der Seite ab. Um die Maflzahl ftir den Abstand des Mittelpunktes von einer Seite zu finden, multipliziere man die gegebene Seite in einem gleichseitigen Dreiecke mit 0*28868, regelmaBigen Fiinfecke „ 0*68819, Sechsccke „ 0*86603, Achtecke „ 1*20711, „ „ „ Zehnecke „ 1*53884. DenFlacheninhalt eines unregelmilBigenVieleckes kann man vorztiglich auf zwei Arten bestimmen. A) Durcli Zerlegung in Dreiecke. Man zerlege die Figur durcli Diagonalen in Drei¬ ecke, be recline jedes derselben und addiere alle Dreiecksflachen. Es sei die Flache des Vieleckes ABCDEFG (Fig. 141) auszu- rechnen. Man zerlege das Vieleck in Dreiecke, und es sei BG = 39 ?n, n n n B E = 42 * 5 m, CD = 31*5 m, C c = 19*7 m, Ee = 12*1 m, Fig. 142. GE= 39*5 m, Act = 11*6 w, Bb = 35*4 m, Ff = 16*4 w. 101 Man hat nun B) Mittelst Abszissen und Ordinaten. Man ziehe durch zwei Eckpunkte eine Gerade als Abszisse und fa 11 e darauf von alien iibrigen Eck- punkten Senkrechte (Ordinaten); da durch zerfallt die Figur in lauter rechtwinkelige Dreiecke und Trapeze, welclie einzeln berechnet und addiert werden. Dabci werden die Ordinaten als Grundlinien der Dreiecke oder als parallele Seiten der Trapeze, die Abszissenteile als Hohen betrachtet. Es sei (Fig. 142): Bb — 15 m, Cc = 13 m, Ee = 14 Ab = 10 m, be = 5 m, ec — 15 m und cD = 12 m. Man hat: A ABb = 1^— = 75 m 3 , Trapez BbcC = lo + X 20 m 3 = 280 «**, A DEe =■ 14 '^ - 2 - m 3 = 189 und A AEc = — m 3 — 105 m 3 ; daher Vieleck ABODE — G4'J m 2 . Autgaben. 1. Wie grofi ist der Umfang eines regelmafiigen Secliseckes, dessen Seite 1 m 2 dm 5 cm ist? 2. Wie grofi ist der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite a) in einem regelmafiigen Fiinfeeke mit der Seite 8*2 dm? b) in einem regelmafiigen Aehtecke mit der Seite 2*5 dm? 3. Berechne den Umfang und den Flacheninhalt a) eines regelmafiigen Sechseckes mit der Seite 4*8 m, b ) eines regelmafiigen Zehneckes mit der Seite 1’2 wi 1 102 4. Ein Lampenteller in Form eines regelinafiigen Sechseckes hat einen Umfang von 90 cm; welchen Flacheninlialt besitzt dieses Secliseck ? 5. Die Seite eines gleichseitigen Dreieckes ist 4*2 m; berecline a) den Abstand des Mittelpunktes von einer Seite, b) den Umfang, c) den Flacheninlialt! » . r - — • G. Der Umfang eines regelmafiigen Fiinfeckes ist 21‘5 dm] wie grofi ist a) die Seite, b) der Flacheninlialt? 7. Es soli ein regelmafiig achtseitiges Gartenhaus, dessen Seite 1*3 m lang ist, ausgesteckt werden; wie grofi ist der dazu erforder- liche Flachenraum? Fig. 143. 50. Umfang und Flacheninhalt ahnlicher geradliniger Figuren. Wenn jede Seite einer geradlinigen Figur 2-, 3-, 4mal so grofi ist als die gleichliegende Seite einer ahnliclien geradlinigen Figur, so wird auch die Summe aller Seiten, d. i. der Umfang der ersten geradlinigen Figur, 2-, 3-, 4mal so grofi sein als der Umfang der zweiten geradlinigen Figur. liieraus folgt: Die Umfange ahnlicher Figuren verhalten sich wie die gleichliegenden Seiten. Es seien (Fig. 143) ABC und abC zwei ahnliche Dreiecke, deren gleichliegende Seiten sicli wie 5: 3 verhalten. Teilt man A C in 5 gleiche Teile, von denen auf aC 3 kommen, und zieht durch die Teilungspunkte der AC Parallele mit AB und BC und dann durch die Teilungspunkte der BC Parallele mit AC\ so zerfallen die gegebenen Dreiecke in lauter kongruente und mit mnC gleiche Dreiecke, und zwar /\ ABC = 25 mnC , /\ abC = 9 mnC : daher ABC: abC = 25 : 9. Das- selbe Verhaltnis 25 : 9 haberi aber auch die Quadrate zweier gleich- liegender Seiten. DieFlacheninhalte zweier ahnlicher Dreiecke ver¬ halten sicli wie die Quadrate ilirer gleichliegenden Seiten. Zerlegt man zwei ahnliche Yierecke oder Vielecke, deren Seiten sich z. B. wie 5 : 3 verhalten, durch gleichliegende Diagonale in Dreiecke, so verhalten sicli je zwei gleichliegende Dreiecke wie 25:9; demnach mussen sich auch die Summen aller dieser Dreiecke, d. i. die beiden Yierecke oder Vielecke selbst, wie 25 : 9 verhalten 103 Hieraus folgt: Die Flacheninhalte zweier ahnlicher geradliniger Figuren verhalten sich wie die Quadrate zweier g 1 e i c h- liegender Seiten. Wird daher eine in der Wirkliclikeit aufgenommene Figur im verjlingten Mafie auf das Papier gezeichnet, so dafi jede Linie auf dem Papiere nur \, jL . . . der wirklich gemessenen Lange betragt, so ist der Flacheninhalt der Figur auf dem Papiere I, yLj, • • • von dem Flacheninhalte der ahnlichen, in der Wirkliclikeit auf- genommenen Figur. Aufgaben. 1. Zeichne 4 Quadrate, deren Seitenlangen 1 cm, 2 cm, 3 cm und 4 cm betragen, und zerlege die 3 grofieren Quadrate durch Hilfslinien in lauter Quadratzentimeter! Wie verhalten sich die Umfange der 4 Quadrate zu einander? In welchem Verhaltnisse stehen ihre Flacheninhalte? 2. Die Seiten zweier ahnlicher Dreiecke verhalten sich wie 7:9; wie verhalten sich ihre Flacheninhalte? 3. Die Seitenlangen zweier Quadrate betragen 5 cm und 7 cm; wie verhalten sich ihre Umfange und wie ihre Flacheninhalte? 4. Die Seiten zweier ahnlicher regelmafiiger Sechsecke betragen 9 cm und 13 cm. Berechne vonjedem den Umfang und Inhalt und ermittle sodann die Verhaltnisse ihrer Umfange und ihrer Inhalte! 5. Die Seiten zweier ahnlicher Dreiecke verhalten sich wie 4: 5; die Flache des ersten Dreieckes ist 8 m 2 ; wie grofi ist die Flache des zweiten ? 6. Auf einer Landkarte sind die nattirlichen Langen in dem Verhaltnisse 1 : 250.000, auf einer zweiten ih dem Verhaltnisse 1:50.000 dargestellt; welche Flache nimmt auf der ersten Karte ein Land ein, das auf der zweiten eine Flache von 1 cm 2 50 mm 2 hat? 51. Ahnlichkeit im Raume. Die Seitenkante AB (Fig. 144) einer geraden quadratischen Pyramide betrage 4 cm; demnach enthalt die Grundflache 16 cm 2 . Teilt man nun die Hohe dieser Pyramide in mehrere, z. B. 4 gleiche Teile und ftihrt durch jeden Teilpunkt einen zur Grundflache parallelen Schnitt, so ergeben sich 3 mit der Grundflache ah n lie he Figuren, namlich 3 Quadrate mit den Seitenlangen 3 cm, 2 cm und 1 cm, deren Flacheninhalte beziehungsweise 9 cm 2 , 4 cm 2 und 1 cm 2 betragen. Mocnik-Wenghart, Georaetiiscbe Formenlehre fur Madchenburgerschulen. G 104 Fig. 144. s Die Abstande O ui S , O n S, 0‘S und OS der 4 Quadrate von der gemeinschaftlichen Spitze S verhalten sich zu einander wie 1 : 2 : 3 : 4, wiihrend die Flacheninhalte derselben im Verhaltnisse stelien wie 1: 4: 9:16. Dasselbe lafit sich aucli an jeder a n dern P y r a m i d e mit belie big.er G r u n d f 1 a c li e zeigen. Hieraus folgt: Wir d e i n e Pyramide parallel z u r G r u n d f 1 a c h e geschnitten, so verhalten sich die Schnittflachen wie die Quadrate ihrer Abstande von der gemeinschaftlichen Spitze. (Anwendung in der Akustik und in der Optik.) 52. Umfang des Kreises. Man umspanne mit einem Faden den Umfang einer kreis- formigen Scheibe (Fig. 145) und suche sodann, wie oft der Durchmesser AB in deni Umfang enthalten ist! sich die Zahl 3y. Fig. 145. A A 'IL Es ergibt Versucht man dasselbe aucli bei andern (gro- fieren und klei- neren) Kreisen, so wird man stets finden, dab der Umfang 3y mal so grofi ist als der entspre¬ el] ende Durchmesser. Demnach verbalt sich der Durchmesser eines Kreises zu dessenUmfange wie 1 : 3y oder wie 7 : 22 oder 1: 3'14 . . . Diese merkwiirdige Beziehung zwischen Umfang und Durch¬ messer eines Kreises wurde von Archimedes (287—212 v. ChrA 105 aufgefunden, weshalb auch dieses Verhaltnis das archimedische Yerhaltnis genannt wird. Spiiter haben genauere Uliter suchungen, welclie von Ludolf van Ceulen (1539—1610) angestellt wurden, gezeigt, dab der Durchmesser eines Kreises ira Umfange desselben 3*14159 .... mal enthalten ist. Diese Zalil, welche das Yerhaltnis zwischen dem Umfange eines Kreises und dem Durclimesser angibt, lieibt deshalb die L u d o 1 fi s c h e Zalil und wird mit dem griechischen Buchstaben jz bezeichnet. Es ist also jz bruch jz = = 3*14159 ... In vielen Fallen ist aber der Naherungs- 3| oder ji = 3*14 ausreicliend. Bezeichnet r den Halbmesser, d den Durclimesser und U den Unifang eines Kreises, so hat man nacli dem Yorhergehenden U = djz , oder U = 2 rjz, daher U . U d und r JZ 2jZ d. h. 1. Der Umfang eines Kreises ist gleicli demDurch- messer oder dem doppelten Halbmesser, multipliziert mit der Ludolfischen Zahl. 2. Der Durchmesser eines Kreises ist gleicli dem Umfange, dividiert durch die Ludolfische Zahl. 3. Der Halbmesser ein,es Kreises ist gleich dem Um¬ fange, dividiert durch die doppelte Ludolfische Zahl. Hieraus folgt: Die Umfange zweier Kreise verhalten sich so wie ilire Durchmesser oder Halbmesser. Ein Bogen kann im Gradmabe (durch Grade, Minuten und Sekunden) oder im Langenmabe (in m, dm : cm u. s. w.) angegeben werden. r Um einen Kreisbogen, der im Gradmabe gegeben ist, im L a n g e n m a b e zu bestimmen, und u m g e k e h r t, um einen Kreis¬ bogen, dessen Liinge bekannt ist, im Gradmabe auszudriicken, bedient man sich des leicht einzusehenden Satzes: Die Lange eines Bogens verhalt sich zum Umfange des Kreises wie der entsprechendeMittelpunktswinkel (Zentri wink el) zu 360°. B e i s p i e 1 e. 1. Der Durchmesser eines Kreises betriigt 28 dm ; wie grob ist dessen Umfang? 