OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
NOVEMBER 2020STR 201-248ŠT. 6LETNIK 67LJUBLJANAOBZORNIK MAT. FIZ.
C  KM Y 
2020
Letnik 67
6
i
i
“kolofon” — 2021/3/1 — 10:42 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, NOVEMBER 2020, letnik 67, številka 6, strani 201–248
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
© 2020 DMFA Slovenije – 2133 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 201 — #1 i
i
i
i
i
i
PREPOGIBANJE PAPIRJA, TRETJINJENJE KOTA IN
MACLAURINOVA TRISEKTRISA
MARKO RAZPET IN NADA RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2020): 14H45, 51M15
S prepogibanjem papirja lahko tretjinimo kot in pri tem na naraven način najdemo
Maclaurinovo trisektriso. Kot lahko tretjinimo tudi z Maclaurinovo trisektriso, ki je no-
žǐsčna krivulja parabole, pa tudi inverzna slika hiperbole z razmerjem polosi 1/
√
3 na
primerni krožnici.
PAPER FOLDING, ANGLE TRISECTION, AND TRISECTRIX OF MACLAURIN
By paper folding we can trisect an angle and at the same time we find the trisectrix of
Maclaurin in a natural way. The third of an angle can be constructed also by the trisectrix
of Maclaurin which is the pedal curve of a parabola, and also the inverse of hyperbola
with semiaxes ratio 1/
√
3 on a suitable circle.
Uvod
V prispevku [6] smo spoznali, kako lahko s prepogibanjem papirja rešimo
antični problem podvojitve kocke. Tokrat si bomo ogledali, kako s podob-
nim postopkom rešimo problem tretjinjenja kota. Poleg tega bomo spoznali
Maclaurinovo trisektriso, krivuljo, ki se na naraven način, tako kot Slu-
sova konhoida pri problemu podvojitve kocke, pojavi pri tretjinjenju kota z
metodo prepogibanja papirja. Ugotovili bomo tudi, kako je Maclaurinova
trisektrisa povezana s parabolo in hiperbolo.
O nerešljivosti treh antičnih geometrijskih problemov s šestilom in ne-
označenim ravnilom lahko več preberemo v ustrezni matematični literaturi,
na primer v [5].
Tretjinjenje kota s prepogibanjem papirja
Opisali bomo tretjinjenje kota s prepogibanjem papirja po postopku, ki ga
je razvil Hisashi Abe in ga objavil leta 1980 (več o tem v [3, 4]).
Naj ima naš osnovni list papirja obliko pravokotnikaABCD s stranicama
a = |AB| in b = |BC|, pri čemer je b ≥ a (slika 1). Če je b v primerjavi z a
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6 201
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 202 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
dovolj velik, lahko tretjinimo poljuben ostri kot. Izberemo poljubno točko
E na stranici AB in pravokotnik prepognemo tako, da BC prekrije EF . Na
ta način smo razpolovili daljici EB in FC. Če je |EG| = c, potem velja:
|EG| = |GB| = |FH| = |HC| = c.
Slika 1. Priprava pravokotnega lista papirja za tretjinjenje kota.
Izberimo točko P na stranici AD (slika 2) tako, da bo ^CBP = α (ostri)
kot, ki ga želimo tretjiniti. Najprej prepognemo pravokotnik tako, da oglǐsče
B pade na daljico HG, točka E pa na daljico BP (slika 2). Prepogib seka
rob pravokotnika v točkah Q in L. Kaj smo s tem naredili? Točke B, G, E
in A smo zrcalili prek premice skozi točki Q in L in dobili ustrezne zrcalne
točke B′, G′, E′ in A′.
Ker je |EG| = |GB| = c, je tudi |E′G′| = |G′B′| = c. Zrcalna slika
daljice EB je daljica E′B′, zrcalna slika daljice B′G pa daljica BG′. Pri
tem je B′G pravokotna na EB, BG′ pa pravokotna na E′B′. Trikotnika
E′BG′ in B′BG′ sta zato pravokotna in skladna, ker se ujemata v dolžinah
katet E′G′ ter G′B′ in imata skupno kateto BG′. To pa pomeni, da sta kota
^G′BE′ in ^B′BG′ skladna, oziroma da je trikotnik B′E′B enakokrak in
je BG′ njegova simetrala.
Naj bo B1 pravokotna projekcija točke B
′ na daljico BC. Zato je
|B′B1| = c. Pravokotna trikotnika B′BB1 in B′BG′ sta tudi skladna, ker se
ujemata v dolžinah katet G′B′ ter B′B1 in imata skupno hipotenuzo BB
′.
Torej velja relacija
^B1BB
′ = ^B′BG′ = ^G′BE′ =
α
3
,
202 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 203 — #3 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
Slika 2. Tretjinjenje ostrega kota.
kar pomeni, da nam je uspelo tretjiniti (ostri) kot α. Pri izbiri P = A
opisana metoda pripelje do tretjinjenja pravega kota (ki je sicer enostavno).
Topi kot lahko tretjinimo tako, da ga najprej razpolovimo, polovico kota
tretjinimo, nato pa dobljeni kot podvojimo. Obstajajo pa tudi metode s
prepogibanjem papirja, s katerimi topi kot tretjinimo neposredno. Več o
tem na primer v [2], pa tudi v nadaljevanju.
Prepogibanje papirja in Maclaurinova trisektrisa
Sedaj se posvetimo še »analitični« obravnavi tretjinjenja kota. Pravokotnik
ABCD (slika 1) postavimo v koordinatni sistem tako, da bo izhodǐsče v
točki E in bosta točki B in F na abscisni in ordinatni osi.
Na daljiciGH izberemo poljubno točko B′ (slika 3) in narǐsemo simetralo
s daljice B′B. Z R označimo razpolovǐsče daljice B′B, z E′ pa zrcalno
sliko točke E prek simetrale s. Zanimalo nas bo, kakšno krivuljo opǐse
E′, ko B′ teče po daljici GH. Opazimo, da bo opisana konstrukcija v
tesni zvezi s tretjinjenjem kota, namreč če je B′ »dovolj visoko« na GH,
dobljena točka E′ sovpada s točko E′ preǰsnje konstrukcije in bo veljalo
^CBE′ = 3^CBB′.
Za izbrano točko B′ na daljici GH lahko zapǐsemo koordinate točk B′,
B in R:
B′(c, t), B(2c, 0), R
(
3c
2
,
t
2
)
.
201–214 203
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 204 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Smerni koeficient premice skozi točki B in B′, pa tudi premice s1 skozi E
in E′ (slika 3), je enak −t/c. Zato je smerni koeficient simetrale s enak c/t
in njena enačba je
y − t
2
=
c
t
(
x− 3c
2
)
, (1)
enačba s1 pa je
y = − t
c
x. (2)
Slika 3. Ko točka B′ potuje po daljici HG, točka E′ opisuje krivuljo (polna črta) na
Maclaurinovi trisektrisi (črtkana črta).
Koordinati x1 in y1 točke E1, presečǐsča premic s in s1, dobimo kot
rešitev sistema enačb (1) in (2):
x1 =
c(3c2 − t2)
2(c2 + t2)
, y1 =
t(t2 − 3c2)
2(c2 + t2)
.
Koordinati točke E′ sta dvakratnika koordinat x1 in y1. Točka E
′ je torej
podana s koordinatama
x =
c(3c2 − t2)
c2 + t2
, y =
t(t2 − 3c2)
c2 + t2
. (3)
204 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 205 — #5 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
Z zamenjavo parametra t→ −ct dobimo parametrično izraženo krivuljo:
x(t) =
c(3− t2)
1 + t2
, y(t) =
ct(3− t2)
1 + t2
, (4)
ki jo imenujemo Maclaurinova1 trisektrisa. Če iz (2) izrazimo t = −cy/x in
to vstavimo v eno od enačb (3), po poenostavitvi dobimo enačbo Maclauri-
nove trisektrise v implicitni obliki:
x(x2 + y2) = c(3x2 − y2). (5)
Zapǐsimo Maclaurinovo trisektriso še v polarni obliki. V enačbo (5) vstavimo
x = r cosϕ in y = r sinϕ in po kraǰsem računu izrazimo:
r(ϕ) = c
(
4 cosϕ− 1
cosϕ
)
. (6)
Enačbo (6) lahko s formulama za sinus dvojnega in trojnega kota pretvorimo
v obliko:
r(ϕ) = 2c
sin 3ϕ
sin 2ϕ
. (7)
Maclaurinova trisektrisa je simetrična glede na abscisno os, ki jo seka v
temenu A(3c, 0) in v koordinatnem izhodǐsču E(0, 0). V točki E trisektrisa
seka samo sebe pod kotom 2π/3 oziroma π/3. Slednje lahko ohlapno ute-
meljimo s sicer preprostim intuitivnim razmislekom. Ko smo dovolj blizu
točke E, sta koordinati x in y zelo blizu 0. Ko se x in y približujeta 0, se
leva stran enačbe (5) hitreje (red 3) približuje 0 kot desna (red 2) stran.
Zato lahko rečemo, da ima zelo blizu točke E enačba (5) približno obliko
0 = 3x2 − y2. Enačba 3x2 − y2 = (
√
3x + y)(
√
3x − y) = 0 pa predstavlja
premici y = ±
√
3x, ki sta dejanski tangenti Maclaurinove trisektrise v točki
E in se sekata pod kotom 2π/3 oziroma π/3.
Iz enačb (3) razberemo: ko se |t| približuje neskončnosti, se |y| tudi
približuje neskončnosti, medtem ko se x približuje vrednosti −c. To pomeni,
da ima Maclaurinova trisektrisa za navpično asimptoto premico x = −c.
Kateri del Maclaurinove trisektrise opǐse točka E′ pri različnih vredno-
stih parametra t? Iz enačb (3) razberemo, kakšne vrednosti zavzameta x in
1Colin Maclaurin (1698–1746) je bil škotski matematik.
201–214 205
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 206 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
y pri različnih vrednostih t:
za t ≤ −c
√
3 sta x ≤ 0 in y ≤ 0 (tretji kvadrant),
za −c
√
3 ≤ t ≤ 0 sta 0 ≤ x in 0 ≤ y (prvi kvadrant),
za 0 ≤ t ≤ c
√
3 sta 0 ≤ x in y ≤ 0 (četrti kvadrant),
za c
√
3 ≤ t sta x ≤ 0 in 0 ≤ y (drugi kvadrant).
Slika 4. Tretjinjenje ostrega kota z Maclaurinovo trisektriso.
Ostri kot smo znali tretjiniti s prepogibanjem papirja. Ob razumevanju
povedanega lahko tretjinimo ostre kote tudi ob predpostavki poznavanja
Maclaurinove trisektrise. Začnemo v običajnem koordinatnem sistemu in z
Maclaurinovo trisektriso (slika 4) s konstanto c, ki je podana z enačbo (5).
Načrtamo premico x = 2c. Premica ustreza nosilki BC na sliki 3, katere
presečǐsče z osjo x označimo (analogno s sliko 3) z B. Kot α, ki ga želimo
tretjiniti, odmerimo od premice x = 2c tako, da ima vrh v B, drugi krak
kota pa seka (bolj oddaljeni del) trisektrise v točki E′. Narǐsemo simetralo s
daljice od točke E′ do koordinatnega izhodǐsča O. Pravokotnica na dobljeno
simetralo iz točke B določa kot β = α/3. Z opisano konstrukcijo v praksi ne
moremo tretjiniti majhnih kotov. Za majhne kote je namreč ordinata točke
B′ zelo velika.
Maclaurinova trisektrisa po točkah in tretjinjenje kota
Oglejmo si še, kako pridemo do Maclaurinove trisektrise z načrtovanjem po
točkah v pravokotnem koordinatnem sistemu. Že prej smo ugotovili, da
Maclaurinova trisektrisa seka samo sebe pod kotom 2π/3 oziroma π/3. Iz
206 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 207 — #7 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
enačbe (7) zlahka povzamemo, da je r(−π/3) = r(π/3) = 0 in zato r(ϕ)
določa Maclaurinovo trisektriso
v prvem kvadrantu za 0 ≤ ϕ ≤ π/3,
v drugem kvadrantu za π/2 < ϕ ≤ 2π/3 oziroma za −π/2 < ϕ ≤ −π/3,
v tretjem kvadrantu za −2π/3 ≤ ϕ < −π/2 oziroma za π/3 ≤ ϕ < π/2,
v četrtem kvadrantu za −π/3 ≤ ϕ ≤ 0.
Pri tem smo v drugem in tretjem kvadrantu upoštevali, da se pri povečanju
argumenta funkcije cos za π spremeni njen predznak. Tako smo z majhno
»zlorabo« polarnih koordinat (polarni radij r(ϕ) je po definiciji razdalja in
ne more biti negativna) dosegli, da lahko za definicijsko območje krivulje
(6) namesto [−2π/3,−π/2) ∪ [−π/3, π/3] ∪ (π/2, 2π/3] vzamemo interval
(−π/2, π/2). Pri tem negativno vrednost r(ϕ) odmerimo kot pozitivno na
nasprotnem poltraku. »Zaključena zanka« Maclaurinove trisektrise v četr-
tem in prvem kvadrantu je opisana z r(ϕ) za −π/3 ≤ ϕ ≤ π/3. Krožnica
(x− 2c)2 + y2 = 4c2 in premica x = −c se v polarni obliki zapǐseta z enač-
bama r1(ϕ) = 4c cosϕ in r2(ϕ) = −c/ cosϕ za ϕ ∈ (−π/2, π/2). Pri tem
smo pri premici zagrešili enako »zlorabo« polarnih koordinat kot zgoraj. Če
polarno obliko enačbe Maclaurinove trisektrise (6) zapǐsemo v obliki
r(ϕ) = 4c cosϕ− c
cosϕ
,
dobimo
r(ϕ) = r1(ϕ) + r2(ϕ). (8)
Slika 5. Risanje Maclaurinove trisektrise po točkah.
201–214 207
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 208 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Enačba določa točke na Maclaurinovi trisektrisi kot razliko razdalj na
ustrezni nosilki poltraka od izhodǐsča do krožnice oziroma do premice x =
−c. Pri poltraku, določenem s kotom ϕ za −π/3 ≤ ϕ ≤ π/3, dobimo
razdaljo od izhodǐsča do točke T na Maclaurinovi trisektrisi tako, da od
razdalje od O do T1 odštejemo razdaljo od O do T2 (slika 5 levo). Razdalja
med T in T1 je torej |r2(ϕ)|. Pri poltraku, določenem s kotom ϕ za −π/2 <
ϕ ≤ −π/3 in π/3 ≤ ϕ < π/2, pa dobimo razdaljo od izhodǐsča do točke
T na Maclaurinovi trisektrisi tako, da od razdalje od O do T2 odštejemo
razdaljo od O do T1 (slika 5 desno). Razdalja med T in T2 je torej |r1(ϕ)|.
Slika 6. Še eno risanje Maclaurinove trisektrise po točkah.
Opǐsimo še en način risanja Maclaurinove trisektrise po točkah (slika 6).
