Narodna in univerzitetna knjižnica v Ljubljani 106947 r \ Hnter-dhjtnnufun. -.=#».- Don Dr. gfrattj litter con ^loctttll. n. SlS^ttlung. ^lit 108 in bcn SCejrt gebrudttcn #ol|fd)mtlfn. Mie, mit JMfuftt anf die mdrifAcn Hupe umgeucBeifcte Jluffnge. pas Kfd)t iicr Kebtrfeijung bfljult /td) btr Derfafjer »ur. ' J y. i J : i^i t e n f tK? m**- ?lruck uub Hcrlug non fflarl ®nroli>’$ Šnl)n. 1873. /\Dk f«? 106947 3 n I) a l t frflcr ®on bett krmntntn ftnien. ©eite I. ® er $rei®. 1. ©ogen, itreiSauSfdjnitte unb ©entritoinfef. 1 2. ©eljnen, $rei«a6fc$nitte unb ^eri^eriettinfel. . 2 3. ©ecanten unb ©angenten. 7 4. Sage ber Greife gegen einanber. . 9 5. $bcitatg ber Sreižiinie. 11 6. ©erablinige gigureit im jfreife. 13 7. ©erablinige giguren um beu $rei® . IG 8. Slusmeffnng be® fireife® . 18 a) Sihtge be® fireisuntfange®. — b) gladjeninfjalt be® Greife®. 20 c) SHnfgaBen iiber bie Hreismeffung. 24 II. ®ie ©Uipfe. 29 III. ©te §bberbel. 33 IV. ©ie barabe!. 35 V. Serfc&iebene frumme Sinien. 36 1. ©te ©bcloibe. — 2. ©te @45traHinte. 37 3. Ste ©baUtnte. 39 gmiiet Jllifdjttitt. $ir $tfwometrir. I. ©erabe Sinten unb ©Benen im Sftaume . 40 1. Sage ber ©erabett gegen einanber. — 2. Sage ber ©eraben gegen eine ©Bene. 41 3. Sage ber ©Benen gegen einanber. 45 4. SBrberli^e ©cfen. 47 2 gtg. 2 . §.4?- (Sd feiett bie (Sentriminfet AOB unb C OD (gig. 2) ein= anber gteicp 8egt man ben Sreidaudfcpift COD fo iiber bett 2lud= fc^nitt AOB, baff bie (Sentriminfet COD unb AOB genau iibereinanber fatten, fo fontmen, ba bie ©cpnfet biefer SJBinfet gteic^ finb, aud? bie Sunete C unb D auf bie Sunete A unb B, unb ber ©ogen CD iiber ben ©ogen AB ju tiegen; bie beiben Šheidaudfdjnitte beden fidf bapr »otifomnten. ©araud fotgt: a) 3« gleidfen (Sentriminfetn ge= tforen in bemfetben Greife gteidfe gen unb gteicp Studfdfinitte. 2tuf biefelbe Strt fann man audf bie fotgenben jrnei @d|e teidjt einfepn: b) 3u gteicpn ©ogen getjoren in bemfetben Sreife gteidfe (Sentriminfet unb gIetcbe Studfc^nitte. c) 3u gteic^en Sludf dmitten gelforen in bemfetben Sreife gteidfe (Sentriminfet unb gteidfe ©ogen. §(<3. SBenn (gig. 3) bie SBinfet A O M, M O N, N O P, POB, COQ, QOR, ROD einanber gteid) finb, fo miiffen and? bie ©ogen gtg- 3. AM, MN, N P, PB, CQ, QR, RD, unb eben fo aud? bie ju btefett ©ogen geprigen ®reidaud= fd^nitte gteid^ fein. (Sd ift bapr nicp nur ber ffiinfel AOM in bem SBtnfet AOB 4mat, unb in C O D 3ntal entptten, fonbern ed !ommt ebenfo ber ©ogen AM in AB 4mat, in CD 3mat nor; unb ed ifi aucf> ber Sreidaudfdjnitt AOM in bem 2lud* fdmitte AOB 4mat, in COD 3mat entptten, fo ba§ fotgenbe ©erpttniffe ftattfinben: ©infel AOB : COD = 4:3, ©ogen AB : CD =4:3, Sludfcpitt AOB: COD = 4:3. 'Saraud fotgt:| 3 to e i ©ogen, to i e audf jmei Shtdfcfjnitte bedfetben Sreifed bertfalten fid^ gerabe fo mie bie pnen entpredfen* ben Sentriminfet. 2. ©eljnen, Sreidabfdpitte unb ifkrifperieminfel. /;§. Sine ©erabe AB (gig. 4), rnelcp jmei ©unete ber Sreid* tinie »erbtnbet, pip eine ©etpe bed $reifed.§ pep in einem Greife etne @eijne,|t»etcp etnerj gegeSenen ©trecte gteidj tjl. (Sine ©epe A C, metep buref) ben ©fittetpunct bed $reifed gep, toirb ein ©ur^meffer ober ©iameter bedfetben genamtt. Šeber 3 ©urdjmteffer ift boppett fo grof at« eitt §at&* rneffer; barau« fotgt: 2Itte £>urdfmeffer eine« Sreife« ftnb einanber gleic^. 33Bte roirb liber einer gegebenen ©trecfe at« $ur<$* nteffer ein Steis 6ef$rie6eti? (Sin ABMA ber $rei«ftact)e, toetc^er bon einer Sefme unb bera baju geprigen SBogen begrenjt toirb, ^eigt ein Srei«a6fcf>nitt ober (Segment. Seber ©urdjmeffer tljeitt bie fperiptjerie unb bie $rei«ftacf>e in gtt»ei gteib^e Slpeite. Beber ber beibeit gteic&en £f?eite ACB unb A CD, in toetc^e ber ®rei« burd; einen Surdfuneffer A C getlfeitt toirb, peijft ein ^albfrei«. ®ie £atfte ADO eine« §atbfreife« ^»ei§t ein 33iertetfreis ober Duabrant. Bebe Šepne, metdfe fein • ®urcpmeffer ift, tpeitt bie iPeripperie unb bie Srei«ftad>e in jtoei ungteicpe £peite, unb jraar ift jener ber groffere, in toetcpem ber Uffittetpunct tiegt. §.|&'-(S« feien bie Sepnen AB unb CD (gig. 5) einanber gteicp. £)ie ©reiecfe A B O unb C D O finb unter biefer 33crau«fe|ung con« gig. s. gruent, unb e« raiiffen baper audi bie gteicp tie* genben SBinfet AOB unb C O D, fotgticp aucp bie ffiogen AB unb CD gteicp fein. a) 3u gfeic^jen Sepnen geporen in berafetben Sreife gteicpe (Sentri« toinfet unb gteicpe Šogen (boraužge« fept, bafj bie (Sentritoinfet popt, unb bie fSogen fteiner at« bie patbe $eripperie finb). Unter berfetben 93orau«fepung tdfjt fidp auf gteicpe SBeife jeigen: b) 3u gteicpen Sentritointetn ober ju gteicpen fBogen ge« pBren in bemfetben IHreife gteicpe Sepnen. $§. 6. @« fei bie Šepne AB = CD (gig. 5); bann finb bie ®reiecfe ABO unb CDO congruent, baper raiiffen aucp ipre gteicp« tiegenben £>open OG unb OH gteicp fein; biefe £)opeu ftetten aBer bie (Sntfernungen ber gteicpen Sepnen AB unb CD oom SDiittetpuncte bor. 9ftan fann barau« fotgern: a) ©teicpe Sepnen eine« Greife« finb bom SJiittetpuncte gteicp toeit entfernt. b) Sepnen eine« Greife«, h>ete bom 5D?ittetf>uncte gteicp toeit entfernt finb, finb einanber gteicp. §. 7. ®repet fid^ bon bem feften fpatbmeffer O A (ftig. 6) ura ben iPunct O ein jtoeiter £>at6meffer fo pintoeg, bafj er nacp unb riacp. in bie ffagen O C, OD, O E... fommt; fo toerben bie (Snbpuncte 1 * 4 gig. e. biefer betfcen ipatbmeffer um fo rnefjr »on etn* anber abfteljen, je grofer ber bon iijnen gebilbete Sentritoinfef toirb; e« toirb alfo bon ben <3el)nen A C, A D, A E, ... jebe folgenbe grojjer feitt atž bie borljergeljenbe. gugteicb naljern fid^ bie eingelnen ©eljnen um fo meljr bem StJiittel^urtcte, je griifjer fie toerben. Hommt enblid) ber jtoeite §al6nteffer in bie Sage OB, fo geljt bie ©epne turdj ben SDiittelpunct, toirb alfo ju einem ®urcf)= meffer unb erreid&t iljre grijfte Sange. Slu« biefer SSetradjtung ergeben ficf) folgenbe @a§e: a) ®er ©urcfjraeffer ift grofjer als jebe anbere ©eljne. b) 23on 3 to e t ungleidjen Šeljnen eine« Greife« ift biejenige bie grbjjere, toetcfje einem grbjjern tšentritoinlel ober SSogen entfforic^t (oorauSgefe^t, bafj ber Sentritoinfel eiu Ijoljler, unb ber ISogen fleiner al« bie fjalbe ifJeripljerie ift). Ste ©eljnen roačbfen ubttgeitž nič^t in gleiipem SBerljaltmffe tete bie Sentri* tointet. So ift bie ©eljne bes bopbelteit StBinlelS trobt groger, aber nic&t beppett jo grog ata bie ©e^ne bea einfacben ŽBintels. c) Ungleicl;e ©eljnen eine« Greife« finb bom Hftittel« punete ungleidj toeit entfernt, unb jtoar Ijat bie grbfjere @el;tte bie fleinere (šnfernung. d) @el?nen eine« Greife«, bie bom Sftittelpuncte ungleid) toeit abfteljen, finb ungteidj, unb stoar ift biejenige bie grbjjere, toeldje nitljer am Sftittetpuncte liegt. §. 8. emaninber2)Jitteeiner©ebneer» ridftet, muf? burd; ben SJititeipunct bež Sreifež getjen, unb ben jugelfbrigen Sentriminfet unb ©ogen IjaUuren. §. 9. a) ©en 2Jiittet}>unct einež Greife® ju finben. 3Jian jte^e eine betiebige ©el^ne AB (gig. 8), ^atbire biefetbe, unb erricf>te barauf im ^atbirungžpuncte C eine ©entrec^te, fo ge^t bie= fetbe bitrd) ben 2JJittetpunct bež Sreifež, unb ift ba^er, toeun man fie auf beiben ©eiten biž an ben Umfang bertdngert, ein ©urdjmeffer bež Sreifež. SSSirb nun biefer ©urdjmeffer DE in O ^albirt, fo ift O ber gefud^te Sttittetfranct. b) ©en ©iittelpunct einež Sreižbogenž ju finben. S<8- 8 - S'8- 9. tjatbire jebe berfetben unb erribfite auf biefelben in ben ©Jitten bie ©enf* renten DE unb F G. ©a nun beibe ©enfrecfte burc^t ben 2)Zittetpunct bež ffreifež geljen, fo ntufj biefer in i^rera ©urdfifdmittžfmncte O tiegen. c) ©urd; brei ^uncte A, B, G (gig. 9), toetdje nidf>t in einer geraben Sittie tiegen, etnen Sretž ju befcfireiben. 3)ian jielje jtoif^ett bett gegebenen $uncten bie ©eraben AB unb BC, unb betracfite biefe atž ©efmen bež ju befdjreibenben treifež, bann Ia§t ficfy ber Sfiittetpunct O bežfelben nacfi bera miter b) angegebenen ©er* faljren beftimmen; ber §atbmeffer biefež Sreifež ift O A, OB ober O C. ©urd; brei nicfit in einer geraben Sinie tiegenbe Sunete ift ein Sreiž bottfommen beftimrat. gig. io. §. 10. ©in SBinfel AOD (gig. 10), beffen ©dfeitet in ber ©eriptferie einež Šreifež tiegt, unb beffen ©dfienfel ©eljnen bežfetben finb, ^ei^t ein ^Serigj^erietoinleL ©otocljt bon ben (Sentri® atž bon ben ©e* ribberietbinfeln fagt man: fie ftetjeu auf tem ©ogeii, ftetdier jibifdien itjren @<$enfefn tiegt. 8 1. 9ientte alte !)3frip^enetointel in ber gigur 10. 2. 2tuf toelc&em Sogett fte^t etn jeber biefet Sittfel? ©n $eripl)erietbinlel ACB, toelc^er auf bem |>albfreife auffteljt, beffeit ©c&enlel alfo burcp bie (Snbpuncte einež SDurcpmefferž geljen, fjeifjt etn ffiinfel im £albfreife. Stegen bie ©djenfel eineS iperipfjerietoinfelž in einent Sreižabfdjmitte, toeldfier grbger ober f le i n er alž ber §alblreiž ift, fo Ijeigt berfelbe bejiiglicp etn SBinfel itn grbgeren ober fleineren Sreižabfcpnitte; A CD ift ein -SBinfel im grbgeren, AED ein SBinfel im lletneren Sreiž* abfcfmitte. §. 11. 2Benn ein Sentri- unb ein ifJeripIjerietbinfel auf betnfelben iSogen aufftelfen, fo !ann a) ber ©cpeitet bež ©eutritbinfelž auf einem ©djenfel bež iperipperie* toinlelž liegen (gig. 11), b) ober ber @dj>eitel bež £eniritt>infe(ž liegt innerpalb ber ©c^eufef. bež iperipperietoinfelž (gig. 12), c) ober er liegt augerpalb bež iPeripljerietbinfelž (gig. 13). gig. 11. gig. 12. gig. 13. Bn jebem biefer brei galle fitibet stcifdf;en ber ©roge bež $erk pljerietoinlelž unb bež Sentritoinfelž bažfelbe 23erlja£fte bež SBinfelž m; alfo ift a = i m. b) £)er jmeite gall (gig. 12) lagt ficf> anf ben erften jurMfiifren. 3ie^t man namlicp ben iDurdjuneffer CD, fo ift a bie §alfte oott m, b bie fpatfte bon n; baper aud) bie ©umme bon a unb b, b. i. ber SBinfet ACB Ijalb fo grog alž bie ©imune bon m ttttb n, b. i. Ijalb fo grog alž ber SBinfel A OB. c) 3iel)t man ebettfo in gig. 13 ben ©urdjmeffer CD, fo ift nad) a) ber SSinfet BCD bie ipalfte bon B OD, nnb A CD bie $dlfte bon AOD, fotglic^ aud) ber Unterfcpieb gioifcpen BCD nnb AC D, b. i. ber SBinfel ACB Ifalb fo grog alž ber llnterfcpieb stoifcpett BOD unb AOD, b. i. tjatb fo grog alž ber UBintel A OB. Beber ^eripljerietoinfel einež treifež ift alfo gleicft bem Ifalben ©entritoinlel auf gteic^em ©ogen. 7 §. 12. 2lub bem oorlfergefjenben ©a|e folgt: a) ‘Peripljerietoittlel, toelcf>e auf bemfelben IFogen auf* fteljen, finb einanber gleicb; toeil jeber bon iljnen bie-§>alfte eineb unb bebfelbeit (Sentritoinlelb ift. b) Seber ffiinfel im £>a(bfreife ift ein rec^ter; benn ber entfprecfienbe (Sentriioinfet ift ein geftredter, unb bie §filfte babon ein red)ter SBinfel. c) (Sin SBinfel im grojjeren treibabf n it t e ift ein fpi^er. d) (Sin SBinlel im f le in er en treibab fd&nitte ift ein ftumbfev. e) ©ie ©umme ber SBinfet im grbfieren unb im tteineren 2Tbf($nitteiiberberfelben@eIjne ift gieic^ gtt»ei žKec^ten. SBerfinnticbe bie £)ter angefiiljrten fiinf Sabe bnrtb etttfbredjenbe 3delcf;e mit ber Jgreiblinie nur in bem Sunete A jufammentrifft. (Sine ©erabe EF, loeld^e mit ber $reib* linie einen einjigen ^Punct gemeinfc^aftlid) l?at, fo bafj alte anberen Sunete berfelben au^er^alb ber treiblinie liegeit, ^eigt eine SeriUjrungb* linie oter ©angente beb Sreifež. 1. Ste biete Sunete fiinneit eine ©erabe unb eitte itreižfinie gemeinfcbaftličb baben? 2. Seidle toer[d)iebcne bagtn tann eine ©erabe gur Sreislinie baben? a;. ]5 §. 14. @cC bie ©erabe B C (gig. 15) ben ®reib im Sunete A beriilfren, fo miiffen alle Sunete berfelben, A aubgenommen, auferlfalb beb Greife« liegen. 3ief)t man iia ^ er bon O aub ju irgenb einem Sunete D eine ©erabe, fo tmtfj biefe langer fein alb ber ^albmeffer beb Greife«, fo* mit langer at« AO; eb mnjj alfo AO bie liir* jefte ©erabe fein, toeld)e bon O aub ju ber ©e* roben gejogen tcerbeu lann, folglidj ift AO JL.B.C ober BC _L AO; b. I?.: 8 . ©ie tangente eineg Sreifeg fteljt auf bem jurn SJeriib* runggpuncte gejogenen £albmeffer fenfred^t. §.15. a) ©urdb einen in ber ^3ertg>^erte eineg Sretfež ti e g e n® ben $unct A ($ig. 15) eine tangente an biefen Šreig ju jieben. HJian jte^e ben £>albmeffer A O, unb erric^te in A bie BC_LAO, fo ift BC bie bertangte Sangente. golgt unmjttelbar aug §. 14. b) Slug einem gegebenen SJtittelpuncte einen SreiS ju befdbreiben, toetd^er eine gegebene ®erabe beriibrt. c) Sin einen gegebenen Sreig eine Sangente ju jieben, toetbfje mit einer gegebenen @eraben patallel ift. d) 93on einem aujjerlfalb beg Kreifeg liegenben Sunete A (gig. 16) eine Žangente an biefen SreiS ju jieben. gig. 16 . 3)ian jie^e bie ®erabe AO unb befe^reibe iiber berfelben alg ©urdb= meffer einen Sreig, toeldber ben ge= gebenen in M unb M' fd^neibet. ©er SBinfel A M O ift alž SSinlel im £)albfreife ein recbter, baber AM eine tangente bež gegebenen ^reifeg. ©a and; A M' O ein reditev SBinfel ift, fo ift auef) A M' eine tangente bež* felben Sreifeg. Slug einem aujferbalb bež Sreifeg liegenben Sunete laffen fidf» alfo an benfelben jtoei San* genten jieben. Slug ber Sofung biefer Slufgabe gebt ferner berbor: 1. ©ie beiben Sangenten A M unb AM' finb einanber gleidb- 2. Sffienn fid) jroei Sangenten eine« SveifeS fd^neiben, unb man berbinbet ibren ©urdbfdbnittgpunct mit bem Sltittelpuncte bureb eine ®e= rabe, fo t)atbiert biefe ben SBinfel, ben bie Sangenteu bilben, ferner ben bon ibnen abgefc^nittenen 33ogen, fo mie ben jugebbrigen Eentritoiufel. gig. 17. E §. 16. giebt man (gig. 17) ben £>albmeffer O A unb erricbtet in A bie B C J_ O A, f o ift BC eine Sangente beg tretfeg. 3iebt 1:1(111 @ebne A D, berlangert A O big E , unb jiebt DE, fo ift in bem jur @ebue A D getjorigen groferen Slbfdbnitte bag A D E bei D rec|t* tbinflig, baber a + b = R; eg ift aber audb m + a = R; folglid) m + a = a + b, alfo m = b ... 1) 3iebt man in bem jur @ebne A D geborigen fleineren Slbfdmitte ju einem beliebtgen ^unete F bie ©erabeit AF unb D F, fo betragen 9 bie SBinfet c unb b ats SBtnfel in bem grbjferen unb fietneren Slbfdjmitte iiber berfetben @el)ne AD jufammen jtoei Sieste (§. 12, e), alfo c -j- b = 2 R; e8 ift aber audb n + m = 2 R; fofgticb n -f m = c + b. ®a nun m = b ift, fo ift auc£> n = c ... 2) ®arau« foigt: 3ief)t man burdj eirten ^J3unct ber Sreižtinie eiue Stan* gente unb eine b- 21. gifl. 22. a) 3n gig. 20 ift O O' = O A — O' A, ober 00'= O A — 0'A' — AA', alfo c < r — r'; bie beiben Šreižlinien Ijaben leinen f3unct gemeinfc^aftlicb, unb e$ liegt bie eine ganj innerljalb ber anbern. 2Benn alfo bie Sentrallinie jtoeier Sreife fleiner al8 bie 'Sifferenj iljrer £>albmeffer ift, fo liegt ber Jleittere Sreiž gang innerljalb bež gr o § e r en. b) 3n gig. 21 ift 00'= OA—0'A, alfo c = r — r'; bie beiben $rei§linien Ijaben in biefem galle mir einett $unct A gemeinfcf>aft= ltd>, mSljrenb jeber anbere iJJunct ber einen Šreižlinie ganj inner* Ijatb ber anbern liegt. Silan fagt ba: bie beioen Greife beriiljren fid; o on innen. SBenn alfo bie G>entrallinie gtoeier Greife ber ®iffe* renj iljrer Sjalbnteffer g 1 eid; ift, fo beriiljren fibie bei< ben Greife »on innen. c) 3n gig. 22 ift 00' = 0A + 0'A = OA —0'A'4-0'A'-f 0'A, ferner audj 00' = O A -j- 0'A = O A -)- 0'A' — A A', alfo c > r — r' unb c < r + r'; bie beiben SreiSlinien burd>= fc^neiben fi$ iit jtcei ^uncten B unb C. 2B e n n alfo bie Sentrallinie jtoeier Greife grbfjer al8 bie ©ifferenj, unb jugleicj) fleiner alSbie@umme iljrer §albtneffer ift, fo burdjfc^neiben fidj bie beiben Sreife. Sig. 23. gig. 24. d) Bn gig. 23 ift 00' = O A + 0'A, alfo c = r + r'; bie bei* ben Sreiblinien fjaben ben einjigen ijJunct A gemeinfd^aftlid), jeber anbere ipunct be8 einen ®reife8 -liegt ganj aufjerljalb be$ anberen. Silan fagt in biefem galle: bie jtoei Greife beriiljren fidj »on a u§ en. 11 '-Benn alfo bie (Sentraltinie jtoeier Greife cer ©umnte t^rer ^jatBmeffer gletc^ ift, fo feerii^ren fic$ bie be ib en Greife bon augen. e) 3n gig. 24 ift 00' = O A -f O'A' + A A', alfo c>r + r'; bte beiten Greife Ijaben tehten $unct gemeinfcfiaftlicf), fonbern e$ liegt jeber i)3unct ber einen jtreižlinie aufjerlfatb ber anbern SreiSlinie. ©enn alfo bie Sentrallinie jrneier Sretfe grbfjer alg bie @ um me iljrer§}albmeffer ift, fo liegen bie beibenHreife augerljalb einanber. 1. 2Bie biete $uncte fiSnnen jffiet jireižlinien gemetnfc^aftlid^ baben? 2. SBetčbe »erfdjiebene Sa gen fBnnen jtoet Sretje gegen einanber baben? 3. 3n toeltben Sagen fiSnnen bie $albtnefjer tet fceibett Sretje einanber gteid) (etn? §. 20. Slufgaben. 1. & feien r unb r' bie Sangett ber £)albmeffer unb c bie 8ange ber Sentrallinie jtoeier Greife; tretje ?agen gegen einanber Ijaben bie beiben Greife ftir folgettbe SBertlje btefer ©rogen? a) r = 5, r' = 3, c = 8; f) r = 6, r' = 6, c b) r = 7, r' = 4, c =, 2; g) r =10, r' = 3, c c) r = 6, r' = 2, c = 10; h) r = 5, r' = 5, c d) r = 8, r' = 3, c = 6; i) r = 12, r' = 7, c e) r = 9, r' = 5, c = 4; k) r = 9, r' — 2, c 2. Sonfiruire mit ben §a(6nteffern unb 5 cm jtoei Greife, - 8 ; = 7 ; = 10; .= 9; = 5. bie fid^ a) bon innen, b) bon anfett berttljren. 3. SSefdjreibe in einen gegebenen treig jtoei gleic^e Greife fo, bag fie benfelben bon innen ttnb ficfj felbft bon augen beriiljren. 4. SD7it ben §>albnteffern m, n, p (gig. 25) brei Greife ju befdjreh gig. 25. ben, melone fidj gegenfeitig bon angeit berihjren. 2J?an berjei^ne mit ben ©eiteit AB = m n, A C = m -|- p nnb BO = n -f P etn ®reieet gleidfe ST 6 e 11 e ju tpeilen. Sftan jieljt einen ©urcfmteffer. SBirb jebe §alfte ber iPeripljerie I)al 6 irt, fo ift baburcfy ber Um* fang in 4 gieidfe ST^eite getlfeilt. 2Bie toirb ber $rei«umfang in 8 , 16, 32 gleic^e ©Ifeile getljeilt? gig- 26. 3. ©ie iJJeriplferie eine« Sreife« in fecfy« gleidte ©Ijeile ju tlfeilen. 