k j^avodilo k I. zvezku Jačuniceza obče ljudske šole, v sestavil A. Crnivec“. vVtzV IPpi po d i 1 i A. Črnivec, dr. Fr. Ilešič in I. Janežič. v Ljubija Založila Slovenska Šolska Matica. 1902 . Tisk Katoliške Tiskarne. Kazalo. Stran A. Obči del (A. Črnivec) . 1 1. Smoter. 1 2. Ponazorovanje in nazorila . . . . 1 3. Nazorna tvoritev števil, štetje, ob- razciinštevilke .4 4. Prištevanje, dopolnjevanje in od¬ števanje .7 a) do deset ., 7 b) od deset do dvajset.16 c) črez deset . 16 4. Množenje.19 5. N ačrto vanj e . . ,.21 6. N a 1 o g e.23 B. Jezikovne pripombe (Dr. Fr. Ilešič) .29 C. Učne slike (I.Jane(ič). I. Ponazorovanje števila 6 (oziroma 2, 3, ... 10) 33 II. Pojem „in“.36 III. Prištevanje v številnem obsegu od 1 — 10 . . 37 IV. Dopolnjevanje (6 —(— - = 9; 3 —j— - == 9) . . . 41 V. Ponazorovanje zaključka za seštevanje ... 43 VI. Pojem „manj“ . ,.45 VII. Odštevanje v številnem obsegu 1 —10 . . . 46 VIII. Ponazorovanje zaključka za odštevanje ... 49 IX. Pojem „ednice“.50 X. Pojem „desetice“.51 XI. Ponazorovanje števila 11.52 XII. Priprava za prištevanje in dopolnjevanje črez 10 v obče ter vrste 9—j—2, 9—{—3, .... 9 —{—9 posebej.54 XIII. Priprava za odštevanje črez 10 v obče . . 57 XIV. Pojem in znamenje „krat“.60 XV. Poštevanka števila 2.62 XVI. Ponazorovanje obratnikov pri množenju . . 64 XVII. Ponazorovanje zaključka za množenje ... 66 XVIII. Decimeter.67 A. Obči del 1. Smoter početnemu računanju je: 1. da se učenci navadijo, predstavljati si števila (1—20) razločno in določno, 2. da se priuče razumnemu računanju s temi števili in 3. da si zapomnijo v prvi vrsti osnovne vsote, dopolnke in razlike. 2. Ponazorovanje in nazorila. Osnova pojmom vobče so zaznave in predstave, ki jih hranimo v spominu; pojmov si tudi ne moremo drugače misliti nego na obnovljenih predstavah, s ka¬ terih smo jih posneli. Tudi pojem manjših števil je posnet naravnost z zaznav in predstav, ki so ohranjene v spominu kot ostanki zaznav. Števila so sicer pristni proizvodi našega razuma, ne znaki stvari, ali povod in pogoj njihovemu postanku so stvarne zaznave in predstave. Da si ustvari otrok pojem števila 3, mora zaznati in si predstavljati 3 v nekem oziru enovrstne vtiske, vsakega zase in vse 3 skupaj; ločiti mora vtisk od vtiska kot celoto zase in potem združiti vse vtiske v celotno skupino. l 2 Neizogibno je tedaj, da se pri tvoritvi števil in pri računanju t. j. presnavljanju števil služimo s čutnimi zaznavami, da na konkretnih predmetih ponazorujemo števila in račune. Daši moremo priobčiti številne pojme po kate¬ remkoli čutilu, ker se pri vsakem dado ločiti zaznave druga od druge in potem združiti v celotno skupino vsaj v predstavi, rabi nam vendar le pri ponazoro- vanju največ oko. Kajti očesu oskrbimo najlaže na- zoril, oko podaja najdoločnejše in najrazločnejše za¬ znave in v najrazličnejših razvrstitvah, z očesom raz¬ poznamo kaj lahko predmet od predmeta in pregledamo na enkrat vso skupino in oko nam podaja istočasno več zaznav nego katerikoli drug čut. Ako leže na mizi pred menoj 4 knjige in 2 svin¬ čnika, bom sodil: Tu so 4 knjige in 2 svinčnika, redko¬ kdaj: Na mizi je 6 reči. Na sličen način ločimo 4 moške od 2 ženskih, 4 hruške od 2 jabolk, a ne zdru¬ žujemo jih v 6 ljudi in 6 sadežev. Raznovrstnih predmetov ne združujemo radi v eno številno skupino. Na sličen način ovira združevanje v skupine raz¬ ličnost po obliki in veličini. Gledati je tedaj na to, da izberemo za nazorila predmete iste vrste in oblike ter enake veličine. Vrhutega moramo rabiti enostavne predmete, da ne trošimo pozornosti za postranska svojstva. Na- zoril ne menjamo, da se številne predstave obnavljajo laže in hitreje. To so razlogi, da rabimo za ponazorovanje največ kroglice in kocke in od grafičnih nazoril v prvi vrsti pike. — Kocke, ki stoje tikoma druga poleg druge, je iz početka nekoliko teže razločevati. Te neprilike se ogneš prav lahko, ako narediš belim kockam v 3 sredi dobro vidne črne, črnim pa bele pike. Pike na kockah priporočamo tudi zato, da nazorila izenačimo v obliki; v zaznavi in predstavi namreč med kroglico in piko ni bistvene razlike. Kocek si daj narediti 20 črnih in 10 belih. Kroglice moreš pobeliti za silo sproti s kredo, kolikor jih potrebuješ, ali pa si pre¬ skrbi 10 belih kroglic ter nadomesti z njimi na dveh šibkah po 5 črnih kroglic. Črne kroglice naj bodo na eni, bele na drugi strani računala. Zelo je priporočati, da so kroglice, ki jih ne rabiš, zakrite (z deskama, platnenima zavesama). V sredi je prostor za računanje. Posebne važnosti je razvrstitev poedinih pred¬ metov v številne skupine. 15 K, ki jih vržeš na mizo, si ne moreš pred¬ stavljati, pač pa, ako jih razvrstiš v pregledne skupine n. pr. po 5 K in 5 K. Nekoliko večjega števila si sploh nihče ne more predstavljati, ako si ga ne uredi v sku¬ pine po ednicah, deseticah, . . . Tudi štetje nam ne dobavi razločnih številnih predstav. Preštevši 50 K, jim določiš sicer število, ali kljubu temu si jih ne predstavljaš. Le primerna razvrstitev omogoči do neke mere do¬ ločne in razločne številne predstave tudi večjih števil. Hočemo li podati učencem jasne številne pred¬ stave, moramo predmete razvrstiti v pregledne skupine. Osnova računanju je prvih 10 števil. Da si jih učenci laže vtisnejo v spomin ter iz- lahka predstavljajo, kadar je treba, mora biti tvorba številnih skupin pregledna in naravna, tako da sledi druga iz druge na sličen način. Poleg tega je za razvijanje in pomnenje vsot in razlik važno, da jih dobivamo na kratko, v oblikah, ki so že znane, ne nove. Ako učenec vidi ali si pred¬ stavlja seštevanca 4 in 3, mora videti ali si predstavljati neposredno tudi njuno vsoto 7; ako vidi ali si misli 1 « 4 zmanjševanec 7 in odštevanec 3, videti ali misliti si mora neposredno tudi ostanek 4. Izkušnja pri pouku in poskusi z učenci so po¬ kazali, da služijo v te namene za prvih 10 števil po¬ sebno tele tipične številne oblike (obrazci): 1234 56 7 8 • • • • • • •• ••• •••• • • 9 10 •••• ••••• Pike pomenijo kroglice, razstavljene na dveh šibkah ruskega računala. Na podoben način zlagamo kocke in pike narejamo tako, kakor postavljamo kroglice. Izkušnja uči, da pregleda in si predstavlja do 10 predmetov, stoječih v dveh vrstah, kmalu tudi slabši učenec. 3. Nazorna tvoritev števil, štetje, obrazci in številke. Ko vstopijo otroci v šolo, vedo že nekaj iz račun¬ stva. Pojme: malo, veliko, nič imajo skoraj vsi;. večinoma si predstavljajo prav tudi nekaj števil: 1, 2, 3, nekateri 4, 5. Tudi šteti že znajo kaj malega, poedini celo do 10. Ali za računanje je otročje štetje pičle vrednosti. Navadno jim je malo do tega, če štejoč preskakujejo števila ter jih med seboj zamenjavajo; pa če tudi znajo števnike lepo po vrsti, še to ni zna- 5 menje, da poznajo števila. Razumno šteje še le oni, ki veže z vsakim števnikom določno in razločno številno predstavo. Številna predstava mora biti prej nego ime za število. Imena so pusti glasovi, dokler jim manjka predstav ali pojmov. Štetje je že računanje, prištevanje po 1 in 1 v vrsti. Da je štetje prepotrebno, se umeje samo po sebi — podlaga je neposredno prištevanju in odštevanju in še vedno je nekaj ljudi, ki za silo in potrebo izhajajo pri svojih računih s samim štetjem. Da si učenci ustvarijo določne in razločne šte¬ vilne predstave in da se nauče šteti do 10, bi utegnile biti primerne naslednje stopnje: 1. Vsako število naredimo iz prejšnjega, dodavši še en predmet. Iz • naredimo ••, iz •• naredimo 2. V celi vrsti do zadnjega znanega števila va¬ dimo šteti. Pri štetju so naslednje vaje: a) Eden, dva, tri . . . na predmetih (kazaje na vse), na pamet; b) od 5 dalje: 5 in 1 je 6, 6 in 1 je 7 itd.; c) od poljubnega števila v vrsti dalje kakor v a) in b); č) za eden je dva, za dva je tri . . . 3. Učitelj pokaže obrazec, ki se za število najčešče rabi. Iz obrazca • naredi obrazec J, iz tega • • • • • Za vajo veli poedinim učencem, da izobrazijo število s kroglicami na računalu ali s kockami, in vsem, da ga načrtajo s pikami, križci, . . . 4. V svojem obzorju poiščejo učenci predmete in skupine, na katerih je neprisiljeno najti število. Pri številu 2 navedejo n. pr. 2 roki, 2 nogi, ... pri šte- 6 vilu 3:3 noge na trinogu, 3 roglje pri vilah, 3 peresca na deteljici . . . Poiščejo pa naj tudi predmete, ki so po 1, 2, 3,. . . v šoli, dvignejo naj 1, 2, 3,. .. prste, pokažejo 1,2, 3, . . . učence, klopi i. t. d. 5. Učitelj pokaže številni obrazec s številko vred. Znamenje naj si zapomnijo učenci precej pri vsakem številu, pisati pa začno številke šele, ko so se pri¬ merno izurili v pisnih vajah. Lažje številke liči pisati poprej, težje pozneje. 10 kar zapiši, ne da bi kaj tolmačil. Da se združita številni pojem in številka, je treba posebnih vaj. a) Učitelj naredi število na predmetih, ga veli ime¬ novati in pokazati številko. Napisane imej šte¬ vilke ali na šolski tabli ali na posebnih tablicah iz lepenke; b) učitelj imenuje število, ga veli narediti na pred¬ metih in pokazati številko; c) učitelj pokaže številko, veli imenovati število in ga narediti na predmetih. (Natančneje razvidiš celo postopanje iz učne slike štev. 1.) Štetje nazaj prihranimo do odštevanja iz dveh razlogov. Glavni razlog je ta, da štetja nazaj ne po¬ trebujemo pri prištevanju, zato ga ne vadimo. Razen tega je obnovitev števil v obratnem redu težavna, po¬ sebno onim učencem, ki niso dosta sigurni v štetju naprej. Saj celo odraslemu človeku ni lahko, domisliti se črk v obratnem alfabetnem redu, naj si tudi pred¬ stavlja njih oblike. Pri štetju od 10 nazaj so te-le vaje: a) Deset, devet, osem . . ., na predmetih (kazaje na celo skupino), na pamet; b) deset, deset manj eden je devet, devet manj eden je osem . . ., na predmetih, na pamet; 7 c) od poljubnega števila nazaj na predmetih, na pamet; d) pred deset je devet, pred devet je osem . .po vrsti in izven vrste. Kako naredimo in pišemo število 11, razvidiš iz učne slike št. 10. Slično pa primerno krajše je postopanje pri drugih številih do 20. Iz števila 11 (10 + 1) naredimo 12 (10 + 2), potem 13 itd. Vsako število pokažemo na predmetih, postav¬ ljenih v obrazec, ki kaže razločno 10 in kolikor je črez. Imena za posamezna števila izgovarjamo kazaje na oba dela števila n. pr. pri dva-najst, kazaje na J izgovorimo dva, kazaje na izgovorimo najst. Ko število pokažemo in izgovorimo, ga napišemo. Razvivši celo vrsto, štejemo naprej in nazaj: a) Eden in eden je dva, dva in eden je tri. . ., do dvajset na predmetih, na pamet; b) eden, dva, tri . . ., do dvajset na predmetih, na pamet; c) dvajset manj eden je devetnajst, devetnajst manj eden je osemnajst. . ., do nič na predmetih, na pamet; d) dvajset, devetnajst, osemnajst. . ., do nič na pred¬ metih, na pamet; e) od poljubnega števila naprej do dvajset in nazaj do nič na predmetih, na pamet. 