Spet narǐsemo krožnico s sredǐsčem v točki S(2c, 0) in polmerom 2c. Za
kot 0 ≤ ϕ ≤ π izberemo točko M na krožnici tako, da bo SM z abscisno
osjo oklepala kot ϕ. Presečǐsče nosilke daljice OM in simetrale daljice SM
označimo s T .
Pokažimo, da T leži na Maclaurinovi trisektrisi. Ker sta ψ in ϕ, kot sta
označena na sliki 6, obodni in sredǐsčni kot nad isto tetivo, velja ϕ = 2ψ.
Nosilka daljice OM oklepa z abscisno osjo kot ψ. Točka M ima koordinati
xM = 2c + 2c cosϕ in yM = 2c sinϕ, točka N pa xN = 2c + c cosϕ in
yN = c sinϕ. Nosilka OM ima enačbo y = x tgψ, simetrala daljice SM
pa y− c sinϕ = − ctgϕ(x− 2c− c cosϕ). Izračunamo koordinati presečǐsča
premic in dobimo T (c(1 + 2 cosϕ), c(1 + 2 cosϕ) tgψ). Če izrazimo
1 + 2 cos 2ψ = 3 cos2 ψ − sin2 ψ = 3− tg
2 ψ
1 + tg2 ψ
208 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 209 — #9 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
in vpeljemo t = tgψ, dobimo znani enačbi (4):
x(t) =
c(3− t2)
1 + t2
, y(t) =
ct(3− t2)
1 + t2
.
Zanimivo je, da lahko zadnjo ugotovitev zelo elegantno dokažemo tudi
povsem geometrijsko. Opazimo namreč, da sta trikotnika SMT in MOS
enakokraka. Od tu in zaradi sovršnosti takoj sledi skladnost štirih na sliki
6 označenih kotov ψ. Ker je dolžina MN polovica dolžine MS, ki je 2c, sta
daljici OK in MN skladni in skladna sta tudi trikotnika MTN in OT2K.
Kot posledica razlage enačbe (8) sledi sklep, da je T na Maclaurinovi tri-
sektrisi. Zelo podobni geometrijski argumenti veljajo tudi v primeru, ko je
−π/2 < ψ ≤ −π/3 ali π/3 ≤ ψ < π/2.
Ponovimo, da velja ϕ = 2ψ, saj je ϕ sredǐsčni in ψ obodni kot nad istim
lokom. Glede na oznake na sliki 6 je torej ^HST = 3^SOT .
O tretjinjenju kota s pomočjo Maclaurinove trisektrise smo govorili že
pred razdelkom o »načrtovanju Maclaurinove trisektrise po točkah«. Zadnja
ugotovitev pa ponuja nov eleganten način za tretjinjenje kota s pomočjo
Maclaurinove trisektrise za poljubne kote 0 ≤ α ≤ π.
Če namreč začnemo z Maclaurinovo trisektriso s konstanto c in krožnico
s sredǐsčem v točki S(2c, 0) in polmerom 2c ter kot α, ki ga želimo tretjiniti,
narǐsemo z vrhom v S tako, da je en krak na abscisni osi, drugi krak pa
določa točko M na krožnici, nam daljica OT (slika 7 levo) določa kot β =
α/3.
Slika 7. Tretjinjenje kota z Maclaurinovo trisektriso: β = α/3.
Tretjino kota α je s pomočjo Maclaurinove trisektrise mogoče dobiti
še na en način. Če začnemo podobno kot v pravkar opisanem primeru
201–214 209
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 210 — #10 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
in razpolovimo kot α, dobimo točko T (slika 7 desno). Nosilka OT seka
krožnico v točki N . Daljica SN določa kot β = α/3. Namreč, trikotnika
SNT in NOS sta enakokraka (primerjaj s trikotnikom SMT na sliki 6) in
zato velja ^NST = ^TNS = ^SON . Ker sta ^SON obodni in β sredǐsčni
kot nad istim lokom, velja β = 2^SON . Velja tudi ^NST + β = α/2, kar
pa že pomeni β = α/3.
Ploščina
S pomočjo doslej povedanega zlahka izračunamo tudi ploščine nekaterih li-
kov, ki jih omejuje Maclaurinova trisektrisa. Ploščino S1 lista v prvem in
četrtem kvadrantu (slika 8) najlažje izračunamo z uporabo polarnega zapisa
(6) in formule za izračun izseka krivulje, podane v polarni obliki
S =
1
2
∫ ϕ2
ϕ1
r2(ϕ) dϕ.
Glede na znana dejstva je
S1 = 2 ·
c2
2
∫ π/3
0
(
4 cosϕ− 1
cosϕ
)2
dϕ.
Integral se s klasičnimi srednješolskimi metodami enostavno izračuna in do-
bimo S1 = 3c
2
√
3. Podobno se izračuna ploščina S2 med Maclaurinovo
trisektriso in njeno asimptoto kot »posplošeni integral« (območje ni ome-
jeno). Ob upoštevanju (8) in s pogledom na sliko 5 (desno) dobimo
S2 = 2
[
1
2
∫ π/3
0
r22(ϕ) dϕ+
1
2
∫ π/2
π/3
(r22(ϕ)− r2(ϕ)) dϕ
]
= c2
√
3 + 8c2
∫ π/2
π/3
(1− 2 cos2 ϕ
)
dϕ = 3c2
√
3.
Pri tem je prvi integral kar ploščina trikotnika, drugi integral pa zlahka
izračunamo. Zanimivo, da sta ploščini S1 in S2 enaki. Mogoče je zanimivo
opaziti, da je S1 + S2 enaka ploščini pravilnega šestkotnika s stranico 2c.
210 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 211 — #11 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
Slika 8. List Maclaurinove trisektrise in lik med trisektriso in njeno asimptoto imata enaki
ploščini.
Nožǐsčna krivulja parabole
Maclaurinova trisektrisa je tudi nožǐsčna krivulja parabole. To pomeni, da
predstavlja množico pravokotnih projekcij neke točke P na vse tangente
parabole (glej na primer [1, 7]).
V koordinatnem sistemu narǐsimo parabolo, ki ima enačbo y2 = 4c(x−
3c), kjer je c pozitivna konstanta. Parabola ima teme v točki A(3c, 0),
gorǐsče v F (4c, 0), ordinato v gorǐsču p = 2c in za vodnico premico x =
2c (slika 9). Na paraboli izberemo točko M(s, t) in narǐsemo tangento na
parabolo. Iz točke O(0, 0) narǐsemo še pravokotnico na tangento. Dobimo
presečǐsče T . Ko se točka M giblje po paraboli, opisuje točka T krivuljo,
katere parametričnih enačb ni težko najti.
Tangenta na parabolo v točki M in pravokotnica nanjo iz točke O(0, 0)
sta premici z enačbama
y − t = 2c
t
(x− s), y = − t
2c
x.
Presečǐsče teh dveh premic je točka T s koordinatama
xT =
2c(2cs− t2)
4c2 + t2
, yT =
t(t2 − 2cs)
4c2 + t2
.
201–214 211
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 212 — #12 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 9. Nožǐsčna krivulja parabole y2 = 4c(x − 3c) glede na točko O je Maclaurinova
trisektrisa.
Ker točka M leži na paraboli, velja zveza t2 = 4c(s−3c) = 4cs−12c2, iz ka-
tere sledi 2cs = t2/2+6c2, kar vstavimo v preǰsnji enačbi in po poenostavitvi
dobimo:
xT =
c(12c2 − t2)
4c2 + t2
, yT =
t(t2 − 12c2)
2(4c2 + t2)
.
Z zamenjavo t → −2ct dobimo ravno parametrično izraženo Maclaurinovo
trisektriso
x(t) =
c(3− t2)
1 + t2
, y(t) =
ct(3− t2)
1 + t2
,
kot jo poznamo iz (4).
Povsem analogno bi izračunali tudi nožǐsčno krivuljo glede na koordi-
natno izhodǐsče za parabolo y2 = 2p(x − q) (p 6= 0), ki ima teme v točki
A(q, 0). Tedaj bi dobili krivuljo, podano z enačbama
x(t) =
2q − pt2
2(1 + t2)
, y(t) =
t(2q − pt2)
2(1 + t2)
.
Ta krivulja sovpada z Maclaurinovo trisektriso v obravnavanem primeru,
ko je 3p = 2q. To pomeni, da je takrat q trikratnik razdalje od gorǐsča do
temena parabole. V primeru 3p = −2q bi dobili Slusovo konhoido, za p = 2q
strofoido, za q = 0 pri poljubnem p pa Dioklovo cisoido. Več o teh krivuljah
najdemo na primer v [7].
Maclaurinova trisektrisa in inverzija
Zanimivo je na Maclaurinovo trisektriso pogledati še s stalǐsča inverzije.
Začnimo spet z Maclaurinovo trisektriso (5). Spomnimo se, da seka samo
212 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 213 — #13 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
sebe v izhodǐsču O = (0, 0). Inverzija glede na krožnico x2 + y2 = R2 je
določena s preslikavo
(x, y) 7−→
(
R2x
x2 + y2
,
R2y
x2 + y2
)
. (9)
Inverzija preslika O v neskončno oddaljeno točko in neskončno oddaljeno
točko v O. Točke na krožnici x2 + y2 = R2 so za inverzijo (9) negibne.
Inverzija preslika premice in krožnice v premice ali krožnice.
Z upoštevanjem preslikave (9) iz (5) in s kraǰsim računom dobimo enačbo
3cx2 −R2x− cy2 = 0.
Pretvorimo jo v klasično obliko
(x− p)2
a2
− y
2
b2
= 1,
ki predstavlja enačbo hiperbole s sredǐsčem v točki S(p, 0). Brez težav
zapǐsemo njeni polosi a in b ter linearno ekscentričnost e:
a =
R2
6c
, b =
R2
2c
√
3
, e =
R2
3c
.
Prav tako koordinate sredǐsča S, temen A in B ter gorǐsč F1 in F2:
S
(
R2
6c
, 0
)
, A
(
R2
3c
, 0
)
, B(0, 0), F1
(
−R
2
6c
, 0
)
, F2
(
R2
2c
, 0
)
.
Na sliki 10 je prikazana hiperbola, ki ustreza R < 3c.
Zanimivo je, da smo za vsak R dobili hiperbolo. Še več, iz zgornjega ra-
čuna je enostavno preveriti, da imajo vse tako dobljene hiperbole konstantno
razmerje polosi a/b = 1/
√
3 oziroma asimptoti s smernima koeficientoma
√
3
in −
√
3, in sicer:
y = ±
√
3
(
x− R
2
6c
)
.
Tangenti v točki O na Maclaurinovo trisektriso sta asimptotama vzpore-
dni in se pri inverziji ne spremenita. Preprost račun takoj pokaže, da se
asimptoti z inverzijo za vsak R preslikata v krožnici s sredǐsčema v točkah
S1,2(3c,∓c
√
3) in polmerom Ri = 2c
√
3. Sredǐsče prve krožnice leži na drugi
krožnici in obratno. Območje, ki ga ograjujeta, je v zgodovini geometrije
201–214 213
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 214 — #14 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 10. Inverzna slika Maclaurinove trisektrise je hiperbola.
znano kot »vesica piscis«2. Sredǐsči teh krožnic in teme Maclaurinove tri-
sektrise so kolinearne točke. Krožnici se sekata v točkah O(0, 0) in Q(6c, 0)
pod kotom π/3 oziroma 2π/3. Točki S in Q sta si inverzni. Vse se lepo
sklada z dejstvom, da inverzija ohranja kote in dotike med krivuljami.
Polmera OS1,2 določata v točki O normali na Maclaurinovo trisektriso
in Ri je celo njen krivinski polmer v O, kar potrdi tudi račun z ustrezno
formulo. Inverzni sliki asimptot hiperbole sta zato pritisnjeni krožnici na
Maclaurinovo trisektriso v O. Zato ni nič čudnega, da sta krožnici neodvisni
od R. Maclaurinova trisektrisa s pritisnjenima krožnicama v O vred se z in-
verzijo preslikajo v hiperbolo in njeni asimptoti. Posamezno krožnico lahko
tudi geometrijsko konstruiramo, ker poteka skozi O in presečǐsči asimptote
s krožnico x2 + y2 = R2.
LITERATURA
[1] D. Haftendorn, Kurven erkunden und verstehen: Mit GeoGebra und anderen Wer-
kzeugen, Springer Spektrum, 2017, str. 62–64.
[2] T. Hull, Project Origami, Activities for Exploring Mathematics, Second Edition,
CRC Press, 2013, str. 67.
[3] K. Fushimi, Trisection of an angle by H. Abe, The Science of Origami, A Supplement
to Saiensu (japonska verzija revije Scientific American) October 1980, str. 8.
[4] R. J. Lang, Origami and Geometric Constructions, http://www.langorigami.com,
ogled 25. 9. 2020).
[5] G. E. Martin, Geometric Constructions, Springer, New York, 1998, str. 41–50.
[6] M. Razpet in N. Razpet, Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida,
Obzornik. mat. fiz. 67 (2020), str. 41–51.
[7] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb, 1979.
2V latinščini: ribji mehur.
214 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 215 — #1 i
i
i
i
i
i
EPIDEMIJA IN SPLOŠNA MATURA IZ FIZIKE 2020
ALEŠ MOHORIČ1,2 IN ALEŠ DROLC3
1Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani,
2Institut »Jožef Stefan«,
3Državni izpitni center
Ključne besede: splošna matura, epidemija, fizika
Pandemija covid-19 je vplivala na učni proces, ki je bil v zaključku šolskega leta
2019/20 moten zaradi pouka na daljavo. Uspeh učnega procesa lahko merimo s testi
znanja in posebej primerni so testi, katerih rezultate lahko primerjamo s predhodnimi
generacijami in je njihova struktura ter izvedba neodvisna od razmer. Tak test je ma-
turitetni izpit. Matura ima velik vpliv na možnost nadaljnjega izobraževanja, zato se
je pojavil strah, da bo vpliv dela na daljavo zmanǰsal njeno regularnost. Pomisleke o
regularnosti izvedbe mature lahko ovržemo z analizo rezultatov mature in primerjavo z
rezultati preǰsnjih let.
EPIDEMY AND PHYSICS MATURA IN 2020
Covid-19 pandemic resulted in lock-downs and influenced the schooling process in
the school year of 2019/20. The impact on the study process is measured by exams.
Exams that are independent of the conditions and have comparable results to previos
generations are particulary suited. Such an exam is a matriculation exam, matura. Since
matura has high impact on admition to university programmes, fear of its regularity was
raised. Doubts on the regularity of matura can be laid to rest with the analysis of the
results and comparison with the results of previous years.