28 dm X 3y = 88 dm = Umfang oder 28 3*14 = 87*92 dm — Umfang. 106 2. Wie lang ist ein Bogen von 45° in einem Kreise, dess<* Halbmesser 2 dm ist? Umfang = 4 dm X 3*14 = 12*56 dm; * : 12*56 = 45 : 360, * = 1-57, Bogen = 1-57 dm. 3. Der Durchmesser eines Kreises mifit 14 m; welcher Zentri- winkel gehort in demselben zu einem Bogen von 2*198 m? Umfang = 14 mX3* 14 = 43*96 m ; x : 360 = 2*198 : 43*96, x = 18, Zentriwinkel = 18°. 53. Flacheninhalt des Kreises. Fig. 146. Jeder Kreisaussclinitt ABO (Fig. 146) kann als ein Dreieck angesehen werden, dessen Spitze im Mittelpunkte des Kreises liegt; der Bogen des Kreisausschnittes stellt die Grundlinie und der Radius des Kreises die Kobe vor. Dalier hat man: DerFlacheninhalt eines Kreis¬ ausschnittes ist gleich der Lange des dazugehorigen Bogens, multi- pi i z i e r t mit dem halben Radius. Z. B. Es sei AB =11 cm und OM =21 cm. 11 cm 2 X 21 Kreisaussclinitt 2 115J cm 2 . Denkt man sich in einem Kreise A M B (Fig*. 146) unzahlig viele Halbmesser gezo- gen, so zerfallt die Kreisflache in unzahlig viele Kreisausschnitte, deren gemeinschaftliche Holie der Halbmesser ist und deren Grund- linien zusammen den Umfang geben. Um dalier die FI ache des Kreises zu erhalten, mufi man alle Dreiecksflachen berechnen und addieren. Schneller kommt man zum Ziele, wenn man alle Grundlinien addiert und ihre Summe, d. i. den Kreisumfang, mit der halben gemeinschaftlichen Hohe, d. i. mit dem halben Halbmesser, multipliziert. Der Flacheninhalt eines Kreises ist gleich dem Umfange, multipliziert mit dem halben Halbmesser. 107 Bezeichnet F den Flacheninhalt und U den Umfang eines Kreises, dessen Halbmesser r ist, so ist F = U. —. 2 Da aber U — 2rjt ist, so ist auch F = 2rjt. — oder, da sich 2 2 gegen 2 kiirzt und r.r = r 2 gibt, F = r 2 jr. Man bat also: Der Flacheninhalt eines Kreises ist gleich dem Quadrate des Halbmesser s, multipliziert mit der Ludolfischen Zahl. Hieraus folgt: Die Flacheninhalte zweier Kreise ver¬ bal ten sich wie die Quadrate ihrer Halbmesser. Ist umgekehrt der Flacheninhalt eines Kreises bekannt und die Lange des Halbmessers zu suchen, so braucht man nur den Flacheninhalt durch die Ludolfische Zahl zu dividieren; der Quotient stellt das Quadrat des Halbmessers vor. Zieht man daraus die Quadratwurzel, so hat man den Halbmesser selbst. Folglich: Ware der Flacheninhalt eines Kreisausschnittes zu ermitteln, von welchem der Halbmesser und der Bogen gegeben ist, letzterer aber im Gradmade, so mud man vorerst den Flacheninhalt des dazugehorigen Kreises berechnen. Sodann sttitze man sich auf folgenden, leiclit einzusehenden Satz: Der Flacheninhalt des Kreisausschnittes verhalt sicli zu jenem des ganzen Kreises wie der im Gradmade angegebene Bogen des Kreisauschnittes zu 360°. Um den Flacheninhalt eines Kreisabschnittes zu linden, berechne man den Flacheninhalt des dazugehorigen Kreis¬ ausschnittes und subtrahiere davon den Inhalt des Dreieckes, um welches der Kreisausschnitt groder ist als der Kreisabschnitt. Den Flacheninhalt eines Kreisringes findet man, in dem man die Fliichen der beiden Kreise, deren Unterschied der Ring ist, berechnet und von einander subtrahiert.*) Aufgaben. 1. Der Durchmesser eines Kreises betragt 35 dm] wie grod ist der Umfang? (n = 3|.) *) Anstatt das Quadrat eines jeden Halbmessers einzeln mit n zu multi- plizieren und dann abzuziehen, ist es einfacher, gleich das Quadrat des kleineren Halbmessers von jenem des grofieren Halbmessers zu subtrahieren und den Rest mit 7t zu multiplizieren. Also: J = (R 2 — r 2 ) . 7t. 108 2. Der Halbmesser eines Kreises ist 12 m; wie groB ist der Flacheninhalt? Radius = • 12 m oder: 12 X 12 Duxchm. = 24 m 144 X 3-14 = 452 • 16 Umfang = 75*36 m 452*16 m 2 . halb. Radius = 6. m Flacheninhalt = 452*16 m 2 ; 3. Der Halbmesser eines Kreises ist a) 28 dm, b) 1*8 m, c) 2*65 ra; d) 35| cm; wie grofi ist der Umfang-, wie groB der Flacheninhalt? (pi = 3*14.) 4. In einem Kreise ist der Durchmesser a) 13 m, b) 5*8 m, c) 0*135 m, d) 8 dm 3 cm 4 mm; berechne den Umfang- und den Flacheninhalt! (jc = 3*14.) 5. Wie groB ist a) der Durchmesser, b) der Halbmesser eines Kreises, dessen Umfang 55 m betragt? (ji — 3y.) 6. Der Umfang eines Kreises ist a) 25*12 m, b) 0*2198 m, c) 135*02 dm, d) 54*008 m; wie groB ist der Halbmesser, wie groB der Flacheninhalt? (ji = 3*14.) - *• 7. Der Durchmesser eines Kreises ist 2 dm, ebenso groB ist die Seite eines Quadrates; um wie viel ist der Flacheninhalt des Kreises kleiner als der des Quadrates? (ji = 3*14.) 8. Der Minutenzeiger einer Uhr ist 14 cm lang; welche Lange hat der Weg, den seine Spitze in einer Stunde beschreibt? (n = 3y.) 9. Jeder Grad des Erdiiquators ist 15 geographische Meilen lang; wie groB ist a) der Umfang, b) der Halbmesser des Aquators? (pt = 3*14159.) 10. Ein Wagenrad, dessen Durchmesser 1*4 m betragt, hat auf einer zuriickgelegten Strecke 240 Umliiufe gemacht; wie lang war die Strecke? (jr = 3y.) 11. An einem Wagen hat jedes Yorderrad 1 m, jedes Hinterrad 1*4 m Durchmesser; wie viele Umlaufe hat jedes Rad g-emacht, wenn der Wagen eine Strecke von 1 km zuritckg-elegt hat? (it = 3*14.) 12. Welchen Durchmesser hat ein Lokomotivrad, das sich auf einem Schienenwege von 1039*5 m 315mal umdrelit? (pi — 3y.) 13. Man will einen kreisrunden Tisch fUr 9 Personen maclien; wie g-roB wird man den Durchmesser dazu nelimen, wenn man auf eine Person 7| dm des Umfanges rechnet? (% = 3y.) 14. Wie groB ist der Halbmesser eines Kreises, dessen Flachen¬ inhalt 16 m 2 6106 cm 2 betragt? 16 m 2 6106 cm 2 — 166106 cm 2 .166106 : 3 • 14 = 52900 ]/52900 = 230; 230 cm = 2 m 3 dm = Halbmesser. 109 15 . Wie grofl ist der Halbmesser eines Kreises, dessen Flachen- inhalt a) 28*26 <2m 2 , b) 153*86 cm 2 , c) 10 dm 2 17 cm 2 36 mm 2 betrhgt? [pi — 3*14.) 16. Die Durchmesser zweier Kreise sind 2*4 dm und 3*6 dm ; wie verhalten sicli a) ihre Umfange, b) ihre Flacheninhalte? 17. Wie verhalten sicli die Flacheninhalte zweier Kreise zu einander, wenn sich ihre Umfange wie 3 : 5 verhalten? 18. Ein kreisrunder Saal hat 8 m 5 dm im Durchmesser; wie grofl ist der Flacheninhalt? (ji = 3*14.) 19. Der Umfang eines Baumstammes ist 2| ra; wie grofl ist der Durchmesser, wie grofl der Flacheninhalt eines Querschnittes ? (ji = ?yl.) i 20. Wie viel Menschen haben in einem kreisrunden Saale Platz, dessen Durchmesser 14 m ist, wenn ein Mensch 191 dm 2 ein- nimmt? (pi = 3y.) 21. Auf einem Anger ist eine Kuh mit einem 2*5 m langen Stricke angebunden; wie viel m 2 Weide sind ihr zugemessen? (n = 3*14.) 22. Bestimme den Halbmesser eines Kreises, der an Inhalt gleich ist einem Quadrate mit der Seite 2 m 2 dm l (ji = 3y.) 23. Ein Kreis hat mit einem Quadrate gleichen Umfang, nam- lich 25*12 dm ; wie grofl ist der Unterschied zwischen den Flachen- inhalten des Kreises und des Quadrates? [pi = 3*14.) 24. Fiir einen kreisrunden Tisch, dessen Platte 50*24 dm 2 grofl ist, soli eine Decke gestrickt werden, die tiberall um 15 cm herabliangt; welchen Durchmesser wird diese haben, und wie viel m Fransen benotigt man zur Umrandung derselben? (pi = 3*14.) 25. Wie grofl ist die Flache eines Kreisringes, wenn die zwei konzentrischen Kreise 3 m 6 dm und 4 m 4 dm zu Durchmessern haben? 26. Bestimme den Flacheninhalt eines Kreisringes, wenn die ihn einschlieflenden Kreisumfange 37*68 m und 28*26 m betragen! (ji = 3*14.) 27. Ein kreisrunder Grasplatz von 18 m Durchmesser ist mit einem 2 m breiten Wege umzogen; wie viel Flachenraum nimmt diescr Weg ein ? 28. Ein Garten ist 68 m 2 dm lang, 41 m 3 dm breit; in der Mitte desselben befindet sich ein kreisrunder Teich, welcher saint der ihn einschlieflenden Mauer 12 m 4 dm im Durchmesser hat; wie grofl ist die Landflache des Gartens? 29. Wie lang ist ein Bogen von 72° bei einem Kreise, dessen Halbmesser 2 dm ist? (jt = 3*14). no 30. Bestimme die Bogenlange fiir a) 36°, b) 120°, c) 144°, d) 180° in einem Kreise, dessen Halbmesser 28 cm betragt! (ji = 3y.) 31. Der Durchmesser eines Kreises ist a) 4 m, b) 21 m, c) 3 m 17 cm; welche Lange hat in jedem Kreise ein Bogen von 60°? (ji — 3*14.) 