4. Prištevanje, dopolnjevanje in odštevanje. a ) Do deset. Za enkrat seznanimo učence dobro s prvimi petimi števili in jih naučimo šteti do pet. 8 Vsi računi v tem obsegu se vrše le ustno, ne da bi učenci pisali številke, pač pa morejo kaj malega računati iz knjige ustno in načrtavati račune s pikami ali križci. Akopram bi mogli brez posebne težave raztegniti številni obseg do 10, ne storimo tega, ker menimo, da je laže, seznaniti učence s početki prištevanja in dopolnjevanja na prvih 5 številih, ki so jim znana že od doma, nego na vseh 10 obenem; zakaj njih težjo polovico so se jedva naučili. Dovršivši prištevanje in dopolnjevanje na številih do 5, raztegnemo številni obseg do 10. Ko si učenci dodobra predstavljajo prvih 10 števil, ko znajo šteti in čitati in najbrže tudi že pisati številke, začnemo prištevati in dopolnjevati v celem številnem obsegu do 10. Štetju, t. j. prištevanju po 1, sledi naravnim potem štetje po več t. j. prištevanje. S prištevanjem ne vežemo takoj odštevanja, pač pa dopolnjevanje. Prvičje odštevanje prištevanju mnogo manj sorodno nego dopolnjevanje, drugič zahteva pri¬ števanje z dopolnjevanjem že vso pozornost mladega začetnika (vsakikrat so 4 računi n. pr. 2 + 1 =, 1+2==, 2 + -=3, l+-=3) in slednjič združimo odštevanje z dopolnjevanjem in prištevanjem primerneje šele potem, ko so se učenci že naučili dopolnkov in vsot do deset. Priporočati je, da ne izračunamo rezultata takoj. Najprej pokažemo na več primerih presnovo, rabeč izraz, s katerim presnovo zaznamenujemo, potem pre¬ snovo zapišemo, poudarjaje posebno operacijsko zna¬ menje (in +, manj —) zopet na več primerih, končno izvršimo račun in ga zapišemo z rezultatom vred. (Primerjaj učne slike št. 2., 6., 13.) 9 Za uredbo računov so nam pri prištevanju na razpolago različne razvrstitve. a) Prvo število raste od vsote do vsote za 1, pri - števek je stalen, n. pr. 1 -j-1, 2 -j- P 3 —j— 1, . . . 9+1 - 1 + 2, 2 + 2, 3 + 2,.8 + 2-...; b) prvo število je stalno, prištevek raste za 1, n. pr. 1+1, 1+2, 1+3, .... 1 + 9 — 2+1, 2 + 2, 2 + 3,.2 + 8 — . . . .; c) prvo število je vsota prejšnjega računa, prištevek je stalen, n. pr. 2 + 2, 4 + 2, 6 + 2, 8+2, — 1+2, 3 + 2, 5 + 2, 7 + 2 -— . . ..; d) vsota je stalno število, n. pr. 6+1 = 5+2 = = 1+6=7 — . . . Osnovno vrsto jemljemo vsakikrat iz razvrstitve a) in sicer po vrsti s prištevki 1, 2, 3, 4, 5. Števila do 10 po vrsti imajo učenci dobro v spominu od štetja in števil 1, 2, 3 tudi na pamet ni težko prište¬ vati tako, da štejemo po 1 in 1 naprej. Vrsti s pri- števkoma 4 in 5 sta sicer težji, imata pa malo novih vsot, prva 3 (4 + 4, 5 + 4, 6 + 4), druga 1 (5 + 5). Te vsote je treba dobro izvežbati. Računanje vsot s prištevki 6, 7, 8, 9 je na pamet (brez predmetov) težavnejše. Pri teh prištevkih pomagamo spominu naj¬ krajše s tem, da račun obrnemo; namesto 2 + 7 raču¬ namo 7 + 2. Da učenci razvidijo, da vsota ne menja vrednosti, ako zamenjamo prištevanca, računamo poleg vrste s stalnim prištevkom vsakikrat vzporedno vrsto z obratniki (razvrstitev b). Vsaka nova vrsta ima nekaj znanih in nekaj novih vsot. Najprej ponovimo in zapišemo znane vsote, potem računamo nove. Račune si zastavljajo učenci kmalu sami. Ko smo računali 1+1, 2 + 1, 3 + 1, 4+1, 5 + 1, vedel bo ne- 10 koliko iznajden učenec, da pride na vrsto 6 + 1, potem 7 +1 . . . Slično je pri ostalih vrstah. Pri vsaki vsoti iz osnovne vrste naredimo in združimo 4 račune, n. pr.: V obsegu prvih 10 števil ponazorimo vsoto tako, da prvemu prištevancu pridenemo celi drugi prište- vaneos Računajoč n. pr. 4+3, pomaknemo 3 na levo; računajoč 3 + 4, pomaknemo 4 na desno. Obakrat dobimo isti tipični obrazec za 7. Da zre učenec seštevanca tudi v vsoti, rabimo uspešno kroglice različne barve (črne in bele), ali pa držimo med prištevanca paličico, ki ju loči. Pri kockah jemljemo za vsak prištevanec kocke različne barve. Učenci naj si dobro ogledajo prištevanca, pa tudi vsoto, da si jo, računajoč brez predmetov, laže predstavijo, ko so obnovili prištevanca. Predmete v vsoti veli naknadno prešteti; navadno se prične z drugim prištevancem. Pri 4 + 3 štejemo 5, 6, 7. S tem združimo seštevanje po številnih pred¬ stavah s štetjem. Pri majhnem prištevancu pomaga si 4 +1 = 4 +. = 5 1+4= 1 + • = 5 5 +1 = 5 +• = 6 1+5= 1 + • = 6 **!* 11 namreč učenec, računajoč brez predmetov, dokler nima vsote v spominu, tudi s tem, da šteje n. pr. pri 6—j—3 po 1 in 1 za 3 dalje: 7, 8, 9. Kako je postopati, ko razvijaš vrsto in posamezne račune v vrsti, razvidiš iz učne slike za prištevanje štev. 3. Pripravljajoč novo vrsto, računaj vaje prejšnje vrste. Dopolnilne račune izvajamo neposredno iz do- tičnih vsot. Iz 4 —(— 2 = 6 izvedemo odgovor na vpra¬ šanje 4-f-- = 6. Dopolnjujoč na ta način, domislimo učenca še enkrat, koliko je ravnokar prištel. Kdor ima v spominu račun 4 —j—2 = 6, temu je račun 4 —j— - = 6 tudi brez predmetov razmerno lahek, inače mora šteti po 1 in 1 od 4 dalje — 4 in 1 je 5 in 1 je 6; 4—j— 2 = 6. To-le storimo pri majhnih dopolnkih (2,3), pri večjih pa ne, ker je štetje v tem slučaju nesigurno. Za dopolnjevanje glej učno sliko št. 4. Ko izračunamo vse vsote v vrsti, ponovimo vrsto celotno, računajoč na nazorilih — ene same barve — in brez nazoril a) v vrsti, b) izven vrste. Pri vrsti 1 —j—1, 2—j—1, 3-j-l, .... 9 —j—1 je vsak rezultat podlaga novemu računu. Učitelj primakne 1 predmetu še 1 predmet, tema 2 še 1 predmet, . . . in učenec računa 1 —j—1 = 2, 2 —J—1 = 3, . . . . V vrsti obratnikov se primakne vsakikrat celi prištevek. 1 pred¬ met ostane na mestu; učitelj primiče in odmiče 2, 4, 6, 8 predmetov in učenec računa na kratko l-j-2 = 3, 1—(—4 = 5, 1—)—6 =7, 1—{—8 = 9, potem slično 1—j—3 = 4, 1—j—5 = 6, 1 -j— 7 = 8, 1 —j— 9=10, slednjič celo vrsto največ na pamet. Vrsto 1 —[— 2, 2—f-2, 3-J-2, .. . . 8-j-2 razdelimo pri ponavljanju v 2 vrsti: 2-f-2, 4 —j— 2, 6 —j—2, 8 —J—2 in l-j-2, 3-f-2, 5-j-2, 7-j-2. Vsako računamo zase 12 na predmetih in na pamet. Celo vrsto 1 —[— 2, 2 -|-2, 3 —)— 2, .... 8 —J—2 vadimo največ na pamet. Pri obratnikih ostaneta zopet 2 predmeta na mestu, učitelj primiče in odmiče 2, 4, 6, 8 predmetov in učenci računajo na kratko : 2—|— 2 = 4, 2+4 = 6, 24-6 = 8, 2 + 8 = 10, potem 2+1=3, 2+3 = 5, 2 + 5 = 7, 2+7 =9, slednjič celo vrsto največ na pamet. Po¬ dobno kakor vrsto s prištevkom 2 razdelimo vrsto s prištevkom 3 v skupine 1+3, 4 + 3, 7+3 — 2+3, 5+3 — 3 + 3, 6+3 — in vrsto s prištevkom 4 v skupine 1 + 4, 5 + 4 — 2+4, 6 + 4 — 3 + 4, 4 + 4. V ostalem postopamo tako kakor pri vrsti s prištevkom 2. V obratnih vrstah prištevamo najprej soda, potem liha števila kakor pri prejšnjih dveh vrstah in cele vrste vadimo največ na pamet. (Primerjaj zgoraj razvrstitev c). Vrsta dopolnkov sledi vsakikrat vrsto vsot, ki so podlaga dopolnkom. Ko se pri ponavljanju dopolnjuje na predmetih, je prvo število vsakikrat vidno, dopolnek pove učenec na pamet, učitelj pa primakne dopolnek v potrdilo, da je bil račun prav. Odštevamo tudi v vrstah in sicer s stalnim zmanj- ševancem. Zmanjševanec je vedno večje število nego odštevanec in večja števila si predstavljamo teže nego manjša. S tem, da se ponavlja zmanjševanec tolikokrat, kolikor ima vrsta razlik, olajšamo predstavljanje izdatno. Najprej odštevamo od 2 (2—1), potem od 3 (3—1, 3—2), od 4 (4—1, 4—2, 4—3)... Po tej razvrstitvi računamo najprej lažje, potem težje razlike. Tako olaj¬ šamo razumevanje in pomnenje. Pri odštevanju posreduje dopolnjevanje, kolikor je primerno za to učno stopnjo. Primerjaj učno sliko za odštevanje št. 7. 13 Vsako število kot zmanjševanec ima svoje do- polnke. Odštevajoč n. pr. od števila 10, rabimo dopolnke: 1 +• = 10, 2 -j— = 10, • - - 9 +• = 10; od števila 9: „ » 8 : !+•= 9, 2 !+•== 8 , 2 = 9, = 8 , 8 - 7 -= 9; -= 8 ; Dopolnke in vsote one vrste, katero hočeš ra¬ čunati, ponovi najprej vkupno, pri dveh skupaj spada¬ jočih razlikah pa še posebej ona dva, ki prideta pri njih v poštev. Preden začneš računati na primer vrsto 6—1 =, 6 — 2 = ,•••• 6 — 5=, ponovi dopolnke 1 —j — =6, 2 -|— = 6, • • • ■ 5 -J— = 6, pri razlikah 6— 1 == in 6 — 5= pa še posebej 1-|— =6, 5-j—=6. Dopolnke vrste, ki jo računaš, zapiši od zgoraj na tablo in računaj jih večkrat po vrsti in izven vrste. Odštevajoč odpahnemo od zmanjševanca celi od- števanec naenkrat. 7—2 in 7—5 na primer pokažemo tako-le : Dve skupaj spadajoči razliki n. pr. 7—2 in 7 — 5 se vsled enakosti števil in operacije nekoliko obnav¬ ljata, posebno ako ju računamo drugo za drugo. Pri majhnih odštevkih (2, 3,) poišči razliko tudi, štejoč po 1 nazaj. Pri 10—3 štejemo odmaknivši vsaki- krat po 1 predmet: 9, 8, 7 —10 — 3 = 7. 14 V ostalem primerjaj učno sliko za odštevanje št. 7. Razlike 1—1, 2—2, 3—3, 4—4 izločimo iz prvih vrst ter jih postavimo skupaj, ko odštevamo od 5. Razliko 0 je umeti laže na primerih z večjimi števili in na več primerih hkrati nego na majhnih številih in na posameznih primerih zase. Ko vrsto izvršimo, jo ponovimo, računajoč na predmetih — ene barve — in na pamet. Vsako vrsto razdelimo v dve; soda števila odštevamo zase in liha zase. Na primer iz vrste 8—1, 8—2, 8—3, .... 8—8 naredimo vrsti 8—2, 8—4, 8—6, 8—8 in 8—1, 8—3, 8—5, 8—7; učitelj odmiče od 8 2, 4, 6, 8 predmetov in učenci računajo na kratko: 8 — 2 = 6, 8 — 4 = 4, 8 — 6 = 2, 8 — 8 = 0, i. t. d. V vrsti naj odštevajo učenci gladko, da si razlike bolje zapomnijo. To velja po¬ sebno za zmanjševance 7, 8, 9, 10. Na predmetih je prištevanje in odštevanje raz- merno lahko. Po svojem bistvu je oboje osnovano na štetje in ima to prednost, da dobimo pregledne rezultate takoj. Učenec prešteje prav za prav vsakikrat pred¬ mete v nastavku in rezultatu, le da se tega ne za¬ veda, ker se štetje izvrši hipno. Drugače je, kadar računajo učenci brez nazoril na pamet. Večinoma ima mladina dober spomin in živo predstavljivost; deloma si račune zapomni, deloma obnovi postopek na predmetih v predstavi. Da učenci res obnavljajo v predstavi celi račun, kakor se je vršil na nazorilih, postavljenih v tipične skupine, kaže jasno dejstvo, da oni, ki nimajo računa s števili v spominu, odgovarjajo s pomislekom, počasi, pa zanesljivo. O tem smo se prepričali tudi z obširnimi poskusi, ki smo jih za prištevanje in odštevanje naredili z učenci. Kjer 15 odrečeta spomin in predstavljivost, mora učitelj po¬ magati. Ako učenec pri vaji ne odgovori na vprašanje takoj, ga počakaj nekoliko, morebiti računa na tihem. Ko vidiš, da ne more najti rezultata sam, mu po¬ magaj. Pri vsotah z večjim prištevkom opozori na obratnik z manjšim, na primer pri 3 + 7 na 7 + 3. Če učenec kljubu temu ne najde vsote, daj šteti od prvega pri- števanca v vrsti po 1 in 1 dalje n. pr. pri 7 + 3 štej : 7 in 1 je 8 in 1 je 9 in 1 je 10; 7+-3 je 10, ali pa pokaži račun na kratko (ne da imenuješ nazorila) na računalu. Pri majhnih dopolnkih daj dopolnjevati v vrsti na glas; na primer pri 5+-=8 štej: 5 in 1 je 6 in 1 je 7 in 1 je 8; 5 in 3 je 8 — ali pa domisli učenca naravnost na vsoto, iz katere sledi dopolnek; pri 5+- = 8 vprašaj, koliko je 5 + 3. To-le stori vedno pri večjih dopolnkih. Da učenec najde razliko, daj pri majhnem odštevancu odštevati v vrsti nazaj, n. pr. pri 9—3 odštevaj: 9 manj 1 je 8 manj 1 je 7 manj 1 = 6; 9 manj 3 je 6, ali pa pokaži račun na kratko še enkrat. Ta pomoček je pri večjih odštevancih najprimernejši. Sploh je najkrajše, za učenca najlaže in pač tudi za pomnenje najsigurneje, da pokažeš račun, ki ga učenec ne zna, na kratko še enkrat. S tem namreč, da podaš stvar samo še enkrat, predstava oživi in se drugikrat laže obnovi. Nikdar pa ne povej rezultata sam ali kak drug učenec, to koristi bore malo, ker je osnovano na goli mehanični spomin. Naposled morajo imeti učenci vsote, dopolnke in razlike v prvi desetici tako dobro v spominu, da jih vedo povedati takoj, ne da bi kaj računali ali da bi si predstavljali števila, ko jih izgovarjajo. Zategadelj 16 mora biti vaja in zopet vaja neizogibno in glavno vodilo učitelju. V početnem računanju odločuje spomin J nazornost in razumnost ga podpirata, nadomestiti ga ne moreta. b) Od deset do dvajset. Računom 10 + 1, 10 + 2, 10 + 3, • • • 10 + 10, 10 +-= 11 , 10 + - = 12 , ■ - - 10 +- = 20 , 11—U, 12 — 2, 13 —3, ••• 20—10. je podlaga nazornost. Računaj jih večkrat v vrsti in izven vrste kratko na računalu. Števila 11, 12, 13 ... 