Dvojnost Boolove algebre
Odlomek iz monografije o implikaciji
MARKO VRŠIČ
George Boole (1815-1864) s svojima znamenitima deloma Mathematical Analysis of Logic (1847) in An Investigation of the Laws of Thought (1854) v zgodovini logike velja predvsem kot tisti mislec, ki je:
1.	logiko definitivno povezal z matematiko in njenimi metodami;
2.	utemeljil stavčno logiko kot izhodiščni in temeljni logični račun, s tem da jo je reduciral na posebne vrste agebro.
Ugotovitev (1) je nedvomno točna, saj Boole že na začetku Analysis izrecno poudarja: "Moj namen je ustvariti račun Logike, za katerega zahtevam, da ima svoje mesto med priznanimi oblikami Matematične Analize ...", kakor tudi v uvodu v Laws pravi, da "so poslednji zakoni Logike po svoji obliki matematični" (str. 11). In teh maksim se Boole pri cksplikaciji svojega sistema izrecno drži.
Ugotovitev (2) pa potrebuje določeno prccizacijo, ki jo sodobne prczentacijc Boolove algebre skoraj spregledajo oz. "obidejo". Glavni Boolov namen pri formulaciji "algebre logike" namreč ni bil stavčni račun (čeprav bomo pozneje videli, da je večkrat poudarjal fundamentalnost stavčnega računa, npr. v odnosu do silogizma), temveč formulacija takšne matematične strukture, ki bi omogočila s svojo čim večjo stopnjo abstrakcije, da bi bili v njej formulirani "zakoni misli" (the Laws of Thought), in ki bi, nadalje, imela tako odprlo interpretacijsko polje, da bi - znotraj formalne logike -omogočala dvojni intcrprctacijski model:
a)	terminsko (aristotclsko, klasično) logiko in
b)	stavčno (nekdanjo stoiško, sedaj pa "novo") logiko.
Prav v tej dvojnosti je bistvo Boolove algebre in pri tem je Boole nadaljevalec Lcibnizove zamisli characlcristica universalis, vsaj na področju formalne logike. Takšna "zrcalna ambivalentnost" Boolove algebre kot "matematične" osnove sodobnega standardnega logičnega kanona pa ima zelo odločilne in daljnosežne posledice, o katerih bomo govorili spodaj. Najprej pa si poglejmo - medtem postavimo historično dimenzijo v oklepaj - kaj danes razumemo s pojmom Boolove algebre. Za kakšno matematično-logično strukturo gre pri Boolovi algebri z današnjega zornega kota?
Definicija Boolove algebre, kakor jo najdemo v sodobnih učbenikih (npr. pri Ivanu Vidavu, Algebra), je večstopenjska. Običajno sc začenja s pojmom grupe, kolobarja,
obsega in prek pojma algebre nasploh preide k pojmu Boolove algebre. Te izrazito matematične definicije Boolove algebre tukaj ne bi povzemali, ampak se bomo ozrli predvsem po - seveda izomorfnih - definicijah Boolove algebre v literaturi s področja logike. Tukaj lahko v grobem rečemo, da je matematična definicija algebre (prek kolobarja itd.) takšna, da omogoča operacije med elementi algebre in števili (npr. a + a = 2a), in prav ta značilnost algebre Boolu omogoča "računanje s pojmi", namreč s pojmi kot elementi algebre. - Za logiko zanimiva značilnost Boolove algebre (kot matematične strukture) pa je tudi in morda predvsem v tem, da Boolova algebra "vsebuje" kot svojo pod-strukturo mrežo, tj. takšno strukturiranost množice, v kateri vlada med elementi množice neka hierarhija (urejenost v vrsto) na osnovi neke asimetrične relacije. Prav ta značilnost v sodobnih standardnih računih omogoča vpis implikacije, točneje t.i. materialne implikacije oz. "Filonovcga kondicionala", v algebraično strukturo. Implikacija pa je, kar je odveč poudariti, za logiko bistvena. Torej, poglejmo si definicijo Boolove algebre na osnovi pojma mreže. Izhajamo iz:
delno urejena množica = množica, v kateri velja "hierarhija" med elementi na osnovi neke asimetrične relacije, npr. relacijopodmnožicc q. Relacija je: 1) refleksivna, 2) antisimetrična, 3) tranzitivna. Antisimetričnost implicira asimetričnost, razen če a = b.
mreža = delno urejena množica z unijo in presekom (maksimumom in minimumom) za vsaka dva elementa a in b. Mreža je: 1) refleksivna, 2) komutativna, 3) asociativna. Če je poleg tega že distributivna, govorimo o distributivni mreži.