32. Ein Bogen von 48° miflt 18* 84 cm; wie grofl ist der Halb¬ messer dieses Kreises? {pi = 3*14.) 33. Welchen Durchmesser hat ein Kreis, in welchem ein Bogen von 15° a) 9*42 m, b) 47*1 cm lang ist? {ji = 3*14.) 34. Wie viele Grade hat ein Bogen von 30| cm Lange, wenn der Kreisdurchmesser 77 cm betragt? (ji = 3y.) 35. Wie grofi ist der Inhalt eines Kreisausschnittes, dessen Halbmesser 5*8 m und dessen Bogenlange 8*2 m ist? 36. Ein Kreisausschnitt von 4*5 dm Halbmesser hat einen Bogen von a) 18°, b) 54°, c) 144°, d) 135°; wie grofl ist die Lange des Bogens, wie grofl der Inhalt des Ausschnittes? (ji = 3*14.) 37. Wie viele Grade umfaflt der Bogen eines Kreisausschnittes, dessen Flaehe 235*5 cm 2 und dessen Halbmesser 3 dm betragt? (ji = 3*14.) 38. Wie grofl ist der Flacheninhalt eines Kreises, wenn der zu 24° gehorende Aussclinitt 188*4 cm 2 betragt, und welche Lange hat der Bogen des Kreisausschnittes? (ji = 3*14.) 39. Wie grob ist der Inhalt eines Kreisabschnittes, dessen Sehne von 12 cm Lange dem Halbmesser des Kreises gleicli ist? (jz = 3*14.) 40. Der Halbmesser eines Kreises, welchem ein Quadrat einge- zeichnet ist, mibt 16 cm; wie grofi ist jeder der 4 gleichen Kreis- abschnitte? (ji = 3*14.) 41. Einem Kreise, dessen Halbmesser 2 m 4 dm betragt, wil’d ein regelmabiges Sechseck eingesclirieben; um wie viel ist die Flaehe des Sechseckes kleiner als die Flaehe des Kreises? 42. Einem Quadrate von 12 cm Seitenliinge wird ein Kreis ein- geschriebeil; um wie viel ist der Flacheninhalt des Kreises kleiner als jener des Quadrates? ‘ 43. Rafaels berllhmtes Bild, die Madonna della sedia, ist auf einer kreisrunden Flaehe, deren Durchmesser 0*675 m betragt, ge- malt. Wie viele Quadratmeter enthalt eine Schutzdecke fur dieses Bild, wenn letztere 25 cm dariiber hinausgehen soli ? {ji = 3*14.) 44. Ein Fenster ist lj m breit und 2 m hocb; oben besitzt es einen halbkreisformigen Abschlub. Wie teuer konimt ein Laden fiir dasselbe, wenn das m 2 mit 6 K bereelinet wird? (jc = 3*14.) Ill 45. Eine Tischflache besitzt die Form eines Halbkreises uud wurde mit einer Schutzdecke versehen, zu deren Einsaumung 3 m 8*4 cm Bortchen notwendig waren. Wie viele m * 1 2 3 enthalt die Tisch- flilche? ( jc = 3*14.) 54. Flacheninhalt der Ellipse. DerUmfang einer Ellipse ABCD (Fig. 147) lafit sich nicbt genau, sondern nur anmiherungsweise bestimmen. — Man berechnet den Umfang einer Ellipse an niiherungsweise, wenn man das arithme- BD) mit jc multipliziert. Z. B. Es sei AC = 7 11 cm und Bl) cm 11 cm + 7 cm 2 Fig. 147. /? X3*14 = 28-26 cm = Umfang der Ellipse. Ferner hat man gefunden, dab eine Ellipse ebenso viel Flaclien- ranm einschliefit wie ein Kreis, bei welchem das Quadrat des Halb- messers gleicli ist dem Produkte aus den beiden Halbachsen der Ellipse. Da nun der Flacheninhalt eines Kreises gleicli ist dem Quadrate des Halbmessers, multipliziert mit der Ludolfischen Zahl, so folgt: Der Flacheninhalt einer Ellipse wird gefunden, in dem man das Produkt der beiden halben Achsen mit der Ludolfischen Zahl multipliziert. Z. B. Wie grofl ist der Flacheninhalt einer Ellipse, deren Achsen 11 cm und 7 cm sind? Produkt der Halbachsen = -y- X f = 19^. 191 X 3f = 60|; Flacheninhalt = 601 C m 2 . Aufgaben. 1. Die kleine Achse der Ellipse sei 80 cm, die Exzentrizitat 42 cm: wie grofi ist die halbe grofie Achse? Welchen Umfang und Flacheninhalt hat diese Ellipse? {jc = 3*14.) 2. Die Exzentrizitat einer Ellipse ist 4’8 m, die grofie Achse 16 m : wie grofi ist die kleine Achse, der Umfang und Inhalt dieser Ellipse? (jc = 3 * 14.) 3. Ein Gartner hat eine Ellipse zu konstruieren, deren Achsen 522 cm und 378 cm betragen; wie weit mufi er die Brennpunkte nehmen? Welcher Umfang und welcher Inlialt ent- Ellipse? (jc = 3-14.) von einander ieser 112 4. und 3f Eiii Blumenbeet hat die Form einer Ellipse m Breite ; wie grofi ist der Umfang und von 4^ m Lange Flacheninhalt? 5. Eine Untertasse in Form einer Ellipse, deren Achsen 27 cm und 18 cm betragen, soli gebiikelt werden; wie viel kurze Maschen wird man ausftihren miissen, wenn 1 cm 2 36 kurze Maschen erfordert? 6. Wie grofi ist der Umfang und Flacheninhalt einer Ellipse, deren kleine Achse 7*2 dm ist und deren Brennpunkte 3 dm von einander abstehen? (pc = 3 14.) 7. Wie teuer ist die Einfassung eines elliptischen Teppiches, der 2t, m lang und 1| m breit ist, wenn das m Bortchen mit 12 li bczahlt wird? (jr = 3y.) 8. Zur Einfassung eines elliptischen Teiclies, dessen grofie Achse 18 m betragt, waren 157 Steine notwendig, jeder an seiner aufiern Seite 30 cm lang. Wie grofi ist die kleine Achse dieses Teiclies? (pc = 3*14.) IV. Abschnitt. Oberflache und Kubikinhalt der Korper. 55. Oberflache und Kubikinhalt im allgemeinen. Bei der Grofienbestimmung der Korper handelt es sich um die Berechnung der Oberflache und des Korperinhaltes (Kubik- i n h a 11 e s). Um die Oberflache eines Korpers zu finden, braucht man nur den Flacheninhalt jeder Grenzflache fur sich zu bestimmen und alle gefundenen Zahlen zu addieren. Die Oberflache eines Korpers wird demnach durcli das Flachenmafl gemessen. Um den Kubikinhalt eines Korpers zu bestimmen, nimmt man irgend einen bekannten Korper als Einheit des Korpermafles (Kubik- mafies) an und untersucht, wie oft derselbe in dem zu bestimmenden Korper enthalten ist. Die Zahl, welclie dieses angibt, lieiflt die Mafi- zahl ftir den Kubikinhalt des Korpers. Als Einheit des Kubikmafies nimmt man einen Wiirfel oder Kubus an, dessen Kante der Langeneinheit gleicli ist und ^velcher ein Kubikmeter (m 3 ), ein Kubikdezimeter (dm 3 ) etc. heifit, je nachdem die entsprechende Langeneinheit ein Meter, ein Dezimeter etc. ist. Einen Korper auf seinen Kubikinhalt messen heifit also untersuchen, wie viel Kubikmeter oder Kubikdezimeter u. s. w. 113 in demselben enthalten sind. Es wiirde aber zu mtihsam und in vielen Fallen unausftihrbar sein, diese Untersuchung durcli wirkliclies Neben- und Aufeinanderlegen der Kubikeinheit vorzunehmen. Ein- faclier wird der Kubikinhalt eines Korpers mittelbar aus dem Mafie der Linien und Flachen, von denen die Grofie desselben ab- liangt, durcli Rechnung gefunden. Zwei Kbrper, welche denselben Kubikinhalt haben, heifien inhaltsgleich. Wie bereits im ersten Abschnitte ausgefuhrt wurde, kann man sicli die Prism en, Py rami den, Zy Under und Kegel durcli Parallelbewegung einer geradlinigen oder krumm- 1 i n i g e n Fig u r (Grundflache) entstanden denken. Bleibt die G r o 13 e der Grundflache wahrend der Parallelbewegung unverandert, so entstebt ein Prisma oder ein Zy Under, je nachdem das sich bewegende Gebilde geradlinig oder krummlinig war; nimmt dagegen die sich bewegende Flache wahrend der Parallelbewegung stetig ab, bis sie in einem Punkte verschwindet, so erhalt man eine P y r a m i d e oder einen Kegel. Der Kubikinhalt des hierbei beschriebenen Raumes ist jedenfalls uin so groller, je grober die sich bewegende Flache ist; er wird aber aucli zunehmen, wenn die Ho he wiichst, bis zu welcher sich die Figur erhebt. Die GroBe des Raumes bleibt aber dieselbe, ob das sich bewegende Gebilde in einer senk- rechten oder Fig. 14S. I Jt • v. !i! ; 1 i i einer sc hie fen Linie zurGrund¬ flache fortsclirei- tet. Um dies ein- zusehen, derike man sich ein gerades Prisma (Fig. 148, 1 ) durcli mog- ent- Schnitte in lauter prismatische Platten zerlegt; werden nun letztere nacli fjchrager Richtung verschoben (Fig. 148, 77), so ergibt sich ein Korper, 114 der sich umsomehr einem schiefen Prisma nahert, je diinner die Platten sind. Bei unendlich vielen Schnitten fallen die Platten un- endlich ditnn aus und der K or per II geht in ein schiefesPrisma liber. Da aber beide Prismen aus derselben Anzahl von gleich grofien Platten sicli zusammensetzen, so folgt hieraus, dafi sie inhaltsgleich sind. Hieraus ergibt sich: J e d e s s c h i e f e Prisma i s t inhaltsgleich einem geraden Prisma, mit dem es dieselbe Gr und fl ache und Hohe hat. Hiitte man statt des geraden Prismas einen geraden Zylinder, eine gerade Pyramide oder einen geraden Kegel genommen und diese Korper durch parallele Schnitte zerlegt und sodann ver- schoben, so wiirde man auf gleiche Weise inhaltsgleiche schiefe Zy Under, Py rami den oder K e g e 1 erhalten haben, woraus folgt: Jeder schiefe Zylinder ist inhaltsgleich einem geraden Zylinder von derselben Grundflache und Hohe. Jede schiefe Pyramide ist inhaltsgleich einer ge¬ raden Pyramid e von derselben Gr und fl ache und Holie. Jeder schiefeKegel istinhaltsgleich einemgeraden Kegel von derselben Gr und fl ache und Hohe. Der Kubikinhalt einer Kugel hangt blob von ihrem Halbmesser ab. Zwei Kugeln sind inhaltsgleich, wenn sie gleiche Halbmesser haben. Fig. 149. 