20 si morajo učenci predstavljati v obrazcih 10 in 1, 10 in 2, 10 in 3, . . . zato morata biti oba dela vedno dobro vidna. Med prištevanjem, dopolnjevanjem in odštevanjem v prvi in drugi desetici ni bistvene razlike. Deset ostane nedotaknjeno, račun se vrši na številu, ki je črez. Na to je paziti, da uporablja učenec vedoma analogijo s prvo desetico. Da se tega zave, izvršimo nekoliko računov na samih ednicah kot številu zase, potem na celem številu. 3 + 2= 3 +•= 5 5 — 2 = 13 + 2= 13+-=15 15 — 2 = c) Črez deset. Računajoč iz prve desetice v drugo in obratno, razstavimo račun v dva računa. Najprej računamo do 10, potem črez 10. Vse račune, kolikor jih je, naredimo ponovno tako na predmetih in na pamet. Na ta način si za¬ pomnijo učenci rezultate razumno, jih morejo najti, ako so jih pozabili, in izurjenost, ki si jo pridobč tu, 17 jim koristi izdatno pri sličnih računih v naslednjih deseticah. Dovršivši kak skupek v vrsti, ga skleni s prej¬ šnjimi in dovršivši zadnjega, združi vse v vrsto. a) Najprej računajo učenci v klopi in učitelj pona- zoruje na računalu, b) nato računajo poedini učenci sami na računalu, č) potem brez računala, razstavljaje vsak račun na dva, in naposled č) ne da bi razstavljali. To velja za prištevanje, dopolnjevanje in od¬ števanje. Pri prištevanju in dopolnjevanju se ponavljajo vsote 10 + 1, 10 + 2 ,... 10 + 8 in dopolnki 10 + - = 11, 10+ = 12,... 10 + - = 18ter 1 + - == 10, 2 + - = 10,... 9 + - = 10 vsaj deloma od vrste do vrste. Te račune je treba izvežbati dobro, predno začneš prištevati in dopolnjevati črez 10. Med prištevanjem in dopolnje¬ vanjem ponavljati je večkrat vsaj one, ki jih potrebuješ pri dotični vrsti. Prištevajoč številom 9, 8, 7, 6 črez 10 in dopol¬ njujoč jih, potrebuješ pri vsakem številu drugo vrsto dopolnkov in vsot pod 10. Pri 9. vrsti: 1 +. — 2, 1 —|— = 3, l+- = 4, .... 1 - • 9, 1 + - = 9, 2 + • — 9, 3 +• = 9, . . . . 8 + • = 9, Pri 8. vrsti: 2 + • 3, 2 + • = 4, 2+ -==5, . ... . 2 + • 8, 2 + * — 8, 3 + - = 8, 4+,--8,..., 7 + • = 8, 2 18 Pri 7. vrsti: Vsakikrat, predno začneš dotičnemu številu pri¬ števati, izvežbaj vrsto dopolnkov, ki pridejo v poštev. One, ki jih potrebuješ, zapiši od zgoraj na tablo in računaj jih pri vsakem skupku, poudarjaje posebno tiste, ki ti jih je neposredno treba. Obratnike računaj najprej na kratko. Ko si izra¬ čunal na primer 9-(-2, vprašaj, kazaje na nazorila: Koliko je 9 —j— 2? (9 —j— 2 = 11.) Koliko je pa 2 —j— 9 ? 2,—(— 9 je tudi 11. Izračunajmo! Sedaj naredi račun! Dopolnek razvij najprej kratko iz vsote, nato ga računaj. Vsote 9 —j— 2, 9 —j— 3,. 9-)-9 in dopolnki 9- j—- = 11, 9—j— = 12,.9 -j— - = 18, se dado laže zapomniti vzporedno z vsotami 10-j-2, 10-j-3, .... 10 -[-9, oziroma z dopolnki 10-—j— * — 11, 10 —(— - = 12,_ 10- j--= 18. Na to hitrino moreš učence opozoriti; to pa stori šele potem, ko si izračunal vsako vsoto po normalnem načinu. Odštevajoč iz druge desetice v prvo nazaj, ne zamenjamo odštevanca z ostankom. Za 12 — 4 na primer ne naredimo takoj 12 — 8, ker je obnavljalna zveza teh računov tako rahla, da se ne moremo kaj prida zanašati na njo in pa ker nam je do tega, da se učenec takoj tu navadi računati tako, kakor ima računati v višjih deseticah. Pri odštevanju črez 10 se ponavljajo večkrat raz¬ like 10—1, 10 — 2, 10 — 3,_10 — 8, 10 — 9. Te 19 razlike morajo učenci računati gladko, predno začno odštevati črez 10. Odštevajoč od 11, 12, 13, ... . 18, potrebujemo Daši smo te dopolnke rabili že pri prištevanju in dopolnjevanju, priporočati je vendar, da zapišeš pri vsaki vrsti dotične dopolnke zgoraj na tablo in jih daš večkrat računati. Razlike 18 — 9, 17 — 9,.... 11—9 je laže za¬ pomniti v zvezi z razlikami 18—10, 17—-10,.... 11 — 10. Tudi na ta prehitljaj moreš učence opozoriti. Nadrobno postopanje za računanje črez 10 najdeš v učnih slikah št. 11., 12. Izurjenost v računih črez 10 je posebne važnosti. Računski napredek v številnem obsegu do 100 ovira največ nesigurnost v prištevanju, dopolnjevanju in odštevanju črez posamezne desetice in vzrok temu je pičla izurjenost v računih črez prvo desetico. Učitelju in učencem v 1. šolskem letu je odvzeto težko breme s tem, da se jim ni ukvarjati z merjenjem in deljenjem; v nadomestilo za ta izpadek se mora po vsej pravici zahtevati točnost in zanesljivost v računanju črez 10. 4. Množenje. Prištevajoč in odštevajoč, ponazorimo nastavek ter ga presnujemo v rezultat. Iz 4 in 3 n. pr. nare¬ dimo 7, tako da je videti celi račun. 2 * 20 Ne tako, kadar množimo. Tu ponazorimo le na¬ stavek, rezultat izračunajo učenci prištevaje. Določna in razločna predstava produkta je velike važnosti ne le za množenje nego tudi in posebno za merjenje in deljenje; pa tudi koristno ni, da učenec zazre rezultat, ne da bi kaj računal. 4x3 pokažemo na skupini • • • • • • • • • • • • ne pa na obrazcu • • n tudi ne na vsoti 3 —j— 3 -j—3 —j- 3, ker se s številko ine veže vedno številna predstava. V obsegu prvih 10 števil množenje opuščamo. Mnogokratnikov je tu še premalo, da bi mogli učenci dobiti o mnogokratniku jasen pojem. 1 X 1 je začet¬ niku naravnost zagonetka, zmnožki 1X2, 1X3,.... 1 X 10 in obratni produkti 2X1, 3X1,.... 10 X 1 predočujejo kaj slabo mnogokratnik. Kot porabni primeri ostanejo tedaj 2x2, 3X2, 4X2, 5X2, — 2X3, 3 X 3, - 2 X 4, - 2 X 5. Teh osem računov zadostuje jedva za mnogokratniški pojem, posebno ako uvažujemo, da je začetniku to, kar mu hočemo predstaviti za 2X2, 2x3, 2x4, 2x5, kaj rado le 2-\-2, 3-j-3, 4—(—4, 5 —|— 5. O resničnosti te trditve se prepričamo na uporabnih računih. Ako velja 1 svinčnik 2 h, ne veljata začetniku 2 svinčnika 2 X 2 h, nego 2h-\-2h. Potreba, šteti množine kot celote zase, nastane šele, ko se pokaže, da je neokretno jih se¬ števati. 21 Vrhu tega ni nujne potrebe, da seznanimo učence z mnogokratniki, ker jih ne potrebujemo. Drugače je potem, ko učenci že poznajo prvih 20 števil. Število mnogokratnikov je precej narastlo in mnogokratniški pojem nam izdatno koristi pri razšir¬ jenju številnega obsega do 100. Tri-deset, štiri-deset,... so po vsebini in besedi mnogokratniki od 10. Poleg tega je množenje v obsegu prvih 20 števil koristna priprava poštevanki v celem obsegu osnovnih števil. Predno začnemo množiti, seznanimo učence z mnogokratniškim pojmom, ne da bi kaj pisali, potem z znamenjem X, ne da bi kaj računali. 1 kratnik ne pride na vrsto na prvem mestu, ampak kasneje n. pr. za 5kratnikom. (Glej učni sliki št. 13., 14.!) Ko učenci poznajo mnogokratniški pojem, ko umejo in znajo pisati znamenje X, razvijemo takoj vse mnogokratnike števila 2 prištevaje. (Glej učno sliko št. 14.) Daši bi bilo laže, naučiti poprej 2X2, 2X3,... 2X10, ne storimo tega, ker razvijamo na naslednji stopnji pri poštevanki osnovnih števil skozi in skozi mnogokratnike za vrstjo. Najbolje je, da se učenec privadi takoj običajnemu postopanju, ako ni pretežko. Podobno kakor število 2 množimo tudi naslednja števila. Pomnoživši število 3, pokaži, daje 2 X 3 = 3X2, pomnoživši število 4, da je 2 X 4=4 X 2, 3 X 4=4 X 3,...! Kako se to vrši, razvidiš iz učne slike št. 15. 5. Načrtovanje. Tudi s pisnimi znamenji, najčešče s pikami, mo¬ remo ponazorovati števila in račune. 22 Pripomniti je, da se dado načrtati prav za prav le števila, operacije ne. Vsaka operacija je presnova danih števil v novo število, v rezultat. Vsakikrat nam je tedaj razlikovati troje: 1. računski nastavek, 2. presnovo danih števil, 3. posledek presnove, t. j. rezultat. Števila v nastavku in rezultatu se dado načrtati, presnovo izvršimo v mislih. Da načrtamo n. pr. 4—|—3, narišemo zase 4 pike in zopet 3 pike; določivši ustno, da hočemo pridejati 4 pikam 3 pike, združimo v predstavi oba obrazca ter načrtamo skupino 7 pik. Prištevanca tudi v vsoti ločimo ali s črtico ali pa tako, da naredimo pridejane pike nekoliko večje. • • ® ®#|® 4 + 3 = 7 Pri razliki 7—3 na primer načrtamo 7 pik, ločimo od njih 3 pike s črtico ter načrtamo ostanek in od- števanec zase. • •I« 7 — 3 = 4 • • Operacijska znamenja (+, —, =) v narisu iz¬ puščamo. Najbolje bi bilo, da bi imeli učenci sami pred¬ mete v rokah, s katerimi se računa. Videti, kar dela učitelj, zadostuje pač le deloma, a ni dvomiti, da bi si laže in temeljiteje prisvojili osnovne račune, ako bi računali sami s predmeti. Nekoliko popravi ta nedostatek učitelj s tem, da pozove zdaj tega zdaj onega učenca k računalu ter mu veli, ponoviti ope- 23 racijo na predmetih. Ker morejo storiti to le poedini, koristi tako ponavljanje največ po tem, ker vidijo vsi učenci še enkrat, kar je pokazal učitelj. V nado¬ mestilo računanju s predmeti služi za silo načrtovanje. Vendar bi bilo prezamudno in vaji na kvar, ako bi učenci črtali preveč. Le dokler učiš števila in štetje, pri prištevanju, dokler učenci ne znajo pisati številk, in pri prvih ra¬ čunih odštevanja je priporočati načrtovanje. 6. Naloge. Računske naloge te stopnje so: 1. Goli računi, in sicer a) z imenovanimi števili, na primer8h —5h = , 5 X 3 K =, b ) z neimenovanimi števili n. pr. 5 —j—3; 2. uporabne naloge, n. pr. Anica kupi zvezek za 4 h in svinčnik za 2 h. Koliko da za oboje? Pri golih računih gre le za to, da izvršimo dano operacijo, pri uporabnih nalogah imamo najti poprej računsko operacijo. Goli računi so najlažji, a za urnost v računanju in za pomnenje osnovnih vsot, dopolnkov, razlik in mnogokratnikov neizogibni. Ali naj delamo gole račune z imenovanimi ali z neimenovanimi števili ? V resnici računamo redkokdaj z neimenovanimi števili, ker nimamo povoda za to; vsakdanja potreba nas navrača na imenovana števila. Osnovnih računov ni mogoče razumno izvrše¬ vati drugače nego na predmetih, pa tudi vsak rezultat porabimo tako, da računamo s predmeti, ki jih imajo učenci pred očmi, ali s predstavami predmetov, > zetih 24 iz najbližjega obzorja učencev. Vse uporabne naloge se vrše naposled na imenovanih številih. Ali tudi z neimenovanimi števili je treba računati in sicer mnogo več nego z imenovanimi. Osnovne vsote, dopolnke, razlike in mnogokratnike mora vedeti učenec na pamet, inače uspeva slabo nadaljnji računski pouk. Za to pak je treba vaje in zopet vaje, ki se vrši naj¬ krajše na neimenovanih številih. V računici so goli računi le z neimenovanimi števili. Največ je tročlenskih, razmerno manj dvočlenskih. Iz dvočlenskih računov jemlje učitelj pismene vaje za učence, tročlenski računi so namenjeni učitelju in učencem za ustne vaje, pozneje tudi učencem za pismene. Kako je ravnati učitelju pri tročlenskih računih, pokazati hočemo na primerih. Na 10. strani št. 4. je skupek tročlenskih vsot: 1 + 2+1 = 1+3+1 = 2 + 2 + 1 = Ne da bi imeli učenci knjigo v roki, da učitelj računati vsoto za vsoto tako-le: (1+2+1=) —Učitelj 1+2, učenec 1+2=3; učitelj 3+1, učenec 3+1 = 4. Tako je računati tročlenske račune v obsegu števil do 5 in s prištevkoma 1 in 2 v številnem obsegu do 10. Pri prištevku 3 ali 4 pokaže učitelj, kako je čitati in računati tročlenske račune iz knjige. 