Uvod
Na začetku leta 2020 je svet zajela pandemija virusa Sars-Cov-19, ki pov-
zroča gripi podobno infekcijo in se lahko zaplete z virusno pljučnico in vodi
v smrt. Zaradi visokega osnovnega reprodukcijskega števila in smrtnosti
je bila po svetu razglašena pandemija in v državah uvedeni epidemiološki
ukrepi. V Sloveniji je bila epidemija razglašena marca 2020 in pouk se je
z uporabo videokonferenčnih sistemov, spletnih učilnic in druge elektronske
komunikacije prenesel na daljavo. Ukrep je učence četrtih letnikov srednjih
šol zmotil v drugi polovici priprav na maturo. Splošna matura je bila zaradi
ukrepov v notranjem delu nekoliko prilagojena, v zunanjem pa je ostala
nespremenjena in številni so se spraševali, ali je izvedba mature v takih
razmerah regularna. Rezultate izpita splošne mature iz fizike 2020 primer-
jamo z rezultati preteklih let. V nekaterih vidikih opazimo odstopanje od
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6 215
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 216 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Aleš Drolc
preteklih let, vendar ta odstopanja niso velika oz. niso večja, kot so kdaj v
preteklosti že bila.
Najprej si na kratko oglejmo način izvedbe splošne mature iz fizike in
kaj na maturi preverjamo. Vsebine in cilje izpita, način preverjanja znanja
in zgradbo izpita določa predmetni izpitni katalog [2]. Izpit iz fizike je se-
stavljen iz treh delov. Prva in druga izpitna pola skupaj predstavljata pisni
ali zunanji del izpita. Laboratorijske vaje so praktični, notranji del izpita
in se izvajajo na šoli. Notranji del izpita ocenjuje učitelj. V prvi izpitni poli
je 35 nalog izbirnega tipa, vsaka pravilna rešitev je točkovana z eno točko.
V drugi izpitni poli je šest strukturiranih nalog, od katerih kandidat izbere
tri. Vsaka strukturirana naloga je vredna največ 15 točk, kar skupaj znese
največ 45 točk. Za notranji del opravi kandidat vsaj 8 laboratorijskih vaj in
za vsako napǐse poročilo in tako lahko doseže največ 20 točk. Izpitne vsebine
so povzete po učnem načrtu za pouk fizike v gimnazijah in razdeljene na
splošna in posebna znanja. Splošna znanja so potrebna za splošno izobrazbo
in jih morajo obravnavati in poznati vsi kandidati. Zajemajo glavne defini-
cije fizikalnih količin, razumevanje fizikalnih zakonov in konceptov, nekatere
pojme in podatke, ki sodijo v splošno izobrazbo, ter temeljna procesna zna-
nja. Posebna znanja dopolnjujejo splošna znanja. Vključujejo vsebine, ki
predstavljajo poglobljena znanja in primere, pri katerih je večji poudarek na
kvantitativni obravnavi. Cilji splošnih in posebnih znanj so neločljivo pove-
zani z razvijanjem kompleksnega mǐsljenja, ki ga morajo razviti vsi dijaki
[10]. Naloge v prvi izpitni poli preverjajo le splošna znanja in so različno
težavne in različnih taksonomskih stopenj. Naloge v drugi izpitni poli pre-
verjajo splošna in posebna znanja. Vsaka od nalog je tematsko osredotočena
na eno od šestih vsebinskih področij: merjenje, mehanika, termodinamika,
elektrika in magnetizem, nihanje, valovanje in optika ter moderna fizika in
astronomija. V prvi izpitni poli vsako področje preverja več nalog izbirnega
tipa, v drugi izpitni poli se vsaka strukturirana naloga na nivoju posebnih
znanj osredotoča na eno od področij.
Naloge in deli nalog so različno težavni. Težavnost naloge izrazimo z
indeksom težavnosti, deležem kandidatov, ki so neko nalogo rešili prav. Vǐsji
indeks težavnosti pomeni lažjo nalogo. Pri nalogah z več možnimi točkami
pomeni indeks težavnosti delež povprečnega števila doseženih točk glede na
vse možne. Namen testa je ločevanje kandidatov, ki nalogo znajo rešiti, od
tistih, ki naloge ne znajo rešiti, zato je v test smiselno vključiti različno
težke naloge. Pred uporabo na izpitu vsako izpitno polo pregledajo zunanji,
neodvisni strokovnjaki, ki ocenijo njeno težavnost in zahtevnost. Komisija
216 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 217 — #3 i
i
i
i
i
i
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
oceni težavnost vsake naloge, preden jo vključi v test.
Naloge, združene v nekem testu, niso le različno težke, ampak so tudi
različno zahtevne. Težavnost je empirična posledica realne interakcije med
nalogo in neko specifično populacijo. Če bi to isto nalogo reševala druga
populacija, bi bil indeks težavnosti zelo verjetno drugačen. Večja je razlika
med populacijami, večja je razlika med indeksi težavnosti. Ker pa prihaja
vsako leto na izpit iz fizike približno enaka populacija, se pričakuje, da bi
bil indeks težavnosti neke naloge primerljiv, če bi jo vključili v dva raz-
lična testa. Indeks težavnosti je tako kvantitativna mera, ki jo poznamo po
opravljenem testu. Zahtevnost neke naloge je njena kvalitativna lastnost, ki
je razmeroma neodvisna od populacije, ki nalogo rešuje. Z zahtevnostjo na-
loge se avtorji ukvarjajo pri nastajanju naloge. Intuitivno pričakujemo, da
bodo manj zahtevne naloge kandidati reševali bolje, bolj zahtevne pa slabše,
a povezava ni nujna in vedno pozitivna [11]. Na primer, naloga druge izpi-
tne pole ima neko zahtevnost in navodilo za ocenjevanje predvideva, kako
se bodo razpoložljive točke dodeljevale za zapisano rešitev. S korigiranjem
navodila za ocenjevanje je mogoče doseči, da bo kandidat naslednjo točko
dobil prej ali pozneje v postopku reševanja. V prvem primeru bo naloga
lažja, indeks težavnosti bo vǐsji, v drugem pa težja, indeks težavnosti bo
nižji. S spreminjanjem navodila za ocenjevanje lahko do neke mere nad-
zorujemo indeks težavnosti in s tem povprečno število točk na testu, ne
moremo pa nadzorovati zahtevnosti naloge. Ta ostaja nespremenjena in je
neodvisna od števila kandidatov, ki so nalogo rešili prav, narobe ali le de-
loma. Ena glavnih razsežnosti zahtevnosti neke naloge je njena kognitivna
zahtevnost, ki jo delimo po taksonomskih stopnjah. Predmetni izpitni ka-
talog [2] predpisuje deleže taksonomskih stopenj, ki v grobem temeljijo na
Bloomovi taksonomiji znanja. Pri pripravi nalog in njihovem vključevanju v
test predmetna komisija za fiziko sledi naslednji štiristopenjski taksonomiji:
I osnovna znanja (poznavanje pojmov in dejstev ter priklic), II konceptualna
znanja (razumevanje pojmov in dejstev), III proceduralna znanja (pozna-
vanje in učinkovito obvladovanje algoritmov in procedur) in IV problemska
znanja (uporaba znanja v novih situacijah, uporaba kombinacij več pravil in
pojmov pri soočenju z novo situacijo, sposobnost uporabe konceptualnega
in proceduralnega znanja). Poleg kognitivne zahtevnosti komisija za vsako
nalogo že pred uvrstitvijo v test oceni tudi navidezno težavnost. Vsako
nalogo razvrsti v eno od treh kategorij: lahke (pričakuje se, da bo pri tej
nalogi dejanski indeks težavnosti vǐsji od 0,70), srednje (med 0,30 in 0,70) in
težke (nižji od 0,30). Določanje obeh mer, težavnosti in zahtevnosti naloge,
215–235 217
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 218 — #4 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Aleš Drolc
je subjektiven postopek. Od sestavljavcev testa, v Sloveniji to pomeni od
članov predmetne komisije, zahteva temeljito poznavanje učnega načrta ter
gimnazijske populacije in njenega potencialno izkazanega znanja.
Število doseženih točk na izpitu se pretvori v oceno na podlagi lestvice.
Meje med ocenami določi (in jih v potrditev predlaga Državni komisiji za
splošno maturo) Državna predmetna komisija za fiziko za splošno maturo,
potem ko je seznanjena z rezultati aktualnega roka. Pri določitvi mej upo-
števa dve merili: absolutno oz. vsebinsko in relativno oz. statistično. Iz-
hodǐsče je absolutno merilo. Praga za zadostno in odlično oceno komisija
določi vnaprej, ob predaji izpitnega gradiva v žreb za prihajajočo maturo.
Praga predlaga na podlagi svojega ekspertnega znanja o vsebini, učnih ci-
ljih in standardih znanja. Pri določanju meje za pozitivno oceno komisija
upošteva dosežene učne cilje, ki naj bi jih dosegali kandidati s 50 ali več od-
stotnimi točkami – znanje, ki je točkovano z vsaj 50 odstotnimi točkami, se
šteje za zadostno. Pri določanju meje za odlično oceno pa komisija upošteva
dosežene učne cilje, s katerimi naj bi kandidati izkazovali odlično znanje.
Praga za pozitivno in odlično oceno ni vedno mogoče vnaprej povsem na-
tančno določiti in predmetna komisija lahko meji naknadno tudi (nekoliko)
korigira. To lahko naredi tudi v primeru, če je ob napovedanih mejah delež
kandidatov, ki so dosegli neko oceno, izrazito drugačen od pričakovanega
– v takem primeru lahko komisija uporabi relativno oz. statistično merilo.
Če je kandidatov, ki niso dosegli predvidene meje npr. za dve, več kot de-
set odstotkov, lahko komisija mejo zniža, vendar ob sočasnem upoštevanju
vsebinskega merila. V praksi to pomeni, da bo komisija ob velikem deležu
negativnih ocen mejo za dve znižala, vendar le do meje, ki jo je še mogoče
utemeljiti z vsebinskim merilom. Če neke meje ni več mogoče utemeljiti z
nekim pričakovanim standardom, komisija meje ne bo znižala, čeprav bi bil
odstotek negativnih še vedno visok, na primer vǐsji od deleža v katerem od
preǰsnjih let [13]. Pri postavitvi vsebinskega kriterija državna predmetna
komisija sledi napotkom državne komisije, da se izpitni kompleti pripravijo
tako, da bi bila meja za 2 določena pri 50 odstotnih točkah, ali pa bi se tej
meji vsaj približala, meja za 5 pa pri 86 odstotnih točkah. Predmetna ko-
misija za fiziko se temu približuje postopoma, težavnost nalog je namreč še
vedno nekoliko previsoka glede na pričakovano število doseženih točk za po-
samezno oceno. Na prvi pogled se zdi, da bi bilo to preprosto dosegljivo tako,
da se pripravi lažji izpit. Vendar izkušnje iz preteklih let kažejo, da ima tak
pristop lahko nepredvidljive in neželene posledice. Kandidati prepoznajo,
da je izpit lažji, kot so pričakovali, in svoje izkušnje in spoznanje prenesejo
218 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 219 — #5 i
i
i
i
i
i
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
kolegom naslednjih generacij. Razliko prepoznajo tudi profesorji in profe-
sorice, ki dijake pripravljajo na izpit. Oboji pričakovani prag zahtevnosti
naslednjega izpita nekoliko znižajo. Če se na naslednjem izpitu pričakovanje
potrdi, to vpliva na priprave v naslednjem letu itn. Predpostavka pri taki
korekciji mej med ocenami je, da se znanje učencev v prihodnje ne bo nižalo,
vendar jih spoznanje, da test ni bil tako zahteven, kot so pričakovali, nape-
ljuje prav na to. Ko se sproži ta spirala, je test vsako leto lažji, dosežki pa
so vsako leto nižji in trend je zelo težko obrniti. Komisija mora pri želenem
dvigu meje za oceno dve iskati občutljivo ravnotežje med težjimi in lažjimi
nalogami, med različnimi vsebinami, obenem pa mora dijake spodbujati k
bolǰsi pripravljenosti na izpit in profesorje, da jim pri tem pomagajo. Iz-
pit torej ne sme biti prelahek, ker to lahko sproži omenjeno spiralo, in ne
pretežek, ker lahko to odvrne dijake od izbire predmeta.
Poleg objektivnih meril, kot so doseženo število točk, ocena in indeksi
težavnosti posameznih nalog, lahko maturo ocenjujemo tudi z vtisi udeleže-
nih. Dijaško mnenje o zahtevnosti mature ugotavlja Državni izpitni center
vsako leto tako, da na svoji spletni strani objavi vprašalnik. Vprašanja se
nanašajo na zahtevnost posameznih delov izpitov pri maturitetnih predme-
tih, izbirne naloge pri pisnem delu izpita, težave in nejasnosti pri izvedbi
splošne mature, dejavnike, ki vplivajo na odločitev za izbirne predmete [19].
Pri interpretaciji odgovorov na vprašalnik moramo upoštevati, da tisti, ki
nanj odgovarjajo – respondenti – ne predstavljajo naključnega vzorca iz re-
ferenčne skupine [1]. Glavno vprašanje analize vprašalnika je, ali je bila
splošna matura iz fizike lani (2020) za dijakinje in dijake po zahtevnosti
primerljiva z maturami preǰsnjih let. Intuitivno se zdi odgovore dijakov
smiselno interpretirati pogojno glede na njihovo oceno. Če bi se lani v od-
zivu na vprašalnik povečal delež tistih, ki izpit označijo za pre/zahteven,
lahko to temelji na težjem izpitu ali pa na večjem deležu respondentov s
slabšimi ocenami. Če se ob primerljivi porazdelitvi ocen respondentov delež
tistih, ki izpit označijo za pre/zahteven, poveča, potem odziv lahko kaže
na to, da je izpit lanski generaciji predstavljal večji zalogaj kot preǰsnji/m.
Primerjava odgovorov respondentov in njihovih podatkov s preǰsnjimi leti
kaže, da je po strukturi in porazdelitvi ocen vzorec respondentov glede na
populacijo konsistentno pristranski, vsebuje manj fantov in tistih z nižjimi
ocenami. Ker nas zanimajo le razlike med leti, kaže vzorec pravo sliko, ko
ga primerjamo s predhodnimi generacijami.
Povzemimo, katere kazalce uspešnosti in zahtevnosti izpita iz fizike na
maturi lahko spremljamo: število doseženih točk na notranjem in zunanjem
215–235 219
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 220 — #6 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Aleš Drolc
delu izpita, število doseženih točk na prvi in drugi izpitni poli, indeks težav-
nosti posamezne naloge ali povprečje doseženih točk na posamezni izpitni
poli, oceno izpita. Navidezna težavnost in taksonomska stopnja naloge sta
znani vnaprej in se uporabljata za uravnoteženje zahtevnosti izpitov v raz-
ličnih letih. Spremljamo tudi število kandidatov, ki izberejo predmet, in
njihov uspeh v zadnjih dveh letih srednje šole. Ti podatki nam kažejo trend
predmeta, ali je med kandidati priljubljen in ali je zahteven. Prilagajanje
mej za ocene doseženim točkam je tudi lahko indikator uspeha. Zanima nas
še, katere naloge kandidati izbirajo na drugi poli. Kandidati svoje dojema-
nje izpita in motivacijo izrazijo skozi vprašalnik.
Rezultati mature
V analizi dosežkov upoštevamo referenčno skupino, to so dijaki, ki so uspe-
šno zaključili zadnji letnik srednje šole, splošno maturo na spomladanskem
roku opravljajo prvič in v celoti. Na podlagi dosežkov te skupine se določajo
tudi meje med ocenami.