3J!an irage ben ^albmeffer AO (gig. 26) in ber iperiplferie Ifernm, fo hrirb biefe in 6 gleidte ©Ifeiie getljeilt.—-©enn ba« ©reiec! ABO ift nad) ber (Sonftruction gleic^feitig, e« l)at alfo ber SEBinfel AOB 60°, folglicft aucf) ber Sogen AB 60°; biefer ift alfo ber fecfjfte ©fyeil ber iPeripljerie. Settn man jtoei folcfte Šcgen fiir einen ein* gigen betrad)fet, fo ift bie trei«linie in 3 gleic^e ©Ijeile getljeilt. SBie toirb ber $rei«nmfang in 12, 24 gleic^e ©ffeile getlfeilt. ©ie iperipljerie eine« Sreife« in jeljn gleic^e ©Ijeile ju t^eiten. Sig. 27. gftan jiepe ( 3 % 27) jtoei aufeinanber fen!* B recite Ipalbtneffer O A unb OB, palbire OB in C, jielje bie ©erabe C A unb fd^neibe baoon CD = O C ab. grafjt man nun mit bem (Sirte! bie ©erabe A D, fo lajjt ficf> biefelbe genau jel)nma( im freife Ijerum* tragen, tooburtf) ber Umfang in 10 gleicfje ©fjeile getljeilt toirb. Stfitnmt man jtoei folcfte ©Ijeile fiir einen etn* jigen, fo erljdlt man 5 gleicfie ©Ijeile ber iperipljerie. 3Bte toirb ber Umfang eine« Sreife« in 20 gleidje ©Ijeite getljeilt? §. 22 . ©Ijeilung ber Sreiblinie mit §ilfe be« ©ran«* porteur«. SSenn um ben SDlittelpmtct eine« Greife« lauter gleic^e SBinfel (iegen, fo toirb burd> iljre @d)en!el aud> bie EPeripljerie in lauter gleidje ©peile getljeilt. Um baljer bie iperipljerie eine« Greife« in eine beftimmte Slnjaljl gleicfter ©Ijeite ju tljeilen, barf man nur eben fo oiete gleicfte SDBittfel nm ben SJiittelpunct Ijerutn berjeidmen. ©ie ©rofe eine« foldjen SBinfel« fittbet man, toenn man bie ©untme aOer (Sentritoinfel, natnltd) 360°, burd) bie 3al>l ber gleic^en SBittfel bioibirt. 2J!att braud^t bann nur einen (Sentritoinfel in biefer @r 6 fe toirflidj ju oerjetdjnen, nnb ben burd) feine ©dtentel abgefd^nittenen ©ogeit im Greife Ijerumjutragen. 13 gig- 38. Um 3 . 25. bie $eripfyerte (gig. 28) in 9 gfeidfie ST^eite gu tljeilen, er^aft man fiir einen Sentriffiinfel bie ©rdjje »en 360° : 9 = 40°; man »erjeidjme alfo beti SBinfel AOB = 40°, unb trage ben SSegett AB im Greife Iferurn. 2ftan fljeife nacfi biefem 25erfaljren ben Um* fang eineS treifež itt 3, 5, 8 , 16 gleicfte ©Ijeile. 6 . ©erablinige giguren im Greife. §. 23. Sin 23ieleif, beffen atle Sdpuncte in ber iperipljerie eine$ Greife« liegen, beffen ©eiten alfo ©eljnen beS treifež finb, Ifeifjt bem Sreife etngefc^rieben, unb ber treis Ifeijjt um ba« 33ietetf be* fdfrteben. Sin bem Greife eingef^riebetteS 33ieled toirb aucf> ein ©elfneubielecf genannt. §. 24. ©a bie brei Stfpuncte einež ©reietfeS nid^t in einer ge* raben 8 inie liegen, fo Idfjt ftd^ burc§ biefelben immer ein beftimmter treiS befdftreiben. ®arau$ fofgt: Um jebe« ©reied: laft fidfj ein Sreiž befc^reiben: SBerjeič^ne ein BelieBige« ®reied unb Beft$rei6e um baSfelBe einen tei« (§. 9, c). §. 25. 3n jebern ©eljnenuierecfe ift bie ©umrne »on je 3 toei gegeniiberliegenben SBinfeln jtoei Dfedjten gleidj. 3ie^t man in bem SSiereče ABCD (gig.29) bie ©iagonale BD, fo finb BAD unb BCD bie SBinfet im lleineren unb grbjjeren freidabfcjmitte iiber berfelben ©elfne BD; alfo ift BAD + BCD = 2 R. Sben fo Idfjt ficft geigen, bafj A B C -f- A D C = 2 R ift. ©arau« fofgt: Um ein 93 i er e d Idfjt fidf) ein SreiS nur bann befd^reiben, toenn je 3 toei gegeniiber* liegenbe JOinfel be 8 SSierede« gufammen 3 toei 9fe$te be* t r a g e n. 1. Um tretje brei Strten »on Siereden !ann (let« ein Sreiž BefdjrieBen trerben? 2. Serjeidjne etn Šiec^ted unb Bej^retBe nm baGfelBe einen firei«. gig. 29. gig. 30. §. 26. Um jebeS regelmafjige 93ieled Idfjt ftdf) ein ®rei$ bef <$reiben. Sž fei ba« SSieletf ABCDEF (gig. 30) regelmajjig. ^albirt man jtoei S3ieled«minfel A unb B, fo ift ber ®ur$f<$nitt«punct O ber bei* ben £>albirung 8 linien ber SRittelpunct bež 93iel= edfeS unb fteljt »on allen Sdpuncten gleidfi meit jgb. 25efcf>reibt man baljer auS O mit bem £>atb* "mefferOA einen ŠreiS, fo muf biefer turcf aUe Stfpuncte bež 9Sieledfe« geljen, unb ift fomitum baS 93ieled befd^rieben. 14 Sffite tttrb um etn regeltnajjige« SSietetf etn Sret« befcbrieben? §. 27. (šinem Greife lajjt fid? febež regelmafjige SSieled einfdfreiben. £ffeiit man bie Sreižlinte in fo »tele gletd^e injeite, a(ž baž 23iefed ©eiten ^aben foit, unb »erbinbet je jtoei auf einanber folgenbe Sdjeifungž* puncte burcb eine ©eljne, fo finb bie ©eiten bež baburdf entfteljenben 93ieledež alž ©ebtten bež Sreifež, ffieldfe ju gleidjen 33ogen ge^bren, einanber gteid ); eben fo finb bie 93ietedžnrinfei gietcfy, ba fie auf gteicfien Sogen auffteljen. (Daž »erjeicfmete bem Greife eingefdfiriebene 33ie(ed ifi alfo gteicftfeitig unb gleid^nainflig, fomit regetraajjig. ffite toirb eittem ttreife ein regelmagigeS SSteiecf bon Beflimmter ©eitenanjabl eingef^tteben? §. 28. 3n ben Sreiž ein gleic^feitigež ©reied ABC ( 3 % 31) ju befb^reiben. S'9- 3t. (Sž fei eine ©eite AB bež gteidffeitigen bem r Sreife eingefdjriebenen ©reiedež = 8™; tnie grof? ift a) bie §oije CD, b) ber giadbenin^alt biefež SDreiedež? a) C D ift eine Sajete bež rečbttoinftigen ©reiede« A D C, aorin bie $t}?>otennfe AC=8 cm unb bie gtoeite ftatbete AD = 4<™ ifi. SOTan bat baber C D = V&' — 4 2 3 = ViH— 16 = J/48= 6’ 93°”. b) glatbeninbalt = ABXCD 8X6-93 :27•720°™. 2 2 §.29. 3n ben Sreiž ein Ouabrat (gig. 32) ju bef djreiben. 32 ' 1. (šž fei bie @eite AB bež bem Greife einge* fdfriebenen Ouabratež = 3 m 3 dm ; trne grof? ift ber ©nrd)meffer A C bež teifež? A C bilbet bie §bb°tennfe eine« re^tminfligen ©retecfe«, iz- beffen Satbeten AB = 3“ 3 dm unb BC = 3 m 3 dm befannt finb. 2Jlan bat alfo 3 m 3 = 33 d ” 33 2 = 1089 1089 AC = J/2178 = 466’7 dm = 4” 667 mm . 2. £Sefd)veibe ein Duafcrat mit ber ©eite 2 dm 5 cm , unb berec^ne ben §atbmeffer bež um biefež Duabrat 6ef<$riebenen $reifež. §. 30. ben Sreiž ein regelmafjigež @ecE)žed (gig. 33) ju Befcbreiben. SBie grof? ift a) ber Umfang, b) ber fjla* djeninifalt einež rcgetmcifjigen bem Greife einge* fdfriebenen ©edfžedež, roemt ber £>aIBmeffer bež Sreifež A O = l dm ift? a) ©ie Seite eine« regelmaffigen bem Greife einge« ftbciebenen @etb«ede8 ift bem §atbmeffer be« Stetfe« gleicb, alfo bier = l dm ; ber Umfang toirb baber 6dm (ein. ©er Umfang eine« fotdjen @eoteuufe A O =1 d “, utI b bie anbere Sajete AG = g- dm = 0-5 d “ ig. SKait bat alfo OG = Vi 1 — 0-5 l = 1/1 — 0-25 = 1/0-75 = 0'866 dm , glacfieninbatt = 3 X 0-866 = 2-598D d “. §. 31. SIuž ber ©eite einež etngcf d^riebencn r e g e 1= magig en 23ieled ež I a§ t fid) aucf) bie@eite bež eingefdfriebe* nen regehnagigen 93teietfeS bon bopgelter ©eitengafjl be= ft i m m e n. 3ft AB (gig. 34) bie @eite irgenb einež regelmagigen bem Sreife eingefc^rie&enen 33ie(edež, utib man fallt barauf bon O bie @enf» gtg. 34. recite O C, toelcfie berlangert bie Sreižlinie in D fdgneibet, fo ift A D bie @eite einež eingefcfirie* benen regetmagigen 33ietedež, toeldfež boppett fo biele (Seiten ate bab friigere Ijat. @inb nun AB mtb A O befannt, fo fann man auž bem recfdteinffigen ©reiede ACO gu* nacfift C O berecfmen; fubtraljirt man bann CO bon DO, fo Ijat man CD; enbfid) finbet man auž bem redftimnfligen ©reiede A CD, iborin A C unb CD befannt finb, aud> bie gefuc^te @eite AD. 1. giir einen ®reiž bom |>afbmeffer AO = DO — l m ift bie Oeite AB bež eingefdiriebenen regetmagigen ©edižedež = .1“; mie grog ift bie ^, @ie6em, ... 3todlfealbmeffer AB ben 33ogen A 6, unb tljeile benfeiben juerft in 2, unb jebe §alfte nod) in 3 gleicfie SIfeile; fobann jie^e man auž bem Sunete 6 alž iKittelfmnct bie ŠreiSbogen c 7, d 8, e 9 n. f. to. 3n bem Sreife, beffen SJJittel* fsnnct 6 unb beffen ipaibmeffer A 6 ift, IS§t fid) nun AB 6mat berumtragen; in bem Sreife, beffen žDfittelfJunct 7 unb ber §albmeffer A7 ift, fann AB 7mab auf ge* tragen toerben; u. f. to. en um ben frei§. §. 33. ©n 33ieletf, beffen ©eiten Sangenten bež treifed finb, ^ei§t bem Greife umf $r ieben, unb ber $reid beifit in baS SSielecf befc^rieben. ©n bem Greife umfe^riebeneS SSieted toirb aucfy ein Sam gentenoieled genannt. §. 34. Bn jebed ®reiefcbnittepunct O ber |)albi* rungSlinien bie ©erabe OD feni* redft auf AB, fo ift ber aud O mit bem tpalbmeffer O D berjeic^nete Sreid bem Sreiede eingefdfrieben. £>enn jielft man bie ©erabe O C, ferner auf A C unb B C bie @en!* renten O E unb O F, fo ift AOD ^ AOE unb A BOD^BOF, O F. £)ie Sunete D, E unb F finb unb ež beriilfrt ber auS O mit O D 17 befrie6enen regetmafjigett 33iel* edfež, baž eben fo »iele @eiten Ijat, alž baž umfdjriebene, beffen @eite AB ift. Semit man nun DE unb DO = C O, fo fanit man leic^t auclj AB beftimmen. ®ie ©eiten AB unb DE finb parallel, toeit fie beibe auf CO fenfredfjt finb, baljer ift ABO ~ DEO, nnb ež miiffen fidj bie ©runblinten biefer ©reteife fo »erfjalten mie i£)re §B^en, alfo AB : DE = CO : FO. 23on btefen ©rbfjeit finb DE unb 00 be* !annt, F O fann auž bem '£>reiec£e DFO gefunben merben; ež fann alfo mittelft jener ifJroportion auc$ AB beredjnet merben. 1. ©telit DE bie @eite einež regetmafjigen bem Sreife eingefd^riebe= nen ©edjžedež »or, fo ift fiir DO = l dm audj DE = l dm ; mie grof; ift bie ©eite, mie grof? ber Umfang einež bemfetben Sreife umfdjriebenen ©edjžedež? 9ftan l)at F O = VDO 2 — CF’ = 0'8660254 dm , baber AB : 1 = 1 : 0-8660254, toorau« AB = l-154700o d m a!8 bie Seite be§ umfdjrieBetten regelrtujjigen @ed)8« ecfes folgt; ber Umfang beSfetBen ift 1-154700j d “> X 6 = 6'928203 dm . 2. §iir bie ©eite bež einem Sreife bom ipalbmeffer = l dm einge* fdjriebenen regelmajjigen 3 rD ^tfecfeS murbe in §. 31 bie Sange 0-517638 dm gefunben; man beredjne bie ©eite nnb ben Umfang bež biefem Sreife umfcjmiebenen regelmdfjigen 3mBlfediež. 8. Služmeffung bež Sreifež. (a) Sange be§ SretSumfangeS. §. 38. £>ie @el)ne einež Sreifež ift imrner ffetner alž ber juge* IjBrige žSogen; bagegen finb bie Smngentenftiitfe, metdje bei einem bem Šreife umfcfjriebenen 23ieletfe einen Sogen umfaffen, jufammen genom* men ftetž grbfjer at« biefer Sogen. ffienn man baljer einem Sreife ein regelmafjigež SSielet! einfc^retbt, unb ein gtoeiteS regelmajjigež 93ieled »on gleic|er ©eitenangaljl umfGreifit, fo ift ber Umfang bež einge* ft&riebencn SieledeS lleiner, jener bež mnfcfmiebenen grojjer alž bie ifJertpljerie bež Sreifež; beibe Umfange bilben alfo ©renjen, jmifd&en benen bie fjjerijo^erie bež Sreifež eingefd^loffen ift. ^ttr ben §al6meffer 1 betragt ber Umfang bež eingefcfmiebenen ©ecjižetfež 6, unb ber Urn* fang bež umfdfriebenen 6-938203; bie ifleri^erie bež Sreifež betragt baljer rneljr alž 6, aber meniger alž 6-928203 Jpalbmeffer. ©e^t man burd) SBerbopplung ber ©eitenanjaijt nad) unb nacb ju gmei Bmolfecten, ju jmei 24ecfen u. f. m. liber, beren einež bem Sreife eingefdjrieben, baž anbere umfdjrieben ift, fo merben iljre Umfange ber iperipljerie bež Sreifež imrner naljer fommen, nnb biefelbe in um fo engere ©renjen einjd^iefjen, je grojjer bie ©eitenanjaljl ber SSielede mirb. 2Iuž ber @eite bež eingefcf>riebenen regelmajjigen 6etJež taffen fid> nun nadj §. 31 nacf) unb nacj> bie ©eiten bež eingefdjriebenen regelmajjigen 19 12e bie fJSeripperie bež Sreifež biž pr fiinften ©ecimalftette genau barftetten. @ž ift alfo ber Sreižumfang 6-28318mat fo grog atž ber ipatbmeffer, ober 3-14159mai fo grog atž ber ©urdpneffer. ©ie 3-14159, meldfe baž 3Ser^attnig ber $eript)erie pm ©urd)meffer aužbriidt, rnirb gemoljntid) bie 8ubotppifd)e 3af)t ge* nannt, unb mit bem Sud)ftaben jc bejeid&netj atfo n — 3-14159. •Set 9ted)nungen, roeldfe teine groge (Senauigfeit erforbern, fefst man % — 3i = 3-14; bei geuaueren iRedpungen mng man and) metfr ©ecimatftetten beriitfficptigen. ©er Sruc^ Irt = 3-141593 beftimmt a auf 6 ©ecimalen genau. 2luf 10 ©ecimalen genau ift ti = 3-1415926535. §. 39. ©riidt man burd) r, d unb p bepglid) bie 9Jia§jal)tett bež 5>albmefferž, bež ©urdfmefferž unb ber iPeripperie einež Sreifež auž, fo ergibt fid) auž bem 33orbergeifenben: 1. p = d ®, 2. p — 2 r jr; b. p. bie 2Jfag$afyl ber fjleripljerie einež J?reifež ift gleid) bem Srebnete auž ber auf biefetbe Sangeneinpeit bejogenen 2JJag$al)t bež ©urd)mefferž ober boppelten ^atbmefferž unb • ber 2ubotp^ifcf>en 3af)I; ober J “ r S er 2 * 20 a) ®ie Peripherie eine« treife« ift g 1 ci<$ bem Probucte ou« bem 'bnrcbmeffer ober boppelten £albmeffer unb ber SuboIf>^tf(^>en 3abl. gerner fotgt 3* d = ~ 4. r = b. b- b) Der ®urcbmeffer eine« Greife« ift gteicb ber Peri¬ pherie, bibibirt burcb bi e Subolpbifcbe 3ab(. c) 35er f)albmeffer eine« Sreife« ift gleicb ber Peripherie^ bibibirt burcb bie boppette Subolpbifcbe 3ab(. Šft j. ffl. ber §a(bmeffer eine« Greife« r = 4“ , fo ift ber ®urbie bie Peripherie, burcb bie ffierecbnung regetmagiger ©ie(* 21 tde beftintmen. Stnfac^er gelangt man jefcocb burdE) folgenbe Setradjtung 3um 3iete: 3e mebrere @eiten ein bem Greife eingefdjriebenež regelmčigigež SBietetf bat, befto fleiner toerben bie @eiten unb befto naber liegen fie an ber ^Perip^erie; um fo fleiner tttirb alfo aud> ber Unterfdjieb jroifcben ber glacbe t, e g SBjelecfež unb ber .treižflddbe. ®enft man fidj nun bie ©eitenanjabl einež foldben SSielecfe« oljne (tube bergrifgert, fo gebt enb= ticb baž regelmagige 35ielecf in ben $reiž felbft iiber. Sin Sreiž lann bemnatb alž etn regelmagigež 351eletf bon unenblidb Otelen unb unenblidj fleinen @eiten betrad^tet toerben. Trn nun ber Jiadjeninbalt einež regelmagigen 93ielerfež bem fJJrobucte auž bem Umfange unb cer balben ©enfrecbten, roeldje man oom 2)?ittet= puncte auf eine Seite fatlt, gleidj ift, biefe ©enfredjte aber beim Sreife atS Ipatbmeffer erfcbeint, fo folgt: a) ®er fjtdc^cnin^att einež Greife« ift gleidj bem IJSro* bucte auž bem Umfange unb bem balben £atbmeffer, ober bem oierten ŠT^eile bež 35urdbntefferž. @ino r, d, p unb f bejiiglicb bie SDiagjabten bež ^atbmefferž, bež Tmrdbutefferž, ber fPenpberie unb fjladbeniitbaltež einež Sreifež, fo bat man 1. f - p.-|, 2. f = p.J. 3ft 5. $). ber §a(bmeffer r = 8 albmeffer eined treifed, beffen gla^etr^ in^olt 20n dm betrfigt? 1 , 20:3-14 = 6-37 J/6-37 — 2'52 dm £atbmeffer. SBenn R unb r bie fjalbmeffer, F unb f bie gladjen jtoeier Sreife borftelien, fo ift F = R 2 jt unb f == r 2 sr, bober F : f = R 2 : r 2 ; b. b- d) ®ie gfacbeninbalte jtoeier Greife berbalten fialbmeffer, ober and; toie bie Guabrate ibrer ®urcbmeffer. ©in Sreid mit einem 2ntoI, 3mal, 4maf fo grojfen £>afbmeffer bat bober einen 4», 8=, 16mat fo groben gladjeninbalt a f§ ein Sreid mit bem einfadfen §>albmeffer. §. 42. -Sft ABC (gig. 40) cin in B recbttoinffiged ®reied unb befcbreibt man iiber ben brei ©eiten ais ®urcbmeffer Greife, fo ift nacb bem ipt>t^agoraifcf)en fiebrjabe A C 2 = AB 2 + BC 2 , bafier and;, toenn man beibe Sludbrucfe mit ber Suboipfiifdien gabi muftiblicirt, AC 2 . n = AB 2 .rc + BC 2 .3r. ®icfe brei ©rofen bebenten nun natb ber SReibe bie glasen ber iiber ber £)t$otenufe unb iiber ben beiben Satbetcn befcbriebenen Greife. ©S ift alfo ber gldcfieninlfatt bed liber ber §fypoienufe befcbriebenen Štreifed gleicE) ber ©umme and ben g!8$eninljalte-n ber beiben iiber ben Ifatbeten befdjriebenen Sreife. 1. ©efebreibe einen Ireis, toefeber ber ©umme jtoeier gegebener Sreife gieicb ift. 2. ©e|d)reibe einen freid, toefeber ber ®ifferenj jtoeier gegebener Greife gieicb ift. §. 43. ®en Snbaft eined treidringed ju finben. 2Ran fubtra^ire ben Bnbaft bež fleineren ber beiben concentrifcben Sreife bon bem Bnbafte bed groferen; ober fiirjer: man fubtrabire bad Oua= brat bed fleineren ^afbmefferd bon bem Duabrate bed greferen, nnb mufti* gig- 4i. plicire bie ®ifferenj mit ber Subof^ifc^en 3abf. @inb O A = R unb O A' = r (gig. 41) bie ^aibmeffer ber beiben concentrifcben Sreife, unb f ber f$fgd;emnbaft bed Sreidringed, fo bat man f = (R 2 — r 2 ) n. ©d fei j. ©. R == 5 dm unb r = 3 dm * 2J?an bat gig. 40. 23 R 2 25 = 9 f = 16 X 3-14 = 50 • 24D dm . §. 44. ®en gldcfteninlfaft einež gteižaužf c^nittež 311 f in b en. ®enft man fi<§ in bem greižaužf<$nitte AOB (gig. 42) un^apg »tele ^atbmeffer gejogen , fo fann man bie baburdf entfteijenben febr ffeinen Služfdjmitte afž SDreiecfe anfelfen, beren ®runb* linien jufammen ben ju bem greižaužfdbnitte ge* tforenten 23ogen AB geben, unb beren gemeinfcfiaft* Iicf;e £>bf)e ber fpatbmeffer ift. Um nun bie gtacfje bež 'greižaužfc&nittež ju er^aften, rnirb man atte ®reiedžflad;en berecbnen unb abbiren; man toirb en £>%, b. i. mit bem tjatben §>atbmeffer multipticiren. ©arauž folgt: ®er gladfieninbalt einež gr eiža u S f d; n i 11 e S ift gteidff bem fprobucte auž berSange feineS S3ogenS unb bem fjalben £albmeffer. 3ft 3 . 33. ber ipailbmeffer = 7 cm , unb entlfalt ber 33ogen AB 35°, fo Ifat man, toenn man ben greižumfang burd; p, bie Songe bež 33ogenž AB bitrdf) b, unb bie gladke bež Služfbbnittež burd? s begeic^net p = 14 X H = 44 cm ; b : 44 = 35°: 360°, ba^er b » = wxi = imorc Sfuf biafelbe Strt, trie $ter ber @a^ iiber beti Stijalt eineS $rei®au®f($nitte§ entoitfelt trurbe, batte aučb ber §. 40, a) enttricfelte @albnteffer eine« treife« ift a) 3'7 m , b) 7 er f?lacbeninpalt eine« Greife« ift a) loG dm , b) 9G ra 33G dm , c) l6-744G dm ; toie grog ift m) ber |)albmeffer, n) ber Umfang? (z = 3-14). 11. 2Bie tang ift ein ©ogen con 20 ©rab, toenn ber ©nrc^meffer be« Greife« 5 dm 4 cm betragt? 25 12. ©er ©albmeffer einež Sreifež ift 2 m ; trte [ang ift etn Sogen »on a) 30°, b) 125°, c) 75° 30'? 13. ©in Sreižbogen »on 48° bat 4 dra 26 mm 8ange; trie grof ift ber £ialbmeffer? 14. ©er Sogen einež fŽreifež »on 22-5 cm ©urcbmeffer ift 29 cm fang; toie »iete ©rabe umfpannt ber Sogen? 15. ©er gmtbmeffer einež Sreifež ift 8 dm ; toie »iete ©rabe entbaft ber ©entritoinfef, toelcber ju einera Sogen »on a) 5 dm , b) 7-5 dm , c) 2 dm 28 mm Siinge gebbrt? 16. ©elcben Utnfang bat oaž gifferbfatt e * ner £fyurmubr, beffen ®urcb= nteffer 0'96 dm betragt? 17. 