25 Na 13. strani št. 3. n. pr. je prvi skupek 1+2 + 3 = 3+2+3= 5 + 1 + 3 = Učitelj napiše na tablo 1+2 + 3 = 3 +3=, naredi pod prva dva člena črto ter veli izračunati 1 + 2, rezultat 3 zapiše pod črto. „Koliko je 1+2, že vemo; sedaj hočemo zvedeti, koliko je 3 + 3.“ Tretji člen 3 pripiše in da izračunati 3 + 3. Slično postopa od računa do računa, dokler ni učencem jasno bistvo tročlenskega računa. Na tabli nastane za navedeni skupek slika: 3 + 2 + 3 = 5 +3 = 5+U+3 = 6 +3 = 26 Odslej računajo učenci tročlenske račune tudi iz knjige po primeru: 4+3+3= 4 + 3= 7 7 + 3 = 10. Kasneje, pri prištevku 4 ali 5 se pri enem delu računov ne ponavlja več rezultat .nego se računa na kratko po primeru: 2+2+5= 2 in 2 je 4 in 5 je 9. Pri vajah za odštevanje je dvočlenskih računov razmerno malo, pripraviš pa si jih izlahka zadosti, ako pri dopolnilnih tročlenskih računih jemlješ skupaj prva dva člena, ne oziraje se na dopolnjevanje. Sicer so se pa do odštevanja pač učenci že pri¬ vadili reševati tročlenske račune iz knjige in sedaj naj jih tudi zapisujejo, toda največ v obliki dvočlenskih po primeru: 1 + 2 — 1 = 1+2 =3 3—1 =2, to pa zavoljo tega, ker napisani račun tudi podpira spomin. Odslej se vrše vaje na tročlenskih računih: 1. ustno, a) ne da bi gledali učenci v knjigo, b) iz knjige; 2. pismeno, pa le toliko, kolikor je potreba, da se učenci izurijo v pisanju številk in operacijskih zna¬ menj, in pri pouku po oddelkih, da porabiš čas, ki ti je na razpolago. 27 Uporabne naloge. Za začetek izberemo take uporabne naloge, da moremo učencem pred oči staviti stvari, o katerih teče račun. N. pr. V škatlici imam 5 orehov, 3 orehe denem še notri. Koliko orehov je v škatlici? Škatlico in orehe naj učenci vidijo; razsodek „v škatlici je 6 orehov in 3 orehi 11 izgovori, ko devaš 3 orehe k 5 orehom. Pri računu: „Tonček ima 10 h. Za 4 h kupi zvezek. Koliko h mu še ostane?" naj imajo učenci zvezek in vinarje pred očmi in razsodek „Tončekima 10 h manj 4 h“ izgovori tedaj, ko jemlješ 4 h od 10 h, in tako dalje. Kasneje ne stavimo stvari neposredno pred oči, pač pa jih predočujemo na slikah. Natančneje razvidiš postopek iz učnih slik št. 5., 8., 16. Stvari ali slike rabimo, da olajšamo razumno pre¬ sojanje stvarnih razmer in zavisnost količin v nalogi. Ko smo naredili mnogo uporabnih nalog na prvi in drugi način, damo računati na stvarnih predstavah brez predmetov in brez slik. Vsakikrat je zahtevati celotni zaključek v obliki, ki odgovarja številnemu razmerju v nalogi. N. pr. Janezek najde pod eno jablano 6 jabolk, pod drugo 5 jabolk. Koliko jabolk je našel ? Zaključek: Janezek je našel 6 jabolk in 5 jabolk. 6 jabolk in 5 jabolk je 11 jabolk. 4 jabolka poje. Koliko jabolk ima še? Zaključek: Ko poje 4 jabolka, ima 4 jabolka manj. 11 jabolk manj 4 jabolka je 7 jabolk. Na tej stopnji vadi posebno prištevalni in odšte- valni zaključek, množilnega manj, vse pa v najenostav¬ nejši obliki; stvari jemlji skozi in skozi iz obzorja, ki je učencem popolnoma znano. 28 Izmed enot vsakdanjega življenja učimo na tej stopnji: 1. Novce — vinar (h) in dvovinarnik (=2 h pri prištevku 2), desetico (= 10 h, v številnem obsegu od 10—20) in krono (K). 2. Dolžinske mere — meter (m) in decimeter (dm) (m =10 dm, v številnem obsegu od 10—20.) 3. Uteži — kilogram (kg). 4. Votle mere — liter (1) in deciliter (dl). 5. Časovne mere — teden =7 dni (6 delavnikov), leto = 12 mesecev. 6. Števne mere — par=2 komada (pri prištevku 2) in ducat =12 komadov. Novce je treba pokazati in opisati na kratko, isto velja za liter in kilogram. Z metrom in decimetrom se mora meriti in kadar računaš, prepričaj se z merilom v roki o izpravnosti rezultata. Da vedo učenci približno ceniti teg 1 kilograma, daj jim kilogram težkati in povej jim, da je 1 kilo¬ gram skoraj tako težak, kakor literska steklenica, na¬ polnjena z vodo, vinom ali pivom. Malo je učencev, ki še niso imeli v roki litra vode, vina ali piva. B. Jezikovne pripombe. Glavni števniki se rabijo drugače, kadar so šte¬ vila imenovana, in zopet drugače, kadar so neime¬ novana. A. Kadar so števila imenovana, se glavni števniki inkluzivno do štiri v spolu, sklonu in številu ujemajo z imenom štete reči; isto velja za vse nadaljnje števnike, le da imajo ti-le v prvem in četrtem sklonu samostal- niško moč in zato ime štete reči v drugem sklonu pri sebi. Potemtakem se računa: I. eden klobuk, dve mizi, tri leta, pet kocek, sto metrov, tisoč kron; II. eni kocki, od treh šibic, v štirih kockah, petim polam, od desetih let, v sto metrih, proti tisoč kronam; prim. izraze: ob dveh (namreč: urah), od petih do šestih, po štirih (namreč: udih) hoditi; III. za eden (ena, eno), dva (dve), trije, štirje (tri, štiri) stoji glagolski povedek v dotičnem številu, za vsemi nadaljnjimi števniki in za vprašalnico ,koliko' pa v ednini: dva svinčnika sta tu, trije svinčniki so tu, a: pet svinčnikov je tu, koliko svinčnikov je tu? Štirje svinčniki so tu. Po tem pravilu se izražamo pri merjenju tako-Ie: Kolikokrat je ena kocka v treh kockah ? Kolikokrat sta dve kocki v šestih kockah ? Kolikokrat so tri kocke v 30 šestih kockah? Kolikokrat je pet kocek v desetih kockah ? Pri merjenju je stvar lahka, ker se nahaja v vpra¬ šanju in odgovoru le eden števnik v imenovalniku. Pri drugih operacijah, kjer dobimo dva števnika v imenovalniku, nastane težavno vprašanje, kateri je osebek, po katerem naj se ravna število pomožnega glagola. V vprašanjih odločuje o številu pomožnega gla¬ gola tisti stavkov del, ki nima vprašalnice v sebi, v odgovorih pa svota, produkt, razlika in kvocijent. Deli se: Koliko kocek dobimo, ako razdelimo 3 kocke na 2 enaka dela? i. t. d. ali: Koliko kocek so štiri kocke, deljene na 2 enaka dela (z 2)? Štiri kocke deljene na 2 enaka dela (z 2), sta dve kocki. Koliko kocek je 6 kocek, deljenih na dva enaka dela (z 2)? Šest kocek, deljenih na 2 enaka dela (z 2), so tri kocke. Koliko kocek je deset kocek, deljenih na 2 enaka dela (z 2)? Deset kocek, deljenih na dva enaka dela (z 2), je pet kocek. (Kvocijent.) Množi se*): Kolikokrat ena kocka so tri kocke? Trikrat ena kocka so tri kocke (ali: tri kocke so trikrat ena kocka). Kolikokrat dve kocki so štiri kocke? Dva¬ krat dve kocki so štiri kocke (ali: * štiri kocke so dva¬ krat dve kocki). Kolikokrat tri kocke je šest kocek? Dvakrat tri kocke je šest kocek (ali: * šest kocek je dvakrat tri kocke). (Produkt.) Koliko (kocek) je dvakrat ena kocka? Dvakrat ena kocka sta dve kocki. Koliko kocek sta dvakrat dve kocki? Dvakrat dve kocki so štiri kocke. Koliko kocek sta trikrat dve kocki? Trikrat dve kocki je šest *) V nastopnem z zvezdo označeni zgledi se mi sicer zde nekoliko neokretni, a opravičuje jih prepotrebna enoličnost izra- ževanja. 31 kocek. Koliko kocek so štirikrat tri kocke ? Štirikrat tri kocke je dvanajst kocek. Koliko kocek je dvakrat pet kocek? Dvakrat pet kocek je deset kocek. (Pro¬ dukt.) Odšteva se: Koliko kocek sta dve kocki manj ena kocka? Dve kocki mani ena kocka je ena kocka. Koliko kocek so štiri kocke manj dve kocki? Štiri kocke manj dve kocki sta dve kocki. Koliko kocek je šest kocek manj dve kocki? Šest kocek manj dve kocki so štiri kocke. Koliko kocek je osem kocek manj dve kocki ? Osem kocek manj dve kocki je šest kocek. (Razlika.) Dopolnjuje se: Ena kocka in koliko kocek sta dve kocki (so tri kocke)? Ena kocka in ena kocka sta dve kocki (ali: dve kocki sta ena kocka in ena kocka). Ena kocka in dve kocki so tri kocke (ali: tri kocke so ena kocka in dve kocki). Dve kocki in koliko kocek so štiri kocke? Dve kocki in dve kocki so štiri kocke (ali: * štiri kocke so dve kocki in dve kocki). Tri kocke in koliko kocek je pet kocek? Tri kocke in dve kocki je pet kocek (ali: * pet kocek je tri kocke in dve kocki). Pet kocek in koliko kocek je deset kocek? Pet kocek in pet kocek je deset kocek. (Svota.) Prišteva se: Koliko kocek je ena kocka in ena kocka? Ena kocka in ena kocka sta dve kocki. Koliko kocek sta dve kocki in ena kocka? Dve kocki in ena kocka so tri kocke. Koliko kocek so štiri kocke in ena kocka? Štiri kocke in ena kocka je pet kocek. B. Ako so števila neimenovana (samostalno rab¬ ljeni pojmi), so glavni števniki neizpremenljivi. Zato se abstraktno I. tako-le šteje: eden, dva (ali: ena, dve), tri, štiri, pet . . .; 32 II. množi in deli se: z dva (dve), s tri, s štiri, s pet, z deset, s sto, s tisoč . . . (ne: s štirimi, s petimi; prim. do pet šteti, ne: do petih; glej spis „Mate- matiški problem v slovnici" v Popotniku 1900, 23—27 in 50—56), a seveda: z eno polovico, s tremi četrtinami; III. pomožni glagol je vedno v ednini: Kolikokrat je dve v štiri? Dve v štiri je dvakrat. Kolikokrat je tri v šest? Tri v šest je dvakrat. — Koliko je štiri, deljeno z dve? Štiri, deljeno z dve, je dve. Koliko je šest, deljeno z dve? Šest, deljeno z dve, je tri. Koliko je deset, deljeno z dve? Deset, de¬ ljeno z dve, je pet. — Kolikokrat ena jetri? Tri¬ krat ena je tri. Kolikokrat dve je štiri? Dvakrat dve je štiri. — Koliko je dvakrat ena? Dvakrat ena je dve. Koliko je dvakrat dve? Dvakrat dve je štiri. — Koliko je dve manj ena? Dve manj ena je ena. Koliko je štiri manj dve? Štiri manj dve je dve. — Ena in koliko je dve? Ena in ena je dve. Dve in koliko je štiri? Dve in dve je štiri. * * * Računa se torej na primer: Kolikokrat sta dve kocki v šestih kockah? Dve kocki sta v šestih kockah trikrat. Koliko je dve v šest? Dve v šest je trikrat. — Koliko kocek so dvakrat tri kocke? Dvakrat tri kocke je šest kocek. Koliko je dvakrat tri? Dvakrat tri je šest. — Koliko kocek so tri kocke manj ena kocka? Tri kocke manj ena kocka sta dve kocki. Koliko je tri manj ena? Tri manj ena je dve. — Koliko kocek so tri kocke in ena kocka? Tri kocke in ena kocka so štiri kocke. Koliko je tri in ena? Tri in ena je štiri. Dr. Fr. Ilešič. I. Ponazorovanje števila 6 (oziroma 2, 3, . . . 10). Priprava oziroma ponavljanje. a) Učitelj dela na tablo pike (glej I. obrazec!) in vpraša: 1. obrazec. „Koliko pik smo naredili, 0?“ (1) „In sedaj, NV' (2). Tako se nadaljuje po vrsti do 5. b) „Preštej pike, R\“ (Učenec šteje: 1 pika, 2 piki i. t. d. Da je treba učitelju pike kazati, se umeje.) c) „Preštej jih še enkrat kratko, N\“ (1, 2, 3, 4, 5.) d) „Štejodl—5,5/“ (eden, dva .. pet) „Še 77//£/...“ e) „Štejte od 1—5 vsi! Prični-te!“ f) „ Pridi k računalu in nastavi število 1, A!