Število kandidatov
Število kandidatov v referenčni skupini za zadnjih dvanajst let kaže slika
1 levo. Opazimo stalno upadanje, ki je v enem delu posledica manǰsanja
generacij, v drugem pa večanja deleža dijakov, ki se odločijo za poklicno
maturo. Na sliki 1 desno je prikazan delež referenčne skupine, ki na splošni
maturi izbere fiziko. Ta delež ostaja skozi leta približno konstanten.
Slika 1. Levo – število kandidatov na splošni maturi se z leti manǰsa, nekaj na račun upada
številčnosti generacij, nekaj na račun večjega deleža kandidatov, ki opravljajo poklicno
maturo. Desno – delež kandidatov, ki na splošni maturi izbere fiziko.
220 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 221 — #7 i
i
i
i
i
i
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
Meje za izpitne ocene
Meje za izpitne ocene so lahko indikator težkega izpita oz. slabega uspeha.
Graf na sliki 2 kaže število točk, ki so potrebne za vǐsjo oceno. Vidimo, da
sta najbolj stabilni meji za oceni 2 in 5, kar pomeni, da predmetna komisija
precej dobro sledi absolutnemu merilu, pri mejah za oceni 3 in 4 pa je
nihanja več (do 4 točke), kar lahko razumemo, da ima statistični kriterij
večji vpliv na srednje meje kot na robni dve. Spreminjanja mej za ocene
so minimalna, vseeno pa ne moremo spregledati odmika navzdol pri zadnji
maturi, kar pomeni, da je letvica postavljena nekoliko nižje. Ta deviacija je
še posebej očitna, če opazimo trend, da se mejo za oceno 2 želi približati 50
točkam, mejo za oceno 5 pa 86.
Slika 2. Meje za izpitne ocene na SM iz fizike v zadnjih petih letih.
Dosežki
Rezultate izpitov iz fizike na SM za zadnjih pet let kažeta diagrama na
sliki 3. Na levi je povprečna ocena, na desni pa povprečno število točk z
označenim standardnim odklonom. Število kandidatov je bilo lani najnižje
doslej, ob tem se je delež deklet glede na predlani nekoliko zvǐsal. Povprečno
število skupnih točk je med nižjimi, vendar ne najnižje – nižje je bilo leta
2017. Tega leta je bila tudi razpršenost večja. Povprečna ocena je znotraj
običajnih odklonov od povprečja. Oceno lahko reguliramo tudi z mejami
med ocenami.
Razčlenimo rezultate izpita tako, da si ogledamo povprečne dosežke na
delih izpita: prvi in drugi izpitni poli ter laboratorijskih vajah. Rezultate
kaže levi diagram na sliki 4. Prva izpitna pola, ki je sestavljena iz petintri-
desetih nalog izbirnega tipa, je bila lani reševana celo najbolje v zadnjem
215–235 221
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 222 — #8 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Aleš Drolc
Slika 3. Na levi so povprečne ocene, dosežene na izpitu iz fizike na SM, na desni pa
povprečno število doseženih točk skupaj s standardnim odklonom.
obdobju. Pri tem ni nepomembno, da se pola ocenjuje »avtomatsko«: kan-
didati svoje odgovore označujejo na list za odgovore, listi se poskenirajo.
Napake ocenjevanja, do katere lahko pride pri ocenjevanju druge izpitne
pole zaradi prestrogega ali preblagega ocenjevanja, pri tej poli ni. Pri drugi
izpitni poli je lansko povprečje nižje od povprečij preǰsnjih let, najbolj se pri-
bliža povprečju leta 2017. Razpršenost rezultatov je primerljiva s preǰsnjimi
leti. Pri internem delu je povprečno število doseženih točk lani najvǐsje, raz-
pršenost pa najmanǰsa. Kaže, da so imeli lani kandidati z drugo izpitno polo
največ težav doslej. Rezultat so v povprečju nekoliko kompenzirali z bolǰsim
reševanjem prve izpitne pole in vǐsjimi točkami pri internem delu. Vpraša-
nje je, ali bi bil ob običajnem letu rezultat na prvi izpitni poli v povprečju
še bolǰsi, kot je bil, ali pa so se dijaki nanjo lani v resnici pripravili bolje
kot preǰsnja leta. Bolj natančen odgovor zahteva vsebinsko analizo prvih
izpitnih pol in njihovih zahtevnosti.
Slika 4. Levo: povprečno število doseženih točk na prvi izpitni poli (ip1), drugi izpitni
poli (ip2) in laboratorisjkih vajah (lab) za zadnjih pet let. Desno: indeks težavnosti druge
pole.
222 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 223 — #9 i
i
i
i
i
i
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
Rezultati izpita v celoti ne odstopajo od rezultatov izpitov v letih 2017 in
2018, pri čemer se rezultati izpitov v letih 2017 in 2018 med seboj razlikujejo.
Povprečje doseženega števila točk na prvi izpitni poli je bilo lani primerljivo
s predlanskim povprečjem in s povprečjem leta 2015. Povprečno število
doseženih točk na prvi izpitni poli je bilo v teh letih najvǐsje. Povprečje
druge izpitne pole je lani primerljivo z letom 2017 – to sta bili najnižji
povprečji v zadnjih šestih letih. Pri internem delu v preǰsnjih letih razlik v
povprečnem številu točk ni bilo, lani pa to značilno odstopa navzgor. Vǐsji
rezultat na internem delu je pričakovan. Ocenjevanje je na nekaterih šolah,
ki tega dela niso opravile do prve tretjine marca, lahko potekalo prilagojeno.
Učitelji so posebne okolǐsčine zelo verjetno upoštevali pri ocenjevanju in
ocenjevali nekoliko bolj blago kot preǰsnja leta.
Dosežek na splošni maturi – ocena oz. število doseženih točk – je le
eden od dosežkov dijaka v srednji šoli. V tabeli 1 so navedeni nekateri
drugi dosežki in izpostavimo jih lahko nekaj, ki so v tabeli označena krepko.
Povprečni splošni uspeh pri splošni maturi (SM) (21,86) je bil lani glede na
preǰsnja leta vǐsji. Ob s preǰsnjimi leti primerljivima povprečnima uspehoma
v 3. letniku SŠ (4,03) in povprečno oceno pri fiziki v 3. letniku SŠ (4,15)
sta lani povprečni uspeh v 4. letniku SŠ (4,11) in povprečna ocena pri fiziki
v 4. letniku SŠ (3,97) vǐsja od preǰsnjih let. Kljub temu da sta se splošni
uspeh pri SM in uspeh v 4. letniku SŠ zvǐsala, se je njuna korelacija (0,71)
lani glede na preǰsnja leta znižala. Znižali sta se korelaciji med oceno pri
fiziki na SM in oceno pri fiziki v 3. in 4. letniku SŠ.
Slika 5 kaže trende povprečnega uspeha v 3. in 4. letniku ter ocene pri
fiziki v 3. in 4. letniku. Povsod je opaziti rahlo naraščanje, ki pa se zaustav-
lja, razen občutnega skoka v 4. letniku, kar kaže na prilagojeno obravnavo
med epidemijo. Epidemija na uspeh v 3. letniku seveda ni vplivala, saj
se podatki tičejo dijakov, ki so maturo opravljali leta 2020 in so bili v 3.
letniku leta 2019. Očitno je tudi, da se kriteriji pri fiziki krepko zaostrijo
po prehodu iz 3. v 4. letnik. Za primerjavo je prikazan tudi uspeh pri fiziki
na SM, kjer pa skoka navzgor v letu 2020 ne opazimo.
Razlike po spolu
V pregledu trendov znanja [9] avtor opozori na zaskrbljujoč upad zanimanja
za naravoslovje in matematiko med dekleti ter na to, da poleg tega dekleta
dosegajo slabše rezultate od fantov. V zadnjih šestih letih so dekleta pred-
stavljala slabo tretjino tistih, ki so na splošni maturi za izbirni predmet
izbrali fiziko. Delež po letih kaže slika 6.
215–235 223
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 224 — #10 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Aleš Drolc
Slika 5. Povprečni uspeh dijakov in ocena pri fiziki v 3. in 4. letniku ter povprečna ocena
pri fiziki na SM.
Slika 6. Razmerje fantov in deklet pri fiziki na SM je stabilno, a delež deklet je nizek.
Podrobneǰsa analiza dosežkov po spolu kaže, da razlika po spolu med
leti ni konstantna, kar lahko kaže na več stvari. Prvič, med nalogami so
kakšno leto take, da prihaja pri njih do različne uspešnosti med fanti in
dekleti. Drugič, na izpit iz fizike prihajajo med leti po spolu neprimerljive
populacije. Leta 2017, ko je bil povprečni uspeh med slabšimi, razlike med
povprečnim dosežkom deklet in fantov skoraj ni bilo. V tem letu je bila
razlika na prvi poli približno točko, medtem ko razlike na drugi poli skoraj
ni bilo. Največja razlika med povprečnima dosežkoma deklet in fantov na
celem izpitu je bila leta 2019, na vsaki poli po približno dve točki. Lani
se je ta razlika na prvi poli zmanǰsala, na drugi pa vztraja. Na internem
delu dekleta v povprečju dosegajo več točk kot fantje, vendar se je lani ta
224 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 225 — #11 i
i
i
i
i
i
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
le
to
2
0
1
5
2
0
1
6
2
0
1
7
2
0
1
8
2
0
1
9
2
0
2
0
Š
te
v
il
o
ka
n
d
id
at
ov
1
3
6
9
1
2
1
0
1
2
2
5
1
1
8
3
1
2
1
0
1
0
7
6
P
ov
p
re
čn
i
sp
lo
šn
i
u
sp
eh
p
ri
S
M
*
2
1
,4
5
2
1
,4
7
2
1
,5
7
2
1
,2
3
2
1
,4
4
2
1
,8
6
P
ov
p
re
čn
i
u
sp
eh
v
4.
le
tn
ik
u
S
Š
3
,8
9
3
,9
8
4
,0
0
3
,9
8
3
,9
7
4
,1
1
P
ov
p
re
čn
i
u
sp
eh
v
3.
le
tn
ik
u
S
Š
3
,8
9
3
,9
6
4
,0
3
4
,0
1
4
,0
0
4
,0
3
P
ov
p
re
čn
a
o
ce
n
a
p
ri
F
IZ
IK
I
S
M
3
,7
0
3
,7
3
3
,5
7
3
,6
6
3
,7
4
3
,7
1
P
ov
p
re
čn
a
or
ig
in
al
n
a
o
ce
n
a
p
ri
F
IZ
IK
I
S
M
**
3
,6
9
3
,7
3
3
,5
6
3
,6
5
3
,7
3
3
,7
0
P
ov
p
re
čn
o
št
ev
il
o
o
d
st
ot
n
ih
to
čk
p
ri
F
IZ
IK
I
S
M
7
3
,8
9
7
5
,2
0
7
1
,5
4
7
3
,3
8
7
4
,6
2
7
2
,1
8
M
ed
ia
n
a
o
d
st
ot
n
eg
a
št
ev
il
a
to
čk
p
ri
F
IZ
IK
I
S
M
7
5
7
6
7
3
7
4
7
5
7
3
S
ta
n
d
ar
d
n
i
o
d
k
lo
n
o
d
st
ot
n
ih
to
čk
p
ri
F
IZ
IK
I
S
M
1
2
,6
4
1
2
,4
1
1
3
,7
7
1
3
,0
0
1
2
,7
8
1
3
,3
4
P
ov
p
re
čn
a
o
ce
n
a
p
ri
F
IZ
IK
I
v
4.
le
tn
ik
u
S
Š
3
,7
1
3
,8
2
3
,8
4
3
,8
0
3
,8
4
3
,9
7
P
ov
p
re
čn
a
o
ce
n
a
p
ri
F
IZ
IK
I
v
3.
le
tn
ik
u
S
Š
3
,9
9
4
,0
7
4
,1
2
4
,1
4
4
,1
4
4
,1
5
K
or
el
ac
ij
a
sp
lo
šn
eg
a
u
sp
eh
a
p
ri
S
M
in
o
ce
n
e
p
ri
F
IZ
IK
I
S
M
*
0
,7
7
0
,7
8
0
,8
0
0
,7
7
0
,7
8
0
,7
7
K
or
el
ac
ij
a
sp
lo
šn
eg
a
u
sp
eh
a
p
ri
S
M
in
u
sp
eh
a
v
4.
le
tn
ik
u
S
Š
*
0
,7
7
0
,7
5
0
,7
5
0
,7
7
0
,7
5
0
,7
1
K
or
el
ac
ij
a
sp
lo
šn
eg
a
u
sp
eh
a
p
ri
S
M
in
u
sp
eh
a
v
3.
le
tn
ik
u
S
Š
*
0
,7
5
0
,7
0
0
,6
9
0
,6
9
0
,6
7
0
,6
9
K
or
el
ac
ij
a
o
ce
n
e
p
ri
F
IZ
IK
I
S
M
in
u
sp
eh
a
v
4.
le
tn
ik
u
S
Š
**
*
0
,6
4
0
,6
1
0
,6
6
0
,6
3
0
,6
1
0
,5
8
K
or
el
ac
ij
a
o
ce
n
e
p
ri
F
IZ
IK
I
S
M
in
u
sp
eh
a
v
3.
le
tn
ik
u
S
Š
**
*
0
,6
4
0
,6
1
0
,6
6
0
,6
3
0
,6
1
0
,5
8
K
or
el
ac
ij
a
o
ce
n
e
p
ri
F
IZ
IK
I
S
M
in
o
ce
n
e
p
ri
F
IZ
IK
I
v
4.
le
tn
ik
u
S
Š
*
*
*
0
,6
9
0
,6
5
0
,7
0
0
,6
7
0
,6
9
0
,5
9
K
or
el
ac
ij
a
o
ce
n
e
p
ri
F
IZ
IK
I
S
M
in
o
ce
n
e
p
ri
F
IZ
IK
I
v
3.
le
tn
ik
u
S
Š
*
*
*
0
,5
8
0
,5
5
0
,5
6
0
,5
4
0
,5
9
0
,5
0
K
or
el
ac
ij
a
n
ot
ra
n
je
ga
in
zu
n
an
je
ga
d
el
a
p
ri
S
M
0
,3
4
0
,3
3
0
,4
1
0
,4
1
0
,3
6
0
,3
8
O
d
st
ot
ek
n
eu
sp
eš
n
ih
s
P
P
0
,5
8
0
,5
0
1
,3
9
0
,6
8
0
,9
9
1
,3
0
O
d
st
ot
ek
n
eu
sp
eš
n
ih
b
re
z
P
P
1
,3
1
0
,9
9
2
,7
8
1
,7
8
1
,8
2
2
,5
1
T
ab
el
a
1.
S
p
lo
šn
i
p
o
d
a
tk
i
o
ka
n
d
id
a
ti
h
–
re
fe
re
n
čn
a
sk
u
p
in
a
–
p
ri
iz
p
it
u
S
M
v
sp
o
m
la
d
a
n
sk
ih
iz
p
it
n
ih
ro
k
ih
m
ed
le
to
m
a
2
0
1
5
in
2
0
2
0
.