56. Der Wiirfel. Urn die Ob erf la che eines Korpers geometrisch darzustellen, konstruiert man alle Grenzflachen desselben zusammenhangend in einer Ebene. Eine solche Zeichnung lieifit das Netz des Korpers. Fig. 149 stellt das Netz eines W it r f e 1 s vor. Wird ein solches Netz gehorig ausgeschnitten und zusammengefiigt, so kann man daraus einen Wiirfel herstellen. Der Wiirfel wird von 6 kongruenten Qua- dratenbegrenzt. DieOberflacheeinesWtirfels ist dalier gleich dem 6fachen Flachenin- lialte einer Grenzflache. Bezeichnet s die Mabzahl einer S e i t e, so ist s 2 die Mabzahl far den Flacheninhalt einer Grenzflache daher die OberfUiche 0 = 6 s 2 , und umgekehrt s 1st die Lange der Seite eines Wiirfels 3 cm (Fig. 150), so betragt die Grundflache 3X3 cm 2 = 9 cm 2 . Es lassen sicli demnacli auf der Grundflache 9 cm 3 aufiegen, und zwar bis Fig. 150. zu einer Hohe yon 1 cm ; von da bis zur Hohe von 3 cm liegen noch 2 solclie Schichten von 9 cm 3 ; also enthalt der Wtirfel 3X9 cm 3 = 3x3x3 cm 3 = 27 c m 3 . Um dieses zu versinnlichen, nehrne man 27 kleine und gleiche Wtirfel und lege diese gehorig neben und auf einander. Man ttberzeugt sich auf gleiche Weise, dafl ein Wtirfel, dessen Seite 4 cm ist, 4X4X4 cm 3 = 64 cm 3 , „ „ 5 cm „ 5X5X5 cm 3 = 125 cm 3 , „ „ 6 cm „ 6x6x6 cm 3 = 216 cm 3 . enthalt u. s. w. Der Kubikin halt einesWtirfels w i r d also g e f u n d e n, i n d e m man die M a fi z a h 1 einer Seite (K a n t e) d r e i m a 1 als Faktor setzt oder zur dritten Potenz erhebt. Darum wird aucli im Eechnen die d r i 11 e Potenz einer Zahl der Kubus derselben genannt. Bezeichnet s die Lange einer Seite und K den Kubikinhalt eines Wtirfels, so ist K = s 3 . ^ Hieraus folgt: Die Kubikinha 11e zweier Wtirfel verha 11en sich wie die dritten Potenzen ihrer S eiten. Ein Wtirfel, dessen Seite 10 dm betragt, hat 10 X 10 X 10 dm 3 = 1000 dm 3 . Ein soldier Wtirfel ist nun 1 Kubikmeter; also ist 1 m 3 = 1000 dm 3 . Ebenso folgt 1 dm 3 — 1000 cm 3 , 1 cm 3 = 1000 mm 3 . 1 Kubikdezimeter heiflt als Hohlmafl ein Liter; 100 Liter = 1 Hektoliter. — 1 m 3 Hohlraum fafit 10 hi. — 1 dm 3 Wasser wiegt bei 4° C 1 kg] 1 cm 3 Wasser wiegt bei derselben Temperatur 1 g. Aufgaben. 1. Berechne die Oberflache und den Kubikinhalt eines Wtirfels, dessen Seite a) 12 dm } b) 2 m 4 dm , c) 1*35 m, d) 27 cm, e) 1 m 3 dm 5 cm, f) 0*575 m betragt: 116 2. Die Oberflaclie eines Wtirfels betragt 398*535 cm 2 ; wie grofi ist a) die Seite, b) der Kubikinhalt desselben? 3. Es soli ein wtirfelformiges, oben offenes Gefafi von 0*38 m Kantenlange angefertigt werden; wie viel m 2 Kupferblech brancht man? 4. Die Seitenflache eines Wtirfels betragt 3 m 2 61 c?m 2 ; wie groB ist a) die Kante, b) der Kubikinhalt? 5. Ein wtirfelformiges Gefafi hat 4*8 dm innere Weite; wie viel Liter fafit es? 6. An einem Wiirfel von Granit betragt jede Seite 1*4 m; wie- viel wiegt der Wiirfel, wenn 1 dm 3 Granit 2*7 kg wiegt? 7. Die Seiten zweier Wiirfel sind 4 cm und 12 cm; wie ver- halten sich a) ilire Oberflachen, b) ihre Kubikinhalte ? 8. Die Oberflaclie eines Granit-Wtirfels enthalt 107*3574 dm 2 ; wie grofi ist a) eine Kante, b) der korperliche Inhalt, c) sein Gewicht? 9. Wie viele l fafit ein kubischer Behalter, dessen Grundflache 64 dm 2 betragt? 10. Eine Kohlenkiste von der Form eines Wtirfels hat 12 dm Seitenlange. Wie viel q Kohle fafit diese, wenn 1 dm 3 Kohle 1*4 % wiegt und lh% wegen der leeren Ranine in Abzug kommen? 11. Wie schwer ist eine Wagenladung von 120 Wtirfeln aus Sandstein, wenn die Seite eines jeden Wtirfels 2*5 dm betragt und 1 dm 3 Sandstein 2*4 kg wiegt? 12. Die Oberflaclie eines Wtirfels betragt 10*64 m 2 ; welchen K'Jrperinhalt hat ein anderer Wiirfel, dessen Seite um 0*21 m grofier ist als die des ersten Wtirfels? Fig. 151. 57. Das Prisma. Um das Netz eines g era den Prismas (Fig. 151) zu er- lialten, zeichne man die Parallelogramme (Rechtecke), welche die Mantelflache bilden, so neben II einander, dafi je 2 eine gemein- schaftliche Seite haben, und konstruiere dann tiber und unter einem dicser Parallelogramme die Grundflachen. (Yon den N e t z e n s c li i e f e r K o r p e r wollen wir wegen der Schwierig- keit in der Herstellung absehen.) Soil die Grofie der Mantel- f 1 a c h e eines Prismas bestimmt werden, so inufl man zuerst 117 die Seitenflachen als Parallelogramme berechnen; ihre Summe gibt die Mantelf 1 ache. Bei einem geraden Prisma bildet die Mantelflache, wenn man sicli dieselbe anf eine Ebene abgewickelt denkt, ein Rechteck, dessen Grundlinie dem Umfange der Grundfiache und dessen Hohe der Seiten- kante des Prismas gleich ist (Fig. 151). Also gilt der Satz: Die Mantelflache eines geraden Prismas wird gefunden, in dem man den Umfang der Grundfiache mit einer Seitenkante multipliziert. Addiert man liierzu noch die doppelte Grundfiache, so erhalt man die Oberflache des Prismas. Um den Kubikinhalt eines Prismas zu finden, wollen wir vorn rechtwinkeligen Parallel¬ epiped ausgehen. Es sei der Kubikinhalt eines rechtwinkeligen Parallelepipeds (Fig. 152), in wel- chem die Lange AB = 4 dm, die Breite BC = 2 dm und die Hohe AD — 3 dm ist, zu be- stimmen. Da die Grundfiache 2X4 <7ra 2 = 8 dm 2 enthalt, so lafit sich auf ihr ein dm 3 8mal auflegen; das Parallelepiped enthalt also bis zu einer Hohe von 1 dm eine Schichte von 8 dm 3 ; zu der Hohe EF gehort eine neue Schichte von 8 dm 3 und zu der Hohe FD wieder eine Schichte von 8 dm 3 . Das ganze Parallelepiped hat dalier 3mal 8 dm 3 oder 2X4X3 dm 3 — 24 dm 3 . — Allgemein lassen sich auf der Grundfiache jedesmal so viele Kubikeinheiten aufstellen, als dieselbe Quadrateinheiten und enthalt, es erscheinen so viele soldier Schichten von Wiirfeln tiber- einander, als die Hohe Langeneinheiten enthalt. Man mufi dalier, um den Kubikinhalt eines rechtwinkeligen Parallelepipeds zu erlialten, die Grundfiache mit der Hohe, oder, was dasselbe ist, die Lange, Breite und Hohe miteinander multiplizieren. Daraus folgt: Der Kubikinhalt eines rechtwinkeligen Parallel¬ epipeds wird gefunden, i n d e m man die M a B z a h 1 e n seiner Lange, Breite und Hohe oder indem man die MaBzalilen seiner Grundfiache und Hohe mit einander multipliziert. Oder kiirzer: Der Kubikinhalt eines rechtwinkeligen Parallel¬ epipeds ist gleich dem Produkte aus der Lange, Breite Fig. 150. c 118 und IIolie oder dem Produkte aus der Grundflache und der Ho he. 1st jedoch die Grundflache eines geraden Prismas eine beliebige geradlinige Figur, so berechne man stets zuerst den Fliicheninhalt dieser Figur. Angenommen, der Flacheninhalt der Grundflache des in Fig. 151 dargestellten fiinfseitigen Prismas betrage 52 cm 2 , wahrend die Hohe desselben 10 cm messe. Wie leiclit ein- zusehen ist, lassen sich auf die Grundflache 52 cm 3 aufstellen und diese Schichte, lOmal fiber einander gelegt, ftillt den ganzen Korper aus. Man findet also auch hier den korperlichen Inhalt (520 cm 3 ), wenn man die Grundflache mit der Hohe multipliziert. — Ware das zu berechnende Prisma ein schiefes, so mtiflte auch hier derselbe Vorgang eingehalten werden, da nach dem auf Seite 114 Gesagten jedes schiefe Prisma inhaltsgleich einem geraden Prisma ist, mit dem es dieselbe Grundflache und Hohe hat. Hieraus folgt allgemein: Der Kuhikinhalt eines jeden Prismas ist gleich dem Produkte aus der Grundflache und der Hohe. Bezeichnet G die Maflzahl der Grundflache, H die Maflzahl der Hohe und K den Kubikinhalt eines Prismas, so ist Aufgaben. 1. Berechne die Oberflache und den Kubikinhalt folgender reclit- winkeliger Parallelepipede: a) Lange 24 dm, Breite 18 dm, Hohe 3 6 dm; b) „ 1 • 26 m, „ 1 * 05 m, „ 0 * 84 m ; * c) * 12 m 1 dm 4 cm, „ 1 m 7 dm 5 cm, „ 8 m3 dm ! 2. Wie grofl ist der Kubikinhalt eines Prismas, dessen Grund¬ flache 5 dm 2 46 cm 2 und dessen Hohe 3 dm 9 cm ist? 3. Die Grundflache eines 6 dm hohen geraden Prismas ist ein Quadrat, dessen Seite 5 dm 4 cm betragt; wie grofl ist a) die Ober¬ flache, b) der Kubikinhalt? 7 ^ . 4. Der Inhalt eines Prismas ist 5*85 m 3 , die Hohe 1*3 m; wie grofl ist die Grundflache? 5. In einem rechtwinkeligen Parallelepiped ist die Grundflache 7*3 dm lang und 2*4 dm breit; wie grofl ist die Hohe, wenn der Inhalt 61*32 dm 3 betragt? Welche Oberflache besitzt dasselbe? 