“ Učitelj: „Narediti hočem tudi podobo za to število na tablo!" Isti učni postopek do 5. (Ako je podoba za kako število različna [glej 2. obrazec!], naj nastavljajo učenci števila s kroglicami ali kockami tudi različno. Podob za števila v začetku naj ne črtajo otroci [pozneje pač], ker jih narede zelo slabo. Nariši jih učitelj rajši sam.) 2. obrazec. • • •• 0 0 ® ® 00 0 ® 0 ® 00 0 0 00 000 ®0® 1 2 3 3 3 4 5 5 g) „Pridi k tabli in pokaži podobo za število 5, (3, 2, 4, 1.) G!“ „Še ti B! C!“ 3 34 h) Učitelj: „Narejati hočem podobe za števila s kroglicami; odgovarjajte na vprašanja vsi, toda kratko! (Učitelj nastavljaj na računalu kroglice tako, kakor so načrtane pike v 2. obrazcu.) Katero šte¬ vilo?" (Učenci: Število 5.) „In sedaj?" (Število 3.) i. t. d. — (Enak postopek s kockami.) Učitelj: „Za vsako število —kakor veste — imamo tudi znamenje. Kako imenujemo ta zna¬ menja? (številke) Kateri jih dobro pozna?" i) „Beri številke, ki jih bom napisal, 5!" (Napišejo se najprej pod podobe za števila, a potem posebej. Bero se v vrsti in izven vrste. — Nato napravi učitelj iz kocek (ali kroglic) števila od 1—5 ter kazaje nanje nadaljuje: j) „Katero število je za številom 1?" (2? 3? 4?) k) „Katero število je med številoma 1 in 3? — 3 in 5? — 2 in 4?" (Se večkrat ponavlja.) Napoved smotra. „Otroci! Sedaj vam hočem pokazati število, ki ga še ne poznate." Podavanje. „Koliko kroglic je na računalu, /??“(... 5) [Glej 3. obrazec!] 3. obrazec. —•—•—•—•—•-•— Potem učitelj porine še 1 kroglico in vpraša: „Ali je sedaj še 5 kroglic na računalu, /?" (Ne.) „Ali jih je manj ali več, P?" (Več.) „Pomnite! Sedaj je na računalu 6 kroglic. Pre¬ šteti jih hočem najprej sam (1 kroglica, 2 kroglici i. t. d.).“ Učitelj kaže vedno vse kroglice, ki jih je treba za dotično število, ne pa zadnje v številu. a) „Preštej jih, A! B! C! D!.. . Vsi! Prični-te!“ 35 b) „Štej kratko, S!“ (1, 2, 3, 4, 5, 6.) „Vsi! Pričnite! — Otroci! Štejemo pa lahko krajše. Pozor! (Kažoč na prvih 5 kroglic, šteje učitelj): „5 kroglic, 6 kroglic. “ c) „Štej tudi ti krajše, R! S! T!... Vsi! Prični-te!“ — Učitelj: „Šteti hočem prav kratko" (5,6). d) „ Štej tudi ti tako, N!“ (5, 6). „P! R!. .. Vsi! Prični- te!“ e) „Pridi sem in pokaži prvo kroglico, N!“ (drugo, . . . peto. Kazaje na šesto kroglico, pripomni učitelj:) „Otroci! To je šesta kroglica. Ponovi, A! B!“ f) „Pridi k računalu in pokaži 1., 6., 2., 5., 3., 4. krog¬ lico, R!“ „Še ti, F! G!“ g) Učitelj: „Pokazati hočem kroglice in vi povejte, katera je? Odgovarjajte kratko!“ (Učenci: tretja.. peta). — Isti postopek s kockami in naposled s pi¬ kami. Združitev. ,,Koliko kroglic je na računalu?" „Koliko kocek je na mizi?" „Koliko pik je na tabli?" (Še kaže.) Posnetek. „0 katerem številu smo se danes učili, N?“ (... 6.) „Ponovi, A!“ . . . a) Potem naredi učitelj podobo za število 5 na tablo in vpraša: „Kaj je to?“ (...podoba za število 5.) „Pazite, otroci! Iz te podobe hočemo napraviti po¬ dobo za število 6. — Taka-le je! 0 2 1 4 9 3 Oglejmo si podobo natančneje! Koliko pik je zgoraj ?“ „Koliko spodaj ?“ „Koliko vseh skupaj ?" „Preštej jih, N! O! P!... Vsi! Prični-te! “ — (Kazati jih je treba tako, kakor so označene s šte¬ vilkami.) 3 36 b ) ,,Naredi podobo za število 6 s kroglicami na računalu, 77“ ,,Še ti, G/“ c) „Napravi jo s kockami na mizi, Sl 77“ Učitelj: ,,Za to število imamo tudi posebno znamenje. (Se napiše poleg- podobe in pristavi:) Pomnite! To je številka 6. — Kaj je to, N? O? P? Vsi!“ . . . Vaja. „Sedaj hočemo tudi nekoliko risati." Učitelj na¬ riše 6 križev in vpraša: „Kaj smo narisali?" (...križe.) „Koliko jih je?“ (6) „Preštej jih še ti, ///“ (Narišejo se še stolčki, mizice i. t. d.) „Koliko prstov kažem, R?“ (6) „Preštej jih!“ „Pokaži jih še ti, a ravno tako, C!“ Kazaje na (računsko) tablo, na kateri je naslikan velik hrošč, vpraša učitelj: „Kaj vam kaže ta podoba ? Kdo ve?“ (... hrošča.) „Koliko nog ima hrošč? Preštej jih, P!“ „Koliko šip je v oknu? Preštej jih!“ (itd.) Pri ponazorovanju števil se je treba precej časa muditi; prenaglo izvršeno ponazorovanje števil se pri na¬ daljnjem pouku vedno maščuje. II. Pojem „in“. Nazorila. Kozarec, v katerem je nekoliko lešnikov, računalo, kocke. Učni postopek. „Kaj je v kozarcu, OP“ (... lešniki.) Učitelj dene še nekaj lešnikov v kozarec in nadaljuje: ,,Kaj smo na¬ redili, T?“ (Nekoliko lešnikov smo dali v kozarec.) Učitelj: „Ali je v kozarcu toliko lešnikov kakor poprej, H?“ (... ni toliko lešnikov.) Učitelj: „Pomnite! Sedaj je v kozarcu več leš¬ nikov. — Ponovi to in poudari besedo ,več‘ //“ — ,, Ponovi še, K!“ 37 Učitelj: „Kdo ve, kaj moramo storiti, da imamo v kozarcu več lešnikov? No, T?“ (Nekoliko lešnikov moramo pridejati.) — „Kaj moramo storiti, da imamo v denarnici več denarja?" (itd.) — ,,Kaj moramo torej storiti, da dobimo več, K?“ (... moramo pridejati.) — (Potem nastavi učitelj na računalu 2 kroglici ter primakne tema dvema še 2 kroglici.) „Kaj smo storili, OP“ (2 kroglici smo pridejali.) Kažoč na vse 4 kroglice, nadaljuje: ,,Ali imamo sedaj še toliko kroglic kakor poprej, I?“ (Pri tem vpra¬ šanju zakrije pridejani 2 kroglici in ju zopet odkrije.) Učenec: ,,Sedaj imamo več kroglic.“ — „Pomnite! Kadar pridenemo dvema kroglicama še dve kroglici, govorimo: 2 kroglici in 2 kroglici. Ponovi samo to, kar na računalu kažem, C !“ (2 kroglici in 2 kroglici.) ,,Ponovi še, G/“ . . . Učitelj: „Povedati hočem tudi krajše: 2 + 2. Ponovi, B!“ „Še, D!“ . . . „Napišimo to! Narekuj, F!“ — (Učenec narekuje, učitelj piše.) Nato učenci več¬ krat prebero, kar je učitelj napisal in sicer a) posamezno, b) v zboru. Naposled jih učitelj seznani z znamenjem „in“ (-)-). Prav tako postopaj pri vseh drugih primerih, kolikor jih je še v obsegu števil 1 — 5 (Glej str. 5 in 6. I. računice!) III. Prištevanje v številnem obsegu od 1 — 10. Računa: 6 + 3, 3+6. Priprava oziroma ponavljanje. Predno se hočemo učiti novih računov, ponovimo že znane, ki so na pisani na šolski tabli! 38 „Prični računati, A!B!“ . . . Učitelj kaže s palico račune najprej v vrsti, potem izven vrste. — Ko učitelj pokaže enačaj, povedo učenci šele po kratkem pomisleku na dano znamenje rezultat. Naposled računajo otroci tudi tako-le: 1 2 3 = 4 ali 3 = 5 ali 1 2 4 5 i. t. d. Da se morajo otroci zlasti na rezultate opozarjati, ni treba poudarjati. Podavanje. Učitelj porine na računalu 6 kroglic izza deske in vpraša: „Koliko kroglic vidiš na računalu, 0?“ (... 6 kroglic.) —999 - - 99 ®- Potem porine 3 bele kroglice (ki se pa ne smejo dotikati prejšnjih) —99®-O- — 999 -OO - in vpraša: „Koliko belih kroglic vidiš, A?“ (. . . 3 bele kroglice.) — Nato pridene 3 bele kroglice 6 črnim ter nadaljuje: „Kaj smo naredili, I?“ (3 bele kroglice smo pridejali.) „Koliko kroglic smo dobili, ///“ (...9.) —•••o- —®®®oo-—-- „Preštej jih, Š/“ (1, 2,.9.) „Preštej jih krajše, 77“ (Učitelj prične kazati pri 7. beli kroglici, a učenec šteje: 7, 8, 9.) „Koliko kroglic dobimo, ako pridenemo 6 krog¬ licam 3 kroglice, PP“ (...9.) „Vprašati hočem še dru¬ gače: Koliko kroglic je 6 kroglic in 3 kroglice, G?“ 39 (6 kroglic -f- 3 kroglice = 9 kroglic.) Učenec odgovarja, učitelj obenem ponazoruje. »Ponovi A! B!“ . . . Prav tako se ponazoruje račun s kockami in nazadnje s pikami. Pri ponazorovanju s kockami prideni učitelj 6 belim kockam 3 črne. Na črne kocke prilepi zaradi boljšega pregleda — kocka se namreč tesno dotika kocke — bele in na bele kocke črne iz papirja narejene pike. Najpri¬ merneje je, da je razdalja med poedinimi pikami tolika, kakor premer pikam. Pike, ki jih pririšeš pri ponazorovanju, naj so ne¬ koliko večje od prejšnjih. • • • • • • • • 9 Zadnje ponazorovanje učenci pri prvih računskih slučajih prerišejo v svoje zvezke ter spodaj napišejo račun. • •• • •••• ••• •• 9 • » ® ® 6 + 3 = 9 Združitev. „Koliko kroglic je 6 kroglic in 3 kroglice?“ „ kocek „ 6 kocek „ 3 kocke?" „ pik „ 6 pik „ 3 pike?" Vsako vprašanje stavi le enkrat. Posnetek. ,,Koliko je 6 + 3, //“ „Ponovi, A! B!... Vsi!" Pri posnetku ne ponazoruj več! Vaja. »Koliko je 6 h + 3 h, 6 desetic + 3 desetice?" i. t. d. 40 Uporaba. „Oče kupijo sinu suknjico za 6 K in slamnik za 3 /C; koliko morajo plačati? Ponovi nalogo 77“ — „Koliko morajo plačati, P? Zaključi!“ (Plačati morajo 6/C in 3 K). — „Povej odgovor, S!“ (Plačati morajo 6 K+3 K, torej 9 K.) Otroci naj ne pričenjajo odgovora z besedo ,,ako“ i. t. d., ker so taki odgovori — zlasti prve mesece — zanje predolgi. Obratni računski slučaj: 3 + 6. Priprava se ne ponavlja. Podavanje se vrši tako-le: Učitelj (kazaje na 3 bele in 6 črnih kroglic) vpraša: „Kdo ve, koliko je 3 kroglice in 6 kroglic? No, R!“ (3 kroglice -j- 6 kroglic = 9 kroglic.) „Preštej jih, A /“ ,,Koliko je 3 kroglice in 6 kroglic, C?“ ,,Ponovi, A! B!.. . Vsi!“ Prav tako postopaj pri drugih nazorilih. Združitev. (Glej združitev 1. računskega slučaja!) Posnetek. „Koliko je 3 —j— 6? Ponovi, A! B! . . . Vsi!“ Vaja in uporaba. (Glej učni postopek za prejšnji račun.) Krajši učni postopek. Ako je učitelj ponazoroval seštevanje na omenjeni način že večkrat ter otroci razumejo bistvo učnega po¬ stopka, se vrši podavanje n. pr. računa 6 + 4 na sledeči način: 41 Pomaknivši 6 belih kroglic izza deske računala, vpraša učitelj: „Katero število //“ (6) Ko je porinil še 4 črne kroglice, ki so nekoliko oddaljene od prejšnjih: „Katero število še, K?“ (4) Pririnivši 4 kroglice šestim: „Kaj smo naredili, 0?“ (4 smo pridejali.) „Koliko smo dobili?" (10.) — „Preštej kratko! Koliko je 6 —j— 4, N1“ (6 + 4= 10.) „Ponovi, A! B!. . . Vsi!“ — Za podavanjem sledi takoj vaja in uporaba. Razvidno je iz učnega postopka, da otroci računajo na videz z golimi števili, pravzaprav pa s predmeti. Učitelj si pridobi s tem postopkom dokaj časa, pouku pa krajše podavanje ni v kvar. IV. Dopolnjevanje. Računa: 6 -j- • = 9; 3 J r- = 9. Priprava oziroma ponavljanje. ,,Računaj, kar je na tabli na levi, J!“ „Kar je na desni, R!“. . . . Se ponovi: a) v vrsti, b) izven vrste. — Najprej računajo posamezni učenci, naposled vsi. Napoved smotra. Učitelj: „Danes hočemo izračunati 6 -j- • = 9 in 3 —j— • = 9.“ (Računa se pripišeta in podčrtata.) Podavanje. Učitelj porine na računalu izza deske 6 črnih kroglic in od teh v razdalji približno 1 dm 3 s kredo pobeljene 42 —•••-o- —•••-oo- in vpraša: „Koliko kroglic vidiš na levi, N?“ (.. 6) — Kažoč na kroglice, nadaljuje: „Koliko kroglic je 6 kroglic in 3 kroglice, SP“ (... 9 kroglic.) Zakrivši 3 bele kroglice z deščico, —•••- — ••• - vpraša: „6 kroglic in koliko kroglic je 9 kroglic, N?“ (6 kroglic -j- 3 kroglice = 9 kroglic.) (Vprašanje in odgovor se ponovita 5 —6 krat.) Po odgovoru, a ne prej vselej učitelj deščico odmakne, da se učenci prepričajo o istinitosti trditve. — Beseda „koliko“ v vprašanju in tudi prišteto število pri odgovoru se mora poudarjati, ker ravno ta poudarek, zlasti v odgovoru (6 —[— 3 = 9) označuje pravzaprav dopolnjevanje. — Isto tako se ponazoruje s kockami. Združitev. „6 kroglic in koliko kroglic je 9 kroglic?" ,,6 kocek in koliko kocek je 9 kocek?“ Posnetek. „6+- = 9“ (6 + 3 = 9.) „Ponovi, A! .Zbor!" Vaja. „6 h (K, ’n) in koliko h {K, m) je 9 h ( K, tri )?