2Bie grof ift ber Urnfang einež ^tafpelž, beffen ©urcbmeffer 4 dm 2 cm ift? 18. ©er ©urcbmeffer einež ofterr. ©utbenftiicfež ift29 mm ; t»ie grof ift beffen Umfang? 19. ©in Saumftamm bat an feinem biden ©nbe 7 dm 2 cm im Umfange; toie grof ift ber ©urcbmeffer? 20. ©in (Scbroungrab fott 6 m ‘peripberie erbatten; t»ie grof muf fein £>a[bmeffer gemacbt toerben? 21. ©er Umfang am Šoten einež gaffež ift 4“ l dm , am auf einem Scbienentcege bon 1 Siicmeter utnbreben? 32. (Sine tugei bon 92 mm ©urcbmeffer breljte fic^ auf einer Segelbab« 3en ©nerfdmittspc|e geljaiten toerben; toie grog toirb bie ©ide beSjelben fein? 59 . 2 Bie grog ift ber Unljaft eineS SreiSauSfdmiiteS, beffen tjpalbmeffer 3 - 24 dm unb beffen Sogenlange 4-5 dm ift? 60. ®ie ^SerifoBterie eineS SreifeS Betragt 249 mm ; toie grog ift ber Upalt eineS SIuSfcBnitteS, beffen Sentritoinfel 75° betragt? 61. SBie biet ©rabe umfagt ber fflogen eined Srei 8 aužfdBnitte 8 bon . 11 •827430 dm 3’nBa[t, toenn ber^alBmeffer 5 d “ift? (sr = 3• 14159.) 62. SBie grog ift ber Upali einež greiSau§]pnitte 8 , in toe[d)em fo* tocljl ber §>albmeffer abs bie ©eljne 3 dm 4 cm betragt? 28 63. ©ie gtacpe einež greižringež ift 254 • 34Q dm , ber aufere Umfang 94'2 dni ; »ie grof finb Cie fpalbmeffer ber beiben concentrifcpen SSreife ? 64. Ste breit muf ber 9taum um etnert freižrunben ©cpauplap, beffen imterer ©urcpmeffer 9 m ift, angenomnten »erben, bamit barin 500 ‘perfctten figen fbitnen, metin man auf jebe iPerfon 75Q' lm recpnet? 65. er iieitftraljl, toelcper ju einern Snbputtcte ber fteinen Sije ber Sllipfe gejogen toirb, ift ber Ijatben groben Sipe berfelben gleid). Da ferner ^A, AOE^AOF, fo ift O E = O F; b. I). ber SUiittelpunct ber Sllipfe ift juglei$ ber tpalbirungžpunct ber fleinen Sipe b er f el ben. Daž redfitroinflige Dreied A O E, toorin A E bie Jjalbe groge Sipe, O E bie balbe Heine Sipe unb O A cie Spcentricitat borftettt, ift foroolfl fiir Serecfmnngen alž fiir Sonftructionen ber Sllipfe bon befon= berer SBicfitigfeit. Slufgaben. 1. Die Heine Sipe ber Sllipfe fei l m , bie Spcentricitat 3 dm ; toie grog ift bie fyalbe groge Sipe? 2. Die Spcentricitat einer Sllipfe ift 0'34 m , bie groge Sipe l'3 m ; »ie grog ift bie Heine Sipe? 3. (Sin ©artner fmt eine Sllipfe ju conftruiren, beren Slpen 58 dm unb 45 dm betragen; toie toeit mug er bie ISrennpuncte bon einanber nebuien? 4. Die 33abn unferer (Srbe um bie te E F bie fieine Sije.' SBenn man enbltc^ auS E mit ber Ifalben grcfen 2Ije C O at8 §albmeffer iSogen befcftreibt, toetcfje bie groge 'Ije in A unb B f<$nei= ben, fo finb biefe ©urdffc^nittspuncte bie beiben Srennpttncte ber Sflipfe. §. 50. ©urdf 3nfammenfe^ung me^rerer Sreižbogen eine ber (g11ipfe al?ntid£>e frumme 8inie ju »erjeicf>nen. a) ©enn bie grofe 2fje gegeben ift. 1. 2 * * 5 JKan tfeite (gig. 47) bie grofe 2fye AD in brei gteidfie ©fjieite AB = BC = CD, unb befdfreibe mit bem ^jatbmeffer BC auž B unb C Ureife, ioetdfe fid) in E unb F burd)fcbneiben. ©urcf) biefe Sunete unb bie beiben fOfittefpuncte gie^t man nun bie »ier (Seraben E G, EH, F J unb F K, unb befcfreibt au8 E unb F mit E G ats §a(bmeffer bie 23ogen G H unb J K. gig. 47. gig. 48. 2. 3Jian t^eile (gig. 48) bie grofe 2Iye A E in »ier gleidfie Sfeite, unb befdfretbe au8 B unb D mit bem $atomeffer BC jmei Greife, bie ftcf) iit C beriiffren. ©obann erri^te man itber BD $t»ei gteicfjfeitige ©reiede BDF unb BDG, beren nicft gemeinfdfafD Itd)e Seiten »eriaugert bie friiiferen treife in ben Zaneten H, J, K unb L fdfneiben. 9?un merben nocf) au8 ben ffSnncten F nnb G mit F H a(8 Jpaibmeffer bie Sogen H J unb K L befc^rieben. $ b) SBenn beibe Sfjen gegeben finb. 32 i SJian lege (ftig. 49) $albirung$puncten fenfrecpt gig. 49. He Peiben 9Xyen AB unb CD in ipretr an einanber, befcpreibe mit O D au8 D einen Sreiž, palbiere AE in e, unb trage a e 3mal con O bi$ F unb G, unb 4ma( bon O bi« H unb J auf- @obann jiepe man H L, HM, J N unb J P, unb befcpreibe auž F unb G mit A F bie S3ogen L N unb P M, fenter auž H unb J mit HL bie 23ogen LM unb N P. §.51. gladjeninpatt ber S I tip f e. Šeicpreibt man iiber ber grofen Sipe einer SHipie einen Srete, unb einen jtoeiten iiber ber lleinen Sipe, fo ift ter glacpeninpalt ber SHipfe fieiner af8 ber Bnpalt beb erftern, unb grofer ate ber 3npalt beb jtoe ten Kreifeb. <Šin Šreib mit ber palben grofen Sipe alb §albmeffer ift alfo fiir bie ©arfteUung teb glacpeninpalteb ber SHipfe ju grof, ein Sreib mit ber palben lleinen Sipe alb §albmeffer bagegen ju flein. 2J?an pat nun ge* funben, baf bie SHipfe genau fo oiel glacpenraum einfcplieft alb eiu $reib, beffen £>albmeffer bie mittlere iPreporticnale jmifcpen ben Peiben palben Slpen ber SHipfe ift. £eift r ein folcper £>albmeffer, a bie palbe grofje unb b bie palbe fletne Sipe ber SHipfe, fo ift a : r = r : b, alfa r 2 = ab. ©er glacpeninpatt biefeb Sreijeb ift nun r 2 ®; baper ift aucp ber glacpeninpatt ber SHipfe r 2 ®, oter abn, b. p. ber glacpenin* palt einer SHipfe ift gleicp bem ffJrobucte ber beiben palben Slpen multiplicirt mit ber Subolppifcpen 3apl. 91 u f g a b e n. 1. ©ie palben Slpen einer SHipfe finb 8 m unb 5 m ; toie grof ift ber glacpeninpalt? $robuct ber £>albapen = 8 X 5 = 40. ^tacpeninpalt = 40 X 3'14 = 125 2. Sin ©rabplap in gorm einer (SHipfe pat I2 in Sange unb 9 m S3reite; toelcpe glacpe nimmt er ein? 3. ®ab Slmppitpeater in SJerona bilbet eine (SHipfe Don 146 m Sange unb 116 m Sreite; toie grof ift beffen ©runbfladpe? 4. ©er eUipttfcpe S3oben einer SBanne ift l m 5 dra lang unb 8 dm Preit; toie grof ift bie ©obenflacpe? 5. ©ie Spcentricitat einer SHipfe ift l m 7 dm , bie grofe Sipe 5 m 7 dm ; rnie lang ift a) bie Heine Sipe, b) ber Bnpalt? 6. SBie grof ift ber BnpaU einer SHipfe, teren Heine Sipe 5 - 6 m ift, unb beren Šrennpuncte 3-2 m bon einanber abftepen? 7. Sin ©eicp, »elcper bie gorm einer SHipfe pat, foll in einen frete* runben oertoanbelt rcerten, ber benfeiben glacpenraum einnimmt; mie grof muf ber ©urcpmeffer merben, menn bie Slpen ber SHipfe 23 m 4 dm unb 18“ 5 dm finb? 33 8. 2Sie fang ift bie grofe 2fpe einer (SKi^fe, metin ifir 3nbaft 49'455Q m , iffre ffeine 9Iye 7 m ift? 9. ©ne ©fipfe fotl 10D m faffen, unb jur grof en Sfjre 4 m ^aben; a) toie grof toirb ifre Heine Sire, b) mie toeit toerben iljre $renn» fjuncte bon einonber entfernt fein? 10. ©n effiptifcf>e$ ©fumenbeet foff 6 m fang toerben nnb eben fo biet 3nfyaft faben, afž ein recbttoinffigeč bon 4-l m 8ange unb 3-4 m Sreite; toie fang muf bie ffeine 2fpe be$ effiptifbfien tBeeteS toerben? III. Ste |jfferM. §. 52. @8 feien (gig. 50) bie Sunete A unb B gegeben. 3Wan befeftige in A bie eine tanteneife eine8 Sineaf« AL, fo baf e8 um biefen fpunct gebreft toerben fann. @o* bann neljme man einen gaben, toefd^er fanger af8 AL ift, unb befeftige ba8 eine @nbe beSfefben in L, ba8 anbere in B. ©reljt man nun ba8 Šineaf um bie Santenede A, unb fiiljrt babei im Onnern beS §aben8 einen 3eic$enftifi M fo an ber Sante L A Iferab, baf babei ber gaben ftet8 gefpannt bfeibt, fo befdftreibt ber ©tift ein @tiipperbef, toefefter mit bem obern Slfeife CM congruent ift. SSirb bann bie ®antenecfe be8 8ineaf8 in B angebracftt, unb ba8 jioeite ©tbe be8 gaben8, toefdfieS friifjer in B toar, nun in A befeftiget, fo fann auf gfeicfte SBeife burcff bie ©relfung be8 Sineafs unb bie Sktoegung be8 @tifte8 bie nic^t in ficf fefbft juriidfeffrenbe frumme Sinie PDQ erjeugt toerben, toefd?e ben jioeiten 2lft ber gtpperbef bifbet unb mit MCN congruent ift. ©ie Sunete A unb B nennt man bie tBrennpuncte, ben |jat= birungžftunct O ifjrer 5Berbinbung8finie AB ben IDftittefpnnct, unb bie ©tifernung O A = OB bes 9Jtitteff)uncte8 bon jebem ŠSrennpuncte bie (Sfcentricitat ber £>pperbef. ©ie ©eraben AM unb BM, toefebe oon ben Beiben 33rennpuncten ju irgenb einem Sunete M ber §pperbef gejogen toerben, ffeifen bie Seitftrafjfen biefež iJ5uncte8. ©ie ©erabe C D, toefcfie burdft bie Srennpuncte gefjt, unb auf Beiben ©eiten oon ber ^pperbef begrenjt toirb, nennt man bie §aupt» ape, unb iljre ©tbpuncte C unb D bie ©efteitef ber ippperBef. Slu8 ber (Srfiarung ber £)pperbef gefjt feroor, baf jtoar jebem anbern Sunete aud? anbere Seitftra^fen entfprecfjen, baf jeboeft BM+LM ober BM + AL — AM ftir jeben $unct ber 8ange be8 ganjen gaben$ gfeicft bfeibt, baf fomit, toeif AL uttoeratiberficf; ift, attcf> bie ©ifferenj tDtoenit, aeom. anfcšauunaSleOre, ir. SI6t£. 3 gig. 50. 34 BM — AM, b. i. bie 33ifferenj ber beiben Seitftrabten eine8 jeben fpunctes ber ^pperbel ft e 18 bief elbe ift. @8 ift batjer AD — BD = BC — AC, alfo au$ AD + AC = BC + BD, ober CD + 2AC = CD -f- 2BD, mitbin 2 A C = 2 B D, baljer AC = BD; b. b- bie <3 e it entfernt. 2Begen OA = OB unb AC = BD, ift aucb O A — A C = OB — BD, ober OC = OD; b. b- ber HJiittelpunct ber §pper* bet ift jugleicb ber §>atbirung8punct ber ^auptape ber* f e t .b e n. ®a BM — AM = AD — BD unb B D = A C , fo ift ancb BM — AM = AD — AC = CD; b. b- bie ®ifferenj ber 8eit* ftrabten eine8 jeben f|Juncte8 ber ^bperbel ift ber $aupt* ape gteicb. Sefcbreibt man au8 ben beiben ©djeitetn C unb D ber £)pperbet mit ber ©jcentricitat O A nacb oben unb unten Sreižbogen, toe(ct>e ficb in E unb F fcbneiben, unb jieljt bie ©erabe EF, fo mufj biefe burcb ben 2ttiitetpunct O geben unb auf ber Jpauptaje fenfrecbt fteben. ®ie ©erabe E F bei^t bie 3tebenape ber ^)t>p>erbel. SDaACOE^COF, fo ift O E = O F; b. b- ber STOittel* punct ber £>pperbet ift jugteicb ber £atbirung8pun ct ber 'Jtebenape berfetben. giir bie Seredmung ber beftimmenben ©tiicfe einer £bper6et ift ba8 recbtroinflige SDreiecf COE, »orin O C bie ^albe §>auptaje, O E bie b^lbe Dtebenaje unb C E bie ©jcentricitat oorftettt, oon befonberer Sicbtigfeit. bie Siebenaje (F5®; toie 21 u f g a b e n. 1. 2)ie tpauptaje einer Jppperbet ift 0 - 4 grof; ift bie ©pcentricitat? 2. ®ie (šjcentricitdt einer §pperbet ift 5-12 dm , bie giauptape 3 • 85 dm ; toie grog ift bie 3tebenajce? 3. ®ie ©jcentricitdt einer §pperbe£ ift 3 dm 9 cm , bie 91ebenape 2 dm 2 cm ; toie grofj ift bie pauptaje? §.53. ©ine §bperbet ju conftruiren, toenn bie ipaupt* a;e unb bie ©jccentricitat berfetben gegeben finb. @8 fei C D (0ng. 51) bie gegebene pauptaje unb O itjt fjatbi* rung8punct. SBertdngert man CD unb macbt OA = OB gteicb ber ge* gebenen ©jcentricitat, fo finb A unb B bie ŠSrennpuncte ber ^pperbet. SDian neljme nun in ber ©eraben AX einett betiebigen $imct m an, befcbreibe au8 A unb B mit D m nacb oben unb unten $rei8bogen, fobann eben fo mit Cm, fo finb bie oier ®urcbfcbnitt8puncte M fdmmtticb Sunete ber ^pperbet, ba fiir jeben berfetben ber etne Seitftraljl ber $ig. 51. 35 ©eraben D m, ber anbere ber ©eraben C m, baljer iljre ©iffereng D m —Cm ber 2Ipe CD gteic^t ift. 2luf gteic£;e SBeife famt man mittelft beS $uncte$ n bie bier $uncte N, auž p bie »ter Sunete P, unb fo fovt beliebig biete Sunete ber ^pperbel beftimmen. Serbinbet man biefe Sunete burd) eine ftetig gefrummte 8tnie, fo erpalt man bie berlangte $pperbel, unb po ar um fo genauer, je meprere Sunete berfelben be* ftimmt tourben. IV. ©te f^orabel. §. 54. @8 fei bie ©erabe A C (gig. 52) unb aufjerljalb berfelben eitt iJJunct C gegeben. 'Ilimmt man ein red)ttoinlligeS ©reied DEF unb einen gabett bon ber 8 ati g e ber Sajete DE,, beffen ein CSnbe in E, bas anbere in C befeftiget toirb, laft bann baž SBinfelbrett mit ber Šatpete D F lang§ eineS an bie AB angelegten SinealS RS fortgleiten; fo befcpreibt ein 3^ic^enftift M, melcben man langš ber Šatpete DE fo fortbetoegt, bajj ber gaben immer gefpannt bleibt, ein <5tM einer nic&t gefcploffenett frummen 8inie, toelc^e ^}5a= rab el Ijeifjt. SBenbet man, toenn ber @tift in C angelangt ift, baž ©reied DEF fo um, bajt bie Sajete D F in bie fRic^tung GB fommt, unb oer* ffiljrt bann toie friifjer, fo erljatt man ben unteren 2lft ON ber ifJarabel, toeldjer mit bem oberen O M congruent ift. ©ie ©erabe AB ^eigt bie Seitlinie, ber ifJunct C ber Sren m puttet ber ^Sarabel. ©ie ©erabe O X, toelc^e burep ben Srennpunct gebt unb auf ber 8eitlinie fenlredjt ftept, Ijeifšt bie Sipe, unb ber $unct O, in meljem biefe »on ber ^arabel gefe^nitteu toirb, ber @$eitel ber Sarabel. ©ie ©erabe CM, toelc^e bon bem Srennpmtcte ju irgenb einem Sunete ber Sarabel gejogen toirb, Ijeifjt ber Seitftraljl biefe« SuitcteS. Služ ber (Srflarung ber iJJarabel gept gerber, bajt bie gabenliinge CM ftet« bem abgetoitfelten @tMe D M ber Sajete DE gleid) ift. ©arauS folgt: 1. Seber Sunct einer ^arabel ift bon bem Srennpuncte unb bon ber Seitlinie glei$ toeit entfernt. 2. ©er ©cpeitel einer iJJarabel ift bon bem Srennpuncte unb bon ber Seitlinie berfelben gleid) toeit entfernt. ©ie ©erabe PQ, toeldje itn Srennpuncte ber iJJarabel auf bie fpe fenfredjt ftefct, Jjeip ber parameter ber ^Jarabet. ©a P ein ^unct ber iparabel ift, fo ift feine (Sntferttung C P bom Sremtpuncte ber (Sntfernung bon ber Seitlinie, b. i. ber ©eraben C G gleic§, alfo C G = C P; b. p. bie (Sntfernung be$ Srenu* 3 * gig. 52. 36 puncted einer iJJarabef bon ber Seittinie ift bem fjafbeu parameter berfefben gteic^. §. 55. (Sine barabe! ju conftruireu, toenn bie Ceitlinie unb ber iBrennpunct berfelben gegeben finb. (šd fei (gig. 53) AB bie gegebene Ceitlinie unb C ber gegebene •SBrennpunct. ^ie^t man C 6 _[_ AB, fo ift ber £afbirungdpunct O biefer @enfred;ten ber @$eitef, unb bie iiber C fjinaud berlangerte ®erabe O X bie Sije ber $arabel. (šrricfrtet man nun in einem beliebigen Sunete m ber Sije auf biefe eine @enfrec§te unb burc^fc^neibet fie aud C mit 33ogen, beren fpalbmeffer G m ift, fo finb bie ®urd)fcf)nittd» puncte M, ba fie bom 33rennpuncte unb bon ber Seitfinie gleid; meit abfteben, jtoei ^uncte ter iparabei. (Sben fo beftimmt ber iJJunct n jtoei Sunete N, ber ijknct p jtoei Sunete P ber $arabel. 3luf biefe SBeife laffen ficfi be= liebig biefe Sunete ber ijJarabef beftimmen. 25erbinbet man biefe Sunete burd; eine fietig gefriimmte Sinie, fo erljaft man bie berfangte ^Sarabef, unb jttar um fo genauer, je meljrere ^unete berfelben be* ftimmt tourben. V. 25erftf)iebetxe Irumnte iiiuien. 1. ®ie (St;ctoite. §. 56. SBenn fid^ ein $reid auf einer geraben 8inie in berfefben (šbene forftoafjt, fo befd;reibt babei jeter tpunct bež ^reidumfanged eine Irumme 8inie, trefd^e (St;cloibe ober SRabfinie ^eigt, toeil ein iJJunct in bem Umfange eined fortgetoafjten fRated eine a^nfid^e Sinie befcjireibt. ®ie gegebene gerabe £inie ^eigt bie ©runbfinie, ber ftd^ forttoafjenbe Sreid ber (šrjeugungdfreid, unb ber (JSunct, toefdfjer bie eife ben Umfang bed (šrjeugungdfreifed »on M aud in befiebig biefe, j. 4B. in gtoolf gfeic^e £I;eife, unb in eben fo »iefe gfeid^e Siljeife aud; bie ©runblinie. SBirb nun ter (šrjeugungdfreid auf ber ©runbfinie fortgetoafjt, fo toerben bie £I;eifungdjnincte a, b, c, ... ber ^eripfjerie nacb unb nad; mit ben entfprec^enben £l;eilungdpuncten a', b', c'. .. ber ©runblinie jufammen fatfen; ber Sfiittefpunct O toirb ioaljrenb biefer SBetoegung in einer jur ©runbfinie parallelen ©erabeu gig. 53. 37 gig. 54. ©runbtinie. £at ficj> ber (šr^eugungžtreiž fo toeit »ortoartž bemegt, bajj ber $mtct a mit a' pfammenfattt, fo t»irb fid) inbeffen ber ^3unct M jo t»eit »on ber ©runbtinie ertfoben tpbeit, bafj er in eine burcb a pr M' M parattete ©erabe faHen ioirb; ber 2Wittetpnnct O aber toirb biž prn ifjnnct 1 »orgeriidt fein; man erpatt balfer bie neue Cage A bež be* fcfireibenben $unctež M, menn man auž 1 mit bem £atbmeffer bež @r* pugungžfreifež ben 23ogen a'A befcbreibt, mefd^er bie burdj a pr MM' gepgene iparattele in A fdpeibet. fjattt b mit b' pfammen, fo ertjebt fidfj M biž p ber burd) b mit M M' gepgenen iParatteten, unb ber iPitnct O befinbet fid? in 2; befcpreibt man baber auž 2 mit bem frii= Jjeren £>atbmeffer ben 33ogenb'B, fo gibt ber Šurc^fb^nitt B mit jener ^aratielen bie neue 8age bež ipunctež M. Stuf alplid)e SSeife finbet man aud) bie Sunete C, D, E,, in mei^e M nad; unb natj> p ftepen temmt, unb melc^e burd) eine ftetige 8inie »erbunben bie (Sp* etoibe geben. <šž ift »on fetbft einteucptenb, bajj ber ipunct M, naefibem er in M' angelangt fein mirb, bei fortgefepter SBatpng bež Sreifež eine neue ©petoibe befdjreiben toirb, bie mit ber frii^ern congruent ift. 2. ®ie ©pirattinie. §. 57. ffiemt fid^ eine ©erabe OH (gig. 55) »on unbeftimmter Sange um ben ipunct O perumbrept, unb toaprenb ber SDrepung pgteid) ein ijjunct M auf biefer Sinie immer meiter fort* riidt, fo befdpreibt biefer iPunct eine mit immer grofjeren SBinbungen fortfcpreitenbe frnmme 8iitie, t»etei auf einanber fotgenbe SBin* bungen fonnen babei entfteber gteicpe ober immer grbfjere ©ntfernungen »on einanber pabeti. ) 38 §. 58. (Sine ©pirattinie, beren SEBinbnngen gleicp meit »on einanber entfernt finb, ju conftrutren. a) 2J?it $albfreifen. SDian befcpreibe au§ O ({Jug. 55) einen fleinen SpalbfreiS nacp oben,. bann auS D mit bem §atbmeffer D E einen $albfrei$ nacp unten, fobann tbieber au3 O mit O F eine §atb!reiS nacp oben, au8 D mit D G einen §atbfreiš nacp unten, u. f. m. b) SJtit SSiertetfreifen. SDJan jiepe (gig.56) jmei auf einanber fenfrecpte ®erabe, befcpreibe auS iprern SDurcpfcpnittSpuncte einen fteinen SreiS unb palbire bann gig. so. bie Dnabranten burdp gttiei fidp fenfrec^t fcpneibenbe SDurcpmeffer, beren jeben man in »ier gfeicpe Speite ttjeitt. tSefcpreibt man nun auž 1 ben SScgen AB, bann au8 2 ben Sogen BC, au§ 3 unb 4 bie 23ogen CD unb DE u. f. tu., fo erpatt man bie ber* tangte ©pirate. §.59. (Sine ©pirattinie, in toelcper bie auf einanber fotgenben SBinbungen eine immer grofjere (Sntfernung bon einanber paben,ju con= ftruiren. 3Jian trage auf einer ®eraben AB (§ig. 57) bon einem Jurete O au« ju beiben ©eiten meprere, j. ©. brei gteicpe Speite auf, be= gig. 57. fepreibe au8 O mit OH einen fireis, unb bann abmecpfetnb unterpatb unb oberpatb au« 1, 2, 3, 4 bie §atbfreife H K, K L, L M unb MN. 39 3. ®ie Ocatlinie. §. 