Lehrbuch der Arithmetik und Algebra für Bder-Gymnasien. Von vr. Iran; Woörrik. Eilfte Auflage. W i e n. Druck und Verlag von Carl Gerold's Sohn. 1870. Das Rech, der U-berseZung bcM sich dce Veefeffer vor. ; in diesem Falle ist immer auch k> —n. Ein Ausdruck von der Form u—l> heißt eine Gleichung; U — a ist die Umkehrung der Gleichung » —b. Zwei Zahlen (überhaupt zwei Größen), welche nicht denselben Werth haben, heißen ungleich, und zwar heißt diejenige, zu der noch etwas hinzugesetzt werden muß, um die andere hervorzubringeu, die kleinere, die andere die größere. Daß a größer als d ist, drückt man durch aus; in diesem Falle ist auch b kleiner als n, was durch dU, oder l>K, oder a — d, oder sein; wofür man auch schreibt nHb. 8- 8. Von gegebenen Zahlen durch vorgeschriebene Verbindung derselben zu einer andern gesuchten Zahl übergehen und letztere dadurch bestimmen, heißt rechnen. Die Zahl, zu welcher man durch das Rechnen gelangt, heißt das Resultat der Rechnung. In einer Zahlenverbiudung an die Stelle der allgemeinen Zahlen (Buch¬ staben) besondere Zahlenwerthe setzen, und mit diesen die vorgeschriebenen Rechnungen ausführen, heißt substituieren. Das Zählen ist die einfachste Art des Rechnens und alle anderen Rech¬ nungsoperationen können daraus abgeleitet werden. 3 Das Fortschreiten in der natürlichen Zahlenreihe von einer gegebenen Zahl aus um eine gegebene Zahl von Einheiten heißt die Addition; die Umkehrung dieser Operation die Subtraction. Die Addition gleicher Zahlen heißt Multiplikation, und die Umkehrung derselben Division. Diese vier Rechnungsarten nennt man die Grundoperationen. Die Multiplication gleicher Zahlen führt auf Zahlen höheren Ranges; die Rechnung, durch welche diese gefunden werden, heißt die Potenzierung, aus deren Umkehrung sich die Radicierung (das Wurzelausziehen) und die Logarithmierung ergeben. Die letzteren drei Rechnungsarten nennt man Rangoperationen. Die Gesetze der hier angedeuteteu Operationen zu untersuchen, bildet die Hauptaufgabe der Arithmetik. Die Lehre über die Anwendung dieser Gesetze auf die Lösung von Aufgaben, indem man die Beziehungen zwischen den un¬ bekannten und bekannten Zahlen durch Gleichungen ausdrückt, und aus diesen die Werthe für die unbekannten Zahlen sucht, heißt Algebra. Häufig werde» diese beiden Theile der Mathematik als Ganzes mit dem gemeinschaft¬ lichen Namen Algebra, von einigen mit dem Namen allgemeine Arithmetik bezeichnet. 8. !>. Die Mathematik stützt ihre Lehren auf gewisse Grundwahrheiten, welche an sich klar sind und deshalb nicht weiter begründet zu werden brauchen. Solche Grundwahrheiten werden Grundsätze (Axiome) genannt. Sätze, die nicht an und für sich einleuchtend sind, deren Richtigkeit erst aus anderen bereits als wahr anerkannten Sätzen hergeleitet werden muß, heißen Lehrsätze; sie müssen bewiesen werden. Ein Satz, dessen Wahrheit sich aus der Erklärung eines Begriffes oder aus einem erwiesenen Satze unmittelbar ergibt, heißt ein Folgesatz. tz. 10. Allgemeine mathematische Grundsätze: 1. Jede Größe ist sich selbst gleich. a — u. 2. Wenn zwei Größen jede einer dritten gleich sind, so sind sie auch unter einander gleich. Ist a — o und — c:, so ist auch s, — 1>. . 3. Wenn mit gleichen Größen gleiche Veränderungen vorgenommen wer¬ den, so erhält man gleiche Größen. 4. Das Ganze ist gleich allen seinen Theilen zusammeugenommen. 5. Das Ganze ist größer als ein Theil desselben. 6. Wenn eine Größe einer zweiten gleich, diese aber einer dritten un¬ gleich ist, so ist auch die erste der dritten ungleich, und zwar mit demselben Ungleichheitszeichen. Wenn n — K, n — i>, b>o; b6, 8b, 8 o; b o, r* 4 Erster Abschnitt. Die Grundoperationen mit absoluten ganzen Zahlen. I. Die Addition. Z. 11. 1. Au einer Zahl n eine Zahl d addieren heißt, von u aus um so viele Einheiten weiter zählen, wie b anzeigt. Man nennt die gegebenen Zahlen a und d die Summanden (Theile), die gefundene Zahl o die Summe, und schreibt a -s- d — o. Der eingeklammerte Ausdruck (n -st l>) stellt die als berechnet gedachte Summe von a und b vor. Um die Addition zweier Zahlen u und b auszuführen, schreitet man in der Zahlenreihe von a, ausgehend um so viele Einheiten vorwärts, als ihrer d enthält; die Zahl, zu der man dadurch gelangt, ist die gesuchte Summe. Z. B. 5 -st 3 5 -st k -st l -s- 1 8. 2. Unter der Summe mehrerer Zahlen versteht man die Summe, zu der man gelangt, indem man zu der Summe der beiden ersten Zahlen die dritte, zu der neuen Summe die vierte Zahl u. s. w. addiert. Es ist demnach u -st b -st o — (n -st b) -st o, A -st l) 4^ a -st ck s(a 4" k>) -st as -st ck, u. s. s. Folgesatz. Wenn ein Summand o ist, so ist die Summe dem anderen Summanden gleich. o -st Ä — L, a -st o — u, o -st o — v. Z. 12. Eine Summe bleibt unverändert, wenn man die Summanden unter einander vertauscht. Es seien u und b die beiden Summanden. Bildet man eine Reihe, welche u. und b Einheiten enthält, nämlich a t> lDl-Fl-st---4-1-stk -st 1-st1-st1..-st1-stk, so erhält man offenbar gleich viele Einheiten, mithin dieselbe Zahl, ob man alle Einheiten dieser Reihe von links nach rechts, oder von rechts nach links zählt. Im ersten Falle gelangt inan durch das Zählen zunächst zur Zahl a, und wenn man um b Einheiten weiter zählt, zur Zahl u. -st d. Im zweiten Falle gelangt man zunächst zur Zahl t>, und wenn man um a Einheiten weiter zählt, zur Zahl i> -st a. Es ist also n -st b — k> -st u. Dieser Satz behält seine volle Giltigkeit auch daun, wenn mehr als zwei Summanden gegeben sind. Da nämlich je zwei auf einander folgende Sum¬ manden bei nngeänderter Stellung der übrigen vertauscht werden dürfen, so kann durch wiederholtes Vertauschen zweier solcher Summanden jeder Summand an jede vorgeschriebene Stelle gebracht werden. So ist z. B. für drei Summanden a-stst-sto — s.-ste-sti> — o-stn-stii — a-std-stn — b-sta-sta — b-stu-sto. Es ist demnach auch bei mehreren Summanden für die Summe gleich- giltig, in welcher Ordnung dieselben addiert werden. 1. Verbindung von Summen durch die Addition. Z. 13. 1. Zu einer Summe wird eine Zahl addiert, indem man sie zu einem der Summanden addiert. lu -st b) -st L — (a -st o) -st b, oder (s, -st 1>) -st L — n -st (k) -st (>), 5 Beweis. a-Ull-s-v — a-s-V-s-U und a-i-d-i-o b -s- o -s- a (8- 12). (a -i- d) -i- o — (n o) b und (a -j- b) e (i) o) -j- s, (Z. 11, 2) a -i- (d -j- o) (8> 12). 2. Zu einer Zahl wird eine Summe addiert, indem man die Summanden einzeln dazu addiert. a 4— lll 4" o) — (a Z- ir) Z- 6, oder a —s- (ir Z- a) (a 4— 6) Z- i). Folgt aus den Gleichungen in 1. 3. Zu einer Summe wird eine Summe addiert, indem man nach einander jeden Summanden der zweiten Summe zu einem beliebigen Sum¬ manden der ersten addiert. ta -j- b) -j- (o -j- ä) — (u -j- o) -j- (i> -i- ä), oder (a -s- b) -s- (« 4- ck) — (a -s- ck) 4- (ll -s- o). Folgt aus 2. und 1. Summen von gleichen Summanden. 8. 14. Wenn in einer Summe dieselbe allgemeine Zahl öfters als Sum¬ mand vorkommt, so wird die Summe abgekürzt dadurch bezeichnet, daß man die allgemeine Zahl nur einmal anschreibt und ihr die Zahl vorsetzt, welche anzeigt, wie oft die allgemeine Zahl als Summand vorkommt; z. B. Ä Z- a -p- a 4^ a, 4" a, 5 a. In dem Ausdrucke 5 a heißt dann a die Hauptgröße und 5 der Coeffi cient. Jede allein stehende Hanptgröße kann man sich, da sie Imal gesetzt ist, mit dem Coeffieienten 1 versehen denken. Es ist also a — 1 a. Ausdrücke, welche dieselbe Hauptgröße haben, heißen gleichnamig, z. B. 5 a und 6 a, 3 x und x. Ausdrücke, welche verschiedene Hanptgrößen haben, heißen ungleichnamig, z. B. 3 a und 7 k>, 5 x und 5 8- 1s. Gleichnamige Ausdrücke werden addiert, indem man ihre Coefficienten addiert und die erhaltene Summe der gemeinschaftlichen Haupt¬ größe vorsetzt. m u -j- n a — (in -s- u) u. Beweis, m a -s- n a. — L -s- u -j- u ... (llimal) -s- u -s- n, -j- u Z-... (umal) — u-s-g.-j-u...(m-s- n)mal — (rn -j- n) a. Z. B. 3a 4- 4a (3 -s- 4) a 7a. (5x -s- 6)-) 4- (7x 4- /) — (5x 4- 7x) 4- (6^ -s- — 12x 4- 7?; was auch so dargestellt wird: 5x -s- 6^ 12x 4- 7^. 2. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Addition. 8- 16. 1. Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches. Wenn a — d, _ o — ä; so ist a 4- v — ll -s- Folgt unmittelbar aus 8> 10, 3. 6 2. Gleiches zu Ungleichem addiert gibt Ungleiches mit dem¬ selben Ungleichheitszeichen. Wenn u > st, 6 — ci; so ist a st- o l> st- el. Beweis. Es sei rv die Zahl, welche zu k addiert werden muß, um a zu erhalten, also u — st -st er, so ist nach 1. ust-e — stst-rvst-ä. Jinn ist stst-rv-stä>stst-ä sZ. 10, 5), folglich auch s. -st o > st -f- cl. 3. Ungleiches zu Ungleichem mit demselben Ungleichheits - zeichen addiert gibt Ungleiches mit eben so gestelltem Ungleich- hcitszeichen. Wenn n. > st, a > ä; so ist a st- v > st st- ä. Beweis. Es sei o — ä st- rv, so hat man nach 2. a st- v > st st- ci st- V. Nun ist st -st ä -s- v > st -st st (Z. 10,5), folglich um so mehr ust- v st st- st (8. 10, 7). II. Die Subtraktion. Z. 17. Bon einer Zahl u eine Zahl st subtrahieren heißt, aus a als der Summe zweier Zahlen und st als dem einen Summanden den andern Summanden suchen. Die gegebene Summe a heißt der Minuend, der ge¬ gebene Summand st der Subtrahend, und der gesuchte Summand o die Differenz. Man schreibt s, — st — o; der cingeklammerte Ausdruck (n — st) bezeichnet die als berechnet gedachte Differenz. Die Aufgaben der Subtraetion sind eigentlich zweierlei; es ist 1. zu bestimmen, wie viel zu b zu addieren ist, daß die Summe a erscheine (Ergänzung); oder 2.: wie viel von der Summe a. noch bleibt, wenn b weggenommen wird (Rest). Folgesätze. 1. Wenn man die Differenz zweier Zahlen und den Subtrahend addiert, so erhält man den Minuend. (s. — st) st- st — u, oder st -st (s, — st) — a. 2. Wenn man von der Summe zweier Zahlen den einen Sum¬ manden subtrahiert, so erhält man den zweiten Summanden. so, st- k) > — st — u, und (s, st- st) — u — st. 3. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn mau dieselbe Zahl zu ihr addiert und von ihr subtrahiert. o, — ( in der Zahlenreihe um so viele Einheiten vor¬ wärts schreiten, bis mau zum Miuuend u gelangt; die Anzahl der znriickgelegten Einheiten ist die Difsercuz. Die Subtraction kann an der natürlichen Zahlenreihe nur dann aus¬ geführt werden, wenn der Subtrahend nicht größer als der Minuend ist, indem man sonst, weil die natürliche Zahlenreihe rückwärts mit o abbricht, vom Minuend nicht um so viele Einheiten zurnckschreiten könnte, wie der Sub¬ trahend anzeigt. Bei den folgenden Sätzen werden wir daher vorläufig voranssetzen, daß die Subtrahenden der vorkommenden Differenzen nicht größer als ihre Minuenden sind. 1. Verbindung von Differenzen dnrch die Addition. Z. 19. Zu ein er D ifferenz wird eine Zahl addiert, indem man sie zum Minuend addiert, oder vom Subtrahend subtrahiert. (n — st) st- o — (n st- c) — k, oder (u — st) st- o n — (k — o). Beweis. 1. (o, — st) st- o — !s(n — st) st- vf st- Ist — st (Z. 17, 3) (u st- o) — st (8. 13, 1 und 8- 17- 1). 2. (g, — st) st- o — st(u — st) st- (st st- (st — — (st — o) (8- 17, 3) — !(r^ — st) st- so st- (st - o)f§ - (b — o) (8- 13, 1) — s(u — st) st- Ist — (st — o) (8- 17, 1) u - (b — o) (8- 17, 1). Folgesatz. Wenn man zu einer Zahl eine zweite zu addieren und davon eine dritte zu subtrahieren hat, so ist es für das Re¬ sultat gleichgiltig, in welcher Ordnung man addiert und sub¬ trahiert. (n st— o) — io — (a, ° los st— o. tz. 2V. Zu einer Zahl wird eine Differenz addiert, indem man den Minuend addiert und den Subtrahend subtrahiert. n -st- (st — o) — (n st- st) — o, oder u -st- (st — o) — (n — o) st- k>. Die erste Gleichulig ergibt sich mit Anwendung des 8- 12 aus 8- 19; die zweite Gleichung folgt aus der ersten mit Rücksicht ans 8- 19, Folgest 8- 21. Eine Summe bleibt unverändert, wenn man zu dem einen Summanden eine Zahl addiert und von dem andern Sum¬ manden dieselbe Zahl subtrahiert. ust-st — (nst-o)st-(st — o), und n st- st — (n — o) st- (st st- e). Folgt aus 8- 20 und 8- 13, 2; denn (u st- o) st- (st — o) — s(n st- o) — ) -f- (o — Z) — (a -f- o) — (b Z- 8). Beweis, la — d) Z- (« — ä) — Za — i>) -h (o — 3)j Z- (b Z- ä)j — (b -f- ä) (8- 17, 3) - s(a o-ä)f - (d ä) (ß. 21) — (a -f- a) — (1) Z- ä) (8- 21). 2. Verbindung von Summen und Differenzen durch die Subtraction. 8- 23. Von einer Summe wird eine Zahl subtrahiert, in¬ dem man sie von einem der Summanden subtrahiert. (a -j- k) —- o — (a — o) -f- b, oder (a Z- b) — o — a -f- (i> — a). Folgt aus der Umkehrung der ersten Gleichung in 88- 19 und 20. 2. Von einer Differenz wird eine Zahl subtrahirt, indem mau sie von dem Minuend subtrahiert, oder zu dem Subtrahend addiert. la — b) — O — (a — o) — b, oder (a — d) — a — a — (b Z- e). Beweis. 1. (A — b) — o ! f(a — d) - es Z- 1Z — ii> (17, Z) (s, k (ß. 19 und Z. 17, 1). 2. (a — d) — 6 — Z(a — 1>) — oj Z- (b Z- o)! — (b Z- o) (Z. 17, 3) — Z(u - d) -Z (8 Z- °) - os! - (b Z- «) (Z. 10) — l(u -s- o) — os — (h -f- o) (8. 21) — a — (b -f- o) (8- 17, 2). Folgesätze. 1. Wenn man von einer Zahl zwei Zahlen zu sub¬ trahieren hat, so ist es gleichgiltig, in welcher Folge man sie subtrahiert. (a — b) — o — (a — o) — b. 2. Wenn von einer Zahl zwei Zahlen zu subtrahieren sind, so kann man auch ihre Summe auf einmal subtrahieren. (a — id) — o — a — (b -j- a). 8- 24. 1. Von einer Zahl wird eine Summe subtrahiert, in¬ dem man davon nach einander jeden Summanden subtrahiert. a — (b -s- o) — (a — k) — v, oder a — sb -F o) — (a — v) — b. Folgt aus 8- 23, 2. 2. Bon einer Zahl wird eine Differenz subtrahiert, indem man den Minuend subtrahiert und den Subtrahend addiert. a — sb — o) — (a — b) Z- a, oder a — (k — o) — (u -s- o) — h. Folgt aus 8- 19. 2s. Eine Differenz bleibt unverändert, wenn man zu dem Minuend und dem Subtrahend dieselbe Zahl addiert, oder von beiden dieselbe Zahl subtrahiert. a — k — (a -s- -F o), und a — I) — .a — v) — (b — v). 9 Folgt aus Z. 24, 1 und 2; denn (a -4 o) — 14 -4 — s(a. -4 o) — os — 4 — u — 4, und eben so (n — o) — (4 — <>) — s(a — o) -s- os — 4 — a —- 4. Z. 26. Von einer Differenz wird eine Differenz subtrahiert, indem man von der Differenz der Minuenden die Differenz der Subtrahen¬ den subtrahiert, oder zu dem Minuend und dem Subtrahend der ersten Diffe¬ renz bezüglich den Subtrahend und den Minuend der zweiten Differenz addiert und von der ersten Summe die zweite subtrahiert. (a -— 4) — so — 4) — (n — 4 4- - (» uial)j — a st- a -st a -st . . . — n)mal — (in — n) a. Z. B. 5a — 2a^(5 — 2)a^3a. (6x 4- 5^) — (x st- 5/) — 6x -st 5/ — x — 5^ — 6x — x -st 5/ — 5^ — 5x, weil 5^ — 5^ — 0 (tz. 17, 4) ist; oder 6x -st 5^ x -st 5^ ox Folgesatz. Ein mehrgliedriger Ausdruck, worin gleichnamige Zahlen Vor¬ kommen, wird auf einen einfacheren Ausdruck re du eiert, indem man zuerst die additiven, dann die subtractiven gleichnamigen Zahlen addiert und die zweite Summe von der ersten subtrahiert. Z. B. 6 a — 5 a —- 3 a -st 8 a — 2a (6 a st 8 a) — (5 a st 3 a -st 2 u) — 14a— 10a — 4a. 3. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Subtraction. ß. 30. 1. Gleiches von Gleichem subtrahiert gibt Gleiches. Wenn a st, _ «--6; so ist a — o — st — 6. Folgt unmittelbar aus Z. 10, 3. II 2. Gleiches von Ungleichem subtrahiert gibt Ungleiches mit demselben Ungleichheitszeichen. Wenn a > st, e — ä; so ist u — c: > k — ci. Beweis. Wäre nicht u — e > st — ä, so müßte n, — v < st — ci sein; dann wäre bezüglich auch (a — o) -st o < (st — ä) -st ä (Z. Iß, 1 und 2), daher n < st (Z. 17, 1), was gegen die Voraussetzung ist. 3. Ungleiches von Gleichem subtrahiert gibt Ungleiches mit entgegengesetztem U n g l e ich h e it s z e ich e n. Wenn n — 1,, a > 6; so ist s, — <; < st — ci. Beweis. Wäre n. — v > st —ä, so müßte in beiden Fällen (s. — v) -st o > (st — 6) -st ä (§. 16, 2 und 3), daher s, > st (ß. 17, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist. 4. Ungleiches von Ungleichem bei entgegengesetzten Um gleichh eitszeich en subtrahiert gibt Ungleiches mit dem Ungleich¬ heit s z e i ch e n d e S M i n n e n ds. Wenn n > st, v < 6; « sofist u — o > st — 6. Beweis. Wäre n, — o < st — 4, so müßte in beiden Fällen (n — o) -st o < (st — 6) -st ä (K. 16, 2 und 3), daher -r < st (8- 1?, k) sein, was gegen die Voraussetzung ist. HI. Die Multiplikation. ß. 3l 1. Eine Zahl n mit einer Zahl st multiplicieren heißt a so oft als Summand (als Theil) setzen, als k Einheiten enthält. Man nennt a den Mnltiplicand, b den Multiplicator, und beide Factoren; die Zahl aber, welche man durch das Multiplicieren erhält, das Product. Das Product ist demnach eine Summe gleicher Summanden; der Multiplikand ist einer dieser gleichen Summanden; der Multiplicator zeigt an, wie viele solche Summanden gesetzt werden sollen. Der Mnltiplicand kann eine benannte Zahl sein; der Multiplicator ist immer eine nnbenannte Zahl. Das Product aus dem Mnltiplicand n und dem Multiplicator st bezeichnet man durch a.st, oder u X i> (d. i. a stmal), oder, wenn beide Factoren allgemeine Zahlen sind, auch bloß durch st. Das Product zweier ganzer Zahlen wird auch ein Vielfaches deS Mul- tiplicands genannt. Z. B.: 12 — 4.3; 12 ist also das 3fache von 4. 2. Unter dem Prodncte mehrerer Zahlen versteht man das Pro¬ duct, welches man erhält, indem man das Product der beiden ersten Zahlen mit der dritten, das neue Product mit der vierten Zahl u. s. w. multipliciert. Hiernach ist n. st. o — (g. st). o, a - st. o. cl — s(a st). os. 6, u. s. w. , Folgesätze. 1. Wenn ein Factor 1 ist, so ist das Product dem andern Factor gleich. Ä. 1 — u, 1.U — L, 1.1 — 1. 12 2. Wenn ein Factor o ist, so ist auch das Product o. a.o^-o, o.a — v, o.o — c>. Z. 32. Ein Product bleibt unverändert, wenn man die Fak¬ toren unter einander vertauscht. Es sei s, mit b zu multiplicieren. Bildet man b Reihen, deren jede a Einheiten enthält, nämlich 1 -st 1 -j- 1 1 -st 1 -st 1 -st 1 -st 1 -st... sa, mal) -st 1 -st 1 -st 1 -st 1 -st.,. -i-. (i) mal) so erhält man offenbar gleich viel Einheiten, also dieselbe Zahl, ob man die Einheiten aller Horizontalreihen, oder die Einheiten aller Berticalreihen zählt. Im ersten Falle erhält man a bmal, also u.t>; im zweiten i> ».mal, also b.a. Es ist daher u.k) — st.A. Der Satz gilt auch für jede beliebige Zahl von Factoren. Da nämlich in dem Producte mehrerer Factoren je zwei auf einander folgende Factoren bei ungeänderter Stellung der übrigen vertauscht werden dürfen, so kann durch wiederholtes Vertauschen zweier solcher Factoren jeder Factor an jede vor¬ geschriebene Stelle gebracht werden. So ist z. B. für drei Factoren A.b.L — a.o.l) — e a.k) — o . st. a — st. o . a — st. u. o. Es ist demnach auch bei mehreren Factoren für das Product gleichgiltig, iu welcher Ordnung dieselben multipliciert werden. Hier wurde vorausgesetzt, daß die Factoren unbenanut sind. Ist der Mul- tiplicand eine benannte Zahl s, L, wo L die Benennung bezeichnet, so hat man ubstst — (a b) L, — (st a) L; allein es ist auch stststa —(ka)L, folglich aL.st —stL.a (A. 10, 2). Man darf also auch in diesem Falle die Fac¬ toren verwechseln, sobald dabei die Benennung des Multiplicaudö auf den frühe¬ ren Multiplicator, der nun als Multiplicand auftritt, übertragen wird. Z. B.: 8 sl. X 5 -r- 5 sl. X 8 - 40 fl. Folgesatz. Der Coefficient kann als Factor der Hauptgröße, vor welcher er steht, betrachtet werden. 3a — a-stu-sta — a.3 — 3.u. 1. Verbindung von Producten durch die Addition und Subtraction. Z. 33. Zwei Producte, welche einen gemeinschaftlichen Fac¬ tor haben, werden addiert oder subtrahiert, indem man bezüglich die Summe oder die Differenz der nicht gemeinschaftlichen Factoren mit dem ge¬ meinschaftlichen Factor multipliciert. ae-ststo — (n-stst) o, uo — st e — (u — st). o. Beweis. 1. u e -st st o — g, -st u -st u -st .. . (v mal) -j-st-stst-stst-st-..(o mal) — (a, -j- b) -j- (a -st st) -st (a -st st) -st ... (u mal) (ß. 12) — (rc -st st) . o. 13 2. Eben so erhält man mit Anwendung des §. 19, Folges. die zweite Gleichung. Die durch diesen Satz ausgedrückte Operation nennt man gewöhnlich das Herausheben des gemeinschaftlichen Factors. Haben die Producte keinen gemeinschaftlichen Factor, so kann die Addition oder die Subtraction derselben bloß angezeigt werden. 2. Verbindung von Summen, Differenzen und Producten durch die Multiplikation. Multiplicatiou von Summen und Differenzen. ß. 34. 1. Eine Summe wird mit einer Zahl multipliciert, indem man jeden Summanden damit multipliciert und die so erhaltenen Theil- producte addiert. (a -j- b) . o — n e -f- b o. 2. Eine Differenz wird mit einer Zahl multipliciert, indem man den Minuend und den Subtrahend damit multipliciert und von dem ersten Producte das zweite subtrahiert. (a — b) . v — u c — b o. 3. Eine Zahl wird mit einer Summe multipliciert, indem man sie mit jedem Summanden multipliciert und so die erhaltenen Theilproducte addiert. n (b -s- o) — n b -j- n o. 4. Eine Zahl wird mit einer Differenz multipliciert, indem man sie mit dem Minuend und dem Subtrahend multipliciert und von dem ersteren Producte das letztere subtrahiert. n (b — o) — n b — u o. Die ersteren zwei Gleichungen sind die Umkehrung der Gleichungen in 8- 33; die letzteren zwei Gleichungen folgen aus den ersteren unter Anwendung des 8- 32. 8- 35. Eine Summe oder Differenz wird mit einer Summe oder Differenz multipliciert, indem man nach einander jedes Glied des Multiplicands mit jedem Gliede des Multiplicators multiplicirt und die so ge¬ bildeten Producte als additiv oder subtractiv zusammenstellt, je nachdem die bezüglichen Factoren gleiche oder verschiedene Zeichen haben. kn -s- b) (o -s- ä) — n o -s- b o -s- a ä -s- b ä, (n -s- b) (c — ä) — n o -s- b 6 — n ä — kick, (n — b) (o-j-ä) — ae — b o -f- n ä — bä, (a — b) j o). u (H. 31, 2) — n.stza) (Z. 32). 2. Eine Zahl wird mit einem Producte multipliciert, indem man sie mit dem einen Factor, und das erhaltene Product mit dein andern Factor multipliciert. u. (K o) — (u 1>). o, oder n . (b o) — (g, a) . k. Folgt ans 1. Producte gleicher Factorcn. Z. 37. Wenn in einem Producte dieselbe Zahl öfters als Factor vor kommt, so wird das Product abgekürzt dadurch bezeichnet, daß man diesen Factor nur einmal anschreibt und ihm rechts oben die Zahl beisetzt, welche anzeigt, wie oft derselbe vorkommt; z. B.: Ein Product gleicher Factoren wird eine Potenz genannt; die Anzahl der gleichen Factoren heißt der Potenzexponent, auch bloß Exponent, und der Factor, der so oft vorkommt, als der Exponent anzeigt, die Wurzel oder Grundzahl (Basis). In der Potenzgröße a?», welche gelesen wird: „a zur mten" (Potenz erhoben) oder „a, Wit m potenziert", ist a, die Grundzahl, m der Exponent. Die zweite Potenz n? nennt man insbesondere auch das Quadrat, die dritte s? den Cubus von n. Jede Zahl u wird als die erste Potenz von n angesehen; also a — s?. Wenn in einem mehrgliedrigen Ausdrucke mehrere Potenzen derselben Grundzahl Vorkommen, so pflegt man wegen der leichteren Uebersicht die ein¬ zelnen Glieder nach den Potenzexponenteu zu ordnen, indem man entweder mit der höchsten Potenz anfängt und dann immer niedrigere Potenzen folgen läßt, oder indem man zuerst jenes Glied setzt, welches keine oder die niedrigste Potenz der gemeinschaftlichen Grundzahl enthält, und dann zu immer höheren Potenzen übergeht. Im ersten Falle heißt der Ausdruck fallend, im zweiten steigend geordnet. So erhält z. B. der Ausdruck 3 x° -s- 4 -P 5 x — 6 X-* -s- fallend geordnet die Form: x4 — 6 x" -s- 3 x? -s- 5 x -s- 4, und steigend geordnet die Form: 4 5 x -s- 3 x? — 6 x^ Z- xA Z. 38. Potenzen derselben Grundzahl werden multipliciert, indem man die gemeinschaftliche Grundzahl mit der Summe der Exponenten potenziert. . g? — g"'^. Beweis, a" .cw — u.u.u.. . .(mmal).n.rr.L. . . .(»mal) . .(in-^n)mal — . Z. B. 0,5.0? — g7, A» g, — g?. Muktiplication mehrgliedriger Ausdrücke Z. 39. 1. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird mit einer Zahl multipliciert, indem man jedes Glied desselben mit dieser Zahl, multipliciert und den einzelnen Producten die Zeichen der Glieder des Multiplicands gibt. (g, — d — o-s-ci — a).k—g,k — dt — ok-f-äk— sk. 2. Eine Zahl wird mit einem mehrgliedrigen Ausdrucke multipliciert, ^indem man sie mit jedem Glieds desselben multipliciert und die einzelnen Produkte additiv oder subtractiv zusammenstellt, je nachdem sie ans der Multiplikation mit additiven oder snbtractiven Gliedern hervorgehen. 3. (b —« — ck -j- 6 — k) — ab — uo — uä -s- a s — uf. 3. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird mit einem mehrglie¬ drigen Ausdrucke multipliciert, indem man den ganzen Multiplicand, d.i? jedes Glied desselben, mit jedem Gliede des Multiplikators multipliciert und die einzelnen Producte additiv oder subtractiv znsammenstellt, je nachdem die bezüglichen Factoren gleiche oder verschiedene Zeichen haben. (a — b -s- o) (cl — s — t') — u.ä — bä -j- eä — ns -j- bö — os — ak-s- bk — ok. Die Richtigkeit dieser drei Lehrsätze ergibt sich aus der wiederholten An¬ wendung der AZ. 34 und 35. Zusatz. Bei mehrgliedrigen Ausdrücken, welche nach den Po¬ tenzen derselben Grundzahl fortschreiten, erhält man, wenn dieselben übereinstimmend geordnet sind, durch die Multiplikation des Mustiplicands mit den einzelnen Gliedern des Multiplicators Theilproducte, welche eben so ge¬ ordnet sind. Man schreibt diese Theilproducte, um sie leichter zu reducieren, so an, daß ihre gleichnamigen Glieder untereinander zu stehen kommen. Z.B.: 4 a? — 3 a — 4 Multiplicand 3 a? — 7 n -s- 5 Mu ltiplikator 12 - 9 n — 1 2 »2 — 28 u -j- 21 a- Z- 28 a _ -p 20W2 - 15 — Zg 12w^ — 37 sZ -b 29 g.2 133 2 — 20 Product. Insbesondere erhält man: 1. (g. -j- b)^ — (3. -s- b) (g, -j- b) — a.^ Z- 2ab -s- l>2, und (u — b)2 — sa. — p>) (g. — b) — 8.2 — 2ab ch- b^; d. h. das Quadrat aus der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe der Quadrate dieser Zahlen, bezüglich ver¬ mehrt oder vermindert um das doppelte Product derselben. 2. (a. -j- b) (3 — b) — 3? — b^, d. h. das Product aus der Summe und Differenz zweier Zahlen ist gleich der Differenz ihrer Quadrate. Z. 40. Aus den Sätzen der vorhergehenden ZZ. lassen sich für die Be¬ stimmung des Produktes aus irgend zwei Gliedern beliebiger Ausdrücke fol¬ gende Regeln zusammenfassen: 1. Rücksichtlich des Zeichens ist das Product zweier Glieder additiv oder subtractiv zu setzen, je nachdem diese Glieder gleiche oder verschiedene Zeichen haben. 2. Der Coefficient des Produktes zweier Glieder ist das Product ans den Coesficienten dieser Glieder; denn 3a.4b 3.8.4.b3.4.8.b — 123b. 3. Die Hauptgröße des Produktes zweier Glieder erhält man, wenn man die Factoren, welche in den Hauptgrößen dieser Glieder vorkommen, (in alphabetischer Ordnung) neben einander stellt, und bei Potenzen die in beiden Gliedern enthaltenen Exponenten der gemeinschaftlichen Grundzahl addiert. 16 3. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Multiplication. 41. 1. Gleiches mit Gleichem multipliciert gibt Gleiches. Wenn a — b, L — ä; so ist uv — bä. Folgt unmittelbar aus H. 10, 3. 2. Gleiches mit Ungleichem multipliciert gibt Ungleiches mit demselben Ungleichheitszeichen. Wenn a b, o > ä; so ist no > bä. Beweis. Es sei L — ä -s- w, so ist nach 1. ao — b (ä -s-^v), oder ae — bä -s- bvv (ß. 34, 3). Nun ist bä -st bev > bä (Z. 10, 5), somit auch uo > bä. 3. Ungleiches mit Ungleichem bei demselben Ungleichheits¬ zeichen multipliciert gibt Ungleiches mit demselben Ungleich¬ heitszeichen. Wenn u > b, L > ä. so ist uo > bä. Der Beweis ist unter Zuziehung von 2. und Z. 34, 3 dem vorigen ähnlich. IV. Die Division. 42. Eine Zahl u durch eine Zahl b dividieren heißt, aus a als dem Produkte zweier Zahlen und b als dem einen der Factoren den andern Factor suchen. Man nennt das gegebene Product u den Dividend, den ge¬ gebenen Factor b den Divisor, den gesuchten Factor o den Quotienten, und schreibt u: b — o oder — o. Die Division ist, wenn der Mnltiplicator als Divisor gegeben ist, im Begriffe wesentlich verschieden von der Division, in welcher der Multiplikand als Divisor gegeben ist. Im ersten Falle ist die Division ein Th eilen, wobei der Theil gesucht wird, welcher so oft genommen, wie der Divisor anzeigt, den Dividend hervorbringt; der Divisor ist in diesem Falle eine unbenannte Zahl, der Dividend kann auch eine Benennung haben, welche dann auch der Quotient erhält. Z. B. 15 fl. :3 — 5 st. Im zweiten Falle ist die Division ein Ver¬ gleichen oder Messen, wobei untersucht wird, wie ost der Divisor in dem Dividend enthalten ist; ist hier der Dividend benannt, so muß auch der Di¬ visor benannt und zwar mit dem Dividend gleichnamig sein; der Quotient ist eine unbenannte Zahl. Z. B. 15 fl.: 3 fl. — 5. Der Zahlenwerth des Quotienten ist jedoch bei gleichem Dividend und Divisor mit Bezug auf K. 32 in beiden Fällen derselbe, so daß man bei der Entwicklung der Divisionsgesetze diese beiden Arten der Division nicht zu unter¬ scheiden braucht. Folgesätze. 1. Wenn man den Quotienten zweier Zahlen und den Divisor mit einander multipliciert, so erhält man den Dividend. (a : b) . b — u, b. (u : b) " u. 17 2. Wenn man das Product zweier Zahlen durch den einen Factor dividiert, so erhält man den andern Factor. ab : a — s>, ab : b — a. 3. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man sie mit einer Zahl multipliciert und durch dieselbe Zahl dividiert. a — (ad) : b; a — (a: b).b Folgt aus 2. und 1. Die Multiplikation und die Division sind demnach einander entgegen¬ gesetzt, und zwar ist die Multiplikation eine directe, die Division eine in- directe oder inverse Operation. 4. Jede Zahl durch sich selbst dividiert gibt 1 zum Quotienten. u : a — 1, denn 1 . a — a. 5. Jede Zahl durch 1 dividiert gibt sich selbstzumQuotienten. a : 1 r-- a, 1:1 — 1. 6. Null dur chei n e von Null v erschiedene Zahl dividiert gibt Null zum Quozienteu. <> . ^ o, denn O . a - 0. 7. Null durch Null dividiert kanu jede beliebige Zahl zum Quotienten geben. 0:0 — a, wo a eine beliebige Zahl bedeutet; denn a.O — 0. Der Ausdruck ist daher ein Symbol der Unbestimmtheit. 8. Eine von Null verschiedene (endliche) Zahl durch Null divi¬ diert gibt zum Quotienten eine unendlich große Zahl, d. i. eine Zahl, welche größer ist als jede noch so große angebbare Zahl. Eine unendlich große Zahl bezeichnet man durch cxz? Ist a:b — o, also ab —a, so muß, wenn 8 kleiner wird, offenbar o in demselben Maße größer werden, und wenn b kleiner als jede noch so kleine angebbare Zahl, d. h. gleich Null wird, v größer als jede noch so große angeb¬ bare Zahl, d. h. unendlich groß werden; mithin a: 0 — cxc>. 9. Eine von Null verschiedene (endliche) Zahl durch eine unend¬ lich große Zahl dividiert gibt Null zum Quotienten. a: so — 0. Folgt aus 8. und 2. tz. 43. Um die Division auszuführen, sucht man entweder in der Zahlen¬ reihe diejenige Zahl auf, welche so oft gesetzt, wie der Divisor anzeigt, den Dividend gibt; oder man subtrahiert wiederholt den Divisor zuerst vom Divi¬ dend, dann von dem jedesmal erhaltenen Neste so oft als möglich ist; die Zahl, welche anzeigt, wie oft die Subtraktion verrichtet werden kann, ist der Quotient. Die Division zweier Zahlen kann an der natürlichen Zahlenreihe nur dann ausgeführt werden, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist. Wir werden daher bei den folgenden Sätzen vorläufig voraussetzen, daß die Dividenden der vorkommenden Quotienten Vielfache ihrer Divisoren sind 1. Verbindung von Quotienten durch die Addition, Sub¬ traction und Multiplication. Addition und Subtraktion von Auotienten. K. 44. Zwei Quotienten von gleichem Divisor werden ad¬ diert oder subtrahiert, indem man bezüglich die Summe oder die Differenz ihrer Dividenden durch den gemeinschaftlichen Divisor dividiert. Moönik, Arithmetik und Algebra, ll. Aufl. 2 18 A, d «. — I) e« e * Beweis. 1. 4- : o (8- 42, 3) (a -s- h): o (Z. 34, 1 und 8- 42, 1). 2. Aehulich wird die zweite Gleichung abgeleitet. Wie man Quotienten von ungleichen Divisoren addiert oder subtrahiert, wird später (K. 99 nnd 8- 101) gezeigt werden. Multiplikation von Auotienten. Z. 45. Ein Quotient wird mit einer Zahl multipliciert, indem man den Dividend mnltipliciert, oder den Divisor dividiert. Beweis. 1. 2. 8 d 2,0 . a 6 —-i-, oder 7-. e — d rr d : o' - °-stz 4 b^I,E.42,3> — ao : h (8- 36, 1 und 8- 42, 1). d (8- 42, 3) (8- 36, 1) (8- 42, 1) 8. dH Folgesatz. Wenn man eine Zahl mit einer zweiten zu multi- plicieren uud durch eine dritte zu dividieren hat, so ist es für das Resultat gleichgiltig, in welcher Ordnung man mnltipliciert und dividiert. i> — b ' Z. 46. Eine Zahl wird mit einem Quotienten multipliciert, indem man sie mit dem Dividend multipliciert und durch den Divisor dividiert, bab . d s , a . - — —, oder a. - — — . o. v v o Die erste Gleichung ergibt sich mit Anwendung des Z. 32 aus H. 45; die zweite Gleichung folgt aus der ersten mit Rücksicht auf 8- 45, Folgesatz. 8. 47. Ein Product bleibt unverändert, wenn man den einen Factor mit einer Zahl multipliciert nnd den andern durch die¬ selbe Zahl dividiert. kl) — ae. (h : o), oder ah (g,: o) . ho. Folgt aus tz. 46 und 45; denn ao . (h : o) — (ao: e) . h — ad, und eben so (a: o) . ho — s(a: o) . os . h — ah. 8- 48. Ein Quotient wird mit einem Quotienten multipli ciert, indem man das Product der Dividenden durch das Product der Divi¬ soren dividiert. <4 6 11 6 ü ' iz i> ä 19 ii 7 -- sl^ u b <1 ^ : k> (8- 42, 3) — (u: o) : 6 (H. 45). 2. : o — : o) . do^ : do (8- 42, 3) — . do^ : o^ : do (8- 45) — (ue : e) : de (8- 47) — a: do (8- 42, 2). Folgesatz. Wenn eine Zahl durch zwei Zahlen zu dividieren ist, so ist es gleichgiltig, in welcherFolge man dadurch dividiert. 8- 51. 1. Eine Zahl wird durch ein Product dividiert, indem man -sie durch den einen Factor, und den erhaltenen Quotienten durch den anderen Factor dividiert. — — : o, oder — — - : d. do d do o Folgt aus 8. 50, 2. 2. Eine Zahl wird durch einen Quotienten dividiert, indem man sie durch den Dividend dividiert und mit dem Divisor mnltipliciert. -—. — - . o, oder 7 — — -77-. d : o d d : o d Folgt aus 8> 45. 80 8- 52. Potenzen derselben Grundzahl werden dividiert, indem man von dem Exponenten des Dividends den Exponenten des Divisors subtrahiert und die gemeinschaftliche Grundzahl mit der Differenz der Exponenten potenziert. : a» — s."'-". Beweis. Damit hier die Division nach 8- 43 ausführbar sei, muß vorausgesetzt werden, daß n nicht größer als in sei. Man setze m n -f- n, oder m — n — >v, wo auch n — 0 sein kann; dann ist a'» : g," — : a" — a" . a" : 3," (8- 38) — a'" (Z. 42, 2) — Z. B. — g?, ^4. Zusatz. Da nach diesem Satze : n>" — ist, eine Potenz mit dem Exponenten 0 aber nach der in 8- 37 gegebenen Erklärung einer Potenz keinen Sinn hat, so muß für diese neue Potenzform erst die Bedeutung fest¬ gestellt werden. Aus 8- 42, 4 ergibt sich a"' : n" — l; folglich ist a" gleich¬ bedeutend mit 1. Die nullte Potenz einer endlichen von Null verschiedenen Zahl ist also gleich 1. tz. 53. Ein Quotient bleibt unverändert, wenn man den Divi¬ dend und den Divisor mit derselben Zahl multipliciert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. a Lc , a «.:e r — w-, und;—. o dc/ o o : o Folgt aus 8. 5k, k und 2; denn — ^°:d — n:d, und eben so do 6 ' : o) . o : d — a : d. 54. Ein Quotient wird durch einen Quotienten dividiert, indem man den Quotienten der Dividenden durch den Quotienten der Divisoren dividiert, oder den Dividend und den Divisor des ersten Quotienten bezüglich mit dem Divisor und dem Dividend des zweiten Quotienten multipliciert und das erste Product durch das zweite dividiert. 8.6 a : o . 80 8(1 -r — v — oder d tl b : (1 d (i t)6 - 4S)^).:°)ch ^4-sl^N >'°s ^°(z.4S. Z) -- A 45) ao::do (8- 47) — . cÜ : do (8- 5k, 2) -- nä: do (8- 42, 2). Division mehrgliedriger Ausdrücke. 8- 55. 1. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird durch eine Zahl dividiert, indem man jedes Glied desselben durch diese Zahl dividiert und den einzelnen Quotienten die Zeichen der Glieder des Dividends gibt. a — b — c -t- ä — s _ s N c . ä s 'e 21 Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich aus der wiederholten Anwen¬ dung der beiden Lehrsätze in Z. 49. 2. Man nehme den Multiplieand a -si b — v als Divisor, den Multiplicator m — n -i- p als Quotienten, daher ihr Product a m -f- b w — am — an —buch- an -siap -s- bp, op als Dividend an. Aus dem Gesetze, nach welchem die Glieder des Divisors und des Quotienten in ihrem Producte, dem Dividende, mit einander verbunden erscheinen (Z. 39, 3), ergibt sich für das Dividieren zweier mehrgliedriger Ausdrücke fol¬ gendes Verfahren: Man dividiere, nachdem die Glieder des Dividends und des Divisors nach einerlei Gesetz geordnet wurden, das erste Glied des Dividends durch das erste Glied des Divisors; dadurch erhält man das erste Glied des Quotienten; mit diesem Theilquotienten multipliciere man den ganzen Divisor und subtra¬ hiere das Product vom ganzen Dividend. Mit dem Reste verfahre man dann eben so, wie mit dem ursprünglichen Dividend, um das zweite Glied des Quo¬ tienten zu erhalten, u. s. f. Z. B.: (3a/' — 4 ab — 4 b°): (3a-j-2b) a - 2b 3a? si- 2ab — 6ab — 43" — 6ab — 4b'- 4- 4- Ö Insbesondere ist: I) (a^ - b°): (a -si b) a — b, 2) (a? — b'-) : (a — b) a -si b; a" -s- ab a"— ab - — - 4 — ab — b" 4-ab—l4 — ab — b- si-ab — b" 4- -4 — 4- 0 0 d. h. die Differenz der Quadrate zweier Zahlen dividiert durch die Summe oder dieDifserenz dieser Zahlen gibt bezüglich die Differenz oder die Summe derselben Zahlen. Z. 56. Mit Rücksicht auf die vorhergehenden Sätze lassen sich zur Be¬ stimmung des Quotienten zweier Glieder beliebiger Ausdrücke folgende Regeln zusammenstellen: 1. Bezüglich des Zeichens ist der Quotient zweier Glieder additiv oder subtractiv zu setzen, je nachdem die beiden Glieder gleiche oder verschiedene Zeichen haben. (Folgt aus tz. 35.) 2. Der Coefficient des Quotienten zweier Glieder ist der Quotient der Coefficieuten dieser Glieder. 3. Die Hauptgröße des Quotienten zweier Glieder erhält mau, wenn man von den Factoreu, welche in den Hauptgrößen dieser Glieder vorkommen, diejenigen, welche beiden gemeinschaftlich sind, in gleicher Anzahl wegläßt, folglich bei Potenzen derselbe» Grundzahl den Exponenten des Divisors von jenem Les Dividends subtrahiert. 22 3. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Division. 8- 87. l. Gleiches durch Gleiches dividiert gibt Gleiches. Wenn a — d, o — ck; so ist - ' ' 6 ä Folgt unmittelbar aus tz. 10, 3. 2. Ungleiches durch Gleiches dividiert gibt Ungleiches mit demselben Ung le ich heitsz eich en. Wenn n>b, o — cl; c Li. b io lst->z-. ' 6 ä Beweis. Wäre nichtso müßte sein; dann wäre bezüglich auch ci (A. 41, 1 und 2), daher (42, 1), was gegen die Vor¬ aussetzung ist. 3. Gleiches durch Ungleiches dividiert gibt Ungleiches mit entgegengesetztem Unglei chheitszeichen. Wenn v > ck; so Beweis. Wäre so müßte in beiden Fällen (Z. 41, 2 und 3), daher a < b (Z. 42, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist. 4. Ungleiches durch Ungleiches mit entgegengesetztem Un¬ gleichheitszeichen dividiert gibt Ungleiches mit dem ersten Un¬ gleichheitszeichen. Wenn a>k, v<6; so ist ' ' 6 ä Beweis. Wäre^<^., so müßte in beiden Fällen (ß. 41, 2 und 3), daher a < d (H. 42, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist. V. Die Grmidvperatiouen mit dekadischen ganzen Zahlen- 1. Zahlensysteme. Zahlensysteme überhaupt. tz. 58. Eine übersichtliche Anordnung aller besonderen Zahlen, welche den Zweck hat, mit wenigen Zahlenansdrücken jede beliebig große Zahl dar- znstellen, nennt man ein Zahlensystem. Um ein Zahlensystem zu bilden, zählt man in der natürlichen Zahlen¬ reihe nur bis zu einer bestimmten, jedoch 1 überschreitenden Zahl 3 hinauf, welche man noch unmittelbar anffassen will, und welche die Grundzahl oder 23 Basis des Zahlensystemes heißt. Betrachtet man diese als eine neue Einheit und kommt daun beim weitern Zählen auf eine Zahl, welche diese neue Einheit so vielmal enthält, wie die Grundzahl anzeigt, also auf die Zahl st.st —st2, so sieht man diese wieder als eine neue Einheit oder als Einheit der nächst höheren Ordnung an. Gelaugt man bei fortgesetztem Zählen zu einer Zahl, welche die höhere Einheit st^ so oft enthält, wie st anzeigt, also zu der Zahl st^.st—st^, s» wird diese als Einheit einer noch hö¬ heren Ordnung angesehen. Durch Fortsetzung dieses Vorganges kann man neue Einheiten immer höherer Ordnungen bilden. Die auf einander folgenden Einheiten st, st^, st^ ... erscheinen als Po¬ tenzen der gleichen Grundzahl st und heißen, den Exponenten derselben gemäß, Einheiten der ersten, zweiten, dritten, ... Ordnung, oder auch des ersten, zweiten, dritten, ... Ranges, zum Unterschiede von der ursprünglichen Einheit, die man, weil 1 — st" (H 52, Zusatz) ist, auch Einheit der nullten Ordnung nennen kann. Jede Zahl kann sodann als eine Snmme von Theilen dar¬ gestellt werden, von denen jeder die Einheit einer bestimmten Ordnung, versehen mit einem Coefficienten, welch er kleiner als die Grundzahl ist, enthält. Beweis. Ist st" die höchste Einheit, welche in der ganzen Zahl stl vor¬ kommt, so kann man N st" -st sts, setzen, wo < st und stl, < st" sein muß. Eben so kann man weiter setzen: stst — st"--r st- stiy, wo < st, stiy < st"-*; — u»-s st""? st- stiz, wo.u,i-L < st, stig < st"-?; bst,-? — st^ st- wo n-2 < st, < st2; — Az st st- So, W0 Uz < st, Ng < st- Substituiert man nach und nach die Werthe von stst, isti», - - - ^-s, in sti, so erhält man endlich kst — st" st- i st i st- s st""^ st- ... st- uZ st" st- -st st st- Uo, Wobei übrigens von den Coefficienten u„-u, u„-s, .. - ^,3» einige, oder auch alle 0 sein können. Dieser Ausdruck ist daher die allgemeine Form für jede beliebige ganze Zahl in dem Zahlensysteme, dessen Grundzahl st ist. Um nun in diesem Systeme alle beliebigen ganzen Zahlen zu benennen, genügt es, bloß denjenigen Zahlen, welche kleiner als st sind, so wie den auf einander folgenden Potenzen "von st besondere Namen zu geben. Um in diesem Systeme alle beliebigen Zahlen schriftlich darzustellen, bedarf es nur besonderer Zeichen (Ziffern) für die Zahlen, welche kleiner als st sind, und des Zeichens 0 für das Nichtvorhandensein einer bestimmten Potenz von k, somit zusammen so vieler Ziffern, wie die Grundzahl st anzeigt. Da man jede ganze Zahl, die größer als 1. ist, als Grundzahl eines Zahlensystems wählen kann, so lassen sich unzählig viele verschiedene Zahlen¬ systeme Herstellen. Die wenigsten Zeichen verlangt das dyadiscke Zahlen¬ system mit der Grundzahl zwei, indem man darin jede Zahl durch die zwei Zeichen o und 1 darstellen kann; dasselbe führt jedoch die Unbequemlichkeit mit sich, daß auch kleine Zahlen schon mit vielen Ziffern geschrieben werden müssen. 24 Dekadisches Zahlensystem. Z. 59. Das gegenwärtig allgemein gebräuchliche Zahlensystem ist das dekadische, dessen Grundzahl zehn ist. In diesem drückt man die ersten neun Zahlen, Einer, mit den be¬ kannten Zahlwörtern eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun aus und nennt die Einheit der ersten, zweiten, dritten, vierten, ... Ordnung be¬ züglich einen Z ehner, ein Hundert, ein Taus end, ein Z ehntausend, .. . Verbindet man mit jenen Zahlwörtern die Benennungen der auf einander folgenden Ordnungen von Einheiten, so kann dadurch jede beliebig große Zahl benannt werden. Um die dekadischen Zahlen schriftlich darzustellen, genügen die Ziffern für die ersten neun Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, zu denen noch die 0 kommt. Bezeichnet man mit s, b, o, ... p, H, r irgend eine der Zahlen 0, 1, 2, ... 8, 9, so ist der Ausdruck r. 10°-st 10"-^-st st. 10"-»-st .. . st-o.K^st-d.IO-sta die allgemeine Form einer dekadischen ganzen Zahl. Man kürzt aber diese Form dahin ab, daß inan die Potenzen von 10 wegläßt und nur die Coeffi- cienten (Ziffern) anschreibt, und jeder Ziffer einen zehnfachen Werth an¬ weist, wenn man sie in die nächste Rangstelle nach links versetzt. In diesem Sinne ist z. B. 35684 3.KU -st 5.10» -st 6.10" st- 8.10 -st 4, oder — 30000 st- 5000 st- 600 -st 80 st- 4. Der Rang jeder einzelnen Ziffer wird durch den Exponenten derjenigen Potenz von 10 bestimmt, als deren Coefficienten man sich die Ziffer vorstellen muß; man nennt diesen Potenzexponenten von 10 die Ordnungszahl der Ziffer; z. B. in 35684 ist die Ziffer 6 vom 2ten, die höchste Ziffer 3 vom 4ten Range. Weil auf die höchste Ziffer einer dekadischen Zahl noch so viele Ziffern folgen müssen, als der Rang derselben anzeigt, so ist die Anzahl der Ziffern, mit welchen eine dekadische Zahl geschrieben wirv, um 1 größer als die Ord¬ nungszahl der höchsten Ziffer. Eine Potenz von 10 ist die kleinste Zahl, welche eine Ziffer mehr ent¬ hält, als die Ordnungszahl der höchsten Ziffer anzeigt. Es ist daher eine wziffrige Zahl > 10"'-st aber < 10'°. 2. Das Rechnen mit dekadischen Zahlen. Addition dekadischer Zahlen. tz. 60. Das Rechnen mit dekadischen ganzen Zahlen beruht auf den Vorschriften, welche in diesem Abschnitte für das Rechnen mit mehrgliedrigen Ausdrücken, die nach den Potenzen derselben Grundzahl geordnet sind, ent¬ wickelt wurden; nur muß dabei wegen der einfacheren Darstellung der dekadi¬ schen Zahlen durch neben einander geschriebene Ziffern ans den Rang dieser einzelnen Ziffern Rücksicht genommen werden. Ist U — ci. 10»-st o. 102 st- 6.10 st- u, und sti — r. 102 st- y.IO st- st, so ist ZI -st ist ck. 10» st- ((i -st r). 10' st- (6 st- ost, 10 -st (a, st- st) 25 Man schreibt also beim Addieren dekadischer Zahlen die Ziffern von gleicher Rangstelle unter einander, und darunter nach der Ordnung die Summe der unter einander stehenden Ziffern. Ist die Summe der unter einander stehenden Ziffern zweiziffrig, B. 6 4- 14 vorausgesetzt wird, so ist N > 10"°-', aber < 10°', ferner 14 > 10°-', aber < 10", folglich N 4- 14 > 1gm-i io»-!, aber < IO"' 4- 10", daher N -4 14 > 10°—h aber <2.10"; die Summe N -s- 14 hat also mindestens m und höchstens m 4- 1 Ziffern. Subtraclion dekadischer Zahlen. Z. 62. Äst N^ä.10-4- o.lO«-4 6.10-4 a, und 14 -- r 10« -4 4 -10 4- p, so ist N — 14 ä.1O- -4 (e — r).1O« -4 (b - 4).10 4- 0 — p). Beim Subtrahieren dekadischer Zahlen schreibt man daher die Ziffern von gleicher Rangstelle unter einander und darunter die Differenzen der unter einander stehenden Ziffern. Ist in einer Rangstelle die Ziffer des Subtrahends größer als die des Minuends, so vermehrt man die letztere, um subtrahieren zu köuneu, um 10, und vermehrt, damit die Differenz unverändert bleibe (Z. 25), auch den Sub¬ trahend um 10 Einheiten desselben Ranges oder um 1 Einheit in der nächst höheren Rangstelle. Ist oben z. B. 4 > 6, so nimmt die Differenz folgende Gestalt an: N — 4.10--4 fe— (r4-1)).10'4-f(b 4- 10) — 4s.10 4- (a —?)- 10 10.10 Z. B.,5928 — 5.10- 4- 9.10« 4- 2.10 4- 8 2345 — 2.10- 4- 3.10« 4- 4.10 -4 5 1 1.10' 3583 3.10- 4- 5.10« 4- 8.10 4- 3. Z. 63. Die Differenz zweier dekadischer Zahlen hat höch¬ stens so viele Ziffern als der Minuend, kann ihrer aber auch unbestimmt weniger haben. Ist N mziffrig, und 14 nziffrig, Ll — 14 — v, daher N — 14 4- v, so hat nach Z. 61, N so viele Ziffern als der größere der beiden Summanden 14 und v, oder um eine mehr. Folglich kann Ö nicht mehr Ziffern haben als N, wohl aber unbestimmt weniger, sofern 14 > I) ist. 26 Muttiplieatiou dekadischer Zahlen. ß. 64. 1. Wenn N 6.10» st-. 4.10» st- 6.10° -4- b.10 st- L, so ist N.p — 6p.10» st- äp-10» st- op.10^ st- kp.10 st- n p. Eine mehrziffrige Zahl wird daher mit einer einziffrigen multipliciert, indem man die Einer, Zehner, Hunderte, ... des Multi- plicands mit dem Mnltiplicator multipliciert und die einzelnen Producte unter die multiplicierten Ziffern setzt. Ist eines dieser Producte zweiziffrig, z. B. np — r.10 st- s, so behalte man an dieser Stelle nur die niedrigere Ziffer s, und zähle die höhere r zu dem Producte in dieser höheren Rangstelle. Z. B. 578 X 3 — (5.10^ st- 7,10^, 8) X 3 22 2.10° 2.10 1734 17.102 st- 23.10 st- 24 2. Ist N irgend eine mehrziffrige Zahl und Ist p.lo» st- 1.102 ,..10 g, so ist N.n — Np.10» st- LIq.102 st- Nr.10 st- Ns. Um daher zwei mehrziffrige Zahlen mit einander zu multipln eieren, multipliciert man den Multiplicand mit jeder Ziffer des Multiplica- tors, von der höchsten angefangen, multipliciert dann die erhaltenen Theilpro ducte der Ordnung nach mit den fallenden Potenzen von 10, was dadurch geschieht, daß man jedes folgende Product um eine Stelle weiter gegen die Rechte rückt und addiert die unter einander stehenden Ziffern der Theilproducte. Z. B. 7318 oder 7318 473 473 -"2927200 29272 . 512260 51226 21954 21954 3461414 3461414 Zusatz. Setzt man den Mnltiplicator so unter den Multiplicand, daß seine höchste Ziffer unter die Einer des letzteren kommt, und schreibt die nied¬ rigste Ziffer des ersten Theilproductes unter die niedrigste Ziffer des Multi- plicands, so haben die einzelnen Ziffern des Productes gleichen Rang mit den gerade darüber stehenden Stellen des Multiplicators. Z. 65. Das Product zweier dekadischer Zahlen hat entweder so viele Ziffern, als beide Factoren zusammengenommen, oder um eine Ziffer weniger. Sei N mziffrig und Ist nziffrig, so ist^N > 10"'-», aber < 10'", ferner Ist > 10"-», aber < 10", folglich Nist > 10"'i-"-2, aber < 10"^"; das Product Nist hat also mindestens in st- n — 1 Ziffern und höchstens u> st- n Ziffern. Division dekadischer Zahlen. ij. 66. Es sei als Dividend das Product N or. 10» st- (br st- 01). 10» st- (ur st- st- vp) -102 st- (alst-dp). 10 st- «p, welches wir der leichtern Uebersicht wegen so schreiben wollen: N --- or 10» st- lli-1.10» st- ar .102 st- aM. 10 st- up, st-ocst st- bi st-dpj st- v p und als Divisor die Zahl 27 N v.10° -s- 6.10 4- n gegeben, so erhält man nach K. 55, 2 N: «-.(or. 10^ 4- k o!. 10» 4-ar . 10° 4-aH . 104ap):(o. 10°4d.lO-Pa) -j-0H 4-stcz -s-kp — r. 10°4st 10-s-p -s- op or.10« -s- dr. 10» -s- ar. 10° -s- 0H.10» -h 1>H!. 10° -f- AH 10 4-op! 4-dp 4 0H. 10» 4- dH . 10° -j- AH. 10 4- op .10° 4- l) p. IO 4- n p -d op . 10° 4- d p. 10 4- A p 0 Man nimmt daher, da hier or auch zweiziffrig sein kann, so viele höchste Ziffern des Dividends, als der Divisor hat, oder wenn diese kleiner wären als der Divisor, um eine mehr als ersten Theildividend an, multipli- ciert mit der dadurch gefundeneu höchsten Ziffer des Quotienten den Divisor und subtrahiert das Product von dem ersten Theildividend. Zu dem Reste setzt man die nächstfolgende Ziffer des Dividends, bestimmt aus diesem neuen Theil¬ dividend die zweite Ziffer des Quotienten und setzt dieses Verfahren fort, bis alle Ziffern des Dividends in Rechnung gezogen wurden. Dabei ist zu berück¬ sichtigen, daß der Rest, der aus der Subtractiou der Theilproducte entsteht, immer kleiner sein muß als der Divisor, weil man sonst im Quotienten eine zweite Ziffer von derselben Rangstelle erhalten würde. Z. B. 4409064 : 836 5274, oder 4409064, oder wenn man die Theilproducte in Gedanken subtrahiert und nur die Reste anschreibt, 4409064 836 5274 2290 6186 3344 Zusatz. Schreibt inan den Divisor unter den ersten Theildividend, und die erste Ziffer des Quotienten unter die Einerstelle des Divisors, so hat jede 28 Ziffer des Quotienten gleichen Rang mit der gerade darüber stehenden Ziffer des Dividens. Z. 67. Der Quotient hat entweder eben so viele Ziffern als der Unterschied zwischen der Anzahl der Ziffern des Dividends und der des Divisors beträgt, oder um eine Ziffer mehr. Ist N wziffrig und ibi nziffrig, wo Lil > ibl ist, und LI: Li — tz, daher LI — Li.tz, so hat nach tz. 66 Ll so viele Ziffern, als die Factoren bl und zusammeugeuommen, oder um eine Ziffer weniger. Demnach muß tz, entweder so viele Ziffern haben, als ihrer LI mehr hat als Li, oder noch um eine mehr. Zweiter Abschnitt. Die Grundoperationen mit algebraischen ganzen Zahlen. 1. Erklärungen. Z. 68. Um das allgemeine Verfahren der Subtractiou (H. 18), nach welchem man in der Zahlenreihe vom Minuend nm so viel Einheiten zurück¬ zählen soll, als der Subtrahend anzeigt, auch in dem Falle, wenn der Sub¬ trahend größer als der Minuend ist, anwendbar zu machen, ist man genöthigt, die Reihe der natürlichen Zahlen dadurch zu erweitern, daß man von der Null als ihrem Ausgangspuncte (Z. 4) nach dem gleichen Gesetze auch abwärts fortschreitet. Diese Erweiterung des Zahlengebietes läßt sich am besten an der Zahlen¬ linie nachweisen. —6 —5 -4 — S -Z -4 6 ^-4 -i-Z -l-Z -t-4 ^-6 -«-6 Schreitet man auf der Zahlenlinie von der Stelle 6 um 4 Schritte zurück, so gelaugt man zu der Stelle x, und es ist x — 6 — 4 — 2. Schreitet man aber von der Stelle 6 um 8 Schritte zurück, so gelangt man zu der Stelle und es ist 6 — 8. Zu derselben Stelle kommt man auch, indem man von der Stelle 6 zuerst 6, dann 2 Schritte zurück geht; mithin ist — 6 — 6 — 2 — 0 — 2, wofür man — 2 schreibt. Durch dieselbe Schlußweise überzeugt man sich, daß je zwei gleichweit vom Nullpunkte entfernte Stellen der Zahlenlinie durch dieselbe Zahl bezeichnet werden, daß aber die Zahlen, welche auf derjenigen Seite, die der ursprüng¬ lichen Richtung entgegengesetzt ist, liegen, das beständige Vorzeichen — haben. Dann muß man aber den Zahlen auf der ursprünglichen Richtung der Zahlen¬ linie das Vorzeichen -s- geben. Denn schreitet man von 0 in der ursprüng¬ lichen Richtung 2 Schritte ab, so gelangt man zu der Stelle 0 -s- 2 — -U 2; oder schreitet man von der Stelle — 6 zuerst 6, dann 2 Schritte in der ursprüng¬ lichen Richtung ab, so kommt man zur Stelle — 6-f-6-f-2 — OZ-2 — -f-2. Die mit dem Vorzeichen — versehenen Zahlen heißen negativ e Zahlen; sie bildew den Gegensatz zu den bisherigen Zahlen der natürlichen Zahlenreihe, welche man zum Unterschiede von jenen positive Zahlen nennt und mit dem Vorzeichen -j- bezeichnet. Es ist demnach g. — n. Die mit Vorzeichen versehenen Zahlen werden relative oder alge¬ braische Zahlen genannt, im Gegensätze zu den ursprünglichen Zahlen, welche absolute Zahlen heißen. 29 Jede algebraische Zahl besteht aus einem Vorzeichen und einem Zahlen« werthe. Das Vorzeichen zeigt an, ob sich die Zahl auf der positiven oder negativen Seite der Zahlenreihe befindet; der Zahlenwerth ist eine absolute Zahl und zeigt an, welche Stelle die Zahl in der Reihe der positiven oder der negativen Zahlen einnimmt. Zwei Zahlen, welche gleichen Zahlenwerth, aber verschiedene Vorzeichen haben, heißen einander entgegengesetzt. Es ist nicht nöthig, stets beide Vorzeichen zu gebrauchen; man pflegt das Vorzeichen -s- als selbstverständlich dort wegzulassen, wo es ohne Störung des Sinnes und des Zusammenhanges einer Rechnung geschehen kann. Die Vorzeichen -s- und — sind zu unterscheiden von den bisherigen Rechnungszeichen der Addition und der Subtractiou; sie stehen jedoch mit denselben in einer so innigen Be¬ ziehung, daß die Doppeldeutigkeit dieser Zeichen gar nicht störend sein kann. Es bedeutet nämlich st- a eine Zahl, zu der man gelangt, wenn man in der Zahlenreihe von 0 um rr Ein¬ beiten vorwärts schreitet, —-r dagegen eine Zahl, zu der man gelangt, wenn man in der Zahlenreihe von 0 um n Einheiten znriickschreitet; daher ist nach ZZ. N und tö — s— n 0 —s- a, — u — 0 — n, wo die ersten Zeichen Vorzeichen, die zweiten NechnnngSzeichen vorstellen. Größen, wie Bewegung nach Norden und nach Süden, das Steigen und Sinken, Vermögen und Schulden, Höhe über und unter dem Meeresspiegel, Zeiten vor und nach Christi Geburt, u. dgl., welche in dem einen und in dem entgegengesetzten Sinne gezählt werden können, so daß gleichviel von beiden Zählungen 0 gibt, heißen entgegengesetzte Größen. In der Mathematik bezeichnet man die eine von zwei entgegengesetzten Größen, gleichviel welche, aber consegnent, mit si-, die anderen mit —. Hätte inan z. B. die Zeit, wann ein Ereigniß 0 stattfand, zu rechnen aus der Angabe: a Jahre nach Christo fand ein Ereignis X statt, l> Jahre später ein Ereignis L und o Jahre früher ein Ereignis 0; so wäre der gesuchte Zeitpunkt x — s. -si Z — 6. Käme nach Einsetzung der Werthe für n, l>, o ein Resultat — va znm Vorschein, so hieße dies: das Ereignis 0 fand m Jahre vor Christo statt. Allgemein: Ein negativer Werth —in für eine gesuchte Größe x bedeutet stets, daß die Größe gemessen wird durch in Einheiten, aber in einem Sinne, welcher dem ursprünglich in die Rechnung eiugeführten entgegengesetzt ist. 2. Das Rechnen mit algebraischen Zahlen. ß. 69. Der durch die Aufnahme der negativen Zahlen erweiterte Zahlen« begriff hat zur Folge, daß auch die Begriffe der Operationen ange¬ messen erweitert werden, damit sich die Lehrsätze, deren Giltigkeit zunächst für absolute Zahlen nachgewiesen wurde, auch auf die algebraischen Zahlen aus¬ dehnen lassen. tz. 70. Die für das Addieren in tz. 11 gegebene Erklärung bleibt anch für algebraische Zahlen giltig; nur bestimmt sich das Weiterschreiten von: ersten Summanden aus um die Einheiten des zweiten mit Rücksicht auf den Gegensatz der positiven und negativen Zahlen als ein Vorwärts- oder Rück¬ wärtsschreiten in der algebraischen Zahlenreihe, je nachdem der zweite Sum¬ mand positiv oder negativ ist. 1. Zwei gleichbezeichnete Zahlen werden addiert, indem man ihre Zahlenwerthe addiert und dieser Summe das gemeinschaftliche Vor¬ zeichen gibt. (Z- s.) Z- (st- i>) — -s- (a -j- d), (— u) -s- (— k>) — — (a Z- k). 30 Beweis, (-j- -s- (-st I)) zeigt an, daß man in der algebraischen Zahlenreihe von der Zahl -st u aus um st Einheiten Vorwärtsschreiten soll; dadurch gelangt man zu der Zahl s. -st st aus der positiven Seite, also zu -st (u -st st). (— u) -st (— st) zeigt an, daß man in der algebraischen Zahlenreihe von der Zahl — g, aus um st Einheiten rückwärtsschreiten soll; dadurch ge¬ langt man auch zu der Zahl n -st st, jedoch auf der negativen Seite, also zu - (a -s- st). 2. Zwei ungleich bezeichnete Zahlen werden addiert, indem man den kleineren Zahlenwerth von dem größeren subtrahiert und dieser Dif¬ ferenz das Vorzeichen des größeren Zahlenwerthes gibt. (-st a) -st (— b) — -st (u — st), oder — (st — u), (— u) -st (-st st) ——- (u — b), oder ------ -st (st — u). Der Beweis wird ähnlich, wie bei dem vorhergehenden Satze, geführt. Zusatz. Zwei entgegengesetzte Zahlen geben zur Summe Null (heben sich gegenseitig auf). (-st a) -st (— u) — 0, (— a) -st (-st u) — 0. Z. 71. Auch für das Subtrahieren algebraischer Zahlen gilt die in ß. 17 aufgestellte Erklärung. Um diese Operation auch hier auf das Zählen zurückzuführen, darf man nur mit Rücksicht auf den Gegensatz der positiven und negativen Zahlen die in K. 18 gegebene Regel dahin ergänzen, daß das Fortschreiten vom Minuend aus um die Einheiten des Subtrahends rückwärts oder vorwärts zu geschehen hat, je nachdem der Subtrahend positiv oder negativ ist. Zwei algebraische Zahlen werden subtrahiert, indem man zum unveränderten Minuend den Subtrahend mit entgegengesetztem Vorzeichen addiert. O a) — (-st st) (-st a) -st (— st), (-st u) — ( —st) — (-st u) -st s-i- st), (— u) — (-st- b) — (— a) -st (— b), (- u) (— st) — (- u) -st (-st st). Beweis, (-st s.) — (st- st) zeigt au, daß man den in der algebraischen Zahlenreihe vom Minuend -st aus um st Einheiten rückwärtsschreiten soll; dies ist aber derselbe Nechnungsgang, als ob man zu -st u die Zahl — st addiert. (-st a) — ( — st) zeigt an, daß mau in der algebraischen Zahlenreihe von -st u aus um st Einheiten Vorwärtsschreiten soll; dies ist aber derselbe Rech¬ nungsgang, als ob man zu -st u die Zahl -st k addiert. Aehnlich sind die Beweise für den dritten und vierten Fall. Folgesatz. Die Differenz je zweier algebraischer Zahlen kann als eine algebraische Summe dargestellt werden. tz. 72. 1. Jeder mehrgliedrige Ausdruck (Z. 27) kann in eine algebraische Summe verwandelt werden. a — st — o-stck — (-st u) -st (— st) -st (— o) -st (-st ä). Beweis, u — st — o -st ä — -st u — (-st st) — (-st o) -st (st- ä) (§. 68) — (-st a) -st (—st ) -st (— a) -st (-st ä) (Z, 71). Umgekehrt: 2. Jede algebraische Summe kann in einen mehrgliedrigen Ausdruck verwandelt werden. (-st s.) -st (— K) -st (-st a) -st (— ä) — a — st -st a —ä. 31 3. Eine algebraische Summe bleibt unverändert, wenn man die Summanden unter einander vertauscht. Folgt aus 1. und 2. mit Zuziehung des Z. 27, Folges. 1. 8. 73. Der für absolute Zahlen aufgestellte Begriff der Multipli- cation (K. 31) muß bei positiven nnd negativen Zahlen mit Rücksicht auf deren Gegensatz dahin erweitert werden, daß man hier, je nachdem der Mul tiplicator positiv oder negativ ist, den Multiplicand selbst oder das Entgegen¬ gesetzte desselben, d. i. den Multiplicand mit entgegengesetztem Vorzeichen, so oft als Summand zu setzen hat, als der Multiplikator Einheiten enthält. Zwei gleich bezeichnete Factoren geben ein positives, zwei ungleich bezeichnete Factoren geben ein negatives Product. -ff a . -ff b — -ff u b, — a . — i> — -ff s, I), -ff u . — la — — ul>, — u. -ff i> — — ul>, Beweis, -ff s, . -ff b zeigt an, daß man den Multiplicand -ff u selbst ffmal als Summand zu setzen hat, wodurch man nach §. 70, 1. ein positives Resultat erhält. — u.— l) zeigt an, daß man das Entgegengesetzte von — u, also -ff a, lnnal als Summand zu setzen hat, wodurch man ein positives Resultat erhält. Aehnlich sind die Beweise für den dritten und vierten Fall. Folgesätze. 1. D as Product zweier alge braisch er Zahlen bleibt nngeändert, wenn man dieselben unter einander vertauscht. Es ist a . -ff l> — s. l>, und -ff b.uliu — ^l>u — ^ul> (Z. 32); daher 4^A.-ffl) — -ffff.^n. Eben so folgt u.— l) — — t).^u. 2. Das Product von beliebig vielen positiven Zahlen ist positiv. 3. Das Product von lauter negativen Zahlen ist positiv oder negativ, je nachdem die Anzahl der Factoren eine gerade oder ungerade (Z. 80, Zusatz) ist. H. 74. Der in H. 42 für absolute Zahlen gegebene Begriff der Di¬ vision gilt unverändert auch für algebraische Zahlen. Der Quotient zweier algebraischer Zahlen ist positiv oder negativ, je nachdem dieselben gleich bezeichnet oder ungleich¬ bezeichnet sind. -ff u: -ff ff — -ff