“ i. dr. Uporaba. „Milica ima 6 podobic, a rada bi jih imela 9; koliko podobic mora še dobiti?" i. dr. 43 Obratni račun se ponazoruje isto tako kakor prejšnji. — Tudi pri dopolnjevanju se podavanje pozneje skrajša na ta način, kakor je razvidno iz slike za prištevanje. — Krajšemu podavanju sledi — kar se je že omenilo pri prejšnji sliki — takoj vaja in uporaba! V. Ponazorovanje zaključka za seštevanje. Priprava oziroma ponavljanje. Ponovi se kratko, kar je otrokom doslej znano o novcih, n. pr.: „Kaj je to, I?“ (. . vinar.) — „Kaj vidimo na sprednji strani vinarja?" (... številko 1.) „Kaj zapa¬ zimo na zadnji strani, R?“ (. . . dvoglavega orla.) — „Iz česa je vinar, P?“ (. . . iz brona.) — „Kaj je še iz brona, T?“ (. . zvonovi.) —- „Kaj je to, 0?“ (. . dvo- vinarnik.) — „Kaj vidiš na sprednji strani?" (. . šte¬ vilko 2.) „Na zadnji?" (. . dvoglavega orla.) — ,,Iz česa je dvovinarnik, I ?“ (... iz brona.) — „Koliko vinarjev ima dvovinarnik, S?“ Ravno tako se opazuje desetica. (Koliko vinarjev ima desetica? — Koliko dvovinarnikov?) 1. uporabna naloga. „Pozor! Mati kupijo skledico za 4 dvovinarnike in lonček za 5 dvovinarnikov; koliko morajo plačati? — Ponovi, kar sem povedal, //“ „Še K!“ Napoved smotra. „Otroci! Kako je treba misliti, ako hočemo zvedeti, koliko morajo mati plačati, tega se bodemo sedaj učili." Podavanje. „Kaj kupijo mati, S?“ (. . . skledico.) Narišimo jo! o o o o 44 O o o o o O O I o o o o I o o o „Koliko so dali mati za skledico, R?“ (. . 4 dvo- vinarnike.) — Narišimo tudi 4 dvovinarnike! — ,,Kaj kupijo mati še, OP“ (. . lonček.) — Narišimo tudi tega! Učitelj. ,,Koliko so dali mati samo za skledo, S?“ (. . 4 dvovinarnike.) — ,,Koliko samo za lonček, F?“ .(... 5 dvovinarnikov.) — „Kdo ve, koliko so dali mati za skledo in lonček? No, G?“ (. . . 9 dvovinar¬ nikov.) — ,,Kdo ve, kako je G to izračunal?" (4 dvo¬ vinarnike je pridejal 5 dvovinarnikom.) Ako tega ne ve povedati noben učenec, pove jim učitelj sam. — Kažoč na sliko na tabli, nadaljuje učitelj: „Za skledico in lonček so mati dali 4 dvovinar¬ nike in koliko dvovinarnikov, H?“ (Za skledico in lonček so dali 4 dvovinarnike in 5 dvovinarnikov.) Učitelj odgovor učenca ponovi in izgovorivši be¬ sedo „in“ (4 dvovinarnike -j- 5 dvovinarnikov), naredi znamenje (-)-) med narisane dvovinarnike. „Ponovi še enkrat, kar sem povedal, J!“ Učitelj: ,,Kar je/sedaj povedal, je zaključek." — „Ponovi zaključek, A!“. . . — „Ponovi zaključek ali zaključi, R!“ — „Zaključi, D! E!“ ... — „Zaključite vsi! Prični -1 e! “ (Učitelj vedno kaže na podobo, a učenec govori, gledajoč na podobo.) Učitelj: ,,Koliko dvovinarnikov so 4 dvovinarniki in 5 dvovinarnikov, R?“ (4 dvovinarniki -|- 5 dvovinar¬ nikov — 9 dvovinarnikov.) „Otroci! Ako bi nas kdo vprašal, koliko morajo mati plačati za skledico in lonček, odgovorili bi tako: Za skledico in lonček morajo plačati mati 4 dvovinarnike in 5 dvovinarnikov, torej 9 dvovinarnikov. Ponovi to, L!“ Ko učenec ponavlja, kaže učitelj na sliko in mu tako olajšuje odgovor. — Potem pa učitelj pripomni: ,,Otroci! Kar je sedaj L povedal, je odgovor.' 1 — „Ponovi odgovor, A! B !.. . Vsi! Prični-te!" 45 2. uporabna naloga. Nežica kupi molitvenik za 6 desetic in žepni robec za 3 desetice; koliko mora plačati? (Ako sta morebiti izraza: molitvenik, žepni robec, otroku neznana, pojasniti se morata pred nalogo, a ne pozneje, drugače učenci med tolmačenjem neznanih iz¬ razov že pozabijo nalogo.) Podavanje. Pri tej uporabni nalogi je podavanje prav tako kakor pri prejšnji. Posnetek. „Pomnite! Danes smo izvajali zaključke in dajali odgovore." Vaja. Nadaljnja vaja v zaključkih in odgovorih: a) z risa¬ njem, b) brez risanja. VI. Pojem „manj“. Nazorila. Kozarec, napolnjen z lešniki, računalo, kocke. Učni postopek. „S čim je napolnjen ta kozarec, I?“ (■ ■ z lešniki.) — „Koliko lešnikov je v kozarcu, 0?“ (. • mnogo, veliko.) Učitelj vzame nekoliko lešnikov proč ter nadaljuje: „Kaj smo naredili, F?“ (Nekoliko lešnikov smo proč vzeli.) Ali je sedaj še toliko lešnikov v kozarcu, G ?“ (Ne.) Učitelj: „Pomnite! Sedaj je manj lešnikov v kozarcu. Ponovi to in poudari besedo ,manj 1 , A „Kaj moramo storiti, da imamo v kozarcu manj lešnikov, A?“ (. . . . jih moramo proč vzeti.) — „Kaj moramo storiti, da imamo v vreči manj krompirja, 0?“ „Kaj moramo storiti, da imamo v denarnici manj denarja?" i. t. d. 46 Učitelj: ,,Kdo ve, kaj moramo storiti, da do¬ bimo manj? No, K E (Da dobimo manj, moramo proč vzeti.) —• „Ponovi, A!“. ... Sličen je postopek s kockami. Nato nastavi učitelj na računalu 4 kroglice ter odmaknivši 1, vpraša: „Kaj smo storili, P?“ (1 kroglico smo proč vzeli.) Kažoč na ostale 3 kroglice, nadaljuje: „Ali imamo sedaj še toliko kroglic kakor poprej, H?“ (Sedaj imamo manj kroglic.) „Pomnite! Kadar od 4 kroglic vzamemo 1 kroglico, govorimo: 4 kroglice manj •- - • - — «•- 1 kroglica." ,,Ponovi samo to, kar na računalu kažem, 77“ (4 kroglice manj 1 kroglica.) — „Ponovi še, E!“... Učitelj: „To^ pa lahko povemo krajše: 4—1.“ — „Ponovi, O!“ „Še T!“. . . „Napišimo to! — Na¬ rekuj, D!“ (4—1.) (Učenec narekuje, učitelj piše.) Ko so učenci 4 —5 krat prebrali, kar je učitelj napisal, opozore se na¬ posled na znamenje „manj“ (—). Naredi toliko primerov, da bosta učencem pojem „manj“ in znamenje zanj popolnoma jasna ! (Glej I. raču- nico, str. 17, 18!) VIL Odštevanje v številnem obsegu od 1—10. Priprava za 7 — 3, 7 — 4. Ponovimo že znane račune, ki so na tabli! 7—1= 7—6= 7—2= 7—5= ,,Izračunaj najprej ona dva, ki sta v 1. vrsti, I!“ — „Drugo vrsto, K!“ (Se ponovi 3 —4krat; naposled ponove vsi.) 47 Napoved smotra. ,,Preberi računa, ki sta na levi strani, Nf“ — „Kdo ve, kateri račun hočemo danes narediti? No, N!“ (. . 7-3.) (Račun 7 — 3 se pripiše brez enačaja pod 7 — 2 in se podčrta.) Podavanje. „Koliko kroglic moramo imeti, ako hočemo iz¬ računati 7 — 3, O ?“ (. . 7) — Učitelj nastavi nato samo 3 bele kroglice in vpraša: „Koliko kroglic moramo še nastaviti, H?“ (. . . 4) Po odgovoru učenčevem pridene učitelj še 4 črne kroglice. - 990 - - 9900 - : — „Kaj hočemo izračunati, N?“ (kažoč na pripisani račun.) — Učenec: 7 — 3. ,,Pazite, kaj bomo naredili!“ Učitelj odrine 3 bele kroglice proti desni —••-o- : -- -••-oo- in vpraša: „Kaj smo naredili, S?“ (3 kroglice smo proč vzeli.) — „Koliko kroglic je še ostalo, K?“ (. . 4) —- „Koliko kroglic ostane, ako od 7 kroglic vzamemo 3 kroglice, OP“ (. . . 4) Učitelj: „Vprašam tudi lahko drugače: Ko¬ liko je 7 kroglic manj 3 kroglice, H?“ (Med tem vprašanjem učitelj vnovič odrine od 7 kroglic 3 kroglice.) Učenec: 7 kroglic manj 3 kroglice so 4 kroglice." „Ponovi, Al B!“ .... Isto tako se ponazoruje s kockami. Združitev. „Koliko je 7 kroglic manj 3 kroglice? Koliko je 7 kocek manj 3 kocke?" 48 Posnetek. „Koliko je 7 — 3, K?“ — „Ponovi, A!“ . (Zbor.) Vaja. Koliko je 7 h — 3 hi „ „7 K-3 KI „ „ 7 l — 3 /? i. t. d. Uporaba. „Marija ima 7 dvovinarnikov; ako kupi za 3 dvo- vinarnike jabolk, koliko dvovinarnikov ji še ostane ?“ „Ponovi nalogo, K !“ — „Koliko dvovinarnikov ji še ostane? Zaključi, H! 11 (Ostane ji še 7 dvovinarnikov — 3 dvovinarniki.) — „Odgovori, S!“ (Ostane ji 7 dvo¬ vinarnikov manj 3 dvovinarniki — torej 4 dvovinarniki. Krajši postopek, ki ga je uvesti šele tedaj, kadar učenci umevajo dobro prvega. Priprava. (Glej pripravo daljšega učnega postopka!) Podavanje. „Katero število, I?“ (3) Učitelj: „3+-=7, G?“ (3 + 4 = 7.) (Med od¬ govorom primakne 4 črne kroglice.) To vmesno vprašanje 3+-=7 se stavi zategadelj, da spojimo odštevanje z dopolnjevanjem in posredno s prištevanjem. Odmaknivši 3 kroglice, vpraša učitelj: „Kaj smo naredili, 0?“ (3 smo proč vzeli.) — ,,Koliko nam je ostalo, SP U (4) — „Koliko je 7 — 3, P?“ (Učitelj od¬ makne vnovič od 7 kroglic 3 kroglice.) — ,,Ponovi, A!“... Isti postopek s kockami. Uporaba. (Glej daljšo učno sliko !) 49 Ponavljalno ponazorovanje izvrši v sledečem vzporedu: a) 7-2, 7 — 4, 7 — 6, b) 7 — 1, 7 — 3, 7 — 5, 7 — 7. Učni postopek. „Računaj, 77“ (Učitelj odmiče od 7 kroglic 2, 4, 6 kroglic, a učenec govori med odmikanjem: 7 — 2 = 5, 7 — 4 = 3, 7 — 6=1 i. t. d.) Naposled povedd učenci rezultate, ne da bi se po- nazorovalo. VIII. Ponazorovanje zaključka za odštevanje. V pripravo se vzameta 2 uporabni nalogi za seštevanje. Nato da učitelj sledečo uporabno nalogo za odštevanje: „Ivan ima 8 K, kupi si nož za 2 /(j; koliko K mu še ostane?" — „Ponovi nalogo, 77" „Še ti, A!“ Za¬ ključi, 0!“ (Učenec molči ali pa pove napačen zaključek.) Napoved smotra. Učitelj: „Otroci, kako je treba zaključiti in od¬ govoriti pri tej nalogi, se hočemo sedaj učiti." Podavanje. ,,Pozor! Ponoviti hočem še enkrat zadnjo nalogo." — „Ponovi jo, A!“ „Ponovi jo še 77“ Učitelj: „Koliko K ima Ivan, I?“ . (. . 8 /Q — Narišimo jih! O O O I o o o olo T 50 „Kaj si kupi, 0?“ (. . nož.) »Narišimo tudi nož!“ „Koiiko da zanj, P?“ (. . 2/0) „Zaznamujmo to!“ (Učitelj potegne stoječo črto med /Q Učitelj: „Ako da Ivan 2 K za nož, koliko K ima potem manj, C?“ (. . 2 K manj.) Učitelj: „Da ima Ivan 2 K manj, zaznamovati hočemo z znamenjem ,manj‘.“ (—) — Učitelj prečrta 2 K. Glej sliko ! Učitelj: „lvanu ostane 8 K manj koliko K, B1“ (. . 8 K — 2./C.) „Ponovi, Ol“ — „Pomnite! Kar je O povedal, je zaključek. Ponovi zaključek, P!“ „Za- ključi, C !“... (Zbor.) — „Koliko K je 8 K manj 2 K, F?“ (8 K — 2 K= 6 K.) ,,Koliko K torej Ivanu ostane, ŠP“ Učitelj: „Ako bi nas kdo vprašal, koliko K ostane Ivanu, odgovorili bi: Ivanu ostane 8 K —2 K, torej 6 K- Ponovi, kar sem povedal, O!“ Učitelj: ,,Pomnite, otroci! Kar je O povedal, je odgovor. Odgovori še ti, G! P\“ .... — Zbor. Prav tako postopaj učitelj pri drugih uporabnih nalogah za odštevanje. — Ko učenci razumejo učni po¬ stopek, ne riši več. IX. Pojem „ednice“ Učitelj pri računalu, kažoč na 1 kroglico: „Katero število, 1?“ (število eden). ,,Pomnite! Na¬ mesto „eden“ rečemo tudi „ednica“. „Ponovi, A! B!“ . . . Zatem pridene učitelj na isto šibico računala še eno kroglico, da se dotika prejšnje: „Katero število, P?“ (dva.) Razmaknivši kroglici drugo od druge: „Koliko eden, P?“ (dva eden.)*) *) Ta sicer neobičajni izraz smo uvedli, ker se tako naj¬ krajšim in najlažjim potom pojasni učencem pojem in beseda ednica. 51 ,,Koliko ednic, H?“ (dve ednici.) Isti postopek do deset. (Učitelj nastavljaj kroglice na računalu, ko povpra¬ šuje po številu, tikoma; povprašujč po ednicah pa kroglice razmikaj.) Zaradi lažjega pregleda napravi dve skupini po pet in pet kroglic. -•••••-•ec««- Vaja (s predmeti). a) „Katero število, H?“ (8) „Koliko eden?“ (8 eden.) „Koliko ednic ?“ (8 ednic.) b) „Katero število, P?“ (7) „Koliko ednic ?“ (7 ednic) i. t. d. c) „Nastavi 5 ednic na računalu, 0!“ — „Nastavi 3 ednicel" i. t. d. Vaja brez predmetov. a) ,,Koliko ednic ima število 9, 3, 6, 8, 10?“ b) Učitelj napisuje številke ter vpraša: „Koliko ednic pomeni ta številka?" „In ta?“ . . . c) „Napiši 8, 7, 3, 1 ednico!“ X. Pojem „desetice.“ V pripravo oziroma ponavljanje vzemi „Vajo“ prejšnje slike. Podavanje. Učitelj ima na mizi 10 enako dolgih in debelih šibic. Kazaje otrokom posamezne šibice in postavljaje jih v šibičnjak ali, če tega nima, med dve in dve kocki, veli: „Štej, N!“ (eden, dva ... deset.) „Koliko ednic, M?