60. ®er SRanb etneS nad) ber Sdnge burd?f$nittenen £)iiljner* eieS erfd)eint al$ etne langltd^ fruntme ?inie, toet($e (Si= ober 0baO fini e fyei§t. Sine ObaUinte ju conftruiren. 5 ' 3 ' 58 . D 2J?an befd)retbe auž O (gig. 58) einen $rei«, jielje barin jtoet fi$ fenfrec^t f^netbenbe ®urcb= meffer AB unb CD, unb bte ©eraben ACE unb B C F. ©obann befdjretbe man au8 A ben Sreisbogen BE, anS B ben Sreisbogen A F, unb auS C ben $rei8bogen E F. Btueiter 2flifdjnttt P t e jStereomctrie. men, beren Sunete unb Stnten nidjt aHe auf berfeI 6 en (Sbeite gebadjt toerben fonnen. @oidje Otaumformen entfteljen, toenn man j. 33. bon einem Sunete aujjerljalb einer ©Bene 311 biefer oerfdjiebene gerabe Sinien Stelji, obet toenn man fi$ gtoet (Sbeneit gegen einanber geftettt benft; fotdje SRaumgrfifjen finb aHe StiSrper, ba biefelben, toenn man fie auf irgenb einer ©bene liegenb benft, nicftt mit atten iijren ©renjen in biefe ©Bene faEen, fonbern nocfj einen Dtaum augertjatb berfelben einneijmen Sta Bet bet StarfieHung ber ftereontetrifdjen Staumformen auf etner ©Bene bie Sittiett unb SBintel meiftenž nidjt in iljrer toafiren ©roge ttnb Sage »erjeidjnet toerben tonnen, fo tniiffen ljier bie Sinfanger bor Slttent burd) oftntatige Setradjtung foldjer 3eidjitungett unb bttrcb geeignete ŠerfinnticBmtgSmittel t^re šBorfteHnngSfraft fo toeit iiben uttb fc^arfen, bag fte trn ©taitbe toerben, au« ber 3etd)nuitg fogteidj bte toirb lidje Sage unb ©roge ber Sinien unb SSinfet ju erfeljen. 3 ut 35erftnnfidjung ber gerabett Sinte bient etn ®raf)t, ein bumteg ©taBdjen ober eitt gefbannter gaben; bie Sfnfdjauung ber ©Bene fann burdj ein ©tiicf tpaOfjenbecfel, bitrd? ein ebeneg ŠBrett« djen, bur$ bie ©c^uttafei, ben gugBoben ober eine SBanb; bie 5Sufd)anung ber Sorbet enblid; burdj 2JžobeEe aus §otj, tpappe ober ®ra1jt Bermittelt toerben. 1 . Sage ber ©eraben gegen einanber. §. 62. SBenn man bmcf> einen '|5unct O (gig. 59) bež Oiaumež unb eine gegebene ©erate AB eine ©Bene legi, unb in biefer um A D E F G c b unb ber ©eraben AB toirb Baib groger balb fieiner toerben. 3Im furjeften toirb bie @enfre(^te OD, tebe @d)iefe O E, O F, ... aber toirb um fo iatiger unb trifft bie A B in I. ©crabe Stttten unb ©Berte« im fKautite. gig. 59. ben ipunct O ijerum eine unbegrengte ©erabe O C breftt, fo toirb biefe in jeber neuen Sage bie gegebene ®e= rabe A B in einem anbern Sunete burcfjfdjneiben. £)až @tM ber fieg breljenben ©eraben jtoifdjen O 41 gig. 60 . einer um fo gro§ern ©ntfernung Bon D, je grbfjer ber SBinfel ift, bett fie mit ber @enfrecfyten bitbet. $ommt enblidt bie unbegrenjte ©erabe toaijrenb t^rer Umbreljung in bie Sage O M, »o ber SBinfefDOM ein reb^ter ift, fo toirb fie bie ©erabe AB gar nidjt meljr treffen, fonbern mit iljr in gfeic^er 9?idf>tung fortlaufen, b. i. O M toirb mit AB pa* ralfef fein. ©urc§ ben $unct O fbnnen audj unjaijfig eiete gerabe Sinien ge* jogen toerben, toefdje nidftt in ber burcf? O unb AB gefegenen ©bene fiegen; jebe fofcjte ©erabe toirb toeber bie ©erabe AB fcjtneiben, nocj) mit i^r paraflet fein. 1. (Sine ioie oietfadie Sage lomten jtoei ©erabe trn iftaume gegen einanber §a6?tt? 2. ©ib gerabe Sinien tm ©tbuljimmer an, melise a) fidj |d)iieiben, b) ^arattet ftnb, c) toeber paraM ftnb nod? ftc(> f^netben. §. 63. @6 feien ABC unb D E F (gig. 60) jtoei 2Binfef im fRaume, nnb e8 fei A B || D E unb B C || E F. SDenft man fid) ben SBinfel ABC fo fortbetoegt, ba§ ber ©cfteitel B in ber ©eraben B E fortriidt, unb bie ©cfienfel in jeber tteuen Sage mit ber ur* fpriirigticfien paraftet bleiben, fo toirb, toenn B in bem Sunete E anfangt, notbtoenbig ber ©cbenfef A B mit D E unb B C mit E F Sufamtnenfaflen, unb bafjer ABC ben SBinfet DEF ooHfommen bedeti. ©er in ber ebenen ©eometrie abgeieitete @a^: ^ 935 i n I e 1, beren ©cjtenfef nad; berfefben ©eite paraffef liegen, finb einanber gleibj), fjat bafjer aucj) fiir SBinfet im fRautne feine ŽRic^tigfeit. 2. Sage ber ©eraben gegen eine ©bene. §. 64. ©8 fei MNPQ (gig. 61) irgenb eine ©bene unb O ein $unct aujjerljalb biefer ©bene. 93on bem Sunete O fbnnen auf bie ©bene M P unjabtig oiele, langere unb fiirjere gerabe Sinien gejogen toerben, beren jebe biefe ©bene in einem Sunete fdjneibet, ben man ben gufjpunct ber Sinienennt. ©8 fei unter biefen Sinien O A bie fiir* gefte. gieijt man buvdj ifjren gufjpunct A in ber gegebettett ©bene beliebige gerabe Sinien BC, DE, fo muf? bann O A ju* gfeicf) aitcf) bie fiirgefte Sinie fein, toeld&e oon O ju jeber biefer ©eraben gejogen toerben fann, b. $. OA mu§ auf aflen biefen ©eraben fenfredjt fteljen. 3Ran nennt barum bie ©erabe OA auf ber ©bene MP fetbft fenf* ' recfyt, toafjrenb jebe attbiire Bon O au8 gejogene ©erabe, a(8 O B, OC,.. , auf jener ©bene fcjtief auffteijt. 61 . 42 (Sine ®erabe ftet)t bemnadb auf einer if;er SSinfel eridjeint. Um biefe tjeičbnuug beffer aufjufaffen nttb iiberbaubt bie Storfleflnngsfraft ju iiben, toerftnnlidje ntan bie (Sbene MNPQ burdj etn ©rettdfen, jiefje baranf bte ©eraben BC unb DE, jlette ferner bie @enfredjte AO butci) etnen botjernen @tift ttnb bie fdjiefen ©eraben BO, CO, DO, E O bjtrd) gefbannte Raben bar, itnb bringe biefe® Sftobett in eine fotdje @tel= lung gegen ba® Sluge, bafj bie SBinfel baran in ber itamlidjen ©rofje ericfieitten, trie fie in ber 3eidmmtg »orfommen. ©a bie @enfredf)te bte fiirjefte Sinic ift, bie ntan bon einem Sunete ju etner (Sbene gie^en fann, fo briicft biefelbe ben Stbftanb beg fpuncteg bon ber (Sbene aug. §. 65. (SS ftette MN (gig. 62) eine (Sbene, AB eine in biefer (Sbene liegenbe, unb A C eine aug biefer (Sbene t^eraugtretenbe gerabe 8inie bor. Sajjt ntan nun bie AB aug ber (Sbene I)erau§ tangg ber A C parattet fortfd^reiten, big fie in bie gage CD fommt; fo ttrirb bie ®erabe CD, ba fie mit ber AB parattet ift, mit biefer ®eraben, unb bafyer aubf) mit ber (Sbene MN niematg jufatm metttreffen fonnen. SDfan fagt bann, bie ®erabe CD fei mit ber (Sbene MN p ar a tlet. (Sine@erabe ift batjer mit einer (Sbene barattet, mennfiemit einer in biefer (šbette befinbtid&en ©eraben paraltet ift. 1. (Sine mie bietfadfe Sage fann eine gerabe Stnie gegen eine @6ene b«6en? 2. ©ib gerabe Sinien im ©djuljimmer an, m el d) e a) gegen eine (Sbene geneigt ftnb, b) mit einer (Sbene paraHel lanfen. 3. SBie fann Dttrcb einen 'bunct auferbatb einer Sbene ju biefer eine baraKete ©erabe gejogen reerben? §. 66. @g fei bie ®erabe A O (gig. 63) auf ber (Sbene MN fenfred)t; ferner feien AB, A C unb A D brei gteibb tange ju ber (Sbene MN fd)ief gejcgene gerabe Sinien. 3^ man nun bie ®eraben OB, O C unb OD, fo fittb A OB, AOC unb AOD recite SBinfet unb bie ©reiecfe A OB, AOC unb AOD congruent, batjer audj O B = O C — OD, b. I?. O ift ber SJiittetpunct beg burdfj B, C, D befcf>riebenen Sreifeg. Saraug fotgt: SBenn man bon einem Sunete au&erfjatb einer Sbene ju biefer eine ©enfrec^te, unb jugteic^ brei gtei$ tange fc^iefe gerabe Sinien jletjt, fo fatft ber bunct ber ju fotgenbem ©rgeBniffe: SSenn ber SBinfel A OB ein redfjter ift unb man bretjt bie ©erabe O B fo um ben ijtunct O Ijerum, baj? fie in jeber ?age auf ber A O fenfredjt BteiBt, fo BefdfjreiBt biefe ffialjrenb biefer ©reljung eine ©Bene, toefd^e auf ber AO im Sunete O fenfrecfjt fteijt. Sine fotelje ©Bene ift fdjon burd^ jtoei Sagen »er fid^ bretjenben ©eraben, j. SS. burdfj bie auf AO fenfredjten ©eraben OB unb O C, »ottfommen Befiimmt. ©uref) einen ffJunct einer ©eraben auf biefe eine fen!* recfjte ©Bene ju tegen. 3J?an erricBte in bem gegeBenen Sunete auf bie ©erabe jtoei @enf* redite unb tege burdfj biefe eine ©Bene. §. 68. @8 feien bie ©eraben AB unb CD (gig. 64) auf ber ©Bene MN fenfredjt. 2Benn nun bie AB tang§ ber A C »arattel fort* »fig- 64. fdtjreitet, fo mirb maljrenb biefer JSemegung bie Sage ber AB gegen bie ©Bene nidjt geanbert; e8 fteljt baljer AB in jeber 8age anf ber ©Bene fenfredjt, unb fattt bat/er, toenn ber $unct A in C angetangt, mit ber ©enfredjten CD jufam* men; mitljin ift CD||AB. ©arau$ fotgt: a) ©teljen auf einer ©Bene jmei ©e? rabe fenfredjt, fo finb fie parattef. b) 5ft eine ©erabe auf einer ©Bene fenfredjt, fo fteljt aud) jebe mit itjr jo ar atlete ©erabe auf berfelBen ©Bene fenfredjt. 3n einem Sunete C einer ©Bene MN auf biefe eine fenfred^te ©erabe ju erridjten. aJiau fatle »on irgenb einem Sunete B aujjertjat6 ber ©Bene auf biefe eine ©enfredljte BA, tege burdj C unb B A eine ©Bene, unb jieBe in biefer burdtj C bie CD paratlet mit AB; bie ©erabe CD ift bie gefucfjte @enfre<$te. §. 69. @8 fei AB Jig. 65) eine auf ber ©Bene MN fd^ief ftebenbe ©erabe. ffatlt man »on itjrern ©nbpuncte B auf bie ©Bene bie ©enfredjte BC, unb »erBinbet bie ffufjpuncte A unb C burc$ eine ©erabe A C, fo ift biefe bie f|3rojection ber fdjiefen ©eraben AB auf bie ©Bene MN. ©ie tprojection einer ©eraben ift immer fteiner at8 bie ©erabe fetbft. 44 Um bie SBinfet mit einanber ju bergteicpn, metd)e eine fd^tefe ©erabe AB mit onbern burc§ itjren gufjpunct in ber ©ene MN gejogenen geraben Sinien bitbet, bretfe man bie ^3rojection§= linie A C innerljatb biefer ©ene um ben $unct A, etma bie A D. 3 ^ man bie ©erabe BD, fo ift biefe tanger atž bie ©enfredffte B C; bie beiben 933in* let B A D unb B A C Ifaben bemnadf> gteidm ©dfenfet, aber ungteid^e ©dfmn* fetmeite, batfer finb fie ungtei$, unb jmar ift ber SBintet B A D, bei metdbem bie ©bpuncte ber ©d&enfel meiter con einanber abftetjen, grbfjer atž ber SBinfet B A O. SBirb bie Sinie A C ned; meiter btž A E ge* breljt, fo toirb bie ©erabe BE > BD; ež ift alfo bie @d)enfetmeite bež ŠBinfetžBAE grojjer ate fene bež SBinfetžBAD, matjrenb beibe SBinfet gteid) tange ©dijenfet Ijaben, batfer ber SBinfel BAE>B AD. @o nimmt bei fortgefe^ter ®rel)ung ber Sinie A C audb ber SBintet, metc^en biefe Sinie mit ber fcfjiefen ©eraben AB bitbet, attmatig ju, biž er nadb einer tfatben Umbreljung feine tjod)fte ©roge erreictft Ijat, mor* auf er bann bei meiterer ©retfung mieber attmatig abnimmt, bie enbtidb bie A C in bie nrfpriingtidbe Sage gefommen ift, unb bafetbft mit ber AB ben fleinften žBintel bitbet. 5Da ber SEBinfel, ben eine ©erabe mit ibrer iPrcjecticn in einet ©ene bitbet, fteiner ift ate ber SBinfet, ben fie mit irgenb einer anbern in berfetben ©ene burcb ben gujjpunct gejogenen ©eraben bitbet, fo bient er baju, bie ftteigung ber ©eraben gegen bie ©ene anjugeben. BAC tjeijjt ber Steigungžroinfet ber fcfnefen ©eraben AB gegen bie ©ene MN. Sffienn man einen @ta6 in Idjiefer Sage mit bent einen Gšnbe gegen ben gufj* boben ptt, unb i&n bann fattett lajjt, fo ift ber Sintel, ben er babet befc^retbt, fein 9teigung{i»infet gegen ben gufjboben. §. 70. © feien (gig. 66) A B unb C D jrnei parade gerabe Sinien, metdjfe auf ber ©ene MN fdpief ftetfen. gatlt man oon B unb gig. 66. D auf biefe ©ene bie ©enfredpten BE unb D F, unb jietjt bie ©eraben A E unb C F, fo finb BAEunb DCF bie SReigungeminfet ber beiben fdffiefen ©e* roben gegen bie ©ene. ®a nun in ben ®reieden ADE unb CDF bie SBinfet E unb F ate redite, unb bie Sinfet B unb D megen ibrer paratteten ©cfmnfet gteidp finb, fo miiffen aud) bie britten Sffiintel BAE ttnb DCF gteicfy fein. ®arauž fotgt: 3mei parattete gerabe Sinien finb gegen biefetbe (Sbene gteicfy geneigt. gtg. 65. 45 3. gage ber ©benen gegen einanber. §. 71. ffitrb bie ^at66egrengte ©bene MNPR (fjig. 67) um ibre ©runblinie MN gebreijt, bi« fie in bie SteCung MN'P'R' fommt, fo toeicfjen bie ©benen MNPR unb ” s ' ’ MNPR' in iljren ©tellungen um fo rneljr bon einanber ab, je grbfeer bie ©reljung ift. ®ie Ibrneidjung ber ©tellungen jtoeier ©benen, bie ftcb in einer ©eraben fcfmeiben, nennt man, jur Unterraeibung bon ben gittientoinfeln, einen Mladjem toinf el ober $eil; bie beiben ©be* nen Ijeijjen bie ©djenfelftiicben ober ©eiten, bie gerabe ®urdb= fd)nitt«linie bie ©djeitellinie ober S ant e be« Seil«. ©ie ©roge eine« gladjentoinfel« toirb bur«b einen Sinientbinfel ge» meffen. 3ft nSmticb bie ©erabe O A auf MN fenfredjt, fo befcbreibt biefelbe tcaljrenb ber ©reljung ber ©cfjenfelflacbe MNPR, bi« biefe in bie ©teCung MNP'R' fommt, einen ginientoinfel AOA', toeldjer fidj fiir jebe gage be« Sunete« O in ber ©urcf)fcbnitt«lime MN gleid) bleibt unb baljer bie @ri>§e ber ©reijung ber ©cjienfelfldcbe unjtoeibeutig be» ftimmt. ©iefer SBiufel AOA' Jjeifjt ber 9ieigung«toinfel ber beiben (Sbenen MNPR unb MNP'R'. Unter bem ffteigung«toinfel jtoeier ©benen oerfieljt man alfo ben ©infel, toeld?en gtoei gerabe ginien biiben, bie au« irgenb einern Sunete ber ©urcbfcfynittslime fenfrecbt auf biefelbe in ben beiben (Sbenen gegogen toerbep. ®er 9teigung8tt>infel jtoeier @8enen Jann burčB bie oberen ober bie unteren SRanber eines aufge]d>fagenen ©udje« anftBaulidj gemacBt merben. SBenn ber 9?eignng«toinfel gtoeier ©benen ein rec£)ter ift, fo fteljen biefe fenfrecbt auf einanber; fonft fdjief. §. 72. ©« fei (gig. 68) ADj_©beneMN, unb man lege burd) A D eine ©bene A C BO, toefe^e bie ©bene MN in ber ©eraben A C gig. 68. fdjneibet. Um bie gegenfeitige gage biefer beiben ©benen ju ermitfeln, toirb man ifren SReigung«* tcinfel fudjen, b. i. in einern Sunete ber ©urd)' fcfmitt«linie A C auf biefelbe jtoei ©enfredjte er= riejden, beren jebe in eine ber beiben ©benen Ijim einfaCt. Sluf A C fteljt nun im Sunete A bereit« bie A D in ber ©bene ACBD fenfredfjt; erric^tet man barauf nocb in ber ©bene MN tie ©enfredde AE, fo ift DAE ber 5Reigung«toinfel ber gtoei ©benen ACBD unb MN. ©iefer SBiufel ift aber ein recfder, toeil A D auf ber ©bene M N, folglidj aucb auf ber ©eracen AE fenfrecjd ift; bie ©bene ACBD fteljt fomit fenfrecfit auf ber ©bene MN. 46 SBenn bat)er eine ©erabe auf einer ©bene fenfred)t ift, fo muf audj je b e baburcft g e 1 e g te ©bene auf jener ©bene fenfrec^t ftetjen. Ste fann burcf) eitten $mict etne Sbene gelegt roerben, »elcpe auf einer ge= gebenen Siene jenfredn fie^t? §. 73. ©S fei (gig. 69) AB | Sbene MN, unb BC || ©bene MN. Segt man burcfy beu Sinfet ABC etne unbegrenjte ©bene, toetd)e bie ^i a . 69 . ©bene M N in ber ©eraben A D fcfmeibet, fo fteben btefe beiben ©benen auf einanber fenfrec£>t. SBirb bte unbegrenjte ©bette A B C D um bie ©erabe B C ato Sipe auS itjrer fenfrec^ten ©tettung gebreljt, fo toirb fie in jeber fotgenben Sage auf ber ©bene MN fc^ief ftetpeu, unb biefetbe in einer um fo toeiieren ©ntfernung bon ber A D burd)fd)neiben, je grofer ber 9ie U gungatoinfet toirb, ben fie mit ber fenf= renten ©bene ABCD bitbet. $ommt enb* ticb bie unbegrenjte ©bene todbrenb itjrer ®rel)ung in bie Sage BCEF, too ber 9ieigungatoinfe£ A B F, toetcben fie mit ber ©bene ABCD bitbet, ein rec^ter toirb, fo toirb fie bie ©bene M N gar nid)t mel)r fdjneiben, fonbern mit il)r p ar at tet fein. 3toei ©benen finb paraltet, toeitn fie betiebig ertoeitert einanber nie fdfneiben. 1. Sine trne »ielfac^e Sage fihtnen jmet Sbenen gegen einanber paben? 2. Stenne Sbenen ittt Sdjuljimmer, ^ie a) ficb fipnetben, b) parattel ftnb? §. 74. ©a fei (gig. 70) bie ©erabe AB_L ©bene MN. SBirb bie ©bene MN, toaljrenb ber ffJunct A tanga ber AB fortriitft, parattet fort« betoegt, biS ber $unct A in B, unb bie ©bene MN in bie Sage P Q fommt; fo toirb bie ©bene PQ mit ber MN parattet fein, unb bie ©erabe AB, ba fie if)re Sage gegen bie beioegte ©bene nic^t aubert, aud) auf ber ©bette P Q fenfre<$t fteljen. ®araua fotgt: a) SBenn eine ©erabe auf einer oon jtoei paratteten ©benen fenfrec^t ift, fo muf fie aucfy auf ber anbern fenfred)t fte^eit. fr b) SBenu jtoei ©benen auf berfetben ©eraben fenfrecftt ftetjen, fo miiffen fie paraltet fein. ®urcb einen f(3unct B eitte ©bene ju tegen, toelc^e mit einer gegebenen ©bene MN parattet ift. 2Jian fatte bon B auf bie ©bene M N bie fenfrecbte ©erabe BA, unb lege bur$ B eine auf AB fenfrecbte ©bene (§. 66). gig. 70. 47 §. 75. ©S fei (3% 71) AB irgenb eine ©erabe in ber ©Bene MN, unb A C eine au$ biefer ©bene IjerauStretenbe gerabe Cinie. Sfifjt man, maffrenb ficf> ber ^5unct A in ber A C fortbemegt, bie ©ene MN unb bie carin befinbticbe ©erabe AB parallel fort- fc^reiten, bi« bie ©bene MN in bie Sage P Q, unb bie ©erabe A B in bie Sage CD fommt, fo befc&reiben bie ^Sunete A unb B ma^renb biefer Semegung bie pa* raHelen unb gteicf; grojjen Sinien A C unb BD; bie ©erabe AB aber befc&reibt eine ©ene ABDC, ioetdje bie betben parade* len ©benen MN unb PQ in ben paratteten ©eraben A B unb CD fdfneibet. ©ie ©ene MN |at mcibrenb i^rer parade len Settegung in jeber Sage, alfo auef) in ber Sage PQ, gegen bie ©ene ABDC bie gleic^e Steigung. 2Ran bat baber folgenbe Safse: a) ^arallete ©erabe g tx> i f en paraltelen ©benen f in b ein* anber gleid). b) SESenn jmei paratlele ©benen con einer britten ge* febnitten raerben, fo finb ©urd)fd)nittslinien p a r a £ t e L c) ,3u)eiparallele©benenfinbgegenbiefetbe britte (Sbene gieicb geneigt. d) @tebt con gtoei parallelen ©benen bie cine auf einer britten ©bene fenlrec^t, fo ftebt autb bie anbere auf berfelben fenfre^t. gig. 71. 4. tbrperlidfe ©(fen. §. 76. SBirb eine ^a£&&egrengte ©erabe O M (gig. 72) um ibren ©renjpunct O fo betoegt, bafj fie nacb unb uacb bureb ade UmfangS* gig. 72 . punete beS 25ietecfe« A B C D E geljt, fo be* fcfyreibt fie bie nacb einer @eite unbegrensteu ©benen MON, NO P, POQ..., melc^e alte ficb in bem gemeinfd)aftlicf>en Sunete O bureb* febneiben. ©er jtoifcben biefen ©benen tiegence, nacb einer @eite unbegrenjte 9faum ioirb eine fbrperticbe ©tfe ober bloS © c unb a + c > b. 3)arauč fotgt: 3n jeber breifantigen ©de ift bie Suittme je jtoeier Santenminfet gr o§ er at« ber britte. 3ufa|. 