, o durch m theilbar. Setzt man u: in — t> : IN — /Z, a : rn — so ist u — IN «, k — inst, o — in)/, und L -s- b -s- o — in«-j-inst-j-in^; folglich (s.-s-1)-j-o):in — — einer ganzen Zahl. 2. Sind zwei Zahlen durch eine dritte theilbar, ;o ist auch ihre Differenz dadurch theilbar. Beweis. Es sei u: in — « und k : w — st, so ist u — in«, d — niAund u — b — in« — in/1, folglich (a — b):in — « — O — einer ganzen Zahl. §. 78. 1. Ist eine Zahl durch eine andere Zahl theilbar, so ist auch jedes Vielfache derselben dadurch theilbar. Beweis. Es sei a: in — «, so ist u — m«, und ap — inp«, folglich up : in -- p« — einer ganzen Zahl. 33 2. Ist eine Zahl durch irgend eine zusammengesetzte Zahl theilbar, so ist sie auch durch alle Factoren der letzteren theilbar. Beweis. Es sei a durch w theilbar, und ui — xc^i-. Setzt man a: m — «, so ist s, — w«, oder n p durch m theilbar und ra gegen u eine relative Primzahl. Da a mit ru keinen gemeinschaftlichen Factor hat, so müssen, damit u l> durch m theilbar sei, mit Rücksicht auf ß. 50, 1 alle Factoren vom m in der Zahl d enthalten, d. i. es muß i> durch in theilbar sein. 5. Ist eine Zahl gegen zwei oder mehrere andere Zahlen eine relative Primzahl, soistsie es auch gegen das Product derselben. Beweis. Ist in eine relative Primzahl gegen a, b und o, d. i. hat keine der Zahlen rr, b, cr einen Factor, welcher auch in in euthalten wäre, so kann auch in dem Producte ubo, welches nach Z. 36 nur die Factoren von a, k> und o enthält, kein Factor von in vorkommen. 6. Die Potenzen zweier relativer Primzahlen sind selbst relative Primzahlen. Beweis. Sind a und i> relative Primzahlen, so muß nach dem vorher¬ gehenden Satze a auch gegen dd, ferner aa. gegen bi, u. s. w., allgemein gegen 6" eine relative Primzahl sein. 7!). 1. Wenn der Dividend und der Divisor ein gemein¬ schaftliches Maß haben, so muß auch der Divisionsrest dadurch theilbar sein. Beweis. Es seien s. und d durch m theilbar und es gebe a. durch 6 divi¬ diert den Quotienten mit dem Reste r; so ist r — a, — bh (§. 76). Da u durch m theilbar ist, ferner 6, somit auch das Vielfache durch in theilbar ist, so muß auch die Differenz a — b«z, welche gleich r ist, durch m theilbar sein. Folgesatz. Jedes gemeinschaftliche Maß zwischen Dividend und Divisor ist auch ein gemeinschaftliches Maß zwischen Di¬ visor und Rest. 2. Wenn der Divisor und der Divisionsrest ein gemein¬ schaftliches Maß haben, so muß auch der Dividend dadurch theil¬ bar sein. Beweis. Es gebe u durch K dividiert den Quotienten mit dem Reste r, wo dann a. — b -st r (H. 76) ist, und es sei m ein gemeinschaftliches Maß von 6 und r. Wenn i>, somit auch das Vielfache dc>, und ferner r durch ru theilbar sind, so muß auch die Summe stcz -st r, welche gleich a. ist, durch nr theilbar sein. Folgesatz. Jedes gemeinschaftliche Maß zwischen Divisor und Divisionsrest ist auch ein gemeinschaftliches Maß zwischen Dividend und Divisor. Moönik, Arithmetik und Algebr«. II. Ausl. z 34 2. Kennzeichen der Theilbarkeit dekadischer Zahlen. Z. 80. Eine dekadische Zahl ist durch 2 theilbar, wenn sic an der Stelle der Einer eine der Ziffern 0, 2, 4, 6 oder 8 hat. Beweis. Ist bi eine dekadische Zahl, in welcher u, b, o, 4, o, . . . folgeweise die Ziffern an der Stelle der Einer, Zehner, Hunderte, Tausende, Zehntausende, . . . bedeuten, so ist bi - . . . 10000 s -st 1000 4 -j- 100 6 -st 10 b -st u, daher bi: 2 5000 s -st 500 4 -st 50 o -st 5 b -st Ist nun u gleich Null oder durch 2 theilbar, so ist auch 14 durch 2 theilbar. Zusatz. Jene Zahlen, welche an der Stelle der Einer 0, 2, 4, 6, oder 8 haben, werden gerade Zahlen genannt. Eine gerade Zahl wird, da sie durch 2 theilbar, also ein Vielfaches von 2 ist, allgemein durch 2 in ausgedrückt, wo m jede beliebige ganze Zahl verstellen kann. Jene Zghlen, welche an der Stelle der Einer 1, 3, 5, 7 oder 9 haben, heißen ungerade Zahlen. Da eine ungerade Zahl um 1 größer oder kleiner ist, als eine gerade, so ist 2m -st 1 oder 2m — 1 die allgemeine Form für die ungeraden Zahlen. Folgesätze. 1. Die Summe und die Differenz zweier gerader oder zweier ungerader Zahlen ist eine gerade Zahl. 2. Die Summe und die Differenz einer geraden und einer ungeraden Zahl ist eine ungerade Zahl. 3. Das Product zweier gerader Zahlen ist gerade, das Product zweier ungerader Zahlen ist ungerade. 4. Das Product aus einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade. Z. 81. Eine dekadische Zahl ist durch 3 oder durch 9 theist bar, wenn ihre Zifferusumme bezüglich durch 3 oder durch 9 theilbar ist. Bcwcis. 14 — ... . 10004 -st lOOo 4- 105 -st u, — . . . . 9994 -st 4 -st 99o -st o -st 9b -st b -st u, — . . . . 9994 -st- 99c -st 9b -st ... -st 4 -st o -st b -st u, daher 14 : 3 ... Z- 3334 -st 33o -st3b 4- -"^^4-^stst, und N : 9 -^ . . . -st 1114 -st 11 e -stb 4- - Zusatz. Ist eine Zahl durch 2 und durch 3 theilbar, so ist sie auch durch 6 theilbar (Z. 78, 3). Z. 82. 1. Eine dekadische Zahl ist durch 4 theilbar, wenn die zwei niedrigsten Ziffern als Zahl betrachtet durch 4 theil¬ bar sind. , Beweis. 14 — . 10004 -st 100e -st 10b -st u, daher 14 : 4 --.... 2504 -st 256 -st - 2. Eine dekadische Zahl ist durch 8 theilbar, wenn die drei niedrigsten Ziffern als Zahl betrachtet durch 8 theilbar sind. Beweis. bi ... 10000s -st 10004 4- 100a -st lOb -st a, daher o 1 , tOOe-st ION'4 S-. bi : 8— ... . l2<)0e -st 12o4 4 - ! — 35 j Z. 83. 1. Eine dekadische Zahl ist durch 5 theilbar, wenn sie an der Stelle der Einer 0 oder 5 hat. 2. Eine dekadische Zahl ist durch 10 theilbar, wenn sie an der Stelle der Einer 0 hat. Beweis. Hat bi die frühere Bedeutung, so ist 1. bl: 5 — . . . . 200ä -s- 20o Z- 2 b -s- und 2. bl: 10—. . . . 1003-s- 10s-s- b -s- ß. 84. Eine dekadische Zahl ist durch 11 theilbar, wenn die Differenz zwischen den Ziffernsnmmen in den ungeraden und in den geraden Stellen durch 11 theilbar ist. Beweis, bl ^ ... lOOOOOk-s- 10000s -si 10003 -j- 100s Z- 105 -s- a, . 100001 k — k 3- 9999s -s- s -ch 10013 — 3 3- 99s -s- s 3- 116 — l) Z- a, — ... 100001 k 3- 9999s 3- 10013 ch- 99o 3- 11b -si ( .' - s Z- s -si a) — (- - - k-bil-s- 5), daher bl : N ^ ... 909113- 909s -si 913 3- 9s -si d , (... v3-e3-!L) - (... k-siäsi-b). 3. Von den Primzahlen insbesondere. — 8- 85. Ist eineZahl n kleiner als das Quadrat einer anderen Zahl a, nudist u mit Ausschluß der Einheit durch keine Zahl unter a theilbar, so ist n eine Primzahl. Beweis. Gesetzt, n sei durch irgend eineZahl x theilbar, so könnte nur p sein. Es sei nun n : — x, also n — x>x, wo x eine ganze Zahl be¬ zeichnet dann wäre auch n: x — x>, also n durch x theilbar. Aus n < a? und p a folgt aber n : p < a, oder x < a. Es müßte daher unter der obigen Annahme n durch eine Zahl x < a theilbar sein, was gegen die Vor¬ aussetzung ist. n muß also eine Primzahl sein. Z. 86. Ausgabe. A l l e P r i m z a h l e n bis zu einer gegebenen Grenze zu bestimmen. Man bilde die Quadrate der natürlichen Zahlen, bis das letzte Quadrat die gegebene Grenze überschreitet: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . . Es sind daun Primzahlen diejenigen Zahlen zwischen 1 und 4, welche mit Ausschluß der 1 durch keine Zahl unter 2 theilbar sind, also 1, 2 und 3; ferner alle die Zahlen zwischen 4 nud 9, die mit Ausschluß der l durch keine Zahl unter 3 theilbar sind, also 5 und 7; u. s. w. Die Richtigkeit folgt aus Z. 85. 87. Jede endliche zusammengesetzte Zahl läßt sich in lauter Primfactoren zerlegen. Beweis. Jede zusammengesetzte Zahl muß wenigstens in zwei Factoren zerlegt werden können; diese lassen sich, wenn sie zusammengesetzte Zahlen sind, wieder in Factoren zerlegen, die entweder schon Primzahlen oder selbst wieder zusammengesetzte Zahlen sind; wird im letzteren Falle das Zerlegen fortgesetzt, so muß man endlich ans lauter Primfactoren kommen. Wäre dieses nicht der Fall, so müßte die gegebene Zahl aus unendlich vielen Factoren, die alle 3' 36 größer als 1 sind, zusammengesetzt, und also selbst unendlich groß sein, was der Voraussetzung zuwider ist. ß. 88. Ausgabe. Eine zusammengesetzte Zahl in ihre Prim- factoren zu zerlegen. Man dividiere die gegebene Zahl durch die kleinste Primzahl, durch die sie theilbar ist, 1 nicht mitgerechnet; den Quotienten dividiere man wieder durch die kleinste Primzahl, durch die er theilbar ist, die frühere Primzahl nicht ausgenommen, und verfahre so mit jedem folgenden Quotienten, bis man endlich auf einen Quotienten kommt, der selbst eine Primzahl ist. Die nach und nach angewendeten Divisoren und der letzte Quotient sind die Primfactoren, aus denen die vorgelegte Zahl besteht. Ist z. B. 630 in Primfactoren zu zerlegen, so hat man: 630 : 2 — 315 oder 630 2 315:3 -- 105 105:3— 35 35:5-- 7 315 3 105 3 35 5 7 7 also 630 2 . 315 — 2 . 3 . 105 — 2.3 . 3 . 35 — 2 . 3 . 3 . 5 . 7. Zusatz. Um alle Factoren einer Zahl zu finden, zerlege man dieselbe in ihre Primfactoren, multiplicire mit dem zweiten Primfactor den ersten, dann mit dem dritten Primfactor die beiden vorhergehenden zwei Primfactoren und den erhaltenen zusammengesetzten Factor, und so fort mit jedem folgenden Primfactor alle vorhergehenden einfachen und zusammengesetzten Factoren. Z. B. 210 2 105 35 7 3, 6 5, 10, 15, 30 7, 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210. 8- 89. Aufgabe. Einen allgemeinen Zahlenausdruck in Fac¬ toren zu zerlegen. 1. Bei eingliedrigen Ausdrücken stellen die einzelnen Buchstaben selbst die Primfactoren vor; sind darin Potenzgrößen enthalten, so wird die Wurzel so oft als Factor gesetzt, als der Exponent anzeigt. Z. B. uiro —u.6.o; a — a.6.6 m.w.rn; 21 uZiu x? —. 3.7.Ä.Ä.M.X.X. 2. Für die Zerlegung der Polynome in Factoren lassen sich keine all¬ gemeinen Regeln geben; es sollen daher hier nur häufiger vorkommende specielle Fälle betrachtet werden. u) Ein Polynom, dessen alle Glieder ein gemeinschaftliches Maß haben, wird nach ß. 33 in zwei Factoren zerlegt, wenn man das gemeinschaftliche Maß als den einen Factor heraushebt und als zweiten Factor den Quotienten setzt, welcher aus der Division des gegebenen Ausdruckes durch jenes gemein schaftliche Maß hervorgeht. Z- B. 1. 3 ax — 4 6 x — x (3 s, — 46), 2. 20 x^ — 16 xZ fi- 12 x^ -- 4 (5 x? — 4 x fi- 3). 6) Insbesondere folgt aus §. 39, Zusatz, 1. s? -fi 2 u 6 -s- 6? — (a fi- 1>) (g, -p. Y), 2. a? — 2 ui> 4- 1? --- (a - i>) (u — d), 3. u- — y« -- (n -j- b) (u — 6). 37 e) Ost wird die Zerlegung eines Polynoms in Factoren dadurch erleichtert, daß man ein Glied in zwei Theile auflöst, oder daß man zu dem gegebenen Polynom dieselbe Größe addiert und zugleich wieder davon subtrahiert. Z. B. 1. 6s?-s-5ub>-stt>2 — 6g?-s-3Lt>st-2ul>-i-b? — 3 8 (2 8 4- k) -j- k (2 8 -s- k) — (2 u -st b>) (3 a -st Io). 2. x'^ — x — 6 x- -s- 2x — 2x — x — 6 x- -j- 2x — 3x — 6 -- X (x -st 2) — 3 (x -st 2) — (x -st 2) (x - 3). 4. Vom größten gemeinschaftlichen Maße. K. M. Unter dem größten gemeinschaftlichen Maße mehrerer Zahlen versteht man die größte Zahl, durch welche diese Zahlen theilbar sind. Aufgabe. Das größte gemeinschaftliche Maß zweier Zahlen zu finden. 1. Auslösung. Man zerlege jede der gegebenen Zahlen in ihre Primfac- toren und hebe unter diesen diejenigen heraus, welche in beiden Zahlen gemein¬ schaftlich vorkommen; das Prodnct derselben ist das gesuchte größte gemein¬ schaftliche Maß. Beweis. Das so gebildete Product ist, da alle Factoren desselben in beiden Zahlen enthalten sind, gewiß ein gemeinschaftliches Maß derselben; es ist aber auch das größte, weil, sobald man noch einen Factor hinzufügen würde, durch dieses Prodnct nicht mehr beide Zahlen theilbar wären. Beispiele. 1. Man suche das gr. g. Maß von 300 und 420. 300 2.2.3.5.S, 420 2.2.3.5.7; gr. g. Maß 2.2.3.5 60. 2. Sind die Ausdrücke 4 a?k e und 6 a, k c? gegeben, so hat man 4 s? ko —2.2 u.a.k.o, 6 uk o'^ — 2.3.a. K.o.o; gr. g. Maß — 2 8 Ko. 2. Auflösung. Man dividiere die größere der beiden Zahlen durch die kleinere, sodann den Divisor durch den Divisionsrest, den neuen Divisor durch den Neuen Rest, u. s. f., bis endlich eine Division ohne Rest aufgeht; der letzte Divisor ist das größte gemeinschaftliche Maß der zwei gegebenen Zahlen. Beweis. Sind 8 und k, wo 8> k, die zwei gegebenen Zahlen und st, st, ist, st,... die aufeinander folgenden Divisionsreste, so läßt sich der Rech¬ nungsgang so darstellen: Dividend 8, Divisor k, Rest st, „ Ist „ st, " *2, „ st, " st, „ st, ,, st, „ st, ,, st, u. s. w. Zunächst ist klar, daß man bei fortgesetztem Dividieren endlich auf einen Rest — 0 kommen müsse, weil der jedesmalige Rest eine ganze Zahl und wenigstens um 1 kleiner als der Divisor, welcher der vorhergehende Rest war, sein muß. Es sei z. B. r, — 0. Daß dann st ein gemeinschaftliches Maß von 8 und k sei, ist leicht ein¬ zusehen. Aus der letzten Division folgt, daß st ein g. Maß zwischen st und st ist; st und r, kommen in der vorhergehenden Division als Divisor und Nest vor, also'ist (ß. 79, 2. Folges.) st auch ein g. Maß zwischen dem Dividend r, und dem Divisor st, folglich vermöge der nächstvorhergehenden Division, wo r, und st wieder Divisor und Rest vorstellen, st ein g. Maß zwischen b und st, und endlich vermöge der ersten Division st auch ein g. Maß zwischen u und k. 38 i-z ist aber auch das größte gemeinschaftliche Maß von s, und b. Gesetzt, diese hätten noch ein größeres gemeinschaftliches Maß so müßten (nach Z. '79, l. Folgest) vermöge der ersten Division, in welcher u und d als Dividend und Divisor Vorkommen, auch der Divisor d und der Rest r,, daher vermöge der zweiten Division auch und r?, und endlich vermöge der dritten Division auch r^ und i-g durch ui theilbar sein, was der Annahme m > i-g widerspricht. Folglich ist das gr. g. Maß von n und b. Beispiele. 1. Um das gr. g. Maß von 1134 und 3654 zu finden, hat man 3654 : 1134 — 3 mit dem Reste 252 oder 1134 3654 3 1134 : 252 4 252 : 12« 2 126 0 12« 252 4 02 gr. g. Maß — 126. 2. Man suche das gr. g. Maß von 377 und 848. 377 848 2 gr. g. M. 1; '1 94 4 377 und 848 sind also relative Primzahlen. 0 94 3. Es soll das gr. g. Maß zwischen 3u» — 2u- —3u1>-st-irst-2l)-st-d und u- — d- gesucht werden. (3 n» - 2 u- — 3 ust- -st u -st 2 b- -st 6) : (u- — d-) 3 u - 2 3 re» — 3 re st- — __ — 2 u- -st re -st 2 st- -st st — 2 re- -st 2 st- _H _ -st a. -st st Rest. (re- — st-) : (n -st st) — s. — st. Das gesuchte gr. g. Maß ist also der letzte Divisor u -st st. Bei allgemeinen Zahlenausdrücken muß mau oft, um die Division vcr- richten zu können, den Dividend mit einem Nichtfactor des Divisors multi- plicieren, oder den Divisor durch einen Nichtfactor des Dividcuds dividieren. Daß dadurch das gr. g. Maß der beiden Ausdrücke nicht geändert wird, folgt unmittelbar aus dem Begriffe des gr. g. Maßes zweier Zahlen. Beispiel. Man suche das gr. g. Maß zwischen 10 x- -st 14 x — 12 und 7 x- -st 22 x -st 16. Damit die Division der beiden Ausdrücke in ganzen Zahle» verrichtet werden könne, multipliciere man den ersten mit 7, welche Zahl kein Maß des zweiten Ausdruckes ist; man hat dann (70x-st- 98 x— 84) : (7x--s-22x-st 16) — 10 70 x- -s- 220x -st 160 — 122 x — 244 Rest; durch — 122 dividiert, x -st 2. (7 x- st- 22 x -st 16) : (x st- 2) 7 x -st 8 7x- -st 14 x st- 8 x -st 16 DaS gr.- g. Maß ist also x -st 2. st- 8x -st 16 0 39 Z. 91. Mit dem eben angegebenen Verfahren, das gr. g. Maß zweier Zahlen ohne Zerlegung derselben in Factoren zu finden, stimmt auch der Vor¬ gang überein, das gr. g. Maß zwischen irgend zwei gleichartigen Größen (z. B. zwischen zwei geraden Linien) zu bestimmen. Man nimmt nämlich von der größeren der beiden Größen die kleinere so oft weg, als man kann; sodann von der kleineren den etwa gebliebenen Rest, von diesem Neste wieder den neuen Rest, u. s. w. Wenn nun bei einer dieser Messungen kein Rest übrig bleibt, so ist der letzte nicht verschwindende Rest das gr. g. Maß der beiden ge¬ gebenen Größen. Hier wird man jedoch nicht, wie bei ganzen Zahlen, immer auf einen Rest — 0 kommen, indem zwar die Reste immer kleiner werden müssen, es jedoch keine noch so kleine Grenze gibt, welche diese Reste nicht erreichen könnten. Wenn man bei dem obigen Verfahren niemals auf einen Rest — 0 kommt, so weit man die Messungen auch fortsetzen würde, so haben die beiden Größen kein gemeinschaftliches Maß. Zwei Größen, welche ein gemeinschaftliches Maß haben, heißen com- mensurabel; zwei Größen, die kein gemeinschaftliches Maß haben,"mi- eoinmen sn ra bel. Z. 92.. Ausgabe. Das größte gemeinschaftliche Maß mehrerer Zahlen zu finden. 1. Auslösung. Man zerlege alle Zahlen in ihre Primfactoren; das Pro¬ duct derjenigen Primfactoren, welche in allen gegebenen Zahlen gemeinschaft¬ lich vorkommen, ist das gesuchte gr. g. Maß. (Z. 90, 1. Aufl.) Z. B. Man snche das gr. Maß von 320, 400 und 680. 320 — 2.2.2.2.2.2.5, 400 2.2.2.2.5.5, 680 2.2.2.5.17; gr. g. Maß. 2.2.2.5. 40. 2. Auflösung. (Ohne Zerlegung in Primfactoren.) Ist das gr. g. Maß zwischen den Zahlen n, b, c und ä zu finden, so suche man zuerst das gr. g. Maß zwischen u und l>, dieses sei m; dann suche man das gr. g. Maß zwi¬ schen rn und o, dieses sei n; endlich suche man das gr. g. Maß zwischen n und ; n enthält alle gemeinschaftlichen Factoren von ra und v, also auch von a, b und v; x endlich enthält alle gemeinschaftlichen Factoren von n und cl, folglich auch von a, d, e und ä; es ist also x> wirklich das gr. g. Maß zwischen s, b, o und ä. 222 0 37 ist also das gr. g. Maß zwischen 222 und 5143, folglich auch zwischen 1554, 3552 und 5143. Zwischen 1554 und 3552 ist also 222 das gr. g. Maß 5143 23 703 37 6 Beispiele. 1. Man suche das gr. g. Maß zwischen 1554, 3552 und 5143. 1554 3552!2 ... —- - - - 444 3 40 2. Man suche das gr. g. Maß zwischen 3x^ — 2x^ — 5^, gx^ -f- 7 und 2x^ — 2^. Als das gr. g. Maß zwischen 3z? — 2xx — 5/^ und 2x^ -j- 9x^ -s- 7^^ erhält man x-s-^. Zwischen x -j- und 2x^ — 2^^ ist ferner x -j- das gr. g. Maß, welches daher zugleich das gr. g- Maß zwischen den gegebenen drei Aus¬ drücken ist. 5. Vom kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen. Z. 93. Unter dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen mehrerer Zahlen versteht man die kleinste Zahl, welche durch alle jene Zahlen theilbar ist. Ausgabe. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache mehrerer Zahlen zu finden. 1. Auslösung. Man zerlege alle gegebenen Zahlen in ihre Primfactoren und nehme aus diesen alle verschiedenen Factoren, und zwar jeden so oft, als er in irgend einer gegebenen Zahl am meisten vorkommt; das Product dieser Factoren ist das gesuchte kl. g. Vielfache. Beweis. Das so gebildete Product ist, da es alle Factoren einer jeden der gegebenen Zahlen enthält, gewiß ein gemeinschaftliches Vielfaches dersel¬ ben; es ist aber auch das kleinste g. Vielfache, weil man keinen jener Factoren weglassen darf, ohne daß das Product aufhören würde, durch alle gegebenen Zahlen theilbar zu sein. Beispiele, l. Man suche das kl. g. Vielfache von 320 und 480. 320 — 2.2.2.2.2.2.6, 480 — 2.2.2.2.2.3 5, kl. g. Vielfaches 2.2.2.2.2.2.3.5 — 960. 2. Es soll das kl. g. Vielfache zwischen 60, 108 und 1050 gefunden werden. 60 — 2.2.3.5, 108 ^ 2 2.3.3.3, K)go — Z 3.5.5.7 kl. g. Vielfaches 2.2.3.3.V.5.5.7 18900. 2. Auflösung. (Ohne Zerlegung in Factoren.) a) Ist das kl. g. Viel¬ fache von zwei Zahlen zu bestimmen, so suche man ihr gr. g. Maß, divi¬ diere durch dieses eine der beiden Zahlen und multipliciere mit dem Quotienten die andere. Beweis. Es seien u und 6 die gegebenen Zahlen. Haben diese kein ge¬ meinschaftliches Maß, so ist ihr Product all selbst zugleich ihr kl. g. Vielfaches. Sind aber u und st nicht relative Primzahlen, so sei m ihr gr. g. Maß, und zwar u : in — st: ra — st, wo « und st keinen gemeinschaftlichen Factor mehr enthalten können; man hat dann u —ru«, st — wst. Jedes Vielfache von u muß also die Factoren ra und «, jedes Vielfache von st muß die Fac¬ toren m und st, und daher jedes gemeinschaftliche Vielfache von u und st die Factoren w, « und st enthalten; jenes Product nun, welches nur diese drei Factoren enthält, wird gewiß das kl. g. Vielfache zwischen n, und st sein. Dieses kl. g. Vielfache m«st läßt sich auch so darstelleu: m«st — mce.st — u (st: na) — wst.a — st (a : m). 41 Beispiele. 1. Man suche das kl. g. Vielfache zwischen 648 und 972. 648i972!l 324 ist das gr. g. Maß. 0,32412 648 : 324 2; 972.2 — 1944, oder 972:324 ^3; 648.3 1944; kl. g. Vielfaches ---- 1944. 2. Es soll das kl. g. Vielfache zwischen 9u^x^— 4k>'-^ und 9u^x" — 12u^6x^^ -st 46^4 gefunden werden. Das gr. g. Maß zwischen diesen beiden Ausdrücken ist 3a^x — 2byst Man hat dann (9a^x^ — 12s?dx)^ -p. : (3nZx — 26^^) — 3u'^x — 26)^, und — 4b^) (3a°x — 26^°) 27^x» - 18^bx^- — 12u^d^x)'^ -st 8K^6 das kl. g. Vielfache. b) Sind mehr als zwei Zahlen gegeben, so suche man zuerst das kl. g. Vielfache zweier Zahlen, dann das kl. g. Vielfache des eben gefundenen Vielfachen und der dritten Zahl, und fahre auf diese Art bis zur letzten gege¬ benen Zahl fort. Das zuletzt gefundene kl. g. Vielfache ist zugleich das kl. g. Vielfache aller gegebenen Zahlen. Der Beweis ist demjenigen in Z. 92, 2. Aufl. ähnlich. Zusatz. Haben zwei oder mehrere unter den gegebenen Zahlen ein gemein¬ schaftliches Maß, so kann man, ohne das kl. g. Vielfache zu ändern, anstatt dieser Zahlen ihr gemeinschaftliches Maß nur einmal, und zugleich die Quotienten setzen, welche aus der Division jener Zahlen durch das gemeinschaftliche Maß hervorgehen (Beweis zn u der 2. Auflösung). Ist ferner eine der gegebenen Zahlen ein Maß von einer andern größeren, so kann die kleinere Zahl, ohne das kl. g. Vielfache zu ändern, ganz unberücksichtigt gelassen werden. Für die Auffindung des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen mehrerer Zahlen kann demnach folgendes praktische Verfahren augewendet werden: 1. Man schreibe die gegebenen Zahlen in eine Reihe neben einander, und lasse die kleineren Zahlen, welche in den größeren ohne Rest enthalten sind, weg. 2. Man untersuche, ob nicht zwei oder mehrere der übriggebliebenen Zahlen eine Primzahl als gemeinschaftliches Maß haben. Ist dieses der Fall, so hebt man dieses Maß links heraus und dividiert dadurch alle Zahlen, deren Maß es ist; die Quotienten, so wie die nicht theilbaren Zahlen setze man in eine darunter befindliche Reihe neben einander. 3. Mit dieser neuen Reihe verfahre man eben so wie mit der ursprüng¬ lich ausgestellten, und wiederhole dieses Verfahren so lange, bis man zuletzt eine Reihe erhält, in welcher lauter relative Primzahlen vorkommen. 4. Multipliciert man dann die in der letzten Reihe befindlichen relativen Primzahlen und die links herausgehobenen Maße mit einander, so ist das Pro¬ duct das gesuchte kl. g. Vielfache der gegebenen Zahlen. Beispiel. Es soll das kl. g. Vielfache der Zahlen 2, 3, 4, 18, 24, 32, 45, 50 gesucht werden. kl. L, 3, 3, 18, 2 S, 2 2 6 g. Vielfaches — 4.9.5.2.2.2.5 24, 32, 45, 50, 12, 16, 45, 25, 6, 8, 45, 25, 3, 4, 45, 25, 4, 9, 5; — 7200. 42 Bretter Abschnitt. Von den gekrochenen Zohlen. I. Gemeine Brüche. Z. 94. bim den Quotienten zweier Zahlen auch in dem Falle, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist (K. 43), darstellen zu können, ist man genöthigt, die bisher betrachtete Reihe der ganzen Zahlen in sich da¬ durch zu erweitern, daß man den Abstand je zweier auf einander folgender Zahlen dieser Reihe, d. i. jede ursprüngliche Einheit, durch Einschaltung neuer Zahlen in so viele gleiche Theile theilt, wie der Divisor anzeigt. Z. B. der Quotient 14: 3 ist größer als 4 und kleiner als 5, er läßt sich daher durch die natürlichen Zahlen nicht darstellen; theilt man aber die ursprüngliche Ein¬ heit in 3 gleiche Theile (Drittel) und bildet durch Einschaltung solcher Theile eine neue Zahlenreihe 0, S, S, k, IS, IS, 2, 2S, 2H, 3, 3^j, 3H, 4, 4S, 4H, 5, . . . oder 2 g 4 » n 7«!>IO I» 12 Ig 1415 », is, ' so wird man in der so ausgefüllten Reihe für jede Division durch 3 den Aus¬ druck des Quotienten vorfinden; für 14:3 ist es die Zahl oder 4H. Wird allgemein die ursprüngliche Einheit in n gleiche Theile getheilt, und ein solcher Theil als eine neue Einheit benützt, um mit ihr zu zählen, so erhält man die neue Zahlenreihe . . . - 3 2 I, 0, Z- -j- 3 4 11 n ' n ' n ' n ' n welche die Zahlenreihe der ntel genannt wird. Zahlen, deren Einheit ausdrücklich als Theil einer anderen (ursprüng¬ lichen) Einheit angegeben ist, heißen gebrochene Zahlen oder Brüche, im Gegensätze zu den bisher betrachteten ganzen Zahlen. Die durch Einschaltung der Brüche ausgefüllte Zahlenreihe heißt eine Bruchzahlenreihe. Zur Angabe eines Bruches sind zwei Zahlen erforderlich; die eine der¬ selben, der Nenner, zeigt an, in wie viele gleiche Theile eine Einheit getheilt werden soll, damit ein solcher Theil die neue Einheit des Bruches gebe; die andere, der Zähler, zeigt an, wie vielmal die durch den Nenner angegebene Einheit in dem Bruche enthalten ist. Beim Anschreiben setzt man den Neuner unter den Zähler und zwischen beide einen «strich. Der Zusammenhang zwischen den ganzen und gebrochenen Zahlen kann durch Zahlenlinien versinnlicht werden. So hat man für die Reihe der Drittel: -T -L. o ^4 5 ä. r S .1 3 S 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Ein Bruch welcher kleiner als 1, dessen Zähler also kleiner als der Nenner ist, heißt ein echter Bruch; jeder andere Bruch aber ein unechter Bruch. 43 1. A llgeineine Sätze. ß. !>o. Aus dein Begriffe eines Bruches folgt: 1. D er bte Theil der Einheit bmal genommen gibt die Einheit. b-b - 1. 2. Der Bruch ist das »fache des 5ten TheileS der Einheit. 3. Jeder Quotient ist gleich einem Bruche, dessen Zähler der Dividend, dessen Nenner der Divisor ist. u: b — b a : d zeigt an, daß man von » den kten Theil bestimmen soll; dieß ge¬ schieht, wenn man von jeder in u liegenden Einheit den bten Theil nimmt und und diese Theile addiert; also, da der bte Theil von 1 gleich ist, u: l) (1 -s- 1 -s- 1 ch- ° ° »mal) : l> Umgekehrt ist - — - k b 4. Jeder Bruch gibt mit seinem Nenner multipliciert den Zähler zum Producte. Es ist . b (a : d) . 5 u K 42, 1). 5. Jeder unechte Bruch kann in eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruche verwandelt werden. Ist a, > b, so ist — s,: b — -s- wo y die größte ganze Zahl- welche in dem Quotienten u: b vorkommt, und r den Divisionsrcft, daher g, weil r < k> sein muß, einen echten Bruch vorstellt. Ein Ausdruck von der Form ll 4- g heißt eine gemischte Zahl. 6. Jede ganze Zahl kann als ein Bruch mit gegebenem Nenner dargestellt werden, wenn man das Product aus der ganzen Zahl und dem gegebenen Nenner als den Zähler des Bruches annimmt. ES ist a a :-1 (tz. 42, 5) an : n (Z. 53) Ein Bruch, dessen Zähler ein Vielfaches des Nenners, der also einer ganzen Zahl gleich ist, heißt ein uneigentlicher Bruch. 7. Von zwei Brüchen, die gleiche Nenner haben, ist jener der größere, welcher den größeren Zähler hat. 8. Von zwei Brüchen, die gleiche Zähler haben, ist jener der größere, welcher den kleineren Nenner hat. Zusatz. Jeder allgemeine Bruch, dessen Zähler eingliedrig und dessen Nenner mehrgliedrig ist, kann, wenn man den Zähler durch den Nenner nach den für die Division mehrgliedriger Ausdrücke ausgestellte» Regeln (Z. 55, 2) dividiert, als eine ins Unendliche fortlaufende Reihe von Gliedern, in deren Bildung sich häufig eine gewisse Gesetzmäßigkeit kund gibt, dargestellt werden. 44 Z' — n:(1 — x) — a 4- »X 4- 4^ ax°° 4- - - - ohne Ende a — L x - i- 4- NX 4- Ä X — a x^ - — 4- 4- nx^ 4" n, X? — g, xb — -i- 4- a x^ Setzt man hier x — 1, so wird 1 — n -s- a 4- a 4- a -s . .. ohne Ende °der oo, 0 wodurch der in §. 42, Folges. 8 nachgewiesene Satz auf einem anderen Wege seine Begründung findet. Ebenso so erhält man , — x — x^ 4- x' — x* -fl - - - ohne Ende. H. 96 1. Ein Bruch bleibt (seinem Werthe nach) unverändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliciert. a an d d n' Beweis. Theilt man in der Zahlenreihe der btel jeden Theil durch Ein¬ schaltung neuer Zahlen wieder in n gleiche Theile, so wird die ursprüngliche Einheit in b n gleiche Theile getheilt nnd man erhält eine zweite Bruchzahlen¬ reihe, deren jeder Theil ist. Es kommen nun auf jeden Theil der ersten Zahlenreihe n Theile der zweiten, somit auf a Theile der ersten Reihe n.a — an Theile der zweiten; folglich ist g — 2. Ein Bruch bleibt unverändert, wenn man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert. a a : u d d : n' Folgt durch Umkehrung aus 1. Z. 97. Aufgabe 1. Einen gegebenen Bruch auf einen gege¬ benen neuen Nenner zu bringen, welcher ein Vielfaches des früheren Nenners ist. Man dividiere den neuen Nenner durch den früheren Nenner, und mul- tipliciere mit dem Quotienten den früheren Zähler; das Product ist der ge¬ suchte neue Zähler. Die Richtigkeit der Auflösung folgt aus Z. 96, 1. Um z. B. auf den Nenner k, in zu bringen, hat man ' , ». -rin b IN : b — m; a.rn — a in; also Soll man den Bruch auf den Nenner 40 bringen, so ist 40 :5 8; 4 X 8 -- 32: also H --- in- 45 2. Zwei oder mehrere Brüche auf den kleinsten gemein¬ schaftlichen Nenner zu bringen. Man suche das kl. g. Vielfache der Nenner der gegebenen Brüche, welches zugleich der neue kl. g. Nenner ist, und bringe (nach Aufg. l) auf diesen neuen Nenner die gegebenen Brüche. Beispiel. Es sollen die Brüche auf den kl. g. Nenner gebracht werden. Das kl. g. Vielfache aller Nenner, somit der neue Nenner, ist 4bo^ck. Man hat dann 4bo?ck:2 — 2ko^6; 2k>o^ä X k — 2bo^ck 4kc:^ä:b — 4o?ä; 4a^ck X^ — 4no^cl 4bo^ä : 4bo — oä; eck X 3in—Zackm 4bo^ä : e^ck — 4b; 45 X4n — 16bn oder 4bo?ä 3. Einen Bruch, dessen Zähler und Nenner ein gemeinschaft¬ liches Maß haben, abzukürzen, d. i. durch kleinere Zahlen auszudrücken. Man dividiere Zähler und Nenner durch ihr gemeinschaftliches Maß (8- 96, 2). o 4 «IN 2»m 12s,2bx2 4sb "0' ' Ubn 3bni ISavx^ 5«x' Ein Bruch, dessen Zähler und Nenner relative Primzahlen sind, der also nicht durch kleinere Zahlen ansgedrückt werden kann, heißt aus die einfachste Form gebracht. Zusah. Durch das Abkürzen allgemeiner Brüche kann häufig die für besondere Substitutionen in denselben auftretende Unbestimmtheit behoben werden. So gibt der Bruch für x — g, den unbestimmten Werth Durch das Abkürzen aber erhält man x' — _(x -f- a) (x — g.) _X -s- n. ' ' ' 2x — 2» 2 (x — a) 2 ' Welcher Bruch für X — u den bestimmten Werth -7^ — L annimmt. 46 2. Die Grundoperationen mit gemeinen Brüchen. Z. 98. Nachdem durch die Einführung der gebrochenen Zahlen das frühere Zahlengebiet erweitert wurde, muß man auch die bisherigen Begriffe der Rech¬ nungsoperationen dahin erweitern, daß sie sich auch auf diese neuen Zahlformen anwenden lassen. Bezüglich der Addition und Subtraction wird es, weil man nach Z. 95, 6 jede ganze Zahl als einen Bruch mit beliebigem Nenner darstellen, und nach Z. 97, 2 je zwei Brüche auf einen gemeinschaftlichen Nenner bringen kann, genügen, bei der Erweiterung des Begriffes auf Brüche derselben Bruchzahlen¬ reihe Bedacht zu nehmen. Addition der Brücher Z. 99. Zu einem Bruche den Bruch addieren GZ. 11 und 70) heißt, in der Bruchzahlenreihe der mtel vom ersten Summand aus, je nach¬ dem der zweite Summand positiv oder negativ ist, in positiver oder negativer Richtung um so viel mtel fortschreiten, als deren der zweite Summand enthält. Der Bruch, zu dem man auf diese Weise gelangt, ist die gesuchte Summe. Folgesatz. Brüche von gleichen Nennern werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und dieser Summe den gemeinschaftlichen Nenner gibt. a . t> k -p d —1 ————— * IN ' IN IN Zusatz. Sind Brüche mit ungleichen Nennern, oder eine ganze Zahl und ein Bruch zu addieren, so stellt man die Summanden mit einem gemeinschaftlichen Nenner dar und verfährt daun nach dem vorigen Satze. Z. B. i si- 5 -- -i- - 44 - 1 si-- , IN NN , IN NN -4- IN rr - —- -— --— . 'n n ' n n Z. 100. Die Summe zweier Brüche bleibt unverändert, wenn man die Summanden mit einander vertauscht. Es ist Z- - - (Z. 99) d-n si-.n , 12) bm »n , 99) MN MN ' MN - - -si - (s- 96, 2). n ' IN 5 / Subtraction der Brüche. Z. 101. Von dem Bruche den Bruch subtrahieren (ZZ. 17 ». 7l) heißt, in der Zahlenreihe der mtel vom Minuend - aus, je nachdem der Subtrahend positiv oder negativ ist, in negativer oder positiver Richtung um so viele mtel sortschreiten, als deren der Subtrahend enthält. Der Bruch, zu dem man auf diese Weise gelangt, ist die gesuchte Differenz. Folgesätze. 1. Subtraction eines Bruches ist Addition des entgegengesetzten Bruches G. 99). 47 2. Zwei Brüche von gleichen Nennern werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert und der Differenz den gemeinschaftlichen Nenner gibt. a I) — b m in in * Zusah. Sind Brüche mit ungleichen Nennern, oder eine ganze Zahl und ein Bruch zu subtrahieren, so stellt man die beiden Zahlen mit einen: gemeinschaftlichen Nenner dar und verfährt dann nach dem vorhergehenden Satze. Z. B. ? —. s — 7 <-. — , 'L 4 - 8 'S' - 8°' a b an bin an — bin in n inn inn inn ' in an in an — in N. - — -— - . n n n n b Beweis. 1. j' Multiplikation und Division eines Bruches durch eine gmyc Zahl. 8- 102. Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliciert, indem man den Zähler damit multipliciert oder den Nenner dadurch dividiert. a in a a . IN — —; 2. ni — --. b b b : in "Mal. (8. 99, Folges.) ^'^(§.31). 2. Theilt man in der Zahlenreihe der (I,: m)tel jeden Theil wieder in w gleiche Theile, so wird dadurch die ursprüngliche Einheit in (i>: m) . m — i, Theile getheilt, und es gibt jeder Theil der dadurch entstehenden Zahlenreihe der dtel, nunal als Summand gesetzt, einen Theil der früheren Reihe der (tz : m)tel; es geben daher auch a Theile der zweiten Reihe, nunal als Sum¬ mand gesetzt, a Theile der ersten Reihe, d. i. . m — —- Zusah. Die zweite Art, einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multi- plicieren, kann nur angewendet werden, wenn der Nenner durch die ganze Zahl theilbar ist. §. 103 Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man den Zähler dadurch dividiert oder den Nenner damit multipliciert. 2. Beweis. 1. : ra — : ua (8- 42, 3) — ^^2 -^(8- 42, 2). 2. Ist in dem Beweise zu 8- 96, 1 enthalten. Zusah. Die erste Art des Dividierens ist nur dann anwendbar, wenn der Zähler des Bruches durch die ganze Zahl theilbar ist. A . : m (8.102) Mnltiplication und Division durch einen Bruch. 8- 104. Eine Zahl a mit einem Bruch mnltiplicieren (88-31 nud 73) heißt, den Multiplikand u, je nachdem der Multiplikator positiv oder negativ ist, mit unverändertem oder mit entgegengesetztem Vorzeichen in so viele 48 gleiche Theile theilen, wie der Nenner n des Bruches anzeigt, und einen solchen Theil so oft als Summand setzen, wie der Zähler m des Bruches anzeigt. Folgesätze, l. Eine Zahl wird mit einem Bruche multipliciert, indem man sie durch den Nenner dividiert und den Quotienten mit dem Zähler multipliciert. m a n n 2. Ein Bruch wird mit einem Bruche multipliciert, indem man dem Products der Zähler das Product der Nenner als Nenner gibt. : rO . m . m A 103) (Z. 102). Zusatz. Multipliciert man eine Zahl mit einem echten oder unechten Bruche, so ist das Product bezüglich kleiner oder größer als der Multiplicand. Wenn nr < n, also < 1, so wird a . < a . 1, folglich n . < a; wenn aber m > n, also > 1, so wird s.. > s>. 1, folglich a . ^ > a. 3. Das Product zweier Brüche bleibt unverändert, wenn man die Factoren mit einander vertauscht. » m . Z2) (Z. 104, 2). tz. 10s. Wenn zwei Zahlen zum Producte 1 geben, so heißt sede der umgekehrte oder reciproke Werth der anderen. So ist n,. — 1, — 1, daher der umgekehrte Werth von a, der umgekehrte Werth von 8. 106. Für die Division durch einen Bruch ergeben sich aus dem in 8- 42 ausgestellten allgemeinen Begriffe der Division folgende Sätze: 1. Eine Zahl wird dnrch einen Bruch dividiert, indem man sie durch den Zähler dividiert und den Quotienten mit dem Nenner multipliciert; oder : Eine Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem man sie mit dem umgekehrten Bruche multipliciert. (8. 42, 2) - . n (8- 102) -- u . (8- 104, 2). Ebenso erhält man b n bin » m Zusatz. Da 1 : — 1 . ist, so kann man allgemein den reciprokeu Werth einer Zahl u durch 1 : a oder bezeichnen. 2. Ein Bruch wird durch einen Bruch auch dividiert, indem man dem Quotienten der Zähler den Quotienten der Nenner als Nenner gibt. Es ist : m) . n (8. 106, 1) . n (8. 103) (8. 102). Dieses Verfahren findet vorzüglich Anwendung bei der Division zweier Brüche mit gleichen Nennern; z. B. 27 9 3 2 2 b — : — — o, —a:v. 100 100 1 / m m 49 Zusatz. Dividiert man eine Zahl durch einen echten oder unechten Bruch, so ist der Quotient bezüglich größer oder kleiner als der Dividend. Wenn in < n, also <7 1, so wird u: n : l, folglich u: > u; wenn aber w > n, alfo > 1. so wird u: < a : k, folglich u : <7 u. Z. 107. Ein Bruch, dessen Zähler oder Nenner, oder beide zugleich wieder Brüche sind, heißt ein gebrochener Bruch. Er ist nichts anderes, als eine angezeigte Division von Brüchen, und kann daher in einen gewöhn¬ lichen Bruch verwandelt werden, wenn man diese Division wirklich ausführt. Z.B. 2. IN Ä , 8. L IN 2. ll 7" - * I "" - 3 ' - - I b rn krn^ IN n IN n 8 IN Z, b au I) m ' n b in' n tz. 108. Alle bisher für die ganzen Zahlen erwiesenen Lehr¬ sätze gelten auch für die gebrochenen Zahlen. Denn alle jene Lehrsätze beruhen auf den zwei Fnndamentalsätzcn von der Bertanschbarkeit der Summanden und der Vertauschbarkeit der Factoreu; diese beiden Sätze aber gelten, wie in ZA. 100 und 104, 3 bewiesen wurde, auch für Brüche. Zusatz. Hernach jst cmch der im Schlußsätze des tz. 43 bezüglich der Quotienten ausgesprochene Vorbehalt aufgehoben. II. Decimallmiche. ß. 10!). Brüche, deren Zähler beliebige dekadische ganze Zahlen und deren Nenner Potenzen von 10 sind, heißen Decim albrüche. Die allgemeine Form eines Decimalbruches ist wo und m beliebige dekadische ganze Zahlen bezeichnen. Im Gegensätze zu den Decimalbrüchen heißen die anderen Brüche ge¬ meine Brüche. Die Decimalbrüche werden ohne Nenner angeschrieben; man braucht nur im Zähler von der Rechten gegen die Linke so viele Ziffern durch einen Punct, den Decimalpunct, abzuschneiden, als der Potenzexponeut von 10 im Nenner Einheiten enthält, oder was gleichviel ist, als im Nenner Nullen Vorkommen; sollten nicht genug Ziffern vorhanden sein, um sie ab¬ schneiden zu können, so werden die fehlenden links durch Nullen ersetzt. Z.B. . 78317 78317 6483 5483 -M- UM - o17, — - 0^4d3, —- — 3? — 0 00037 10° woooö — 0 oot^i. Die Ziffern rechts nach dem Decimalpuucte werden Decimalen genannt. stellt demnach einen Decimalbruch mit in Decimalen vor. Um die Bedeutung der Ziffern eines Decimalbruches kennen zu lernen, sei der Decimalbruch , welcher 4 Decimalen enthält; die Zahl vor dem Moc.nik, Arithmetik lind Algebra, tl. Nufl. 4 50 Decimalpuncte heiße m, und die Decimalzisfern in der Ordnung gegen die Rechte seien a, b, o, ä; dann ist A-- m.10« -j- u.10^ Z- b.1O" Z- 0.10 -s- 6, dahbr m.10'-t-a.10^-j-d.W'-s-«.10-tzä 10' - lÖH Es bedeutet also die Zahl, welche links vor dem Decimalpuncte steht, eine ganze Zahl; die erste Decimale bedeutet Zehntel, die zweite Hun¬ dertel, die dritte Tausendtel, die vierte Zehntausendtel u. s. w. 2 m -r^oi 34781 34000 700-s-80-tz 1 Z. B. 34 781 E- -WM- 34 -s- Z- Um einen Decimalbruch zu lesen, spricht man zuerst die Ganzen vor dem Decimalpuncte aus, und dann jede Decimalstelle einzeln mit Hinzufügung ihres Nenners. Man kann den Nenner der einzelnen Decimalen beim Aus¬ sprechen auch weglassen und nur alle Decimalzisfern, 0 nicht ausgenommen, in der Ordnung nennen. Die Decimalbrüche sind eine Erweiterung des dekadischen Zah¬ lensystems (A. 59) in der Art, daß die Reihe der Zahlenordnungen ... Tausende, Hunderte, Zehner, Einer nicht mehr mit den Einern abbricht, sondern sich nach demselben Gesetze, indem jede niedrigere Einheit als der zehnte Theil einer Einheit der nächst höheren Ordnung angenommen wird, noch unter den Einern hinab in Zehnteln, Hunderteln, Tausendteln,... fort- setzt. Der Decimalpunct scheidet die ursprüngliche Reihe der Zahlenordnungen von dieser Fortsetzung. Folgesatz. Der Werth eines Decimalbruches wird nicht ge ändert, wenn man ihm rechts beliebig viele Nullen anhängt. Es ist z. B. 23 230 2300 23000 IÖÖ — 1000 10000 — 100000 — ' " oder 0 - 23 — 0 230 — 0 - 2300 0 - 2300 . 1. Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Decimalbruch und umgekehrt. Z. 11V. Aufgabe. Einen gemeinen Bruch in einen Decimal¬ bruch zu verwandeln. Man dividiere den Zähler durch den Nenner und bringe im Quotienten nach den Ganzen, an deren Stelle bei einem echten Bruche eine Null gesetzt wird, den Decimalpunct an. Dem Reste hänge man hieraus eine Null an, dividiere wieder und schreibe die erhaltene Quotientziffer nach dem Decimal- pnncte hin; hänge dann eben so jedem etwa weiter folgenden Reste eine Null an und setze die Division fort, bis diese endlich ohne Rest aufgeht, oder, wenn dieses nicht eintritt, bis man die gewünschte Anzahl Decimalen erhalten hat. Im ersten Falle ist der gefundene Decimalbruch ein endlicher, im zweiten kann er in's Unendliche fort entwickelt werden. Beweis. Da — a : b, so ist die vorstehende Aufgabe gleichbedeutend mit der Aufgabe, den Quotienten zweier ganzer Zahlen, welcher Sl keine ganze Zahl ist, durch einen Decirnalbruch darzustellen. Sind nun bei dem obigen Verfahren den einzelnen Resten nach und nach m Nullen angehängt worden, so wurde dadurch der Dividend mit 10--> multipli- ciert; es ist aber a : b — a. 10---: b . 10--- (§. 53) — (a . 10°-: k>) : 10--- (Z. 51, 1) — -r. I0-» : b IO"> ' Z.B. ^30:4^0-75 V? 329 : 125 2-632 20 790 -- 400 250 Zusätze. 1. Damit sich ein gemeiner Bruch in einen Decimalbruch ganz genau verwandeln lasse, muß dieser ein endlicher Decimalbruch, folglich a.10--- durch b theilbar sein. Sind nun a und b relative Primzahlen, so ist dieses nach Z. 78,4 nur dann möglich, wenn 10--- durch l> theilbar ist, d. h. wenn b keinen von 2 und 5 verschiedenen Factor enthält. In allen Fällen, wo der Nenner 5 außer 2 und 5 noch andere Fac- toren enthält, kann der auf die einfachste Form gebrachte gemeine Bruch durch keinen Decimalbruch vollkommen genau dargestellt werden. Es läßt sich jedoch immer näherungsweise ein Decimalbruch entwickeln, welcher von dem gegebenen gemeinen um weniger verschieden ist, als jede noch so kleine gegebene Größe. Denn ist a.10--- durch 5 nicht theilbar, so kann der Quotient als eine gemischte Zahl angesehen werden. Setzt man also L . 10"> , r 1 -- k i? Wo r < b ist, so ist —-L_ -t- r b w--> b. 10»'' a x r b Ion d. 10-"' Da nur r < d, also < 1, so muß sein. Der Unterschied zwischen dem gemeinen Bruche und dem Decimal- bruche ist also kleiner als d. i. kleiner als eine Einheit der letzten noch entwickelten Decimalstelle. Da aber in beliebig groß, daher beliebig klein gemacht werden kann, so läßt sich der Fehler, den man begeht, wenn der erhaltene Decimalbruch für den gemeinen Bruch gesetzt wird, kleiner machen, als jede noch so kleine angebbare Zahl. Z. B. R -- 23-0 : 78 0'29487... 7 40 380 680 560 14 4* 53 Bleibt man hier bei der öten Decimale stehen, so ist der begangene Fehler kleiner als 2. Wenn ein Bruch, der sich nicht genau durch einen Decimalbruch dar¬ stellen läßt, näherungsweise in einen Decimalbruch verwandelt wird, so müssen bei der Entwicklung einige Decimalziffern in derselben Ordnung immer wieder¬ kehren. Denn bei der Division ist der Rest immer kleiner als der Divisor; man kann daher nur so viele verschiedene Reste erhalten, als es ganze Zahlen gibt, welche kleiner sind als der Divisor, so daß im ungünstigsten Falle wenig¬ stens unter so vielen Resten, als der Divisor Einheiten enthält, wieder einer der vorigen Reste zum Vorschein kommt, woraus sich dann weiter die nämlichen Ziffern im Quotienten und dieselben Reste wie vorher ergeben müssen. Z. B.: — 7-0:15^ 0-46666.... 3'0 : 7 0-428571 428. .. 100 20 100 60 100 40 10 50 10 30 20 60 4 Decimalbrüche, in denen sich eine bestimmte Anzahl von Ziffern in der¬ selben Ordnung wiederholt, nennt man periodische und die immer wieder¬ kehrende Zifferreihe die Periode. Die Periode muß mindestens um eine Ziffer weuiger enthalten, als in dem Nenner des verwandelten gemeinen Bruches Einheiten Vorkommen. Man pflegt die Periode nur einmal anzuschreiben, jedoch die erste und letzte Ziffer derselben mit darüber gesetzten Puncten zu bezeich¬ nen; es ist also -- 0-46; -- 0-428571. Io i 111. Ausgabe. Einen Decimalbruch in einen gemeinen Bruch zu verwandeln. 1. Ein endlicher Decimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man denselben in der Form eines gemeinen anschreibt, und diesen, wenn es angeht, abkürzt. Z. B. ° 7S -- -L -- z -ES srjU ZIK 2. Ein periodischer Decimalbruch, worin der Periode keine Decimale vorangeht, wird in einen gemeinen Bruch verwan¬ delt, indem man als Zähler die Ziffern der Periode und als Nenner eine Zahl setzt, welche mit so vielen 9 geschrieben wird, als die Periode Ziffern hat. Benins. Drückt man die Ziffern der Periode durch 6 und ihre Anzahl durch n aus, so läßt sich der periodische Decimalbruch durch die Gleichung _ t> ! d . v i d > X Lov 4" lysn i 4^ M" - darstellen. Multipliciert man den Ausdruck mit 10", so erhält man x. 10" b 4- -j- -s- ch- ... 53 3. Ein und daraus 0 37 gibt. Durch man sofort und daraus Z- B. Subtrahiert man nun den früheren Ausdruck von dem letztem, so folgt x.1O" — x — i>, oder (10" — 1).x — i> b — iv» - 1' 2 . 0 213 o3l708 - 3i 0 ^^8 --3 -gZö ö o- o-6-Z-z; 0-45--zz- 2-301 15-351 --15ZZz--15zs. periodischer Decimalbruch, worin der Periode noch andere Decimalen vorangehen, wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man die der Periode vorangehenden Decimalen sammt der Periode als ganze Zahl zusammenstellt, davon die der Periode vorangehen¬ den Decimalen, ebenfalls als ganze Zahl betrachtet, subtrahiert, und diese Differenz zum Zähler, zum Nenner aber eine Zahl annimmt, die mit so vielen 9, als die Periode Ziffern enthält, und so vielen rechts folgenden Nullen, als Decimalen der Periode vorangehen, geschrieben ist. Bcwcis. Es seien 6 die Ziffern der Periode, n die Anzahl derselben, ferner u die der Periode vorangehenden Decimalen und m ihre Anzahl; so hat man für den Decimalbruch den Ausdruck. _ Ä . -w —_ i - -1- Welcher zuerst mit 10"'^", dann mit 10"'multipliciert, die Ausdrücke x.10^» --U.10" *-l0" die Subtractiou des zweiten Ausdruckes von dem ersten erhält x. 10'"^" — x. 10'" — a. 10" -s- 6 — u, oder x.1O"' (10" — 1) (n.1O" -s- b) -u, . >0" -s- b) — » 37 — 3 34 17 M 45' 213 71 990 33U' — 3LLLL' — oZ5s 90 215 — 2 999 2. Die Grundoperationen mit vollständigen Decimalbrü chen. §. 112. Das Rechnen mit Decimalbrüchen beruhet auf denselben Grün¬ den, wie das mit ganzen Zahlen, und fordert nur die genaue Rücksicht auf den Rang der einzelnen Ziffern, d. i. auf die Stellung des Decimalpnnctes. Um Decimalbrüche zu addieren oder zu subtrahieren, schreibt man sie so unter einander, daß die gleichnamigen Stellen, mithin auch die Decimalpuncte, genau unter einander zu stehen kommen, und addiert oder sub¬ trahiert sie sodann von der Rechten gegen die Linke, wie ganze Zahlen. Die fehlenden Decimaistellen kann man sich durch Nullen ersetzt denken. 35-312 215-3456 0-5678 91-45923 W-2 Differenz 123-88637^ 0-09456 Summe 75 17436 54 Z. B. 10-» A. 113. 1. Ein Decimalbruch wird mit einer Potenz von 10 multipliciert, indem man den Decimalpunct um so viele Stellen weiter gegen die Rechte rückt, als der Multiplicator Nullen hat. _5_ IQ- a »_ 10« ' 10« - 10» 10-»-»' 3-148X10 --- 31-48 3-148 X 100 314-8 3-148 X 1000 — 3148 3-148 X 10000 — 31480 2. DecimalLrüche werden multipliciert, indem man sie ohne Rücksicht auf die Decimalpuncte wie ganze Zahlen multipliciert (Z. 64) und im Producte von der Rechten angefangen so viele Ziffern als Decimalen ab¬ schneidet, als deren in beiden Factoren zusammen enthalten sind. L v »b 10« ' 10» 10-»^»' Wenn das Product nicht so viele Ziffern hat, als abgeschnitten werden sollen, so ersetze man die fehlenden Stellen links durch Nullen. Z. B. a) 4305 X 2-74 " - - ' 274 8 610 3 0135 17220 11-79570 13-7934X0 00156 0001 56 13 7934 6 89670 827604 0021 517704 5) 1'3145 X 0 02071 2071 2 6290 92015 13145 0 02 7223295 Dieselbe Regel gilt auch, wenn ein Factor eine ganze Zahl ist. Zusatz. Schreibt mau den Multiplicand, den Multiplicator und die ein¬ zelnen Theilproducte nach der im Zusatze zu §. 64 enthaltenen Vorschrift unter¬ einander, so ergibt sich der Rang jeder Ziffer im Producte unmittelbar aus deren localer Stellung, indem dabei der Decimalpunct im Producte unter den Decimalpunct des Multiplikators zu stehen kommt. Z. B. 8-0 56 X 53'1 13'7934 X 0'00156 5 31 40 2 80 2 4168 8056 42 7'7736 tz. 114. Ein Decimalpunct wird durch eine Potenz von 10 dividiert, indem man den Decimalpunct um so viele Stellen weiter gegen die Linke rückt, als der Divisor Nullen enthält. a : 10» — —-— io«-r» I B. 712-63:10 ^ 71-263, 712'63:100 — 7'1263, 712-63:1000 --- 0-71263, 712'63:10000 ^ 0 071263. 2. Decimalbrüche werden dividiert, indem man Dividend und Divisor durch Anhängnng von Nullen mit gleich vielen Decimalen darstellt, und dann mit Weglassung der Decimalpuncte die Division wie bei ganzen Zahlen verrichtet (KZ. 66 und 110). 8. . I> a: b - l> 10^ ' 1Ö»> 10« : 10« a ' - 55 Z. B. 98 4 : 1'25 — 98 40 : 1'25 — 9840 : 125 78 72 1090 900 250 0 37 : 5-8413 — 3700 : 58413 -- 0 06334 . .. Dieselbe Regel gilt auch, wenn der Dividend oder der Divisor eine ganze Zahl ist. Praktisch verfährt man einfacher nach folgenden Regeln, deren Richtig¬ keit von selbst einleuchtet: 1. Ein Decimalbruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man ihn wie eine ganze Zahl dividiert und im Quotienten den Decimal- punct setzt, bevor man die erste Decimalziffer des Dividends in Rechnung zieht. Z. B. 487-75 : 25 ^19-51 237 12 7 25 2. Eine Zahl wird durch einen Decimalbruch dividiert, indem man im Dividend und im Divisor durch Multiplication mit der entsprechenden Potenz von 10 den Decimalpunct so verschiebt, daß der Divisor eine ganze Zahl wird, und dann die Division nach der Regel 1. ausführt. Z. B. 0 05496 : 36'84 5 496 : 3684 34461: 0'63^3446100: 63 ^... Zusatz. Schreibt man den Dividend, den Divisor und den Quotienten nach Vorschrift des Zusatzes in A. 66 untereinander, so ergibt sich der Rang jeder einzelnen Ziffer des Quotienten unmittelbar aus deren localer Stellung, indem dabei der Decimalpunct im Quotienten unter den Decimalpunct des Dividends zu stehen kommt. Z. B. 0'5 25632 : 3 - 056 87 6 5 : l 8 95 3-056 18-9 5 0172 4 625.. 2 2003 118 50 6112 4 800 11100 , 1625 ( 3. Die Grundoperatiouen mit unvollständigen Decimalbrüchen. 8- 115. Stellt ein Decimalbruch irgend einen Zahlenwerth, der entweder aus der Rechnung selbst oder aus einer angestellten Messung hervorgegangen ist, nicht völlig genau, sondern blos näherungsweise dar, so heißt er ein unvollständiger Decimalbruch, im Gegensätze zu einem vollständigen oder geschlossenen, der in seinen Zahlen vollkommen genau ausgedrückt ist. Daß ein Decimalbruch unvollständig ist, wird durch angehängte Puncte, z. B. 3-14.., angedeutet. Auch ein geschlossener Decimalbruch kann zu einem unvollständigen abge¬ kürzt werden, wenn man eine oder mehrere seiner letzten Decimalzisfern wegläßt. Die Differenz zwischen einem unvollständigen Decimalbruche und dem genauen Zahlenwerthe, den er angenähert darstellt, heißt der Fehler des Deci- malbruches; derselbe ist positiv oder negativ, je nachdem der darzustellende Zahlenwerth größer oder kleiner als der Decimalbruch ist. 56 Sind von einem unvollständigen Decimalbrüche w.. die n ersten Decimal- ziffern zuverlässig genau angegeben, so ist der Fehler desselben kleiner als eine Einheit an der uten Decimalstelle. Dieser Fehler kann noch kleiner gemacht werden, wenn man die nte Deci- malziffer, je nachdem die (u-stl)Le Dicimalziffer unter 5 oder nicht unter 5 ist, bezüglich unverändert beibehält oder um 1 erhöht (eorrigiert). Der Fehler des auf diese Art mit u Decimalen dargestellten unvollständigen Decimalbruches a.. ist dann kleiner als eine halbe Einheit an der nten Stelle; also i i , i e " 2 ' IO» 2 ' 10»' Die vorstehende Regel wird immer beobachtet, wenn mau einen gegebenen Decimalbruch durch Weglassung von Decimalen abkürzt. Z. B. der Bruch 6 147573 wird mit 4 Decimalen durch 6'1476.. dargestellt; der Fehler ist hier 0'000027, also < Würde man statt 6-147573 den Decimalbruch 6'1475. . nehmen, so wäre der Fehler 0'000073, also >- Es liegt also 6-147573 näher an 6-1476.. als au 6-1475.. Bei den folgenden Untersuchungen werden wir die unvollständigen Deci- malbrüche immer als so genau voraussetzen, daß der Fehler weniger als eine halbe Einheit ihrer letzten Stelle beträgt. ß. 116. Sind unvollständige Decimalbrüche zu addieren oder zu sub¬ trahieren, so kürze man sie vorher auf so viele Stellen ab, als derjenige enthält, der die wenigsten hat, weil die weiteren Stellen für das Resultat un¬ brauchbar sind. Daun ist s.) der Fehler der Summe kleiner als so viele halbe Einheiten der letzten Stelle, als Summanden vor¬ handen sind; d) der Fehler der Differenz kleiner als eine Ein¬ heit der letzten Stelle. Die Richtigkeit dieser Sätze ist von selbst einleuchtend. Folgesätze. 1. In der Summe mehrerer unvollständiger Decimalbrüche sind im ungünstigsten Falle so viele der niedrigeren Stellen unsicher, als die halbe Zahl der Summanden Ziffern hat; z. B. eine Stelle, wenn weniger als 20 Summanden vorhanden sind. 2. In der Differenz zweier unvollständiger Decimalbrüche ist im un¬ günstigsten Falle eine Stelle unzuverlässig. ß. 117. Um die Summe mehrerer unvollständiger Decimal¬ brüche, deren Zahl jedoch kleiner als 20 ist, oder die Differenz zweier unvollständiger Decimalbrüche auf w> Stellen genau zu bestim¬ men, muß man die gegebenen Bruche mit w-st 1 Decimalziffern in Rechnung ziehen und nach verrichteter Rechnung die letzte Ziffer weglassen. 8- 118. I. Der Fehler des Productes zweier unvollständiger Decimalbrüche ist kleiner als so viele halbe Einheiten der letzten Stelle in dem als vollständig entwickelten Producte, wie die Summe der Zähler der beiden Factoren anzeigt. Beweis. Ist re - < u. . < a -s- 1, si i 2' IW» 1 lad ch -si d < t .1 FFn < < b -st d, so hat man durch Multiplication dieser Ungleichungen (8. 41, 3) -U) - k-2- 107^'2' wüä -st^.-^-- 57 oder wenn das Glied als gegen die übrigen verschwindend Wegge¬ laffen wird, oder ad - (a . 10" -ff 5.10») . < a . . . X b - . . < ab ff- (a . 10- -l- ' ^0") - Z - Der Fehler des als vollständig entwickelten Produktes a.. X welches, da a., m und b.. n Decimalzisfern hat, m ff- II Decimalen enthalten muß, ist also kleiner als (a . 10" ff- b . 10") . wo a. 10- und b. 10" die Zähler der zwei gegebenen Decimalbrüche vorstellen. 2. Behält a.. den früheren Werth und ist b ein vollständiger Deci- malbruch mit n Decimalen, so wird nach ß. 41, 2 ab-b . 10" . < a .. X k >ll Von diesen werden aber, da -395972 6 Ziffern enthält, die 6 letzten Decimalen unzuverlässig, also unbrauchbar. Das Product kann daher nur auf 2 Decimalstellen genau berechnet werden, und man hat folgende Multiplicationen: Wie man aus den Rechnungen in d) und 1>-->6 2' UM' so ist nach Z. 57, 4 — 1 . i a 2 ' io-» «... ^ ^ 2 ' io-° . X 1 I b. . , 1 I ' 0^2'10° "2'10° oder, wenn man im ersten und dritten Quotienten das erste Glied wirklich bestimmt, und dann die gehörigen Reduktionen vornimmt, b' oder, wenn.^.^- als gegen d verschwindend weggelassen wird, kl. I <1- I I) kl. 110" löül a . . ki, , 1 10" 1(M. b 2 ' b' b 2 ' b' 60 Es genügt, in dem Quotienten, welcher zur Beurtheilung des Fehlers dient, bloß 1 oder 2 geltende Ziffern zu berechnen. Beispiel. Es sei der Quotient 65'134.. i 3.8617.. zu berechnen. Zur Bestimmung des Fehlers hat man 1 0'00651 .. -j- 0'003^6 . . 1 0'0103? 2 '-(3^86,7?-< 2 ' 0 OOOod. Der Quotient der gegebenen zwei Decimalbrüche läßt sich also nur mit 3 zuverlässigen Decimalen entwickeln; es ist nämlich 65-134.. :3'8617.... — 16'867.. 2. Behält u.. den früheren Werth und ist 6 ein vollständiger De- cimalbruch, so erhält man II I i, d. h. der Fehler des Quotienten eines unvollständigen Decimal- bruches durch einen vollständigen ist kleiner als die Hälfte des Quotienten, welcher erhalten wird, indem man eine Einheit der letzten Stelle des Dividends durch den Divisor dividiert. Z. B. Die Division 0'314..: 6'34 läßt sich, da der Fehler des Quotienten kleiner als 0-001 16'34^ 0'000079.. ist, in 4 zuverlässigen Deoimalstellen ausführen. 3. Hat b.. den in 1. angegebenen Werth, und ist u ein vollständiger Decimalbruch, so hat man nach ß. 57, 3 I I'!» 