“ (10 ednic). Nato učitelj pobere posamezne šibice, jih poveže v snopič ter pripomni: 4 52 „Otroci! Namesto 10 ednic rečemo tudi „ena deset i ca“. „Ponovi, A! B!“ . . . Nato otroci preštejejo drugih 10 šibic; učitelj jih zopet poveže v snopič in vnovič konstatuje desetico. Isto tako postopaj pri tretji desetici. Razvij pojem „desetice“ tudi s kroglicami, kockami, prsti in nazadnje z vinarji ter opozori otroke na vrednost že znane jim desetice. Vaja. „Otroci, prepričati se hočem, če poznate dobro desetice in ednice.“ Učitelj, kažoč na 2 snopiča šibic, vpraša: „Kaj vidite, N?“ (. . . 2 desetici.) „In sedaj, I?“ (. . . 4 desetice.) „In sedaj, 0?“ (. . . 2 desetici in 2 ednici) i. t. d. Isto vajo izvrši s kockami, kroglicami, prsti in vinarji. XI. Ponazorovanje števila 11. Priprava oziroma ponavljanje. „Štej od 1 — 10, B!“ „Štej od 10— 1 nazaj, H!“ „Katero število je za številom 8?“ (9, 3, 1, 5 ... ?) ,,Katero število je pred številom 7?“ (4, 10, 8, 6?) „Katero število je med številom 4in6?“ (3 in 5, 8 in 10 . . .?) „Kako pravimo namesto 10 ednic še drugače, 0?“ (... 1 desetica.) „Koliko ednic ima torej 1 desetica?" Podavanje. Učitelj porine na računalu izza deske 10 kroglic ter vpraša: ,,Koliko kroglic vidite, 0?“ (. . . 10.) Zatem primakne še eno kroglico, ne da bi se dotikala prejšnjih (gl. obrazec!), —•••••- - « 53 ter nadaljuje: ,,Koliko kroglic vidite razen desetih še, N?“ ( ... še eno.) »Pomnite! 10 kroglic in 1 kroglica je 11 kroglic. Ponovi, Al B!“ . .. Nastaviti je treba radi poznejšega napisovanja številk 10 kroglic na levo in 1 kroglico na desno stran. To velja tudi za druga nazorila. Isti učni postopek s kockami. Združitev. „Koliko kroglic je 10 kroglic in 1 kroglica?" „Koliko kocek je 10 kocek in 1 kocka?" Posnetek. „0 katerem številu smo se učili, I? K?“ ■ ■ ■ »Koliko je 10 —)— 1 ?“ Vaja. „Pridi sem in dvigni 10 prstov, 0!“ Učitelj sam dvigne 1 prst in vpraša: ,,Koliko prstov vidite, N?“ (.. . 11.) i. t. d. „Koliko h je 10 h „ „ dm „ 10 dm „ „ dl „ 10 dl 1 /z?" 1 dtnl“ 1 dll“ Nato naredi učitelj na tablo podobo za število 10 in vpraša: „Kaj smo naredili, I?“ (...podobo za šte¬ vilo 10.) „Iz te podobe hočemo napraviti podobo za šte¬ vilo 11. Učitelj pririše 1 piko in dostavi: „Taka-le je! —h«h-— Oglejmo si podobo natančneje! Koliko pik vidiš na levi, T?“ (. . . 10.) „Kako lahko rečemo še drugače? Kdo ve ? No, P!“ (Vidimo 1 desetico.) „Koliko pik vidiš na desni, Š?“ (... 1) „Kdo zna drugače povedati?" (Vidimo 1 ednico.) 54 »Koliko desetic in ednic ima število 11? Poglej na podobo in povej, B!“ (. . . 1 desetico in 1 ednico.) „Pokazati vam hočem tudi znamenje za to število.“ Kažoč na podobo, vpraša: „Koliko desetic ima število 11, povej še enkrat, 77“ (... 1) „Napišimo to!“ (Učitelj napiše številko 1 pod po¬ dobo na levo stran. Glej podobo!) „Koliko ednic ima to število razen desetice (kažoč vnovič na podobo), 0?“ (. .. 1 ednico.) „Napišimo tudi to!“ Podčrtavši številko 11, dostavi učitelj: »Otroci, to je številka 11. Ponovi A! B!“ ... „S koliko številkami jo napišemo, K?“ —■ „Kaj pomeni številka na levi? Kaj številka na desni?“ „Katero število pomenita obe skupaj ?“ Zadnja 3 vprašanja se večkrat ponove. Ko je številka 11 napisana, se šele pojasni na enak način, zakaj se piše število 10 s številko 1 in z ničlo. Vaja. Napisujejo se številke od 1 — 11 druga pod drugo. (Učitelj na tablo, otroci v zvezke.) „Napisati hočem številko 11. Napišite jo tudi vi v svoj zvezek!“ »Napišite pod številko 11 številko 9!“ »Koliko ednic pomeni številka 9, I?“ (. .. 9) »Na kateri strani vidiš ednice pri številu 11, C?“ (...na desni.) »Pomnite! Ker pomeni število 9 le ednice, na¬ pisati je moramo tudi pod ednice števila 11.“ i. t. d. XII. Priprava za prištevanje in dopolnjevanje črez 10 vobče ter vrste 9+2, 9 + 3,.9 + 9 posebej. D o p o 1 nke 1 + • == 10 , 10-1-11, . = 10 .... 9 + • = 10 • = 12 . . . . 10 + - = 18 55 in vsote, ki slede iz njih, morajo učenci znati točno, prej ko se prične s prištevanjem in dopolnjevanjem črez 10. Treba jih je zdaj pa zdaj ponavljati. za prištevanje in dopolnjevanje vrste 9-)-2, 9 —}— 3, . . . . 9-[-9 in pri obratnikih in dotičnih dopolnilnih računih (9 —j— . = 11 . . . 9 —J— * = 18) se rabijo dopolnki in vsote, ki slede iz njih: 1 + - =2, 1 —(— • = 3.1 —j— • = 9. Za vrsto 2 +9, 3 —f-9 ... 9 —j— 9 in dopolnilne račune 2+ • = 11, 3 —j— - = 12 .... 9 —|— • = 18 pa ponavljaj sle¬ deče vsote in dopolnke: 8 —j— • = 9, 7 —j— - = 9... 1 —j— • =9. Glede ostalih vrst glej „Obči del“ str. 17. in 18. Ponazorovanje računov 9 + 8 , 8 + 9 . A. Priprava oziroma ponavljanje. Ponove se znani računi, ki so na tabli a) po vrsti, b) izven vrste, in sicer najprej razstavljaje (9 —j— 2 računamo tako-le: 9-j-1 = 10— 10 —j— 1 == 11 — torej je 9 —j— 2 = 11), potem na kratko (9 -j— 2= 11 ali 2 —j— 9=11 i. t. d.). — Primerjaj „Obči del“, navodilo na str. 17. in 18.! „Preberi znane račune, ki so na desni strani, 0!“ (Učenec bere: 9 -j- 2, 9 —|— 3 . . . 9 —}— 7.) „Kdo ve, kateri račun pride sedaj navrsto?“ (se oglase.) „Povej, R/“ (9 —j— 8.) „Pripišimo ga prejšnjim! Narekuj, 01 (Učitelj ga napiše brez enačaja ter ga podčrta.) V pripravi 9 + 2 = 9 + 3 = 9 + 4 = 9 + 5 = 9 + 6 = 9 + 7 = 2 + 9 = 3 + 9~ 4 + 9 = 5 + 9 = 6 + 9 = 7 + 9 = Napoved smotra. B. Priprava za račun 9+-8 Učitelj: lj: 9+ ■ = 10 14 8 10 + 7=? 56 Podavanje. „Kaj hočemo izračunati, I? Povej prav počasi, R!“ Med tem ko učenec odgovarja, porine učitelj izza deske najprej 9 črnih in potem v razdalji 1 dm 8 belih kroglic. —••••-oooo- —•••••-oooo- Kažoč na 9 kroglic, nadaljuje: „Katero število, 0?“ (9.) „Koliko hočemo pri- dejati, N?“ (8.) „Koliko moramo pridejati številu 9, da dobimo deset, R?“ (1.) „Računaj, P!" (9 —j— 1 = 10.) (Učitelj pridene med odgovorom 9 črnim kroglicam 1 belo.) —••••O-ooo- -MtM-OOOO- „Ali smo že 8 pridejali, I?“ (ne.) „Koliko mo¬ ramo še pridejati? Kdo ve?“ No, P!“ (. . . še 7.) „Računaj, Q/“ (10 + 7 = 17.) (Učitelj porine, med tem ko učenec govori, 7 belih kroglic tako blizu onim desetim na levi strani, da dobi obrazec za 17.) -••••O—OOO- -•••••—oooo-- Učitelj, kažoč na kroglice: „Katero število smo dobili, P?“ (.. 17.) — „Koliko je torej 9 + 8, N?“ (9 + 8=17.) „Ponovi, A P _ Pojasnilo. „Kateremu številu smo pričeli pridevati, H?“ (... 9.) „Koliko smo najprej pridejali, C?“ (. . 1) ,,Koliko smo dobili, ko smo pridejali 1, K?“ (• • 10.) „Pomnite! Najprej pridenemo toliko, da do¬ bimo deset.” „Ponovi, A!“ .„Koliko smo potem pridejali, H? (. . 7.) „Koliko vsega skupaj, Š?“ (. . 8.) „Katero število smo dobili, G?“ (17.) „ Koliko je 9 + 8, P?“ (9 + 8=17.) ,,Pomnite! 9 + 8 računamo tako : 57 9+1 = 10 10 + 7 = 17 torej je 9 -8=17/ Da učitelj pri tej pripombi kaže na kroglice, je umevno. „Ponovi, A!“ . (Učenci ponavljajo, učitelj ponazoruje.) Učitelj: „Kako računamo 9 + 8, hočemo na¬ pisati na tablo. Narekuj, D!“ (Učenec počasi narekuje, učitelj piše.) „Preberi, kar sem napisal, 77“ „Še ti, B!. . . Vsi! Prični -1 e!“ (Kaži!) — „Zvezke na klop! 1,2,3!“ ,,Pre¬ pišite, kar smo prebrali, v svoje zvezke! — Preberi, kar si prepisal, N! „Še ti, 0/“ (V zvezke prepisujejo otroci le prve račune, po¬ znejših ne.) Uporaba. Učitelj : „Tonček kupi za 9 h papirja in za 8 h peres; koliko mora plačati?“ — „Ponovi nalogo, A!“ ,,Še, B!“ Učitelj: „Koliko mora plačati? Zaključi, K'-“ (Plačati mora 9 h + 8 h.) „Odgovori, 77“ (Plačati mora 9 h + 8 h, torej 17 k.) Opomba. Pri poznejšem ponazorovanju, ko se učenci že za¬ vedajo, da je treba vselej toliko pridejati, da dobimo 10, odpade pojasnilo pri podavanju. Za obratni račun glej „Obči del“, navodilo na str. 18.! XIII. Priprava za odštevanje črez deset vobče. 1) 10—1, 10 — 2.10 — 9; (v vrsti in izven vrste) 2) 11 — 1, 12 — 2.18 — 8; (v vrsti in izven vrste) 58 3) IH- 2, 2+-=3, 3-f- • =4, 7 —(— - = 8, 7 -j- • =9; 8 —-= 9. (Glej „Obči del“, navodilo na str. 18. in 19.!) Ponazorovanje računov 15—8 in 15—9. A. Priprava oziroma ponavljanje. Najprej se ponove znani računi, ki so na tabli, 15 - 6 = 15-7 = 15 - 8 = in sicer: a) jih izračunajo posamezni učenci razstavljaje (15 — 6 računamo tako: 15 — 5=10 10—1=9 — torej je 15 — 6 = devet), b) na kratko (15 — 6 = 9) (v vrsti in izven vrste.) Napoved smotra. „Zadnjič ste izračunali, koliko je 15 — 7. Kdo ve, kateri račun bomo naredili danes? No, povej H!“ „Pripišimo ta račun prejšnjim! Narekuj, N!“ (Račun se napiše brez enačaja in se podčrta.) Priprava računa 15 — 8. „Koliko je 15 — 5, 0?“ ,,Koliko je 10 — 3, P?“ „5+. = 8, R?“ Podavanje. „Koliko kroglic moram imeti, da vam pokažem, kako izračunamo 15 — 8, F?“ (. . 15.) 59 Učitelj sestavi število 15 na računalu -•••••—••- -•••••—®©@- in vpraša: „Katero število, C?“ (15) „Koliko hočemo proč vzeti, SP“ (8) „Koliko moramo proč vzeti, da dobimo deset, H?“ (5) ,,Računaj, A!“ (15—5=10.) (Učitelj porine 5 kroglic nekoliko v stran.) —•«•••-••- —•••••- ®©9 -- „Računaj, N!“ (15 — 5=10.) „Ali smo že 8 proč vzeli, T?“ (ne.) „Koliko moramo še proč vzeti? Kdo ve? No, //“ (...še 3.) ,,Računaj, Š!“ (10 — 3 = 7.) (Ko učenec odgovarja, porine učitelj še 3 kroglice v stran.) —•••-- —-- Nato učitelj hkratu odmakne od 15 kroglic 8 kroglic in veli: „Računaj, K-'“ (15 — 8 = 7.) „Ponovi, A!“ Pojasnilo. ,,Od katerega števila smo pričeli proč jemati, N?“ (. . od 15.) „Koliko smo najprej proč vzeli, 0?“ (5.) „Koliko smo dobili, ko smo vzeli 5 proč, C?“ (..deset.) ,,Pomnite! Najprej vzamemo toliko proč, da do¬ bimo 10 . Ponovi, A!“ .„Koliko smo potem proč vzeli, G. ? “ (.. 3.) „Koliko vsega skupaj, Š?“ (8) ,,Ko¬ liko nam je ostalo, R?“ (. . 7.) „Pomnite! 15 — 8 računamo tako: 15 — 5=10 _1 0 — 3= 7 torej je 15 — 8= 7.“ „Ponovi, A! B!“ (Učitelj ponazoruj pri odgovorih. Nadaljnji po¬ stopek je enak postopku pri prištevanju črez deset). 60 XIV. Pojem in znamenje „krat“. Učitelj porine izza deske računala na prvo šibico 2 kroglici in vpraša: „Koliko kroglic vidiš na računalu, 0?“ (...2 kroglici.) Zatem porine na drugi šibici natanko pod prvi 2 kroglici še 2 kroglici in nadaljuje: ,,Kaj smo naredili ?“ (2 kroglici smo pridejali.) Primaknivši na tretjo šibico še 2 kroglici, vpraša: „Kdo ve, kolikokrat po 2 kroglici sta sedaj na računalu? No, P!“ (. . . 3 X po 2 kroglici.) Nato pripomni učitelj, kažoč na kroglice: „Pomnite, otroci! 2 kroglici in 2 kroglici in 2 kroglici sta 3x2 kroglici/' (Besedo „trikrat“ poudarjaj!) „Ponovi, Al B!“ . . . Da učitelj šele pri 3X2 vpraša: „Kdo ve, koliko¬ krat 2 kroglici sta na računalu?je naravno, zakaj iz¬ kušnja uči, da je težko otrokom konstatovati 1X2, 2X2. Prav tako postopaj pri 4X2 in 5X2. Razen tega zakrivaj ali odkrivaj z deščico ali lepenko kroglice ter izprašuj: „Kolikokrat 2 kroglici vidiš, I?“ (...4x2). „ln sedaj, FP“ (...3X2.) (1X2, 2X2 ne kaži!) Izvršivši gorenjo vajo, zakrij naposled toliko kroglic, da otroci vidijo le 1 X 2 kroglici in vprašaj: „Kolikokrat 2 kroglici pa vidite sedaj? Kdo ve? No, F!“ (... 1x2 kroglici.) „Pomnite! 2 kroglici sta 1X2 kroglici. Po¬ novi, A! B!“ . . . Razkrivši še 2 kroglici, pripomni: „Kolikokrat 2krog¬ lici pa vidite sedaj? Kdo ve? No, G!“ (... 2 X 2 kroglici.) „Pomnite! 2 kroglici in 2 kroglici sta 2X2 kroglici. Ponovi, A! B!“ . . . 