6. Eine Saule mit quadratischer Grundflache hat 40*368 dm 3 Inhalt und 7*5 dm Hohe; wie grofl ist eine Grundkante? 119 7. Eine vierscitige Schachtel, welche 3 dm lang, 1*5 dm breit und 1*6 dm liocli ist, soli mit buntem Papier tiberzogen werden; wie viel dm 2 Papier braucbt man dazu? 8. Berechne a) die Oberfiache, b) den Kubikiuhalt eines Holz- blockes, dessen Grundfiache ein regelmaBiges Secbseck mit 0*2 m Seitenlange ist, und dessen Hohe 2*3 m betragt! Wie schwer ist derselbe, wenn 1 dm 3 0*86 kg wiegt? 9. AVie viele Hektoliter Getreide kann ein Getreidekasten auf- nelimen, wenn die Lange desselben 2 m, die Breite 1*3 m und die Hohe 1*4 m betragt? 10. Ein Wasserbehalter ist, von auBen gemessen, 2 m lang, 8 dm breit und 5 dm liocli; wie viel Liter kann er fassen, wenn die aufiern AVande und der Boden 1 dm dick sind? 11. Die Grundfiache eines prismatiscben GefaBes ist ein Recht- eck von 2 m Lange und 1*2 m Breite; wie tief muB das GefaB sein, wenn es 12 Hektoliter fassen soli? 12. Die Lange einer Mauer ist 21 m, die Hobe 2 ml dm, die Dicke 9 dm ; wie viel Ziegel braucbt man, um diese Mauer aufzufuhren, wenn ein Ziegel samt A r erbindungsmittel 30 cm lang, 15 cm breit und 7 cm liocli anzunelimen ist? 13. Ein reckteckiger Kasten von 3 m Lange, 2 m Breite und 1*2 m Hobe wird mit Steinkoblen gefiillt; wie groB ist das Gewiclit dieser Steinkoblen, wenn 1 m 3 davon 1275 kg wiegt? 14. AVelches Gewiclit bat eine Eisenstange yon 1*5 dm Lange, deren Querscbnitt ein regelmaBiges Acliteck mit 0*8 cm Seitenlihige ist? (1 dm 3 Eisen wiegt 7*5 kg.) 15. Der Dachraum einer Scbeune bildet ein dreiseitiges Prisma, dessen Grundfliicbe 5*6 m zur Grundlinie, 3 m zur Hobe hat und dessen llolie (Lange des Daches) 8*4 m betragt; wie yiel kg Heu kann dieser Raum aufnehmen, wenn 1 m 3 Heu 114 kg wiegt? 16. Ein Balken ist 4 m lang und bat zu Grundflachen zwei gleiche Trapeze, in denen die Parallelseiten 4 dm und 3 dm sind und die Hobe 1*5 dm betragt; wie groB ist der Kubikinhalt? 17. Ein Kasten von 1*2 m Lange und 0*7 m Breite war zum Tcil mit Wasser gefiillt; als man in denselben einen Stein von un- regelmafiiger Form legte, stieg das Wasser um 1 dm und bedeckte den Stein; wie groB ist der Kubikinhalt des Steines? 18. Eiu Reisekoffer besitzt die Form eines geraden Parallel¬ epiped es; derselbe ist 60 cm lang, 32 cm breit und 36 cm hocb. AYie viele m Leinwand, welche 75 cm breit ist, braucbt man, um Mocnik-Wenghart, Geometrische Formenlehre fur Madchenburgersckulen. 7 120 den Kotfer zu tiberziehen, wenn wegen Verschneidens und Ein- fassens 10^ mehr genommen werden mtissen? 19. Der Canal du midi ist 244092 m lang, hat am Grunde eine Breite von 10 m und oben eine solche von 20 m und ist 2 m tief. Wie viel ra 3 faflt der Kanal? 20. Bestimme die Lange, Breite und Hohe des Schulzimmers und berechne hieraus den Rauminhalt desselben! AVie viele Kinder konnte das Zimmer fassen, wenn fur jedes Kind 3 m 3 Luftraum angenommen werden ? 21. Ein Schwimmbassin ist 24 m lang und 12 m breit; an dem einen (tieferen) Ende miilt es 4 m und am andern (seichteren) Ende 0*75 m. AA r ie viele hi AVasser sind zur Flillung notwendig? 58. Die Pyramide. Das Netz einer geraden Pyramide (Fig. 153) erhalt man, wenn man zuerst die Seitendreiecke neben einander so konstruiert, dafl sie den Scheitel gemeinschaftlich haben, und einem dieser Drei- ecke die Grundflache anschlieBt. Fig, 153. TT. Urn die M antel- flache einer Pyramide zu berechnen, be¬ stimme man die Grofie der ein- zelnen Seiten- flachen als Dreiecke und summiere die erhaltenen Re- sultate. Ad- diert man hier- zu noch den Inhalt der Grundflache, so erhalt man die O b e r f 1 a c h e. Ist die Pyramide eine regelmafiige, so brauclit man nur ein Seitendreieck zu berechnen und dessen Flache mit der iAnzahl der Seitenflachen zu multiplizieren; dazu wird noch die Grundflache addiert. Bei einem Py rami den stump fe bestimmt man zuerst die Seitenflachen als Trapeze und addiert zu ihrer Summe die beiden Grundflachen. 121 Man verfertige sich ein beliebiges hohles Prisma und eine ho We P y r a m i d e von derselbenGrundfliiche and von g 1 e i c h e r H o h e (Fig. 154). Fiillt man die Pyramide ganz mit Sand an und giefit diesen sodann in das hoWe Prisma, so wird letzteres nur bis zu einem Drittel der Hohe angefiillt. — Hieraus folgt: Jede Pyramide ist der dritte Teil eines Prismas von derselben Grundflache und von gleicher Hohe. Da nun der Kubikinhalt eines jeden Prismas gleich deni Produkte aus der Grundflache und Hohe ist, so mufl der Kubikinhalt einer Pyramide yon derselben Grundflache und von gleicher Hohe gleich dem dritten Teile des obigen Produktes sein. Es gilt also der Satz: Der Kubikinhalt einer Pyramide (Fig. 155) ist gleich dem Produkte aus der Grundflache und dem dritten Teil der Hohe. Um den Kubikinhalt eines Pyra¬ in idensturnpfes zu finden, bestimme man die Inhalte der beiden Pyramiden, deren Unterscliied der Pyramidenstumpf ist, und subtrahiere den Inhalt der kleineren Pyramide von dem der grofleren. Ktirzer gestaltet sich die Berechnung nach folgendem Satze: Der Kubikinhalt eines Pyramidenstumpfes wird gefunden, in dem man die Summe der beiden Grund- flachen und der Quadratwurzel aus dem Produkte der¬ selben mit dem dritten Teile der Hohe multipliziert. Annaherungsweise findet man den Kubikinhalt eines Pyramidenstumpfes, indem man die halbe Summe der beiden Grundflachen mit der Hohe des Stumpfes multipliziert. Aufgaben. 1. Die Grundflache einer regelmafligen Pyramide ist ein Quadrat yon 6 dm Seitenliinge, die Seitenhohe betragt 12*37 dm ; wie grofi ist ihre Oberflache? Fig. 155. o £ c' Fig. 154. 122 2. Bereclme den Kubikinhalt folgender Pyramiden: a) Grundflache 13 cZm 2 , Holie 9 dm ; b) „ 2*34 dm 2 , Holie 6*3 (Zm; cj • „ 1 m 2 85 dm^, Holie 5 dm 4 cm! 3. Der Inlialt einer Pyramide ist 0*6264 m 3 , die Holie 0*9 m; wie grofl ist die Grundflache? 4. Der Inlialt einer Pyramide ist 9 m 3 261 dm 3 , die Grundflache 4 m 2 41 dm 2 ; wie grofl ist die Holie? 5. Pei einer Pyramide ist die Grundflache ein Rechteck von 3 dm 4 cm Lange und 1 dm 9 cm Breite, ihr Kubikinhalt betragt 17 dm 3 765 cm 3 ; wie grofl ist die Holie? 6. Es soil eine Pyramide, deren Grundflache 1 m 2 15 dm 2 und deren Holie 2 m betragt, aus Eiseu gegossen werden; wieviel wird sie wiegen, da 1 dm 3 Eisen 7*21 kg wiegt? 7. Wie grofl ist das Gewicht einer regelmafligen vierseitigen Pyramide aus Marmor, wenn die Holie 3 m, eine Seite der Grund¬ flache 5 dm betragt und 1 dm 3 Marmor 2*72 kg wiegt? 8. Die Grundflachen eines regelmafligen Pyramidenstumpfes sind Quadrate mit den Umfangen 1 m 6 dm und 1 m 2 dm, die Holie eines Seitentrapezes betragt 2 m 8 dm; wie grofl ist die Oberflache? 9. I 11 einem Pyramidenstumpfe, dessen Grundflachen Quadrate sind, betragt eine Seite der untern Grundflache 2 dm 5 cm, eine Seite der obern Grundflache 1 dm 5 cm, die Holie 1*2 dm; bereclme den Kubikinhalt desselben naek jeder der drei oben angefiihrten Methoden! 10. Wieviel wiegt ein Pyramidenstumpf aus Marmor, dessen Grund¬ flachen Quadrate von 1*2 m und 1 m Seitenlange sind und 1*5 m von einander abstehen? (1 dm 3 Marmor wiegt 2*72 kg). 11. Wieviel Liter faflt ein 6*3 dm tiefes Gefafl von der Form eines Pyramidenstumpfes, dessen Grundflachen Quadrate von 4*8 dm und 3*2 dm Seitenlange sind? 12. Die Gruiidkante einer geraden quadratischen Pyramide mifit 10 cm, jede Seitenkante 13 cm; wie grofl ist a) die Holie eines Seiten- dreieckes, b) der Flacheninhalt eines Seitendreieckes, c) die Mantel- flack e, d) die Grundflache und e) die Oberflache? 13. Die Gruiidkante einer geraden Pyramide, deren Grundflache ein regelmafiiges Secliseck ist, betragt 16 cm, jede Seitenkante mifit 65 cm. Wie grofl ist a) die Grundflache, b) die Hohe der Pyramide, c) der Korperinhalt ?.* .. , 14. Die Grundkante einer geraden quadratischen Pyramide betragt 14 cm , die Hohe der Pyramide mifit 24 cm. Wie grofl ist a) die 123 Grundflache, b) ein Seitendreieck, c) die Mantelflache, d) die Oberflache und e) der Korperinhalt? 15. Die Grundflache einer geraden Pyramide ist ein Rechteck, dessen liingere Seite 16 dm und dessen ktirzere Seite 12 dm miflt, jede Seitenkante betragt 26 dm. Wie grofi ist der Korperinhalt dieser Pyramide* und welches Gewicht besitzt dieselbe, wenn sie aus Grauit besteht? (1 dm 3 Granit wiegt 2*7 kg.) 16. Die Pyramide zu Giseh ist 143*8 m hoch, die untere Grund¬ flache ist ein Quadrat von 186*9 m Seitenlange, die obere stellt gleich- falls ein Quadrat von 3*7 m Seitenlange dar. Wie grofl ist der Kubik- inhalt dieser Pyramide? 