2'H 3. z 10" « L d 2 bQ b d. h. der Fehler des Quotienten eines vollständigen Decimal- bruches durch einen unvollständigen ist kleiner als die Hälfte des Quotienten, welcher erhalten wird, indem man den Dividend durch den Nenner des Divisors, und diesen Quotienten noch durch das Quadrat des Divisors dividiert. Z. B. Für den Quotienten 39'108:3'5628.. ist der Fehler kleiner als ' 0(0^56-18)' < >' — 0'00016 ..; somit kann die Division ans 3 Decimalen zuverlässig ausgeführt werden. Z. 123. Um in dem Quotienten zweier Zahlen mit Vermeidung jeder überflüssigen Rechnung nur so viel Ziffern zu bestimmen, als ihrer zuverläsiig sein sollen, bedient man sich der abgekürzten Division. Diese besteht in folgendem Verfahren: 1. Man schreibe den Divisor unter den ersten Theildividend und die erste Ziffer des Quotienten unter die Einerziffer des Divisors, so hat die erste Ziffer des Quotienten mit der gerade darüber stehenden Ziffer des Dividends gleichen Rang. Aus dem Range dieser Ziffer und aus der Anzahl der im Quotienten verlangten Decimalen ist auch bekannt, wie viele geltende Ziffern des Quo¬ tienten man im Ganzen zu bestimmen hat. Man nehme dann so viele höchste Ziffern des Divisors, als ihrer der Quotient enthalten soll, als ersten Divisor und den darüber stehenden Theil des Dividends als ersten^ Dividend au. 2. Man lasse bei jeder folgenden Division, anstatt'zu dem Reste eine neue Ziffer dazu zu setzen, im Divisor rechts eine Ziffer weg. 61 3. Mit jeder Ziffer des Quotienten muttipliciere man zunächst die erste oder richtiger die zwei ersten im Divisor weggelassenen Ziffern und nehme daraus die Corrcctur für das Product aus dem abgekürzten Divisor und der entsprechenden Ziffer des Quotienten. 4. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis mit der Division durch die erste Ziffer des Divisors die Rechnung abschließt. Dcr Decimalpunct im Quo¬ tienten kommt unter jenen des Dividends zu stehen. Beispiel. Es sei der Quotient 96-371..: 4'0852.. zu berechnen. 1 0 00096. .0'00405 1 000501 . Da 2 - --< 2 - 0-0001S.. ist, so wird man im Quotienten nur 3 zuverlässige Decimalen erhalten, daher, weil die erste Ziffer Zehner bedeutet, im Ganzen 5 geltende Ziffern entwickeln. -) Gewöhnliche Division der als voll- d) Abgeliirzte Division mit s ständig betrachteten Decimalbrüche Decimalen Damit bei der abgekürzten Division die letzte Ziffer des Quotienten richtig erhalten werde, muß der Divisor rechts über den Dividend hinaus¬ reichen, so daß noch eine Ziffer des Divisors znr Correctnr benützt werden könne. Z. 124. Aus dem richtigen Unterschreiben des Divisors unter den Dividend läßt sich mit Rücksicht auf das abgekürzte Divisionsverfahren unmittelbar bestimmen, wie viele zuverlässige Stellen der Quotient enthalten wird. Die niedrigste Ziffer des Dividends, über welche noch der Divisor rechts hinausreicht (wie im 8- 123 bei der Rechnung d) die Ziffer 1), zeigt an, bis zu welcher Stelle der erste Dividend, daher auch der erste Divisor zu nehmen ist; die Anzahl der Ziffern dieses Divisors gibt aber zugleich die Anzahl der geltenden Ziffern im Quotienten an. Schreibt man die erste Ziffer des Quo¬ tienten unter die Einer des Divisors, so ergibt sich der Rang der ersten, nnd daraus auch der der folgenden Quotientenziffern. Seien z. B. folgende Quotienten u) 6) v) ci) 6 2-7G645.. 41'32513.. 0'415!.. 35 4» 0-7 82,8.. 9-173,4.. 84,58 6 2'41,8.. '8. '. 4'... 0-00004. 0-5 ... zu berechnen. In a) wird der Quotient im ungünstigsten Falle 3 geltende zuverlässige Ziffern haben; die erste bedeutet Zehner, die dritte also Zehntel. In 6) kann der Quotient bis auf die dritte, in o) bis auf die sechste, in ä), wo man dem vollständigen Dividend Nullen anhängen darf, bis aus die vierte Decimalstelle zuverlässig entwickelt werden. ß. 125. Wenn umgekehrt angegeben werden soll, mit welchem Grade der Zuverlässigkeit zwei Decimalbrüche in Rechnung zu nehmen sind, damit man im Quotienten eine vorgeschriebene Anzahl zuverlässiger Stellen erhalte, so bestimme man durch das richtige Unterschreiben des Divisors unter den Dividend den Rang der ersten 62 Ziffer des Quotienten und auf Grundlage dessen die zur Erreichung des ge¬ wünschten Grades von Genauigkeit im Quotienten erforderliche Anzahl geltender Ziffern. Im Divisor braucht man nun eine Ziffer mehr, als die Anzahl der geltenden Quotientenziffern beträgt, und der Dividend muß sich bis auf die vorletzte Ziffer des Divisors erstrecken. Sind entweder im Dividend oder im Divisor oder in beiden nicht die erforderliche Anzahl von Ziffern, so muß man sich entweder die noch fehlenden Stellen verschaffen, oder, wo dieses nicht möglich ist, auf die verlangte Genauigkeit des Quotienten verzichten. Sind z. B. die Quotienten a) b) o) ci) 35-134!.. 7'564,2.. 135-70J 4'5 7-, 7'495,2... , 0-93o!o 4'823.,. 8'28,. sämmtlich in 3 Dicimalstellen zuverlässig zu bestimmen, so haben in n) beide Zahlen genau die erforderliche Anzahl von Decimalen, in l>) ist die Ziffer 2 des Dividends überflüssig, in v) fehlen dem Divisor noch 2 Decimalziffern, in ck) fehlt dem Dividend eine, und dem Divisor eine Decimale. III. Kettenbrüche. §. 126. Ein Bruch, dessen Nenner nebst der ganzen Zahl noch einen Bruch enthält, dessen Nenner, wenn er nicht der letzte ist, wieder dieselbe Beschaffenheit hat, wird ein zusammenhängender oder Kettenbruch genannt. Die allgemeine Form eines solchen Bruches ist wo a, ll, o, ck,... was immer für ganze Zahlen vorstellen können. Die einzelnen Brüche aus denen der Kettenbruch besteht, heißen Glieder desselben. Je nachdem der Kettenbruch eine bestimmte Anzahl von Gliedern hat, oder in's Unendliche fortschreitet, heißt er ein endlicher oder ein unendlicher. Besonders wichtig sind solche Kettenbrüche, deren Glieder sämmtlich 1 zum Zähler, und eine positive Zahl zum Nenner haben; ihre allgemeine Form ist s-' Nur von solchen Kettenbrüchen soll hier die Rede sein. 1. Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Kettenbruch und umgekehrt. 8- 127. Aufgabe. Eineu gemeinen echten Bruch in einen Kettenbruch zu verwandeln. Man dividiere Zähler und Nenner des Bruches durch den Zähler des selben, stelle den neuen Nenner als Summe aus einer ganzen Zahl nnd einem echten Bruche dar, verfahre dann mit diesem Bruche auf gleiche Weise nnd setze das Verfahren so lange fort, bis eine solche Division ohne Rest aufgeht. Jst^, wo a < b, in einen Kettenbruch zu verwandeln, so hat man 63 — -I_—-I. r d d : s q, 4—' — 1 _i 6 4-O 4-> ^2 'i- > S : r, 42 4" I --!- I 4, "1 - -l„ 4, 4-> r i - 12 > u. s. w., wenn 6 : a den Quotienten c^ mit dem Reste n,, tzlr " » „ r^, ' ^2 „ 3s ,' » >, Ng, U. s. W. gibt. Daß bei diesem Verfahren endlich ein Rest — 0 kommen müsse, folgt aus dem Umstande, daß die Reste ganze Zahlen sind und daß jeder folgende Rest mindestens um I kleiner sein müsse, als der vorhergehende. Wäre in der obigen allgemeinen Entwicklung z. B. iz — 0, so hätte man den endlichen Kettenbruch Ä _ 1 4! 4- 4. i , i 151 13 1 2^9, 5 — 84655 17 67 1 16 ! 16 , t 41 Ein anderes Verfahren, einen Kettenbruch in einen gemeinen Bruch zu verwandeln, wird weiter unten (Z. 131) angegeben werden. „ IW 553 553 IW anordnen: > i . 4i — ^^128 ^128 41 Man kann die Rechnung auch so i i 16 H. 129. Ausgabe. Einen endlichen Kettenbruch in einen ge¬ meinen Bruch zu verwandeln. Man vereinige das letzte Glied des Kettenbruches mit dem Nenner des vorletzten zu einem unechten Bruche und dividiere dadurch den Zähler 1 dieses vorletzten Gliedes; den erhaltenen Bruch vereinige man wieder mit dem Nen¬ ner des vorhergehenden Gliedes und dividiere dadurch den Zähler 1 desselben, und setze dieses Verfahren bis zum ersten Gliede fort. 4 Z- I 4 Z- 7 -s- Z. ^41 ''^41 128 553 Der Ketteubruch hat in diesem Falle die Form 1s "w » - Um z. B. "4^ in einen Kettenbruch zu verwandeln, hat man 2704 , 84^ 655 " 655 2. Näherungsbrüche und ihre Eigenschaften. tz. 130. Wenn man einen Ketteubruch bei irgend einem Gliede abbricht, und den bis dahin reichenden Kettenbruch mit Vernachlässigung der folgenden Glieder in einen gemeinen Bruch verwandelt, so heißt dieser ein Näherungs¬ bruch des ganzen Kettenbruches, und zwar der erste, zweite, dritte,..., je nachdem man nur das erste, oder die ersten zwei, drei,..-Glieder in An¬ spruch nimmt. Bezeichnet man für den Kettenbruch die auf einander folgenden Nähernngsbrüche durch , so ist 65 Z--Z. I 1 Ü- woraus hervorgeht, daß das obige Gesetz für den dritten Näherungsbruch richtig ist. Gesetzt nun, dasselbe Gesetz gelte für den oten Näherungsbruch, so daß _ 2»—1 Hu -l- An—2 ^n—I -j- —2 sei. Um aus dem nteu Näherungsbruche den (n -f- 1)ten zu erhalten, darf man mit Rücksicht auf die Glieder des Kettenbrnches, welche zu und ge¬ hören, nnr in dem ersteren -s- statt c>„ setzen. Man erhält daher / i 1 2„ii _ 4»4-i/ _ 1 (in i"4-l ck- 0 § 4»n I4n_i (i» 4>>4 > -U U "b Un—S 4ll-dl (^n—I i» -b ^- n—s) in^-1 -s- ^I>—1 2n 4ni-i ll- 2n-i (I4n-i i„ -b I4n-.s) i»4-l -ch ^»-l ^4» 4»4-r ck" Gilt daher das obige Bildnngsgesetz für den nteu Näherungsbrnch, so ist es auch für den (n -ch 1)ten richtig. Nun gilt dieses Gesetz, wie gezeigt wurde, für den dritten Näherungsbruch, also gilt es auch für den vierten, folglich auch für den fünften, u. s. w.; folglich gilt dasselbe allgemein. Moönik, Arithmetik und Algebra. 11. Aufl, 66 Mit Rücksicht auf die hier uachgewiesene Eigenschaft lassen sich aus den zwei ersten Näherungsbrüchen ohne Schwierigkeit alle nach einander folgenden Näherungsbrüche, und daher bei einem endlichen Kettenbruche auch der Er¬ zeugungsbruch bestimmen. Z. B. Für den Kettenbruch Der letzte Näherungsbrnch stellt zugleich den Erzengungsbruch deS ge¬ gebenen Kettenbruches vor. Zusatz. Aus dem Bildungsgesetze der Näherungsbrüche folgt, daß sowohl die Zähler als die Nenner derselben immer größer werden müssen. tz. 132. Die Näherungsbrüche sind abwechselnd größer oder- kleiner als der vollständige Werth des Kettenbruches, je nach¬ dem sie eine ungerade oder eine gerade Anzahl von Gliedern enthalten. Beweis. Drückt man die nach dem ersten, zweiten, dritten,. .. Gliede weggelassenen Glieder durch x,, ... aus, so ist Ä 1 1 1 °-° - - Nun ist daher Ferner ist < ^7^/ daher Sei nun allgemein-7- also ^.,1 2. , r ' Ml-t-r -st xn-rr, 67 1 oder i y-'-i-i Es sind also je zwei auf einander folgende Näherungsbrüche abwechselnd kleiner und größer als der vollständige Kettenbruch. Da nun der erste Nä- hernngsbruch größer ist, so wird dies überhaupt bei jedem ungeraden Nä¬ herungsbruche stattfinden, während der zweite und alle geraden Näherungs¬ brüche kleiner sind. Zusatz. Der vollständige Werth eines Kettenbruches liegt immer zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden Näherungsbrüchen. tz.133.1. Wenn man von dem Producte aus demZähler eines Näherungsbruches und dem Nenner des folgenden das Product aus dem Zähler des letztern und dem Nenner des erster« sub¬ trahiert, so ist die Differenz st-1, oder — 1, je nachdem der erstere Näherungsbruch eine ungerade oder eine gerade Anzahl von Gliedern enthält. Es ist so ist deßwegen auch -j- . 7^ - 2^ «g, st-N.) - (2, (z. st- 2,) 2^ — 2, — Ist nun allgemein 2„_i N,, — 2„ 1, so folgt daraus 2„ — 2^g-i — 2„ shln stn-dl st^ i) — (2» st- 2„- t w'-^- weil zu ^li rt- I «7, Ü ' Zusatz. Da N? < ^2 < N- < n? < ..., daher . l i i N; ^,2 > ds- ' ist, so folgt, daß jeder folgende Näherungsbruch von dem vollständigen Werthe des Kettenbrucheö um weniger verschieden ist, als der vorhergehende, daß sich also die auf einander folgenden Näherungsbrüche dem gegebenen Bruche immer mehr nähern, bis der letzte, wenn es einen gibt, mit jenem Werthe selbst zusammenfällt. Z. 134. Zähler und Nenner eines jeden Näherungbruches sind relative Primzahlen. Für die Näherungsbrüche und ist (Z. 133) absolut genommen I Zln—1 — 1. Wären nun und nicht relative Primzahlen, sondern sie hätten ein gemeinschaftliches Maß m, so wäre in auch ein Maß von Zln-, "(ß. 78, 1 und 8- 77, 2) und folglich ein Maß von 1, was nicht möglich ist. §. 135. Zwischen zwei unmittelbar auf einander folgende Näherungsbrüche läßt sich kein Bruch einschalten, dessen Nenner nicht größer ist, als die Nenner der beiden Räherungsbrüche' Gesetzt, es würde der gemeine Bruch zwischen den Näherungsbrücheu und liegen, so müßte absolut genommen h- < Hk __ oder 'i " l' < daher — ts» p I sein, was nur möglich ist, wenn der Nenner^ > ist, weil c, — i>ln p eine von 0 verschiedene ganze Zahl, also > 1 sein soll. Folgesatz. Jeder Näherungsbruch drückt den vollständigen Werth des Kettenbruches genauer aus, als jeder andere Bruch, der einen kleineren Nenner hat. Zusatz. Diese Eigenschaft der Näherungsbrüche ist von großer praktischer Wichtigkeit. Will man nämlich den Quotienten zweier großer Zahlen durch kleinere möglichst genau darstellen, so verwandelt man denselben in einen Kettenbruch, und sucht die Räherungsbrüche; jeder derselben drückt den gesuchten Quotienten genauer aus, als alle möglichen gemeinen Brüche, deren Nenner nicht größer sind als der des Näherungsbruches. Beispiele. 1. Man soll den Bruch 3U415926, d. i. den Quotienten des Umfanges eines Kreises durch den Durchmesser, durch kleinere Zahlen möglichst genau ansdrücken. Man hat 2-INI 31415926 c, , 1 , 3 1"o926 -^öyWW^3-I-7Z-^t 1 69 Näherungsbrüche: 3, 7, 15, 1, 243, ... 3 22 333 33S 86598 ? "7' W6' 113' 27565' ' ' ' 2. Ein Wiener Fuß ist — 0'316081 Meter; man soll die NähernngS- werthe bestimmen. Es ist 0-316081 Näherungsbrüche: 3, 6, 9, 2, 1, 1 6 55 116 171 3' 19' 174' 367' 541' Man hat also annäherungsweise: 3 Wiener Fuß — 1 9, ... 1655 523t/ Meter Fünfter Abschnitt. Von -cn VerlMnissen mrd Proportroneir. 1. Verhältnisse. ß. 136. Die Division als Theilung führt auf die Brüche; die Division als Messung einer Zahl durch eine zweite führt auf den Begriff eines Ver¬ hältnisses. Unter dem Verhältnis zweier Zahlen (Größen) versteht man die Angabe, wie oft die eine in der andern enthalten ist. Die Bezeichnung des Verhältnisses zweier Zahlen (Größen) s, und b ist darum dieselbe als die des Quotienten s. : d oder und wird gelesen: a ver¬ hält sich zu b, oder kürzer: u zu 6. Dividend und Divisor heißen Glieder des Verhältnisses, und zwar der Dividend das Vorderglied, der Di¬ visor das Hinterglied. Die unbenannte Zahl s, welche den Quotienten s.: 6 angibt, wird der Exponent des Verhältnisses genannt. Sind die Glieder eines Verhältnisses unbenannte Zahlen, so nennt man dasselbe ein Zahlenverhältnis. Das durch Vertauschung der Glieder eines Verhältnisses n : K entstehende Verhältnis 6 : n heißt das umgekehrte oder reciproke Verhältnis des ersteren. Die Größe eines Verhältnisses hängt von seinen! Exponenten ab; je größer dieser ist, desto größer ist auch das Verhältnis. Zwei Verhältnisse sind einander gleich, wenn sie denselben Exponenten haben. Wenn umgekehrt zwei Verhältnisse gleich sind, so haben sie gleiche Exponenten. 70 Z. 137. Das Verhältnis zweier (gleichartiger) Größen, z. B. zweier Linien, Flächen,... ist gleichbedeutend mit dem Verhältnis zweier unbenannter Zahlen, welche ausdrücken, wie oft ein gemeinschaftliches Maß der beiden Größen als Einheit in jeder von ihnen enthalten ist. 1. Der Exponent des Verhältnisses zweier commensurabler Größen ist entweder eine ganze oder eine gebrochene Zahl. Sind die Größen L. und 8 commensurabel, und ihr gemeinschaftliches Maß in L. mmal, in 8 rnnal enthalten, so ist die Größe 8 in der Größe so oft enthalten, wie die Zahl u in der Zahl m; es ist daher wo für den Fall, daß n — 1 oder überhaupt iu durch n theilbar ist, eine ganze Zahl, sonst einen Bruch vorstellt. 2. Der Exponent des Verhältnisses zweier incommen- surabler Größen kann a) weder eine ganze noch eine gebrochene Zahl sein; er läßt sich jedoch k) durch Angabe zweier Grenzen, zwischen denen er liegt, mit jedem beliebigen Grade der Ge¬ nauigkeit annäherungsweise bestimmen. a) Sind und 8 zwei incommensurable Größen, so kann weder — ui, noch Z — sein; denn im ersten Falle wäre daun 8 selbst, im zweiten b ein gemeinschaftliches Maß von L und 8, was gegen die Voraussetzung ist. l>) Theilt man 8 in u gleiche Theile und nimmt einen solchen Theil von mmal, d. i. so oft hinweg, als es angeht, so bleibt von ein Rest übrig, welcher kleiner als ist; es muß also dagegen ^<(m-s-1).? sein; folglich ist nach ß. 57, 2 Der Exponent des Verhältnisses liegt also zwischen zwei Grenzen und deren Unterschied ist. Setzt man gleich oder , so begeht man einmal im positiven, das andere Mal im negativen Sinne einen Fehler, der kleiner als ist. Da aber u beliebig groß, daher beliebig klein gemacht werden kann, so läßt sich mit jedem beliebigen Grade der Genauig¬ keit bestimmen. Zusatz. Um das Verhältnis zweier incommensurabler Größen darstellen zu können, ist man genöthigt, in das Zahlengebiet eine Zahlform einzuführen, die in der bisherigen Reihe der ganzen und gebrochenen Zahlen nicht verkommt, sich aber durch diese annäherungsweise mit jeder beliebigen Genauigkeit be¬ stimmen läßt. Da uns jedoch auf diese neue Zahlform, welche man eine irrationale Zahl nennt, weiter nnten (ß. l83) auch die Betrachtung der reinen Zahlen leiten wird, so soll dieselbe erst dort einer näheren Untersuchung unterzogen werden. In den hier folgenden Sätzen wird vorläufig vorausgesetzt, daß die Ver¬ hältnisglieder commensurabel sind. Z. 138- Lehrsätze. 1. In jedem Verhältnisse ist das Vorder¬ glied gleich dem Hintergliede multipliciert mit dem Exponenten. 71 2. In jedem VerhLltnissse ist das Hinterglied gleich dem Vordergliede dividiert durch den Exponenten. Wenn a : k — s ist, so ist 1. a — lis; 2. b — g, : g. Die Richtigkeit dieser Sätze folgt unmittelbar aus Z. 42. 3. Ein Verhältnis bleibt beständig, wenn man Vorder- und Hinterglied mit derselben Zahl multipliciert, oder durch die¬ selbe Zahl dividiert. Wenn a : b — 6 ist, so ist nach Z. 53 auch um : Km — o, und — s; die Verhältnisse um:km und sind also dem Verhältnisse u: k gleich. Zusatz. Durch Anwendung dieses Satzes kann man u) jedes Verhältnis, dessen Glieder Brüche enthalten, mit ganzen Zahlen darstellen; k) jedes Ver¬ hältnis, dessen Glieder ein gemeinschaftliches Maß haben, dadurch abkürzen. 4. Sind zwei Verhältnisse einem dritten gleich, so sind sie auch unter einander gleich. Folgt aus Z. 10, 2. ß. 139. Wenn man in zwei oder mehreren Verhältnissen alle Vorder¬ glieder, und ebenso alle Hinterglieder mit einander multipliciert, so bilden die Products ein neues Verhältnis, welches im Gegensätze zu den gegebenen ein¬ fachen Verhältnissen ein zusammengesetztes Verhältnis genannt wird. Sind z. B. u : k o: ä s : k einfache Verhältnisse, so ist S.O6 : käk ein zusammengesetztes Verhältnis. Zusatz. Wenn man irgend ein Vorderglied nnd irgend ein Hinterglied in den einfachen Verhältnissen durch dieselbe Zahl multipliciert oder dividiert, so wird dadurch auch sowohl das Vorder- als das Hinterglied des zusammen¬ gesetzten Verhältnisses durch die nämliche Zahl multipliciert oder dividiert, folglich bleibt dieses letztere ungeändert. 2. Proportionen. Z. 140. Die Gleichstellung zweier gleicher Verhältnisse heißt eine Pro¬ portion. Ist u: k — e und 6 : ä — s, so ist auch u : k — o: ä; dieser Ausdruck ist eine Proportion und wird gelesen: u verhält sich zu k, wie sich v zu ä verhält, oder kürzer: u zu k, wie o zu 6. Das erste Glied u und das vierte ä nennt man die äußeren, das zweite k und das dritte o die inneren Glieder; auch heißen a und o die Vorderglieder, k und ä die Hinterglieder der Proportion. Das vierte Glied insbesondere wird die vierte Proportionale zu den drei ersten Gliedern genannt. Sind in einer Proportion die inneren Glieder gleich, so heißt dieselbe eine stetige Proportion, z. B. a : K — k : o. Das innere Glied k wird die mittlere (geometrische) Proportionale oder das geometrische Mittel zu u und o, und o die dritte stetige Proportionale zu u und K genannt. Wenn zwei Arten von Größen so von einander abhängen, daß zu einer m fachen G*öße der einen Art auch eine m fache Größe der anderen Art ge¬ hört, so heißen die beiden Arten von Größen gerade proportioniert (pro¬ portional); z. B. Waare und Preis, Capital nnd Zins n. s. w. Wenn dagegen zu der m fachen Größe der einen Art nur der mte Theil von der Größe der 72 anderen Art gehört, so heißen die beiden Arten von Größen verkehrt pro¬ portioniert; z. B. die Zahl der Arbeiter und die Arbeitszeit bei gleicher Leistung, Capital und Zeit bei gleichen Zinsen, u. s. w. In einer Proportion können die Glieder des einen Verhältnisses von anderer Art sein, als die des andern. Sind die Glieder einer Proportion lauter unbenannte Zahlen, so heißt dieselbe eine Zahlenproportion, sonst eine Größenproportion. In den hier folgenden Sätzen über Proportionen wird vorläufig voraus¬ gesetzt, daß die Glieder eines jeden Verhältnisses commensurabel sind. Z. 141. Lehrsätze. 1. Je nachdem in einer Proportion das erste Glied größer, eben so groß oder kleiner ist als das zweite, ist anch das dritte bezüglich größer, eben so groß oder kleiner als das vierte. Es sei n : k — o: ä und s der Exponent beider Verhältnisse; dann ist n — ds und a — äs. Je nachdem nun a k>, muß s 1, uud daher anch e ä sein. 2. Je nachdem in einer Proportion gleichartiger oder un¬ benannter Zahlen das erste Glied größer, eben so groß oder kleiner ist als das dritte, ist auch das zweite bezüglich größer, eben so groß oder kleiner als das vierte. Denn je nachdem n o, ist ibs äs, und somit b D ä. 3. Zu drei Größen a, b, s gibt es immer nur eine vierte Proportionale. Gesetzt, es wäre außer ä auch eine vierte Proportionale zu u, d, s, also n: b — s: ä uud auch a : k — s: äst dann müssen anch die Verhält¬ nisse o: ä — e: ä' gleich, folglich (nach 2.) ä — ä' fein. 4. Die mittlere geometrische Proportionale zweier Zahlen liegt immer zwischen diesen Zahlen. Sei u: b — d: o. Ist n k, so muß nach 1. bezüglich auch K s sein. §. 142. 1. Jede Proportion bleibt richtig, wenn man die äußeren Glieder mit den inneren vertauscht. Ist a: k> — o : ä, und n — bs, o — äs, so ist b — n. ä — 6 6^ folglich auch b : n — ä : o. 2. Eine Proportion gleichartiger oder unbenannter Zahlen bleibt richtig, wenn man s.) die inneren, d) die äußeren Glieder unter sich vertauscht. Aus u:b — s:ä, s, — be, s — äs folgt n) u,:s—bs:äs, oder g. : s — k> : ä (tz. 138, 3); k) ä: b — äs : bs (ß. 138, 3) oder ä: t> — s : a. 3. Eiue Proportion bleibt richtig, wenn man ein äußeres und ein inneres Glied mit derselben Zahl multipliciert oder durch dieselbe Zahl dividiert. Es sei u: b — o: ä, u — b s, s — äs. Daß nm : b m — o : ä uud - : - — o : ä, n : k> — sw : äin und n : b — - : ' IN IN ist,, folgt aus §. 138, 3. 73 Ferner ist i , n _ d i nnrubs.m — v.em, — — — — b.—, IN IN NI 6M — äe.w — ä.ow; - — — — ci. — : ' NI m NI^ daher am : k) — — — :'ä. IN IN Ebenso ergibt sich > i d 6 A : Kirr — 6 : am, a: — — o: —. IN IN Zusatz. Durch Anwendung dieses Satzes kann man a) jede Proportion, in welcher Brüche Vorkommen, mit ganzen Zahlen darstellen; d) jede Propor¬ tion, in welcher ein äußeres uud ein inneres Glied ein gemeinschaftliches Maß haben, dadurch abkürzeu. Z. 143. 1. In jeder Proportion verhält sich die Summe oder Differenz der beiden ersten Glieder zum ersten oder zweiten, wie die Summe oder Differenz der beiden letzten Glieder zum dritten oder vierten. Ist a : b — u: ä, a — bs, o — cis, so hat man ja b>) : a — (h s l>) : b o — (s 1) : o, ja ä) : o — (äs ci) : äs — (s 1): e; daher (a h) : a — (o ä) : o. Auf ähnliche Weise erhält man (a b) : d --- (o ä) : ä. 2. In jeder Proportion verhält sich die Summe der beiden ersten Glieder zu deren Differenz, wie die Summe der beiden letzten Glieder zu deren Differenz. Es ist (a -s- 1>) : (a — d) — (b s -j- k) : (K ll) — a : l>. Folgt aus l. mit Zuziehung von K. 142, 2. a. Zusatz. Sind mehrere Verhältnisse gleichartiger oder un- benannter Zahlen einander gleich, so verhält sich die Summe aller Vorderglieder zur Summe aller Hinterglieder, wie ein Vorderglied zu seinem Hintergliebe. Ist a : b — o : ä — b: Z, so ist auch (u -s- o -s- t'- : (b -j- ä -s- §) — a: d. 8- 144. 1. Sind in zwei Proportionen die Vorder-oder Hin¬ terglieder in derselben Folge einander gleich, so sind bezüglich die Hinter- oder Vorderglieder einauder gerade proportioniert. 74 Ist so ist s, : k — o : ä a: w — o : n l>: m — ä : ri s, : k — o : ä rri : I) — Q: ci a: w — o : n. Der Beweis wird geführt, indem man in der jedesmaligen Endpropor¬ tion die Gleichheit der Exponenten nachweist. 2. Sind in zwei Proportionen die äußeren oder inneren Glieder in derselben Folge einander gleich, so sind bezüglich die inneren oder äußeren Glieder einander verkehrt proportioniert. Ist u : b — o : ci u: b — o : ci u: rn — n: ä m : i> — o : n so ist d : m — n : o u : m — n : ä. Der Beweis beruht auf der Gleichheit der Exponenten. Z. 145. l. Wenn man in zwei oder mehreren Zahlenpropor¬ tionen die gleichstelligen Glieder mit einander mnltipliciert, so bilden die Produkte wieder eine Proportion. Es sei so hat man folglich a : b — o: ä, k : A — ü: g, — bs, 6 k — As', K m — ns", cis; ks^; qs"; ukin — pAn.ss^s", oüp> — älrc^.ss^s", abrn : i)An — oüp : ciicc^. Man sagt, die letzte Proportion sei aus den gegebenen zusammengesetzt. Der vorstehende Satz bleibt auch noch richtig, wenn eine der gegebenen Proportionen eine Größenproportion ist. 2. Wenn mau die gleichstelligen Glieder zweier Zahlenpro¬ portionen durch einander dividiert, so bilden die Quotienten wieder eine Proportion. a: iz — s : ä, s, — bs, o — äs; f: A — ü: ic, b — Ash ü — ir c/ ; , s, d s e ä e k k ' s" rc , d « ä t ' x Ü ' K' In jeder Zahlenproportion ist das Product der äußeren Glieder gleich dem Produkte der inneren Glieder. Es sei a: l> — s: ä, a — d s, o — äs; dann ist, wenn man a — bs mit ä — ä, und o äs mit b — i> mnltipliciert, uä — i> äs und i> s — bäs; folglich aä — ds. Dieser Satz gilt auch von jeder Proportion, worin nur ein Verhältnis ein Zahlenverhältnis ist. Folgesätze. 1. In einer stetigen Zahlenproportion ist das Qua¬ drat der mittleren Proportionale gleich dem Produkte der bei¬ den anderen Glieder. Ist o : i> — i>: v, so ist — uo. 2. Jedes äußere Glied einer Zahlenproportion ist gleich dem Produkte der beiden inneren Glieder dividiert durch das andere äußere Glied; und jedes innere Glied ist gleich dem Pro¬ ducts der beiden äußeren Glieder dividiert durch das andere innere Glied. Ist so hat man folglich 75 Ist s,: b — o : Z, daher aci — d o, so ist b« . be a, — 6 — , und a ii ' , »cl L d O — —, L — ,-. L / b Z. 147. Ans zwei gleichen Producten läßt sich eine Propor¬ tion bilden, wenn man jedes der beiden Producte in zwei Fak¬ toren zerlegt und die Factoren des einen Produktes als die äußeren, die Factoren des andern Produktes als die inneren Glieder annimmt. Es sei uä — bo. Dividiert man jeden dieser gleichen Ausdrücke durch l>ci, so erhält man uärtzck — tzardcl, oder u : b> — o : ä. tz. 148. Eine Proportion auflösen heißt, aus drei gegebenen Gliedern einer Proportion das noch unbekannte Glied find-n. u) Eine Proportion wird aufgelöst, wenn man den Exponenten des bekannten Verhältnisses sucht und daraus nach H. 138 das unbekannte Glied des andern Verhältnisses bestimmt. b) Eine Zahlenproportion wird am einfachsten nach H. 146 Folgest 2 aufgelöst. Aus x : 2 — 15 : 3 findet man u) 15 : 3 — 5, x — 2.5 — 10; oder b) x — ^77^ — 10; daher 10 : 2 — 15 : 3 die vollständige Proportion. ß. 149. Drei Größen a, 1>, o bilden eine harmonische Proportion, wenn (u— d): (b— v) — u: o ist; l> heißt dann die mittlere harmo¬ nische Proportionale oder das harmonische Mittel zwischen u und o. Sind a, b, o harmonisch proportioniert, so sind es auch uan, inb, ino, , L V L eben so -, -, ' IN m IN Aufgabe. Zu zwei gegebenen Größen die dritte harmonisch proportionierte zu finden. Aus (u — k) : (b — o) — u: o folgt . bo 2) und 3) - L -j- e Die dritte Gleichung gibt den Satz: Das harmonische Mittel zwischen zwei Größen ist gleich dem doppelten Producte derselben dividiert durch ihre Summe. Z. 150. Drei Größen u, 6, a bilden eine contrah armoirische Pro¬ portion, wenn (b — o) : (a — b) — g, : o ist; b heißt dann die mittlere contraharmonische Proportionale oder das contraharmouische Mittel zwischen u und b. Das contraharmonische Mittel zweier Zahlen ist gleich der Summe ihrer Quadrate dividiert durch die Summe der Zah¬ len selbst. 76 Aus (st — a) : (n — b) — a : o folgt st^^. L -p v 3. Die einfache Regeldetri. A. 151. Wenn zwei Arten von Zahlen in geradem oder verkehrtem Verhältnisse stehen, und wenn zwei Zahlen der einen Art gegeben sind, von den beiden zugehörigen Zahlen der anderen Art aber nur die eine bekannt ist, so kann die andere unbekannte Zahl dieser zweiten Zahl durch Aufstellung und Auflösung einer Proportion gefunden werden. Das Rechnungsverfahren, welches dabei angewendet wird, heißt die einfache Regeldetri. Die einfache Regeldetri beruht auf folgenden zwei Sätzen: 1. Wenn zwei Arten von Zahlen gerade proportioniert sind, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art, in derselben Ordnung genommen. Es seien und a zwei Zahlen der einen Art, 8 und st die zugehörigen Zahlen einer zweiten Art, und diese beiden Arten von Zahlen gerade propor¬ tioniert. Ist nun — rna, so muß nach dem Begriffe der geraden Propor¬ tionalität auch 8 — mst sein. Man hat daher : n, — in und 8 : d — m, und somit : a 8 : st. 2. Wenn zwei Arten von Zahlen verkehrt proportioniert sind, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art, in umg ekehrter Ordnung genommen, daher das Product der zusammengehörigen Zahlen der beiden Arten das¬ selbe. Es seien und a zwei Zahlen der einen Art, 8 und st die beiden zuge¬ hörigen Zahlen der andern Art, und diese zwei Arten von Zahlen verkehrt proportioniert. Ist nun — ma, so muß 6 — oder st — w8 sein. Man hat daher F. : u — m und st: 8 — m; folglich : s, — b : 8 und 8 — nst. Bei der einfachen Regeldetri ist daher Folgendes zu beob¬ achten: Man beurtheile, ob die beiden Arten von Zahlen gerade oder verkehrt proportioniert sind, und setze das Verhältnis von zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse der beiden Zahlen der anderen Art, in der nämlichen Ord¬ nung genommen, wenn beide Arten gerade, und in umgekehrter, wenn sie ver¬ kehrt proportioniert sind. Diese Proportion wird aufgelöst. Es ist an sich gleichgiltig, in welches Glied der Proportion die unbe¬ kannte Zahl x zu stehen kommt; am zweckmäßigsten erscheint es, dieselbe in das erste Glied zu setzen. Z. B. 1. 7 Ellen Tuch kosten 30 fl., was kosten 42 Ellen von demselben Tuche? Da hier die beiden Arten von Zahlen gerade proportioniert sind, so hat man 7 Ellen 30 fl. x : 30 — 42 : 7 42 „ x „ also x — 180 fl. 77 2. 16 Arbeiter vollenden eine Arbeiter in 6 Tagen; wie viele Arbeiter wird man aufnehmen müssen, damit sie dieselbe Arbeit in 4 Tagen zu Stande bringen? Die beiden Arten von Zahlen sind hier verkehrt proportioniert, und man hat 16 Arb. 6 Tage x: 16 — 6:4 x ,, 4 „ x — 24 Arbeiter. Z. 152. Ein Betrag, der sich auf die Zahl 100 bezieht, wird Pro cent genannt. Bei der Procentrechnung rechnet man entweder von, oder auf oder in Hundert, je nachdem die Menge, von welcher die Procente bestimmt werden, mit der Grundzahl 100 selbst, oder mit 100 vermehrt nm das Procent, oder mit 100 vermindert um das Procent gleichartig ist. Bezeichnet x das Procent und k den Betrag von der Menge m, so hat man folgende Regeldetri-Ansätze: u) bei der Rechnung von Hundert d:p —na:100 also st — ll) „ „ „ auf Hundert st:p---m:(100-fi x>), „ o) „ „ „ in Hundert st :p — m: (100 — p), „ b 4. Die zusammengesetzte Regeldetri. 8- 153. Wenn eine Art von Zahlen mit zwei oder mehreren anderen Arten einzeln im geraden oder verkehrten Verhältnisse steht und es ist eine Reihe zusammengehöriger Zahlen aller dieser Arten bekannt, von einer anderen Reihe zusammengehöriger Zahlen aber eine derselben unbekannt, so heißt das Rechnungsverfahren, durch welches man diese unbekannte Zahl findet, die zusam¬ mengesetzte Regeldetri. Die zusammengesetzte Regeldetri beruht auf folgendem Satze: Wenn eine Art von Zahlen von mehreren andern Arten so abhängt, daß sie mit denselben einzeln genommen theils gerade, theils verkehrt proportioniert ist, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der ersten Art gleich dem zusammengesetzten Ver¬ hältnisse aus den einfachen Verhältnissen zwischen den zuge¬ hörigen Zahlen jeder andern Art, in der nämlichen oder in um¬ gekehrter Ordnung genommen, je nachdem die Zahlen dieser Art mit den Zahlen der ersten Art gerade oder verkehrt propor¬ tioniert sind. Es sei die Zahl von den Zahlen 8, 6 so abhängig, wie ff ff A »f ff « la, 6, Wo die mit gleichlautenden Buchstaben bezeichneten Zahlen zu derselben Art gehören, und es seien die Zahlen der ersten Art mit den Zahlen der zweiten Art gerade, mit den Zahlen der dritten Art aber verkehrt proportioniert. Heißt nun « eine Zahl der ersten Art, welche zu den Zahlen st, (1 gehört, so hat man folgende Reihen zusammengehöriger Zahlen: 8, 6; «, st, 0; a, k>, o. 78 Vergleicht man die zwei ersten Reihen, so sieht man, daß die Zahl « aus entsteht, indem sich 8 in b ändert; da nun die Zahlen der ersten und zweiten Art gerade proportioniert sind, so hat man H. : K — 8 : t>. Vergleicht man eben so die zweite und dritte Reihe, so sieht man, daß u ans « hervorgeht, wenn sich 6 in o verändert; da nun die Zahlen der ersten und der dritten Art verkehrt proportioniert sind, so hat man « : n — o: 6. Durch Multiplikation dieser beiden Proportionen ergibt sich : s.« — 8 e : i) 6, oder : a — 8 o : b 0, in welcher Proportion der oben aufgestellte Satz enthalten ist. Man pflegt diese letztere Proportion wegen der leichteren Uebersicht auch so zu schreiben: : u, — 8 : 6 o : 0, wobei man sich denken muß, daß die unter einander stehenden Zahlen zu mul- tiplicieren sind. Bei der zusammengesetzten Regeldetri verfährt man daher ans folgende Art: Man setze die unbekannte und die damit gleichnamige Zahl in das erste Verhältnis. Das zweite Verhältnis der Proportion ist ein zusammengesetztes, dessen einfache Verhältnisse gefunden werden, wenn man die Art, zu welcher x gehört, mit jeder andern Art vergleicht, um zu sehen, ob die beiden Arten gerade oder verkehrt proportioniert sind, und die beiden zu x und zu der damit gleichnamigen Zahl gehörigen Zahlen einer jeden Art in derselben oder in umge¬ kehrter Ordnung zu einem Verhältnisse aufstellt, je nachdem diese Art mit der Art von x gerade oder verkehrt proportioniert ist. Die Proportion wird sodann aufgelöst. Z. B. Wenn 20 Arbeiter, welche täglich l2 Stunden arbeiten, in 5 Wochen einen Damm von 375 Fuß Länge zu Stande bringen; in wie viel Wochen werden l2 Arbeiter, welche täglich 10 Stunden arbeiten, einen eben solchen Damm von 600 Fuß Länge vollenden? 20 Arb. 12 Std. tägl. 5 Woch. 375 Fuß Länge, 12 „ 10 „ „ x 600 „ x:5---20: 12 12: 10 600: 375 x : 1 — 16 : 1 x — 16 Wochen. Z. 154. Heißt 2 der Zins, welchen ein Capital 0 in 3 Jahren zu 8 Procent bringt, so hat man folgende zusammengesetzte Regeldetri; 100 fl. Cap. in I Jahre 8 fl. Zins O „ ,, ff » 2 » ff 2:8^0 : 100 3 : 1 also 2 : 8 03 : 100, und 1002 — 083. 79 Werden diese letzten zwei gleichen Ausdrücke zuerst durch 100, dann durch к, I, ferner durch 04, endlich durch 6k dividiert, so erhält mau beziehungsweise „ 01>0 1008 1008 , 1008 100' ro'00' '6k"' welche Formeln, in die gewöhnliche Wortshrache übertragen, die Sätze für die Lösung der Aufgaben über die einfache Zinsrechnung enthalten. 5. Die Theilregel. Z. 155. Wenn eine gegebene Zahl in mehrere Theile, welche sich wie andere gegebene Zahlen verhalten, getheilt werden soll, so geschieht dieses durch die Theilregel oder Gesellschaftsrechnnng. Die Zahlen, durch welche das Verhältnis der Theile ausgedrückt wird, heißen Verhältuiszahlen. Ist nur eine Reihe von Verhältniszahlen gegeben, so wird die einfache; sind mehrere Reihen von Verhältniszahlen gegeben, so wird die zusammen¬ gesetzte Theilregel angewendet. Es seien bei der einfachen Theilregel 8 die zu vertheilende Zahl, л, k, a und ck die Verhältuiszahlen. Nennt man die noch unbekannten Theile u, x, und 2, so muß u : x — a: b, x : — d : o, sein, was man oft kürzer so anzeigt: u:x:^:n — a:b:e:6. Verwechselt man in den vorangehenden Proportionen die inneren Glieder, so hat man u: a — x: b, x : la — : a, /:o — ?:ck, also u : u — x : b> — / : o — 7. : el, und nach Z. 143, Zusatz, (u -s- X -j- -Z : (a -si Ib -s- o -si 4) — n : a — x: b : e — 7 : ck. Da nun n-j-x-j-^-s-2 — s sein muß, so erhält man aus dem letzten Ausdrucke s . _ __ 1 Ä -j- v -p o -f- ü ' Ä -t" d -j- e (1 ' s , _ s 4 üg-b-t-L-pä'O' -l b -s- o,-s- ä Daraus ergibt sich für die einfache Theilregel folgendes Verfahren: Man dividiere die zu vertheilende Zahl durch die Summe aller Verhält¬ niszahlen und multipliciere den Quotienten mit jeder Verhältniszahl; die Pro- ducte sind die gesuchten Theile. Wenn die Verhältniszahlen Brüche enthalten, so werden sie zuerst in ganzen Zahlen dargestellt, indem man sie mit dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen aller Neuner multipliciert. Haben alle Verhältniszahlen ein gemein¬ schaftliches Maß, so werden sie dadurch abgekürzt. Z. B. Es sollen 2155 sl. unter drei Personen nach dem Verhältnisse der Zahlen 5, 3, 2 vertheilt werden. 5 215z X 5 --- 1077z 3 215z X 3^ 646z 2 215z X2-- 431 2155:10 —215z 2155 80 Z. 156. Die zusammengesetzte Theilregel läßt sich auf die ein¬ fache zurückführen. Es sei eine Zahl s mit Bezugnahme auf mehrere Umstände in drei Theile zu theilen, die sich in einer Beziehung wie a : 6 : o, in einer zweiten Beziehung wie ck : s: fl und in einer dritten Beziehung wie § : k : k verhalten. Heißen X, r: die noch unbekannten Theile, so muß sich X: nicht nur wie a : fl, sondern auch wie ä : 6 und wie Z : fl Verhalten; es muß also das Ver¬ hältnis x : 5° gleich sein dem zusammengesetzten Verhältnisse aus nid, ck : e, A : fl, also dem Verhältnisse uckZ : kefl. Eben so muß s — flsfl : okfl sein. Es besteht also die Forderung, die Theile x, 2 so zu bestimmen, daß der Bedingung x:)-:r — ack^-flsfl : 0 l'k Genüge geleistet werde, was eine Aufgabe der einfachen Theilregel ist. Bei der zusammengesetzten Theilregel ist also Folgendes zu beobachten: Man multipliciere die ans denselben Theil Bezug habenden Berhältuis- zahlen mit einander, und betrachte die Producte als Berhältniszahlen einer ein¬ fachen Theilregel, nach welcher dann die weitere Auflösung erfolgt. Z. B. Zu einer Unternehmung vereinigen sich drei Personen; gibt 8000 fl. auf 5 Monate, 8 4000 fl. auf 6 Monate, 0 2000 fl. auf 8 Mo¬ nate her. Die Unternehmung wirft einen reinen Gewinn von 460 fl. ab; wie viel davon wird jede der drei Personen bekommen? F. 8000 fl. durch 8 4000 „ „ 0 2000 „ „ 5 M. 40SW 6 „ 24SS« 8 „ 16ggg 5 3 2 46 X 5 230 fl. 46 X 3 138 „ 46X2^ 92 „ 460 : 10 — 46 460 fl. 6. Die Kettenregel. ß. 157. Wenn die Beziehung zwischen zwei Größen nicht unmittelbar bekannt ist, sondern erst durch eine zusammenhängende Aufstellung bekannter Zwischenbestimmungen gesucht werden muß, so wendet man die Ketten¬ regel an. Es sei folgende Aufgabe zu lösen: Wie viel (x) Einheiten von der Art L4 betragen a, Einheiten von der Art werden: N die Arten 8 wenn s/ „ d' 6 0 m betragen? Diese Äufgabe kann kürzer so angeschrieben xÄ — wenn — K8,^ fl'8 wo X, s, afl fl, 1/, 0, c:', w unbenannte Zahlen, und 8, 0, oder Benennungen derselben vorstellen. Um das gesuchte Resultat zu erhalten, verwandelt man die gegebenen u Einheiten der Art zunächst in (/) Einheiten der Art 8, dann die gefun¬ denen Einheiten der Art 8 in (2) Einheiten der Art 0, und diese endlich in (x) Einheiten der Art N. Dabei ergeben sich nach den angegebenen Bedin¬ gungen folgende Proportionen: 81 : fl o. : n', — e : fl^ X : r: — m : o', woraus nach Z. 146, 1 x: fl — nem : a^i/oh und nach 8. 146, Folges. 2 »bom X — - - -2) »'v'«' - folgt. Aus dem in 1) angegebenen Ansätze der Aufgabe und dem in 2) für x erhaltenen Ansdrucke ergibt sich daher für die Ketten rech nung fol¬ gendes Verfahren: 1. Man schreibe zuerst x mit der Benennung an und daneben die ge¬ gebene Größe, deren Betrag gesucht wird und die daher mit x gleichen Werth hat. Darunter setze man alle Mittelbeziehungen, und zwar fange man jedesmal links mit einer Größe an, welche mit der nächstvorhergehenden rechts von gleicher Art ist; rechts neben jede Größe kommt diejenige Größe, welche mit ihr gleichwerthig ist. So wird fortgefahren, bis man rechts eine Größe erhält, die mit x gleichnamig ist. 2. Man dividiere das Product aller rechts stehenden unbenannten Zahlen durch das Product aller links unter x stehenden; der Quotient gibt den ge¬ suchten Werth von x. Z. B. 1 Hamb. Pfund Kaffee kostet 6 V, Schilling, wie viel in österr. Währ, kosten 5'/, Wien. Ctr.? (100 Hamb. Pfd. --- 89«/« W. Pfd.; 100 Mark --- 84'/2 fl. öst. Währ.; 1 Mark — 16 Schill.; 1 Wr. Ctr. 100 Wr. Pfd.) Ansatz: x fl. österr. Währ.... 5Wr. Ctr. 58, .wo. 100.8^.84'/, 1 Wr. Ctr 100 Wr. Pfd. 8o-/< . w. wo 89 7. Wr. Pfd 100 Hamb. Pfd. — 200-805 fl. ö. W. 1 Hamb. Pfd 6'/^ Schilling 16 Schilling. 1 Mark 100 Mark . . 84',^ fl- österr. Währ. Sechster Abschnitt. Die Nangoperationen. I. Die Potenzierung. 1. Potenzen mit ganzen positiven Exponenten. tz. 158. Eine Zahl a zur nten Potenz erheben oder n mit n potenzieren, heißt a nmal als Factor setzen (ß. 37). a ist die Grund¬ zahl oder Basis, n der Potenzexponent und das erhaltene Product p die nte Potenz von a. Man schreibt o" — p. Eine Potenz ist demnach ein Product gleicher Factoren. Folgesätze. 1. Die erste Potenz einer Zahl ist dieser Zahl selbst gleich. al 2. Jede Potenz von 1 ist wieder I. 1" 1. MoönU, Arithmetik und Algebra, II, Aust. b Grund operatioiwn mit Potenzen. Z. 159. Mit Potenzen werden die Grundoperationen auf dieselbe Art wie mit allgemeinen Größen überhaupt vorgenommen. Eine Abkürzung des Verfahrens kann nur in besonderen Fällen mit Anwendung der folgenden Sätze eintreten: 1. Potenzen derselben Grundzahl werden multipliciert, indem man die gemeinschaftliche Grundzahl mit der Summe der Exponenten potenziert. s,-". u» — Der Beweis wurde in ß. 38 geführt. 2. Potenzen desselben Exponenten werden multipliciert, indem man das Product der Grundzahlen mit dem gemeinschaftlichen Expo¬ nenten potenziert. . t>'" — D enn a'" — n,. a . a . a. mmal, — l>. tz. b. tz. wmal, daher rU" . — ub. nb. ab. o, b... mmal (K. 32) — (ui))'". 3. Potenzen derselben Grundzahl werden dividiert, indem man die gemeinschaftliche Grundzahl mit einer Zahl potenziert, welche gleich ist dem Exponenten des Dividends weniger dem Exponenten des Divisors. a'" : u" — a"-". Die Richtigkeit dieser Gleichung für w > n und m — n wurde in Z. 52 bewiesen; die Bedeutung derselben für ru < n wird weiter unten (8> 163) besonders untersucht werden. 4. Potenzen desselben Exponenten werden dividiert, indem man den Quotienten der Grundzahlen mit dem gemeinschaftlichen Exponenten Beweis ähnlich wie bei 2. Folgesätze. 1. Eine Potenz mit einem Summen-Exponenteu ist gleich dem Producte zweier Potenzen derselben Grundzahl, deren Exponenten die Summanden sind. (Umkehrung von 1.) 2. Eine Potenz mit einem Differenz-Exponenten ist gleich dem Quotienten zweier Potenzen ihrer Grundzahl, dessen Divi¬ dend den Minuend, dessen Divisor den Subtrahend der gege¬ benen Differenz zum Exponenten hat. (Umkehrung von 3.) 3. Der reciproke Werth der Potenz einer Zahl ist gleich der gleichvielten Potenz des reciproken Werthes dieser Zahl. _ /I b'" Vorzeichen der Potenzen. Z. 16V. 1. Eine positive Grundzahl gibt mit einer beliebigen ganzen Zahl potenziert eine positive Potenz. (-Fa)>> — -s-u. -f-rr.-Fn.-s-u.. .nmal — -f- a" (tz. 73, Folges. 2). 2. Eine negative Grundzahl gibt mit einer geraden ganzen Zahl potenziert eine positive, mit einer ungeraden ganzen Zahl potenziert dagegen eine negative Potenz. (— n)?» — — s,, — a. — a . — u.... Zumal — -s- n?" (8. 73, Folges. 3). (— u)2"4l — n. — u. — n.'— a.,,. (2ll-f-1)mal " — (8. 73, Folges. 3). 83 Potenzieren von Proüurten und Huvtienten. 8- 161. 1. Ein Product wird mit einer Zahl potenziert, in¬ dem man jeden Factor damit potenziert. (uk>)'" — n" . l>°". Folgt aus der Umkehrung der Gleichung in tz. 159, 2. 2. Ein Quotient (Bruch) wird mit einer Zahl potenziert, indem man Dividend und Divisor damit potenziert. /H"» «,-n Ich/ bw' Folgt aus der Umkehrung der Gleichung in Z. 159, 4. Folgesätze. U Die Potenz des reciproken Werthes einer Zahl ist gleich dem reciproken Werthe der gleichvielten Potenz dieser Zahl. 'd/ V'N 2. Die Potenz eines auf die einfachste Form gebrachten echten oder unechten Bruches kann nie eine ganze Zahl sein. Folgt aus Z. 78, 6. Potenzieren van Potenzen. 8- 162. Eine Potenz wird mit einer Zahl potenziert, indem man die Grundzahl mit dem Products beider Exponenten potenziert. (a>->)-> — s-°». Denn (a'ch" — u'". . u'" .... »mal — L">" (8- 31, 1). Folgesätze. 1. Eine Potenz mit einem Product-Exp onenten ist gleich der sovielten Potenz ihrer Grundzahl, wie der eine Factor anzeigt, potenziert mit dem andern Factor. (Umkehrung des voranstehenden Lehrsatzes.) 2. Die Potenz einer Potenz bleibt unverändert, wenn man die Exponenten vertauscht. Es ist (»'")" — und 0")'" — — Ä«">; daher (u">)» — (u")"'. 2. Potenzen mit ganzen negativen Exponenten. tz. 163. Der durch die Gleichung u" : a? — ansgedrückte Lehrsatz für die Division zweier Potenzen derselben Grundzahl (8- 159, 3) wurde bisher auf den Fall, wo ist, beschränkt. Ist nun w < n und zwar in -F p — n, so führt die Anwendung der obigen Gleichung auf eine Potenz mit negativem Exponenten; es ist gw . gn — — g-x. Damit daher das durch die obige Gleichung ausgesprochene Gesetz allge¬ meine Geltung habe, ist man gcnöthigt, in die Rechnung auch Potenzen mit negativen Exponenten einzuführen und denselben eine Bedeutung beizulegeu, durch welche auch sie auf den ursprünglichen Potenzbegriff zurückgeführt werden. Diese Bedeutung ergibt sich sogleich, wenn man den Quotienten, welchen s. vorstellen soll, in einer andern Form entwickelt. Ma» hat m_F H ' . !U> iU>' 6* 84 Mithin ist 2, ap Eine Potenz mit negativem Exponenten ist demnach der reciproke Werth derselben Potenz mit positivem Exponenten. Folgesätze. 1. Da ist (8- 159, Folgest 3), so ist auch g,-p — Eine Zahl a zur (—p)ten Potenz erheben heißt daher den reciproken Werth von a pmal als Factor setzen. 2. Ans a— p — folgt Ap . — 1, folglich ist anch ao — Man kann daher jede Potenz, die im Zähler eines Bruches als Factor vorkommt, als Factor in den Nenner, und umgekehrt, übertragen, wenn man das Vor¬ zeichen des Exponenten in das entgegengesetzte verwandelt. 8- 164- Alle bisher erwiesenen Lehrsätze von den Potenzen mit positiven Exponenten gelten anch für Potenzen mit nega¬ tiven Exponenten. Um dies an den einzelnen Sätzen zu beweisen, darf man nur die Potenzen mit negativen Exponenten durch die reciproken Werthe derselben Potenzen mit positiven Exponenten ansdrücken, dann die angedeuteten Rechnungen durchführen und in den Resultaten, wenn darin Ausdrücke von der Form Vorkommen, wieder zu Potenzen mit negativen Exponenten zurückkehren. Z. B. (-st a,)— — — -st a— ; m — 1 _L'N _ m— m . A-» — st . st — -st- — a—»-»; AM AN ANI->-N > m ^,-m — st- st — - N.M b>» ' a-" : g."" — : st- — a'". a" — u. s. w. 3. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Potenzierung. Z. 165. 1. Gleiche Zahlen mit gleichen Zahlen potenziert geben Gleiches. Wenn a — st so ist a" — st". Folgt aus Z. 10, 3. Folgesatz. Wenn man alle Glieder einer Proportion mit der¬ selben Zahl potenziert, so erhält man wieder eine Proportion. 85 Ist s,: d — o: 6, so muß auch (a: — (o : ck)w, folglich :b" — o": ä"^ (Z. 161, 2) sein. 2. Ungleiche Zahlen mit gleichen Zahlen potenziert geben Ungleiches mit demselben oder mit dem entgegengesetzten Un¬ gleichheitszeichen, je nachdem der Exponent positiv oder negativ ist. Wenn s > b, so ist > d" und u-°° < st""- Folgt aus Z. 41, 3. Folgesatz. Wenn a 1, so ist bezüglich a" D 1 und a,-" 1. 3. Gleiche Zahlen mit ungleichen Zahlen potenziert geben Ungleiches mit demselben oder mit dem entgegengesetzten Un- gleichheitszeichen, je nachdem die Grundzahl größer oder kleiner als 1 ist. Wenn in > v, also — u > —in ist, so hat man für n >- 1, > s? und > s.-'"; für a < 1, < s," und s,-° < Folgt ans Z. 104, Zusatz. 4. Ungleiche Zahlen, von denen wenigstens die eine größer als 1 ist, mit ungleichen positiven Zahlen bei demselben Uugleich- heitszeichen potenziert, geben Ungleiches mit dem gemeinschaft¬ lichen Ungleichheitszeichen. Wenn a >- b und zugleich a > 1, ferner m > n ist, so ist > K". Denn nach 3. ist o" > a", nach 2. >b"; daher um so mehr u" > b". 4. Das Quadrieren und Cubieren. Z. 166. Aufgabe. Einen mehrgliedrigen algebraischen Aus¬ druck zum Quadrat zu erheben. Man entwickle das Quadrat nach folgendem Bildungsgesetze: 1. Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt sein eigenes Quadrat. 2. Jedes folgende Glied gibt zwei Bestandtheile, das doppelte Product aus der Summe aller vorangehenden Glieder und diesem Gliede, und das eigene Quadrat. 3. Die Summe aller so gebildeten Bestandtheile ist das gesuchte Quadrat. Beweis. Man hat zunächst ja 4- — (g, -F p) (a -st st) — ast -st 2 ast -st st^ d. i. das Quadrat eines Binoms ist gleich dem Quadrate des ersten Gliedes, mehr dem doppelten Producte beider Glieder, mehr dem Quadrate des zweiten Gliedes. Gesetzt nun, das hier für zwei Glieder nachgewiesene Gesetz gelte für einen ngliedrigen Ausdruck a -j- st -s- o . . -j- ).o -st «° — s2j(a st- b) st- oj.o; u. s. W. Z. 167. Ausgabe. Eine dekadische Zahl zum Quadrate zu erh eben. Man wende dabei folgendes Verfahren an: 1. Man erhebt die erste Ziffer links zum Quadrate. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bildet man zwei Bestandtheile, das dop¬ pelte Product aus der ihr vorangehenden Zahl und dieser Ziffer, und ihr eigenes Quadrat. 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander gesetzt, daß jeder fol¬ gende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addiert. Die Richtigkeit dieses Verfahrens folgt, da sich jede dekadische Zahl als ein nach den Potenzen von 10 geordnetes Polynom darstellen läßt, aus ß. 166. Um z. B. 3417 zum Quadrate zu erheben, hat man 341 7-- --- (3000 st- 400 -st 10 -st 7)' — ZOOO' -st 2.3000.400 st- 400' st- 2.3400.10 st- 10' st- 2.3410.7 st- 7'; oder wenn man die Bestandtheile unter einander setzt und entwickelt: 3417'^ 3000' 9000000 -st 2.3000 . 400 2400000 st- 400' 160000 st- 2.3400. 10 68000 st- 10' . 100 st- 2.3410. 7 47740 -st 7' 49 11675889; oder mit Hinweglasfung der Nullen: 3417' 3' 9. 11675889. 87 Zusätze. 1. Die zwei Bestandtheile, welche die zweite und jede folgende Ziffer der gegebenen Zahl im Quadrate liefert, kann man in einen einzigen zusammenfassen, wenn man zu der doppelten vorangehenden Zahl die neue Ziffer hinzuschreibt, und die dadurch entstehende Zahl mit dieser neuen Ziffer multipliciert; nur muß bei diesem Vorgänge jedes folgende Product um zwei Stellen weiter rechts hinaus gerückt werden; es ist nämlich allgemein (2A.10).p -s-p° (2A.10 Z- p)p. Das frühere Beispiel würde sich bei diesem verkürzten Verfahren so stellen: 3417° 3° . 64.4 . 681.1 . 6827.7 . 9 .. 2 56 .. 6 81 4 77 89 II 67 58 89 2. Das Quadrat einer dekadischen Zahl hat entweder dop¬ pelt so viele Ziffern als diese Zahl oder um eine Ziffer weniger. Sei Pi eine nziffrige Zahl, also U > 10°^, aber < 10°, so ist IO-----, ghxx io-»- pas Quadrat Ps° hat also mindestens 2» — 1 Ziffern und höchstens 2n Ziffern (Z. 59). Theilt man daher das Quadrat von der Rechten gegen die Linke in Abtheilungen zu zwei Ziffern, wobei die erste Abtheilung links auch nur eine Ziffer enthalten kann, so hat man im Quadrate so viele Abtheilungen, als die Quadratwurzel Ziffern hat. 3. Da^-^2—ist, so erhellet, daß bei einem Decimalbruche das Quadrat auf gleiche Weise wie bei einer dekadischen ganzen Zahl gebildet wird; nur muß man im Quadrate des Zählers doppelt so viele Decimalen abschneiden, als deren der gegebene Decimalbruch enthält. Daraus folgt auch, daß das Quadrat eines Decimalbruches immer eine gerade Anzahl von Deci- malstellen hat. 4. Erhebt man einen unvollständigen Decimalbruch zum Quadrat, so erhält dieses eben so viele unzuverlässige Stellen, als der gegebene Decimal¬ bruch Ziffern hat. (Folgt aus Z. 118, Folgest) Z. B. 3-456..° gibt als vollständig entwickelt 11-943936... Von diesen Ziffern sind jedoch die 4 niedrigsten unzuverlässig; daher 3 456 11-94.. ß. 1K8. Aufgabe. Einen mehrgliedrigen algebraischen Aus¬ druck zum Cubus zu erheben. Man entwickle den Cubus nach folgendem Gesetze: 1. Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt seinen eigenen Cubus. 2. Jedes folgende Glied liefert drei Bestandtheile, das dreifache Quadrat der Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit diesem Glieds, die dreifache Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit seinem Qua¬ drate, und seinen eigenen Cubus. 3. Die Summe aller so gebildeten Bestandtheile ist der verlangte Cubus. Beweis. Zunächst ist (n -j- 1i>)3 (u -j- I>)° (a -j- 6) Z- 2a1) -f- 6°) (a Z- I>) — 8? -j- 3u°b -j- 3nb>° -j- d. h. der Cubus eines Binoms ist gleich dem Cubus des ersten Gliedes, mehr dem dreifachen Quadrate des ersten Gliedes multi- 88 pliciert mit dem zweiten Gliede, mehr dem dreifachen ersten Glieds multiplici ert mit dem Quadrate des zweiten Gliedes, mehr dem Cubns des zweiten Gliedes. Der weitere Gang des Beweises ist ähnlich wie in tz. 166. K. 169. Ausgabe. Eine dekadische Zahl zum Cubus zu erheben. Man wende folgendes Verfahren an: 1. Man erhebe die erste oder höchste Wnrzelziffer zum Cubus. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bilde man drei Bestandtheile, das Product aus dem dreifachen Quadrate der ihr vorangehenden Zahl mit dieser Ziffer, das Product aus der dreifachen vorangehenden Zahl und dem Quadrate dieser Ziffer, und ihren Cubus. 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander geschrieben, daß jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addiert. Die Richtigkeit dieses Verfahrens folgt aus Z. 168. Um z. B. den Cubus von 4213 zu bestimmen, hat man 4213-- (4000 -ff 200 4- 10 4- 3)' 74778091597 oder mit Weglassung der Nullen: 4213" Zusätze. 1. Der Cubus einer dekadischen Zahl hat entweder dreimal so viele Ziffern als diese Zahl, oder um zwei Ziffern oder um eine weniger. Ist eine nzifferige Zahl, also > 10"-ff aber < 10», so ist ibl" 10"»-", aber < 10"»; der Cubus ibl" hat also mindestens 3n — 2 und höchstens 3n Ziffern (K. 59). 89 2. Da —sMlst, so folgt, daß man bei Decimalbrüchen vom Eubus des Zählers 3mal so viele Decimalen abschneiden müsse, als deren der gegebene Decimalbrnch hat. 3. Erhebt man einen unvollständigen Decimalbrnch zum Cubus, so erhält dieser so viele unzuverlässige Stellen, als die halbe Summe aus dem Zähler des zuverlässigen Theiles des Quadrates (Z. 167, Zusatz 4) und dem Zähler des gegebenen Decimalbruches Ziffern hat (K. 118, Folges.). II. Die Radicieruug 1. Wurzeln mit ganzen Exponenten. tz. 170. Aus einer Zahl a die nte Wurzel ausziehen, oder die Zahl a durch n radiciereu, heißt aus der Potenz s. und dem Ex- ponenten n die Grundzahl suchen. Die gegebene Potenz n heißt der Radicand, oder schlechthin die Zahl, der gegebene Exponent n der Wurzelexponent, und die gesuchte Grundzahl die nte Wurzel aus u. Mau schreibt j/u — p. Die zweite und dritte Wurzel einer Zahl nennt man bezüglich Quadrat¬ wurzel und Cubikwurzel. Folgesätze. 1. Wenn man die Wurzel mit dem Wurzelexpo¬ nenten potenziert, so erhält man den Radicand. Wenn — x>, so ist pW — n oder (j/a)" — n. 2. Wenn man eine Potenz durch den Potenzexponenten radiciert, so erhält man die Grundzahl. P'O" ) — u. 3. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man sie mit einer Zahl potenziert und durch dieselbe Zahl radiciert. n — n --- (s/a)° . Folgt aus 2. und 1. Hiernach kann jede Zahl in Form einer Wurzel dargestellt werden; z. B. i> s/dö . Das Potenzieren und das Radicieren sind demnach einander entgegen¬ gesetzt, und zwar ist das Potenzieren eine direkte, das Radicieren eine indirecte Operation. 4. Die erste Wurzel aus einer Zahl ist die Zahl selbst. 1 Weil al — g,, so ist j/ n — g,. Für die erste Wurzel wird daher weder der Exponent 1, noch das Wur¬ zelzeichen angeschrieben. Bei der zweiten oder Quadratwurzel wird das Wurzel¬ zeichen, aber nicht der Exponent 2 angeschrieben, so daß s/n so viel als j/n bedeutet. E 5. Jede Wurzel aus l ist wieder 1. Weil 1'^1, so ist ^1 ^-1. 90 Z. NI. Damit das Radicieren ausführbar sei, muß sich der Radicand in so viele gleiche Factoren zerlegen lassen, wie der Wurzelexponent anzeigt. Dieses ist aber in dem bisher betrachteten Zahlengebiete mir dann möglich, wenn es eine ganze oder gebrochene (positive oder negative) Zahl gibt, welche mit dem Wurzelexponenten potenziert den gegebenen Radicand hervorbringt. Diese Bedingung wird daher vorläufig bei allen folgenden Sätzen voraus¬ gesetzt werden. Grundoperntioncn mit Wurzeln. 172. Mit Wurzeln werden die Grundoperationen nach denselben Re¬ geln wie mit allgemeinen Größen überhaupt vorgenommen. Eine Abkürzung des Verfahrens kann nur in besonderen Fällen mit Anwendung der folgenden Sätze eintreten: 1. Wurzeln desselben Wurzelexponenten werden multi- p lici ert, indem man die gemeinschaftliche Wurzel aus dem Producte der Radicande auszieht. s/ n . s/ k — s/a d. Beweis, s/n. s l> (s/n. s/b)" (tz. 170, Folges. 3) ->)>'. (s/b)» (8. 16!, 1) (8. 170). Zusatz. Nach diesem Satze kann man mit Beiziehung von H. 170, Folges. 3 jeden Factor einer Wurzel unter das Wurzelzeichen bringen, indem man ihn zur Potenz des Wurzelexponenten erhebt und diese Potenz mit dem Radicand multipliciert. Z. B. aVb l/n° . s/b r-- 2. Wurzeln desselben Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die gemeinschaftliche Wurzel aus dem Quotienten der Radicande ausziiht. ß/ b' Der Beweis wird durch Anwendung von ß. 161, 2 ähnlich wie bei 1. geführt. Folgesatz. Der reciproke Werth der Wurzel einer Zahl ist gleich der gleichvielten Wurzel aus dem reciprokenWerthe dieser Zahl. Protenzieren von Wurzeln. * tz. !73. Eine Wurzel wird mit einer Zahl potenziert, indem man den Radicand damit potenziert. (s/'a)"' — s/ n-». 91 O")"' s/a- (8. 170, Folges. 1). Folgesatz. Es ist gleichgiltig, in welcher Ordnung eine Zahl nach einander potenziert und radiciert wird. Beweis. - (8- 170, Folg. 3) -- (8. 162) n n I^(s/ a)'"° (8- 32). (8- 162, Folg. 1.) Vorzeichen der Wurzel». 8- 174. 1- Eine gerade Wurzel aus einem positiven Radicand kann positiv oder negativ sein. 2. Eine ungerade Wurzel aus einem positiven Radicand ist immer positiv. 3. Eine ungerade Wurzel aus einem negativen Radicand ist immer negativ. Beweis. Nach 8- 160 ist p)-" -st (-st -st b, (— h)--" — - b, wo u und b die durch Potenzierung sich ergebenden Zahlenwerthe bedeuten. Daraus aber folgt nach 8- 170, Folges. 2 Su_ Lllstl_ Sn^-r._ 1. -st n -st p, 2. j/ -st 4> — -st <^, 3. j/ — l) — — Zusatz. Die Bedeutung von s/ — a wird weiter unten (8- 194) beson¬ ders untersucht werden. Radicieren von Prod urteil und Auotirnlrn. 8-175. 1. Ein Product wird durch eine Zahl radiciert, indem man jeden Factor dadurch radiciert. j/Id 1/a. j/b. Folgt aus der Umkehrung der Gleichung in 8- 172, 1. Zusatz. Mit Hilfe dieses Satzes kann man, wenn der Radicand einen Factor enthält, aus dem sich die verlangte Wurzel ausziehen läßt, diesen Factor vom Wurzelzeichen befreien. Z. B. s/H -- . s/b --- a j/ k. 2. Ein Quotient (Bruch) wird durch eine Zahl radiciert, indem man Dividend und Divisor dadurch radiciert. Folgt aus der Umkehrung der Gleichung in 8. 172, 2. Folgesätze. Die Wurzel aus dem reciproken Werthe einer Zahl ist gleich dem reciproken Werthe der gleichvielten Wurzel dieser Zahl. 92 Radicieren von Potenzen. ß. 176. Eine Potenz wird radieiert, indem man den Potenz¬ exponenten durch den Wurzelexponenten dividiert, sobald die Division aufgeht. » ül s/ s," — a,". Beweis. u v- n 1 / IN 1 s/n" s/ s.» (K. 42, Folges. 