3Die SDreljung ber ©benen AOC unb BOD um bie ©eraben O A unb OB fann auf jtoeiertei 2Irt gefdjetjen, entffieber auf ber oorberen rei6t babei fotootjt ber Pmict E atd aud) jeber anbere Punct a ber ficp beroegenben ©eraben A E ben Urnfang eineS mit A B C D parattefen unb congruenten 25ieiedež; bie ©erabe A E felbft aber befcfireibt bie Parattetogramme A B F E, B C G F... iJBirb nun burcb ben UmfangEFGH eine Sbene ge* iegt, fo ertjatt man einen tbrper A B C D E F GH, toetcper oon jtoei congruenten unb parattet ge* ftettten 93ieieden, unb bon fo bieten Paratteto* grammen begrenjt toirb, al8 einež ber SŠielecfe @eiten l)at. Sin fotc^er ilorper ^ei§t ein PriSma (Stf fante). b) Sin Pristna fann man fid) aud) baburcb entftanben benfen, bajj fid) ein Sieted ABC D tdngS ber ©eraben A E fo fortbemegt, bajj alte feine Sagen parattet finb. §att man 3 . S. etn StiicE Papier parattet ju einet §interpd)e gegen bie @onne, fo mirb ber auf ber fMnttrftacpe abgeBitbete ©djatten mit ber »orgepaltcnen Papierftadje congruent, nnb ber jtrifdpen biefen Seifcen gtacpen entpattene unBeleudjtete 9iaum ttirb ein 'Pristna fein. ©udje »erftbiebene ©egenftSnbe anf, toelcpe bie gorat eineS pristna fjaBen. §.81. ®ie beiben congruenten nnb paratleten Siefede ABCD nnb EFGH tfeijjen bie ®ruubflad)en, bie burd) it^re ©eiten geljen* ben Parattetogramme bie ©eiten ftad)en beS pridma. Die ®.urcpfcpnitt8tinie je jtoeier ©renjebenen toirb eine $ a n t e genannt. ®ie '£)urd)fd)nittd(inien je jtoeier anf einanber fotgenben ©eiten* pdfen, roie AE, BF..nennt man inSbefonbere bie ©eitenfanten. Sltte ©eitenfanten eineS Pristna finb unter einanber gteid) unb parattet. Sine @entred)te P Q bon einer ©runbflat^e auf bie anbere tfeifjt bie £>5ije be« PriSma. ©iefe nnb atte fotgenben ©rftaningen fittb att geeigneten Ptobetten jur ftaren Infdiauung ju Bringen. @8 finb babet an jebetn ecfigen Sorper bie ©rmtbftadjen, bie ©eitenftadjen nnb bie ftamen nad) tljrer lnjapt, Sage unb ©rofje, unb iiberbiež bie ©den in Petradftung ju jiepen. SIrten ber PriSmen. §.82. 9tacp ber 21 n g a ^ t ber ©eitentanten unterfdteibet man breifeitige, bierfeitige nnb metjrfeitige PriSmen. SDIit 3tiidficfyt auf bie 8age ber ©eitenfanten gegen bie @runbftad)e beifjt ein PriSma fenfred)t (gerabe) ober fd?tef, je n a d) bem bie ©eitenfanten auf ber ©runbftactte fentrecpt ober fcpief auf* tiegeu. Bit eiuent fenfrecbten PrtSrita finb bie @eitenftad)en SJteiptecfe, unb jebe @eiten!ante ift ber £>oi)e bed PriSma g l e i d). gig. 75. 51 S>0- 76 getgt ein fentredfteS fiinffeitigeS, gig. 77 etn fpefeS brei* feitigeS f$ri$ma. gig- 76. gig. 77. gig. 78. §. 83. Sin ffkiSma, beffen ©runbpdjen ^araCetogramrae ftnb, ijeijjt ein garati el epipeb (gig. 78). ©ažfelbe fann, n>ie jebeS anbere (pisma, fentred&t ober fpef fein. Sin (ParaMepipeb toirb oon fec^S ^3aratleIo= grammen eingefdpffen. Sin fenfrecitteS pristna, beffen ©runbflčic&en. 9?ed^teurcpfdjnitt unb 97e^ eineS i)3riSma. §. 84. 2tuS ber SntfteljungStoeife bes iprižma (§. 80, b) geljt Ijerbor: SBenn ein iJJriSraa burdft .eine mit ber ©runbffad^e pa« rattele Sbene gefd^nitten toirb, fo ift bie ®urc§fbfmitt«figur mit ber ©runbfliidfte congruent. Sn tras fiir SiJrper jerfatlt baburcp baS gefdOnittene $rtSma? J-l gig. 79. G 933enn man bnrcp gtoei gegeniiberftelfenbe Santen B P unb D H (3% 79) eineS pristna eine Sbene legi, fo ift ber ®urdbfcfmitt BFHD ein $araHeIogramm, unb ^eigt ein (Diagonal* f$nitt bež ‘pristna. Sie fttib bie bretfeitigen i|3ri«tnen befcpaffen, in toelipe eiit tparatletepipeb burcp ben Siagonalfcpnitt getpcitt toirb? §. 85. SBenn man bie @renjflat$eu eineS SijrperS itt einer Sbene gufammenpngenb bar* ftettt, fo bajj fie auSgefcpitten nnb geporig ju* fammengefugt jetten tbrper geben, fo peijjt eine folcfte ^epnung baS 9tefc eineS torperS. ®ie S(tepe ber Korper ftnb befonberS Bei ber 35er« fertigung ber SOJobetle »on SBidjtigfeit, uttb c8 toirb 2ln* fangern geratpen, nic^t nur (otipe Dtepe ju enttrerfeit, foitbertt mittelft berfelben aučp bie Sorper felbft jufatntnen ju fepen. 4 * 52 gig- W. ®aS 9te£ e i n e S ipridma ju conftruiren. 9Jtan berjeicfme neBen einonber bie ©eitenflacfjen unb Bringe an eine berfel* Ben oBen unb uttten bie ©runbppn on. f?ig. 80 fteCtt ba$ 97e£ bed fiinf= feitigen $rižma bor, metcfieS in gig. 76 berjeicfmet tourbe. 2. ^^ramiben. (šntftepung unb (šrftarung en. §. 86. a) SBeitn p eine ®erabe A O (gig. 81) fo fortBetoegt, ba§ fie toapenb iljrer Semegung burcf) bie auf einonber fctgenben Um* fangspuncte bed 33ieIeie ©eitenfladten einer fenlrecpten fppramibe fittb tanter gleidj* fdpenftige congruente ©reiede. ®ie §Bpe eine« berfet&en ^eip bie ©eitenpope ber fenlrecpten ippramibe. ©urbpfdpnitte unb 9?e|e. §. 89. 2lng ber ©ntftepunggroeife ber fipramibe (§. 86, b) gept • perbor: SBenn eine $pramibe burd; eine mit ber ©runbfladpe parallele (S 6 e n e gefcpniften toirb, fo ift bie jDnrd^f d^>nitt^= figur mit ber ©runbfladpe apnlidp. ffienn (gig. 82) EFGH || ABCD, fo ift EFGH~ABCD. Um ba« 23erpaltnig jtoifcpen ber ®runb* unb ber ©urdpfcpnittgflacpe ju beftimmen, fatte man bon O auf bie ©runbfladpe bie ©enfredpte O K, toelcpe audp auf ber ©urcpfcpnittgeBene EFGH fenfredpt ftepeit muf, unb tege burdp ben SBinfel AOK etne ©Bene, toelcpe bie ®runb<= flacpe unb bie mit ipr parallele ®nrd;fdpnittg* fladpe in ben paralfeten ©eraben A K unb EL fcpneibet. ©ie glacpen ber apnlidpen Sielede ABCD unb EFGH berpalten ficp toie bie Ouabrate bon jtoei gteicpliegenben ©eiten A B unb E F. ©a ficp aber toegen ber Slepnlicpfeit ber ©reiede ABO unb EFO bie ©eraben AB unb E F fo ber&atten tbie A O unb E O, unb biefe toieber toegen ber Slepnlicpfeit ber ©reiede A K O unb ELO ben ©eraben K O unb L O proportionirt finb; fo miiffen ficp bie fjlcid^en ABCD unb EFGH audp fo berpalten tbie bie ©uabrate bon KO unb L O. ©araub folgt: ®ie ©runbflddpe einer fppramibe unb bie ipr parattete ©urcpfcpnittgflacpe ber&atten fid) fo ju einanber, tbie bie ©uabrate iprer ©ntfernungen bon ber ©pipe. SBenn j. 33. O K 2mat fo grog ift alg O L, fo tbirb bie gfliidpe ABCD 4mat fo grog fein alg E F G H. 3ft O eiit teudptenber IJSunct, metdjer einmal bie glac^e ABCD, unb ein an* foereS ŽDM bie gtacpe EFGH beteuc^tet, (o toerbett auf beibe glasen bie niimlic&e SKcitge bon Sicfttfirapten auffatten; ba nun bie ©torte ber Erteucbtung einer gtacpe bon ber ®idjte ber auf biefer g(itc6e autangenben Cicptftrablen abpangt unb ba fidj Bet ABCD biefeiben Sid^tfira^Ien auf einer 4mal griSgeren gtiicbe auSbreiten, fo toirb biefe gladje 4mat fcbtoatper ertencptet fein a!8 bie gtiic&e EFGH. Ueberpaupt toirb eine gtčicbe miter fonfl gleicpen Umftanben 4tnat, 9maf, 16maf fdjmacper beleucptet, tttenn man ipre Entfernung bon bem teucptenbeu fpunct auf ba8 2 , 3 -, 4facpe ber urfpriingtidjen Sutfernung oergrBfjert. §. 90. ©urcp eiuen mit ber ©runbfladpe paratlelen ©urd^fd^rtitt toirb bie ^pramibe in jtoei torper getpeilt, eine Heine fppramibe OEFGH, gig. 82. 54 tcelc^e ber gefcfmittenen atjnticf) ift, mtb einen pifd^en gtoet paratteten (šbenen entpattenen ®5rper ABCDEFGH, toetcper eine abgefiirjte f|3pramibe cber etrt fppramibatftumpf tjeijjt. 3ft bie gefc^nittene fppramibe fenfrecpt, fo botrb auc^ ber fppramibatftumpf ein fenfrec^ter genannt. (Sin fppramibatftnmpf ift bie ©ifferen^ jtoeter fJ3pramiben, beren ©runbftacpen bte untere unb obere gtacpe ber obgefiirjten fppramibe finb, mtb beren gemeinfd^aftlid^e @pi£e in bem ®urcpfcl)nitte ber berlangerten ©eitenfanten bež ©tumpfež liegt. SKan fatm fidj eine abgefiirjte fJJijramibe beutiid) toerftnnlidfen, trenn man j.SB. ein Stiid ffJafner gegen etn fierjenli^t fo $8ft, bajt ber @d)atten auf eine mit biefem S3Iatte ftaraflete SBanb auffaUt; ber jtotfdjen beiben fjarafleien nngteidjen gladjen ent» baltene nidft beteudjtete 9taum ift ein ipijramibalfiunipf. Unter ber c ^ e einež fppramibalftumpfež berfteljt man bie @enL repe L K, toelp oon einem Sunete ber einen ©runbftap auf bie anbere gefatft toirb. §. 91. SBenn bie §81je L K einer aBgeliirjten fppramibe unb pet paratteie ©eiten A B unb E F ber unteren unb ber oberen ©runbftap befannt finb, fo taffen fid; barauS bie §oben O K unb OL ber beiben ippramiben fitiben, beren ®ifferenj ber fppramibatftumpf ift. >Da OK : OL = OA : OE, unb AB:EF = OA:OE, ift aucp OK : OL = AB : EF. ®a fid> nun in jeber fproportion bie fDifferenj ber erften jtoet ©tieber jur ©ifferenj ber tehten jtoei ©tieber oertjčitt trne baS erfte ©lieb sum britten, ober mie baS peite jum oierten, fo tjat man (OK — OL) : (AB — EF) = O K : AB, (OK _ OL) : (AB — EF) = O L : EF; ober toegen OK — OL = KL KL : (AB — EF) = OK: AB, KL : (AB - EF) = OL :EF; mittjin 0K = ab KL ef X AB unb OL = A ~_ L EF X EF; b.tj.: ®it>ibirt man bie §bt;e bež ^P^ramibatftumljfeS burdff bie ®ifferens jtoeier paratteter Kanten ber beiben ®runb= flacften unb multipticirt ben Ouotienten mit ber grofjeren ober mit ber fteineren jener Santen, fo gibt baž f)3robuct bejiigtid) bie £>ot)e ber griifjeren ober fteineren ber beiben ^Ppramiben, beren SDifferenj ber fppramibatftutnpf ift. @inb 3 . S. 6 dm unb 4 dm grt>ei parattete f anten ber beiben ©runb* fliipn, unb 5 ratnibe gu conftruiren, Pefbprei&e man (gig. 83 ) mit einer ©eitenfante aus O etnen Sreižbogen, jiepe barin bie ©epnen AB = BC = CD gteicp ber ©eite ber ©runbpcpe unb jetd^ne bann unter BC bie ©runbpcpe B C E. Gionflruire bas Step a) einer fenfreč&ten fiinffeitigen 5ppwmtbe, b) etrteS fenfrecptett »terfettigen iptjramibat« fhttnpfeS. 3 . ^otpeber. Slrten unb (Sigenfcpaf ten. §. 93 . (Sin Sorper, metcper bon fauter (SBenen begrengt mirb, peifjt ein ecftger Sorper ober ein ^)3 o £ e b e r. 3 Jtan benennt bie fJJo* tpeber nacp ber Stngapt i£srer ©renjpcpen, unb jtoar pčiufig mit ben griecpifbpen gaptmortern. BebeS tparaltetepipeb ift ein fecpžpcpigeg, jebe breifeitige tppramibe ein bierftacpigež tpotpeber. (Sin fjSotpeber, toelc^eS bon tanter congruenten unb regetmafjigen SSieteden, bon benen in jeber (Sefe gteicp biet gufammenftofjen, einge= feptoffen ift, peifjt regetmafjig, 3. S. ein SBiirfet. ©n regetmafjigeS fptpeber pat baper aucp fauter regetmafjige (Scfen. SJŽerftoiirbig ift bie Sejiepung ^mifcpen ber Stnjapt ber $anfen, ber ©renjpepen unb ber (Scfen einež tpotpeberg. jDriicft man bie Stnjapt ber Santen burep k, bie Slnjapt ber ©reng* pepen burep f, unb bie Slngapt ber (šefen burep e auž, unb Betracptet guna^ft ein bierfeitigeS ^rižma. £)iefeb pat 4 ©eitenfanten, unb an ben Peiben ©runtpepen 8 Šfanten, jufammen 12 Santen, fomit b= 12; ferner ift bie Stnjapt ber ©rengpcpen f = 6, unb bie 2 tn;apt ber (Scfen e = 8, baper f 4 - e = 14 . @S ift fomit bie Stnjapf ber Santen um 2 fleiner at§ bie Šnjapt ber $lacpen uttb ber @a8_9le£ eine§ Dctaeberž erbatt man, toenn man (gig. 90) fiir bie gegebeite iffante guerfi bab Dtelj einež STetracberS conftruirt, unb bann an biefeb ein gtceites ganj gteib^eS Setraebernefc fo ber* jeidfnet, ba§ beibe 9ie£e eine <3eite gemeinfcbafttidf baben. 3. ®aS Stefi eine8 ŠJofaeberd mirb erbalten, toenn man($ig. 91) auf einer ©eraben bie gegebene Sante 5mat auftrčigt, iiber ben einjefnen £beiten nad) oben unb unten gleicbfeitige ®reiede con* ftruirt, bann aCe ©d^eitel auf einer @eite burdb eine ©erabe ber* binbet, unb langb berfetben, nadbbem fie berlangert toirb, toieber gleicbfeitige ©reieife bergeid^net, fo bajj ibrer auf feber Seite 5 erfdbeinen. 4. Um bab ifteb bež §ejaeberb ober SBiirfefb ju erbalten, ber* jeibEmet man (gig. 92) mit ber ©eite etneb lOiirfete 4 Duabrate jtoifcben gboei iparadelen ©eraben neben einanber, unb iiberbieS nodf jtoei Ouabrate an ben entgegengefe^ten ©eiten eine« jener erfteren Šuabrate. S«8- 92. gig. 93. 5. ®ab91eb beb®obefaeberb erbaltman, toemtman (5ig. 93)iiber ber gegebenen tante ein regelmaffigeb f^iinfecf befd^reibt, iiber ben @eiten bebfelben toieber regetmafjige giinfede conftruirt, toobei man fidf mit 23ortbeit ber 2$erlčingerung ber ®iagonaten bebient, unb an biefeb S^e^ ein jtoeiteb ibm bellfommen gteicbeb fo berjeidfmet, bafj beibe Smetje eine gemeinfd;aftli^e ie dntfteljung einež fenfrepen Segelž lattn and) baburd) oerfinnlip toerben, bajj fidb ein redftroinliigež ©reiecE ACOum eine Sajete C O alž Sije l)erumbrel)t; bie anbere Satljete AC befdjreibt babet bie ©runbpdfe, bie £)potenufeAO bie Silan* telflap bež Segelž. 3n einem fenf'red)ten Segel ftellt bie Sije jugleid) bie §bf)e bor; auc§ finb alte ©eiten bežfelben ein* anber glep. din geraber Segel, beffeit @eite gteid^ ift bem ®urd)meffer ber ®runbpc$e, I)eifjt gleicbfeitig. ©urt$icfyntttžfiguren unb Slejse. §. 102. ®ie S3efdE>affenI)eit bež Sptittež einež Segelž mit einer dbene pngt bon ber 8age biefer dbene ab. £)urcbfd)neibet man (gig.100) gtg. too. einen fenfrepen Segel bureb eine auf ber o Sije fetifred)te dbene, fo ift ber @cf>nitt AB ein S r e i ž, maž audf> fd)on auž ber dnt* ftepngžmeife bež Segelž (§. 100, b) folgt. @tel)t aber bie fd)neibenbe dbene auf ber Sije bež Segelž fd)ief, fo ift bie !Durp'd)nittž* figur entroeber eine iparabel CD E, ober eine dtlipf e FG, ober eine £)fyperbelH JK, je nad)bem bie fd)neibenbe dbene mit ber gegeniiberfteljenben @eite bež Segelž jarallel ift, ober fid) ju il)r Ijinneigt, ober fid) bon il)r entfernt. Silan nennt barum biefe frummen Činien audf> Segelfcbnittžlinien. Um ftčb biefe ©djnitte ju berftnntii^en, fiiUe man eiit fegelforinig 8ugefbi(3(e8 SCrinfgtaS ettoa bis jur SDtitte mit SBaffer. ©tebt bie 2[je bež ©lafes toertical, fo fc^neibet bie borijontale Šafferffiičbe bie SObantelfta^e bes ©lafeS in eittem Sreife; toirb bas ©las obeti gefd)Ioffen unb fo toeit geneigt, 6is bie StBafferftacbe mit ber @eite beS fiegels baraHef trirb, fo ifi ber ©djnitt eine ?ParaBel; neigt man ba8 ©taS nočb rnebr, t>i8 j. ©. bie Safferffaclje mit ber Stje fjaraUef toirb , fo entftebt eine §tjfierbel; in jeber anbern Sage ifi bie ©urdbfcbnittsfigut eine ©ttiftfe. ®el)t bie fd)neibenbe dbene burdf) bie Sije bež fenfrec^ten Segelž, fo ift ber ©dpitt MON ein gleidi)fd)enfligež SDreied'. 61 §. 103. SSirb etn Segel bur$ eine mit ber ©rnnbflčpe paratlele (Stene DE (gig. 101) gef^nitten, fo toirb berfetbe in jtoei Sbrper ge* ai " im tljeilt, einen fleineren Segel unb einen gtoif<$en jtoei paratlelen SreiSflacpen entljaltenen Sorper, toelcfjer ein abgefiirjterSegel ober ein Segel ftumpf genannt toirb. 3ft ber ge* fcpittene Segel ein fenfrec^ter, fo ift e« and) ber abgefiirjte. (Sinen fenfrecpten Segelftnmpf fann man fidj babrnp entftanben benfen, bajj ficfj ein STrapej ACFD, in toetprn eine ber nid^t paratlelen @eiten C F auf ben beiben paratlelen ©eiten fenfrep ftel)t, um biefe @eite C F als Sipe Ijerumbrept; bie anbere nidft parallele en. SBenn baljer bie be« SegelftumpfeS unb bie f)albmeffer ber beiben ©runbppn befannt finb, fo fann man barau« mit iftucfficpt auf §. 91 bie §bben ber beiben Segel berecpen, beren ©ifferenj ber abge* fiirjte Segel ift. ©ie §op be« grofferen Segel« finbet man, toenn man bie £>oIje be«<3tumpfeS burcb bie©ifferenj ber ^albmeffer ber beiben Sreisflatpen bioibirt, unb ben epaltenen Quo* tienten mit bem grijjjeren ^albmeffer muttiplicirt; bie £)0lje be« fleineren Segel« finbet man, toenn man jenen ©uotien* ten mit bem fleineren §atbmeffer muttiplicirt. @inb j. 33. 5 dm unb 4 dm bie §albmeffer ber beiben ©runbpcpn, unb 3 dm 5 cm bie §otje be« Segetftumpfe«, fo ift bie $0I)e beS grofferen Segel« = 6 3 _ 5 4 X 5 = 17-S 3 " 1 , „ „ „ fleineren „ = ~T[ X 4 = 14 dm . §. 105. SBenn man fp bie 2fiantelpc§e eineS fenfrecpten Segel« in ber 9?ptung einer @eite gefc^nitten, bann abgeloiifett unb in eine 62 ©ene gelegt borftellt, fo Bilbet biefelbe einen SreiSaužfdinitt, beffen 23ogen bem Umfange ber ®rnnbflacbe, unb beffen £>aI6meffer ber @eite be§ tegelS gleicf) ift. gig. 102. ©a« 5R e ^ ein e S fenfrecfiten SegelS ju con ft ruir en. 9J?an uergeic^ne (gig. I 02) bie freisformige ®rmtbflacbe, bepreibe bann mit ber @eite bež Segelž einen jenen SreiS beriiljrenben ^reižbcgen, trage auf biefen ben ©urdjmeffer bež erfteren Sreifeč 3fmat auf, unb boHenbe ben Sreteau«* fcfmitt. eine« abgeturjten fenlred^ten Segel«. gig. 103. 6. © i e S u g e t. (šntfte^ung unb (Srltarungen. §. 106. SBenn man eitten £>at6freiž A MB (gtg. 103) um ben ©urcfmteffer AB al$ Sije Ijerumbreljt , fo entftdjt nad) einer ganjen Umbrebung etn runber Sorper, metc&er eine Suget beijjt. ©te Ijalbe SreiSlinie A MB be* fdfreibt toaljrenb biefer ©etoegung bie SugelflSdfe, unb jeber jmifdjen A unb B liegeube f}3unct ber* felbett einen S?rei§, beffen SDfittelpunct in ber Sije AB liegt; biefe Sreife finb einanber paraHel, A unb um fo fteiner, je ttaljer fie an ben s f3uncten A unb B, mefdje bie ^3ole jener fparallelfreife beijjen, gelegen finb. ©en grbjften be» fpeibt ber §atbirung$punct M ber ^atbett treiMinie. SluS ber ©tfteljungsmeife ber ®ugel gefit Ijerber, bafj jeber f(3unct ber $ugetfISd;e bon bem Sftitteljmncte C bed erjeugenben §alblreifed gleicb tneit abfteljt; ba^er ^ei§t biefer fJSunct ber 3JŽ i 11 e I p u n c t ber $ugel. ©er Stbftanb A C beS SRittelpuncted bon irgenb einem Sunete ber Sugetpbfie ^ei§t eitt ^atbmeffer, unb jebe burdt ben 30?ittelpunct geljenbe unb auf Beiben @eiten burd) bie SSugelflac^e begrenjte ®erabe AB eitt ©ureftmeffer ber fugel. SIHe fMbmeffer ber ®ugel finb einanber gleicft; eben fo finb aud) alte ©urdtrneffer einanber gleid). ©etift man fid; att ben erjeugenben ^albfreiS bttrd) einen @nb* jntnet ber Sije eine ©angente gejogen, fo befdjreibt biefelbe tniibrenb ber llmbreljung eine ©ene, metdje mit ber entftdjenben $ugel einen einjigen $unct gemeinfdjaftlid) fiat. SDIan nennt eine folije ©ene eine ©e* riiljrungdebette ber tugel, unb bett fpunct, meldfen fie mit ber Huget gerneiu bat, ben ©eriiljrungdfntn ct. ®ie Seriibritugdebene ftefjt auf bem ipalbnteffer, toelc^er jurn ©eritC)rungžfnmcte gejogen toirb, fenlredjt. SBelc^e ©egenflanbe ^afeett bie ©eflalt einer Suget? 63 ©urcftfdbnitt unb 91efc. §. 