17. Die Grundkante eines eisernen Denkmals in Form einer quadratischen Pyramide mifit 2*2 m, ihr Gewicht betragt 1052*7 q. Wie groh ist die Hohe dieser Pyramide? (1 m 3 Eisen wiegt 72*5 q.) 18. Wie viele Meter Leinwand von 85 cm Breite sind notwendig zur Herstellung eines Zeltes von der Form einer geraden Pyramide, deren Grundflache ein Quadrat darstellt, wenn jede Seite des Qua¬ drates 3*4 m miht und die Hohe des Zeltes 2*64 m betragt? Fig. 156. 59. Die flinf regelmafligen Korper. Das Netz eines Tetraeders (Fig. 156, A) besteht aus 4 kongruenten gleichseitigen Dreiecken; das Netz des Oktaeders (B) setzt sicli aus 8 und jenes des I k o s a e d e r s (C) aus a B 20 solchen Figuren zu- sannnen. Das Netz des W li r f e 1 s (Fig. 157) wurde bereits frliher be- sprochen. Um das Netz des Dodekaeders (Fig. 158) zu konstruieren, zeichne man mitderKante des Dodekaeders ein regel- maifees Fiinfeck und be- schreibe liber die Seiten desselben wieder regel- maflige Flinfecke von der- selben Grofie (wobei man sich mit Vorteil der Verliin- gerung der Diagonalen bedient). Nun zeichne man an dieses Netz ein zweites,mitihmkongruentes,sodail beide in einer Seite zusammenstoflen. 124 Die Ob erf lac he der 5 regelmafligen Korper wird gefunden, indem man vorerst die GroBe einer Seitenflacke ermittelt und sodann das Resultat mit der Zahl der Seitenflachen multipliziert. Fig. 157. Fig. 158. Der korper- inlialt desTetra- e d e r s sowohl als auch jener des Oktaeders laflt sicli leicht berecknen, indem man diese Korper als drei- seitige Pyramide, beziehungsweise als quadratische Doppelpyramide auffaBt. Beziiglick des Wtirfels wurde das Notwendige hiefiir bereits mitgeteilt. Von der Korperinhaltsberechnung des Ikosaeders und Dodekaeders wollen wir des geringen praktischen Wertes wegen abseken. Aufgaben. 1. Die Kante eines Tetraeders betragt 2 dm ; bestimme die GroBe eines Seitendreieckes und die gesamte Oberflache! 2. Die Seite eines Oktaeders miBt 12 cm, wie groB ist a) ein Seitendreieck, b) die Oberflache, c) der Korperinhalt ? 3. Welchen Korperinhalt besitzt ein Tetraeder, dessen Kante 28 cm miBt? 4. Die Seitenkante eines Ikosaeders miBt 15 cm; wie groB ist dessen Oberflache? 5. Welche Oberflache besitzt ein Dodekaeder, dessen Seitenkante 18 cm betragt? Denkt man I Fig. 159. E 60. Der Zylinder. sich die Mant elflacke eines geraden Z y 1 i n d e r s (Fig. 159) trennbar (z. B. als Papierliulle) und nach der Ricktung einer Mantellinie durchschnitten, so bildet die- selbe, wenn man sie auf eine Ebene ausbreitet, ein Rechteck, dessen Grundlinie dem Umfang der Grundflache und dessen Hohe der Hohe des Zylinders (AB, Fig. 159, I) gleich ist. Um daher das Netz eines ge¬ raden Zylinders zu konstruieren, 4 125 zeichne man ein Rechteck, dessen Grundlinie 3ymal so grofl ist als der Durchmesser der Grundflache, und dessen Hobe der Holie des Zylinders gleichkommt; bierauf bescbreibe man oben nnd unten zwei den Grundflacben kongruente Kreise. Bei einem geraden Zylinder ergibt sicli die Mantel- flaclie, indem man den Umfang der GrundfUicbe mit der Hobe des Zylinders multipliziert. Um nun die Ob erf lac be des Zylinders zu erbalten, be- recbnet man die beiden Grundflacben als Kreise, dann die krumme Mantelflacbe als Rechteck und bringt diese Zalilen in eine Sunnne. Da jeder Zylinder als ein Prisma, dessen Grundflacben Kreise sind, betracbtet werden kann, so gilt der Satz: Der Ku bikin bait eines Zylinders ist gleicb dem Produkte aus der Grundflacbe und der Hobe. Haufig ist der Kubikinbalt einer zy lindriscben Rob re zu bestimmen. Zu diesem Zwecke braucbt man nur den Kubikinbalt der beiden bierzu geborigen Zylinder zu berecbnen und den Inbalt des kleineren Zylinders von jenem des grofleren zu subtraliieren. Bisber wurden nur Zylinder mit kreisformiger Grundflache vorausgesetzt; es ist wobl selbstverstandlich, daB bei Zylindern mit elliptischen Grundflacben statt des Umfanges oder Inhaltes eines Kreises immer der Umfang und Inhalt einer Ellipse gesetzt werden mull. Aufgaben. 1. Die Grundflache eines geraden Zylinders bat 3*5 dm zum Halbmesser, seine Hobe ist 12*4 dm ; wie grofl ist a) die Mantelflacbe, b) die ganze Oberflache, c) der Kubikinhalt des Zylinders? (n = 3*14.) 2. Berechne die Oberflache und den Kubikinhalt folgender gerader Zylinder: a) Durchmesser der Grundflacbe 23 cm, Hohe 15 cm; b) Halbmesser „ „ 8*25 dm y „ 25*23 dm ; c) Umfang der Grundflacbe 4 m 71 cm, Hobe 1 m 88 cm\ ( 7i = 3*14.) 3. Wie grofl ist die Oberflache eines geraden Zylinders, in welchem die Hobe 8 dm 4 cm und der Inhalt der Grundflacbe 12 dm 2 56 cm 2 betragt? (n = 3*14.) 4. Die Mantelflache eines geraden Zylinders ist 6*28 dm 2 , der Durchmesser der Grundflache 4 dm ; wie grofl ist die Hobe (n = 3*14.) 5. Der Kubikinbalt eines geraden Zylinders ist 4*62 m 3 , der Durchmesser der Grundflache 1*4 m; wie grofl ist die Hobe? (n = 3y.) 126 6. Welchen Inhalt hat ein elliptischer Zylinder von 24 cm Hohe, wenn die grofle Achse der Grundflache 16 cm und die kleine Achse 12 cm betragt? {tz = 3*14.) 7. Bestimme den Halbmesser der Grundflache eines Zylinders, (lessen Hohe 6 dm und (lessen Inluilt 169 dm 3 560 cm 3 betrligt! (ji _= 3*14.) 8. Ein gleichseitiger Zylinder hat 2*8 dm zur Seite; suclie a ) seine Mantelflache, b) die Oberflache, c) den Kubikinhalt! (n = 3f) 9. Die Mantelflache eines geraden Zylinders betragt 4*71 dm 2 , der Umfang der Grundflache 1*57 dm] wie groB ist der Kubikinhalt des Zylinders, und wieviel l faflt (lerselbe? {tz = 3*14.) 10. Wieviel dm 2 Eisenblech braucht man ftir eine Ofenrohre, welche 5 m lang ist und 2 dm im Durchmesser hat? {tz = 3*14.) 11. Ein zylindrisches GefaB soil 1 Liter halten; wie hocli muB es sein, wenn der innere Durchmesser 10 cm betragt? {jz = 3*14.) 12. Wie groB ist der Durchmesser eines zylindrischen Gefafies, das 5 dm hoch ist und 1 hi halt? {tz = 3*14.) 13. In ein zylindrisches GefaB von 4 dm Durchmesser, welches zum Teile mit Wasser geftillt war, wurdc ein unregelmaBiger Korper gesenkt, so daB ihn das Wasser bedeckte; das Wasser stand dann 36 cm hoch. Nachdem man den Korper herausgenommen hatte, stand das Wasser noch 24 cm hoch; welchen Kubikinhalt hat der Korper? {tz = 3*14.) 14. Der innere Durchmesser eines runden Turmes ist 4*2 m, die Mauer ist 1*2 m dick; wieviel m 3 enthalt die Mauer, wenn die Hohe des Turmes 14*5 m betragt? (jt = 3*14.) 15. Wieviel Ziegcl braucht man, um ein Tor zu verlegen, welches mit vollem Bogen geschlossen ist, wenn die AVeite im Lichten 2*4 m, die Holie bis zum SchluBsteine 3*6 m, die Dicke der Mauer 8 dm ist, und wenn auf 1 m 3 Mauerwerk 264 Ziegel gerechnet werden? {jz = 3*14.) 16. Welches Gewicht besitzt ein zylindrischer Barren von Silber, welcher 45 cm lang ist, und (lessen Querschnitt einen Durchmesser von 4 cm besitzt? (1 cm 3 Silber wiegt 10*51 g, n — 3*14.) 17. Eine Dachrinne von halbkreisformigem Querschnitte, welche ohen 12 cm weit ist, fafit 25*434 Z; wie lang ist diese? {tz = 3*14.) 18. Eine elliptische Badewanne ist 1*8 m lang, 0*8 m breit; wie vielc l Wasser fafit diese, wenn sie bis zu. einer Hohe von 60 cm gefiillt wird? (^ = 3*14.) 19. Ein kreisrundes Bassin hat 8 m Durchmesser, jede Sekunde fliefien von demselben (lurch eine seitliche Bohre 2 l Wasser ab; um 127 wieviel ist der Wasserspiegel nacli 10 Stunden 28 Minuten gesunken? (n = 3*14.) 61. Der Kegel. Wird die Mantelflaclie eines g era den Kegels (Fig*. 