3) — s/ (A. xgZ, Folges. ,) / (8- 170, Folges. 1). Zusatz. Dieser Lehrsatz wurde hier auf den Fall beschränkt, daß w durch n theilbar, also eine ganze Zahl ist, weil die bisherige Erklärung der Potenz nur ganze Potenzexponenteu zuläßt. H. 177. Die Wurzel aus einer Potenz bleibt unverändert, wenn mau den Wurzel- und den Potenzexponenten mit derselben Zahl multipliciert, oder für den Fall, daß die Division auf¬ geht, beide durch dieselbe Zahl dividiert. Es ist n w mp „p_ s/ iw> — s," — auo — s/gwp; Zujätze. 1. Durch Anwendung dieses Satzes kann man u) jede Wurzel in eine andere umformen, deren Wurzelexponent ein Vielfaches des gegebenen Wurzelexponenten ist, folglich auch zwei oder mehrere Wurzeln mit einem ge¬ meinschaftlichen Wurzelexponenten darstellen; b) jede Wurzel, in welcher der Wurzel- und der Potenzexponent ein gemeinschaftliches Maß haben, dadurch abkürzen. s u» Sind z. B. die Wurzeln f/a, f/d?, 1/«?, gegeben, so ist 30 ihr kleinster gemeinschaftlicher Wurzelexponent und inan hat sv z sv n) so 2. Da sich je zwei Wurzeln mit einem gemeinschaftlichen Wurzelexponenten darstellen lassen, so können die in ß. 172 für das Multiplicieren und Divi¬ dieren der Wurzeln gegebenen Regeln auf Wurzeln mit beliebigen Wurzel¬ exponenten angewendet werden. f/a . 1/i> — f/a». -j/b'" — f/a". k"; j/a : 1/b — : s/d"' — p"a» : 3. Eine Wurzel mit negativem Wurzelexponenten ist gleich dem reciproken W erthe derselben Wurz el mit positivem Wurzel¬ ex p o n e n t e n. Es ist s/a — s/ a.'' also 1/n 93 Negative Wurzelexponenten pflegt man zu vermeiden, indem man das Negative in den Potenzexponenten verlegt. Radieiereu von Wurzeln. Z. 178. Eine Wurzel wird radiciert, indem man die Wurzel¬ exponenten mit einander multipliciert. -- f/u. Beweis, -- s/i^) (H, 170, Folges. 3). — (j/u)'"" j/l/u- (Z. 173) 1/^7 (ß. 176) - s/a (8- 170, Folges. 2). Folgesätze. 1. Eine Zahl wird durch eiu Product radiciert, indem man sie nach einander durch jeden Factor radiciert. Folgt aus der Umkehrung der Gleichung des früheren Lehrsatzes. 2. Es ist gleichgiltig, in welcher Ordnung eine Zahl nach einander radiciert wird. -- (8- 170, Folges. 2). Denn j/ s/a — s/a — j/g, (8- 32) — s/a? (Folges, 1). 3. Eine Potenz wird auch radiciert (ß. 176), indem man den Wurzelexponenten durch den Potenzexponenten dividiert, sobald jeye Division aufgeht. 7. , ' /X Denn s/a" — s/a" (8- 42, Folges. 3) — s/ s/a" (Folges. 1). 2. Potenzen und Wurzeln mit gebrochenen Exponenten. 8- 179. Das Radicieren von Potenzen führt nach den in 8- 176 und 8. 178, Folges. 3 erwiesenen Gleichungen n IN n s/ a"' — a" und s a" — s/ n für den Fall, daß m durch n nicht theilbar ist, auf Potenzen und Wurzeln mit gebrochenen Exponenten. Um die Giltigkeit dieser Regeln von den besonderen Werthen der Exponenten m und n unabhängig zu machen, müssen die Begriffe der Potenz und Wurzel so erweitert werden, daß sie auch für gebrochene Exponenten ihre bestimmte Bedeutung erhalten. Aus den obigen Gleichungen ergeben sich nun unmittelbar folgende Erklärungen: 1. Ein e Potenz mit gebroch enem Exponenten ist die so vi elte Wurzel aus der Grundzahl, als der Nenner anzeigt, potenziert mit dem Zähler. Mn n a" — s/A-» — (j/a)»'. 2. Eine Wurzel mit gebrochenem Exponenten ist die sovielte Potenz des Radicands, als der Nenner anzeigt, radiciert durch den Zähler. s/a— Zusah. Aus — s/a" — a" folgt, daß sich jede Wurzel mit gebro- cheuem Exponenten als eine Potenz mit gebrochenem Exponenten darstellen läßt. Da mau darum Wurzeln mit Bruchexponenten in die Rechnung gar nicht einzuführen pflegt, so beschränken wir uns hier auf Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Z. 180. Alle bisher erwiesenen allgemeinen Sätze von den Po¬ tenzen gelten auch für Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Um dieses an den einzelnen Sätzen nachzuweisen, braucht man nur die Potenzen mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln zu verwandeln, dann die angedeuteten Rechnungen auszuführen, und in den Resultaten die Wurzeln wieder in Potenzen mit Bruchexponenten umzuformen. n m Z.B. g?'. — j/u'» . j/ u» ----- s/Zw'I . — — g, m, ,1-1 lbb PA» /a — s/ — s/ gwr — — s."' ; U. s. W. Zusatz. Da sich alle Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten darstellen lassen, so ist die Lehre von den Wurzeln schon in den Sätzen von den Potenzen enthalten. 3. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Radiči ernng. ß. 181. 1. Gleiche Zahlen durch gleiche Zahlen radiciert geben Gleiches. Wenn n —d, so ist s/a," fl b. Folgt aus ß. 10, 3. Folgesätze, s,) Wenn man alle Glieder einer Proportion durch dieselbe Zahl radiciert, so erhält man wieder eine Proportion. Wenn n: b — o: ä, so ist auch s/» : l> — s/a: ä, oder s/a: j/ds/v : j/ä d, so ist j/a > s/k. Beweis. Wäre so müßte bezüglich nach ß. 165, 1. oder 2. m m (s/a)'" < (j/b)'°, also n < i> sein, was gegen die Voraussetzung ist. Folgesatz. Ist u 1, so ist bezüglich auch 1. 3. Gleiche Zahlen durch ungleiche Zahlen radiciert, geben Ungleiches und zwar mit dem entgegengesetzten oder mit dem¬ selben Ungleichheitszeichen, je nachdem der Radicand größer oder kleiner als 1 ist. Wenn m n ist, so ist 1. für a > 1, j/u -< 2. für a < 1, j/ n > s/n. Beweis. 1. Wäre für 1, j/a s/a, so wäre bezüglich nach H. 165, 1. oder 2. (j/a)'"" > (s/a)""", oder a" > a>" , während wegen m > n nacb Z. 165, 3. a'" > a» sein muß. Eben so wird der Beweis für u < 1 geführt. 4. Ungleiche Zahlen, von denen wenigstens die eine größer als 1 ist, duFch ungleiche Zahlen bei entgegengesetztem Ungleich¬ heitszeichen radiciert, geben Ungleiches mit dem Ungleichheits¬ zeichen der Radicande. « m Wenn a > k und zugleich a > 1, ferner n < ra ist, so ist s/a > j/d. Beweis. Nach 3. ist s/n > j/s, nach 2. ist j/n > j/b; folglich um so mehr f/a >> j/ b. Zusatz. In Bezug auf die Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Potenzierung mit gebrochenen Exponenten gelten die in ß. 165 für ganze Exponenten aufgestellten Sätze. 4. Irrationale Zahlen. Z. 182. Wenn die Wurzel aus einer ganzen Zahl keine ganze Zahl ist, so ist sie 1. auch keine gebrochene Zahl, sie läßt sich jedoch 2. durch einen Bruch annäherungsweise mit jeder belie¬ bigen Genauigkeit darstellen. Beweis. 1. Es sei p < j/ n < x -f- 1, so daß a keine ganze Zahl ist. Dann läßt sich j/n auch durch keinen Bruch vollkommen genau darstellen; denn wäre j/a gleich dem Bruche den man sich auf die einfachste Form 96 gebracht denken kann, so müßte — u — einer ganzen Zahl sein, was nach 8- 161, Folges. 2 unmöglich ist. 2. Multipliciert man den Radicand a mit 10°"", d. i. hängt man dem¬ selben mmal u Nullen an, und ist b die größte ganze Zahl, welche in f/s,.1O""> vorkommt, also 1> < j/a. 10"'" < st Z- 1, oder st < 10'". j/ n < st -j- 1 (Z. 175, Zns. I), so ist (8- 57, 2). liegt also zwischen zwei Grenzen und deren Differenz ist. Seht man für j/ a den Bruch so begeht man einen Fehler, der kleiner als ist- Da aber m beliebig groß, daher beliebig klein gemacht wer¬ den kann, so laßt sich j/u mit jeder beliebigen Genauigkeit bestimmen. heißt die untere, die obere Grenze von j/a. 8- 183. Zahlen, welche sich weder durch ganze noch durch gebrochene Zahlen vollkommen genau, wohl aber durch letztere annäherungsweise mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit darstellen lassen, heißen irrationale Zahlen (Z. 137, Zus.). Im Gegensätze zu ihnen werden alle bisher auf¬ getretenen Zahlen, die ganzen und gebrochenen, rationale Zahlen genannt. u — Eine allgemeine Wurzelgröße — a" heißt irrational, wenn der Potenzexponent in durch den Wurzelexponenten n nicht theilbar ist; sonst ist sie rational. So wie die beiden ersten indirecten Rechnungsoperationen zu einer Er¬ weiterung des Zahlenbegriffes führten, die Subtractiou zu den negativen, die Division zu den gebrochenen Zahlen, so nöthigt auch das Radicieren, eine neue Zahlform, die irrationalen Zahlen, in das Zahlengebiet aufzunehmen. Z. 184. Eine unbegrenzte gerade Linie stellt durch die von einem ihrer Puncte, dem Anfangspuucte, zu beiden Seiten gleich weit abstehenden Punctc die Reihe der positiven und negativen ganzen Zahlen dar. Werden zwischen je zwei Puncte dieser Linie beliebig viele ebenfalls gleich weit von einander entfernte Puncte eingeschaltet, so wird durch diese die Reihe der Brüche mit beliebigen Neunern dargestellt. Je mehrere solche Puncte man einschaltet, desto näher rücken sie an einander, bis sie bei einer ins Unendliche fortschreitenden Einschaltung, wie die Irrationalzahlen es fordern, in eine stetige Zahlcu- linie übergehen. Die Puncte dieser stetigen Linie bestimmen nun alle irra¬ tionalen Zahlen, wenn sich auch diese durch die nie stetig in einander über- znführenden Zahlen selbst nicht darstellen lassen. Einzelne Irrationalzahlen, und zwar die irrationalen Quadratwurzeln, können mit Hilfe einer einfachen geometrischen Coustruction vollkommen genau dargestellt werden. Wird z. B. f/ 5 gesucht, so darf man, da 1: j/5 — j/5:5 ist, 97 nur die mittlere geometrische Proportionale zwischen 1 und 5 konstruieren. Zu diesem Ende beschreibt man über 05 der Zahlenlinie einen Halbkreis, errichtet s in 1 eine Senkrechte, welche den Halbkreis in /e trifft, und zieht die Gerade 0^., welche nach den Lehren der Plani¬ metrie (Lehrbuch der Geometrie ß. 104) die mittlere geometrische Proportionale zwischen 01 und 05 ist. Macht man nun 08 — 08^ — 0^., so ist durch den Punct 8 der Zah- enlinie die Zahl -si j/5 und durch den Punct 8' die Zahl — s/ 5 genau bestimmt. Rechnnngsoperationen mit irrationalen Zahlen. K. 185. Um die irrationalen Zahlen der Rechnung unterziehen zu kön¬ nen, muß man zuerst die Begriffe der Rechuungsoperationen entsprechend er¬ weitern und dann zeigen, daß die für rationale Zahlen erwiesenen Sätze auch für irrationale giltig sind. Z. 186. Vorbereitende Sätze. 1. Von jeder noch so großen gegebenen Größe u läßt sich immer irgend ein Theil (der wte Theil) angeben, welcher kleiner ist als jede noch so kleine gegebene Größe i,. Je größer in wird, desto kleiner wird der Quotient Da nun m beliebig groß angenommen werden kann, so kann auch beliebig klein, daher kleiner als jede gegebene Größe d gemacht werden. 2. Lassen sich mehrere Größen s,,, Uz, »g, ....a„ einzeln kleiner machen als jede noch so kleine gegebene Größe, so läßt sich auch 1) ihre Summe, 2) die Summe von beliebigen Vielfachen derselben kleiner machen als jede noch so kleine gegebene Größe. Beweis. 1) Ist b irgend eine noch so kleine Größe, so kann nach der Voraussetzung 8 a u, < Ug n' H» n' ' ' ' 8>II < 2 werden, woraus nach ß. 16, 3 4- »2 's- »z - -t- oder u, -s- Uz -si U-g . . . Än < l) folgt. 2) Sind IN,, NI,,, iNz, . . .m,> beliebig große Zahlen, so läßt sich nach der Voraussetzung b b _ d , u, , Ä2 , .... Un , oder > IH, II IN, """ " b b b IN, 8, < M2 U2 < ^, .... IN,, »n < machen, woraus, wie früher w, 8, -si Wz Uz 's- - - - IN" Un < d folgt. 3. Läßt sich die Differenz zweier Größen a — a, und die Differenz zweier Zahlen in — in, bezüglich kleiner machen als jede noch so kleine Größe oder Zahl, so läßt sich auch die Dis- Movnik, Arithmetik und Algebra. II. Auil. 1 98 ferenz der Produkte am — a, u^ kleiner machen als jede noch so kleine gegebene Größe. Beweis. Nach der Voraussetzung kann Ä — L, < tt, m - Wz < oder a. < a, -s- «, m < wz -s- werden, wo « eine beliebig kleine Größe und z- eine beliebig kleine Zahl be¬ deutet. Daraus folgt nach tz. 41, 3 auch Äw < Sz Wz -s- Äz -s- «Wz -s- tt^u, und nach tz. 30, 2 a m — Uz m, < u, zr -s- «m, -s- «z«. Die Summe der Vielfachen s.z -s- «w, -P «z< aber laßt sich nach 2. beliebig klein machen, also kann auch uw — a, m, kleiner als jede noch so kleine gegebene Größe gemacht werden. 4. Liegen zwei Größen zwischen denselben zwei veränder¬ lichen Grenzen und kann die Differenz dieser Grenzen der Null beliebig nahe gebracht werden, so sind die beiden Größen einander gleich. Beweis. Ist p < s. < «z und p < i> < < . Denn wären a und l> ungleich, und zwar a > l>, so daß — 1 -s- ä wäre, wo ll eine unveränder¬ liche von 0 verschiedene Größe bedeutet, so müßte, damit u und b zwischen den Grenzen p und a und p < b, folglich - > sein könne, der Quotient stets größer als 1 -s- ä bleiben, was aber der Voraussetzung widerspricht. Folgesatz. Zwischen zwei veränderlichen Grenzen, deren Differenz der Null, oder deren Quotient der Einheit beliebig nahe gebracht werden kann, liegt daher nur eine einzige Größe. Zusatz. Was hier von Größen im allgemeinen erwiesen wurde, gilt auch von reinen Zahlen. ß. 187. Summen von irrationalen Zahlen. Unter der Summe zweier irrationaler Zahlen versteht man diejenige Zahl, welche die Summen der unteren und der oberen Grenzen derselben zu Grenzen hat. Die Summe zweier ir rationalerZahlenb leibt unveränd er t, wenu man die Summanden vertauscht. 99 Beweis. Sind a und b zwei irrationale Zahlen, und a, und a^, b, und b? ihre bezüglichen veränderlichen Grenzen, also Az ^2, b, < b < b^,, so hat man nach der obigen Erklärung a, -ff b, < a -ff b < -ff und b, -ff a, b -s- a <1 b^ —ff Nun ist nach 8- 12 n, ff- n,, ^2 -s- i>2 ^2 ^2 ; also liegen a -ff b und K ff- a zwischen denselben veränderlichen Grenzen. Man hat, um die Gleichheit der Summen a -ff b und b ff- a nachzuweisen, nur noch zu zeigen, daß sich die Differenz dieser Grenzen der Null beliebig nähern kann. Es ist (kg -ff (N, "ff k>, ) (^2 N, ) -s- (l>2 l>i). Da nun nach der Voraussetzung die Zahlen a? — a, und b., — b, einzeln kleiner als jede noch so kleine Zahl werden können, so läßt sich nach 8- 186, 2 auch ihre Summe (-^ — a,) ff- bz — b,) kleiner machen als jede noch so kleine angebbare Zahl; folglich ist nach 8- 186, 4 a ff- b — b ff- a. 8. 188. Produkte von irrationalen Zahlen. Unter dem Prodücte zweier irrationaler Zahlen versteht man diejenige Zahl, welche die Prodücte der unteren und der oberen Grenzen der¬ selben zu Grenzen hat. DasProductzweier irrati onaler Zahlen bleibtunv er ändert, wenn man die Factoren vertauscht. Beweis. Haben a, b, a,, b,, 3^, bz dieselbe Bedeutung wie in tz. 187, so daß a, -< a < a^, k, < b < b- ist, so hat man nach obiger Erkärung a, Io, < ab < n.2 bz, und b, a, < ba > bz ^2- Es ist aber a, b, — b, a, und Az ^2 " ^2 k>2 (8- 32), folglich fallen ab und ba zwischen dieselben veränderlichen Grenzen. Da nun nach 8- 186, 3 die Differenz dieser Grenzen a^ K2 — a, b, kleiner als jede noch so kleine Zahl gemacht werden kann, so ist nach §. 186, 4 ab — ba. Z. 189. Potenzen mit irrationalen Exponenten. Unter einer Potenz mit einem irrationalen Exponenten ver¬ steht man diejenige Zahl, welche die Potenzen zu Grenzen hat, die man erhält, indem man die Grundzahl mit den Grenzen des irrationalen Exponenten potenziert. Die für rationale Potenzexponenten erwiesenen Gleichung en 1.x? . x? — unt, 2. (x»)d — gelten auch, wenn die Exponenten a und b irrationale Zahlen sind. Beweis. Es ist erlaubt, hier x> > 1 vorauszusetzen, weil sich eine Potenz, in welcher x < 1 ist, durch die Transformation x? — — !— immer auf eine cp) Potenz, deren Grundzahl >1 ist, zurückführen läßt. 7* 100 1. Sind nun Äj und und bezüglich die Grenzen der Irrational¬ zahlen a und I), so daß Ug ch 62, daher Die Zahlen p".^ und p^-'' liegen somit zwischen denselben veränder¬ lichen Grenzen und Da nun der Quotient dieser Grenzen weil sich (»2 — s,) -s- (^>s — ^i) nach Z. 186, 2 kleiner machen läßt als jede noch so kleine Zahl, p" d. i. der Einheit beliebig nahe gebracht werden kann, so ist nach Z. 186, 5 2. Aus der Voraussetzung folgt b, < b < dz ist, so hat man nach der obigen Erklärung < p"-, z?' < p'' < ; daher durch Multiplikation Es ist aber auch < p» < p--- , daher auch < (p")" < (x--)b- oder Es ist aber auch l>i < ast < a-2 daher ^-t, 1), b ^2. Die Zahlen und p^'' liegen also zwischen denselben veränderlichen Grenzen x>»- und Da nun der Quotient dieser Grenzen weil sich Lz nach Z. 186, 3 kleiner machen läßt als jede noch so kleine Zahl, p" d. i. der Einheit beliebig nahe gebracht werden kann, so ist nach §. 186, 5 (^a)d — Z. 19V. Alle bisher für rationale Zahlen erwiesenen all¬ gemeinen Sätze gelten auch für irrationale Zahlen. Beweis. ») Alle von den Summen, Differenzen, Produkten und Quo¬ tienten (Brüchen und Verhältnissen) erwiesenen Lehrsätze beruhen auf den beiden Sätzen über die Vertanschbarkeit der Summanden und der Faktoren; diese aber gelten nach ZZ. 187 und 188 auch für irrationale Zahlen. d) Auf denselben zwei Sätzen beruhen auch alle bisherigen Lehrsätze über Potenzen, unter der Voraussetzung, daß die Exponenten rational sind; sie gelten daher auch für Potenzen irrationaler Zahlen, insofern nur die Exponen¬ ten rational sind. e) Alle Sätze in Bezug auf die Beschaffenheit der Potenzexponenten lassen sich auf die beiden Grundformeln x? — und — p-» zu- 101 rückführen; diese aber gelten nach 8- 189 auch für irrationale Exponenten; mithin gelten alle für Potenzen mit rationalen Exponenten erwiesenen Sätze anch für Potenzen mit irrationalen Exponenten. Zusatz. Hiernach sind auch die in den Schlußsätzen des H. 137, Zusatz, 140 und 171 bezüglich der Verhältnisse, Proportionen und Wurzeln ge¬ machten Vorbehalte aufgehoben. ß. 19!. Aufgabe. Einen Bruch, dessen Nenner ein irra¬ tionales Monom oder Binom ist, ohne Aenderung seines Wer- thes mit einem rationalen Nenner darzustellen. (Rationalmachen des Nenners.) Der vorgelegte Bruch kann eine der folgenden Formen haben: " ' 1/ g, k/ 3' . 1. Um einen Bruch von der Form —, wobei m > n ist, mit einem f/s.» rationalen Nenner darzustellen, multipliciere man Zähler und Nenner mit Es ist s io w _IN . 3 f/a — 3 f/a. s/u?_31/a'^ s/u " ' s/a» ' 2. Um einen Bruch von der Form oder mit einem rationellen Nenner darzustellen, multipliciere man Zähler und Nenner mit Ä s/b oder s/si. Es ist L rr 2 (a x/b), H z/b (»4Ud) (»4 I/b) " —b ' 2 2(4»4VK) L (z/s. 4 z/b) /»4 z/b " (/»41/b)Ä—d Z. B. 23 2 4 4 V5-st/S t/5 — x/Z — 3. Um einen Bruch von der Form 3 3 (5 4 1/2) — IS 4 3 ^2 5 —x/Z— 5' —2 2 4/3 (24 43) (1/5 — 1/3) (2 -si t/3) (/5 — /3) ()/S 4 t/3) 2 wo der Kürze halber mn — r, a"i> — /V und — i; gesetzt wird, mit einem rationellen Nenner darzustellen, multipliciere man Zähler und Nenner des letzten Bruches mit dem Polynom )/Lr-I 4 ^Lr-S.L 4 si Lr-S.Ü- 4 ... (4 Isi-^ 4L.Lr-S 4 (4 Yr-I 102 Man erhält dadurch A L als den neuen Nenner. Z- B. s s s s s ss r, _ I/a-j/b 8- 192. Ausgabe. Die Summe oder die Differenz zweier Qua¬ dratwurzeln aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen, von welchen die eine irrational ist, in eine einzige Quadrat¬ wurzel zu verwandeln. Jstl/a-sts/b^l/^a —1/d die gegebene Summe oder Differenz zweier Quadratwurzeln, wobei n als positiv und größer als s/b vorausgesetzt wird, so hat man (l^a -st 1/ 6 ^st s/^a — — 2a 2f/"u/ — b, daher, wenn man beiderseits die Quadratwurzel auszieht, l/a-stl/st s/a — s/k ^2a^-2l/^1st? Diele Umformung läßt sich besonders dann mit Vortheil anwenden, wenn — d eine vollständige Quadratwurzel ist. s/HsŽ7 -st 1/4 —1/7 1^ 8 -st2 s/16^^ 1/8-st21/9^ s/14; j/g^s/ll - 1/6 — 1/11 1/12 — 2 s/36^11 s/12-21/25 j/2. ß. 193. Aufgabe. Die Quadratwurzel aus einem irrationalen Binom in die Summe oder die Differenz zweier Quadratwurzeln zu verwandeln. Ist 1/Hst/st die gegebene Quadratwurzel, so hat man, wenn a posttv und u > ist, nach 192 s/a-st l/b -st 1/u —s/b 1 ^2g,-st 2s/u2 — b, _ 1/n -st s/ b — s/a—1/i>^.1/2a— 2^/a^—b; daher durch Addition und ^Subtraction dieser Gleichungen 1 / a -s- — b i_1 a — 1/ a? — d. 3,2 2 1/a — 1/b __ oder —————— 1/HVb ß/ 2 " 2 ' Diese Umformung ist nur dann Vortheilhaft, wenn a? — k eine voll¬ ständige Quadratzahl ist. Z. B. s/3 -st s/ 8 -- ^/^2^ 0^2 -st 1); 1^11-61/21/114-1/72 --- " ^2^ -- A: (3—1/2). Zusätze, l. Wenn die beiden Glieder des Binoms u ^st1/l> einen gemein¬ schaftlichen irrationalen Factor haben, so wird derselbe vor der Transformation herausgehoben. Z. B. s/3l/2Hi/'l0^1/2.1/3^1?5--1/2.^^ —1/Z) (1/5-1). 103 2. Ist a < stk, so kann auch da die Formel für s/ n -st stb angewendet werden, wenn man für stn-ststb den gleichen Ausdruck ststb -st rr setzt und dann st st als Factor heraushebt. Den n dadurch e rhält man wo < b, also < 1, somit 1 > ist. Z- B. st 12st-8st3 s/ 4st3(2-stst3) 2 st 3 st 2-stst3 st 12 (st 3 -st 1). S. Imaginäre Zahlen. 2u_ tz. 184. In ß. 174 blieb noch der Ausdruck st— azu untersuchen übrig. Da weder eine positive, noch eine negative ganze, gebrochene oder irrationale Zahl, noch auch Null, mit einer geraden Zahl potenziert, eine negative Zahl 2n_ hervorbringen kann, so bedeutet st"— u eine Zahl, welche in der stetigen Folge der uns bis jetzt bekannten Zahlen nicht verkommt. Eine Zahlform dieser neuen Art nennt mau eine imaginäre Zahl, und im Gegensätze dazu be¬ zeichnet man alle bisher betrachteten, nämlich die ganzen, gebrochenen, irra¬ tionalen sowohl positiven als negativen Zahlen, mit dem gemeinschaftlichen Namen reelle Zahlen. Durch das Auftreten der imaginären Zahlform ist man genöthigt, in dem Zahlengebiete auch ihnen einen angemessenen Platz anzuweisen. Da s/ — a — st st—a, ferner s/ —stu.st— 1 ist, so handelt es sich zunächst nm die Darstellung der Zahlform s/ — 1, welche man die i m a- ginäre Einheit nennt und häufig mit dem Buchstaben i bezeichnet. Z. 193. Stellt XX' die unbegrenzte Zahlenlinie, OX die positive und OX' die negative Richtung vor, so nimmt der Punct 0 die Stelle der Null . ein; alle denkbaren positiven ganzen, ge- brochenen und irrationalen Zahlen haben Errichtet man in O ans XX' mit der Längeneinheit OL — i O — -st 1, O X — — I; ferner buch der Geometrie H. 151) sowohl Proportionale zwischen OL und (X auf OX, eben so alle negativen Zahlen auf OX' ihre Stelle und sind dort be¬ stimmbar. Eine Erweiterung des Zahlen¬ gebietes in der Längenrichtung der Zah¬ lenlinie ist nicht möglich, weil dieselbe in dieser Richtung lückenlos bereits durch die reellen Zahlen ausgefüllt wird. Es bleibt daher, um auch die imaginären Zahlen darznstellen, bloß die seitliche Er¬ weiterung übrig, d. i. man muß aus der Zahlenlinie in eine Zahlenebene hinaustreten. die Senkrechte H' und beschreibt aus 0 als Halbmesser einen Kreis, so ist ist nach den Lehren der Planimetrie (Lehr- 08 als 0 8' die mittlere geometrische r', d. i. zwischen -st 1 und — 1; da nun diese nach ß. 181, 1. b) gleich st-st 1.— 1 — -st st— 1 ist, so stellen, 104 wenn (H als die positive, als die negative Richtung angenommen wird, 0 8 und 08' bezüglich die Ausdrücke -s- s/ —1 und — s/ — 1 dar. Die imaginäre Einheit s/ — 1 — i bedeutet demnach eine Längeneinheit, welche vom Nullpuncte aus seitwärts von der ursprünglichen Zahlenlinie auf die darauf senkrechte Linie aufgetragen wird. Trägt man eben so auf von O aus nach oben nnd nach unten u Längeneinheiten auf, wo u irgend eine reelle Zahl bedeutet, so stellen die erhaltenen Strecken bezüglich die imaginären Zahlen -f-u s/ — lund — u s/Hl dar. Die unbegrenzte Senkrechte heißt darum die Linie der ima¬ ginären Za hlen. j/ — 1 wird auch die laterale Einheit und u ^/ — 1 eine laterale Zahl genannt. Es ist von selbst klar, daß, wenn man die Linie der imaginären Zahlen als die ursprüngliche Zahlenlinie betrachtet, die ihr laterale Zahlenlinie in die Linie der reellen Zahlen fällt. Die einer imaginären Zahl ent¬ sprechende laterale Zahl ist demnach reell; nämlich (s/^)s/n^-1, (-s/HTy s/^l^-^l; und allgemein (u s/ — 1) s/- 1 — u, (— u s/— 1) j/— 1 -f- u. Die vollständige Untersuchung der imaginären Zahlen gehört nicht in das Gebiet der Elementar-Mathematik. Hier sollen daher nur einige der einfacheren Verbindungen dieser Zahlen betrachtet werden. Rechnungsoperationen mit imaginären Zahlen. Z. 196. Aus der in Z. 195 enthaltenen Darstellung der imaginären Zahlen und den allgemeinen Begriffen der Addition und Subtraction folgt: a s/^1 b s/- 1 -- (a 4- b) s/— /f; a s/— 1 — b s/— 1 --- (a — b) s/ — 1. Die Summe und die Differenz zweier imaginärer Zahlen sind dem¬ nach wieder imaginär. Z. 197. 1. Für die Multiplikation von imaginären Zahlen muß zunächst der Begriff dieser Rechnungsart entsprechend erweitert werden. Imaginäre Zahlen multiplicieren heißt, in der Zahlenebene aus dem Multiplicand nach demselben Gesetze eine neue Zahl suchen, nach welchem der Multiplikator aus der positiven Einheit gebildet wurde. 1) re — 1 . d — ab s/ — 1. b ist aus der positiven Einheit entstanden, indem man dieselbe bmal als Summand setzte; man muß daher in der Zahlenebene auch a s/— 1 bmal als Summand setzen; folglich as/ — 1 . b — L s/ — 1 4- a s/ — 1 4" u s/ — 1-s- - - bmal— abs/ — 1. 2) a.b s/^H ab s/^. b s/ — 1 ist aus der positiven Einheit entstanden, indem man die ihr entsprechende laterale Einheit suchte und diese bmal als Summand setzte; man muß daher in der Zahlenebene auch die dem Multiplicand a entsprechende la¬ terale Zahl as/ — I suchen und diese bmal als Summand setzen; folglich a . b s/ —1 — a s/ — l.b — abs/ — 1. 105 3) L s/—1.K j/— 1 — (s, j/— 1) I/—I d — — a.k — — ad. Das Product aus einer imaginären und einer reellen Zahl ist demnach imaginär, das Product aus zwei imaginären Zahlen reell. 2. Setzt man in den letzten drei Gleichungen ad — ci, daher a — so hat man folgeweise ^1.14 1/1; 1j/1; s/ —l.b 1/11 - 6, oder -^17b1/1--. ci. Daraus folgt nun nach der allgemeinen Erklärung der Division (ß. 42) 1) ^--^1; ... äst —1^6. Kst1"b' ä i>, , - 7" Eine imaginäre und eine reelle Zahl geben daher einen imaginären, zwei imaginäre Zahlen einen reellen Quotienten. Aus der zweiten Gleichung folgt auch , daß ein Bruch unverändert bleibt, wenn man den Zähler und den Nenner mit s/ — 1 multipliciert, d. i. statt derselben die ihnen entsprechenden lateralen Zahlen setzt. Z. 198. 1. Aus dem Begriffe einer Wurzelgröße (Z. 170) folgt (1/1)1-1. Ferner hat man (4/1)1 (1/1)/1/1^-s/l; (s/- l)^ (1/ - 1)--. 1/- H - 1/ -1 . 1/ -1 Z- 1. Allgemein ist, wenn ir irgend eine ganze positive Zahl bedeutet, (1/1?» - -st 1; (1/1)1 4. i/1; (1/—1?»^ — _ i. (j/_ st, 2. Es ist (a1/1?1 as/1 . a 1/1 ---rH/1)1 -1; (»1/—l)1(41/—1)-.Al/—l ---a« (1/—1)/as/—1 -u».(1/— 1)1—a^l/ —1; (a 1/1)1 (»1/1)11/1 --a^ (s/-l/.a^-l ^^(1/-1)1»4 u. s. w. allgemein (as/ — 1)» — a» (1/ — 1)». 106 Die Potenz einer imaginären Z ahl i st demnach reell oder imaginär, je nachdem die bezügliche Potenz von s/ — 1 reell oder imaginär ist. Zusah. Um die in Kß. 196, 197 und 198 angeführten Rechnungsregeln auf die imaginären Zahlen anzuwenden, müssen diese jedesmal vorher auf dix Form us/ — 1 gebracht werden; B. s/ — IN — s/ m . s/ — 1; s/H -- s/ uZ. j/1l s/"l. Campiere Zahlen. Z. 199. Eine Z ahl, welche aus einer reellen und einer imaginären Zahl besteht, wie a -j- k s/ — I, heißt eine complexe Zahl, im Gegensätze zu eiuer reinen imaginären Zahl, welche die Form irr 's/— 1 hat. Um die complexe Zahl a sei XX' die ursprüngliche Zahlenlinie Z- d 's/— 1 räumlich darzustellen, und die in 0 darauf senkrechte die Linie der imaginären Zahlen. Man trage, wenn u und b positiv sind, auf XX' von 0 aus die Länge O X als Darstel¬ lung der Zahl a auf, errichte in 1Z eine Senkrechte und trage darauf nach oben die Länge Z.N als Darstellung der Zahlt, auf. Zieht man O ZI, s o ers cheint die complexe Zahl a -j- b 's/ — 1 durch die Linie O N dargestellt, und der Punct ZI bezeichnet die Stelle, welche in der Zah¬ lenebene dieser complexenZahl entspricht. Eben so überzeugt man sich, daß den complexen Zahlen u — ds/ — 1, — u-i-ds/ — 1, — a — d s/ — 1 in der Zahlenebene bezüglich die Puncte ZI', ZI", ZI'" entsprechen. Wenn u und d alle reellen Zahlenwerthe von — cx> bis -s- c» durchlaufen, so durchläuft der Punct ZI, durch welchen die complexe Zahl u -j- d s/ — 1 bestimmt wird, die ganze unbegrenzte Ebene. Der Ausdruck a -j- d s/ — 1 ist demnach die allgemeine Form für alle uns bekannt gewordenen Zahlen; er enthält für a — o und b — o die Null, für b — o alle reellen Zahlen, für u — o alle rein imaginären Zahlen, und wenn u und d von Null verschieden sind, alle complexen Zahlen. Rechnuiigsoperationeu mit complexen Zahlen. 200. 1. Zwei complexe Zahlen u -f-ds/— 1 und o -j- <1 — 1 addieren heißt, in der Zahlenebene vom ersten Summand a -j- d s/ zuerst um o reelle Einheiten weiter zählen und von der dadurch entstandenen Zahl aus noch um 6 laterale Einheiten weiter zählen. 107 Es ist also (s, -st st s/ — 1) -st (o -st ck s/ —1) — s(s, -st st — 1) -st os -s- ä s/ — 1 -- (» -st o -st d s/1Zi) -st ä ^/—"1 - (a -st o) -st (k -p ä) aufwärts, wodurch man zu dem Sei z. B. die S umme (2 -st 3 I/—1) -st (— 4 - st 1/ — 1) zu bestimmen. Es ist 2 -st 3 s//^1 -- 0 LI und — 4 4- s/^I O LlL Man zähle nun von dem ersten Summand, d. i. vom Puncte Ll aus in der negativen Richtung der ursprünglichen Zahlen¬ linie um 4 Einheiten zurück, wodurch man zu dem Puncte Ll" gelangt, und von hier aus in der lateralen Richtung um 1 Einheit nach Puncte List" gelangt; es ist demnach (2 -st 3 s/- 1) -st (- 4 -st s/- 1) OLst" — 2 -st 4 s/ — 1." Zu demselben Resultate gelangt man, wenn man die Summe (2 -st 3 s/— 1) -st (—4 -st s/ — 1) auf algebraischem Wege bestimmt, indem die reellen Bestandtheile der Summanden zu einander, und die ima¬ ginären zu einander addiert werden. Nach der obigen Darstellung läßt sich die Summe zweier complexer Zah¬ len, ohne die Addition wirklich zu verrichten, unmittelbar bestimmen, wenn man mit den Linien OLl und OLst, welche die Summanden darstelleu, ein Parallelogramm constrniert und darin vom Nullpuncte 0 die Diagonale 0 Ll'" zieht; diese Diagonale stellt die Summe dar. Die Summe zweier complexer Zahlen ist im allgemeinen wieder eine complexe Zahl. Eine Ausnahme bilden die complexen Zahlen u -st l> s/ — 1 und u — st s/ — 1, welche conjugierte Zahlen heißen. Ihre Summe ist reell; denn _ _ , (s, -st l> s/ — 1) -st (u — st — 1) — 2 u. 2. Nach der allgemeinen Erklärung des Subtrahierens folgt aus 1: (u 4- st j 1) — (e -st ä s/H st) (u — o) 4- (st — ä) I/HZ. Zwei complexe Zahlen geben im allgemeinen eine complexe Zahl znr Differenz. Z. 2ÜI. 1. Um eine complexe Zahl u -st st 's/— 1 mit einer reellen u d. i. eine complexe Zahl indem man sowohl den reellen multipliciert. zu multiplicieren, muß man die Zahl u. -st st s/— 1 emal als Summand setzen; folglich (u -st st s/— i) . (a 4- st s/— 1) -st (u -st k s/H/y 4- . . . omal — uo-ststos/ — 1; d. i. eine complexe Zahl wird mit einer reellen multipliciert, als den imaginären Bestandtheil mit derselben Ist z. B. — 2 -st j/ — 1 mit 3 zu multiplicieren, so mache man in der Zahlen¬ ebene 0L, — — 2, 4cLI — 1, so daß OLil — — 2 -st s/ — 1 wird, und setze OLl 3mal als Su mma nd, wodurch man 0 List — 6 -st 3 s/ — 1 als daS verlangte Product (— 2 -st s/— 1). 3 erhält. 108 2. Ist a -st st j/ — 1 mit « U-- ck s/ — 1 zu multiplicieren, so hat man nach dem im Z. 197, 1 gegebenen erweiterten Begriffe des Multipliciereus aus s, -st st j/— st nach demselben Gesetze eine Zahl zu bilden, wie a -st ck s/ — 1 aus der positiven Einheit entstanden ist; ma n mu ß also a -st st s/ — 1 zuerst «mal als Summand, dann die zu a -st st s/— 1 gehörige laterale Zahl 6mal als Summand setzen und beide Ausdrücke in eine Summe vereinigen; folglich O-stst j/^l)(o -st ä)r/^y ^(a-stst^").a-st(a-ststs/1l')^/^1.ck — av -st stv —1 -st (a — 1 — st).ck — no -st sto s/ — 1 -st aä — 1 — stck (ao — stä) -st (stc; -st aä) j/ — 1. Um z. B. das Product (3 — j/ — 1) (2 -st 3 s/ — 1) zu erhalten, stelle man in der Zahlenebene 3 — s/— 1 — O N dar und wende dara uf das Bildungsgesetz von 2 -s- 3 1/— 1 an; d. i. man denke sich OLl als die neue positive Einheit, mache ON" — 2 O N, errichte in N" eine Senkrechte und trage darauf 3 ON auf, wodurch man zu dem Puncte Ast" gelangt; dann ist (3 — s/— 1) ^2 ^-st 3 j/^1) ON'" — 9 Z- 7 ^/—1. Dasselbe Re¬ sultat erhält man auch, wenn man das Product nach den Regeln der algebraischen Zahlen entwickelt ; den n (3 - j/HI) (2^Z^/^7i)^6—21/^1^9r/-1-st3^9^-71/Hü Das Product zweier complexer Zahlen ist im allgemeinen wieder eine complexe Zahl. Eine Ausnahme bilden zwei conjnngierte Zahlen, deren Pro¬ duct reell ist; denn (a -st Ä — 1) (a — st) j/ — 1) — a? -st H. 202. 1. Aus (s, -st st s/ — 1) . m — am -s- km j/ — 1 folgt nach ß. 42 g.m-k bmrx—l i --- -- a -st stj/ — 1 ; d. i. eine complexe Zahl wird durch eine reelle Zahl dividiert, indem man sowohl den reellen als den imaginären Bestandtheil durch dieselbe dividiert. 2. Es ist ferner allgemein IN (it-st b;/—I) IN, n — n' d. i. ein Bruch (Quotient) bleibt unverändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliciert. Um daher zwei complexe Zahlen durch einander zu dividieren, darf man nur Dividend und Divisor mit der zu dem Divisor conjugierten Zahl multiplicieren, wodurch man auf eine Division durch einen reellen Di¬ visor geführt wird. 109 L -l- b I _(n, -> k I) (ü — (I j/- !) _ -t- bä) -s- sbc: — Lä) I. e-I-(o-i-(e - «'ll-ä- _A«-j- bä . be— »ä .-1 — v'-j-är Der Quotient zweier complexer Zahlen ist wieder eine complexe Zahl. Durch das oben angeführte Verfahren kann auch jeder Bruch, dessen Nen¬ ner eine complexe Zahl ist, mit einem reellen Nenner dargestellt werden. o d 3 -i- yli (3-i- 1/^1) (2-5z/—1) II —13 2-^5^^I (2-s-S^H^) (2-51/11') 29 Z. 203. Die Potenz einer complexen Zahl ist immer wieder eine complexe Zahl. (aZ-l)f/^1?--(Ä-^l>f/^) (krZ-df/^ls^(a2 —b-) -j- 2 alrj/ — 1 - (a-s-ds/—1)^ (a-f-l>f/^1)2(a-j-bf/iIQi) u. s. w. Zusähe. I.Die in KZ. 192 und 193 für die Quadratwurzeln aus irra¬ tionalen Binomen abgeleiteten Formeln gelten, wie aus der Ableitung selbst hervorgeht, auch für die Quadratwurzeln aus complexen Zahlen, und zwar ist hier ihre Anwendung von der dort aufgestellten Bedingung, daß u positiv und größer als f/b sein muß, ganz unabhängig. 2. Man sieht aus dem Vorhergehenden, daß die Rechnungen mit imagi¬ nären und complexen Zahlen nach denselben Gesetzen vorgenommen werden, welche für reelle Wurzeln gelten, wenn nur dabei die imaginären Zahlen auf die Form a s/ — 1 gebracht worden sind. 6. Das Ausziehen der Quadrat- und Cubikwurzel. Z. 204. Aufgabe. Aus einem mehrgliedrigen algebraischen Ausdrucke die Quadratwurzel ausziehen. Aus dem Gesetze lZ. 166), nach welchem die Bestandtheile einer mehr¬ gliedrigen Zahl in ihrem Quadrate zusammengestellt erscheinen, läßt sich für das Ausziehen der Quadratwurzel aus einem geordneten Po¬ lynom folgendes Verfahren ableiten: 1. Das erste Glied des geordneten Polynoms ist das Quadrat des ersten Wurzelgliedes. Man findet daher das erste Glied der Wurzel, wenn man aus dem ersten Gliede des Radicands die Quadratwurzel auszieht. 2. Wird das Quadrat des gefundenen ersten Wurzelgliedes von dem Radicand subtrahiert, so enthalten die ersten zwei Glieder des Restes die Be- standtheile, welche aus dem zweiten Gliede der Wurzel hervorgehen, und zwar ist das erste Glied des Restes das Product aus dem doppelten ersten und aus dem zweiten Gliede der Wurzel. Dividiert man daher das erste Glied des Restes durch das doppelte gefundene erste Wurzelglied, so erhält man das zweite Glied der Wurzel. 3. Man bilde nun die Bestandtheile, welche dieses neue Glied der Wurzel im Quadrate gibt, indem man zu dem Doppelten der früheren Wurzel das neue Glied addiert und die Summe mit diesem Gliede multipliciert, und subtrahiere das Product von dem Reste des Polynoms. Die ersten zwei Glieder des neuen Restes enthalten die Bestandtheile, die das folgende Wurzelglied im 110 Quadrate gibt, und zwar zuerst das Product aus der doppelten Summe der vorhergehenden Glieder und aus dem folgenden Glieds der Wurzel. Wird daher das erste Glied des letzten Restes durch die doppelte Summe der bereits gefundenen Wurzel dividiert, so erhält man das folgende Glied der Wurzel. 4. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest, so ist das gegebene Polynom ein vollständiges Quadrat und die erhaltene Quadratwurzel rational: bleibt aber bei fortgesetztem Verfahren immer wieder ein Rest übrig, so ist die Wurzel irrational. Beispiele. 1) f/x-» 4- 6x° — x-- — 3(H25 -- x- H — 5 x^ -s- 6x^ — x- . (2x2 -j- 3x) X 3x -s- 6x^ -s- 9x^ 1- 10x3 — 30x -s- 25 : (2x'^ -s- 6x — 5) X " 5 — 10x- — 30x -j- 25 0. 2) 4 8 U4 U. s. W. Man sieht, daß hier die Operation ins Unendliche fortg esetzt wer den kann. Soll jedoch die erhaltene Reihe zur Bestimmung von j/ 1 -4 x? in einem speciellen Falle anwendbar sein, so muß sich die Summe der Glieder um so mehr einer bestimmten Zahl nähern, je mehrere Glieder man nimmt, d. i. die Reihe muß convergieren (Z. 270). Hier findet dieses für jedes x < 1, z. B. für x — Zy, statt. ß. 205. Aufgabe. Aus einer dekadischen Zahl die Quadrat Wurzel auszuzie'hen. 1. Man theile die Zahl von den Einern angefangen in Abheilungen von je zwei Ziffern, wobei die höchste Abtheilung auch nur eine Ziffer enthalten kann; die Zahl der Abheilungen zeigt die Anzahl der Ziffern in der Wurzel an. 111 2. Man suche die größte Zahl, deren Quadrat in der ersten Abtheilung zur Linken enthalten ist, und schreibe sie als erste Ziffer der Wurzel an. 3. Man subtrahiere das Quadrat der ersten Wurzelziffer von der ersten Abtheilung des Radicauds, setze zu dem Reste die zweite Abtheilung herab und dividiere die dadurch gebildete Zahl nach Weglassung ihrer letzten Ziffer durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel; den Quotienten schreibe man als neue Ziffer in die Wurzel und zugleich als Ergänzung zu dem Divisor. 4. Den so ergänzten Divisor multipliciere man mit der neuen Wurzel¬ ziffer, subtrahiere das Product sogleich während des Multiplicierens von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen Ziffer, setze zu dem Reste die folgende Abtheilung des Radicands herab und dividiere die dadurch entste¬ hende Zahl durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel; den Quo¬ tienten setze man sowohl zu der Wurzel als zu dem Divisor. 5. Dieses Verfahren setze man fort, bis alle Abtheilungen des gegebenen Radicands in Rechnung gezogen worden sind. Bleibt zuletzt kein Rest, so ist die Quadratwurzel rational; im entgegengesetzten Falle ist sie irrational, kann aber nach Z. 182 mit jeder beliebigen Genauigkeit in Decimalen weiter ent¬ wickelt werden, wenn man jedem Reste zwei Nullen anhängt und übrigens wie vorhin verfährt. Die Richtigkeit dieses Verfahrens ergibt sich aus ß. 167. Z. B. j/ 5,94,38144 2438 j/ 3,50 --- 18'708... 194 : 4, 250 : 2z 18 38 : 48, 2600 : 36, 3 89 44 : 486^ 310000 : 3740^ - - - - 10736 Zusätze. 1. Da — ist, so folgt, daß man aus einem Deci- malbruche die Quadratwurzel nach demselben Verfahren auszieht, wie aus einer ganzen Zahl; nur muß man den Decimalbruch vom Decimalpuncte aus nach rechts und links in Abtheilungen von je zwei Stellen theilen, wobei die etwa nur eine Ziffer enthaltende letzte Abtheilung rechts durch Hinzufügung einer Null ergänzt wird, und in der Wurzel den Decimalpunct setzen, bevor die erste Abtheilung von Decimalen in Rechnung gezogen wird. Z. B. s/ 1,52-27156-- 12-34 j/OMOI^ --- 0 01224. . . 52 : 2^ 50 : 22 8 27 : 24, 600:24z 98 56 : 246., 11600:244, - - - - 1824 2. Um aus einem gemeinen Bruche die Quadratwurzel zu ziehen, verwandelt man ihn entweder in einen solchen, dessen Nenner eine vollständige Quadratzahl ist, und zieht die Wurzel aus Zähler und Nenner; oder man verwandelt den gemeinen Bruch in einen Decimalbruch, und zieht dann aus diesem die Quadratwurzel aus. ß. 2VK. Aufgabe. Aus einem unvollständigen Decimalbruche die Quadratwurzel auszuziehen. 1. Man kürze den Decimalbruch, wenn er nicht schon eine gerade Anzahl von Dermalen hat, um eine Stelle ab, und ziehe daraus die Quadratwurzel nach dem gewöhnlichen Verfahren, bis alle Abtheilungen in Rechnung ge¬ zogen wurden. IIS 2. Um die weiteren Wurzelziffern zu erhalten, dividiere man den letzten Rest durch das Doppelte der bisher gefundenen Wurzel, indem man in dem Divisor die letzte Ziffer wegläßt und die abgekürzte Division anwendet. Man erhält dadurch mindestens noch so viele verläßliche Wurzelziffern, als die um 1 verkleinerte Anzahl der nach 1. gefundenen Wurzelziffern anzeigt. Beweis. Hat der unvollständige Decimalbruch 2 n Decimalen, so ist es gestattet, denselben mit 10"" zu multiplicieren, d. i. ihn als eine ganze Zahl darzustellen, weil man dann nur die erhaltene Wurzel wieder durch 10" zu dividieren braucht, und folglich sowohl die Ziffernfolge des Radicands als jene der Wurzel dieselbe bleibt. Es sei nun X die dadurch entstehende ganze Zahl, die daher bis auf die Einer herab verläßliche Ziffern hat, und a die Quadratwurzel, die man aus X ohne Anhängung von Nullen erhält. Bezeichnet ferner X -j- X den vollstän¬ digen Radicand und a -j- x die ihm entsprechende vollständige Quadratwurzel, so muß X -Z X — (a -p- x)?, oder X -j- X — a? -j- 2 ax -j- sein. Hieraus folgt — L — . X — x" 2». 2s. Wo Xj—-s? den letzten bei der Wurzelausziehung gebliebenen Rest, und 2 a das Doppelte der bisher gefundenen Wurzel bedeutet. Da sowohl X < 1 als x < I, daher auch X — x^ < 1 ist, so ist der Fehler den man begeht, wenn für x der Quotient gesetzt wird, kleiner als daher um so mehr kleiner als Hat nun X m Ab¬ teilungen von je zwei Ziffern, so ist a eine mziffrige Zahl; gibt daher einen Quotienten, welcher erst in der raten Decimalstelle eine geltende Ziffer hat, und es ist somit x durch - in m — 1 Decimalen genau bestimmt. Wenn man daher, um den noch übrigen Theil der Wurzel x zu erhalten, den letzten Rest durch das Doppelte der bisher gefundenen Wurzel dividiert, so ist die Anzahl der aus dieser Division hervorgehenden verläßlichen Ziffern um 1 kleiner, als die Anzahl der Ziffern der nach dem gewöhnlichen Verfahren bereits gefundenen Wurzel. Z. B. j/ 52^38'07^82. . — 7 2'37457. . 3 38 : 1 4 2 5407 : 144, 10 7882 : 1446, 6613 : 1,4 4 7 4 8 23 : 99 Zusätze. 1. Durch das voranstehende Verfahren erhält man in der Qua¬ dratwurzel eines unvollständigen Decimalbruches, dessen letzte gegebene Abtei¬ lung vollständig ist, im ungünstigsten Falle 2m — 1 verläßliche geltende Zif¬ fern, wenn der Radicand m geltende Abteilungen von je zwei Ziffern hat. 2. Das für das Ausziehen der Quadratwurzel aus einem unvollstän¬ digen Decimalbruche angegebene Verfahren kann auch angewendet werden, wenn man aus einer ganzen Zahl oder aus einem vollständigen Decimalbruche die 113 Quadratwurzel auf eine vorgeschriebene Anzahl von geltenden Ziffern zu be¬ stimmen hat. Man sucht nämlich um eine Ziffer mehr als die halbe Anzahl der verlangten Ziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren der Quadratwurzel¬ ausziehung, die folgenden aber bestimmt man mittelst der abgekürzten Division. Wenn die verlangte Anzahl von Ziffern ungerade ist, so wird die Hälfte von der um 1 größeren Zahl genommen. Ist z. B. s/ 60 mit 5 geltenden Ziffern darzustellen, so hat man fol¬ gende Rechnung: j/ 60 — 7'7 4 59.. 1100 : 14, 7100 : 154^ 924 : 15 4 8 150 ll Z. 207. Aufgabe. Eine irrationale Quadratwurzel durch die Näherungswerthe eines Kettcnbrncheö zu bestimmen. Es sei j/a zu bestimmen. Mau suche die größte darin enthaltene ganze Zahl und setze wo ^s/a—1 sein muß. Nun suche man wieder die größte in x^ — enthaltene ganze Zahl und setze x. — 1 sein muß. ^2 '2 stU Setzt man dieses Verfahren fort, und sind die größten in x^, Xg . . . enthaltenen ganzen Zahlen 9,-", so hat man 1/ll — I ^st-st... so daß von kehren. Man hat also wox^— — 1-st 5 — ö . ^I4-st2 „ , z/14-2 2 t/I4 — 2^ 2 ^^2 2 — ,/14 4- 2 i . g^I4 — 3 » z/I4-2— 5 — w 5 2 g/14-,-3 , ^14-3 «"/14 — 3^ 1 — x^ — welches wieder der zweiten Gleichung an dieselben Gleichungen immer wieder- Mocnik, Arithmetik und Algebra, n, Aufl, 114 Die Näherungswerthe sind: . 11 15 101 N6 333 449 3027 o, 4, -4-, ,20' 809''" Setzt man ^/14 — 3'741666.so ist der Fehler kleiner als — 0-000001..; es ist also j/ 14 aus 5 Decimalen genau bestimmt. K. 208. Ausgabe. Aus einem mehrgliedrigen algebraischen Ausdrucke die Cubikwurzel zu ziehen. 1. Man ziehe die Cubikwurzel aus dem ersten Gliede des geordneten Radicands; diese ist das erste Glied der Wnrzel. 2. Man subtrahiere den Cubus dieses ersten Gliedes von dem Nadicand, und dividiere das erste Glied des Restes durch das dreifache Quadrat des ersten Wurzelgliedes; der Quotient ist das zweite Glied der Wurzel. 3. Man bilde die Bestandtheile, welche dieses neue Glied der Wurzel im Cubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat des vorhergehenden Wur¬ zelgliedes multipliciert mit dem neuen Gliede, das Dreifache des vorhergehenden Wurzelgliedes multipliciert mit dem Quadrate des neuen Gliedes und den Cubus dieses Gliedes, subtrahiere die Summe dieser drei Bestandtheile von dem früheren Reste des Radicands, und dividiere den neuen Rest durch das drei¬ fache Quadrat der bereits gefundenen Wurzelglieder; der Quotient ist das fol¬ gende Glied der Wurzel. 4. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist die Cubikwurzel rational; bleibt ein Rest, so ist sie irrational. Die Ableitung dieses Verfahrens aus Z. 168 geschieht auf ähnliche Weise, wie im Z. 204 das Verfahren der Quadratwurzelausziehung aus Polynomen aus A. 166 hergeleitet wurde. Beispiel. s/ — 6/5 -s- 21/« — 44/» st- 63/'« — 64/ -s- 27s — /» — 2/ st- 3 — 6/5 st- 21/« — 44/» : 3/« — 6/-st-12/« — 8/» st- — _stl_ st- 9/« -— 36/» st- 63/'« — 54/ st- 27:3/« — 12/» st- 12/« — 9/« — 36/» st- 63/» — 54/ st- 27 — st- zu st- — 0 Z. 209. Aufgabe. Aus einer dekadischen Zahl die Cubikwurzel auszuziehen. 1. Man theile die Zahl von den Einern angefangen gegen die Linke in Abtheilungen von je drei Ziffern, wobei die höchste Abtheilung auch nur zwei oder eine Ziffer haben kann. 2. Man suche die größte Zahl, deren Cubus in der höchsten Abtheilung vorkommt, und schreibe sie als erste Ziffer in die Cubikwurzel. 115 3. Man subtrahiere den Cubus der ersten Wurzelziffer von der ersten Abtheilnng des Radicands, setze zn dem Reste die zweite Abtheilung herab, dividiere dann die dadurch entstehende Zahl mit Weglassung der letzten zwei Ziffern durch das dreifache Quadrat der ersten Wurzelziffer, und schreibe den Quotienten als neue Ziffer in die Wurzel. 4. Man bilde die Bestandtheile, welche diese neue Wurzelziffer im Cubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl mul- tipliciert mit der neuen Ziffer, die dreifache vorangehende Zahl multiplictert mit dem Quadrate dieser neuen Ziffer, und ihren Cubus; schreibe den ersten Bestand- theil unter dei; Dividend, jeden folgenden aber um eine Stelle weiter gegen die Rechte und subtrahiere die Summe der so angesetzten Bestandtheile von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelaffenen zwei Ziffern. Zu dem Reste setze man die folgende Abtheilung des Radicands herab und dividiere die so gebildete Zahl durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel, wodurch man eine neue Ziffer der Wurzel erhält. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis man alle Abtheilungen heruntergesetzt hat. Bleibt am Ende kein Rest, so ist die Cubikwurzel rational; sonst ist dieselbe irrational, kann jedoch in Decimalen mit jeder beliebigen Ge¬ nauigkeit bestimmt werden, wenn man jedem Reste eine Abtheilung von drei Nullen anhängt, und übrigens wie vorhin verfährt. 3 Z. B. 1) j/ 78,9 53,589 --429 64 44 9.53 : 48...3. 4- 3 . 4".2 ... 96.. 3 . 4.2"... 4 8. 2"... 8 4 8 65 5.89 : 5292...3.42" 3 . 42".9... 4 7 629.. 3 . 42.9"... 1 0206. 9->... 629 kl kl 1k 1, 3 2) j/ 570,138 82-92.. 512 58138 : 192 384.. 96. 8 18770000 : 20172 181548.. 19926. 729 415211000 : 2061723 4123446.. 9948. 8 2766912 8* 116 Zusatz. Wie man beim Ausziehen der Cubikwurzel aus einem Decimal- und einem gemeinen Bruche zu verfahren habe, ersieht man leicht aus dem für das Quadratwurzelauszieheu in Z. 205, Zusatz 1 und 2 angegebenen Verfahren. H. 21V. Aufgabe. Aus einem unvollständigen Decimalbrnche die Cnbikwurzel auszuziehen. I. Man kürze, wenn e^ erforderlich ist, den Decimalbrnch auf eine oder zwei Stellen ab, damit die Anzahl seiner Decimalen ein Vielfaches von 3 sei, und ziehe daraus die Cubikwurzel nach dem gewöhnlichen Verfahren, bis man alle Abteilungen in Rechnung gezogen hat. 2. Um die weiteren Wurzelzifferu zu erhalten, dividiere man den letzten Rest durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel mittelst der abgekürzten Division. Die Zahl der verläßlichen Ziffern, die man durch diese Division noch erhält, ist nm 1 kleiner, als die Zahl der nach 1. bereits ge¬ fundenen Wurzelzifferu. Beweis. Der unvollständige Decimalbruch sei mit 3n Decimalen bekannt, und gebe mit KU" multipliciert die ganze Zahl ^e, welche darum bis auf die Einer herab genau ist. Es sei ferner u die Cubikwurzel, die man aus X ohne Anhängung von Nullen erhält. Bezeichnet man nun den vollständigen Radicand durch A -j- X, und dessen vollständige Cnbikwurzel durch u Z- x, so muß A.-s- X — (a Z-x)3, oder A -s- X — a? -s- Zg,2x Zg,x? -s- sein. Hieraus ergibt sich L.— X? . X— X — 3»- X 3 L? , worin — g? der letzte bei der Wurzelausziehung gebliebene Rest, nnd 3cK das dreifache Quadrat der bisher gefundenen Wurzel ist. Um den Fehler zu beurtheilen, welcher begangen wird, wenn man für den noch abgängigen Wurzeltheil x den Quotienten nx- setzt, muß man die Grenzwerthe von X und -* untersuchen; diese sind und weil X<1 und x < 1 ist. Nun ist in jedem Falle u < a", folglich Ueber den begangenen Fehler entscheidet daher allein der Werth von weil als dagegen verschwindend nicht in Betracht kommt. Hat null X m Abtheilungen von je drei Ziffern, so ist u. eine m ziffrige Zahl; der Quotient wird somit erst in der mten Decimalstelle eine geltende Ziffer haben, folglich x durch —^x- in m — 1 Decimalen genau bestimmt sein. Wenn man daher, um den noch fehlenden Wurzeltheil x zu erhalten, den Rest durch das dreifache Quadrat der bisher gefundenen Wurzel dividiert, so ist die Zahl der aus dieser Division hervorgehenden verläßlichen Wurzelziffern um 1 kleiner, als die Anzahl der Ziffern der nach dem gewöhnlichen Verfahren bereits gefundenen Wurzel. 117 s Z. B. 1/0-083M1534.. —0'43632 .. 64 '19066 : 48 144.. 108. 27 3559534 : 5547 33282. . 4644. 216 1846,78 : 570,288 135 21 Zusätze. 1. Durch das hier angeführte Verfahren erhält man in der Cubikwurzel eines unvollständigen Decimalbrnchcs 2m — 1 verläßliche geltende Ziffern, wenn der Radicand in geltende Abtheilungen von je drei Ziffern hat. 2. Wie beim Ausziehen der Quadratwurzel (Z. 206, Zus. 2), kann auch bei der Cubikwurzelansziehung das für unvollständige Decimalbrüche angegebene Verfahren auch bei ganzen Zahlen und vollständigen Decimalbrüchen angewendet werden, wenn die Wurzel nur eine vorgeschriebene Anzahl geltender Ziffern enthalten soll. III. Die Logarithmierung. 1. Von den Logarithmen überhaupt. tz. 211. Eine Zahl s, durch eine andere Zahl 6 logarith¬ mieren heißt den Potenzexponeuten suche», mit welchem 6 als Grundzahl potenziert werden muß, um u als Potenz zu geben. Die Zahl 5 ist die Grund¬ zahl oder Basis, die als Potenz gegebene Zahl u heißt der Logar ith- mand, oder kurzweg die Zahl (Humerus), und der gesuchte Potenzexponent der Logarithmus. Ist l>° —u, so ist u der Logarithmus der Zahl u für die Basis b; man hat dafür die Bezeichnung: N — loAdkb- Werden die Logarithmen durchgängig ans eine bestimmte Basis t> bezogen, so schreibt man statt des letzteren Ausdruckes kürzer n —lo^a, wobei die Basis 6 als bekannt vorausgesetzt wird. Dem Potenzieren entsprechen demnach zwei inverse Operationen, das Radicieren und das Logarithmieren. Eine Potenzgröße von der Form b*, worin der Exponent eine unbekannte Zahl ist, heißt eine Expon entialgröße. ß. 212. Der Inbegriff der Logarithmen der in natürlicher Ordnung auf einander folgenden Zahlen für eine bestimmte Basis bildet ein logarith¬ misches System. Da durch das Potenzieren einer reellen negativen Zahl nicht alle mög¬ lichen positiven Zahlen erzeugt werden können, jede Potenz von 1 aber wieder 1 ist, so kann nur eine reelle positive und von I verschiedene Zahl als Basis eines Logarithmensystems angenommen werden. 118 Es sind unendlich viele logarithmische Systeme möglich; in allen sind, wenn die Basis L positiv ist, die Logarithmen negativer Zahlen imaginär, indem b", welchen Werth auch immer n haben mag, nie einen negativen Zahlenwerth annehmen kann. Dadurch wird jedoch die Anwendung der Loga¬ rithmen nicht beschränkt, indem man, wo von negativen Zahlen die Loga¬ rithmen zu suchen sind, dieselben als absolute Zahlen betrachtet, und erst, nach¬ dem die Logarithmanden gesucht worden, das Vorzeichen von diesen nachträglich bestimmt. Im Gebrauche sind nur zwei logarithmische Systeme, nämlich das gemeine oder Briggische für die Basis 10, und das natürliche für die irrationale Basis 2-718281828.., welche man aus der Summierung der unendlichen Reihe 1 -p, I _st -s->-j-w ... > 1 " 1.2 1.2.3 1.2.3.4 erhält und gewöhnlich mit dem Buchstaben s bezeichnet. Allgemeine Eigenschaften der Logarithmen. tz. 213. 1. Für dieselbe Basis gehören zu gleichen Zahlen auch gleiche Logarithmen; und umgekehrt: zu gleichen Logarithmen gehören auch gleiche Zahlen. Ist 6 die Basis und b°" — LI, — Li, so muß, wenn LI — Li ist, auch in — n, d. i. lo^LI — lo^Li sein. (Folgt indirect ans Z. 165, 3.) Ist umgekehrt lo^L! — lo^Li, also in — n, so muß nach Z. 165, 1 auch L"' — L", d. i. LI—Li sein. 2. Für eine Basis, welche größer als 1 ist, gehört zu der größeren Zahl auch ein größerer Logarithmus; und umgekehrt: zu dem größeren Logarithmus gehört auch eine größere Zahl. Ist b" — LI, b" — Li und LI > Li, so muß für d > 1 auch in > n, also Io^LI>IoKLi sein. (Folgt indirect aus 1. und aus ß. 165, 3.) Ist umgekehrt lo^LI > Iv^Li, so folgt eben so ans K. 165, 3. LI > Li. 3. Der Logarithmus der Basis in Bezug aus diese Basis selbst ist gleich 1. Es ist 1? — b, daher, wenn d die Basis ist, logst — 1. 4. Der Logarithmus von 1 ist für jede Basis gleich 0. Es ist st° — 1, daher logi —0. 5. Der Logarithmus von 0 ist negativ unendlich. Dast^^ —0, so ist logO —— «o. Z. 214. 1. Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe aus den Logarithmen der Factoren. Es sei für die Basis st log LI — m, logLI — n, log? — p, also LI — L'", Li st", ? st"; so ist LlLik — d">4»4i>. v. i. logLILi? — in -st n -st p, oder log LI Li ? —log LI-st log Li-st log?. Z. B. log 6 — Iog2-st Iog3. log 30 — log 2 -st log 3 -st log 5. 119 Wenn für eine Basis die Logarithmen aller Primzahlen bekannt sind, so lassen sich daraus durch bloße Addition auch die Logarithmen aller zusammen¬ gesetzten Zahlen ableiten. IoZ — b?) — loZ (a -s- d) -j- (Io§ a — d). 2. Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich dem Logarithmus des Zählers weniger dem Logarithmus des Nenners. Es sei für die Basis d — rc>, lo^Li — u; also LI — d", Li------1>", so ist . _-n xs —" , folglich IoA ^ ------- m — u — log Ll — log Li. Z. B. ivA — loA 29 — Io§ 31. Ic>8 35'29 loZ — lo^ 3529 - Io§ 100. los (a Z- d) — (a — b). 3. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Logarith mus der Grundzahl multipliciert mit dem Potenzexponenten. Es sei für die Basis b, loZLI — w, also LI — so ist M — woraus loZLI? — rux> — p io^LI folgt. Z. B. IoZ8^-----3Io§8. Ic>A(2u)^ — 3Io§2u — 3 (Io§2 -s- Io§u). -s- — 4 (loZM Z- IvAn). 4. Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Logarith¬ mus des Radicands dividiert durch den Wurzelexponenten. Es sei für die Basis k, Io§ LI — w, also LI — b">, so ist P p - f/ LI — ^/ k'" — bv, daher x Io§ f/LI Z. B. I°e 3 IvA — IoA u 4- Z IvA X — IoA Z. 2l5. 1. Dieselbe Zahl hat für verschiedene Grundzahlen auch verschiedene Logarithmen. 120 Ist p der Logarithmus von H in Bezug auf die Basis L, und y der Logarithmus von N in Bezug aus die Basis b, wo L und I> als verschiedene Zahlen vorausgesetzt werden, so ist — Lv Md H —i)i, daher Wäre nun x —<1, so würde aus Z. 165, 2 indirect folgen, daß auch L —b sei, was jedoch der Voraussetzung widerspricht; die Logarithmen p und cz müssen daher von einander verschieden sein. 2. Der Logarithmus einer Zahl für irgend eine Basis ist gleich dem Logarithmus derselben Zahl für eine zweite Basis, multipliciert mit dem reciproken Werthe des Logarithmus der ersteren Basis in Bezug auf die zweite. Äst io^.zbl — p, also L?—ibl, so erhält man, wenn man in der zweiten Gleichung beiderseits die Logarithmen in Bezug auf eine andere Basis 6 nimmt, l> loži, L —loZb N, oder logg L — logb ibl; folglich Wenn die Logarithmen der Zahlen für die Basis 6 bekannt sind, so kann man daraus auch die Logarithmen für jede andere Basis k bestimmen, wenn man die ersteren mit dem beständigen Factor b. i. mit dem reci- prokcn Werthe des Logarithmus der neuen Basis in Bezug auf die frühere Basis multipliciert. Die Zahl, mit welcher die Logarithmen eines Systems multipliciert werden müssen, um die Logarithmen eines andern Systems zu erhalten, heißt der Modulus des neuen Systems in Bezug auf das ursprüng¬ liche. Der Modulus des Briggischen Systems in Bezug auf das natürliche ist .—- — 0-4342945.. Iogv 10 2. Von den Briggischen Logarithmen. ß. 316. 1. Der Briggische Logarithmus einer positiven Zahl ist positiv oder negativ, je nachdem die Zahl größer oder kleiner als 1 ist. Jede Zahl, welche größer als 1 ist, ist entweder eine dekadische Einheit 10", wo ni eine positive ganze Zahl bezeichnet, oder liegt sie zwischen zwei solchen Einheiten 10" und 10'"-^; ihr Logarithmus ist daher bezüglich m oder zwischen rn und -n -s- 1 eingeschlossen, also in jedem Falle positiv. Jede Zahl, welche kleiner als 1 ist, ist entweder eine dekadische Einheit — 10""', oder liegt sic zwischen zwei solchen Einheiten 1t)-'" und ihr Logarithmus ist daher bezüglich — in oder zwischen — in und — (m -s- 1) eingeschlossen, also in jedem Falle negativ. 2. Der Briggische Logarithmus einer ganzen oder gebroche¬ nen Zahl, welche eine dekadische Einheit ist, ist eine ganze Zahl. Folgt ans dem Beweise zu 1. 3. Der Briggische Logarithmus einer ganzen oder gebroche¬ nen Zahl, welche keine dekadische Einheit ist, ist eine irratio¬ nale Zahl. Beweis, w) Ist 1>l keine dekadische Einheit, sondern zwischen zwei auf einander folgenden dekadischen Einheiten 10"' und 10"^' enthalten, wo m eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet, so liegt der Logarithmus von ibl 121 zwischen w und (m -s- I), und ist somit keine ganze Zahl. Er kanu aber auch kein Bruch sein. Denn wäre logbi — wo x und ci relative Primzahlen seien, so müßte 10a —j/ IO — bi sein, welche Gleichung jedoch unmöglich ist. Ist erstlich bi eine ganze Zahl, so müßte, damit f/IO der ganzen Zahl bi gleich sei, p> durch theilbar sein, was der Voraussetzung, daß x und Z 13 zwischen ic>8 8 und io^r liegt, diese beiden Logarithmen aber in den 5 ersten Decimalstellen übereinstimmen, so ist auf 5 Decimalen genau ioZ 13 — 1'11394. Auf diesem mühsamen Wege berechnete Heinrich Brigg dis Logarithmen der Prim¬ zahlen von l Lis 20000, und von 90000 bis lOOOOO mit 14 Decimalstellen, und später Andrian Vlacq die noch fehlenden der Primzahlen von 20000 bis 90000. 2. Bequemer uud kürzer kann man den Briggischen Logarithmus einer Zahl 14 mittelst der Näherungswerthe eines Kettenbruches bestimmen. Man setze loZ 14 — x, also i4 — 10*, und suche die größte ganze Zahl, welche in x ent¬ halten ist; diese sei cf, also IO < 14 < setzt man x — cf -st wo r x, > 1, so wird N -- IO.10^, folglich 1O> und 10, oder wenn —14, gesetzt wird, 14, *> — 10. Man suche nun die größte in x, enthaltene ganze Zahl; diese sei cf,, also 14,^ <10<14,''^'; setzt man x, — 1, so wird 10 — ------ 14, ->- . somit ^-—14,*- und ^^'—14,, oder wenn ^7—14s gesetzt wird, 14s*- —14,- Ist ferner < 14, <14„ nnd setzt man x„ — cz» -st^, so wird auf gleiche Weise erhalten, woraus wieder für x, — cf, -st — i4«x> — 14^ u. s. w. folgt. 