107. SBenn man bie Sugel burdf> eine Grbene burdbfdimeibet, fo ift bie ©urcbfbfmittžpur ein $rei8, melc^er um fo grbfjer ift, je naber am ŽOHttelpuncte ber ©cbnitt gefiilfrt toirb. 2Im grbfjten toirb ein fotcber ©urbbfcbnittžtreis, toenn bie fcbneibenbe (šbene burdl) ben ©litteipunct gebt; berfetbe Ijat mit ber tugel benfelben 3??ittel^unct unb benfelben Italbnteffer, unb mirb ein grofi ter treiž ber fugel genaunt. SItte gropten treife ber Sugel finb einanber gleicf). Sebe (Sbene, toeldbe bie Sugel ft^neibet, tbeift biefe in jtoei Sijrper, toeld^e ®ugetabfc$nitte ^ei§en, unb im Slllgemeinen ungleidi) finb; nur toenn ber ©difnitt burdf) ben SŠiittelpunct gebt, finb bie beiben $ugel= abfcbnitte einanber gleicf unb merben bann ipa Ib fuge In genannt. Seber Ifngelabfdbnitt toirb oon einer Sreigebene unb eon einetn ST^eite ber ®ugel= pcbe, toelcben man eine Sugefmiifce ober Satotte nennt, begrengt. SBentt eine Sugel burcb jtoei parallele (šbenen gefd^nitten toirb, fo finb biefe ©cbnitte gtoei prattelfreife. ©ie bajtoifdften befinbtid^e 9fing= ptf;e t)ei§t $one ober ® tir tel. ©er ©ogen Mm in gig. 103 be= fpeibt toaffreub ber Umbrepng be$ ftalbfreifeS AMB eine $one. §. 108. ©až 9teb einer Sugel ju conftruiren. ©ie ®ugelpd)e lafjt fidf> npt, toie bie @blinber* ober bie tegel* pdfte, auf eine (Sbene abtoidfeln; baber fann ftir bie &ugel auo!j ober ipppenbedel, legt 4 berfelben fo neben einanber, bafj fie eine Suabratpcbe bebeden, unb genau iiber benfelben nocb bie 4 anbereit ©nbifoecimeter; fo erbalt man baburd) eineit SBiirfel, beffen Sfante 2 Secimeter betragt. ©in foldjer UBiirfel entbalt alfo einen ©ubifoecimeter 8mal in ficb; fein ©ubit« inbalt ift 8 ©ubilbecimeter. fSetrapet man einen SBiirfel, beffen Sante 3 decimeter ift, fo entbalt beffen ©runbfladje 3X3 = 9 Ouabratbecimeter. 2Bie oieie ©ubifbecimeter laffen ficb alfo auf ber ©runbpcbe neben einanber legen? 2Bie oieie fclcbe i|3arallelfcbicbten oon 9 ©ubilbecimeter laffen ('id? nad? ber ganjen ipobe bež SBiirfelž iiber einanber legen? Ser ©ubifinbalt be$ SBiirfelž beiragt alfo 9X3 = 3X3X3 = 27 ©ubifbecimeter. 3ft 4 SOJeter bie ®ante einež SSurfelž, fo laffen fid; auf ber ©runb* p<$e 4 X 4- = 16 ©ubifmeter auflegett, nnb ež toerben nadj ber ganjen §i>be bež SBiirfelž 4 foldje prallelfcbicbtett Con je 16 ©ubifmeter entbalten fein. Ser ©ubifinbalt biefež SBiirfetž betragt alfo 16X4- = 4X^X4=64r ©ubifmeter. Sie gabi, toelcbe anjeigt, ioie oft bie ©ubifeinbeit iir einem SSiirfel entbalten ift, roirb alfo gefunben, inbem matt bie 3 a ^/ toelcbe anjeigt, toie oft bie entfpredjenbe 8angen* einbeit in einer t'ante entbalten ift, breimal alž gactor fcfct, ober jur britten potenj erbebt. at man baljer etn rebjtttoinfiigeS ^araMepipeb bon 4Q dm ®runb= pdj>e nnb 3 d “ §Blje, fo ift beffen ©uBifinfjalt =4X3= 12 @u6. dm . (58 fet nun (gig. 105) ber SBrperin* Ijalt etneS recpttoinfligeit ^3aratteleptpebS ju Beftimmen, toorin bie £dnge AB = 3 m , bie Svetle A D = 2 m unb bie §oI?e A E = 4 m ift. ®a bie §)Bpe 4 m Betragt, fo Jatin man baž iParalleJepipeb in 4 gJei^e SparaMfcfiipen jerlegen, beren jebe l m I)o$ ift. ®a ferner baS ^araJJeJepipeb 3“ Jang unb 2 m breit ift, fo Idjjt ficB jebe biefer $ara£telfd)icf)ten in 3 X 2 = 6 SBiirfeJ jerlegen, berett jeber 1 ©ub. m ift. iDer ©nbifinpaU beS iJJaraUelepipebS ift alfo 6X4 = 3X2X4 = 24 <5ub. m . ©udje auf biefeJBe SBeife ben ©n&ifinljalt einež redfittoinfJigen ^JJa* rafleJepipebe, toorin a) bie Sange 7°“, bie Sreite 3 cm , bie £>Blje 6 cm , b) bie Sange 3 dm , bie Sreite 5 dm , bie 5>b^e 2 dm ift. 3lu6 biefen Seftimmungen folgt: ®er ©u&ifinljalt einež rec^ttoinfJigen ^?araflelepipeb« ift gteid) bem ^robucte auS ber &dnge, Sreite unb £oIje, ober, toaS gleidjt biel ift, bem^robucte au8 ber ®runbfJac§e unb ber £>BI?e. 3* ©• 2Bie gro§ ift ber SuBifinljatt eineS reptoinliigen $ara(tel* epipebe«, toorin bie fidnge l m 5 dm 3 C “, bie Sreite l m l dm 8°“ unb bie £i>I?e 2 m 3 dm 7 cm Betragt? 8ange = l m 5 dm 3 C “ = 1-53” 1-53 X 1'18 Sreite= l m l dm 8™ = T18 m 153 §)Bpe = 2 m 3 dm 7 cm = 2'37“ 1224 1-8054 X 2-37 36108 54162 126378 4-278798 ©uB.“ . nid)t con=. gruente) ©runbfldcBen IjaBen, fo miiffen iijnen aucp in jeber $ope gleicpe @c$nittfldc§en jufommen; fie neumen fomit, toenn fie au<$ bie natnlpe 4pBI)e Befifeett, einett gleicp grc&ett SRanm ein. gig. 105. 68 3toei iJJriSmen, toeldbe gleidje ©runbflacbe unb gleidbe §3b e ^aben, ftttb alfo einanber gteicb. (Strt jebe8 pristna fjat bemnadj glepen Subifinbalt mit einem recbttoinfligen ^?ara£telcpi^eb bon gleidber ©runbpdbe unb Ipobe. £)a nun bcr tbrperinbalt beS interen bem 'JJrobucte au8 ber ©runbpdbe unb ber IpiJbe gleid^ ift, fo folgt: £>er S ubifinbalt eineb jeben (toie immergeftatteten) i|3ri8m3be gleibb- 3- S. 2Bie grog ift ber ©ubifinbalt eineS $rienta, beffen ©runb« pdbe 25Q dm 64[J cm unb beffen £)i>be 4 dm 8 cm betragt? 25Q dm 64Q cin = 25-64Q ira ; 4 dm 8 cm = 4'8 dm 25-64 X 4’8 = 123-072 ©ub. dra = 123 Sub. dm 72 ©ub. cm . SDBerftad^e eineS ©blinber«. §. 116. giir bie ©eftimmung ber 2)iantelflacfye eine§ fenfrecb« ten ©bltnber« folgt au§ §. 99: ®ie iDtantelfladbe einež fenfrec^tert ©btinberž ift gleidb bem iProbucte au8 bem Umfange ber ©runbflacbe unb au8 ber £obe be§ ©bltnberž. Um bie gange Oberfladbe eineS fenlrepen ©blinberž gu er« piten, abbirt man gu ber Sftantelflacp ben bogopelten 3nplt ber ©runbflacbe. Oriicft man burcb r, h, m unb o begiiglicb ben £>albmeffer ber ©runbflacbe, bie £>olje, bie OJiantelpdbe unb bie Oberpcbe eineg feni« recbten ©blinberS au$, fo ift 2 r jr ber Umfang, r* je ber 3nptt ber ©runbpdbe, unb bober m=:2r5rXh = 2rhjE, unb o = 2 r 2 jt -f- 2 r h it ober o = 2 r je (r -f- h). 3m gteicbfeitigen ©blinber ift h = 2 r, baber o = 6r 2 it. 3- S3. 3n einem fenlrecbten ©blinber ift bie fjobe 5 m unb ber ipalbmeffer ber ©runbpdbe 2 m ; toie grog ift bie Oberpcbe? Umfang ber ©runbpdbe = 4 X 3-14 = 12-56"* Sllanfelpcbe bes ©blinber« = 12-56 X 5 = 62'8n m ©runbflacbe = 12-56 X 1 = 12-560" Ocpbelte ©runbpdbe = 25'120” Oberpcbe = 87-92QJ m . ©ubilinbalt e i rt e S ©btinberts. §. 117. Oa eitt ©blinber als ein ‘priSma, beffen ©runbpdben regelmagige 33ieledc »on unenblicb bielen ©eiten finb, angefeben toerben lann, fo folgt auž §. 115: Oer ©ubilinbalt eineS ©blinberž ift g le i db bem i}3ro» bucte auS ber ©runbflacbe unb ber §obe beSfelben. 69 £aben r unb h bie in §. 116 angegebeneit Sebeutungen nnb Be* gepnet c ben Subifinplt eineS EpnberS, fo ift c = r 2 jr. h, ober e = r* h jr. gitr ben giepfeitigen Epinber ifi h = 2 r, bapr c = 2 r 3 ;r. 3ft 3 . S. bie $ 8 p eineS EpinberS 7 dm , unb ber £albmeffer ber ©runbpbp 6 dm , fo pt man ©rnnbpcp = 6 2 X 3-1416 = 113-09760*“ Eubifinplt = 113 ■ 0976 X 7 = 791-68 Eub. d “. §.118. Um ben Eubifinplt einer cpinbrifdpn iRbpe 3 U be* ftimmen, fucp man bie Eubifinplte ber beioen Epinber, bon benen ber fleinere auS bem grogeren auSgefcpitten ift, unb fn&tra!jirt ben Eubif* inplt bež Ileineren EpinberS bon jenem bes grbgeren. 3- S. Eine cpinbrifcp SRope ift 2 cm bicf, unb im 8 pten 8 cm toeit; trie grog ift ip Eubifinplt, menit bie 8 ange 40°“ betragt? grogerer Eptnber ©runbpcp = 6 2 X 3-1416 = ll3-0976O cm Eubifinplt = 113-0976 X 40 = 4523-9 Eub. c “ fleinerer Epnber ©ruttbpcp = 4 2 X 3-1416 = 50-2556O 0 ™ Eubifinplt = 50-2556 X 40 = 2010-2 Enb . cm Eubifinplt ber cpinbrifbpn fRijpe =2513-7 Eub. cm . §. 119. Sine eiplicp gorm, toie ber Epinber, pben bie gaffer; nur pben biefe nicp iiberall biefelbe 9Beite, fie finb in ber Siitfe am i>p gletdj ift ber 8 ange bež gaffeS, unb beffen ©runbpcp ben britten Spil ber @umme auž bem Sobenburcpneffer unb auž bem bopelten ®urd)meffer ber ©punbpcp 3 um ®urd;meffer pt. 3- S. 2Bie grog ift ber Stiplt eineS gaffeS bon 10 dm 8 dnge, toenn ber ®urcf>mef|er am Soben 4-8 dm , unb am ©punbe 5'7 dm betragt? 5Dmpm. am Soben = 4-8 dm SDopelt.SDmpm. am@punbe = 11-4 d ” 16-2 :3 SDurdfm. bež EpinberS = 5-4 dm ©runbpcp bež Epinber« = 7-29 X 3$ = 22-910 dm 3 nplt bes gaffe« — 22’91 X 10 = 229-1 Sub. dm = 229-1 Siter. §. 120. Slufgaben. 1. £>ie Sante eitte« SBtirfete ift a) 7“ , b) 2 -13 m , c) 159 mm , d) l m 2 d “ 5 mm ; teie grog ift m) bie ©berpcp, n) ber Eubif* inplt be«fet 6 en? 70 2. ©udp bie Sante eitteS SBiirfels, beffen ©berptp ift: a) 40344Q CI % b) 22D m 18Q d % c) 50D dm 80'86Q cm . 3. ©udje bie Sante eitteS SBurfebS, beffen Subifinplt ift: a) 29791 £ub. cm , b) 16-003 @ub. dm , c) 1 @ub. m 157 @ub. d “ 621 (5ub. cm . 4. ©te Oberpcp etneS SBiirfeiS betragt 30Q dm ; toie grof ift ber Subifinplt? 5. iBefiinitne bie Sante einež SBiirfefe, beffen 3np(t gieid) ift ber ©umrne ber Snplte jtoeier SBiirfet bon l-2 dm unb 2-l dm San* ienlangen. 6. 2Sie grof ntuf bie Santenlange einer toiirfeffbrraigen ©rube fein, toeitp bopett fo Biet 3nptt pben fott ate eine anbere bon 2-4 m Santentange? 7. ©n recptointligeS ipraMeftipb ift: a) ll dm fang, 6 dm breit, 9 dm pcp b) 4 • 2 dm tang, l-5 dm breit, l-2 dm pcp c) 7 m 15 dm tang, 3 m 72 dm breit, 2 m 18 dm pcp toie grof ift m) bie Oberpcp, n) ber 3np(t bebfelben? 8. SEBie pet; ift ein recprmnffigeS ^aralletepipeb, baž bei 75™ Sdnge unb 36 cm Šreite 21600 @ub. om entpit? 9. 3n einem Srtema betragt a) bie ©runbpcp 150 m , bie ipbp 2 m 4 dm ; b) bie ©runbpcp 2Q dm 25Q cm , bie £>op l dm 2 cm ; c) bie ©runbpp 2-864Q dm , bie f)bp 9 dm 2 om ; toie grof ift ber Snptt bet* pisma? . 10. ®ie ©rmtbpp eine« ptema betragt 31 □ m 780 dm , ber ©ubif* ■ inptt 1 Sub. m 573 (Sub. dra 110 @ub. cm ; toie grof ift bie §op? 11. SBie grof ift bie ©runbpp eittež 4 dm 5 cm ppn pižtna, toeld^e« 124 @ub. dtn 20 Sub. cm 3nplt pt. 12. ©ie |)i>p eine« fenčrtpen ptenta betragt 5 m , bie ©runbpp beSfetben ift ein ©nabrat mit ber ©eite 3 m ; toie grof ift bie ©berpp? 13. SBie grof ift bie ©berpp eine« fenfrepen pristna, beffen ©runb* pp ein 2 - 3 dm langes unb l-2 dm breiteS 9tepec£ unb beffen §8p 3-5 dm ift? 14. ©ie ©eitenoberpp eine« breifeitigen fentrepen ptema ift 17Q dm 87n cm ; bie ©eiten ber ©runbpp betragen 2 dm 2 cm , l dm 4 cm unb l dm l om ; toie grof ift eine ©eitenfante be« ptema? 15. ©ie ©runbptp eine« 5 dm 2 0m ppn ptema ift ein gieipeitigež ©reiecf bon 3 dm 4™ ©eitenlange; beftimme ben Subifinptt. 16. ©ie ©runbpp eine« fenfrecpen pisma Bon 2| dm §>bp ift ein regetmafigeS ©epecf Bon l| dm ©eiteniange; toie grof ift bie ©berpp? 17. Pie grof ift bie ©berpp eineS oierfantigen SSlotfe« Bon 4 m Sange, 6 dm Sreite unb 4 dm ©ide ? 18. (Sin Pafferbeptter ift ein 5 dm pp8 reptoinffige? ^5ara£felepi^>eb, baS gur ©runbpp ein 3teped Bon 7 dm Pnge unb 4 dm ©reite pt; toie grof ift feine ©oben* unb ©eitenoberpp? 71 19 . SBie biel foftet bie (Knfertigung einer tifte mit SDecfel, melcp 18 dm (ang, 15 dm breit unb 8 dm Ijocb fein fo((, menn fiir IG 3 ” 3 fr. gerecpet merben? 20 . ®a 8 miirfetfbrmige ffufjgeftett einer @au(e (jat 1-25“ jur ; metdpu 9?aum nimmt ba$fe(be ein? 23. ©ne 5?a(fgrube ift 2-85“ (ang, r3 m breit unb r24 m tief; mie bie( Subifmeter Ša(f finb barin, menn fie BiS oben angefiidt ift? 24. SJfan mili eine ©rube madjen, mefdje Bei einer 8 dnge bon 10 m unb einer STiefe bon 4 m 2 dm einen Snljaft bon 175 Sub.“ Ijaben fod; mie Breit muf fie merben? 25. 2Bie bie( Sub. m Srennptj betragen 12 Q ra , menn bie @d)eit(dnge 64 cm ift? 26. §iir eine @cp(e braudjte man bisljer 36 fitafter 32jb((igež § 0 ( 3 ; mie bie( Sub. m finb ež? 27. ®ie innere Sante eined ()D(j(en Sffiiirfeld mift 4'5 dm , bie dufere bagegen 4-7 dm ; mie bie£ betrdgt bie innere, mie biel bie aufere Dberpcp? 28. Sine miirfetfbrmige @djad)te(, an melcpr eine Sante 3 dm 2 cm (ang ift, fo(£ mit buntem ^?a^ier uberffebt merben; mie bie( 5Bogen finb erforbertip menn jeber Sogen 3 dm 6 om (ang unb 3 dm 4 cm breit ift? 29. Sin pribmatifdjeS ©efaf bon 9D dm Sobenpcp ift bi$ ju einer §i}|je bon 6 dm 4 cm mit SBaffer gefiiflt; mie grof ift ber ®rud auf ben Soben, menn 1 Sub. dm SBaffer 1 Mogramm miegt? 30. Sin 8 dm IjoljeS Srtema, beffen ©runbpbp ein Ouabrat ift, miegt 135 Silogr.; mie grof ift jebe <2eite ber ©runbpcp, menn jebeS Sub. dm 2‘7 Sitogr. miegt? 31. Sin Sidjenbalfen ift 4-2 m (ang, 9-l dm breit unb eben fo bid; mie (jcdf> fommt berfelbe, menn man 1 Sub. m mit 25 fl. bejaljtt? 32. Sin Saden, metcpr 8 m (ang, 5 dm breit unb 4 dm bid ift, foftet 48f f(.; mie tljeuer ift bamit bab Sub. m bejaljlt? 33. Sin (iegenber Salfen ift O-5“ breit unb O- 6 “ Ijodj, unb pit 2-5 Sub. m ; mie tljeuer ift er,.menn bab Surrent=9JZeter 6 | f(. foftet? 34. Sin @aa( ift 16 m (ang, 13*5 m breit unb 4'8 m Ijodj; mie grof ift bab ©eroicp ber barin befinb(idf>ert Suft, menn ein Sub. m £uft 1-5 tilogr. miegt? '35. SEBie bie( Subiffuf Srbe miiffen aubgegraben merben, um einen ©raben ju erljalten, ber 63 m (ang, ] - 8 m tief, unb oben 2-1“, unten 1 • 7 m breit ift ? -36. 3Bie bie( Sub.' Snljaft Ijat eine Sfaiter, melcp 28“ 5 dm (ang, 1“ (jop nnb unten 6 “ 2 d “, oben 5“ 6 d “ bid ift? 37. Sine 3J?auer, 7-2“ (ang, 4-3“ (;o<$ unb 6'5 cm bid, mirb bon 3iege(fteinen aufgefiipt, beren jeber 4 Sub. dm Ijalt; mie oie( Biegel=> 72 fteine finb erforberlidb, menit fiir fflrudb unb Srganjung h% ge* redbnet merben? 38. Sin 3iegelftein Don 25 cm 8ange, 12 cm Srede unb 5 0m ©ide miegt 14 ®ilogr.; mie grog ift ba$ ©emidp einer Sabnlabung 3mgel* fteine, menn ber Saljn burc^fc^nittlid^ 3-8 m Sreite unb 20 m 8ange bat, unb bie ©teine l - 9 m bodb gelaben merben? 39. Sin Srunnentrog ift 2-3 m lang, 3-2 dm Breit unb 2 - 4 dm tief; mie biel 8iter SBaffer fagt er, ba 1 Siter ein Sub. dm ift? 40. SSeint Sau einer Sifenbabn mirb bte auS einem Sinfdbnitt, meldjer 165 m lang, oben 22 m unb unten 8 m breit, unb 6'4 ra tief ift, ge* monnene Srbmaffe auf ein 25 Sir entbaltenbed ©runbftiitf gleidb* magig oerlbeilt; um mie oiel mirb lepereS baburcb erbbp? 41. 3n einem fenfrecpen Spinber betragt a) ber §albmeffer ber ©runb* flac^e 3 dm , bie Jpblje 5 dm ; b) ber £atbmeffer ber ©rmtbpcbe 1 • 57 m , bie §bbe l'29 m ; mie grog ift m) bie Sftantelpdbe, n) ber Subif* inljatt bež Spinberž? (sr = 3f.) 42. SBie grog ift a) bie Dberpdp, b) ber Spatt einež fetifredpen, 2 12 ra bopn Spinberg, beffen ©runbpdbe 1-88'” jum ©urdb* meffer bat? (« = 3-14.) 43. Serecpe bie Dberpdbe eineg fenfredpen SpinberS, beffen §3be 7-5 dm betrfigt unb beffen ©runbpdbe 17'4 dm jum Umfange pt. (sr = 3-14.) 44. ©ie 3Jtantelpd^e eineg fenfredbten Spinberg ift 488 - 4Q dm , ber ^albnteffer ber ©runbpdbe 5 dm ; mie grog ift bie§3p? (sr = 3-14.) 45. ŠBie grog ift ber ^albmeffer ber ©runbpdbe eineg fenfredbten Spinberg bon l-5 m $op, menn bie DJtantelpdbe 1-1386G” betragt? (sr = 3£.) 46. einem fenfredbten Spinber Betragt bie ©berpcp 28 - 9665G dm , ber Umfang ber ©runbpdbe 4'7l dra ; mie grog ift bie £)olje beg Spinberg? (sr = 3-14.) 47. ©er -Snbalt eineg Spinberg ift 37-268 Snb. dm ; mie grog ift bie f)bp, menn ber ©urcbmeffer ber ©runbpdbe 3-7 dm betragt? (sr = 3-14.) 48. Sin 4 dm 3 cm bob« Spinber bat 20 Sub. dm ffrtbalt; mie grog ift ber ipalbmeffer ber ©runbpcbe? (sr = 3f) 49. 333ie grog ift a) bie Dberfladbe, b) ber Subiftnbalt eineg gleicb* feitigen Spinberg, beffen ©eite 2fV” betragt? (sr = -ff-f.) 50. 3n einem gleicbfeitigen Spinber ift ber ©urdbmeffer 0 2 m ; mie berbaft ficb bie Slfantelpdbe jur ganjen Dberpcbe? 51. Sine SBalje bot' 6 dm ?ange unb 9 cm ©ide; mie grog ift ipe ■šKantelpcp? 52. SBie oiel G 4111 59Iedb braudp man ju einem pPen Sledbcpinber, melcber 3 - 2 m lang unb 12 cm meit merben foll? 73 53. Sin einem ®ebaube fotten melfrere ci^inberformige Slbflujjroifren angebra^t toerben, toeldfte 8 cm im ©ur^meffer unb pfammen eine 8ange con 4'8 m baben; toie »iet O 1111 Sledb braucbt man bap? 54. ©n c^tinbrif^ež ©efafj fafft 35 Siter SBaffer; toie biel SBaffer fafft ein ®efdfj, beffen Stužbelpungen bofpelt fo grofi finb? 55. SBie toiet Sub. dm SBaffer fdfmfft eine iPunpe bei jebem §ube in bie £obe, toenn ber ©urdjimeffer bež ©tiefete im Sic^ten 21 0m unb ber fmb 4 - 2 dm betragt? 56. Sin ©runnen ift r4 m toeit; toie biel Snb. dm (Citer) SBaffer finb in bemfeiben, toenn ba$ SBaffer 5'2 m ^od^> ftelft? 57. Sin runber Saumftamm bon 2 m 3 dm Sange unb 66'“ ©ide toirb mit 88| fl. bepblt; toie t^euer toirb ba$ Sub. m geredfmet? 58. Sin Sarren ©itber bat 0-4 dm im ©urdtmeffer unb ift 5 dm lang; toie biet ift er toertb, toenn 1 Sub. dm ©ilber 945 fl. foftet? 59. SBeld^eS ©etoid^t bat ber in 58. beftimmte Sarren, toenn ©ilber 10|mat fo fdftoer als bač SBaffer ift uno 1 Sub. d “ SBaffer 11'ilogr. toiegt? 60. SBie oft toirb fid> cine SBatje um ilfre Sicfife bremen miiffen, toenn ein @tiid gelb bon 200Q m gang iibertoaljt toerben foli unb bie SBalge l’5 m lang ift unb 3 d01 im ©urcbmeffer bat? 61. Sei einer cf>linbrifdf>en £R6f;re, toelc^e 5 cm bid ift, betragt ber innere L ©urdfmeffer 18™ unb bie Jpobe2'85 m ; toie grofi ift ilfre innere unb ibre auffere SJlantelflacbe ? 62. Sine cftlinbrifc^e 9ibbre ift 32 dm lang unb im Srtnern 1 • 4 dm toeit; toelcfien Subifinbalt bat biefelbe, toenn ibre ©ide 5™ betragt? 63. Sin f ipferner 9iing bat 6 i cm dufieren, unb 48 cm inneren Umfang, feine Ipcf/e ift 4 cm ; toie grofi ift fein Subifinbatt? 64. ©ie £bbe eineS cfylinbriic$en St^urmeS, beffen aufierer Umfang 13“ ift, betragt 7'2 ra , unb bie ©ide ber iDiauer 86 cm ; toie biel Sub. m 311auertoer! entbatt ber £fyurm? 65. Sin Saden bon 5'2 m 8ange, 3 dm Sreiie unb 2'6 din £tobe ift nacb ber Sange cfttinbrif^ auSgebbbtt; toie grof? ift fein Snlfalt, toenn ber ©urcbmeffer ber fpoblung 18™ betragt? 66. Sin SKiifftftein ^>at l'5 m im ©urcbmeffer unb ift 3 dm bid; bie innere quabratifd;e ©effnung ift l dm toeit: toie biel Subifbecimeter ©tein ent^alt berfelbe? 67. 2M$en ©rud erleibet ber Soben einež c^Iinbrifcfien ®efajie§ bon 3 ■ 2 dm ©urcbmeffer bei einem SBafferftanbe bon l m 2 dm ? 