1 X 2 kroglici, 2X2 kroglici naj otroci večkrat konstatujejo, da se jim pojma 1X2, 2x2 dobro vtisneta v spomin. Vaja. a) „Štej, kolikokrat po 2 kroglici, H!“ Učitelj po¬ rine 1 krat, 2 krat ..5x2 kroglici izza deske in učenci štejejo: „1x2 kroglici, 2x2 kroglici . . . 5X2 kroglici.“ 61 b) „Pridi k računalu, O! Ponovi in pokaži obenem še enkrat sam, ne da bi jaz vprašal!“ (Otroku — seveda tudi učitelju — je treba vedno kazati vse kroglice n. pr. pri 3 X 2 — 6 kroglici ne pa morebiti le onih 2 kroglic, ki sta na tretj, šibici.) Ako učenec ne zna, mu pomaga učitelj s sle¬ dečim vprašanjem: »Kolikokrat po dve kroglici sta do tu doli, I?“ „Do tu doli, K?“ i-1. d. c) Prejšnja vaja v obratnem redu. d) Izven vrste. (Pokaži 3X2 kroglici, O! 5X2, C/ i. t. d.) e) „Pridi k računalu, P! Porini izza deske 2 X 2 krog¬ lici, K'“ „Še toliko, da bosta ostali 1 X 2 kroglici, N! “ i. t.d. f) ,,Porini jih toliko za^ desko, da bomo videli 3X2 kroglici, K-“ „Še toliko, da bosta ostali 1 X 2 kroglici, N!“ i. t. d. Nato obravnavaj 6X2 kroglici... 10 X 2 kroglici. Ponazoruj in vadi prav tako, kakor pri prejšnjih slučajih. Naposled pa učitelj, nastavljajoč na računalu po 2 kroglici, pripomni: „Otroci, sedaj pa boste odgovarjali nekoliko krajše: Kolikokrat 2, I?“ (1 X 2.) ,,ln sedaj, H?“ (2 X 2) — in tako dalje do 10 X2. Isto v obratnem redu. Zaradi boljšega pregleda pobeli učitelj kroglici na tretji, šesti in deveti šibici s kredo. Pri ponazorovanju s pikami, ki sledi temu ponazo- rovanju, pa napravi pike v zgoraj omenjenih vrstah ne¬ koliko večje. Po dovršenem ponazorovanju s pikami učitelj pri kratkih odgovorih na vprašanja: »Kolikokrat 2?“ (1 X 2), »Kolikokrat 2?“ (2X2)... pripiše poleg pik: 1 X 2, 2X2 i. t. d. (kar — seveda — učenci večkrat prebero) ter jih naposled opozori na znamenje „krat“ in njega podobnost in razliko z znamenjem „in“. 62 XV. Poštevanka števila 2. Priprava. a) Učitelj: „Koliko je 2 —j— 2, /?“ ,,4 —2, H?“ „6 + 2, C?“ . . . „18 + 2, Q?“ (Ponovi 3 — 4 krat!) „Kdo zna sam ponoviti, ne da bi mi bilo treba vprašati? No, P!“ „Ponovi še, A!“ . . . b) Učitelj: „To pa računamo lahko krajše. Pozor! Koliko je 2 + 2, AP“ — „In 2, C?“ (=6.) .,In 2, OP“ (=8.).In 2, P?“ (= 20.) „Kdo zna to ponoviti? No, P!“ „Ponovi še ti, RP . . . c) ,,Kdo ve povedati le števila, ki smo jih dobili pri teh računih? No, G!“ (2, 4, 6 ... . 20.) „Po- novi ta števila še, I!“ . . . Potem učitelj izprašuje: ,,Koliko je 20—2, 18 — 2, . . . 2 — 2?“ To se ponovi večkrat! „Kdo zna ponoviti, ne da bi mu stavil vpra¬ šanja? No, A! B!“ . . . „Otroci! Tudi krajše lahko povemo. Pozor! Koliko je 20—-2, I?“ (-18) — „Manj 2, K?' 1 (= 16) . . . „Manj 2, L?“ (= 0 .) „Kdo zna to ponoviti? Ponovi , A!B!“ ... ,,Kdo zna povedati le števila, ki smo jih do¬ bili? Povej jih, O/ C!“ . . . d ) Ponovi se pojem ,,krat“. — „Kolikokrat 2, H?“ (1X2.) „In sedaj, I?“ (2X2) i. t. d. Napoved smotra. „Kaj sem vam ravno sedaj kazal? Kdo ve?“ (1X2, 2X2... 10X2.) „Otroci! Koliko je 1X2, 2x2... 10X2, hočemo sedaj tudi izračunati." Podavanje. Učitelj, kažoč na 2 kroglici, pomaknivši ju izza deske računala na 1. šibico, vpraša: „Katero število, N?“ (2) Se napiše na tablo. (Glej obrazec!) „Kolikokrat 2, M?“ (1X2.) 63 „Koliko pa je 1 X 2, O?“ (1 X 2 = 2.) Učitelj, kažoč na kroglici, dostavi: „Pomnite! 2 ali 1x2 = 2. Ponovi, Al B!“ . . . „To hočemo napisati na tablo! Narekuj, S!“ (Učenec narekuje in učitelj piše) 2.ali 1 X 2 = 2. „Preberi, kar sem napisal, A/“ (2 .... ali 1X2 = 2.) „Se, NI 01“ . . . Nato učitelj porine na drugi šibici pod prvi 2 kroglici še 2 ter vpraša: „Kaj smo naredili?" (2 smo pridejali.) „Koliko je 2 —|— 2, T?“ (2 —j— 2 = 4.) „Ponovi A!“ — „Kolikokrat 2, H?“ (2 X 2.) — „Koliko je 2X2, K?“ (2X2 = 4.) Učitelj, kažoč na kroglice, pripomni: „2-j-2= 4 ali 2x2 = 4. Ponovi, Al B!“ ... Učitelj kaže na kroglice, učenci ponavljajo. „Napišimo to, kar smo izračunali. Narekuj, I!“ (Se pripiše.) „Preberi, kar sem napisal, 0!“ (Prav tako postopaj dalje do 18-j-2 = 20 ali 10 X 2 = 20.) Slika na tabli: ali 1X2=2 „ 2X2=4 „ 3X2=6 „4X2 = 8 i. t. d. Združitev, ,,Preberi, kar je napisanega na tabli, 0!“ Zatem učitelj napravi črto, da z njo loči poštevanko števila 2 od prištevanja, ter veli: „Preberi, kar je na desni strani črte, I!“ Ko je učenec prebral poštevanko, pristavi učitelj: Posnetek. „Kar je sedaj / prebral, je poštevanka števila 2. Ponovi, A! B!“ 64 Vaja. a) Poštevanko posamezni učenci najprej večkrat pre- bero, pozneje pa jo učenci, ki se sami oglasč, po¬ vedo tudi na pamet. b) Isti postopek v obratnem redu. Naposled učenci poštevanko prepišejo s table, učitelj pa jo vadi pri prihodnji računski uri najprej a) po vrsti, (5) v obratnem redu, 7 ) izven vrste. XVI. Ponazorovanje obratnikov pri množenju. Priprava. „Koliko je 4X5, K?“ (..4x5 = 20 ) „Tvoj od¬ govor hočemo napisati na tablo. Narekuj ga!“ (Učenec počasi narekuje, učitelj piše.) „Preberi, kar sem napisal, C/“ „Koliko je bilo pa 5x4, D?“ (5X4 je bilo 20.) „Tudi odgovor tega učenca hočemo napisati. Narekuj ga, A7“ (Učitelj odgovor napiše.) Napoved smotra. „Sedaj hočemo vedeti, kako je to, da je 5X4 toliko kakor 4 X 5.“ Podavanje. Na računalu je postavljenih na vsaki šibici po 5 kroglic. —•••••- —MM«- —MM«- -—- Učitelj: „Kolikokrat 5 ,P?“ (4X5) Zakrivši (z desne) najprej 4, potem 3, 2, 1, 0 vertikalnih vrst, vprašaj: „Katero število, N?“ (4) ,,Kolikokrat 4, S?“ (1 krat 4) „Kolikokrat 4, T?“ (2 krat 4) .... „Kolikokrat 4, M?“ (5 krat 4) 65 ,, Pazite!“ Kažoč na horizontalne vrste, vpraša: „Kolikokrat 5, N?“ (4 X 5.) Kažoč na vertikalne vrste: „Kolikokrat 4, S?“ (5 X 4.) Učitelj: „Kaj je več, 4 krat 5 ali 5 krat 4, 02“ (Oboje je enako.) „Pomnite! 4 X 5 je 5X4.“ „Ponovi, A! B!“. . . S pikami na tabli. „Otroci! Načrtati hočem 4X5 pik. Koliko pik načrtam v prvi vrsti, GP U ,,Štej pike, C!“ „Koliko pik naredim v drugi vrsti, H?“ (. . 5 pik.) i. t. d. ,,Sedaj hočemo narediti 4x5 pik še enkrat!" Vse kakor poprej. „Kje je več pik? V prvem ali drugem skupku, H?“ (V obeh enako.) „ Zakaj ?“ (Ker smo jih v obeh na¬ redili isto toliko.) „Pozor! Sedaj hočem oddeliti po 5 in 5 pik.“ Učitelj naredi horizontalne črte v prvem skupku 9 9 • • • 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 in vpraša: „Kolikokrat 5, K?“ (4X5.) „Sedaj pa od¬ delim po 4 in 4 pike.“ Učitelj naredi v drugem skupku vertikalne črte in vpraša: „Kolikokrat 4, 0?“ (5X4.) Kažoč na prvi skupek: ,,Kolikokrat 5, G?“ ( 4X5.) Kažoč na drugi skupek : „Kolikokrat 4, P?“ (5 X4.) ,,Kaj je več 4 X 5 ali 5 X 4, AP“ — i. t. d. Na ta način opozori učitelj otroke tudi na druge obratnike pri množenju, kakor: 2X5, 5X2 — 3X5! 5 X 3 — 2 X 6, 6 X 2 i. t. d. Glej računico str. 48., 49.! 5 66 XVII. Ponazorovanje zaključka za množenje. Priprava oziroma ponavljanje. Otroci napravijo pri 2—3 uporabnih nalogah za se¬ števanje zaključek in povedo odgovor. Učitelj: „Dati vam hočem še eno nalogo. Pozor! Oče kupijo 3 klobuke, 1 klobuk velja 4 K ; koliko veljajo 3 klobuki?" ,,Ponovi nalogo, A! B!“ Učitelj: „Koliko veljajo 3 klobuki? Kdo zna zaključiti? No, 77“ (3 klobuki veljajo 4 AT -j- 4 7C-j- 4 AT.) „Odgovori, H!“ (3 klobuki veljajo 4 K, -j- 4 AT —|— 4 /C, torej 12 K.-) Napoved smotra. „Otroci, pri tej nalogi pa lahko tudi drugače za¬ ključimo in odgovorimo. Kako torej! Poslušajte!" Podavanje. „Koliko klobukov so kupili oče? Kdo še ve? No, P!“ (. . . 3 klobuke.) „Narišimo jih!“ oooo oooo oooo „Koliko velja prvi klobuk, 0?“ ( . . 4 K-) »Na¬ rišimo jih!" „Koliko velja drugi klobuk, N?“ (...tudi 4 K-) »Narišimo tudi te 4 K\ In tretji, F?“ (. . . 4 K.) „Narišimo še te 4 70“ »Kolikokrat po 4 K smo narisali, H?“ (.. . 3x po 4 /C) „Kolikokrat po 4 K veljajo torej 3 klobuki, C?“ (... 3 X po 4 7C-) »Reci tako: 3 klobuki veljajo 3x4 K- Ponovi še, 0!“ .... »Pomnite! To, kar je O povedal, je zaključek. Ponovi zaključek, A!B! C! D! E!... Vsi! Prični-1e!“ (Učitelj kaže na podobo, otroci odgovarjajo.) 67 „Koliko AT pa je 3 X 4 K, N?“ (. . . 12 AT-) »Ko¬ liko K veljajo torej 3 klobuki ?“ (.12 ATO »Pomnite! Ako bi nas kdo vprašal, koliko veljajo 3 klobuki, odgovorili bi tako-le: 3 klobuki veljajo 3 X 4 K, torej 12 K“ »Ponovi, kar sem povedal, H!“ (Kaži na podobo!) »Pomnite! Kar je H povedal, je odgovor. Po¬ novi odgovor, A! B\ C\ ... . Vsi!“ Prav tak bodi učni postopek pri drugi, tretji, even¬ tualno četrti nalogi; naposled zaključujejo otroci in od¬ govarjajo, ne da bi učitelj risal na tablo. XVIII. Decimeter. Priprava. »Kaj držim v roki, N?“ (...meter.) »In sedaj?“ (...tudi meter.) »In sedaj?“ (...tudi meter.) »Iz česa je ta meter, F?“ (...iz lesa.) »In ta, OP“ (... iz platna.) »In ta, N?“ (...iz papirja.) »Čemu imamo metre, H? (... z metrom merimo dolžino reči.) »Kaj je torej meter, D?“ (...dolžinska mera.) »Kdo rabi meter, 0?“ (... krojač, trgovec, mizar.) »Kateri meter je daljši, leseni, platneni ali papirnati, Q?“ (...vsi so enako dolgi.) »Kakšni so torej vsi metri, CP“ (... enako dolgi.) Vaja. »Učenci, na desni strani klopi sedeči, pokažite dolžino metra na klopi! Pokaži-te! — Na levi strani klopi sedeči! Pokaži-te!“ Podavanje. Učitelj pripne papirnati meter na tablo ter pripomni: »Ta meter hočemo razdeliti na več manjših delov ter jih zaznamovati z rdečimi črtami. 68 „Štej, koliko delov bom napravil, Ol“ „Na koliko delov smo razdelili meter, F?“ (... 10) »Poglejmo, kakšni so ti deli med seboj!“ (Učitelj polaga lesen dm na posamezne dele.) „Kdo ve, kakšni so? No, R!“ (Ti deli so enako dolgi.) „Ponovi, A! B!“ »Pridi k tabli in pokaži nam en sam tak del, Q!“ (Učitelj veli, naj ga pokaže tako, da položi kazalca na oba konca dm.) Ko učenec kaže s kazalcema zahtevani del, pristavi učitelj: »Pomnite! Ta del metra, ki ga kaže O, je tudi dolžinska mera, imenuje se decimeter. “ »Kako se imenuje ta del, OP“ (... dm.) »Ponovi, Al B!“ . . . „Pokaži kak drug dm na papirnatem metru, Š!“ »Še ti, M! U!“ Nato položi učitelj leseni dm na l.del metra in vpraša: »Kdo ve, kaj pa je to, s čimer sem papirnati dm pokril? No, H?“ (. . . dm.) „Iz česa je ta?“ (... iz lesa.) »Koliko delov smo napravili na papirnatem metru, E?“ (10) »Koliko dm ima torej m1“ (10) »Ponovi, Al BI. . . Vsi! Prični-te!“ Združitev. »Katera dolžinska mera je daljša, dm ali m1“ »In katera krajša?“ Posnetek. »Kaj je d m ?“ »Koliko dm ima /«?“ (Se ponavlja.) Vaja. a) »Pridi k tabli in pokaži na papirnatem metru 1 dm , 2 dm, 5 dm . . .“ b) Isto na lesenem metru. 69 c ) ,,Koliko dm dolga je ta-le šibica? Kdo ve?“ (. . . 1 dm.) „Prepričajmo se!“ — ,,In ta? Kdo ve ?“ (.. . 5 dm.) i. t. d. d) „Pridi sem in pokrij tako-le s prsti (pokaži!) ta leseni dm , O!“ (S palci ga ne sme pokriti!) „S koliko prsti si ga pokril ?“ (...7 prsti.) e) ,,Položite 7 prstov drugega zraven drugega na klop, palcev ni treba položiti! Položi -1 e !“ „Kdo ve, kako dolg je ta del klopi, ki ste ga pokrili s prsti? No, P?“ (. . . 1 dm.) /) ,,Izmerimo, koliko dm je dolg spodnji rob šolske table! Štej 77“ (Učitelj meri z lesenim dm.) „Pridi sem in izmeri, koliko dm je dolgo to rav¬ nilo, in štej zraven, 7/7“ (i. t. d.) (Šibice, dolge 1 do 5 dm , imej učitelj vedno na razpolago.) '■ • v ' NARODNA IN UNIVERZITETNA KNJIŽNICA