160) auf einer Ebene ausgebreitet, so erscheint sie als ein Kreisausschnitt, dessen Halbmesser die Seite des Kegels und dessen Bogenlange der Umfang der Grundflache des Kegels ist. Um daher das Netz eines g era den Kegels zu erhalten, zeichne man mit der Seite als Halbmesser einen Kreisausschnitt, dessen Bogenlange ebenso groB ist wie der Umfang der Grundflache des Kegels, und konstruiere dann liierzu einen der Grundflache kongruenten Kreis, welcher den Bogen des Kreisausschnittes beriihrt. Fig. 160. II Fig. 161. Fig. 161 stellt das Netz eines geraden Kegelstumpfes dar; die Mantelflaclie erscheint als Teil eines Kreisringes. Die Oberflache eines Kegels findet man, indem man zuerst die Grundflache, dann die Mantelflaclie berechnet und beide addiert. Bei einem geraden Kegel wird die Mantelflaclie gefunden, indem man den Umfang der Grundflache mit der halben Seite des Kegels multipliziert. Die Mantelflache eines geraden Kegelstumpfes wird berechnet, indem man die lialbe Summe der Umfange seiner Grundflachen mit der Seite desselben multipliziert. Denkt man sich namlicli in dem Mantel des St-umpfes unzahlig viele Seiten gezogen, so zerfallt derselbe in Figuren, die man als ebene Trapeze ansehen kann. Es ist daher die Mantelflaclie des Kegelstumpfes gleich der Summe aus den Flachen aller dieser Trapeze und wird gefunden indem man die lialbe Summe ihrer Parallelseiten, d. i. die lialbe 128 Summe der Umfange der beiden Grundkreise mit der Hohe der Trapeze, d. i. mit der Seite des Kegelstumpfes multipliziert. Da ein Kegel als eine Pyramide, deren Grundflache ein Kreis ist, betraclitet werden kann, so folgt: Der Kubikinhalt eines Kegels ist gleicli dem Produkte aus der Grundflache und dem dritten Teile der Hohe. Der Kubikinhalt eines Kegelstumpfes wird auf dieselbe AVeise wie der Inhalt eines Pyramiden- stumpfes berechnet, in dem man die Summe der beiden Grundflachen und der Quadratwurzel aus dem Produkte derselben m i t d e m drittenTeile d e r H o h e multipliziert. In der Praxis begnugt man sich liaufig mit einer angenaherten Bestimmung des Kubikinhaltes eines Kege 1 stumpfes, in dem man diesen wie einen Zylinder berechnet, dessen Grund- fiiiche gleicli ist der lialben Summe der beiden Grundflachen des Stumpfes, und dessen Hohe die Hohe des Stumpfes ist. Bislier wurden nur Kegel mit kreisformigen Grundflachen voraus- gesetzt; bei Kegeln mit elliptisclien Grundflachen ist statt des Kreis- inlialtes immer der Inhalt der Ellipse zu setzen. A u f g a b e n. 1. In einem geraden Kegel mit kreisformiger Grundflache ist a) der Durchmesser der Grundflache 4 dm , eine Seite 6 cZm; b) der Halbmesser „ „ 5 '6 dm, „ „ 84 dm; c) der Umfang „ „ 1 m 5 dm 7 cm, „ „ 3 m 2 cm ; wie grofl ist der Mantel und wie grofl ist die ganze Oberflache? ( 7t = 3*14.) 2. Berechne den Kubikinhalt folgeiKler Kegel : a) Halbmesser der Grundflache 0*2 dm, Hohe 7*5 dm ; b) Durchmesser „ „ 141 cm, „ 231 cm; c) Umfang „ „ 1 m 8 dm 84 cm, Hohe 2 m 4 dm 6 cm ! ( 7i = 3*14.) 3. Der Kubikinhalt eines Kegels ist 5 dm 3 525 cm 3 , die Grundflache 4 dm 2 25 cm 2 ; wie grofl ist die Hohe? 4. Der Inlialt eines Kegels ist 1*088052 m 3 , die Hohe 1*8 m; wie grofl ist die Grundflache? 5. Die Seite eines geraden Kegels ist 3*6 dm , die Mantelflache 13*5648 dm 2 - wie grofl ist der Durchmesser der Grundflache? (jz = 3*14.) 6. Wie grofl ist der Halbmesser der Grundflache eines Kegels, dessen Hohe 3*9 dm und dessen Inhalt 9*1845 dm 3 betragt? (jz = 3*14.) 129 7. Suclie a) die Seite, b) die Mantelflache eines geraden Kegels, dessen Hohe 2m 4 dm ist und dessen Grundflache 7 dm zum Halb- messer hat! (ji = 3*14.) 8. Wie groB ist a) die Hohe, b) der Kubikinhalt eines geraden Kegels, dessen Seite 8*5 dm betragt und dessen Grundflache 3*6 dm zum Halbmesser hat? (jt = 3*14.) 9. Die Mantelflache eines geraden Kegels ist 1695*6 cm 2 , der Halbmesser der Grundflache 18 cm; wie grofi ist der Kubikinhalt? (ji = 3*14.) 10. Bestimme die Oberflache eines gleichseitigen Kegels, dessen Seite 1 m 4 dm betragt! (ji = 31.) 11. In einem gleichseitigen Kegel ist die Seitenlange 7*6 dm; wie grofl ist a) die Oberflache, b) der Inhalt? (pi = 3*14.) 12. Ein kegelformiger Trichter hat 2 dm Durchmesser und 2*4 dm Lange; wieviel dm 2 Blech enthalt er? (n = 3*14.) 13. In einem kegelformig aufgeschiitteten Getreidehaufen betragt der Umfang der Grundflache 2 m 64 cm und die Hohe 1 m ; wieviel hi Getreide enthalt der Haufen ? (ji = 3 y.) 14. Ein kegelformiger Heuschober hat 2*6 m Durchmesser und 4*5 m Hohe; wieviel kg Heu enthalt er, wenn das m 3 Heu 114 kg wiegt ? (ji = 3*14.) 15. Welchen Wert hat eine Tanne, welche 12*6 m lioch ist und unten 2*2 m im Umfange hat, wenn das m 3 Holz mit 16 K 80 h bezahlt wird? (jr = 3y.) 16. Aus einem kegelformigen, mit Wasser gefilllten Gefafle von 21 cm Durchmesser und 30 cm Hohe wird das Wasser in ein zylindrisches Gefafl von 15 cm Durchmesser gegossen; wie hoch wird das Wasser in diesem Gefafle stelien? (ji = 3*14.) 17. Die Seite eines geraden Kegelstumpfes ist 6 dm, die Durch¬ messer der Grundflaclien betragen 9 dm und 7 dm ; wie grofl ist die Oberflache ? (pi = 3*14.) 18. Bestimme die Oberflache eines geraden Kegelstumpfes, dessen Seite 7*4 cm ist und dessen Grundflaclien 4*5216 cm 2 und 32*1536 cm 2 Flacheninhalt haben! (ji — 3*14.) 19. Wie viele hi faflt ein Behalter von der Form eines Kegel¬ stumpfes, dessen Grundflachen 3 m und 2 m Durchmesser haben und 1*2 m von einander abstehen ? (ji = 3*14.) 20. Ein Bottich hat 1*56 m untern und 0*78 m obern Durchmesser und miflt an der Seite 0*89 m; wie viele Liter halt derselbe ? (Vr=3*14.) 21. Wieviel m 3 Scheitholz gibt ein Baumstamm von 5 m Lange, der an dem einen Ende 7 dm, an dem andern 6 dm Durchmesser 130 hat, wenn man annimmt, daB 1 m 3 Stammholz 11 m 3 Scheitholz gibt? {n = 314.) 22. Welclien Korperinhalt hat ein elliptischer Kegel von 36 cm Hohe, wenn die grofle Aclise der Grundflache 20 cm und die kleine Achse 14 cm mifit? (n = 3*14.) 23. Ein elliptischer Beliiilter, welcher am Boden 184 cm lang und 72 cm breit ist, besitzt an seinem obern Rande eine Lange von 207 cm und eine Breite von 81 cm ; wie viele Liter Wasser faBt derselbe, wenn die Tiefe 60 cm betrligt ? {n = 3*14.) 24. Welches Gewicht besitzt ein kreisformiger Kegel aus Gufi- eisen, dessen Grundflache 84 cm zum Halbmesser hat und dessen Mantellinie 205 cm betragt? (1 cm 3 GuBeisen wiegt 7*21 g\n — 3*14.) 62. Die Kugel. Vergleicht man bei einer Halbkugel die sie begrenzende Krei s- flaclie mit der ha 1-ben Kugelfliiche, so sieht man sofort, daB letztere grofier ist, als die Kreisflache. Genaue Messungen haben ergeben, daB die halbe Kugelflache gerade doppelt so groB ist, als die Kreisflache. Man pflegt diesen Kreis einen grbfiten Kugel- kreis zu nennen, zum Unterschiede von den Parallelkreisen, welche einen kleineren Flacheninhalt besitzen. Hieraus folgt : Die Oberflache einer Kugel ist gleich dem vier* faclien Flacheninhalte eines grofiten Kreises der- selben. . Bezeichnet man den Halbmesser der Kugel durch r und die Oberflache derselben durch O, so ist r 2 ji der Flacheninhalt eines groBten Kreises, folglich O = 4r 2 jr. Man kann aber auch sagen: Die Oberflache einer Kugel wird gefunden, indem man das Quadrat des Halbmessers mit der 4fachen Ludolfischen Zahl multipliziert. Wenn man umgekehrt aus der bekannten Oberflache einer Kugel den Halbmesser derselben finden will, so braucht man nur die Oberflache durch die 4fache Ludolfiscke Zahl zu dividieren; der Quotient stellt das Quadrat des Halbmessers dar. Zieht man daraus die Quadratwurzel, so erhalt man den Halbmesser selbst. Es ist demnach lei Fig. 162. c n Aus dem Obigen folgt aucli: Die Oberflaelien zweier Kugeln verlialten sicli wie die Quadrate ihrer Halb- messer. Legt man durch den Durclimesser A B (Fig. 162) mehrere groflte Kreise (Meridiane) und senkrec-ht darauf mehrere Parallelkreise CD, EF, GH. . ., so zerfallt die Oberflache der Kugel in lauter Vierecke und Dreiecke, welclie man fur eben und geradlinig ansehen kann, wenn die Anzahl jener Kreise sehr grofl angenommen wird. Zieht man nun von alien Durchsclmitts- punkten der Oberflache gerade Linien zum Mittelpunkte der Kugel und denkt sicli durch je zwei benachbarte Strecken eine Ebene gelegt, so erscheint die Kugel aus lauter Pyramiden zusammengesetzt, welche alle ihre Grundflachen an der Kugelober- flache und ihren Sclieitel im Mittelpunkte haben; ihre Hohe ist daher der Halbmesser der Kugel. Der Kubikinlialt einer solchen Pyramide (abcdO) wird aber gefunden, indem man die Grundflache mit dem dritten Teile der Hohe multipliziert. Der Kubikinhalt aller jener Pyramiden zu- sammengenommen, d. i. der Inhalt der ganzen Kugel, ist demnach gleich der Summe aller Grundflachen, d. i. der Kugeloberflache, multipliziert mit dem dritten Teile des Halbmessers. Der Kubikinhalt einer Kugel ist gleich dem Produkte aus der Oberflache derselben und dem dritten Teile des Halbmessers. Bezeichnet man mit r den Halbmesser, mit 0 die Oberflache und mit J den Kubikinhalt einer Kugel, so ist = 4 daher J — 0 4 r 2 ji. 3 |.r 3 7r; d. h. der Kubikinhalt einer Kugel ist gleich dem Kubus des Halbmessers, multipliziert mit | der Ludolfischen Zalil. Ferner hat man: Die. Kubikinhalte zweier Kugeln ver- halten sich wie die dritten Potenzen ihrer Halbmesser. A u f g a b e n. • ... 1. Bereclme die Oberflache und den Kubikinhalt einer Kugel, deren Halbmesser a) 1 cZm, b) 1*4 m, c) 1 m 15 cm, d) 171 cm ist! (n — 3T4). 