123 Hiernach ist i- i" " ^3 — ci ff-! 1 —... ^4 woraus sich die Näherungs-rüche für loZ herleiten lassen. Ist nach dieser Methode z. B. der Logarithmus von 13 zu bestimmen, so hat man folgende Rechnung: n ^-13, IM <13 <10-, 1^1; N^A--1-3, , 1'3« < 10 <1-3°, <4,^8; N^^^I-22589, 1-22589'<1-3 < 2-22589-, ^--1; ^"l^22?89i 1'06045, 1-06045° < 1 -22589 < 1 06045», q, 3; 1 02823, 1-02823- < 1-06045 < 1-02823«, -- 2; --1-00303, 1-00303° < 1-02823 < 1-00303'°,^9; --1-00159, 1 00159' < 1-00303 < 1 00159-, c,. -- 1; u. s. w. 1 Man hat also IoZ 13 — 1 -s- , 4 1 und daher für den gesuchten Logarithmus die NähcrungSwerthe 1 9 10 39 88 831 919 8' 9' 35' 79' 746' 825' ' - Setzt man loZ 13— — 1-113939.., so ist der Fehler kleiner als 8Z5- — bMZi " 0'000001.., somit ist der Logarithmus von 13 auf 5 Deci- malstellen genau 1-11394, wie wir denselben auch oben nach der ersten Methode gefunden haben. Zusatz. Noch kürzere Methoden zur Berechnung der Logarithmen lehrt die höhere Analysis. Z. 218. Da im Briggischen Systeme mit Ausnahme der dekadischen Ein¬ heiten alle übrigen rationalen Zahlen irrationale Logarithmen haben, welche annäherungsweise durch Decimalbrüche dargestellt werden, so besteht ein Brig- gischer Logarithmus im allgemeinen aus Ganzen mit angehängten Decimal- zisfern. Man nennt die im Logarithmus enthaltenen Ganzen die Kennziffer oder Charakteristik des Logarithmus, die angehängten Decimalen die Man¬ tisse desselben. Für Zahlen, welche kleiner als 1 sind, ist der Logarithmus, also dessen Kennziffer und Mantisse, negativ. Negative Mantissen pflegt man übrigens in der Rechnung zu beseitigen; man führt statt derselben positive Mantissen mit einer negativen Charakteristik ein, indem man den negativen Logarithmus von einer Zahl subtrahiert, die um 1 größer ist als die Charakteristik, wodurch 124 eine positive Mantisse zum Vorschein kommt, und dann diese um l größere Zahl als negative Charakteristik hinter die Mantisse setzt. Z. B. — 2-245679 3 — 2-345679 - 3 0-654321 - 3. K. 219. 1. Die Kennziffer des Briggischen Logarithmus einer- dekadischen Zahl ist gleich der Ordnungszahl der höchsten Ziffer dieser Zahl. Es sei die höchste Ziffer in der Zahl u, vom nten Range, so ist s, > 10" und 8, -< 10"-tst daher loZ rr > n und IoA 8, < n -st 1. Es ist also iog- rr — n -st einem positiven echten Bruche, und da dieser die Mantisse des Logarithmus darstellt, so ist n die Kennziffer dieses Logarithmus. Folgesätze, a) Die Kennziffer des Logarithmus einer Zahl welche Ganze enthält, ist positiv und um 1 kleiner als die Anzahl der Stellen, welche die Ganzen einnehmen. b) Die Kennziffer des Logarithmus eines echten Decimalbrnches ist ne¬ gativ und gleich der Anzahl aller Nullen, welche den geltenden Dccimalzif- fern vorangehen. 2. Wenn man irgend eine Zahl mit einer Potenz vonlOmul- tipliciert oder durch eine Potenz von 10 dividiert, so wird da¬ durch in ihrem Briggischen Logarithmus nur die Kennziffer ge¬ ändert, während die Mantisse dieselbe bleibt. Es ist loZ (a. 10") — Io§ Ä -st IvA 10" — IvA 8, -st ll, u — IoA 10" — lox n — u. Es wird also der Logarithmus von a im ersten Falle um die ganze Zahl v vermehrt, im zweiten vermindert, d. h. er erhält eine andere Kenn¬ ziffer, während die Mantisse ungeändert bleibt. Es ist z. B. IvK 7124 -- 3-852724; daher ist Io§ 712400 --- IoA 7124 -st IvZ 100 — 3'852724 -st 2 5-852724; IoZ 71-24 Io» 7124 - 1o§ 100-^ 3'852724 — 2 1-852724. Folgesatz. Die Mantisse eines Logarithmus hängt blos von der Zif¬ fernfolge der Zahl ohne Rücksicht auf deren Rang ab. Logarithmentafeln. Z. 220. Man findet die Logarithmen aller Zahlen von 1 bis 10000 oder von 1 bis 100000, und zwar erstere auf 5 oder 6, letztere aus 7 Decimalen berechnet, in besonderen Tafeln, welche Logarithmentafeln heißen, zu¬ sammengestellt *). Diese enthalten nur die Mantissen der Logarithmen, weil die Kennziffer in jedem Falle nach ß. 219, 1 bestimmt werden kann. In den folgenden Aufgaben werden wir Tafeln voraussetzen, in denen die Logarithmen vierziffriger Zahlen mit sechsstelligen Mantissen enthalten sind. *) Eine ausführliche Belehrung über die Einrichtung und den Gebrauch solcher Tasclu findet man in der Einleitung zu den von mir heransgegcbenen: Logarithmisch-trigono¬ metrischen Tafeln. Wien, bei Gerold. 125 H. 221. Ausgabe. Zu einer gegebenen Zahl den Briggischcn Logarithmus zu finden. Man suche in den Tafeln zu der Ziffernfolge der Zahl die Mantisse und nehme als Kennziffer die Ordnungszahl der höch¬ sten Ziffer der gegebenen Zahl. Bei der Bestimmung der Mantisse können drei Fälle Vorkommen: u) Ist die gegebene Zahl vierziffrig, so ist die Mantisse unmittelbar in den Tafeln zu finden. ist Hat die gegebene Zahl weniger Ziffern, so denkt man sich so viele Nullen hinzugesetzt, daß mau eine vierziffrige Zahl erhält. Wenn z. B. der Lo¬ garithmus von 382 zu suchen wäre, so nimmt man die Mantisse von 3820. v) Besteht die Zahl, deren Logarithmus gesucht wird, aus mehr als vier Ziffern, so schlägt man in den Tafeln zuerst die Mantisse für die vier höchsten Zahlen nach, sucht die Correctur für die folgenden Ziffern und addiert diese zu der früher gefundenen Mantisse. Die Correctnr aber wird aus der Differenz zwischen der Mantisse, welche den höchsten Ziffern entspricht, und zwischen der nächstfolgenden Mantisse gefunden, indem man jene weiteren Ziffern als Decimalen betrachtet und diesen Decimalbruch mit der Mantissendifferenz mul- tipliciert; die im Prodncte erhaltenen Ganzen sind die Correctur, welche zur Mantisse der höchsten Ziffern addiert werden muß. Die Mantissendisferenz ist meistens in den Tafeln selbst schon angegeben, sonst muß sie erst bestimmt werden. Es sei z. B. der Logarithmus von 23456'78 zu suchen; man findet zu der Zahl 2345 die Mantisse 0'370143 und die Differenz 185; nun ist 0'678 X 185 — 125'43; also hat man Mantisse zu 2345 0'370143 Correctur wegen der Ziffern 678 125 somit Mantisse zu 23456-78 . . 0-370268. Die Kennziffer ist 4, weil die höchste Stelle Zehntausende bedeutet und ihr daher die Ordnungszahl 4 entspricht; also ist Io§ 23456-78 --- 4-370268. In einigen, besonders in größeren Logarithmentafeln sind unter der Mantissendifsercnz sogleich auch die 2-, 3-, 4-, .. dfachen Prodncte ders-lbcn als Proportional! hei le, welche man zu der Mantisse der höchsten Ziffern wegen der späten, Ziffern als Correctnr addieren muß, angegeben. 222. Aufgabe. Zn einem gegebenen Briggischen Logarith¬ mus die entsprechende Zahl zu finden. Man suche in den Tafeln die zu der Mantisse gehörende Ziffernfolge und gebe der höchsten dieser Ziffern den Rang, welchen die Kennziffer als Ordnungszahl ausdrückt. Bei der Bestimmung der Ziffcrnfolge können zwei Fälle Vorkommen: u) Findet sich die gegebene Mantisse in den Tafeln genau vor, so ent¬ nimmt man denselben unmittelbar auch die jener Mantisse entsprechende Ziffernfolge. b) Kommt jedoch, wie es meistens geschieht, die gegebene Mantisse in den Tafeln nicht genau vor, so nimmt man die nächst kleinere Mantisse, schreibt die zu ihr gehörige Ziffernfolge als die höchsten Ziffern der gesuchten Zahl heraus und subtrahiert die kleinere Mantisse von der gegebenen; aus dem Reste werden dann die folgenden Ziffern der gesuchten Zahl bestimmt, indem man denselben durch die Differenz der Tafelmautissen dividiert; die im Quo- tstntcn enthaltenen Decimalen sind die letzten Ziffern der gesuchten Zahl, 126 Z. B. gegebener Logarithmus 0'578124 nächst kleinere Mantisse ... 066.. Ziffernfolge 3785 58g : 1.1,2 (Tafeldiff.) --- 0'504 5 Die ganze Ziffernfolge ist also 3785504, und zwar bedeutet die höchste Ziffer 3 Einer, weil die Kennziffer 0 ist; somit 0-578124 -- Io§ 3-785504. Z. 22Z. Rechnungsoperationen mit den Briggischen Lo¬ garithmen. In Beziehung auf die Rechnungsoperationen mit Logarithmen sind im allgemeinen dieselben Regeln zu beobachten, wie für dekadische Zahlen über¬ haupt; nur hat man dabei noch Folgendes zu berücksichtigen: k. Wenn man beim Addieren der Logarithmen zwei Kennziffern, eine positive und eine negative, erhält, so werden diese in eine einzige zu¬ sammengezogen. Z. B. 3-105892 2568125 0-213407 — 2 0 081057 — 4 5-968481 — 6 — Ö-968481 — 1. 2. Wenn beim Subtrahieren der Minuend kleiner ist als der Subtrahend, so addiere man, um im Reste eine negative Mantisse zu ver¬ meiden, zu dem Minuend so viele positive Einheiten, daß er größer wird als der Subtrahend, und setze dann auch als Kennziffer des Restes eben so viele negative Einheiten. Z. B. Z _ Z 1-450 256 3-578 920 0-871336 — 3. 3. Wenn ein Logarithmus mit negativer Kennziffer mit einer Zahl mul- tipliciert wird, so muß im Producte die neue negative Kennziffer mit der etwa erhaltenen positiven zusammengezogen werden. Z. B. (0-531147 — 2) X 5 --- 2-655735 — 10 -- 0-655735— 8. 4. Ist ein Logarithmus mit negativer Kennziffer durch eine Zahl zu di¬ vidieren, so muß die negative Kennziffer, wenn sie durch diese Zahl nicht theilbar ist, um so viele Einheiten vergrößert werden, daß sie dadurch theilbar wird; eben so viele Einheiten müssen aber dann auch als Ganze zu der po¬ sitiven Mantisse gesetzt werden. Dadurch wird eine gebrochene Kennziffer ver¬ mieden. Z. B. (0 -415091 — .7): 5 (3 415091 - 10) : 5 0 683018 — 2. 224. Anwendung der Briggischen Logarithmen. Durch die allgemeinen Sätze, die in 8- 214 entwickelt wurden, ist man im Stande, die Multiplikation in eine Addition, die Division in eine Sub¬ traktion, das Potenzieren in eine Multiplikation und das Radicieren in eine Division zu verwandeln. 127 Kommen unter den gegebenen Zahlen negative vor, so betrachtet man sie einstweilen als absolute Zahleu, führt damit die Rechnung durch und bestimmt das Vorzeichen nachträglich in dem gefundenen Resultate. 1. Multiplication der Zahlen mit Hilfe der Logarithmen. Man bestimme das Product aus 1 0954, 0 91567,,— 3 1571 und 1'00782. Es ist 1oK 1 0954 — 0 039 573 IvA O 91567 — 0 961 739 — I 1o§ 3 1571 ----0'499 289 (n) 1oZ 1'00782 ---0'003 383 lvA des Prodnctes — (0503 984 — Io» 3'191419, also 1 0954 X 0-91567 X — 3'1571 X I 00782 --- — 3-191419. 2. Division der Zahlen mit Hilfe der Logarithmen. 1) Es soll der Quotient 528 : 737 oder bestimmt werden. -s- 1 — 1 IoK 528 ^-2'722 634 lo§ 737 --- 2 867 467 loZch- ? 0 855 167^ l IvA 0'716 418, folglich ^---0'716 418. 2) Man bestimme den Werth des Bruches x — , Es ist loZ x ----IoZ 3'4156 -st Io§4-023 —(Io§ 1'2378 -st Io§ 5-87091) loZ 3-4156 ---0 -533 467 Io§ 4-023 —0-604 550 1-138 017 IvA 1-2378 - 0-092 651 1c>K 5'87091 --- 0-768 705 IoZ x — 0'276 661 — IoZ 1'890 869, also x — 1'890 869. 3., Potenzierung einer Zahl mit Hilfe der Logarithmen. 1) Es soll die 20ste Potenz von 1-025 gesucht werden. Man hat lox 1'025 ----0-010724 lvA (1 -025)°« ----- 0-214480 --- löZ 1 -63862, also (1-025)°° — 1-63862. 2) Man bestimme IvA 329---2 517196 Io§ 67- 1-826 0 75 0-691 121 X 1 065 5,6.0.1 691 1 2 1 41467 3456 IoZ ° — 0 - 736 0 4 4 — 5 - 445575, . /329^-0«S somit —5-445575. 128 4. Nadicierung einer Zahl mit Hilfe der Logarithmen. 1) Man verlangt die 5te Wurzel ans 10. los 10 1-000000 5 - : 5 ioA-1/10-- 0-200000 — Io§ 1-58489, also j/ 10 — 1-58489. s L >1 052^1/^3 2) Es soll der Werth von I/ —Z—— bestimmt werden. 2^18 Setzt man diesen Werth — x, so ist IvK x — z s2 Io§ 1-052 z lo^; 23 — (ioZ2 -s- z Io§ 18)j 1o§ 1052 0 022016 2Iv§ 1-052 -r- 0 044032 los 23 ^ 1-361728 z lo§23 0-680864 0-724896 IvA 2 — 0 301030 lo§18 — 1-255273 zio§ 18 — 0-418424 "0-005442 —-:9 IvA x — 0-000605 — 1o§ 1-001394, also x — 1'001394. Siebenter Abschnitt. Lehre von den Gleichungen. Z. 225. Die Gleichstellung zweier Ausdrücke, welche gleichen Werth haben, wird eine Gleichung genannt. Z. B. x — x, (x -s- 2)2 — x^ -s- 4x -s- 4, x^— 8 — 2x. Die Größen, welche einander gleichgestellt werden, heißen Th eile der Gleichung und können einzeln wieder ans mehreren Gliedern bestehen. In der Gleichung x? — 8 — 2x ist x^ —,8 der erste, 2x der zweite Theil; der erste Theil besteht aus zwei Gliedern x^ und — 8. Man unterscheidet identische und Bestimm ungsgl eichuugen. Gleichungen, welche für jeden Werth der darin vorkoinmendcn noch unbestimmten Größen richtig sind, heißen identische Gleichungen. Z. B. die Gleichung (x -f- 2)? — x° -s- 4x -j- 4 hat ihre Richtigkeit, man mag für x was immer für einen Werth setzen. Jede Formel für eine arithmetische Operation bildet eine identische Gleichung. Gleichungen, welche nicht für alle, sondern nur für bestimmte Werthe der darin verkommenden Unbekannten richtig sind, heißen B e st immun g s- gleichungen. Z. B. die Gleichung x? — 8 — 2x ist nur richtig, wenn x einen der zwei Werthe 4 oder — 2 hat. 129 Die Werthe der Unbekannten, welche einer Gleichung gelingen, d. i. die¬ selbe zu einer identischen machen, nennt man Wurzeln dieser Gleichung. Die Gleichung x- — 8 — 2x hat zwei Wurzeln, 4 und — 2. Die Wurzeln einer Gleichung bestimmen, heißt die Gleichung anflösen. Drdnen der Gleichungen. Z. 226. Eine Gleichung ordnen heißt dieselbe so uniformen, daß die Unbekannte in keinem Glieds als Nenner oder als Nadicand erscheint, daß alle Glieder, welche die Unbekannte enthalten, in dem ersten Theile der Gleichung nach den fallenden Potenzen dieser Unbekannten auf einander folgen, daß endlich die höchste Potenz der Unbekannten positiv ist und den Coefficienten 1 hat. Z. B. x? -st ax — st ist eine geordnete Gleichung. Wird eine geordnete Gleichung so dargestellt, daß der zweite Theil der¬ selben Null ist, so heißt die Gleichung aus Null redu eiert; z. B. x^ -st nx — st — 0. Das Ordnen der Gleichungen beruht auf dem Grundsätze: Wenn man mit gleichen Größen gleiche Veränderungen vor¬ nimmt, so erhält man wieder gleiche Größen. Dieser Grundsatz läßt sich durch folgende Sätze näher ausdrücken: 1. Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man zu beiden Theilen derselben eine und dieselbe Zahl addiert, oder von bei¬ den Theilen dieselbe Zahl subtrahiert. Nach diesem Satze kann man jedes Glied des einen Theiles mit dem entgegengesetzten Vorzeichen in den andern Theil bringen (transponieren), ins¬ besondere auch jede geordnete Gleichung auf Null reducieren. Z. B. aus X? —

x — Genügen des 2. Grades ! "ut 1 Unbekannten, xx — x — -st 2j l „ 2 «l-ichmig-u d.« 3. Gr-dost'st Die Gleichungen des zweiten Grades werden auch quadratische, jene des dritten Grades cubische genannt. 4. Gleichungen des zweiten oder eines höheren Grades heißen rein, wenn sie nur eine Potenz der Unbekannten enthalten, und unrein oder gemischt, wenn in denselben verschiedene Potenzen der Unbekannten Vorkommen. 8. B. x- — 5 --- Ol .. . . x? — 10 ) s'ud reine, _Zx 5 > X» -p. 2x-— 6 — 0) "Eine Gleichungen. 5. Die Gleichungen unterscheidet man ferner in bestimmte, welche eine beschränkte, schon vor der Auslösung genau bestimmbare Anzahl von Wurzeln haben, und in unbestimmte, denen unendlich viele Wurzeln genügen, wenn nicht die Anzahl derselben durch besondere Bedingungen beschränkt wird. Z. B. die Gleichung 3x --- 5 hat die einzige Wurzel 2; der Gleichung 3 X -st 2^ — 5 dagegen können unendlich viele Werthe von x und z- genügen; die erstere Gleichung ist daher bestimmt, die letztere unbestimmt. 6. Die Gleichungen theilt man endlich in algebraische und Expo¬ nentialgleichungen ein; in den ersteren kommt die Unbekannte nur als Grundzahl einer Potenz, in den letzteren als Exponent vor. I. Bestimmte Gleichungen des ersten Grades. 1. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten. Z. 229. Eine Gleichung des ersten Grades mit einer Unbe¬ kannten ist aufgelöst, sobald man sie nach Vorschrift des ß. 227 ge¬ ordnet hat. Da die allgemeine Form einer solchen Gleichung nx — b ist, so hat man 9* 132 Eine Gleichung des ersten Grades mit einer Unbekannten hat immer nur eine Wurzel, und ist daher eine bestimmte Gleichung. Beispiele. 1) NX -st b — Mx -s- 1>J nx — n^x — kg — k>, (n — n^) x — k)^ — Ich 2n — 2nx -st dx — st, st x — 2 ax — st — 2n (b — 2n)x —t> — 2n x--1. 2. Bestimmte Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten. Z. 230. Eine Gleichung mit zwei Unbekannten ist unbestimmt; es gibt nämlich unendlich viele Werthe, welche, für die beiden Unbekannten substituiert, der Gleichung Genüge leisten. Hat man z. B. die Gleichung 2x -st 5st— 19, so folgt daraus x — Jedem Werthe, der in der Auflösung für st ge¬ setzt wird, entspricht auch ein anderer Werth für x; da nun für st unendlich viele verschiedene Werthe angenommen werden können, so ist auch x unendlich vieler Werthe fähig; die Auflösung ist demnach völlig unbestimmt. Sind da¬ gegen zwei zusammengehörige Gleichungen mit zwei Unbekannten gegeben, so lassen sich im Allgemeinen die Werthe der Unbekannten, welche beiden Gleichungen Genüge leisten, bestimmt angeben, indem man aus beiden Gleichungen durch Wegschaffnng je einer Unbekannten eine Gleichung mit nur einer Unbekannten bildet und diese auflöst. Aus zwei oder mehreren zusammengehörigen Gleichungen eine Unbekannte wegschasfen, heißt diese Unbekannte eliminieren. Z. 231. Es sind vorzüglich drei Eliminations - Methoden im Gebrauche. 1. Die Comparations-Methode. Man bestimmt den Werth der¬ selben Unbekannten aus beiden Gleichungen, setzt diese Werthe einander gleich und löst die dadurch erhaltene Gleichung, welche nur die andere Unbekannte enthält, auf. Sind allgemein die Gleichungen nx -st st st — o, a/x -st k/ st — o' gegeben, so erhält man aus denselben e— »x e — bv v — —; X — --, b L M — Ma v' — Mv V — -77— X — -; - M M ? daher, weil st und x in beiden Gleichungen dieselben Werthe haben sollen, c— »x e' — Mx e— b^_ o' — Mv b M , k/ o — ast^x — st<^ — n/stx, (a^st —ast')x — sto^ — lllo, b e' — Me X — Md — ab" a st st — — astest, (ast' — n'st)st — av' — st'o, aM — Me ab' — Mb' b' e — be' kk' — Mb' 133 b woraus 2. Die Substitutions-Methode. Mau sucht den Werth einer Un¬ bekannten ans einer Gleichung und substituiert denselben in der andern Gleichung; dadurch erhält man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, welche dann aufgelöst wird. Seien wieder die Gleichungen u x -s- b> — o, u^x ch- gegeben. Ans der ersten Gleichung erhält man 6 — NX Substituiert man diesen Werth in der zweiten Gleichung, so hat man / >1/6 — NX . 4. 7 w s — bl!' X --- -— so' —SV folgt. Auf ähnliche Weise findet man se' — s'« sw — s'b' 3. Die Methode der gleichen Coefficienten. Man verschafft in beiden Gleichungen der zu elimiuierendeu Unbekannten durch Multiplieatiou aller Glieder mit einem geeigneten Factor gleiche Coefficienten, und addiert oder subtrahiert die ueneu Gleichungen, je nachdem diese Coefficienten ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben; die dadurch erhaltene Gleichung mit einer Unbe¬ kannten wird dann aufgelöst. Es seien wieder die obigen Gleichungen a x -f- b — 6, u'x -s- — cr^. Um aus diesen Gleichungen zu eliminieren, multipliciert man die erste Gleichung mit ich die zweite mit l>, wodurch man erhält u, l/x -4- I) 4/ — l^ 6, u'b x -s- b l>^ b Subtrahiert man diese beiden Gleichungen, so ist ast^x — u/stx — — steh „ wo — do' woraus x — -n-n- so' — s'b folgt. Wird eben so aus den gegebenen Gleichungen X eliminiert, so erhält man — Ll/o — s/d' Zusätze. 1. Gewöhnlich bestimmt man nur den Werth der einen Unbe¬ kannten nach einer der angeführten drei Methoden und substituiert daun den gefundenen Werth in einer der gegebenen Gleichungen, woraus sich der Werth für die zweite Unbekannte ergibt. 2. Kommen in den gegebenen Gleichungen nur die reciproken Werthe der Unbekannten vor, so ist es am einfachsten, diese reciproken Werthe selbst als die eigentlichen Unbekannten anzusehen und ans ihnen nachträglich die ursprüng¬ lichen Unbekannten zu berechnen. Z. B. ? -f- 13. X ' 7 5 x 134 Setzt man n x/ und -s — so hat man 2x^ -st 3^ — 13, 5x^ — 2/— 4, und findet daraus x' — 2, 7'— 3, woraus daun x — folgt. Beispiele. 5x— ll! uach der Comparationsmethode aufzulösen. 24 — 4v Die erste Gleichung gibt x — -— x, 11-6 „ zweite „ „ x — — daher »voraus — 3 folgt. Substituiert man diesen Werth von in dem Ausdrucke 24 —4v , —24 —4.ü , X — -—77—^-, so erhalt man X — —-— 4. Daß die Werthe x — 4 und — 3 den gegebenen Gleichungen Ge¬ nüge leisten, ergibt sich sogleich, wenn man diese Werthe in den Gleichungen substitnirt; man hat 3.4 -s- 4.3 — 24, 5.4 —3.3 11. 2x -s- ^3/ — 1g! der Substitutionsmethode aufzulösen. Aus der ersten Gleichung folgt x — —wird dieser Werth in der zweiten Gleichung substituiert, so hat man 2 . -st 3^ —16, woraus — 0 folgt. Substituiert man diesen Werth von in dem Ausdrucke X — .—so findet man X — - ö - — 3. 3) 4x -s- 19^ — 11> nach der Methode der gleichen Coefficicnten 6x — 5^ — — 17) aufzulösen. Um bei x gleiche Coefficienteu herbeizuführen, mnltipliciert man die erste Gleichung mit 3, die zweite mit 2; man bekommt 12x-j-57 v — 33),^, s. , 12x-10v^-34j subtrahiert, — _-st ' 67 v 6.7, also v I. Wird dieser Werth von in der ersten Gleichung substituiert, so erhält man 4x -st 19.1 — 11, woraus x — — 2 folgt. 4) x -st 7 --- s, x — — ä. Durch Addition und Snbtraction dieser Gleichungen erhält man 2x — 8-stck, 2^ — 8 — ck, daher s -st n 8 — ä x -- — — z-- 135 Z. 232. Die in ß. 231 aus den allgemeinen Gleichungen u x ch- d — o, a'x -s- erhaltenen Werthe t>^ o — b _ ao' — s'o — n'!/ ak'—kül> lassen ersehen, daß es Fälle gibt, in denen die gegebenen zwei Gleichungen zur Bestimmung der in denselben vorkommenden zwei Unbekannten nicht geeignet sind. 1. Die Werthe von x und sind völlig unbestimmt, wenn ul/ — g/1> und o — 1> oh also a : a/ — b : und d : k' — v : ist, woraus auch a : g/ — o : oder a folgt, weil dann sowohl x — A, als auch — sj wird. Dieser Fall tritt immer ein, wenn die eine Gleichung von der andern abhängig ist. Denn setzt man g. : a/ — l>: ii/ — o : — w, also n, — a/m, b — in, c — o' in, so nehmen die gegebenen Gleichungen fol¬ gende Form an: a/inx -s- l/rn^ — e^m, u^x -si U)' — o', woraus hervorgeht, daß die erste Gleichung durch bloße Umformung, nämlich durch Multiplication mit in, aus der zweiten hervorgegangen, folglich von dieser abhängig ist. 2. Die zwei Gleichungen lassen ferner keine endliche Auflösung zu, wenn in den obigen Ausdrücken für x und der Nenner — 0, die Zähler aber von 0 verschieden sind, wenn also a, 1/ — a'd, oder ä.: g/ — b: 1/, dagegen 5' a und k und ebenso n o' und a.' a ungleich sind, weil dann x — oa und / — oo wird. Dieser Fall tritt immer ein, wenn die zwei gegebenen Gleichungen ein¬ ander Widerstreiten. Denn setzt man — b: 1/ — m, also s. — a/m, l> — so nehmen die gegebenen Gleichungen folgende Form an: s/inx -si — a, u/x Z- — esi woraus v — o'm folgen würde, was jedoch einen Widerspruch enthält, weil nach der Voraussetzung k'o ko', also a sS , oder o a'm sein muß. Aus zwei zusammengehörigen Gleichungen mit zwei Unbekannten können demnach die Werthe dieser Unbekannten nnr dann bestimmt gefunden werden, wenn die beiden Gleichungen von einander unabhängig sind und einander nicht Widerstreiten. Z. 233. Zur Bestimmung von drei oder mehreren Unbekannten müssen eben so viele von einander unabhängige und sich nicht widerstreitende Gleichungen gegeben sein. Um ein System von mehreren zusammengehörigen Gleichungen mit eben so vielen Unbekannten aufznlösen, wendet man dieselben Methoden an, welche in ß. 231 für die Auflösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten an¬ gegeben wurden. Man eliminiert nämlich aus den gegebenen Gleichungen eine der Unbekannten, wodurch man eine Unbekannte und zugleich eine Gleichung weniger erhält; ans diesen neuen Gleichungen eliminiert man eine zweite Un¬ bekannte, und setzt dieses Verfahren fort, bis man zuletzt nnr eine Gleichung mit einer Unbekannten erhält, aus welcher sich der Werth dieser Unbekannten ergibt. Der gefundene Werth wird in einer der zunächst vorhergehenden zwei Gleichungen substituiert und dadurch eine zweite Unbekannte bestimmt. Die bei- 136 folglich x — 6 Prodc. 24 —5x —Lz. X— - den gefundenen Werthe substituiert inan dann in einer der vorhergehenden drei Gleichungen u. s. w., und bestimmt auf diese Art nach und nach die Werthe aller Unbekannten. Beispiele. 1) 8x4-5x4-22^24 6x - 3x -f- 2— 3s nach der ComparatiouSmethode anfzulöscn. 4x-s-9x — 62 — 4 '24 —S)' — 2z. 3 4-3^ — z 8 — 6 ' 8 3-p3x-z 6 4 — 4- 6i! 4 4 — 9^ 4- 6z 4 Ans den letzten zwei Gleichungen ergibt sich, wenn man sie nach x auflöst, 60-2-0 27 t s 60-2z 6-s-20z 6 4- 20z s, daher 33 ' — 33 f aus tvelcher letzteren Gleichung 2 — 3 folgt. Substituiert mau den Werth von 2 in einem der für x gefundenen Aus- drucke, z. B. m x — — 27—/ hat niau 60 — 2.3 27 — Werden endlich die gefundenen Werthe von x und 2 in einem der für x aufgestellten Ausdrücke, z. B. iu x — substituirt, so bekommt man 34-3.2 — 3 , 8.1 4- 5.2 4- 2.3 24, 6.1 — 3.24- 3^ 3, 4.14-9.2 — 6.3^ 4. 2) 3x-s- x-s- 2 — Ist 2x -s- 3x 4- 3x — 28s nach der Substitutionömethode aufzulösen. 5x -s- 2x -s- 3^ — 38 Aus der ersten Gleichung folgt x — Substituiert mau diesen Werth in der zweiten und dritten Gleichung, so erhält mau 2 X 4- 37 4- 2- -- 28, oder 7x 4- 42 48, 5 X -s- 2x 4^ 32 — 38, oder x -s- 42 — 24. Aus der letzten Gleichung folgt x — 24 — 42. Wird dieser Werth in der vorletzten Gleichung substituiert, so hat man 7 (24 - 42) 4- 42 48, woraus 2 — 5 folgt. Substituiert man den Werth von 2 in x — 24 — 42, so ist x — 24 — 4.5 — 4. Werden endlich die Werthe von x und 2 in dem Ausdrucke 18 — V - L X — g eingestellt, so erhält mau x - - — — 3. 137 3) 3x nach der Methode der gleichen Coefficienten x -s- ü^ — - 18 aufzulösen. 4x — -st 22 — 14) Um ans den ersten zwei Gleichungen x zu eliminieren, mnltipliciere man die erste mit 2, die zweite mit 3; es ist 6x- 4^-stlO^ 6x -st 1o^ — 62 — 54) — 19^-st 162^ — 38. Um auö der zweiten und dritten Gleichung x zu eliminieren, braucht man nur die zweite mit 2 zu multiplicieren und die Subtraction zu verrichten; man bekommt: 4x -st 10^ — 42 36 4x — / -st 22 — 14 - -st - - 11^ — 62 — 22. Nun hat man zwei Gleichungen, worin noch die Unbekannten und 2 Vorkommen. Um ans denselben zu eliminieren, wird man die erste Gleichung mit 11, die zweite mit 19 multiplicieren und die neuen Gleichungen addieren: man erhält — 209^-st 1762 —— 418 209^-1142— 418 622 — 0 ; also 2 — 0. Wird der Werth von 2 in der Gleichung 11^ — 62 — 22 substituiert, so hat man 11^ — 22, daher ^ — 2. Substituiert man endlich die Werthe von und 2 in einer der gegebenen Gleichungen, z. B. in 3x — 2^ -st 62 — 8, so erhält man 3x — 2.2 — 8, folglich x — 4. 3. Anwendung der Gleichungen zur Auflösung von Aufgaben. K. 234. In jeder Aufgabe, mag sie nur einen einzelnen besonderen Fall betreffen oder ganz allgemein gestellt sein, werden gewisse Bedingungen an¬ gegeben, denen die zu suchenden Zahlen genügen sollen. Das Geschäft der Algebra bei der Auflösung von Aufgaben ist ein dreifaches: 1. Der Ansatz einer oder mehrerer zusammengehöriger Gleichungen, d. i. die Uebertragung der Bedingungen der Aufgabe aus der gewöhnlichen Wortsprache in die algebraische Zeichensprache; 2. die Auflösung der gebildeten Gleichungen; 3. die Discussion oder Deutung des erhaltenen Resultates, d. i. die Uebertragung desselben ans der Zeichensprache in die Wortsprache. Für den Ansatz der Gleichungen können keine allgemeinen Regeln gegeben werden; er ist das Werk des Scharfsinnes und kann nur durch vielfältige Uebung geläufig gemacht werden. Anfängern kann folgende Regel als einigermaßen leitende Vorschrift dienen: Man betrachte die gegebene Aufgabe vorläufig als aufgelöst und behandle die Unbekannte so, wie es die Bedingungen der Aufgabe erfordern; dadurch erhält man für eine und dieselbe Größe zwei verschieden geformte Ausdrücke, welche einander gleichgestellt die verlangte Gleichung geben. 138 Die Auflösung der Gleichungen geschieht nach den dafür geltenden all¬ gemeinen Regeln. Das erhaltene Resultat muß eudlich gehörig gedeutet werden, um die Antwort in derjenigen Sprache zu geben, in welcher die Frage gestellt wurde. Die Discnssion ist besonders dann von Wichtigkeit, wenn das Resultat ein allgemeines ist, oder eine negative Auflösung enthält. ß. 235. Beispiele. 1) Man suche eine Zahl, deren Hälfte und dritter Theil zusammen 25 betragen. Bezeichnet x die gesuchte Zahl, so ist ihre Hälfte und der dritte Theil daher nach der Bedingung der Aufgabe ch Z -- 25, woraus x — 30 folgt. Probe. Z- — 15 -j- 10 - 25. 2) ist n Jahre, 8 5 Jahre alt; nach wie viel Jahren wird F dop¬ pelt so alt sein als II? Nach x Jahren wird -V u -s- x, II 5 -f- x Jahre alt; man hat daher n Z- X — 2 (5 -j- x), woraus x — n — 25 folgt. Ist hier a. < 2n5, so ist x — — (25 — n), also negativ. Da eine negative Zahl Jahre keinen Sinn hat, so ist in diesem Falle die Auflösung der vorgelegten Aufgabe unmöglich. Würde man aber in der obigen Gleichung — x statt x setzen, so erhielte man n — X — 2 (5 — x), und X — 25 — a. Wenn man daher fragen würde: Vor wie viel Jahren war doppelt so alt als k? so gibt die letztere Gleichung dafür die Lösung x — 25 — n, d. h. vor 25 — n Jahren. Die negative Auflösung einer Gleichung des ersten Grades genügt also, wenn man sie positiv nimmt, einer andern Gleichung, welche ans der ersten durch Aeuderung der Vorzeichen der Unbekannten gebildet wird, und kann die Auflösung einer Aufgabe enthalten, in welcher die Fragezahl der vorgelegten Aufgabe im entgegengesetzten Sinne genommen wird. 3) Zwei Körper X" und L" sind auf einer geraden Linie in derselben Richtung mit den Geschwindigkeiten <2 und o" in gleichförmiger Bewegung und gehen gleichzeitig bezüglich durch die Puncte F/ und von denen um ei Längeneinheiten rückwärts von liegt. Nach wie viel (T) Zeit¬ einheiten werden beide Körper Zusammentreffen? U? legt in T Zeiteinheiten c? T Längeneinheiten zurück, „ Da zur Zeit des Zusammentreffens der von U? zurückgelegte Weg nm ä größer ist als der von U? zurückgelegte, so ist o'T — L" V - c!, daher u l? — e"' 189 Diskussion. ch So lange > o", ist 1 positiv und es gibt eine be¬ stimmte Zeit, nach welcher die Körper zusammentreffen. Wenn o" — e", also — o" — o, so wird 1' — oo; die beiden Körper werden nach unendlich vielen Zeiteinheiten, d. i. niemals zusammentreffen, was natürlich ist, weil sie stets in gleicher Entfernung von einander bleiben; die Auflösung ist un¬ möglich. Ist für diesen Fall auch ci — o, d. h. gehen die Körper gleichzeitig durch denselben Punct, so wird R —fj; die Auflösung ist unbestimmt, d. i. die Körper haben, da sie in jedem Augenblicke beisammen sind, nicht einen, sondern unendlich viele Zeitpunkte des Zusammentreffens. Ist endlich < a", so wird 1 — — -7,-^ , woraus folgt, daß in diesem Falle die Auflösung der Aufgabe, so wie sie gestellt wurde, unmöglich ist, was auch schon au sich einleuchtet, indem sich der Hintere Körper X^ langsamer als der vordere X" bewegt, beide also nicht nur nie Zusammentreffen, sondern sich von einander immer mehr entfernen. Um übrigens auch dem negativen Werthe von 1 eine Deutung zu geben, darf man nur in der gegebenen Aufgabe die Frage im entgegengesetzten Sinne stellen, nämlich: Vor wie viel Zeiteinheiten waren die beiden Körper zusammengetroffen? Dann gibt der negative Werth von D positiv genommen eine Auflösung der so geänderten Aufgabe und drückt aus, daß die zwei Körper vor^-^n Zeiteinheiten beisammen waren. l>) Setzt man — ä für 6, d. i. nimmt man an, daß der Punct vorwärts von liege, so erhält man 1 es gelten daher hier die unter a) für X/, e/ gewonnenen Resultate bezüglich von X", 71", a", und umgekehrt. 0) Setzt man endlich — 0" für d. i. nimmt man an, daß sich der Körper X" gegen X' in entgegengesetzte r Richtung bewege, so wird 1 Wenn ä positiv ist, bedeutet 1 eine bestimmte Zeit, nach welcher die Körper Zusammentreffen. Für ä — 0 wird auch R — 0, d. i. wenn die zwei Körper gleichzeitig von demselben Puncte abgehen, so sind sie eben Lnr Zeit des Abganges beisammen. Ist ä negativ, dann wird '1° — — ' welcher negative Werth, wie unter u), bedeutet, daß die beiden Körper vor Zeiteinheiten znsammengetroffen waren. Wird ans der obigen Grundgleichnng nicht D, sondern eine andere allgemeine Größe bestimmt, so erhält man dadurch die Lösung für eine andere verwandte Aufgabe. Die algebraische Auflösung einer allgemeinen Aufgabe be¬ antwortet daher nicht bloß die unmittelbar gestellte Aufgabe; sic liefert zugleich die Auflösung für eine ganze Gruppe von verwandten Aufgaben und zeigt den inneren Zusammenhang, in welchen: dieselben unter einander stehen. Insbeson¬ dere dienen die negativen Werthe dazu, nm die Beschränkungen aufzuheben, welche in eine Aufgabe gelegt wurden, und um dadurch diese in ihrer Allgemein¬ heit vollständig zu lösen. 4) Man theile die Zahl 58 in zwei Theile, so daß der eine Theil um 16 kleiner sei als der andere. Bezeichnet man den größeren Theil durch x und den kleineren durch so muß nach den Bedingungen der Aufgabe x -s- / — 58 und x — -s- 16 sein, aus welchen Gleichungen x — 37, — 21 folgt. 140 Diese Aufgabe kann auch mittelst einer einzigen Gleichung mit einer Unbekannten aufgelöst werden. Ist nämlich x der größere Theil, so ist 58 — x der kleinere, und es muß x — 58 — x -st 16 sein, woraus x — 37, daher 58 — x — 21 folgt. 5) Man hat zwei gleichartige Stoffe; von dem ersten ist der Werth einer Einheit — a, von dem zweiten — b. Man soll aus beiden eine Mischung machen, die m Einheiten enthält und von welcher jede Einheit den Werth o hat. Wie viele Einheiten muß man von jedem Stoffe zu dieser Mischung nehmen? Es wird vorausgesetzt, daß der Werth der Mischung gleich ist den Wer¬ th en der dazu verwendete» Stoffe. Bezeichnet x die Anzahl der Einheiten, welche man von dem ersten Stoffe nehmen muß, und die Anzahl der Einheiten, welche man von dem zweiten Stoffe nehmen muß, so ist x -st — m und ux -st I>^ — om, daher v — d » — 6 x— — z-.m, v — —- ^.m. a — o - s — b Die Auflösung ist nur dann möglich, wenn in den Werthen von X und Zähler und Nenner gleiche Vorzeichen haben, was nur eintreten kann, wenn u > v > 6 oder u < v < b ist, wenn also o zwischen « und I> liegt. Das Verhältnis der beiden Quantitäten ist x : — (o — K): (u — ost worauf die sogenannte Allegations- oder Mischnngsrechnung beruht. II. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades. ß. 236. Wenn man zur Bestimmung von mehreren unbekannten Größen weniger Gleichungen hat, als Unbekannte zu bestimmen sind, so kanu man durch allmähliches Eliminieren der Unbekannten immer zuletzt eine einzige Glei¬ chung mit zwei oder mehreren Unbekannten erhalten. Wird aus dieser Gleichung die eine Unbekannte durch die übrigen ausgedrückt, so kann man für diese letz¬ teren unendlich viele verschiedene Werthe setzen, und erhält dann auch für die erste Unbekannte unendlich viele Werthe. Eine solche Gleichung mit zwei oder mehreren Unbekannten wird daher eine unbestimmte, auch eine dioph an¬ tische Gleichung genannt. Meistens wird bei solchen Gleichungen verlangt, daß die Unbekannten, welche man bestimmen will, gewissen besonder» Bedingungen unterworfen seien. So verlangt man bei den unbestimmten Gleichungen des ersten Grades, daß die Unbekannten ganze oder positive, oder ganze und positive Zahlen zugleich sein sollen. 1. Auflösung der unbestimmten Gleichungen in ganzen Zahlen. §. 237. 1. Eine Gleichung mit zwei Unbekannten läßt keine Auflösung in ganzen Zahlen zu, wenn die Coefficienten der Unbekannten einen gemeinschaftlichen Factor haben, durch welchen das bekannte Glied nicht theilbar ist. Es sei die auf die einfachste Form gebrachte Gleichung ux -st st^ — wo s, b, v ganze positive oder negative Zahlen vorstellen. Haben n und k das gemeinschaftliche Maß w, durch welches o nicht theilbar ist, so hat man 141 a , d e. — x -4- — V ; IN ' ' IN ' da mm ganze Zahlen sind, so können nicht zugleich x, ganze Zahlen sein, weil sonst auch . x-s-folglich auch eine ganze Zahl wäre, was gegen die Voraussetzung ist. Da der hier erwiesene Satz eben so auch für Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten gilt, so wird in dem Folgenden immer vorausgesetzt, daß die Coefficienten der Unbekannten relative Primzahlen sind. 2. Eine Gleichung mit zwei Unbekannten, deren Coeffi¬ cienten relative Primzahlen sind, läßt immer eine Auflösung in ganzen Zahlen zu. Aus der Gleichung a X -st d — o, in welcher u immer als positiv vorausgesetzt werden kann, folgt o — d)" x —-— . Lk. Wenn man hier für nach und nach die a Werthe, 0, 1, 2, 3,.. a—1 substituiert, so wird es unter den zugehörigen Werthen von x gewiß einen geben, welcher eine ganze Zahl ist, aber auch nur einen einzigen. Denn dividiert man die a Werthe von o — d^, welche man durch jene Substitutionen erhält, durch a, so läßt sich zeigen, daß die dabei erscheinenden Divisionsreste sämmtlich verschieden ansfallen müssen. Es seien z. B. m und n zwei von den Zahlen 0, 1, 2...u —l, und nehmen wir an, daß a — dm und e — dn durch a. dividiert denselben Rest geben, daß also o — dm — ag -st i- und a — du — ag, -str sei. Man erhält daun, wenn man beide Gleichungen subtrahiert, d (m — n) — a (h, — cz) oder Es müßte also d(m — n) durch a theilbar sein, was nach ß. 78, 4 nicht möglich ist, da d und a relative Primzahlen sind, m — n aber kleiner als a ist, und also nicht durch u theilbar sein kann. Die a Neste, welche übrig bleiben, wenn man jene a Werthe von a —durch u dividiert, müssen also alle verschieden sein; es muß daher, da sie zugleich sämmtlich kleiner als a sind, einer unter ihnen gleich Null sein. Es sei nun /1 der Werth von /, welcher dem Reste 0 entspricht, so wird o- bfl x —-- — «, u, >vo tt eine ganze Zahl vorstellt. Der vorgelegten Gleichung genügen also die Werthe x — / — /?. Zusah. Ist einer der Coefficienten der Unbekannten — 1, z. B. x -stdx — o so gibt unmittelbar — 0, x — e eine Auflösung in ganzen Zahlen. 3. Hat eine Gleichung mit zwei Unbekannten eine Auflö¬ sung in ganzen Zahlen, so läßt sie deren unendlich viele zu. 142 Ist x — e', eine Auflösung in ganzen Zahlen für die Gleichung a X 1> x — 6, wo a und 1> positive Zahlen bedeuten, so genügen der Gleichung ax -st — o auch die Werthe x — «-ststn, — an; . der Gleichung ax ——o dagegen die Werthe x — « -st 6 n, —/3 -stan, wo n irgend eine ganze Zahl bezeichnet. Denn durch Substitution dieser Werthe erhält mau aus der ersten Gleichung a s« -st du) -st st s/1 — an) — o oder a « -st st /Z — o, und ans der zweiten Gleichung a (« -st stn) — st (/? -st an) — 6 oder a« — st/I — o, somit in jedem Falle eine nach der Voraussetzung identische Gleichung. Es genügt daher, für eine vorgelegte Gleichung eine Auflösung in ganzen Zahlen zu kennen, weil man daraus alle übrigen ableiten kann. Z. 238. Aufgabe. Eine Gleichung mit zwei Unbekannten in ganzen Zahlen aufzulösen. I. Methode. Man bestimmt aus der Gleichung den Werth derjenigen Unbekannten, deren Coefficient den kleineren Zahlenwerth hat, und substituiert darin für die andere Unbekannte nach und nach die Zahlen 0, 1, 2, 3. .., bis für eine dieser Substitutionen auch der Werth der ersten Unbekannten eine ganze Zahl wird. Diese Auflösung beruhet auf dem zu Z. 237, 2 gegebenen Beweise. Beispiel. Es sei die Gleichung 4x —7^—75. Man erhält daraus 75 4 ' und ist versichert, daß, wenn man darin für einen der vier Werthe 0, 1, 2, 3 setzt, einer der zugehörigen Werthe von x eine ganze Zahl sein wird, so daß man also höchstens vier Versuche zu machen braucht. Mau findet für — 3 Die vorgelegte Gleichung läßt also die Auflösung x 24, — 3 zu, und alle übrigen Auflösungen in ganzen Zahlen sind gegeben durch die Formeln X — 24 -st 7 n, — 3 -st 4 n, wo n eine unbestimmte ganze Zahl bedeutet. Man findet daher folgende Auflösungen: für n--...— 2,-1, 0, 1, 2,... „ x— ... 10, 17,24,31,36,... „ — 4, - 1, 3, 7, 11,... Das hier angegebene Verfahren wird sehr weitläufig, wenn die Coeffi- cienten beider Unbekannten große Zahlen sind. 11. Methode. Man löst die Gleichung in Bezug auf die mit dem kleineren Coefficienten behaftete Unbekannte auf, sondert den erhaltenen Quotienten in Ganze und einen Bruch. Den Bruch setzt man dann einer neuen Unbekannten 143 gleich, löst die so gebildete Gleichung in Bezug auf die zweite Unbekannte auf, behandelt den gefundenen Quotienten wie den früheren und setzt dieses Ver¬ fahren fort, bis man auf eine Gleichung mit dem Coefficienten 1 kommt. Diese löst man (nach H. 237, 2 Zus.) auf, und substituiert die gefundenen Werthe nach und nach in allen vorhergehenden Gleichungen. Beweis. Es sei nx -st st/ — e, die vorgelegte Gleichung, und n < st, so erhält man zunächst x — —Mittelst der Division durch n bekommt man eine ganze Zahl von der Form m — n/, wo m auch Null sein kann, und einen Rest von der Form a, — st,/, wo o, ebenfalls Null sein kann; es ist somit , e, — b, y X — m - II/ -st -— Da nun x und / ganze Zahlen sein sollen, so muß auch der in Bruch- form erscheinende Ausdruck eine ganze Zahl sein; mau ueune sie so daß —— n, eine ganze Zahl und x — in — u/ -st n, ist. Bringt man die Gleichung — u, auf die Form an, -st st, / — o,, und leitet aus derselben, wie früher aus der gegebenen Gleichung, eine neue Hilfsgleichung ab, so wird sich, wenn man dasselbe Verfahren weiter fortsetzt, die dabei geführte Rechnung im Ganzen so stellen: nx -st st/ — n gibt o —bx , o, — b, v , X — —— — IN — N / -s-— in — N / -st 'st e, - b,)- , , , -r— -— — n, oder an, -st st,/ — a, gibt / — —- — NI, — n, ,1, -j- — IN, — n, u, -st u, oder st, „2 -st st..n, — gibt "l - - b — Wz — Nz Nz st ..— Nz Nz st- II, N. st W- Aus dem Gange dieser Rechnung folgt, daß K, der Rest der Division st : a, l->2 ff » ff N . st,, bz ,, „ „ „ 0, : st^, u. s. w. ist; die Coefficienten der auf einander folgenden Hilfsgleichungen sind also gleich den Divisionsresten, welche man bei der Aufsuchung des größten gemein¬ schaftlichen Maßes zwischen st und a erhält (tz. 90, 2). Da nun n und st relative Primzahlen sind, so muß unter jenen Resten nothwendig einer gleich 1 werden; folglich wird man gewiß einmal auf eine Hilfsgleichuug kommen, in welcher die eine Unbekannte den Coefficienten 1 hat, welche daher unmittelbar eine Auflösung in ganzen Zahlen liefert, woraus dann durch alkmälige Sub¬ stitution auch die gesuchte Auflösung der vorgelegten Gleichung abgeleitet werden kann. Wäre b < a, so brauchte man nur aus der gegebenen Gleichung nx -st st/ — c. zuerst / zu bestimmen und weiter, wie vorhin, zu verfahren. 144 Beispiel. Es sei die Gleichung 105 x — 43^ — 17 in ganzen Zahlen aufznlösen. zo 1^7 I05x— 17 o , I9x—17 105x — 43)7 — 17 gibt y — —— — 2x 4- — 2x -s- n,, 19x-17 43n, 4-17 c, , 511,4-17 ^2n, — 2u, 4- n^, 51,4-17 1gi2 —17 41-2-2 ——— u„ „ u, — — - — 3n„ — 34-— — ZU^ - 3 -j- Uz, ? — u u„ — —-- 4 : ^ — li 4- - — Uz 4- U„ — u. „ Uz— 4»4-.2. Dieser letzten Gleichung genügt u^ — 0 und Uz —— 2: dann geben die vorhergehenden Gleichungen nach und nach Uy — — 2, u, — — 11, x — — 24, — — 59, und die Auflösungen in ganzen Zahlen sind gegeben durch die Formeln x — — 24 -s- 43 u, — — 59 Z- 105 u, wo n eine beliebige ganze Zahl sein kann. Dieselben allgemeinen Werthe für x und erhält man auch, wenn mau nicht erst die Auflösung für die Gleichung u, — 4u, — 2 sucht, sondern sogleich diese Gleichung selbst in den vorhergehenden Gleichungen substituiert. Fürn—10,— 1, 0, 1, 10,.. ist X—..— 454,- 67,-24, 19,406,.. 7 — 1109, - 164, — 59, 46, 991,.. III. Methode. Um für die Gleichung ax — 4- o, wo », k und v positive Zahlen sind, eine Auflösung in ganzen Zahlen zu erhalten, ver¬ wandelt man in einen Kettenbruch und berechnet den vorletzten Nähernngs- werth desselben — Da also 0.4 — 6p — 4^1 (Z. 133), daher auch neig — bap — 4: o ist, so haben x und die Zahlenwerthe 04 und ox, und zwar mit denjenigen Vorzeichen, welche mit Rücksicht auf die Vorzeichen der vorgclegten Gleichung der identischen Gleichung uv 4—60p —rtre genügen. Beispiel. Es soll 9x -s- 29^ — 15 in ganzen Zahlen aufgelöst werden. Man verwandle in einen Kettenbruch, und bestimme den vorletzten Näherungsbruch Da^—also 9.13 — 29.4 — 4-1 und 9.13.15 — 29.4.15 — 15 ist, so bilden x — 13.15 — 195, — — 4.15 — — 60 eine Auflösung der Gleichung in ganzen Zahlen, und man erhält noch unzählig viele Auflösungen, wenn man x — 195 4- 29», — — 60 — 9u setzt, wo n eine willkürliche ganze Zahl bezeichnet. Fürn^... —2, —1, 0, I, 2,... erhält man x. 137, 166, 195, 224, 253,... ... —42, -51, —60, -69, -78,... 145 8- 239. Ausgabe. Eine unbestimmte Gleichung mit mehr als zwei Unbekannten in ganzen Zahlen aufzulösen. Man wendet die in Z. 238 miter II. für zwei Unbekannte begründete Reductions-Methode an. Man kommt auch hier zuletzt immer auf eine Glei¬ chung, in welche die eine Unbekannte 1 zum Coeffizienten hat, und erhält dann durch gehörige Substitution die allgemeinen Ausdrücke für die Unbekannten der gegebenen Gleichung, in denen jedoch nicht, wie vorhin, eine einzige willkürliche Größe erscheint; die Anzahl solcher willkürlichen Größen ist vielmehr immer um 1 kleiner als die Zahl der Unbekannten. Beispiel. Es sei die Gleichung 4x-j-6^-j-Hr — 106 in ganzen Zahlen aufzulösen. Man erhält _106 —6^—11-- 1 2-2? —3-- x _----26 — 7 — 22-1-- — 26 — 7 — 2? -j- Uz. Die Gleichung - — u gibt — 2 3 2 o ____ i t) 7 — --->. — 1 _ 2 — 2u, — — I — — 2n, — u,; — u, gibt 2 — 2uz. Man hat daher 2 — 2 Uz 7— 1 — 2 u, — 3 Uz X 25 -f- 3 Ul — Uz Setzt man für u, und vz beliebige ganze Zahlen, so erhält mau für x, 1, ganze Zahlen. Für — 1, 2, 3,... und Uz — — 1, 0, I,... wird x — 29, 31, 33,... 7 -- 2, - 3, — 8,... 2^—2, 0, 2,... 2. Auflösung der unbestimmten Gleichungen in positiven Zahlen. ß. 240. Eine Gleichung s,x -f- bx — — o, in welcher die Unbekann ten positive Coesficienten haben, während das bekannte Glied negativ ist, läßt keine Auflösung in positiven Zahlen zu. Man darf sich daher hier auf Glei¬ chungen von der Form ux -ll: b 7 — 6 beschränken, wo a, b, 0 ganze positive Zahlen bedeuten. Ausgabe. Eine Gleichung mit zwei oder mehreren Unbekann¬ ten in positiven Zahlen aufzulösen. Man löst die Gleichung in Bezug auf eine Unbekannte auf. Soll der gefundene Werth positiv sein, so muß die Summe der positiven Glieder, aus welchen er besteht, größer sein, als die Summe der negativen; man darf daher für die übrigen Unbekannten nur solche positive Zahlen annehmen, für welche jene Bedingung erfüllt wird. Beispiele. 1) Es sei die Gleichung 3 x -f- 5 7 18 in positiven Zahlen aufznlösen. MoLnik, Arithmetik und Algebra. N. Aufl. 10 1^6 Man hat x — is. Damit x positiv sei, muß 18 > 5z., also z. < i/ sein; man darf also für z. alle positiven Zahlen setzen, welche kleiner als sind, um auch für x einen positiven Werth zu erhalten. Für z. -- st, 1, 2, V, 4, 5,... erhält man x — V, Man sieht also, daß x positiv wird, so lauge z. < '/ bleibt, und ne¬ gativ, sobald z. die Größe übersteigt. 2) Man löse die Gleichung 7x — 5x — 11 in positiven Zahlen auf. Die Gleichung gibt x — worin 5/ > 11 oder z. > 'st sein muß, damit x positiv sein könne. Setzt man daher für z. Werthe, welche 'st übersteigen, so erhält man lauter positive Auflösungen. 3) Man löse die Gleichung 5xst-7^st-1l2 — 37 in positiven Zahlen auf. Aus der Gleichung folgt x — ——; es muß daher 37 > 7 z. st- 11 2 sein, und daher auch 7 z. < 37 und 11 2 < 37, oder < V und 2 < Zs. Dian darf also für z. keinen größeren Werth als °st, und für 2 keinen größeren Werth als Zst anuehmen. Nimmt man für z. einen bestimmten zwischen 0 und "st liegenden Werth, so läßt sich die Grenze, welche 2 nicht übersteigen darf, noch genauer bestimmen; setzt man Z. B. z. — 5, so hat man die Bedingung 37 > 35 st- 11 2, woraus 2 < folgt. Für z. — 5 darf man also in diesem Falle für 2 nur Werthe zwischen 0 und st^ annehmen. 3. Auflösung der unbestimmten Gleichungen in ganzen und po¬ sitiven Zahlen. Z. 241. Aufgabe. Eine Gleichung mit zwei oder mehreren Un¬ bekannten in ganzen und positiven Zahlen aufznlösen. Man löst die Gleichung zuerst in ganzen Zahlen auf, und beschränkt dann die dadurch erhaltenen noch unbestimmten Werthe für die Unbekannten so, daß sie den Bedingungen entsprechen, an welche die Auflösung in positiven Zahlen gebunden ist. Beispiele. 1) Es soll die Gleichung 13 x st- 19^ — 356 in ganzen po¬ sitiven Zahlen aufgelöst werden. 13x st- 19z. 356 gibt x 856-19/ 27 - z, st- — 27 — z. st- n, , ---2U. st- -0^ — — 2 u, st- u^, 1" — U2 „ Ur — 5 — 6 Ug. Die Gleichung in ganzen Zahlen aufgelöst gibt also z. — — 10 st- 13 Ug, x — 42 — 19 rig. Damit uuu z. positiv sei, muß, wenn »2 positiv angenommen wird, 13 > 10, also »2 > sein; damit x positiv sei, muß 42 >- 19 U2, mithin "n < 10 diesen beiden Bedingungen entsprechen mir zwei Werthe 147 ri^ — 1 und U2 — 2. Für jeden negativen Werth von Uz wird auch negativ. Die Gleichung läßt also nur zwei Auflösungen in ganzen und positiven Zahlen zu. für — 1 wird x — 23, — 3, „ u^2 „ x-^ 4, ^^-16. 2) Man löse die Gleichung I3x -s- 17 — 77 in ganzen und positiven Zahlen aus. Die Gleichung in ganzen Zahlen aufgelöst gibt x — 2 Z- 17 »2? )" — 3 — 13 Uy. Da x für jeden positiven Werth von u^ positiv ausfällt, so braucht man Uz nur mit Rücksicht auf zu beschränken; damit aber positiv sei, muß 3 > 13 vz, also vz < sein. Für negative Werthe vonuz wird stets, x aber nur dann positiv, wenn 2 17 vz oder u^ < ;st, kann also nur zwi¬ schen — uud gewählt werden; und da man für u^ nur ganze Zahlen setzen darf, so kann die einzige Substitution Uz — 0 für x und ganze und positive Werthe geben; man erhält dafür x —2 und / — 3. 3) Der Bruch soll als Summe zweier Brüche dargestellt werden, dere r Nenner 7 und 11 sind. Heißen x und die Zähler der gesuchten Brüche, so hat man Z- oder 11X -s- 7 — 230. Diese Gleichung in ganzen Zahlen aufgelöst gibt x — 5 — 7 Uz, — 25 fl- 11 Uz. Damit x und positiv seien, muß für positive Werthe von riz, 5 > 7 u, oder u, < 5, für negative Werthe von u-> aber 25 > 11 u, oder u, < ff- sein; die Werthe von Uz müssen also zwischen — und ? liegen, und können nur sein — 2, I, 0. Man hat daher für Uz — — 2 ... x — 19, v — 3; Uz — — 1 ... x — 12, — 14; n,— 0 ... x— 5, — 25; und die gesuchten Brüche sind und oder uud ff, oder f und ff. 4) Man soll die Gleichung 7x-j-22^-s-30ri — 103 in ganzen und positiven Zahlen auflösen. Die Auflösung in ganzen Zahlen ist: x — — 1 -s- 2 2 -s- 22u,, — 5 — 22 — 7 Uz. Für positive Werthe von u, muß, damit x positiv sei, 22-s-22uz >1, und damit positiv sei, 5> 2? -j- 7uz sein, woraus 2 > i und 2 <-— folgt. Da 2 positiv sein soll, so muß 5 > 7u, oder u, < s sein. Man darf also für u, keinen positiven Werth setzen, der 1 überschreitet. Für negative Werthe von u^ muß, damit x und positiv seien, 22 > 1 -j- 22u, und 5 -j- 7u, >22, oder 2 > sein. Ans diesen beiden Relationen folgt offenbar, daß - mithin u, < müsse. Man darf also für u, keine negative Zahl setzen, die dem Zahlenwerthe nach größer als wäre. u, muß demnach zwischen — und s liegen, und da sie eine ganze Zahl sein muß, so kann man nur u, — 0 wählen. Für diese Annahme gehen 10* 148 die obigen Bedingungen über in 2 > und 2 < Z; man kann also 2 — 1 und 2 — 2 setzen, wodurch sich für die vorgelegte Gleichung zwei Auflösungen in ganzen positiven Zahlen ergeben: für Uz — 0 und 2 — 1 wird x — I, — 3; n, — 0 „ 2 — 2 „ x — 3, v — t. III. Quadratische Gleichungen. l. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten. Reine quadratische Gleichungen. Z. 242. Die allgemeine Form einer geordneten reinen quadratischen Gleichung ist X« — a. Zieht man aus beiden Theilen die Quadratwurzel, so erhält man x — f/a. Eine reine quadratische Gleichung hat also zwei entgegengesetzte Wurzeln; ist u positiv, so sind dieselben reell; ist u negativ, so sind sie imaginär. Beispiele. X- — 9, x^ — 15, x° ——7, x — 9 — 3. x — si/ 15. x—-b:si/ — 7. Gemischte quadratische Gleichungen. Z. 243. Die allgemeine Form einer geordneten gemischten quadra¬ tischen Gleichung ist x2 st- LX — l). Ergänzt mau den ersten Theil zu dem vollständigen Quadrate eines Binoms, indem man zu beiden Theilen das Quadrat des halben Coefficienten von x, nämlich addirt, so erhält man x° st- ax st- st- d, oder —^st- d; und, wenn man aus beiden Theilen die Qu adratwur zel auszieht, In einer geordneten gemischten quadratischen Gleichung ist demnach die Unbekannte gleich dem halben Coefficienten der ersten Potenz der Unbekannten mit entgegengesetztem Vorzeichen, mehr oder weniger der Quadratwurzel aus der algebraischen Summe des Quadrates dieses halben Coefficienten und des von derUn- bekannten freien Gliedes. Man sieht, daß auch jeder unreinen quadratischen Gleichung durch zwei Werthe der Unbekannten Genüge geleistet wird. Äst I> Positiv, so sind, da stets positiv sein muß, die beiden Wurzeln reell. Ist t> negativ, so sind die 149 3? . g.2 zwei Wurzeln auch reell, so lange - > d l,t; für — K ist die Größe unter dem Wurzelzeichen gleich Null und die beiden Wurzeln sind einander gleich und reell; für < d endlich sind beide Wurzeln imaginär. Beispiel. 1) x? —6x — 16. x — 3 4- s/9 4- 16 — 3 4- j/ 25 — 3 4- 5; daher entweder x — 3 -s- 5 — 8, oder x — 3 — 5 — — 2. Probe. 8° — 6.8—16. (—2)° — 6. — 2—16. 2) x" -j- 7 x -s- 12 — 0; geordnet x? 4- 7x — — 12. _ 7,1 /49 71 7,1 /49 — 48 — 2 ß/ 4^ 2 2' X -4 L — - — 3, oder X — — ; — — Z - - 4. 3) X- —7x — 7. 7,1/49,7 7,1/49 4- 28 7,1/77 7 4-/77 ^,7-/77 X — — — , oder X — -— 2— Probe. /7 4- /77V- 7 7 4- /77 /24 ' ' 2 ' /7-/77V- 7 - /77 — „ 2 - 2j " ' 4) x'-r -— 2x-s-2-—0; geordnet — 2x — — 2. x — 1 I/H-2 — 1 4- / -1; X —14-s/-1,x—1-1/-1. Zusah. Sind in der allgemeinen quadratischen Gleichung x^ 4" die bekannten Zahlen a und b irrational, z. B. u— s/X und ll — s/k' so daß die Gleichung die Form x- 4 s/H — j/Z" annimmt, so bekommt man Z. B. die Gleichung x" — 4x^/2 — 3 s/3 gibt x — 2 s/ 2 s/8 4-3 s/3. Bei allen Gleichungen dieser Art kommt man auf einen Ausdruck von der Form Wie ein solcher Ausdruck bestimmt, d. i. wie aus einem irrationalen Binom die Quadratwurzel ausgezogen wird, ist in K. 193 gezeigt worden. 150 Beziehungen zwischen den bekannten Größen einer quadratischen Glei¬ chung und ihren Wurzeln. Z. 244. Die allgemeine Form einer auf Null redu eiert en qua¬ dratischen Gleichung ist x- -st ^.x -j- U — 0. Man nennt in diesem Falle den ersten Theil x? -st F.x -st- U das Gleichungstrinom. Ist m eine Wurzel der Gleichung x? -st ^.x -st L — 0, so heißt x — in ein Wurzelfactor derselben. 1. Das Gleichungstrinom einer jeden quadratischen Glei¬ chung ist durch ihren Wurzelfactor theilbar. Es ist (x? -st X -st L) : (x — w) — X -st -st m) x? — MX — -st -st m) X -st L (4c -st m) x — L.M — m^ - ^^st Rest — -st ^.m st- L. Da aber w eine Wurzel der vorgelegten Gleichnng ist, also für x in das Trinom x^-st ^.x-st L substituiert, dieses auf Null reduciert, so ist m? -st ^.m -j- L — 0, und daher (x* -st X -st L) : (x — m) — X -st (4c -st m). 2. Jede quadratische Gleichung hat zwei, aber auch nur zwei Wurzeln. Setzt man in dem obigen Ausdrucke (x^ -st 4cx -st L) : (x — m) — x -st (L -st m) st- m — — n, so wird (x? -st x -s- 8) : (x — m) — x — n, folglich x^ -f- Lx -st 13 — (x — in) (x — n). Da nun der Ausdruck x^ -st 4^ x -st 13 nicht nur für x — m, sondern auch für x n in Null übergeht, so ist nicht nur m, sondern auch n eine Wurzel der Gleichung x? -l- x -i- L — 0. Hätte x^-st^-x-stU — 0 noch eine dritte von m und n verschiedene Wurzel p, so müßte (p — m) (p — n) — 0 sein, was nicht möglich ist, da in diesem Producte kein Factor Null ist, ein Product aber, dessen Facroren von Null verschieden sind, nicht gleich Null sein kann. 3. Das Gleichungstriuom einer jeden quadratischen Glei¬ chung ist gleich dem Producte ihrer Wurzelfactoreu. 4. Der Coefficieut des zweiten Gliedes ist gleich der Summe, I und das dritte, von der Unbekannten freie Glied dem Producte ' aus den Wurzeln mit entgegengesetzten Vorzeichen. Diese zwei Sätze folgen aus 2, da 4. x? st- 13 x -st 0 — (x — w) (x — n) — x- — (m -st n) x -st m u ist- 151 tz. 245. Aufgaben. 1. Eine quadratische Gleichung zu bilden, welche zwei gegebene Zahlen zu Wurzeln hat. Seien z. B. 3 und — 4 die gegebenen Zahlen, so nehme man diese mit entgegengesetzten Vorzeichen, nämlich — 3 und 4, und bilde davon die Summe — — 3-s-4— -j- 1, und das Product — — 3. -s- 4 — — 12; daun ist -s- x — 12 — 0 die Gleichung, welche 3 und — 4 zu Wurzeln hat. 2. Einen Ausdruck von der Form x? -s- ux -s- b in Factoren zu zerlegen. Man setze x? -s- ax -j - d — 0 , welche Gleichung zu Wurzeln hat; dann ist nach Z. 24 4, 3 x2 4- ux -I- d — ^x -i-2-^x -I- Ist z. B. x^ — 3x — 28 in zwei Factoren zu zerlegen, so setze man x? —- 3x — 28 — 0. Die Wurzeln dieser Gleichung sind x, — 7, x^ — — 4, daher die Wurzelfactoren x — 7 und x -j- 4; somit X- Zx — W — (x — 7) (x -s- 4). Z. 246. Nach den Sätzen 3. und 4. in ß. 244 läßt sich aus den Vor¬ zeichen der Wurzeln einer quadratischen Gleichung auch auf die Vorzeichen ihrer Glieder und umgekehrt aus den Vorzeichen der letzteren auf jene der ersteren schließen. u) Sind beide Wurzeln in und n positiv, so hat man x? -s- Ax -s- 8 — (x — in) (x — n) — x° — (m -p- n) x -j- mn; sind beide Wurzeln negativ, so ist x-° -j- ^.x -s- 8 — (x -s- in) (x -s- ») — x? -j- (na -s- n)-x -s- INN. Wenn also beide Wurzeln gleich bezeichnet sind, so ist das dritte Glied immer positiv, das zweite Glied aber negativ oder positiv, je nachdem die Wur¬ zeln beide positiv oder negativ sind. Haben die Wurzeln entgegengesetzte Vorzeichen, so ist x? Z- Ax -s- L — (x — in) (x -j- n) — x? — (rn — n) x — in n. In diesem Falle ist also das dritte Glied immer negativ, das zweite dagegen negativ, wenn die positive Wurzel größer ist als die negative, im entgegengesetzten Falte positiv. b) Wenn das dritte Glied positiv ist, so hat die Gleichung zwei gleich- bezcichnete Wurzeln; das Vorzeichen des zweiten Gliedes gibt zu erkennen, ob sie positiv oder negativ sind, die Wurzeln haben nämlich mit dem zweiten Glieds das entgegengesetzte Vorzeichen. Ist das dritte Glied negativ, so haben die Wurzeln verschiedene Vorzeichen, und zwar ist die positive die größere oder die kleinere, je nachdem das zweite Glied negativ oder positiv ist. Trigonometrische Auflösung der quadratischen Gleichungen. ß. 247. Jede quadratische Gleichung kann auf eine der beiden Grund¬ formen gebracht werden: x? A: ux -j- b — 0, x? A: ux — k — 0. 152 Ausgabe. Die Gleichung x^^ax-s-b—0 trigonometrisch a u s z ulö s en. Die Wurzeln dieser Gleichung sind: X. - A ?)- Sollen die Wurzeln reell sein, so muß < 1 sein. Da nun die absoluten Werthe des Sinus aller Winkel zwischen 0 und 1 liegen, so gibt es immer einen Winkel, dessen Sinus zum Quadrat erhoben dem echten Bruche " gleich ist. Setzt man daher 4K <1- - 2I/b also 8Ill « — —, so wird, da 2 — und j/i — 8in'^« — 008 « ist, X, — (1 — 008 «), X2 — (1 -s- 008 «), ' 81N « 810 , , ,, 1— 608 « , « I 008 « . « und, Weil —:- — taur;-, —- — 00t- ilt, ' sm « 02» gin o: 2 X, — tiMA b, X2 — eotll . ^/ b. Beispiel. Ist die Gleichung x? -s- 9x -s- 5 — 0 gegeben, so hat man re — 9, b — 5 2 1/ d Lin cr —- Io§ 2 — 0 301030 IvA 6 — 0'349485 "0-650515 1oA a — 0 - 954243 log sin « — 9'696272 —,10 « — 29° 47' 4.'b", — 14° 53' 51-6". X, — — Xz ——vot ^.s/b IoA ta.UA ll — 9 '424940 — 10 (n) L ioA 6 — 0'349485 ioZ Xi -0-774425 — 1 Xi — — 0'59487. Aufgabe. Die Gleichung X2 aufzulösen. Die Wurzeln dieser Gleichung sind x»-W 2 j/ b, oder Ic>A oot — 0'575060 (n) z Io§d —0-349485 log- x. — 0-924545 x„ — — 8'40513. ux — k> — 0 trigonometrisch x, - ^1 - ^/l -s- x^ ^1 H/l -s- 153 Da die absoluten Werthe der Tangenten der Winkel alle möglichen Zahlen von 0 bis oc> durchlaufen, so gibt es immer einen Winkel, dessen Tangente zum Quadrat erhoben hervorbringt. Setzt man daher 4b , , , 2z/k «, also tunZ « — , s- wird, d- mW d -- -,st^ ist, - ' t»ng"« z, CVS«/' -° ' tnuA « 1 eos «/' oder x — x — ^I/b «in « ' siu tt / , , ,, eos« — l , « eo« «4-1 , « und, weil — . - — — tan<7 . , — : - -- 60t - ist, 81N « ks 2 * sm« 2 ' X, — tauA .) . ^/ b, Xg — eot . s/ l). 