Boolova algebra = komplementarna distributivna mreža. To pomeni: Komplementarna (mi bomo uporabljali izraz komplementirana, ker ta bolj ustreza smislu definicije; angl.: complemented) mreža je komplementirana z dvema skrajnima elementoma, in sicer z največjim elementom 1 ("največjim" v pomenu hierarhije, ki jo uvaja delna ureditev množice) in z najmanjšim_ elementom O, pri čemer med poljubnim elementom a in njegovim "komplementom"a veljata odnosa: (a na) = O in (a ua)= 1.
Sedaj si oglejmo šc nekoliko bolj formalno definicijo Boolove algebre v današnjem pomenu, kakor jo navajata logika Anderson in Belnap v Entailment (1975). Avtorja pravita, da je "popolna deskripcija sistema, ki ga imenujemo Boolova algebra, podana z naslednjimi enačbami" (gl. str. 181):
L1 aAa = a, ava = a
L2 aAb = bAa,avb = bva
L3 a a (b a c) = (a a b) a c, a v (b v c) = (a v b) v c
L4 a a (a v b) = a, a v (a a b) = a
L5 aAa = 0, ava = l
L6 a a O =0, a v 1 = 1
Še bolj formalizirano, tako rekoč "šolsko pedantno", definicijo Boolove algebre (v sodobnem pomenu) najdemo v Hughes & Cresswell (1972, str. 311 - 312). Zaradi izjemnega pomena razumevanja Boolove algebre za problem sodobne (standardne) implikacije, povzemamo to definicijo v celoti, čeprav je nekoliko obširnejša:
"Boolova algebra jc sestavljena iz množice (K) objektov a, b, c ..., ki se imenujejo elementi, skupaj z določenimi operacijami (ali funkcijami), katerih argumenti so člani množice K in katerih vrednosti so prav tako člani množice K.... Boolova algebra mora vsebovati monadični operator, ki ga bomo označili z '-' in diadični operator, ki ga bomo pisali z 'x' ter mora zadovoljevati naslednje pogoje (kijih pogosto imenujemo postulati):
1.1.	K vsebuje najmanj dva elementa.
1.2.	Če a, be K, potem -a e Kin(axb)e K.
1.3.	Če a, b 6 K, potem (a x b) = (b x a).
1.4.	Če a, b, c e K, potem a x (b x c) = (a x b) x c.
1.5.	Za vsaka a, be K velja: če obstaja kak c e K in sicer tak, da (a x -b) = (c x -c), potem (a x b) = a.
1.6.	Za vsake a, b, c e K, če (a x b) = a, potem (a x -b) = (c x -c).
Prikladno je, da dodamo (namreč k zgornjim postulatom, op. M.U.) naslednje definicije:
[0]	0 dcf. = (a x -a)
[1]	1 dcf. = -0
[+] (a + b) def. = -(-a x -b) [c] (a c b) def. = (a x b) = a
Boolovo algebro torej lahko definiramo kot urejeno tri-členo množico <K, -, x>, v kateri je K množica elementov, - in x pa označujeta monadično in diadično operacijo na teh elementih, pri čemer morajo bili zadovoljeni navedeni postulati. Ker K lahko vsebuje poljubno število elementov (večje od 1), obstaja neskončno mnogo Boolovih algeber.... Operacijo, označeno z 'x', pogosto imenujemo množenje, in (a x b) je pogosto imenovan produkt ali presek elementov a in b. Operacijo, označeno z'+', pogosto imenujemo seštevanje; in (a + b) je vsota ali unija elementov a in b. -a pravimo, da je negacija ali komplement elementa a. 'a c b' lahko beremo: 'a je vsebovan v b'." Hughes & Cresswellova dcfinicija Boolove algebre (v sodobnem pomenu) v svojih Šestih postulatih uporablja dva primitivna pojma, in sicer presek in komplement (poleg pojma 'biti element od', "sposojenega" iz teorije množic), medtem ko pojme univerzuma [1], praznega preseka oz. prazne množice [0]. vsote oz. unije ter podmnožice oz. inkluzije definira - eksplicitno z zgoraj navedenimi štirimi definicijami, implicitno pa v samih postulatih (gl. 1.5 za inkluzijo, 1.6 za prazno množico oz. "nulti element").
Sodobne definicijc Boolove algebre se, kot smo videli, po načinu prezentacijc razlikujejo, vsem pa so brez dvoma skupne nekatere značilnosti, ki jih lahko neformalno izrazimo takole:
v Boolovi algebri so definirani:
1)	produkt in vsota (presek in unija), ki sla opredeljena z natančno določenimi lastnostmi: komutativnost, asociativnost, distributivnost, nadalje z odnosi do negacije, konkluzije...