68. -Sn einen ct;tinbrifd;en SBafferbebaiter bon 6 d,n ©urdpieffer toirb ein ©efaji bon 2 Citer Snbalt 15mat geteert; toie bb bie beiben Ourdbfcputte. Oarauž fofgt, bag jtoei Ipramiben, toeldp gleidp ©runbpdp unb biefelbe tpbp pben, gegen bie ©pip ju gleicfjmagig abnepmen, bag fie alfo in jeber §5p audf eiue gleicp SSBeite pben, unb fomit gleidp Dlaume einfdfjliegen. 3toei ^3^ramiben, toeld^e gteic^e ©runbflac^>e unb gleid^e §)iJIje ^aben, finb alfo einanber gleip §. 123. S§ fei ABCDEF (gig. 106) ein breifeitigež $ri8ma. Ourpcpneibet man baSfelbe bureki bie Sbene AEC, fo jerfallt eS in 75 gig. 106 . bie breifeitige fPbramibe E ABC itnb in bie oier* fettige EACFD. ©urd? bie ©bene CED toirb bie te^tere toieber in jtoei breifeitige ‘Pbromiben EAOD unb ECDF jerfegt, fo bajj bab breifei* tige f}$ri«ma au« brei breifeitigen fPbramiben jufara* mengefe^t erfcbeint. ©« tagt ficb nun jeigen, ba§ biefe brei ipramibett einanber gteicb finb. "Cie fPbrantiben E A CD unb ECDF boben niimticb gteicbe ®runbpbbe, finb alfo einanber gleitb- @8 finb fomit atte brei ^ontiben unter einanber gteicb, baber ift bie breifeitige iPb* rarniee EABC ber britte ObeD be« fPriSma ABCDEF, metcbe« mit ber '»ptjratttibe gteicbe ©runbftacbe unb gteicbe £)ijbe bot. ©a nun ber ©ubifinbatt eine« $ri«ma gteidb ift bem iprobucte au« ber ©runbpcbe unb cer §i>be, fo fetgt: © er ©ubifinbatt einer breifeitigen ^3t;ramibe ift gteicb bem fprobucte auS ber ®runbftaerfladj>e? Urnfang ber ©runbpbbe = 2 8 X 3'1416 = 8-7965 dm 3Jiantelpcbe = 8'7965 X 2 = 17 -593Q dm ©runbpbbe = 8'7965 X 0 7 ---- - 6-1575p dm DBerpcfie = 23'7503D dm = 23D d “75D-5L] m -. gubifinbalt eine« Segel«. §. 125. X)a ein Segel al« eine ipramibe, beren ©runbpcbe ein regelmajjige« 33ielec£ bon unenblicb bielen ©eiten ift, betrapet toercen fann, fo folgt au« §. 123: ®er Grubifinbalt eine« Segel« ift gleidb bem Srebnete au« ber ©runbflacbe unb bem britten Sllfeile ber Sobe be«* felben. ŠBebalten r unb s bie obigen 33ebeutungen, unb briitlen h unb c bejiiglicb bie §5b e unb ben Grubifinbalt be« Segel« au«, fo ift o h . r 2 h?r c == x z 7c.— t cber c == —r—. o o ffiir ben fenfrepen Segel ift h = |/s 2 — r 2 , bapr 3m glepfeitigen Segel ift s = 2 r, bapr r 3 * n /n e — 3 V 6. 3ft g. SB. ber ^albmeffer ber ©runbpp 7 CIU , unb bie §blfe fce« 6 cm ; fo bat man ©runbpp = 7 2 X 3 14 = 153-86[H C!n gu 6 ifinbalt be« Segel« = 153-86 X I = 307'72 Sub. c “ §. 126. Slufgaben. 1 . SBie grofi ift bie ©eitenoberpp einer fenfrepen fiinffeirigen ramibe, beren ©eitenbip 9 dm betragt unb beren ©runbpp 8 dm jur ©eite but? 2 . 3n einer fenfrepen iPb rctm ^ e ift bie ©runbpp ein Cluabrat bon l m 3 dm Seitenlnnge; toie grofi ift bie Oberpp ber ippa* mibe, toenn beren ©eitenbip l m 8 d,n betragt? 3. fin einer fenfrecbten fPbramibe mit guabrattfpr ©runbpp be= tragt bie ©eitenoberpcbe r036D m , bie ©eitenbp 1'48 '“; toie grog ift eine iJpe? 10. ©er (šubifinpalt einer 7 dm 5 cm popen fppramibe mit quabratifcper ©runbpcpe ift 40 ©i&. dm ; toie grog ift eine ©eite ber ©runb* pcpe? 11. ©a§ ©acp eineč ©artenpaufeS ift eine acptfeitige ppramibe, beren ©eitenfante l m 5 dm ift unb beren ©runbpcpe l m sur ©eite pat; eS foH mit Sfupfer eingebecft toerben; toie biel G m Supferplatten Braucpt man basu? 12. ©ie fppramibe be$ ©peops bei ©pij in (šgppten ift nacp ben neueren fOteffungen 149™ pocp; bie ©runbpcpe ift ein Ouabrat bon 233™ ©eitenlange; toie grofi ift ipr ©ubifinpalt? 13. ©ne bierfeite Ppramibe, beren quabratifcpe @runtffacf;e 4™ 6 d ™ im Umfange pat, ift 1™ 5 dm pocp; toie grog ift p ©etoicpt, toetm bas ©tB. dm 2 - 7 Siiogr. toiegt? 14. 3Bie btel toiegt eine breifeitige, 8 dm pop ppramibe au§ ©ugeifen, toenn jebe ©eite ber ©runbpcpe 2 • 8 dm Betragt, unb toenn 1 ŠuB. dm ©ugeifen 7'1 $ilogramm toiegt? 15. SECie pocp fcmmt eine ppramitale' ©enffaule auS ©ranit, beren £i}pe 5 ■ 2™ Betragt unb beren ©runbpcBe ein Ouabrat bon r2 m ©eitenlange ift, toenn bas ©ib.™ mit 168 fl. 20 fr. Besaptt toirb? n 16. 3n einem fenfrecpten ®egel Betragt a) ber £>aI6tneffer ber ©runb* pcpe 3’81 dm , bie ©eite 5 - 26 dm ; b) ber ^albmeffer ber ©runb* pcpe 1™ l dm 9™, bie ©eite 2™ 2 dm 2 cm ; toie grog ift m) bie fUfan* telpcpe, n) bie OBerpcpe be§ Segel«? (n = 3* 14.) 17. ©eftimme bie 06erpcpe eines fenfrecpten, l| m popen Segel«, beffen ' ©runbpcpe a) 1™, b) 8? dm , c) 5 - 5 dm sum ©urcpmeffer pat, (* = 3f.) 78 18. SDie ®runbp

8p 5 dm 8 C ®, eine ©eite 6 dm 4 cm ; toie grog ift ber gubifinplt? 29. 35Bie grog ift bie Dberpp eine« glepfeitigen Segel«, beffen @ebe 5 dm ift? 30. ©up ben gubifinplt eine« g(eitf;feitigen Segel« bon 2-142® ©eiteulange. (n = ff|.) 31. 5Da« fegelforape 5Dad) eine« Stprme«, toelp« 3-8 m ©eitenlčinge unb unten 3-2® im SDurcfimeffer pt, foH mit Supferbledj einge* becft toerben; toie biel Q® $8kč) branat man baju? 32. gin fegelformiger £riper pt 2 • l dm ©urcgmeffer unb 2• 8 dm ©eiten* lange; toie biel O 11 ® Sled) ift baju erforberlid) ? 33. gin §ut fpcfer pt 5 8 d ® $5p unb in ber ©runbpp 2‘6 dm 2)ur$meffer; toie grog ift fein Snplt? 34. gineEanne, toelp einem Segel gteip, pt am untern gnbe 6'2 dm im ®urcfymeffer unb ift 18® pp toie biel gubifinplt pt fie? 35. SBie biel toiegt ein 2 d ® ppr ©lažfegel, beffen ©runbpp l-8 d ® im SDurc^meffer pt, toenn 1 gub. d ® ©la« 2'8 Sitogr. toiegt? 79 36. ©n Segel »on SUfeffing, toeld;er l-62 dm l)e$ ift, toiegt 3-56076 Silogr.; toie grog ift ber gtalbmeffer ber ©runbpcbe, toenn 1 (5ub. dm 9Jfeffing 8 - 4 Silogr. toiegt? (» = 3-1416.) (f) 37. be eine« gittrirtriperž »on 2 dm ©nrcb* nteffer fein, bamit er genau ein Siter pite? 39. (Sin aufgefdfiitteter Sornbaufen bat bte gorat eine« Segel«, beffen £>i'be l-7 m nnb beffen Utnfang ara Soben 10-5 m betragt; toie »iel ^eftoliter Sorn entbalt ber ipaufett? Q 40. (Sin Segel bat 3 • 2“ jur @eite unb eine ©runfcpcbe »on 1 • 2 m §albraeffer; a) toie »iel SDteter 85 cm breite« 3 eu 8 ift ju feiner Sefleibung nipig; b) toie .tbeuer foramt bie Sefleibung, toenn 1 Sieter $eug 1 fl. 85 fr. foftet? 3. 2tu«meffung ber abgefiirjten ^3^ramtbett unb Segel. Dberftacbe einer abgefiirjten iPbramibe. §. 127. Um bie Dberpdje einer abgefiirjten Pramibe ju er® balten, beftimmt raan jnerft bte ©eitenpcpen at« Srapeje, nnb abbirt ju ibrer ©urarae bie beiben ©runbpcben. 3- S- ®te untere ©runbpdfe eine« prantibalftumpfe« ift ein gteicbfeitige« ®reieramibe. §. 128. Um ben (Subifiubatt einer abgefiirjten ^3 ^ r ant ib e ju finben, beftirame raan bie SiJrperinbalte ber beiben Sp^ramiben, beren ®ifferenj ber pramibalftumpf ift, unb fubtrabire ben 3nbalt ber flei* neren iPbramibe »on jenera ber grbgeren. 80 3- S. Sei einern ipramibalftumbfe, beffen ©runbpcben Ouabrate ftnb, betrčigt eine @eite ber untern ©rmtbpcp 2.9 m , eine <3eite ber obern ©runbptp 2' l m , bie Jpotje 2’4 m ; mie grofi i(t ber ©ubifinptt? grizete *p»ramtbe ©runbpdp = 2'9 2 = 8’41Q m » = 2^&I X 2-9 = 8-7” ©ubifinplt = 8-41 X -^ = 24'389 Sub. m ; O ftetncre *f3i)ramibe ©runbpcp = 2-1 2 = 4-41Q m » = X 2-1 == 6'3 m ©ubifinplt = 4 41 X Ap = 9 261 ©ub. m ©ubifipalt bež iPtyramibaifiumf)fež = 15-128 ©ub. m . Dberfladfte einež abgefiir^ten $egelž. §) 129. ®enft man fid) (gig. 107) bie 2J?antelpdp einež fenf* redpelt Segelftnmpfež auf eine ©Bene abgemitfelt, fo erfd^eint biefelbe gig. 107 . alž baž @tM einež Sreižringež, beffen So* gen ben Umfangen ber beiben ©runbpdfen glep finb, unb um bie @eite bež $egel« ftumpfež »on einanber abftepn. 3Mefe8 iRing* ftiid fattn nun auž unjatflig »ielen Sramen jufammengefep betradftet, unb batjer beredfj* net toerben, menn man in febem biefer £ra= beje bte @umme ber beiben prallelen ©eiten, b. i. jrceier gegeniiberftepnben SogcnftMe, mit bem ptben 2Ibftanbe, b. i. mit ber plben @eite bež Segelftumpfež mnltiplicirt, unb biefe Sirapejpcpn abbirt; ober, maž einerlei ift, menn man fogfeid) alte gegentiberftepnben SogenftiicEe, b. i. bie Umfange ber beiben ©runbpdfen abbirt, unb ibre ©itmme mit ber plben @eite bež Segelftumbfež multipricirt. ®arauž folgt: ®ie2RanteIftadbe einež abgefiirjten f enfredften ®egelž ift gleicf) bem Srebnete auž ber Smtirne ber UmfSnge ber beiben ©runbfldcben in bie Jfalbe @eite. SBerben ju ber 3J?antelpcp ned) bie beiben ©runbpcben abbirt, fo erplt man bie ganse Dberftčicbe. 3-S.£)ie£)al6mefferber®runbpd)en einež fen!red)ten$egelftumi>fež finb 9 dm unb 6 dm , eine @eite betrdgt 4 dm ; mie grofi ift bie Dberpdje? llmfang ber unteren ©runbpdp = 18 X 3 14 = 56'52 dm „ „ oberen „ = 12 X 3-14 — 37-68 dm 94-2 dm ORantelpcp = 94'2 X 2 = 188 -4 Q !m untere ©runbpcbe = 56’52 X 4'5 — 254-34D dm obere „ ' = 37-68 X 3 = 113-Q4D d m JOberpcp = 555-78Q dm . 81 ©ubttinljalt e i n e S abgefiirgten Segel«. §. 130. ®er Subifinbalt etne« abgeffirjten Segel« toirb befttmmt, tnbent raatt bie (Subifinbalte ber beiben Segel, beren SDifferenj ber Segetftumgf ift, beredpet unb bon etnanber fubtraljirt. Šte grog ift 3 . S. ber 3nplt eine« Segelftumpe«, beffen £)bp 3 • 5 dm betragt, unb beffen ®runbpcpn 5 dm unb 4 d “ ju ©urcfitneffera pben ? griigerer Segel ®runbpcp = 2’5 2 X 3-14 = 19’625D dm $S$e == ^ 7^2 X 2 ' 5 = 17 ' 5dm Subifinptt = 19'625 X = 114‘479 nteffer pt? ©etradjtet man ben ©aumfiamnt at« einen abgefiirjten ffieget, fo er* balt man 2-212 ®u6. m als beffen itorperinbatt. 3n ber pari« begniigt man ftcO babei jebod) gett>Bfmtidj mit einer 6lo« angenafjerten ©efiimmuiig unb temnet ben ©auutflatnm at« einen (Sijtinber, beffen $i)be gteid? ift ber Pange unb beffen ®runbpd)e gleidj ift ber plben ©umme ber beiben ©cpittpcben be« ©aumpmme«; man erfjatt nadj biefer Stnnabme fiir ben obigen ©aurn* flamrn 2-277 ®ub. m at« 3nbatt. 17. ©n Saumftamm ift am untern (šnbe 64 cm , am obern 36 cm bid; trie lang ift er, trenn er 11 ©tb. dm 434 @ub. cm 167 £ub. mm pit? 18. ©n Sraubottp pt oben im Sicpen einen ©urdpeffer ron l-8 m , unten bon 2-2 m , unb ift l'5 m pp trie biel |>eftoliter pit er? 4. SluSmeffung ber regelmčtffigen f|3opeber. §. 132. SJBie bie Dberpp unb ber 3nplt einež gtejaeberg ober SBiirfelg berepet trerben, ift in §§. 110 unb 111 gejeigt tnorben. (ES bleiben bapr nur bag STetraeber, Oftaeber, Dlofaeber unb ©obelaeber ju betrapen iibrig. 83 ®ie DBerpcpen be<3 £etraeber8, Dftaeberč unb OfofaeberS 6e* PBen auž lauter gtetc^feitigen ®reiecfen, unb lonnen nad; ben Bister borgetragenen 8eBren Berec^net merben. @enn man bie erfteren Bejiiglp mit ber jmeiten ober britten potenj ber gegeBenen Sauten multiplicirt. $. 23. 3ft bie Kante eines ®obe!aeberd l dm , fo ift bie OBerftad^e = 20-64573Q dm unb ber 3nBalt = 7-66312 @uB. dm ; fiir ein ®obe= faeber, beffen Kante 3 dm ift, ift baBer bie DBerpcpe = 20-64573Q dm X 9 = 185-8l2D dm , ber SuBifinBalt = 7-66312 SuB. dm X 27 = 206-904 @uB. dm . §. 133. SlufgaBen. 1. ®ie Kante eineS ®etraeberž BetrSgt 5 dm ; mie grof ift a) bie OBer* pcpe, b) ber SnBalt beSfel&en? 2. 3n einem Dftaeber ift eine Kante 0 ■ 08 m ; Beftimme bie DBer* ptBe bežfelben a) nad; ber obigen STaBelle, b) burcB Seredfmung ber gleibBfeitigen ©renjbreiede. o 3. SBie grof ift a) bie DBerpcpe, b) ber (šubilinBalt einež Sfofaeber« bon 0'6 dm Kautenlange? 4. 333ie grof ift a) bie ©BerpcBe, b) ber Spalt einež ®obefaeber8 bon 4 cm Kantenlange? 5. ®ie 06erpd;e eineS ®etraeber$ ift 27-7l2n dra ; mie grof ift jebe Kante bežfelBen? 6. ®er SuBifinBalt einež Sfofaeberž ift 4-261 @uB. dm ; mie grof ift eine Kante? 5. SluSmeffung ber Kugel. DBerfldcp einer Kugel. §. 134. SBei ber 23eftiramung ber £)Berflad;e ber Kuge! mirb e« am jmedmafigften fein, ba$ 9?efc berfelBen ju $itfe ju neBmen. 6 * 84 Sft gig. 108 bo« nacft §. 108 au«gefprte Ste^ einer tugel botre ©urdjmteffer CD, alfo AB bern Umfange eine« grcglen treife« gteicp unb A M nap f be« ®urdjmeffer«, fo ge6en bie linfenfbrmigeit gigurere gtg. 108. Ampr, pnqs, .... jufammen feljr angenaprt bie gonje Sugelober« pcp. !i)iacp tnan nutt A C unb A D gleict) bem ^albmeffer ber gugeR unb cenflruirt bo« 9tecped! CDEF, fo entplten bie 8infenfiMe amb, cnd,... nap biefelben glacpnraunte, toie bie-Sefianbipile bpc,dqe,... be« Ped)tede«. fDfan toirb alfo gctotjf nicp ferne bon ber Sappit fein, toenn man anftalt ber giguren amb, cnd,... bte giguren bpc,dqe,... fefct, troburd) fid) bte Dbetpcp ber Suget in bie glčicp be« Pecpedie«. CDEF oertoanbelt, beffen ©runbpcp DE bem Umfange eine« grBfjten Greife«, unb beffen §>op CD bem ©urcpneffer ber tugel gleicf) ift. ®a nun ber gldcpninplt biefe« Peddede« bem ipobucte au« bem Umfange eine« groben Greife« unb bem ®urc§meffer glep ift, fo folgt: ®ie $ugelo'f>erflac$e ift gteicf) bem iProbucte au« bem Umfange eine« gropen treife« unb bem ®urcfymeffer. Srt ftienge Setoeis fiir biefen ©atj, beffen angenaljerte 3t jtigfeit fcier burdj eine anfdjaultcbe Sonftruction erfamit »utbe, ge^Brt in bte geometrije Sffitffeit* ^aftSletjre. @« fei j. 33. 8 cm ber ®urd)meffer einer Suget; toie grog ift ifjre D6erpcp? ®er Umfattg eine« groben Greife« ift 8 X 3*14 = 25 - 12 cn V bapr bie Cbetfldcp 25’12 X 8 = 200-96D cm . §eijjt o bie ©berpcp einer $ugel, unb r ip §al6tneffer, fo ift o = 2 r it X 2r, ober o = 4r 2 jr. ©a r 2 jr ben gladpninplt eine« grijgten treife« oorftellt, fo fantt man aucf> fagen: ®ie ©berfladje einer tugel ift gleicft bem4fad)en gla= dfteninlfalte eine« grcfjtett treife«. 33eteutet O bie Cberpcp, unb R ben Jpalbmeffer einer jtoeiten tugel, fo ift O = 4R 2 sr; mitpn O : o == R 2 : r 2 ; b. p ©ieCberfladtenjtoeiertugeln berffatten fic^ fo gu ein= anber, toie bie jtoeiten ^otenjen il;rer §albnteffer. §. 135. 31u« ter befannten Obetpdp einer tugel fann ber §>albmeffer beftimmt toerten. (g« ift nam(icf) bie Oberpcp ta« ^rc--- buct au« ber 4fad;en Ptbelpifcpn pp unb bem ©uabrate be« §>alb» 85 mefferž. SBirb baljer bie ©berpc^e burcp bie 4facpe Subofb^tfc^e &afyt bibibirt, fo erpit man baž ©uabrat bež gmlbmefferž junt Ouotienten; um ben ^albmeffer felbft ju finben, barf man bann nur auž jenent ©notienten bie ©uabrattourjet aužjielfen. @ž ift alfo r = }/ 0 . y 4 71 3- ©• 2Bie grof; ift ber §>at6meffer einer Sugei, beren OBerflad^c 10Q dm betragt? 4® = 12-566; 10 : 12-566 = 0 7958 y 0-7958 = 0 • 89 dm . (Subifinljatt einer Sugei. §. 136. SEBenn man burdf) ben Dttittelpnct einer fuge! unjafflig biele (tbenen fegt, fo toirb baburcb bie $ugel in unenblicp biete pra* mibenartige Sorper jeriegt, toetcf>e fidj befto mebr ^pramiben nSljern, je Heiner bie ©tiidfe ber Šlugeloberpcpe fiitb, bie i^nen jur (Srunbpdbe bienen. fjiir eine fott^e, mit einer unenbtidj tieinen ©rnnbpcpe ber* feljene ^pramibe lann man ben SugeUfaibineffer alž £>&be anneprnen. ©en Snijatt aCer biefer $pramiben finbet man nun, toenn man febe einjelne ©runbpcpe mit bem briften ©Ijeife ber gemeinfcpafttitBen §>ope, b. i. bež ŠJugetifatbinefferž muitipticirt, unb bie gefunbenen Sffiertpe abbirt; ober liirjer, toenn man fogleicp alle ®runbpd;en abbirt, unb biefe @umme, toeicp bie $ugeioberpcf>e gibt, mit bem britten £lfei(e bež ipalbmefferž ber Sugef muitipticirt. ©er Eubifinpalt einer Sugel ift alfo gieicfj bem tprc* bncte auž ber ©berftadpe berfelben unb bem britten Speite bež ipaibmefferž. 3. S. giir eine Shtgei, toeidje 4 dm im ©urbfmteffer pat, ift bie ©berptpe = 4 X 2 2 X 3-141 = 50-26D dm , baljer ber Sorperinljait = 50 -26 X ! = 33 '51 trb ež auf einem Srbglobuž einnegmen, ber 4 dm £)urcgmeffer gat? 17. ®er Durcgmeffer einež Srbglobuž ift 5 dm , ber einež anbern 4 dm ; toie »iel O' 1 ” ifJapier ift nbtgig, um beibe ju iiberjiegen? 18. 2Ste »tel □2J?eilen gat bie Dberpcge bež SKonbež, beffen £>urp meffer 4684- 2)Wlen betrdgt? 19. 5£>er ©urcgnteffer bež planeten ORercur Betragt 671 SReilen; tete grog ift bie Oberpcge bežfelben? 20. 2Bie grog ift ber 3ngaft ber Srbe, toenn uran biefelbe alž »oll* fommene ®ugel betracgtet, beren £)urcgmeffer 17194 geogr. SReilen betragt? 21. @udge ben Subifingalt a) bež SRonbež (Slufg. 18), b) bež 2Jier* cur (Slufg. 19). 22. ®er ©urcgmeffer ber ©onne ift 112,lmal fo grog alž ber iSurcg* meffer ber Srbe; toie »ergdlt fid^ ber Subifingalt ber ©onne ju bem 3ngalte ber Srbe? 23. SSie »iel toiegt eine Sanonenfugel »on 12 cm SDurcgmeffer, toenn febež Subifbecimeter 7-2 fiilogr. toiegt? 24. Sine jTrinffdgale, toelcge eine gogle §atbfugel bitbet, gat 8 cm ®urcgs meffer; toelc^ež ift igr Sngalt? 25. 28ie »iel □“ ®upfergfatten finb jur SebetJung einer tupel er* forberlidg, toefdge eine £>albfugel »on 9 m ®urcgmeffer »orfteHt? 26. SDaž Stužmaglen einež galbfugelformigen ©etoolbež »on 4’l m §alb* meffer toftet 254 P-j ro ' e lx '* rb ba§ ^ a ^ en f“ r ] D m 8 e ’ recgnet? 27. 5Der dugere !£)urcgmeffer einer ^toglfugel ift 3 dm unb ber innere 2 - 9 dm ; toie grog ift igr Subifingalt? 28. 9Benn man ben ®urcgmeffer ber Srbe = 17194 5D?eiten unb bie £>oge igrer Sltmofpgare = 11 HReilen fegt, toie »iel Sub.=3Jteilen Sngalt ergdlt man fiir bie 2ltmofpgdre?- §.%oi>z 6. Služmeffung unregelntagiger Sorger. §. 139. 3ur 33eftimmung bež Raumingaltež mancger Lorger, befonberž ber ganj unregelmagigen, reicgt baž rein geometrifcge 33er* fagren nicgt auž; man rnug babei ju anberen ©erecgnungžarten gupcgt negmen. Sluf eine ganj einfadge 3Beife t»irb ber Subifingalt einež belte* bigen Sbrgerž mit$ilfe einež grižmatifcgen ober cglinbrifcgen ©efagež beftimmt, beffen ©runbpcge belannt, unb an beffen innerer ©eitentoanb bie £oge in jDecimeter unb Sentimeter eingetgeilt ift. 2Ran legt namlicg ben jn mejfenben Sbrger in ein folcgež ©efag, fiiHt biefež mit 88 SBaffer fo bod), ba§ ter Iborper ganj bon SBaffer bebedt ift, unb merft fid; bie §iSI?e beS SBafferftanbeS; pierauf mirb ber Sorper perauSge* nomtnen, unb bie £olje beg nun niebrigeren SBafferftanbeS gelefen. ©er @ubifint;aft bes ju beftimmenbeu SbrperS ift nun gtei<$ bern Snljafte eineS priSmatifdfen ober cpfinbrifd)en ŠorperS, meldfmr mit bem ®efajje gfeicpe ©runbftacpe Ijat, unb beffen §Blfe ber ©ifferenj ber beiben SBafferftdnbe gfeicf) ift. SBenn ber ju meffenbe Scrper baS SBaffer ein* faugt, fo fann man fidf beS e unb ber f)8lfe bes SBafferS ben gefud;ten ffnftalt. §. 