2. Der Durclimesser einer Kugel ist a) 21 dm , b) 4*2 cm,. c) 1 dm 4 cm 7 mm; wie grofl ist die Oberflache, wie grofl der Kubikinhalt ? (w = 3 f) 132 3. Der Umfang eines groBten Kugelkreises betragt 282*6 cm berechne die Oberflache und den Kubikinhalt derKugel! (n = 3*14. 4. Der grofite Kreis einer Kugel hat 78*5 cm 2 Fliicheninhalt wie groB ist a) die Oberflache, b) der Kubikinhalt? (* = 3*14.) 5. Die Oberflache einer Kugel ist a) 200*96 dm 2 , b) 19*625 cm 2 wie groB ist der Halbmesser, wie grofi der Kubikinhalt ? (jz = 3*14.) 6. Wie groB ist die Oberflache der Erde, wenn diese als eine Kugel betrachtet wird, deren Halbmesser 6368*96 km betragt ? (jz= 3*141593.) 7. Der Durchmesser eines Erdglobus ist 4 dm; wie verhalt sicli dessen Oberflache zur Oberflache der Erde ? (jz = 3*14.) 8. Man will einen Luftballon machen, dessen Durchmesser 6*3 m betragt; wieviel m Taft von 84 cm Breite wird man dazu brauchen? (n = 3f) 9. Ein kugelrunder Turmknopf von 1*2 m Durchmesser soli ver- goldet werden; wie lioch kommt die Vergoldung, wenn fllr 1 m 2 Vergoldung 97 K 60 h zu zahlen sind? (jz = 3*14.) 10. In einen gleichseitigen Zylinder von 1 dm Halbmesser werden eine Kugel und ein gerader Kegel eingeschrieben; a) wie ist der Kubik¬ inhalt jedes dieser drei Korper? b) wie verhalten sicli die Inhalte des Kegels, der Kugel und des Zylinders zu einander ?*) (jz = 3*14.) 11. Eine Kugel, ein gleichseitiger Zylinder und ein Wiirfel haben gleiche Oberflache, namlich 44 dm 2 ; wie groB sind die Kubikinhalte dieser drei Korper ? (jz = 3 y.) 12. Um eine Kugel von 1 dm Halbmesser werden ein gleich¬ seitiger Zylinder und ein gleichseitiger Kegel beschrieben; wie ver halten sich a) die Oberflachen, b) die Inhalte dieser drei Korper? (jz = 3*14.) 13. Wenn man den Halbmesser der Erde = 6368*96 km und die Hohe ihrer Luftschichte = 63 km setzt, wieviel km 3 betragt der Inhalt der Luftschichte ? (jz — 3*141593.) 14. Wie viele Mondkorper von 3495*52 km Durchmesser konnen aus der Erde gemacht werden, wenn der Durchmesser der Erde 12737*92 km betragt? (^ = 3*141593.) 15. Wie schwer ist eine holzerne Spielkugel, deren Durch¬ messer 12 cm miBt, wenn 1 dm 2 Holz mit 0*8 kg angenommen wird? (jz = 3*14.) 16. Welches Gewich'c besitzt eine Hohlkugel aus Gufieisen, deren auBerer Durchmesser 1*4 m und deren Wandstarke 8 cm betragt, wenn 1 dm 3 GuBeisen 7*21 kg wiegt? (jz = 3*14.) *) Das sich ergebende merkwiirdigo Verhaltnis entdeckte Cicero auf einem Denkmale von Archimedes zu Syrakus. 133 17. Wie viele l faflt ein eiserner Kessel yon der Form einer lialben Hohlkugel, deren innerer Durchmesser 4 dm 2 cm betriigt? (71 = 3f) 18. Ein Meilenstein besitzt die Form eines geraden Zylinders, welcher 1*4 m lang ist und 0*36 m im Durchmesser hat; derselbe ist an seiner obern Seite durch eine lialbe Kugel abgeschlossen. Welches Gewicht hat dieser Korper, wenn er aus Kalkstein besteht ? (1 dm 3 Kalkstein wiegt 2*46 kg; = 3*14.) 19. Wie teuer kommt die Vergoldung von 24 Stiick Rosetten zu stehen, wenn deren Durchmesser 38 cm betragt und fur 1 cm 2 samt Arbeitslohn 18 h angesetzt werden? (Die Oberflache einer Rosette wird wie eine halbe Kugeloberflache von gleichem Radius berechnet. n = 3*14.) 20. Eine Halbkugel besitzt eine Oberflache von 1814*92 cm 2 ; welchen Halbmesser hat diese ? (n = 3*14.) 63. Korperinhalt der Fasser. Ein Fall nahert sich in der Form einem Zylinder; nur ist es in der Mitte bauchig und sein Durchmesser daselbst grofier als der Durchmesser seiner Grand- oder Bodenflache. Man begeht tibrigens keinen erheblichen Fehler, wenn man den Inhalt eines Fasses dem Inhalte eines Zylinders gleichsetzt, dessen Hohe gleich ist der Lange des Fasses, und dessen Grundflache den dritten Teil aus dem doppelten Spund- und dem einfachen Bodendurchmesser zum Durch¬ messer hat. Am zweckmafligsten werden die Mafilangen in Dezimetern aus- gedriickt, da dann das Fall so viele Liter enthalt, als der Kubikinhalt desselben Kubikdezimeter hat. Aufgaben. 1. Wie grofi ist der Inhalt eines Fasses, dessen Durchmesser am Spunde 6*2 cZm, am Boden 4*8 dm mifit und dessen Lange 10*6 dm betragt? (re = 3*14.) 2. Ein Bierfab hat 8*4 dm Spunddurchmesser, 7*2 dm Boden- durchmesser und 13 dm Lange; wieviel Liter enthalt es? (n= 3*14.) 3. Bestimme den Inhalt folgender Fasser: Spunddurchmesser Bodendurchmesser Lange a) 7*2 dm , 5*4 dm, 11*2 c?m; b) 6*5 dm , 5 dm , 10*4 dm; c) 6 dm , 4*8 dm , 9‘8 dm\ 4. Ein Fall von 6 dm Spund- und 4*5 dm Bodendurchmesser soil 1 Hektoliter fassen; welche innere Lange mull man ihm geben? 134 Bernstein.wiegt 64. Bestimmung des Kubikinhaltes durch das Gewicht. Der Kubikinhalt eines Korpers oder sein Yolumen laflt sicli auch durch das Gewicht bestimmen. Die Grofle des Druckes, den ein Korper von beliebigem Raum- inhalte auf seine horiuzontale Unterlage auslibt, heiflt das absolute Gewicht des Korpers. Das Gewicht, das eine Kubikeinheit, z. B. ein Kubikdezimeter, des Korpers hat, nennt man dessen spezifi- sches Gewicht. Z. B. 1 dm 3 Silber wiegt 10*51 kg; diese sind das spezifische Gewicht des Silbers fur 1 dm 3 als Kubikeinheit. Das spezifische Gewicht des Wassers betragt fllr 1 dm 3 1 kg und fiir 1 cm 3 1 g . Hieraus ersieht man, dafi, wenn die spezifischen Gewichte der einzelnen Korper fiir 1 dm 3 bekannt sind, sicli leicht auch die spezifischen Gewichte fiir 1 cm 3 ermitteln lassen; man braucht nur der entsprechenden Zahl statt „kg u die Benennung „g u beizusetzen. Hier folgen die spezifischen Gewichte einiger Korper. 1 Kubikdezimeter 1*08 kg Kupfer, gegossen .. wiegt Marmor. Messing (Mittel) . .. Platin. Quecksilber. Silber. Steinkohle (im Mittel) Stahl. Zink. Zinn. Zucker.. Es sei z. B. der Kubikinhalt eines Silberbarrens, wiegt, zu bestimmen. Da 1 dm 3 Silber 10*51 kc, wiegt, so nehinen 31*53 kg Silber so viel dm 3 Raimi ein, als 10*51 kg in 31*53 kg enthalten sind; man hat daher 31*53 kg : 10*51 kg = 3, also 3 dm 3 . Der Kubikinhalt eines Korpers oder sein Yolumen (in Kubikdezimetern) wird demnach ge fun den, in den man das absolute Gewicht desselben (in Kilogrammen) durch das spezifische Gewicht (fiir 1 dm 3 ) dividiert. Hiernach kann man auch den Inhalt eines Gefafies durch das Gewicht bestimmen. Man wiigt das leere Gefafi ab, fiillt es mit Wasser, bestimmt dann das Gewicht des so gefiillten Gefiifies und &ubtrahiert das erste Gewicht yon denv zweiten. So yiele Kilogr'amm Blei. Buchenholz. Eichenholz. Eisen, gesclimiedet » gegossen . Elfenbein. Gold. Granit (Mittel) .. Kalkstein. Korkholz. n n n n n ii n ii ii ii 11-35 0- 74 0-86 7-79 7-21 1- 83 19-36 2- 70 2-46 0-24 11 11 n ii ii n n ii n ii 8"79 kg 2-72 8-40 21-45 13-59 10-51 1-30 7-82 7-19 7-29 1-50 der 31’53 kg 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 n 135 der Gewichtsunterschied betragt, so viele Kubikdezimeter oder Liter halt das Gefafi. Umgekehrt findet man aus dem Kubikinhalte eines Korpers das absolute Gewicht desselben, indem man dessen spezifisches Gewicht (filr 1 dm 3 ) mit der Mallzahl des in Kubikdezimetern aus- gedriickten Kubikinlialtes (Volumen) multipliziert. 1st z. B. das absolute Gewicht von 346 dm 3 Steinkohlen zu bestimmen, so hat man: 1 dm 3 Steinkohlen wiegt 1*3 kg , 346 „ „ wiegen 1*3 kg X 346 = 449*8 kg. Aufgaben. 1. Wieviel m 3 enthalt ein Balken aus Eichenholz, der 30*1 kg wiegt? 2. Eine Goldstange wiegt 29*04%; welchen Kubikraum nimmt sie ein? 3. Welchen Kubikinhalt haben 102*15 kg Blei? 4. Wie viele dm 3 und cm 3 enthalt eine Kugel aus Blei, welche 82 kg 112*256 g wiegt? 5. Ein Gefafl wiegt leer 1*45 kg , mit Wasser gefiillt 10*95 kg; wieviel Liter halt es? 6. Wieviel kg wiegt das Wasser, das in einem prismatischcn Gefafie von 165 cm Lange, 85 cm Breite und 7 dm Tiefe ent- halten ist? 7. Eine Walze von Messing soli 3165*12 g wiegen und 3 dm lang sein; welchen Durchmesser mud sie haben? (tz = 3*14.) 8. Wieviel kg wiegt eine prismatische Stange aus Stabeisen, die 3 m lang, 2 cm breit und 1*5 cm dick ist? 9. Wieviel kg wiegt eine vierseitige Pyramide von Granit, wenn eine Seite der quadratischen Grundflache 0*6 m lang ist und die Holie 3 m betragt? 10. Wieviel wiegt eine Kugel a) von Elfenbein, deren Durchmesser 6 cm betragt? b) von Marmor, „ „ 3*2 dm „ {n — 3*14.) 11. Welches Gewicht hat ein Zuckerhut von 2 dm Bodendurch- messer und 4 dm Hbhe? {n = 3*14.) 12. Wieviel wiegt das in einem Rahmen von 1 m 2 aufgeschichtete Buclienholz von 80 cm Scheitlange, wenn man fitr die letren Zwischen- niume \ des Inhaltes in Abzug bringt? NARODNA IN UNIVERZITETNA KNJI2NICA 00000493119 •- #