2)	negacija (komplement), ki je spet opredeljena z lastnostmi...
3)	nulti in univerzalni element, za katerega veljajo enačbe ...
4)	relacija inkluzije (podmnožice) na osnovi asimetrije.
Za sodobno logiko pa je posebej pomembna Boolova algebra s samo dvema elementoma, tj. dvovalentna Boolova algebra, pri kateri imamo kot elementa (a, b) "resničnostni vrednosti" (Frege: Wahrheitswcrte) 1 in O. Dvovalentna Boolova algebra je s sintaktičnega stališča enaka, tj. izomorfna standardnemu stavčnemu (propozicionalnemu) računu. Več o tem še pozneje, prej se vrnimo k samem Boolu.
Historična Boolova algebra, tj. Boolov sistem (1847 in 1854) se od Boolove algebre v sodobnem pomenu razlikuje predvsem po tem, da operacijo logičnega sumiranja razume v ekskluzivnem pomenu (tj. ne kot disjunkcijo, temveč kot alternativo), kar je sistemsko pogojeno in motivirano z možnostjo uvedbe simetričnega odnosa med logično
vsoto in logično razliko, analogno kot v matematiki (aritmetiki). V historični Boolovi algebri sta torej logična vsota in razlika simetrično recipročni. Toda kmalu se je izkazalo, da je za logiko precej prikladnejša analogija s teorijo razredov - pozneje s teorijo množic - kjer unija dveh elementov ni pojmovana cksluzivno, temveč inkluzivno, tj. disjunktivno v današnjem pomenu. Pri Boolu jc namreč za formulacijo (a + b) veljala cksluzivna restrikcija, daje logično vsoto možno formulirati, če in samo če (a x b) = O. To restrikcijo odpravi Jcvons (1864), ki s tem dejansko uvede v Boolov sistem disjunkcijo v sodobnem (inkluzivnem) pomenu; pozneje pa Schroder v svojem delu Vorlesungen iiber die Algebra der Logik (1890 in dalje) eksplicitno uvede paralelizem (formul) med konjunkcijo in disjunkcijo na osnovi De Morganovcga zakona, tako da nastane struktura, ki jo imenujemo Boolc-Schroderjeva algebra ali kar Boolova algebra (v sodobnem pomenu), kakor smo jo definirali zgoraj. Historična Boolova algebra je danes s sintaktično-sistemskega stališča bolj ali manj le historično zanimiva, "operativno" pa jo jc zamenjala njena mlajša Schroderjeva (& drugih) inačica, pri čemer pa seveda ni dvoma, da jc avtor osnovne strukture Boolove algebre - Boole. Za razumevanje poznejšega razvoja logike je branje Boolovih izvirnih del (v primerjavi s poznejšimi "standardiziranimi" variantami) pomembno predvsem s semantičnega stališča. Pri historičnem Boolu jc posebej zanimivo vprašanje, ki smo ga načeli na začetku tega spisa: kateri intcrpretacijski model (naj)boljc ustreza abstraktni strukturi Boolove algebre - tradicionalna terminska ali nova, tj. nastajajoča stavčna logika? Na to vprašanje jc odgovor jasen: postulate in definicije Boolove algebre zadovoljujeta oba modela, tako terminska kol stavčna logika; pri slednji gre za dvovalcntno Boolovo algebro, tj. za algebro s samo dvema elementoma (a, b), pri čemer ta dva elementa interpretiramo kot resničnostni vrednosti (R, N) oziroma v standardnem (sodobnem) binarnem kodu (1,0).
Kljub temu, da je Boole po stoikih nedvomno prvi logik, ki jc ponovno odkril bazično strukturo stavčne (propozicionalne) logike, pa pri Boolu metodološka primarnost stavčne logike vendarle še ni tako jasno izpostavljena kot dobri dve desetletji pozneje pri Fregeju (1879). Glede metodološke prioritete stavčne logike pred terminsko (predikatno) - ali obratno - jc Boolc dvojen. Po eni strani izraz 'primarni stavki' ohranja za terminske, tj. subjekt-predikatne stavke aristotelovskega lipa, kar jc razvidno iz naslednjega citata:
"Vsaka naža trditev se lahko nanaža na eno ali na drugo izmed dveh vrst: bodisi izraža odnos med stvarmi bodisi izraža - ali je ekvivalentna izrazu - odnos med stavki (propositions). ...Prvi razred stavkov, ki se nanašajo na stvari, imenujem 'primarni'; drugi razred stavkov, ki se nanašajo na stavke, imenujem 'sekundardni'. V praksi jc distinkcija skoraj, vendar ne povsem, koekstenzivna z običajno logično distinkcijo med kategoričnimi in hipotetičnimi stavki. Tako sta primarna na primer: 'Sonce sije.' in 'Zemlja se ogreva.'; sekundaren pa je stavek: 'Če sije Sonce, se Zemlja ogreva.'" (Boolc, Laws..., str. 52-53.)