140. ©er Snbifinpait eineS SorperS fann aucf> mittefft bes ®emidfte§ beSfefben beftimmt merben. ©ie ®rb§e beS ©rudeS, beit ein $brper bon beliebigem 9?aum* inbafte auf feine Untertage auSiibt, f>eigt bas abfotnte ®emidft beS SorperS. ©as ©emicpt, bas eine Snbifeinf;eit, j. 23. ein (Subifbecimeter, fceS SorperS Ijat, nennt man beffen fpecif ifdjeS ®emicf>t 3- 1 £ub. dm ©iiber miegt 10'51 Sitogramm; biefe finb baS fpecififdje ®e* ibidjt beS ©itberS fiir 1 (5ub. dm afS Subifeinpeit. ©a 1 @ub. dm beftiflirteS SBaffer 1 Siiogramm miegt, fo entljdft baS fpecififdje ©etuid^t eineS SbrperS fiir 1 @ub. dm audj bie SIngabe, tbie biefmaf fo grog ats baS ®emicfyt eineS beftimmten 9taumtf;ei(es reinen SBafferS baS ®emicf>t eineS eben fo grogen 9faumt|eifeS beS betreffen* ben SorperS ift. (Sjjectfiftge ©emidfte einiger Uiirpet. 1 (šubifbecimeter Sffabafter.miegt 2 • 70 Sifogr. 23ernftein. „ 1-08 „ 23fei. „ 11-35 „ 23ucpenfmfj- „ 0-74 „ (Sidjenpofj. „ 0’86 „ (5ifen,gefdjmiebet „ 7-79 „ Grifen, gegoffen.. miegt 7-12Siiogr. (Slfenbeirt. „ 1 - 83 „ gid&tenljofj - „ O'47 „ ®olb.. 19-36 „ ®ranit(im3KitteI) „ 2 70 „///« ftoBftein. e'0-46J///X /j v 89 tiefernpofj-toiegt 0*52 ^ilogr. torfpclj. „ 0 24 „ fupfer gepammert „ 8-88 „ „ gegoffen. „ 8'79 „ Marmor. „ 2'72 „ SKeffing (t. SUiittet) „ 8-40 „ platin. „ 21-45 „ OuedfftfBer- „ 13 60 „ ©ilBer.toiegt 10 51 Mogr. ©teinfopfe (im ©ž fei j. S. ber SuBifinpalt einež (SitBerBarrenž, ber 32 Mo* grcmtm toiegt, ju beftimmen. £>a 1 SuB. dm @ilBer 10 51 Mogr. tciegt, fo neumen 32Mogr. @ilBer fo »iet Su6. din 9faum eiit, alž lote oft J O • 51 Silogr. in 32 Mogr. entpaften finbj man pat baper 32 : 10-51 = 3 045 Su6. dm . ®er SuBifinpalt einež Sorperž in SuBifbecimetern toirb bemnadp gefunben, inbem man baž aBfofute ©etoidpt bežfelben in Mogranttnen burdp baž fpecififcpe ©etoicpt fiiv 1 Su6. dm bibibirt. Umgefeprt finbet man auž bent ©ubifinpalte eittež Sorperž baž aBfolute ©etoidpt bežfelben, inbem man beffcn fpecififc^es ©etoic^t mit bev fDtafjjapl bež in ©ub. dm aužgebriicften SuBifinpaltež multiplicirt. Šft j. 58. baž aBfotute ©etoidpt bon 225 SuB. dm £D7effing jn Beftimmen, fo pat man 1 ©ub. dm 3Weffing toiegt 8-4 Mogr. 225 „ „ tbiegen 8 4 „ X 225 = 1890 gitogr. §. 141. SlufgaBen. 1. 3n ein prižmatifdpež ©efag bon 47 cm Sange unb 32 cm Sreite, toelcpež jum Stpeil mit SBaffer gefiitft toar, teurbe ein unregel* mafšiger Sorper gefenft, fo ba§ ipn baž SBaffer bebecfte; baž SBaffer ffattb bann 36 cm pocp. 9tadpbem man ben Mrper perauž= genommen patte, ftanb baž SBaffer nodp 24 0m podp; toelcpen ©ubif* inpalt pat ber ŠBrper? 2. ©in cplinbrifdpež ©effifj bon 3 dm SDurdpnteffer unb 4 dm §Bpe, toorin fidp 2-7' Jm podp SBaffer Befanb, mar, nacpbem man einen uuregel* maligen Mrper pineingelegt patte, gerabe gefiillt; tbie grofi mar ber SuBifinpalt biefež Sorperž? 3. SB3ie grog ift ber SuBifinpalt einež ©efdfeež, baž leer 1-5 Mogr., mit SBaffer gefiillt 14’8 Sitogr. toiegt? 4. 5£Bie biel Mogramm toiegt baž SBaffer, baž in einem ©efage bon 165 cm Satige, 85 cm 58reite unb 7 dra £iefe entpalten ift? 5. ©in ©tiidf 58lei toiegt 24 3?ilogr.; toelcpež ift fein SuBifinpalt? 90 6. SBetd^en 9taumint?att tjaben 29 Sitogr. @itber? 7. 33Bie biet @ub. om Ijat ein 2?erein«ttjater, ba er g 1 ^ Sitogr. ramtbe ift ein <3ebf>«e(f bon 0 26 m @eitentange; toie grog ift bie tante eine« Siirfet« bon gteicfiem Cfnlfatte? 91 4. gin SBiirfel uttb eitt Sfofaeber BaBen l-4 dm jur Sante; tote ber* ^atten ficB iljre OberfTac^en ju einanber? 5. gin fenlrecBter ^g^linber Bat eine ®runbflad)e bon 3 dm ©urdB* meffer unb jur §BBe 2 dm ; ein anberer Bat nur r6 dm §i>Be unb mit bem borigen gleidje SJfantelflacBe; tbie gro§ ijl bet bemfel&en ber ©urcBmeffer ber Orunbffac^e? 6. gin gteid^feitiger Segel Bat 3 dm ©urdBmeffer; tbie grog ift bie @eite eitteS SBiirfel«, treld/er biefetn Segel an SnBalf gletdj !ommt? 7. ©er ©urdBmeffer eine« gleicBfeitigen gplinber« ift l dm ; eBen fo grog ift ber ©urcBmeffer ber ©runbflac^e unb bie §)oge eine« Segel«; tbie berBalten ficB bie SnBalte biefer jtrei Scrper? 8. ©er ©urcBmeffer ber ©rmibpd^e eine« Segel« ift 0'3 m , bie £)% 0 24 m ; tbie grog ift ber ©urcBmeffer ber ©runbfladje eine« jtbeiten Segel«, ber 0 32 m BbdB ift unb mit bem erften gteic&en ■Sn^alt Bat? 9. ©er ©urdBmeffer einer Sugel ift 2'5 dm , eBen fo grog ift bie Sante eine« SBiirfel«; nm tbie biel ift bie Dberflčid^e ber Sugel fleiner at« jene be« SBiirfel«? 10. Slu« einem ^oljeriten SBiirfel bon 25 gu6. dm 3nBalt foll bie grogtmoglic^e Sugel gear&eitet trerben; toelcBen Chtljalt toirb bie Sugel BaBen? n 11. SBie grog ift bie Sante eine« SBiirfel«, toelcfter mit einer Sugel bon l'5 m ©urcBmeffer gleic^en 3mBalt Bat? 12. ©er ©urcBmeffer einer Sugel ift l dm lang, eBen fo grog ift ber ©urcBmeffer eine« gleicBfeitigen gplinber«; tbie berBalten fid> bie SttBalte biefer jtbeier Sorper? 13. gin fenlrecpter Segel Bat l-5 m im ©urcBmeffer unb 18 m pofye; tbie grog mug ber ©urdBmeffer einer Sugel fein, bie mit jettem Segel gleidfe ©BerflScBe BaBen foH? 14. gine Sugel Bat l dm im ©urcBmeffer, eBen fo lang ift ber ©urcB* meffer ber ©runbflacBe unb bie |)BBe eine« Segel«; tbie berBatten ficB bie HnBalte ber Beiben Sorper? 15. SBie grog ift ber £aIBmeffer einer Sugel, toelcBe benfelben SnBalt Bat al« a) ein SBiirfel bon 2‘l dra Santentčinge, b) ein gplinber bonOl2 m §oBe unb 0 • 08 m ©urdBmeffer, c) ein fenfrecBter Segel, beffen ®runbfIacBe 0'25 m im ©urcBmeffer Bat unb beffen @eite 0'38 m betragt? 0 16. ©er ©urcBmeffer einer Sugel Betragt l'4 dm ; trie grog ift ber ©urcBmeffer einer jtbeiten Sugel, berett DBerfladBe boppelt fo grog ift at« jene ber erften Sugel? 17. 33on jtbei Sugeln Bat bie eine 28 cm , bie anbere 15 cm im ©urcp* meffer; trelcBen ©urcBmeffer miigte matt einer Sugel geben, beren 92 -Dberpdje ber ©ntnme ber Dberpcpn ber beiben anbern ®ugetn gteidj feitt foCt? 18. Sie grofj tft ber §aI6meffer einer tuget, beren Sntfalt boppeft fo grog tft at« ber 5nl;att eirter SugeC oott t2Q lm 75Q :m Dber* flddje ? 19. S3on gtt>ei tugetn tjat bie eine 4 0ra , bie attbere 64 cm im §iatbnteffer; mie oft tft bie erfte ®uget in ber groeiten entfjatten? 20. ®on gttjei Sugeltt tjat bie eine 16 om , bie attbere 4 cm im §at6meffer; mie oft ift bie Oberftdc^e ber smeiten Suget in fener ber erften entptten? A21. Silan Ijat jmei Sugetn »on 3 dm unb l dm 8 om ©urdpmeffer; toie grog ift ber ©urdp.effer einer britten Suget, beren 3nl)att gteidp ift ben Sntjatten ber beiben attbent $ugetn jufammenge* nomnten ? 22. (Sin SBnrfet, ein gtepfeitiger Sptinber unb eine Sugel tjaben gteidje Dberftacpe, namticp 10Q dra ; mie »erffatten ftcjf bie Subtfintjatte biefer bret Sorper? 23. (Sin Siirfet, ein gteidjfeitiger Sptinber unb eine ®uget paben gtepen Snpatt, namlicp 10 Sub. d!n ; mie »ertjatten fid^ ipre Ober* pcften? 24. Silan tjat gtraei @tiicfe SMei; ba« eine toiegt 5 ®itogr., ba« anbere 3 ŠŽitogr.; trie grog mirb ber ©urtfmteffer ber $uget fein, bie au« jebent ©tiide, unb toie grog ber ©urcpteffer ber Snget, bie au« beiben ©tiicfen gegoffen toirb? 25. an einetn (šnbe »erfdpteffene ©tabcptusber »on 36 om unb 18 cm f)olje pben 16 cm unb 8 001 ©urcpmeffer im 8id)ten; t»ie oft fann ber jtoeite mit bem Saffer gefiittt roerben, ba« ben erften fiittt ? g 26. Sin« einem pri«matifcpen mit Saffer gefiifltm Oefcige, beffen ©imenfionen 3-2 d,n , 2-5 d “ unb 2’2 dm finb, mirb ba« Saffer in ein cptinbrifcpeS ®efmeffer Ijat? 34. 3Bie »iel Sugeln con l cm ®urc§meffer tonnen auž 2 Silegr. -01ei gegoffen merben? 35. Cine f)ol)le jinnerne Sugel, melcbe 3 dm innern ®ur<$meffer Ijat, miegt 6 Silegr.; mefd;e ®ide Ijat baž 3’ nn Mf<^? 36. Cin ©efajj, baž 128 Cu'6. dm Ijalt, ift mit Ouecffilber gefiillt; mie biel Silogr. miegt baž sDuedfilber? 37. 38ie biel tciegt ein □SJleter Cicbenlfolg bon 80 cm ©c^eitlange, trenn man tuegen ber ^mifdjenrdume 30%' in Slbjug Bringt? 38. Cin Ifo^ler SBiirfel auž 2 m “ ftarfem 3‘ n f5IecI; f;at dugerlid; eine ^)81je brit l dm ; trie biel tbiegt ein ^infmiirfel, ber genau bett boljlen UBurfel aužfiiHt? 39. Cin miirfelformigež, eicbenež ©efdjš bon 4'9 dm ©eitenlange unb l cm Sanbbide ift ganj mit SBajfer gefiillt; trie biel miegt baž S8affer fammt bem ®efaj;e? - 40. S8ie biel Silegr. miegt eine fDfarmorplatte, melcbe 4’5 dm lang, 3-2 dm breit unb 125™ Ijod; ift? 41. Cin 3J?unjf4iiolje bon 14 m abgefcbnitten toirb, finbet man ben ©urdjmeffer an biefer ©tetfe 2 dm grog; toie biei ©ibif* inljaft Ijat a) bie ganje ©anne, b) bie abgefdpittene ©piije, c) ber abgeftumpfte Saurn? 62. ©n Saumftamm bon 6’2 m Sange Ijat an bem einen (Snbe 2'5 m , an bem anbern l'8 m im Umfange; toie Ijocfy toirb ber* fefbe ju fteljen fommen, toenn bab (Sub. m mit 17£ fl. bejaljlt toirb ? 63. ffiie biei Q S?eter Srennljofj bon 64 cm <5cf>eitfange giBt eine ©anne, beren ©urdjmeffer am untern (Snbe 84 cm unb beren $o!je 18'5 m ift, toenn man annimmt, ba§ fid) ber 9Iaum* inljaft beb §>ofjeb burcfy bab @paften unb Sluffcfipten um J ber* meljrt? 64. (Sin □ Sfeter ©annenljofj, bab 72 cm @cfyeitfange Ijat, foftet 4|ff.; toie Ijocf; fommt 1 ©tb. m biefer ftofjart, toenn bab ge* fdfiidjtete $ofj toegen ber 3toifcfyenraume nur 70^ fefte £cfjmaffe ent^alt? 65. lub einem cfyfinbrif<$en Saumftamme bon 1 • 6 m Sange unb 7 dm ©urcfimeffer fo(I ein eben fo langer pribmatifcfier Saffen bon grbfjt* mogfper quabratifcfyer ©runbpdje geljauen toerben; toie biei be* tragt a) ber Snljaft biefeb Saffenb, b) ber Slbfalf? 66. (Sin Sljurmbadj Ijat bie gorat einer bierfeitigen fenfredjten ipra* mibe, eine ©eite ber ®runbp($e ift 4'2 m unb eine ©eitenfante 5 m ; toenn nun beffen ©nbedung mit Sfecfy 420 fl. foftet, toie biet f;at man fiir !□“ gerecpet? 96 67. 2Bie oiel ©dbieferptatten finb ju betu ^ramibeiiformig oieredigen Sadje etnes ST^urmeS erforbertic^, beffen untere ©eite 3 m 4 dm unb beffen ©eitenfante 6'“ 2 dm ift, toenn eine ©djieferptatte 4 dm (ang unb 3 dm breit ift, unb bie iptatten 5 cm iiberetnanber gelegt toerben fotten? 68. 2Bie biet Sfeter 125 cm breiteit Saffet branat man ju einem 8uft= batton oott l'5 m Surcbmeffer? 69. Sine Suget oon 8'2 dm im Surcbmeffer foU oergotbet toerben; toie Oiel ®otbbtdttd;en »on 5 cm Sdnge unb 3 cm Sreite finb sur Ser* gotbung iiotbig, toenn man toegen beb Sertufteb < 6 % bajurebbnet? 70. (šine $uppet, toetcbe bie gorm einev ^albfnget ba(bmeffer, unb sur Se= grenjung eiueit treibbcgen Bon 60° bat? 73. (šin toiirfetfbvmigeb @efaf? fott 8 Citer faffen; toie tang mufi eine ©eite fein? 74. 2Bie Biet Citer t;att ein @efdfi Bon 35™ Cčinge, 26 0m Sreite uttb 32™ SSiefe? 75. (šin cfytinbrifdjeb ®efd§ fott 1 Citer batten; toie grofi mufi feine Siefe fein, toenn ber imtere Sttrc^meffer 86 ,nm betrdgt? O 76. (šiit cfy(iubrifcf>er SJafferbebatter bat eine ©runbpdje Bon l-240 m unb tjdtt 9'3 ^eftotiter; toetcbe Siefe bat berfetbe? 77. SJfatt tcitt ein cbtinbrifcbeb 3 dm b°^b ®efdji mac^en, toetcbeb ein ^eftoliter faffen fott; toetdjen Sur^meffer mufi man ber ®ruttb= fladje geben? 78. 2Bie Biet Citer bdtt ein l'5 m langeb ga§, toetcbeb am Soben 2-8 m unb am ©punte 3 2 ra im Umfange bat? 79. (šin SBaffereimer Bon ber gornt eineb Segetftumpfeb ift4'3 dm tief uttb bat oott innett am Soben 4 dra , oben 3'8 dm Ipatbmeffer; toie Biet Citer fafjt biefer (šittter? 80. (Sine f$euerfpritje b at 3 tnei (S^Iinber eter ©tiefet, teren innerer ®urd;meffer l‘8 dm betrdgt; ber ^otben f;ebt ficb bei jebent ®b' linber um 2 • 5 din unb jtoar in jeter Sftinute 24mat; toie Biet fpettotiter fcbafft biefe ©pribe todbrenb eitter b^^ en ©tnnbe itt bie §i'be? 97 81. 9Bte totet (Subilfuf? ©auerftoff unb ©tidftoff ftnb in etnern ^tmmer, ba« 7 m tang, 6 m breit unb 3-4 m bodf> ift, ba tn 100 Staum* t^etlen atmofbbčinfdter fiuft 21 ©Ijeite ©auerftoff unb 79 ©ffeite ©tidftoff entljalten finb? 82. SBetdfe fraft ifl erforberlidf, um cinen 2Rarmorn>iirfet bonO'82 m ©eitenlange auf einem fanbigen SBege fortjufdfaffen, rnenn bie Steibung £ ber Soft betragt? 83. ©n Satfen au« (Sicfienbolj, metdfer 2 3 m laug, 2'4 dra breit unb l - 8 dm bicf ift, fott iiber eine Untertage Bon STannen^olg betoegt toerben; toetcfie ®raft ift boju nbtlfig, toenn bie Steibung T % ber Soft betragt? 84. ©ie ®rb|e bež ©rude« eitter gtiiffigfeit auf ben Soben eine« ©efafje« ift gteidj bem ©etoidfte einer ctylinbrifd;en ober pri«ma* tifcijen gfiiffigfeit«faule, beren ©runbpdfe bie Sobenfladfe be« ®efaf?e« unb beren §o!fe bie be« gtiiffigleit«ftanbe« ift. 2Bie grof? ift ber ©rucf ouf ben Soben eine« ctytinbrifc$en ©efčifje« Bon l’2 dm ©urcftmeffer, ba« bi« ju einer £)bf)e Bon 2 d,n mit Stegen* toaffer (fpecififc^e« ©etoidjt = 1-09) gefiiHt ift? 85. ©ie Sobenflodfe eine« jmSmatifcften ©efafje« Bon 1™ Songe unb 5 dm Sreite tann nur einen ©rud »on 170 Sitogr. erieiben; bi« ju toetd^er £o(fe borf btefe« ©efag mit Saumbt (fpecififcfK« ®e* toidfjt = O-92) gefiiHt toerben? 86. (Sin @efaf? Bon ber $orm eine« abgeliirjten Seget« Ifat eine Soben* flac^e Bon 96Q cm , an ber oberett Deffnung eine ®urd>f<$nitt«* floc^e Bon 70D cm unb eine §bl)e »on 5 dm ; toenn biefeS ®efaf? gonj mit Saffer gefiiHt ift, a) t»ie grof? ift ber Sobenbrud, b) um mie biel ift ber Sobenbrud grofjer ot« bo« ©etoidft be« SEBoffer«? -m ■- 87. ©ie ®ri>f?e be« Suftbrude« auf eine fjlčic^e ift gteicfy bem ©etcid^te einer Duedfilberfauie, beren ©runbfidc^e fene fftadje unb beren ipblfe ber jetoeilige Sorometerftonb ift. SBie grof? ift ber Suft* brud ouf eine gtadfe bon lQ dm bei einem Sorometerftanbe Bon 742 mm ? 88. S5te grof? ift ber Suftbrud, h>etcfyen bie ju l-20 m angenommene ©berfiacbe be« menfcpcfiett $firper« bei einem Sorometerftanbe Bon 742™° erleibet? 89. SBie grof? ift bei bemfelben Sorometerftanbe ber Suftbrud a) ouf bie ©berftodje eine« SBiirfet« Bon 4 dm ©eitenlange, b) auf bie ©berftacfie einer fpatbfuget Bon 2 dm ©urc^meffer? 90. SSie §oc$ miifete ba« ©uedfitber im Sarometer ftelfen, bamit ouf bie Dberfiadje einer Suget Bon 2'6 dm ©urc^meffer ein Suftbrud bon 2094 Kilogr. au«geiibt toitrbe? O 91. Um toie Biel Bergrofeert fid^ ber Suftbrud ouf in dm , toenn bo« Ouedfitber im Sarometer a) um l mm , b) um l cm fteigt? SKtouit, pom. 2tnft(>. 7 98 92. ®er (Soefficient ber SangenauSbebnung bes ©itbers burcb bie SBarnte ift O 00001909, b. i. 1 fidngen-Sfteter biefeS -UtetaCs beliti ftc^ bei einer jTemperaturerbfibung um 1° C (SelfiuS) um 0'00001909“ auS, erbdlt alfo eineSange bonl m +0-00001909“ =1-00001909“; trne grof ift babei bie SluSbebnung bež ©ilberS a) fiir eine glacbe beti in™, b) fiir einen Sbrper bon 1 Sttb. m ? 93. (Sine priSmatift^e ©tange Sifen ift bei 12° C 5 dm (ang, l dm breit unb O o dm bitf; a) tnelc|e SluSbebnungen erbatt fie bei einer Sr« todrntung biS 20 u C; um tbie biel bebnt fid> babei b) bie ©ber« fldd^e, c) ber Snbalt berfelben auS, toenn ber SluSbebnungScoeffi« cient be§ SifenS 0-00001167 ift? 94. Sin SBiirfel auS Štupfer bat bei 0° C einen Subitinbalt bon 10 Sub. cm ; toie grof; toirb er, toenn er um 25° C ertoarrat toirb, uttb ber 8SngeauSbeJfnung8=Soefficient beS Supfers O '00001717 ift? 95. Sine meffingene Sugel bat bei 20° C einen Subitinbait bon 35 Sub. cm ; a) tbie lang toirb ibr ©urebmeffer, b) toie grof; ibre ©berflacbe, unb c) toie grofi ibr Subitinbait bei 40° C, toettn ber Soefficient ber SdngenauSbebnung bes SfteffingS 0-0000192 ift? er beriibtute, auf bem Sonccrbiablabe in ifJariS aufgeftellte ©belisf bon Sujor (in ©beregbften) beftebt auS einem einjigen ®lode rotbeu ©ranits unb |at bie gorat einer abgetiirjten bierfeitigen fentred)ten fPbramibe, beren @runtflad)en 21“ 75'8 cm bon ein* anber abfteben, unb bie ©eiten 2“ 43-7°“ unb l m 54 • 7 cm ^aben; auf ber oberen ©runbfldcbe rubt eine iPbramibe bon 1“ 21™ §obe. SBie grof ift a) ber Subitinbait biefeS ©belisfen, b) baS ©etoicbt besfelben itt flilogr. 99 101. (Sine 3)iauernifd)e ©irb oben burcf) eitt (Selobtbe in gonit eiiter 33iertetfuget gebedt unb bitbet unlen einen I>alben (Sfylinber bon 6'2 dm tpalbmeffer unb 3 m §81)e; tete grof; ift bie Dberflacfie ber 9Jtfd)e? 102. (Sin ®ampfctytinber ift 8 ,im toeit unb 1 • 4™ taitg unb t;at ju beibeu ©eiten jtnei ^alblngelfbrmige (Snbffiide; ©ie biel (Subifmeter ©ampf fafjt berfelbe? 103. (Sin Suppelgetoolbe ru^t auf bier ©auten, beren jebe l m im ®uvd;= nteffer fyat unb 16’4 m f)oč) ift; ber innere ®urd»neffer bed tubpet* getoolbe«, baS eine ^jalbEugel borftetlt, ift 7 • 5 m . SBie biet garbe ift jurn 2htfireidfen biefed ganjen Sftauertoerled nottjig, menit man auf lQ m gladke 65 ®efagr. garbe braud;t? 104. 2Bie biet 3iegelfteine braudit man, um ein TDjor ju bertegen, metd?ed mit bodem 23ogen gefcfytoffen ift, tnenn bie SBeite bedfetben im Cid>ten 2'7 m , bie f>ot;e bid jum ©cfjtufjfteine 4 m , bie ®ide ber 2Jlauet 0’6 m ift, unb menit auf 1 (Sub. m SJfauertoerf 264 3iegel geredfnet toerben ? Q 105. (Sine (Sffrenpforte, bie iiber jloei bridmatifdfen SBibertagen mit botlem ©ogen gefcfdoffen ift, fot! mit einem farbigeti ©toffe iiber- jogen tterben; mie biet fDieter eined 86™ breiten ©toffed braudd man baju, toenn bie SBeite ber SPforte im itid^teu 3 ra , bie ganje Sffieite 4 - 5 m , bie §ol)e bid jum ©d;(ufjfteine 5 m unb bie Šiefe ber ipforte 2 m ift? 7 * m ■ , ■ '■!,'■} m ..no! '•'imi ;%rt • ji ' n to! Hribini ia&j • t. ;iE.i,’“i n;4 m??,’: <«pln£3» 'twi- imd i$:u m * ?;ot > Mftju MfioiM t • * id mi ■•••• ur.i ~ ■ ija ' '. 1 'iffh ■. : 3i'V- .;=>• s-' 'Y :'i Ut . ■ ir.T-i.iVili : fjsl,- 'nJiJ "j‘1 t ;n7':| v:'" tj )! , iMli -ji':) - .lv,: : '.h)-.; -i'; ..'II jio-f .:fi J ‘ ' Hi 'li.l-Vf tfattp Ki m-iHvkJ v '.!h tmh hfa Aot ingoj x t WH --M , 1 c. : iv, tni siio; P p