P
o
d
a
tk
i
so
iz
v
sa
k
o
le
tn
eg
a
p
re
d
m
et
n
eg
a
p
o
ro
či
la
[4
–
8
,
1
2
].
*
P
ri
iz
ra
ču
n
u
p
ov
p
re
čn
eg
a
sp
lo
šn
eg
a
u
sp
eh
a
so
u
p
o
št
ev
a
n
i
sa
m
o
u
sp
eš
n
i
ka
n
d
id
a
ti
(1
0
to
čk
a
li
v
eč
).
E
n
a
k
o
v
el
ja
tu
d
i
za
k
o
re
la
ci
je
s
sp
lo
šn
im
u
sp
eh
o
m
p
ri
S
M
.
*
*
O
ri
g
in
a
ln
a
o
ce
n
a
je
o
ce
n
a
p
ri
p
re
d
m
et
u
sp
lo
šn
e
m
a
tu
re
,
iz
ra
ču
n
a
n
a
iz
o
d
st
o
tn
ih
to
čk
b
re
z
u
p
o
št
ev
a
n
ja
N
P
,
o
ce
n
je
va
n
ja
n
a
O
R
n
a
m
es
to
V
R
a
li
u
p
o
št
ev
a
n
ja
o
ce
n
e
iz
p
re
ǰs
n
je
g
a
ro
ka
.
*
*
*
K
o
re
la
ci
ja
z
o
ce
n
o
p
ri
p
re
d
m
et
u
S
M
se
ra
ču
n
a
z
o
ri
g
in
a
ln
o
o
ce
n
o
p
ri
p
re
d
m
et
u
S
M
.
215–235 225
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 226 — #12 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Aleš Drolc
razlika glede na predlani prepolovila. Povprečni dosežek na celotnem izpitu
se razlikuje glede na rok in spol, vendar na razlike po rokih ne vpliva spol,
in obratno. To velja za izpit v celoti kakor tudi za njegove dele.
Vprašalnik
Lani, po koncu spomladanskega roka splošne mature 2020, je vprašalnik
izpolnilo 941 kandidatov, respondentov, kar je 16,4 odstotka vseh, ki so
spomladanski rok opravljali v celoti. Od tega je bilo kandidatov, ki so za
enega od izbirnih predmetov izbrali fiziko, 190. Med respondenti je večji
delež deklet in dijakov z vǐsjo oceno, kot bi pričakovali glede na dosežene
ocene na SM. Pri interpretaciji se zdi zato smiselno predpostaviti, da je
izjava respondentov o zahtevnosti izpita podcenjena.
Zahtevnost posameznega dela izpita vprašalnik preveri z vprašanjem
»Kako ocenjujete zahtevnost posameznih delov izpitov pri splošni maturi
(pisni, ustni, praktični del)?« [19]. Ponujeni odgovori so »Tega dela izpita
ni«, »Nezahtevno«, »Primerno« in »Prezahtevno«. V letih od 2015 do
2019 sta v povprečju dobri dve tretjini respondentov menili, da je pisni del
primerno zahteven. V lanskem letu je takih le dobra polovica. Povečal se
je delež tistih, ki menijo, da je bil pisni del prezahteven – lani je bilo takega
mnenja dobrih 40 odstotkov respondentov. Pri internem delu je obratno,
povečal se je delež tistih, ki menijo, da je bil lanski interni del nezahteven, in
zmanǰsal delež tistih, ki menijo, da je bil interni del prezahteven. Glede na
prilagojeni način opravljanja in ocenjevanja internega dela je to pričakovano.
Deleži odgovorov o zahtevnosti pisnega in praktičnega dela so prikazani na
diagramih na sliki 7.
Slika 7. Deleži odgovorov o zahtevnosti pisnega izpita in praktičnega dela izpita.
Zanimivo je pogledati, kaj o zahtevnosti izpita menijo respondenti glede
na njihovo uspešnost pri izpitu, ali slabši ocenjujejo izpit kot prezahteven
226 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 227 — #13 i
i
i
i
i
i
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
in bolǰsi kot preenostaven. Predvsem drugemu se skušamo izogibati, da ne
dosežemo kognitivnega podcenjevanja, kar odvrača dobre kandidate. Dia-
grama na sliki 8 kažeta odgovore o zahtevnosti takih kandidatov, ki so izpit
komaj opravili, in odličnih. Med respondenti, ki so dosegli oceno dve, je
pričakovano malo takih, ki pisni del označujejo za nezahtevnega. Večina jih
odgovarja, da je pisni del primeren oz. prezahteven, vendar se deleža med
leti spreminjata. Med respondenti, ki so na maturi dosegli oceno pet, se je
v zadnjem letu povečal delež tistih, ki so pisni izpit označili za prezahtev-
nega. Pri teh se je delež tistih, ki pisni del označujejo za prezahtevnega,
glede na predlani skoraj podvojil in je primerljiv z deležem iz leta 2017.
Zanimivo je, da se je glede na predlani podvojil delež tistih, ki menijo, da
je izpit nezahteven. Možna razlaga je, da je na tako mnenje respondentov
vplivala predvsem prva pola, ki je glede na doseženo povprečno število točk
primerljiva s prvimi polami preǰsnjih let. Če sprejmemo, da je bil izpit za
kandidate lani težji (oz. da je bilo njihovo znanje nižje), potem je bila lani
prva pola relativno lažja kot preǰsnja leta – kar so nekateri bolǰsi dijaki tudi
zaznali.
Slika 8. Mnenje respondentov o težavnosti izpita, levo tisti, ki so dobili oceno 2, desno
tisti, ki so dobili oceno 5. Prikazani so deleži odgovorov.
Ob pregledu mnenja o zahtevnosti pisnega dela glede na oceno na ma-
turi lahko sklenemo, da se je pomik respondentov od mnenja, da je bila
zahtevnost pisnega dela primerna, k mnenju, da je bil pisni del prezahte-
ven, zgodil pri vseh ocenah, najmanj izrazit pa je pri tistih, ki so na maturi
dosegli oceno 5. Med temi se je celo povečal delež takih, ki menijo, da je bil
pisni del nezahteven.
V anketnem vprašalniku dijaki odgovarjajo tudi na vprašanje »Katera
dva dejavnika sta najbolj vplivala na vašo odločitev za 1. in 2. izbirni pred-
met na splošni maturi?« [19]. Najpogosteje so izbirali »zanimanje za pred-
215–235 227
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 228 — #14 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Aleš Drolc
met« in »nadaljnji študij« (gl. sliko 9). »Zanimanje za predmet« je tudi pri
drugih predmetih najpogosteǰsi dejavnik izbire, »nadaljnji študij« pa pogo-
sto pri naravoslovnih predmetih (za druge predmete in po letih gl. [14–19]).
Slika 9. Motivacija respondentov za izbiro fizike na SM.
Predmetni izpitni katalog pri drugi izpitni poli omogoča izbirnost – kan-
didat med šestimi strukturiranimi nalogami izbere in rešuje le tri. Izbirnost
v testu lahko predstavlja težavo tako za dijaka, ki test opravlja, kakor tudi
za komisijo, ki mora pripraviti veljaven in zanesljiv test in pozneje dosežke
analizirati [3]. Eno od vprašanj dijake sprašuje, kaj jih vodi pri odločitvi,
katere tri naloge bodo reševali na drugi izpitni poli. Na vprašanje »Kakšna
je bila vaša strategija za izbiro nalog pri posameznem maturitetnem pred-
metu?« so bili ponujeni štirje možni odgovori: 1 – Maturitetnega predmeta
nisem opravljal. 2 – Prebral sem naloge in se vnaprej odločil, katere naloge
naj mi ocenjevalec oceni. 3 – Reševal sem vse naloge in se na koncu odločil,
katere naloge naj mi ocenjevalec oceni. In 4 – Odločil sem se že prej, pred
opravljanjem maturitetnega izpita [19].
S slike 10 lahko razberemo, da se strategija, kot sporočajo respondenti,
med leti ne spreminja bistveno. Največ, v povprečju dobra polovica, jih
naloge najprej prebere in se potem vnaprej odloči, katere bodo reševali.
Najmanj, v povprečju slaba petina, rešuje več nalog in se na koncu odloči,
katere naloge naj ocenjevalec oceni. Če se osredotočimo na zadnje štiri
roke, vidimo, da je pristop, da so se kandidati za naloge odločili vnaprej, že
pred opravljanjem maturitetnega izpita, stabilen. Razmerje med »prebrati
in reševati le vnaprej izbrane naloge« proti »reševati vse naloge in se na
koncu odločiti« pa se spreminja. Intuitivno verjetna razlaga se zdi, da je
228 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 229 — #15 i
i
i
i
i
i
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
Slika 10. Odgovori na vprašanje, kaj vpliva na izbiro nalog v drugi poli pisnega izpita.
to odvisno od tega, kako jasno je zapisana neka naloga oz. od tega, kako
kandidat zaupa v svoje znanje in ali že po prvem branju besedila naloge
razbere, ali bo nalogo znal rešiti ali ne, oziroma širše, katere tri naloge bo
znal rešiti najbolje. Če po prvem branju tega ni razbral, potem je zelo
verjetno reševal (ali vsaj začel reševati) več nalog ali celo vse in se šele
na koncu odločil, katere naj se mu ocenijo. Delež dijakov, ki so se lani
vnaprej, že pred opravljanjem maturitetnega izpita odločili, katero nalogo
bodo reševali, je v okvirih pričakovanega. Spremenilo pa se je razmerje med
drugima dvema kategorijama, vendar ne prav drugače kot v letih 2015 in
2018. Več dijakov, kot bi pričakovali, je začelo reševati več nalog ali vse in
se na koncu odločilo, katero naj se oceni. Tako razmerje je pred leti že bilo,
a je na meji.
Če zgornja predpostavka o »zaupanju« v svoje znanje in strategiji izbi-
ranja nalog drži, potem lanski odgovori respondentov kažejo, da je bilo pri
izbiri nalog lani nekoliko več negotovosti, kot bi pričakovali za »povprečno
leto«.
Kritična razlika med enim in drugim pristopom je lahko razpoložljivi
čas: če se kandidat za naloge odloči vnaprej, bo imel časa za reševanje bolj
verjetno zadosti, če kandidat rešuje več nalog ali vse, mu bo časa za reševa-
nje bolj verjetno zmanjkalo. Slika 11 kaže, kako težko je bilo respondentom
izbrati nalogo in kaj je vplivalo na izbiro. Vprašanja so: »Ali vam je zaradi
izbiranja nalog zmanjkalo časa za reševanje izpitne pole pri posameznem
maturitetnem predmetu?«, »Kako težka je bila za vas izbira nalog pri po-
sameznem maturitetnem predmetu z izbirnimi nalogami?« (1 »povsem brez
215–235 229
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 230 — #16 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Aleš Drolc
težav«, 5 pa »zelo težka odločitev«), »Ali bi izbrali iste izbirne naloge, če
bi ponovno opravljali maturitetni izpit?« [19].
Slika 11. Diagrami, ki kažejo, kako težko je respondentom izbrati naloge na drugi poli;
zgoraj levo so odgovori na vprašanje, ali imajo za izbiro premalo časa, zgoraj desno so
odgovori na oceno težavnosti izbire, spodaj so odgovori na vprašanje, ali bi izbiro ponovili,
če bi imeli možnost.
Med kandidati, ki so izpolnili vprašalnik in izbrali fiziko, je lani rela-
tivno nizko število takih, ki jim je zaradi izbiranja nalog zmanjkalo časa za
reševanje. Primerljiv delež je bil na roku 2016, precej nižji pa na roku 2017.
Za izpit leta 2017 se izkazuje, da je bil v več pogledih nekoliko drugačen
od drugih. Na roku 2017 je bila izbira naloge za kandidate najtežja, v tem
oziru sledi lanski rok. Za ta dva roka je najmanj kandidatov izjavilo, da bi,
če bi maturo opravljali ponovno, izbrali iste naloge. Povedano nakazuje na
sklep, da se je lani kandidatom izbira naloge zdela težja kot sicer, da bi ob
ponovni možnosti raje, kot do zdaj, izbrali drugo nalogo.
Vendar pa so imeli dijaki, proti pričakovanjem, lani zaradi izbiranja na-
loge najmanj težav s časom za reševanje. Pri odgovorih na to vprašanje je
treba dopustiti možnosti, da se kandidati ob izpolnjevanju vprašalnika ne
spomnijo, ali jim je časa za reševanje primanjkovalo ali ne. Z zadržkom pa
je treba jemati celotno izjavo, da jim je časa zmanjkalo prav zaradi nego-
tovosti pri odločanju, katero nalogo izbrati – časa za reševanje jim je lahko
230 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 231 — #17 i
i
i
i
i
i
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
primanjkovalo tudi zaradi česa drugega.
Ena od možnih interpretacij takega razpleta za te kandidate bi lahko
bila, da kandidati ob pisanju niso bili prav prepričani v svoje znanje (težko
so se odločili, katero nalogo reševati) in da tudi, potem ko so videli rezultate
izpita, niso bili v tolikšni meri kot preǰsnja leta prepričani, ali so se odločili
prav. Toda kljub temu jih je le majhen del izrazil, da so imeli premalo časa.
To navidezno protislovje morda pomeni, da je bilo zaupanje v svoje znanje
šibkeǰse kot sicer, a v resnici je bilo bolǰse, saj je bilo njihovo reševanje
bolj tekoče – zaradi česar jim na koncu vendarle ni zmanjkovalo časa. A
če ob tem upoštevamo še, da so dijaki lani na drugi izpitni poli dosegli
manǰse število točk kot v povprečju v zadnjih letih, iz tega lahko sledi, da
so kandidati pri reševanju bolj pogosto naleteli na vprašanje, ki ga sploh
niso reševali – so ga preskočili –, zaradi česar se je verjetnost, da bi jim
na koncu časa zmanjkalo, nižala. Ta razlaga morda pojasni skladnost med
lanskim rokom in izpitom leta 2017.
Smiselno se zdi predpostaviti, da kandidati večinoma izbirajo in rešujejo
tiste naloge, za katere verjamejo, da jih bodo med vsemi nalogami rešili
najbolje in s tem dobili tudi največ točk – za izbiro katerekoli druge kombi-
nacije verjamejo, da bodo na izpitni poli dobili manj točk. V nadaljevanju
primerjamo delež kandidatov, ki so se v posameznem letu odločili reševati
posamezno izbirno nalogo, in dosežen indeks težavnosti pri tej nalogi (slika
12).
Slika 12. Deleži kandidatov, ki so v posameznih letih izbrali določeno nalogo na drugi
poli (mer – merjenja, meh – mehanika, TD – termodinamika, EM – elektrika in magneti-
zem, NVO – nihanje, valovanje, optika, MA – moderna fizika in astronomija), ter indeksi
težavnosti posameznih nalog.