Po drugi strani pa se Boolc - še posebej, ko obravnava Aristotelovo silogistiko v 15. poglavju Laws - jasno zaveda in poudarja, da silogistika ni primarni logični sistem, saj jo jc možno izpeljati iz njegovih laws of thought (tj. zakonov misli, formuliranih z algebro). Že v uvodu v Laws Boole zapiše: "Silogizcm, konverzija etc. niso poslednji procesi v logiki. V tej razpravi bo prikazano, da so utemeljeni in razrešiljivi v višje in preprostejše procese, ki konstituirajo resnične elemente metode v logiki" (str. 10). Svojo obljubo, da bo pokazal, na kakšen način je silogistika izpeljiva iz "višjih procesov" oz.
splošnejših logičnih zakonov, Boolc izpolni v žc omenjenem 15. poglavju Laws, kjer med drugim pravi:
"Namesto da bi omejili našo pozornost na subjekt in predikat kot na enostavna termina, lahko vzamemo katerikoli element ali katerokoli kombinacijo elementov, ki lahko (v)stopi na mesto enega ali drugega (tj. subjekta ali predikata, op. M.U.); vzemimo ta element ali to kombinacijo kot 'subjekt' novega stavka; in določimo, kaj bo njegov predikat v skladu s podatki, ki so nam dani." (Boolc, Laws, str. 230)
Pri tem pasusu je posebej zanimivo to, da se tradicionalna predikat in subjekt "prelevita" v nove "elemente", namreč - če smo konkretnejši - v stavke, ne pa morda, kot bi s sodobne zorne optike pričakovali, obratno: da sc stavek razčleni na subjekt in predikat itd. Tukaj vidimo, kako zelo je Boole še opredeljen z optiko tradicionalne logike. V zgornjem pasusu citirana misel namreč temelji na historični zmešnjavi v zvezi s t.i. hipotetičnim silogizmom, ki dejansko ni nikakršen silogizem, temveč shema sklepanja oz. izpeljevanja v stoiškem pomenu, torej slavčna shema, konkretno modus ponens. Kljub temu pa je Boolovo razmišljanje o posplošitvi variabel s terminskih (subjekta in predikata) na "katerikoli element ali kombinacijo elementov" v odnosu do tradicionalne logike 'subverzivno', saj se pri takšni posplošitvi kmalu izkaže metodološka in sistemska prioriteta stavkov (kot "elementov") pred termini. Mit o "nepresegljivosti" silogistike, ki naj bi bila po Kantu (& drugih) enkrat za vselej zastavljeni in edini veljavni temelj oz. kanon formalne logike, sc pri Boolu postavi pod vprašaj:
"Ničesar pa ne kaže, da bi bila razprava o vseh sistemih enačb, ki izražajo stavke (tj. o laws of thought, op. M.U.), žc vsebovana v razpravi o partikulamem sistemu, ki ga obravnavamo v tem poglavju (v tem, tj. 15. poglavju Boolc obravnava Aristotelovo logiko oz. silogistiko, op. M.U.). In vendar so bili avtorji na področju logike soglasni v trditvi, da je silogistično sklepanje ne samo najvišje, ampak tudi univerzalno zadostno za deduktivno razmišljanje." (Boole, Laws, str. 239)
V tradicionalni logiki (npr. v Port-Royalu) je veljal dictum de omni ct nullo za temeljni princip ne samo silogistike, ampak tudi vsakega deduktivnega sklepanja nasploh. Z današnjega zornega kola nam je jasno, da - gledano s stališča splošnosti - "za" ali "pod" principom dc omni ct nullo "leži" še princip tranzilivnosti kol eden izmed temeljnih zakonov stavčne logike, in ultima analyst pa seveda zakon ncprotislovnosti kot sine qua non vsakega konsistentnega sistema. Pri samem Aristotelu (An. Post., I., 11. pogl.) je precej jasno, daje princip ncprotislovnosti - hkrati s svojima "variantama", tj. s principom identitete ter principom izključene iretje možnosti - temcljncjši in splošnejši kot silogistični dictum dc omni ct nullo. Ta relativna jasnost glede temeljnih principov se v t.i. tradicionalni logiki pravzprav prej zabriše, kol pa izoslri. In zato mora Boolc opravljali "arheološko" delo na področju logike, kot je razvidno npr. iz naslednjega citata:
"Aristotelov dictum dc omni ct nullo je samo-razviden princip, vendar ga ne najdemo med tistimi poslednjimi zakoni mišljcnskc možnosti, h katerim nas napotijo vsi drugi zakoni, četudi jasni in samo-razvidni, in iz katerih lahko vse druge zakone deduciramo v najbolj striktnem redu znanstvenega razvoja. Kajti čeprav so v vsaki znanosti temeljne resnicc običajno tudi najenostavnejše za razumevanje, pa vendar ni enostavnost kriterij, po katerem naj bi sc določala njihova fundamcntalnost. Le to moramo iskati v naravi in obsegu strukture, ki jo te (temeljne resnicc) zmorejo nositi (support, dob.: podpirati). S tega zornega kota sc mi zdi, da je imel Leibniz prav, ko je pripisoval 'principu (nc)protislovnosti' fundamcntalno
mesto v logiki; kajti videli smo konsekvence tega zakona misli, katerega aksiomatski izrazje x (1 - x) = O." (Boole, Laws, str. 240)
Ta pasus je precej zapleten, "arheološko" še ne povsem izluščen, morda celo malce protisloven. Osnovna Boolova misel, če prav razumem, jc v tem, da je - globalno gledano - dictum dc omni ct nullo možno reducirati na še splošnejši princip, ki ima po Leibnizu "fundamentalno mesto v logiki", tj. princip neprotislovnosti. Vendar poleg tega Boolc trdi - povsem v skladu s sodobnim pojmovanjem aksiomatike - da ni nujno, da jc kriterij fundamentalnosti (aksiomatičnosti) jasnost oz. samo-evidenca nekega principa. Težava pri interpretaciji zgornjega pasusa pa je v tem, da "primer" (tj. princip neprotislovnosti kot Aksiom) ne potrjuje trditve, češ da ni nujno, da bi bili temeljni principi s&mo-razvidni oz. evidentni - ta "primer", katerega "aksiomatski izraz" je x (1 -x) = O, je namreč kar se da evidenten, intuitivno samo-razviden in hkrati fundamentalcn. Toda kljub nejasnim momentom v Boolovem razmišljanju o temeljnih "zakonih misli" jc njegov preboj v območje stavčne logike jasen in nedvomen, kar vidimo tudi pri njegovi obravnavi hipotetičnega silogizma, kije v zgodovini logike povzročal precejšnjo zmedo: 'Tisto kar običajno pojmujemo kot hipotetični silogizem, dejansko sploh ni noben silogizem. Vzemimo argument -
Če jc A B, potem je C D, toda A je B, torej C je D
in ga zapižimo v obliki -
Če jc stavek X resničen, jc Y resničen, toda X je resničen, torej Y je resničen
pri čemer je z X mišljen stavek 'A jc B' in z Y stavek 'C je D'. Iz tega je potem razvidno, da premisi vsebujeta samo dva termina ali elementa, medtem ko silogizem nujno vsebuje tri (elemente)." (Boole, Laws, str. 241).
Zanimivo je, da Boolova argumentacija, zakaj hipotetični silogizem sploh ni silogizem, ostaja še vedno aristotelska: ker ne vsebuje treh terminov v premisah, ampak samo dva, - namesto da bi preprosto rekel: takšen sklep ni silogizem zato, ker variable ne nadomeščajo terminov, temveč stavke. Seveda pa pri tem ne gre samo za nekakšno spregledanje glavne razlike med silogizmom (terminsko logiko) in stavčno logiko: Boolc ima namreč tudi tehten razlog, da te ločnice ne vleče preveč ostro - njegov glavni namen je konstrukcija takšnega sistema, ki omogoča "ambivalentno" semantiko, tj. dvojni intcrpretacijski model. V Boolovi algebri variable pomenijo tako terminske kol stavčne izraze. To je popolnoma evidentno pri - zgoraj že citirani - Boolovi formulaciji zakona neprotislovnosti; poglejmo si še enkrat to formulacijo:
x (1 - x) = O
Ta zakon, za katerega Boole pravi, da "ga je Aristotel označil kot fundamentals aksiom vse filozofije" (Ibid, str. 49), se v svoji povsem matematični formulaciji v historični Boolovi algebri nanaša predvsem na logiko razredov:
"Izraz x (1 - x) bo torej predstavljal tisti razred, čigar člani so hkrati 'ljudje' in 'ne-ljudje', in enačba x (1 - x) = O izraža princip, da razred, čigar člani so isto-časno ljudje in ne-ljudje, ne eksistira. Z drugimi besedami, da je nemogoče, da bi bil isti individuum isto-časno človek in ne-človek". (Boole, Laws, str. 49)