2. Bestimmte Gleichungen des zweiten Grades mit mehreren Unbekannten. 8- 248. Enthält eine quadratische Gleichung mehrere Unbekannte, so lassen sich diese, wie bei den Gleichungen des ersten Grades, nur dann be¬ stimmt angeben, wenn so viele von einander unabhängige und einander nicht widersprechende Gleichungen vorhanden sind, als Unbekannte bestimmt werden sollen. Die Auflösung geschieht auch hier nach den in Z. 231 angegebenen Eli¬ minationsmethoden, durch welche man schließlich ans eine einzige Gleichung mit einer Unbekannten kommt. Die Endgleichung übersteigt jedoch den zweiten Grad, sobald von den gegebenen Gleichungen mehr als eine vom zweiten Grade ist, nnd kann dann nach den hier vorgetragenen Lehren nicht gelöst werden. Beispiele. x nach der Comparationsmethode. Aus diesen zwei Gleichungen folgt: x , daher u — / — -, oder geordnet x 7 /? — u/ — — h, woraus sich x — i>, und somit X — — k ergibt. Man könnte hier mit Rücksicht auf K. 244, 4. auch soUchließen: Wenn zwischen zwei Größen x und 7 die beiden Gleichungen x st- 7 --- » und 17 -- b gegeben sind, so sind x und 7 die Wurzeln der Gleichung x? — nx -j- b — 0. 21 x —- v — 7> x? st- 2/2 — 118) der Substitutionsmethode. Wird der Ausdruck x — / st- 7, welcher aus der ersten Gleichung folgt, in der zweiten substituiert, so hat man (/ st- 7)2 st- 2/2 — 118, oder geordnet /° st- — 23, welcher Gleichung die Wurzeln / — 3 und / — -- ^ entsprechen. Werden diese Werthe von / in dem Ausdrucke x — / st- 7 substituiert, so erhält man x — 10 oder x — — K. x2 — II Zg) "och der Methode der gleichen Coefficienten. 154 Durch Addition und Subtractiou dieser Gleichungen erhält man 2x" — 1281 . . . x' — 64t „ . x — 8, 2^" — 50)' — 25l 5. Z. 249. In vielen Fällen führen besondere Kunstgriffe einfacher znm Ziel, als die gewöhnlichen Eliminationsmethoden. Dabei sucht man aus deu gegebenen Gleichungen zunächst die Summe, Differenz oder das Prodnct der Unbekannten, und entwickelt dann erst aus diesen Größen die Werthe der Un¬ bekannten selbst. Beispiele. 1) —a, x/ — b. Multipliciert man die zweite Gleichung mit 2, und verbindet die neue Gleichung mit der ersten durch Addition und durch Subtractiou, so erhält man (x -f- — u 4- 2b, daher x -s- s/n -s- 2b, (x — — g,— 2b; x — — 2b; folglich x — ch: Q/ o -s- 2b -f- s/ a — 2 b), — 4^ (s/ re -f- 2 b — f/n — 2b). 2) X? —^2 —re, x -s-— b. Dividiert man die erste Gleichung durch die zweite, so erhält man 3, X — V — V Aus den letzten zwei Gleichungen aber folgt t h - H 3) x^ —u, X2 — b, — L. Multipliciert man alle drei Gleichungen mit einander und dividiert das Product durch das Quadrat der dritten, so erhält man „ »d . , I /»b x- — — , daher x — 4- I / —. v, ' 0 Auf ähnliche Art findet man 4) x^ -f- X2 — ü, X)' -s- " b, X2 -s- ^2 — o. Seht mau x^ — x', x^ — — //, so hat mau x' 4— — n, x' 4- ii' — b, 4- // — 6. Daraus folgt > 3 —I) —' 0 , 3 0 — I) . "4" 0 3. --- X7 2-2-; daher erhält man nach 3) , /(3 b — e) (a -j- e — " — 2 (—-»)— , I —e) (b4 ^e — l' — 2 (2 4- s - d) ' _ 1 / 7». 4-0 — t>) (b4-v"^) -2(»-t-N-o) 155 3. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades. Z. 280. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung mit zwei Unbekannten ist Ax* -s- 8 x^ -j- 0^2 -s- vx -s- -s- 8 — 0. Dieser Gleichung genügen unendlich viele Werthe von x und Die Zahl der Auflösungen wird jedoch gewöhnlich durch die Bedingung eingeschränkt, daß x und / rationale, auch bloß ganze positive Zahlen sein sollen. Löst man die Gleichung nach / auf, so erhält man I X 4- L — 46 (L.x' -j- v X-pk') 26 26 oder 26^ — — (8x-j-L)^: —4L6)x-q-(2L8 — 40O) X 4-(L- — 4 0x), und, wenn man 8" - 4A6 — u, 2LV — 46V — k, - 4 -- a setzt, 2 0^ — — (8x -j- V) j/ ux^ -fl 5x fl- o. Man erhält hier offenbar für einen rationalen Werth, wenn sich der Ausdruck s/ ax? -s- Kx -j- o für einen Werth von x rational darstellen läßt. Z. 251. Aufgabe. Die Wert he von x zu bestimmen, für welche der Ausdruck j/ ax4 -j- 5x -j- o rational wird. Die Auflösung soll hier nur für einige einfachere Fälle gezeigt werden. 1. Sei s, — u6 ei n vollständiges Q uadrat. Man setze — f/ iv? x? -j- bx -j- o — inx -j- p, also n6 x? -j- 1>x -i- L — iu°x^ -j- 2 mpx -s- Woraus x' — o b — 2mx folgt, wo p eine beliebige rationale Zahl bedeutet. Hiernach wird , rllp? — ing t>p — mp- — mo „ ,. V — rnx -j- p — -- s- p — -t—c — , also rational. Ist z. B. — s/9x'^ -s- 5x -s- 3, so hat man, da na — 3, i) — 5, o — 3 ist, x — wo man für x jede beliebige rationale Zahl, p — ausgenommen, setzen kann. Nimmt man x — 1 an, so wird 1 — Z _2 X - — ^4-2, und 7 — s/ 36 -I- 10 -fl 3 — 7. 2. Sei o ei n vollständig es Quadrat. Man setze — f/ ax'-r -4 bx -j- «2 — x fl- n, also ax^ 5x -j- — p^x^ Z- 2n px wpraus 2 v v — b X -- a — und daher 2ux- — vx . —Vp4-^n v p X 4- n —-4- ll — — folgt, Wo p irgend eine rationale Zahl bedeutet. 156 und X — i 3. Es lasse sich der Ausdruck -j- dx -s- v in zwei rationale Fak¬ toren zerlegen, was nach Z. 245, 2 erfüllt wird, wenn die Gleichung ax^-f- bx -f- o —0 rationale Wurzeln hat. Sind qx -j- r und sx 4- r die beiden rationalen Factoren, so setze man v — j/ (c^x -s- r) (sx -j- d) — p (sx Z- t), also ( u ist. stimmt man für in und n ganze Zahlen, so erhält man auch für x, 2 ganze Zahlen. - Diese Aufgabe hat in der Geometrie ihre Anwendung, um rechtwinklige Dreiecke zn erhalten, deren Seiten kommensurabel sind (Pythagoräische Dreiecke). Drücken x und v die Katheten aus, so ist 2 die Hypotenuse, und man hat für m —2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6,... n — 1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 5,... x —3, 5,15, 7,21, 9,35,11,... v —4, 12, 8,24,20,40,12,60,... 2 — 5, 13, 17, 25, 29, 41, 37, 61,... H. 253. Ausgabe. Die Gleichung x^ -s- (xck:^) — a in ganzen positiven Zahlen aufzulösen. _ L — X— — _ L il: I , x^I Soll x eine ganze Zähl sein, so muß eine ganze Zahl, folglich x 1 ein Factor von a 1 sein. Bildet man daher alle Faktoren von Ä ckn i, so kann jeder derselben für x ick: 1 gesetzt werden. Z. B. Die Gleichung x^ -s- (x — — 64 gibt 64 — X — 64 — 1 — X -tz 1 63 — (x — 0 63 I X— 1 X — I X — 1 X — 1 folgt, wo p eine beliebige rationale Zahl bedeutet. ß. 252. Ausgabe. Die Gleichung x? 4-in rationalen Zahlen aufzulösen, d. i. zwei rationale Zahlen zu finden, von welchen die Summe der Quadrate wi eder ein Quadrat ist. Da 2 — s/ x? -s- also 2>xund2 n und m und n relative Primzahlen sind. Man hat I> n I s» » , 2nxv . 2-- — X- -s- 7° — X- 4- -s- daher in")'" — 2innx^ 4- II")'", x_ m' — n' 21» u 157 Die -Factoren von 63 sind 3, 7, 9, 2l. Man bat also X — 1 3, 7, 9, 21; daher x — 4, 8, 10, 22; ^^-^-.-1^20,8, 6, 2. IV. Einige höhere und Exponentialgleichungen. 1. Reine höhere Gleichungen. Z. 254. Die allgemeine Form einer geordneten reinen höheren Gleichung (Z. 228, 4) ist x" — a. Um eine solche Gleichung, welche auch eine zweigliedrige genannt wird, aufzulösen, darf man nur aus beiden Theilen derselben die mte Wurzel ausziehen; es ist nämlich x — s/ a. Ist m eine gerade Zahl, so hat die Gleichung, wenn u positiv ist, zwei gleiche entgegengesetzte reelle Wurzeln; ist u negativ, so erhält man keine reelle Wurzel. Wenn dagegen m eine ungerade Zahl ist, so wird die Gleichung immer eine reelle Wurzel haben, welche mit a dasselbe Vorzeichen besitzt. Beispiele. 3 1) x'— 27 gibt X — j/ 27 — 3. 3_ 2) x->—— 27 „ x —s/ — 27 —-3. 3) x» — 16 „ x — U- f/ 16 — U- 2. 4) x« —-16 „ x —U-— 16 —2 j/ — 1. 2. Höhere Gleichungen, welche sich auf quadratische zurück¬ führen lassen. Z. 25s. Höhere Gleichungen, welche nur zwei Potenzen der Unbekannten von solcher Beschaffenheit enthalten, daß der eine Potenzexponent das Doppelte des andern ist, lassen sich immer auf quadratische zurückführeu; mau darf nur die niedrigere Potenz durch eine neue Unbekannte ausdrückcn. Aufgabe. Die Gleichung x"'» -s- ax" — 6 aufzulösen. Setzt man hier x"> — folglich x°'" —so hat man si- a I — b, und daher Wird nun statt wieder der Werth x " restit uiert, so ist x-" U: -s- d. somit 158 Ist m ungerade, so gibt jeder reelle Werth von oder x" auch einen reellen Werth von x. Ist dagegen m gerade, so geben nur die positiven Werthe von reelle Werthe von x, und zwar jeder derselben zwei gleiche und entge¬ gengesetzte; die negativen Werthe von geben imaginäre Wurzeln der gege¬ benen Gleichung. Z. B. x^ - 13 x- si- 36 — 0. Setzt man x- — so hat man — 13 y- -st 36 — 0, welche Gleichung I /169 13 ,5 I- -^1/— -36 - ^2' also — 9 oder — 4 gibt. Man hat daher ans x? — 9 die Werthe x — 9 — ^3, „ x^ — 4 „ „ x — j/ 4 — 2^ 2. Z. 256. Ausgabe. Die Gleichung s/ x -j- s. 's/x ---b aufzulösen. Setzt man j/ x — daher s/ x — so hat man -st — b, und daraus 7 --- s/ X b, daher, wenn man beide Theile zur 2 mten Potenz erhebt, 3 6 Z. B. ;/ X — f/ x — 2. 6 Setzt man j/ x — v, so hat man — v — 2, daher / 6 — s/ x 2 oder — s/ x — 1, und somit x — 64 oder x — 1. 3. Exponentialgleichungen. K. 257. Die Exponentialgleichungen (tz. 228, 6) lassen sich in besonderen Fällen mit Hilfe der Logarithmen auf algebraische zurückfnhren, uud dann wie diese auflösen. 1. Gleichungen von der Form n* — d. Da gleichen Größen auch gleiche Logarithmen entsprechen, so folgt aus a* — d auch ioA (u?) — IvA d, oder X Ä — IoA 6, daher ist x — ,-. Io§ a Um z. B. die Gleichung 5* — 37 aufzulösen, hat man x Io§ 5 IvA 37, und somit X - l ö68202 - 2-24059 IvA 5 0 698970 — 2. Gleichungen von der Form j/ a — b. Nimmt man hier beiderseits die Logarithmen, so erhält man u — IoA 6, daher log u — x loZ 6, und x --- -S—. WA V 159 So gibt die Gleichung s/ 2 — 10 den Werth x— ^-0 30103. IvA 10 3. Gleichungen von der Form s?* -s- xa* — — Z st- ^")- Diese Formel heißt das Summenglied der arithmetischen Progression. Beispiel. Man suche das allgemeine und das Summenglied der Reihe der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11... 161 Wegen a, 1, ä — 2 hat man — 1 -ff (n — 1) . 2 — 2n — 1, s„ — (1 -ff 2ri — 1) — n^. So ist z. B. -e, 2 . 15 — 1 29, und 8,, 15^ 225. 8. 260. Die beiden von einander unabhängigen Gleichungen u» — u, -P (n — 1) ä und 8» — (a, -ff re„) enthalten fünf Größen re,, ck, n, s„t es kann also ans je dreien derselben jede der beiden anderen berechnet werden. Dadurch erhält man 20 verschiedene Aufgaben. Sind z B. ä, n und gegeben und a, oder 8» zu suchen, so findet man aus der ersten Gleichung a, — (n — 1) 6, und dann ans der zweiten 8» — — (n — 1) ä -ff re,^ — ^2a„ — (n — 1) 6^. 261. Aufgabe. Eine arithmetische Progression zu inter¬ polieren. Schaltet man zwischen a» und u„^, einer arithmetischen Progression, deren Differenz 6 ist, r Glieder ein, die mit und wieder eine arithmetische Progression bilden, und bezeichnet man die Differenz dieser letzteren mit ch, so erhält man folgende interpolierte Reihe: Än, Än -j- -j- 2<^,, . . .Lin 1't!,, Än (l' 1) ll, — Lin-s-I — L1-N ä. Es ist demnach Z. B. Man schalte in der natürlichen Zahlenreihe 1, 2, 3, 4,.... zwischen den Gliedern 2 und 3 nach dem Gesetze der arithmetischen Reihen 7 Glieder ein. Hier ist ä — 1, r — 7, daher 6, — die interpolierte Progression ist also 2 , 21, 2Z, 2Z, 2§, 2Z, 2z, 21, Z. 2. Geometrische Progressionen. Z. 262. Eine geometrische Progression ist eine Reihe, in welcher jedes folgende Glied aus dem nächstvorhergehenden durch die Multiplikation mit einer und derselben Zahl gebildet wird. Dieser konstante Factor heißt der Quotient der Progression. So sind 1,3, 9, 27,81,243,729,... ö, /s, geometrische Progressionen; in der ersten ist 3, in der zweiten der Quotient. 1. In einer geometrischen Progression ist jedes Glied gleich dem ersten Gliede mnltipliciert mit einer Potenz des Qnotien- ten, deren Exponent um 1 kleiner ist als der Zeiger des Gliedes. Beweis. Bezeichnet n„ das nte Glied und den Quotienten der Pro¬ gression, so ist u, — re,, li, Nz— U, Y-, u, — a, md Algebra, ll, Aufl. 162 Der Satz ist also für die Anfangsgliedcr richtig. Gilt er aber für irgend ein Glied a,„ so daß n„ — st"-- sei, so muß er auch sür das nächstfolgende Glied Nn-^i gelten; denn n^i — n„ . st — n, st"-- . st -- n, st". Hieraus folgt, daß der obige Satz allgemein giltig und daß daher —ist st"-- das allgemeine Glied einer geometrischen Progression ist. 2. In einer geometrischen Progression ist die Summe irgend einer Anzahl von Anfangsgliedern gleich dem um das erste Glied verminderten Producte des Quotienten und des letzten Gliedes, dividiert durch den nm 1 verminderten Quo¬ tienten. Beweis. Bezeichnet s„ die Summe von n Anfangsgliedern, so hat man — a, st- a, st st- a, st- ... st- n, st"-- st- a, st"-'. Multipliciert man beide Theile dieser Gleichung mit st, so erhält man st 8» — -st st st- a, st" st- L, st" st- ... st- ist st»-' st- -st st". Wird nun von dieser Gleichung die frühere subtrahiert, so folgt st«»— — rst st"—kst, daher _st» — s-- — st^ st - oder weil a, st"-- — also a, st" — stist, _ st»n — als das Summenglied für die geometrische Progression. Beispiel. Man bestimme das allgemeine und das Summenglied der Pro¬ gression 1, 3, 9, 27, 8l, 243,. .. Hier ist n, — 1 und st — 3, daher a»— 1 . 3"-- — 3"-', _ Fs 3»-- — I 3» — I So ist z. B. -sto — 3" — 19683 lind 8,0 — 2 - — 295)24. Zusah. Ist die geometrische Progression eine fallende, also st < 1, so nähert sich, wenn n ins Unendliche znnimmt, das Glied »„ — n, st"-- ohne Ende der Grenze 0, die Summe selbst also der Grenze <1.0 — .1, 0, st — I I — st' Die Summe der Glieder einer fallenden geometrischen Progression kann zwar, so viele Glieder man auch nehmen mag, diesen Werth nie erreichen, wohl aber ihm so nahe kommen, daß die Differenz kleiner wird, als jede noch so kleine angebbare Zahl. Man nennt den Ausdruck n — die Summe der unendlich fallenden Progression. Z. B. für die Reihe 1, -s, -j, Z-, .., in welcher 1, st — 4 ist, hat man v. h. je inehrcre Glieder der Reihe man addiert, desto mehr nähert sich die Summe der Zahl 2, ohne jedoch je dieselbe zu erreichen. 163 fallende geometrische Pro- in einen gemeinen Bruch 2 5 . lloci _ Ivu Jeder periodische Decimalbrnch kann als'eine gression dargestellt und als solche summiert, d. i. vertvandelt werden. Z. B. e.» - 25 , 25 , 25 , 25 , _ 's- sl? -s- - 8- 263. Ans den beiden Gleichungen „1 q an — a, n„ — u, c,"-' nnd 8n — tvelche fünf Größen u,, , u» q,, a„ ... g,s, a„ , „ I> >> I' 8^01 ^og " " tt " „ >, I> geben ^1 -s- „ » k i- Setzt man hier und in dem Folgenden M — x, alsol Z- — 1 -s-p, so folgt, daß man das Capital am Anfänge des Jahres nur mit 1 -s- p zu inultiplicieren braucht, um deu Werth desselben am Ende des Jahres zu er¬ halten. Diesem gemäß hat man H.fl. am Ans. d. 1. Jahres — (1 -s- p) fl. am Ende d. 1. Jahres, (b -s- " " " " „ ,, 2. „ ^(1-i- p)^ " " " 'd- „ — (1 ch- p)"' „ „ „ „ 3. >, Die Werthe, auf welche das ursprüngliche Capital nach 1, 2, 3, ... Jahren anwächst, bilden also eine geometrische Progression, deren erstes Glied (1 -P p), und deren Quotient 1 Z- p) ist. Es ist daher das nie Glied, d. i. der Werth des Capitals nach n Jahren, L„ (I -s- p)- .... 1) Löst man diese Gleichung nach p, u auf, so erhält man . .-y n — ^0 ° — lox — I°S(t-I-p) "" Zusätze. 1. Hier wurde die Zeit als eine ganze Zahl von Jahren vor¬ ausgesetzt. Ist mm die Zahl der Jahre ein Bruch, etwa n -P woneine ganze Zahl oder Null, aber einen echten Bruch bezeichnet, so hat man zunächst für das Anwachsen des Capitals in n Jahren (1 -f- x)". Dieses Capital H. (1 -s- p)" aber wächst in den noch folgenden Jahren nach ß. 154 ans tV (I -j- p)« -s- (1 -j- p)" . an; folglich ist -^1^(1 Z-p)n^1 -s-^) . 5) 2. Geschieht die Verzinsung halbjährig, so muß man in den obigen Formeln statt der ganzen Jahre Halbjahre, und statt der gegebenen nur die halben Procente setzen. Darnach geht z. B. die Gleichung 1) über in 6) 3. Die obigen Gleichungen können auch auf andere Größen, wenn die¬ selben in einem konstanten Verhältnisse anwachsen, z. B. ans die Zunahme der Bevölkerung eines Landes, des HolzstandcS eines Waldes n. dgl., angewendet werden. Beispiele. 1) Wie hoch wird ein Capital von 2518 fl. in 12 Jahren zu 5 Procent Zinseszins bei ganzjähriger Capitalisierung anwachsen? 165 H. — 2518, P — "0-05, n — 12. 8,2 — 2518.1-05'°. log 1'05 ^0-021189 12 log 1-05 — 0-254268- log 2518 — 3 -401056s log 8,., — 3'655324 — log 4521 '93, also 8,„^4521 fl. 93 kr. 2. Ein Herr will bei einer Versorgungsanstalt seinem Diener nach 11 Jahren einen Bezug von 1000 fl. versichern. Welche Einlage muß er¬ wachen, wenn die Anstalt zu 4 Procent ganzjährig verzinset? n — II, 8„ 1000, x —0-04. . 1000 104" log 1000 3000000 log 1 04 — 0-017033 II log 1-04 — 0-187363 log A — 2'812637 — 4äg 649-58 A —649 fl. 58 kr. 3. Ein Capital von 2000 fl. ist bei 4"/o Zinseszinsen auf 4469 fl. 89 kr. angewachsen. Wie lange war das Capital angelegt? A — 2000, p — 0-04, 8« — 4469-89. n 4400 8!)-Io- 2000 0'349267 .. 0-017033 — 20'505. . lass 1'04 Man setze n — 20, und berechne 8,„ — 2000.1 - 04-° — 4382 - 24. 2000 fl. sind also in 20 Jahren auf 4382-24 fl. angewachsen. Es ist die Frage: wie viel (1) Zeit muß noch das Capital 4382-24 fl. anliegen, um bei 4 "/„ zu dem Werthe 4469-89 fl. anzuwachsen, d. i. um 4469 -89 — 4382-24 — 87-65 fl. Zins bringen? Nach der einfachen Zinsrechnung (§. 154) hat man 100.87-65 —_i 4382'24 .4 2' Es ist daher genau n — 201 Jahre. 8. 267. II. Aufgabe. Am Anfänge eines jeden Jahres wird ein Betrag von r fl. gezahlt oder empfangen, und 8„ sei der Werth, zu welchem diese Beträge zusammen bei ? cho Zinseszins nach n Jahren anwachsen. Man drücke den Zusammenhang aus, welcher zwischen den Größen r, Ich n und 8„ stattfindet. Nach 8- 266 hat man i- fl. am Auf. des I. Jahres — r (1 4- p)» fl. am Ende des rtten Jahres r ,, ,, ,, » 2. ,, — r (1 -s- 9)" ,, „ „ „ „ „ r „ „ „ „ ö. „ i fl -j- 9)" 2 „ „ „ „ „ „ r „ „ „ „ (n I)ten r (1 -s- 4») „ „ „ „ „ „ r „ „ „ ,, nten 1 (I 4- p) i» f» »» ,, ,, „ daher Endwerth 8« — r (I -j- p) -s- r (1 4- p)° -j- i- (I 4- p)^ 4- ... -j- r (1 4- p)»-- 4- r sl 4- x)ch oder 8„ — r (1 4- l>) jl 4- (I 'k" p) (I --(^^p)^^4^(I 4-p)"^'j- 166 Der in den Klammern befindliche Ausdruck ist die Summe von n Glie¬ dern einer geometrischen Progression, deren erstes Glied 1, und deren Quotient 1 -st p ist: man hat daher L„ r (1 -st x).-—n—— oder I . (I -st ist stl st- ist» — st , Löst man diese Gleichung nach r und u auf, so erhält man ... . st- ist s(l -st p)u — 1s ' ' ' Io- st- (1 st- p) st- Lu ist — lox I -_ 1 „X Io- < I st- I>) . . . . Die Bestimmung von p übersteigt, da man dabei auf eine Gleichung des (n -st 1)ten Grades kommt, die Grenzen dieser Anleitung. Zusätze. Wird hier der Betrag r fl. nicht am Anfänge, sondern am Ende eines jeden Jahres angelegt, so erhält mau statt I) den Ausdruck Lu^ ^U-st^.^. ... 4) Beispiele. l. Jemand legt durch 10 Jahre zu Anfang eines jeden derselben 230 fl. zu 5 Procent Zinseszins an; wie hoch wird das Capital in jener Zeit auwachsen? r — 230, n — 10, p -- 0 05. 2 230.1 05 (I 05" — I) — 230.1 05.Q-62888 —9997.49 Das Endcapital ist demnach 3037 fl. 49 kr. 2. Jemand will einer Person nach 15 Jahren bei einer Bersorgungsanstalt eine Summe von 3000 fl. versichern. Welche jährliche Einlage muß er bis zu jener Zeit au die Anstalt machen, die Capitalisieruug ganzjährig zu 4 Procent gerechnet? n — 15, — 3000, p — 0'04. 3000.0-04 3000.0-04 7-04.(1-04"—II — 1-04.0-80092 — ov Die jährliche Einlage beträgt also 144 fl. 6 kr. 3. Jemand legt durch 15 Jahre am Ende jedes halben Jahres 75 fl. in eine Sparkasse. Wie groß ist sein Ersparniß nach dieser Zeit, wenn die Spar¬ kasse die Einlagen halbjährig zu 5 verzinset? i- 75, p -- 0-025, 2n --- 30. U-° - - 75.^ - 3292-71 fl. tz. 268. III. Ausgabe. Ein zu I' Zinseszins angelegtes Ca¬ pital von A fl., welches durch n Jahre am Ende eines jeden Jah¬ res um den Betrag von r fl. vermehrt oder vermindert wird, habe nach dieser Zeit den Werth bst,. Man suche die Relation, welche zwischen I, r, Ist n und Ich, stattfindet. In n Jahren wächst der Werth des Capitals (Z. 266 Formel I) auf A. (1 -st i>)", und der Werth aller Beträge, um welche das Capital jährlich vermehrt oder vermindert wnrde, (tz. 267, Formel 4) auf -sti an; es ist demnach der Endwerth des Capitals .... 1) 167 -.2) Daraus folgt . _ blu p I' sl -st p)u — I) - plf -st1-)" ., ,. — p lLn - ä. (I ä- p)"i " (l-I-l>)U-1 ... — (L-I p 4- 0 " los k> 4: r) , 4> Zusatz. Nimmt man an, daß das Capital A durch die am Ende eines jeden Jahres erfolgende Verminderung um den Betrag r nach n Jahren voll¬ ständig erschöpft wird, d. h. ist L der gegenwärtige Werth, welchen die durch n Jahre am Ende eines jeden Jahres zahlbaren Be¬ träge von r st. haben, so gehen, weil L„ — 0 wird, die oben für — r abgeleiteten Ausdrücke 2, 3 und 4 in die folgenden über: 4 - '' so -l- P)-> - ii .. i-(l-sti>)» ' . o- ,, __ Lp (1 -s- p)-> (I-stp)u-l^. » — r - I°s (r —Lp ) loA(I-t-p) Beispiele. 1. Ein Capital von 1200 fl. steht auf Ziuseszinsen zu 4^, und wird am Ende eines jeden Jahres um 80 fl. vermehrt; auf welche Summe erwächst es nach 18 Jahren? iV — 1200, r 80, p 0'04, n — 18. --- 1200. 2'025817 -st --- 4482'61 fl- 2. Nach wie viel Jähren sind von einem auf Zinseszinsen zu ö'/o aus¬ geliehenen Capital von 1060 fl. noch 167 fl. 22 kr. übrig, wenn am Ende eines jeden Jahres 80 fl. zurückgezahlt werden? — 1060, r -- 80, p ^0-05, --- 167 22. lux (80 - 167'22.0'05) - I°°- (8l> - 1060.0'05) 0'423786 .... . " -ÜElW -0 ^-re. 3. Jemand will eine Schuld von 3500 sl. dadurch tilgen, daß er dem Gläubiger durch 15 Jahre am Ende eines jeden Jahres eine gleiche Abschlags¬ zahlung leistet; wie viel muß die jährliche Zahlung bei 5"/o Ziuseözius betragen? ^4 — 3500, n 15, p — 0'05. 3500.0'05.1'05" 3560 . 0'05 . 2'078928 105"—1 "" 1 078928 — 337'Iäsl. 4. Welchen gegenwärtigen Werth hat eine durch 25 Jahre am Ende eines jeden Jahres zahlbare Reute von 300 fl. bei -IV-"/» Zinseszins? r — 300, p — 0'045, n — 25. 300 0'045".- Y 300 . 2'005434 444°. s, " O-H45. 1-045" 0'045 . 3'005434 o ,1. 8- 26U. IV. Aufgabe. Sei u der Betrag, welchen Jemand durch m Jahre am Anfang eines jeden Jahres bezahlt, um sich nach dieser Zeit bei k"/,, Zinseszins den Bezug einer durch n Jahre am Ende eines jedenJahreö zahlbaren Rente d zu sichern. Mau drücke die Beziehung zwischen u, w, ?, n und l> aus. 168 Die durch m Jahre gezahlten Beträge haben nach Verlauf von m Jahren (tz. 267, Formel 1) den Werth ---. Die nach Verlauf don in Jahren beginnende, durch n Jahre zu bezie¬ hende Nlente b hat (Z. 268, Formel 5) den anfänglichen Werth . — r tci -i- p)° - 1s P(1^x)n ' Da nun — L. sein muß, so hat man -» J -l- p) ! (1 4- ?)"' — i ! r i( 1 -i- p)" — 1s p p (I ch p)" Aus dieser Gleichung erhält man r I 0 p)" — 1! " (i -i-l>)»^!(l-b p)m-i j. „ (I -l-p)"^! (I ch — 1 i . — loj? -I-p)° j r-t-(1-I- p) j — rl — log « i '11 lo^tl-t-P) ( -1- ). _ l»A r — IvK? tr — » (l -s- p) j (l -b p)" — 1 ! s lostl-l-p) . Beispiele. 1. Welchen Betrag muß man durch 24 Jahre zu Anfang eines jeden Jahres an eine Lebensversicherungsanstalt einzahlen, damit dieselbe bei 5"/„ Verzinsung nach Ablauf dieser Zeit durch 9 Jahre am Ende eines jeden Jahres eine Rente von 100 fl. gewähren könne? r — 100, III — 24, u — 9, p — 0 05. 100. (1 05'—1) „, 100.0551328 — 105'°(105" —1 — 1 628895.2-2251 — OSV si. 2. Jemand zahlt durch 30 Jahre zu Anfang eines jeden Jahres 34 fl. in eine Rentenbank, welche zu 4»ch verzinset; welche nachschußweise Rente wird ihm die Bank durch 7 Jahre nach der letzten Einzahlung geben können? a — 34, ru — 30, p — 0'04, n — 7. 34.1 04' (1 04^°— l) 34.1 368569.2-243397 « -1-04'-i. -ÖM32-^0 41 fl. '4. Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen. tz. 270. Wenn sich in einer unendlichen Reihe die Summe der ersten n Glieder um so mehr einer bestimmten Grenze nähert, je größer n wird, so heißt die Reihe convergent, und diese Grenze die Summe der Reihe. Wenn dagegen die Summe der ersten n Glieder mit dem wachsenden n sich nicht einer bestimmten Grenze nähert, so heißt die Reihe divergent, und ihre Summe ist nicht bestimmbar. Eine unendliche divergente Reihe hat für die Mathematik keinen Werth. Beispiel. Für die geometrische Progression a -j- u — »_ « »g" 2" " -s- Uu^-l -st -s- . . ., s» die Summe der ersten n Glieder, und o» die Summe aller folgenden Glieder, welche letztere Summe man auch die Ergänzung der Reihe nennt, so ist 8 — So -st 6». Die Reihe con verziert, d. i. die Summe s„ nähert sich einer be¬ stimmten Grenze, sobald sich die Ergänzung v„ bei dem unendlichen Wachsen von n ohne Ende der Null nähert; dieses ist aber nur möglich, wenn sich beim unendlichen Wachsen von n die Glieder Äo-m, . selbst ohne Ende der Null nähern. In einer convergenten Reihe müssen also von einer gewissen Stelle an¬ gefangen die auf, einander folgenden Glieder immer kleiner werden. Jedoch genügt diese Bedingung allein noch nicht, um auf die Convergenz einer Reihe schließen zu können. Einen Beweis dafür liefert die harmonische Reihe deren Glieder ohne Ende abnehmen, die aber dessenungeachtet divergent ist. Denn es ist für dieselbe daher °-> > -st 2H' und um so mehr .1_i _i 6" 2-1 2u 2u l ' 2n 2' Kennzeichen der Convergenz und Divergenz. Z. 272. 1. Nähert sich in der unendlichen Reihe N, -st »2 -st u., -s- ... -s- n„ -st -st - . . der Quotient einer bestimmten Grenze 8 um so mehr, je größer n wird, so ist die Reihe convergeut, wenn diese Grenze kleiner als 1 ist. Beweis. Setzt man 8 -st «u, - 8 st- «u-m, 8 st- «o^-,.. . wo «0^1,... nach der Voraussetzung der Null nm so näher kommen, je größer n wird; so folgt l70 Uu-I-I — (8 -s- «„), — Uum (Z -si — u„ (8 -si «n) (8 si" ee„^z), Uu-,-s — u».^ (8 -si «^2) — u„ (8 -si «») (8 -si (8 'I" ^-->--) u. s. w. Durch Summiernng erhält man die Ergänzung e» — n» -si (8 -siee») (8 -si «»m) -si (" -si «u)(8 -si «»-^i)(8 -si «n-,.s) -si ...j und als Grenze, welcher sich c„ ohne Ende nähert, wenn n ohne Ende zu- uiuunt und daher «„^1,.. unendlich klein werden, den Ausdruck »u (8 -si 8' si- 8^ si- - - >), oder (8-' 262, Zusatz). Da nun eine endliche Zahl ist, u„ aber der dkull um so näher kommt, je größer u wird, so nähert sich bei wachsendem » auch u» . so¬ mit auch die Ergänzung o„ ohne Ende der Null; die Reihe ist somit couvergeut. 2. Nähert sich in der Reihe Uz -si A<2 -si Uzj ... -si Uu -si Uuu-I -si ... der Quotient '-^-einer bestimmten Grenze 8 um so mehr, je größer n wird, so ist die Reihe divergent, wenn diese Grenze größer als 1 ist. Beweis. Man findet, wie in 1., für die Ergänzung 6„ die Grenze (8-si 8'si-8^-si - - welche jedoch hier, weil die Glieder der Reihe 8 -si 8' -si 8^ -si - - - vhue Ende znnehmeu, nicht Null ist; die Reihe ist daher divergent. 3. Eine unendliche Reihe mit abwechselnden Vorzeichen der Glieder ist couvergeut, sobald die Glieder ohne Ende abnehmen. Hat man die Reihe Uz Ur, i Uz, — si . ' . t- Uz, l — "I Uu^-Z — l— . . . so ist die Ergänzung 6» — situli - (u„^s — u„ >.z) — fu„ ,-j — Uu-j-z) — . - - j oder auch Vn — fun-^i — U,:4-2 -si (u»U-S — u» t t) -si. - si. Da die Glieder fortwährend abnehmen, so sind in diesen Gleichungen alle durch Klammern eingeschlossenen Differenzen positiv; es ist also der abso- lnte Werth von 0,, kleiner als u„^i und größer als u„ — u»^2, er nähert sich daher mit dem Wachsen von u, weil dabei u„und u»^2 unendlich ab- nehnien, ohne Ende der Null; folglich ist die Reihe couvergeut. Beispiele. )) 1 -8 _i - - -w , . -! -;-- ' _ _ c. 'N 1 'N , 2 W2.3 W2.3.. (» — 1) 1.2.3..(ll — j)u ' Ln^-1 1 a« u* Der Quotient ^2,nähert sich mit dem Wachsen von n ohne Ende der Grenze 0, also ist die Reihe convergent. . x° . , X"-e . XU . r -si x -ch 2 -si 77 si" - ""-vl __ G - i) x sd Ätt N ' 17l Der Quotient nähert sich, trenn u unendlich wächst, ohne Ende der Grenze x; die vorgelegte Reihe couvergiert also für x<1, und divergiert für x > 1. 3) Die Reihe 1 — 2 Z- H , -st x — ss — - -. ist eonvergeut, weil darin ein regelmäßiger Zeichenwechsel vorkommt und die Glieder ohne Ende abuehmen. Neunter Abschnitt. Die C om ü i n n t i e u s ! e h r c. 8. 273. Gegebene Dinge nach einem bestimmten Gesetze tu Gruppen zusammenzustellen, heißt combs nieren im weiteren Sinne des Wortes. Die einzelnen Dinge werden Elemente, und die ans ihnen gebildeten Gruppen Complexionen genannt. Zur schriftlichen Darstellung der Eombinatiouen ist es am zweckmäßigsten, die Elemente durch die in natürlicher Ordnung ans einander folgenden Zahlen, welche Zeiger oder Indices heißen, zu bezeichne». Diese Zeiger bestimmen die Rangordnung der Elemente, so daß jenes Element das höhere ist, welches einen größeren Zeiger hat. Bon zwei Complexionen heißt jene die höhere, worin von der Linken aus zuerst ein höheres Element verkommt; z. B. die Complexion 1342 ist höher als jene 1324. Die niedrigste Complexion ist diejenige, in welcher kein höheres Element vor einem niedrigeren steht, in welcher also die Elemente in natürlicher Ordnung auf einander folgen; und jene die höchste, in welcher kein niedrigeres Element vor einem höheren steht, so¬ mit alle Elemente in umgekehrter Ordnung Vorkommen. Werden die Elemente anstatt durch Zeiger, durch Buchstaben bezeichnet, so ist dasjenige Element als ein höheres zu betrachten, welche im Alphabete später vorkommt. 8- 274. Alle Combinationen scheiden sich ihrer Natur nach in Ver¬ setzungen und Verbindungen. Bei den Versetzungen kommt die ver¬ schiedene Anordnung der gegebenen Elemente, bei den Verbindungen ihre Auswahl in bestimmter Anzahl in Betracht. Wird ans die Anord¬ nung, Anzahl und Auswahl der Elemente gleichzeitig Rücksicht genommen, so kommen Verbindungen und Versetzungen vereint vor. Hiernach nnterscheidet man drei Arten des Combinierens: das Permu¬ tieren, das Co mbinieren im engeren Sinne, und das Variieren. Bei jeder dieser drei Combinationsarten kommt die wirkliche Bildung der Complexionen und die Zahl derselben in Betracht. 1. Das Permutieren. 8- 273. Permutieren heißt, gegebene Elemente auf jede mögliche Weise versetzen, so jedoch, daß in jeder Gruppe alle Elemente Vorkommen. ^Die Anzahl aller möglichen Permutationen von n Elementen bezeichnet man durch (Permutationszahl von n). 172 Z. 276. Bildung der Permutationen. Um von mehreren gegebenen Elementen alle möglichen Permutationen zu bilden, schreibe man zuerst die niedrigste Complexion der gegebenen Elemente an, leite aus dieser die nächst höhere, ans dieser wieder die nächst höhere, n. s. w. ab, bis man zur höchsten kommt. Man erhält aber aus jeder schon aufgestellten Complexion die nächst höhere, wenn man, in dieser Complexion von rechts nach links fortschreitend, das erste Element aufsucht, an dessen Stelle ans den rechts folgenden ein höheres gesetzt werden kann, sodann dieses höhere Element an jene Stelle schreibt und die links vorangehenden Elemente um geändert stehen, die übrigen aber ihm in natürlicher Ordnung folgen läßt. Z.B. 277. Anzahl der Permutationen. 1. Sind alle möglichen Permutationen von u verschiedenen Elementen gebildet und tritt zu diesen Elementen noch ein neues dazu, so kann dasselbe in jeder der früheren Permutationen den ersten oder zweiten, . . . oder (n -s- 1)ten Platz, also n -j- 1 verschiedene Stellungen einnehmeu, so daß ans n -j- 1 Elementen (n -j- 1)mal so viel Permutationen entstehen, als ans n Elementen. Es ist also . (u Z- 1). Da nun ein Element nur eine einzige Stellung znläßt, also k. ^1 ist, so ist t?2 — 1-2, daher 1^ —1.2.3, allgemein 1.2.3... .(ir — 1) n; d. h. die Permutationszahl von mehreren verschiedenen Elemen¬ ten ist gleich dem Prodncte der natürlichen Zahlen von 1 bis zu der Zahl, welche die Anzahl der Elemente ausdrückt. Das Product 1.2.3.4... .(n — 1).n pflegt man durch das Shmboln! (Factorielle n) auszudrücken; daher I>, ^2!,?^3!, ... 2. Wenn unter den gegebenen Elementen p gleiche vorkommen, so be¬ trachte man diese einstweilen als verschieden; dann ist die Anzahl aller möglichen Permutationen n!. Denkt man sich nun diese Permutationen so in Abteilungen gebracht, daß sich die Permutationen einer Abtheilung bloß dnrch die gegenseitige Stellung der als verschieden betrachteten p Elemente von einander unterscheiden, während die übrigen Elemente dieselbe Stelle einnehmen; so enthält jede dieserAb- theilungen so viele Permutationen, als man ihrer aus Elementen bilden kann, also p! Permutationen. Wenn man nun die als verschieden betrachteten Elemente wieder als einander gleich annimmt, so gelten alle p! Complexionen einer Abtheilung 173 nur für eine Permutation; je p! von den n! Permutationen gehen in eine einzige über, nnd man hat somit nur verschiedene Permutationen. Wenn sich unter den gegebenen n Elementen außer den x> gleichen Elementen noch y andere gleiche Elemente befinden, so wiederholen sich die Schlüsse in gleicher Weise, so daß mdn als die Anzahl aller verschiedenen Permutationen ^^7 erhält. 2. Das Combinieren. Z. 278. Combinieren im engeren Sinne heißt, aus gegebenen Ele¬ menten alle Verbindungen zu einer bestimmten Anzahl von Elementen bilden, ohne daß jedoch in zwei Complexionen dieselben Elemente, auch nicht in anderer Reihenfolge, vorkommen dürfen. Die Clemente selbst können als Combina¬ tionen der ersten Classe angesehen werden, nnd heißen als solche Unio¬ nen; die Verbindungen zu zwei, dreU vier, .. .Elementen nennt man Com¬ binationen der zweiten, dritten^ vierten, . . . Classe, oder auch Amben, Ternen, Qnaterneu u. s. w. Man unterscheidet Combinationen ohne nnd mit Wiederholungen, je nachdem in einer Complexion ein Element nur einmal, oder beliebig ost Vor¬ kommen darf. Die Anzahl aller möglichen Combinationen der rten Classe ans n Elementen ohne Wiederholungen wird durch (^, die Anzahl derselben mit Wiederholungen durch 07'", bezeichnet. Z. 279. Bildung der Combinationen. 1. Um ans mehreren gegebenen Elementen alle Amben ohne Wieder¬ holungen zu bilden, stelle man jedes Element vor jedes höhere Element. Sind einmal die Combinationen einer bestimmten Classe gebildet, so er- ! thält man daraus die Combinationen der nächst höheren Classe, wenn man jede ! frühere Complexion vor jedes Element setzt, welches höher ist als die darin ! ! verkommenden. So erhält man ans den fünf Elementen n, d, 0, ch e nachfolgende Amben ohne Wiederh. Ternen ohne Wiederh. nl>, ao, all, ae; ado, allch nks; noch nes; allo; ko, bll, do; boll, boe; bllo; och oo; olle; llo; u. s. w. 2. Um aus mehreren gegebenen Elementen alle Amben mit Wieder¬ holungen zu bilden, setze man jedes Element vor sich selbst nnd vor jedes höhere Element. Hat man einmal die Combinationen irgend einer Classe mit Wieder¬ holungen gebildet, so erhält man daraus alle Combinatiouen der nächst höheren Classe, wenn man jede frühere Combination zuerst vor das höchste darin vor¬ kommende Element nnd dann noch vor jedes höhere Element stellt. So geben die vier Elemente 1, 2, 3, 4 folgende > 11, 12, 13, 14; Amben 22, 23, 24; Mit > 24- Wiederh. 1/4 Lernen mit Wied er h. n. s. w. 280. Zahl der Combinationen ohne Wiederholungen. Sind >i Elemente gegeben, so wird man alle Amben ohne Wieder¬ holungen erhalten, wenn man jedes Clement mit allen übrigen verbindet, nur mit sich selbst nicht; dadurch entstehen and jedem der n Elemente n — 1 Amben, also im Ganzen n (n— 1) Amben. Allein unter diesen kommt jede Ambe 2mal vor, z. B. die Ambe n!i, indem man a mit b, und 1> mit a ver¬ bindet, daher geben n Elemente nur —— verschiedene Amben. i 111, 112, 113, 114; 122, 123, 124; 133, 134; 144; ! 222, 223, 224; 233, 234; 244; s 333, 334; 344; ! 444: Denkt man sich überhaupt alle Combiuationen der eten Classe ohne Wieder¬ holungen von n Elementen gebildet, so wird man alle Combinationen der (r -st 1)ten Classe erhalten, wenn man jede frühere Combination mit allen in ihr nicht vorkommenden Elementen verbindet; jede der früheren Os Combina¬ tionen wird auf diese Art mit n — r Elementen verbunden und gibt somit n — r Combinationen der (o -j- 1)ten Classe, so daß inan ihrer im Ganzen Os (n — r) bekommt. Allein jede neue Combination wird (e -st 1)mal Vor¬ kommen, weil man immer je r andere Elemente davon mit dem (r -st 1)ten verbinden kann; es wird somit nur Os."^ verschiedene Combinationen der (>- st- l)ten Classe geben; man hat somit Da mm ist, so hat man n (u — 1) (ll — 2) I . 2 i 3 folglich ,-,4 — n (ll — 1) (n — 2) (n — 3) ' '"^1 .2.3 . 4 ' . allgemein ll e'I - 1) (n --2). .(,1 — I ' - st 2) (ll - I- ch. 0 ^""1.2 . 3 . . . (>- - I) . r ' Den letzten Bruch, dessen arithmetischer Ban leicht zn überblicken ist, pflegen die Mathematiker durch das Symbol welches gelesen wird: „n über r", auszndrücken. Es ist daher «tK-cr-k). 8- 281. Zahl der Combinationen mit Wiederholungen. Sind n Elemente gegeben, so wird man alle Amben mit Wiederholungen erhalten, wenn man jedes Element mit sich selbst und noch mit allen n Ele¬ menten, auch sich selbst nicht ausgenommen, verbindet; jedes der n Elemente gibt ans diese Weise verbunden n -st 1 Amben, alle n Elemente geben also n (n -st 1) Amben. Weil nun darunter jede Ambe zweimal verkommt, so ist —die Anzahl aller verschiedenen Amben mit Wiederholungen. 17ö Denkt inan sich überhaupt alle Combinationeu der iten Classe mit Wieder¬ holungen von n Elementen gebildet, so wird man daraus alle Combinationeu der (r st- l)ten Classe erhalten, wenn man jede frühere Combination zuerst mit den r Elementen, welche darin vorkommen, und dann noch mit allen n Elementen verbindet; jede der 0"' " früheren Combinationen gibt dadurch n st- i- neue Combinationeu und man wird somit zusammen . (n st- r) Com¬ binationen der (o st- I)ten Classe erhalten. Aber jede solche Combination kommt (r -l- 1)mal vor, weil man immer je r andere Elemente davon mit dem (r st- l)ten verbinden kann; es ist daher >»-, s o lu 4- n ist, so hat man — n (n I) (n -p 2> " h . 2 . 3 ' folglich n (n st- I) (n -I- 2) (n st- 3) " I >2 . 3.4^ allgemein r n (n st- 1) (n -p 2). . .(n 4- r - 2) (n 4- 0 — I) ° — 1 . 2 3 ...(r — I) . r Wenn man in diesem Bruche die Factoren des Zählers in umgekehrter Drdnnng schreibt, wodurch der Bruch die Form (n st- r — I) l» st- r — 2).'(" -b 2) (i> 4- 1).n "I . 2 ...(>-—2) ( —I).i- annimmt, so kann man denselben nach der in 8. 280 angeführten Bezeichnungs- Weise durch ausdrücken. Es ist daher 67' , 07'' - s' Z 2), - - - - 07'' " - 3. Das Variieren. Z. 282. Variieren heißt, aus gegebenen Elementen durch Verbindung und Versetzung derselben alle möglichen Zusammenstellungen bilden. Das Va¬ riieren ist demnach das Combinieren in Verbindung mit dem Permutieren. Wie die Conibinationen, unterscheidet man auch die Variationen in die der ersten, zweiten, dritten, ... Classe, ferner in Variationen ohne und mit Wiederholungen. Die Anzahl aller möglichen Variationen der rten Classe aus n Elementen ohne Wiederholungen wird durch V;„ und die Zahl derselben mit Wiederholun¬ gen durch V7' ' bezeichnet. Z. 283. Bildung der Variationen. 1. Um aus mehreren gegebenen Elementen die Variationen der zweiten Classe ohne Wiederholungen zu bilden, setzt mau jedes Clement vor jedes der übrigen Elemente. Sind überhaupt die Variationen irgend einer Classe ohne Wiederholungen gebildet, so erhält man die Variationen der nächst höheren Classe, wenn man jede frühere Variation vor jedes in ihr nicht vorkommende Element setzt. 176 So geben die Elemente 1, 2, 3, 4 folgende Variationen der 2. Classe ohne Wiederholungen: 12, 13, 14; 21, 23, 24; 31, 32, 34; 41, 42, 43; Variationen der 3. Classe ohne Wiederholungen: 123, 124; 132, 134; 142, 143: 213, 214; 231, 234; 241, 243; 312, 314; 321, 324; 341, 342; 412, 413; 421, 423; 431, 432; n. s. w. 2. Um ans mehreren gegebenen Elementen die Variationen der zweiten Classe mit Wiederholungen zu erhalten, setzt man jedes Element vor jedes Element, auch sich selbst nicht ausgenommen. Hat man bereits die Variationen irgend einer Classe mit Wiederholungen dargestellt, so bildet man daraus die Variationen der nächst höheren Classe, wenn man jede frühere Variation vor jedes Element setzt. Aus den drei Elementen a, 6, o erhält man daher folgende Variationen der 2. Classe mit Wiederholungen: u u, , u o 6 a, Kd, 6o^ on, e6, Variationen der 3. Classe nM Wiederholungen: nun, nn6, nnv; n6u, n66, nou, a.o6, aoa; 6aa, 6a6, 6ao; 66n, 666, V6o; 6crn, 6o6, 6oo; ena, on6, one; o6a, e66, b6o; oen, 006, aeo; n. s. W. tz. 284. Zahl der Variatiortsn ohne Wiederholungen. Man erhält die Variationen der rten Classe ohne Wiederholungen ans den Combinationen der rten Classe ohne Wiederholungen, wenn man in jeder Combination die darin verkommenden Elemente permutiert. Die Anzahl der Combinationen der rten Classe aus n Elementen ohne Wiederholungen ist ans jeder solchen Combination lassen sich durch Per¬ mutation der r Elemente r! Variationen der rten Classe ohne Wiederholungen bilden; folglich ist V« — . r! — n (n —- 1) (n -- 2)... (n — r -s- 2) (n r -s- 1). 8. 285. Zahl der Variationen mit Wiederholungen. Sind n Elemente gegeben, so gibt jedes derselben n Variationen der zweiten Classe mit Wiederholungen, somit ist n" die Anzahl aller solcher Variationen. Ist überhaupt die Anzahl aller Variationen der rten Classe mit Wieder¬ holungen von r» Elementen bekannt, so ist, da jede solche Variation durch Ver¬ bindung mit allen n Elementen n Variationen der (r -s- 1)ten Classe gibt, v^.n. 177 Da nun ist, so hat man folglich allgemein V'is- n", -- nch V'^. ' n4 4. Der binomische Lehrsatz. H. 286. Unter dem binomischen Lehrsätze versteht man die Ent¬ wicklung der Potenz eines Binoms in eine Reihe, welche nach den fallenden Potenzen des ersten und den steigenden Potenzen des zweiten Gliedes des Bi¬ noms geordnet ist. Jede Potenz eines Binoms mit einem ganzen positiven Exponenten kann aus dem Producte mehrerer Binome, welche das erste Glied gemeinschaftlich haben, hergeleitet werden, indem man in denselben auch die zweiten Glieder gleichsetzt. So geht das Product (x -s- a) (x -s- d) (x -s- o) (x -s- ci) (x ch- s), wenn man h — o — ci — e — n setzt, in die Potenz (x -s- a)° über. H. 287. Das Product mehrerer Binome. Um das Product (x -s- a) (x -s- h>) (x -s- o) (x -s- ä) ... zu entwickeln, mnltipliciere man zuerst die zwei ersten.Binome mit einander, ihr Product mit dem dritten Binom, u. s. w. Man erhält (x -s- a) (x -s- l>) (x -s- a) (x 4- b) x -s- a) (x -s- 6) ab x -s- a boci, u. s. w. Das in diesen Prodncten herrschende Gesetz ist leicht zu ersehen. Das erste Glied eines jeden Productes ist die sovielte Potenz von x, als Mnomial- factoren gegeben sind; in den folgenden Gliedern nehmen die Exponenten von x in natürlicher Ordnung ab, bis im letzten Gliede x» — 1, d. i. gar kein x erscheint. Der Coefficieut des ersten Gliedes ist 1, der Coefsicient des zweiten, dritten, vierten,. . . Gliedes ist bezüglich die Summe der Combinationen der ersten, zweiten, dritten,.. - Classe aus den zweiten Gliedern der Binome, jede dieser Complexionen als ein Product der darin vorkommenden Elemente aufgefaßt. Gilt nun dieses Bildungsgesetz für ein Product von n Binomialsactoren x -s- a, x -s- k>, - - - x -s- p, so daß (x -Pa) (x -ch l>).. . (x -j- v) — x« -j- 8, (a. .x)x°^ch- 82 (a. -p)x"^ ch-. .-s-8n- (a. .x) x-P8n (a. .p) Moen», Arithmetik und Algebra. II. Allfl. 12 178 sei, wo allgemein 8r(a..x) die Summe aller Combinationen der rten Classe aus den n Elementen a, b,...x, die einzelnen Complexionen als Producte aufgefaßt, bezeichnet, so gilt dasselbe Gesetz auch, wenn noch ein neuer Factor x -s- i dazu tritt. Man erhält nämlich (x -s- a) (x b). . .(x -s- x) (x -f- i) — i x°---s-. .-s- . jx j ^18. ^s8„-i(a x).^ -f- 8» (a. Nun ist 8^ (a. . x) -f- <1 — a -s- ... -s- p -s- — 8, (a. .h). Ferner ist 8^ (a.. p) die Summe der Amben von a, b,..x, und 8, (a..x)-i die Summe der Amben, welche man erhält, wenn man die Unionen a, b, . . x mit dem neuen Elemente i verbindet; folglich ist 8z (a..x)-f-8i ja. . p). . Das oben angeführte Bildungsgesetz gilt also für ein Product von n -s- 1 Binomialfactoren, wenn es für ein Product von n solchen Factoren richtig ist. Nun gilt es aber nach dem Obigen für 2, 3, 4 Factoren, folglich gilt es auch für 5, folglich auch für 6 Factoren, u. s. w-, mithin allgemein für jede Zahl von Factoren. > / ß. 288. Die Potenz eines Binoms. Setzt man in dem Producte von n Binomialfactoren (x -f- a) (x -s- b) (x -s- o)... (x -j- p) — x" -j- 84 (a. .x) x"-* -s- 8z ja. .x) x"-^ -j- 8, (a. .p) x°^ -s- . . 8»-i (a. .x) x -s- 8„ (a. .p) die zweiten Glieder a, b, 0,.. x alle — », so wird (x -j- a) (x -1- b) (x e)... (x p) ^7 (x -s- a)", ferner 84 (a. .p) ---- a -s- b -s^ - - ch- k — u -f- a - -s- u — 0 82 (a. .x) — ab -s- av -s- .. -s- op — s? -f- a? -s- . . -s- a'^ — 8, (a. -x) — abo -s- abä-s- - - -s-mox—a?-s-K''->- . . -s- 3? — 80,-1 (a. .p) — abo. .mo -s- .. -s- a°^ -j- - - a°^, 8u (a.-p) — abo.. .mox----a" — 179 Durch Substitution in dem obigen Ausdruck erhält man daher für den binomischen Lehrsatz die Formel (x -s- a)» — x» -s- a -j- ^2) a-'x"-» -j-. . . In dieser Formel herrscht folgendes Bildungsgesetz: 1. Die Potenzen des ersten Gliedes x des Binoms erscheinen fallend, jene des zweiten Gliedes a steigend geordnet. Der Exponent von x ist im ersten Gliede gleich dem Potenzexponenten n des Binoms, in jedem folgenden Gliede um 1 kleiner und wird im letzten Gliede — 0, woraus zugleich folgt, daß die ganze Reihe ein Glied mehr hat, als der Potenzexponent n des Binoms Einheiten enthält. Die Exponenten von a nehmen umgekehrt von 0 bis u zu. Die Summe der Exponenten von x und a ist in jedem Gliede gleich n. 2. Der Coesficient des ersten Gliedes ist 1; der Coefficient des zweiten, dritten, vierten,... rten Gliedes ist bezüglich gleich der Anzahl aller Combinationen der ersten, zweiten, dritten,... (r—1)ten Classe von n Elementen ohne Wiederholungen. 3. Ist a negativ, so wird das zweite, vierte,., überhaupt jedes gerade Glied negativ; man hat (x —. a)" — X" — L X»-' -j- (2) x°-2 — .. . . 1)°-' ° 2 -l- (-1)" 4. Bezeichnet man die Glieder der Binomialreihe folgeweise durch ^-2, so nimmt dieselbe folgende Gestalt an: (x -t: ^-2 4- -^3 4- - - - oder X , . 14 » . — 1 8... II—2a. , (x-!-a)"-x--^^.-.^ -P-1 ... welche Form zur Ableitung eines jeden Gliedes aus dem nächst vorhergehenden besonders bequem ist. Zur unmittelbaren Bestimmung irgend eines Gliedes der Binomialreihe dient das allgemeine Glied a" x"^. Beispiele. . 1)(a-s-b)-^ — a° -j- 6 a»b -p- 15a« 3» -s- 20a»b» -j- -s- 6 ad» ch- d«. 2) (a — 4- ->-b- - D 4- lh-b- - d- — a» — 5a^d -j- 10a» d» — 10a» d» -j- Sad« — b°. 3) (3x —2^)*--- (3x)« - . (3x)°. 2^-j- G . (3x)-. (2^)- - G . 3x .(2^)» -j- (2^ ^81x' — 4.27x».2x-s-6.9x2.4^-4.3x.8^-j-16x» — b1x^ — 216x»/-s- 216x2^2 —96x^» Z- 16^«. 4) Das 7te Glied von (2x» — 3zZ° ist . (2x2)s-«.(— 3^)° — 84 . 8x° . 729^« 489888x°zi°. 12* 180 289. Eigenschaften der Binomialcoefficienten. 1. JezweivomAnfangeundvomEndegleich weit abstehende Coefficienten sind einander gleich. Der (r -st 1)te Binomialcoefficient vom Anfänge ist /n'V _ n (n—1)...(n— r-i-2) (n — r-s-t) 1.2 ... (r-1)r ' Der (r -st 1)te Binomialcoefficient vom Ende ist der (n — i st 1)te vom Anfänge, also i " » (»-!)...(>-st-2) (i -st i) vH — !'/ 1.2 . . (n — r — 1) (n — r) ' Mnltipliciert man Zähler und Nenner des ersten Bruches mit (r st- 1) (r -st 2) .. .(n — r — l) (n — r), so erhält man " (ll —1). - (n — I' -b 1) (n — r).. .(rst- 2) (r -s- 1) . Ir/ 1.2 ... r (r-s- 1) ... (n — r — 1) (n — r) - folglich ist Daraus folgt, daß man bei der Entwicklung der Binomialreihe die Binomialcoefficienten nur bis zum mittleren Gliede, und für ein ungerades n bis zu den zwei mittleren, mit gleichen Coefficienten versehenen Gliedern zu bestimmen braucht, weil sich dann die Coefficienten in umgekehrter Ordnung wiederholen. Zusatz. Ans 0 — ergibt sich für r — 0 2. Die Summe aus dem (r-st 1)ten und dem nächstvorher¬ gehenden Binomialcoefficienten einer Potenz ist gleich dem (r-st l)ten Binomialcoefficienten der um 1 höheren Potenz. EK M s " 1 " (n—Y-...(n-rst3) (n — rst-2) "'st 1.2.(r-2)(i--y ' n (n — 1)....(n — r -st 2) (n — r st I), sr) — 1-2.. (r-1)r ' daher s - ,j -1 lfi - -t (n- ' -t l» (n st 1) II (a — 1)... .(11 — r -s- 2) 1.2.3 r Mittelst dieses Satzes kann man aus den Binomialcoefficienten irgend einer Potenz jene der nächst höheren Potenz durch bloße Addition ableiten. Man erhält dadurch für die auf einander folgenden Potenzen eines Binoms folgende Coefficienten: 1 1 1 2 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 I u. s. w. 181 Diese Zahlen sind unter dem Namen des Pascal'schen Dreieckes bekannt. 3. Die Summe aller Binomialcoefficienten für die nte Potenz ist gleich 2". 2" — (1 st- 1)" - (ö) st- (H st- Ast- .... st- (H. 4. Die algebraische Summe der abwechselnd positiven und negativen Binomialcoefficienten ist gleich Null. o - 1). - (°s - st) G - . .. t-v" st). ' Z. 280. Die Binomialreihe für ganze negative Exponenten. 1. Die Biüpmialformel ist bisher nur für ganze positive Exponenten erwiesen worden; es wurde nämlich von der Voraussetzung ausgegangen, daß u die Anzahl der gleichen Binomialfactoren bedeutet, unter welcher Annahme n uothwendig eine ganze positive Zahl sein muß. Es läßt sich nun zeigen, daß der binomische Lehrsatz auch für negative Exponenten giltig ist. Wenn n eine ganze positive Zahl bedeutet, so ist (l^-t^st^sts^st)^... Man drücke diese Reihe, welchen Werth auch immer n haben möge, durch 1t,> (Reihe n) aus, so ist 1t„ i -st x -si A x" -st x" st- . - - Denkt man sich eine zweite Reihe, welche auf dieselbe Art von p abhängt, wie die frühere von n, wo x was immer für eine Zahl bedeutet, so wird diese Reihe der früheren Bezeichnung zu Folge Ist^ heißen, und man hat Multipliciert man die beiden Reihen Ist, und Ist,, mit einander, so wird auch das Product als ein nach x steigend geordnetes Polhnom erscheinen. Dieses Product wird nach den Gesetzen der Multiplication auf einerlei Art ge¬ bildet, was immer für Werthe n und x> haben mögen; man braucht also nur die Beschaffenheit des Producteö für den Fall zu kennen, wenn n und p ganze positive Zahlen bedeuten, weil dasselbe Bildungsgesetz auch in den übrigen Fällen stattfinden muß. Sind n und p ganze positive Zahlen, so kann man das Product der beiden Reihen auch ohne wirkliche Multiplication derselben finden; es ist nämlich unter dieser Voraussetzung Ist» (1 -ff x)-- Ii.p — (1 -st x)l> daher Iff . Ist,, — (1 st- Weil aber n st- p eine ganze Zahl vorstellt, so ist ( l -st i > si- x -i- x'-- st- x" -st . . . ^ R„^„, somit Ist,,. ist. -- lt,, , Dieser Ausdruck ist für ganze positive Werthe von n und p abgeleitet worden; nach dem oben Gesagten mnß er auch gelten, wenn n und p tvas immer für andere Werthe haben, folglich muß er allgemein giltig sei». 182 Setzt man in diesem Ausdrucke x - — n, so ist ist . tv—,> —- tin — ,, Ilo' Aber li» -- 1 -st (°) x -st (°) x- -st ... - 1, daher k„ — 1, und k-„— Bedeutet nuu n eine positive ganze Zahl, so ist - R..^1-s-^x-st^x2-st^x»---(t-s-x)n, daher hat man I -stxst " (1 Aber nach der obigen Bezeichnung ist 1 -st i") x ( 2")^ x-'-s- .. daher 0 -st x)-° --- I -st x -st ^3") x« -st ..., wo — n jede beliebige negative ganze Zahl bedeuten kann. Daraus folgt, daß die durch ausgedrückte Reihe auch dann, wenn n eine negative ganze Zahl ist, die Potenz (1 -st x)» vorstellt. Die letzte Reihe kann man auch so darstelleu: 2. Ist der Exponent n eine ganze positive Zahl, so muß die Entwick- luugsreihe mit dem (n -st I)teu Gliede, welches b" ist, abbrechen, da der Coefficient des nächstfolgenden Gliedes und die aller folgenden Glieder gleich Null werden. Ist dagegen u eine negative Zahl, so wird kein Glied kommen, dessen Coefficient gleich Null wäre; man erhält daher eine un¬ endliche Reihe, und diese ist nur dann brauchbar, wenn sie convergiert. Unter¬ sucht man die Bedingung ihrer Convergenz nach Z. 272, so findet man als Quotienten zweier auf einander folgender Glieder -i^-stl).x. Der Quotient nähert sich nun, wenn r unendlich wächst, ohne Ende der Grenze —x; die Reihe convergiert also, sobald x < I ist. Zusatz. Da (x -st a)-" —- x-" -st " ist, so hat man <-»>-- --Mst,"j X-" -st (D^ux-'-r -st -st U--X—-f- . . ., welche Reihe für < 1 oder u < x convergiert. Beispiele. 1) (1 -st x)-1 — 1 — X -st x'2 —- x^ -st x^ - ... 2) (1 — x) - 1 -st x -st- x'2 -st x» -st x- -st ... 3) (u -st l-)—2 — — Z ll -j- Z s -st . . . 183 ß. 291. Die Binomialreihe für gebrochene Exponenten. 1. Haben und k,, die dafür in §. 290 eingeführte Bedeutung, so ist k^ ' kp ku-j-p« Es seien nun kq, k„ k„ . .. ähnliche Reihen wie K« und k^, so hat man Ku - kp - k^ — ku^-p kq - ku^-p^- was immer für eine Zahl bedeuten kann, so sei n — / wo ti und k relattve Primzahlen sind, und ll irgend eine ganze positive Zahl vor¬ stellt; man erhält R kd. Nun ist für den Fall, wo ll eine ganze Zahl bedeutet, nach ZZ. 288 und 290 k„ -- (1 Z- x)->, daher ist auch (1 Z- x)", oder, wenn man beide Theile zur Potenz erhebt, i> k,, — (Ist- x)^. Vermöge der eingeführten Bezeichnung ist aber O O 6) - also auch - ß)G x- 4- D x- -i- Wo jeden positiven oder negativen Bruch bedeuten kann. Daraus folgt, daß die durch Ku ausgedrückte Reihe auch dann, wenn u einen Bruch bedeutet, die Potenz (1 st- x)° vorstellt. Die letzte Reihe kann man auch so darstellen: (l l d <8 - x> °' — x>^ ^1 -st- ist, so Hat man (x -s- a)' - x" ji > D - 'st > ' 'j welche Reihe für - < I oder a < x couvergiert. Beispiele. 1) (l l 'st' st - 2H^ ' 'st 2^i X" st- . . . 2) p A" -- »" y (y st. !- D Vz / ri ) oder s i ->-1 st — (m-i) (2m-1) > ' ° j IN ' A Llli^ ' 2.3.10^ ' - s- Mittelst dieser Formel kann man eine irrationale Wurzel s/ annähe¬ rungsweise bestimmen, wenn man — a"> -s- x oder — x setzt, wo¬ bei a"> so zu wählen ist, daß es der Zahl möglich nahe kommt. 3. ^79 - l/"8H2 - A 9 ^1 - — 9 . (1—0 0123456—0-0000762—0 0000009—..) -- 8'88819.. 5. Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung. tz. 292. Die absolute und einfache Wahrscheinlichkeit. Sind unter mehreren gleich möglichen Fällen einige dem Eintreffen eines bestimmten Ereignisses günstig, die übrigen dagegen ungünstig, so heißt das Verhältnis der Anzahl jener Fälle, welche dem Eintreffen des Ereig¬ nisses günstig sind, zu der Anzahl aller gleich möglichen Fälle die mathema¬ tische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen dieses Ereignisses. Bezeichnet n die Zahl der einem Ereignisse günstigen und I> die Zahl der ihm ungünstigen Fälle, so ist, wenn die mathematische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen jenes Ereignisses durch ve ausgedrückt wird, A -j- Je mehr Fälle dem Eintreffen des Ereignisses günstig sind oder je größer a ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit für das Stattfinden des Ereig¬ nisses; sind alle Fälle günstig, so ist das Stattfindeu gewiß und man hat, da b — 0 ist, als das mathematische Symbol der Gewißheit 185 Je weniger günstige Fälle Vorkommen, desto geringer wird auch die Wahr¬ scheinlichkeit; ist gar kein Fall günstig, so ist das Eintreffen des Ereignisses unmöglich, und man hat, da u — 0 ist, für das mathematische Symbol der Unmöglichkeit vv—- —0 d Der Begriff des Wahrscheinlichen im gewöhnlichen Leben ist, wie ans dieser Darstellung hervorgeht, ein beschränkter, und bezieht sich nur auf den Fall, wo die Wahrscheinlichkeit größer als ist; wogegen man ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit kleiner als ist, unwahrscheinlich zu uenueu pflegt. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Ereignis nicht eintreffen werde, heißt die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit. Sie wird durch eineu Bruch dargestellt, dessen Zähler die Anzahl aller ungünstigen und der Nenner die Anzahl aller gleich möglichen Fälle ist. Bezeichnet man die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit durch veh so ist , b — —n, und man hat ve -f- — 1, ' " a -t- b d. h. die Summe der Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Ereignisses und jener für das Nichteiutreffen gibt die Einheit, somit die Gewißheit; was auch ganz natürlich erscheint, da es gewiß ist, daß jenes Ereignis entweder eintreffen oder nicht eintreffen muß. Aus ve -s- w" — 1 folgt w' — 1 — w. Kennt man daher die Wahrschein¬ lichkeit für das Eintreffen eines Ereignisses, so wird die Wahrscheinlichkeit für das Gegentheil erhalten, wenn man die erstere Wahrscheinlichkeit von der Ein¬ heit subtrahiert. Beispiele. 1) Wirft man zwei Spielwürfel L und 8, deren sechs Seiten nach der Reihe mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 Puncten oder Augen bezeichnet sind, auf's Ge- rathewohl auf den Tisch, so sind in Bezug auf die Zahlen, welche auf der obersten Seite der beiden Würfel stehen, folgende Fälle gleich möglich: Es sind also 36 Fälle gleich möglich, und es lassen sich leicht folgende Aufgaben lösen: u) Um die Summe 5 zu werfen, sind vier Fälle günstig, nämlich 14, 23, 32, 41. Die Wahrscheinlichkeit, mit beiden Würfeln 5 Augen zu werfen, ist also — y. Dieser Ausdruck, welcher anzeigt, daß in 9 Würfen die Summe 5 einmal geworfen werde, ist jedoch nicht so zu verstehen, als wenn man in den ersten neun Würfeln die Summe 5 gerade einmal werfen müßte; man kann diese Summe vielleicht gar nicht, oder gerade einmal, oder auch mehr als einmal werfen; aber wenn man sehr viele Würfe macht, so wird sich das Verhältnis der Anzahl der Würfe, wo man 5 wirft, zu der gejammten Anzahl der Würfe um so mehr dem Verhältnisse 1 : 9 nähern, je länger das Spiel fortgesetzt wird. Der wirkliche Erfolg wird der durch Zahlen ausgedrückten 186 Wahrscheinlichkeit um so näher kommen, je größer die Anzahl der Versuche ist; und in diesem Sinne ist die mathematische Wahrscheinlichkeit stets aufzufassen. Die Wahrscheinlichkeit, die Summe 5 nicht zu werfen, ist 1 — H — H. 6) Die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen 3 und 5 zu werfen, ist, da nur zwei Fälle 35 und 53 günstig sind, o) Die Wahrscheinlichkeit, einen Pasch, d. i. zwei gleiche Zahlen zu werfen, ist z. 2) In einer Urne befinden sich 10 weiße und 6 rothe Kugeln; welches ist die Wahrscheinlichkeit, daraus eine weiße Kugel zu ziehen? — LA — K w - l ss - Eben so ist die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit, nämlich die, eine rothe Kugel zu ziehen, 1 — Z 3) Die 90 Nummern unserer Zahlenlotterie geben 90 Unionen, 4005 Amben, 117480 Ternen, während die 5 gezogenen Nummern nur 5 Unionen, 10 Amben und 10 Ternen zulassen. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte genannte Nummer (Nominate) zu treffen, ist, da jede der 90 Nummern gerade die so vielte gerufen werden kann, als vorher bestimmt wurde, Die Wahrscheinlichkeit, daß überhaupt eine bestimmte Nummer unter den gezogenen vorkomme (Extrate), ist — /z-. Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei genannten Nummern einen Ambo zu machen, ist — 400-5 ' jene, mit drei genannten Nummern einen Terno zu machen, Z. 283. Bezeichnet Ln die Anzahl derjenigen Personen, die von einer gewissen Anzahl gleichzeitig Geborner in einem Alter von v Jahren noch leben, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Person von n Jahren das (n -s- r)te Jahr erreichen werde, __ »°4-r Sn ' weil von im Alter von ri Jahren noch lebenden Personen nur in der günstigen Lage sind, ein Alter von n -s- r Jahren zu erreichen, somit »„4, die Anzahl der günstigen, und a« die Anzahl aller möglichen Fälle ist. Wie viele von einer gewissen Anzahl gleichzeitig Geborner in einem be¬ stimmten Alter noch leben, findet man in den sogenannten Sterblichkeits¬ tabellen angegeben. Hier folgt die Süßmilch- Bauman n'sche Sterblichkeitstafel. 