Na podlagi podatkov lahko za lansko reševanje izpitne pole 2 predlagamo
nekaj ugotovitev:
215–235 231
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 232 — #18 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Aleš Drolc
1. »Priljubljenost« naloge lahko vrednotimo na dva načina: prvi, katera je
naloga po vrsti po priljubljenosti, drugi, koliko dijakov oz. kolikšen delež
dijakov je izbralo neko nalogo. Spremenjen delež dijakov ne pomeni
nujno tudi spremenjene priljubljenosti. Po obeh merilih so dijakinje
in dijaki najbolj konsistentni pri izbiranju nalog 1, 2 in 4. Prvi dve
izbirajo najbolj pogosto, četrto najbolj poredko. Najbolj nekonsistentni
so pri izbiri nalog 3 in 5. Če se osredotočimo le na zadnje tri izpite, je
pogostost izbire stabilna tudi pri teh nalogah.
2. Pogostost izbire nalog iz merjenja in mehanike je na zadnjih šestih rokih
najbolj konsistentno – vedno sta bili najbolj pogosto izbrani nalogi. Na
rokih od 2018 do 2020 je stalna in visoka tudi pogostost izbire naloge iz
termodinamike – je tretja najbolj pogosto izbrana naloga. Za naloge iz
elektrike, nihanja in moderne fizike stalnost na zadnjih šestih rokih ni
tako izrazita. Na splošno bi lahko rekli, da so se dijaki v zadnjih šestih
rokih najbolj pogosto izognili nalogi iz elektrike in magnetizma.
3. Osredotočimo se na naloge, ki so jih zadnja tri leta kandidati izbirali
najbolj pogosto. Lanski delež povprečno doseženih točk na nalogi se od
povprečja preǰsnjih let ne razlikuje pri mehaniki. Pri termodinamiki je
število doseženih točk lani nižje kot predlani, a primerljivo z letom 2018.
Pri merjenju je razlika s predlanskim letom bolj izrazita; razlika je 0,14
odstotne točke, kar v surovih točkah pomeni dve točki od petnajstih
možnih. Odstopanje se zdi preceǰsnje, še posebej za nalogo, ki je vsa
leta največkrat izbrana in ima vsako leto primerljiv povprečni dosežek.
4. Naloga iz elektrike, ki je bila na preǰsnjih rokih najmanj priljubljena, je
tudi tokrat med manj priljubljenimi, a ne najmanj. Če lansko reševanje
primerjamo z reševanjem na rokih od 2015 do 2019, je lanski povprečni
dosežek v okviru pričakovanega. Če pa ga primerjamo le s povprečjem
na rokih 2018 in 2019, pa je povprečno število doseženih točk nižje od
pričakovanega, razlika pa je primerljiva z razliko pri prvi nalogi.
5. Povprečni dosežek je lani nižji od pričakovanega predvsem na drugi iz-
pitni poli. Dozdaǰsnja analiza po nalogah napeljuje na sklep, da je k
temu v največji meri pripomogla naloga 1 (merjenje). K nižjemu pov-
prečju so v manǰsi meri doprinesle še naloge 3, 4 in 5. Pri teh nalogah
so kandidati dosegali v povprečju manj točk, kot bi pričakovali glede na
povprečja zadnjih let. Nalogi 2 in 6 so kandidati reševali pričakovano, ob
tem da je bila naloga iz mehanike druga najbolj pogosto izbrana naloga,
232 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 233 — #19 i
i
i
i
i
i
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
kot vsa leta do zdaj, naloga iz moderne fizike pa najmanj pogosto iz-
brana. Če to ugotovitev postavimo v okvir lanskih posebnih okolǐsčin,
te niso učinkovale na znanje iz mehanike in zaupanje dijakov v svoje
znanje s tega področja, prav tako niso učinkovale na znanje dijakov iz
moderne fizike, a so zelo verjetno krojile zaupanje dijakov v lastno zna-
nje s tega področja. Ta vsebinski sklop je v primerjavi z drugimi manj
obsežen. Po mnenju nekaterih profesorjev fizike se ga je zaradi tega,
in ker naj bi bil posledično tudi najmanj zahteven, najlaže naučiti. To
je perspektiva, ki je dijaki sami ne prepoznajo. Zato je odnos dijaka
do tega poglavja v veliki meri odvisen tudi od profesorjevega pristopa.
Ker lani dijaki v zadnjih mesecih pred maturo stika z učitelji niso imeli
na način kot v preteklih letih, zelo verjetno tudi o tem poglavju niso
razpravljali tako kot preǰsnja leta. Posledično se dijaki za to nalogo niso
odločali v pričakovani meri. Tisti dijaki pa, ki so se za nalogo odločili,
so jo reševali tako dobro kot njihovi kolegi pred leti. Pri mehaniki, ki
proporcionalno predstavlja največji del maturitetne snovi, so dijaki to
nalogo izbirali samozavestno in jo reševali tako dobro kot preǰsnja leta.
Lanske okolǐsčine na te vsebine niso vplivale.
6. Prva naloga je bila lani kot običajno najbolj pogosta izbira dijakov.
Slabši dosežek lahko izhaja iz posebnosti naloge – tu bi bila potrebna
podrobneǰsa analiza postavk. A če predpostavimo, da je bila enako
zahtevna kot preǰsnja leta, so na slabši rezultat lahko vplivale spreme-
njene okolǐsčine. Ta naloga je računsko intenzivna, navezuje se tudi na
praktično delo. Oba vidika sta bila lani okrnjena: manj je bilo sku-
pnega ponavljanja, pri katerem profesor opozarja na zanke in napake v
računanju, ponekod je bilo praktično delo izpeljano na prilagojen način.
7. Pri tretji in četrti nalogi je odstopanje od povprečij preǰsnjih let sicer
minimalno, a negativno. Nekoliko slabše je bila reševana še naloga 5
(nihanje). Naloga je bila po pogostosti izbiranja četrta. Rezultat je bil
za sedem odstotnih točk nižji od povprečja rokov od 2015 do 2019.
8. Torej: merjenje (1) nepričakovano slabo, mehanika (2) in moderna fizika
(6) pričakovano, primerljivo s povprečji preǰsnjih let. Termodinamika
(3), elektrika (4) in nihanje (5) vsaka posebej v okviru preǰsnjih let, z
majhnim negativnim odklonom glede na povprečje let 2015–2019, ven-
dar s to razliko, da so bili lani vsi odkloni sočasno negativni.
215–235 233
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 234 — #20 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Aleš Drolc
Zaključek
Pred izvedbo mature smo pričakovali, da bodo kandidati na maturi dosegli
manǰse povprečno število točk in bo razpršenost v dosežkih večja. Povprečni
dosežek na izpitu v celoti je bil lani nekoliko slabši, vendar ne najslabši in
v okvirih zadnjih let. Podobno velja za drugo izpitno polo, ki je ostala v
okviru najslabših v preteklih letih, vendar z najnižjim povprečnim dosež-
kom. Ravno obratno velja za prvo izpitno polo, na kateri so lani kandidati
dosegli najvǐsje povprečno število točk v zadnjih letih. Na internem delu, na
katerem med preǰsnjimi letih ni bilo statistično značilnih razlik, je lani dose-
ženo najvǐsje povprečje. Hkrati opazimo bolǰso oceno v četrtem letniku, kar
kaže na to, da je bila generacija v šoli obravnavana z velikim razumevanjem
za otežene razmere pouka. Matura je robusten test, lani na njegovo zahtev-
nost in objektivnost zunanji vzroki niso vplivali. Rezultati lanske mature iz
fizike tudi kažejo, da spremenjen pouk (še) ni bistveno vplival na dosežke na
maturi. Deloma tudi zato, ker je pouk v četrtem letniku prilagojen pripravi
na maturo in ni zelo občutljiv na spremembe okolǐsčin. Zanimivo bo opazo-
vati rezultate mature v prihodnjih letih, še posebej njihov odraz na temah,
ki se obravnavajo v letu, ki je najbolj prizadeto z drugačnim poukom.
LITERATURA
[1] B. MacInnis, J. A. Krosnick, A. S. Ho in M.-J. Cho, The Accuracy of Measurements
with Probability and Nonprobability Survey Samples replication and Extension, Public
Opinion Quarterly 82 (2018), 707–744.
[2] V. Babič, R. Belina, P. Gabrovec, M. Jagodič, A. Mohorič, M. Pirc, G. Planinšič,
M. Slavinec in I. Tomić, Predmetni izpitni katalog za splošno maturo 2019 – Fizika,
Ljubljana, Državni izpitni center, 2017.
[3] G. Cankar, Allowing examinee choice in educational testing, Metodološki zvezki 7
(2010), 151–166.
[4] P. Gabrovec in A. Mohorič, Splošna matura iz predmeta fizika v letu 2015, Poročilo
DPK SM za fiziko, 2015, dostopno na www.ric.si/mma/2015%20Porocilo%20DPK%
20411%20FIZ/2015121612553260/, ogled 7. 8. 2020.
[5] P. Gabrovec in A. Mohorič, Splošna matura iz predmeta fizika v letu 2016, Poročilo
DPK SM za fiziko, 2016, dostopno na www.ric.si/mma/2016%20Porocilo%20411%20%
20FIZ%202016/2017020710012066/, ogled 7. 8. 2020.
[6] P. Gabrovec in A. Mohorič, Splošna matura iz predmeta fizika v letu 2018, Poročilo
DPK SM za fiziko, 2018, dostopno na www.ric.si/mma/2018%20Porocilo%20DPK%
20411%20FIZ%202018/2018112710165457/, ogled 7. 8. 2020.
[7] P. Gabrovec in A. Mohorič, Splošna matura iz predmeta fizika v letu 2019, Poročilo
DPK SM za fiziko, 2019, dostopno na www.ric.si/mma/2019%20Porocilo%20DPK%
20FIZ%202019/2020012014410795/, ogled 4. 8. 2020.
234 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Mohoric” — 2021/3/9 — 8:12 — page 235 — #21 i
i
i
i
i
i
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
[8] P. Gabrovec in A. Mohorič, Splošna matura iz predmeta fizika v letu 2020, Poročilo
DPK SM za fiziko, 2020, dostopno na www.ric.si/mma/2020%20Porocilo%20DPK%
20FIZ%202020/20210119152756/, ogled 25. 2. 2021.
[9] A. Mohorič, O mednarodni analizi trendov znanja – TIMSS Advanced 2015, Obz.
mat. in fiz. 64 (2017), 171–181.
[10] G. Planinšič, R. Belina, I. Kukman in M. Cvahte, Učni načrt, Fizika [Elektronski vir],
gimnazija, splošna gimnazija, obvezni predmet (210 ur), izbirni predmet (35, 70, 105
ur), matura (105 + 35 ur). Ljubljana, Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za
šolstvo, 2008, dostopno na portal.mss.edus.si/msswww/programi2012/programi/
media/pdf/un_gimnazija/un_fizika_gimn.pdf, ogled 7. 8. 2020.
[11] A. Pollitt, A. Ahmed in V. Crisp, The demands on examination syllabuses and que-
stion papers, V P. Newton, J.-A. Baird, H. Goldstein, H. Patrick, & P. Tymms,
ur. Techniques for Monitoring the Comparability of Examination Standards, 2007,
166–206, London, Qualifications and Curriculum Authority.
[12] M. Pric in A. Mohorič, Splošna matura iz predmeta fizika v letu 2017, Poročilo DPK
SM za fiziko, 2017, dostopno na www.ric.si/mma/2017%20Porocilo%20DPK%20411%
20%20FIZ%202017/2018012308563785/, ogled 7. 8. 2020.
[13] I. Saksida ur., Letno poročilo – splošna matura 2019, Državna komisija za splošno
maturo, Državni izpitni center, Ljubljana, 2019.
[14] E. Semen, Analiza anketnega vprašalnika za dijake 2015, Državni izpitni cen-
ter, dostopno na www.ric.si/mma/Analiza%20ankete%20za%20dijake%20-%
20spomladanski%20rok%20splo%20%20ne%20mature%202015/2015110209474966/,
ogled 13. 8. 2020.
[15] E. Semen, Analiza anketnega vprašalnika za dijake 2016, Državni izpitni cen-
ter, dostopno na www.ric.si/mma/Analiza%20ankete%20za%20dijake%20-%
20spomladanski%20rok%20splo%20%20ne%20mature%202016/2016112513095660/,
ogled 13. 8. 2020.
[16] E. Semen, Analiza anketnega vprašalnika za dijake 2017, Državni izpitni cen-
ter, dostopno na www.ric.si/mma/Analiza%20ankete%20za%20dijake%20-%
20spomladanski%20rok%20splo%20%20ne%20mature%202017/2017121214205715/,
ogled 13. 8. 2020.
[17] E. Semen, Analiza anketnega vprašalnika za dijake 2018, Državni izpitni cen-
ter, dostopno na www.ric.si/mma/Analiza%20ankete%20za%20dijake%20-%
20spomladanski%20rok%20splo%20%20ne%20mature%202018/2019020422414834/,
ogled 13. 8. 2020.
[18] E. Semen, Analiza anketnega vprašalnika za dijake 2019, Državni izpitni cen-
ter, dostopno na www.ric.si/mma/Analiza%20ankete%20za%20dijake%20-%
20spomladanski%20rok%20splo%20%20ne%20mature%202019/2019102513330939/,
ogled 13. 8. 2020.
[19] E. Semen, Analiza anketnega vprašalnika za dijake 2020, Državni izpitni cen-
ter, dostopno na www.ric.si/mma/Analiza%20ankete%20za%20dijake%20-%
20spomladanski%20rok%20splo%20%20ne%20mature%202020/2020102811020186/,
ogled 25. 2. 2020.
215–235 235
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 236 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
73. Občni zbor DMFA Slovenije
Letošnji, že 73. Občni zbor DMFA Slovenije je potekal 3. decembra 2020 od
17. ure dalje preko spletne aplikacije Zoom. Srečanje smo začeli s predavanji
dveh prejemnikov Zoisove nagrade za leto 2019. Denis Arčon (UL FMF
in IJS) je predaval o raziskavah kvantnega magnetizma, Enes Pasalic (UP
FAMNIT in IAM) pa o razvoju kriptografije in informacijske varnosti.
Slika 1. Nova predsednica DMFA Slovenije je Nežka Mramor Kosta.
Po ugotovitvi sklepčnosti (75 navzočih članov) ob drugem sklicu je de-
lovno predsedstvo, ki mu je predsedoval Peter Legǐsa, začelo uradni del
občnega zbora. Z minuto molka smo se najprej poklonili v preteklem letu
preminulim članom: Dragu Bajcu, Zori Gomiľsček, Francu Hočevarju, Mar-
janu Jermanu, Mileni Kek, Marku Lesarju, Jožetu Petkovšku, Mariji Vencelj
in Francu Žigmanu. Podeljenih je bilo 5 društvenih priznanj, ki so jih pre-
jeli Alojz Grahor, Milena Košak, Janez Krušič, Marijana Robič in Jakob
Jurij Snoj, za novega častnega člana so navzoči soglasno izvolili Vladimirja
Batagelja.