Obenem pa je jasno, da navedena interpretacija, pri katerih variable pomenijo razrede, ni edina možna, temveč da "enačba ncprotislovnosti" lahko pomeni tudi to, da stavek x in njegova negacija (1 - x) ne moreta biti istočasno resnična. Boolovo algebro lahko apliciramo tako na "primarne" kakor tudi na "sekundarne" stavke, kot pravi avtor: "Kakor bomo videli, bo v tem delu uporabljeno isto izrazoslovje tako za primarne kot za sekundarne stavke, ki so, zapisani v isti simboliki, podvrženi istim zakonom. Razlika med enimi in drugimi stavki ni formalna, temveč interpretacijska." (Ibid., 54) Kljub tej zrcalni ambivalentnosti Boolove algebre kot formalnega sistema pa je za formulacijo dvovalentne Boolove algebre (po kateri lahko potem modeliramo stavčni račun) potrebna dodatna rcstrikcija, tj. omejitev na samo dva elementa algebre, ki smo jo omenili zgoraj. Hkrati pa ta dva elementa, imenujemo ju kar '1' in 'O' nastopata že v ne-restriktivni (tj. "polivalentni") Boolovi algebri (po kateri lahko potem modeliramo razredni račun) kot mejni vrednosti - kot univerzalni in nulti element. Poglejmo si malce podrobneje, kakor je s tem:
"Pri ekspoziciji Boolovega sistema je primerno, da začnemo s tisto interpretacijo, iz katere je najverjetneje razvil svoje pojmovanje logičnega računa. Predpostavimo, da črke, kot sta x in y (Boolc jih pogosto imenuje elektivni simboli, op. M.U.), nadomeščajo razrede in da uporaba simbola = med dvema simboloma za razrede označuje, da imata ta dva razreda iste člane. ... Med vsemi razločljivimi razredi pa sta dva mejna primera, za katera je prikladno, da imamo posebna simbola. To sta univerzalni razred, ali razred katerega člani so vsi, in ničelni razred, ali razred katerega član ni nobeden. V Boolovem simbolizmu sta ta dva razreda označnega s simboloma 1 in O. ... V praksi Boole uporablja svoj znak 1 tako, da označuje, kar je De Morgan imenoval univerzum diskurza (universe of discourse) ..." (Kneales, 1962, str. 407-408).
Tudi v zvezi z zgoraj navedeno "enačbo ncprotislovnosti" x(l - x) = O Boolc izrecno poudarja, da sta "interpretaciji simbolov O in 1 v sistemu Logike Nič in Univerzum" (Boole, Laws, str. 48). Toda s stališča Boolovega sistema kot algebre, imata simbola O in 1 tudi "neposrednejši" pomen, kot pravi sam Boole: "Zatorej, namesto da bi določili stopnjo formalnega ujemanja simbolov Logike s simboli števil nasploh, sc nam bolj neposredno ponuja misel, da jih primerjamo s simboli kvantitete, pri čemer privzamemo s&mo vrednosti O in 1. Zamislimo si torej Algebro, v kateri simboli x, y, z etc. privzemajo enoznačno vrednosti O in 1, in sicer samo ti dve vrednosti" (Laws, str. 37). -Knealova ugotovitev, češ da "Boole ne razlikuje jasno med svojim prvotnim sistemom ter ožjim sistemom, ki ga prvi vsebuje" (Kneales, 1962, str. 413), torej ne drži povsem, čeprav je res, da Boolc bolj ostro in jasno razlikuje med obema interpretacijama simbolov O in 1, kot pa formulira razliko med obema sistemoma - Boolc namreč hoče doseči prav to, da bi za oba modela (tako razrede kot stavke) zgradi isti sinktaktični sistem. Žc v Boolovi Mathematical Analysis of Logic (1847, dalje cit. kot Analysis) je jasno, da gre pri "stavčnem modelu" za restrikcijo "razrednega modela":
"Simbolom X, Y, Z, označujočim stavke, lahko prilagodimo elektivne simbole x, y, z, v naslednjem smislu. Hipotetični Univerzum, 1, naj obsega vse zamišljive primere in povezave okoliščin. Elektivni simbol x, povezan s katerimkoli subjektom, ki izraža takšne primere, naj izbere vse tiste primere, v katerih je stavek X resničen, in podobno naj velja na Y in Z. Če se omejimo na razmislek o danem stavku X in odmislimo vse druge ozire, tedaj sta mogoča samo dva primera, tj., prvič, da je dani stavek resničen, in drugič, da je neresničen. Ker ta dva tvorita skupaj Univerzum Stavka in ker je prvi označen z elektivnim simbolom x, je drugi
označen z elcktivnim simbolom (1 - x). Če pa dopustimo druge ozire, bo vsak izmed teh primerov razrešljiv v druge, individualno manj ekstenzivne, katerih število bo odvisno od števila dopuščenih drugih ozirov. Torej, če povežemo stavka X in Y, bomo skupno število zamišljivih primerov našli prikazano v naslednji shemi:
primeri	elektivni izrazi
1.	X resničen, Y resničen	xy
2.	X resničen, Y neresničen	x (1 -y)
3.	X neresničen, Y resničen	(1 -x)y
4.	X neresničen, Y neresničen	(l-x) (1 -y)
... In pripomniti moramo, da ne glede na to, ali jc teh primerov malo ali veliko, jc vsota
elektivnih izrazov, ki predstavlja vse zamišljive primere, vselej enota". (Boole, Analysis, str.