187 Z. B. Nach dieser Sterblichkeitstabelle leben von 1000 gleichzeitig Ge- bornen im Alter von 24 Jahren noch 471, im Alter von 50 Jahren noch 300 Personen; die Wahrscheinlichkeit, daß eine 24jährige Person das 50ste Jahr erreichen werde, ist demnach — 0-637.. Unjer der wahrscheinlichen Lebensdaner einer Person versteht man diejenige Anzahl von Jahren, nach deren Verlauf die Wahrscheinlichkeit noch zu leben der entgegengesetzten Wahrscheinlichkeit gleich ist. Bezeichnet man die wahrscheinliche Lebensdaner für eine Person von n Jahren mit x, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese Person nach x Jahren noch leben werde, Än , und die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit Sn ' daher Sn 1 Sn ? woraus _ 3n Un^-x- -Z folgt. Um daher die wahrscheinliche Lebensdauer einer Person von n Jahren mittelst der Sterblichkeitstafeln zu finden, suche mau die Anzahl der im nten Jahre noch Lebenden, nehme davon die Hälfte und suche das Lebensjahr auf, in welchem die Anzahl der noch Lebenden jener Hälfte gleich ist; dieses Jahr zeigt das wahrscheinliche Alter an, welches die Person erreichen wird. Z. B. Welches ist die wahrscheinliche Lebensdauer einer 27jährigen Person? Nach der obigen Tabelle ist Uz, —456, daher —228. Sucht man nun darin die Zahl 228 auf, so findet man sie bei dem Alter von 58 Jahren. Die wahrscheinliche Lebensdauer einer 27jährigen Person beträgt also 58—27 — 31 Jahre. Die relative Wahrscheinlichkeit. Z. 294. Die bisher betrachtete Wahrscheinlichkeit, wobei nur ein Ereignis an und für sich betrachtet wird, heißt die absolute Wahrscheinlichkeit, im Gegensätze zu der relativen, welche sich auf die Vergleichung zweier bestimmter Ereignisse bezieht. Gesetzt, es spielen zwei Spieler mit zwei Würfeln so, daß gewinnt, wenn er 10 Augen wirft, und L, so oft er 7 Augen wirft, während alle andern Würfe weder Gewinn noch Verlust bringen. Man will nun die Wahrscheinlichkeit wissen, welche vorhanden ist, mit zwei Würfeln auf einen Wurf eher die Summe 10 als 7, oder umgekehrt, eher 7 als 10 zu werfen. Offenbar braucht man hier nicht so wie bei der Bestimmung der ab¬ soluten Wahrscheinlichkeit, alle möglichen Fälle in Betrachtung zu ziehen, son¬ dern nur diejenigen, welche den beiden Ereignissen günstig sind. Der Summe 10 sind 3, der Summe 7 dagegen 6 Fälle günstig; zählt man daher diejenigen Fälle gar nicht, wo weder 10 noch 7 fällt, so sind nur 9 Fälle möglich, und es ist die relative Wahrscheinlichkeit, eher die Summe 10 als jene 7 zu wer¬ fen, Z; und die relative Wahrscheinlichkeit, eher 7 als 10 zu werfen, H. Die 188 Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten gibt die Einheit, wie es auch sein muß, da es gewiß, ist, daß man entweder eher 10 als 7, oder eher 7 als 10 werfen muß. Sind überhaupt s gleich mögliche Fälle, welche verschiedene Ereignisse herbeiführen können, und vergleicht man nur die Ereignisse und 8, deren einem m und dem andern n Fälle günstig sind, so ist die relative Wahrschein¬ lichkeit VV für das erste Ereignis ^,und dierelativeWahrscheinlichkeitM' für das zweite Ereignis Man kann die relativen Wahrscheinlichkeiten auch aus den absoluten her¬ leiten. Es ist nämlich, wenn man die absoluten Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse 7^ und L beziehungsweise durch rv und rv' bezeichnet, IN IN -j- n IN , n >v -j- 8^8 n rr . . IN -j- II IN n w -- 8 8 Die relative Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist also gleich dem Quotienten aus der absoluten Wahrscheinlichkeit jenes Ereignisses und der Summe der absoluten Wahrschein¬ lichkeiten der beiden Ereignisse. Beispiele. 1) Die absolute Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln die Summe 5 zu werfen, ist und die absolute Wahrscheinlichkeit, 7 zu werfen, /k- Es ist daher die relative Wahrscheinlichkeit, eher 5 als 7 zu werfen, 4 ß 4 li " IO 5k N" 2 0 2 -j" O und die relative Wahrscheinlichkeit, eher 7 als 5 zu werfen, _ 6 _n — s 4 -l, 0 4-j-tt s* Ist 1 i o 2) In einer Urne sind 4 weiße, 6 blaue und 8 rothe Kugeln. Die absolute Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, ist „ rothe „ „ „ „ daher die relative Wahrscheinlichkeit, eher eine weiße als eine rothe Kugel zu ziehen, eher eine rothe als eine weiße Kugel zu ziehen, — /2 — ß- "l" IU Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit. tz. 295. Wenn die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf der Berechnung mehrerer einfacher Wahrscheinlichkeiten beruht, so heißt eine solche Wahrscheinlichkeit eine zusammengesetzte. Sie ist zweifacher Art; entweder schließt sich das Eintreffen der einzelnen Ereignisse gegenseitig aus und 189 es kann unter mehreren fraglichen Ereignissen nur eines stattfinden, oder es sollen zwei oder mehrere Ereignisse in Verbindung mit einander gleichzeitig oder nach einander eintreffen. Z. 296. Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines von mehreren Ereignissen, die sich gegenseitig ausschließen. Wenn in einer Urne 3 weiße, 4 rothe, 5 gelbe und 6 blaue Kugeln sich befinden, so ist die absolute Wahrscheinlichkeit, daraus eine weiße Kugel zu ziehen, „ „ „ rothe » „ „ 4st; „ „ " „ gelbe „ „ „ stst- Will man nun die Wahrscheinlichkeit wissen, daß entweder eine weiße oder eine rothe oder eine gelbe Kugel gezogen werde, so sind dem Eintreffen dieses Ereignisses 3 -st 4 -st 5 — 12 Fälle günstig; die Wahrscheinlichkeit, eine weiße, rothe oder gelbe Kugel zu ziehen, ist daher L.2 -g_ 1 4 1_s. iS 18 1 18 " 1^* Ist allgemein s die Anzahl aller gleich möglichen Fälle, von denen m dem Ereignisse /4, n dem Ereignisse U, p> dem Ereignisse 0,.. .also in-stn-stp... für das Eintreffen irgend eines unter den Ereignissen U, 0, ... günstig sind, so ist, wenn man die absoluten Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse durch n-st w", ..., und die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgend eines dieser Ereignisse durch V/ bezeichnet, w" — rv"' — ... 8^ 8^ 8^ und M __ -n -b n 4- p -i-... l 2 U- L -w oder -st w" -st -st... d. i. die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgend eines von mehreren sich gegenseitig ausschließenden Er¬ eignissen ist gleich der Summe der absoluten Wahrscheinliche leiten der einzelnen Ereignisse. Z.B. Die absolute Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 32 Karten eine Ooenr-Figur zu ziehen, ist ^st, eine Ooeur, die keine Figur ist, zu ziehen zst- eine Ouraau-Figur zu ziehen eine Oarsuu, die keine Figur ist, zu ziehen Daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine Ooeur überhaupt zu ziehen /2 -st gst -- ^2 — 1, eine rothe Figur zu ziehen .... -st — ist, eine blaßrothe Karte zu ziehen. /2- -st /s — ^8 " ist/ ein rothes Blatt zu ziehen .... -st -st -st ^st — 4- Z. 297. Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen meh¬ rerer Ereignisse. In einer Urne befinden sich 4 weiße nnd 6 rothe Kugeln, in einer zweiten U 6 weiße und 8 rothe Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mau, wenn man aus beiden Urnen zugleich zieht, aus jeder eine weiße Kugel ziehe? Beim Ziehen aus der Urne sind 10 Fälle, aus der Urne L 14 Fälle möglich; also gibt es, da man bei jedem der 10 möglichen Züge aus jeden 190 4 6 der 14 möglichen Züge aus 8 machen kann, beim gleichzeitigen Ziehen aus beiden Urnen 10 . 14 — 140 gleich mögliche Fälle. Für das Ziehen einer Weißen Kugel aus -4 sind 4, aus 8 6 Fälle günstig ; man hat daher, da jeder der 4 ersteren Fälle mit jedem der 6 letzteren zusammentreffen kann, für das gleichzeitige Ziehen einer Weißen Kugel aus beiden Urnen 4.6 — 24 günstige Fälle. Es ist somit die Wahrscheinlichkeit, aus beiden Urnen zugleich eine weiße Kugel zu ziehen, 2 4 - o _ 4 6 1475 10.14 ' 44* Es sei nun allgemein die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen zweier Ereignisse -4. und 8, deren ersterem Fälle günstig und ill Fälle un¬ günstig, dem letzteren na" Fälle günstig und u" Fälle ungünstig sind. Die absoluten Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse sind , m' „ m" rv"— — ,, re" — — i). ia 4- n w -j- II Da nun jeder der uU dem Ereignisse günstigen Fälle mit jedem der na" dem Ereignisse 8 günstigen Fälle zusammen eintreffen kann, so gibt es für das Zusammentreffen beider Ereignisse irll na" günstige Fälle. Die Anzahl aller möglichen Fälle ist (na^ -j- ill) (na" -j- n"), weil jeder der irll -st bei möglichen Fälle mit jedem der ru" -st n" bei 8 möglichen Fälle zusammentreffen kann. Es ist daher die Wahrscheinlichkeit, daß die beiden Ereignisse und 8 zusammen eintreffen, in' in" rr^ m" , „ vv (m' -p n') (m" -st u") i»' -p »' in" -st n" Sind eben so erst rv", rv"st... die absoluten Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen der einzelnen Ereignisse 8, 0,..., so erhält man die Wahr¬ scheinlichkeit für das Zusammentreffen aller dieser Ereignisse VV — rv"E .., d. h. die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen mehrerer Ereignisse ist gleich dem Producte aus den absoluten Wahrschein¬ lichkeiten für das Eintreffen der einzelnen Ereignisse. Beispiele, 1) Es seien die 32 Karten nach den Farben in vier Pallete eingetheilt; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Ooeur-König zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit, die Hand auf das Packet der dosurs zu legen, ist st; die Wahrscheinlichkeit, aus diesem Packet den König zu ziehen, st-; daher die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen dieser beiden Ereignisse st . st — 2) Die Urne hat 5 weiße und 7 rothe Kugeln, die Urne 8 3 weiße und 4 rothe; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf's Gerathewohl aus einer dieser Urnen eine rothe Kugel zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit, in die Urne 4. zu greifen, ist st; jene, daraus eine rothe Kugel zu ziehen, folglich die Wahrscheinlichkeit, aus eine rothe Kugel zu ziehen, st. Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, aus der Urne 8 eine rothe Kugel zu ziehen, st - st. Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit, aus der ersten oder zweiten "Urne eine rothe Kugel zu ziehen, ist daher - 1 7 > 14 —, 7 11 07 - L* 14 L'7 iT-s-sts Z. 298. Wahrscheinlichkeit für das wiederholte Eintreffen desselben Ereignisses. Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln im ersten Wurfe einen Pasch zu werfen, ist st; jene im zweiten Wurfe wieder einen Pasch zu werfen, auch st; 191 die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen dieser beiden Ereignisse, d. i. die Wahrscheinlichkeit, daß man zweimal nach einander Pasch werfe, ist daher —(r)2. Eben so wird die Wahrscheinlichkeit, dreimal nacheinander einen Pasch zu werfen, z.z.Z — M« sein. Ist überhaupt re die absolute Wahrscheinlichkeit, daß irgend ein Ereignis eintreffe, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß jenes Ereignis 2-, 3-, 4-,...rmal nach einander eintreffe, — re.rv — rez — ve.re.re — re, — re. re. re. re — re*, re, — re. re. re.... i-mal — re' ; d. h. die Wahrscheinlichkeit, daß ein Ereignis mehrere Male nach einander stattfinde, ist gleich der Wahrscheinlichkeit für das einmalige Eintreffen, erhoben zur sovielten Potenz, als Wiederholungen stattfinden sollen. Z. B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln 3mal nach einander die Summe 7 zu werfen? — Die Wahrscheinlichkeit, die Summe 7 einmal zu werfen, ist also die Wahrscheinlichkeit, diese Summe 3mal nach einander zu werfen, Z. 289. Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen Combina¬ tionen mehrerer Ereignisse. Es seien s gleich mögliche Fälle, von denen m' dem Ereignisse L., und n? dem Ereignisse L günstig sind; so ist, wenn die absolute Wahrscheinlichkeit für das Stattfinden von L durch vvh und jene für das Stattfinden von ö durch rv" bezeichnet wird, Es ist nun die Wahrscheinlichkeit, daß /V eintrifft.rv' „ nicht eintrifft.1 — „ L eintrifft.rv" „ L nicht eintrifft 1 — ev" „ eintrifft, L nicht . . . rv" (1 — rr") „ nicht eintrifft, aber L . (1 — rv') rv" „ und L eintreffen . . . rv' rv" „ und L nicht beide eintreffen 1 — w" „ weder noch L eintrifft . (1— rv') (1 — rv") „ entweder oder L eintrifft 1 — (1 — rv^) (1 — v"). Aus gleiche Weise läßt sich, wenn die absoluten Wahrscheinlichkeiten nch >v", rv"" für das Stattfinden dreier Ereignisse L, 6 bekannt sind, daraus die Wahrscheinlichkeit für jede Combination finden, die in Bezug auf das wechselseitige Eintreffen und Nichteintreffen jener drei Ereignisse möglich ist. So erhält man z. B. für die Wahrscheinlichkeit, daß unter diesen drei Ereig¬ nissen wenigstens eines eintreffe, den Ausdruck 1 — (1 — v?) (1 — rv") (1 — rv"O- Beispiele. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln, wenn nicht auf den ersten, so doch im zweiten Wurf 9 Augen zu werfen? 192 Hier ist rv" — H und rv" — daher die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1 — (1 — n") (1 — rv") — 1 — Z .H — 's. 2) Ein Mann ist 28 und seine Fran 21 Jahre alt. Man soll den Grad der Wahrscheinlichkeit bestimmen, daß nach 20 Jahren noch der Mann, oder daß die Fran, oder daß beide noch am Leben seien; oder daß der Mann schon todt sei, oder daß die Frau, oder daß schon beide todt seien; oder daß die Frau den Mann, oder der Mann die Frau überlebe; oder daß wenigstens eines von beiden lebe, oder daß wenigstens eines von ihnen schon todt sei. Nach der Süßmilch-Baumann'schen Sterblichkeitötabelle leben von 1000 zugleich gebornen Menschen nach 21 Jahren noch 486, „ 28 „ „ 451, „ 41 „ „ 367, 48 „ „ 316. Es ist daher die Wahrscheinlichkeit des Mannes, noch 20 Jahre zu leben, — 0-7007. 451 Eben so ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Frau noch 20 Jahre lebe, -"-ZZ-0-7551; daher die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren beide noch leben, " " ^^s'E^O 5291. Die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren der Mann schon todt sei, ist 1—n'—i - A 0-2993, 451 451 , jene, daß die Frau schon todt sei, i „i 367 119 ^- 486 ^-^0'2449, und daß beide schon todt seien, Die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren der Mann schon todt sei und die Frau noch lebe, ist (1-^) 0-2260, und jene, daß nach dieser Zeit der Mann die Frau überlebe, (I __ n») bw 0-1716. vv 451 '486 ' Die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren wenigstens eines von beiden todt sei, ist i / i< i 316 367 1-^w"^1 -^.^-0-4709, und jene, daß wenigstens eines von ihnen noch lebe, l - l - s o-MM. Z. 3W. Mathematische Erwartung und rechtmäßiger Einsatz bei Wetten und Glücksspielen. Wenn mit dem Eintreffen eines Ereignisses der Besitz eines physischen Gutes oder ein Gewinn erworben werden kann, so hat derselbe vor dem Ein¬ treffen jenes Ereignisses einen Werth, welcher von dem Grade der Wahrschein- 193 Woraus daher o' : s" — ve' : w", d. h. die Einsätze müssen den Wahrscheinlichkeiten, zu gewinnen, proportioniert sein. 6 folgt, d. h. der Gewinn ist gleich dem Einsätze, dividiert durch die Wahrscheinlichkeit des Gewinnens. Heißen s' und o" die Einsätze zweier Spieler, welche beziehungsweise die Wahrscheinlichkeit vst und w" haben, einen Gewinn zu erhalten, so ist s' — vv'Z und s" — ve"ß, lichkeit abhängt, die für das Stattsindeu des Ereignisses vorhanden ist; man nennt diesen Werth die mathematische Erwartung. Trifft das Ereignis gewiß ein, so wird auch der Gewinn mit Gewißheit erworben und der zu erwartende Gewinn hat auch vor dem Eintreffen des Ereignisses seinen vollen Werth. Sind aber unter den Ursachen, wovon das Stattfinden des Ereignisses abhängt, a günstige und i> ungünstige, so wird das Ereignis nicht mit Gewi߬ heit, sondern unter u -st b Fällen nur in u Fällen eintreffen, und es wird daher auch der zu erwartende Gewinn nicht mit dem vollen Werthe in Aus¬ sicht gestellt werden können, sondern nur mit dem so vielten Theile, als die Wahrscheinlichkeit w, ihn zu erhalten, anzeigt. Heißt daher o die mathematische Erwartung nnd Z der zu erwartende Gewinn, so ist d. h. die mathematische Erwartung eines Gewinnes ist gleich dem Produ cte ans dem Gewinne und der Wahrsch einlichkeit desselben. Beispiele. 1) Jemand kann, wenn er mit zwei Würfeln die Summe ü wirft, 2 sl. gewinnen; wie groß ist seine mathematische Erwartung? Die Wahrscheinlichkeit, 5 Augen zu werfen, ist daher e^z.2^Zfl. 2) Jemand setzt auf zwei Nummern unserer Zahlenlotterie 1 fl. und hat, wenn seine beiden Nummern gezogen werden, 240 fl. zu gewinuen; welches ist seine mathematische Erwartung? Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Nummern einen Ambo zu machen, ist io 2 . . 40M " 801' ^hkr 2 480 160 n b — 801'240 — 801 — 267 fl' Z. 301. Bei Wetten, Lotterien und anderen Glücksspielen wird eine be¬ stimmte Summe eingesetzt und dafür im glücklichen Falle eine bestimmte Summe gewonnen. Soll nun der Einsatz dem zu erwartenden Gewinne gegen¬ über auf richtiger Grundlage beruhen, so muß die mathematische Erwartung des Einsetzers denselben Werth haben, wie sein Einsatz. Der Grundsatz, auf welchem jede rechtmäßige Wette und jedes rechtmäßige Spiel beruht, ist also: Der Einsatz muß der mathematisch en Erwartung gleich sein. Man hat daher für den Einsatz s dieselbe Formel, wie für die mathe¬ matische Erwartung, nämlich 6 — IVA, Močnik, Arithmetik und Algehrg. II. Aust. 13 194 Beispiele. I) wettet gegen R, daß er mit zwei Würfeln einen Pasch wirft. Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen, ist für für L es müssen sich also auch die Einsätze der beiden Spieler, wenn die Wette rechtmäßig sein soll, wie Z oder wie I : 5 verhalten, d. h. L muß 5mal so viel ein¬ fetzen als ^1. 2) In unserer Zahlenlottcrie ist die Wahrscheinlichkeit, eine Extrate zu treffen eine Nominale zu machen mit zwei Nummern einen Ambo zu machen. . mit drei Nummern einen Terno zu machen. . Nimmt man nun z. B. 1 fl. als Einsatz an, so müßte, wenn die Gewinne mit dem Einsätze in einem richtigen Verhältnis stehen würden, als Gewinn gezahlt werden für die Extrate . . I : — 18 fl., für die Nominate . 1 : — 90 fl., für die Ambo . . 1 : -^— — 400'5 fl., > 400-5 ' für den Terno . . 1 : —---'11748 fl. Da nun nach den Lotto-Gesetzen für die Extrate nur der 14 fache, für die Nominate der 67fache, für den Ambo der 240fache, für den Terno der 4800fache Einsatz als Gewinn bezahlt wird, so ist leicht zu ersehen, daß sich das Lotto ungeachtet der Verwaltungskosten dem spielenden Publicum gegen¬ über im Vortheile befindet. Anhang Uebungsaufgaben. I. Grundoperationen mit absoluten ganzen Zahlen. 1. Summen. M. 13 — 15.) I. (x 4- 2) -i- 6 ---- 3. 8 -s- (6 -s- a) — 5. X -s- 3x 7. 5x-s-7x-s-x — d' Summanden 14x 4- 3» Summe II. »4-6 7a 4- 1 13. 5 (a -4 w) 3 sa -s- m) 4 (» 4- m) 15. 3x -s- 5^(3m 4- 2n) 5x -4 6 (3in -s- 2n) x 4- 9 (3m 4- 2n) Man substituiere in fob und gebe die Werthe derselben »7. »4-384- 5«-; iS. 3» 4- 5 (8 4- «); 2. (4a 4- 7) 4- 5 -- 4. 15 4- (6» 4" o) 6. 6a 9a -- 8. (x 4- 3) 4- (r D -- Iv. 3» 4- 4m 3a -s- 2m 12. 6m -j- 5n m 4- 7n 8m -s- n 14. a -s- 2 8 -4 3 6 2» 4- 38 -s- n 3» 4- 8 4- 2o IK. 8m-i-7n4-6x4-6c; 9m4-6n-f-7p-s-4) -s- 5 o; 20. 38 4- 5 (» -s- o). 2. 21. (a .— 2) -s- 5 — 23. (2x — 4) 4- (3x — 1) — 25. (3a —4) —5 — 27. (3a —48) —(a —2ä) — 2S. (» 4. 8) 4- (a — 8) — 31. L>» — 2a — 33. x -s- (8x — 5x) ---- 35. (16x — 7x) — 8p — Differenzen. (88. 19 - 29.) 22. 6 (» — 4) 24. (x 4- 7) — 2 — 26. 12 — (4 -f- m) — 28. (5x - 2z.) - (x - 2z4 3». (» 4- 8) — (» — 8) — 32. (7 a — 3a) -f- 4a 34. f9m 4- m) — 4m — 36. 7^-(3^ 4- Y -- 13* 196 37. 5 a — 3d Min. 2 it— d Subtr. Z8. 7d 4- 3e 2d — 2o 3a —2K Diff. 39. 2x — 3> x — 2> 41. 7n -4 n — 6n — 43. 7x — 3x 4" 4x — x — 49. 20x — 27)" 4- 12x 15x— >4-12 -: 42. 5a — 4a 4- 8a — 44. 3 lu — ir» -4 9 m — 4 ra — 3 in — 45. 5a 4- 7d — 2d 4- 9a — 3d —4a -- 46. 8x-f-(5x— 8a)4-(8a — 3x) — 6x — 47. 7a4-(8a —2)4-(9 — 2a)-^-10^ 48. (9x — 7>) 4- (2x 4-3>) — (5x —8>) 49. (12 x — 7 >) — sa — (3 x — 2 >)) — 59. 3o 4- 7 4- s(4d — 2o) 4- (2o 4- 8)) -- 51. 8ni — 5>,4- t(2> — 7m) 4- (3m — >)^ — 52. (2x — 3>) 4- (2> — x) 4- ^5x 4- (6> — 1)) 53. 7x — f(3a — 4x) — (5x — 1)) — (x — 2a 4- 2) — 54. (5a 4" 2d — — (2a — 3K -4 5o) — (a — 2d — 4o) 55. fx — (M -4 »4 -4 fx — (m 4- p)) 4- fx — (n 4- p)) — 56. (it 4- d 4- o) 4- (a -n d — o) 4" (ki — d 4- v) 4- (d 4- o — a) — 57. 7 n — (3 o — 6 d) — (6 n — 3 o) — 3d 4- (3 s. — 8 o) — 58. (7m — 5x) — ((4n — 3x) — (4w 4- x)f — (2m — 3n 4- 4x) — 59. (a 4- 2d — 3) 4- f(2a — d) — (5 d — 4) — (a — d)) — j(4a 4- 3d) - f(7a — 2d) - (a - 3)fj Man bestimme die Werthe folgender Ausdrücke für a — 4 und d — 3 69. 8a 4- 6K — 5a — 4d — 2a 4- d; 61. (8a 4- 6d — 5a — 4d) — (2a 4- k); 62. (8a 4- 6d — 5a) — (4d — 2a -j- d); 63. (8a -f- 6d) — (5a — 4K — 2a -4 k); 64. (8a 4- 6K) — (5a — 4d) — (2a 4- d); 65. (8a 4- 6'k) — 5a — f4d — (2a 4- k)f; 66. (8a -4 6d) — f(5a — 4k) — (2a 4- d)f; 67. (8a 4- 6K) f(5a — 4K) — 2af 4- k. 3. 68. 4ak 4- 8»d — 79. 8ako 4- ltko — 72. 2n" 4- 3n° — 74. 7MN 4- 3mn 4- mn — 76. 10ak —7ab-^ 78. a.10- — K.10"— 80. 3x — 3> — 82. ara — dm -4 rn — 84. 3n" —n-4-4n- —3n-4-7 85. a(x4-2)- 3K (x 4- 2)-f-3 86. (13ak —5ock) 4- (12 oä — 87. (3a" — 4a 4- 5) - (3a- - 5 Producte. 33 — 40.) 69. 5x- -4 9x- — 71. a.10" 4- K.IO"^ 73. 3 (a -4 x) -4 4 (a -4 x) — 75. ax" 4- kx" 4- x- — 77. km^ — — 79. 4a 4- 4K — 81. 7x 4- 7> — 7 -- 83. m>4-5ru> — 3m> — 8wv — n" -- a (x 4- 2 ) — 4 ad) — a 4- 4) — 197 88. 8 m x »4 5 n 89. 20 s4 >4 3 a? — 3mx— 7n^ — 2a^ 4-3a^— 4a MX — 3n^ 4-2«,^ — 3a-j- 90. (6 ax — 5 b ^) — (b 4- 3 n;?) 4- (3 02 — 5a x) — »I. (x^ 4- 3x4)? -(- 3x^2 4- >3) — (x^ — 3x^^ 4- 3x^2 —^») — 92. Welchen Werth hat der Ausdruck 4a (3x2 — 5x^ -4 — 5b (2x2 — 3x^ 4- )?2) für a — 5, b — 3, x — 7, — 4 ? 93 hat (4n^ — 3i>2 4- 2n — 1) Gulden, L hat (2n^ 4- 21,2 — 4n 4' 4) Gulden weniger als wenn nun L von seinem Gelde (n^ — 2n- 4- 4n -— 6) Gulden an k abtritt, wie viele Gulden hat darnach ein jeder? Wie viele Gulden hatte jeder anfänglich, wie viele zuletzt, wenn n 8 ist? S4. 3a.b — Sk. 3ab.7 -- 98. 8mn.7m — 100. a.5abo — 102. 2x».4x --- 104. 7a?x.ax2 — IOK. s.2a.3a — 108. wn.mp.np — 110. 6ab.5ab.4ab — 112. a"".a".ar>.ao — 114. 4m^np.5mn'^p.6mn — 95. 2a.5b — 97. m n . n p — 99. 2 ab. 7oä — 101- 9x.5x — 103. 3a^-.8b' -- 105. 6m^n».5mn'-- — 107. x/.x^.x^ — 109. 3a.7a.2a — III. a'^.a^a^ -- 113. a"b.5a^ b.8ab^— II». x^.3x^.3x^^.^^ 128. (2 mx — 5n^ ch 3ps).3ab — 129. (32^4-22^ — 52^-442).62^ — 130. mnp. (5 mx— —6px)— 131. (8x^» 4- 5x^u Zx^).l2x°^ — 132. (4w^ — 3m'^ n ch- 2 mn^ — in'). 3m2 n^ — 133. (aa^b" 4- 7a^l>2 — 5a^b — 3a^).4a2 b». - 15«. 151. 152 153 154 155. 15«. 157. 158. 15«. I«». 1«I. IK2. I«3. 1«4. 165. 1«7. I«». 171. 173. 175. 177. 178. 17«. 18«. 182. 184. 18«. 188. 198 (x° — 2x 4 1) (6x - 3)--- (2a°k - 3ad° — 4b^) (a — 2b) — o* — -j- ' —g, -s- 1) — -s- -j- L 1) - 1) — (x — 2^ — 3x) (3xo — 2) — (16x» -s- 3x^° -s- (4x- — ^-) (4a§ — I2a2d» 4- 95°) (2a- — 3b») -- (x -4 1) (x 4- 2) (x 4- 3) — (x — 1) (x 4- 2) (x — 3) (x 4- 4) — (3a»--4k^k 4- 6-tb2 — 2k") (4^2 — 3ab -4 k«) --- (3a — st) <>2 — 2ast 4- 3st°) (2a» — 3st») — 2x2.02 — Za4-4) 4. 5g.2.(x — 5) (2x-j-3) llll^4-2m^ — 3m2 — 2m4'1)(M^ — 3 ui'- 4- 3rn— 1) ---- o -4 i> o e) (s. — st 4^ o) (s.4 st — 0). 5 x^ 2 — 02 4- st^ 4. g« 4. 2ast — 2acr— 2 bo) 0^ 4- K- -4 o" 2^b -4 2ao ->- 2sto) — 4. Quotienten. (§s- 44 - 56.) --- 3s 3s 7m , in_ n 2x4-4 x 5 p 5 p s 4- b , s — b -2 I Z^- IKK. IK8. 17«. 172 3a , 2a in " ni 6a 5a m ni 9a 5 a 4n 4n a-^-b s, — b , --2"^ d. h. die Halbe Summe zweier Zahlen um die halbe Differenz der¬ selben vermehrt oder vermindert gibt bezüglich die erste oder die zweite jener Zahlen. IN IN NI ^-^2^4- "«- 7a — 2b 2s —- 3b »-j-2b^ s— b s— b s — b 3x . 6x 9x mn^mn mn 6 » 4 (» — 2) , 4s. — 2 b b b 17x4- 12x 3x - 7x , 2x — 3z i x-b x-b 7 x4^ se-s-b« — o? Ai, — 4- b« . sb 4 sbv sb« sbe b 2x - --.5ax — ox ISx.^- -- 3 x 5aw.^ — INN NIP Ns) ' n ' m 181. ^-.abc- — ov 183. rnn. --- Np 185. ^-181)2 --- 9b 187. , 5s^b 7s n' ömn-'8bm- 199 IS». ^-j-5^.4mn--- 191. (a-j-1)x.^-^-.2 !92 ^) m -— n I) —^-1) (u> -j- 1) * x — i * ü, !93. 5rrd : a L9L. 1ömn:3m^ 200 243. (x* - 1): (x -s- 1) -- 244 (x' - 1): (x — 1) 245. (a°-k°) :(a —6)-- 246. k)- 247. (3a"x2 —8,3x7 — 2b^-):chx - 37) -- 218. (6x* — 11x» — 9x'^ -j- 19x - 5): (3x — j) -- 249. (20a- — 18a»k -j- 4a't)^: (4u^ — 2ab) -- 250. (2x^ — x'^7 — 8x7^ — 37b) : (x^ — 2x7 — 7^) — 251. (m^ — 2m"u^ -j- n«): (lll^ -st 2wQ -f- n'^) — 252. (4x^ — I2x^ -3 13x^ — 6x -j- I): (2x^ — 3x 4- 1) — 253. (15x^ -3 8x^7 — 41x^7^ -3 10x7^-387^) : (5x" -3 6x7 — 8^")-- 254. (81x« —167°):(3x^ — 272)--- 255. (32 —80x-3 80x2 — 40x^-3-10x» —x°):(8 —12x-3-6x°-3x») -- G-K4ä^8-- 5. Grundoperationen mit dekadischen ganzen Zahlen. (88- 60 - 67.) 258. 240978 -3 97477 Z- 504336 -3 378264 Z- 615089 -- Man addiere die nachfolgenden Zahlen zuerst in verticaler, dann in horizontaler Richtung: 259. 269. 261. 262. 263. 264. 81312 Z- 433664 4- 243936 4- 596288 -3 406560 265. 542080 4- 216832 4- 569184 4- 379456 4- 54208 266. 189728 4- 677600 4- 352352 -3 27104 4- 514976 267. 650496 4- 325248 -3 135520 -3 487872 4- 162624 268. 298144 4- 108416 4- 460768 4- 271040 -3 623392 269. Man snche die Summe von 6 Zahlen, deren erste 235078, und jede folgende nm 58505 größer als die vorhergehende ist. 276. 8754219 — 1970862 -- 271. 33557799 -8866442 -- 272. Mau berechne 3874920 4- 561083 -3 6721859 -3 55462873 4- 9036198, und subtrahiere dann von der erhaltenen Summe den ersten Snmmand, von dem Reste den zweiten Summand n. s. f. 273. 719308 X2X3X4X5X6X7X8X9-- 274. 380792 X H X 13 X 31 X 25 X 64 X 125 -- 9?-: X/ HO xx HH1 X/ — 276.' 734552 X 84369 "x 100 277. 58379X 25726 X432789-- 278. 291728 X 740634 X 12500 X 7999 - 279. 5647830 X 710744 X 918497 -- 289. Man multipliciere jede der Zahlen a) 428792, 6) 920664, v) 371963 mit jeder der Zahlen ru) 991096, n) 140846, s>) 296557. 281. 897715:91 -- 282. 134676:29 -- 283. 5791338:63 -- 284. 309644:778 -- 285. 3552264:309 -- 286. 5606912:752 -- 287. 6245425:25 --- 288. 22255125:125-- 289. Man dividiere jede der Zahlen u) 23900625, b) 119503125, o) 167304375 durch jede der Zahlen in) 607, n) 315, p) 125. 296. 1472692768:14734 — 291. 36363918357:62883 -- 201 II. Grundoperationen mit algebraischen ganzen Zahlen. (88- 7N-7S.) 292. (4-7a) -s- (—3b)-- 294. (4-5w) — (-s-2v)— 296. — 6ab — (-j- ab) — 298. — a^b-b 3a^b 293. (— 2x) -4 (-4./) — 295. (— 5a) — (— 7a) — 297. 4m2 -j- (— 3m^) — 299. — 10ay" — 2ay- --- zoo. — 3x--s-8x2 —IOx«— zoi. 5n>2 — 9m« 4-8m--- 392. 8a- (5a-s-2)— 393. 8a- (5a —2) — 394. (— 4m) 4- (— 2 m) — (— m) 4- (-4 8m) — 395. (2x2 _ 4x/ -4 3/2) — (2x2 — 2x/) — 396. (x-> — 2x2 4- Z^) 4- (— x« — 3x 4- 4) — 397. 2a — 35 -4 4o 398. 25x4-31/—17- — 3a-4 55— 7o x — 29/ — 19- a 4-4b — 5o —22 x-4 8/ — 37x 309. (a2 — ab — 52) -4 (a2 -4 2ab -4 32) — ^2 _s_ 42) — 319. 12a — 5b — s4a — (2o 4-3a)s — ZII. x-s2/-x-s3x-(3/-5x)^5/I!-- 3I2. 3m — 2n — ^3n — ^4m — )8n — ^6m — (5m — 4n)sj^ — 313. 7a —4--- 314. a2. —3a- 315. —4x4.2/— 316. —6a«.— 3a4x— 317. 5a2x".3abx2— ZI8. — ab-e».4a2bv — 319 —2a'2.3ab2.5a2x^ 329. 4x2z)-2.2x/2r-->.-3x2/22-- 321. Z,2m—n-s-2 ^Zn-s-2 ^m-s-n—3 ^nZ-3 —- 322. 3a^ b^4—4a^ b"->.5^ b- — 323. (5x — 4/).-3a-- 324. (3a - 5 b 4- 7).—2m -- 325. 8x — 2 (3/ 4--)— 326. (4x" - 3x2-s-3x 4-I).5x---- 327. (a« — 4a"b 4- 6a2b2 — 4ab° 4- b').—2ab — 328. 3x2 (5 — sx 4- 6x2) — Zx (2x 4- x2 — 3x') — 329. (4b2o2 — 5a) .4a2be2 (3ab2v« — 7a2o2) 3ab — 339. (a -4 b) (— a -4 25) — 331. (a -4 5 — v) (— a -4 5 -4 0) — 332. (— 3x 4- 2/ — -) (—x — 2/ 4- 3-) — 333. (a — b) (m — n) — (a — 2b) (m -4 n) -- 334. (4x2 _ 4x^ -4 ^2) (4x2 4. 4x^ 4- ^2) 335. (1 — 2x 4- 3x2 _ 4x») (1 — 3x 4- 5x° - 7x«) -- 336. (b^"> — 2b'°v°' 4- c-2°>) (4b'-> — So^) — 337. (a- — 2a — 3) (a2 — 2a 4- 3) (a- 4- 2a — 3) — 338. (7a — 5b) (a 4- 2b — 3) — (3a — b) (3a — b -4 5) — 339. (2a'2b — 3ab2 — 4b» 4- 5) (2a2b — 3ab- 4- 4b^ — 5) -- 349. (4x2 _._3x4- 2) (3x- 4- 2x — 1) (x'-- — 2x — 3) 341. (a -4 5 o) (a -4 5 — 0) (a — b -4 <4 (— a -4 b -4 o) — 342. (a-4 5 — o) (a -s- b) -4 (a— 5 -4 ^2m— n— p . b u—2p -— 357' (24a" d" - 15a* d-)': __ 3a°d- 358. (18310273 — 271,11172 4,3607):— 87 — 359. (6x" — 23x2 24^ — 10): (2x — 5) -- 3««. (6»* --5a? 4- 4a2 4- 11a — 4): (2a.2 — 3a 4- 4) — 361. (m° 4 6m* 4 4m° — 4m2 4- m — 1): (m2 4- 5m 4- !) — 362. (2 - 7x 4- 16x2 — 25x- 4- 24x* — 16x°): (2 — 3x 4- 4x2) 363. (32 a^° x° — 243 7°): (2 a2 x — 3 7) --- 361. (12a* 4- 5a?d — 163252 — 13a d» —6i>*): (4 a- — ad —6d°) — 365. (243 x- 4- 4ll5x* 4- 270x-- — 90 x° — 15 x — 1): (9 x- — 6 x 4 11 -- 366. <4 4-5a —16a- — 4a» 4-4a* —5a°4-4a''):(4 - 3a 4-2a-—a") — 367. (2a°4-a*d -12^6- — 22a-d» — 14ad* — 3d°) :(a-> 4- 3a-6 4- 3ad- 4- d») --- III. Thcilbarkcit ganzer Zahlen. (8I. 88 — 93.) Man zerlege in einfache Factoren: 368. 420; 369. 660; 37V. 760; 371. 2046; 372. 210ad°; 373. 72a'd-. Man suche alle einfachen und zusammengesetzten Factoren 374. von 180; 375. von 228; 376. von 810; 377. von 36ak; 378. von 165x2 7, 379. von 3I5m-n-. Man zerlege nach Z. 89, 2. a) in zwei Factoren: 38«. 18ak —15aa 4- 12a2 — 9a"b^; 427. von 15x" -ft 10x^^ 4x"z^^ 4- 6x4^" — 3x^^ und 12x"^ 38x^^" — 16x^4 — IO)'"; 428. von 1701, 6447 und 10521; 42». von 120582, 145530, 167706; 436. von 6x4 — — 1, 5x" — 4x — 1 und 2x^ — 2. Man suche mittelst Zerlegung in Factoren das kl. g. Vielfache: 431. von 300 und 620; 432. von 240 und 486; 433. von 120, 168 und 182; 434. von 105, 144 und 270; 435. von 6amu, lOam^u und 5a^n'^; 436. von 48a? x^, 60a^x^^ und 72ax^; 437. von 3, 4, 6, 10 und 25; 438. von 2, 5, 9, 3, 20, 24, 4 und 21; 43». von a, 2a^, 3ab", 12abm; 446. von m, 2w^, 3», 8mn, 12m (in — v); 441. von 3x, x — 2, x -ft 2 und 9 (x? — 4). Man suche ohne Zerlegung in Factoren das kl. g. Vielfache 442. von 880 und 904; 443. von 1479 und 1769; 444. von 2222 und 1717; 445. von 561 und 1530; 446. von 816, 765 und 697; 447. von a" — 49a — 120 und a'" -ft 10a -ft 25; 448. von x" — 3x°^ -j- 3x)^ — 5" und 2 (x^ — ^); 44». von 2a" — a^ — 2a" — 2a" — 4a — 1 und 2a" — a" — 5s" — 5a" — a; 456. von 4x" — 7x — 3, 2x" — 3x" — lOx -ft 15 und 2x"-ft15x —27. IV. Gebrochene Zahlen. 1. Gemeine Brüche. (ZZ. S7-I08.) Man bringe folgende Brüche auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner: 461 r, E, e? ^62. r^' 28, r^! 453. 204 454 45« 458. 459. 4«3 4«7. 47«. 472. 455. 457. X a * l X — I s 2 k . 4V>S. 96llx'x2, ISI8S - rr^n?^ > 1 — s" I 2s Man kürze folgende Brüche ab: 2 4. ' " ' Tr - 3«bx 12 bmx' 2XS, 15 sm x' 49 b mx ' 4«9. x' -^- 6 X — 16 x--j- Sx — 24 s <: « A >> k K' ä' k' 54' bt' 4k' I Zs 3 b e 4 ri e 1. m' 3m^' 4m" 5m' ' x^-i-2x 3x x'— I 4K«. 248. 4«I. 4«4. 465. 28s x" _ drWz > - i 7 I s'-l-2»-^1' ' Man bestimme den Werth von ll (ll — 1) (u — 2) (u — 3) (ll — 4) 1.2.3.4 5 für n — 8 und kürze den erhaltenen Bruch ab. liegt also mitten zwischen u und k, von beiden um dieselbe Differenz verschieden, und heißt darum das arithmetische Mittel zwischen u und l>. . 1 v2 „. 4 485. x -s- --- — 48«. x — -- - --- ' X X MS z«». 505 50«. 507. 500. 510. i 4x' — 3x? -j- 5 _ .... «^4-5«b —b? 4x^-j- 4x-3 1 ' ' «^-34«b-34I>^ -3 3a« 3a 1 — «-3b — ert-d-3o> b-^-L — s »k »o L I> »e be « -3 b 4- 1 > 1 . -I- 1 x — I -3 2x -3 l 2x . 3x-^-1 4x— 3 x—I x—2 x—3 k 6 508. « - I i» - 2 — 2 X — 1 511 512. 51.1 514. 515 LIK 517 518. 519. 520. 521 522. 3r^-2sx 2-^ —3«x 2H2x - 2x - 5r»-^-8I>.3» — b .rt — 4 b , « — 3 t> _ « -3 «. — d ab b v »v (« — c) (b — u) (a — k) (» — v) (s — b) (b — e) 1 . 1 2b 2» « -3 b — b — d- -3 2 «d -3 « — 2 d -3 3 6 . 3«-3b— 2e , 3 b -3 e — 2 a _ s — I)-j-v «-3 b — o d c — L . -i- I « -3 1 «- — « - j- 1 » — 1 ' 1 — 1 -^- I tt -s- 1 ß ; b 3 -t — i, rt 2 «-33 — » — 3 523. 2^.4o^ 524. " 2m-- IN 2 m 525. --- 526. . (l.-b) -- 527. 528. 529. 530. 531. - -j- 4) . - 3x»^ 532. i^-i-2x.-3^ -l).2x^ ^4X2 / Ö 4 4 7i - ^7l) <«-I) -- »< - ^i> " <" ^ » - 206 535 53«. 538. 54«. 542. 544. 54«. p -I- °') . d' - 2.1>°- 4- »I. / b 4 ..... 2»b 3»x Z^x. 539. - -- 541. ii -- m — »m-j-u 4.»/ 2 b -«4-N l-- N - 2»^ - s x L^x'— «x^ _ ... x^-1-2x-j-4 x^-t-8 «x —x^ ' 2s —x — ' x' — 2x^ -j- 4 ' x — 9 °" 6» 2b 14o Sä — 7 b ' 3 ä ' 15s ' 6» 547. il -i- il - k 4 d/V b/ s. -t- b d ... /3» 2b , «4 /2« , 3b 4eX ,51. - g ^"4- -s-)^ /5x^ . 2x „V /7x^ 5x .24 552. j— 4- -5 - 2j -j- 553. 554. sl' 2__1-1. 4a.» 1 » -s- 1 s-j-2/ L^-^-S» — 6 / p^x^ . 2vx'^ 3x^4 / 4p^x ' 3px^ . 2x^ 4 3 b > 9»' — 18ab 4- 6sd' 2rt — 3b :(a^-b) 562. : (3a —2b) s? — x^ 12s.mx , —-v—: — 4ax — s bo xx" il ; 2 M — 4 > m -j- n/ — ms: (2x-—2«,-)--- 1 —2m-l-3m^° — 4m^ /1.0 > «> -— -—j—;-r (1 4- 2i» -l- va°) — 1 — 2ui -j- l" (a°-b-):^^ 566. 3^:(l-g^ 2sb Srna _ 2ibx^x!> _ 3eä' 7py ' 2s»^t!L^' 4Sl>'e^x --——7-7;— 57«. ta-4- i:Ia-> — 0^ — ä^ e ä 4 4 v/ / 4 > 14 . /3x-_Sx->^.S; — ^x-)' "^x-i-^- X--/'" 445 15 ^10- 'S),— /2s? »x 3x^^ , /2» 3x4 4'9 s2'^^/^4^ 4/ /X- 8s'4,/x' 2»-4 427 125/'43 S/ 207 /8x° 27 »'l /2x- ^77' 8b«)'^3x 3». 4 2 k') — 57«. 577. 578. /o . 4x--3x->24 X — 3X 4- -j- l2ü. ^° 4- 8»^' . A? 4" 4>t'/ -j- 4«x' _ — 27x^ ' L — 3^ t — 2i»b 3«b —1 1 3si.^ . 5r» (4rl'b — t>3 4»^ — 4»^b-t- -rb') ' 18»^ — v^ 12^' — 314 58«. 583. 58«. a 4- 2. Decimalbrüche. (§8- 110 —125.) «I«. 13-5782 -f- 0'91507 -j- 31'06615 -1- 8-15672 -1- 40 98378 -- 62«. 0-987654 4- 0'876543 4- 0'765432 4- 0'654321 4- 0-432109 -- «21. 19-3875.. 4- 23-473.. 4- 38-378. . 4- 9-4531.. -- «22. Man verwandle die Glieder der Reihe lH 2.3.4 ' 3.4.5 9.10.11 ' 10.11.12 in Decimalbrüche und berechne die Summe auf 3 Decimalen. «23. 58 2307 — 19-5284 - «24. 123 458 — 92-78459 — «25. 748-625- 283 ^ «2«. 1 -0 172635 -^ «27. 8 2345.. - 3 5678. . — «28. 35'79.. — 10 809. . — 629. 79-24405 - 1'7786 -f- 88 — 98'30556 — z — 208 63«. Man bestimme 7^ a -si l> "1- 6, 6 a -si 5 — o, 0 — a — b> -si o, D — 1> -si o — 8, für a —23-4567, 5 — 39 0703, e —51-809. «31. 48-326 X 9 — «33. 9 10993 X345 — «35. 27-3482 X S- «37. 1 Meter — 3 163749 «32. 124-0175 X 28 — 834. 3-14159 X 36 — «3«. 0 33044 X 3^— Wiener Fuß; wie viel Wiener Fuß sind 10, 100, 1000 Meter? «38. 7-89123 X 2-150624 — «39. 815-2791 X 0 09156 — «4«. 5-37034 X 8-10936 X 2 -51446 — (auf 5 Dec.) «41. 1 045 X l 045 X 1'045 X 1'045 — (auf 6 Dec.) «42. Man bestimme auf 4 Decimalen m — (a -si 5 -si v) (a. -si si — v) (a — 6 -si o) (5 -si 6 — a) für u — 1-30785, d — 2 09122, 6 — 2-80116. «43. 834 X 2 1335..— «44. 37 X 15 0816..— «45. 2-95525.. X 0-1563. . — «4«. 28135. . X 7089. . — «47. 6 04.. X 0-0085.. — «48. 0-1956.. X 0 8091.. — «49. 9-25648:8 -- «51. 635 0924:129 — «53. 73:2 105 --- «55. 3 -80157 «57. 1346-76:2 9 -- «59. 7 -242576:19 14 -- «Kl. 507 78576:2-16 -- ««3. 3-187:5-3185..— ««5. 53-4428..: 9-157 — «K7. 0-3497 . : 14-2844 — «K9 . 0-00368..: 3-14159. — «59. 329-2406:25 — «52. 17 049:836 -- «54. 1:3-14159 — «5«. 91 07446: zz-- «58. 435-6486:13 34 — «K9. 14582-136:0-474 - ««2. 0-4368619:8-547 -- «K4. 912-857:0-118..— Vk«. 71-293..-.0 08566 — «K8. 9-2737.. : 9-8767.. — «7V. 390-2582..:008135.. — 3. Kettenbrüche. 209 695. Man verwandle in einen Kettenbruch und weise an den Näherungs- brächen die in den ZZ. 132 und 133 begründeten Eigenschaften nach. 696. Ein Wiener Metzen — 1-9471 Wiener Cubikfuß. Man suche die Nä- herungswerthe. 697. Ein Wiener Pfund hat 0'560012 Kilogramm. Welches sind die fünf ersten Näheruugswerthe dieses Verhältnisses? 698. Der Wiener Eimer hat 1'792 Cubikfuß. Man gebe die angenäherten Werthe dieses Verhältnisses an. 699. Der Werth der nach dem neuen Münzsysteme ausgeprägten Krone ist gleich 2'9052 Ducaten. Welche Näheruugswerthe hat dieses Verhältnis? mit Rücksicht auf Z. 143, 1. roo. 702. 704. 35 35": 48-27 705. x: 3-1416 70«. 8-91375. V. Verhältnisse und Proportionen. 1. Proportionen. (8. 148.) Man löse folgende Proportionen auf: x:5^z-§; 701. 3'-:x^15z:5; 4z:4z —x:8^; 703. 3z:5§--7Z:x; - -- — — — 218-275 : 360; 17-2104.. — x : 42-90665..; 707. ° : x; 708. x : 3^ 5m» : 700. x: sm — 2n) — (9m -st 8 n) : (3m — 4n); 710. (6a. —5b):x^(12u- —4ab —5b-) : (8n-- 2ab — 3b-); -st b' ' s— b u 1> 712. x -sta: x — b : o; /13. —7-7 :-7- — X : it. — X L-i-b »—b 2. Einfache Negeldetri. (8§. 151 und 152.) 714. Wenn 17 Pfd. einer Waare 5 st. 78 kr. kosten; u) wie viel kosten 43 Pfd.; b) wie viel Pfund erhält man für 10 st. 54 kr.? 715. Wenn die Luft auf eine Fläche von 1^-stP einen Druck von 27'65 Ctr. ausübt; welcher Druck lastet auf einer Fläche von 20^? 716. Ein Land von m Ouadratmeilen zählt r Einwohner; n) wie viele Ein¬ wohner treffen bei gleicher relativer Bevölkerung auf n Quadratmeilen; b) auf wie viele Quadratmeilen treffen s Einwohner? 717. Das Vorderrad eines Wagens hat n Meter, das Hinterrad b Meter im Umfange; wie oft hat sich ersteres umgedreht, wenn letzteres m Umläufe gemacht hat? — 6-8; b 9-2; m — 170. 718. Ein sich bewegender Körper legt in a Secunden b Fuß zurück; u) wie viel Fuß legt er in t Secunden zurück; b) in wie viel Secunden legt er s Fuß zurück? 719. Die Geschwindigkeiten zweier sich bewegender Körper verhalten sich wie o: o'; wie viel Zeit braucht der zweite zu einem Wege, zu welchem der erste t Secunden braucht? Moinik, Arithmetik und Algebra. II. Aust. 14 210 720. Von einem Gasometer, welcher 345 Cubikfuß faßt, werden für eine ge¬ wisse Zeit 92 Laternen mit Gas versorgt; wie viel Cubikfuß muß ein Gasometer halten, nm 148 Laternen ans eben so lange Zeit mit Gas zu versehen? 721. Ein Manuscript gibt 162 Seiten, jede zu 35 Zeilen; wie viele Seiten wird es geben, wenn auf jede Seite 45 Zeilen kommen? 722. Ein Vorrath von Lebensmitteln reicht für a Personen auf b Tage; für wie viele Personen reicht der nämliche Vorrath a Tage länger? s, -- 72, b — 52, o — 65. 723i z Ein Arbeiter verdient in 4 Tagen so viel, als ein anderer in 5 Tagen; 'wenn nun der erste in 15 Tagen 18E st. verdient, wie viel verdient der zweite in derselben Zeit? 724. Eine Stadt hat 13750 Einwohner; wie rM sind 12 dieser Bevölkerung? 725.4 Das salzhaltigste Meer ist der Ocean zwischen Europa und America, er enthält 36'7 Salz; wie viel Salz ist in einem Cubikfuß Meerwasser enthalten, wenn dieses 68^ Pfd. wiegt? ^6. Nach der Duvillard'schen Sterblichkeitstafel erreichen von 502216 20jäh- rigen Menschen 297070 das 50ste Jahr; wie viel sterben hiernach in dem Alter von 20 bis 50 Jahren? 727. Wie viel betragen 3 «) auf Hundert, /3) von Hundert, )-) in Hundert n) von 3758 st.? d) von 2908A Thlr? a) von 5230'65 Francs? 728. Jemand kauft eine Waare für n st.; wie theuer muß er dieselbe ver¬ kaufen, um x zu gewinnen? 725. Eine Waare wird mit x °/o Gewinn für n st. verkauft; wie viel kostete dieselbe im Einkäufe? 730. Wenn x procentige Staatspapiere den Curs a haben, welcher ist der ent¬ sprechende Curs von;>' procentigen? p — 5, o — 62'5 st., p, — 4. 731. Wenn ein Staatsloos den Curs 93'25 hat; a) wie viel sind 250 st. jenes Papiers Werth; b) wie viel in solchen Staatsloosen erhält man für 8858'75 st? 732. Jemand verwendet ein Capital von a st. zum Ankäufe von x procentigen Staatspapieren, deren Curs e ist; wie viel nimmt er davon jährlich an Zinsen ein? n 12656, x — 4, o — 56^. 733. Ein Capital bringt in t Jahren 2 st. Zins; a) wie viel Zins bringt es bei gleichem Procent in 0 Jahren; k>) in wie viel Jahren bringt es st. Zins? 734. Zu wie viel Procent muß ein Capital angelegt werden, damit es in t/ Jahren eben so viel Zins bringe, als es in t Jahren zu p A Zins bringt? t' — 3, t — 2, x — 6. 735. Jemand kauft für 3480 st. Waare, erhält aber bei contanter Bezahlung 24 L Sconto (Nachlaß); wie viel beträgt der Sconto, wenn er u) von Hundert, 6) auf Hundert gerechnet wird? 736. Jemand erhält für eine verkaufte Waare nach Abzug von 2 Provision 2174 st.; wie viel beträgt die Provision? (Rechnung in Hundert.) 211 3. Zusammengesetzte Regeldetri. (ZZ. 153 und 154) 737. u Pfund Garn geben b Ellen Leinwand von « Ellen Breite; «) wie viel Ellen Leinwand von o' Breite geben n' Pfund desselben Garns; fl) wie breit kann die Leinwand werden, wenn aus a' Pfund Garn 5' Ellen gefertigt werden sollen; wie viel Pfund Garn sind erforderlich, um 6' Ellen Leinwand von a' Breite zu erhalten? 738. Aus einer gewissen Quantität Garn können 16 Stücke -Z breites Tuch verfertigt werden, wenn das Stück 54 Ellen hält. Aus einem Theil des Garns werden 2 Stücke 1-Z- breites Tuch verfertigt, jedes Stück zu 48 Ellen; wie viele Stücke 2j breites Tuch, das Stück zu 47 Ellen, können aus dem Reste verfertigt werden? 73V. Eine Maschine hebt in a Secunden b Pfund auf eine Höhe von oFuß; in welcher Zeit kann sie b' Pfund v' Fuß hoch heben? * u — 93, b — 4185, o — 1§, 5' — 6912, o' — 3z. 74V. Eine Mühle mahlt auf a Gängen bei b Umdrehungen pr. Minute in v Stunden ä Metzen Getreide; auf wie viel Gängen können bei 5' Um¬ drehungen pr. Minute in o' Stunden ä' Metzen geliefert werden. 741. Von zwei Rädern, welche in einander greifen, hat das eine u, das andere 5 Zähne; wenn nun das erste Rad in 8 Minuten in Umläufe macht- wie vielmal dreht sich das zweite Rad in t Minuten um? 742. 12 Centner werden 10 Meilen weit um 6z fl. geführt; a) wie weit werden 24j Centner um 30 z fl. geführt; 6) wie viel Centner wird der Fuhrmann um 13K fl, 18» Meilen weit führen; o) wie viel Frachtlohn wird man zahlen müssen, damit 37 Ctr. 25z Meilen weit geführt werden? 743. 6 Arbeiter vollendeten in 4 Tagen einen Graben, welcher 900 lang, 2z' breit und 2' tief ist. Bei einem zweiten Graben erfordert die För¬ derung von 2z Cubikfuß eben so viel Zeit als beim ersten die Förderung von 4z Cubikfuß. a) Wie viele Arbeiter vollenden den zweiten Graben in 9 Tagen, wenn er 735' lang, 3z' breit und iz' tief ist; b) in wie wie viel Tagen vollenden den zweiten Graben 10 Arbeiter, wenn der¬ selbe 850' lang, 2E' breit und 2z' tief ist? 744. Wie viel Zins bringen 3791 fl. zu 4 A in 3 Jahren? 745. Wie viel Zins geben u) 1287 fl., b) 3745z fl., o) 8391 fl. 34 kr. zu 5z in «) 2 Jahren, /1) 3z Jahren, 2 Jahren 4 Monaten 18 Tagen? 746. Wie viel Zins tragen 6 fl. Capital in T Tagen zu 6 A? 747. Wie viel Zins bringen 3609 Thlr. Capital in 125 Tagen a) zu 6 A, k) zu 4 A, o) zu 4z °/<>, ä) zu 2 °/„? 748. Eine 5 S Staatsschuldverschreibung von 500 fl. wird am 17. August zum Curse von 7iz eingekauft; wie viel muß man dafür bezahlen, wenn die rückständigen Zinsen (des Nennwerthes) seit 1. Mai zu vergüten siud? 74'1. In welcher Zeit geben 4844 fl. Capital, zu 4z angelegt, 886z fl.? 75«. Wie groß muß das Capital sein, welches zu 5z in 2/^ Jahren 950? fl. Zins bringt? 751. Zu wie viel müssen 1424 fl. angelegt werden, damit sie in 3z Jahren 237 z fl. Interessen geben? 752. Wenn o fl. Capital in t Jahren 2 fl. Zins tragen, s.) welchen Zins bringen e' fl. Capital in t' Jahren; b) welches Capital bringt in t' Jahren 2' fl. Zins; 0) in wie viel Jahren bringen 0' fl. Capital 2' fl. Zins? 14* 212 753. Ein Capital o wird nach t Jahren zurückgezahlt; zu welcher Summe (s) ist es bei dem Zinsfüße x angewachsen? 100 -i- tx . s — o. K,« 754. Ein Capital o, welches nach t Jahren ohne Zinsen fällig ist, soll zu Anfang dieser Zeit ausgezahlt werden; wie viel (r) hat der Gläubiger bei x> einfacher Zinsenvergütung anzusprechen? Bei der Rechnung auf Hundert ist r ----- v — iöo^I „ „ „ von Hundert „ r ---- o — Welche Rechnung ist die richtige, welche die bequemere? Kaufleute berechnen den Discont bei Wechseln und den Sconto bei Waarenbeträgen immer von Hundert. 755. Wie viel beträgt die Barzahlung eines Waarenbetrages von 1976 fl. nach Abzug von 1^ Sconto? 756. Eine Wechselsumme von 2813 fl. 15 kr. wird 2 Monate vor der Ver¬ fallszeit mit 4 A discontiert; s) wie viel beträgt der Discont; d) wie viel hat der Käufer zu bezahlen? 757- Wie viel muß man heute gegen 6 ausleihen, damit man nach 3 Jahren sammt Zinsen 2950 fl. zurückerhalte? (Auf Hundert.) 758. Jemand legt zu Anfang eines jeden Jahres ein Capital von 2000 fl. an und setzt dies durch 5 Jahre fort; wie groß ist der gegenwärtige Werth aller Capital-Anlagen bei 5 A einfacher Verzinsung? 759. Auf ein bestimmtes Kaufobject bietet 24000 fl. sogleich zahlbar; L 16000 fl. contant und ferner je 3000 fl. nach 1, 2, 3 Jahren un¬ verzinslich zahlbar; 0 17000 fl. contant und ferner je 2000 fl. nach 1^, 3, 4H- und 6 Jahren unverzinslich zahlbar. Welches ist das vor- theilhafteste Anbot, wenn 4 A einfache Zinsenvergütung angenommen wird? 766. Die Capitalien eh o", sind bezüglich nach th t",t"h... Zeit¬ einheiten (Jahren, Monaten,...) unverzinslich zu zahlen. Alle Zahlungen sollen auf einmal geleistet werden. Wann muß die Gesammtsumme s — e^ -j- o" -j- o'" -j-.. gezahlt werden? Heißt m der mittlere Zahlungstermin und nimmt man einfache Zinsen zu x> «/„ an, so ist bei der Rechnung auf Hundert v't' , e"t" , c"'t'" , _ WO 4- Pt' wo 4- Pt" 100 4- xt'" > ''' — °' 4_ °" , 1 100 4- Pt' 100 4- Pt" " 100 4- Pt'" ' '" bei der Rechnung von Hundert — e't' 4- v"t» 4- e'"t'" 4- ... <-' 4- e" 4- ll'" 4- ...' Diese Rechnung nennt man die Terminrechnung, und wendet dabei gewöhnlich die vom Procent unabhängige Berechnung von Hun¬ dert an. 761. Jemand hat 2000 fl. nach 2 Monaten, 1500 fl. nach 5 Monaten, 2400 fl. nach 1 Jahre, 2500 fl. nach 1 Jahre 3 Monaten unverzinslich zu zahlen; wann muß die Zahlung geschehen, wenn die Summe aller jener Termin¬ zahlungen auf einmal erlegt werden soll? 213 4. Theilregel. (KZ. 155 und 156.) 7S2. Zu einem Unternehmen gibt 3100 fl., 8 3500 fl., 0 4200 fl. her; wenn nun dabei 324 fl. gewonnen werden, wie viel kommt auf jeden? 763. Es soll die Zahl 3710 in 4 Theile getheilt werden, welche sich zu einander verhalten, wie die Brüche j, H, Z, j. 764. Pakfong besteht aus 53j Theilen Kupfer, 29 Theilen Zink und 17^ Theilen Nickel. Wie viel von jedem dieser drei Bestandtheile braucht man, um 28 Pfund Pakfong zu erhalten? 765. Vier Gemeinden, von denen 738 fl. 42 kr., 6 815 fl., 0 513 fl. 65 kr., I) 618 fl. 83 kr. Steuern zahlt, sollen nach Verhältnis der Steuern zu einer Schulbaulichkeit, deren Kosten sich auf 924 ft. 30 kr. belaufen, bei¬ tragen; welcher Beitrag entfällt auf jede Gemeinde? 766. Eine Summe von s fl. ist in drei Theile n, I>, e so zu theilen, daß sich a : b — m : u und b : o — p : verhalte. 7K7. Unter 3 Personen sind 3960 fl. so zu vertheilen, daß 8 doppelt so viel als und 0 dreimal so viel als 8 bekomme; wie viel bekommt jeder? 768. Drei Personen sollen 9150 fl. so unter einander theilen, daß so oft 5 fl. als 8 3 fl., und 0 so oft 3 fl. als 8 4 fl. erhalte; wie viel bekommt jede Person? 769. Eine Erbschaft von 18420 fl. soll unter 4 Personen so getheilt werden, daß 8 4, G und v den Rest erhalten. Vor der Theilnug stirbt jedoch und die übrigen drei theilen nun auch den Antheil des im Verhältnisse ihrer ursprünglichen Antheile unter sich. Wie viel bekommt jeder? 776. Drei Gemeinden erhalten für geleistete Erdarbeiten 250 fl. Aus der Gemeinde arbeiteten 11 Mann durch 10 Tage zu 9 Stunden, aus der Gemeinde 8 9 Mann durch 9 Tage zu 10 Stunden, aus der Ge¬ meinde 6 15 Mann durch 5 Tage zu 6 Stunden täglich. Welchen An¬ theil an jenem Lohne wird jede der drei Gemeinden haben? 771. beginnt am Anfänge des Jahres ein Unternehmen mit einem Fonde von 8000 fl.; nach zwei Monaten tritt 8 mit 5000 fl. bei, und noch zwei Monate später gesellt sich auch 0 mit 3000 fl. dazu. Beim Jahres¬ schlüsse zeigt sich ein Gewinn von 1059 fl.; wie viel bekommt jeder davon? 772. Zu einem gemeinschaftlichen Geschäfte gibt u" fl. und nach in' Mona¬ ten noch 5' fl.; 8 u" fl. und nach ra" Monaten noch 1)" fl.; 0 s/" fl. und nach uck" Monaten noch d'" fl.; wie ist nach m Monaten der Gewinn von K st- Zu vertheilen? 5. Kettenregel. (Z. 157.) 77Z. Wie viel Wiener Fuß sind 2135 preuß. Fuß, wenn 329 W. Fuß — 104 Meter und 223 preuß. Fuß — 70 Meter sind? 774. Wenn ra Pfund in N einen Preis a haben, welches ist der entsprechende Preis von u Pfund in 17? (m' Pfd. von L4 --- K Pfd. von 8, 1/ Pfd. von 8 ---- v Pfd. von 0, und xq/ 818 0»)2 — 831. 69X-r2 s,x-m K) > (3x-l-2^)'^ 863. 865. 867. 869. 87». 81». 851. 853. 855. 857. 859. 861. 828. 83». 832. 8«7. (2ax)° — 8»9. (— 3a)->- 811. (—4ab)°.(3L)2 — 813. (7a)O.(3a)'.(2L)' — 839. 811. 813. (5a-')-2.(2s) 815. 9°. 9-2 — . 9—2 — /2x 3^X2 I3s 4b/ (a -j- 2b - 3l-)2 — (3x —57 4-8^)2 — 868. (6x2 (27x» — 54x» -j- Zöx^ __ g)? — (4 — 89 — 39° -f- 92 -f- 2a«)2 — (39,2^x27)- 2 — / 2»-b- r-— 85». D 852. (a-i)-r — 851. f(a"')—— 856. (— 2x—27^—»)» - 858. / 1 Vz---> 1 82». 822. (29,2)» — 825. s(-92)»)2_ 2sx—2 °) 81». 9-- 812. 3 9--5-^.4 9-2 5» — 811. (ir>x->')-^.(l>7-'>)-°— 816. 6925-2: 2 9» 5-2— (° - S)-2 — /2^-s S - X—2: X"2 — 86«. (29 — 45)2 — »«. (.-!)'^ »»- (L-N - 866. (44-27 — 72)2 — 868. (6x2 — 5x- 4- 4x — 3?— 8)2^ 8V8. (9566)« — 81». (—39)' — 812. (5mx)».(-3iQ7)2 — 811. (9 5)«-2". (9 0)2--». (5 <>) ----- 816. i-^V — /. 3s4--^^1» 1 2bx / 823. (ax'°)p - : 826. (29.2X») (92(5 -- 0)2)» — 1 3b--^/ i3--.-.2b4'.(4--t>rj° (I2»"b°)' — 821 82l' s(w2)2)» — 827. (— 5x2' » 829. ((X72)2.^-)-- — M- »»(N' (-^ o..» s (2x^/.(3x--2^«.(57^)b s _ ( (4x4-)-. (2^-^')' j — 837. Man befreie von den negativen Exponenten: 9)3925-2; 5) 95-^-272,- 838. Man bringe auf die Form von ganzen Zahlen: Ul 3 X? 216 »l- 875. (— a -j- b -j- o)2 -s- (a — b -^- o)^ -s- (a -s- b — o)^ — 87K. l(a 4- x)° -j- (b - 7)^2 - _j_ ^2 - (j, - ^2^2 877. 2492 — 878. 5019-— 879. 72902- — 88». 5-912 — 881. 0-8772 — 882. 0013579- — 883. 45'26..- — 884. 0'7384.. °- 885. 3'14159..- — 886. (a —b)» — 887. (2x4-87)»- 888. (m» —2n-)» — 88». (5a-4-41)x»)» — »»-6-«-9'^ K-U'--- 892. (7-4-27 — 8)»- 893. (x-— 8x7 4-27-)» — 894. (1 — 2x — 3x-4-4x»)» — 895. (1 — 2u-4-4a« — 8u»)» — 896. —l) — 897. ^4ab — — 898. 933»— 899. 1585»— 99». 66045» — »Sl. 0138»— 992. 45 09»— 993. 5 99203» — 994. 9'336..»— »95. 0-8583..» »96. 0'088645..» — 2. Wurzeln. (88- 172-210.) 3 3 3 mm 907. j/a4-4 j/a-4 5 j/a- »08. 7 j/x" — 3 1/x°-- 999. s, -j- o — 6 1/m — 919. 3 ^2 — 7 ^/5 4- 4 ^/2 -4 5 ^/5 s z 911. 31/a— 6 1/a 4- ul ,/a 4- u — s s s 912. 5 1?a» 4- 2 1/a — 3 1/a» — 913. a 1/5 — 25 1/u — 2a1/54-851/a — 551/»4-6a1/5 --- 5 s 3 s 914. j/a- . j/u 915. 1/5 . 1/200 — »17. (I/3-2^/k).^j/x-- »I8. (-l4-I/d) (u.— 1/5) -- 91». (8 — 3^/5) (7 4-21/5)--- »29. (4 4-^/2) (3 — 2 'j/2^ 921. (2j/3a — ;/3) (3^3a4-^/3) --- 922. 1/34-1/5 . 1/3 —1/5 923. j/a 4- ^/6 . j/a —^/b 924. (l/u4- 6 — ^/u-4I/d) (I/a4-b 4- ^/a-)/d) — 925. (»; /L4-I/5— j/c) ( 2l/ abe — b^o-j-ol/ d) — 926. ^)/a-4^4-^ri — x.^/^u-j-x — 1/a — x — »27. (3^54-2^6) (21/5 — 3^6) (21/3 — 41/10) — 3 6 S 3 4 »28. . 1/a — 1/^» . 1/ »29. 1/x- . 1/x» 6 g k 939. 1/a». 1/L^ — 931. 41/6.51/2 --- 217 s t is 932. --- _s , 933. 3 j/x—* . ^/x? — 934. x. 1/^ — 1/x- . 1/-— 935. — mn X X MN i' - >>) PMr- --7. 4^4^ - « _. _ s_ 938. (a — 1/d) .4-^b — 939. (3 1/5^-4 4) . 1/4» — 94«. (3^/7 4-41/3) (21/7 — 31/3) — 941. (1/s.b 4- 3 (5 1/s.b -4 4 4^^) — s s z s 942. 1/^:1/^ — 943. 108 : ,/4 — z s - s 944. (l/r^b —l/nd^-l/ab — 945. 4^ — b-: 1/g. b 946. (1/ax — l/ox -41^? — 1/62) : (1/n — l/o) — 4 z IS IS s 5 947. 1/g,3:1/s — 1/s.o : ^/g,4 — 948- 4^^!?^^ — 4 n_ p 949. m 1/a: 1/n — 959. l/^x-^ : 1/x^ — , 4 951. 1/^ 4- x: 1/s/ — X-- s 952. (k — b) : (j/L - 1/b) — 953. (4x s/x — 6 j/x 4- 8x) : 2 1/x — S 4 b S 954. (1/g. — 1/ — 1/r»^ -4 1Ža^) : 1/n° — 3 s-s. - j . j/ j l/n-^ l/n j 95«. (4'n°)^ — 3 958. (4a2 1/ax43 — «« 1444^ 962. (2a 4- 3 1/b)"— 964. (31/2 — 2 j/3)- 966. (1 - 2 1/2 4-3 4"3)2 — 968. X — 4x7 — 1 X-I-4X- — 1 «?a . 3x-1-4^x m/x 1 - 4x 1 -x 957. (l/a^c?? — 959. (1? a-" b")v . 1/sI) — s __ 961. /I— 1^ Sb4bxs 963. (2 — 3 ^5)2 — 965. (3x2 2^2 — 967. (I/2x-4ir- 1/2x —a)- 979. », — — b ___ 971. ^4^4- 4^40 -4 1/ a - b 74: 4/,/4/40 — 1/114? — s s Sz 972. (4a 1/b — 31> 4" a)» — 973. (a - 3 1/a- -4 4 4I)« — 974. ^1/n» 4- 1/411 _ j/1» ___ — 218 975. l/^b» — 97«. j/a-> k -- 977. -- s/^7^ - 978. 1/ 20 --- 1/475 -- 3 3 979. 1/81 --- 98». 1/27^ d« --- 981. 1/2 -/ 1/8 -/ 3 1/50 -- 1/2 -/ 2 1/2 -j- 15 1/2 982. 3 1/50 -/ 2 1/72 - 1/128 -- 3 3 3 984. 41/3-21/24 -/ j/192 -- 986. 1/^HH — 988. 1/(g? 5'^ v)» — s »« j/K-- I/pZ^ 8 , . »«. 1/^-- »»»^ 1////- 1999. 2 1/21/2 -- 1992. 3 1/^2 1/a/- j/ »1/g? — 1993. 4a1^a1/a1/Ä — 21/VI/i 983. 6 1/125 —3 1/80/-2)/20 985. 5 a 1/12x2 — 2x1/ 27 987. — s s 989. 1/(4x^)- . j/(2x- — 3 993. j/^-' 4- ^51/7^ §/^1^ — 1991. x x xlx — 1994. Man bestimme: M; 25-i; 16^; 81-1; (^)-i; (N)-4. 1995. (x-> )° — 199«. (x" )" --- 1997. 'x^"/ " -- / m^-p X n u> 1998. (x » / — 1999. 1/x " — 1929. (2a» — 3bY (5A- 4- 6 b') ---- 1921. (6x° — 8xr 4- 3x0 — 4x-t) : (3x« — 4xY — 219 Man stelle folgende Brüche mit einem rationalen Nenner dar: Man verwandle folgende Summen und Differenzen von Qua¬ dratwurzeln in eine Quadratwurzel: 1055. P2 4- P3 -j- P2 - j/3 — 105«. l/12 4- P23 — 12 — P23 — 1057. s/5 4-2 P6 4- f/5 — 2 p 6 — 1058. P7 ->- 2 p 10 4- p_7 — 2 P10 — 105». 1/ 1 -s- 2n s/1 — s- 4- s/ 1 — 2 » p 1 — I0K0. 1/2a -j- 2 s/n2 — b- 4- 1/2a — 2 Pa" — — 220 1071. 1/ 3 1/5H -- I«72. 1/41/ 2 L 2 1/6 -- 1073. 1/ x 4- 4- 2 1/x?-- _ 1074. 1/(10-/ -s- rr-6-) -I- 6a» j/I-H 1075. 1/—1 4- 3 I/—1 - _ I«7K. 5j/—2 — 3 j/-2 -- l«77. j /—4 4- j/—9 — ^— 16 ^1/— 1 4- 3 j/— 1 - 41/— 1 -- I«78. 1/ —4- 21/— 164- 51/— 36 -- I«7S. a 1/ —x-— 6 1/-)-^ — o 1/—2°— 1080. 5 1/Z 7I. 3 -- 1081. - 7.D//7I — 1082. 1/ -3. 1/ -5 — _ 1083. s, 1/—a. —6 1/—6 — 1084. 1/— x^ . 1/ — x^» . j/ — x» — 1085. (2a - 3d) 1/ "l . (3a 4- d) -- 1086. (j/— a 4- I/— 6) (j/— a — )/— 6) — 1087. (4 /-2 4- I/—3 - j/—4) (1/—2-1/-3 4-1/—4) — 1088-1/ — w6:1/6 — I08S. — x: 1/— x — I0S«. 1/^8 : j/H^- 1051. (1/—20 — 1/—15) : j/—5 — 1052. (41/ —8—8 ^—12 121/—16) : 41/-4 — 1003.(1/^1)''— 1094.(1/^1)»— 1095. (1/7771)12 — I096.()/175?— 1007.(1/1/3)^— 1098. (—51/7/1)'« — 1099. (al/— 6x)» -- 1100. §01/— 4w--»")--j — I IOI. (4a 4-61/774)) ^(2g. - 36^77^) — 1102. (m 4- 1/ — u) (w — 1/— n) — 1103. (5 4- 6I///1) (3 — 41/7/1) -- 1104. (1/a 4- 1/777ss) (1/a - 1/7775) — 1105. (x 4- 1 4- 1/7/3) (x 4- 1 — 1/77Z) 1106. (x 4-1) (x — 1) (x 4-1/—1) (x — 1/—1) — 1107. (a 4- ^1/—(a — d 1/ — 1) (o 4- ä 1/— 1) (o — 61/ — 1) --- Multipliciert man hier den ersten und zweiten, den dritten und vierten Factor und dann die Producte miteinander, hierauf eben so den ersten und dritten, dem zweiten und vierten Factor, unk dann die erhaltenen Producte, so geben die beiden Endprodukte die merkwürdige Gleichung (g2 F2) ((.2 z--) — (Ag — 5ä)- 4- (nä 4- d«)°. 1108. (2 — 31//7Y- -- 1109. (3-1/775)2 IIIO. (1/2-^7IH2 INI. (1/it —61/—1)«^- 1112. 1113. (14-^-3)--- III4. (1-21/-3)-- 221 Man befreie die folgenden Brüche von ihren imaginären Nennern: III5. - ni«. NI7. --- i — /-1 »-!/-b _ b 1118. m., — 1/2-I/—3 /—a-j-z/—b ^0 — 6 -1- 51/— 3 61/—-5 — 5 s/-6 Man verwandle folgende Summen und Differenzen von Quadrat¬ wurzeln in eine Quadratwurzel: 1121. j/2 4- j/^ 4- 1/2-^/^ 1122. 3 -f- f/—3 - 4j/H 1123. ?/- 3-^4f/^-j/—3 — 4l/I^I -- 1124. 1^2 4- 2 f/^35 j/2 — 2 j/^M — Man verwandle folgende Quadratwurzeln in Summen oder Differenzen von Quadratwurzeln: N25. j/7 -i- f/^72' 112«. j/'— 3-1-4 f/"i --- 1127.^-3 — 4 1/^1--- 1128. j/13-10 1/HZ^ II2S. f/4a- — 12ab 4- 9b- --- 113«. 1^9in» — 12m-n- -j- 4n» — 1131. 1/ jx» — 6ax»-st lla-x- — 6a»x -st a»^ --- 1132. f/!l6w° 4- 16m-> -st 4m» — 16m» — 8m- -st 4! — 1133. I/I — 4x--- 1134. f/4a-— 16a z/Hb —16b — 1135. f/46a° — 24a»-st 25a* — 20a'-st 10a- — 4a4- i; — 113«. f/iOv" — 12v° -i- 10^» — 28^» 4- 17^- — 87 4 16j --- 1137. j/ ! 25 — 70a -st139 a- - 236a» -st 154 a» — 198 a» -st 121 a°! --- 1153. 1/35-8423.. — 1154. 1/91794563 — (3 Dec.) 1155. j/O-00083619.. II5«. 1/3181-3742 --- (6 Dec.) Man bestimme mittelst der Kettenbrüche auf 5 Decimalen: 1157. 1/11; 1158. 1/23- 115». j/M; 1160. f/12Ö. 1161. 1/a»x° — 3 a- bx»)-- -st 3ab-x-^» — b»^» — 1162. 1/;8x' —36x'-st78x» —99x»-st78x- —36x-st8j — 1163. ^a» -3 x'» — 1164. f/x» — a-- s s- » - 1165. f/!8a — 60 1/a-b- I25b-f-150 r/ab-j — 222 Man suche aus den Logarithmentafeln zu folgenden Zahlen die Brig- gischen Logarithmen: 121«. 7; I2II. 38; >212. 218; >213. 983; >214. 1035; 1215. 4719; I2IK. 5755; 1217. 7899; /V '' j? iAtStE» § 223 1218. 39070; 121». 586100; 122». 59 13; 1221. 9 015; 1222. 86127; 1223. 78009; ' 1224. 0-68315; 1225. 85'201; 122«. 0-091457; 1227. 364228; 1228. 17'8193; 122». 4-48197. Man suche zu folgenden Logarithmen die zugehörigen Zahlen: 123«. 0'240549; 1231. 1-572872; 1232. 2985471; 1233. 3-890086; 1234. 0'660581; 1235. 0'271609- 1; 123«. 2-957431; 1237.1'013967; 1238.0'463702- 3; 123». 0 730486 — 2; 124». 2-813503; 1241. 3'910012: 1242. 4'553429; 1243. 0 680119; 1244. 1'856036; 1245.4-891950; 124«. 0 051683 —2; 1247.2'699608. Man berechne mit Hilfe der Logarithmen folgende Ausdrücke: 1248. 1 2345 X 1'3456 — 124». 9 68453 X 0-29758 — 125». 1'025 X 1'0792 X 1'05625 X - 1'0751 - 1251. 0-35679 X 1'0765 X 1'92234 X 0'332ö8 — 1252. 2 00415 X 0'56 X 0 0741 X 0 09072 X 1'25463 — 12a3. 1254. 2483 X- 1926 — I2..5. - — 125«. .—7 413 X 5124X 21358 , ' 42S X 4998 X 76143 ,2'H 2-1457 X 9'1248 X 1385 X 31-273 ' 277 X W'7285 X 2'2812 X 125 092 125». (1'05)" — 3'14159 2-3456 X 5-2913 769 X9'12345 S) - 1263. 1 0756° X 1'00858» — 3-14159° X 2'0489° X 1'07938' 4 0932' X 0'859° X 210895° I2KK. j/29- 1268. 1/7135 — 8 1270. j/314-2789 — 12 NN'- 12«». (1 045)° — 12«2. — l5a-817/ 2-4563' — 'V«"' 7^9125^" 3 1267. l/918 — 6 1269. j/ 1'8354 — >"> I/Z-- 8/4.1/6 1273. —sHH- ll /5/124 7 ° _ 1277. f/340.1 > 24 - 105 X 58-93 7 / 1'479388' 127». 347 /0 35 -^/ 5 5 -3 3' — 4-92754 127«. 1278. 128» — s s_ 4-31957'. /3'19338./17-39 L ' S... 15//91'34-9 /3 4071 s 4 . /37'8 . /13° s ._ /7-13945' s 58/10 819 t /2'4037 224 VII. Gleichungen. 1. Ordnen der Gleichungen. (8- 227.) Man ordne folgende Gleichungen: 1281. a — b ----- 0: 1282. X ' X 1283. 1284. 1285. x-j- b X — x , x-1-1 , x — 1 2x , „ 5 —x .2^3 3x —4, 2 3 " 4 ' 12 ' 1287. 6x — -—- a -j- -f- X x -j- » 1299. n — X 1291 12S2. 1293. » -f- X . n — X 1288. (2 — x) (32 — x) --- (4 -j- x) (3 -s- x); I28S. 4'1 3x n — x 2 n 4- x 3» — x 3« -l- 2x 3a -)- x' x^ — I^x-)-1 X — I' 20 3 - ". 3x-(-4 5x —3 Oi X 1 , X -s- 2 _X -4- 3 x — I ' x — 2 x — 3 x — 4' 1294. ^/'4x" -f- 8x -f- 13 --- 4x -f- I; 1295. a s/x 4- 8 4^ l> f/x 4- ki — e; 129«. ^/33 4- x -- f/x — 13; 1297. 5 f/x — 1 -4 2 ---- 6; 1298. f/(x 4-°? 4 - 1° 4 -i/(x- e)" 4- 1299. a^/irx 4- 6 4- l) f/ox 4- it 4" s ax 4 d — 0--2x-21. X — <1 X — b b a ' NI II x-j-m x-^-n X — » — x d b — x --- 6. I3II. 1313. 1315. » — b » b — x x' 5 in 2 (in — x) X X " s. — bx IN—NX p L. e e 225 I3IK. 1318. I31S. 132«. 1321. 1322. x^-j-2x — I ' 'x— 5^4 2x—Iv' л — l> n L-^-x —— —. 2 (3 s — x) . g 3d — x b — L 2b-j-k' _d — L a — b2 s-s-k'^' X . X . X . 1^ . I u b E 6 d e' м (s? -I- x^) IllX —-- —> -vw. »X s izz^ -i" K > «x -s- a , o lllx-j-u xx-j-m x' 1325. -s- o 08 0-0079. 16 ' 5 8 132«. 3x —5215x^^^M^. 1327. (x -s- a) : (x — a) — b : o. >W. 132». (8x — 1) : (4x -s- 2) (6x — 9) : (3x — 4). Man löse jede der folgenden sieben Gleichungen nach allen darin vorkommenden allgemeinen Zahlen auf: 133«. 1002 — 6i?3; 1331. 2s — n (n -j- 2); 1332. r (0' — v") - 0-00367t; 1335. 133«. av sn -s- g ^(1 -s- S) r -s- p -s- Ijj — ks. 1337. 3j/x^1-- 4. 1338. f/6x -j- 7 : fj/5x - 6 --- 5 : 3. 3- 1335. j/1 2x -j- 1/8 -f- 2x. 134«.^ 2 -s- 1/'2H/x --2. 1341. 4 - j/x - 1/4^^7 _ . _ . d 1342. j/x-f-Ä-s-l/x — a — 1343. j/ir-s-x — — 1/2a-s-x. Mo°n!k, AkilhmeM und Algebra, u. Aust. 15 3x -s- 4/ — 4, 12x -6^ — 5. 28x -s- 6/ — 9, 9x — 4x " 2. m nr ox — ao — b — X x 226 m — / 1356. -j- l> 1358. -i. k 135». 1361. 1363. 1366. 1368. 1367. 136». 137». 1373. 1372. 4 , S rv- 4^ 3x4-2-: — 25, x — 2 n — 3. gebe das Gesetz an, welches in 1353. - 4-- X 0 2 1355. 7 Man „ den für x, 7 und 2 erhaltenen Aus¬ drücken vorherrscht. 1371. x -s- -f-612, Z 612, ^^'-612. ? 4, ? _f, 25, 1 _i_ — 0 19. X x 2 1375. ^-j-zx-112. 4 X 4- 4 -1 — 36. 2^-2 2 —x 4, I? — 18, 5 4 10 — — - 19 1 ' 12 3 — x , 4- 10 > 6 3 ' 1,1,1 X 4- 27 4- 82 — 17, 2x-s-3/ -s- 2—12. 