Tajnik društva Janez Krušič je poročal, da je bilo 20. novembra 2020
v DMFA Slovenije včlanjenih 888 članov (118 preko kolektivnega članstva
oddelkov IJS), od tega 23 novih, zaradi izstopa ali neplačevanja članarine
236 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 237 — #2 i
i
i
i
i
i
73. Občni zbor DMFA Slovenije
pa je članstvo prenehalo 26 posameznikom. Na poročila o delu društva
v minulem letu ni bilo pripomb. Bilten s poročili je dostopen na spletni
strani DMFA Slovenije. Zainteresirane člane je Nada Razpet povabila k
sodelovanju na Seminarju za zgodovino matematike, ki poteka po spletu ob
četrtkih zvečer. Posebej je bil predstavljen povzetek finančnega poročila za
celotno leto 2019 in za leto 2020 do meseca novembra, kar je bilo sprejeto
brez pripomb. Podrobneǰsa pojasnila lahko člani dobijo pri tajniku Društva.
Ob izteku mandata 2018–20 je občni zbor podelil razrešnico voljenim
organom društva in se posebej zahvalil predsedniku Draganu Mihailoviću
in dolgoletni podpredsednici Nadi Razpet za uspešno delo, predsednik pa
se je članom zahvalil za zaupanje in opozoril na nekatere odprte probleme
(stabilneǰse financiranje, status Plemljeve vile). Sledile so spletne volitve
novih organov društva. Predlagano kandidatno listo je soglasno podprlo
vseh 58 navzočih članov.
Za novo predsednico DMFA Slovenije z dveletnim mandatom je bila iz-
voljena Nežka Mramor Kosta, zaslužna profesorica Univerze v Ljubljani,
ki pedagoško in raziskovalno delo opravlja na Fakulteti za računalnǐstvo in
informatiko in na Inštitutu za matematiko, fiziko in mehaniko. Napove-
dala je, da bo nadaljevala delo društva na področju popularizacije strok,
se zavzemala za intenzivneǰse sodelovanje z raziskovalnimi ustanovami ter s
pedagogi na strokovnih področjih društva na vseh stopnjah izobraževanja.
Na druge funkcije so bili izvoljeni podpredsednica društva Marjeta Kra-
mar Fijavž, tajnik društva Janez Krušič, predsednik Slovenskega odbora za
matematiko Boštjan Kuzman, predsednik Slovenskega odbora za fiziko Mar-
tin Klanǰsek, predsednica Slovenskega odbora za astronomijo Andreja Gom-
boc, tajniki stalnih komisij DMFA Slovenije Aljoša Brlogar (za populariza-
cijo matematike v osnovni šoli), Sandra Cigula (za popularizacijo matema-
tike v srednji šoli), Barbara Rovšek (za popularizacijo fizike v osnovni šoli),
Jurij Bajc (za popularizacijo fizike v srednji šoli), Andrej Guštin (za popula-
rizacijo astronomije), Gregor Dolinar (za tekmovanje Mednarodni matema-
tični Kenguru), Aleš Mohorič (za pedagoško dejavnost), Matjaž Željko (za
informacijsko tehnologijo), Ciril Dominko (za upravne in administrativne
zadeve), ter predstavnik študentske sekcije Nejc Zajc in predstavnica Od-
bora za ženske Marjetka Conradi. Obenem so bili izvoljeni člani Nadzornega
odbora Matej Brešar, Andrej Likar, Dragan Mihailović, ter člani častnega
razsodǐsča Maja Klavžar, Anton Suhadolc in Zvonko Trontelj. Občni zbor
se je zaključil v nenavadnem virtualnem, a prijetnem vzdušju.
Boštjan Kuzman
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6 237
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 238 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Prof. dr. Vladimir Batagelj novi častni član DMFA Slovenije
Člani DMFA Slovenije so na 73. občnem zboru 3. decembra 2020 sogla-
sno potrdili predlog za novega častnega člana DMFA Slovenije. Prof. dr.
Vladimirju Batagelju iskreno čestitamo in se zahvaljujemo za njegov trajen
prispevek k razvoju in popularizaciji matematike v Sloveniji.
Prof. dr. Vladimir Batagelj je bil rojen leta 1948 v Idriji, leta 1986 pa
je doktoriral iz teorije grafov pod mentorstvom T. Pisanskega. Je zaslužni
profesor za matematiko na Univerzi v Ljubljani, kjer je večino svoje akadem-
ske kariere na različnih fakultetah predaval predmete s področja diskretne
in računalnǐske matematike, tudi po upokojitvi pa raziskovalno deluje na
Univerzi na Primorskem.
Profesor Batagelj je danes mednarodno najbolj poznan kot izjemno uspe-
šen raziskovalec in eden od utemeljiteljev vizualizacije in analize velikih
omrežij v družboslovju v svetovnem merilu. Na tem področju je skupaj
s soavtorji objavil več znanstvenih monografij pri najugledneǰsih svetovnih
založbah, njegova dela pa so bila prevedena celo v kitaǰsčino in japonščino.
Programsko opremo Pajek, ki sta jo razvila skupaj z A. Mrvarjem, danes
uporabljajo raziskovalci po vsem svetu, prof. Batagelj pa je izjemno zaželen
238 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 239 — #4 i
i
i
i
i
i
Prof. dr. Vladimir Batagelj novi častni član DMFA Slovenije
Slika 1. Nekaj mednarodnih del prof. Batagelja.
član programskih odborov in vabljeni predavatelj najugledneǰsih mednaro-
dnih konferenc iz tega področja. Kot zanimivost omenimo še, da je prof.
Batagelj s sodelavci večkrat zmagal tudi na tradicionalnem tekmovanju v
vizualizaciji grafov, ki je del mednarodne konference Graph Drawing.
Kot visokošolski učitelj na UL je profesor Batagelj opravil veliko pionir-
skega dela pri uvajanju predmetov s področja diskretne matematike v raz-
lične študijske programe, tako s področja matematike in naravoslovja, kot
tudi družboslovja. Skupaj s S. Klavžarjem, I. Hafnerjem in drugimi soavtorji
je napisal učbenike za diskretne strukure, logiko, kombinatoriko, statistiko
ter računalnǐstvo in aktivno uvajal sodobno tehnologijo v visokošolsko po-
učevanje. Kot mentor je na raznovrstnih področjih svojega dela vzgojil 9
doktorskih študentov in številne uspešne diplomante, tako pedagoških kot
uporabnih matematičnih smeri. Slovenski visokošolski prostor je obogatil
tudi z uspešnim sodelovanjem z novoustanovljeno Univerzo na Primorskem
ter svojim obsežnim mednarodnim delovanjem in vpeljavo znanstvenih kon-
ferenc iz povsem novih raziskovalnih področji.
Delo prof. Batagelja je izjemnega pomena tudi za DMFA Slovenije in
širšo matematično skupnost v Sloveniji. V svojih študentskih letih je bil Vla-
dimir Batagelj med najbolj aktivnimi pri popularizaciji matematike med sre-
dnješolci in je soavtor prvih zbirk Rešenih nalog iz matematike z republǐskih
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6 239
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 240 — #5 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 2. Prispevki k popularizaciji in razvoju stroke.
tekmovanj, nekoliko kasneje pa tudi zbirke tekmovalnih nalog iz računalni-
štva. Je avtor številnih poljudnih člankov za revijo Presek in njen dolgoletni
urednik za področje računalnǐstva. S temami o računalnǐstvu, teoriji grafov
in uporabi računalnika pri pouku matematike je sodeloval na številnih semi-
narjih DMFA za učitelje matematike, v šolah je uvajal in spodbujal uporabo
programskega jezika Logo za najmlaǰse, sodeloval pa je tudi z Zavodom za
šolstvo pri projektu Računalnǐsko opismenjevanje. Njegov Sredin seminar
za računalnǐsko matematiko je bil več desetletij zapored stičǐsče ustvarjalnih
idej takrat še mladega področja računalnǐstva v Sloveniji. Kot soavtor obse-
žnega priročnika za uporabo sistema TeX za stavljenje matematičnih besedil
skupaj z B. Gollijem je prof. Batagelj prenekateremu slovenskemu matema-
tiku ali fiziku olaǰsal pisanje člankov, visokošolskih učbenikov in drugih del,
ki so obogatila zakladnico strokovne literature v slovenskem jeziku.
Cele generacije diplomantov in akademskih kolegov iz področja mate-
matike, računalnǐstva in družboslovne statistike poznajo Vlada Batagelja
kot duhovitega in široko razgledanega sogovornika, ki je vedno pripravljen
prisluhniti novim idejam in se o njih pogovoriti. Tudi na vsakoletnih občnih
zborih DMFA Slovenije, ki se jih občasno še vedno udeleži, in se jih bo,
upamo, udeleževal še vrsto let.
Boštjan Kuzman
240 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 241 — #6 i
i
i
i
i
i
Alojz Grahor, Milena Košak, Janez Krušič, Marjana Robič in Jakob Jurij Snoj prejemniki
priznanj DMFA Slovenije 2020
Alojz Grahor, Milena Košak, Janez Krušič, Marjana Robič in Jakob Jurij
Snoj prejemniki priznanj DMFA Slovenije 2020
DMFA Slovenije že od leta 1968 podeljuje društvena priznanja za prispevke
na področju matematike, fizike ali astronomije. Priznanja so bila sprva na-
menjena predvsem uspešnim osnovnošolskim in srednješolskim pedagogom,
sčasoma se je krog prejemnikov nekoliko razširil. Veljavni pravilnik (2018)
predvideva podelitev priznanj posameznikom predvsem za uspešno delo z
mladimi ali za strokovno dejavnost, ter posameznikom ali ustanovam za
uspešno sodelovanje z Društvom.
Na 73. Občnem zboru DMFA Slovenije je komisija za priznanja podelila
5 priznanj. Prejeli so jih Alojz Grahor, profesor matematike na Škofij-
ski gimnaziji v Vipavi, za vsestransko zgledno pedagoško in strokovno delo
ter za uspešno mentorstvo dijakov pri raziskovalnih nalogah, Milena Košak,
učiteljica matematike in fizike na OŠ Šmihel, za kvalitetno poučevanje in
mentorstvo osnovnošolcev ter uvajanje novosti v pouk fizike, Janez Krušič,
dolgoletni tajnik DMFA Slovenije, za njegov izjemen osebni prispevek k uspe-
šnemu delovanju društva, Marjana Robič, učiteljica matematike na II. OŠ
Celje, za kvalitetno strokovno pedagoško delo in navduševanje osnovnošolcev
za matematiko, in Jakob Jurij Snoj, študent Fakultete za matematiko in
fiziko Univerze v Ljubljani, za predano in uspešno vodenje priprav srednje-
šolcev za mednarodna tekmovanja iz matematike.
Komisija v sestavi dr. Dragan Mihajlović, dr. Barbara Rovšek in dr.
Boštjan Kuzman se zahvaljuje vsem, ki so poslali predloge, in tudi v bodoče
vabi širše članstvo k predlaganju kandidatov in kandidatk, ki s kvalitetnim
pedagoškim in strokovnim delom izstopajo v svojem okolju. V nadaljevanju
objavljamo pisne utemeljitve priznanj.
Mag. Alojz Grahor, profesor matematike na Škofijski gimnaziji v Vi-
pavi, je diplomiral leta 1981 iz pedagoške matematike, leta 2000 je dosegel
naziv profesor matematike specialist in leta 2003 še magister znanosti, vse
na Univerzi v Ljubljani. Že štiri desetletja svoje bogato matematično zna-
nje z izjemnim pedagoškim čutom razdaja mladini, najprej na gimnaziji v
Postojni, od leta 1999 pa v Vipavi, kjer v zadnjem obdobju sodeluje tudi
pri vodenju šole in kot član državne predmetne komisije aktivno sooblikuje
splošno maturo iz matematike.
Prof. Grahor zna mladim na nazoren način razložiti in približati še tako
težak matematičen problem. Nenehno izpopolnjuje svoje pedagoško znanje,
ki ga posodablja tudi z možnostmi novih tehnologij. Izziv mu je uporabo
tehnologije vključiti v pouk kot pripomoček za resno delo in ne zgolj kot no-
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6 241
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 242 — #7 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 1. Mag. Alojz Grahor
vodobno igralo. Že veliko pred množičnim poukom na daljavo je kot pomoč
dijakom ustvarjal obsežne posnetke predavanj in interaktivne ponazoritve
matematičnih konceptov. Učenci in učenke prof. Grahorja dosegajo visok
nivo znanja tako pri rednem pouku kot na maturi, pa tudi lepe uspehe na
različnih matematičnih tekmovanjih, tudi mednarodnih, kjer so se že izkazali
kot udeleženci matematične in lingvistične olimpijade.
Posebej opazno je njegovo mentorstvo na državnih srečanjih mladih raz-
iskovalcev. V zadnjih letih so matematične raziskovalne naloge dijakinj in
dijakov ŠGV pod njegovim mentorstvom osvojile kar 10 zlatih priznanj in
eno srebrno, avtorji dveh od teh nalog pa so sodelovali tudi na evropskem
srečanju mladih znanstvenikov EUCYS. Kot mentor je prof. Grahor sode-
loval še pri dveh osnovnošolskih nalogah, s katerima so učenci osvojili zlato
priznanje. Raznovrstnost in inovativnost pri obravnavi raziskovalnih proble-
mov kažejo odlično delo mentorja, ki zna učencem poiskati primerne teme
in jih usmeriti k sistematičnemu raziskovalnemu delu, kar je v srednješolski
matematiki preceǰsnja redkost.
Tudi sicer je prof. Grahor s svojim načinom dela, natančnostjo, človeško
držo in spoštljivim pristopom vsestranski vzor, tako mladim – dijakom,
študentom ali učiteljem ob začetku njihove karierne poti, kot tudi drugim
sodelavcem v svojem okolju.
Ga. Milena Košak, predmetna učiteljica matematike in fizike na OŠ Šmi-
hel, je leta 1982 diplomirala na takratni Pedagoški akademiji v Ljubljani in
se zaposlila na OŠ Milka Šobar Nataša (danes OŠ Šmihel). Vsa leta po-
242 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 243 — #8 i
i
i
i
i
i
Alojz Grahor, Milena Košak, Janez Krušič, Marjana Robič in Jakob Jurij Snoj prejemniki
priznanj DMFA Slovenije 2020
Slika 2. Ga. Milena Košak
učuje fiziko in matematiko v vǐsjih razredih osnovne šole, zadnja leta pa
tudi izbirni predmet astronomija. Svoje strokovno področje venomer pro-
movira z organizacijo naravoslovnih dni, tekmovanj, delavnic, astronomskih
opazovanj, vikendov za nadarjene ali drugih dejavnosti.
Pri delu z nadarjenimi učenci jo je najbolj pritegnilo področje fizike,
kjer so bili uspehi OŠ Šmihel opazni tudi v državnem merilu. Njeni učenci
in učenke so sistematično širili in poglabljali znanje, se urili v eksperimen-
tiranju in razvijali prostorsko predstavljivost. Navajala jih je na logično
sklepanje ter raziskovalno delo, pa tudi na učenje iz lastnih napak, preko
katerih vodi pot do elegantne rešitve. Njeni učenci in učenke so na državnih
tekmovanjih v znanju v zadnjem obdobju dosegli 6 zlatih in 30 srebrnih
priznanj pri matematiki, 12 zlatih in 60 srebrnih pri fiziki, 3 zlata in 2 sre-
brni pri astronomiji. Mnogi njeni učenci so ohranili veliko zanimanje za
naravoslovje tudi v srednji šoli ter dosegali tekmovalne uspehe tudi tam.