49-50)
Iz tega za razvoj logike izredno pomembnega pasusa jc razvidno predvsem dvoje. Prvič, da se je Boolc zavedal, da gre pri "stavčnem modelu" - tako ga imenujemo iz današnjega zornega kota - za restrikcijo algebre na dvovalentno strukturo. Drugič, kar jc s to restrikcijo seveda neposredno povezano, jc Boolc v navedenem pasusu prvi v zgodovini logike formuliral resničnostno matrico za dva stavka X in Y. Edini korak, ki jc še preostal do sodobne (standardne) stavčne logike, jc bil v poimenovanju simbolov 1 in O kot resničnostnih vrednosti stavka. Ta korak je - poleg vpisa implikacije v Boolovo "shemo" - napravil Frcge (1879; predvsem pa v spisu UbcrSinn und Bcdculung, 1892).
Zanimivo pa jc, da je glede razvoja v smeri stavčne logike pri Boolu od Analysis (1847) do Laws (1854) prišlo do določene regresije. Ko namreč v Laws (str. 81) navaja "matrico":
xy,x(l-y), (l-x)y, (l-x)(l-y) govori zgolj o interpretaciji v okviru logike razredov, pri čemer mejni vrednosti 1 in O pomenita univerzalni in ničelni razred. Ta regresija jc verjetno pogojena s tem, da skuša Boole v Laws svojo algebro razvijati predvsem v smeri verjetnostnega računa (gl. celotni zaključni del knjige, poglavja XVI-XXII). S tem "Boolc opusti zelo obetajočo sugestijo (iz Analysis, gl. zgornji citat, op. M.U.) in namesto nje predlaga, naj bi črka x (kot elektivni simbol, op. M.U.) izražala čas, med katerim jc stavek X resničen. To jc povratek k nezadovoljivemu pojmovanju resnice, kakor so jo obravnavali nekateri antični in srednjeveški logiki ..." (Kncalcs 1962, str. 414). Razvoj formalne logike po Boolu jc šel očitno v drugo smer. Ali, če rečemo malce metaforično: historična Boolova algebra jc bila križišče, s katerega so se ponujale naprej različne poti - vendar se je ena, namreč Frcgejeva in pozneje Russellova in Wittgcnstcinova ponujala s posebej poudarjenim kažipotom.
Boolova algebra je odločilnega pomena za nastanek sodobne standardne ("materialne") implikacije - čeprav, paradoksalno, v sami Boolovi algebri, če nanjo gledamo s historičnega stališča, implikacije sploh ni. To jc seveda za sistem, ki pretendira, da bo formuliral Zakone Logike, prccej nenavadno, saj jc bila implikacija (conscqucntia, kondicional itd.) v zgodovini logike vedno ena izmed temeljnih logičnih relacij. Kako daje Boole v svoji algebri logike implikacijo tako rekoč "obšel"?