1365. 3x —47— 8, 2 x -s- 3 2 — 24, 57 — 6 2 — 35. x ch- -1- ? — s, x: 7 — a: 6, v: 2 — 6: 0. ^4-4 T' 1357. 2, 0, -1 v , s — b x v 4 d a — b L 4- 41x- 32-757 — 9-92, 5-27x — 367-1- 4 34 — 0. 1362. — w, 1361. 6x —47-s-3-r — 28, 4x — 7 — 82— 7, 2x — 87 -j- 62 — 12. 6x-s-52— 8, 207-5-1 — 11, 87 — 3x — 1. 1352. - 4- - 9, - — - — 2. x 1354. -^- — -M- , ll -4 X m -i- X' ir m n — x'^ 7 - 1 » - b Ä 4- v' » — b » — b' _ c, , (-4 — 2b)° —!t' X — 7 — 2 4- - ^72 - . , , 3al> — 3 NX — 67 — a 4- 1)- ^21. ^2- - 7 —42 z, 136«. x-23z^^i. (4x4- l):(2x— 7) —16:5, (2x4-7 7): (x 4-27) — 14 : 5. 1 X 14-^ —^^6 X " 2 1374. -4- 1,1 I - 4- - --- b X 2 ' 1 , 1 ----»6. > > 2 227 137«. 3u — 2x4-7-52-^17, 1377. 3rv — X-P 7-s-22 20, 4u-^-x — 3^-j-22 — — 7, 2rv-fl3x— 7-fl 2 — 17, 6u — 5x-^-2^ — 2 — 13, w-s- 2x4-37 — 2 — 21, rr — x-f- 7s — 2 — 6. —rv 4-^4-274-32—12. 1378. 2x — 3^4-42 — 5u->-6vv—6, 3 x -f- 7 -s- 5 2 -s- u — 3 rv — 3, — x 4- 474-^^ 0 u 4- rv "" 8, x —° 7 4" '— n 4^ rv 3, x 4- /4- 4- u -f- >v — 15. I37S. Das 3fache und 4sache einer Zahl beträgt zusammen 196; wie groß ist die Zahl? 1380. Welche Zahl gibt, wenn man sie mit 2 multipliciert und von dem Pro- ducte 5 subtrahiert, 13 als Resultat? 1381. Non welcher Zahl ist der siebente Theil um 8 kleiner als der dritte Theil? 1382. Wenn man eine Zahl mit 15 multipliciert, zu dem Products 20 addiert, die Summe durch 4 dividiert und von dein Quotienten 14 subtrahiert, so erhält man das 3fache der fraglichen Zahl; welche Zahl ist es? 1383. Die Zahl a soll in zwei Theile so getheilt werden, daß das wfache des ersten Lheiles um ei größer sei als bas usache des zweiten Theiles. 1384. In welche zwei Theile muß inan 60 zerlegen, damit der größere Theil durch den kleineren dividiert 2 zum Quotienten und 3 zum Neste gebe? 1385. Eine Zahl a in solche 2 Theile zu zerlegen, daß ihr Quotient der ge¬ gebenen Zahl selbst.gleich sei. 1386. Welche Zahl muß man vom Zähler und vom Nenner des Bruches (?r) subtrahieren, damit er gleich 1 (4) wird? 1387. Welche Zahl muß vom Zähler des Bruches subtrahiert und zum Nenner desselben addiert werden, damit der erhaltene Brnch der re- ciproke des früheren sei? 1388. Wenn man zum Zähler und Nenner eines Bruches 7 addiert, so erhält er den Werth ?; subtrahiert man vom Zähler und Nenner 2, so erhält er den Werth l. Welches sind Zähler und Nenner des Bruches? 1389. Jemand wird nach 10 Jahren doppelt so alt sein, als er vor 4 Jahren war; wie alt ist er jetzt? 1390. Ein Baker ist jetzt 48, sein Sohn 21 Jahre alt; vor wieviel Jahren war der Vater lOmal so alt als sein Sohn? 1391. Ein Vater ist 36, sein Sohn 10 Jahre alt; wieviel Jahre muß der Vater noch leben, damit er gerade doppelt so alt werde, als es dann sein Sohn sein wird? 1392. ist jetzt mural so alt und wird nach rr Jahren mnal so alt sein als ö; wie alt ist ^.? Welche Beziehung muß zwischen in, n und a statlfinden, damit die Auflösung einen Sinn habe? (Vergl. H. 235, Beispiel 2.) 1393. Ein Vater ist gegenwärtig 3mal so alt als sein Sohn; vor 12 Jahren war er 9mal so alt als der Sohn. Wie alt ist der Vater, wie alt der Sohn? 15* 228 1394. Mn Knabe sagt: meine Mutter ist 25 Jahre älter als ich, mein Vater ist 5 Jahre älter als die Mutter, und wir alle zusammen haben 91 Al¬ tersjahre. Wie alt ist der Knabe, die Mutter, der Vater? 1395. Ein Vater und seine zwei Söhne zählen jetzt zusammen 96 Altersjahre. Vor 4 Jahren war der ältere Sohn halb so alt als sein Vater und doppelt so alt als sein Bruder. Wie alt ist jede dieser drei Personen? 1396. Ein Menschenfreund will einen Geldbetrag, den er eben bei sich hat, unter 10 Arme vertheilen. Will er jedem 20 kr. geben, so hat er eben so viel zu wenig, als er zu viel hat, wenn er jedem 18 kr. gibt. Wie viel Kreuzer hat er bei sich? 1397. Bei der Theilung einer gewissen Summe erhält^. 1000 sl. und H des Restes, L des neuen Restes und noch 500 fl. darüber, 0 die noch übrigen 2500 fl. Wie viel erhält L, wie viel L? 1398. Bei der Theilung einer gewissen Summe erhält a fl. mehr als derselben, L b fl. mehr als des Restes, 0 den neuen Rest, welcher v fl. weniger beträgt als der ganzen Summe. Wie viel erhält ein jeder? 1399. Unter die drei besten Schüler einer Elaste war eine bestimmte Summe so zu vertheilen, daß der zweite um 20 fl. weniger als der erste, und der dritte um 20 fl. weniger als der zweite bekomme; die ganze Summe war um 25 fl. größer als das 4fache dessen, was der dritte bekam. Wie viel erhielt ein jeder der drei Schüler? 1490. Ein Vater läßt bei seinem Tode die Frau mit drei Söhnen zurück und vermacht sein Vermögen auf folgende Art: die Frau soll den dritten Theil des ganzen Vermögens, der erste Sohn den dritten Theil des Restes mehr 600 fl., der zweite Sohn den dritten Theil des neuen Restes mehr 2200 fl., und der dritte Sohn den Rest von 4500 fl. erhalten. Wie groß war das ganze Vermögen, und wie viel kommt auf die Frau und jeden der ersten zwei Söhne? 1401. Ein Vater verspricht seinem Sohne für jede fehlerfreie Aufgabe ein Ge¬ schenk von 10 Kreuzern; für jede fehlerhafte Aufgabe dagegen muß der Sohn dem Vater 5 Kreuzer zurückzahlen. Bei 20 Aufgaben ergab sich nun, daß dem Sohne von den erhaltenen Geschenken 80 Kreuzer übrig blieben. Wie viele Aufgaben hat er ohne Fehler, und wie viele fehler¬ haft gearbeitet? 1402. Jemand dingt einen Gärtner auf einen Monat (30 Tage); er verspricht ihm während dieser Zeit die Kost, und für jeden Tag, an dem er ar¬ beitet, k fl.; für jeden Tag, an dem der Gärtner nicht arbeitet, muß dieser dem Herrn ( fl. für die Kost bezahlen. Nach einem Monate er¬ hielt der Gärtner 18 ft. Wie viele Tage hat er gearbeitet und wie viele nicht? 1403. Zwei Fässer enthalten 351 Liter. Läßt man aus dem ersten den sechsten und aus dem zweiten den dritten Theil heraus, so bleibt in beiden gleichviel übrig. Wie viel Liter enthält jedes Faß? 1404. In einer Gesellschaft waren doppelt soviel Männer als Frauen; nach¬ dem 8 Männer mit ihren Frauen weggingen, blieben noch 4mal so viel Männer als Frauen. Wie viel Männer und Frauen waren an¬ fangs in der Gesellschaft? 229 IlSS. In einer Fabrik arbeiten 26 Arbeiter, theils Meister, theils Gesellen; jeder Meister erhält täglich 2 Gulden, jeder Geselle nur die Hälfte davon. Würde man jedem Meister von seinem Lohne Gulden abziehen, und dafür jedem Gesellen so viel zulegen, so möchte der tägliche Lohn um 2-i. Gulden mehr betragen. Wie viele Meister und wie viele Ge¬ sellen arbeiten in der Fabrik? 1486. Jemand wettet bei jedem Spiele 4 fl. gegen 3 fl. Nach 28 Spielen hat er weder gewonnen, noch verloren. Wie viele Spiele hat er ge¬ wonnen, wie viele verloren? Drei spielen mit einander. Im ersten Spiele verliert der erste an jeden der anderen so viel, als jeder von diesen bei sich hatte; im zweiten Spiel verliert der zweite an den ersten und dritten so viel, als jeder derselben hat; im dritten Spiele verliert der dritte an den ersten und zweiten so viel als jeder hat; nach geendigtem Spiele hatte jeder 24 fl. Wie viel hatte jeder am Anfänge des Spieles? Il«8. In einer Familie waren mehrere Kinder. Auf die Frage, wie groß die * Zahl derselben sei, antwortete ein Sohn: Ich habe so viel Schwestern als Brüder; eine Tochter aber sagte: ich habe zweimal so viel Brüder als Schwestern. Wie viele Söhne und Töchter waren da? I In einem Landtage wurde ein Antrag bei 64 abstimmenden Abgeordneten mit einer Stimmenmehrheit von 10 angenommen. Wie viele stimmten dafür, wie viele dagegen? Ill« Ein Körper wiegt p Pfund und verliert in Wasser' getaucht -r Pfd. von seinem Gewichte. Er ist zusammengesetzt aus zwei Körpern, von denen der erste in Wasser getaucht der zweite ebenso seines Ge¬ wichtes verliert. Wie viel Pfund von jedem dieser beiden Körper sind in dem erstgenannten zusammengesetzten Körper enthalten? Der Körper enthalte x Pfd. des ersten und / Pfd. des zweiten Körpers, so ist der Gewichtsverlust des ersten Körpers im Wassers und jener des zweiten Pfd. Man hat daher die Gleichungen: x -s- 1 — x und -si — -r, woraus — « (p — b M) — k (A.?r — p) s — I> rr — b folgt. 1111. Eine aus Gold und Silber gemachte Krone des Königs Hiero von Shracus wog 20 Pfund, unter Wasser gewogen nur 18H Pfund. Wenn nun Gold im Wasser und Silber von seinem Gewichte verliert, wie viel Gold und wie viel Silber war in der Krone? 1112. Ein Dampfschiff legte in einer Stunde stromaufwärts einen Weg von 1» Meile, stromabwärts einen Weg von 2^ Meile zurück. Welchen Weg würde das Schiff durch die Kraft der Maschine allein (bei still¬ stehendem Wasser), welchen Weg durch die Kraft des Stromes allein (bei stillstehender Maschine) in einer Stunde zurücklegen? 230 1413. Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die erste Röhre allein in a, durch die zweite allein in 0 Stunden. In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt sein, wenn man das Wasser durch beide Röhren zugleich fließen läßt? Man setze die gesuchte Zeit — x und den Cubikinhalt des Behälters — 1. Die erste Röhre allein füllt in 1 Stunde also in x Stunden - des Behälters; die zweite Röhre allein füllt in 1 Stunde also in x Stunden des Behälters; beide Röhren, wenn man aus denselben das Wasser gleichzeitig fließen läßt, füllen also in x Stunden -j-des Behälters, d. i. den ganzen Behälter — 1. Man hat demnach daher X — -§-7-. g. -j- b 1414. Ein Wasserbehälter kann durch drei Röhren gefüllt werden; die erste Röhre allein füllt das Gefäß in 4 Stunden, die zweite Röhre allein in 6 Stunden, die dritte Röhre allein in 12 Stunden. In wie viel Stunden wird der Wasserbehälter gefüllt, wenn man das Wasser durch alle drei Röhren zugleich fließen läßt? 1415. Ein Wasserbehälter kann durch drei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die Röhren II, und Ist, in u, durch I?, und Ist in st, durch st? und stg in o Stunden. Wie viel Zeit braucht jede Röhre allein dazu, um den Behälter zu füllen? 141K. Zu einer Arbeit erbieten sich drei Personen, st und 0. ä. und st würden zusammen die verlangte Arbeit in 18 Tagen liefern können, und 0 zusammen könnten dies in 12 Tagen, und st und 0 zusammen in 9 Tagen. In welcher Zeit kann die Lieferung durch alle drei Personen zusammen geleistet werden? 1417. Ein Pendel, das a Linien lang ist, macht in einer Minute mSchwingungen; wie lang muß ein anderes sein, das in einer Minute» Schwingungen machen soll? in: n — sj/ a: s/x. 1418. Ein Kaufmann kaufte ein Stück Tuch, die Elle zu 3tz fl.; hierauf ver¬ kaufte er dasselbe zu 4^ fl. die Elle. Weun er nun dabei 21 fl. ge¬ wonnen hat, wie viel Ellen enthielt das Stück? I4IS. Ein Kaufmann hat zwei Sorten einer Waare, eine bessere, das Pfd. zu 60 kr., und eine geringere, das Pfd. zu 36 kr. Er will von beiden eine Mischung von 80 Pfd. bereiten, die er zu 45 kr. das Pfund ver¬ kaufen kann. Wie viel Pfd. muß er dazu von jeder Sorte nehmen? (Vergleiche Z. 235, Beispiel 5.) I42V. Ein Weinhändler hat zweierlei Weine, von dem ersten kostet der Eimer 30 fl., von dem zweiten 16 fl. Er will durch Mischung 7 Eimer zu 20 fl. bekommen; wie viel Eimer wird er von jeder Gattung zu der Mischung nehmen müssen? 231 1421. 1122. 1423. 1424. 1425. 1426. 1427. Jemand will u löthiges und st löthiges Silber legieren und dadurch nr Mark o löthiges Silber erhalten; wie viel Mark von jedem Silber wird er zu der Legierung verwenden? Feines und 10 löthiges Silber sollen zu 12 löthigem Silber einge¬ schmolzen werden; wie viel von jeder Gattung kommt auf 24 Mark dieser Legierung? In einen: Haufen Erz enthält der Centner 4 Loth, in einem andern 17 Loth Silber. Man will aus beiden Haufen 80 Centner mengen, jeden Centner mit 11 Loth Silbergehalt. Wie viel Centner sind von jedem Haufen zu nehmen? Wie viel Kupfer (Gehalt —0) muß mit 6 Pfund Silber, das900Tausend- theile fein ist, legiert werden, damit man Silber ü 520 Tausendtheile fein erhalte? Zu 24 Mark 13 löthigem Silber werden 12 Mark einer andern Silber¬ sorte hinzugesetzt, wodurch die Mischung 12 löthig wird; wie viel Loth feines Silber enthält eine Mark der zweiten Sorte? Mischt man 4 Pfd. Caffee der einen Sorte mit 12 Pfd. einer zweiten Sorte, so ist das Pfund der Mischung 68 kr. werth; mischt man aber 6 Pfund der ersten Sorte mit 10 Pfd. der zweiten, so ist das Pfund der Mischung 70 kr. werth; wie viel ist das Pfund jeder Sorte werth? Jemand hat drei Metallstücke, deren jedes aus den Metallen 13, 0 besteht. Das erste Stück enthält von von 8 b>^, von 0 o, Loth; das zweite Stück enthält von von 8 k^, von 0 Loth; das dritte Stück enthält von a^, von 8 st,, von 0 a, Loth. Man will nun eine Composition bilden, welche von L u Loth, von 8 st Loth, von O o Loth enthalten soll. Wie viel Loth muß man dazu von jedem der drei Metallstücke nehmen? Wird a, -st ist st- «i — s,, 4" 6z st- — s?, Uz -st st, -st o, — s, gesetzt, so erhält man folgende Gleichungen: a, X , »2 I K.3 2 _ - -4--st-- — A, 8» ' 8z ' 8z , s, Sz 8z 0-7 1 0- 7 ! ___ 0 8, " 8z Sz 1428. Jemand hat drei Metallstangen, die erste enthält 4 Loth Gold, 8 Loth Silber, 12 Loth Kupfer, die zweite „ 8 „ „ 10 „ „ 2 „ „ d:e dritte „ 10 „ „ 6 „ „ ,, „ Er will nun durch Legierung eine Metallstauge erhalten, welche 10 Loth Gold, 13 Loth Silber und 11 Loth Kupfer enthält; wie viel Loth muß er von jeder der drei Metallstangen dazu nehmen? 142S. Von drei Metallstücken enthält das erste 26 Pfund Kupfer, 11 Pfund Zinn und 9 Pfund Blei, das zweite 18 „ „ 4 ,, „ „ 5 „ „ das dritte 76 ,, ,, 2 „ „ „10 „ „ Aus diesen Stücken will inan ein viertes zusammensetzen, das 22 Pfd. Kupfer, 7 Pfd. Zinn und 7 Pfd. Blei enthält. Wie viel Pfund von jedem der drei ersten Metallstücke wird man dazu nehmen? 232 1430. Zwei Körper und L" bewegen sich aus einer geraden Linie in der¬ selben Richtung von den Puncten 4' und 4" gleichförmig milden Geschwindigkeiten und o". Der Körper verläßt den Punct 4/, welcher um ä Längeneinheiten rückwärts von 4" liegt, um t Zeitein¬ heiten später, als der Körper X" den Punct 4." verläßt. Nach wie viel (1) Zeiteinheiten, von dem Abgänge des Körpers L" von 4." an gerechnet, werden beide zusammentreffen? (Vergl. Z. 235, 3.) 5s, — -p ä — v" ' Man discutiere dieses Resultat a) für positive Werthe von ci, t, und o", und für e"; d) für ä < o; v) für t < o; ä) für v" < o. 1431. Man behalte die Daten der vorhergehenden Aufgabe, und bestimme die Entfernung (v) des Punctes, in welchem die beiden Körper Zusammen¬ treffen, von dem näher gelegenen Puncte 4". D _ e" (e't >4- M o' — e" Man discutiere dieses Resultat für die in der vorigen Aufgabe ange¬ führten Fälle. 1432. Einem Boten, der vor 3 Tagen von einem Orte abging und jeden Tag 4 Meilen zurücklegt, wird von demselben Orte aus ein anderer Bote nachgeschickt, der täglich 7 Meilen macht. Wann wird letzterer den er¬ steren einholen? Durch Specialisierung der Werthe in Aufgabe 1430, und zugleich davon unabhängig zu lösen. 1433. Ein Regiment bricht von 4/ gegen 4" auf und macht täglich 3 Meilen; 2 Tage später rückt ihm ein anderes Regiment nach. Wie viel Meilen muß dieses täglich zurücklegen, damit es das erstere in 4 Tagen einhole? 1434. 4" und 4" sind durch eine Eisenbahn verbunden, deren Endvuncte 30 Meilen von einander abstehen. Von 4/ geht gegen 4" ein Perso¬ nenzug ab, der in jeder Stunde 4 Meilen zurücklegt; zu gleicher Zeit geht von 4" gegen 4/ ein Lastenzug ab, der in jeder Stunde 2^ Meilen zurücklegt. Wann begegnen sich die beiden Züge? 1435. 4/ und 4" sind durch eine 19 Meilen lange Eisenbahn verbunden. Von 4/ geht um 8 Uhr 30 Min. Vormittags ein Zug nach 4c" ab mit der Geschwindigkeit von 30 Fuß pr. Secunde; an demselben Vor¬ mittage um 9 Uhr 15 Minuten geht von 4c" ein Zug mit der Ge¬ schwindigkeit von 28 Fuß pr. Secunde nach 4/ ab. Wann und in welcher Entfernung von 4c" begegnen sich diese Züge? I43K. Vom Orte 4/ aus geht des Morgens 5 Uhr eine Locomotive ab, welche in 4^ Stunde 17 Meilen zurücklegt. Eine halbe Stunde später wird von 4." aus, welcher Ort 7 Meilen hinter 4/ liegt, der ersten Loco¬ motive eine zweite nachgesendet, die 13 Meilen in 3 Stunden fährt. Wann wird die zweite Locomotive die erste einholen? 1437. Von 4/ nach 4" sind 42 Meilen. Um Mittag geht von 4/ ein Eil¬ wagen ab, der 1^ Meile in der Stunde macht. Um wie viel Stunden früher muß von 4/ eine Fahrpost, die in der Stunde nur Meilen zurücklegt, abgehen, damit sie mit dem Eilwagen gleichzeitig in 4" eintreffe? 233 1438. Ein Courier soll, von L aus, einem Reaimente, das vor 6 Tagen von dort abmarschiert ist und täglich 4 Meilen vorwärts gebt, Ordre bringen. In welcher Entfernung von dem gemeinschaftlichen Abgangsorte - wird er dasselbe erreichen, wenn er täglich 12 Meilen zurücklegt? I43S. Von gebt ein Courier, welcher täglich 14 Meilen zurücklegt. nach H."; zu gleicher Zeit wird von " ein Courier, welcher täglich 12 Meilen zurücklegt, nach abgeschickt. Wie groß ist die Entfernung zwischen und ^4", wenn sich die beiden Couriere nach 6 Tagen begegnen? I44y. Einem Körper L", welcher in jeder Zeiteinheit o" Längeneinheiten zu¬ rücklegt, folgt t Zeiteinheiten später von demselben Buncte aus ein zweiter IO, welcher in jeder Zeiteinheit O Längeneinheiten zurücklegt. Nach wie viel (N) Zeiteinheiten, vom Abgänge des Körpers I<" an gerechnet, werden beide Körper s Längeneinheiten von einander ent¬ fernt sein? 1441. Zwei Körver bewegen sich auf der Peripherie eines Kreises, welche p Längeneinheiten beträgt, zu gleicher Zeit von demselben Pnncte ans in derselben Richtung mit den Geschwindigkeiten o/ und o". Nach wie viel (1) Zeiteinheiten werden sie zum nten Male wieder Zusammentreffen? Nimmt man an, daß der erste Körper den Umfang p> in < der zweite in a" Zeiteinheiten zurücklegt, so ist O — und o" — und man hat für das nie Zusammentreffen _ Np _ ri/a"N — e" s/ — a"/ 1442. Wie viel Zeit verfließt von einem Zusammentreffen der beiden Zeiger einer Uhr bis zum nächsten Zusammentreffen derselben? 1443. Wie viel Minuten nach 4 Uhr wird der Minutenzeiger einer Uhr über den Stundenzeiger zu stehen kommen? 1444. Es sind 20 Minuten über 12 Uhr; nach wie viel Minuten werden sich beide Zeiger der Uhr decken? 144». Der Mond vollendet seinen Umlauf am Himmel in 27 Tagen 7 Stunden 43 Minuten 4'68 Secunden (Zeit des periodischen Monates), die Sonne dagegen in 365 Tagen 5 Stunden 48 Minuten 47'8 Secunden (Zeit des (iberischen Jahres). Beide Himmelskörper schreiten von Westen gegen Osten fort. Wie viel Zeit verfließt von einem Neumonde (Zu¬ sammentreffen des Mondes mit der Sonne) bis zum andern (Zeit des shnodischen Monates) ? 3. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades. (ZZ. 237-241.) Man löse nach den in Z. 238 angegebenen Methoden folgende Glei¬ chungen in ganzen Zahlen auf: 234 2-- -s- 3^ -j- --- 20. 1458. 25x — 11 7 — 20. 146« 37x — 227 --- 307. 1462. 18lx 4- 2^ — 570. 1464. 3x 4^ — 5^ — 12. 1467. 5x -I- 77 ---94. 146«. 17x 4- 14-: — 24. 1471. 25x -- 367 — 7. 1473. 17 x- 1 — 12). —5. 1475. 24x —3I7-- 196. 1477. 9x 4- 5). 4- 3r- 105. 147«. 5x 4- 7). — 3? — 39. Man löse folgende Gleichungen in ganzen und positiven Zahlen auf: 1466. 5x — 7> — 13. 1468. 7x — 12 7--- 300. 147«. 23x 4- 577 ---- 412. 1472. 29 x 4- 177--250. 1474. 28x 4- 12 --- 197 4- 17. 1476. 5x 4- 67 4- 20x — 187. 1478. 2s 4- 37 4- 4r- --- 20. 148«. Man suche zwei Zahlen von solcher Beschaffenheit, daß das 8fache der ersten um das 3fache der zweiten vermehrt 91 zur Summe gibt. 1481. Man soll 50 in zwei Theile so zerlegen, daß der eine durch 7, der andere durch 13 theilbar sei. 1482. Die Zahl 200 in zwei Theile zu zerlegen, von denen der eine durch 14, der andere durch 23 theilbar ist. 1483. Man suche zwei um 10 verschiedene Zahlen, deren kleinere durch 21, deren größere durch 34 theilbar ist. 1484. Man suche eine Zahl, welche durch 7 theilbar ist, aber durch 29 divi¬ diert 13 zum Reste gibt. 1485. Welche ist die allgemeine Form der ganzen Zahlen, welche durch 19 dividiert 1, und durch 28 dividiert 3 zum Reste geben? 1486. Welche Zahlen geben durch 24 dividiert 18, durch 13 dividiert 1 zum Reste? 1487. Man zerlege den Bruch 4^4 in zwei andere Brüche, deren Nenner 5 und 22 sind. 1488. Welche zwischen 1000 und 2000 liegende Zahlen würden sich, wenn sie um 5 größer wären, durch 13, und wenn sie um 5 kleiner wären, durch 17 ohne Rest theilen lassen? 148«. Jemand kauft für 90 fl. zweierlei Sorten Tuch; von der einen kostet die Elle 4 fl., von der andern 3 fl. Wie viel ganze Ellen erhält er von jeder Sorte? I4S«. Eine Summe von 100 fl. ist mit Zweiguldenstücken und Vereinsthaleru ü 14 fl. zu bezahlen; wie viel Geldstücke jeder Art braucht man dazu? 1451. Der Durchmesser der neuen Zweiguldenstücke beträgt 36, jener der neuen Guldenstücke 29 Millimeter. Wie viel Zweigulden- und Gulden¬ stücke muß man in gerader Linie neben einander stellen, damit die Summe der Durchmesser 1 Meter betrage? 1452. Ein Schüler erhielt 10 Groschen, wenn er seine Aufgabe fehlerfrei löste, hatte aber 7 Groschen zu bezahlen, wenn er darin Fehler machte. Am Ende hatte er 5 Groschen. Wie viele Aufgaben hat er fehlerfrei, wie viele fehlerhaft gearbeitet? 1493. Von zwei gezahnten Rädern hat das eine 13, das andere 17 Zähne; beim Beginne der Bewegung greift der erste Zahn des ersten Rades in die erste Zahnlücke des zweiten Rades ein. Nach wie vielen Um¬ drehungen eines jeden dieser Räder wird der Zahn 1 des ersten Rades wieder in die Lücke 1 des zweiten eingreifen? 235 1-191. Welche Zahlen geben durch 11, 19, 29 dividiert bezüglich die Reste 5, 12, 4? 1495. Bezeichnet eine Jahreszahl der christlichen Zeitrechnung, so heißt der Rest der Division - die goldene Zahl, „ „ „ „ Sonnencirkel, „ „ „ „ die Römerzinszahl für jenes Jahr. Welche Jahreszahlen haben die goldene Zahl 5, den Sonnencirkel 27 nnd die Römerzinszahl 9? 1496. Die Zahl 50 ist in drei Theile zu zerlegen, die folgeweise durch 5, 6, 7 Heilbar sind. 1497. Man zerlege in drei Brüche, deren Nenner 11, 16, 25 sind. 1498. In einer Münzstätte hat mau 9löthiges, 12löthiges und feines Silber und braucht 36 Mark 13löthiges Silber. Wie viel ganze Mark muß inan dazu von jeder Sorte nehmen? 1499. 30 Personen, Männer, Franen nnd Kinder, haben gemeinschaftlich 30 st. ausgegeben. Wenn nun die Ausgabe eines Mannes 5 st., einer Frau 1 st. und eines Kindes st. beträgt; wie viel waren Männer, wie viel Frauen und wie viele Kinder? 4. Quadratische Gleichungen. (Zs- 242 — 253.) 1519. j/33-st 2x — x^ x -st 1. 1512. - 1 -st 4j --- 7. 1513. x^ -st 15x -st 56 — 0. 1514. x'^ -st x — 56 — 0. 1515. x^ 2x — 15 — 0. 1517. x^ (a -st b) x -st ab — 0. 1519. x? — 7x — 7. 1518. x^ — 4x -st 4 0. 1518. x- — (a — 5) x -- n. k> — 0. 1529. x^ -st 2x -st 4 --- 0. 1521. (u -st x) (5 — x) — 0. 1522. (2x — 5) (3x -st 8) — 0, 1523. (x -st 1) (x - 2) -st/(x - 1) (x -st 2) 0. 1524. (x — 1) (x -st 2) (x — 3) — fx -st 1) (x — 2) (x -st 3) — o. Man bilde Gleichungen, welche folgende Wurzeln haben. 1525. — 3 nnd -j- 7; 1527. 10 und — 1; 1529. z und 1531. 0 7 und —2'4; 1526. 12 und 7; 1528. - 9 und — 13; 1539. und —H; 1532. 1-36 und 0'75. 236 Man zerlege folgende Trinome in Factoren (Z. 345, 2): 1533. x-— 17 X 4-70. 1534. x- 4- 3x — 88 ; 1535. X- 4- X 4- 1; 1536. 3x? — 14x 4- 8; 1537. 6x--f-x —1; 1538. 20x--f-17x — 24; I53N. a6x- 4- (u 4- 6) x 4- 1; 1540. abx- -f- (a- — 6-) x — ab. Man löse folgende Gleichungen auf: 1555. x : (x 4- 1) — (2x 4- 3) : (3x /- 4). 1556. x 4- 7 ^/x — 30. 1557. ax— 6 x — o. 1558. 2x — 3 ^x—1—4. 155» x—10 — 2f/x- — 3x4-5. 156». f /27x« 4 - 10 — 3 (x — 2). 1561. ^ /7x- 13 — 12 — 5x-f-1. 1562. ^8x — 74-4—1/15x4-4. 1563. f/a4-x — —x — f/x. Man löse folgende Gleichungen trigonometrisch auf: 1564. x- 4- 19x 4- 10 — 0. 1565. x- — 0'685x -f- 3'128 — 0. 1566. x- 4- 3-1264x — 2'8571 — 0. 1567. x-- — 8'71235x — 7-23475. 1568. x2 — 5-08653x — 9-0086. 156». x- 4- 7'66442 — 0'80173 x. 157». 5x- -f- 13x 17 -- 0. 1571. 18x- — 77x — 132. 237 Man löse folgende unbestimmte Gleichungen in ganzen Zahlen auf: I5S8. 3x? — 5x^ -s- — g - 1599. x- —- — 25; 1600. 3x^ — 4x^-f-^2_^Z^ — ^. I6VI. x2 — 4x^-f-4^2 — 7x —4^— 2 — 0. 1602. Welche Zahl gibt mit ihrer Hälfte multipliciert 162? 1603. Das Product aus dem dritten und vierten Theile einer Zahl beträgt 108; welches ist die Zahl? 1601. Welche Zahl muß um ä vermehrt und vermindert werden, damit das Product der beiden neuen Zahlen u sei? 1605. Das 12fache einer Zahl nm 45 vermehrt gibt das Quadrat derselben; welches ist die Zahl? 1606. Wenn man zu einer Zahl 40 addiert und die Summe durch die unge¬ änderte Zahl dividiert, so ist der Quotient um 2 kleiner als die ursprüng¬ liche Zahl; wie groß ist diese? 1607. Man suche zwei Zahlen, deren Summe 30 und deren Product 189 ist. 1608. Die Zahl 15 in zwei Theile zu theilen, so daß die Summe ihrer Quadrate 113 wird. 1600. Die Zahl 18 in zwei Factoren zu zerlegen, deren Quadrate 27 zur Differenz geben. 161». Welche Zahl gibt zu ihrem reciproken Werthe addiert u zur Summe? 1611. Man suche zwei Zahlen, deren Quadrate 45 zur Summe und 27 zur Differenz geben. 1612. Von welchen zwei Zahlen ist das Product um 84 kleiner als die Summe der Quadrate, und um 44 größer als die Differenz der Quadrate? 1613. Zwei Zahlen verhalten sich wie 3 :4, die Summe ihrer Quadrate ist 100; welche Zahlen sind es? 1614. Man suche zwei Zahlen von der Beschaffenheit, daß ihre Summe, ihr Product und die Differenz ihrer Quadrate gleich sind. 1615. Jemand kauft ein Faß Wein für 324 sl., und zwar kostet jeder Eimer gerade so viel Gulden, als Eimer vorhanden sind; wie viel Eimer Wein enthält das Faß? 238 1616. Jemand kauft eine Waare für 130 fl., und zwar kostet jeder Centner davon um 3 sl. mehr als Centner sind; wie viel Centner Waare hat er gekauft? 1617. Jemand kaufte für 400 fl. Tuch; hätte die Elle um 1 fl. weniger ge¬ kostet, so würde er für jenes Geld um 20 Ellen mehr erhalten haben. Wie viele Ellen hat er gekauft? 1618. F und 8 verkauften zusammen 100 Ellen einer Waare, und zwar der eine mehr als der andere, aber beide nahmen dennoch dieselbe Geldsumme ein. Hätte so viele Ellen gehabt als 8, so würde er 63 fl. dafür ein¬ genommen haben; hätte 8 so viele Ellen als L gehabt, so würde er nur 28 fl. dafür erhalten haben. Wie viele Ellen hat jeder verkauft? 1618. Die Kosten einer Reise, welche mehrere Personen unternommen, betragen 432 Gulden. Weil aber zwei Personen frei gehalten wurden, mußte jede der übrigen Personen um 3 Gulden mehr bezahlen. Wie viele Personen waren? 1626. Ein Baumgarten bildet ein Rechteck, in welchem 560 Bäume in gleichen Entfernungen von einander stehen. Eine Reihe nach der Länge enthält 8 Bäume mehr als eine Reihe nach der Breite. Wie viel Bäume stehen in jeder Reihe? 1621. Eine Summe von 240 fl. soll unter eine bestimmte Anzahl Personen vertheilt werden. Nun wurden 4 Personen ihres Antheils verlustig, und da kamen dann auf jede der übrigen Personen um 3 fl. mehr. Für wie viele Personen war die Theilung ursprünglich bestimmt? 1622. Ein Vater hinterließ seinen Kindern ein Vermögen von 14400 fl. zu gleichen Theilen. Bald nach seinem Tode starben zwei Kinder, und es erhielt in Folge dessen jedes der übrigen Kinder um 1200 fl. mehr, als es sonst bekommen hätte. Wie viele Kinder hinterließ der Vater? 1623. Ein Mittagsessen, bei dem doppelt so viele Herren als Damen speisten, kostete 396 Groschen. Jeder Herr zahlte doppelt so viel Groschen, als Herren waren, und jede Dame dreimal so viel Groschen, als Damen waren. Wie viel Herren und wie viel Damen waren da? 1624. Man läßt einen Stein in einen Brunnen fallen und zählt 3 Secunden, bis man das Aufschlagen des Steines auf dem Grunde hört. Wie tief ist der Brunnen, wenn man annimmt, daß der Fallraum 15mal soviel betrügt als das Quadrat der Zeitsecunden, durch welche das Fallen andauert, auzeigt, und daß der Schall in jeder Secunde 1050 Fuß znrücklegt? Nimmt man an, daß der Stein in x Secunden auf dem Grunde des Brunnens anlange, und daß der Schall Secunden brauche, um von? dem Grunde zu unserem Ohre zu gelangen, so ist der von dem Steine zurückgelegte Raum 15x'-° Fuß, und der von dem Schalle zurück¬ gelegte Raum 1050)' Fuß. Da nun die Zeit des Falles und die Zeit der Schallbewegung zusammen 3 Secunden betragen, da ferner der Stein denselben Raum zurücklegt, wie der Schall, so hat man die Gleichungen: x -st ) — 3 und 15 x^ — 1050^, aus denen x — 2-8823 und 7 -- 0-1177, oder x — - 72-8823 und / 75-8823 folgt, von welchen Welchen nur die ersteren der Natur der Aufgvbe ent¬ sprechen. 239 Der Schall braucht also, um von dem Grunde des Brunnens zu unserem Ohre zn gelangen, 0'1177 Secuuden; der Brunnen ist somit 1050 X 0'1177 — 123'58 Fuß lies. IL25. In der geraden Linie zweier leuchtender Körper, deren Abstand und verhältnißmäßige Lichtstärke bekannt ist, den Punct zu bestimmen, welcher von beiden gleich stark erleuchtet wird. Die Lichtstärke nimmt im quadratischen Verhältnis der Entfernung ab. Ist daher ä der Abstand der beiden leuchtenden Körper, die Licht¬ stärke des ersten in der Entfernung 1 gleich a, die Lichtstärke des zweiten in derselben Entfernung gleich b, so sind die Lichtstärken dieser beiden Körper in einem Puncte, der von dem ersten Körper die Ent¬ fernung x, daher von dem zweiten die Entfernung cl — x hat, bezüglich ""d ^^ ^2- Soll dieser Punct der gesuchte sein, so ist X? (ct — x)'' folglich — x — ä A. — b wobei ein Punct in der Verbindungslinie der beiden Lichtquellen oder in ihrer Verlängerung gefunden wird, je nachdem man die Quadrat¬ wurzel negativ oder positiv nimmt. Für a — b wird x, oo und Xy — Z. Um die Unbestimmtheit des zweiten Ausdruckes zu beseitigen, umforme man den Werth Xgdurch Multiplication des Zählers und Nenners mit a -s- s/ ab, wodurch man x„ — <1. daher, weil a — b ist, x^ — - erhält. IK26. Ein Reisender braucht zu einem Wege von 60 Meilen 3 Tage mehr als ein anderer, weil dieser täglich 1 Meile mehr zurücklegt als der erstere. Wie viel Tage braucht jeder zu dieser Reise? i«27. Zwei Körper IO und X" bewegen sich auf einer geraden Linie gleich¬ förmig und in einerlei Richtung zu gleicher Zeit von den Puncten 7O und L", von denen L? um ck Längeneinheiten rückwärts von 7^" liegt, und kommen beide nach t Zeiteinheiten zu dem Puncte L. Dabei braucht der Körper IO zu einer Längeneinheit Zeiteinheiten weniger als LO-^Wie viel (O) Längeneinheiten beträgt die Entfernung des Punctcs IO braucht zn einer Längeneinheit Zeiteinheiten, 1^" " ,, „ folglich und v —— -j- wüt. Welche Bedeutung haben in dieser Gleichung negative Werthe von I), cl, t, n? 240 1628. Von zwei Orten, die 40 Meilen von einander entfernt sind, gehen gleichzeitig zwei Eisenbahnzüge ab, von denen der eine zu einer Meile 2F Stunde weniger braucht als der andere. Wenn sich nun diese Züge 4tz Stunden nach ihrer Abfahrt begegnen, wie viel Zeit braucht jeder zu einer Meile? 1629. Zwei Reisende gehen gleichzeitig, der eine von IO gegen der andere von gegen ab. Der erste kommt in in a' Stunden, der zweite in in a" Stunden nach ihrer gegenseitigen Begegnung an. Wie ver¬ halten sich ihre Geschwindigkeiten o' und o"? Bezeichnet ä die Entfernung der Orte und L.", so findet die Begegnung nach Zeiteinheiten statt; bis dahin haben die Reisen¬ den die Wege und gemacht, sie haben daher bezüglich noch die Wege und zurückzulegen nnd brauchen dazu -n , . und Zeiteinheiten. Man hat daher o"ä . i —-- — a und -7 -7 ^ ^—— v. 6^ -p- 0^) -f- e") Dividiert man die zweite Gleichung durch die erste, so erhält man e" d . , o' t/b solgllch IK3V. Zwei Körper L? und L" bewegen sich gleichförmig mit den Geschwindig¬ keiten O und e" auf zwei sich rechtwinklig durchschneidenden geraden Linien zu dem Durchschnittspuncte hin. Ihre Entfernungen vom Durch- schnittspuncte sind zu einer gewissen Zeit 4' und ck". Nach wie viel (t) Zeiteinheiten werden die beiden Körper die Entfernung ä von einander haben? Nach t Zeiteinheiten ist die Entfernung des Körpers IO vom Durchschnittspuncte — — Ot, 7^" —4" _ <-"1- kk f» k, „ s» — 7 folglich ist nach dem Pythagoräischen Lehrsätze 4* — (4^ — -s- (4" — a"t)2, woraus t — -P °" z/ä- («-- - °" ä-)- Discussion. a) Soll t reell sein, so muß ä? (a^ -s- 0"^) — o"4^, also ä sein. Die kleinste Ent¬ fernung, in welche die Körper kommen können, ist demnach 1 o^ä" — v', iN 4 —-.. 7/0^ 4- e"" d) Für die Zeit, nach welcher die Körper diese kleinste Entfernung haben werden, hat man — o'-n 4- v" a" -j- o) Sollen die beiden Körper im Durchschnittspuncte Zusammen¬ treffen, so muß ihre kleinste Entfernung ä — 0, werden, d. i. a' 4" — o" 4' oder sein. Welche Bedeutung haben hier die negativen Werthe von t, < er", 1679. 6.7^ -s- 7' -- 301. 1680 3.4^°-^^ — 5.4'' 1674. 167«. 2- ,<>78. 28. 2x x I«8I. 5 1/3 -z- 3 1/3 — 10. 1683 x>°^ — 578. 1682. 1684. 3'. 1/1521 -- 1053, 2> . j/1331^ 44. ^(---m) (x-n> — 1. Sx — I Zx — S 73.->2H' — 318"'^. 3x «X 13 1/10 - 5 1/10 -- 25. ^4-1»xx — 35-3153. Vlil. Progrcssioiicii. 1. Arithmetische Progressionen. (M. 249 — 261.) Man suche das allgemeine und das Summenglied der Reihe: 1685. 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . IK8K. 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... . IK87. -28, —25, —22, —19, —16, —13, .... IK88. 100, 97, 94, 91, 88, ... . 168». 100, 92z, 85, 77-, 70, ... . 1690. Wie groß ist die Differenz einer Progression, deren erstes Glied 109, und deren 34stes Glied 10 ist? 1691. Mit welcher Zahl fängt eine Progression an, deren Differenz 5, und deren 27stes Glied 139 ist? 1692. Eine Progression fängt mit 1 an, nnd steigt nach der Differenz 5; das wievielte Glied ist 115? 1693. Wie viele Anfangsglieder einer Progression muß man addieren, nm 2808 zur Summe zu erhalten, wenn das erste Glied 2 und die Diffe¬ renz 10 ist? 169-1. Man leite die allgemeinen Formeln ab, durch welche aus je dreien der Größen a^, ä, n, und s„ (ß. 260) die beiden anderen bestimmt werden. Man löse folgende Aufgaben: 243 1705. Man interpoliere in der Reihe 1, 5/ 9, 13, 17, 21,.... zwischen je zwei Glieder 8 Glieder, so daß wieder eine arithmetische Progression entsteht. 1708. Zwischen p und q sollen r Glieder interpoliert werden; wie groß ist das nte dieser Glieder? 1707. Die Zahl 225 soll in mehrere solche Theile getheilt werden, daß jeder folgende nm 2 größer als der vorhergehende und der letzte 29 ist. Wie groß ist der erste Theil, und wie groß die. Anzahl der Theile? 1708. Eine Summe Geldes wird unter mehrere Personen so vertheilt, daß der erste 80 st. und jeder folgende um 4 fl. weniger bekommt; der letzte erhält 28 fl. Wie viel Personen sind betheilt worden, und wie groß ist die ganze Geldsumme? 170S Ein Diener war bei einem Herrn 6 Jahre im Dienste und erhielt in jedem folgenden Jahre 4 fl. an Lohn mehr als im vorhergehenden, zu¬ sammen 540 fl. Wieviel erhielt er das erste, wie viel das letzte Jahr? 171«. Einen Brunnen von 30 Fuß Tiefe zu graben, zahlt man für den ersten Fuß 1 fl. 40 lr., für jeden folgenden lO kr. mehr; wieviel zahlt man für den letzten Fuß, wieviel für den ganzen Brunnen? 1711. Ein Körper legt in der erstön Secunde u Fuß. in jeder folgenden ci Fuß mehr zurück als in der vorhergehenden, u) Wie groß ist der in n Secunden zurückgelegte Raum; i>) in welcher Zeit legt der Körper 8 Fuß zurück? 1712. Ein frei fallender Körper durchläuft in der ersten Secunde 15 Fuß, und in jeder folgenden 30 Fuß mehr; wie groß ist der Fallraum der 5ten Secunde, wie groß der Fallraum in 5 Secunden? 1713. Wenn ein nach dem eben angeführten Gesetze von der Spitze eines Thurmes auf dessen Basis herabfallender Körper in der letzten Secunde 166 Fuß zurückgelegt hat, wie hoch ist der Thurm? 1714. Wenn eine senkrecht in die Höhe geschossene Kugel in der ersten Se¬ cunde 600 Fuß, und in jeder folgenden 30 Fnß weniger zurücklegt, wie hoch wird dieselbe steigen, und in wie viel Zeit wieder auf die Erde zurückfallen? 1715. Jemand setzt in die Lotterie auf eine Nummer 20 kr., und so lange er nicht gewinnt, jedes folgende Mal um 20 kr. mehr als das vorher¬ gehende Mal. Wenn nun der Treffer einer Nummer mit dem 14fachen Einsätze bezahlt wird, bei welchem Spiele würde der Gewinnende gerade sein ganzes bis dahin eingesetztes Geld zurückerhalten? 1718. Eine unverzinsliche Schuld wird in 6 Jahreszahlungen getilgt. Im ersten Jahre bezahlt man 600 fl., in jedem folgenden aber um eine bestimmte Summe mehr; für das sechste Jahr beträgt die Zahlung 850 fl. Wie groß ist die ganze Schuld? 1717. Durch n Jahre wird am Anfänge jedes Jahres ein Capital von s, fl. zu ? °/„ auf einfache Zinsen angelegt; zu welchem Werthe 8 sind sämmt- liche Anlagen bis zum Schluffe des uten Jahres angewachsen? (Aufg.758.) in* 214 2. Geometrische Progressionen. (88. 262-264.) Man suche das allgemeine nud das Summenglied der Reihen: 1718. 5, 15, 45, 135, .... I71S. 6, 4z, 3§, 2zz,.... 172». 10 5. 2-625, 0'65625, 0-1640625 .... 1721. 3, —12, 48, —192, .... 1722. Wie groß ist das erste Glied einer Progression, deren Quotient 1z, deren 7tes Glied 67 z Z ist? 1723. Wie viele Anfangsglieder der Progression 1, 3, 9, 27, . . . muß man addieren, um 3280 zur Summe zu erhalten? 1724. Wie groß ist der Quotient einer Progression, deren erstes Glied 2, deren 12tes Glied 4096 ist? 1725. Wie groß ist die Summe der 8 ersten Glieder der Progression 1726. Mau bestimme die Summe der Reihe 0 4 k) ^04 !>)' ^04 i')' (t 4 ^04 k? — (i 4 p)" - 1 I- (1 4 i>)° ' 1727. Man leite die allgemeinen Formeln ab, durch welche aus je dreien der Größen u„ H, n, Na und s„ HZ. 263) die beiden anderen bestimmt werden. Man löse folgende Aufgaben: Man verwandle mit Hilfe der geometrischen Progressionen folgende perio¬ dische Decimalbrüche in gemeine Brüche (Z. 262, Zusatz): 1738.0'6; 1739.0'81; 1740.0-10.3; 1741. 8'7; 1742. 5'136; 1743. 0'57102. 245 1711. Zwischen 5 und 405 sollen drei Glieder so interpoliert werden, daß dann alle fünf Glieder eine geometrische Progression bilden. 1715. Alan interpoliere zwischen je zwei Glieder der Progression 1, 10, 100, 1000,... 5 neue Glieder. 1716. Jemand setzt sechsmal in die Lotterie; das erste Mal 10 Kreuzer, und jedes folgende Mal doppelt so viel, als für die frühere Ziehnug. Das 6te Mal gewinnt er, und es wird ihm der letzte Einsatz 4800mal zurück¬ gezahlt. Wie viel beträgt dieser Gewinn und wie viel hat er im Ganzen eingesetzt? 1717. Es legt Jemand im Monate Jänner einen Kreuzer zurück, in jedem folgenden Monate 3mal so viel als im vorhergehenden; wie viel hat er im ganzen Jahre zurückgelegt? 1718. Eine Schuld von 13000 fl. soll in 4 Raten, deren jede 3mal so groß ist als die vorhergehende, znrückgezahlt werden; wie groß ist jede Raten¬ zahlung? I71S. In einem Fasse sind 100 Maß Wein. Man nimmt daraus 1 Maß und gießt dafür 1 Maß Wasser hinein; aus dieser Mischung nimmt man wieder 1 Maß und gießt eben so viel Wasser hinein. Wie oft kann man so verfahren, bis in der Mischung nur noch 50 Maß Wein übrig sind? 175(1. Ein Lichtstrahl verliert bei dem Durchgang durch eine Glasplatte Py seiner Intensität; wie groß wird diese noch sein, wenn er durch 10 hinter ein¬ ander ausgestellte Platten hindurch gegangen ist? 3. Zinseszins- und Rentenrechnungen. (SZ. 265-269.) 1751. Zu welchem Werthe wächst ein Capital von 5800 fl. in 15 Jahren bei 5L Zinseszins an? 1752. Jemand legt zu Anfänge eines Jahres 5042 fl. in eine Sparkasse, welche die Einlagen zu 4,j"/„ und zwar halbjährig verzinset, ein. Nach 20 Jahren behebt er das Capital sammt Zins und Zinseszins; wie groß ist die Summe? 1753. Wie viel werden 7324 fl. 20 kr. zu 4^"/„ Zinseszins bei ganzjähriger Capitalsiernng der Zinsen nach 23H Jahren Werth sein? 1751. Der Bestand eines Waldes ist gegenwärtig 12350 Klafter; wie groß Wird derselbe bei einem jährlichen Zuwachs von 3«/g nach 10 Jahren sein? 1755. Ein Land hat gegenwärtig 548200 Einwohner; wie groß wird die Bevöl¬ kerung bei einer jährlichen Zunahme von iz°/„ nach 14 Jahren sein? 1756. Ein Capital von 9000 fl. ist nach 10 Jahren unverzinslich füllig. Wie groß ist sein gegenwärtiger Werth, wenn Zinseszinsen zu 5"/h gerechnet werden? 1757. Für ein durch 9 Jahre zu 4^ Zinseszins angelegtes Capital erhielt man 5234 fl.; wie groß war das ursprüngliche Capital, wenn die Zinsen ganzjährig zum Capital geschlagen wurden? 246 1758. Eine Stadt zählt gegenwärtig 3623 Einwohner; wie groß war die Bevöl¬ kerung vor 30 Jahren bei einer jährlichen Zunahme von 2°/„. 175S. Ein Capital von 7537 fl. 80 kr. wächst in 20 Jahren mittelst Zinses¬ zinsen auf 20000 fl. an; zu wie viel war es verzinset? 1766. 3200 fl. sind vor 80 Jahren angelegt worden und während dieser Zeit sammt Zinseszins auf 34059'83 fl. angewachsen; zu wie viel war das Capital angelegt? 1761. Der Bestand eines Waldes hat sich in 12 Jahren von 27000 Klaftern auf 35000 Klafter erhöht; wie viel beträgt der jährliche Zuwachs? I76Z. In wie viel Jahren wird ein Capital von fl. bei ganzjähriger Capita- lisatiou zu k Zinseszins rn mal so groß, als es ursprünglich war? Hier ninß man H — in^. setzen, daher ist u — 1763. In welcher Zeit verdoppelt sich ein Capital zu 5^ Zinseszins bei ganz¬ jähriger Capitalisation? 1764 In wie viel Zeit wird ein Capital zu 4^ Zinseszins n) bei ganzjähriger, b) bei halbjähriger Capitalisierung auf das Dreifache anwachsen? 1765. Ein Sterbender setzt znm Neubau der Kirche seines Ortes ein Legat von 18000 fl. aus. Nach dem Voranschläge des Baues wird derselbe 24738,fl. kosten; man will daher, da das Capital bei einer Bank zu 5^ Zinses¬ zinsen angelegt werden kann, den Bau so lange verschieben, bis dasselbe aus die erforderliche Höhe gestiegen ist. Nach wie viel Jahren wird dieses der Fall sein? 1766. In wie viel Jahren erhöht sich die Bevölkerung eines Ortes bei jährlicher Zunahme von 5200 Einwohnern ans 9433 Einwohner? 1767. An einer Schuld von 10000 fl. werden nach drei Jahren 2500 fl., nach sechs Jahren 1000 fl. abbezahlt; wie groß ist noch die Schuld nach zehn Jahren, wenn 5 Ai Zinseszinsen gerechnet werden? 1768. Durch 20 Jahre werden zu Anfang eines jeden Jahres 200 fl. angelegt; zn welchem Werthe werden diese Capitalien bei 4j^ Zinseszins nach dieser Zeit anwachsen? 176S. Ein Vater will seinem Sohne, wenn dieser das 24ste Jahr erreicht hat, eine Summe versichern. Er zahlt zn diesem Zwecke von der Geburt des Sohnes angefangeu bis zn jener Zeit an eine Versicherungsanstalt am Anfänge jedes Jahres 100 fl. Welchen Betrag wird die Anstalt an den Sohn auszuzahlen haben, wenn eine ganzjährige Capitalisation von 4°/g Zinseszins angenommen wird? 1776. Jemand hat sechs Jahre nach einander jedes Jahr 285 fl. zu bezahlen; er bleibt sie aber bis zu Anfang des sechsten Jahres schuldig; wie viel beträgt nun zu dieser Zeit seine Schuld, wenn 4"/» Zinseszinsen gerechnet werden? 1771. Jemand hat durch 12 Jahre am Anfänge eines jeden Jahres den gleichen Geldbetrag zu 41"/„ Zinseszins angelegt, und bezieht dafür nach dieser Zeit 1939 fl. 18^tr. Wie groß war die jährliche Einlage? »772. Ein Capital von 12500 fl. ist nach 7 Jahren fällig. Es soll durch gleiche, am Anfänge eines jeden der 7 Jahre zahlbare Summen getilgt werden. Wie groß sind die Theilzahlungen bei ö"/,, Zinseszins? 177.1. Bei einer Anstalt werden 1000 fl. gegen Entrichtung einer jährlichen Prämie von 27 fl. versichert. Nach wie viel Jahren ist bei 3sdas versicherte Capital durch Prämien gedeckt? 17 74. Ein zu 4jL Zinseszins ausstehendes Capital von 5000 fl. wird am Ende jedes Jahres um 500 fl. vermehrt; wie hoch wird es in 8 Jahren anwachsen? 1775. Von einem Walde, dessen jährlicher Zuwachs 2^^ beträgt, ist der gegenwärtige Bestand 45678 Klafter; wie groß wird der Bestand nach 18 Jahren sein, wenn am Ende eines jeden Jahres 2175 Klafter ge¬ fällt werden? I77K. Wie groß ist ein auf Zinseszinsen zu 4^ angelegtes Capital, wenn von demselben bei einer am Ende eines jeven Jahres eintretenden Ver¬ minderung um 250 fl. nach 15 Jahren noch 1300 fl. übrig sind? 1777. Jemand hat ein Capital von 12532 fl. zu 4^A ausstehen, und ge¬ braucht davon jährlich 1000 fl.; nach wie viel Jahren wird das Capital erschöpft sein? 1778. Welchen gegenwärtigen Werth hat eine durch 11 Jahre am Ende jedes Jahres mit 420 fl. zu leistende Zahlung, wenn 4^ Zinsen gerechnet werden? 1779. Welches ist der gegenwärtige Werth einer 20 Jahre hindurch zu zahlen¬ den nachschußweisen Jahresrcnte von 250 fl. bei Zinseszins? 1789. Jemand verlauft eine Jahresreute von 620 fl., die er noch durch 10 Jahre zu genießen hat; wie viel Geld wird er dafür erhalten, wenn 4"/g Zinseszinsen gerechnet werden? 1781. Eine Stadt will bei einer Bank ein Anlchen mit der Verpflichtung aufnehmen, dasselbe durch einen am Ende jedes Jahres zahlbaren Betrag von 8000 fl. binnen 25 Jahren zu tilgen; welche Summe wird die Bank der Stadt bei 4"/„ Zinseszins darleihen? 1782. Dem Vormunde eines Kindes von 5 Jahren wird eine Summe von 4000 fl. mit der Verpflichtung überwiesen, das Kind bis zum 24sten Jahre zu erziehen. Welches ist der Betrag des nachschußweise zahlbar angenommenen jährlichen Erziehungsgeldes, wenn 5^ Zinseszinsen berechnet werden? 1783. Ein Capital von 20000 fl. soll bei 4A Zinseszins durch eine jährliche Rente getilgt werden, die vom Ende des ersten Jahres beginnt und 30 Jahre dauert; wie groß muß die Rente sein? 1784. Jemand erlegt 12000 fl. zu 4"/,„ und will dafür durch 24 Jahre eine jährliche Rente beziehen; wie groß wird dieselbe sein? 1785. Jemand will eine Schuld von 10000 fl , die zu 5"/„ zu verzinsen ist, in 10 gleichen Jahresraten abtragen; wie groß wird eine Raten¬ zahlung sein? I78K. Eine Schuld von 2 Millionen Gulden soll bei 4Z"/<, Zinseszins in 20 Jahren abgetragen werden; wie groß ist die jährliche Tilgungs¬ summe? 248 !787. Ein Capital von 8000 fl. soll durch die nachschußweise jährliche Rente von 801-12 fl. bei 4«6 Zins getilgt werden; wie lange muß die Rente gezahlt werden? 1788. Jemand hat eine Jahresrente von 800 fl. auf 30 Jahre zu beziehen; er wünscht aber statt derselben eine größere ans 20 Jahre zu haben? wie groß wird diese bei ckzoch Zinö sein? >789. Welche Einlage muß man durch 20 Jahre am Anfänge jedes Jahres an eine Versicherungsanstalt machen, um nach Verlauf dieser Zeit bei 4-» Verzinsung eine Jahresrente von 300 fl. durch 12 Jahre zn genießen? 1799. Welche Jahresrente wird man durch 15 Jahre beziehen, wenn man vorher durch 25 Jahre zu Anfang eines jeden Jahres einen Betrag von 125 fl. eingezahlt hat und wenn 5A Zinsen gerechnet werden? IX. Combinationslehre. l. Permutationen, Combinationen und Variationen. (8Z- 275-285.) >791. Welche und wie viele Permutationen erhält man aus den Buchstaben des Wortes „HON-B'? >292. Wie oft können 5 Tischgenossen ihre Plätze am Tische wechseln, bis sie in allen Ordnungen gesessen sind? 1793. Wie viel verschiedene Stellungen geben 3 weiße, eine blaue und 2 rothe Kugeln? >794. Wie viele verschiedene nennziffrige Zahlen lassen sich ans den neun arabischen Ziffern bilden? 1795. Wie viele verschiedene fünfziffrige Zahlen lassen sich aus den Ziffern der Zahl 591t>5 bilden? 179K. Wie viel Unionen, Amben, Lernen, Quaterncn, Quinternen geben die 90 Nummern unserer Zahlenlotterie? 1797. Welche und wie viele Würfe durchaus ungleicher Felder können mit 2 Würfeln geworfen werden? 1798. Wenn man aus den 32 Blättern der sogenannten deutschen Karte zwei Blätter zugleich zieht, wie oft können die gezogenen Karten verschieden sein? 1799. Wie viele Dreiecke können durch 10 sich dnrchschneideude gerade Linien gebildet werden? 1899. Welche und wie viele Verbindungen zn drei sind aus den Seiten u, l>, e und den Winkeln «, A eines Dreiecks möglich? 1891. Welche Arten des Wechsels von je drei der 6 Farben: roth, orange, gelb, grün, blau, violett sind möglich? >892. Wie viele verschiedene Würfe sind mit 2 Würfeln möglich? 1803. Welche verschiedene Würfe geben bei 3 Würfeln lo zur Summe? 1804. Es find 4 Fächer mit 7 verschiedenfarbigen Kugeln zu besetzen, so daß in jedes Fach eine Kugel zu stehen kvmmt; ans wie vielfache Art kann dies geschehen? 249 1805. Wie viele Würfe sind mit drei Würfeln möglich, von denen der eine weiß, der zweite gelb, der dritte roth ist, wenn man annimmt, daß Würfe von gleichviel Augen aber in verschiedenen Farben als ver¬ schieden zu betrachten sind? 1806. Wie viele vierziffrige Zahlen lassen sich aus den neun arabischen Ziffern bilden? 1807. Wie viele einfache und zusammengesetzte Factoren hat die Zahl 2310 mit Einschluß von 1 und der Zahl selbst? 1808. Ein optischer Telegraph hat 6 Arme, von denen jeder 4 verschiedene Stellungen einnehmen kann; wie viel Zeichen kann der Telegraph geben? 2. Potenzen von Binomen. (Zs. 288 — 291.) ' Rocnil, Arithmetik und Algebra, u. Aust. 17 250 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung. M 292-301.) 1845. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Aufwerfen eines Münzstückes „Bild" zu werfen? 184«. In einer Urne sind 5 Kugeln; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, u) eine ungerade Zahl, k>) eine gerade Zahl von Kugeln herauszuziehen? 1847. Wie groß ist bei einem Spiel von 32 Karten die Wahrscheinlichkeit, u) eine rothe Farbe, b) eine Coeur, a) einen König, ä) eine Figur, e) ein bestimmtes Blatt, z. B. Coeur-Dame zu ziehen? 1848. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfeln zwei gleiche Felder zu werfen? 1840. In einer Urne sind 4 weiße, 3 rothe und 2 blaue Kugeln; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter 4 Kugeln eine weiße, zwei rothe und eine blaue zu greifen? 1850. Welche Wahrscheinlichkeit ist vorhanden, daß eine 25jährige Person u) 36, b>) 40, e) 50, ä) 65 Jahre all werde? 1851. Welches ist die wahrscheinliche Lebensdauer a) eines neugeboruen Kindes, b>) einer 12-, o) l8-, 6) 36-, o) 55jährigen Person? 1852. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiel von 32 Karten u) eher eine rothe Figur als eine blaßrothe Karte zu ziehen? I85Z. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Müuzstücke „Bild" oder „Schrift" zu werfen? 1854. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln mehr als 8 Augen zu werfen? 1855. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von zwei Spielern, deren jeder ein Blatt von 32 Karten in Händen hat und die beide zugleich jeder eine Karte ziehen, ein blaßrothes Blatt und. 6 eine schwarze Figur ziehe? 185«. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 32 Karten iu den ersten zwei Zügen König und Dame derselben Farbe, jedoch in belie¬ biger Ordnung zu ziehen? 1857. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Herausziehen je einer Nummer aus einer Urne von 90 Nummern das erste Mal die Nummer l, das zweite Mal die Nummer 90 zu ziehen, u) wenn die zuerst gezogene Nummer wieder in die Urne zurückgelegt wird, b) wenn das nicht geschieht? 1858. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel u) in zwei Würfen das erste Mal 1, das zweite Mal 2 zu werfen, b) in sechs Würfen das erste Mal 1, das zweite Mal 2,... das sechste Mal 6 zu werfen? I85S. In der Urne L befinden sich 4 Treffer und 20 Nieten, in der Urne 6 6 Treffer und 24 Nieten, in der Urne 0 8 Treffer und 28 Nieten; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einen zufälligen Griff aus einer dieser Urnen einen Treffer zu ziehen? 251 1860. Auf einer Eisenbahn fahren von nach k täglich 4 Züge mit 8 Wagen, deren jeder 3 Coupes hat. Jemand macht die Fahrt eines Tages nnd weiß, daß sei» Freund eben dieselbe 2mal wöchentlich macht. Welche Wahrscheinlichkeit hat er, mit ihm in demselben Coupe zusammen zu treffen? 1861 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiel von 32 Karten 4mal nach einander eine Coeur zu ziehen? 1862. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man mit einem Würfel 3mal nach einander nicht 1 wirft? 1863. In einer Urne sind 12 weiße und 9 schwarze Kugeln. Man zieht 8mal je eine Kugel heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in den ersten 5 Ziehungen 5 weiße, und in den späteren 3 Ziehungen 3 schwarze Kngelu gezogen werden, a) wenn man nach jeder Ziehung die Kugel in die Urne zurückwirft, b) wenn das nicht geschieht? 1861. Ein Mann ist 50, seine Frau 40 Jahre alt. Wie groß ist die Wahrschein¬ lichkeit, das nach 20 Jahren u) noch der Mann lebe, il>) noch die Fran lebe, e) noch beide leben, ä) schon der Mann todt sei, s) schon die Frau todt sei, t) schon beide todt seien, Z) der Mann die Frau überlebe, I>) die Frau den Mann überlebe, i) entweder der Mann oder die Frau noch lebe, Ic) entweder der Mann oder die Frau schon todt sei? 1865. Jemand besitzt ein Los einer aus 10000 Losen bestehenden Lotterie, worin ein Treffer von 20000 st., einer von 10000 st., 10 Treffer von 1000 st., 50 von 100 st, und 1000 von 5 st. enthalten sind; wie groß ist seine mathe¬ matische Erwartung? 1866. Wie hoch kann der Einsatz sein, wenn beim Spiel mit zwei Würfeln jeder Pasch 1 st. gewinnt, andere Würfe aber nicht zählen? 1867. ist 42 Jahre alt nnd wünscht, daß nach seinem Tode seine nächsten Erben 4800 st. erhalten. Welches Capital muß er zu diesem Zwecke bei 4^ Zinseszins bei einer Versicherungsanstalt einlegen? 1868. Jemand zahlt au eine Bank eine bare Prämie, wofür sich dieselbe ver¬ bindlich macht, seinem jetzt 10jährigen Sohne, falls er das 24ste Lebens¬ jahr erreicht, dann sofort den Betrag von 1000 st. zurückzuzahlen. Welche Prämie wird die Bank bei 4^ Zinseszins fordern? 1869. Wie groß ist bei 4^ Zinseszins der gegenwärtige Werth einer Leibrente, welche eine 36jährige Person am Ende eines jeden Jahres im Betrage von 280 st. zu beziehen hat? 1876. Eine 45jährige Person kauft sich mit einer Einlage von 6000 st. eine Leibrente, welche von dem Ende des laufenden Jahres angefangeu bis an das Lebensende dauern soll. Wie groß ist die Leibrente bei 4',^ Zinseszins? 17* 252 1871. ist 50, 8 35 Jahre alt. macht bei einer Versicherungsanstalt, welche 5^ Zinsen rechnet, am Anfänge eines jeden Jahres die gleiche Einlage, damit die Anstalt nach seinem Tode dem 8 am Ende eines jeden Jahres eine Rente von 500 st. auszahle. Wie viel beträgt die jährliche Einlage? 1872. ist 65 Jahre alt und leistet in eine Rentencasse einen jährlichen Bei¬ trag von 300 fl., um nach seinem Tode seinem jetzt 12jährigen Sohne bis zum vollendeten 30sten Jahre eine nachschußweise Jahresrente zu sichern. Wie viel beträgt diese Rente bei 4^ Zinseszins? J n h ni i s - V e r z e ichn i st tzreite vLinleitung. i Erster Abschnitt. Die Grnudopcratioucn mit absoluten ganzen Zahle». I. Die Addition. 4 1. Verbindung von Summen durch die Addition. — 2. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Addition. a II. Die Subtraktion. « l. Verbindung von Differenzen durch die Addition.,.... 7 L. Verbindung von Summen und Differenzen durch die Subtraction. s s. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Subtraction. lv III. Die Multiplication. II 1. Verbindung von Producten durch die Addition und Subtraction. lr 2. Verbindung von Summen, Differenzen und Producten durch die Multiplication. >3 3. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Multiplication. >6 IV. Die Division. — 1. Verbindung von Quotienten durch die Addition, Subtraction und Multiplication. >7 2. Verbindung von Summen, Differenzen, Producten und Quotienten durch die Division. i» 3. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Division. 22 1. Zahlensysteme. — 2. Das Rechnen mit dekadischen Zahlen. 24 Zweiter Abschnitt. Die Grundoperationen mit algebraischen ganzen Zahlen. 1. Erklärungen. 28 2. Das Rechnen mit algebraischen Zahlen..... 29 Dritter Abschnitt. Von der Xheilbarkeit ganzer Zahlen. 1. Allgemeine Sätze. ss 2. Leunzeichen der Theilbarkeit ganzer Zahlen. 24 3. Von den Primzahlen insbesondere. ' . 35 4. Vom grössten gemeinschaitlicheu Masse. . . . 27 b. Vom kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen. 40 Vierter Abschnitt. Von den gebrochenen Zahlen. I. Gemeine Brüche. 42 1. Allgemeine Sätze . 48 2. Die Grundoperationen mit gemeinen Brüchen. 46 II. Decimalbrüche. . .. 49 Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Decimalbruch und umaekebrt .. 50 2. Die Grundoperationen mit vollständigen Decimalbrüchen . 53 5. Die Grundoperationen mit unvollständigen Decimalbrüchen . Sb III. Ketteniriiche. ,s. 62 1. Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Kettenbruch und umaekebrt .. .. — 2. NäherungSbrüche und ihre Eigenschaften.". 64 Fünfter Abschnitt. Von den Verhältnissen und Proportionen. 1. Verhältnisse. 69 2. Proportionen . 71 3. Die einfache Negeldetri. 76 4. Die zusammengesetzte Negeldetri... 77 5. Die Theilregel. 79 6. Die Kettenregel. 80 Sechster Abschnitt. Die Rangoperationen. I. D i e Potenzierung. 81 1. Potenzen mit ganzen positiven Exponenten. — 2. Potenzen mit ganzen negativen Exponenten. «2 s. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Potenzierung. 84 4. Das Quadrieren und kubieren. 85 II. Die R a d i c i eru n g . 89 1. Wurzeln mit ganzen Exponenten. — 2. Potenzen und Wurzeln mit gebrochenen Exponenten. 93 3. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Radicierung . 94 Moönik, Arithmetik und Algebra. II. Aust. ' 18 254 1. Arithmetische Progressionen . 2. Geometrische Progressionen S. Anwendung der geometrischen Progressionen auf die Zinseszins- und Rentenrechnung 4. Konvergenz und Divergenz der unendlichen Reihen . Neunter Abschnitt. Die CombinatioiiSlehre. 1. Daö Permutieren 2. Das Combinieren S. Das Variieren .. 4. Der binomische Lehrsatz 5. Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung Anhang. Ucbungsaufgalien. I. G ru n d o p era t ion e n mit absoluten ganzen Zahlen.... 1. Summen. 2. Differenzen S. Prodvcte. 4. Quotienten - . b. Gruudoperationen mit dekadischen ganzen Zahlen II. Grundop eratio n en mit algebraischen ganzen Zahlen III. Theilbarleit ganzer Zahlen . IV. Gebrochene Zahlen. 1. Gemeine Brüche . 2. Decimalbriiche. . 3. Kettenbrüche. V. Verhältnisse nnd Proportionen... 1. Proportionen. 2. Einfache Regeldetri .. 5. Zusammengesetzte Regeldetri 4. Theilregel . 5. Kettenregel VI. Rangoperationen 1. Potenzen . 2. Wurzeln g. Logarithmen Vil. G l e i ch n n g e n 1. Ordnen der Gleichungen 2. Bestimmte Gleichungen des ersten Grades s. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades ..... 4. Quadratische Gleichungen . 5. Einige höhere nnd Exponentialgleichungen VIII. Progressionen. 1. Arithmetische Progressionen 2. Geometrische Progressionen z. Zinseszins- und Rentenrechnnngen IX. C o m b i n a t i o n s l c h r e. 1. Permutationen. Combinationcn nnd BariatioM»---^. 2. Potenzen vcn Binomen . ahischeinlichkeitSrechiiung /s,- .»/r 4. Irrationale Zahlen .- 5. Imaginäre Zahlen.. N. Das Ausziehen der Quadrat- und Cubikwurzel . III. Die Logarithmierung. 1. Von den Logarithmen überhaupt . 2. Bon den Briggischen Logarithmen . Siebenter Abschnitt. Gleichungen. I. Bestimmte Gleichungen des ersten Grades 1. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten 2. Bestimmte Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten z. Anwendung der Gleichungen zur Auflösung von Aufgaben. II. Un be stim mte Gleichungen des ersten Grades. 1. Auflösung der unbestimmten Gleichungen in ganzen Zahlen 2. Auflösung „ „ „ in positiven Zahlen s. Auflösung „ „ „ in ganzen und positiven Zahlen III. Quadratisch e Gleichungen. 1. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten 2. Bestimmte Gleichungen des zweiten Grades mit mehreren Unbekannten.. . z. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades. IV. Einige höhere und Exponentialgleichungen 1. Reine höhere Gleichungen.. 2. Höhere Gleichungen, welche sich auf quadratische zurülksührcn lassen S. Exponentialgleichungen. . Achter Abschnitt. Progressionen. MkMM Idi ^7I2diIM W0M IX MIMINW «iXII-Xic« M