Milena Košak učence ne samo poučuje, temveč jih s svojim zgledom
pripravlja za življenje. Prizadeva si, da bi pridobili delovne navade ter
postali samostojni in odgovorni. Pri tistih, ki težje dojemajo fizikalne in
matematične vsebine, doseže, da sčasoma zaupajo vase in so ob sprotnem
delu uspešni, ustvarjalni in vedoželjni. Vsem je pripravljena priskočiti na
pomoč tudi v prostem času, za kar so ji hvaležni številni nekdanji učenci,
pa tudi njihovih starši.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6 243
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 244 — #9 i
i
i
i
i
i
Vesti
Bogato je tudi njeno organizacijsko in strokovno delo z odraslimi. Bila
je mentorica mnogim študentom Pedagoške fakultete. Kot vodja šolskega
aktiva matematike in naravoslovja je redno organizirala šolska tekmovanja,
trikrat področno tekmovanje v znanju fizike in po enkrat regijsko in državno
tekmovanje v znanju matematike. Od 1997 do 1999 je vodila področno štu-
dijsko skupino za fiziko pri ZRSŠ. Od 2001 do 2005 je bila članica predmetne
komisije za eksterno preverjanje znanja iz fizike pri RIC, sodelovala je pri
pripravi nalog za eksterno preverjanje znanja iz matematike. Kot multipli-
kator za področje IKT pri pouku fizike v letih 2005 in 2006 je z V. Udirjem
organizirala in izvedla večdnevne delavnice za druge multiplikatorje in uči-
telje fizike. Novosti pri uporabi IKT še zdaj spremlja in jih vključuje v delo
na šoli. Mlaǰsim kolegom je z odnosom do dela in z vztrajnostjo zgled, s
svojim delom pa je trajno prispevala k popularizacije fizike in matematike
med mladimi v novomeški regiji.
Janez Krušič je dolgoletni tajnik DMFA Slovenije, ki svoje delo nepre-
kinjeno opravlja že od leta 1996, že pred tem pa je delo tajnika nekaj let
opravljal tudi v osemdesetih letih preǰsnjega stoletja.
Slika 3. Janez Krušič
Njegovo delo je vestno, natančno in skrbno. S pravočasno pripravo gra-
div skrbi za učinkovito delo Upravnega odbora na njegovih rednih sestankih.
Članom tekmovalnih komisij in vodjem aktivnosti nudi zanesljivo oporo pri
pripravi dokumentacije za prijave na različne razpise, jim svetuje pri pripravi
poročil in pogodb, opozarja na tekoče objave in časovne roke ter pomaga
pri medsebojni komunikaciji. V sodelovanju z računovodstvom skrbi, da je
244 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 245 — #10 i
i
i
i
i
i
Alojz Grahor, Milena Košak, Janez Krušič, Marjana Robič in Jakob Jurij Snoj prejemniki
priznanj DMFA Slovenije 2020
materialno poslovanje društva tekoče in vzdržno. Ureja arhivsko dokumen-
tacijo Društva in s tem poskrbi, da ostanejo dejavnosti društva zabeležene
za prihodnje rodove. Prav tako skrbi za dobro sodelovanje našega društva
z drugimi ustanovami, posebej z društvom DMFA Založnǐstvo. Z uvedbo
Informacijskega strežnika DMFA Slovenije se je v zadnjem obdobju zelo po-
večal tudi obseg njegovega dela v zvezi s tekmovanji, saj se nanj obračajo
tako šole kot starši tekmovalcev, ki želijo od njega različne informacije.
Janez Krušič je dragocen pomočnik pri organizaciji in izvedbi različnih
društvenih aktivnosti, kot so seminarji, občni zbori ali obletnice in priložno-
stne svečanosti. Nanj se lahko glavni organizator vselej zanese in ga vpraša
za nasvet. Kadar ne gre vse gladko, vpletene pomirja s svojo modrostjo in
trezno presojo, pa tudi s prijetno in duhovito besedo.
Njegova zanesljivost je bila in je še vedno osnova za tekoče delo in šte-
vilne uspešno izvedene projekte našega društva v zadnjih dvajset in več
letih, od društvenih dogodkov in aktivnosti do uspehov mladih na med-
narodnih tekmovanjih. Za njegovo delo smo mu člani Upravnega odbora
iskreno hvaležni.
Ga. Marjana Robič, učiteljica matematike na II. OŠ Celje, je diplomirala
leta 1983 v Ljubljani na takratni Pedagoški akademiji. Na tej šoli poučuje
že 30 let. Je odlična učiteljica, ki učencem snov podaja sistematično in
razumljivo, ves čas svojega službovanja pa uspešno skrbi tudi za promocijo
matematike med mladimi.
Marjana Robič je svojemu poklicu predana. Redno spremlja tehnološke,
Slika 4. Ga. Marjana Robič
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6 245
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 246 — #11 i
i
i
i
i
i
Vesti
didaktične in vsebinske novosti in jih vnaša v lastno poučevanje. Učencem je
pripravljena pomagati v vsakem trenutku, tako tistim, ki potrebujejo doda-
tno razlago in imajo posebne potrebe, kot tistim, ki zmorejo več. Nadarjene
uspešno spodbuja za poglobljeno učenje matematike. V okviru matematič-
nega krožka na svoji šoli jih redno in sistematično pripravlja na državna
tekmovanja v znanju. Na državnih tekmovanjih v znanju matematike so
njeni učenci v zadnjem obdobju prejeli 8, v znanju razvedrilne matema-
tike pa 5 zlatih priznanj, zelo uspešni pa so tudi na različnih tekmovanjih
v znanju logike. Številni njeni učenci so na tovrstnih tekmovanjih kasneje
zelo uspešni tudi kot srednješolci. Kot večkratna mentorica osnovnošolcem
pri izdelavi raziskovalnih nalog na natečaju Mladi za Celje pa je učence
spodbujala tudi k raziskovanju nematematičnih, zanje primernih tem.
Kot vodja občinskega matematičnega aktiva v Celju je v začetnem ob-
dobju devetletke uspešno delila izkušnje in nasvete ostalim učiteljem iz širše
regije. Več let je bila vodja področne komisije za NPZ. V pedagoško delo je
uspešno vpeljala več pripravnikov. Lastno bogato pedagoško prakso in stro-
kovno znanje je uspešno uporabila za soavtorstvo priljubljenega kompleta
učbenikov za matematiko Skrivnosti števil in oblik ter nekaterih drugih do-
polnilnih gradiv za pouk osnovnošolske matematike, ki so zelo priljubljena
in so doživela že več ponatisov.
Svoje bogate izkušnje s poučevanjem matematike še vedno uspešno deli
z mlaǰsimi kolegi in ostalimi učitelji v aktivu, zato je med sodelavci na svoji
šoli kot tudi v širšem celjskem okolju priljubljena in spoštovana.
Jakob Jurij Snoj je študent matematike na Fakulteti za matematiko in
fiziko Univerze v Ljubljani. Kot vodja priprav srednješolcev na mednarodna
matematična tekmovanja pri DMFA Slovenije od leta 2017/18 dalje ima
veliko zaslug za izjemne uspehe na mednarodnih matematičnih tekmovanjih
v zadnjih letih, ki so dosegli vrhunec s prvo zlato medaljo za Slovenijo na
letošnji 61. mednarodni matematični olimpijadi.
Jakoba Jurija Snoja je matematika zanimala, odkar pomni. Tako v
osnovni šoli kot v gimnaziji je sodeloval na matematičnih tekmovanjih, v
letih 2015 in 2016 se je uvrstil v slovensko ekipo za Mednarodno matema-
tično olimpijado, kjer je obakrat osvojil pohvalo. Še kot dijak je leta 2016
sodeloval pri pripravi slovenske ekipe na Srednjeevropsko matematično olim-
pijado, že v naslednjem šolskem letu pa je aktivno sodeloval pri celoletnih
pripravah in bil tudi vodja slovenske ekipe na Srednjeevropski matematični
olimpijadi 2017, kjer so naši tekmovalci osvojili ekipno drugo mesto z istim
številom točk kot prvouvrščeni.
246 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“vesti” — 2021/3/9 — 8:16 — page 247 — #12 i
i
i
i
i
i
Alojz Grahor, Milena Košak, Janez Krušič, Marjana Robič in Jakob Jurij Snoj prejemniki
priznanj DMFA Slovenije 2020
Slika 5. Jakob Jurij Snoj
Jakob Jurij Snoj rad dela s tekmovalci in se jim z veseljem posveti na
skupinskih pripravah, pogosto pa tudi vsakemu posebej. Vedno ǐsče nove
načine, kako bi priprave izbolǰsal in ostal v koraku s časom. Pozornost po-
sveča tudi psihološki pripravljenosti, ki je pomemben dejavnik pri uspehu.
Še zlasti je pomembna motivacija tekmovalcev, pa tudi dobro in sproščeno
vzdušje na samem tekmovanju. V zadnjih treh letih so slovenski tekmovalci
na Mednarodni matematični olimpijadi dosegli zgodovinske uspehe, med
drugim so osvojili štiri od skupno sedmih srebrnih medalj od začetkov so-
delovanja Slovenije na olimpijadi pred več kot 25 leti ter prvo zlato medaljo
za Slovenijo.
Jakob Jurij Snoj ustvarja tudi tekmovalne naloge, med drugim je avtor
dveh nalog, ki sta bili leta 2019 zastavljeni na tekmovanju Romanian Master
of Mathematics. Sodeluje tudi pri drugih mednarodnih tekmovanjih: leta
2020 je bil član komisije za izbor nalog in koordinator na Srednjeevropski
matematični olimpijadi, ki je bila izvedena virtualno, sodeloval pa je tudi pri
izvedbi virtualnega tekmovanja Global Quarantine Mathematics Olympiad.
Ob podelitvi priznanja Jakobu Juriju Snoju bi se pri DMFA Slovenije
radi zahvalili tudi vsem ostalim študentom, ki so v zadnjem desetletju sode-
lovali pri izvedbi priprav in po svojih močeh prispevali k slovenskim uspehom
na mednarodnih matematičnih tekmovanjih.
Boštjan Kuzman
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6 247
i
i
“kazalo” — 2021/3/1 — 10:46 — page 248 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
LETNO KAZALO
Obzornik za matematiko in fiziko 67 (2020)
številke 1–6, strani 1–248
Članki — Articles
Primerljivost izpitov na osnovni in vǐsji ravni pri predmetu
matematika na splošni maturi (Jaka Erker, Mateja Fošnarič,
Alojz Grahor, Tatjana Levstek, Mateja Škrlec in Janez Žerovnik) . . 1–11
Padanje kapljic, izločenih iz dihal (Gregor Skok) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–22
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
(Marko Razpet in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–51
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih (Simon Čopar) . . . . . . . . . . . . . . . 52–61
Problem učenja z napakami in sodobni kriptosistemi (Tilen Marc) . . . . . 81–97
Vrtenje zrcal (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98–111
Povabilo v inverzne polgrupe (Ganna Kudryavtseva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–135
Nevidnost (Linda Bitenc in Miha Ravnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136–152
O preureditvah vrst s kompleksnimi členi (Aleksander Simonič) . . . . . . . . 161–176
Navier-Stokesova enačba in elastični trki (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . 177–186
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
(Marko Razpet in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–214
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
(Aleš Mohorič in Aleš Drolc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215–235
Zanimivosti — Miscellanea
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa (Peter Legǐsa) . . . . . . . . 187–195
Nove knjige — New books
Bits and Bugs: A Scientific and Historical Review of Software Failures
in Computational Sciences (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–30
Infinite Powers, The Story of Calculus (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31–34
The Origin of Geometry in India (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35–37
Loving + Hating Mathematics, Challenging the Myths of
Mathematical Life (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37–III
248 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“kazalo” — 2021/3/1 — 10:46 — page 249 — #2 i
i
i
i
i
i
Letno kazalo
The Calculus of Happiness, How a Mathematical Approach to
Life Adds Up to Health, Wealth, and Love (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . 62–64
Algorithms to Live by, The Computer Science of Human Decisions
(Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–70
Figurierte Zahlen (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71–72
Kurven erkunden und verstehen (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73–74
John Urschel in Louisa Thomas, Mind and Matter, A Life in Math
and Football (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112–117
Dörte Haftendorn, Mathematik sehen und verstehen,
Werkzeug des Denkens und Schlüssel zur Welt (Marko Razpet) . . . . 159–XV
L. Rempe-Gillen, R. Waldecker, Primality testing for beginners
(Jurij Kovič in Aleksander Simonič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197–XIX
Vesti — News
Vabilo za predloge priznanj DMFA Slovenije za leto 2020
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Novice Evropskega matematičnega združenja (EMS)
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23–24
Mariji Vencelj v spomin (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75–78
MaRS 2020 (David Gajser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79–VII
Aktualna vabila za mednarodne nominacije v matematiki
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–119
Vabilo na 73. občni zbor DMFA Slovenije (Dragan Mihailović) . . . . . . . . 119–XI
Sedemindvajseto mednarodno matematično tekmovanje
študentov (Marko Orel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153–158
Bojan Mohar je postal član Royal Society of Canada (Peter Legǐsa) . . . . 196
73. Občni zbor DMFA Slovenije (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236–237
Prof. dr. Vladimir Batagelj novi častni član DMFA Slovenije
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238–240
Alojz Grahor, Milena Košak, Janez Krušič, Marjana Robič in
Jakob Jurij Snoj prejemniki priznanj DMFA Slovenije 2020
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241–247
Letno kazalo (urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248–XXIII
http://www.obzornik.si/
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6 XXIII
i
i
“kolofon” — 2021/3/1 — 10:42 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, NOVEMBER 2020
Letnik 67, številka 6
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
(Marko Razpet in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–214
Epidemija in splošna matura iz fizike 2020
(Aleš Mohorič in Aleš Drolc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215–235
Vesti
73. Občni zbor DMFA Slovenije (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236–237
Prof. dr. Vladimir Batagelj novi častni član DMFA Slovenije
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238–240
Alojz Grahor, Milena Košak, Janez Krušič, Marjana Robič in
Jakob Jurij Snoj prejemniki priznanj DMFA Slovenije 2020
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241–247
Letno kazalo (uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248–XXIII
CONTENTS
Articles Pages
Paper folding, angle trisection and trisectrix of Maclaurin
(Marko Razpet and Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–214
Epidemy and physics matura in 2020 (Aleš Mohorič and Aleš Drolc) . . 215–235
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236–XXIII
Na naslovnici: Islandski dvolomec, prozorni kristal kalcita, je dvolomen. V dvo-
lomni snovi se žarek svetlobe razdeli na redni in izredni žarek, ki se lomita pod
različnimi koti. Zato vidimo skozi kristal dvojno sliko. Tudi lanska matura je bila
redna in izredna. Redna v izvedbi, izredna v razmerah. Ali so razmere vplivale na
rezultate pa preberite v prispevku na straneh 215–235. Foto: Aleš Mohorič