Da bi odgovorili na to vprašanje, se moramo najprej znova vprašati, kako jc Boole prišel do pojmov logične vsote (ki jc v poznejšem razvoju logike dobila ime: disjunkcija), produkta (pozneje: konjunkcija) in komplcmcnta'! Očitno per analogiam s pojmi iz logike razredov (oz. terminov, tradicionalno gledano) - danes bi rekli: per
analogiam s pojmi iz teorije množic, ki v Boolovcm času siccr še ni bila formulirana cxplicilc, vendar je bila impicitc (kot struktura) prisotna v algebri in aritmetiki, torej v Boolovcm izhodišču. Bistvena je torej naslednja ugotovitev: osnovni pojmi sodobne slavčne logike, ki so sc začeli formulirali z Boolovo algebro, izhajajo iz matematike, temeljijo na odnosih med množicami (razredi), na direktni analogiji z množicami (razredi). Glede sodobnega pojmovanja disjunkcijc, konjunkcijc in negacije - kakor tudi glede zgodovinskega pojmovanja teh logičnih vezij - je analogija logike z algebro (oz. teorijo množic) vsekakor zelo produktivna in tudi intuitivno plavzibilna. Vendar pa ni nobenega apriornega razloga, da je možno adekvatno utemeljili oz. sistemsko formalizirali per analogiam z algebrskimi "vzorci" tudi tisto logično relacijo, ki jo iz zgodovine logike in iz obče jezikovno-metodološke rabe pojmujemo in imenujemo kot implikacijo. Ni nobenega apriornega razloga, da bi Boolovo metodo "algcbraizacije" razširili tudi na implikacijo, če nam je to uspelo pri konjunkciji in disjunkciji. Kajti treba je še razmisliti, ali ne gre morda pri implikaciji za bistveno drugačno relacijo kot pri drugih stavčnih vezjih, ckstcnzionalnih funkcijah elementarnih stavkov. Boolovi nasledniki - predvsem Fregc in pozneje Russell - so ta premislek kar nekako "pustili ob strani" in so implikacijo per analogiam vključili v formalno strukturo Boolove algebre, tj. v stavčni račun, na enak način kot druga stavčna vezja. Poglejmo si, na kakšen način je bila vključitev implikacije formalno možna, čeprav metodološko vprašljiva. Možnost formalnega vpisa "implikacije" v abstraktno strukturo Boolove algebre je prav delna urejenost lc-tc z asimetrično relacijo (rccimo z relacijo podmnožice oz. ekstcnzionalne inkluzije), o čemer smo že govorili. Vzemimo zgoraj navedeno Hughes & Cresswcllovo definicijo Boolove algebre v sodobnem pomenu; iz postulatov (1.5 in (1.6) ter iz definicijc [O] lahko zapišemo ckvivalcnco:
(INC) (a x -b) = O, če in samo če (a x b) = a
kar pomeni: presek elementov a in -b je prazen, če in samo če je element a 'pod-clcmcnt' (v konkretnem modelu: podmnožica) elementa (a x b). Relacijo 'biti pod-clemcnt od ...' (ali konkretno: relacijo podmnožice, inkluzije ipd.) pa lahko po definiciji [ c ] zapišemo:
(a c b) dcf. = (a x b) = a;
in če sedaj v tej definiciji na osnovi ckvivalcncc (INC) substituiramo (a x b) = a z (a x -b) = O, dobimo:
(a a b) dcf. = (a x -b) = 0
in zaradi Dc Morganovcga zakona oziroma definicijc [+) dalje zapišemo:
(a c b) dcf. = -(-a + -(-b)) = 0
ali, ob opustitvi dvojnih negacij in zaradi definicije [1]:
(a c b) dcf. = (-a + b)= 1.
Zdaj pa to relacijo 'biti pod-element od ...', ki ima prvoten in povsem adekvaten model v definiciji podmnožice oz. ekstcnzionalne inkluzije, preberemo kot implikacijo med stavkoma A in B:
(MI)	(A "implicira" B) dcf. = (-A + B) = 1
kar pomeni: "implikacija" - označimo jo (A z> B) - jc resnična, če in samo če je resnična naslednja disjunkcija (ob predpostavki restrikcije na dvovalentno algebro):
A je neresničen ali (disjunktivno) je B resničen.
V tej definiciji zlahka prepoznamo sodobno standardno definicijo materialne implikacije, in sicer definicijo na osnovi disjunkcije in negacije, tj. materialno implikacijo z matrično karakteristiko 1-0-1-1 v dvovalentni logiki z dvema stavčnima variablama A in B . Ostaja pa osnovno vprašanje: ali je relacija podmnožice - se pravi neka relacija, ki "izvira iz računa, ki je bil prvotno namenjen za obravnavo odnosov med razredi" (Lewis & Langford 1932, str. 89) - primerna osnova za definicijo implikacije? To namreč sploh ni apriori razvidno, čeprav je postalo v sodobnem standardnem kdnonu formalne logike tako rekoč samoumevno (vsaj na funkcionalni ravni). C.I. Lewis pa jc bil med logiki našega stoletja prvi, ki je zanikal samoumevnost definicije implikacije na osnovi Boolove algebre, češ da je izvor materialne implikacije "zgolj nekoliko nesrečno historično naključje" (Ibid.). Za to "naključje" je poskrbel dve desetletji za Boolom eden izmed največjih logikov vseh časov - Gottlob Frege.